Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych – sprawdzanie sądów o populacji przez badanie jej wycinka (próby statystycznej). Wyróżnia się kilka podejść do problemu weryfikacji hipotez, między innymi:

• wnioskowanie częstościowe, z użyciem P-wartości – służące kontroli błędów decyzyjnych (w szczególności: błędu I i błędu II rodzaju), tak aby w długim horyzoncie czasowym spodziewać się, że nie popełnimy ich częściej, niż założyliśmy (według przyjętego poziomu istotności, np. w 5% przypadków),
• iloraz wiarygodności – służące do rozstrzygnięcia, w jakiej proporcji dane świadczą na rzecz dwóch porównywanych hipotez,
• wnioskowanie bayesowskie, z użyciem czynnika Bayesa – służące do wyrażenia subiektywnej pewności, jaką można, na podstawie danych i wcześniejszych oczekiwań, przypisać danej hipotezie.

Ze względów historycznych w naukach empirycznych najczęściej spotyka się obecnie metody częstościowe. Wiążą się one z szeregiem specyficznych problemów interpretacyjnych, jednak każde z podejść charakteryzują swoiste problemy i ryzyko niezrozumienia oraz nadużyć.

Podejście częstościowe

Definicje

Niech

${\mathcal {P}}=\{P_{\theta }\colon \theta \in \Theta \}.$

będzie rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby ${\mathcal {X}},$ indeksowaną parametrem $\theta$ (w szczególności może to być wektor parametrów rzeczywistych). $P_{\theta }$ opisuje wielowymiarowy łączny rozkład wszystkich obserwacji w próbie $X.$

Hipotezą statystyczną $H$ jest zdanie postaci $\theta \in \Theta _{0}$ gdzie $\Theta _{0}\subset \Theta$ koduje własność rozkładu, którą chcemy testować.

Problem weryfikacji hipotezy statystycznej polega na takim podziale przestrzeni próby ${\mathcal {X}}$ na rozłączne zbiory $\mathbf {K}$ i $\mathbf {A} ,$ żeby prawdopodobieństwo warunkowe hipotezy $P\{\theta \in \Theta _{0}\}$ było możliwie małe (w pewnym ustalonym sensie) dla $X\in \mathbf {K}$ i możliwie duże dla $X\in \mathbf {A} .$

Zwykle wybiera się pewną statystykę $T$ i buduje zbiór

$\mathbf {K} =\{X\in {\mathcal {X}}\colon T(X)\in \mathbf {K} _{T}\},$

gdzie:

$\mathbf {K} _{T}$ jest tzw. obszarem krytycznym testu, wybranym tak, aby $P\{T(X)\in \mathbf {K} _{T}|H\}\leqslant \alpha$

$\alpha$ jest wybranym prawdopodobieństwem, tzw. poziomem istotności testu, zwykle 0,05 lub 0,01.

Jednostronny obszar krytyczny to obszar postaci $\mathbf {K} _{T}=\{t\colon t\leqslant t_{\alpha }\},$ gdzie

$t_{\alpha }$ jest tzw. wartością krytyczną testu. Jest to największa liczba, dla której $P\{T(X)\leqslant t_{\alpha }|H\}\leqslant \alpha$

Dwustronny obszar krytyczny to obszar postaci $\mathbf {K} _{T}=\{t\colon t\leqslant t_{\alpha 1}\vee t\geqslant t_{\alpha 2}\}$ gdzie

$t_{\alpha 1}$ jest największą liczbą dla której $P\{T(X)\leqslant t_{\alpha 1}|H\}\leqslant {\tfrac {\alpha }{2}}$

$t_{\alpha 2}$ jest najmniejszą liczbą dla której $P\{T(X)\geqslant t_{\alpha 2}|H\}\leqslant {\tfrac {\alpha }{2}}$

Standardowy przebieg procedury weryfikacyjnej

Sformułowanie hipotezy zerowej i alternatywnej

Hipoteza zerowa $(H_{0})$ – jest to hipoteza poddana procedurze weryfikacyjnej, w której zakładamy, że różnica między analizowanymi parametrami lub rozkładami wynosi zero. Przykładowo wnioskując o parametrach hipotezę zerową zapiszemy jako:

$H_{0}\colon \theta _{1}=\theta _{2}.$

Hipoteza alternatywna $(H_{1})$ – hipoteza przeciwstawna do weryfikowanej. Możemy ją zapisać na trzy sposoby w zależności od sformułowania badanego problemu:

$H_{1}\colon \theta _{1}\neq \theta _{2},$

$H_{1}\colon \theta _{1}>\theta _{2},$

$H_{1}\colon \theta _{1}<\theta _{2}.$

Wybór statystyki testowej

Budujemy pewną statystykę W, która jest funkcją wyników z próby losowej $W=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ i wyznaczamy jej rozkład przy założeniu, że hipoteza zerowa jest prawdziwa. Funkcję W nazywa się statystyką testową lub funkcją testową.

Określenie poziomu istotności $\alpha$

Na tym etapie procedury weryfikacyjnej przyjmujemy maksymalne dopuszczalne prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju, który polega na odrzuceniu hipotezy zerowej wtedy, gdy jest ona prawdziwa. Prawdopodobieństwo to jest oznaczane symbolem $\alpha$ i nazywane poziomem istotności. Na ogół przyjmujemy prawdopodobieństwo bliskie zeru, ponieważ chcemy, aby ryzyko popełnienia błędu było jak najmniejsze. Najczęściej zakładamy poziom istotności $\alpha =0{,}05,$ czasem przyjmuje się np. $\alpha =0{,}01,\ \alpha =0{,}1.$

Wyznaczenie obszaru krytycznego testu

Obszar krytyczny – obszar znajdujący się zawsze na krańcach rozkładu. Jeżeli obliczona przez nas wartość statystyki testowej znajdzie się w tym obszarze, to weryfikowaną przez nas hipotezę $H_{0}$ odrzucamy. Wielkość obszaru krytycznego wyznacza dowolnie mały poziom istotności $\alpha ,$ natomiast jego położenie określane jest przez hipotezę alternatywną.

Obszar krytyczny od pozostałej części rozkładu statystyki oddzielony jest przez tzw. wartości krytyczne testu $(w_{\alpha })$, czyli wartości odczytane z rozkładu statystyki przy danym $\alpha ,$ tak aby spełniona była relacja zależna od sposobu sformułowania $H_{1}.$

Obliczenie statystyki na podstawie próby

Wyniki próby opracowujemy w odpowiedni sposób, zgodnie z procedurą wybranego testu i są one podstawą do obliczenia statystyki testowej. Większość statystyk testowych, mających dokładny rozkład normalny, $t$-Studenta lub graniczny rozkład normalny, obliczamy w następujący sposób:

$W={\frac {a-b}{c}},$

gdzie:

$W$ – Statystyka testowa,

$a$ – Statystyka obliczona z próby,

$b$ – Hipotetyczna wartość parametru(ów),

$c$ – Odchylenie standardowe rozkładu statystyki.

Podjęcie decyzji

Wyznaczoną na podstawie próby wartość statystyki (P-wartość) porównujemy z wartością krytyczną testu.

• Jeżeli wartość ta znajdzie się w obszarze krytycznym, to hipotezę zerową należy odrzucić jako nieprawdziwą. Stąd wniosek, że prawdziwa jest hipoteza alternatywna.
• Jeżeli natomiast wartość ta znajdzie się poza obszarem krytycznym, oznacza to, że brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Stąd wniosek, że hipoteza zerowa może, ale nie musi, być prawdziwa, a postępowanie nie dało żadnych dodatkowych informacji uprawniających do podjęcia decyzji o przyjęciu lub odrzuceniu hipotezy zerowej.

Reguły postępowania przy weryfikacji hipotez są określane mianem testów statystycznych.

Interpretacja wyniku istotnego lub nieistotnego statystycznie

Zgodnie ze stanowiskiem Amerykańskiego Towarzystwa Statystycznego z 2016 r. P-wartość badania sama w sobie nie niesie informacji o prawdziwości hipotezy badawczej, wartości dowodowej danych czy znaczenia oraz wielkości efektu i nie powinna być traktowana jako samodzielne kryterium poznawcze. Statystycy rekomendują, aby w interpretacji wyników badań uwzględniać ich kontekst i transparentność. Wynik pojedynczego badania ani nawet grupy badań nie uprawniają same przez siebie do uznania żadnej hipotezy, stanowią jedynie słabsze lub mocniejsze ku temu dowody. Dopiero badanie, które jest intersubiektywnie i systematycznie powtarzalne, daje prawo do silniejszych wniosków.

Alternatywne podejścia

Powyższa standardowa procedura wymaga przyjęcia arbitralnego poziomu istotności $\alpha$ a wynikiem weryfikacji jest odpowiedź binarna – albo statystyka testowa mieści się w przedziale ufności, albo nie.

Alternatywnym i nowocześniejszym, choć mniej popularnym podejściem jest obliczenie zamiast tego surowej p-wartości (prawdopodobieństwa popełnienia błędu I rodzaju) i podawanie jej jako wyników weryfikacji. Dzięki temu nie ma potrzeby przyjmowania a priori żadnych wartości $\alpha ,$ pozwala to również na porównywanie istotności różnych konkurencyjnych hipotez statystycznych.

Związane pojęcia

• Poziom istotności $(\alpha )$ – założony próg maksymalnego prawdopodobieństwa nieprawidłowego odrzucenia hipotezy zerowej (popełnienia błędu pierwszego rodzaju)
• Moc statystyczna $(1-\beta )$ – prawdopodobieństwo prawidłowego przyjęcia hipotezy alternatywnej (niepopełnienia błędu drugiego rodzaju)
• Test najsilniejszy – test, który przy danym poziomie istotności ma największą moc.
• Test najsilniejszy jednoznacznie – test, który ma największą moc dla wszystkich poziomów istotności.
• Test nieobciążony – test, którego moc przewyższa poziom istotności.

Zobacz też

• statystyka

Bibliografia

• Ryszard Zieliński: Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej. Warszawa: 2004. Brak numerów stron w książce http://web.archive.org/web/20040921200718/http://www.impan.gov.pl/~rziel/7ALL.pdf (dostęp: 21 maja 2008)
• Lesław Gajek: Wnioskowanie statystyczne dla studentów. Modele i metody. Warszawa: 1998. ISBN 83-204-2489-5. Brak numerów stron w książce