Metryka Hausdorffa

Metryka Hausdorffa, zwana inaczej odstępem Hausdorffa – odległość pomiędzy zwartymi podzbiorami przestrzeni metrycznej zupełnej $X.$

Definicja

Niech $(X,d)$ będzie dowolną przestrzenią metryczną zupełną, a $H(X)$ przestrzenią, której elementami są zwarte i niepuste podzbiory przestrzeni $X.$ Niech $A$ i $B$ będą elementami przestrzeni $H(X),$ a $x,y$ elementami przestrzeni $X,$ przy czym $x\in A,y\in B.$ Wyrażenia:

$\delta (x,B)=\inf\{d(x,y)\colon y\in B\}$

$\delta (y,A)=\inf\{d(x,y)\colon x\in A\}$

oznaczają odpowiednio odstęp punktu $x$ od zbioru $B$ i odstęp punktu $y$ od zbioru $A.$ Z kolei wyrażenia:

$\delta (A,B)=\sup\{\delta (x,B)\colon x\in A\}$

$\delta (B,A)=\sup\{\delta (y,A)\colon y\in B\}$

oznaczają odpowiednio odstęp zbioru $A$ od zbioru $B$ i odstęp zbioru $B$ od zbioru $A.$
Metryką Hausdorffa nazywamy funkcję $h\colon H(X)\times H(X)\to [0;\infty )$ określoną wzorem:

$h(A,B)=\max\{\delta (A,B),\delta (B,A)\}$

Uwagi

• Minima i maksima w powyższych zbiorach są osiągane ze względu na zwartość zbiorów $A$ i $B.$
• Gdy $A\subseteq B,$ to $\delta (A,B)=0.$
• Gdy $B\backslash A\neq \emptyset ,$ to $\delta (B,A)\neq 0.$
• Odstępy $\delta (A,B)$ i $\delta (B,A)$ mogą być różne. Jest tak na przykład, gdy $A$ jest podzbiorem właściwym zbioru $B.$
• Alternatywnie, metrykę Hausdorffa można zdefiniować w języku $\epsilon$-otoczeń. Dla danego zbioru $A$ i $\epsilon >0$ oznaczamy $B(x,\epsilon )$ kulę o środku $x$ i promieniu $\epsilon$ oraz określamy

$A_{\epsilon }=\bigcup _{x\in A}B(x,\epsilon ).$

Wówczas metrykę Hausdorffa możemy przedstawić w postaci wyrażenia:

$h(A,B)=\inf \,\{\epsilon \colon B\subset A_{\epsilon }$ oraz $A\subset B_{\epsilon }\}.$

• Odwzorowanie $x\mapsto \{x\}$ jest zanurzeniem izometrycznym przestrzeni $X$ w przestrzeń $H(X).$ Ponadto zbiór $\{\{x\}\colon x\in X\}$ jest domknięty w $H(X),$ co oznacza, że ciąg zbiorów jednoelementowych może zbiegać co najwyżej do zbioru jednoelementowego.

• Przestrzeń $(H(X),\,h),$ z wprowadzoną metryką Hausdorffa $h$ jest przestrzenią metryczną zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest zupełna.
• Topologia przestrzeni $(H(X),h)$ zależy od topologii przestrzeni $(X,\,d),$ a nie od samej metryki $d{:}$ gdy metrykę $d$ zastąpić przez topologicznie równoważną $d$' (obie w $X$), to nowa, indukowana metryka Hausdorffa w $H(X)$ będzie topologicznie równoważna starej (będzie indukować tę samą topologię w $H(X)$).

• $H(X)$ jest przestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest przestrzenią zwartą.

• Zbiór $\{F\subset X\colon F$ jest skończony $\}$ jest gęsty w $H(X).$

Przykład

W przestrzeni $(\mathbb {R} ^{2},d)$ z metryką euklidesową rozważmy dwa zbiory domknięte: $A\colon =[-2;1]\times [-2;1]$ oraz $B\colon =[0;2]\times [0;2].$ Odpowiednie odległości wynoszą:

$\delta (A,B)={\sqrt {8}},$

$\delta (B,A)={\sqrt {2}},$

$h(A,B)={\sqrt {8}}.$

Uogólnienia

Metryka Hausdorffa może być definiowana w podobny sposób dla domkniętych i niekoniecznie zwartych podzbiorów przestrzeni $X.$ W tym wypadku metryka może przyjmować wartości nieskończone, a topologia przestrzeni $H(X)$ będzie zależeć nie tylko od topologii przestrzeni $X,$ ale też od użytej w $X$ metryki $d.$

Z kolei dla zbiorów niekoniecznie domkniętych można podobnie zdefiniować funkcję odległości, jako odległość między domknięciami tych zbiorów. Funkcja będzie pseudometryką (nie będzie spełniać warunków metryki – odległość pomiędzy dwoma różnymi zbiorami mającymi to samo domknięcie będzie równa zero, wbrew pierwszemu warunkowi definicji metryki).

Bibliografia

• Michael Barnsley: Fractals Everywhere. San Diego: Academic Press, 1988. (ang.).
• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: 1975.
• Jacek Kudrewicz: Fraktale i chaos. Wyd. czwarte. Warszawa: WNT, 2007.
• Gerald Edgar: Measure, topology and fractal geometry. Wyd. drugie. Springer, 2008, s. 71–73. (ang.).