Grupa multiplikatywna

• w teorii grup: grupa w zapisie multiplikatywnym – grupa, w której działanie grupowe zapisywane jest za pomocą znaku $\cdot ,$ branie elementu odwrotnego przez ⁻¹, element neutralny zaś oznaczony jest przez $1$;
• w teorii pierścieni, ciał, algebr grupa multiplikatywna $(R^{*},\cdot )$ pierścienia, ciała, algebry łącznej $R$ to zbiór elementów odwracalnych pierścienia, ciała, algebry łącznej z działaniem mnożenia; często używane oznaczenia: $R^{*},$ $R^{\cdot },$ $U(R);$

  $R^{*}=\{x\in R:\exists _{y\in R}\left[xy=1\right]\};$

$R$ jest pierścieniem z dzieleniem (algebrą łączną z dzieleniem) wtedy i tylko wtedy, gdy $R^{*}=R\setminus \{0\};$ w przeciwnym razie zbiór $R^{*}$ jest mniejszy, np. $\mathbb {Z} ^{*}=\{1,-1\};$

• algebraiczny torus $GL_{1}$ jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego pojęcia snopa $\mathbb {G} _{m},$ ale pojawia się często poza geometrią algebraiczną pod nazwą grupa multiplikatywna; jest rozmaitością grupową.
• w geometrii algebraicznej: snop grup abelowych $\mathbb {G} _{m}$ reprezentowany przez schemat grupowy $\mathrm {Spec} \mathbb {Z} \left[X,X^{-1}\right];$ grupą przekrojów tego snopa nad afinicznym zbiorem otwartym $\mathrm {Spec} R$ jest grupa homomorfizmów pierścieni $\mathbb {Z} \left[X,X^{-1}\right]\to R$; ta grupa jest naturalnie izomorficzna z grupą $R^{*}{:}$ homomorfizmowi $f:\mathbb {Z} \left[X,X^{-1}\right]\to R$ odpowiada jednoznacznie element $f(X),$ przy czym $f(X)f(X^{-1})=1;$

Sam schemat $\mathrm {Spec} \mathbb {Z} \left[X,X^{-1}\right]$ też jest nazywany grupą multiplikatywną.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Multiplicative Group, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-04-16].
• Multiplicative group (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-11].