Estadística inferencial aplicada a l'educació

Ormazábal, F.J. (Coord.) Vilà, R.; Mateo, M. ; Torrado, M.; Berlanga, V.; del Barrio, J.; Ruiz, A. Departament de Mètodes d'Investigació i Diagnòstic en Educació (MIDE) Facultat de Pedagogia Universitat de Barcelona Facult Aquesta publicació compta amb la següent llicència de Creative Commons: ! "#$ % &' "#$( Para citar la obra: Ormazábal, F.J. (coord.) Vila, R.; Mateo, M.; Torrado, M.; Berlanga, V.; Del Barrio, J.; Ruiz, A. (2012) Estadística inferencial aplicada a l’educació. Barcelona: Universitat de Barcelona. Dipòsit Digital http://hdl.handle.net/2445/21383 2 INDEX Estadística Inferencial 1.1 Conceptes bàsics 4 1.1.1 Distribució mostral de mitjanes 6 1.1.2 Distribució mostral de proporcions 7 1.1.3 Altres distribucions mostrals 7 1.2 Teoria de l’estimació estadística 8 1.2.1 Interval de probabilitat 8 1.2.2 Interval de confiança 11 1.3 Teoria de la decisió estadística 17 1.3.1 Errors i riscos 18 1.3.2 Potència d’un contrast 19 1.3.3 Grau de significació 20 1.3.4 Contrasts unilaterals i bilaterals 21 3 1.1 Conceptes Bàsics L'Estadística Inferencial es basa en la inferència estadística. No es limita a l'estudi purament descriptiu d'unes dades, sinó que, a partir de les dades observades en una mostra (d'on obtenim els estadístics), s'infereix (es generalitza) l'estudi a la població d'aquesta mostra (paràmetres). MOSTRA ESTADÍSTICS Ẋ SX pO n POBLACIÓ PARÀMETRES µ σX p N MOSTRA Inferència POBLACIÓ Procés pel qual, a partir de les dades d'una mostra, establim conclusions per a la població La inferència estadística és correcta sempre que la mostra sigui representativa. Una mostra és representativa quan: ... És un subconjunt de la població. ... Té una mida suficient (depèn de la precisió que es desitgi i del risc d'error). ... La tècnica de selecció de la mostra és correcta (mostreig). Error mostral: És la diferència entre un estadístic (mostra) i el seu paràmetre (població). Pot ser de dos tipus: • Aleatori: És el degut a l'atzar, es produeix quan fem un mostreig probabilístic o aleatori. Es pot calcular i controlar si es coneix quina llei de probabilitat segueix. • De biaix: Es deu a altres causes, a més de l'atzar, i es produeix (entre altres motius) quan utilitzem un mostreig no probabilístic. El problema no és que el biaix sigui gran o petit, sinó que no el podem calcular, ja que no coneixem quina Llei segueix. Distribució mostral i error típic: Es distingeix entre distribució poblacional, distribució d'una mostra i la distribució mostral. 4 DISTRIBUCIÓ POBLACIONAL (és la distribució d’una variable en la població) N µ σ2 σ p q σ µ Distribució de X en diverses mostres: X n1 n2 n3 n4 n5 ni X1 X2 X3 X4 X5 Xi S21 S22 S23 S24 S25 S2i S1 S2 S3 S4 S5 Si DISTRIBUCIÓ MOSTRAL D’ESTADÍSTICS σX = σPo = DISTRIBUCIÓ MOSTRAL DE MITJANES: DISTRIBUCIÓ MOSTRAL DE PROPORCIONS: σ n pq n XX = µ X XPo = p Po Error típic (o error estàndard) és la desviació típica de la distribució mostral: ... de mitjanes σX = σ n ... de proporcions σPo = pq n 5 Teorema del Límit Central: B Els estadístics obtinguts en les mostres tendeixen a agruparBse al voltant del paràmetre. B Quan "n" augmenta els estadístics estan més agrupats. B Si les mostres són grans (n ≥ 30) i la població d'origen segueix la Llei Normal, la gràfica de la distribució mostral és simètrica i té forma de campana, és a dir, segueix la Llei Normal. També pot seguir altres models: t de Student, χ2 (khi Quadrat), F de Snedecor. B Poden definir distribucions mostrals per diferències i sumes d'estadístics. 1.1.1 Distribució mostral de mitjanes B Segueix la Llei Normal. B La mitjana X X és el paràmetre (o sigui, la mitjana de la població: µ). B La desviació típica (o error típic): * Si la població és infinita o el mostreig és amb reemplaçament (no exhaustiu): σX = σ n * Si la població és finita i el mostreig és sense reemplaçament (exhaustiu): σX = σ n N−n N −1 . ..on N = Mida de la població n = Mida de la mostra Exemple: Què passa amb l’error típic quan augmenta la mida de la mostra? µ = 10 i σ = 2 Si n = 25 X X = µ = 10 2 σX = = 0'4 25 Si n = 100 X X = µ = 10 σX = Si n = 400 2 = 0'2 100 Observem: B En tots els casos, XX = µ ( és el paràmetre) B L'error típic disminueix a mesura que augmenta n, perquè influeix menys l'atzar. X X = µ = 10 σX = 2 = 01 ' 400 6 1.1.2 Distribució mostral de proporcions B B Segueix la Llei Normal. La mitjana de les proporcions observades (po) és el paràmetre ( Xpo = p) B La desviació típica (error típic): * Si la població és infinita o el mostreig amb reemplaçament (no exhaustiu): σ po = p ⋅q n * Si la població és finita o el mostreig sense reemplaçament (exhaustiu): σ po = p ⋅q n N−n N −1 Exemple: Què passa amb l’error típic quan augmenta la mida de la mostra? p = 0'6 n = 25 Xpo = p = 0'6 σpo = n = 100 0'6 ⋅ 0'4 = 0'0979 25 Xpo = p = 0'6 0'6 ⋅ 0'4 σpo = = 0'0489 100 n = 400 Xpo = p = 0'6 σpo = Observem: B En tots els casos, Xpo = p (és el paràmetre) B L'error típic disminueix a mesura que augmenta n, perquè influeix menys l'atzar. 0'6 ⋅ 0'4 = 0'0245 400 1.1.3 Altres distribucions mostrals D’una manera similar, hi ha distribucions mostrals d’altres estadístics, com els que segueixen: la mitjana, quartils, desviació semintercuartílica, coeficient de variació, decils, etc. 7 1.2 Teoria de l’Estimació Estadística Els dos pilars bàsics de l'Estadística Inferencial són: • La Teoria de l'estimació estadística • La Teoria de la decisió estadística La Teoria de l'estimació Estadística tracta de l'estimació de paràmetres a partir dels estadístics. Es basa en els conceptes de: distribució mostral i error típic o error estàndard. Com moltes de les distribucions mostrals segueixen una llei Normal, de la qual coneixem la mitjana (el paràmetre) i la desviació típica (error típic o estàndard), podem resoldre qualsevol problema de probabilitat sense necessitat de resoldre integrals, simplement utilitzant la taula de la Llei Normal Estàndard (centrada i reduïda: µ Z = 0, σZ =1), com fèiem per a qualsevol distribució X que segueix la Llei Normal. L'algorisme és el mateix, però utilitzant en cada cas la mitjana i la desviació típica corresponent. Xi − X Sx Xi = X + Sx ⋅ Zi Z TAULA po X X Zi = DISTRIBUCIÓ MOSTRAL DE PROPORCIONS: DISTRIBUCIÓ MOSTRAL DE MITJANES: DISTRIBUCIÓ NORMAL DE X: TAULA Zi = X−µ σx X = µ + σx ⋅ Zi Zi = po − p σpo Z TAULA po = p + σpo ⋅ Zi Z TAULA TAULA TAULA Pr. Pr. Pr. % (A) % (A) % (A) Interval de Probabilitat 1.2.1 Interval de probabilitat És un interval (simètric) al voltant d'un paràmetre que conté una proporció 1 B α dels estadístics de la distribució mostral. α /2 1-α α /2 INTERVAL DE PROBABILITAT Per conveni en Ciències Humanes i Socials el α sol valer: 8 α = 0’05 ( 5% ) α = 0’01 ( 1% ) Així doncs, 1-α Si α = 0’05 1 - α = 0’95 (95%) Si α = 0’01 1 - α = 0’99 (99%) L'interval de probabilitat permet predir amb un risc α (0'05 o 0'01) d’equivocarBse, els límits dins dels quals es trobaran, partint d'un paràmetre poblacional, els 1 B α (0'95 o 0'99, 95% o 99%) dels estadístics observats en mostres de grandària n extretes a l'atzar de la població. Dit en altres paraules, l'interval de probabilitat conté dins dels seus límits 1 B α (0'95 o 0'99, 95% o 99%) de la distribució mostral. A) Interval de probabilitat de mitjanes (o d'una mitjana) És un interval simètric al voltant de la mitjana de la població µ que conté una proporció igual a 1 B α de les mitjanes observades en mostres de grandària n extretes a l'atzar de la població. σx = α σ n X Z 1-α /2 µ − Zα/2 σ n µ X = µ + σx ⋅ Zi α µ + Zα/2 X ∈ µ ± Z α /2 ⋅ σ X = µ ± Z α /2 σ n /2 pr, % (A) σ n Exemple. S'accepta que els CI es distribueixen en la població segons una llei normal Ci = 100 i σCI = 15. Calcular entre quins valors estaran els CI mitjans (95%, 99%) de mostres a l'atzar de: a) 100 subjectes b) 50 subjectes c) 25 subjectes 9 a) n = 100 a 1. a 2. 15 102 '94 ( máx . ) = 100 ± 2 '94 〈 97 '06 ( mín . ) 100 15 103'87 ( máx . ) ( α = 0 '01), 1 − α = 0 '99 CI ∈ 100 ± 2 '58 = 100 ± 3'87 〈 96 '13( mín . ) 100 ( α = 0 '05), 1 − α = 0 '95 CI ∈ 100 ± 1'96 b) n = 50 b 1. b 2. 15 104 '16 ( máx . ) = 100 ± 4 '16 〈 95'84 ( mín . ) 50 15 105'47 ( máx . ) ( α = 0 '01), 1 − α = 0 '99 CI ∈ 100 ± 2 '58 = 100 ± 5'47 〈 94 '53( mín . ) 50 ( α = 0 '05), 1 − α = 0 '95 CI ∈ 100 ± 1'96 c) n = 25 c 1. c 2. 15 105'88 ( máx . ) = 100 ± 5'88 〈 94 '12 ( mín .) 25 15 107 '74 ( máx . ) ( α = 0 '01), 1 − α = 0 '99 CI ∈ 100 ± 2 '58 = 100 ± 7 '74 〈 92 '26 ( mín . ) 25 ( α = 0 '05), 1 − α = 0 '95 CI ∈ 100 ± 1'96 Observem: B En els tres casos el interval 1 B α = 0'99 és més ampli que 1 B α = 0'95, ja que ha de contenir una proporció més gran (99%> 95%) d'estadístics. B A mesura que disminuïm n (mida de les mostres) l'interval de probabilitat es va ampliant o, el que és el mateix, la dispersió dels estadístics és més gran com menor és n. Això és així, perquè, com més petit és n, més influeix l'atzar. B) Interval de probabilitat de proporcions (o d'una proporció) És un interval simètric al voltant de la proporció de la població (p) que conté una proporció 1 B α de les proporcions observades (po) en mostres de grandària n extretes a l'atzar de la població origen. σpo = α /2 p - Z α/2 σpo p⋅q n po = p + σpo Zi Zi 1-α p po α p + Z α/2 σpo /2 pr, % (A) 10 σpo ∈p ± Zα/2 ⋅ σpo = p ± Zα/2 ⋅ p⋅q n Exemple. Sabem que una determinada assignatura és suspesa pel 30% de l'alumnat. Calcular entre quins valors oscil—laran els percentatges de suspesos (α=0,05) en mostres a l'atzar de: a) 100 alumnes b) 400 alumnes a) n = 100 a 1. ( α = 0'05), 1 − α = 0'95 po ∈ 0'3 ± 1'96 0'3898 → 38'98% 0'3 ⋅ 0'7 = 0'3 ± 0'0898〈 0'2102 → 21'02% 100 b) n = 400 b1. (α = 0'05), 1 − α = 0'95 po ∈ 0'3 ± 1'96 0'3449 → 34'49% 0'3 ⋅ 0'7 = 0'3 ± 0'0449 〈 0'2551 → 25'51% 400 1.2.2 Interval de confiança L'interval de Probabilitat serveix per resoldre una qüestió de simple predicció (dels estadístics a partir del paràmetre), però no per a l'estimació estadística pròpiament dita (estimar paràmetres a partir dels estadístics). PARÀMETRES Predicció Estimació ESTADÍSTICS Dos tipus d'estimació estadística: B Estimació puntual: a partir d'un estadístic hem de donar un sol i únic valor per al paràmetre. Es demostra matemàticament que, en general, la millor estimació puntual d'un paràmetre (µ, σ2, σ, p) és el seu estadístic corresponent (Ẋ, S2, S, po), especialment si treballem amb mostres grans (n ≥ 30). Aquest tipus d'estimació té l'inconvenient que no indica quina és la precisió d'aquesta estimació. És per aquest motiu que s'utilitza l'estimació per interval. 11 B Estimació per interval: permet estimar els paràmetres a partir del seu estadístic corresponent, amb un risc d'error conegut (i petit). Interval de Confiança: és un interval (simètric) al voltant d'un estadístic que té una probabilitat 1 B α (generalment 0'95 o 0'99) de contenir el paràmetre. Un interval és un valor lineal que queda definit pels seus dos límits (superior i inferior). Els límits de l'interval de confiança van ser denominats per R.A. Fisher, límits de confiança o límits fiducials. També es basa en els conceptes de distribució mostral i error típic. Com aquesta segueix la llei normal (per a mostres grans) el: 95% = (1 B α = 0'95) està comprès entre + 1'96 Z 99% = (1 B α = 0'99) està comprès entre + 2'58 Z + Z α/2 A) Interval de confiança d'una mitjana És un interval simètric al voltant de la mitjana observada que té una probabilitat 1 B α de contenir la mitjana de la població (µ). σX = α 1-α /2 X − σx ⋅ Zα/2 µ ∈ X ± σ x ⋅ Zα/2 = X ± σ n α X /2 X + σx ⋅ Zα/2 σ Sx ⋅ Zα/2 → X ± Zα/2 ⋅ n n Podem calcular la mida de la mostra que ha de fer com a mínim per poder realitzar l'estimació del paràmetre. Aquest mida dependrà de la precisió (error màxim = e) i aquest per la seva banda, dependrà del risc α que estiguem disposats a admetre. B Per poblacions infinites o mostreig no exhaustiu: Zα/2 ⋅ σ Z2 α/2 ⋅ σ 2 σ ⋅ Zα/2 ⇒ n = ⇒ n= e= 2 e e n 2 12 B Per poblacions finites o mostreig exhaustiu: e= σ N ⋅ Z2 α/2 ⋅ σ 2 N−n ⋅ Zα/2 ⇒ n = 2 ⋅ Z α/2 ⋅ σ 2 + e 2 ( N − 1) N −1 n Exemple. Un grup de 100 alumnes d'Estadística ha obtingut en una prova una mitjana de 5'8 punts i una desviació típica de 1'2. Estimar la mitjana de la població origen d'aquest grup: a) Quina és l’estimació puntual de la mitjana de la població? b) Quina és l’estimació de la mitjana de la població, amb un nivell de confiança del 95%? c) I amb un nivell de confiança del 99%? 1a ) µ = X = 58 ' 12 ' '0352 ' ± 0'2352〈655648 = 58 ' 100 12 ' ' 1c) µ ∈58 ' ± 2'58 ⋅ ' ± 0'3096〈561096 = 58 4904 ' 100 1b ) µ ∈58 ' ± 196 ' ⋅ Exemple. El mateix però en un grup de 36 alumnes. 2 a ) µ = X = 58 ' 12 ' ' ' ± 0'392〈56192 = 58 '408 36 12 ' 316 2 c) µ ∈58 ' ± 2'58 ⋅ ' ± 0'516〈56''284 = 58 36 2 b ) µ ∈58 ' ± 196 ' ⋅ Exemple. Es vol estimar la mitjana de l'alumnat d'una determinada assignatura. S'accepta que la seva desviació típica és 0'8. Calcular la mida mínima necessària de la mostra. a) α = 0'01 i e= 0'2 2'58 ⋅ 0'8 = 106'5024 → 107 0'2 2 n= b) α = 0'05 i e= 0'2 1'96 ⋅ 0'8 ' = 614656 → 62 0'2 2 n= c) α = 0'01 i e= 0'1 13 2'58 ⋅ 0'8 n= = 426'0096 → 427 0'1 2 d) El mateix que al c, però sabent que N = 512 n= 512 ⋅ 2'582 ⋅ 0'82 21811692 ' = = 232'7797 → 233 2 2 2 2'58 ⋅ 0'8 + 01 9'3701 ' (511) B) Interval de Confiança de Proporcions (mostres grans) És un interval simètric al voltant de la proporció observada (po) que té una probabilitat 1 B α de contenir la proporció de la població (p). σp = α 1-α /2 po - Z α/2 σp B α /2 po + Z α/2 σp Per poblacions infinites o mostreig no exhaustiu: p ∈ po ± Zα/2 ⋅ σp = po ± Zα/2 B po p⋅q n p⋅q n Per poblacions finites i mostreig exhaustiu: p ∈ po ± Zα/2 ⋅ σp = po ± Zα/2 p⋅q N − n n N −1 Si es desconeixen p i q (que és lògic): a) S'estimen a partir de dades obtingudes en estudis anteriors. b) Es realitza un sondeig previ (estudi pilot). c) S'agafa el cas més desfavorable p = q = 0,5 (perquè el producte p • q és màxim: p • q = 0'25). d) S'utilitzen els valors observats (po i qo): 14 p ∈ po ± Zα/2 po ⋅ qo n Hi ha condicions d'aplicació: mostres grans, és a dir, tots els productes n • p, n • q, n • po han de valer com a mínim 5. De manera similar al cas de la mitjana, podem calcular la mida mínima de la mostra que necessitem per estimar el paràmetre (p), en funció del risc α i la precisió o error màxim (e). B Per poblacions infinites o mostreig no exhaustiu: p⋅q e = Zα/2 ⋅ n 2 Zα/2 ⋅ p ⋅ q → n= e2 Zα/2 → n = p⋅q e 2 B Per poblacions finites i mostreig exhaustiu: p⋅q N − n e = Zα/2 ⋅ n N −1 N ⋅ Z2 α/2 ⋅ p ⋅ q → n= 2 e ( N − 1) + ( Z2 α/2 ⋅ p ⋅ q ) Exemple. En un grup de 30 alumnes d'Estadística han aprovat 18. Quina serà la p d'aprovats de l'assignatura? B E. puntual: po → p = 18 = 0'6 30 p = po = 0'6 B E. interval (α = 0'01): p ∈0'6 ± 0'6 ⋅ 0'4 8308 ⋅ 2'58 = 0'6 ± 0'2308〈00''3692 30 Exemple. Com a l’anterior (po = 0,6) però en un grup de 100 alumnes. B E. puntual: p = po = 0'6 B E. interval (α = 0'01): p ∈0'6 ± 0'6 ⋅ 0'4 ⋅ 2'58 = 0'6 ± 01264 〈00''7264 ' 4736 100 15 Exemple. En un estudi d'opinió en el qual només s'ha de contestar sí / no, es desconeix la tendència de la població. Es vol saber quants individus serà necessari enquestar per estimar la proporció de resposta amb un error màxim del 4% i una probabilitat de 0'95. n= Z2 α /2 ⋅ p ⋅ q 196 ' 2 ⋅ 0'5 ⋅ 0'5 = = 600'25 → 601 e2 0'04 2 Exemple. Igual que en el problema anterior, però en el cas que hàgim estimat que el percentatge de respostes a favor està entre el 60% i el 70%. 1'962 ⋅ 0'6 ⋅ 0'4 n= = 576'24 → 577 0'04 2 Exemple. Si el 75% de l'alumnat aprova una determinada assignatura Quants alumnes aprovarien en un grup de 200? (α = 0,05) po ∈ p ± Zα/2 p⋅q 0'75 ⋅ 0'25 81⋅ 200 = 162 = 0'75 ± 196 ' = 0'75 ± 0'06〈00''69 ⋅ 200 = 138 n 200 Exemple. Igual que en l'anterior, però en un grup de 64 alumnes. po ∈ 0'75 ± 196 ' 0'75 ⋅ 0'25 8561⋅ 64 = 55 = 0'75 ± 01061 〈00''6439 ' ⋅ 64 = 41 64 16 1.3 Teoria de la Decisió Estadística Tracta de la presa de decisions en Estadística. També es basa en els conceptes de distribució mostral i error típic. Es diu prova d'hipòtesis o contrast d'hipòtesis al procediment mitjançant el qual s'arriba a la decisió de rebutjar o no una determinada hipòtesi. Hipòtesi: És una proposició o afirmació, que relaciona de forma concreta variables, que la naturalesa de la qual no coneixem amb absoluta certesa i que, justament per això, es planteja en termes de conjectura, una cosa que possiblement és certa, alguna cosa a verificar. Dos tipus de Hipòtesis estadístiques: B Hipòtesi Nul—la (H0): la que ens plantegem a priori a verificar i que "acceptem" o rebutgem després de l'anàlisi estadística de les dades (diferència estadísticament nul—la o no significativa, prou petita com per poder ser explicada per l'atzar). B Hipòtesi Alternativa (H1): és la complementària (no només la contrària) de la H0 (diferència estadísticament diferent de zero o significativa: massa gran o diferent de zero com per no ser explicada només per l'atzar). La teoria de la decisió també es basa en els conceptes de distribució mostral i error típic: 1-α α /2 H1 H0 Zona de probabilitat 1 B α Zona de no rebuig de la H0 Zona no crítica Nivell de confiança 1 B α α H0 /2 H1 H1 Zona (es) de rebuig de la H0 Zona (es) d’acceptació de la H1 Zona (es) crítiques Nivell de significació α Dos tipus de decisions: 17 B Rebutjar la Ho: "Rebutgem la H0 amb un risc α i acceptem la H1" (diferència significativa). B No rebutjar ("acceptar") la Ho: "Res s'oposa a acceptar la H0" (diferència no significativa). 1.3.1 Errors i riscos Dos tipus d'errors (o riscs d'error): α: de primera espècie o error típic β: de segona espècie o error típic II REALITAT DECISIÓ H0 VERDADERA H0 FALSA Rebutjar la H0 α: error típic I o de 1ª espècie No rebutjar la H0 (acceptar) Decisió correcta Decisió correcta (potència d’un contrast 1 – β) β: Error típic II o de 2ª espècie α: risc d'error conegut (fixat a priori) i petit, habitualment 0'05 (5%) o 0'01 (1%). β: risc d'error desconegut, perquè depèn de la diferència entre el paràmetre real i el paràmetre teòric i generalment el paràmetre real el desconeixem. Anomenarem (en el cas de les mitjanes): µ : paràmetre teòric. µ ': paràmetre real (desconegut). X: estadístic observat. α = 0’05 n = 36 ' ⋅ e = 196 µ = 400 µ’1 = 402 µ’2 = 404 σ=6 σ’1 = 6 σ’2 = 6 6 ' = 196 36 β1 α /2 397 398 399 400 401 α /2 β2 402 403 404 405 406 Cas 1: µ‘1 = 402, σ1 = 6 18 407 Cas 2: µ‘2 = 404, σ2 = 6 En el cas 1 (diferència µ‘1 - µ = 402 – 400 = 2) el risc β (intersecció) és ≅ 40 %. En canvi, en el cas 2 (µ‘2 - µ = 404 – 400 = 4), la diferència és major i el risc β és menor que en el cas 1. 1.3.2 Potència d’un contrast (funció de potència) (1 D β ) Capacitat que té un contrast per detectar que la H0 és falsa i rebutjarBla. Com augmentar la potència (1 B β) d'un contrast? (disminuir β): B Augmentar α (mala solució). B Augmentar n: la distribució mostral té menys desviació i l'interval de probabilitat es redueix i també β (sense augmentar α). µ = 400 µ’ = 403 σ = σ’= 6 α = 0’05 µ = 400 µ‘ = 403 n = 36 ' e = 196 6 ' = 196 36 α /2 α /2 β 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 403 404 405 406 n = 64 6 e = 196 ' = 147 ' 64 α /2 397 398 β 399 400 401 α /2 402 19 En augmentar n (de 36 a 64) els intervals són més estrets i, per tant, el risc β (intersecció) disminueix. 1.3.3 Grau de significació (P) És la probabilitat d'observar un valor igual o major al estadístic (quan la H0 és verdadera) o la probabilitat associada a l’estadístic de contrast. En els outputs de programes informàtics figura la dada p, i serveix per a la presa de decisió estadística. Exemple. La X està a la zona crítica, el valor p (p/2) és menor que α (α/2), per tant, la decisió és rebutjar la Hipòtesi nul—la (H0) H1 α 1−α /2 α /2 µ X p/2 X Exemple. La X està a la zona no crítica, el valor p és més gran que α , per tant, la decisió és que res no s'oposa a acceptar la Hipòtesi nul—la (H0). p/2 α p/2 /2 α µ /2 X X Si p és major o igual a α “ s'accepta” la H0, en canvi si p és menor a α “s’accepta” la H1 20 1.3.4 Contrasts unilaterals i bilaterals B C. Bilateral És aquell contrast on l’α està situat en ambdós extrems de la distribució. B C. de dues cues B C. no direccional µ‘ = µ H0 : X=µ (bidireccional) µ‘ ≠ µ H1: X≠µ α α /2 H1 H0 /2 H1 B C. Unilateral B C. d’una cua B C.direccional (unidireccional) Aquell contrast on l’α està situat en un dels extrems (inferior o esquerre; superior o dret) de la distribució. H0 : µ‘ ≥ µ H0 : X≥µ H1: µ‘ µ X µ µ‘ < µ H1: X<µ µ‘ > µ X>µ α α H1 H0 H0 H1 Avui en dia els contrastos unilaterals estan força qüestionats perquè: B Són menys exigents que els bilaterals. B Amb els bilaterals també podem saber si és inferior o superior. En principi i sempre que no tinguem un criteri explícit (si és superior o inferior, ha millorat o empitjorat, etc) els contrastos els plantejarem com a bilaterals. 21 Risc α 10% 5% 2% 1% 0’10 0’05 0’02 0’01 1’645 1’96 2’33 2’58 1’28 1’645 2’05 2’33 Bilateral Zα α/2 Unilateral Zα α 22