Przejdź do zawartości

Twierdzenie Schreiera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Twierdzenie Schreieratwierdzenie teorii grup mówiące, że dowolne dwa ciągi podnormalne grupy mają równoważne zagęszczenia, tzn. zagęszczenia o izomorficznych ilorazach, niekoniecznie w tej samej kolejności.

Twierdzenie zostało odkryte przez Ottona Schreiera w 1928 roku w wyniku próby uproszczenia dowodu twierdzenia Jordana-Höldera (dowolne dwa ciągi kompozycyjne danej grupy są równoważne, o ile tylko grupa ma ciąg kompozycyjny); sześć lat później Hans Zassenhaus opublikował lemat nazwany jego nazwiskiem w celu ulepszenia dowodu twierdzenia Schreiera – stąd pochodzi rzadsza, zamiennie stosowana nazwa twierdzenia: twierdzenie Schreiera-Zassenhausa. W przypadku uogólnień niekiedy spotyka się też nazwę twierdzenie Jordana-Höldera-Schreiera.

Innym zastosowaniem twierdzenia Schreiera jest możliwość wykazania, że w grupie z (co najmniej jednym) ciągiem kompozycyjnym dowolny ciąg podnormalny można zagęścić do ciągu kompozycyjnego: wystarczy zacząć od ciągów podnormalnego i kompozycyjnego konstruując ich równoważne zagęszczenia zgodnie z twierdzeniem – zagęszczenie ciągu normalnego stanie się ciągiem kompozycyjnym po zastąpieniu wszystkich powtarzających się podgrup w zagęszczeniu pojedynczym egzemplarzem każdej z tych podgrup (zob. lemat do twierdzenia Jordana-Höldera).

Sam autor zasygnalizował w przypisach, że twierdzenie zachodzi również dla grup z operatorami, jednak twierdzenie uogólnia się też na moduły, a nawet kraty modularne (dla których zachodzi lemat Zassenhausa pociągający twierdzenie Schreiera).

Twierdzenie

[edytuj | edytuj kod]
 Zobacz też: ciąg podnormalny.

Niech

oraz

oznaczają dwa ciągi podnormalne grupy ( oznacza podgrupę trywialną).

Wówczas istnieją równoważne ciągi grupy będące odpowiednio zagęszczeniami ciągów

Dowód

[edytuj | edytuj kod]

Między każdymi dwiema grupami a skonstruowany zostanie z ciągu taki ciąg, który będzie zaczynać się od i kończyć na Istnieją dwa naturalne sposoby osiągnięcia tego celu: pierwszym jest pomnożenie każdego z wyrazów ciągu przez (dzięki temu otrzymany ciąg będzie się zaczynał od ) oraz przecięcie iloczynów z (dzięki temu zmieniony ciąg będzie się kończył na ); drugim sposobem jest przecięcie każdego z wyrazów z (dzięki czemu otrzymany ciąg będzie się kończył na ) i pomnożenie przecięć przez (dzięki czemu otrzymany ciąg będzie się zaczynał od ) – jednak zgodnie z prawem modularności Dedekinda oba te ciągi między a są identyczne.

Niech i podobnie ( ). Ponieważ to (jako iloczyn półprosty; zob. iloczyn kompleksowy). W ten sposób jest podgrupą w i podobnie jest podgrupą w Dlatego

oraz

Zgodnie z lematem Zassenhausa (przy oznaczeniach ) otrzymuje się, dla każdego

oraz

Zatem oraz Stąd jest ciągiem między a a jest ciągiem między oraz Zapisując kolejno wyrazy otrzymuje się ciąg grupy o ilorazach; podobnie zapisując kolejno wyrazy otrzymuje się ciąg grupy o ilorazach. Ciąg jest zagęszczeniem a jest zagęszczeniem Ostatecznie, wobec istnienia izomorfizmów ciągi i są równoważne.

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]