Grupo de Galois: diferenças entre revisões
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'''Grupo de Galois''', em [[matemática]], é o [[grupo de permutações]] desenvolvido para mostrar quais tipos de [[equações polinomiais]] podem ser [[resolvidas por radicais]].{{carece de fontes|data=abril de 2017}} |
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A ideia de usar [[grupo (matemática)|grupos]] para estudar equações polinomiais antecede [[Évariste Galois|Galois]] em cerca de trinta anos, com o trabalho de [[Paolo Ruffini|Ruffini]].<ref name="popular.science.1911-11.p.461">[[G. A. Miller]], [[Popular Science]], Nov 1911, ''Vol. 79'', ISSN 0161-7370, Publicado por Bonnier Corporation, ''American Mathematics'', p.461 [http://books.google.com.br/books?id=0yEDAAAAMBAJ&pg=PA461&f=false <nowiki>[google books]</nowiki>]</ref> O italiano Ruffini e o norueguês [[Niels Henrik Abel|Abel]] mostraram, usando grupos de permutações, que a [[equação do quinto grau]] geral não podia ser resolvida através da extração sucessiva de raízes. Em cerca de 1830, Galois provou que a solução de qualquer equação polinomial depende da estrutura do grupo de permutações associado a esta equação.<ref name="popular.science.1904-02.p.370">[[G. A. Miller]], [[Popular Science]], Fev 1904, ISSN 0161-7370, Publicado por Bonnier Corporation, ''What is Group Theory?'', p.370 [http://books.google.com.br/books?id=MSUDAAAAMBAJ&pg=PA370&f=false <nowiki>[google groups]</nowiki>]</ref> |
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Em [[matemática]], um '''grupo de Galois''' é um [[grupo (matemática)|grupo]] associado a um certo tipo de [[extensão de corpo]]. O estudo das extensões de corpos (e os [[polinômio]]s que dão lugar a elas) mediante o grupo de Galois é conhecido como [[Teoria de Galois]]. |
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==Definição== |
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Suponha que ''E'' é uma [[extensão de corpo|extensão]] do [[corpo (matemática)|corpo]] ''F'' (denotada por ''E''/''F'' e lida como ''E'' sobre ''F''). Um [[automorfismo]] de ''E''/''F'' é definido como sendo um automorfismo de ''E'' que fixa os pontos de ''F''. Em outras palavras, um automorfismo de ''E''/''F'' é um [[isomorfismo]] α de ''E'' para ''E'' tal que α(''x'') = ''x'' para todo ''x'' em ''F''. O conjunto de todos os automorfismos de ''E''/''F'' forma um grupo sob a operação de [[composição de funções]]. Este grupo algumas vezes é denotado por [[Grupo de automorfismos|Aut]](''E''/''F''). |
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Se ''E''/''F'' é uma [[extensão de Galois]], então Aut(''E''/''F'') é chamado de '''grupo de Galois da extensão ''E'' sobre ''F''''', e é geralmente denotado por Gal(''E''/''F'').<ref group="Nota">Alguns autores se referem a Aut(''E''/''F'') como o grupo de Galois para extensões arbitrárias ''E''/''F'' e usam a notação correspondente, como por exemplo Jacobson (2009).</ref> |
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== Bibliografia == |
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* {{Citar livro|nome=Paulo A. |sobrenome=Martin |título=Grupos, Corpos e Teoria de Galois |local=São Paulo |editora=Livraria da Física |ano=2010 |página=261 |isbn= 9788578610654 }} |
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[[Categoria:Teoria dos grupos]] |
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[[ko:갈루아 군]] |
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[[zh:伽罗瓦群]] |
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Edição atual tal como às 20h52min de 13 de setembro de 2020
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Grupo de Galois, em matemática, é o grupo de permutações desenvolvido para mostrar quais tipos de equações polinomiais podem ser resolvidas por radicais.[carece de fontes]
A ideia de usar grupos para estudar equações polinomiais antecede Galois em cerca de trinta anos, com o trabalho de Ruffini.[1] O italiano Ruffini e o norueguês Abel mostraram, usando grupos de permutações, que a equação do quinto grau geral não podia ser resolvida através da extração sucessiva de raízes. Em cerca de 1830, Galois provou que a solução de qualquer equação polinomial depende da estrutura do grupo de permutações associado a esta equação.[2]
Definição
[editar | editar código-fonte]Suponha que E é uma extensão do corpo F (denotada por E/F e lida como E sobre F). Um automorfismo de E/F é definido como sendo um automorfismo de E que fixa os pontos de F. Em outras palavras, um automorfismo de E/F é um isomorfismo α de E para E tal que α(x) = x para todo x em F. O conjunto de todos os automorfismos de E/F forma um grupo sob a operação de composição de funções. Este grupo algumas vezes é denotado por Aut(E/F).
Se E/F é uma extensão de Galois, então Aut(E/F) é chamado de grupo de Galois da extensão E sobre F, e é geralmente denotado por Gal(E/F).[Nota 1]
Notas e referências
Notas
- ↑ Alguns autores se referem a Aut(E/F) como o grupo de Galois para extensões arbitrárias E/F e usam a notação correspondente, como por exemplo Jacobson (2009).
Referências
- ↑ G. A. Miller, Popular Science, Nov 1911, Vol. 79, ISSN 0161-7370, Publicado por Bonnier Corporation, American Mathematics, p.461 [google books]
- ↑ G. A. Miller, Popular Science, Fev 1904, ISSN 0161-7370, Publicado por Bonnier Corporation, What is Group Theory?, p.370 [google groups]
Bibliografia
[editar | editar código-fonte]- Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra (em inglês) 2 ed. [S.l.]: Dover. ISBN 978-0-486-47189-1
- Martin, Paulo A. (2010). Grupos, Corpos e Teoria de Galois. São Paulo: Livraria da Física. p. 261. ISBN 9788578610654