Spirala Fermata

Spirala Fermata, spirala paraboliczna – krzywa na płaszczyźnie, będąca uogólnieniem spirali Archimedesa. Ma tę właściwość, że pole powierzchni zawarte pomiędzy dwoma kolejnymi pełnymi zwojami spirali jest stałe. W rezultacie odległość między zwojami maleje, w przeciwieństwie do spirali Archimedesa (dla której ta odległość jest stała) i spirali logarytmicznej (dla której odległość między zwojami spirali jest proporcjonalna do ich odległości od środka).

Spirala Fermata jest tak nazwana na cześć Pierre’a de Fermata.

Spirala Fermata znalazła zastosowanie w modelowaniu wzrostu roślin i kształtów niektórych galaktyk spiralnych, a także w projektowaniu kondensatorów o zmiennych pojemnościach, luster słonecznych i cyklotronów.

Współrzędne biegunowe

Jedna gałąź spirali Fermata, obracającej się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, dana równaniem $r=+a{\sqrt {\varphi }},a>0$

(I) We współrzędnych biegunowych spirala Fermata obracająca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dana jest równaniami:

{\begin{cases}r=+a{\sqrt {\varphi }}\\r=-a{\sqrt {\varphi }}\end{cases}}

gdzie $\varphi \in <0,+\infty ),$ $a$ – stały parametr spirali: im większa jego wartość, tym większa odległość między zwojami spirali, przy czym: (1) gdy $a>0,$ to pierwsze równania opisuje gałąź spirali jak na rysunku obok, zaś drugie równanie opisuje drugą gałąź (por. rysunek górny); (2) gdy $a<0,$ to ramiona są zamienione miejscami.