Zasada Fermata

Zasada Fermata w optyce jest szczególnym przypadkiem zasady najmniejszego działania.

Wyprowadzenie zasady załamania z zasady Fermata.

Zasadę tę sformułował Pierre de Fermat. Treść jej w ujęciu Fermata miała następujące brzmienie:

Promień świetlny poruszający się (w dowolnym ośrodku) od punktu A do punktu B przebywa zawsze lokalnie minimalną drogę optyczną, czyli taką, na której przebycie potrzeba czasu najkrótszego.

Obecnie wiadomo, że sformułowanie to nie jest ścisłe. Światło w istocie porusza się po takiej drodze optycznej, która jest stacjonarna, co oznacza, że czas jej pokonania nie zmienia się przy niewielkiej zmianie kierunku biegu promienia. W klasycznych zagadnieniach (załamanie, odbicie od płaskiej powierzchni) jest to droga pokonywana w minimalnym czasie. Ale w przypadku soczewkowania grawitacyjnego światło porusza się po drodze maksymalnej, podczas gdy przy odbiciu od zwierciadła eliptycznego droga promienia osiąga punkt siodłowy (zmiana w jednym kierunku powoduje wzrost czasu pokonania drogi a w kierunku prostopadłym do pierwszego – zmniejszenie).

Na podstawie zasady Fermata można wyprowadzić prawo odbicia i załamania.

Przykład: wyprowadzenie prawa załamania:

Światło biegnie z punktu A do punktu B. Chcemy odnaleźć krzywą, po której się ono porusza. Załóżmy, że mamy dwa ośrodki optyczne o bezwzględnym współczynniku załamania $n_{1}\,$ i $n_{2}\,$. Wtedy prędkość światła w każdym z tych ośrodków wynosi odpowiednio: $v_{1}={\frac {c}{n_{1}}}$ i $v_{2}={\frac {c}{n_{2}}}$ (rysunek). Oznaczmy przez x punkt, w którym światło przechodzi przez granicę dwóch ośrodków (najszybszą drogą dotarcia do tego punktu w jednorodnym ośrodku jest linia prosta). Czas potrzebny na przebycie tej drogi to:

$t(x)={\frac {\sqrt {x^{2}+h_{1}^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {h_{2}^{2}+(a-x)^{2}}}{v_{2}}}$

gdzie a jest odległością między punktami A i B mierzoną w poziomie wzdłuż granicy ośrodków. Stacjonarność rozwiązania wymaga zerowania się pierwszej pochodnej czasu po x

${\frac {{\text{d}}t(x)}{{\text{d}}x}}=0\iff {\frac {x}{v_{1}{\sqrt {x^{2}+h_{1}^{2}}}}}+{\frac {-(a-x)}{v_{2}{\sqrt {h_{2}^{2}+(a-x)^{2}}}}}=0\iff$

$\iff {\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {\frac {x}{\sqrt {h_{1}^{2}+x^{2}}}}{\frac {a-x}{\sqrt {h_{2}^{2}+(a-x)^{2}}}}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}$

Zatem:

${\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}$