Équations aux dérivées partielles sur les groupes de Lie nilpotents

Astérisque G UY M ÉTIVIER Équations aux dérivées partielles sur les groupes de Lie nilpotents Astérisque, tome 92-93 (1982), Séminaire Bourbaki, exp. no 583, p. 75-99 <http://www.numdam.org/item?id=SB_1981-1982__24__75_0> © Société mathématique de France, 1982, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Astérisque » (http://smf4.emath.fr/ Publications/Asterisque/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Séminaire BOURBAKI 1981/82, n° 34e année, Novembre 1981 583 ÉQUATIONS AUX DÉRIVEES PARTIELLES SUR LES GROUPES DE LIE NILPOTENTS MÉTIVIER Guy par I - INTRODUCTION Avant de rentrer dans le vif du succintement dérivées l’origine partielles sur l’intérêt propre de la voisinage d’un point xo ficients les groupes question il y D) comme P(x , D ), constants a [31], perturbation certains et le groupe de l’opérateur sur un groupe nilpotents (L.P. R. GOODMAN [11] , L. L. P. ROTHSCHILD [2~ , B. HELFFER - J. NOURRIGAT est nilpotent comme maintenant devenue Dans cet HORMANDER - A. MELIN existants, d’auteurs ont théorie du rôle joué opérateurs groupe modèles dans une exposé, loin théorèmes cette au à coef- opérateurs peuvent être nilpotent. d’Heisenberg. Ensuite, On peut dire que l’idée d’utiliser les on s’approchent de ROTHSCHILD - E. STEIN [23] , G. METIVIER [16] [17]). sur un certain nombre de problèmes, de vouloir dresser voudrait à coefficients constants catalogue un des certain nombre représentations. L’idée d’utiliser on connaît l’importance usuelle dans l’étude des (opérateurs invariants exposé comprendra 75 un montrer comment par la transformation de Fourier Cet sont apparus opérateurs invariants extrêmement naturelle quand commutatif). [18] , [10] idée standard. utilisé la théorie des est un aux la remarque suivante : elliptique, peut être considéré une naturelle par des groupes groupe équations Outre évidemment des théorèmes montrant comment certaines situations façon aux rappeler été faite initialement par G.B. FOLLAND - E. STEIN a l’opérateur []b pour portée nilpotents. modélisés par des opérateurs invariants Cette remarque est bon de de l’attention récente qu’un opérateur P(x, de même sujet, il en gros deux sur un parties : G. dans la - première, plicitement les passer d’un opérateur simples MÉTIVIER on montrera comment représentations irréductibles Tr(P) P à par une que transformation de Fourier changement de fonction ; ceci montrera comment ce dévissage dans la deuxième problèmes on d’opérations partielle, changement occupera les §§ 3, 4 ex- peut aussi de variables Au § 6, et 5. on constitue l’ossature de la démonstration partie (§§ 7, de résolubilité. On q, et comment succe-ssion du théorème de B. HELFFER - J. NOURRIGAT - peut construire on fi5] . 9), 8 et comment on verra la formule de Plancherel pour résoudre on esquissera les peut chercher à utiliser l’équation =f, Pu et comment intervient la notion de représentation générique. II - NOTATIONS exposé, Dans cet simplement connexe, Lie alors notera on On à gauche appellera on connexe. l’exponentielle identifie§ sur à Si G est est indifféremment exp x ou l’algèbre exponentielles est un appellera ad, Ad de tout sont de Lie des champs de de G E2. sur de G ; x de vecteurs invariants de n gauche. l’algèbre à des Dans les coordonnées à coefficients 7 (P). les notations orbite nilpotent algèbre son opérateur différentiel par la formule simplement et ex l’exponentielle que l’on notera Les notations on groupe G invariants à d sur , espace dual groupe de Lie l’algèbre enveloppante G sur Q un un difféomorphisme global un opérateurs différentiels polynômiaux groupe g. 03BE= classiques Ad(g-1)*03BE. Pour 03BE de[ , l’orbite de[ agit et G sur E pour cette action de G. Dans certains somme directe : cas on se donnera aussi une décomposition de en GROUPES DE LIE NILPOTENTS On dira alors que ~ graduée est et on ô~ d’automorphismes, appelés dilatations, ôxx Àjx pour E Ct enveloppante U(g) et ~ homogènes de On notera aussi Si 03C0 est Hilbert H 1r on et, dans le degré oùQ opérateurs ir(A), posant en l’algèbre (c’est-à-dire vérifiant ô~ P am P, = ~i ~ > 0). ® l’espace unitaire de G dans C°° 1r l’espace des vecteurs est graduée, H9 l’intersection des ~,m( ), A E groupe des éléments P de m représentation notera t9 cas m Um(G) = une 0), > l’espace on ) (À Ces dilatations s’étendent à x = munira CL d’un considérés représentation de la domaines des opérateurs comme de non bornés dans H. Enfin pour ~ on la forme bilinéaire B~ notera antisymétrique sur ~: Pour E ra simplement E~ s’il n’y C l’orthogonal de E pour la forme a pas de confusion) désigne- B~. III - REPRESENTATIONS UNITAIRES Soit’Uune ( ~ isotrope sous-algèbre pour B,-). deQ Alors X :: scalaire unitaire du groupe V = soit § et ev -~ exp e 1r E ~~ ~~’ v~ tel est une et on notera ~.~ = 0 représentation 1r’ "la" représen- tation unitaire de G induite par X . Un moyen de réaliser 7T est le suivant : il existe une décompo- G. {les applications dépend évidemment .introduit 3.2. - à pas du choix des tout une (d’où X. en 03BE1 = * (Adg) ~ aussi bien cas valence entre on gradué) ~~ ~ lorsque ~ E ~ est change V en V1 alors les = Ad(g -1)V Nourrigat [15] la nature de la transformation et peut choisir des espaces définit les fonctions w(x) : d’abord, Xl,...., X~ et tel que dépend pour représentations 03C0~,V et 03C003B6,,V, ~~u et de ~ ). la notation !t unitairement équivalentes. Helffer (dans le que de la restriction transformation unitaire 3.3. - si l’on et S polynomiales). et J sont v Remarques 3.1. et on MÉTIVIER ont un g OE G l’1 même précisé qui réalise l’équi- dans la construction ci-dessus communs ; ensuite si l’on X par : sont GROUPES DE LIE NILPOTENTS et la transformation U dans Théorème i) L2(X) par : (Kirillov [ 19 ] ) ~t~~~,est irréductible si si ~est et seulement maximal isotrope pour B . ii) deux représentations ment équivalentes iii) toute si et seulement représentation valente à l’une des irréductibles si 03C0 3BE1,03C511 03BE1 et 03BE2 sont et unitaire- 2 sont unitaire irréductible est sur la même orbite. unitairement équi- représentations Le lemme suivant est fondamental pour le § 5 : Preuve : la démonstration donnera On écrit L2 (T on écrit : X X) = et les ’~ ® X1 ®....® un ~ Xk dans L2(X), sens comme clair à cet énoncé! T. On réalise 03C0 3BE0, indiqué plus dans haut. Pour cela G. MÉTIVIER rentiel sur partielle T x X à coefficients constants en l’opérateur en t. IV - SUITE DE SOUS L’objet de ce ALGÈBRES paragraphe et ISOTROPES du suivant est de réductions successives du nombre de pour t, et d’exposer variables, suivie "descendre" dans les représentations irréductibles. On suppose dans ce paragraphe que G est graduée : la méthode dans [15] ~ GROUPES DE LIE NILPOTENTS j + k la relation est triviale. Si elle est vraie > r pour la montrer il suffit de avec j voir, en + k = s, vertu de comme on a i), que pour j + k > déjà j k J Cette inclusion résulte aussitôt de l’identité de Jacobi (voir la définition de EL) et iii) Le fait Remarque l’hypothèse de de même par récurrence que V soit 4.. - Le de récurrence. algèbre une est une point i) exprime que si (03BE,) est . B03BE dans GJ. En maximal pour irréductible. particulier B~ dans C~ et la sur jJ j. conséquence immédiate est isotrope 1-maximal, représentation ~ ~ est maximal pour est isotrope alors s + 1 G. MÉTIVIER (03BE,) Soit Lemme 4.2. - Preuve : ~ est isotrope est la dernière égalité il est isotrope, Par jusqu’au est p-maximal. rang p sur 1. 4.2., (~’,~f’) [~f’ ,~U’] ~ 1r p+1=~+1. = ~ Puisque du lemme 4.1. (p - 1) maximal. Enfin p. Pour p du lemme 4.1. = ~’ E~ tel que r, c’est trivial Alors, si p + maximal isotrope pour est puisque ~i= ~ r. Supposons l’affirmation (~, p+1) étant 1 maximal, conséquent, il exister Par le lemme maximal ‘1l1 donc Pour tout et seulement + ~~ comme point ii) résulte du r-maximal si a point i) (~/U) clair que Preuve : par récurrence vraie On résultant du Lemme 4.3. - Soit est "U/; donc 4vlet dans l’inclusion Soit isotrope p-maximal (p > 2). p-maximal. B~ isotrope. Mais B~, puisque Puisque ~ est maximal dans 4J’. on a Ce lemme donne donc un sens Le lemme 4.2. lorsque ~ une algèbre et 03BE ~ * une autre algèbre (p - 1)-maximal. avec qui clair à la phrase nous (~,~ p-maximal montre alors comment (03BE,) p-maximal ( p > 2), étant donné on construit vérifie En outre, dans cette situation, pour 0 ~ E(03BE) ~p, GROUPES DE LIE NILPOTENTS on peut définir : définition (03BE) désigne Dans cette ~1 étant extension, unitairement Comme en pour de extension de ~ à.On montre que cet espace une pas de cette sont l’orthogonal et suivant le lemme 4.1. iii) ne 1 dépend on a équivalentes. =1f, outre Ad l’équivalence résulte de la remarque 3.3. V - REDUCTIONS SUCCESSIVES Comme P paragraphe au et tielles. Ire = de est est étape : r, = On précédente aussi la on On donne se représentation associée au § et d’après voit que 03C003BEr,, (P) par transformation de Fourier directions graduée. l’écriture de P dans les coordonnés exponen- choisit r=gr (0) ) est le lemme 3.11 est 3 à (avec l’opérateur partielle ~= (0)). dans les déduit G. 2ème étape : du § 4, on On 3ème étape : Fixant sous E(03BEr), E(~3), E les THEOREME Rappelons E 2-maximal), s’arrête là, VI - LE 03BEr-1 Fixant ~2 étant algèb%e.à’ j1 u (dépendant de 03BEr r ), r- on on et par partielle. construit r-2 ~ construit Fourier à partiel représentations et on passe par partir on passe de étant irréductibles. j D’HELFFER-NOURRIGAT que P est dit E ~’(G), u une par transformation de Fourier r- étape : bution ; selon le raisonnement de la fin construit alors E(~r)) On OE$ * fixe 03BEr (~ E ((~2,’~2) MÉTIVIER est hypoelliptique nécessairement C si pour sur toute distri- tout ouvert de G où Pu l’est. Théorème (Helffer-Nourrigat [15]) : duée et soit P entre homogène de Soit degré une algèbre m. Alors il y de Lie graa équivalence les assertions suivantes : i) ii) P est hypoelliptique pour toute dans représentation unitaire irréductible l’espace ~ . des vecteurs 7T C de la ~, le noyau représentation est trivial. En outre si P OE((Q) est hypoelliptique, est encore pour toute hypoelliptique. "pertubation" GROUPES DE LIE NILPOTENTS Ce théorème le a du groupe cas d’abord été prouvé par C. ROCKLAND [27] dans d’Heisenberg, par B. HELFFER pour les groupes de rang 2, puis pour les groupes de rang 3, ii) ~ i) dans le cas montrée par R. BEALS Dans ce [12] par B. HELFFER-J. NOURRIGAT avant la démonstration de nous ii) ~ i) ([15]). Plaçons alors construite on La on se [14] est [I ]. voulons montrer comment interviennent les constructions du § 5 dans la démonstration de et [2 ] l’implication général [15]. L’implication i) ~ ii) paragraphe algèbre BEALS et R. fixe 03BE et ~* (03BE) tel que ={03BE norme !! Il désigne la . l’étape r - j :: à nous E 11 norme l’implication on construit (03BE,) soit j + 1 une maximal ; / | = 03BE}. de l’espace de représentation (L2(X)). Ce lemme est une conséquence quasi-immédiate du lemme 3.1. G. défini à la fin du § à 4, MÉTIVIER et dist (, 0(o)) désigne la distance de 0(~0), Ce lemme tations (m=rr) avec se démontre en explicitant complètement la méthode du § 3 et tel que 03C0, fonction minorée (P) en soit un démonstration : il repose sur sur exhibant un élément P ~ Um(g) multiplication opérateur de (, module par dist Ce lemme est assurément le tations et en représen- les une 0(o)). point technique une par écriture central de la explicite l’étude de la dépendance en v g des des représen- opérateurs 03C0 ~ (P). GROUPES DE LIE NILPOTENTS Par le lemme localement 6.3, bornée ; par tée par P par multiple tat est ~ 6.2, on peut ~ )) grand. assez constante sur les en- le tout, on montre que E(03BE), on obtient l’estimation souhai- et C, peut être choi- intégration (Lemme 6.1). Soit P çant e C peut supposer on Regroupant indépendante de sie le lemme et uniformément bornée pour Enfin par le lemme 4.4. O(1). l’estimation i) constante ~ aussi supposer sembles peut supposer que la on de vérifiant la P’ 1, = (P P) ..., r propriété ii) si nécessaire et que peut supposer que m_~ r~. Alors, compte classique d’hypoellipticité (F. A et J. UNTERBERGER on du théorème. TREVES [34 ] [ 35 ] ) l’implication ii) tenu m Remplaest un d’un résul- , =~ i) du théorème résulte de la proposition suivante : La démonstration des opérateurs se , fait par récurrence à coefficients constants) sur P est r. Pour r=1 elliptique et (cas l’es- timation immédiate. Supposons la proposition démontrée dans la situation du rang la représentation r précédente. ~ ’~ rr s’identifie au rang Dans la à la r-1, et plaçons nous premiere étape du § 5 représentation du groupe G. de manière aux MÉTIVIER générale représentations les représentations de G triviales sur G/Gr de s’identifient l’hypothèse G. De part une variante) de récurrence il existe donc C tel que : Utilisant le lemme 6.3 (ou inégalité ber cette On applique plutôt et pour un C on peut pertur- convenable : alors le lemme 6.11 dans le sens de la descente et on obtient : indépendant de j, C étant j-1) Après (pour 7r= la r on aussi indépendant descente, la remontée : .,. )) Mais alors j et du choix successif des on on en ÀÉ k (k j et de pour j=1, on montre que déduit des estimations du.type : peut utiliser le lemme 6.4 obtient des estimations et par récurrence sur GROUPES DE LIE NILPOTENTS Pour j = r, n’oublions pas que l’on mais par le lemme 6.3 bornée uniformément C03BEr On utilise alors triction ~ ~ !1 quand même montre on pour |03BEr|( restriction ~ ~ 1 ; que l’on peut supposer 1. - l’homogénéité et on la a de P pour s’affranchir de la res- obtient : L’estimation de la proposition en découle immédiatement par in- tégration. (Lemme 6.1). VII - FORMULE DE PLANCHEREL Pour des démonstrations A.A. KIRILLOV [19] ou on L. PUKANSKI tions unitaires irréductibles orbites de Q renvoie à J. DIXMIER [ ~] [24 ]. On a paramétrées sont est traçable et à résoudre les suivante : (P) ~.(t~) équations 7r(P)v (P = par représenta- l’espace G on des pose : le théorème de Plancherel (J. DIXMIER [ 8] ) affirme l’existence d’une Puisque ~ que les G A et fE G(G) pour l’action de G. Pour 03C0 ~ L’opérateur ~r(~) vu E~)) et on mesure dp l’équation Pu sur =~ peut énoncer la G telle que : conduit règle G. que pour presque tout TI Supposons u,~ MÉTIVIER on sache trouver un opérateur tel que i) ii) pour tout Y E Y oo l’opérateur C (G), l’intégrale u(Y) = est ( converge. traçable désigne et la fonction ‘~(g) _ ‘~(~ 1) ) . iii) l’application Y Alors est u En effet > u(~) définit distribution une u. = 03C6 . solution de Pu Pu, 03C8> = u, 03C0() 7(P). et Par consé- quent : j la dernière préciser "calculer" la dp. mesure tout j Donnons n théorème, un ci-dessus, la formule de Plancherel telle que pour un résultant de la formule de Plancherel. d’illustrer cette idée par Avant peut égalité nous une base l’espace engendré comment on montrons particulier et en {e,, par en} ..., ..., e.} idéal de g. Alors, selon L. PUKANSKI [24 ] , [25] , il existe partition {l, I U J de l’espace engendré ..., par les et J n} I [resp. J], on soit une [resp. W] telle que si l’on note V pour j E de g ait les pro- priétés suivantes : i) Le polynôme D(~) - det(~, (pour l’action ii) iii) une = coupe V Notant U g~) sur L’ouvert 8 qui, chacune, existe de G = en V n application [ ej, invariant est et n’est pas identiquement nul. g~ / D(~) ~ 0} exactement f9 (U continue est un non F(z, ~) est une union d’orbites point. vide d’après i) de W xU dans V et ii)!), il polynomiale GROUPES DE LIE NILPOTENTS en z, rationnelle telle que pour l’ensemble des est exactement z ~, en points tout ~ E l’orbite de ~ U de la forme F(z, ~) + z E W ® V, parcourant W. ([25] ) : Lemme r(~) et polynôme Le si l’on paramètre de Plancherel d~ U est est le carré d’un polynôme invariant presque toutes les orbites par U la mesure ~r(~)~d~. notera ’~~ "la" représentation unitaire irréducti-- ble associée à l’orbite de ~. On peut réaliser toutes Pour ~ E on tations dans le même espace Soit P Théorème : possède un i) il existe L2ORk) (k Supposons inverse à droite des Q.- polynômes a(~) = > Alors P est localement ouvert assez petit), correspond et G. LION b(~) sous sur]*, E 1.1, tel que : invariant par G, est mesurable. E C ((c) une pour tout 03C6~ C~o(03C9), (03C9 tel que Pu = ’f. forme voisine par L. CORWIN à la démarche suivie par L.P. ROTHSCHILD [ 22] . Preuve : Par centre exactement u L2ORk) borné dans résoluble, i.e. il existe Ce théorème est énoncé et Q~ tout ~ que pour presque et représen- 2 dim W). tels que : ii) l’application ~ ces un de1i(g) théorème de Dixmier tels que ~r ~ (A) - a(~) [ 9]] il existe A et B dans le b(~). [3] [29] G. MÉTIVIER désigne où Cauchy-Schwartz la et la converge et défini résoluble A est (M. [ 26] ) RAIS est teur u LZ(G). E voit que Pu on et + CONDITIONS + le groupe de sur l’intégrale fait que en A ~~ = lui même est localement NÉCESSAIRES Dans le XI ~ ~x3 cas opérateur des groupes simple : bien loin d’une situation aussi opérateur voit que pour fixer les idées que tout ~ ~x1 i(~ ~x2 Utilisant le théorème suit. constants est résoluble. de Lewy on On vérifie bi-invariant, il RÉSOLUBILITÉ, Rappelons d’abord on élément puisque VIII - cients formule de Plancherel précédemment Comme Mais un d’opérateur. Hilbert-Schmidt norme nilpotents exemple l’opéra- par que l’on peut considérer Heisemberg de dimension à coeffi-- 3, n’est comme un pas ré- soluble. D’après son on un transposé ~P critère général est on résoluble ; sait que si P est avec voit donc que si le noyau de le critère est alors P est résoluble. En outre si P est que hypoelliptique, d’Helffer-Nourrigat trivial pour toute résoluble, cela veut ~t E G9 A dire l’on sait résoudre les équations T(P)u= ’rr(~), donc cela semble requérir une certaine surjectivité On arrive alors à l’idée de L. CORWIN - L.P. ROTHSCHILD de 77 (P), n’est de représentation toutes façons pas ~r. E injectivité suivante, illustrée de par le travail [ 6 ], qu’une condition raisonnable la résolubilité de P est que le noyau de que toute donc G. TI(tp) soit trivial pour pres- (notons toutefois suffisante, [ 6 ]). pour que cette condition GRO UPES DE LIE NILPOTENTS Reprenons les notations du paragraphe précédent : donc aux représentations génériques dans le même espace ser ((51] [6]) Soit~ une algèbre P n’est pas localement résoluble. S’il existe u, non ([6 ]). de Lie E ijm(g). nul, nilpotente graduée dans Il est clair que s’il existe alors il existe tion dansS(G). 1~ E C~(G) tel que =f ce passage que l’on utilise n’ait pas de solution dans COO alors P n’est pas Le tPu=0, alors Pu tP, n’ait pas de solu- c’est ~ E Co(G) tel que l’équation C°°(G) ; c’est essentiellement pour l’homogénéité de U dans Ce théorème soit 0 dans le noyau de de P. [ 6 ]) : Supposons soit homogène. S’il existe et que P nulle, u # l’équation Théorème (L. CORWIN - L.P. ROTHSCHILD non tel que et Ce que l’on cherche Pu graduée sorte que en ~ P Remarque : s’intéresse que l’on peut réali- On peut même faire Admettons le résultat suivant Lemme 8.2 : on telle quex une (tP)~(~) - que g soit application 0 pour tout ~, localement résoluble. se démontre en construisant plus simple serait de construire u u tel que : Ej?(G) tel que ~Pu = 0. MÉTIVIER G. avec pace C (U) a E engendré désignant par(~(~). faite dans le [ 4 ] L.CORWIN - F.P. GREENLEAF matrices [ 4 ] n donne x n une et P ). Dans le s’identifie à E j (N ) en elle résulte d’un travail de dans le est cas on ce Pu = (x E l’hypothèse 0 on C, du construit x d’une famille lisse l~(~) trivial à franchir, A titre une des cas algèbre On montre que cette théorème, u choisi de E 1 (G) et d’une fonction solution de sorte que dans le noyau de Pu u ~ 0). il y a un qui nécessite l’addition d’hypothèses d’exemple, ex- (0) à la construction Pour passer de la condition "techniques". l’ algèbre plonge dans élément de un u(x x) général cas encore solution de posant u(x) = non (actuellement !) caractérisation des noyaux distributions des opérateurs tension de P vérifie û l’es- sur triangulaires supérieures (strictement), (dans u dit projecteur orthogonal Cette construction n’est pas général, mais cas le donnons le résultat suivant : pas = 0 GROUPES DE LIE NILPOTENTS RESOLUBILITE - IX - CONDITIONS SUFFISANTES En dehors du théorème concernant les sont toujours [ M. DUFLO 7 localement résolubles ]) au § 7, on rateurs homogènes (L.P. de théorèmes peu et dispose ne ROTHSCHILD [29], G. LION ~2, [., gènes, .]> est non dégénérée D. TARTAKOFF deux sur L.P. ROTHSCHILD, [ 30] , les groupes de rang 2 Terminons le cas cet a fait par la plexifier le paramètre ~ le cas de complexifier des groupes au opérateurs P. LEVY-BRUHL le est Le élémentaire, des aussi cas d’opé- cas g;/o, la forme opérateurs homo- opérateurs d’ordre des l’objet d’études particulières [ 20] [ 21] . constants on est de l’idée suivante : dans P(Dx), lors de la naturellement amené à P(~) ;9 le paramètre ~ cons- com- de même dans il serait probablement astucieux moinspartiellement 2, de complètement résolu pour éviter les zéros de nilpotents [33 ] , résolu tout ~ E cas présentation d’un opérateur à coefficients truction d’une solution cette [32 ]). est Le Pour les groupes de rang gl), P. LEVY-BRUHL exposé généraux. tels que pour sur J.F. ROUVIERE du type de celui énoncé d’Heisenberg elliptiques, transversalement (L. ROTHSCHILD - explicites [22]). "type Heisenberg" (c’est-à-dire [26 ], RAIS pas de résultats très les groupes sur (M. opérateurs bi-invariants qui pour d’essayer l’étude des Cette idée est d’ailleurs utilisée par [21 ], préoccupation et auparavant par B. HELFFER [13 ]. dans L. CORWIN - L. ROTHSCHILD de "structure différentielle localement uniforme". [ 6 ] On trouve aussi avec la notion G. MÉTIVIER BIBLIOGRAPHIE [1] R. BEALS : Séminaire Goulaouic Schwartz 1976-1977, exposé n° 19 [2] R. BEALS : Exposé aux Journées Equations aux dérivées partielles de St Jean de Monts 1977. [3] L. CORWIN : A solvability Trans. A.M.S., 264(1981) on certain nilpotent Lie p. 203 - 217. L. CORWIN - F.P.GREENLEAF : L. on [8] 113-120 of nilpotent M. DUFLO : Rationally varying Polarizing Proc. A.M.S. 81(1981) p. 27 homogeneous left invariant differential operators Lie groups.preprint. 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