Exercícios – Conceitos Fundamentais – Mecânica dos Fluidos I

Exercícios – Conceitos Fundamentais – Mecânica dos Fluidos I Engenharia Mecânica – Prof. Valmir Torres 2.1 Para os campos de velocidade dados abaixo, determine: Se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e por quê. Se o escoamento é em regime permanente ou transiente, e por quê. (As quantidades a e b são constantes.) (1) (5) (2) (6) (3) (7) (4) (8) 2.3 Um líquido viscoso é cisalhado entre dois discos paralelos; o disco superior gira e o inferior é fixo. O campo de velocidade entre os discos é dado por . (A origem das coordenadas está localizada no centro do disco inferior; o disco superior está em z = h.) Quais são as dimensões desse campo de velocidade? Ele satisfaz as condições físicas de fronteira apropriadas? Quais são elas? 2.5 O campo de velocidade em que , em que A = 2 s−1, pode ser interpretado para representar o escoamento em um canto. Determine uma equação para as linhas de corrente do escoamento. Trace diversas linhas de corrente no primeiro quadrante, incluindo aquela que passa pelo ponto (x, y) = (0, 0). 2.7 O campo de velocidade é dado por , em que a = 1 s−1, b = 1 s−2. Determine a equação das linhas de corrente para qualquer tempo t. Trace diversas linhas de corrente no primeiro quadrante para t = 0, t = 1 s e t = 20 s. 2.9 Um escoamento é descrito pelo campo de velocidade , em que A = 3 m/s/m e B = 6 m/s. Trace algumas linhas de corrente no plano xy, incluindo aquela que passa pelo ponto (x, y) = (0,3;0,6). 2.11 O campo de escoamento para um escoamento atmosférico é dado por em que M = 1 s−1 e as coordenadas x e y são paralelas à latitude e longitude locais. Trace um gráfico com o módulo da velocidade ao longo do eixo x, ao longo do eixo y e ao longo da linha y = x, e discuta o sentido da velocidade em relação a esses três eixos. Para cada gráfico use a faixa 0 ≤ x ou y ≤ 1 km. Determine a equação para as linhas de corrente e esboce diversas dessas linhas. O que esse campo de escoamento modela? 2.13 Um campo de escoamento é dado por V = - qx ˆ - qy ˆ 2p(x2 + y2 ) 2p(x2 + y2 ) i j em que q = 5 × 104 m2/s. Trace um gráfico com o módulo da velocidade ao longo do eixo x, ao longo do eixo y e ao longo da linha y = x, e discuta o sentido da velocidade em relação a esses três eixos. Para cada gráfico use a faixa −1 km ≤ x ou y ≤ 1 km, excluindo |x| ou |y| < 100 m. Determine a equação para as linhas de corrente e esboce diversas dessas linhas. O que esse campo de escoamento modela? 2.15 Um campo de velocidade é dado por , em que A = 2 s−1. Verifique que as equações paramétricas para o movimento da partícula são dadas por e . Obtenha a equação para a trajetória da partícula localizada no ponto (x, y) = (2, 2) no instante t = 0. Compare essa trajetória com a linha de corrente passando pelo mesmo ponto.  2.17 Verifique que , é a equação para as trajetórias de partículas para o campo de escoamento do Problema 2.11, exceto que ω agora é uma função de M. Trace trajetórias típicas para ambos os campos de escoamento e discuta a diferença. 2.19 Considere o escoamento descrito pelo campo de velocidade , com A = 1 m/s, B = 1 s−1 e C = 1 s−2. As coordenadas são medidas em metros. Trace a trajetória da partícula que passou pelo ponto (1, 1) no instante t = 0. Compare-a com as linhas de corrente que passam pelo mesmo ponto nos instantes t = 0, 1 e 2 s. 2.21 Considere o campo de escoamento dado na descrição euleriana pela expressão , em que A = 2 m/s, B = 2 m/s2 e as coordenadas são medidas em metros. Deduza as funções de posição lagrangiana para a partícula fluida que passou pelo ponto (x, y) = (1, 1) no instante t = 0. Obtenha uma expressão algébrica para a trajetória seguida por essa partícula. Trace a trajetória e compare-a com as linhas de corrente que passam por esse mesmo ponto nos instantes t = 0, 1 e 2 s. 2.23 Considere o campo de escoamento dado na descrição euleriana pela expressão , em que a = 0,2 s−1, b = 0,04 s−2, e as coordenadas são medidas em metros. Deduza as funções de posição lagrangiana para a partícula fluida que passou pelo ponto (x, y) = (1, 1) no instante t = 0. Obtenha uma expressão algébrica para a trajetória seguida por essa partícula. Trace a trajetória e compare-a com as linhas de corrente que passam por esse mesmo ponto nos instantes t = 0, 10 e 20 s. 2.25 Considere o campo de escoamento , em que a = 0,1 s−2 e b = 4 m/s. As coordenadas são medidas em metros. Para a partícula que passa pelo ponto (x, y) = (3, 1) no instante t = 0, trace a trajetória durante o intervalo de tempo de t = 0 a t = 3 s. Compare essa trajetória com as linhas de corrente que passam pelo mesmo ponto nos instantes t = 1, 2 e 3 s. 2.29 As linhas de emissão são visualizadas por meio de um fluido corante de empuxo neutro injetado em um campo de escoamento a partir de um ponto fixo no espaço. Uma partícula do fluido corante que está no ponto (x, y) no instante t deve ter passado pelo ponto de injeção (x0, y0) em algum instante anterior . O histórico de uma partícula corante pode ser determinado pela solução das equações da trajetória para as condições iniciais x = x0, y = y0, quando . As localizações atuais das partículas sobre a linha de emissão são obtidas fazendo-se igual a valores na faixa . Considere o campo de escoamento , em que a = c = 1 s−1 e b = 0,2 s−1. As coordenadas são medidas em metros. Trace a linha de emissão que passa pelo ponto inicial (x0, y0) = (1, 1), durante o intervalo de t = 0 a t = 3 s. Compare com as linhas de correntes que passam pelo mesmo ponto nos instantes t = 0, 1 e 2 s. 2.31 Considere o campo de escoamento , em que a = 1 m−1s−1 e b = 2 m/s. As coordenadas são medidas em metros. Obtenha a linha de corrente que passa pelo ponto (6, 6). No instante t = 1 s, quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto (1, 4) no instante t = 0? Em t = 3 s, quais são as coordenadas da partícula que passou dois segundos antes pelo ponto (−3, 0)? Mostre que as trajetórias, as linhas de corrente e as linhas de emissão para este escoamento são coincidentes. 2.33 Um escoamento é descrito pelo campo de velocidade , em que a = 1/5 s−1 b = 1 m/s. As coordenadas são medidas em metros. Obtenha uma equação para a linha de corrente que passa através do ponto (1, 1). Em t = 5 s, quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto (1, 1) em t = 0? Quais são suas coordenadas em t = 10 s? Trace a linha de corrente e as posições da partícula no início, em 5 s e 10 s. Que conclusões você pode tirar sobre trajetória, linha de corrente e linha de emissão para este escoamento?  2.35 Um escoamento é descrito pelo campo de velocidade , em que a = 0,2 s−1 e b = 0,4 m/s2. Em t = 2 s, quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto (1, 2) em t = 0. Em t = 3 s, quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto (1, 2) em t = 2 s? Trace a trajetória e linha de emissão através do ponto (1, 2), e compare com as linhas de corrente através do mesmo ponto nos instantes t = 0, 1, 2 e 3 s.