Forma kwadratowa

Forma kwadratowa (funkcjonał kwadratowy) – wielomian jednorodny II stopnia $n$ zmiennych określony na przestrzeni liniowej $V$ – zmienne występują tu najwyżej w drugiej potędze; ogólna postać:

$Q(\mathbf {x} )\equiv Q(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}},$

gdzie:

• $a_{ij}$ – stałe współczynniki liczbowe – całkowite, wymierne, rzeczywiste lub zespolone,
• $x_{i},x_{j},i,j=1,\dots ,n$ – zmienne, współrzędne dowolnego wektora $\mathbf {x}$ danej przestrzeni liniowej $V,$ $\mathbf {x} =[x_{1},\dots ,x_{n}],$
• jednorodność II stopnia oznacza, że dla dowolnej liczby $c\in K$ zachodzi równość,

  $Q(c\,\mathbf {x} )=c^{2}\,Q(\mathbf {x} ).$

W przypadku jednej zmiennej, dwóch zmiennych oraz trzech zmiennych formy nazywa się odpowiednio unarną, binarną i ternarną. Mają one postacie:

$Q(x)=a\,x^{2}\quad {\textrm {(unarna)}},$

$Q(x,y)=a\,x^{2}+b\,xy+c\,y^{2}\quad {\textrm {(binarna)}},$

$Q(x,y,z)=a\,x^{2}+b\,y^{2}+c\,z^{2}+d\,xy+e\,xz+f\,yz\quad {\textrm {(ternarna)}},$

gdzie $a,\dots ,f$ są stałymi współczynnikami.

Np.

$Q(x,y,z)=4x^{2}+2xy-3y^{2}+z^{2}$

jest formą kwadratową trzech zmiennych $x,y,z.$

Funkcje kwadratowe, jak np. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ w przypadku jednej zmiennej, nie są na ogół formami kwadratowymi, gdyż nie są jednorodne (chyba że $b$ oraz $c$ są równe 0).

Pojęcie formy kwadratowej zajmuje fundamentalne miejsce w różnych działach matematyki, takich jak np. teoria liczb, algebra liniowa, teoria grup (w tym teoria grup ortogonalnych), geometria różniczkowa (metryka Riemanna, druga forma fundamentalna), topologia różniczkowa.

Uwaga: O ile nie zaznaczono inaczej, w artykule rozpatruje się przestrzenie liniowe nad ustalonym ciałem $K$ charakterystyki różnej od 2.

Historia

Pytania, czy jakaś liczba całkowita spełnia zadaną formę kwadratową, zadawano wiele stuleci temu. Przykładem jest teoria Fermata o sumie dwóch kwadratów, która określa, kiedy istnieje liczba całkowita spełniająca formę $x^{2}+y^{2},$ gdzie $x,$ $y$ – liczby całkowite. Problem ten jest analogiczny do znajdowania trójek pitagorejskich, który pojawił się w drugim tysiącleciu p.n. Chr.

W 628, Hinduski matematyk Brahmagupta napisał dzieło Brāhmasphuṭasiddhānta zawierające m.in. wyniki badań równań typu $1=x^{2}-ny^{2}=c.$ W szczególności znalazł rozwiązanie równania (zwanego dziś równaniem Pella) $1=x^{2}-ny^{2}=1$. W Europie problem ten badali Brouncker, Euler i Lagrange.

W 1801 Gauss opublikował dzieło Disquisitiones Arithmeticae, w którym główną część poświęcił teorii binarnych form kwadratowych o współczynnikach całkowitych. Jego idee zostały uogólnione i z czasem odkryto związki z liczbowymi ciałami kwadratowymi, z grupami modularnymi i innymi działami matematyki.

Forma kwadratowa a forma dwuliniowa

Tw. 1 Każdej formie kwadratowej $Q(\mathbf {x} )$ odpowiada wzajemnie jednoznacznie symetryczna forma dwuliniowa $B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )$ określona na tej samej przestrzeni, tak że zachodzą związki

$Q(\mathbf {x} )=B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ),$

$B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=B(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )={\tfrac {1}{2}}(Q(\mathbf {x+y} )-Q(\mathbf {x} )-Q(\mathbf {y} )).$

Np.

(a) formą dwuliniową dodatnio określoną i symetryczną jest iloczyn skalarny wektorów $\langle \mathbf {x,y} \rangle$

$B(\mathbf {x,y} )\equiv \langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle \geqslant 0,$

(b) formą kwadratową odpowiadająca jednoznacznie iloczynowi skalarnemu jest iloczyn skalarny wektora przez samego siebie – definiuje on kwadrat normy, która określa długości wektorów przestrzeni liniowej:

$\langle \mathbf {x} |\mathbf {x} \rangle =||\mathbf {x} ||^{2}.$

Df. Funkcję $B$ nazywa się formą dwuliniową odpowiadającą formie $Q$ (stowarzyszoną z formą $Q$).

Czynnik ${\frac {1}{2}}$ jest powodem, dla którego wyklucza się ciała, w których $2=0;$ formy kwadratowe w ciałach charakterystyki 2 opisano w oddzielnej sekcji.

Wybór bazy a przedstawienie formy

Jeżeli $V$ jest przestrzenią liniową skończonego wymiaru $n,$ to wybór bazy przestrzeni prowadzi do przedstawienia $Q$ w postaci jednorodnego wielomianu kwadratowego. Z drugiej strony dowolny jednorodny wielomian II stopnia $V\to K$ zadaje we współrzędnych pewnej bazy formę kwadratową na $V$.

Własności

Tw. Forma dwuliniowa jest symetryczna.

Df. Formy kwadratowe nazywa się równoważnymi, jeśli równoważne są odpowiadające im formy dwuliniowe.

Df. Przestrzeń $(V,Q)$ nazywa się przestrzenią kwadratową.

Df. Przestrzenie $(V_{1},Q_{1})$ i $(V_{2},Q_{2})$ nazywa się izomorficznymi, jeżeli istnieje taki izomorfizm liniowy $\mathrm {A} \colon V_{1}\to V_{2},$ że

$Q_{2}(\mathrm {A} (\mathbf {x} ))=Q_{1}(\mathbf {x} ),$

dla wszystkich $\mathbf {x} \in V_{1}.$

Df. Ortogonalną sumą prostą $V_{1}\perp V_{2}$ przestrzeni $(V_{1},Q_{1})$ i $(V_{2},Q_{2})$ nazywa się sumę prostą przestrzeni $V_{1}\oplus V_{2},$ w której zdefiniowano formą kwadratową

$Q(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=Q_{1}(\mathbf {x} _{1})+Q_{2}(\mathbf {x} _{2}).$

Oznaczenie: $V^{\perp n}$ oznacza $n$-krotną ortogonalną sumę prostą przestrzeni kwadratowej $V$ ze sobą.

Df. Wektorem izotropowym względem $Q$ (bądź $V$) nazywa się niezerowy wektor $\mathbf {x} \in V,$ dla którego

$Q(\mathbf {x} )=0.$

Innymi słowy: wektor izotropowy to wektor niezerowy, będący rozwiązaniem równania

$B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=0,$

czyli wektor niezerowy, który jest ortogonalny sam do siebie.

Macierze odpowiadające formom

(1) Wybierając bazę w $V$ formie kwadratowej $Q$ zdefiniowanej na przestrzeni $n$-wymiarowej, można przypisać macierz $A$ symetryczną $n\times n$ w następujący sposób:

$Q(\mathbf {x} )\equiv Q(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}}=\mathbf {x} ^{\text{T}}A\,\mathbf {x} ,$

gdzie $\mathbf {x} =[x_{1},\dots ,x_{n}]$ jest dowolnym wektorem o $n$ współrzędnych $x_{1},\dots ,x_{n},$ takich że nie wszystkie współrzędne są równe zeru; indeks górny $^{\mathrm {T} }$ oznacza transpozycję.

Macierz $A$ nazywaną macierzą formy kwadratowej względem ustalonej bazy.

(2) Symetrycznej formie dwuliniowej $B$ stowarzyszonej z formą $Q$ odpowiada identyczna macierz $A,$ taka że

$B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {x} ^{T}A\,\mathbf {y} .$

(3) Zmiana bazy w $V$ powoduje, że formie $Q$ przyporządkowana zostaje inna macierz $A',$ przy czym zachodzi związek

$A'=C^{T}A\,C.$

gdzie $C$ jest macierzą zamiany bazy.

Df. Macierze danej formy kwadratowej, wyrażone w różnych bazach, nazywa się macierzami przystającymi.

Df. Wyróżnikiem formy kwadratowej $Q$ reprezentowanej przez macierz $A$ nazywa się liczbę

$\Delta _{Q}=\det A$ modulo niezerowe kwadraty,

gdzie $\det A$ – wyznacznik macierzy $A.$

Df. Formę kwadratową nazywa się niezdegenerowaną (nieosobliwą), gdy jej macierz jest odwracalna, tzn. ma niezerowy wyznacznik.

Diagonalizacja

Df. Forma kwadratowa $Q(\mathbf {x} )$ jest w postaci diagonalnej, jeśli zadana jest jako suma kwadratów współrzędnych wektora $\mathbf {x} ,$ tj.

$Q(\mathbf {x} )\equiv Q(x_{1},\dots ,x_{n})=a_{1}\,x_{1}^{2}+\ldots +a_{n}\,x_{n}^{2}.$

Tw. Forma kwadratowa $Q$ jest w postaci diagonalnej, jeżeli jej reprezentacja macierzowa jest diagonalna, tzn. wszystkie wyrazy macierzy poza główną przekątną są równe zeru.

Twierdzenie Lagrange’a

Dla każdej formy kwadratowej istnieje baza, w której forma ma postać diagonalną

Tw. Wyznacznik formy kwadratowej w postaci diagonalnej wynosi

$a_{1}\dots a_{n}{\bmod {(}}K^{*})^{2}$

Konstrukcja bazy ortogonalnej

Konstrukcję bazy ortogonalnej można przeprowadzić w oparciu o własności odpowiadającej jej formy dwuliniowej:

1. należy rozpocząć od wyboru dowolnego wektora $\mathbf {e} _{1},$ dla którego $Q(\mathbf {e} _{1})\neq 0,$
2. trzeba wybrać z podprzestrzeni $\mathbf {e} _{1}^{\perp }$ wektor $\mathbf {e} _{2},$ taki że $Q(\mathbf {e} _{2})\neq 0;$ wektory $\mathbf {e} _{1}$ i $\mathbf {e} _{2}$ są ortogonalne i liniowo niezależne,
3. należy przejść do $\mathbf {e} _{1}^{\perp }\cap \mathbf {e} _{2}^{\perp }$ i wskazać w niej wektor $\mathbf {e} _{3},$ taki że $Q(\mathbf {e} _{3})\neq 0$ itd.,
4. proces kończy się na podprzestrzeni, na której $Q$ zeruje się tożsamościowo:
   1. jeśli jest to podprzestrzeń zerowa, to wybrane wektory tworzą bazę, w której $Q$ ma postać diagonalną,
   2. w przeciwnym wypadku bazę diagonalizującą $Q$ na całej przestrzeni tworzą wybrane wektory oraz dowolna baza otrzymanej podprzestrzeni.

Twierdzenia

Następujące stwierdzenie charakteryzuje formy kwadratowe wprowadzające liczby podwójne. Dla formy kwadratowej $Q$ określonej na przestrzeni dwuwymiarowej następujące warunki są równoważne:

(a) ma ona postać $x^{2}-y^{2}$ w pewnej bazie,

(b) jej wyróżnik jest równy $-1,$

(c) jest ona niezdegenerowana i daje wektory izotropowe.

Klasyfikacja

W tej sekcji $Q$ będzie niezdegenerowana, zaś $K$ oznaczać będzie liczby rzeczywiste $\mathbb {R} ,$ liczby zespolone $\mathbb {C}$ lub dowolne ciało skończone $\mathbb {F}$ nieparzystej charakterystyki.

Sygnatura

Twierdzenie

Każda forma kwadratowa na $\mathbb {C} ^{n}$ jest równoważna z formą diagonalną $\mathbf {x} _{1}^{2}+\ldots +\mathbf {x} _{n}^{2}.$

Twierdzenie

Dowolna forma kwadratowa na $\mathbb {R} ^{n}$ jest równoważna z formą diagonalną postaci

$\mathbf {x} _{1}^{2}+\ldots +\mathbf {x} _{p}^{2}-\mathbf {x} _{p+1}^{2}-\ldots -\mathbf {x} _{n}^{2},$

gdzie: $p\in [0,n].$

Jeśli $p+q=p'+q',$ to formy

$\langle \cdot ,\cdot \rangle _{p,q}$ oraz $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{p',q'}$

są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy

$p=p'$ i $q=q'.$

Wniosek:

Dana forma kwadratowa na $\mathbb {R} ^{n}$ jest wyznaczona z dokładnością do równoważności przez parę liczb $(p,q),$ którą można uzyskać z diagonalizacji formy:

$p$ jest liczbą znaków dodatnich,

$q=n-p$ to liczba znaków ujemnych.

Df. Parę liczb $(p,q)$ nazywa się sygnaturą formy kwadratowej.

(czasem sygnaturą nazywa się tylko liczbę $p,$ gdyż $q$ jest jednoznacznie wyznaczone przy danym $n$).

Formy kwadratowe a geometria

Formy kwadratowe wprowadzają na zbiorze $\mathbb {R} ^{n}$

• najogólniejsze metryki różniczkowe zwane metrykami pseudoriemannowskimi,
• przez to generują najogólniejsze rozmaitości – rozmaitości pseudoriemannowskie $\mathbb {R} ^{p,q},$ gdzie $n=p+q,$
• metryki zaś umożliwiają definicję innych wielkości geometrycznych rozmaitości

– mówimy, że formy kwadratowe generują geometrie pseudoriemannowskie (w szczególnym przypadku formy – geometrię euklidesową). Z tego względu formy kwadratowe mają fundamentalne znaczenie dla geometrii różniczkowej.

Określoność formy

Df. Formę kwadratową $Q$ na przestrzeni liniowej nad $\mathbb {R}$ nazywa się dodatnio określoną (lub dodatnią), jeżeli $Q(\mathbf {x} )>0$ i ujemnie określoną (lub ujemną), gdy $Q(\mathbf {x} )<0$ dla wszystkich $\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$

Tw. Każda dodatnio określona forma na przestrzeni wymiaru $n$ jest równoważna sumie $n$ kwadratów. Podobnie ma się rzecz z formami określonymi ujemnie.

Własności te nie zależą od wyboru współrzędnych w przestrzeni.

Uniwersalność

Jeśli $Q$ jest określona na przestrzeni $V$ co najmniej trójwymiarowej nad ciałem skończonym $K,$ to daje ona wektory izotropowe. W ciele dowolnej charakterystyki pociąga to uniwersalność formy $Q,$ tzn. $Q(V)=K$. Choć stwierdzenie o istnieniu wektorów izotropowych w dowolnych przestrzeniach wymiaru 2 nie jest prawdziwe, to prawdą jest, iż dowolna forma na przestrzeni dwuwymiarowej nad ciałem skończonym jest uniwersalna.

Twierdzenie

Niech $c\in K^{*}$ będzie niekwadratem. Dowolna forma kwadratowa na przestrzeni liniowej wymiaru $n\geqslant 1$ nad ciałem skończonym $K$ jest równoważna z dokładnie jedną formą na $K^{n},$ mianowicie: $x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}$ lub

$x_{1}^{2}+\ldots +x_{n-1}^{2}+cx_{n}^{2}.$

W szczególności wymiar i wyróżnik wyznaczają formę nad ciałem skończonym w sposób jednoznaczny z dokładnością do równoważności.

Reguła równoległoboku i polaryzacja

Tw. 1 Dla dowolnej formy kwadratowej $Q$ zachodzi wzór nazywany regułą równoległoboku

$Q(\mathbf {x} +\mathbf {y} )+Q(\mathbf {x} -\mathbf {y} )=2{\big (}Q(\mathbf {x} )+Q(\mathbf {y} ){\big )}.$

Tw. 2 Podobny wzór

$Q(\mathbf {x} +\mathbf {y} )-Q(\mathbf {x} -\mathbf {y} )=4B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$

znany również jako tożsamość polaryzacyjna, wyraża formę dwuliniową $B$ za pomocą formy kwadratowej $Q,$ jednak w inny sposób niż podany w definicji.

Być może oba powyższe wzory mogą posłużyć do zdefiniowania formy kwadratowej? Zagadnieniem tym zajęli się John von Neumann i Pascual Jordan, którzy dowiedli

Tw. 3 (Jordana-von Neumanna)

Założenia:

(1) $Q\colon V\to K$ spełnia tożsamość

$Q(\mathbf {x} +\mathbf {y} )+Q(\mathbf {x} -\mathbf {y} )=2Q(\mathbf {x} )+2Q(\mathbf {y} ).$

(2) $B\colon V\times V\to K$ jest określona wzorem

$4B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=Q(\mathbf {x} +\mathbf {y} )-Q(\mathbf {x} -\mathbf {y} ).$

Teza:

$B$ jest symetryczna, dwuaddytywna oraz

$B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=Q(\mathbf {x} ).$

Dwuaddytywność pociąga $\mathbb {Z}$-dwuliniowość. Stąd $B$ z powyższego twierdzenia jest $\mathbb {Q}$-dwuliniowa, jeśli $K$ jest charakterystyki zero lub $\mathbb {F}$-dwuliniowa, jeśli $K$ jest charakterystyki $p.$ Oznacza to, że jeśli $K=\mathbb {Q}$ lub $\mathbb {F} ,$ to forma $Q$ jest kwadratowa. Jeżeli $K=\mathbb {R} ,$ to forma $Q$ jest kwadratowa, o ile $V$ jest skończonego wymiaru (bądź ogólniej: zupełna), przy dodatkowym założeniu, że $Q$ jest ciągła (co pociąga ciągłość $B,$ a stąd jej $\mathbb {R}$-dwuliniowość).

Przy oznaczeniach $\|\cdot \|=Q(\cdot )$ oraz $\langle \cdot ,\cdot \rangle =B(\cdot ,\cdot )$ i przyjęciu $K=\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ powyższe twierdzenie mówi, że:

• w dowolnej przestrzeni Banacha $X$ z normą $\|\cdot \|,$ w której spełniona jest tożsamość równoległoboku, można wprowadzić iloczyn skalarny $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ za pomocą tożsamości polaryzacyjnej,
• wprowadzenie to czyni z $X$ przestrzeń Hilberta.

Ciała charakterystyki 2

O ile nie zaznaczono inaczej, niżej przestrzenie liniowe określone są nad ustalonym ciałem $K$ charakterystyki 2.

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową. Przekształcenie $Q\colon V\to K$ nazywa się formą kwadratową albo funkcjonałem kwadratowym na $V,$ jeżeli:

• jest jednorodne II stopnia,

  $Q(c\mathbf {x} )=c^{2}Q(\mathbf {x} ),$

• następująca funkcja jest dwuliniowa:

  $B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=Q(\mathbf {x} +\mathbf {y} )-Q(\mathbf {x} )-Q(\mathbf {y} ).$

Definicja we współrzędnych nie ulega zmianie: forma kwadratowa to jednorodna, kwadratowa funkcja wielomianowa. Podobnie definiuje się pozostałe pojęcia i dowodzi równoważności definicji abstrakcyjnej i z ustaloną bazą. Zasadniczą różnicą jest postać macierzowa: macierz $\mathbf {N}$ formy kwadratowej $Q$ jest górnotrójkątna, nie zaś symetryczna; macierz $\mathbf {B} =\mathbf {N} +\mathbf {N} ^{\mathrm {T} }$ odpowiadającej jej formy dwuliniowej $B$ jest z kolei symetryczna z zerami na przekątnej głównej. Niekiedy powyższą definicję stosuje się dla ciał dowolnej charakterystyki, jednak przyjęcie jej sprawia, iż forma dwuliniowa stowarzyszona z formą kwadratową wyrażającą się sumą kwadratów nie daje standardowego iloczynu skalarnego, lecz jego dwukrotność.

Jest $B=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie elementy macierzy $\mathbf {B}$ spoza przekątnej głównej znikają (równoważnie: $B=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $Q$ jest diagonalizowalna w pewnej bazie). Gdy charakterystyka nie jest równa 2, wyrazy spoza przekątnej dowolnej formy kwadratowej zerują się w odpowiedniej bazie, jednakże wyrazy spoza przekątnej głównej w $Q$ są potrzebne w ciele charakterystyki 2, gdy stowarzyszona z nią symetryczna forma dwuliniowa nie jest zerowa. Z definicji dowolna forma kwadratowa (w ciele charakterystyki 2) ma powiązaną symetryczną formę dwuliniową, choć odpowiedniość między formami kwadratowymi a symetrycznymi formami dwuliniowymi nie jest iniektywna, ani surjektywna: różne formy kwadratowe (np. $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\mapsto x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}$ oraz $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\mapsto x_{1}x_{2}$) mogą mieć tę samą symetryczną formę dwuliniową, a pewne symetryczne formy dwuliniowe (np. $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\mapsto x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}$) nie są formami dwuliniowymi jakichkolwiek form kwadratowych. W języku macierzy każda forma kwadratowa w ciele charakterystyki różnej od 2 może być zapisana jako $\mathbf {X} \cdot \mathbf {MX} ,$ gdzie $\mathbf {M}$ jest pewną macierzą symetryczną, nie jest to jednak prawda w ciele charakterystyki 2. Forma kwadratowa przedstawiona w baie z wyrazami poza przekątną nie jest reprezentowana przez macierz symetryczną w jakiekolwiek bazie. Jednakże odpowiadająca jej forma dwuliniowa jest zawsze reprezentowana za pomocą macierzy symetrycznej (zob. wyżej). Dlatego nie wolno mylić macierzy $\mathbf {N}$ formy kwadratowej w ciele charakterystyki 2 z macierzą postaci $\mathbf {B}$ jej formy dwuliniowej.

Kluczową obserwacją jest to, że symetryczna forma dwuliniowa stowarzyszona z formą kwadratową w ciele charakterystyki 2 jest alternująca:

$B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=Q(2\mathbf {x} )-2Q(\mathbf {x} )=Q(\mathbf {0} )-0=0.$

W ciele charakterystyki innej niż 2 można odzyskać $Q$ z $B,$ gdyż $B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=Q(\mathbf {x} ),$ ale dla charakterystyki 2 jest $B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=0.$ Ponieważ dowolna alternująca forma dwuliniowa jest symetryczna w ciele charakterystyki 2, to o odpowiedniości z $Q$ do $B$ w ciele charakterystyki 2 należy myśleć jako o przekształceniu form kwadratowych w alternujące (a nie tylko symetryczna) formy dwuliniowe. Wówczas jest ono surjektywne, ale nadal nigdy nie jest iniektywne, tzn. nie istnieje żaden odpowiednik polaryzacji dla charakterystyki 2, a więc sama wiedza o $B$ nie wystarcza do odzyskania informacji o $Q.$ Zatem choć w ciele charakterystyki różnej od 2 pewne pojęcia można wyrazić równie dobrze w języku form kwadratowych bądź symetrycznych form kwadratowych, to w ciele charakterystyki 2 ich wyrażenie w obu tych językach może być niemożliwe.

Zobacz też

Typy form

• forma
• forma liniowa
• forma półtoraliniowa
• forma dwuliniowa

Własności

• określoność formy

Przykłady form w geometrii

• metryka euklidesowa
• metryka pseudoriemannowska
• metryka riemannowska

Bibliografia

• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979, s. 123–138.
• T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1974, s. 73–77.
• Więsław, Witold: Algebra geometryczna. Skrypt dla studentów matematyki. Wydawnictwa Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław 1974.
• Komorowski, Jacek: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
• Gleichgewicht, Bolesław: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983. Wydanie III. ISBN 83-01-03903-5.
• Newelski, Ludomir: Algebra liniowa II, Rozdział 14. W przygotowaniu.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Quadratic Form, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].
• Encyklopedia Mathematica (j. ang.)