konvergens – matematikk – Store norske leksikon

Konvergens er i matematikken det å nærme seg en grense.

Faktaboks

Uttale: konvergens
Etymologi: til konvergere

En uendelig tallfølge \(a_1,a_2, \dots \) sies å konvergere mot et tall \(a\) hvis tallfølgen nærmer seg \(a\) som sin grense, det vil si at tallene i følgen kommer nærmere og nærmere \(a\) jo lengre ut i følgen man kommer. Da er tallfølgen konvergent.

Eksempel: Tallfølgen \[\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3},\dots, \frac{1}{i},\dots\] konvergerer mot grensen 0, fordi tallene i følgen kommer nærmere og nærmere 0.

Presist sier vi at \(a_n\) nærmer seg \(a\), om det for alle (små) positive \(\epsilon>0\) fins en \(N\) (som avhenger av \(\epsilon\)) slik at \(|a_n-a|<\epsilon\) for alle \(n\) slik at \(n>N\). Når \(\epsilon\) blir mindre, vil \(N\) bli større.

Hvis det ikke eksisterer en slik grense, er følgen divergent. Da sier man at rekken divergerer.

En uendelig rekke \(b_1+b_2+\dots \) sies å være konvergent hvis følgen \(s_n=b_1+b_2+\cdots+b_n\) konvergerer mot en grense \(s\), rekkens sum. En rekke sies å være absolutt konvergent hvis rekken av tallverdier (absolutte verdier) \(|b_1|+|b_2|+\cdots \) konvergerer.

Kriterier for konvergens

Det finnes forskjellige regler, såkalte konvergenskriterier, til undersøkelse av en rekkes konvergens. For at en rekke skal konvergere, må for eksempel leddene \(b_n\) nærme seg null som sin grense. Men denne betingelsen er ikke tilstrekkelig for konvergens. Den harmoniske rekken \(\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +\cdots\) er for eksempel ikke konvergent, selv om leddene nærmer seg null.

Et av de enkleste konvergenskriteriene er Jean Le Rond d'Alemberts: En rekke er konvergent hvis \[\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| < r < 1\] for et fast tall \(r\) og tilstrekkelig store \(n\). En rekke er også konvergent hvis leddene går mot null med avvekslende fortegn (en slik rekke sies å være alternerende).

I funksjonsteorien studeres ofte rekkeutviklinger av formen \(R=a_1f_1(x)+a_2f_2(x)+\cdots\) hvor \(f_i(x)\) er visse funksjoner. De verdiene av \(x\) som rekken konvergerer for, kalles dens konvergensområde. For en potensrekke \(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots\) er konvergensområdet i det komplekse plan alltid en sirkel. Radien i denne sirkelen kalles rekkens konvergensradius.

Lignende konvergensundersøkelser som dem som er nevnt her for uendelige summer, kan gjennomføres for andre uendelige prosesser, for eksempel uendelige produkter.

Les mer i Store norske leksikon

Kommentarer

Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.

Du må være logget inn for å kommentere.

Fagansvarlig for Matematisk analyse

Helge Holden

Professor, NTNU – Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet