Su una nota di Franco Selleri

Contenuto 1 Premessa

Nel Section 2 di questa nota si illustrerà, con l'esempio di una Hamiltoniana semplice ma non banale, in che modo se, invece di fare ipotesi arbitrarie, si applicano le regole della teoria quantistica a esperimenti del tipo EPR, si trova precisamente quello che, in [Ac97],è stato descritto come "effetto camaleonte".

Nel Section 3 si mostra come la Hamiltoniana considerata nel Section 2 si inserisce nella teoria generale della misura (locale, causale e realistica) descritta nel'ultimo capitolo di [Ac97]. L'esempio della sezione (2.) illustra, più efficacemente di tante discussioni, l'errore contenuto nell'analisi di Bell.

Chi fosse interessato più specificamente agli errori contenuti nell'analisi di Selleri può consultare le appendici della presente nota.

la piena e totale compatibilità della teoria quantistica con il realismo e la località non implicano in alcun modo che che tutto sia chiaro e che non resti nulla da capire.

Al contrario! Nel dibattito sui fondamenti della teoria quantistica sono emersi nuovi e affascinanti problemi dei quali si può dire che solo i primi strati superficiali sono stati investigati:

-la molteplicità delle leggi del caso, cheè analoga alla molteplicità delle leggi dello spazio, -la statistica dei sistemi adattivi, cheè generalmente non Kolmogoroviana ma per descrivere la quale non c'è per ora alcuna evidenza che l'unico modello utile, alternativo alla probabilità classica, sia quello quantistico (come per i modelli di spazio, cosı per i modelli delle leggi del caso esistono infinite possibilità che oggi si cominciano a studiare).

Ciò apre nuove prospettive non solo per la matematica e la fisica, ma anche per la logica induttiva e per la statistica.

I lunghi dibattiti sui collassi, le oggettificazioni, la non località, il microirrealismo che si trasfigura in macro-realismo, ... appartengono all'archivio della storia.

2 Un contro-esempio all'argomento controfattuale

Il seguente esempio fornisce una indicazione di come si può costruire una Hamiltoniana apparato-sistema, per un sistema di due particelle di spin 1/2 che soddisfa le condizioni di località e causalità descritte in astratto nel Section seguente (e nell'ultimo capitolo di [Ac97]) e che riproduce le correlazioni di singoletto e quindi viola la disuguaglianza di Bell. Con varianti di questo argomento si possono costruire altri esempi, sia quantistici che classici, di sistemi che violano la disuguaglianza di Bell rispettando sia la località che la causalità.

Ciò mostra, tra l'altro, che la tabella 1 a pagina 7 di [Se98],è sbagliata non solo per le coppie di camaleonti (cf. Section 10), ma anche per le coppie di particelle in stato di singoletto.

Non si afferma che tale esempio descriva nei dettagli l'accoppiamento particelle-apparato nell'esperimento EPR, ma solo che esso ne illustra alcuni aspetti concettualmente rilevanti e dimostra la consistenza logica della teoria esposta nel Section seguente.

Consideriamo due sistemi, supposti spazialmente separati, composti ciascuno di una particella e di un apparato di misura:

(1, M 1 ), (2, M 2 ) Siano poi S 1 a , S 2 b , . . . osservabili di spin per le due particelle dove l'indice in alto denota la particella considerata e quello in basso una direzione spaziale.

L'argomento standard, che conduce alla disuguaglianza di Bell,è il seguente.

Si suppone di fare N misure simultanee delle coppie di osservabili (S 1

Con questi dati si calcolano le correlazioni empiriche sui campioni, cioè

(e le altre ottenute per permutazione circolare dei simboli a → b → c → a). Supponiamo di fare la statistica eliminando tutti quei risultati in cui il valore di S 2 b , trovato nell'esperimento in cui si misura (S 1 a , S 2 b ), differisca dal valore S 2 b , trovato nell'esperimento in cui si misura misura (S 2 b , S 1 c ). Per la legge dei grandi numeri, se Nè grande, ciò non altera le correlazioni empiriche.

Questaè una ipotesi di località poiché presuppone che il risultato di una misura sulla particella 2 non dipende da ciò che siè misurato sulla particella 2.

Questa ipotesi di localitàè compatibile con la teoria quantistica (cf. il Section seguente) edè verificabile sperimentalmente: basta fare un gran numero di esperimenti e paragonare le correlazioni empiriche ottenute applicando o meno quest'ipotesi.

In quest'ipotesi possiamo usare lo stesso S 2 b,ν in entrambi gli esperimenti e quindi le correlazioni empiriche soddisfano la disugualglianza

La (1)è una semplice disuguaglianza tra numeri, non applicabile alla teoria quanistica poiché le correlazioni

non sono sperimentalmente misurabili dato che S 1 a e S 1 c sono incompatibili. Per effettuare il paragone con gli esperimenti occorre introdurre una ulteriore ipotesi, spesso chiamata "realismo" o "anticorrelazione esatta" o "argomento contro-fattuale", che si traduce nell'uguaglianza

Sotto questa ulteriore ipotesi la correlazione (17) diventa uguale a

e la disuguaglianza (1) diventa la disuguaglianza di Bell

cheè violata dalle correlazioni empiriche ottenute negli esperimenti di tipo EPR. L'ipotesi (18) equivale a postulare che il valore di S 2 c , quando si misura S 2 b ,è lo stesso che si sarebbe ottenuto misurando S 2 c stessa. Quest'ipotesi nonè verificabile sperimentalmente poiché S 2 b ed S 2 c sono incompatibili.

Osservare che questo discorso riguarda solo la particella 2, quindiè perfettamente locale.

I camaleonti forniscono un semplice esempio di sistema classico in cui l'ipotesi (18)è palesemente falsa.

Una semplice applicazione delle regole della teoria quantistica alle particelle con spin mostra che anche in questo caso l'ipotesi (18), più precisamente il suo corollario

cheè sufficiente a dedurre la (20) dalla (16), nonè giustificata. A tal fine dobbiamo paragonare le correlazioni empiriche (17) e (19) con quelle teoriche previste dalla teoria quantistica che denoteremo rispettivamente

dove tè l'istante in cui avviene la misura. L'uguaglianza (6), più o meno esplicitamente usata nelle deduzioni standard della disuguaglianza di Bell, equivale a postulare che queste due correlazioni siano uguali. Secondo la teoria quantistica dobbiamo descrivere l'evoluzione del sistema (1, M 1 , 2, M 2 ).

Omettiamo per semplicità le evoluzioni libere, cioè poniamo:

dove H S j , H M j denotano rispettivamente le Hamiltoniane libere del sistema j e dell'apparato M j (j = 1, 2).

Per calcolare la correlazione S 1 a (t)S 2 c (t) dobbiamo misurare S 1 a sulla prima particella e S 2 c sulla seconda. In queste notazioni descriviamo l'interazione tra particelle e apparato mediante un accoppiamento bilineare standard, che compare in un gran numero di modelli fisici, per esempio quasi tutti i modelli in ottica quantistica sono variazioni di quest'Hamiltoniana e, se gli operatori K 1 , K 2 sono bosonici,è spesso chiamata l'Hamiltoniana "spin-bosone":

Se calcoliamo l'evoluzione di Heisenberg

Come si vede, se x = a, allora si ha un'evoluzione non banale, ma se x = a, allora:

Considerazioni simili valgono per S 2 x (t) e S 2 c (t). Di conseguenza, se scegliamo come stato iniziale uno stato del tipo σ 0 ⊗ ψ dove σ 0è lo stato di singoletto del sistema (1, 2) e ψè uno stato qualsiasi dell'apparato (M 1 , M 2 ), e calcoliamo le correlazioni tra S 1 a e S 2 c al tempo t rispetto a questo stato, troviamo:

In particolare, se si calcola la correlazione S 1 a S 1 c si trova

e quindi, secondo la teoria quantistica, l'uguaglianza (6), e a maggior ragione l'ipotesi (18) che la implica, essenziale per la deduzione della disuguaglianza di Bell, nonè giustificata. Questoè precisamente l'"effetto camaleonte" nel senso che, per le coppie di singoletto, come per le coppie di camaleonti, non si può postulare la permanenza delle anticorrelazioni esatte anche in presenza di due misure diverse (argomento controfattuale).

Ribadiamo ancora una volta che tutto quanto dettoè pienamente compatibile sia con il realismo che con la località.

Il realismo delle urneè troppo ingenuo per descrivere le sottigliezze del mondo microscopico, e probabilmente anche quelle del mondo biologico, sociologico, economico, ... Per questi occorre una forma più sofisticata di realismo, quello dei camaleonti, e conseguentemente una nuova forma di probabilità.

Una teoria realistica della misura

La dipendenza del valore di aspettazione dalla coppia di osservabili misurate (E = E A,B ) , che alla fine del Section 10è stata dedotta da argomenti probabilistici (o, se si vuole, di conteggi) ha una radice dinamica profonda che emerge quando si esprime la condizione di località nel processo di misura. Nel lavoro di Bell questa condizione viene espressa in termini puramente verbali e non viene analizzato a fondo il modo in cui tale condizione si esprime nel modello matematico.È proprio questa mancata analisi che induce Bell a considerare erroneamente "vitale" una ipotesi che, come dimostrato nel Section 9,è addirittura superflua. Per chiarire questo punto introduciamo le suguenti notazioni:

Un postulato della teoria classica della misuraè che le proprietà del sistema non sono modificate dal procedimento di misura (almeno prima della misura stessa). Ciò significa che le eventuali modifiche sono ordini di grandezza più piccole delle quantità misurate. In formule:

Osservare che il carattere di idealizzazione di quest'approssimazione, e quindi la sua limitata applicabilità,è ben chiaro nei testi di fisica classica. Basta leggere una qualunque discussione della misura del campo elettrico mediante cariche per capire che ciò che si misura effettivamenteè la reazione del campo alla carica e non un "campo platonico" indipendente dalla carica.

Invece le proprietà dell'apparato di misura sono modificate dalla interazione con il sistema (altrimenti non vi sarebbe misura). In formule:

Uno degli aspetti di quello che abbiamo chiamato effetto camaleonteè che in fisica quantistica la (8) in generaleè non vera.

Riflettendo su quest'affermazione si vede che, in un certo senso, il fatto sorprendenteè che (8) sia una approssimazione molto buona in molti modelli, non che essa sia violata in teoria quantistica (e nei camaleonti). Consideriamo ora un sistema composto di due sottosistemi

Supponiamo che i due sottosistemi siano spazialmente separati e soggetti ciascuno a una misura diversa. Quindi la loro evoluzione dipenderà da varie interazioni. Scriviamo:

È naturale chiedersi: come introdurre la località nella evoluzione dinamica (16)?

Ci aspettiamo che la più generale evoluzione (16) non sia locale e che la classe di evoluzioni locali sia molto particolare. La risposta a questa domanda, che sarà data in vari passi, conferma quest'attesa: i) Conviene usare la descrizione Hamiltoniana della dinamica:

ma i due sistemi sono separati, quindi la prima ipotesi di localitàè che la loro interazione sia trascurabile cioè H S 1 ,S 2 = 0 o, equivalentemente:

Se, come nell'esperimento EPR, supponiamo che l'unico vincolo tra le due misure sia la simultaneità, allora arriviamo alla seconda ipotesi di località cioè H M 1 ,M 2 = 0 o, equivalentemente:

iv) Infine l'Hamiltoniana d'interazione avrà la forma

e, ancora per la separazione spaziale,è naturale introdurre la terza ipotesi di località nella forma

Da ciò segue che la condizione di località (2)è equivalente alla condizione di fattorizazione

che corrisponde alla fattorizzazione dello spazio di Hilbert del sistema totale data da

Introduciamo ora un'altra condizione che chiameremo causalità, e che corrisponde al fatto che, all'istante iniziale, il sistema non può sapere quale misura sarà fatta su di esso. Ciò significa che la preparazione (stato) iniziale del sistema dev'essere statisticamente indipendente dallo stato dell'apparato e matematicamente si esprime nella forma:

Osserviamo che anche la causalità si esprime mediante una condizione di fattorizzazione dello spazio di Hilbert del sistema totale, ma essà e diversa da quella della dinamica, essendo data da:

Riassumendo: sia località che causalità sono espresse da una proprietà di fattorizazione, tuttavia esse corrispondono a differenti fattorizazioni dello spazio di Hilbert.

L'effetto camaleonteè un corollario di questa diversità: lo stato all'istante della misura non si fattorizza, cioè in generale non si potrà scrivere, per t > 0, nella forma

che implicherebbe in modo banale l'esistenza di probabilità congiunte per le terne (ma nonè equivalente ad essa). In particolare, se l'apparato M 1 = M a è predisposto per la misura di S 1 a e l'apparato M 2 = M b per la misura di S 2 b , allora si avrà σ(t) = T t (S,M ) σ 0 = T t σ 0 = σ a,b (t) Osservare che tutto quanto detto finoraè eugualmente valido sia per i sistemi classici che per quelli quantistici (basta sostituire la Liouvilliana all'Hamiltoniana e le parentesi di Poisson al commutatore). Quindi: l'effetto camaleonteè una caratteristica generale sia della fisica classica che di quella quantistica.

Dato che le correlazioni tra S 1

nella teoria quantistica, ne segue che che il valore d'attesa, che determina le correlazioni, dipende anch'esso dalla coppia (a, b):

e noi sappiamo che, quando l'attesa E dipende da (a, b),è impossibile applicare la disuguaglianza di Bell.

In conclusione: parliamo di effetto camaleonte quando: i) la condizione di localitàè soddisfatta ii) la condizione di causalitàè soddisfatta in questi casi: I) lo stato composto può dipendere dalla misura congiunta (1,2) in pieno rispetto della località e causalità (T t a,b σ 0 = σ a,b (t)) II) se lo stato dipende dalla misura congiunta allora la disuguaglianza di Bell non vale III) quindi la disuguaglianza di Bell può essere violata in pieno rispetto della località e causalità. Per quei sistemi per cuiè giustificata l'applicazione del postulato della misura classica (che in questo caso si riduce ad affermare che, per ogni a, b, lo stato T t a,b σ 0 , ristretto al sistema, coincide con lo stato ottenuto applicando l'evoluzione libera del sistema), si può applicare la statistica delle urne. I camaleonti sono un semplice esempio di sistema classico in cui tale postulato nonè giustificato, ma non sono certamente l'unico. Quindi il campo di applicazione delle probabilità non kolmogoroviane si estende ben al di là della teoria quantistica e ciò apre un campo d'investigazione nuovo e profondo sia per la modellistica matematica che per la filosofia della scienza, in particolare la logica induttiva.

Il terzo errore di Selleri

A pagina 9 della sua nota Selleri afferma:

. . .lo scrivere E(AB) ed E(AC) con la medesima A implica che valga la località, perché non importa se lo strumento di destra misura B o C sul secondo fotone, lo strumento di sinistra trova sempre il valore A sul primo. . .

Anche questoè sbagliato e una delle radici dell'errore sta proprio nell'uso, da parte di Selleri, di un "... formalismo inadeguato e semplicistico ...".

Più esplicitamente, Selleri usa lo stesso simbolo A per indicare un'osservabile e il generico suo valore. Vediamo ora in che modo l'uso di questo "... formalismo inadeguato e semplicistico ..." induca Selleri in errore.

A tal fine basterà costruire un esempio in cui si scrive E(AB) ed E(AC) con la medesima A ma in cui nonè affatto vero che: non importa se lo strumento di destra misura B o C sul secondo fotone, lo strumento di sinistra trova sempre il valore A sul primo Per la costruzione di un tale esempio introduciamo delle variabili ausiliarie χ BC , χ CA , χ AB come segue: χ BC vale 0 se si misura B e 1 se si misura C χ CA vale 0 se si misura C e 1 se si misura A χ AB vale 0 se si misura A e 1 se si misura B Supponiamo inoltre che le variabili A, B, C abbiano la forma:

cioè il valore di A dipende dal valore di C. Insomma in ogni caso il valore di A dipende non solo da quale misura decido di fare sull'altra variabile, ma anche dal valore ottenuto. Lo stesso naturalmente vale per le altre osservabili. In questo caso λè un parametro in uno spazio Λ. E difficile immaginare un esempio più "non locale" di questo! E sempre possibile realizzare le funzioni A, B, C su uno stesso spazio Ω (un esempio di tale spazio spazioè esplicitamente costruito alla fine del presente paragrafo).

Quindi, data una misura di probabi lità sullospazio Ω posso scrivere E(AB) ed E(AC) con la medesima A.

Ma ciò non implica affatto, come vorrebbe Selleri, che valga la località, poiché l'esempioè costruito in modo che, anche se la funzione Aè la stessa, il suo valore dipende non solo dal fatto che lo strumento di destra misuri B o C sul secondo fotone, ma anche dal risultato trovato.

Infine, dato che le ipotesi della prima parte dell'Appendice III sono soddisfatte, la disuguaglianza (VIII.6.2) di tale Appendiceè valida.

Questo esempio corrisponde al caso generale discusso nel Section 5, cioè in esso non ha importanza distinguere se le osservabili A, B, C vengono riferite alla particella 1 o alla 2.

Il caso specifico di un sistema composto di due particelle sarà discusso nel prossimo paragrafo (comunque anche in questo esempio, raddoppiando il numero delle osservabili con l'introduzione degli indici 1, 2 e introducendo l'ipotesi di anticorrelazione,è facile dedurre la disuguaglianza di Bell nella forma di Selleri).

Riassumendo: il controesempio costruito sopra mostra che l'uso della medesima A nelle varie correlazioni non implica affatto che valga la località.

Quindi anche quest'affermazione di Selleriè sbagliata.

Costruzione dello spazio

Denotiamo X A , X B , X C gli spazi dei valori delle osservabili A, B, C rispettivamente (nel nostro caso tutti questi spazi coincidono con l'insieme {−1, +1} ma, per chiarezza concettuale e per possibili generalizzazioni, conviene usare simboli diversi). Similmente introduciamo gli spazi

Infine le funzioni A, B, C sono naturalmente definite sullo spazio Ω nel senso che, anche se il loro dominio naturaleè più piccolo, esse hanno una immersione naturale nello spazio Ω come funzioni costanti nelle variabili da cui non dipendono.