Ugao

Ukoliko ste tražili selo u opštini Sjenica, vidite članak Ugao (Sjenica).

Ugao ili kut, deo ravni oivičen sa dve poluprave koje imaju zajednički pasej

Ugao zatvaraju dve poluprave a i b (zrake) koje ishode iz jedne tačke T. Poluprave koje zatvaraju ugao nazivaju se kracima ugla, a tačka iz koje ishode je njegovo teme. Kada kraci ugla čine jednu pravu ugao se naziva ispruženim ili ravnim.

Vrste uglova

Oštar ugao je manji od pravog ugla.

Prav ugao je jednak (kongruentan) svom suplementnom uglu. Prav ugao iznosi 90° (stepeni), tj. ${\frac {\pi }{2}}$ (radijana). prave nosioci krakova pravog ugla nazivaju se normalne prave.

Tup ugao veći od pravog ugla i manji od ispružrnog ugla.

Ispružen ugao je ugao čiji kraci obrazuju pravu. (ima 180° (stepeni), tj. $\pi \,$ (radijana)).

Konveksan ugao je ime kojim se označavaju oštar, prav, tup i ispružen ugao, mada u suštini je i pun i nul ugao konveksan.

Konkavan ugao veći od ispruženog i manji od punog ugla. Kao granični slučaj uvode se i Pun ugao kod kojeg se kraci poklapaju i unutrašnja oblast sa kracima pokriva celu ravan, ima 360° (stepeni), tj. $2\pi \,$ (radijana). i Nul ugao kod kojeg se kraci poklapaju i unutrašnja oblast je prazan skup. Nul ugao je veličine 0° (stepeni), tj. 0 (radijana).

Vrste parova uglova

Susedna su dva ugla koja imaju zajednički krak, i jedan ima unutrašnju oblast sa jedne a drugi sa druge strane zajedničkog kraka.

Naporedna ili uporedna su dva susedna ugla koja se dopunjavaju do ispruženog.

Suplementna su dva ugla (ne moraju biti susedna) koja se dopunjavaju do ispruženog.

Komplementni uglovi su oni koji se dopunjavaju do pravog ugla.

Uglovi sa paralelnim kracima su dva ugla čiji kraci leže na paralelnim pravama. Uglovi sa paralelnim kracima su jednaki, ako su koja se dopunjavaju do ispruženog. Uglovi sa paralelnim kracima mogu biti:

Saglasni uglovi (Paralelni kraci imaju isto usmerenje. Ovi uglovi su jednaki.)

Naizmenični uglovi (Paralelni kraci imaju suprotno usmerenje. Ovi uglovi su jednaki.)

Unakrsni uglovi su specijalan slučaj naizmeničnih uglova, kada im se vrhovi poklapaju

Suprotni uglovi (Jedan par paralelnih krakova ima isto usmerenje, a drugi par imaj suprotno usmerenje. Ovi uglovi su suplementni.)

Uglovi sa normalnim kracima su dva ugla čiji kraci leže na normalnim pravama. Ovi uglovi il su jednaki ili su suplementni.

Na ovoj slici, a je oštar, b tup, a c opružen ugao. a i b su suplementni uglovi.

U Euklidskoj geometriji, komplementni su oštri uglovi pravouglog trougla.

Uglovi koji nastaju presekom dve prave u istoj ravni trećom nazivaju se:

Saglasni: 1 i 5, 2 i 6, 3 i 7, 4 i 8;
Naizmenični:1 i 7, 2 i 8, 3 i 5, 4 i 6;
Suprotni: 1 i 8, 2 i 7, 3 i 6, 4 i 5;
Naporedni: 1 i 2, 2 i 3, 3 i 4, 4 i 1.

Primer uglova u preseku prava

Osobine uglova

Uglovi sa paralelnim kracima jednaki su ili su suplementni, $\alpha +\beta =180^{o}$ .

Datoetka:Paralelni.gif

Posledica 1: zbir uglova u trouglu je 180°.

Merenje ugla

Mera ugla je veličina otklona između krakova ugla. Radi merenja ugla se koristi krug čiji je centar u temenu ugla. Obzirom da je obim kruga srazmeran poluprečniku to je i mera ugla nezavisna od veličine poluprečnika. Posledica činjenice da je veličina ugla odnos dve dužine je da je jedinica veličine ugla bezdimenziona.

Broj koji se dobije kao količnik dužine luka kružnice i poluprečnika se naziva radijan. U međunarodnom sistemu mera radijan je izvedena jedinica. Iako je bezdimenziona, oznaka postoji i piše se rad.
Stepen je mera ugla kod koga je pun krug 360 stepeni, a sledstveno tome opruženi ugao je 180 stepeni, a prav ugao je 90 stepeni. Oznaka za stepen je mali kružić nadpisan kod veličine, recimo za pun krug 360°. Za preciznija merenja se koristi deo stepena, naziva se minut i on iznosi 1/60 od stepena. Oznaka za minut je apostrof znak, recimo za 1 stepen je 60'. Postoji još manja mera, sekunda. Sekunda je 1/60 od minuta, odnosno 1/3600 od stepena. Oznaka za sekundu je dvostruki apostrof, odnosno 1 minut je 60".

Odnos između osnovnih jedinica mere ugla

2\pi \,{\mbox{rad}}=360^{o}

, pun krug je dva pi radijana ili 360 stepeni

\pi \,{\mbox{rad}}=180^{o}

, pi radijana je 180 stepeni (često se rad izostavlja kada je pi u izrazu)

{\frac {\pi }{2}}{\mbox{rad}}=90^{o}

, pi pola radijana je 90 stepeni

1\,{\mbox{rad}}={\frac {180^{o}}{\pi }}\approx 57^{o}17'45''\,

, jedan radijan je 180 kroz pi stepeni, ili približno 57 stepeni, 17 minuta i 45 sekundi

Euklidove definicije

U Euklidovim Elementima knjiga I je dato nekoliko definicija:

Definicija 8: Ugao u ravni je otklon jedne linije ka drugoj u ravni koje se seku i ne leže u liniji.

Definicija 9: Kada su linije koje čine ugao prave i ugao je pravolinijski.

Definicija 10: Kada prava linija seče pravu liniju čineći jednake susedne uglove, svaki od uglova je prav ugao, a linija koja seče drugu se zove normalna na onu koju seče.

Definicija 11: Tup ugao je ugao veći od pravog ugla.

Definicija 12: Oštar ugao je ugao manji od pravog ugla.