OPERACIONES FUNDAMENTALES

ESPACIOS VECTORIALES Espacio euclidiano o Espacio vectorial:

Un espacio euclidiano es el conjunto de n-adas ordenadas, tambien conocido por espacio n-dimencional y de denota por Rn este es una sucesión de n números reales ejemplo (a1,a2,...,an) donde los vectores Rn se clasifican así: R1 = espacio unidimensional, línea recta real. R2 = espacio bidimensional, pares ordenados. R3 = espacio tridimensional, terna ordenadas. ....... Rn = espacio n-dimencional, n-adas ordenadas. Operaciones Basicas con Vectores en R2: Suma de vectores y multiplicación por un escalar: Siendo X y Y dos vectores y H un escalar se dice que: X + Y = (x1 , x2) + (y1 , y2) = (y1 , y2) + (x1 , x2) y la multiplicación por un escalar se define H(x1 , x2)=(Hx1 , Hx2). Las propiedades que cumple la suma de vectores son las misma que cumplían las estructuras algebraica de una operación que son: la de cierre, la conmutativa, la asociativa, elemento neutro e identidad y la distributiva. Las leyes que cumple la multiplicación por un escalar son: La de cierre bajo la multiplicación Hx, La distributiva (H+I)x = Hx + Ix ; H(x + y) = Hx + Hy, La asociativa (HI)x = H(Ix), y el elemento neutro de la multiplicación 1x = x. Operaciones Básicas con Vectores en Rn: Las operaciones básicas con vectores en Rn son las mismas que las operaciones básicas que vimos anteriormente, o sea, la suma de vectores y la multiplicación por un escalar la diferencia seria que en estos serian n-esimos elementos y n-esimos vectores ejemplo: Para suma de vectores X + Y = (x1 , x2, ... , xn) + (y1 , y2, ... , yn). Para multiplicación de un vector por un escalar H(x1 , x2, ... , xn) = (Hx1 , Hx2, ... , Hxn). Las propiedades que cumplen son las mismas que vimos en operaciones básicas con vectores en R2. El vector cero "0" es el vector neutro o identidad de la suma de vectores en Rn: 0 = (0, 0, 0, ..., 0n), este vector tiene como propiedad de que es único, es decir, U + 0 = 0, 0U = 0, a0 = 0, aU = 0 si a = 0 o U = 0, donde "U" es un vector y "a" un escalar. Espacios Vectoriales: Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectores que cumple las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar dichas propiedades vistas en espacios n-dimensiónales Rn o R2. Un espacio vectorial es un espacio no vacío. Podríamos decir que un espacio vectorial es la abstracción de las propiedades de un espacio ndimencional , debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial no se especifica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector y cualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siempre cumpliendo todos las propiedades, siempre seria un espacio vectorial. Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores, un conjunto de escalares, y dos operaciones. Estos forman un cuerpo que es igual a las estructuras algebraicas de dos operaciones <conjunto, operación ,operación> (un cuerpo). Para comprobar que determinado conjunto es un espacio vectorial es preciso definir o especificar las propiedades de suma multiplicación por un escalar como vimos anteriormente tenemos que definir el elemento que actúa como cero (0) y el negado de cada elemento. Cuerpo: Es el conjunto de números y operaciones cualquiera que deben obedecer las diez propiedades algebraicas que mencionamos en operaciones básicas de espacios vectoriales. Sub cuerpo: Si se operan escalares en forma de sub cuerpo C y se operan bajo la suma y la multiplicación por un escalar estos escalares no deben salirse del sub espacio determinado y las operaciones de prueba son las mismas que se han mencionado con anterioridad.

Sub espacio vectorial:

Esto dice que si W es un sub conjunto del espacio vectorial V entonces este es un sub espacio de V. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Para que W sea un sub espacio de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma y la multiplicación por un escalar también debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicación por un escalar. Combinación Lineal: Se denomina combinación lineal a u vector V en un espacio vectorial U u un cuerpo h. Si los vectores v1, v2, v3, ..., vn en u si V puede expresarse como: V = c1v1 + c2v2 + c3v3 +... + cnvn donde c son escalares del cuerpo h. Envolvente Lineal: Este es el conjunto de todas las combinaciones lineales semejantes denotado por Lin(v1, v2, ..., vn) y se denomina envolvente lineal de u1, u2, ...,un. Siendo S un sub conjunto de un espacio vectorial V entonces Lin S es un sub conjunto de un espacio vectorial V y si W es un subconjunto de V que contiene a S, necesariamente Lin S es complemento de W.

Conjuntos Generadores:

Si todo vector es un espacio vectorial puede ser expresado como combinación lineal como lo vimos anteriormente entonces se dice que la combinación lineal es un conjunto generador de un espacio vectorial.. En otras palabras si u1, u2, ..., un generan u entonces u pertenecen a V si existen escalares c tal que: V = c1u1 + c2v2 + ... + cnun entonces V es una combinación lineal de u1, u2, ..., u3 .

Espacio fila y Espacio Columna de una Matriz:

Si A es una matriz m x n en un cuerpo K cualquiera, las filas de A pueden ser vistas como vectores de Kn llamado espacio fila de U denotado por f -Lin A. Así haciendo la matriz transpuesta esto quiere decir que si las columnas las hacemos vectores de Km estos generan un sub espacio de Km llamado espacio columna de A denotado c-Lin A. Si hacemos operaciones elementales entre fila a A y obtenemos una matriz B podemos decir que B es que cada fila de B es una combinación lineal de cada fila de A por lo que el espacio fila de B esta contenido al espacio fila de A y así viceversa, o sea, si efectuamos operaciones entre fila a B obtenemos A y esto seria convención lineal de cada fila de B, esto cumple ciertos teoremas y propiedades:  Las matrices equivalentes por filas tienen el mismo espacio fila.

 Dos matrices en forma canónica por fila tienen el mismo espacio fila si estos tienen las mismas filas no nulas.  Toda matriz es equivalente por fila a una matriz única en forma canónica por filas.

Conjuntos Generadores e Independencia Lineal:

Si todo vector puede expresarse como combinación lineal de vectores en un conjunto S entonces el conjunto S es un conjunto de un espacio vectorial. Dependencia e Independencia Lineal: Para que un vector tenga dependencia lineal este debe tener una solución no trivial esto quiere decir que la combinación lineal denotado así: c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 , ósea que tiene una solución única. Para comprobar la independencia Lineal. Sea S = {v1, v2, ..., vn } un conjunto de vectores en un espacio vectorial V entonces partiremos de la ecuación vectorial c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 (que es la misma que combinación lineal don de c son escalares) se escribe un sistema homogéneo de ecuaciones lineales en variable c1, c2, ..., ck . después se hace Gauss-Jordán a la matriz aumentada para diagonal izarla si la solución de la diagonalizacion tiene solamente solución trivial c1, c2, c3 entonces S es linealmente independiente. Si un conjunto S={v1, v2, ..., v3}, k>=2 es linealmente dependiente si solo si por lo menos uno de los vectores vj puede expresarse como una combinación lineal de los demás vectores S.

Base y Dimension:

En un conjunto S={v1 ,v2, ..., vk} es un espacio vectorial V este se denomina Base si cumple que si es espacio vectorial tiene una base con un numero finito de vectores entonces V es de dimensión finita y en caso contrario es de dimensión infinita. Base y Dependencia Lineal: Si un conjunto finito S={ v1 , v2, ..., vn } es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto que contiene mas de n vectores de V es linealmente dependiente.

Numero de Vectores de una Base:

Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n vectores.

Dimensión de un Espacio Vectorial:

Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensión de esa base y se denota dim(V) = n. Teóricamente la dimensión se determina al hallar el conjunto de vectores linealmente independientes que genera el sub espacio, este conjunto es una base del sub-espacio y la dimensión del mismo es el numero de vectores que hay en la base. Para ver que una base en un espacio n-dimensional: Siendo V su espacio vectorial y n = n entonces S = { v1, v2,... ,vn } en un conjunto de vectores linealmente independientes en V, entonces S es una base de V. Ejemplo: si S = { v1, v2, ..., vn } genera a V, entonces S es una base de V Rango de una matriz y sistema de ecuaciones lineales: Sea una matriz Am x n = entonces sus n-adas corresponden a las Filas de la matriz, ejemplo: (a11, a12, ..., a1n), (a21, a22, ..., a2n), ..., (am1,am2, ..., amn) estas series son los vectores fila de A y los vectores columnas de A corresponden a las columnas de la matriz ejemplo: (a11, a21, ..., am1), (a12, a22, ..., am2), ..., (a1n, a2n, ..., amn). El espacio fila y el espacio columna son sub-espacios de Rn generado por los vectores fila y espacio columna de A. Veremos a continuación que los espacios fila y espacio columna comparten muchas propiedades veremos primero el espacio fila, considerando que dos matrices son equivalentes por fila si la segunda matriz se obtiene por operaciones elementales entre fila esta tienen el mismo espacio fila, también hay que considerar que la matriz no se modifica sus columnas por las operaciones elementales entre filas, pero si pueden modificar sus filas.

Si la matriz equivalente B esta en forma escalonada entonces esta constituye un conjunto independiente. Y la base para el espacio fila de una matriz: si la matriz A es igual en fila a la matriz B entonces en esta ultima los vectores fila B son diferentes de cero esta forma una base para el espacio fila. Si A es una matriz m x n entonces el espacio renglón y el espacio columna son iguales. Para poder resolver la ecuación lineal utilizaremos la notación matricial Ax = B que se utiliza para representar ecuaciones lineales. = la solución de éste sistema nos permite ver el conjunto solución, esta solución se escribe como n-adas y se denomina: vectores solución para un sistema homogéneo se utiliza la notación matricial Ax = 0 es un espacio Rn esta solución se denomina espacio solución del sistema también se llama espacio nulo de a. La dimensión de este sistema se denomina nulidad de A. Para la dimensión de un sistema homogéneo (Ax = 0) en una matriz A m x n y su rango r entonces la dimensión seria n-r (nulidad -rango) = n. Un sistema homogéneo Ax = 0 es un sub-espacio y un sistema no homogéneo Ax = 0 es un sub-espacio y un sistema no homogéneo Ax = B donde B " 0 este no es sub-espacio ya que el vector cero no es solucion. Si Xp es una solución particular del sistema homogéneo entonces todo el sistema se expresa como X = Xp + Xn donde Xh seria la solución del sistema homogéneo Ax = 0. Para ver el numero de soluciones de las ecuaciones lineales se tomara en cuenta tres reglas:  Si rango (A) = rango [A | B] = n entonces el sistema tiene solución única esto quiere decir si el rango de la solución de la matriz A es igual al del rango de la matriz aumentada en B es igual a n entonces tiene una única solución.  Si el rango (A) = rango [A | B]<n tiene esta soluciones infinitas.  Si el rango (A) = rango [A | B] entonces el sistema no tiene soluciones. Para las ecuaciones lineales con matrices cuadradas: Si A es una matriz n x n cumple las siguientes condiciones:  A es invertible.  Ax = b si tiene una solución única para la matriz bn x 1.  Ax = 0 tiene solución trivial.  A es equivalente por renglones a 1n.  El determinante de A (|A|) " 0.  Rango (A) = n  Los n vectores fila de A son linealmente independientes.  Los n vectores columna de A son linealmente independientes.

Coordenadas y cambio de base:

Siendo B={ v1, v2, ..., vn} una base de un espacio vectorial y x un vector en V que representándose como combinación lineal ( x = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn ) siendo los escalares c. Se denomina como coordenadas x con respecto B en el vector Rn denotado así xB = ( c1, c2, ..., cn ). Cambio de base. Partiendo de una base B a una base B' se tiene que hacer una multiplicación por una matriz p-1 y esta la obtenemos sacando la inversa de la base B esto seria P-1 y multiplicando P-1 por B obtenemos B' y viserversa.

Aplicación de los espacios vectoriales:

 Secciones cónicas y rotación de ejes: Toda cónica esta dada por ax2 + by2 + cxy + dx + cy + f = 0 donde c de xy = 0 cuando sus ejes son paralelos al plano. Si la ecuación tiene c en xy " 0 se necesita sacar x' y y'. El ángulo de rotaciones debe sacar con la formula Cot 2 = (a-c)/b rotando los polos en sentido antihorario en esta forma la base standard ya vista en temas  Ecuaciones diferenciales Lineales: Una ecuación diferencial de orden n se denota yn + gn-1 (x) yn-1 + ... + g1 (x) y' + g0 (x) y = f(x) donde g1, g2, ..., gn dominios comunes. Si f(x) = 0 esta función se le denomina como función homogénea en caso contraria es una función no homogénea. Se denomina solución de la ecuación diferencial lineal si la solución satisface cuando "y" y sus n primeras derivadas se sustituyen en la ecuación. Toda ecuación diferencial lineal homogénea de orden n tienen solucion linealmente independiente si {y1, y2, ..., yn } tienen solucion linealmente independiente entonces la solución seria : y = c1y1 + c2y2 + ... + cnyn esta es la solucion general donde c es un numero real. Sea {y1, y2, ..., yn } un conjunto de funciones estas poseen n-1 derivadas en el intervalo I. El determinante w es el llamado wroskiano del conjunto de funciones dadas. Para probar el que una ecuación diferencial es linealmente independiente se puede hacer por wroskiano. Este se hace si el wroskiano es diferente de cero (w " 0).

ESPACIO CON PRODUCTO INTERNO:

La longitud (norma) de un vector de Rn es V = (v1, v2, ..., vn ) esta dada por: ________________ ||V|| =" v12 + v22 + ... + vn2 esta no puede ser negativa si el vector v = 1 este se llama vector unitario dos vectores U y V en Rn son paralelos si al vector V es múltiplo del vector U, es decir, si U = cV si c > 0 los vectores van a la misma dirección y si c < 0 van en dirección opuesta, la longitud de un múltiplo escalar se ve por la formula || cV || = | c | || V || donde | c | es el valor absoluto de c y c es un escalar. El vector unitario de V es si V " 0 entonces U = V / ||V|| es de longitud uno y tiene la misma dirección de U+V se llama vector unitario en dirección de V este proceso se llama normalización del vector V. La distancia entre dos puntos se llama normalización del vector V. ___________________ d =" (u1 -v1 )2+ (u2 -v2 )2 y la distancia entre dos vectores en R2 se encuentra . ___________________ d(U,V) = || U -V || =" (u1 -v1 )2+ (u2 -v2 )2 donde U = (u1 -u2 ) y V = (v1 -v2 ). Las propiedades que cumple la distancia son:

Para encontrar el ángulo entre dos vectores distintos de cero usamos la formula: Cos = (u1v1 + u2v2) / ||U|| ||V|| donde U = ( u1, u2 ) y V = ( v1 , v2 ) y donde u1v1 + u2v2 se denota como producto punto de dos vectores. El producto punto para Rn se denota U % V = u1v1 + u2v2 + ... + unvn las propiedades que cumple son : Un producto punto es un producto interno Euclidiano esto es un producto interno que se puede definir en R2. para poder diferenciar el producto interior de otros posibles productos internos lo escribiremos esto será el producto general para el espacio vectorial V. Para solucionar un producto interno se procede igual que al definir un espacio vectorial en el acho de que debe cumplir con varios axiomas para poder calificar como producto interno estos axiomas son: Siendo U, V, W vectores en V y c cualquier escalar:  =  = + o = +  c =  " 0 y = 0 si solo si v = 0  = = 0 Para definir la norma, distancia, ángulo de dos vectores que tenga producto interno: siendo U, V vectores en V:

" . Dos vectores con producto interno son ortogonales si = 0. El vector unitario de un vector con producto interno || U || = 1 el vector unitario en dirección de V donde U = V / || V || donde V " 0. Para ver si U y V son vectores en el espacio con producto interno deben cumplir con las propiedades de norma:  || U || " 0.  || U || = 0 si solo si U = 0.  || cU || = | c | || U ||. Y las propiedades de la distancia antes ya mencionadas. Además cumplen con la desigualdad de Gauchy -Schawarz, desigualdad del triangulo y el teorema de Pitágoras antes yya explicadas. Proyecciones ortogonales en espacios con producto interno: Si U y V son vectores en el plano y V es diferente de 0 entonces este se puede proyectar ortogonalmente a U y se denota como

La proyección ortogonal y distancia:

Siendo U y V dos vectores en el espacio V con producto interno y V " 0. Entonces la distancia d ( U, proyv ) < d ( U, cV ) donde c " / . Definición de conjuntos ortonormales y conjuntos ortogonales: En un conjunto de vectores S de el espacio vectorial V es producto interno es ortogonal si cada vector de y seria espacio ortonormal si cada vector S es unitario. Es ortonormal si < vi, vj > = 0 i " j y || vj || = 1 donde i = 1, 2, 3, ..., n y es ortonormal si < vi, vj > = 0 i " j donde vi, vj pertenecen al conjunto s = { v1, v2, ..., vn } Un conjunto ortogonal es linealmente independiente si s es un conjunto de vectores diferentes de cero y que pertenecen al espacio v con producto interno. Proceso para ortonormalizar de Gram -Schmidt:  Ver si la base tiene producto interno (como ya lo vimos).  Convertir la base a una base ortogonal. Sea B = { v1, v2, ..., vn } w1 = v1 w2 = v2 -proyw1 v2 wn = vn -proyw1 v3 -… -proyw(n-1) vn B' = { w1, w2, ..., wn }  y para ortonormalizar ui = wi / ||wi|| donde I = 1, 2, ..., n. Donde B'' = { u1, u2, ..., un } es un abase ortonormal. Aplicación de los espacios con producto interno: Producto cruz de dos vectores en el espacio: Donde U = (u1, u2, ..., un ) V = (v1, v2, ..., vn ) U x V = por el método de cofactores = i + j + k . las propiedades del producto cruz:

Aproximación por mínimos cuadrados: Siendo f y g dos funciones en x y funciones continuas en un intervalo finito [ a, b ] entonces. I = 2 dx siendo I = 0 si ( f -g ) ! 0 esto se puede representar como : = 2 dx siendo I = 2 dx = = || f -g || 2 esto significa que es equivalente minimizar || f -g || 2 y || f -g ||. La aproximación de minimos cuadrados esta dada por: g = w1 +w2 + ... + wn siendo w1 = w1 donde b = {w1, w2, w3,} TRANSFORMACIONES LINEALES: Notación standard de la transformada lineal es: V se denomina de T. Si v pertenece a V y w esta en W, T(v) = w donde w será la imagen de v bajo T, el conjunto de todas las imágenes se llama contradominio de T y el conjunto de v de V tales que T(v) = w se llama preimagen de w. La definición de transformación lineal es que todo espacio vectorial en V y W se puede hacer transformación lineal si cumplen con los axiomas de la distribución bajo la suma ( T(U + V) = T( U ) + T ( v )) y la multiplicación por un escalar (T(cU)= cT(u)). Cumpliendo con lo anterior la transformada lineal tiene sus propiedades que son :

.. + cnvn entonces v = c1 T(v1)+ c2 T(v2)+ ... + cn T(vn). Para definir una transformacion lineal por una matriz esta se notara así: siendo a la matriz m x n la funcion T se definirá T(v) = Av que suna transformación lineal de Rn en Rm . El núcleo se puede encontrar definiendo la transformada así. T(v) = 0 esto también se denomina como Kernel de T y se denota Ker (T) para que sea núcleo esta debe cumplir que Ax = 0. La dimensión del núcleo se llama nulidad y la dimensión del contradominio de T se llama rango (si A = matriz entonces el rango de T va ser = rango de A). Dimensión del dominio = dimensión del rango + dimensión del núcleo. Las transformaciones lineales puede ser uno a uno que son aquellas que la preimagen de W consta de un solo vector, o sea, será uno a uno para toda u y v en V, T(u) = T(v), también hay que tomar en cuenta que ker(T) = 0. También las transformadas lineales puede ser sobre si y solo si el rango de T es igual a la dimensión de W. Y un transformación lineal es biyectiba si es uno a uno y sobre. Existencia de una transformación inversa: Sea T: Rn ! Rn una transformada de una matriz standard. Debe cumplir las siguientes condiciones: T es invertible T es un isomorfismo A es invertible Si T es invertible con matriz standard A, entonces la matriz standard de T-1 es A-1. Un caso especial seria cuando V 0 W y B = B', don de la matriz A que se denomina matriz de T con respecto a la base B. En este caso la matriz de la transformación identidad es simplemente In. La matriz de transición de un transformada lineal depende del espacio V. Las matriz de transición T con respecto a la base B es diferente a la matriz T con respecto a otra base B'. A' = P-1AP Donde a es la matriz de T con respecto a B, A' es la matriz T con respecto a B', P es la matriz de transición de B' a B, P-1 es la matriz de transición B a B' C o n c l u c i o n e s Después de haber realizado a plenitud este trabajo se han relacionado todos los temas que se han visto en el transcurso del ciclo de la materia de Álgebra Lineal Se han visto mas detallado y con mas exactitud los teoremas y propiedades que hilan todos los temas propuestos por este trabajo y se ha se ha llegado a la conclusión de todos los temas están relacionados en cierta forma ya que en varios de estos se necesita recurrir a las propiedades que se han visto en temas anteriores. Con esto podríamos decir que nos ha enseñado a tener un amplio criterio de la utilidad de temas ya vistos en nuestra carrera, ya que no podemos omitir las enseñanzas pasadas ya que estas nos forman las bases para comprender y analizar y poder poner en practica los temas futuros. Este trabajo se ha hecho con el fin de comprender de que no hay que dejar tirado lo ye hemos aprendido antes ya que eso nos va a ayudar a solucionar problemas en nuestro futuro, citando el dicho popular si no aprendemos de nuestros errores del pasado los mismo nos estarán esperando en un futuro.

Operaciones de vectores

Suma de vectores Una suma de vectores se puede hacer de dos maneras, sumando por componentes o por un método gráfico.

Suma de vectores por componentes

Para hacer una suma de vectores por componentes necesitamos saber las componentes en "x" y en "y" de cada vector, y ¿cómo obtener las componentes de un vector?

Suma de vectores por el método del paralelogramo

Una suma de vectores por este método se realiza trazando los dos vectores desde el mismo origen y formar un paralelogramo trazando líneas paralelas a los vectores, la resultante es la diagonal que se traza desde el origen.