NOTAS DE FISICA

UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 1/59 1. INTRODUCCIÓN 1. 1 La Física La evolución de la física en los últimos 200 años ha sido vertiginosa. Aplicaciones tales como los rayos X, la telefonía, la televisión, las comunicaciones por fibras ópticas, los satélites o los láseres, que están tan incorporadas a nuestro modo de vida, están basadas en descubrimientos físicos que tienen apenas un siglo de vida o aún menos. Uno podría preguntarse: ¿por qué no estudiar física estableciendo simplemente las leyes fundamentales? La respuesta es que, en primer lugar, no se conocen todas las leyes fundamentales, puede parecer asombroso, pero a pesar de los avances científicos, la frontera de nuestra ignorancia sobre el mundo natural está en continua expansión. En segundo término, porque aún dentro de una rama muy restringida donde las leyes fundamentales parecen conocerse, estas leyes están formuladas mediante abstracciones matemáticas que suelen requerir mucho conocimiento previo y entrenamiento. Por estos motivos, en el estudio se procede por partes aparentemente aisladas, y donde cada parte es una aproximación a la verdad completa. Uno de los principios básicos de la ciencia es que toda ley debe ser contrastada con el experimento, único juez de la verdad científica. A esto se le agrega la imaginación del observador para deducir, plantear nuevos modelos y diseñar nuevos experimentos que a su vez pongan a prueba los nuevos modelos propuestos. Como ejemplo de uno de los resultados más espectaculares del método científico analicemos lo que actualmente se sabe sobre la estructura de la materia. 1.1.1 Hipótesis atómica. Si bien todos aceptamos la existencia de átomos y moléculas, estos objetos no son percibidos directamente por nuestros sentidos. Ni la vista, ni el oído, ni el gusto, ni el olfato, ni el tacto nos permiten saber directamente que dividiendo muchísimas veces una gota de agua, llega un momento en que no tenemos más agua, sino dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno. Y menos aún que si seguimos dividiendo estas partes elementales aparecen otras partes, todavía más elementales, como lo son los electrones, los protones o los neutrones, los cuales podrían aún seguir dividiéndose. El radio de un átomo tiene un valor que está en el orden de 1 a 2 10-8 cm, es decir un centímetro dividido en 100 millones de partes. Para hacernos una idea de las escalas, pensemos que para que un átomo tenga el tamaño de una manzana, la manzana debería tener el tamaño de la Tierra. El tamaño de los átomos es tan chico que escapa a la resolución de nuestros sentidos. Sin embargo, la física ha logrado unificar una gran cantidad de evidencia indirecta y llegar a los secretos del mundo microscópico simplemente empleando este método: observar → modelar → experimentar → observar → modificar el modelo → experimentar → ... 1.1.2 Método científico El método científico se propone encontrar y comprender las leyes que rigen los fenómenos que ocurren a nuestro alrededor. Debido a la diversidad y complejidad, generalmente la comprensión de estos fenómenos llega luego de haberlos reducido a combinaciones de fenómenos más elementales. El método consiste en la aplicación continua de la siguiente secuencia: a) observación de un dado fenómeno; b) razonamiento, formulación de hipótesis y desarrollo de un modelo matemático; c) experimentos para confirmar o descartar el modelo propuesto. Usamos el término comprender en el sentido de conocer las reglas. Es algo así como si fuéramos observadores de un juego de ajedrez, del que nunca nadie nos contó las reglas y donde sólo se nos permitiese observar. Mirando con atención durante un tiempo suficiente llegaríamos a saber cómo mueve el peón, el alfil, la torre, etc., es decir habríamos comprendido las reglas del juego y diríamos orgullosamente que comprendemos el juego de ajedrez. Puestos a jugar casi seguramente perderíamos las primeras partidas, ¿por qué? Porque aún conociendo las reglas podríamos no comprender el sentido del juego y por ende el porqué de cada movida. Lo mismo sucede en física (y en todas las ciencias), la comprensión se logra a través de UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 2/59 conocer las reglas, aunque quizás nunca podamos enterarnos del por qué o de la causa última de estas reglas. Pero el proceso habrá sido realmente aprehendido cuando se conozcan esas causas últimas. A través del método científico podemos saber a ciencia cierta si las reglas que fuimos adivinando o conociendo son correctas o no. ¿De qué manera? Hay varias, pero los pasos más comunes son: · analizar situaciones hipersimplificadas: en el caso del ajedrez podríamos empezar por prestar mucha atención al final de una partida, cuando quedan pocas piezas. En este caso esperamos que sea más fácil descubrir reglas. · hacer hipótesis de lo que sucedería en situaciones menos específicas. Por ejemplo, luego de haber prestado atención solamente en los finales de partida, podríamos hacer la hipótesis de que el alfil siempre se mueve a lo largo de las diagonales. Así se inicia de nuevo el proceso de observación y si en este proceso surgen excepciones, no habrá mas remedio que revisar las hipótesis y formular nuevas. 1.1.3 Física básica Hasta ahora ha sido en vano todo esfuerzo por desarrollar una única teoría que explique los fenómenos físicos en toda su complejidad y diversidad. Sin embargo existen teorías muy completas y exactas, pero que se limitan a estudiar exclusivamente una clase particular de fenómenos: el calor, la electricidad, los rayos X, la física nuclear, la gravitación, la relatividad, el magnetismo, la óptica, la física cuántica, etc., etc., etc. Ver toda la naturaleza como suma de diferentes aspectos de un único conjunto de fenómenos, unificando estas teorías limitadas, sigue siendo uno de los objetivos más importantes de la física teórica. ¿Será posible unificar todo? Nadie lo sabe aún. Es como un rompecabezas, donde al ir agregando piezas se van descubriendo los detalles. Primero un ojo, luego un rostro, luego una persona, luego un paisaje... El problema es que todavía no se sabe si el rompecabezas tiene un número finito de piezas, si en algún momento se va a llegar a un borde, o si por el contrario siempre habrá piezas por agregar... Y nos preguntamos en qué nos afecta la física en nuestra vida cotidiana. La respuesta es: prácticamente en todo. Por ejemplo cuando estamos sobre una moto y queremos girar a la derecha, instintivamente inclinamos moto y cuerpo en un ángulo hacia la derecha, si lo hiciésemos hacia la izquierda, y giramos el volante a la derecha seguramente terminaríamos en el piso lastimados. En el caso particular de ustedes, si pueden trabajar filmando, es decir registrando imágenes sobre una película es porque existe la luz. Y ¿quien estudia la luz?: la física. Y cómo se hace para formar una imagen sobre la película lo estudia la óptica, que es una parte del electromagnetismo, que a su vez es una rama de la física básica. Cómo se imprime una imagen en una película o como se registra la imagen en un sistema de fotodiodos también es física. Por eso comenzaremos con el estudio de la luz. 1. 2 La luz 1.2.1 Comportamiento de la luz. Al comenzar con el estudio de la luz veremos en particular dos descripciones diferentes una a la que llamaremos descripción ondulatoria y otra que llamaremos descripción geométrica. Aunque también existe una descripción cuántica de la luz que se llama óptica fotónica o fotofísica. Desde el punto de vista de la física clásica la luz se comporta como una onda, con una completa analogía con lo que pasa con otro tipo de ondas, como las que se propagan en la superficie del mar o a lo largo de una cuerda. Por este motivo alcanzaría con que estudiásemos toda la teoría ondulatoria y así sabríamos casi todo lo que hay que saber sobre el comportamiento clásico de la luz. Sin embargo, en muchos casos (y en particular en casi todos los que tienen que ver con la formación de imágenes por sistemas de lentes) el uso de la teoría ondulatoria complica mucho las matemáticas y es suficiente con emplear una aproximación que funciona muy bien a todos los fines prácticos. La descripción geométrica puede considerarse como una aproximación de la descripción o teoría ondulatoria, en el sentido de que todas las leyes de la descripción geométrica están contenidas en la descripción ondulatoria, pero resulta que emplear la descripción ondulatoria para algunos fenómenos es algo así UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 3/59 como intentar matar a una mosca con una bomba, cosa que seguramente funciona, pero que no es necesario porque alcanza con usar la palmeta. Dicho esto, parecería entonces que en el curso vamos a pasar de largo la teoría ondulatoria y empezar directamente con la teoría geométrica. Lamentablemente no es así de fácil, porque para tener idea del rango de validez de la aproximación geométrica y saber si sirve para describir el fenómeno, es necesario conocer algunas cosas sobre ondas. 1.2.2 Descripción ondulatoria. Cuerda sin deformar Primero establezcamos que es una onda. Una x onda es una perturbación que se propaga sin un traslado neto de materia (piense en ejemplos del ϕ(x,t0) lenguaje común: la onda verde de los semáforos, las Cuerda deformada a t = t0 olas del mar, las ondas sonoras, etc). El valor de esta perturbación va a depender de en qué lugar y en qué momento estamos observándola. En lenguaje de los físicos, se dice que la perturbación, que designamos con la letra griega ϕ depende de las coordenadas x ϕ(x,t1) espaciales y de las temporales. Si pensamos en el caso Cuerda deformada a t = t1 de una cuerda, y llamamos t al instante de tiempo que marca el reloj y x a la coordenada cartesiana, que por comodidad ubicamos a lo largo de la posición en reposo de la cuerda, entonces decimos que ϕ es una x función de x y de t, y escribimos: ϕ(x,t2) ϕ(x,t) Cuerda deformada a t = t2 La figura 1.1 representa una onda que se propaga en una cuerda. El gráfico corresponde a tres instantes de tiempo distintos. Estos gráficos se corresponderían con 3 fotografías tomadas en los x instantes t0, t1 y t2. Figura 1.1: Esquema de una onda que se Si ϕ(x,t) representa a una función que se repite Propaga en una cuerda a intervalos iguales en el tiempo (cosa que no pasa en la figura 1.1) y a intervalos iguales en el espacio, se dice que la onda es periódica. Y se llama τ al período temporal y λ al período espacial. 1.2.3 Onda armónica De las ondas periódicas, nos vamos a referir a un tipo particular de periodicidad, la llamada onda armónica. Una función armónica es aquella cuya forma funcional corresponde a un seno o a un coseno. Por ejemplo ϕ1 es armónica si: ⎡ ⎛x t ⎞⎤ ϕ1 (x, t ) ) = A cos⎢2π ⎜ − + φ0 ⎟⎥ ⎠⎦ ⎣ ⎝λ τ o ϕ1 (x, t ) ) = A cos(kx − ωt + φ0 ) o ϕ1 ( x, t ) ) = A cos[k ( x − ct ) + φ0 ] Donde A es la amplitud de la perturbación (su valor máximo), φ0 es la fase inicial, es decir el valor de la perturbación a t=0 y x=0 está dado por [A cosφ0]. λ, como en toda perturbación periódica, es el período espacial, entendiendo por ello la longitud a partir de la cual se repite la forma de la perturbación, τ es el período temporal. k se llama frecuencia angular espacial o número de onda, ω es la frecuencia angular temporal y c es la velocidad a la cual se propaga la onda. Si observamos la onda UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 4/59 • un punto fijo de la cuerda (x0) y observar como se perturba a medida que transcurre el tiempo (t variable). El problema es obtener un gráfico que represente esta descripción, ya que si le adosásemos una birome a ese punto de la cuerda el gráfico trazado por la birome se superpondría al transcurrir el tiempo, y entonces no veríamos la evolución. Entonces la idea es que el papel sobre el que escribe la birome se mueva a velocidad constante, como en un electrocardiograma o en un sismógrafo, y entonces lo que se obtiene es la evolución temporal de la perturbación aunque la birome siempre se mueva sobre una única línea. La figura 1.3 muestra la traza que la birome deja sobre el papel móvil. 1.0 0.5 0.0 x -0.5 -1.0 Figura 1.2: Propagación de una onda armónica dirección de movimiento del papel ϕ (x0 , t) • un instante de tiempo (t0) fijo y ver que ocurre para todo x del espacio; esto sería equivalente a tomar una fotografía de la cuerda. La figura 1.2, que es la análoga en el caso armónico a la esquematizada en la figura 1.1, muestra 3 fotografías tomadas en 3 instantes diferentes y en ella podemos ver cómo avanza la perturbación. ϕ(x,t2 ) ϕ(x,t1 ) ϕ(x,t0 ) en un punto fijo del espacio (x0) veremos que con el pasar del tiempo varía como un coseno que se repite cada τ s. La frecuencia temporal ν (cantidad de períodos temporales (ciclos) en un segundo) con que se repite la perturbación es: ν = 1 / τ. Como el argumento del coseno debe ser un ángulo y un ciclo corresponde 2π radianes, se define la frecuencia angular temporal ω como: ω = 2π ν = 2π / τ Análogamente, la frecuencia angular espacial, también llamada número de onda, es k: k = 2π / λ . En todas las ondas, y en particular en el caso de las ondas de luz, existe una relación entre la frecuencia y el número de onda, o lo que es lo mismo, entre el período temporal y la longitud de onda. Esta relación se llama “relación de dispersión” e involucra a 1.0 0.5 la velocidad de propagación de la onda en el medio (c). La 0.0 relación de dispersión es: x -0.5 k =ω/c -1.0 o, lo que es lo mismo, (reemplazando y haciendo cuentas) c =νλ 1.0 Como la perturbación varía tanto en el tiempo como 0.5 0.0 en el espacio, es posible representarla de dos maneras x -0.5 diferentes. Si por ejemplo la perturbación se propaga en una -1.0 cuerda se puede considerar: t = t0 t Figura 1.3: Oscilación de un punto fijo de la cuerda 9 Ejemplo acústico: las ondas sonoras en el aire, se propagan con una velocidad de aproximadamente 332m/s. Las frecuencias audibles están en el intervalo [20Hz, 20kHz] Las notas musicales corresponden a algunas de las frecuencias de este intervalo. Por ejemplo el La que se utiliza para la afinación de los pianos o con las que afinan las orquestas corresponde a 440Hz. La nota más aguda del piano es 4.2kHz (recordar que la k en kHz es equivalente a decir 1000 Hz o 103 Hz). Si calculamos la longitud de onda de la nota La de 440Hz, entonces obtenemos un valor de λ ~ 1 metro. 9 Ejemplo electromagnético: las ondas electromagnéticas en el vacío, se propagan con una velocidad de aproximadamente c0 = 3.108 m/s. Estas ondas incluyen, entre otras, a las ondas de TV, radio, luz y UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 5/59 rayos X. Justamente lo que distingue a estas ondas entre sí es su frecuencia (decimos que es la frecuencia y no la longitud de onda ya que, como veremos, la longitud de onda cambia cuando el medio en el que viaja cambia). La figura 1.4 muestra el espectro electromagnético, en la figura se indican los valores de la frecuencia y las correspondientes longitudes de onda en el vacío. Por ejemplo, a una frecuencia de 4.6 1014Hz le corresponde luz roja de longitud de onda 650nm y a una frecuencia de 6.6 1014Hz le corresponde luz azul de longitud de onda 450nm. Analice a partir de la figura 1.4 cuales son los límites de longitudes de onda que corresponden al espectro visible, en el vacío. La frecuencia de una radio AM (de amplitud modulada) puede verse en el dial. Por ejemplo, una radio típica (Mitre) tiene una frecuencia de 790kHz. ¿Cuál es su longitud de onda? La frecuencia de una radio FM (de frecuencia modulada) también puede verse en el dial. Por ejemplo, a ´la cien´ le corresponde una frecuencia de 100MHz. ¿Cuál es su longitud de onda? Figura 1.4: Espectro electromagnético 1.2.4 Velocidad de propagación de una onda electromagnética en un medio diferente al vacío Así como realizando el mismo esfuerzo se avanza más rápido en el asfalto que en la arena, la onda electromagnética tiene diferentes velocidades cuando se propaga en medios distintos. El medio que menos resistencia le opone es el vacío y por lo tanto es allí donde la onda viaja a mayor velocidad (c0 = 3.108 m/s). Si en vez de propagarse en el vacío se propagase en agua podríamos determinar que su velocidad es cagua = 2.25 108 m/s y para cada medio diferente podríamos determinar la velocidad de la onda en ese medio. Existe, por lo tanto, una característica del medio a la que llamamos índice de refracción (n) que se obtiene como el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío (c0) y la velocidad de la luz en el medio (cm) n = c0/ cm Cuando la onda atraviesa la superficie de separación de dos medios en la mayoría de los casos su frecuencia no cambia, ya que ésta depende de la fuente que genera la onda. Existen algunos medios donde esto no ocurre. No trataremos en este curso ese tipo de medios. Si, como dijimos, la velocidad de la onda debe cambiar al cambiar de medio, y no así la frecuencia, entonces la longitud de onda cambia en la misma proporción que la velocidad. Si (λ0) es la longitud de onda en vacío y λm la longitud de onda en el medio, entonces: UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 6/59 λm = λ0 / n Análogamente k también cambia, pero en relación inversa: km = n k0 1.2.5 Límite de validez de la descripción geométrica El criterio que daremos a continuación es válido para todo fenómeno ondulatorio, ya se trate de luz, ondas de radio, sonido u ondas elásticas que interactúan con un dado objeto: “cuando una onda interactúa con un objeto cualquiera, la aproximación geométrica es válida si la longitud de onda es mucho menor que el tamaño característico del objeto u obstáculo considerado”. Si llamamos D al tamaño característico del objeto, este criterio se puede resumir simbólicamente de la siguiente manera: λ << D Si esta relación no se cumple, entonces no hay más remedio que estudiar el fenómeno mediante la teoría ondulatoria. Cuando se trata de luz, a la aproximación geométrica se la conoce con el nombre de Óptica Geométrica. Por ejemplo, ya hemos visto que la longitud de onda que corresponde al sonido de la nota La de 440Hz es de aproximadamente 1m. Esto quiere decir que si nos proponemos emplear la descripción geométrica para diseñar la acústica de una sala de audio, es de esperar que las cosas no funcionen bien, puesto que 1m es comparable (los físicos decimos que es del mismo orden de magnitud) que las dimensiones de la sala de audio o incluso mayor que el tamaño de los objetos que puede haber en ella. O sea que un ingeniero acústico no podrá emplear la descripción geométrica en este caso. ¿Podrá hacerlo si se le pide estudiar el eco de la voz de una persona gritando frente a una montaña? En el caso de la luz, en cambio, la longitud de onda es muy pequeña. Por ejemplo, la luz que emite un puntero láser es de 0.632μm (micrones). Como esta λ es mucho menor que el tamaño de cualquier objeto que haya en un estudio de filmación, vemos entonces que en este caso es válido emplear la descripción geométrica. Lo mismo sucede con el óptico que diseña los anteojos, con el fabricante de lentes para una cámara de fotos, etc. Sin embargo, existen casos que no pueden ser explicados por la óptica Geométrica, como lo es la figura de difracción en forma de estrella dada por un foco o la de la misma estrella. UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 7/59 2. ÓPTICA GEOMÉTRICA: LOS RAYOS 2.1 Introducción En esta etapa estudiamos la propagación de la luz desde el punto de vista de la óptica geométrica, es decir, restringimos el estudio a dimensiones características grandes comparadas con la longitud de onda de la luz. Si bien este enfoque sólo corresponde a una "aproximación grosera de la realidad" es de gran importancia tecnológica, porque en determinadas áreas permite obtener resultados que se condicen con la realidad observable de manera simple, sencilla y muy aproximada. Comenzamos introduciendo un nuevo concepto: el rayo luminoso. Un rayo es un vector cuya dirección y sentido coinciden con la dirección y el sentido en el que fluye la energía lumínica en un dado punto del espacio. La ley fundamental de la óptica geométrica establece que, “a menos que algún medio se interponga en la trayectoria de la luz, el rayo luminoso viaja siempre en línea recta”. Es importante remarcar que ningún rayo de luz se modifica por cruzarse con otro rayo de luz, luego del cruce cada uno continua el mismo camino rectilíneo que traía antes del encuentro. 2.2 Reflexión y refracción Nos interesa ahora conocer qué le ocurre al rayo de luz cuando interactúa con un medio material. El caso más sencillo es observar la interacción de un haz paralelo de luz con un espejo de forma arbitraria, como el de la figura 2.1 (recordar que un espejo es una superficie pulida). Se observa que cuando la luz se encuentra con el espejo no continúa en la misma trayectoria rectilínea que traía, sino que se aleja del θi2 θ r2 espejo en una nueva dirección, también rectilínea. θi1 θi3θr3 Dependiendo del punto del espejo sobre el que incide será la θr1 dirección de emergencia. Nos preguntamos entonces: “¿cuál es la relación entre la dirección del rayo incidente y la dirección del reflejado?”, es decir, ¿qué relación existe entre el ángulo de incidencia (ángulo que forma el rayo incidente con la perpendicular a la superficie en el punto de Figura 2.1: Reflexión de un haz de luz paralelo en una superficie arbitraria intersección (θij)) y el ángulo de reflexión (ángulo que forma el rayo reflejado con esa misma perpendicular (θrj))? Ya desde tiempos remotos la observación del fenómeno condujo a una conclusión simple: "la reflexión de la luz en una interfase se produce de tal modo que el módulo del ángulo de reflexión es igual al módulo del ángulo de incidencia y, medidos desde la perpendicular, la reflexión corresponde a un giro en sentido contrario a la incidencia, o sea el ángulo de reflexión y el de incidencia tienen signo opuestos. Además ambos rayos y la perpendicular pertenecen al mismo plano”. Es decir: θ r = - θi y el rayo incidente, el reflejado y la normal son coplanares (2.1) aire n = 1 θi3 = 30o Obtener la ley de reflexión o θi2 = 45 a partir de la observación es muy o θ = 60 i1 simple, tanto que no existe registro desde cuando se la conoce. El problema se complica un poco cuando se quiere describir el θ α1 θt2 α2 pasaje de la luz desde un medio vidrio n = 1,5 t1 θt3 α3 transparente a otro medio también a) c) transparente, por ejemplo desde el αj = θtj - θb) ij aire hacia el vidrio, o viceversa. El Figura 2.2: Refracción de la luz en la interfase aire (n=1) – vidrio caso se esquematiza en la figura (n=1,5). a) θt1 = 35,26º; b) θt2 = 28,13º y c) θt1 = 19,47º UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 8/59 2.2, donde θij son los ángulos de incidencia, θtj son los correspondientes ángulos de refracción y αj son los llamados ángulo de ruptura. En la refracción como en la reflexión se observa que al cambiar de medio el rayo cambia la trayectoria inicial, se desvía, la diferencia con la reflexión está en que el módulo del ángulo de refracción es distinto que el módulo del ángulo de incidencia y además en que ambos tienen el mismo sentido de giro respecto a la normal a la superficie. También se puede observar que el rayo incidente, el rayo refractado y la normal a la superficie en el punto de intersección están contenidos en un mismo plano. La observación nos dice que al disminuir el ángulo de incidencia (θi), (rayo incidente más próximo a la normal) el ángulo que forman entre sí las trayectorias de los rayos incidente y refractado (α) disminuye. Como se observa en la figura 2.2, a medida que el rayo incidente se acerca a la normal, los ángulos de incidencia y de refracción se parecen cada vez más. El quiebre aparente que se observa en una cucharita parcialmente sumergida en agua se debe a la refracción que sufren los rayos de luz que provienen desde el agua, mientras que los que provienen del aire no se desvían. Entonces la primera pregunta razonable que nos formulamos es: “¿cómo se relaciona el ángulo de refracción o transmisión (θt) con el ángulo de incidencia (θi)?” ¡Los antiguos nunca le encontraron respuesta! Quizás por eso, con el objetivo de dar algunos resultados, ésta es una de las pocas cuestiones en las que los griegos usaron la experimentación... El resultado de esas mediciones está dado en la tabla 2.1; tabla que data de la época de Ptolomeo, que es imposible de obtener si no se conoce la ley de refracción o bien si no se hicieron las mediciones correspondientes. Para algunos ángulos de incidencia desde el aire, se tabulan los correspondientes ángulos de refracción en el agua. El significado de estos valores es el siguiente: si la luz incide desde el aire con un ángulo de 10°, se refracta en el agua con un ángulo de 8° y viceversa, si incide desde el agua con un ángulo de 8° se refracta en el aire con uno de 10°. Los resultados dados en la tabla de Ptolomeo se asemejan mucho a los que se obtienen hoy en día con instrumentos de medida de gran precisión y a aquellos que se obtienen teóricamente de la ley de refracción. aire agua 10.0° 20.0° 30.0° 40.0° 50.0° 60.0° 70.0° 80.0° 8.0° 15.5° 22.5° 28.0° 35.0° 40.5° 45.0° 50.0° Tabla 2.1: Tabla de Ptolomeo. Refracción de la luz en la interfase aire-agua Casi sin darnos cuenta hemos dado algunos pasos fundamentales en el desarrollo de una teoría en física: 1.- observación del hecho: “la luz cambia de dirección". 2.- experimentación, es decir, reproducir el fenómeno repetidas veces para obtener mediciones, que tabulamos, junto con el error (o “incerteza”) con el cual hemos medido (error que no hemos incluido en la tabla de Ptolomeo). Pero nos falta todavía encontrar la "regla" que relaciona una variable (ángulo de incidencia) con la otra (ángulo de refracción). La tabla de Ptolomeo data desde el año 140 AC, ¡pero no fue sino hasta 1761 años después en que alguien encontró la regla o ley que relaciona los dos ángulos! La ley de refracción la descubrió un matemático alemán: Willebrord Snell, y la postuló del siguiente modo: "si θi es el ángulo de incidencia (ángulo entre el rayo incidente y la normal a la superficie) y θt es el ángulo de transmisión (ángulo entre el rayo transmitido y la normal), entonces los senos de ambos ángulos son proporcionales y los rayos incidente y refractado y la normal pertenecen a un mismo plano”. De acuerdo con la figura 2.2: (2.2) senθi = n senθt, , los rayos incidente, refractado y la normal son coplanares. La constante de proporcionalidad n sólo depende de los medios y de la frecuencia de la onda y por analogía a lo que ya hemos visto, se llama “índice de refracción relativo del segundo medio respecto del primero”. Si usamos índices absolutos de refracción para cada medio, la ecuación anterior se re-escribe como: ni senθi = nt senθt, , siendo coplanares los rayos incidente, refractado y la normal. (2.3) UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 9/59 Esta ecuación se conoce como ley de Snell y permite predecir el ángulo que forma el rayo con la normal en un medio, conocido el ángulo correspondiente en el otro. En el caso del aire el índice de refracción vale 1 y en el del agua, nagua ≅ 1.33 y por ejemplo en el vidrio nvidrio ≅ 1.5. Usando esta ley se calculó la tabla 2.2. aire 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° agua 7.5° 15.0° 22.0° 29.0° 35.0° 40.0° 48.0° 49.5° Tabla 2.2: ángulos de incidencia y refracción en la interfase aire-agua, según la ley de Snell Vale la pena observar el notable acuerdo que existe entre los resultados teóricos de la tabla 2.2 y los resultados empíricos de Ptolomeo dados en la tabla 2.1. Es importante notar que ¡por fin! hemos encontrado la regla que nos permite predecir la refracción de la luz desde un medio transparente a otro. Pero esto no es todo. Aún nos resta entender la causa última de esta regla. La regla funciona, pero ¿porqué?... La verdadera "gloria" de la ciencia es "encontrar la forma de pensar" que nos permita aprehender la fórmula. Y esto no nos ocurre con la ley de Snell y lo que es más preocupante ¡muchas veces jamás nos ocurre! Alrededor de 1650, Fermat encontró una primera vía de pensamiento que pone de manifiesto la evidencia de la ley de refracción o ley de Snell. Esta vía de pensamiento se llamó "principio del tiempo mínimo" o "principio de Fermat". El principio establece que: “de todos los caminos posibles que tiene la luz para ir de un punto a otro, elige aquel que requiere el menor tiempo”. Si aplicamos esta ley en forma matemática obtenemos tanto la ley de reflexión como la ley de refracción. 2.3 Resumiendo: Las tres leyes básicas de la óptica geométrica son: 1. La propagación rectilínea de la luz en un medio homogéneo. 2. Ley de reflexión: ángulos de incidencia y de reflexión iguales. Rayos incidente y reflejado coplanares con la normal a la superficie en el punto de intersección. 3. Ley de refracción o ley de Snell: ni senθι = nt senθt. Rayos incidente y refractado coplanares con la normal a la superficie en el punto de intersección. Estas leyes permiten obtener todas las ecuaciones con las que se calcula la formación de imágenes a través de diferentes sistemas ópticos. Al estudiar las ondas vimos que su velocidad de propagación depende el medio. Cuando nos referimos a la luz dijimos que su velocidad de propagación en el vacío es c0 = 3 108 m/s, y que cuando se propaga en un medio diferente siempre lo hace con una velocidad menor. Vimos que la velocidad de la luz en un medio de índice n es cn = c0 / n. 2.4 Interfase entre medios transparentes. Hemos hablado de la reflexión en un espejo perfecto y de la refracción (o transmisión) de la luz entre dos medios transparentes. Cuando n > n’ n < n’ analizamos el espejo perfecto no nos preocupamos por la transmisión porque es θr θr θi θi n claro que la luz no llega detrás del espejo. El n espejo perfecto es opaco. ¿Qué ocurre cuando la luz llega a la superficie que separa dos medios transparentes como el aire y el θt agua? Seguramente alguna vez disfrutamos n’ n’ θt de un paisaje en un lago, en un día sin viento. ¿Qué vemos? el paisaje reflejado en (a ) (b ) el agua (de ahí el “espejo de aguas”). Figura 2.3: reflexión y refracción en un plano; ¿Significa eso que el lago se comporta como a) la luz incide desde el medio menos denso. un espejo perfecto reflejando toda la luz que b) la luz incide desde el medio más denso. llega a su superficie? Claramente ¡NO! Si UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 10/59 dentro del agua hubiese peces, ellos también verían la luz. Lo que significa que cuando la luz llega a la superficie de separación de los medios se refleja parcialmente y se refracta parcialmente. La figura 2.3a esquematiza el fenómeno de la reflexión- refracción en una superficie plana cuando la luz incide desde un medio menos denso (menor índice) hacia uno más denso (por ejemplo aire-agua, agua-vidrio o aire-vidrio). En la figura 2.3b se muestra el mismo fenómeno cuando el primer medio tiene mayor índice que el segundo (agua-aire, vidrio-agua, vidrio-aire). La cantidad de luz que se refleja o refracta depende tanto del ángulo de incidencia como de las características ópticas de los medios. La reflectividad de una interfase, que es el cociente entre la energía reflejada y la energía incidente, aumenta con el ángulo de incidencia. 2.5 Reflexión total Volvamos a la figura 2.3. Cuando el rayo incidente es normal a la superficie también lo son los rayos reflejado y refractado. A medida que el ángulo de incidencia crece, crecen también los ángulos de reflexión y de refracción. El rayo reflejado forma siempre con la normal un ángulo igual al de incidencia. Pero mientras que en el n θi θr θi = θcθr = θc θi θr caso correspondiente a la figura 2.3a el ángulo de transmisión es siempre menor que el de incidencia, que siempre es menor que 90°, en el caso θt θt = 90ο No existe θt esquematizado en la figura 2.3b el ángulo de refracción es mayor que el n’ Incidencia de incidencia, de modo que existirá Normal Subcrítica Crítica Reflexión total un ángulo de incidencia para el cual θi = 0 θi < θc θi = θc θi > θc la refracción sea a 90°, a ese ángulo de incidencia se lo conoce con el Figura 2.4: refracción y reflexión de la luz en una interfase que nombre de ángulo crítico (θC). Para separa dos medios de índices n y n´. n > n’ ángulos mayores al ángulo crítico es imposible transmitir energía al segundo medio y se dice que se está en condición de reflexión total. El fenómeno se ha esquematizado en la figura 2.4. La existencia de un ángulo crítico está restringida al caso en que la luz pase de un medio más denso hacia otro menos denso. Si el haz refractado es perpendicular a la normal, entonces θt = 90° y sen 90° = 1, por lo tanto usando la ley de Snell, ecuación (2.3), se tiene: senθC = nt/ ni < 1 (2.4) Cuando el ángulo de incidencia se hace mayor que el ángulo crítico por la ley de Snell el ángulo de transmisión debería ser tal que: senθt > 1, pero no existe ningún ángulo real que satisfaga tal condición, por lo tanto, lo que no existe es el haz refractado, luego, toda la energía se refleja; la superficie se comporta como un espejo perfecto. 2.6 Superficies con rugosidades. Reflexión y refracción difusa Hemos analizado la reflexión y la refracción de la luz en superficies pulidas; tal que las irregularidades de la superficie son pequeñas comparadas con la longitud de onda de la luz. Gran parte de las superficies con las que tratamos no se encuentran pulidas por lo que, si bien se cumplen las leyes de la reflexión y de la refracción para cada uno de los rayos que componen el haz incidente, cada rayo ve una normal diferente y por lo tanto se refleja con un ángulo diferente. Consideremos el caso de la figura 2.5, en ella un haz paralelo incide en una superficie “macroscópicamente” plana, que refleja la energía incidente. En la figura 2.5a la superficie está perfectamente pulida y el haz paralelo luego de reflejarse continúa siendo un haz paralelo, todos los rayos ven la misma normal. Mientras que en la figura 2.5b, si bien parece una superficie plana cada rayo del haz reflejado emerge de la superficie en diferente dirección; esto se debe a que la superficie de UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 11/59 la figura 2.5b, tiene irregularidades de dimensiones comparables a la de la longitud de onda de la luz. La luz ve a la superficie como se la muestra en la ampliación en el círculo, aunque el ojo o el tacto ‘la vean plana’. El fenómeno de reflexión difusa es el que se observa claramente al utilizar una superficie esmerilada. (a) (b) Figura 2.5: (a) Reflexión especular y (b) Reflexión difusa El mismo fenómeno que se observa en la reflexión, tiene lugar en la refracción. Es lo que denominamos superficies translúcidas, no transparentes. Por ejemplo, también a través de un vidrio esmerilado pasa la luz, pero no se ven (no se forman las imágenes) los objetos que están al otro lado. Un uso deseado de este fenómeno se da en el armado de los cuadros (obras de arte). Es sabido que, en principio, no se colocan vidrios en las buenas pinturas, ya que para determinados ángulos de observación el reflejo especular no permite ver la pintura o sus detalles. Sin embargo hoy en día, por razones de protección, algunas pinturas famosas como “La Gioconda” se encuentran tras un vidrio. Los vidrios utilizados en tales casos son “antirreflectantes” y son superficies suavemente difusoras que inhiben la reflexión especular, pero no así la formación de imágenes transmitidas. 2.7 Medios materiales 2.7.1 No absorbentes y no dispersivos Hasta ahora hemos tratado, sin decirlo en forma expresa, con medios que no absorben energía ni dispersan los diferentes colores. Siempre hemos supuesto que toda la energía o se refleja o se transmite y que el índice de refracción de los medios es independiente de la frecuencia, y por lo tanto, la velocidad de propagación de las ondas es la misma para todas las frecuencias. Debemos decir que en realidad esta es sólo una aproximación. La mayoría de los medios materiales absorben parte de la energía de un haz incidente y dispersan la luz de diferentes colores. 2.7.2 Medios dispersivos Al estudiar la refracción de la luz hemos considerado el caso en que ambos medios son no dispersivos. ¿Qué significa que un medio sea dispersivo? Significa que la velocidad a la que se propaga la onda (en nuestro caso la luz) depende de su frecuencia (o de su color). Ya vimos en ondas que la velocidad de propagación de la luz en un medio de índice n (cn) es el cociente entre la velocidad de propagación de la luz en el vacío (c0 = 3 108 m/s) y el índice de refracción del medio: cn = c0 / n (2.5) como c0 es una constante y n es función de la frecuencia, o como se suele decir de la longitud de onda, entendida en el vacío, n = n(ν) o n = n(λ0), entonces cn también es función de la frecuencia o de la longitud de onda en el vacío. En general en el rango visible (400 nm < λ0 < 780 nm) el índice de refracción de las sustancias transparentes decrece con la longitud de onda. En la tabla 2.4 se da el índice de refracción medio para distintos materiales, a excepción del aire y del agua, el índice de refracción varía en la tercer cifra significativa según la frecuencia asociada a la luz. En el caso de los vidrios crown se dan los valores del índice para tres longitudes de onda en el vacío diferentes ya que ellos son utilizados en la construcción de elementos ópticos. UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino Material n para 3 λ diferentes: (nF: azul – nD: amarillo – nC: rojo) Aire Agua Cuarzo vidrio común vidrio crown de borosilicato nF: 1.513; nD: 1.508; nC: 1.504 vidrio crown de bario vidrio crown denso nF: 1.632; nD: 1.620; nC: 1.613 Ámbar vidrio flint denso Diamante 12/59 Valor medio del índice de refracción 1.000293 1.333 1.45 ≅ 1.5 1.509 1.57 1.62 1.55 1.62 2.42 Tabla 2.4: Índice de refracción (valor medio) para diversos materiales. Por lo tanto cuando un haz de luz blanca colimado (haz paralelo compuesto de varios Rojo colores, en la figura rojo, verde y Amarillo azul) se refracta en la interfase aire Verde plana entre dos medios dispersivos cada color es Cian refractado en una dirección Azul diferente. En la figura 2.6 se Blanco muestra en forma exagerada esta separación de colores. Como el Blanco índice de refracción correspondiente al azul es mayor medio de índice de refracción n(ν) que el correspondiente al rojo, de acuerdo con la ley de Snell Figura 2.6: esquema de la refracción de un haz de luz blanco en (ecuación (2.3)) el ángulo de un medio dispersivo desviación que corresponde al azul será mayor que el que corresponde al rojo. Si la luz blanca estuviese formada por tres únicas longitudes de onda: azul, verde y rojo, en la refracción en la interfase tendríamos los tres haces emergentes de la figura 2.6. La escala vertical ha sido exagerada por razones de dibujo, ya que los ángulos entre los distintos haces son mucho menores (recordar que las variaciones del índice de refracción con la longitud de onda sólo tienen lugar en la tercera o cuarta cifra significativa) y por lo tanto la variación angular es muchísimo menor que el ángulo de desviación. De todos modos si el segundo medio fuese muy extenso (∞) llegaría el momento en que los haces se separarían. La zona donde se superponen los tres haces se ve luz blanca; donde no existe superposición de colores se verían los colores puros; y en las otras zonas, donde se superponen azul y verde se ve cian, donde se superponen verde y rojo se ve amarillo y azul y rojo solos no se superponen; pero si superpusiésemos luz azul y roja se vería el magenta. 2.7.3 Medios absorbentes Si bien hasta ahora siempre nos hemos referido a medios que o reflejan o transmiten toda la energía que llega a la superficie de separación, existen medios que absorben parte o toda esa energía. Se dice que los medios que absorben una parte de la energía, independientemente de la frecuencia de la luz son filtros neutros atenuadores. Hay otros medios en los cuales la absorción es selectiva, es decir UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 13/59 absorben determinadas longitudes de onda, son filtros de color, como por ejemplo lo son las películas una vez reveladas. Más adelante veremos que este fenómeno está asociado al color con que se ven los objetos, sean estos opacos o traslucidos. Si un cuerpo no refleja nada de la energía que incide sobre él lo veremos de color negro, cualquiera sea el color con el cual lo iluminemos. Pero este tema escapa al tratamiento de la óptica geométrica y lo dejaremos para más adelante. 2.8 Propagación de la luz en una lámina de cara paralelas, inmersa en un medio único Consideremos la lámina de caras paralelas esquematizada en la figura 2.7. El medio externo tiene un índice de refracción n1 y θi1 [1] la lámina, de espesor e, está construida de un n1 medio de índice n2. Sobre la cara superior incide un rayo monocromático que forma un ángulo θi1 n2 [3] con la normal. Parte de la energía incidente se θt1 e [2] θi2 refleja y parte se refracta, dando lugar a los rayos [1] y [2]. Cuando el rayo [2] llega a la cara inferior parte se refleja (rayo [3]) y parte se t refracta, rayo [4]. Nos interesa conocer cuál es la θt2 [4] dirección en la que emerge el rayo [4], o sea el ángulo θt2. De la figura 2.7observamos que θt1 = θi2, Figura 2.7: Reflexión y refracción en una lámina por ser ángulos alternos internos entre paralelas de caras paralelas en medio único cortadas por una transversal. Pero, como debe cumplirse la ley de Snell también deben ser válidas las siguientes dos ecuaciones: n1 sen θi1 = n2 sen θt1 (2.6) n2 sen θi2 = n1 sen θt2 (2.7) dado que el segundo miembro de la ecuación (2.6) es igual al primero de la (2.7) surge que: n1 sen θi1 = n1 sen θt2 (2.8) y por lo tanto también lo son los ángulos, es decir: θi1 = θt2 (2.9) Notemos que si hubiese diferentes medios a ambos lados de la lámina la ecuación (2.8) perdería toda validez y el rayo no sólo sufriría un desplazamiento lateral, sino que también se desviaría respecto de la dirección de incidencia. Mediante algunas relaciones trigonométricas se calcula el desplazamiento lateral (t) que sufre el rayo respecto de la dirección de incidencia, cálculo que no haremos en este curso. Pero es interesante mencionar que con una lámina de espesor e y con índices adecuados se puede lograr el desplazamiento lateral deseado para rayos luminosos. A 2.9 Prismas Un prisma es un cuerpo delimitado por dos superficies planas, no paralelas. Los prismas juegan diferentes roles en la óptica. Hay combinaciones de ellos que se usan para dividir haces de luz, otros se utilizan como sistemas polarizadores, otros como interferómetros, otros para separar la luz en sus componentes, etc. Pero a pesar de esta gran variedad de usos hay dos funciones principales para un prisma en un sistema óptico. Una es la dispersión de la luz (separación en colores) y la otra, la más usada en la óptica geométrica es la de desviar la dirección de haces y la de invertir imágenes. α θi1 δ C θt1 θi2 B θt2 D n n’ n Figura 2.8: Geometría de un prisma UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 14/59 2.9.1 Desviación de la luz prismas transparentes En el esquema de la figura 2.8 un rayo de luz incide sobre una de las caras del prisma, se refracta, incide en la segunda cara y vuelve a refractarse. Luego de atravesar el prisma el rayo ha sufrido una desviación, respecto de la dirección de incidencia, en un ángulo δ, llamado ángulo de desviación. Usaremos la siguiente convención de signos, cuando un ángulo se obtiene girando en sentido contrario a las agujas de un reloj decimos que es un ángulo positivo, cuando se obtiene girando en el sentido de las agujas del reloj, es negativo. Los ángulos de incidencia y refracción siempre se miden desde la normal al rayo. En la figura 2.8 los ángulos α, θi1 y θt1 son positivos, mientras que los ángulos δ, θi2 y θt2 son negativos. Recordando esta convención de signos, de la figura 2.8 puede verse que : δ = (θt1 – θi1) + (θt2 – θi2) (2.10) como el polígono ABCD tiene dos ángulos rectos (ACD y DBA), los ángulos BDC y α son suplementarios (es decir: BDC + α = 180°). Mientras que en el triángulo CDB el ángulo BDC es 180° - (suma de los módulos de los otros dos ángulos interiores del triángulo), que resulta ser (180° (θt1 - θi2)). Por lo tanto: θt1 - θi2 = α (2.11) y por lo tanto, δ = α + θt2 - θi1 (2.12) Siempre es posible escribir el ángulo en que emerge el rayo (θt2) como función del ángulo con el que incide (θi1) y de los índices de refracción de los medios (n y n’). Por lo tanto el ángulo de desviación del prima (δ) será una función más o menos complicada de los parámetros característicos del prisma (θ, n y n’) y del ángulo de incidencia del rayo. Se verifica experimentalmente que el ángulo de desviación en un prisma tiene un único valor mínimo, y esto se da cuando el ángulo de incidencia es igual al de emergencia del prisma, es decir, si el prisma es isóceles, el rayo atraviesa el prisma paralelo a su base. Para demostrar que en el caso de desviación mínima |θi1| = |θt2|, supongamos lo contrario, es decir, |θi1| ≠ |θt2|, entonces, si entramos por donde salimos, este volverá a recorrer la misma trayectoria y δ no deberá cambiar; es decir la desviación vuelve a ser la mínima, por lo tanto habría dos ángulos de incidencia diferentes para los cuales la desviación es mínima y es se contradice con la experiencia, por lo tanto, en condición de desviación mínima |θi1| = |θt2|. En este caso: θt1= α / 2 (2.13) con lo que se podría demostrar que para la desviación mínima se cumple la siguiente relación: n' sen[(δ mín + α ) / 2] = (2.14) n sen(α / 2) y en el caso de un prisma delgado (α pequeño) n' δ mín = − 1 α (2.15) n 2.9.2 Prismas dispersores Como hemos visto que n(λ0) y n´(λ0), podemos concluir que un prisma tranparente desvía los diferentes colores de un haz de luz policromática, en diferentes direcciones, es decir, separa los colores. Si bien el efecto dispersor de un prisma es ampliamente utilizado en diferentes instrumentos ópticos, en especial en aquellos afines a la espectroscopía, nosotros nos limitares a algunos de estos sistemas más utilizados en los instrumentos formadores de imágenes. 2.9.3 Prismas reflectores En contraste con la sección anterior estamos interesados en prismas donde la dispersión es un efecto no deseado. El efecto buscado aquí es obtener una reflexión total interna que permita cambiar la UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 15/59 dirección de un haz o que permita la inversión de alguna imagen (derecha-izquierda y/o arriba-abajo) o ambos efectos, sin dispersar las diferentes longitudes de onda. Para lograrlo se suelen utilizar prismas cuyo perfil corresponde a un triángulo isósceles y se incide de tal forma que la luz refractada en la primer cara se refleja totalmente en la otra; es decir, el ángulo de incidencia en la segunda cara debe ser mayor que el ángulo crítico de reflexión total (ver 2.4). Para una interfase vidrio – aire el ángulo crítico es de aproximadamente 42°. Deberíamos mostrar que un prisma de perfil isósceles con reflexión total en su cara “diferente” no dispersa la luz. Es decir los rayos emergentes salen en α la misma dirección (paralelos) para todos los colores. En la figura 2.9 hemos dibujado un prisma de perfil isósceles con reflexión total en su base y hemos dibujado la imagen especular debajo del prisma. En esa construcción artificial vemos que el sistema completo es equivalente a una lámina de caras paralelas inmersa en un medio único. Por lo tanto la dirección de emergencia es la misma que la de incidencia para todos los colores, es decir, el rayo no se desvía sólo sufre un corrimiento lateral. Este resultado es independiente del color del haz de luz, o Figura 2.9: Geometría de un sea todos los colores emergen en la misma dirección prisma reflector y por lo tanto el prisma no dispersa la luz. Corresponde aclarar que el corrimiento lateral sí es función del color, pero también debemos tener presente que nunca contamos con un único rayo, sino que tenemos un haz de luz y por lo tanto como el corrimiento lateral es mucho menor que el ancho del haz todos los colores se verán superpuestos recuperando así el haz original, con un leve coloreado en los bordes. 2.9.3.1 Prisma rectangular El prisma rectangular de la figura 2.10a se utiliza para desviar los haces de luz en un ángulo de 90°. Este prisma no invierte el 45° 90° segmento paralelo a la cara reflectora del (a) (b) prisma, pero en el otro segmento Figura 2.10: (a) prisma rectangular; (b) prisma de Porro invierte el cerca – lejos respecto del vértice rectángulo del prisma. En el esquema sólo se han graficado los rayos principales que provienen de los extremos y del centro del objeto. En el prisma rectangular de la figura 2.10b es el mismo que el de la figura 2.10a pero en el cual la luz en vez de ingresar por uno de los “catetos” lo hace “por la hipotenusa” y se usa para desviar el haz en un ángulo de 180°. El prisma no invierte en la dirección paralela a las caras reflectoras, pero sí produce una inversión de 180° con la otra dirección. UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 16/59 2.9.3.2 Prisma Penta o pentaprisma El pentaprisma, figura 2.11, desvía el haz en 90° sin afectar la orientación de la imagen, es decir no produce ni inversiones en la dirección paralela a las caras reflectoras, ni invierte en el cerca-lejos respecto del vértice rectángulo (demostrar que esta afirmación es correcta). Obsérvese que para que se refleje toda la luz dos de sus superficies deben ser espejadas, ya que el ángulo de incidencia en esas caras no puede ser mayor que el ángulo crítico de la interfase vidrio – aire. Entre otros usos estos prismas se utilizan como reflectores en los Figura 2.11: Pentaprisma extremos de pequeños telémetros y son ampliamente utilizados en cámaras fotográficas reflex. 2.9.3.3 Sistema de prismas de Porro Con el objetivo de invertir la imagen en ambas direcciones es común utilizar un sistema de dos prismas rectangulares usados en la disposición de la figura 2.10b, pero con los lados no ortogonales perpendiculares entre sí. El primer prisma produce una inversión y el segundo la otra. Este sistema de prismas, llamado prismas de Porro, es ampliamente utilizado en los binoculares, ya que la imagen dada por los sistemas de lentes que forman los anteojos astronómicos son invertidas y lo que se necesita es tener una imagen directa. El sistema se esquematiza en la figura Figura 2.12: Sistema de prismas 2.12 y es tarea del lector verificar esta doble inversión. de Porro Del mismo modo podríamos seguir mencionando diferentes prismas con distintas aplicaciones o sistemas complejos constituidos por varios prismas, pero de todos modos los mostrados aquí son los más relevantes utilizados en sistemas formadores de imágenes. UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 17/59 3. OPTICA GEOMÉTRICA: FORMACIÓN DE IMÁGENES. SISTEMAS TRANSMISORES SIMPLES. 3.1 OBJETOS ÓPTICOS 3.1.2 Objetos virtuales Diremos que un objeto es virtual cuando la energía no emana de él sino que parece converger a él (siempre este objeto es la imagen de un sistema óptico previo). Por ejemplo, si la luz incide en el sistema óptico convergiendo a un punto que está detrás de la primer superficie del sistema, el objeto en cuestión es virtual. Los objetos virtuales nunca tienen existencia real siempre son la imagen real de otro objeto obtenida a través de un sistema óptico que está ubicado antes del sistema en estudio. En la figura 3.2 graficamos una situación que corresponde a este tipo de objetos. Cabe aclarar que no hemos graficado la imagen final dada por sistema óptico (SO). Luz que emana del objeto real Objeto real del SOP Sistema óptico previo (SOP) 3.1.1 Objetos reales Diremos que un objeto es real cuando la energía fluye de él. No necesariamente un objeto que ópticamente es real lo es en el sentido cotidiano. ¿Qué intentamos decir? Queremos decir que en lo cotidiano un objeto sería real si tuviese existencia propia, independientemente de la luz ambiente. Un escritorio por ejemplo, al que podemos tocar es un objeto real, existe aún cuando no estuviese iluminado. El escritorio no sólo Imagen virtual dada por el espejo es un objeto real para la óptica, sino que también lo es para el concepto cotidiano. La imagen de ese escritorio digitalizada en la TV es un objeto ópticamente real, porque la luz fluye desde cada punto de esa imagen hacia nuestro ojo, sin embargo si desenchufamos la TV el Objeto real escritorio desaparece, no es real en el sentido cotidiano de la palabra. Mas aún, podríamos también mirar la imagen Imagen del escritorio a través de un espejo, esa imagen que real digital estamos observando nunca se forma, la luz nunca se encuentra detrás del espejo, sin embargo esa imagen es Figura 3.1: Diferentes tipos de objetos un objeto real desde el punto de vista óptico, ya que la luz reales desde el punto de vista de la que llega a nuestro ojo parece provenir de esa imagen. La óptica figura 3.1 corresponde a la observación de estos tres ejemplos. Luz difractada por SOP que daría imagen real e incide en SO Objeto virtual para SO Imagen real del SOP Sistema óptico de interés (SO) Figura 3.2: Objeto virtual para el sistema óptico SO (Imagen real del sistema óptico previo SOP) 3.2 DIOPTRAS Llamamos dioptra a la superficie que separa dos medios diferentes. Estas superficies pueden tener formas arbitrarias. Si la superficie corresponde a una esfera la llamaos “dioptra esférica”y si el radio de curvatura es infinito la esfera se limita a un plano y la llamaremos “dioptra plana”. Al estudiar la refracción de la luz por una dioptra nos restringiremos a estos dos tipos de dioptras: esféricas y planas. UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 18/59 3.3 IMAGENES 3.3.1 Imágenes reales Una imagen es real cuando la luz al emerger del sistema óptico converge en ella. Como la energía se concentra en el punto imagen, a una imagen real la puedo observar sobre una pantalla o registrar sobre una placa fotográfica. La figura 3.3 muestra la el esquema de cómo se obtendría una imagen real. S S’ S S. O. S. O. S’ b) a) Figura 3.3: a) imagen real de objeto real; b) imagen real de objeto virtual 3.3.1 Imágenes virtuales Una imagen es virtual cuando la luz al emerger del sistema óptico lo hace como divergiendo del punto imagen. En una imagen virtual nunca converge la energía. Las imágenes virtuales no pueden ser observadas sobre pantallas o registradas por placas fotográficas, pero sí pueden fotografiarse o verse, ya que tanto la cámara fotográfica como el ojo tienen su propio sistema óptico para el cual estas imágenes son objetos reales, dando a posteriori otra imagen real de ese objeto. S a) S’ S’ S. O. S. O. S b) Figura 3.4: a) imagen virtual de objeto real; b) imagen virtual de objeto virtual R 3.4 APROXIMACION PARAXIAL CO s α Introduzcamos el concepto de aproximación paraxial. La aproximación se utiliza en aquellos casos CA en los cuales todos los ángulos involucrados son muy R chicos. Pero, ¿qué entendemos por "ángulos muy pequeños"? Observando la Figura 3.5 decimos que el Figura 3.5: Aproximación paraxial ángulo a es muy pequeño si se vale la aproximación: R ≅ CA (3.1) Recordando las definiciones de las funciones trigonométrica puede verse que en esta aproximación: sen(α) = CO/R ≅ CO/CA (3.2) y por ende, sen(α) ≅ tg(α). (3.3) Dada la validez de la ecuación (3.1) resulta que en la aproximación paraxial CA/R = cos(α) ≅ 1. (3.4) El arco (s) sobre una circunferencia se obtiene como el producto entre el radio (R) de la circunferencia y el ángulo (α) que subtiende el arco. El ángulo debe medirse en radianes. En la UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 19/59 aproximación en la cual los ángulos son pequeños, el arco es aproximadamente igual al cateto opuesto (CO) del triángulo rectángulo (ver figura 3.5), y por lo tanto: sen(α) ≅ α (radianes). (3.5) Esta aproximación, que forma parte de la aproximación “óptica geométrica”, se denomina óptica paraxial, o de primer orden o Gaussiana. Sugerencia: tomar su calculadora (en modo radián) y observar hasta qué ángulo se cumple la aproximación paraxial, con un error menor que el de la segunda cifra significativa. Buscar la equivalencia en grados de dicho ángulo. 3.5 DIOPTRA ESFERICA El estudio de la refracción de la luz en dioptras esféricas lo limitaremos a la aproximación paraxial. Consideremos entonces la dioptra esférica de la Figura 3.6. En esta figura O1 y O2 representan dos objetos reales, el primero se encuentra sobre el eje óptico, mientras que el segundo está en el mismo plano a una distancia h de dicho eje. O1P y O1V son dos rayos que partiendo del objeto O1 inciden en la dioptra. PO’1 y VO’1 son los correspondientes rayos refractados, que al cortarse en el punto O’1 dan lugar a la imagen del objeto O1. El objetivo es encontrar la relación que existe entre las posiciones del objeto y su imagen como así también la relación entre sus distancias al eje óptico. θi O2 P y θt |R| δ h ϕ u V O1 ϕ’ s CC u’ O’1 x h’ O’2 R s’ n n’ Figura 3.6: Formación de imágenes en una dioptra esférica 3.5.1 Notación La notación utilizada en la figura 3.6 es la siguiente: Nombre Elemento Nombre V – P Dioptra Índice de refracción del medio desde n n’ el que incide la luz V – CC Eje óptico del sistema V Centro de curvatura de la dioptra CC R Objeto axial O'1 O1 Objeto extra-axial O'2 O2 Distancia de O2 al eje óptico h' h Distancia vértice de la dioptra - objeto s s' Punto de intersección del rayo que P δ proviene del objeto axial con la dioptra y Angulo que subtiende el rayo O1-P con u u' el eje óptico Angulo entre el rayo O1-P (incidente) θi θt y la normal a la dioptra en el punto P Angulo que forma el rayo procedente ϕ ϕ' del objeto extra-axial O2 con la normal a la dioptra en el vértice. Elemento Índice de refracción del medio al que se refracta la luz Vértice de la dioptra Radio de curvatura de la dioptra. Imagen axial Imagen extra - axial Distancia de O'2 al eje óptico Distancia vértice de la dioptra - imagen Posición angular de P, respecto de eje óptico, desde CC Altura de P respecto del eje Angulo que subtiende el rayo P-O’1 con el eje óptico Angulo entre el rayo O’1-P (refractado) y la normal a la dioptra en el punto P Angulo que forma el refractado hacia la imagen extra-axial O’2 con la normal a la dioptra en el vértice. UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 20/59 3.5.2 Convenciones de signos 1. La luz incide de izquierda a derecha. 2. Todas las distancias se miden a partir del vértice de la dioptra o desde el eje óptico del sistema. Se define "eje óptico" al eje que contiene al vértice y al centro de curvatura de la dioptra (CC) (eje x). 3. Toda distancia medida en el mismo sentido en que avanza la luz es positiva y en sentido contrario es negativa (en la Figura 3.6: s < 0, R > 0 y s' > 0). 4. Toda distancia por encima del eje óptico es positiva y por debajo es negativa (h > 0; h’< 0; y > 0). 5. Los ángulos se miden desde el eje óptico hacia el rayo, o desde la normal a la dioptra, en el punto de incidencia, hacia el rayo. 6. Son positivos los ángulos que representan un giro antihorario (en el sentido contrario a las agujas del reloj) y negativos los horarios. En la Figura 3.6 son positivos: u, θi y θt; y son negativos: ϕ, u', δ y ϕ'. 3.5.3 Aproximaciones que se realizan Se hace la aproximación paraxial, es decir, sen(α) = tg(α) = α y cos(α) = 1; donde α es cualquiera de los ángulos presentes. Y la ley de Snell en la aproximación paraxial es n θi = n’θt. 3.5.4 Ecuación de la dioptra esférica Para obtener la ecuación que nos de la posición de la imagen de un objeto axial conocido, aplicamos la ley de Snell a los rayos incidente y refractado en un punto arbitrario de la dioptra, tal como el punto P. P se encuentra a una altura "y" sobre el eje de la dioptra (Figura 3.6). El rayo incidente une al objeto axial O1 con P y el rayo refractado une P con O'1. Los ángulos de incidencia y refracción deben satisfacer la aproximación paraxial. Por lo tanto debe notarse que la escala vertical en el gráfico de la figura 3.6 está super-ampliada. Si la aproximación paraxial se satisface, n θi = n' θt (3.6) n sen (θi) = n' sen (θt) pero teniendo en cuenta los signos de cada ángulo, θi = u - δ y θt = u' - δ, (3.7) y considerando tanto la aproximación paraxial como los signos de las magnitudes involucradas, la ecuación (3.6) puede re-escribirse de la siguiente forma n {[y / (-s)] - [y / (-R)]} = n' {[y / (-s')] - [y / (-R)]} , (3.8) que reordenada en forma conveniente nos da la ecuación de la dioptra: (n' / s') - (n / s) = (n' - n) / R = Φ. (3.9) En la ecuación (3.9) Φ es lo que se denomina potencia de la dioptra y se mide en dioptrías, que en unidades fundamentales es m-1. Es importante enfatizar que para que la ecuación de la dioptra, tal como la hemos obtenido, sea válida debe trabajarse con las convenciones y aproximaciones fijadas. De utilizarse otras convenciones las ecuaciones resultantes serían diferentes. En particular los signos de la ecuación (3.9) podrían ser diferentes. Notemos además que dentro de la aproximación todos los rayos ven a la esfera como un plano, el plano tangente a la dioptra en su vértice. La diferencia entre un plano y una esfera suficientemente grande es que le radio de curvatura del plano "es infinito" y el de la esfera es sólo "muy grande". En el dibujo se mantuvieron los radios de curvatura chicos comparados con los tamaños de los objetos, pero esto sólo se hizo para lograr un efecto visual; si fuese esa la relación de tamaños reales la aproximación paraxial no sería válida y los resultados calculados serían falsos. Luego, en esta aproximación, la dioptra esférica siempre se debe aproximar gráficamente por el plano tangente a ella en su vértice. Al dibujar la refracción de los rayos considerados, deben refractarse en ese plano. UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 21/59 3.5.4.1 Distancia focal imagen Analicemos ahora, en qué posición se forma la imagen de un objeto real "muy lejano", digamos de un objeto que se encuentra en el infinito negativo (-∞). Si s tiende a -∞, 1/s tiende a 0, y la imagen se forma en s'|∞ = n'/Φ. A esa distancia particular se la llama distancia focal imagen (f ') de la dioptra. (3.10) f ' = n' / Φ = n' R / (n' - n). Es importante notar que el valor de f ' depende sólo de parámetros constructivos de la dioptra, como lo son los índices de refracción de los medios a los que separa y el radio de curvatura con el cual se construyó. Decir que s tiende a ∞, es equivalente a decir que los rayos inciden paralelos al eje óptico de la dioptra. Por lo tanto, todo rayo que incida sobre la dioptra paralelo al eje óptico, luego de refractarse pasará por la distancia focal imagen, ya sea que provenga de un objeto en el infinito o de un objeto cercano, ya que la dioptra es incapaz de distinguir el punto desde el cual proviene el rayo. Notemos que cuando la potencia de la dioptra es positiva la distancia focal imagen también es positiva, y el punto de convergencia se encuentra a la derecha del vértice de la dioptra. Si la potencia es positiva se dice que la dioptra es convergente. Es el caso representado en la figura 3.7a (R > 0 y n' > n) y en la figura 3.7b (R < 0 y n' < n). CC f’ vidrio aire CC f’ aire vidrio (a) (b) Figura 3.7: Distancias focales imagen de dioptras convergentes a) convexa; b) cóncava CC f’ vidrio aire (a) f’ CC vidrio aire (b) Figura 3.8: Distancias focales imagen de dioptras divergentes a) convexa; b) cóncava Si la potencia fuese negativa la distancia focal imagen también sería negativa y el punto donde parecen cortarse los rayos que vienen del infinito estaría a la izquierda del vértice de la dioptra. Es decir, los rayos parecerían salir de la dioptra procedentes de f ' (Figuras 3.8a donde R > 0 y n' < n y 3.8b donde R < 0 y n' > n). En este caso se dice que la dioptra es divergente. Notemos que tanto en la UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 22/59 figura 3.7, como en la figura 3.8 hemos dibujado no sólo las dioptras sino que también dibujamos sus planos tangentes en el vértice, y sobre estos planos hemos graficado la desviación de los rayos. Resumiendo: 1. Para que la potencia de una dioptra sea positiva deben cumplirse una de las dos condiciones siguientes: • dioptra convexa (R > 0) y segundo medio ópticamente más denso que el primero (n' > n) • dioptra cóncava (R < 0) y segundo medio ópticamente menos denso que el primero (n' < n). 2. Para que la dioptra sea divergente las condiciones son las siguientes: • dioptra convexa (R > 0) y segundo medio ópticamente menos denso que el primero (n' < n) • dioptra cóncava (R < 0) y segundo medio ópticamente más denso que el primero (n' > n). 3.5.4.2 Distancia focal objeto Análogamente, podemos preguntarnos dónde se debe colocar un objeto para que su imagen se forme “muy lejos”. Que la imagen esté muy lejos corresponde a que s' tienda a ∞, por lo que (1/s') tiende a 0; de lo que resulta que la ubicación del objeto es s|s’=∞ = - n / Φ. A esa distancia objeto particular se la denomina distancia focal objeto (f) de la dioptra. f CC aire vidrio f CC vidrio aire (b) (a) Figura 3.9: Distancias focales objeto de dioptras convergentes a) convexa; b) cóncava CC f vidrio aire (a) CC f’ vidrio aire (b) Figura 3.10: Distancias focales objeto de dioptras divergentes a) convexa; b) cóncava Por lo tanto, todo rayo que incide sobre la dioptra pasando por (o en dirección desde) la distancia focal objeto sale de la dioptra paralelo al eje óptico. En la Figura 3.9a se esquematiza el caso correspondiente a una fuente puntual real colocada a la distancia focal objeto respecto del vértice de UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 23/59 una dioptra convexa convergente. La Figura 3.9b corresponde a colocar una fuente puntual real a la distancia focal objeto del vértice de una dioptra cóncava convergente. Análogamente las figuras 3.10a y 3.10b corresponden a dioptras convexa y cóncava respectivamente y ambas divergentes. Notemos que en ambos casos los objetos deben ser virtuales, es decir, no corresponden a objetos reales sino a imágenes reales generadas por sistemas ópticos previos y tal que las dioptras se intercalan en algún punto anterior a la formación de la imagen. Luego, teniendo en cuenta las definiciones que corresponden a las distancias focales objeto e imagen, la ecuación de la dioptra (ecuación 3.9) puede re-escribirse de cualquiera de las siguientes formas: (n' / s') - (n / s) = n' / f ’ (3.11) (n' / s') - (n / s) = - n / f (3.12) (n' / s') - (n / s) = Φ. (3.13) Notemos que en una única dioptra esférica las distancias focales objeto e imagen "nunca" pueden ser iguales en módulo (los signos son siempre distintos). Para que los módulos sean iguales es necesario que los índices de refracción a ambos lados de la dioptra sean iguales (n = n'). Pero esto significa que ambos medios serían el mismo medio y por ende no existiría la dioptra. 3.5.5 Objetos extra-axiales. aumento lateral y aumento angular ¿Qué pasa cuando el objeto no se encuentra sobre el eje óptico?, ¿dónde obtendremos la imagen de un objeto tal como O2 en la Figura 3.6 (coplanar con O1 , en el plano perpendicular al eje óptico, y que dista h de él)? Nos interesa conocer la separación entre las imágenes de O1 y de O2. Es decir, queremos la separación entre O’1 y O’2 (es decir, h'), como función de la separación entre los objetos (h) y de las posiciones axiales de los objetos y de las imágenes (s y s'). Notemos que en este caso existe otro eje que contiene a O2, a CC y a O’2, que también podría ser el eje óptico de la dioptra. La distancia vértice-objeto es prácticamente la misma para O2 que para O1, por lo tanto la distancia vértice- O’2 (imagen de O2) será prácticamente la misma que la distancia vértice- O’1. Lo que implica que, O’1 y O’2 también estarán sobre un mismo plano perpendicular al eje óptico y es por eso que podemos decir que una dioptra transforma un plano perpendicular al eje óptico en otro plano también perpendicular al eje óptico. Si bien es cierto que ese segundo eje es equivalente al primero, para un objeto extenso compuesto por los dos puntos, sólo uno podría ser el eje óptico, entonces siempre uno de los objetos sería axial y el otro sería extraxial. Analicemos el rayo que parte de O2 y llega a O’2, pasando por el vértice de la dioptra (V). Estos rayos forman con el eje óptico los ángulos ϕ y ϕ’ y ambos ángulos deben cumplir la ley de Snell en la aproximación de ángulo pequeño, es decir: n ϕ = n’ ϕ’ (3.14) reemplazando el ángulo por su tangente y respetando las convenciones de signos vale: n h / s = n’ h’ / s’ (3.15) en consecuencia: h’ = (n s’ / n’ s) h. (3.16) Se define el aumento lateral o lineal (m) como el cociente entre el tamaño de la imagen (h') y el tamaño del objeto (h). De la ecuación anterior puede verse que el aumento lateral de una dioptra esférica en la aproximación paraxial vale: m = h’ / h = n s’ / n’ s (3.17) Cuando analizamos el aumento lateral, también llamado magnificación, hay dos cosas que tenemos que tener en cuenta: su módulo y su signo. Un módulo mayor que 1 nos dice que la imagen es más grande que el objeto (imagen aumentada), mientras que un módulo comprendido entre 0 y 1 dice que la imagen es disminuida, menor que el objeto. Un signo positivo dice que la imagen está del mismo lado del eje óptico que el objeto, es directa. Un signo negativo indica que la imagen está del lado contrario al que se encuentra el objeto respecto del eje óptico, por lo tanto es invertida. Hay situaciones en las que resulta más útil definir el aumento angular (γ). Este aumento se define como el cociente entre el ángulo que subtiende el rayo refractado (u' en la Figura 3.6) y el UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 24/59 ángulo que subtiende el rayo incidente (u) para objetos axiales. De la Figura 3.6 puede verse que este aumento vale: γ = u’ / u = (y / - s’) / (y / - s) = s / s’ (3.18) Multiplicando ambos aumentos, lateral y angular (m y γ), se obtiene una ecuación muy conocida y usada en la óptica geométrica paraxial. Es la ecuación de Lagrange-Helmholtz que establece lo siguiente: n h u = n’ h’ u’ (3.19) 3.6 GRAFICOS DE s’ vs s: El objetivo final de este estudio es predecir dónde está y de qué tamaño es la imagen de cualquier objeto cuando se observa a través de una dioptra dada. Con "dioptra dada" queremos decir que hemos fijado los medios a ambos lados de la interfase o lo que es equivalente los índices de refracción y el radio de curvatura de la superficie, es decir, conocemos n, n’ y R (por lo tanto también conocemos los valores de f y f ’). En ese caso, de las ecuaciones (3.10) y (3.11) podemos despejar s’, obteniendo los siguientes resultados, cuyos gráficos corresponden a hipérbolas s’ = n’ s f ’ / (n’ s + n f ’) (3.20) s’ = f ’ / [1 + (n f ’ / n’ s)] (3.21) s’ = (n’ / n) s f / (f - s) (3.22) Si queremos estudiar el comportamiento de una función debemos analizar cuánto vale la función o a qué tiende para ciertos valores de la variable independiente. Las posiciones del objeto correspondientes a esos valores son: • s = 0, el objeto está pegado a la dioptra. En ese caso es fácil ver tanto de la ecuación (3.20), como de la (3.22), que s’= 0. • s +∞, el objeto es virtual y está infinitamente lejos. En este caso, de la ecuación (3.21), es inmediato ver que s’ tiende a f ’. Aún nos falta saber si s’ es mayor o menor que f ’. • s -∞, el objeto es real y está infinitamente lejos. Se repite lo dicho en el caso anterior. • (f – s) 0, el objeto se acerca a la posición donde el denominador de la función se anula. Este caso se puede desdoblar en dos: 9 s tiende a f por la izquierda, decimos que s tiende a f -, por lo tanto (f – s) tiende a (+ 0). 9 s tiende a f por la derecha, decimos que s tiende a f +, (f – s) tiende a (- 0. ). En ambos casos de la ecuación (3.22) se ve que s’ tiende a infinito. Falta saber si tiende a infinito positivo o negativo. Estudiemos este problema tanto para dioptras convergentes como para dioptras divergentes. 3.6.1 Dioptra convergente Una dioptra convergente tiene potencia positiva, es decir: Φ > 0, eso significa que: f ’ > 0 y f < 0. Luego: +0 y [1 + (n f ’ / n’ s)] > 1 y s’ < f ’. •s +∞, entonces (n f ’ / n’ s) •s -∞, entonces (n f ’ / n’ s) - 0 y [1 + (n f ’ / n’ s)] < 1 y s’ > f ’. •s f (recordar que s < 0 y f < 0 pero |s| > |f|), f - s > 0 y sf > 0 , luego s’ +∞ . + •s f (recordar que s < 0 y f < 0 pero |s| < |f|), f - s < 0 y sf > 0 , luego s’ -∞. • s = 2 f entonces s’ = - n’ 2 f / n = 2 f’ notemos que para este s el aumento es m = -1 El gráfico correspondiente se muestra en la figura 3.11. Analicemos cuidadosamente este gráfico. En principio podemos distinguir dos situaciones diferentes: 1. que el objeto sea real (s < 0). 2. que el objeto sea virtual (s > 0). En la condición 1. podemos a su vez distinguir entre tres situaciones diferentes: 1.1 Que el objeto esté entre menos infinito y dos veces la distancia focal objeto (-∞<s<2f). 1.2 Que el objeto esté entre 2f y f (2f<s<f). 1.3 El objeto está entre la distancia focal objeto y la dioptra (f<s<0). UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 25/59 En la condición 2 la situación es única. Analicemos las características de la imagen en cada caso, es decir, si la imagen es: a) real o virtual (real si s' resultante es s’ positivo y virtual si es negativo). b) directa o invertida (directa si m > 0 m = -1 (signo(s)=signo(s')); invertida si m < 0). m=1 c) aumentada o disminuida (aumentada si |m| > 1 y disminuida si |m| <1. Una imagen 2f’ es disminuida cuando la curva, para ese f’ objeto, está ubicada en la zona que contiene f al eje horizontal y está delimitada por las 2f s rectas correspondientes a m = -1 y m = 1 (zonas grisadas). Es aumentada en caso contrario. d) Ubicación en el eje s’. Para analizar el resultado miramos en qué zona está la curva de s’ vs s para distintas Figura 3.11: Dioptra convergente. posiciones del objeto. Por ejemplo en el caso Posición de la imagen (s’) en función de la 1.1 la curva pasa por el segundo cuadrante, posición del objeto (s) donde s’ es siempre positivo (imagen real) y el aumento es siempre negativo, ya que en ese cuadrante los signos de s y de s’ son diferentes (imagen invertida) y además está en la zona grisada, donde s’ es más chico, en módulo, al que correspondería a aumento unitario, por lo que el módulo del aumento es menor que 1 (imagen disminuida). Y podemos observar además que los valores de s’están siempre comprendidos entre f ’ y 2 f ’. En la tabla 3.1 hacemos una síntesis de las características de la imagen para todas las posiciones posibles del objeto para dioptras convergentes. Se sugiere al lector que observando el gráfico de la figura 3.11 analice la veracidad de los resultados dados en la tabla 3.1: CASO 1.1 1.2 1.3 2. IMAGEN REAL O DIRECTA O AUMENTADA O UBICACION VIRTUAL INVERTIDA DISMINUIDA Real Invertida Disminuida (f ’< s’<2 f ’) (-∞ < s < 2 f) real (2 f < s < f) real Real Invertida Aumentada (2 f ’< s’< ∞) (f < s < 0) real Virtual Directa Aumentada (-∞ < s’ < 0) Directa Diminuida (0 < s’ < f ’) (0 < s < +∞) virtual Real Tabla 3.1: Dioptras convergentes. Características de la imagen como función de la posición del objeto. OBJETO 3.6.2 Dioptra divergente Una dioptra es divergente cuando su potencia (Φ) es negativa, o sea, f ' < 0 y f > 0. Recordando la ecuaciones (3.20) a (3.22) se puede ver que: • s +∞, entonces (n f ’/ n’ s) - 0 y [1 + (n f ’ / n’ s)] < 1 y |s’| > |f ’|, luego s' < f '. • s -∞, entonces (n f ’ / n’ s) +0 y [1 + (n f ’ / n’ s)] > 1 y |s’| < |f ’|, luego s' > f ’. • s f - (recordar que s > 0 y f > 0 pero s < f, f - s > 0 y sf > 0 , luego s’ +∞. + • s f (recordar que s > 0 y f > 0 pero s > f, f - s < 0 y sf > 0 , luego s’ -∞. UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 26/59 El gráfico correspondiente se muestra en la figura 3.12. Analicemos este gráfico, tal como lo s’ hiciéramos con el de la figura 3.11. En principio se podrían distinguir dos situaciones diferentes: m=-1 m=1 1. considerar objetos reales (s < 0). 2. considerar objetos virtuales (s > 0). Ahora en la situación 2 podemos distinguir entre tres situaciones diferentes: f 2f 2.1 El objeto se ubica entre la dioptra y la f’ 2f’ distancia focal objeto (0 < s < f). 2.2 El objeto está ubicado entre f y 2f (f < s < 2f). 2.3 El objeto esta entre dos veces la distancia focal objeto e infinito (2f < s < ∞). La tabla 3.2 sintetiza el resultado del Figura 3.12: Dioptra divergente. análisis para dioptras divergentes, conforme a la Posición de la imagen (s’) en función de la figura 3.12: posición del objeto (s) CASO 1. 2.1 2.2 2.3 s IMAGEN REAL DIRECTA AUMENTADA - UBICACION VIRTUAL INVERTIDA DISMINUIDA Directa Disminuida f < s’ < 0 (-∞ < s < 0) real Virtual (0<s <f) virtual Real Directa Aumentada 0 <s’ < + ∞ (f<s< 2f) virtual Virtual Invertida Aumentada - ∞ < s’< 2f’ Invertida Diminuida 2f’ < s’ <f’ (2f<s< +∞) virtual Virtual Tabla 3.2: Dioptras divergentes. Características de la imagen como función de la posición del objeto. OBJETO 3.7 DIOPTRAS PLANAS Una dioptra plana es sólo el caso particular de una dioptra esférica en la cual el radio de curvatura tiende a infinito. De la ecuación (3.9), vemos que la potencia de una dioptra plana es cero. Esto es equivalente a decir que no cambia la convergencia o divergencia de un haz, sino sólo cambia el centro de convergencia o divergencia. Considerando R = ∞ en la ecuación (3.9) (o 1/R = 0) obtenemos la posición de la imagen en función de la posición del objeto y de los índices de los medios: s' = n' s / n. (3.23) También podemos ver que ambas distancias focales tienden a infinito, de la misma forma que lo hace el radio de curvatura. Es importante notar que el valor de s' dado por la ecuación 3.23 conlleva la restricción implícita de que la observación se hace en forma prácticamente perpendicular a la superficie. De no ser así los ángulos involucrados no serían L pequeños y dicha ecuación no sería válida. Para una dioptra plana los gráficos de s’ vs s correponden, según la ecuación 3.23 a una recta de pendiente positiva y valor n’/n, que pasa por el origen de coordenadas, es decir coincide con P S’ S S” la recta de aumento +1. 3.8 TRAZADO DE RAYOS EN DIOPTRAS ESFERICAS Si queremos indicar la posición de un objeto puntual, tal como S en la figura 3.13, no es suficiente dibujar un rayo que sale de él, por ejemplo el rayo SP. Ese rayo podría provenir de cualquiera de los infinitos puntos que componen la recta SP, por Figura 3.13: Determinación de un objeto puntual mediante dos rayos UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 27/59 ejemplo el rayo podría provenir también de S’ o de S”. El gráfico no debe dejar lugar a dudas acerca de cuál es el punto desde el que está fluyendo la luz. Esto se determina unívocamente considerando por lo menos dos rayos diferentes que salen del mismo punto objeto. En la figura 3.13 determinamos que el punto es S porque consideramos dos rayos diferentes el SP y el SL. Por otra parte, para que un punto sea imagen de otro, todo rayo que sale de uno de ellos (objeto) debe pasar necesariamente por el otro (imagen). Por lo tanto, para obtener gráficamente la imagen de un objeto nos basta con considerar sólo dos rayos que proceden del objeto, y obtener el punto donde se cortan luego de atravesar la dioptra. En esa posición estará ubicada la imagen. Los rayos que consideremos pueden ser dos cualesquiera; pero, en general, no es fácil conocer la trayectoria de cualquier rayo al atravesar la dioptra. Por lo que analizaremos a continuación cuales son los rayos convenientes para trazar. 3.8.1 Objetos extraxiales Hemos visto que hay dos casos en los cuales la evolución posterior del rayo es muy conocida. y si el objeto está alejado del eje óptico (objeto extraxial) es siempre posible considerar esos dos rayos diferentes y que son: 1. el rayo que pasando por el objeto incide sobre la dioptra paralelo al eje óptico. Este rayo luego de refractarse, en el caso de dioptras convergentes (figuras 3.14a y 3.14b), pasa por la distancia focal imagen. Mientras que en dioptras divergentes (figuras 3.14c y 3.14d), sale de la dioptra como si proviniese de la distancia focal imagen . 2. el rayo que pasando por el objeto real (o a pasar para objetos virtuales) y por la distancia focal objeto incide sobre la dioptra. Este rayo emerge de la dioptra paralelo al eje óptico. Para dioptras convergentes: figuras 3.14a y 3.14b. Para dioptras divergentes: figuras 3.14c y 3.14d. a) b) c) d) Figura 3.14: a) y c) objetos reales b) y d) objetos virtuales En la figura 3.14 hemos omitido dibujar la curvatura de las dioptras y sólo esquematizamos los correspondientes planos tangentes, ya que ellos bastan para graficar la desviación de los rayos. La convergencia o divergencia de la dioptra queda establecida por la posición de las distancias focales, como así tambien por el tipo de flechas que las representan. Es decir, ↕ para dioptras convergentes y para dioptras divergentes. Las figuras 3.14a y 3.14b corresponden a dioptras convergentes y las figuras 3.14c y 3.14d a dioptras divergentes. Por otra parte (a) y (c) representan el caso en que el objeto considerado es un objeto real, mientras que (b) y (d) corresponde al caso en que el objeto considerado es virtual. UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 28/59 3.8.2 Objetos axiales Cuando el objeto se encuentra sobre el eje óptico estos dos rayos coinciden con el eje y por lo tanto no resultan útiles para obtener la imagen. Entonces, ¿cómo se obtiene gráficamente la imagen de objetos axiales? Como ya dijimos la dioptra transforma un plano (objeto) en otro plano (imagen). Por lo tanto basta con obtener la imagen de cualquier objeto extra-axial coplanar con el objeto en cuestión. La imagen del objeto axial será el punto en que el eje corta a ese plano imagen. Vale la pena resaltar que una dioptra convergente no siempre da una imagen real de un objeto real. Mientras que las imágenes de una dioptra divergente tampoco resultan siempre virtuales. 3.9 FORMACION DE IMÁGENES EN DIOPTRAS PLANAS 3.9.1 Objetos reales En la figura 3.15 mostramos un objeto real (A) inmerso en un medio de índice de refracción n1, y que se encuentra a una distancia s de la superficie plana que lo separa de otro medio de índice de refracción n2. En el esquema de la figura 3.15a hemos supuesto n1 < n2 y en el de la figura 3.15b consideramos la relación inversa, es decir, n1 > n2. En ambas situaciones consideramos dos rayos, el [1] es perpendicular la dioptra y el [2] forma un ángulo θ2 con la normal a la superficie. n1 n2 n1 n2 [2 ’] [2 ’] θ 2’ B θ2 A’ θ 2’ θ2 A A [1 ] s θ2 y [2 ] [1 ’] O b je to A’ y θ 2’ [1 ’] [1 ] C s’ s’ Im a g e n θ2 [2 ] θ 2’ B C s D io p tra p la n a (a ) O b je to Im a g e n D io p tr a p la n a (b ) Figura 3.15: Dioptra plana. Formación de imágenes. Objeto real. (a) n1 < n2; (b) n1 > n2. Es fácil demostrar que si un rayo incide normalmente a la interfase el rayo transmitido también es perpendicular a ella (rayo [1’] en la figura 3.15). Para cualquier otro ángulo de incidencia el rayo refractado se desvía siguiendo la ley de Snell. Se acerca a la normal si n1 < n2 o se aleja de ella si n1 > n2. Y en la aproximación paraxial, n θ2 = n’θ’2. Si prolongamos los rayos [1’] y [2’] hasta su intersección (A’) habremos encontrado la imagen del objeto puntual A. Y hemos visto cómo se obtiene, en esta aproximación, s’ en función de s: ecuación (3.23): s’ = (n’ / n) s. Notemos los siguientes hechos: el objeto considerado es real y la imagen resultante es virtual, es decir, la energía no converge al punto imagen sino que parece provenir de él. Si el primer medio es menos denso que el segundo (recordemos que el observador se encuentra en el segundo medio) la dioptra plana aleja la imagen; mientras que en el caso contrario la acerca. Este último fenómeno es el que observamos al mirar la rejilla en el fondo de la pileta de natación. Si la pileta se encuentra con agua nos parece verla más cerca nuestro que si la pileta está vacía. 3.9.2 Objetos virtuales Como hemos visto en el ítem previo la ecuación que nos da la posición de una imagen para un objeto real, ecuación 3.23, es independiente de cómo sea la relación de los medios. La diferencia entre ambos casos reside en el resultado que obtenemos, en un caso acerca y en el otro aleja. Nos preguntamos ahora si la ecuación 3.23 puede modificarse si se cambia el tipo de objeto. La respuesta “razonable” es que, como al obtener la ecuación 3.23 no hicimos ninguna hipótesis acerca de cuál es la característica del objeto el resultado no puede ser diferente. La Figura 3.16 muestra los esquemas UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 29/59 correspondientes a objetos virtuales que son consecuencia de la validez de la ecuación 3.23. Nótese que en ambos casos las imágenes obtenidas son reales. θ2 n1 n2 θ2 θ’2 B A n1 n2 θ’2 B A’ A’ A s’ s s s’ (a) (b) Figura 3.16: Dioptra plana. Formación de imágenes. Objeto virtual. (a) n1 < n2; (b) n1 > n2 UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 30/59 4. OPTICA GEOMÉTRICA: FORMACIÓN DE IMÁGENES. SISTEMAS REFLECTORES 4.1 Espejos esféricos Para obtener la ecuación de los espejos esféricos, cóncavos o convexos, deberíamos partir de la ley de reflexión, establecer las convenciones a utilizar y hacer la aproximación paraxial; es decir, seguir el mismo procedimiento empleado en la deducción de la ecuación de la dioptra esférica. Sin embargo, veremos que mediante un razonamiento un poco más intuitivo que matemático, podemos obtener la ecuación de los espejos esféricos a partir de la ecuación de las dioptras. Sabemos que cuando la luz incide sobre un espejo perfecto no pasa de un medio a otro diferente, sino que, al reflejarse, vuelve al mismo medio del que provenía. Desde este punto de vista podemos considerar que el índice de refracción del segundo medio es igual al del primero (n = n'). Pero, si aplicásemos esta condición directamente en la ecuación de las dioptras sería equivalente a considerar que la dioptra ha desaparecido, ya que la luz viajaría en el espacio libre sin cambio de medio y sin haber impuesto la restricción de que se refleje en el espejo. ¿Cómo podemos entonces contemplar la reflexión en el espejo? La condición que nos falta es establecer que, al reflejarse, la luz invierte su dirección de propagación en la componente paralela a la normal. Como la luz nunca pasa al segundo medio (es decir, nunca pasa detrás del espejo perfecto) podríamos atribuirle a ese segundo medio la habilidad de invertir el sentido de propagación, y esto lo haríamos asignándole un índice de refracción negativo. Es importante puntualizar que no es posible encontrar en la naturaleza un medio con índice de refracción negativo, pero en nuestra hipótesis no decimos que tal medio exista realmente (la luz nunca se propaga en él), lo único que decimos es que haremos una hipótesis matemática para obtener la ecuación de los espejos (que no son dioptras) a partir de la ecuación de la dioptras. Por todo lo expresado, para obtener la ecuación de los espejos consideraremos n' = - n en la ecuación de las dioptras. 4.1.1 Ecuación de los espejos esféricos Si reemplazamos n' por - n en las ecuaciones 3.9 a 3.13, resulta: (4.1) (- n / s') - (n / s) = (- n - n ) / R = - n / f ' = - n / f = Φ, sacando factor común (- n) en todos los términos y dividiendo por ese factor, obtenemos la ecuación de los espejos esféricos: φ 1 1 2 1 1 + = = = = = φespejo . (4.2) s' s R f' f −n Del mismo modo que, en las dioptras, obtuvimos la posición de la imagen (s’) como función de la distancia focal (f) y de la posición del objeto (s), en los espejos esféricos resulta: s' = s f / (s – f) (4.3) = s R / (2 s - R). (4.4) Analicemos entonces las similitudes y las diferencias entre un espejo y una dioptra. 1. Objetos reales-objetos virtuales: Al igual que en las dioptras los objetos son reales cuando la luz fluye desde ellos, y esto corresponde a valores de s negativos. Los objetos son virtuales cuando la luz incide sobre el espejo pareciendo converger hacia ellos (s positivo). 2. Imágenes reales-imágenes virtuales: La definición de una imagen real, más allá del sistema óptico considerado, corresponde a la concentración de la energía. Para que esto ocurra en una dioptra, s' debe ser positivo, mientras que para que la luz se concentre luego de reflejarse s' debe ser negativo. Luego, en un espejo: imagen real Ö s' < 0 e imagen virtual Ö s' > 0. 3. Convergencia-divergencia: Decíamos que una dioptra es convergente cuando la luz que proviene de un haz paralelo converge en un punto luego de refractarse y esto ocurre cuando su potencia es positiva, o lo que es lo mismo, cuando su distancia focal imagen es positiva. Notemos que en un espejo la situación es diferente, para que un espejo sea convergente la imagen de un objeto en el infinito (haz paralelo) debe ser real, y para que sea real la luz debe realmente converger sobre la imagen. Pero, para que la luz converja en la imagen, la distancia focal imagen debe ser negativa y esto equivale a pedir que la potencia sea negativa. Luego: espejo convergente Ö potencia negativa; UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 31/59 espejo divergente Ö potencia positiva. Por lo tanto, para que un espejo sea convergente su radio de curvatura debe ser negativo, es decir, el espejo debe ser cóncavo. Todo espejo esférico convexo es divergente. 4. Distancia focal objeto - distancia focal imagen: En las dioptras las distancias focales están siempre en lados distintos respecto al vértice de la dioptra y son diferentes en módulo y en signo. En un espejo ambas distancias focales coinciden, es decir, son iguales y están del mismo lado del espejo; más aún, la imagen de un objeto en infinito se forma a una distancia que es la mitad del radio de curvatura del espejo. En espejos convergentes ambas distancias focales son negativas, mientras que en espejos divergentes son ambas positivas. 5. Medios externos: Cuando se cambia alguno de los medios a los lados de la dioptra cambia la potencia de la dioptra y por lo tanto cambian ambas distancias focales. Si se cambia el medio en el que se sumerge un espejo nada cambia. La potencia del espejo sólo depende de su propia geometría. 4.1.2 Aumento lateral y aumento angular Para obtener la ecuación que nos da el aumento lateral del espejo sustituimos n’ por – n en la ecuación 3.17, resultando: m = h' / h = - s' / s. (4.5) El aumento angular (γ) (ecuación 3.18) no se modifica ante la sustitución ya que no depende de los índices de refracción. 4.1.3 Gráfico de s’ como función s 4.1.3.1 Espejo cóncavo En un espejo cóncavo el radio de curvatura es negativo, por lo tanto también lo son la distancia focal imagen y la distancia focal objeto (quienes son exactamente iguales entre sí). Por lo tanto, tanto la asíntota vertical como la horizontal son negativas. Por otra parte, como pasara con las dioptras, cuando s = 0, s' = 0. El gráfico correspondiente está dado en la figura 4.1. Notemos que las rectas de aumento m = +1 y m = –1 están invertidas respecto de las dibujadas para la dioptra esférica, esto se debe al cambio de signo en la ecuación del aumento lateral. De la figura 4.1 se pueden obtener las conclusiones dadas en la tabla 4.1 para la formación de imágenes en un espejo convergente (cóncavo): s' m = -1 2f f=f' s 0 f=f' m = +1 Figura 4.1: posición de la imagen (s’) en función de la posición del objeto (s) para un espejo cóncavo. Imagen Real/Virtual Dir./Inv. Aum./Dism. Ubicación Invertida Disminuida R < s’ < f -∞ < s < 2f=R Real Real R<s<f Real Real Invertida Aumentada -∞ < s’ < R f<s<0 Real Virtual Directa Aumentada 0 < s’ < +∞ Directa Disminuida f < s’ < 0 0 < s <+∞ Virtual Real Tabla 4.1: Características de las imágenes en espejos esféricos convergentes. Objeto UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 32/59 Los trazados de rayos, para un objeto perteneciente a cada intervalo pueden verse en la figura 4.2. Figura 4.2: Trazado de rayos en un espejo convergente 4.1.3.2 Espejo convexo El estudio para los espejos convexos es equivalente al realizado para los espejos cóncavos. La figura 4.3 corresponde al gráfico de s’ vs s para el espejo esférico divergente. La tabla 4.2 expresa las características de la imagen como función de la posición y del tipo de objeto. Puede verse que al igual que en el caso de espejos convergentes y dioptras, convergentes o divergentes, el espacio de los objetos se puede dividir en 4 zonas que presentan imágenes con diferentes características. Los trazados de rayos correspondientes quedan como tarea para el lector. s' m = -1 f=f' f=f' 2f s 0 m = +1 Figura 4.3: Gráfico de s’ vs s para un espejo esférico convexo (divergente) Objeto Real/Virtual Imagen Dir./Inv. Aum./Dism. Ubicación Directa Disminuida 0 < s’ < f’ -∞ < s < 0 Real Virtual 0<s<f Virtual Real Directa Aumentada -∞ < s’ < 0 f < s < 2f=R Virtual Virtual Invertida Aumentada f’ < s’ < 2f’ = R Invertida Disminuida R < s’ < +∞ R < s < +∞ Virtual Virtual Tabla 4.2: Características de las imágenes de espejos esféricos divergentes. UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 33/59 4.2 Espejos planos. Así como obtuvimos las ecuaciones de la dioptra plana a partir de las ecuaciones de la dioptra esférica, considerando un radio de curvatura infinito, es posible obtener las ecuaciones para el espejo plano (posición y tamaño de la imagen) a partir de las ecuaciones del espejo esférico. Es decir, considerando R = ∞, en la ecuación 4.2, obtenemos que ambas distancias focales valen infinito, es decir, un haz que incide paralelo sobre el espejo plano se refleja paralelo, y por lo tanto 1 1 + = 0, s' s o lo que es equivalente: (4.6) s' = −s (4.7) y reemplazando s’ en la ecuación del aumento lateral obtenemos que el aumento vale +1 para cualquier objeto. Es decir, un espejo plano ni aumenta ni disminuye, y además no invierte. 4.2.1 Formación de imágenes de objetos reales Hemos visto qué ocurre cuando un rayo de luz h1 C h’1 A’ llega a la superficie de un espejo plano. Ahora A [1]:[1’] queremos saber qué ocurre cuando llega un haz de luz [2] proveniente de un objeto puntual y real colocado θ2i frente al espejo. θ2r D Consideremos el segmento AB esquematizado [2’] en la figura 4.4. El segmento une a dos objetos puntuales reales A y B. Ya vimos repetidas veces que si un objeto es “real” los rayos de luz emergen del [3]:[3’] E B’ B objeto. [4] En la figura 4.4 hemos esquematizado dos de [4’] F los infinitos rayos que salen de A (los rayos [1] y [2]). Objetos Espejo plano Imágenes El rayo [1] es un rayo muy especial es el que incide perpendicularmente sobre el espejo. Como θi1 = 0° Figura 4.4: Formación de imágenes en un resulta θr1 = 0°. Como se refleja sobre sí mismo, le espejo plano. Objeto real colocamos flecha en ambos sentidos. Si analizamos ahora lo que ocurre con otro rayo arbitrario, por ejemplo el [2], teniendo en cuenta la ley de reflexión, obtenemos el rayo reflejado [2’]. Buscamos la intersección de ambos rayos reflejados, para eso debemos prolongarlos hacia atrás y obtenemos el punto A’. Quedan así determinados los triángulos rectángulos ACD y A’CD, ambos tienen un cateto en común y los ángulos agudos adyacentes iguales (garantizado por la ley de reflexión), por lo tanto los triángulos son iguales y sus elementos correspondientes también lo son. Esto significa que la distancia a la que se encuentra A’ del espejo es igual a la distancia a la que se encuentra A; es decir. h1’ = h1. Pero esta conclusión hubiese sido válida para cualquier otro rayo proveniente de A y diferente del [2] (los triángulos determinados hubiesen sido diferentes pero en todos los casos resultaría h1’ = h1). Es decir que todos los rayos que inciden sobre el espejo provenientes del objeto puntual A, emergen de él como provenientes del punto A’ y eso es lo que llamamos la imagen de A. Como los rayos reflejados no se cortan en el punto A’ la energía no se concentra en ese punto, (los rayos sólo parecen provenir de A’). Es decir, la imagen es virtual. Un procedimiento similar (usando rayos como el [3] y el [4] permiten concluir que la imagen de B es B’, ambas equidistantes del espejo. Por lo que podemos ver que el espejo no invierte arriba – abajo (A se encuentra arriba de B y su imagen también está arriba de la de B), ni tampoco derecha – izquierda (¿podría justificarlo?); pero aunque respeta el cerca – lejos invierte adelante y atrás. Concluyendo, la imagen generada por un espejo plano de un objeto real, es virtual y además el objeto y la imagen equidistan del espejo. UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 34/59 4.2.2 Espejos planos. Formación de imágenes de objetos virtuales Consideremos un espejo plano sobre el que incide un haz convergente como el que se muestra en la figura 4.5. El haz esquematizado por los rayos [1], [2] y [3] incide sobre el espejo como convergiendo al punto A que se encuentra por detrás del espejo; el punto A es un objeto virtual.. El objeto virtual es la imagen (real) de otro sistema óptico anterior al espejo y que no se halla esquematizado en la figura 4.5. [1] Como lo hiciéramos en la sección anterior, analizando la reflexión de los rayos [1], [2] y [3], [1’] tarea que queda para el lector, puede verse que la imagen dada por un espejo plano de un objeto virtual [2] : A A’ es real. Es decir, la energía se concentra en el punto [3’] imagen y podría ser observada sobre una pantalla colocada en ese punto. Por otra parte el objeto real y [3] la imagen virtual equidistan del espejo. En la figura 4.5 sólo hemos dibujado los rayos reflejados ([1’], Imagen real Espejo Objeto virtual [2’] y [3’]) hasta el punto en que se cortan, pero claramente debe entenderse que “como un rayo no se Figura 4.5: Formación de imágenes en un modifica por el sólo hecho de cruzarse con otro” espejo plano. Objeto virtual estos rayos continúan su propagación rectilínea luego de la formación de la imagen A’. UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 35/59 5. ÓPTICA GEOMÉTRICA. FORMACIÓN DE IMÁGENES. SISTEMAS TRANSMISORES COMPUESTOS 5.1 Dos dioptras esféricas: lente gruesa Consideremos ahora una lente gruesa, es decir, un sistema óptico formado por dos n n” n’ dioptras cualesquiera separadas una distancia d d. La primera de ellas tiene un radio de curvatura R1; recordemos que R1 puede ser f1 f’1 f2 f’2 tanto positivo como negativo, si es positivo la dioptra es convexa y si es negativo es cóncava, y la dioptra separa dos medios de índices n Dioptra 2 (desde el que viene la luz) y n” (medio hacia Dioptra 1 el cual va la luz). La segunda dioptra tiene un radio de curvatura R2 y separa el medio de Figura 5.1: Sistema de dos dioptras índice n” de un tercer medio de índice de refracción n’. d es la distancia entre los vértices de ambas dioptras. En la figura 5.1 se muestra el esquema que representa a uno de estos sistemas. En él hemos representado las distancias focales de las dioptras y hemos omitido dibujar sus curvaturas, sólo tuvimos en cuenta el plano tangente a ellas en sus respectivos vértices. Si deseamos encontrar la imagen que una lente gruesa produce de un objeto cualquiera, debemos considerar que ese objeto es el que ‘ve’ la primer dioptra y hallar su imagen a través de ella. Luego, esta imagen es el objeto que ve la segunda dioptra y debemos calcular la imagen que da esta última. Esa será la ‘imagen final’ dada por el sistema de las dos dioptras. Gráficamente Analíticamente Primer paso: imagen a través de la primer d dioptra. Sabiendo que: n” n’ S= n h'1 ns '1 n" n n"−n n" n S = − = = = − ; m1 = s '1 s R1 f '1 f1 h n" s de ellas se despejan s’1 y h’1: f1 f’1 f2 f’2 ns '1 n" s1 f ´1 h1 y h´1 = s´1 = S’1 n" s n" s1 + nf ´1 s1 1 s’1 2 Segundo paso: se calcula s2 = s´1 – d, a) recordar que s´1 tiene su propio signo. Luego se plantea la ecuación sobre la d n n” n’ segunda dioptra, llamando s´ ≡ s´2 (imagen S’2 = S’ final del sistema) y s ≡ s1 (objeto del sistema) n´ n" n´ f1 f’1 f2 f’2 y h2 ≡ h´1 − = s´ s´1 − d f ´ 2 S2 = S’1 despejando s´ se obtiene: s2 b) 2 s’ 1 d f ´ 2 (1 − ) s´1 s´= Figura 5.2: Imagen de un sistema de dos dioptras: n" f ´ 2 d + (1 − ) a) imagen a través de la primera n´ s´1 s´1 b) imagen a través de la segunda n" s´ ns'1 ns´ h h= y h´= n´(s´1 −d ) n" s n´s (1 − d ) s´1 UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino Por lo tanto la relación entre s y s´ viene dada por: d f ´ 2 (1 − ) s´1 s´= n" f ´ 2 d + (1 − ) n´ s´1 s´1 y la relación entre h y h´ es: h´= ns´ n´s 36/59 (5.1) h (1 − d ) s´1 (5.2) En la bibliografía es normal encontrar que las lentes gruesas se describen a través de sus planos nodales y de sus planos focales, pero en nuestro tratamiento sólo las consideramos como un par de dioptras esféricas separadas por una distancia d. Lo hacemos así porque en primera instancia sólo estamos interesados en la lente gruesa como un paso previo a obtener la ecuación de las lentes delgadas. De acuerdo a la forma de sus dos superficies una lente gruesa puede ser biconvexa, bicóncava, plano cóncava, plano convexa, o un menisco, como se muestra en la figura 5.3. Recordemos que la convergencia o divergencia de estas lentes gruesas no depende sólo de su forma, sino que depende también Figura 5.3: Tipos de lentes según su forma de los medios materiales externos y del propio medio material de la lente. Si la lente se encuentra en aire resultan ser convergentes la lente biconvexa, la plano convexa y el menisco cuyo borde es mas angosto que el centro (cuarto creciente de la luna) y divergente las otras tres. Pero si fuese una lente de aire en vidrio, las convergentes serían la bicóncava, la plano cóncava y el menisco cuyo borde es más ancho que su centro. Si los medios externos fuesen diferentes depende de la relación de sus índices con el índice de la lente. Respecto de las distancias objeto e imagen de la lente gruesa es importante recordar que la distancia objeto se mide desde el vértice de la primera dioptra, mientras que la distancia imagen se mide desde el vértice de la segunda dioptra. 5.2 Lente delgada Una lente delgada es un conjunto de dos dioptras cuya separación es mucho menor que cualquier otra distancia involucrada, en particular, en la figura 5.2 d << s1'. En tales condiciones se satisface que: 1 - d / s1' ≅ 1, (5.3) por lo tanto la ecuación (5.1) queda: f ´2 s´= n" f ´ 2 +1 n´ s´1 (5.4) y si reemplazamos s´1 en función de s1 = s, y teniendo en cuenta que términos resulta: n´ n n´ n n'− n" n"−n − = − = + = φ1 + φ 2 = φ s´ s f ´2 f1 R2 R1 n" n = − , reacomodando los f ´1 f1 (5.5) Teniendo en cuenta que la definición de distancia focal objeto (punto donde debe colocarse un objeto UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 37/59 para que el haz emerja paralelo) y la de distancia focal imagen (posición donde converge un haz que incide paralelo) y recordando que ambas definiciones son independientes del sistema óptico considerado, podemos escribir la ecuación para las lentes delgadas de la siguiente forma: n´ n n´ n n"−n n´− n" − = = − =φ = + s´ s f´ f R1 R2 (5.6) donde n es el índice de refracción del medio desde el que incide la luz sobre la lente; n' es el del medio al que emerge la luz desde la lente; n” es el índice del material del que está construida la lente; R1 es el radio de curvatura de la primer superficie de la lente (la primer superficie que la luz encuentra en su camino); R2 es el radio de curvatura de la segunda superficie; f es la distancia focal objeto de la lente, f' es la distancia focal imagen y φ es la potencia de la lente. El aumento lateral o lineal de la lente delgada se obtiene reemplazando la condición de lente delgada en la ecuación que da el aumento de un sistema de dos dioptras (ecuación (5.2)): m = n s' / n' s (5.7) y el tamaño de la imagen es: ns´ h´= h n´s (5.8) Si las lentes de la figura 5.3 se encontrasen inmersas en aire a ambos lados, tendríamos que tanto la lente biconvexa como la plano-convexa serían convergentes, ya que sus potencias serían positivas por ser suma de dos términos positivos o nulos (la potencia de una dioptra plana es cero). La lente bicóncava y la plano cóncava serían divergentes ya que sus potencias serían negativas. Para los meniscos la potencia es suma de un término positivo y otro negativo por lo tanto el resultado dependerá de cuál tiene mayor módulo. En el caso del primer menisco por ejemplo, la primera dioptra es divergente y la segunda es convergente, pero el radio de curvatura de la primer superficie es menor que el de la segunda, por lo tanto, la potencia de la primer dioptra es mayor que la de la segunda y el menisco resultaría divergente. 5.3 Gráficos s' vs s Los gráficos de s' como función de s, al igual que en el caso de las dioptras, brindan toda la información necesaria acerca de las características de la imagen de un objeto según sean las características de la lente (potencia, distancia focal, índices de refracción, etc.) y la posición del objeto. De la ecuación de la lente delgada, ecuación (5.6) podemos despejar s' como función de s, de los índices de refracción a ambos lados de la lente y de la potencia (o de alguna de las distancias focales). Las ecuaciones que se obtienen para s' (todas ellas equivalentes) son: s' = n' φ / (φ s + n) (5.9) s' = n' s f' / (n' s + n f') (5.10) s' = f' / [1 + (n f' / n' s)] (5.11) s' = (n' / n) s f / (f - s) (5.12) Consideremos una lente cuya potencia sea positiva, o lo que es lo mismo, su distancia focal imagen es positiva y su distancia focal objeto es negativa. Este es el caso del objetivo (lente simple) de los instrumentos que registran imágenes de objetos reales, instrumentos tales como las cámaras de filmación, incluidas las subacuáticas, o las cámaras fotográficas. Como lo hiciéramos con las dioptras la construcción del gráfico incluye la consideración de las siguientes posiciones de los objetos: ƒ s = 0, el objeto está pegado a la lente. En ese caso es fácil ver que s’=0. +0 y [1 + (n f ’ / n’ s)] > 1 y s’ < f ’. ƒ s +∞, entonces (n f ’ / n’ s) ƒ s -∞, entonces (n f ’ / n’ s) - 0 y [1 + (n f ’ / n’ s)] < 1 y s’ > f ’. ƒ s f (recordar que s < 0 y f < 0 pero |s| > |f |), f - s > 0 y sf > 0, luego s’ +∞. + ƒ s f (recordar que s < 0 y f < 0 pero |s| < |f |), f - s < 0 y sf > 0 , luego s’ -∞. La figura 5.4 corresponde al gráfico de s' vs s para las lentes convergentes. Es importante notar que en el gráfico hemos considerado que |f '| ≠ |f |, por lo que podemos asegurar que la lente está UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 38/59 rodeada por dos medios diferentes, de lo contrario el módulo de ambas distancias focales sería el mismo. Nuevamente, como lo hiciéramos en el estudio de las dioptras podemos considerar dos situaciones diferentes: 1. objetos reales (s < 0). 2. objetos virtuales (s > 0). En la situación 1 podemos distinguir a su vez tres casos distintos: 1.1 Objeto entre menos infinito y dos veces la distancia focal objeto (∞ < s < 2f). 1.2 Objeto entre 2f y f (2f < s < f). 1.3 El objeto esta entre la distancia focal objeto y Figura 5.4: gráfico de s’ vs s para una lente delgada la lente (f < s < 0). convergente En cada caso analizamos: a) si la imagen es real o virtual; es real si el s' obtenido a través de la curva es positivo y virtual si es negativo. b) si la imagen es directa o invertida; es directa si el signo de m es positivo (o lo que es lo mismo signo de s = signo de s') e invertida si m < 0. c) si la imagen es aumentada o disminuida; es aumentada si |m| > 1 y disminuida si |m| < 1. Una imagen es disminuida cuando la curva, para ese objeto, está ubicada en la zona comprendida entre las rectas correspondientes a m = -1 y a m = 1, y que contiene al eje s. Es aumentada en caso contrario. En general, cuando una lente convergente se utiliza como objetivo de una cámara fotográfica o de una filmadora, el objeto se encuentra a distancias mucho mayores que 2f del objetivo. Cuando la lente convergente se utiliza como objetivo de un sistema proyector el objeto se coloca a una distancia comprendida entre 2f y f. Mientas que si el objeto se coloca a una distancia menor que f diremos que la lente está siendo usada como una lupa. El resultado del análisis de las imágenes, para objetos colocados a diferentes distancias de la lente y de acuerdo con la figura 5.4, se da en la tabla 5.1: IMAGEN CA OBJETO SO Ubicación Real/Virtual Directa/Invertida Aum./Dism. 1.1 -∞<s<2f real f´<s´<2f´ Real (s' > 0) Invertida (m < 0) Disminuida (|m| < 1) 1.2 2f<s < f real 2f´<s´<∞ Real (s' > 0) Invertida (m < 0) Aumentada (|m| > 1) 1.3 f <s < 0 real -∞<s´<0 Virtual (s' < 0) Directa (m > 0) Aumentada (|m| > 1) Real (s' > 0) Directa (m > 0) Diminuida (|m| < 1) 2. 0<s < +∞ virtual 0<s´<f´ Tabla 5.1: Lentes convergentes. Características de la imagen como función de la posición del objeto. Del mismo modo se realiza el análisis de s' vs s para una lente divergente. De la figura 5.5 podemos concluir que para la lente divergente, al igual que para la convergente existen 4 zonas donde la posición de los objetos determina diferentes características de las imágenes. Una corresponde a objetos reales y las otras tres a objetos virtuales. Si un objeto es real y se halla su imagen a través de una lente delgada divergente se verifica que su imagen es siempre virtual directa y disminuida y está ubicada entre la distancia focal imagen y la lente. Las otras tres zonas, que corresponden a objetos virtuales (o sea, imágenes de sistemas ópticos previos), corresponden a: el objeto ubicado entre la lente UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 39/59 y su distancia focal objeto, el objeto ubicado entre la distancia focal objeto y dos veces la distancia focal objeto, y por último el objeto virtual más allá del doble de la distancia focal objeto. El gráfico se presenta en la figura 5.5, mientras que el resultado del análisis de las características de la imagen como función de las diferentes posiciones del objeto se dan en la tabla 5.2. Figura 5.5: Gráfico de s’ vs s para una lente delgada divergente IMAGEN CA OBJETO SO Ubicación Real/Virtual Dir./Inv. Aum./Dism. Virtual (s'< 0) Directa (m > 0) Disminuida (|m| < 1) 1. Real f´<s’<0 -∞<s<2f 2.1 0<s<f Virtual 0<s´ Real (s´> 0) Directa (m > 0) Aumentada (|m| > 1) 2.2 f<s<2f Virtual s´<2f´ Virtual (s'< 0) Invertida (m < 0) Aumentada (|m| > 1) Virtual (s'< 0) Invertida (m < 0) Diminuida (|m| < 1) 2.3 2f<s<+∞ Virtual 2f´<s´<f´ Tabla 5.2: Lentes divergentes. Características de la imagen como función de la posición del objeto. Del mismo modo que se hiciera en el caso de dioptras convergentes y divergentes las situaciones planteadas en las tablas 5.1 y 5.2 se pueden verificar por trazado de rayos para objetos extra-axiales ubicados en las diferentes zonas. 5.4 Objetos reales. Lentes convergentes: profundidad de campo Supongamos que queremos fotografiar un objeto cuya profundidad es Δs. Veamos qué ocurre con la profundidad de la imagen en función de la distancia objeto-lente y de la profundidad del objeto. Si la distancia es grande (ubicación de Δs1 en la figura 5.6) podemos ver que para todos los puntos del objeto la imagen se forma aproximadamente a la misma distancia de la lente (s’ casi constante para todo Δs1'). Es decir existe un plano, en el espacio imagen, en el que todas las imágenes estarán en foco. A medida que el objeto se acerca a la lente (Δs2) la situación es bastante parecida (Δs2' en la figura 5.6) y el desenfoque de los distintos puntos de la imagen es muy pequeño aún en un plano imagen único. Pero para distancias Figura 5.6: Profundidad de campo en una lente objeto lente como las del objeto Δs3 convergente podemos ver que las imágenes de los extremos focalizan en planos definidamente distintos y por ende cualquiera sea el plano donde se encuentre la película habrá puntos que se encuentren desenfocados. El efecto del desenfoque es aún más evidente para objetos ubicados a distancias tales como las correspondientes a Δs4. Notemos que en el ejemplo graficado en la figura 5.6 la profundidad del objeto considerado es de apenas |f|/3. Si aumentamos la profundidad del objeto los problemas asociados a desenfoques de los distintos puntos del objeto se agravarían aún a distancias UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 40/59 tales como la que se encuentra el objeto Δs1. En las figuras 5.7a y 5.7b mostramos el trazado de rayos Δs1 que corresponde a la formación de imágenes de objetos tales como Δs2 y Δs4. Notemos que f´ Δs´ f la distancia Δs2 - lente es aproximadamente 2f, mientras (a) que la distancia Δs4 - lente es de tan solo 1.5f. Δs2 Este efecto de desenfoque para distintos puntos objeto es conocido como profundidad de campo de la lente. En realidad, la f f´ profundidad de campo de una Δs´ lente no sólo depende de la profundidad y de la posición del (b) objeto, hecho que hemos Figura 5.7: Formación de imágenes de objetos profundos considerado a través del análisis de las figuras 5.6 y 5.7. Algo más adelante veremos que también juegan un rol importante el diámetro del máximo círculo de confusión que se considera aceptable, la distancia focal de la lente y el diámetro del diafragma. Notemos entonces que este análisis sólo tiene sentido para objetos profundos, ya que si un objeto es perfectamente plano el plano de enfoque es único. 5.5 Lente delgada inmersa en medio único Que una lente de índice de refracción n” se encuentre en un medio único significa que los medios a ambos lados de la lente son el mismo. El caso más habitual es aquel en el que dicho medio es aire (n = n' = 1). Cabe mencionar que ésta, si bien no es la única, es la situación más general de los instrumentos formadores de imagen. Imponiendo la condición de medio único (n = n') en la ecuación de la lente (ecuación 5.6), en las ecuaciones para la posición de la imagen (ecuaciones 5.9 a 5.12) y en la ecuación del aumento (5.8), obtenemos la fórmula conocida con el nombre de "fórmula del constructor de lentes", y las ecuaciones de el aumento y la posición de la imagen para una lente delgada inmersa en un único medio: 1 1 1 1 φ ⎛ n" ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ − = = − = = ⎜ − 1⎟ ⎜⎜ − ⎟⎟ (5.13) s´ s f ´ f n ⎝n ⎠ ⎝ R1 R2 ⎠ s' = s f ' / (s + f ') (5.14) s' = f ' / [1 + (f ' / s)] (5.15) s' = s f / (f - s) (5.16) m = h' / h = s' / s (5.17) 5.6 Círculo de confusión Supongamos que de acuerdo a la figura 5.8 observamos la imagen de un único objeto en un plano diferente a su propio plano imagen. En estas condiciones la imagen no será un punto sino que corresponderá a un círculo cuyo radio aumenta a medida que nos alejamos del plano de enfoque (plano imagen). Llamaremos máximo círculo de confusión aceptable (ccM) al máximo tamaño que puede tener la mancha circular, correspondiente a la imagen de un objeto puntual, para que en la Figura 5.8: Círculo de confusión UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 41/59 observación final el ojo la vea aún como un punto. Claramente asociado al máximo círculo de confusión aceptable se tiene el máximo desenfoque aceptable, y la máxima profundidad del objeto para que esté enfocado, ya que los diferentes puntos de un objeto profundo se enfocan en planos diferentes. Si, como en la Figura 5.9, colocamos el objeto profundo AB frente a una lente convergente observaremos que la imagen del d cc punto más cercano a la lente (A), se forma B A B’ A’ más lejos (A´) que la del punto objeto más lejano. Si se desea registrar la imagen A´B´ sA’ en una pantalla no se pueden registrar ambas sA imágenes como puntos, ya que si, como en la sB’ sB figura, colocamos la pantalla donde se forma la imagen del punto A, esta imagen se verá Figura 5.9: Círculo de confusión de una imagen en como un punto, mientras que la luz la posición de otra proveniente de B formará una mancha circular sobre la misma. El diámetro de la mancha vale cc. Si queremos calcular el tamaño de cc, comparando los triángulos cuyos vértices son B´, por semejanza de triángulos tendremos que: cc s' A − s' B = (5.18) d s'B Se puede ver que si la pantalla se colocase en B´, el tamaño del círculo de confusión para la imagen de A, valdría: cc s ' A − s ' B = (5.19) d s' A Dependiendo del valor de cc, nuestro ojo puede percibir la imagen como un círculo o puede, aunque sea un círculo, verla como un punto. Para que el ojo detecte que es una mancha debe ver como diferentes los bordes opuestos de la misma. Un ojo promedio distingue en forma estática como diferentes dos objetos cuya separación angular mínima sea de un minuto de grado: 1' ≈ 0.0003 radianes. Por lo que el tamaño mínimo del círculo aceptable depende de la distancia ojo-pantalla. La mínima distancia a la que puede focalizar un ojo joven es de aproximadamente 25cm, por lo que a esa distancia el máximo círculo de confusión aceptable es de aproximadamente 0,07mm. Mientras que si la pantalla se encontrase a 40m del ojo, veríamos como puntuales manchas de 11,6mm. Cuando el elemento de registro corresponde a una película debe tenerse en cuenta que al proyectarlo sobre una pantalla existe un factor de ampliación, y la limitación que impone el ojo es sobre el círculo en la pantalla y no en la película. Por lo tanto fijando el máximo círculo de confusión aceptable en la pantalla se calcula cuánto debe valer el máximo círculo de confusión aceptable en la película. Consideremos la figura 5.10, llamamos θ0 al máximo tamaño angular de un objeto para dp que se lo pueda df θ0 considerar como un objeto puntual. Sea X la distancia pantalla – observador. El máximo X diámetro del círculo de confusión sobre la Film Lente Pantalla ojo pantalla (dP), en la Figura 5.10: Círculo de confusión sobre el film y sobre la pantalla paraxial aproximación (ángulo pequeño) debe valer: UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 42/59 dP = θ0 X. (5.20) Sea m el factor de ampliación (m = hP / hf) donde hP es el tamaño de la pantalla y hf es el tamaño del cuadro en el film (en la misma dirección que hP). La relación entre los diámetros de los círculos de confusión en la pantalla y en la película siguen la misma relación, es decir: df = dP / m (5.21) por lo tanto el diámetro máximo aceptable del círculo de confusión en la película no tiene, en principio, un valor fijo, depende del tipo de cámara a utilizar (a través de hf), del factor de ampliación (m), de la distancia mínima a la que puede encontrarse el observador de la pantalla (X) y del criterio de exigencia respecto a la nitidez (θ0). En condiciones dinámicas (filmación) los requisitos del ojo para ver un punto objeto como enfocado son menores que en condiciones estáticas, de hecho cuando se congela una imagen filmada, que en movimiento parece nítida, se ve totalmente desenfocada. De ahí que si se hacen los cálculos con los valores tabulados para el círculo de confusión aceptable para filmación se encuentra que el mínimo ángulo que resuelve el ojo es mucho mayor que un minuto. 5.7 Profundidad de campo Como ya hemos visto la profundidad de campo en una lente está relacionada con la máxima separación axial aceptable para que dos objetos estén simultáneamente enfocados en el film o en la pantalla de observación, pero también hemos mencionado que la profundidad de campo depende de otros factores. Analicemos cómo influye la distancia focal de la lente en la profundidad de campo de la lente para un objeto profundo determinado a distancia fija de la lente. Si consideramos el gráfico de s´ vs s para una lente y analizamos la imagen un objeto de tamaño Δs a una distancia fija de la lente, como se muestra en la figura 5.11, podemos ver que, para un gran angular (línea llena en la figura) el tamaño longitudinal de la imagen es casi imperceptible, es decir, todos los puntos imagen caen prácticamente en un único plano Figura 5.11: Profundidad de campo y imagen, y por lo tanto se verán todas las imágenes distancia focal de la lente enfocadas en una plano imagen único. Pero, con el mismo objeto, colocado a la misma distancia de una lente normal (f´normal ≈ 2.5 f´gran angular) (rayapunto-raya en la figura) el desenfoque de uno de los puntos imágenes extremos respecto del otro es observable, y es probable que el círculo de confusión provocado por el desenfoque sea mayor que el máximo el aceptable. Si reemplazamos ahora la lente objetivo por un tele corto (línea punteada en la figura) el desenfoque es seguramente inaceptable. Por lo tanto podemos concluir que cuanto menor sea la distancia focal de una lente delgada convergente, mayor será su profundidad de campo. Una forma de entender este comportamiento es pensar que cuanto más chica es la distancia focal de la lente mayor es el cociente s/f ', es decir la lente parece "ver" al objeto como más lejano. Un diafragma limita el cono de luz que desde el objeto forma la imagen. Al limitarlo, el diafragma reduce el tamaño del círculo de confusión sobre el film o la pantalla (zona señalada con una línea ancha en la posición de la imagen de S1 (S’1) en la figura 5.12) y por lo tanto círculos de confusión que fuesen mayores que el aceptable podrían reducirse a valores inferiores a este último, utilizando un diafragma de diámetro adecuado. Resumiendo, la profundidad de campo de una lente depende de: 1.la distancia objeto-objetivo (s) en combinación con la profundidad del objeto (Δs). Cuanto más alejados del objetivo se hallan los objetos mayor es la profundidad de campo (ver figuras 5.6 y 5.7). 2.el máximo círculo de confusión que se considere aceptable (ccM) 3.la distancia focal del objetivo (f '). A menor distancia focal corresponde mayor profundidad de campo. UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 43/59 4. el diámetro del diafragma (d). A mayor diámetro de diafragma (menor factor de stop: F = f'/d) menor profundidad de campo. S1 S2 S’1 S’2 S’1 S’2 (a) S1 S2 (b) Figura 5.12: efectos del diafragma de apertura sobre la profundidad de campo de un objeto profundo a) diafragma de mayor tamaño; b) diafragma de menor tamaño 5.8 Profundidad de foco Los términos profundidad de campo y profundidad de foco no debieran ser confundidos. Como hemos dicho anteriormente la profundidad de campo no se ve afectada en objetos planos perpendiculares al eje óptico de la lente. Para estos objetos el plano imagen es único y está perfectamente determinado, no así la posición de la película. La profundidad de foco está relacionada con la precisión en la determinación de la distancia objetivo-film (posición de la película) (ver la figura 5.13), y está directamente relacionada con la distancia focal del objetivo, con el diámetro de su objeto lente imagen película diafragma y con el círculo de confusión, pero no con la distancia objeto-objetivo. Figura 5.13: Profundidad de foco 5.9.Distancia hiperfocal La distancia hiperfocal de una lente es aquella distancia a la que se debe enfocar para tener máxima profundidad de campo. Esta distancia es muy importante cuando se desea trabajar con foco fijo, ya que todos los objetos situados entre cierta distancia y el infinito estarán simultáneamente enfocados, es decir el círculo de confusión que corresponde a cada imagen es siempre menor que el máximo aceptable. Para calcular la distancia hiperfocal se piensa a la película ubicada en el plano focal de la lente (distancia lente-película = f’), es decir, se enfoca a infinito, y se calcula cuál es la posición del objeto más cercano cuyo círculo de confusión corresponde al Figura 5.14: Círculo de confusión para la distancia hiperfocal UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 44/59 máximo aceptable. A esa distancia lente objeto es lo que llamamos distancia hiperfocal y la simbolizamos con HF. Claramente esta distancia también depende de la apertura del diafragma (d) o de lo que suele denominar como factor de stop (F). El factor de stop se define como el cociente entre la distancia focal de la lente y el diámetro de diafragma utilizado: F = f '/d. Si analizamos la Figura 5.14 y comparamos sendos triángulos grisados podemos observar que ambos son rectángulos con un ángulo agudo igual, por lo tanto son semejantes. Haciendo uso de la propiedad que establece que dados dos triángulos semejantes el cociente de dos elementos homólogos (los de igual tipo: por ejemplo hipotenusa, cateto mayor o cateto menor) tiene el mismo valor para ambos triángulos, obtenemos que: ccM 2 = ccM = s '− f ' d d s' 2 , (5.22) pero recordando la ecuación (5.14) para s = HF: s ' HF = HF f ' HF + f ' (5.23) reemplazando (5.23) en (5.22), resulta: ccM f' =− d HF (5.24) por lo tanto la distancia hiperfocal de una lente convergente de distancia focal f ' obturada con un diafragma de diámetro d y con un máximo círculo de confusión aceptable ccM vale: HF = − f 'd ccM (5.25) En general no conocemos el diámetro del diafragma, sino que lo que leemos en el objetivo es el valor del stop (F = f '/ d), por lo tanto teniendo en cuenta esta relación podemos escribir la ecuación (5.25) como: HF = − f '2 F ccM (5.26) En primera aproximación se puede demostrar que, si enfocamos ahora a la distancia hiperfocal, es decir colocamos la película en la posición donde se forma la imagen del objeto ubicado a la distancia hiperfocal, también resultarán aceptablemente enfocados todos los objetos que se encuentren entre el infinito (que forma imagen en el plano que contiene a f ') y la mitad de la distancia hiperfocal, como se esquematiza en la figura 5.15. Figura 5.15: Focalización de objetos ubicados entre - ∞ < s < HF/2 UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 45/59 6. LOS OBJETIVOS FOTOGRÁFICOS O DE CÁMARA FILMADORAS El objetivo fotográfico de una cámara fotográfica o de una cámara de filmación consiste de un conjunto de lentes esféricas y asféricas, con diferentes distancias focales, construidas con cristales especiales de gran homogeneidad. El objetivo transforma cada plano objeto en un plano imagen. El contraste y definición de la imagen dependen tanto de la calidad de los cristales empleados como del diseño y de la construcción del sistema óptico. Las dos características principales de un objetivos son la distancia focal (f), de la que depende el ángulo de cobertura, y la luminosidad, mediante el factor de stop (F=f´/d, donde d es el diámetro del diafragma) y el valor fotométrico de transmisión (T). En las cámaras modernas de buena calidad T ≈ Fmínimo. Un tercer factor está referido al diseño específico, que puede estar dirigido a la corrección de aberraciones óptica (Apocromático o Acromático) o para aplicaciones específicas como lo son los objetivos tipo "macro" (para tomas de objetos pequeños hasta escala 1:1). 6.1 Relación entre la distancia focal, el ángulo de cobertura máximo y el formato de la película La relación entre distancia focal del objetivo y el formato del negativo es lo que determina el ángulo de cobertura máximo de la lente. En general, los fabricantes expresan al ángulo de cobertura del objetivo (en grados) considerando como dimensión característica del formato a la diagonal del negativo de 35 mm (24 x 36 mm) que es de 43.26mm aproximadamente, excepto que se señalen el ángulo horizontal y el ángulo vertical. Ver Figura 6.1. Figura 6.1: medidas Los objetivos cuyas distancias focales son comparables a la diagonal características de un del negativo para el cual ha sido diseñado se denominan normales. negativo Aquellos objetivos que tienen una distancia focal bastante mayor a la de un objetivo normal se denominan genéricamente teleobjetivos y aquellos cuya distancia focal es menor se los llama D/2 α granangulares o grandesangulares. f´ Las lentes cuya distancias focales varían de manera constante entre dos valores extremos de distancia focal, se denominan "zoom". Figura 6.2: Angulo de cobertura máximo Para calcular el ángulo de cobertura máximo (α), se considera la película ubicada en el plano focal de la lente, es decir se considera que se enfoca a infinito. De la Figura 6.2 resulta que: α = Diagonal / 2 (6.1) 2 f´ f´ [mm] α [°] 20 94° 24 84° 50 46° 85 29° 135 18° 200 12° 400 6° 500 5° La Figura 6.3 Muestra los ángulos de cobertura máximos para objetivos de diferentes distancias focales. En Figura 6.3: ángulo de cobertura máximo ella el eje vertical está escalado con la distancia focal y para tg UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 46/59 cada distancia focal se dibujó el ángulo de cobertura máximo correspondiente. El ángulo abarcado depende de la distancia focal del objetivo y del tamaño del formato. Cuanto mayor es la distancia focal o menor es el formato, más pequeño es el ángulo. Cuanto más pequeño es el ángulo menor es la porción del objeto captado, y menos el fondo incluido en la imagen. Para ángulos de visión similares, en las cámaras de 16mm se utilizan objetivos con una distancia focal que es aproximadamente la mitad de los usados en las cámaras de 35mm. 6.2 Tipos de objetivos Los Granangulares tienen un ángulo de cobertura superior al del normal (que es de 46° para un objetivo de 50mm y considerando la diagonal del cuadro para el formato de 35mm), llegando hasta los 110° en un objetivo de 15 mm. Existe un tipo de objetivo con un ángulo mayor de cobertura, que alcanza los 180°, denominado por esa razón "ojo de pez" (Fisheye), pero que nunca se puede esquematizar por un sistema óptico tan simple. La escala más común de distancia focales de los granangulares va de 15mm a 35 mm, aproximadamente. Estos objetivos se distinguen por proporcionar una gran profundidad de campo y magnifican los primeros planos con líneas de fuga muy acentuadas. El granangular introduce al espectador dentro de la escena. Por teleobjetivos se define a todos los objetivos con distancias focales superiores a las de los objetivos normales, a partir de los 85 mm hasta los 2.000 mm (estos últimos son construidos por unos pocos fabricantes bajo pedido especial), aunque en general el límite está en los 500 mm. Los teleobjetivos producen una aparente compresión de los planos, con líneas de fuga que dan una sensación de cierta irrealidad (también conocido como "efecto de teleobjetivo"). Debido a que la profundidad de enfoque decrece a medida que aumenta la distancia focal, el enfoque con este tipo de objetivo es muy critico. Por otra parte, cuando mayor es la distancia focal, las vibraciones o pequeños movimientos de la cámara son magnificados. Un tercer grupo de objetivos esta integrado por los tipo "zoom" o de distancia focal variable. El zoom es el tipo de objetivo más versátil que existe ya que combina en un mismo sistema óptico la posibilidad de variar la distancia focal en forma continua entre sus extremos. De todos modos debemos mencionar que ningún zoom se puede describir por un sistema óptico simple (formado por una sola lente). La calidad óptica, aunque es relativamente elevada, resulta inferior a la de los objetivos de focal fija. Otra desventaja de los zooms es que tienen menor luminosidad en comparación a las ópticas fijas. Para determinados fines existen objetivos específicos en cuyo diseño, al margen de la distancia focal o de la luminosidad, se tienen en cuenta ciertas particularidades. Por ejemplo están los "macro" que proporcionan su máximo rendimiento en muy cortas distancias de enfoque y permiten tomas de calidad en escala 1:1 e incluso mayor, ya sea de objetos tridimensionales o para reproducir diapositivas y negativos. La tabla 6.1 presenta el rango de distancia focales para los distintos tipos de objetivos en el formato de 35 mm. 12 mm 24 mm 50 mm 100 mm 200 mm 400 mm Objetivo Ojo de pescado Ultragranangular Granangular Normal Zoom GA Zoom medio Tele corto Tele Super Tele Tabla 6.1 UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 47/59 6.3 Objetivos reales: Aberraciones ópticas Hasta ahora hemos considerado siempre que los objetivos son ideales, es decir satisfacen las condiciones de la óptica paraxial: un objeto puntual da una imagen puntual, y un plano objeto se transforma en otro plano objeto. Pero para que tal condición se cumpla utilizando una lente única sería necesario introducir diafragmas tan pequeños que los objetivos serían muy poco luminosos y lo que es más aún, aparecería un fenómeno que no hemos considerado y que está relacionado con la naturaleza ondulatoria de la luz, que es el fenómeno de difracción, la difracción deteriora la calidad de las imágenes. Por otra parte hemos supuesto que el índice de refracción de los materiales considerados es independiente de la longitud de onda o de la frecuencia de la luz y por lo tanto cualquiera sea el color de la luz que ilumina la imagen tendrá las mismas características. El incumplimiento de tal condición nos lleva a una separación cromática. Llamamos aberración al apartamiento de una imagen real de la ideal, las aberraciones pueden producir que la imagen de un punto sea una mancha, o que sea coloreada si el objeto es policromático. También puede producir que un plano se transforme en una superficie curva. Dado que el rendimiento óptico del objetivo es el punto de partida básico. La corrección de las aberraciones es el tema más importante su diseño. También hemos supuesto que los materiales transmiten toda la energía que les llega, es decir que no son absorbentes. La absorción de los materiales trae como consecuencia que la luminosidad de los objetivos disminuye para una frecuencia o rango de frecuencias dado. Este fenómeno, que puede ser selectivo, se utiliza en la construcción de algunos accesorios como son los filtros. (a) Hemos visto que un prisma permite desviar al rayo de luz que lo atraviesa y que el ángulo de desviación depende tanto del medio material como del ángulo del prisma. Esto es lo que permite diseñar una lente, puesto que puede ser considerada, como se muestra en la figura 6.4, como infinitas secciones de prisma en la que varía constantemente el ángulo de su vértice, dándole la curvatura. Ahora bien, una lente simple proyecta una imagen con una (b) calidad aceptable para la observación directa de objetos pequeños, como lo hace una lupa, pero es insatisfactoria para los fines Figura 6.4: a) prisma fotográficos debido a las aberraciones. b) lente delgada En un sistema óptico como lo es un objetivo fotográfico, para que la imagen proyectada sobre el plano de la película sea nítida en toda su superficie, deben corregirse satisfactoriamente las aberraciones. Esto significa que la calidad y precisión de un objetivo están determinadas por la mínima cantidad residual de aberraciones. Existen cinco tipos de aberraciones: cromática, astigmatismo y curvatura de campo, esférica, coma y, por último, distorsión. 6.3.1 Aberración cromática 6.3.1.1 Longitudinal Como ya hemos visto el índice de refracción de un medio óptico es distinto para cada longitud de onda: los rayos violetas y azules se desvían más que el naranja y rojo (Figura 6.5). Este fenómeno para el agua en suspensión es evidente en el Arco Iris. La corrección de la aberración cromática en los objetivos resulta fundamental para que proporcionen imágenes de calidad. Existen diferentes niveles de corrección y, cuanto mayor es la exigencia, Figura 6.5: Aberración también se incrementa la complejidad del diseño y su fabricación. cromática longitudinal Una lente que está corregida para una sola longitud de onda, por ejemplo para aplicaciones láser se describe como monocromática (Figura 6.6 a). En ese tipo de UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 48/59 lente las aberraciones cromáticas permanecen. La aberración de color más notable es la cromática longitudinal. Con una lente monocromática solo la imagen de una color coincide con el plano de la imagen de la película debido a la aberración cromática longitudinal, mientras el foco para longitudes de ondas más cortas (azules) queda por delante de la película y las longitudes de onda más largas, por detrás. Debido a que el ojo tiene una mayor sensibilidad hacia los colores amarillos y verdes, que aparentan ser más brillantes, se tiende a enfocar visualmente en la banda que les corresponde. Para corregir esta aberración se usan diversas lentes con diferente índice de refracción y dispersión, que permiten ajustar sobre un mismo punto de enfoque todas las longitudes de onda o, por lo menos, un número significativo de ellas. (a) (b) (c) Figura 6.6: a) lente monocromática; b) doblete acromático; c) doblete apocromático Objetivo Acromático En la mayoría de los objetivos es suficiente con corregir dos bandas principales, la del amarillo y la del azul-violeta (Figura 6.6 b). Un objetivo de este tipo se denomina acromático. En cambio, para aplicaciones de fotografía en color que requieren una mayor calidad en la nitidez y reproducción de los tonos, se hace coincidir el foco para los tres colores principales (azul-violeta, amarillo-verde y naranjarojo), como veremos, a estos objetivos se los denomina apocromáticos. Cuando se corrige la lente para dos colores a ese espectro se lo llama primario, mientras que el espectro que no coincide con los anteriores se llama secundario. Con una lente acromática es posible corregir el espectro primario combinando elementos de lentes convergentes y divergentes, hechos de distintos tipos de cristales ópticos, que dan diferentes dispersión de color. Para ser más precisos: es posible eliminar la aberración cromática longitudinal para dos longitudes de onda en el plano de la película. La aberración cromática longitudinal residual, también llamada espectro secundario es tan despreciable que la imagen ya no se nota defectuosa. Sin embargo, las características del espectro secundario dependen notablemente de la distancia focal y del tipo de lente. A mayor distancia focal y mayor apertura (luminosidad de las lentes), la degradación es más notable. Este efecto puede ser tan severo que sea el factor principal limitante de calidad de imagen. De ahí que el siguiente paso requerido por los diseñadores ópticos es corregir también el espectro secundario. Objetivo Apocromático Es un objetivo que se corrige para que el foco de los tres colores principales coincida (Figura 6.6 c). El único recurso accesible para este propósito es el uso de materiales ópticos especiales: cristales Crown denso con fluorita de calcio y Flint ligeros. Estos pueden justificadamente considerarse tipos de vidrios extremos, dado que no solo muestran un comportamiento inusual con respecto a la dispersión parcial relativa, sino que también son extremadamente caros y difíciles de producir. El uso correcto de estos extremos posibilita a los diseñadores ópticos a reducir el molesto espectro secundario de modo tal que la calidad de imagen ya no se vea limitada por éste. Tanto los objetivos acromáticos como apocromáticos no están corregidos para el infrarrojo, razón por la cual la corrección se debe hacer ajustando el enfoque. Por esa razón la mayoría de los objetivos tienen una marca de corrección de enfoque infrarrojo, hacia la cual se debe girar el anillo de UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 49/59 enfoque para hacer coincidir con la misma la distancia que se ha obtenido por medio del enfoque visual. 6.3 1.2 Transversal En el punto anterior hemos simplificado el tratamiento, ya que solo tuvimos en cuenta la aberración cromática longitudinal (distancia focal dependiente del color). Sin embargo, la aberración cromática transversal o diferencia cromática de magnificación, también puede jugar un rol importante, como ocurre con los teleobjetivos. Como en la aberración cromática longitudinal, también existe en la transversal un espectro primario y un secundario. El espectro secundario, en este caso, también puede reducirse por el uso específico de tipos de vidrios extremos. Resumiendo 1. Un cuerpo transparente cuyas caras no son paralelas, como sucede con un prisma, descompone un rayo de luz blanca en los colores del espectro. 2. En una lente simple monocromática, cada rayo de luz es llevada a foco en un plano ligeramente diferente, puesto que se produce un acortamiento progresivo del foco a medida que el color pasa del IR (infrarrojo) al UV (ultravioleta). 3. Si se combina con una lente divergente menos dispersiva, se consigue que los rayos de dos colores vayan a un mismo punto de enfoque, siendo la dispersión residual relativamente más pequeña. Este tipo de corrección se denomina acromática. 4. Las lentes apocromáticas hacen que tres colores primarios coincidan en el plano de enfoque. Para ello, el sistema requiere de cálculos más precisos así como las tolerancias en la fabricación son más estrictas. Los objetivos "apo" son más costosos de producir. 6.3.2 Aberraciones monocromáticas Hay aberraciones monocromáticas (que tienen lugar aún cuando el objeto sea monocromático) que deterioran la calidad de la imagen cualquiera sea la superficie de enfoque. Estas son la aberración esférica, el astigmatismo y la coma. Mientras que hay aberraciones monocromáticas que deforman la imagen de un objeto extenso sin restarle nitidez en la superficie de enfoque, es decir, la imagen de cada punto objeto que compone el objeto extenso es también puntual en la superficie de enfoque. Estas son la curvatura de campo y la distorsión. 6.3.2.1 Curvatura de Campo Como puede verse en la Figura 6.7, las imágenes que produce una lente esférica de objetos puntuales en el infinito, son también puntuales pero se forman sobre una esfera de radio f´, en lugar de formarse sobre un plano ubicado a f´ de la lente. Si el objeto plano está cercano las imágenes convergen sobre una superficie curva, no esférica, denominada superficie de Petzval La curvatura de campo no es en realidad una aberración que afecte la nitidez de la imagen, siempre y cuando el plano de observación adopte la curvatura característica de la imagen.. En la practica esto significa que cuando enfocamos el centro de la imagen (película en el plano imagen del centro de la imagen), los bordes quedarán fuera de foco y viceversa. Hace tiempo, en Figura 6.7: curvatura de campo algunas cámaras económicas con objetivos simples de menisco, la solución a la curvatura de campo consistía en curvar el plano de enfoque. Cuanto menor es la distancia de enfoque, más evidente es la curvatura de campo. Diafragmando el objetivo es posible obtener una mejor definición en todo el campo de cobertura, aunque no se modifique la curvatura del campo solo se disminuye el cono de luz que converge a cada punto imagen y por lo tanto se reduce el círculo de confusión en el plano de la película. UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 50/59 Cuando se enfoca con una ampliadora, es siempre mejor hacerlo sobre una zona intermedia entre el centro y los bordes, cerrando luego el objetivo en dos o tres puntos. 6.3.2.2 Esférica La aberración esférica se pone en evidencia cualquiera sea el objeto. Afecta la nitidez de la imagen, ya que para un objeto puntual se tiene como imagen una mancha de un dado diámetro (Figura 6.8). La causa es el incumplimiento de la condición de paraxialidad. Un rayo que atraviesa a la lente cerca del borde no cruza al eje óptico en el mismo punto en que lo hace un rayo cercano al eje óptico, y por lo tanto cualquiera sea el plano de la película se obtendrá una mancha Figura 6.8: Esférica circular sobre ella. Como el efecto de una lente convergente es contrario al de una lente divergente, combinando ambos tipos de lentes es posible corregir la aberración esférica. Un objetivo que corrige la aberración esférica se denomina aplanético. La definición decrece tanto a plena abertura, en que no se cumple la aproximación paraxial, como en diafragmas muy cerrados, donde aparece un fenómeno diferente debido a la naturaleza ondulatoria de la luz, que es la difracción. En estos casos se puede recurrir a lentes cuyos radios de curvatura no son esféricos sino que su curvatura varía del centro a los bordes. Este tipo de objetivo se denomina asférico y, dado que su fabricación es complicada y costosa, resultan también más caros. 6.3.2.3 Astigmatismo Cuando un objeto puntual está situado lejos del eje óptico de la lente, el cono de rayos que incide sobre ella es asimétrico, ver el esquema correspondiente a la figura 6.9. Esta asimetría es la que da origen a la aberración llamada astigmatismo. Plano imagen tangencial Lente Plano objeto Rayo principal Plano imagen sagital Figura 6.9: Astigmatismo Llamamos plano meridional o tangencial al que contiene al objeto extra-axial, al eje óptico de la lente y a la imagen del sistema. Por lo tanto este plano también contiene al rayo principal objeto, que es el rayo que pasa por el objeto, por el centro de la lente y al rayo principal imagen, que es aquel rayo que pasa por el centro de la lente y por la imagen, notemos que si los medios externos son iguales ambos rayos principales son el mismo rayo principal, mientras que si hubiere dos medios diferentes el rayo principal objeto sería diferente al rayo principal imagen. De todos modos el plano meridional o tangencial es único. En la figura 6.9 el haz tangencial, contenido en el plano tangencial, es el que partiendo del objeto pasa por los extremos de la lente que determinan la vertical, converge en un punto del plano imagen tangencial y luego diverge, dando lugar de este modo a una línea vertical en el plano imagen sagital. El plano sagital objeto es aquel que contiene al objeto, al rayo principal objeto y que es perpendicular al plano tangencial y el plano sagital imagen es el que contiene a la imagen y al rayo UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 51/59 principal imagen y que es perpendicular al plano tangencial. En la figura 6.9 los planos sagital objeto e imagen no coinciden ya que tienen diferentes inclinaciones respecto al eje óptico de la lente. El haz sagital es aquel que partiendo del objeto pasa por la lente en el mismo eje horizontal que contiene al eje óptico y converge en el plano imagen sagital, dando por lo tanto una línea horizontal en el plano imagen tangencial. Por lo tanto la imagen de un objeto puntual nunca puede ser puntual ya que es una línea en el plano imagen tangencial, otra línea perpendicular a la anterior en el plano imagen sagital y una elipse en cualquier otro plano. Puede demostrarse que existe un plano entre ambos planos imágenes donde la imagen corresponde a un círculo y es donde se obtiene el círculo de mínima confusión, que podrá ser mayor o menor que el mínimo aceptable. Notemos que si el objeto fuese axial ambos planos serían equivalentes y habría simetría total en el cono de luz que incide sobre la lente esférica. Por lo tanto el astigmatismo es una aberración que desaparece cuando el objeto es axial. Es posible corregir el astigmatismo hasta límites tolerables por medio del empleo de varias lentes cuyas propiedades son diferentes. Un objetivo corregido para el astigmatismo se llama anastigmático. 6.3.2.4 Coma La coma es una aberración que como el astigmatismo tiene lugar cuando los objetos están fuera del eje óptico, es decir, son extra-axiales. A diferencia del astigmatismo esta aberración puede ser detectada aunque la extra-axialidad sea pequeña. La razón para la presencia de la coma es que el aumento lateral de una lente es independiente del rayo considerado, sólo en la aproximación paraxial. Fuera de ella, como se muestra en la Figura 6.10 a cuanto más extra-axiales son los rayos menor es el aumento, aunque el objeto esté próximo al eje. Lente Plano imagen Objeto Eje óptico Rayos externos Rayos medios Rayos paraxiales (a) (b) Figura 6.10: Aberración de coma. a) Corte lateral; b) vista frontal del plano imagen Es por eso que los rayos que atraviesan la lente en un anillo muy central (rayos paraxiales) dan una imagen cuasi puntual, pero a medida que los rayos atraviesan anillos de lente que tienen mayor diámetro la imagen correspondiente es un círculo más próximo al eje óptico y de mayor diámetro, la imagen total resultante se asemeja a una ‘ ’ ’ (coma), de allí el nombre de la aberración. Una forma de disminuirla es diafragmar la lente, ya que de este modo se disminuye la cantidad de rayos no paraxiales. 6.3.2.5 Distorsión En la teoría paraxial hemos supuesto que el aumento lateral ‘m’ es una constante, pero como ya hemos visto esto no es cierto cuando no se satisface la óptica paraxial, ya que la coma se debe a que el aumento lateral depende de cuán lejos del eje óptico atraviesa un rayo la lente. Del mismo modo, podría demostrarse que el aumento depende de la extra-axialidad del objeto, aunque se diafragme la lente, es decir aunque todos los rayos que den imagen sea próximos al eje óptico. Supongamos UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 52/59 considerar un objeto extenso, formado por cuadrados concéntricos entre sí y concéntricos con el eje óptico de la lente como se muestra en la figura 6.11. Cada punto del cuadrado se encuentra a una distancia diferente del eje óptico y si el aumento varia con la distancia la imagen del cuadrado ya no podrá ser otro cuadrado. En la figura 6.11 b podemos observar la distorsión cuando el aumento crece al crecer la extraaxialidad. A este tipo de distorsión se la llama positiva, en cojín o en corsé. Mientras que en la figura 6.11 c se muestra la distorsión negativa o en barril (a) (b) (c) donde el aumento lateral decrece con la extra-axialidad. Figura 6.11: Distorsión. A) objeto, b) distorsión Notemos que la distorsión no positiva o en corsé; c) distorsión negativa o en barril afecta la nitidez o el contraste, como sucede con la aberración esférica, la coma o el astigmatismo. Ni aún podemos decir que la imagen final no es nítida sobre un plano, como sucede con la curvatura de campo. El problema aquí es la falta de fidelidad en la reproducción del objeto. La forma de reducir la distorsión es con la utilización de objetivos compuestos y simétricos (más de una lente) y con el diafragma ubicado en el centro de simetría, de este modo la distorsión de uno se compensa con la del otro. El problema se produce cuando los elementos que forman el objetivo son móviles, como en un zoom, ya que allí es casi imposible hacer que la distorsión desaparezca en forma completa. 6.3.3 Influencia del diafragma El diafragma ayuda a mejorar el rendimiento de un objetivo, además de alterar la profundidad de campo. Todas las aberraciones se reducen cuando el objetivo es diafragmado convenientemente, excepto la distorsión. Los diafragmas ideales son aquellos en los cuales las aberraciones se equilibran proporcionando una imagen de calidad. Para cada objetivo existe una serie de diafragmas óptimos en este sentido, que es posible determinar por medio de ensayos de laboratorio. El motivo por el cual con diafragmas muy pequeños la definición decrece se debe al fenómeno de difracción (dispersión de la luz en los bordes del diafragma). 6.3.4 Influencia de la temperatura En el cálculo de los objetivos se considera como base una temperatura próxima a los 20°C. Sin embargo, a bajas temperaturas, el índice de refracción de los cristales disminuye y además se contraen tanto los cristales como las monturas de los objetivos lo que trae como consecuencia que los valores calculados a 20°C cambien y es probable que tales cambios modifiquen la nitidez de la imagen. UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 53/59 7. POLARIZACIÓN Y COLOR 7.1 Introducción Al comenzar este curso mencionamos el carácter ondulatorio de la luz. En él podemos distinguir dos aspectos. Uno está relacionado con la frecuencia o la longitud de onda de la perturbación. Analizar esta característica nos lleva al estudio del color. La otra tiene que ver con el tipo de perturbación, onda longitudinal u onda transversal. Un ejemplo de ondas longitudinales lo constituyen las ondas sonoras donde la ‘perturbación’ consiste en la variación local de la densidad del aire (ondas de presión) y esta variación se produce en la misma dirección en la cual se propaga la onda. Un ejemplo de ondas transversales lo constituyen las ondas mecánicas (ondas en cuerdas) o las ondas electromagnéticas (de las cuales la luz es sólo un conjunto restringido). Que una onda sea transversal significa que la perturbación es perpendicular a la dirección de propagación. Pero en el espacio tridimensional existen siempre dos direcciones perpendiculares independientes a la dirección de propagación, por lo tanto una onda transversal podría tener también dos componentes independientes ente sí. Decir en qué dirección vibra una onda transversal es lo que en física se llama especificar su polarización. 7.2 Polarización Lineal, Circular y Elíptica Podemos agitar un tramo de cuerda de arriba abajo, en un plano vertical, viendo que la onda avanza horizontalmente. La perturbación permanece en ese plano fijo, y se dice que la onda es linealmente polarizada o plano polarizada. Cuando se ve desde el extremo, parece que la vibración está a lo largo de una línea perpendicular a la dirección de propagación, por eso a este tipo de polarización se lo llama polarización lineal. El plano en el que oscila esa onda transversal es el plano de polarización, y desde luego, no es necesario que sea vertical; cualquier orientación es igualmente posible. Es decir, también podríamos agitar la cuerda en la dirección horizontal o en cualquier otra dirección que forme un ángulo con ella. Para la luz, que es una onda electromagnética, los que oscilan son los campos eléctricos y magnéticos, que están acoplados. Esto campos son perpendiculares entre sí, y además la dirección de propagación es perpendicular a ambos. Las ondas electromagnéticas son descriptas por alguno de los dos campos, el eléctrico o el magnético, pero en general se describe a través del campo eléctrico, que es el responsable de ennegrecer las placas fotográficas. Cuando el campo eléctrico oscila en un plano, la onda electromagnética transversal es plano polarizada. Pero también es posible que el vector campo eléctrico gire en torno del eje de propagación y que mantenga constante su amplitud, de ese modo su extremo describe un círculo, y en ese caso se dice que la onda está circularmente polarizada. Con luz circularmente polarizada, como dijimos, en una posición fija del espacio el vector campo eléctrico permanece constante en magnitud, mientras gira una vuelta completa en cada período, y avanza una longitud de onda en cada giro. Existe también la polarización elíptica, que corresponde al caso en que al girar el extremo del vector campo eléctrico describa una elipse. Es posible pensar cualquier estado de polarización como la superposición de dos ondas linealmente polarizadas en planos perpendiculares, o de dos ondas circulares o elípticas con sentidos de giro opuestos. 7.2.1 Luz Natural La luz que proviene de una fuente ordinaria corresponde a muchísimas emisiones superpuestas que parten de una inmensa cantidad de átomos más o menos independientes. Es posible imaginar que cada átomo irradia un diminuto tren de ondas, linealmente polarizado, que dura menos de 10-8 s. Estos trenes son emitidos con orientaciones de polarización al azar y aleatoriamente en el tiempo, por lo tanto llegan a un dado punto del espacio y en un dado instante de tiempo sin relación ni orientación entre sí. El campo resultante es la suma de todas las contribuciones de los trenes de onda que llegan a un lugar en un dado instante de tiempo y esta suma cambia constantemente a medida que llegan nuevos trenes de onda y los otros ya han pasado. Así, el campo óptico neto tiene cierta polarización en cada punto y en cada instante, pero esa polarización varía muy rápidamente en forma totalmente UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 54/59 aleatoria. Como el estado de polarización se mantiene durante menos de 10-8s, ese estado es esencialmente indetectable, al menos por el ojo, y se dice que la luz es no polarizada, o natural. Hay varias formas de visualizar conceptualmente la luz no polarizada. Una de las más fáciles es imaginar que es una superposición de muchas ondas plano polarizadas con orientaciones distintas, de diferentes amplitudes y frecuencias, que cambian rápida y aleatoriamente. En general, lo que percibimos en el ambiente, es una mezcla de luz linealmente polarizada y luz natural, que se llama luz parcialmente polarizada. La luz ordinaria que viene del cielo, la que reflejan los objetos (las pantallas, las ventanas, las rutas) son ejemplos de luz parcialmente polarizada. 7.2.2 Polarizadores Un instrumento óptico sobre el que incide luz natural, y del que sale alguna forma de luz polarizada se conoce como un polarizador. Si a la salida, la luz está linealmente polarizada, entonces el instrumento es un polarizador lineal. Uno de los polarizadores lineales más usados en óptica es la lámina polaroid. Estas láminas tienen una dirección específica que llamamos eje de trasmisión, y dejan pasar la componente del vector campo eléctrico paralela a él. En el caso ideal, si incide luz natural de intensidad I0, la componente del vector campo eléctrico paralela al eje de trasmisión se trasmitirá, mientras que la componente perpendicular será absorbida, por lo tanto la intensidad total transmitida será de I0/2. Entonces, si incide luz natural de intensidad I0 sobre un polarizador lineal cuyo ángulo de trasmisión forma un ángulo θ con la vertical, la luz emergente será linealmente polarizada con el plano de polarización paralelo al eje de trasmisión del polarizador e intensidad I0/2, como puede verse en la figura 7.1. Si se gira el polarizador en su propio plano, cambiando el ángulo θ, debido a la simetría de la luz natural, la intensidad de la luz emergente Figura 7.1: Efecto de un polarizador lineal seguirá siendo I0/2. sobre un haz de luz natural 7.2.3 Ley de Malus Analizaremos ahora qué ocurre cuando luz linealmente polarizada incide sobre un polarizador lineal, como ocurre en la figura 7.2. En este caso también la componente del vector campo eléctrico paralela al eje de trasmisión se trasmitirá, mientras que la componente perpendicular será absorbida. Por lo tanto sólo se trasmitirá la proyección del vector campo eléctrico en la dirección paralela al eje de trasmisión. Debido a que la intensidad luminosa es proporcional al cuadrado de la amplitud del vector campo eléctrico, la intensidad de la luz trasmitida será I = I1 cos 2 θ (7.1) donde en este caso el ángulo θ corresponde al ángulo entre el plano de polarización de la luz incidente, linealmente polarizada de intensidad I1, y el eje del Haz incidente polarizador. Si se hace girar Linealmente polarizado Polarizador con lentitud este polarizador en Haz emergente LP torno al eje de propagación de θ la luz, θ variará y la intensidad del haz trasmitido también variará, desde un valor máximo dirección de I = I1 (cuando θ = 0°, y el eje propagación de trasmisión del polarizador es paralelo al plano de Figura 7.2: Ley de Malus polarización de la luz incidente), hasta su valor UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 55/59 mínimo I = 0 (cuando θ = 90°, y el eje de trasmisión del polarizador es perpendicular al plano de polarización de la luz incidente). A la ecuación 7.1 se la conoce con el nombre de ley de Malus. 7.2.4 Procesos de Polarización Existen diferentes procesos naturales que producen luz polarizada. 7.2.4.1 Polarización por dispersión Uno de los procesos en los que se polariza la luz es el de la dispersión por partículas de tamaño molecular. Este es el proceso que tiene lugar, por ejemplo, cuando la luz solar atraviesa la atmósfera. Se puede verificar fácilmente que la luz del sol, dispersada por la atmósfera, está parcialmente polarizada y la verificación se puede hacer con un polarizador lineal. Si se examina la región del cielo cuya posición forma un ángulo de aproximadamente 90° con la dirección en la que se encuentra el sol, se observa que está claramente parcialmente polarizada, normal al plano determinado por la dirección de observación y la dirección en la que se encuentra el sol. 7.2.4.2 Polarización por reflexión 1,0 RL R// 0,9 Coeficiente de reflexión Otro de los procesos es la reflexión de la luz en medios no metálicos (también llamados dieléctricos). La luz que sale de un vidrio de ventana, una hoja de papel o un escritorio, así como el brillo de una cabeza calva o de una nariz lustrosa están parcialmente polarizados. Cuando una luz linealmente polarizada incide sobre la superficie de separación entre dos medios transparentes, la fracción de energía reflejada depende de el índice de refracción de los medios, del estado de polarización del haz incidente y del ángulo de incidencia. Esto se muestra en la figura 7.3. En ella se grafican los coeficientes de reflexión para las dos componentes de polarización del haz incidente, una contenida en el plano de incidencia R// (plano determinado por el rayo incidente el reflejado y la normal) y la otra perpendicular a él RL. Observamos la existencia de un ángulo particular para el cual la intensidad reflejada correspondiente a la luz con polarización lineal paralela al plano de incidencia (R//) se hace cero. Este ángulo se llama ángulo de Brewster. Si la luz incidente es natural, parcialmente polarizada o con alguna otra polarización, se puede pensar que es la superposición de dos haces linealmente polarizados con planos de polarización perpendiculares uno contenido en el plano de incidencia y el otro en un eje perpendicular a él, y como muestra la figura 7.3 cada componente tendrá distinto coeficiente de reflexión. Como puede observarse en el gráfico, el coeficiente de reflexión para la componente de luz polarizada paralela al plano de incidencia es siempre menor que la correspondiente a la polarizada en el plano perpendicular, y para ángulos de incidencia próximos al ángulo de 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 Ángulo de Brewster 0,2 0,1 0,0 0 20 40 60 80 Ángulo de incidencia Figura 7.3: Coeficientes de reflexión Figura 7.4: Filtros polarizados UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 56/59 Brewster, éste coeficiente de reflexión es cercano a cero, por lo tanto la luz natural reflejada en superficies siempre está parcialmente polarizada y está linealmente polarizada si el ángulo de incidencia es el ángulo de Brewster. Es decir, la componente perpendicular al plano de incidencia es siempre preponderante. En este efecto, como se muestra en la figura 7.4, se basan los anteojos de sol o los filtros polarizados. Estos filtros se utilizados en fotografía para reducir el resplandor indeseado proveniente de la luz reflejada en una superficie. Algunos filtros son polarizadores lineales que absorben justamente la componente polarizada en la dirección perpendicular al plano de incidencia que no es atenuada en la reflexión. El ángulo de Brewster (θB) depende de los índices de los materiales que se encuentran ambos lados de la superficie(ni, nt). Se verifica que en ese caso el ángulo de incidencia y el ángulo de trasmisión son complementarios, y usando la ley de Snell resulta n tan θ B = t (7.2) ni B 7.3 COLOR Para el poeta: “Las rosas son rojas y las violetas azules”. Para el físico, las cosas no son tan claras, ni tan simples, el color de las cosas no está sólo en la propia sustancia, el color está en lo que percibe el ojo del observador y en lo que percibe influyen tanto las frecuencias de la luz que ilumina, la sustancia que las compone las cosas y la sensibilidad del ojo a esas frecuencias. Una rosa nos parece roja cuando llega a nuestros ojos luz de determinadas frecuencias. Otras frecuencias nos provocan la sensación de otros colores. El que percibamos o no estas frecuencias como colores depende del sistema visual del cerebro. Isaac Newton fue el primero en realizar un estudio sistemático del color. Haciendo pasar la luz solar por un prisma triangular de vidrio. Newton demostró que la luz del sol está compuesta por una mezcla de todos los colores del arco iris. Newton llamó espectro a esta gama de colores y observó que estaban ordenados de la siguiente forma: rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil y violeta. La luz solar es un ejemplo de lo que llamamos luz blanca. Con la luz blanca, los objetos blancos se ven blancos y los objetos de color se ven cada uno de su color. También observó que al colocar un segundo prisma (igual al anterior, de forma que el sistema completo semeje una lámina de caras paralelas) se vuelven a superponer todos los colores y se obtiene luz blanca. Estrictamente hablando, el blanco no es “un” color, sino una combinación de todos los colores del arco iris. De manera análoga, el negro no es un color propiamente dicho, sino la ausencia de luz. El hollín absorbe muy bien la luz, como no hay luz que provenga de él se lo ve negro. El acabado mate de un terciopelo negro es también un excelente absorbente. Para que un objeto negro se pueda ver con detalles es necesario que no absorba la totalidad de la luz que incide sobre él; siempre una parte de esta luz se refleja sobre su superficie. Una forma de observar cuán negro es un “negro” consiste en proyectar sobre él una sombra; si se puede determinar la zona de sombra significa que el negro no “es realmente negro”. El color que los objetos presentan se puede deber a dos fenómenos: se puede ver el color por reflexión o por trasmisión. 7.3.1 LA LUZ SOLAR La luz que proviene del sol es una combinación de todas las frecuencias visibles. Sin embargo, su intensidad no es homogénea, depende la frecuencia, como se observa en la figura 7.5 que muestra la intensidad en función de la frecuencia. Esta curva es conocida como curva de radiación de la luz solar. En ella se puede ver que el verde-amarillo, ubicado en el centro del intervalo de la luz visible, es la parte de mayor intensidad de la Figura 7.5: Espectro solar luz solar. Ambos extremos del espectro, correspondientes al rojo (frecuencias bajas) y al azul (frecuencias altas) son menos brillantes que la región central. Puesto que los seres humanos han evolucionado en presencia de la luz solar, no sería de extrañar que nuestros ojos sean más sensibles al verde-amarillo. UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 57/59 7.3.2 Color por reflexión El color de la mayoría de los objetos se debe a la manera que éstos reflejan la luz. La mayoría de los materiales absorben algunas frecuencias y reflejan las demás. Por ejemplo, si cierto material absorbe la mayoría de las frecuencias pero refleja el rojo, se verá rojo. Si refleja todas las frecuencias visibles, como la parte blanca de esta página, será del color de la luz que lo ilumina. Si el material absorbe la totalidad de la luz que incide sobre él, entonces no refleja nada y se ve negro, como estas letras. Casi todos los objetos reflejan colores que no están formados por una sola frecuencia, sino compuesto por una gama de frecuencia. El color que nosotros percibimos de ese objeto será lo que podemos detectar de la combinación de todas las frecuencias que refleje el objeto. Es importante señalar que los objetos sólo pueden reflejar frecuencias presentes en la luz que los ilumina, es decir si la luz que ilumina no contiene la frecuencia de la luz que caracteriza al objeto, éste no se verá o lo que es equivalente se verá negro. Por lo tanto, el aspecto de un objeto de color depende del tipo de luz empleado. La llama de una vela emite luz con poco azul, su luz es amarillenta. A la luz de las velas los objetos se ven amarillentos. Una bombilla incandescente o de filamento, emite una luz más rica en frecuencias bajas, resaltando los rojos. Una lámpara fluorescente es más rica en frecuencias altas, de modo que hace resaltar el azul. Es por eso que una fuente de luz incandescente se considera cálida y una fluorescente se considera fría. A la luz del día los colores se ven distintos que cuando se los ilumina con las distintas lámparas. El color “verdadero” de un objeto es subjetivo, aunque es más fácil detectar las diferencias de color entre dos objetos a la luz del sol, ya que el espectro solar es completo y por ende continuo. 7.3.3 Color por trasmisión El color de un objeto parcialmente transparente depende del color de la luz que trasmite. Un trozo de vidrio se ve rojo debido a que absorbe todos los colores de la luz blanca a excepción del rojo, que se trasmite a través de él. De manera análoga, un trozo de vidrio azul se ve azul porque trasmite el azul y absorbe los otros colores que lo iluminan. El material del vidrio que absorbe selectivamente los colores se denomina pigmento. Los materiales que son parcialmente transparentes se utilizan como filtros de color, que son diferentes a los filtros polarizados que vimos anteriormente. Por ejemplo cuando se desean registrar escenas en la nieve se usan filtros ultravioletas. En estos filtros la orientación del mismo no tiene importancia, contrariamente a lo que sucede con los filtros polarizados. 7.3.4 Percepción del color Si bien la forma en que los objetos emiten, reflejan o absorben las diversas longitudes de onda del espectro visible es una propiedad física del objeto, las sensación que la mente identifica como un color cuando ellas llegan al ojo humano es un proceso subjetivo. El ojo puede identificar el color de cualquier longitud de onda aislada, pero también puede ver como igual al anterior a otro color formado por otras longitudes de onda, ninguna de las cuales coincide con el color percibido. Este aspecto de la visión hace posible la televisión en color. Hay dos formas para que el ojo vea un color determinado, una es quitar o atenuar algunas de las longitudes de onda del espectro visible. Esta es la forma en que vemos el color de los objetos ya sea por reflexión o por trasmisión. La otra forma de ver color es mediante la superposición de luces de longitudes de onda determinadas que en proporciones adecuadas producen en conjunto, la sensación de color deseada. 7.3.5 Mezcla de colores 7.3.5.1 Síntesis aditiva del color Cuando se combinan todas las longitudes de onda del visible se produce el color blanco. Sin UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 58/59 embargo, también es posible producir el blanco combinando luz roja, verde y azul. O cian y rojo, o amarillo y azul... La percepción del color por parte del ojo es posible por la existencia en la retina de tres tipos de células sensibles al color, los conos, cada uno con su propio pigmento fotosensible. Cada pigmento puede absorber luz en una amplia gama de longitudes de onda, pero la sensibilidad máxima para cada uno de ellos se da para longitudes de onda diferentes: 445nm (azul), 535nm (verde)y 575nm (rojo). La luz de una longitud de onda particular excitará los tres tipos de conos en un grado que depende de lo próxima que se halle a los correspondientes máximos de sensibilidad Cuando proyectamos sobre una pantalla una mezcla de la luz roja, verde y azul de la misma intensidad la pantalla se ve blanca. Cuando sólo proyectamos luz roja y luz verde, la pantalla se ve amarilla. El rojo y el azul combinados producen el color rojo azulado llamado magenta. El verde y el azul producen el color verde azulado llamado cian. No es necesario que los colores sean rojo, verde y azul, aunque dichos colores producen el mayor número de colores diferentes. 7.3.5.2 Síntesis sustractiva del color Mezclar pinturas y tintes es un proceso totalmente distinto al de mezclar luz de distintos colores. Las pinturas y los tintes contienen diminutas partículas sólidas de pigmento que les dan color, absorbiendo ciertas frecuencias y reflejando otras. Los pigmentos absorben y reflejan una gama de frecuencias relativamente amplia. En este sentido los pigmentos reflejan una mezcla de colores. Todos alguna vez mezclaron pinturas y saben que al mezclar azul y amarillo se obtiene verde. La pintura azul refleja principalmente luz azul, pero también refleja el violeta y el verde; absorbe en cambio, el rojo, el naranja y el amarillo. La pintura amarilla refleja principalmente luz amarilla, pero también refleja el rojo, el naranja y el verde; absorbe, en cambio, el azul y el violeta. Cuando mezclamos pinturas azul y amarillo, absorben todos los colores excepto el verde. El único color que ambas reflejan es el verde, por lo que la mezcla se ve verde. Los colores que se utilizan en la síntesis sustractiva del color son el cian (un color azulverdoso) que absorbe la componente roja del espectro, el magenta, que sustrae el verde del espectro visible y el amarillo, que sustrae la componente azul del espectro. Cuando se mezclan el cian y el magenta sólo dejaran pasar la componente azul del espectro visible. Si se les agrega el amarillo, que sustrae el azul se verá negro. 7.3.6 El cuerpo negro En principio, todos los objetos a temperatura no nula (en la escala Kelvin de temperaturas) emiten cierta radiación en todas las longitudes de onda. Sin embargo la cantidad de energía irradiada a cada longitud de onda depende de la temperatura. Un objeto a 800°C parece rojo porque emite bastante radiación en la longitud de onda más larga del espectro visible, un objeto a 3000°C parece blanco porque está emitiendo cantidades notables de radiación en todo el intervalo del espectro visible. Sabemos que si un objeto de algún tipo está en equilibrio térmico con su ambiente debe emitir tanta energía radiante como la que absorbe. Se deduce que un buen absorbente es un buen emisor. Un absorbente perfecto, Figura 7.6: Energía espectral como uno que absorbe toda la energía radiante que incide sobre función del color él, independiente de la longitud de onda, se dice que es un cuerpo negro. Generalmente, uno aproxima un cuerpo negro en el laboratorio por una cavidad aislada y hueca (un horno) que contiene un agujero pequeño en una pared. La energía radiante que entra en el agujero pequeño tiene poca oportunidad de reflejarse hacia fuera de nuevo, de manera que la cavidad actúa como un absorbente casi perfecto. Por otro lado, UNIVERSIDAD DEL CINE - NOTAS DE FÍSICA - Dra. Ángela N. Fantino 59/59 si el horno se calienta puede servir como una fuente que emite energía a través del agujero. La distribución espectral de la energía radiante depende de la temperatura del horno. Resultados experimentales dan curvas como la de la figura 7.6. La longitud de onda a la que la radiación es mas intensa viene dada por la ley del desplazamiento de Wien que está de acuerdo con los datos observados para longitudes de onda cortas. 7.3.7 Temperatura de color La temperatura de color es la temperatura a la cual el cuerpo negro emite el mismo color que caracteriza a la fuente. Las películas color están diseñadas para producir registros de color correctos, con iluminación de una temperatura de color específica. Serie 0: Repaso de Matemáticas UNIVERSIDAD DEL CINE – FÍSICA Cátedras: Presa, Grosz y Fantino Operaciones algebraicas 1) Calcular a) 5 – (-3 + 2 – 4 ) = 8 1 b) 2 − (− + ) = 5 20 1 5 1 3 . − . = c) 2 7 2 5 1 1 ⎛ 3⎞ + .⎜ − ⎟ = d) 3 2 ⎝ 5⎠ 2) Calcular a) ( −1) 3 ( .22.3 + ( −3) ) − ( −4) .2 2 3 ⎛ 2⎞ ⎛1 1⎞ b) ⎜1 − ⎟ + 3. ⎜ + ⎟ = ⎝ 3⎠ ⎝ 2 3⎠ 2 2 1/2 = 2 49 ⎛3⎞ −8 + ⎜ ⎟ + = 4 ⎝2⎠ −1 c) 3 −1 ⎛ 3 1 ⎞2 d) ⎜ − ⎟ − ( −3) = ⎝ 4 18 ⎠ 3) Reducir a una sola fracción 3 −5 2 a) b) 4 −2 4 5 3 4) Calcular el valor de las siguientes expresiones en cada caso 1 1 I) − II) a − b III) a . b IV) a 2 + b 2 a b a) a = -5 b = -2 b) a = 4 b = -3 c) a = -3 b = 2 5) Hallar el valor de x a) 3 − (1 − x ) = 4 + x − ( 2 + x ) 1 b) 2. ( 5 x + 3) = −4 c) d) e) f) g) 1 1 1 − = x 3 2 2x − 5 =3 x +1 x2 + x − 2 = 0 x−4 =2 3 ( x − 3)( x + 1) = 0 c) 3 2 5 UNIVERSIDAD DEL CINE – FÍSICA Cátedras: Presa, Grosz y Fantino Serie 0: Repaso de Matemáticas 2/2 Módulo 1) Calcular a) |-3| + 2 = b) |-3 + 1| = 2) Ordenar de menor a mayor los siguientes números 5, -3, ½, -2.53, |-1|, π, -π/2 Trigonometría a) Grafique las funciones senα y cosα en el intervalo -π < α < π. b) Demuestre que sen2α + cos2α = 1, cualquiera sea el valor de α. c) Sabiendo que cos (α ± β ) = cos α cos β m sen α sen β y desarrollar ⎛π ⎞ I) cos ⎜ − x ⎟ = ⎝2 ⎠ π⎞ ⎛ II) sen ⎜ x + ⎟ = 3⎠ ⎝ sen (α ± β ) = sen α cos β ± cos α senβ Funciones Grafique las siguientes funciones, halle las intersecciones con los ejes de coordenadas y, de existir, las asíntotas correspondientes: a) f1(x) = 3 x + 2; b) f2(t) = -3 t + 2; c) f3(x) = 2 / (x - 5); d) f4(t) = -3 t / (t - 3). Respuestas 71 2 1 , c) , d) 20 35 30 79 13 7 a) 733, b) , c) , d) 36 6 6 15 15 15 , b) , c) a) 8 8 2 3 II) -3 III) 10 IV) 29 a)I) 10 7 II) 7 III) -12 IV) 25 b)I) 12 −5 c)I) II) -5 III) -6 IV) 13 6 6 a) x = 0 , b) x = −1 , c) x = , d) x = - 8, 5 e) x = −2 ó x = 1 , f) x = 16 , g) x = −1 ó x = 3 1) a) 10, 2) 3) 4) 5) b) Módulo 1) a) 5, b) 2 2) -3, -2.53, -π/2, ½, |-1|, π, 5 UNIVERSIDAD DEL CINE – FÍSICA Cátedras: Presa, Grosz y Fantino Serie 1: Ondas 1/2 1.- Determine la amplitud, el período, la frecuencia, la frecuencia angular y la fase inicial que caracterizan a las siguientes funciones armónicas; en todos los casos grafíquelas en un período: i) ϕ1(x) = 5 sen(0.5 π x + π /4); ii) ϕ2(t) = 2 cos(2 π t+ π /3); iii) ϕ3(x) = 3 cos(0.5 π x). 2.- Para una onda armónica calcule la longitud de onda ó período espacial (λ), la frecuencia temporal (ν), la velocidad de propagación (c), el período temporal (τ), la frecuencia angular temporal (ω), y la frecuencia angular espacial ó el número de onda (k), según corresponda, en los siguientes casos: i) λ = 630nm y c = 3.108m/s λ = 0.63μm y τ = 0.5ms v) 8 ν = 10kHz y c = 3.10 m/s ν = 100MHz y c = 3.105km/s ii) vi) iii) λ = 630m y c = 3.1010cm/s vii) ν = 440Hz y c = 330m/s iv) ν = 40kHz y λ = 8cm 3.- Una onda de frecuencia ν = 2kHz, se propaga a una velocidad de 40m/s. Encuentre su longitud de onda (λ) y su período temporal (τ). 4.- a) Una estación de FM emite señales en 93.9MHz. Suponiendo que la velocidad de las ondas electromagnéticas en el aire sea de 3 108m/s, calcule la longitud de onda correspondiente. b) Una persona usa un traje de baño rojo, que refleja la luz con longitud de onda λ=629nm en el aire (n=1), ¿cambia la longitud de onda del color bajo el agua? ¿cambia el color que se ve? 5.- Una lámpara emite en el vacío (c = 3 108 m/s) con una frecuencia ν = 5.2 1014 Hz. Calcule la longitud de onda de la luz emitida por esa lámpara que se propaga en vacío. Si la misma lámpara se sumerge en agua (n = 1,3), ¿Cuáles son ahora la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación de la luz que se propaga en el agua? 6.- Una onda electromagnética incide sobre una superficie plana que separa dos medios transparentes diferentes, de índices de refracción n1 y n2 (n1 > n2). Analice si se modifican y cómo lo hacen los siguientes parámetros de las ondas reflejada y transmitida: a) la longitud de onda (λ) b) la frecuencia (ν) c) la velocidad de propagación (c) d) el período temporal (τ). 7.- a) Calcule la velocidad de propagación de la luz en el agua, sabiendo que en el vacío es de 3 108m/s. b) si una onda en el vacío tiene una longitud de onda de 540nm, ¿cuál será su longitud de onda en el agua (n=1.3)? ¿y en el diamante (n=2.42)? 8.- Diga, justificando claramente su respuesta, si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: • La longitud de onda de una onda es el intervalo de tiempo que transcurre entre que la amplitud de la onda vuelve a tomar el mismo valor y con la misma relación de crecimiento. • La frecuencia de una onda se mide en Hz = s-1. 9.- Para una onda armónica que puede escribirse de las siguientes maneras ⎛x t ⎞ ϕ ( x, t ) = A cos ⎜ − + φ0 ⎟ = A cos (κ x − ω t + φ0 ) = A cos (κ ( x − c t ) + φ0 ) ⎝λ τ ⎠ UNIVERSIDAD DEL CINE – FÍSICA Cátedras: Presa, Grosz y Fantino Serie 1: Ondas 2/2 indicar cómo se llama cada uno de los parámetros que la caracterizan, en qué unidades suelen medirse y si corresponden a unidades de tiempo o longitud o alguna operación entre ellas nombre del parámetro unidades tipo de unidad λ τ κ ω A longitud de onda o período espacial ------------nm, cm, m Depende de a quien caracteriza longitud φ0 c 10.- Completar la tabla teniendo en cuenta que cada fila corresponde a una dada onda electromagnética de frecuencia ν y longitud de onda λ que se propaga en un material de índice n con una velocidad de propagación cn. cn n ν λn 16 3 10 Hz 1,3 8 550 nm 2.5 10 m/seg 4,2 10-6 m 1,5 100 MHz 1 11.- Un haz de luz de frecuencia ν = 3.2 1014 Hz se propaga dentro de un cristal de índice n = 1.53. Su longitud de onda y su velocidad valen, (indicar la única respuesta correcta) a b c d e λ = 1432nm y c =1.96 108m λ = 612nm y c = 4.59 108m/s λ = 612nm y c = 1.96 108m/s λ = 612ns y c =1.96 108m/s Ninguna de las anteriores 12.- En el siguiente ejercicio indicar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas. Cuando un haz de luz atraviesa la superficie de separación entre dos medios de distinto índice (el segundo medio con un índice mayor que el primero) a Cambia la frecuencia y no la velocidad de propagación del haz b La frecuencia no se modifica c La velocidad de propagación de la onda es mayor en el primer medio que en el segundo d La longitud de onda de la onda es mayor en el primer medio que en el segundo e La longitud de onda no se modifica 13.- Un rayo de luz que viaja en el aire entra a un bloque de vidrio, decir cuales de las siguientes afirmaciones son correctas a sufre sólo un cambio de c b sufre sólo un cambio de λ c sufre un cambio de c y de λ d sufre sólo un cambio de ν e sufre un cambio de ν UNIVERSIDAD DEL CINE - FÍSICA Cátedras: Presa, Grosz y Fantino Serie 2: Reflexión y refracción 1/2 1.- a) Escriba la ley de reflexión de la luz en una interfase plana. b) Si un rayo de luz sale del punto A = (0,3) se refleja en un espejo plano, dado por y = 0, y luego pasa por el punto B = (8,3), calcule en qué punto el rayo toca al espejo. c) Si el rayo que sale de A debe luego pasar por C = (8,6), ¿en qué punto toca al espejo? 2.- La tumba de Pepe, héroe de Nod, es una oscura cámara cerrada con un agujero pequeño en el muro a 3m de altura. Una vez al año en el aniversario de la muerte de Pepe entra un rayo de sol por el agujero, llega a un pequeño disco de oro ubicado sobre el piso a 4m del muro y se refleja alumbrando un gran diamante incrustado en la frente de la gran estatua de Pepe a 20m del muro. Aproximadamente ¿qué altura tiene esa estatua? 3.- Dos espejos planos seminfinitos forman un ángulo de 100°. Si sobre el primero de ellos incide un rayo formando un ángulo de 40° con la normal, diga si el rayo reflejado incide sobre el segundo espejo y de ser así con qué ángulo lo hace. 4.- a) Escriba la ley de Snell para la refracción de la luz (transmisión de un medio a otro). La superficie separa dos medios con índices de refracción n y n'. b) ¿Existe alguna restricción para la existencia del haz refractado? Explicite 5.- Un rayo de luz llega a la interfase aire-líquido con un ángulo de 55°. Se observa que el rayo refractado se transmite a 40°. ¿Cuál es el índice de refracción del líquido? 6.- Un haz de luz incide desde el aire (n = 1) sobre una lámina de vidrio de índice de refracción nv desconocido y espesor d. Al otro lado del vidrio hay agua de índice de refracción 1.33. El ángulo de incidencia en la interfase airevidrio es 30°. Calcule el ángulo que el rayo refractado forma con la normal a la superficie en el agua. 7.- El ojo de un buzo se encuentra a una profundidad de 4m en un pozo cilíndrico de 3m de radio. El ojo del buzo está ubicado en el eje del pozo. El pozo se encuentra lleno de agua (nagua=1.3). Determine cuál es la máxima distancia (x) a la que puede colocarse su ayudante, (de 2m de altura) ubicado en tierra para que el buzo lo vea. 2m x 3m 4m 8.- a) Un rayo de luz, que se propaga en un medio cuyo índice de refracción es n = 2 incide formando un ángulo de 30° respecto a la normal a la superficie de separación, que la separa de otro medio de índice 1,5. Calcule el ángulo que forma el rayo transmitido con la normal a la superficie. b) Calcule el ángulo mínimo con el que debería incidir el rayo para que no se transmita nada. 9.- a) Calcule el índice de refracción de un medio si en la superficie de separación con el aire, el ángulo crítico correspondiente es de 42°. b) ¿Cuál será el ángulo crítico de esa sustancia con el agua? (nagua=1.3) 10.- Un nadador bajo el agua manda un haz angosto de luz hacia la superficie, ¿cuál es el ángulo mínimo, respecto a la normal, para el cual el haz se refleja completamente hacia interior? (nagua=4/3) 11.- Cuando la luz incide en la superficie de separación de dos medios, decir cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas: El ángulo entre el rayo refractado y la normal depende de λ El ángulo entre el rayo refractado y la normal depende de ν El ángulo entre el rayo refractado y la normal depende de c El ángulo entre el rayo reflejado y la normal depende de λ El ángulo entre el rayo reflejado y la normal depende de ν UNIVERSIDAD DEL CINE - FÍSICA Cátedras: Presa, Grosz y Fantino Serie 2: Reflexión y refracción 2/2 12.- Diga, justificando claramente su respuesta, cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas: • Para toda interfase que separe dos medios de índices n1 y n2, existe siempre un ángulo a partir del cual nada se transmite. • Cuando un haz incide sobre la superficie se separación entre dos medios (n1 < n2) desde el medio con índice n1, siempre existen el rayo reflejado y el rayo transmitido. • Cuando un haz incide sobre la superficie se separación entre dos medios (n1 φ > n2) desde el medio con índice n1, siempre existen el rayo reflejado y el objeto rayo transmitido. 13.- La figura representa un telémetro. Cuando los rayos salen paralelos del telémetro se puede calcular la distancia L, a la que se encuentra el objeto, como función del ángulo (φ) que forman el espejo (M2) y el semiespejo (M1) y de la distancia (d) entre los mismos. Escriba la ecuación que permite obtener la distancia objeto (L) como función de φ y de d. (el ángulo α señalado en el dibujo no se supone dato del problema, los únicos datos son φ y d, si bien α puede usarse para pasos intermedios) α α L 45° M1 d M2 14.- Una lámina de caras paralelas de vidrio crown denso (nF=1.632, nD=1.62, nC=1.613) se encuentra inmersa en aire. a) Calcule la velocidad de la luz para las diferentes frecuencias que correspondan a las líneas F, D y C. b) Si desde el aire incide un rayo, conteniendo esas 3 frecuencias, con un ángulo de 30° con la normal, calcule la dirección de los rayos transmitidos dentro del vidrio y a la salida en el aire. c) Idem b) pero cuando la lámina está entre aire y agua. 15.- Estudie las inversiones en los prismas solicitadas en la clase teórica. En particular en el sistema de prisma de Porro y en el pentaprisma. 16.- Un haz de luz incide normalmente sobre una de las caras perpendiculares de un prisma de vidrio de 45°, como se muestra en la figura. a) Calcule el mínimo índice de refracción del vidrio para que toda la luz salga por la otra cara perpendicular. b) Analice qué sucede si mantiene la incidencia normal pero sumerge al prisma en agua. 17.- Un haz de luz blanca incide desde el aire sobre un prisma de Crown con un ángulo refringente de 50 y cuyos índices de refracción son 1,61 y 1,62 para el rojo y azul respectivamente. Puede considerar este prisma como delgado? a) De ser así, calcule los ángulos de desviación para cada color. b) ¿Cómo se modifica el ángulo de desviación mínima si ahora el prisma está inmerso en agua (n = 1.3)? UNIVERSIDAD DEL CINE – FÍSICA - Serie 3: Dioptras y espejos 1/3 Cátedras: Presa, Grosz y Fantino 1. Recordando la ecuación de la dioptra: n' n n'− n n' n = =− − = s' s R f' f , y su aumento lateral: m = h' n s ' = h n' s a) Para una dioptra esférica convexa de radio de curvatura 1.5m, que separa aire de un vidrio de índice de refracción 1.5, calcule las distancias focales objeto e imagen. b) Para un objeto real ubicado a 10m de la dioptra del punto a) y que tiene una altura de 1cm calcule la posición y el tamaño de la imagen c) Para un objeto real ubicado a 6m de la dioptra del punto a) y que tiene una altura de 1cm calcule la posición y el tamaño de la imagen d) Para un objeto real ubicado a 4m de la dioptra del punto a) y que tiene una altura de 1cm calcule la posición y el tamaño de la imagen e) Para un objeto real ubicado a 2m de la dioptra del punto a) y que tiene una altura de 1cm calcule la posición y el tamaño de la imagen f) Haga los trazados de rayos correspondientes 2. a) ¿Cuándo una dioptra esférica es divergente? Dé ejemplos de las posibles disposiciones. Haga los gráficos de s' en función de s para dioptras convergentes y divergentes. b) ¿Pueden ser iguales las dos distancias focales de una dioptra?. Justifique su respuesta. 3. En una dioptra esférica como la de la figura, ¿dónde debe colocarse un objeto para que la imagen sea directa?. Justifique su respuesta gráfica y analíticamente. ¿Cómo cambia su respuesta si se invierte la relación de índices? 4. La esfera de vidrio de la figura, de 1m de radio, contiene una pequeña burbuja de aire desplazada 0.5 m de su centro. Hallar la posición y el aumento de la burbuja cuando se la observa desde A y cuando se la observa desde B. 5. Un fotógrafo desea obtener la imagen de un objeto que se encuentra a 20cm a la izquierda de una pecera de caras planas, de 2m de ancho, llena de agua. El fotógrafo está a 80cm a la derecha de la pecera. Calcule a qué distancia debe enfocar su lente para registrar correctamente la imagen. 6. Un espejo esférico convexo tiene un radio de curvatura cuya magnitud es de 0.5m, ¿cuál es su distancia focal? 7. Si un objeto que está a 200cm del vértice de un espejo cóncavo esférico tiene su imagen a 400cm frente al espejo, cuál es la distancia focal de éste? 8. Considere un espejo esférico convexo de radio de curvatura 1m. Realice el gráfico cualitativo de s’ vs s. Diga cuáles son todas las posiciones en que puede estar un objeto para que el aumento del sistema sea -1. En todos los casos describa las características del objeto y de la imagen UNIVERSIDAD DEL CINE – FÍSICA - Serie 3: Dioptras y espejos 2/3 Cátedras: Presa, Grosz y Fantino 9. Supongamos que tiene un espejo esférico de 0.2m de radio, si quisiera proyectar la imagen de una vela sobre una hoja de papel a 1.1m de distancia, ¿dónde debe colocarse la vela? Realice el gráfico cualitativo de s’ vs s. Describa la imagen mencionando también el aumento. Trace el diagrama de rayos. 10. La córnea del ojo humano se comporta como un espejo convexo esférico cuando se la ve de cerca. Suponga que Ud se ve a sí mismo reflejado en el ojo de alguien que está a 20cm de distancia, y que el radio de curvatura de la córnea es de 8cm. ¿Cómo se verá su imagen? ¿dónde estará? 11. Al mirarse en la concavidad de una cuchara sopera esférica, una persona a 25cm de distancia ve su imagen reflejada con un aumento de –0.064. Calcule el radio de curvatura de la cuchara. 12. ¿Cómo se modifica la distancia focal de un espejo esférico si se lo sumerge en agua? 13. La nariz de un lector está a 20 cm de un espejo esférico convexo de 100 cm de radio, a) Diga sin hacer cálculos las característica de la imagen entre qué posiciones estará ubicada b) Calcule la posición de su imagen c) Verifique analíticamente las características de la misma. d) Haga el trazado de rayos claro y a escala. 14. Calcule el tamaño y la posición de un espejo plano vertical para que una persona de pié, cuya altura es de 1.8m y cuyos ojos están a 1.6m del piso, se vea completo. 15. Un fotógrafo está a 1m de otra pecera de paredes planas que distan 1m. La pecera contiene agua y su cara posterior está espejada. A qué distancia debe enfocar el fotógrafo si se fotografía a sí mismo. 16. Un observador mira hacia la semiesfera espejada de la figura. El radio de la semiesfera es 5m. A qué distancia y de qué tamaño verá al hombre de 1.5m de altura que se encuentra a 1m detrás de él. El observador está a 1m de la semiesfera. El índice del vidrio es 1.5. observador 17. Diga cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas. Si dice que es verdadera, justifique clara y concisamente por qué lo es. Si dice que es falsa dé un contra - ejemplo. a El valor absoluto de la distancia focal imagen de una dioptra plana es infinito. b La imagen dada por una diopta convergente de un objeto real siempre es real. c Un objeto se coloca entre la distancia focal objeto de una dioptra divergente y la dioptra. Al desplazar al objeto acercándolo a la dioptra la imagen también se desplaza y se acerca a ella. d Un objeto se coloca entre el centro de curvatura y el foco de un espejo esférico convexo. El objeto es virtual y la imagen es real y directa. e En una dioptra divergente el aumento es +1 cuando objeto e imagen se encuentran a igual distancia del vértice de la dioptra. f Un observador está frente a un espejo convexo, cualquiera sea su posición la imagen que de él ve es siempre virtual. g Un espejo cóncavo inmerso en un medio adecuado puede ser divergente. 18. Analice la veracidad de las siguientes afirmaciones. En el caso de considerarla verdadera demuéstrelo en forma general en el caso de considerarla falsa, basta con que de un contraejemplo. a Un espejo esférico convexo da imágenes virtuales para todo objeto UNIVERSIDAD DEL CINE – FÍSICA - Serie 3: Dioptras y espejos 3/3 Cátedras: Presa, Grosz y Fantino b c d e Un objeto es virtual si se encuentra a la derecha de una dioptra Para que un espejo cóncavo dé imágenes aumentadas el objeto debe estar colocado entre el espejo y 2 veces la distancia focal del espejo Una pared de vidrio de espesor e, con aire a ambos lados, siempre hace que los objetos que observamos a su través se vean más cercanos Una pileta parece ser más profunda, cuando está llena con agua (n = 1.3) que cuando está llena con alcohol (n = 1.4) 19. Dado el siguiente gráfico de s´ vs s. Determinar a) si puede corresponder a una dioptra o a un espejo b) si el elemento es convergente o divergente c) para el objeto situado en S1 determine las características de la imagen. d) haga lo mismo para un objeto ubicado en S2. s' 12 9 6 3 S1 -8 -4 0 -3 -6 -9 -12 -15 s S2 0 4 8 12 UNIVERSIDAD DEL CINE - FÍSICA Cátedras: Presa, Grosz y Fantino Serie 4: Lentes 1/3 1. Una lente delgada está fabricada de un vidrio de índice de refracción de 1.5 y sus superficies, miradas desde afuera, son esféricas de radios de curvatura |R1| = 15cm y |R2| = 20cm. Calcule las distancias focales objeto e imagen, a) si la lente está en aire y: i) la primer superficie es cóncava y la segunda es convexa; ii) la primera es convexa y la segunda cóncava; iii) ambas superficies son cóncavas y iv) ambas son convexas. b) Ídem a) si se invierten R1 y R2. c) Ídem a) si la lente se encuentra entre agua y aire y la luz incide a la lente desde el agua y se dirige al aire. d) Ídem a) si la lente está inmersa en agua. 2. Analice si son verdaderas las siguientes afirmaciones. Una lente delgada equiconvexa de radio de curvatura 50 cm está fabricada de un vidrio de índice 1.5 Si está en aire: f = - f ’= - 50cm Si está en agua (n=1.3): f = - f ’= - 50cm Si esta entre aire y agua: f ≅ -71.42cm y f’ ≅ 92.85 cm Si esta entre aire y agua: f = -50cm y f’ = 162.5 cm 3. Analice si son verdaderas las siguientes afirmaciones. ¿Qué es lo que puede hacer una lente convergente? Formar una imagen que sea: Virtual, derecha y aumentada Virtual, invertida y disminuida Real, invertida y disminuida Real, invertida y aumentada 4. Cuando un objeto se encuentra entre el vértice y la distancia focal objeto de una lente divergente, su imagen es: Virtual, aumentada y derecha Real, disminuida y derecha Real, aumentada e invertida Virtual, reducida y derecha 5. Considere una lente convergente de distancia focal 50mm. Analice entre qué posiciones debe estar un objeto real para que la imagen sea real. Diga entre qué posiciones se encuentra la imagen y analice sus características. Haga los trazados de rayos correspondientes. 6. a) Considere los objetivos convergentes caracterizados por las siguientes distancias focales: 1) 25mm; 2) 50mm; 3) 75mm y 4) 135mm. Para cada uno de ellos calcule las distancias objetivo - plano imagen considerando objetos reales situados a: │s1│ = 20cm; │s2│ = 75cm; │s3│ = 3m; │s4│ = 10m y │s5│ = 20m, de la lente. ¿Cuánto vale en cada caso la distancia objeto – película? b) Los objetos tienen un tamaño (altura) de 50cm analice si sus imágenes entran o no en la película. La cámara que está usando tiene un cuadro de 24x36mm. Si la respuesta es afirmativa, calcule el tamaño de la imagen; si es negativa calcule la altura máxima del objeto que entraría en la película. c) En todos los casos del ítem a) considere un segundo objeto más alejado de la lente y situado a 5cm del anterior. Calcule el círculo de confusión que obtendría en cada uno de los planos imagen calculados en a). Si la cámara que utiliza es de 35mm, con un stop de 5,6 (círculo de confusión máximo aceptable ccM = 0,025mm) decida si estos segundos objetos se verán o no enfocados. d) Realice los trazados de rayos que le permiten obtener la posición y el tamaño de las imágenes. 7. En una cámara que tiene colocado un objetivo de 50mm enfocando a un objeto distante a) 75mm; b) 1,5m; c) 3m y d) 10m analice cuánto y en qué sentido debe desplazarse el objetivo, si se lo reemplaza por otro de 75mm. UNIVERSIDAD DEL CINE - FÍSICA Cátedras: Presa, Grosz y Fantino Serie 4: Lentes 2/3 8. Se quiere fotografiar en forma completa un objeto de 90 cm de altura, que se encuentra a 1.04 m de la película, cuyo cuadro es de 24 mm x 36 mm. a) Indique en qué forma colocaría la cámara y calcule el aumento requerido (recuerde que la imagen dada por una cámara de fotos es invertida). b) Teniendo en cuenta el aumento calculado en a) y la distancia objeto película determine la distancia lentepelícula y la distancia objeto-lente. c) Calcule la distancia focal de la lente, exprésela en mm y aproxímela a una cifra decimal. d) Haga un trazado de rayos cualitativo pero claro para representar la formación de la imagen. e) Si el diafragma es de 4mm de diámetro, calcule el tamaño del círculo de confusión sobre la película para un punto ubicado en el infinito. f) Si el máximo círculo de confusión aceptable es de 0.01mm diga si el infinito se encuentra enfocado o no. g) Calcule el círculo de confusión sobre la película generado por un objeto real que se encuentra a 2m de la lente. 9. a) Para los objetivos dados en el problema 6 y para los siguientes valores de f/d: i) 5.6, ii) 8, iii) 22, calcule la correspondiente distancia hiperfocal. ¿Cuánto vale el diámetro del diafragma en cada caso? ¿La distancia hiperfocal aumenta o disminuye con f/d? (ccM = 0,025 mm) b) Si ahora enfoca el objetivo a la distancia hiperfocal calcule la mínima distancia a la que puede hallarse un objeto para que esté enfocado. 10. Con una cámara fotográfica de 35mm y lente normal (50mm) se toman fotografías que deberán ser ampliadas en un factor 30. El ojo humano resuelve (ve como distintos) dos objetos cuya separación angular es mayor o igual que el minuto, consideramos entonces, que el ojo ve como puntual a un círculo de tamaño angular 0.5 minutos de arco. La mínima distancia a la que se quiere observar la imagen es de 1m. Considerando estos dos datos, calcule el tamaño máximo del círculo de confusión aceptable en la fotografía ampliada; a partir de allí obtenga aquel círculo de confusión que resulte aceptable sobre la placa fotográfica. En tal caso para las distintas relaciones f/d (1,8; 2; 2,8; 4; 5,6; 8; 11 y 16) calcule el punto al que enfocaría para obtener la máxima profundidad de campo. Con ese enfoque ¿entre qué posiciones debe estar un objeto para ser visto enfocado en la placa fotográfica? 11. Dos lentes convergentes tienen la misma distancia hiperfocal, considerando el mismo círculo de confusión aceptable. Entonces si: f ’2 =2 f ’1 ⇒ F2 = 2 F1 f ’2 =2 f ’1 ⇒ F2 = 4 F1 f ’2 =2 f ’1 ⇒ F2 = F1 Ninguna de las anteriores 12. Analice la veracidad de las siguientes afirmaciones. Justifique claramente sus respuestas. Si considera que una afirmación es verdadera debe demostrarlo (en general), si considera que es falsa basta un contraejemplo. a) Dos lentes delgadas convergentes están en contacto, la primera tiene distancia focal muy pequeña, la distancia focal de la segunda es muy grande (f1´ « f2´ ). La distancia focal del sistema (f ) es |f | ≈ |f1|. b) La distancia focal imagen de un sistema de dos lentes convergentes es siempre positiva. c) Toda lente biconvexa es convergente. d) Una lente convergente no puede formar una imagen virtual, disminuida e invertida. 13. Dados los siguientes trazados de rayos, decidir si son verdaderas las siguientes afirmaciones: a) La figura a) corresponde a la formación de la imagen de un objeto real dada por una lente convergente en medio único. b) La figura b) corresponde a la formación de la imagen de un objeto real dada por una lente convergente en medio único. UNIVERSIDAD DEL CINE - FÍSICA Cátedras: Presa, Grosz y Fantino Serie 4: Lentes 3/3 c) La figura d) corresponde a la formación de la imagen de un objeto virtual dada por una lente divergente en medios diferentes. d) La figura c) corresponde a la formación de la imagen de un objeto real dada por una lupa en medios diferentes. El primer medio es más denso que el segundo e) En las figuras a), b), c) y d) los rayos que pasan por el vértice de la lente no se desvían. . UNIVERSIDAD DEL CINE - FÍSICA Cátedras: Presa, Grosz y Fantino Serie 5: Polarización y color 1/2 1.- Dada la ley de Malus: I =I0 cos2θ, diga cuál debe ser la polarización del haz incidente para que la ley de Malus sea válida. ¿A qué ángulo hace referencia dicha ley y quienes son I e I0? Bajo qué condiciones no emerge luz del sistema? 2.- Se tienen 2 polarizadores lineales rotados entre si 300. Sobre el primero incide un haz linealmente polarizado a 600 del eje del primer polarizador. Si la intensidad incidente es I0 calcule la intensidad transmitida. 3.- a) Luz natural (I0) incide sobre un sistema de 2 polarizadores lineales rotados entre si 900. Calcule la intensidad emergente. b) Si entre los 2 polarizadores de a) se intercalan otros 2 polarizadores rotados 300 respecto del anterior, calcule la intensidad transmitida. c) ídem a) y b) cuando la luz incidente es circularmente polarizada. 4.- Un nadador bajo el agua manda un haz angosto de luz hacia la superficie, ¿en qué mínimo ángulo, referido a la normal a la superficie, será reflejado completamente al interior? ¿En qué ángulo el haz reflejado estará linealmente polarizado? 5.-Luz linealmente polarizada en el plano de incidencia llega a una placa de vidrio desde el aire en el ángulo de Brewster. ¿Qué puede decir del rayo transmitido? [1] que no existe; [2] que está linealmente polarizado perpendicular al plano de incidencia; [3] que está linealmente polarizado en el plano de incidencia; [4] que está parcialmente polarizado; [5] que no vale nada de lo anterior. 6.- Analice la veracidad de las siguientes afirmaciones, considerando una interfase entre dos medios de índices 1.5 y 2.3 a) Cuando la luz incide desde el segundo medio hacia el primero el ángulo de reflexión total es menor que el Brewster. b) Cuando la luz incide desde el segundo medio hacia el primero el ángulo de Brewster es 33,10 c) Cuando la luz incide, con ángulo de Brewster, desde el primer medio hacia el segundo el rayo transmitido está siempre linealmente polarizado. d) Para que exista ángulo de polarización (Brewster) es necesario que incida desde el segundo medio hacia el primero. e) Cuando la luz incide desde el segundo medio hacia el primero el ángulo de Brewster es 56,80 7.- Se observa el reflejo del sol, en un día sin viento, sobre la superficie de un lago. a) diga cómo debe colocarse un polarizador lineal si se quiere minimizar la intensidad de ese reflejo. Haga un esquema claro y sencillo. b) Explique claramente como debe ubicarse el eje de transmisión del polarizador. c) ¿Es posible anular completamente (a alguna hora del día) el reflejo del sol, con el polarizador lineal? Justifique su respuesta. ¿Qué ángulo deberían formar con la normal los rayos del sol si lo propuesto pudiese ocurrir? UNIVERSIDAD DEL CINE - FÍSICA Cátedras: Presa, Grosz y Fantino Serie 5: Polarización y color 2/2 8.- Se dispone de un polarizador, una lámina de vidrio de caras paralelas, una fuente de luz colimada no polarizada y de un instrumento que permite medir ángulos (goniómetro). Explique algún método, que usando dichos elementos, le permita determinar el índice de refracción de la lámina. 9.- Un rayo de luz amarillo pasa a través de un filtro cian. ¿Qué color es el del rayo que sale?: [1] amarillo; [2] azul; [3] verde; [4] ninguno de los anteriores. 10.- Una cartulina de color magenta, con un círculo amarillo en su centro es iluminada por un haz de luz cian. Explique de qué color se ve cada uno. ϕ1 ( x, t ) ) = A cos 2π ⎜ ⎛x t ⎞ − + φ0 ⎟ ⎝λ τ ⎠ ϕ1 ( x, t ) ) = A cos (κx − ωt + φ0 ) ϕ1 ( x, t ) ) = A cos [κ ( x − ct ) + φ0 ] sen(α) ≅ α sen(α) ≅ tg(α) n' n n'−n n' n − = = =− =Φ s' s R f' f n' n' R f '= = Φ n'−n n h n' h' = s s' h' n s ' m= = h n' s n' s f ' s' = (n' s + n f ') f' s' = ⎛ n f '⎞ ⎜1 + ⎟ n' s ⎠ ⎝ n' s f s' = n ( f − s) n' s '= s n ν = 1 / τ. ω = 2π ν = 2π / τ κ = 2π / λ . κ=ω/c c =νλ vn = c / n Φ 1 1 2 1 1 + = = = = =Φ s' s R f ' f − n h' s' m= =− h s s f' s' = (s − f ' ) sR s' = (2s − R ) f' s' = f '⎞ ⎛ ⎜1 − ⎟ s ⎠ ⎝ θ r = - θi ni sen(θi) = nt sen(θt), sen(θC) = nt/ ni ⎛n' ⎞ | δ mín |= ⎜ − 1⎟ | α | ⎝n ⎠ n´ n n´ n n"−n n´−n" − = =− =Φ= + s´ s f ´ f R1 R2 n h n' h' = s s' h' n s ' m= = h n' s n' s f ' s' = (n' s + n f ') 1 1 1 1 Φ ⎛ n" ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎟ − = = − = = ⎜ − 1⎟ ⎜⎜ − s´ s f ´ f n ⎝n ⎠ ⎝ R1 R2 ⎠ h' s ' m= = h s s f' s' = (s + f ') sf s' = ( f − s) I = I1 cos 2 θ tan(θB) = nt/ni s ' HF = HF f ' HF + f ' HF = − HF = − f 'd ccM f '2 F ccM