Elemento irredutível

Seja $A$ um anel comutativo. Um elemento $x\in A$ é irredutivel se $x\neq 0$, se $x\not \in A^{*}$ ($A^{*}$ é o conjunto das unidades de $A$) e se $x=ab$ com $a,b\in A$ então $a\in A^{*}$ ou $b\in A^{*}$ (isto é, a ou b é unidade de $A$).

Exemplo

• Todo número primo no conjunto dos números inteiros é irredutível;
• Os polinômios irredutíveis.
• No anel dos inteiros quadráticos $\mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]$, o número 3 é irredutível, mas não é primo desde que 9 pode ser escrito como $\left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)$ ou como $3\cdot 3$.