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Análise dimensional

análise da relação entre diferentes quantidades físicas identificando suas quantidades básicas e unidades de medida

A análise dimensional tem sua grande utilidade na previsão, verificação e resolução de equações que relacionam as grandezas físicas garantindo sua integridade e homogeneidade. Este procedimento auxilia a minimizar a necessidade de memorização das equações. Em análise dimensional tratamos as dimensões como grandezas algébricas, isto é, apenas adicionamos ou subtraímos grandezas nas equações quando elas possuem a mesma dimensão.

Em engenharia e ciência, a análise dimensional é a análise das relações entre diferentes quantidades físicas, identificando suas quantidades básicas (como comprimento, massa, tempo e carga elétrica) e unidades de medida (como milhas x quilômetros ou libras x . quilogramas) e rastreando essas dimensões à medida que cálculos ou comparações são realizados. A conversão de unidades de uma unidade dimensional para outra é muitas vezes mais fácil dentro da métrica ou sistema do que em outros, devido à base 10 regular em todas as unidades. A análise dimensional, ou mais especificamente o método de rótulo de fator, também conhecido como método de fator de unidade, é uma técnica amplamente usada para tais conversões usando as regras da álgebra.[1][2][3]

Os teoremas de Buckingham e de Bridgman são teoremas centrais na análise dimensional.

Analisando dimensionalmente uma equação

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No Sistema Internacional de Unidades são utilizadas sete grandezas fundamentais:

Porém, em análise dimensional utilizamos apenas três grandezas massa, comprimento e tempo, as quais são representadas pelas letras M, L e T respectivamente. Podemos, a partir dessas grandezas determinar uma série de outras, por exemplo, analisando dimensionalmente a equação da velocidade no movimento uniforme (MRU) temos:

 

Nessa expressão,   representa a velocidade,   o deslocamento e   o intervalo de tempo. Uma vez que   e  , decorre que:

 

História

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As origens da análise dimensional foram contestadas por historiadores.[4][5]

A primeira aplicação escrita da análise dimensional foi creditada a um artigo de François Daviet na Academia de Ciências de Torino. Daviet teve o mestre Lagrange como professor. Suas obras fundamentais estão contidas na acta da Academia datada de 1799.[5]

Isso levou à conclusão de que as leis significativas devem ser equações homogêneas em suas várias unidades de medida, um resultado que foi posteriormente formalizado no teorema π de Buckingham. Simeon Poisson também tratou do mesmo problema da lei do paralelogramo de Daviet, em seu tratado de 1811 e 1833 (vol I, p. 39).[6] Na segunda edição de 1833, Poisson introduz explicitamente o termo dimensão em vez da homogeneidade de Daviet.

Em 1822, o importante cientista napoleônico Joseph Fourier fez as primeiras contribuições importantes creditadas[7] base na ideia de que leis físicas como   devem ser independentes das unidades empregadas para medir as variáveis ​​físicas.

Maxwell desempenhou um papel importante no estabelecimento do uso moderno da análise dimensional, distinguindo massa, comprimento e tempo como unidades fundamentais, enquanto se referia a outras unidades como derivadas.[8] Embora Maxwell tenha definido comprimento, tempo e massa como "as três unidades fundamentais", ele também observou que a massa gravitacional pode ser derivada de comprimento e  tempo assumindo uma forma da lei da gravitação universal de Newton em que a constante gravitacional   é tomado como unidade, definindo assim  .[9] Ao assumir uma forma da lei de Coulomb na qual a constante   é tomada como unidade, Maxwell então determinou que as dimensões de uma unidade eletrostática de carga eram   , que, após substituir sua equação   para massa, resulta em carga com as mesmas dimensões que a massa, viz.   .

A análise dimensional também é usada para derivar relações entre as quantidades físicas que estão envolvidas em um fenómeno particular que se deseja compreender e caracterizar. Foi usado pela primeira vez (Pesic 2005) dessa forma em 1872 por Lord Rayleigh, que estava tentando entender porque o céu é azul. Rayleigh publicou a técnica pela primeira vez em seu livro de 1877, The Theory of Sound.[10]

O significado original da palavra dimensão, na Theorie de la Chaleur de Fourier, era o valor numérico dos expoentes das unidades básicas. Por exemplo, a aceleração foi considerada como tendo a dimensão 1 em relação à unidade de comprimento e a dimensão −2 em relação à unidade de tempo.[11]Isso foi ligeiramente alterado por Maxwell, que disse que as dimensões da aceleração são   , em vez de apenas os expoentes.[9]

Definição abrangente

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A dimensão de uma quantidade física pode ser expressa como um produto das dimensões físicas básicas, como comprimento, massa e tempo, cada uma elevada a uma potência racional. A dimensão de uma quantidade física é mais fundamental do que alguma unidade de escala usada para expressar a quantidade dessa quantidade física. Por exemplo, a massa é uma dimensão, enquanto o quilograma é uma unidade de escala particular escolhida para expressar uma quantidade de massa. Exceto para unidades naturais, a escolha da escala é cultural e arbitrária.

Existem muitas opções possíveis de dimensões físicas básicas. O padrão SI recomenda o uso das seguintes dimensões e símbolos correspondentes: comprimento (L), massa (M), tempo (T), corrente elétrica (I), temperatura absoluta (Θ), quantidade de substância (N) e intensidade luminosa (J). Os símbolos são, por convenção, geralmente escritos em fonte roman sans serif .[12]

A unidade escolhida para expressar uma quantidade física e sua dimensão estão relacionadas, mas não são conceitos idênticos. As unidades de uma quantidade física são definidas por convenção e relacionadas a algum padrão; por exemplo, o comprimento pode ter unidades de metros, pés, polegadas, milhas ou micrómetros; mas qualquer comprimento sempre tem uma dimensão de L, não importa quais unidades de comprimento sejam escolhidas para expressá-lo. Duas unidades diferentes da mesma quantidade física têm fatores de conversão que as relacionam. Por exemplo, 1 in = 2,54 cm; neste caso (2,54 cm / in) é o fator de conversão, ele próprio adimensional. Portanto, a multiplicação por esse fator de conversão não altera as dimensões de uma quantidade física.

Também existem físicos que lançaram dúvidas sobre a própria existência de dimensões fundamentais incompatíveis da quantidade física,[13] embora isso não invalide a utilidade da análise dimensional.

Referências

  1. ↑ Goldberg, David E. (David Elliott), 1932- (2007). Fundamentals of chemistry 5th ed ed. Dubuque, IA: McGraw-Hill. OCLC 64442884 
  2. ↑ Research and Education Association. (1999). The handbook of chemical engineering. Piscataway, NJ: Research and Education Association. OCLC 41346776 
  3. ↑ Almeida, Thaís Gomes de. «Análise da expressão do fator de crescimento HER-2 e do fator de transcrição FOXO3a em sarcomas e carcinossarcomas uterinos». Consultado em 13 de novembro de 2020 
  4. ↑ Macagno, Enzo O. (dezembro de 1971). «Historico-critical review of dimensional analysis». Journal of the Franklin Institute (6): 391–402. ISSN 0016-0032. doi:10.1016/0016-0032(71)90160-8. Consultado em 13 de novembro de 2020 
  5. ↑ a b De A. Martins, Roberto (maio de 1981). «The origin of dimensional analysis». Journal of the Franklin Institute (5): 331–337. ISSN 0016-0032. doi:10.1016/0016-0032(81)90475-0. Consultado em 13 de novembro de 2020 
  6. ↑ «Carta contendo alterações do artigo». dx.doi.org. Consultado em 13 de novembro de 2020 
  7. ↑ Mason, Stephen F. (Stephen Finney), 1923-2007. (1962). A history of the sciences. New rev. ed ed. New York: Collier Books. OCLC 168223 
  8. ↑ Roche, John J. (John James), 1937- (1998). The mathematics of measurement : a critical history. London: Athlone Press. OCLC 40499222 
  9. ↑ a b Maxwell, James Clerk. «ELECTRICITY AND MAGNETISM». Cambridge: Cambridge University Press: xxxi–xxxiv. ISBN 978-0-511-70933-3. Consultado em 13 de novembro de 2020 
  10. ↑ Stephens, R.W.B.; Campbell, Murray (2001). «Rayleigh, John William Strutt, 3rd Baron». Oxford University Press. Oxford Music Online. Consultado em 13 de novembro de 2020 
  11. ↑ «Vorschau». Controlling & Management (2): 156–156. Abril de 2012. ISSN 1614-1822. doi:10.1365/s12176-012-0137-8. Consultado em 13 de novembro de 2020 
  12. ↑ DO NASCIMENTO SAGRILO, LUCAS. «OTIMIZAÇÃO DAS DIMENSÕES DA SEÇÃO TRANSVERSAL DE UM CHASSI PARA VEÍCULOS COMERCIAIS». Consultado em 13 de novembro de 2020 
  13. ↑ Duff, Michael J; Okun, Lev B; Veneziano, Gabriele (9 de março de 2002). «Trialogue on the number of fundamental constants». Journal of High Energy Physics (03): 023–023. ISSN 1029-8479. doi:10.1088/1126-6708/2002/03/023. Consultado em 13 de novembro de 2020 
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