Espaço conexo: diferenças entre revisões

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De cima para baixo: os espaços vermelho A, magenta B, amarelo C e laranja D são todos **conexos**, enquanto o espaço verde E (composto pelos subconjuntos E1, E2, E3 e E4) é **desconexo**. Para além disso, A e B são também **simplesmente conexos** (género 0), enquanto C e D não o são: C tem género 1 e D tem género 4.

Em topologia, conexidade ^{(português brasileiro)} ou conectividade ^{(português europeu)} é a propriedade de um espaço conexo, isto é, um espaço topológico que não pode ser representado como a união de dois ou mais conjuntos abertos disjuntos e não-vazios.^[1]

Definição

Uma cisão de um conjunto é a decomposição $X=A\cup B$ em dois abertos disjuntos. Todo conjunto admite a cisão trivial em que $A=X$ e $B=\emptyset$ . Um conjunto chama-se conexo quando admite apenas a cisão trivial.^[1]

Equivalências

Os subconjuntos $\emptyset$ e $X$ são, ao mesmo tempo, abertos e fechados em qualquer topologia de $X$ . Assim, equivalentemente, se eles são os únicos conjuntos abertos e fechados, então $X$ é conexo. Por outro lado, se existe $A$ não-vazio aberto e fechado em $X$ , então $X$ é desconexo.^[2]

Exemplos

$\mathbb {R}$ e $\mathbb {C}$ são conexos, enquanto $\mathbb {N} ,$ $\mathbb {Z}$ e $\mathbb {Q}$ são desconexos.
Em $\mathbb {R}$ , os únicos subconjuntos conexos são os intervalos.^[3]
$\mathbb {R} -\{0\}$ é desconexo pois possui a cisão não-trivial $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ .^[1]

Propriedades

A imagem de um conexo por uma aplicação contínua é um conexo.^[4]
Todo conjunto homeomorfo a um conexo é conexo.^[4]
A união de uma família de conjuntos conexos que possuam um ponto em comum é conexa.^[5]
O produto cartesiano de dois conjuntos é conexo se, e somente se, ambos são conexos.^[5]
O fecho de um conjunto conexo é conexo.^[6]

Componentes conexas

Mesmo que um conjunto $X$ não seja conexo, ele sempre poderá ser representado pela união disjunta de suas componentes conexas.^[7]

A componente conexa $C_{x}$ é o maior subconjunto conexo que contém $x\in X$ .^[7] Para quaisquer dois pontos de $X$ , suas componentes conexas ou coincidem ou são disjuntas. Se possuem um ponto em comum, são a mesma componente conexa, pois a componente conexa é o maior subconjunto conexo contendo um dado ponto; se não possuem, são disjuntas.^[7]

Por exemplo, para $\mathbb {R} -\{0\}$ , a componente conexa de $-1$ é $(-\infty ,0)$ e a componente conexa de $1$ é $(0,+\infty )$ . No caso, essas são as duas componentes conexas do conjunto.^[7]

Propriedades

Toda componente conexa de $X$ é um conjunto fechado em $X$ .^[7]

Homeomorfismos estabelecem, entre os dois espaços, uma bijeção entre as componentes conexas de um com as componentes conexas do outro.^[7] Sendo assim, dois conjuntos homeomorfos possuem a mesma quantidade de componentes conexas.^[7]

Conexo por caminhos

Um tipo de conexidade mais estrita é a conexidade por caminhos.^[8]

Um caminho num conjunto $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ é uma função contínua definida num intervalo real que passa por pontos de $X$ . Dois pontos podem ser ligados por um caminho quando existe um caminho $f$ tal que esses pontos estejam na imagem de $f$ .^[9] Um conjunto se diz conexo por caminhos quando quaisquer dois pontos podem ser ligados por um caminho.^[9]

Todo conjunto conexo por caminhos é conexo, mas a recíproca é falsa.^[10] Por exemplo, no $\mathbb {R} ^{2},$ o gráfico da função $f(x)={\mbox{sen}}{\frac {1}{x}}$ para $0<x\leq 1$ com a origem $(0,0)$ é conexo mas não é conexo por caminhos.^[10]

Propriedades

A união de dois conjuntos conexos por caminhos, de interseção não-vazia, é conexa por caminhos.[carece de fontes]
A topologia produto de dois conjuntos conexos por caminhos é conexa por caminhos.[carece de fontes]
Todo conjunto convexo é conexo por caminhos.^[11]
No $\mathbb {R} ^{n}$ , um conjunto aberto é conexo se, e somente se, é conexo por caminhos.^[12]

Ver também

Conexidade simples

Referências

↑ ^a ^b ^c Lima 1981, p. 54.
↑ Lima 1981, p. 55.
↑ Lima 1981, p. 55, Teorema 31.
↑ ^a ^b Lima 1981, p. 55, Teorema 30.
↑ ^a ^b Lima 1981, p. 57, Teorema 33.
↑ Lima 1981, p. 59, Teorema 35.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Lima 1981, p. 63.
↑ Lima 1981, p. 59.
↑ ^a ^b Lima 1981, pp. 59-60.
↑ ^a ^b Lima 1981, p. 61.
↑ Lima 1981, p. 60.
↑ Lima 1981, p. 61, Teorema 36.

Bibliografia

Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise, Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada
Munkres, James R. (2000), Topology, ISBN 9780131816299, Prentice Hall, Incorporated .

[FOOTNOTELima198154-1] Lima 1981, p. 54.

[FOOTNOTELima198155-2] Lima 1981, p. 55.

[FOOTNOTELima198155Teorema_31-3] Lima 1981, p. 55, Teorema 31.

[FOOTNOTELima198155Teorema_30-4] Lima 1981, p. 55, Teorema 30.

[FOOTNOTELima198157Teorema_33-5] Lima 1981, p. 57, Teorema 33.

[FOOTNOTELima198159Teorema_35-6] Lima 1981, p. 59, Teorema 35.

[FOOTNOTELima198163-7] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Lima 1981, p. 63.

[FOOTNOTELima198159-8] Lima 1981, p. 59.

[FOOTNOTELima198159-60-9] Lima 1981, pp. 59-60.

[FOOTNOTELima198161-10] Lima 1981, p. 61.

[FOOTNOTELima198160-11] Lima 1981, p. 60.

[FOOTNOTELima198161Teorema_36-12] Lima 1981, p. 61, Teorema 36.

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-{{Mais notas|data=julho de 2013}}
 [[Imagem:Simply connected, connected, and non-connected spaces.svg|thumb|De cima para baixo: os espaços vermelho ''A'', magenta ''B'', amarelo ''C'' e laranja ''D'' são todos '''conexos''', enquanto o espaço verde ''E'' (composto pelos [[subconjunto]]s E1, E2, E3 e E4) é '''desconexo'''. Para além disso, ''A'' e ''B'' são também '''[[Grupo fundamental|simplesmente conexos]]''' ([[Género (matemática)|género]] 0), enquanto ''C'' e ''D'' não o são: ''C'' tem género 1 e ''D'' tem género 4.]]
 Em [[Topologia (matemática)|topologia]], {{PBPE|conexidade|conectividade}} é a propriedade de um '''espaço conexo''', isto é, um espaço topológico que não pode ser representado como a união de dois ou mais conjuntos abertos disjuntos e não-vazios.{{Sfn|Lima|1981|p=54}}
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 Os subconjuntos <math>\emptyset</math> e <math> X </math> são, ao mesmo tempo, [[Conjunto aberto|abertos]] e [[Conjunto fechado|fechados]] em qualquer topologia de <math> X</math>. Assim, equivalentemente, se eles são os únicos conjuntos abertos e fechados, então <math> X </math> é conexo. Por outro lado, se existe <math> A </math> não-vazio aberto e fechado em <math>X</math>, então <math>X</math> é desconexo.{{Sfn|Lima|1981|p=55}}
+== Exemplos ==
+* <math>\R</math> e <math>\mathbb{C}</math> são conexos, enquanto <math>\N,</math> <math>\Z</math> e <math>\mathbb{Q}</math> são desconexos.
+* Em <math>\R</math>, os únicos subconjuntos conexos são os intervalos.{{Sfn|Lima|1981|p=55|loc=Teorema 31}}
+* <math>\R-\{0\}</math> é desconexo pois possui a cisão não-trivial <math>(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)</math>.{{Sfn|Lima|1981|p=54}}
 == Propriedades ==
-* A [[união (matemática)|união]] de qualquer [[família (matemática)|família]] de subespaços conexos de <math> X ,</math> cuja intersecção é não vazia, é um subespaço conexo de <math> X </math>'.
-* A [[imagem]] de um conjunto conexo por uma [[aplicação contínua]] é um conjunto conexo.
+* A [[imagem]] de um conexo por uma [[aplicação contínua]] é um conexo.{{Sfn|Lima|1981|p=55|loc=Teorema 30}}
-* Todo conjunto [[Homeomorphism|homeomorfo]] a um conjunto conexo é também um conjunto conexo.
+* Todo conjunto [[Homeomorfismo|homeomorfo]] a um conexo é conexo.{{Sfn|Lima|1981|p=55|loc=Teorema 30}}
+* A [[união (matemática)|união]] de uma família de conjuntos conexos que possuam um ponto em comum é conexa.{{Sfn|Lima|1981|p=57|loc=Teorema 33}}
+* O [[produto cartesiano]] de dois conjuntos é conexo se, e somente se, ambos são conexos.{{Sfn|Lima|1981|p=57|loc=Teorema 33}}
+* O [[fecho]] de um [[conjunto conexo]] é conexo.{{Sfn|Lima|1981|p=59|loc=Teorema 35}}
 == Componentes conexas ==
+Mesmo que um conjunto <math>X</math> não seja conexo, ele sempre poderá ser representado pela [[união disjunta]] de suas ''componentes conexas''.{{Sfn|Lima|1981|p=63}}
-* Uma '''componente conexa''' de um espaço topológico é um subespaço conexo maximal.
+A componente conexa <math>C_x</math> é o maior subconjunto conexo que contém <math>x \in X</math>.{{Sfn|Lima|1981|p=63}} Para quaisquer dois pontos de <math>X</math>, suas componentes conexas ou coincidem ou são disjuntas. Se possuem um ponto em comum, são a mesma componente conexa, pois a componente conexa é o maior subconjunto conexo contendo um dado ponto; se não possuem, são disjuntas.{{Sfn|Lima|1981|p=63}}
-== Exemplos ==
-[[Imagem:Sin1over x.svg|thumb|Um espaço conexo que não é [[conexo por arcos]].]]
-* <math>\R</math> e <math>\mathbb{C}</math> são conexos, enquanto <math>\N,</math> <math>\Z</math> e <math>\mathbb{Q}</math> são desconexos.
+Por exemplo, para <math>\R-\{0\}</math>,  a componente conexa de <math>-1</math> é <math>(-\infty, 0)</math> e a componente conexa de <math>1</math> é <math>(0,
-* Em <math>\R</math>, os únicos subconjuntos conexos são os intervalos.{{Sfn|Lima|1981|loc=Prefácio}}
+ +\infty)</math>. No caso, essas são as duas componentes conexas do conjunto.{{Sfn|Lima|1981|p=63}}
-* No <math>\R^2,</math> o gráfico da função
+=== Propriedades ===
-:<math>f(x) = \left\{\begin{matrix}
-\mbox{sen} \frac {1} {x}, & \mbox{se } x \ne 0  \\
+Toda componente conexa de <math>X</math> é um conjunto fechado em <math>X</math>.{{Sfn|Lima|1981|p=63}}
-, & \mbox{se } x = 0 \end{matrix}\right.</math> é conexo mas não é [[conexo por arcos]].
+[[Homeomorfismo]]s estabelecem, entre os dois espaços, uma bijeção entre as componentes conexas de um com as componentes conexas do outro.{{Sfn|Lima|1981|p=63}} Sendo assim, dois conjuntos homeomorfos possuem a mesma quantidade de componentes conexas.{{Sfn|Lima|1981|p=63}}
+== Conexo por caminhos ==
+[[Imagem:Path-connected space.svg|thumb|Um espaço conexo por caminhos]]
+[[Imagem:Sin1over x.svg|thumb|Um espaço conexo que não é conexo por caminhos.]]
+Um tipo de conexidade mais estrita é a ''conexidade por caminhos''.{{Sfn|Lima|1981|p=59}}
+Um ''caminho'' num conjunto <math>X\subset\R^n</math> é uma [[função contínua]] definida num [[intervalo (matemática)|intervalo]] real que passa por pontos de <math>X</math>. Dois pontos podem ser ligados por um caminho quando existe um caminho <math>f</math> tal que esses pontos estejam na [[imagem (matemática)|imagem]] de <math>f</math>.{{Sfn|Lima|1981|pp=59-60}} Um conjunto se diz ''conexo por caminhos'' quando quaisquer dois pontos podem ser ligados por um caminho.{{Sfn|Lima|1981|pp=59-60}}
+Todo conjunto conexo por caminhos é conexo, mas a recíproca é falsa.{{Sfn|Lima|1981|p=61}} Por exemplo, no <math>\R^2,</math> o gráfico da função <math>f(x) = \mbox{sen} \frac{1}{x}</math> para <math>0 < x \leq 1</math> com a origem <math>(0,0)</math> é conexo mas não é conexo por caminhos.{{Sfn|Lima|1981|p=61}}
+=== Propriedades ===
+* A [[União (matemática)|união]] de dois conjuntos conexos por caminhos, de [[interseção]] não-vazia, é conexa por caminhos.{{carece de fontes|data=abril de 2023}}
+* A [[topologia produto]] de dois conjuntos conexos por caminhos é conexa por caminhos.{{carece de fontes|data=abril de 2023}}
+* Todo conjunto [[Conjunto convexo|convexo]] é conexo por caminhos.{{Sfn|Lima|1981|p=60}}
+* No <math>\R^n</math>, um conjunto [[Conjunto aberto|aberto]] é conexo se, e somente se, é conexo por caminhos.{{Sfn|Lima|1981|p=61|loc=Teorema 36}}
 == Ver também ==
+* [[grupo fundamental|Conexidade simples]]
-* [[conexo por arcos|conexidade por arcos]]
-* [[grupo fundamental|conexidade simples]].
 {{Referências}}
-* {{Citation | last1=Lima | first1=Elon L. | author1-link=Elon Lages Lima | title=Curso de Análise Vol.2 | publisher=[[IMPA]] | location=Rio De Janeiro | isbn=85-244-0049-8 | year=2006}}.
-* {{Citation | last1=Munkres | first1=James R. | author1-link=James R. Munkres | title=Topology | publisher=[[Prentice Hall, Incorporated]] | location= | isbn=9780131816299 | year=2000}}.
 == Bibliografia ==
 * {{Citar livro|título=Curso de análise, Volume 2|ultimo=Lima|primeiro=Elon Lages|autorlink=Elon Lages Lima|data=1981|outros=Instituto de Matemática Pura e Aplicada|local=Rio de Janeiro|editora=Instituto de Matemática Pura e Aplicada|ref=harv}}
+* {{Citation |último1=Munkres |primeiro1=James R. |autorlink1=James R. Munkres |título=Topology |publicado=[[Prentice Hall, Incorporated]] |local= | isbn=9780131816299 |ano=2000}}.
-{{esboço-matemática}}
+[[Categoria:Topologia (matemática)]]
-[[Categoria:Topologia]]