PLAN DE ASIGNATURA METODOS NUMERICOS

OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA:

OBJETIVO GENERAL

Capacitar a los estudiantes en la nueva rama de la Matemática Contemporánea, la cual permita resolver problemas de ingeniería de difícil solución analítica por métodos de la Matemática Clásica; con asistencia de equipos digitales de computación.

El conocimiento de diferentes métodos y técnicas numéricas en ramas como raíces de ecuaciones, estudio de la teoría de errores y aritmética de computadoras. Método numérico: se aplica directamente para resolver un problema, haciendo un análisis de esos métodos para ser aplicados en problemas entre las características que se deben buscar para ejecutar el menor número de operaciones posibles y su convergencia sea lo más rápido posible, analizando la propagación de errores iniciales que se producen durante el tiempo de ejecución. Entonces el método numérico entre las diferentes características que debe ser analizadas, deberán analizarse los errores y los datos en el proceso del cálculo.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Análisis numérico:

Cuando nos referimos a análisis, hablamos del número de operaciones que puede ejecutar el método y el error que puede ejecutar esa cantidad operacional.

Teoría de errores y aritmética de computadoras

Los errores que estudiaremos con el enfoque del cálculo numérico los subdividiremos en dos grupos:

-Por su característica -Por su procedencia

Errores por su característica

Sea: x = número exacto X* = número aproximado

Error absoluto:

Error relativo:

Obs: en el cálculo numérico se habla de valores aproximados.

Errores por su procedencia

Antes del procesamiento de datos:

Errores inherentes:

Este tipo de errores se encuentran en los datos antes de ser procesados y que pueden provenir de diferentes fuentes, por ejemplo:

-Errores humanos -Errores por falta de precisión en los aparatos de medición -Errores provenientes de ensayos experimentales -Errores en los datos que son producto de procedimientos anteriores.

En el momento del procesamiento de datos:

-Truncamiento -Redondeo

Obs.: Para tener una idea de como se produce estos errores, debemos hacer un previo análisis de como se almacenan los números en la memoria de un computador.

Aritmética del punto flotante: En la generalidad de los casos todo numero real que ha de introducirse en un computador este se almacena de la siguiente manera:

425,41 → 0,42541x10 3 0,0653 → 0,653x10 -1

Cualquier numero real se puede representar con la siguientes características:

Ejemplo:

-41,675 → -0, 41675x10 2 (F(x) = -0, 41675x10 2 , e = 2)

Todo numero real que se almacena con las características anteriormente indicadas, se dice que es un numero normalizado con aritmética del punto flotante, entonces cualquier numero real podemos representar de la siguiente manera: Sea X = No real X = F(x)*10 e | F(x) | ≥ 0,1 | F(x) | < 0,1

Error por truncamiento:

En la matemática tradicional, cuando es aplicada para resolver un problema incluye procesos infinitos, en calculo numérico esto no es posible, por que debe definirse específicamente la cantidad de procesos, por ejemplo:

Ejemplo: Resultado: X = 0,7259x10 3 + 0, 25x10 -1

e r ≤ 1 * 10 e−t 0,1 * 10 e e r ≤ 1x10 1-t Maximo relative por redondeo truncado

Redondeo simétrico:

x = f(x)*10 e f(x)*10 e + 1x10 e-t Si g(x)≤0,5 ex = g(x)*10 e-t Si g(x)≥0,5 e x = 1 + g(x)*10 e-t e x = 0,5 + 10 e-t e r = 0,5 * 10 e−t 0,1 * 10 e e r = 0,5x10 1-t

Lista de recomendaciones para lograr una mayor precisión:

1)Cuando se van a sumar y o restar en números reales, operar siempre con los números más pequeños.

2)De ser posible evitar la sustracción de dos números muy próximamente iguales, en general esto se puede evitar factorizando aproximadamente la expresión aritmética.

3)Las expresiones: a(b-c) Λ (a-b)/c

Puede reescribirse de esta manera:

ab -ac Λ a/c -b/c Pero si existe dentro de los paréntesis números muy aproximadamente iguales, se debe ejecutar la resta antes de la multiplicación, esto para evitar redondeos adicionales.

4)Cuando no pueden aplicarse ninguna de las reglas anteriores, entonces tratar de reducir al mínimo el número de operaciones aritméticas, utilizando factorizaciones apropiadas.

Aritmética del computador

Cuando se usa una calculadora o una computadora digital para realizar cálculos numéricos, sabemos que debemos considerar el error por redondeo, este error se origina por la aritmética realizada en una maquina e involucra números con una cantidad finitas de dígitos, esto como consecuencia trae cálculos con representaciones aproximadas de los números exactos.

En una computadora digital, solo un subconjunto relativamente pequeño del sistema de números reales puede ser representado, este subconjunto contiene solo números racionales positivos y negativos y almacena una parte fraccionada llamada mantisa junto a una parte exponencial llamada característica.

Un conjunto normalizado en punto flotante consta de tres partes del conjunto Byte que se subdivide en: a)1 Bit → representa el signo b)7 Bit → represente el exponente en base (16) c)24 Bit → representa la mantisa Los 24 Byte de la mantisa corresponde entre 6 dígitos decimales, entonces podemos suponer que este numero tiene por lo menos 6 dígitos exactos de precisión.

El exponente de 7 byte representa un rango entre 0 y 127, debido a la forma del uso de los exponentes en realidad el rango es entre menos 64 y mas 63; o sea que el exponente mostrado debe ser restado automáticamente 64. b)Exponente: 1x2 6 + 0x2 5 + 0x2 4 + 0x2 3 + 0x2 2 + 1x2 1 + 0x2 0 = 66 -64 = 2 c)Mantisa: 1x2 -1 + 0x2 -2 + 1x2 -3 + 1x2 -4 +..+ 1x2 -7 + 1x2 -8 +..+ 1x2 -13 = 0,69934 x = 0,69934 x = +179,0625 (numero)

Inmediato inferior: b)Exponente: 1x2 6 + 0x2 5 + 0x2 4 + 0x2 3 + 0x2 2 + 1x2 1 + 0x2 0 = 66 -64 = 2