PERTEMUAN 1: BUNGA SEDERHANA & BUNGA MAJEMUK

Modul Matematika Bisnis PERTEMUAN 1: BUNGA SEDERHANA & BUNGA MAJEMUK A. TUJUAN PEMBELAJARAN Dalam bab ini akan dibahas mengenai bunga tunggal dan bunga majemuk, serta diberikan cara perhitungan berdasarkan rumus aljabar yang sesuai dengan topik-topik bahasan pada setiap pokok bahasan. Setelah mempelajari materi pertemuan ini, diharapkan mahasiswa mampu: 1.1 Menghitung dengan konsep bunga tunggal/bunga sederhana 1.2 Menghitung dengan konsep bunga majemuk B. URAIAN MATERI Tujuan Pembelajaran 1.1: Menghitung dengan konsep bunga sederhana Penerapan model bunga sederhana merupakan bagian dari aplikasi ekonomi untuk baris dan deret. Apabila seseorang melakukan investasi dan menerima bunga setiap tahun, maka untuk setiap tahun akan menerima sejumlah uang tertentu dalam jumlah yang sama dari bunga yang diberikan tersebut. Konsep dasar model bunga mengukur nilai waktu dari uang (time value of money). Maksudnya, apabila seseorang memiliki sejumlah uang tertentu dan mengalokasikan uang tersebut pada bank tertentu, maka jumlah uang yang dimiliki orang tersebut akan berbeda antara nilai sekarang dan nilai di masa yang akan datang. Hal ini terjadi karena terdapat sejumlah bunga yang diberikan oleh pihak bank terhadap terhadap dana yang ditanamkan tersebut. Bunga merupakan suatu balas jasa yang dibayarkan bilamana kita menggunakan uang. Jika kita meminjam uang dari bank maka kita membayar bunga kepada pihak bank tersebut. Jika kita menginvestasikan uang berupa tabungan atau deposito di bank maka bank membayar bunga kepada kita. 1 Modul Matematika Bisnis Bunga dilihat dari satu pihak merupakan pendapatan tetapi di lain pihak merupakan biaya. Di pihak yang meminjamkan merupakan pendapatan, sedang di pihak yang meminjam merupakan biaya. Jumlah uang yang dipinjamkan atau diinvestasikan di bank disebut modal awal atau pinjaman pokok(principal). Misalkan kita berinvestasi P rupiah dengan suku bunga tahunan i, maka pendapatan bunga pada akhir tahun pertama adalah Pi. Sehingga nilai akumulasi tahun pertama adalah P + Pi. Pada akhir tahun kedua adalah P+P(2i). Pada akhir tahun ketiga adalah P + P(3i). Demikian seterusnya sampai pada akhir tahun ke n nilai akumulasinya adalah P+P(ni). Jadi pendapatan hanya didapatkan dari modal awal saja setiap akhir periode, sehingga nilai dari pendapatan bunga berjumlah tetap setiap tahun. Pendapatan bunga menurut metode ini disebut dengan bunga sederhana (simple interst). Pendapatan bunga dapat dinyatakan dengan rumus: I = P.i.n Untuk memperoleh nilai dari modal awal yang terakumulasi pada akhir tahun ke-n (Fn) dapat dihitung dengan cara, modal awal (P) ditambah dengan semua pendapatan bunga selama periode waktu (n). Dapat dinyatakan dengan rumus berikut: Fn = P + P.i.n Fn = P. (1 + i.n) Dimana: I = Jumlah pendapatan bunga P = Pinjaman pokok atau Modal awal/Nilai saat ini (Principal) i = tingkat bunga tahunan n = periode/waktu Fn = Nilai pada masa ke-n (Future value) Dalam transaksi bisnis dan keuangan, kita juga perlu memperkirakan nilai sekarang dari suatu nilai masa dating pada jumlah uang tertentu. Jika 2 Modul Matematika Bisnis nilai dari masa yang akan dating (Fn), tingkat bunga (i), dan jangka waktu (n) telah diketahui, maka rumus untuk memperoleh nilai saat ini (P) adalah: P= �� (�+�. ) Contoh 1: Hitunglah pendapatan bunga sederhana dan nilai yang terakumulasi dimasa datang dari jumlah uang Rp. 5.000.000 yang disimpan di bank selama 5 tahun dengan bunga 12% per tahun! Penyelesaian: Diketahui: P = Rp. 5.000.000; n = 5; i = 0,12 Ditnyakan: I dan F5 Jawab: I = Rp. 5.000.000 (5)(0,12) = Rp. Rp. 3.000.000 F5 = Rp. 5.000.000 . (1 + 0,12(5)) = Rp. 8.000.000 Contoh 2: Adi mempunyai hutang yang setelah 8 bulan besarnya menjadi Rp. 2.280.000. perhitungan beban bunga berdasarkan sistem bunga sederhana sebesar 21% per tahun. Tentukan besarnya nilai pokok pinjaman Adi! Penyelesaian: Diketahui: F2/3 = Rp. 2.280.000; n = 8 bln = 2/3 thn; i = 0,21 Ditanyakan: P Jawab: P= Rp .2.280 .000 ( 1+0,21 2 3 ) = Rp. 2.000.000 Cara menggunakan kalkulator scientific untuk perhitungan di atas: Tekan 2280000 : : ( 1 : + : 0 : , : 2 : 1 : x : 2 : : : 3 : ) : = : Contoh 3: Sebuah modal sebesar Rp. 5,000,000 disimpan di bank dengan sistem bunga sederhana. Setelah 3 tahun kemudian menjadi sebesar Rp. 7.250.000. berapa persen besarnya bunga yang dikenakan terhadap modal tersebut? 3 Modul Matematika Bisnis Penyelesaian: Diketahui: P= Rp. 5.000.000; F3= Rp. 7.250.000; n= 3 Fn = P. (1 + i.n) Rp. 6.000.000 = Rp. 5.000.000 .(1 +3i) 1 +3i = 7.250 .000 5.000 .000 1 +3i = 1,45 3i = 1,45 – 1 3i = 0,45 i = 0,45 : 3 = 0,15 = 15% Contoh 4: Modal sebesar Rp. 2.000.000 ditabung di bank dengan bunga sederhana sebesar 15%. Setelah beberapa tahun modal tersebut menjadi sebesar Rp. 5.000.000. Berapa tahunkah lamanya modal tersebut ditabung di bank? Penyelesaian: Diketahui: P= Rp. 2.000.000; i= 0,15; Fn= Rp. 5.000.000 Fn = P. (1 + i.n) Rp. 5.000.000 = Rp. 2.000.000 .(1 + 0,15n) 1 + 0,15n = 5.000 .000 2.000 .000 1 + 0,15n = 2,5 0,15n = 2,5 – 1 0,15n = 1,5 n = 1,5 : 0,15 = 10 tahun Tujuan Pembelajaran 1.2: Menghitung dengan konsep bunga majemuk Model bunga majemuk juga merupakan penerapan bagian dari aplikasi ekonomi untuk baris dan deret. Pada model bunga majemuk, bunga yang dihitung diakumulasikan. 4 Modul Matematika Bisnis Misalkan suatu investasi dari P rupiah pada tingkat bunga i per tahun, maka pendapatan bunga pada tahun pertama adalah Pi, selanjutnya nilai investasi ini pada akhir tahun pertama akan menjadi P + Pi = P (1 + i) Hasil dari P(1+i) dianggap sebagai modal awal pada permulaan tahun kedua dan pendapatan bunga yang diperoleh adalah P(1+i)i. Sehingga hasil nilai investasi pada akhir tahun kedua adalah P(1+i) + P(1+i)I = P+Pi+Pi+Pii = P(1+2i+i2) = P(1+i)2 Selanjutnya hasil dari P(1+i)2 dianggap sebagai modal awal pada permulaan tahun ketiga dan pendapatan bunga yang diperoleh P(1+i) 2i, Sehingga total investasi tahun ketiga adalah P(1+i) 2 + P(1+i)2i = P(1+i)2(1+i) =P(1+i)3 Demikian seterusnya sampai pada tahun ke-n sehingga rumusnya adalah Fn = P.(1+i)n Dimana Fn = Nilai masa datang P = Nilai sekarang i = bunga per tahun n = jumlah tahun Jadi, pendapatan bunga yang diinvestasikan kembali pada modal awal untuk setiap permulaan periode disebut dengan bunga majemuk. Pendapatan bunga dari model bunga majemuk ini jumlahnya akan meningkat setiap periode disebabkan karena modal awal yang meningkat setiap permulaan periode. Dalam praktek bisnis sehari-hari seperti pada bank-bank komersial, frekuensi pembayaran bunga kepada nasabah dilakukan bukan hanya satu kali dalam setahun, melainkan lebih dari satu kali. Misalnya pembayaran bunga majemuk secara semesteran, kuartalan, bulanan, atau harian. Frekuensi pembayaran bunga ini dilambangkan (m) kali dalam setahun, maka nilai masa datangnya digunakan rumusan: Fn = P. ( 1 + � )(n) (m) 5 Modul Matematika Bisnis Dimana: Fn = nilai masa datang tahun ke-n P = nilai saat ini/sekarang i = tingkat bunga per tahun n = jumlah tahun m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun Contoh 1: Bapak James mendepositokan uangnya di Bank sebesar Rp. 5.000.000 dengan tingkat bunga yang belaku 12% per tahun dimajemukkan, berapa nilai total deposito Bapak James pada akhir tahun ketiga? Berapa banyak pula pendapatan bunganya? Penyelesaian : Diketahui P = Rp. 5.000.000; i=0.12; n=3 Ditanyakan: F3 dan I Fn = P(1+i)n F3 = Rp. 5.000.000 (1+0.12)3 = Rp 5.000.000(1,12)3 = Rp. 7.024.640 I = Rp. 7.024.640 - Rp. 5.000.000 = Rp 2. 024.640 Contoh 2: Nona Ana ingin menabung uangnya Rp. 5.000.000 dengan tingkat bunga 12% per tahun. Berapakah nilai uangnya di masa dating setelah 5 tahun kemudian jika dibunga majemukkan secara: a. Semesteran b. Kuartalan c. Bulanan d. Harian Penyelesaian: Diketahui: P = Rp 5.000.000; i = 0,12; n = 5 6 Modul Matematika Bisnis a. Pembayaran bunga semesteran (m = 2) F5 = Rp 5.000.000 .( 1 + 0,12 (5) (2) ) 2 = Rp 5.000.000 .(1,06)10 = Rp. 8.954.238,48 b. Pembayaran bunga kuartalan (m = 4) F5 = Rp 5.000.000 .( 1 + 0,12 (5) (4) ) 4 = Rp. 5.000.000 .(1,03)20 = Rp. 9.030.556,17 c. Pembayaran bunga bulanan (m = 12) F5 = Rp 5.000.000 .( 1 + 0,12 (5) (12) ) 12 = Rp. 5.000.000 .(1,01)60 = Rp. 9.083.483,49 d. Pembayaran bunga harian (m = 365) F5 = Rp 5.000.000 .( 1 + 0,12 (5) (365) ) 365 = Rp. 9.109.695,66 Untuk mengetahui nilai uang yang harus diinvestasikan saat ini agar mempunyai jumlah tertentu pada akhir tahun ke-n, dapat diperoleh dengan rumusan berikut: P= � (�+�) Jika pembayaran bunga majemuk dilakukan beberapa kali dalam setahun, maka untuk mencari nilai sekarang digunakan rumusan: P= � � (�+ ) .( ) Contoh 3: Nyonya Selly merencanakan uang tabungannya di bank pada tahun ke-5 akan berjumlah Rp. 15.000.000 dengan bunga yang dimajemukkan. Tingkat bunga yang berlaku 15% per tahun. Berapa jumlah uang yang harus ditabungkan Nyonya Selly saat ini? Penyelesaian: 7 Modul Matematika Bisnis Diketahui: F3= Rp. 15.00 0.000; i= 0,15; n= 5 P= P= Fn (1+i)n Rp .15.000 .000 = Rp. 7.457.651,03 (1+0,15)5 Cara menggunakan kalkulator scientific untuk perhitungan di atas: Tekan 15000000 : : 1 : ( + : 0 : 1 : , : 5 : yx : ) : = 5 : Contoh 4: Pak Rudy seorang pengusaha berharap 5 tahun kemudian akan mendapatkan dana sebanyak Rp. 20.000.000. Jika tingkat bunga yang berlaku saat ini 12% per tahun dan dibayarkan secara kuartalan, berapa jumlah dana yang harus ditabung Pak Rudy saat ini? Penyelesaian: Diketahui: F5= Rp. 20.000.000; i= 0,12; n= 5; m= 4 P= P= � � .( ) (1+ ) Rp .20.000 .000 0,12 5 .(4) ) 4 (1+ = Rp .20.000 .000 (1,03)20 = Rp. 11.073.515,08 Cara menggunakan kalkulator scientific untuk perhitungan di atas: Tekan 20000000 : : 2 ( 1 : 0 + : 0 : , : 1 : 2 : : : 4 ) : yx = Contoh 5: Modal sebesar Rp. 2.000.000 disimpan di bank dengan bunga majemuk. Setelah 3 tahun modal tersebut menjadi sebesar Rp. 2.809.856. Berapa persen besarnya bunga majemuk yang dikenakan terhadap modal tersebut? Penyelesaian: Diketahui: P= Rp. 2.000.000; F3= Rp. 2.809.856; n= 3 Fn = P.(1+i)n Rp. 2.809.856 = Rp. 2.000.000 .(1 + i)3 (1 + i)3 = Rp .2.809 .856 Rp .2.000 .000 8 Modul Matematika Bisnis (1 + i)3 = 1,405 1+i = 3 1,405 1 + i = 1,12 i= 1,12 – 1 i= 0,12 = 12% Cara menghitung  3 1,405 menggunakan kalkulator scientific: Tekan 1,405  2ndf shift X3 1,405 √ = = Contoh 6: Modal sebesar Rp. 5.000.000 setelah ditabung dengan bunga 15% per tahun yang dimajemukkan semesteran akan menjadi Rp. 21.239.255. Berapa tahun lamanya modal tersebut ditabungkan? Penyelesaian: Diketahui: P= Rp. 5.000.000; i= 0,15; Fn= Rp. 21.239.255; m=2 Fn = P. ( 1 + � )(n) (m) Rp. 21.239.256 = Rp. 5.000.000 .( 1 + 0,15 2n ) 2 Rp .21.239.255 (1+ 0,15 2n ) 2 = (1+ 0,15 2n ) 2 = 4,25 Rp .5.000 .000 1,0752n = 4,25 2n .log 1,075 = log 4,25 2n = 2n = log 4,25 log 1,075 0,63 0,03 2n = 20 n = 10 tahun 9 Modul Matematika Bisnis C. SOAL LATIHAN/TUGAS 1. Pak Tedi menyimpan uang di bank sebesar Rp. 2.700.000 dalam Bentuk deposito dengan bunga sederhana 15% per tahun. Jika deposito tersebut jatuh tempo setelah 4 bulan. Tentukan besarnya uang Pak Tedi setelah jatuh tempo! 2. Hutang si Budi setelah 9 bulan besarnya menjadi Rp. 1.150.000. Jika perhitungan bunga tunggal sebesar 20% pertahun. Hitung besarnya nilai tunai hutang si Budi! 3. Sebuah modal sebesar Rp. 5.000.000 disimpan di bank dengan bunga tunggal 12,5% pertahun. Beberapa tahun kemudian modal tersebut menjadi sebesar Rp. 7.500.000. Berapa tahunkah lamanya modal tersebut disimpan di bank? 4. Seorang pedagang membutuhan modal tambahan untuk usahanya sehingga ia meminjam uang sebesar Rp15.000.000,- yang harus dilunasi dalam waktu 9 bulan sebesar Rp 18.375.000,- .Berapa tingkat bunga sederhana tahunan atas pinjaman tersebut? 5. Seorang pedagang membutuhan modal tambahan untuk usahanya sehingga ia meminjam uang sebesar Rp 15.000.000,- yang harus dilunasi dalam waktu 9 bulan menjadi sebesar Rp 18.375.000,-. Berapa tingkat bunga sederhana tahunan atas pinjaman tersebut? 6. Tuan X meminjam uang Rp. 1.000.000 pada bank ABC dengan perjanjian bahwa setelah 3 thn kemudian Tuan X harus mengembalikan sejumlah Rp. 1.650.000. Hitung berapa persen tingkat bunga majemuk yang dibebankan pada Tuan X? 7. Dodi mendepositokan uangnya sejumlah Rp. 625.000 pada sebuah bank yang memberikan bunga 15% per tahun yang dibayarkan tiap 6 bulan secara majemuk selama jangka waktu tertentu. Agar pada akhir jangka waktu tersebut Dodi menerima uang sejumlah Rp. 1.000.000. Hitunglah selama berapa tahun Dodi harus mendepositokan uangnya? 8. Modal sebesar Rp. 200.000 akan dibayarkan 10 tahun kemudian dengan bunga 4% pertahun yang dimajemukkan semesteran. Berapa nilai tunai modal tersebut? 10 Modul Matematika Bisnis 9. Jika uang sebesar Rp. 2.000.000 ditabung di bank selama 5 tahun dengan bunga 6% per tahun. Berapa jumlah uang tersebut bila dibunga majemukkan secara kuartalan? 10. Berapa besarkah modal awal jika 5 tahun yang lalu Abdul Karim menyimpankan uangnya di Bank yang pada saat ini ia menerima sebesar Rp 56.086.827,00 dengan suku bunga yang diberikan Bank adalah 9% pertahun dengan sistem pembayaran bunga tiap 4 bulan dengan bunga majemuk. 11. Mr. Y meminjam uang Rp. 2.000.000 pada Bank ABC dengan ketentuan setelah 3 tahun Mr.Y harus mengembalikan 2.600.000. Hitung berapa persen bunga majemuk yang dibebankan kepada Mr.Y! 12. Tuan A mendepositokan uangnya sejumlah Rp. 1.000.000 pada sebuah bank yang memberikan bunga 12% per tahun dimajemukkan secara kuartalan. Agar pada akhir jangka waktu Tuan A menerima Rp. 2.250.000. Hitung selama berapa tahun Tuan A harus mendepositokan uangnya? (pembulatan 2 tempat desimal) D. DAFTAR PUSTAKA Buku Josep Bintang Kalangi. 2011. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta: Salemba Empat. Andi Wijaya dkk. 2014. Matematika Ekonomi I. Jakarta: Mitra Wacana Media. 11