Capitulo1fisica

Capı́tulo 1. Fı́sica Forestal Prof. Wilson Herrera 1. Partiendo de la definición 1 pulg=2.54 cm, averigue cuantos kilómetros hay en 1.00 milla. 2. Según la etiqueta de un frasco de aderezo para ensalada, el volumen del contenido es 0.473 litros (L). Use sólo las conversiones 1 L = 1000 cm3 y 1 pulg = 2.54 cm para expresar dicho volumen en pulgadas cúbicas. 3. ¿Cuántos nanosegundos tarda la luz en viajar 1.00 km en el vacı́o? 4. La densidad del plomo es 11.3 g/cm3 . ¿Cuánto es esto en kilogramos por metro cúbico? 5. El motor más potente que habiá para el automovil clásico Chevrolet Corvette Sing Ray modelo 1963 desarrollaba 360 caballos de fuerza y tenı́a un desplazamiento de 327 pulgadas cúbicas. Exprese este desplazamiento en litros (L) usando sólo las conversiones 1 L = 1000 cm3 y 1 pulg = 2.54 cm. 6. Le dijeron a Pito Pérez que debı́a fijarse metas, ası́ que decidió beber 1 m3 de su bebida favorita durante el año que inicia. ¿Cuántas botellas de 16 onzas lı́quidas deberá beber cada dı́a? 7. El Concorde es el avión comercial más rápido, con una velocidad de crucero de 1450 mi/h. a) Exprese la velocidad del crucero del Concorde en km/h. b) Exprésela en m/s. 8. Conduciendo en un paı́s extranjero, ve un letrero que indica el lı́mite de velocidad como 180000 furlongs por quincena. ¿Cuánto es esto en mi/h? (Un furlong o estadio es 1 8 de milla, y una quincena son 14 dı́as. Originalmente el estadio se referı́a a la longitud de un surco arado.) 1 9. El consumo de gasolina de un coche pequenño se anuncia como 15.0 km/L (1L=1 litro). ¿Cuánto es esto en millas por galón? 10. Las conversiones que siguen son comunes en fı́sica, además de muy útiles. a) Use 1 mi=5280 ft y 1 h=3600 s para convertir 60 mph a unidades de ft/s. b) La aceleración de un objeto en caı́da libre es de 32 ft/s2 . Use 1 ft=30.48 cm para expresar esta aceleración en unidades de m/s2 . c) La densidad del agua es de 1.0 g/cm3 . Convierta esta densidad a kg/m3 . 11. Neptunio. En otoño de 2002, un grupo de cientifı́cos de los AlamosNational Laboratory determinó que la masa crı́tica del neptunio 237 es de unos 60 kg. La masa crı́ca de un material fisionable es la cantidad mı́nima que debe juntarse para iniciar una reacción en cadena. Este elemento tiene una densidad de 19.5 g/cm3 . ¿Qué radio tendrı́a una esfera de este material que tiene la masa crı́tica? 12. Un valor aproximado, útil y fácil de recordar del número de segundos que hay en un año es π × 107 . Determine el porcentaje de error en este valor aproximado. (Un año tiene 265.24 dı́as.) 13. La figura 1 muestra el resultado de un error inaceptable en el punto de parada de un tren. a) Si un tren viaja 890 km de Berlı́n a Parı́s y luego rebasa el fin de la vı́a 10 m, ¿cuál es el porcentaje de error en la distancia total recorrida? b) ¿Serı́a correcto escribir la distancia total cubierta por el tren como 890010 m? Explique. 14. Con una regla de madera, usted determina que un lado de un trozo rectangular de lámina mide 12 mm, y usa un micrómetro para medir el ancho del trozo, obteniendo 5.98 mm. Conteste las siguientes preguntas con las cifras significativas correctas. a) ¿Qué área tiene el rectángulo? b) ¿Qué razón ancho/largo tiene el rectángulo? c) ¿Qué perı́metro tiene el rectángulo? d) ¿Qué diferencia hay entre la longitud y la anchura? 2 15. Estime el porcentaje de error al medir a) una distancia de 75 cm con un metro; b) una masa de unos 12 g con una balanza analı́tica; c) un lapso de unos 6 min con un cronometro. 16. Un trozo rectangular de aluminio mide 5,10 ± 0,01 cm de longitud y 1,90 ± 0,01 cm de anchura. a) Calcule su área y la incertidumbre del área. b) Verifique que la incertidumbre fraccionaria del área sea igual a la suma de las incertidumbres fraccionarias de la longitud y la anchura. 17. Al comer una bolsa de galletas con chispas de chocolate, usted observa que cada una es un disco circular con diámetro de 8,50 ± 0,02 cm y espesor de 0,050 ± 0,005 cm. a) Calcule el volumen medio de una galleta y la incertidumbre del volumen. b) Obtenga la razón diámetro/espesor y la incertidumbre de dicha razón. 18. Al oı́r el cascabel de una serpiente usted realiza dos desplazamientos rápidos de 1.8 m y 2.4 m. Haga dibujos a escala aproximada mostrando cómo dichos desplazamientos podrı́an dar una resultante de magnitud a) 4.2 m; b) 0.5 m; c) 3.0 m. 19. Un empleado postal conduce su camión por la ruta de la figura 2. Determine la magnitud y dirección del desplazamiento resultante en un diagrama a escala. Figura 1: 3 − → − → 20. Con los vectores A y B de la figura 3, use un dibujo a escala para obtener la − → − → − → − → magnitud y la deirección de a) la resultante A + B ; b) la diferencia A − B . Con base a sus respuestas a a) y b), deduzca la magnitud y dirección de c) − → − → − → − → − A − B ; d) B − A . Figura 2: 21. Una espeleóloga está explorando una cueva; sigue un pasadizo 180 m al oeste, luego 210 m 45o al este del sur, después 280 m 30o al este del norte. Tras un cuarto desplazamiento no medido, vuelve al punto inicial. Determine con un diagrama a escala el cuarto desplazamiento (magnitud y dirección). 22. Use un dibujo a escala para obtener las componentes x y y de los vectores siguientes. Se da i) la magnitud del vector y ii) el ángulo que forma con el eje +x, medido desde el eje +x hacia el eje +y. a) Magnitud 9.30 m, ángulo 60.0o ; b) magnitud 22.0 km, ángulo 135.0o ; c) magnitud 6.35 cm, ángulo 307o . − → − → − → 23. Calcule las componentes x y y de los vectores A , B y C de la figura 4. 4 Figura 3: − → 24. Sea el ángulo θ el que forma el vector A con el eje +x, medido en sentido antihorario a partir de ese eje. Obtenga el ángulo θ para un vector que tenga estas componentes: Ax = 2,00 m Ay = −1,00 m; b)Ax = 2,00 m Ay = 1,00 m; c) Ax = −2,00 m Ay = 1,00 m; d) Ax = −2,00 m Ay = −1,00 m. 25. Un cohete dispara dos motores simultaneamente. Uno produce un empuje de 725 N directamente hacia adelante, mientras que el otro produce un empuje de 513 N 32.4o arriba de la dirección hacia adelante. Obtenga la magnitud y dirección (relativa a la dirección hacia adelante) de la fuerza resultante que estos motores ejercen sobre el cohete. 26. Un empleado postal conduce un camión por la ruta de la figura.. Use el método de componentes para determinar la magnitud y dirección de su desplazamiento resultante. − → − → 27. Para los vectores A y B de la figura, use el método de componentes para − → − → − → − → − → − → obtener la magnitud y dirección de a) A + B ; b) A − B ; c) B − A . 28. Calcule la magnitud y dirección del vector representado por los siguientes pares de componentes: a) Ax = −8,60 cm Ay = 5,20 cm; b) Ax = −9,70 m Ay = −2,45 m; c) Ax = 7,75 km Ay = −2,70 m. 5 29. Un profesor de fı́sica desorientado conduce 3.25 km al norte, 4.75 km al oeste y 1.50 km al sur. Calcula la magnitud y dirección del desplazamiento resultante, usando el método de componentes. − → 30. El vector A tiene componenetes Ax = 1,30 cm Ay = 2,25 cm; el vector − → B tiene componentes Bx = 4,10 cm By = −3,75 cm. Calcule a) las − → − → − → − → componentes de la resultante A + B ; b) la magnitud y dirección de A + B ; − → − → c) las componentes del vector diferencia B − A ; d) la magnitud y dirección − → − → de B − A . − → 31. El vector A mide 2.80 cm y está 60.0o sobre el eje x en el primer cuadrante. − → El vector B mide 1.90 cm y está 60.0o bajo el eje x en el cuarto cuadrante. − → − → − → − → − → − → Obtenga la magnitud y dirección de a) A + B ; b) A − B ; c) B − A . En cada caso , dibuje la suma o resta de vectores y demuestre que sus respuestas numéricas concuerdan con el dibujo. 32. Escriba los vectores de la figura 1.27 en términos de los vectores unitarios bı y b . 33. Escriba los vectores de la figura 1.28 en términos de los vectores unitarios bı y b . 34. a) Escriba los vectores de la figura 1.30 en términos de los vectores unitarios − → − → bı y b . b) Use vectores unitarios para expresar el vector C , donde C = − → − → − → 3,00 A − 4,00 B . c) Calcule la magnitud y dirección de C . − → − → 35. Dados los vectores A = 4,00bı + 3,00b  y B = 5,00bı − 2,00b , a) calcule la − → − → magnitud de cada vector; b) escriba una expresión para A − B usando − → − → vectores unitarios; c) obtenga la magnitud y dirección de A − B . d) Dibuje − → − → − → − → un diagrama vectorial que muestre A , B y A − B y demuestre que coincide con su respuesta en la parte c). 6 36. a) ¿El vector bı+b +b k es unitario? Justifique su respuesta. b) ¿Un vector unitario puede tener alguna componente con magnitud mayor que la unidad? ¿Puede tener alguna componente negativa? En cada caso, justifique su re− → spuesta. c) Si A = a(3,0bı + 4,0bı), donde a es una constante, determine el − → valor de a que convierte a A en un vector unitario. 37. a) Use componentes vectoriales para demostrar que tanto la suma como el producto escalar de dos vectores son conmutativos. b) Use componentes vectoriales para demostrar que el producto vectorial de dos vectores es an− → − → − → − → ticonmutativo. Es decir, demuestre que A × B = − B × A . − → − → − → 38. Para los vectores A , B y C de la figura 1.28, obtenga los productos es− → − → − → − → − → − → calares a) A · B ; b) B · C ; c) A · C . 39. a) Obtenga el producto escalar de los vectores dados en el ejercicio 1.47. b) Obtenga el ángulo entre esos dos vectores. 40. Calcule el ángulo entre estos pares de vectores: − → − → a) A = −2,00bı + 6,00b  y B = 2,00bı − 3,00b  − → − → b) A = 3,00bı + 5,00b  y B = 10,00bı + 6,00b  − → − → c) A = −4,00bı + 2,00b  y B = 7,00bı + 14,00b  41. Para los vectores de la figura 1.27, a) obtenga la magnitud y dirección del − → − → − → − → producto vectorial A × B ; b) obtenga la magnitud y dirección de B × A . − → − → 42. Obtenga el producto cruz A × B de los vectores del ejercicio 1.47. ¿Qué magnitud tiene el producto vectorial? 43. Para los vectores de la figura 1.29, a) calcule la magnitud y dirección de − → − → − → − → A × B ; obtenga la magnitud y dirección de B × A . 44. Un acre, una unidad de agrimensura que todavia se usa mucho, tiene una longitud de un furlong ( 18 mi) y su anchura es un decimo de su longitud. 7 a) ¿Cuántos acres hay en una milla cuadrada? b) Cuántos pies cuadrados hay en un acre? c) Un acre-pie es el vomumen de agua que cubrirı́a un acre de terreno plano hasta un ft de profundidad. ¿Cuántos galones hay en un acre-pie? 45. Una propiedad en la costa de California se ofreció a la venta en $ 4.950.000. Su área total era de 102 acres. a) Considerando que el precio de la propiedad es proporcional a su área, ¿cuánto costaba un metro cuadrado de la propiedad? b) ¿Cuánto costarı́a una porción de la propiedad del tamaño de un sello de correo ( 78 pulg por 1.0 pulg)? 46. Las ondas de radio generadas por un máser de hidrógeno pueden servir como estándar de frecuencia. La frecuencia de las ondas es 1.420.405.751,786 hertz. (Un hertz es un ciclo por segundo.) Un reloj controlado por máser de hidrógeno tiene un error de de 1 s en 100.000 años. Para lo que sigue, use sólo tres cifras significativas. a) ¿Cuánto dura un ciclo de la onda de radio? b) ¿Cuántos ciclos ocurren en una hora? c) ¿Cuántos ciclos habrán pasado durante la edad de la tierra, estimada en 4.6×109 años? d) ¿Qué error tendrı́a un reloj máser de hidrógeno después de un lapso semejante? 47. Los fı́sicos, matemáticos y otros a menudo manejan números grandes. Los matemáticos inventaron el curioso nombre googol para el número 10100 . Comparemos algunos números grandes de la fı́sica con el googol. a) Aproximadamente ¿cuántos átomos componen la Tierra? Por sencillez, suponga una masa atómica media de 14 g/mol. El número de Avogadro da el número de átomos en un mol. b) ¿Como cuántos neutrones hay en una estrella de neutrones? Tales estrellas sólo contienen neutrones y tienen aproximadamente dos veces la masa del Sol. c) La principal teorı́a del origen del Universo dice que, hace mucho, todo el Universo observable ocupaba una esfera de radio aproximadamente igual a la distancia actual de la Tierra al Sol y tenı́a una densidad de 1015 g/cm3 . Suponiendo que 1015 g/cm3 eran 8 neutrones y 1 3 de las partı́culas eran protones, 1 3 eran electrones, ¿cuántas partı́culas habı́a en el Universo? 48. Tres cuerdas horizontales tiran de una piedra grande medio enterrada en el − → − → − → suelo, produciendo los vectores de fuerza A , B y C que se muestran en la figura 1.31. Obtenga la magnitud y dirección de una cuarta fuerza aplicada a la piedra que haga que el vector sumatoria de las cuatro fuerzas sea cero. 49. Un avión sale del aeropuerto de Galisto y vuela 170 km en una dirección 68o al este del norte; luego cambia el rumbo y vuela 230 km 48o al sur del este, para efectuar inmediatamente un aterrizaje de emergencia en un potrero. ¿En qué dirección y qué distancia deberá volar una cuadrilla de rescate enviada por el aeropuerto para llegar directamente al avión averiado? 50. Le han pedido programar un brazo robot de una lı́nea de ensamble que se − → − → mueve en el plano xy. Su primer desplazamiento es A ; el segundo es B , de magnitud 6.40 cm y dirección 63o medida en el sentido del eje +x al eje − → − → − → −y. La resultante C = A + B también debe tener una magnitud de 6.40 cm pero una dirección de 22o medida en el sentido del eje +x al eje +y. a) Dibuje el diagrama de la suma de estos vectores, aproximadamente a escala. − → b) Obtenga las componentes de A . c) Obtenga la magnitud y dirección de − → A. − → − → − → 51. a) Obtenga la magnitud y dirección del vector R que es la suma de A , B − → − → y C de la figura 1.28. En un diagrama, muestre como se forma R a partir − → de los tres vectores. b) Obtenga la magnitud y la dirección del vector S = − → − → − → − → C − A − B . En un diagrama, muestre como se forma S a partir de los tres vectores. 52. Una marinera en un velero pequeño se topa con vientos cambiantes. Navega 2.00 km al este, 3.50 km al sureste y luego otro tramo en una dirección 9 desconocida. Su posición final es 5.80 km al este del punto inicial (fig 1.32). Determine la magnitud y dirección del tercer tramo. 53. Un esquiador viaja a campo traviesa 2.80 km en una dirección 45o al oeste del sur, luego 7.40 km en una dirección 30o al norte del oeste y por último 3.30 km en la dirección 22o al sur del oeste. a) Muestre los desplazamientos en un diagrama. b) ¿A qué distancia está el esquiador del punto de partida? 54. En un vuelo de práctica, una piloto estudiante vuela de Lincoln, Nebraska, a Clarinda, Iowa; luego de St. Joseph, Missouri y después a Manhattan, Kansas (fig 1.33). Las direcciones se muestran relativas al norte: 0o es norte, 90o es este, 180o es sur y 270o es oeste. Use el método de componentes para averiguar a) la distancia que debe volar para regresar a Lincoln desde Manhattan; b) la dirección (relativa al norte) que debe seguir. Ilustre su solución con un diagrama vectorial. 55. Una diseñadora está creando un nuevo logotipo para el sitio Web de su empresa. En el programa que está usando, cada pixel de un archivo de imagen tiene coordenadas (x, y), donde el origen (0, 0) está en la esquina superior izquierda de la imagen, el eje +x apunta hacia la derecha y el eje +y apunta hacia abajo. Las distancias se miden en pixeles. a) La diseñadora traza una lı́nea del punto (10, 20) al punto (210, 200). Quiere trazar una segunda lı́nea que parta de (10, 20), tenga 250 pixeles de longitud y forme un ángulo de 30o medido en sentido horario a partir de la primera lı́nea. ¿En qué punto deberá terminar la segunda lı́nea? Dé su respuesta con precisión de enteros. b) Ahora la diseñadora traza una flecha que conecta el extremo inferior derecho de la primera lı́nea con el extremo inferior derecho de la segunda. Determine la longitud y dirección de esta flecha. Haga un diagrama que muestre las tres lı́neas. 56. Un explorador en las espesas junglas del África ecuatorial sale de su choza. 10 Camina 40 pasos al noreste, 80 pasos 60o al norte del oeste y 50 pasos al sur. Suponga que todos sus pasos tienen la misma longitud. a) Dibuje, aproximadamente a escala, los tres vectores y su resultalnte. b) Sálvelo de perderse irremediablemente en la jungla dándole el desplazamiento, calculado con el método de componentes, que lo llevará de regreso a su choza. 57. Un barco zarpa de la isla de Guam y navega 285 km con rumbo 40.0o al norte del este. ¿Qué rumbo deberá tomar ahora y qué distancia deberá navegar para que su desplazamiento resultante sea 115 km directamente al este de Guam? 58. Un peñasco con peso w descansa en una ladera que se eleva con ángulo constante α sobre la horizontal, como se muestra en la figura 1.34. Su peso es una fuerza sobre el peñasco con dirección vertical hacia abajo. a) En términos de α y w, ¿qué componente tiene el peso del peñasco en lqa dirección paralela a la superficie de la ladera? b) ¿Qué componente tiene el peso en la dirección perpendicular a la superficie de la ladera? c) Una unidad de aire acondicionado está montada en un techo que tiene una pendiente de 35o. Para que la unidad no resbale, la componente del peso de la unidad, paralela al techo, no puede exceder 550 N. ¿Cuánto puede pesar como máximo la unidad? 59. El antebrazo de una paciente en terapia pesa 25.0 N y levanta una pesa de 120.0 N. Estas dos fuerzas están dirijidas verticamente hacia abajo. Las únicas otras fuerzas apreciables que actán sobre el antebrazo provienen del músculo bı́ceps (que actua perpendicular al antebrazo) y la fuerza en el codo. Si el bı́ceps produce un empuje de 232 N cuando el antebrazo se alza 43o sobre la horizontal, determine la magnitud y dirección de la fuerza que el codo ejerce sobre el antebrazo. (La suma de la fuerza del codo y la del bı́ceps debe equilibrar el peso del antebrazo y la pesa que carga, ası́ como su vector suma debe ser 132.5 N hacia arriba.) 11 60. Usted tiene hambre y decide visitar su restaurante de comida rápida preferido. Sale de su apartamento, baja 10 pisos en el elevador (cada piso tiene 3.0 m de altura) y camina 15 m al sur hacia la salida del edificio. Luego camina 0.2 km al este, da vuelta al norte y camina 0.1 km hasta la entrada del restaurante. a) Determine el desplazamiento entre su apartamento y el restaurante. Use notación de vectores unitarios en su respuesta, dejando bien en claro qué sistema de coordenadas escogió. b) ¿Qué distancia recorrio por el camino que siguió de su apartamento al restaurante y qué mangnitud tiene el desplazamiento que calculó en la parte (a)? 61. Imagine que pasea en una canoa en un lago. Desde su campamento en la orilla, rema 240 m en una dirección 32o al sur del este para llegar a un almacén donde compra vı́veres. Conoce la distancia porque ha localizado tanto el campamento como el almacén en un mapa. Al regreso, rema una distancia B en la dirección 48o al norte del oeste y una distancia C en la dirección 62o al sur del oeste para volver a su apartamento. Ha medido con su brujula las direcciones en que remó, pero no conoce las distancias. Dado que le interesa conocer la distancia total que remó, use métodos vectoriales para calcular B y C. Considere dos desplazamientos, uno de 3 m de magnitud y otro de 4 m. Demostrar cómo pueden combinarse estos vectores para obtener un desplazamiento resultante cuya magnitud sea a) 7 m, b) 1 m y c) 5 m. − → → ¿Qué propiedades tienen los vectores − a y b tales que − → → → a) − a + b =− c y a+b =c − → → − → → b) − a + b =− a − b − → → → c) − a + b =− c y a2 + b2 = c2 − → → Se suman dos vectores − a y b . Demostrar que la magnitud de la resultante no puede ser mayor a a + b ni menor que a − b. 12 Un automóvil recorre una distancia de 50 km hacia el este, después 30 km hacia el norte y finalmente 25 km en una dirección de 30o hacia el este del norte. Dibujar el diagrama vectorial y determinar el desplazamiento total del automóvil a partir de su punto de partida. Un jugador de golf mete supelo en uno en t5res golpes. El primer golpe desplaza la pelota 12 pies hacia el norte; el segundo, 6 pies al sureste y el tercero, 3 pies al suroeste. ¿Qué desplazamiento serı́a necesario para meter la pelota en el hoyo al primer golpe? → El vector − a tiene una magnitud de 5 unidades y está dirijido hacia − → el este. El vector b está dirijido a 45o al oeste del norte (noroeste) y tiene una magnitud de 4 unidades. Construir el diagrama vectorial − → − → → → para calcular a) (− a + b ) y b) (− a − b ). Partiendo de los diagramas, − → − → → → estimar las magnitudes y direcciones de (− a + b ) y (− a − b) − → → Determinar la suma de los vectores de desplazamiento − c y d cuyas componentes en kilómetros a lo largo de tres direcciones mutuamente perpendiculares sean: cx = 5, cy = 0, cz = −2; dx = −3, dy = 4, dz = 6. a) Un hombre sale por la puerta principal de su casa, camina 1000 pies al este, 2000 pies al norte y saca entonces una moneda de su bolsillo y la deja caer desde un risco vertical que tiene 500 pies de altura. Escoger un sistema de coordenadasy, usando vectores unitarios, escribir una expresión para el desplazamiento de la moneda. b) El hombre regresa después hasta la puerta de su casa, siguiendo una trayectoria diferente en su viaje de vuelta. ¿Cuál es el desplazamiento resultante en su viaje completo? − → → Dos vectores están dados por − a = 4bı − 3b +b k y b = −bı + b  + 4b k. − → − → − → → → → → → Encontrar a) − a + b , b) − a − b , c) un vector − c tal que − a − b +− c = − → 0. 13 Un cuarto tiene las dimensiones siguientes: 10 pies× 12 pies× 14 pies. Una mosca vuela desde un rincón hasta el rincón diametralmente opuesto. a) ¿Cuál es la magnitud de su desplazamiento? b) ¿Puede ser la longitud de su trayectoria menor que esta distancia? ¿Igual a esta distancia? c) Escoger un sistema de coordenadas apropiado y encontrar las componentes del vector de desplazamiento en dicho referencial. d) Si la mosca no volase sino que caminase, ¿Cuál sereı́a la longitud de la trayectoria más corta que pudiese seguir? − → → Dados dos vectores, − a = 4bı − 3b  y b = 6bı + 8b , encontrar la magnitud − → − → − → → → → y dirección de − a , de b , de − a + b y de − a − b. Dos vectores de longitud a y b forman un ángulo θ entre sı́ cuando se colocan sobre el mismo origen. Demostrar, tomando componentes sobre dos ejes perpendiculares, que la longitud de su suma es √ r = a2 + b2 + 2ab cos θ . Sea N un número mayor que uno; entonces cos 0 + cos 2π 4π 2π + cos + · · · + cos (N − 1) =0 N N N esto es, n=N X−1 cos 2πn =0 N sin 2πn =0 N n=0 . También n=N X−1 n=0 . Demostrar estos dos resultados considerando la suma de N vectores de la misma magnitud cada uno de los cuales forma un ángulo de 2π/N respecto del anterior. − → Un vector d tiene una magnitud de 2.5 m y apunta hacia el norte. ¿Cuáles son las magnitudes y direcciones de los vectores − → − → − → − → a) − d , b) d /2, c) − 2,5 d y d)4 d 14 Una partı́cula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, de la siguiente manera: 4.0 m al suroeste, 5.0 m al este y 6.0 m en una dirección de 60o al norte del este, encontrar: a) las componentes de cada desplazamiento, b) las componentes del desplazamiento resultante, c) la magnitud y dirección del desplazamiento resultante y d) el desplazamiento requerido para regresar la partı́cula a su punto de partida. − → → Dos vectores − a y b tienen componentes que, en unidades arbitrarias son: ax = 3,2, ay = 1,6; bx = 0,50, by = 4,5. a) Encontrar el ángulo − → → → entre − a y b . b) Encontrar las componentes x y y de un vector − c que → sea perpendicular a − a y y que tenga 5.0 unidades de magnitud. 15