James Cárdenas Grisales Capítulo 2

Jam es Cárdenas Grisales CONTENIDO CONTENIDO LISTA DE TABLAS LISTA DE FIGURAS PRÓLOGO INTRODUCCIÓN ···········,·· " ·.···················..·..···..· ·· ·..·..·····..·..,·..·······..· ·····.··········..·· , .. . ;. .. .. Capítulo 1 LAS CARRETERAS 1.1 GENERAL!DADES 1.2 CLASIFICACiÓN DE LAS CARRETERAS 1.2.1 Según su competencia 1.2.2 Según sus características 1.2.3 Según el tipo de terreno 1.2.4 Según su función · 1.2.5 Según su velocidad de diseño 1.3 CONCEPTO TRIDIMENSIONAL DE UNA VíA · . .. .. " ", · • , .. Capítulo 2 RUTASzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y LíNEAS DE PENDIENTE .. 2.1 2.2 2.3 2.4 SELECCiÓN DE RUTAS · ·· EVALUACiÓN DEL TRAZADO DE RUTAS LÍNEA DE PENDIENTE O DE CEROS 2.3.1 Concepto ··..··..· 2.3.2 Trazado de una línea de pendiente PROBLEMAS PROPUESTOS · · · ,· · . .. .. · · IX VIIl Capítulo 3 Capítulo 4 33 33 34 34 35 38 42 118 122 122 135 151 151 155 160 191 191 194 197 203 209 227 227 229 232 255 DISEÑO GEOMÉTRICO VERTICAL: RASANTE... .. 4.1 CONCEPTO ·..·········· . 265 4.2 ELEMENTOS GEOM~TRICOS QUE INTEGRAN EL ALINEAMIENTO VERTICAL. : ·· ··..·..· 265 4.2.1 Tangentes verticales . 256 4.2.2 Curvas verticales ·..· .. 268 4.3 GEOMETRíA DE LAS CURVAS VERTICALES PARABÓLlCAS · . 268 4.3.1 "Curvas verticales simétricas .. 268 4.3.2' Curvas verticales asimétricas .. 278 4.3.3 Coeficiente angular de una curva vertical. . 282 4.4 VISIBILIDAD EN CARRETERAS · .. 313 4.4.1 Principios · ·· ··..· . 313 4.4.2 Distancia de visibilidad de parada .. 313 4.4.3 Distancia de visibilidad de adelantamiento ······· . 317 4.4.4 Distancia de visibilidad de encuentro . 319 4.4.5 Evaluación de la visibilidad de un proyecto en planos · ······ ..···· . 319 4.5 CRITERIOS PARA LA DETERMINACiÓN DE LAS LONGITUDES DE CURVAS VERTICALES .. 323 4.5.1 Longitud mínima de curvas verticales con visibilidad de parada ··..······ 323 4.5.2 Longitud mínima de curvas verticales con visibilidad de adelantamiento ·· 330 4.5.3 Longitud mínima de curvas verticales con comodidad en la marcha . 332 4.5.4 Longitud mínima de curvas verticales con apariencia . 333 4.5.5 Longitud máxima de curvas verticales con control por drenaje ····..··..····· 333 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTS 4.5.6 Longitud mínimum de curvas verticales .. 334 4.6 PROBLEMAS PROPUESTOS ··..··..·.. 340 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA DISENO GEOMÉTRICO HORIZONTAL: PLANT A. . 31 CONCEPTOS........................ .. . . 32 CURVAS CIRCULARES SIMPLES . 3 2 1 Elementos geométricos que caracterizan una curva circular simple . 3.2.2 Expresiones que relacionan los elementos geométricos . 3.2.3 Expresión de la curvatura de una curva circular simple . 3.2.4 Deflexión de una curva circular simple . 32.5 Otros métodos de cálculo y localización de curvas circulares simples . CURVAS CIRCULARES COMPUESTAS . 3.3.1 Curvas circulares compuestas de dos radios . 3.3.2 Curvas circulares compuestas de tres radios . ESTABILIDAD EN LA MARCHA. PERALTE Y TRANSICIÓN .. 34.1 Desplazamiento de un vehiculo sobre una curva circular .. 34.2 Velocidad, curvatura, peralte y fricción lateral. . 3.4 3 Transición del peralte . CURVAS ESPIRALES DE TRANSICIÓN .. 3.5.1 Generalidades . 3 5.2 La espiral de Euler o Clotoide como curva de transición .. J 5.3 Ecua~i.~nes de la Clotoide o espiral de translcíón , . 3 5 4 Elementos de enlace de una curva circular simple con espirales de transición Clotoides iguales . 3 5 5 Longitud mínima de la espiral de transición . SOBREANCHO EN LAS CURVAS .. 3 6 1 Expresión de cálculo .. 3 6 2 Transición del sobreancho .. PROBLEMAS PROPUESTOS . x Capítulo 5 DISE~O GEOMÉTRICOTRANSVERSAL:SECCLPNES,ÁREAS y VOLUMENES ',.,',.,"',..,",..,."., , " ,.".., , '''' 5.1 5,2 5.3 5.4 349 CONCEPTO., , "" "." ..".,.., "" ,,,"".".""."."""." .. 349 ELEMENTOS QUE INTEGRAN LA SECCiÓN TRANSVERSAL..""..,."" "" """.",., ,..,,,,'" "" "." 349 SECCIONES TRANSVERSALES TíPICAS, PO~ICIÓN DE CHAFLANES Y ESTACAS DE CEROS " " "" ...... 354 5.3.1 Secciones transversales típicas" "" ".."". 354 5.3.2 Chaflanes o estacas de talud y estacas de ceros·""""··"""· ..···"."."...,.".."." ,,.i.,..,,., "" , . 355 5,3.3 Posición de los chaflanes " " " . 357 ANCHOS DE BANCA y ÁREAS DE LAS SECCIONES TRANSVERSALES " " . 359 5.4,1 Anchos de banca 359 5,4.2. Áreas de las sec;i~~'~~'i'~~·~~~~~~·~i~~·.·.·.·.·.'.· ...·.·.· ...·.·.· .. 365 VOLUMENES DE TIERRA: CUBICACiÓN. 381 PR<?BLEMASPROPUESTOS :.::::::::: ..::::::::::::::: 396 ¡.. ,',' .... 5.5 5.6 ~~¡~~GT~~l~ico .... ::..::.... :...... ::::.:......... :..::...::... .. '..:::::::: :.... ..:: ::::::.:.:.... :...... :. :.... :::.. 403 405 LISTA DE TABLAS Tabla 1.1 Tabla 1.2 Tabla 2.1 Tabla 2.2 Tabla 3.1 Tabla 3.2 Tabla 3.3 Tabla 3.4 Tabla 3.5 Tabla 3.6 Tabla 3.7 Tabla 3.8 Tabla 3.9 Tabla 3.10 Tabla 3.11 Tabla 3.12 Tabla 3.13 Tabla 3.14 Tabla 3.15 Tipos de terreno " . Clasificación de las carreteras segun la velocidad de diseño.... Valores del inverso del coeficienle de Iracción... Abscisas y cotas a lo largo de rulas Carlera de tránsilo o localización de derecha.... . , . Cartera de: tránsito o localización de izquierda , .. Carlera de uánsito o localización de curvas circulares dislinto senddo " . Cartera dezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA lránsito o localización de curvas circulares mismo sentido . Cartera de dellexiones para la curva circular . Cartera de localización de la curva compuesta de dos a u "Ja ""'~ ~.. Radios para deflexiones pequeñas , "" ..~.. Radios minimos absolutos .. Valores máximos y minimos de la pendiente relaliva de los bordes la calzada con respeclo al eje ;~I"I)); Cloloide de parámetro K=8 r, ".(';~:;,; Variación de la aceleración cenlrifuga ",.l \~~ Cartera de localización de la curva espiral-circular-espret _ _, Dimensiones de vehlculos pesados de lipo rigldo. ensamblados en . Colombia , , . Cartera de localización de una curva circular por el método de las normales sobre la langente . Cartera de localiz.aciónde una curva circular desde elzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ pe y désde el Pl Tabla 4.1 Tabla 4.2 Tabla 4.3 Tabla 4.4 Tabla 4.5 Tabla 4.6 , ,: _. ," Pendlentes máximas recomendadas , ~ Carlera de diseño de rasanle, curva vertical convexa ~ Cartera de diseño de rasanle, curva vertical cóncava "' "'~,· Coeficientes de fricción longitudinal para pavimentos numeuos.:," ~·;1;¡; Oportunidades de adelantar por tramos de 5 kilómetros........ Valores mínimos de kv para curvas verticales convexas y con visibilidad de parada (criterio de sequridad) ¡;.h..• _•.. Capítulo ,1' 1.1 GENERALIDADES zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT Las carreteras U na carretera es una infraestructura de transporte acondicionada dentro de toda una faja de terreno denom de vía, con el propósito de perm itir · Ia circulación m anera 'continua en el espacio y en el tiem po, con n de seguridad y com odidad. En el zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA proyecto integral de una carretera, el diseño Kelr}lIIe¡r.,,. parte m ás im portante ya que a través de él se configuración geom étrica tridim ensional, con el propósito vía sea funcional, segura, cóm oéla, estética, económica y con el m edio am biente. JJrm_.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA v¡a .será zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA .J¡_1[IJ,jQ JJ(d. !le. ac~~rº9.2. Sil tipo, Q com ~~rLcé!~ y yoll!.I1lenesde jránsito, de tal m aneraque de adecuada m ovilidad a través de una suficiente velocidad zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY geometría de la vía tendrá como premisa básica la de ser segura, a ¡ravésde un diseño simple y uniforme. 3 CAPiTULO l. LAS CARRETERAS 1.2 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA JAMES CÁRDENAS GRISALES CLASIFICACIÓN DE LAS CARRETERAS(7I' 1.2.1 Seg_~~~_c.ol!lp_e.te_lJ.~ia vía será cómoda, en la l1)t_dida en que se disminuyan las aceleraciones de los vehículos y sus variaciones, lo cual se logrará ajustando las curvaturas de la geometría y sus transiciones a las velocidades de operación por las que optan los conductores a lo largo los tramos rectos. O CARRETERAS NACIONALES Son aquellas a cargo del Instituto Nacional de Vías. t} La vía será estética al adaptarla al paisaje, permitiendo generar visuales agradables a las perspectivas cambiantes, produciendo en el conductor un recorrido fácil. CARRETERAS DEPARTAMENTALES Son aquellas de propiedad de los departamentos. Forman la red secundaria de carreteras. e La vía será económica, cuando cumpliendo con los demás objetivos, pfrece el menor costo posible tanto en su construcción como en su mantenimiento. CARRETERAS VEREDALES O VECINALES Son aquellas vías a cargo del Fondo Nacional de Caminos Vecinales. Forman la red terciaria de carreteras, o CARRETERAS DISTRITALES y MUNICIPALES Son aquellas vías urbanas y/o suburbanas y rurales a cargo del Distrito o Municipio. Finalmente, la vía deberá ser compatible con el medio ambiente, del suelo y adaptándola en lo posible a la topografía natural, a los usos zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA al valor de la tierra, y procurando mitigar o minimizar los impactos ambientales. 1.2.2 .s.eg_únsus caractertstlcas., factores o requisitos del diseño a tener en cuenta se agrupan en externos o previamente existentes, e internos o propios de la vía y su diseño. Los factores externos están relacionados, entre otros aspectos, con la topografía del terreno natural, la conformación geológica y geotécnica delmismo, el volumen y características del tránsito actual y futuro, los ambientales, la climatología e hidrología de la zona, los desarrollos urbanísticos existentes y previstos, los parámetros socioeconórnicos del área y la estructura de las propiedades. Losfactores internos del diseño contemplan las velocidades a tener en para el mismo y los efectos operacionales de la geometría especialmente los vinculados con la seguridad exigida y los relacionados con la estética y armonía de la solución. O AUTOPISTAS Es una vía de calzadas separadas, cada una con dos o más carriles, con control total de accesos, Las entradas y salidas de la autopista se realizan únicamente a través de intersecciones a desnivel comúnmente llamados distribuidores. CARRETERAS MULTICARRILES Son carreteras divididas o no, con dos o más carriles por sentido, con control parcial de accesos. Las entradas y salidas se realizan a través de intersecciones a desnivel y a nivel. CARRETERAS DE DOS CARRILES Constan de una sola calzada de dos carriles, uno por cada sentido de circulación, con intersecciones a nivel y acceso directo desde sus márgenes . zyxwvutsr • Corresponde al número de orden en l. blblicgrnfia <1 CAPiTULO 1. LAS CARRETERAS JAMES CÁRDENAS GRISAlES 1.2.3 Según el tipo de terreno CARRETERAS EN TERRENO ONDULADO Es la combinación de alineamientos horizontal y obliga a los vehículos pe~ados a reducir sus significativamente por debajo de la de lo~ III\;UInI~,'1I sin ocasionar que aquellos operen a velOCidades pendiente por un intervalo de tiempo largo . La pendiente longitudinal y transversal del terreno son las inclinaciones naturales del terreno, medidas en el sentido longitudinal y transversal del eje eje la vía. La línea de máxima pendiente sobre el .J.~(reJlíL..rul1Y.r.al es la inclinación máxima del terreno natu8LelL cuaLquier dirección. CARRETERAS EN TERRENO MONTAÑOSO Es la combinación de alineamientos horizontal obliga a los vehículos pesado~ a ci~cular a velOCIdad en pendiente a lo largo de distancias COI1Sl(lerllt>l~ intervalos frecuentes. En Colombia, los terrenos se clasifican en plano, ondulado, montañoso y escarpado, de acuerdo con los parámetros que se indican en la Tabla 1.1. Tabla 1.1 TiPO DE fERRENO iNCUNACION MA}.:IMA MEDIA DE LAS LINEAS DE MÁXIMA PENDIENTE ('lo) MOViMIENTO DE TIERRAS J Montañoso ("1) Escarpado (E) carretera. 25·75 Las. pendientes longiludinales y Iransversales son fuertes aunque no las máximas que se puedan presentar en una dirección dada. Hay diflCUlladesen ellrazado y explanación de una carretera. Máximo movimiento de lierras. con muchas dificullades para el Irazado· y explanación, pues los alineamlenlos están praclicamente definidos por divisaias de a<}uasen el recorrido de una via >75 CARRETERAS EN TERRENO ESCARPADO "'" Es la combinación de alineamientos horizontal obliga a los vehículos pesados a-operar a sostenidas en pendiente que aquellas a la que montañoso, para distancias significativas o frecuentes. .' Plano(P)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 0·5 Minimo movimiento de tierras. por lo Queno presenta dif¡cullad ni en el nazaoo ni en la explanación de una carretera. Las pendientes longitudinales de una via son cercanas al 0%. Ondulado (O) I 5·25 Moderado movimiento de tierras. Que permite alineamientos mas o menos rectos. sin mayOt'es ~ dificullades en el trazado y explanación de una ,1' o Tipos de terreno II 1.2.4 Según su función o CARRETERAS PRINCIPALES O DE PRIMER ORDEN Son aquellas vías troncales, transversales y" capitales de departamento, que cumplen la integración de las principales zonas de consumo del país y de éste con los demás pa~~;s, zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA par. Cat"j!f's. Bogoca.1998 6 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJ fve.nle InSbl\lloNaclOf'l~él. Vlas. Manuafdo Drnt'to GfOméfflCO !- . i1 ¡ De esta manera, se consideran las siguientes carreteras: o • zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA h fi CARRET-ERAS EN TERRENO PLANO Es la combinación de alineamientos horizontal y vertical, que permite a los vehículos pesados mantener aproximadamente la misma velocidad que la de los vehículos livianos. [ ~ t €) 6 JAMES CÁROENAS GRISALES 1.2.5 Según su velocidad de diseño _ La velocidad es el eiemento básico para el diseño geométrjCO-.ds:__ carreteras y el parámetro de cálculo de la mayoría de los diversos componentes del proyecto. La velocidad debe ser estudiada, regulada y controlada con el fin de que ella origine un perfecto equilibrio entre el usuario, el vehículo y la carretera, de tal manera que siempre ~e garantice la seguridad. La velocidad de diseño o velocidad dé proyecto de un tramo de carretera es la velocidad guía o de referencia que permite definir las características geométricas mínimas de todos los elementos del trazado, en condiciones de comodidad y seguridad. Por lo tanto, ella representa una referencia mínima. CAPiTUl.O l. l.AS CARRETERAS La selección ele la velocidad de diseño depende de 1.1 imponunciu o categoría de la futura carretera, dI! los volúmenes de tránsito que va u mover, de la configuración topográfica del terreno, de los liSOS de In tierra, del servicio que se quiere ofrecer, de las cousidcruciuncs ambientales, de la homogeneidad a lo largo de la carretera, de las facilidades de acceso (control de accesos), de la disponibilidad de recursos económicos y de las facilidades de Iinanciamiento. En la Tabla 1.2 se establecen los rangos de las velocidades 1J..: diseño que se deben utilizar en función del tipo de ClIITdcTa según su definición legal y el tipo de terreno. Tabla 1.2 Clasificación de las carreteras según la velocidad de diseño Carretera plincipal de dos calzadas La velocidad de diseño se define como la máxima velocidad segura y cómoda que puede ser mantenida en un tramo determinado de una vía cuando las condiciones son tan favorables, que las características geométricas de la vía predominan. Carretera ptincipal de una calzada Todos aquellos elementos geométricos de los alineamientos horizontal, de perfil y transversal, tales como radios mínimos, pendientes máximas, distancias de visibilidad, peraltes, anchos de carriles y bermas, anchuras y alturas libres, etc., dependen de la velocidad de diseño y varían con un cambio de ella. 1 Carrelera secundaria Callelela terciana Al proyectar un tramo de carretera, hay que mantener un valor constante para la, velocidad de diseño. Sin embargo, los cambios drásticos y sus limitaciones mismas; pueden obligar a usar diferentes velocidades de diseño para distintos tramos. CONCEPTO TRIDIMENSIONAL DE UNA VíA El diseño de una vía se inicia con el establecimiento de las zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWV I"/I/U.\" o corredores favorables que conecten los extremos del proyecto y unan puntos de paso obligado intermedios. zyxwvutsrqponmlkj Se debe considerar como longitud mínima de un tramo la dista~cia correspondiente a dos (2) kilómetros, y entre tramos sucesivos no se deben presentar diferencias en las velocidades de diseño superiores a los 20 Km/h. 1.3 8 JAMES CÁRDENAS GRISALES CA~'TULO 9 l. LAS CARRETERAS Finalmente, si se considera el ancho de la vía asociado a su eje, resultarán las sucesivas secciones transversales, compuestas por la calzada, las bcrrnas, las cunetas y los taludes laterales; completándose así'Ia concepción tridimensional de la vía. Teniendo en cuenta los factores externos que afectan el diseño, en esta primera etapa predominan los criterios económicos vinculados a las longitudes de las soluciones y el costo de las obras de explanación. de arte (puentes. viaductos, muros) y túneles. I Una vez seleccionada la ruta más favorable. se inicia propiamente la ,¿¡SC de diseño geométrico, que le da la forma fisica más apropiada a la carretera. adaptada a todos los requisitos, intentando satisfacer al máximo los distintos objetivos del diseño, I I I En la Figura 1.1 se muestra el eje de una vía ubicado en el espacio tridimensional. I Inicialmente, . obsérvese que se tienen tres (3) planos verticales rectangulares plegados a 90°, cada uno de largo 8x y alto 4y. De acuerdo con la posición de la Norte (N), el primer plano tiene una dirección hacia el Este, el segundo plano hacia el Sur y el tercer plano hacia el Este de nuevo. - I l. C0l110 la carretera es una superficie continua y regular transitable, ubicada en un espacio tridimensional, la reducción de su forma geométrica a un modelo matemático igualmente tridimensional resulta compleja y. por lo tanto, es poco empleada. . lo tanto, en casi todos los diseños se realizan dos análisis bidimensionales complementarios del eje de la vía. prescindiendo en cada caso de una de las tres dimensiones. Así, si no se toma en cuenta la dimensión vertical (cota), resultará el alineamiento en planta o diseño geométrico horizontal, que es la proyección del eje de la vía sobre un plano horizontal. ! I 1'01' J¡ : I I N zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA lo largo de estos tres planos se desarroÍla la poligonal espacial ABeDEF la cual presenta quiebres en los puntos zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQP a, e, D y E. Dicha poligonal cambia de rumbo en los puntos e y E, lo mismo que cambia E. Así, el punto de quiebre E presenta de pendiente en los puntos B, O y zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC tanto un cambio de rumbo como de pendiente. Considerando cada uno de los tramos rectos de esta poligonal, se tiene: TramoAB: La [orilla del alineamiento en planta es una sucesión continua y cambiante de rumbos o acimutes a lo largo del eje. Las formas geométricas horizontales que se utilizan para la definición del trazado son rectas y curvas circulares o espirales de transición. Ahora. si se toma en cuenta la dimensión horizontal o alineamiento en planta. definido anteriormente y, junto con ella, se considera la cota, resultará el perf)! tongltudina! O diseño geométrico vertical, que es la proyección del eje real o espacial de la vía sobre una superficie vertical paralela al mismo. La forma del perfil longitudinal es una sucesión continua y cambiante dc pendientes a lo largo del eje. Las formas geométricas verticales que se utilizan para la definición del trazado son rectas contiguas de pendiente uniforme enlazadas con curvas verticales parabólicas. Rumbo: Pendiente: Tramo Be: Rumbo: Pendiente: Tramo co. Rumbo: hacia el Este 3y +4x • hacia el Este O -=0 4x Pendiente: hacia el Sur O -=0 Tramo DE: Rumbo: hacia el Sur 3x -, 10 JAMES CÁRDENAS GRIS¡\LES 11 1. I.AS CARRETERAS zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CAI'iiUtO Pendiente: _~r Tramo EF: Rumbo: hacia el Este Pendiente: + - zyxwvutsrqponmlkjihgfedcba 3y Bx Si la poligonal espacial forma parte del eje de la vía, será necesario enlazar los tramos rectos en los puntos de quiebre COIl curvas, Tul como se mencionó anteriormente si se prescinde de las alturas se tendrá el diseño geométrico horizontal, representado en la parte inferior de la Figura 1.1 como la proyección horizontal, convirtiéndose la poligonal espacial en la proyección A,B,C,D,E,F" que al insertar las curvas horizontales circulares en C I de radio R,=x y en El de radio Rf=3x, generan el diseño en planta del eje de la vía según A,c,d,glj,F" tal como se aprecia también en la parte superior de la Figura 1.2. De esta manera, partiendo de A, cómo punto origen de abscisa KO+OOO,s e tendrá para el punto final F, la abscisa siguiente: Abscisa de F, = Abscisa de A, + A,c, + c,d, + d l 91 + 9r1, + i,F, Arc, = 7x cId, = 2rrR, = 2rrx = rrx 4 d,g, = 4x . 91), = 4 2 2rrRz 21T(3x) 3rrx 4 = -4 -= 2 " i,F, = s« • ITX Absc/sadeF I =KO+000+7x+-+4x+-+5x=KO+ 2 3rrx 2 () 16+2" Flguta 1.1 Eje de una vía en el espacio tridimensional j '. ~ x zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVU Suponiendo que el valor numérico de x es de 50 metros, la ubscisa de F, será: AbscisadeF, ,¡ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 5x = KO + (16 + 21T)x = KO + (16 + 2TT)50 = KO + 1114.159 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQP = KI + 114.159 12 JAMES CÁRDENAS GRI"ALES CAPiTUl,.O 1. LAS CARRETERAS I It X(Xl+9')+OJ/ » I l. r l. I De ighal manera, en la parte inferior de la Figura 1.2, se muestra elzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXW diseñJ en perfil del eje de la vía según A28zb;¡l31f2hz;zFz,o btenido 'al insertar curvas verticales parabólicas en los puntos 8 2, O 2 Y ~, respectivamente. Así mismo, si el valor numérico dezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO y es de 4 metros las pendientes correspondientes a los tramos ~z8z, 820 Z, OzEz y EzF 1 son +6.0% ,0.0% , -3.2%Y +3.0% , tal como se indican. I 1: i~ I~ .... F igura 1.2 D iseño geom étrico en planta yen perfil del eje de una via zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE ..... .i '1 , J~ j ~fzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA t:!~ ~ .~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ = = ~ , ~ ~ ~ ~ ~ = = ~ l~ ( l~t ~~ .'. ~ f: 1: t,2.1 -'-~ '''~ --- SELEC C IÓ N D E R U TAS ~se ~tiende por ruta aquella franja de terreno, de ancho variable.,_ l' om J:K endida entre dos puntos oblfgadQ s extrem os y que_pasa_aJ.o_ R utas zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y líne as de pe ndie nt ta identificación zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVU . O .e..pllotos obligados.J.nteim edi~ dentro de la cual es factible puntos ob{igg.dos realizar la localización del trazado de una vía. ~ ~ n..aqu\!!los sitios extrem os .0 interm edios por los que necesariam .en_t~_ 'deJ:¡erápasar.la vía, ya sea por razones técnicas, e.fQ D 6m ic.as,. 2Q f.iales. ~ p-ºH tjca.s~ com o por ejem plo: poblaciones, áreas productivas, . :puertos, puntos geográficos com o valles y depresiones, etc. de una ruta a través de estos puntos obligados o de zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT y su paso por otros puntos interm edios de' m enor '~portancia o de control secundario, hace que aperezcan varias rutas 'alternas. Son ejem plos de puntos de control secundario: caseríos, río s y cañadas, cruces con otras vías, zonas estables, ~ruces de zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ;conlroJ primario I~sques, " e.tc. . 16 JAMES CÁRDENAS GRISALES Para todas las rutas alternas, es necesario llevar a cabo la actividad denominada selección de ruta, la cual comprende una serie de trabajos preliminares que tienen q4~ ver con acopio de datos, estudio de planos, reconocimientos aéreos y terrestres, poligonales de estudio, etc. El estudio de planos forma parte del llamado análisis de la información existente. Básicamente consiste en la elaboración de los croquis de las rutas sobre planos, Cartas geográficas o fotografias aéreas, a escalas muy comunes como 1:I00000, 1:50000, 1:25000, identificando sobre ellos la información obtenida anteriormente, especialmente los puntos obligados de Control primario, ya que estos guían la dirección general a seguir de una ruta específica. De esta manera y con la identificación también de los puntos de Control secundario, es posible seí5alar sobre los planos varias rutas alternas o fmnjas de estudio. 17 . rrniten recoger todos aquellos d':lal~cs '1 t es la que ofrece UIl m':Jor Las poligonales de estudio pe . . . . d a conocer cua ru a necesarios que l·an en forma rápida y cun una I s deben levantarse 11 .• trazado. Estas po igona e lados se pueden medir a cmta precisión no muy alta. Es as! como, St~San con brújula, las alturas con . tria , los rumbos se determin o a taquime . Ido barómetro y las pendientes con I1Ivees e man . EVALUACiÓN DEL TRAZADO DE RUTAS 2.2 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA El acopio de datos se refiere a la obtención de la información básica en la Zona de estudio, relacionada con la topogtafia, la geología, la hidrología, el drenaje y los usos de la tierra. Estos factores constituyen los mayores controles en el diseño, localización y Construcción de la futura vía. Igualmente, deberá obtenerse información sobre la actividad económica y social de la región. Las principales fuentes de información para la obtención de estos datos, Son entre otras: el Ministerio de Transporte, el Instituto Nacional de Vías, el DANE, el IGAC, el CIAF, la CVC, las Oficinas de Planeación, las Oficinas de Valorización, las Secretarías de Obras Públicas, etc. CAPITULO 2. RUTAS Y LINEAS DE PENDIENTE . . lIe ermita enlazar dos puntos La meior ruta . entre vanas alternas, q dP erdo a las condiciones I ' aquella que e aCtI extremos o termina es, ser~ . d drenaje ofrezca el menor topográficas, geoló~ic~s, ~~:'i~i~l~:e~on~mica, so'cial y estética. Por costo con el mayor índice . . determinar en forma d '. . de lo tanto, para ca a ru ta sera necesario . , o eración y ccnservacion aproximada: los costos de constr~~~'~:~1:ararlOS con los beneficios la futura vra a proyectar, para probables esperados. J • . 't d s de eva Iuacion ., de rutas 'y trazados alternos, Existen diversos me o ~ la meior selección. Dentro de estos con los cuales se podrá ha~er t4)en~el cual se aplica el concepto de métodos, se encuentra el de ruce, d . t o trazado alterno, sus . I C para para ca a 1 u a longitud virtual. 001, di tes tornando en cuenta d . I s y sus pen len , I esru ve e I it d correspondiente al esfuerzo le longitudes, sus únicamente el aumento de ongi u . tracción en las pendientes. Se expresa asl: iy zyxwvutsrqponmlkjihgfe zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT Mediante los reconoclmlen/os aéreos y terrestres se realiza Un . X o = x+ k¿ y (2-1 ) eXllmen general de las rúias o franjas de terreno que han quedado previamente determinadas y marcadas en los croquis. Su finalidad eszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Donde: . la de identificar aquellas características que hacen una ruta mejor a las x zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = Longitud resistente (m). olras, CUllntificarlos costos posibles de.construcción de la futura vía o Lonaitud total del trazado (m). por elida ruta, determinar los efectos que tendrá la vía en el desarrollo = Des~ivel o suma de desniveles ~m). ecul16,nicode la región y estimar los efectos destructivos que puedan = Inverso del coeficiente de tracción, k P,udIlCit~e en el paisaje' natural. Igualmente, se aprovecha el w--'-II: nlllO dlll;CIlIO, pum obtener datos complementarios de la Zona en En la Tabla 2.1 aparecen Ios va Io res de k para los distintos tipos de superficie de rodamiento. 18 JAMES CÁRDENAS GRISALES Tabla 2.1 .,. :L. Valores del inverso del coeficiente de tracción TIPO DE SUPERFICIE Carrelera en l;erTa ._.~. Macadam --PavimenIO asfalliéo-'Pavimento rigido 2.3 CAPiTULO 2. RlJTAS y LtNE>.S DE PENDIENTE VALOR MEDIO DE k 21 32 35 - _ ._ - 44zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA - ---- LíNEA DE PENDIENTE O DE CEROS I;.. ~. I 2.3.1 Concepto linea de J1elldieIlL~s a.qu~!la.lín~,!_g_l!~,p~san_<!9_j~Q!J.Qs.-p_unlos _obligadqs.dcl.pr.9"'y'ecto,conserva la pendiente _u.!.Úf9r!!1~~Q~cificada Y quc 9_c~Lncidir con el eje dc_lé! vía, éste !JQ ac~p!ªrí.!! cprtes-'li_ rellenos. razóil por la cual también se le conoce con el nombre de línea de ceros. ~ I ; I!t. ~ It Es una línea que al ir a ras del terreno natural, sigue la forma dc éste, convirtiéndose en una linea de mínimo movimiento de tierra. Por lo tanto, cualquier eje vial de diseño que trate de seguirla lo más cerca posible. será un eje económico, desde este punto de vista. 2.3.2 Trazado de una línea de pendiente En la isomctría del terreno natural con curvas de nivel cada cineo (5) metros. ilustrada en la figura 2.1. considérese los puntos A y B sobre las curvas de nivel sucesivas 205 y 210. La pendiente de la línea recta AB. que los une, es: Figura 2.1 AC=-, Concepto de linea de pendiente BC . lana r: Donde: ~. AC = 'oist~i.a horizontal entre curvas de nivel :abertúra del compás. BC = ;Di{erq-¡cia de nive~ entre curvas o equi~istancia. tan a = Pendiente de la línea recta AB. Pendiente de la ceros. Por lo tanto, también puede decirse que: a= Equidistaocia p /1' Pendiente de AB (2-2) zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXW AC Luego. si se quiere mantener una línca de pendiente uniforme igual a la distancia horizontal necesaria para pasar de una curva de nivel a otra será: tan a. l' = tan a = BC zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH Donde , a es la abertura del compás yzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA p esla pendiente uniforme 4,e111 . línea de ceros. " 20 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA JAMES CÁRDENAS GRISALES sucesivas, cuya unión constituye la línea de ceros, tal Como se muestra en la Figura 2.2..... ' \ .. Figura 2.2 ([nea de ceros en un plano lómlinos generales, en el trazado de una línea de ceros, se pueden r•• "'tJlr dos casos: él primero, consiste en llevar desde un punto una linea de ceros de pendiente uniforme sin especificar el final o de llegada. El segundo, consiste en trazar una línea de a través de dos puntos obligados. .En este último caso será __ trln estimar la pendiente máxima que.une los dos puntos, la cual ser comparada con la pendiente máxima permitida por las nonn". Medinnte el Ejemplo 2.2 y el Problema 2.2 se podrá ejercitar .'lIn:tlldll de llncas de ceros según estos dos casos. In de ceros en' el terreno se lleva marcándola en la dirección. IIcucl,,1 H'querlda, pasando por los puntos de, control y por los lugares IlIlh IILll'l'lIIldos.Para tal efecto, se emplean miras, jalones y dlNhullllIl, (niveles de mano Locke o Abney). 21 CAPiTULO~. RUTAS y LiNeAS OlOI'ENOIENTt: EJEMPLO2.1: Estudio de Rutas Datos: En el plano de la figura 2.3, dibuja?o a ,la escala dada ~(ln curvas de nivel de equidistancia 50 metros, se identifican los puntos A y B. Realizar: Un estudio de las posibles rutas que unan los puntos A )' B. Solución: b e el lano dado se hall trazado tres posibles rutas, mediante la o r p identificación de los puntos de paso a, b ,e, d , f , 9 , h zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ , i de control primario y secundario. Tales rutas son: S Ruta 1= zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA AabcB, siguiendo la parle alta. Rula 2= AdelB, siguiendo la parle media . RUla 3= AghiB, siguiendo la parle baja. En la Tabla 2.2, para cada una de las rutas trazadas aparecen sus puntos, abscisas)' cotas. Tabla 2.2 RUTAS Abscisas y cotas a to largo de rutas PUNTOS A a Rula 1 b e B A d Rula 2 Ihll',1 Rula 3 e I I ABSCISAS KO..{loo K3+400 KS.ooO KB-IOO K 10+200 KO.ooO K2+4oo K7.Soo J «s-eco B Kl0+800 A g h i «o-o» B K2+600 K6.oo0 K7 +300 KB.30a COTAS I 100 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM 275 290-240 250 100 lBO 170 210 250 100 120 110 165 250 22 JAMES CARDENAS (1RIS¡\I.ES 23 CAPITULO 2. RUTAS Y LINEAS DE PENDIENTE ¡t_ .... -_ ...... ,, • • '~--:'• "- ---o ¡........... " zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA . JV .....· ~/ d ,1 1 '-' " " / ./ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJI ,/ /" , z-:/« _.,_zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 0_ .. .,.- 0 - - 11IO'{--' A $00 1000 Tramo be: Figura 2.4 Desnivel == 240 - 290 = -50m, Figura 2.3 Estudio de rulas Con el propósito de realizar una evaluación preliminar más precisa, es necesario elaborar un perfil longitudinal de las rutas, como se muestra en la Figura 2.4, calculado así: • Perfil longitudinal de rutas DistanCiahorizontal Pendiente =...!.E_ = 10m, Distancia horizontal = 2100m = +0.005 ;: +0.5% 2100 . RuIn 1: Traillo Aa: = 275 -100 = 175m, Distancia horizon/al = 3400m Pendiente = 175 = +0.051 '" +5.1% Ruta 2: Tramo Ad: Tramo ab: Pendiente = ~ Desnivel 1: Desnivel = 1BO-100 = BOm, -Distancia horizon/al '" 2400m 3400 Desnivel", 290 - 275 = 15m, Pendiente = ~ +0.009 '" +0.9% 1600 '" Dis/ancia horizon/al = 1600m 2400 -10 5100 == +0.033 ¡;¡ +3.3% , ID /(11 = 3100m Pendiente= -50 =-0.016 ;:-1.6% 3100 Tramo cB: Desnivel = 250 - 240 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA o 7 I .J -, zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONML Distancia horizontal = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJ 5100m Pendiente = -- zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = -0.002 '" -0.2% 24 Tramo el;. Desnivel:: 210 -170::: 40m , 4(J'" Pendiente"" "" +0.027 1500 Tramo fB: Desnivel =: 250-210::: 40m , Pendiente '" ~ 1800 =: Distanciahorizontal::: 1500m = +2.7% Distanciahorizontal =: 1800m +0.022 ¡¡¡ +2.2% Ruta 3: TramoA~ Desnivel =: 120-100 Pendiente = : ~ 2600 Tramo qh: "" =: 20m , Distanciahorizontal =: 2600m +0.008 "" +0.8'% Desnivel =: 110-120 "" -10m , Distanciahorizontal =: 3400m -10 Pendiente"" "" -0.003 -0.3% 3400 Tramo h/: = Desnivel"" 165 -110"" 55m , Dislanciahorizonta/ =: 1300m Pendiente "" ~ "" +0.042 a +4.2% 1300 Tramo iB; Desnivel:: 250-165 Pendíen/e:: =: 85m , zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA JAMES CÁRDENAS GRISAlES . CAPITULO 2. RU TAS y t •iNEAS OE PENDIENTE x=: 10200m , =x+k¿y'" Xo k = 44 , =: 10200 + 44(200) =:~100 '"L... y =: 200m m Ruta 2: Desnivelesperjudicialespor eonlrapen entes=BO +40+40=:160m x=: X 10800m , k = 44, = x +k¿y'" o Iy = 1)O m -10BO O . +44(160)=17840m Ruta. 3: . d'leises por contrapendienles=: 20 + 55+ 85 = 160m DesruvelespefJu x = 8300m , xo=x+ k = 44 , "'y ¿ =: 160m k '"¿ y = 8300 + 44(160) = 15340m . . es resistentes se realiza en senllJ~ Ahora si el análisis de Iongitud . I caso de una carretera do:dos ' contrario, esto es d e, B á A como sena e . direcciones, se tiene: s _ 50m Ruta 1: Desnivelespor conlrapendente. _ (O 051- 0.04)3400 = 37.4m Desnivelespor exceso de pen(dlent;; ~) -'14046m . X o -- x+ k"'y=10200+4450+ ¿ . DistanciahO rizontal" " 1000m .J§_ :: +0.085 e +8.5% 1000 Ruta 2: O Desnivelespor contrapendientes=: 1 m Desnivelespor excesode pendientes = O La evaluación preliminar de las tres rutas se hará con base en la comparación de sus longitudes, desniveles y pendientes. Para tal efecto, se SUpone que las vías a Construir sobre estas rutas serán pavimentadas en concreto y que la pendiente recomendada es delA%. Por lo tanto, de acuerdo a la ecuación (2. J), para cada ruta se tienen las siguientes longitudes resistentes, Xo: Rutnl: " Desnivelesperjudibilles por contrapenclentes= 175 + 15 + 10 = : 200m Xo - x+ k'"¿Y Ruta 3: =: 10800+44(10)= 11240m .zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC -10m Desnivelespor eontrapendienle~_ (O085 _ 0.04)1000+ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM (0.042 -0.04~300 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVU = Desnivelespor excesode pendIentes- . X47.6m o =x+k¿y'" =B300+44(1O +47.6)=10834m 26 JAMES CÁRDENAS GRISALES Como puede observarse, para ambos sentidos, la ruta de menor resistencia es la Ruta 3, la cual se hace atractiva. Sin embargo, ella incorpora la construcción de un puente en el punto h, situación que elevaría los costos. Por lo tanto, si se trata de un proyecto económico, desde este punto de vista la mejor ruta será la RUla 2. ---------------------------------------------',: EJEMPLO 2.2: Trazado de líneas de pendiente o de ceros Datos: La Figura 2.5 muestra unplano a la escala dada, con curvas de nivel de equidistancia 8 metros, sobre el cual se identifican dos puntos A y B. Trazar: Una línea de ceros entre los puntos A y B de pendiente uniforme máxima posible. Solución: Este es el caso de enlazar dos puntos obligados A y B con una sola pendiente, que necesariamente es la máxima posible. Una forma de determinarla y enlazarla se apoya en el uso de pendientes parciales entre los puntos dados, las cuales se trazan sucesivamente desde los puntos opuestos. la una ascendiendo y la otra descendiendo, Para este ejemplo, se: supone una primera pendiente del +6% saliendo de A, esto es: P, =0.06 Por lo tanto, según la ecuación (2-4), la aber 7 dCo~áS tllra es: a, = 5su;dislal!:!~ = am = 133.333m P, 0.06 Suponiendo que existe una curva de nivel intermedia entre cada par de las dadas. la abertura del compás será de: zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 27 !lO '00 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZ ••.,!u zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR Q I . Figura 2.5 Trazado de líneas de pendiente o de ceros 4m =-=66.667m 0.06 esta distancia a la escala del plano se trata la linea AB', la cual puede observarse pasa por debajo del punto B. Esto indica que la supuesta p, es menor que la máxima posible. En este es preciso suponer una segunda pendiente, mayor que la ,....._ ...._, por ejemplo, del-ll% saliendo de B, esto es: -. 4m zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = _,_ = 36.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 364m zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 0.11 · 28 JAMES CÁRDENAS GRISALES Con esta distancia y partiendo de B se traza esta segunda línea la cual encuentra en el puntó't la primera línea. Con el fin de visualizar mejor el cálculo de la pendiente máxima posible para la línea que une los puntos A y B es conveniente dibujar un perfil longitudinal de las líneas de pendiente parciales p, y Pl, como se ilustra en la Figura 2.6, para las cuales: CAPITULO 2. RUTAS Y LiNEAS DE PENDIENTE 2'.1 Con una abertura del compás de:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB 4m, ./ a = -=-41i296m 0.0864 Abertura que a la escala del plano permite el trazado de la pendiente máxima posible, como se muestra en la Figura 2.5. 2.4 PROBLEMAS PROPUESTOS 8 • PROBLEMA 2.1: Estudio de Rutas - x Figura 2.6 )( . Perlillongitudinal deJlneas de pendiente o de ceros Distancia horizontal entre A y C: x, =611m Diferencia de nivel entre A y C: y, = p,X, = 0.06(611)= 3~.660m Distancia horizontal entre C y B: Xl J)ilcrcllcía d~ nivel entre C y B: = 685m Y2 = P1Xl = 0.11(685)= 75.350m 1)Lo "~I!I mnnera, la pendiente máxima posible pes: P II[y !t, I x, 38.680 + 76.350 .. O 0864 611 + 685 . •. 88 '" 47. lz Datos: 1 d d v· . d . El plano de la Figura 2.7 está dibujado a zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJ l~ esca. a a. a, con cur as ~ nivel de equidistancia SO metros. Sobre el se identifican dos puntos extremos zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA A y B. JO Realizar: Un estudio de las posibles rutas que unan los puntos A y 8, suponiendo que las vlas a construir a través de estas rutas serán pavimentadas en asfalto y que la pendiente recomendada es del 6%. PROBLEMA 2.2: Trazado de líneas de pendiente o de ceros Datos: En el plano de la Figura 2.8, dibujado a la escala gráfica dada, con curvas dc nivel de equidistancia 10 metros, se han identificado dos puntos A y B. • zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA JAMES CÁRDENAS GRISALES. 3t .' CAPITULO 2. RlJf AS Y LíNEAS DE PENDIENTE Trazar: a) Una línea de ceros entre los puntos A y 8 de pendiente uniforme máxima posible. Una línea de ceros entre los puntos A y B de pendiente uniforme · del.5%. . . . : PROBLEMA 2.3: Pendiente ponderada máxima unifqrm~ Datos: En el plano de la Figura 2.9, dibujado a 1,\ escala gráfica daga, con curvas de nivel de equidistancia 10 metros', se han. identificado los puntoszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA A, B, e y D. ftr. 1 .1 1 I~ _ o zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA $0'00 200 .... "./ro. = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG '.' Trazado de lineas de pendiente o de ceros. Problema 2.2 Pendiente ponderada máxima uniforme. Problema 2.3 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcb Figura 2.8 E; i4:i zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA I'm' .~ ) Ir: . •J 1.-~'ji 32 JAMES CÁRDENAS GRISAlES zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Trazar: a) b) Líneas de pendien~ct.uniforme máxima posible para cada tramo zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA AB, BC zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y CD, independientemente. La pendiente uniforme máxima posible que una zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA el punto punto D. Para este trazado, ponderar las tres pendientes 11'11'" n ores Dibuje un perfil de pendientes. <, Ir- zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA t f ;' 1, _1· l. I .... 1- I zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA l. 1.. po II ... II I ~ CONCEPTOS D is e ño g e o Illé tri zyxwvutsrqponmlkjihg planta zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR Iror izo'nüal D e una m anera general una carretera se puede concebir com o un sistem a que logra integrar beneficios, conveniencia, satisfacción y seguridad a sus usuarios; que conserva, aum enta y m ejora los recursos naturales de la tierra, el agua y e l aire; y que colabora en el logro de los objetivos del desarrollo regional, agrícola, industrial, com ercial, residencial, recreacional y de salud pública. form a zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA particular, el diseño geométrico de carreteras es el proceso correlación entre sus elem entos fisicos zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG y las características de operación de los vehículos, m ediante el uso de las m atem áticas, la fisica y la geom etría. E n este sentido, ....l a carretera queda geom étricam ente definida por el trazado de su eje en planta y en perfil y por el trozado do '.~t.0;ón"'0'"""1. . ----'-----. 34 El diseño geométrico en planta de una carretera, o alineamiento horizontal, es la proyeco*ón sobre un plano horizontal de su eje real o espacial. Dicho eje horizontal está constituido por una serie de tramos rectos denominados tangentes, enlazados entre sí por curvas. 3.2 CAPITULO J. DISEÑO (iEOMIOTRICO HORIZONTAl.: PL ..\NTA CURVAS CIRC~LARES SIM~ 3.2.1 Elementos geométricos curva circular simple que caracterizan una En la Figura 3.1 aparecen los diferentes elementos geométricos de una curva circular simple. Tomando el sentido de avance de izquierda a derecha, dichos elementos son: PI pe pr o .d = = Punto de intersección de las tangentes o vértice de la curva. Principio de éurva: punto donde termina la tangente de entrada y empieza la curva .. = Principio de tangente: punto donde termina la Curva y empieza la tangente de salida. = Centro de la curva circular. t L eL E Q 11 : d .,I ~I ";;. .. t. o = Ángulo de deflexión de las tangentes: ángulo de detlexión principal. Es igual al ángulo central subtendido por el arco pe.pr. R 35 desde el punto Ordena d a me dia: l. distancia e , medio de la curva A al punto medio de la cuerda larga B. Las curvas horizontales circulares simples Son arcos de circunferencia de un solo radio que unen dos tangentes consecutivas, conformando la proyección horizontal de las Curvas reales o espaciales. Por lo tanto, las Curvas del espacio no necesariamente Son circulares. .;o. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA JAMES CÁRDENAS GRISALES = Figura 3.1 Elementos geométricos do una curva circular simple Radio de la Curva circular simple'. .. Tangente o subtangente: distancia· desde el P I al pe o desde el P I al pr. pr = Longitud de Curva circular: distancia desde el pe al a lo largo del arco circular, o de un polígono de cuerdas. .. Cuerda larga: distancia en línea recta desde el pe al PT. .. Externa: distancia desde el P I al punto medio de la curva A . los elementos 3.2.2 Expresiones que relacionan geométricos zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY cizyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVU f•• e tétricos se relacionan entre sí, dando Los anteriores elementos geOl~ 1 álculo de la curva. De acuerdo . esiones que permiten e c . . origen a expr 3.1 antenor, . a l'gunas de estas expresiones SOllo con la Figura ~ ~ I ".t>. ~ l 36 JAMES CÁRDENAS GRISAI.ES T en función dc R y .1: En cl triángulo rectángulo O.PG.PI. se tiene: 11 PG.PI T lal1- = .._- = , de donde, 2 O.PG R T:: R tan 11 '-.: .,. .--::1' ., ~.~ ~ .. : CAI'ITUI.O 3. DISEÑO GEOMÉTRICO HORIZONTAL: PLANTA . _[TcosiII-COS%] E- .1 sen- ." (3-1) 2 . 2 ':E=[~L"%l (3-2) M-~- 4 ~~[ = OPC ,OPI O.PI - O.PC.PI, se tiene: R .- , 4 4 [ 'J Jj T Ll sen-cos- de donde, ](1~ cos .4 Ll ~. 4 'l1T ~-~-4 ~ 4 L l sen 4 2 ~) 2 Ll '4 ) , Ll](2{I-COS ¡) zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTS 2 pero, entonces, Tsen-4 , esto es, = --L l- L l zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH cos4 Ll = Ttan- "'R[~-11 . 4 (3-4) cos _. 2 lo zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA O.B.PG, se tiene:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJ E en función de T y LI: Reemplazando !<J ecuación (3-2) en la ecuación (3-4), se tiene: 11 1 ---1 Ll 2 cos- Ll 1 pero "2 sen- lan-=-_2 11 2 cos- -M , de donde, -. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY [ 1 T T Ll sen-~~ = OA + A.PI = R + E = R+E E = -Ll lan-2 4 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE E Ll (3-3) E cn función dc R y LI: En el triángulo rectángulo = Ll = 2 sen- cos2 4 4 , entonces, por lo tanto, =[ 2S ~ llJI-2COSZ¡+I)=~[' Ll 2 cosz .1-1 2 Ll= 2 Cl:: 2R sen 2 cos Ll sen - entonces, Gl en función dc R y d: En el triángulo rectángulo O.B.PG, se ticnc: GL 11 B.PC '2 , dc donde, sen = .. - = -2 O.PC R 2 11 2 sen"2} R en función de T y .1: T R= -11 la" 2 cos Ll Ll cos- · ..... - _._~....__. ....... _---- ...._ - _ --------------.1 1 3.2.3 Expresión de la curvatura de una curva circular simple '_ La curvatura de un arco circular se fija por su radio R o por su grado G . Se llam a grado de curva/uro G al valor del ángulo central subtendido por un arco o cuerda de determ im {(raloI1~itud, escogidos com o arco unidad s o· cuerda unidad c. En nuestro m edio, el arco unidad o la cuerda unidlld usualm ente es de 5, 10 y 20 m ~\ros. o SiStEMA ARCO·GRADO En este caso, según la Figura 3.2, el ángulo central G s es subtendido por un arco unidad s. , , - I I I ,, ,, ¡ ¡ \ 1, zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA a, : ,--, \ , JO CAPiTULO 3. DISEÑO GEOMt:TI\ICO HORIZONTAL: I'LANTA -G, -_ 360' s - 2rrR ,de d on d e, G = 180's (J-7) rrR $ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA JAMéS CÁRDENAS GRISALES Para este sistem a, la longitud de la curva Ls, es la lid arco circular entre sus puntos extrem os pe y PT. Igualm ente, relacionando arcos CO n ángulos centrales. SI.: puede plantear que: s L, Ll =G~' L , =.:_Ll G, , de donde, (J'-!i) Reem plazando la ecuación (3-7) en la (3-8), se tiene, L =~ , 180' s ,esto es, ITR ITRtJ L =, (3-9) 180' e SISTEMA CUERDA·GRADO En este caso, según la Figura 3.3, el ángulo central G,. es subtendido por una cuerda unidad c. En uno de los dos triángulos farm acias, se tiene: e zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA sen ~, Figura 3.2 Curvatura por el sistema arco-grado = 2 R , de donde, e (3-10) G, = 2 arcsen zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2R zyxwvutsrqpo Relacionando ángulos centrales con arcos, se tiene que: 2 r, ¡ };' 40 JA(\I($ CÁnDfoN'\S GRISALES . CAPtruLO 3. DISEÑO GEOMÉTRICO HORIZONTAL: PLANTA 41 En la Figura 3.4, se ilustra la relación que existe entre los sistemas arco-grado y cuerda grado. ~ .'\ f I o o Figura 3.4 Figura 3.3 Para este sistema, la longitud de la curva Le, es la de una poligonal inscrita en ella desde el pe al pr, cuyos lados son cuerdas. De esta manera. si se relacionan cuerdas a ángulos centrales, se puede plantear que: Le _ e . de donde, II - G e cll L == .• e Ge Relación entre los sistemas arco-grado y cuerda-grado Curvatura por el sistema cuerda-grado Al tomar como arco unidad 5=10m, según la ecuación (3-7), el grado de curvatura G, es: = 180' 5 rrR = 180' (10) = 13' 38' 30.67' rr(42) cuerda equivalente c. al arco 5=10m es: G 13' 38' 3076' c. = 2R5en....!..= 2(42)sen . =9.976m <5=10m zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPON 2 (3-11 ) 2 Como puede observarse la cuerda equivalente e, es 2'4 mm más corta. EJEMPLO 3.1: Relación entre los sistemas arco-grado y cuerda-grado Mediante este ejemplo, se explica la relación que existe entre los sistemas arco-grado y cuerda-grado. Para tal efecto, supóngase que se tiene un ángulo de dcflexión principal d=1?OOyun radio R=42m. Si ahora se toma como cuerda unidad el valor de zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK c=10m, según la ecuación (3-10), el grado de curvatura G,"~s: ( G c = 2 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA arcsen 2~ = 2 arcsen 2(:2) = 13' 40' 27.42' , zyxwvutsrqponmlkji " CAPITULO 3. DISEÑO GEOMETRICO 1l0RIZONTAL: PI.ANTA arca equivalente 5 • := s, a la cuerda c=10m es: rrRG c = rr(42X13' 40' 27.42') = 10.024m > e = 10m 180' ,_ 180' puedeobservarse que el arco equivalente s, es 24 mm más largo. La 43 Se denominazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ángulo de deflexion 8 de una curva, al ángulo formado entre cualquier línea tangente a la curva y la cuerda dirigida desde el punto de tangencia a cualquier otro punto P sobre la curva, tal como lo muestra la Figura 3.5, para el ángulo de deflexión 8, correspondiente a la tangente en el p e y el punto P" y el ángulo de deflexión ¿;.¡ correspondiente a la tangente en el punto Q y el punto Pl. longitud de la curva por el sistema arco L" según la ecuación (3-8). PI De'igual manera, la longitud de la curva por el sistema cuerda Le, la ecuación (3-11), es: I 'e cl1 = - = Gc 10(120') - -- - - - = 13' 40' 27.42' 87. 756m < L s La longitud de la curva por el sistema cuerda equivalente Lu, es: , = c,l1 '-ct G, == 9.976(120') 13' 38'30.67' 87.753m .' Obsérvese que Le es prácticamente lo mismo que Le,. Esto quiere decir, queuna eurva calculada por el arco puede ser localizada con cualquier cuerda, a excepción de que cualquier ajuste que se haga se debe realizar sobre la longitud calculada por la cuerda y no por el arco. Obviamente, el abscisado que prevalece a partir del PT, es el del sistemaarco. Por lo tanto, para.que las abscisas, por ejemplo a cada 10 metros, sobre la curva coincidan con las del sistema arco, y si la localización se realiza por' 9'4erdas, se debe utilizar la cuerda equivalente. , -, 1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 3 .2 .4 D e fle xión de una curva circula r sim ple o F igura 3.5 C oncepto de ángulo de delfexión Por un teorema de la geometría se sabe que el ángulo semiinscri to 8 es igual a la mitad del ángulo central (/J. Esto es, en general: ó=__!!_ 2 (3-12) i Tradicionalmente, el cálculo y la localización de las curvas circulares simples en el terreno, se realizan por el método de los ángulos de deflexión. La zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA anterior expresión de igualdad de ángulos se puede comprobar en la figura anterior, pues los lados que forman los ángulos 8, y zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR (/J,I2 son perpendiculares entre sí. Así por ejemplo: • 44 JAMES CÁIlDENAS GRISALES CAPITULO 3. DISEÑO GEOMETRICO HORIZONTAL: PLANTA 6,- -....!f.t. 2 Puesto que el lado PC,PI es perpendicular al lado O,PC y el lado PC.P, perpendicular aliado OA. Igualmente, 62 ~ ....!b. 2 \ \ El método más usual en nuestro medio es el de ~flectar las curvas desde el PC. En este método se pueden presentar dos casos: -~--_... .-\ \ - o \ I zyxwvutsrqponmlkj ~~~~----------~--------~-------------- DEFLEXIÓN DE UNA CURVA CIRCULAR CUANDO LA ABSCISA DEL pe ES REDONDA y LA LONGITUD DE LA CURVA, Le, ES IGUAL A UN NÚMERO EXACTO DE CUERDAS UNIDAD, e I I I I \ I \ I \ I \ I Realmente este es un caso poco común, especialmente en lo que respecta a la longitud de la curva. Sin embargo, se ha planteado de esta forma con el propósito de entender más fácilmente el método de las deflexiones. o Se Cntieqde por abscisa redonda, aquella que es múltiplo de la respectiva cuerda unidad que se utilice: Así por ejemplo, para una cuerda unidad de 5 metros una abscisa redonda es el K2+225, para 10 metros el K3+430 y para 20 metros el K5+680. Por lo tanto, de acuerdo a la Figura 3.6, en la que se ha supuesto que la longitud de la curva sea igual a tres (3) cuerdas unidad, se tienee Figura 3.6 Dellexión de una curva circular. Caso particular Para localizar el punto zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED P, en el campo, se estaciona el tránsito en el pe con ceros en la dirección del PI. Se deflecta el ángulo ó, y .e~ e~a dirección se mide la primera cuerda unidad e, quedando materia Iza o dicho punto. Según la ecuación (3- .12),la deñexíon para la cuerda unidad e es: 6 = G, 2 (3-13) Para el punto Plla deflexión es: Ó Entonces, para el punto P, sobre la curva, la deflexión es: 6 _ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Gc 1- 2 ~ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY Gc + Gc _ Gc + Gc = ó + Gc 2=-2--2 2 '2 46 lAMES CÁRDENAS GRISALfS intersección de esta medida Con la visual dirigida desde el materializa este punto. •.... pe Al marcar en el tránsito el ángu de deflexión 63, la dirección de la visual debe coincidir con el PT Y la istancia P 1 .PT debe ser igual a la cuerda unidad c. La no-coinciden ia e igualdad, identi.fican la precisión en el cierre de la curva, pue to que el PT ha sido previamente localizado desde el PI. o: d l pe ue para el ejemplo es 1.12401,6.12401 su abscisa redonda. y la e E' ~ mismo se presenta antes del PT. Y 16.12401 respectivamente. s . 'nado cuerdas de menor longitud Como puede observarse, se haln on;ldenominan subcuerilas, y cuyas que la cuerda unidad, las cua edeb lcular proporcionalmente al . ndientes se e en ca . I dcflexiones correspo . 11' ue es necesario determinar a valor de la cuerda unidad c. De a l q deflextán por metro d, así: G. ~ 2 d ~ "e' me/ros '1' me/JO De donde, Resumiendo: Ó, '0 GEOMÉTRICO HORIZONTAL: PLANTA . CAPITULO 3. DISEN • (3-1· 1) d= G, 2c G, 2 Para las diferentes cuer d as Un!.dad de 5m , 10m y 20m, las deflexiones expresadas en grados por metro son: ó l o:ó, + G, 2 óJ o:ó 1 + G, 2 = 3G c "'~ 2 2 d' 5 -_5_= -10m '1m G' -_'-= '1m 20m G' d' -_'-= '1m 20 - 40m De acuerdo con las expresiones anteriores, se puede ver que, la dcflexión para cualquier punto sobre la curva es igual a la deflexión para el punto anterior más la deflexión por-cuerda unidad G,/2, y que la deflexión al PT es igual a L1I2. d' o También estas deflexiones P ueden ser expresadas en minutos por metro: zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA DEFL.EXIÓN DE UNA CURVA CIRCULAR CUANDO LA ABSCISA DEL PC ES FRACCIONARIA Y LA LONGITUD DE LA CURVA, L., NO ES IGUAL A UN NÚMERO EXACTO DE CUERDAS UNIDAD, e · =_5_(60')=6G~ ='/m ds zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 10m 1" · = G; d,O 20m (60')= 3G~ = 'Im r G~ (60')_15G' d · =__ - .• 111 40m = 'Im l' zyxwvutsrq E!te es el caso más general que se presenta, en el cual al traerse un nbscisudo desde un cierto origen, se llega al pe con una abscisa rrnccionnria, por ejemplo el K2+423.876. El primer punto de la Curva debo situarse en la abscisa redonda inmediatamente superior a la del PC, la cual depende de la cuerda unidad que se esté utilizando. Así por ejemplo, para c=5m es el K2+425, para c=tcm es el K2+430 y para c=20m es el K2+440. La distaheia del primer punto al pe es la diferencia entre 10 - Conocida la deflexión . ,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE por metro, la de f1exion Por subcuerda es: 48 JAMES CARDoNAS GRISALES Con el propósito de explicar este método general, supóngase que se tiene 1:1 curva de la Figura 3.7, trazada con dos subcuerdas e, adyacente al pe y e2 adyacente al PT, y dos cuerdas unidad e, tal que: ó, = fl1.(s.) Ó, = 49 , esto es, e, 2 fl1. = __!E.t 2 2 oeflexión para el: PT =(J?!.+ G. + G )+J!J..=6J+J!J..=rp¡ 6¡=g,+G +G +g2 C C C 2 2222 =~ 222 Esta deflexión se puede expresar también como, 6¡ =(G, 2 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Deflexión por subcuerda = (Longitud sub cuerda)(Deflexión por m etro) CAPITULO 3. DISEl'lO GEOMÍ:.iRICO HÓRIZONTAL: PLANTA + zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Gc)+(f!J_+J.L)=~ 2 2 2 2. Esta última deflexión dice que, Detfexión al PT=Deflexión (por euerdas com pletas+por subcuerdas) o Figura 3.7 Deflcxión 6, Deflexión de una curva circular. Caso general para: P, = e, (d) = e,( G, ) ~ Pero. G, = J?!. e e, 2e) y debe ser igual a .dI2. De nuevo, la no-coincidencia de esta última PT materializado desde el PI, indica el error de cierre en visual con elzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ángulo de la curva. ~(s_) e 2 . entonces, EJEMPLO 3.2: Elementos geométricos y derIexlones de una curva circular sImple derecha -. Datos: zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Para una curva circular simple a la derecha como la mostrada en la Figura 3.8, se conocen los siguientes elementos: . 50 JAMES CÁRDENAS GRISAlES ~umbo de la tangente de entrada Angulo de deflexión principal Abscisa del pe Radío de la Curva Cuerda unidad CAPiTULO l. DISENO GWMÉTRICO HORIZONTAL: PLANTA = N31 'f Tangente: T =.:1::60'0 '" K2+423.740 ::R= 10m SI • .1 T=Rtan2 =70 ( 60') ==40.415m lan2 '"e'" 10m Calcular: Longitud de la curva: Le a) b) I Los demás elementos geométricos. Las deflexiones. -e == c.1 == Gc 10(60' ) = 73.241m 8'11'31.52' Cuerda larga: eL CL = 2R =r .1 2(70)senT 60' = 70.000m Externa: E E == R[~ cos- -1] = -1] = 70[~ 2 10.829m cos-zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 Ordenada media: M M =R(1-COS~) = 70(1-COS 6~') = 9.378m Abscisa del: PT Abscisa PT = Abscisa PC + Le Figura 3.8 Curva circular simple derecha = K2 + 423.740 + 73.241 = K2 + 496.981 Rumbo de la tangente de salida: a = 180' - 31" - .1 = 18q' - 31' - 60' = S 89' E Solución: b) a) D eflexiones Elem entosgeom étricos Deflexión por metro: Grado de curvatura: G. e G. =2arcsen-=2arcsen . 2R 10 __ =8'11'3152' 2(70) . La de flexión expresada en grados, minutoszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM f segundos, por metro es: d, :';" d'zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = G; = 8'11'31.52' = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH 0'24'34.58' / m fO 20m 20m . J' ;.. 52 CAPITULO 3. DiSEÑO GEOMÉTRICO HORIZONTAL: PLANTA JAMES CÁRDENAS (¡RISALES .~ i Tabla 3.1 De(lexión por cuerda unidad: %_ '" 8'11'~1.52' )' Cartera de tránsito . ABSCISA o localización DEFLEXI N de una curva circular simple derecha ELEMENTOS ". ·RUMBO K2~.OOO = 4'5'45.76' /cuerd SOO Dc(lcxión por subcuerda adyacente al: pe Longitud subcuerda = 430 - 423.740 = 6. 260m PT Deflexiónpor subcuerda = 6.260m(O'24'34.58·/ m) = 2' 33'50.87" De(lexión por subcuerda adyacente al: PT Longitud subcuerda = 496.981- 490 = 6.981m Deflexiónpor subcuerda = 6.981m(O'24'34.58'/ m)= 2'51'34.04' Pe Chcqueo dcflex ión al: PT Deflexiónal PT:: Def/exión(por cuerdas completas+porsubcuerdas) K2~96.981 490 480 470 460 450 440 430 K2~23.740 420 400 380 29°59'59.47' 27°08'25.43' 23002'39.67' 18"56'53.91' 14'51'08.15' 10"45'22.39' 06?39'36.63· 02'33'50.87" OO"(J()'OO.OO· (;.60°0 S89°E R = 70.000m c,,10m G,=08°11'31.52· T = 40.415m zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG Le = 73.241m el = 70.bOOm E = 10.829m M = 9.378m N31'E • r K2,,360.000 Deflex;ónal PT = 6 cuerdas(4'5'45. 76'/ cuerda)+ 2'33'50.87' +2'51'34.04' Deflexiónal PT :: 29' 59'59.47' ""~ = 30' 2 EJEMPLO 3.3: Elementos gepmétricos y deflexiones de una curva circular simple izquierda Las 5J centésimas de segundos (0.53") [al tan tes para completar el valor exacto de d2=30·se deben a los redondeos en las cifras decimales. .; Datos: . Para una curva circularsimple a la izquierda como la mostrada en la Figura 3.9, se conocen los siguientes elementos: t • De esta manera, con toda la información anterior, se puede elaborar la cartera de tránsito para la localización de la curva, tal como se indica en la Tabla J.I. La primera columna de esta cartera indica los puntos de estación del tránsito, que para el caso corresponden al PC y PT respectivamente. La segunda columna corresponde a las abscisas, las cuales, como puede observarse, se han llevado de abajo hacia arriba por simple comodidad de lectura en In localización del eje de la vía en el campo. La tercera columna muestra los diversos ángulos dc dellexión que permiten materializar In curva. La cuarta columna presenta la información correspondiente a todos los elementos geométricos que definen la curva. En la quinta columna se indican los rumbos o acimutes de las tangentes de entrada y salida respectivamente. Y en la sexta columna se disponen las anotaciones u observaciones que sean necesarias. .1 L 540 520 / ANOTACIONES ", Rumbo de la tangente de entrada Ángulo de deflexión principal Abscisa del PI Coordenadas del PI Cuerda unidad Grado de curvatura = G c = 6° .zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA geométricos: radio, tangente, longitud de curva, cuerda larga, externa y ordenada megi,a. Las abscisas del PC yzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB PT. Las coordenadas del pe yzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA PT. Las deflexiones. Calcular: a) Sus elementos - = N72"30'E = L1 = ~0"30'1 = K2+~26 = 10000N,500~E = e = 20m 1 54 JAM(S CÁRDENAS ORISALES CAPITULO 3. DIS¡;ÑO GEOMETRICO IIORIZONTAl.: PI.ANTA 55 Longitud de la curva: Le '_ L. = cL! = 20{60'30') = 201.667m 6' el Cuerda larga: 11 el = 2R sen -= 2 Externa: E E=R[_1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Ge 2(191.073)sen-- 11 -1]=191.07{ cos- 2 60'30' 2 =: 192.515m 1 -11=30.11Bm 60'30' cos _2 Ordenada media: M 11) =191.07"'l1-COS-2,¡ 60'30') =26.017m M=R 1-coS2" ( b) Figura 3.9 Curva circular simple Izquierda a) Elementosgeométricos e 20 = --G - = --, 2 sen 2' Coordenadasde! PC y PT Coordenadas del:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA pe Norte = 10000 - T cos 72'30' = 10000 -111.430(cos 72'30')= 9966.492 Este = 5000 - T sen 72'30' = 5000 -111.430(sen 72'30')= 4893.727 Radio: R R PC y PT Abscisa PC = Abscisa PI- T = K2 + 226 -111.430 = K2 + 114.570 Abscisa PT -= Abscisa PC + Le = K2 + 114.570 + 201.667 = K2 + 316.237 c) Solución: Abscisas del 2 sen = 191.073m ~ Coordenadas del: PT Se debe conocer el rumbo de la tangente de salida, para lo cual ':11 el PI, se tiene: Tangente: T T ~Rtan%= 191.07{tan 60~30')=111.430m azyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA + 11 = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 72'30' , de donde, a=: 72'30'-11 =: 72'30'-60'30' =: 12' r JAMES CÁRDENAS GRISALES 56 CAPfTULO 3. DISEÑO GEOMETRICO HORIZONTAL: PLANTA Cartera de tránsito o localización de una curva circular sim ple izquierda ;, ..~ ! Esto cs. N12 <E, por lo tanto las coordenadas del PT son: Norie = 10000 + T cos a == 10000+ 111.430(coSI2')= 10108995 K2+316.237 300 280 260 240 220 Este = 5000 + T sen a = 5000 + 111.430(sen 12' )=5023.168 d) Deflexiones 200 DeOcxiún por mctro: La dcllcxión d' = 7Q i expresada s_ =~ = 0'09'0' 40m 40m lOO 160 140 en grados, minutos y segundos, por metro es: 120 /m PC K2+114.570 30°15'00.1a' t:. = 60°30'1 27°48'52.20' c= 20m 24°48'52.20' Gc= 6° 21°48'52.20' 18°48'52.20' R = 191.073m 15"48'52 20' T= 11'.430m 12"48'52.20' Le = 201.667m 09°48'52.20' eL = 192.515m E" JO.118m 06°48'52.20' M = 26.017m 03"48'52.20' 00·48'52.20' 00°00'00_00' N12°E N72°30'E Dcllcxión por cucrda unidad: G c 6' _=_= 2 3"0'0' / cue~d azyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 DcOcxión por subcuerda adyacente al: PC Longitud subcuerda= 120 -114.570 = 5.430m ..~ ' Oeffex;ónpor subcuerda = 5,430m(0'9'0' / m)= 0'48'52.20' Datos: Para el par de curvas simples de diferente sentido de la Figura ),10, ~e conocen los siguientes elementos: Dellexión por subctlcrda adyacente al: PT Longitud subcuerda = 316.237 - 300 = 16.237m Distancia delzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA PI, al Pll = 200.830m Abscisa del PC, = K4+274 Oeffexiónpor subcuerda = 16.237m(0'9'0' / m)= 2'267.98' LI, = 86'38'0 e, = 10m G e, Ll2 = 6'30' Chcquco ucllcxión al: PT Oeffexión al PT = Oe(/exión (por cuerdas completas+por sllbcuerdas) Deffex;ónal PT == 9 cuerdast3'O'0' / cuerda)+ O'48'52.20' +2'267.98' DeffexiólI al PT = 30'15'0. 1S' '" II2 = 30'15' Oc nuevo. las 18 centésimas de segundos (0.18') sobrantes para completar el valor exacto de .112=30'15' se deben a los redondeos en las cifras decimales. De esta manera, se elabora la cartera de tránsito para la localización de la curva, tal como se indica en la Tabla 3.2. = 62 "42'1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA t;2 = 5m Gel =4"28' Calcular: a) Los demás elementos geométricos de la curvazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQP 1, b) Los demás elementos geométricos ~ la curva 2. e) Las deflexiones de la curva 1, d) Las deflexiones de la curva 2, 58 JAMES CÁRDENAS GRISALES CAPiTULO l. DISEÑO GEOMÉTRICO 110RI2.0NT AL.:I)LANTA Cuerda larga: CL, 86'38' . C~=2R,sen2-' ll, _ 2(88 195)sen -- 2 = 121.009m Externa¡: E~ E,= R, ~ll-' cos ]_ 88 19{ -t -1 -. 1 __ 1J = 33.023m 86'38' cos -2- ( 86'38') Ordenada media: M, 88195 i-ces -= 24.027m 1-cos2 Mf -R I . 2 - . ( Li,) _ Abscisa: PTI. -K4+274+133.282=K4+407.282 Abscisa PT, = AbSCIsa PC, + Le' Figura 3.10 C urvas circulares sim ples de sentido contrario b) E lem entosgeom étricosde la curva 2 Solución: al E lem entosgeom étrIcosde la curva 1 . Radio: R, R _ c, ,- G 2sen~ , 10 ---=88,195m 6'30' 2sen-2 Radio: R¡ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB ~5 c¡ __ ._. = 64.153m R¡=--G= -- 4'28' 2 sen ::li. 2 sen 2 2 Tangente:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA T¡ {62'42') = 39.082m T¡= R¡tan ~2 -- 64. 15 tan --- 2 Tangente: T, .11 = 88.19 {86'38') T, = R, tan__1. tan-- 2 ·2 Longitud de la curva: 4, 4 = E 6 = 10(86'38') = 133,282m , G e, 6'30' = 83, 159m Longitud de la curva: Le¡ c¡LI¡ _ 5(62'42'L 70. 187m 4 2 = (3 4'28' e¡ Cuerda larga:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CL¡zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 62'42' Cl¡=2R¡sen ~2 = 2(64.153)sen- 2 = 66.753m 60 JAMES CÁRI"lF.NAS GRISAl.F.S Externa: El ' CAPiTULO 3. DISEÑO GEOMÉTRICO HORIZONTAL: PLANTA Deflexión por subcuerda adyacente ¡11:p e, Longitudsubcuerda = 280 -274 E, 61 ::R7[ cos1¡j -1]= 64.15{._l__, 6242 cos - 2 1 2 ,-1J=10.967m = 6m Deflexiónpor subcuerda = 6m(19,5'¡ m) = 117'= 1'57' Deflexión por subcuerda adyacente al: PT, Longitudsubcuerda '" 407.282- 400 = 7,282m Ordcnada mcdia: M2 ¡j ) M, '" R, ( 1- cos / =: .f 62'42') 64.15vl1-COS-2- Deflexiónpor subcuerda = 7.282m (19.5' I m) = 141.999''" 142'", 2'22' '" 9.366m Chequeo deflexión al: PT, Deflexiónal PT, = Deflexión (por cuerdascompletas+porsubcuerdas) ¡\bs~isa: PCl Deflexión<ll PT, = 12 cuerdas(3'!5' / cuerda) + 1'57'+2'22' Abscisa PC; '" Abscisa PT, + PT,.PCl =: Abscisa PT, + [PI, .PI, - (T, + T;)] Abscisa PC, '" K4 + 407.282 + [200.830 - (83.159 + 39.082)J =: K 4 + 485.871 Abscisa: PT; Abscisa PT, el =: Abscisa pez + LeZ '" K 4 + 485.871 + 70.187 '" K 4 + 556.058 Deflexionesde la curva 1 Con el propósito de mostrar un método en la aproximación de los ál.lgulos de dcflexión a cifras enteras o redondas, en este ejemplo dichos ángulos se aproximarán al minuto. Con csta condición, se tiene: Dcflcxióu por mctro: Para una cuerda ele 10 metros, la cienex ión expresada en minutos por metro es: d;o = 3G;, = 3(a' 30')'" 19.5' ¡m Dencxión por cucrda unidad: G e' = 2 Deflexiónal PI, = 43'19'=~ 2 Es importante anotar que la aproximación al minuto debe hacerse al calcular las deflexiones por subcuerdas (117' y 142) y no al calcular la deflexión por metro (19.5)_ Esto garantiza que la deflexión al PT, sea lo más cerca posible a LI¡/2, así como en el caso, que es exactamente igual a 86"3812=43Of9'. En la parte inferior de la Tabla 3.3 se muestra la cartera de tránsito o localización de esta primera curva, En esta cartera también se observa que, si se supone que la tangente de N25'U0'E, los entrada de la primera curva apunta en la dirección zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQP rumbos calculados para las tangentes de salida serán respectivamente ~68 ~2'E y N48 '56'E. d) Denexlonesde la curva 2 Deflexión por metro: Para una cuerda de S metros, la deflexión expresada en minutos por =3'15'/cuerda zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAmetro es:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 d~zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = 6G;2 = 6(4'28')= 26,8' ¡m 6'30' , JAMES CÁRDENAS 62 Tabla 3.3 GRISALES Cartera de transito o localización de curvas circulares simples de distinto ._ sentido CAPiTULO 3. DISEÑO GEOMl':nuco Deflexión por cuerda unidad: = 4'28' = 2'14' / cuerda zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ~ ESTACiÓN PT¡ PCI t PT. 560 K4-t556.0S8 555 550 545 540 535 530 525 520 515 510 505 500 495 490 K4+485.871 480 470 460 450 440 430 420 410 K4+407.282 400 390 380 370 360 350 340 330 320 310 300 290 280 K4+274.000 270 OEFlEXION 31°21' 30°53' 28°39' 26°25' 24°11' 21°57' 19°43' 17°29' 15°15' 13°01' 10°47' '08°33' 06°19' 04°05' 01°51' 00°00' ELEMENTOS RUMBO. N48°5S'E ANOTACIONES • PTI 2 . Deflexión por subcuerda adyacente al: pez Longitud subcuerda:: 490·485.871 = 4.129m Defléx;ónpor subcuerda = 4. 129m (26.8' / ÓI = 62°42'1 el= 5m Gel = 4·28' R¡ = S4.153m TI' 39.082m 1..1 = 70.187m Cb = 66.753m El = 10.967m MI' 9.366m m) = 110.657''" 111' = 1'5 t' Deflexión por subcuerda adyacente al: PTz Longitud subcuerda = 556.058 - 555:: 1.058m Def/exiónpor subcuerda = 1.058m (26.8' / m) = 28.354''" 28' = 0'28' PCI S68°22'E Chequeo deflexión al: PTz Deflexión zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA al PTz = Deflexión (por cuerdas com pletas+por subcuerdas) Deflexiónal PTz = 13 cuerdas(2'14' / cuerda)+ 1'51'+0'28' .1 Deflexiónal PTz = 31'21'=-t En la parte superior de la Tabla 3.3 se muestra la cartera de tránsito o localización de esta segunda curva. . 43°19' 40°57' 37°42' 34°27' 31°12' 27°57' 24°42' 21°27' 18°12' 14°57' 11°42' OS027' 05°12' 01°57' 00°00' 2 --------------- PT. S6s022'E __ . . - .... EJEMPLO 3.5: Deflexiones de curvas circulares simples del mismo sentido ó. = 86°38'0 Datos: Para la Figura 3.11, se tiene: e. = 10m G,,' S·30' R. =S8.195m T. = 83.159m k. = 133.282m CL. = 121.009m E. = 33.023m M. = 24.027m 180m P I, ,, '~~ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK ,'" ", zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ e.ni,o zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK b C urvo I \ N2so00'E o PC. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcb zyxwvutsrqpon Pe. ABSCISA 63 l'IORIZONTAL: PLANTA Figura 3.11 Ejemplo 3,5 64 JAMeS CÁRDENAS GRISALES Abscisa del PC de la curva 1 Cuerda unidad, ambas curvas Entrctangencia = KO+OOO = 10m CApiTULO 3. DISEÑO GEOMETRICO HORIZONTAL: PLANTA R, + E, = R, + T, T.,=, R Ian"2 .:1, .:1, lan""4 ' = 90.020m R,+E,=R,+R,lan'i Calcular: a) Las dcflcxioncs b) Las dcflcxiones 6S de la curva l. de la curva 2. lan~ =R.(1+lan~' R _ R, +E, , - .:1 .:1 2 4 ----- 99.790 60" 60" = lan~) 86.421m 1+lan...!. lan...!. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1+lanT'an-;¡ Solución: ~ De acuerde COIl la Figura 3.12, se tiene: I¡ También con el propósito de mostrar un método en la aproximaci6~ de los ángulos de deflexi6n a cifras enteras o redondas, en este ejemplo dichos ángulos se aproximarán al segundo. G , = 2 arcsen.5_ e 2R, = 2 arcsen~) Longitud de la curva: , ' .. L.: , '\ ~ ""j. ,, ,, = 6"38';78' 2~86.421) , 6"38'1' 4, = c,Ll, = 10(60') = 90.448m Gel 6'38'1' Abscisa: PT, Abscisa PT, = Abscisa PC, +L., =KO+OOO+90.448 ,, lO: = KO+90.448 o, Deflexión por metro: d;o = G;, = 6"38'1' = 0"19'54.05'/ 20 F ig u ra 3 .1 2 al m 20 D e fle xlo n e s d e cu rva s circu la re s sim p le s d e l m ism o se n tid o Deflexión por cuerda unidad: D eflexlones de la cu rva 1 Siguiendo la bisectriz PI,.O" se tiene: G., = 6'38'1' 2 2 = 3"19'0.5'/ cuerda,. 3"19'1"/ cuerda P.IJ Radio:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA R,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Deflexión por subcuerda adyacente al: Longitud subcuerda = 90.448 - 90 = 0.448m R,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA + E, = 99.790. E, = T, lan ~ 4 Deflexión por subcuerda = 0.448m(0"19'54.05'/ m)= 0"~'54.93'" 0"8'55' 66 JAlvII:S CÁRDENAS GRISALES CAPITULO 3. 01510"'0 GWMETRICU 67 HORIZONTAL: PI.ANT A Chequeo deflexión al: PT, Oefl8xión al PT, = Oeflexlón (por ¿~rdas completas+porsubcuerdas) Oeflexiónal PT, = 9 cuerdas(3'19't / cuerda)+O'8'55'= 30'0'4' '" 30' =~ 2 ~l!EJClQ !.~t!2.!~~~~~~='zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC PCz ¡Longitud subcuerda = 190 -180.468 = 9.532m Oeflexlonesde la curva 2 b) 'iOeflexiónpor subcuerda = 9.532m(O'19'6.1"/ m)= 3'2'4.63' "" 3'2'5" Radio: Rz Rz= I T ZLl ' tan_L T,=PI,.Plz-PT,.PC 2-T, 2 ¡ Ll T, =R, tan-j-=86.42'ltanT T2 = 180- 90.020- 49.895 :oeflexiónpor subcuerda = 5.854m(0·19'6.1"/ m)= 1'51'49.27'",1'51'49" =49.895m = 40.085m, .1, = 228' -180' = 48' O 40.085 =90.032m tan 48' 2 I . Chequeo deflexión al: PT, Oeflexión al PTz = Oeflexión (por cuerdas completas+por subcuerdas) .1; 2 = 6 cuerdas(3'11'1"/ cuerda) + 3' 2'5' + 1'51'49" = 24' = . iDeflexión al PT zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 ° localización En la Tabla 3.4 se muestra la cartera de tránsito e 10 =2arcsen ( r6'22'1.96· .. 6'22'2' Gez=2arcsen- 2 2Rz 2 90.1Y.32 . ------------_ Longitud de la curva: k2 mismo sentido I ..., = c Z.12 = 10(48') = 75.386m Gez 6'22'2' ... --- --- Datos: Dada la informllt;;On que aparece en la Figura 3.13 y. además: = Abscisa PT, + PT,.PC, = KO +90.448 +90.020 = KO + 180.468 2J5'JO' I\bs~¡sn;. PT, ~ Abscisa PT 2 = Abscisa pe 2 + Lez = KO + 180.468 + 75.386 = KO + 255.854 I )dle/S.ión Il.or metro: lUlO G', 20 6'222'02• =O'19'6.1'/m Figura 3.13 Ejemplo 3..6 zyxwvutsrqponm eJ' de estas EJEMPLO 3,6: Elementos geométricos de curvas circulares simples del Abscisa: pez Abscisa pez zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA R 2 =~= tan _L 60') Deflexión por subcuerda adyacente al: PTz ;Longitud subcuerda = 255.854 - 250 = 5.854m JAMES CÁRDENAS GRISALES 68 Tabla3,4 Cartera de tránsito o localizaciónde curvas circulares simples del mismo sentido ABSCISA PTl 260 KO+255,854 2SO 240 Pe1 PT, 230 220 210 200 190 KO+180.468 180 170 160 ISO 140 130 120 110 100 KO-OSO.448 OEFLEXIÓN 24°00'00' 22"08'11' 18°57'10' 15°46'09' 12°35'08' 09°24'07' 06°13'06' 0J002'05' 00°00'00' 30°00'04' 29°51'09' 080 26°32'08' 070 23°13'07' 060 19°54'06' OSO 16°35'05' 040 13°16'04' 030 09°57'03' 020 06°38'02' 010 03°19'01' KO·OOO.OOO 00000'00' ELEMENTOS RUMBO ANOTACIONES <? PTl Calcular: a) La abscisa del PfJ, b) La distancia entre los centros de las curvas, Solución: De acuerdo con la Figura 3,14, se tiene: cr= 10m tu = 48°'0 Rl e 90.032rn Gel = 6°22'2' Lel = 75.386m Pel ~ PT, 090 Pe, c,=10m 6, = 60°0 R, = 86.421m G" = 6°38'1' Le, = 9O.448m Figura 3.14 Curvascirculares simples del mismo sentido , PC, al Abscisa del PTl Abscisa PT 1 = Abscisa PC, + Le, + PT,.PC 1 + Lcl Cuerda unidad, ambas curvas Distancia del PI, al Pll Distancia del PI, al plinto A Abscisa del PI, Entrctangcncia ::; 20m ::; 600m ::; 90m ::;K8+920 ::;269.460m El punto A pertenece a la primera curva 69 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ESTACION CAPITULO 3. DISEÑO GEOMÉTRICO HORlZ.ONTAL:PLANTA , donde: Abscisa: PC, T, = = Abscisa PI, - T, = K8 + 920 - -. ,E, =90,OOOm _iyzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ,.1, = 275' -180' = 95' O zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Abscisa pe, tan _!_ 4 zyxwvutsrqponm ,J T, 70 90.000 ~==-95' tan- ent onces, ==204.541m ,.1., 4 Abscisa PC, ==K8 +920-204.541 ==K8 + 715.459 Longitud primera curva: 4' L., ==~ ==20(95' ) G e, G e, G e, = 2 arcsen í 2R, R _ 2 = 6'7'0 G e, ==2 arcserl (20 2 187.427) L.l 204.541 7j ==--. ==187.427m tan_!_ t. 95 2 an , '--Ll- . 60' , entonces, ==c,Ll,== 20(95') _ G e, 67'0.60' -310.618m Entretangencia: PhPCz P~.PC¡ = 269.460m· Longitud segunda curva: e Ll L.¡ =~ ,cz = 20m Le¡ • A =235'30'-180' =55'30'0 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA JAMES CÁROENAS GRISALES 'CAPiTULO J. DISE&O Gt:OMtTRICO IIORIZONTAI.: pl.AN TA b) 71 Distanciaentre los centros de las curvas Según la Figura 3.1S, esta distancia es igual (1: 0P I == J(PTt.PCS zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA + (R¡ - Rt Y OPI = .J(269.460t + (239.485 -187.427l := 274.443m e2 G e¡ = 2 aresen ~ 2R¡ ,R¡ = --IL_ tan--"Ll, 2 Figura 3.15 T¡ = PI,.PI¡- ~ -P~.PC¡ = 600-204.541- R Distanciaentre los centros de las curvas 269.460= 125.999m 125.999_ 55'30' - 239.485m ¡ lan-2 G c2 = 2 etcsen (20 2239.485) = 20(55'30') _ EJEM PLO = 4'47'1071' L.¡ 4'47'10.71' -231.912m . ,por lo tanto, Abscisa PT 1 = K8 + 715.459+ 310.618+ 269.460+231.912= K9 +527.449 3.7: Curvas circulares de igual radio y entretangencia dada zyxwvutsr Datos: En la Figura 3.16, se muestran tres tramos rectos de una carretera,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZ AB, BC zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y CD, conectados por medio de dos curvas circulares simples de igual radio, de tal manera que existe entre ellas una entretnngcncill dada de 255 metros. Además, se tiene la siguiente información adicional: JAMES CÁRDENAS 72 GRISALES 664.960 = 1j + 255 + T1 ' de donde, T, + T 2 = 409.960m , esto es, t " L1 RI tan ~ +Rz tan 2 = 409.960m : 2 R(tan R i i )= + tan - ,pero, R,:: Rz= R 2 409.960m , por 10 tanto, 409.960 -" lan~ + tan_l. L1 2 2 ~ = 180' -74· 42'-65'28'= 39'50' O 11 2= 180· -65· 28'-44'46' = 69'46'J Luego: Figura 3.16 Curvas circulares de igual radio y entretangencia dada Abscisa del punto A Cuerda unidad para curvas Coordenadas del punto A Rumbo y distancia tramo AB Rumbo y distancia tramo BC Rumbo)' distancia tramo CD KO+986.280m :: 10m :: 500N. 100E :: N74 °42'E, 612.240m :: S65'28'E, 664.960m :: N44°46'E, 524.380m R= 409.960 39·50' 69·46' tan --+ tan-2 2 b) Abscisas de los cuatro puntos de tangencia 386.937m = R, = Rz e Abscisa: PC, Abscisa PC, = Abscisa A + A.PC, APC, =AB-T, (39'50') tan-2- L1 T, =R,tani=386.937 Calcular: a) El radio de las curvas. b) Las abscisas de los cuatro puntos de tangencia. e) El número de cuerdas completas para cada curva. d) l.as coordenadas del punto D. =140.197m APC, = 612.240 -140.197 = 472.043m Abscisa PC, = KO + 986.280 +472.043 = KI + 458.323 Solución: Abscisa:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA PT,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Abscisa PT, = Abscisa PC, + Le; a) G e, = 2 arcsen ~ Radio de (as curvas El radio de las dos curvas puede la siguiente manera: BC '" T, + entretang~lc;a + T 2 2R, expresarse en [unción L de las et tangentes, de , zyxwv " = c,L1, = G e, = 2 arcsen 10(39'50') 1·28'50.86· (10 2 386.937 269.000m ) = 1'28'50.86' -, 74 JAMeS CÁRDENAS GRISALES Abscisa PT, = K1 + 458.323 + 269.000 = K1 + 727.323 ..... el 1'28'50.86" = K2 + 453.466 . uos deben unirse con una curva circular simple, Estos tres a limeauuei de tal manera que ellos sean tangentes a la curva. Númerode cuerdas completaspara cadacurva I Curva 1: Longitud por subcuerdas = (460.458.323)+ (727.323 -720)= 9m Longitud por cuerdas completas = Longitud curva· Longitud subcuerdas = Lel - 9 Longitud por cuerdas completas = 269.000· 9 = 260.000m • Longitud por cuerdas 260.000 = --= 26 cuerdas Numero de cuerdas completas = Longitud cuerda 10 Curva 2: Longitud por subcuerdas = (990.982.323)+ (453.466 - 450) = 11.143m Longitud por cuerdas completas = Le2-11.143 Número de cuerdas completas = 460.000 10 = 471.143 -11.143 = 460.000m = 46 cuerdas I d) 7 ' los sil.!_'lIi-:IIl<:~ 3,1 • se ucneu Acimut y distancia alineamiclllo AB = 33 ~zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH 222m Acimut y distancia alineamic:nto BC = 72 ~ 218m Acimut y distancia alineamiento CD = 121 ~ 242m = c z.1] = 10(69'46') = 471. 143m Gel y según la figura alineamientos: = 1'28'50.86" Abscisa PTz = K1 +982.323 +471.143 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA e2 7) dados Datos: Para una carretera Abscisa: PTz Abscisa PTz = Abscisa PCz + Lez L I'I.,\N'!'A EJEMPLO 3.8: Curva circular simple tangente a tres alineamientos Abscisa: PCz Abscisa PC 2 = Abscisa PT, + PT,.PCz = K1 + 727.323 + 255 = K1 + 982.323 G eZ= Gel CAPiTULO l. OISEÑOGEUMETIUCO IIOltlWN'!',\I.: Coordenadasdel punto D No =N zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA A + ABcos 74'42'-BCcos65'28'+CDcos 44'46' No = 500 + 612. 240 cos 74' 42'-664. 960 C05 65'28'+524.380cos 44'46'= 757.747m Ea = EA + AB sen 74'42' +BC sen 65' 28' +CD sen 44'46' Figura 3.17 Curvacircular simple tangente a tres alineamientos E o = 100 + 612.240sen 74' 42'+664. 960'sen 65' 28' +524.380 sen 44' 46' = 1664.748m Calcular: l' . .zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTS a) El radio de la curva que une los tres a ll1eamlentos. 76 JAMES CARDEN,\S GRISALES La abscisa del PT de la curva, si la abscisa del punto A es KO+OOO. b) CAPiTULO 3 DISEÑO GEOMtTRICO HORIZONTAL: PLANTA b) Abscisa del PT Abscisa PT = Abscisa PC + L•• + L'1 ' donde: Solución: a) , Abscisa: pe Abscisa PC = Abscisa A + APC Radio de la curva El radio de la curva puede expresarse en [unción de las tangentes. así: 1; + T, == BC :: 218m R,lan Ll Ll 2 2 ' + R 71an .)- :: R( lan~' R.. , ten ~' ) == 218m = AS - T, -t Longitud de la prim!:ra pan!: ti!: la I.:urva: L" Para el sistema arco, según la ecuación (3-9), se tiene: , por lo tanto, 218 Ll-' Lllan '+ tan 1 , = rrR,.1, = rr(269.187}39' = 183.230m ..... 180' 180' Longitud de la segunda parte de la curva: L.1 .1, == 2 72' -33' .1 7 :: 121' -72' :: 49' O J ,T, = R lan .1 = 269.187 (39' lan T = 95.324m APC = 222 - 95.324 = 126.676m Abscisa PC = KO + 000 + 126.676 = KO + 126.676 , pero, R, = R¡" R 218m APC 2 = 39'0 , = rrRA .... 2 180' = rr{269.187}49' = 230.212m 180' Luego: R= 218 ·--=269.187m 39' 49' lan +Ian 2 2 Luego: Abscisa PT = KO + 126.676+ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 183.230+ 230.212 = KO + 540. 118 El valor del radio de la curva puede ser también calculado así: T •T == T, + BPI R '"' --.1 lan •T, == 95.324m , .1= .1,+ Ll, == 39' + 49' == 88' O 2 EJEMPLO 3.9: Replanteo de una curva circular simple de radio dado y PI inaccesible Datos: Según la Figura 3.18,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA AB Y CO son dos tramos rectos de una carretera, que deben unirse por una curva circular de radio 330 metros. El PI resultó inaccesible, arrojando los datos mostrados para la poligonal Por In tanto: ABCO. R - 95.324 :!:_1~4.627= 269. 187m 88' lan-2 Calcular:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA '40, La información necesaria para replantear la curva con cuerdas de 20 metros . .-----_.------------------------------------------------zyx 1 78 JAMES CÁRDeNAS GRISALeS CAPiTULO l. DISI,ÑO (OI!OM1~TI(ICO1I0RIZONTAL: PL/lNTA 79 Ángulo de deflexión principal: Ll ..... a + fJ = (180' -160')+ (180' -147"30')'" 52'30' O Tangente: T T '" R tan .1 2 == 330 (52'30') tan· 2 = 162.738m D Abscisa: pe Abscisa pe '" Abscisa A + APC APC = AS + B.PC = AB + (x - T) Figura 3.18 Ejemplo 3.9 Solución: De acuerdo con la Figura 3.19, se tiene: , pero, x BC sen/3 = sen (180' -.1) /3 = 180' -147'30' = 32'30' zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA .1= ,180' - Ll == 180' - 52'30'=127'30' x = 290.30(sen 32'30'L 196.606m , por lo tanto, sen 127'30' APC '" 476.95 + (196.606 -162.738) = 510.818m Luego: Abscisa PC = KO+000+ 510.818 '" KO+ 510,818 Grndo de curvatura: G e o, = 2 arcsen 2~ = 2 arcsen 2(~~0) = 3'28'22.81" Longitud de la curva: Le I -e = eL! = 20(52'30:) Ge 3'28'22.81' = 302.332m Abscisa:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA PT Abscisa PT = AbscisazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA pe zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA + Le = KO+ 510.818 +302.332 == KO+ 813.15t Deflexión por cuerda unidad: D Figura 3.19 Curva de radío dado y PI inaccesible G e == 3'28'22.81' == 1"44'11.41' 2 2 80 Dellcxión por metro: d'X, = G, 40 = ~:~8'22.81'= O'5'12.57'1m Dcncxión slIbcuerda adyacente 40 Longitud subcuerda= 520 - 510.818 Oeflex;ón por subcuerda Dcllexión = 9. 182m(0'5'12.57' slIbclIercln adyacente Longitud subcuerda al: pe = 9.182m / m)= 0'47'50.02' al: PT = 813. 150 - 800 '" 13. 150m Deflexión por subcuerda = 13. 150m(0·5'12.57' / m)", ¡'8'30.30" al: PT Deflexión al PT::: Denexión (por cuerdas complelas+por subcuerdas) Deflexión al PT = 14 cuerdas(1' 44'11.41' / cuerda)+ O' 47'50.02" + 1'8'30.30' Denexiónal PT ~ 26'15'0.06' Así. con la información '" ~ 2 = 26'15'00' obtenida, se puede replantear la curva. EJEMPLO 3.10: Curva circular simple de tangente dada y PI inaccesible Datos: Según laguna. metros metros CAPtTULO 3. DISEÑO GF.OMETRICOHORIZONTAL: PLANTA Figüra 3.20 Solución: De acuerdo con la Figura 3.2 L, se tiene: la Figura 3.20, en el trazado de una carretera el PI cayó cn una de manera que se trazó una línea de atajo AB igual a ) 00 entre las tangentes. La curva se debe trazar con cuerdas de 20 y su tangente se espera que sea de 98.310 metros. La abscisa de A es Ejemplo 3.10 ::: K2+960 Calcular: PI inaccesible. a) l.as dcflcxioncs de In curva para elzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA b) i.A qué lado de la linea AB cstnrá ubicado el Plinto medio de la curva? o zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Chequeo denexión zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA JAMES CÁRDf:NAS GRISAI.r:S zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY Figura 3.21 . Curva de tangente dada y PI inaccesible 82 a) Deflexiones .... Deflexión por metro: dio Radio: R T R = -.1 tan2 40 Deflexiónpor subcuerda = 18.098m(O'10'6.02'/ m)= 3'2'47.75' , Deflexión subcuerda adyacente al: PT Longitud subcuerda = 120.114-'120 = 0.114m Grado de curvatura: G c . e G. = 2 arcsen 2R = 2 arcsen ' . 20 .. 2(170.278) Deflexiónpor subcuerda = O. t14m(O'10'6.02' / = 6' 44'0 78' . 20(60') _ . 6'44'0.78' -178.212m Abscisa: PC Abscisa PC = Abscisa A - x x=98.310-y _y_= , sen 44' = 98.310 - Del1exiónal PT b) = 29' 59'59.96' "" ~2 = 3D' Ubicación del punto medio de la curva • pero, AB, sen(180' -.1) ,180·...:.1 = 180' - 60' _ 100(sen 44') y- sen 120' -80.212m x m) = 0'1'9.09' Chequeo deflexión al: PT Deflexión al PT = Deflexión (por cuerdas completas+por subcuerdas) Deflexión at PT = 8 cuerdas(3'22'O.39' / cuerda)+ 3'2'47.75' +0'1'9.09' Longitud de la curva: .~ e, 40 Deflexión subcuerda adyacente al: PC Longitud subcuerda = 960 - 941.902 = 18.098m 2 = cil = = Qe_ = ~:i~~~· = 0'10'6.02' !~ / m ,.1 = 16' + 44' = 60' O . R= 98.310 =170278m 60' . tan- Le M3 JAMES CÁRDGNASGRISALES = 120' _!!E_ = _Y_ ,a = 180' -16' _180' - il = 180' -16' _ 180- -60- = 10r ,por lo tanto, sen16' 80.212 = 18.098m Entonces: Abscisa PC = K2 + 960-18.098 PI.D = Extema = T tan il '4 = 98.310(60') tan -4- = 26.342m sena PI.C = 80.21 --sen16' ) { sen 104' = K2 + 941.902 Abscisa: PT Abscisa PT = Abscisa PC + Le =: K2 +941.902+ 178.212 Deflexión por cuerda unidad: G. 6'44'0.78' 3'22'0.39" 2-2 2 2 = 22. 786m < PI.D = 26.342m Luego el punto medio zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA O de la curva está ubicado a la derecha de la linea zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA AB. = K3 + 120.114 ------------------- _._- _.- .. EJEMPLO 3.11: Curvas circulares simples de tangentes paralelas Datos:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Adicionalmente a la información dada en la Figura 3.22, se tiene que: .• ¡ ".zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA "2:' - 84 JAMESCÁRDENAS GRISALES La abscisa del PC2 es La cuerda unidad de la curva 2 CAPITuLO 3. DISEÑO GEOMÉTRICO HORtWNT AL: PLANTA :: K2+200 :: Cl:: 3m Figura 3.22 Ejemplo3.11 Calcular: a) El radio de la curva 1. b) La abscisa del PT2' Solución: Figura 3.23 Curvas circulares de tangentes paralelas De acuerdo con la Figura 3.23, se tiene: a) Radío de la curva 1 CL, = 2R, sen R. = --' Cl - Ll _! 2 b) 52.000 = 2 sen .1. 2 ,eL, =52.000m , entonces: = 52. 264m 2 sen 59'40' 2 Abscisa del PTlzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Abscisa PT l = Abscisa PC 2 + 1...2 ,.1, = 59'40'/ ==:6 G e2 'C2 = 3m xzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA PT•.PT 1 = 7.200 = 4.213m tan t.. ~ = 52.264 (59'40') T. = R. tan 2" tan -2- = 29.972m Tz= 29.972 - 4.213 = 25. 759m , por lo tanto, Rz -. Lel 25.759 =14.772m 120'20' tan-- ,G eZ =2arcsen~=11'39'22.01· 2\14.772, 2 ,11 2= 180' -59'40' = 120'20' O 3(120'20') = 30.971m ,luego: 11'39'22.01' Abscisa PT; = K2 + 200 + 30.971 = K2 + 230.971 1...1 c G e2 = 2 arcsen _2 2Rz tan 59'40' CAPíTULO J. DISENO GECMG'fRICO I-IOI{lZONTt\1.. I'I.ANTA EJEMPLO 3.12: Coordenadas del centro de una curva circular Datos: Para la Figura 3.24, se tiene: = N: 456.322, E: 861.741 = N: 389.985, E: 936.570 Coordenadas del punto A Coordenadas del punto B zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA JAMGS CÁRDENAS GRISALES 86 ~ \ Figura 3.25 Coordenadas del centro de una curva circular Distancia: a Figura 3.24 6zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA sen zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA rp=a Ejemplo 3.12 ,rp=180"-1l ,1l=Q-tP zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO ,P=84'12'46" a=_6_ C alcular:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA l.a! coordenadas del centro de la curva de 14 metros de radio. e \936.570. 861.741! = 48'26'33.16" Es - EA \ _ a = arctan \'N-_ N _ aretan ,389, 985· 456.322! . I zyxwvutsrqponmlkjihgfed Solución: De "cuerdo con la Figura 3.25, las coordenadas de plnnltn'r así: Not1odo c. Norle de B + a cos a .. bcos P + (E + R)cos ó r ~//jcJoC. sen» éste de B -asena· bsen P -(E + R)senó e se pueden 8 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGF A II = 48'26'33.16' +84'12'46" = 132'39'19.16" q¡ = 180' -132"39'19.16' = 47'20'40.84' , entonces, a=~-=8.158m sen 4 7'20'40.84' 88 JAMES CÁRD~NAS GRISALES Distancia: b 8 sen(/!= ,b= b CAPITULO 3. DISEÑO GEOMF.TRICO HORIZONTAL: PLANTA Ángulo de deflexión principal Grado de curvatura Cuerda unidad Abscisa del pe 8 =1a.878m sen 47'20.'40.84' = ¿1 = 59 °40'1 =G.=5"28' = c = lo.m . = K5+972.45o. Externa de la curva: E E=R[ 1 cos· Ll -i]=14[. . -1]=20..869177 1 132'39'19.16' cos -.-._. .__ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 2 La externa también se puede calcular en función de la tangente T, así: E"'" r tan E d 4' T = R tan = 31.935(tanI3'2'39/9.16') II 2 ( 132'39'19.16") = 14 tan -.-----= 31.935m 2 , entonces: = 20..869m s Angula: Fste ángulo define el rumbo del alineamiento ó = a +p Ó= p = 1~:_-:-_1l= 180.' -132"39'19.16" = 23'40.'20..42" '2 '2 48'26'33.16' +23'40.'20..42' = 72'6'53.58' Luego las coordenadas Norie del punto C son: e = 389.985 + 8. 158(cos48'26'33.16' )-lo..878(cos e = 936.570.- 8. 158(sen 48'26'33.16" )-10.878(sen (20. 869 + 14)sen72'6'53.58" Ejemplo 3.13 Calcular: a) b) Las deflexiones para la curva dada. La abscisa donde la vía 1 y la vía 2 se interceptan. Solución: 84'12'46')+ De acuerdo con la Figura 3.27, se tiene: (20..869 + 14)cos 72'6'53.58' = 40.5.0.0.9177 Este Figura 3.26 PI.C: 84'12' 46')- a) Deflexiones = 886.459m Longitud de la curva: 1..: ---_.- ----------- EJEMPLO 3.13: Intersección de una vía en curva con otr,a vía en recta Datos: Para la curva de radio R de la vía 1 de la Figura 3.26. se conocen los siguientes datos: ~ = c4 = 1O(59'40'L109.146m G. 5'28' , -. Abscisa:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA PT Abscisa PT zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Abscisa pe + Le = K5 + 972.450. + 10.9.146 = K6 + 0.81.596 JAMES CÁRDENAS GRISALF.S 91 CAPITULO 3. DISEÑO GEOMl"TRICO HORIZON'rAL: PLANTA Chequeo deflexión al: PT Deflexión al PT = Dellexión (por cuerdas completas+por subcuerdas) o . ,,, ' Deflexión al PT = 10 cuerdas(2' 44' / cuerda) + 2' 3'49.20"+0'26'10.46' Deflexión al PT = 29'49'59.66':::: 29'50' = ~2 -, " '- -, Por lo tanto, las de flexiones para la curva son las que la Tabla 3.5. ,, ,_,., -, ,, Tabla 3.5 '-,, o Figura 3.27 PI Vías que se Interceptan Del1cxión por cuerda unidad: ~,_= ~~~ = 2'44' 2 muestran en para la curva circular DEFLEXI N ANOTACIONES ABSCISA 960 970 o PC 00°00'00.00' K5+972.450 PC vt» zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 02°03''19 20' 980 04"47'49.20' 990 K6.ooo 07°31'49.20' 10°15'49.20' 010 12°59'49.20' 020 15°43'49.20' 030 18°27'49.20' 040 21°11'49.20' 050 23°55'49.20' 060 26°39'49.20'zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH 070 29'23'49.20' OSO o PT 29°49'59.66' K6+081.596 PT 090 100 ESTACI N ,, ,, , pe Cartera de deflexiones SI;! 2 Deflcxión por metro: a;10-- G, 20 b) _----5'28' - 0'16'24' / m 20 Abscisa de P = Abscisa PC + PC.P Deflexión subcuerda adyacente al: PC Longitud subcuerda = 980 - 972.450 = 7.550m Deflexión por subcuerda = 7.550m(O'16'24' / m)= 2'3.'49.20' Deflexión subcuerda adyacente al: PT Longi/udsubcuerda = 81.596-80 =1.596m Deflexión por subcuerda = 1.596m(O'16' 24' / Abscisa del punto de intersección P , donde, PC.P= Longitud de la curva acumulada hasta P. Bajo la definición de cuerda-grado, la longitud de la distanciazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVU PC.P, se expresa así: PC.P= zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ca zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA m) = 0'26'10.46' Gc 92 JAMES CÁRDENAS GRISAI.ES CAPITULO 3. DISEl'lO GEOMETRICO HORIZONTAL: Pl.ANT A = R = 171.910m = e = 10m Según el triángulo rectángulo OPQ: OQ R-20 cosa = - ==-,esto es, OP R R"20) a=erccos ( R c R==--= 2sen G c 2 a = arccos( = K11t919.170 , pero, 10 =104.849m , entonces, 2 sen 5'28'zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 104.849" 20) 104.849 =: 35'58'38.39' PC.P ==10(35'58'38.39') ==65.812m 5'28' Abscisa de P = K5 + 972.450+65.812 , por lo tanto, I , uego: =: K6 + 038.262 Por otro lado, si se quiere tener la abscisa considerando el arco PCP, se tiene: exacta del punto P PC.P = rrRo = rr(104.849X35·58'38.39·) = 65. 837m 180' 180' Abscisa exacta deP == K5 + 972.450+ 65.837 = K6 + 038.287 Puede observarse que la ~abscisa exacta de P es mayor en 25 milímetros a la calculada anteriormente, lo cual era de esperarse, pues en el primer caso la curva se desarrolla através de un polígono y en el segundo caso se sigue exactamente la trayectoria de arco de la curva. Sin embargo, en este ejemplo particular, el abscisado a tener en cuenta es del sistema de cuerdas, esto es, el primero. EJEM PLO 3.14: Desplazamiento paralelo de la tangente de salida de una curva circular con nuevo radio Datos: Para la Figura 3.28, inicialmente con: una Curva circular simple fue calculada Figura 3.28 Calcular: liuEl nuevo abscisado para el PT', si la tangente de su t a se paralelamente hacia fuera una distancia de 1S metros, conservando pe su posición. Solución: principal = ¿1 = 72 <[) ..., La nueva abscisa delzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA PT' sobre la variante será: Abscisa PT' = Abscisa PC + L ', , donde,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK e' /J'zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA L'c="GDeflexión Desplazamiento paralelo de la tangente de salida e 94 ~c' Se supone c'= 10m zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA JAMES CÁRDENAS GRISALES CAPiTULO 3. DISEÑO GEOMtoTRICO HORIZONTAL: PL.ANTA Abscisa del PC2 95 = K1+922.260 Ángulo: ¿J' Como la nueva tangente de salida-es paralela a la antigua tangente de salida: !J'= Il == 72'0 . Grado de curvatura: G'e c' T' G'e = 2arcsen - -Ll' ,R'= 2R' ,r== T + PI.PI' lan--- Ll T=Rlan-i=171.91O (72') tanT 2 =·124.900m senil =~ ,PI.PI'= _15_ = 15.772m PI.PI' sen 72' T'= 124.900+ 15.772= 140.6 72m R'= 140.672 = 193.618m ,por lo tanto, 72' lan-- G' e = 2 etcsen / = L' e 2 10 10(72') 2'57'34.37" Abscisapr= = 2'57'34.37" 2(193.618) = 243.280m , entonces: • luego: K11 + 919.170 + 243.280 = K12 + 162.450 EJEMPLO 3.15: Ecuación de empalme entre dos vías, curva a curva :G)ud,t.y' Datos: Para el par de curvas de la Figura 3.29, se tiene: Figura 3.29 Calcular: La ecuación de empalme de la vía 2 en la vía 1. Solución: Como se observa en la Figura 3.30 el empalme de las dos vías tiene lugar en el PT, o Pl». Las abscisas para cada caso son: Abscisa:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA vía zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA f (PT,=PT1) 2) vía 1 = AbscisaPC, + Le' Abscisa(PT, = PT zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA L _c,IlI Radio de la curva 1 = R = 49m Cuerda unidad de la curva 1 = el= 10m Abscisa del PC, = K1+937.S80 Cuerda unidad de la curva 2 = e2= 5m Ejemplo 3.15 el - ,LlI=180'-a-/3=180'-5S'-4S'=80'O Gel G e, = 2 arcsen _s__ = 2 arcsen (10)? 11'42'48.25' 2R, 249 •entonces, 96 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA JAMES CÁRDENAS GRISALES Figura 3.30 = 10(80') _ 11"42'48.25'-68.298m Abscisa(PT, = ~Ll] por lo tanto: d= 1jsenp sen(ó + ~) R2 = Gel ,p=180'-ó-~-Ll,=180'-25'-45'-80':30' sen Ó+~ =41.116sen30·L21.877m sen 25' + 45' 62.993 = 44. 108m 110' tan-2 5 = 2 arcsen 2{44.108) 6'29'54.33' I, 5(110') =84.636m ,por lo tanto: 6'29'54.33' Abscisa(PT] = PT,) via 2 = K1 + 922.260+ 84.636 = K2 + 006.896 . 2 Una vez calculadas las abscisas por las difererncs vías, se igualarlas, resultando la ecuación de empalme así: K2 + 006.896(vía 2, atrás)'" K2 + 005.878(v/a 1, adelante) EJEM PLO 3.16: Ecuación de em palm e entre dos vías, curva a recia =180' -Ó-~=180'-25' -45' =110'0 Abscisa de A Abscisa de B Coordenadas de A Coordenadas de B Coordenadas de e = KOtOOOzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = KOtOOO = N: 854.821,E : 815.961 = N: 749.243, E: 946.064 = N: 837.081:E: 966.562 Gel Gel = 2 arcsen ..EL 2Rz , en t onces, Para las dos vías de la Figura 3.31, se tiene: = PT l) v/a 1 = Kl + 937.580+ 68.298 = K2 + 005.878 , . .1] senp = 41.116m D atos: I Abscisa: vía 2 (PTz=PT,) Abscisa(PT] = PT.1) vía 2 = Abscisa pe 2 + L el Le Z .s.. (' ) 2 , Rz = ~ , Tz lan___l Calcular: a) La ecuación de empalme de la vía 2 en la vía zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVU 1. b) La abscisa del punto C. zyxwvutsrqponmlkjih 2 '" T, + d zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTS ~, E cuación de em palm e curva a curva '1j = R, tan-tLl = 49(80') lan Ecuación de empalme Abscisa: PTl (vía 1) Abscisa zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA al PT1 (vía 1)= Abscisa Abscisa de A = KO + 000 L., = c,.1, . e, = 10m G e, de A + APC, + , APC, ,¡j, Le' + PT,PT1 , donde, = 30. 20m = 180' - a- p El ángulo a define el rumbo del alineamiento AB y el ángulo f3 el rumbo del alineamiento OC. B Figura 3.31 99 CAPITULO 3. DISEÑO GEOMETRICO HORIZONTAL: PLANTA JAMES CÁRDENAS GRISALES 98 a = are t an --Ea-EAl Ejemplo3.16 INa-N... Solución: = are 11946.064-815.961150'56'2697" an =. 749.243-854.821 - AB=~(EB-EJ+(Na-NS AB = ~(946_064-815.961y De acuerdo con la Figura 3.32, se tiene: + (749.243- 854_B21y = 167.551m Coordenadas del punto zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA D:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA No = N ...- AD eos a ,AD = APC, + PC,.D = 30.20 + 39.80 = 70m No = 854.821-70(cos 50'50'26.9r)= 810.712m Eo = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA E... +ADsena Eo = 815.961 + 70(sen 50'56'26.97')= 870.316m n = arc Ian \Ec ._- -Ea\ l' 1 = are an 1966.562-870.3161_74'40' -_._-l' '210' . Nc -No DC = ~(Ee -EoY 837.081-810.712 + (Ne -NO)l OC = ~(966.562-870.316Y +(837.081-810.712y .1, = 180' -50'56'26.97'-74'40'42.10' • Gel = 2 arcsen _s_ 2R, R = " l = ¡j, tan"2 Gel Figura 3.32 'Ecuación de empalme curva a recta __ o _-.- - .--------- .. ---------- = 2 arcsen~ = 7'24'2.26' 2\77.474) =99.793m = 54'22'50.93'1 tan 39.80 54'22'50.93' 2 ,Le! = 77.474m 10(54'22'50.93') 7'24'2.26' = 73.481m ----.-,-- - .... _._------------~ 100 JAMES CÁRDENAS GRISALES P7;.PTz = D.PT Z - D.P7; = T Z - CAPITULO 3. DISEÑO GEOMÉTRICO HORIZONTAL: PLANTA r, = 88.40-39.80 = 48.600m EJEMPLO 3.17: Ecuación de empalme entre una variante zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVU y Por lo tanto: Abscisa PT z (vla 1)= KO+000+ 30.200+ 73.481+ 48.600 = KO+ 152.281 di' Para Ia F·Igura 3 .33 , el proyecto de traza o" por a vra anllgua. presenta ba gran des exca vaciones , por lo cual iue nccesano proyectar una variante con un mayor desano.lIo pe~o c?n ~1~nores ? . . T am bié de tierra. len se tiene que la distancia PI,. Plz es de 36_ metros. Datos: Abscisa: PT l (vía 2) Abscisa PT z (vía 2) = Abscisa de a + a.pc z + L ez Abscisa de B = KO + 000 B.PCz =AB-A.PC, -PC 1.D-D.PCz = 167.551-30.200- , donde, 39.800-88.400 = 9. 151m .11 =G + (3 = 50'56'26.97' +74'40'42.10'= 125'37'9.07' O Gez = 2 arcsen í 2Rz R = _!g_ tan .1] 2 = '1 88.40 = 45.413m tan 125'37'9.07'zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 Gel = 2 arcsen 2(45.413) 5 = 6'18'4137' . , I "-el = 5(125'37'9.07') 6'18'41.37' = 99.516m Por lo tanto: Abscisa PTz (vía 2) = KO+000+9.151 ~ 99.516 ~ KO+ 108.667 De esta manera, la ecuación de empalme es: KO + 108.667(via 2, atrás) Si KO+ 152. 281(vía 1, adelante) b) Abscisa del punto C Como la vía 2 empalma en la vía 1, entonces el punto C está sobre la vía 1: Abscisa de C = Abscisa PTz(vía 1) + PTz.C -88.400 = 11.393m PTz·C = OC - D.PT¡ = OC - Tz = 99.793zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA PI, Abscisa de C = KO + 152.281+ 11.393 = KO + 163.674 Ejemplo 3.17 zyxwvutsrqponmlkj Figura3.33 JAMES CÁRDENAS GRISALES 102 :CAPITULO 3. DiSEÑO GEOMETRICO HORIZONTAL: PLANTA 103 , C a lcula r: La ecuación de empalme de la variante sobre la vía antigua. ,_ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Solución: Como puede apreciarse en la Figura 3.34, el empalme de la variante con la vía antigua tiene lugar en el PT'3. Por lo tanto, para determinar su ecuación, es necesario calcular la abscisa de este punto por cada una de las vías, así: a) Abscisa Abscisa: PT'J por la vía antigua , donde, pe, Abscisa pe, = K o + 000 Longitud de la curva 1: k, L,=:t.~'e G c, ,c,=10m e G e, = 2 arcsen-' , = '"<, 2R, 10(127") 9'15' 4.68' .LJ,=180'-29'-24'=127"/ 10 = 2 arcsen--;;rc;;'¡ = 9'15'4.68" - 2\62, • entonces, = 137.278m Tangente de la curva 1': T', T', = R', tan ~' ,LJ',= 24' + 29' = 53'/ 53') T', = 62( tan T = 30.912m , entonces, Distancia: P/',.P/'J A' zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA PI',PI'J zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA coSu = - - , PI',PI'2 Figura 3.34 PI"P/'J = 362(cos 53')= 217.857m -~ .. - --_ ~ ._------... Ecuaci6n de em palm e entre una variante zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM y una vía antigua 104 JAMES CÁRDENAS GRISAlES Tangente de la curva 3': T'3 T'J CAPITULO3. DISEÑO GEOMETRICO HORIZONTAL: PI.ANTA G' z = 2 arcsen (5 = R'J = 78m 2 44.836 e L' Por lo tanto: =: e2 Abscisa PT'J (víaanligua) = KO +000+ 5(143') ) =: 6'23'34.08' =:111.845m 6'23'34.08' 137.278+ 30.912 + 217.857+ 78.000 A' PI'¡.P1'3 ,sen zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA u I = PI',PI'¡. =KO+464.047 Abscisa PT'J por la variante b) , entonces, p/,¡'pI'J = 362(sen 53' )= 289.106m PT'z.PC'J = 289.106 -134 -78 =: , entonces, 77.106m Longitud de la curva )': L'eJ Donde, L' = c') Abscisa: PT, eJ Abscisa PT, = Abscisa PC, + Le, =: Ka + 000 +137.278 = KO + 137.278 G' J =: 2 arcsen ~ 2R') e Longitud de la curva 1': L'e' L' _ c', Ll', ,,- G'" = 10(90') L' eJ • Ll') =: 90'1 , c'3 =: 10m !J') G'e3 = 2 arcsen _(1O_) = 7'21'2.35' 2 78 , entonces, -122.438m 7'21'2.35' Por lo tanto: Como se trata de la prolongación curvatura, esto es: de la curva 1, tendrá la misma Abscisa PT'J (variante) = KO + 137.278+ 57.289 + 197.088 + 111.845+ 77.106 + 122.438= KO + 703.044 e',=c, =10m ,G'e,=G" L' = =9'15'4.68' , e' 10(53') = 57.289m 9'15'4.68' Distancia: PT',.PC'2 PT',.PC'¡ =: KO + 703.044(véTiante, atrás) = G',¡ =: ~1~ G'el ,e'l 2 arcsen _2 e' 2R'2 = Sm R' '2 , Ll'l = 90' + Ll', = 90' 143' 2 2 tan- + 53' = 143' O EJEMPLO 3.18: Ecuación de empalme por desplazamiento paralelo de la tangente común a dos curvas circulares Datos:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = __IL_ =~ s tan 2 KO + 464.047(vla a~ligua, adelante) zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY 1 e 9 = 197.08Bm = 362 - 30.912 -134 PI','pl'z-T',-T'z Longitud de la curva 2': L'e2 L' De esta manera la ecuación de empalme es: = 44.836m Las cuatro curvas información: dadas en la Figura 3.35 tienen la siguiente 107 JAMES CÁRDENAS GRISALES 106 Radio de la curva 1 Radio de la curva 2 Radio de la de la curva 2' Distancia del PI, al Plz Abscisa del pe, = R, = 40.950m = Rz= 104.210m = R']= Rz = P/'. Plz= 206m ~j{4+224.450 Para la situación dada, el trazado inicial contemplaba las curvas de radio R, y Rz. Por problemas de construcción en el tramo de la entrctangencia, fue necesario desplazarlo paralelamente 24 metros, obteniéndose un nuevo trazado a través de las curvas de radios R ', y puede apreciarse en la Figura 3.36, el empalme de la nueva viu la vía antigua tiene lugar en elzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH PT'z sobre la tangente de salida de segunda curva. Por lo tanto, es necesario calcular las abscisas de punto siguiendo los dos trazados, así. R'z. .,0;zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJ ... ... , / , ,,,,' , , I ", I I , I I I I I I I I I I I I ,, ,, t I I I I I I Figura 3.36 .-- ----. E jem plo 3.18 zyxwvutsrqponmlkjihgf Figura 3.35 ---~-------- zyxwvutsrqponmlkj I I I .' E cuación de em palm e por desplazam iento de la tangente com ún 108 a) JAMES CÁRDENAS GR1SALES A bscisa PT'¡ por la vía antIgua Abscisa PT'2 (vía antigua) = Abscisa PC, + L" + PT,PC2 + L.2 + PT¡PT'¡ AbscisaPT'¡ (vía antigua) = K4 + 224.450 + 82.907 + 100.464+ 76.390+35.867 = K4 + 520.078 Donde: Abscisa: PC, Abscisa PC, = K 4 + 224.450 A bscisa PI¡ 'por la vía nueva . b) . Abscisa PI; (vía nueva) = Abscisa PC, + L',,+PT'I.PC'z+L',2 Longitud de la curva 1: L" L = rrR,Ll, ., 180' ' Ll,=116'O L - :r_(40.950}t16' sI 180' Donde: r Abscisa: ·PC, Abscisa PC, = K4 + 224.450 ,entonces, 82.907m Longitud de la curva 1 ': zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB L'" Distancia: PT,.PCl PT,PC¡ = PI,PI2 - T, - T¡ T, = R, tan ~' = L' 40.950(tan 11:' s I-~ ,PII.PI¡ = 206m TTR', Ll', ,f.', = 116' O R ',--_IJ_ f.' J = 65.534m tan__l 2 T¡ =R¡ tan PT,PC¡ ~l = 206 - .T 1...= :104.210(lan 4~'J=40.002m ,Ll 1 =42'1 ,entonces, T',=TI+8 1, 65.534 -40.002 = 100.464m = ,a=_li_=26.702m cos 26' 65.534 + 26.702 = 92. 236m ,COS26,=24 R', = 92.236 Distancia: PrZ-PT'¡ PT¡PT'¡ = PI¡.PT'¡-PI¡.PT¡ PI¡.PT'l tan- = rr(1.~i.2_!_qy!2'= 76 390m 180' . =: T'¡ = T¡ = 40.002m , entonces, PI¡PT'¡-T¡ , pero, P' 2=--=35.867m 24 ,1¡PI sen 42' PT¡.PT'¡ = 75 869 - 40.002 = 35.867 m Distancia:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA PT't.PC'¡ ·PT',PC'¡ =: PI',PI'¡-T',-T'¡ ,PI',Pt...,... PI,PI¡ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH + b+ e tan 26' = ~ 24 , ya que R'l = R¡ Y LI'¡= Ll 1 PI¡.PT'l = 35.867 + 40.002 = 75.869m 2 L' = TT(57.635p16' = 116.687m ., 180' = Pt¡.pI'¡+Pl'z.PT'¡ = Plz.PI'¡+T'¡ ..., sen 42 ' = _ 24 PI2PI¡ = 57. 635m 116' Longitud de la curva 2: L'2 L ¡ = rrR¡Ll) '180' a , entonces, tan 42' = 24 ,b = 24 tan 26' "" 11.706m .c = __3i_ =: 26. 655m tan 42' PI',.P!'¡ = 206 + 11.706 + 26.655 = 244.361m c , entonces, ';'I~ -:.- 1" JAMES CÁRDENAS GRISALES 110 PT'j.PC'¡ = 244.361- 111 CAPiTULO 3. DISEÑO GEOMETRICO HORIZONTAL: PLANT" 92.236- 40.002 = 112.123m Longitud de la curva 2': L'.z L'.z = L,z = 76.390m , ya que R'r_Rz y {j'z = {jI Por lo tanto: Abscisa PT' 2 (vía nueva) = K4 + 224.450 + 116.687 + 112.123 + 76.390 '" K4 +529.650 I I I I I I I I De esta manera la ecuación de empalme es: K4 + 529. 650(vía nueva,atrás) Si K4 + 520.078(vía anligua, adelante) ~~ __ -,R'-'-'__ ¡ --dO, I I • EJEMPLO 3.19: Ecuación de empalme por rotación de la tangente común a dos curvas circulares I ~ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA --------~~-------~; Datos: Figura 3.37 Además de la información dada en la Figura 3.37, para las cuatro Ejemplo 3.19 curvas se tiene: Radio de la curva 1 Radio de la curva 2 Abscisa del p e f :: Rf:: 42.500m :: R2= 50.000m :: K2+930.420 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcb La tangente de entrada a la primera curva y la de salida de la segunda curva no carnbian de dirección. La tangente común cambia de dirección por su rotación alrededor del PT" lo que lo hace Indcsplol.nble I I I I I I I I C alcular:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Lo ecuaclón de empalme de la variante en la vía antigua. Solucl6n: De acuerdo con la Figura 3.38, el empalme de la variante en la vía e l PT'z. Por lo tanto, es necesario calcular las nbsclsas dc este punto siguiendo ambos trazados, así: R, I O, zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWV zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYX ~ I I .- R' ---------,--------~; I \! unligua tiene lugar en Ecuación de empalme por rotación de la tangente común zyxwvutsrqponmlkji Figura 3.38 112 a) JAMES CÁRDENAS GRISALES Abscisa PT'2por la vía antigua AbscisaPT'z (vía antigua)= AbscisaPC, + L" + PT,.PC1+ L'l + PT1'pT'2 l. DISEÑO GEOMÉTRICO IIORIZONTAL: PLANTA '. Plz.Pl'] = 33 + T zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 sen 19'20' sen 60'50' . PI PI' . Donde: Abscisa: PC, AbscisaPC, = K 2 + 930.420 (33 + 42.079)sen 19'20' = 28.465m ,enlonce~, sen 60'50' • igualmente, PI1.PT'] = 28.465 + 29.354 = 57.819m ]. 1 PT ZPT'l = 57.819 - 42.079 = 15.740m Longitud de la curva 1: L" I ...., = !!.f?,!:, 180' L = "(42.500)109'20' =81.100m s " Ll = 180' -70'40' = 109'20' O 180' • entonces, = K3 + 130.219 . Abscisa PT'l por la variante b) Distancia: PT,.PC 2 PT,.PC] = 33.000m AbscisaPT'z (varianle) = AbscisaPC',+L',,+PT',.PC']+L"l Longitud de la curva 2: L'l L ="RA ,2 180' AbscisaPT'z (vía antigua) = K2+ 930.420+ 81.100+ 33.000+ 69.959+ 15.740 Ll =180'-70'40'-29'10'=80'10'1 '1 , entonces, Donde: Abscisa: PC', AbscisaPC', = AbscisaPC, - PC',PC, PC',PC, = PC', PI, -PC,.?I, L = "(50.000)80'10' = 69.959m ~ ,2 180' PC',PI, =PC',PI',+PI',PI, ,PC,.PI, =T, =T',+x PC',PC, =T',+x-T, Distancia: PhPT'2 PT1.PT'1= Pll'pT'1-PI2.PTl = PI1.PT'z-T2 PI1.PT'2 = Plz'pI']+PI']·P¡T'2 = PI2Pl'z+T'l T] .1 = 50.00{80'10') = R 2 tan.....1.. lan -2 : , lan-2T, =R, lan1.1 = 42.500(109'20') T' = R', lan~ , 2 = 42.079m T', = R', l' T'z = R'] lan ~ 2 ,R'l ¡:: R 2 = 50.000m .1'] = 180' -19'20'-~O'40'+29'lO')= 60'50') = 29.354m T'z = 50.000 lan -2( 60'50' J 2' =59.951m .1', = 180' -70'40'-19'20'= 90'0 T'zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA sen 70'40'= zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA _J_ T, 1', = 59.951(sen70'40')= 56.570m = R:." cos 70'40'= f, .x = 59.951(COS 70'40')= 19.848m PC',PC, = 56.570+ 19.848 -59.951 = 16.467m • entonces, Abscisa pe', = K2 + 930.420 -16.467 = K2 + 913.953 JA~IES CARDr:NAS GRISALES 114 L' s, 180' ' LJ, 115 = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA T2= tOO.OOOm Tangente de la curva 2 Longitud de la curva 1': L's' A' 90' D L ' - 11R',.11. s, - CAPITULO 3. DISEÑO GEOMETR'CO HORIZONTAL: PLANTA = = 11(56.570)90' = 88.860m 180' ,- Distancia: PT',.PC'l PT',.PC'l = PT', Pl'l-T'l PT',PI'¡ = PIZ'pl'l sen(70'40'+29'10') sen 19'20' ,PT' PI' = 28465(sen99'50'L84.717m '1 sen 19'20' PT',.PC'1 = 84.717 - 29.354 = 55.363m Longitud de la curva 2': L'.¡ = rr_~_~2_ = 1!..(50.000'j50·50'= 53.087m L' .2 180' 180' Por lo tanto: Figura 3.39 Abscisa PT'¡ (variante) = K2 + 913.953+ 88.860+55.363 +53.087 Ejemplo 3.20 = K3 + 111.263 De esta manera la ecuación de empalme es: Calcular: La ecuación de empalme de la vía A en la vía B. K3 + 111.263(variante,atrás) a K3 + 130.219(vía antigua,adelante) Solución: EJEMPLO 3.20: Ecuación de empalme entre dos vías inicialmente De acuerdo con la Figura 3.40, el empalme de la vía A en la via B tiene lugar en el PT¡=PT'¡. Por lo tanto, las abscisas de este punto por cada una de las vías es: paralelas Dalos: De acuerdo con la Figura 3.39, pura la vía A conoce: Abscisa del pe, Abscisa del PC', Distancia del PI, al P/2 Radio de la curva 1 = K2+920.000 = K2+890.000 = P/,.PI1= 200.000m = R, = 40.000m a} y Abscisa (PT ¡=PT'l) vía A la vía B también se Donde: Abscisa:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA pe, Abscisa pe, zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = K2 + 920.000 116 JAMES CÁRDENAS GRISAI.F.S CAPiTULO 3. DISEÑO GEOMÉTRICO HORIZONTAL: PLANTA = 180.9 56m s, = rr(170.90t'YiO'40' 180' L t Por lo tanto: Abscisa (PT, = PT', ) vía A = K2 + 920.000+ 62.832 + 60.000+ 180.956 = K3 + 223.788 b) Abscisa (PT;=prl) via 8 Abscisa (PT, = pr 2) v/a 8 = Abscisa PC',+L'"+PT','pC',+L',, Donde: Abscisa: PC', Abscisa PC', = K2 + 890.000 Longitud de la curva 1': L'" Figura 3.40 Ecuación de empalme entre dos vias inicialmente paralelas = rrR,/l, 180' ., /l =180' -33'20'-56'40'=90'0 , entonces, = 62.832m L = !."_~·~qE)JO' " 180' = 200.000-40.000 , pero 'por paralelas, /l', = /l, = 90' O L' = rr(80.000)9o' " 180' 125.664m Distancia: PT',.PC', PT','pC'l = PI','p1'2-T',-T', Distancia: PT,.PC, PT,'pC 1 = PI,,Pll - T,- T2 ,PI,,PI, = 200.000m , T, = R, = 40.000m T, = 100.000m ,PT,'pC, s, - R', = R, + 40.000 = 40.000 + 40.000 = SO.OOOm = T', Longitud de la curva 1: L s' L,r L' - rrR', /l', 180' -100.000 = 60.000m = 40.000 tan /l x 1 = (20.000 +P/,'p/2 +x)-80.000-(T, - y) ,x = 40.000 = 22.478m tan 60' 40' Longitud de la curva 2: L" 40.000 _ 40.000 _ 45 883 sen ", - -,y - . m y sen60'40' PT', 'pC'2 = (20.000 + 200.000 + 22.478)- 80.000- (100.000- 45.883):: tOB.361m L = rrRA .1 180' Longitud de la curva 2':zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA L',l R,. 2 .1 "r 180' - 56' 40'-62' 40' = 60'40' I T2 = _'0~.Oo.q_= 170.901m /ll 60'40' lan~ lan--2 2 A _ -, L'zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA _rrR'1/l'2 R' -_!L_ ,T'1=T 2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA -y=100.000-45.B83=54.117m ,2180' ,,.1' lan__l 2 JAMI::SCÁRDENAS GRISAlES lIS R' = 54.117 =92.487m 2 60'40' I CAPiTULO J. DISEÑO GEOMETRICO HORIZONTAL: PLANTA L' = "(92.487)60'40' = 97.928m .2 180' PI 11 ') d t8n-2 .... Por lo tanto: AbsCisa(PT 2 = PT 2) vía 8 = K2 +890.000 + 125.664 + 108.361 + 97.928 = K3 + 221.953 De esta m anera la ecuación de em palm e es: .' K3 + 223.78B(vía A, atrás) '" K3 + 221.953(vía B, adelanfe) 3.2.5 Otros métodos de cálculo y localización de curvas circulares simples o DESDE EL pe, o PT, POR NORMALES A LA TANGENTE Este m étodo, según la Figura 3.41, consiste en calcular la norm al y, dados el radio R, la distancia x y el ángulo LI, así: I!n el triángulo rectángulo OAP, se tiene: (Op)l == (OAr + (APY Figura 3.41 Cálculo de una curva circular simple por normales a la tangente En el triángulo rectángulo OAP: OA R- Y cosfP=OP =R=1-'R , esto es, y ,esto es, y = R(1- cos cp) R' ...(R_yY+x 2,R-y=.JR 2-X2 Pero, según la ecuación (3-12), If! = 26. Entonces: De donde: y=R(1-cos26) (3-16) (3-15) Ahora, en el triángulo rectángulo zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC PC.B.P, se tiene: tan 6 = y --BP zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA =esto es PG.B x' , x=L tan 6 , entonces: zyxwvutsrqponmlkjihgfe Una generalización de este m étodo consiste en hacer coincidir los puntos P, ubicados sobre la curva, con las subcuerdas y las cuerdas unidad del m étodo de las deflexiones. Por lo tanto los valores de x e y deben ser: 120 JAMES CÁRDENAS GRISALES x = R(1-cos 2ó) (3-17) tanó 3. DISEÑO GEOMÉTRICO HORIZONTAL: PLANTA En el triángulo rectángulo OBP, se tiene: eos cp= OB = R - Y = 1 _}'_ Se debe recordar que punto P sobre la curva pe.p. De esta m anera expresiones anteriores, tS es el ángulo de deflexión correspondiente al y rp el ángulo central subtendido por la cuerda pueden ser calculados x e y m ediante las dos dadas por las ecuaciones (3-16) y (3-17). OP BP R R ,y = R(1- cos cp) t ,« sencp=-=-,x=T-Rsencp ,pero, zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO OP zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA R .1 T =Rtan - 2 x f) 121 = R tan % -R ,esto es, sen q¡ = R( tan %-sen cp) , por lo tanto, DESDE EL PI, POR DEFLEXIONES y DISTANCIAS tan a = Este m étodo, según la Figura 3.42, consiste en calcular el ángulo a y la distancia PI.P, dados el radio R, el ángulo .1 y el ángulo (/J, asi: R(1- cos (ji ) = ,tan%-senq¡) 1- cos q¡ tan·i-senq¡ Luego: a = arcta{ _1 r s.: 1 (3-18) tan "2 -sencp Si arctan > O, entonces el ángulo a es del prim er cuadrante Si arctan < O, entonces el ángulo a es del segundo cuadrante Ahora, en el triángulo rectángulo AP.PI, se tiene: (PI.Py = (APly + (APY , esto es, PI.P = ~X2 + y2 = \fR 2 (tan % -sen cp J~ y R2(1_ cos cp Luego: , Figura 3.42 Calculo de una curva circular simple desde el PI En el triángulo rectángulo AP.PI, se tiene: AP l' lano=-=API x PI.P =R~(tan} 2 -sencp) + (1 -cos cp y -. (3-19) De esta m anera, el procedim iento general para calcular zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT y localizar el punto zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA P sobre la curva, consiste en darse un ángulo zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR rp, (/J S ¿J, para el cual con el radio R y el ángulo .1, se calcula el ángúlo a y la distancia PI.P, según las ecuaciones (3-18) y (3-19) respectivam ente. JAMES CÁRDENAS GRISAlES 122 CAPiTULO 3. DISEl'IO GWMÉTRICO HORIZONTAL: PLANTA 123 , 3.3 CURVAS CIRCULARES COMPUESTAS Las curvas circulares compuestas son aquellas que están formadas dos o más curvas circulares simples. por A pesar de que no son muy comunes, se pueden emplear en terrenos montañosos, cuando se quiere que la carretera quede lo más ajustada posible a la forma del terreno o topografía natural, lo cual reduce el movimiento de tierras. También se pueden utilizar cuando existen limitaciones de libertad en el diseño, como por ejemplo, en los accesos a puentes, en los pasos a desnivel y en las intersecciones. 3.3.1 Curvas circulares compuestas de dos radios En la Figura 3.43 aparecen los diferentes elementos geométricos lino curva circular compuesta de dos radios, definidos como: PI Punto de intersección dc _----------- de las tangentes. Punto común de curvas o punto de curvatura compuesta. Punto donde termina la primera curva circular simple y empieza la segunda. Radio de la curva de menor curvatura o mayor radio. Radio de la curva de mayor curvatura o menor radio. , ,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQP ' , .el b.- ---- - o pe zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Principio de la curva compuesta. Fin de la curva compuesta o principio de tangente. PT PCC zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA O, Centro de la curva de mayor radio. Estacionados en el PI y con ceros en la dirección del PC se deflecta elzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Oz Centro de la curva de menor radio. 6 na ulo a y en la dirección de esta visual se mide la distancia PI.P, Ángulo de deflexión principal. LI obteniéndose así el punto P sobre la curva. Ángulo de deflexión principal de la curva de mayor radio. LI, Ángulo de deflexión principal de la curva de menor radio. Lb zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Un método particular. consiste éi'i hacer coincidir los puntos sobre la T, Tangente de la curva de mayor radio. curva con las subcuerdas y cuerdas unidad del método de las = Tangente de la curva de menor radio. t. deílcxioncs desde el PC. En este caso el ángulo (/J es igual a 28, donde = Tangente larga de la curva circular compuesta . t. .ses la dcflcxióu correspondiente al punto P desde el PC por el sistema = Tangente corta de la curva circular compuesta. Te subcuerdas y cuerdas. o, e zyxwvutsrqponmlkjihg Figura3.43 Curvacircular compuesta de dos radios __ -----------------~ ._ ._.. 124 JAMES CÁRDEt-IAS GRISALES Los elementos geométricos que caracterizan cada curva circular simple se calculan en forma independiente en cada una de ellas, utilizando las expresiones para curvas circulares simples, deducidas anteriormente. Para la curva compuesta tangente corta Te, así: es necesario calcular la tangente larga Ic y la (3-20) T( = PC.E - PIE PCE = a = AB + CD = AB+ (0 10 -o.c) En el triángulo rectángulo ABO I: AB = 01 8 sen L1, =' R, sen L1, En el triángulo rectángulo °20 = O] PT sim Ll = R 2 OlD.PT: sen Ll En el triángulo rectángulo 01CB: o¡e = 0lB sen L1, = R¡ sen LI, ' I CAPITULO l. DISEÑO GEOMETRICO HOIUZONTAL: PLANTA BF=BC-PT.D En el triángulo rectángulo ABO,: AO, = O,B cos d, = R, cos .1, En el triángulo rectángulo Olo.PT: PT.o = 0l.PT cos LI = R 1 COS LI Entonces: b = R, - AO, + BC - PT.D = R, - RI COSLl, + R 2 COSLl, - R 2 COSLl b = R, -Rz cos Ll-(R, -R¡J;os dI Luego: T.e -- R, - R¡ cosA.:.. (R, - R¡ J;os Ll, sen Ll Por lo tamo, T L =AB+O¡o-O¡C-PIE T( = R, T( sen LI, + R¡ sen Ll-R¡ sen Ll, - Te cos LI = R ¡ sen Ll + (R, - R ¡)sen LI, - Te cos LI En el triángulo rectángulo PI,E.?T: EPT zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA sen LI = -_ = - b , Te = -- b PI.?T Te sen LI b=PC.A+BF PC.A = PC.O, - AO, = R, - Aa, (3-21) Igualmente: T.(- -R T. L En el triángulo rectángulo PI.E.?T: PI.E = PI.PT eos L1 = Te ces L1 . = Ll [R,-R¡COSLl-(R,-R¡J;OSLlI] sen LlA + (R ,- R)s 1 en 1 send R 1 sen 1 Ll + (R, - R¡)sen Ll sen L1, sen L1 + 1 COSLJA -R, cos Ll + R¡ cos2 Ll + (R, - R¡ )cos Ll COS L1I senLl T. - R¡ - R, cos L1 + (R, - R¡ J;os Ll¡ (sen Ll (3-22) _ ----------------_ ._ --- .. .. _---EJEMPLO 3.21: Elementos geométricos y deflexiones de una curva circular compuesta de dos radios ..... Datos: Según la Figura 3.44, se tienen tres alineamientos con la siguiente información: . rectos AB, BC y CO zyxwvutsrqponmlkj Acimut alineamiento zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA AB Acimut alineapiiento BC JAMES CÁRDENAS GRISAlES 126 = 144o Acimut alineamiento CD = R,= 76.BOOm Radio de In curva 1 Cuerda unidad de la curva 1 = e,= 10m Cuerda unidad de la curva 2' = e2= 5m = KÓ+96B.OOO Abscisa del PC = Be = 60.000m Distancia de B a e Los tres alineamientos deben unirse con una curva compuesta de dos radios (R,>R2), donde el tramo Be es la tangente común a las curvas limpies. CAPiTULO 3. DISEÑO GEOMÉTR ICO BOR IZONTAL: PLANTA 127 Solución: a) Tangentes larga y corta Tangente larga: t, _ Rz - R, cos .1+ (R, T.l - ----- R 1)cOS.1, --_ .- sell.1 Donde: Rl = ta:1 .1z ,Tz = Be - T, = 60.000 - T, • .1 2 =.1-.1, 2 .1=144' -32' =112'0 T, = Rr tan A =66,' -32' =34' i.1 = 76.800 (34') tallT = 234BOm T z = 60.000 - 23.4BO = 36.520m R1 •.1 1 =112' -34' =78' , entonces, = 36.5?_Q_= 45.09Bm 7B' tan 2 Luego: T.l 45.09B -76.BOO cos 112' + (76.BOO- 45.09B)cos 78' = .• --- sen 112' --- = B6.77Bm Tangente corta:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Te Te = R, -=~~eos .1-_(R,-'!!?'r:!!~.1 sen .1 Te = 76.BOO- 45.09B eo~ 112' - (~6yE.O_- 45.09B)cos]~ = 72.706m sen 112' Figuro 3.44 Ejemplo de una curva circular compuesta de dos radios _.- . - - -- ----------_- lL=T,+x Te=T1+y zyxwvutsrqponmlkjihgfedcb Calculor: 11) 1ns tangentes larga y corta de la curva compuesta. b) Las de flexiones de la curva compuesta. Los valores de estas tangentes también pueden calcularse en función de las tangentes simples T,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y TI y las distancias x e y, así: ----------_. - __ ._.. 128 JAMES CÁRDENASGRISALES _x_=_y_=~ sen Ilz sen Il, Il'= 180' -Il sen LI' = 180' -112' Deflexión por subcuerda adyacente al: PCC Longitud subcuerda = 13.542 -10 = 3.542m ,BC=60.000m Deflexiónpor subcuerda = 3.542m(O'22'23.82' / m)= 1'19'19.81' = 68' = 60.000 s~n78' __63.298m ' X sen 68 ,y = 60.000sen 34' sen 68' 36. 186m Entonces: T L = 23.480 T 63.298 = 86. 778m = 36.520 + 36. 186 = 72. 706m Te b) . CAPiTULO 3. DISEÑO GEOMÉTRICO HORI7.0NTA!.: PLANTA Chequeo deflexión al: PCC Deflexión al PCC = Deflexión (por cuerdas completas+porsubcuerdas) Deflexiónal PCC = 4 cuerdas(3'43'58.20' / cuerda) + 0'44'47.64'+1'19'19.81' Deflexi6nal PCC Deflexiones de la curva com puesta = 17'O'O.25':d7' =~ f. Segunda curva circular sim ple: . Abscisa: PCC Abscisa PCC '" Abscisa PC + L., I c,Lll ,c, = 10m 1i AbSCisa:PT Aquí el PCC es el punto inicial ~, la segunda curva y el PT su punto final. Entonces: .', Abscisa PT = Abscisa PCC + L eZ Prim era curva circular sim ple: "'<1 "'- ,Lll =34 • Gel Gel = 2 arcse,' _cL = 2 arcsen ~----)' = 7"27'56.41' 2R, 2\76.800 clll1 I "'<2=Gel ,c 2 =5m L Deflcxión por metro: Deflexión por metro: 1 G;, = 7'2T56.41· 20 20 = 0'22'2382' / m . Deflexión por cuerda unidad: ,Llz=78 ' czyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 5 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Gel'" 2 arcsen _1 '" 2 arcsen ;:;r;¡c--) = 6'21'20.24' 2Rz 2\45.098 - = 45. 542m ' 7'27'56.41' Abscisa PCC = KO +968 + 45.542 = K1 + 013.542 1.. = _10(34~ d;o = I 5(78' ) = 61.363m 6'21'20.24' Abscisa PT = K1 + 013.542 + 61,363 = k1 + 074.905 = e2 d; = G e2 = 6'21'20.24' 10 = 0'38'8.02' / m 10 Deflexión por cuerda unidad: G e, Gel _ 6'21'20.24' _ 3'10'4012' / Deflexión por subcuerda adyacente al: PC Deflexión por subcuerda adyacente· al:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPON PCC Longitud subcuerda = 15 -13.542 = 1.458m _ 3'43'5820" / 2 _- 7'27'56.41" - -- 2-- . cuerd a Longitud subcuerda = 970 - 968 = 2.000m Deflexión por subcuerda = 2.000m(0·22'23.82'/ m)= O' 44'47.64' T---'f' .-- . d ...., cuer a = 1,458m(O'38'8.02' / m)= 0'55'35.93' Deflexión por subcuerda zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA JAM~S CARDENAS GRISALES 130 --------------------------------------. Deflexión por subcuerda adyacente al: PT Longitud subcuerda = 74.905 -70 = 4.905m ..... EJEMPLO 3.22: Ecuación de empalm~ entre dos vias con curvas circulares simples y compuestas de dos radios = 3'7'2.74' Datos: Además de la información dada en la Figura 3.45, se tiene: Chequeo de flexión al: PT Denexión al PT = Dellexión (por cuerdas complelas+por subcuerdas) Denexión al PT = 11cuerdas(3'W'40.12' I cuerda) + 0'55'35.93" +3"7'2 74' Denexiónal PT = 38· ~9'59.99· '"39' = ~2 En la Tabla 3.6 se muestra la cartera de localización de la curva compuesta de dos radios. Tabla 3.6 ESTACION I Cartera de localización ABSCISA OEFLEXIÓN de la curva compuesta ELEMENTOS Radio R2 Distancia de D a E Coordenadas del punto F Abscisa de F Abscisa de 8 = R2= 31.200m zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = DE = 46.800m ::: 1OO.OOON, 100.0001: :: K6+947.290 = K4+742.530 El punto F pertenece a la vía 2 y el punto 8 a la vía 1. La vía 2 empalma ' en la vía 1. de dos radios ACIMUT ANOTACiONES J Khl00 090 PT , PCC " PC 080 Kl«l74.90S 070 065 56"00'00.24' 52°52'57.50' 49"42'17.3S' 6=112°0 61 e 34°0 060 46°31'37.26' 62 = 7s00 43°20'57.14' 055 40°1(Í'17.02' RI = 7S.8oom OSO 045 36°59'36.90' R¡ = 4S.09Sm el = 10m 040 33°4S'56.7S' C¡=Sm 035 300 3S'16.66' 030 27°27'36.54' GOl =7°27'56.41' 025 24°16'56.42' GOl =s021'20.24' 21°06'16.30' Lel = 45.542m 020 015 17°SS'36.1S' Lc¡= 51.363m KI«l13.542 17"00'00.25' TI = 23.480m 15°40'40.44' TI = 36.520m 010 Kl<{)OO 11°56'42.24' TL = 86.17Sm Te = 72.70Sm OsoI2'44.04' 990 980 04°2S'45.S4' 970 00°44'47.64' 00·00'00' KO-+968.000 960 950 KO.j¡40 144° 66° 32· zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Deflexión por subcuerda = 4.905m(O'38'8.02' 1m) 131 CAPiTULO 3. DISEÑO GEOMÉTRICO HORIZONTAL: PLANTA <i' PT t~c L ..s~~\ o ' H Figura 3.45 Ejemplo 3.22 Calcular:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA a) La ecuación de empalme de lazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG vía 2 en la vía 1. b) La abscisa del punto C. c) Las coordenadas del punto C. In JAMIlS C'\ROENAS GRISALES Solución: De acuerdo con la Figura 3.46, se tiene: al Ecuación de em palm e El empalme tiene lugar en el punto G. Por lo tanto, es necesario calcular la abscisa de este punto por cada una de las vías. Abscisa de G por la vía 1: Abscisa de G (vía 1) = Abscisa de B + Arco BG Abscisa de: B Abscisa de B = K 4 + 742.530 Arco:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA BG BG = TTR,a 180' =, '2 Ll ,[ T,=R,tani=31.20vltan-2- R, = T,.1, tan- ,T, = ... ,a = 2 are/an !L R, t. R tan a '1 62"50') =19.057m DE - T, = 4II800-19.057 = 27.743m 2 R = 27.743 _ = 79.817m '38'20' lan-- ' a = 2 arc/an 19.057 = 26'51'24.94' 79.817 2 .cnionces, . .; Figura 3.46 Ecuación de em palm e con curvas circulares sim ples y com puestas BG = TT(79.817)26'51'24.94'= 37.414m 180' Por lo tanto: Abscisa de G (vial);: K4 + 742.530+ 37.414 I = K4 + 779.944 Arco: FG '~G = I I Abscisa de G por la vía 2: Abscisa de G (via 2) = Abscisa de F + Arco FG .... , ~. = TTRA _ TT(31.200)62'50'= 34.215m 180' 180' zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR Por lo tanto:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA I . 'AbscisadeG (vía 2) = K6 +947.290+ 34.215 = K6 + 981.505 JAMES CÁRDENAS GRISAI.ES 134 CAPiTULO 3. DISEÑO GEOMETRICO HORIZONTAL: PLANTA N E = No + DE cos AzOE Luego, la ecuación de empalme es: DE = 46.800m K6 +981.505(via 2, atrás) a K4 + 779. 944 (vía 1, adelante) b) Abscisa del punto AbscisadeC ,AZOE= 62'50'-4'10':= 58'40' N E = 119.007 + 46.800cos 58'40' .... e 13:' = 143.344m EE = Ea + DE sen AzOé EE = 98.615 + 46.800 sen 58'40' = 138.590m = Abscisa deG (vla 1)+ ArcoGC N¿ = N E + fC cos AlEC EC = 1', = 27.743m Abscisa de: G (vía 1) Abscisa de G (vía 1) = K 4 + 779.944 Ee = EE + fC sen AzEC Arco: GC Ee = 138.590+ 27.743 sen 91'00'= 166. 126m = GC = L = TTRr.LlI= TT(79.817)38'20' 53.401m si 180' 180' SegÚn el polí!!ono: FJC Por lo tanto: Abscisa deC = K4 + 779:944+ 53.401 = K4 + 833.345 b) ,AlEC = 58'40'+38'20' = 97'00' N c = 143.344 + 27.743 cos 97'00'= 139.963m Se observa que FJ y JC son las tangentes corta y larga de la curva compuesta de P/=J, PC=F, PT=C y Ll=Llr+Ll,.=38 ~O'+62 '50'= 101<>f0'.Por lo tanto, de acuerdo con las ecuaciones (3-21) y (3-22), se tiene: Coordenadasdel punto e Según el polígono: FDEC FJ:= Te = RrzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA -Rz cosLl-(Rr -Rz};osLlr sen Ll _ T _79.817 -31.200 cos 101'10'-(79.817 -31.200'"'os38'20' FJ - 'e -- -.... _. '" = 48 644m sen 101'10' . Las coordenadas de un punto final con referencia a un punto inicial se JC = T L = R 2 - .!3_r cos Ll + (~r - R¡ };OS ~l sen Ll Las coordenadas se calcularán siguiendo el polígono FDEC y se comprobarán según el polígono .cJC. Por lo tanto: calculan como: JC = T. = 31.200 -79:!!_17 C?S 101'10'+(79.817 - 31.200};os 62'50' _ L sen 101'10' - -70.184m N PIJIITOFrllAL =N PUNTO INICIAL+Distancia ENTRE LOS PUNTOS (cos Acimut) E PUIITO FINAL =E PUNro INICIAL+Distancia ENTRE LOS PUNTOS (sen Acimut) No = N F + FD cos AlFO NF = 100.000m ,FD = T 2 = 19.057m NJ =NF+FJcosAzFJ NF zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = 100.000m ,FJ = Tc zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA := 48.644m •AlFJ = 355'50' No := 100.000+ 19.057 cos 355'50'= 119.007m NJ = 100.000 + 48.644cos 355'50' = 148.515m fJ = EF + FJ sen AZFJ Eo = EF + FD sen AlFO EJ := 100.000 + 48.644 sen 355'50' = 96.466m ,Az FO := 360' -4'10' = 355'50' Ea := 100.000 + 19.057sen 355'50' = 98.615m ... zyxwvuts --------------_ ...... ------------------------------------ ,~, 136 j,\Mf;S CÁRDENAS GRISi\{.f;S CAPITULO 3. DISEÑO GEOMÉTRICO 110R1ZONTA1.:P l.ANTA 137 N e :; N J + JC cos AzJC JC = T L :; 70.184m , AzJC :; 97'00' N e = 148.515 + 70. 184cos 97'00' = 139.962m Er :; EJ + JC sen AzJC Ec = 96.466 + 70.184 sen9raO':; 166. 127m 3.3.2 Curvas circulares com puestas de tres radios I I I , , I La figura 3.47 muestra una curva compuesta de tres radios de longitudes diferentes tal que R¡>Rz>RJ y de ángulos de deflexión principal ¿J" ¿Jz y ¿JJ respectivamente. Los puntos H y O son los puntos comunes a cada par de curvas circulares, o sea, [os dos PCC de la curva compuesta. Para el cálculo y localización de [a curva circular compuesta es necesario determinar la tangente larga TL y la tangente corta Te, así: ,, , I I c'p ,, I I , \ \ ,1 == ,11 + ,1] + ,1, --- --- ----- --- --- 1l == a - PI.G , donde, a ==AB+CO+EF AB:;AH-BH EF == OJF - OJE , entonces, 1l :; AB +CO+ EF -PI.G [[J T L :;AH-BH+CO+OJF-OJE-PI.G Los segmentos AH, BH, CD, OJF, OJE Y PI.G se determinan en los siguientes triángulos rectángulos: Triángulo O,AH Triángulo OzBH t.riángulo OzGO Triángulo OJF_ PT Triimgulo OJEO Triángulo PI. G.PT => AH:; 0IH sen ll, :; R, sen III => BH ee 0lH sen Ll1 :; Rz sen Ll, => GO:; 0 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 20 sen(Ll1 + Llz) :; R 2 sell(Ll r + Llz) => 03F:; OJ.PT sen Ll == RJ sen Ll => OJE == OJO sen(Ll, + Ll2) == RJ sen(Ll, + Llz) => PI.G == PIPT GOS Ll == Te cos Ll Figura 3.47 Elementosde una curva '<l.r~ularc ompuesta de tres radios Por lo tanto, en [1]:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA T LzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA == R, sen Ll, - Rl sen Llr + Rl sen(ll, +.1 2)+ RJ sen z- RJ sen(.1 r +.1 2)- Te cos Ll T L = (R r - R 2 )sen .1,+ (R 2 - RJ}Sfn(.1, +.1 2)+ RJ sen .1- Te cos Ll [2] __ --_ . 138 JAMES CÁRDENAS GRISAL[!S G.PT b b :: • Te :: .-sen .1 :: -PI.PT Te sen .1 b = PC.A+BC +DJ Pe.A = PC.O, - Aa, :: R 1 - AO, BC =B0 2 -C02 DJ:: DE -JE = DE -PT.F T. e PC.A+BC+DJ sen Ll , donde, R¡ sen/ Ll- R, cos a . ~_~)+ cos z cas{Ll, + Llz)] (R2 -~l~~_4~enl~, _R,-AO,+B0 1 -C02+DE-PT.F sen .1 senLl [3) T. - RJ(1)-R, cas.1+(~, -R2)COS_(Ll-LlI)+(~? ~J)cas[Ll-(Ll, L sen.1 Luego: => B02 :: 02H cos Ll, = R2 cos .1, Tn'ánguJa02CD => CO2 :: O 2 cos{Ll, + .12):: R 2 cas{Ll, + Ll2) Triángulo OJEO => DE = OJD cos{Ll, + Ll2) = RJ cas(Ll, + Ll2) Triángulo OJF.PT => PT.F :: OJ.PT cas Ll :: RJ cas Ll T. _ RJ - R,_:as.1 +_(R,- R1)cas(Ll1 + LlJb-_(~ - ~~)cos LlJ L sen Ll ° Las expresiones anteriores para Te y T: sólo son válidas condición de que R,>R2>R¡, en ese orden. Por lo tanto, en [3]: cas Ll, + Rz cas Ll, :-R?_c9~_(A!~1!!5L~E~{~' sen Ll + Ll?l: ..RJ..:as Ll . Te = R, - RJ cas Ll- {R, - Rz)cas Ll, - (Rz - RJ~as(~c: Llz) senLl larga T L se obtiene reemplazando + Ll?lI en los siguientes Triángulo 02BH La tangente + T. _ RJ(sen2 .1 ....c as2 Ll}::_R,cos Ll~ R, - Rl )~~n_.1__ sen ~I + cas Ll cos Ll,) .;L sen Ll => AO, :: O,H cas Ll, = R, cas Ll, Luego: RJ)sen Ll sen{.1, + Ll2) sen .1 139 RJ C.9..~ 2t1+ (RI_:"~? ).~?~~ cas_Ll.0'_(RC ~J)ca~ Ll cas(.1, -t- D 1) sen Ll Triángulo O,AH t?! -R, HORIZONTAL: PLANTA - L - Los segmentos AO" B02, C02, DE y PTF se determinan triángulos rectángulos: Te:: R 2 ).~~~ Ll sen Lll.+~? T. _ ~'.- _---------- la ecuación (3-23) (3-23) en , donde, TE = T, + x sena T L = {R, -Rz )sen Ll, + (R 2 - RJ)sen{Ll, + ..12)+ RJ sen Ll- R! ..RJ cas .1.. {R, - R2)cos.1, - (R2 -RJ)cos{il, + .1z)](cas .1) [ sen Ll bajo la Sin embargo, un caso más general es aquel en el cual .I'h'III/)/'<' el radio de la primera curva es R" el de la segunda R2 )' (;1 d..: la tercera R), cualquiera sean sus longitudes: como por ejemplo, el mostrado en la Figura 3.48. En esta situación, es más conveniente denominar las tangentes de la curva com puesta como tangente ele: entrada TE o del lado del PC y tangente de salida Is o del lado del PT. Dichas lang':III,,'S se calculan así: _x_ =zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA T, ~7]_!l' •esto cs, (2]: (3-2-1) zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA La tangente corta Te, en el triá~~tllo rectángulo PI.G.PT, es: CAPiTUl.O l. DISEÑO GEOMtTRICO .... sen{1 TE :: T. + (!, :- T1 + _.I'_lsen~ sen{1 I _L sen LlJ = Tz+T J sen p , pero, ~ - t '-~~l- I. .~ Izyxwvutsrqponmlkjihg "f~-." JAMES CÁRDENAS 140 GRISAI.ES CAPiTULO 3. DISEÑO GEOMETRICO HORIZONTAL: PLANTA p = 180· - 11 • sen ~ = sen(180· -1I)= 141 . sen il (3-25) Para la tangente de salida se tiene: _[r. a-,+z+ X (T 2 + i J)sen ilJ sen il, ) ( )-sen ilz + I1J sen il t. _b _ = T 2 "+ TJ sen 112 sen p (T2+ TJ)sen il2 •b sen(il2 + ilJ) zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJI (3-26) Los valores de las tangentes simpleszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJ T" T2 y TJ se calculan en cada curva como: . 11 T, = R, tan _ !. 2 Figura 3.48 C aso general de una curva circular com puesta de tres radios p = 180· - a:(lI,+l1J} (1I 2 + 1I¡) sen~ •sen p = sen[180· - .sena=sen(lIz+l1 J) = R 2 tan il2 2 T J = RJ tan ilJ t, = T, +[T, + T, + (T 2 + T~)se~~J.](S:!!3) senp T2 2 (1I 2 + lIJ )]= sen(1I + lIJ) 2 ! Dependiendo del valor de las longitudes de los radioszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQP Rt, Rz y RJ,en la :; Figura 3.49 se presentan las seis posibles configuraciones. JA~IES C'\RDENAS 142 GRI5ALES 1·1.; CAPITULO 3. DI~E:;:lJ GEO~1I3TRJCU IJORIZON r..\I.: I'LN:T ..\ ·EJEMPLO 3.23: Elementos compuesta de tres radios geométricos de una curva circular Datos: Para la curva compuesta de tres radios de la Figura 3.50. la ubscisa dc l pe es KO+OOO. También se conocen: = 80'0 = 30'0 = 29'0 = 112m = 87m = 69m Calcular: a) Los elementos geométricos para trazar In curva. b) La abscisa del PT de la curva compuesta. Solución: a) Elementos geométricos para trazar la curva Para trazar la curva se necesita conocer las tangentes larga y corta h )' Te, lo mismo que las tangentes simples TI, T¡ y h Entonces: Tangente larga: Tt Según la ecuación (3-24): Tl =zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA RJ -.!!L ~ ~ :.(~ :!??)~~~l_+ I ~J):(~ .¡-R}~o~_ LlJ. sen Ll LlJ = .1- .1 1- Ll¡ = 80' - 30' - 29' = 21' D T. = 69 -112 cos 80' + (112 - 87)COS(29' + 21')+ (87 - 69)cos 21' = 83.697m l sen 80' Tangente corta:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Te Según la ecuación (3-23): C asos de curvas circulares com puestas de tres radios zyxwvutsrqponmlkjihgfe Figura 3.49 IM.IES CARI)ENAS GRISAI.ES 14~ _ R, -RJ COS Te 112 -69cos T. - .. e - -- 6-(R,-R¡)c0S 6, -(R2 -RJ)cos(~ sen 6 - + 6 1) 80' - (112-87pos 30' - (87-69¡COS~~: ~ ------.-. - ..- ..---sen 80' = 70.163m CAPiTULO J. DISEÑO GEOMÉTRICO HORIZONTAL: PLANTA Tangente de la primera curva: T, 6 30' T, = R, tan _!_ = 112 tan - = 30.010m 2 2 Tangente de la segunda curva: Tz 29' ¿l Tz = Rz tan _.1 = 87 tan - = 22.500m zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE 2 2 Tangente de la tercera curva: TJ LI T J = RJ tan ; = 69 tan 21' 2" = 12.788m El trazado de dicha curva se realiza así: Marcado el PI se mide el ángulo .1 y se identifican el PC y el midiendo las tangentes T: y Te. El PI, se obtiene midiendo T, dirección de la tangente de entrada. Situados en el PI, se mide ' ángulo .1, y en esta dirección se mide T, y h quedando marcados PCC, y el PII. Luego a partir del PI? se mide el ángulo dz y en dirección se miden Tz y h quedando así marcados el PCC¡ y el PIJ., . Como chequeo, si el trazado se ha realizado con toda la precisión ~ posible, el Pb deberá caer exactamente sobre la dirección de la tangente de salida. Por último, se trazan normales en el PC, PCCr, PCC? y PT obteniéndose los centros O" o, y OJo b) Abscisa del PT Abscisa del PT = Abscisa del PC + L" + L.? + L'3 Longitud de la primera curva: L" I ..., = 11RA = 11(112)30' =58.643m 180' 180' Longitud de la segunda curva:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGF Lsz_.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH I Figura 3.50 Ejemplo de una CUNa circular compuesta de tres radios ... 2 = 11Rztl¡=zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC "(87)29' = 44.035m 180' 180' 11zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXW 146 JAMES CÁRDENAS GRISAlES CAPiTULO 3. DISEÑO GliOMETHICO IIORIZONTAl. I'I.ANT.\ 1·17 '_ Calcular: Longitud de la tercera curva: L'J L Las abscisas y coordenadas del pe y PT. = TTR,llJ= TT(69)21'= 25.290m ,3 180' 180' Solución: Luego: Abscisa del PT = Ka +000+58.643+ 44.035+25.290= Ka + 127.968 De acuerdo con la Figura 3.52, se tiene: Abscisa del pe: EJEMPLO 3.24: Elementos de curvas circulares compuestas de dos v • donde, tres radios Abscisa del pe = Abscisa del PI· T l - y Datos: Abscisa del: PI Además de la información da en la Figura 3.51, también se conocen: Abscisa del PI L1zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = 121<[) LI, = 24 <[) Ll2 56 <[) Abscisa del PI = K2+428.370 Tangente lama: t. Esta es la tangente larga de la curva compuesta de dos radios R, )' Rl. Según la ecuación (3-22), se tiene: = Coordenadas del PI = 500N, 500E = K2 + 428.370 T l= R2 - R, ~9~§+(R, sen/J' R,=124m ,R¡=71m Tl = 71-124eos80' ~Ble~_~1 ,ll¡=56'O +(124-71J;os5~: ,ll'=ll,+ll¡=24"+56'=8V'O =80.325m sen 80' Distancia: yzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA + T¡)sen /JJ _Y_=!~..!!J ,y-_ (Te ...... _...._-sen llJ sella sena Te es la tangente corta de la curva compuesta de dos radios R, y R,. que según la ecuación (J· 21) es: Te = !!.'_~~2c es ll'-(R, - R2J;os sen /J' \ TC r> , \ = 124 -71 C_OS ll, '0.to.~24' = 64.229m 80' - (1_24_ sen 80' T3 es la tangente de la curva circular simple de radio R3, cuyo valor es; Figura 3.51 Ejemplo 3.24 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA I i CAPITULO 3. DISEÑO GEOMÉTRICO HORIZONTAL: PLANTA 149 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA JMIES CARDENAS GR1SI\I.ES 14~ A bscisa del PT: Abscisa del PT = Abscisa del PC + L" + L'2 + L.J PT , donde, ~ Abscisa del: pe Abscisa del PC ,. K2 + 267.694 Longitud de la primera curva: L" L = "R,ll, = "(124)24' ,. 51.941m 180' ti 180' Longitud de la segunda curva: 42 I ,. "R 2 L\2 ....2 180' = "(71)56' = 69.394m 180' . Longitud de la tercera curva: LsJ 0, L. = rrRJllJ = "(109)41" = 77.999m 180' J 180' Luego: Abscisa PT = K2 + 267.694+ 51.941+ 69.394+ 77. 999 = K 2 + 467.028 Figura 3.52 Curvas circulares compuestas de dos y Ires radios C oordenadás del pe: N Fe .R¡ =109m TJ = 109 tan 0= y 180' -ll 41' 2 ,L\J =L\-ll'=121' -80' =41' ,. N PI + PIPe cos AzP l.pc PI.PC = y.+ T l = 80.351 + 80.325 '" 160.676m -121' = 59' , por lo tanto. = (64.?2~+ 4E.:~~)se.~i"'" 80.351m -14' -180' sen AzPlPC EFe =500+160.676sen166' = 538.871m C oordenadas del PT: sen 59' -. N pT = N zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA PI +PI.PT cos AZ PI.PT PIPT "'x+ pe ,. K2 + 428.370·80.325·80.351", K2 + 267.694 TJ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPON Luego: Abscisa = 360' N Fe = 500+ 160.676cos 166' =J44.097m = 40.753m zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAEFe = EPI + PIPC . = 180' ,Az PI.pc .' ~,.- . = 166' . U ''1 150 JAMES CÁRDENAS GRISALES ,_ _X_=_y_ sen!J' sen !J 3 ,X=ysen!J' = 80.351sen 80' sen!J 3 sen 41' PI.PT =120.615 + 40.753 = 161.368m ,AZp¡.Pf Ts = 120.615m = tl-14' = 121-14 = 40.753 + [26.357 + 37.751 + (37.751 + 40.753)sen 41' ]( sen 24'--,\ , sen(56' + 41') se1l121') (37.751 + 40. 753)sen 56' = 107' sen(56' + 41' ) Ts = 161.367m N pf = 500 +161.368 cos 10r = 452.821m E pf = E p¡ + ~.PT sen A zpl.P f E pf = 500 +1-51.368sen 107' = 654.317m ~ ESTABILIDAD TRANSICiÓN T s = PI.PT = 161.368m LA MARCHA, PERALTE Y Para ángulos de deflexión principal M6", en el caso de (fuo!no puedan evitarse curvas circulares simples, se recomienda utilizar las de los radios mínimos dados en la Tabla 3.71 7 1. Tabla 3.7 Radios para deflexiones pequeñas , donde, sen!J = R, tan !J_t = 124 tan -24" = 26.357m 2 Con el propósito de proporcionar seguridad. eficiencia )' lIlI diseño balanceado entre los elementos de la vía desde el punto .1..: vista geométrico y fislco, es fundamental estudiar la relación existente entre la velocidad y la curvatura. !J 56' T 1 = R, tan.::l = 71 tan - = 37.751m 2 tl T, = RJ tan...l. 2 1: 2 41' = 109 tan- = 26.357 +[26.357 2 = 40.753m , por lo tanto, + 37.751 + (37.751 + 40.753)sen 41' Isen(56' sen(56' + 41') E + 41' )] sen 121' F=ma Igualmente, la tangente de salida Ts; de acuerdo a la ecuación (3-26), =T s J + f + T + (T, + TJ}sen tlJXsen !JI) + _(T,+ TJ}sen !J, 1 sen(!J, + !J,) sen tl sen(tlz + !JJ} , esto es, Donde: m M asa del vehículo. = Aceleración radial, dirigida hacia el centro de curvatura. a zyxwvutsrqpo r. '.~ j ,;¡ ;; ~ l· .. , . Cuando un vehículo circula sobre una curva horizontal, actúu sobre el zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYX unajuerza centrífuga F que tiende a desviarlo rndialmente hacia fuera de su trayectoria normal. La 'magnitud de esta fuerza es: Te = 160.675m es: 1I zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT Para la curva compuesta de tres radios, la tangente de entrada Te, de acuerdo a la ecuación (3-25), es: TE = T, + [TI + T 2 + (T, +{, )sen )' ][ sen(tl, + !J,)] EN 3.4,1 Desplazamientode un vehículo sobre una curva circular TE = pe.P1 = 160.676m 2 ..zyxwvutsrqponmlkjihgfedc }' Los resultados anteriores arrojan los siguientes valores: T, ."'\ r~ ~4 Chequeo de las tangentes de entrada y salida: h y I» sen tl, + tl J 15 I CAPiTULO l. DISEÑO GEOMÉTRICO IIOI!lZONTAL: l'l.t\NTA JAMr:S CÁRDENAS GR1S!\LI'S 152 Pero. la masa m y la aceleración radial m= 8 son CApiTULO J. DISEÑO GEOMtrRICO HORIZONTAL: PLANTA 153 iguales a: VI W .8 = 9 . R Donde: Peso del vehículo. Aceleración de la gravedad. Velocidad del vehículo. Radio de la curva circular horizontal. W 9 V R w F igura 3.53 Por lo tanto: F- E fecto de la inclinación transversal de la calzada sobre un vehlculo circulando en curva Las componentes normales y paralelas de las fuerzas W y F se defin wvI zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (J-'27) como: • en gR En esta última expresión se puede ver que para un mismo radio R. la fuerza centrífuga F es mayor si la velocidad Ves mayor, por lo que el ~((!C¡O ce,,¡r((IIf!,(I es más notable. La única fuerza que se opone al deslizamiento lateral del vehículo es la.!itaza defriccián desarrollada entre las llantas y el pavimento. Esta fu e rza por sí sola. generalmente, no es suficiente para impedir el deslizamiento transversal; por lo tanto, será necesario buscarle un complemento inclinando transversalmente la calzada. Dicha inclinación se denomina pera/le. Si sobre una curva horizontal de radlo R un vehículo circula a una velocidad constante V, según la ecuación (3-27), el peso W y la fuerza centrifuga F son también constantes, pero sus componentes en las direcciones normal y paralela al pavimento varían según la inclinación que tenga la calzada, tal como se aprecia en la Figura 3.53. l'ara la situación anterior, las componentes normales de las fuerzas W y F son siempre del mismo sentido y se suman. actuando hacia el pavimento. contribuyendo a la estabilidad dcl vehículo. Por el contrario. las componentes paralelas de W)' F son de sentido opuesto y su relación hace variar los efectos que se desarrollan en el vehículo. Componentes normales al pavimento. Componentes paralelas al pavimento. De ~ta .manera, dependiendo de la relación entre W p y los sigurentes casos: t,, se presentan Caso O: W,=O y F La calzada es horizontal, esto es, no hay inclinación transversalzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWV alcanza su valor máximo F. P Caso 6: Wp=Fp , Figura 3.54 En este. caso, la fuerza resultante F+Wes perpendicular a la superficie del pavimento, Por lo tanto, la fuerza centrífuga F no es sentida en el ~ vehículo. La velocidad a la cual se produce este efecto se le llamazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXW veloadad de equilibrio. Caso O: W,<P p , Figura 3.55 En este caso, la fuerza resultantezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB F+W acrüa en el sentido de la fuerza centrífuga F. ,. j~ I 154 J,\M!;S CÁRDENAS GRISi\L!;S ._ .~. CAPiTULO J. DISEÑO GEO~ltmuco Caso O: Wp>Fp , figura IIORIZONTAI.: ¡'U \N T iI (5) 3.56 En este caso, la fuerza resultante F+W actúa en el sentido contrario de la fuerza centrífuga F. Por lo tanto, el vehículo tiende u deslizarse hacia el interior de I¡¡ curva. Volcamieuto de este cuso ..:~ típico en vehículos pesados. Figura 3.54 I . Caso Wp=Fp Figura 3.56 Caso Wp>Fp 3 .4 .2 V e lo c id a d , c u rv a tu ra , p e ra lte y fric c ió n la te ra l Figura 3.55 Caso Wp<Fp Por lo tanto, el vehículo tiende a deslizarse hacia el exterior de la curva, pues se origina un momento en sentido contrario al movimiento contrario a las agujas del reloj. Volcamiento de este caso es típico en vehículos livianos. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ I Existen dos fuerzas que se oponen al deslizamiento lutcrul lit: UII vehículo, la componente zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED W p del peso y la fuerza de fricción uunsversul desarrollada entre las llantas y el pavimento. lgualrnentc para ayudar a evitar este deslizamiento, se acostumbra en las curvas darle cierta inclinación transversal a la calzada. Esta inclinación denominada peral/e, se simboliza con la letra B. Por lo tanto, de acuerdo con las figuras anteriores: tan 9 e = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Dependiendo de la relación entre las componentes anteriormente, se plantea lo siguiente: (3 -2 8 ) y. l:1l1l10 se VIO zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CApiTULO J. DISEÑO GEOMÉTRICO HORIZONTAL:PLANTA JAMES CÁRDeNAS GRISALES 156 Pero también se sabe que: A la velocidad de equilibrio: Fuerza de fricción = Fuerza norma/(Coeficiente de (ricción) Según la Figura 3.54. se tiene que: Por lo tanto, denominando se tiene: F p -W p = (F. +W.)fr Wp =:F p Wsen9=Fcos8 -= lana sene =: cosa F W por (1' el coeficiente de fricción '1'---- _Fp-Wp F.+W. Reemplazando 1<15 ecuaciones (3-27) y (3-28): WVI ()_ e= . esto gR En la práctica para valores normales del peralte, la componente muy pequeña c?mparada con la eomponente W., pOI' lo que se I es, despreciar. Luego: W zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA V' '1' F = (3-29) p - a~W sen a ~ f cos a _ W sen a = f.. -tan a wcosa W cos9 wcosa W Wp F cos W. gR F 'r=--e Donde el peralte e es adimcnsioual, la velocidad V 2se expresa en Km/h, el radio R en metros, y 9 es igual a 9.31 m/seg. Por lo tanto, W convirtiendo unidades se llega a: VI Kml/hl e= e =: 9.BI-R (;;/ reemplazando ¡,w2 gif seg 1 )m TI' = -- - W (Kml /mIXsegl/1/XI000m/1 ~ transv KmY(1 h/3600segf gR - e • esto es, (3 gR (3-30) e= .- VI. e=- V1 e+'r = - 9.BIR VI la ecuación (3-27): 127 R Convirtiendo A velocidades diferentes a la de equilibrio: unidades:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE V2 8+fr = - - I La resultante deberá ser desarrollada paralela (Fp'Wp) actúa hacia la i.'lq:l~erda, por lo que resistida por una fuerza de Fricción tra~svers~l F, entre las llantas y el pavimento y que actúa hacia la ; , V2 127 R (3- -. La situación más común que se presenta en la práctica es aquella e cual la mayoría de los vehículos ci.rculan velocidades superiores a Fp-Wp=F, ........ Para elzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Caso 4,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA W¡>Fp, o lo que es lo mismo (Fp-Wp)<O, según la Fi¡ 3.56, par homología se llega a: 8-(1'=- derecha. Esto es: zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPON (J. 127R Parn el Caso J, Wp<Fp, o lo que es lo mismo (Fp'Wp»O, en la figura ) .55. se puede ver que: ... t l' :.( 158 (APITUI.O l. DIS¡;};,) GCOMéTRICO IIOKIZüNT.-\L.PL.-\)';T.-\ JA~IES C,\RDENAS GRISi\LES velocidad de equilibrio. En este sentido, para efectos de diseño. expresión más utilizada es la de la ecuación (3-32) para el Caso 3. ejemplo. estableciendo el peralte correspondiente a una curva de 1111 determinado radio con base en su velocidad específica y no en función de la velocidad de diseño que puede llegar a ser muy inferior, la Aunque la velocidad de diseño o de proyecto siga siendo el parámetro básico e inicial del diseñ¿ ....geométrico. seleccionada estrechamente con las condiciones físicas de la vía y su entorno y, por tanto, con el nivel de velocidad alque van a desear operar los conductores, y que condiciona las características mínimas de los parámetros geométricos, no se puede seguir suponiendo que los conductores van a conducir siempre sus vehículos manteniendo esa velocidad, por lo que hay que estimar las velocidades de operación que pueden llegar a desarrollar a lo largo de cada uno de los elementos del alineamiento, diseñándolos en correspondencia con ellas y así garantizar la seguridad y comodidad de los usuarios de la carretera. Cuando un vehículo circula por una curva horizontal se le debe permitir recorrerla con seguridad y comodidad a la velocidad de operación o específica por la qlle opte al afrontarla. La seguridad se introduce en el diseño garantizando la estabilidad del vehículo ante fuerza centrífuga que tiende u desequilibrarlo hacia el exterior de la curva, oponiéndose a ella el peralte o inclinación transversal de la calzada y la fricción transversal movilizada entre las llantas y el pavimento. "1 Por tanto, para cada velocidad de operación o específica V, se adopta un coeficiente de fricción transversal rnovilizable que sea seguro en condiciones críticas fTm~" como son pavimento mojado y estado desgastado de las llantas, y un peralte suficiente e m•t, obteniendo así el radio R m in de la curva que genera la fuerza centrífuga que se puede contrarrestar con estos valores seleccionados. Como una primera aproximación a las velocidades de operación se pueden emplear las ve/Deidades específicas de cada uno de los elementos geométricos, por ejemplo, de curvas en planta, siendo éstas las velocidades inferidas de las características geométricas resultantes con base en. los. mismos criterios de seguridad y comodidad considerados para la aplicación de la velocidad de diseño. Es decir, que la velocidad específica de una determinada curva con radio superior al mínimo correspondiente a la velocidad de diseño del tramo, será equivalente a la velocidad de diseño que tuviera asociado En otras palabras, el radio mínimo R.o." es el límite par u una velocidad específica V. dada del vehículo, calculado a partir del peralte máximo em.u zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y del coeficiente de fricción transversal máximo fr."", según la ecuación (3-32), como: ese radio como mínimo. (3-3· 1) Por lo tanto, la velocidad específica de lin elemento de diseño, es la máxima velocidad que'. puede mantenerse a lo largo del elemento considerado aisladamente, en condiciones de seguridad y comodidad, cuando encontrándose el pavimento húmedo y las llantas en buen estado; las condiciones meteorológicas, del tránsito y las regulaciones son tales que no imponen limitaciones a la velocidad. Entonces, existirá toda una sucesión de velocidades específicas asociadas a cada uno de los elementos geométricos, no pudiendo ser nunca inferiores a la velocidad de diseño del tramo. Diseñando con las diferentes velocidades especificas siempre se mantendrán los márgenes de seguridad y comodidad dentro de cada elemento. Por Según el Manual de Diseño Geométrico para Carreteras del lnstituro Nacional de Víasf7l, en la Tabla 3.8 se presentan los radios mínimos absolutoszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Rmln, calculados con la ecuación (3-34), para las velocidades específicas indicadaszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA V ., los peraltes máximos recomendados e".u y los coeficientes de fricción transversal máximos fTmix. • A aquellas curvas con radios mayores que el radio mínimo, se les debe asignar un peralte menor en forma tal que la circulación sea cómoda, tanto para los vehículos lentos como para los rápidos. J.\.\IES Tabla 3.8 e \RI>FN \~ UllIS.\I.f:S CMÍTULO l. DISERO GEOMÉTRICO HORIZONTAL:PLANTA 161 V./oc/dad Elpocfflca (K m /h) Radios minimos absolutos zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 160 ~~$~O~~.!O~~~ ,r~,~--+---~--~--~--~--~---r---+---+---+--~--~6_ ~I~~~'!.0~~I~JO~~I~Z~O~I~I~0~~'00~~JÉO~~'EO~~'~0~~6~0 10Q() ~ ~ 'r_--+---~--~--~--~--~--~--~---k---k--~--~.OQ() 8.0 8.0 0.157 0.149 7.5 7.0 6.5 0.141 0.133 0.126 J_ ~'L---+---~--~--~---r--~---r---?:~ ~-+:---+--~--~ 'j/f ... ' , ~r ~~--+---7---~--~--~--~--~!~--~' --~'--~--~--~1000 !:::~ I:I:{:: I lit I 1 I ....I 1 1... .JI t I I I T: -4I : r --- t--- -:---- t- - --:--- -t -- - ' - --+- --¡---- r---i-- - -~ --~I I __ ...... I __ ~I ...I , 1 I'- , _ 1000 JOO 100 100 Y--:N...-L _ { .. ' L_L __!_N.~ _ L : El ábaco de la Figura 3.57 establece una relación única entre los elementos de diseño: radio, peralte y velocidad. Permite obtener el peralte e y el radio R para una curva que se desee diseñar para una velocidad específica V. determinada. Igualmente permite establecer el peralte e y la velocidad específica V. para una curva que se desee diseñar con un radio R dado. L__ I /.-- -'- I ~ .o .. ~ I :.. I __ ~ __ I ~ I ~ ~ J_ - __ '- 1 J I :~" __ ~ .00 t : L I I_ !I I :_ La sección transversal de la calzada sobre un alineamiento recto tiene una inclinación comúnmente llamada bombeo normal, el cual tiene por objeto facilitar el drenaje o escurrimiento de las aguas lluvias lateralmente hacia las cunetas. El valor del bombeo dependerá del tipo de superficie y de la intensidad de las lluvias en la zona del proyecto, variando del 1% al 4%. ~oo I I I I , • l. I I , I I I lit I I I I I t I I I I I l' , I I :! :S ~ zoo -- t - -i- ..-:--- ~ --i ..- · + --t- -i--- -- ------ --. --- ~----:-..-I 100 JO 10 10 10 ~~_r~--~-+--r--r~--+----------+----~~~,~~ zyxwvutsrqponmlkjihgfed ~r__r~--~_+--r__r_4--+_--------~------~~~ so ~r_~~--+__+--~~~--+_--------~-------'\~~ 40 ~~+-~~-r-+-+~~r-------~------~\JO ,, ,, , ¡ • , zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO Así mismo, la sección transversal de la calzada sobre un alineamiento curvo tendrá una inclinación asociada con el peralte, el cual tiene por objeto, como se vio anteriormente, facilitar el desplazamiento seguro de los vehículos sin peligros de deslizamientos. _ ~,""',' : ' --{--,---~--t--i---r--t--i--------~---~---~----r---· "\. 3 .4 .3 T ra n s ic ió n d e l p e ra lte 600 _ ~ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM L 1 _ : ''"''''- ; : .. $00 L L _ ~_---:_--L--N_--: /1 : ~ , I I I , i f i ,, ,, ,, ,,, I ¡ ¡ i , J 4 1 20 , o Porall. (X) -. Figura 3.57 Relaci6n Peralte-Radio y Velocidad específica- Radio lf_ Ilu _ N a c lc N lillV Ia . _do zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXW DisoJIoGoom6fricopn c .r .{ " ,. .. B ogatt 199&1 . l zyxwvutsrqponmlkjihgfedc ------------.~.------------------------- JAMES C,\ROENAS GRISALES 162 1(,3 Para pasar de una sección transversal con bombeo normal a otra con peral le, es necesario realizar un cambio de incl~nación de la calzada. Este cambio no puede realizarse bruscamente. SIOO gradualmente a lo largo de la vía entre este par de secciones. A este tramo de la vía se le llama transicion de peraltado, Si para el diseño de las curvas horizontales se emplean curvas espirales de transición, las cuales se estudiarán más adelante: la transición del peraltado se efectúa junto con la curvatura de la espiral. Cuando sólo se dispone de curvas circulares, se acostumbra a realizar una parte de la transición en la recta y la otra parte sobre la curva. Se ha encontrado empíricamente que la transición del peralte puede introducirse dentro de la curva hasta en un 50%, siempre que por lo menos la tercera parte central de la longitud de la curva circular quede COIl el peralte completo. Para realizar la transición del bombeo al peralte, pueden utilizarse tres procedimientos: 1) Rotando la calzadaalrededor de su eje central. 2) Rotando la calzada alrededor de su borde interior. 3) Rotando la calzada alrededor de su borde exterior. El primer procedimiento es el más conveniente, ya que los desniveles relativos de los bordes con respecto al eje son uniformes, produciendo un desarrollo más armónico y con menos distorsión de los bordes de la calzada. La Figura 3.58, muestra en forma esquemática y tridimensional, la transición del peralte de una curva circular, rotando la calzada alrededor de su eje central, donde: L., N L e Longitud de transición. Longitud de aplanamiento. Longitud de la curva circular. Peralte necesario de la curva circular. La longitud de transición L, por simplicidad, se considera de.sde aquella sección transversal donde el carril exterior se encuen~a a nivel o no tiene bombeo, hasta aquella sección donde la calzada llene t~do su peralte e completo. La longitud de aplanamiento N es la longitud necesaria para que el carril exterior pierda su bombeo o se aplane. Figura 3.58 Transición del peralte En términos generales, en las curvas circulares, con tramos sin espiral. la transición del peralte se desarrolla una parte en I¡¡ tangente y la otra en la curva, exigiéndose en elzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED pe y en el PT de la misma entre un 60% y un 80% del peralte total, prefiriéndose valores promedio de este rango. Por comodidad y apariencia, se recomienda que la longitud del tramo donde se realiza la transición del peralte debe ser tal que la pendiente longitudinal de los bordes relativa a la pendiente longitudinal del eje de la vía no debe ser mayor que un valor zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJI m. En este sentido, m se define como la máxima diferencia algebraica entre las pendientes longitudinales de los bordes de la calzada y el eje de la misma. La Tabla 3.9 presenta los valores máximos zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJ y mínimos recomendados de esta diferencia en función de la velocidad especificar". En la Figura 3.59, aparecen las mitades de las secciones transversales en bombeo y en peralte, lo mismo que el perfil parcial de la transición, donde se observa: 16-1 J"~II'S CARI)E:-<AS GRIS r\I.ES VELOCIDAD ESPECiFICA V. Kmlh 30___ -40 SO 60 70 80 90 100 110 -;.12=::O __ -~_-_-_ 130 140 150 1 PENDIENTE REtA TIVA DE LOS BORDES CON RESPECTO AL EJE DE LA V(A m MAXIMA % MINlMA r~~\ 1.28 0.96 0.77 064 0.55--0.50 0.1(calril) 048 O,4S 0.42 3 DISE:\:O GEO:-'IETRICO HOR1ZO:-<TAI.: PL ..INTA 165 En el triángulo rectángulo B'E'G: B'G 1 E'G=ñi Pero, B' G = L, Y E' G = Carril(e), entonces, L, = Carril(e) m (3-35) En el triángulo rectángulo AFB: N -= - 1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Valores máximos y minimos de la pendiente relativa de los bordes de la calzada con respecto al eje Tabla 3.9 CAPiTULO AF zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA m ---0.40-- Pero, AF = Carril(Bombeo). 0.40 0.40 0.40 N entonces, = Carril(Bombeo) (3-36) m - EJEMPLO3.25: Abscisas y posición de los bordes en la transición dei peralte de una curva circular simple A' Datos: Para el diseño de una curva circular simple en una carretera principal de una calzada, se dispone de la siguiente información: ....... AJ Y::J eoml (Bomb••) L-c~ I I I I I ci~ ...!J! I I I I I .l'------..._-----! 'e'0" 0.0 m."tU .,. .1 60 KmIh Velocidad específica =zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Radio de la curva =zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Rmín Deflexión al PI = ¿I = 106 "30'0 Cuerda unidad = c = 10m -í Abscisa del PI = K6+582.930 Ancho de la calzada = 7.30m (dos carriles) Bombeo normal = 2% = 70% en recta Transición ,,_ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA V~y- Calcular: Los elementos, las abscisas y la posicién de los bordes con respecto al eje en aquellas secciones importantes en la transición del peralte de Figura 3.59 - - ----------------- .... _ - . zyxwvutsrq -- Secciones transversales y perfil parcial de la transición del peralte 166 ¡A,\IES C,\ROENAS GRISALE~ esta curva, tanto a la entrada como a la salida, si la rotación de la calzada se realiza alrededor del eje, 167 Pendiente relativa de los bord.::s: m Según la Tabla 3.9, para una velocidad especifica oe 60 Km/h, y utilizando el valor máximo. se tiene que: Solución: al CAPITULO 3. U1SENO GEO;l.IE1'KiC()IIORIz'üN'I AL. PL..\NT ..\ m=0.64%. Elementos Longitud de transiciÓn: L, Radio mínimo: Rmin De acuerdo con la ecuación (3-35): Como se tiene una curva de radio mínimo, según la Tabla 3.8, para una velocidad específica de 60 Krn/h, su valor es: _ Carrit(em.u) = 3.65m(8.0%) = 45.625m m 0.64% L, - Rmin=120m Longitud de aplanamiento: N Peralte máximo: e mU De acuerdo con la ecuación (3-36): También de acuerdo con la Tabla' 3.8, para una velocidad específica de 60 Km/h, su valor es: ema. =8.0% N Carri/(Bombeo) = 3,65m(2.0%) = 11.406m m 0.64% b) Abscisas en secciones importantes de la transición -.' - ~. Tangente: T L1 T =Rtan2"= Jl 106'30'J 12v tan-2- =160.699m Grado de curvatura: G e G. = 2 arcsen c 10 -= 2 arcsen~) 2Rmm 2,120) = 4'46'33.71" Para una mejor comprensión en el cálculo de estas abscisas <:s recomendable realizar un dibujo en planta de: la curva, que muestre sus respectivas tangentes y la transición del peralte, tal C0l110 lo representa la Figura 3.60, para la cual: Abscisa donde termina el bombeo normal: sección a-a-a' Abscisa = Abscisa pe - O. 71., - N Abscisa = K6 + 422.231-zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA O, 7(45, 625)-11.406 = K6 + 378.888 Longitud de la curva: Le L. = cL1 = 10(106'30')_ Ge Abscisa donde el carril exterior se aplana: sección b-b'-b" Abscisa = Abscisa PC - O.71., Abscisa = K6 + 422,231- 0.7(45.625) = K6 + 390.294 4'46'33,71' -222.989m Abscisa del: PC Abscisa del PC = Abscisa del PI- T = K6 + 582.930-160.699 = K6 + 422.231 Abscisa zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = Abscisa sección b - b'-b' +N Abscisa = K6 + 390.294+ 11.406 = K6 + 401.700 Abscisa del: PT Abscisa del PT = Abscisa Abscisa donde el peralte es igual al bombeo: sección e-c-e'zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT del pe + Le = K6 + 422.231 + 222.989 = K6 + 645.220 168 J..\\II:S C.iROFN,\S GRISM.F.S CAPiTULOl. OISE:':OGEO~!I~TRICOIIORI20~T·\L: PLA:-.ITA 169 Abscisa donde empieza el peralte máximo: sección e·e'·e" Abscisa = Abscisa PC + 0.3l., Abscisa = K6 + 422.231+0.3(45.625)= K6 + 435.919 ..=i ...... : ., .. + '" ª! <> ~1 ~I :: Figura 3.61 aa'= aa'= 3.65(0.020)= ... ~ ~ + 9... .. + :: :: Perfil longitudinal de la transición del peralte 0.073m = 7.30cm bb'= bb'= 3.65(0.000) = O.OOOm= O.OOcm cc'= cc'= 3.65(0.020) = 0.073m = 7.30cm dd' = dd' = 3.65(0.056) = 0.204m = 20.44cm Figura 3.60 e) Planta de la transición del peralte P osición de los bordes con respecto al eje La posición de los bordes exterior e interior con respecto al eje en las secciones importantes, se aprecia muy bien dibujando un perfil de ellos. como lo muestra la Figura 3.61. Las diferencias de altura entre los bordes y el eje en las respectivas secciones, se calculan multiplicando el ancho del carril por el peral/e respectivo en cada una de ellas, así: ee'=ee'= 3.65(0.OBO)=0.292m = 29.20cm y cotas de los bordes en la transición del peralte de una curva circular simple EJEM PLO 3.26: Abscisas Datos: En el diseño de una curva circular simple de una carretera secundaria, se conoce: Velocidad específica Radio de la curva -. = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG 50 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJ KmIh = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE Rmin JAMES CAROC:-JAS GRISALES 170 Abscisa del PC Cota del PC Ancho de la calzada Bombeo normal Transición Pendiente longitudinal del eje de la vía = K4+320.470 Longitud de transición: L, = 1500.000m ~ = q_a!~i1e..J = m = 7.30m (dos carriles) = 2% d) 0.77% Longitud de aplanamiento: N N = Carri/(Bombe~) = 3.65_m(2.0.~) = 9.481m m 0.77% b) Cota borde exterior sección del pe Para el cálculo de cotas y abscisas, es recomendable dibujar UIl pcrtil parcial de la transición del peralte, tal C0l110 se ilustra en I:t l· i~llI., 3.62, para la cual: Cota del punto: A Cola de A = Cota PC + PC.A PC.A = Carri/(Pera/te) = 3.65(e') SQlución: a) 3.:.6~~.0:~~) = 37.922m = +8% La longitud de transición y el aplanamiento. La cota del borde exterior en la sección del PC. La cota del borde interior donde toda la calzada tiene un peralte igual al bombeo. La abscisa y las cotas del borde exterior e interior donde empieza el peralte máximo. 171 HOKIZONT..\L: 1'1.,\,',,1..\ = 80% en recta Calcular: a) b) e) CAPiTUl.O 3. DISEÑO GI:OME'I'IIICO Longitud de transición y aplanamiento Según la Tabla 3.8, -para una velocidad específica de SO Km/h, su Para determinar el peralte e'. se observa semejante al triángulo a.APC. Entonces: PC.A 0.8lr --=-CD 1.0lr valor es: CD = Carri/(e m1x) Radio mínimo: Rmln R",~ =80m Cca~r((e') ) = 0.8 ami em1x Peralte máximo: emb También de acuerdo con la Tabla 3.8, para una velocidad específica de 50 Km/h, su valor es: e m,. =8.0% Pendiente relativa de los bordes: m Según la Tabla 3.9, para una velocidad específica de SO Km/h, y utilizando el valor máximo, se tiene que: m = 0.77% PC.A • e' = 0..8 (e mb = 3.65(0..064) = 0.234m Cola de A = 1500..000 +0.234 e) ) que el triángulo = 0.8(B%) = 6.4% BCD ..:s , por lo tanto. , luego. = 150.0..234m Cota borde interior, punto E Cola de E zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = CotadeF ·FE CotaF =CotaPC.0.08(0..8lzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA r -N) Cota F = 1500.000 - 0.08(30.338 -zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 9.481) = 1498.331m FE = Carril (Peralte ) = 3.65(0.02) = 0.073m Cota de E = 1498.331- 0.073 = 149B.258m , por lo tanto, 17:! , \~IES (AH()I.:-',\~ (.¡HIS,\I,ES CAPITUl.O J DISEÑO GEOMrrrRtCO t tORI7.0:-:T.\I.: PLANT" 173 ·f ......l -2X OX I, I r EJEMPLO 3.27: Cotas de los bordes en secciones transición del peralte de una curva circular simple d) de la Datos: En el diseño de una curva circular simple se dispone de la siguiente información: Deflexión al PI Radio de la curva Bombeo normal Cota del eje al final del bombeo normal Pendiente longitudinal del eje de la vía Ancho de la calzada Transición Figura 3.62 especificas Perfil parcial de la transición del peralte = ¿I = 14 "20'D =R=200m = 2% =500,000m =-4% = 7.30m (dos carriles) = 70% en recIa zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA j Calcular: a) La longitud de transición y el aplanamiento. e tiene una b) Si el-tercio central de la curva con el peralte completo zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR longitud mayor que L,/3. e) La cota del borde interior 16 metros antes del pe. d) Las cotas del borde exterior 14 y 45 metros después del PC. Abscisa y cotas para em'l Solución: Abscisa: Abscisa = Abscisa Pe + 0.2L, a) longitud de transición y aplanamiento Abscisa = K4 + 320.470 + 7.584 = K 4~+~2B,054. Cota borde eXlerior: CotadeC DC = Cota de D + DC = Carril(e/O j,) = 3,65(0.08)= Cola de D = Cola PC +0,08(7.584) = 1500,000 + 0,607 ColadeC En el ábaco de la Figura 3.57, a una curva de radio R=200m, le corresponde una velocidad específica de V.=76 KmIh y un peralte de 0.292m = 1500.607 + 0.292 = 1500.899m = 1500,607m e=7.7%. Pendiente relativa de los bordes: m Cota borde interior: ColadeG = Cola de D -DG ColadeG .DG = DC =0.292m = 1500,607 -0.292 = 1500.315m Según la Tabla 3.9, para una velocídad específica de 76 Km/h, Y utilizando el valor máximo, se tiene que, interpolando:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR m=O.52% CAPITULO 3. OISEÑO (¡EO~11inuco IIOI~t,-l)N 1701 r,\l.. I· I.,I~; r,1 17:' Longitud de transición: LI L, .,. qarri/(e) = 3: 65m(7.7%) = 54.048m m 0.52% Longitud de aplanamiento;'foj' N.,. Carril(Bombeo) = 3.65m(2.0%) m 0.52% b) 14.038m Chequeo del tercio central de la curva Lon!!itud de la curva: Ls L = rrRtl = "(200)14'20' '180· 180' = 50.033m L 3 , ~ = 16.678m Longitud de la curva consumida en transición: 30% por el lado del pe y 30% por el lado del pr, para un total de: O.6L, = 0.6(54.048) = 32.429m Longitud de la curva con todo el peralte del 7.7%: Figura 3.63 La parle central de la curva con todo el peralte del 7.7% tiene una longitud de: L,-O.6L, = SO.033-32.429 = 17.604m Cotas de los bordes en secciones especificas SA = Carri/(Pera/le) = 3. 65(e') Para calcular el peralte e' correspondiente triángulos semejantes CE.PC y COS, se tiene: Puede observarse que, el tercio centralde la curva con todo el peralte tiene una longitud de 17.604 metros, mayor que la tercera parte de la longitud de la curva. que es de 16.678 metros. --= -Carri/(e') 14.038 + 7.796 el Carril(5.39%) 37.834 Cota del borde interior 16 m etros antes del pe OS N+x E.PC 0.7L, BA = 3.65(0.03111)= 0.114m ,e' = 3.111% a esta sección, , enlonces, ,por lo tanto, Cola de A = 498.565 -0.114 = 498.451m Según la Figura 3.63, la cota que se quiere calcular es la del punto zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA A. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Cola de A = Cola deS-BA d) Cotas del borde exterior 14 y 30 m etros después del pe Colado B = 500.000-0.04(N +N + x) N ¡.X+16 = O.7L,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ,x = 37.834-14.038 -16 = 7. 796m + 14.038 + 7.796)= 498.565m zyxwvutsrqponmlkjihgfedc Colada 8 = 500.000-0.04(14.038 Cota del punto: G Cola deG = Cola deS -0.04(16 + 14),+ Carri/(e') en los e' - 37.834 + 14 __ .e'::7.385% 7.7% - 37.834+16.214 Cola de G :: 498.565 -o 04(16 + 14) + 3. 65(0.07385) = 497. 635m f'LANTA Solución: Antes de calcular las cotas y abscisas pedidas..es necesario conocer los peraltes, la pendiente relativa de los bordes, y las longitudes de transición y aplanamiento: Cota del punto: H Como puede observarse en el perfil anterior, la sección que contiene el punto H se encuentra en el tercio central de la curva. ~I cual posee un peralte del 7.7%. Entonces: Cota de H = Cota de 8 - 0.04(16 + 30) + Carrí/(0.077) Cota de H = 498.565 -0.04(16 + 30) + 3.65(0.077) = 497.006m Peraltes: er. el De acuerdo con la Tabla 3.8. a la primera curva de R,=170m k corresponde un peralte e,=8.0% y una velocidad específica V.,=70 Km/h, y a la segunda curva de Rz=235m le corresponde un peralte e2"7.5% y una velocidad específica V.z=80 Km/h. Pendiente relativa de los bordes: m EJEMPLO 3.28: Transición del peralte entre curvas de igual sentido Datos: Se trata de las transiciones de dos curvas izquierdas, para las cuales se tienen los siguientes elementos: Radio de la curva 1 Radio de la curva 2 Abscisa del PT, .. Cota del PT, Ancho de la calzada Bombeo normal Pendiente longitudinal del eje de la vía Transición para ambas curvas Entre las transiciones de las dos curvas metros en bombeo normal. ,. =R,=170m = Rl" 235m :: K5+992.000 "1000.000m = 7.30m (dos carriles) =2% = -5% = 70~fen-recIa e) Según la Tabla 3.9, a una velocidad específica V.,=70 KmIh le corresponde un mmu,=O.55%, y a una velocidad específica V er80KmIh un mIAixE0.50%. Igualmente, para ambas velocidades el valor mínimo es mmin=O.1(Carril)=0.1(J.65)=0.J65%. Por lo tanto, para uniforrnizar el diseño se adopta el valor de m=0.50% para ambas curvas, valor que se encuentra en el rango de los valores máximos y mínimos de la pendiente relativa de los bordes. Longitudes de transición: Gr. Lrl L" = Carril(e,) = 3.65m(a.0%) = 58.400m m 0.50% L 2 = Carril(e l) = 3. 65m(7.5%) = 54. 750m , m 0.50% existe una longitud de 1S Calcular: a) b) 177 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CAPiTULO J. DISENO GEOMÉTRICO HORllO~TAl: 176 La cota del borde derecho e izquierdo en la abscisa K6+005. La abscisa de aquella sección en la cual se ha logrado un peralte del 3% en el desarrollo de la transición de la segunda curva. La cota del borde derecho e izquierdo para la sección del pelo Longitudes de aplanamiento: NI.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA N2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA N =N = Carril(BombeO) 3.65m(2.0%) -14.600m 12m al Cotas borde 0.50% derecho e izquierdo en la abscisa K6+005 En la Figura 3.64 se muestra el perfil longitudinal de las transiciones entre las dos curvas, con sus peraltes, abscisas y puntos de cotas. 178 CAPiTULO J. U1SEJ\:Uccousnoco HORIZONTAL: 1'1..·\,\11" el 17\1 Colas bordes derecho e izquierdo seccióndel pe¡ Cota borde dc::recho = cota del pUIllO:C ColadeC = Cola del PT, -0.05(0.7L" + N, + 15 + N zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED z +0. nf2)'" Carri/(0,0525) Cola deC:: 1000,000 -0.05(40.880 + 14,600 -1- 15 + 14.600 + 38,325)+ 3.65(0,0525) Cola de C :: 994.021m Cota borde izquierdo = cota del punto: D Cola deC = 1000.000 - 005(40.880+ 14.600 + 15 + 14.600 + 38,325)- 36.5(00.125) Cola de D :: 991638m -----------~ .~ _ ..- - EJEMPLO 3.29: Transición del peralte entre curvas de sentido contrario Datos: Además de la información Cola de A= Cola del PT, -0.05(13)+Carri/(e',) .!L = 27.880 8.0% 58.400 e' = 3.819% ' I Cola de A = 1000.000-0.05(13)+3.65(0.03819)= 999.489m Cota borde izquierdo = cota del punto: B Cola de B = 1000.000 -0.05(13)- 3. 65(0.03819) = 999.211m b) Abscisa para peralte del 3% en la segunda curva Abscisa =? = Abscisa PT, + 0.7L H + N, + 15 + N z + x Abscisa =? = K5 + 992.000+ 40.880 + 14.600+ 15 + 14.600 + x x 3% =-7. ,x = 21.900m 5 4.750 .5% Figura 3.65 = 500.000m = +6% Peraltado en curvas de diferente sentido zyxwvutsrqponmlkjihgfed Abscisa =?:: K5 + 992.000 +40.880 + 14.600 + 15 +14.600 + 21.900 Abscisa = ? = K6 + 098.980 Cota al eje en el PT, Pendiente longitudinal del eje de la vía zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Cota borde derecho = cota del punto: A zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Colas de bordes y abscisas en secciones especificas Figura 3.64 dada en la Figura 3.65, se tiene: GRISAI.ES CAPiTULO J_ DISE:>;O GEOMETRICO C otas en los puntos A, B a) HORIZONTAL: I'I.A¡>;T,\ ye C alcular: a) b) De acuerdo con el perfil de los bordes de la Figura 3.66, se tiene: Las cotas en los puntos A, By C. La cota del borde derecho en la abscisa K2+175. Solución: Para el cálculo de las cotas es necesario tener los peral les y las respectivas longitudes de transición: Peraltes: e, , el De acuerdo con la Tabla 3.8, a la primera curva de Rr=30m le corresponde un peralte e,=8.0% y una velocidad especifica V.,=30 Knvh, )' a la segunda curva de Rz=50m le corresponde también un peralte e¡=8.0% para una velocidad especifica V.¡=40 Km/h. Pendiente relativa de los bordes: m Según la Tabla 3.9, a una velocidad especifica V.,=30 KmIh k corresponde un mm• .r=1.28%,y a una velocidad específica V.z=40 Kmlh un mm~,z=0.96%. Para uniformizar el diseño se adopta el valor de m=0.96% para ambas curvas. .. Longitudes de transición: Lrt, L,z _ Carri/(et) _ Carril(ez) L ,,--------=L'I m 365m(8.0%) m 0.96% 1, ... -ci», C otas de bordes en secciones especificas Cota del punto: A Cota de A = Cola del PTr - 0.06(0.3Lu)- Carril(et) Cola de A = 500.000-0.06(9. 125)-3.65(0.08} = 499. 161m Cota de los puntos: Ay B zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA En este caso, tanto el borde derecho como el izquierdo están a la ,J misma altura, por lo que la sección es plana (del 0%). Peraltes al: PT r y PCz AIPT, = 0.7 e, =0.7(8.0%)=5.6% AIPCz =30.417m - ' Figura 3.66 181 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA J,\~IF.S C\ROI':-;,IS ISO ColazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA de B = Cola de C = Cola del PTt + 0.06(0. lLi!) Cola de zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA B = Cola deC = 500.000+ 0.OS(21.292) = 501.278m =0.7(8.0%)=5.6% Longitudes de transición al: PTt y PCz EnreclaalPTr =O.7L tt = O. 7(30.417} = 21.292m En curva al PTt =0.3L,t =0.3(30.417)=9.125m En recta al PCz = O.7L,z = 0.7(30.417)= En curva al PCz = 0.3Ltl = 0.3(30.417) 21.292m = 9.125m .,__._.- b) C ola borde derecho en la abscisa K2+175 Para el cálculo de esta cota es necesario identificar esta sección en el perfil y calcular su peralte: tU CAJ'¡ rULO J. IlISEÑO (jE()~,ni(Il'\) A luda del: PC2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ' .... Abscisa del punto: O b) ·· e) IX; La cota del borde derecho e izquierdo en la abscisa K2+175. La cota del borde derecho e izquierdo en la abscisa K2+258. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA AbIcIB. PC, " Absicisa P~ + O.n" + o.lL'l = K2 + 128.540+ 21.292 + 21..292 = K2 + 171.124 Abfcis,PC, HOR'¿l,¡NT,II. 1'1..\1"1,\ j i • ~ "- Abscisa de 0= Absicisa PC, + 0.3L" Abscisa de 0= K2 + 171.124+ 9.125 = K2 + 180.249 Cota del punto: E La COla a calcular correspondiente al punto E de abscisa K2+175, está entre las abscisas K2+171.124 y K2+180.249. x = Absicisa dada-Abscisa PC, = K2 + 175 -K2 + 171.124 = 3.876m .!1.. "" 8% 21.292 + x 21.292 + 9.125 = 21.292 + 3.876 21.292+ 9.125 CotadeE = Cota de8+0.06(0.7L" Cola de E = 501.278 + 0.06(21.292 + F igura 3.67 , = 6 619% ,e, . Q Solución: x)+ Carri/(e',) + 3. 876)+ 3.65(0.06619) P eraltado en curvas de diferente sentido, con cam bios de pendiente = 503.030m Antes de calcular la abscisa y las cotas respectivas, es necesario hallar los valores correspondientes a las longitudes dI:! transición y aplanamiento: ------------------EJEMPLO 3.30: Transición del peralte entre curvas de sentido contrario con cambios de pendiente Pendientes relativas de los bordes: m" m¡ Datos: Además de la información dada en la Figura 3.67, se tiene: Según la Tabla 3.9, a una velocidad específica V.,=90 Km/h k corresponde un mma,,=0.48%, y a una velocidad especifica V,F70 Km/h un mm.lxrO.55%. Velocidad específica de la primera curva :: V" = 90 Km/h Velocidad específica de la segunda curva :: V.l= 70 Km/h Peralte de la primera curva :: e,= 7.0% Peralte de la segunda curva :: el= 8.0% Bombeo normal = 2% Transición = 20% en curvas Cota al eje en el PT, = 500.000m En el punto A la pendiente del eje pasa del +6.0% al +5.5%. Longitudes de transición: LII, L'1 L" = Carri/(e,) = 3. 65m(7.0% ) _ 53. 229m m, m, m, . m ----~---._-, 0.48% .•_- -~~- .... \.", .•,.._... ......... '.-". .....~.r-- ..:~ ....- .._~ - zyxwvuts _--_ -~--_._~---~--_,.----.. ~ - 53091 0.55% Longitudes de aplanamiento:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA N, , N¡ N,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = Carri/(Bombeo) = 3. 65m(2.0% ) = 15.208m Calcular: a) La abscisa de la sección con peralte del 3% en la primera. -- .. - 0.48% L 11 -- Carri/(e¡) -_ 3.65m(8.0%) cAriTULO J DISEli:OGEO'\IETRICO 1I0RIZO~T,\L: PI.ANT.\ 185 18·1 Abscisa sección C -C = Abscisa del PC¡ -0.BL'2 -N¡ Nz = Carril(Bombeo)"", mz a) 3.65m(2.0%)"", 13.273m 0.55% Abscisa sección C - C = K2 + 235.200 - 42.473 -13.273 = K2 + 179.454 Lo que quiere decir que la abscisa correspondiente al K2+175 está entre las secciones A-A y C-C, con los bordes a la misma altura según el Abscisa de la sección con 3% de peralte en la primeracurva punto B. De acuerdo con el perfil de transición mostrado en la Figura 3.68, la abscisa es: Cola de B = Cota del PT, +0.06(62. 160) + 0.05S(S.000)-Carril(Bombeo) C ota de B = SOO.OOO + 0.06(62.160)+ 7X S.6X JX 2X ~I.". a I " ~I OX ~ ·1 -2X e) ox -2X i~IIJ iH¿I~ "'( _ 1 :", e '+ í~ l...,1'" ul .... j 0.OSS(S.000)-3. 65(0.02) = S03.932m Cotas borde derecho e izquierdo en la abscisa K2+258 Para conocer la posición de esta abscisa, es necesario calcular la abscisa de la sección donde empieza el peralte completo del 8% en la segunda curva: Abscisa (al el Abscisa(aJ el = 8%) = Abscisa del PC z + 0.20L'2 = 8%) = K2 + 235.200+ 10.618 = K2 + 245.818 Lo que quiere decir entonces que la abscisa K2+258 está a 12.182m más adelante. Si sc supone que ella se encuentra aún en el tercio central de la segunda curva, necesariamente la calzada deberá tener un peralte del 8%. Por lo tanto, las cotas serán: Cota borde derecho, punto:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA O Cota de0= Cota de A +0.055(5.000 + 4.454 +13.273 +53.091 + 12.182)+ F igura 3.68 A bscisas 3.6S(0.08) .. .' zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ...zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA _ .... y cotas de bordes en secciones especificas Cota de A = C ota del PT, +0.05(62.160) = 500.000+ 3.730 = 503. 730m Abscisa al 3% = Abscisa del PT, + x _ 53229m 5.6% -3% Abscisa a13% b) Colada 0= 503.730 + 0.055(5.000 + 4.454+ 13.273 +S3.091 + 12.182)+ x 3.65(0.08) ,x=I9.771m Cota de O = 50B.862m 7% = K2 + 107.840 -+- 19771 = K2 + 127.611 Cotas borde derecho e izquierdo en la abscisa K2+175 Es necesario hallar la abscisa de la sección c-e: Cota borde izquierdo. punto:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED E zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA C ota de E =CotadeD-2Carril(ez) C ota de E = 508.862 -7.30(0.08) ...., = 508.278m 186 'lTULO J, D1SE:':o (;E(l,\lElRH':() II( \í(¡/,(J~'I \1 1'1..1,\, r \ ución: EJEMPLO 3.31: Transición del peralte de una curva compuesta de dos radios '_ Datos: Además de la información dada en la Figura 3.69. se tiene: Abscisa del PI Ancho del carril Bombeo normal Transición = K2+420 = 3.65m Elementos H!.entes:T(. h i.. Te II (30" '. : R, tan z; '"300l tan- I = 80 385m 2 2 ) Ll =R?tanf'" 200 (50' tanT J =93.262m = 2% = 70% al pe, PCC y PT R 1 -R, cas Ll+ (R, - R 1 )cas ¡jI sen Ll Calcular: Los elementos, las abscisas y la posición de los bordes con respecto al , eje en aquellas secciones importantes, si la rotación de la calzada se realiza alrededor de éste. = 200 - 300 cas 80' + (300 - 200f;a5 50' '" 215.458m sen80' R, - R 1 cas ¡j - (R, - R1)cas Ll sen Ll 300-200cos80' -(300-200)cos30· = 181.424m sen 80' ngitudcszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA de las curvas: L", L'1 = I1R,Ll, = 11(300)30' = 157.080m 180' 180' = I1R 1 Llz = 11(200)50' 180' 180' = 174,533m rallcs y velocidades cspeciticas: e, ,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB el, V." VeZ el ábaco de In Figura 3.57, para un radio R,=300m se obtiene un :alte e,=7.08% y una velocidad especifica V.,=89 Km/h, )' para UIl radio :200m se obtiene un peralte e?,,7,62% y una velocidad especifica =76 Km/h. Figura 3.69 Peralte en una curva compuesta de dos radios isérvese que entre las dos curvas la diferencia en las velocidades iecíficas es de 13zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Km/h, menor a 20 Km//¡; mayor valor recomendado r el Manual de Diseño Geométrico para Carreteras del tnsriuuo icional de Víasf71, 189 CAPiTULO 3 DISEÑO GEOl.1ETRICO I!ORIZÜ~T,\L: PL\NT,\ !SS b) m zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Pendiente relativa de los bordes: Según la Tabla 3.9, a una velocidad especifica V.r:::89 Kmlh le corresponde un mmiJ,=0.48%, y a una velocidad específica V.¡:::76 KmIh un mmi.z=0.52%. Para uniforrnizar la pendiente de los bordes. y por tratarse de valores máximos, se adopta el valor de m=0.48%. Abscisas y posición de los bordes Las abscisas y la posición de los bordes se muestran de manera parcial en el esquema de la Figura 3.70, los cuales se calculan así: 1.04X 1.08% 7.'2" .' 7.'2:11: Longitudes de transición: L,¡ , L'2 Carri/(e,) 3.65m(7,08%) L" = --= = 53838m m 0.48% L,¡ = Carri/(e¡) 3.65m(7.62%) =S7.944m 0.48% m Longitudes de aplanamiento: N =N N, , N¡ ,¡ = 0.7ez = 07(7.62%) = 5.33% .............,= zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1.OU "'--J...,-- Longitudes de transición al: PC y PT = 0.7(53.838)= 37.687m EnrecIa al PC = Figura 3.70 o.n" En curva al PC = 0.3L" = 0.3(53.838)= 16.151m En recia al PT = O.7La = O. 7(57.944) = 40.561m = 17,383m En curva al PT = 0.3La = 0.3(57.944) del PCC. = 3.65m(7.62% -7.08%) En la curva de mayor radio = O. = 4.106m 0.48% n;pcc En la curva de menor radio = 0.3LlPcc Perfil del peralte en una curva com puestade dos radios Abscisa del: PC Abscisa PC = Abscisa PI- T L = K2 + 420 - 215.458 Longitud de transición al: PCC Es necesario calcular una longitud de transición para pasar de un peralte del 7.08% al 7.62% y realizar la repartición 70% y 30% alrededor L, _ Carrll(e,-e,) =cc m zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED Peraltes al: PC y PT AIPC=07e, =0.7(7.08%)=4.96% Al PT .....zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA _ Carrll(Bombeo) _ 3.65m(2.0%) =15208 m 0,48% ,m = 0.7{4.106)= 2.874m = 0.3{4.106) = 1.232m = K2 + 204.542 Abscisa del: PCC Abscisa PCC = Abscisa PC + L,! = K2 + 204.542 + 157,080 = K2 + 361.622 Abscisa del: PT . Abscisa PT = Abscisa PCC +Lsl = K2 + 361.622+ 174.533 = K2 +536.155 Abscisa donde termina el bombeo normal. primera curva:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVU Abscisa = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Abscisa PC - O.7Lu - N, Abscisa = K2 + 204.542 -37.687 -15.208 = K2 +151.647 19() M.\IES C\RDENAS GRIS,llES Abscisa <:lOndeel carril exterior se aplana. primera curva: AblC/sa '" AbScisa PC - O.lL" Absclsa:= 1(2+204.542-37.687 :: K2 + 166.855 Absclsn donde el peralte es-igual al bombeo. primera curva: Abscisa 1:: At1scisa del peralle cero + N, AOscisa = K2 + 166.855 + 15.208 CAPiTULO J. DISEKO GEU~IÉTRICO IIORIL(J:-;T,\I. I':_'\:o. I A 1'11 Peralte en elzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA PCC: e' e'= 7.08% + Y _Y_"J62% -7.08% =0.38% 2.874 4.106 e'= 7.08% +0.38% = 7.46% , por lo tanto, = K2 + 182.063 t\bscjsa donde empieza el peralte completo. primer:! curva: Abscisa = Abscisa PC + 0.3L II 3.5 CURVAS ESPIRALES DE TRANSICiÓN 3,5.1 Generalidades Abscisa .. K2 + 204.542 + 16.151:: K2 + 220.693 Abscisa donde termina el peraltc completo. primera curV:l: Abscisa = Abscisa PCC - O. lL,pcc Absoisa = K2 + 361.622 - 2.874 = K2 + 358.748 Abscisa donde empieza el bombeo normal, segunda curva: Abscisa = Abscisa PT + O. lLa + N 1 Abscisa = K2 + 536.155 + 40.561 + 15.208 = K2 +591.924 Abscisa donde el carril exterior se aplana, segunda curva: Abscisa'" Abscisa PT + 0.7L 11 Abscisa = K2 + 536.155 + 40.561 = K2 + 576.716 Abscisa donde el peralte es igual al bombeo. segunda curva: Abscisa = Abscisa del peralle cero - N, Abscisa = K2 +576.716 -15.208 = K2 + 561.508 Abscisa donde empieza el peralte completo, segunda curva: Abscisa = Abscisa PT -0.3L(2 Abscisa:: K2 +536.155 -17.383", K2 +518.772 Abscisa donde termina el peralte completo. segunda curva: Abscisa:: Abscisa PCC + 0.3L tPCC Abscisa = K2 + 361.622+ 1.232 = K2 + 362.854 Como se estableció amerionnente, el ulinecunienu, c:II plunt« de una vía consiste en el desarrollo geométrico de la proyección de su eje sobre un plano horizontal. Dicho alineamiento está formado por tramos rectos (tangentes) enlazados con curvas (circulares simples, circulares compuestas y espirales de transición). Tradicionalmente en nuestro medio se ha utilizado y se seguirá utilizando en muchos proyectos, el trazado convencional donde sólo se emplean tramos rectos empalmados con arcos circulares simple», curvatura pasa bruscamente de cero en la recta a En estos diseños, lazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA un valor constante 1/R en la curva circular de radio R, tal como se muestra en la Figura 3.71. Eventualmente, también en los trazados, se empalman los tramos rectos con curvas circulares compuestas de dos o I1l:1S radios. En 1:1 Figura 3.72 se muestran dos casos muy comunes de curvas compuestas, como lo son las de dos y tres radios respectivamente. Pero la experiencia demuestra que los conductores, sobre todo aquellos que circulan por el carril exterior, por comodidad tienden a cortar la curva circular, como se .aprecia en la Figura 3.73. describiendo trayectorias no circulares e invadiendo el carril del el sentido opuesto, en carreteras de dos carriles dos sentidos, con zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY consiguiente peligro potencial de accidentes. Realmente, estas trayectorias no circulares se generan debido a que [os vehículos al I \~Ir:S Figura 3.71 e \RDr.'1.\~ (;RIS,\I.r:S CAPITULO 3 OISF.:\:0 GEO~I(;TRICO 1I0RIZO:-T.\I.: P'-"~TA 193 Curvatura en el enlace de tramos rectos con una curva circular simple 1'1 Figura 3.73 entrar en la curva circular experimentan la fuerza centrífuga que tiende a desviarlos de su carril de circulación, por lo que sus conductores instintivamente maniobran sus vehículos tratando de evitar la incomodidad y contrarrestando la fuerza centrífuga, a través de la ocupación del carril de la dirección contraria, lo cual como es lógico representa peligro de choque con otro vehículo, especialmente en condiciones de poca visibilidad y en presencia de radios pequeños. A,. ~ • ~ .f' I/R Trayectoria de los vehiculos en una curva circular I/R Lo anterior sugiere que cuando un vehículo pase de un tramo en recta a otro en curva circular, requiere hacerlo en forma gradual, en lo que .yl':;R1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ?pr zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA I/R, I I e ~ I I " " respecta al cambio de dirección, al cambio de inclinación transversal y a la ampliación necesaria de la calzada. ¡zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ,I'C PCC zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Por estas razones, se hace necesario emplear una zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ curva de transición entre el tramo en recta y la curva circular sin que la trayectoria del o zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA R z:-., zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ~ ,ft, ----~ t,.) j I I I , I ~ pe Figura 3.72 PT Curvatura en el enlace de tramos rectos con curvas circulares compuestas vehículo experimente cambios bruscos, pasando paulatinamente del radio infinito de la alineación recta (etrrvatora eero) al radio constante de la alineación circular (curvatura finita), al mismo tiempo que la inclinación de la calzada cambi; gradualmente del bombeo en la recta )"~IES C,\IWEN,\S GRISALES 194 al peralte en I:! curva circular. Esta configuración. curva de transicióncurva circular-curva de transición, aparece en la Figura 3.74. En el tram o recIo: R En la curva circular: R = Re :::> ,/) PI La curva de transición debe diseñarse (al que, tanto la variación de la curvatura (de cero a tiRe). C 0l110 la variación de la acelcrucion centrífuga (de cero a VZ/Re) sean uniformes o constantes " lo lurgo lid I/R desarrollo de su longitud. Para la Figura 3.75, L. representa la longitud total el.: la curva de transición y L la longitud acumulada de la curva de transición desde su origen hasta un punto cualquiera P de la curva donde el radio es R. Figura 3.74 C urvatura en enlace de tram os rectos con una curva circular con curvas de transición 3_5.2 La espiral de E uler o C lotoide com o curva de transición Se sabe que un vehículo que se mueva a una velocidad uniforme V sobre una curva de transición de radio variable R, experimenta una aceleración radial o centrífuga ae, cuyo valor es: Figura 3.75 La curva de transición entre la recta y el arco circular En la curva de transición, ae varía de manera continua desde cero en la recta hasta If2IRe en la curva circular de radio Re. Esto es: zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXW La variación de la aceleración centrífuga zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH Be por unidad de longitud zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZ L, es: , En el punto P, la aceleración a, = ( ~~ } =~ , de centrifuga a< valdrá: donde. R L = R< L. Pero. el producto de R, por L. puede hacerse igual ¡¡ K2. esto es: RcL. = K 2 Donde K es una m agnitud constan/e, puesto que tam bién lo son Re y L e, De esta m anera: (3-37) La anterior expresión es la ecuación de la Clotoide o Espiral de Euler, R es inversam ente la cual indica que el radio de curvatura proporcional a la longitud L recorrida a lo largo de la. curva a partir de su origen, De igual m anera dice que, para cualquier curva, punto P sobre la el producto del radio de curvatura R por su longitud L desde el origen hasta ese punto es igual a una constante 1(1. 1\ la constante K se le llam a parámetro de la espiral, puesto que para una m ism a Clotoide siem pre es constante. Así por ejem plo, para una Clotoide de parám etro K=8, en la Tabla 3.10 seis puntos correspondientes a la curva esquem atizada la Figura 3.76. Tabla 3.10 Clotoide de parámetro K=8 en Figura 3.76 197 Clotoide de parámetro K=8 3 .5 .3 E cua cione s de la C lotoide o e spira l de tra nsición Despejando R de la ecuación (3-37), se tiene para la Clotoide: K1 R=- L zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED se m uestran CAPITULO) DISEÑO GEO¡.¡8RICO HORI7.0I'r.\L:PLANT" Esta expresión puntos son respectivos dice que los radios de curvatura zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPON R de cada uno de sus inversam ente proporcionales a los desarrollos de sus L, donde 1(1 es la constante de proporcionalidad. Esta arcos zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA PUNTO R L (R) (L)=(K) (K)=K1 K característica hace que la Clotoide sea la curva m ás apropiada para efectuar transiciones desde radios infinítos (R=co) en la tangente hasta -J2 64 32 16 8 4 2 1 2 641111 = 64 = 81 32112) = 64 = 81 16)14) = 64 = 81 8 ) 8) = 64 = 81 4) (16) = 64 = 81, (2) (32) = 64 = 81 8 radios finitos (R=R.) en la curva circular. 3 4 5 6 4 8 16 32 a 8 8 En la Figura 3.77 se m uestran a geom étricam ente 8 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 190 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA :: I.\~IE~L'.\.RDI':-; .\\ (;ltI'.\I.I·S algunos de los elem entos la Clotoide o espiral, tales com o: que definen 198 x, y o O. ~ Re dL dO J.-I~tr:s CAtW I:""N,ISGRIS.u.ES Coordenadas cartesianas de un punto cualquiera espiral, referidas al sistema de ejes X e Y. Ángulo correspondiente a P. Ángulo de la espiral. Ángulo pararnétrico. Radio de la curva circular simple. Elemento diferencial de arco. Elemento diferencial de ángulo. _ :) - P de la Los ángulos se forman entre la tangente en el origen y las (al1gC:IH<.:~ ..:" los respectivos puntos de la curva. 1. Para el punto P. se tiene: dL =Rd9 de= ;dL I Pero según la ecuación (3-37): zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED t 1 L R = i<'i de = ' por L 1 0 dL = K 2 Ide= ~ K e , integrando. LdL ILdL 9=-=-2K 2 lo tanto, ,de donde, e (3-38) 2RcLe Pero, K 2 =RL Entonces: e 9= 2RL •esto es, 9= i_ 2R ,, (3-39) En las expresiones anteriores el ángulo Ocstá expresado en radianes. ,1 ,, I "" , , zyxwvutsrqponmlkjihgfedcb 8.~,',I Figura 3.77 " Expresando a Den grados sexagesirnales, se tiene: (!_) e = (.!: ) ~80' = 90' (~ 2R" Elementos de la Clotoide o espiral (.f.) (_!}_) 9 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = 180' = 90' = 90' (3-40) 2K 2 rr "K 2 "ReL. tt ) (3-41 ) R El parámetro zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA K de la espiral se obtiene haciendo zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK R=L, por lo que: ......_ _ ~ 4 ... !._ .... .,.•..,.._ .._ .... ~~_ c,\piwI.O 01SE510GEOMETRICO 1I0RII.O~T'\I.· rl."~T'\ 20t zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ;(7 = R L = R l = K ",R =L j e . o lo que es lo mismo. 1.0 anterior quiere decir que el parámetro de la Clotoide es igual al radio de la Clotoidc en aquel punto para el cual el radio y 1" longitud de la espiral desde el origen hasta t.'I tamhicn son iguales. ,\ este punto <e le llama punto parasnétrico, al cual 1<: corresponde un á n g u lo entre las tangentes. según la ecuación (3-41). de; (~J= e = ~' 28'38'52.4' En la Figura 3.77 anterior, se observa que: dx cos9 = - sene = dI dL De la ecuación (3-38), se deduce que: . esto cs. dL L=K -!28 dx = (cos 8fJL dy = (sen /])1L Por lo tanto, x en función del parámetro K , queda como: x De donde, las coordenadas cartesianas (x, y) del punto P serán: -( 1- -el + -e' - --e5 + )] = K [ ./28 1 0 216 9 3 6 0 .... x = [(cos e'¡JL De la misma manera, el desarrollo en serie de sen B es: el e 5 8' y = [(sen8'¡JL sene=e--+-31 51 -+ . 7/ ... El desarrollo en serie de cos Bes: el e' e5 cose=1x -+ -- 41 21 61 = ¡,¡!( el21 + e'41- _ .-.e5 + } 61 .... í Por lo tanto, reemplazando en zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE y: zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA - +.... , - y = d'e _e~ + ~ bl L d'e) 31 51 _.!. + 7/ 1d'e)J y= b l2 K z d L - 3i b l2 K 2 Ahora. reemplazando queda: ,_ r- (e)' -.41 ¡, dL+- 1 2K' f) dado según la ecuación (3-38), e )5 d L -- 1 ~ -61 2K1 dL+ 1r.re)5 b l2 K I 5i d L -lj -, d L + .... zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY x= L2)1 r-d L -- 1 ~ -_ ¡, 21 2Kl el valor de ~L '''J trIe)' b l2 K I d L + .... GRIS ..\I.ES Por lo tanto, el valor de yen función del parámetro K, es: y=K[ 28( ~-:; 1~O - i5~OO+... )] + Resumiendo, las ecuaciones de /(1 Clotoide, referidas al sistema de coordenadas de ejes X e Y, pueden ser expresadas de las dos siguientes maneras: (J-42) (J-4J) C lotoide definida por X=K[ su parám etro K: . 28(1-~+.!_--.~~+ 10 216 9360 ....)] y=K [ .-(0 0 .'28 3 - -~ - - + ---+ 3 42 0 3 .5 .4 E le m e n to s sim p le ig u a le s co n de e n la ce e sp ira le s de de una cu rva tra n sició n circu la r C lo to id e s Los dos alineamientos rectos o tangentes de entrada y salida se: enlazan con una espiral de transición d.: entrada, una curva circular simple central y una espiral de transición de salida. í j , . En este caso las espirales de transición de entrada y salida tienen i¡';lIal longitud, resultando un enlace simétrico. lo cual es aconsejable desde el punto de vista del cálculo de los elementos geométricos de la" curvas, lo mismo que desde el punto de vista de una operación vehicular gradual balanceada, que se traduce en seguridad para klS usuarios. Al mismo tiempo, los vehículos cambian paulatinamente de dirección acorde con la curvatura, y la calzada se va inclinando transversalmente en forma uniforme siguiendo los peraltes y ampliaciones requeridas. En la Figura 3.78 aparecen los elementos geométricos para el cálculo y trazado de 11110 curva ele /UII1Sic:iÓIl simétrica. Espirul-CircuturEspiral, los cuales están referidos al sistema de coordenadas cartesianas de ejes X e Y. Para una mejor comprensión del liSO de la espiral, se supone que inicialmente se tiene una curva circular simple de radio zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT R, sin transiciones y que finalmente se quiere tener el arreglo EspiralCircular-Espiral, conservando I::lS tangentes y el radio R,. Por lo tanto. es necesario desplazar (dislocar o retranquear) hacia dentro la curva circular para poder intercalar las espirales de transición. (3-44) De esta manera, los elementos de las curvas son: 7 )] 1320 75600 .... En las cuatro expresiones radianes. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA JA~tr:sC ,\ROf:N r \S 202 anteriores, (3-45) el ángulo B está expresado en PI PI. PI, Punto de intersección de las tangentes principales. Punto de intersección de la espiral. Punto de intersección de In curva circular con transiciones. pe: Pf zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = Principios de curva y tangente de la curva circular primitiva. zyxw -_.--------- - _--- J,\~IES C'\ROE~.\S CAPITULO J_ DISENO GEOMETR.lCO HORIZONTAL: PLANTA GRIS.\I.I:~ , 205 Espiral-Tangente. Punto donde termina la espiral de salida y empieza la tangente de salida. , Punto cualquiera sobre el arco de espiral. P Centro de la curva circular primitiva (sin transiciones). O' ; Nuevo centro de la curva circular (con transiciones). O ¡. c/~uJQ r Ángulo de deflexión entre las tangentes principales. LI p rl",lII~ Ángulo de la espiral. Ángulo entre la tangente a la espiral en el TE y la tangente en el EC. Ángulo central de la curva circular con transiciones. P I'T JIongccl6 n d. & Ja cIrcula r = Ángulo de deflexión principal del punto P. Ángulo entre la d •• ploz odo 8 tangente a la espiral en el TE Y In tangente en el punto P. Cu"'"zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = Dcflexión correspondiente al punto P. Ángulo entre la rp tangente a la espiral en el TE Y la cuerda e', = Deflexión correspondiente al EC, o ángulo de la cuerda larga de la espiral. = Radio de curvatura de la espiral en el punto P. R = Radio de la curva circular central. ~ = Tangente de la curva espiral-circular-espiral. Distancia T. desde el PI al TE y del PI al ET. = Tangente larga dc la espiral. TL = Tangente COI1ª~e la espiral. Te Cuerda de la espiral para el punto P. e' Cuerda larga de la espiral. eL. Longitud total de la espiral. Distancia desde el TE al EC. L. Longitud de la espiral, desde el TE hasta el punto P. L Desplazamiento (disloque o retranqueo). Distancia entre la P tangente a la prolongación de la curva circular desplazada al ' PC y la tangente a la curva espiral izada. Figura 3.78 Elementos de la curva simétrica Espiral-Circular-Espiral Distancia a lo largo de la tangente, desde el TE hasta el PC k desplazado. Desplazamiento del centro. Distancia desde O'hasta O. azyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA PC, PT = Principios de curva y tangente en la prolongación de la bzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Proyección de a sobre el eje X. curva circular desplazada. Externa de la curva espiral-circular-espiral. E. TE Tangente-Espiral. Punto donde termina la tangente de x,y Coordenadas cartesianas del punto P. entrada y empieza la espiral de entrada. Coordenadas cartesianas del EC. Xc. y.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA EC Espiral-Circular. Punto donde termina la espiral de entrada y k,p Coordenadas cartesianas deT'PC desplazado. empieza la curva circular central. Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular con Xo, Yo CE Circular-Espiral. Punto donde termina la curva circular transiciones, central y empieza la espiral de salida. ET C U fY a ctJrY fJ .. plfT Il .. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM 206 J"ME~ C,\ROENAS GRISALliS ~(J7 Para el cálculo de los diversos elementos del trazado espiralizado, es necesario partir de algunos datos conocidos. como lo son: el ángulo de deflexión entre las tangentes principales .1; el radio de la curva circular Re según la velocidad de diseño, la jerarquía de la carretera y el tipo de terreno; y la ló~itud de la espiral L., cuya longitud mínima se determinará más adelante. 90· ( L! ) 8 _---1T ReL. 90· (~ I Re) • 8. =: 1T ,t:sto cs. (3-4\J) Ángulo central de la curva circular: LIc Los diferentes elementos, de acuerdo con la Figura 3.78 anterior, se calculan como sigue: 8 = 90· ( L: ) = 90· 1T K . 1T (_f__) = 90· 1T (3-46) e (!:.) R Xc 8 9~~(L!) + !t~6-91~ó (3 -5 1 ) + ....) (3-5~) En las ecuaciones (3-44) y (3-45), al reemplazar a Opor (70, quedan LIs coordenadas en función de parámetro K de la espiral, así: = 1T = L.(1- ~ (J-47} También, para 0= 0.: L = Le. esto es, • En las ecuaciones (3-42) y (3-43), al reemplazar a L por Le y a 011\11' 0.. quedan las coordenadas en función de la longitud L. de la espiral. así: K2 '-2"(1-10+216-9360+ 8; 8; B! x.-_ K[ ,,". )] .... (3-53) _~+ )] 75600 .... (3-54) Dividiendo a Bentre B.: 8 --- 9~·U:) e - -. - _. 8. - 90· ( L! ) - L! 1T y e =K[!i9(!1.- B: .s. 3 • 1320 42 , de donde,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Coordcnadns cartesinnas del PC dcsnlazndo: (k. p) zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA K2 cos B = ~L~ P - • (3-48) Yc , de donde, Re p = disloque = Y e - Re Ángulo de detlexión de la espiral: e. Según la ecuación (3-47), cuando L = L.: zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ReL. (3 -5 0 ) Coordenad:ls cartesianas del: EC(x" Ye) Parámetro de la espiral: K Despejando K de la ecuación (3-38): K = )RcL. Ángulo de detlexión principal de un punto P: ll, = ll-2 9 . X (1 - cos B.) (3-55 ) -k zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGF sen8 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = _c_ ,de donde, • k = Xc Re - R. sen 8. (3-56) cll8 JA.\lES (;;\[(1)1':-;.\\ (;llIS.\I.ES Tan!.!cnte de la curva espir:tl-circular-espirnl: T, =k+(R.+p)/an T. {o;: ¡"+ i e Te Z = 3.1(W J (3-5S) (3-65) ~J + 2.3(10""' ~5 Deflexión del EC o ángulo de la cuerda larga: (3-66) q1c rp = arclan 1" e i: Te Ye (3-59) lane. = _re_ (3-60) sene, lid centro de 209 Donde Z expresada en segundos. es una pequeña corrección. la cual es prácticamente despreciable para valores de 0< 16~ J-R< Coordenadas c;]rlcsianas trnnsiciolles: (x o, Yo) xo=k=xe-Resene, Yo =p+Re 1!(};l.l ¿1J:>:rA l•. I'I.M'T.I 8 3 (3-57) fangentc!s Inrga y corla de la espiral: r;. = x J. DISE:'.O GEOMÉTRICO 1p=--Z .1 Externn de la curva cspiral-circulnr-cspirnl: El .1 Re + P cos = , de donde, 2 Re + E. E ., c,lPirULO 1;] ClIrv¡¡ circular con También, según las ecuaciones (3-65) y (3-66): 8 1ft =..!...-Z "'e 3 • Z. = 3.1(1O-J~;+ 2.3(1O-4~: (3-68) (3-69) Longitud dc la curva circular: L" Le Por el sistema arco: I (3-61) (3-67) Xe .... = rrR e.1, o- 70) 180· Por el sistema cuerda:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Pero, según la ecuación (3-55): Yo = Ye -Re(1-cose,)+R. = Y e -Re +Re cos e, Yo = Ye +R, cose, + •Le = _... cl\ G, Ro (3-62) 3.5.5 Longitud m ínim a de la espiral de transición Cuerda larg;] de la espiral: CL. CL. = ,;: + y; (3-63) Deflexión de cualquier punto P de la espiral: rp = 1p arctan y x También, numerosos cálculos han probado que: (3-71 ) (3-6~) zyxwvutsrqponmlkjihgfed La longitud de la curva de transición zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGF L. o el parámetro de la espiral K no deberán ser inferiores a un valorzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC mlnimo, con el objeto de que la curva cumpla ciertas condiciones de tipo dinámico, geométrico y estético. En este sentido, existen varios criterios-en la determinación de la longitud mínima o parámetro mínimo, adoptándose COIllO parámetro de diseño el mayor valor determinado por cada uno de los criterios, los cuales son'''lI: );\\II· :S l'.· \({i)ENAS tilUS"I.E~ o LONGITUD M¡NIMA DE LA ESPIRAL DE ACUERDO A LA VARIACiÓN DE LA ACELERACiÓN CENTRíFUGA Considérese un vehículo circulando sobre una curva de transición, para la cual transversaJm~;¡t: en un punto cualquiera. según la Figura 3.79. se tiene: .~ I '~;\l'irur,o J. O!SE;\:(J OEü~tE'lltICO i IC,RIZl)~'! .\1.. 1': \~n.\ Donde, Ba es la aceleración radial no compensada por el peralte. 1\:ro: ~ =Fcosa .w, =Wsena Fcosa -W sena =ma" Dividiendo por cos IX. F-Wtana= ma" cosa Pero, tan a=e. y para ángulos a pequeños cos a z1. Entonces: F -We =ma" Reemplazando F Y W, rna, -mge = ma" aa = ae - ge Cuando el radio de la espiral es R. a, = Figura 3.79 F ae W g Fr W, a e Vehiculo en CUNa Fuerza centrífuga = mae = Aceleración centrífuga. = Peso del vehículo = mg Aceleración de la gravedad = 9.8 l m/scg' Componente radial de la fuerza centrífuga. = Componente radial del peso del vehículo. Inclinación transversal de la calzada. = Peralte de la calzada en tanto por uno = tana En una curva peraltada la aceleración centrífuga se aminora debido a la componente radial del peso del vehículo, por lo que la fuerza centrífuga residual que actúa radial mente sobre el vehículo es: V1 ~ -ge Ahora, si se supone que el vehículo tarda un tiempo ten recorrer lod;! la longitud de transición L. a una velocidad uniforme V, y se: define a J como la variación de la aceleración centrífuga por unidad de tiempo, en el Ee se tiene: V zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 ...!..-ge J= aa =~ ,de donde, t L. V. = V. L • J (v.Re 2 _ ge ) e Expresando zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA a V. en Km/h, a zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE Re en metros y a ee en tanto por uno, SI.: llega a la siguiente expresión que indica la longitud mínimazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXW Le de la espiral: L > V, [Vo2 -127{e )] • - 46.656(J) Re e (3- n ) CAPITULO J. DISE:\!() Gf.O~IF.TRICO II()RllO:-JTAI: PI.ANT,\ I,\~IES C\RDE:-.iAS GRIS.\I.l'S Realmente la constante J es un valor empírico que indica el grado de se ha comodidad que se desea proporcionar. Experimcntnlmcntc comprobado que este valor varia entre DA y 0.7 m/seg:', Se adoptan para J los valores específicos dados en la Tabla 3.1 )17!. a Ancho de carril. Ancho de calzada. Bombeo normal en recta. Peralte en la curva circular. Peralte en cualquier sección. Pendiente relativa de los bordes. 2a b ee e Variación de la aceleración centrífuga m VELOCIOAD ESPECiFICA v.(Km/h) J (rnIsegl) f 30 4Q 150 160 i ¡ 70 80 /90 11001 1\0;12011301140jI5O 0.7 °.71°.7 !07 10710+610.5 !os10 4 104 !04 !OA 1 .. n· En caso de que no se tenga en cuenta el peralte, la ecuación (3-72) se convierte en: L > V.3 • - 46.656(J)R o zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA transición desde la tangente o tramo en recta hasta el comienzo de la curva circular, donde: Esta expresión se conoce con el nombre de la./ürmlt/u de Smirnoff. Tabta 3.11 213 (3-73) La cual es conocida como la fonnula de Shont, ya que fue deducida por él.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA p._ QlOt~ razón lafórlllllla de Smimoff, también se conoce como • lafórll1l1la de Shont modificada. Igualmente, Barnett propuso un valor de J=O.6 mlseg J en la fórmula dc Shortt, llegándose a: v/ L 2:-- • ... ~ .- 28 Re Figura 3.80 Longitud minima de la espiral de acuerdo al peralte (3-74) Esta expresión es conocida como lajórlllll/a de Barnett, __ LONGITUD MíNIMA DE LA ESPIRAL DE ACUERDO A LA TRANSICiÓN DEL PERALTE En la Figura 3.80, se muestra la isornetría de una calzada que ha sido rotada gradualmente alrededor de su eje a lo largo de la longitud de Para pasar con seguridad y comodidad desde la sección en bombeo normal b en recta hasta aquella sección con peralte zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO ee donde empieza la curva circular, es necesario hacer variar gradualmente el peralte o inclinación transversal de la calzada. En el triángulo rectángulo vertical ABC, se tiene: AC 1 BC =; Igualmente, en el triángulo rectá~gulo verticalzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO BCD, 214 CAPITUl.O J DISEÑO (;EO,'vIÉTRICO IIOIlIZONTAI.· BC = ee CO 1 AC = (CO )ec m I'I ..·\NT,\ ~15 , por lo tanto, , 1 , donde CD ,=.¡mcho de carril = a, 1 yAC:: L. EJEMPLO 3.32: Cálculo geométrico de una curva espiralizada Datos: Todos los datos y cálculos están referidos a la Figura 3.78, para 1:. cual se tiene: De donde se deduce que: L > ae e •- m (3-75) Donde, como se vio anteriormente en el num eral 3.4.3, en la Tabla 3.9 se presentan los valores máximos y mínimos de la pendiente relativa de los bordes de la calzada con respecto al eje. e LONGITUD MíNIMA DE LA ESPIRAL POR RAZONES DE PERCEPCiÓN Y ESTÉTICA Desde el punto de vista de In percepción, la longitud de la curva de transición ha de ser suficiente para que se perciba de forma clara el cambio de curvatura, orientando adecuadamente al conductor. Para tal efecto, se considera que el disloque mínimo a utilizar debe ser de 0.25 metros, con lo cual se obtiene una longitud mínima de la espiral de: (3-76) Por razones de estética y con el objeto de obtener alineamientos debe ser mínimo de armoniosos, el ángulo de deflexión de la espiral 3°. Despejando L. de la ecuación (3-49): e. L = Tre.R e = "(3)c = 0.10472(R • L • 90' t!. 90' c (3-77) .~ -- . ~ ...... ~_- :: 37~ :: 143'" :: :: :: :: :: SOON. 500E K2+482. 3 70 80m 10m 100m Calcular: Se desea diseñar una curva circular con espirales de transición de entrada y salida de igual longitud. Para tal efecto. se deben calcular todos los elementos de las curvas que permitan realizar su trazado en planos y localización en el terreno. Solución: a) Elem entos de las curvas Parámetro de la espiral: K Ecuación (3-46): K = JR,L. = J80(tOO) = 89.443m Angulo de deflexión de 1" espirnl: él. Ecuación (3-49):zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA e = ~(_l:t_) = ~(100) • )zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA , por lo tanto: Re 9 .I-------- Acimut de la tangente de entrada Acimut de la tangente de salida Coordenadas del PI Abscisa del PI Radio de la curva circular central Cuerda unidad Longitud de la espiral "Re = 35'48'35.50' = 0.625 radianes "80 Angulo central de la curva circular:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG Llc Ecuación (3-50): .1 e= .1- zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2e. , donde, ~16 JA;\IF~ (· ..\RDFó'i.\S GRIS.\LF.,> CAPiTULO 3. DISENO GEOMETRICO IIORIZONTAI.: = 106'0 .1( = 106' -2(35·4S'35.50')=34'22'49.00' T. =X e L Coordenadas cartesian:.1Sd el: seo; Ye) Ecuaciones (3-51) y (3-52): =L X e e( 1)2 1 --!..+ _1)'' _ _1)6 '_ + 10 216 x ='00[,_(0.625)2 c 10 t. e = 68.084m _lL_ = 20.259 = 34.625m sen 1), sen 35' 4S'35.50' ] 9360 .... + = 20.259 tan 35' 4S'35.50' -2L=96.164tanG. (o. 625t _(0.625)6 216 9360 ]-96164 +.... - Coordenadas cartesianas del centro de la · curva circular con transiciones: (x., yo) Ecuaciones (3-61) y (3-62): Xo = k = 49.356m m . - Le (G. G; G; G: J ,3 - 42 + 1320 -75600+'" Yo '" Yc + Re cos8, : 20.259 + 80(cos35'48'35.50')= 85.136m Ye - Cuerda larga de la espiral: eL. Ecuación (3-63): y- : 100[0.625 _ (0.625)1 + (0.625)5 _ (0.625)' + ] = 20 259 3 42 1320 75600.... . m Coordenadas cartesianas del pe desplazado: (k, p) Ecuaciones (3-55) y (3-56): P = disloque = Ye - Re(1-cosO.)= 20.259 -SO(I-cos 35'48'3550')= 5. 136m k= Xc - Re sen 8, = 96.164 -80(sen35·48'35.50')= 49356m Tangente de la curva espiral-circular-espiral: T. Ecuación (3-57): = (Re +P{~]-Rc cos- 2 Deflexión del fe o ángulo de la cuerda larga: ~ Ecuación (3-67): lPE'c aretan Ye x, = aretan20.259 = 11'53'47.81' p; 162.335m 96.164 p; r Z. == 3.1(10-3X35' 4S'35·5O'Y + 2. 3(W-8 X}5· 48'35.50' = 143.708'= 0'2'23.71' lP e = 35' 4S'35.50' _ 0'2'23.71' = 11'53'4S. 12' (Aproximadamente) 3 Externa de la curva espiral-circular-espiral: E. Ecuación (3-58): E. eL, =Jx; +y: =~r-(9-6.-'64-Y-+-(2-0-.2-59-Y = 98. 275m También, según las ecuaciones (3-69) y (3-68): Z. == 3.1(10-3 + 2.3(10~ 106' (SO+5.136)tan-= 2 ".1 T. =k+ ( Re +p"an-=49.356+ 2 - 217 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA .1: Acimultangente salida· Acimutlangenleenlrada= 143'-37" PL,INTII Longinld de la curva circular:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Le Ecuación (3-71): L _ elle =(SO+5.,36{----k-j-ao : 61.465m e - Gc cos-zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 Tangentes larga y corta de la espiral; Ecuaciones (J-59) y (3-60): e, =28rcsen-C-=2arcsen~10 t: Te 2Re L = 10(34·2749.00'L47.973m e . --" =7"9'59.92' 2~80)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA _ ..- .. _ .. _ __ ._----- ... 7"9'59.92' ~, • 218 ),\,\lES CARDF.NASGRIS,\I.ES C,\PITUI.O J. DISeÑO GEO.\IÉ nuco IIIJIH/.ONT.\I.: I'I.M' 1.-1 21'1 t Abscisas de los puntos: TE, EC, CE y ET Abscisa TE Abscisa PI - T. K 2 + 482.370 -162.335 = K 2 + 320.035 = = = 9.965[0.006206326 Abscisa EC = Abscisa TE + L. = K2 + 320.035 + 100 = K2 + 420.035 Abscisa CE = Abscisa EC- Le = K2 + 420.035 + 47.973 = K2 + 468.008 Abscisa ET = Abscisa CE + L. ;"1<2 + 468.008 + 100 b) = K2 ... .... = are/en (/JK1III = arclan y K2.330 X K2•1)(} + (0.006206326)5 42 (0.006206326)' 75600 + 568.008 Cálculos de localización por deflexiones, por coordenadas cartesianas y por coordenadas topográficas planas o ] 1320 = 0.021m 0.021 = 0"7'14,68' 9.965 Para una cuerda desde el TE de: Espiral de entrada, desde el TE al Ee: C'Xl.l)(} Se acostumbra abscisar la espiral en incrementos iguales a la longitud de la cuerda de la curva circular. De esta manera, se tienen las siguientes abscisas: K2+330: Su correspondiente deflexión (3-42), (3-43) Y (3-64). (0.006206326)J 3 Y,(2.1ll se calcula usando las ecuaciones (3-48), = JXi.:l.3JD· + y~I.JJO Las coordenadas topográficas planas de esta abscisa. S~ calculan a partir dc las coordenadas del TE, las que a su vez se calculan a partir de las coordenadas del PI: N1E. = N PI T. = + T. cos AZPl.lE ,AZp1 TE = AZTEP1+ 180· = 37' + 180' 162.335m N1'E =500+ e=ure. 70y = Jr.(9-.9-65"";'):;-2 +-(-:-0::-02-1 =: 9.965m = 21T = 370. 354m 162.335cos217' ETE = EPI + T. sen AZPl.TE= 500 + 162.335sen 217" = 402. 304m NX1.l)(} = N re + TE.(K2 + 330 Jcos AZ¡E(K2>3JO) Donde L es la distancia desde el TE a la abscisa considerada: L = 330 - 320.035 = 9. 965m e =(9.965)135'48'35.50'=0'21'20.15'= 100 1 x = L( - ~~ + 2~~ =9.96J1- x y=L + ....) =: (0.006206326)2 + (0.006206326y 10 216 = 9.965m NX1•111 = 370.354 E X2•J)(} = E¡E + TE.(K2 37'7'14.68' + 9.965 cos 37'7'14.68' = 378. 300m + 330) sen AZ¡E.(KI.1JO¡ _ (0.006206326)5 + ....] 9360 K2+340:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA =(19.965)135'48'35.50'= 1'25'38.59'= 0.024912575 radianes 9. 965m e e3 e5 e' ( 3- 42+ 1320-75600+···· ='C'K2.111 = AZ1E.Pt+ (/JK2.J)(}= 37' +0'1'14.68'= Exz.l)(} = 402.304 + 9.965sen 37'7'14.68'= 408.318m ~l K1.3ll X K1•330 9;:0 0.006206326 radianes TE.(K2 + 330) AZrEIK2.3ll) 100 ) = 19 965[1 X X2• 340• X X2 .:uo (0,024912575Y 10 + (0.024912575y 216 (0.024912575)6 9360 L.] = 19.964m , ........~,..~,." .....,_..._"'_ .._.:;:~~~"" ....,.."".e.,.....,........... _ zyxwvutsrqponmlk ~ 211 CAPiTULO 3 DISE¡;:O GEOMÉTRICO HORIZONT,\L; PLANTA YK ., Deflexión (K2 + 450) = 19.965fO.024912575 1 1O (0.024912575Y + (0.024912575)~ _ 42 1320 3 ~ (0.024912575Y 75600 + ... '/!"l.J'~ =arclan YKI+1JO X K1 + 340 1 Deflexión(CE : K2 + 468.008) = 14'19'14.73'+2'52'10.32'= = N rE Las coordenadas topogrcfícas planas de los diversos puntos .ubicados sobre la curva circular. se calculan a partir de las coordenadas de su =arclan 0.166 =0'28'35.05' 19.964 centro O: Az",¡.;",,"I = Az fE PI =tló AzEC.O l' = 19.965m AzPIe.EC + 90' AZPle"EC = Azp,.PI ". + ifJK2.JJO = 37' + 0'28'35.05" = 3r28'35.0S· N< 1-1'1 = 370.354 + 19.965cos 37"28'35.05" E X¡.140 EC.O = Re = 80m + TE.(K2 + 340) cos AZrE/K ,':J4UJ TE.(K2 + 340) = C'Kl.JJO 17'11'25.05' =0.166m (n.m = JX~2'J40 + Y~,+34Q = ~r.(1-9-.9-64-)-:C-l+-(0-.1-6-6)-:-1 = 19.965m Nxl.¡,O = 7'9'14.81' +3'34'59.96' = lO' 44'14.77' Deflexión(K2 + 460) = ID' 44'14.77'+3' 34'59.96' = 14'19'14.73' AzEC"o = 386.198m + 8. = 37' + 35' 48'35.50' = 72' 48'35.50' = 72' 48'35.50' +90' = 162' 48'35.50' No = 434.962 +80 cos 162' 48'35.50' + TE.(K2 +340) sen AZrEIK1.),v¡ = 358.536m Eo = 476.357 + 80 sen 162' 48'35.50' = 50o.000m EKZ.140 = 402.304 + 19.965sen 37"28'35.05' = 414.4S1m K2+430: AZO./K2+'))¡ y así se continúa hasta llegar a la abscisa del EC. C urva circular, desde el Ee al CE: NK2.,)) Deflexión por cuerda unidad = Ge = 7'9'59.92' 2 2 EI(2.,)) 3'34'59.96' Deflexión subcuerdalado del CE = (468,008 - 460P' 21'30,00' AzO~K2"JOI = 3'34'14.85; = 2'52'10.32' = AZO(K2t4:m + Go = 349' 57'5.20' +7'9'59.92' = 357'7'5.12' NK2•44il = 358.536 +80 cos 357'7'5.12' = 438,435m EKh410 = 500.000 + 80 sen 357'7'5.12" De esta manera, las deflexiones para la curva circular son: = 495.978m K2+450:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA AzO./Kh,SO¡zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA AZO.(K2.44il) + G o = 357'7'5.12"+7'9'59.92' = 4'17'5.04' Deflexión(EC : K2 + 420.035) = 0'0'0,00' _; NK1•4SO= 358.536+ 80 cos 4'17'5.04' = 438.312m Denex;ón (K2 + 430) = 3' 34'14.85' Deflexión (K2 + 440) = 3'34'14.85' + ~' + el doble de la deflexión lado del EC = (162'48'35.50' +180' K2+440: = Deflexión por metro = Ge 7'9'59.92' 0'21'30.00' / m 20 20 Deflexión subcuerdaladc del EC = (430 - 420,03S1r21'3000' = AZo.fe )+ 2(3'34'14.85')= 349'57'5. 20' = 358.536 + 80 cos 349'57'5.20' = 437.309m = 500.000 + 80 sen 349'57'5.20' = 486.041m AZO .(Kl.'))) EK1•1SO= 500.000 + 80 sen 4'17'5.04" = 505:977m = 3'34'14.85' +3'34'59.96' = 7"9'14.81' 212 K2+460: Azo (K2.•4 611)= AZO.(K2+45C)+ G c = 4'17'5.04'+7'9'59.92' = 11"27'4.96' N"2.4611= 358.536 + 80 cos 11'27'4.96' = 436.943m E"2.46iI = 500.000 + 80 sen 11'27'4.96' = 515.883m K2+468.008 (CE): AzO.CE = Azo {K2.'6II) + el doble de la deflexión lado del CE Az ocE = 11'27'4.96'+2(2'52'10.32') = 17'11'25.60' NCE = 358.536 + 80cos 17'11'25.60'= 434.962 ECE = 500.000 + 80 sen 17'11'25.60'= 523.644m Espiral de salida, desde el ET al CE: Las deflexiones y las coordenadas cartesianas de la espiral de salida, se calculan tomando como origen el ET y como punto final el CE. Por lo tanto, se tienen las siguientes abscisas: K2+560: L = 568.008 -560 = 8.008in B = (8~~~8r 35'48'35.50'= x = 8.008[1 K2+560 0'13'46. 71'= 0.004008003 radianes (0.004008003)1 + (0.004008003)1 10 216 _ (0.004008003)6 9360 XK2•56O= 8.008m = 8.008[0.004008003 3 YK2.56O (0.004008003)' 75600 (0.004008003)3 42 +.... + (0.004008003)l 1320 ] = 0.011m + ....] zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA J'\"'IE~ C,iROEN'\S GKISALES '::.\I'ITI.:I.O J. OISIi;;'O UEO;\IElltll't) 1'1."',,'1'." Las coordenadas topográficas planas de esta ubscisu. se calculan ;o partir de las coordenadas del ET, las que a su vez SI! calculan a partir de las coordenadas del PI. N ET = N p1 + T. eos AZ P1óT T. = 162.335m . AZPlH = 143' N ET = 500+ 162.335 eos 143' = 370.354m =500+ 162.335 sen 143' = 597.696m ET.(K2 + 560) = e'K2+l6IJ = 8.008m EET AZET-/Kz.s¡;q = AZET PI - !PK2dJ) = (143' + 180' )- O' 4',)3.33' = 322'55'16.67" N K2•56O = 370.354 + 8.008 cos 322'55'16.67' = 376. 743m E K2•56O = 597.696 + 8.008 sen 322'55'16.67"= 592.868m y así se continúa hasta llegar a la abscisa del CE. En la Tabla 3.12, se ilustra la cartera de localización de la CllI'V:J. espiral-circular-espiral por los tres métodos: deflexiones. coordenadas cartesianas y coordenadas topográficas planas. Igualmente ":11 la parte inferior aparecen todos los elementos geométricos asociados con las curvas. e) Chequeo de la longitud de la curva circular central La zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA longitud mínima de la curva circular central en el caso del arreglo espiral-circular-espiral, corresponde ti la distancia que puedo recorrer un móvil a la velocidad de diseño durante 1 segundoñ. Para un radio de la curva circular de Rc=80m lc corresponde tilia velocidad específica de V,=50 Km/h. Suponiendo esta igual a 1:1' velocidad de diseño Vd, entonces: Distancia recorrida = are tan --YKI.56O = are tan --0.011 = 0'4'4333'. !PK2>56O X Kl•56O 8.008 C'1(2.56O=~ X~2+56O+ Y:2+56O = ~r-(8-.0-08""")2~+-(-0.-01-1)-2 = 8.008m 11l)1(11.()~1.\1.. Obsérvese L?47.973m, = Vd (t)= 50 Km (1 seg! ~)(1000m) hr \ 3600 seg = 13.889m 1Km que como la longitud de la curva circular, que es de zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZ es mayor que la distancia 13.889m, este criterio se cumple.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY , J,\~II:S L'.\HnE~.\S (;RIS.\U'S Cartera de localización LONGITUD DESDE EL ABSCISAS DEFLE· XIONES DESDE EL TEyeT de la curva espiral-circular-espiral COORDENADAS CARTESIANAS DESDE El ESPIRALES TE, se» ET TEyET L ¡ y rp x TE:K2+320.035 0.000 0.000 OO,()()·OO.OO I 0.000 330 9.965 00~7.14.68 r 9965 0021 I 19.965 340 19.964 0.166 00·28·35.05 1 350 29.965 01-04·15.48 29.956 I 0.560 360 39.965 01·54·23,49 39.925 1.329 370 49.965 02·58-45.05 49.843 2594 380 59.965 04·17·25.34 59.663 4.476 390 69.965 05·50·19.73 69.313 7.088 400 79.965 07 ·37 ·21.31 78.097 10.532 410 89.965 09·38·24.84 87.690 14.895 420 99.965 96.135 20.239 11.53.19.281 EC:KH20.035 100.000 11-53-47.81 96.164 20.259 EC:K2-'42O 035 OO.()().()().OO 430 03-34·14.85 440 07.Q9·1481 450 10-44·14.77 460 14-19-14.73 CE;K2<468 008 17-11 -25.0S CE;K2<468JlO8 I 100.000 11·53-47.81 96.164 20.259 470 98.008 11-25-50.28 g4.534 19.114 480 88.008 09·13·36.37 85.968 13.965_. 490 78.008 07-15·17.79 76.887 9.788 500 68.008 05-31-00.83 67.442 6.514 5tO 58.008 04-00·55.40 57J52 4.054 520 48.008 02-4S.Q3.50 47.908 2.302 530 38.008 01-43-26.11 37.977 1.143 540 28.008 00-56·13.48 28.001 0.458 550 18.008 00·23-17.45 18.007 0.122 560 8.008 OO.Q4-43.33 8.008 0.011 ET=K2+568.008 OO'()().QO.OO 0.000 0.000 0.000 i i 1 I ¡ l - Acimul de emrada = 37· Acimul de salida; 143· Abscisa del PI : K2<482.370 6; 106·0 R.,:80m C' 10m L.; 100m K; 89.443m 225 ELEMENTOS DE LAS CURVAS Gc; 7·9'59.92' 9. = 35·48'35.50' 6c = 34·22'49.00' <¡le; 1'·53'47.8" x,: 96. 164m ye; 20.259m p = 5.136m k = 49.356m I COORDENADAS TOPOGRÁFICAS PLANAS e N I I I II I I 370.354 378.300 386.198 393.941 401.440 408.599 415.310 421.444 426866 431.422 434.950 434.962 P4,962 437309 438.435 438.312 436.943 434.962 434.962 434.349 43!l607 . 4~S.as8 420.295 414.037 407.229 399.996 392.441 384.661 376.743 370.354 T.= E.: Tl: Te' xe= yo' CL.; i I I EJEMPLO 3.33: Longitud mínima de una curva espiral Datos: Para el diseño de una curva espiral, se tiene la siguiente información: zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Tabla 3.12 CAPiTULO J. DISENO GEOMETRICO HORIZONTAL:PL·\NTA 402.304 : V.: 60 KmIh Velocidad específica 408.318 414.451 : Re: 120m Radio de la curva circular 420,779 Peralte de la curva circular : ec= 8% 427.393 : a: 165m (calzada de dos carriles) Ancho de carril 434.372 441.785 449.678 Calcular: 458.077 La longitud nuruma de la espiral de transición de acuerdo a los 466.973zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 476.323 criterios de: variación de la aceleración centrífuga, transición de 476.357 peralte, y por razones de percepción y estética. 476357 486.041 49S.978 Solución: 505.977 515.883 al Criterio de variación de la aceleración centrifuga 523.644 523.644 525.539 Según la ecuación (3-72). la longitud mínima de la espiral es: 534.806 543.607 L el 127( )] 551.906 • C!: 46.656(J) R. e. 559.702 567.026 573.928 De la Tabla 3.11. para una velocidad específica V.:60 Km/h, se tiene un 580.479 valor de la constante J=0.7 n1IsegJ. 586.762 592.868 597.696 162.335m 51,465m 68.084m 34.625m 49.356m 85. 136m 98.275m Le; 47.973m V. [V Por lo tanto: 60 [60 1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA L. C!: 46.656(0.7) 120 -127(0.08) ] =36.449m b) Criterio de la transición del peralte Según la ecuación (3-75), se tiene: . -;- -, L C!:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ae e :116 J,\~IESCARDEN,\:)taUS'\L¡;~ De la Tabla 3.9, para una velocidad específica V.=60 Km/h, los valores máximos y mínimos de la pendiente relativa m de los bordes de la calzada con respecto al eje son: m",., =0.64% ,mmj. =0.t~arril)=0.1(3.65)=0.365% De esta manera, al utilizar el valor máximo de de la espiral es: L 2!: ae, = 3.65(8) • ITImA. 0.64 !TI, la longitud mínima = 45. 625m Por otro lado, al utilizar el valor mínimo de m, la longitud máxima de la espiral es: L, s ae, = 3.65(8) mmin 0.365 = 80.000m Esto quiere decir que si se va a utilizar toda la espiral para realizar la transición del peralte, su longitud mínima deberá ser de 45.625 metros y su longitud máxima de 80 metros. e) Criterio de percepción y estética Desde el punto de vista de la percepción, la longitud mínima de la curva de transición, según la ecuación (3-76), es: . L. 2!: CAPiTULO 3 DISE~u U~O.\II\TI<IC()IIORIZl)~ (',\L: f'1.",~TA 3.6 SQBREANCHO EN LAS CURVAS 3.6.1 Expresión de cálculo Cuando un vehículo circula por una curva horizontal. ocupa un anda) de calzada mayor que en recta, Esto es debido a que por 1:1 rigidc'/ } dimensiones del vehículo, sus ruedas traseras siguen una trayectoria distinta a la de las ruedas delanteras, ocasionando dificultad a I\)~ conductores para mantener su vehículo en el eje del carril de circulación correspondiente. En estas circunstancias y con el propósito de que las condiciones de operación de los vehículos en las curvas sean muy similares a 1.1, de en recta, la calzada en las curvas debe ensancharse. Este aumento del ancho se denomina Sobreancho S de la curva. En la Figura 3.81 se ilustran dos vehículos circulando en una curva de radio R al eje, con las dimensiones mostradas en la Tabla 3.13 para vehículos pesados de tipo rígido ensamblados en Colornbiañ, que son precisamente los vehículos que tienen más di licultad al ejecutar cstu maniobra. Si se asume que el radio de la trayectoria del vuelo delantero exterior zyxwvutsrqponmlkjihgfedc R' es aproximadamente igual al radio R de la curva al eje, se tiene que: J6R: = J6(i2Oj = 26.833m Por razones de estética, de acuerdo con la ecuación (3-77), la longitud mínima de la espiral es: R 120 L·2!:i=g=13.333m DI! donde, se obtiene que para un sólo carril, el sobrcancho S de la curva es: (J-7ll) Como puede observarse, para satisfacer todos los criterios simultáneamente, para propósitos de diseño, deberá tomarse una longitud de la espiral comprendida en el rango de 45.625 metros a 80 metros. Si se utiliza una espiral mayor a 80 metros, el peralte requerido por la curva circular deberá lograrse a los 80 metros. .._,.,_--~-- - • ------.---.- ·-I~ __ ~_.- #. _P_" _ Para cualquier número zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA n de carriles por calzada, el sobreancho es: ------ - zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC ..."_.-"_-- M\II'\ c..iRD[N.IS GRIS,II.ES CAPíTULO 3. DISF.~OGEOMÉTRICO 1I0RI7.0NTAL: PLANTA zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 229 Según el Manual de Inviasn, en vías de dos carriles, en dos direcciones, para anchos de calzada en recta, mayores a 7.00 metros, no se requiere sobreancho, a excepción en curvas con ángulos de deflexión LJ> 120 0. Igualmente, el valor del sobreancho, está limitado para curvas de radio R<160m y se debe aplicar solamente en el borde interior de la calzada. La línea central divisoria de carriles, demarcada sobre el pavimento se debe fijar en toda la mitad de los bordes de la calzada ya ensanchada. Para el caso de una vía de dos carriles dos sentidos, se tiene: (3-80) Esta expresión supone que el vehículo viaja a la velocidad de equilibrio. Para velocidades específicas V. distintas a la de equilibrio, la posición relativa de las ruedas traseras depende de la velocidad, para lo cual Bamett sugiere agregar un factor de seguridad, llegando a la siguiente expresión: (3-81) 3.6.2 TransiciónzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE de l sobreancho Figura 3.81 Tabla 3.13 Sobreancho en las curvas Dimensiones de vehículos pesados de tipo rigido, ensamblados en Colombia . MARCA y TIPO zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZ 8us Che.rolel 580 Bus Chevrolel B-OO Camión Chevrolel C·70 Vol ueta Chevroiel C·70 Con el fin de disponer de un alineamiento continuo en los bordes de la calzada, el sobreancho debe desarrollarse gradualmente a la entrada y a la salida de las curvas. En el caso de curvas circulares simples, por razones de apariencia, el sobreancho debe desarrollarse linealmente a lo largo del lado interno de la calzada en la misma longitud I_¡ utilizada para la transición del pe y PT es del 70%, en la peraltado. Así por ejemplo, si la transiC10nalzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM Figura 3.82, se aprecia la repartición del sobreaneho zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO S, de tal forma 130 c,\rlTI.;I.O j, DISEÑú GEO~Ir:TRICO IJOf{I7.0;-';'J',\I..P I.A:-Ir ..\ :!31 que el sobreancho Sp en cualquier punto P, situado a una distancia Lp desde el inicio, es: ' .... Figura 3.82 (3-82) Transición del sobreancho en las curvas En los alineamientos espiral izados, el sobreancho se distribuye a lo largo de la Clotoide, trazando el borde del ensanche por medio de distancias radiales a partir del eje de la vía, las cuales varían directamente con la longitud de la espiral central L. desde el TE y el E], tal que se llega al sobreancho total S en el EC y el CE, garantizando de esta manera que toda la curva circular central lleve el sobreancho uniforme S. _ ... - - -- -------------- ---------------EJEMPLO 3.34: Sobreancho en curvas y transición Datos: Angulo de deflexión principal Radio de la curva circular Velocidad específica Peralte recomendado Pendiente relativa de los bordes Ancho de la calzada I3us tipo =41=130'0 =R=80m . -~ - . zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA JA~IES C,\ROF.N,\S C¡RISAlES = V. = 50 Kmlh = e = 8% = m= 0,77% = 7.30m (dos cam)es) -:; Chevro/el 580 Calcular: a) El sobreancho para el bus tipo. b) El sobreancho a una distancia de 20 metros desde su inicio. Solución: a) Sobreancho necesario Según la Tabla 3.13, para un bus tipo, Chevroler 580, la distancia L es de 7.75 metros, y de acuerdo con la ecuación (3-81), el sobreancho necesario es: S == {80 - J801 b) -7.751) + O:);) Sobreancho a 20 metros ==0.753 + 0.559 ==1.312m La longitud de transición de peraltado es: L, ==Carri/(e)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = 3. 65m(8. 0%) = 37,922m m 0.77% Por lo tanto, según la ecuación (3-82), el sobreancho desarrollado a una distancia de 20 metros desde su inicio, es:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH Sp =(Lp)S LI ==(~)1,312 37.922 ==0.692m zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA C,WITULO J. DISE;\:O GEO~IÉTnICO 3.7 ~ PROBLEMAS Datos: En la definición de una curva circular simple se tiene: -vhscisa del PI = K4+438.280 'PROBLEMA 3.4 = 1 Datos: 70'0 =8" = 10m Calcular: La curva. <1) usando rL,\;-'¡TA Calcular: ~ longitudes de las dos cuerdas iguales que' reemplazan el arco de 20 metros. [Resp. : c'=9.995m). PROPUESTOS PROBLEMA 3.1 G<=G. c =s IIORIZO~T.\L- Una curva circular simple fue calculada inicialmente con: Abscisa del PC= K2t420 .1 = 62'0 G, 1,1 definición e por arco. [Rcsp. : R,=71_620m. r=50.149m. L,=B7.500m, Absc.PC=K4+388.131, b] Absc.Pf=K4+475_631j_ La curva, usando la definición por cuerda. (Resp. : R c=71.678m. f=50.189m,Lc=87.500m, AbscPC=K4+388 091, AbscPf=K4+475.581]. Calcular: El nuevo abscisado para el pe y el pr, si la tangente de salida se mueve paralelamente hacia fuera una distancia de 20 metros sin que la curva simple cambie de radio. Absc.PT'=K2+545.984). zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA [Resp. : Absc.PC'=K2+442.651, \ PROBLEMA 3.2 Datos: En el cálculo de una curva circular simple, definida por el sistema cuerda. se tiene: Gc = 10~ e = 20m Calcular: Las longitudes de las dos cuerdas iguales que reemplazan la cuerda de 20 metros. [Rcsp. : c'=10.010m). \ PROBLEMA 3.3 Datos: En el cálculo de una curva circular simple, definida por cl sistema arco. se tiene: G, = 12° s = 20m PROBLEMA 3.5 .. \ Datos: Para la Figura 3.83, se tiene: POT.PI, = 82.600m PI,.PI2 = 47.000m Abscisa del pel = K2+000 = R,= BO.OOOm zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = 10m = K2+200 Gel = 8"26' e2 =5m Abscisa del por Radio curva al PI, e, Calcular. La ecuación de empalme de la V/a2 en lazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJ -, Vía 1.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGF [Resp. : K2+301.382 (V/a 2)aK2+122.593 (V18 1)]. -o- •• -- ¡'\~IES C\lWENAS (iI{fS,\L~:; C\PITUI.O J. DIS~S() GE()~Il~fRIC() 11!'>1~IZ(J:-';'f'''1 . 1'1."\,"1'.\ 235 por zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA PROBLEMA 3.7 Datos: Adicionalmente a In Coordenadas de A Coordenadas de C Segmento AB Segmento CD Acimut de AB Acimut de CD Problema 3.5 PROBLEMA 3.6 Datos: Los que aparecen en la Figura 3.84. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Figura 3.83 Problema 3.6 SI.! tiene: :: 50m : 72 "20'52' = 344 <56'20' ~alcular: La abscisa del punto D tal que el PCC de la curva compuesta quede exactamente en la mitad del segmento BC. [Resp. : K3+059.555j. Calcular: El radio Rz que se adapte a dichos elementos, [Resp, : Rr154.880m]. Figura 3.84 información dada en la Figura 3.S5, = N: 500.000, E: 700.000 = N: 572,580, E: 774.960 = 60m Figura 3.85 t Problema 3,7 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJ PROBLEMA 3.8 Datos: Para la Figura 3,86, se tiene la siguiente información: Coordenadas delzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA por,:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA N: 378.180, E: 246.860 ~36 CAPITULO l. DISEÑOGEOMt:T1UCOHORIZONTAL PLANTA J.\~II:S \.· AROE:-IASGRISA'-ES Coordenadas de B Coordenadas de C AcimutdeAB Acimut deCO Distancia AB Distancia CO Cuerdas Calcular: La ecuación de empalme. [Resp. : K5+496.129 (vía 2)!!K5~330.059 (vía 1)]. Calcular: La ecuación de empalme del Eje 2 en el Eje 1. [Resp. : K3+302.153 (Eje 2)eK3+266.736 (Eje 1)]. 1'0', o,; Figura 3.86 t ", .{ * Problema 3.8 - ._ ---------------------tPR O BLEM A 3.9 1. .., I :; N: 421.360, E: 376.840 = N: 629.880, E: 534.960 = 334~'38' = 98"50'42' = 101m :; 126m = e = 10m Figura 3.87 Problema 3.9 PR O BLEM A 3.10 Datos: Además de la información dada en la Figura 3.88, se conoce: Distancia zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA AB :;zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 131m -, Abscisa de A :; KO+B46 :; c= 5m Cuerdas zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXW Datos: Para la Figura 3.87, se tiene la siguiente información adicional: zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Coordenadas del PI, = N' 239 940, E: 184.070 Coordenadas del PIl = N: 153.910, E: 461.620 Coordenadas del POrl= N: 245.120. E: 572.370 Abscisa del POT, "K4+879.820 Distancia PI,.PI': = 139.100m Distancia P/z,PI'; = 35.600m Cuerdas = e = 10m ~37 ------------- .zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXW - ..... 238 JA~IES C,\RDENAS GRI$,\LI'S CAPiTULO 3 f)1~1:i\0 (¡E()MI!T!UL'() 110I(l/.0"T,\I.. I'I.ANTA / Calcular: La ecuación de empalme del Eje 2 en el Eje 1. (Resp. : KO+990.692(Eje 2)¡¡¡K1+000.114(Eje 1)]. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWV 80 , '" <¡. \\ I \ \ Izyxwvutsrqponmlkjihgfedcb Az=9(J"· - \ x..C,. ~: » . Izyxwvutsrqponmlkjihgfedcb \ \ \ \ 1 \j o Figura 3.89 7r Figura3.88 Problema 3.10 -1< PROBLEMA 3.11 Datos: Además de la información dada en la Figura 3.89, se conoce: Coordenadas de A = N: 800, E: 500 Coordenadas de B = N: 1000, E: 560 Coordenadas de e = N: 900, E: 680 ..--_. ---- PROBLEMA 3.12 Datos: Además de la información Coordenadas de A Coordenadas de B Coordenadas de e Curva de centro F Curva de centro G Curvas de centros I y H Curva de centro J dada en la Figura 3.90, se conoce: = N: 1000.000,E: 1000.000 = N: 1132.510,E: 1030.590 = N: 1123.450,E: 926.990 " T" 37m, e = 10m " R = 32m, e" 5m = T = 48m, e = 5.'11 "zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH e" 5m Calcular: Las ecuaciones de empalme necesarias. (Resp. : KO+091.136(Eje 2)5KO+069.184(Eje 3) K0+218.673 (Eje 3)5KO+20~.635(Eje 1)]. Calcular: La ecuación de empalme del Eje 2 en el Eje 1. [Resp. : KI + 193.002(Eje 2)5KI+299.549 (Eje 1)]. -" Problema 3.11 _ --_.------------ ..• CAPiTULO 3 015E:':0 GEOMÉTRICO HORI7.0NTAL: PLANTA B Figura 3.91 --. Figura 3.90 ~PROBLEMA Problema 3.12 3.13 Datos: Además de la información dada en la Figura 3.91, se conoce: Coordenadas de A =: N: 1000, E: 1000 Coordenadas de B = N: 957, E: 1115 Coordenadas de C = N.' 1161, E: 1227 Acimut de CD = 1250 Acimut de BE = 46° Radios = R, =: R', = 90m Tangentes =TZ=T'2=92m Cuerdas = c= 10m Calcular: La ecuación de empalme de la Vía 2 en la Vía 1. [Resp. : KOt407.977 (Vía 2)",KO+444.796 (Vía 1)]. PROBLEMA 3.14 Problema 3.13 Datos: Los que aparecen en la Figura 3.92. Figura 3.92 Problema 3.14 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA B ·':'.':1' zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA e 24 I 242 Calcular: a) La ecuación de empalme. [Resp.: KO+ 184.1 70 (EjeB)DKO+214.029 (Eje A)]. b) La abscisa del punto P. [Resp. : Absc.P=KO+061.331). '- ~ PROBLEMA 3.15 Datos: Además de la información dada en la Figura 3.93. se conoce: = N: 528, E: 416 Coordenadas de A Coordenadas de B = N: 625, E: 530 C..w rrvLu J. DISF.ÑOGEO~II;'I RICU 11()I(fZO~T,".· Pl..\:-':·, ..\ -----._----r PROBLEMA 3.16 -- -_ .. - --- Datos: Adicionalmente a la información dada en la figura 3.9-1, se conoce: Coordenadas de A = N: 426, E: 342 Coordenadas de B = N: 200, E: 500 Abscisa de e = K1+980 Abscisade B = K2+920 Cuerdas = e = 10m Calcular: a) La ecuación de empalme entre las dos vías. [Resp. : K2+201.636 (Vía 2)=K3+015.799 (Vja 1)J. b) La abscisa del punto D. [Resp, : Absc,D=K3+258.094j. Figura 3.93 ----------_ Problema 3.15 .-_------ . ...._----------- zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZ o Figura 3.94, Problema 3.16 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Calcular: La ecuación de empalme. [Resp. : K5+259.752 (Eje 2)=K5+281.639 (Eje 1)]. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA JA~I(S C,\RDf:NAS GRISAlES B J,\~Ir:S C.iR!1F:-:AS GRISALES - --_._-_ ... __ _- -_._---_ .... CAPiTULO J. 01$1,:'10 GEOMETRICO 1l0RIZONTAL: PLANTA 2~5 ..-_._----- 1'- PROBLEMA 3.17 Datos: Los que aparecen en la Figura 3.95. Calcular: La ecuación de empalme de la Vía 2 en la Vía 1. [Resp. : KO+966.304 (Vía 2)",KI+161, 181IVía 1)]. Figura 3.96 Problema 3.18 PROBLEMA 3.19 Datos: Además de la información dada en la Figura 3.97, se conoce: DistanciazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA AB zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = 235m Figura 3.95 Problema 3.11 =* PROBLEMA 3.18 Datos: Adicionalmente a la Coordenadas de B Distancia BD Punto medio de 80 Cuerdas información dada en la Figura 3.96, se conoce: = N: 4995.430, E: 3254.210 = 140.240m = Punlo e = e = 5m (prímera curva) y 10m (segunda curva) Calcular: Las coordenadas del punto zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA P de abscisa K4+640. [Resp. : N=5198,853, E=3197.667]. L Figura 3.~7 Problema 3.19 246 J"~IES C.-\RDENASlil<lS.-\LES [Resp, : KO+149.862 KO+096. 796 (Eje 3)aKO+176.539 (Eje 2) K0+29.5.628 (Eje 2)=KO+I30.496 (Eje 4)). Datos: Para la figura 3.99. adicionalmente se tiene: P/z.PI, PROBLEMA 3.20 Datos: Además de la información dada en la Figura 3.98, se conoce: Coordenadas de A = N: 5000, E: 8000 Cuerdas = c = 10m (pare! Eje 1) y 5m (por el Eje 2) Calcular: a) Las abscisas de P por el Eje 1 y por el Eje 2. [Resp. : Abscisa P (Eje 1)=KI+050.295, Abscisa P (Eje 2)=K2+052.690). b) Las coordenadas del punto P. [Resp. : N=4935.052, E=7994.791). A Figura3.98 Problema3.20 '1 I -.:.. ,_-.,_' ---- 247 PROBLEMA 3.21 (Eje l)lIiJKO+102.974 (Eje 2) zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Calcular: Las ecuaciones de empalme necesarias. C.\rITULO 3. DISERo GEOMETRICO1I01<IZON r'\L.I'L'\~l.-\ Radio al PI, Curvatura curva Rl Tangente al PIJ Cuerdas = 88.460m = R,= 71.680m = G ezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2= 6 0 = T3= 55.090m =c,=c2=c3:.10m Calcular: La ecuación de empalme delzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONML Eje 3 en el Eje 2_ (Resp. : KO+169. 763 (Eje 3)=KO+167.726 (Eje 2)]. Figura3.99 , Problema3.21 _ ,---- - zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO ,'-'. cAriTULO J. DISE:':OGEO~IIrrR ICO 110~¡::o:-;r. \ L. PLANT.\ -_ ----_ ._ ----_ ._ -------------- Coordenadas de B = N: 447.080. E: 442.880 PROBLEMA 3.22 Calcular: La abscisa del punto. P por el Eje l. [Resp. : Abscisa P (Eje 1)=K4+069.549]. Datos: Paro la figura 3.100. adicionalmente se tiene: = N: 500. E: 300 Coordenadas de A Distancia AB = 38m Calcular: Las abscisas del punto de intersección P de la Vía 1 con la Vía 2. [Rcsp. : Abscisa P (Vía 1)=K4+316.747, Abscisa P (Via 2)=KO+439.158]._ \------------o Figura 3.101 Problema 3.23 PROBLEMA 3.24 Datos: Problema 3.22 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONML Figura 3.100 :•• '_ 4 0 _. ---_ --------------------·PROBLEMA 3.23 Datos: !':U3 la figura J.I 01, adicionalmente se tiene: Coordenadas del PI = N: 500.730, E: 413.960 Coordenadas de A = N: 454.120, E: 361.940 Para la Figura 3.102, adicionalmente se tiene: = N: 10000. E: 5000 Coordenadas de P Distancia zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA PO = 273m PM y ON son paralelas Calcular: a) La ecuación de empalme entre los dos ejes. [Resp. : zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA KO+384.307 (Eje B)aK5+052:lt20 (Eje A)]. b) Las coordenadas del punto de abscisa K5+100. [Resp. : N=10082.645, E=5181-,755). zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK ------------~ ...•. --- 250 JA~IES C.· \RDEN.· \SGRISALES I.:AI'ITIJLO J.1)ISEÑl) Cl:o.\li'TIUCO II(JRIZOST ..\I. I'I.r \~T,\ Calcular: a) La ecuación ele empalme entre el Eje B y el Eje A. b) Las abscisas del punto Q. e) [Resp. : Abscisa Q (Eje A)=K3+017.379, Abscisa Las coordenadas del punto del puma Q. [Resp. : N=967.742, E=495,873). [Resp. : K5+044.248 (Eje 81;;;.K3+079.956 (Eje Al). Q (Eje C)=KS'022,5551 PROBLEMA 3.26 Datos: Figura 3.102 Para la Figura 3.104. Curva de centro O, Curva de centro 02 Curva de centro Ol Curva de centro O, Curva de centro Os Problema 3.24 PROBLEMA 3.25 Datos: adicionalmente se tiene: = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA R, = 52m = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA R¡= 32m = R3= 20m = R4 = 42m = R; = 64m Para la Figura 3.103, adicionalmente se tiene: = N: 1000, E: 500 Coordenadas ele A A ~ 'T"tDlC')' .;- -+- __ _ ~;; L. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA -....",--,.:= :,.....--+ + -"r= ........ =- ~' \ l __ -.!!:R#::!;70~m!.___ __ .; -ó'1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA .. -~,.. R :=:60m zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA I O-__"::'=:~_~"?_ ..: Problema 3.25 Figura 3.10,4 Problema 3.26 zyxwvutsrqponmlkjihgfed Figura 3.103 "i cAriTUI.O J. DISE:':O (jEO~II~RICO IIORIZO:-;T,\L: PtANTA Calcular: Las ecuaciones de empalme necesarias. I Resp. : K2+242.362 (Eje 2)",KO+065.973 (Eje 1) K2+100.531 (Eje 4);.Kl+089.000 (Eje 3)]. ~_ - ... ... _-_ ... ------ PROBLEMA 3.27 Datos: Para una curva circular simple se tiene: '\hscis,l del pe e KO+426.700 Radio de la curva = R = 60. 170m iklkxiún principal = . J = 50'0 Cuerda unidad -= e = 10m Figura 3.105 Calcular: El radio de la curva que pasa por el punto P. [Resp. : 41.069m]. Calcular: La curva por el método. de las normales sobre la tangente; de tal manera que se teagan.1os mismos puntos de la curva dcflectados desde el pe por d ñ,élod'O deTas deflexicnes V cuerdas. . [Rcsp .. Se m u~str!l en la Tabla 3,14J.· Tabla 3.14 Cartera de localización de una curva circular por el método de las normales sobre la tangente .. ESTACION PC 1-. ---_ ._-_.-I-~ :_er. .-.- ABSCISAS " x DEFLEXIONES KO--426.70Q 430 440 450 470 K0479,14f'l y (m) (m) .5 0.000 oo.QO.QO,QO 0.000 0.091 3.299 01-34·22,80 06.2Q.:?1lL.., __!l2.Q7 ___.~7-11.06J.2.lL~_7 _L-.4.465 _ 15.52.22,68 T 31.659 9.002 20.38.22.64 T 39.696 i4.9S225·00.QO.05T - 46 093 "2l493-- ... Problema 3.28 - -1-r ----------_._------------ PROF ¿MA 3.29 Dal.s: Pa.a una curva circular simple se tiene: P oscisa del pe = K4+523.800 !)eflexión principal = .1 = 70 'f) Grado de curvatura = G,= 6"30' =c= 5m Cuerda unidad C.al~u.lar: Las deflexiones desde el pe y desde el PI. [Rcsp. : Se presenta en la Tabla 3. 15J. PROBLEMA 3.30 PROBLEMA 3.28 Datos: De una curva circular compuesta Datos: Para la situación dada en la Figura 3.105, se tiene: siguientes elementos: Abscisa del PI Deflexión principal .J~ 100eo ,/3=21 0 ,PI.P=25m de dos radios se conocen los = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC Klt002.160 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM =zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA LI = 68 "32'54'0 J,\~IES C'\RDEN,\S GRIS,\1.ES 254 Radio de la primera curva Radio de la segunda curva Deflexi6n de la primera curva PRO BLEM A 3.32 = 152.400m = 40"18'34" Datos: Para una curva circular de tres radios SI! conocen: = K2+422.020 Abscisa del PI Dellexión principal = LI = 84· Deflexiones individuales =¿h=d2=l.h Radio de la segunda curva = Rl= 50m Radio de la primera curva = R. = 1.5Rl Radio de la tercera curva = RJ= RI Cuerdas = CI = C1= 10m, PT Cl: 5m Cartera de localización de una curva circular desde el pe y desde el PI ESTACION ABSCISAS Pe 255 ------------- - ---- - --_._ -- .. = 106.680m Calcular: ,a) Las tangentes larga y corta de la curva compuesta. [Resp. : 92.196m, 78.548m]. b) Las abscisas del PC, PCC y PT usando la definición por arco. [Resp. : PC=KO+923.612, PCC=KO+998.665, PT=KI+073.777]. Tabla 3.15 CAl'lTUlO 3 DI~r:Ñ() G"()~l1,T~ICO IIORW.N 1'.\1. "I.'\NI'.\ DEFLEXlONES DEFLEXlONES DESDE EL Pe (él OOBLES(Gll K4+523,800 00-00-00 00-00-00 Q0.40-4JJ 01·33·36 525 Q4.{)1-48 530 08-03·36 535 07·1648 14-33·36 540 10·31-48 21-03·36 13-46-48 545 27·33·36 550 17-01-48 34-03-36 555 20-16-48 40-33·36 560 23-3148 47-03-36 565 26-46-48 53-33.J6 570 30-01-48 60-03·36 575 33·16-48 66·33.J6 K4+577.646 35-00-00 70-00-00 ANGULO lal OO-OO.OQ.OO 00-01-53.60 01-00·38.08 04.()5·34.26 lt-05·1389 25·32-05.22 5045.1Q2478·IS·ll.21 9542·27.35 104·24·11.30 108·22·12.90 109·50,'9.40 110-00-00.00 Calcular: a) Las tangentes de entrada y salida. [Resp. : 59.392m, iguales]. b) La abscisa del PT de la curva compuesta. [Resp. : K2+460.302]. Pf.P (m) 30.871 29.677 . 24698 19.842 15317 -...D.608_: 9.768 10.822 14.127 18.485 23.275 28.231 30.877 -----------------PRO BLEM A 3.33 Datos: Para la figura 3.106, se tiene: - PRO BLEM A 3.31 Datos: La misma informaci6n dada en el Ejemplo 3.23. Calcular: Las tangentes de entrada y salida de la curva compuesta de tres radios, utilizando el método general dado por 1; ~ expresiones de las ecuaciones (3-25) y (3-26). . zyxwvutsrqponmlkjih OJ 9 zyxwvutsrqponmlkjihg i,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTS • ,RJ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ K2+ 800 RzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVU --------'!J-------.bo, : I , 11 "IANTA o,~ : I Jo ~I , I ,/ -r"zyxwvutsrqponmlkjihgfed :1------------- BB't - =:',;;¡J~ 111;1 Problema 3.33 zyxwvutsrqponmlkj Figura 3.1~6 CAPITULO) Curva de centro 01 Curva de centro 01 Curvo de centro 03 DISE:':O GF.O~IETRICO IfORIZO:-JTAL: PUNTA 40m = R,¡= 30m h) La abscisa de 8 sobre el puente y lo de B' debajo ,1<.:1puente. [Resp, : Abscisa de B=K2+ 788. 070, Abscisa de 8'=KJ+07J.012]. La pendiente uniforme de la línea que Y<1 desde el punto B (sobre cl puente) hasta el punto B' (debajo del puente), si verticalmente estos dos puntos están separados 7 metros. [Resp : Pendiente=-2.457%]. PROBLEMA 3.35 I PROBLEMA 3.34 ., zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Calcular: a) Las coordenadas del punto medio de la curva circular. [Resp, : N=865.253, E=537.369). b) La abscisa del ET. [Resp, : KO+376.303). = R I= 60m = RI= Calcular: .: I 257 Datos: Para el diseño de una curva circular simple, se tiene: = 2% Bombeo normal en recta Transición en toda la tangente, con peralte = 8% Diferencia de pendientes entre los bordes y el eje = 0.67% Pendiente longitudinal del eje = -1% Calzada de dos carriles, con ancho de carril ;: 3.00m Cota al eje donde termina el bombeo normal = 500m Datos: La rampa de enlace ilustrada en la Figura 3.107, une el paso inferior Calcular: con el superior. El alineamiento de entrada a la rampa tiene un acimut a) Las longitudes de transición y aplanamiento, rotando la calzada A y A' están sobre lo de a=113~. y el de salida de /]=36°. Los puntoszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA alrededor de su cje. [Resp. : J5.821m, 8.955m]. misma línea vertical. Laabscisa de A es KO+OOO y sus coordenadas son b) La cota del borde exterior en la sección del pe. [Resp. : 499.792]. N: 1000, E: 500. La rampa se compone de dos espirales iguales de entrada y salida cada una con una longitud L.=60m, y de una curva circular central de radio R,=60m. PROBLEMA 3.36 ," Problema 3.34 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXW Figura 3.107 Datos: Para el diseño de una curva circular simple, se tiene: = 80 KmIh Velocidad específica Peralte = 7.5% = 235m Radio Pendiente relativa de los bordes respecto al eje = 0.50% Cuerda unidad = 20m zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO Deflexión principal = LI;: 30"20'1 Abscisa del pe ;: K5+422.320 Calzada de dos carriles, con ancho de carril = 3.65m Sección normal con bombeo ... r ;: 2% Cota del pe al eje = 500m ;: +1% Pendiente longitudinal del eje J.\~IES C'\RDE:-':..\S GRIS"l~~ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 158 La transición del peralte se realiza 2/3 en la tangente y 1/3 en la curva. Calcular: a) Si el tercio central, que queda con el peralte completo, tiene una longitud de al menos-l/J de I¡¡ longitud de la curva. [Resp. : S~. b) La cota del borde izquierdo en la abscisa K5+575. [Resp. : 501.4541. PROBLEMA 3.37 CAPI rULO J DIS~:\O GEO~IET;UCCJ1I0IUZ(,i'< rAl. PLANT.\ .. l Sección normal con bombeo Pendiente relativa de los bordes respecto al eje Cota del punto P El eje de la vía trae una pendiente cambia al -3.5%. = 2% = 0.67% = 500m del ·4% hasta el puntu P, don"..: Dalos: Se trata de las transiciones de dos curvas, la primera izquierda y la segunda derecha, para las cuales: Peralte al PT, = 7.0% Peralte al Pez = 5.6% Abscisa del PT, = K2+200 Cota del PT, al eje = 500.470m Pendiente relativa de los bordes respecto al eje = 0.67% = 3.50m Calzada de dos carriles, con ancho de carril Pendiente longitudinal del ejc = +3% Entre las transiciones de las dos curvas existe una longitud de 20m cn bombeo normal del 2%. El 70% de las transiciones se efectúa en recta. Calcular: a) Las cotas del borde derecho e izquierdo en la abscisa K2+215. [Resp. : 501.065, 500.776]b) La cota del borde derecho 25m después del PCz. [Resp. : 504.142]. e) La abscisa donde se tiene un peralte del 4% del lado del pez en el desarrollo de la transición de la segunda curva. [Resp. : K2+298.359]. Figura 3.108 Problema 3.38 Calcular: a) Las cotas en los puntos A, B y e respectivamente. [Resp. : 502.370, 499.564, 498.589]. b) La abscisa de aquella sección donde se tiene un peralte del 5% tI.:1 lado del PT, en la primera curva. [Resp. : K2+993.433J. PROBLEMA 3.39 PROBLEMA 3.38 zyxw !'\------~------~---~-._~-------~~.~ ._ . ... -~ zyxwvutsrqponmlkjihgf Datos: Además de la información dada en la Figura 3. 108, para un par de.' curvas derechas, se tiene: Datos: Para la Figura 3.109, se tiene: Abscisa del pe, Cota del PT, Pendiente relativa de los borde~ respecto al eje = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG KO+BBO = 500m = 0.77% CAI'ITUI.O l. OISE:<O Gr:OMETRICO HORI7.0NTJ\1..: PLANT,\ Longitud de la primera curva Drstancr.i del PT, al PC2 Calzada de dos carriles. con ancho de carril Bombeo normal Pendiente longitudinal del eje Iransicioncs 8% . Longitud de la primera curva Longitud de la segunda curva Calzada de dos carriles, con ancho de carril Pendiente longitudinal del eje = 135m = 112m Longuud Je la segunda curva = 68m = 3.65m 261 = 50m = 70m = 3.65m = +4% =2% = +4% = 70% en recta IzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ,% t ~ ·J~-I --- -0-1I __ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA o j pr, ..------ pe z : ~~..'"zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA " .... - - """, ";¡ ; Figura 3.109 Problema 3.40 Calcular: a) La cota del punto A. [Resp. : 503.882]. b) La COladel punto B. [Resp. : 498.635]. e) La cota del borde derecho en la abscisa K2+040. [Resp. : 501.508]. Problema 3.39 Calcular: a) Las cotas en los bordes en el KI+050. [Resp. : 506.873, 506.721). b) Las cotas en los bordes en la abscisa ubicada 5m después del [Rcsp, : 505766, 505.434J. ----- Figura 3.110 '- - - - ---- ----- PT,. PROBLEMA 3.41 ", PROBLEMA 3.40 ~. Datos: Para la figura 3.110, se tiene: Peralte de la primera curva Peralte de la segunda curva Pendiente relativa de los bordes respecto al eje = 10% =8% = 0.96% Datos:-.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Para la Figura 3.111, se tiene: Longitud de transición de la primera curva Calzada de dos carriles, con ancho de carril Pendiente longitudinal del eje -, Abscisa del PT, Cota al eje en el PT, Transiciones =zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 32m = 3.65m zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQP = = = = -3% K2+900 500m 80% en recta J.-I~I[S C,\RDEK· \S GRIS..\LES CAPiTULO 3. DISEI':O {jEO~It:TRICO IfOlllZONT ..\f.. flf.Mrr..\ ,. 263 Calcular: a) Las cotas de los bordes de la calzada en la abscisa KJ+100. [Resp. : 488.140, 487.860}. b) La abscisa correspondiente a un peralte del 5% en la espiral do: salida del PI,. [Rcsp, : K2+943.125] . PROBLEMA 3.43 Datos: Figura 3.111 Problema 3.41 Calcular: a) b) Dibuje un esquema de la planimetría correspondiente. La cota del borde derecho en la abscisa K3+055. [Resp. : 495.209 Ó 495.491]. i PROBLEMA 3.42 Datos: Se trata de las transiciones de dos curvas derechas, Peralte de la primera curva Peralte de la segunda curva Abscisa del PT, Abscisa del pez Cota del PT, al eje Pendiente relativa de los bordes respecto al eje Bombeo normal Calzada de dos carriles, con ancho de carril Transiciones Sobreancho requerido en las curvas Para la Figura 3.112, se tiene: Cota al eje en el TE, Pendiente longitudinal del eje = 500m PT, al pez y del +0.5% del pez en adelante. = -4% zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Calzada de dos carriles, con ancho de carril = 3.65m Las pendientes .. = 8.0% "6.0% = KI+OOO = KI+IOO = 500m = 0.67% = 2.0% = J.50m = 70% en recia = 1.40m del eje son: -1.0% hasta el PT" -0.5% del Calcular: a) b) e) Figura 3.112 longitudinales para las cuales: Las cotas del borde derecho e izquierdo en la abscisazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWV KO+995 . [Resp. : 499.745, 500.279]. La cota del borde derecho en la abscisa KI+055. [Resp, : 499.655]. La abscisa cuando se ha desarrollado el 85% de la transición del peraltado en la segunda curva. [Resp, : KI+104.702}. Problema 3.42 ,.~-,~.~~-~----- -.-zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONML _._~.- . ~- ..~ .. Capítulo zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 4 D is e ño g e o 1 l1 é trÍ( El diseño geométrico vertical de una carretera, o alineamiento en perfil, es la proyección del eje real o espacial de la vía sobre una superficie vertical paralela al m ism o. D ebido a este paralelism o, dicha proyección m ostrará la longitud real del eje de la vía. A este eje tam bién se le denom ina rasante o subrasante. vierti'cal: 4.2 r.as ante CONCEPTO zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC 4.1 ELEMENTOS GEOMÉTRICOS QUE INTEGRAN EL ALINEAMIENTO VERTICAL zyxwvutsrqponmlkjihgfedcba A l igual que el diseño en planta, el eje del alineam iento vertical está constituido por una serie de zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE tramos rectos denom inados tangentes verticales, enlazados entre sí por curvas verticales. El alineam iento a proyectar estará en directa correlación con la topografía del terreno natural. -. "'" (,\rrrULo4. OISI;"»:O(jt:O~II:TRIlO JA.'.IES (,\ROENAS GRISALES 266 , .. Las tangentes sobre un plano vertical se caracterizan por su longitud y su pendiente, y están limitadas por dos curvas sucesivas. De acuerdo con la Figura 4.1, la longitud T. de una tangente vertical es la distancia medida horizontalmente entre el fin de la curva anterior y el principio . de la siguiente. La pendiente m de la tangente vertical es la relación entre el desnivel y la distancia horizontal entre dos puntos de la misma. • Pendientes m áxim as recom endadas CalJetera Principal de dos calzadas Carrell!f3 Principal de una calzada Carretera Secundaria Carretera Tl!fciana Figura 4.1 La tangente vertical Por lo tanto: m =( i.)too Obsérvese que en la expresión anterior la pendiente m se ha expresado en porcentaje. Para propósitos del diseño vial, las pendientes deben limitarse dentro de un rango normal de valores, de acuerdo al tipo de vía que se trate. Así se tendrán pendientes máximas y mínimas. La pendiente máxima es la mayor pendiente que se permite en el proyecto. Su valor queda determinado por el volumen de tránsito futuro y su composición, por la configuración o tipo de terreno por donde pasará la vía y por la velocidad de diseño. En la Tabla 4.1 se presentan laspendíentes máximas recomendadas a utilizar. 267 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Tabla 4.1 4.2.1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA T a nge nte s verticales t vERTleA!.. 1(,\S,\;--:lE Las pendientes máximas se emplearán cuando sea conveniente desde el punto de vista económico con el fin de salvar ciertos obstáculos de carácter local en tramos cortos tal que 110 se conviertan en longitudes críticas. Se define zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA la longitud crítica de U/le pendiente como In m axim a longitud en subida sobre la cual un camión cargado puede operar sin ver reducida su velocidad por debajo de un valor prefijado, Se considera que la longitud crítica es aquella que ocasiona una reducción de 25 Kmlh en la velocidad de operación de los vehículos pesados, en pendientes superiores al 3%. De orden práctico, SI: establece la longitud critica de una pendiente como la distancia horizontal medida desde el comienzo de la pendiente, necesaria pam lograr una altura de 15 metros respecto ni mismo origen. Para proyectos de carreteras en los cuales se supere la longitud crítica y con volúmenes de tránsito promedio diario mayores a 1000 vehículos, será necesario, para propósitos de capacidad y niveles de ...,-_ ._ --- zyxwv , 268 JA,\IES CÁRDENASGRISAlES CAPíTUlO~. UISEÑO GEOMÉTRICO VElnlCAL. RASANTE servicie, estudiar la posibilidad de construir vtas lentas o carriles adicionales a la derecha para tránsito lentoñ, La proyección horizontal del punto de intersección de las tangentes verticales está en la mitad de la línea que une las proyecciones horizontales de los puntos de tangencia extremos. donde empieza y termina la curva. Los elementos verticales de la curva (cotas) varían proporcionalmente con el cuadrado de los elementos horizontales (abscisas). .., La pendiente de cualquier cuerda de la parábola, es el promedio de las pendientes de las líneas tangentes a ella en sus respectivos extremos. En la Figura 4.2, se presenta la parábola de eje vertical, perfectamente simétrica. Los principales elementos que caracterizan esta parábola son: 4.2.2 Curvas verticales Una curva vertical es aquel elemento del diseño en perfil que permite el enlac.e de dos tangentes verticales consecutivas, tal que a lo largo de su longitud se efectúa el cambio gradual de la pendiente de la tangente ~I! .c~Híadaa la pendiente de la tangente de salida, de tal forma que lacd.n.:: ~na operación vehicular segura y confortable, que sea de apancncra agradable y que permita un drenaje adecuado. Se ha comprobado que la curva que mejor se ajusta a estas condiciones es la parábola de eje vertical. 4.3 1- zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA La pendien~e minima es la menor pendiente que se permite en el proy:clO. ~u v~lor se fija para facilitar el drenaje superficial longitudinal, pudiendo variar según se trate de un tramo en terraplén o en corte y de acuerdo al tipo de terreno. De todas maneras la inclinación de la línea de rasante en cualquier punto de la calzad; no debe.rá ser menor que 0.5%. Salvo justificación, no se proyectarán I~ngltudes de pendientes cuya distancia de recorrido a la velocidad de dlsc~o sea inferior a la recorrida en 10 segundos; midiéndose dicha longitud entre vértices contiguosl7l. ~69 GEOMETRíA DE LAS CURVAS VERTICALES PARABÓLICAS 4.3.1 Curvas verticales simétricas La oani?ola utilizada para el enlace de dos tangentes verticales consecutivas debe poseer las siguientes propiedades: La razón de variación de su pendiente a lo largo de su longitud es una constante. '-- '. -- .. ~ ------ A zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA =zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA PIV = Punto de intersección vertical. Es el punto donde se interceptan las dos tangentes verticales.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO B = PCV= Principio de curva vertical. Donde empieza la curva. C= PTV= Principio de tangente vertical. Donde termina la curva. Be = L. = Longitud de la curva vertical, medida en proyección horizontal. VA = E. = Externa vertical. Es la distancia vertical del PIVa la curva. VD = ( = Flecha vertical. P(XI. YI)= Punto sobre la curva de coordenadas (XI. YI). Q(XI. y?) = Punto sobre la tangente de coordenadas (XI. y?). situado sobre la misma vertical de P. QP = y Corrección de pendiente. Desviación vertical respecto a la tangente de un punto de la curva P. Valor a calcular. BE = X Distancia horizontal entre el PCV y el punto P de la curva. a Ángulo de pendiente de la tangente de entrada. f3 Ángulo de pendiente de la tangente de salida. r Ángulo entre las dos tangentes. Ángulo de deflexión vertical. m=fan a= Pendiente de la tangente de entrada. n=lan f3 = Pendiente de la tangente de salida. Flan r = Diferencia algebraica entre las pendientes de la tangente de entrada y de salida. no CAPITULO ~ DISENO GF.O~If:TRICOVERTICAL:RASANTE 27t zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 'A~Ir.S c.\Rnr::-:·\S GRIS \Lr:~ Reemplazando YJ Y m en la ecuación de la tangente y evaluando para el punto A(O. Y4). se tiene: kL! .' L) Y. --¡-=kL,(_O-t ke =--¡- ,de donde. Obsérvese que los valores absolutos de YJ y y. son iguales, por lo tanto: VA=VD La anterior igualdad es una importante cual dice que: Figura 4.2 Para bola de eje vertical, perfectamente simétrica Extema Se tiene entonces una parábola de eje vertical coincidiendo con el eje y y el vértice Ven el origen (O. O), según el sistema de coordenadas X versus Y. La ecuación general para esta parábola es: Y-Y2 La ecuación punto S, es: , y-y¡=mlt-t, m = dy dx de la tangente L) de entrada, dados su pendiente de la parábola. = Flecha La ecuación de la tangente pendiente m y el punto O: y=kt? propiedad también puede darse considerando la su =m(x-x,) - x,) y . y 2 = kL. (x m y un Evaluándola en el punto zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE B: , donde. • evaluada en el punto S, 1 ., ; (L.) "2-x, YJ-Y1=kL. Reemplazando m .: 2 k~ := 2 k( L; ) = kL. kL! --Y1 4 Para la parábola en el punto B se tiene: kL! =--kL.x, 2 YJY despejando zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE Y1, se tiene: 272 JA~IESC,\RDENASGRIS,\LES c ..\I'iTUlO~. DISI.:~O GEO~IÚTRICO VERTICAL. 1<.\S,Wré 273 tan a = tan Y.. '" tan y 2 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 Reemplazando los valores de: las tangentes: '- m Para la parábola en el punto P se tiene: y, = kx{ -- - i._ 2 Regresando a: y = y efectuando la diferencia calcular, resulta: y, entre y, y Y2, que es la que se quiere kL~ k( 4L! L,x, -Y2 =kX,2 - n...,x, +4= YI-r2=k(;-xIJ=r k= 4yJ = 4YI = 4VA= L~ L zs: - x, 2 Y=-X4E. e L! J ,pero, 4E, L~ = BE = x +x, 2 L; , por lo tanto, Para x = ~ 2 2 , se 4E 2 -f x , y reordenando, Lv tiene que: y = E, , entonces, ( . XL)2 f = ( 2~,. ) te zyxwvutsrqponmlkjihgfed v E, = 2~, (4-1) E=l,i , B ~~ Esta es la ecuación de la corrección de pendiente en función de la externa E. y con origen el punto B o PCV. Ahora considérese el puntozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED P' sobre la segunda mitad de la curva. Para e o PTV interesa conocer la distancia x' y la situarlo desde el puntozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB altura y'. Entonces: También se observa que: y': y -y, y=a+p -Y2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Y =( 2~)x2 Y, =m(x-;) , referido al PCV Para el caso de perfecta simetría, adebe ser igual a/]: y =a+a = 2a , esto es, a = f •.. _._. -~._. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ... - _ .... .. ~-~. y; ¡ se ni x - L \ ( L' 1= m x _...2. I 2 J • 2 I is : Las pendientes analíticas con respecto a la línea horizontal son: . pues aquí m = n. entonces. tana=m • , I ), Y,~,-;;¡--,l - 2 m( x--L, ) " '-, y = 1 -, I .2L; -ir, x-~'J"_' rxl-2L.lx-~)]2 2 2L, ~ +¡X1 - 2 L yx+ L ~ )=-¡-(L ~ ( 2L, I -2L,x +xl): _i_(Lv 2L, XY 1= PerozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA I.,·x" x'. entonces. r y' ~ Oc •• I I -- .tanr=i ,a+{3"r 13)= ~ta::.:n..:.a_-.::ta::..:..n::...13 1 + tan a tan 13 m -(-n) m -(-n) 1+m (-n,= -1---m -n- tan y , y'" ,lan/3=·n Aplicando la función tangente: ,? IXI 4. DISEÑO GEOMÉTRICO VER flCAL: RoISoINTli . l(x'l' (-1--1) ~~;l:-\ ~L. ) • Las expresiones de las ecuaciones (4-2) y (4-4) para las correcciones de pendiente y y y' indican que 1:1 primera mitad de la curva se calcula desde el PCV y la segunda desde el PTV respectivamente. = tan(a -s- Para valores prácticos de las pendientes viales, el producto m n es muy pequeño comparado con la unidad, por lo cual se desprecia, Por lo tanto: i =m -(-n) (4-5) Esta es la expresión general que define el valor de i. En lo. Figura 4.4. se ilustran los seis casos que se presentan: C aso 1: Cou.o se dijo anteriormente; es la diferencia algebraica entre las pendientes de la tangente de entrada y salida. En la Figura 4.3 se muestra un caso más general, en el que precisamente a"'p' 275 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA c,IPlrUlO 1= m -{-n) = m tn 1= +(m +n»O C aso 2: 1 = m -{+n) = m -n t= +(m -n»O C aso 3: I ~ -m -{-n) = ·m +n 1= +(n-m »O C aso 4: I = .mi+n) = -m ·n 1= -(m +n)<O C aso S: zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Figura 4.3 D iferencia algebraica entre las pendientes 1= -m-{-n) zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = -m +n 1=-{m -n)<O 276 Caso 6: 1 = m-(+n) = m-n 1= -(n-m)<O '_ ~ I ::ti I;JI .. n m-(-n) • m+ n + (m+ n) > o zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA J,lMf:S CÁRDENAS GRISALES CAPITUlO~. DISEÑO GEOMÉTRICO vERTICAL: RASANrs De acuerdo con lo anterior. se pueden identificar importantes de las curvas verticales: 277 dos características Par el cálculo de 1,las pendientes de diferente signo se sllman: Casos I y 4. Las pendientes de igual signo se restan: Casos 2, 3, 5 y 6. Valores positivos de i (i >0) representan curvas verticales convexas o en cresta: Casos 1, 2 Y 3. Valores negativos de i (1 <O) representan curvas verticales cónc(lvas o en columpio: Casos 4, 5 y 6. Un elemento geométrico importante de ubicar en curvas verticales éS su zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA plinto máximo (el punto más alto de la curva), o su plinto minimo I zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA .= zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA m-(+ n) = m-" (el punto más bajo de la curva). Así por ejemplo, en la Figura 4.5 d 1 : .. (m -n) > o punto P representa el punto máximo de tina curva vertical convexa. ~ ~ I • 1= -m-(-n) • -m+ n (n-m ) > O .. Au..J I • -m-(-n) _ -m"''' '''' - (m -n) <O 1 horiz onta l - n Figura 4.5 Puntomáximode una curvavertical simétrica ~ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA La cota de P a partir de la cota del PCVes: l. ,. m-(+ n) • m-" - (n-m ) < O = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1:<uJL.J I • -",-(+ n) .. -m-ti I ~ - (m ..n) < O l Cola P zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Cola p'.y , donde, Cota zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA P' = Cota PCV + mx y= Figura 4.4 Significadode i. Tipos de curvas verticales (2~}1 , entonces, 273 J ..\\lES C\RnENAS ORIS r\I.ES +mx -( 2~)xl Cota P - Cota PCV =Z esto es, , 279 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CotaP:o Cola PCV CAPITULO~. 015E:>;0GEO~ltTRICO VERTIC,\L, RASANTE . pero, z =mx-(-i-ix2 2L,. ) L;¡ expresión anterior es la ecuación de la parábola, la cual define la posición exacta de P, mediante sus coordenadas (x. z), y de cualquier "1m Plinto sobre la curva. La pendiente de la tangente a cualquier punto de la curva está dada por la primera derivada dzldx, que para el punto máximo es igual a cero: ~; = :X[mx-(2~}l]=O m _r_i_)2X = O . de donde, l2L. x=(f}· Figura 4.6 (4-6) y, =E·U: Curva vertical asimétrica r (4-7) Quiere decir que para determinar la posición horizontalzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA x o abscisa delzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA máximo, referida al PCV, simplemente se multiplica la longitud de la curva L. por el cociente de dividir a m entre i. Esta misma expresión también es válida para el cálculo del plinto m ínim o de una curva vertical cóncava. Para las cuales la externa E. se calcula así: Plinto YZ=E·u:r a+c+E. 4.3.2 Curvas verticales asim étricas (4-8) =d Pero, la flecha e es igual a la externa E., entonces, a+E. +E. =d zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVU Una curva vertical es asimétrica cuando las proyecciones horizontales de sus tangentes son de distinta longitud. Esta situación se presenta cuando la longitud de la curva en una de sus ramas está limitada por algún motivo. La Figura 4.6, ilustra este caso para una curva vertical cóncava. De acuerdo con la ecuación (4-1), las correcciones de pendiente para cada rama se calculan como: d-a E. = -2- , donde, d=mL, a= pL,= (~)L, L, +Lz a + b = d - e = mL, - nLz , pero, , esto es, ! ¡A\lcS C'\RDE."AS GRISALES 280 1 cAPiruLO •. DIS¡;¡\;OGCO,\II,TRICO VEltTlC,II. R..\SAN rt i mL r _(mL, -nL2)~ E. _ L, +L¡ + = 2 mL,(L, +L¡)-(mL, -nL¡)L, 2(L, +L 2) La COlade Pes: ColaP zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = CotaP'+y • donde, Cota P' E _ mL~ + mL, LI - mL~+'I'Ib., LI v 2(L, + L¡) = Cota PTV - tix ¿) y = Ev( 2 • entonces, L, +Ll= L. = (m+n)L,L 1 E CotaP 2L, v = Cota PTV -nx Cota PTV - Cota P = Pero m • Z E,( , ¿r . pero, esto es, +n = i , por lo tanto, = iL,L¡ E + (4-9) 2Lv Como se vio anteriormente es importante ubicar en curvas verticales su punto máximo o su punto mínimo. Así por ejemplo, en la Figura ~. 7 el punto P representa el punto mínimo de una curva vertical cóncava asimétrica. z=nX-E.(¿)' La expresión anterior es la ecuación de la parábola asimétrica, la cual define la posición exacta de p. mediante sus coordenadas (x, z), y de cualquier otro punto sobre la curva. La pendiente de la tanuente a cualquier punto de la curva está dada por la primera derivada dzJdx. :~e:;a[:~::n(toxn1)í2nli:1: dx dx n-e~' }=o ne es igual a cero: vL I ,de donde, zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA x=-¡ (4-10) 2E, Esta expresión define la mínimo, referida al PTV. encuentre en la segunda encuentra en la primera referida al PCV, se calcula posición horizontal x o abscisa del p l/IIIV para el caso en que el punto mínimo se rama de la curva. Si el punto mínimo se rama de la curva, la posición horizontal x con la siguiente expresión: me zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2E. Figura 4.7 Punto m ínim o de una curva vertical asim étrica zyxwvutsrqponmlkjihgfed (4-1 J) x=-'zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CAPiTULO 4, DI~E:'lO GEOMF.TRICO VERTICAl.: RASANTE mismas expresiones 1'1//1/0 máximo de una curva vertical convexa asimétrica, 4 .3 .3 C o e ficie n te también son válidas para el cálculo del El coeficiente angular kv de una curva vertical, define la C lIIT (/(U r(( de la parábola como una variación de longitud por unidad de pendiente. así: (4· 12) kv ~ L~ (mts/% ) L. = k,i (4· 13) Mediante esta expresión, como se determinar la longitud mínima de coeficiente angular k. dado, según los comodidad y apariencia, de acuerdo al a n g u la r d e u n a cu rva ve rtica l I Entonces kv es la distancia horizontal en metros, necesaria para que se efectúe un cambio del 1% en la pendiente de la tangente a lo largo de la curva, tal como se ilustra cn la Figura 4.8. verá más adelante, se puede una curva vertical para un criterios de seguridad, drenaje, tipo de vía a proyectarse. E JE M P LO 4.1: Curva vertical convexa simétrica Datos: Para el cálculo de una curva vertical simétrica se dispone de la siguiente información: zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA S i i= 1% -)k,=L,i1% (mts/% ) zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Estas 283 Abscisa del PTV COla del PTV Pendiente de la tangente de entrada Pendiente de la tangente de salida Longitud de la curva vertical = K2+640 :: 500m =+8% =· 3% = 120m Calcular: La curva vertical en abscisas de 10 metros. Solución: De acuerdo con la Figura 4.9, se tiene: AbscisaszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y cotas de:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA pev, PTV Figura 4.8 Coeficiente angular de una curva vertical Así. si kv es la distancia horizontal para que se produzca un cambio de pendiente de! 1%, la longitud necesaria para que se produzca un cambio total de pendiente del; % será la longitud total Lv de la curva, esto es: AbscisaPCV = AbscisaP/V· zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Lv = K2+640 _ 120 = K2+ 580 AbscisaPTV = Absc;saP/V Cota PCV = Cota PIV • 2 2 + ~ = K2+640+~ 2 2 =K2+ m( L; ) = 500 - 0.08(60) = 495.200m Cota PTV = Cota PTV •n( L; ) = 500 - O,03(m)j = 498,200m 700 284 Figura 4.9 Curva vertical convexa simétrica Cotas en la tangente en puntos intermedios: = = = = = = = = = = = = 496.000m = 496.800m = 497.600m = 498.400m Cola de 1 Cota PIV-m(50) 500-0.08(50) Cota de 2 Cola PIV-m(40) 500-0.08(40) Cola de 3 Cota PIV-m(30) 500-0.08(30) Cota de 4 Cota PIV-m(20) 500-0.08(20) Cota de 5 Cota PIV-m(10) 500-0.08(10)::: Cota de 6 Cota PIV-n(10) :: 500-0.03(10) Cota de 7 = Cota PIV-n{20) = 500-0.03(20) :: Cota de 8 = Cota PIV-n(30) = 500-0.03(30)::: 500-0.03(40) Cota de 9:: Cola PIV-n(40) Cota de 10::: Cota PIV-n(50)= 500-0.03(50) = = Correcciones 1:: m-n 499.200m = 499.700m 499.400m 499.100m = 498.800m 498.500m zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA J.-\.\IES c.;'\RDENAS GRISAI.ES CAI'ITULO 4. DISEÑO GeOMETRICO VERTIC.· \I.:R'\Sc\NTE .. .~ . La constante 4.58333(10)·1 110 debe aproximarse, puesto que ella est.i basada en los parámetros; y L.,. En otras palabras, debe considerarse con toda su fracción deci mal. Por lo tanto, las correcciones son: Punto Punto Punto Punto Punto PIV de pendiente y para los diversos PUIIII)S 1: K2+590, XI::: 10m, y, :: [4.58333(10)· 'J(10)1:: 0.046m 2: K2+600, xi= 20m, Yl = [4.58333(10)"J(20)1:: 0.183m 3: K2+610, X3:: 30m, Y3:: (4 58333(1O)·4J(30)1:: 0.412m 4: K2+620, XI:: 40m, y¡:: [4.58333(10)"J(40)1 :: 0.733m 5: K2+630, X5:: 50m, ys:: [4.58333(10)·IJ(50)1 :: t. 146m : K2+640, X6 = 60m, Y6 = [4. 58333(1WJ( 60)2 :: 1.650m Como comprobación, ésta última corrección de pendiente debe ser Ev:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA igual al valor de la externazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB = L.i = 120(0.11) = 1.650m E • 8 8 Como se trata de una curva simétrica, las correcciones de pendiente de los puntos 6, 7, 8, 9 Y 10 de la segunda rama, son exactamente las mismas de los puntos 5, 4, 3, 2 y 1 de la primera rama, respectivamente. Para obtener las cotas de los respectivos puntos sobre la curva, llamadas también cotas rojas, cotas de proyecto, COlas de rasante o cotas de subrasante, se deben restar de las cotos en la tangente. las correcciones de pendiente, ya que se trata de una curva vertical convexa. de pendiente en puntos intermedios: = +8%-(-3%) = 11% '" 0.11 De esta manera, queda calculada la curva vertical, con lo cual se puede elaborar el modelo de cartera, con la información necesaria, tal como se muestra en la Tabla 4.2. . e_ ••• _. _. > •. _ _ ._ ~ .,'-~ , __ =,.. _ zyxwvutsrqponmlkjihg "'_ ~S6 JA~Ir:S C..\RDf:N,\S (¡RISAI.ES Tabla 4,2 PUNTOS PCv 1 2 3 4 5 PIV 6 7 8 9 10 PTV l' CAPiTULO 4, DISENO GE()MÉTRICO 287 Cartera de diseño de rasante, curva vertical convexa ABSCISAS PENDIENTES COTASEN LA CORRECCI N TANGENTE DE PENDIENTE 495,200 0,000 496,000 -0.046 496800 ·0183 +8% 497.600 -0,412 498.400 -0.733 499,200 ·1.146 500,000 ·1.650 499.700 ·1.146 I 499.400 -0.733 I ·3% 499,100 -0.412 498.800 ·0.183 498.500 -0,046 0 0,000 498200 K2+580 590 600 610 620 630 K2+840 650 660 670 680 690 K2+700 I ? I • COTAS ROJAS 495.200 495954 496.617 497.188 497,667 498.054 498.350 498.554 498,657 498.688 498.617. 498.454 498200 L.¿2 1ft ~ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK +J_%zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA PCV .... '"'" zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = K5+940 = 500m = +1% = +6% = 160m Calcular: La curva vertical en abscisas de 20 metros. Solución: De acuerdo con la Figura 4.10, se tiene: Abscisas y cotas de: PCV, PTV = AbscisaPIV -~ 2 ~ .. g ~ ..'".. ~.. '1 ::'" a'".. >: '" 1! .. "', "'1 simétrica Datos: Para el cálculo de una curva vertical simétrica siguiente información: Abscisa del PIV Cota del PIV Pendiente de la tangente de entrada Pendiente de la tangente de salida Longitud de la eurva vertieal f~ - '1, EJEMPLO 4.2: Curva vertical cóncava é ~• L.¿2 PTV r AbscisaPCV VERTIC Al.; RASANTE = K5 +940 -80 - _. -_.- "'.- = K5 se dispone de la + 860 --_._---------- Figura-4.10 AbScisa PTV = Abscisa Curva vertical cóncava simétrica PIV + ~ 2 -m(; ) + n(; ) = = K 5 + 940 + 80 = K6 + 020 Cota PCV = Cola PIV zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = 500 -0.01(80) = 499.200m Cota PTV = Cola PIV 500 + 0.06(80) = 504.800m Cotas en la tangente en puntos intermedios: = = = = de zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Cola PCV+m(20) 499.200+0.01(20) 499.400m " de 2 = Cola PCV+m(40) 499.200+0.01(40) 499.600m • 499.800m de 3 = Cola PCV+m(60) = 499.200+0.01(60) 500+0.06(20) = 501.200m de 4 = Cota PIV+n(20) de 5 = Cota PIV+n(40) = 500+0.06(40) ='"'S02.400m Cola de 6 Cola PIV+n( 60) 500+0. 06( 60) 503.600m Cota Cola Cota Cola Cola = = = = = = 188 JAMES CARDtNAS GRISALES Correcciones 1= m-n ------- de pendiente en puntos intermedios: = +1%-(+6%)=-5% .. -0.05 =(_i2L" )X2 Y = 0(.05 2 160 r' = [1.5625(10)"1 '_ Por lo tanto, las correcciones son: Datos: de pendiente y para los diversos puntos :; 160(0.05) Abscisa del PIV Cota del PIV = K5+995 == Pendiente de la tangente de entrada Pendiente de la tangente de salida 0.063m 0.250m 0.563m 1.000m 572.800m +5% e +1% == Calcular: De la misma manera, la corrección de pendiente al PIVes igual al valor de la externa E.: 8 _._---_._ Para una curva vertical simétrica Si! conoce: = v - EJEMPLO 4.3: Curva vertical simétrica gue pasa por un punto obligado k Punlo 1: K5+BBO, x, 20m, y, == [1.5625(10)·~(20)2 == Punto 2: K5+900, Xl == 40m, Y2 == [1.5625(10)-4](40)2 == Punlo 3: K5+920, XJ == 60m, YJ == [1. 5625( 10)·4](60F == PIV : K5+940, XI == BOm, y4 == [1.5625(10)4](80)2 == E = L"i CAPiTULO ~_DISEÑO GEO~fETRICO YCRTIC¡\I.. RAS.\N, ¡; 1.000m la longitud de la curva vertical simétrica, de tal manera que en la abscisa K6+005 la cota en la curva sea 571.500. Solución: 8 De acuerdo con la Figura 4.11, se tiene: Para obtener las cotas rojas, se deben sumar a las cotas en la tangente, las correcciones de pendiente, ya que se trata de una curva vertical cóncava. Queda así calculada la curva vertical con la información como se aprecia en la Tabla 4.3. , . '~ Tabla 4.3 PUNTOS PCV 1 2 3 PIV 4 5 6 PTV necesaria, tal g .. Cartera de diseño de rasante, curva vertical cóncava ABSCISAS ~zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK PENDIENTES COTAS EN LA CORRECCiÓN COTAS TANGENTE DE PENDIENTE ROJAS K5<860zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 499.200 0.000 499.200 880 499.400 ..0,063 499.463 900 499.600 ..0.250 499.850 920 499.800 ..0.563 500.363 K5+940 +1.000 5OO.~ 501.000 960 ..0,563 501.200 501.763 980 502.400 ..0.250 502.650 KS..ooo 503.600 +0.063 503.663 K6+02Q 0 504.800 0.000 504.800 r' 1% t r' 1'CV lzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONML L./Z lr/Z . Figura 4.11 . Curva vertical simétrica por un punto obligado _------------ . zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT __ --_._ ._,.. -- -,.. ..,._,.-~_._,_".,."., ...... " ~90 CAPiruLO~. El punto. de abscisa y cota conocidas. es el punto 8, el cual tiene una corrección de pendiente y: Solución: y = Cola • donde, de A • Cola de 8 = Cola de A = Cota del PIV + 10(n) 572.800 + 10(0.01)= 572.900m 8 = 571.500m , entonces, . pero. y = 572.900-571.500= 1.400m Cola de y = (2~)x' = 1.400 , donde, i=m-n=5%-(+I%):4%-a0.04,X=;-10 0.04(~ 2L, 2 _10)' = ,entonces, 1.400 0.005~ -1.6L, +2=0 Resolviendo esta ecuación de segundo grado. se determina quc la Iongil ud de la curva es: t, = 318.745m • EJEMPLO 4.4: Punto máximo de una curva' vertical simétrica' , .;'" .....'H Datos: Para una curva vertical simétrica se tiene la siguiente información: Abscisa del PIV = K7+040 Cota dcl PIV = 1600m Pendiente de la tangente de entrada = +6.8% Pendiente de la tangente de salida = -4.6% Longitud de la curva vertical = 120m Calcular: La abscisa y la cota del punto más alto de la curva. VERTI(,\I.; R,\SANTE 291 De acuerdo con la Figura 4.12. se tiene: /, PIV" p'zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPON p,----------~------~ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcba ,,• horiz onte l L,/Z Figura 4.12 m = 6.8% Ejemplo de punto máximo de una curva vertical simétrica ,n = -4.6% ,i = m -n = 6.8% -(-4.6%)=11.4% ",0.114 L, = 120m El punto P, punto máximo de la curva, según la ecuación (4-6), se - encuentra ubicado a la distancia x del PCV: X=(!!!.)L i ' =(6.8% )120 = 71.579m 11.4% Por lo tanto, su abscisa es: Abscisa de P = Abscisa PCV + x = K7 + zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE 040 - 120 = K6 + 980 2 2 Abscisa de P = K6 + 980 + 71.578", K7 + ~M79 Abscisa PCV = Abscisa PIV • .!:x_ Igualmente, la cota del punto Pes:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED . zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWV ---------------------~ DIS[¡;'OGEO)I,ltTRKO zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJ 0.02( ~ -10L, + 100) = lAL, zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA J,\~Ir:S CAROENAS GRISAI.ES 292 JA~IESCARDENAS GRISALES Colada P = ColaPCV C,\PITULO 4, DISEÑO GEO,\lETRICO VERTle,\I,: I('\S ..\:'lTE +mx-(-I-'2L. )X2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Cola PCV = Cota PIV -m( L;~ = 1600-0,068( 1~0) ColadeP = 1595,920+0,068(71,S79)-~(71,579Y 2\120J = 1595,920m = 1598,354m EJEMPLO 4,5: Curva vertical simétrica gue pasa por un punto mínimo Datos: Para una curva vertical simétrica se tiene: Abscisa del PIV Cota del PIV Pendiente de la tangente de entrada Pendiente de la tangente de salida = KI+490 = 1490m = -2% Figura 4,13 = +8% La diferencia de altura de un (1) metro, entre el punto mínimo P de J:¡ curva y la tangente vertical, es la corrección por pendiente y, Por III cual: Calcular: a) b) La longitud de la curva vertical simétrica, de tal manera que entre el punto más bajo de la curva y la tangente haya una diferencia de alturas de un (1) metro, La abscisa y la cota del punto más bajo de la curva, Reemplazando a x 0,05 (0,04L~)= 1 Lv L, =SOOm Longitud de la curva De acuerdo con la Figura 4,13, se tiene: m=-2% i ) x 2 = 1 = (0,10) Y = ( 2L, 2C x 1 = 0,2LvzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA , se tiene: y = O.OS(0.2L v)1 = 1 i; Solución: a) Curva vertical simétrica por un punto mínimo ,n=+8% x=(T}V 2% ) L, = 0,2L. x = ( 10% .i=m-n=-2%-(+8%)=-10% .. -0,100 b) ,de donde, Abscisa y cota del punto minimo Abscisa MíN zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = AbscisaPCV zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA +x , donde, AbscisaPCV = AbscisaPIV _.h. = KI +490 2 SOO= KI + 240 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ 2 194 CAPiTUlO~. = 0.2L. = 0.2(500)= Abscisa Cota = Cota P' + 1 Cota P':: Cola PIV + (~ Cota p'= Cota Solución: 100m , entonces, M{N :: K1 + 240 + 100 = K1 + 340 MiN 1490 DISEÑO GEOMETRICO VERTICAL: RASANTE DI:! acuerdo con la Figura 4.15, se tiene: . donde. - x )0.02 +( 5~0 -100)0,02:: 1493m , entonces. MiN = 1493+ 1 = 1494m EJEMPLO 4.6: Curva vertical compuesta Datos: Con la información dada en la Figura 4.14, se quiere unir el punto A y el punto B mediante una curva vertical compuesta de dos curvas verticales simétricas, la primera en el tramo Ao y la segunda en el tramo oB, tal que el punto O sea el PCCV o punto común de curvas verticales. Figura 4.15 al Curva vertical com puesta 295 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA x J.· I~lES C,IROENAS GRIS,ll.éS Cotas de rasante K2+020: Cota de E L." =K2+080-K1+94 AbscisaPIV, Cota de E O:: 140m :: Abscisa de A + ~ 2 = K1 + 940 + 70 -- K2 + 010 = Cota de E' +E' E Sí se defi~e azyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA p c?mo la pe~diente de la tangente común PIV I.PIV1, y a zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY t. como la diferencia de pendientes para la primera curva, se tiene: Cota de Figura 4.14 Ejem plo 4.6 Calcular: a) Las cotas en la rasante en las abscisas K2+020 y K2+150. b) La abscisa y la cota del punto más bajo de la curva compuesta. E'E P E'= Cota deC +0.08( = (...!LJX2 2L" = Cota PIVz L." 2 + ~I )-10P 1 Cota PIV, L.,1 2 ~, zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 296 Cota P/V2 = Cota de C + o.o{ L;2) L.¡ = K2 + 240- K2 +080 = 160m CotaP/V¡ = 500 +0.04(80)=;~03.200m Cola P/V, ,. Cola de e + o. 08( ~' ) Cola PIV, = 500 + 0.08(70) = 505.600m = 503.200 -505.600 = -0.016 70+80 i, =-0.08-(-0.016)=-0.064 ,por lo tanto, Cola de E'= 500 +0.08(70)-10(0.016)= 505.440m p 0.064 (60y =0.823m , luego, 2(140) Cola de E = 505.440+ 0.823 = 50S.263m E'E = K2+ 150: Cota de F Cota de F '" Cola de F'+F' F Sí se define a i¡ como la diferencia curva, se tiene: Cola de F'= CotadeC +o.o{ ~¡ de pendientes para la segunda )+ 10p zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA }A~IES CÁRDENAS GRISALES CAPITUl.O ~.I)ISE"¡O GW/l.ltrRICO vr:RTIc,II. p) L.2 = (0.016) 160 = 45. 714m x = ( -:'2 0.056 = (i)x: = 2L.¡ 0(.056)(70)2=0.858m 2 160 Cola de F = 503.360 +0.858 b) Abscisa . luego, AbscisaMíN = Abscisa de O + x = K2 +080 + 45. 114 CotaMiN = Cola de G =ColadeG'+G'G Cola de G' = Cola de E'·p(x, + x) = K2 + 125.714 . donde, Cota de G' = 505.440 - 0.016(60 + 45.714) = 503.749m G'G .. (i)Xl :;2(160) 0.056 2L. (45.741)' =: 0.366 1 , luego, m Cota MiN =: 503. 749 + 0.366 = 504.115m EJEMPLO4.7: Curvas verticales simét~icas gue se cruzan Datos: La Figura 4.16, muestra los perfiles de las tangentes verticales de un par de vías que se cruzan. El PIV, pertenece a un paso inferior que acomoda una Curva vertical de longitud 80 metros y el P/V¡ pertenece a un paso superior que acomoda otra curva vertical. Cota deF'", 500+0.04(80)+ 10CO.0IS)'" 503.360m i¡ = -0.016 -(+0.04)= -0.056 , por lo tanto, F'F /(..IS,\.~ n: ox ,luego, = 504.218m y cota del punto m ínim o Figura 4.16 De acuerdo con los valores de las tres pendientes de la Curva compuesta, se deduce que el punto más bajo de ella se encu~ntra en la primera rama de la segunda curva. Por lo tanto, es necesario calcular la distancia x: Ejemplo 4.7 Calcular: La longitud de la Curva vertical simétrica alzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM PIV¡, de tal manera que sobre la vertical del PIV, y el PIV1zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA exista una diferencia de altura de 6 metros entre las rasantes respectivas. ---------~~\.---,_-, ~.~----zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVU .. .. JAMES C\Rf)E~.· \S (;RISAI E~ CAPITULO~. DISEÑO GEOMÉTRICO \· ERTI(..\1. R"SMHE 299 Solución: De acuerdo con la figuro -1.17. se tiene: ~ '------./ :<:1 1 Figura 4.18 Calcular: Figura 4.17 Curvas verticales simétricas que se cruzan La longitud dela curva vertical al PIVz en función dc su externa Evz es: Lvz = 8(~vz) a la anterior con la siguiente Solución: De acuerdo igualdad: ;, =+0.04-(0.00)=0.04 Evz =PIV,PIVz-6-Ev, =8-6-E" =2-Ev' la Figura ,pero, Evt = L.~i, , Lvt= 80m , i, = -0.02-(+0.06)= ·0.08 Evt = 80(0.08) 8 = OBOOm . , por lo tanto, E,z = 2 - 0.800", 1.200m = 8(1.200) = 240m , entonces, , luego, 0.04 EJEMPLO 4.8: Pendiente en una curva vertical restringida Datos: Ejemplo 4.8 de la tangente de salida que se acomoda . donde, 1} Lv, La pendiente situación. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ~ se puede plantear zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA "2 "zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 60 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY L .. 4.19, ------ ------_ _----_---------,---_-- zyxwvutsrqponmlkjihgfedc Para el esquema dado en la Figura 4.18, se tiene quc la diferencia de cotas entre las respectivas rasantes delzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA PCV y un punto de abscisa Figura 4.19 Pendiente en una curva vertical restringida K2+140 debe ser de 0.85 metros. 300 JA1>IESCÁRDENAS GRISAI.ES a+0.85=b+y a = m(; ) CAPiTULO~. DISENO GEO:>.IÜRICO VERTICAI_:R,\SM, fE ,donde, Calcular: La longitud de la curva vertical simétrica que cumpla esta condiciólI. = 0.02(60) = 1.200m b = n(20) = 20n Y=(2~}2 Solución: '.... De acuerdo con la Figura 4.21. se tiene: Aplicando la definición de i: i = m-n = 0.02 - (- n) '" 0.02 + n = y 0.02+n(40)1 2(120) JOI = 0.02+n 0.15' ...", A (C.'Q~.~7 ••0) PCV I pDr D tanto, 1.200+0.85=20n+ 0.02+n 0.15 Despejando el valor de n, se tiene: n = 0.071875 , o lo que es lo mismo n = -7.188% ~ .... ~I EJEMPLO 4.9: Curva vertical sobre una cota obligada ~I I L ./1 Datos: Figura 4.21 Pendienlede enlrada Curva vertica I sobre una cota obligada 425.00 - 427.40 = -0.03 = m 460-380 Pendienlede salida = 428.20- 425.00 _ +0.04 = n 540-460 i = m -n = -0.03 - (+0.04) = -0.07 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED Para la situación dada en la Figura 4.20, entre la rasante de la vía y la alcantarilla desde el nivel de la clave debe existir una altura de 2.10 metros. En la vertical sobre la alcantarilla se puede plantear la siguiente igualdad:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y+a+b=2.10m ,esto es, y = 2.10-a-b a Figura 4.20 Ejemplo 4.9 = m(20) = 0.03(20)= 0.60m b = ColaPIV -Cota Clave == 425.00-424.10 = 0.90m Y = 2.10-0.60-0.90 = 0.60m ,pero, . .;._ , entonces, ~-~,.....------------ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ........ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPON -- zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGF ... - _.,_. __ .. -,.:- '- J.\~!ES C"R[)E~A~ GRIS,\LI:~ J-'-' 2L. l- , )XZ = 0.60 = 0.07 (~_ 2L. 2 R,\SA:--JTE 303 20)2 -= 0.035(L~ -20L, + 400) Lv 4 , O.6L, = 0.00875L~- O.?L, + 14 0.00875L~ -1.3L, + 14 = O Resolviendo esta cuadrática se obtienen los valores para la longitud de la curva vertical L, de 11.689 metros y 136.883 metros. siendo éste último el que se ajusta las condiciones del problema. EJEM PLO 4.10: Curvas verticales tangentes ,, , ,, ,, ,, ,, ,, ,, , .:.:..:. ~ .... .. , , ,' ~~ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Datos: En la ~;igura 4.22, El punto A es el principio de una segunda curva vertical cóncava de 120 metros de longitud, la cual posee una pendiente del +4% en su tangente de salida. , \ ' I , I I , I , I x:::JO : .!-~ ' .... '6/{..O : : : "",,_--,"60'__ ~ ' ~ 5 ~ ~ _ _ ~x~~~ ~::;:: ~: ~T ::~:: ~~ ':lJ ~':~: e~~~ Figura 4.23 ~: ~:~: Curvas verticales tang.entes _ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y CAPiTUl.O 4 DISEÑO GEOMETRIC(.) \'cRTIC.\L zyxwvutsrqponmlkjihgfed ~:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ ~: ~~ Como para la primera curva se conoce toda su información, será posible calcular la pendiente de la línea tangente a cualquier punto de ella, como por ejemplo en este caso en el punto A. Por lo tanto: i, =m, -mz =-2.50-(-12)=9.50% , ".... .....",,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ~ e: ,,' Figura 4.22 Ejemplo 4.10 Calcular: Para la segunda curva, la cota de la rasante en la abscisa KO+570. Solución: De acuerdo con la Figura 4.23, como en el punto A{PCVI) las dos curvas verticales son tangentes, tendrán una tangente común de pendiente m¡, la cual a su vez será la tangente de entrada de la segunda curva por tratarse el punto A como el principio de ella. Sí para 70m hay un cambio de pendiente del:~ i, = 9.50% Para 40m habrá un cambio de pendiente del: ~ i'= m,·m2 m, -mI = (;~)9.50 = 5.43% mI = m, -5.43% = -2.50 -5.43"" -7.93% Por lo tanto, la cota del punto zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE Pes: ColaP = ColaPIV, -a- y, -b+c+ a = n, (5) = 0.12(5) = 0.600m yz zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA , donde, Y = (_!t_)X2 = 0.095(30)2 =0.611m , 2L., ' 2(70) b = mz(60) = 0.0793(60) = 4. 758m -, 304 JAMESC'¡ROENAS GRISALES J05 e = n2(15) Y2 = 0.04(15) = 0.600m = (...!L)X2 = 0.0793+0.04(45)2 C"PITULO~. DISEÑOGEO~IETI(lCO\· t:R'fI(.· Al"I(AS.,:'ITI: 2L.2 Cota P 2 2(120) = 500 - 0.600- =1.007m ,luego, 0.6.14,- 4.758 + 0.600 + 1.007 = 495.638m EJEMPLO 4.11: Rasantes que se cruzan, a desnivel Datos: Las rasantes de la vía 1 y la v/a 2 de la Figura 4.24 tienen un punto común A de abscisa KO+100 donde se separan, para cruzarse en el KOt204 con una diferencia de rasantes de 5 metros. Figura 4.25 Rasantes que se cruzan, a desnivel 5.00=a+b+c+y , donde, a = (0.08 -0.06X204 -100)= 2.0BOm b=0.06(L; = ¡ 6 - (- Figura 4.24 Ejemplo 4.11 Calcular: a) La longitud de la curva vertical simétrica. b) La cota en la abscisa KO+287sobre la rasante de la v/a 1. Solución: a) Longitud de la curva De acuerdo' con la Figura 4.25, se puede plantear la siguiente igualdad: -x) 5) = 11% , pero para el punto máximo, ft }. , x = ( zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA entonces, ]=(_31100')L c 0.0' L; - X) 0.05[ ~ -( ft)L.] = ~t(ftr =UB}' y=(2~}2 b=O.OJL., uL 2 = -(i)L11 v = = (4~0)' L~ 5.00 = 2.08 .Iuego, +(_31100 )L, +(_1440 )L, + ('!_)Lv BB ~---- zyxwvuts --zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA - _. -- ,. -- .. ,_ ... , ....... ,~...-~... ',I.\'E~ 2,92=L t; b) v( 3 -+1--+ 1100 440 1) 88 e iROF~,IS (jRISAI.ES cAPirul.O ~ DISEÑO GEO¡'Il~RICO \'f:RTIC.-IL: f{,ls.\:-;m Pa.o Sup.rlor , de donde, f!.,,!,!~n!o_lzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA lkd.. ...... , = 178A44m Cota en la abscisa KO+287 (Coloz500) , pero, Abscisa PTV = Abscisa PIV + ~ 2 Figura 4.26 Ejemplo4.12 x) Abscisa PIV = (KO + 204),( ~ - zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA UI )L., = UI Calcular: a) )178.444 = 81.111m -81,111) Abscisa PIV = (KO +204)'C78;444 = KO +195.889 b) La longitud de la curva vertical simétrica que cumpla esta condición. Las COlasde rasante en las abscisas zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG KO+430 y KO+530. . entonces, Solución: AbscisaPTV zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA PIV Inicialrncnte, es necesario identificar si esta abscisa cae dentro de la curva o no, para lo cual se debe calcular la abscisa del PTV. así: x = 307 = KO+ 195.889 + 178.444 = KO + 285.111 2 al Como puede observarse la abscisa del PTV es menor que la abscisa KO+287. Por lo tanto, ésta última cae fuera de la curva, esto es, después del PTV. De esta manera: Cola de abscisa KO+287 =CotaPIV · (287 . 195.889)J.05 ColaPIV =500 + 0.06(195.889· 100)= 505.753m ,pero, , luego, Cola de abscisa KO + 287 = 505.753· (287 .195.889)0.05 = 501. 197m EJEMPLO 4.12: Curva vertical en un paso inferior Datos: Para el esquema de la Figura 4.26, sobre la vertical del PIV debe existir una altura libre o gálibo de 4.7 metros entre la rasante inferior y el paso superior. Longitud de la curva vertical simétrica De acuerdo con la Figura 4.27, se tiene: Figur ..zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 4.27 Curva vertical en un paso Inferior 30S J"~IF.S CARDENASGRISALES b = 4.70 + C. O.08 (a) := ,pero, b = e 0.10(155 - CAPiTUlO~. DISEÑOGEO~IETRICO VERTIC..\L: Rr \SANTE JO') , esto es, a) 8=86.111m b = 0.08{a) = 0.08{86.111) = 6. 889m = Lvi E v t_ 8 i = m-n = -8 - (+ 10) = -18% C. = Lv (0.18) = 0.0225L v ' por lo tanto, 8 6.889 = 4. 70 + 0.0225L y t, = 97.289m b) , luego. Figura 4.28 Solución: Cotas de rasante en las abscisas KO+430 y KO+530 AbscisaPCV Ejemplo 4.13 =KO + 500 -~ 2 De acuerdo con la Figura 4.29, se tiene: = KO + 500 - 97.289:= KO + 451.356 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 Cota de abscisa KO + 430 = Cola de A Cola de A = Cota PIV +0.08(500 Cota de abscisa KO + 530 -430):= 500 + 0.08(500 -430) = 505.600m = Cola de B Cola de B = Cola PIV +0.10(530-500)+ ColadeB=500+0.10(530-500)+~) 0.18 (97.289 )~ 2(97.289) -2-30 0.18 2~97.289J (97.289 ---30 2 )~ :=503.322m EJEMPLO 4.13: Máximos entre curvas verticales simétricas Datos: En la Figura 4.28, la curva vertical menor tiene una longitud de 80 metros. Entre los puntos más altos de las dos curvas debe existir una diferencia de alturas de 1.0 metro. Figura 4.29 Máximos entre curvas verticales simétricas El máximo de la curva menor está situado delzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJ PN, a: Calcular: La longitud de la curva vertical mayor que se acomode a la situación dada. )ao a zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = ( 166 = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 30m , entonces, e :=40 - a = 40 - 30 = 10m -- ._~ -,,...-..,,,,._- ,...,,,..---------- ..... 310 ),\.\IE5 C.· \RDL:-""S b = (~)L 16 f =~ - de la curva mayor está situado del PTV2 a: b :: ~ - Obsérvese De acuerdo con la Figura 4.30. se tiene: C~},= ~ también que: ColadeA-ColadeB 006(d .c)", 1.00 d DISEÑO GEO~IF.TRICO \· ERTlC ..IL: RASANTE Solución: , entonces, v < CAPiTULO =1.00m ,que es lo mismo a, ,donde, S:. +(~)L ==(~)L + ~ == ¡ 8 32 v 16 v • "a 30 ',~ <> c=e+-=10+-=25m zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA <> <> :: =f 2 Q• 2 ...... ..." e, Tz e <> :: 5l ... zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY P IV :¡¡ .. Q Reemplazando: 0.06[C~}v t; -25]=1.00 .Iuego. Figura 4.30 = 133.333m EJEMPLO 4.14: Curva vertical asimétrica ,.- Datos: Para el cálculo de una curva vertical asimétrica, siguiente información: ... se dispone de la Ejemplo de curva vertical asimétrica Abscisas y cotas de: PCV, PTV Abscisa PCV == Abscisa PIV - L, = K 3 + 600 - 50 == K 3 + 550 Abscisa PTV = Abscisa PIV +L 2 = K3 + 600 + 30 == K3 +630 Cola PCV = Cota PIV + mL, = 500 + 0.05(50) = 502.S00m Cota PTV = Cola PIV + nLz = SOO+ 0.07(30) = 502. 100m Cotas en la tangente en puntos intennedios:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJ Colade1 = Cota PCV -m(10)= Abscisa del PIV Cota dcl PIV Pendiente de la tangente de entrada Pendiente de la tangente de salida Longitud de la curva vertical Longitud primera rama de la curva Longitud segunda rama de la curva = 502.500 S02.S00-0.0S(10) = Cota de 2 = 500m Cola de3 = 502.500 -0.05(30)= = -5% Cola de 4 = 502.S00 -0.OS(40)= SOO.SOOm = 80m = 50m " 30m Calcular: La curva vertical en abscisas dc 10 metros. -0.05(20) S01.000m Cola de S :: Cola PIV + n(10) = SOO+ 0.07(10) Cota de 6 502.000m = 501.500m = K3+600 = +7% 311 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA El máximo mus \I.ES = S00.700m = 500 + 0.07(20) = 501.400m Correcciones de pendiente en puntos i.atermedios: E" pues ella entra Es necesario calcular primero el valor de la externa zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONML en la determinación de las correcciones de pendiente de cada rama. •t 312 JAMES C'\RDENAS GRISALES 1 CAPiTULO~. DISEÑOGEOMETRICOVERTICAL:RAS,INTE VISIBILIDAD EN CARRETERAS E = iL,L Z • 4.4.1 Princlplosn 2L. m -n =: -0.05 - (+0.07)= -0.12 0.12(50X30) ...... Ev = 2(80) = 1 25m • entonces, i= 1. Para la primera rama de la curva: y, =E.UJ =1.12{;~r Punto 1.'x, =10m ,y, =0.0004S(10)2 =0.04Sm = 0.0004S(20)2 = 0.180m Punto 3 : x, = 30m ,y, =0.0004S(30)2 = OAOSm Punto4:x, ,y, =0.0004S(40y =0.120m Punto 2 .'X , = 20m =0.00045x{ =40m ,y, r =1.12,;~r Para la segunda rama de la curva: Y2 =E.U: =0.OOI2Sx: =20m 'Yl =0.OOI25(20y =O.SOOm Punto 6 :x1 =10m 'Y2 =0.0012S(tOy =0.12Sm PuntoS:x2 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 4.4 Por lo tanto: JIJ Una de las características más importantes que deberá ofrecer el proyecto de una carretera al conductor de un vehículo es la habilidad de ver hacia delante, tal que le permita realizar una circulación segura y eficiente. La distancia de visibilidad se define como la longitud continua da carretera que es visible hacia delante por el conductor de un vehículo que circula por ella. Esta distancia de visibilidad deberá ser de suficiente longitud, tal que le permita a los conductores desarrollar la velocidad de diseño y a su vez controlar la velocidad de operación de sus vehículos ante la realización de ciertas maniobras en la carretera, como lo pueden ser por la presencia de un obstáculo fijo sobre su carril de circulación, o el adelantamiento de un vehículo lento en carreteras de dos carriles dos sentidos, o el encuentro de dos vehículos que circulan por el mismo carril en sentidos opuestos en carreteras terciarias de calzadas angostas. 4.4.2 Distancia de visibilidad de parada Al sumar a las cotas en la tangente, estas correcciones de pendiente, se obtienen las respectivas cotas en la rasante, así: zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWV Punlo PCV = S02.S00m Punlo P7V = S02. 1DOm Punlo PIV = SOO+ 1.12S = 501. 12Sm Punlo 1= 502.000 +0.045 = 502.04Sm Punlo2 = 501.S00 +0.180 = S01.6BOm Punto 3 =: SOl.000 + OAOS = 501AOSm Punto 4 = SOO.500+ O.720 = 501.220m Punto 5 = 500. 700 + 0.500 = 501.200m Punto 6 = 501.400 + 0.12S = 501.52Sm Se considera como distancia de visibilidad de parada Op de un determinado punto de una carretera, la distancia necesaria para que el conductor de un vehículo que circula aproximadamente a la velocidad de diseño pueda detenerlo antes de llegar a un obstáculo fijo que aparezca en su trayectoria. Entonces, la longitud requeridazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJI Op para detener el vehículo en las anteriores condiciones, de acuerdo con el esquema ilustrado eh la Figura 4.31, será la suma de dos distancias: la distancia recorrida durante el tiempo dezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA percepción-reacción d", y la distancia recorrida durante el frenado dI. Esto es: 314 CAPITULO ~ OISEJ'lO Gf:OMETRICO dI ~_v. 1 -,., d, Distancia de visibilidad de parada 1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Figura 4.31 l (4-14) Dependiendo de la complejidad del obstáculo y de las características del conductor, el tiempo de percepción-reacción puede variar de 0.5 a 4.0 segundos. Para fines de proyecto, se emplea un valor medio de 2.0 segundos. Durante este tiempo se considera que la velocidad del vehículo V. se mantiene constante, pues su variación es muy pequeña. Por lo tanto, la distancia de percepción-reacción dI'" que se mide desde el momento en que se hace visible el obstáculo hasta el instante en que se aplican los frenos, para movimiento uniforme esPI: dI' =V.(/¡r) Recmplazando Ip, por 2.0 segundos, para J:¡ velocidad V. en kilómetros por hora y la distancia dI" en metros, se tiene: dI" =O.556V. (4-15) La distancia de frenado d" que se mide desde la aplicación de los frenos hasta el momento en que el vehlculo se detiene totalmente, y que es recorrida en un tiempo 1, por el vchlculo en movimiento uniformemente decelerado con aceleración -e, es igual a: d, =V.I, -f a/2 V1 = ¿_ 2a (4-17)zyxwvutsrqponmlkjih Por otro lado, sobre el vehículo de masa m actúa una fuerza F, que se valora como: F=ma (4-18) ~F J zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ~ d,... 315 También en movimiento uniformemente decelerado y cuando el vehículo finalmente se detiene. V I: O, se sabe que: ApllctJ 101 1 VERTICAL. Ri\SA:-ITE (4-16) La fuerza F debe ser contrarrestada por otra igual con el fin de detener el vehículo de peso W, denominada fuerza de fricción longitudinal F" que se expresa así: F, =f,W (4-19) Donde " representa el coeficiente de fricción longitudinal generado entre las llantas yel pavimento al producirse el frenado. Igualando F Y F" según las ecuaciones (4-18) Y(4-19), queda: F=F, ma=f,W (4-20) Pero también se sabe que: W =mg (4-21) Reemplazando el valor de W dado por la ecuación (4-21), en la ecuación (4-20), resulta: ma=f,mg a =r,g (4-22) Ahora reemplazando este valor de a en la ecuación (4-17): V 2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA dI =_._ 2f,g Utilizando unidades prácticas y usunies, se transforma la expresión anterior para V. en kilómetros por hora,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJ g igual a 9.81 m/seg 2 y di en metros, como sigue: JAMES C,\RDENAS GRISAI.ES ) 16 (4-23) Cuando la vía sobre la Cll~ ocurre el frenado se encuentra sobre una rasante de pendiente longitudinal p, la distancia de frenado d, se expresa como: V2 (4-24) d o , - 254(f, ±p) La distancia de frenado es menor en ascenso que en descenso, por lo tanto el valor de p expresado en decimal o tanto por uno es po.sitivo (+) para pendientes ascendentes y negativo (-) para pendientes descendentes. CAPiTULO 4. DISE¡;;OGEOMÉTRICO VER r!CAL. RASANTE .... JI7 4.4.3 Distancia de visibilidad de adelantamienton Un tramo de carretera de dos carriles y de circulación en dos sentidos, tiene distancia de visibilidad de adelantamiento Da. cuando 1:1 distancia de visibilidad en ese tramo es suficiente para que. en condiciones de seguridad, el conductor de un vehículo pueda adelantar a otro, que circula por el mismo carril, a una velocidad menor, sin peligro de interferir con un tercer. vehículo que venga en sentido contrario y se haga visible en el momento de iniciarse la maniobra de adelantamiento. La distancia mínima de visibilidad de adelantamiento D., de acuerdo con la Figura 4.32, se determina como la suma de cuatro distancias. asi: (4-26) D . = D , +D 2 +D J +0 4 VELOCIDAD DE DISENO ..., ("·V, .... ", ;'~(I(inllil' ... ~".c COEFICIENTE DE FRICCiÓN LONGITUDiNAl ~ 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Por razones de seguridad, se supone que 120 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 0.440 0.400 0.370 0.350 0.330 0.320 0.315 0.310 0.305 0,300 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPON Finalmente, sustituyendo la distancia de percepción-reacción dI'" Donde:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ecuación (4-15), y la distancia de frenado dI, ecuación (4-24), ~n la D, ecuación (4-14), la distancia de visibilidad de parada D p, baJ? el Distancia recorrida durante el tiempo de percepciónsupuesto de que el vehículo circula aproximadamente a la velocidad reacción (2.0 segundos) del conductor que va a efectuar la maniobra, (rnts.). de diseiio Vo=Vd, queda como:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA D1 Distancia recorrida por el vehículo adelantante durante el V2 (4-25) tiempo desde que invade el carril del sentido contrario hasta o, = 0.556 Vd + 254(1, ±p) que regresa a su carril (8.5 segundos, valor experimental), (mts.). En la Tabla 4.4, se muestran los coeficientes de fricción longitudinal (¡ = Distancia de seguridad, una vez terminada la maniobra, en pavimentos húmedosñ, como condición más desfavorable, para entre el vehículo adelantante y el vehículo que viene en la diferentes velocidades de diseño Vd. dirección opuesta, recorrida durante el tiempo de despeje (2.0 segundos, valor experimental), (mts.),zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ = Distancia de recorrida por el vehículo que viene en sentido opuesto (estimada en 2/3 de 01), (mts.). Tabla 4.4 Coeficientesde fricción longitudinal para pavimentoshúmedos toda la maniobra de adelantamiento se realiza a la velocidad de diseño zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR Vd. Según lo anterior, la distancia mínima de visibilidad de adelantamiento D . es aproximadamente igual a: (4-27) 318 J:\~Ir:S C:ÁRDEN,\S GRIS'\LE~ C"PITUI.O~. DISEÑO GF.OMETRICO VERTlC,\L: RAS.\NTE zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 4.4.4 Distancia de visibilidad de encuentrom 319 En carreteras terciarias de una calzada y sin diferenciación de carriles, la distancia de visibilidad de encuentro D. es la longitud mínima disponible de carretera, visible para los conductores que circulan en sentidos opuestos. obligados a llevar a cabo maniobras para esquivarse. t l- i W /(cu l. C lb.... o,-J---:foz q~ Se ha establecido, que esta longitud debe ser lo suficientemente larga, para permitirle a los vehículos que viajan a la velocidad de diseño en O .---,j' zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM sentidos contrarios, esquivarse y cruzarse con seguridad a una velocidad de 10 Km/h. I toz ~o. ~--------------------~ Figura 4.32 Distancia de visibilidad de adelantamiento en carreteras de dos carriles dos sentidos En carreteras de dos carriles y dos sentidos de circulación, se debe procurar obtener la máxima longitud posible cn que la distancia de visibilidad de adelantamiento sea mayor a la mínima dada por las expresiones anteriores. Por esto, como norma de diseño, se deben proyectar en tramos de 5 kilómetros, varios subtramos de distancia mayor a la mínima especificada. En la Tabla 4.5, se presenta como guía, la frecuencia con la que se deben presentar oportunidades de adelantar o el porcentaje mínimo habilitado para adelantamiento en el tramo, de acuerdo a la velocidad de diseñon, Tabla 4.5 Oportunidades de adelantar por tramos de 5 kilómetros VELOCIDAD De,cISENO V. 30060 60-80 80·100 20% 30% 40% (Kmhl) LONGITUD MINIMA CON DISTANCIA DE VISIBILIDAD DE ADELANTAMIENTO (%) Esta distancia se debe determinar con base a un tiempo de percepciónreacción de un (1) segundo y una deceleración similar a la de frenado hasta esquivarse y cruzarse a una velocidad de 10 Krn/h, mediante la siguiente relación:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA )+[ V¡ ]+[ V¡ D. =2(O.278V zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA d --100 --100] (4-28) 254(t, + p) 254(f, -- p) 4.4.5 Evaluación de la visibilidad de un proyecto en planosn La distancia de visibilidad es un elemento que debe tenerse en cuenta desde el principio del proyecto, dada la importancia que tiene tanto en la seguridad como en la capacidad de la futura carretera. Las distancias de visibilidad, tanto de parada como de adelantamiento, se pueden medir directamente utilizando aplicaciones informáticas o específicas, anotándolas a intervalos frecuentes, usualmente cada 20 Ó 25 metros, sobre los planos planta-perfil. De esta manera, el diseñador podrá apreciar de conjunto todo el trazado y realizar un proyecto más equilibrado. En carreteras de dos carriles con dos sentidos de circulación, deben medirse las distancias de visibilidad de parada y adelantamiento. En carreteras de dos calzadas separadas es suficiente el análisis de visibilidad de parad~. 320 JAMESC;\RDENASGRISALES C,\PtruLO~, DISENÓGEO~IÉTRICOVERTICAL:R,\SANT~ ,,_::¡-h Para la medición de las distancias de visibilidad se deben considerar las siguientes alturas: 1). Altura de los ojos del conductor, medida sobre la superficie del pavimento: 1.15 metros. 2). Altura del obstáculo que debe ver el conductor y que lo obliga a parar: 0.15 metros. 3). Altura del objéto en la maniobra de adelantamiento, que cubre la altura de la mayoría de los autos: 1.35 metros. f" c::=... h-\zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE I ' LA VISIBILIDAD I I rr , o rq! o o Ir .. , o I , I o =: I Como la visibilidad en planta está limitada por la presencia de o ,, obstrucciones laterales, tales como puentes, edificaciones, vallas, o ,. I o cercas, vegetación alta, etc., es necesario que estas aparezcan Q: o I ,o dibujadas en los planos para realizar la evaluación. Cuando la "o obstrucción se debe a los taludes de las secciones .en corte, se deben dibujar en la planta las lineas o trazas del talud a 0.65 metros ~~ • distancia de (promedio entre 1.15 y 0.15 metros) sobre la calzada parazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ; \ \ ,,I e .l! visibilidad de parada, y a 1.25 metros (promedio entre 1.15 y 1.35 o ,, ~ metros) para distancia de visibilidad de adelantamiento. .ae 1'\ , 1/ f ~ , zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA , 1: <> I o I I ,~ _._- 1'1 , , EN I I : -! EVALUACIÓN y PRESENTACIÓN D E PLANTA '/, ,, ~ .a o 321 .. <> 1\ 1\ · ~· .: e. ... Para ilustrar como se realiza la medición de las distancias de visibilidad de parada y adelantamiento en planta, a manera de ejemplo, en la parte superior de la Figura 4.33, se observa que el vehículo que pasa por la sección de abscisa K4+000 y que circula hacia la derecha, en cada caso (traza del talud a 0.65 y 1.25 metros sobre la calzada), dispondrá en planta de aproximadamente 200 metros como distancia de visibilidad de parada y de 260 metros como distancia de visibilidad de adelantamiento. Si las anteriores distancias son mayores que las distancias mínimas de parada y adelantamiento calculadas con las expresiones dadas porlas ecuaciones (4.25) y (4.26) o (4.27), se dice entonces que en planta el tramo a partir de la abscisa K4+000 tiene suficiente distancia de visibilidad como para que el conductor de un vehículo pueda realizar una parada con seguridad o una maniobra de adelantamiento. De lo contrario, si ésta última no se cumple, deberá prohibirse el adelantamiento. 1\\"le :\ , e , .2~ II \ .. ,,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH o .. , ¡ .!1 <> , ~E: :! zyxwvutsrqponmlkjihg .!:::e I , li~ (1 I ~\ , ol~.!! • o':: , e l. .. o • ~\ .'" 1: ª ~~ ~ H ·lE. ...zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA "· '.a 1\ ~~ . \ ·~ .,g I ~ e \-¡~ ,~ • e .Si \ ~~ ~ Figura 4.33 ;¡ :;: .,- a" §.... loe Evaluación zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y medi~ión de, las distancias de visibilidad en carreterasl11 ,'1 _ '. _""'._•. ~.",."""'_~ -- ',\~IF.S CAROB-I,\S GRIS,\I.F.S EVALUACIÓN Y PRESENTACIÓN DE LA VISIBILIDAD EN PERFIL Se recomienda el empleo de una reglilla transparente o de plástico, de bordes paralelos separados 1.35 metros a la escala vertical del perfil. con dos líneas paralelas situadas a 0.15 y 1.15 metros del borde superior. La parte inferior de la Figura 4.33, ilustra la forma como se debe realizar el chequeo de las distancias de visibilidad en perfil para un vehículo ubicado en la sección de abscisa K4+080. En la rasante en esta abscisa se coloca el "cero" de la reglilla, la cual se gira hasta que su borde superior sea tangente al perfil del proyecto. En estas condiciones, la distancia desde la estación inicial tK4+080) hasta el punto del perfil interceptado por la paralela a 0.15 metros indicará la distancia de visibilidad de parada disponible en el perfil, 185 metros en este caso. De igual manera, la distancia desde la estación inicial (K4+080) hasta el punto del perfil interceptado por la paralela a 1.35 metros indicará la distancia de visibilidad de adelantamiento disponible, 278 metros en este caso. De nuevo, si las anteriores distancias son mayores que las distancias mínimas de parada y adelantamiento calculadas con las expresiones dadas por las ecuaciones (4.25) y (4.26) o (4.27), se dice entonces que en el perfil el tramo a partir de la abscisa K4+080 tiene suficiente distancia de visibilidad como para que' el conductor de un vehículo pueda realizar una parada con seguridad o una maniobra de adelantamiento. De lo contrario, si esta última no se cumple, deberá prohibirse el adelantamiento. -----------------------------------------~~---------- 4.5 DISEÑO (jEOMÉTRICO Vr,RTlC,\L: R'\S,\NTE CRITERIOS PARA LA DETERMINACiÓN DE LAS LONGITUDES DE CURVAS VERTICALES 4.5.1 Longitud mínima de visibilidad de parada curvas verticales con Las longitudes mínimas de las curvas verticales convexas y cóncavas, además de ser suficientes para producir la variación gradual de la pendiente desde su tangente de entrada hasta su tangente de salida sin que se generen cambios bruscos en la curvatura, deberán satisfacer los requisitos de visibilidad de parada. Este requisito es conocido como el criterio de seguridad. o CURVAS VERTICALES CONVEXAS Se presentan dos casos, según que la distancia de visibilidad de parada D p sea mayor o menor que la longitud de la curva L•. Aquí el conductor y el obstáculo están fuera de la curva. La' Figura H representa la altura del ojo del 4.34 muestra este caso, para el cualzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK h la altura del obstáculo. conductor sobre el pavimento yzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ~------------4------------~ ~--------------~--------------~ Figura 4.34 -. Curva vertical convexa con visibilidad de parada. Caso 1: O,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWV > L. De esta figura, se deduce que: zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR Finalmente puede decirse, que con las distancias de visibilidad de parada y adelantamiento así medidas tanto en planta como en perfil, en carreteras de dos carriles con dos sentidos de circulación, se podrán determinar las zonas en donde se debe prohibir la maniobra de adelantamiento y en donde se debe-rimitar-la velocidad mediante una adecuada señalización. Esto, a su vez, determinará el porcentaje de longitud de carretera habilitada para efectuar maniobras de adelantamiento, útil en el cálculo de la capacidad de la carretera. CAPiTUlO~. JAMES C;\RDENAS 324 L 2 •donde, Op = ..!..+ +x X 2, H GRISALES O h p •pero, x,=,x2= m n ' i=m-(-n)=m+n , esto es. n = i- m ... m 2 p (4-29) H h = -2 n m=nN .n=m/f i=m+n=m+m~ i m = -- =-_!!_ +_._h_2 m2 (/-m) =!:r.J 2 JH +Jiit i = -~+-; m n = 20 _ 425 p ' esto es, H I h I 1+~ 1+~ .JG.15t I Aquí el conductor y el obstáculo están dentro de la curva, tal como se ilustra en la Figura 4.35. Reemplazando en la ecuación (4-29), queda: 2 (4-30) (4-31) zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA i i L" i ' de donde, i P 1+N p 2 Como se estableció anteriormente, para la distancia de visibilidad de parada se tienen las siguientes alturas: H=1.15m y h=O.15m.P or lo tanto, expresando a i en %, la longitud mínima Lv de la curva vertical es aproximadamente igual a: L" . ahora. igualmente, 0 · = -+ --.-+ --- =!:r.+ H +2.JH ij +h i 1+~ n=-- ~J L" = 20zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA p _ 200(JG5.+ =m(1+~J , Op • de donde, ' h( 1 + 325 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 i zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA '!!_(o )= O = _Hm-2 -h(i-m)"2(-1} dm P m2 + L =2D _ 2(JH +Jiit +h(i-mt' Para Op mínima, la visual debe ser tangente al vértice de la curva, por lo tanto: - /fJ 2 n O = L" +!:!..+_h_=!:r.+Hm-, p 2 m i-m 2 1 =!:r. + H( + VERTICAL: RASANTE o, =!:r.+ H +.JH h +h+M :!:r.+!:!..+!!.. O CAPITULO 4. DISENO GEOMÉTRICO Figura 4.35 Curva vertical convexa con visibilidad de parada. Caso 2: OpzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO < Lv zyxwvutsrqpon ---~~"'" ~---~....., ~'''''''''''''''''..,., __ ,.....".....,"'?"'------------- Se observa O. = X, o que: + XI i ) 1 Y = ( 2L, x = Kx D onde general de la corrección de pendiente yes: noche. delante 1 K es la constante H h = ---r = ---r x, ' de geom étrica que define la parábola, que es fE+ VI< =!!_+I.JHh O = Esta longitud de las luces delanteras sobre el pavim ento, asum ida com o 0.60 m etros, ángulo de divergencia del rayo de luz hacia arriba o respecto y del al eje del vehículo, supuesto en 10. longitudinal donde, XI ,xl=jif fI VI< Xf=~ En este sentido, la longitud de carretera ilum inada hacia por la luz de los faros delanteros del vehículo deberá ser al m enos igual a la distancia de visibilidad de parada. llam ada visibilidad nocturna, depende de la altura igual a: y K =1 x CURVAS VERTICALES CÓNCAVAS En térm inos generales, las curvas verticales cóncavas, por su form a, son de visibilidad com pleta durante el día, m ás no así durante la Pero, la ecuación p 327 CAPiTULO 4. DISEÑOGEOMÉTRICOVERTICAL: RASANTE 326 DI PKK ,estoes, La Figura 4.36 m uestra este caso, para el eual h representa las luces delanteras divergencia .s., (JH +.Jhy K K = (JH ~.Jhy = del vehículo sobre el pavim ento la altura de y a el ángulo de del rayo superior de luz. 2Lv(JH +.Jht i I 2L, D e la m ism a m anera que el caso anterior, reem plazando h=O.15m, y expresando a i en % , la longitud m ínim a a: H=1.15m y L. de la curva vertical es: D piI· L =- (4-32) 425 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO • A nteriorm ente, según la ecuación (4-1 J), se estableció que la longitud de la curva vertical L. en función del coeficiente angular kv es: L. = kvl Por lo tanto, al igualar las dos expresiones DI. Lv =L 425= k i • Curva vertical cóncava con visibilidad de parada. Caso 1: D p > L. En esta figura, se observa que: zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE Op =; (4-34) +X Por relación de triángulos sem ejantes: ,ed d on d e, zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA .... , L,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (4-33) .._... ~_.._ ~_ .....__ - ._.-~._-_ ._ . ----_ _lC_=_f_ a+h b d ,on zyxwvutsrqponmlkjih 02 k =_p_ v 425 anteriores, se obtiene: Figura 4.36 d zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA e, ..... =~--,~--_ .... _~-~-,_--------- 8=Op lana =ORlan1° = 0.0175Op b '" n( ~) , entonces, ..... ~ x = _2_= _ 0.01750 p +0.60 {;) Despejando x: 0.01750p +0.60 x = n ,pero, n i=m-n=O-n=-n Reemplazando el valor absoluto de n por i, queda: 0.01750 p + 0.60 x= i Regresando a la ecuación (4-34), se tiene: O = ~ + _0.0_1_75_0J:.._p _+ 0_.6_0 p 2 i zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA M~If.$ CARDE~"$ GRISALES 328 .i CAPiTULO 4. DISEÑOGEOMETRICOvERrl(.:AV R,\S,\NTE ?, Figura 4.37 Curva vertical cóncava con visibilidad de parada. Caso 2: D p < L, a=xi-h a+y xi-h+y • lana=--=---=(anl =0.0175 o,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ~+x zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 xi-h+y==0.01750p y= 2~ (~ -x r ;-x=L.-Op Por lo tanto, expresando a i en %, la longitud mínima L. de la curva vertical es: xi_h+_i_'L -O \2 =001750 2L. ~. sl . L. =20p _120+~.50p x= O _ L. (4-35) I Caso 2: Ope L. (Op -; En este caso, ilustrado en la Figura 4.37, se observa también que: o, =; x a+h p +x L. L. 2" 2" =t : n(;) =;=1 2~ (~-2L.Op +0;)=0.01750 p }-h+ L.' L . O i-_!"-h+_¿-O p 2 2 ..,-------.-,------~--.----~--<= -, ~~-------- 2L. 02i _P--2h Lv ,pero, zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG 2 02i -'--h=0.01750, 1 1 p =0.0350p 0 2• p i+L=0.01750 2L. p o'r. no Expresando a i en % y reemplazando a h=0.60m. se obtiene que I¡¡ longitud mínima Lv de la curva vertical es: O;i ~= c,\pinJLO o 4. DISEÑO OEO~IÉTRICc) VERTICAl.: RASANTE 331 CURVAS VERTICALES CONVEXAS 0~~ 120 + 3.5 O. Reemplazando en la ecuación (4-30) a D. por D•. se tiene: +.JhL L =20 _ 2(JH De la expresión anterior, se observa que el coeficiente angular k. es:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA i 01 k = • (4-37) • 120+3.50. Para la distancia mínima de visibilidad de adelantamiento D. se tienen las siguientes alturas: H=1.15m y h=1.35m. Por lo tanto, expresando a i En la Tabla 4.6, aparecen los valores mínimos recomendados de k•• en %, la longitud mínima L. de la curva vertical es aproximadamente para las sucesivas velocidades de diseño Vd y sus correspondientes igual a: distancias mínimas de visibilidad de parada D p, tonto para curvas L. = 20. _ 200(.JU5 + verticales convexas como para cóncavas. v, .J1T5y Valores mínimos de k, para curvas verticales convexas y cóncavas con visibilidad de parada (criterio de seguridad) Tabla 4.6 VELOCIDAD DE DISEÑO VI (Krrvll) V1SIBIUDAD DEPARADA 30 25 40 40 D,(m ) (O 55 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB 50 60 70 75 95 125 ISO 80 90 100 180 215 110 1~ 255 COEFICIENTE ANGULAR k. CURVAS VERTICALES CURVAS VERTICALES CONVEXAS'" CÓNCAVASQ 1 4 7 3 6 8 13 15 21 ~ 37 53 28 35 76 43 109 153 53 64 Análogamente, según lo establecido anteriormente, también se puede llegar a la siguiente expresión: I H= 1.15m Y De nuevo, como en el caso anterior, reemplazando a:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVU h=1.35m, y expresando a ¡en %, la longitud mínima L. de la curva vertical es aproximadamente igual a:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED 01 ''',3). L 4.5.2 Longitud rruruma de curvas verticales visibilidad de adelantamiento con En aquellos casos en que sea económicamente posible, se pueden adoptar distancias de visibilidad amplias, incluso hasta obtener distancias de visibilidad de adelantamiento D•. _-------------- - .._--zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ----_ ... (4-38) I O: _ 2L.(JH_ + .Jhy c.Iaód.... 1I .... 1OIItI '''15) .... c.o:.L>docooll """ocl6n ~ CalaAIdo e.. 11 .... _1.. '7), tI> i; =20. _1D?0 • . =L 1000 (4-39) A pesar de que estas longitudes mínimas para las curvas verticales convexas se puedan calcular para los dos casos anteriores, y debido a las grandes longitudes requeridas, es dificil proveer durante la gran parte del diseño las curvas convexas con distancia de visibilidad de adelantamiento. cArITULO~ J,\MES C,\ROENAS GRIS,\I.ES 332 333 DISEÑOGEOMETRICO VERTIC,\I•. ItI\~,\:-ITE t 6 Por lo tanto despejando Lv, se tiene: CURVAS VERTICALES CÓNfAVAS Para la distancia de visibilidad nocturna de adelantamiento. no es indispensable calcular la longitud mínima de la curva vertical cóncava, porque se pueden'ver las luces del vehículo que viene en sentido contrario. 4.5.3 Longitud m ínim a de curvas com odidad en la m archa verticales con El efecto de incomodidad producido por los cambios de pendiente. es mayor en las curvas verticales cóncavas que en las convexas, ya que las fuerzas componentes de la gravedad y el peso actúan en el mismo sentido, generando una mayor fuerza centrífuga vertical. En las curvas convexas las dos fuerzas componentes son opuestas, lo que hace que se compensen, produciendo un menor efecto centrífugo, que las convierte en menos incómodas. El confort debido a este efecto depende, entre otros factores, de la suspensión del vehículo, la presión en las llantas y, la carga transportada. Investigaciones al respectol'l, indican que no se presenta incomodidad mientras la aceleración centrífuga vertical no exceda el valor de 0.305 mJseg2. ....... Asimilando la parábola a un arco de circunferencia de radio R, a la velocidad de diseño Vd, la aceleración centrífuga vertical ac es: 8, R~ V2 = ~ s 0.305 m I seg 2 , de donde, VJ 0.305 Pero, para el arco de circunferencia, su longitud L. es: L. = R .<1 , donde, ¿! = ; , esto es, L., =R i • V2 R =_L., .... _d_ ; c;. 0.305 (Km -¡;;z (1000 d _!!!_) ~ V2 VJ ; d L., ~ 0.305 = 0.30 2) . I 2 m2 X 1 hr 2 3600 2 seg Z ) V 2; = 3.~53 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYX l.seg2 Expresando a i en %, la longitud rmruma Lv de la curva vertical cóncava., con criterio de comodidad o confort, es igual a:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWV V Z, L., =....!..!.. (4--10) 395 4.5.4 Longitud m ínim a de apariencia curvas verticales con Las curvas verticales cóncavas, por ser de completa visibilidad diurna, deben presentar al conductor una buena apariencia o estética. Experimentalrnentel'l se ha encontrado que la longitud mínima Lv de estas curvas, con criterio de apariencia o estética, expresando a ; en %, es:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA L. =30; (4-41) Como puede observarse en la expresión anterior ~lor dezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTS k. es de 30. Comparado con los valores de k. del criterio de seguridad para curvas verticales cóncavas, según la Tabla 4.6 anterior, estas curvas corresponden a velocidades de diseño Vd superiores a 80 Krn/hr. Quiere esto decir, que para carreteras de alta jerarquía, es necesario disponer de longitudes amplias en las curvas para así garantizar una buena apariencia o estética. 4.5.5 Longitud rnaxim a de control por drenaje curvas verticales con zyxwvutsrqponmlkjihgf Las curvas verticales, con pendientes de entrada y salida de signo contrario, tanto convexas como cóncavas, que sean muy amplias, 334 J.\i'IES CÁRIJf.NASGRIS,\I.ES presentan en su parte alta o baja, tramos easi a nivel qUI! podrían ocasionar dificultad en el drenaje de las aguas lluvias. Se ha encontrado, que no se tendrán problemas de drenaje, si al menos en una distancia de 15 metros desde el vértice de la curva SI!alcanza una pendiente del 0.3%. Esto arroja un kv de: Ci\rÍTUlO 4. DISEr:rOGEOMETlUCO VERTICAL: RASANTE 335 EJEMPLO4.15: Longitud de una curva vertical convexa con base en criterios k = 15m =50 • 0.3% Datos: Para el diseno de una curva vertical, se dispone de la siguiente información: Por lo tanto, expresando a ¡en %, la longitud máxima L, de las curvas verticales convexas y cóncavas, que satisfacen el criterio de drenaje, es: Velocidad de diseño " BOKm/h Pendiente de la tangente de entrada =+2% Pendiente de la tangente de salida = -4% ~=~¡ ~~~ Ahora, partiendo del principio de que el criterio más importante es de seguridad, el cual prevalecerá sobre el de drenaje, según los valores de k. de la Tabla 4.6 anterior, las curvas verticales con valores superiores a k,;=50 requerirán de una atención especial para proporcionar condiciones adecuadas de drenaje cerca de su vértice, mediante un conveniente bombeo y con pendientes longitudinales del fondo de las cunetas mayores a la pendiente de la rasante. Calcular: La longitud requerida para la curva vertical teniendo en cuenta los criterios expuestos anteriormente. Solución: De acuerdo con la Figura 4.38, se trata de una curva vertical convexa, cuya longitud L. requerida según los criterios es: 4.5.6 Longitud m ínim um de curvas verticales Para valores pequeños de 1, en las curvas verticales convexas y cóncavas, para los casos donde Dp >L v, la longitud de la curva puede llegar a ser negativa, significando esto que no se necesitaría curva. Sin embargo, de orden práctico, se exige una cierta longitud mlnima de curva vertical L. según la velocidad Vd expresada en Km/h, de acuerdo con la siguiente expresión: L, =0.6V d (4-43) longitud de una curva vertical convexa con base en criterios C riterio de seguridad: Inicialmente, es necesario calcular la distancia de paradazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWV D p,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPON de acuerdo con la ecuación (4-25): VI _, D p=0.556V d + 254 ( r, ±p ) zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY Por otro lado, en el diseño de vías urbanas, algunos ingenieros, para valores de ¡ menores al 1%, no proyectan curva vertical. Pero, las modificaciones de campo durante la construcción finalmente producen una curva vertical equivalente, aún así sea corta. Figura 4.38 JAMES CARDENAS GRISALES 336 O = 0.556 (80)+ p 802 254(0.320 - 0.04) El valor de ¡es: i = m-n = +2% -(-4%)= 134.469m +6% Suponiendo el Caso 1, cuando Op > Lv, la longitud mínima L, de la curva, según la ecuación (4-31), es: 4.25 425 t, = 20p --¡- = 2(134.469)-""'6 = 19B.105m Como Op = 134.469m < 198.105m = Lv, el supuesto no es válido. Entonces, para el Caso 2, cuando Op< L" la longitud mínima Lv de la curva, según la ecuación (4-32), es: t; = O! i = (134.469)Z6 425 255.274m 425 Obsérvese que ahora sí se cumple la condición de que Op < L •. t; VElrrtCAI.: RAS ..\:-;TE 337 =50¡=50(6}=300m zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Donde la velocidad de diseño Vd es de 80 Km/h y el coeficiente de fricción longitudinal (¡, según la Tabla 4.4, de 0.320. La pendiente de la rasante a lo largo de la curva vertical varía desde el +2% al entrar a la curva hasta el -4% al salir de la curva. En el peor de los casos y bajo un criterio conservador se adopta el valor del -4% para la pendiente p. Por lo tanto: CAPiTULO 4. OISEÑO GEO~IÉTRICO Los cálculos anteriores arrojan, para el criterio de seguridad una longitud mínima de la curva vertical de 255.274m, y para el criterio de control por drenaje una longitud máxima de la curva vertical de 300111. En este sentido, cualquier valor entre estas dos longitudes cumplirá con los dos criterios. Por razones prácticas de facil idad de cálculo y localización, se recomienda diseñar curvas verticales con longitudes múltiplo de 20 metros, hasta donde sea posible. Por lo tanto, una longitud de diseno de la curva vertical para este caso puede ser 280 metros. EJEMPLO 4.16: Longitud criterios de una curva vertical convexa con base en para pendientes pequeñas Datos: Para el diseño de una curva vertical, se dispone de la siguiente; información: :: 80 Km/h Velocidad de diseño Pendiente de la tangente de entrada :: +0.6% Pendiente de la tangente de salida = -0.5% Criterio de comodidad: Calcular: La longitud requerida para la curva vertical teniendo en cuenta los criterios. Para curvas verticales convexas, este criterio no tiene aplicación. Solución: Criterio de apariencia: Criterio de seguridad: Este criterio, aplicación. para curvas verticales convexas, tampoco Criterio de dren ale: La longitud máxima L. de la curva, según la ecuación (4-42), es: tiene La distancia de paradazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Op, es: 80zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1 o, = 0.556 (80)+ 2540.320-0.006 ( ) = 124.125m El valor dezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ies: 338 1= IM.IES C,\.RnE:-I.\~ GRISAI.ES m -n = +0.6% -(-0.5% )= CAPiTULO4 DISEÑOGF.OMnRICo VF.RTICAL: RASA:-ITI2 Calcular: + 1.1% La longitud requerida Suponiendo curva. es: 339 el Caso 1. cuando Op > L., la longitud mínima L. de la para la curva vertical teniendo en cuenta los criterios. Solución: L., =20, - 4~5 =2(124.725)- 425 =-136.914m I 1.1 Como Op " 134.469m > -136.914m = L •• el supuesto es válido. El valor negativo de L. indica que por razones de seguridad no se necesita curva vertical. De acuerdo con la Figura 4.39. se trata de una curva vertical cóncava ' cuya longitud L. requerida según los criterios es: Criterio de drenaje: La longitud máxima L. de la curva, es: L. = 50i =50(1.1)= 55m Criteriode la longitud mínimum: Figura 4.39 De acuerdo con la ecuación (4-43), la longitud mínimum de la curva vertical L. según la velocidad Vd expresada en Km/h. es: L. =0.6V d =0.6(80)=48m Por lo tanto, una longitud de diseño de la curva vertical para este caso puede ser 50 metros . .:r.... ~ EJEMPLO 4.17: Longitud de una curva vertical cóncava con base en criterios Datos: Para el diseño de una curva vertical, se dispone de la siguiente información: Velocidad de diseño Pendiente de la tangente de entrada Pendiente dc la tangente de salida "80 KmIh "-5% "+1% Longitud de una curva vertical cóncava con base en criterios Criterio de seguridad: La distancia de parada O" es: 801 O, =0.556(80)+ 254(0.320-0.05) = 137.802m El valor de i es: i = m -n = -5% - (+ l%l= -6% Suponiendo el Caso 1, cuando Op > L., la longitud mínima L. de la curva, según la ecuación (4-35), es: L., = 20, _ 120 + ~.5O, = 2(137.802)- 120 + 3.5(137.802) = 175.220m I zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE 6 Como O, = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 137.802m zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA < 175.220m = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA L., el supuesto no es válido. Entonces, para el Caso 2, cuando O, < L., la longiluJi mínima L. de la curva, según la ecuación (4-36), es: 340 Criterio de comodidad: ..... La longitud mínima Lv de la curva, según la ecuación (4-40), es: L, = V d2 i = 802(6) = 97.215m 39S 39S Criterio de apariencia: La longitud mínima L, de la curva, según la ecuación (4-41), es: L, = 30 i = 30(6)= 180m Criterio de drenaje: . La longitud máxima Lv de la curva, es: L, =SOi=SO(6)=300m Los cálculos anteriores arrojan, para el criterio de seguridad una longitud mínima de la curva vertical de 189.167m, para el criterio de comodidad una longitud mínima de 97.215m, para el criterio de apariencia una longitud mínima de 180m y para el criterio de control por drenaje una longitud máxima de 300m. Por lo tanto, una longitud de diseño de la curva vertical, que cumpla con todos los criterios, puede ser 200 metros. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA JAMES C,\RDENAS GRISALES CAPITULO 4. DISEÑO Gr:OMt:I'I\1CO VERTI(.',\1.. It/\SM'¡TE )· 11 - • s Figura 4.40 Problema 4.1 Calcular: a) Las cotas de rasante en las abscisas KO+190, K0+440, KOt620, KO+800 y KO+910 .. [Resp. : 488.833, 492.42S, 503.000, 499.325 Y 493.900). b) Las abscisas y cotas del punto más bajo y más alto de la rasante en el tramo AB. [Resp. : Mínímo: KO+221.429 y 488.2S7; Máximo: KO+576. 667 y S03.783). PROBLEMA 4.2 Datos: Las .longitudcs de las curvas verticales simétricas para los tres PIV de la Figura 4.41 son 40m, 80m zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGF y 60m respectivamente. 4.6 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA PRO BLEM AS PRO PUESTO S PROBLEMA 4.1 Datos: Las longitudes de las curvas verticales simétricas para los cuatro PIV de la Figura 4.40 son en su orden 60m, 80m, SOm y 20m respectivamente. KO KO+040 KO+ 140 ABSCISAS Problema 4.2 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcb Figura 4.41 KO+UO KO+JOO zyxwvutsrqponmlkjihgfedcba JA~IES C,\ROr:N,IS GRISALES CAPITULO~. DISE:\'O GEOMETRICO VERTICAl.: R/ISANTE 343 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA .H:! Calcular: a) Las cotas en la rasante sobre la vertical de la externa para las tres curvas. [Resp, : 13.200, 14.350 Y 10.563J. b) Las abscisas y cotas del punto máximo y mínimo. [Resp. : Máximo: KO+118.462 y 14.538; Minimo: KO+250.000 y 10.500]. Calcular: a) La longitud de la curva, de tal manera que en un punto localizado a 15 metros después del PIV, la cota de la rasante esté 3 metros por debajo de la cota del PCV. [Resp. : 165.633m]. b) La cota del PTV. [Resp. : 515.387J. PROBLEMA 4.3 PROBLEMA 4.5 Datos: Los puntos A y B pertenecen a la tangente vertical de entrada y los puntos e y o a la tangente vertical de salida. Se desea insertar una curva vertical simétrica entre los puntos B y D. Datos: Para la Figura 4.42, se trata de dos curvas verticales simétricas donde' = 100m ' . L., L.1 = Cota del PCV·1 = 500m 120m Las abscisas y cotas en la tangente de los cuatro puntos son: Cota en la tangente (m) Punto Abscisa 502.320 A zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA K2+994 B K3+010 K3+112 K3+170 C O 502.560 503.320 502.160 Calcular: a) La longitud de dicha curva. [Resp. : 160m]. b) La abscisa de su PIV. [Resp. : K3+090J. e) Las cotas de la rasante en las abscisas K3+052, K3+100 y Kl+180. [Resp, : 502.997,503.024 y 501.960]. d) Tendrá esta curva problemas de drenaje? [Resp. : No]. Figura 4.42 Problema 4.5 Ca1cular: a) La distancia horizontal entre el punto máximo y el punto mínimo de ambas curvas. [Resp. : 147.583m]. I b) La cota de la rasante 20 metros adelante del PIV-2. [Resp.: 496.467]. PROBLEMA 4.4 Datos: Para una curva vertical simétrica se conoce: Pendiente de la tangente vertical de entrada = -1% Pendiente de la tangente vertical de salida = -8% = 522.840m Cota del PCV -- -- - _.----_. -_._. __ ._-_ _-------.. PROBLEMA 4.6 Datos: En una curva vertical cóncava simétrica de 120 metros de longitud, con pendiente de entrada delzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGF -4%, la diferencia de cotas entre las PCV y un punto de abscisa K3+890 es de 0.825 respectivas rasantes delzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA JAMES CAROENAS GRIS,\LES 344 metros. Se sabe además que la abscisa del PCV es el K3+860 y su cota 500m. Calcular: La cota en la rasante de ltabscisa K3+930. (Resp. : 499.242]. PROBLEMA 4.7 Datos: En la Figura 4.43, el punto máximo de la curva vertical de la vía 1 debe caer en la abscisa K0+180, y con respecto al vía 2 debe estar 1.95 metros por debajo. Figura 4.43 Problema 4.7 CAPiTULO~. DISEÑO GEOMtTRICO voRTICAI.: RAS,\NTE Pendiente de la tangente vertical de salida Abscisa del PIV Cota del PIV 345 ;: · 2% = K5+995 = 572.800m Calcular: La longitud de la curva vertical. de tal manera que en la abscisa K6+010, la cota sobre la rasante sea 573.400m. [Resp. : 236. 190m]. PROBLEMA 4.9 Datos: De una curva vertical simétrica, se conoce: Pendiente de la tangente vertical de entrada = +4% Pendiente de la tangente vertical de salida = · 8% = K4+990 Abscisa del PCV Cota del PCV = 301.240m Calcular: a) La longitud de la curva vertical, tal que 40 metros después del PIV. la cota en la curva sea de 300.240 metros. [Resp. : 120m]. b) La abscisa y la cota del plinto más alto. [Resp. : K5+030 y 302.040]. PROBLEMA 4.10 PROBLEMA 4.8 Datos: De una curva vertical asimétrica se conoce: Pendiente de entrada = +4% Pendiente de salida = · 7% = 40m L, = 30m Lz Abscisa del PIV = K2+000 Cota del PIV = 500m Datos: Para una curva vertical simétrica se conoce: Pendiente de la tangente vertical de entrada = · 6% Calcular: La abscisa y la cota del punto más alto de la curva. [Resp. :zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA K1+993.94 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y 499.079]. Calcular: a) La longitud de la curva vertical. [Resp. : 79.796m]. b) La cota de la rasante en la abscisa KO+250. (Resp. : 499.797]. 346 JA,\lES CARDEN.\S GRISALES CAPiTUlO~. Calcular: a) La cota [Resp. : b) La cota [Resp. : PROBLEMA 4.11 Datos: En la parte de arriba de la Figura 4.44, se presenta la vista en planta de un cruce a desnivel a 90°, y en la parte de abajo se ha dibujado un perfil longitudinal a lo largo del paso superior y que muestra transversalmente el paso inferior. 347 DISE::<OGEOMÉTRICO VERTICAL: RASANTE de la rasante en la abscisa KO+140 para el paso superior. 504.015]. de la rasante en la abscisa K1+220 para el paso inferior. 499.011). PROBLEMA 4.12 Datos: _ E La Figura 4.45, muestra la vista en planta de una bifurcación, donde zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY e, y 62 son los peraltes respectivos por la Vía 1 y la Vía 2. El punto A es el principio de dos curvas verticales simétricas, una para cada vía, con iguales pendientes de entrada del +6% y de salida del +3%. La longitud de la curva vertical en la Vía 1 es de 60 metros. PfV --I S;:::-"~R-=---- -3 4m 4m Figura 4.45 Problema 4.12 -, Calcular: La cota de la rasante en la abscisa zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJI K3+033 sobre la Vla2. Figura 4.44 [Resp. : 502.646). Problema 4,11 zyxwvu -_-_-_.'--_ .. -.---- JAMES CÁRDENAS GRISALES 348 PROBLEMA 4.13 Datos: De una curva vertical Pendiente de entrada Pendiente de salida L, L2 Abscisa del PIV Cota del PIV asirnéttica se conoce: :: +4% = · 3% = Primera rama zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = Segunda = K2+980 rama = 2Lr =500m Calcular: La longitud de la curva vertical, tal que en la abscisa zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA K3+000 la rasante tenga una diferencia de altura de 2.50 metros con respecto al PTV. [Resp. : 145.387m]. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA " Capítulo zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 5 D is e ño geom érrico zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO trans v e rs al 5.1 CONCEPTO E l diseño geométrico transversal de una carretera consiste en la definición de la ubicación y dim ensiones de los elem entos que form an la carretera, y su relación con el terreno natural, en cada punto de ella sobre una sección normal al alineam iento horizontal. D e esta m anera, se podrá fijar la rasante y el ancho de la faja que ocupará la futura carretera, y así estim ar las áreas y volúmenes de tierra a m over. • secciones, áreas zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y 5.2 ELEMENTOS QUE INTEGRAN LA SECCIÓN TRANSVERSAL volúm enes -, zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ,,1' zyxwvutsrqponmlkjihgfedc Geométricamente, la sección transversal de una carretera está com puesta por el ancho de zona o derecho de vía, el ancho de 350 JA~IES CARDF.NAS GRIS,\(.E~ CAPiTULO S. DISEÑOGEOMETRICOTR.·\NSVEI(SAI. explanación, el ancho de banca o plataforma, la corona, la calzada, los carriles, las bermas, las cunetas, los taludes laterales y otros elementos complementarios. En la Figura 5.1, se detallan estos elementos, para el caso de una vía pavimentada de sección transversal mixta, corte y terraplén. ubicada en recta o-en tangente. Tabla 5.1 TIPO DE CARRETERA Carretera principal de dos calzadas Carretera pnncipat de una calzada Carretera secundaria Carretera terciaria fuen1e.: 1n$3bJ Figura 5.1 La calzada o superficie de rodamiento, es aquella parte de la sección transversal destinada a la circulación de los vehículos, constituida por uno o más carriles para uno o dos sentidos. Cada carril tendrá un ancho suficiente para permitir la circulación de una sola fila de vehículos. El ancho y el número de carriles de la calzada se determinan con base en un análisis de capacidad y nivel de servicio deseado al final del periodo de diseflo. __ Anchos recomendados de calzada en recta TIPO DE TERRENO Plano Ondulado Montañoso Escareado Plano Ondulado MOIltañoso Escaroado Plano Ondulado Montañoso Escarpado Plano Ondulado Montañoso Escaroado N - VELOCIDAD DE DISENO Kmhl\ 50 60 70 80 90 100 110 120 7.JO 7.30 7.JO 7.JO '. 7.JO 7.JO 7.JO 7.JO 7.JO 7.JO 7.JO 7.JO 7.JO 730 7.30 7,30 7.JO 7.3C 7.JO 7.JO 7,JO 7.30 7,30 7.JO 7.30 7.JO 7.JO 7.30 7.30 7,30 7.3C 7,30 7.30 7.30 7.00 7.30 7,30 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO 7.JO , 7.00 7,00 7.30 7.30 7,30 6.60 7.00 7.00 7.00 6.00 6.00 6.60 7.00 5.00 6,00 6.60 5.00 5.00 6.00 6,60 5.00 5.00 6.00 5,00.5,00 6.00 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH 30 40 Contiguo. a la calzada ~e encuentran las hermas, que son fajas comprendidas entre las orillas de la calzada y las líneas definidas por los hombros de la carretera. Las bermas sirven de confinamiento late:al de la .superficie de rodamiento, controlan la humedad y las posibles erosiones de la calzada. Eventualmente, se pueden utilizar para estacionamiento provisional y para dar seguridad al usuario de la carretera pues en este ancho adicional se pueden eludir accidentes pote~ciales o reducir su severidad. También se pueden utilizar para los trabajos de conservación. Sección transversal típica mixta, pavimentada en recta Los anchos de carril normalmente utilizados en recta son de 2.50m, 3.00m, 3.50m y 3.65m. En la Tabla 5.1 se suministran los anchos de calzada recomendados en función del tipo de carretera, el tipo de terreno y la velocidad de diseñoñ. Los sobreanchos de calzada en las curvas horizontales deberán calcularse con el procedimiento establecido en el numeral 3.6 del Capítulo 3. 351 En la Tabla 5.2 se presentan los anchos de berrna recomendados en función del tipo de carretera, el tipo de terreno y la velocidad de diseñoñ. ~. Al conjunto formado por la calzada y las bermas se le denomina zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY corona. Por lo tanto, el ancho de corona es la distancia horizontal medida normalmente al eje, entre las aristas interiores de las cuneta; de un corte y/o entre las aristas superiores de los taludes de un terraplén. ----- ..._----zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ...~. ..._--_._------------------._.- ..- ._---- ---_ _... Tabla 5.2 Anchos recomendados TIPO TIPO DE CARRETERA DE TERRENO 30 40 50 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1.0 1.0 0.5 05 0.5 0.5 0.5 0.5 Plano Carretera principal de oos caJzada~" Ondulado Montañoso Escarpado Plano Carrelera principal Ondulado de una calzada Montañoso Escarpado Plano Carrelera Ondulado secundaria Montañoso ;_~ado Plano Canelera Ondulado temariam Montañoso Escarpado Futnte. ""'1I1l.I1ON aooo3ldl V lu, ,. a..maderlCll&'!loml,~~. 0.5 0.5 0.5 0.5 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA J.\:>'IESC,\RDE:-J,\S GRISALES 352 de berrnas CAPITULO S DISEÑO GEOMtrRICO TR'\:-JSVERS,\1. 353 berma como continuación de la calzada, se deberá mantener la pendiente adoptada para la calzada. VELOCIDAD DE DISE~IO (Km/h) I 80 90 I 100 I 110 I 120 1 60 70 Las cune/as son zanjas, revestidas o no, construidas paralelamente a 2.511.012511.02 Sil O 2 SIlzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Q! 2.0110 2.0JI Ol2.Sll O 2511 O 2 SIl 01 las berrnas, destinadas a facilitar el drenaje superficial longitudinal de 1.8!0.5 1810.5120110'20110 2 SIlO la carretera. Sus dimensiones se determinan de acuerdo a los análisis 1.8,"0.5 1.8105 1 a.1.0 1.811.0 hidráulicos del sitio. Generalmente son de sección triangular, sin 1.8 2.0 2.0 2.5 embargo son deseables las de sección trapezoidal. 1.8 1.8 2.0 2.0 2.5 1.5 1.5 1.8 1.8 1.5 1.5 1.8 1.8 A continuación aparecen los taludes, que son las superficies laterales 1.5 1.5 1.8 inclinadas que limitan la explanación. Si la sección es en corte, el 1.0 1.5 1.8 talud empieza enseguida de la cuneta. Si la sección es en terraplén, el 1.0 10 1.0 talud se inicia en el borde de la berma, Las inclinaciones adoptadas 1.0 para los taludes se determinan con base en los estudios geológicos y 1.0 geotécnicos del lugar. En términos generales, los taludes que se emplean son: para cortes 2 verticales por I horizontal, y para M aooitldtD rS eM zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA GeomflllCOpIf. CMf!ltfl$ 8~(.t 1998 terraplenes 2 verticales por 3 horizontales. ,Ia.,-.. O>Pnc3... Tabla 5.3 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ En los tramos rectos, la calzada tiene una pendiente transversal que va del eje hacia los bordes, denominada bombeo; el cual tiene por objeto facilitar el escurrimiento de las aguas lluvias hacia las bermas y cunetas. En la Tabla 5.3 se suministran, en función del tipo dc superficie de rodadura, los valores recomendados del bombeo a emplearse en el proyectoñ, Valores recomendados para el bombeo TIPO DE SUPERFICIE DE RODADURA Muy buena Supefficie de COOCIelohidráulico o asfáltico, colocada con extendedoras rnecáokas, Buena Superlicle de mezcla asfallica. cOlocada con lerminadora Carpela de rieqos. Regular a Superficie de tierra o grava mala La banca o plataforma de la carretera, es la distancia horizontal, medida normalmente al eje, entre los extremos exteriores de las cunetas o los hombros. ~. El chaflán o estaca extrema de talud, es el punto donde el talud de corte o terraplén encuentra el terreno natural. El ancho de explanación, es la distancia total horizontal comprendida entre los chaflanes derecho e izquierdo. El ancho de zona o derecho de vía es la faja de terreno destinada a la construcción, mantenimiento, futuras ampliaciones si la demanda de tránsito así lo exige, servicios de seguridad, servicios auxiliares y desarrollo paisajístico. En la Tabla 5.4 aparecen los anchos mínimos de derecho de vía recornendadosñ, A esta zona no se le podrá dar uso privado. BOMBEO 1%1 2 2·3 2-4 zyxwvutsrqponmlkjih La pendiente transversal recomendada para las bermas es la correspondiente a la de la calzada más un 2%. Si se construye la La zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA rasante, como eje, es la proyección vertical del desarrollo del eje real de la superficie de rodamiento de 4.. vía. La sub-rasante es aquella superficie especialmente acondicionada sobre la cual se apoya la estructura del pavimento. Tabla 5.4 Anchos minimos de derecho de via recomendados TIPO DE CARRETERA Princi al de dos calzadas Terciaria Fuenle: lnst;lulO Nac.onaI ele Vi,u, IJanvaJ d& Oise.1o Geometrico pala C~(ertf¡1. Bogola. 1996. De acuerdo al tipo de vía a proyectar, adicionalmente a los valores recomendados dados aquí, existen diferentes criterios que permiten definir las dimensiones e inclinaciones de cada uno de los elementos de una sección transversal. Como el enfoque presentado aquí es meramente geométrico, el análisis en lo sucesivo parte de la base que dichas dimensiones e inclinaciones son conocidas, las cuales obviamente se fundamentan en otros estudios complementarios, como geológicos, suelos, pavimentos e hidráulicos. CAPíTULO S. DISEÑOGEOMÉTRICOTR,\NSVERS,II. CDrl. ~ SECCIONES TRANSVERSALES TíPICAS, POSICiÓN DE CHAFLANES Y ESTACAS DE CEROS 5.3.1 Secciones transversales típicas Dependiendo del tipo de terreno' o topografía, predominará una sección transversal determinada, la cual será típica para ese tramo. En la Figura 5.2, se muestran los tipos generales de secciones transversales, en corte, terraplén y mixtas. f1lCOYDCl6tt L ----------~ Figura 5.2 Secciones transversales típicas 5.3.2 Chaflanes o estacas de talud y estacas de ceros Como se dijo anteriormente, los chaflanes o estacas extremas de talud, son los puntos donde los taludes. de corte o terraplén, encuentran el terreno natural. Los ceros son aquellos puntos de paso de corte a terraplén o viceversa. Se define lazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA cofa de trabajo, como el trabajo necesario a realizar verticalmente sobre un punto, ya sea excavando o rellenando, expresada como: Cota de Trabajo 5.3 - 355 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA A los niveles de la sub-rasante también se les conoce como las cofas de proyecto o cotas rojas. A los niveles del terreno natural, se les denominan calas negras. Cuando es necesario excavar el terreno para formar la superficie de la sub-rasante, se dice que se hace excavación o carie. Si por el contrario, es necesario colocar material para ubicar el pavimento sobre él, se dice que se hace relleno o terraplén. " zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA JAMES CÁRDENASGRISAlES 354 = Cota Roja - Cota Negra Donde,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Cota Roja : Cota de proyecto o nivel de sub-rasante. Cota Negra : Cota del terreno natural. Obsérvese que en el punto de paso de corte a terraplén, la cota roja es igual a la cota negra, por lo que la cota de trabajo es nula, característica ésta propia de la estaca de cero. En la Figura 5.3, se muestra de manera tridimensional y transversal a lo largo de una banca las diferentes posiciones de los chaflanes y los ceros. . J,\M f:S CÁROf;NAS GRIS,\LES -. CAPiTULO 5 DISEÑO GEOMETRICO TRA:-.iSVERSAL 357 I { I ~::_7 ~.o f I zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA A su vez. en la Figura 5.4 se presenta una vista en planta de los chaflanes y cer'Osdel modelo anterior. Es importante observar, que en la medida que aparezcan ceros dentro de la banca o plataforma se tendrán secciones mixtas. de lo contrario serán secciones simples. de corte o terraplén. ~I zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA C.".Io'.,.,¡ b I zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Figura 5.4 Plantade chaflanesy ceros S .cc/6 n zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Z S .cclM ,J I $ .u:1 6 1 1 , - ~"". 5.3.3 Posición de los chaflanes Una sección transversal, como la de la Figura 5.5, queda geométricamente definida en forma completa cuando se especifican los siguientes elementos: Figura 5.3 Posición de las estacasde chaflanesy de ceros Ancho de banca o plataforma. Cota de trabajo al eje. Pendiente de los taludes. ~, Posición del chaflán derecho con respecto al eje de la vía zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZ y a la banca. 358 Xd X, '{¡ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA X,. JA~IES C'\ROE~AS GR1SALES CAPiTULO s, DISENOGEOMETRIC0 TR.-\NSV~I\S,\L J5lJ = Posición del chaflán izquierdo con respecto al eje de la vía y a la banca. = Distancia horizontal desde el eje de la vía al chaflán derecho. = Distancia horiscntal desde el eje de la vía al chaflán izquierdo. Altura del chaflán derecho con respecto a la banca. Altura del chaflán izquierdo con respecto a la banca. 9! I zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ 8/2 C ho1 l4 t1 d"f"K ho _ _;.9/,-,'2=--_1 Figura 5.5 Posiciónde los chaflanes Tales posiciones, se expresan a través de las siguientes ecuaciones: x, =~+(f)Yd X, =~+(f)YI (5-1) (5-2) En la localización directa de chaflanes en el terreno, las dos ecuaciones anteriores son indeterminadas, pues se desconocen los' valores de Xd y Yd, X, Y '{¡, teniéndose que proceder mediante tanteos hasta que tales ecuaciones se satisfagan para su.cesivos valores de .Yd y '{¡ que arrojen distancias calculadas Xd y Xi 19ual~s a las ,medIdas actuales hechas directamente en el terreno desde el eje de la vra. 5.4 ANCHOS DE BANCA Y ÁREAS SECCIONES TRANSVERSALES DE LAS 5.4.1 Anchos de banca Geométricamente, el lincho de banca depende de! ancho de carriles, del ancho de las bermas, del espesor de la estructura pavimento, del valor del bombeo o del peralte en curvas, sobreancho si existe en curvas, de la pendiente transversal de cunetas y del valor de los taludes en terraplén. los del del las Tal como se mencionó anteriormente, aquellas dimensiones e inclinaciones que no dependen directamente del estudio geométrico, y que se fundamentan en otros estudios complementarios, se suponen como conocidas. De lo contrario, deberán ser estimadas lo más preciso posible, de tal manera que los ajustes posteriores, a que haya lugar, sean mínimos. En el cálculo del ancho de banca, se pueden presentar los siguicmes casos básicos generales: o ANCHO DE BANCA EN RECTA y EN CORTE En la Figura 5.6, se esquematiza la sección transversal para este caso, para la cual se definen los siguientes elementos: 8 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = Ancho de banca o plataforma.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK = Ancho del carril. b = Ancho de la berma. e = Espesor total de la estructura de pavimento.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVU g.+f = Ancho de la cuneta, desde el borde de la berrna hasta donde se inicia el talud del corte, d = Profundidad de la cuneta por debajo de la sub-rasante (0.50 mmínímo). = Bombeo normal. m n = Pendiente de la cuneta. h. l, i = Alturas auxiliares de cálculo. e _.,¡ f..!'· 360 J,\~IES CARnOI ..\S GRIS,II.F.S cAriTULO 5. DISEÑO GEO."IÉTRICO TR,\SSVERSM. e zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 361 ANCHO DE BANCA EN RECTA Y EN TERRAPLÉN La Figura 5.7, muestra este caso. para el cual t, representa la pendiente transversal del talud en terraplén. Figura 5.6 Ancho de banca en recta yen corte De esta manera, el ancho de banca B se expresa como: B= f=~ 2c + 2b + 2ge + 2f , donde, Figura 5.7 Ancho de banca en recta y en terraplén El ancho de banca B se expresa como: n Para hallar ge, se plantea la siguiente igualdad de alturas: e +h = j + i h;m(c+b+ge) ,donde, Igualmente, para hallar g" se plantea la siguiente igualdad de alturas: e + zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA h = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA j +i , donde, h=m(c+b +g,) j=m(c+b) j=m(c+b) i= ng. , entonces, e + m(c + b + g.) e + mg. = nge e ge = n-m = m(c +b)+ ngc i = f,g, , esto es, e ti-m g, = - Por lo tanto: B = 2c +2b+ 2(n~m)+ , entonces, e +m(c+b + g,)= m(c + b)+ t,g, e + m g, = f,g, , esto es, 2(~) (5-3) B = 2c+2b+ , por lo tanto, .1_ e_) 'lt,-m ...., (5-4) J,\MES CÁRDENAS GRIS,\LES s. DISEÑO CAPiTULO GEOl>IE1R1CO TR ..\:-JSVERSAL 363 362 e ANCHO DE BANCA EN CURVA Y EN CORTE e + mg, = ngc g, =_9_ n-m zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA La Figura 5.8, muestra este caso para una curva derecha con un peralte m y un sobreancho S. Obsérvese que por efecto del peralte, el ancho de la cuneta del borde superior ~'Smenor que la del inferior, pues gO,< g,. Para el cálculo, se identifican adicionalmente las alturas ¡o. hO y j'. , esto es, Para hallar gO.ose plantea también la siguiente igualdad de alturas: e + j' = hO+1' , donde, j'=m(e+b) h'~ m(e +-b+ g0.) i' = ngO c ' entonces, e + m(e + b) = m(e + b + gO.)+ngO, e = mgO,+ngo. go.=_e_ ' esto es, n+m Por lo tanto: B = 2c + 2b + S + _ 9 _ + _e - + 2(!!") n-m n+m n Figura 5.8 Ancho de banca en curva y en corte En este caso, el ancho de banca Bes: 8=2c+2b+S+9. +g'.+2f ,donde, (5-5) ANCHO DE BANCA EN CURVA y EN TERRAPLÉN La Figura 5.9, ilustra este caso para una curva derecha. El ancho de banca Bes: ( =!!.. n Análogamente, los valores de g, y gO,son: zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM De nuevo, para hallar g" se plantea la siguiente igualdad de alturas: g ,= _ 9 _ I,-m 9+h = j+i , donde, h =m(c+S+b+9.) J = m(c+S +b) I,+m , por lo tanto, 8 = 2c+ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2b +S + _e_+ _e_ (5-6) I,-m I,+m zyxwvutsrqponmlkjihgfed i = ng. , entonces, 9 + m(e+S +b + g.)= m(c +S + b)+ng c g,° = -- e JAMES CÁRDENAS GRIS,\lES 36'" CAPiTULO S. DISEÑO GEOMÉTRICO TR..IS$VERSAl Figura 5.9 Ancho de banca en recta y s ección mixta Ancho de banca en curva y en terraplén Con apoyo en los casos básicos generales anteriores, se puede plantear la ecuación para calcular el ancho de banca de cualquier otra sección transversal con una variedad de inclinaciones transversales: con bombeo (en recta), en transición (en recta y curva) y con peralte (en curva), ya sea emplazadas solamente en corte, solamente en terraplén o mixta. ANCHO DE BANCA EN RECTA y SECCiÓN MIXTA La Figura 5.10, muestra este caso, con todos los elementos conocidos, vistos anteriormente. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Figura 5.10 365 En este caso, el ancho de banca B se plantea como: .~ 5.4.2 Áreas de las secciones transversales o ÁREA DE UNA SECCiÓN HOMOGÉNEA SIMPLE EN RECTA Dc igual manera, los valores de gc, gl y zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA f son: El Se denomina zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA homogénea si se trata de sólo corte o sólo terraplén, y es gc =ñ=ñi simple si el perfil del terreno natural es más o menos uniforme. El g, = I -m I f = -d B = 2c +2b +--El n , por lo tanto, n-m e I,-m +--+- d n (5-7) Con el avance tecnológico, hoy en día para determinar el área de las secciones transversales, se utilizan técnicas de computador, como por ejemplo el Autocad. Sin embargo, existen varios métodos manuales, que eventualmente pueden ser usados,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONML y que son la base analítica de las técnicas computacionales. En la medida de su aplicabilidad, se expondrán aquí las bases teóricas sobre las cuales se fundamenta cada uno de ellos. CAPiTULO 5. DISEÑO GEOMt:iRICO TR,\NSVERSAL zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA JAMES CÁRDENASGRISAI.F.S 366 M étodo del planím etro: Ae= [i(%)Y En este caso la sección transversal debe estar dibujada a una sola escala dada, tal que se pueda recorrer su contorno con el planímetro. M étodo de las figuras geom étrícas: La sección transversal se divide en figuras geométricas conocidas, generalmente triángulos, rectángulos y trapecios, para así calcular el área de cada una de ellas separadamente, como se muestra en la Figura 5.11, para una sección en corte. d +[f(Y)X, ]+[~(%)Y¡]+U(h+d)Xd 367 ]+[~(h+d)XI]+[~(Y)Xd] ]-U(2C +2b + 2ge)h] -[e c+ 2b; 2g, -rB}] Desarrollando: =i(%)Y Ac d + y¡)+fY(X d -(c+b+geXd)- +x,)+f(X d +XJh+d)-(e+b+geXh) B: = (5-8) Donde, B = 2C+2b+{/m)+ a Yd 2 te 2(*) X d = -+ - x· , a y. = -+ -!. te 2 e n-m ge=-h= m(c + b + g.) M étodo de las coordenadas de los vértices: Figura 5.11 Área sección hom ogéneasim ple en recta, por figuras geom étricasy coordenadas Se utiliza un sistema de coordenadas (x , y), de origen la cota roja en el eje de la vía, tal como se aprecia en la Figura 5.11 anterior, para la cual las coordenadas de los vértices son: En este caso el área de corte A:, se puede plantear mediante el área de las siguientes figuras geométricas así: Ac Vértice @ : [O, O] VérticezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (j): zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGF [-(c+b+g.),zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA -h] = TriánguloB65 + TriánguloB23 + TriánguloB05 + TriánguloB03 + Triángulo045 + Triángulo04J- Triángulo107 - Trapecio 1762 ---------_._ _--._---------_ .._--~---.;.--- ... ----- --- ---o _.~-~-.-. 368 CAPiTULO Vértice a> : [- 812 , - (h + d)] Vértice (J): [-XI Y,-(h+d)J Vértice @ : [O , s. OISEÑO GEO~IETRICO TRANSVeRSAL 369 Desarrollando y factorizando, se obtiene: I 2A. - B(\+V¡) +(X d +XJV +h+d)-Bd-2(c+b+g cXh+d) yJ Vértice m: [Xd ' Y d -(h+d)] V értice ® : [812 (h + d)] Vértice (Í): [(C+b+g e), -hJ I - En la Figura 5.12, se han organizado las coordenadas (x , y) de los vértices, de tal manera que la suma de los productos y por x de las líneas continuas, menos la suma de los productos y por x de las líneas discontinuas, arrojan como resultado el doble del área, esto es 2Ac. EJEMPLO 5.1: Ancho de banca y área de una sección homogénea simple en recta, por figuras geométricas y coordenadas COORDENAOAS VERTICE r @ o 0 0 -h -B/2 r,-(Hri) -x, 0 rr(h+d) Xd @ -(h+d) 0 -h 0 @ o 8/2 (Hb+V.) @ Figura 5.12 Datos: La Figura 5.13, muestra una sección transversal homogénea simple en corte y en recta, de la cual previamente se conoce la siguiente información: -(.+b+g.) -(hU) o zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM Área sección homogénea simple en recta, por las coordenadas de los vértíces Efectuando dichos productos, se tiene: 2A. =-{-~)-(h+dX-X;)+YXd - {- (h + dX-(c + b + g.)]-[y¡ 8 -(-h)2 Obsérvese, que ésta es la misma expresión dada por la ecuación (5-8), del método de las figuras geométricas. +[Y d -(h+d)J~-(h+dXC+b+g.) - (h + d){ -~) - Y(- X¡)-[-(h + d)X d J Ancho de carril Ancho de berma Bombeo normal Pendiente de la cuneta Espesor del pavimento Profundidad de la cuneta Talud en corte Cota de trabajo al eje Altura del chaflán derecho Altura del chaflán izquierdo c = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 3.65m b::: 2.00m rn= 0.02 n= 0.50 e= 0.50m d::: 0.60m te:::zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 v::: 2.294m Vd:::2 .351m VI::: 3.852m Calcular: a)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA E l ancho necesario de banca. b) E l área de la sección transversal en corte por el método de las figuras geométricaszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC y por el método de las coordenadas de los .... , vértices. 370 JAMES C,\RDENAS GRIS.-\lES CAPiTULO 5. DISEÑO GEOMETRICOTRANsvERSAL 371 Solución: a) A ncho de banca Según la ecuación (5-3), el ancho de banca Bes: B = 2e +2b+ 2(_8_)+ n-m B=15.783m 2(~) = 2(3.65)+ 2(2.00)+ 2( 0.50 n 0.50-0.02 )+ 2( 0.60) 0.50 ~ I zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Q¡ ~ j .. I i i ~. i! ~~ : ~ @ ....... :::.. "" ~ .. ..."'" b) Á rea de la sección transversal lO Método de las figuras geométricas: ...... ~ Para el cálculo del área, es necesario también conocer los valores de g, Y h: x, x:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Ir- ~ Xd :! ..• ,!!, = ~+ Yd 2 t. = 15.783 + 2.351 = 9.067m 2 =~ g. = n-m = 0.50-0.02 =1.042m + Yi t. 2 = 2 X. , 15.783 + 3.852 2 2 e = 9.818m 0.50 h = m(e +b + g,) = 0.02(3.65 + 2.00 + 1.042) == 0.134m Por lo tanto, según la ecuación (S-8), el área A,es:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ A = B(Y d + YI) + (X d + XIXY +h+d) e 4 2 A. = 15.783(2.351 +3.852) 2 Xh +d) e + (9.067 +9.818X2.294+0.134+0.60) 4 A. Bd -(e+b+g 2 - 15.783(0.60) _ (3.65 + 2.00 + 1.042XO.134 + 0.60) 2 = 43.421 m 2 Método de las coordenadas de los vértices: FiguraS.13 Ancho de banca y área, por figuras geom étricasy coordenadas ---_._---_ - -_-- Con base a la Figura 5.13, en la Figura 5.14, se organizan las coordenadaszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (x , y) de los vértices .. ----~."..~-~--__,..,~-~-- ---~-----~----.--. ._--~-~------------- r 372 CAPiTULOS. DISEÑOOEOMETRICOTRA~SVERSAL Método de las coordenadas . COOROENAOAS VERTICE 1 373 de los vértices: En la Figura 5.15 se muestran lodos los elementos geométricos de una sección transversal mixta simple en recta, referidos al sistema de coordenadas (x , y), de origen la cota roja en el eje de la vía. Como se -0.1:14 -1."1 0 ~ desarrolló anteriormente. estos elementos se calculan como: -0.7:J4 -1.1192 0 d e e + 3 .1 1 6 B=2c+2b+--+--+-,.". 0 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA @ 0.000 1-- r<.:- 0 0 0 CE> @ Figura 5.14 +2.294 +1.611 -0.1:14 »-: 0.000 > -> < > <- -> -""> < <- '--" n-m 0.000 x, =c+b+g. +~.Of1 t,-m n d zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y +-+....!. n te +1.'91 y Xi =c+b+g, +...!.. -0.IJ4 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA --- - ---'" 0.000 -~... - > --- + 6.612 0.000 - Ejemplo de cálculo del área por las coordenadas de los vértices ,:~,~ Aplicando la suma de los productos de las líñeaS~mfhuas menos los productos de las discontinuas, se tiene que el área Ac es: t, e zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA g.=-n-m e g,=-t,-m h = m(c + b + g.) h'= m(c+b + zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA g,) -\ = f[-O.134(-7.892)-0.734(-9.818)+2.294(9.067)+1.617(7.892) -o.·;~4(6"692)]-f[-0. 734(-6.692)+ 3.118(-7.892)+ 2.294(-9.818) - O. 734(9.067)-0.134(7.892)] A. = 43.422 m Z Que es el mismo valor obtenido anteriormente. {) ÁREA DE UNA SECCiÓN MIXTA SIMPLE EN RECTA Se denomina mixta si se trata de corte y terraplén, y es simple si el perfil del terreno natural es más o menos uniforme. -, Figura 5.15 Área sección mixta simple en recta por las coordenadas de los vértices zyxwvutsrqponmlkjihgfedcba Al igual que en el caso anterior, para el cálculo del área, se puede emplear cualquiera de los métodos descritos, a saber: 374 JAMES CÁRDENAS GRISALES CAPiruLO s. DISEÑO GEOMÉTRICO TRANSVERSAl_ De igual manera, en la Figura 5.16, se han organizado las coordenadas (X, y) de los diferentes vértices. TIPO OE: ÁRE:A ...... V[RTlCe: r -mXo" ® -y Xo. > -x, K~ > D a 0 ® 0 Y.-(h+d) 0 -h -(h ..d) -m¡¡'" > --r::;: ------- «: > K"",--- -(... Hg,) x.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Método de las figuras geométricas: > > --........ x~ B-(C+b+g,J (c+b+g.J En las secciones transversales en recta para bancas planas a nivel de sub-rasante, para ubicar los chaflanes verticalmente se toma como referencia el plano horizontal de la banca. Área sección mixta por las coordenadas de los vértices En secciones en curva, para tener en cuenta la inclinación de la banca que facilite el peralte de la calzada, se adoptan como planos horizontales de referencia los que pasan por cada uno de los extremos de la banca. La Figura 5.17 muestra una sección de terraplén simple en una curva horizontal izquierda, a la cual se le ha aplicado un peralte S en su interior. Tal sección se ha dividido en m y un sobreanchozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA cuatro triángulos de bases y alturas conocidas, así:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR Aplicando la suma de los productos de las líneas continuas menos los productos de las discontinuas, se tiene que el doble del área de ' terraplén A, es: lA, = -Y(-x¡)-(Y¡ +h'X-(c + b+g,)]-(- Y)XOd-(-h'X2A, = YX., + (Y, + h'Xc +b + g,)+ YX.Od-h' X, XI) Triángulo1: aase Por lo tanto: A, = Y(x, +XOd)'+ (Y¡ +h'XC+b+g¡) 2 2 _ h'X¡ .2 (5-9) +d)J -[Vd -(h +d)]xOd - [-(h+d)Xd]- [a - (e +b =!!..2 2+2S Triángulo2: aase=Y •Altura = Y¡ .A1tura=X¡ ,Area = A, = !..(!!.. + s)y¡zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWV .Area=Al 1 Triángulo3: aase=Y ,Altura=Xd ,Area=AJ =2'(Y)Xd Triángulo4: Base = ~ • Altura = Yd •Area + g, )J-(h + dXc+ b + g.)-h(XIl§) {-h[a -(C+b+ 1 =-(Y)X¡ 2 Igualmente, el doble del área de corte A. es: 2-\ = -mXOd(Xd )+ [Vd-(h (5-10) Se tratará aquí una sección transversal, donde el ancho de banca ya ha sido calculado previamente para una sección en recta. En este caso, adicionalmente a los elementos anteriores, aparecen el peralte m y el ..--'ozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA o sobreancho S, aplicados a una determinada sección transversal. El área -m¡¡'" Xo. se puede calcular por cualquiera de los siguientes métodos: -h' (J) Figura 5.16 2 <. > zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA {) ÁREA DE UNA SECCIÓN HOMOGÉNEA SIMPLE EN CURVA <~ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA -o, +h? ~ @ - 2 (Yd + hXXOd+ C + b+g¡) 2 " (J) y factorizando, se llega a: + XOd+ g, -g, -a) + mXOd(c+ b+ g, -Xd) o ~~~- D -....... 0 0 C orl. A. = (h +dXX d COOROE:NAOAS @ r.ff'fJpllfI Por lo tanto, desarrollando 375 g,m -(-mXOdXc +b+ gJ = A¡ = f(~ )Yd ---- zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM - ~-... - ........ -- 376 J"~IES CtÍRDI:NAS 0RISALES CAPiTULO S. DISEÑO GEOMETRICO TRA¡"¡SVERS,\I. 377 Para el chaflán derecho: Cota nominal de trabajo = Y + fi =Y .¡. m(~ ) B Yd Xd = - + 2 " Para el chaflán izquierdo: Cota nominal de trabajo XI Área sección hom ogéneasim ple en curva, por figuras geom étricas Al calcular las áreas de esta manera, se puede ver que: El área abca se calculó dos veces, el área dbfd no se calculó, el área (ghf tampoco se calculó y el área igji se calculó por fuera. Por compensación puede decirse que las áreas calculadas adicionalmente, abca y igji, son aproximadamente iguales a las que se dejaron de calcular, dbfd y fghf (5-11) M étodo de la cartera de chaflanes: 2 ) fe = Y - m(~ + S) y. +_!_ 1, En la parte superior de la Figura 5.18, se ha dispuesto la .cartera de chaflanes correspondiente a los datos de la Figura 5.17 antenor. El método de cálculo del área por chaflanes, denominado regla de las cruces, ilustrado en la parte inferior de la Figura 5.18, utiliza la ~artera de chaflanes, artificialmente colocando un cero (O) en el denominador del quebrado del centro, y adicionando un par de qu~br~dos extremos de numerador cero (O) y denominador el valor de la semi-banca (8/2+S y BI2 respectivamente). CARreRA DC CHAFlANes Izqul.rdo r, X, C<'I1ro r ¡;;;;¡;; D ,,..cho r. x;- /teCLA oc LAS CRVCCS zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Figura 5.17 B = ( -+S =Y- De acuerdo con la Figura 5.17 anterior, la cota del plano horizontal de o . <:« r, X r X r. X o V1+V', X , , o - ~ x;- ~ 812 referencia, para situar el chaflán de la derecha, con respecto a la cota de trabajo zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y en el eje, está a una altura zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA fi por encima; a la cual se le .... , llamazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA cota nominal de trabajo. Para el chaflán de la izquierda la altura es fe por debajo. Por lo tanto, para este caso: Figura 5.18 Área sección hom ogéneasim ple en curva, por chaflanes 378 JAMES C,\RDENAS GRISALES CAPiTUl.O S_ DISEÑO GEOMETRICOTRANSVERSAL Si se efectúan los productos en diagonal, de tal manera que a los productos de las líneas continuas se le resten los de las líneas discontinuas, se obtendrá el doble del área. Por lo tanto: 2A, =( ~+S )Y¡ Al = TIPO OE ÁREA + X¡{Y)+ Y(Xd~:Yd(~) COOROENADAS Ve:RTICe: .~ .,. .. r s: ~~~.!!!f-rd <~ ® > x.ozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM ~~ 0 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTS zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA > ¡<.:'~ _> -x, 0 _ ";8 r<~ 0 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVU : -s __ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ... - > Q) 0 i[( ~)Vd +( ~+S )Yi + Y(Xd + Xi)] 379 1!!f ............ 2 -y T uroplhl - '"zB -mS-Y, Que es la misma ecuación (5-] 1). -m $ .!1!!. M étodo de las coordenadas de los vértices: 2 La Figura 5.19 presenta la sección transversal bajo el sistema de coordenadas (x • y). zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ÁIea sección hom ogénea sim ple en curva, por coordenadas r (J) (O,-Y) Organizando los términos, resulta: (J) (-X t.-ID j-m s -y ¡) -1 Figura 5.19 ~ =H(~)Yd+(~+S)Y¡+Y(Xd+X,)]zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Área sección hom ogénea sim pl: en curva, por coordenadas de 105 vértices Organizando las coordenadas de los vértices, según la Figura 5.20, se tiene: 2A, = ~B (Xd)+(-YX-X¡)+( - ~B -mS- y, X~+S -( ~B _ Yd)~-(-YX-Xd)-( zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Figura 5.20 --- 8 2" )+(_ ~B -ms)~ - ~B -mS )-X¡)-( ~BX -~-s) +f[( ~B)(Xd -X¡)-mS(S +B -Xi)] Esta expresión da elzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA área exacta de la sección transversal. Obsérvese que la primera parte de ella, es el área dada por los dos métodos anteriores (Ecuación 5-(1). De allí que, la segunda parte representa la corrección, que para efectos prácticos es muy pequeña, mostrando asi la aplicabilidad de ellos. Sin embargo, todas las veces que se quiera el área precisa, deberá considerarse expresiones como la dada por la ecuación (5-12). ÁREA DE UNA SECCiÓN MIXTA COMPUESTA EN CURVA Se denomina compuesta debido a que el perfil transversal del terreno es irregular. por lo que para precisar mejor su área es necesario acotar diferentes puntos, exactamente donde el terreno cambia. CARTCRA Y, rz; rJ rz: Como se vio anteriormente, cualquiera de los cuatro métodos tiene aplicación en el cálculo del área. Por esta razón, para este caso, se usará solamente el de la regla de las cruces basado en la cartera de chaflanes, tomando como modelo una sección mixta en curva derecha con un cero lateral izquierdo, como lo ilustra la Figura 5.21. € I 0.000 --¡;¡- MeLA Figura 5.22 CHAFLAH(S O .r.cho C.n'ro Izqul.rdo :' oc y ;¡;;;¡;; r~ Xi' r, -¡¡- r. x;- oc LAS C/WCES zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA o 381 CAPiTULO S_ DISEÑOGEOMÉTRICOTRANSVERSAL JAMESC,\rW[NAS GRISAlES 380 Área sección mixta compuesta en curva, por chaflanes 2A = XO¡(Y) + Y(Xz)+ Y2(X,)+ V, (X d)+ Y d( ~+S ) - XZ(Y,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH )-x,(v d) A= 5.5 i[v(x o, + X 2)+ Yd(%+S -X,)+ Y,(XrXz)+ Y 2(X,)] (5-14) VOLÚMENESDE TIERRA: CUBICACiÓN Una vez que se han calculado las áreas de las secciones transversales, se puede proceder a calcular el volumen correspondiente entre ellas. Figura 5.21 Área sección mixta compuesta en curva Los datos correspondientes a esta sección se muestran en la Figura 5.22, en la cartera de chaflanes y la regla de las cruces, para lo cual: 8 2Ac ='2(X,)+X¡(Y l)-Y¡(X J)-Y J(X O¡) A. =HY{~-XJ)+ VJ(X¡ -Xo¡)] (5-13) Para que dicho volumen se pueda calcular fácilmente, será necesario suponer que entre cada par de secciones consecutivas existe un sólido geométrico compuesto de elementos conocidos o identificables. En este sentido, el sólido que más se aproxima a esta configuración es elzyxwvutsrqponmlkjihgfedcb prismoide, como el ilustrado en la Figura 5.23. El prismoide es aquel sólido geométrico limitado en los extremos por las caras laterales paralelas correspondientes a las "'"Secciones transversales; Y lateralmente por los planos de los taludes, el plano de la bancazyxwvutsrqponmlkjihgfedcba y la superficie del terreno natural. _,,:-: _. """ r " JAMES CARDENAS GRISALES 382 -. CAPITULO s, DISEÑO GEOMt,'RICO TRANSVERSAL 383 . A = A, +A¡ ", 2 Reemplazando en la ecuación (5-15): V = HA, + Az + { e o A, ; Al )] = ~(3A, + 3A¡) (5-16) V =(A,.;Az) Esta fórmula es más precisa a medida que A, y Al tiendan a ser iguales. Cuando una de las secciones tiende a cero, el volumen se calcula como un pirámoide: \_Plono duwcho \_ P /G no s.ccld" /rQ ffrN na l (5-17) V= AL 3 d.J Jo/ud sera zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA d. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA lo banca A.8CF Otro tipo de sólido geométrico que aparece con frecuencia, cuando se forman secciones mixtas, es el/ronco de pirámoide, cuyo volumen sc lllle la l A8 C O calcula como: V cuyos volúmenes son: (5-1 S) Volumen del prismoide (m\ Área de la sección transversal extrema inicial (m 2). Área de la sección transversal extrema final (m 2). Área de la sección media (m'). Es aquella sección situada exactamente a 1../2. .. Entre la sección 1-1 y la sección 2-2: -::" Volumen de corle = Prismoide = Ve = .!:L(A, + A¡ + 4Am) 6 También: Volumen de corle = Pr ismoide = Ve = Ll (Al ; A¡ ) .!; Entre la sección 2-2 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y la sección 3-3:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK Volumendecorle = Tronco de pirámoide = Ve = ~ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK (Al + A3 + ~AZAJ) También puede utilizarse, en forma aproximada, la fórmula de las áreas medias. Este método supone que el área de la sección media A. es igual al promedio aritmético entre Al y A2. Esto es: ~ (5-18) La Figura 5.24 muestra la formación de estos tres sólidos geoméiricos. El volumen del prismoide se calcula mediante la siguiente expresión: Donde: V Al Az A. =.!:.(~ +A¡ +~A,A¡) 3 El prismoide en carreteras zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Figura 5.23 Volumen de terraplén = Pirámoide = VI = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcb _-¡; \Ll CAPITULO 5. DISE¡;;OGEOMETRICO TR":'SVERSAL 385 .... " Calcular: Las áreas y los volúmenes de terraplén y corte en todo el tramo. , , - I /.l , Solución: En la Figura 5.25 se ha dibujado un esquema tridimensional de la información dada, referente a abscisas, cotas de trabajo, chaflanes y ceros para cada sección transversal. ... .C•". " Io, .;l~: /'zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA "í zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA _'..... Figura 5.24 Prismoide, tronco de pirámoide y pirámoide EJEMPLO 5.2: Áreas y volúmenes de terraplén y corte Datos: Un tramo de una carretera secundaria de 30 metros de longitud y 10 metros de ancho de banca, tiene los chaflanes que se presentan en la Tabla 5.5. . Tabla 5.5 Cartera de chaflanes en recta. Ejemplo 5.2 IZOUIERDO !li 10.2 :U º'ºº 3.4 EJE DERECHO 11 -2.4 KO+030 9.4 MQ ~ 9.8 KO+024 !ll .:1Q 10.5 Q.QQ KO+020 1.6 ~ 10,3 .. 3,4 9.9 ~ 9,8 ~ 7.6 :ll Q.gQ KO+015 5.0 .!U :U KO+Ol0 :1.1 KO+OOO Figura 5.25 6.7 8.6 !M 13.2 al Abscisas, cotas de trabajo, chaflanes y ceros Áreas de las secciones transversales zyxwvutsrqponmlkjihgfedc En la Figura 5.26 se ha dispuesto la cartera de chaflanes, de tal manera que se pueda calcular las áreas de las secciones por el método de la regla de las cruces. 386 JAMES CÁRDENAS GRISALES ABSCISAS K O ~O :JO zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA REGLA OE LAS CRUCES ....10.2 ~.4 .... g.B r·""'e."n .... O..,. Ac = .!.[3.6(5)-1. 6(3.6)] = 6.120 mI zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA .5 2 7.1 '" C ~ rl. ¿_XE..X.!:E...X~X:J.6XO fO'f.rroe_¡'n D '" r., '" ~~ -¡- Sección de abscisa KO+024: Terraplén: ... ¿_XE...X.!.:!_X~X¿_ A, =~[5(3.2)]=8.000m2 5 " zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA .... $..0 "" O '" T .rrQ plltt .5 ¿_X.!:!..XE..X~X¿_ 5 .... 9 .9 K O +O oo .... ¿_XE..X~X~X¿_ IO .J "0+010 A,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = ~[5(3.8)+ 10.5(1.0)+ 1.0(1.6)]= 15.550 mI r.mle"nzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA '-2d.f. . Corte: S "0+015 Sección de abscisa KO+020: Terraplén:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA O $ KO+020 "O '" r.rrop'In ¿_XHX~X~X¿_ $ ....9 .8 ... O '" T.rroplllt & 5 "" Corte: $ ~ = t~ 2 '" j .. .!.[3.5(5)] = 8.750 mZzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 . : " Figura 5.26 387 ¿_X E.. XO,OO X -¡¡2.4 X 9·JX zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA " 77"" T $ KO~OU CAPiTULO S. DISEÑO GEOMl:TRICO TR....NSVERS,\/. A, Á reas de las secciones por el m étodo de los chaflanes. E jem plo 5.2 Sección de abscisa KO+OOO: Terraplén: ... = .!.[5(3.6) - 3.6(3.4)] = 2.880 mI 2 Corte: Ac = .!.[3.4(2.4)+ 2.4(9.4)+ 9.3(5)J= 38.610 mI 2 A, = f[5(3.3)+ 9.8(4.2)+ 4.2(13.2)+ 5.4(5)J= 70.050m2 b) Sección de abscisa KO+O10: Terraplén: Volúmenes entre secciones transversales Entre las secciones de abscisas KO+OOOy. KO+OI o: Terraplén: Prismoide, según ecuación (5-16), 1 A, = 2'[5(3.4)+9.9(3.2)+3.2(8.6)+ 2.5(5)J= 44.350m2 ; Sección de abscisa KO+O15: Terraplén: 1 A, = 2'[5(4.5)+10.3(1.9)+ 1.9(5)]= 25.785m2 Sección de abscisa KO+030: Terraplén: V, =L( A, ;AI )=1{70.050;44.350)=572.000m3 Entre las secciones de abscisas KO+OIO y. KO+Ol 5: Terraplén: Prisrnoide, ecuación (5-16), 388 JAMES C..\ROENAS GRISAlES + 25.785) 2 Tabla 5.6 = 175.338m J 389 Cartera de cubicación. Ejemplo 5.2 V.SSCiSA CHAFLANES AREASlmll VOLUMENES (mI) IZQUIERDO EJE DERECHO CORTE TERRAP. CORTE TERRAP.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYX KO.o3O +3.6110.2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 0.0013.4 ·2.4 i ·9319.4 38.610 2.880 I 131.481 31.360 024 .. 3.219.8 0.00 ..J.sn.6 8.750 8.000 I 29.584 46.271 020 +3.8/10.5 +1.0 0.0011.6 I .3.616.7 6.120 15.550 10.200 102.265 015 +4.5110.3 +1.9 0.0015.0 25.785 175.338 010 +3.419.9 +3.2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA +2.518.6 44.350 572.000 KO·OOO +3.319.8 +5.41131 +4.2 70.050 VOLUMENES TOTALES 171.265 927.234 Entre las secciones de abscisas KO+O15 v KO+020: Terraplén: Tronco de pirámoide, según ecuación (5-18), V, = } (A, + A, + ~A,Az)= y [25.785 + 15.550+ ~25785(15.550)]= 102.265mJ Corte: Pirámoide, según ecuación (5-17), Ve == AL = 6.120(5) =10200mJ 3 3 . Entre las secciones de abscisas KO+020v KO+024: Terraplén: Tronco de pirámoide, ecuación (5-18), V, == }(A, + Al +.JA,Az )= ';[15.550 + 8.000 + ~15.550(8.000)]= 46.271 mJ Corte: Tronco de pirámoide, ecuación (5-18), Ve == }(A, + Az + ~AtAz)= ;[6.120 + 8. 750 + ~6.120(8.750)]= 29.584mJ EJEMPLO 5.3: Áreas y volúmenes de corte y terraplén Datos: Para un tramo de ancho de banca de 10 metros, en la Tabla 5.7, se muestran los chaflanes, ceros y puntos topográficos. Tabla 5.7 Entre las secciones de abscisas KO+024 y KO+030: Terraplén: Tronco de pirámoide, ecuación (5-18), V, = }(A + A, + ~A,Az Corte: Tronco de pirámoide, ecuación (5-1.8), 131.481mJ Calculadas las áreas y los volúmenes se elabora la cartera de cubicación, tal como se muestra en la Tabla 5.6. Como se puede aprceiar en la cartera de cubicación, para cada abscisa, aparece en la parte izquierda la posición de los chaflanes y ceros, en la parte central las áreas respectivas, y en la parte derecha los volúmenes entre secciones sucesivas. Cartera de chaflanes y topografía. Ejemplo 5.3 IZQUIERDO MQ. !11? 5.00 1.60 -3.28 MQ. 6.80 1.20 -4.46 7.20 )= j [8.000 + 2.880 + ~8.000(2.880)J= 31.360 mJ Ve =}(At +A, +~AtA, )=j[8.750+38.610+~8.750(38.610)]= zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA v, - L(A,-2- + AZ) _- 5(44.350 11 _ CAPiTULO S. DISEÑOGEOMETRICOTR.·\»;SVERSAL EJE .:!:ill K8+580 ~ 1<8+564 MQ. K8+546 DERECHO +3.58 3.80 10.20 !2M ~ 10.18 ~ 9.60 Calcular: Las áreas y los volúmenes de corte y terraplén para el tramo. Solución: a) Áreas de las secciones transversales En la Figura 5.27 se ha dispuesto la cart;¡a de chaflanes, para calcular las áreas de las secciones por el método de la regla de las cruces. 390 JAMES CÁRDENAS GRISALES RECLA CE: A9SClSAS K~+~O .s: Xs.t6X .s ... 6.80 C « lI K~+546 Figura 5.27 2.84(10.20)+ 3.58(5)- 3. 60(3. 58)J = 28.672mz O.OOX2.58X~X...!... zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA .... ',20 "O ",. 10.14/ T.nve.'ln ..!!_X~X~X~X..!!_ 5 , 7.20 'O" '.60 , _ THTT1e!_ln ,$ b) Volúmenes entre secciones transversales 5 Entre las secciones de abscisas K8+546 y K8+564: Corte: Tronco de pirámoide, Ve = .!:.(A¡+ Al + ,jArAl)= ~[11.150+ 6232 + J11150(6.232)]= 154.307 m J 3 3 Áreas de las secciones por el método de los chaflanes. Ejemplo 5.3 Terraplén: Tronco de pirárnoide, V, Corte: A. = 1[5(4.46)] 391 Sección de abscisa K8+580: Se trata de una sección homogénea compuesta en terraplén con un cero en el chaflán izquierdo, de área: LAS CRUCES Sección de abscisa K8+546: Es una sección mixta con un cero en el eje, para la cual las áreas respectivas son: =.!:.(A¡ +Al 3 +,jA¡Al)= 18 [7.400 + 23.480 +,j7.400(23.480)] 3 V = AL = 6.232(16) = 33.237 mJ e 3 3 = 1[2.96(5)] = 7.400 m Z Terraplén: Tronco de pirárnoide, 2 V, = .!:.(A, +A¡ + ,jA,Al 3 Sección de abscisa K8+564: Es una sección mixta con un cero lateral izquierdo, cuyas las áreas son: )= ~[23.480+ 28.672 +,j23.480(28.672) 3 1= 416.525mJ En la Tabla 5.8, se resumen las áreas y los volúmenes de este tramo. Corte: Áreas zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y volúmenes. Ejemplo 5.3 Tabla 5.8 A.: = 1[5(3.28)- 3.28(1.20)]= 6.232 m Z lAescl$.! 2 AREAS(m l) CORTE ITERRAPLEN K8~ = 23.480 m Z --- ----~--- K8~4 6.232 23.480 K8+546 11.150 7.400 "__-"~:..'ft."'"- VOLUMENES (m zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK 31 CORTE ERRAPLEN 28.672 Terraplén: A, = 1 [1.20(2.58)+ 2.58(10.18)+ 3.52(5)] 2 = 264.369mJ Entre las secciones de abscisas K8+564 v K8+580: Corte: Pirámoide, = 11.150 m Z Terraplén: A¡ TRA:-ISVt::RSAL T.rroplln ~d.f. 2 S. DISEilO GCO~t(iTRICO 1 ...!...X~X~X~X2.8·X J.5~X...!... 5 ...zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA $.00 .... ',60 -, O '" J.SO", 10.20... , A¡ = '2[5.00(1.22)+ 1.60(3.32)+ 3.32(3.60)+ ,....... K~+56' CAPiTULO _: . "~~ 33.237 416.525 154.307 264.369 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ .•.-.r.--_ - 392 JAMF.SC¡\ROE"AS GRISAlE$ C¡\pITUlO S. DISEJ(lOGEOMÉTRICO TRANSVERSAl. 393 Ancho de banca: 8 EJEMPLO 5.4: Cálculo de ancho de banca, talud y área 0.00 • indica un cero en el chaflán derecho. esto es, 3.60 0.00 0.00 = - - ,de donde: 3.60 8/2 B=7.20m Datos: Para una sección transversal, la Tabla 5.9 muestra la disposición de los chaflanes. Tabla 5.9 C artera de chaflanes. Ejem plo 5.4 ._ Talud: t. 2.40 t< 7= 6.00-3.60 te Calcular: El ancho de la banca, el talud usado y el área de la sección. " Solución: En la parte superior de la Figura 5.28 se ha dibujado transversal con la información dada, para la cual: la sección = 1 ,de donde: , talud del 1 Ó 45' Árca: A: Se trata. de una sección homogénea compuesta en corte. Según la parte inferior de la Figura 5.28, al aplicar la regla de las cruces, se tiene: Ae = .!. [3. 60(2.40) + 6.00(2.16)+ 2.16(2.88)+ 1.48(3. 60)J = 16.574 m2 2 í EJEMPLO 5.5: Posición de chaflanes y área I Datos: Una sección transversal en recta presenta las siguientes características geométricas: ., ~ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA RE:Gl..A DE: !.AS CRUCES s..< l6 n X...1.40 X... 1.11 J.ió 'iOO -o X , o Figura 5.28 t.4X UD" o.OOX UD o 2.ii, C álculo de ancho de banca, talud y área !. Ancho de banca Cota de trabajo en el eje Talud en corte Talud en terraplén = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 15m : -C.50m = 1 horizontalpor 1 vertical = 2 horizontales por 1 vertical El terreno natural es bastante uniforme, bajando hacia la derecha con horizontales por 1 vertical. una pendiente de 5 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Calcular: -. La posición de los chaflanes, derecho e izquierdo. a)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA b) El área de la sección transversal. 394 h""'ES CÁRDENAS GRISALES CAPiTULO 5. DISEÑO GEOMETRICO TRANSVERSAL Solución: ... De acuerdo Con la Figura 5.29, se tiene: ... ~ ....~ . ......... .....~ ... , .~,... : f " ! s. i; ._ 395 Reemplazando: Xi +2.50 =~ X I-7.50 1 : X, + 2.50 = 5X, - 37.50 X, =10.00m = Xi -7.50 .. • esto es, 10.00-7.50 = 2.50m YI -2.50 8 chaflán izquierdo es : Xi = 10.00 Y, "~ ." ,'.[ =: , por lo tanto: Chaflán derecho: X d• Y d Igualmente relacionando triángulos: ~=~ Y d +0.50 X d = 5Y d + 2.50 Yd x, -7.50 Figura 5.29 Posición de chaflanes y cálculo de área al 1 2 Yd = X d -3.75 2 Posición de los chaflanes Reemplazando: Cero lateral derecho: XOd X Od 5 Q 5¡j = '1 ' de donde, Xd =={ ~d -3.75)+2.50 X Od =0.50(5)=2.50m x, = 10.833m Chaflán izquierdo: XI, Y; Yd = 10.833 -3.75 2 =: 1.667m • esto es, ,por lo tanto: . Yd + 1.667 ElzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA chaflán derecho es. Xd =: 10.883 Relacionando triángulos Con respecto al terreno natural, se tiene: XI +X Od 5 ~=YI 1 Relacionando triángulos Conrespecto al talud de corte: Áreas: .40, A, Se observa en la Figura 5.29 que las áreas de corte y terraplén son:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWV ~=! ~ =i[(~+XOd)'I; ]zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = He: +2.50)2.50]= 12.500m 2 A ]=i[C: YI 1 '1; == x, -7.50 '. =H(~-XOd}d -2.5? }667 ]=4.168m 2 '~~'I ! I 396 5.6 J¡\~IES CÁRDENAS GRISALES ¡ I cAPirulO 397 S. DiSEÑO GEOME'TRICdTRANSVERS¡\L PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA 5.1 Datos: Para la Figura 5.30, se tiene que: La sub-rasante entre el KO+OOOy el KO+ 100 es a nivel (pendiente longitudinal igual a 0%), localizada en la cota 504. El ancho de la banca plana es de 8 metros. Los taludes son: para corte 1 vertical por 0.5 horizontal y para terraplén 1 vertical' por 1.5 horizontal. El plano muestra la planta a la escala gráfica dada, con curvas de nivel de equidistancia 1 metro. Calcular: El volumen total de terraplén y corte en este tramo. [Resp, : Aproxim adam enfe'715 m' y 1090 m J]. Sugerencia: Dibuje un perfil, mostrando el terreno y la sub-rasante. Trabaje las secciones cada 20 metros y adicionalmente aquellas que contienen ceros. considere PROBLEMA 5.2 Datos: Las dos secciones mostradas en la Tabla 5.10, pertenecen a un tramo de una curva izquierda de ancho de banca plana 8 metros, sobreancho 1 metro y talud 3 horizontales por 2 verticales. Tabla 5.10 IZQUIERDO ~ ? +2.80 ? Cartera de chaflanes. Problema 5.2 EJE +2.60 K20+015 +4.30 K19-+990 .p'zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPON DERECHO ~ I ~ .~ { ? !ll!! ? Calcular: a) El área de cada sección. [Resp. : 54.190 m 7zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y 33.590 m 7]. b) El volumen entre las secciones. [Resp. : 1097.250 mJ]. .- ', O •..~zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQP Figura 5.3.0 Problema 5.1 , ,~ -zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA .. • .~ .. .~ ~l 398 JAMF.S CAROENAS GRIS,\LF.S Datos: zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA PROBLEMA 5.3 CAPiTULO Cartera de chaflanes y topografía. Problema 5.3 IZQUIERDO EJE !l§Q K2+344 ·5.40 K2..320 Q,QQ 4.00 ·15.60 11.80 ·13.40 8.60 :21Q 5.10 -,Il.60 2.40 0.00 2.60 Calcular: Los volúmenes entre estas dos secciones. [Resp. : Terraplén:404.737 m J, Corte: 521.680 ml]. PROBLEMA 5.4 Datos: La Figura 5.31 ilustra dos secciones en curva, separadas 30 metros. . í GEOME mico TRM<SVERSAI. _._ y.-._. -- 399 - .._-, - _,_. - -. PROBLEMA 5.5 Datos: Un terraplén descansa sobre una superficie horizontal el) una curva izquierda de peralte 10%, banca 10 metros, sobreancho 2 metros, cota de trabajo en el eje de 6 metros y talud 3 horizontales por 2 verticales En la Tabla 5. II se muestran los chaflanes y la topografía de un par de secciones de ancho de banca'plana de 8 metros. Tabla 5.11 s. OI~EÑO Calcular: El área exacta. [Resp. : 124.145m 1J. PROBLEMA 5.6 Datos: La Tabla 5.12 presenta la cartera de chaflanes de un tramo recto de una vía. El signo menos (.) indica corte y el signo más (+) terraplén. Tabla 5.12 Cartera de chaflaneszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED en recta. Problema 5.6 IZQUIERDO 4.80 7.40 ~ EJE :.!JQ KO-t040 MQ 7.30 KO-t028 ::ill :1J.Q 7.20 KO-t020 Q.QQ !!12 5.00 KO-tOOO DERECHO MQ 5.00 ~ 9.65 M2 5.00 :tUQ 9.95 Calcular: El volumen total de terraplén y corte en el tramo. Terraplén: 166.467m ', Corte: 437.098 m']' [Resp. :zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Figura 5.31 PROBLEMA 5.7 Problema 5.4 Calcular: 1 El volumen entre las secciones. [Resp. : 971.595m 3]. I ·:1 ~1 ~ I Datos: La Figura 5.32 muestra la plantazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH y el perfil de un tramo de vía de 37.50 metros de longitud. 400 JAMES CÁRDENAS GRISALES CAPiTULO 5. DISEÑO GEOMETRICO TRANSVERSAL PROBLEMA 5.8 Datos: zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Los talu~es de las secciones .transversales son: en corte 2 verticales por l borizontal y en terraplén 2 verticales por 3 horizontales. 401 La Figura 5.33 ilustra el perfil longitudinal de una sub-brasante, con su respectivo eje y bordes de banca. En la Tabla 5.13 se muestran las áreas correspondientes a las secciones transversales. . S8 $!S S4 $S Figura 5.33 PlRF1I. Tabla 5.13 52 ABSCISAS S 'I Figura 5.32 1<0-+000 KO<OO8 K()-t{).14 KQ.026 Problema 5.7 Calcular: Los volúmenes totales en el tramo de vía. [Resp. : Corte: 894.775 m zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 3, Terraplén: 55.125 m IJ. Problema 5.8 Áreas. Problema 5.8 AREAS(ml) CORTE TERRAPLtN 72.0 40.0 20.0 25.0 50.0 Calcular: Los volúmenes totales de corte y terraplén,': [Resp. :zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Corte: 704.569 m J, Terraplén: 491.421 mJ).