Kombinacja afiniczna

Kombinacja afiniczna – szczególny przypadek kombinacji liniowej w przestrzeniach liniowych, mający zastosowania przede wszystkim w przestrzeniach afinicznych, a więc i euklidesowych; z tego względu istotne w geometrii euklidesowej.

Definicja formalna

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K.$ Kombinacja afiniczna wektorów $\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}\in V$ o współczynnikach $a_{1},\dots ,a_{n}\in K$ to wektor

$\sum _{i=1}^{n}~a_{i}\mathbf {x} _{i}=a_{1}\mathbf {x} _{1}+\ldots +a_{n}\mathbf {x} _{n},$

nazywany kombinacją liniową wektorów $\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}\in V,$ którego suma współczynników wynosi $1,$ czyli

$\sum _{i=1}^{n}~a_{i}=1.$

Uwagi

W szczególności przestrzeń liniowa $V$ może być stowarzyszona z dowolną przestrzenią afiniczną $A$ (w tym także z samą przestrzenią $V$ jako przestrzenią afiniczną stowarzyszoną samą ze sobą). Nomenklatura stosowana wraz z tym pojęciem nie odbiega od opisanej w artykule opisującym kombinacje liniowe.

Kombinacja afiniczna punktów stałych przekształcenia afinicznego również jest punktem stałym, tak więc punkty stałe stanowią podprzestrzeń afiniczną (w przestrzeni trójwymiarowej: prostą lub płaszczyznę, a w przypadkach trywialnych punkt lub całą przestrzeń).

Przykłady

Płaszczyzna $\mathbb {R} ^{2}$

Wektor $\mathbf {x} =[1,2]$ jest kombinacją afiniczną

$\mathbf {x} =a_{1}\mathbf {x} _{1}+a_{2}\mathbf {x} _{2}$

wektorów $\mathbf {x} _{1}=[0,2]$ oraz $\mathbf {x} _{2}=[-1,2]$ ze współczynnikami $a_{1}=2,a_{2}=-1,$ gdyż

$[1,2]=2[0,2]+(-1)[-1,2].$

Ten sam wektor $\mathbf {x}$ jest kombinacją afiniczną $\mathbf {x} _{1}=\mathbf {x} _{2}=\mathbf {x}$ z dowolnymi współczynnikami sumującymi się do jedności, np. powyższymi lub ${\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}.$

Przestrzeń $\mathbb {R} ^{3}$

Wektor $\mathbf {x} =[1,-3,2]$ może być przedstawiony jako kombinacja afiniczna (jest to zarazem kombinacja wypukła)

$\mathbf {x} =a_{1}\mathbf {x} _{1}+a_{2}\mathbf {x} _{2}+a_{3}\mathbf {x} _{3}$

wektorów $\mathbf {x} _{1}=[1,0,2],\;\mathbf {x} _{2}=[2,4,3],\;\mathbf {x} _{3}=[0,-8,1]$ o współczynnikach $a_{1}={\tfrac {1}{2}},a_{2}={\tfrac {1}{4}},a_{3}={\tfrac {1}{4}},$ ponieważ

$[1,-3,2]=[{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {2}{4}}+{\tfrac {0}{4}},{\tfrac {0}{2}}+{\tfrac {4}{4}}-{\tfrac {8}{4}},{\tfrac {2}{2}}+{\tfrac {4}{4}}+{\tfrac {1}{4}}]={\tfrac {1}{2}}[1,0,2]+{\tfrac {1}{4}}[2,4,3]+{\tfrac {1}{4}}[0,-8,1].$

Zobacz też

• geometria afiniczna
• kombinacja stożkowa
• powłoka afiniczna
• powłoka wypukła
• przestrzeń afiniczna

Bibliografia

• Jean Gallier: Geometric Methods and Applications. Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag, 2001. ISBN 978-0-387-95044-0. Brak numerów stron w książce (zob. rozdział 2)