Η έννοια του 3-διανύσματος στον Ευκλείδειο χώρο

Η έλλνηα ηνπ 3- δηαλχζκαηνο ζηνλ Δπθιείδεην ρψξν 1 Η έννοια ηος 3-διανύζμαηορ ζηον Εςκλείδειο σώπο . Γπάθει ο Γιώπγορ Μπανηέρ www. mpantes,gr «…Τπάξρεη κηα ζησπεξή ππφζεζε γηα φιεο ηηο θπζηθέο ζεσξίεο πνπ δεκηνπξγήζεθαλ κέρξη ζήκεξα , φηη πίζσ απφ ηα θπζηθά θαηλφκελα βξίζθεηαη κηα κνλαδηθή καζεκαηηθή δνκή, ηελ νπνία, ε θπζηθή ζεσξία έρεη σο ζηφρν λα απνθαιχςεη. ΢χκθσλα κε απηή ηελ ππφζεζε, νη καζεκαηηθνί ηχπνη ηεο θπζηθήο ανακαλύθθηκαν δελ επινοήθηκαν, γηα παξάδεηγκα νη κεηαζρεκαηηζκνί ηνπ Λφξεληδ αλήθνπλ εμ’ ίζνπ ζηε θπζηθή πξαγκαηηθφηεηα φζν έλα ηξαπέδη ή κηα θαξέθια..» (Relativity: the special theory J.L.Synge P.163) EΙ΢ΑΓΩΓΗ . Οι μαθημαηικέρ μοπθέρ ηηρ θύζηρ . Έλα απφ ηα θεληξηθά δφγκαηα ηεο θπζηθήο θαη ηεο γεσκεηξίαο είλαη φηη νη λφκνη ηνπο είλαη εθαξκφζηκνη ζε θάζε πεξηνρή ηνπ Επθιείδεηνπ ρώξνπ. Με άιια ιφγηα αλ θάπνηνο εθηειεί έλα πείξακα εδψ (κέηξεζε) θαη έρεη έλα νξηζκέλν απνηέιεζκα, ηφηε θάπνηνο άιινο εθηειψληαο ην ίδην πείξακα αιινχ, ζα πξέπεη λα εμάγεη ην ίδην απνηέιεζκα. Οη δχν πεηξακαηηζηέο εθηειψληαο ην ππνζεηηθφ καο πείξακα , εχινγα ζα ρξεζηκνπνηήζνπλ έλα ζχζηεκα ζπληεηαγκέλσλ . ΢πλήζσο ηα δχν ζπζηήκαηα δελ ζπκπίπηνπλ, αθνχ ε εθηέιεζε ηνπ πεηξάκαηνο γίλεηαη ζε άιιν κέξνο θαη κε δηαθνξεηηθό πξνζαλαηνιηζκό (σο πξνο ηα αζηέξηα) ησλ αμφλσλ. Όκσο εκείο αλακέλνπκε ηα «ίδηα απνηειέζκαηα» ζηα δχν πεηξάκαηα! Ση αθξηβψο ελλννχκε κε ηελ πξφηαζε απηή; Γελ ελλννχκε πάλησο φηη νη δχν πεηξακαηηζηέο ζα βξνπλ ηνπο ίδηνπο αξηζκνχο ζε φιεο ηηο κεηξήζεηο, γηα παξάδεηγκα νη αξηζκνί πνπ πξνζδηνξίδνπλ ηε ζέζε ελφο ζεκείνπ είλαη δηαθνξεηηθνί ζηα δηάθνξα ζπζηήκαηα ζπληεηαγκέλσλ. Απηφ πνπ πξαγκαηηθά πεξηκέλνπκε είλαη φηη νη θπζηθνί ή γεσκεηξηθνί λφκνη πνπ εκθαλίδνληαη λα ηζρχνπλ ζην έλα ζχζηεκα , ζα ηζρχνπλ θαη ζην άιιν. Λέκε φηη ζηελ πξαγκαηηθφηεηα νη θπζηθνί ή νη γεσκεηξηθνί λφκνη δελ εμαξηψληαη απφ ηελ Η έλλνηα ηνπ 3- δηαλχζκαηνο ζηνλ Δπθιείδεην ρψξν 2 εθινγή ηνπ ζπζηήκαηνο ζπληεηαγκέλσλ. Αλ δειαδή έλαο λφκνο ηεο θχζεο (δεχηεξνο λφκνο ηνπ Νεχησλα, Ππζαγφξεην ζεψξεκα) επαιεζεχεηαη ζε έλα ζχζηεκα ζπληεηαγκέλσλ ηφηε απηφκαηα πξέπεη λα επαιεζεχεηαη ζε θάζε άιιν ζχζηεκα. Πνχ φκσο βξίζθεηαη ε θαξδηά απηήο ηεο δπλαηφηεηαο ζηε δηεχξπλζε ηεο δηαηχπσζεο ησλ λφκσλ; Βξίζθεηαη ζε απηφ πνπ απνθαινχκε ‘καζεκαηηθέο κνξθέο ηεο θχζεο’ (άξζξν Αξηζηνηειηθέο κνξθέο θαη καζεκαηηθά) θαη ζα ην θαηαλνήζνπκε κε ην αθφινπζν παξάδεηγκα. Αο πάξνπκε, θάπνην Καξηεζηαλφ ζχζηεκα (νξζνγσλίσλ) αμφλσλ. Οη ζπληεηαγκέλεο ελφο ζσκαηηδίνπ δίλνληαη ηφηε απφ ηελ ηξηάδα ( x, y, z ) θαη αλ νη πξνβνιέο ηεο δχλακεο (ζεσξνχκε έλα δεχγνο θνξηηζκέλα ζσκαηίδηα, ην έλα ζηαζεξφ ζηελ αξρή Ο θαη ην άιιν ζην ζεκείν Ρ, ζην νπνίν αζθείηαη ε δχλακε) ζηνπο άμνλεο ηνπ θαξηεζηαλνχ ζπζηήκαηνο πνπ επηιέμακε είλαη ( Fx , F y , Fz ) ηφηε ε θίλεζε ηνπ ζσκαηηδίνπ ηθαλνπνηεί ζχκθσλα κε ηνλ δεχηεξν λφκν ηνπ Νεχησλα ηηο ηξεηο εμηζψζεηο: d 2x d 2z d2y m 2  Fx , m 2  Fy , m 2  Fz . dt dt dt (1) Αο ζεσξήζνπκε έλα λέν ζχζηεκα αμφλσλ ζηξέθνληαο ην αξρηθφ ζχζηεκα γχξσ απφ θάπνην άμνλα θαηά κία ζπγθεθξηκέλε γσλία. Έζησ φηη ε ζηξνθή γίλεηαη πεξί ηνλ άμνλα z θαη ζπλεπψο νη ζπληεηαγκέλεο ζηα δχν ζπζηήκαηα ζπλδένληαη κέζσ ηνπ (γξακκηθνχ) κεηαζρεκαηηζκνχ ζηξνθήο: x   x cos  y sin , y   y cos  x sin , (2) z  z . Aο ππνινγίζνπκε ηηο πξνβνιέο ηεο δχλακεο ζην λέν ζχζηεκα αμφλσλ. Απηφ απαηηεί ηνλ πξνζδηνξηζκφ ησλ πξνβνιψλ ησλ δπλάκεσλ ζηνπο λένπο άμνλεο πνπ δελ κπνξεί λα γίλεη παξά αλ δερζνχκε ηελ αξρή φηη νη δπλάκεηο πνπ αζθνχληαη ζε έλα ζψκα κπνξνχλ λα πξνζηεζνχλ κε ηνλ κανόνα ηος παπαλληλογπάμμος Απηφ Η έλλνηα ηνπ 3- δηαλχζκαηνο ζηνλ Δπθιείδεην ρψξν 3 είλαη ην πξψην πφξηζκα ηνπ Νεχησλα. Ο Νεχησλ νπζηαζηηθά πξνυπνζέηεη φηη ε δχλακε είλαη «διανςζμαηικό» μέγεθορ, δίρσο λα ην γξάθεη εθπεθξαζκέλα, θαη o Γαιηιαίνο φηη ηζρχεη ε αξρή ηεο αλεμαξηεζίαο ησλ δπλάκεσλ. Θα έρνπκε ηφηε φηη Fz  Fz δηφηη ν άμνλαο z παξακέλεη ν ίδηνο. Η δχλακε ζηνλ άμνλα x ζα δίλεηαη απφ ηελ πξνβνιή ζηνλ άμνλα απηφ ηεο δχλακεο Fx πνπ αζθείηαη θαηά ηε δηεχζπλζε ηνπ άμνλα x θαη ηελ πξνβνιή ηεο δχλακεο F y πνπ αζθείηαη θαηά ηε δηεχζπλζε ηνπ άμνλα y · δειαδή Fx  Fx cos   Fy sin  . Οκνίσο ππνινγίδνπκε ηελ Fy . ΢πλεπψο νη πξνβνιέο ηεο δχλακεο κεηαζρεκαηίδνληαη σο εμήο: Fx  Fx cos   Fy sin  , Fy  Fy cos   Fx sin  , (3) Fz  Fz . Ση κνξθή έρεη ν λφκνο ηνπ Νεχησλα ζην λέν ζχζηεκα; Γηαθνξίδνληαο ηηο (2) θαη θάλνληαο ρξήζε ησλ (3) έρνπκε mx  Fx' , my  Fy' , . ΢πλεπψο ε κνξθή ηεο εμίζσζεο παξακέλεη ακεηάβιεηε, λφκνο ηνπ Νεχησλα ηζρχεη θαη ζην λέν ζχζηεκα αλαθνξάο. Η θαξδηά ηνπ κεηαζρεκαηηζκνχ είλαη φηη νη ζπληεηαγκέλεο ηεο δύλακεο κεηαζρεκαηίδνληαη κε ηνλ ίδην ηξόπν όπσο θαη νη ζπληεηαγκέλεο ηεο ζέζεο. Η αιιαγή δειαδή ησλ ζπληεηαγκέλσλ ηεο γηα κηα ζπγθεθξηκέλε αιιαγή ηνπ ζπζηήκαηνο αλαθνξάο δελ είλαη απζαίξεηε αιιά ππαθνχεη ζπγθεθξηκέλνπο καζεκαηηθνχο θαλφλεο.1 Τν καζεκαηηθό απηό ζπκπέξαζκα βαζίδεηαη ζηηο θπζηθέο παξαδνρέο ηεο Νεπηώλεηαο κεραληθήο γηα ηε θύζε ηεο δύλακεο, πνπ είλαη απνηέιεζκα πεηξακάησλ θαη παξαηεξήζεσλ. Σην έννοια ηος διανύζμαηορ ηην παπαηηπήζαμε απσικά ζηη θύζη. Τπάξρνπλ ινηπφλ κεγέζε ζηε θχζε (φπσο ε δχλακε) πνπ ζε κηα αιιαγή αμφλσλ κεηαβάιινληαη φπσο νη ζπληεηαγκέλεο . Απηφ εμαζθαιίδεη ηελ αλαιινίσηε κνξθή ησλ λφκσλ ζε έλαλ θφζκν πνπ δελ έρεη θηηαρηεί απφ εκάο. Απηφ ην εληφπηζαλ νη καζεκαηηθνί θαη ην δηεχξπλαλ ζε απηφ πνπ απνθαινχκε διανςζμαηικό ή ηανςζηικό λογιζμό.. 1 Είναι οι κανόνες των ορθογώνιων γραμμικών μεταστηματισμών τοσ Καρτεσιανού σσστήματος. Η έλλνηα ηνπ 3- δηαλχζκαηνο ζηνλ Δπθιείδεην ρψξν 4 Ιζηοπική αναδπομή Σα διανύζμαηα Οι εξιζώζειρ μεηαζσημαηιζμών ηων ζςνηεηαγμένων Οι εξιζώζειρ μεηαζσημαηιζμού ηων διανςζμάηων Σα αναλλοίωηα μεγέθη Εςκλείδεια γεωμεηπία και Νεςηώνεια θςζική Φιλοζοθικά ζσόλια , Απιζηοηέληρ Ιζηοπική αναδπομή Πξάγκαηη ζην παξάδεηγκά καο, ην θπζηθφ θαηλφκελν είλαη απηφ ηεο δχλακεο, θαη ε ππνθείκελε καζεκαηηθή δνκή είλαη ν δηαλπζκαηηθφο ινγηζκφο. Με ηελ αλάπηπμε ηεο ρξήζεο ησλ δηαλπζκαηηθψλ κεζφδσλ, είρακε κηα άλζηζε ηεο ζεσξεηηθήο θπζηθήο θαη κε ηελ αξρή ηνπ 20νπ, ε δηαλπζκαηηθή αλάιπζε έρεη ζηαζεξά πεξηραξαθσζεί σο έλα εξγαιείν γηα αλάπηπμε ηεο γεσκεηξίαο θαη ηεο ζεσξεηηθήο θπζηθήο. Αλ θνηηάμνπκε πίζσ ζηνλ 19ν αηψλα, θαίλεηαη φηη ππήξρε ε αλάγθε κηαο καζεκαηηθήο ζεσξίαο κέζσ ηεο νπνίαο ζα κπνξνχζαλ λα πεξηγξαθνχλ νη θπζηθνί λφκνη θαη λα ειεγρζεί ε παγθνζκηφηεηά ηνπο. Μηιψληαο ζρεκαηηθά δχν άλζξσπνη δηαθξίζεθαλ πξνο απηήλ ηελ θαηεχζπλζε, νη Υάκηιηνλ2 (Hamilton) θαη Γθξάζκαλ(Grassmann) ν Υάκηιηνλ πξνζπάζεζε λα βξεη ηα θαηάιιεια καζεκαηηθά εξγαιεία κε ηα νπνία ζα κπνξνχζε λα εθαξκφζεη ηε Νεπηψλεηα κεραληθή ζε δηάθνξεο πεξηνρέο ηεο αζηξνλνκίαο θαη ηεο θπζηθήο. Ο Γθξάζκαλ αλέπηπμε κηα αιγεβξηθή δνκή ζηελ νπνία ζα κπνξνχζε λα βαζηζηεί κηα γεσκεηξία νζσλδήπνηε δηαζηάζεσλ. Σα ηεηξαδφληα ηνπ Υάκηιηνλ θαη θαη ν ινγηζκφο ησλ ππεξκηγαδηθψλ αξηζκψλ ηνπ Γθξάζκαλ απνδείρηεθαλ αξθεηά πνιχπινθα γηα κηα ζχληνκε καζεηεία θαη εχθνιε εθαξκνγή, αιιά απφ απηά δεκηνπξγήζεθε ν πνιχ επθνιφηεξα αληηιεπηφο θαη εθαξκφζηκνο θιάδνο ηεο διανςζμαηικήρ ανάλςζηρ. Η εξγαζία απηή νθείιεηαη θαηά θχξην ιφγν ζηνλ Ακεξηθαλφ θπζηθφ John Willard Gibbs (1839-1903) θαη δηδάζθεηαη ζε θάζε ζπνπδαζηή ηεο ζηνηρεηψδνπο θπζηθήο. Σα διανύζμαηα . Ση βξίζθεηαη πίζσ απφ ηε θπζηθή έλλνηα ηεο ηαρχηεηαο; Σεο δχλακεο; Σεο επηηάρπλζεο; είλαη ε καζεκαηηθή έλλνηα ηνπ δηαλχζκαηνο. Δίλαη κηα θαηλνχξγηα έλλνηα , αθνχ ε δχλακε έρεη κέηξν, δηεχζπλζε θαη θνξά, θαη πιεξεί ηε θπζηθή αξρή φηη νη 2 Άρθρο μου «η απελευθέρωση της άλγεβρας Peacock, Hamilton…» Η έλλνηα ηνπ 3- δηαλχζκαηνο ζηνλ Δπθιείδεην ρψξν 5 δπλάκεηο πνπ αζθνχληαη ζε έλα ζψκα πξνζηίζεληαη κε ηνλ θαλφλα ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ. Απηφ είλαη ην πξψην αμίσκα ηνπ Νεχησλα. Απηέο είλαη νη βαζηθέο θπζηθέο ππνδείμεηο γηα ηε καζεκαηηθή δηαπξαγκάηεπζε ηεο διανςζμαηικήρ3 γεωμεηπίαρ φπνπ ν φξνο δηάλπζκα δειψλεη κηα κεηαθνξά ή κηα κεηαηφπηζε α ζην ρψξν.4. Η πξφηαζε φηη ε κεηαηφπηζε α κεηαθέξεη ην ζεκείν Α ζην ζεκείν Β («κεηαζρεκαηίδεη» ην Α ζε Β ) κπνξεί επίζεο λα δηαηππσζεί φηη ην Β είλαη ην ηειηθφ ζεκείν ηνπ δηαλχζκαηνο α ηνπ νπνίνπ ε αξρή είλαη ην ζεκείν Α. Αλ ηα Α θαη Β είλαη δχν ζεκεία ηφηε ππάξρεη κία θαη κφλν κία κεηαηφπηζε α ε νπνία κεηαζρεκαηίδεη ην Α ζε Β Θα ηελ νλνκάδνπκε δηάλπζκα πνπ νξίδεηαη απφ ηα Α θαη Β θαη ζα ην ζπκβνιίδνπκε κε  AB . Τπάξρνπλ δχν θεμελιώδειρ ππάξειρ νη νπνίεο ππφθεηληαη ζε έλα ζχζηεκα λφκσλ , ε 1. ππόζθεζη α+b=c δχν δηαλπζκάησλ (είλαη ε κεηαθνξά πνπ δεκηνπξγνχλ δχν δηαδνρηθέο κεηαθνξέο (λφκνο ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ) , θαη ν 2. πολλαπλαζιαζμόρ δηαλχζκαηνο κε αξηζκφ b=ια (νξίδεηαη δηα κέζνπ ηεο πξφζζεζεο) . Οη λφκνη ησλ πξάμεσλ είλαη a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) Αλ α θαη c είλαη δχν δηαλχζκαηα ηφηε ππάξρεη έλα θαη κφλν έλα δηάλπζκα x γηα ην νπνίν πιεξεί ηελ εμίζσζε a+ x=c (ι+κ)a=(ιa)+(κa) ι(κa)=(ικ)a 1.a=a ι(a+b)=(ιa)+(ιb) ζηε ζηνηρεηψδε θπζηθή, ην δηάλπζκα παξίζηαηαη γξαθηθά κε έλα πξνζαλαηνιηζκέλν επζχγξακκν ηκήκα , ή βέινο. Απηή είλαη ε κεηαθνξά ή ε κεηαηφπηζε πνπ πεξηγξάθεη ν Weyl. Έηζη ζηε ζηνηρεηψδε θπζηθή , ην δηάλπζκα είλαη θάηη θαλεξφ θάηη ζπγθεθξηκέλν θαη δηαηζζεηηθά απιφ, είλαη γεσκεηξηθφ. ΢ηε ζεσξεηηθή θπζηθή έγηλε ηδέα, θάηη εγθεθαιηθφ , ζπλδεδεκέλν κε ηελ άιγεβξα. Σν πξψην είλαη έλα ζθίηζν ηνπ δεχηεξνπ. Απηή είλαη ε πνξεία ησλ καζεκαηηθψλ. Η θφξκνπια γηα ην αιγεβξηθφ δηάλπζκα είλαη ε παιηά επαλαζηαηηθή ζχλδεζε απφ ηνλ Καξηέζην ηεο γεσκεηξίαο κε ηελ άιγεβξα δειαδή κηαο εηθφλαο κε ηελ αθεξεκέλε θαη ζηέξεα 3 4 Ο όρος διάνυσμα οφείλεται στο Χάμιλτον Είναι ο ορισμός του Weyl Η έλλνηα ηνπ 3- δηαλχζκαηνο ζηνλ Δπθιείδεην ρψξν 6 αιήζεηα ησλ αξηζκψλ , έλαο θαιφο ζπλδπαζκφο ηεο δηαίζζεζεο θαη ηεο απζηεξφηεηαο , δηα κέζνπ ελλνηψλ , ζην θέληξν ησλ νπνίσλ βξίζθεηαη ην παζίγλσζην ζύζηημα αναθοπάρ κηα απφ ηηο ζπνπδαηφηεξεο γεληθεχζεηο ησλ καζεκαηηθψλ. Γηα κέζνπ ηνπ ζπζηήκαηνο αλαθνξάο , έλα ζχλνιν δηαηεηαγκέλσλ ηξηάδσλ πξαγκαηηθψλ αξηζκψλ , κπνξεί λα ηεζεί ζε κία 1-1 αληηζηνίρεζε κε ηα ζεκεία ελφο ηξηζδηάζηαηνπ Δπθιείδεηνπ ρψξνπ. Οπσζδήπνηε πνιιέο φςεηο ηεο ζχγρξνλεο θπζηθήο δελ κπνξνχλ λα πεξηγξαθνχλ ζε φξνπο ηνπ ηξηζδηάζηαηνπ Δπθιείδεηνπ κνληέινπ. Όκσο νη ηδέεο ηεο δηαλπζκαηηθήο αλάιπζεο φηαλ εθθξαζηνχλ κε θαηάιιειν ζπκβνιηζκφ επεθηείλνληαη άκεζα ζε έλαλ λ-δηάζηαην ρψξν θαη ε ρξήζε ηνπο ζηε θπζηθή θαίλεηαη άκεζα ζηελ εηδηθή θαη ηε γεληθή ζρεηηθφηεηα. Με ηελ αιιαγή ηεο εηθνλνπνίεζεο ησλ ζεκείσλ , επέξρεηαη θαη αιιαγή ζηελ πεξηγξαθή ησλ δηαλπζκάησλ: Σν ζχλνιν { Α1, Α2, Α3 } φισλ ησλ ηξηάδσλ (Α1, Α2, Α3 ), ( Α΄1, Α΄2, Α΄3 ) θιπ. πνπ νξίδνληαη απφ ηηο νξζέο πξνβνιέο ηνπ δηαλπζκαηηθνχ βέινπο επάλσ ζηνπο άμνλεο ηνπ ζπλδεφκελνπ νξζνγψληνπ Καξηεζηαλνχ ζπζηήκαηνο νλνκάδεηαη Καπηεζιανό διάνςζμα . Οη πνιιέο ηξηάδεο ζεκαίλνπλ πνιιά ζπζηήκαηα αλαθνξάο , αιιά φιεο αληηπξνζσπεχνπλ ην ίδην Καξηεζηαλφ δηάλπζκα , ην νπνίν έρεη κηα νηθνγέλεηα βειψλ σο γεσκεηξηθφ ηνπ αληηπξφζσπν. Ο ζπλδπαζκφο ησλ νξζνγψλησλ πξνβνιψλ κε ην λφκν ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ είλαη ε βάζε φινπ ηνπ θνξκαιηζκνχ ηεο δηαλπζκαηηθήο αλάιπζεο.5 Έλα Καξηεζηαλφ δηάλπζκα (Α1, Α2, Α3 ), παξίζηαηαη γξαθηθά απφ έλα βέινο , κε αξρή ηελ αξρή ηνπ ζπζηήκαηνο θαη ηέινο ην ζεκείν κε ζπληεηαγκέλεο (Α 1, Α2, Α3 ), αιιά απηή δελ είλαη ε κνλαδηθή αλαπαξάζηαζε. Έλα βέινο κε αξρηθά θαη ηειηθά ζεκεία ηα (a,b,c) θαη (A,B,C) έηζη ψζηε A1=A-a, A2=B-b, A3=C-c κπνξεί λα ζεσξεζεί έλα αληηπξνζσπεπηηθφ ηεο ηξηάδαο (Α1, Α2, Α3 ). Έλα Καξηεζηαλφ δηάλπζκα σο πξνο έλα ζχζηεκα ζπληεηαγκέλσλ, ραξαθηεξίδεηαη απφ κέγεζνο, δηεύζπλζε, θαη θνξά , θαη νη ζπληζηψζεο ηνπ σο πξνο έλα ζχζηεκα ζπληεηαγκέλσλ πιεξεί ηνπο αιγεβξηθνχο ηχπνο ησλ ηξηάδσλ δειαδή ηηο ζεκειηψδεηο πξάμεηο 1 θαη 2 ησλ βειψλ πνπ αλαθέξακε, εθθξαζκέλεο αιγεβξηθά, αλ νξίζνπκε a=(a1,a2,…..an) b=(b1,b2,….bn) i.e (a1,a2,…..an)+(b1,b2,….bn)=(a1+b1, a2+b2+……an,bn). ι.a=ι(a1,a2,…..an)= (ιa1,ιa2,…..ιan) 5 . Το άρθρο μου «οι μαθηματικές μορφές της φύσης, οι τανυστές» Η έλλνηα ηνπ 3- δηαλχζκαηνο ζηνλ Δπθιείδεην ρψξν 7 ηψξα είλαη δπλαηή κηα αλαιπηηθή δηαπξαγκάηεπζε ηεο δηαλπζκαηηθήο γεσκεηξίαο , φπνπ θάζε δηάλπζκα πεξηγξάθεηαη κε ηηο ζπληζηψζεο ηνπ , θαη θάζε ζεκείν κε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ. Πσο φκσο ζρεηίδνληαη νη ηξηάδεο (A1, A2, A3), (A1΄, A2΄, A3΄) θιπ; Οι εξιζώζειρ μεηαζσημαηιζμών ηων ζςνηεηαγμένων . Έλα νξζνγψλην Καξηεζηαλφ ζχζηεκα6 εγθαζηζηά φπσο είδακε κηα 1-1 αληηζηνίρεζε κεηαμχ ησλ ζεκείσλ ηνπ Δπθιείδεηνπ ηξηζδηάζηαηνπ ρψξνπ κε ην ζχλνιν φισλ ησλ δηαηεηαγκέλσλ ηξηάδσλ . έλα δεχηεξν νξζνγψλην Καξηεζηαλφ ζχζηεκα εγθαζηζηά κηα άιιε αληηζηνίρεζε ζε θάζε ζεκείν. Πνηα είλαη ε θχζε εθείλσλ ησλ κεηαζρεκαηηζκψλ πνπ ζπλδένπλ ηέηνηεο αληηζηνηρήζεηο γηα ην ίδην ζεκείν ηνπ ηξηζδηάζηαηνπ ρψξνπ; Οη δχν εηδηθνί κεηαζρεκαηηζκνί ησλ ζπληεηαγκέλσλ γηα ην παξάδεηγκά καο ηεο αλάπηπμεο ηεο δηαλπζκαηηθήο αλάιπζεο , νλνκάδνληαη μεηαθοπά θαη ζηποθή. Δίλαη κεηαζρεκαηηζκνί γξακκηθνί θαη ζπλδένπλ νξζνγψληα Καξηεζηαλά ζπζηήκαηα. Όινη νη γξακκηθνί κεηαζρεκαηηζκνί έρνπλ ην ραξαθηεξηζηηθφ φηη νη ζεκειηψδεηο πξάμεηο ησλ ζρέζεσλ 1 θαη 2 δελ κεηαβάιινληαη απφ ην κεηαζρεκαηηζκφ δειαδή ηζρχνπλ γηα ηα κεηαζρεκαηηζκέλα ζεκεία θαη δηαλχζκαηα α΄+b΄=c΄ b΄=ι .a΄……… ΟΡΙ΢ΜΟ΢ 1. Οη εμηζψζεηο ησλ κεηαζρεκαηηζκψλ πνπ ζπλδένπλ ηηο ζπληεηαγκέλεο ( x1 , x 2 , x 3 ) και (x 1 , x 2 , x 3 ) ζηα νξζνγψληα ζπζηήκαηα αλαθνξάο , ησλ νπνίσλ νη άμνλεο είλαη παξάιιεινη είλαη x j  x j  x0j .......... .......... ....(1) 6 Εξετάζουμε την ειδική αυτή περίπτωση συστήματος για το παράδειγμά μας. Η έλλνηα ηνπ 3- δηαλχζκαηνο ζηνλ Δπθιείδεην ρψξν 8 Όπνπ ( x 01 , x 02 , x 03 ) αληηπξνζσπεχνπλ ηηο παιηέο ζπληεηαγκέλεο ηεο αξρήο ηνπ λένπ ζπζηήκαηνο Ο΄. Οη (1) νλνκάδνληαη εξιζώζειρ μεηαθοπάρ. Η κνξθή ηνπο παξάγεηαη απφ ηελ έλλνηα ηνπ Καξηεζηαλνχ δηαλχζκαηνο. ΟΡΙ΢ΜΟ΢ 2. Οη εμηζψζεηο ησλ κεηαζρεκαηηζκψλ πνπ ζπλδένπλ ηηο ζπληεηαγκέλεο ( x1 , x 2 , x 3 ) και (x 1 , x 2 , x 3 ) ζε νξζνγψληα Καξηεζηαλά ζπζηήκαηα , ηα νπνία έρνπλ θνηλή αξρή θαη θνηλή κνλάδα κέηξεζεο ηεο απφζηαζεο θαηά κήθνο ησλ αμφλσλ, ζπλδένληαη κε ηηο εμηζψζεηο κεηαζρεκαηηζκνχ x j  ckj x k .......... ..(2) φπνπ νη ζπληειεζηέο a kj είλαη ζπλεκίηνλα θαηεχζπλζεο πνπ πιεξνχλ ηηο ζρέζεηο  3 c c pj   k p j j 1 k Οη κεηαζρεκαηηζκνί ησλ ζπληεηαγκέλσλ (2) είλαη ππνζχλνιν ησλ γξακκηθψλ ή αθθηληθψλ κεηαζρεκαηηζκψλ, κε γεληθφ ηχπν  x1   c11  2  2  x    c1  x3   c3    1 c12 c 22 c 23 c31  x 1    c32  x 2 .........( 3) c33  x 3  Όπνπ ηζρχνπλ νη ζςνθήκερ οπθογωνιόηηηαρ , είλαη νη οπθογώνιοι μεηαζσημαηιζμοί, πνπ ζπλδένπλ νξζνγψληα Καξηεζηαλά ζπζηήκαηα κε θνηλή αξρή θαη παξάγνληαη απφ ηε δηαλπζκαηηθή ζπκπεξηθνξά ησλ δηαλπζκαηηθψλ κνλάδσλ (βάζεσλ) ζηνπο άμνλεο ησλ δχν ζπζηεκάησλ. Η θπζηθή ηνπο ζεκαζία είλαη φηη πεξηγξάθνπλ ηε ζηξνθή ελφο νξζνγψληνπ Καξηεζηαλνχ ζπζηήκαηνο. Οη νξζνγψληνη κεηαζρεκαηηζκνί πξαγκαηνπνίεζαλ ηελ Η έλλνηα ηνπ 3- δηαλχζκαηνο ζηνλ Δπθιείδεην ρψξν 9 πξψηε ελνπνίεζε ηεο γεσκεηξίαο ((ε Δπθιείδεηα κεηξηθή γεσκεηξία ζην ηπρφλ ζχζηεκα) θαη θαζψο ε γεσκεηξία είλαη έλαο ζεκειηψδεο θιάδνο ηεο θπζηθήο , απηή ε ελνπνίεζε ζα είλαη ην κνληέιν ηεο ελνπνίεζεο ησλ θπζηθψλ λφκσλ ζε φια ηα ζπζηήκαηα αλαθνξάο.(παγθνζκηφηεηα) Όκσο ηη ζπκβαίλεη κε ηα δηαλχζκαηα; Πνηα είλαη ε βαζχηεξε ζπκπεξηθνξά ηνπο ζην ζθεληθφ ησλ ζπζηεκάησλ αλαθνξάο; Οι εξιζώζειρ μεηαζσημαηιζμού ηων διανςζμάηων. Έρνπκε θαηαλνήζεη φηη έλα Καξηεζηαλφ δηάλπζκα (A1, A2, A3) κπνξεί λα παξαζηαζεί γξαθηθά απφ έλα βέινο , αιιά Οη ζπληζηώζεο απηνύ ηνπ βέινπο, κεηαζρεκαηίδνληαη σο πξνο ηελ ζηξνθή, όπσο νη ζπληεηαγκέλεο. Απφδεημε : αλ ν κεηαζρεκαηηζκφο (2) εθαξκνζηεί ζηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ Ρ0 θαη Ρ1 (ηα άθξα ηνπ δηαλχζκαηνο) ηφηε νη δηαθνξέο ησλ ζπληεηαγκέλσλ x1j  x 0j πιεξνχλ ηελ x1j  x0j  ckj x1k  ckj x0k  ckj ( x1k  x0k )......... .......... ..(4) Γειαδή ην κεηαζρεκαηηζκφ (2). Μηα αληίζηνηρε επαιήζεπζε ηεο πξφηαζεο ηζρχεη θαη γηα ηηο κεηαθνξέο. Έηζη έρνπκε ηνλ νξηζκφ ηνπ Καξηεζηαλνχ δηαλχζκαηνο ππφ ην θσο ησλ κεηαζρεκαηηζκψλ: Έλα Καξηεζηαλφ δηάλπζκα (A1, A2, A3), είλαη κηα ζπιινγή δηαηεηαγκέλσλ ηξηάδσλ, φπνπ θάζε κηα ζπλδέεηαη κε έλα νξζνγψλην Καξηεζηαλφ ζχζηεκα θαη ηέηνηεο ψζηε δχν ηπρνχζεο ηέηνηεο ηξηάδεο λα πιεξνχλ ηηο εμηζψζεηο κεηαζρεκαηηζκνχ Aj  x j k A .......... .......... .......... ......( 5) x k φπνπ νη κεξηθέο παξάγσγνη είλαη νη ζπληειεζηέο c i j ηνπ γξακκηθνχ κεηαζρεκαηηζκνχ (3) ησλ ζπληεηαγκέλσλ. Θα πξέπεη λα ζεκεηψζνπκε φηη θάζε ζπληζηψζα ηνπ δηαλχζκαηνο ζην λέν ζχζηεκα είλαη έλαο γξακκηθφο ζπλδπαζκφο ησλ ζπληεηαγκέλσλ ζην αξρηθφ ζχζηεκα. Έηζη αλ φιεο νη ζπληζηψζεο ελφο δηαλχζκαηνο είλαη κεδεληθέο ζην αξρηθφ ζχζηεκα, ζα είλαη επίζεο κεδεληθέο ζηηο λέεο κεηαβιεηέο. Απηή είλαη ε ζπνπδαηφηεξε ηδηφηεηα ησλ δηαλπζκάησλ: κηα δηαλπζκαηηθή εμίζσζε ηζρχεη ζε θάζε νξζνγψλην Καξηεζηαλφ ζχζηεκα, αλ ηζρχεη ζε έλα ! Απηή είλαη ε ξίδα ηεο παγθνζκηφηεηαο ησλ γεσκεηξηθψλ ή ησλ θπζηθψλ λφκσλ , φπσο ζα δνχκε ζηε ζπλέρεηα. Ο λφκνο ηνπ Νεχησλα είλαη παγθφζκηνο γηαηί είλαη γξακκέλνο ζε δηαλπζκαηηθή κνξθή. Η αλαιινηφηεηά ηνπ ζηηο κεηαθνξέο είλαη ε καζεκαηηθή πεξηγξαθή ηεο Νεπηψλεηαο ζρεηηθφηεηαο ηεο θίλεζεο. Η έλλνηα ηνπ 3- δηαλχζκαηνο ζηνλ Δπθιείδεην ρψξν 10 Σα αναλλοίωηα μεγέθη (scalars). Μηα δεχηεξε έλλνηα πνπ αλαπηχζζεηαη ζην δηαλπζκαηηθφ ινγηζκφ είλαη απηή ηνπ αναλλοιώηος (κεγέζνπο). Ο νξηζκφο ησλ αλαιινηψησλ αλαθέξεηαη φηη είλαη κηα πνζφηεηα πνπ νξίδεη κέγεζνο αιιά φρη δηεχζπλζε. Σέηνηεο νληφηεηεο είλαη ε κάδα, ε ππθλφηεηα, ε ζεξκνθξαζία θιπ. Αιιά γηα ηα καζεκαηηθά ην εμέρνλ παξάδεηγκα είλαη ν ππαγμαηικόρ απιθμόρ, θαζψο δελ ζπλδέεηαη κε θαλέλα κέγεζνο. Απφ ηζηνξηθή άπνςε ην αλαιινίσην, είλαη κηα πνζφηεηα αναλλοίωηη ζε φινπο ηνπο κεηαζρεκαηηζκνχο ησλ ζπληεηαγκέλσλ (Felix Klein). Σν εάλ κηα αιγεβξηθή κνξθή είλαη αλαιινίσηε εμαξηάηαη απφ ηελ νκάδα ησλ κεηαζρεκαηηζκψλ πνπ αλαθεξφκαζηε. Πάιη ηα αλαιινίσηα, φπσο θαη ηα δηαλχζκαηα ζπλδένληαη κε ζπζηήκαηα αλαθνξάο θαη κεηαζρεκαηηζκνχο. Εςκλείδεια γεωμεηπία, Νεςηώνεια θςζική και διανύζμαηα. Η καζεκαηηθή έξεπλα έδεημε φηη ηα γλσζηά καο γεσκεηξηθά δηαλχζκαηα (βέιε) έρνπλ θξπκκέλεο πνηφηεηεο νη νπνίεο αλαδείρηεθαλ απφ ηε ζρέζε ηνπο κε ηα ζπζηήκαηα αλαθνξάο: ηνπο λφκνπο ησλ κεηαζρεκαηηζκψλ ηνπο. Η έλλνηα ηνπ δηαλχζκαηνο έιαβε ηηο γλσζηέο ηεο δηαζηάζεηο απφ απηφ ην γεγνλφο, παίδνληαο έλαλ ζπνπδαίν ξφιν ζε πνιιέο πεξηνρέο ηεο γεσκεηξίαο θαη ηεο θπζηθήο. Απηφ ην καζεκαηηθφ απνηέιεζκα βξίζθεηαη θάησ απφ ηηο αξρέο ηεο ζρεηηθφηεηαο ηνπ Νεχησλα θαη ηνπ Ατλζηάηλ, νη νπνίεο ζα ήηαλ αζεκειίσηεο καζεκαηηθά, ρσξίο ηε καζεκαηηθή αλαθάιπςε ησλ δηαλπζκάησλ θαη αξγφηεξα ησλ ηαλπζηψλ. Η απφζηαζε θαη ε γσλία είλαη ζεκειηψδε κεγέζε γηα ηε κεηξηθή δνκή ηνπ Δπθιείδεηνπ ρψξνπ. Δίλαη αλαιινίσηα κεγέζε σο πξνο ην ζχλνιν ησλ γλσζηψλ καο νξζνγψλησλ κεηαζρεκαηηζκψλ. Σν εζσηεξηθφ γηλφκελν κεηαζρεκαηίδεηαη 3 P Q j j 1 j 3 3 3 j 1 j 1 k 1   (crj P r )(c sj Q s )   crj c sj P r Q s   r s P r Q s   P k Q k j j Καη ε απφζηαζε ησλ ζεκείσλ X 1 , X 0 (δηα κέζνπ ηεο 4) ( x11  x01 ) 2  ( x12  x02 )  ( x13  x03 ) 2  ( x11  x01 ) 2  ( x12  x02 ) 2  ( x13  x03 ) 2 Οη ηχπνη απηνί είλαη ε πξψηε ελνπνίεζε ηεο Δπθιείδεηαο γεσκεηξίαο. Έλαο παξαηεξεηήο πνπ κεηξάεη κηα απφζηαζε θαη κηα γσλία ζε έλα νξζνγψλην Καξηεζηαλφ ζχζηεκα , σπηζιμοποιεί ηοςρ ίδιοςρ ηύποςρ και βπίζκει ηο ίδιο αποηέλεζμα κε θάπνηνλ άιιν πνπ κεηξάεη ηα ίδηα κεγέζε ζε θάπνην άιιν νξζνγψλην θαη Καξηεζηαλφ ζχζηεκα, ην νπνίν ππφθεηηαη ζε κεηαθνξά ή ζηξνθή ηνπ αξρηθνχ. Η έλλνηα ηνπ 3- δηαλχζκαηνο ζηνλ Δπθιείδεην ρψξν 11 Σν ζέκα ηνπ λα βξίζθνπκε εθείλεο ηηο νληφηεηεο (φπσο ηελ απφζηαζε θαη ηε γσλία), νη νπνίεο έρνπλ κηα απφιπηε ζεκαζία, ππεξβαίλνπζα ην ζχζηεκα αλαθνξάο, έρεη πξσηαξρηθή ζεκαζία. Η έξεπλα απηή καο δίλεη κηα θαηεχζπλζε πξνο ηελ νπνία έλλνηεο πνπ αλαθέξνληαη ζε έλα νξζνγψλην Καξηεζηαλφ ζχζηεκα , ζα κπνξνχζαλ λα γεληθεπηνχλ, θαζψο θαη ην πψο ζα επηηειέζνπκε απηή ηε γελίθεπζε. Απηφ είλαη ην θξίζηκν ζεκείν ηεο παγθνζκηφηεηαο ησλ θπζηθψλ λφκσλ. Δπί πιένλ, ε ρξήζε ησλ Καξηεζηαλψλ ζπζηεκάησλ αλαθνξάο ζα είλαη πνιχηηκε ζηελ αλάπηπμε ηεο εηδηθήο ζεσξίαο ηεο ζρεηηθφηεηαο. Ο δηαλπζκαηηθφο θνξκαιηζκφο ζα απνδψζεη ηψξα ηε ζπλαιινηφηεηα (αλαιινηφηεηα ηεο κνξθήο) ηνπ δεχηεξνπ λφκνπ ηνπ Νεχησλα (πνπ είδακε ζηελ εηζαγσγή) σο πξνο ηε γλσζηή καο ζηξνθή νξζνγψληνπ Καξηεζηαλνχ ζπζηήκαηνο αλαθνξάο. ΢ην ζχζηεκα Κ έρνπκε x k d Πνιιαπιαζηάδνληαο κε Fk  (m k ) x r dt θαη αζξνίδνληαο σο πξνο θ (απφ ηηο 5) έρνπκε x d x k d Fk  (m k  k )  Fr  (m r ) dt xr xr dt Έηζη ν ηχπνο ηεο εμίζσζεο παξακέλεη ν ίδηνο ζην λέν ζχζηεκα (ζπλαιινίσηνο), θαη ν καζεκαηηθφο θνξκαιηζκφο δείρλεη φηη νη λφκνη ηνπ Νεχησλα έρνπλ κηα παγθφζκηα ηζρχ ζηνλ Δπθιείδεην ρψξν , φπνπ κπνξνχκε λα πξνζαξκφζνπκε νξζνγψληα Καξηεζηαλά ζπζηήκαηα. (Άξζξν κνπ «ε αλαιινηφηεηα θαη ε ζπλαιινηφηεηα ζηε θπζηθή» mpantes on scribd) Φιλοζοθικά ζσόλια, Απιζηοηέληρ . Η άπνςε ηνπ Synge, ζηελ αξρή ηνπ άξζξνπ, γηα ηελ αλαθάιπςε ηεο καζεκαηηθήο δνκήο ηεο δηαλπζκαηηθήο αλάιπζεο, φπνπ ην δηάλπζκα είλαη έλα κέξνο ηεο θπζηθήο πξαγκαηηθφηεηαο φπσο ην ηξαπέδη, είλαη πνιχ πνηεηηθή, αθνχ θαηαζθεπάδεη κηα πξαγκαηηθφηεηα απφ νξαηά θαη ηδεαηά πξάγκαηα, φπσο ην ηξαπέδη θαη ην δηάλπζκα. Σν δηάλπζκα ππάξρεη φπσο ην ηξαπέδη, αιιά είλαη αφξαην! Η άιιε απάληεζε δφζεθε απφ ηνλ Αξηζηνηέιε, θαη νπζηαζηηθά ηελ παξαθνινπζήζακε ζηελ ηζηνξία ησλ πξαγκαηηθψλ αξηζκψλ. Όπσο είδακε νη άξξεηνη ππάξρνπλ ζε κηα αθαηξεηηθή αιπζίδα παξαγσγηθψλ ζπιινγηζκψλ , πνπ μεθηλάεη όκσο από κεγέζε πνπ δελ κπνξνχλ λα κεηξεζνχλ κε ηνπο ξεηνχο (δηαγψληνο Η έλλνηα ηνπ 3- δηαλχζκαηνο ζηνλ Δπθιείδεην ρψξν 12 ηεηξαγψλνπ κε θάζεηεο πιεπξέο 1). Γελλήζεθαλ ζην κπαιφ καο, ζηνλ ηξφπν πνπ ζθεθηφκαζηε, ππάξρνπλ γηαηί ππάξρεη ην Ππζαγφξεην ζεψξεκα , αιιά μεθηλνχλ απφ πξάγκαηα πνπ αθνπκπνχλ ζηηο αηζζήζεηο. Δίλαη απηφ πνπ ιέκε Απιζηοηελικέρ θη φρη Πιαησληθέο μοπθέρ , αλ δελ ζπλαληνχζακε ηε δηαγψλην ηνπ ηεηξαγψλνπ, δελ ζα δεκηνπξγνχζακε ηνπο άξξεηνπο αξηζκνχο. ….Ο Αξηζηνηέιεο έζεζε σο αίηεκα θάπνηα λνεηηθή ηδηφηεηα αθαίξεζεο κε ηελ νπνία ηα (καζεκαηηθά) αληηθείκελα δημιοςπγούνηαι , ή αλλιώρ παπάγονηαι ή ζςλλαμβάνονηαι κε ηε ζεψξεζε ησλ θπζηθψλ αληηθεηκέλσλ…ηα αληηθείκελα πνπ έρνπλ παξαρζεί κέζσ αθαίξεζεο , δελ ππάξρνπλ πξηλ απφ –ή αλεμάξηεηα απφ – ηα αληηθείκελα απφ ηα νπνία έρνπλ αθαηξεζεί. ΢εκεηψζηε φηη ε αξηζκεηηθή θαη ε γεσκεηξία επαιεζεχνληαη θπξηνιεθηηθά κε κηα ηέηνηα εξκελεία , ζηελ νπνία ε κφλε εθθξεκφηεηα είλαη κηα εμήγεζε ηεο αθαίξεζεο (Stewart Shapiro:΢θέςεηο γηα ηα καζεκαηηθά Δθδφζεηο Παλεπηζηεκίνπ Παηξψλ) Η δηαλπζκαηηθή πεξηγξαθή είλαη πεξηγξαθή κηαο Αξηζηνηειηθήο κνξθήο πνπ απνδίδεη φκσο πξάγκαηα θαη θαηαζηάζεηο ηνπ θπζηθνχ θφζκνπ, κεγέζε πνπ νξίδνληαη απφ κέηξν θαη δηεχζπλζε θαη πξνζηίζεληαη κε ηνλ θαλφλα ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ, π.ρ. ηε δχλακε ηελ ηαρχηεηα θιπ. Απηά απνδίδνπκε άιιεο θνξέο σο βέιε κε κέηξν δηεχζπλζε θαη θνξά (δηαλπζκαηηθή γεσκεηξία) , άιιε σο κηα ηξηάδα αξηζκψλ κε νξηζκέλεο ηδηφηεηεο ζηελ αιιαγή ζπζηήκαηνο, (δηαλπζκαηηθή αλάιπζε) δεκηνπξγνχκε αθαηξεηηθά ηα αληίζηνηρα παξαγσγηθά ζπζηήκαηα , ζχκθσλα κε ηελ Αξηζηνηειηθή πεξηγξαθή «Αλαιπηηθά Ύζηεξα» άξζξν (Δπθιείδεηα γεσκεηξία ζεκέιηα θαη παξάδνμα) Έηζη ην διάνςζμα είλαη κηα λνεηηθή δεκηνπξγία, κηα ππώηη απσή ηνπ δηαλπζκαηηθνπ ινγηζκνχ, δειαδή κηα πεπνίζεζε, κηα βάζε ηνπ παξαγσγηθνχ ζπιινγηζκνχ. Ο ζπιινγηζκφο απηφο δεκηνπξγεί κηα ηδεαηή, ινγηθή ελφηεηα ζην κπαιφ καο, ε νπνία είλαη ν αλζξψπηλνο ηξφπνο αληίιεςεο. Σα καζεκαηηθά δελ είλαη νχηε αλαθαιχςεηο νχηε επηλνήζεηο, είλαη δημιοςπγία, φπσο ηα πνηήκαηα, αιιά ινγηθή (θαη πνηεηηθή σο πξνο ηελ ειεπζεξία) δεκηνπξγία, βαζηζκέλε ζηνπο θαλφλεο ηνπ παξαγσγηθνχ ζπιινγηζκνχ, θαη κε κνχζα (ηεο έκπλεπζεο) ηελ ίδηα ηε θχζε, αθνχ πξάγκαηη, νη πξψηεο αξρέο ηνπο, φπσο ην δηάλπζκα, ζεκειηψλνληαη κε ηελ παξαηήξεζή καο ζηε θχζε. Γιώπγορ Μπανηέρ μαθημαηικόρ Πηγέρ www.mpantes.gr Η έλλνηα ηνπ 3- δηαλχζκαηνο ζηνλ Δπθιείδεην ρψξν 13 Herman Weyl (space,time, matter,Dover) H.Eves (foundations and fundamental concepts of mathematics,Dover) J.L Synge (Relativity: the special theory, Noth Holland publising Company Amsterdam New York Oxford) Robert C.Wrede (introduction to vector and tensor analysis, Dover) Aristotle (Analytica posterioria, internet)