KLS
Matemática
instrumental
Matemática Instrumental
Rogério Siqueira Chiacchio
Junior Francisco Dias
© 2016 por Editora e Distribuidora Educacional S.A.
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eGTB Editora
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
C532m
Chiacchio, Rogério Siqueira
Matemática instrumental / Rogério Siqueira Chiacchio,
Junior Francisco Dias. – Londrina : Editora e Distribuidora
Educacional S.A., 2016.
208 p.
ISBN 978-85-8482-350-5
1. Matemática. 2. Funções. I. Dias, Junior Francisco. II.
Título.
CDD 510
2016
Editora e Distribuidora Educacional S.A.
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CEP: 86041-100 — Londrina — PR
e-mail: editora.educacional@kroton.com.br
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Sumário
Unidade 1 | Função afim e função quadrática
7
Seção 1.1 - Função
9
Seção 1.2 - Função afim
23
Seção 1.3 - Função quadrática
37
Seção 1.4 - Sinal, mínimo e máximo da função quadrática
49
Unidade 2 | Funções trigonométricas
61
Seção 2.1 - Trigonometria e aplicações
65
Seção 2.2 - Seno e cosseno
79
Seção 2.3 - Tangente e relações trigonométricas
91
Seção 2.4 - Funções trigonométricas
103
Unidade 3 | Função exponencial
119
Seção 3.1 - Potenciação e radiciação
121
Seção 3.2 - Equação exponencial
135
Seção 3.3 - Função exponencial
143
Seção 3.4 - Aplicações da potenciação
153
Unidade 4 | Função logarítmica
165
Seção 4.1 - Função logarítmica
169
Seção 4.2 - Propriedades dos logaritmos
177
Seção 4.3 - Mudança de base dos logaritmos
185
Seção 4.4 - Aplicações dos logaritmos
195
Palavras do autor
Caro aluno, seja bem-vindo!
Nesta unidade curricular será explorado um dos conceitos mais importantes da
Matemática: o de função. Utilizamos esse conceito o tempo todo, mas nem sempre
nos damos conta disso. Observe um exemplo simples: no supermercado, ao levarmos
os produtos ao caixa, o atendente passa o código de barras pelo leitor e o computador
registra o preço do item. Nesse caso, o computador desempenha o papel de uma
função, que recebe a informação de um código de barras e, como resposta, registra
o preço do produto. Essa é a ideia básica de qualquer função, ou seja, dado certo
elemento (que pode ser um objeto, um número, uma pessoa etc.), a função o relaciona
a outro, podendo este ser tão diverso quanto o primeiro.
Exemplos como o anterior podem ser adaptados para mostrar a aplicação das
funções em qualquer relação de comércio, mas não é somente nesse contexto que
as funções são utilizadas. Ao andar de carro você já deve ter reparado a funcionalidade
do velocímetro. A ação desse mecanismo também pode ser associada a uma função,
pois ele recebe o sinal referente à frequência dos giros da roda do carro, transformando
essa informação em registro de velocidade.
Esperamos que o fato de as funções estarem tão presentes em nosso dia a dia seja
motivador para seus momentos de estudo diário, os quais devem levá-lo a conhecer
e ser capaz de desenvolver e interpretar funções e gráficos do 1° e 2° graus, além de
funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas.
Para que tudo ocorra de modo organizado, este material didático foi dividido em 4
unidades de ensino, cada qual subdividida em 4 seções de autoestudo, totalizando 16
seções. A primeira unidade trata das funções afim e quadrática , enquanto a Unidade
2 aborda as funções trigonométricas. Na Unidade 3 são trabalhadas as funções
exponenciais e, por fim, na Unidade 4 são destacadas as logarítmicas. Desejamos-lhe
sucesso nesta empreitada!
Unidade 1
FUNÇÃO AFIM E FUNÇÃO
QUADRÁTICA
Convite ao estudo
Olá, aluno! Na Unidade 1 deste livro didático trataremos das funções afim
e quadrática. Essas duas classes de funções são muito utilizadas não somente
na Matemática, mas também na Física, na Economia, na Engenharia, na
Administração etc. Na Física, por exemplo, a trajetória de um projétil pode ser
descrita por uma função quadrática; função essa também utilizada na Engenharia
para modelar a geometria de algumas estruturas, a exemplo da ponte Juscelino
Kubitschek (Figura 1.1), em Brasília, cujos arcos lembram o gráfico dessa função. A
afim, por sua vez, é utilizada, por exemplo, na modelagem de alguns problemas
nas áreas econômicas e de gestão, em que a utilização de outro tipo de recurso
tornaria o problema muito complexo para ser resolvido.
Para tornar o assunto desta unidade mais interessante, veja uma situação em
que o emprego de funções pode facilitar a gestão de um negócio.
Imagine que você seja o dono de uma empresa que fabrica bonés. Para
melhor analisar os custos e lucros você decidiu estudar esses números utilizando
funções e gráficos matemáticos, buscando uma melhor organização e maiores
lucros, bem como um planejamento de expansão da empresa.
No decorrer desta unidade você será convidado a desempenhar o papel de
dono da empresa e resolver os desafios inerentes à administração dela, mas,
para tanto, precisará relacionar diversas grandezas presentes no dia a dia, bem
como interpretar números e gráficos.
U1
8
Função aim e função quadrática
U1
Seção 1.1
Função
Diálogo aberto
Para gerir melhor sua empresa, você deve analisar os custos, as receitas e o
lucro, pois sem lucro a empresa não pode ser mantida.
O custo da produção dos bonés é contabilizado a partir de diversos gastos,
como matéria-prima, mão de obra, energia elétrica, entre outros. Com isso, há
uma relação direta entre o custo e a quantidade de bonés produzida, ou seja,
quanto mais bonés produzidos, maior o custo de produção.
Além do custo, outro
item importante na gestão
da empresa é a receita, que
é o valor recebido com a
comercialização dos bonés.
Vamos imaginar que o preço
de venda dos bonés seja de
R$ 30,00 por unidade. Qual
a receita obtida com a venda
de 10 unidades? Com um
cálculo simples podemos
notar que a receita é de
R$ 300,00 (10 . R$ 30,00
= R$ 300,00). Mas, e se
quiséssemos escrever isso
em uma planilha, de modo
que em uma coluna
Figura 1.1 | Ponte Juscelino Kubitschek, em Brasília
Fonte:<https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ponte_JK_-_
Bras%C3%ADlia.jpg>. Acesso em: 19 out. 2015.
Função aim e função quadrática
9
U1
tivéssemos a quantidade vendida e, em outra, a receita correspondente, como
podemos agilizar esse cálculo para diversas quantidades comercializadas? Pense
um pouco.
Por fim, o lucro é a diferença entre a receita e o custo de produção. Vamos supor
que, a partir de balanços financeiros de anos anteriores, chegou-se à conclusão
de que, mensalmente, o custo com a produção é composto por um custo fixo
de R$ 9000,00 mais um custo variável de R$ 20,00 por boné. Nesse caso, com a
produção e venda de 750 bonés em um mês, tem-se lucro ou prejuízo? E se forem
produzidos e comercializados 1200 bonés?
Para responder a essas e outras perguntas, você deve empregar conceitos de
funções. Vamos lá?
Não pode faltar!
Conjuntos
Para compreender a ideia de função, primeiramente é necessário relembrar
alguns conceitos, geralmente trabalhados no ensino médio, entre eles, conjunto,
elemento e pertinência. Para uma melhor compreensão, observe os seguintes
exemplos:
• Conjunto das vogais: A = {a,e,i,o,u};
• Conjunto dos planetas do sistema solar: B = {Mercúrio, Vênus, Terra, ..., Netuno};
• Conjunto dos meses do ano: C = {janeiro, fevereiro, ...,dezembro}.
Lembre-se
e - 2,71828
r - 3,14159
No primeiro exemplo, A é o símbolo utilizado para representar o conjunto das
vogais; cada vogal é um elemento do conjunto. Podemos dizer inclusive que a vogal
pertence ao conjunto A, afirmação que pode ser expressa sinteticamente por
u
(lê-se: u pertence a A). A consoante m não pertence ao conjunto A e escrevemos
(lê-se: m não pertence a A). Os exemplos mais conhecidos de conjuntos são:
• Números naturais: N = { 1,2,3,4,5,6,...,99,100,101,...};
10
Função aim e função quadrática
U1
• Números inteiros: Z = {..., -7, - 6,..., -1,0,1,2,...,5,6,7,...};
• Números inteiros, sem o zero:
a | a d Z e b d Z*
• Números racionais: Q =
a tais que pertence a z e bpertence a z*);
a
b
b
• Números reais:
(lê-se: Q é o conjunto dos números
;
• Números irracionais: I = {x|x d R e x d Q} (lê-se: I é o conjunto dos números
x tais que x pertence a R e x não pertence a Q).
Em relação aos conjuntos numéricos, temos as seguintes inclusões (Figura 1.2):
(lê-se: N está contido em
.
Figura 1.2 | Conjuntos numéricos
Fonte: Os autores
Ainda sobre esses conjuntos numéricos, nenhum elemento de Q pertence a I, e
nenhum elemento de I pertence a Q, ou seja, na interseção desses dois conjuntos,
não há elementos, e indicamos isso por Q + I =Q, em que Q é o conjunto vazio. Por
fim, ao reunir os dois conjuntos, Q e I, obtemos o conjunto dos números reais, ou
seja, Q U I = R; ambos são subconjuntos de R.
Pesquise mais
Para mais detalhes sobre a teoria de conjuntos, acesse o link disponível
em:<http://www.uel.br/projetos/matessencial/medio/conjuntos/
conjunto.htm>. Acesso em: 20 out. 2015. Elaborado pelo professor Ulysses
Sodré, da Universidade Estadual de Londrina, esse site possui alguns dos
fundamentos da teoria de conjuntos, notações mais utilizadas e exemplos
numéricos com linguagem bastante acessível. Vale a pena conferir!
Função aim e função quadrática
11
U1
Produto cartesiano
Outro conceito importante para o entendimento de uma função é o de produto
cartesiano.
Assimile
A#B = {(a,b) | a d A e bd B}
}
Dados dois conjuntos A e B, o
produto cartesiano de A por B é
o conjunto dos pares ordenados
(a,b) tais que a d A e b d B.
↓
Produto cartesiano de A por B.
Veja um exemplo numérico de produto cartesiano:
Exemplificando
Considerando os conjuntos A= {0,2,3} e B = {-2,0,3,7}, escreva o produto
cartesiano de A por B.
Resolução:
A # B= {(a,b) | ad A e bd B}
Para a = 0, temos: (0, -2); (0,0); (0,3); (0,7);
Para a = 2, temos: (2, -2); (2,0); (2,3); (2,7);
Para a = 3, temos: (3, -2); (3, 0); (3,3) (3,7).
Logo,
Relação
Outro conceito muito importante para o entendimento de uma função é o de
relação.
Assimile
Dados dois conjuntos A e B, uma relação R de A em B é qualquer
.
subconjunto de A # B, ou seja,
12
Função aim e função quadrática
U1
Exemplificando
Considere os conjuntos A= {0,2,3} e B= {-2, 0, 3, 7} e escreva os elementos
da relação R descrita pela equação y=x2-2x , em que x d A e y d B.
Resolução:
Para facilitar os cálculos dos elementos de R, vamos utilizar um quadro,
como a seguir:
Elementos de A
Elementos de B
Elementos de R
x
y=x2-2x
(x,y)
0
y=x2 – 2x=02 – 2$0=0
(0,0)
2
y=x2 – 2x=22 – 2$2=0
(2,0)
3
y=x2 – 2x=32 – 2$3=3
(3,3)
Portanto, R = {(0,0), (2,0), (3,3)}. Compare os elementos de R com os
.
de A # B e veja que
Na relação R= {(0,0) (2,0), (3,3)} dizemos que o valor: 0 dA está associado ao
valor 0 dB; 2 dA está associado ao valor 2 dB; 3 dA está associado ao valor 3 dB.
Plano cartesiano
Uma relação R pode ser visualizada graficamente em um diagrama denominado
plano cartesiano. Veja, por exemplo, a representação gráfica da relação R = {(0,0)
(2,0), (3,3)} no plano cartesiano da Figura 1.3.
Figura 1.3 | Representação gráfica
Fonte: Os autores
Função aim e função quadrática
13
U1
Observe que a representação de R corresponde a três pontos no plano. Em
relação ao ponto p = (2,0), o par ordenado (2,0) corresponde a suas coordenadas.
O primeiro valor, 2, é denominado abscissa de P e o segundo, 0, a ordenada. O
valor x = 2 corresponde à distância a que o ponto P se encontra do eixo vertical,
eixo y (ou eixo das ordenadas), e o valor y = 0 à distância a que o ponto se encontra
do eixo horizontal, eixo x (ou eixo das abscissas). O ponto de coordenadas (0,0) é
denominado origem.
Em um plano cartesiano, as:
• abscissas são: positivas se estiverem à direita da origem; negativas se estiverem
à esquerda da origem;
• ordenadas são: positivas se estiverem acima da origem; negativas se estiverem
abaixo da origem.
Pesquise mais
Veja mais detalhes sobre a construção de um plano cartesiano e a
localização de pontos a partir de suas coordenadas no link disponível
em: <https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/
overview_hist_alg/v/descartes-and-cartesian-coordinates>. Acesso em:
22 out. 2015.
Função
A partir dos conceitos aprendidos até agora, podemos definir função.
Assimile
Dados dois conjuntos A e B, uma função f de A em B, denotada
,é
uma relação
tal que para cada
está associado um único
.
O conjunto A é o domínio de f (denotado por D(f)) e o conjunto B é o
contradomínio de f (denotado por CD(f)). Convenciona-se utilizar o símbolo x para
representar um elemento qualquer de A e y para representar um elemento qualquer
de B. Além disso, se x está relacionado a y por meio da função f, escrevemos y=f(x)
para simbolizar essa associação, e o par ordenado correspondente será (x,y) ou
(x,f(x)).
Im(f) = {ydB|y=f(x) e xdA} é denominado conjunto imagem de f. Além disso, se
14
Função aim e função quadrática
U1
y=f(x), então y é a imagem de x obtida por meio de f.
Para compreender melhor, considere as relações R = {(0,0) (2,0), (3,3)} e S = {(0,0),
(2,0), (3,3), (2,3)} de A= {0,2,3} em B={-2,0,3,7}. Temos que R é uma função e S não
é uma função, pois o valor 2dA está associado por meio de S a dois elementos
de B, a saber, 0 e 3. Essa constatação pode ser feita mais facilmente por meio de
um diagrama de Venn, como os apresentados na Figura 1.4.
Figura 1.4 | Diagrama de Venn: (a) da relação R; (b) da relação S
(a)
(b)
Fonte: Os autores
Observe que no caso da relação S há duas setas partindo do número 2dA, uma
relacionando-o a 0 e outra relacionando-o a 3, e isso não se encaixa na definição
de função.
Exemplificando
Considerando os conjuntos A={-2, -1, 0, 1, 3} e B= {0,1,2,4,3,9} e e a função
f: A→B, de modo que y = f (x) = x2, identifique o domínio, contradomínio
e a imagem de f.
Resolução:
Como visto anteriormente, A é o domínio de f e B é o contradomínio,
logo:
D(f) = A = { -2, -1,0,1,3}; CD(f) =B =
{0,1,2,4,3,9};
Para escrevermos o conjunto imagem
precisamos determinar os elementos
(x,y) pertencentes à relação
(vide
quadro ao lado). Logo, Im(f) = {0,1,4,9}.
x
y = x2
(x,y)
–2
y = (-2) = 4
(-2,4)
–1
y = (-1) = 1
(-1,1)
0
y=0 =0
(0,0)
1
2
y=1 =1
(1,1)
3
y=3 =9
(3,9)
2
2
2
2
Função aim e função quadrática
15
U1
Faça você mesmo
Represente graficamente e elabore um diagrama de Venn para a relação
com A={-2,- 1,0,1,3} , B = {0,1,2,4,3,9} e y = f (x) = x2.
Lei de formação e gráfico de uma função
No exemplo anterior, y = f (x) = x2 é o que denominamos lei de formação (ou
regra de associação) da função f: A→B. Em alguns problemas conhecemos a lei de
formação da função e em outros não. Quando não a conhecemos, em alguns casos,
é possível determiná-la a partir de informações do problema. Veja um exemplo:
considere que em determinado posto de combustíveis o preço do etanol seja de
R$ 2,40 o litro. Qual é a lei de formação da função que relaciona a quantidade de
etanol abastecida (x) e o valor a pagar (v(x))?
Figura 1.5 | Representação gráfica de v = 2,40.x
Fonte: Os autores
A primeira investigação da lei de formação pode
ser feita por meio da Tabela 1.1. Observe que, para
encontrarmos o valor a ser pago por determinada
quantidade de combustível, multiplicamos essa
quantidade pelo preço de um litro. Logo, ao adquirirmos
x litros de etanol, devemos pagar 2,40.x reais. Portanto, a
função v: A→B, em que A é o conjunto das quantidades
de etanol e B é o conjunto dos possíveis preços, possui
lei de formação v(x) = 2,40.x.
Os dados apresentados na Tabela 1.1, com
o acréscimo de alguns valores, podem ser
Tabela 1.1 | Preço do etanol
Quantidade
de litros
Valor a pagar
(R$)
0
0,00
1
2,40
2
4,80
3
7,20
...
...
x
2,40 . x
representados de forma gráfica, como na Figura 1.5 (a). Observe que todos os pontos
estão alinhados e, se utilizássemos inúmeros valores intermediários para x ou ainda,
se considerássemos x d R, teríamos uma linha reta, como na Figura 1.5 (b). Para fazer
16
Função aim e função quadrática
U1
essa constatação de forma mais dinâmica, acesse o link disponível em: <http://tube.
geogebra.org/m/1886475> acesso em: 23 out. 2015. A linha reta da Figura 1.5 (b) é o
que denominamos gráfico da função v. Mais formalmente, o gráfico de uma função f:
A→B é o conjunto G(f) = { (x,y) | x d A, y d B e y = f (x)} .
Exemplificando
Uma empresa de táxi cobra pela corrida um valor fixo de R$ 4,85
(bandeirada) mais um valor variável de R$ 2,90 por quilômetro rodado.
Construa a lei de formação da função que retorna o preço f(x) para
uma distância x percorrida. Além disso, escreva o domínio, a imagem
e esboce o gráfico de f . Calcule também o valor a ser pago por uma
corrida de 6 km.
Resolução:
A corrida é composta por um valor fixo de R$ 4,85 e um valor variável de
R$ 2,90 por quilômetro rodado; matematicamente, essas informações
podem ser traduzidas da seguinte forma: f(x) = 4,85 + 2,90 . x, em que
x é a distância percorrida e f(x) é o preço. Essa é a lei de formação.
A função f: A→B é tal que A (domínio) é o conjunto com todos os valores
possíveis e adequados ao problema, que pode ser qualquer quantidade
maior ou igual a zero, ou seja, x > 0 . Logo, A = { x d R | x > 0}. A imagem
de f é o conjunto Im(f) B que possui todos os possíveis preços a serem
pagos, cujo mínimo é R$ 4,85; não há valor máximo. Logo, Im(f) = {x ∈
R | x > 4,85}.
Para esboçar o gráfico de f, montamos uma tabela com alguns valores
de (x, f(x)) e esboçamos os pares
Figura 1.6 | Gráfico de f
ordenados em um plano cartesiano
(Figura 1.6).
Distância
(km)
Preço (R$)
0
f(0)=4,85+2,90.0=4,85
1
f(1)=4,85+2,90.1=7,75
2
f(2)=4,85+2,90.2=10,65
3
f(3)=4,85+2,90.3=13,55
Fonte: Os autores
Por fim, o valor a ser pago por uma corrida de 6 km é f (6) = 4,85 + 2,90.
6 = 22,25 → R$ 22,25
Função aim e função quadrática
17
U1
Pesquise mais
Para esclarecer possíveis dúvidas, leia mais sobre relações, funções e seus
gráficos em : <http://www.uel.br/projetos/matessencial/medio/funcoes/
funcoes.htm>. Acesso em: 23 out. 2015.
Sem medo de errar!
Vamos retomar o problema proposto no início desta seção. Um dos
questionamentos feitos foi: como agilizar os cálculos das receitas para diversas
quantidades de bonés comercializados? Como fazer isso em uma planilha, por
exemplo?
Lembre-se de que o preço de venda de cada boné é R$ 30,00.
- Se nenhum boné for vendido, não há receita (
- Se 1 boné for vendido, a receita é R$ 30,00 (
);
);
- Se 2 bonés forem vendidos, a receita é R$ 60,00 (
);
- Se x bonés forem vendidos, a receita é x . R$30,00 = R$30,00 . x. Portanto, a função
receita é R(x) = 30.x. Esse cálculo pode ser agilizado em uma planilha, como na Figura 1.7.
Figura 1.7 | Planilha de cálculo da receita de bonés vendidos a R$ 30,00 por unidade
(a)
Fonte: Os autores
18
Função aim e função quadrática
(b)
(c)
U1
Observe que na Figura 1.7 os valores de x estão inseridos na coluna A; os valores
de y=R(x) são calculados na coluna B, sendo cada um calculado pela função R . A
sequência (a), (b) e (c) da Figura 1.7 apenas ilustra como agilizar os cálculos.
Outro questionamento feito foi em relação ao lucro, mas, para isso, precisamos
determinar a função custo, traduzindo matematicamente a informação: “o custo com
a produção é composto por um custo fixo de R$ 9000,00 mais um custo variável de
R$ 20,00 por boné”. Observe que esse problema é semelhante ao exemplo da corrida
de táxi (trabalhado nesta seção). Por analogia, podemos escrever a função custo da
seguinte forma: C(x) = 9000 + 20 . x, em que x é a quantidade de bonés produzida.
Como o lucro/prejuízo é a diferença entre a receita e o custo, podemos analisar o
lucro/prejuízo na produção e venda de 750 ou 1200 bonés em um mês:
•
750
bonés:
(receita);
(custo); lucro = receita – custo
= 22500 – 24000 = –1500.
•
1200 bonés: R(x) = 30 . x → R(1200) = 30 . 1200 = 36000 (receita); C(x) =
9000 + 20 . x → C (1200) = 9000+20 . 1200 = 33000 (custo); lucro = receita – custo
= 36000 – 33000 = 3000.
Portanto, ao produzir e vender 750 bonés, o prejuízo é de R$ 1500,00; no caso de
1200 bonés, o lucro é de R$ 3000,00.
Pesquise mais
Veja mais detalhes de como utilizar funções e agilizar cálculos no Excel
nos links a seguir:
• Visão geral de fórmulas no Excel. Disponível em: <https://support.
office.com/pt-br/article/Vis%C3%A3o-geral-de-f%C3%B3rmulas-no-Excelecfdc708-9162-49e8-b993-c311f47ca173?ui=pt-BR&rs=pt-BR&ad=BR>.
Acesso em: 26 out. 2015.
• Preencher dados automaticamente nas células da planilha. Disponível
em:
<https://support.office.com/pt-br/article/Preencher-dadosautomaticamente-nas-c%C3%A9lulas-da-planilha-74e31bdd-d993-45daaa82-35a236c5b5db?omkt=pt-BR&ui=pt-BR&rs=pt-BR&ad=BR>. Acesso
em: 26 out. 2015.
Função aim e função quadrática
19
U1
Avançando na prática
Pratique mais
Instrução
Desaiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações
que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois as compare com as de
seus colegas.
Atualizando preços
1. Competências de Fundamentos de Área
Conhecer e ser capaz de desenvolver e interpretar
funções e gráicos do 1º e 2º grau, além de funções
exponenciais, logarítmicas e trigonométricas.
2. Objetivos de aprendizagem
Aplicar o conceito de função na atualização de
preços.
3. Conteúdos relacionados
Função; Lei de formação de uma função.
Em determinado supermercado será realizada uma
remarcação de preços para embutir o aumento da
energia elétrica no preço de venda. Após alguns
cálculos, foi decidido que cada produto deveria
sofrer um aumento de 2% e, para agilizar o trabalho,
os novos preços seriam calculados com a ajuda de
uma planilha. Veja na Figura 1.8 alguns preços a serem
ajustados.
Figura 1.8 | Tabela de preços
4. Descrição da SP
Fonte: Os autores
Qual função deve ser inserida na célula C2 para que
o preço da célula B2 seja reajustado em 2%? Qual o
preço ajustado de cada produto?
20
Função aim e função quadrática
U1
Suponha que o preço atual de um produto seja
x e que o preço ajustado seja P(x) . O preço atual
corresponde a 100%; já o preço ajustado (+2%)
corresponde a 102%. Logo, por regra de três:
5. Resolução da SP
.
Ao calcular a função P(x) para determinado preço, ela
o reajusta em 2%. Adaptando a função para a planilha,
temos que, na célula C2, devemos inserir a função
=1,02*B2. Para os preços apresentados na Figura 1.8,
temos:
Item
Preço atual
Preço ajustado
Produto
1
R$ 20,00
P(20,00) = 1,02 . 20,00 =
20,40→R$ 20,40
Produto
2
R$ 22,00
P(22,00) = 1,02 . 22,00 =
22,44→R$ 22,44
Produto
3
R$ 16,00
P(16,00) = 1,02 . 16,00 =
16,32→R$ 16,32
Produto
4
R$ 18,00
P(18,00) = 1,02 . 18,00 =
18,36→R$ 18,36
Produto
5
R$ 25,00
P(25,00) = 1,02 . 25,00 =
25,50→R$ 25,50
Lembre-se
Uma regra de três pode ser utilizada quando temos duas grandezas
proporcionais, sendo que de uma delas conhecemos dois valores e,
da outra, um valor. A regra de três é utilizada para determinar o quarto
valor. Veja um breve resumo sobre esse assunto em: <http://educacao.
globo.com/matematica/assunto/matematica-basica/regra-de-tres.html>.
Acesso em: 27 out. 2015.
Faça valer a pena
1. Os conjuntos numéricos são de grande importância para a matemática,
principalmente no estudo das funções. Os tipos mais utilizados são: números
naturais (N); número inteiros (Z); números inteiros, exceto o zero (Z*); números
racionais (Q); números irracionais (I); números reais (R).
Sobre os conjuntos numéricos e seus elementos, é correto afirmar que:
Função aim e função quadrática
21
U1
a) -1 d N.
b) 2 d I.
c)
.
d) 0dQ.
e) 0dZ*.
2. A reunião do conjunto A com o conjunto B é definida como o conjunto
C = {x|x d A ou x d B} e a simbolizamos por C = A U B.
Sendo A = {1,2,3,4,6} e B = {0,2,4,5,8} , assinale a alternativa que contém
o conjunto A U B:
a) {0,1,2,3,4,5,6,8}.
b) {1,2,3,4,6}.
c) {0,2,4,5,8}.
d) {0,1,3,4,5,8}.
e) {2,4}.
3) O produto cartesiano de A por B é o conjunto dos pares ordenados
(a,b) tais que a d A e b d B .
De acordo com o trecho anterior, assinale a alternativa que contém o
produto cartesiano de A = {1,2,5} por B = {3,4,6}:
a) {(3,1),(4,1),(6,1),(3,2),(4,2),(6,2),(3,5),(4,5),(6,5)}.
b) {(1,3),(1,4),(1,6)}.
c) {(1,3),(1,4),(1,6),(2,3),(2,4),(2,6),(5,3),(5,4),(5,6)}.
d) {(2,3),(2,4),(2,6)}.
e) {(5,3),(5,4),(5,6)}.
22
Função aim e função quadrática
U1
Seção 1.2
Função afim
Diálogo aberto
Você se lembra de que na seção anterior estudou o lucro e a receita da sua
fábrica de bonés? E que para fazer isso foi necessário relembrar alguns conjuntos
numéricos, compreender a ideia de produto cartesiano, estudar as relações
(que são subconjuntos dos produtos cartesianos) e as funções (que são casos
específicos de relações), além de representar esses conjuntos graficamente no
plano cartesiano e no diagrama de Venn?
Pois bem, tudo isso abriu caminho para outras possibilidades. Imagine que você
precise construir uma apresentação contendo um estudo sobre as finanças da
empresa, que será usada para convencer seu sócio a aumentar o investimento na
fábrica e expandir o negócio. Um gráfico mostrando os possíveis lucros com o
aumento da produção poderia ser interessante e deixá-lo empolgado. Além disso,
você poderia incrementar a apresentação com informações detalhadas sobre os
lucros (ou prejuízos) e mostrar a ele que você entende do assunto. Quanto mais
informação, maior o poder de convencimento, concorda?
Pense um pouco: Será possível determinar uma função que relacione a
quantidade produzida e comercializada com o lucro? Será que independentemente
da quantidade produzida e comercializada há lucro ou para determinadas
quantidades há prejuízo? A partir de que quantidade há lucro? Se aumentarmos
a produção em 200 bonés ao mês nos próximos três meses, indo dos atuais 600
para 1200, quanto lucro teremos no trimestre? Essas são algumas das perguntas
cujas respostas poderiam estar em sua apresentação. Entretanto, para realizar tudo
isso, temos que estudar mais a fundo as funções e, mais especificamente, a função
afim e suas propriedades. Vamos lá?
Função aim e função quadrática
23
U1
Não pode faltar!
A função afim é um tipo específico de função polinomial e, por este motivo, é
também denominada função do 1° grau ou, ainda, função polinomial de grau 1.
Mais rigorosamente definimos:
Assimile
Uma função afim é uma função f:R→R cuja lei de formação é f(x) = ax +
b, em que a d R, não nulo, é denominado coeficiente angular e b d R é
denominado coeficiente linear.
O domínio e contradomínio de uma função afim podem ser intervalos de
números reais.
Pesquise mais
Saiba mais sobre intervalos de números reais acessando o site disponível
em:
<http://www.casadasciencias.org/dmdocuments/intervalo10-11.
pdf>. Acesso em: 2 nov. 2015.
Uma característica interessante da função afim é a forma do seu gráfico, que é
uma reta (IEZZI et al., 1977, p. 96-A). Veja um exemplo.
Exemplificando
Dada a função afim f(x) =
2x + 1, escreva os pares
ordenados (x,y) tais que x
d A= {-2,-1,0,1,2}f D(f) e y
= f(x). Em seguida, esboce
o gráfico de f.
Figura 1.9 | Gráfico de f(x) = 2x + 1
Fonte: Os autores
24
Função aim e função quadrática
U1
Resolução: Para escrever os pares ordenados solicitados podemos fazer
uso do quadro a seguir:
x
y=f(x) = 2x + 1
(x,y)
-2
y = f(-2) = 2 (-2) + 1 = -3
(-2, -3)
-1
y = f(-1) = 2(-1) + 1 = -1
(-1, 1)
0
y = f(0) = 2 .0 + 1 = 1
(0,1)
1
y = f(1) = 2 .1 + 1 = 3
(1,3)
2
y = f(2) = 2 . 2 + 1 = 5
(2,5)
Para esboçar o gráfico da função, primeiramente marcamos os pontos
determinados no quadro e depois traçamos uma reta passando por eles,
como mostra a Figura 1.9.
Para uma visualização mais dinâmica da construção do gráfico dessa
função, acesse: <http://tube.geogebra.org/m/1980917>. Acesso em: 4
nov. 2015.
Da geometria, sabe-se que para determinar uma reta bastam dois pontos. Logo,
para esboçar o gráfico do exemplo anterior (e o de qualquer função afim) basta
determinarmos dois pares ordenados, e não mais que isso.
Faça você mesmo
1) Esboce o gráfico da função f(x) = 3x -2 .
Assim como podemos esboçar o gráfico de uma função afim a partir de sua lei
de formação, também é possível determinar sua lei de formação a partir de seu
gráfico. Para executar essa tarefa é necessário determinar a e b, de modo que a
função f(x) = ax + b possua o gráfico desejado. Veja um exemplo:
Função aim e função quadrática
25
U1
Exemplificando
Com base no gráfico da função afim f representado na Figura 1.10,
determine sua lei de formação.
Resolução:
O primeiro detalhe importante a ser observado é que a função é afim,
ou seja, seu gráfico é uma reta e sua lei de formação é f(x) = ax + b. Para
determinar os valores de a e b, em que o gráfico dessa função passe
pelos pontos destacados na Figura 1.10, podemos escolher dois pontos
quaisquer (escolheremos os pontos de coordenadas (1,–1) e (–1,3)).
Lembre-se de que o gráfico de uma função é formado pelos pontos (x,y),
em que y = f(x) e x d D(f). Para o ponto de coordenadas:
• (1,–1), temos: f(x) = ax + b→ f(1) = a.1+ b→- 1= a+ b;
• (–1,3), temos: f(x) = ax + b→ f(- 1) = a.(- 1) + b→ 3=- a+ b.
Observe que temos duas equações lineares, com duas incógnitas, ou seja,
um sistema linear. Neste caso, podemos simplificar o sistema somando as
duas equações, como segue:
Figura 1.10 | Gráfico de f
Fonte: Os autores
Como b = 1 temos: a + b = -1 → a + 1 = -1→ a = -1-1 = -2. Portanto, a
função procurada é f(x) = -2x + 1.
26
Função aim e função quadrática
U1
Faça você mesmo
2) Determine a lei de formação da função afim cujo gráfico passa pelos
pontos (–2,8) e (2,–4).
Função afim crescente e função afim decrescente
Uma característica interessante de ser observada em uma função afim é se ela
é crescente ou decrescente. Como essa característica é estudada para qualquer
função, podemos compreendê-la de modo geral e, depois, ver como ela se aplica
à função afim. De acordo com Thomas, Weir e Hass (2012, p. 6):
Assimile
Seja f uma função definida em um intervalo I e sejam x1 e x2 dois pontos
em I.
1) Se f(x2) > f(x1) sempre que x1<x2, então f é crescente em I.
2) Se f(x2) < f(x1) sempre que x1<x2, então f é decrescente em I.
Essa definição pode ser facilmente visualizada na Figura 1.11. No caso, f(x) é
crescente e g(x) é decrescente em I. Decorre da definição anterior que, dado x1<x2,
a função:
• f(x) é crescente, pois
• g(x) é decrescente, pois
Figura 1.11 | Função crescente e função decrescente
Fonte: Os autores
Função aim e função quadrática
27
U1
Simplificadamente, f(x) é crescente porque seus valores aumentam com o
aumento dos valores de x; e g(x) é decrescente porque seus valores diminuem
conforme os valores de x aumentam. Observe as inclinações das funções f(x) e
g(x).
Podemos denotar 3y= f (x2) – f(x1) (ou 3y= g(x2) – g(x1) , variação de y) e 3x= (x2)
– (x1) (variação de x) e utilizar a razão 3y / 3x para avaliar se a função é crescente
ou decrescente.
Uma grande vantagem de utilizar a razão 3y / 3x é que ela está diretamente
relacionada à lei de formação da função afim, sendo inclusive muito utilizada para
determinar a lei de formação a partir do gráfico. Mais precisamente, dada uma
função afim f(x) = ax + b, em relação aos seus coeficientes, temos:
Assimile
a = 3y / 3x;
se a > 0 a função é crescente e se a < 0 a função é decrescente;
f (0) = a . 0 + b= b.
Você pode encontrar a demonstração da igualdade a = 3y / 3x disponível
em: <http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2010.1/gma00116/aulas/
gma00116-aula-12-4-up-color.pdf>. Acesso em: 6 nov. 2015.
Exemplificando
Sabendo que os pontos de coordenadas (1,3) e (2,5) pertencem ao gráfico
de uma função afim, qual é a lei de formação dessa função?
Resolução:
Primeiramente calculamos as diferenças 3y e 3x e o coeficiente a = 3y/3x:
3y = f(x2) - f(x1) = 5 -3 = 2;
3x = x2 - x1 = 2 - 1 = 1;
a = 3y / 3x = 2/1 = 2.
28
Função aim e função quadrática
U1
Substituindo, f(x) = 2x + b e, além disso, f (1) = 3 → 2 . 1 + b= 3 → 2 + b= 3
→ b= 1. Portanto, a lei de formação da função é f (x) = 2x + 1
Faça você mesmo
3) Volte ao exemplo da Figura 1.10 e determine a lei de formação da
função f utilizando as igualdades a = 3y / 3x e b = f(0).
Ângulo associado a uma função afim
Figura 1.12 | Ângulo relacionado
a uma função afim
A toda função afim podemos associar um ângulo
q que está diretamente relacionado ao seu
gráfico. Esse ângulo pode ser medido a partir da
horizontal, no sentido anti-horário, como ilustra a
Figura 1.12.
Fonte: Os autores
Dica
Para visualizar a localização desse ângulo de forma mais dinâmica, acesse:
<http://tube.geogebra.org/m/1995699>. Acesso em: 06 nov. 2015.
Quando o gráfico é de uma função afim, há apenas duas possibilidades para o ângulo
q formado com a horizontal: 0o < q < 90o (a exemplo do ângulo a da Figura 1.12); ou
90o < q < 180o (a exemplo do ângulo b da Figura 1.12). Se q = 0o, ou seja, se o gráfico
for horizontal, a função é denominada constante e sua lei de formação é f(x) = b, em
que b pertence a R (R conjunto dos números reais). Se q = 90o, ou seja, se o gráfico for
vertical, não se trata de uma função, mas de uma relação.
Zero e sinal da função afim
Observe na Figura 1.13 que o gráfico de f(x) = ax + b cruza o eixo horizontal (eixo x) no
ponto P. É perceptível que a ordenada de P é igual a 0, ou seja, y = 0. Mas e a abscissa
de P, qual é seu valor? A abscissa de P é o que denominamos zero da função.
Função aim e função quadrática
29
U1
Assimile
O zero de uma função f(x) é o valor x0 tal que f(x0) = 0.
Atenção!
Alguns livros utilizam a denominação raiz no lugar de zero. Contudo, o
mais comum é dizer que funções possuem zeros e equações possuem
raízes.
Para uma função afim, se x0 é o seu zero, temos:
Figura 1.13 | Ponto de
interseção com o eixo x
Na linguagem matemática, para f(x) crescente,
temos:
(a)
quando x0 < x ou, ainda, f(x) –
f(x0) > 0 → f(x) > f(x0) = 0;
quando x < x0 ou, ainda, f (x0) Fonte: Os autores
(b)
- f (x) > 0 → f (x) < f (x0) = 0. Simplificadamente, se
f(x) é crescente e f(x0) = 0, f(x) > 0 para x > x0 e f(x)
< 0 para x < x0. A mesma análise pode ser feita para o caso de f(x) decrescente e
ambos os casos estão ilustrados na Figura 1.14.
De modo mais simples, para a região do plano cartesiano em que o gráfico de
f(x) está acima do eixo das abscissas, isto é, f(x) tem valores maiores que zero,
diz-se que o sinal da função é positivo. E para regiões em que f(x) < 0 , diz-se que
a função tem sinal negativo.
Figura 1.14 | Sinal da função afim: (a) f(x) crescente; (b) f(x) decrescente
Fonte: Os autores
30
Função aim e função quadrática
U1
Exemplificando
Dada a função f(x) = 5x – 10, determine:
a) o zero;
b) os valores de x para os quais f(x) > 0;
c) os valores de x para os quais f(x) < 0.
Resolução:
Lembre-se de que o zero da função é um valor x0 tal que f(x0) = 0. Além
disso, se a função é crescente, f(x) > 0 para x > x0 e f(x) < 0 para x < x0.
Aplicando estes conceitos, temos:
a) f (x0) = 0 → 5x0 - 10 = 0 → 5x0 = 10 → x0 = 10/5 = 2. Logo, 2 é o zero
de f(x).
b) Como a função é crescente (pois a = 5 > 0), f(x) > 0 para todos os valores
x > x0 = 2.
c) f(x) < 0 para todos os valores x < x0 = 2.
Dica
Esboce o gráfico da função e verifique as respostas graficamente.
Pesquise mais
Veja mais sobre funções e, em especial, funções afim em:<http://
cejarj.cecierj.edu.br/material_impresso/matematica/ceja_matematica_
unidade_6.pdf>. Acesso em: 10 nov. 2015. E acesse também este link:
<http://cejarj.cecierj.edu.br/material_impresso/matematica/ceja_
matematica_unidade_9.pdf>. Acesso em: 10 nov. 2015.
Sem medo de errar!
Vamos retomar o problema proposto no início desta seção: imagine-se como o
dono da fábrica de bonés e suponha que você deva convencer seu sócio a expandir o
negócio. Para isso, você deve fazer uma apresentação contendo:
a) Um gráfico com os lucros/prejuízos para cada quantidade produzida;
Função aim e função quadrática
31
U1
b) Determinar intervalos de produção para os quais há lucro ou prejuízo;
c) O lucro do trimestre com o aumento da produção dos atuais 600 bonés para
1200 bonés ao mês, com acréscimo de produção de 200 bonés mensais.
Primeiramente, para esboçar um gráfico com o lucro/prejuízo, é necessário
construir a função lucro L(x) = R(x) – C(x), ou seja, a diferença entre a receita e o custo
de produção.
Lembre-se
Na seção anterior (Seção 1.1) você estudou que a função receita era R(x)
= 30 . x e a função custo C(x) = 9000 + 20 . x, em que x é a quantidade
de bonés.
Logo, dado R(x) = 30 . x e C(x) = 9000 + 20.x, a função lucro é L(x) = 30 . x - (9000
+ 20 . x) = 10x - 9000. Podemos construir uma tabela com alguns valores de x e os
respectivos lucros/prejuízos para esboçar o gráfico, como na Figura 1.15. Com isso
resolvemos o item (a).
Figura 1.15 | Gráfico de L(x) = 10x - 9000
x
L(x)
400
–5000
600
–3000
800
–1000
1000
1000
1200
3000
1400
5000
Fonte: Os autores
Foi traçada uma linha junto ao gráfico de L(x) para melhorar a visualização.
Entretanto, o correto, nesse caso, seriam somente pontos isolados, pois só faz sentido
para essa função a atribuição de valores inteiros para x, pois se trata da quantidade de
bonés produzida.
Observe que o gráfico de L(x) cruza o eixo x no ponto de coordenadas (x0,0), em
32
Função aim e função quadrática
U1
que x0 é o zero da função. Para este problema o zero da função indica a quantidade
produzida para a qual não há lucro nem prejuízo. Para quantidades maiores que x0 há
lucro e para quantidades menores, prejuízo. Para determinar x0 resolvemos a equação
L(x0) = 0, como segue: L(x0) = 0→ 10x0 - 9000 = 0 → 10x0 = 9000 → x0 = 9000/10 =
900. Portanto, ao produzir 900 bonés o lucro é zero, ao produzir menos de 900 há
prejuízo e, ao produzir mais, há lucro, ficando resolvido o item (b).
Para chegar a 1200 bonés ao mês, a produção deve aumentar 200 bonés por mês
nos próximos três meses, sendo produzidos um total de: 800 bonés no primeiro mês;
1000 bonés no segundo mês; 1200 bonés no terceiro mês. Logo, o lucro no trimestre
será dado pela expressão L(800) + L(1000) + L(1200). Temos:
L(800) + L(1000) + L(1200) = 10 . 800 - 9000 + 10 . 1000 - 9000 + 10 . 1200 9000 = - 1000 + 1000 + 3000 = 3000
Portanto, respondendo o item (c), haverá um lucro de R$ 3000,00 no trimestre.
Dica
Pense no fato de um dia você estar em uma empresa e ter de convencer
alguém a concordar com suas ideias. Uma demonstração com
embasamento matemático, como a apresentada, não seria muito mais
convincente? Pense em como mostrar suas ideias na forma de uma
apresentação com dados, tabelas e gráficos!
Avançando na prática
Pratique mais
Instrução
Desaiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações
que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois as compare com as de
seus colegas.
Melhor Negócio
1. Competências de
fundamentos de Área
Conhecer e ser capaz de desenvolver e interpretar funções e gráicos do 1º e 2º grau, além de funções exponenciais, logarítmicas e
trigonométricas.
2. Objetivos de aprendizagem
Determinar uma função cuja análise de sinal resolva o problema
proposto.
3. Conteúdos relacionados
Sinal da função aim.
Função aim e função quadrática
33
U1
4. Descrição da SP
5. Resolução da SP
Uma empresa de aluguel de veículos possui duas opções de locação:
1ª) R$ 90,00 a diária livre de quilometragem.
2ª) R$ 40,00 a diária mais R$ 0,50 por quilômetro rodado.
Um cliente vai até essa empresa para saber as seguintes informações:
a) Para quais distâncias é mais vantajosa a 1ª opção? E a 2ª opção?
b) Para qual distância percorrida no dia ambas as opções geram o
mesmo custo?
Imagine que você seja o funcionário dessa empresa. Como orientar
o cliente?
Perceba que há uma semelhança entre esse problema e o da fábrica
de bonés. A primeira pergunta que você deve se fazer é: quais
funções relacionam a distância percorrida e o preço a pagar para
ambas as opções de locação?
Vamos denotar por f e g as funções para a 1ª e 2ª opções,
respectivamente, e por x a distância percorrida. Temos:
f(x) = 90,00 (função constante, pois independe da quilometragem);
g(x) = 40,00 + 0,50x (custo ixo de R$ 40,00 mais custo variável de
R$ 0,50).
Agora considere a função diferença d(x) = f(x) - g(x) = 90,00- (40,00+
0,50x) =- 0,50x + 50,00. Se para dado x a diferença for:
- negativa, é mais vantajosa a 1ª opção, pois d(x) < 0 → f(x) – g(x) <
0 → f(x) < g(x);
- positiva, é mais vantajosa a 2ª opção, pois d(x) > 0 → f(x) – g(x) >
0 → f(x) > g(x);
- nula, ou seja, igual a zero, ambas as opções geram o mesmo custo,
pois d(x) = 0 → f(x) – g(x) = 0 → f(x) = g(x).
Sendo x0 o zero de d(x), temos: d(x0) = 0 → -0,50x0 + 50,00 = 0
Portanto, para 100 quilômetros
→ 0,50x0 = 50,00→
percorridos no dia, o custo é o mesmo em ambas as opções (icando
respondido o item (b)).
Como o coeiciente angular de d(x) é a = -0,50 < 0, a função é
decrescente e, como consequência, positiva à esquerda de x0 = 100 e
negativa à direita desse mesmo valor. Podemos concluir a partir disso
que para distâncias menores que 100 quilômetros (x<x0 = 100) é mais
vantajosa a 2ª opção, e para distâncias maiores (x>x0 = 100) é mais
vantajosa a 1ª opção (icando respondido o item (a)). Essa conclusão
pode ser observada na Figura 1.16.
Figura 1.16 | Gráfico de d(x) = -0,50x + 50,00
Fonte: Os autores
34
Função aim e função quadrática
U1
Faça valer a pena
1. Estimou-se que em 22 dias foram desperdiçados 57,2 litros de água por
uma torneira pingando. A partir dessa estimativa pode ser desejado saber o
quanto é desperdiçado em 4 dias, em 37 dias ou em x dias. Pensando nisso,
assinale a alternativa que relaciona a quantidade de dias (x) e o volume de
água (V(x)) desperdiçado por essa torneira:
a) V(x) = 4x.
b) V(x) = 22x.
c) V(x) = 2,6x.
d) V(x) = 3,4x.
e) V(x) = 37x.
2. Lembre-se de que função afim é aquela cuja lei de formação é f(x) = ax
+ b, em que a e b são os coeficientes. Sendo o coeficiente linear igual a 2, o
coeficiente angular igual a -1 e dado x = 4, assinale a alternativa que contém
as coordenadas de um ponto pertencente ao gráfico de f:
a) (4,3).
b) (4,–3).
c) (4,1).
d) (4,–2).
e) (4,0).
3. O preço de uma corrida de táxi é composto pelo valor da bandeirada (R$
5,00) mais um valor variável que depende da distância percorrida (R$ 3,00/
km). Considerando essas informações e que por determinada corrida foram
pagos R$ 29,00, qual foi a distância percorrida?
a) 5 km.
b) 8 km.
c) 9 km.
d) 10 km.
e) 12 km.
Função aim e função quadrática
35
U1
36
Função aim e função quadrática
U1
Seção 1.3
Função quadrática
Diálogo aberto
Lembra-se que na aula anterior você precisava convencer seu sócio a aumentar o
investimento na fábrica de bonés e ampliar os negócios? Pois é, o resultado foi melhor
que o esperado. Vocês saíram do prejuízo de quando produziam 600 bonés ao mês
e começaram a ganhar dinheiro ao produzir 1200. Seu sócio ficou tão feliz que vocês
aumentaram ainda mais a produção, chegando a 2400 bonés por mês.
Figura 1.17 | Galpão
Com uma boa margem de lucro, agora é
seu sócio quem quer convencê-lo a ampliar
o negócio ainda mais aumentando o espaço
físico, indo dos atuais 300 m² (como mostra a
Figura 1.17) para 750 m² futuramente. Devido
aos equipamentos que estão instalados e o
terreno onde o galpão se encontra, o plano é
aumentar tanto o comprimento quanto a largura
em um valor x ainda desconhecido, conforme Fonte: O autor
Figura 1.18. Como seu sócio não entende tanto do assunto, pediu para que você
determinasse a medida x que deve ser acrescida e o custo desse investimento,
uma vez que se estima o valor de R$ 725,85 por metro quadrado a ser construído.
Figura 1.18 | Esboço do projeto
Fonte: O autor
Aqui vão algumas dicas: para resolver este
problema você precisa estudar um novo tipo de
função, a quadrática. Além disso, para facilitar
todo o processo, você pode se focar em
responder as seguintes perguntas:
a) Que função relaciona a medida x e a área
total do galpão, incluindo a atual? E qual função
relaciona x com o valor do investimento? Quais
os gráficos dessas funções?
b) Qual medida x proporcionará uma área total de 750 m²?
Bons estudos e sucesso neste planejamento!
Função aim e função quadrática
37
U1
Não pode faltar!
As funções quadráticas são uma classe de funções muito utilizadas em
problemas de cálculo de área, em cálculos de erro, no estudo do movimento de
projéteis, entre outros. Assim como a função afim, essa também é uma função
polinomial, mas de grau 2, motivo pelo qual é conhecida popularmente como de
2° grau. Segundo Iezzi et al. (1977, p. 123):
Assimile
Uma aplicação (ou relação) f de R em R recebe o nome de função
o elemento (ax2 +
quadrática ou do 2º grau quando associa a cada
bx + c) d R, em que a ≠ 0.
Alternativamente, podemos dizer que uma função quadrática
é aquela
cuja lei de formação é
com a ≠ 0. Os valores a, b e c são
denominados coeficientes e ax2 é o termo dominante.
Reflita
Por que para definir a função quadrática é especificado que a ≠ 0?
Uma característica importante das funções quadráticas é seu gráfico, que
apresenta uma curva plana denominada parábola (SODRÉ, 2010, p. 1). Para definir
uma parábola são necessários dois objetos, uma reta diretriz
e um ponto que chamamos de foco, conforme Figura
1.19. Não abordaremos aspectos formais da construção de
uma parábola, mas você pode se aprofundar neste assunto
acessando: <http://mathworld.wolfram.com/Parabola.html>.
Acesso em: 14 nov. 2015.
Figura 1.19 | Parábola
Para compreender melhor o gráfico de uma função
quadrática, veja o exemplo a seguir.
Fonte: Os autores
Exemplificando
Esboce o gráfico da função f(x) = x2 - 4x + 5. Resolução:
Primeiramente construímos um quadro com alguns valores de x, os
respectivos y = f(x) e as coordenadas (x,y). Observe:
38
Função aim e função quadrática
U1
x
y = f(x) = x2 - 4x + 5
(x,y)
x
y = f(x) = x2 - 4x + 5
(x,y)
-1
(-1) -4 . (-1) + 5 = 10
(-1, 10)
3
3 – 4.3 + 5 = 2
(3,2)
0
0 – 4.0 + 5 = 5
(0,5)
4
4 – 4.4 + 5 = 5
(4,5)
1
1 – 4.1 + 5 = 2
(1,2)
5
5 – 4.5 + 5 = 10
(5,10)
2
2 – 4.2 + 5 = 1
(2,1)
2
2
2
2
2
2
2
Com base nas coordenadas calculadas, marcamos os pontos e traçamos
a parábola, conforme Figura 1.20.
Figura 1.20 | Gráfico de f(x) = x2 - 4x + 5
Fonte: Os autores
Observando a Figura 1.20, há alguns elementos importantes: o ponto de
coordenadas (2,1) é o vértice e a linha vertical x = 2 é o eixo de simetria
da parábola.
No caso do exemplo anterior,
dizemos que a parábola tem
concavidade para cima, e isso
é controlado pelo coeficiente
do termo dominante, ou seja, o
valor de a. Veja a seguir alguns
gráficos de funções quadráticas
para
da forma
(Figura 1.21 (a)) e para
(Figura 1.21 (b)).
Figura 1.21 | Gráficos de f(x) = ax2 - 4x + 5 para
vários valores de a: (a) a>0 (b) a<0
Fonte: Os autores
Função aim e função quadrática
39
U1
Perceba na Figura 1.21 que, quanto mais próximo de zero está o valor de a, mais
“aberta” é a parábola e, quanto mais distante, mais “fechada”. Além disso:
Assimile
Se o valor de a é:
• Positivo, a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima;
• Negativo, a < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo.
Observe ainda na Figura 1.21 que, em todos os casos, o ponto de coordenadas
(0,5) pertence ao gráfico de f(x) = ax2 - 4x + 5 e que isso se deve ao fato de o
coeficiente c ser igual a 5. Veja: se x = 0, temos f(0) = a.02 – 4.0 + 5 = 5, não
importando o valor de a ou b.
Assimile
O coeficiente c é igual à ordenada do ponto de interseção do gráfico de
f(x) = ax2 + bx +c com o eixo y.
Assim como podemos determinar a lei de formação de uma função afim
observando seu gráfico, também é possível fazer o mesmo com uma função
quadrática. Veja um exemplo.
Exemplificando
Determine a lei de formação da função quadrática cujo gráfico é
apresentado na Figura 1.22.
Figura 1.22 | Gráfico de f(x)
Fonte: Os autores
40
Função aim e função quadrática
U1
Resolução:
Observe que o ponto de interseção do gráfico de f(x) = ax2 + bx +c com
o eixo y possui coordenadas (0,–3). Logo, c = -3 e f(x) = ax2 + bx -3. Além
disso, como os pontos de coordenadas (1,0) e (–1,–2) pertencem ao
gráfico de f(x), temos:
f(1)=0→a.12 + b.1-3=0→a + b-3=0→a+b=3;
f(-1)=-2→a.(-1)2+b.(-1)-3=-2→a-b-3=-2→a-b-3=-2→a-b=3-2=1.
Segue que a e b são tais que
Adicionando as equações, temos: (a + b) + (a - b) = 3 + 1 → 2a = 4 → a =
4/ 2 = 2. Com a = 2 obtemos: a + b = 3→2 + b =3 →b =1.
Por fim, concluímos que f(x) = 2x2 +x -3.
Para compreender melhor a relação entre os coeficientes da função quadrática e seu
gráfico, acesse o objeto disponível no link: <http://tube.geogebra.org/m/2078515>.
Acesso em: 16 nov. 2015.
Zeros da função quadrática
Lembre-se
Na seção anterior você aprendeu que denominamos zero da função o
valor da abscissa do ponto de interseção do gráfico com o eixo x. No
caso, x0 será um zero de f(x) se f(x0) = 0. Além disso, para uma função afim
f(x) = ax + b, o único zero era x0= -b/a.
Observe agora na Figura 1.22 que o gráfico de f(x) = 2x2 +x -3 corta o eixo em dois
pontos, e não somente em um, como na função afim. Entretanto, nem sempre isso
ocorre. O gráfico de uma função quadrática pode tocar o eixo das abscissas em dois,
em um ponto ou até não o tocar, como mostra a Figura 1.23.
Função aim e função quadrática
41
U1
Figura 1.23 | Zeros de uma função quadrática: (a) dois zeros; (b) um zero; (c) nenhum zero
Fonte: Os autores
Para obter os zeros de uma função quadrática, quando existem, utilizamos a fórmula
do discriminante, popularmente conhecida como Fórmula de Bhaskara:
Assimile
Dada uma função quadrática
quais f(x) = 0 são:
, os valores de x para os
ou ainda:
O valor Δ = b2 -4ac é denominado discriminante ou “delta”.
Veja um exemplo de como utilizar a fórmula do discriminante:
Exemplificando
Dada as funções a seguir, determine seus zeros, caso existam:
a) f(x) = x2 – 6x + 5
Resolução:
42
Função aim e função quadrática
b) g(x) = 2x2 + 12x +18
c) h(x) = x2 – 2x + 3
U1
a) Para esta função, os coeficientes são a = 1, b = -6 e c = 5. Logo o
discriminante será Δ = b2 -4ac = (-6)2 -4 . 1 . 5 = 36 -20 = 16. Substituindo
o valor Δ = 16, temos:
Portanto, os zeros de f são x1 = 5 e x2 = 1.
b) No caso da função g, os coeficientes são a = 2, b = 12 e c = 18. Assim,
o discriminante será
e:
Portanto, g possui um único zero e este é x=-3.
c) Para a função h, os coeficientes são a = 1, b = -2 e c = 3. Com isso,
segue que Δ = b2 – 4ac = (-2)2 – 4 . 1 . 3 = 4 – 12 = -8 e:
Como
, -8dR, isto é, não é um número real, a expressão anterior
não faz sentido para os números reais e, em consequência, a função h
não possui zeros reais.
Atenção!
No exemplo anterior a função f(x) = x2 – 6x + 5 possui discriminante
positivo, Δ =16 > 0, e dois zeros. Já a função g(x) = 2x2 + 12x + 18 possui
discriminante nulo, Δ = 0, e um único zero. Por fim, o discriminante da
função h(x) = x2 – 2x + 3 é negativo, Δ = -8 < 0, e esta não possui zeros
reais.
Esta observação é válida para toda função quadrática e pode ser compreendida
geometricamente com a Figura 1.23. Em: (a) o discriminante é positivo; (b) o
discriminante é nulo; (c) o discriminante é negativo.
Função aim e função quadrática
43
U1
Faça você mesmo
1) Determine os zeros e esboce o gráfico das funções a seguir:
a) f(x) = x2 – 8x + 12
b) g(x) = x2 + 6x -12
Pesquise mais
Para saber mais sobre as funções quadráticas, acesse o material
disponível no link: <http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/bitstream/
handle/123456789/465/2011_00355_FABIO_ANTONIO_LEAO_SOUSA.
pdf?sequence=1>. Acesso em: 17 nov. 2015.
Além disso, você pode encontrar uma demonstração simples da fórmula
do discriminante em: <http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/funcoes_
modelagem/modulo_IV/fundamentos4f.htm>. Acesso em: 17 nov. 2015.
Sem medo de errar!
Agora que já tratamos de vários detalhes acerca da função quadrática, vamos
retomar o problema proposto no início desta seção?
Uma das perguntas que você deveria responder era: qual função relaciona a medida
x e a área total do galpão, incluindo a atual? Para começar, a área de um retângulo é
obtida multiplicando as medidas de dois lados consecutivos. No caso da área atual,
a medida 300 m² é obtida multiplicando 20 m por 15 m. Para calcular a área futura,
multiplicamos (20 + x) m por (15 + x) m. Logo, a função que relaciona a medida x, em
metros, e a área futura, em metros quadrados, é:
A(x) = (20 + x) (15 + x) = (20 + x) 15 + (20 + x) x = 20 .15 + x .15 + 20 . x + x .x = x2
+ 35x + 300.
Você também deveria obter a função que relaciona a medida x com o valor do
investimento. Para construir determinada área, o investimento realizado pode ser
calculado multiplicando a área correspondente pelo valor do metro quadrado, que
é R$ 725,85. Logo, a função investimento I(x) é obtida multiplicando 725,85 (valor do
metro quadrado) pela área que será acrescida. Veja:
44
Função aim e função quadrática
U1
Para esboçar os gráficos de A(x) e I(x), calculamos alguns pares ordenados, os
marcamos no plano cartesiano e traçamos a parábola, como na Figura 1.24.
Figura 1.24 | Área acrescida e investimento: (a) quadro de valores; (b) função A(x); (c) função
I(x)
a)
b)
x
A(x)
I(x)
0
300
0,00
1
336
26130,60
2
374
53712,90
3
414
82746,90
4
456
113232,60
5
500
145170,00
c)
Fonte: Os autores
Por fim, a última informação que você deveria obter é a medida x que proporcionará
uma área total de 750 m². Como temos a função área A(x), basta igualar:
Se definirmos f(x) x2 + 35x -450, determinar x para o qual A(x) = 450 é equivalente
a calcular o zero de f. Logo:
Função aim e função quadrática
45
U1
Observe que f possui dois zeros e, portanto, há também dois valores de x para os
quais A(x) = 450. Contudo, para o problema prático, só faz sentido utilizarmos valores
positivos, pois x é uma medida de comprimento.
Concluímos deste modo que, para a área futura do galpão ser de 750 m², tanto a
largura quanto o comprimento devem ser acrescidos em 10 m.
Faça você mesmo
2) Para x = 10 m, qual é o valor do investimento na reforma do galpão?
Avançando na prática
Pratique mais
Instrução
Desaiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações
que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois as compare com as de
seus colegas.
Movimento de projéteis
46
1. Competências de
fundamentos de Área
Conhecer e ser capaz de desenvolver e interpretar funções e gráicos do 1º e 2º grau, além de funções exponenciais, logarítmicas e
trigonométricas.
2. Objetivos de aprendizagem
Aplicar os conhecimentos sobre função quadrática no estudo do
movimento de projéteis.
3. Conteúdos relacionados
Função quadrática; zero.
4. Descrição da SP
Determinado projétil é lançado para o alto e para frente, descrevendo
uma trajetória parabólica. A equação que fornece a altura do projétil
em função da distância horizontal x a que ele se encontra do ponto
de lançamento é
. Com base nessas informações, que
distância horizontal o projétil percorrerá até que toque o solo?
Função aim e função quadrática
U1
Vamos primeiramente observar o gráico dessa função na Figura 1.25.
Figura 1.25 | Gráfico de f(x)
5. Resolução da SP
Fonte: Os autores
Note que, após o lançamento, o objeto sobe até certa altura e cai
novamente até atingir o solo num ponto P, sendo a abscissa desse
ponto o zero da função. Calculando o zero, temos:
O valor de x1 corresponde ao ponto de partida e o valor de x2 é a
abscissa do ponto P. Portanto, o projétil percorrerá 30 m até atingir
o solo.
Faça valer a pena
1. Um bloco retangular de concreto tem dimensões
x + 3, x - 2 e x, conforme Figura 1.26. A função A(x)
que fornece a área total da superfície do bloco é:
Figura 1.26 | Bloco
a) A(x) = 4x2 + 4x - 12.
b) A(x) = 6x2 + 4x - 12.
c) A(x) = 6x2 + 4x + 12.
d) A(x) = 4x2 + 4x + 12.
e) A(x) = 8x2 + 4x - 12.
2. Uma caixa de papelão tem suas dimensões
representadas na Figura 1.27. A função V(x) que
relaciona x com o volume da caixa e o respectivo
volume para x = 20 cm são:
Fonte: Os autores
Figura 1.27 | Caixa de
papelão
a) V(x) = 30x2 + 180x - 1200 e 12400 cm³.
b) V(x) = 30x2 + 160x - 1200 e 14400 cm³.
c) V(x) = 30x2 + 180x - 1200 e 14400 cm³.
d) V(x) = 30x2 + 160x - 1200 e 12400 cm³.
e) V(x) = 30x2 + 180x + 1200 e 14400 cm³.
Fonte: adaptada de <https://pixabay.
com/p-152428>. Acesso em: 17 nov.
2015.
Função aim e função quadrática
47
U1
3. Uma revendedora de cosméticos estima que para um preço de x reais
são vendidas 5000 – 2x unidades de certo produto mensalmente. Para este
produto há um custo de R$ 10,00 por unidade. Nestas condições, qual é o
lucro obtido em um mês em que o preço de venda deste produto era R$
16,00?
a) R$ 28618,00.
b) R$ 16168,00.
c) R$ 50000,00.
d) R$ 29168,00.
e) R$ 48861,00.
48
Função aim e função quadrática
U1
Seção 1.4
Sinal, mínimo e máximo da função quadrática
Diálogo aberto
Na seção anterior você estudou a função quadrática, cuja aplicação
proporcionou uma solução para o problema da ampliação do galpão da empresa.
Dos 300 m² que havia de espaço físico, passou-se para 750 m² com a ampliação,
sendo acrescidos 10 m tanto no comprimento quanto na largura. O galpão
atualmente possui 30 m de comprimento por 25 m de largura.
Você ainda pôde calcular o investimento com a reforma por meio da função I
(x) = 725,85 .x2 + 25404,75 . x. Para o valor x acrescido nas dimensões do galpão,
temos: I(10) = 725,85 . 102 + 25404,75 . 10 = 72585 + 254047,5 = 326632,5 R$ →
326632,50, isto é, o investimento com a reforma foi de R$ 326632,50.
Após todos esses gastos, seu sócio quer agora recuperar parte do investimento
aumentando o preço de venda dos bonés. Atualmente são produzidos e
comercializados 2400 bonés por mês, vendidos por R$ 30,00 cada. Para que
tudo ocorra de modo planejado, ele se adiantou e fez uma pesquisa junto aos
consumidores estimando que para cada x reais acrescidos no preço de cada boné
são vendidas (2400 - 60x) unidades por mês.
Considerando as informações anteriores, qual deve ser o preço de cada boné
para que a receita seja a maior possível?
Não pode faltar!
Máximos e mínimos
Você viu na seção anterior alguns elementos da parábola, entre eles o vértice,
como ilustrado na Figura 1.28. O ponto A é o vértice do gráfico de f(x) = -075x2 +
4,5x -3,75 e o ponto B é o vértice do gráfico de g(x) = 3x2 – 42x + 145. Ambos os
gráficos possuem eixo de simetria (linha tracejada) que passa pelo vértice.
Função aim e função quadrática
49
U1
Figura 1.28 | Gráficos de f e g
Fonte: Os autores
O fato de uma parábola ter eixo de simetria significa que o lado direito da curva
é o reflexo do lado esquerdo, ou seja, se desenhássemos uma parábola em um
papel e o dobrássemos sobre o eixo de simetria, os lados da curva se sobreporiam.
Observe que o coeficiente do termo dominante de f(x) = -075x2 + 4,5x -3,75 é
negativo e que o coeficiente do termo dominante de g(x) = 3x2 – 42x + 145 é
positivo. Como já abordado na seção anterior, isso influencia na concavidade
da parábola: o gráfico de f tem concavidade para baixo e o gráfico de g tem
concavidade para cima. Em decorrência disso, há algo interessante em relação ao
vértice: no caso do gráfico de f, o vértice A é o ponto mais alto da parábola e, no
caso do gráfico de g, o vértice B é o ponto mais baixo da parábola. Isso pode ser
observado para toda função quadrática e está de acordo com o exposto a seguir:
Assimile
Seja f(x) = ax2 + bx + c uma função quadrática. Se:
• a > 0, o gráfico tem concavidade voltada para cima, e o vértice é seu
ponto mais baixo;
• a < 0, o gráfico tem concavidade voltada para baixo, e o vértice é seu
ponto mais alto.
Essa percepção gráfica em relação à função quadrática auxilia no entendimento
de um conceito estudado para qualquer função:
Assimile
Uma função f(x) possui um máximo em xv pertencente a um intervalo I,
se f(xv) ≥ f(x) para todo x d I. Nesse caso, f(xv) será o maior valor alcançado
(valor máximo) pela função nesse intervalo.
50
Função aim e função quadrática
U1
De modo semelhante, uma função f(x) possui um mínimo em xv
pertencente a um intervalo I, se f(xv) ≤ f(x) para todo x d I. Nesse caso, f(xv)
será o menor valor alcançado (valor mínimo) pela função nesse intervalo.
Em ambos os casos, dizemos que os valores são extremos da função.
No exemplo da Figura 1.28, A é um ponto
de máximo e B é um ponto de mínimo. Para
uma função quadrática, as coordenadas
do vértice são (xv, yv), em que xv é o “x do
vértice” e yv, o “ y do vértice”.
Como a parábola é simétrica em relação
ao seu vértice, segue que f(xv-1) = f(xv+1),
como mostra a Figura 1.29. Com base
nessa igualdade, temos:
Figura 1.29 | Simetria da parábola
Fonte: Os autores
Da última igualdade, segue que
. Com essa propriedade e as
observações anteriores, podemos enunciar o seguinte:
Assimile
Dada uma função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, o vértice de seu gráfico
tem coordenadas (- b/ 2a, f (- b/ 2a).
Não entraremos em detalhes, mas pode ser demonstrado que xv = - b/ 2a e yv =
-Δ/ 4a.
Reflita
Como podemos deduzir yv = -Δ/ 4a a partir de xv = -b/2a e f(x) = ax2 +
bx +c?
Função aim e função quadrática
51
U1
Exemplificando
Dada a função quadrática f(x) = 2x2 - 4x +8, determine as coordenadas
do vértice de seu gráfico e se este é um ponto de máximo ou de
mínimo.
Resolução:
Para esta função temos a = 2, b = -4 e c = 8. Logo:
Portanto, as coordenadas do vértice são (1,6).
Como a = 2 > 0 o gráfico de f possui concavidade voltada para cima, o
que implica que seu vértice é um ponto de mínimo. Nesse caso, f(1) =
6 é o menor valor (mínimo) assumido pela função.
Sinal da função quadrática
Observe na Figura 1.30 as funções f, g, h, p, q, r. A partir do exposto na seção
anterior e analisando os gráficos, segue que as funções f e p possuem dois zeros
reais cada (Δ > 0), as funções g e q possuem um único zero cada (Δ = 0) e as
funções h e r não possuem zeros reais (Δ < 0). A partir de uma análise gráfica,
podemos ainda afirmar que:
h(x) > 0 (é positiva) no intervalo (-3,+3) = R, pois seu gráfico está totalmente
acima do eixo x;
r (x) < 0 (é negativa) no intervalo (-3,+3) = R, pois seu gráfico está totalmente
abaixo do eixo x;
g(x) > 0 nos intervalos (-3,x1) e (x1, +3), em que g(x1) = 0 (na Figura 1.30, x1 = 7);
q(x) < 0 nos intervalos (-3,x1) e (x1, +3), em que q(x1) = 0 (na Figura 1.30, x1 = 7);
f(x) > 0 em (-3,x1) e (x2, +3), f(x) < 0 em (x1, x2) e f(x1) = f(x2) = 0 (na Figura 1.30,
x1= 1 e x2= 3);
p(x) > 0 em (-3,x1) e (x2, +3), p(x) < 0 em (x1, x2) e p(x1) = p(x2) = 0 (na Figura
1.30, x1= 1 e x2= 3).
52
Função aim e função quadrática
U1
Figura 1.30 | Funções quadráticas
Fonte: Os autores
Exemplificando
Dada a função f(x) = -x2 +2x + 3, faça o estudo dos sinais e determine se f
possui um valor máximo ou um mínimo e especifique esse valor.
Resolução:
Como para esta função a = -1 < 0, a
concavidade de seu gráfico é voltada
para baixo. Em consequência, o vértice é
o ponto mais alto do gráfico, tornando-o
um ponto de máximo. Além disso, como
b = 2 e c = 3, temos:
Figura 1.31 | Esboço
Δ = b2 – 4ac = 22 -4 . (-1) . 3 = 4 – (-12) = 16
→ Δ = 16 > 0.
Como o discriminante é positivo, a função
possui dois zeros reais, além de seu gráfico
Fonte: Os autores
interceptar o eixo da ordenadas no ponto
de coordenadas (0,3), pois c = 3. Com essas informações, podemos
inferir que o gráfico da função é semelhante ao esboço da Figura 1.31.
Calculando os zeros de f, temos:
Função aim e função quadrática
53
U1
Logo, f(x) > 0 em (-3, -1) e (3, +3), f(x) < 0 em (-1, 3) e f(-1) = f(3) = 0.
Para determinar o máximo de f, precisamos primeiramente do valor de xv:
Com isso, o valor máximo de f será f(xv) = f(1) = -12 + 2 . 1 + 3 = -1 +2 + 3
= 4.
Faça você mesmo
1) Dada a função f(x) = x2 + 6x + 5, faça o estudo dos sinais e determine
se f possui um valor máximo ou um mínimo e especifique esse valor.
Pesquise mais
Você pode investigar de forma mais dinâmica a relação entre os
coeficientes da função quadrática e seu sinal com o objeto disponível no
link: <https://www.geogebra.org/m/171465>. Acesso em: 24 nov. 2015.
Além disso, para ver mais sobre as funções quadráticas, principalmente
quanto a máximos e mínimos e ao sinal, acesse: <http://www.fund198.
ufba.br/apos_cnf/funcao4.pdf>. Acesso em: 24 nov. 2015.
Sem medo de errar!
Vamos retomar o problema proposto no início da seção: atualmente são produzidos
e comercializados 2400 bonés por mês e estes são vendidos por R$ 30,00 cada.
Além disso, seu sócio estimou que para cada x reais acrescidos no preço de cada
boné são vendidas (2400 – 60x) unidades por mês. Com todas essas informações,
como calcular o preço de cada boné para que a receita seja a maior possível?
Vamos interpretar o problema: obter a maior receita possível é o mesmo que obter
a receita máxima. Desse modo, se conseguirmos construir uma função receita
que modele toda essa dinâmica, obter a receita máxima é o mesmo que calcular
o valor máximo da função. Considere que o preço do boné, que atualmente é de
R$ 30,00, seja acrescido em x reais. O novo preço será:
54
Função aim e função quadrática
U1
Com o boné nessa faixa de preço, são vendidas (2400 – 60x) unidades. Lembrese de que a função receita é obtida multiplicando a quantidade vendida pelo preço,
logo:
Desenvolvendo os cálculos, temos:
R(x) = (2400 - 60x) (30 + x) = (2400 - 60x) 30 + (2400 - 60x) x = 72000 - 1800x
+ 2400x - 60x2
Portanto, R(x) = -60x2 + 600x + 72000.
Depois de interpretar o problema, podemos resolvê-lo com o auxílio da função
receita: para essa função, temos a = -60 < 0 e, consequentemente, essa função
possui um valor máximo atingido em xv = b/2a = 600 / (2 .(- 60)) = -600/(-120) =
5. Esse é o valor que pode ser acrescido no preço atual do boné para alcançar
a receita máxima. Como o preço atual é R$ 30,00, o novo valor será R$ 35,00,
ficando resolvido o problema.
Faça você mesmo
2) Qual será a receita máxima?
Avançando na prática
Pratique mais
Instrução
Desaiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações
que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois as compare com as de
seus colegas.
Área máxima
1. Competências de
fundamentos de Área
Conhecer e ser capaz de desenvolver e interpretar funções e gráicos do 1º e 2º grau, além de funções exponenciais, logarítmicas e
trigonométricas.
2. Objetivos de aprendizagem
Utilizar o conceito de máximo e mínimo de uma função na resolução
de problemas de otimização.
3. Conteúdos relacionados
Máximos e mínimos.
Função aim e função quadrática
55
U1
Uma área retangular será cercada com tela em três lados, sendo que
no quarto lado será utilizado um muro já existente, conforme Figura
1.32.
Figura 1.32 | Área a ser cercada
4. Descrição da SP
Fonte: Os autores
Se há 40 metros de tela disponível, quais serão as dimensões do cercado que possui área máxima?
5. Resolução da SP
Observe que este problema possui uma restrição: a quantidade de
tela disponível, 40 m. Considerando um cercado retangular de x de
largura e y metros de comprimento, sua área será A = xy. Utilizando
a restrição do problema, x + y + x = 40 → 2x + y = 40 → y = 40 - 2x,
temos que a função área será:
A = xy → A(x) = x(40 - 2x) = -2x2 + 40x.
Determinar a área máxima é o mesmo que determinar o máximo da
função A(x), que é atingido em xv = -b/2ª = -40 / (2 . (-2)) = -40 / (-4) =
10. Se x = 10, temos y = 40 - 2 .10 = 40 - 20 = 20. Por im, concluímos
que o cercado com área máxima terá 20 m de comprimento por 10
m de largura.
Faça valer a pena
1. Um aspecto muito interessante em relação às funções consiste em seus
valores extremos, que podem ser mínimos ou máximos. Para as funções
quadráticas, sabemos se um valor extremo será um mínimo ou um máximo
apenas observando seus coeficientes.
Em relação aos valores extremos, as funções
possuem, respectivamente:
a) máximo, mínimo e máximo.
b) mínimo, máximo e mínimo.
c) máximo, máximo e mínimo.
d) mínimo, mínimo e máximo.
e) mínimo, máximo e máximo.
56
Função aim e função quadrática
e
U1
2. Os gráficos das funções
Figura 1.33 | Funções f e g
e
possuem o mesmo vértice,
conforme Figura 1.33. Nesse
caso, qual é o valor do
coeficiente c da função f?
a) –4.
b) –2.
c) –1.
d) –3.
e) –5.
Fonte: Os autores
3. Determinado trecho de uma montanha-russa tem seu trilho a uma altura
f(x) = 0,1x2 – 2x + 14, com x pertencente ao intervalo (0,20), em metros. Nesse
trecho, qual é a altura do trilho no seu ponto mais baixo, considerando o eixo
das abscissas como sendo o solo?
a) 1 m.
b) 2 m.
c) 3 m.
d) 4 m.
e) 5 m.
Função aim e função quadrática
57
U1
58
Função aim e função quadrática
U1
Referências
ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman,
2014.
IEZZI, Gelson et al. Fundamentos de matemática elementar: conjuntos e funções. 3. ed.
São Paulo: Atual, 1977.
LARSON, Ron. Cálculo aplicado: curso rápido. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011.
ROGAWSKI, Jon. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2009.
SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.
SODRÉ, Ulysses. Funções quadráticas. 2010. Disponível em: <http://www.uel.br/
projetos/matessencial/superior/matzoo/quadratica.pdf>. Acesso em: 14 nov. 2015.
STEWART, James. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013, 1. v.
THOMAS, George B.; WEIR, Maurice D.; HASS, Joel. Cálculo. 12. ed. São Paulo: Pearson,
2012.
Função aim e função quadrática
59
Unidade 2
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Convite ao estudo
Qual é a importância da trigonometria?
Caro aluno, uma questão que sempre deve instigar reflexão é: para
que serve o que estou estudando? E a trigonometria é um caso clássico
de conhecimento que nasceu da necessidade do ser humano de resolver
problemas do seu cotidiano, sendo uma das áreas de estudo mais antigas da
Matemática. Há mais de 2.500 anos o homem vem desenvolvendo maneiras
de calcular o movimento dos corpos celestes, mapear os mares e projetar
construções, e tudo isso necessita do estudo de trigonometria.
De maneira mais abrangente, pode-se dizer que a forma de um objeto é
tão importante na determinação de sua resistência e funcionalidade quanto
o material que o constitui.
Na natureza, são inúmeros os exemplos de formas geométricas interessantes,
como a do ovo, capaz de suportar o peso de dezenas de quilos, mas é perfurado
de dentro para fora pelo delicado bico do pintinho, ou as teias de aranha (Figura
2.1), que são construídas com fios de espessura e distanciamento relativos à
escolha feita pela aranha do tamanho de suas vítimas.
Muitas destas formas geométricas nos passam despercebidas, e a beleza
não está só em nossa compreensão, mas também no uso que podemos
fazer delas.
De todas as formas da natureza, o triângulo retângulo é uma das mais
interessantes, pois pode redesenhar muitas outras. Por este motivo, ele é
nosso objeto de estudo nesta seção.
U2
Figura 2.1 | Aranha e sua teia
Fonte: <https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Spinnennetzpd.jpg>. Acesso em: 23 out. 2015.
Competência a ser desenvolvida
Objetivos
Conhecer e ser capaz de
desenvolver e interpretar funções
e gráicos do 1º e 2º grau, além de
funções exponenciais, logarítmicas e
trigonométricas
• Conhecer o triângulo retângulo e suas
relações.
• Aplicar as relações trigonométricas a estruturas
e situações-problema.
• Compreender a descrição de fenômenos
pela associação destes com as funções
trigonométricas.
Com o intuito de aproximar o conteúdo que será abordado nesta seção
com o cotidiano das pessoas, será apresentada uma situação muito próxima
à realidade, na qual muitos elementos podem, inclusive, ser aproveitados
numa busca pessoal pela estabilidade financeira.
Seno, Cosseno e Tangente são amigos há muito tempo. Além dos nomes
estranhos, possuem algumas outras coisas em comum, sem contar as
diferenças que se complementam. Estes três amigos moram numa cidade
de médio porte, na Região Sudeste do Brasil, e, buscando um novo nicho
de mercado, resolveram abrir uma empresa com o nome SABC (Soluções
Ambientais de Baixo Custo), propondo a instalação de painéis solares,
sistemas de arrefecimento, otimização do sistema hidráulico das construções
e outras inovações, tudo pela metade dos preços normalmente cobrados
62
Funções trigonométricas
U2
pelas empresas já estabelecidas no mercado. Entretanto, depararamse com algumas situações cujas soluções exigem conhecimentos de
trigonometria, como estimar o tamanho das placas solares, conforme a
inclinação dos telhados das casas, e a altura das caixas d'água, bem como
estruturas baseadas no tamanho e na posição das janelas e portas das casas,
a fim de sugerir uma maneira de bloquear eficientemente os raios solares
que sobreaquecem o interior das casas no verão. Esses conhecimentos
também são importantes para descobrir como economizar materiais na
construção do sistema hidráulico, buscando o menor caminho entre a
alimentação e os pontos de consumo de água.
Funções trigonométricas
63
U2
64
Funções trigonométricas
U2
Seção 2.1
Trigonometria e aplicações
Diálogo aberto
Prezado aluno, seja bem-vindo!
Na primeira unidade deste livro, vimos que função é uma relação matemática que
permite associar um dado com outro, como a função de primeiro grau, que, entre
outros exemplos, foi usada para relacionar os bonés produzidos e vendidos com lucro,
ou as quadráticas, muito usadas na descrição de estruturas de pontes, de fenômenos
de balística e dão forma às antenas ditas parabólicas, para melhor receber um sinal.
Nesta segunda unidade, também estudaremos funções, mas as que se aplicam,
principalmente, a fenômenos cíclicos, ou seja, repetitivos, como: ondas, pêndulos e
movimento rotacional. Antes disso, relembraremos os fundamentos da trigonometria,
que incluem a descrição de um triângulo e as relações entre suas partes, conceitos
necessários na resolução de problemas envolvendo estruturas e forças nas Engenharias,
Física e Química.
Para iniciar, como a trigonometria poder ajudar na elaboração de uma solução
para o seguinte problema encontrado pelos três sócios na empresa SABC?
A luz solar que entra pela janela das casas aquece seu interior, o que pode ser
bom no inverno. Entretanto, no verão, o aquecimento do interior das casas pode ser
excessivo e incômodo. Como fazer para que, de maneira simples e barata, só entre
luz direta no interior das casas no inverno, sem que tenhamos de fechar as janelas, ou
mesmo as cortinas, no verão? Como esta solução pode ser aplicada a outras aberturas
da casa?
Uma importante observação feita pelos sócios foi que nos meses mais quentes do
ano o Sol cruza o céu numa posição mais alta, ou seja, seus raios estão na vertical,
ou próximos dela, e experimentos feitos mostraram que os raios solares com alta
intensidade, e que devem ser bloqueados, ocorrem quando o Sol deixa uma sombra
com proporção de 5 para 12 para com um objeto colocado na vertical (Figura 2.2).
Funções trigonométricas
65
U2
Figura 2.2 | Figura representativa mostrando a sombra de um objeto causada pelo Sol no
momento em que sua radiação passa a ser mais intensa
Fonte: Os autores
Lembre-se: como dito no Convite ao Estudo, formas da natureza podem ser
redesenhadas usando triângulos retângulos, e tudo, mesmo aquilo que é construído
pelo ser humano, faz parte da natureza.
Não pode faltar
Triângulos são figuras com três lados. Mas quantos tipos existem? Basicamente,
podemos classificá-los com relação aos ângulos internos ou à medida de seus lados,
como na Figura 2.3 e Figura 2.4.
Figura 2.3 | Nomenclatura do triângulo segundo seus ângulos internos
Acutângulo: possui 3
ângulos
menores que 90o
Retângulo: Possui um
ângulo igual a 90o
Obtusângulo: possui um
ângulo maior que 90o
Fonte: Os autores
Figura 2.4 | Nomenclatura do triângulo segundo as medidas dos lados
Equilátero:
3 lados iguais
Fonte: Os autores
66
Funções trigonométricas
Isósceles:
2 lados iguais
Escaleno:
lados diferentes
U2
Tomando o triângulo retângulo como exemplo, como denominamos seus
ângulos, lados e arestas? Além de nomes específicos a algumas situações, para os
lados (ou arestas) usam-se letras minúsculas; para os vértices, letras maiúsculas; e, para
os ângulos, letras gregas, como a (alfa), b (beta) e γ (gama), como na Figura 2.5:
Figura 2.5 | Nomenclaturas usadas para as partes que compõem o triângulo retângulo
Fonte: Os autores
Pesquise mais
• Cateto é aquele que cai e, quando estiver oposto ao ângulo de referência,
recebe o nome de cateto oposto. O cateto adjacente recebe este nome
quando estiver junto ao ângulo de referência.
• Hipotenusa vem do grego hypotenousa, que significa “o que se estende
debaixo”, no caso, do ângulo reto, ou seja, aquele que tem 90° e dá nome
ao triângulo retângulo.
• Pesquise mais: <http://origemdapalavra.com.br/site/palavras/cateto/>.
Acesso em: 11 jan. 2016.
Ao tentar descrever a natureza com figuras geométricas, é possível perceber
que muitas figuras podem ser descritas pelo aglomerado de triângulos retângulos,
independentemente se são quadradas, trapezoidais, outros tipos de triângulos ou
mesmo esféricas (Figura 2.6), ou seja, este tipo de triângulo seria a unidade formadora
das outras formas planas.
Figura 2.6 | Formas geométricas e seus cortes em triângulos retângulos
Fonte: Os autores
Funções trigonométricas
67
U2
Utilizamos esse princípio para resolver problemas de forças em estruturas e cabos
nas engenharias, ação conjunta de várias forças em Física e Química, otimização de
cortes em chapas e tecidos e para obter as chamadas medidas inacessíveis, feitas a
distância, como a largura de rios, a altura de montanhas e distâncias interestelares.
Iniciaremos nosso estudo dos triângulos pelas regras de proporcionalidade e pelo
Teorema de Pitágoras, sendo que a proporcionalidade pode ser aplicada a qualquer
triângulo, já o Teorema de Pitágoras somente aos triângulos retângulos.
Proporcionalidade
Assimile
“Dois triângulos são semelhantes se for possível estabelecer uma
correspondência biunívoca (um a um) entre seus vértices de modo que os
ângulos correspondentes sejam iguais e os lados correspondentes sejam
proporcionais.” (BARBOSA, 1995, p. 92)
Simplificadamente, se dois triângulos são semelhantes, ou eles são iguais ou um
é uma ampliação (redução) do outro. O fato de dois triângulos serem semelhantes
implica que, se dividirmos as medidas de dois elementos de um dos triângulos e
efetuarmos a divisão correspondente para os elementos do outro triângulo, os valores
serão iguais, isto é, se tomarmos um dos triângulos como referência e dividirmos sua
altura pela medida da base, o valor obtido será exatamente igual ao da divisão da
altura pela medida da base do outro triângulo (Figura 2.7), ou seja, suas proporções ou
medidas relativas são as mesmas.
Figura 2.7 | Proporcionalidade entre altura e base de triângulos semelhantes
Fonte: Os autores
O mesmo ocorre com as divisões entre as medidas dos lados correspondentes,
.
ambas têm o mesmo resultado:
68
Funções trigonométricas
U2
Exemplificando
O caso da escada
Com base no princípio de proporcionalidade, é possível fazer uma
rápida estimativa do tamanho de uma escada em uma casa. Para isso,
é necessário seguir as recomendações de segurança dos bombeiros e
também a Fórmula de Blondel. Uma boa proporção entre o espelho e
o piso dos degraus desta escada (altura e base) é de 18 cm por 28 cm.
Qual seria, então, o afastamento de uma escada que interliga dois pisos
de andares separados por 2,8 m (Figura 2.8)?
Figura 2.8 | Semelhança de triângulos aplicada para estimar a base de uma
escada
Fonte: Os autores
Pelas regras de proporção, a altura do degrau dividida pela largura tem
valor igual à divisão da altura da escada pela medida do afastamento (x),
ou seja:
Pesquise mais
Para ver mais detalhes sobre a Fórmula de Blondel, acesse o link: <http://
www.corpodebombeiros.sp.gov.br/rev_it/IT11.pdf>. Acesso em: 18 nov.
2015.
Existem outras relações de proporção que podem ser correlacionadas?
Sim, qualquer razão entre comprimentos em um triângulo é igual à
razão correspondente em outro triângulo semelhante. Veja algumas
na Figura 2.9.
Funções trigonométricas
69
U2
Figura 2.9 | Outras relações de proporção para o triângulo retângulo
h1
h2
a2
a1
b1
b2
Fonte: Os autores
Teorema de Pitágoras
Na segunda metade do século VI a.C., Pitágoras fundou em Crótona uma confraria
científico-religiosa com a finalidade de estudar a harmonia do cosmo e libertar a
alma humana pelo seu esforço em estudar a estrutura numérica das coisas (OS PRÉSOCRÁTICOS, 2000). Nesta sociedade, Pitágoras se estabeleceu professor, fundando
a primeira universidade do mundo, foi o primeiro a usar as palavras mathematike,
e philosophia, além de ter sido o primeiro a realizar um experimento científico
(SIMMONS, 1987).
Na visão dos pitagóricos, sendo a harmonia do cosmo dada pela presença do divino
e explicada pelas relações geométricas e numéricas, o menor triângulo retângulo com
lados de medidas inteiras possível deveria ser perfeito. Entretanto, os comprimentos
dos lados desse triângulo pareciam gerar uma distribuição injusta, pois 3+4 > 5, mas
a soma de seus quadrados não, como já era conhecido antes de 1600 a.C. pelos
babilônios (<http://global.britannica.com/topic/Pythagorean-theorem>. Acesso em:
27 nov. 2015). O grande feito dos pitagóricos foi serem os primeiros a provar essa
expressão, 32 + 42 = 52, de forma geométrica.
Figura 2.10 | Demonstração geométrica do Teorema de Pitágoras
Fonte: Os autores
70
Funções trigonométricas
U2
É fácil perceber esta igualdade ao observarmos a Figura 2.10, em que a soma das
áreas dos quadrados posicionados sobre os lados denominados catetos é igual à área
do quadrado posicionado sobre o maior lado, denominado hipotenusa.
Como cateto é aquele que cai, o lado de valor 3 é cateto quando 4 for a base,
e 4 será cateto quando 3 for base, sendo ambos catetos. Mais rigorosamente, o
Teorema de Pitágoras é enunciado como:
Assimile
Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao
quadrado da hipotenusa: a² + b² = h².
Esse teorema é muito útil nos casos em que se deseja calcular a medida de um
lado do triângulo retângulo conhecendo os outros dois.
Pesquise mais
Para saber um pouco mais da história das descobertas de Pitágoras e
aplicações de seu teorema, sugerimos as seguintes referências:
• SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo:
McGraw-Hill, 1987.
• Pitágoras de Samos. Disponível em: <https://www.ime.usp.br/~leo/
imatica/historia/pitagoras.html>. Acesso em: 23 nov. 2015.
Exemplificando
Torre estabilizada por cabos
Na construção de algumas torres transmissoras de rádio, são usados
cabos ligando seu centro e topo ao chão, numa diagonal, para estabilizála da ação do vento. A altura da torre é predefinida e o local onde são
presos os cabos no chão pode ser medido, mas qual é o comprimento de
um destes cabos? Se uma torre tiver uma altura de 20 m, qual deve ser o
comprimento do cabo ligado ao seu topo se ele estiver preso a 15 m do
pé da torre, conforme Figura 2.11?
Funções trigonométricas
71
U2
Figura 2.11 | Desenho esquemático de uma torre de transmissão de rádio
Fonte: Os autores
Resolução:
Observe, na Figura 2.11, que temos um triângulo retângulo e, portanto,
vale o Teorema de Pitágoras. Considerando a altura da torre e a distância
desta do local onde o cabo está preso como catetos, o comprimento do
cabo será a hipotenusa. Consequentemente:
Logo, o comprimento do cabo será 25 m.
Faça você mesmo
Pitágoras e a bicicleta
Ao observar uma bicicleta, é intrigante que o comprimento da corrente
deva se ajustar aos diferentes tamanhos das engrenagens. Qual é a
variação no comprimento da parte reta superior da corrente de uma
bicicleta quando trocamos sua marcha da mais leve para a mais pesada,
acionando apenas o câmbio dianteiro (coroa)?
Dados: o diâmetro da maior engrenagem da catraca é 9 cm, valor igual ao
da menor engrenagem da coroa. Já a maior engrenagem da coroa tem seu
diâmetro igual a 19 cm, sendo a distância entre os eixos destas engrenagens
igual a 45 cm, conforme esquema simplificado da Figura 2.12.
72
Funções trigonométricas
U2
Figura 2.12 | Esquema simplificado mostrando o tamanho e posições da
catraca e coroa de uma bicicleta com marchas
Fonte: Os autores
Sem medo de errar
Como aplicar os conhecimentos aprendidos ao problema proposto no início desta
seção e eliminar a entrada direta da luz solar pelas janelas e portas das casas, evitando seu
sobreaquecimento no verão, mas sem impedir que esta mesma luz entre no inverno?
Conforme experimentos feitos pelos sócios, a proporção entre a medida da
sombra e a altura de um objeto colocado ao Sol no início do período de irradiação
mais intensa é 5/12, e esta proporção pode ser utilizada na construção de toldos ou
outros anteparos para bloquear este tipo de irradiação, conforme Figura 2.13.
Figura 2.13 | Figura representativa de iluminação causada pelo Sol na parede de uma casa
conforme muda a inclinação de seus raios luminosos
Fonte: Os autores
Por exemplo, para uma veneziana com 1 m de altura, qual tamanho deve ter um
toldo se ele for fixado 30 cm acima dela (ver Figura 2.14)?
Convertendo 30 cm em metros, e somando este valor à altura da veneziana, tem-se:
Portanto, para esta veneziana, basta um toldo com 54 cm de comprimento
para bloquear os raios solares mais fortes.
Funções trigonométricas
73
U2
Figura 2.14 | Representação do triângulo retângulo formado pela sombra de um toldo com
medida x, colocado 30 cm acima de uma veneziana de 1 m
Fonte: Os autores
Avançando na prática
Pratique mais
Instrução
Desaiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações
que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois as compare com as de
seus colegas.
Fotografando melhor com triângulos
74
1. Competências de fundamentos
de área
Conhecer e ser capaz de desenvolver e interpretar funções
e gráicos do 1º e 2º grau, além de funções exponenciais,
logarítmicas e trigonométricas.
2. Objetivos de aprendizagem
Aplicar as regras de proporção entre iguras semelhantes a
situações do cotidiano.
3. Conteúdos relacionados
Proporcionalidade entre as medidas dos lados dos triângulos.
4. Descrição da SP
O efeito da luz projetada através de um orifício em uma
parede no fundo de um cômodo, ou câmara, é similar ao que
ocorre no olho, nas câmeras fotográicas e ilmadoras. Nas
câmeras fotográicas proissionais, usa-se uma numeração
correspondente ao zoom, ou efeito de aproximação da
imagem, que, para lentes normais, varia entre 28 e 80, dados
em milímetros. Este número representa a distância entre o
orifício da câmera (frente da lente) e o ilme, ou receptor
eletrônico, para o caso de câmeras digitais. O ajuste em 52
mm equivale à visão humana, indicado para dar realismo
às paisagens. Valores menores distanciam e arredondam a
imagem, deixando as pessoas com aparência mais gorda,
e valores maiores aproximam a imagem, indicados para
fotografar detalhes.
Considerando um ilme fotográico de 19 mm de altura, a
distância entre a câmera fotográica e uma pessoa de 1,75 m
de altura para que esta apareça ocupando praticamente toda
a foto, quando o ajuste do zoom for de 52 mm, é calculada
com base na Figura 2.15.
Funções trigonométricas
U2
Figura 2.15 | Representação de uma câmera fotográica e a
pessoa a ser fotografada
Fonte: Os autores
Podemos observar a presença de dois triângulos semelhantes
nessa igura, ilustrados de modo mais simples na Figura 2.16.
Figura 2.16 | Triângulos semelhantes
Fonte: Os autores
Qual é a distância d indicada?
Pelo fato de os triângulos serem semelhantes, as razões
correspondentes são iguais, ou seja:
5. Resolução da SP
Dica
Na prática, afaste-se sempre cinco passos da pessoa a ser fotografada,
aproximando pelo zoom partes ou detalhes do corpo da pessoa, caso
queira, por exemplo, fotografar tronco e rosto. Se não houver espaço
suficiente para isso, afaste-se três passos para tirar foto de meio corpo, ou
dois passos para enquadramento 3×4.
Faça valer a pena
Texto para as questões 1, 2 e 3
Para embarcar cavalos em um caminhão, usa-se uma rampa que toca o solo 3,2 m
atrás do caminhão, cuja carroceria tem 90 cm de altura, conforme Figura 2.17.
Funções trigonométricas
75
U2
Figura 2.17 | Rampa para embarque de equinos num caminhão
Fonte: <https://pixabay.com/p-39103>. Acesso em: 23 nov. 2015.
Para o posicionamento dessa rampa, é importante observar o índice de subida,
dado pela razão entre a altura e o afastamento, valor que pode ser calculado de
forma percentual como indicado a seguir:
1. Qual é o valor em porcentagem do índice de subida da rampa usada
para levar os cavalos à carroceria do caminhão?
a) 15%
b) 90%
c) 32%
d) 28%
e) 41%
2. Qual é o comprimento dessa rampa?
a) 4,1 m
b) 3,3 m
c) 3,7 m
d) 2,3 m
e) 5,0 m
3. Sabendo que o cavalo escorregará se a rampa tiver índice de subida
maior que 0,3, qual é o comprimento mínimo que esta rampa pode ter?
a) 3,1 m
b) 3,3 m
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Funções trigonométricas
U2
c) 3,7 m
d) 4,1 m
e) 2,3 m
Funções trigonométricas
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Funções trigonométricas
U2
Seção 2.2
Seno e cosseno
Diálogo aberto
Na primeira seção desta segunda unidade do livro didático, vimos um pouco
sobre trigonometria, que tem como figura-chave o triângulo retângulo. Conhecer a
fundo esta figura nos permite resolver problemas em muitas áreas do conhecimento
e atuação humana. Até o momento, vimos relações entre as partes externas do
triângulo retângulo, ou seja, seus lados, como as regras de proporção entre duas
figuras semelhantes e o Teorema de Pitágoras. Mas, e as partes internas, os ângulos?
Existem relações entre as partes externas e internas?
A partir deste momento, iremos entender o que os amigos Seno, Cosseno e
Tangente possuem em comum, já que foram batizados com os mesmos nomes
dados às relações existentes no triângulo retângulo. Cada amigo, e sócio da empresa
SABC, foi responsável pela apresentação de uma solução ambiental, cabendo ao Seno
resolver o seguinte problema:
Painéis solares de baixo custo para aquecimento de água de banho podem ser
feitos com forro de PVC, custando menos de 10% do valor de um painel metálico
padrão. Devido à variação do posicionamento do Sol no céu em relação à superfície
do chão na Região Sudeste do Brasil ao longo do ano, estes painéis precisam estar
inclinados entre 15 e 25 graus, pois devem ter inclinação similar à latitude local, além do
fato de que devem estar voltados para o Norte geográfico. Qual é o comprimento de
um painel solar instalado no telhado de uma casa na Região Sudeste se sua inclinação
acompanha a do telhado da casa e sua parte mais alta deve estar no máximo 20 cm
acima do piso da caixa d’água? Para a resolução deste problema, pode-se considerar
um telhado com inclinação padrão de 35% (≈20°), em que a caixa d’água fica 20 cm
acima do piso da laje, o painel solar tem sua parte mais baixa na altura da laje e sua
parte mais alta a meia altura da caixa d’água que tem 40 cm de altura.
Funções trigonométricas
79
U2
Não pode faltar
Lembre-se
Na Seção 2.1 desta unidade vimos como aplicar as regras de proporção e
o Teorema de Pitágoras para calcular o comprimento desconhecido de
um dos lados de um triângulo.
Nestes casos, os valores usados referem-se aos lados, ou seja, valores externos do
triângulo. Nesta segunda seção, iremos ampliar nossas ferramentas de trabalho com o
triângulo retângulo, considerando, também, suas partes internas, ou seja, seus ângulos
internos.
Com relação aos valores dos ângulos, o próprio Pitágoras já havia demonstrado, 400
anos a.C., que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, independentemente
de seu formato (Figura 2.18).
Figura 2.18 | Alguns exemplos de triângulos, mostrando que a soma de seus ângulos
internos é 180º, independentemente de sua forma
Fonte: Os autores
Algumas denominações para os ângulos, entre 0° e 180°, que podem ser úteis são:
•
•
•
a= 90° ângulo reto. Símbolo:
a< 90° ângulo agudo;
;
a> 90° ângulo obtuso.
Já que em um triângulo retângulo a soma dos dois ângulos agudos é sempre 90°,
pois os outros 90° provêm do ângulo reto, o valor de um dos ângulos agudos é sempre
90° menos o valor do outro ângulo agudo, ou seja, em um triângulo retângulo, cujos
ângulos agudos sejam a e b, temos:
a + b = 90° ⇒ b = 90° - a
80
Funções trigonométricas
U2
Assimile
Diz-se que b é o ângulo complementar de a, pois é o que falta para 90°.
Exemplificando
Qual é o valor do ângulo a na Figura 2.19?
Figura 2.19 | Triângulo retângulo
Fonte: Os autores
Resolução:
Uma das maneiras de resolver esta questão é visualizar que o segmento de
reta vertical mostrado é um dos componentes geradores de a e forma um
triângulo retângulo menor com um ângulo de 30°. Portanto, pela regra que
envolve a soma dos ângulos agudos de um triângulo retângulo aplicada ao
triângulo menor: b = 90° - 30°, tem-se, b = 60° (ver Figura 2.20).
Figura 2.20 | Triângulo retângulo com destaque para o ângulo b
Fonte: Os autores
Sendo a hipotenusa uma reta, b + a + 90° = 180°. Como b = 60°, segue
que 60° + a + 90° = 180° ou a = 30°.
Podemos, agora, definir os nomes usados para as proporções altura/deslocamento
e base/deslocamento (ou afastamento/deslocamento) no triângulo retângulo, ou seja,
a b
e , para as quais a é a altura, b é a base e c é o comprimento (hipotenusa). Mas, antes
c c
disso, lembremo-nos do que já foi descrito na Seção 2.1:
Funções trigonométricas
81
U2
Lembre-se
Se tomarmos o ângulo para com o horizonte como referência, ângulo
a, a altura é o cateto oposto a ele e a base é o cateto que está junto,
denominados, portanto, cateto oposto e cateto adjacente ao ângulo a.
Como estas proporções possuem valores constantes para um mesmo ângulo a,
independentemente do tamanho do triângulo (faça essa verificação por meio do link
disponível em: <http://tube.geogebra.org/m/2292809>. Acesso em: 14 dez. 2015), dáse o nome de seno (denota-se sen) para a proporção a e de cosseno (denota-se cos)
c
para b , como mostra a Figura 2.21.
c
Figura 2.21 | Triângulo retângulo e as relações seno e cosseno tomando a como referência
Fonte: Os autores
Assimile
Em um triângulo retângulo de lados a, b e c, em que a e b são adjacentes
ao ângulo de 90°, c é a hipotenusa e a é o ângulo adjacente ao lado b,
temos:
Atenção!
O nome cosseno vem de co-seno, ou complementar de seno, pois os
valores de sen a são iguais aos valores de cos b, para os quais b = 90° - a.
Pesquise mais
Para se aprofundar no assunto, consulte o link: <http://ecalculo.if.usp.br/
historia/historia_trigonometria.htm>. Acesso em: 16 dez. 2015.
Para conhecer um pouco da história da nomenclatura “seno”, consulte
82
Funções trigonométricas
U2
o link: <http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=32>. Acesso
em: 14 dez. 2015.
Costuma-se construir tabelas com valores de seno e cosseno para vários valores
de a entre 0° e 90°, sendo os principais denominados ângulos notáveis. Veja alguns
deles na Tabela 2.1:
Tabela 2.1 | Valores de seno e cosseno para os ângulos notáveis
a
0°
30°
sen a
0
1
2
cos a
1
√3
2
45°
√2
2
√2
2
60°
√3
2
1
2
90°
1
0
Fonte: Os autores
Observação: ao analisar os valores da Tabela 2.1, note que sen a = cos b, em que
b = 90° - a.
Assimile
Em resumo:
• A somatória dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180º.
• O triângulo ABH (Figura 2.22) é retângulo, pois Ĥ é reto (90o), tendo a e b
como catetos e h como hipotenusa. Assim:
Para sen a e cos a, lê-se: “seno de alfa” e “cosseno de alfa”.
Figura 2.22 | Triângulo retângulo e seus elementos
Fonte: Os autores
Funções trigonométricas
83
U2
Atenção!
a, b... (letras gregas), Ĥ, Â (letras maiúsculas com acento circunflexo) ou
formas como BĤA indicam ângulos. Neste último caso, o ângulo Ĥ entre
os segmentos de reta HA e HB.
Da mesma forma que se pode associar um valor de seno e cosseno a um ângulo,
pode-se, também, fazer o contrário e descobrir que ângulo gerou determinado valor
de seno ou cosseno. Para isso, podem ser consultadas tabelas matemáticas ou, por
meio de uma calculadora científica, pode-se usar as funções sin-1 ou asin (arcsen) para
seno e cos-1 ou acos (arccos) para cosseno.
Atenção!
As calculadoras seguem a notação em latim, por isso sin, e não sen, e o
expoente -1 indica função inversa.
A abreviatura arcsen significa “o arco cujo seno vale...” e é a representação
mais precisa, mas a menos utilizada.
Numa calculadora científica, digita-se:
resultado, portanto, sin-1 0,5 = 30. Ou, ainda, digita-se
obter 30 como resultado.
para obter 0,5 como
para
Deve-se ter em mente que seno e cosseno são valores adimensionais, pois na
razão entre as medidas as unidades são canceladas. Veja o exemplo a seguir.
Exemplificando
Qual é o índice de inclinação e o ângulo de inclinação de um telhado que
possui comprimento de 6 m, afastamento de 5,7 m e cumeeira de 1,8 m?
Resolução:
Primeiramente, esboçamos o telhado, como na Figura 2.23.
84
Funções trigonométricas
U2
Figura 2.23 | Esboço do telhado
Fonte: Os autores
O índice de inclinação corresponde à razão entre a altura e o afastamento
do telhado, logo:
Índice de inclinação = altura/afastamento = 1,8 m/5,7 m ≈ 0,3158 ≈ 32%.
Para o cálculo do ângulo de inclinação (a) se faz necessária a utilização do
seno desse ângulo, como segue:
Utilizando uma calculadora científica, digitamos:
Para obter a= sin-1 0,30 ≈ 17,5°.
Reflita
Se por definição o seno é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa,
e cosseno é razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa, quais seriam
os valores de seno e cosseno do ângulo b na Figura 2.21? Pense na
observação feita logo após a Tabela 2.1!
Pesquise mais
O arquivo indicado a seguir mostra detalhadamente as relações entre
ângulos, seus nomes e simbologias, além das relações trigonométricas e
complementos: Disponível em:
<http://www.culturaacademica.com.br/_img/arquivos/Trigonometria.
pdf>. Acesso em: 16 dez. 2105.
Sem medo de errar
Vamos retomar um dos problemas encontrados pelos sócios da SABC: qual é o
comprimento de um painel solar instalado em um telhado de uma casa na Região
Funções trigonométricas
85
U2
Sudeste se sua inclinação acompanha à do telhado da casa e sua parte mais alta deve
estar, no máximo, 20 cm acima do piso da caixa d’água?
Para a resolução deste problema, pode-se considerar um telhado com inclinação
padrão de 35% (quase 20°), no qual a caixa d’água fica 20 cm acima do piso da laje, o
painel solar tem sua parte mais baixa na altura da laje e a parte mais alta a uma altura
de 20 cm da base da caixa d’água, como na Figura 2.24.
Figura 2.24 | Perfil do telhado com destaque para o painel e para a caixa d’água
Fonte: Os autores
A distância entre a parte mais baixa do painel solar e sua parte alta é de 40 cm,
dados os 20 cm da laje até a base da caixa mais 20 cm até o ponto de retorno da água
quente, que não pode estar abaixo do painel. Redesenhando o sistema com foco no
painel, tem-se a Figura 2.25.
Figura 2.25 | Esquema simplificado do painel solar
Fonte: Os autores
Desta forma fica fácil perceber que o valor desejado é a hipotenusa do triângulo
retângulo, que tem altura de 40 cm e ângulo agudo com a horizontal de 20º. Portanto,
basta aplicar a proporção seno, ficando:
Portanto, o comprimento máximo para um painel solar a ser instalado neste
telhado é de 1 metro e 18 centímetros.
86
Funções trigonométricas
U2
Avançando na prática
Pratique mais
Instrução
Desaiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações
que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois as compare com as de
seus colegas.
Desvendando o app de smartphone que mede distância
1. Competências de fundamentos
de área
Conhecer e ser capaz de desenvolver e interpretar funções
e gráicos do 1º e 2º grau, além de funções exponenciais,
logarítmicas e trigonométricas.
2. Objetivos de aprendizagem
Aplicar as relações trigonométricas para obtenção indireta de
medidas.
3. Conteúdos relacionados
Relações trigonométricas.
4. Descrição da SP
Aplicativos gratuitos permitem que um aparelho de telefone
moderno (smartphone) meça a distância entre o usuário e um
ponto a alguns metros à sua frente sem uso de GPS, ou seja, a
pessoa ica parada. Para isso, o aparelho usa apenas recursos
geométricos e sensores de inclinação. Mas como estas
informações são usadas para determinação de distâncias? Ao
usar pela primeira vez o app, ele pede para inserirmos nossa
altura e, a partir daí, basta apontá-lo para o pé de qualquer
objeto que sua distância é mostrada na tela. Com base nessas
informações, como o aplicativo faz isso? Exempliique.
A resolução de problemas geométricos inicia-se pela
imaginação e pelo desenho simpliicado do fenômeno ou
da estrutura, seguido pela associação do todo ou partes com
triângulos retângulos.
A medida da distância entre o smartphone e um objeto a
alguns metros é feita de maneira indireta, ou seja, nada, nem
luz, som ou outra coisa qualquer, precisa ser enviado até o
objeto. Um sensor de inclinação do aparelho mede seu ângulo
em relação à vertical, e, conhecendo a altura do indivíduo, é
possível fazer o cálculo da hipotenusa do triângulo da igura,
que será usada para o cálculo da distância. Considerando
uma pessoa de 1,7 metros, que em um teste com o aplicativo
constatou um ângulo de 65°, tem-se:
5. Resolução da SP
Figura 2.26 – Esquema de cálculo
Fonte: Os autores
Funções trigonométricas
87
U2
O valor desejado é do cateto oposto mostrado, que pode ser
calculado em função da hipotenusa de 4,0 m obtida por uso
do cosseno. Assim, basta aplicar a proporção seno.
Portanto, a distância da pessoa até o pé do objeto visualizado
com o uso do aparelho é de 3,6 m.
Observação: O aparelho não faz dois cálculos, mas um só,
considerando a proporção entre seno e cosseno, que veremos
na próxima seção; e que muitas vezes pode facilitar os cálculos.
Faça você mesmo
Um esquadro escolar bastante comum é aquele que tem dois ângulos
agudos diferentes, e poucos sabem que estes ângulos são de 30° e 60°.
Ao observar o esquadro, um aluno notou que sua marcação indicava que
o cateto maior tinha 20,0 cm. Quais seriam, então, os comprimentos do
cateto menor e da hipotenusa deste esquadro?
Atenção!
Para todos os exercícios propostos, se necessário, faça o arredondamento
do valor calculado conforme número de algarismos significativos dos
dados fornecidos.
Faça valer a pena
1. Considerando a Figura 2.27, qual é o valor de seno e cosseno do ângulo a?
Figura 2.27 | Triângulo retângulo de lados 6,0 cm, 3,0 cm e 5,2 cm
Fonte: Os autores
a) sen a = 0,50 e cos a = 0,87
b) sen a = 0,87 e cos a = 0,50
c) sen a = 0,60 e cos a = 0,86
88
Funções trigonométricas
U2
d) sen a = 0,52 e cos a = 0,30
e) sen a = 0,57 e cos a = 0,58
2. Qual é o ângulo formado com a horizontal no telhado mostrado na
Figura 2.28?
Figura 2.28 | Esboço de um telhado de duas águas
Fonte: Os autores
a) 15,0°
b) 14,5°
c) 15,5°
d) 16,0°
e) 20,0°
3. Um projetista fez os cálculos para descobrir qual é o comprimento de
uma esteira rolante que será usada para levar caixas de um piso ao outro
em uma empresa. Considerando que a elevação total deve ser de 4,0 m e
o ângulo de inclinação da esteira de 25°, qual é o comprimento calculado?
a) 5,4 m
b) 6,5 m
c) 9,5 m
d) 10,2 m
e) 12,4 m
Funções trigonométricas
89
U2
90
Funções trigonométricas
U2
Seção 2.3
Tangente e relações trigonométricas
Diálogo aberto
Caro aluno, seja bem-vindo a mais uma etapa desta nossa visita ao mundo da
trigonometria. Até aqui aprendemos a identificar algumas figuras geométricas, focando
a elementar entre todas, o triângulo retângulo. Estudando suas propriedades, vimos
como usá-las como ferramentas para resolver diferentes problemas envolvendo
estruturas ou situações descritas por figuras, desde que possamos associá-las ao
triângulo retângulo.
Nesta seção, estudaremos a última relação trigonométrica, a tangente, e as
associações possíveis entre todas elas, bem como suas variantes.
Veremos como o uso da tangente será útil aos sócios da empresa SABC para
determinar as peças que serão utilizadas no projeto hidráulico de uma residência,
permitindo economizar material e, com isso, diminuir o custo da obra e o impacto
ambiental das construções.
Alguns conceitos matemáticos são tão comuns que parecem ditados populares,
como: “a menor distância entre dois pontos é uma reta”. E a economia de materiais
é uma importante maneira de diminuir custos e o impacto ambiental das ações
humanas, resumida numa frase hoje bastante divulgada: “menos é mais”. Pois bem,
qual seria, então, a economia causada em sistemas hidráulicos na construção civil se
existissem no mercado mais opções de juntas de tubulações? Por quê? Hoje, só se
encontram nas lojas cotovelos (Figura 2.29) de 45° e 90°, mas e se fossem também
comercializados cotovelos de 15°, 30°, 60° e 75° graus, qual seria a economia total
em um projeto hidráulico residencial ao considerarmos que a tubulação poderia ligar
dois pontos pelo menor caminho, sem ter de fazer ziguezague? Como definir qual
cotovelo utilizar?
Funções trigonométricas
91
U2
Figura 2.29 | Conexões tipo joelho ou cotovelo de cobre
Fonte: <https://pixabay.com/pt/cobre-acess%C3%B3rios-encanamento-metal-1039483/>. Acesso em: 30 nov. 2015.
Não pode faltar
Até aqui estudamos as relações entre as partes internas, externas e duas entre
as internas e as externas de um triângulo retângulo, mas mais que isso, pois, para
quaisquer triângulos:
Lembre-se
• A somatória de seus ângulos internos é sempre 180o.
• As relações de proporção entre os lados de um triângulo são iguais,
numericamente, à relação de proporção entre os mesmos lados de um
triângulo semelhante (maior ou menor).
Para o triângulo retângulo, e tomando um ângulo agudo como referência:
92
Funções trigonométricas
U2
Lembre-se
• A razão entre o cateto oposto e a hipotenusa denomina-se seno.
• A razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa denomina-se cosseno.
Tangente
Agora, estudaremos a última relação de proporção para o triângulo retângulo, a
tangente, que envolve a razão que faltava entre os lados do triângulo retângulo: cateto
oposto/cateto adjacente. Para melhor visualizar esta nova relação de proporção,
vejamos a Figura 2.30:
A tangente é definida, quando se toma o ângulo a como referência, como a divisão
entre as medidas do cateto oposto e do cateto adjacente a este ângulo, e possui
valor único para cada ângulo, assim como o seno e o cosseno. E, da mesma forma,
também se encontram em calculadoras científicas funções que transformam ângulos
nesta proporção, denotadas tan ou tg, e funções que fazem o inverso, transformando
as proporções em ângulos, denotadas tan-1, atan ou arctg.
Figura 2.30 | Triângulo retângulo com lados nomeados, tomando a como referência
Fonte: Os autores
Assimile
Pesquise mais
A função denotada nas calculadoras mais vendidas é tan-1 e executa a
função inversa da função tangente. Entretanto, esta notação pode gerar
confusão por permitir que se pense que basta inverter o valor do ângulo, ou
mesmo de tg(a). Assim,
. Para saber mais sobre funções inversas,
acesse:
<http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/ama/Supl-1a200411312723.
pdf>. Acesso em: 11 jan. 2016.
Funções trigonométricas
93
U2
Exemplificando
Ao analisar uma ilustração que representa a pirâmide de Quéops (Figura
2.31), e medindo seus lados com uma régua, um estudante se questionou:
como determinar o ângulo a junto à base da pirâmide?
Figura 2.31 | Ilustração representativa da pirâmide de Quéops
Fonte: Os autores
Resolução:
Para determinar o ângulo, primeiro se faz o cálculo da tangente:
A partir deste dado, e com uma calculadora científica popular, determinase o ângulo de inclinação das laterais da pirâmide, utilizando-se a função
tan-1:
Exemplificando
Usando um teodolito, um técnico em construção civil mediu o ângulo de
sua posição a 30 m de um prédio até o topo, apresentando um valor de
65°. Qual é a altura do prédio da Figura 2.32?
Figura 2.32 | Figura representativa do prédio e das medidas feitas por um
técnico em construção civil
30 m
Fonte: Os autores
94
Funções trigonométricas
U2
Resolução:
Aplicando-se a definição de tangente:
Utilizando uma calculadora científica, pode-se obter a tangente de 65°,
que é igual a 2,1445...
Ao substituir este valor na equação anterior, tem-se:
Logo, a altura do prédio é de, aproximadamente, 64 m.
Faça você mesmo
1) Qual é a altura de um prédio considerando que, ao nos afastarmos 40
m dele, vemos seu topo num ângulo de 30° em relação à horizontal?
Despreze a altura da pessoa.
2) Calcule a profundidade de um poço sabendo que sua boca circular
possui 1,2 m de diâmetro e que, quando a luz solar ultrapassa um ângulo
de 5° com a vertical, seu fundo fica tomado pela sombra.
Reflita
Se seno e cosseno são relações de proporção entre os catetos e a
hipotenusa, e que o maior tamanho possível de qualquer cateto é o da
própria hipotenusa, num limite em que a altura do triângulo é mínima, ou
seja, tende a zero, ou noutro em que sua largura é mínima, quais são os
maiores e os menores valores possíveis para seno e cosseno?
Figura 2.33 | Triângulos retângulos com: (a) altura mínima e medida de base
tendendo à medida da hipotenusa; (b) base com medida mínima e medida de
altura tendendo à medida da hipotenusa.
Fonte: os autores
Os valores exatos para os ângulos notáveis para seno, cosseno e tangente podem
ser vistos na Tabela 2.2:
Funções trigonométricas
95
U2
Tabela 2.2 | Valores de seno, cosseno e tangente para os ângulos notáveis
a
0°
30°
sen a
0
1
2
cos a
1
tg a
0
√3
2
√3
3
45°
√2
2
√2
2
1
60°
√3
2
90°
1
1
2
0
√3
Inexistente
Fonte: Os autores
Relações trigonométricas
Muitas são as variantes e as relações entre as razões trigonométricas, sendo duas
relações dadas por:
Assimile
A primeira é facilmente demonstrada isolando-se os catetos nas definições de seno
e cosseno, e substituindo-os na definição de tangente:
A segunda, conhecida como relação fundamental da trigonometria, também
é facilmente demonstrada isolando-se os catetos nas funções seno e cosseno,
mas substituindo-os no Teorema de Pitágoras, considerando co=a e ca=b:
Expandindo os quadrados:
96
Funções trigonométricas
U2
Dividindo ambos os lados da igualdade por h2:
Quanto às variantes, temos os inversos das proporções seno, cosseno e tangente,
que são denominados cossecante, secante e cotangente, respectivamente:
Pesquise mais
Todas as expressões mostradas e muitas outras, com suas deduções
e aplicações, podem ser aprofundadas no link: <http://coral.ufsm.br/
gpscom/professores/andrei/Teoria/trigonometria.pdf>. Acesso em: 30
nov. 2015.
Faça você mesmo
3) Tente demonstrar os valores da tangente para os ângulos notáveis
mostrados na Tabela 2.2 aplicando a relação:
Sem medo de errar
Como utilizar os conceitos de trigonometria discutidos até aqui para reduzir o
uso de materiais na instalação hidráulica de uma residência? O comum é o uso de
tubulações retilíneas e de cotovelos de 45° e 90° para fazer as curvas. Mas a ideia dos
sócios da SABC é evitar os ziguezagues fazendo a interligação de um ponto mais alto
com um mais baixo em linha reta, numa diagonal. Para isso, devem utilizar cotovelos
com ângulos de 15°, 30°, 60° ou 90°. Mas como definir qual cotovelo utilizar? Qual é
a economia na metragem de encanamento neste caso?
Para definir o ângulo é preciso conhecer o deslocamento vertical e longitudinal
entre o ponto mais alto e mais baixo de cada ligação a ser feita, utilizando estes valores
para calcular a tangente, e o valor da tangente para obter o ângulo aplicando arctg.
Vejamos um exemplo, considerando a parede lateral de um banheiro mostrada na
Figura 2.34:
Funções trigonométricas
97
U2
Figura 2.34 | Representação de uma parede lateral de um banheiro mostrando duas
possibilidades de ligação hidráulica entre a saída da caixa d’água e a torneira da pia. Em
azul a ligação proposta pela SABC em diagonal e, em preto pontilhado, a ligação padrão
em ziguezague
Saída da
caixa
d’água
Torneira
da pia
Fonte: Os autores
A tangente do ângulo agudo (a) na base do triângulo retângulo da Figura 2.34 é:
Lembre-se
Na seção anterior, vimos que a somatória dos ângulos internos de um
triângulo é 180°. No caso de um triângulo retângulo, um ângulo agudo é
complementar ao outro, ou seja: b = 90 - a.
Portanto, o ângulo com a vertical é:
Como a tubulação aceita pequenas flexões, os cotovelos a serem usados são os
que mais se aproximam de 31° e 59°, neste caso, os de 30° e 60°, respectivamente.
Para o cálculo da economia em tubulação, basta aplicar o Teorema de Pitágoras
para descobrir o comprimento do tubo na diagonal, da seguinte forma:
Conclui-se que a diagonal possui aproximadamente 2,92 m. Desta forma, a
economia em tubulação neste trecho é calculada considerando a tubulação que
seria gasta fazendo ziguezague menos a na diagonal: (1,5 + 2,5) - 2,92 = 1,08, ou
seja, só neste trecho a economia é de, aproximadamente, 1,0 m de tubulação, uma
economia de quase 25% de material
.100%).
98
Funções trigonométricas
U2
Avançando na prática
Pratique mais
Instrução
Desaiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações
que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois as compare com as de
seus colegas.
Medindo distâncias inacessíveis
1. Competências de fundamentos
de área
Conhecer e ser capaz de desenvolver e interpretar funções
e gráicos do 1º e 2º grau, além de funções exponenciais,
logarítmicas e trigonométricas.
2. Objetivos de aprendizagem
Aplicação das relações trigonométricas para obtenção indireta
de medidas.
3. Conteúdos relacionados
Tangente, medidas de ângulos.
Em astronomia, distâncias são medidas em milhões, bilhões e
trilhões... de quilômetros. Por isso é comum o uso de medidas
como ano-luz e parsec.
O parsec é a distância referente à base de um triângulo
retângulo cuja altura é a distância entre o Sol e a Terra, e o
ângulo agudo com a base é de 1 segundo de grau, ou seja,
1º dividido por 3600. Quanto vale o parsec em quilômetros?
Dado: a distância da Terra ao Sol tem valor médio de 150
milhões de quilômetros.
4. Descrição da SP
Atenção!
Quando se trabalha com medidas de ângulos
em graus, é comum utilizar subdivisões do
grau, que são o minuto e o segundo:
• 1 grau possui 60 minutos, ou 1° = 60’.
• 1 minuto possui 60 segundos, ou 1’ = 60”.
Primeiramente, devemos fazer um desenho representativo:
Figura 2.35 – Representação de 1 parsec
Fonte: Os autores
5. Resolução da SP
Utilizando uma calculadora cientíica, pode-se realizar a
sequência:
Funções trigonométricas
99
U2
Como a simbologia E é equivalente a ×10n, podemos
reescrever o resultado andando com a vírgula para a direita 13
vezes. Então, temos aproximadamente:
Portanto, 1 parsec equivale a, aproximadamente, 31 trilhões
de quilômetros.
Atenção!
Para ficar mais claro, a notação 2E– 3 indica 2 . 10-3, cujo resultado é 0,002.
Já, ao escrevermos 5E2, estamos indicando 5 . 102, cujo resultado é 500.
Essa notação é muito utilizada em calculadoras científicas.
Faça você mesmo
4) Na margem de um rio tem uma árvore e há um observador posicionado
na margem oposta em frente à árvore, como na Figura 2.36. Caminha 10
m para o lado e mede a inclinação entre a árvore e a margem do rio, que
foi de 65°. Qual é a largura do rio?
Figura 2.36 | Triângulo retângulo associado às medidas feitas para calcular a
largura de um rio
Fonte: Os autores
Faça valer a pena!
Considere o triângulo retângulo da Figura 2.37 para a resolução das Questões 1
e 2. Para as questões que não apresentam figuras representativas, deve-se fazer um
desenho que represente a descrição do respectivo enunciado.
Figura 2.37 | Triângulo retângulo com altura 5 e ângulo com a base de 30°
Fonte: Os autores
100
Funções trigonométricas
U2
1. Qual é o valor da medida b? Dica: utilize valores da Tabela 2.2.
a) 5,3
b) 3,5
c) 15
d) 7,8
e) 8,7
2. Qual é o valor do ângulo b? Dica: utilize valores da Tabela 2.2.
a) 30°
b) 60°
c) 45°
d) 20°
e) 10°
3. Na Figura 2.38, vê-se um piano suspenso por um munk, sendo puxado
para cima de uma plataforma. Qual é a força mínima que os responsáveis
pela tarefa precisam fazer? Considere que o ângulo do cabo que liga o piano
ao braço do munk, ao ser puxado, seja de 30° com a vertical, e que o piano
possua um peso de 200 kgf. Dado: tg 30°= 0,577.
Figura 2.38 | Caminhão munk usado para elevar um piano até o alto de uma plataforma,
onde é deslocado para o lado por uma força
Fonte: Os autores
a) 100,5 kgf
b) 115,4 kgf
c) 105,5 kgf
d) 125,4 kgf
e) 95,5 kgf
Funções trigonométricas
101
U2
102
Funções trigonométricas
U2
Seção 2.4
Funções trigonométricas
Diálogo aberto
Caro aluno, seja bem-vindo à última seção da Unidade 2. Nesta seção, veremos
como as razões trigonométricas podem atuar como função, fazendo a associação
entre valores de ângulos e coordenadas cartesianas. Assim, passaremos a denominar
estas razões funções trigonométricas, que na forma de gráficos possuem valores que
se repetem e são, por isso, funções periódicas utilizadas para descrever o movimento
de pêndulos e sistemas vibratórios, como o sistema de amortecimento automotivo,
vibrações em mancais de eixos rotativos e ondas sonoras ou eletromagnéticas (luz).
Por descreverem fenômenos periódicos, as funções trigonométricas ajudarão os
sócios da SABC a resolver mais um problema. Para isso precisamos considerar duas
coisas: 1ª – É natural para todos nós observarmos os períodos correspondentes ao
dia e noite, mas pouco nos atentamos ao fato de os dias serem mais curtos no
inverno e mais longos no verão. Isto se deve à inclinação do arco descrito pelo
deslocamento do Sol no céu, que tem comprimentos diferentes em cada uma destas
épocas; e 2ª – Uma invenção brasileira bastante interessante é a lâmpada de Moser
(disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=XMu7ykPQ1wY>. Acesso em:
29 dez. 2015), que usa uma garrafa PET de 2 litros cheia de água e ilumina o mesmo
que uma lâmpada incandescente de 40 W, mas sem gastar nada de energia elétrica.
Vocabulário
PET: Polyethylene terephthalate ou tereftalato de polietileno é o nome do
polímero usado para fabricar garrafas de refrigerante.
Considerando estes dois fatos, qual é a economia de energia elétrica na
iluminação de um galpão onde são usadas 10 lâmpadas de mercúrio de 200
W cada, se durante o dia usássemos lâmpadas de Moser em número que gere
iluminação equivalente a estas lâmpadas incandescentes? Para isso, precisamos
calcular o gasto energético em kWh correspondente ao período iluminado do dia,
sabendo que a duração do dia (valor periódico) pode ser calculada com o uso das
equações a seguir (ANEEL, 2005):
Funções trigonométricas
103
U2
. Em que:
• D é a duração do dia em horas;
• q é a latitude local (Para a Região Sudeste adotaremos q = 23°);
• J é o dia juliano contado a partir de 1º de janeiro;
• os valores dos ângulos são calculados em graus.
Não pode faltar
Antes de falar sobre as funções trigonométricas, vamos relembrar alguns conceitos que
envolvem medidas de ângulos, que podem ser feitas em graus, grados, rotação e radianos.
No nosso cotidiano, adotamos a unidade criada pelos babilônios há milhares de
anos, quando eles achavam que o ano era constituído por 360 dias e subdividiram
a circunferência em 360 unidades denominadas graus. Assim, uma volta completa
possui 360°, meia volta 180° e assim por diante. Como o sistema numérico dos
babilônios era sexagesimal, dividiram cada unidade de grau em 60 minutos, e cada
arco de minuto em 60 segundos. Deste modo, 30,5° é igual a 30° e 30 minutos,
denotado como: 30°30’ (30° + 0,5 · 60’ = 30°30’).
Como exemplo de medidas em graus, os iniciantes em astronomia utilizam medidas
de ângulos para localização e dimensionamento aparente de objetos celestes. A Lua,
observada a olho nu, tem diâmetro próximo a 0,5° ou 30’ de arco (INPE), sendo 1°
a largura de um dedo visto com o braço esticado (ver Figura 2.39). Sabe-se que a
capacidade máxima de distinção de pontos pelo olho humano está entre 1’ e 2’ de
arco (STOLFI, 2008), ou seja, próximo a 0,033° (=2°/60).
Figura 2.39 | Medida angular da Lua feita por um observador na superfície da Terra: (a) Regra prática
para medir ângulos visualizando a mão com o braço estendido; (b) Esboço do ângulo de 0,5°
Fonte: <http://www.if.ufrgs.br/fis02001/aulas/Aula2-122.pdf>. Acesso em: 3 dez. 2015
No meio científico, usa-se o radiano (rad) como unidade de medida de ângulos.
104
Funções trigonométricas
U2
Assimile
Radiano: razão geométrica do comprimento de um arco de circunferência
pelo seu raio. Na Figura 2.40, por exemplo, podemos ver a representação
de um ângulo de medida 0,96 rad, pois
.
Figura 2.40 | Arco e raio definindo o valor do radiano
Fonte: Os autores
Reflita
A proposta de radiano, como nos é apresentada hoje, é a de usar o raio
como unidade de medida comum para o arco (QUINTANEIRO; GIRALDO;
PINTO, 2010).
Segundo Souza (2013, p. 19):
Ao contrário do grau, o radiano é o resultado de estudos,
principalmente, do matemático Thomas Muir e do físico
James T. Thomson que consideraram essencial a criação de
uma nova unidade de medida para ângulos. Provavelmente,
sua criação está ligada a simplificação de certas fórmulas
matemáticas e físicas.
Como uma volta completa gera uma circunferência com arco 2πr (perímetro), meiavolta tem comprimento πr. Atribuindo r = 1, o arco desta meia-volta tem comprimento
π. Note que a medida do arco coincide com a medida do ângulo em radianos.
Assimile
A conversão entre graus e radiano é simples, basta verificar que 180° é a
mesma medida de π rad.
Funções trigonométricas
105
U2
Exemplificando
Qual é o valor em:
a) radianos para o ângulo de 45°?
b) graus para o ângulo de
rad?
Resolução:
a) Seja a esse valor. Por regra de três:
b) Seja b esse valor. Por regra de três:
Faça você mesmo
1) Faça a conversão de 30° para radianos e de 1,25 rad para graus.
Definindo r = 1 para uma circunferência inscrita no plano cartesiano com centro
posicionado na origem (0, 0), pode-se associar um triângulo retângulo ao ponto que
delimita um arco (ver Figura 2.41). A altura deste triângulo corresponde ao valor y, e sua
base corresponde ao valor x, e, como r = h = 1, sen a = y e cos a = x.
Reflita
Assim, toda trigonometria feita em triângulos retângulos relacionando
ângulos a razões de segmentos equivale a relações entre arcos e cordas
feitas na circunferência (QUINTANEIRO; GIRALDO; PINTO, 2010).
106
Funções trigonométricas
U2
Figura 2.41 | Circunferência trigonométrica
Fonte: Os autores
Como bem exposto por Souza (2013, p. 32), o matemático Euler (1707-1783) “deu
grandes contribuições para a trigonometria” quando definiu "funções associando
números e não ângulos” às razões trigonométricas. E continua: “Uma grande ideia sua
foi criar a função E [...]. Esta função associa a cada número um ponto na circunferência
unitária [...] C” (SOUZA, 2013, p. 32). Esta circunferência é dividida em quatro partes pelos
eixos cartesianos, chamados quadrantes e contados a partir da origem dos arcos no
sentido anti-horário, convenientemente definido como sentido positivo. Deste modo:
A função de Euler
faz corresponder a cada número
E(t) = (x, y) da circunferência unitária, de modo que:
o ponto
• E(0) = (1, 0).
• se t > 0, percorremos sobre a circunferência, a partir da origem dos arcos,
um caminho de comprimento t no sentido positivo (anti-horário). O ponto
final do caminho será denominado E(t).
• se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de
comprimento |t|, que parte da origem dos arcos e percorre C no sentido
negativo (horário) (SOUZA, 2013, p. 32).
Atenção!
O símbolo |t| indica o módulo, ou valor absoluto, do número t. O módulo
de t é definido da seguinte forma: |t| = √t2.
Reflita
Com o uso da função de Euler, as funções trigonométricas não ficam
Funções trigonométricas
107
U2
restritas ao primeiro quadrante. Note que o resultado para sen 1110° = 0,5
é impossível de ser obtido pensando no seno como razão trigonométrica
fora da circunferência, pois não existe triângulo retângulo com este ângulo
interno. Mas por que seno de 1110° é igual a seno de 30°?
Para compreender melhor essa pergunta e sua resposta, perceba que, após
percorrermos 360° (2π rad), reiniciamos o trajeto em torno da circunferência. Assim,
ocorre a equivalência das posições 0° ≡ 360°, 30° ≡ 390°, 45° ≡ 405°, e assim por
diante, conforme Figura 2.42.
Figura 2.42 | Ângulos equivalentes (ou congruentes)
Fonte: Os autores
Considerando seno como a altura do triângulo retângulo inscrito na circunferência
trigonométrica, é possível associar um gráfico para a função sen a (ver Figura 2.43).
Figura 2.43 | Gráfico da função sen a a partir dos segmentos de reta do eixo y associados
a ângulos em radianos na circunferência trigonométrica. Em destaque, os pontos
correspondentes a seno de 0,6 rad e 2,1 rad
Fonte: Os autores
Como seno tem o valor da altura (y) do triângulo retângulo inscrito na circunferência
trigonométrica, a função seno apresentará valores positivos para ângulos
compreendidos no 1º e 2º quadrantes, e valores negativos para o 3º e 4º quadrantes.
Analogamente, como cosseno tem o valor da base (x) do triângulo citado, a função
cosseno terá valores positivos para os quadrantes 1 e 4, e valores negativos para o 2º e
3º quadrantes. Para visualizar melhor o comportamento das funções seno e cosseno,
108
Funções trigonométricas
U2
assista aos vídeos <https://www.youtube.com/watch?v=o_eSUjsfb-M&spfreload=10>
e <https://www.youtube.com/watch?v=NvVDjbLEJJ0>. Acesso em: 30 dez. 2015.
Os valores da função tangente são dados pela altura onde ocorre o cruzamento
entre o prolongamento do raio que define o arco na circunferência trigonométrica
e uma reta que tangencia a origem dos arcos (ver Figura 2.44), possuindo valores
positivos para os quadrantes 1 e 3, e negativos para 2º e 4º quadrantes.
Figura 2.44 | Representação geométrica dos valores tan 0,6 e tan -0,55
Fonte: Os autores
O comportamento das funções seno, cosseno e tangente pode ser visto na Figura
2.45, na qual é possível observar: 1º - a repetitividade das funções trigonométricas; 2º que os valores extremos de seno e cosseno são 1 e -1; 3º - que a função seno inicia-se
em zero, e cosseno em 1; 4º - que as funções seno e cosseno lembram uma onda;
e, 5º - que para valores de a próximos a 0 rad, 2π rad, 4π rad,..., n2π rad, sen a ≅ tga .
Figura 2.45 | Valores para as funções seno, cosseno e tangente para um ciclo e 1/4 de
ângulo em radianos
Fonte: Os autores
Pode-se observar o comportamento das funções trigonométricas acessando o
link: <http://www.geogebra.org/m/2420237>. Acesso em: 11 jan. 2016.
Assimile
Os valores máximo e mínimo para seno e cosseno são 1 e -1, pois o maior
valor para a altura (seno) ou para a base (cosseno) do triângulo retângulo
Funções trigonométricas
109
U2
inscrito na circunferência trigonométrica é a do próprio raio desta
circunferência, que é 1.
Para a tangente, quando o ângulo se aproxima de 90° (ou π/2), seu valor
cresce rapidamente, tendendo ao infinito, e para valores próximos a -90°,
ou 270° (ou ainda 3π/2), seu valor tende ao infinito, mas negativamente.
Há ainda três propriedades interessantes:
• sen(-x) = - senx (o seno é uma função ímpar);
• cos(-x) = cosx (o cosseno é uma função par);
• tg(-x) = - tgx (a tangente é uma função ímpar).
Pesquise mais
Veja mais detalhes sobre as funções trigonométricas em: <https://
repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/105486/Thuysa%20
Schlichting%20de%20Souza.pdf?sequence=1&isAllowed=y>. Acesso em:
30 dez. 2015.
Exemplificando
Qual é o seno, o cosseno e a tangente de 330°?
Resolução:
Como podemos ver na Figura 2.46, 330° corresponde a um arco que termina
no 4º quadrante: a altura do triângulo retângulo formado será negativa, logo
sen 330° < 0; a base deste triângulo será positiva, logo cos 330° > 0; e o
prolongamento do raio que forma sua hipotenusa cortará a reta que tangencia
a origem dos arcos abaixo do eixo x (eixo das abscissas), logo tg 330° < 0.
Figura 2.46 | Triângulo retângulo formado pelo ângulo de 330°
Fonte: Os autores
110
Funções trigonométricas
U2
Os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis podem ser
obtidos na tabela de valores para as funções trigonométricas da seção
anterior deste livro. Para 60° são:
. Alterando os
sinais para adequar os valores ao 4º quadrante, temos:
Faça você mesmo
2) Ache o seno, o cosseno e a tangente de 150°.
Sem medo de errar
Para calcularmos a economia de energia com o uso das lâmpadas de Moser,
precisamos saber por quantas horas elas atuarão, ou seja, qual é o período iluminado
do dia no qual as lâmpadas elétricas ficarão apagadas. O número de horas claras de
um dia, o qual denotaremos por D, pode ser calculado pela equação (ANEEL, 2005):
, na qual o parâmetro H é obtido pelo arco cosseno, como segue:
H = arccos (tg q. tg b), que, por sua vez, usa as variáveis q e b. O valor de q é o valor
da latitude local, que na Região Sudeste do Brasil é de aproximadamente 23°. O valor
b pode ser calculado usando a seguinte função:
na qual J é o dia juliano (1 para 1 de janeiro até 365 para 31 de
dezembro). Os ângulos estão mensurados em graus.
As estações do ano possuem início e fim em:
• Outono: de 21 de março a 21 de junho.
• Inverno: de 21 de junho a 23 de setembro.
• Primavera: de 23 de setembro a 21 de dezembro.
• Verão: de 21 de dezembro a 21 de março.
O solstício (quando o Sol parece se mover mais lentamente no céu) define o maior
Funções trigonométricas
111
U2
dia do verão e o menor dia no inverno, ocorrendo próximo ao início destas estações.
Assim, J = 170 para o inverno e J = 353 para o verão.
Com todos estes dados em mãos, podemos calcular D iniciando pelo cálculo de
b, como se segue:
Inverno:
Verão:
Como neste galpão são usadas 10 lâmpadas de 200 W cada (ou 0,2 kW), o consumo no
horário iluminado, em kWh, e a economia em reais, considerando R$ 0,45 por 1 kWh, são:
Consumo e economia diária no inverno:
. Note que n é o número de lâmpadas, P
é a potência de cada lâmpada e t é o tempo que elas ficariam ligadas. Ao preço de R$
0,45 tem-se uma economia de R$ 9,45 (= 0,45 · 21) por dia.
Consumo e economia diária no verão:
. Ao preço de R$ 0,45 tem-se uma
economia de R$ 12,15 (= 0,45 · 27) por dia.
Note que a potência total consumida é 10 lâmpadas vezes 200W = 2000 W = 2 kW.
Em um mês de 30 dias, a economia seria de, aproximadamente, R$ 284 (= 30 ·
9,45) no inverno e R$ 365 (= 30 · 12,15) no verão, com uma economia média de R$
3.894
por ano.
O gráfico da função que relaciona o dia juliano com a duração dos dias ao longo
do ano não é trivial, mas pode ser obtido usando-se programas como o GeoGebra,
112
Funções trigonométricas
U2
que pode ser visualizado por meio do link: <http://www.geogebra.org/m/2420333>
(Acesso em: 4 jan. 2015).
Avançando na prática
Pratique mais
Instrução
Desaiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações
que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois as compare com as de
seus colegas.
Investigando um sistema de amortecedor automotivo
1. Competências de fundamentos
de área
Conhecer e ser capaz de desenvolver e interpretar funções
e gráicos do 1º e 2º grau, além de funções exponenciais,
logarítmicas e trigonométricas.
2. Objetivos de aprendizagem
Compreender como as funções trigonométricas descrevem
fenômenos.
3. Conteúdos relacionados
Funções trigonométricas.
4. Descrição da SP
Um sistema de amortecimento veicular usa uma mola e um
amortecedor para compensar variações na altura das vias. Em
outras palavras, o sistema de amortecimento compensa as
irregularidades das ruas, avenidas, estradas, rodovias etc. Se
este sistema for muito macio, o carro oscila e pode tombar
ou trepidar e escorregar em uma curva, mas, se for muito
rígido, os ocupantes do carro terão a impressão de estarem
numa carroça. O meio termo é considerado o ideal, e este
caso é alcançado quando uma medida denominada fator
de amortecimento é igual ou próxima de 1. A equação que
descreve a ação das forças no sistema resulta numa função,
que é a multiplicação de uma função exponencial e outra
cossenoidal, e tem este fator de amortecimento como
uma de suas variáveis. Um gráico similar ao de um sistema
desgastado (fator de amortecimento ruim) pode ser obtido
com a função puramente cossenoidal
com
ângulos em radianos, em que f(x) representa a variação de
altura do sistema em cm e x o tempo em segundos. Parte da
curva desta função cossenoidal está mostrada na Figura 2.47.
Em quais momentos o gráico desta função cruza com o eixo
x? Qual é a amplitude da oscilação do sistema descrito por
esta função no instante x = 10s?
Figura 2.47 | Função cossenoidal que representa as oscilações
de um sistema de amortecimento automotivo
Fonte: Os autores
Funções trigonométricas
113
U2
Os momentos em que o gráico da função cruza com o
eixo x são os zeros da função; portanto, basta fazer f(x) = 0 e
resolver a equação resultante. As raízes desta equação serão
os momentos para os quais a função tem valor zero.
Como o produto de a e b é igual a 0, ou a = 0 ou b = 0. Acontece
que
jamais se anula, independentemente do valor de x.
Deste modo, podemos concentrar nossa análise em
. Como cosseno tem o valor da base do triângulo retângulo
inscrito na circunferência trigonométrica, e este é igual a zero
para x = 90°, 270°, 450°, 630°, 810°, ..., ou, generalizando, x = 90° +
n · 180° ou, em radianos,
, temos:
5. Resolução da SP
• Para 90°:
• Para 270°:
• ...
• Para 90° + n · 180°:
Interpretando o resultado: f(x) = 0 pela primeira vez em x = 1 s. A
partir daí, temos f(x) = 0 a cada 2 s (x = 1, 3, 5... para n = 1, 2, 3...).
A amplitude para x = 4 s é:
Lembre-se
Lembre-se: 90° =
rad, 180° = π rad, 270° =
rad e 360° = 2π rad.
Faça você mesmo
3) Uma peça metálica presa a uma mola apresenta um movimento
com ângulos em
oscilatório vertical descrito pela função
radianos, na qual f(t) é medido em metros e t em segundos. Qual é a altura
máxima do movimento? Em quais instantes a peça metálica atinge a altura
máxima?
114
Funções trigonométricas
U2
Faça valer a pena
1. O ângulo 50° é equivalente a qual valor em radianos?
a) 5π rad
18
b) 2π rad
3π
c) 2 rad
π
d) 2 rad
e) π rad
2. Qual é o valor em graus para 3π rad?
a) 20°
b) 540°
c) 360°
d) 30°
e) 460°
3. Qual é a medida em radianos de um arco de 20 cm pertencente a uma
circunferência de 16 cm de diâmetro?
a) 1,25 rad
b) 1,6 rad
c) 2,0 rad
d) 2,5 rad
e) 3,6 rad
Funções trigonométricas
115
U2
116
Funções trigonométricas
U2
Referências
ANEEL. Agência Nacional de Energia Elétrica. Atlas de Energia Elétrica do Brasil. 2. ed.
Brasília: ANEEL, 2005. 243p. Disponível em: <http://www.aneel.gov.br/aplicacoes/atlas/
pdf/03-Energia_Solar(3).pdf>. Acesso em: 11 jan. 2016.
BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro: SBM, 1995.
INPE - Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais. Distâncias e dimensões do sistema
Sol-Terra-Lua. Disponível em: <http://www.das.inpe.br/ciaa/cd/HTML/dia_a_dia/1_7_1.
htm>. Acesso em: 1 dez. 2015.
OS PRÉ-SOCRÁTICOS: Vida e obra. São Paulo: Nova Cultura, 2000.
QUINTANEIRO, Wellerson; GIRALDO, Victor; PINTO, Márcia Fusaro. De onde vem a
unidade radiano e por que seu uso é necessário? 2010. Disponível em: <http://www.
academia.edu/1630196/DE_ONDE_VEM_A_UNIDADE_RADIANO_E_POR_QUE_
SEU_USO_%C3%89_NECESS%C3%81RIO>. Acesso em: 11 jan. 2016.
SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.
SOUZA, Thuysa Schlichting de. Um estudo da extensão do seno, cosseno e tangente no
triângulo retângulo para funções de domínio real. 2013. 64f. TCC (Graduação) - Curso
de Matemática, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2013. Disponível
em:
<https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/105486/Thuysa%20
Schlichting%20de%20Souza.pdf?sequence=1&isAllowed=y>. Acesso em: 11 jan. 2016.
STOLFI, G. Percepção visual humana. 2008. Disponível em: <http://www.lcs.poli.usp.
br/~gstolfi/mack/Ap2_PercepVisual_M8.pdf>. Acesso em: 1 dez. 2015.
Funções trigonométricas
117
Unidade 3
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Convite ao estudo
Caro aluno, o assunto que iniciaremos nesta unidade envolve o cálculo
de valores que possuem uma variação crescente (para mais) ou decrescente
(para menos). Estas variações podem ser usadas para descrever fatos como
ganhos de capital ou acúmulo de dívida, proliferação de microrganismos
e fenômenos radioativos, e mais que isso, pois a notação matemática
envolvida em sua representação nos permite a escrita e cálculos usando
números muito grandes e também muito pequenos. Grandes como a
memória e velocidade de processamento de computadores, e pequenos
como o intervalo de tempo de um relâmpago, ou ainda muito menores,
como o tamanho das partículas que constituem a matéria.
Este assunto tem como objetivo final o estudo da função exponencial,
mas antes abordaremos uma notação presente nesta função, denominada
potenciação, bem como suas propriedades e sua função inversa, a radiciação.
Para compreendermos como este assunto pode ser aplicado ao nosso
cotidiano, tentemos imaginar como será nossa vida daqui a 15 anos, 30
anos e, por que não, mais que isso. Como podemos usar o conhecimento
adquirido hoje para ter boas condições de vida no futuro?
Para o IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística), o Brasil será
um país de idosos já em 2030. Isto tem uma implicação forte em todo o
mercado, desde habitação, saúde, mobilidade, turismo, segurança e até, é
claro, previdência. É certo que a esperança da maioria das pessoas é ser
idoso, mas não velho, ou seja, estar saudável e disposto para curtir com
liberdade, sabedoria e pouca preocupação neste momento da vida. É certo
U3
também que, para muitas pessoas, principalmente os jovens, este período
da vida ainda esteja longe, mas o que muitos se esquecem é que este fato
faz surgir muitos novos nichos de mercado, voltados a produtos e serviços
para idosos. Nestes casos, a melhor opção é sempre a informação, de
forma a nos permitir abrir um novo negócio, sugerir um novo produto
ou serviço e nos prepararmos para esta fase da vida da melhor forma
possível. No sentido de manutenção de nossa saúde social, orgânica e
financeira, como a potenciação nos permite compreender o crescimento
de microrganismos patogênicos nos alimentos ou, até mesmo, nos
tecidos de nosso organismo? Como equações exponenciais nos permitem
escolher um bom negócio ou empréstimo? Como funções exponenciais
nos permitem compreender as dosagens e os períodos de atuação dos
remédios tomados? E, como funcionam, e se são mesmo perigosos, os
aparelhos que usam radioatividade e que varrem nosso corpo à procura de
doenças?
120
Função exponencial
U3
Seção 3.1
Potenciação e radiciação
Diálogo aberto
Como dito anteriormente, o assunto em questão tem como objetivo final o estudo
da função exponencial. No entanto, antes, abordaremos notações e operações
matemáticas que envolvem a multiplicação sucessiva de um valor por si mesmo n
vezes, denominada potenciação, e como trabalhar esta operação em expressões
matemáticas. Também estudaremos a operação inversa da potenciação, que é a
radiciação, sua definição e propriedades.
Para começar, imaginemos o caso da contaminação do leite por microrganismos,
o que faz que ele fique com gosto azedo. Após sofrer pasteurização do tipo UHT (Ultra
Hight Temperature – Temperatura Muito Alta), processo de aquecimento controlado
que mata ou inativa os microrganismos naturalmente presentes no leite, este produto
é guardado em ambiente hermético para que não sofra contaminação biológica
ou química, ou seja, não seja contaminado com novos microrganismos ou sofra
degradação causada pela presença de oxigênio. Assim, o leite pode ser armazenado
por longo período de tempo, mesmo se não estiver refrigerado. Entretanto, uma
vez aberto para consumo, sua contaminação por microrganismos é quase certa,
via instrumento usado para corte da embalagem ou mesmo pelo ar que entra no
recipiente de armazenamento, pois este é carregado de partículas contaminadas.
O gosto azedo do leite degradado se deve à presença de ácidos liberados por
alguns tipos de microrganismos, mas que só é percebido quando a população
microbiana alcança uma concentração elevada. O crescimento da população
microbiana depende de muitos fatores, como temperatura, presença de oxigênio, tipo
de alimento, umidade e outros. Vamos estabelecer um caso em que a contaminação
inicial do leite tenha ocorrido com 1000 bactérias para 1 litro, e em que a proliferação
delas ocorra de tal forma que sua quantidade no leite dobre em número a cada hora
que se passa. Quantas bactérias existirão no leite após 1 dia (24h)? Por quanto tempo
este leite pode ser armazenado, supondo que o sabor azedo seja percebido quando a
contaminação ultrapassa 100 milhões de bactérias por mililitro?
Função exponencial
121
U3
Não pode faltar
Potenciação e radiciação
Para melhor compreensão da potenciação e radiciação, começaremos com
exemplos simples, acrescentando novas informações no decorrer do estudo.
Potenciação
Sabemos que:
e
2⋅2 = 4
que
( −2 ) ⋅ ( −2 ) = 4 ,
assim
como:
2⋅2⋅2 = 4⋅2 = 8
e
( −2 ) ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −2 ) = 4 ⋅ ( −2 ) = −8 .
Lembre-se
A operação matemática “multiplicação” também é conhecida como
“produto” ou “vezes”, e pode ser simbolizada por vários caracteres, por
exemplo: * (asterisco); . (ponto); × (traços cruzados); () (parêntesis); e por
uma sequência alternada entre números e letras, por exemplo: se x = 3,
2x vale 6.
Uma maneira mais simples de representar estas multiplicações é usar um número
sobrescrito que representa a quantidade de vezes que os valores são multiplicados.
Veja:
I.
2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 23 = 8 ;
II.
( −2 )
III.
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 24 = 16 ;
IV.
( −2 )
3
4
= ( −2 )( −2 )( −2 ) = −8 ;
= ( −2 )( −2 )( −2 )( −2 ) = 16 .
Nos exemplos (I) e (III), o número 2 é denominado base, já nos exemplos (II) e (IV)
a base é o número -2. A quantidade de vezes que a base é multiplicada por si mesma
chama-se expoente, e o resultado da operação é denominado potência. Além disso,
nomeamos as operações anteriores de potenciação ou exponenciação.
Atenção!
Note que, se o expoente de uma potência de base negativa for ímpar, o
resultado é negativo; se for par, o resultado é positivo.
122
Função exponencial
U3
Assimile
Em uma expressão b = a , com a, b, n ∈ , o número b é a base, o
n
número n é o expoente e o valor a, resultado de b , é a potência.
n
Se b < 0 e:
n
• n ímpar, temos b = a < 0 ;
n
• n par, temos b = a > 0 .
Vejamos outros exemplos: 32 = 9 , 3 4 = 81, 52 = 25 e 53 = 125 .
Para bases fracionárias, a interpretação é a mesma, veja: 0, 52 = 0, 25 e
0, 53 = 0,125 .
Lembre-se
Fração é o nome dado à expressão que representa uma divisão, e “divisão”
também é conhecida como “quociente”. Para simbolizar uma divisão
a
também existem vários símbolos, como: (fração); a/b (fração em linha);
b
a:b (dois-pontos); a ÷ b (dois-pontos separados por um traço horizontal).
Para alguns casos envolvendo números com decimais, o mais fácil é resolver
utilizando frações. Por exemplo, sabendo que 0,5 é o mesmo que 5 dividido por 10,
para obter o resultado de 0, 52 e de 0, 53 , é possível fazer as seguintes sequências de
operações:
2
3
53
125
52
25
5
5
= 0,125 .
= 0, 25 e 0, 53 = = 3 =
0, 52 = = 2 =
1000
100
10
10
10
10
Note que o expoente é aplicado a todos os números da fração, ou seja, ao
numerador (número que está em cima) e ao denominador (número que está embaixo).
Múltiplos e submúltiplos de 10
Um caso muito comum de potência é quando a base é 10, muito usada para
escrever números muito grandes ou muito pequenos. Por exemplo, se dermos uma
volta completa em torno do equador do planeta Terra, deslocaremo-nos cerca de
40 mil quilômetros, ou 40.000 km, ou 40 milhões de metros, ou 40.000.000 m.
São todas formas diferentes de representar a mesma medida. Podemos representar,
Função exponencial
123
U3
também, esta medida usando uma potência de 10:
40.000.000 m = 40.000 × 10 ⋅ 10 ⋅ 10 m = 40.000 ⋅ 103 m
3
Como 10 é chamado de quilo, e representado pela letra k (minúsculo), podemos
escrever 40.000 × 103 m como 40.000 km, ou dizer 40 mil quilo metros, que
acabou por gerar a palavra quilômetros.
Outro caso muito comum é quando o número é pequeno, como o comprimento
de uma formiga lava-pé ou o diâmetro médio de um fio de cabelo. Estas formigas
possuem em torno de 2 mm, mas por que dizemos milímetros? 2 milímetros é o
2
2
mesmo que 0,002 m, que pode ser reescrito por meio da fração:
= 3 = 2 × 10−3 .
1000
10
3
Nesta operação, o denominador 10 sobe para o numerador invertendo o sinal
-3
do expoente, e 10 pode ser representado pela letra m (minúsculo), denominada
mili. Logo, 0, 002 m = 2 ⋅ 10 −3 m , ou 2 mm (2 mili metros), que acabou por gerar a
palavra milímetros.
Existem letras para expressar muitas outras potências de base 10, usadas como
prefixos das unidades de medidas, antes das quais, por regra, só se pode usar um único
prefixo.
A Tabela 3.1 mostra alguns exemplos destes prefixos.
Tabela 3.1 | Prefixos, símbolos e valores dos múltiplos e submúltiplos de 10
Prefixo
Símbolo
Extenso
Decimal
Potência de dez
tera
T
Trilhão
1.000.000.000.000
1012
giga
G
Bilhão
1.000.000.000
109
mega
M
Milhão
1.000.000
106
quilo
k
Mil
1.000
103
hecto
h
Cem
100
102
deca
da
Dez
10
101
Unidade
-
Unidade
1
100
deci
d
Décimo
0,1
10-1
centi
c
Centésimo
0,01
10-2
mili
m
Milésimo
0,001
10-3
micro
m
Milionésimo
0,000.001
10-6
nano
n
Bilionésimo
0,000.000.001
10-9
pico
p
Trilionésimo
0,000.000.000.001
10-12
Fonte: Adaptado de Wentworth (2009).
Um valor obtido pela multiplicação de um número real maior ou igual a 1 e menor
que 10 por uma potência de 10 com expoente inteiro pode ser expresso em Notação
124
Função exponencial
U3
Científica. Se esta potência de 10 puder ser substituída por um prefixo da Tabela 3.1,
este número será expresso em Notação de Engenharia.
Exemplificando
Escreva em notação científica os seguintes números:
Número
Resolução
200
2 × 100 = 2 × 102
0,0005
5 : 10.000 = 5 × 10−4
0,00002
2 : 100.000 = 2 × 10−5
1.230
1, 23 × 1000 = 1, 23 × 103
28,9
2, 89 × 10 = 2, 89 × 101
871,2
8, 712 × 100 = 8, 712 × 102
870,0
8, 7 × 100 = 8, 7 × 102
152.000.000
1, 52 × 100.000.000 = 1, 52 × 108
Na prática, basta contar o número de vezes que a vírgula “anda” para a direita ou
para a esquerda, pois este será o valor do expoente. Além disso, se a vírgula se deslocar
para a direita, o expoente será negativo; e, se a vírgula se deslocar para a esquerda, o
expoente será positivo.
Exemplificando
Escreva em notação de engenharia as seguintes medidas dadas em
metros:
Medidas
Resolução
200 m
0,0005 m
2.000.000 m
1.230 m
2 × 100 = 2 × 102
{
→2
0, 5 : 1.000 = 0, 5 × 10−3
hm
→ 0,5
500 : 1.000.000 = 500 × 10−6
2 × 1.000.000 = 2 × 106
1, 23 × 1000 = 1, 23 × 103
mm
→ 500
→2
mm
Mm
→ 1,23
Função exponencial
km
125
U3
Faça você mesmo
1) Escreva em notação científica e de engenharia as seguintes medidas:
a) A energia média de um relâmpago: 1.000.000.000 J (Joule).
b) O diâmetro de um vírus médio: 0,0000001 m.
Propriedades e valores definidos das potências
Uma expressão matemática pode conter soma, multiplicação e divisão de
potências, e até potência de potências, por isso é necessário saber como resolver
cada um destes casos. Para operações aritméticas entre potências são válidas as
propriedades expostas na Tabela 3.2.
Tabela 3.2 | Propriedades das potências ou exponenciais
Multiplicação de potências
Potência de potência
(b )
m
bm ⋅ bn = bm +n
Divisão
bm
= b m −n
bn
, com b
= b m⋅n
Potência de multiplicações e divisões
n
≠0em>n
(a ⋅ b )
n
an
a
= n
= a ⋅b e b
b , com b ≠ 0
n
n
Deinidas
Indeinidas
Expoente negativo
Produtos notáveis de expoente 2
b0 = 1, com b ≠ 0 e b1 = b
00, 0∞ e ∞0
(a + b )
b−n =
1
, com b ≠ 0
bn
Fonte: Os autores
Na Tabela 3.2, considere a, b ∈ e n, m ∈ + .
126
n
Função exponencial
2
2
= a 2 + 2ab + b 2
( a − b ) = a2 − 2ab + b2
( a + b ) ( a − b ) = a2 − b2
U3
Exemplificando
Transforme as seguintes expressões em uma única potência simples:
Expressões
Resolução:
27 × 23
27 + 3 = 210
2 ÷2
7
52
55
(2 )
2−5
=2
=5
3
3
Resolução:
2
23⋅2 = 26
−2
23( −2 ) = 2−6
100
1000
102
1
=
= 10−1
103 10
105 ÷ 10−3
105 −( −3 ) = 108
105 × 10−3
105 −3 = 102
10−3 ÷ 105
10−3 −5 = 10−8
−3
23 −3 = 20 = 1
Expressões
3
55 − 2 = 53
5
23 √ 23
( −2 )
(2 )
2
55
52
3
4
7 −3
3
( 2, 5 )
Expressões
Resolução:
2
⋅
5
2
2
3
( 2, 5 )
( −1⋅ 2 )
× 22
( −2 )
3
3
1
−2
2
⋅ = ( 2, 5 ) ⋅ ( 2, 5 ) = ( 2, 5 ) = 2, 5
5
2
3
3
⋅ 22 = ( −1) ⋅ 23 ⋅ 22 = −23 + 2 = −25
2
2
2
( −2 ) = ( −1⋅ 2 ) = ( −1) ⋅ ( 2 )
3
3
3
2
= 26
É importante salientar que b n ≠ ( b n )m = b n⋅m . Por exemplo, 22 = 28 , que é
3
diferente de 22 = 26 .
m
3
( )
Pesquise mais
Exemplos de potências e outras formas de resolução podem ser vistos em:
<www.uel.br/projetos/matessencial/superior/elementos/elementos04.
pdf> e <www.matematicadidatica.com.br/Potenciacao.aspx>. Acesso
em: 18 dez. 2015.
Faça você mesmo
2
3
5
0
−4
÷ 3 ⋅ 3 + 10 .
2
2
2) Calcule o valor da expressão 2
(
)
Radiciação é a operação inversa da potenciação, e sua simbologia deriva da letra
“r”. De modo geral, como define Dante (2012, p.135):
Função exponencial
127
U3
n
a = b ⇔ b n = a , em que:
n
é o símbolo que indica a operação radiciação e é chamado radical;
a é o número real chamado radicando;
n é um número natural diferente de zero chamado índice; e,
b é um número real, resultado dessa operação, chamado raiz.
Vejamos alguns exemplos:
Se 2·2 = 4, então 4 = 2 .
Se 2·2·2 = 8, então
3
Atenção!
8 = 2.
Se 3·3·3·3 = 81, então
4
Note que não é necessário
escrever o índice quando n = 2.
81 = 3 .
Reflita
O radical com índice 2 é chamado de “raiz quadrada”, enquanto o radical
com índice 3, de “raiz cúbica”. Por quê? Pense nas áreas e nos volumes de
figuras geométricas.
Assimile
Para transformar uma radiciação em uma potenciação, e vice-versa, podebn ⇔ b m .
n
se usar a relação:
m
As propriedades que nos permitem manipular e resolver os radicais são (Tabela
3.3):
Tabela 3.3 | Propriedades das radiciações
Raiz de um produto
n
a⋅b = n a ⋅ n b
Potência de um radical
( a)
n
m
= n am
Alteração do índice e expoente
n ⋅k
128
a m⋅k = n a m
Função exponencial
Raiz de um quociente
n
a na
=
b nb
, com
b≠0
Raiz de um radical
n m
a = n⋅m a
Radicando negativo com n par ou ímpar*
−4 = 4 ⋅ −1 = 2i
U3
n ÷k
a m ÷k = n a m
3
−8 = 3 −23 = −2
*Não existe um número real que multiplicado por si mesmo gere o resultado -1, por isso criou-se o conjunto dos números
complexos , no qual i é denominado número imaginário, sendo que i 2 = −1, ou i = −1 .
Fonte: Os autores
*
Na Tabela 3.3, considere a, b ∈ e n, m, k ∈ + − {1} .
(
)
Pesquise mais
Exemplos e, também, outras formas de resolução podem ser vistos no link:
<http://www.mat.ufrgs.br/~vclotilde/disciplinas/html/potenciacao_
radiciacao.pdf>. Acesso em: 18 dez. 2015.
Exemplificando
Simplifique as expressões:
Expressões
2⋅ 3
16
2
Resolução:
2⋅3 = 6
16
= 8
2
Expressões
Resolução:
23 = 8
3
( 2)
4
36
2⋅2
32⋅3 = 33 = 27
Fatoração
Pode-se decompor um número em multiplicações de números primos, substituir
o valor do radicando ou da base por esta decomposição e usar as propriedades das
potências e das raízes para simplificar e resolver expressões. Para isso, são construídas
duas colunas de valores, em que, à esquerda, ficam as decomposições do valor inicial
e, à direita, os divisores.
180
2
27
3
200
2
8
2
90
2
9
3
100
2
4
2
45
3
3
3
50
2
2
2
15
3
1
25
5
1
5
5
33
5
5
1
2 ⋅3 ⋅5
2
2
1
23
23 ⋅ 52
Função exponencial
129
U3
Exemplificando
Simplifique as expressões:
Expressões
3
Resolução:
6
27
23 = 22 ⋅ 2 = 2 2
8
1
27 3
( )
33
1
6 2
2
1
64 2
200
27 = 2⋅3 33 = 3
( )
1
3
=
3
= 33 = 3
6
22
= 23 = 8
23 ⋅ 52 = 22 ⋅ 2 ⋅ 52 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 10 2
Faça você mesmo
1
2
1
1 2
1
3) Calcule o valor da expressão: 27 3 + 64 2 − 8 3 + 4 2 .
Sem medo de errar
Como aplicar os conceitos apresentados nesta unidade para calcular o número de
bactérias presentes em 1 litro de leite 24 horas após ele ter sido contaminado com 1000
bactérias, supondo que a população destas bactérias dobre a cada hora que se passa?
E como calcular o período de consumo para este alimento após sua embalagem
ter sido aberta, supondo que uma população bacteriana acima de 100 milhões de
bactérias por mililitro faça que o leite adquira sabor azedo?
Para o primeiro caso, o número de bactérias cresce a cada hora da seguinte
maneira:
N0 = 1000
N1 = 2 ⋅ 1000 = 21 ⋅ 1000 = 2000
N2 = 2 ⋅ 2000 = 2 ⋅ 2 ⋅ 1000 = 22 ⋅ 1000 = 4000
130
Função exponencial
U3
N3 = 2 ⋅ 4000 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 1000 = 23 ⋅ 1000 = 8000
...
Nn = 2n ⋅ 1000
Ou seja, após n horas, o número de bactérias será de 2n vezes o número inicial de
bactérias, que é 1000. Assim, após 24 horas teremos:
N24 = 224 ⋅ 1000 = 16.777.216 × 1000 = 16.777.216.000 bactérias por litro.
Dica
Use uma calculadora científica.
De forma extensa, pode-se dizer que existem, neste 1 litro de leite, 24 horas após
sua contaminação, aproximadamente 16,8 bilhões de bactérias ( 16, 8 ⋅ 109 ) ou, em
notação científica, 1, 68 ⋅ 1010 bactérias.
Para o segundo caso, como o valor a ser calculado envolve a quantidade de bactérias
por mililitro de leite, devemos dividir a quantidade existente após n horas por 1000, pois
cada litro possui 1000 ml, gerando uma concentração calculada por:
2n ⋅ 1000
Concentração =
= 2n
1000
Considerando uma contaminação de no mínimo 100 milhões de bactérias por
mililitro de leite, temos que 2n deve ser maior ou igual a 100 milhões. Usando uma
calculadora científica, podemos perceber que:
226 = 67.108.864 , e que
227 = 134.217.728 ,
Ou seja, entre 26h e 27h, após ser aberto, o leite já estará com sabor desagradável.
Portanto, ele deve ser consumido em, no máximo, 26 horas. Na prática, sob refrigeração
de até 10 °C, a recomendação é de que o leite seja consumido em até 48h.
Avançando na prática
Pratique mais
Instrução
Desaiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações
que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois as compare com as de
seus colegas.
Função exponencial
131
U3
Ganho de capital financeiro
1. Competências de Fundamentos
de Área
Conhecer e ser capaz de desenvolver e interpretar funções
e gráicos do 1º e 2º grau, além de funções exponenciais,
logarítmicas e trigonométricas.
2. Objetivos de aprendizagem
Aplicar os conceitos e as propriedades das potências
para calcular montantes em dinheiro submetidos a juros
compostos.
3. Conteúdos relacionados
Potenciação, valores inanceiros e porcentagem.
4. Descrição da SP
Suponha que você tenha recebido uma herança de R$ 40.000,00,
que denominaremos de valor no presente momento (VP)
e que tenha negociado com o gerente do banco um CDB
(Certiicado de Depósito Bancário) de 24 meses a juros (j) de 0,95%
0, 95
100 = 0, 0095
ao mês. Se a inlação neste período foi de 0,83% ao
mês, desconsiderando as taxas e os impostos cobrados sobre
esta aplicação, qual é o ganho real de capital após estes 2 anos
de investimento?
O montante de capital no início de cada mês é:
=
M0 40
=
.000 VP (Mês zero)
M1 = 40.000 + 0, 0095 × 40.000 = VP + j ⋅ VP (Mês um.)
M2 = 40.000 + 0, 0095 ( 40.000 + 0, 0095 × 40.000 )
(
, ou
)
(
M2 = VP + j (VP + j ⋅ VP ) = VP + j ⋅ VP + j 2 ⋅ VP = VP 1 + j + j 2 = VP 1 + 1⋅ j + j 2
)
Na tabela de propriedades das potências, vimos que:
(a + b )
2
= a 2 + ab + b 2 . Por comparação, deduzimos que a = 1
e b = j, logo:
5. Resolução da SP
2
M2 = VP (1 + j ) . O montante para qualquer início de mês é
n
então Mn = VP (1 + j ) .
Após 24 meses, ou seja, 2 anos após o investimento, o
montante será de:
M24 = 40.000 (1 + 0, 0095 )
24
= 40.000 (1, 254734...) R$ 50.189, 37
Dois anos após o investimento, a inlação faria que um
montante maior de dinheiro fosse necessário para comprar
as mesmas coisas de 2 anos atrás (efeito da inlação), e este
montante seria calculado com juros de 0,83% ao mês:
M24 = 40.000 (1 + 0, 0083 )
24
= 40.000 (1, 219423...) ,
ou
seja,
M24 R$ 48.776, 92 e o ganho de capital é de 50.189,37 -
48.776,92 = R$ 1.412,45.
Faça valer a pena
8
−5
1. Ao simplificarmos a expressão 83⋅ 10 1⋅ 10 2 100 , obtemos:
2 ⋅ 10 ⋅ 10
132
Função exponencial
U3
a) 22
b) 8800
c) 1
d) 10
e) 0
2. Qual dos números a seguir é o resultado de
16 ?
a) 2
b) 4
c) √2
d) 8
e) 2√2
3. Sabendo que o montante obtido a partir de um capital investido sob
juros compostos, aplicado por certo intervalo de meses, é calculado pela
n
função VF = VP (1 + j ) , na qual VF é o valor total final acumulado, VP é
o valor inicial ou no momento presente, j é a taxa de juros mensais da
aplicação e n é o número total de meses antes do resgate, qual é o saldo
em uma conta que teve um depósito de R$ 5.000,00 na sua abertura
passados 4 meses sob os juros de 1% ao mês?
a) R$ 5.320,00
b) R$ 5.203,02
c) R$ 5.400,00
d) R$ 5.500,05
e) R$ 5.444,44
Função exponencial
133
U3
134
Função exponencial
U3
Seção 3.2
Equação exponencial
Diálogo aberto
Seja, novamente, bem-vindo!
Como vimos na seção anterior, Seção 3.1, expressões exponenciais podem ser usadas
para descrever fenômenos cujo crescimento de sua variável medida é acelerado, como
o número de bactérias em um alimento, ou então cujo decrescimento é desacelerado.
Nos casos estudados, conheciam-se a base e o expoente da expressão exponencial.
Nesta seção, estudaremos as equações exponenciais, que têm como característica
apresentar o expoente como valor desconhecido ou incógnita. Portanto, para que
possa ser resolvida, ela precisa estar igualada a um número ou outra expressão,
tornando-se uma equação. Veremos como estas equações exponenciais se
apresentam e estudaremos dois métodos para sua resolução: o primeiro deles tem
como meio fazer manipulações algébricas para igualar as bases das expressões
exponenciais separadas pela igualdade desta equação, e igualar seus expoentes; o
outro, permite que encontremos um valor de expoente próximo ao verdadeiro por
aproximações consecutivas.
Uma aplicação que envolve um plano para médio prazo e é pouco realizada pela
maioria das pessoas, por falta de planejamento e comprometimento pessoal, é fazer
a compra de um bem de alto valor por meio de um consórcio privado. Na prática,
seria fazer um depósito mensal fixo de baixo valor por um período de alguns anos
em um fundo com renda fixa, como a poupança, até acumular o valor desejado. Este
procedimento é conhecido como “aplicação com depósitos regulares”, e se o resgate
do montante for feito no início do último mês de depósito, o valor total acumulado
pode ser calculado pela fórmula:
n
(1 + j ) − 1
M =D
j
Nesta fórmula, M é o montante que existirá na conta no início do último mês de
cada depósito, D é o valor do depósito mensal, j é a taxa de juros da poupança, ou
outra aplicação a ser negociada com o banco, e n é número de meses desta aplicação.
Função exponencial
135
U3
Se quisermos fazer compra de um veículo popular usado, quantos meses são
necessários para se acumular 12 mil reais depositando mensalmente R$ 500,00 a juros
de 0,8% a.m. (a.m. = ao mês)?
Não pode faltar
Equações
Equação é uma “declaração de igualdade entre duas expressões consistindo de
variáveis e/ou números” (ENCICLOPÉDIA BRITÂNICA, 2016), pois um lado deve possuir
valor igual ao outro, ou seja, os lados possuem valores equivalentes (equação).
Exemplos: 2 + 3 = 5; x + 3 = 5 (para x = 2).
Resolver uma equação é encontrar o valor da variável, ou incógnita, na maioria das
vezes representada pela letra x. Geralmente, opta-se por letras de uso menos comum,
como x, y, z e w, mas qualquer letra pode ser usada, principalmente se puder ser
associada à dimensão que ela representa, como t para tempo, s para espaço (space,
em inglês), a para aceleração etc.
Equações exponenciais
Quando a incógnita aparece no expoente de uma equação, diz-se que ela é
uma equação exponencial, e para encontrar o valor desta variável devemos fazer
manipulações algébricas de forma a tornar ambos os lados com bases únicas e iguais.
Por exemplo:
2 x = 8 ⇒ 2 x = 23 , logo x = 3.
Assimile
Tecnicamente, para b > 0 e b ≠ 1, tem-se: b n = b m ⇔ n = m .
Exemplificando
Resolva as equações:
Equação
2 = 32
x
136
Função exponencial
Resolução
x
2 = 32 ⇒ 2 x = 25 ⇒ x = 5
U3
2x = 1
2 x = 1 ⇒ 2 x = 20 ⇒ x = 0
3x = 3
3 x = 3 ⇒ 3 x = 31 ⇒ x = 1
3x - 2 = 9
3x
5 x + 2 = 125
2
= 9 ⇒ 3x
2
= 32 ⇒ x − 2 = 2 ⇒ x = 4
5 x + 2 = 125 ⇒ 5 x + 2 = 53 ⇒ x + 2 = 3 ⇒ x = 1
2 x = 16
2 x = 16 ⇒ 2 x = 24 ⇒ 2 x = 22 ⇒ x = 2
x
( 0, 5 )
( 0, 5 )
x
1
1
= 3 4 ⇒ = 4 3 ⇒ 2−1
2
x
( )
( )
1
3
⇒
= 4
2
3
1
= 4 3 ⇒ 2 − x = 22
3
2− x = 2 3 ⇒ − x =
x
x
32 − x =
1
=
27
2
2
⇒x=−
3
3
1
⇒ 32− x = 27−1 ⇒ 32− x = 33
27
( )
−1
⇒
32− x = 3−3 ⇒ 2 − x = −3 ⇒ x = 5
2 x +1 + 2 x
2 x +1 + 2 x −1 = 5
1
= 5 ⇒ 2 x ⋅ 21 + 2 x ⋅ 2−1 = 5 , se 2 x = y , então
y ⋅2+ y
1
5
1
= 5 ⇒ y = 5 ⇒ y = 1⇒ y = 2 ⇒
2
2
2
2x = 2 ⇒ x = 1
( )
32 x − 4 ⋅ 3 x = −3 ⇒ 3 x
3
2x
− 4 ⋅ 3 = −3
y=
5x
5x
−x
− 4 ⋅ 3 x + 3 = 0 , se 3 = y , então
y 2 − 4y + 3 = 0 ⇒ y =
x
2
2
2
−x
= 25
x=
x
−( −4) ± ( −4)2 − 4 ⋅ 1⋅ 3
⇒
2 ⋅1
x
4 ± 16 − 12 4 ± 2 y ' = 3 ⇒ 3 = 3 ⇒ x = 1
=
x
2
2
y '' = 1 ⇒ 3 = 1 ⇒ x = 0
= 25 ⇒ 5 x
2
−x
= 52 ⇒ x 2 − x = 2 ⇒ x 2 − x − 2 = 0 ⇒
−( −1) ± ( −1)2 − 4 ⋅ 1⋅ ( −2) 1 ± 1 + 8 1 ± 3 x ' = 2
=
=
2 ⋅1
2
2 x '' = −1
Faça você mesmo
1) Resolva as equações:
x
a) 2 = 8
x +2
=9
b) 3
(
c) 10
2
)
x 1
= 100
Função exponencial
137
U3
d)
3
3 x = 81
e) 3 ⋅ 5 x + 3 = 3
f) 0, 52 x = 21−3 x
x
g) 0, 75 =
9
16
h) 22x − 9 ⋅ 2 x + 8 = 0
2
1
i) 3 x − 4 x =
27
Resolução por tentativas (bases diferentes)
Quando não é possível fazer que a equação exponencial apresente bases iguais
dos dois lados da igualdade, pode-se encontrar um valor aproximado para o expoente
atribuindo valores à incógnita, de modo a calcular um valor aproximado para a
igualdade. Por exemplo:
Equação:
2 x = 10
=
23 8=
23,3 9=
, 84...
23,32 9=
, 98...
23,321 9, 9935...
Tentativas:
=
24 16
=
23,4 10
=
, 55...
23,33 10
=
, 05...
23,322 10, 0004...
Note que o valor de x está entre 3 e 4, e um valor mais próximo ao correto pode
ser obtido fracionando o expoente sucessivamente. Entre as tentativas, o valor mais
preciso para x na equação 2 x = 10 foi 3,322. Assim, x 3, 322 .
Atenção!
A resolução de equações exponenciais com a igualdade separando
bases diferentes é normalmente feita usando-se a operação matemática
denominada logaritmo, que é mais rápida e precisa, mas será abordada
somente na próxima unidade.
Reflita
2 x tem valores que aumentam de forma acelerada com o aumento linear
de x, e 2- x tem valores que decrescem de forma desacelerada com o
aumento de x. O que se espera que aconteça com a variação dos valores
x
de b se 0 < b < 1?
138
Função exponencial
U3
Pesquise mais
O material indicado a seguir traz mais detalhes sobre as definições e
os métodos de resolução das equações exponenciais. Disponível em:
<http://www.fund198.ufba.br/expo/eq-ine.pdf>. Acesso em: 1 jan. 2016.
Sem medo de errar
Um consórcio privado, ou “aplicação com
depósitos regulares”, tem valor total
n
acumulado calculado pela fórmula M = D (1 + j ) − 1 , na qual M é o montante que existirá
j
no início do último mês de depósito, D é o valor do depósito mensal, j é a taxa de juros
da aplicação e n é o número de meses.
Relembrando: na compra de um veículo popular usado, quantos meses são
necessários para se acumular 12 mil reais depositando mensalmente R$ 500,00 a juros
de 0,8% a.m. (ao mês)?
A incógnita deste problema é o expoente n da equação usada para calcular o
montante M acumulado após n depósitos mensais de um valor D a um juros j. Para
achar o valor de n, devemos isolar a potência na qual ele se encontra, (1 + j)n, gerando
a seguinte equação:
M =D⋅
(1 + j )n − 1 M ⋅ j
M⋅j
⇒
= (1 + j )n − 1 ⇒ 1 +
= (1 + j )n
j
D
D
Ao substituirmos os valores dados nesta equação, temos:
1+
12000 ⋅ 0, 008
= (1 + 0, 008)n ⇒ 1192
,
= 1, 008n
500
Como não é possível manipular esta equação de modo a obter duas potências de
bases iguais, pode-se optar por encontrar um valor aproximado de n por tentativas.
Com o uso de uma calculadora científica tem-se:
1, 00810 = 1, 0829...
1, 00820 = 11727
,
...
1, 00821 = 11821
,
...
1, 00822 = 11916
,
... ≅ 1192
,
1, 00823 = 1, 2011...
Portanto, o número de meses necessários para acumular, aproximadamente, 12
mil reais é 22. Caso este valor fosse depositado em uma conta-corrente comum, na
qual não existe correção da inflação, seriam necessários 24 meses para acumular o
Função exponencial
139
U3
12000
.
500
Um cálculo mais preciso mostra que o valor acumulado em 22 meses é de R$
11.975,21, e a economia obtida por este procedimento acabou sendo de 2 meses de
depósito (2 = 24 – 22), ou seja, de 1000 reais.
mesmo valor 24 =
É importante lembrar que em um consórcio contratado (de um banco, por exemplo)
as taxas de administração tornam esta opção menos interessante que o depósito em
poupança, o que as operadoras de consórcio tentam compensar pela possibilidade de
você ser sorteado e adquirir o bem desejado antes da finalização dos pagamentos. Por
exemplo, em uma simulação, um consórcio oferecido por um banco popular exigiu
taxas equivalentes à compra de um carro de 12 mil reais com depósitos de 22 parcelas
de R$ 573,27, gerando um gasto de cerca de 600 reais a mais.
Pesquise mais
Se o resgate dos valores acumulados for feito no final do último período
de depósito, com o intuito de obter um ganho pela correção do montante
acumulado até este último mês, o cálculo do montante é feito pela
fórmula:
(1 + j )n +1 − 1
− 1
M = D⋅
j
Ou seja, neste caso, o resgate é feito após o acréscimo dos juros referentes
ao último depósito. Procure se informar mais sobre isso.
Avançando na prática
Pratique mais
Instrução
Desaiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações
que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois as compare com as de
seus colegas.
Depreciação de um automóvel
140
1. Competências de Fundamentos
de Área
Conhecer e ser capaz de desenvolver e interpretar funções
e gráicos do 1º e 2º grau, além de funções exponenciais,
logarítmicas e trigonométricas.
2. Objetivos de aprendizagem
Aplicar as equações exponenciais a casos reais.
3. Conteúdos relacionados
Equação exponencial.
4. Descrição da SP
Se você pretende comprar um carro, tem a opção de comprar
um novo ou um usado, e pode considerar que, nos próximos
3 a 5 anos: o novo trará somente as despesas com as revisões
Função exponencial
U3
e os maiores valores de seguro e IPVA; o usado certamente
exigirá manutenção em oicina mecânica, a troca de peças
mais caras e menores valores de seguro e IPVA.
De forma geral, um carro novo, quando tirado da agência,
desvaloriza-se imediatamente cerca de 10%, e mais cerca de
5% ao ano. Já um carro usado tem somente a desvalorização
de cerca de 5% ao ano.
Supondo um carro zero com valor na agência de R$ 88.000,00,
quantos anos devem se passar para que seu valor de mercado
seja de R$ 68.590,00, considerando que, ao sair da agência,
seu valor de mercado é 10% menor, neste caso, de R$ 80.000?
Lembre-se
O aumento ou a diminuição de um valor
financeiro em função de uma taxa de juros já
foi discutido na Seção 3.1 e é calculado pela
fórmula M = VP ⋅ (1 + j )n , sendo M o montante, VP
o valor presente, j a taxa de juros e n o número de
períodos em que essa taxa de juros incide.
5. Resolução da SP
Por se tratar de uma depreciação, a taxa de juros, neste caso, é
negativa, ou seja, j = –0,05 (–5% = –5/100 = –0,05).
A taxa de depreciação deste veículo passa a ser ixa após
sua retirada da agência, momento a partir do qual a fórmula
apresentada se aplica. No ano zero, o valor do veículo fora
da agência é de R$ 80.000,00, e será o valor presente. Assim:
68590 = 80000(1 − 0, 05)n ⇒
n
3
68590
= 0, 95n ⇒
80000
n
n
3
6859 95
19
19
19
95 ÷ 5
⇒
=
= 100 ÷ 5 ⇒ 20 = 20 ⇒ n = 3
8000 100
20
Assim, 3 anos após sua compra, o veículo terá se desvalorizado
11410
R$ 11.410,00, o que corresponde a quase 13% 13% = 0,13 88000
de seu valor na agência, custando R$ 68.590,00.
Faça você mesmo
2) Considerando uma taxa de valorização de 10% ao ano, quantos anos
são necessários para que um valor inicial de R$ 2.000,00 chegue ao
montante de R$ 3.221,00?
Função exponencial
141
U3
Faça valer a pena
1. O valor de x na equação 2 x − 63 = 1 é:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
2. O valor de t na equação 3t = 8 81 é:
a) –1
b) 1
c) 2
d) 0,5
e) 0,75
3. Em condições específicas, o número de bactérias de uma cultura é dado
pela expressão N (t ) = 800 ⋅ 20,5t , na qual N(t) é o número de bactérias por ml
de cultura em determinado instante e t é o tempo em horas. Em quanto
tempo, após o início do experimento, esta cultura terá 3200 bactérias?
a) 2 h
b) 3 h
c) 4 h
d) 5 h
e) 6 h
142
Função exponencial
U3
Seção 3.3
Função exponencial
Diálogo aberto
Prezados alunos, nas duas seções anteriores, estudamos as definições e
n
propriedades da potenciação ( b ) , da radiciação n a e das equações exponenciais
n
b = a . Nesta seção, visualizaremos os comportamentos descritos anteriormente de
crescimento acelerado e decrescimento desacelerado. Para isso, utilizaremos gráficos
obtidos ao estudarmos as equações exponenciais na forma de função, empregando
x no lugar de n, de forma a representar os valores correlacionados pela função num
plano cartesiano, em que f ( x ) = b x ou y = b x .
(
( )
)
Para entendermos a importância de respeitar as dosagens e os intervalos de tempo
recomendados no receituário após uma consulta médica, devemos compreender que
as dosagens são calculadas em função de nosso volume corpóreo e sanguíneo, assim
como com base em nosso metabolismo e velocidade de excreção dos fármacos e
seus metabólitos, além, é claro, das dosagens mínima eficaz e máxima tolerada.
Ao ingerirmos um remédio, a concentração de seu princípio ativo no sangue
aumenta rapidamente e não deve atingir valor maior que o da dosagem máxima
tolerada, acima da qual o fármaco passa a ser tóxico. Decorrido certo intervalo de
tempo, sua concentração no sangue cai pela metade: decorrido outro intervalo de
tempo de mesmo valor, a concentração do fármaco cai pela metade da metade
anterior, ou seja, ¼ do valor original, e assim por diante. Este intervalo de tempo é
então denominado tempo de meia-vida.
A concentração de um fármaco no sangue pode ser descrita pela função:
t
1 k
C(t ) = C0
2
Na qual C(t) é a concentração do fármaco no sangue em determinado instante t,
C0 é a concentração inicial; e k é uma constante que equivale ao tempo de meia-vida
do fármaco no organismo. Suponha que a concentração máxima tolerável de um
fármaco no sangue seja 80 mg/ml (micrograma por mililitro) e que, para determinado
paciente, a concentração inicial administrada tenha sido 60 mg/ml. Considere, ainda,
Função exponencial
143
U3
que a quantidade mínima eficaz desse fármaco seja 15 mg/ml e que seu tempo de
meia-vida seja de 4 horas para este paciente. Com base nessas informações, surgem
as seguintes questões: (a) De quanto em quanto tempo esta pessoa precisa tomar
uma nova dose deste fármaco? (b) Considerando que esta pessoa possua 8 litros de
sangue, qual é a massa de princípio ativo presente em cada dose?
Não pode faltar
Até aqui vimos que, se 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 = 8 e 2 = 8 , então x só pode ser 3, pois
2 = 8= 23 . Também vimos que 22 = 4 , 21 = 2 , 20 = 1, 2−1 = 0, 5 , 2−2 = 0, 25 ,
−4
2−3 = 0,125 e 2 = 0, 06525 , se escrita na forma 2 x = y , há valores de x variando
entre 2 e –4. Tabulando estas expressões em ordem crescente de x, temos os dados
mostrados na Tabela 3.4.
x
3
x
Tabela 3.4 | Alguns valores de x e da função
x
–4
–2
–1
0
1
2
3
2-4
2-3
2-2
2-1
20
21
22
23
1
= 0, 0625
16
1
= 0,125
8
1
= 0, 25
4
1
= 0, 5
2
1
2
4
8
2x
y = 2x
–3
y = 2x
Fonte: Os autores
Os valores da Tabela 3.4 e da função y = 2 x podem ser representados num plano
cartesiano, gerando o gráfico mostrado na Figura 3.1.
Figura 3.1 | Gráfico da função
Fonte: Os autores
144
Função exponencial
y = 2x
U3
1
1
−3
3
Ainda nesta unidade foi visto que 2 = 23 = 2 . Portanto, uma potência de
base positiva e expoente negativo pode ser transformada em outra, cuja base seja
a recíproca da primeira (inversa multiplicativa) e com expoente positivo. Assim,
1
1
1
2 = , 3 = , 4 = ... Como exemplo, observemos os dados da Tabela 3.5 e do
2
3
4
gráfico correspondente, mostrado na Figura 3.2.
x
x
−x
−x
x
−x
x
Tabela 3.5 | Alguns valores de x e da função y = 2 que tem valor igual ao da função
1
y = 2− x
x
–2
x
1
−x
2 ou 2
1
2
−2
ou 2−( −2 )
–1
1
2
0
−1
ou 2−( −1)
1
2
ou 2−( 0 )
x
1
y = = 2− x
2
4
2
1
1
−0
1
2
2
1
− (1)
2 ou 2
1
−( 2 )
2 ou 2
1
= 0, 5
2
1
= 0, 25
4
Fonte: Os autores
1
x
−x
Figura 3.2 | Gráfico das funções y = e y = 2
2
Fonte: Os autores
Atenção!
Observe que:
• O gráfico de f ( x ) = b x sempre passa pela coordenada (0, 1).
Função exponencial
145
U3
x
• A função f ( x ) = b nunca se anula (seu gráfico não toca o eixo x).
• A função f ( x ) = b x com b > 1 tem valores que crescem de forma cada
vez mais intensa, ou acelerada, ver Figura 3.1.
x
• A função f ( x ) = b com 0 < b < 1 tem valores que decrescem de forma
cada vez mais branda, ou desacelerada, ver Figura 3.2.
Assimile
De forma mais abrangente e técnica, dado um número real b tal que b
x
> 0 e b ≠ 1, define-se f ( x ) = b como a função exponencial de base b
*
com domínio e imagem + , ou seja, para qualquer valor de x de y são
sempre positivos.
Reflita
Sabendo que 0 é indefinido, que 1x = 1 para qualquer valor de x e que
não existe valor real para radicais de índice par e radicando negativo, como
a “raiz quadrada” de –2, o que se espera para uma função exponencial
quando:
0
a) b = 0 e x < 0?
b) b = 1?
c) b < 0 e x < 1?
Dica: Use exemplos numéricos!
A função y = é recíproca à função y = b x , o que pode ser observado pelo fato
b
de suas representações no plano cartesiano ser uma o espelhamento da outra com
1
relação ao eixo y (compare a Figura 3.1 com a Figura 3.2) e, apesar de y = b = b , ela não
é a inversa de y = b x . A inversa de y = b x é a função logarítmica, que será estudada
na próxima unidade.
1
x
x
−x
Exemplificando
Esboce o gráfico da função f ( x ) = 3 x .
Resolução:
Podem-se tabular os resultados de y = 3 x com valores inteiros de x de –2
a 2, conforme Tabela 3.6.
146
Função exponencial
U3
Tabela 3.6 | Alguns valores de x e da função y = 3 x
x
–2
–1
0
1
2
3x
3-2
3-1
30
31
32
1
≅ 0,11
9
1
≅ 0, 33
3
1
3
9
y = 3x
Fonte: Os autores
Na sequência, representar estes valores no plano cartesiano e interligá-los
com uma linha curva, conforme gráfico da Figura 3.3.
Figura 3.3 | Gráfico da função y
= 3x
Fonte: Os autores
Faça você mesmo
1
x
1) Esboce o gráfico da função y = 3− x ou y = .
3
Função exponencial de base e
Ao longo da história, muitos fenômenos naturais puderam ser descritos por uma
função matemática de base irracional e valor aproximado 2,718, sendo algumas do tipo
Função exponencial
147
U3
exponencial. Este valor tem infinitas casas decimais, assim como o π, e é simbolizado
pela letra e, em homenagem ao matemático Euler. Deste modo, a função exponencial
x
de base e é denotada como y = e x , pode ser aproximada por y = 2, 718 e algumas
vezes representada por y = exp ( x ) .
Pesquise mais
Para se aprofundar nos conceitos envolvendo funções exponenciais, leia
o texto indicado a seguir, a partir da p. 402.
Disponível em: <http://www.ime.unicamp.br/~chico/ma091/precalculo5.
pdf>. Acesso em: 2 fev. 2016.
Se possível, adquira o livro indicado a seguir:
MAOR, Eli. E. A história de um número. 5. ed. Rio de Janeiro: Record,
2008.
Sem medo de errar
(a) Intervalo interdose
No problema envolvendo as dosagens máxima e mínima de um fármaco
administrado a uma pessoa específica e o intervalo de tempo de ingestão deste fármaco,
60 mg/ml é a concentração inicial do princípio ativo deste fármaco no sangue, 15 mg/
ml é a concentração mínima eficaz e 4 horas é o valor de k, tempo de meia-vida do
fármaco no organismo desta pessoa. Para calcular o intervalo de tempo necessário para
a concentração do fármaco cair de 60 para 15 microgramas por mililitro de sangue,
devemos substituir os valores do problema na equação que descreve a concentração
do fármaco, ficando:
t
t
t
15 1 4
15 1
1 4
1 k
=
C(t ) = C0 ⇒ 15 = 60 ⇒
= e
, como
60 4
60 2
2
2
2
2
t
1 1
t
1 1 4
= , tem-se que = , logo = 2 ⇒ t = 8
4 2
4
2 2
Desta forma, esta pessoa precisa tomar uma nova dose deste remédio a cada 8
horas.
148
Função exponencial
U3
Lembre-se
A resolução da equação obtida, ao substituirmos os valores do problema na
função, deve ser feita tentando transformá-la numa equação exponencial
com bases iguais dos dois lados da igualdade.
(b) Quantidade de princípio ativo em cada dose
Esta pessoa possui 8 litros de sangue, ou seja, 8000 mililitros. Como a dosagem é de
60 mg ( 10-6 g) para cada mililitro de sangue, em 8000 mililitros teremos oito mil vezes
mais ou uma quantidade de 0,48 g ( 8000 ⋅ 60 × 10−6 = 480000 × 10−6 = 0, 48), ou seja,
cada dose ou comprimido deste fármaco deve ter 0,48 g do princípio ativo.
Avançando na prática
Pratique mais
Instrução
Desaiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações
que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois as compare com as de
seus colegas.
Contaminação alimentar por pesticidas
1. Competências de Fundamentos
de Área
Conhecer e ser capaz de desenvolver e interpretar funções
e gráicos do 1º e 2º grau, além de funções exponenciais,
logarítmicas e trigonométricas.
2. Objetivos de aprendizagem
Utilizar uma função exponencial para prever o nível de
contaminação alimentar por um pesticida.
3. Conteúdos relacionados
Potenciação e função exponencial.
4. Descrição da SP
Pesticidas são venenos utilizados na agricultura para combater
pragas (insetos, larvas e outros) que atacam os vegetais
cultivados, muitas vezes utilizados para produzir alimento
para os seres humanos. A concentração inicial do pesticida
pulverizado na planta deve estar acima da minimamente
suiciente para matar as pragas, mas sua concentração no
alimento produzido deve estar abaixo do máximo permitido
para consumo humano, que é bem inferior ao necessário
para eliminar as pragas. Isto é possível porque o pesticida se
degrada com o passar do tempo, exposição ao Sol, umidade e
oxigênio do ar. O tempo necessário para que a concentração
de determinado pesticida se reduza à metade da inicial é
chamado de tempo de meia-vida, e a concentração desta
t
k
substância no vegetal pode ser descrita pela função C(t ) = C 21
, na qual C ( t ) é a concentração do pesticida no vegetal em
determinado tempo t, C0 é a concentração inicial deste pesticida
neste vegetal e k é seu tempo de meia-vida.
Para um pesticida com meia-vida de 5 dias, e com
concentração inicial na lavoura de 3 mg/kg de planta, quantos
dias devem se passar (denominado período de carência) após
0
Função exponencial
149
U3
sua aplicação, para que sua concentração se reduza
a 187, 5 mg/kg de alimento e ele possa ser colhido e
comercializado?
Substituindo os valores dados na fórmula:
t
t
187, 5 × 10
1 5
1 k
C(t ) = C0 ⇒ 187, 5 × 10−6 = 3 × 10−3 ⇒
3 × 10−3
2
2
t
5. Resolução da SP
t
−6
1 5
= ⇒
2
t
1 5
1 5
62, 5 × 10−6 + 3 = ⇒ 62, 5 × 10−3 = , como 62, 5 × 10−3 = 0, 0625 =
2
2
4
4
t
t
1 1
1 1 5
, tem-se que: = , logo: = 4 ⇒ t = 20
=
16 2
5
2 2
Portanto, são necessários, no mínimo, 20 dias de espera
(período de carência) após a aplicação deste pesticida para
que o alimento possa ser ingerido por um ser humano.
Faça você mesmo
2) Um fato muito comum na agricultura é a não obediência às dosagens
recomendadas pelos fabricantes de pesticidas por parte dos camponeses,
pois geralmente seguem recomendações de amigos e vizinhos, e
acabam por aplicar na plantação dosagens entre 2 e 10 vezes acima da
recomendada. Além disso, os agricultores não costumam respeitar o
período de carência para a comercialização dos produtos.
Considere um produto cuja concentração eficaz recomendada para certo
tipo de inseto seja de 5 mg/kg de vegetal, cuja concentração máxima
aceitável para consumo humano seja de 312, 5 mg/kg de alimento. Se o
tempo de meia-vida deste pesticida é de 5 dias e o período de carência
é de 20 dias, mas o agricultor usou uma dosagem 2 vezes superior
à recomendada, quantas vezes acima do máximo permitido está a
concentração do pesticida no alimento que será comercializado se ele foi
colhido 10 dias após a aplicação do pesticida?
Faça valer a pena
1. Qual expressão
a seguir representa uma função exponencial crescente?
x
2
a) f ( x ) =
3
150
Função exponencial
U3
b) f ( x ) = 2− x
3
c) f ( x ) =
2
x
−x
d) f ( x ) = 3
5
e) f ( x ) =
2
−x
2. Qual das sentenças a seguir não pode ser considerada uma função
*
exponencial de em + ?
x
a) y = 0, 001
x
b) y = 1000
−x
5
c) y =
2
d) y = e x
e) y = 0 x
3. A quantidade de bactérias em determinado meio de cultura é dada
pela função N (t ) = N0 2t, na qual N(t) é o número de bactérias no instante t,
dado em horas, e N0 é o número inicial de bactérias neste meio de cultura.
Decorridas 4 horas, qual é o número de bactérias neste meio de cultura
se no instante inicial foram inoculadas 2000 bactérias?
a) 32 mil
b) 8 mil
c) 80 mil
d) 1,6 milhões
e) 16 milhões
Função exponencial
151
U3
152
Função exponencial
U3
Seção 3.4
Aplicações da potenciação
Diálogo aberto
Caro aluno, seja bem-vindo à última seção desta unidade, contendo os conceitos
que envolvem a potenciação. Na Seção 3.1, usamos a potenciação para determinar a
população de bactérias presente no leite 24h após aberto e à temperatura ambiente,
chegando a 16,8 bilhões de bactérias por litro; na Seção 3.2, resolvemos uma equação
exponencial para determinar o número de meses necessários para se acumular 12 mil
reais com depósitos mensais de R$ 500, chegando a 22, e não 24 meses (12000/500 =
24), graças ao juros; na Seção 3.3, usamos uma função exponencial para compreender
a importância de se seguir as recomendações médicas contidas nos receituários,
incluindo o período recomendado para ingestão de cada dose do remédio, evitando
queda de eficiência ou intoxicação pelo fármaco. Nesta seção, vamos desmistificar os
materiais radioativos e compreender como podem ser benéficos ou maléficos para nós.
Segundo Grassi (2010), Brown (2005) e Gillespie (1998), a atividade radioativa se
caracteriza pela emissão de raios X e/ou partículas com alta energia e menores que
o átomo (alfa ou beta). Estas partículas são lançadas em direção aleatória e se nos
atingirem podem gerar radicais livres e degradar, direta ou indiretamente, moléculas
do nosso corpo. Na maioria das vezes, esse efeito é inócuo, pois as moléculas
modificadas não alteram o metabolismo de nossas células. Além disso, nosso
organismo possui mecanismos para combater os radicais livres. Algumas vezes, uma
modificação importante não pode ser evitada e acaba por matar a célula onde ela
ocorreu, e raríssimas vezes a modificação causa uma multiplicação descontrolada de
uma de nossas células, ou seja, um câncer. Todos estes fatos são então probabilísticos,
e quanto mais tempo ou mais intensa for a dose de radiação tomada, maior é a
probabilidade de surgimento de um câncer ou alteração genética transmissível para
os descendentes.
Para minimizar efeitos colaterais probabilísticos, na medicina são usados núcleos
emissores de radiação com tempo de meia-vida (t ½) curtos (tempo necessário para a
concentração deste núcleo cair pela metade). O Na-24 (emissor beta com t ½ de 14,8
horas) é usado para verificar obstruções na corrente sanguínea. O I-131 (beta emissor
Função exponencial
153
U3
com t ½ de 8 dias) é usado para monitorar o funcionamento da glândula tireoide e em
altas concentrações é usado para eliminar tumores nesta glândula. O Tc-99 (emissor
gama com t ½ de 6 horas) é usado para monitoramento de tumores cerebrais, em que
o NaTcO4 é mais absorvido. O Co-60 decai em elétron mais Ni-60 excitado que emite
radiação gama, esta radiação de alta energia é usada para bombardeio de tumores,
onde provoca o surgimento de radicais que destroem as células tumorais.
Além disso, técnicas de obtenção de imagem de alta qualidade, como a PET
(Positron Emission Tomography), usam radiofármacos injetáveis à base de C-11, N-13,
O-15 ou F-18, todos com tempos de meia-vida da ordem de minutos (GRASSI, 2010;
BROWN, 2005; GILLESPIE, 1998).
Supondo que a quantidade de 50 mg de um composto contendo carbono-11, que
tem tempo de meia-vida de 20 minutos, precisa estar presente na corrente sanguínea
no momento da tomografia, qual deve ser a massa sintetizada deste núcleo radioativo
se o processo de produção, transporte e injeção do radiofármaco durar 1 hora e 20
minutos? A partir de que momento, após a injeção deste radiofármaco, a quantidade
deste núcleo no paciente fica abaixo de 6,25% do original?
Não pode faltar
Inequações exponenciais
Assimile
Expressões formadas por desigualdades são denominadas inequações.
No caso de uma inequação exponencial, sua resolução depende do valor de sua
base, e dois casos podem ocorrer:
Primeiro:
Lembre-se
x
Se b > 1, o valor de y = b cresce com o aumento de x.
Portanto, se 2 x > 8 , temos que 2 x > 23 e, consequentemente, x > 3 (mantém-se a
desigualdade).
Segundo:
154
Função exponencial
U3
Lembre-se
Se 0 < b < 1, o valor de y = b x decresce com o aumento de x.
x
x
3
1
1
Portanto, se 2 > 8 , temos que 2 > 2 e, consequentemente, x < 3 (invertese a desigualdade).
1
1
Exemplificando
Resolva as inequações:
a) 2x +1 ≥ 8
b) 27 ≤ 3 x +1 < 81
c) 0, 5 x > 4
d) 0, 3 x −2 < 1
Resolução:
a) 2 x +1 ≥ 8 ⇒ 2 x +1 ≥ 23 ⇒ x + 1 ≥ 3 ⇒ x ≥ 2
27 ≤ 3 x +1 (I)
:
x +1
3 < 81 (II)
b) 27 ≤ 3 x +1 < 81 , duas inequações formam um sistema
(I) 33 ≤ 3 x +1 ⇒ 3 ≤ x + 1 ⇒ 2 ≤ x ou x ≥ 2
x +1
x +1
4
(II) 3 < 81 ⇒ 3 < 3 ⇒ x + 1 < 4 ⇒ x < 3
x
x
x
−2
c) 0, 5 x > 4 ⇒ 1 > 22 ⇒ 1 > 1−2 ⇒ 1 > 1 ⇒ x < −2
2
2
2
2
2
x
1
2
2
−x
Pode-se fazer: > 2 ⇒ 2 > 2 ⇒ − x > 2 ⇒ x < −2
2
d) 0, 3 x −2 < 1 ⇒ 0, 3 x −2 < 0, 30 ⇒ x − 2 > 0 ⇒ x > 2
Lembre-se
Ao multiplicarmos por -1 todos os termos de uma desigualdade, ela é
invertida.
Exemplo: -1 · (-2 < 3) → 2 > -3.
Função exponencial
155
U3
Faça você mesmo
1) Resolva as inequações:
a) 23 x > 2−2 x +10
b) 0,1x < 0, 001
c)
( 3)
−x
3
1 2
≥
3
d) 3 ⋅ 2x > 18 ⋅ 8 ⋅ 4 2
Reflita
Por que os valores x ∈ D(f ) , sendo f ( x ) = 3 x − 9 , provêm de uma
inequação? Quais são estes valores? E por que, apesar de restritos, ainda
existem infinitos valores no domínio desta função?
Pesquise mais
Veja mais detalhes em: <http://www.fund198.ufba.br/expo/eq-ine.pdf>.
Acesso em: 18 fev. 2016.
Exemplificando
Um trágico acidente radiológico ocorreu no Brasil, em 1987, na cidade
de Goiânia. Infelizmente, quatro pessoas morreram, animais tiveram de
ser sacrificados e toneladas de materiais contaminados foram isolados. A
área e as pessoas foram descontaminadas, mas alguns efeitos tardios não
podem ser evitados.
O césio 137, encontrado por um catador de sucatas em um prédio
abandonado, é um elemento radioativo usado para tratamento de câncer,
o que aparentemente é um contrassenso. A meia-vida do césio 137
é de 30 anos, e os técnicos da CNEN (Comissão Nacional de Energia
Nuclear) estipulam em 180 anos o tempo necessário para que a atividade
radioativa dos materiais contaminados pelo césio deixe de ser nociva ao
meio ambiente. De qualquer forma, todo o material contaminado está
armazenado por definitivo, envolto por uma parede de 1 m de concreto
revestido com chumbo, em uma área isolada do Parque Estadual Telma
Ortegal, a 20 km do acidente.
Quando o aparelho de radioterapia foi colocado em operação, em 1971,
156
Função exponencial
U3
possuía 28 g de cloreto de césio, com atividade radioativa de 2000 Ci
(Curie: 1 Ci = 3, 7 × 1010 desintegrações por segundo). Qual é a atividade
radioativa deste material após 180 anos?
Lembre-se
Como estudado na Seção 3.3, a quantidade de material (remédio,
pesticida ou elemento radioativo) em função do tempo decorrido
e de
t
−
seu período de meia-vida é determinada pela equação M = M0 2 k , na qual
M é a quantidade restante da massa inicial do material ( M0 ) em certo
instante (t) e k é a meia-vida deste material.
Resolução:
Como a atividade radioativa sempre diminui com o passar do tempo, a
palavra "após" implica o uso de uma desigualdade que indica um resultado
menor que o que seria encontrado para exatos 180 anos. Além disso, a
fórmula relaciona massa e não atividade, mas pode-se usar a atividade,
pois esta é diretamente proporcional à massa de material radioativo
existente. Assim:
M = M0 2
−
t
k
⇒ Atividade < 2000 ⋅ 2
Atiividade < 2000
−
180
30
6
1
⇒ Atividade < 2000 ⇒
2
1
⇒ Atividade < 31, 25
64
Portanto, a atividade radioativa após 180 anos é menor que 31,25 Ci.
Pesquise mais
Sobre o acidente em Goiânia, acesse <www.educacaopublica.rj.gov.br/
biblioteca/quimica/0018.html>. Sobre unidades de atividade, exposição
e doses de radiação, acesse: <www.tecnologiaradiologica.com/materia_
unidades_grandezas.htm>. Acesso em: 26 jan. 2016.
Faça você mesmo
2) O processo natural de decaimento radioativo que transforma o césio
137 em bário tem tempo de meia-vida de 30 anos. Quantos gramas de
césio restarão decorridos 180 anos ou mais a partir de 28 g de cloreto de
césio originais (79,4% em césio)?
Função exponencial
157
U3
Sem medo de errar
Para que reste 50 mg de carbono-11, que possui meia-vida de 20 minutos, no
radiofármaco 1h e 20 minutos (80 minutos) após a síntese deste nuclídeo, a massa
inicial produzida deverá ser de:
M = M0 2
−
t
k
⇒ 50 = M0 2
−
80
20
1
⇒ 50 = M0 2−4 ⇒ 50 = M0 4
2
M0
0
⇒ 50 = 16 ⇒ M0 = 800
Logo, 800 mg de C-11 devem ser produzidos 1h e 20 minutos antes do exame.
Atenção!
• Note que se pode usar 50 mg ao invés de 50 × 10−3 g , pois uma potência
não possui unidade de medida ou grandeza, e por isso não altera as
unidades utilizadas.
• Como o expoente não pode ter unidade de medida, a unidade de t é a
mesma de k, o que faz que as unidades se anulem.
O momento a partir do qual a quantidade deste radiofármaco fica abaixo de 6,25%
do original é:
t
M = M0 2
−
t
k
t
⇒ 6, 25 > 100 ⋅ 2
4
−
t
20
t
6, 25 1 20
1 20
⇒
> ⇒ 0, 0625 > ⇒
100 2
2
t
1 1 20
t
1 20
1
⇒ t > 80
⇒ > ⇒4<
>
16 2
2
2
20
Logo, 80 minutos depois de injetado no organismo, a quantidade deste
radiofármaco fica abaixo de 6,25% dos 50 mg.
Atenção!
-
t
que M, por isso o
• A quantidade no instante t é M0 2 k e deve ser menor
t
−
k
M
2
<
M
uso do sinal de desigualdade indicando que 0
.
• Note que não existe uma fórmula para cada caso, mas sim para cada
forma de ocorrência de um fenômeno ou fato, e a mesma fórmula pode
ser usada para decaimento: da concentração de um fármaco no sangue;
da quantidade de um material radioativo; de um pesticida; entre outros.
A base será a razão de crescimento ou decrescimento do fenômeno e o
expoente o tempo ou sequência, como é o caso de incidência de juros
sobre dívidas ou aplicações financeiras, que ocorrem mensalmente.
158
Função exponencial
U3
Avançando na prática
Pratique mais
Instrução
Desaiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações
que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois as compare com as de
seus colegas.
Fractal
1. Competências de Fundamentos
de Área
Conhecer e ser capaz de desenvolver e interpretar funções
e gráicos do 1º e 2º grau, além de funções exponenciais,
logarítmicas e trigonométricas.
2. Objetivos de aprendizagem
Aplicar o conteúdo envolvendo potenciação a um caso em
que o expoente não é temporal, mas apenas segue uma
ordem de ocorrência com números inteiros.
3. Conteúdos relacionados
Perímetro e área de iguras planas, potenciação e função
exponencial.
4. Descrição da SP
A granulometria (medida do tamanho de grãos) é um fator
muito importante em vários ramos da ciência, pois, quanto
menor for o tamanho de uma partícula, maior será sua área
supericial. Este fato é usado para intensiicar o processo de
interação entre grãos e substâncias, aumentando a capacidade
de retenção de compostos orgânicos indesejados por pó de
carvão ativo, aumentando a eiciência de catalisadores sólidos
na indústria, melhorando o processo de separação química
em um cromatógrafo (separador de substâncias), entre outros.
Podemos entender como a área supericial é aumentada com
a diminuição do tamanho da partícula fazendo uma analogia
com um fractal. Um fractal é um objeto geométrico que nunca
perde sua estrutura qualquer que seja a distância de visão.
Fractal acima de tudo signiica autossemelhante (BATANETE,
2004), ou seja, uma igura que é acrescida de outras iguais
menores ou maiores, que são então acrescidas de outras iguais
ainda menores ou maiores, e assim por diante. Um exemplo
clássico é o chamado loco de neve de Koch, no qual são
acrescentados triângulos, cujas laterais são 1/3 da lateral maior,
gerando 4 segmentos de valor 1/3 da lateral anterior, ver Figura
3.4, e assim por diante, indeinidamente.
Figura 3.4 | Fractal loco de neve de Koch*
Fonte: Os autores
Função exponencial
159
U3
* Veja mais iguras da sequência em: <www.geogebra.
org/m/56929>. Acesso e: 11 fev. 2016.
Três partículas hipotéticas no formato de um prisma, em
que a base é este fractal e cuja altura é a, teriam quais áreas
laterais se a tiver 1 mm, a lateral do triângulo formador do
fractal também tiver 1 mm e a ordem na construção destes
fractais for de 2, 4 e 8?
A área lateral é o produto entre o perímetro do fractal e a
altura do prisma. O perímetro da primeira igura é 3×L, da
segunda é 3[(4/3)×L], da terceira é 3[(4/3)(4/3)×L], ... da enésima
4
n −1
é pn = 3L 3 , fórmula na qual pn é o perímetro, L é a medida
do lado do triângulo da primeira igura e n é a ordem da igura.
Logo, a área lateral do prisma seria A(n ) = a × pn . Resolvendo
cada caso temos:
4
A(2) = a × p2 = 1⋅ 3 ⋅ 1⋅
3
4
A( 4) = a × p4 = 1⋅ 3 ⋅ 1⋅
3
4
A(8) = a × p8 = 1⋅ 3 ⋅ 1⋅
3
5. Resolução da SP
2 −1
=3
4 −1
=3
8 −1
=3
4
= 4 mm2
3
64
7,1 mm2
27
16384
22, 5 mm2
2187
Uma maneira de visualizar o crescimento da área lateral deste
prisma em função da fragmentação de sua lateral é fazer o
gráico da função A(n ) = a × pn , que pode ser visto em:
Figura 3.5 | Gráico da função da área lateral em mm² de um
prisma com base no formato de fractal loco de neve de Koch
e altura 1 mm para 2ª, 4ª e 8ª ordem de repetição das iguras do
fractal.
Fonte: Os autores
Atenção!
Diferente da quebra de uma partícula em partes menores, a construção
deste prisma de base fractal proposto possui um incremento de volume
com o aumento da ordem do fractal: entretanto, este incremento
é limitado, pois trata-se de um incremento que segue uma função
exponencial com b < 1.
160
Função exponencial
U3
Lembre-se
Se a base de uma função exponencial for menor que 1, ela tende a zero
sem que seu gráfico toque o eixo x.
Faça valer a pena
1. O aumento em massa de alguns vegetais, como melancia, chuchu ou
abóbora, é crescente no início de sua formação. Desde o surgimento
da flor, uma melancia pode ter 4,0 g no final da sua primeira semana de
existência, aumentando sua massa numa razão de 5 vezes por semana
até início de sua maturação. Qual é a massa desta melancia no final da 4ª
semana de sua existência?
a) 400 g
b) 625 g
c) 1,0 kg
d) 2,5 kg
e) 3,2 kg
2. Um molusco exótico (animal que não é nativo no local), trazido no
lastro de um navio cargueiro (água ou areia que os navios coletam para
compensar a perda de peso ao descarregar suas mercadorias, deixando-o
mais estável diante das turbulências oceânicas), está se alastrando na costa
brasileira. Num primeiro momento, 400 destes animais foram contados;
seis meses depois, 600. Se seu crescimento populacional continuar no
mesmo ritmo, em 5 anos, quantos moluscos invasores poderão estar
presentes nesta região?
a) 2400
b) 4600
c) 8000
d) 16000
e) 23000
3. A população de uma cidade considerada promissora e que fica na
Região Norte do país é, hoje, de 500 mil habitantes e possui perspectiva
Função exponencial
161
U3
de crescimento de 10% ao ano. Quanto tempo é necessário para que a
população desta cidade ultrapasse os 805.255 habitantes?
a) 4 anos
b) Mais de 5 anos
c) Mais de 7 anos
d) Exatamente 1 ano, 6 meses e 10 dias
e) Não menos que uma década e meia
162
Função exponencial
U3
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.
BATANETE, A.; CASTRO, A.; LAGO, H. Natureza: caos ou ordem? Coimbra, 2004-2005.
Disponível em: <www.mat.uc.pt/~mcag/FEA2005/natureza.doc>. Acesso em: 17 fev.
2016.
BROWN, T. L.; LEMAY, H. E.; BURSTEN, B. E. Química: a ciência central. 9. ed. São Paulo:
Pearson Prentice Hall, 2005.
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2012.
ENCICLOPÉDIA BRITÂNICA. Equation: Mathematics. 2016. Disponível em: <http://
www.britannica.com/topic/equation>. Acesso em: 1 fev. 2016.
GILLESPIE, R. J. Atoms, Molecules, and Reactions: An Introduction to Chemistry. 2. ed.
Prentice Hall College Div., 1998.
GRASSI, G. Impressões e Ações de Professores que Visitaram o Centro Regional de
Ciências Nucleares do Centro-Oeste: duas décadas do acidente com o Césio-137
em Goiânia, 2010. Disponível em: <https://repositorio.bc.ufg.br/tede/handle/tde/591>.
Acesso em: 17 fev. 2016.
LARSON, R. Cálculo aplicado: curso rápido. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011.
MAOR, E. E: A história de um número. 5. ed. Rio de Janeiro: Record, 2008.
ROGAWSKI, J. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2009.
SIMMONS, G. F. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.
STEWART, J. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. Cálculo. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2012.
WENTWORTH, S. M. Eletromagnetismo Aplicado: abordagem antecipada das linhas de
transmissão. Porto Alegre: Bookman, 2009.
Função exponencial
163
Unidade 4
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Convite ao estudo
Caro aluno, nesta última unidade de Matemática Instrumental, trataremos
do estudo do logaritmo. Trata-se de mais uma ferramenta matemática que
pode ser utilizada para descrever fenômenos, como as já estudadas funções
afim e quadrática, além das funções trigonométricas e exponenciais. Em
todos os casos, o comportamento de cada uma destas funções é o que
permite sua associação com um fenômeno específico. Por isso, por vezes, é
necessário compreender o fenômeno para poder descrevê-lo utilizando uma
destas funções, e, outras vezes, a associação de uma função ao fenômeno
é o que nos ajuda a compreendê-lo.
De forma simplificada, podemos dizer que uma relação entre fatores
que ocorre numa proporção simples e direta será do tipo linear (função
polinomial de 1º grau ou afim); se um dos fatores depender duplamente
de uma mesma variável será do tipo quadrática (função polinomial de 2º
grau, quadrática ou parabólica); se for uma função periódica descrita no
ciclo trigonométrico será trigonométrica (função seno, cosseno, tangente,
entre outras); e se um dos fatores depender de um número multiplicado por
si mesmo n vezes será do tipo exponencial (função exponencial). Por fim,
entre as funções básicas estudadas pela Matemática, temos a logarítmica,
cujos valores crescem de forma desacelerada (ver Figura 4.1) ou decrescem
de forma também desacelerada, sendo que seu gráfico cruza o eixo x,
diferentemente da exponencial (lembre-se de que a exponencial cresce de
forma acelerada ou decresce de forma desacelerada, ou seja, seu gráfico
cruza o eixo y, mas não o eixo x).
U4
Figura 4.1 | Exemplos de curvas das funções afim, quadrática, senoidal,
exponencial e logarítmica.
Fonte: Os autores.
O logaritmo surgiu por volta de 1600, pela necessidade de se fazer
cálculos de multiplicação e divisão entre números grandes. Nesta época,
John Nepier e Joost Burgi desenvolveram, quase ao mesmo tempo, um
método que usava a propriedade b m ⋅ b n = b m + n e a fatoração para transformar
estas multiplicações e divisões em somatória e subtração por um método
mais simples do que o que existia na época (E-CALCULO, 2016). Logo em
seguida, Henry Briggs simplificou o uso deste método ao adotar b = 10, pois
Nepier usava b = 0,9999999 e Burgi b = 1,0001 (STEWART, 2014, p. 90).
Desde então o logaritmo foi usado para fazer cálculos nas áreas de
astronomia e navegação e, posteriormente, para cálculos complexos
em diversas outras áreas, incluindo as engenharias. Até pouco tempo era
comum o uso de tábuas de logaritmo nas escolas, como também de réguas
de cálculo, cujo princípio é o logaritmo.
Figura 4.2 | Régua de cálculo (se baseia na sobreposição de escalas logarítmicas)
Fonte: <https://pixabay.com/pt/r%C3%A9gua-de-c%C3%A1lculo-slider-escala-332493/>. Acesso em: 13 fev.
2016.
166
Função logarítmica
U4
O logaritmo continua sendo uma ferramenta importante, mas seu cálculo
passou a ser feito com o uso de calculadoras científicas, assim como o
cálculo envolvendo multiplicações e divisões complicadas ou com números
grandes. O logaritmo, hoje, é empregado para resolver de forma precisa
potências em equações com bases diferentes separadas pela igualdade e
para descrever muitos fenômenos naturais, desde a acidez de um produto,
nível sonoro em um ambiente e energia desprendida em um terremoto,
até leis de probabilidade e velocidade máxima de transmissão de dados em
informática.
Por ser muito versátil, o logaritmo acabou sendo usado por um grupo
de especialistas formado por engenheiros, economistas, geógrafos e
advogados que foram contratados pelo governo da cidade de Neperlândia
(nome fictício) para ajudar na elaboração do plano diretor desta cidade. O
plano diretor é um conjunto de diretrizes que definem os investimentos dos
governos que se sucederão pelos próximos 15 anos, estabelecendo onde e
como novas áreas serão usadas para comércio, indústria e moradia, o uso
de recursos naturais e energéticos, e como serão feitos os investimentos
em transporte, educação, segurança e saúde. Um bom planejamento pode
garantir um bom futuro para os moradores da cidade, sendo fundamental
fazer a estimativa de dados referentes a condições futuras, para que medidas
possam ser tomadas com antecedência. Isto porque muitos tipos de obras
demoram para ser finalizados ou têm execução lenta e gradual, requerem
licenças ambientais e relatórios de impactos socioambientais demorados e
custosos, e algumas obras só acabam recebendo verba do governo federal
quando se mostram necessárias, o que muitas vezes depende do tamanho
da população da cidade. Para auxiliar na elaboração desse plano é necessário
conhecer bem os conceitos de logaritmo, os quais são apresentados a seguir.
Função logarítmica
167
U4
168
Função logarítmica
U4
Seção 4.1
Função logarítmica
Diálogo aberto
Nesta seção estudaremos a definição de logaritmo e seu comportamento como
função, deixando suas propriedades para as próximas seções (Seção 4.2 e 4.3).
Com relação ao planejamento de Neperlândia, em uma reunião com deputados
em Brasília, o prefeito reeleito desta cidade ouviu que certa obra viária só receberia
verba após a cidade ultrapassar os 300 mil habitantes. Para saber se deveria incluir esta
obra em seu plano de governo atual, ou deixá-la para seu sucessor, pediu para que
os integrantes do grupo contratado calculassem em que ano Neperlândia chegaria
aos 300 mil habitantes. Para se ter uma visão futura da cidade, como poderíamos
visualizar o crescimento populacional de Neperlândia observando o número de
anos necessários para que sua população tenha um aumento de 100 mil em 100 mil
habitantes?
O crescimento populacional esperado para a cidade de Neperlândia, ou para o
Brasil, entre 2015 e 2030 é de 0,61% ao ano (0,61% a.a. = 0,61/100 a.a. = 0,0061
a.a.). Por incidir sobre o valor acumulado do ano anterior, este tipo de crescimento
é equivalente ao de um valor financeiro com juros compostos, valendo a equação
VF = VP (1 + j )n , na qual, para este caso, o valor final (VF) é a população no ano n após
2015 (ano 2015 (n = 0); ano 2016 (n = 1); ano 2017 (n = 2), ..., ano 2030 (n = 15)), o
valor presente (VP) é a população em 2015, que é de 290 mil habitantes, e j é a taxa
de crescimento, de 0,0061. Atribuir valores a n até chegar ao valor desejado de VF
(300 mil habitantes) é trabalhoso, pois n não necessariamente será um número inteiro
O engenheiro contratado pela prefeitura manipulou algebricamente esta equação
exponencial e chegou à função logarítmica n = logVF − logVP , que permite um cálculo
log(1 + j )
fácil e preciso do valor desejado, assim como a visualização do número de anos
necessários para promover um crescimento populacional com intervalos de 100 mil
habitantes para esta cidade.
Função logarítmica
169
U4
Não pode faltar
Logaritmo
Logaritmo (do Latim: logos = razão e aritmos = número) foi o termo criado por
John Napier (1550-1617) para denominar o expoente que determinava o número de
multiplicações que devem ser feitas de uma base por si mesma para se obter um
número específico, ou seja, b n = número específico, em que n é o logaritmo. Desta
forma, a relação entre a função exponencial e o logaritmo (simbolizado por log) é:
Assimile
logb y = x ⇔ y = b x
O logaritmo é o expoente (x) e y é o logaritmando!
Lê-se logb y = x como: o logaritmo de y na base b é igual a x.
Vejamos alguns exemplos numéricos:
log2 8 = 3 , pois 23 = 8 ;
log5 25 = 2 , pois 52 = 25 ;
3
log10 1000 = 3 , pois 10 = 1000 ;
é igual a y.
log y = x
b
b elevado a x
2
log3 9 = 2 , pois 3 = 9 .
Pode-se assim dizer que o logaritmo é a função inversa à exponencial.
Atenção!
Ao escrevermos um logaritmo:
• Se a base for 10, ela não precisa ser simbolizada:
log 100 = 2, pois 102 = 100 .
• Se a base for e (número de Euler: 2,178...), usa-se ln:
=
ln 2 log
=
0, 693... , =
,178...0,693... 2 .
pois e0,693... 2=
e 2
Lê-se log 100 = 2 como: o logaritmo de 100 é igual a 2.
Lê-se ln 2 0, 693 como: o logaritmo neperiano (ou logaritmo natural) de
2 é, aproximadamente, 0,693.
170
Função logarítmica
U4
Por definição, a base do logaritmo é um número positivo (b > 0) e diferente de 1 (b
≠ 1), e o logaritmando y é um número positivo (y > 0). Além disso, devemos considerar
ainda que:
Lembre-se
Conforme as propriedades das potências estudadas na Seção 3.1:
• b1 = b , então logb b = 1;
• b0 = 1, então logb 1 = 0 ; e,
n
x
• b = b ⇒ n = x , então logb b n = n .
Exemplificando
Calcule os logaritmos a seguir.
Logaritmo
log2 16
log2 16 = 4 , pois
Resolução
24 = 16 .
log3 27 = 3 , pois 33 = 27 .
log3 27
log5 125
log5 125 = 3 , pois 53 = 125 .
log 10
log 10 = 1, pois
101 = 10 .
log2 2 = 1 , pois 21 = 2 .
log2 2
log2 1 = 0 , pois 20 = 1 .
log2 1
log2 ( -8)
Não existe, pois não há expoente que permita a
n
igualdade 2 = −8 .
2
log1 2 0, 25
1
1
= = 0, 25
.
log1 2 0, 25 = 2 , pois 2
4
Faça você mesmo
Calcule:
a) log4 16
b) log3 81
c) log1 2 0,125
Função logarítmica
171
U4
Pesquise mais
Exemplos e outras formas de resolução podem ser vistos em: <http://www.
matematicadidatica.com.br/Logaritmo.aspx>. Acesso em: 8 fev. 2016.
Reflita
log N
Por que podemos afirmar que b b = N ?
Função logarítmica
Se duas variáveis, x e y, relacionam-se por meio de uma equação logarítmica da
forma y = logb x , a variável y será uma função logarítmica de x, cujo gráfico tem um
comportamento peculiar. Nos casos em que b > 1, o crescimento dos valores de y é
cada vez menor à medida que os valores de x crescem linearmente, ou seja, y cresce
de forma desacelerada ao passo que há um crescimento constante de x. Vejamos
o exemplo mostrado na Figura 4.3, na qual é possível visualizar somente parte dos
valores da tabela apresentada na mesma figura. A Figura 4.4 mostra alguns detalhes
da Figura 4.3.
Figura 4.3 | Gráfico e alguns valores tabelados da função y = log x
x
y = log x
1
0
10
1
100
2
1.000
3
Fonte: Os autores.
Figura 4.4 | Detalhes do gráfico da função y = log x: (a) com foco nos valores de x entre 0
e 100; (b) com foco no valor de x igual a 1
Fonte: Os autores.
172
Função logarítmica
U4
Reflita
Por que nas Figura 4.3 e Figura 4.4 os valores de y crescem 10 x vezes mais
lentamente que os valores de x e se aproximam mas não cruzam o eixo
das ordenadas?
Se a base do logaritmo estiver entre 0 e 1, o gráfico fica invertido com relação ao
eixo x (abscissas). Veja um exemplo na Figura 4.5.
Figura 4.5 | Gráfico da função y = log0,1 x que é equivalente à função y = − log x
Fonte: Os autores.
Sem medo de errar
Utilizando-se a função obtida pelo engenheiro contratado pela prefeitura, o ano
em que a população de Neperlândia chegará aos 300 mil habitantes será obtido
calculando
n=
logVF − logVP log 300 − log 290
=
log(1 + j )
log(1, 0061)
chega-se ao valor aproximado
. Com o uso de uma calculadora científica,
2, 477 − 2, 462
n≅
≅ 5, 7
2, 641× 10−3
.
Conclui-se, deste modo, que a população de Neperlândia chegará a 300 mil
habitantes em 5 anos e 8 meses (0,7 × 12 = 8,4). Portanto, a obra não poderá ser
iniciada no mandato atual do prefeito de Neperlândia.
Numa segunda etapa, para estudar a relação entre o número de habitantes e o
passar dos anos a partir de 2015, calcula-se o tempo necessário para que Neperlândia
aumente sua população de 100 mil em 100 mil habitantes até 600 mil, esboçando um
gráfico com estes valores, que estão na Tabela 4.1.
n=
log 300 − log 290 2, 477 − 2, 462
log 400 − log 290 2, 602 − 2, 462
=
=
≅ 5, 7 ≅ 6; n =
≅ 53
log(1, 0061)
log(1, 0061)
2, 641× 10−3
2, 641× 10−3
n=
log 500 − log 290 2, 699 − 2, 462
log 600 − log 290 2, 778 − 2, 462
=
=
≅ 90; n =
≅ 120
log(1, 0061)
log(1, 0061)
2, 641× 10−3
2, 641× 10−3
Função logarítmica
173
U4
Tabela 4.1 | Valores estimados de anos após 2015 em função do número de habitantes para
uma cidade com taxa de crescimento populacional de 0,61% ao ano e 290 mil habitantes
em 2015
Número de habitantes
(milhares)
Número de anos após 2015
300
6
400
53
500
90
600
120
} Diferença de 47
} Diferença de 37
} Diferença de 30
Fonte: Os autores.
É interessante notar que, enquanto os valores de VF aumentam de 100 em 100, os
valores de n aumentam cada vez menos, o que fica visível ao observar a diferença entre
eles, 47, 37 e 30, conforme observação ao lado da Tabela 4.1. Este decrescimento na
diferença entre os valores de n para crescimento lineares de VF é o que caracteriza
uma função logarítmica.
Lembre-se
Em uma função logarítmica definida por f ( x ) = logb x , com b > 1, os valores
de y = f(x) crescem cada vez menos com aumentos constantes de x.
O gráfico da função que relaciona o número de anos após 2015 e a população
de Neperlândia, Tabela 4.1, pode ser visto na Figura 4.6, na qual é possível observar o
comportamento descrito anteriormente.
Figura 4.6 | Gráfico da função y =
Fonte: Os autores.
174
Função logarítmica
log x − log 290
log(1, 0061)
U4
Avançando na prática
Pratique mais
Instrução
Desaiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações
que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e, depois, compare-as com as de
seus colegas.
Derramamento de ácido em rio
1. Competência de fundamentos
de área
Conhecer e ser capaz de desenvolver e interpretar funções
e gráicos do 1º e 2º grau, além de funções exponenciais,
logarítmicas e trigonométricas.
2. Objetivos de aprendizagem
Aplicar as propriedades e deinição de logaritmo a problemas
reais.
3. Conteúdos relacionados
Potenciação, logaritmo e suas propriedades.
4. Descrição da SP
Suponha que, após um acidente viário, toda a carga de um
caminhão que transportava ácido clorídrico escorreu pela
estrada e acabou contaminando um rio que passa próximo. A
água deste rio chega a uma pequena represa numa área de
preservação ambiental, e o vazamento foi de 20 mil litros de
ácido, com concentração de 37% e densidade de 1, 2 g/cm3 .
Considerando que o nível de acidez desta represa não pode
icar abaixo de 4,0, será, ou não, necessário intervir com a
adição de substâncias que neutralizem o ácido? Considere
que esta represa possua 800 mil metros cúbicos de água.
1.000 ⋅ d ⋅ V ⋅ P
Dados: pH = –log[HCl], com [HCl ] = 35, 5 ⋅ VrHCl , para a qual
[HCl] é a concentração em mol/l de ácido, d é a densidade
do ácido, VHCl é o volume em litros de ácido que chegou à
represa, P é a pureza do ácido (37% = 37/100 = 0,37) e Vr é o
volume em litros de água na represa.
Para calcular o pH é necessário conhecer o valor de [HCl]:
[HCl ] =
1.000 ⋅ d ⋅ VHCl ⋅ P 1.000 ⋅ 1, 2 ⋅ 20.000 ⋅ 0, 37
8.880.000
=
=
35, 5 ⋅ Vr
35, 5 ⋅ 800.0
000.000
28.400.000.000 ;
[HCl ] = 3,1268 × 10−4 .
5. Resolução da SP
Como pH = –log[HCl], temos que:
(
) .
Portanto, será necessário intervir para neutralizar parte do
ácido clorídrico que chegou à represa para que seu pH não
ique abaixo de 4,0.
pH = −log 3,1268 × 10−4 ≈ 3, 5
Lembre-se
Em calculadoras científicas e planilhas eletrônicas, o número 3,1268 × 10−4
aparecerá como 3,1268E–4.
Função logarítmica
175
U4
Faça valer a pena
1. Calcule log2 8 + log3 27 e assinale a alternativa que contém esse resultado:
a) 5.
b) 6.
c) 10.
d) 11.
e) 13.
2. Resolva 2n − log3 81 = 4 e assinale a alternativa que contém o valor de n:
a) 7.
b) 6.
c) 5.
d) 4.
e) 3.
3. Sabendo que o juro do cheque especial é de 15% ao mês, em quanto
log(VF / VP )
tempo uma dívida pode dobrar de valor no banco? Dado: n = log(1 + j ) ,
em que n é o número de períodos para os quais a taxa de juros j incide e
VF é o valor futuro do valor presente VP.
a) 4 anos.
b) 5 meses.
c) 6 meses.
d) 8 anos.
e) 12 meses.
176
Função logarítmica
U4
Seção 4.2
Propriedades dos logaritmos
Diálogo aberto
Prezado aluno seja bem-vindo! Nesta seção vamos focar no uso do logaritmo
como ferramenta para resolução precisa de equações exponenciais, retomando,
inclusive, alguns problemas que foram resolvidos de forma aproximada nas seções
anteriores. A resolução de equações envolvendo logaritmo e, também, equações
exponenciais, muitas vezes, só é possível se aplicarmos algumas regras provenientes
das propriedades dos logaritmos, com o intuito de simplificar a expressão de forma a
se obter somatórias e subtrações de logaritmos de um único número.
Como exemplo da aplicação de algumas destas propriedades, comecemos
tratando de um problema sério para a maioria dos municípios brasileiros, que é a
destinação correta do “lixo”. Conforme a legislação atual da Associação Brasileira
de Normas Técnicas (ABNT-10004:2004), resíduos sólidos (“lixo”) são substâncias
“nos estados sólido e semissólido, que resultam de atividades de origem industrial,
doméstica, hospitalar, comercial, agrícola, de serviços e de varrição”. De um ponto de
vista voltado à sustentabilidade, lixo e resíduo são coisas diferentes, pois resíduos são
passíveis de reciclagem, e lixo não. Usando o termo genérico e popularmente mais
comum, conforme dados do G1, veiculados no dia 09/04/2015 e assinados por Paiva
(2015): “em São Paulo, 12,5 mil toneladas de lixo domiciliar são recolhidas todos os dias
- 35% são materiais que poderiam ser reciclados, mas só 3% são reaproveitados”. Além
disso, estatísticas mostram que a melhora da renda dos brasileiros os faz consumir
mais, incluindo embalagens descartáveis, o que está causando um aumento na
produção de lixo por pessoa por dia, que era em 2003 de 0,955 kg e passou a ser de
1,223 kg em 2012 (PAIVA, 2015).
Considerando estes dados, o grupo contratado pela prefeitura de Neperlândia
fez uma estimativa de quanto tempo o aterro sanitário da cidade continuaria em
funcionamento se nada fosse feito, concluindo que ele teria pouco tempo de vida útil,
cerca de três anos. Decidiram propor ao prefeito uma campanha de conscientização
para a separação de lixo por parte da população e um forte incentivo às cooperativas
Função logarítmica
177
U4
de reciclagem, permitindo uma diminuição gradativa do lixo que seria enviado ao
aterro. Ao fazerem estimativas, os especialistas chegaram a uma função que descreve
o acúmulo de lixo que se espera para o aterro sanitário da cidade em função do tempo,
caso a reciclagem aumentasse com o passar dos anos, na qual LAc é a massa de lixo
aterrada, em milhares de toneladas por ano, e n é a numeração do ano:
LAc = 420 ⋅ log
n − 2015
+ 1400
15
Se o aterro sanitário de Neperlândia tem capacidade prevista para 1,5 milhão de
toneladas de lixo, até que ano ele poderá ser utilizado se o sistema de reciclagem for
fomentado?
Não pode faltar
Sabemos que 102 = 100 , pois 102 = 10 ⋅ 10 . Logo, se 10n = 100 , n só pode ser 2.
Entretanto, qual o valor de n na equação 10n = 400?
Este problema pode ser resolvido usando o logaritmo como ferramenta, mas, para
isso, precisamos conhecer algumas de suas propriedades, mostradas na Tabela 4.2.
Assimile
Tabela 4.2 | Relações e algumas propriedades do logaritmo
Logaritmo ↔ Exponencial
é igual a y
Logby = x ⇔ y = bx
logby = x
b elevado a x
Com b > 0, b ≠ 1 e y > 0.
Multiplicação ↔ Soma
Divisão ↔ Subtração
log(a ⋅ b ) = log a + log b
a
log = log a − log b
b
a > 0, b > 0
Logaritmo de 1
Logaritmando = Base
logb 1 = 0
logb b = 1
b>0eb≠1
b>0eb≠1
Fonte: Dante (2011, p. 155).
178
a > 0, b > 0
Função logarítmica
Logaritmo de potência
log a m = m ⋅ log a
a>0
Logaritmo de potência de
mesma base
logb (b n ) = n
b>0eb≠1
U4
Assimile
Notação: se há uma operação no interior do logaritmo, utilizamos
parênteses. Caso não existam parênteses, a primeira variável após o log
está em seu interior. Exemplo: log (a ⋅ b ) ≠ log a ⋅ b , pois log a ⋅ b = (log a ) ⋅ b .
Podemos ainda encontrar o valor de n na expressão 10n = 400 sem o uso de
calculadora. Para isso, além das propriedades do logaritmo, precisamos de uma parte
da tábua de logaritmos, mostrada na Tabela 4.3, que apresenta o valor aproximado do
logaritmo de base 10 para os primeiros números primos.
Tabela 4.3 | Parte de uma tábua de logaritmos, com valores de logaritmos de base 10 para
alguns números primos
x
2
3
5
7
11
13
17
19
log x
0,301
0,477
0,699
0,845
1,041
1,114
1,230
1,279
Fonte: Os autores
Aplicando este ferramental ao problema 10n = 400:
10n = 400 ⇒
n = log10 400 ⇒ n = log 400 ⇒ n = log( 4 ⋅ 100) ⇒
Exponencial ↔ Logaritmo
Multiplicação ↔ Soma
n = log 22 + log102 ⇒ n = 2 log 2 + 2 log10 ⇒
Logaritmo de potência
n = log 4 + log100 ⇒
n = 2 ⋅ 0, 301 + 2 ⋅ 1 = 0, 602 + 2 = 2, 602
Substituindo valores (Tabela 4.3)
Com o uso da fatoração, a resolução de 10n = 400 e a de outros exemplos pode
ser feita da seguinte forma:
Exemplificando
Resolva as equações, sabendo que 400 = 24 ⋅ 52 , que 456 = 23 ⋅ 3 ⋅ 19 e que
0,5 = 5/10:
Função logarítmica
179
U4
10 = 400
Equação
Resolução
(
n
4
n = log 400 = log 2 ⋅ 5
2
) = 4 log(2) + 2 log(5)
n = 4 ⋅ 0, 301 + 2 ⋅ 0, 699 = 2, 602
10n = 0, 5
n = log(0, 5) = log(5 / 10) = log(5) − log(10)
n = log(5) − log(2 ⋅ 5) = log(5) − (log(2) + log(5))
n = − log(2) = −0, 301
=
n log(
=
4, 56) log( 456 / 100)
10n = 4, 56
(
)
( )
n = log 23 ⋅ 3 ⋅ 19 − log 102
n = 3 log(2) + log(3) + log(19) − 2 log(10) = 0, 659
Lembre-se
Fatorando o 400:
Fatorando o 456:
400
200
100
50
25
5
1
456
228
114
57
19
1
2
2
2
2
5
5
2
2
2
3
19
23 . 3 . 19
2 .5
4
2
Faça você mesmo
Resolva as equações:
a) 10n = 440
b) 10n = 44
c) 10n = 4, 4
Para resolver equações exponenciais com base diferente de 10, pode-se aplicar o
logaritmo de base 10 aos dois lados da expressão e aplicar a propriedade do logaritmo
de potências para encontrar o valor do expoente na equação exponencial.
Exemplificando
Resolva as equações, sabendo que ln 5 = 1,609:
2n = 7
e2 x = 5
180
Função logarítmica
Equação
Resolução
log 2n = log 7 ⇒ n log 2 = log 7 ⇒ n =
log 7 0, 845
=
≅ 2, 81
log 2 0, 301
ln e 2 x = ln 5 ⇒ 2 x ln e = ln 5 ⇒ 2 x ⋅ 1 = 1, 609 ⇒ x = 0, 8047
U4
Pesquise mais
Exemplos e outras formas de resolução podem ser vistos nos endereços:
<http://www.matematicadidatica.com.br/Logaritmo.aspx>. Acesso em: 8
fev. 2016.
<http://mtm.ufsc.br/~fernands/calc/log.pdf>. Acesso em: 7 mar. 2016.
Reflita
Por que podemos afirmar que logb m a n =
n
⋅ logb a ?
m
Atenção!
Dá-se o nome de característica à parte inteira e de mantissa à parte
decimal de um logaritmo de base 10, por exemplo:
Logaritmo
Característica
Mantissa
Resultado
log 3 = 0,477
0
0,477
log 3 = 0,477
log 30 = 1,477
1
0,477
log 3 + log 10 = 0,477 + 1
log 300 = 2,477
2
0,477
log 3 + log 100 = 0,477 + 2
log 0,3 = –0,523
–1
0,477
log 3 – log 100 = 0,477 – 1
log 0,03 = –1,523
–2
0,477
log 3 – log 100 = 0,477 – 2
–1,523 é a forma negativa de representar 0,477–2, ou 2, 477 (forma
preparada).
Sem medo de errar
Considerando os dados e a função estimada pelos técnicos contratados pela
prefeitura de Neperlândia, podemos estimar até que ano será a vida útil do aterro
sanitário da cidade com o incentivo à separação do lixo e às cooperativas de
reciclagem. Para isso, basta substituir o valor de capacidade máxima do aterro, LAc,
por 1500 e calcular n. Desta forma, temos:
n − 2015
n − 2015
+ 1400 ⇒ 1500 = 420 ⋅ log
+ 1400
15
15
1500 − 1400
n − 2015
= log
⇒ 0, 23810 = log(n − 2015) − log15
420
15
LAc = 420 ⋅ log
0, 23810 = log(n − 2015) − 117609
,
⇒ 0, 23810 + 117609
,
= log(n − 2015)
Função logarítmica
181
U4
1, 41419 = log(n − 2015) ⇒ 101,41419 = n − 2015
25, 953 = n − 2015 ⇒ n = 2015 + 25, 953 = 2040, 953
Consequentemente, espera-se que a durabilidade da vida útil do aterro de
Neperlândia passe de três para, aproximadamente, 26 anos, permanecendo ativo até
o ano de 2041.
Avançando na prática
Pratique mais
Instrução
Desaiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações
que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e, depois, compare-as com as de
seus colegas.
Energia de um terremoto
1. Competência de fundamentos
de área
Conhecer e ser capaz de desenvolver e interpretar funções
e gráicos do 1º e 2º grau, além de funções exponenciais,
logarítmicas e trigonométricas.
2. Objetivos de aprendizagem
Aplicar as propriedades e deinição de logaritmo a problemas
reais.
3. Conteúdos relacionados
Potenciação, logaritmo e suas propriedades.
4. Descrição da SP
A amplitude das oscilações de um terremoto é registrada por
um aparelho chamado sismógrafo. Neste fenômeno, quando
tem origem natural, o movimento do solo pode ser associado
à energia gerada pelo deslizamento entre placas tectônicas
que formam os continentes e oceanos, e lutuam sobre o
magma terrestre. Nesse contexto, um cálculo comumente
realizado é o da energia liberada em função da magnitude
registrada na escala Richter. Essa relação é estabelecida
pela equação m = 32 log 7 ×E10 , na qual m é a magnitude (sem
dimensão) e E é a energia do terremoto em kWh, sendo que
1 kWh é equivalente a 3 milhões e 600 mil joules de energia.
Para se ter uma ideia, uma bala comum de um revólver calibre
.38 possui aproximadamente 400 joules de energia cinética
(WÉBER, 2016).
Qual a energia de dois terremotos, um de magnitude na escala
Richter de 5,0, valor comum entre os sismos mais fortes do
Brasil, e outro de 7,0, como o que devastou o Haiti em 2010?
−3
Devemos substituir os valores na equação e isolar a variável E.
Para o terremoto com magnitude 5, temos:
m=
5. Resolução da SP
2
2
3⋅5
E
E
log
⇒ 5 = log
⇒
= log E − log(7 × 10−3 )
−3
−3
3
3
2
7 × 10
7 × 10
7, 5 = log E − (log 7 + log10−3 ) ⇒ 7, 5 = log E − log 7 − ( −3)log10
7, 5 = log E − 0, 845 + 3 ⋅ 1 ⇒ 7, 5 = log E + 2,155 ⇒ 5, 345 = log E
5,345
=
E 10
=
221.309, 47
182
Função logarítmica
U4
Aproximadamente, 220 mil kWh.
Para o terremoto com magnitude 7, temos:
m=
2
E
log
−3
3
7 × 10
2
E
⇒ 7 = 3 log
−3
7 × 10
3⋅7
−3
⇒ 2 = log E − log(7 × 10 )
10, 5 = log E − (log 7 + log10−3 ) ⇒ 10, 5 = log E − log 7 − ( −3)log10
10, 5 = log E − 0, 845 + 3 ⋅ 1 ⇒ 10, 5 = log E + 2,155 ⇒ 8, 345 = log E
8,345
=
E 10
=
221.309.470, 96
Aproximadamente, 220 milhões de kWh.
Portanto, o terremoto no Haiti foi mil vezes mais energético
que os mais fortes já registrados no Brasil.
Faça valer a pena
1. Usando os valores da Tabela 4.3, calcule o valor de log 40 + log 27 e
assinale a alternativa que contém esse valor:
a) 3,033.
b) 2,130.
c) 0,699.
d) 3,477.
e) 3,301.
2. Resolva a equação 2n = 9 , sabendo que log2 3 = 1, 585 , e assinale a
alternativa que contém esse valor:
a) 1,23.
b) 2,22.
c) 2,23.
d) 3,00.
e) 3,17.
3. Ao resolver a equação 3n = 5 aplicando o logaritmo de base 10 aos dois
lados desta expressão, e usando os valores da Tabela 4.3, obtém-se:
a) 1,465.
b) 2,221.
Função logarítmica
183
U4
c) 1,789.
d) 3,511.
e) 1,355.
184
Função logarítmica
U4
Seção 4.3
Mudança de base dos logaritmos
Diálogo aberto
Prezado aluno, seja bem-vindo!
Nas seções anteriores, estudamos as propriedades dos logaritmos e a função
logarítmica, focando no uso deles como ferramenta para resolução precisa de
equações exponenciais e casos em que o comportamento de uma função logarítmica
se encaixa bem, como: (1) aqueles em que a variável de interesse possui grande
variação de valores, como a energia de um terremoto; e (2) casos em que a variável
de interesse cresce de forma desacelerada e cruza o eixo x, por ser esta variável o
expoente de uma função exponencial.
Nesta seção, estudaremos mais uma propriedade do logaritmo, denominada
mudança de base. Muitos fenômenos seguem uma distribuição exponencial
de base diferente de 10 ou e (2,718...), como os casos de variação monetária sob
juros compostos, para os quais a base é constituída pela taxa de juros. Para muitos
outros, lembre-se de que, conforme estudamos na Seção 3.3, a base de uma função
exponencial definida por y = b x é a taxa de variação. Neste caso, se desejamos saber
o valor de x, podemos transformá-la em uma função logarítmica, x = logb y , mas nem
sempre b é uma base conveniente, ou seja, para a qual se tem como calcular facilmente
os valores do logaritmo de y usando uma calculadora científica ou uma tábua de
logaritmos. Por isso se torna interessante a mudança de base de um logaritmo.
Após consulta popular, a prefeitura de Neperlândia decidiu investir em um novo
hospital, próximo à região na qual ocorre o maior crescimento populacional da cidade.
Entretanto, o único terreno vago nesta região fica ao lado de uma rodovia que tem um
leve aclive, o que faz que caminhões de carga façam muito barulho ao transitarem por
lá. Em consulta com os especialistas, a prefeitura foi exposta a duas soluções possíveis:
(1) fazer um muro de 10 m de altura e levemente inclinado para rebater o som que
vem da rodovia para o alto; ou (2) plantar fileiras de ciprestes ao longo da linha divisória
que existe entre a rodovia e o terreno do futuro hospital, pois a folhagem do cipreste,
um tipo de conífera que apresenta folhagem densa do chão à ponta, absorve e dissipa
Função logarítmica
185
U4
parcialmente o som. Após nova consulta popular, decidiram pelo cipreste, pois os pés
desta planta teriam tempo de crescer até o hospital ficar pronto e seriam uma opção
ecológica e bonita.
Medições mostraram que o som no local da obra possui intensidade de 10 mW/m2
(70 dB), e é necessário que sua intensidade seja bem menor, em torno de 30 nW/m2
(45 dB). Supondo que o som sofra uma atenuação de 55% a cada metro de folhagem
de cipreste que atravessa, quantas fileiras de cipreste precisam ser plantadas se cada
pé desta árvore possui 2,5 m de diâmetro, na fase adulta?
Não pode faltar
Na seção anterior, estudamos as propriedades do logaritmo, que relacionam a
soma ou subtração de logaritmos de uma mesma base com o logaritmo de uma
multiplicação (produto) ou o logaritmo de uma divisão (quociente). Vimos, também,
que calculadoras e tabelas resolvem logaritmos de uma base específica, geralmente 10
ou e. Por estes motivos é interessante conhecer um método para trocar a base de um
logaritmo, e isto pode ser feito dividindo-se o logaritmo, com uma base conveniente,
do logaritmando, por um logaritmo de base igual à considerada conveniente, da base
do logaritmo anterior, conforme diagrama a seguir:
Assimile
O logaritmando forma o logaritmo do numerador
logb y =
logc y
logc b
A base forma o logaritmo do denominador
A igualdade é válida para y > 0, b > 0, c > 0, b ≠ 1, c ≠ 1 (DANTE, 2011, p.
155).
Vejamos alguns exemplos:
Exemplificando
Calcule, sabendo que log 2 = 0,301, log 3 = 0,477, log 5 = 0,699 e log e
= 0,434:
186
Função logarítmica
U4
Expressão
Resolução
log2 5
log 5 0, 699
=
2, 322
log 2 0, 301
log2 15
log2 (3 ⋅ 5) = log2 3 + log2 5 =
0, 477 + 0, 699
3, 907
0, 301
ln a
log 3 log 5 log 3 + log 5
=
+
=
log 2 log 2
log 2
log a log a
1
=
=
log a 2, 304 ⋅ log a
log e 0, 434 0, 434
Observe que uma mudança de base da função logarítmica faz surgir uma
constante que multiplica a outra função logarítmica, por exemplo: ln y ≅ 2, 3 ⋅ log y (2,3
≈ 2,302585093...) e, se 1 = 1 3, 32 , temos que log25 ≅ 3,32 . log5 = 3,32 . 0,699
log 2 0, 301
≅ 2,32.
Faça você mesmo
1) Calcule, sabendo que log 3 = 0,477, log 5 = 0,699 e log 10 = 1:
a) log3 5
b) log3 10
A operação de mudança de base de um logaritmo também é uma de suas
propriedades, adicionada ao quadro.
Lembre-se
Definição (com b > 0, b ≠ 1 e y > 0):
...é igual a y.
logb y = x ⇔ y = b x
logb y = x
b elevado a x...
Propriedades:
Produto ↔ Adição
Divisão ↔ Subtração
log(a ⋅ b ) = log a + log b
a
log = log a − log b
b
Logaritmo de potência
log a m = m ⋅ log a
Função logarítmica
187
U4
Mudança de base
logb a =
logc a
logc b
Consequências da definição:
1ª) logb 1 = 0
2ª) logb b = 1
3ª) logb b n = n
Tabela 4.4 | Valores de logaritmos de base 10 para alguns números primos
x
2
3
5
7
11
13
17
19
log x
0,301
0,477
0,699
0,845
1,041
1,114
1,230
1,279
Fonte: Os autores
Observação: log ( a ⋅ b ) ≠ log a ⋅ b , pois log a ⋅ b = ( log a ) ⋅ b .
Exemplificando
Resolva, usando os valores da Tabela 4.3:
Expressão
log2 50
Resolução
2
log 50 log(2 ⋅ 5 ) log 2 + 2 log 5 0, 301 + 2 ⋅ 0, 699
=
=
=
5, 645
log 2
log 2
log 2
0, 301
Com uma calculadora cientíica:
LOG
log3 2, 4
log 2, 4
=
log 3
5
0
÷
LOG
2
=
24
log
3
10 = log 24 − log10 = log(2 ⋅ 3) − log(2 ⋅ 5) =
log 3
log 3
log 3
3 log 2 + log 3 − log 2 − log 5 2 log 2 + log 3 − log 5
=
=
log 3
log 3
2 ⋅ 0, 301 + 0, 477 − 0, 699
≅ 0, 797
0, 477
Com o uso de uma calculadora cientíica:
LOG
=
188
Função logarítmica
2
4
÷
LOG
3
U4
Faça você mesmo
2) Calcule:
a) log2 18
b) log2 1,8
Pesquise mais
Exemplos e outras formas de resolução podem ser vistos no endereço
<https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582603215/
cfi/131>. Acesso em: 8 fev. 2016.
Para ter acesso ao material indicado acesse a biblioteca virtual no site da
instituição e efetue o login. Depois, copie e cole o link em seu navegador.
Reflita
Por que podemos afirmar que logb a =
1
?
loga b
Dica: tente fazer a mudança de base.
Sem medo de errar
Lembrando que as medidas de intensidade sonora mostraram que o som no local
da obra possui intensidade máxima de 10 mW/m2 (70 dB), sendo necessário que ela
sofra uma atenuação até alcançar valores próximos de 30 nW/m2 (45 dB), quantas
fileiras de cipreste precisam ser plantadas se cada pé desta árvore possui 2,5 m de
diâmetro e o som fica 55% mais fraco a cada metro de folhagem de cipreste que
atravessa?
Lembre-se
A atenuação deverá ser de 333 vezes, pois 70 dB é um som 333 vezes
−6
−9
mais intenso que um som de 45 dB (10 × 10 / ( 30 × 10 ) ) , já que o nível
I
sonoro é calculado usando a função NS = 10 ⋅ log I , com I0 = 1× 10−12 W m 2 ,
0
na qual NS é o nível sonoro em dB (decibéis) e I é a intensidade sonora em
watts por metro quadrado.
Função logarítmica
189
U4
Atenção!
Uma atenuação (diminuição) de 55% é equivalente a multiplicar o valor
original por 0,45, já que 0,45 = 1 – 0,55.
Considerando I0 a intensidade sonora original no local da obra, pode-se estimar que
a relação entre a intensidade sonora e a metragem de folhas de cipreste atravessada é:
0 metro I = I0
1 metro I = 0, 45 ⋅ I0
2 metros: I = 0,45(0,45.I0)
...
n metros: I = 0, 45n ⋅ I0
Isolando a potência e transformando a equação exponencial obtida em logaritmo,
temos:
30 × 10−9
I
log log
−6
I
I
10 × 10 =
I0 =
I = 0, 45n ⋅ I0 ⇒ = 0, 45n ⇒ log0,45 = n ⇒ n =
I0
log 0, 45
45
I0
log
100
0, 477 − 3 ⋅ 1
log(3 × 10−9 + 6 ) log 3 + log10 −3
log 3 − 3 log10
=
7, 27
=
=
log 45 − log100 log 5 ⋅ 32 − 2 log 5 + 2 log 3 − 2 0, 699 + 2 ⋅ 0, 477 − 2
(
)
Como cada cipreste terá 2,5 m de diâmetro em sua fase adulta, serão necessárias
2,9 fileiras de árvores (≈ 7,27 / 2,5) para atenuar o som em 333 vezes, ou seja, 3 fileiras,
já que não se pode ter um número não inteiro de fileiras de árvores
Avançando na prática
Pratique mais
Instrução
Desaiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações
que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e, depois, compare-as com as de
seus colegas.
190
Função logarítmica
U4
Probabilidade
1. Competência de fundamentos
de área
Conhecer e ser capaz de desenvolver e interpretar funções
e gráicos do 1º e 2º grau, além de funções exponenciais,
logarítmicas e trigonométricas.
2. Objetivos de aprendizagem
Aplicar as propriedades e deinição de logaritmo a problemas
reais.
3. Conteúdos relacionados
Fatoração, logaritmo e suas propriedades.
4. Descrição da SP
Em informática, muitas vezes é de interesse encontrar o
valor de uma variável em uma sequência numérica ordenada
e longa. Pode-se construir uma sequência de comandos
que leem um número após o outro até encontrar o valor
de interesse, denominada “busca sequencial”. Entretanto,
este procedimento pode gerar uma grande quantidade de
operações, pois imagine encontrar o número 948 em uma
sequência numérica de 0 a 1000, buscando os valores do
início para o im. Uma maneira de minimizar esta busca
numérica é dividir a sequência mais ao meio possível, e
veriicar se o valor desejado está acima ou abaixo deste valor
central, denominada “busca binária”. Se o valor estiver acima
do valor central m, por exemplo, divide-se esta parte superior
ao meio e analisa-se se o valor desejado está acima ou abaixo
do novo valor central encontrado. Segue-se esta sequência
de tarefas até encontrar o valor desejado. O número de etapas
realizadas nesta busca pode ser bem menor que a busca
sequencial, e geralmente não é maior que o valor estimado
pela função n = log2 N , na qual n é o número de etapas a serem
realizadas para encontrar o valor desejado pelo método de
busca binária e N é o número de valores nesta sequência.
Por exemplo, para saber se o número 59 pertence à sequência
de números primos entre 0 e 100, e qual sua posição, quantas
etapas seguindo o método de busca binária são necessárias?
Dado: existem 25 números primos entre 0 e 100.
Pesquise mais
Detalhes sobre os métodos de busca expostos neste problema estão
descritos em: <http://www.ime.usp.br/~pf/algoritmos/aulas/bubi.html>
(acesso em: 10 mar. 2016).
Atribuindo o valor 25 à variável N na função temos:
n = log2 N = log2 25 =
5. Resolução da SP
log 25 log 52 2 log 5 2 ⋅ 0, 699
4, 64
=
=
=
0, 301
log 2
log 2
log 2
Portanto, entre 4 e 5 sequências serão suicientes para
encontrar o valor 59 ou descobrir que ele não pertence à
sequência.
Note que o método não usa o valor 59, ou seja, o número
de etapas estimadas pelo método independe da posição do
número na sequência.
Essas sequências poderiam ser:
Posição:
Primo:
1ª
2ª
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
...
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
...
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
13
14
15
16
17
18
41
43
47
53
59
61
Função logarítmica
191
U4
3ª
4ª
5ª
16
17
53
59
18
61
17
18
59
61
17
59
Portanto, o número 59 pertence à sequência e se encontra
na posição 17.
Na prática, um computador terminaria a busca no passo 3.
Mas o que deve ser observado é que, independentemente do
número procurado nessa sequência, a busca não ultrapassaria
cinco passos.
Faça você mesmo
3) Em 1984, estreou nos cinemas um filme produzido por Steven Spielberg
em que bichinhos fofinhos, os mogwais, foram dados como um presente
inusitado de Natal a um garoto. O filme é uma crítica à falta de respeito das
pessoas em relação a regras de forma geral, pois, como era de se esperar,
o garoto não segue as três regras básicas para a criação de um mogwai.
Primeiramente, deixando-o se molhar, o que faz que ele se multiplique.
Depois, permitindo que seus descendentes se alimentem após a meianoite, o que os transforma em monstrinhos maus, os gremlins. O garoto e
sua mãe conseguem matar a maioria dos gremlins, mas o chefe topetudo
destes consegue escapar e pula em uma piscina, transformando a cidade
em um caos, com milhares de gremlins destruindo tudo.
Supondo que um gremlin, quando molhado, dê origem a mais três bichos
a cada segundo, quantos segundos, aproximadamente, são necessários
para chegar a 1000 gremlins?
Atenção!
Considere a taxa de crescimento populacional, neste caso, de 300%.
Lembre-se
Um crescimento em que a taxa de variação incide sobre o valor inicial
somado à variação em cada etapa do processo é equivalente ao de juros
compostos, valendo a equação VF = VP (1 + j )n , em que VF é o valor futuro,
VP é o valor presente, j é a taxa de variação e n é o número de etapas ou
unidades de intervalos de tempo decorrido.
192
Função logarítmica
U4
Faça valer a pena
1. Calcule o valor de log3 25 utilizando os valores da Tabela 4.3.
a) 3,25.
b) 2,53.
c) 2,50.
d) 2,93.
e) 1,35.
2. Qual é o valor numérico aproximado da expressão log2 7 - log3 8 ?
a) 1,23.
b) 2,22.
c) 2,23.
d) 3,00.
e) 3,17.
3. Sabendo que a taxa de juros do cheque especial é de 15% ao mês, em
quanto tempo uma dívida pode dobrar de valor se nenhum depósito ou
acordo for feito? Dado: log 1,15 = 0,0607.
a) 5 meses.
b) 6 meses.
c) 8 meses.
d) 12 meses.
e) 15 meses.
Função logarítmica
193
U4
194
Função logarítmica
U4
Seção 4.4
Aplicações dos logaritmos
Diálogo aberto
Caro aluno, seja bem-vindo à última seção desta unidade.
Nas seções anteriores, vimos como se comporta uma função logarítmica, a
definição de logaritmo e, também, suas propriedades. Nesta seção, estudaremos
a definição de cologaritmo, veremos técnicas para a resolução de equações e
inequações logarítmicas, além de regras para a definição de suas soluções. Com isso,
teremos completado o conjunto de ferramentas necessárias para a resolução da
maioria dos problemas que envolve potenciação e logaritmo.
O ICMS (Imposto sobre Circulação de Mercadorias e Serviços) é cobrado no
comércio e indústria, do qual 25% retorna à prefeitura. O ISS (Imposto sobre Serviços de
Qualquer Natureza) é cobrado somente sobre os serviços prestados, de telemarketing
a microempresas, como barraca de cachorro-quente, sendo que todo o seu valor fica
na prefeitura.
Em Neperlândia, perceberam-se dois problemas: (1) A cidade está ficando madura,
de forma que seu parque industrial deve crescer cada vez mais lentamente, não
acompanhando o crescimento populacional; e (2) a receita do município é formada
por 40% de ICMS e 10% de ISS, além de outros, sendo muito dependente do ICMS.
Diante destes dois problemas, cabe aos governantes encontrar novas formas de
arrecadação, ou aumentar as já existentes. Por isso, a prefeitura decidiu fomentar os
serviços prestados por empresas na cidade, numa tentativa de aumentar o ISS até a
metade do valor do ICMS arrecadado. Entretanto, por ser uma medida vista como
arriscada, para que tenha continuidade, o projeto deve ser implementado antes de
uma possível mudança de governo, ou seja, em menos de 4 anos.
Considerando que o ICMS e o ISS vão crescer de forma desacelerada a uma
taxa próxima a 0,5% ao mês, e considerando, também, a renda atual da prefeitura,
a estimativa dos valores arrecadados por estes dois impostos em Neperlândia é feita
x
pelas funções ICMS = 1700 + log1,005 x + 1 e ISS = 850 + log1,005 + 0,1 , em milhares de
12
12
Função logarítmica
195
U4
reais, para as quais x é o número de meses após a data atual.
Se for fomentado o crescimento de serviços prestados na cidade, seria possível
conseguir uma arrecadação via ISS igual à metade da arrecadação obtida pelo ICMS
antes de 4 anos?
Não pode faltar
Equações logarítmicas
Expressões logarítmicas separadas por uma igualdade são equações logarítmicas,
e podem ter a incógnita envolvida no logaritmando ou na base do logaritmo. Para
resolver estas equações, pode-se igualar suas bases e considerar os logaritmandos
iguais ou simplificar a expressão logarítmica e transformá-la em exponencial. Vejamos
alguns exemplos:
Exemplificando
Resolva as equações:
Expressão
log2 ( x + 2) = 2 log2 x
Resolução
log2 ( x + 2) = log2 x 2 ⇒ x + 2 = x 2 ⇒ x 2 − x − 2 = 0
−( −1) ± ( −1)2 − 4 ⋅ 1( −2) 1 ± 1 + 8 1 ± 3
=
=
2 ⋅1
2
2
x1 =
1 − 3 −2
1+ 3 4
=
= −1
= = 2 e x2 =
2
2
2
2
Como o logaritmando deve ser maior que zero, a
partir do:
• primeiro membro da equação, temos:
x + 2 > 0 ⇒ x > −2 ;
• segundo membro, temos:
x >0
Portanto, somente x1 = 2 é solução para a equação.
logx −1 4 = 2
( x − 1)2 = 4 ⇒ x 2 − 2 x + 1 = 4 ⇒ x 2 − 2 x − 3 = 0
−( −2) ± ( −2)2 − 4 ⋅ 1( −3) 2 ± 4 + 12 2 ± 4
=
=
2 ⋅1
2
2
2 − 4 −2
2+4 6
=
= −1
x1 =
= = 3 e x2 =
2
2
2
2
Como a base do logaritmo é b = x − 1, b > 0 e b ≠ 1:
x − 1 > 0 ⇒ x > 1 e x − 1 ≠ 1⇒ x ≠ 2
Portanto, somente x1 = 3 é solução para a
equação.
196
Função logarítmica
U4
log3 x 2 − log9 x 2 = 1
log3 x 2 − log9 x 2 = 1 ⇒ log3 x 2 −
log3 x 2 −
log3 x 2
= 1⇒
log3 9
log3 x 2
= 1 ⇒ 2 log3 x 2 − log3 x 2 = 2 ⇒
2
log3 x 2 = 2 ⇒ x 2 = 32 ⇒ x = 3 ou x = −3
Como o logaritmando deve ser maior que zero:
x2 > 0 ⇒ x ≠ 0
Portanto, tanto x = 3 quanto x = −3 são soluções
para a equação.
log2 x 2 = 1 + log2 (1, 5 − x )
log2 x 2 = log2 2 + log2 (1, 5 − x ) ⇒
log2 x 2 = log2 ( 2 ⋅ (1, 5 − x ) ) ⇒
log2 x 2 = log2 (3 − 2 x ) ⇒ x 2 = 3 − 2 x ⇒
x 2 + 2x − 3 = 0
−2 ± 22 − 4 ⋅ 1( −3) −2 ± 4 + 12 −2 ± 4
=
=
2 ⋅1
2
2
x1 =
−2 − 4 −6
−2 + 4 2
=
= −3
= = 1 e x2 =
2
2
2
2
Como o logaritmando deve ser maior que zero,
segue do:
• Primeiro membro da equação:
x2 > 0 ⇒ x ≠ 0 ;
• Segundo membro da equação:
1, 5 − x > 0 ⇒ x < 1, 5 .
Portanto, x1 = 1 é a solução para a equação.
Inequações logarítmicas
De forma similar às inequações exponenciais, as inequações logarítmicas podem
ser resolvidas observando se a base b tem valor entre 0 e 1 ou é maior que 1. Assim,
dois casos podem ocorrer:
Assimile
Para 0 < b < 1: logb a > logb c ⇒ a < c . Inverte-se o sinal de desigualdade.
Para b > 1: logb a > logb c ⇒ a > c . Mantém-se o sinal de desigualdade.
Função logarítmica
197
U4
Exemplificando
Resolva as equações:
Expressão
log0,1( x + 1) ≥ log0,1 3
Resolução
x + 1≤ 3 ⇒ x ≤ 2
Como o logaritmando deve ser maior que zero:
x + 1 > 0 ⇒ x > −1
Portanto, qualquer valor pertencente ao conjunto
dos reais e que seja maior que –1 e menor ou igual
a 2 é solução para esta equação. Em linguagem
matemática, pode-se escrever o seguinte conjunto
solução:
S = { x ∈ | −1 < x ≤ 2}
log11, 3 ≥ log11, ( x + 5)
3 ≥ x + 5 ⇒ −2 ≥ x ⇔ x ≤ −2
Como o logaritmando deve ser maior que zero:
x + 5 > 0 ⇒ x > −5
Portanto, o conjunto solução para esta equação é:
S = { x ∈ | −5 < x ≤ −2}
Faça você mesmo
1) Resolva:
a) 2 + log0,5 x ≥ 3
b) log4 (2 x + 1) > log4 x + log4 3
Pesquise mais
Veja mais exemplos em: <http://www.fund198.ufba.br/expo/eq-ine.pdf>.
Acesso em: 17 mar. 2016
Sem medo de errar
Para saber se a meta de elevar a arrecadação de ISS até a metade do valor
arrecadado por ICMS poderá ser cumprida em menos de 4 anos, é necessário saber
até quando, após a implementação do plano, o ICMS permanecerá maior que 2. ISS:
x
ICMS = 1700 + log1,005
+ 1
12
x
ISS = 850 + log1,005
+ 0,1
12
x
x
+ 0,1 ⇒
ICMS > 2 ⋅ ISS ⇒ 1700 + log1,005
+ 1 > 2 850 + log1,005
12
12
198
Função logarítmica
e
U4
x
x
+ 0,1
1700 + log1,005
+ 1 > 1700 + 2 log1,005
12
12
Simplificando e igualando os logaritmandos:
2
2
x
x
x
x
+ 0,1 ⇒
+ 1>
+ 0,1 ⇒
log1,005
+ 1 > log1,005
12
12
12
12
x
x2
0,1x
x2
0,1x x
+ 1>
+
+ 0, 01 ⇒ 0 >
+
−
− 0, 99 ⇒
12
144
6
144
6
12
x 2 + 2, 4 x − 12 x − 142, 56 < 0 ⇒ x 2 − 9, 6 x − 142, 56 < 0
Resolvendo a equação polinomial de 2º grau:
−( −9, 6) ± ( −9, 6)2 − 4 ⋅ 1⋅ ( −142, 56) 9, 6 ± 92,16 + 570, 24
=
=
2 ⋅1
2
9, 6 ± 662, 4 9, 6 ± 25, 74
=
2
2
9, 6 + 25, 74
⇒ x < 17, 7
2
9, 6 − 25, 74
⇒ x > −8,1
2
Atenção!
Como mostrado na Figura 4.7, o coeficiente a = 1 > 0 faz que o gráfico
da função f ( x ) = x 2 − 9, 6 x − 142, 56 tenha concavidade voltada para cima.
Como para o problema em questão devemos ter valores menores que
zero para f ( x ) , as soluções correspondem a valores no intervalo (–8,1;
17,7), ou seja, as abscissas relacionadas à parte do gráfico de f ( x ) que se
encontra abaixo do eixo x .
Figura 4.7 | Gráfico da função f(x) = x2 - 9,6x - 142,56
Fonte: Os autores.
Função logarítmica
199
U4
Lembre-se
Como os logaritmandos não podem ser menores que zero:
x
x
x
x
+ 1> 0 ⇒
> −1 ⇒ x > −12 e
+ 0,1 > 0 ⇒
> −0,1 ⇒ x > −1, 2
12
12
12
12
Recordando o início da solução, para −1, 2 < x < 17, 7 teremos ICMS > 2 ⋅ ISS . Como
não faz sentido x < 0 para o problema em questão, concluímos que ICMS ≤ 2 ⋅ ISS para
x ≥ 17, 7 . Assim, a arrecadação por ISS poderá chegar à metade da arrecadação do
ICMS antes dos 4 anos, mais precisamente, antes até mesmo de 18 meses (1 ano e
meio) do início da implementação das medidas.
Avançando na prática
Pratique mais
Instrução
Desaiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações
que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e, depois, compare-as com as de
seus colegas.
Força de um ácido
1. Competência de fundamentos
de área
Conhecer e ser capaz de desenvolver e interpretar funções
e gráicos do 1º e 2º grau, além de funções exponenciais,
logarítmicas e trigonométricas.
2. Objetivos de aprendizagem
Aplicar o conteúdo envolvendo logaritmo a problemas reais.
3. Conteúdos relacionados
Logaritmo, função logarítmica.
4. Descrição da SP
Solução-tampão é o nome dado a uma solução que mantém
quase inalterado seu pH , ou seja, sua acidez, quando a ela é
adicionado um ácido ou uma base. Uma importante solução-tampão é a que existe no nosso corpo, responsável por manter
o pH do sangue próximo da neutralidade, em torno de 7,4,
formada em parte pelos íons di-hidrogenofosfato, H2PO4 - , e
bicarbonato, HCO3 - . O pH de uma solução-tampão pode
ser calculado usando a equação de Henderson-Hasselbalch
[base conjugada]
pH = pk + log
, na qual pka é logaritmo de 1/ ka , sendo
[ácido]
ka a constante de ionização do ácido (valor tabelado), [ácido]
a concentração do ácido em mol/l e [base conjugada] a
concentração do sal deste ácido, também em mol/l.
Como o íon H2PO4 - pode atuar como um ácido fraco, qual
deve ser a concentração de seu sal no plasma sanguíneo
para que o pH do mesmo seja mantido em 7,4, considerando
H2PO4 − = 0, 01 mol/l ? Dado: O ka do ácido H 2PO4 - é 6, 2 × 10 −8 .
a
200
Função logarítmica
U4
Atenção!
A expressão log x1 , que é igual a - log x , é conhecida como
cologaritmo de x, e muitas vezes simbolizado pela letra
“p” antes da variável que representa o logaritmando. Por
exemplo:
pH = − log[H + ] , pka = − log ka , pkb = − log kb e pks = − log ks , para
os quais [H + ] é a concentração de íons provenientes de um
ácido em água, ka, kb e ks são as constantes de ionização
de um ácido, uma base e de solubilidade de um composto,
respectivamente.
A equação de Henderson-Hasselbalch requer o valor de pka , que
pode ser obtido fazendo o cálculo do logaritmo de 1/ ka :
1
pka = log
−8
6, 2 × 10
(
=
)
− log 6, 2 × 10−8 =
(
)
− log 6, 2 + log10−8 =
5. Resolução da SP
−(0, 792 − 8) ≅ 7, 21
Assim:
pH = pka + log
[base conjugada]
[sal]
⇒ 7, 4 = 7, 21 + log
⇒
[ácido]
0, 01
0,19 = log[sal] − log10−2 ⇒ 0,19 = log[sal] + 2 ⇒ −1, 81 = log[sal] ⇒
[sal] = 10−1,81 ≅ 1, 55 × 10−2
Logo, a concentração do sal do ácido di-hidrogenofosfato
necessária para manter o pH em 7,4 é, aproximadamente,
1, 55 × 10−2 mol/l .
Faça você mesmo
2) “Água mole, pedra dura, tanto bate até que fura”. Este fenômeno se
deve em maior parte a motivos físicos e químicos, confrontando-se com
o senso comum de que pedra é insolúvel em água. Na verdade, mesmo os
compostos considerados insolúveis são minimamente solúveis, como o
carbonato de cálcio, constituinte do mármore e da rocha calcária. Como
a solubilidade em água deste composto é muito baixa, sua solubilização é
lenta e depende da renovação da água que o circunda. Pode-se calcular
a solubilidade em miligramas por litro (ppm = parte por milhão) do
carbonato de cálcio em água usando a equação s = 103 M k ps , na qual k ps
é a constante do produto de solubilidade do composto, que, por ter um
valor muito pequeno, muitas vezes é tabelado na forma pks = log(1 / k ps ) ,
M sua massa molar, em g/mol. Qual é a massa de carbonato de cálcio
solubilizada por litro de água pura sabendo que o pks do carbonato de
cálcio é 8,47 e, para este sal, M = 100 g/mol?
Função logarítmica
201
U4
Faça valer a pena
1. O pka é um valor relacionado à força de um ácido, sendo a letra p
usada para indicar o logaritmo de 1/ ka , sendo ka a constante de ionização
do ácido. O valor de ka está relacionado à quantidade de entidades ácidas
liberadas por este ácido ao ser diluído em água num volume total de 1
litro, e, para o ácido cítrico, encontrado em frutas, é de 8 ⋅ 10−4 . Qual é o
pka deste ácido?
a) 8,0.
b) 3,1.
c) 1,8.
d) 8,4.
e) 4,8.
2. Um investimento que paga 1,2% ao mês como taxa de retorno deve ser
programado para durar, no mínimo, quantos meses para que um valor de
R$ 8.000,00 ultrapasse R$ 10.000,00?
a) 12.
b) 19.
c) 13.
d) 24.
e) 8.
3. Uma fêmea de Aedes aegypti é capaz de transmitir dengue,
chikungunya, zica, febre amarela e dirofilariose canina (um verme que se
aloja no coração dos cães). Se houver criadouros disponíveis e condições
de temperatura e humidade favoráveis, uma única fêmea de A. aegypti
pode dar origem a centenas de mosquitos durante sua vida, sendo que
estes podem já nascer contaminados.
Considerando que o número de mosquitos fêmeas e adultas em função
do tempo, em dias, produzido por uma fêmea de A. aegypti possa ser
descrito por N = 100 , a partir de que momento, aproximadamente,
teríamos, no mínimo, um mosquito fêmea para cada cinco pessoas em
uma cidade de 300 mil habitantes se esta fêmea fosse o único mosquito
reintroduzido após a erradicação deste vetor nesta cidade?
t
20
a) 48 dias.
202
Função logarítmica
U4
b) 3 meses.
c) 15 dias.
d) 6 meses.
e) 2 anos.
Função logarítmica
203
U4
204
Função logarítmica
U4
Referências
ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo: volume 1. 10. ed. Porto Alegre:
Bookman, 2014.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2011.
E-CÁLCULO. Um pouco da história dos logaritmos. Disponível em: <http://ecalculo.
if.usp.br/funcoes/logaritmica/historia/hist_log.htm>. Acesso em: 8 fev. 2016.
PAIVA, Roberto. Apenas 3% de todo o lixo produzido no Brasil é reciclado. G1 – Jornal
Hoje, 9 abr. 2015. Disponível em: <http://g1.globo.com/jornal-hoje/noticia/2015/04/
apenas-3-de-todo-o-lixo-produzido-no-brasil-e-reciclado.html>. Acesso em: 2 mar.
2016.
ROGAWSKI, Jon. Cálculo: volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2009.
STEWART, Ian. Em busca do infinito: uma história da matemática dos primeiros números
à teoria do caos. São Paulo: Zahar, 2014.
STEWART, James. Cálculo: volume I. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
WEBER, Demétrio. A escala Richter. Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/
grandezas/exemplos/exemplo5.htm>. Acesso em: 7 mar. 2016.
Função logarítmica
205