Ejercicios resueltos 2011

Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y CC 1 Autores: Miguel Martínez Concha Carlos Silva Cornejo Emilio Villalobos Marín Ejercicios Resueltos (ejemplar de prueba) Mediante la inclusión de ejercicios resueltos se espera que los estudiantes tengan portunidad de movilizar sus capacidades para buscar, analizar, procesar, representar y comunicar diferentes tipos de información, decodi…cando y traduciendo la información contenida en las funciones, grá…cos, series de Fourier, integrales de Fourier y sus propiedades. 1.1 Problema 1. i) Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de período 2 .Representar gra…camente y estudiar la convergencia de la serie en R: f (x) = 0 si x si 0 x 0 x Solución: i) Calculo de los coe…cientes de Fourier. # " 0 R R R 1 1 a0 = 2 f (x)dx + f (x)dx = f (x)dx = 2 0 h 2i x 1 = 4 a0 = 2 2 0 R R an = 1 f (x) cos(nx)dx = 1 x cos(nx)dx 1 2 0 Usando hel método de integración i hpor partes sentiene: i cos(nx) 1 1 x cos(nx) 1 an = 0 0 + ( n1) = + n2 2 n n2 0 an = ( 1)n 1 n2 = 0 2 n2 para n par para n impar así: a2n = 0 8n a2n 1 = (2n 21)2 8 n: R R f (x) sin(nx)dx = 1 x sin(nx)dx bn = 1 0 i h ) sin(nx) x cos(nx) 1 = cos(n + n2 = n n 0 luego el coe…ciente es: n+1 bn = ( 1)n 1 R 0 xdx Por lo tanto, la serie de Fourier será: " 1 X 2 + 2 cos ((2n 4 n=1 (2n 1) n+1 ( 1) 1) x) + n # sin(nx) En todos los puntos de continuidad la serie converge a f (x) y en los puntos de discontinuidad del tipo x = + 2n con n 2 Z, la serie converge a 2 : ii) A partir del resultado anterior obtenga la suma de la serie: 1 X 1 n=1 Solución.(ii) Evaluando en x = 0 se tiene 0= 2 4 de donde 4 y de aquí = 2 1 X n=1 1.2 (2n 1)2 1 1 1 + 2 + 2 + ::: 12 3 5 1 1 1 + 2 + 2 + ::: 2 1 3 5 2 1 (2n 1)2 = 8 Problema 2 i) Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de período 2 , de…nida por: f (x) = x2 ; x ii) A partir del resultado obtenido calcular la suma de: 1 X 1 2 n n=1 iiI) Determine la convergencia de la serie 1 X 1 4 n n=1 Solución: i) La función f es par por lo cual obtendremos una serie de cosenos, que tiene la forma: 1 X an cos (nx) a0 + n=1 2 a0 = 1 R R 1 f (x)dx = 0 an = 2 R x2 dx = h 1 0 f (x) cos(nx)dx = h 02 x sin(nx) n an = + 2x cos(nx) n2 Luego, la serie es: 2 i R x3 3 i 0 = 2 3 x2 cos(nx)dx 0 0 = 4 cos(n ) n2 = 4( 1)n n2 1 n X ( 1) cos (nx) n2 n=1 2 +4 3 Como la función es continua en R ,entonces: 1 n X ( 1) cos (nx) ; todo x real. n2 n=1 2 x2 = 3 +4 Solución (ii) La serie numérica se puede obtener haciendo x = 2 2 = de donde 1 12 4 3 1 22 1 X 1 1 = 2 n 4 n=1 1 32 2 ; ::: 2 3 y f( ) = 2 = 6 iii) Como la función f es seccionalmente suave para x y f( f ( ) se cumplen las condiciones de su…ciencia de la identidad de Parseval entonces 1 Z x2 2 2 dx = 2 1 x5 5 = 1 X 1 2 n n=1 1.3 3 2 9 4 + 4 = + 1 n X 4 ( 1) n2 n=1 1 X 16 =) n4 n=1 90 Problema 3 Sea f (x) = x(sin x); si < x < ; entonces: i) Determine la serie de esta función. 3 2 =) )= ii) Pruebe la convergencia de la serie: 1 n X 1 ( 1) = 2 n 1 4 n=1 Solución: i) La función f (x) es par, es decir f (x) = f ( x) 8 x 2 ( ; ); entonces: bn = 0 R R R a0 = 1 f (x)dx = 1 x sin xdx = 1 [x ( cos x)]0 + cos xdx = 1 0 an = 2 R 0 0 R 2 f (x) cos(nx)dx = 0 x sin x cos(nx)dx 0 Para n 6= 1 R an = 1 x [sin ((n + 1) x) sin ((n 1) x)] dx = 0 Para n = 1 R a1 = 2 x sin x cos xdx = 0 Por lo tanto, la serie es: x sin x = 1 1 R x sin(2x)dx = 0 2( 1)n+1 n2 1 1 2 1 n+1 X ( 1) 1 cos x + 2 cos (nx) 2 n2 1 n=2 ii) En x = 0 hay un punto de continuidad de la función, entonces la serie converge a f (0) f (0) = 0 = 1 Finalmente 1 n+1 X 1 ( 1) cos 0 + 2 cos (0) 2 n2 1 n=2 1 n+1 X 1 ( 1) = 2 n 1 4 n=2 1.4 Problema 4 i) Para f (x) = e [x] , 0 x 2 obtener su serie de Fourier en cosenos, periódica de período 4. ii) Del resultado determinar la convergencia de: 1 n 1 X ( 1) 2n 1 n=1 Solución: Evaluando la función parte entera tenemos 4 8 < 1 si 0 x < 1 e 1 si 1 x < 2 : e 2 si x=2 Con extensión par fp (x) de f (x) se obtiene la serie: f (x) = a0 + 1 X n x 2 an cos n=1 a0 = an = =2 1 2 R1 1dx + 0 sin n2 n 1 e dx = 1 0 R1 R2 R2 cos n2 x dx + + 2e 1 1 sin n 1 e sin 1 2 1 1+e cos n2 x dx = n 2 n =2 sin n2 n sin n x 2 n 2 1 e j10 + e 1 sin n x 2 n 2 j21 1 Finalmente, la serie es: 1+e 2 1 + 2(1 e 1 ) 1 X sin n2 n x cos n 2 n=1 ii) Convergencia de x0 = 2 punto de discontinuidad con límites laterales e se tiene convergencia: e 1 1+e 2 = e 1 1 2 1 + 2(1 = 2(1 1 e 1 X ) ) 1 X sin n2 cos n n n=1 1 X sin n2 cos n n n=1 1 2n n=1 1.5 1 e 1 = 1 4 Problema 5 Utilice la serie de Fourier para demostrar la identidad trigonométrica sin3 (x) = 1 sin(3x) 4 3 sin(x) 4 Solución: Se calcula la serie de Fourier de f (x) = sin3 (x) en [ impar la serie será: 1 X bn sin n con bn = n=1 2 Z 0 5 ; ] : Como f (x) es sin3 (x) sin(nx)dx En primer lugar, calculemos la integral para n 6= 1 R R sin3 x sin nxdx = sin3 x cosnnx j0 + n3 sin2 x cos x cos nxdx 0 0 Usando la identidad trigométrica: cos x cos nx = cos(n R 3 = 2n sin2 x [cos(n 1)x cos(n + 1)x] dx (1) 1)x cos(n+11)x 2 0 En segundo lugar, calculemos el valor del coe…ciente b1 para n = 1 en (1) R R R 4x dx b1 = 1 32 sin2 x cos 2xdx = 43 (1 cos 2x) cos 2xdx = 43 1 cos 2 b1 = 23 4 2 0 = 0 3 4 0 En tercer lugar, para n > 1 en (1) bn = bn = 3 2n 3 2n sin(n+1)x n+1 sin2 x R sin(n+1)x n+1 0 + + sin(n 1)x n 1 sin(n 1)x n 1 j0 R 0 sin(n+1)x n+1 + sin(n 1)x n 1 sin 2xdx sin 2xdx Usando la identidad trigonometrica R 3 1 1 (cos(n + 1)x cos(n + 3)x) dx bn = 2n n+1 2 0 3 1 1 2n n 1 2 R (cos(n 3)x cos(n + 1)x)dx = 0; 8 n 6= 3 0 Para n = 3 el cálculo directo, produce: b3 = 2 33 2 2 2 = 41 Por lo tanto, la serie de Fourier resultante es: 3 sin(x) 4 1 sin(3x) 4 Luego, por el teorema de la convergencia dada la continuidad de f se tiene lo requerido. 1.6 Problema 6 Halle la representación de la integral de Fourier de la función f (t) = e at si t > 0 considerando una extensión par de f (t) y estudie la convergencia en R: Solución: e at si t > 0 Sea fp (t) = ;así de…nida es una función par, luego: eat si t < 0 6 A(w) = 2 Z1 f (u) cos(wu)du = 2 b!1 e au cos(wu)du 0 0 = 2 lim Z1 Zb e au e au cos(wu)du 0 = 2 lim b!1 = 2 lim b!1 = b a2 + w2 0 ab e a2 ( a cos(wu) + w sin(wu)) + w2 ( a cos(wb) + w sin(wb)) + a2 a + w2 2a a2 + w2 Entonces la integral de Fourier de f (t) es: 1 Z1 2a 2a cos(wx)dw = a2 + w2 0 Z1 cos(wx) dw a2 + w2 0 Como la funcion es continua en R;aplicando el criterio de la convergencia, la integral converge a f (t): Z1 cos(wx) dw = e a2 + w2 2a ax 0 1.7 Problema 7 Halle la representación de la integral de Fourier de la función f (x) = xe x 2 ( 1; 1) y estudie su convergencia en R: jxj si Solución: Se tiene que f (x) es una función impar. Examinemos, si se cumplen las condiciones de existencia de integral de Fourier. En primer lugar Z1 1 xe jxj dx = 2 Z1 xe x dx 0 2 = 2 4 xe = 2 1=2 7 x 1 j0 + Z1 0 e x 3 dx5 Además, f es continua y diferenciable 8x. Los coe…cientes de Fourier de f son: = 0 ya que f es una función impar Z1 4w = ue juj sin(wu)du = 2 (1 + w2 ) A(w) B(w) 1 Entonces, para todo x la integral de Fourier converje a: xe x = 4 Z1 0 1.8 w 2 (1 + w2 ) sin(wx)dw Problema 8 Sea f la función pulso rectangular unitario de período 2 de…nida 1 si <x< 2 a) Representar gra…capor f (x) = 0 si 1 x< ó <x 1 mente f (x) b) Obtener la serie de Fourier de f (x) . c) Si an ( ) es el coe…ciente n-ésimo de la serie anterior, calcular los límites: lim ( lim+ (an ( )) ; n!1 lim+ ( lim (an ( ))) !0 !0 n!1 Solución: b) Como f es una función par de período 2 ,entonces : a0 = Z1 f (x) dx = Z 1 1 dx = 2 2 0 0 Z1 f (x) cos(n x)dx = 2 an = 2 bn = 0 8n Z 1 1 sen(n cos (n x) dx = 2 n 0 0 Luego, se tiene que: f (x) 1 1 1 X sen(n + 2 n n=1 ) c) En primer lugar calculemos: 8 cos (n x) ; x 2 [ 1; 1] ) = an ( ) lim+ ( lim (an ( ))) = lim+ ( lim !0 n!1 !0 n!1 1 sen(n n ) 1 sen(n n ) ) = lim+ (0) = 0 !0 n!1 En segundo lugar lim ( lim+ (ak ( )) = lim ( lim+ n!1 1.9 n!1 !0 !0 ) = lim (1) = 1 n!1 Problema 9. Dada la función f (x) = xe x con x > 0; a) Veri…que que considerando las extensiones par e impar de la función f : Z 1 Z 1 1 w2 2w cos wx dw = senwx dw 2 2 (1 + w ) (1 + w2 )2 0 0 b) Estudiar la convergencia de la IF parar deducir que: Z 1 Z 1 w2 1 dw = dw (1 + w2 )2 (1 + w2 )2 0 0 Solución Consideremos para f (x) = xex con x > 0 la extensión par fp (x) = fp (x) xe x si x > 0 =) xex si x < 0 Z1 Z1 1 A (w) cos wxdw con A (w) = 2 xe x cos wx dx x senwx dx 0 0 Ahora, consideremos la extensión impar de f fi (x) fi (x) = xe x si x > 0 =) xex si x < 0 Z1 Z1 1 B (w) senwxdw con B (w) = 2 xe 0 0 Podemos calcular los coe…cientes A (w) y B (w) integrando por partes: 9 A (w) = 2 Z1 x xe cos wx dx =) 0 A (w) = 2 " xe x ( cos wx + wsenwx) (1 + w2 ) e x ( 1 w2 cos wx 2wsenwx) 2 (1 + w2 ) #1 0 2 A(w) B (w) 1 w (1 + w2 )2 = 2 = 2 Z1 x xe senwx dx =) 0 " xe x ( senwx w cos wx) (1 + w2 ) B (w) = 2 B(w) 2w = 2 (1 + w2 )2 e x ( 1 w2 senwx + 2w cos wx) 2 (1 + w2 ) Construyendo las respectivas integrales de Fourier y aplicando el teorema de la convergencia , puesto que f es una función seccionalmente 8x > 0 ,se tiene que : xe x = 2 Z1 1 w2 cos wxdw (1 + w2 )2 Z1 2w senwxdw (1 + w2 )2 0 xe x = 2 0 Por lo tanto, las extensiones son iguales: Z1 1 w2 cos wx dw = (1 + w2 )2 0 Z1 2w senwx dw (1 + w2 )2 0 b) En x = 0 se tiene un punto en que estas extensiones son continuas, luego ambas integrales convergen a f (0) = 0 Z1 0 1 w2 dw = 0 =) (1 + w2 )2 Z1 1 dw = (1 + w2 )2 0 Z1 0 10 w2 dw (1 + w2 )2 #1 0 1.10 Problema 10. Si f (x)es una función par ,con integral de Fourier f (x) = a) xf (x) = demuestre que: b) x2 f (x) = Z1 1 1 Z1 1 Z1 A (w) cos(wx)dw, 0 A (w) cos(wx)dw; donde A (w) = dA(w) dw 0 d2 A(w) dw2 A (w) cos(wx)dw; donde A (w) = 0 Solución a) Se tiene que xf (x) = entonces A (w) = 2 Como f (x) = 1 Z1 Z1 1 Z1 A (w) sen(wx)dw; es una función impar, 0 v f (v) sen(wv)dv (1): 0 A (w) cos(wx)dw con A (w) = 2 0 Z1 f (v) cos(wv)dv: 0 Entonces, derivando el coe…ciente queda dA(w) dw = 2 Z1 vf (v) sen(wv)dv (2) 0 Por lo tanto, comparando (1) y (2) se tiene dA(w) A (w) dw = Z1 b) Como x2 f (x) = 1 A (w) cos(wx)dw; es una función par, 0 entonces A (w) = Como, f (x) = 1 Z1 2 Z1 v 2 f (v) cos(wv)dv (1) 0 A (w) cos(wx)dw con 0 Por consiguiente 2 d A(w) dw2 = 2 Z1 dA(w) dw = 2 Z1 A (w) = 2 Z1 f (v) cos(wv)dv: 0 vf (v) sen(wv)dv =) 0 v 2 f (v) cos(wv)dv (2) 0 2 A(w) Por lo tanto, comparando (1) y (2)se tiene d dw = 2 11 A (w) :