Toplama

3+2=5 Elmalar ders kitaplarındaki popüler örneklerdir.

Toplama işlemi (genellikle toplama işareti + ile sembolize edilir) dört ana aritmetik işlemden biridir. Diğer aritmetik işlemler çıkarma, çarpma ve bölmedir. İki doğal sayının toplaması sayı değerlerinin toplamını üretir. Yandaki resimdeki örnek, toplamda beş elma oluşturan üç elma ve iki elmanın toplamasını göstermektedir. Bu gözlem, matematik ifadesi ile "3 + 2 = 5" olarak ifade edilir (sözlü olarak "3 artı 2 eşittir 5.)

Toplama, öğeleri saymanın yanı sıra, somut nesnelere atıfta bulunmadan, tamsayılar, reel sayılar ve karmaşık sayılar gibi sayılar olarak adlandırılan soyutlamalar kullanılarak da tanımlanabilir ve yürütülebilir. Toplama, matematiğin bir dalı olan aritmetiğe aittir. Matematiğin başka bir dalı olan cebirde, vektörler, matrisler, alt uzaylar ve altöbek gibi soyut nesneler üzerinde de toplama yapılabilir.

Toplama işleminin birkaç önemli özelliği vardır. Toplama, değişme özelliğine sahiptir; bu, terimlerin sırasının işlem sonucu için önemli olmadığı anlamına gelir (ör. $1+2=2+1$.) Toplama, birleşme özelliğine de sahiptir; bu, ekleme işleminin sırasının önemli olmadığı anlamındadır (ör. $(1+2)+3=1+(2+3)$.) 1 sayısının tekrar tekrar eklenmesi, sayı sayma ile aynıdır. 0 sayısının eklenmesi, toplama işleminin sonucunu değiştirmez.

Notasyon ve terminoloji

Toplama işareti

Toplama işlemi, terimler arasına yerleştirilen toplama işareti ile gösterilir (i.e. ayraçlı yazım). Toplama işlemi sonucu da eşittir işareti ile belirtilir. Örneğin:

$1+1=2$ ("bir artı bir eşittir iki")

$2+2=4$ ("iki artı iki eşittir dört")

$1+2=3$ ("bir artı iki eşittir üç")

$5+4+2=11$ (birleşme özelliği)

$1+2=2+1=3$ (değişme özelliği)

$3+3+3+3=12$ (çarpma işlemi)

Sütun toplaması – sütunlardaki sayıların toplamı alt çizginin altına yazılan sayıdır.

Hiçbir toplama işareti görünmemesine rağmen toplama işleminin "anlaşıldığı" durumlar da vardır. Örneğin, bir tam sayı ile bir kesir toplama işareti olmaksızın yan yana konursa, karma kesir adı verilen bir toplama işlemi oluşur:$$3{\frac {1}{2}}=3+{\frac {1}{2}}=3.5.$$

Fakat, yukarıdaki bu simgelem başka bağlamlarda çarpma işlemi ile karıştırılabilir.

Seri toplamı da büyük sigma harfi ile belirtilebilir; bu simgelem iterasyonu kompakt şekilde simgeler. Örneğin:

$\sum _{k=1}^{5}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55.$

Toplama işareti "+" (Unicode:U+002B; ASCII: +), "ve" anlamına gelen Latince "et" kelimesinin kısaltmasıdır. İşaret, 1489 senesine kadarki matematik çalışmalarda görülmektedir.

Özellikler

Değişme özelliği

4 + 2 = 2 + 4

Toplama işlemi, değişme özelliğine sahiptir: işlem içindeki terimlerin dizilişinin değiştirilmesi işlem sonucunu değiştirmez. Değişme özelliği, a ve b herhangi iki sayı olmak üzere, şu şekilde ifade edilebilir:

a + b = b + a.

Bu özellik, "değişme yasası" olarak da adlandırılır. Kimi diğer ikili işlemler de değişme özelliğine sahiptir (ör. çarpma); ancak çıkarma ve bölme gibi işlemler de değişmeli değildir.

Birleşme özelliği

2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3

Toplama işlemi, birleşme özelliğine sahiptir: üç veya daha çok terimli bir toplama işleminde, işlem sırası işlem sonucunu değiştirmez. Birleşme özelliği, a, b ve c herhangi üç sayı olmak üzere, şu şekilde ifade edilebilir:

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c).

Toplama işlemi, diğer işlemlerle birlikte kullanıldığında işlem sırası önem kazanabilir. Standart işlem düzeninde toplama, üs alma, kök alma, çarpma ve bölmeden daha az önceliktedir; ancak, çıkarma ile eşit önceliğe sahiptir.

Etkisiz eleman

5 + 0 = 5

Herhangi bir sayıya sıfır eklemek sayıyı değiştirmez; bu, sıfırın toplama için etkisiz eleman (aynı zamanda toplamsal birim olarak da bilinir) olduğu anlamına gelir. Sembolik olarak, her bir a için, aşağıdaki eşitlik doğrudur:

a + 0 = 0 + a = a.

Bu yasa, ilk olarak Brahmagupta'nın Brahmasphutasiddhanta'sında M.Ö. 628 yılında tanımlanmıştır. Brahmagupta, bu yasayı a nın negatif, pozitif veya sıfır olmasına göre üç ayrı yasa olarak, cebirsel semboller yerine sözcükler kullanarak yapar. Zamanla, Hintli matematikçiler bu kavramı yeniden tanımlar; 830 senesinde Mahavira, yasayı, "sıfır, kendisine eklenen sayı olur," olarak tanımlar (Sembolik olarak: 0 + a = a). 12. yüzyılda Bhaskara, yasayı, "sayıya sıfırın eklenmesi veya çıkarılması sonucunda, pozitif veya negatif olsun, sayı aynı kalır," şeklinde tanımlamıştır (Sembolik olarak: a + 0 = a).

Ardıl

Ardıl, herhangi bir (a) tamsayısı için (a + 1) tam sayısı olarak tanımlanır. Burada, (a + 1), (a)'dan büyük en küçük tam sayıdır ve (a)'nın ardılıdır. Örneğin, 3, 2'nin ardılıdır ve 7, 6'nın ardılıdır.

Bu ardışıklık nedeniyle, a + b'nin değeri (a)'nın (b)'inci ardılı olarak da görülebilir. Örneğin, 6 + 2 8'e eşittir; çünkü 8, 6'nın ardılı olan 7'nin ardılıdır ve 8 de, 6'nın ikinci ardılıdır.

Birimler

Birimli fiziksel niceliklerin sayısal olarak eklenmesi için, bu niceliklerin aynı birime sahip olmaları gerekir. Örneğin, 150 mililitreye 50 mililitre eklemek 200 mililitre verir. Yanı sıra, birbirine dönüştürülebilen alt-üst birimleri de birbirine eklemek mümkündür. Örneğin, 5 santimetrelik bir niceliğe 10 milimetre eklemek 6 santimetre verir. Fakat, alt-üst birim ilişkisi olmayan birimlerin arasında ekleme işlemi yapılamaz. Örneğin, 2 metre ile 10 metrekareyi toplamak tanımsızdır. Bu kural, boyut analizinin temel kurallarından biridir.

Toplama işlemi yapma

Doğuştan gelen kabiliyetler

1980'lerde başlayan matematiksel gelişim çalışmaları, uyarana karşı alışkanlık kazanma olgusundan yararlanmıştır. Karen Wynn'in 1992'de yaptığı bir deney, bebeklerin beklenmedik durumlara daha uzun süre bakakalıyor olmalarına dayanmıştır. Bu deneyde, bazı Mickey Mouse oyuncakları bir ekranın arkasından farklı düzenlerde beş aylık bebeklere gösterilmiş; bebeklerin 1 + 1'in 2 olduğunu bekledikleri ve 1 + 1'in 1 veya 3 olarak gösterildiği düzenlerde nispeten şaşırdıkları gözlemlenmiştir. Bu bulgu, bu ilk deneyden beri farklı metodolojiler kullanılarak çeşitli gruplar tarafından teyit edilebilmiştir. 1992 yılında bir başka deneyde ise yürümeye yeni başlayan çocukların motor kontrol kabiliyetlerinden yararlanılmıştır. Bu deneyde, 18-35 aylık çocukların bir kutudan ping-pong topları almaları sağlanmış; nispeten büyük çocukların 5'e kadar toplama işlemi yapabildikleri gözlemlenmiştir.

Bazı hayvanlar türleri de, özellikle primatlar, kısıtlı bir toplama kabiliyetine sahiptir. Wynn'e ait 1992 deneyini hayvanlar üzerinde uygulayan 1995 yılında yapılan bir deneyde, oyuncak yerine patlıcan kullanılmış; hint şebeği ve pamuk-başlı tamarin maymunlarının bebeklere benzer bir performans gösterdiği gözlemlenmiştir. Bir diğer deneyde ise, 0 ila 4 arası Arap rakamlarının öğretildiği bir şempanze, daha fazla öğretim almadan iki farklı rakamı toplayabilme kabiliyeti gösterebilmiştir. Yanı sıra, Asya fillerinin de temel aritmetik işlem yapma kabiliyetine sahip oldukları haberleştirilmiştir.

Çocukluk döneminde öğrenim

Genellikle, çocuklar önce saymayı öğrenir. Örneğin, iki öğe ile üç öğenin bir araya getirilmesi gereken bir problem sorulduğunda, küçük çocuklar genellikle parmaklarını kullanarak ya da bir çizim vasıtasıyla durumu modeller ve toplama ulaşırlar. Çocuklar, deneyim kazandıkça, "sayma" stratejisini öğrenirler veya keşfederler: 'iki artı üç' sorusunun sonucu olan beşe, çocuklar, ikiyi "üç, dört, beş" diye üç kere geçerek varırlar. Bu stratejinin evrensel olduğu düşünülmektedir ve çocukların bunu akranlarından ya da öğretmenlerinden kolayca öğrenebildikleri belirtilmektedir.

Tam sayılar ve aritmetik öğretimi farklı ülkelerde farklı yaşlarda başlatılmaktadır; toplama ise pek çok ülkede okul öncesi eğitime dahildir. Fakat, toplama işlemi, dünyanın her yerinde, ilkokulun ilk yılının sonuna kadar öğretilmiş olmaktadır.

Tablo

Genellikle, çocuklara ezberlemeleri için, 0 ve 9 arası sayı çiftlerinin bulunduğu bir toplama tablosu sunulur. Bu tabloyu öğrenen çocuklar herhangi bir toplama işlemini yapabilir.

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18

Ondalık sistem

Toplamayı hızlandırmak ondalık sistem ile mümkündür. Bunun ön koşulu, birtakım "toplama olgularının" akıcı bir şekilde hatırlanması veya türetilmesidir. Bu olgular ezberlenebilirse de; bu olguların yapı-tabanlı teknikler ile hatırlanması çoğu kişi için daha verimli olabilir. Bu olgular şunlardır:

• Bir veya iki eklemesi: 1 veya 2 tam sayısını bir başka sayıya eklemek, sezgi ile gerçekleştirilebilir.

Taşıma

Çok basamaklı tam sayıları toplamak için standart yöntem, toplananları dikey olarak hizalamak ve en sağdaki sütundan başlayarak sütundaki rakamları toplamaktır. Eğer bir sütundaki toplama işlemi dokuzu aşarsa, soldaki komşu sütuna eklenmek üzere bir rakamı "taşınır." Örneğin, aşağıdaki 27 + 59 toplama işleminde

  ¹
  27
+ 59
————
  86

en sağdaki sütun toplamı 7 + 9 = 16 olur ve 1 rakamı komşu sol sütuna taşınır.

Ondalık taban

Ondalık kesirler yukarıdaki işlemin basit bir modifikasyonu ile toplanabilirler.

İki ondalık kesir, ondalık noktası aynı hizada olacak şekilde üst üste konumlanır. Gerekirse, ondalık kısmı daha kısa olan sayıya diğer sayı ile aynı uzunlukta olması için sıfır eklemlenebilir. Son olarak, ondalık noktasının aynı hizada olması sağlanarak 'taşıma' yöntemiyle toplama işlemi gerçekleştirilir.

Örnek olarak, 45.1 + 4.34 işlemi şu şekilde toplanabilir:

   4 5 . 1 0
+  0 4 . 3 4
————————————
   4 9 . 4 4

Bilimsel gösterim

Ana madde: Bilimsel gösterim

Bilimsel gösterimde, reel sayılar $x=a\times 10^{b}$ şeklinde yazılır. Bu terimde, $a$ tabandır ve $10^{b}$ 'üs'tür. Toplama, sayıların aynı üslere sahip olmasını gerektirir. Bu sayede, tabanlar basitçe toplanabilir.

Örneğin:

$2.34\times 10^{-5}+5.67\times 10^{-6}=2.34\times 10^{-5}+0.567\times 10^{-5}=2.907\times 10^{-5}$

Ondalık-olmayan tabanlarda işlemler

Ana madde: İkili sayı sistemi

Ondalık-olmayan tabanlarda toplama, ondalık tabandaki toplamaya benzerdir. Buna ikili tabanda toplama örnek gösterilebilir. Tek basamaklı ikili sayıları eklemek, yukarıda bahsedilen 'taşıma' yöntemiyle gerçekleştirilebilir:

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0, 1 taşınır (1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2¹))

İkili tabanda, iki "1" rakamının eklenmesi "0" rakamını üretir; bir sonraki sütuna da 1 eklenir. Bu, ondalık tabanda belirli rakamların eklenmesinde de görülür Eğer bir sütun toplamı '10' sayısına eşit veya bu sayıdan büyükse, sol sütuna 1 eklenir:

5 + 5 → 0, 1 taşınır (5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10¹))

7 + 9 → 6, 1 taşınır (7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10¹))

Bu yöntem 'taşıma' (İngilizce carrying) olarak bilinir.

Bilgisayarlar

Operasyonel yükselteç kullanılarak yapılan toplama işlemi.

Analog bilgisayarlar fiziksel ölçümlerle doğrudan etkileşime girerler, dolayısıyla toplama işlemleri, eklenen değerlerin niteliklerine bağlı olarak değişiklik gösterir. Mekanik bir toplama cihazı, eklenen iki değeri kayar blokların pozisyonları olarak ifade edebilir; bu durumda, ortalama değer hesaplama yöntemi olan bir kaldıraç ile toplama işlemi yapılabilir. Eğer eklenen değerler iki milin dönüş hızları ise, bir diferansiyel aracılığıyla toplanabilirler. Hidrolik bir toplama birimi, iki kompartımandaki basınç değerlerini, bir dizi piston üzerindeki kuvvetlerin dengelenmesi sürecinde Newton'un ikinci yasasını kullanarak hesaplayabilir. Genel amaçlı bir analog bilgisayarın karşılaştığı en sık durum, iki voltajın (toprak referans alınarak) toplanmasıdır; bu işlem genellikle bir direnç ağı ile gerçekleştirilse de, daha etkili bir yöntem operasyonel bir yükselteç kullanmaktır.

Toplama işlemi, özellikle taşıma mekanizmasının etkinliği bakımından, dijital bilgisayarların işlevselliği için temel bir bileşendir ve bu işlemin verimliliği, genel performans üzerinde belirleyici bir faktördür.

Charles Babbage'ın fark makinesine ait parçalar, toplama ve taşıma mekanizmalarını içermektedir.

Abaküs, aynı zamanda hesaplama çerçevesi olarak bilinen, yazılı modern sayı sistemi benimsenmeden yüzyıllar önce kullanılmaya başlanmış bir hesaplama aracıdır ve hâlâ Asya, Afrika ve diğer bölgelerde tüccarlar tarafından geniş çapta kullanılmaktadır; bu araç MÖ 2700–2300 yılları arasında, Sümer'de kullanılmaya başlandığı dönemlere dayanmaktadır.

Blaise Pascal, 1642 yılında mekanik bir hesap makinesi geliştirmiştir; bu cihaz, ilk işlevsel toplama makinesi olarak kaydedilmiştir. Bu cihaz, yer çekimini kullanarak çalışan bir taşıma mekanizması içermekteydi. Bu makine, 17. yüzyılda işlevsel olan tek mekanik hesap makinesi olup, aynı zamanda en eski otomatik dijital bilgisayar olarak kabul edilmektedir. Pascal'ın hesap makinesi, yalnızca bir yöne dönebilmesine izin veren taşıma mekanizması nedeniyle sınırlıydı; bu, makinenin yalnızca toplama işlemi yapabilmesine olanak tanıyordu. Çıkarma işlemi gerçekleştirmek için operatör, Pascal hesap makinesinin tamamlayıcısını kullanmak zorundaydı, bu işlem toplama kadar çok sayıda adım gerektirmekteydi. Giovanni Poleni, Pascal'ı izleyerek, 1709 yılında inşa edildikten sonra iki sayıyı otomatik olarak çarpan, ahşap malzemeden yapılmış bir hesap saatini tasarlamıştır.

"Tam toplayıcı" mantık devresi, A ve B ikili basamaklarına ve bir taşıma girişi C_in olacak şekilde toplama işlemi yaparak, sonuç olarak toplam biti S ve bir taşıma çıkışı C_out elde eder.

Toplayıcılar, elektronik dijital bilgisayarlarda, genellikle ikili aritmetik temelinde tam sayı toplama işlemi uygular. En temel yapı, çok basamaklı standart algoritmayı izleyen dalga taşıma toplayıcısıdır. Bir miktar iyileştirilmiş bir yapı olan taşıma atlama tasarımı (İng. carry bypass adder), yine insan sezgisine dayalıdır; 999 + 1 işlemi gerçekleştirilirken tüm taşıma işlemleri yapılmaz, 9'lar grubu göz ardı edilir ve doğrudan sonuca ulaşılır.

Uygulamalı olarak, hesaplama temelli toplama işlemleri, aşağıdaki kodda gösterildiği üzere XOR ve AND bit düzeyinde mantıksal işlemler ile bit kaydırma operasyonlarının birleştirilmesiyle sağlanabilir. XOR ve AND kapılarının dijital mantıkta kolayca gerçekleştirilebilir olması, bu kapıların tam toplayıcı devrelerinin oluşturulmasını mümkün kılar; bu devreler daha karmaşık mantıksal işlemler için birleştirilebilir. Çağdaş dijital bilgisayarlarda, tam sayı toplama işlemi tipik olarak en hızlı aritmetik işlemdir, ancak kayan nokta işlemleri ve bellek erişimi sırasında adres üretimi ile dal sırasında talimat yüklemesi gibi temel görevlerin altında yattığı için performans üzerinde büyük bir etkiye sahiptir. Hızı artırmak amacıyla, modern tasarımlar rakamları paralel olarak hesaplar; bu yöntemler taşıma seçimi, taşıma öngörme ve Ling sahte taşıma gibi isimler altında bilinir. Bu uygulamaların birçoğu, aslında bu son üç tasarımın bir karışımıdır. Kağıt üzerindeki toplamadan farklı olarak, bilgisayarda yapılan toplama işlemi genellikle toplanan değerleri değiştirir. Antik abaküs ve toplama tahtasında, her iki toplanan değer de yok edilir, sadece sonuç baki kalır. Abaküsün matematiksel düşünce üzerindeki derin etkisi, erken Latin metinlerinde sıkça "bir sayıya bir sayı eklenmesi" sürecinde her iki sayının da yok olduğu iddiasına neden olmuştur. Modern dönemde, bir mikroişlemcinin ADD komutu çoğunlukla artanı toplamla değiştirirken, toplananı muhafaza eder. Yüksek seviye bir programlama dilinde, a + b işlemi a veya byi değiştirmez; eğer hedef a'yı toplamla değiştirmekse, bu genellikle a = a + b ifadesiyle açıkça talep edilmelidir. Bazı diller, örneğin C veya C++, bu işlemi a += b şeklinde kısaltmaya izin verir.

// İteratif algoritma
int add(int x, int y) {
    int carry = 0;
    while (y != 0) {      
        carry = AND(x, y);   // Logical AND
        x     = XOR(x, y);   // Logical XOR
        y     = carry << 1;  // left bitshift carry by one
    }
    return x; 
}

// Tekrarlamalı algoritma
int add(int x, int y) {
    return x if (y == 0) else add(XOR(x, y), AND(x, y) << 1);
}

Bilgisayar sistemlerinde, bir toplama işlemi sonucunda elde edilen değer, saklama alanını aşarsa, aritmetik taşma meydana gelir ve bu durum yanıltıcı bir sonuç üretir. Beklenmedik aritmetik taşmalar, yazılım hatalarının oldukça sık rastlanan bir sebebidir. Bu tür taşma hataları, yalnızca büyük boyutlu girdi veri kümeleri için meydana geldiğinden ve doğrulama testlerinde bu tür veri kümelerinin kullanım olasılığı düşük olduğundan, keşfedilmeleri ve tanımlanmaları zor olabilir. 2000 Yılı Sorunu, yılların iki haneli bir formatla ifade edilmesi nedeniyle ortaya çıkan taşma hatalarından oluşan bir dizi sorundur.

Sayıların toplanması

Toplama işleminin genel özelliklerini kanıtlamak için, öncelikle söz konusu bağlamda toplama işleminin tanımı yapılmalıdır. İlk olarak, toplama işlemi doğal sayılar üzerinde tanımlanır. Daha sonra, bu tanımlama, küme teorisi içinde, doğal sayılardan daha büyük kümelere genişletilir: tamsayılar, rasyonel sayılar ve gerçek sayılar gibi. (Matematik eğitiminde, negatif sayılar ele alınmadan önce pozitif kesirler toplanır; bu aynı zamanda tarihsel bir yaklaşımdır.)

Doğal sayılar

Daha fazla bilgi: Doğal sayılar

İki doğal sayının a ve b toplamını tanımlamanın iki yaygın yolu vardır. Doğal sayıların sonlu kümelerin kardinal sayıları olduğu şeklinde tanımlanması durumunda (bir kümenin kardinalitesi kümenin içerdiği öğelerin sayısıdır), toplama işlemi aşağıdaki şekilde tanımlanabilir:

• N(S), S kümesinin kardinal sayısı olsun. A ve B, N(A) = a ve N(B) = b olacak şekilde ayrık iki küme seçilir. Bu durumda a + b, $N(A\cup B)$ olarak tanımlanır. Burada, A ∪ B, A ve B'nin birleşimidir. Bu tanımın alternatif bir versiyonu, A ve Bnin örtüşebileceğine izin verir ve ardından ortak elemanların ayrılmasını, dolayısıyla iki kez sayılmasını sağlayan ayrık birleşimlerini alır.

Diğer popüler tanım ise yinelemelidir (rekursif):

• n'⁺, nin varisi olsun, yani nin doğal sayılardaki ardılı, 0⁺=1, 1⁺=2 olsun. a + 0 = a olarak tanımlayın. Genel toplamı yinelemeli olarak a + (b⁺) = (a + b)⁺ şeklinde tanımlayın. Böylece 1 + 1 = 1 + 0⁺ = (1 + 0)⁺ = 1⁺ = 2 olur.

Yine, bu tanım üzerinde literatürde küçük varyasyonlar vardır. Sözcüğün tam anlamıyla, yukarıdaki tanım, kısmi sıralı küme N² üzerinde özyinelemenin bir uygulamasıdır. Diğer taraftan, bazı kaynaklar sadece doğal sayılar kümesine uygulanan kısıtlı bir yineleme teoremini tercih eder. Biri ayı geçici olarak "sabit" olarak kabul eder, b üzerinde yineleme uygular "a +" fonksiyonunu tanımlar ve bu tekli işlemleri tüm alar için bir araya getirerek tam ikili işlemi oluşturur.

Tam sayılar

Daha fazla bilgi: Tam sayı

Tam sayıların en temel tanımı, bir mutlak değer (bu bir doğal sayıdır) ve bir işaret (genellikle pozitif veya negatif) içermesine dayanır. Sıfır tam sayısı, ne pozitif ne de negatif olan özel bir durum olarak ele alınır. Bu tanımlamaya göre toplama işlemi, farklı durumlar göz önünde bulundurularak yapılmalıdır:

• Bir tam sayı n için, |n| onun mutlak değeri olarak kabul edilsin. a ve b tam sayıları için, eğer a veya b sıfır ise, bu durumu bir özdeşlik olarak değerlendirin. a ve b her ikisi de pozitif olduğunda, a + b = |a| + |b| şeklinde ifade edilmelidir. a ve b her ikisi de negatif olduğunda, a + b = −(|a| + |b|) şeklinde tanımlanmalıdır. a ve b farklı işaretlere sahip ise, a + b ifadesi, |a| ve |b| değerlerinin farkı olarak tanımlanır ve bu farkın işareti, mutlak değeri daha yüksek olan terime ait işaret olarak belirlenir. Bir örnek olarak, −6 + 4 = −2; −6 ve 4 farklı işaretlere sahip olduğundan, mutlak değerler çıkarılır ve negatif terimin mutlak değeri daha büyük olduğu için, sonuç negatif olarak belirlenir.

Bu tanım, somut problemlerin çözümünde yararlı olmakla birlikte, ele alınması gereken durum sayısının fazlalığı, ispatları gereğinden fazla karmaşık hale getirir. Bu nedenle, tam sayıların tanımı için genellikle aşağıda açıklanan yöntem tercih edilir. Bu yöntem, her tam sayının iki doğal sayının farkı olarak ifade edilebileceği ve a – b ile c – d gibi farkların yalnızca a + d = b + c olduğunda eşit kabul edileceği gözlemine dayanmaktadır. Bu çerçevede, tam sayılar, doğal sayı çiftlerinin sıralı çiftleri üzerinde kurulan denklik ilişkisi altında tanımlanan denklik sınıfları olarak formal bir şekilde tanımlanabilir:

(a, b) ~ (c, d) ifadesi, ancak ve ancak a + d = b + c eşitliği sağlandığında geçerlidir.

(a, b) çiftinin denklik sınıfı, a ≥ b olduğu durumlarda (a – b, 0), aksi halde (0, b – a) olarak ifade edilir. Bir doğal sayı olan n için, (n, 0) çiftinin denklik sınıfı +n olarak ve (0, n) için denklik sınıfı ise –n olarak tanımlanabilir. Bu tanım, doğal sayı n'i denklik sınıfı +n ile özdeşleştirme olanağı sunar.

Sıralı çiftlerin toplama işlemi, elemanlar bazında gerçekleştirilir:

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).$

Yapılan temel hesaplamalar, sonuçların denklik sınıfının yalnızca toplanan değerlerin denklik sınıflarına bağımlı olduğunu ortaya koyar; bu durum, denklik sınıflarının toplamının tanımlanmasını sağlar ve bu tanım tam sayıları ifade eder. Başka bir temel hesaplama ise, bu toplama işleminin yukarıda açıklanan durum tanımıyla özdeş olduğunu belirler.

Doğal sayı çiftlerinin denklik sınıfları üzerinden tam sayıların tanımı, sadeleşme özelliğine sahip değişmeli bir yarıgrup yapısını herhangi bir toplamsal gruba entegre etmek amacıyla kullanılabilir. Bu bağlamda, doğal sayılar temel alınarak bir yarıgrup oluşturulmuş ve bu yarıgrup, tam sayıların toplamsal grubu şeklinde bir gruba dönüştürülmüştür. Rasyonel sayıların oluşturulması da benzer bir yöntemle, çarpma işlemine dayalı olarak sıfırdan farklı tam sayılar yarıgrubu kullanılarak gerçekleştirilir.

Bu yapısal çerçeve, herhangi bir değişmeli yarıgrup için Grothendieck grubu adıyla genelleştirilmiştir. Sadeleşme özelliğinin bulunmaması durumunda, yarıgruptan yapılan gruba olan yarıgrup homomorfizması enjektif olmayabilir. Özgün olarak, Grothendieck grubu, daha spesifik bir uygulama olarak, bir abelyen kategorinin nesneleri arasındaki izomorfizmler altında denklik sınıflarına bu yapısal dönüşümün uygulanmasıyla elde edilmiştir; burada yarıgrup operasyonu olarak doğrudan toplam kullanılmıştır.

Rasyonel sayılar (kesirler)

Rasyonel sayıların toplama işlemi, en küçük ortak payda kullanılarak gerçekleştirilebilir; ancak, daha anlaşılır ve kavramsal olarak basit bir tanım, yalnızca tam sayıların toplama ve çarpma işlemlerini gerektirir:

• Toplama işlemi ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}$ formülü ile tanımlanır.

Bir örnekte, ${\frac {3}{4}}+{\frac {1}{8}}={\frac {3\times 8+4\times 1}{4\times 8}}={\frac {24+4}{32}}={\frac {28}{32}}={\frac {7}{8}}$ şeklinde toplam hesaplanmıştır; bu, kesirlerin toplanması sırasında yapılan işlemlerin basit bir gösterimidir.

Kesirlerin toplanması, paydaların eşit olması durumunda oldukça basitleşir; bu durumda, paylar doğrudan toplanırken payda sabit tutulur: ${\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}}$ formülüyle, örneğin ${\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1+2}{4}}={\frac {3}{4}}$ hesaplanır.

Rasyonel sayıların toplama işleminin değişme ve birleşme özellikleri, tam sayı aritmetiğinin temel yasalarının doğal bir sonucudur.

Reel sayılar

π²/6 ve e sayılarının rasyonel sayılar üzerindeki Dedekind kesitleri ile toplama işlemi.

Reel sayılar kümesinin oluşturulması sıklıkla, rasyonel sayılar kümesinin Dedekind yöntemiyle tamamlanması şeklinde gerçekleştirilir. Reel bir sayı, rasyonel sayıların Dedekind kesiti olarak ifade edilir; bu, aşağı doğru kapalı ve en büyük elemanı olmayan rasyonel sayılardan oluşan boş olmayan bir küme olarak karakterize edilir. a ve b gibi reel sayıların toplamı, elemanlar üzerinden aşağıdaki şekilde tanımlanır:

• Toplama işlemi, $a+b={q+r\mid q\in a,r\in b}$ formülü ile elemanlar bazında belirlenir. Bu tanımlama, her iki reel sayı içindeki elemanların kapsamlı bir şekilde birleştirilmesini sağlar ve bu birleştirme sonucu yeni bir reel sayı kümesi oluşturulur.

Bu tanım, Richard Dedekind tarafından 1872 yılında, orijinalinden biraz değiştirilmiş bir biçimde ilk kez yayımlanmıştır. Reel sayıların toplama işlemi üzerine tanımlanan değişme ve birleşme yasaları, hemen kavranabilir niteliktedir; reel sıfır sayısının negatif rasyonel sayılar kümesi olarak tanımlanmasıyla, bu sayının toplamsal özdeşlik elemanı olduğu açıkça görülmektedir. Bu yapısal tanımın toplama ile ilişkili en zorlu kısmı, toplamsal terslerin tanımlanmasıdır. Bu, yapısal matematikte önemli bir meydan okumayı temsil eder ve matematiksel titizliğin önemini vurgular.

π²/6 ve e değerlerinin rasyonel sayıların Cauchy dizileri aracılığıyla toplanması.

Ne yazık ki, Dedekind kesitlerinin çarpılması, işaretli tam sayıların toplanmasına benzer şekilde, zaman alıcı ve duruma özgü bir süreç gerektirir. Alternatif bir yöntem olarak rasyonel sayıların metrik tamamlanması önerilmektedir. Reel sayı, temelde rasyonel sayıların bir Cauchy dizisinin limiti olarak tanımlanmaktadır, lim a_n. Bu bağlamda toplama işlemi, terim terim şeklinde belirlenir:

• $\lim _{n}a_{n}+\lim _{n}b_{n}=\lim _{n}(a_{n}+b_{n})$ şeklinde tanımlanır.

Bu tanım ilk olarak Georg Cantor tarafından 1872 yılında ortaya konulmuştur, ancak onun kullandığı formalizm biraz daha farklı niteliktedir. Bu toplama işleminin uygun şekilde tanımlandığının kanıtlanması gerekmektedir, bu da yardımcı-Cauchy dizileri ile ilgili işlemleri kapsar. Bu aşama tamamlandığında, reel sayıların toplama işlemine ilişkin tüm özellikler, rasyonel sayıların özelliklerinden doğrudan türetilebilir. Ek olarak, çarpma dahil olmak üzere diğer aritmetik işlemler de benzer bir şekilde basit ve benzeşen tanımlara sahiptir. Bu kavramsal çerçeve, sayı teorisindeki aritmetik işlemlerin genişletilmesi için temel oluşturur.

Karmaşık sayılar

İki karmaşık sayının toplama işlemi, bir paralelkenar konstrüksiyonu ile geometrik olarak gerçekleştirilebilir.

Karmaşık sayıların toplanması, bu sayıların gerçek ve sanal bileşenlerinin toplanarak hesaplanması işlemiyle yapılmaktadır:

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.$

Karmaşık sayıların karmaşık düzlemde görselleştirilmesiyle, toplama işleminin geometrik yorumu şu şekilde gerçekleştirilir: Karmaşık düzlemde, noktalar olarak kabul edilen iki karmaşık sayı A ve B'nin toplamı, O, A ve B noktaları arasında oluşturulan bir paralelkenar ile elde edilen X noktasıdır. Alternatif bir ifadeyle, X noktası, köşeleri O, A, B ve diğer üçgenin köşeleri X, B, A olan ve birbirleriyle eşleşik olan üçgen aracılığıyla tanımlanmaktadır. Bu yorumlama, karmaşık sayıların toplamının, geometrik olarak nasıl temsil edilebileceğini açıklamaktadır.

Genellemeler

Reel sayılardaki toplama işlemine benzer birçok ikili işlem bulunmaktadır. Soyut cebir disiplini, bu tür genelleştirilmiş işlemlerle yoğun olarak ilgilenmektedir ve bu işlemler küme teorisi ile kategori teorisi alanlarında da sıklıkla ele alınmaktadır.

Soyut cebir

Vektörler

Ana madde: Vektör toplama

Lineer cebir alanında, bir vektör uzayı, herhangi iki vektörün toplanabilmesini ve vektörlerin ölçeklendirilebilmesini mümkün kılan cebirsel bir yapıdır. Reel sayı çiftlerinin tümü, tanıdık bir vektör uzayını oluşturur; (a,b) sıralı çifti, Öklid düzlemindeki orijinden (a,b) noktasına uzanan bir vektör olarak yorumlanabilir. İki vektörün toplamı, onların koordinatlarının tek tek toplanması ile sağlanır:

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).$

Bu toplama işlemi, klasik mekanik alanında temel bir işlem olarak kabul edilir; bu alanda hızlar, ivmeler ve kuvvetler vektörlerle ifade edilir. Bu, vektörlerin fiziksel büyüklükleri temsil etme kapasitesinin önemini vurgular.

Matrisler

Ana madde: Matris toplama

İki matrisin toplama işlemi, yalnızca aynı boyutlardaki matrisler için uygulanabilir bir işlemdir. m × n (okunuşu "m çarpı n") ebatlarında olan A ve B matrislerinin toplamı, A + B ile ifade edilir ve sonuç olarak elde edilen matris yine bir m × n matrisidir. Bu toplama işlemi, matrislerin karşılık gelen elemanlarının birbiriyle toplanması yoluyla gerçekleştirilir: Bu yöntem, lineer cebirde temel bir araç olarak kabul edilir ve matrislerin eleman bazında işlem görmesi, bu alandaki çeşitli problemlerin çözümünde kullanılır.

${\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}$

Örneğin:

${\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}$

Modüler aritmetik

Ana madde: Modüler aritmetik

Modüler aritmetikte, kullanıma sunulan sayılar kümesi tam sayıların sonlu bir alt kümesine indirgenmiş olup, toplama işlemi bir modülüs değerine ulaşıldığında döngüsel bir karakter gösterir. Örneğin, 12 modülü tam sayılar kümesi on iki eleman içerir ve tam sayılardan miras alınan bir toplama operasyonunu barındırır ki bu operasyon, müzikal set teorisinde temel bir role sahiptir. İki elemandan oluşan 2 modülü tam sayılar kümesi, Boolean mantığı içerisinde "exclusive or" fonksiyonu olarak tanımlanan bir toplama operasyonunu miras alır. Geometride de benzer bir döngüsel işlem gözlemlenir; burada iki açı ölçüsünün toplamı, genellikle reel sayılar cinsinden 2π modülünde hesaplanır. Bu durum, daire üzerinde bir toplama işlemine işaret eder ve bu işlem, çok boyutlu toruslar üzerindeki toplama operasyonlarının genelleştirilmesine olanak tanır.

Genel teori

Soyut cebirin genel kuramı, bir küme üzerinde tanımlanan "toplama" işleminin birleşimli ve değişmeli nitelikteki herhangi bir işlem olabileceğini öngörür. Bu tür bir toplama işlemine dayanan temel cebirsel yapılar, değişmeli monoidler ve abelyen gruplar gibi yapıları içerir.

Küme teorisi ve kategori teorisi

Doğal sayıların toplamasının kapsamlı bir genelleştirmesi, küme teorisinde sıral sayılar ve kardinal sayıların toplanması şeklinde gerçekleştirilir. Bu yaklaşımlar, doğal sayıların toplanmasını sonluötesi sayılara taşıyan iki farklı metodoloji sunar. Çoğu toplama işleminden ayrılarak, sıral sayıların toplaması değişmeli bir özellik göstermez. Öte yandan, kardinal sayıların toplaması, ayrık birleşim operasyonuna sıkı sıkıya bağlı olan değişmeli bir işlem olarak tanımlanır.

Kategori teorisinde, ayrık birleşim, altçarpım işleminin belirli bir örneği olarak ele alınır, ve genel altçarpımlar, toplamanın genelleştirmeleri içinde muhtemelen en soyut olanlardır. Bazı altçarpımlar, doğrudan toplam ve çatal toplam gibi, adlandırmalarıyla toplama işlemiyle olan ilişkilerini yansıtmaktadırlar.

İlişkili işlemler

Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme ile birlikte, temel işlemler arasında sayılır ve temel aritmetik alanında sıklıkla kullanılır.

Aritmetik

Çıkarma, bir toplamsal ters ekleme şeklinde, bir tür toplama işlemi olarak kabul edilebilir. Çıkarma, toplama işleminin bir tür tersi olarak işlev görür; zira x eklemek ve x çıkarmak, birbirinin ters fonksiyonu olarak hareket eder.

Bir toplama işlemine sahip olan kümede, her durumda karşılık gelen bir çıkarma işlemi tanımlamak mümkün olmayabilir; doğal sayılar kümesi bu duruma basit bir örnek teşkil eder. Öte yandan, bir çıkarma işlemi, bir toplama işlemi, toplamsal ters işlem ve toplamsal birim öğeyi zorunlu kılar; bu nedenle, toplamsal bir grup, çıkarma işlemine kapalı bir küme olarak ifade edilebilir.

Çarpma, tekrarlı toplama şeklinde yorumlanabilir. Eğer bir toplam içerisinde x terimi n kere bulunuyorsa, bu toplam n ve x değerlerinin çarpımına eşittir. n bir doğal sayı değilse bile, çarpma işlemi anlamını korur; örneğin, −1 ile yapılan çarpma, bir sayının toplamsal tersine ulaşılmasını sağlar.

Bir dairesel cetvel.

Reel ve karmaşık sayılar alanında, üstel fonksiyon aracılığıyla toplama ve çarpma işlemleri birbirinin yerine geçebilir:

$e^{a+b}=e^{a}e^{b}.$

Bu eşitlik, çarpma işleminin, tablolardaki logaritma değerlerine başvurularak ve toplama işleminin elle hesaplanarak yapılmasını mümkün kılar; bu aynı zamanda bir cetvel kullanılarak çarpma işlemi yapılmasını da sağlar. Bu formül, Lie grubunun geniş bağlamında hala geçerli bir birinci derece yaklaşım sunar; burada, ilişkili Lie cebirinde vektörlerin toplanması ile sonsuz küçük grup elemanlarının çarpımı arasında bir bağ kurulur.

Çarpma işlemi, toplama işlemine kıyasla daha fazla genelleştirilebilir. Genel olarak, çarpma işlemleri sürekli olarak toplama üzerinde dağılım göstermektedir; bu zorunluluk bir halkanın tanımında somutlaştırılmıştır. Bazı durumlarda, örneğin tam sayılar gibi, toplama üzerindeki dağılma ve çarpmada birim elemanın bulunması, çarpma işleminin kendine özgü şekilde tanımlanmasını sağlar. Dağılma özelliği, toplama işlemi hakkında da bilgi verir; (1 + 1)(a + b) çarpımını her iki taraftan açarak, toplamanın değişmeli olması gerektiği sonucuna ulaşılır. Bu sebeple, genellikle halka toplamaları değişmelidir.

Bölme işlemi, toplama işlemiyle dolaylı olarak ilişkili bir aritmetik işlem olarak tanımlanır. a/b = a(b⁻¹), ifadesi gereğince, bölme işlemi toplama işlemine göre sağdan dağılımlıdır: (a + b) / c = a/c + b/c. Bununla birlikte, bölme işlemi toplama işlemine göre soldan dağılım özelliği göstermez; örneğin, 1 / (2 + 2) ifadesi 1/2 + 1/2 ile eşdeğer değildir.

Sıralama

x + 1 ile max (x, 1) arasındaki ilişkinin x = 0.001'den 1000'e kadar olan log-log grafiği

"max (a, b)" işlemi, toplama işlemine benzer bir ikili işlem olarak tanımlanır. Gerçekte, a ve b gibi iki negatif olmayan sayı farklı büyüklük mertebeleri gösterdiğinde, bunların toplamı genellikle maksimum değerlerine yaklaşık olarak eşdeğerdir. Bu yaklaşık değer, matematiğin çeşitli uygulama alanlarında, örneğin Taylor serisi kısaltmalarında büyük önem taşır. Ancak, "max" işleminin tersinir olmaması, nümerik analizde devam eden zorluklara neden olur. Eğer b değeri a değerinden önemli ölçüde büyükse, (a + b) − b şeklinde yapılan basit bir hesaplama, kabul edilemez düzeyde bir yuvarlama hatası toplayabilir ve hatta sonuç sıfır olarak dönebilir.

Bu yaklaşık değer, bir tür sonsuz sınır durumunda kesinlik kazanır; a veya b sonsuz bir kardinal sayı olduğunda, kardinal toplamları büyük olan iki değerle tam olarak eşitlenir. Bu nedenle, sonsuz kardinal sayılar için çıkarma işlemi tanımlanmamıştır.

Maksimizasyon, toplama işlemi gibi hem değişmeli hem de birleşmelidir. Dahası, toplama işlemi reel sayıların sıralamasını koruduğundan, çarpma işlemi toplama işlemi üzerinde nasıl dağılıyorsa, toplama işlemi de "max" işlemi üzerinde aynı şekilde dağılım gösterir:

$a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c).$

Bu gerekçelerle, tropikal geometri alanında, çarpma işlemi toplama işlemi ile yer değiştirirken, toplama işlemi de maksimizasyon işlemi ile değiştirilmektedir. Bu kapsamda, toplama işlemi "tropikal çarpma" olarak, maksimizasyon ise "tropikal toplama" olarak isimlendirilir ve tropikal "toplamsal kimlik" negatif sonsuzluk olarak tanımlanmaktadır. Bazı yazarlar ise toplama işlemini minimizasyon ile değiştirmeyi yeğlemektedirler; bu durumda toplamsal kimlik pozitif sonsuzluk olarak kabul edilir.

Bu gözlemleri bir araya getirilmesiyle, tropikal toplama, logaritma kullanılarak standart toplama işlemiyle yaklaşık bir ilişki kurar:

$\log(a+b)\approx \max(\log a,\log b),$

Bu bağlantı, logaritmanın tabanı büyüdükçe artan bir doğrulukla sağlanmaktadır. Yaklaşık değer, kuantum mekaniği alanından alınan Planck sabitine benzetme yapılarak isimlendirilen h sabiti çıkarılarak tam bir doğruluk kazanabilir, ve h değeri sıfıra yaklaştıkça alınan "klasik limit" ile:

$\max(a,b)=\lim _{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).$

Bu perspektiften, maksimum işlem, toplamanın dekuantize edilmiş bir versiyonu olarak değerlendirilir.

Diğer toplama teknikleri

Artırma, diğer bir adıyla ardıl işlemi, bir sayıya 1 eklemeyi içerir.

Toplam işlemi, genellikle iki sayıdan fazlasının eklenmesini ifade eder ve bu kapsamda, bir sayının kendisiyle olan toplamı ve boş toplam olarak adlandırılan sıfır değeri de dahil edilir. Sonsuz bir toplam işlemi, seri olarak tanımlanan ve özen gerektiren bir süreçtir.

Bir sonlu kümenin sayılması, o kümedeki birlerin toplamına denk gelir.

İntegrasyon, genellikle bir süreklilik üzerinde veya daha geniş ve kesin bir ifadeyle, bir türevlenebilir manifoldlar üzerinde yapılan bir tür "toplam" işlemidir. Sıfır boyutlu bir manifold üzerindeki integrasyon, toplama işlemine indirgenmektedir.

Doğrusal kombinasyonlar, çarpma ve toplama işlemlerini bir araya getirirler; her bir terim, genellikle bir reel veya karmaşık sayı olan bir çarpan içerir. Doğrusal kombinasyonlar, özellikle basit toplamanın normalleştirme kurallarını ihlal edeceği durumlar için yararlıdır, örneğin oyun teorisinde stratejilerin karıştırılması veya kuantum mekaniğinde durumların süperpozisyonu gibi.

Konvolüsyon, dağılım fonksiyonları ile tanımlanmış iki bağımsız rassal değişkenin toplanmasında kullanılır. Bu işlemin standart tanımı, integrasyon, çıkarma ve çarpma işlemlerini birleştirir. Genel olarak, konvolüsyon, bir tür alan tarafından yapılan toplama işlemi olarak işlev görürken, vektör toplaması ise aralık tarafından yapılan toplama işlemi olarak değerlendirilir.

Ayrıca bakınız

• Ay aritmetiği
• Zihinsel aritmetik
• Paralel ekleme
• Sözlü aritmetik

Diğer okumalar

• Baroody, Arthur; Tiilikainen, Sirpa (2003). The Development of Arithmetic Concepts and Skills. Two perspectives on addition development. Routledge. s. 75. ISBN 0-8058-3155-X. 
• Davison, David M.; Landau, Marsha S.; McCracken, Leah; Thompson, Linda (1999). Mathematics: Explorations & Applications. TE. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-435817-8. 
• Bunt, Lucas N.H.; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. (1976). The Historical roots of Elementary Mathematics. Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-389015-0. 
• Poonen, Bjorn (2010). "Addition". Girls' Angle Bulletin. 3 (3–5). ISSN 2151-5743. 20 Nisan 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 24 Nisan 2024. 
• Weaver, J. Fred (1982). "Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective". Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective. Interpretations of Number Operations and Symbolic Representations of Addition and Subtraction. Taylor & Francis. s. 60. ISBN 0-89859-171-6.