CAPITULO 2 VECTORES

CAPITULO 2 VECTORES OBJETIVOS DE APRENDIZAJE ✔ . VECTORES Una magnitud escalar es la que tiene asociada una sola cantidad por ejemplo el tiempo, la temperatura, la densidad, el volumen, la energía, la masa. Una magnitud vectorial es la que además de la cantidad tiene asociada otras características como una dirección y sentido. Son ejemplos de estas magnitudes la velocidad, la aceleración, la fuerza, etc. A su vez las magnitudes físicas vectoriales pueden pertenecer a uno de los tres tipos siguientes: Vector libre Es aquel cuya acción no se encuentra y confinada o asociada a una única posición. Por ejemplo si un cuerpo se Su vector mueve sin rotar a 20km/h, la velocidad V = (20; 0) representativo de cualquiera de sus puntos será la es misma y puede representarse mediante un único vector que describirá x igualmente bien la dirección, el sentido y el módulo del desplazamiento de todos los puntos del cuerpo. El punto de aplicación es indistinto. Según el sistema adoptado, el vector en álgebra está definido por el par ordenado que se indica. Vector deslizante Es aquel para el cual se conserva la dirección (recta de acción) cambiando únicamente el punto de aplicación. Por ejemplo la acción de colgar un cuerpo mediante una cadena de peso despreciable. La fuerza que se ejerce sobre el eslabón más alto es la misma que la que está ejerciendo el último eslabón conectado directamente al bloque como se muestra en la figura. Vector aplicado o fijo Es aquel que indica un punto concreto desde una referencia establecida por tanto ocupa una posición fija en el espacio. Por ejemplo si en un mapa se debe indicar la distancia “d” que debe transitar un móvil de la ciudad “A” a otra “B” se debe ubicar el origen del vector en “A” y su extremo en “B”. De esta manera el módulo del vector indicará la distancia en linea recta y la orientación con la relación de las componentes de acuerdo al sistema de coordenadas adoptado. En la figura por ejemplo será, 50km al sur-oeste. Algebráicamente el vector se se indica como sigue: ⃗ d =(−50cos 45 º ;−50 sen 45 º ) km PARA PENSAR lo A B APLICACIONES Poner aplicaciones concretas OPERACIONES CON VECTORES Dos o más vectores aplicados sobre un mismo punto de acuerdo al principio de superposición de efectos, pueden reemplazarse por uno solo denominado resultante que tendrá la característica de producir el mismo resultado que todos ellos. Para realizar operaciones de suma de vectores1 en forma gráfica se ubicarán los vectores uno a continuación del otro. Para obtener finalmente el vector resultante se une el origen del primero con el final del último. Este método se denomina “método de la poligonal” que se indica en el esquema de la derecha. Para la determinación analítica de la resultante de la suma de vectores se suman las componentes de cada vector algebraicamente para determinar las componentes del vector resultante de acuerdo a la siguiente expresión: y Vn R V2 V1 R x =x1 + x 2+ ...+ xn R y = y 1 + y 2 +...+ y n x y Esta expresión se puede ver gráficamente en el esquema de la derecha donde se reemplazó cada vector por sus correspondientes componentes ortogonales. Analíticamente se tendrá que el módulo de la resultante será: |R|=√ R +R 2 x 2 y Ry xn El ángulo de inclinación respecto del eje positivo de las absisas será: R θ=arctg y Rx yn Vn R V2 V1 x1 y2 x2 y1 Rx x FUERZA Se define como fuerza a la interacción que dos cuerpos se ejercen mutuamente y entre los tipos de fuerza existentes se encuentran las fuerzas de contacto y las fuerzas de campo o a distancia. 1 Restar vectores no es más que sumar el vector opuesto. Las primeras se caracterizan por tener un contacto físico entre los cuerpos interactuantes como la tensión que ejerce una cuerda al arrastrar una carga o sostener un peso suspendido y las reacciones de los cuerpos apoyados y otras. Las de campo son fuerzas que obran a distancia como la fuerza de gravedad, las eléctricas y las magnéticas. La acción de la fuerza se caracteriza por su módulo o intensidad, por la dirección y sentido de su acción y por su punto de aplicación. Estas propiedades determinan la característica vectorial de la fuerza. Debido al principio de transmisibilidad, una fuerza puede considerarse aplicada a un punto cualquiera de su recta soporte (o de acción) sin que se alteren sus efectos exteriores sobre el cuerpo en el que actúan. Además las fuerzas pueden estar concentradas o distribuidas siendo estas acciones directas sobre cuerpos o reacciones de apoyos o vínculos como el caso de un libro apoyado sobre una mesa o una carga soportada por un gancho de una grúa. El esquema muestra alguno de los casos mencionados TIPO DE FUERZA ESQUEMA CARACTERÍSTICA Se encuentra aplicada en un solo punto. Concentrada Se encuentra aplicada uniformemente en el elemento sobre el que actúa. Distribuida Se encuentra aplicada en más de un punto y paralelas entre sí. Paralelas Concurrentes Ry Rx Reacción de vínculo fijo F Reacción de vínculo móvil RN F Ry Reacción del empotramiento Rx M F Todas las fuerzas se encuentran aplicadas en un punto y con diferentes direcciones. Reacciona a la fuerza “F” en forma horizontal y vertical según se indica en el esquema independientemente de cuál sea la dirección de la fuerza. Reacciona solo con una fuerza normal a la superficie vinculante. Si se aplica la fuerza “F” el vínculo se moverá solo hacia la izquierda. Reacciona a la fuerza “F” con sus componentes horizontal y vertical y un momento. PAR O MOMENTO DE FUERZAS Si se quiere trasladar un cuerpo es necesario aplicar una fuerza, pero si se quiere hacerlo girar, no siempre aplicando una fuerza se logra el objetivo. Por ejemplo si a un libro apoyado sobre una mesa se le aplica una fuerza que pase por el centro de masa2 del libro (ver figura A), este se trasladará de acuerdo al esquema siguiente. Figura A Figura B Pero, si se le aplica la misma fuerza en uno de sus extremos (ver figura B), el libro efectuará además un giro, lo cual se puede comprobar experimentalmente. Por lo tanto, si se desea hacer girar un cuerpo, es necesario aplicar lo que se conoce como momento o torque, magnitud vectorial que se define como el producto vectorial del vector “r” que representa la distancia desde el eje de giro tomado como referencia al punto de aplicación de la fuerza por el vector fuerza “F” de acuerdo a la expresión: ⃗ ⃗τ =⃗r × F i j ⃗τ = r x r y Fx F y ( k 0 0 ) Cada uno de los vectores responde a la configuración mostrada en el esquema siguiente, donde se indica una perspectiva del vector fuerza “F” aplicado en un punto de la placa rectangular indicada por el vector posición “r”. Se indica además el momento o torque mediante un vector perpendicular. 2 Se define como centro de masa de un cuerpo al punto en el que se puede considerar concentrada toda la masa del cuerpo. Vista en perspectiva Vista “desde arriba” y  F y  F  r r x x Eje Eje coincidente con el eje z usado como referencia Estos vectores son llevados a un plano cartesiano con el sistema visto “desde arriba”. La interpretación geométrica del torque está dada por la expresión: ⃗|. sen θ |⃗τ|=|⃗r|.|F De aquí se puede deducir que el momento de una fuerza será nulo si r = 0, lo que equivale a decir: no existe brazo de palanca, que la fuerza sea nula o que la dirección de la fuerza y el brazo de palanca sea la misma, es decir  = 0. La magnitud vectorial torque se mide en el Sistema Internacional en N.m (Newton por metro) y su sentido se puede determinar utilizando la regla de la mano derecha. SISTEMA DE FUERZAS EN EQUILIBRIO Ya se trató el tema relacionado a los vectores y sus operaciones, conceptos que serán aplicados en la resolución de sistemas de fuerzas en equilibrio. Si un sistema mecánico3 se encuentra en reposo se deben cumplir que la resultante de todas las “n” fuerzas actuantes sea nula. También se cumple esta condición en los sistemas que se mueven a velocidad constante y en forma rectilínea. Si además el sistema mecánico tiene la posibilidad de girar la condición de equilibrio rotacional es que el momento de las fuerzas respecto a un punto cualquiera del plano valga cero. Dichas condiciones se enuncian a continuación en forma vectorial:   Fi  0 N i 1 N y   Mi  0 i 1 Se resalta el hecho que con solo la sumatoria de fuerzas nula no es suficiente puesto que el sistema de fuerzas denominado cupla4 cumple con la primera condición pero no con la segunda de acuerdo al siguiente ejemplo: 3 4 Se define un sistema mecánico como un cuerpo o un grupo de cuerpos que puede aislarse del resto de los demás cuerpos. Se denomina cupla a un sistema de dos fuerzas paralelas de sentido contrario donde el módulo de las mismas es el mismo. Sumando los momentos respecto al origen “O” de coordenadas de cada una de las fuerzas se tendrá: d1-2 y F n ∑ M O =⃗r 1× F⃗ +⃗r 2× F⃗ i=1 ( i j M = r ∑ O 1x 0 i=1 0 F n )( k i j 0 + r2 x 0 0 0 −F k 0 0 r2 ) F r1 n ∑ M O =(r 1 x . F )⃗k +(−r 2 x . F) ⃗k x i=1 n O ∑ M O =(r 1 x −r 2 x ). F ⃗k =−d 1−2 . F . ⃗k i=1 Es fundamental para determinar si un sistema de fuerzas actuando sobre un sistema mecánico se encuentra en equilibrio la realización del diagrama de cuerpo libre (D.C.L) o diagrama de sólido libre siendo este un paso muy importante en la resolución de problemas de mecánica. A continuación se ejemplifica el caso de un cuerpo apoyado sobre una mesa horizontal: D.C.L. Peso W del cuerpo Reacción normal de la mesa Para este caso el sistema mecánico aislado para su análisis es el cuerpo apoyado sobre la mesa. Si se quiere estudiar el sistema mecánico cuerpo-mesa, el diagrama de cuerpo libre será: Peso W del cuerpo D.C.L. Peso del cuerpo Peso de la mesa Fuerzas internas de Reacciones del acción y reacciónpiso Aquí la fuerza que realiza el cuerpo sobre la mesa y viceversa es para este caso una fuerza interna que se puede entender como una la acción que realiza un operario (sin peso) sujetando el cuerpo y a la vez apoyándose sobre la mesaPeso de manera de la que ambas fuerzas se anulan mutuamente. mesa Reacciones del piso Algunos ejemplos de diagramas de cuerpo libre. Reacción en dirección normal al plano de apoyo  Fuerza realizada por la persona Peso del cuerpo  CENTRO DE GRAVEDAD Como se sabe los cuerpos se encuentran sobre la superficie de la tierra están atraídos por la fuerza de gravedad y como este se compone de partículas rígidamente unidas, la atracción gravitatoria que se ejerce sobre cada una de ellas genera el peso del cuerpo. Este vector fuerza se encuentra coincidente con el centro de masas del cuerpo rígido si se considera que la gravedad terrestre no varia a en todo lo largo de la dimensión vertical del cuerpo, caso contrario el centro de gravedad se encontrara más cerca de la base quedando el centro de masas verticalmente más arriba y coincidiendo con el centro geométrico del cuerpo si su distribución de masas es homogénea. Finalmente y realizando las consideraciones mencionadas, la expresión de la posición del centro de gravedad quedara indicada por la misma expresión que la del centro de masas dada por: r⃗cg = m1 r⃗1 +m2 r⃗2 +...+mn r⃗n m1+ m2+...+mn 2a a Para ejemplificar este concepto se utilizara un cuerpo rígido formado por dos cuerpos regulares, uno del doble de masa que el otro y ambos formando un sistema de acuerdo al esquema mostrado. Si se conocen las masas de cada uno y sus dimensiones y tomando como referencia el extremo inferior 2a izquierdo como origen de coordenadas, la posición del centro de gravedad del sistema estará dado por el vector posición que de acuerdo a la expresión dada sera: r⃗cg = m1 r⃗1 +m2 r⃗2 m1 +m2 2 m( a )+m( 1,5 a ) a/2 1,5 a r⃗cg = 3m 1,16 a r⃗cg =( ) 0,83 a MAQUINAS SIMPLES Estas se utilizan para facilitar el movimiento de cargas pesadas realizando menor esfuerzo por parte del operario. A continuación se analizarán algunas de ellas: Palanca Es una de las máquinas simples más utilizadas en la vida diaria y en la industria presentando diferentes formas como las barretas, “pata de cabra”, tenazas, brazo robótico, etc. Para determinar los esfuerzos rinvolucrados se aplicarán las condiciones de equilibrio. A continuación se esquematiza el uso de una palanca simple donde un operario mantiene una carga “W” realizando un esfuerzo “F”. R R Reacción del apoyo a b D.C.L. O F W Peso de la carga Fuerza realizada por el operario F W Aplicando las condiciones de equilibrio en el diagrama de cuerpo libre se tiene que la sumatoria de fuerzas vale: N ∑ F i =W⃗ + ⃗R + ⃗F =⃗0 i=1 ( )( )( )( ) 0 0 0 0 −W + R + −F = −W +R−F =0 0 0 0 0 La sumatoria de momentos respecto al punto de apoyo “O” vale: N ∑ Mi=⃗a ×W⃗ + ⃗0× ⃗R + ⃗b× ⃗F =⃗0 i =1 Realizando las operaciones algebraicas necesarias y despejando la fuerza “F” que realiza el operario se tendrá: ( ⃗i ⃗j −a 0 0 −W )( ⃗ ⃗i ⃗j k 0 + 0 0 0 0 R )( ⃗k ⃗i ⃗j 0 + b 0 0 0 −F )() ⃗k 0 0 =0 0 0 Realizando los productos vectoriales se tendrá: a.W ⃗ k +0 ⃗k −b . F ⃗ k =( a. W −b . F ) ⃗k=0 ⃗k a . W=b . F a F= . W b Analizando esta última expresión se desprende que para una longitud de palanca (en este caso a+b) cuanto más cerca se encuentre la carga del apoyo (y consecuentemente más distancia del apoyo al operario) menor será el esfuerzo a realizar para mantener la carga. Otra alternativa de utilización de la misma palanca puede ser la siguiente: Reacción del apoyo R R F F Fuerza realizada por el operario a b D.C.L. O W Peso de la carga W Realizando las mismas operaciones que en el caso anterior se tendrá finalmente la expresión de la fuerza del operario en función de las distancias para esta configuración: a F= ⋅W ( a+ b ) Se desprende que, cuando b = 0 el operario realizará una fuerza exactamente de la misma magnitud que el peso de la carga y cuanto más cerca se encuentre la carga del apoyo, menor será el esfuerzo a realizar para mantenerla en esa posición. Para pensar. Qué configuración le conviene más al operario para mantener la carga en equilibrio, ubicar en la mitad de la palanca ¿la carga o el apoyo? Poleas Se pueden presentar en dos configuraciones, fijas o móviles y además en forma combinada dando lugar a los denominados aparejos los que se analizarán más adelante. A continuación se muestra una polea fija utilizada para elevar cargas que en este caso se encuentra en equilibrio estático, es decir la carga se mantiene en esa posición debido al esfuerzo que realiza el operario. Además se muestra el correspondiente diagrama de cuerpo libre. Se debe determinar el esfuerzo que debe realizar el operario para mantener el cuerpo de 300N en equilibrio estático. Reacción R del soporte D.C.L. α = 30º F F T Fuerza realizada por el operario para soportar el peso W Tensión en la soga Peso del cuerpo W=300N D.C.L. T W=300N Se desea determinar el esfuerzo resultante sobre el eje de la polea debido a la acción simultánea de la carga y de la fuerza que realiza el operario. Aplicando las condiciones de equilibrio al cuerpo suspendido se tendrá: ∑ F=0 T −W =0 T =300 N Aplicando las condiciones de equilibrio a la polea ubicando los ejes cartesianos en el centro de la misma se tendrá: R x=|F|cos α1 +|T|. cos α 2=|50|.cos 300 º +|50|.cos 270º =25 N R y =|F|. sen α 1 +|T|. senα 2 =|50|. sen300 º +|50|. sen 270º =−93 N |R|=√R 2x +R2y =96 N R ϕ =arc tg y =−75 º Rx En el caso de la polea móvil que se muestra a continuación, el operario sostiene un extremo de la soga mientras el otro se sujeta al techo pasando por la polea que en este caso se moverá de acuerdo a como manipule la soga el operario. F R Reacción del techo Fuerza realizada por el operario F R D.C.L. W Peso del cuerpo o W Aplicando las condiciones de equilibrio se tendrá para la sumatoria de fuerzas: ∑ F=0 R+F−W =0 Para la sumatoria de momentos: ∑ M O=0 −r . R+r . F−0.W =0 −r . R+r . F=0 R=F Reemplazando este valor en la primera expresión se tendrá: ∑ F=0 F+F −W =0 2. F=W W F= 2 Si la mantiene quieta sosteniendo la carga, solo necesitará realizar un esfuerzo equivalente a la mitad del peso total de la carga y el techo se encargará de la otra mitad. Otra configuración de poleas denominada aparejo potencial se utiliza para disminuir el esfuerzo del operario cuya disposición es la siguiente: R D.C.L. T4 T4 F F T4 T4 + F = R y T4 = F T4 D.C.L. 2 . T4 = T 3 T3 T3 T3 T3 D.C.L. 2 . T3 = T 2 T2 T2 T2 T2 D.C.L. 2 . T2 = T 1 T1 T1 T1 T1 D.C.L. 2 . T1 = W Peso W Peso W Junto a cada Diagrama de Cuerpo Libre (D.C.L.) se presentan las equivalencias entre las tensiones de cada una de las poleas que, con los cálculos algebraicos correspondientes se tiene: W =2⋅T 1 W =2⋅2⋅T 2 W =2⋅2⋅2⋅T 3 W =2⋅2⋅2⋅2⋅T 4 W =2⋅2⋅2⋅2⋅F W =24⋅F ⇒ F= W 24 Generalizando se puede decir que, dadas “N” poleas móviles ubicadas según se muestra, la fuerza “F” que el operario debe realizar para mantener en equilibrio una carga “W” responde a la expresión: F= W 2N Este tipo de dispositivo se denomina aparejo potencial. PARA PENSAR Existe otra configuración de poleas que se denomina aparejo exponencial que también utiliza poleas móviles. ¿Qué configuración presenta el menor esfuerzo al operario para mantener la carga en equilibrio con la misma cantidad de poleas móviles?. APLICACIONES Poner aplicaciones concretas Plano inclinado Son también sistemas mecánicos para facilitar al operario elevar cargas mediante esfuerzos menores a las mismas. Se ejemplifica esta operación y su correspondiente diagrama de cuerpo libre y la aplicación de las condiciones de equilibrio. F N F β D.C.L. β R=F+W β Peso W W N ⃗ W ⃗ +F ⃗ +N ⃗ =0 ∑ Fi= i=1 ( )( )( ) N⋅cos (90 º + β ) 0 F⋅cos β −W + F⋅sen β + N⋅sen( 90º + β ) =0 0 0 0 Realizando las operaciones trigonométricas correspondientes para esta configuración particular queda: ( )( )( ) 0 F⋅cos β −N⋅sen β + + −W F⋅sen β N⋅cos β =0 0 0 0 F⋅cos β F⋅cos β−N⋅sen β=0 ⇒ N = =F⋅tg−1 β sen β −W + F⋅sen β + N⋅cos β=0 −W + F⋅sen β + F⋅tg−1 β⋅cos β=0 F⋅( sen β+¿ tg −1 β⋅cos β )=W 1 F=W⋅ sen β ( ) PARA PENSAR De esta última expresión se desprende que, cuando el ángulo β = 90º el esfuerzo que realiza el operario es exactamente el mismo que el peso del cuerpo, lo cual es lógico pues la carga esta “colgada” pero: ¿qué sucede cuando β = 0º ? APLICACIONES Poner aplicaciones concretas VIGAS Son estructuras “rígidas” que se utilizan en la construcción para soportar tanto cargas puntuales como distribuidasy para comenzar se desarrollará un ejemplo de una viga sencilla para presentar el método de utilización de las condiciones de equilibrio y la disposición de los apoyos. Respecto a estos se debe recordar que para una viga apoyada son necesarios dos vínculos, uno fijo y otro móvil, esto se justificará en cursos de estática más avanzados. Para comenzar se presenta el siguiente caso donde se considera la viga sin peso. F1 Apoyo fijo Apoyo móvil A β B F2 Diagrama de Cuerpo Libre de la viga F1 b a RAH A RAV β F2 B RBV Aplicando las condiciones de equilibrio se tiene que la sumatoria de fuerzas vale5: N ⃗ ∑ Fi=0 i=1 ⃗ 1+ F ⃗ 2+ ⃗ F R A+ ⃗ RB =0 ( )( )( )( ) () F 2⋅cos β R AH 0 0 0 −F 1 + −F 2⋅sen β + R AV + R BV = 0 0 0 0 0 0 De esta última expresión se deduce que: R AH =−F 2 .cosβ −F 1−F 2 senβ+ R AV +R BV =0 Se tienen más incógnitas que ecuaciones por lo que se debe recurrir a la sumatoria de momentos respecto al punto de apoyo “A” queda: N ∑ M A =⃗0 ×R A +⃗a× F⃗ 1 + ⃗b×F⃗ 2 + ⃗l × ⃗RBV =⃗0 i =1 Realizando las operaciones algebraicas necesarias y despejando la fuerza RBV queda: ( ⃗i ⃗j a 0 0 −F 1 )( ⃗k ⃗i ⃗j 0 + b 0 0 F 2⋅cos β −F 2⋅sen β )( ⃗k ⃗i ⃗j 0 + l 0 0 0 R BV )() ⃗ k 0 0 =0 0 0 −a F 1−b F 2 sen β+ l R BV =0 RBV = 5 a F 1+b F 2 sen β l Se supone a priori que RAN, RAV y RBV son positivas y, de resultar negativo el valor obtenido de cualquiera de ellas se deberá interpretar que el sentido de la fuerza es contrario al definido previamente. Otra configuración de viga en forma de “L” según se muestra sombreada de gris presenta sobre el tramo horizontal una carga uniformemente distribuida de q N/m cuyo peso total valdrá Q = q . l F1 Viga en forma de “L” Carga distribuida de q kg/m h l a Apoyo fijo Apoyo móvil Q=q.l Diagrama de cuerpo libre de la viga RAH F1 B A RBV RAV Q=q.l Las ecuaciones de equilibrio utilizadas para determinar las reacciones de vínculo sobre la viga son: N ⃗ ⃗ 0 ∑ Fi= i =1 N y ∑ M⃗ B =⃗0 i =1 Aplicando estas condiciones de equilibrio se tiene: n ∑ F⃗i= F⃗1+ Q⃗ + R⃗A + R⃗B=⃗0 i ( )( )( )( ) () R AH F1 0 0 0 + + + R = −Q R AV 0 0 AV 0 0 0 0 0 De esta expresión se obtiene analizando la componente “i” que: F1 + R AH =0⇒ R AH =−F 1 Además, de la componente “j” se Tendrá: −Q+ R AV + RBV =0 ⇒ R BV =Q−R AV Realizando la sumatoria de momentos respecto al punto de apoyo “B” se tendrá: ⃗ N ∑ M B =⃗l × R⃗A +2l ×Q⃗ + ⃗0 × ⃗R B+ ⃗d× ⃗F1 =⃗0 i =1 En su forma matricial se tendrá: ( i −l R AH j 0 R AV )( k i j 0 + −l/2 0 0 0 −Q )( k i j 0 + 0 0 0 0 R BV )( ) () k i j k 0 0 + a h 0=0 0 F1 0 0 0 Realizando las operaciones algebraicas necesarias y sabiendo que solo quedan las componentes en “k” tendrá: l −l⋅R AV + Q+ 0−h⋅F 1=0 2 Reemplazando esta en la expresión obtenida más arriba quedará: l ⋅Q −h⋅F 1 2 Q h⋅F1 RBV =Q − = − l 2 l PARA PENSAR De esta última expresión se desprende que la reacción en el apoyo B puede tener diferentes signos pero ¿qué sucede si vale cero? APLICACIONES Poner aplicaciones concretas ROZAMIENTO OBJETIVOS DE APRENDIZAJE ✔ . Si a un cuerpo apoyado sobre una superficie horizontal se lo trata de mover en general aparece una resistencia a esa acción que se denomina fuerza de rozamiento. Si ante dicha interacción no se produce un desplazamiento relativo entre ambos se debe a que aparece una reacción denominada fuerza de rozamiento. El esquema muestra un cuerpo apoyado sobre una superficie horizontal modelado con un rectángulo y, mediante un diagrama de cuerpo libre, se pone en evidencia las fuerzas actuantes según se N Esquema simplificado Diagrama de cuerpo libre W = m.g Como hipótesis de trabajo se definirá al cuerpo en cuestión como aquel que “no posee dimensiones” característica que se la conoce como “masa puntual”. En la realidad ocurre que, si al cuerpo apoyado y en equilibrio como el caso de la figura anterior se le aplica una fe F fuerza de módulo constante “F” y de dirección horizontal, puede que quede estático o que comience a moverse. Si ocurre lo primero se deduce que la superficie de apoyo reacciona con una fuerza de igual módulo pero de sentido Fuerza de contrario para mantener el equilibrio estático. Esta fuerza rozamiento reactiva se denominará fuerza de rozamiento estática y se la estática (N) simbolizará con “fe“ según se muestra en el esquema6. feMAX Si se continúa aumentando la fuerza aplicada “F”, la superficie de apoyo reaccionará de igual manera con una fuerza de rozamiento exactamente igual a la aplicada fe Fuerza aplicada mientras pero de sentido contrario y el cuerpo permanecerá (N) en equilibrio. A la derecha se grafica la situación descripta F FMAX en un sistema de ejes cartesianos. Se puede observar que, si las escalas adoptadas para cada uno de los ejes es la misma, la pendiente del segmento dibujado será de 45º. Ocurre que, si las condiciones del Fuerza de sistema lo permiten, exista una fuerza “F” tal que el rozamiento (N) cuerpo se encuentre a punto de deslizar sobre la feMAX superficie. En este caso particular la fuerza aplicada es la máxima posible sin que se produzca movimiento y fd equivale a la fuerza de rozamiento estática máxima que fe se genera entre la superficie y el cuerpo en contacto con Fuerza ella. aplicada (N) A partir de allí, un mínimo aumento de la fuerza FMAX F aplicada será superior a la fuerza de rozamiento estática máxima que no podrá igualar a la aplicada Zona de Zona de produciéndose el deslizamiento. rozamiento rozamiento estático dinámico 6 Se debe resaltar el hecho de que se está trabajando con un cuerpo hipotético cuya masa se encuentra “concentrada” en un punto. De lo contrario la fuerza aplicada y la fuerza de rozamiento no se encontrarían sobre la misma recta de acción. Por lo tanto, la fuerza máxima aplicada define el límite de la zona de rozamiento estático, a partir de allí se producirá deslizamiento y la zona corresponderá a la de rozamiento dinámico. Son dos las características de la fuerza de rozamiento dinámica: su módulo es menor al de la fuerza de rozamiento estática máxima, lo que se puede experimentar cuando se trata de mover un objeto pesado apoyado sobre una superficie horizontal, al principio cuesta moverlo pero, una vez puesto en movimiento la fuerza necesaria para mantenerlo en esas condiciones es sensiblemente menor. Esta característica se muestra en el gráfico y, dentro de ciertos límites, permanece constante frente a diferentes fuerzas aplicadas. Si la magnitud de la fuerza aplicada se encuentra dentro de la zona dinámica, el cuerpo puede que se mueva con velocidad constante o posea aceleración. Esto dependerá de la 2º ley de Newton y deberá calcularse para las Por ejemplo, si se ubica un y cuerpo sobre un plano x horizontal y se comienza a feMAX N elevar el mismo, ocurrirá que para una cierta Diagrama de inclinación, el cuerpo no α cuerpo libre podrá mantenerse en esa posición y comenzará a W = m.g descender. Si se analizan las fuerzas actuantes para esta inclinación máxima se tendrá el diagrama de cuerpo libre que se indica resaltando el ángulo de inclinación del plano en negro y sus iguales en el diagrama de cuerpo libre. Si se realizan las correspondientes sumatorias de fuerzas en las dos direcciones ortogonales propuestas se tendrá: ∑ Fx= fe MAX−W . sen α=0 ∑ Fy=N −W . cos α=0 ⇒ ⇒ fe MAX =W . sen α N =W . cos α Si se divide miembro a miembro las ecuaciones anteriores se tendrá: fe MAX W . sen = N W . cos α fe MAX =tg α N fe MAX =N .tg α Siempre que los cuerpos en contacto no experimenten deformación y se encuentren apoyados sobre superficies planas, la ecuación obtenida resulta independiente del peso del cuerpo y solo dependerá de los materiales de las superficies en contacto. Para dos materiales dados se tiene que existe un único ángulo de inclinación máximo posible de alcanzar antes de que el cuerpo comience a deslizar. La tangente de este ángulo equivale al coeficiente de rozamiento estático y se lo simbolizará con tg α=μ e . Para conocer estos valores se puede recurrir a los textos de física o tablas técnicas. Finalmente la fuerza de rozamiento estática esta dada por la inecuación fe≤N .  e Solo se utiliza la ecuación cuando la fuerza de rozamiento estática es la máxima posible y queda. feMAX =N .μ e Es importante resaltar este hecho debido a la tendencia generalizada de utilizar solo la ecuación sin tener en cuenta que en la mayoría de los casos no se la utiliza. Por ejemplo, al caminar las personas utilizan la fuerza de rozamiento de los zapatos contra el suelo que resulta menor que la máxima salvo cuando estamos a punto de patinar que corresponde en ese caso a la fuerza de rozamiento máxima. A partir de allí se estará en la zona de rozamiento dinámico y habrá deslizamiento que será siempre la misma dentro de ciertos límites siendo su expresión: fe d =N .μ d PARA PENSAR APLICACIONES Poner aplicaciones concretas Cono de rozamiento OBJETIVOS DE APRENDIZAJE ✔ . Dado el caso de un cuerpo apoyado sobre una superficie horizontal al que se le aplica una fuerza “F” según se muestra en el siguiente esquema y, si el cuerpo permanece en reposo, la sumatoria de fuerzas será nula. y N N F β F Diagrama de cuerpo libre β β x fe F W = mg W = mg fe Suma de fuerzas vectorial El DCL del esquema pone en evidencia todas las fuerzas involucradas más su correspondiente sumatoria en forma vectorial. Al estar el polígono de fuerzas cerrado indica que el sistema se encuentra en equilibrio estático y sin deslizar. La sumatoria de fuerzas hecha en forma analítica se muestra a continuación: ∑ Fx= f e−F . sen β=0 ⇒ ∑ Fy=N −F . cosβ−W =0 fe=F . senβ ⇒ N =F . cosβ Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones anteriores se tendrá: fe F . sen β = N F . cos β fe =tg β N Si se mantiene el cuerpo en reposo quiere decir que la fuerza de rozamiento “fe” es la suficiente como para impedir el deslizamiento. Si se quiere determinar hasta que inclinación se puede aplicar la fuerza “F” sin que el cuerpo se mueva no se deberá exceder el valor del ángulo “β” y de esa manera el cuerpo se mantendrá estático solo si se cumple: fe MAX ≥tg β N tg α≥tg β μ e≥tg β Finalmente el cuerpo se mantendrá en equilibrio estático si la fuerza “F” independientemente de su intensidad se mantiene dentro de la generatriz de un cono invertido de amplitud β=arctg μ e . Esto se grafica en el esquema. Un ejemplo donde se aplica esta característica es el caso de un bastón, mientras el ángulo que forme con la vertical se mantenga dentro del cono de rozamiento permanecerá sin deslizar independientemente de la fuerza aplicada; excedido este ángulo no podrá mantenerse apoyado y se deslizará. A continuación se analizará el caso de una escalera doble sin tensor en el medio considerando solo el peso de cada uno de sus lados según se muestra. FA/B Lado A Lado B α β FB/A Lado A Lado B W α F W frA frB NA NB A la derecha se indican los correspondientes diagramas de cuerpo libre de cada tramo pero sin separarlos a fin de resaltar las reacciones (iguales y opuestas) que tienen lugar en ese extremo. Aquí se simboliza con FA/B a la acción que realiza el tramo “A” de la escalera sobre el tramo “B” Si la escalera se encuentra a punto de deslizar, la fuerza de rozamiento valdrá: fr A max =N A .μ e N A =W fr A max =W .μ e Para la fuerza de rozamiento en el apoyo “B” se cumple exactamente lo mismo. Para este caso límite, el ángulo “α” coincide con el corresponde al del cono de rozamiento “β” nombrado más atrás por lo que, una inclinación menor no podrá mantenerse la escalera en pié por si sola. Se deja para el lector analizar el caso de que exista una carga ubicada en uno de los tramos de escalera y determinar, para un ángulo dado, cual es la máxima altura a la que puede posicionarse la carga sin que la escalera deslice. PARA PENSAR Se tienen dos cuerpos uno sobre el otro apoyados sobre una superficie horizontal. Si se le apilca la fuerza “F” al cuerpo de arriba, analizar las diferentes alternativas de movimiento suponiendo los coeficientes de rozamiento iguales para todas las superficies en contacto. APLICACIONES Poner aplicaciones concretas F WA WB