Taylors formel

Taylors formel er en matematisk formel som gir rekkeutviklingen til en funksjon \(f(x)\) i et punkt.

Dersom \(f(x)\) har \(n+1\) deriverte på intervallet \([a,b]\), så kan \(f(b)\) uttrykkes ved

\[f(b)=f(a)+(b-a)f'(a)+\frac{1}{2} (b-a)^2 f^{(2)}(a)+\ldots\\ \ldots+\frac{1}{n!} (b-a)^n f^{(n)}(a)+R_{n+1}\]

der \(R_{n+1}\) er et restledd som avhenger av \(n\) og punktene \(a\) og \(b\). Dette kalles funksjonens Taylor-rekke eller Taylor-polynom (omkring \(a\)) av orden \(n\).

Hvis \(a=0\), kalles rekkeutviklingen for Maclaurin-rekken etter Colin Maclaurin.

Det finnes flere formler for restleddet \(R_{n+1}\). Formelen \[R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}\] kalles Lagranges restleddsformel. Her er \(z\) et tall som ligger mellom \(a\) og \(b\).