Espaço conexo

A é um espaço conexo e B é desconexo, tendo 4 componentes conexas

Em topologia e ramos relacionados da matemática, um espaço conexo é um espaço topológico que não pode ser representado como a união de dois ou mais conjuntos abertos disjuntos e não-vazios.

Podemos ainda dizer que um conjunto $X$ é conexo quando não admite outra cisão além da trivial. Neste caso se existirem conjuntos $A,B\subset X$ tais que $X=A\cup B$ com $A\cap B=\varnothing$ então $A=\varnothing$ ou $B=\varnothing$.

Observemos que um subconjunto $X$ admite uma cisão não-trivial quando existem conjuntos abertos $A,B\subset X$ tais que $X=A\cup B$ com $A\cap B=\varnothing$.Neste caso dizemos que $X$ é desconexo.

Estas definições são válidas inclusive para o caso particular de $X\subset \mathbb {R} ^{n}$.

Do ponto de vista da topologia dizemos que, um espaço topológico é desconexo se contém dois abertos complementares não vazios. Em caso contrário diz-se conexo.

Os subconjuntos $\varnothing \$ e $X$ são, ao mesmo tempo, abertos e fechados em qualquer topologia de $X$. Se eles são os únicos conjuntos abertos e fechados, então $X$ é conexo. Por outro lado, se existe $A$ aberto e fechado com $\varnothing \,\subset A\subset X\,$, então $X$ é desconexo.

Definição Formal

Um espaço topológico $X$ é dito desconexo se for união de dois conjuntos disjuntos abertos não-vazios. Caso contrário, $X$ é dito conexo.

Propriedades

• Todo conjunto $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ admite pelo menos a cisão trivial $X=X\cup \varnothing$.

• A união de qualquer família de subespaços conexos de $X$, cuja intersecção é não vazia, é um subespaço conexo de $X$'.

• A imagem de um conjunto conexo por uma aplicação contínua é um conjunto conexo.

• Todo conjunto homeomorfo a um conjunto conexo é também um conjunto conexo.

Componentes conexas

• Uma componente conexa de um espaço topológico é um subespaço conexo maximal.

Exemplos

Um espaço conexo que não é conexo por arcos.

• $\mathbb {R}$ e $\mathbb {C}$ são conexos.
• $\mathbb {N}$, $\mathbb {Z}$ e $\mathbb {Q}$ são desconexos.
• No $\mathbb {R} ^{2}\,$, o gráfico da função

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\mbox{sen}}{\frac {1}{x}},&{\mbox{se }}x\neq 0\\0,&{\mbox{se }}x=0\end{matrix}}\right.$

é conexo. Este é o contra-exemplo padrão de um espaço conexo que não é conexo por arcos.

Ver também

• conexidade por arcos
• conexidade simples.

Referências

• Lima, Elon L. (2006), Curso de Análise Vol.2, ISBN 85-244-0049-8, Rio De Janeiro: IMPA .

• Munkres, James R. (2000), Topology, ISBN 9780131816299, Prentice Hall, Incorporated .