Osäkerhetsprincipen

Kvantmekanik

Teori: Vågfunktion Schrödingerekvationen Osäkerhetsprincipen Pauliprincipen Energinivå Partikel i låda Harmonisk oscillator Väteatomen Identiska partiklar Spinn Kvanttal Bra-ket-notation Störningsteori Variationsmetoden Tolkningar: Köpenhamnstolkningen Flervärldstolkningen Schrödingers katt EPR-paradoxen Bells teorem Persongalleri Einstein | Schrödinger Heisenberg | Dirac | Fermi Bohr | Planck | Born

Inom kvantfysiken anger Heisenbergs osäkerhetsprincip att det för ett objekt inte går att samtidigt känna till både position och rörelsemängd med en godtyckligt hög grad av noggrannhet utan att det finns en bestämbar undre gräns för osäkerheten; detta till skillnad från klassisk mekanik där varje partikel har ett bestämt läge och en bestämd rörelsemängd vid varje given tidpunkt. Principen är en av hörnstenarna inom kvantmekaniken, och namngavs av Werner Heisenberg 1927.

Osäkerhetsprincipen förklaras ibland genom påståendet att en mätning av en partikels position nödvändigtvis orsakar en påverkan (störning) av partikelns rörelsemängd. Werner Heisenberg var först ut med den förklaringen. Detta beror emellertid inte på störningen, eftersom principen även gäller om positionen mäts på en kopia av systemet, medan rörelsemängden samtidigt mäts i det andra, ursprungliga systemet. En mer exakt definition är den att partikeln är en vågfunktion, inte ett punktliknande objekt, och kan inte ha både en väldefinierad position och rörelsemängd. Av detta skäl rekommenderas numera termen "Heisenbergs obestämbarhetsrelation" (eng: indeterminacy relations); någon osäkerhet råder alltså egentligen inte.

Beakta till exempel följande analogi: antag att man har en tidsvariant signal, som en ljudvåg, och vill veta den exakta frekvensen för signalen i ett bestämt ögonblick. Detta är omöjligt. För att bestämma den exakta frekvensen måste man sampla signalen under en viss tid, och därmed förloras en viss grad av precision beträffande positionen. Med andra ord kan ett ljud inte ha både exakt tid, som i en kort puls, och en exakt frekvens, som i en kontinuerlig ton. Fas och frekvens för en våg i tidsplanet är analoga med position och rörelsemängd för en våg i rummet.

Osäkerhetsprincipen är förknippad med ett annat kvantmekaniskt fenomen känt som vågfunktionskollaps i vilket själva observationen av en partikel tycks ändra ekvationerna som beskriver partikeln. Osäkerhetsprincipen anger att en partikel saknar ett fixerat värde för rörelsemängd och position, men att en partikel vid observation tycks inta ett distinkt värde för den kvantitet som mäts.

Definition

Om flera identiska kopior av ett system i ett givet tillstånd prepareras, kommer mätningar av position och rörelsemängd att variera enligt kända sannolikhetsfördelningar; detta är det fundamentala postulatet om kvantmekanik. Vi skulle kunna mäta standardavvikelsen Δx av positionsmätningarna och standardavvikelsen Δp av rörelsemängdsmätningarna. Därefter skulle vi finna att

$\Delta x\ \Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}$

där h-streck är Plancks konstant delad med 2π. (I vissa behandlingar av ämnet väljs "osäkerheten" av en variabel så att den motsvarar det smalaste omfång som innehåller 50% av värdena, som, i fallet normalfördelade variabler, leder till en snävare gräns än h/2π för produkten av osäkerheter.) Lägg märke till att denna olikhet medger flera möjligheter: tillståndet och mätförfarandet skulle kunna vara sådant att x kan mätas med hög precision, men då blir p endast approximativt känt, eller omvänt, p skulle kunna vara skarpt definierad medan x inte kan bestämmas precis. I andra tillstånd kan både x och p mätas med rimlig (men ej godtycklig) precision. I vardagslivet observerar vi inte dessa osäkerheter därför att värdet av h är extremt litet, och den relativa osäkerheten blir därmed extremt liten.

Samma relation gäller mellan energi och tid, till exempel mellan livstid av ett exciterat tillstånd och spektrallinjens bredd ΔE:

$\Delta E\ \Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}}.$

Eftersom för ljus gäller att ΔE = h Δν, kan man se detta som Fourieranalysens samband mellan osäkerheten i frekvens Δν och signalens tidslängd.

Allmän osäkerhetsprincip

Osäkerhetsprincipen gäller inte bara för position och rörelsemängd. I dess allmänna form gäller den varje par av konjugatvariabler. Två variabler är konjugerade om de åtföljande operationerna inte kommuterar. Ett exempel på ett par av konjugatvariabler är x-komponenten av impulsmoment (spinn) kontra y-komponenten av impulsmoment. Allmänt, till skillnad från fallet med position kontra rörelsemängd diskuterad ovan, beror den lägre gränsen för produkten av osäkerhet av två konjugatvariabler på tillståndet som systemet befinner sig i. Osäkerhetsprincipen gäller även de par av variabler tid och energi, men den matematiska behandlingen av detta fall skiljer sig något från operatorsmetoden nämnd ovan. Den fullständiga Heisenbergs osäkerhetsprincip är följande:

$\Delta A\,\Delta B\geq {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\right\rangle _{\psi }\right|$

där

A och B är observerade storheter,

${\hat {A}}$ och ${\hat {B}}$ deras motsvarande operatorer,

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]$ betecknad kommutatorn av ${\hat {A}}$ och ${\hat {B}}$,

$\left\langle \,\right\rangle _{\psi }$ betecknar utjämning för tillståndet |ψ〉, och

ΔX är standardavvikelsen av X: ${\sqrt {\langle {\hat {X}}^{2}\rangle _{\psi }-\langle {\hat {X}}\rangle _{\psi }^{2}}}$.

Denna relation, vilken enkelt erhålls som en konsekvens av Cauchy–Bunyakovski–Schwarz olikhet, pekades först ut 1930 av Howard Percy Robertson och (oberoende) av Erwin Schrödinger. Den är därför känd som Robertson-Schrödingerrelationen. Den kan inte bara evalueras för par av konjugerade operatorer (till exempel de som definierar mätning av distans och rörelsemängd, eller av varaktighet och energi) utan kan användas allmänt för alla par av hermiteska operatorer. Det finns också en osäkerhetsrelation mellan fältstyrka och antal partiklar som är ansvariga för fenomenet virtuella partiklar.

Tolkningar

Albert Einstein accepterade inte osäkerhetsprincipen som fundamental, och utmanade Niels Bohr med ett berömt tankeexperiment: vi fyller en låda med radioaktivt material som strålar slumpmässigt. Lådan har en lucka, som öppnas och omedelbart därpå stängs av en klocka vid ett givet ögonblick, vilket tillåter strålningen att slippa ut. Tiden är därmed känd med stor precision. Vi vill nu mäta konjugatvariabeln energi exakt. Enkelt enligt Einstein: bara väg lådan före och efter. Ekvivalensen mellan massa och energi från speciella relativitetsteorin låter oss beräkna precis hur mycket energi som finns kvar i lådan. Bohr bemötte detta på följande vis: skulle energi lämna lådan, skulle den därmed lättare lådan ge utslag på vågen, och vågskålen skulle höjas. Därmed befinner sig klockan i ett område med lägre gravitationell fältstyrka och enligt den allmänna relativitetsteorin kommer dess mätning av tid att avvika jämfört med dess mätning vid den tidigare positionen. En detaljerad analys visar att bristen på exakthet överensstämmer med Heisenbergs relation.

Inom den vida, men ej universellt, accepterade Köpenhamnstolkningen av kvantmekanik uttolkas osäkerhetsprincipen på så vis, att på en elementärnivå existerar inte det fysiska universumet i en deterministisk form - utan snarare som en samling sannolikheter, eller potentialer. Till exempel kan mönstret (sannolikhetsdistribution) producerat av miljontals fotoner som passerar genom en diffraktionsspalt kalkyleras med kvantmekanik, men varje fotons exakta bana kan inte förutsägas med någon känd metod. Köpenhamnstolkningen menar att den inte kan förutsägas med någon metod.

Einstein var övertygad om att denna tolkning var fel, vilket han bland annat yttrade i ett brev till Max Born 1926: "Teorin ger mycket, men den leder oss knappast närmare den Gamles hemligheter. Åtminstone jag är övertygad om att han inte spelar tärning." Bohr, som var en av upphovsmännen till Köpenhamnstolkningen lär ha svarat: "Tala inte om för Gud vad han ska göra!" Einsteins inställning var i stället att kvantmekanikens sannolikhetsfördelningar uppstod ur deterministiska händelser. Sannolikhetsfördelningen för en singlad slant kan till exempel vara 49 % krona och 51 % klave. Men detta betyder inte att förutsägbarheten är begränsad. Vanlig mekanik (klassisk mekanik) kan i princip användas för att exakt bestämma hur myntet landar om krafterna som verkar på myntet är kända men utfallet av krona/klave-alternativen kan ändå anses följa en sannolikhetsfördelning. Einstein antog att det finns liknande dolda variabler som ger upphov till kvantmekanikens sannolikhetsfördelningar (se vidare EPR-paradoxen).

Bell visade att en dolda variabler-teori bryter mot lokal kausalitet, genom att partiklar i ett sammanflätat tillstånd påverkar varandra omedelbart oavsett hur stort deras rumsliga avstånd är. Gemensamt för alla dolda variabler-teorier är alltså att de inte är lokala. Denna "verkan på avstånd" kan dock inte användas för att sända information, så tidsresor är omöjliga.

Källor

• Kvantvärldens fenomen – Teori och begrepp, Gunnar Ohlén, 2005

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Osäkerhetsprincipen.
  Bilder & media
• The certainty principle