Element neutralny

Element neutralny – element struktury algebraicznej, który dla danego działania dwuargumentowego przyłożony do dowolnego elementu nie zmieni go.

Pojęcie to pojawia się w definicjach podstawowych struktur algebraicznych takich jak:

• grupy i ich uogólnienia jak monoidy i lupy;
• ciała i bardziej ogólne pierścienie;
• przestrzenie liniowe i ogólniejsze moduły;
• algebry Boole’a.

Rozważa się też ich uogólnienia jak półgrupa, quasi-grupa, grupoid, półpierścień czy krata, w których taki element nie musi istnieć.

Definicja

Niech $S$ będzie zbiorem z określonym działaniem dwuargumentowym $\diamondsuit .$ Element $e$ nazywa się elementem neutralnym, jeżeli spełnia następujące warunki:

• $e\in S,$
• $\forall _{a\in S}\;e\;\diamondsuit \;a=a,$
• $\forall _{a\in S}\;a\;\diamondsuit \;e=a.$

Jeżeli element spełnia tylko pierwszy warunek definicji, to nazywa się go elementem neutralny lewostronnym, jeżeli zaś zadość jest wyłącznie drugiemu z nich, to nosi on nazwę elementu neutralnego prawostronnego. Dla wyróżnienia element neutralny nazywa się niekiedy elementem neutralnym obustronnym.

Oznaczenia

Jeśli działanie zapisane jest w notacji addytywnej, czyli przez $+$ i podobne symbole, to element neutralny względem tego działania oznacza się zazwyczaj symbolem $0$ i nazywa elementem zerowym lub krótko: zerem. Jeśli natomiast działanie opisywane jest w notacji multiplikatywnej, czyli zwykle za pomocą $\cdot ,\times$ lub bez oznaczenia, to element neutralny oznaczany jest zwyczajowo za pomocą znaku $1,$ który nazywa się elementem jednostkowym, jednością bądź jedynką.

Innymi często spotykanymi oznaczeniami są litera $e$ oraz $I$ oraz symbole z nimi powiązane.

Przykłady

Elementy neutralne obustronne

• Zero w grupie addytywnej ciała liczb rzeczywistych $\mathbb {R} .$
• Jedynka w grupie multiplikatywnej ciała liczb rzeczywistych $\mathbb {R} .$
• Macierz jednostkowa dla mnożenia w pierścieniu macierzy kwadratowych ustalonego wymiaru.
• Odwzorowanie tożsamościowe w grupach bijekcji (ze składaniem przekształceń).

Elementy neutralne jednostronne

• Działaniem posiadającym wyłącznie prawostronny element neutralny jest odejmowanie liczb rzeczywistych, którym jest zero:

  $\forall _{x\in \mathbb {R} }\;x-0=x,$

jednocześnie

$\forall _{x\in \mathbb {R} }\;0-x=-x,$

a zatem zero nie jest elementem neutralnym lewostronnym.

• Działanie może mieć wiele elementów neutralnych jednostronnych. Niech $x\;\diamondsuit \;y=x\cdot \lfloor y\rfloor$ będzie działaniem w zbiorze $S=\{x\in \mathbb {R} :x\geqslant 1\},$ gdzie $\lfloor \cdot \rfloor$ oznacza podłogę (część całkowitą). W tym przypadku każda liczba $y<2$ jest elementem neutralnym prawostronnym, bowiem

  $\forall _{S\ni x,y<2}\;x\;\diamondsuit \;y=x\cdot \lfloor y\rfloor =x\cdot 1=x.$

Działania bez elementów neutralnych

• w zbiorze liczb całkowitych parzystych mnożenie nie ma elementu neutralnego (ani obustronnego ani jednostronego).

Własności

• Jeżeli działanie ma jednocześnie elementy neutralne prawostronny i lewostronny, to są one sobie równe (jest to oczywiście element neutralny obustronny).
• Jeżeli działanie jest przemienne, to element neutralny jednostronny jest również elementem neutralnym obustronnym.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Identity Element, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-02-02].
• Identity element (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].