Układ współrzędnych

Układ współrzędnych – odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne przypisujące każdemu punktowi przestrzeni $R^{n}$ skończony ciąg (n-krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu $\mathbf {x} \in R^{n}$ ^[1]^[2].

Do określenia układu współrzędnych potrzebne jest

ustalenie punktu początkowego $O$ (O, ang. origin), tzw. początku układu,
ustalenie bazy wektorów przestrzeni $\{{\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},\dots ,{\vec {e}}_{n}\},$ za pomocą których można wyrazić wektory wodzące ${\vec {OP}}$ punktów $P$ przestrzeni jako kombinacje liniowe wektorów bazy, tj. ${\vec {OP}}=a_{1}{\vec {e}}_{1}+a_{2}{\vec {e}}_{2}+\ldots +a_{n}{\vec {e}}_{n}.$

Współczynniki $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ stojące przy wektorach bazy, na które rozkłada się dany wektor wodzący, stanowią współrzędne danego punktu w przyjętym układzie współrzędnych.

W szczególności przyjęcie punktu początkowego oraz jednego wektora jako wektora jednostkowego na prostej tworzy oś liczbową.

Liczba współrzędnych a wymiar przestrzeni

Liczba współrzędnych potrzebnych do określenia położenia punktu w danej przestrzeni jest równa wymiarowi tej przestrzeni. W szczególności:

dla przestrzeni 1-wymiarowej, np. prostej, okręgu, elipsy itp. wystarczy 1 współrzędna,
dla przestrzeni 2-wymiarowej – płaszczyzny $R^{2},$ sfery (powierzchni kuli) itp. potrzebne są 2 współrzędne,
dla przestrzeni 3-wymiarowej – przestrzeni $R^{3},$ kuli itp. potrzebne są 3 współrzędne,
dla przestrzeni Euklidesowych n-wymiarowych potrzeba n współrzędnych,
dla rozmaitości topologicznych liczba współrzędnych niezbędnych do określenia położenia punktu jest równa wymiarowi przestrzeni Euklidesowej, lokalnie homeomorficznej z daną rozmaitością.

W ogólności do opisania położeń punktów w różnych przestrzeniach wprowadza się układy współrzędnych krzywoliniowych, np.

dla punktów okręgu wystarczy podać jedną współrzędną biegunową $\phi ,$
dla punktów sfery wystarczy podać dwie współrzędne sferyczne $\phi ,\theta ,$
dla punktów kuli wystarczy podać trzy współrzędne prostokątne $x,y,z$ lub sferyczne $r,\phi ,\theta .$

Liczba współrzędnych użytych do określenia położenia danego punktu może być większa, jeżeli daną przestrzeń rozważa się jako podprzestrzeń przestrzeni o większej liczbie wymiarów. Np. powierzchnia sfery o promieniu $r$ zanurzona w przestrzeni 3-wymiarowej może być opisana za pomocą 3 współrzędnych prostokątnych $x,y,z,$ przy czym między współrzędnymi zachodzi zależność

x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.

Uogólnienia

(1) Rozważa się przestrzenie nieskończenie wymiarowe.

(2) Obok układu współrzędnych prostokątnych, w których linie współrzędnych są prostymi wzajemnie prostopadłymi, wprowadza się

układy skośne, w których linie współrzędnych nie są wzajemnie prostopadłe,
układy krzywoliniowe, w których linie współrzędnych nie są liniami prostymi.

(3) Obok współrzędnych, które są liczbami rzeczywistymi, rozważa się współrzędne będące liczbami zespolonymi lub współrzędne będące elementami dowolnego ciała.

Rodzaje układów współrzędnych

Zobacz też

Przypisy

↑ Matematyka. Włodzimierz Waliszewski (red.). Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1988, s. 298, seria: Encyklopedia szkolna. ISBN 83-02-02551-8.
↑ Współrzędne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-22] .

Linki zewnętrzne

OGP Geomatics Committee, Rejestr układów /systemów współrzędnych na świecie (ang.)
spatialreference.org, Wykaz układów /systemów współrzędnych na świecie (ang.)
CRS-EU Operator, Lista układów / systemów współrzędnych i wysokości w Europie (ang.)

[1] Matematyka. Włodzimierz Waliszewski (red.). Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1988, s. 298, seria: Encyklopedia szkolna. ISBN 83-02-02551-8.

[2] Współrzędne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-22] .

[1]

[2]