Exercícios Resolvidos de Teoria Eletromagnética

LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 27 de Fevereiro de 2003, às 10:05 p.m. Exercı́cios Resolvidos de Teoria Eletromagnética Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı́sica teórica, Doutor em Fı́sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Fı́sica Matéria para a QUARTA prova. Numeração conforme a quarta edição do livro “Fundamentos de Fı́sica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Conteúdo 1 33: Indutância 1.1 Questões . . . . . . . . . . . . 1.2 Problemas e Exercı́cios . . . . 1.2.1 Indutância – (1/8) . . . 1.2.2 Auto-Indução – (9/13) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 2 5 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 Comentários/Sugestões e Erros: favor enviar para http://www.if.ufrgs.br/ jgallas ✁✄✂ – (14/28) . . . . . Circuitos Energia Armazenada num Campo Magnético – (29/37) . . Densidade de Energia de um Campo Magnético – (38/46) . . Indutância Mútua – (47/53) . . 6 9 11 12 jgallas @ if.ufrgs.br (lista4.tex) Página 1 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 1 27 de Fevereiro de 2003, às 10:05 p.m. 33: Indutância 1.1 (b) Questões Q 33-2. Quando o fluxo magnético que atravessa cada espira de uma bobina é o mesmo, a indutância da bobina pode ser calculada por (Eq. 33-2). Como poderı́amos calcular de uma bobina para a qual tal hipótese não é válida? Basta computar a fem para cada uma das espiras, soma-las, e depois usar para obter o valor de . ✏ ✂ ✂✆☎✞✝✠✟☛✡✌☞✎✍ ✑ ☎✓✒✔✂✖✕✗✍✘☞✙✕✛✚ ✂ ☎ ❆ ✹ ✜❊✤✾✫✠✭✮✢ ✯✸✱ Wb ✹ ✂❋☎ ✟ ✍ ✡ ☎ ❆ ✹ ✜❊✤✾✫✠✭✮✢✰✯✸✱ ☎ ❇●✹ ✜❊✤✾❄ ✫✠✹ ✣✗✭✮✢ ✢ ✯■❍ H/m✹ Preste atenção nas unidades envolvidas. E 33-3. ☎ ❆ ✹❏✤ ❆ ✜ Um solenóide é enrolado com uma única camada de fio de cobre isolado (diâmetro mm). Ele tem cm de diâmetro e um comprimento de m. (a) Quantas espiras possui o solenóide? (b) Qual é a indutância por metro de Q 33-4. comprimento, na região central do solenóide? Suponha Desejamos enrolar uma bobina de modo que ela tenha que as espiras adjacentes se toquem e que a espessura resistência mas essencialmente nenhuma indutância. do isolamento seja desprezı́vel. Como fazer isto? (a) O número de espiras multiplicado pelo Uma maneira de fazer é enrolar o fio que compõe a diâmetro de cada espira deve ser igual ao comprimenbobina em duas camadas, de modo que a corrente passe to do fio. Portanto, temos nelas em sentidos contrários. Deste modo a indutância tenderá para zero. espiras ✝ ✏ ✏ ✝ ☎▼✕ ▲ ☎ ❆ ☎ ✣✛✢✗✢ ✹ ❑ ❆ ✹❏✤❈✫✴✭✵✢ ✯✲✱ ◆ ✝ ☛ ✟ ❋ ✡ ❖ ☎ ✆ ✝ P ✻ ✦ ✽ ☎ ✪❉◗ ▲ ✳ ✪❉❘❂❙❚◗ ✍ ✳ ✪ ✽ ✳ ☎❖✂❯✍ ✹ Portan(b) to, simplificando a corrente, segue ✂ ☎ ✽ ☎ ✪ ✜ ✿ ✫✴✭✵✢ ✯✸✷ ✳❲❱ ✣✗✢✛❆❨✢ ❳ ❃ ✿✴✪ ✢❩✹ ✢ ❆ ✳ ❃ ▲ ❘❂❙✮◗ ❃ ☎ ❆ ✹❏✤ ❄ ✫✴✭✵✢ ✯■❍ H/m✹ fio 1.2 Problemas e Exercı́cios 1.2.1 Indutância – (1/8) E 33-1. ✣ ✜✛✢✗✢ A indutância de uma bobina compacta de espiras vale mH. Calcule o fluxo magnético através da bobina P 33-4. quando a corrente é de mA. Um solenóide longo e estreito, pode ser curvado de moComo , onde é o número de espiras, é do a formar um toróide. Mostre que, para um solenóide suficientemente longo e estreito, a equação que dá a ina indutância e a corrente, temos dutância do toróide (Eq. 33-7) assim formado é equivaH A lente à de um solenóide (Eq. 33-4) com um comprimento apropriado. ✏ ✏ ✝✠✟✥☎✦✍ ✂✧✍ ✤ ✝ ✂ ✟★☎ ✂✩✝ ✍ ☎ ✪ ✣✬✫✠✮✭ ✢✰✯✲✱ ✳ ✪ ✤✬✫✴✭✵✢✰✯✲✱ ✳ ✜✛✢✛✢ ☎ ✭✶✫✴✭✵✢ ✸✯ ✷ Wb ✹ E 33-2. ✟ ✡ ☎✺✝✼✻✾✽ ☎☎ ✝✼✻ ✪❀✿❂❁✙❃ ✳ ❅✪ ❄ ✛✢ ✳ ✪❅❆ ✹ ❇❈✫✴✭✵✢ ✯✲✱ ✳ ✪❉✿ ✭✮✢✾✫✴✭✵✢ ✯ ❃ ✳ ❃ (a) http://www.if.ufrgs.br/ jgallas ✏ Para um solenóide muito comprido, com o qual desejamos construir um toróide, escrevemos a indutância em função do número total de espiras, , e não de , a densidade de espiras por unidade de comprimento. As expressões da indutância para um solenóide e um toróide são, respectivamente, ◗ ☎❬✝❯☞ ▲ ✝ ✂❪❭ ☎ ❘ ❙ ◗❚❃ ▲ ✽❫☎ ❘ ❙ ✝ ❃ ✽❵❴ ▲ Página 2 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS ✂❪❛ ☎ ❘ ❙ ✝ ✵❃ ❜ ❆✙✿ ❝❡❞ ❣❱ ❤ ❢ ❳ ✹ 27 de Fevereiro de 2003, às 10:05 p.m. Substituindo estes valores na equação acima e simplificando obtemos Para poder comparar estas expandimos o lo✂✩❛ fórmulas, . Para que isto seja possı́vel garı́tmo que aparece em assumimos que o toróide tenha dimensões suficiente☎ ☞ ❤❦❥ ✭ , ou seja, tal que mente grandes tais que ✐ ❢ ❥❫❤ Calculando (ou simplesmente olhando numa ❢Tabela .qualquer), vemos que para um valor arbitrário ✐✼❧✦✭ ☞ ❆ o logarı́tmo pode ser representado pela seguinte série de potências: ☎ ❱✐ ✒ ✭ ✭ ❱ ✐ ✒ ✭ ❃ ✭ ❱✐ ✒ ✭ ✱ ✐ ♥ ♦♣♦✵♦ ♠❝ ❞ ✐ ❳❯♥ ❆ ✐ ❳ ♥ ❄ ✐ ❳ ❖ Considerando apenas o primeiro termo na série acima, ☎ ☞❤: segue, para ✐ ❢ ✒ ☞ ✒ ✒ ❥ ✐ ✭ ☎ ❢ ❤☞❤ ✭ ☎ ❢ ❤ ❴ ✐ ♠❝ ❞ ✐ ❢ ❢ de modo que ✂ ❛ ❥ ❘ ❙ ✝ ✵❃ ❜ ✪ ❢ ✒ ❤ ✳ ✹ ❆✙✿ ❢ ✒ ❤ ✳ ☎q✽ Observando agora que ❜ ✪ ❢ ❥ ▲ e que ✙❆ ✿ ❢ obtemos, nestas condições, que, realmente, ✂☛❭ ❥ ✂❪❛ ✹ ☎✺✂ s ✂ ♥ eq ✂ ✹ ❃ (b) A expressão acima será válida sempre que o fenômeno de indução mútua puder ser desprezado. Pa✂☛s e ✂ estejam bem afastados, ra tanto é preciso que ❃ como requerido pelo problema. O caso em que a indutância mútua não pode ser desprezada é tratado explicitamente no Problema 33-49, adiante. ✝ indutores em série (e sem a (c) Quando tivermos presença de indução mútua!), vemos facilmente que ✇ ✑ ☎ ✉❖✈✇②① s ✑ e, conseqüentemente, que ✂ eq ☎ ✉ ✈✇②① s ✂ ✇ ✹ P 33-6. ✂ s ✂ Indutores em paralelo. Dois indutores e ❃ estão ligados em paralelo e separados por uma distância grande. (a) Mostre que a indutância equivalente é dada por ✂ ✭ ☎ ☛✂ ✭ s ♥ ✂ ✭ ✹ ❃ eq (b) Por que a separação entre os indutores tem de ser grande para que a relação acima seja válida? (c) Qual a ✝ generalização do item (a) para indutores separados? ❤ , da exComo para um toróide sempre temos ✏ Este problema é análogo e sua resposta tem a mesma ✦ ❢ r pansão do logarı́tmo acima vemos que a aproximação fundamentação teórica do Problema 33-5. feita é bastante boa. (a) Da definição de ligação em paralelo vemos que ago✍③☎❖✍ s ✍ , sendo que a queda de tensão nos três ra vale P 33-5. ♥ ❃ ☛ ✂ s ✂ componentes em questão é a mesma, ✑ . Portanto Indutores em série. Dois indutores e ❃ estão li✕✛✍ s ❴ ✕✗✍ ✕✛✍ ❴ gados em série e separados por uma distância grans ④ ☎ ✔ ✒ ✂ ④ ☎ ✔ ✒ ✂ ✓ ☎ ✔ ✒ ✂ ✕✗✚ ✑ ✑ ✑ eq ✕✛✚ de. (a) Mostre a indutância equivalente é dada por ❃ ✕✛✚ ❃ ✹ ✂ ☎❑✂ s ✂ que eq ♥ ❃ . (b) Por que a separação entre os indutores tem de ser grande para que a relação acima seja Substituindo estes valores na relação ✝ ✕✗✍ ☎ ✕✛✍✘s ✕✛✍ ❴ válida? (c) Qual é a generalização do item (a) para indutores em série? ✕✗✚ ✕✗✚ ✕✛✚ ❃ ✏ (a) Nas condições discutidas abaixo, no item (b), a ✍⑤☎❖✍✘s conservação da energia requer que a queda de tensão E, obtida derivando-se ao atravessarmos os dois indutores, seja igual à soma ✂✭ ☎ das quedas ao atravesarmos cada indutor separadameneq te: ✑ ☎ ✑s ♥ ✑❃✹ ✍ ♥ ♥ ❃ , segue facilmente que ✂✭s ♥ ✂✭ ✹ ❃ (b) A justificativa é idêntica à do item (b) do Problema 33-5. ✝ Como a corrente que atravessa os três indutores em (c) Para indutores em paralelo, extendendo o cálculo questão é exatamente a mesma, da definição de in- feito no item (a) acima, obtemos dutância, podemos escrever ✈ ✗✕ ✍ ✑ ☎t✒✔✂ ✕✗✚ ❴ eq ✛✕ ✍ ✑ s✔☎✓✒✔✂✌s ✕✛✚ ❴ ✛✕ ✍ ✑ ❃ ☎✓✒✔✂ ❃ ✛✕ ✚✰✹ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas ⑥ ✂ ✭ ☎ ②✇ ① s ✂ ✭ ✇ ✹ eq Página 3 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 27 de Fevereiro de 2003, às 10:05 p.m. ✏ P 33-7. ⑦ ✁ A área de integração para o cálculo do fluxo magnético é limitada pelas duas linhas tracejadas na Figura abaixo e pelas bordas do fio. Uma tira larga de cobre (largura ) é curvada formando um tubo de raio com duas extensões planas, como mostra a Fig. 33-14. Uma corrente flui através da tira, distribuida uniformemente sobre sua largura. Fezse, deste modo, um “solenóide de uma única espira”. (a) Deduza uma expressão para o módulo do campo magnético na parte tubular (longe das bordas). (Sugestão: Suponha que o campo magnético fora deste solenóide de uma única espira seja desprezı́vel.) (b) Determine a indutância deste solenóide de uma única espira, desprezando as duas extensões planas. ✍ ⑧ ✏ Se a origem for escolhida como estando sobre o eixo do (a) Aplicando-se a lei de Ampère à parte tubular, tal fio à direita e medir a distância a partir deste eixo, a como feito no caso do solenóide, produz integração se estenderá desde até . Considere primeiramente o fio à direita. Na região de integração o campo que ele produz entra na página e . Divida a região em tiritem magnitude nhas de comprimento e largura , como indicado. O donde tiramos fluxo através da tirinha a uma distância do eixo do fio é e o fluxo através da região toda é ❁ ⑨❶✻ ⑩ ✕ ⑩ ☎✺✻ ☎ ✍❷❴ ♦ ▲ ⑦ ❘❙ ❁ ☎✺✕❵✒ ❤ ✻❽☎ ❘ ❙ ✘✍ ☞ ✙❆ ✿❂❁ ✕❁ ▲ ✻P☎ ❘ ❙ ✍ ✹ ⑦ ❁ ✕❊✟★☎✺✻ ▲ ✕ ❁ ✟★☎❹❘❂❙ ✍ ▲ ✯❂➁ ✕ ❁ ❹ ☎ ❘❂❙ ✍ ▲ ❱ ❵✕ ✒ ❤ ❤ ✹ ❆❾✿ ❋ ❿ ➁ ➀ ❁ ✙❆ ✿ ❝❡❞ ❳ (b) O fluxo é ✟ ✡ ☎❖✻❸✽✦☎❹❘ ❙ ✍ ✿ ✁ ❃ ✹ ⑦ ✠ ✝ ☛ ✟ ❺ ✡ ❨ ☎ ❻ ✂ ✍ Sabemos que ✝❑☎ ✭ , e, portanto, ✹ Como temos uma única espira, ✝t✟ ✡ ☎ ❘❂❙ ✍ ✿ ✁ ❃ ☎❖✂❻✍ ⑦ o que implica que ❁ ☎ ❤ ✂❋☎❼❘ ❙ ✿ ✁ ❃ ✹ ⑦ O outro fio produz o mesmo resultado, de modo que o fluxo total através do retângulo tracejado é ✟ ☎ ❆❋ ✟ ☎ ❂❘ ❙ ✍ ▲ ❱ ❵✕ ✒ ❤ ❤ ✹ Total ✿ ❝❡❞ ❳ Portanto, temos para a indutância total ✏ ✕➂✒ ❤ ✂❋☎ ✟ Total ✍ ☎ ❘ ✿ ❙ ▲ ❝♠❞ ❱ ❤ ❳ ✹ ✂ também pode ser encontrada indutância A combinando-se a lei da indução de Faraday e a Eq. 3311, de modo que P 33-8. Dois fios longos e paralelos, cada um com raio ❤ , cujos ✕ centros estão separados por uma distância , são per- ✒✔✂ ✕✛✛✕ ✚✍ ④ ☎ ✒ ❊✕ ✛✕✟ ✚ ✡ ✹ corridos por correntes iguais mas em sentidos opostos. O fluxo é calculado pela seguinte integral: Mostre que, desprezando o fluxo dentro dos próprios fios, a indutância para um comprimento deste par de fios é dada por: A área de integração para o fluxo é a área de uma espira formada por dois fios imaginários adicionados para conectar os dois fios dados, fechando o circuito. O compriVeja o Exemplo 31-3, pag. 188. (Sugestão: calcule o mento dos novos fios é muito pequeno comparado com o fluxo através de um retângulo que tem os fios como la- comprimento dos fios iniciais; assim, podemos ignorar a dos). contribuição daqueles. Então, o campo magnético é a ▲ ✂❋☎❼❘❂❙ ▲ ❵✕ ✒ ❤ ❤ ✹ ✿ ❝❡❞ ✟✡ ☎ ✛✕ ➃ ✹ ⑧ ❿ ♦ ✻ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 4 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 27 de Fevereiro de 2003, às 10:05 p.m. soma dos dois campos magnéticos dos fios iniciais. Note que os dois campos possuem o mesmo sentido (para E 33-11. dentro da página) e, portanto, segundo a Lei de Ampère (Eq. 17 do Cap. 31, pag. 191), temos: Um solenóide cilı́ndrico longo com espiras/cm tem um raio de cm. Suponha que o campo magnético que ele produz seja paralelo ao eixo do solenóide e uniforme em seu interior. (a) Qual é a sua indutância por não varia na direção paralela aos fios e, portanto, metro de comprimento? (b) Se a corrente variar a uma utilizamos um retângulo muito estreito de com- taxa de A/s, qual será a fem induzida por metro? para primento e largura ; escolhendo o sentido de (a) O “difı́cil” aqui é converter corretamente o para dentro da página (o mesmo sentido de ), temos: número de espiras: ❘ ✕❵❙ ✒ ✍ ✹ ✻ ❉✪ ❁ ✳ ☎ ❘ ❙ ✍ ❆❾✿❂❁ ♥ ❆✙✿✧✪ ❁ ✳ ✻ ❉✪ ❁ ✳ ❲✕ ✽ ✕❁ ▲ ✟☛✡ ☎ ✭✵✢✗✢ ✭✗✹ ❇ ✻ ✕✛✽ ✭❄ ✏ ✻ ❉✪ ❁ ✳ ▲ ✕ ❁➅➄➇➆❲➈ ✢ ❙ ❿ ☎ ❘ ❙ ✍ ▲ ✭ ✕❵✒ ✭ ✕ ❁ ❆❾✿ ✍ ❿➊➉ ✕❵❁✖✒ ♥ ❤ ❁✲➋ ☎ ❘❂❙ ▲ ❱ ❤ ✹ ❳ ✿ ❝♠❞ ◗ ☎ ✭✵✢✗✢ espiras/cm ☎ ✭✵✢✛✢ ☎ ✭✵✢ ❍ ✭✮✢✰✯ ❃ ✹ espiras/( espiras/m m) ✂ ☎ ✽✦☎ ▲ ☎ ❘ ❙ ◗❚❃ ✪ ✜ ✿ ✫✠✭✮✢ ✯✲✷ ✳ ✪ ✭✵✢ ❍ ✳ ❃♣✿✧✪ ✢❩✹ ✢❩✭✮❇✛✳ ❃ ✢❩✹❡✭ H/m ✹ Donde se conclui que ✕✰✟☛✡ ☎ ❘❂❙ ▲ ✛✕ ✍ ❵✕ ✒ ❤ ❖ ✕✛✍ ☎ ✂ ✕✗✚ ✛ ✕ ✚ ❱ ✕ ✗ ✚✹ ✿ ❡❝ ❞ ❤ ❳ (b) Desprezando o sinal, temos ✑ ☎ ✂ ✛✕✕✛✚✍ ☎ ✢❩✹❡✭ ▲ ▲ Portanto, sem levar em consideração o fluxo dentro do fio, encontramos: ✂ ☎ ❘❂❙ ▲ ❱ ✕❵✒ ❤ ❤ ✹ ❋ ✿➊❝♠❞ ❳ H/m ✫✠✭ ❄ A/s ☎ ✭✛✹ ❄ V/m ✹ E 33-12. A indutância de uma bobina compacta é tal que uma fem de mV é induzida quando a corrente varia a uma taxa de A/s. Uma corrente constante de A produz um E 33-9. Num dado instante, a corrente e a fem indu- fluxo magnético de Wb através de cada espira. (a) zida num indutor têm os sentidos indicados na Fig. 33- Calcule a indutância da bobina. (b) Quantas espiras tem 15. (a) A corrente está crescendo ou decrescendo? (b) a bobina? V e a taxa de variação da corrente é A fem vale kA/s; qual é o valor da indutância? (a) A menos do sinal, temos ❄ 1.2.2 Auto-Indução – (9/13) ✑ aumenta ✍ , a corrente ✍ deve estar decres✑ ☎❖✂❪✕✗✍✘☞❾✕✗✚ obtemos ✂❋☎ ✕✗✍✘✑ ☞❾✕✗✚ ☎ ✭✎➌ ☎ ❇❩✹ ✣✬✫✠✭✮✢ ✯✸❍ H ✹ ❆ ✹ ✤✾✫✴✭✵✢ ✱ (a) Como cendo. (b) De E 33-10. ✭❆ Um indutor de H transporta uma corrente constante de A. De que modo podemos gerar uma fem autoinduzida de V no indutor? ❆ ✜❲✢ ❘ ✣ ❆✤ ✏ ✭✎➌ ✏ ✤ ✂❸☎ ✕✗✍✘✑ ☞✙✕✛✚ ☎❹❄ ✴ ✫ ✭✵✢✰✯✲✱ V ☎ ✬❇ ✫✴✭✵✢ ✯■❍ H ✹ ✤ A/s (b) Da definição do fluxo concatenado obtemos ✝❑☎ ✟☛❻✂ ✡ ✍ ❑ ☎ ✪ ❇❻✫✴✭✵✢ ✯■❍ H✳ ✪ ✣ A✳ ☎ ✭ ❆ ✢ ✜✛✢✬✫✴✭✵✢ ✯✸➍ Wb espiras ✹ P 33-13. ✛❇ ✢ ☎✺✂✩✕✛✍✘☞✙✕✛✚ ✕✛✍✘☞✙✕✛✚ ✏ Como ✑ ☎✓✒✔✂ ✪ ✕✛✍✘☞✙✕✛✚ ✳ , basta fazer com que a corren- ✏ Use ✑ ✚ extraindo do gráfico dado. (a) Para ✢✬➎ ➎ ❆ ms: te varie a uma taxa de ✍ ✒ ✢❩✹ ✢ ✕✛✍ ☎ ✑ ☎ ❇✛✢ V ☎ ☎ ✂✬➏ ✚ ☎ ✜●✹ ❇ ❖ ☎ ✰ ➌ ✹ ✢ ✒ ✑ ✕✛✚ ✂ ✭ ❆ H ✤ A/s ✹ ✪➐❆ ✹ ✢ ✢●✹ ✢❲✳☛✫✠✭✮✢ ✯✲✱ ✭✗✹ ❇❈✫✠✭✮✢ ❍ V ✹ ➏ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 5 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS (b) Para ❆ ms ➎ ✚ ➎❬✤ ✍ ☎ ❬ ☎ ✂ ➏ ✑ ➏ ✚ ●✜ ✹ ❇ ✪ ✤✰✹ ✢ ✚ ★ ➎ ❇ (c) Para ✤ ms ➎ ✍ ✑ ☎❬✂✬➏➏ ✚ ☎ ✜●✹ ❇ ✪ ❩❇ ✹ ✢ ms: ☎✓✒ ❄ ✹❡✭➑✫✠✭✮✢ ✱ V ✹ ✤✒ ❩✹ ✢ ✒ ❊➌ ✹ ✢ ❆ ✹ ✢✛✳❪✫✠✭✮✢ ✯✲✱ 27 de Fevereiro de 2003, às 10:05 p.m. Desejamos determinar o valor de ✢●✹ ➤✛➤✗➤➥✑ ☞✙✁ . Isto significa ✚ para o qual ✍★☎ ✑ ❱✛✭ ✒❦➒ ✯■➔❉→↔➠ ➢ ❴ ❱✛✭ ✒ ✵✭ ✢❩✢✛✹❡✭ ✢ ❳ ✁ ✑ ☎ ✢●✹ ➤✛➤✗➤ ✁ ✑ ☎ ✁❖ ❳ ms: isto é ✒ ✢❩✹ ➤✗➤✛➤ ☎ ✭ ✒❦➒ ✸✯ ➔❉→↔➠ ➢ ✒ ✢●✹ ✢ ✤✰✹ ✢✛✳❪✤✰✫✠✹ ✢ ✭✮✢ ☎✓✒ ❆ ✹ ❄ ✫✠✭✮✢ ❍ V ✹ ✯✲✱ ou seja ➒ ✯■➔❉→↔➠ ➢ ☎ ✢❩✹ ✢✗✢●✭✗✹ Observe que o sinal das tensões reproduz a inclinação ➝ natural obtemos então, facildas curvas no gráfico dado, apesar de estarmos aqui ig- Calculando o logarı́tmo mente, norando o sinal negativo da fem induzida. ➝ ✒➦✚➡☞ ☎ ✪ ✢❩✹ ✢✗✢❩✭✎✳ ☎④✒ ❇●✹ ➤✛✢✗✣ ❴ ❝❡❞ ✚✧☎ ❇●✹ ➤✛✢✗✣ ➣ , que E 33-14. ou seja, é a resposta procurada. ➣ ✁➑✂ A corrente num circuito atinge um terço de seu vaE 33-16. lor de equilı́brio em ✤ segundos. Calcule a constante ✁➑✂ cai de ✭ A para ✭✮✢ mA no A corrente num circuito indutiva de tempo. a remoção da bateria do circuito. ✏ Nesta situação de carga, a corrente no circuito é de- primeiro✂❋segundo ☎ ✭✮✢ H, após ✁ calcule a resistência do circuito. Sendo terminada pela equação ✏ A corrente no circuito é dada por ✍✪✚✳ ☎ ❖ ✒ ➒ ✲✯ ➓✲➔❉→↔➣ ✹ ✁ ✑ ❱✗✭ ❦ ❳ ✙ ☞ ✁ ✚↕☎➛➙ O valor de equilı́brio, ✑ , “é atingido” em . Conseqüentemente, a equação que fornece a resposta do problema é ✒ ➒ ✸✯ ➜↔➓❚→↔➣ ❴ ✭ ✁✑ ☎ ❖ ✑ ❱❾✭ ❦ ✁ ❳ ❄ ou seja, Portanto, ✒ ✤✁ ☎ ✒ ✭ ④ ☎ ✒ ❩✢ ✹ ✜✛✢❲✤✗✤✰✹ ✂ ❱ ✛ ✭ ❡❝ ❞ ❄ ❳ ➝ ✂ ☎ ✤ ☎ ➣↕➞ ✁ ●✢ ✹ ✜❲✢✛✤✛✤ ✭ ❆ ✹ ❄✗❄ s ✹ 1.2.3 Circuitos ✁➑✂ – (14/28) ➝ E 33-15. Em termos da constante de tempo , quanto tempo ✁✄✂ ➣ devemos esperar para que a corrente num circuito cresça ficando a ✢●✹♠✭✙➟ do seu valor de equilı́brio? ✏ Usando a Eq. 33-18, obtemos: ✍➅☎ ✁❬ ✒ ➒ ✸✯ ➔❉→➡➠➡➢ ✹ ✑ ✛❱ ✭ ✴ ❳ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas ✍ ✪✚✳ ❖ ☎ ✍ ❙ ➒ ✯■➔❉→↔➠ ➢ ❴ ➝ ✍ ✚✧☎ ✢ ) e ✪ ☎✺✂☛☞❾✁ ✳ é onde ❙ é a corrente (no instante ➣ ➝ a constante de tempo indutiva. Desta equação obtemos ☎ ✒ ✍➩✚ ☞✙✍ ➣ ❙②➫ ☎ ✒ ❝❡❞➨➝ ➧ ☎ ✢●✹ ❆ ✭✎➌ s ✹ ✭s ☞ ✪ A✳ ✪ ✭ A✳ ➫ ✵ ✭ ✬ ✢ ✴ ✫ ✵ ✭ ✢ ✸ ✯ ✱ ✁✦☎✺✂☛❝❡☞❞➨➧ ☎ ✪ ✭✵✢ H✳ ☞ ✪ ✢❩✹ ❆ ✭✙➌ s✳ ☎ ✜✛❇❲➭ . Portanto ➣ E 33-17. Quanto tempo, após a remoção da bateria, a ✁✄ diferença ✂ (com de potencial através do resistor num circuito ✂❸☎ ❆ H, ✁✦☎ ❄ ➭ ) decai a ✭✮✢❲➟ de seu valor inicial? ✏ A corrente durante a descarga é controlada pela ✍ ✚ ☎➲➯ ➒ ✯✸➓✲➔❉→↔➣ ❴ sendo que, como sempre, a equação ✪ ✳ ✚ ☎t✁✠✍ ✪ ✚ ✳ . Por➓ diferença de potencial é dada por ➳ ✪ ✳ ➓ tanto, o problema consiste em determinar-se o onstante ✚ que satisfaz a condição ✢❩✹❡✭✌➳ ➓ ✪ ✢✛✳ ☎ ➳ ➓ ✪ ✚ ✳ ❴ ☎ ✑ ➒ ✯✲✱✘➔❉→ ❃ , de onde tiramos ou seja ✢❩✹❡✭❚✑ ☎ ✒ ❄ ✚➡☞ ❆ ● ✢ ♠ ✹ ✭ ❝♠❞ ✚➵☎ ✭✗✹❏✤✙✜ s ✹ Página 6 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS E 33-19. 27 de Fevereiro de 2003, às 10:05 p.m. ✏ Usando a regra das malhas obtemos Um solenóide de indutância igual a ❇●✹ ❄✶❘ H está ligado em série a um resistor de ✭✗✹ ❆ k ➭ . (a) Ligando-se uma bateria de ✭✵✜ V a esse par, quanto tempo levará para que ou seja ➝ a corrente através do resistor atinja ✣✛✢❲➟ de seu valor final? (b) Qual é a corrente através do resistor no instante ✚✧☎ ? ✑ ✛✕ ✍ ☎ ✍➽✁❈❴ ✑ ✒❦✂ ✕✛✚ ❖ ☎ ✂ ✕✛✗✕ ✚✍ ✍➽✁ ♥ ✂ ✕✛✕ ✚❚➾ ❄ ✤ ✚✘➚ ❅✪ ❄ ✤ ✚ ✳ ✁ ♥ ♥ ♥ ✪ ❇●✹ ✢❲✳ ✪ ✤✰✹ ✢✛✳ ✚ ♥ ✪❉❄ ♥ ✤ ✚ ✳ ✪ ✜●✹ ✢✛✳ ✪ ✜ ❆ ♥ ❆ ✢ ✳ V✹ ➣ ☎ ✏ (a) Se a bateria for ligada ao circuito no instante ✧✚ ☎ ✢ , a corrente num instante ✚ posterior é dada por ☎ ☎ ✍➅☎ ✁❬ ✑ ❱ ✭ ✒✴➒ ✯✸➔❉→➡➠ ➢ ❴ ➝ ❳ P 33-22. ❖ ☎ ✌ ✂ ✙ ☞ ✁ onde para achar o instante ✏ ✚ para o➣ qual ✍③☎ . ✢❩O✹ ✣✄problema ☞✑ ✙✁ . Istopede A equação que rege a tensão no indutor é significa termos ➪●➶❣☎ ✑ ➒ ✯■➔❀➹❅→➡➠➡➢ ❴ ✢❩✹ ✣ ☎ ✭ ✒❦➒ ✯■➔❉→↔➠ ➢ ✍⑤☎ ✭ ❴ ❆ ❴ ✹♣✹✵✹ ❴ ✣ , serve para indicar cononde o subı́ndice ou seja venientemente o instante de tempo que queremos consi➒ ✯■➔❉→↔➠ ➢ ☎ ✢❩✹ ❆ ✹ derar. Utilizando agora pontos da Tabela ✚✩☎ ✭ dois ✚➅☎ ❆ quaisquer ms e ms, vemos que: dada, por exemplo Portanto, ➝ ➝ s ➪ ☎ ➒ ❴ ➪ ☎ ➒ ❴ ✑ ✯■➔❅➘✘→➡➠ ➢ ✚➸☎ ✒ ✪ ✢❩✹ ❆ ✳ ☎ ✭✗✹ ❇✗✢✛➤ ☎ ✭✗✹ ❇✗✁ ✢✛➤ ✂ ❃ ✑ ✯■➔❀➴↔→↔➠ ➢ ➣ ➣ ❝♠❞ ou seja, que ☎ ✭✗✹ ➝ ❇✗✢✛➤❈✫➺❇●✹ ❄ ✫✴✭✵✢✰✯✲➍ H ☎ ✣●✹ ✜❊✤✾✫✠✭✮✢ ✯✸➻ s ✹ ➪ ☎❬➒✛➷ ✭✛✹ ❆ ✫✴✭✵✢ ✯✲✱ ➭ ✯■➔ ➴ ✯➨➬❀✯✸➔ ➘➽➮✃➱ →↔➠✘➢ ☎❖➒ ➬♠➔ ➘ ✯■➔ ➴↔➮ →↔➠✘➢ ✹ ➪ ❃s ✚✧☎ a corrente no circuito é (b) Para ➣ Portanto ➪ ☎ ✚➡s❪➝ ✒✴✚ ❴ ✍③☎ ✁ ✑ ✪ ✭ ✒✴➒ ✯ s ✳ ☎ ❱ ✭♣✜ V ✪ ✭ ✒❦➒ ✯ s ✳ ❃ ❃ ✭✛✹ ❆ ✫✴✭✵✢ ✱ ➭ ❳ ❝❡❞ ❱ ➪ s ❳ ➣ ☎ ➌✰✹ ❄ ➌➂✫✠✭✮✢ ✯✸✱ A ✹ ➝ obtemos que de onde ☎ ✚ s ➪ ✒✠☞❾✚ ➪ ❃ s ☎ ✭✗✹ ✢ ms ✒ ☞ ❆ ✹ ✢ ms ☎ ❄ ✹ ❇ ms ✹ ➣ E 33-20. ❝❡❞ ✪ ❃ ✳ ❝♠❞ ✪ ✭ ❄ ✹ ✣ ✭✮✣❩✹ ❆ ✳ ✏ (a) A indutância pedida é Agora, obter o valor de ✑ , basta usar o fato que ➪ ➶ ☎ ✑ ➒ para ✯■➔❀➹❅→➡➠➡➢ , substituindo-se nesta fórmula qualquer ✟ ✂❋☎ ✍ ☎❽❆ ❇❈✫✠✭✮✢✰✯✲✱ ☎ ✜●✹➼➌✾✫✴✭✵✢ ✯✲✱ H ✹ um dos pontos da Tabela. Por exemplo, usando-se o pri✤✰✹❏✤ meiro ponto da Tabela obtemos: s❷❐ ❐ ✚ (b) Isolando-se da Eq. (33-18), que dá o crescimento ✑ ☎✺➪✸s♣➒ ✯■➔❉→↔➠✘➢ ☎ ✪ ✭✮✣❩✹ ❆ ✳ ➒ ✯ ❙ →↔✱ ➍ ☎ ❆ ✜ V ✹ da corrente, temos ➝ Observe que na expressão acima usamos milisegundos ✍➽✁ ☎✓✒ ✂ ✍➽✁ ✚➸☎ ✒ ✒ ✒ como unidade de tempo, para abreviar os cálculos. ✁ ❝❡❞ ❱✛✭ ✑ ❳ ➣ ❝♠❞ ❱✛✭ ✑ ❳ É fácil conferir agora que a equação ☎ ✒ ✜■✹❏➌➂✫✴✭✵✢ ✯✲✱ ❱ ✭ ✒❼✪❅❆ ✹ ✤✛✳ ✪ ✢●✹❏➌✗✤✗✳ ➪ ➶ ☎ ❆ ✜ ➒ ✯■➔❀➹❉→♣➬♠✱ ❐ ➍✎❒ s ❙✵❮✗❰ ➮ Volts ✢●✹❏➌✗✤ ❝♠❞ ❇❩✹ ✢ ❳ ☎ ❆ ✹ ✜✬✫✴✭✵✢ ✯✲✱ s ✹ permite obter-se corretamente qualquer um dos outros pontos na Tabela. P 33-21. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P 33-23. Página 7 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS ✏ 27 de Fevereiro de 2003, às 10:05 p.m. ✍ s ✒✴✍ Para obter o resultado pedido, basta computar a deri- substituido por um pedaço de fio. A corrente em . A lei de Kirchhoff para as malhas fornece vada de ambos lados da Eq. (33-18): ✕ ✑ ✒✴➒ ✗✕ ✚ ➉ ✁ ❱ ✭ ✯✲➓✲➔❉→➡➣ ❳ ➋ ❛ ✂✑ ➒ ✯✸➓ ↔→ ➣ ☎ ❱ ✜❲✤❩✹ ✢ ➒ ❮❲Ï ➘❉Ð❅Ö ÑÓÑ✘Ò Ô Ï Ñ❷➘ÓÕ❾Ô ➴➐➘❉Ñ↔Ñ Õ❾❮✗➘❉❰ Ñ ❮✗❰ Ò ✤❾✢❩✹ ✢❈✫✠✭✮✢ ✯✲✱ ❳ ☎ ✭ ❆ ✹ ✢ A/s ✹ ✛✕ ✍ ☎ ✕✛✚ ☎ P 33-24. ✏ (a) Como a circunferência interna do toróide é ▲ ☎ ✙❆ ✿ ❤ ☎ ❾❆ ✿✧✪ ✭✵✢ cm✳ ☎ ❇ ❆ ✹ ✣ cm, de espiras do ✝×o☎ número toróide é aproximadamente ❇ ❆ ✹ ✣ cm☞ ✭✗✹ ✢ mm ☎ ❇ ❆ ✣ . Portanto, da Eq. (33-7), temos ✂ ☎ ❘ ❙ ✝ ❃✵❜ ❤ ❢ ❆✙✿ ❝❡❞ ☎ ✪ ✜ ✿ ✭✵✢ ✯✸✷ ✳ ✪ ❇ ❆ ✣✛✳ ❃ ✪ ✢●✹♠✭ ❆ ✒ ✢●✹♠✭✮✢✛✳ ✭ ❆ ❝❡❞ ✭✵✢ ❆❾✿ ☎ ❆ ✹ ➤✬✫✴✭✵✢ ✯✸❍ H ✹ ☎ (b) Como o comprimento total do fio é ▲ ☎ ✪ ❇ ❆ ☎ ✣❲✳ ✪ ✜❊✳ ✪➐❆ ✹ ✢✼✫❖✭✮✢✰✯ ❃ ✳ ☎ ✤❾✢ m, a resistência do fio é ✁❺ ✪ ✤✗➝✢ m✳ ✪ ✢❩✹ ✢ ❆ ➭ /m✳ ✭✮➭ . Portanto, ☎ ✁✂ ☎ ❆ ✹ ➤❈✫✴✭✵✢❩✯■❍ ☎ ❆ ✹ ➤✬✫✴✭✵✢ ✯■❍ s ✹ ➣ ✭ ❃ ✁ ✱ ✒✴✍ s ✁ s ✒✠✍ ✁ ☎ ❴ ✒✑ ✠✍ s ✁ ✑ s ✒ ✪ ✍ s ✒✴✍ ❃ ✳ ✁ ❃ ☎ ✢❩✢ ✹ ❃ ✱ é Portanto ✍s ☎ ☎ ✍ ☎ ❃ ☎ ✁ ✁ ✁ s ✁ ✑ ✪ ✁ ❃ s ♥✁ ✱ ✳ ✁ ✁ ❃ ♥ ✭✵✢✛✢✾✫ ✪❅✱ ❆ ♥✢ ❃❄ ✢✛✳ ✱ ☎ ❴ ✭✵✢✬✫ ❆ ✢ ♥ ✭✵✁ ✢✬✫ ❄ ♥ ✢ ♥ ❆ ✢✬✫ ❄ ✢ ✜■✹ ✤✛✤ A ✁✶s➇✁ ✁✶✑ s♣✁ ✱ ✁ ✁ ❃ ♥ ✭✵✢✗✢❈✱ ✫ ♥ ❄ ✢ ❃ ✱ ☎ ✭✵✢✬✫ ❆ ✢ ♥ ✭✵✢✬✫ ❄ ✢ ♥ ❆ ✢✬✫ ❄ ✢ ❆ ✹❏➌ ❄ A ✹ (c) Neste caso a malha do lado esquerdo está aberta. Como a indutância desta malha é nula, a corrente nela cai imediatamente para zero quando a chave é aberta. Ou . A corrente em varia lentamente apeseja, nas pois existe um indutor nesta malha. Imediatamente após a chave ser aberta a corrente tem o mesmo valor que tinha no momento anterior ao fechamento da chave. Este valor é A= A. A corrente em é idêntica à corrente em , A. (d) Nesta situação não existem mais fontes de fem no circuito de modo que eventualmente todas correntes terão decaido para zero. ✍s ☎ ✢ ✁ ✱ ✜●✹❏✤✗✤ ✒ ❆ ✹➼➌ ❄ ✁ ✭✛✹ ✣ ❆ ✱ ✛✭ ✹ ✣ ❆ ✁ ❃ P 33-26. ☎ ✭✮✢ ✁ s ☎ ✑ ✁ ☎ ✂ ❬ ☎ P 33-25. ✤ ☎ ✭✵✢✛✢ V, ✁✶s✶☎ ✭✮✢➑➭ , ✁ ☎ ❆ ✢✶➭ , ➑✤ ➭ ❃ Ù ✮✭ ✢✶➭ Na Figura 33-17, ✑ Ù ✁ ☎ ❄ ✢Ø➭ e ✂❑☎ ❆ H. Determine os valores ❃ de ➩✍ s ✍✱ ✍✘s ✁➑s e (a) imediatamente após o fechamento da chave Ù ; ✍ ✁ ✍ ❃ (b) muito tempo depois do fechamento de Ù ; (c) ime✁ ❃ ❃ diatamente após Ù ser aberta outra vez; (d) muito tempo ✂ ✛ ✕ ✍ ❾ ☞ ✗ ✕ ✚ ❃ depois da abertura de Ù . ❃ ✏ (a) O indutor impede um crescimento rápido da cor- ✏ (I) Chave Ù acaba de ser fechada: neste instante a rente através dele, de modo que imediatamente após a reação do indutor à variação da corrente (que era nula) ☎ chave Ù ser fechada a corrente no indutor é zero ( cir- é máxima, atuando de modo a tentar manter a corrente cuito aberto). Isto significa que (nula) naquele ramo. Portanto: ✍ s ☎❬✍③☎ ✑ ☞❾✁ s ☎ ✭✵✢ ☞ ✤ ☎ ❆ A ✹ (a) ✍ s ☎✥✍ ☎ ✁ s ✑ ✁ ☎ ✭✵✢✛✢ V ☎ ❄ ✹ ❄✗❄ A ✹ (b) ✍ ☎ ✢ , pois no instante em que a chave é fechada o ❃ ❃ indutor se opõe ao máximo à passagem de corrente. ♥ ❃ ✭✵✢✶➭ ♥ ❆ ✢✶➭ ③ ✍ ☎❖✍✘s➦☎ (b) Muito tempo depois do fechamento do circuito a cor- (c) ➪ ☎✥✍ ✁ ❆ A☎ ✹ ✢✬✫ ❴ ❆ ☎ ✢ V ✹ rente através do indutor atinge o valor de equilı́brio e (d) ➪ ❃ ☎ ❃ ☎ ❃ ✑ ➯ ➣ ☎ s ✭✵❙ ✢ ☎ V oposta a ✑ . praticamente não mais se altera. A fem através do in- (e) ➶ ➣ Ú ☎ ➴ dutor é zero e ele comporta-se como se estivesse sido (f) ➔➀ ➣ ➜ ❆ A/s ✹ ➀ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 8 No circuito mostrado na Fig. 33-18, V, e H. Considere as situações: (I) a chave acaba de ser fechada e (II) a chave ficou fechada durante muito tempo. Calcule para estas duas situações: (a) a corrente através de , (b) a corrente através de , (c) a corrente através da chave, (d) a diferença de potencial através de , (e) a diferença de . potencial através de , (f) LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 27 de Fevereiro de 2003, às 10:05 p.m. ✍ ❖ ☎ ✍s ❃ ➒ ✒ ➒ ✸✯ ➓✲➔❉→↔➣ ❴ ✯✲➓✲➔❉→↔➣ ☎ ✭ ✴ Ù (II) Um longo tempo após o fechamento da chave o in- (b) Quando , dutor estará carregado, pronto para reagir caso apareça . Entretanto, enquanto não houver algum variação de corrente através do indutor ele se comporta de modo que como um curto circuito, ou seja, não reage à passagem da corrente. ou seja, (a) A (b) A/s e A (c) A (d) V 1.2.4 Energia Armazenada num Campo Magnético (e) V – (29/37) (f) A/s ✕✗✍ ✙☞ ✕✛✚❸☎ Û ✢ ❃ ✍ s ☎❑➯ ☎ ❆ ✹ ✕✗✍ ☞❾✕✗➓ ✚➅☎ ✢ ✍ ☎×➯ ☎ ss ❙❙ ☎ ✭ ✹ ✍⑤☎❖❃ ✍➩s ✍ ☎ ❄ ✹ ❃ ➓❂➴ ➪ ☎❖✍ ♥ ✁ ❃ ☎ ☎ ➪ ➶ ❃ ☎④✒✔❃ ✂ ❃ ➶ ➴ ☎ ✭✶✢✫✴✭✵✢ ✹ ✭✮✢ ✹ ➣ ➴ ☎ ✢ ➀ ✹➔ ➀ ➀➀ ➔ P 33-28 Ü . No circuito mostrado na Fig. 33-20, a chave Ù é fecha✚✶☎ ✢ . A partir desse momento, a fonte da no instante de corrente constante, através da✍ variação da sua fem, mantém uma corrente constante saindo de seu termi- nal superior. (a) Deduza uma expressão para a corrente através do indutor em função do tempo. (b) Mostre que a corrente através do resistor é igual à corrente através . do indutor no instante ✚➅☎ ✪ ☛✂ ☞❾✁ ✳ ❆ ❝♠❞ ✍ ✏ ✍s ✚➅☎ ✁✂ ❆ ✹ ❝❡❞ ➒ ✯✸➓✲➔❉→↔➣ ☎ ✭ ❴ ❆ E 33-29. ❆✤ A energia armazenada num certo indutor é mJ quando a corrente é mA. (a) Calcular a indutância. (b) Que corrente é necessária para a energia magnética armazenada ser quatro vezes maior? ❇✗✢ ✡ ☎ s ✂✩✍ ❃ ☎ ❆ ✤ mJ, obtemos facilmente Þ❋ ❃ ✂Ý☎❽❆ Þ✍ ✡ ☎ß❆ ✫ ❆ ✤✾✫✴✭✵✢✰✯✲✱ ☎ ✭ ❄ ✹ ✣✗➤ H ✹ ✪ ❇✬✫✠✭✮✢ ✯✲✱ ✳ ❃ ❃ ✡ ☎ ✜✰Þ ✡✺☎ ✭✵✢✛✢ mJ, precisa(b) Para que tenhamos Þ➑à ✏ (a) Como (a) Suponha que flui da esquerda para a direita através da chave fechada. Chame de a corrente no mos de uma corrente igual a resistor, suposta fluindo para baixo. A lei dos nós forenquanto que a lei das malhas dá nece . De acordo com a lei dos nós, uma vez que A mA pois é constante, encontramos que . Substituindo este resultado na equação obE 33-31. tida pela lei das malhas segue Uma bobina com uma indutância de H e uma resistência de é subitamente ligada a uma bateria de resistência desprezı́vel com Volts. (a) Qual será a corrente de equilı́brio? (b) Que quantidade de Esta equação é semelhante à dada na secção 33-4, um energia estará armazenada no campo magnético quando pouco antes da Eq. 33-20, e sua solução é a Eq. 33-20: esta corrente for atingida? ✍ ☎➲✍ s ✍ Ý ✍ s ✁✺✒✴✂ ✪ ✕✛✍ ☞✙✕✛♥ ✚ ✳ ❃☎ ✢ ❃ ✍ ✢✒ ✕✛✍ ☞❾✕✗✚ ✪ ❃ ✳ ✂ ✕✗✕✛✍ ✚ s ✘✍ s✸✁❺☎ ✢❩✹ ♥ ✍❙ ✍s ❬ ☎ ✍ ❙ ➒ ✯✸➓✲➔❉→↔➣ ❴ ✕✛✍✘☞✙✕✛✚✴☎ ✕✗✍✘s♣☞❾✕✗✚➊☎ ✭✮✢â➭ ✚➥☎ ✢ onde é a corrente através do resistor em , imediatamente após a chave ser fechada. Imediatamente após o fechamento da chave o indutor age de modo a evitar o rápido crescimento da corrente na malha que o e contém, de modo que naquele instante temos . Portanto , de modo que ✍ s ☎❬✍ e ✍ ❙ ☎❬✍ ✍ s ☎❬✍③➒ ✯✸➓✲➔❉→↔➣ ✍③☎Pá ❆ Þ ✂ ✡ à ☎ á ❆ ✴ ✫ ✭✵✢✛✢✾✫✴✭✵✢ ✯✸✱ ✭ ❄ ✹ ✣✗➤ ☎ ✢❩✹❡✭ ❆ ☎ ✭ ❆ ✢ ✹ ✍ ☎ ✢ ❃ ✍ ❖ ☎ ✍➨✒✴✍ s ❖ ☎ ✍ ✭❦ ✒ ➒ ✸✯ ➓✲➔❉→↔➣ ✹ ❃ ➉ ➋ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas ✏ (a) (b) ✑ ☎ ✭✵✢✛✢ ❆ ✍③☎ ✑ ✙☞ ✁❺☎ ✭✮✢ A ✹ Þ ✡ ☎ ❆✭ ✧✂ ✍ ❃ ☎ ✪ ✢❩✹❏✤✗✳ ✪➐❆ ✳ ✪ ✭✵✢❲✳ ❃ ☎ ✭✵✢✗✢ J ✹ E 33-32. ❆ Uma bobina com uma indutância de H e uma resistência de é subitamente ligada a uma bateria de V. Após s de resistência desprezı́vel com a ligação ter sido feita, quais são as taxas com que (a) a energia está sendo armazenada no campo magnético, ✭✵✢➑➭ ✑ ☎ ✭✮✢✗✢ ✢●✹♠✭ Página 9 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 27 de Fevereiro de 2003, às 10:05 p.m. (b) a energia térmica está aparecendo e (c) a energia está A corrente que obedece a condição inicial é sendo fornecida pela bateria? ✏ Durante a carga, a corrente é controlada pela equação ✍ ✪✚✳ ☎ ✥ ✒ ➒ ✸✯ ➓✲➔❉→↔➣ ☎ ✵✭ ✢ ❱ ✭ ❦ ✒ ➒ ✸✯ ➜➡➔ ✹ ✁✑ ❱ ✭ ❦ ❳ ❳ (a) Þ ✡ ✪✚✳ ☎ ✭✂ ❆ ☎ ✵✭ ✢✗✢ ☎ ✭✵✢✗✢ ✍✚ ➧ ✪ ✳➫❃ ❱ ✭ ✒❦➒ ✯✸➜➡➔ ❳ ❃ s ❱ ✭ ✒ ❆ ➒ ✯✲➜✘➔ ♥ ➒ ✯ ❙ ➔ ❳ ✹ ✍➅☎ ✁❖ ✑ ❱ ✭ ✒✴➒ ✯✲➓✲➔❉→➡➣ ✹ ❳ ✺ ☎ Ý ✂ ✗ ✕ ✘ ✍ ❾ ☞ ✗ ✕ ✚ ➝ Como sabemos que ✑ podemos re-escrever ➣ acima, já ,tendo a primeira das equações eliminado o fa✍ ☎ tor comum aos dois membros e lembrando que ✂✌☞✙✁ , como ➣ ✁✺✍è☎ ✂ ✕✛✕✛✚✍ ✁ ✁❫ ✑ ❱ ✭ ✒❦➒ ✯✲➓✲➔❉→↔➣ ☎ ✂ ❱ ✒ ✁ ✑ ❱ ✒✔✂ ✁ ➒ ✯✸➓✲➔❉→↔➣ ❳ ❳ ❳ ✭ ✒❦➒ ✯✲➓✲➔❉→↔➣ ☎☎ ➒ ✯✲➒ ➓✲➔❉→↔➣ ❆ ➝ ✚ ✯✸➔❉→↔➠ ➢ ✭ ✭ ☎ ✒ ✹ ❝♠❞ ❱ ❆➨❳ ➣ Conseqüentemente,➝ ✚➸☎ ✒ ✭ ➣ ❝❡❞ ❱ ❆➨❳ ☎ ✒ ❄ ➌➂✫ ✪ ✒ ✢❩✹ ❇✗➤ ❄ ✭✮✳ ☎ ❆ ✤✰✹ ❇ ms ✹ ✕Þ✡ ✕✛✚Pää ① ❙ ❐ s ➔ ☎ ✭✵✢✛✢③❱❾✭✵ä ✢ ➒ ✯✸➜✙❒ ❙ ❐ s ✒ ✭✮✢ ➒ ✯ s ❙ ❒ ❙ ❐ s ❳ ❥ ❆❾❄ ✣❩✹ ❇✛✤✰✭ J/s ✹ (b) A potência dissipada pela resistência em qualquer ✚ ã ✪ ✚ ✳ ☎ ✍ ✪ ✚ ✳ ➫ ❃ ✁ e, portanto, instante é ➓ ➧ P 33-34. ã ✪ ✚➅☎ ✢❩✹❡✭✮✳ ☎ ❱✛✭✵✢➅åæ✭ ✒❦➒ ✯✸➜✙❒ ❙ ❐ s➡ç ❃ ✫✠✭✮✢ ➓ ❳ Uma bobina está ligada em série com um resistor de ✭✮✢ k ➭ . Quando uma bateria de ✤❾✢ V é ligada ao circuito, ❥ ✭✮✤✙✜■✹ ✣●✭✵✣ W ✹ a corrente atinge o valor de ❆ mA após ✤ ms. (a) Determine a indutância da bobina. (b) Que quantidade de (c) A potência fornecida pela bateria em qualquer ins✚ ã ✧ ✚ ☎ ✚ ☎ ✍ ✚ energia está armazenada na bobina neste momento? ✪ ✳ ✑ ✪ ✳ . No instante ✢●✹♠✭ s temos tante é ✚✩☎ ✢ , a corren✏ Se a bateria é aplicada no instante ã ✪ ✚✩☎ ✢❩✹❡✭✮✳ ☎ ✑ ✁Ú❃ ❱❾✭ ✒❦➒ ✯✸➜✙❒ ❙ ❐ s ❥ ❄ ➤ ❄ ✹ ✜✛❇✛➤ J/s ✹ te é(a)dada por ❳ ✍➅☎ ✁ ✑ ❱ ✭ ✒❦➒ ✯■➔❉→↔➠ ➢ ❴ ➝ Tendo calculado este três valores, podemos verificar se ã ã ❬ ☎ ã ❳ existe ou não conservação da energia: ✹ ➓ ☎ ♥ ✁ ☎❖✂☛☞✙✁ Verificamos que realmente existe: ✭✎✤✙✜■✹ ✣●✭✵✣ ❆✗❄ ✣❩✹ ❇✛✤❩✭ onde ✑ é a fem da bateria, é a resistência e ♥ ➣ ❄ ➤ ❄ ✹ ✜✛❇✛➤ . é a constante de tempo indutiva. Portanto ➒ ✯✸➔❉→➡➠ ➢ ☎ ✭ ✒ ✍❲✁ P 33-33. ✑ Suponha que a constante de tempo indutiva para o cir➝✚ cuito da Fig. 33-6 seja de ❄ ➌ ✚➥ms e que a corrente no donde sai ☎ ✒ ☎ ✭ ✒ ✍❊✁ ✹ ✢ . Em que instante a circuito seja zero no instante ❝❡❞ ➉ ✑❺➋ taxa de dissipação de energia no resistor é igual à taxa ➣ com que a energia está sendo armazenada no indutor? Numericamente temos ✏ Dizer-se que a dissipação no resitor é igual à taxa de ✍❲✁ ☎ ✒ ❱ ✭ ✒ ✪❅❆ ✫✴✭✵✢❩✯✸✱✮✤❾✳ ✢ ✪ ✭✮✢✬✫✠✭✮✢✗✱♣✳ ❳ armazenamento de energia no indutor equivale a dizer- ❝♠❞ ❱ ✭ ❳ ❡ ❝ ❞ ✑ se que ✁❬✍ ❃ ☎ ✑ ✍ ✹ ☎ ✒ ✢❩✹❏✤✰✭✮✢✗✣ ❴ ➣ ã campo ☎ s bat bat campo http://www.if.ufrgs.br/ jgallas bat Página 10 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS ➝ 27 de Fevereiro de 2003, às 10:05 p.m. ☎é✚➡☞ ✢❩✹❏✤✰✭✮✢✗✣ ☎ ✪ ✤ê✫❖✭✮✢✰✯✸✱ ✳ ☞ ●✢ ✹ ✤❩✭✵✢✗✣ ☎ fazendo com que a constante de tempo indutiva seja 1.2.5 Densidade de Energia de um Campo s dada por Magnético – (38/46) s e, finalmente, ➤❩✹➼➌✙➤❈✫✴✭✵✢❩✯✸➣ ✱➝ ✂❋☎❖✁ ➣ ☎ ✪ ➤●✹❏➌❾➤✾✫✴✭✵✢ ✯✸✱ s✳ ✪ ✭✵✢✬✫✴✭✵✢ ✱ ➭➦✳ ☎ ➤❲➌✰✹ ➤ H ✹ (b) A energia armazenada na bobina é Þ ✡❋☎ ❆✭ ✩✂ ✍ ❃ ☎ ✭ ❆ ✪ ➤❊➌❊✹ ➤✛✳ ✪❅❆ ✫✴✭✵✢ ✯✲✱ ✳ ❃ ☎ ✭✗✹ ➤✗❇❈✫✴✭✵✢ ✯✸❍ J ✹ E 33-38. ✣❲✤ Um solenóide tem um comprimento de cm e secção transversal de área igual a cm . Existem espiras de fio transportando uma corrente de A. (a) Calcule a densidade de energia do campo magnético no interior do solenóide. (b) Determine, nessa região, a energia total armazenada no campo magnético. (Despreze os efeitos das extremidades.) ✭✙➌ ✏ ❃ ❇●✹ ❇ ➤✛✤❾✢ ✻ í ✡ ☎î✻ ❃ ☞ ✪❅❆❾❘ ❙ ✳ ✻ï☎ ❘ ❙ ◗ ✍ ◗✍ s ◗ ☎ ✪ ➤❲✤❾✢✛✳ ☞ ✪ ✢❩✹ ✣✛✤ ✳ ☎ ✭✗✹❡✭✗✭✵✣➥✫❯✭✮✢✗✱ ✯ ✹ (a) Em qualquer ponto, a densidade de energia magnética é dada por , onde é a magnitude do campo magnético naquele ponto. Dentro , onde é o numero de espiras do solenóide P 33-37. por unidade de comprimento e é a corrente. No prem m A Prove que, quando a chave da Fig. 33-5 é girada da sente caso, posição para a posição , toda energia armazenada no densidade de energia magnética é indutor aparece como energia térmica no resistor. ❤ ❢ Ù í ✡ ☎ ❆✭ ❘ ❙ ◗ ❃ ✍ ❃ ❤ Suponha que a chave tenha estado na posição por um tempo longo, de modo que a corrente tenha atingido ☎ ✭ ✪ ✜ ✿ ✫✴✭✵✢ ✯✸✷ ✳ ✪ ✭✛✹♠✭✛✭✵✣❈✫✠✭✮✢ ✱ ✳ ❃✛✪ ❇❩✹ ❇✛✳ ❃ ✍ ❙ . A energia armazenada no inseu valor ✡✥ de☎❺ equilı́brio ❆ ✂✩✍ ❙❃ ☞ ❆ . Então, no instante ✚✌☎ ✢ , a chave dutor é Þ ☎ ❄ ✜●✹ ❆ J/m✱✗✹ é colocada na posição . A partir de então a corrente é ❢ dada por (b) Como o campo magnético é uniforme dentro de um ➝ ✍➅☎❬✍ ❙ ➒ ✯■➔❉→↔➠✘➢ ❴ ✡ ☎ solenóide ideal, a energia total armazenada é Þ ➝ ✡í ➪ , onde ➪ é o volume do solenóide. ➪ é igual ao onde ➣ é a constante de tempo indutiva, dada por ☎❖✂✌☞✙✁ . A taxa com a qual a energia térmica é gera- produto da secção transversal pelo comprimento. Por➣da no resistor tanto é ✡ ☎ ✪❅❄ ✜●✹ ❆ ✳ ✪ ✭✙➌❵✫✴✭✵✢ ✯■❍ ✳ ✪ ✢●✹ ✣❲✤✗✳ ☎ ✜■✹ ➤✗✜❻✫✠✭✮✢ ✯ ❃ J ✹ Þ❋ ã✓☎❬✍ ❃ ✁❺☎❬✍ ❙❃ ✁✠➒ ✯ ❃ ➔❉→↔➠ ➢ ✹ ✏ Durante um perı́odo longo de tempo a energia dissipada E 33-39. é Um indutor toroidal de mH delimita um volume de m . Se a densidade média de energia no toróide for J/m , qual será a corrente que circula no indutor de toroidal? ë ☎ ã✴✕✗✚×☎ ✍ ❙❃ ✁ ➒ ✯ ❃ ➔❉→↔➠ ➢ ✕✛✚ ➝ ❿❋❙ ì ❿❙ì ❋ ☎ ✒ ✭ ✍ ❙❃ ➝ ✁ ➒ ✯ ❃ ➔❉→↔➠✘➢ ä ää ❙ì ❆ ➣ ☎ ✍ ✁ ✭ ➝ ❆ ❙❃ ➣ ✹ ☎❖✂☛☞❾✁ Substituindo-se ➣ ë nesta expressão tem-se ☎ ✭ ✂✩✍ ❙❃ ❴ ❆ ✡ que é idêntica à energia Þ originalmente armazenada ➤✛✢ ✢●✹ ✢ ❆ ✱ ➌✙✢ ✱ ✏ A energia magnética armazenada no toróide pode ✡q☎➛✂✧✍ ❃ ☞ ❆ ou ser✡ escrita de dois modos distintos: Þ ✡ ✡ ☎ ➪ Þ ➪ í , onde í é a densidade média de energia e o volume. Portanto, igualando as duas expressões obtemos ✍⑤☎ á ❆ í ✂ ✡ ➪ no indutor. ☎ ð ❆❩✪ ➌✙✢ ✮✱ ✳ ✪ ✢❩✹ ✢ ❆ m✱✮✳ ➤✛✢❈✫✠✭✮✢ ✯✸✱ H ☎ ❩✤ ✹ ✤✗✣ A ✹ J/m P 33-44. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 11 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS (a) Determine uma expressão para a densidade de energia em função da distância radial para o toróide do Exemplo 33-1. (b) Integrando a densidade de energia por todo o volume do toróide, calcule a energia total armazenada no toróide; suponha A. (c) Usando a Eq. 33-24, calcule a energia armazenada no toróide diretamente da indutância e compare o resultado com o do item (b). ✍❪☎ ✢❩✹❏✤ 27 de Fevereiro de 2003, às 10:05 p.m. 1.2.6 Indutância Mútua – (47/53) E 33-47. ✭ ❆ Duas bobinas estão em posições fixas. Quando na bobina não há corrente e na bobina existe uma corrente que cresce numa taxa constante de A/s, a fem na bobina vale mV. (a) Qual é a indutância mútua destas (a) A densidade de energia é dada pela Eq. 33-26, bobinas? (b) Quando não há corrente na bobina e a A, qual é , sendo o campo magnético de um bobina é percorrida por uma corrente de ? o fluxo através da bobina . Portanto toróide dado pela Eq. 31-22: (a) A indutância mútua é dada por ✭ ❆✤ ✭✮✤ ✏✡ ➸ ❆ ☎ ✻ ☞ ❄ ✭ ✹ ❇ í ❃ ✪➐❆✙❘ ❙ ✳ ✻P☎ ❘ ❙ ✍➽✝❻☞ ❆✙✿❂❁ ❆ ✏ ô ✡í ☎ ✻ ❃ ☎✆✪❉❘ ❙ ✍➽✝❯☞ ❆❾✿❂❁ ✳ ❃ ☎❼❘ ❙ ✍ ❃ ✝ ❃ ✹ ✕✛✍ ❆✙❘❂❙ ❆✙❘❂❙ ✣✿ ❃❁❃ ✑ s ☎ ô ✕✗✚ ❃ ❴ ✡④☎òñ í ✡✓✕❲➪ sobre o volume onde ✑ s é a fem na bobina ✭ devida à corrente que está (b) Calcule a integral Þ do toróide. Considere como elemento de volume o vo- variando na bobina ❆ . Portanto, lume compreendido dois toróides coaxiais de raios ☎ ✕✗✍ ✑ ❾☞ ✕✗✚ ☎ß❆ ✤✾✫✠✭✮✢✰✯✸✱ ☎ ✭✗✹ ❇❲➌➂✫✴✭✵✢ ✯✲✱ H ✹ ❁ e ❁ ♥ ✕ ❁ , com seusentre eixos coincidindo com o eixo do ❲ ✕ t ➪ ☎ ✕ ô ❆✙✿❂❁ ❜ ❁ , de toróide dado. Neste caso temos então ✭✮✤ ❃ modo que (b) O fluxo concatenado na bobina ❆ é ✡Þ ☎ í ✡Ý✕❲➪ ✝ ✟ s ☎ ô ✍ s ☎ ✪ ✭✗✹ ❇❲➌➂✫✴✭✵✢ ✯✸✱ ✳ ✪❉❄ ✹ ❇❲✳ ❿ ✍✝ ❃ ❃ ☎ ❘❂❙ ❃ ❃ ❆✙✿❂❁ ❜ ✕ ❁ ☎ ❇❩✹ ✢❩✭➑✫✠✭✮✢ ✯✲✱ Wb ✹ ❿❋➁ ó ✣ ✿ ❃ ❁ ❃ ☎ ✭ ❘ ❙ ✍ ❃ ✝ ❃ ❜ ❱❣❤❢ ✹ ❝❡❞ ❳ ✜✿ P 33-49. Explicitamente, Duas bobinas estão ligadas conforme a Fig. 33✂ s e ✂ . mostra 21. Suas indutâncias valem O coeficiente de ❃ mútua é ô . (a) Mostre que a combinação Þ ✡ ☎ ✪ ✜ ✿ ✫✠✭✮✢ ✯✸✷ ✳ ✪ ✢●✹ ✤✛✳ ❃ ✜ ✪ ✿ ✭ ❆ ✤❾✢❲✳ ❃ ✪ ✭ ❄ ✫✴✭✵✢ ✯✲✱ ✳ ✫ indutância pode ser substituı́da por uma única bobina de indutância equivalente dada por ✛ ➤ ✤ ✫ ❝♠❞ ❱ ✤ ❆❚❳ ✂ ☎❖✂ s ✂ ❆ ô❺✹ ☎ ❄ ✹ ✢✛❇✾✫✴✭✵✢ ✯■❍ J ✹ ♥ ❃♥ (b) Como as bobinas da Fig. 33-21 deveriam ser ligadas para que a indutância equivalente fosse dada por ✂ (c) A indutância é fornecida pela Eq. 33-7: ✂ ☎❖✂✌s ✂ ✒ ❆ ô❺✹ ♥ ❃ ✂❸☎❹❘ ❙ ✝ ❃✵❜ ❱ ❤❢ ✹ ❆✙✿ ❝♠❞ ❳ (Este problema é uma extensão do Problema 5, tendo eq eq ✡Þ ☎ ✭ ✂✩✍ ❃ ☎ ❘❂❙ ✝ ❃ ✍ ❃✵❜ ❱ ❤❢ ✹ ❆ ✜ ✿ ❡❝ ❞ ❳ Portanto, usando a Eq. 33-24, temos sido eliminada a exigência de que a distância entre as bobinas deveria ser muito grande.) ✏ (a)✛✕ ✍➩☞❾Suponha que a corrente esteja variando a uma ta✕✗✚ e calcule a fem total através de ambas bobixa nas. Considere primeiro a bobina à esquerda. O campo Como não poderia deixar de ser, esta expressão é magnético devido à corrente nesta bobina aponta para idêntica a encontrada na parte (b). a esquerda. Também para a esquerda aponta o campo magnético devido à corrente na bobina . Quando ❆ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 12 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 27 de Fevereiro de 2003, às 10:05 p.m. ✁ s a corrente aumenta ambos os campos aumentam e am- unidade de comprimento do solenóide ❆ . é o raio dos ✁ bas variações no fluxo contribuem com fem na mesma solenóide interno. Explique por que ô depende de ✁ mas não depende de , o raio do solenóide externo. direção. Portanto a fem na bobina ✭ é ❃ ✍ ✕✛✍ ✏ Assuma que a corrente no solenóide ✭ é e calcule s✑ ☎✓✒ ✪ ✂ s ④ ✗ ✕ ✚ ô ✳ ✹ o fluxo concatenado no solenóide ❆ . A indução mútua ♥ ✍ é igual a este fluxo dividido por . O campo magnético O campo magnético na bobina ❆ devido à corrente nela dentro do solenóide ✭ é paralelo ao eixo e tem magnitu✻❨☎ ❘ ❙ ✍ ◗ s uniforme, onde ◗ s é o número de espiras aponta para a esquerda, como também o faz o campo na de bobina ❆ devido à corrente na bobina ✭ . As duas fontes por unidade de comprimento do solenóide. A área da ✁ s de fem estão novamente na mesma direção e a fem na seção reta do solenóide é ✿ ❃ e, como o campo é perbobina ❆ é ✛ ✕ ✍ pendicular a uma seção reta, o fluxo através da seção ✑ ❃ ☎✓✒ ✪ ✂ ❃ ♥ ô④✳ ✕✗✚ ✹ reta é ✟★☎❬✽➥✻❨☎ ✿ ✁ ❃s ❘❂❙♣◗ s②✍ ✹ A fem total através de ambas bobinas é ✕✛✍ Como o campo magnético é nulo fora do solenóide, este ☎ s ④ ☎ ✒ ✌ ✂ s ✂ ✪ ❆ ✑ ✑ ♥ ✑❃ ④ ô ✳ ✛ ✕ ✰ ✚ ✹ é também o valor do fluxo através de uma seção do so♥ ❃ ♥ lenóide ❆ . O número num comprimento ▲ do ☎ ◗ de▲ eespiras Esta é exatamente a mesma fem que seria produzida se solenóide ❆ é ✝ o fluxo concatenado é ❃ ❃ as bobinas fossem substituidas uma única bobina ✂ ☎❬ ✂ s ✂ por ✝ ✟õ☎ ◗ ▲ ✿ ✁ ❃s ❘ ❙ ◗ s ✍ ✹ ❆ . com indutância ô ❃ ❃ ♥ ❃ ♥ (b) Reverta os terminais da bobina ❆ de modo que a corrente entre pela parte de trás da bobina em vez de en- A indutância mútua é, portanto, trar pela frente como mostrado no diagrama. Neste caso ☎ ✝ ✍❃ ✟ ☎ ✿ ✁ ❃s ▲ ❘ ❙ ◗ s ◗ ✹ ô o campo produzido pela bobina ❆ no local onde está a ❃ ✁ bobina ✭ opõe-se ao campo gerado pela bobina ✭ . Os ô não depende de ❃ porque não existe campo ✁ fluxos tem sinais opostos. Uma corrente crescente na magnético na região entre os solenóides. Mudando ❃ bobina ✭ tende a aumentar o fluxo nela mas uma cornão se altera o fluxo através do solenóide ❆ ; mas mudans ✁ rente crescente na bobina ❆ tende a diminui-lo. A fem do , o fluxo altera-se. através da bobina ✭ é ✏ Usando a Eq. 33-33, ö ☎❨✒ ô ✕✗✍ s ☞❾✕✗✚ . O fluxo entre s✑ ☎✓✒ ✪ ✂ s ✒ ô④✳ ✕✗✕✛✚✍ ✹ ❃ o solenóide de dentro e o de fora é: ✟ s ☎ Analogamente, a fem na bobina ❆ é ⑧ s ♦ ✕❲➃ ✛ ✕ ✍ ❃ ❿ ✻ s é o campo gerado pela corrente ✍ s do solenóide ✑ ❃ ☎✓✒ ✪ ✂ ❃ ✒ ô④✳ ✕✗✚ ✹ onde de dentro e a integral é sobre a✻✶área transvers✬☎ da❘❂❙♣seção s②✍➩s dentro A fem total através de ambas bobinas é agora ◗ sal do solenóide de fora. Mas do ✛ ✕ ✍ ✭ solenóide e zero do lado de fora. Assim, não existe ✑ ☎ ✑ s ♥ ✑ ❃ ☎④✒ ✪ ✂ s ♥ ✂ ❃ ✒ ❆ ô④✳ ✕✛✚ ✹ contribuição para a integral na área entre os solenóides (e, portanto, o tamanho do solenóide ❆ não importa); Esta é exatamente a mesma fem que seria produzida se eq as bobinas fossem substituidas uma única bobina ✂ ☎❬ ✂ s ✂ ✒ por ❆ô . com indutância eq ❃ ♥ P 33-52. então, ✟ s ❖ ☎ ✻ s ✪❉✿ ✁ ❃ ✳ ☎ ❘ ❙ ◗ s ✿ ✁ ❃s ✍ s ✹ ❃ Como existem ◗ ▲ espiras no solenóide ❆ num compri❃ mento ▲ , segundo a Lei de Indução de Faraday, podemos A Fig. 33-24 mostra, em seção transversal, dois soescrever a seguinte relação: lenóides coaxiais. Mostre que o coeficiente de indutância mútua ô para um comprimento ▲ desta ✕❊✟ s combinação solenóide-solenóide é dado por ö ☎t✒ ◗ ▲ ✕✗✚ ❃ ☎✓✒ ◗ ▲ ❘ s ô ☎ ✿ ✁ s❃ ▲ ❘ ❙ ◗ s ◗ ❃ ❴ onde ◗ é o número de espiras por unidade de comprimento do solenóide ✭ e ◗ é o número de espiras por ❃ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas ❃ ❃ ❃ ✕✛✍ s ❙ ◗ s ✿ ✁ ❃s ✗✕ ✚ ☎t✒ ô ✕✛✍ s ✕✛✚ ✹ Portanto, comparando os coeficientes, obtemos ô ☎ ❘ ❙ ◗ s ◗ ❃ ✿ ✁ ❃s ▲ ✹ Página 13