Solucionario de Granville

Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica Solucionario de Granville Carlos Alberto Julián Sánchez Cálculo Integral http://fisicadecarlos.blogspot.com Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica Introducción La siguiente obra es una ayuda para cualquier estudiante del nivel medio superior ó nivel universitario que brinda apoyo de guía en los ejercicios propuestos por el libro “Calculo diferencial e Integral” del autor Granville. No hay explicaciones detalladas sobre los problemas, solo se sigue el camino de la razón y lógica para llegar a la solución es por eso que se pide al estudiante tener conocimientos básicos de álgebra, trigonometría y cálculo diferencial. Las dudas o sugerencias serán aceptadas en la dirección que aparece a pie de página para poder conseguir un mejor entendimiento si es que le hace falta a la obra expuesta. Se considera esfuerzo al estudiante para poder desarrollar la capacidad del razonamiento matemático en la solución de problemas más complejos sin embargo las dudas de cualquier procedimiento no entendible serán bienvenidas al siguiente correo: fisico_17@hotmail.com. Éxitos y bendiciones. http://fisicadecarlos.blogspot.com Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica 1. x 4 dx = = x 41 c 4 1 = x5 c 5 2. = dx =  x 2 dx 2 x x 21 c 2  1 x 1 c 1 1  c x  3. x dx  2/3  2 1 3 x c 2 1 3 5 x3  c 5 3  3 x 5/3 c 5 http://fisicadecarlos.blogspot.com Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica 4.  dx dx   1/2  x x x 1/2 dx x 1/21 c 1/ 2  1  x1/2 c 1 2  2 x1/2 c 1  2 x c 5.  3 dx  x dx x 1/3  x 1/3 dx x 1/31 c 1/ 3  1  x 2/3 c 2 3  3 x 2/3 c 2 6. 3ay 2 dy  3a  y 2 dy  y 21   3a  c  2  1  y3   3a    c 3  ay 3  c http://fisicadecarlos.blogspot.com Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica 7. 2dt   2t 2 dt t2  2  t 2 dt  t 21   2 c  2  1   t .1   2  c  1  1  2  c  t   2 c t 8. ax dx   a  x dx  a  x dx  a  x1/2 dx  12   x 1   a c 1    1 2     x 3/2   a c 3     2   2 x 3/2   a c  3   2 x  x1/2   a c  3    a  x 2x c 3 pero x  x1/2  x 3/2 pero x1/2  x pero 2 x ax c 3 http://fisicadecarlos.blogspot.com a  x  ax Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica 9. dx  2x  1 dx dx = 2 x 2 x pero por el ejercicio 4.      1 2 x c 2  2 2 x c 2 dx  2 x c x al racionalizar el deno min ador  2 x c  2x  c 10. 3 3t dt   3 3  3 t dt  3 3  3 t dt  3 3  t 1/3dt   1/31   t 33  c 1    1 3     t 4/3   3 3  c 4    3   3t 4/3  33  c  4   34/3  t 4/3 c 4  (3t ) 4/3 c 4 recordemos que 31  3 3  34/3 http://fisicadecarlos.blogspot.com 1 2  2 2 Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica 11.  ( x 3/2  2 x 2/3  5 x  3)dx   x 3/2 dx   2 x 2/3 dx   5 x dx   3dx  x 3/21  2  x 2/3  5 x dx  3 dx 3 1 2    x 2/31  x 5/2  2  5 x1/2  3 x 5 2    1  2 3       x 5/3   x1/2 1  2 x 5/2  2 5  3x  c 5  1  5    1 2   3    5/3 3/2    2x 3x x    2   5  3   3x  c 5  5     2  5/2  2 x 5/2 6 x 5/3 10 x 3/2    3x  c 5 5 3 http://fisicadecarlos.blogspot.com Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica 4 x2  2 x dx 12.  x  4 x2 x dx  2  dx x x  4  x dx  2  x1/2 dx x  x11  dx  4  2  1/2  x 1  1   x2   4    2  x 1/2 dx 2   1/2 1   x  2x2  2  c 1     1  2    1/2   x  2x2  2  c 1     2   2 x 2  2  2 x1/2   c  2 x 2  4 x1/2  c  2x2  4 x  c http://fisicadecarlos.blogspot.com Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica  x2 2  13.    2  dx  2 x   x2 2 dx   2 dx 2 x  1 2 dx x dx  2  2  2 x   x 21  1  x 21   2  2  1   c 2  2  1      x 1  1  x3   2  1   c 2  3     x3  1  2    c 6  x  x3 2  c 6 x http://fisicadecarlos.blogspot.com Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica 14. x  3 x  2  dx   (3 x x  2 x ) dx   3 x x dx   2 x dx  3 x x dx  2  x dx  3 x 3/2 dx  2  x1/2 dx      x 3/2 1   x1/2 1   3 2 c 3  1   1   1 2  2       x 5/2   x3/2   3 2 c 5  3       2   2   2 x 5/2   2 x 3/2   3   2 c  5   3   6 x 5/2 4 x3/2  c 5 3 x3  6 x  5 15.  dx x 6x 5 x3   dx   dx   dx x x x   x 2 dx  6  dx  5  dx x x3  6 x  5ln x  c 3 http://fisicadecarlos.blogspot.com Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica 18.  (a  bt ) 2 dt hacemos el siguiente cambio de var iable : u  a  bt du  bdt   u 2 dt multiplicamos por b y divi dim os por b. 1   u 2 ( ) (b)dt b  1 2 u bdt b  1 2 u du b  1  u 21  c b  2  1   1  u3  u3   c c 3b b  3  pero du  bdt pero u  a  bt  (a  bt )3 c 3 http://fisicadecarlos.blogspot.com Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica 16.  a  bx dx hacemos el siguiente cambio de var iable : u  a  bx du  b dx   u dx multiplicamos por b y divi dim os por b 1   u ( ) b dx b  1 u b dx b  1 1 u du   u1/2 du  b b pero du  b dx   1  u1/21    c b  1 1 2    1  u 3/2    c b 3   2   1  2u 3/2  c b  3   2u 3/2 c 3b pero u  a  bx  2(a  bx)3/2 c 3b http://fisicadecarlos.blogspot.com Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica 17. dy a  by hacemos el siguientecambio de var iable. u  a  by du  b dy  dy   u 1/2 dy u 1   u 1/2 (b)( ) dy b  multiplicamos por  b y divi dim os por  b pero u  b dy 1 1/2 u du b   1  u 1/21    c b   1  1  2    1  u1/2    c b 1   2  1  2u1/2    c b  1   2u1/2 c b  pero u  a  by 2(a  by )1/2 b http://fisicadecarlos.blogspot.com Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica 19. x  2  x 2  dx 2 hacemos el siguiente cambio de var iable : u  2  x2 du  2 x dx   u x dx 1   u 2  (2) x dx 2  1 2 u 2 xdx 2  1 2 u du 2 multiplicamos por 2 y divi dim os entre 2 pero du  2 xdx 1  u 21    c 2  2  1   u3 c 6  (2  x 2 )3 c 6 pero u  2  x 2 http://fisicadecarlos.blogspot.com Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica 20.  y (a  by 2 ) dy hacemos el siguiente cambio de var iable : u  a  by 2 du  2by dy   uy dy vamos a multiplicar por  2b y dividir por  2b  1    u     2by dy  2b   1 u  2bydy 2b   1 u du 2b   1  u11  c 2b 1  1   1 u2  c 2b  2   u2 c 4b    a  by 2  4b pero du  2bydy regresando el valor de la var iable u 2 c http://fisicadecarlos.blogspot.com Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica 21. t 2t 2  3 dt hacemos el siguiente cambio de var iable : u  2t 2  3 du  4t dt   t u dt multiplicamos y divi dim os por 4 1   u   4 t dt 4  1 u du 4  1 1/2 u du 4 pero du  4tdt   1/2 1   1 u   c 4  1 1 2    1  u 3/2    c 4 3   2  1  2u 3/2    c 4  3  2u 3/2 u 3/2  c  c 12 6  2t  2  3 6 regresando el valor de u 3/2 c http://fisicadecarlos.blogspot.com Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica 22.  x(2 x  1) 2 dx desarrollamos el binomio al cuadrado   x(4 x 2  4 x  1) dx aplicamos propiedad distributiva   (4 x 3  4 x 2  x) dx distribuimos cada int egral   4 x 3 dx   4 x 2 dx   x dx  4  x 3 dx  4  x 2 dx   x dx  x 31   x 21  x11  4  4   2  1  1  1  c  3  1    4 x 4 4 x3 x 2   c 4 3 2  x4  4 x3 x 2  c 3 2 http://fisicadecarlos.blogspot.com Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica 23. 4 x 2 dx x3  8  4 x 2 dx u hacemos el siguiente cambio de var iable : u  x3  8 du  3 x 2 dx  4 x 2 dx u vamos a multiplicar y dividir por 3 2  1  3 x dx  4   u 3  pero u  3x 2 dx 4 du 3 u   4  u 1/21    c 3   1  1  2    4  u1/2    c 3 1   2   8u1/2 c 3 regresando el valor de la var iable u 8 x3  8  c 3 http://fisicadecarlos.blogspot.com Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica 24. 6 z dz  5  3z  2 2 hacemos el siguiente cambio de var iable : u  5  3z 2 du  6 z dz  6 z dz u2 vamos a multiplicar y dividir por  1  1    (1) 6 z dz 1   2 u    u 2  6 z dz    u 2 du  u 21    c  2  1  u 1  c 1  1 c u  1 c 5  3z 2 regresando el valor de la var iable http://fisicadecarlos.blogspot.com