Algoritma Divide and Conquer

Algoritma Divide and Conquer KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT karena atas izin-Nya jualah yang telah membiarkan bumi ini berputar pada porosnya sehingga kami dari kelompok IV dapat menyelesaikan makalah ini tepat waktu sebagai mana yang telah disepakati. Selain itu tak lupa kami kirimkan shalawat serta taslim pada junjungan kita Nabi Muhammad SAW yang telah membawa kita dari alam kejahiliaan menuju alam yang mulia seperti saat ini, sehingga kini kita dapat membedakan antara yang hak dan yang batil. Tak lupa pula kami haturkan banyak terima kasih kepada pihak-pihak terkait yang telah banyak membantu terselesaikannya makalah kami ini. Selain itu sebagai pribadi yang memiliki banyak kekurangan, kami mengharapkan banyak kritik dan saran dari bapak/ibu dosen selaku pembimbing kami, dan juga teman-teman sekalian guna penyempurnaan makalah ini ke depannya. Makassar, Mei 2011 Penyusun Kelompok IV Devide and Conquer Algoritma divide and conquer sudah lama diperkenalkan sebagai sumber dari pengendalian proses paralel, karena masalah-masalah yang terjadi dapat diatasi secara independen. Banyak arsitektur dan bahasa pemrograman paralel mendesain implementasinya (aplikasi) dengan struktur dasar dari algoritma divide and conquer. Untuk menyelesaikan masalah-masalah yang besar, dan dibagi (dipecah) menjadi bagian yang lebih kecil dan menggunakan sebuah solusi untuk menyelesaikan problem awal adalah prinsip dasar dari pemrograman/strategi divide and conquer. Divide and conquer adalah varian dari beberapa strategi pemrograman topdown, tetapi keistimewaannya adalah membuat sub-sub problem dari problem yang besar, oleh karena itu strategi ini ditunjukkan secara berulang-ulang (recursively), didalam menerapkan algoritma yang sama dalam sub-sub problem seperti yang diterapkan pada masalah aslinya (original problem). Sebagaimana prinsip dasar algoritma perulangan dibutuhkan sebuah kondisi untuk mengakhiri perulangan tersebut. Biasanya untuk mengecek apakah problem sudah cukup kecil untuk diselesaikan dengan metode secara langsung. Mungkin dari segi ilustrasi kita, bahwa proses-proses pada komputer paralel tentunya memiliki proses/problem/job yang cukup kompleks sehingga harus dipecah-pecah menjadi sub-sub problem. Selain dibutuhkan sebuah “kondisi”, juga diperlukan “fase divide” untuk membagi/memecah problem menjadi sub-sub problem yang lebih kecil, dan “fase combine“ untuk menggabungkan kembali solusi dari sub-sub problem kedalam solusi dari problem awalnya. Berikut pseudocode dari strategi divide and conquer : Pseudocode diatas adalah sebagai acuan dari strategi divide and conquer, tetapi dalam implementasinya ada beberapa diferensiasi dari bentuk diatas yang akan digunakan. Sebelum masuk ke pokok pemrograman dengan “Divide and Conquerstrategy/algorithm”, ada 4 hal penting yang harus dipahami dalam strategi ini : branching factor, balance, data dependence of divide function dan sequentiality. Branching Factor Branching factor dalam algoritma divide and conquer adalah jumlah dari subproblem yang akan dibagi dari sebuah problem awal. Ini adalah langkah nyata dari algoritma divide and conquer, didalam proses pembagian yang sebenarnya, jumlah dari branching factor harus 2 atau lebih, karena jika tidak problem tidak bisa dibagi. Banyak jenis algoritma ini termasuk pula algoritma komputasi geometric yang memiliki branching factor berjumlah 2. Balance Sebuah algoritma divide and conquer dikatakan balance jika problem awal dibagi menjadi sub-sub problem dengan ukuran yang sama. Yang artinya jumlah dari keseluruhan ukuran subproblem sama dengan ukuran problem awal (initialproblem). Algoritma Mergesort dan binary tree, dan sama halnya dengan algoritma reduksi & prefix sum adalah beberapa contoh algoritma divide andconquer yang seimbang (balance). Data Dependence of Divide Function Algoritma divide and conquer memiliki sebuah fungsi pembagian terhadap data yang memiliki ketergantungan, artinya jika ukuran relatif dari sebuah algoritma yang tidak seimbang, salah satu contohnya adalah algoritma quicksort yang akan membagi subproblem dengan fungsi data-dependent divide. Control Parallelism or Sequentiality Algoritma divide and conquer dikatakan berurutan (sequential) jika subproblem dieksekusi sesuai dengan perintah program. Paralelisasi dari algoritma divideand conquer yang terurut pertama kali didefinisikan oleh Mou’s Divacon[Mou90] yang terjadi ketika hasil dari salah satu sub-eksekusi diperlukan oleh subeksekusi yang lain. Dalam kasus ini hasil dari subtree pertama diberikan (passing) kepada proses komputasi subtree kedua, supaya hasil akhir tersebut bisa digunakan sebagai nilai awalnya, tetapi sekarang ini contoh diatas tidak dapat dijadikan ilustrasi lagi karena teknologi komputer paralel yang semakin canggih dan kompleks. Merge Sort Pengertian Merge sort Pengertian Merge Sort adalah algoritma yang dijalankan sebagai akibat dari terlalu banyaknya daftar yang diurutkan, dengan menghasilkan lebih banyak daftar yang diurutkan sebagai output. Algoritma merge ini disesuaikan untuk mesin drive tape. Penggunaannya dalam akses memori acak besar yang terkait telah menurun, karena banyak aplikasi algoritma merge yang mempunyai alternatif lebih cepat ketika kamu memiliki akses memori acak yang menjaga semua data. Hal ini disebabkan algoritma ini membutuhkan setidaknya ruang atau memori dua kali lebih besar karena dilakukan secara rekursif dan memakai dua tabel. Algoritma merge sort membagi tabel menjadi dua tabel yang sama besar. Masing-masing tabel diurutkan secara rekursif, dan kemudian digabungkan kembali untuk membentuk tabel yang terurut. Implementasi dasar dari algoritma merge sort memakai tiga buah tabel, dua untuk menyimpan elemen dari tabel yang telah di bagi dua dan satu untuk menyimpan elemen yang telah terurut. Namun algoritma ini dapat juga dilakukan langsung pada dua tabel, sehingga menghemat ruang atau memori yang dibutuhkan. Algoritma Merge umumnya memiliki satu set pointer p0..n yang menunjuk suatu posisi di dalam satu set daftar L0..n . Pada awalnya mereka menunjuk item yang pertama pada setiap daftar. Algoritmanya sebagai berikut: Selama p0..n masih menunjuk data yang di dalam sebagai pengganti pada akhirnya: Melakukan sesuatu dengan data item yang menunjuk daftar mereka masing-masing. Menemukan pointers points untuk item dengan kunci yang paling rendah; membantu salah satu pointer untuk item yang berikutnya dalam daftar. Pada umumnya algoritma merge berjalan dalam waktu proposional untuk penjumlahan pada panjangnya daftar; Algoritma merge beroperasi pada bilangan besar dalam daftar yang akan segera mengalikan penjumlahan panjangnya daftar pada saat itu untuk keluaran gambar pointers points yang mana menunjuk pada item yang paling rendah, yang dapat terpengaruhi dengan suatu heap(tumpukan) yang didasarkan prioritas antrian dalam O(lg n) waktu, untuk O(m lg n) waktu (dimana n adalah bilangan pada daftar yang digabungkan, m adalah penjumlahan panjangnya daftar, dan lg adalah log basis 2). Ketika menggabungkan panjang m dua daftar, terdapat suatu perbandingan lompatan yang lebih rendah 2m-1 yang ada dalam kasus terburuk. Keluaran data item Merge klasik (satu yang digunakan dalam merge sort) dengan kunci yang paling rendah pada langkah masing-masing, memberikan beberapa daftar yang diurutkan, hasil daftar yang diurutkan berisi semua unsur-unsur di dalam daftar input manapun, dan hal itu dilakukan agar waktunya proporsioal untuk input penjumlahan panjangnya daftar. b.Contoh Algoritma Merge Sort Ide algoritma ini hampir mirip dengan QuickSort, yaitu melakukan partisi. Kecuali bahwa algoritma ini melakukan partisi tanpa kriteria. Jadi, data set (X[l] ... X[r]) di partisi langsung ke dua sub data set dengan jumlah data yang sama (X[l] ... X[(l+r)/2], dan X[(l+r)/2+1] ... X[r]). Lalu secara rekursif melakukan Merge Sort untuk masing-masing data set. Karena kedua data set itu bisa overlapping (tidak seperti pada Quick Sort) maka setelah kedua sub data set terurut masih memerlukan proses penggabungan (Merging). Merging ini memerlukan ruang tambahan yaitu suatu array yang sama panjangnya dengan panjang kedua sub set untuk menyimpan hasilnya. Untuk Merge Sort dalam beberapa bahasa pemrograman yang ada pada saat ini untuk listing programnya hampir sama. Berikut ini merupakan salah satu contoh Listing Program yang biasa digunakan: Contoh: void MergeSort(int l,int r) { if (l <> MergeSort(l,(l+r)/2); MergeSort((l+r)/2,r); Merging(); } } Contoh kasus: Algoritma Procedure MergeSort(input/output A : TabelInt, input i, j : integer) { Mengurutkan tabel A[i..j] dengan algoritma Merge Sort Masukan: Tabel A dengan n elemen Keluaran: Tabel A yang terurut } Deklarasi: k : integer Algoritma: if i { Ukuran(A)> 1} k←(i+j) div 2 MergeSort(A, i, k) MergeSort(A, k+1, j) Merge(A, i, k, j) Endif Kompleksitas Algoritma Merge Sort Pada Merge Sort, best case = worst case, dengan kompleksitas : Asumsi: n = 2k T(n) = jumlah perbandingan pada pengurutan dua buah upatabel + jumlah perbandingan pada prosedur Merge Penyelesaian persaman rekurens: T(n) = 2T(n/2) + cn = 2(2T(n/4) + cn/2) + cn = 4T(n/4) + 2cn = 4(2T(n/8) + cn/4) + 2cn = 8T(n/8) + 3cn = … = 2k T(n/2k) +kcn Berhenti jika ukuran tabel terkecil, n = 1: n/2k = 1 → k = 2log n , sehingga T(n) = nT(1) + cn 2log n = na + cn 2log n = O(n 2log n) Quick Sort Pengertian Quick Sort Pengerian Quick Sort adalah algoritma yang dijalankan sebagai akibat dari terlalu banyaknya daftar yang diurutkan, dengan menghasilkan lebih banyak daftar yang diurutkan sebagai output. Algoritma merge ini disesuaikan untuk mesin drive tape. Penggunaannya dalam akses memori acak besar yang terkait telah menurun, karena banyak aplikasi algoritma merge yang mempunyai alternatif lebih cepat ketika kamu memiliki akses memori acak yang menjaga semua data. Hal ini disebabkan algoritma ini membutuhkan setidaknya ruang atau memori dua kali lebih besar karena dilakukan secara rekursif dan memakai dua tabel.Algoritma merge sort membagi tabel menjadi dua tabel yang sama besar. Masing-masing tabel diurutkan secara rekursif, dan kemudian digabungkan kembali untuk membentuk tabel yang terurut. Implementasi dasar dari algoritma merge sort memakai tiga buah tabel, dua untuk menyimpan elemen dari tabel yang telah di bagi dua dan satu untuk menyimpan elemen yang telah terurut. Namun algoritma ini dapat juga dilakukan langsung pada dua tabel, sehingga menghemat ruang atau memori yang dibutuhkan.Algoritma Merge umumnya memiliki satu set pointer p0..n yang menunjuk suatu posisi di dalam satu set daftar L0..n . Pada awalnya mereka menunjuk item yang pertama pada setiap daftar. Algoritmanya sebagai berikut:Selama p0..n masih menunjuk data yang di dalam sebagai pengganti pada akhirnya: Melakukan sesuatu dengan data item yang menunjuk daftar mereka masing-masing. Menemukan pointers points untuk item dengan kunci yang paling rendah; membantu salah satu pointer untuk item yang berikutnya dalam daftar. Pada umumnya algoritma merge berjalan dalam waktu proposional untuk penjumlahan pada panjangnya daftar; Algoritma merge beroperasi pada bilangan besar dalam daftar yang akan segera mengalikan penjumlahan panjangnya daftar pada saat itu untuk keluaran gambar pointers points yang mana menunjuk pada item yang paling rendah, yang dapat terpengaruhi dengan suatu heap(tumpukan) yang didasarkan prioritas antrian dalam O(lg n) waktu, untuk O(m lg n) waktu (dimana n adalah bilangan pada daftar yang digabungkan, m adalah penjumlahan panjangnya daftar, dan lg adalah log basis 2). Ketika menggabungkan panjang m dua daftar, terdapat suatu perbandingan lompatan yang lebih rendah 2m-1 yang ada dalam kasus terburuk. Keluaran data item Merge klasik (satu yang digunakan dalam merge sort) dengan kunci yang paling rendah pada langkah masing-masing, memberikan beberapa daftar yang diurutkan, hasil daftar yang diurutkan berisi semua unsur-unsur di dalam daftar input manapun, dan hal itu dilakukan agar waktunya proporsioal untuk input penjumlahan panjangnya daftar.Teknik mempartisi tabel: pilih x ϵ {a1, a2, …, an} sebagai elemen pivot. pindai (scan) tabel dari kiri sampai ditemukan elemen ap ≥ x. pindai tabel dari kanan sampai ditemukan elemen aq ≤ x pertukarkan ap <-> aq ulangi (2) dari posisi p + 1, dan (iii) dari posisi q – 1, sampai kedua pemindaian bertemu di tengah tabel. Contoh Algoritma Merge Sort Ide algoritma ini hampir mirip dengan QuickSort, yaitu melakukan partisi. Kecuali bahwa algoritma ini melakukan partisi tanpa kriteria. Jadi, data set (X[l] ... X[r]) di partisi langsung ke dua sub data set dengan jumlah data yang sama (X[l] ... X[(l+r)/2], dan X[(l+r)/2+1] ... X[r]). Lalu secara rekursif melakukan Merge Sort untuk masing-masing data set. Karena kedua data set itu bisa overlapping (tidak seperti pada Quick Sort) maka setelah kedua sub data set terurut masih memerlukan proses penggabungan (Merging). Merging ini memerlukan ruang tambahan yaitu suatu array yang sama panjangnya dengan panjang kedua sub set untuk menyimpan hasilnya. Untuk Merge Sort dalam beberapa bahasa pemrograman yang ada pada saat ini untuk listing programnya hampir sama. Berikut ini merupakan salah satu contoh Listing Program yang biasa digunakan. Contoh: void MergeSort(int l,int r) { if (l <> MergeSort(l,(l+r)/2); MergeSort((l+r)/2,r); Merging(); } } Algoritma Quick Sort terdiri dari dua prosedur, yaitu prosedur PARTISI dan prosedur QUICKSORT. Berikut pseudocode dari algoritma quick sort : Procedure QuickSort (input/output a : array [1..n] of integer, input i , j : integer ) {mengurutkan tabel a[i..j] dengan algoritma quick sort. Masukkan: Tabel a[i..j] yang sudah terdefinisi elemen-elemennya. Keluaran: Tabel a[i..j] yang terurut menaik.} Deklarasi : k : integer; Algoritma : if (i<j) then Partisi(a,i,j,k) { Ukuran (a) > 1} QuickSort(a,i,k) QuickSort(a,k+1, j) Endif Procedure Partisi (input/output: a : array[1..n] of integer, input i , j : integer, output q : integer) {Membagi tabel a[i..j] menjadi subtabel a[i..q] dan a[q+1..j]. Keluaran upatabel a[i..q] dan subtabel a[q+1..j]. Sedemikian sehingga elemen tabel a[i..q] lebih kecil dari elemen tabel a[q+1..j]} Deklarasi : Pivot, temp : integer Algoritma : Pivot <- A[(i+j) div 2] { pivot = elemen tengah } p <- i q <- j repeat while a[p] < pivot do p <- p + 1 endwhile { Ap >= pivot } while a[q] > pivot do q <- q – 1 endwhile { Aq >= pivot } if (p _ q) then { pertukarkan a[p] dengan a[q]} temp <- a[p] a[p] <- a[q] a[q] <- temp { tentukan awal pemindaian berikutnya} p <- p+ 1 q <- q – 1 endif until p > q Kompleksitas Algoritma Quick Sort Kebutuhan waktu dari quicksort bergantung pada pembuatan partisi, seimbang atau tidak, yang bergantung juga pada elemen yang digunakan sebagai pivot. Dalam menghitung kompleksitas ini, perlu dilihat pula perhitungan recurrence, karena terdapat fungsi rekursif untuk penyelesaian sub-masalah. Terdapat 3 jenis kompleksitas waktu dari quicksort: Kasus terburuk (worst case), yaitu terjadi bila terbentuk partisi dengan komposisi sub-masalah antara n – 1 elemen dan 0 elemen. Dengan demikian pemanggilan fungsi secara rekursif dengan array berukuran 0 akan langsung kembali, T(0) = Θ(1), sehingga berlaku: T(n) = T(n – 1) + cn = O(n2). Kasus terbaik (best case), yaitu terjadi bila terbentuk partisi dengan dengan komposisi seimbang, dengan ukuran masing-masing tidak lebih dari n/2. Sehingga didapat: T(n) = 2T(n/2) + cn = na + cn log n = O(n log n). Kasus rata-rata (average case), yaitu terjadi dari perimbangan pivot antara terbaik dan terburuk, yang dalam prakteknya lebih mendekati kasus terbaik ketimbang terburuk. Sehingga didapat: Tavg(n) = O(n log n). Kelebihan dan Kelemahan Algoritma Quick Sort Beberapa hal yang membuat quick sort unggul: Secara umum memiliki kompleksitas O(n log n). Algoritmanya sederhana dan mudah diterapkan pada berbagai bahasa pemrograman dan arsitektur mesin secara efisien. Dalam prakteknya adalah yang tercepat dari berbagai algoritma pengurutan dengan perbandingan, seperti merge sort dan heap sort. Melakukan proses langsung pada input (in-place) dengan sedikit tambahan memori. Bekerja dengan baik pada berbagai jenis input data (seperti angka dan karakter). Namun terdapat pula kelemahan quick sort: Sedikit kesalahan dalam penulisan program membuatnya bekerja tidak beraturan (hasilnya tidak benar atau tidak pernah selesai). Memiliki ketergantungan terhadap data yang dimasukkan, yang dalam kasus terburuk memiliki kompleksitas O(n2). Secara umum bersifat tidak stable, yaitu mengubah urutan input dalam hasil akhirnya (dalam hal inputnya bernilai sama). Pada penerapan secara rekursif (memanggil dirinya sendiri) bila terjadi kasus terburuk dapat menghabiskan stack dan memacetkan program. Pengertian Binary Search Binary Search adalah algoritma pencarian yang lebih efisien daripada algorima Sequential Search. Hal ini dikarenakan algoritma ini tidak perlu menjelajahi setiap elemen dari tabel. Kerugiannya adalah algoritma ini hanya bisa digunakan pada tabel yang elemennya sudah terurut baik menaik maupun menurun. Sebuah algoritma pencarian biner (atau pemilahan biner) adalah sebuah teknik untuk menemukan nilai tertentu dalam sebuah larik (array) linear, dengan menghilangkan setengah data pada setiap langkah, dipakai secara luas tetapi tidak secara ekslusif dalam ilmu komputer. Sebuah pencarian biner mencari nilai tengah (median), melakukan sebuah pembandingan untuk menentukan apakah nilai yang dicari ada sebelum atau sesudahnya, kemudian mencari setengah sisanya dengan cara yang sama. Sebuah pencarian biner adalah salah satu contoh dari algoritma divide and conquer (atau lebih khusus algoritma decrease and conquer) dan sebuah pencarian dikotomi (lebih rinci di Algoritma pencarian). Algoritma Pencarian Biner (Binary Search) Penerapan terbanyak dari pencarian biner adalah untuk mencari sebuah nilai tertentu dalam sebuah list terurut. Jika dibayangkan, pencarian biner dapat dilihat sebagai sebuah permainan tebak-tebakan, kita menebak sebuah bilangan, atau nomor tempat, dari daftar (list) nilai. Pencarian diawali dengan memeriksa nilai yang ada pada posisi tengah list; oleh karena nilai-nilainya terurut, kita mengetahui apakah nilai terletak sebelum atau sesudah nilai yang di tengah tersebut, dan pencarian selanjutnya dilakukan terhadap setengah bagian dengan cara yang sama. Berikut ini adalah pseudocode sederhana yang menentukan indeks (posisi) dari nilai yang diberikan dalam sebuah list berurut, a berada antara left dan right : Karena pemanggilan fungsi di samping adalah rekursif ekor, fungsi tersebut dapat dituliskan sebagai sebuah pengulangan (loop), hasilnya adalah algoritma in-place: Pada kedua kasus, algoritma akan berakhir karena paa setiap pemanggilan rekursif atau pengulangan, jangkauan indeks right dikurang left akan selalu mengecil, dan akhirnya pasti akan menjadi negatif. Pencarian biner adalah sebuah algoritma logaritmik dan bekerja dalam waktu O(log n). Secara khusus, 1 + log2N pengulangan yang diperlukan untuk menghasilkan jawaban. Hal ini dianggap lebih cepat dibandingkan sebuah pencarian linear. Pencarian biner dapat diimplementasikan dengan rekursi atau iterasi, seperti yang terlihat di atas, walaupun pada kebanyakan bahasa pemrograman akan lebih elegan bila dinyatakan secara rekursif. Pada intinya, algoritma ini menggunakan prinsip divide and conquer, dimana sebuah masalah atau tujuan diselesaikan dengan cara mempartisi masalah menjadi bagian yang lebih kecil. Algoritma ini membagi sebuah tabel menjadi dua dan memproses satu bagian dari tabel itu saja. Algoritma ini bekerja dengan cara memilih record dengan indeks tengah dari tabel dan membandingkannya dengan record yang hendak dicari. Jika record tersebut lebih rendah atau lebih tinggi, maka tabel tersebut dibagi dua dan bagian tabel yang bersesuaian akan diproses kembali secara rekursif. memperkecil jumlah operasi pembandingan yang harus dilakukan antara data yang dicari dengan data yang ada di dalam tabel, khususnya untuk jumlah data yang sangat besar ukurannya. Prinsip dasarnya adalah melakukan proses pembagian ruang pencarian secara berulang-ulang sampai data ditemukan atau sampai ruang pencarian tidak dapat dibagi lagi (berarti ada kemungkinan data tidak ditemukan). Syarat utama untuk pencarian biner adalah data di dalam tabel harus sudah terurut, misalkan terurut menaik. Pencarian Biner (Binary Search) pada array yang sudah terurut Pencarian Biner (Binary Search) dilakukan untuk : memperkecil jumlah operasi pembandingan yang harus dilakukan antara data yang dicari dengan data yang ada di dalam tabel, khususnya untuk jumlah data yang sangat besar ukurannya. Prinsip dasarnya adalah melakukan proses pembagian ruang pencarian secara berulang-ulang sampai data ditemukan atau sampai ruang pencarian tidak dapat dibagi lagi (berarti ada kemungkinan data tidak ditemukan). Syarat utama untuk pencarian biner adalah data di dalam tabel harus sudah terurut, misalkan terurut menaik. Keunggulan Binary Search Keunggulan utama dari algoritma binary search adalah kompleksitas algoritmanya yang lebih kecil daripada kompleksitas algoritma sequential search. Hal ini menyebabkan waktu yang dibutuhkan algoritma binary search dalam mencari sebuah record dalam sebuah tabel lebih kecil daripada waktu yang dibutuhkan algoritma sequential search. ALGORITMA Contoh Nilai-Nilai data yang sudah terurut : A 2 5 8 12 15 25 37 57 1 2 3 3 5 6 7 8 Kasus 1 : cari = 12 Loop pertama : Tengah = (BatasAtas + BatasBawah) div 2 = (1 + 8) div 2 = 4 A [Tengah] = A [4] = 12, berarti loop pertama data langsung ditemukan Kasus 2 : cari = 15 Loop pertama : Tengah = (BatasAtas + BatasBawah) div 2 = (1 + 8) div 2 = 4 A [Tengah] = A [4] = 12 < cari = 15, berarti BatasAtas = Tengah + 1 = 4 + 1 = 5 Loop kedua : Tengah = (BatasAtas + BatasBawah) div 2 = (5 + 8) div 2 = 6 A [Tengah] = A [6] = 25 > cari = 15, berarti BatasBawah = Tengah - 1 = 6 - 1 = 5 Loop ketiga : Tengah = (BatasAtas + BatasBawah) div 2 = (5 + 5) div 2 = 5 A [Tengah] = A [5] = 15, berarti setelah loop ketiga, data ditemukan Kasus 3 : cari = 10 Loop pertama : Tengah = (BatasAtas + BatasBawah) div 2 = (1 + 8) div 2 = 4 A [Tengah] = A [4] = 12 > cari = 10, berarti BatasBawah = Tengah - 1 = 4 - 1 = 3 Loop kedua : Tengah = (BatasAtas + BatasBawah) div 2 = (1 + 3) div 2 = 2 A [Tengah] = A [2] = 5 < cari = 10, berarti BatasAtas = Tengah + 1 = 2 + 1 = 3 Loop ketiga : Tengah = (BatasAtas + BatasBawah) div 2 = (3 + 3) div 2 = 3 A [Tengah] = A [3] = 8, berarti setelah loop ketiga, data tidak ditemukan Untuk jumlah data sebanyak n, maka proses pembandingan maksimal sebanyak ( log n ) kali. Untuk contoh di atas, jumlah data 8, maka proses pembandingan maksimal sebanyak 3 kali. Binary tree sebuah pohon biner(binary tree) adalah sebuah pohonstruktur data dimana setiap simpul memiliki paling banyak dua anak. Secara khusus anaknya dinamakan kiri dan kanan. Penggunaan secara umum pohon biner adalah Pohon biner terurut. Pohon Biner dengan kunci pada subtree kiri lebih kecil daripada kunci root, dan kunci pada subtree kanan lebih besar daripada kunci root. Subtree yang ada juga berupa Binary Search Tree Kunci di sini bisa berupa Info node. Jenis-jenis binary tree Sebuah pohon biner penuh(full binary tree), atau pohon biner asli(proper binary tree), adalah sebuah pohon dimana setiap simpul mempunyai nol atau dua anak. Sebuah pohon biner sempurna(perfect binary tree) (atau kadang-kadang pohon biner lengkap(complete binary tree) adalah sebuah pohon biner penuh dimana semua daun memiliki kedalaman yang sama. Sebuah pohon biner lengkap(complete binary tree) dapat didefinisikan juga sebagai sebuah pohon biner penuh dimana semua daunnya memiliki kedalanam n atau n-1 untuk beberapa n. Agar sebuah pohon dapat menjadi sebuah pohon biner lengkap, semua anak pada tingkat terakhir harus menempati titik terkiri secara teratur, dengan tidak ada titik yang menganggur di antara keduanya. Sebagai contoh, jika dua simpul pada tingkat terbawah masing-masing menempati sebuah titik dengan suatu titik kosong di antara keduanya, tetapi sisa simpul anaknya terhimpit tanpa titik di antaranya, maka pohon tersebut tidak dapat membentuk sebuah pohon biner lengkap karena titik kosong tersebut. Sebuah pohon biner lengkap berakar(rooted complete binary tree) dapat dikenali dengan magma bebas. Sebuah pohon biner hampir lengkap(almost complete binary tree) adalah sebuah pohon diaman setiap simpul yang mempunyai anak kanan juga memiliki anak kiri. Memiliki anak kiri tidak memerlukan sebuah simpul untuk mempunyai anak kanan. Penjelasan lainnya, sebuah pohon biner hampir lengkap adalah sebuah pohon dimana untuk sebuah anak kanan, selalu terdapat anak kiri, tetapi untuk sebuah anak kiri, tidak selalu terdapat sebuah anak kanan. Definisi dalam teori graf Sebuah pohon biner adalah grafik asiklis yang terhubung dimana setiap tingkatan dari sudut tidak lebih dari 3. Ini dapat ditunjukan bahwa dalam pohon biner manapun, terdapat persis dua atau lebih simpul dengan tingkat satu daripada yang terdapat dengan tingkat tiga, tetapi bisa terdapat angka apa saja dari simpul dengan tingkat dua. Sebuah pohon biner berakar merupakan sebuah grafik yang mempunyai satu dari sudutnya dengan tingkat tidak lebih dari dua sebagai akar. Dengan akar yang dipilih, setiap sudut akan memiliki ayah khusus, dan diatas dua anak; bagaimanapun juga, sejauh ini terdapat keterbatasan informasi untuk membedakan antara anak kiri atau kanan. Jika kita membuang keperluan yg tak terkoneksi, membolehkan bermacam koneksi dalam komponen di gafik, kita memanggil struktur sebuah hutan. Sebuah jalan lain untuk mendefinisikan pohon biner melalui definisi rekursif pada grafik langsung. Sebuah pohon biner dapat berarti: Sebuah sudut tunggal. Sebuah graf yang dibentuk dengan mengambil dua pohon biner, menambahkan sebuah sudut, dan menambahkan sebuah panah langsung dari sudut yang baru ke akar daris setiap pohon biner. Ini juga tidak menentujan susunan anak, tetapi memperbaiki akar tertentu. Implementasi Program Tree dapat dibuat dengan menggunakan linked list secara rekursif. Linked list yang digunakan adalah double linked list non circular Data yang pertama kali masuk akan menjadi node root. Data yang lebih kecil dari data node root akan masuk dan menempati node kiri dari node root, sedangkan jika lebih besar dari data node root, akan masuk dan menempati node di sebelah kanan node root. Operasi-operasi pada binary tree Insert: menambah node ke dalam Tree secara rekursif. Jika data yang akan dimasukkan lebih besar daripada elemen root, maka akan diletakkan di node sebelah kanan, sebaliknya jika lebih kecil maka akan diletakkan di node sebelah kiri. Untuk data pertama akan menjadi elemen root. Find: mencari node di dalam Tree secara rekursif sampai node tersebut ditemukan dengan menggunakan variable bantuan ketemu. Syaratnya adalah tree tidak boleh kosong. Traverse: yaitu operasi kunjungan terhadap node-node dalam pohon dimana masing-masing node akan dikunjungi sekali. Count: menghitung jumlah node dalam Tree Height : mengetahui kedalaman sebuah Tree Find Min dan Find Max : mencari nilai terkecil dan terbesar pada Tree Child : mengetahui anak dari sebuah node (jika punya). DAFTAR PUSTAKA http://ww3.algorithmdesign.net/handouts/DivideAndConquer.pdf http://atterratotus.blogspot.com/2010/05/algoritma-divide-and-conquer.html http://www.core.org.cn/NR/rdonlyres/Electrical-Engineering-and- Computer-Science/6 046JIntroduction-to-AlgorithmsFall2001/A02B0C08- F6F3-410D-AE98 3F7EF50E540E/0/lecture03.pdf Page 23