Funkcja Mertensa

Funkcja Mertensa – w teorii liczb funkcja zdefiniowana jako:

Wykres funkcji Mertensa dla argumentów od 1 do 10 000

M(n)=\sum _{1\leqslant k\leqslant n}\mu (k),

gdzie $\mu (k)$ jest funkcją Möbiusa^[1]^[2]^[3].

Dla każdej liczby naturalnej $k$ zachodzi $\mu (k)\leqslant 1,$ zatem $M(n)\leqslant n$ ^[2].

Przypuszczenie Mertensa

Franciszek Mertens wysunął przypuszczenie, że dla każdego $n$

\left|M(n)\right|<{\sqrt {n}}

^[2]^[3]^[4].

Fakt ten implikowałaby hipotezę Riemanna^[4]. Jest to powiązane z faktem, iż jeśli podzielimy funkcję Mertensa z danej liczby przez pierwiastek kwadratowy, uzyskamy ciąg zbliżony do sekwencji nietrywialnych zer funkcji dzeta Riemanna^[2]^[3]. Okazuje się jednak, że przypuszczenie to jest fałszywe; do dziś nie jest znany kontrprzykład, ale wiadomo, że znajduje się między $10^{16}$ ^[3] a $e^{3.21\times 10^{64}}$ ^[5]. Równoważne z hipotezą Riemanna jest zachodzenie dla każdego $\epsilon >0$ poniższego wzoru:

M(n)=O\left(n^{{\frac {1}{2}}+\epsilon }\right)

^[2].

Gdyby funkcja Möbiusa została zastąpiona losowym ciągiem $+1$ i $-1,$ to powyższa własność wynikałaby z prawa iterowanego logarytmu.

Ponadto, jeśli powyższy wzór jest prawdziwy, wynik funkcji pi można by przybliżyć wzorem

\int \limits _{0}^{x}{\frac {du}{\ln(u)}}+O(x^{\theta }\ln(x)),

gdzie theta oznacza półpłaszczyznę

{\mathfrak {R}}(s)>\theta ,

gdzie

s

to argument funkcji dzeta Riemanna^[2].

Wzory

Związek pomiędzy funkcją dzeta Riemanna a funkcją Mertensa wynika ze wzoru

{\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}.

$M(n)=\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia},$ gdzie ${\mathcal {F}}_{n}$ oznacza $n$ -ty ciąg Fareya.
M(n) to wyznacznik $n$ -tej macierzy Redheffera, w której $a_{ij}=1,$ gdy $j=1$ lub $i$ dzieli $j,$ a pozostałe wyrazy są zerowe.

Obliczanie wartości funkcji^[3]

Osoba	Rok	Granica obliczeń
Mertens	1897	10⁴
von Sterneck	1897	1,5×10⁵
von Sterneck	1901	5×10⁵
von Sterneck	1912	5×10⁶
Neubauer	1963	10⁸
Cohen, Dress	1979	7,8×10⁹
Dress	1993	10¹²
Lioen, van de Lune	1994	10¹³
Kotnik, van de Lune	2003	10¹⁴
Hurst	2016	10¹⁶

Przypisy

↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Mertens Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f TadejT. Kotnik TadejT., Jan van deJ. Lune Jan van deJ., On the Order of the Mertens Function, „Experimental Mathematics”, 13 (4), 2004, s. 473–481, ISSN 1058-6458 [dostęp 2017-11-10] .
↑ ^a ^b ^c ^d ^e GregG. Hurst GregG., Computations of the Mertens Function and Improved Bounds on the Mertens Conjecture, „arXiv [math]”, 26 października 2016, arXiv:1610.08551 [dostęp 2017-11-10] .
↑ ^a ^b Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Mertens Conjecture, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
↑ J.J. Pintz J.J., An effective disproof of the Mertens conjecture, 1987 [dostęp 2022-08-12] (ang.).

Bibliografia

Pintz J., An Effective Disproof of the Mertens Conjecture, „Astérique” 1987, s. 147–148, 325–333, 346. (fr)

[1] Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Mertens Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).

[:0-2] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f TadejT. Kotnik TadejT., Jan van deJ. Lune Jan van deJ., On the Order of the Mertens Function, „Experimental Mathematics”, 13 (4), 2004, s. 473–481, ISSN 1058-6458 [dostęp 2017-11-10] .

[:1-3] GregG. Hurst GregG., Computations of the Mertens Function and Improved Bounds on the Mertens Conjecture, „arXiv [math]”, 26 października 2016, arXiv:1610.08551 [dostęp 2017-11-10] .

[:2-4] Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Mertens Conjecture, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).

[5] J.J. Pintz J.J., An effective disproof of the Mertens conjecture, 1987 [dostęp 2022-08-12] (ang.).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]