Ecuaciones diferenciales Dennis-Zill

Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera Octava edición Dennis G. Zill Warren S. Wright OCTAVA EDICIÓN ECUACIONES DIFERENCIALES con problemas con valores en la frontera OCTAVA EDICIÓN ECUACIONES DIFERENCIALES con problemas con valores en la frontera DENNIS G. ZILL Loyola Marymount University WARREN S. WRIGHT Loyola Marymount University MICHAEL R. CULLEN Antiguo miembro de la Loyola Marymount University TRADUCCIÓN Dra. Ana Elizabeth García Hernández Profesor invitado UAM-Azcapotzalco REVISIÓN TÉCNICA Dr. Edmundo Palacios Pastrana Universidad Iberoamericana Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera Octava edición Dennis G. Zill y Warren S. Wright Presidente de Cengage Learning Latinoamérica: Fernando Valenzuela Migoya Director Editorial, de Producción y de Plataformas Digitales para Latinoamérica: Ricardo H. Rodríguez Editora de Adquisiciones para Latinoamérica: Claudia C. Garay Castro Gerente de Manufactura para Latinoamérica: Raúl D. Zendejas Espejel Gerente Editorial en Español para Latinoamérica: Pilar Hernández Santamarina Gerente de Proyectos Especiales: Luciana Rabuffetti Coordinador de Manufactura: Rafael Pérez González Editor: Omegar Martínez Diseño de portada: Anneli Daniela Torres Arroyo Imagen de portada: Space, © Rolffimages / Dreamstime.com Composición tipográfica: Aurora Esperanza López López Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 17 16 15 14 © D.R. 2015 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning™ es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro Differential Equations with Boundary-Value Problems, Eighth Edition Publicado en inglés por Brooks/Cole, Cengage Learning © 2013 Datos para catalogación bibliográfica: Zill, Dennis G. y Warren S. Wright Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera, octava edición ISBN: 978-607-519-444-8 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com CONTENIDO 1 Prefacio xi Proyectos P-1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1 1.1 'H¿QLFLRQHV\WHUPLQRORJtD    1.2 3UREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHV    1.3 (FXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVFRPRPRGHORVPDWHPiWLFRV    REPASO DEL CAPÍTULO 1 2 32 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 34 2.1 &XUYDVVROXFLyQVLQXQDVROXFLyQ    2.1.1 &DPSRVGLUHFFLRQDOHV    2.1.2 ('DXWyQRPDVGHSULPHURUGHQ    2.2 9DULDEOHVVHSDUDEOHV    2.3 (FXDFLRQHVOLQHDOHV    2.4 Ecuaciones exactas 61 2.5 6ROXFLRQHVSRUVXVWLWXFLyQ    2.6 Un método numérico 73 REPASO DEL CAPÍTULO 2 3 78 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 81 3.1 0RGHORVOLQHDOHV    3.2 0RGHORVQROLQHDOHV    3.3 0RGHODGRFRQVLVWHPDVGH('GHSULPHURUGHQ    REPASO DEL CAPÍTULO 3 111 v vi 4 l CONTENIDO ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 113 4.1 7HRUtDSUHOLPLQDU(FXDFLRQHVOLQHDOHV    4.1.1 3UREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHV\FRQYDORUHVHQODIURQWHUD    4.1.2 (FXDFLRQHVKRPRJpQHDV    4.1.3 (FXDFLRQHVQRKRPRJpQHDV    4.2 5HGXFFLyQGHRUGHQ    4.3 (FXDFLRQHVOLQHDOHVKRPRJpQHDVFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV    4.4 &RH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV0pWRGRGHVXSHUSRVLFLyQ    4.5 &RH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV0pWRGRGHODQXODGRU    4.6 9DULDFLyQGHSDUiPHWURV    4.7 (FXDFLyQGH&DXFK\(XOHU    4.8 Funciones de Green 164 4.8.1 3UREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHV    4.8.2 3UREOHPDVFRQYDORUHVHQODIURQWHUD    4.9 6ROXFLyQGHVLVWHPDVGH('OLQHDOHVSRUHOLPLQDFLyQ    4.10 (FXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVQROLQHDOHV    REPASO DEL CAPÍTULO 4 5 183 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 186 5.1 0RGHORVOLQHDOHV3UREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHV    5.1.1 6LVWHPDVUHVRUWHPDVD0RYLPLHQWROLEUHQRDPRUWLJXDGR    5.1.2 6LVWHPDVUHVRUWHPDVD0RYLPLHQWROLEUHDPRUWLJXDGR    5.1.3 6LVWHPDVUHVRUWHPDVD0RYLPLHQWRIRU]DGR    5.1.4 &LUFXLWRHQVHULHDQiORJR    5.2 0RGHORVOLQHDOHV3UREOHPDVFRQYDORUHVHQODIURQWHUD    5.3 0RGHORVQROLQHDOHV    REPASO DEL CAPÍTULO 5 6 222 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES 6.1 Repaso de series de potencias 226 6.2 6ROXFLRQHVUHVSHFWRDSXQWRVRUGLQDULRV    6.3 6ROXFLRQHVHQWRUQRDSXQWRVVLQJXODUHV    6.4 )XQFLRQHVHVSHFLDOHV    REPASO DEL CAPÍTULO 6 263 225 CONTENIDO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE l vii 265 7.1 'H¿QLFLyQGHODWUDQVIRUPDGDGH/DSODFH    7.2 7UDQVIRUPDGDVLQYHUVDV\WUDQVIRUPDGDVGHGHULYDGDV    7.2.1 7UDQVIRUPDGDVLQYHUVDV    7.2.2 7UDQVIRUPDGDVGHGHULYDGDV    7.3 3URSLHGDGHVRSHUDFLRQDOHV,    7.3.1 7UDVODFLyQHQHOHMHs    7.3.2 7UDVODFLyQHQHOHMHt    7.4 3URSLHGDGHVRSHUDFLRQDOHV,,    7.4.1 'HULYDGDVGHXQDWUDQVIRUPDGD    7.4.2 7UDQVIRUPDGDVGHLQWHJUDOHV    7.4.3 7UDQVIRUPDGDGHXQDIXQFLyQSHULyGLFD    7.5 /DIXQFLyQGHOWDGH'LUDF    7.6 6LVWHPDVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHV    REPASO DEL CAPÍTULO 7 8 312 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 317 8.1 7HRUtDSUHOLPLQDU6LVWHPDVOLQHDOHV    8.2 6LVWHPDVOLQHDOHVKRPyJHQHRV    8.2.1 (LJHQYDORUHVUHDOHVGLVWLQWRV    8.2.2 (LJHQYDORUHVUHSHWLGRV    8.2.3 (LJHQYDORUHVFRPSOHMRV    8.3 6LVWHPDVOLQHDOHVQRKRPyJHQHRV    8.3.1 &RH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV    8.3.2 9DULDFLyQGHSDUiPHWURV    8.4 0DWUL]H[SRQHQFLDO    REPASO DEL CAPÍTULO 8 9 352 SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 353 9.1 0pWRGRVGH(XOHU\DQiOLVLVGHHUURUHV    9.2 0pWRGRVGH5XQJH.XWWD    9.3 0pWRGRVPXOWLSDVRV    9.4 Ecuaciones y sistemas de orden superior 366 9.5 3UREOHPDVFRQYDORUHVHQODIURQWHUDGHVHJXQGRRUGHQ    REPASO DEL CAPÍTULO 9 375 viii 10 l CONTENIDO SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS 376 10.1 6LVWHPDVDXWyQRPRV    10.2 (VWDELOLGDGGHVLVWHPDVOLQHDOHV    10.3 /LQHDOL]DFLyQ\HVWDELOLGDGORFDO    10.4 6LVWHPDVDXWyQRPRVFRPRPRGHORVPDWHPiWLFRV    REPASO DEL CAPÍTULO 10 11 408 SERIES DE FOURIER 410 11.1 )XQFLRQHVRUWRJRQDOHV    11.2 Series de Fourier 416 11.3 Series de Fourier de cosenos y de senos 422 11.4 3UREOHPDGH6WXUP/LRXYLOOH    11.5 6HULHVGH%HVVHO\/HJHQGUH    11.5.1 6HULHGH)RXULHU%HVVHO    11.5.2 6HULHGH)RXULHU/HJHQGUH    REPASO DEL CAPÍTULO 11 12 443 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES 445 12.1 (FXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVSDUFLDOHVVHSDUDEOHV    12.2 ('3FOiVLFDV\SUREOHPDVFRQYDORUHVHQODIURQWHUD    12.3 (FXDFLyQGHFDORU    12.4 (FXDFLyQGHRQGD    12.5 (FXDFLyQGH/DSODFH    12.6 3UREOHPDVQRKRPRJpQHRVFRQYDORUHVHQODIURQWHUD    12.7 'HVDUUROORVHQVHULHVRUWRJRQDOHV    12.8 3UREOHPDVGLPHQVLRQDOHVGHRUGHQVXSHULRU    REPASO DEL CAPÍTULO 12 481 CONTENIDO l 13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS ix 483 13.1 &RRUGHQDGDVSRODUHV    13.2 &RRUGHQDGDVSRODUHV\FLOtQGULFDV    13.3 &RRUGHQDGDVHVIpULFDV    REPASO DEL CAPÍTULO 13 14 498 TRANSFORMADA INTEGRAL 500 14.1 )XQFLyQHUURU    14.2 7UDQVIRUPDGDGH/DSODFH    14.3 ,QWHJUDOGH)RXULHU    14.4 Transformadas de Fourier REPASO DEL CAPÍTULO 14 15 516 522 SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 15.1 (FXDFLyQGH/DSODFH    15.2 (FXDFLyQGHFDORU    15.3 (FXDFLyQGHRQGD    REPASO DEL CAPÍTULO 15 539 APÉNDICES I )XQFLyQJDPPD   $3(1 II 0DWULFHV   $3(3 III 7UDQVIRUPDGDVGH/DSODFH   $3(21 5HVSXHVWDVDORVSUREOHPDVVHOHFFLRQDGRVFRQQXPHUDFLyQLPSDU Índice I-1 RES-1 524 PREFACIO AL ESTUDIANTE /RVDXWRUHVGHORVOLEURVYLYHQFRQODHVSHUDQ]DGHTXHDOJXLHQHQUHDOLGDGORVlea$O FRQWUDULRGHORTXHXVWHGSRGUtDFUHHUFDVLWRGRWH[WRGHPDWHPiWLFDVGHQLYHOXQLYHUVLWDULRHVWiHVFULWRSDUDXVWHG\QRSDUDHOSURIHVRU&LHUWRHVTXHORVWHPDVFXELHUWRV HQHOWH[WRVHHVFRJLHURQFRQVXOWDQGRDORVSURIHVRUHV\DTXHHOORVWRPDQODGHFLVLyQ DFHUFDGHVLKD\TXHXVDUORVHQVXVFODVHVSHURWRGRORHVFULWRHQpOHVWiGLULJLGR GLUHFWDPHQWHDXVWHGDOHVWXGLDQWH(QWRQFHVTXHUHPRVLQYLWDUOH²QRHQUHDOLGDG TXHUHPRVSHGLUOH²TXH£OHDHVWHOLEURGHWH[WR3HURQRORKDJDFRPROHHUtDXQD QRYHODQRGHEHOHHUORUiSLGR\QRGHEHVDOWDUVHQDGD3LHQVHHQHVWHOLEURFRPRXQ FXDGHUQRGHHMHUFLFLRV&UHHPRVTXHODVPDWHPiWLFDVVLHPSUHGHEHUtDQVHUHVWXGLDGDVFRQOiSL]\SDSHODODPDQRSRUTXHPX\SUREDEOHPHQWHWHQGUiTXHWUDEDMDUORV HMHPSORV\KDFHUORVDQiOLVLV/HD²PiVELHQWUDEDMH²WRGRVORVHMHPSORVGHXQD VHFFLyQDQWHVGHLQWHQWDUFXDOTXLHUDGHORVHMHUFLFLRV/RVHMHPSORVVHKDQGLVHxDGR SDUDPRVWUDUORTXHFRQVLGHUDPRVVRQORVDVSHFWRVPiVLPSRUWDQWHVGHFDGDVHFFLyQ \SRUWDQWRPXHVWUDQORVSURFHGLPLHQWRVQHFHVDULRVSDUDWUDEDMDUODPD\RUtDGHORV SUREOHPDVGHORVFRQMXQWRVGHHMHUFLFLRV6LHPSUHOHVGHFLPRVDQXHVWURVHVWXGLDQWHV TXHFXDQGROHDQXQHMHPSORWDSHQVXVROXFLyQHLQWHQWHQWUDEDMDUSULPHURHQHOOD FRPSDUDU VX UHVSXHVWD FRQ OD VROXFLyQ GDGD \ OXHJR UHVROYHU FXDOTXLHUGLIHUHQFLD +HPRVWUDWDGRGHLQFOXLUORVSDVRVPiVLPSRUWDQWHVSDUDFDGDHMHPSORSHURVLDOJR QRHVFODURXVWHGSRGUtDVLHPSUHLQWHQWDUFRPSOHWDUORVGHWDOOHVRSDVRVTXHIDOWDQ\ DTXtHVGRQGHHOSDSHO\HOOiSL]HQWUDQRWUDYH]3XHGHTXHQRVHDIiFLOSHURHVSDUWH GHOSURFHVRGHDSUHQGL]DMH/DDFXPXODFLyQGHKHFKRVVHJXLGRVSRUODOHQWDDVLPLODFLyQGHODFRPSUHQVLyQVLPSOHPHQWHQRVHSXHGHDOFDQ]DUVLQWUDEDMDUDUGXDPHQWH (QFRQFOXVLyQOHGHVHDPRVEXHQDVXHUWH\p[LWR(VSHUDPRVTXHGLVIUXWHHOOLEUR \HOFXUVRTXHHVWiSRULQLFLDU&XDQGRpUDPRVHVWXGLDQWHVGHODOLFHQFLDWXUDHQPDWHPiWLFDVHVWHFXUVRIXHXQRGHQXHVWURVIDYRULWRVSRUTXHQRVJXVWDQODVPDWHPiWLFDV TXHHVWiQFRQHFWDGDVFRQHOPXQGRItVLFR6LWLHQHDOJ~QFRPHQWDULRRVLHQFXHQWUD DOJ~QHUURUFXDQGROHDRWUDEDMHFRQpVWHRVLQRVTXLHUHKDFHUOOHJDUXQDEXHQDLGHD SDUDPHMRUDUHOOLEURSRUIDYRUSyQJDVHHQFRQWDFWRFRQQRVRWURVDWUDYpVGHQXHVWUR HGLWRUHQ&HQJDJH/HDUQLQJPROO\WD\ORU#FHQJDJHFRP AL PROFESOR (QFDVRGHTXHH[DPLQHHVWHWH[WRSRUSULPHUDYH]Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la fronteraRFWDYDHGLFLyQVHSXHGHXWLOL]DU\DVHDSDUD XQ FXUVR GH XQ VHPHVWUH GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV R SDUD FXEULU XQ FXUVRGHGRVVHPHVWUHVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDV\SDUFLDOHV/DYHUVLyQ FRUWD GHO OLEUR Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado GpFLPDHGLFLyQWHUPLQDHQHOFDStWXOR\HVWiGLVHxDGDSDUDXQVHPHVWUHRXQFXUVR FRUWRGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDV3DUDXQFXUVRVHPHVWUDOVXSRQHPRV TXHORVHVWXGLDQWHVKDQFRPSOHWDGRFRQp[LWRDOPHQRVGRVVHPHVWUHVGHFiOFXOR 'DGRTXHXVWHGHVWiOH\HQGRHVWRVLQGXGD\DKDH[DPLQDGRODWDEODGHFRQWHQLGRV SDUDORVWHPDVTXHFXEULUi xi xii l PREFACIO (QHVWHSUHIDFLRQRHQFRQWUDUi³XQSURJUDPDVXJHULGR´1RSUHWHQGHUHPRVVHUWDQ VDELRVFRPRSDUDGHFLUDRWURVSURIHVRUHVORTXHGHEHQHQVHxDUHQVXVFODVHV6HQWLPRV TXHKD\PXFKRPDWHULDODTXtSDUDHVFRJHU\IRUPDUXQFXUVRDVXJXVWR(OWH[WRWLHQH XQHTXLOLEULRUD]RQDEOHHQWUHORVPpWRGRVDQDOtWLFRVFXDOLWDWLYRV\FXDQWLWDWLYRVHQHO HVWXGLR GH ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV (Q FXDQWR D QXHVWUD ³¿ORVRItD VXE\DFHQWH´ pVWDHVTXHXQOLEURSDUDHVWXGLDQWHVGHOLFHQFLDWXUDGHEHUtDHVWDUHVFULWRFRQVLGHUDQGR VLHPSUHODFRPSUHVLyQGHOHVWXGLDQWHORTXHVLJQL¿FDTXHHOPDWHULDOGHEHUtDHVWDUSUHVHQWDGRHQXQDIRUPDGLUHFWDOHJLEOH\~WLOFRQVLGHUDQGRHOQLYHOWHyULFRFRPSDWLEOH FRQODLGHDGHXQ³SULPHUFXUVR´ $ODVSHUVRQDVIDPLOLDUL]DGDVFRQODVHGLFLRQHVDQWHULRUHVQRVJXVWDUtDPHQFLRQDUOHV DOJXQDVGHODVPHMRUDVKHFKDVHQHVWDHGLFLyQ ‡ $OSULQFLSLRGHOOLEURVHSUHVHQWDQRFKRQXHYRVSUR\HFWRV&DGDSUR\HFWRLQFOX\HXQDVHULHGHSUREOHPDVUHODFLRQDGRV\XQDFRUUHODFLyQGHORVPDWHULDOHV GHOSUR\HFWRFRQXQFDStWXORHQHOOLEUR ‡ 0XFKRVFRQMXQWRVGHHMHUFLFLRVVHKDQDFWXDOL]DGRDJUHJDQGRQXHYRVSUREOHPDV SDUDSUREDU\GHVD¿DUPHMRUDORVHVWXGLDQWHV'HLJXDOPDQHUDYDULRVFRQMXQWRV GHHMHUFLFLRVVHKDQPHMRUDGRHOLPLQDQGRFLHUWRVSUREOHPDV ‡ 6HKDQDJUHJDGR¿JXUDV\HMHPSORVDGLFLRQDOHVHQPXFKDVVHFFLRQHV • Varios profesores dedicaron parte de su tiempo para expresarnos sus preocuSDFLRQHV YtD FRUUHR HOHFWUyQLFR DFHUFD GH QXHVWUR PpWRGR GH ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHVOLQHDOHVGHSULPHURUGHQ(QUHVSXHVWDKHPRVUHHVFULWRODVHFFLyQ (FXDFLRQHVOLQHDOHVFRQODLQWHQFLyQGHVLPSOL¿FDUHODQiOLVLV  6LHQWRTXHHVWHVLVWHPDSURSRUFLRQDXQDLQGLFDFLyQFODUDGHGyQGHHVWiQODV FRVDVVLQQHFHVLGDGGHDJUHJDUHOPROHVWRQ~PHURGHSiJLQD ‡ (VWD HGLFLyQ FRQWLHQH XQD QXHYD VHFFLyQ HQ ODV IXQFLRQHV GH *UHHQ HQ HO FDStWXORGLULJLGDDTXLHQHVWLHQHQWLHPSRH[WUDHQVXFXUVRSDUDFRQVLGHUDU HVWDDSOLFDFLyQHOHJDQWHGHODYDULDFLyQGHORVSDUiPHWURVHQODVROXFLyQGH SUREOHPDVGHYDORULQLFLDO\YDORUOtPLWH/DVHFFLyQHVRSFLRQDO\VXFRQWHQLGRQRDIHFWDQLQJXQDRWUDVHFFLyQ ‡ /D VHFFLyQ  LQFOX\H DKRUD XQ DQiOLVLV VREUH FyPR XWLOL]DU DPEDV IRUPDV WULJRQRPpWULFDV y  A sen(ȦW  ‫ )׋‬y y  A cos(ȦW  ‫)׋‬  SDUDGHVFULELUHOPRYLPLHQWRDUPyQLFRVLPSOH ‡ 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PiVLPSRUWDQWHVGHMathematica y MapleOLVWDVGHFRQFHSWRVLPSRUWDQWHV DVtFRPR~WLOHVVXJHUHQFLDVGHFyPRHPSH]DUFLHUWRVSUREOHPDV PREFACIO l xiii RECURSOS PARA EL PROFESOR (VWH OLEUR FXHQWD FRQ XQD VHULH GH UHFXUVRV SDUD HO SURIHVRU ORV FXDOHV HVWiQ GLVSRQLEOHV~QLFDPHQWHHQLQJOpV\VyORVHSURSRUFLRQDQDORVGRFHQWHVTXHORDGRSWHQ FRPRWH[WRHQVXVFXUVRV3DUDPD\RULQIRUPDFLyQSyQJDVHHQFRQWDFWRFRQHOiUHDGH VHUYLFLRDOFOLHQWHHQODVVLJXLHQWHVGLUHFFLRQHVGHFRUUHRHOHFWUyQLFR &HQJDJH/HDUQLQJ0p[LFR\&HQWURDPpULFD &HQJDJH/HDUQLQJ&DULEH &HQJDJH/HDUQLQJ&RQR6XU &HQJDJH/HDUQLQJ3DFWR$QGLQR FOLHQWHVPH[LFRFD#FHQJDJHFRP FOLHQWHVFDULEH#FHQJDJHFRP FOLHQWHVFRQRVXU#FHQJDJHFRP FOLHQWHVSDFWRDQGLQR#FHQJDJHFRP $OLJXDOTXHORVUHFXUVRVLPSUHVRVDGLFLRQDOHVODVGLUHFFLRQHVGHORVVLWLRVZHEVHxDODGDVDORODUJRGHOWH[WR\TXHVHLQFOX\HQDPRGRGHUHIHUHQFLDQRVRQDGPLQLVWUDGDVSRU &HQJDJH/HDUQLQJ/DWLQRDPHULFDSRUORTXHpVWDQRHVUHVSRQVDEOHGHORVFDPELRV\DFWXDOL]DFLRQHVGHODVPLVPDV RECONOCIMIENTOS 1RV JXVWDUtD GDU XQ UHFRQRFLPLHQWR HVSHFLDO D FLHUWDV SHUVRQDV 0XFKDV JUDFLDV D 0ROO\ 7D\ORU 6KD\OLQ :DOVK +RJDQ \ $OH[ *RQWDU SRU RUTXHVWDU HO GHVDUUROOR GH HVWDHGLFLyQ\ORVPDWHULDOHVTXHORFRPSRQHQ$OLVRQ(LJHO=DGHRIUHFLyHOLQJHQLR HOFRQRFLPLHQWR\ODSDFLHQFLDQHFHVDULRVSDUDXQSURFHVRGHSURGXFFLyQVLQ¿VXUDV (G'LRQQHWUDEDMyLQFDQVDEOHPHQWHSDUDSURSRUFLRQDUVHUYLFLRVGHDOWDFDOLGDGHGLWRULDO<SRU~OWLPRDJUDGHFHPRVD6FRWW%URZQSRUVXVKDELOLGDGHVVXSHULRUHVFRPR UHYLVRUGHSUHFLVLyQ8QDYH]PiVXQDVPX\HVSHFLDOHV\VHQWLGDVJUDFLDVD/HVOLH /DKUSRUVXDSR\RFRPSUHQVLyQ\YROXQWDGSDUDFRPXQLFDUVHSRUVXVVXJHUHQFLDV\ SRUREWHQHU\RUJDQL]DUORVH[FHOHQWHVSUR\HFWRVTXHVHSUHVHQWDQDOLQLFLRGHOOLEUR 7DPELpQH[WHQGHPRVQXHVWURPiVVLQFHURDJUDGHFLPLHQWRDODVVLJXLHQWHVSHUVRQDV TXHKLFLHURQXQKXHFRHQVXVDSUHWDGDVDJHQGDVSDUDHQYLDUQRVXQSUR\HFWR ,YDQ.UDPHUUniversity of Maryland, Baltimore County 7RP/D)DURGustavus Adolphus College -R*DVFRLJQHFisheries Consultant &-.QLFNHUERFNHUSensis Corporation .HYLQ&RRSHUWashington State University *LOEHUW1/HZLVMichigan Technological University 0LFKDHO2OLQLFNMiddlebury College )LQDOPHQWHFRQIRUPHKDQSDVDGRORVDxRVHVWRVOLEURVGHWH[WRVHKDQPHMRUDGR SRUXQQ~PHURLQFRQWDEOHGHFDPLQRVJUDFLDVDODVVXJHUHQFLDV\ODVFUtWLFDVGHORV UHYLVRUHVDVtTXHHVMXVWRFRQFOXLUFRQXQUHFRQRFLPLHQWRGHQXHVWUDGHXGDFRQODV VLJXLHQWHVSHUVRQDVSRUFRPSDUWLUVXPDHVWUtD\H[SHULHQFLD REVISORES DE EDICIONES ANTERIORES :LOOLDP$WKHUWRQCleveland State University 3KLOLS%DFRQUniversity of Florida %UXFH%D\O\University of Arizona :LOOLDP+%H\HUUniversity of Akron 5*%UDGVKDZClarkson College 'HDQ5%URZQYoungstown State University 'DYLG%XFKWKDOUniversity of Akron 1JX\HQ3&DFUniversity of Iowa 7&KRZCalifornia State University, Sacramento xiv l PREFACIO 'RPLQLF3&OHPHQFHNorth Carolina Agricultural and Technical State University 3DVTXDOH&RQGRUniversity of Massachusetts, Lowell 9LQFHQW&RQQROO\Worcester Polytechnic Institute 3KLOLS6&URRNHVanderbilt University %UXFH('DYLVSt. Louis Community College at Florissant Valley 3DXO:'DYLVWorcester Polytechnic Institute 5LFKDUG$'L'LRLa Salle University -DPHV'UDSHUUniversity of Florida -DPHV0(GPRQGVRQSanta Barbara City College -RKQ+(OOLVRQGrove City College 5D\PRQG)DEHFLouisiana State University 'RQQD)DUULRUUniversity of Tulsa 5REHUW()HQQHOOClemson University :()LW]JLEERQUniversity of Houston +DUYH\-)OHWFKHUBrigham Young University 3DXO-*RUPOH\Villanova /D\DFKL+DGMLUniversity of Alabama 5XEHQ+D\UDSHW\DQKettering University 7HUU\+HUGPDQVirginia Polytechnic Institute and State University =G]LVODZ-DFNLHZLF]Arizona State University 6.-DLQOhio University $QWKRQ\--RKQSoutheastern Massachusetts University 'DYLG&-RKQVRQUniversity of Kentucky, Lexington +DUU\/-RKQVRQV.P.I & S.U. .HQQHWK5-RKQVRQNorth Dakota State University -RVHSK.D]LPLUEast Los Angeles College -.HHQHUUniversity of Arizona 6WHYH%.KOLHITennessee Technological University (retirado) &-.QLFNHUERFNHUSensis Corporation &DUORQ$.UDQW]Kean College of New Jersey 7KRPDV*.XG]PDUniversity of Lowell $OH[DQGUD.XUHSDNorth Carolina A&T State University *(/DWWDUniversity of Virginia &HFHOLD/DXULHUniversity of Alabama -DPHV50F.LQQH\California Polytechnic State University -DPHV/0HHNUniversity of Arkansas *DU\+0HLVWHUVUniversity of Nebraska, Lincoln 6WHSKHQ-0HUULOOMarquette University 9LYLHQ0LOOHUMississippi State University *HUDOG0XHOOHUColumbus State Community College 3KLOLS60XOU\Colgate University &-1HXJHEDXHUPurdue University 7\UH$1HZWRQWashington State University %ULDQ02¶&RQQRUTennessee Technological University -.2GGVRQUniversity of California, Riverside &DURO62¶'HOOOhio Northern University $3HUHVVLQLUniversity of Illinois, Urbana, Champaign -3HUU\PDQUniversity of Texas at Arlington -RVHSK+3KLOOLSVSacramento City College -DFHN3ROHZF]DNCalifornia State University Northridge 1DQF\-3R[RQCalifornia State University, Sacramento 5REHUW3UXLWWSan Jose State University .5DJHUMetropolitan State College )%5HLVNortheastern University PREFACIO l xv %ULDQ5RGULJXHVCalifornia State Polytechnic University 7RP5RHSouth Dakota State University .LPPR,5RVHQWKDOUnion College %DUEDUD6KDEHOOCalifornia Polytechnic State University 6HHQLWK6LYDVXQGDUDPEmbry-Riddle Aeronautical University 'RQ(6RDVKHillsborough Community College ):6WDOODUGGeorgia Institute of Technology *UHJRU\6WHLQThe Cooper Union 0%7DPEXUURGeorgia Institute of Technology 3DWULFN:DUGIllinois Central College -LDQSLQJ=KXUniversity of Akron -DQ=LMOVWUDMiddle Tennessee State University -D\=LPPHUPDQTowson University REVISORES DE LAS EDICIONES ACTUALES %HUQDUG%URRNVRochester Institute of Technology $OOHQ%URZQWabash Valley College +HOPXW.QDXVWThe University of Texas at El Paso 0XODWX/HPPDSavannah State University *HRUJH0RVVUnion University 0DUWLQ1DNDVKLPDCalifornia State Polytechnic University, Pomona %UXFH2¶1HLOOMilwaukee School of Engineering 'HQQLV*=LOO :DUUHQ6:ULJKW Los Ángeles PROYECTO PARA LA SECCIÓN 3.1 ¿Invariablemente el SIDA es una enfermedad fatal? &pOXODLQIHFWDGDFRQ9,+ por Ivan Kramer (VWHHQVD\RDERUGDUi\UHVSRQGHUiDODVLJXLHQWHSUHJXQWD¢(OVtQGURPHGHLQPXQRGH¿FLHQFLDDGTXLULGD 6,'$ TXHHVODHWDSD¿QDOGHODLQIHFFLyQSRUHOYLUXVGHLQPXQRGH¿FLHQFLD KXPDQD 9,+ HVLQYDULDEOHPHQWHXQDHQIHUPHGDGIDWDO" &RPRRWURVYLUXVHO9,+QRWLHQHQLQJ~QPHWDEROLVPR\QRSXHGHUHSURGXFLUVHIXHUD GHXQDFpOXODYLYD/DLQIRUPDFLyQJHQpWLFDGHOYLUXVHVWiFRQWHQLGDHQGRVKHEUDVLGpQWLFDV GHO$513DUDUHSURGXFLUVHHO9,+GHEHXWLOL]DUHODSDUDWRUHSURGXFWLYRGHODFpOXODLQYDGLpQGRODHLQIHFWiQGRODSDUDSURGXFLUFRSLDVH[DFWDVGHO$51YLUDO8QDYH]TXHSHQHWUD HQXQDFpOXODHO9,+WUDQVFULEHVX$51HQHO$'1PHGLDQWHXQD HQ]LPD WUDQVFULSWDVD LQYHUVD FRQWHQLGDHQHOYLUXV(O$'1GHGREOHFDGHQDYLUDOPLJUDGHQWURGHOQ~FOHRGHOD FpOXODLQYDGLGD\VHLQVHUWDHQHOJHQRPDGHODFpOXODFRQODD\XGDGHRWUDHQ]LPDYLUDO LQWHJUDVD (QWRQFHVHO$'1YLUDO\HO$'1GHODFpOXODLQYDGLGDVHLQWHJUDQ\ODFpOXODHVWi LQIHFWDGD&XDQGRVHHVWLPXODDODFpOXODLQIHFWDGDSDUDUHSURGXFLUVHVHWUDQVFULEHHO$'1 SURYLUDOHQHO$'1YLUDO\VHVLQWHWL]DQQXHYDVSDUWtFXODVYLUDOHV3XHVWRTXHORVPHGLFDPHQWRVDQWLUUHWURYLUDOHVFRPROD]LGRYXGLQDLQKLEHQODHQ]LPDGHO9,+GHODWUDQVFULSWDVD LQYHUVD\GHWLHQHQODVtQWHVLVGHFDGHQD$'1SURYLUDOHQHOODERUDWRULRHVWRVIiUPDFRVTXH JHQHUDOPHQWHVHDGPLQLVWUDQHQFRPELQDFLyQUHWUDVDQODSURJUHVLyQGHO6,'$HQDTXHOODV SHUVRQDVTXHHVWiQLQIHFWDGDVFRQHO9,+ DQ¿WULRQHV  /RTXHKDFHWDQSHOLJURVDDODLQIHFFLyQSRU9,+HVHOKHFKRGHTXHGHELOLWDIDWDOPHQWH DOVLVWHPDLQPXQHGHXQDQ¿WULyQXQLHQGRDODPROpFXOD&'HQODVXSHU¿FLHGHODVFpOXODV YLWDOHVSDUDODGHIHQVDFRQWUDODHQIHUPHGDGLQFOX\HQGRODVFpOXODV7DX[LOLDUHV\XQDVXESREODFLyQGHFpOXODVDVHVLQDVQDWXUDOHV6HSRGUtDGHFLUTXHODVFpOXODV7DX[LOLDUHV FpOXODV 7&'RFpOXODV7 VRQODVFpOXODVPiVLPSRUWDQWHVGHOVLVWHPDLQPXQROyJLFR\DTXH RUJDQL]DQODGHIHQVDGHOFXHUSRFRQWUDORVDQWtJHQRV(OPRGHODGRVXJLHUHTXHODLQIHFFLyQ SRU9,+GHODVFpOXODVDVHVLQDVQDWXUDOHVKDFHTXHVHDimposible mediante una terapia antirretroviral moderna eliminar el virus [1@$GHPiVGHODPROpFXOD&'XQYLULyQQHFHVLWD SRUORPHQRVGHXQSXxDGRGHPROpFXODVFRUUHFHSWRUDV SRUHMHPSOR&&5\&;&5 HQ ODVXSHU¿FLHGHODFpOXODREMHWLYRSDUDSRGHUXQLUVHDpVWDSHQHWUDUHQVXPHPEUDQDHLQIHFWDUOD'HKHFKRDOUHGHGRUGHOGHORVFDXFiVLFRVFDUHFHQGHPROpFXODVFRUUHFHSWRUDV \SRUORWDQWRVRQWRWDOPHQWHinmunesDLQIHFWDUVHGH9,+ 8QDYH]HVWDEOHFLGDODLQIHFFLyQODHQIHUPHGDGHQWUDHQODHWDSDGHLQIHFFLyQDJXGD GXUDQWHXQDVVHPDQDVVHJXLGDVSRUXQSHULRGRGHLQFXEDFLyQ£TXHSXHGHGXUDUGRVGpFDGDV R PiV$XQTXHODGHQVLGDGGHFpOXODV7DX[LOLDUHVGHXQ DQ¿WULyQFDPELDFXDVLHVWiWLFDPHQWHGXUDQWHHOSHULRGRGHLQFXEDFLyQOLWHUDOPHQWHPLOHVGHPLOORQHVGHFpOXODV7LQIHFWDGDV\SDUWtFXODVGH9,+VRQGHVWUXLGDV\UHHPSOD]DGDVGLDULDPHQWH(VWRHVFODUDPHQWH XQDJXHUUDGHGHVJDVWHHQODFXDOLQHYLWDEOHPHQWHSLHUGHHOVLVWHPDLQPXQROyJLFR 8QPRGHORGHDQiOLVLVGHODGLQiPLFDHVHQFLDOTXHRFXUUHGXUDQWHHOperiodo de incubación TXH LQHYLWDEOHPHQWH FDXVD 6,'$ HV HO VLJXLHQWH >1@<D TXH HO9,+ PXWD FRQ UDSLGH]VXFDSDFLGDGSDUDLQIHFWDUDODVFpOXODV7HQFRQWDFWR VXLQIHFWLYLGDG ¿QDOPHQWH DXPHQWD\ODVFpOXODVGHWLSR7VHLQIHFWDQ$VtHOVLVWHPDLQPXQROyJLFRGHEHDXPHQWDUOD WDVDGHGHVWUXFFLyQGHODVFpOXODV7LQIHFWDGDVDOLJXDOTXHFRPRODWDVDGHSURGXFFLyQGH RWUDVQXHYDVFpOXODVVDQDVSDUDUHHPSOD]DUORV6LQHPEDUJROOHJDXQSXQWRHQTXHFXDQGR ODWDVDGHSURGXFFLyQGHODVFpOXODV7DOFDQ]DVXOtPLWHPi[LPRSRVLEOH\FXDOTXLHUDXPHQWRGHODLQIHFWLYLGDGGHO9,+GHEHSURYRFDUQHFHVDULDPHQWHXQDFDtGDHQODGHQVLGDG GH7ORFXDOFRQGXFHDO6,'$6RUSUHQGHQWHPHQWHDOUHGHGRUGHOGHORVDQ¿WULRQHVQR PXHVWUDQVLJQRVGHGHWHULRURGHOVLVWHPDLQPXQROyJLFRGXUDQWHORVGLH]SULPHURVDxRVGHOD LQIHFFLyQ2ULJLQDOPHQWHVHSHQVDEDTXHHVWRVDQ¿WULRQHVOODPDGRVno progresores a largo P-1 P-2 l PROYECTO 3.1 ¿INVARIABLEMENTE EL SIDA ES UNA ENFERMEDAD FATAL? plazoHUDQSRVLEOHPHQWHLQPXQHVDGHVDUUROODUHO6,'$SHURODHYLGHQFLDGHOPRGHODGR VXJLHUHTXH¿QDOPHQWHHVWRVDQ¿WULRQHVORGHVDUUROODUiQ>1@ (Q PiV GHO  GH ORV DQ¿WULRQHV HO VLVWHPD LQPXQROyJLFR SLHUGH JUDGXDOPHQWH VX ODUJDEDWDOODFRQHOYLUXV/DGHQVLGDGGHFpOXODV7HQODVDQJUHSHULIpULFDGHORVDQ¿WULRQHV FRPLHQ]DDGLVPLQXLUGHVGHVXQLYHOQRUPDO HQWUH\FpOXODVPP3 DFHURORTXH LQGLFDHO¿QDOGHOSHULRGRGHLQFXEDFLyQ(ODQ¿WULyQOOHJDDODHWDSDGHODLQIHFFLyQGH6,'$ ya seaFXDQGRXQDGHODVPiVGHYHLQWHLQIHFFLRQHVRSRUWXQLVWDVFDUDFWHUtVWLFDVGHO6,'$VH GHVDUUROOD 6,'$FOtQLFR RFXDQGRODGHQVLGDGGHFpOXODV7FDHSRUGHEDMRGHFpOXODVPP3 XQDGH¿QLFLyQDGLFLRQDOGHO6,'$SURPXOJDGDSRUHO&'&HQ /DLQIHFFLyQGHO9,+KD OOHJDGRDVXHWDSDSRWHQFLDOPHQWHIDWDO 3DUDPRGHODUODVXSHUYLYHQFLDGHO6,'$HOWLHPSRtHQHOFXDOXQDQ¿WULyQGHVDUUROOD 6,'$VHUiGHQRWDGDSRUt 8QPRGHORGHVXSHUYLYHQFLDSRVLEOHSDUDXQDFRKRUWHGH SDFLHQWHVFRQ6,'$SRVWXODTXHHO6,'$QRHVXQDFRQGLFLyQIDWDOSDUDXQDIUDFFLyQGHOD FRKRUWHGHQRWDGDSRUSiTXHVHOODPDUiDTXtODfracción inmortal3DUDODSDUWHUHVWDQWHGH ODFRKRUWHODSUREDELOLGDGGHPRULUSRUXQLGDGGHWLHPSRDOWLHPSRtVHVXSRQHXQDFRQVWDQWH kGRQGHSRUVXSXHVWRkVHUiSRVLWLYD3RUORWDQWRODIUDFFLyQGHVXSHUYLYHQFLDS t SDUD HVWHPRGHORHVXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQOLQHDO dS(t) dt  Si] k[S(t)  8VDQGRHOPpWRGRGHOIDFWRUGHLQWHJUDFLyQTXHVHDQDOL]DHQODVHFFLyQYHPRVTXH ODVROXFLyQGHODHFXDFLyQ  GHODIUDFFLyQGHVXSHUYLYHQFLDHVWiGDGDSRU S(t) Si [1 Si]e  kt  En lugar del parámetro kTXHDSDUHFHHQODHFXDFLyQ  VHSXHGHQGH¿QLUGRVQXHYRV SDUiPHWURVSDUDXQDQ¿WULyQSDUDHOFXDOHO6,'$HVIDWDOHOtiempo promedio de supervivencia Tprom dado por Tprom  k y la supervivencia de vida media Tdada por T OQ  冫k /DVXSHUYLYHQFLDGHYLGDPHGLDGH¿QLGDFRPRODPLWDGGHWLHPSRUHTXHULGRSDUDHOFRKRUWH DPRULUHVWRWDOPHQWHDQiORJDDODYLGDHQGHFDLPLHQWRUDGLDFWLYRQXFOHDU9HDHOSUREOHPD HQHOHMHUFLFLR(QWpUPLQRVGHHVWRVSDUiPHWURVODGHSHQGHQFLDFRPSOHWDGHOWLHPSR HQ  VHSXHGHHVFULELUFRPR e kt e t Tprom 2 t T1 2   8WLOL]DQGRXQSURJUDPDGHPtQLPRVFXDGUDGRVSDUDDMXVWDUODIXQFLyQGHODIUDFFLyQGH VXSHUYLYHQFLDHQ  DORVGDWRVUHDOHVGHVXSHUYLYHQFLDSDUDORVKDELWDQWHVGH0DU\ODQG TXHGHVDUUROODURQ6,'$HQVHREWLHQHHOYDORUGHODIUDFFLyQLQPRUWDOGHSi \ XQYDORUGHYLGDPHGLDGHVXSHUYLYHQFLDGHT DxRVLHQGRHOWLHPSRSURPHGLR GHVXSHUYLYHQFLDTprom DxRV>2@9HDOD¿JXUDO3RUORWDQWRVyORFHUFDGHOGH ODVSHUVRQDVGH0DU\ODQGTXHGHVDUUROODURQ6,'$HQVREUHYLYLHURQWUHVDxRVFRQHVWD FRQGLFLyQ/DFXUYDGHVXSHUYLYHQFLDGHO6,'$GHHQ0DU\ODQGHVSUiFWLFDPHQWHLGpQWLFDDODVGH\(OSULPHUIiUPDFRDQWLUUHWURYLUDOTXHVHHQFRQWUyHIHFWLYRFRQWUD HO9,+IXHOD]LGRYXGLQD DQWHULRUPHQWHFRQRFLGDFRPR$=7 3XHVWRTXHOD]LGRYXGLQD QRHUDFRQRFLGDSRUWHQHUXQLPSDFWRHQODLQIHFFLyQSRUHO9,+DQWHVGH\QRHUDXQD WHUDSLDFRP~QDQWHVGHHVUD]RQDEOHFRQFOXLUTXHODVXSHUYLYHQFLDGHORVSDFLHQWHV GH 6,'$ GH 0DU\ODQG GH  QR IXH VLJQL¿FDWLYDPHQWH LQÀXHQFLDGD SRU OD WHUDSLD FRQ ]LGRYXGLQD (OYDORUSHTXHxRSHURGLVWLQWRGHFHURGHODIUDFFLyQLQPRUWDOSi obtenido de los datos GH0DU\ODQGVHGHEHSUREDEOHPHQWHDOPpWRGRTXH0DU\ODQG\RWURVHVWDGRVXVDQSDUDGHWHUPLQDUODVXSHUYLYHQFLDGHVXVFLXGDGDQRV/RVUHVLGHQWHVFRQ6,'$TXHFDPELDURQVX QRPEUH\OXHJRPXULHURQRTXLHQHVPXULHURQHQHOH[WUDQMHURSRGUtDQKDEHUVLGRFRQWDGRV FRPRYLYRVSRUHO'HSDUWDPHQWRGH6DOXGH+LJLHQH0HQWDOGH0DU\ODQG3RUORWDQWR HOYDORUGHODIUDFFLyQLQPRUWDOGHSi   REWHQLGRDSDUWLUGHORVGDWRVGH 0DU\ODQGHVWiFODUDPHQWHHQHOOtPLWHVXSHULRUGHVXYHUGDGHURYDORUTXHSUREDEOHPHQWH VHDFHUR PROYECTO 3.1 ¿INVARIABLEMENTE EL SIDA ES UNA ENFERMEDAD FATAL? 1.0 l P-3 Fracción de supervivencia Ajuste del modelo de dos parámetros S(t) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 _16 16 48 80 112 144 176 208 240 272 Tiempo de supervivencia t(w) FIGURA 1 &XUYDGHODIUDFFLyQGHVXSHUYLYHQFLDS t (Q(DVWHUEURRN\FRODERUDGRUHVSXEOLFDURQGDWRVGHWDOODGRVDFHUFDGHODVXSHUYLYHQFLDGHDQ¿WULRQHVLQIHFWDGRVTXHIXHURQWUDWDGRVFRQ]LGRYXGLQD\FX\DVGHQVLGDGHVFHOXODUHV7FD\HURQSRUGHEDMRGHORVYDORUHVQRUPDOHV>3@&RPRVXVGHQVLGDGHV GHFpOXODV7FDHQDFHURHVWDVSHUVRQDVGHVDUUROODQHO6,'$FOtQLFR\HPSLH]DQDPRULU /RVVREUHYLYLHQWHVPiVORQJHYRVGHHVWDHQIHUPHGDGYLYHQSDUDYHUTXHVXVGHQVLGDGHV7 VRQLQIHULRUHVDFpOXODVPP36LHOWLHPSRt HVUHGH¿QLGRORTXHVLJQL¿FDHOPRPHQWRHQTXHODGHQVLGDGFHOXODU7GHXQDQ¿WULyQFDHSRUGHEDMRGHFpOXODVPP3HQWRQFHV ODVXSHUYLYHQFLDGHHVWRVDQ¿WULRQHVIXHGHWHUPLQDGDSRU(DVWHUEURRNHQ\ WUDQVFXUULGRHOWLHPSRGHXQDxRXQDxR\PHGLR\GRVDxRVUHVSHFWLYDPHQWH &RQXQDMXVWHGHPtQLPRVFXDGUDGRVGHODIXQFLyQGHODIUDFFLyQGHVXSHUYLYHQFLDHQ   DORVGDWRVGH(DVWHUEURRNSDUD9,+ORVDQ¿WULRQHVLQIHFWDGRVFRQGHQVLGDGFHOXODU7HQ HOUDQJRGHFpOXODVPP3SURGXFHQXQYDORUGHODIUDFFLyQLQPRUWDOGHSi \XQDYLGD PHGLDGHVXSHUYLYHQFLDGHT DxR>4@HQIRUPDHTXLYDOHQWHHOWLHPSRSURPHGLRGH VXSHUYLYHQFLDHVTprom DxRV(VWRVUHVXOWDGRVPXHVWUDQFODUDPHQWHTXHOD]LGRYXGLQD QRHVH¿FD]SDUDGHWHQHUODUHSOLFDFLyQGHWRGDVODVFHSDVGHO9,+\DTXHTXLHQHVUHFLELHURQ HVWH IiUPDFR ¿QDOPHQWH PXULHURQ FDVL DO PLVPR ULWPR TXH TXLHQHV QR OR UHFLELHURQ (QUHDOLGDGODSHTXHxDGLIHUHQFLDGHPHVHVHQODYLGDPHGLDGHVXSHUYLYHQFLDSDUDORV DQ¿WULRQHVGHFRQGHQVLGDGHVFHOXODUHV7SRUGHEDMRGHFpOXODVPP3FRQWHUDSLDGH ]LGRYXGLQD T DxR \ODGHLQIHFWDGRVGHHQ0DU\ODQGTXHQRWRPDURQ]LGRYXGLQD TDxR VHSXHGHGHEHUWRWDOPHQWHDXQDPHMRUKRVSLWDOL]DFLyQ\DPHMRUDV HQHOWUDWDPLHQWRGHODVLQIHFFLRQHVRSRUWXQLVWDVUHODFLRQDGDVFRQHO6,'$HQHOWUDQVFXUVRGH HVRVDxRV$VtHQ~OWLPDLQVWDQFLDGHVDSDUHFHODFDSDFLGDGLQLFLDOGH]LGRYXGLQDSDUDSURORQJDUODVXSHUYLYHQFLDFRQODHQIHUPHGDGSRU9,+\ODLQIHFFLyQUHDQXGDVXSURJUHVLyQ6H KDHVWLPDGRTXHODWHUDSLDGH]LGRYXGLQDDPSOtDODFDSDFLGDGGHVXSHUYLYHQFLDGHXQSDFLHQWH LQIHFWDGRFRQ9,+TXL]iSRURPHVHVHQSURPHGLR>4@ 3RU~OWLPRMXQWDQGRORVUHVXOWDGRVDQWHULRUHVGHPRGHODGRSDUDDPERVFRQMXQWRVGH GDWRVHQFRQWUDPRVTXHHOYDORUGHODIUDFFLyQLQPRUWDOVHHQFXHQWUDHQDOJ~QOXJDUGHQWUR GHOUDQJR Si \HOWLHPSRSURPHGLRGHVXSHUYLYHQFLDVHHQFXHQWUDGHQWURGHO UDQJRDxRV Tprom DxRV$VtHOSRUFHQWDMHGHSHUVRQDVSDUDTXLHQHVHO6,'$ QRHVXQDHQIHUPHGDGPRUWDOHVPHQRUGH\SXHGHVHUFHUR(VWRVUHVXOWDGRVFRLQFLGHQFRQXQHVWXGLRGHVREUHODKHPR¿OLDDVRFLDGDFRQFDVRVGH6,'$HQ(VWDGRV 8QLGRVTXHHQFRQWUyTXHODGXUDFLyQPHGLDQDGHODVXSHUYLYHQFLDGHVSXpVGHGLDJQyVWLFR GH6,'$IXHGHPHVHV>5@8QHVWXGLRPiVUHFLHQWH\FRPSOHWRGHKHPRItOLFRVFRQ 6,'$FOtQLFRXWLOL]DQGRHOPRGHORHQ  HQFRQWUyTXHODIUDFFLyQLQPRUWDOIXHSi  y los WLHPSRVGHVXSHUYLYHQFLDPHGLDSDUDDTXHOORVHQWUH\DxRVGHHGDGYDULyHQWUHORV \ORVPHVHVGHSHQGLHQGRGHODFRQGLFLyQDVRFLDGDDO6,'$>6@Aunque los trasplantes de médula ósea que usan células madre del donante homocigótico para la supresión del delta 32 CCR5 podrían conducir a curas, los datos clínicos resultantes consistentemente muestran que el SIDA es una enfermedad invariablemente fatal. P-4 l PROYECTO 3.1 ¿INVARIABLEMENTE EL SIDA ES UNA ENFERMEDAD FATAL? PROBLEMAS RELACIONADOS 1.  6XSRQJDPRVTXHODIUDFFLyQGHXQDFRKRUWHGHSDFLHQWHVFRQ6,'$TXHVREUHYLYHXQ tiempo t GHVSXpV GH GLDJQyVWLFR GH 6,'$ HVWi GDGD SRU S t   H[S kt  'HPXHVWUH TXHHOWLHPSRSURPHGLRGHVXSHUYLYHQFLDTpromGHVSXpVGHOGLDJQyVWLFRGH6,'$SDUDXQ PLHPEURGHHVWDFRKRUWHHVWiGDGRSRUTprom 冫k 2.  /DIUDFFLyQGHXQDFRKRUWHGHSDFLHQWHVFRQ6,'$TXHVREUHYLYHDXQWLHPSRtGHVSXpV GHOGLDJQyVWLFRGH6,'$HVWiGDGDSRUS t   H[S kt 6XSRQJDPRVTXHODVXSHUYLYHQFLDPHGLDGHXQDFRKRUWHGHKHPRItOLFRVGLDJQRVWLFDGRVFRQ6,'$DQWHVGHVH HQFRQWUyGHTprom PHVHV¢4XpIUDFFLyQGHODFRKRUWHVREUHYLYLyFLQFRDxRVGHVSXpV GHOGLDJQyVWLFRGH6,'$" 3.  /DIUDFFLyQGHXQDFRKRUWHGHSDFLHQWHVGH6,'$TXHVREUHYLYHDXQWLHPSRtGHVSXpVGH GLDJQyVWLFRGH6,'$HVWiGDGDSRUS t H[S kt (OWLHPSRTXHWDUGDS t SDUDDOFDQ]DUHOYDORUGHVHGH¿QHFRPRHOSHULRGRGHVXSHUYLYHQFLD\HVWiGHQRWDGRSRUT a) 'HPXHVWUHTXHS t VHSXHGHHVFULELUHQODIRUPDS t t冫T b) 'HPXHVWUHTXHT  TpromOQ  GRQGHTpromHVHOWLHPSRSURPHGLRGHVXSHUYLYHQFLD GH¿QLGRHQHOSUREOHPD  3RUORWDQWRHVFLHUWRVLHPSUHTXHT  Tprom 4.  $SUR[LPDGDPHQWHHOGHORVSDFLHQWHVGHFiQFHUGHSXOPyQVHFXUDQGHODHQIHUPHGDGHVGHFLUVREUHYLYHQFLQFRDxRVGHVSXpVGHOGLDJQyVWLFRFRQQLQJXQDHYLGHQFLD GH TXH HO FiQFHU KD UHJUHVDGR 6yOR HO  GH ORV SDFLHQWHV GH FiQFHU GH SXOPyQ VREUHYLYHQFLQFRDxRVGHVSXpVGHOGLDJQyVWLFR6XSRQJDTXHODIUDFFLyQGHSDFLHQWHV FRQFiQFHUSXOPRQDULQFXUDEOHTXHVREUHYLYHQXQWLHPSRtGHVSXpVGHODGLDJQRVLV HVWiGDGDSRUH[S kt (QFXHQWUHXQDH[SUHVLyQSDUDODIUDFFLyQS t GHSDFLHQWHVFRQ FiQFHUGHSXOPyQTXHVREUHYLYHQXQWLHPSRtGHVSXpVGHVHUGLDJQRVWLFDGRVFRQODHQIHUPHGDG$VHJ~UHVHGHGHWHUPLQDUORVYDORUHVGHODVFRQVWDQWHVHQVXUHVSXHVWD¢4Xp IUDFFLyQGHSDFLHQWHVFRQFiQFHUSXOPRQDUVREUHYLYHGRVDxRVFRQODHQIHUPHGDG" REFERENCIAS 1.  .UDPHU,YDQ³:KDWWULJJHUVWUDQVLHQW$,'6LQWKHDFXWHSKDVHRI+,9LQIHFWLRQDQGFKURQLF $,'6DWWKHHQGRIWKHLQFXEDWLRQSHULRG"´HQComputational and Mathematical Methods in MedicineYROQ~PMXQSS 2.  .UDPHU,YDQ³,V$,'6DQLQYDULDEOHIDWDOGLVHDVH"$PRGHODQDO\VLVRI$,'6VXUYLYDOFXUYHV´ en Mathematical and Computer ModellingQ~PSS 3.  (DVWHUEURRN3KLOLSSD-et al.,³3URJUHVVLYH&'FHOOGHSOHWLRQDQGGHDWKLQ]LGRYXGLQHWUHDWHG SDWLHQWV´HQJAIDSGHDJRVWRGHQ~PSS 4.  .UDPHU,YDQ³7KHLPSDFWRI]LGRYXGLQH $=7 WKHUDS\RQWKHVXUYLYDELOLW\RIWKRVHZLWKSURJUHVVLYH +,9LQIHFWLRQ´HQMathematical and Computer ModellingYROQ~PIHEGHSS 5.  6WHKU*UHHQ-.5&+ROPDQ0$0DKRQH\³6XUYLYDODQDO\VLVRIKHPRSKLOLDDVVRFLDWHG $,'6FDVHVLQWKH86´HQAm. J. Public HealthMXOGHDxRQ~PSS 6.  *DLO0LWFKHO+et al³6XUYLYDODIWHU$,'6GLDJQRVLVLQDFRKRUWRIKHPRSKLOLDSDWLHQWV´HQ JAIDSGHDJRGHQ~PSS ACERCA DEL AUTOR Ivan KramerREWXYRODOLFHQFLDWXUDHQ)tVLFD\0DWHPiWLFDVHQHO&LW\&ROOHJHGH1XHYD <RUNHQ\HOGRFWRUDGRHQItVLFDWHyULFDGHSDUWtFXODVHQOD8QLYHUVLGDGGH&DOLIRUQLD HQ%HUNHOH\HQ(QODDFWXDOLGDGHVSURIHVRUDVRFLDGRGHItVLFDHQOD8QLYHUVLGDGGH 0DU\ODQGFRQGDGRGH%DOWLPRUH(O'U.UDPHUIXH'LUHFWRUGHO3UR\HFWRGHSURQyVWLFR GH FDVRV GH9,+6,'$ HQ 0DU\ODQG SRU HO TXH UHFLELy XQD VXEYHQFLyQ GH OD$GPLQLVWUDFLyQ GHO 6,'$ GHO 'HSDUWDPHQWR GH 6DOXG H +LJLHQH GH 0DU\ODQG HQ $GHPiV GHVXVPXFKRVDUWtFXORVSXEOLFDGRVVREUHODLQIHFFLyQSRU9,+\HO6,'$VXVLQWHUHVHVGH LQYHVWLJDFLyQLQFOX\HQPRGHORVGHPXWDFLyQGHFiQFHUODHQIHUPHGDGGH$O]KHLPHU\OD HVTXL]RIUHQLD PROYECTO PARA LA SECCIÓN 3.2 El efecto Allee por Jo Gascoigne /D'UD-RFRQ4XHHQLH 4XHHQLHHVWiDODL]TXLHUGD /RVFLQFREHOJDVPiVIDPRVRVDOSDUHFHULQFOX\HQXQFLFOLVWDXQFDQWDQWHGHSXQNHOLQYHQWRU GHOVD[RIyQHOFUHDGRUGH7LQWtQ\$XGUH\+HSEXUQ3LHUUH)UDQoRLV9HUKXOVWQRHVWiHQOD OLVWDDXQTXHGHEHUtDGHHVWDU7XYRXQDYLGDUHODWLYDPHQWHFRUWDPXULHQGRDODHGDGGH DxRVSHURXQDYLGDHPRFLRQDQWHIXHGHSRUWDGRGH5RPDSRUWUDWDUGHSHUVXDGLUDO3DSDGH TXHORV(VWDGRV3RQWL¿FLRVQHFHVLWDEDQXQDFRQVWLWXFLyQHVFULWD7DOYH]HO3DSDVDEtDD~Q HQWRQFHVTXHQRHUDEXHQDLGHDWRPDUFODVHVGHJREHUQDELOLGDGFRQXQEHOJD $SDUWHGHHVWHHSLVRGLR3LHUUH9HUKXOVW  IXHXQPDWHPiWLFRTXHVHRFXSy HQWUHRWUDVFRVDVFRQODGLQiPLFDGHODVSREODFLRQHVQDWXUDOHVSHFHVFRQHMRVUDQ~QFXORV EDFWHULDVRORTXHVHD (VWR\SUHMXLFLDGDHQIDYRUGHORVSHFHVDVtTXHGHDKRUDHQDGHODQWH KDEODUHPRV GH SHFHV  (O DYDQFH HQ ODV WHRUtDV DFHUFD GHO FUHFLPLHQWR GH SREODFLRQHV QDWXUDOHVKDEtDVLGRUHODWLYDPHQWHOLPLWDGRKDVWDHVHSXQWRDXQTXHORVFLHQWt¿FRVKDEtDQ OOHJDGRDODFRQFOXVLyQREYLDGHTXHODWDVDGHFUHFLPLHQWRGHXQDSREODFLyQ dN冫dtGRQGH N t HVHOWDPDxRGHODSREODFLyQHQHOWLHPSR t GHSHQGtDGH i ODWDVDGHQDWDOLGDGb\ ii  la tasa de mortalidad mODVFXDOHVSRGUtDQYDULDUHQSURSRUFLyQGLUHFWDFRQHOWDPDxRGHOD SREODFLyQN: dN bN mN   dt 'HVSXpVGHFRPELQDUb y m en un parámetro rFRQRFLGRFRPRODtasa intrínseca de incremento natural²TXHORVELyORJRVDPHQXGRVLQWLHPSRSDUDOODPDUODSRUVXQRPEUH FRPSOHWRGHQRPLQDQGHXQDIRUPDPiVJHQHUDOVyORU²ODHFXDFLyQ  HV dN rN   dt (VWHPRGHORGHFUHFLPLHQWRGHSREODFLyQWLHQHXQSUREOHPDTXHGHEHUtDVHUFODURVL QRORHVKDJDXQWUD]DGRGHdN冫dtDXPHQWDQGRORVYDORUHVGHN(OUHVXOWDGRHVXQDFXUYD GHFUHFLPLHQWRH[SRQHQFLDOGLUHFWDORTXHVXJLHUHTXHWRGRVQRVHVWDUtDPRVDKRJDQGRHQ SHFHV(YLGHQWHPHQWHDOJRWLHQHTXHHVWDUSDVDQGRTXHUHGXFHODYHORFLGDGGHdN冫dt)XH LGHDGH3LHUUH9HUKXOVWTXHHVHDOJRHUDODFDSDFLGDGGHOPHGLRDPELHQWHHQRWUDVSDODEUDV ¿Cuántos peces puede realmente soportar un ecosistema? 9HUKXOVWIRUPXOyXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDODSREODFLyQN t TXHLQFOXtDWDQWRDr FRPRDODcapacidad de carga K: dN dt rN 1 N ,  r K 0   /DHFXDFLyQ  VHFRQRFHFRPRecuación logística\KR\HQGtDHVODEDVHGHJUDQSDUWH GHOHVWXGLRPRGHUQRGHSREODFLRQHVGLQiPLFDV(VSHURTXHVHDFODURTXHHOWpUPLQR  N冫K  TXHHVODFRQWULEXFLyQGH9HUKXOVWDODHFXDFLyQ  HV  N冫K 艐 FXDQGR1艐ORTXH FRQGXFHDXQFUHFLPLHQWRH[SRQHQFLDO\TXH  N冫K →FRQIRUPH1→ KSRUORWDQWR KDFHTXHODFXUYDGHFUHFLPLHQWRGHN t VHDSUR[LPHDODDVtQWRWDKRUL]RQWDON t  K$VtHO WDPDxRGHODSREODFLyQQRSXHGHH[FHGHUODFDSDFLGDGGHFDUJDGHOPHGLRDPELHQWH /DHFXDFLyQORJtVWLFD  GDODWDVDGHFUHFLPLHQWRGHODSREODFLyQSHURHVPiVIiFLO FRQFHSWXDOL]DUODHFRORJtDVLFRQVLGHUDPRVODWDVDGHFUHFLPLHQWRper cápitaHVGHFLUOD WDVDGHFUHFLPLHQWRGHODSREODFLyQDSDUWLUGHOQ~PHURGHLQGLYLGXRVGHODSREODFLyQ(VWR PLGHTXpWDQ³ELHQ´HVWiFDGDLQGLYLGXRHQODSREODFLyQ3DUDREWHQHUODWDVDGHFUHFLPLHQWR per cápitaVyORGLYLGLPRVFDGDODGRGHODHFXDFLyQ  HQWUHN: P-5 P-6 l PROYECTO 3.2 EL EFECTO ALLEE 1 dN N dt r 1 N K r r N K (VWDVHJXQGDYHUVLyQGH  PXHVWUDLQPHGLDWDPHQWH JUDItTXHOR TXHHVWDUHODFLyQHV XQDOtQHDUHFWDFRQXQYDORUPi[LPRGH 1 dN en N  VXSRQLHQGRTXHXQWDPDxRSREOD N dt FLRQDOQHJDWLYRQRHVLPSRUWDQWH \dN冫dt HQN  K (KHVSHUHXQPLQXWR«£¢³un valor máximo de 1 dN en N ´"¢&DGDWLEXUyQHQOD N dt SREODFLyQ HVWi PHMRU FXDQGR KD\« FHUR WLEXURQHV" &ODUDPHQWH HVWH HV XQ GHIHFWR HQ HO PRGHORORJtVWLFR &RQVLGHUHTXHDKRUDHVWHHVXQmodeloFXDQGRVyORSUHVHQWDXQDUHODFLyQ HQWUHGRVYDULDEOHVdN冫dt y NHVVyORXQDHFXDFLyQ&XDQGRXWLOL]DPRVHVWDHFXDFLyQSDUD SUREDU\DQDOL]DUFyPRSRGUtDQIXQFLRQDUODVSREODFLRQHVVHFRQYLHUWHHQXQPRGHOR /DVXSRVLFLyQGHWUiVGHOPRGHORORJtVWLFRHVTXHPLHQWUDVXQDSREODFLyQGLVPLQX\HGH WDPDxRORVLQGLYLGXRVPHMRUDQ FRQIRUPHVHPLGHODWDVDGHFUHFLPLHQWRGHSREODFLyQper cápita (QFLHUWDPHGLGDHVWDVXSRVLFLyQVXE\DFHHQWRGDVQXHVWUDVLGHDVVREUHHOPDQHMR VXVWHQWDEOHGHODSREODFLyQ\GHORVUHFXUVRVQDWXUDOHVXQWLSRGHSH]QRSXHGHSHVFDUVH LQGH¿QLGDPHQWHDPHQRVTXHVXSRQJDPRVTXHFXDQGRXQDSREODFLyQVHUHGXFHHQWDPDxR WLHQHODFDSDFLGDGGHFUHFHUDGRQGHHVWDEDDQWHV (VWDKLSyWHVLVHVPiVRPHQRVUD]RQDEOHSDUDDOJXQDVSREODFLRQHVFRPRHVHOFDVR GHPXFKDVSREODFLRQHVGHSHFHVREMHWRGHSHVFDFRPHUFLDOTXHVHPDQWLHQHQHQXQR LQFOXVRHQXQGHK3HURSDUDSREODFLRQHVPX\DJRWDGDVRHQSHOLJURGHH[WLQFLyQOD LGHDGHTXHORVLQGLYLGXRVVLJDQHVWDQGRPHMRUFRQIRUPHODSREODFLyQVHKDFHPiVSHTXHxD HVPX\ULHVJRVD/DSREODFLyQGHORVJUDQGHVEDQFRVGHEDFDODRGHODTXHVHOOHJyDSHVFDU KDVWDHORLQFOXVRHOGHKHVWiSURWHJLGDGHVGHSULQFLSLRVGHODGpFDGDGH\ D~QQRPXHVWUDVLJQRVFRQYLQFHQWHVGHUHFXSHUDFLyQ :DUGHU&O\GH$OOHH  HUDXQHFyORJRHVWDGXQLGHQVHDGVFULWRDOD8QLYHUVLGDG GH&KLFDJRDSULQFLSLRVGHOVLJORXXTXHH[SHULPHQWyFRQSHFHVGHFRORUHVR¿XUDVHVFDUDEDMRV WULEROLXP\GHKHFKRFRQFDVLFXDOTXLHUFRVDTXHWXYLHUDODPDODVXHUWHGHFUX]DUVHHQVXFDPLQR$OOHHGHPRVWUyTXHHQUHDOLGDGORVLQGLYLGXRVGHXQDSREODFLyQSXHGHQHVWDUSHRUFXDQGR ODSREODFLyQOOHJDDVHUPX\SHTXHxDRPX\HVFDVD ([LVWHQQXPHURVDVUD]RQHVHFROyJLFDV GHSRUTXpSRGUtDVXFHGHUHVWRSRUHMHPSORSXHGHQQRHQFRQWUDUXQFRPSDxHURDGHFXDGRR SXHGHQQHFHVLWDUJUDQGHVJUXSRVSDUDHQFRQWUDUFRPLGDRH[SUHVDUVXFRPSRUWDPLHQWRVRFLDO RHQHOFDVRGHORVSHFHVGHFRORUHVORVJUXSRVSXHGHQDOWHUDUODTXtPLFDGHODJXDDVXIDYRU &RPRUHVXOWDGRGHOWUDEDMRGH$OOHHVHGLFHTXHXQDSREODFLyQHQODFXDOODWDVDGHFUHFLPLHQto per cápitaGLVPLQX\HDUD]yQGHFRQWDUFRQPHQRVLQGLYLGXRVSUHVHQWDXQefecto Allee(O UHVXOWDGRGHOMXLFLRHVWiWRGDYtDSHQGLHQWHUHVSHFWRGHVLORVJUDQGHVEDQFRVGHEDFDODRVXIUHQ XQHIHFWR$OOHHSHURKD\DOJXQRVPHFDQLVPRVSRVLEOHVODVKHPEUDVSRGUtDQQRVHUFDSDFHVGH HQFRQWUDUXQFRPSDxHURRDOPHQRVQRXQFRPSDxHURGHOWDPDxRDGHFXDGRRTXL]iHOEDFDODR DGXOWRVROtDFRPHUORVSHFHVTXHVHFRPHQDOEDFDODRMRYHQ3RURWURODGRQRKD\QDGDTXH OHJXVWHPiVDXQEDFDODRDGXOWRTXHXQDSHULWLYRGHEDFDODREHEp QRVRQSHFHVFRQKiELWRV GHFRPLGDPX\H[LJHQWHV SRUORTXHHVWRVDUJXPHQWRVSRGUtDQQRVHUDFXPXODWLYRV3RUHO PRPHQWRVDEHPRVPX\SRFRVREUHODVLWXDFLyQH[FHSWRTXHD~QQRKD\EDFDODR (OHIHFWR$OOHHVHSXHGHPRGHODUGHPXFKDVPDQHUDV8QRGHORVPRGHORVPDWHPiWLFRVPiVVLPSOHVXQDYDULDFLyQGHODHFXDFLyQORJtVWLFDHV dN dt rN 1 N K N A 1   donde A VH FRQRFH FRPR HO umbral de Allee (O YDORU GH N t   A es el tamaño de la SREODFLyQSRUGHEDMRGHOFXDOODWDVDGHFUHFLPLHQWRGHODSREODFLyQOOHJDDVHUQHJDWLYD GHELGRDXQHIHFWR$OOHHVLWXDGRHQXQYDORUGHNHQDOJ~QOXJDUHQWUHN \N  K HVGHFLU A  KGHSHQGLHQGRGHODHVSHFLH SHURSRUVXHUWHSDUDODVHVSHFLHVKD\XQD EXHQDSDUWHXQSRFRPiVFHUFDGHTXHGHK   (OWDPDxRGHODSREODFLyQ\ODGHQVLGDGGHSREODFLyQVRQPDWHPiWLFDPHQWHLQWHUFDPELDEOHVVXSRQLHQGRXQiUHD ¿MDHQODFXDOYLYDODSREODFLyQ DXQTXHQRQHFHVDULDPHQWHVRQLQWHUFDPELDEOHVSDUDORVLQGLYLGXRVHQFXHVWLyQ  PROYECTO 3.2 EL EFECTO ALLEE l P-7 /DHFXDFLyQ  QRUHVXOWDWDQVHQFLOODGHUHVROYHUSDUDN t FRPR  SHURQRWHQHPRV TXHUHVROYHUODSDUDHQWHQGHUDOJXQDVSDUWHVGHVXGLQiPLFD6LXVWHGWUDEDMDORVSUREOHPDV \YHUiTXHODVFRQVHFXHQFLDVGHODHFXDFLyQ  SXHGHQVHUGHVDVWURVDVSDUDODVSREODFLRQHVHQSHOLJURGHH[WLQFLyQ 7LEXURQHVFREUL]RV alimentándose de sardinas en los PDUHVFHUFDGHODFRVWDRULHQWDO GH6XGiIULFD PROBLEMAS RELACIONADOS 1. a) /D HFXDFLyQ ORJtVWLFD   VH SXHGH UHVROYHU H[SOtFLWDPHQWH SDUD N t mediante la WpFQLFDGHIUDFFLRQHVSDUFLDOHV+DJDHVWR\WUDFHODJUi¿FDGHN t FRPRIXQFLyQ de t SDUD t /RVYDORUHVDGHFXDGRVSDUDrK\N  VRQr K  N   GLJDPRVSHFHVSRUPHWURF~ELFRGHDJXDGHPDU /DJUi¿FDGHN t se denomina curva de crecimiento sigmoideo b) (OYDORUGHrSXHGHGHFLUQRVPXFKRVREUHODHFRORJtDGHXQDHVSHFLHHQHOFDVRGH ODVVDUGLQDVGRQGHODVKHPEUDVPDGXUDQHQPHQRVGHXQDxR\WLHQHQPLOORQHVGH KXHYRVVHWLHQHXQrDOWRPLHQWUDVTXHORVWLEXURQHVGRQGHODVKHPEUDVWLHQHXQDV SRFDVFUtDVFDGDDxRWLHQHQXQrEDMR-XHJXHFRQr\YHDFyPRDIHFWDODIRUPDGHOD FXUYD3UHJXQWD6LXQiUHDPDULQDSURWHJLGDGHWLHQHODVREUHSHVFD¢TXpHVSHFLHVVH UHFXSHUDUiQPiVUiSLGRODVVDUGLQDVRORVWLEXURQHV" 2.  (QFXHQWUHORVHTXLOLEULRVGHSREODFLyQSDUDHOPRGHORHQ  >Sugerencia:/DSREODFLyQ HVWiHQHTXLOLEULRFXDQGRdN冫dt HVGHFLUODSREODFLyQQRHVWiFUHFLHQGRQLGLVPLQX\HQGR(QFXHQWUHWUHVYDORUHVGHNSDUDORVTXHODSREODFLyQHVWpHQHTXLOLEULR@ 3.  /RVHTXLOLEULRVGHSREODFLyQSXHGHQVHUHVWDEOHVRLQHVWDEOHV6LFXDQGRXQDSREODFLyQVH GHVYtDXQSRFRGHOYDORUGHHTXLOLEULR FRPRODVSREODFLRQHVLQHYLWDEOHPHQWHORKDFHQ  WLHQGHDYROYHUDpOHVWHHVXQHTXLOLEULRHVWDEOHVLQHPEDUJRVLFXDQGRODSREODFLyQ VHGHVYtDGHOHTXLOLEULRWLHQGHDDSDUWDUVHGHpOD~QPiVHVWHHVXQHTXLOLEULRLQHVWDEOH 3LHQVHHQXQDSHORWDHQODEXFKDFDGHXQDPHVDGHELOODUFRQWUDXQDSHORWDHQHTXLOLEULR VREUHODSXQWDGHXQWDFRGHELOODU(OHTXLOLEULRLQHVWDEOHHVXQDFDUDFWHUtVWLFDGHORV PRGHORVGHOHIHFWR$OOHHFRPRORVGHODHFXDFLyQ  8WLOLFHXQHVTXHPDGHIDVHGHOD HFXDFLyQDXWyQRPD  SDUDGHWHUPLQDUVLORVHTXLOLEULRVGLVWLQWRVGHFHURTXHHQFRQWUy HQHOSUREOHPDVRQHVWDEOHVRLQHVWDEOHV>Sugerencia:9HDODVHFFLyQGHOOLEUR@ 4.  $QDOLFHODVFRQVHFXHQFLDVGHOUHVXOWDGRDQWHULRUGHODSREODFLyQN t ÀXFWXDQGRDOUHGHGRUGHOXPEUDOGH$OOHH$ REFERENCIAS 1.  &RXUFKDPS)%HUHF/\*DVFRLJQH-Allee Effects in Ecology and Conservation2[IRUG 8QLYHUVLW\3UHVV 2.  +DVWLQJV$Population Biology. Concepts and Models1XHYD<RUN6SULQJHU ACERCA DE LA AUTORA 'HVSXpVGHFXUVDUODOLFHQFLDWXUDHQ]RRORJtDJo GascoigneSHQVyTXHHQVXSULPHUWUDEDMR TXHIXHGHFRQVHUYDFLyQHQHOÈIULFDRULHQWDOHVWXGLDUtDOHRQHV\HOHIDQWHVSHURHOREMHWR GHHVWXGLRUHVXOWDURQVHUSHFHV$SHVDUGHVXIULUXQDDSODVWDQWHGHFHSFLyQLQLFLDOWHUPLQy DPDQGRDORVDQLPDOHVPDULQRVGHKHFKRFXOPLQyXQGRFWRUDGRHQELRORJtDGHFRQVHUYDFLyQ PDULQDHQHO&ROOHJHRI:LOOLDPDQG0DU\HQ:LOOLDPVEXUJ9LUJLQLDGRQGHHVWXGLyDOD ODQJRVWD\DOFDUDFROGHO&DULEH\WDPELpQSDVyGLH]GtDVYLYLHQGREDMRHODJXDHQHODFXDULR +iELWDWHQ)ORULGD'HVSXpVGHJUDGXDUVHUHJUHVyDVXQDWLYD*UDQ%UHWDxDGRQGHHVWXGLyODV PDWHPiWLFDVGHORVEDQFRVGHPHMLOORQHVHQOD8QLYHUVLGDGGH%DQJRUHQ*DOHVDQWHVGH FRQYHUWLUVHHQXQDFRQVXOWRUDLQGHSHQGLHQWHVREUHJHVWLyQSHVTXHUD$KRUDWUDEDMDSDUDSURPRYHUODSHVFDVXVWHQWDEOHFRQHOPHGLRDPELHQWH&XDQGRFRPSUHPDULVFRV£WRPHEXHQDV GHFLVLRQHV\D\XGHDOPDU PROYECTO PARA LA SECCIÓN 3.3 Dinámica de población de lobos por C. J. Knickerbocker 8QORERJULVHQHVWDGRVDOYDMH $SULQFLSLRVGHGHVSXpVGHPXFKDFRQWURYHUVLDGHEDWHS~EOLFR\XQDDXVHQFLDGH DxRVVHLQWURGXMHURQGHQXHYRORVORERVJULVHVHQHOSDUTXHGH,GDKR&HQWUDO\HQHO3DUTXH 1DFLRQDOGH<HOORZVWRQH'XUDQWHHVWDODUJDDXVHQFLDVHUHJLVWUDURQFDPELRVVLJQL¿FDWLYRVHQ ODVSREODFLRQHVGHRWURVDQLPDOHVTXHYLYHQHQHOSDUTXH3RUHMHPSORKDEtDQDXPHQWDGRODV SREODFLRQHVGHDOFH\FR\RWHGXUDQWHHVWHWLHPSR&RQODUHLQWURGXFFLyQGHOORERHQDQWLFLSDPRVFDPELRVHQODVSREODFLRQHVDQLPDOHVWDQWRGHSUHGDGRUHVFRPRSUHVDVHQHOHFRVLVWHPD GHO3DUTXH<HOORZVWRQH\DTXHHOp[LWRGHODSREODFLyQGHORERGHSHQGHGHFyPRLQÀX\H\HV LQÀXHQFLDGDSRUODVRWUDVHVSHFLHVGHOHFRVLVWHPD 3DUD HVWH HVWXGLR H[DPLQDUHPRV FyPR OD SREODFLyQ GH DOFHV SUHVD  KD VLGR LQÀXHQFLDGDSRUORVORERV GHSUHGDGRU (VWXGLRVUHFLHQWHVKDQGHPRVWUDGRTXHODSREODFLyQGHDOFHVKD VLGRLPSDFWDGDQHJDWLYDPHQWHSRUODUHLQWURGXFFLyQGHORVORERV/DSREODFLyQGHDOFHVFD\y GHDSUR[LPDGDPHQWHHQDDSUR[LPDGDPHQWHHQ(VWHDUWtFXORSODQWHD ODSUHJXQWDGHVLORVORERVSRGUtDQWHQHUWDOHIHFWR\VLHVDVt¢SRGUtDQKDFHUTXHGHVDSDUH]FDOD SREODFLyQGHDOFHV" &RPHQFHPRVSRUUHYLVDUFRQPiVGHWDOOHORVFDPELRVHQODSREODFLyQGHDOFHVLQGHSHQGLHQWHPHQWHGHORVORERV(QORVDxRVDQWHULRUHVDODLQWURGXFFLyQGHORERVGH DXQHVWXGLRLQGLFyTXHODSREODFLyQGHDOFHVDXPHQWyHQXQGH HQDHQ8VDQGRHOPRGHORPiVVLPSOHGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUD ODGLQiPLFDGHSREODFLRQHVSRGHPRVGHWHUPLQDUODWDVDGHFUHFLPLHQWRGHORVDOFHV UHSUHVHQWDGDSRUODYDULDEOHr DQWHVGHODUHLQWURGXFFLyQGHORVORERV dE dt rE, E(0) 13.0, E(10) 18.0   (QHVWDHFXDFLyQE t UHSUHVHQWDODSREODFLyQGHDOFHV HQPLOHV GRQGHt se mide en DxRVGHVGH/DVROXFLyQTXHVHGHMDFRPRHMHUFLFLRDOOHFWRUHQFXHQWUDTXHODWDVDGH FUHFLPLHQWRFRPELQDGDQDFLPLHQWRVPXHUWHVrHVDSUR[LPDGDPHQWHSURGXFLHQGR E(t) 13.0 e0.0325t $OLQLFLRHQORERVIXHURQSXHVWRVHQOLEHUWDG\KDQDXPHQWDGRVXVQ~PHURV (QORVELyORJRVHVWLPDURQTXHHOQ~PHURGHORERVHUDGHDSUR[LPDGDPHQWH 3DUDHVWXGLDUODLQWHUDFFLyQHQWUHHODOFH\ODSREODFLyQGHORERVFRQVLGHUHPRVHOVLJXLHQWHPRGHORSUHVDGHSUHGDGRUSDUDODLQWHUDFFLyQHQWUHDOFHV\ORERVGHQWURGHOHFRVLVWHPD GH<HOORZVWRQH dE 0.0325E 0.8EW dt dW   0.6W 0.05EW dt E(0) 18.0, W(0) 0.021 donde E t HVODSREODFLyQGHDOFHV\W t HVODSREODFLyQGHORERV7RGDVODVSREODFLRQHVVH PLGHQHQPLOHVGHDQLPDOHV/DYDULDEOHtUHSUHVHQWDHOWLHPSRPHGLGRHQDxRVGHVGH $VtDSDUWLUGHODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVWHQHPRVDOFHV\ORERVHQHODxR(O OHFWRUVHGDUiFXHQWDTXHVHHVWLPyODWDVDGHFUHFLPLHQWRSDUDHODOFHLJXDOTXHODHVWLPDGD antes r  $QWHVGHTXHLQWHQWHPRVVROXFLRQDUHOPRGHOR  XQDQiOLVLVFXDOLWDWLYRGHOVLVWHPD SXHGHSURGXFLUXQDVHULHGHLQWHUHVDQWHVSURSLHGDGHVGHODVVROXFLRQHV/DSULPHUDHFXDFLyQ P-8 PROYECTO 3.3 DINÁMICA DE POBLACIÓN DE LOBOS l P-9 PXHVWUDTXHODWDVDGHFUHFLPLHQWRGHORVDOFHV dE冫dt VHYHDIHFWDGDSRVLWLYDPHQWHSRU HOWDPDxRGHODPDQDGD E (VWRVHSXHGHLQWHUSUHWDUFRPRTXHODSUREDELOLGDGGH UHSURGXFFLyQDXPHQWDFRQHOQ~PHURGHDOFHV3RURWUDSDUWHHOWpUPLQRQROLQHDO EW  WLHQHXQLPSDFWRQHJDWLYRHQODWDVDGHFUHFLPLHQWRGHORVDOFHV\DTXHPLGHODLQWHUDFFLyQ HQWUHGHSUHGDGRUHV\SUHVDV/DVHJXQGDHFXDFLyQdW冫dt  W EWPXHVWUDTXH ODSREODFLyQGHORERVWLHQHXQHIHFWRQHJDWLYRVREUHVXSURSLRFUHFLPLHQWRORTXHVHSXHGH LQWHUSUHWDUFRPRODUD]yQGHTXHDPiVORERVVHFUHDPiVFRPSHWHQFLDSRUHODOLPHQWR6LQ HPEDUJRODLQWHUDFFLyQHQWUHHODOFH\ORVORERV EW WLHQHXQLPSDFWRSRVLWLYR\DTXH ORVORERVHVWiQHQFRQWUDQGRPiVFRPLGD 3XHVWRTXHQRVHSXHGHHQFRQWUDUXQDVROXFLyQDQDOtWLFDDOSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHV   WHQHPRV TXH FRQ¿DU HQ OD WHFQRORJtD SDUD HQFRQWUDU VROXFLRQHV DSUR[LPDGDV 3RUHMHPSORDFRQWLQXDFLyQVHSUHVHQWDXQFRQMXQWRGHLQVWUXFFLRQHVSDUDGHWHUPLQDUXQD VROXFLyQQXPpULFDGHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLFLDOHVSDUDHOVLVWHPDGHiOJHEUDFRPSXWDFLRQDOMaple e1 := diff(e(t),t)-0.0325*e(t) + 0.8*e(t)*w(t) : e2 := diff(w(t),t)+0.6*w(t) - 0.05*e(t)*w(t) : sys := {e1,e2} : ic := {e(0)=18.0,w(0)=0.021} : ivp := sys union ic : H:= dsolve(ivp,{e(t),w(t)},numeric) : 20000 200 18000 180 16000 160 Población de lobos Población de alces /DV JUi¿FDV GH ODV ¿JXUDV O \  PXHVWUDQ ODV SREODFLRQHV GH DPEDV HVSHFLHV HQWUH \&RPRVHSUHGLMRSRUQXPHURVRVHVWXGLRVODUHLQWURGXFFLyQGHORVORERVHQ <HOORZVWRQHKDEtDFRQGXFLGRDXQDGLVPLQXFLyQHQODSREODFLyQGHDOFHV(QHVWHPRGHOR SRGHPRVYHUODGLVPLQXFLyQGHODSREODFLyQGHHQDDSUR[LPDGDPHQWH HQ(QFDPELRODSREODFLyQGHORERVDXPHQWyGHXQDFRQGLFLyQLQLFLDOGHHQ DXQPi[LPRGHDSUR[LPDGDPHQWHHQ 14000 12000 10000 8000 6000 140 120 100 80 60 4000 40 2000 20 0 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 2009 Año 0 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 2009 Año FIGURA 1 3REODFLyQGHDOFHV FIGURA 2 3REODFLyQGHORERV (O OHFWRU REVHUYDGRU QRWDUi TXH HO PRGHOR WDPELpQ PXHVWUD XQ GHVFHQVR HQ OD SREODFLyQGHORERVGHVSXpVGH¢&yPRSRGUtDPRVLQWHUSUHWDUHVWR"&RQODGLVPLQXFLyQ HQODSREODFLyQGHDOFHVHQORVSULPHURVDxRVKXERPHQRVFRPLGDSDUDORVORERV\SRU ORWDQWRVXSREODFLyQHPSH]yDGHFOLQDU /D¿JXUDTXHVHPXHVWUDDFRQWLQXDFLyQSUHVHQWDHOFRPSRUWDPLHQWRDODUJRSOD]RGH DPEDVSREODFLRQHV/DLQWHUSUHWDFLyQGHHVWDJUi¿FDVHGHMDFRPRHMHUFLFLRSDUDHOOHFWRU (Q,QWHUQHWVHSXHGHHQFRQWUDULQIRUPDFLyQDFHUFDGHODUHLQWURGXFFLyQGHORVORERVHQ HOSDUTXHGH,GDKR&HQWUDO\HQ<HOORZVWRQH3RUHMHPSOROHDODVQRWLFLDVGHO86)LVKDQG :LOGOLIH6HUYLFHGHOGHQRYLHPEUHGHVREUHODOLEHUDFLyQGHORVORERVHQHO3DUTXH 1DFLRQDOGH<HOORZVWRQH l PROYECTO 3.3 DINÁMICA DE POBLACIÓN DE LOBOS 200 20000 Alces 18000 Poblaciones de alces y lobos P-10 180 Lobos 16000 160 14000 140 12000 120 10000 100 8000 80 6000 60 4000 40 2000 20 0 1990 2000 2010 2020 2030 2040 2050 2060 2070 0 2080 Año FIGURA 3 &RPSRUWDPLHQWRDODUJRSOD]RGHODVSREODFLRQHV PROBLEMAS RELACIONADOS 1.  5HVXHOYDHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHDQWHVGHODUHLQWURGXFFLyQGHORVORERV   VROXFLRQDQGR SULPHUR OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO \ DSOLFDQGR OD FRQGLFLyQ LQLFLDO /XHJRDSOLTXHODFRQGLFLyQWHUPLQDOSDUDHQFRQWUDUODWDVDGHFUHFLPLHQWR 2.  /RVELyORJRVKDQDQDOL]DGRVLODUD]yQGHODGLVPLQXFLyQGHORVDOFHVGHHQD HQVHHQFXHQWUDHQODUHLQWURGXFFLyQGHORVORERV¢4XpRWURVIDFWRUHVSXGLHUDQ H[SOLFDUODGLVPLQXFLyQGHODSREODFLyQGHDOFHV" 3.  &RQVLGHUHORVFDPELRVDODUJRSOD]RGHODVSREODFLRQHVGHDOFHV\ORERV¢(VWRVFDPELRV FtFOLFRVVRQUD]RQDEOHV"¢3RUTXpKD\XQGHVIDVHHQWUHHO PRPHQWR HQ TXH FRPLHQ]D ODGHFOLQDFLyQGHORVDOFHV\FXDQGRODSREODFLyQGHORVORERVHPSLH]DDGHFDHU"¢6RQ UHDOLVWDVORVYDORUHVPtQLPRVSDUDODSREODFLyQGHORERV"7UDFHODSREODFLyQGHORVDOFHV IUHQWHDODSREODFLyQGHORERVHLQWHUSUHWHORVUHVXOWDGRV 4.  ¢4XpQRVGLFHHOSUREOHPDFRQYDORULQLFLDO  VREUHHOFUHFLPLHQWRGHODSREODFLyQGH DOFHVVLQODLQÀXHQFLDGHORVORERV"(QFXHQWUHXQPRGHORVLPLODUSDUDODLQWURGXFFLyQ GHFRQHMRVHQ$XVWUDOLDHQ\HOLPSDFWRGHLQWURGXFLUXQDSREODFLyQSUHVDHQXQ DPELHQWHVLQXQDSREODFLyQGHXQGHSUHGDGRUQDWXUDOSDUDGLFKDSUHVD ACERCA DEL AUTOR C. J. Knickerbocker 3URIHVRUGH0DWHPiWLFDV\&LHQFLDVGHOD&RPSXWDFLyQ UHWLUDGR  8QLYHUVLGDGGH6W/DZUHQFH 'LUHFWRUGH,QYHVWLJDFLyQGH,QJHQLHUtD &RUSRUDFLyQ6HQVLV &-.QLFNHUERFNHUREWXYRVXGRFWRUDGRHQPDWHPiWLFDVHQOD8QLYHUVLGDGGH&ODUNVRQHQ +DVWDIXHSURIHVRUGHPDWHPiWLFDV\FLHQFLDVGHODFRPSXWDFLyQHQOD8QLYHUVLGDGGH6W/DZUHQFHGRQGHHVFULELyQXPHURVRVDUWtFXORVVREUHGLIHUHQWHVWHPDVLQFOX\HQGR HFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVSDUFLDOHVQROLQHDOHVWHRUtDGHJUDIRVItVLFDDSOLFDGD\SVLFRORJtD 7DPELpQWUDEDMyFRPRFRQVXOWRUSDUDHGLWRULDOHVHPSUHVDVGHVRIWZDUH\DJHQFLDVGHJRELHUQR$FWXDOPHQWHHO'U.QLFNHUERFNHUHV'LUHFWRUGH,QYHVWLJDFLyQGH,QJHQLHUtDGHOD &RUSRUDFLyQ6HQVLVGRQGHKDFHHVWXGLRVVREUHH¿FLHQFLD\VHJXULGDGGHDHURSXHUWRV PROYECTO PARA LA SECCIÓN 5.1 Salto en bungee por Kevin Cooper 6DOWRHQEXQJHHGHVGHXQSXHQWH Puente x = −100 Bungee 100 pies 174 pies x=0 x = 74 Agua FIGURA 1 &RQ¿JXUDFLyQ del bungee 6XSRQJDTXHQRWLHQHVHQWLGRFRP~Q(VWiHQXQSXHQWHVREUHHOFDxyQGHOUtR0DODG\GHVHD VDOWDUGHOSXHQWH1RWLHQHQLQJ~QGHVHRGHVXLFLGDUVHDOFRQWUDULRSLHQVDDPDUUDUVXVSLHVDOD FXHUGDGHOEXQJHHSDUDVXPHUJLUVHFRQJUDFLDHQHOYDFtR\OXHJRVHUMDODGRKDFLDDWUiVVXDYHPHQWHSRUODFXHUGDDQWHVGHOOHJDUDOUtRTXHHVWiSLHVPiVDEDMR+DWUDtGRYDULDVFXHUGDV GLIHUHQWHVSDUDDPDUUDUVXVSLHVLQFOX\HQGRYDULDVFXHUGDVHVWiQGDUXQDFXHUGDSDUDHVFDODU \XQFDEOHGHDFHUR7LHQHTXHHOHJLUODULJLGH]\ODORQJLWXGGHODFXHUGDSDUDHYLWDUXQGHVDJUDGDEOHDWHUUL]DMHLQHVSHUDGRHQHODJXD3HURHVWRQRORHVSDQWD£SRUTXHVDEHPDWHPiWLFDV &DGDXQDGHODVFXHUGDVTXHKDWUDtGRWLHQHOSLHVGHODUJRFXDQGRFXHOJDGHOSXHQWH /ODPHDODSRVLFLyQHQODSDUWHLQIHULRUGHODFXHUGD\PLGDODSRVLFLyQGHORVSLHVSRUGHEDMR GHHVD³ORQJLWXGQDWXUDO´FRPRx t GRQGHxDXPHQWDFRQIRUPHGHVFLHQGH\HVXQDIXQFLyQGHO tiempo t9HDOD¿JXUD(QWRQFHVDOWLHPSRTXHVDOWDx   PLHQWUDVTXHVLVXFXHUSR GHSLHV SHJDSULPHURFRQODFDEH]DHQHODJXDHQHVHPRPHQWRx t   $GYLHUWDTXHODGLVWDQFLDDXPHQWDFRQIRUPHFDH\VXYHORFLGDGHVQHJDWLYDFXDQGRFDH \SRVLWLYDFXDQGRYXHOYH KDFLDDUULED 2EVHUYHWDPELpQTXHSODQHDDYHQWDUVHGHWDOIRUPD TXHVXFDEH]DHVWDUiVHLVSLHVSRUGHEDMRGHOH[WUHPRGHODFXHUGDFXDQGRVHGHWHQJD 8VWHGVDEHTXHODDFHOHUDFLyQGHELGDDODJUDYHGDGHVXQDFRQVWDQWHOODPDGDgSRUOR TXHODIXHU]DTXHMDODVXFXHUSRKDFLDDEDMRHVmg6DEHTXHDOVDOWDUGHOSXHQWHODUHVLVWHQFLD GHODLUHDXPHQWDUiSURSRUFLRQDOPHQWHDVXYHORFLGDGSURSRUFLRQDQGRXQDIXHU]DHQVHQWLGR FRQWUDULRDVXPRYLPLHQWRGHXQRVȕYGRQGHȕHVXQDFRQVWDQWH\vHVVXYHORFLGDG3RU~OWLPRVDEHTXHODOH\GH+RRNHTXHGHVFULEHODDFFLyQGHORVUHVRUWHVGLFHTXHODFXHUGDHYHQWXDOPHQWHHMHUFHUiVREUHXVWHGXQDIXHU]DSURSRUFLRQDODVXGLVWDQFLDPiVDOOiGHVXORQJLWXG QDWXUDO3RUORWDQWRXVWHGVDEHTXHODIXHU]DGHODFXHUGDTXHORVDOYDGHODGHVWUXFFLyQVH SXHGHH[SUHVDUFRPR 0 x 0 b(x) kx x 0 (OQ~PHURk se llama constante elástica\HVGRQGHLQÀX\HODULJLGH]GHODFXHUGDTXHVHXWLOL]DHQODHFXDFLyQ3RUHMHPSORVLXVWHGXWLOL]DHOFDEOHGHDFHURHQWRQFHVkVHUtDPX\JUDQGH GDQGRXQDWUHPHQGDIXHU]DGHIUHQDGRPX\UHSHQWLQDPHQWHFRQIRUPHSDVHGHODORQJLWXG QDWXUDOGHOFDEOH(VWRSRGUtDSURGXFLUPROHVWLDVXQDOHVLyQRLQFOXVRXQSUHPLR³'DUZLQ´ /RTXHKD\TXHKDFHUHVHOHJLUHOFDEOHFRQXQYDORUGHkVX¿FLHQWHPHQWHJUDQGHFRPRSDUD TXHVHGHWHQJDMXVWRDUULEDRVRODPHQWHUR]DQGRHODJXDSHURQRGHPDVLDGRSURQWR(QFRQVHFXHQFLDOHLQWHUHVDHQFRQWUDUODGLVWDQFLDTXHFDHSRUGHEDMRGHODORQJLWXGQDWXUDOGHOFDEOH HQIXQFLyQGHODFRQVWDQWHHOiVWLFD3DUDHOORGHEHUHVROYHUODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHKHPRV GHGXFLGRFRQODVSDODEUDVDQWHULRUHV/DIXHU]DP[࣠HQVXFXHUSRHVWiGDGDSRU mx mg + b(x) - E x $TXtmgHVVXSHVROLEUDV\xHVODUD]yQGHFDPELRGHVXSRVLFLyQGHEDMRGHOHTXLOLEULR FRQUHVSHFWRDOWLHPSRHVGHFLUVXYHORFLGDG/DFRQVWDQWHȕSDUDODUHVLVWHQFLDGHODLUHGHSHQGHGHPXFKDVFRVDVHQWUHHOODVGHVLXVDVXVSDQGH[URVDTXHOHDSULHWDODSLHORVXVVKRUWVGH SDWLQDGRU\FDPLVHWDXXLVDEHTXHHOYDORUDOPRPHQWRGHODSUXHEDHVDSUR[LPDGDPHQWH eVWDHVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOQROLQHDOSHURGHQWURKD\GRVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV OLQHDOHVOXFKDQGRSRUVDOLU9DPRVDWUDEDMDUFRQHVWDVHFXDFLRQHVGHIRUPDPiVDPSOLDHQ FDStWXORVSRVWHULRUHVSHUR\DDSUHQGLPRVFyPRUHVROYHUHVWDVHFXDFLRQHV&XDQGRx OD HFXDFLyQHVP[࣠  mg  ȕ[PLHQWUDVTXHGHVSXpVGHSDVDUODORQJLWXGQDWXUDOGHOFRUGyQ es P[࣠  mg  kx  ȕ[/DVUHVROYHUHPRVSRUVHSDUDGR\OXHJRMXQWDUHPRVODVVROXFLRQHV FXDQGRx t  P-11 P-12 l PROYECTO 5.1 60 [ (W) 40 20 _100 _80 _60 _40 [(W) _20 0 20 _20 _40 FIGURA 2 8QHMHPSORGH JUi¿FDGHx t FRQWUDx’ t SDUDXQ salto de bungee 40 SALTO EN BUNGEE (QHOSUREOHPDHQFRQWUDPRVXQDH[SUHVLyQSDUDVXSRVLFLyQtVHJXQGRVGHVSXpVGH TXHVDOWyGHOSXHQWHDQWHVGHTXHODFXHUGDHPSLHFHDMDODUORKDFLDDUULED2EVHUYHTXH QRGHSHQGHGHOYDORUGHkSRUTXHODFXHUGDHVWiFD\HQGRFRQXVWHGFXDQGRHVWiDUULEDGH x t &XDQGRSDVDODORQJLWXGQDWXUDOGHODFXHUGDGHOEXQJHHHQWRQFHVHVFXDQGRpVWD FRPLHQ]DDMDODUSRUORTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOFDPELD6HDTXHt denote la primera YH]TXHORKDFHHQx t \TXHvGHQRWHVXYHORFLGDGHQHVHWLHPSR$VtSRGHPRVGHVFULELUHOPRYLPLHQWRSDUDx t  XWLOL]DQGRHOSUREOHPD[࣠  g  kx  ȕ[x t  x t  v(QOD¿JXUDVHVHHQFXHQWUDODLOXVWUDFLyQGHXQDVROXFLyQDHVWHSUREOHPDHQ ODIDVHHVSDFLDO (VWRSURGXFLUiXQDH[SUHVLyQSDUDVXSRVLFLyQFXDQGRHOFDEOHHVWiMDOiQGROR7HQHPRV TXHKDFHUHVWRSDUDHQFRQWUDUHOWLHPSRtHOPRPHQWRHQTXHSDUDGHEDMDU&XDQGRGHMDGH EDMDUVXYHORFLGDGHVFHURHVGHFLUx t  &RPRSXHGHYHUVDEHUXQSRFRGHPDWHPiWLFDVHVDOJRSHOLJURVR/HUHFRUGDPRVTXHOD VXSRVLFLyQGHTXHODIXHU]DGHDUUDVWUHGHELGDDODUHVLVWHQFLDGHODLUHHVOLQHDOVyORVHDSOLFDD YHORFLGDGHVEDMDV(QHOLQVWDQWHHQTXHODFDLGDOROOHYDPiVDOOiGHODORQJLWXGQDWXUDOGHOD FXHUGDHVWDDSUR[LPDFLyQVHFRQYLHUWHHQXQDLOXVLyQSRUORTXHVXUHFRUULGRUHDOSXHGHYDULDU $GHPiVORVUHVRUWHVQRVHFRPSRUWDQOLQHDOPHQWHDJUDQGHVRVFLODFLRQHVSRUORTXHODOH\GH +RRNHHVWDPELpQVyORXQDDSUR[LPDFLyQ1RFRQItHVXYLGDDXQDDSUR[LPDFLyQKHFKDSRU XQKRPEUHTXHIDOOHFLyKDFHDxRV'HMHHOVDOWRHQEXQJHHSDUDORVSURIHVLRQDOHV PROBLEMAS RELACIONADOS 1.  5HVXHOYDODHFXDFLyQm[࣠  ȕ[  mg para x t SDUDHOFDVRHQTXHVHEDMDGHOSXHQWHVLQ VDOWDU%DMDUVHVLJQL¿FDx   x  3XHGHXVDUmg ȕ \g  2.  8WLOLFHODVROXFLyQGHOSUREOHPDSDUDFDOFXODUHOWLHPSRtHQFDtGDOLEUH HOWLHPSRTXH WDUGDHQOOHJDUODORQJLWXGQDWXUDOGHOFDEOHSLHV  3.  &DOFXOHODGHULYDGDGHODVROXFLyQHQFRQWUDGDHQHOSUREOHPD\HYDO~HHOWLHPSRTXH HQFRQWUyHQHOSUREOHPD/ODPHDOUHVXOWDGRv+DKDOODGRVXYHORFLGDGKDFLDDEDMR FXDQGRSDVDSRUHOSXQWRGRQGHHOFDEOHHPSLH]DDMDODU 4.  5HVXHOYDHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVm[࣠  ȕ[ kx  mgx t x t  v 3RUDKRUDSXHGHXWLOL]DUHOYDORUk SHURWDUGHRWHPSUDQRWHQGUiTXHVXVWLWXLUORV YDORUHVUHDOHVGHODVFXHUGDVTXHWUDMR/DVROXFLyQx t UHSUHVHQWDODSRVLFLyQGHVXVSLHV SRUGHEDMRGHODORQJLWXGQDWXUDOGHODFXHUGDGHVSXpVGHTXHpVWDHPSLH]DDMDODUOR 5.  &DOFXOHODGHULYDGDGHODH[SUHVLyQTXHHQFRQWUyHQHOSUREOHPD\HQFXHQWUHHOYDORU tWDOTXHVHDFHUR(VWHWLHPSRHVt7HQJDFXLGDGRFRQTXHHOWLHPSRTXHFDOFXOHVHD PD\RUTXHt£KD\YDULRVPRPHQWRVHQTXHVXPRYLPLHQWRVHGHWLHQHHQODSDUWHVXSHULRU HLQIHULRUGHODVFDtGDV'HVSXpVGHHQFRQWUDUtVXVWLWX\DODVROXFLyQTXHHQFRQWUyHQHO SUREOHPDSDUDHQFRQWUDUODSRVLFLyQPiVEDMDDOFDQ]DGD 6.  +D WUDtGR XQD FXHUGD VXDYH SDUD HO EXQJHH FRQ k   XQD FXHUGD PiV UtJLGD FRQ k \XQDFXHUGDSDUDHVFDODUSDUDODFXDOk ¢&XiOVLODKXELHUDGHpVWDVVH SXHGHXVDUFRQVHJXULGDGHQODVFRQGLFLRQHVGDGDV" 7.  7LHQHXQDFXHUGDGHEXQJHHSDUDODTXHQRKDGHWHUPLQDGRODFRQVWDQWHHOiVWLFD3DUD KDFHUORVXVSHQGHXQSHVRGHOLEUDVGHVGHHOH[WUHPRGHODFXHUGDGHSLHVFDXVDQGRTXHODFXHUGDVHHVWLUHSLHV¢&XiOHVHOYDORUGHkSDUDHVWDFXHUGD"3XHGH GHVSUHFLDUODPDVDGHODFXHUGD ACERCA DEL AUTOR Kevin Cooper,GRFWRUSRUOD8QLYHUVLGDG(VWDWDOGH&RORUDGRHVHO&RRUGLQDGRUGH,QIRUPiWLFDSDUD0DWHPiWLFDVHQOD8QLYHUVLGDG(VWDWDOGH:DVKLQJWRQHQ3XOOPDQ:DVKLQJWRQ6X LQWHUpVSULQFLSDOHVHODQiOLVLVQXPpULFR\KDHVFULWRDUWtFXORV\XQOLEURGHWH[WRHQHVDiUHD (O'U&RRSHUWDPELpQGHGLFDEDVWDQWHWLHPSRDODFUHDFLyQGHFRPSRQHQWHVGHVRIWZDUH FRPRDynaSysXQSURJUDPDPDWHPiWLFRSDUDDQDOL]DUVLVWHPDVGLQiPLFRVQXPpULFDPHQWH PROYECTO PARA LA SECCIÓN 5.3 El colapso del puente colgante de Tacoma Narrows FIGURA 1 Colapso del SXHQWHGH7DFRPD1DUURZV 3XHQWH7DFRPD1DUURZV UHFRQVWUXLGR  \HO QXHYRSXHQWHSDUDOHOR  por Gilbert N. Lewis (Q HO YHUDQR GH  VH WHUPLQy HO SXHQWH FROJDQWH GH7DFRPD 1DUURZV HQ HO HVWDGR GH :DVKLQJWRQ\VHDEULyDOWUi¿FR&DVLGHLQPHGLDWRORVREVHUYDGRUHVDGYLUWLHURQTXHHOYLHQWR TXHVRSODEDDWUDYpVGHODFDUUHWHUDDYHFHVSRGtDRFDVLRQDUJUDQGHVYLEUDFLRQHVYHUWLFDOHV HQODFDSDGHDVIDOWR(OSXHQWHVHFRQYLUWLyHQXQDDWUDFFLyQWXUtVWLFDODJHQWHLEDDYHUOR \WDOYH]DSDVHDUHQHOSXHQWHRQGXODQWH)LQDOPHQWHHOGHQRYLHPEUHGHGXUDQWH XQDJUDQWRUPHQWDODVRVFLODFLRQHVDXPHQWDURQPiVTXHFXDOTXLHUDGHODVTXHVHREVHUYDURQ SUHYLDPHQWH\HOSXHQWHIXHHYDFXDGR3URQWRODVRVFLODFLRQHVYHUWLFDOHVVHFRQYLUWLHURQHQ URWDFLRQDOHV)LQDOPHQWHVHVDFXGLyWRGRHODUFRVHVHSDUySRUODVJUDQGHVYLEUDFLRQHV\HO SXHQWHVHGHUUXPEy/D¿JXUDPXHVWUDXQDLPDJHQGHOSXHQWHGXUDQWHHOFRODSVR9HD>1] y [2@SDUDDQpFGRWDVLQWHUHVDQWHV\DYHFHVKXPRUtVWLFDVDVRFLDGDVFRQHOSXHQWH2KDJDXQD E~VTXHGDHQLQWHUQHWFRQODVSDODEUDVFODYH³GHVDVWUHGHOSXHQWHGH7DFRPD´SDUDHQFRQWUDU\ YHUDOJXQRVYLGHRVLQWHUHVDQWHVGHOFRODSVRGHOSXHQWH 6HOHSLGLyDOQRWDEOHLQJHQLHUR9RQ.iUPiQTXHGHWHUPLQDUDODFDXVDGHOFRODSVReO \VXVFRODERUDGRUHV>3@D¿UPDURQTXHHOYLHQWRVRSODSHUSHQGLFXODUDWUDYpVGHODFDUUHWHUD VHSDUDGRHQYyUWLFHV UHPROLQRVGHYLHQWR DOWHUQDWLYDPHQWHSRUHQFLPD\SRUGHEDMRGHOD FDSDGHDVIDOWRFRQ¿JXUDQGRXQDIXHU]DYHUWLFDOSHULyGLFDTXHDFW~DVREUHHOSXHQWH)XH HVWDIXHU]DODTXHFDXVyODVRVFLODFLRQHV2WURVDGHPiVKLFLHURQODKLSyWHVLVGHTXHODIUHFXHQFLDGHHVWDIXQFLyQGHIRU]DPLHQWRHVH[DFWDPHQWHLJXDODODIUHFXHQFLDQDWXUDOGHOSXHQWHORTXHFRQGXFLUtDDRVFLODFLRQHVJUDQGHV\UHVRQDQFLDVKDVWDVXGHVWUXFFLyQ'XUDQWH FDVLDxRVVHFXOSyDODUHVRQDQFLDFRPRODFDXVDGHOFRODSVRGHOSXHQWHDXQTXHHOJUXSR GH9RQ.iUPiQORQHJyD¿UPDQGRTXH³HVPX\LPSUREDEOHTXHODUHVRQDQFLDFRQDOWHUQDQFLDGHYyUWLFHVGHVHPSHxHXQSDSHOLPSRUWDQWHHQODVRVFLODFLRQHVGHSXHQWHVFROJDQWHV´>3@ &RPRSRGHPRVYHUHQODHFXDFLyQ  HQODVHFFLyQODUHVRQDQFLDHVXQIHQyPHQR OLQHDO$GHPiV SDUD TXH VH SUHVHQWH UHVRQDQFLD GHEH KDEHU XQD FRLQFLGHQFLD H[DFWD HQWUHODIUHFXHQFLDGHODIXQFLyQGHIRU]DPLHQWR\ODIUHFXHQFLDQDWXUDOGHOSXHQWH7DPELpQ HOVLVWHPDGHEHHVWDUDEVROXWDPHQWHVLQDPRUWLJXDFLyQ1RGHEHVRUSUHQGHUHQWRQFHVTXH HVDUHVRQDQFLDQRIXHUDODFXOSDEOHGHOFRODSVR 6LODUHVRQDQFLDQRFDXVyHOFRODSVRGHOSXHQWH¢TXpORRFDVLRQy"8QDLQYHVWLJDFLyQ UHFLHQWHRIUHFHXQDH[SOLFDFLyQDOWHUQDWLYDSDUDHOFRODSVRGHOSXHQWHGH7DFRPD1DUURZV /D]HU\0F.HQQD>4@D¿UPDQTXHORVHIHFWRVQROLQHDOHV\ODUHVRQDQFLDQROLQHDOIXHURQORV SULQFLSDOHVIDFWRUHVTXHSURYRFDURQODVJUDQGHVRVFLODFLRQHVGHOSXHQWH YHD>5@XQUHVXPHQ GHODUWtFXOR /DWHRUtDLPSOLFDHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVSDUFLDOHV6LQHPEDUJRVHSXHGH FRQVWUXLUXQPRGHORVLPSOL¿FDGRTXHFRQGXFHDXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDQROLQHDO (OGHVDUUROORGHOPRGHORTXHVHSUHVHQWDDFRQWLQXDFLyQQRHVH[DFWDPHQWHLJXDODOGH /D]HU\0F.HQQDSHURGDFRPRUHVXOWDGRXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVLPLODU(VWHHMHPSOR PXHVWUDRWUDIRUPDHQODTXHVHSXHGHQDXPHQWDUODVDPSOLWXGHVGHODRVFLODFLyQ &RQVLGHUHXQVRORFDEOHYHUWLFDOGHOSXHQWHFROJDQWH6XSRQHPRVTXHpVWHDFW~DFRPR XQUHVRUWHSHURFRQFDUDFWHUtVWLFDVGLIHUHQWHVHQWHQVLyQ\FRPSUHVLyQ\VLQDPRUWLJXDFLyQ &XDQGR VH HVWLUD HO FDEOH DFW~D FRPR XQ UHVRUWH FRQ OD FRQVWDQWH GH +RRNH b PLHQWUDV TXHFXDQGRVHFRPSULPHDFW~DFRPRXQUHVRUWHFRQXQDFRQVWDQWHGH+RRNHGLIHUHQWHa 6XSRQHPRVTXHHOFDEOHHQFRPSUHVLyQHMHUFHXQDIXHU]DPiVSHTXHxDHQODFDUUHWHUDTXH FXDQGRVHHVWLUDODPLVPDGLVWDQFLDGHIRUPDTXH a  b/DGHÀH[LyQYHUWLFDO GLUHFFLyQ SRVLWLYDKDFLDDEDMR GHODSDUWHGHODFDSDGHDVIDOWRXQLGDDHVWHFDEOHVHGHQRWDFRQy t  donde t UHSUHVHQWDHOWLHPSR\y UHSUHVHQWDODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRGHODFDUUHWHUD &RPRODFDSDGHDVIDOWRRVFLODEDMRODLQÀXHQFLDGHXQDIXHU]DYHUWLFDODSOLFDGD GHELGRD ORVYyUWLFHVGH9RQ.iUPiQ HOFDEOHSURSRUFLRQDXQDIXHU]DUHVWDXUDGRUDDVFHQGHQWHLJXDO P-13 P-14 l PROYECTO 5.3 EL COLAPSO DEL PUENTE COLGANTE DE TACOMA NARROWS a byFXDQGRy \XQDIXHU]DUHVWDXUDGRUDGHVFHQGHQWHLJXDODayFXDQGRy (VWHFDPELRHQODFRQVWDQWHGHODOH\GH+RRNHHQy SURSRUFLRQDODQROLQHDOLGDGGHODHFXDFLyQ GLIHUHQFLDO3RUORTXHGHEHPRVFRQVLGHUDUODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHGXFLGDGHODVHJXQGD OH\GHPRYLPLHQWRGH1HZWRQ m\࣠  f y  g t donde f y HVODIXQFLyQQROLQHDOGDGDSRU by si y ay si y f(y) 0 , 0 g t  HV OD IXHU]D DSOLFDGD \ m HV OD PDVD GH OD VHFFLyQ GH OD FDUUHWHUD 2EVHUYH TXH OD HFXDFLyQGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHQFXDOTXLHULQWHUYDORHQHOFXDOyQRFDPELDGHVLJQR $KRUDYHDPRVORTXHSDUHFHUtDXQDWtSLFDVROXFLyQGHHVWHSUREOHPD6XSRQGUHPRV TXHm NJb 1Pa O1P\g t VHQ t 12EVHUYHTXHODIUHFXHQFLDGHOD IXQFLyQGHIRU]DPLHQWRHVPiVJUDQGHTXHODVIUHFXHQFLDVQDWXUDOHVGHOFDEOHHQWHQVLyQ \FRPSUHVLyQSRUORTXHQRHVSHUDPRVTXHVHSUHVHQWHUHVRQDQFLD7DPELpQDVLJQDPRV ORVVLJXLHQWHVYDORUHVLQLFLDOHVDy: y  y  GHPRGRTXHODFDSDGHDVIDOWR HPSLH]DHQODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRFRQXQDSHTXHxDYHORFLGDGKDFLDDEDMR 'HELGRDODYHORFLGDGLQLFLDOKDFLDDEDMR\ODIXHU]DSRVLWLYDDSOLFDGDy t LQLFLDOPHQWH DXPHQWDUi \ VHUi SRVLWLYD 3RU OR WDQWR SULPHUR UHVROYHPRV HVWH SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV   \࣠ y VHQ t   y    y    /DVROXFLyQGHODHFXDFLyQ  GHDFXHUGRFRQHOWHRUHPDHVODVXPDGHODVROXFLyQFRPSOHPHQWDULDyc t \GHODVROXFLyQSDUWLFXODUyp t (VIiFLOYHUTXHyc t  cFRV t  cVHQ t  HFXDFLyQ  VHFFLyQ \yp t  冫VHQ t  WDEODVHFFLyQ 3RUORWDQWR 1 sen(4t)  y(t) c1cos(2t) c2 sen(2t  12 /DVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVGDQ y(0) 0 c1 1 y (0) 0.01 2c2 3 SRUORTXHc  O冫 冫3RUORWDQWR  VHFRQYLHUWHHQ 1 1 1 y(t) 0.01 sen(2t) sen(4t) 2 3 12 sen(2t) 1 0.01 2 1 3 1 cos(2t) 6   $GYHUWLPRVTXHHOSULPHUYDORUSRVLWLYRGHtSDUDTXHy t VHDLJXDODFHURRWUDYH]HVt  ʌ冫 (QHVHPRPHQWRy ʌ冫  冫3RUORWDQWRODHFXDFLyQ  HVYiOLGDHQ>ʌ冫@ 'HVSXpVGHt  ʌ冫yVHWRUQDQHJDWLYDDVtTXHGHEHPRVUHVROYHUHOQXHYRSUREOHPD y y sen(4t),  y S 2 0,  y 3URFHGLHQGRFRPRDQWHVODVROXFLyQGH  HV 2 y(t) 0.01 cost 5 cos t 0.01 2 5 S 2 0.01 2 3   1 sen (4t) 15 4 sen t cos(2t)  15  (OVLJXLHQWHYDORUSRVLWLYRGHtGHVSXpVGHt  ʌ冫SDUDHOFXDOy t HVt  3ʌ冫HQHVWH punto y ʌ冫  冫SDUDODTXHODHFXDFLyQ  HVYiOLGDHQ>ʌ冫ʌ冫@ (QHVWHSXQWRODVROXFLyQKDSDVDGRSRUXQFLFORHQHOLQWHUYDORGHWLHPSR>ʌ冫@'XUDQWHHVWHFLFORODVHFFLyQGHODFDUUHWHUDFRPHQ]yHQHTXLOLEULRFRQXQDYHORFLGDGSRVLWLYDVH YROYLySRVLWLYDUHJUHVyDODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRFRQYHORFLGDGQHJDWLYDVHKL]RQHJDWLYD\ ¿QDOPHQWHYROYLyDODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRFRQXQDYHORFLGDGSRVLWLYD(VWHSDWUyQFRQWLQ~D PROYECTO 5.3 EL COLAPSO DEL PUENTE COLGANTE DE TACOMA NARROWS l P-15 LQGH¿QLGDPHQWHFRQFDGDFLFORGHʌ冫XQLGDGHVGHWLHPSR/DVROXFLyQSDUDHOVLJXLHQWH FLFORHV 1 7 1 y(t) sen(2t) 0.01 cos(2t)  en  [3S 冫2, 2S ] 2 15 6   8 4 sen t 0.01 cos t cos(2t)  en  [2S , 3S ] y(t) 15 15 (VLQVWUXFWLYRREVHUYDUTXHDOSULQFLSLRGHOVHJXQGRFLFORODYHORFLGDGHV  冫  PLHQWUDV TXH DO SULQFLSLR GHO WHUFHU FLFOR HV   冫  'H KHFKR OD YHORFLGDG DO FRPLHQ]RGHFDGDFLFORHV冫PD\RUTXHDOSULQFLSLRGHOFLFORDQWHULRU1RHVGHH[WUDxDU HQWRQFHVTXHODDPSOLWXGGHODVRVFLODFLRQHVVHLQFUHPHQWDUDFRQHOWLHPSRGDGRTXHOD DPSOLWXGGH XQWpUPLQRHQ ODVROXFLyQGXUDQWHFXDOTXLHUFLFORHVWiGLUHFWDPHQWHUHODFLRQDGDFRQODYHORFLGDGDOSULQFLSLRGHOFLFOR9HDOD¿JXUDSDUDXQDJUi¿FDGHODfunción GHGHÀH[LyQHQHOLQWHUYDOR>ʌ@$GYLHUWDTXHODGHÀH[LyQPi[LPD>ʌ冫ʌ] es mayor TXHODGHVYLDFLyQPi[LPDHQ>ʌ冫@PLHQWUDVTXHODGHÀH[LyQPi[LPDHQ>ʌʌ] es más JUDQGHTXHODGHÀH[LyQPi[LPDHQ>ʌ冫ʌ冫@ 'HEHUHFRUGDUTXHHOPRGHORTXHDTXtVHSUHVHQWDHVXQPRGHORXQLGLPHQVLRQDOPX\ VLPSOL¿FDGR TXH QR FRQVLGHUD WRGDV ODV LQWHUDFFLRQHV FRPSOHMDV GH ORV SXHQWHV UHDOHV (O OHFWRUSXHGHWRPDUFRPRUHIHUHQFLDHOUHFXHQWRGH/D]HU\0F.HQQD>4] para un modelo más FRPSOHWR0iVUHFLHQWHPHQWH0F.HQQD>6@KDSHUIHFFLRQDGRHVHPRGHORSDUDSURSRUFLRQDU XQSXQWRGHYLVWDGLIHUHQWHGHODWRUVLyQDODVRVFLODFLRQHVREVHUYDGDVHQHOSXHQWHGH7DFRPD &RQWLQ~DQODVLQYHVWLJDFLRQHVDFHUFDGHOFRPSRUWDPLHQWRGHSXHQWHVVRPHWLGRVDIXHU]DVH[WHUQDV(VSUREDEOHTXHORVPRGHORVVHUH¿QDUiQFRQHOWLHPSR\VHJHQHUDUiQQXHYDV LGHDVVREUHODLQYHVWLJDFLyQ6LQHPEDUJRGHEHTXHGDUFODURHQHVWHSXQWRTXHODVJUDQGHV RVFLODFLRQHVTXHFDXVDURQODGHVWUXFFLyQGHOSXHQWHFROJDQWHGH7DFRPD1DUURZVQRHUDQ HOUHVXOWDGRGHODUHVRQDQFLD y 0.2 0.0 2 4 6 8 t 0.2 0.4 0.6 FIGURA 2 *Ui¿FDGHODIXQFLyQGHGHÀH[LyQy t  PROBLEMAS RELACIONADOS 1.  5HVXHOYDORVVLJXLHQWHVSUREOHPDV\WUDFHODVJUi¿FDVGHODVVROXFLRQHVSDUD t ʌ 2EVHUYHTXHODUHVRQDQFLDRFXUUHHQHOSULPHUSUREOHPDSHURQRHQHOVHJXQGR a) y y cos t, y(0) 0, y (0) 0. y cos(2t), y(0) 0, y (0) 0. b) y 2.  5HVXHOYDHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV\࣠  f y VHQ t  y  y  GRQGH by si y 0 y ay si y 0 a) b a  FRPSDUHVXUHVSXHVWDFRQHOHMHPSORHQHVWHSUR\HFWR b) b a  c) b a  2EVHUYHTXHHQHOLQFLVRD ODFRQGLFLyQb a QRVHVDWLVIDFH7UDFHODVJUi¿FDVGH ODVVROXFLRQHV¢4XpSDVDHQFDGDFDVRFRQIRUPH tDXPHQWD"¢4XpSRGUtDSDVDUHQFDGD f(y) P-16 l PROYECTO 5.3 EL COLAPSO DEL PUENTE COLGANTE DE TACOMA NARROWS FDVRVLODVHJXQGDFRQGLFLyQLQLFLDOIXHUDUHHPSOD]DGDFRQy  "¢3XHGHKDFHU FRQFOXVLRQHVVLPLODUHVDODVGHOWH[WRFRQVLGHUDQGRODVROXFLyQDODUJRSOD]R" 3.  ¢&XiOVHUtDHOHIHFWRGHDJUHJDUDPRUWLJXDPLHQWR cyGRQGHc  DOVLVWHPD"¢&yPR SRGUtDXQLQJHQLHURGHGLVHxRGHSXHQWHVLQFRUSRUDUPiVDPRUWLJXDPLHQWRDOSXHQWH" 5HVXHOYDHOSUREOHPDy࣠  cy  f y VHQ t y  y  OGRQGH f(y) 4y si y y si y 0 0 y a) c  b) c  c) c  REFERENCIAS 1.  /HZLV*1³7DFRPD1DUURZV6XVSHQVLRQ%ULGJH&ROODSVH´HQ'HQQLV*=LOOA First Course in Differential Equations%RVWRQ3:6.HQWSS 2.  %UDXQ0Differential Equations and Their ApplicationsSS1XHYD<RUN6SULQJHU  3.  $PPDQ2+7YRQ.iUPiQ\*%:RRGUXIIThe Failure of the Tacoma Narrows Bridge :DVKLQJWRQ'&)HGHUDO:RUNV$JHQF\ 4.  /D]HU$&\3-0F.HQQD³/DUJHDPSOLWXGHSHULRGLFRVFLOODWLRQVLQVXVSHQVLRQEULGJHV6RPH QHZFRQQHFWLRQVZLWKQRQOLQHDUDQDO\VLV´HQSIAM ReviewGLFGHSS 5.  3HWHUVRQ,³5RFNDQGUROOEULGJH´HQScience NewsSS 6.  0F.HQQD 3 - ³/DUJH WRUVLRQDO RVFLOODWLRQV LQ VXVSHQVLRQ EULGJHV UHYLVLWHG )L[LQJ DQ ROG DSSUR[LPDWLRQ´HQAmerican Mathematical MonthlySS ACERCA DEL AUTOR El Dr. Gilbert N. LewisHVSURIHVRUHPpULWRHQOD8QLYHUVLGDG7HFQROyJLFDGH0LFKLJDQ GRQGHKDHQVHxDGR\UHDOL]DGRLQYHVWLJDFLRQHVHQPDWHPiWLFDVDSOLFDGDV\HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV GXUDQWH  DxRV 5HFLELy VX OLFHQFLDWXUD GH OD 8QLYHUVLGDG %URZQ \ VXV JUDGRVGHPDHVWUtD\GRFWRUDGRGHOD8QLYHUVLGDGGH0LOZDXNHH:LVFRQVLQ6XVSDVDWLHPSRVLQFOX\HQYLDMDUFRPHU\FDWDUYLQRVSHVFDU\REVHUYDUDYHVDFWLYLGDGHVTXH HVSHUDSRGHUVHJXLUUHDOL]DQGRFXDQGRVHUHWLUH PROYECTO PARA LA SECCIÓN 7.3 Asesinato en el restaurante Mayfair por Tom LoFaro (OUHVWDXUDQWH0D\IDLUHQ )LODGHO¿D $PDQHFHHQHOUHVWDXUDQWH0D\IDLUODOX]iPEDUGHODVIDURODVPH]FODGDFRQHOÀDVKURMRYLROHQWRGHODVSDWUXOODVGHSROLFtDFRPLHQ]DDGHVYDQHFHUVHDOOHYDQWDUVHXQVRODQDUDQMDGR/D GHWHFWLYH'DSKQH0DUORZVDOHGHOUHVWDXUDQWHVRVWHQLHQGRXQDKXPHDQWHWD]DGHFDIpFDOLHQWH HQXQDPDQR\XQUHVXPHQGHODVSUXHEDVGHODHVFHQDGHOFULPHQHQODRWUD7RPDDVLHQWRHQ ODGHIHQVDGHODQWHUDGHVXSDWUXOOD\FRPLHQ]DDH[DPLQDUODVSUXHEDV $ODVDPVHHQFRQWUyHOFXHUSRGH-RH':RRGHQHOSDVLOORTXHYDKDFLDHO UHIULJHUDGRU HQ HO VyWDQR GH OD FDIHWHUtD$ ODV  OOHJy HO IRUHQVH \ GHWHUPLQy TXH OD WHPSHUDWXUDJHQHUDOGHOFDGiYHUHUDGHJUDGRV)DKUHQKHLW7UHLQWDPLQXWRVGHVSXpVHO IRUHQVHPLGLyGHQXHYRODWHPSHUDWXUDFRUSRUDO(VWDYH]ODOHFWXUDHUDGHJUDGRV)DKUHQKHLW(OWHUPRVWDWRHQHOLQWHULRUGHOUHIULJHUDGRULQGLFDEDJUDGRV)DKUHQKHLW 'DSKQHVDFDXQEORFGHQRWDVDPDULOOR\XQDFDOFXODGRUDPDQFKDGDFRQFDWVXSGHODVLHQWRGHODQWHURGHVXSDWUXOOD\FRPLHQ]DDFDOFXODU6DEHTXHODOH\GHHQIULDPLHQWRGH1HZWRQ GLFHTXHODYHORFLGDGDODTXHXQREMHWRVHHQIUtDHVSURSRUFLRQDODODGLIHUHQFLDHQWUHHQOD temperatura TGHOFXHUSRDOWLHPSRt y la temperatura ambiente TmGHOHQWRUQRTXHURGHDHO FXHUSR$QRWDODVLJXLHQWHHFXDFLyQ dT k(T Tm),  t 0   dt donde kHVXQDFRQVWDQWHGHODSURSRUFLRQDOLGDGT y TmVHPLGHQHQJUDGRV)DKUHQKHLW\t HVHOWLHPSRPHGLGRHQKRUDV<DTXH'DSKQHTXLHUHLQYHVWLJDUHOSDVDGRXWLOL]DQGRYDORUHV SRVLWLYRVGHWLHPSRGHFLGHKDFHUFRUUHVSRQGHUDt FRQODVDP\DVtVXFHVLYDPHQWHSRUHMHPSORt VRQODVDP'HVSXpVGHXQSDUGHDQRWDFLRQHVHQHOEORF DPDULOOR'DSKQHVHGDFXHQWDGHTXHFRQHVWDFRQYHQFLyQGHOWLHPSRODFRQVWDQWHk en la HFXDFLyQ  VHUipositiva(VFULEHXQUHFRUGDWRULRSDUDVtPLVPDGHTXHODVDPVRQ ahora las t  冫 &RQIRUPHHODPDQHFHUIUHVFR\WUDQTXLORGDSDVRDODPDxDQDK~PHGDGHYHUDQR'DSKQHFRPLHQ]DDVXGDU\SUHJXQWDHQYR]DOWD ²3HUR¢TXpSDVDVLHOFDGiYHUIXHWUDVODGDGRGHQWURGHOUHIULJHUDGRUHQXQGpELOLQWHQWR SRURFXOWDUHOFXHUSR"¢&yPRFDPELDHVWRPLFiOFXOR" (QWUD HQ HO UHVWDXUDQWH \ KDOOD HO JUDVRVR WHUPRVWDWR HQFLPD GH OD FDMD UHJLVWUDGRUD YDFtD/HHJUDGRV)DKUHQKHLW ²3HUR¢FXiQGRVHWUDVODGyHOFXHUSR"²SUHJXQWD'DSKQH 'HFLGHGHMDUODUHVSXHVWDSHQGLHQWHSRUDKRUDVLPSOHPHQWHKDFHTXHhGHQRWHHOQ~PHURGHKRUDVTXHHOFXHUSRKDHVWDGRHQHOUHIULJHUDGRUDQWHVGHODVDP3RUHMHPSORVL h HQWRQFHVHOFXHUSRIXHWUDVODGDGRDPHGLDQRFKH 'DSKQHYROWHDXQDSiJLQDGHVXEORF\FRPLHQ]DDFDOFXODU&RQIRUPHVXFDIpVHHQIUtD UiSLGDPHQWHFRPLHQ]DDKDFHUVXWUDEDMRVHGDFXHQWDTXHODIRUPDGHPRGHODUHOFDPELRGH WHPSHUDWXUDDPELHQWDOFDXVDGRSRUHOWUDVODGRHVFRQODIXQFLyQHVFDOyQXQLWDULRᐁ t (VFULEH Tm(t) 50 20 (t h)   \GHEDMRODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO dT k(T – Tm(t))   dt /DEOXVDGHSROLpVWHUGH'DSKQHPDQFKDGDGHPRVWD]DFRPLHQ]DDJRWHDUVXGRUEDMR HO UHVSODQGRU GHO VRO GH PHGLD PDxDQD 6XGDQGR SRU HO FDORU \ SRU HO HMHUFLFLR PHQWDO DUUDQFDVXSDWUXOOD\VHGLULJHDO&DIp%RRGOHSRURWUDWD]DGHFDIp\XQSODWRUHERVDQWHGH P-17 P-18 l PROYECTO 7.3 ASESINATO EN EL RESTAURANTE MAYFAIR SDVWHOGHFDUQH\KXHYRVIULWRV6HLQVWDODHQHOJDELQHWHGHSLHOVLQWpWLFD(OLQWHQVRDLUH DFRQGLFLRQDGRMXQWRFRQVXEOXVDHPSDSDGDHQVXGRUOHSRQHQODSLHOFRPRFDUQHGHJDOOLQDSRUHOUiSLGRHQIULDPLHQWR(OLQWHQVRIUtRVLUYHFRPRXQUHFRUGDWRULRKRUULSLODQWHGHOD WUDJHGLDTXHDFDEDGHRFXUULUHQHOUHVWDXUDQWH0D\IDLU 0LHQWUDVHVSHUDVXGHVD\XQR'DSKQHWRPDVXEORF\UiSLGDPHQWHUHYLVDVXVFiOFXORV /XHJRFXLGDGRVDPHQWHFRQVWUX\HXQDWDEODTXHUHODFLRQDHOWLHPSRGHUHIULJHUDFLyQhFRQ ODKRUDGHODPXHUWHPLHQWUDVFRPHVXSDVWHOGHFDUQH\VXVKXHYRV $OHMDVXSODWRYDFtR'DSKQHUHFRJHVXWHOpIRQRFHOXODUSDUDKDEODUFRQVXFRPSDxHUD 0DULH'DSKQHSUHJXQWD ²¢+D\DOJ~QVRVSHFKRVR" ²6t²UHVSRQGHHOOD²WHQHPRVWUHV/DSULPHUDHVOD~OWLPDH[HVSRVDGHO6U:RRG XQDEDLODULQDGHQRPEUH7ZLQNOHV)XHYLVWDHQHO0D\IDLUHQWUHODV\ODVSP'LVFXWLy FRQ:RRG ²¢$TXpKRUDVHIXH" ²8Q WHVWLJR GLFH TXH VDOLy D WRGD SULVD XQ SRFR GHVSXpV GH ODV VHLV (O VHJXQGR VRVSHFKRVRHVXQFRUUHGRUGHDSXHVWDVGHOVXUGH)LODGHO¿DTXHOOHYDHOQRPEUHGH6OLP 6OLPHVWXYRDKtDOUHGHGRUGHODVGHODQRFKH\WXYRXQDFRQYHUVDFLyQFXFKLFKHDGDFRQ -RH1DGLHHVFXFKyODFRQYHUVDFLyQSHURORVWHVWLJRVGLFHQTXHPDQRWHDEDQPXFKRTXH 6OLPHVWDEDPROHVWRRDOJRDVt ²¢$OJXLHQORYLRLUVH" ²6t6DOLyHQVLOHQFLRDODV(OWHUFHUVRVSHFKRVRHVHOFRFLQHUR ²¢(OFRFLQHUR" ²6tHOFRFLQHUR'HQRPEUH6KRUW\/DFDMHUDGLFHTXHHVFXFKyD-RH\D6KRUW\GLVFXWLUVREUHODIRUPDFRUUHFWDGHSUHVHQWDUXQSODWRGHHVFDORSDVGHWHUQHUD'LFHTXH6KRUW\ WRPyXQGHVFDQVRLQXVXDOPHQWHODUJRDODVSP6DOLyLQGLJQDGRFXDQGRHOUHVWDXUDQWHFHUUyDODVVXSRQJRTXHHVRH[SOLFDSRUTXpHOOXJDUHUDXQGHVDVWUH ²*UDQWUDEDMRFRPSDxHUD&UHRTXH\DVpFyPROOHYDUHOLQWHUURJDWRULR PROBLEMAS RELACIONADOS 1.  5HVXHOYDODHFXDFLyQ  TXHPRGHODHOHVFHQDULRHQHOTXH-RH:RRGHVDVHVLQDGRHQ HOUHIULJHUDGRU8WLOLFHHVWDVROXFLyQSDUDFDOFXODUODKRUDGHODPXHUWH UHFRUGHPRVTXH ODWHPSHUDWXUDGHOFXHUSRQRUPDOYLYRHVGHJUDGRV)DKUHQKHLW  2.  5HVXHOYDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO  PHGLDQWHWUDQVIRUPDGDVGH/DSODFH/DVROXFLyQT t  dependerá tanto de tFRPRGHh XWLOLFHHOYDORUGHkTXHVHKDOOyHQHOSUREOHPD  3.  6$& 7DEODFRPSOHWDGH'DSKQH(QSDUWLFXODUH[SOLTXHSRUTXpJUDQGHVYDORUHVGHh GDQODPLVPDKRUDGHODPXHUWH h 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 hora en que se trasladó el cuerpo 6:00 p.m. hora de la muerte PROYECTO 7.3 ASESINATO EN EL RESTAURANTE MAYFAIR l P-19 4.  ¢$TXLpQTXLHUHLQWHUURJDU'DSKQH\SRUTXp" 5. ¿Aún siente curiosidad?(OSURFHVRGHFDPELRGHWHPSHUDWXUDHQXQFXHUSRPXHUWR se denomina algor mortis rigor mortisHVHOSURFHVRGHHQGXUHFLPLHQWRGHOFXHUSR  \DXQTXHQRHVWiSHUIHFWDPHQWHGHVFULWRSRUOH\GHHQIULDPLHQWRGH1HZWRQHVWHWHPD HVWiFXELHUWRHQODPD\RUtDGHORVOLEURVGHPHGLFLQDIRUHQVH(QUHDOLGDGHOHQIULDPLHQWRGHXQFXHUSRPXHUWRHVWiGHWHUPLQDGRSRUPiVTXHVyORODOH\GH1HZWRQ(Q SDUWLFXODUORVSURFHVRVTXtPLFRVTXHWLHQHHOFXHUSRFRQWLQ~DQSRUYDULDVKRUDVGHVSXpVGHODPXHUWH(VWRVSURFHVRVTXtPLFRVJHQHUDQFDORU\DVtSXHGHQPDQWHQHUXQD WHPSHUDWXUDFDVLFRQVWDQWHGXUDQWHHVWHWLHPSRDQWHVGHTXHFRPLHQFHHOGHFDLPLHQWR H[SRQHQFLDOGHELGRDODOH\GHHQIULDPLHQWRGH1HZWRQ  $ YHFHV VH XWLOL]D XQD HFXDFLyQ OLQHDO FRQRFLGD FRPR ecuación de Glaister SDUDGDUXQDHVWLPDFLyQSUHOLPLQDUGHOWLHPSRtDSDUWLUGHODPXHUWH/DHFXDFLyQGH *ODLVWHUHV 98.4 T0 t   1.5 donde T HV OD WHPSHUDWXUD FRUSRUDO PHGLGD ž ) VH XWLOL]D DTXt SDUD OD WHPSHUDWXUDFRUSRUDOQRUPDOFRQYLGDHQOXJDUGHž) $XQTXHQRWHQHPRVWRGDVODV KHUUDPLHQWDVSDUDGHGXFLUHVWDHFXDFLyQH[DFWDPHQWH ORVJUDGRVSRUKRUDVHGHWHUPLQDURQH[SHULPHQWDOPHQWH SRGHPRVGHGXFLUXQDHFXDFLyQVLPLODUPHGLDQWHXQD DSUR[LPDFLyQOLQHDO 8WLOLFHODHFXDFLyQ  FRQXQDFRQGLFLyQLQLFLDOT   TSDUDFDOFXODUODHFXDFLyQGHODWDQJHQWHDODVROXFLyQDWUDYpVGHOSXQWR T 1RXWLOLFHORVYDORUHVGHTm o kHQHOSUREOHPD6LPSOHPHQWHGpMHORVFRPRSDUiPHWURV/XHJRKDJDT \ UHVXHOYDtSDUDREWHQHU 98.4 T0 t   k(T0 Tm) ACERCA DEL AUTOR Tom LoFaroHVSURIHVRU\GLUHFWRUGHO'HSDUWDPHQWRGH,QIRUPiWLFD\0DWHPiWLFDVHQHO *XVWDYXV$GROSKXV&ROOHJHHQ6W3HWHU0LQQHVRWD+DHVWDGRLQYROXFUDGRHQHOGHVDUUROORGH SUR\HFWRVGHPRGHODGRGLIHUHQFLDOGXUDQWHDxRVLQFOX\HQGRXQWLHPSRFRPRLQYHVWLJDGRU SULQFLSDOGHOSUR\HFWR¿QDQFLDGRSRUODIXQGDFLRQ16),'($ KWWSZZZVFLZVXHGXLGHD  \HVFRODERUDGRUGHOVRIWZDUH2'($UTXLWHFW&2'(( :LOH\DQG6RQV /RV LQWHUHVHVQR DFDGpPLFRVGHO'U/R)DURLQFOX\HQSHVFDUFRQPRVFD\VHUHQWUHQDGRUGHXQHTXLSRGHI~WERO GHOLJDVPHQRUHV6XKLMDPD\RU DxRV TXLHUHVHUDQWURSyORJDIRUHQVHFRPRODGHWHFWLYH 'DSKQH0DUORZ PROYECTO PARA LA SECCIÓN 8.2 Terremotos que sacuden edificios de varios pisos por Gilbert N. Lewis 3RU OR JHQHUDO ORV JUDQGHV WHUUHPRWRV WLHQHQ XQ HIHFWR GHYDVWDGRU HQ ORV HGL¿FLRV 3RU HMHPSORHOIDPRVRWHUUHPRWRGHHQ6DQ)UDQFLVFRGHVWUX\yJUDQSDUWHGHHVDFLXGDG 0iVUHFLHQWHPHQWHHOiUHDIXHJROSHDGDXQDVHJXQGDYH]SRUHOWHUUHPRWRGH/RPD3ULHWD PLHQWUDVPXFKDVSHUVRQDVGHORV(VWDGRV8QLGRV\RWURVSDtVHVYHtDQHOMXHJRGHODOLJD PD\RUGHOD6HULH0XQGLDOGH%pLVEROTXHWXYROXJDUHQ6DQ)UDQFLVFRHQ (QHVWHSUR\HFWRPRGHODUHPRVHOHIHFWRGHXQWHUUHPRWRHQXQHGL¿FLRGHYDULRVSLVRV \OXHJRUHVROYHUHPRVHLQWHUSUHWDUHPRVODVPDWHPiWLFDV6HDTXHxi represente el despla]DPLHQWRKRUL]RQWDOGHOipVLPRSLVRDSDUWLUGHVXSRVLFLyQGHHTXLOLEULR$TXtODSRVLFLyQ (GL¿FLRGHGHSDUWDPHQWRVFRODSVDGR GHHTXLOLEULRVHUiXQSXQWR¿MRHQHOVXHORGHIRUPDTXHx 'XUDQWHXQWHUUHPRWROD  HQ6DQ)UDQFLVFRGHRFWXEUHGH WLHUUDVHPXHYHKRUL]RQWDOPHQWHGHPRGRTXHVHFRQVLGHUDHOGHVSOD]DPLHQWRGHFDGDSLVR DOGtDVLJXLHQWHGHOWHUUHPRWR FRQUHVSHFWRDOVXHOR6XSRQHPRVTXHHOipVLPRSLVRGHOHGL¿FLRWLHQHXQDPDVDm \TXH i PDVLYRGH/RPD3ULHWD ORVSLVRVVXFHVLYRVHVWiQFRQHFWDGRVSRUXQFRQHFWRUHOiVWLFRFX\RHIHFWRVHDVHPHMDDOGH XQ UHVRUWH 3RU OR JHQHUDO ORV HOHPHQWRV HVWUXFWXUDOHV HQ HGL¿FLRV JUDQGHV HVWiQ KHFKRV GH DFHUR XQ PDWHULDO DOWDPHQWH HOiVWLFR GH PDQHUD TXH FDGD FRQHFWRU SURSRUFLRQH XQD IXHU]D GH UHVWDXUDFLyQ FXDQGR ORV SLVRV VH HQFXHQWUDQ GHVSOD]DGRV FRQ UHVSHFWR D ORV GHPiV6XSRQHPRVTXHODOH\GH+RRNHHVYiOLGDFRQFRQVWDQWHSURSRUFLRQDOLGDGki entre el ipVLPR\HO i O pVLPRSLVR(VGHFLUODIXHU]DUHVWDXUDGRUDHQWUHHVRVGRVSLVRVHV F  ki xi  xi donde xi  xi HVHOGHVSOD]DPLHQWR FDPELR GHO i O pVLPRSLVRFRQUHVSHFWRDOipVLPR7DPELpQVXSRQHPRVXQDUHDFFLyQVLPLODUHQWUHHOSULPHUSLVR\HOVXHORFRQFRQVWDQWH GHSURSRUFLRQDOLGDGk/D¿JXUDPXHVWUDXQPRGHORGHOHGL¿FLRPLHQWUDVTXHOD¿JXUD PXHVWUDODVIXHU]DVTXHDFW~DQHQHOipVLPRSLVR mn mn 1 m2 m1 piso kn kn 1 2 k1 k0 FIGURA 1 3LVRVGHOHGL¿FLR ki 1(xi xi l) mi 1 mi mi 1 ki(xi 1 xi) FIGURA 2 )XHU]DVHQHOipVLPRSLVR 3RGHPRVDSOLFDUODVHJXQGDOH\GHOPRYLPLHQWRGH1HZWRQ VHFFLyQ F  maD FDGDSLVRGHOHGL¿FLRSDUDREWHQHUHOVLJXLHQWHVLVWHPDGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHV d 2x k0 x1 k1(x2 x1) m1 21 dt d 2x m2 22 k1(x2 x1) k2(x3 x2) dt ⯗ ⯗ 2 d x mn 2n kn 1(xn xn 1). dt &RPR XQ HMHPSOR VHQFLOOR FRQVLGHUH XQ HGL¿FLR GH GRV SLVRV FDGD SLVR FRQ PDVD m NJ\FDGDIXHU]DGHUHVWDXUDFLyQFRQVWDQWHFRQXQYDORUGHk ONJV(QWRQFHV ODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVVRQ P-20 PROYECTO 8.2 TERREMOTOS QUE SACUDEN EDIFICIOS DE VARIOS PISOS d 2x1 dt 2 d 2x2 dt 2 4x1 2x1 P-21 l 2x2 2x2. /DVROXFLyQSRUORVPpWRGRVGHODVHFFLRQHV x1(t) x2(t) 2c1 cos Ȧ1t Ȧ21 4 2c2 sen Ȧ1t c1 cos Ȧ1t 4 2c3 cos Ȧ2t Ȧ21 c2 sen Ȧ1t 2c4 sen Ȧ2t, Ȧ22 c3 cos Ȧ2 t 4 Ȧ22 c4 sen Ȧ2t, 4 2.288 y Ȧ2 冪 3 冪5 donde Ȧ1 冪 3 冪 5 0.874. $KRUD VXSRQJD TXH VH DSOLFDQODVVLJXLHQWHVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVx  x  x  x  eVWDV FRUUHVSRQGHQDXQHGL¿FLRHQODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRFRQHOSULPHUSLVRFRQXQDUDSLGH] KRUL]RQWDOGDGDGHPV/DVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVHV x1(t) x2(t) 2c2 sen Ȧ1t 2c4 sen Ȧ2t, Ȧ21 c2 sen Ȧ1t 4 Ȧ22 c4 sen Ȧ2t 4 4 Ȧ22 0.1冫[ Ȧ21 Ȧ22 Ȧ1] 0.0317 c4. 9HD ODV ¿JXUDV  \  SDUD ODV donde c2 JUi¿FDVGHx t \x t $GYLHUWDTXHxLQLFLDOPHQWHVHGHVSOD]DKDFLDODGHUHFKDSHURHV IUHQDGRSRUHODUUDVWUHGHxPLHQWUDVTXHxHVWiLQLFLDOPHQWHHQUHSRVRSHURVHDFHOHUD GHELGRDOMDOyQGHxSDVDQGRDxHQPHQRVGHXQVHJXQGR&RQWLQ~DKDFLDODGHUHFKD MDODQGR¿QDOPHQWHDxKDVWDODPDUFDGHGRVVHJXQGRV(QHVHPRPHQWRHODUUDVWUHGHx ha UDOHQWL]DGRDxKDVWDGHWHQHUORGHVSXpVxVHPXHYHKDFLDODL]TXLHUGDSDVDQGRSRUHOSXQWRGHHTXLOLEULRHQVHJXQGRV\FRQWLQ~DPRYLpQGRVHKDFLDODL]TXLHUGDDUUDVWUDQGRDx MXQWRFRQpO(VWHPRYLPLHQWRKDFLDDWUiV\KDFLDDGHODQWHFRQWLQ~D1RKD\QLQJ~QDPRUWLJXDPLHQWRHQHOVLVWHPDSRUORTXHHOFRPSRUWDPLHQWRRVFLODWRULRFRQWLQ~DSRUVLHPSUH x2(t) x1(t) 0.10 0.2 0.05 1 2 3 4 5 t 0.1 0.05 1 0.10 2 3 4 5 t 0.1 FIGURA 3 *Ui¿FDGHx t FIGURA 4 *Ui¿FDGHx t 6LVHDSOLFDXQDIXHU]DKRUL]RQWDORVFLODWRULDGHIUHFXHQFLDȦ o ȦWHQHPRVXQDVLWXDFLyQ DQiORJDDODUHVRQDQFLDDQDOL]DGDHQODVHFFLyQO(QHVHFDVRVHHVSHUDTXHVHSURGX]FDQJUDQGHVRVFLODFLRQHVGHOHGL¿FLRSRVLEOHPHQWHFDXVDQGRXQJUDQGDxRVLHOWHUUHPRWR GXUDXQDFDQWLGDGFRQVLGHUDEOHGHWLHPSR 'H¿QDPRVODVVLJXLHQWHVPDWULFHV\YHFWRUHV M m1 0 ⯗ 1 0 m2 0 0 ... ... 0 0 ... 0 0 ⯗ mn P-22 l PROYECTO 8.2 TERREMOTOS QUE SACUDEN EDIFICIOS DE VARIOS PISOS K X(t) (k0 k1) k1 0 ⯗ 0 0 0 ... 0 ... k3) k3 . . . 0 k2 k1 (k1 k2) k2 (k2 0 . . . kn 0 ... 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 (kn 2 kn 0 0 0 ⯗ kn 1) kn 1 kn 1 1 x1(t) x2(t) ⯗ xn(t) (QWRQFHVHOVLVWHPDGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVVHSXHGHHVFULELUHQIRUPDPDWULFLDO d 2X KX  o  MX KX M 2 dt $GYLHUWDTXHODPDWUL]MHVXQDPDWUL]GLDJRQDOFRQODPDVDGHOipVLPRSLVRHQHOipVLPR HOHPHQWRGLDJRQDO/DPDWUL]MWLHQHXQDLQYHUVDGDGDSRU M 1 m1 1 0 ⯗ 0 0 m2 1 0 0 ... ... 0 0 ... 0 0 ⯗ mn 1 3RUORWDQWRSRGHPRVUHSUHVHQWDUODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOPDWULFLDOSRU X (M 1K)X  o  X AX 'RQGHA  M KODPDWUL]M se denomina la matriz de masa\ODPDWUL]K es la matriz de rigidez  /RVYDORUHVSURSLRVGHODPDWUL]AUHYHODQODHVWDELOLGDGGHOHGL¿FLRGXUDQWHXQ WHUUHPRWR/RVYDORUHVSURSLRVGHAVRQQHJDWLYRV\GLVWLQWRV(QHOSULPHUHMHPSORORV YDORUHVSURSLRVVRQ3  冪5  \3  冪5  /DVIUHFXHQFLDVQDWXUDOHV GHOHGL¿FLRVRQODVUDtFHVFXDGUDGDVGHORVQHJDWLYRVGHORVYDORUHVSURSLRV6LȜi es el ipVLPR YDORUSURSLRHQWRQFHVȦi  冪 Oi es la ipVLPDIUHFXHQFLDSDUDi n'XUDQWH XQWHUUHPRWRVHDSOLFDXQDJUDQIXHU]DKRUL]RQWDODOSULPHUSLVR6LpVWDHVGHQDWXUDOH]D RVFLODWRULDGLJDPRVGHODIRUPDF t  GFRVȖWHQWRQFHVVHSXHGHQGHVDUUROODUJUDQGHV GHVSOD]DPLHQWRVHQHOHGL¿FLRHVSHFLDOPHQWHVLODIUHFXHQFLDGHOWpUPLQRGHIRU]DPLHQWR HVFHUFDQDDXQDGHODVIUHFXHQFLDVQDWXUDOHVGHOHGL¿FLR(VWRHVXQDUHPLQLVFHQFLDGHO IHQyPHQRGHUHVRQDQFLDTXHVHHVWXGLyHQODVHFFLyQ $QDOLFHPRV RWUR HMHPSOR VXSRQJDPRV TXH WHQHPRV XQ HGL¿FLR GH  SLVRV GRQGH FDGDSLVRWLHQHXQDPDVDNJ\FDGDYDORUkiHVGHNJV(QWRQFHV  A M 1K 1 0.5 0 0 0  0 0 0 0 0 0.5 1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0.5 PROYECTO 8.2 TERREMOTOS QUE SACUDEN EDIFICIOS DE VARIOS PISOS l P-23 /RV YDORUHV SURSLRV GH A VH SXHGHQ KDOODU IiFLOPHQWH XWLOL]DQGR Mathematica u otro SDTXHWH VLPLODU (VWRV YDORUHV VRQ   O  O     \  FRQ ODV IUHFXHQFLDV FRUUHVSRQGLHQWHV   O\\SHULRGRVGHRVFLODFLyQ ʌȦ  \'XUDQWHXQWHUUHPRWRWtSLFRFX\RSHULRGRSRGUtDHVWDUHQHOUDQJRGHDVHJXQGRVHVWHHGL¿FLRQRSDUHFH HVWDUHQSHOLJURGHGHVDUUROODUUHVRQDQFLD6LQHPEDUJRVLORVYDORUHVkIXHUDQYHFHV PiVJUDQGHV PXOWLSOLTXHASRU HQWRQFHVSRUHMHPSORHOVH[WRSHULRGRSRGUtDVHUGH VHJXQGRVPLHQWUDVTXHGHOTXLQWRDOVpSWLPRVRQWRGRVGHORUGHQGHDVHJXQGRV (VHHGL¿FLRVHUtDPiVSURSHQVRDVXIULUGDxRVHQXQWHUUHPRWRWtSLFRGHXQSHULRGRGHD VHJXQGRV PROBLEMAS RELACIONADOS 1.  &RQVLGHUHXQHGL¿FLRGHWUHVSLVRVFRQORVPLVPRVYDORUHVGHm y kDOLJXDOTXHHQHOprimerHMHPSOR(VFULEDHOVLVWHPDGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVFRUUHVSRQGLHQWH¢&XiOHVVRQ ODVPDWULFHVMK y A"(QFXHQWUHORVYDORUHVSURSLRVGHA¢4XpUDQJRGHIUHFXHQFLDVGH XQWHUUHPRWRSRQGUtDHOHGL¿FLRHQSHOLJURGHGHVWUXFFLyQ" 2.  &RQVLGHUHXQHGL¿FLRGHWUHVSLVRVFRQORVPLVPRVYDORUHVGHm y kDOLJXDOTXHHQHOsegundoHMHPSOR(VFULEDHOFRUUHVSRQGLHQWHVLVWHPDGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV¢&XiOHV VRQODVPDWULFHVMK y A"(QFXHQWUHORVYDORUHVSURSLRVSDUDA¢4XpUDQJRGHIUHFXHQFLDVGHXQWHUUHPRWRWHQGUtDOXJDUHQXQHGL¿FLRHQSHOLJURGHGHVWUXFFLyQ" 3.  &RQVLGHUHHOHGL¿FLRPiVDOWRGHVXFDPSXV6XSRQJDYDORUHVUD]RQDEOHVSDUDODPDVD GHFDGDSLVR\SDUDODVFRQVWDQWHVGHSURSRUFLRQDOLGDGHQWUHORVSLVRV6LWLHQHSUREOHPDV FRQGLFKRVYDORUHVXWLOLFHORVGHORVSUREOHPDVGHHMHPSOR(QFXHQWUHODVPDWULFHVMK y A\HQFXHQWUHORVYDORUHVSURSLRVGHA\ODVIUHFXHQFLDV\SHULRGRVGHRVFLODFLyQ¢6X HGL¿FLRHVWiDVDOYRGHXQPRGHVWRWHUUHPRWRGHOWLSRGHORVGHOSHULRGR"¢4XpSDVDVL XVWHGPXOWLSOLFDODPDWUL]KSRU HVGHFLUKDFHDOHGL¿FLRPiVUtJLGR "¢3RUFXiQWR WHQGUtDTXHPXOWLSOLFDUODPDWUL]KSDUDSRQHUDVXHGL¿FLRHQOD]RQDGHSHOLJUR" 4.  5HVXHOYDHOSUREOHPDGHOWHUUHPRWRSDUDHOHGL¿FLRGHWUHVSLVRVGHOSUREOHPD MX''  KX  F t donde F t  GFRVȖW G  EB B >  @TE OLEUDVHVODDPSOLWXGGHOD IXHU]DGHOWHUUHPRWRTXHDFW~DDOQLYHOGHOVXHOR\Ȗ HVODIUHFXHQFLDGHOWHUUHPRWR XQDIUHFXHQFLDWtSLFDGHWHUUHPRWR 9HDODVHFFLyQSDUDHOPpWRGRPDWULFLDOGHUHVROXFLyQGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVQRKRPRJpQHDV8WLOLFHFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVSDUDXQ HGL¿FLRHQUHSRVR PROYECTO PARA LA SECCIÓN 8.3 Modelado de carreras armamentistas por Michael Olinick (Q ORV ~OWLPRV FLHQ DxRV VH KDQ YLVWR QXPHURVDV FDUUHUDV DUPDPHQWLVWDV SHOLJURVDV GHVHVWDELOL]DGRUDV\FRVWRVDV(OHVWDOOLGRGHOD3ULPHUD*XHUUD0XQGLDOFXOPLQyFRQXQD UiSLGDDFXPXODFLyQGHDUPDPHQWRVHQWUHODVSRWHQFLDVHXURSHDVULYDOHV+XERXQDDFXPXODFLyQVLPLODUPXWXDGHDUPDVFRQYHQFLRQDOHVMXVWRDQWHVGHOD6HJXQGD*XHUUD0XQGLDO/RV(VWDGRV8QLGRV\OD8QLyQ6RYLpWLFDHQWDEODURQXQDFRVWRVDFDUUHUDDUPDPHQWLVWD QXFOHDUGXUDQWHORVFXDUHQWDDxRVGHOD*XHUUD)UtD(ODFRSLRGHDUPDVPRUWDOHVHVFDGD YH]PiVFRP~QKR\HQGtDHQPXFKDVSDUWHVGHOPXQGRLQFOX\HQGRHO0HGLR2ULHQWHHO VXEFRQWLQHQWHLQGLR\ODSHQtQVXODGH&RUHD $UPDV\PXQLFLRQHVUHFXSHUDGDV (OPHWHRUyORJR\HGXFDGRUEULWiQLFR/HZLV)5LFKDUGVRQ  GHVDUUROOyYDULGXUDQWHODVRSHUDFLRQHVPLOLWDUHVFRQWUD RVPRGHORVPDWHPiWLFRVSDUDDQDOL]DUODGLQiPLFDGHODVFDUUHUDVDUPDPHQWLVWDVODHYRORVPLOLWDQWHVWDOLEDQHVHQ:D]LULVWiQ OXFLyQHQHOWLHPSRGHOSURFHVRGHLQWHUDFFLyQHQWUHORVSDtVHVHQVXDGTXLVLFLyQGHDUPDV GHO6XUHQRFWXEUHGH /RVPRGHORVGHODVFDUUHUDVDUPDPHQWLVWDVJHQHUDOPHQWHVXSRQHQTXHFDGDQDFLyQDMXVWD VXDFXPXODFLyQGHDUPDVGHDOJXQDPDQHUDTXHGHSHQGHGHOWDPDxRGHVXVSURSLDVUHVHUYDV \GHOQLYHOGHDUPDPHQWRGHODVRWUDVQDFLRQHV (OPRGHORSULPDULRGH5LFKDUGVRQGHXQDFDUUHUDDUPDPHQWLVWDGHGRVSDtVHVVHEDVD en el miedo mutuoXQDQDFLyQHVHVWLPXODGDDDXPHQWDUVXDUPDPHQWRFRQXQDYHORFLGDG SURSRUFLRQDODOQLYHOGHJDVWRVHQDUPDPHQWRGHVXULYDO(OPRGHORGH5LFKDUGVRQWRPDHQ FXHQWDODVUHVWULFFLRQHVLQWHUQDVGHQWURGHXQDQDFLyQTXHIUHQDQODDFXPXODFLyQGHDUPDPHQWRV(QWUHPiVJDVWHXQDQDFLyQHQDUPDVPiVGLItFLOHVKDFHULQFUHPHQWRVPD\RUHVSRUTXH VH YXHOYH FDGD YH] PiV GLItFLO GHVYLDU UHFXUVRV GH ODV QHFHVLGDGHV EiVLFDV GH OD VRFLHGDG FRPR DOLPHQWDFLyQ \ YLYLHQGD D ODV DUPDV 5LFKDUGVRQ WDPELpQ FRQWHPSOy HQ VX PRGHOR RWURVIDFWRUHVTXHFRQGXFHQRIUHQDQXQDFDUUHUDDUPDPHQWLVWDTXHVRQLQGHSHQGLHQWHVGHORV QLYHOHVGHJDVWRVHQDUPDPHQWRV/DHVWUXFWXUDPDWHPiWLFDGHHVWHPRGHORHVXQVLVWHPDGH HFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHSULPHURUGHQHQOD]DGDV6Lx y yUHSUHVHQWDQODFDQWLGDGGHULTXH]DTXHVHJDVWDHQDUPDVSRUODVGRVQDFLRQHVDOWLHPSRtHQWRQFHVHOPRGHORWRPDODIRUPD dx dt dy dt ay mx r bx ny s donde abm y nVRQFRQVWDQWHVSRVLWLYDVPLHQWUDVTXHr y sVRQFRQVWDQWHVTXHSXHGHQVHU SRVLWLYDVRQHJDWLYDV/DVFRQVWDQWHVa y bPLGHQHOPLHGRPXWXRODVFRQVWDQWHVm y n repreVHQWDQIDFWRUHVGHSURSRUFLRQDOLGDGSDUDORV³IUHQRVLQWHUQRV´DQXHYRVDXPHQWRVGHDUPDV 9DORUHVSRVLWLYRVGHr y sFRUUHVSRQGHQDIDFWRUHVVXE\DFHQWHVGHPDODYROXQWDGRGHVFRQ¿DQ]DTXHSHUVLVWLUtDQDXQVLORVJDVWRVHQDUPDVVHUHGXMHUDQDFHUR/RVYDORUHVQHJDWLYRVSDUDr y sLQGLFDQXQDFRQWULEXFLyQEDVDGDHQODEXHQDYROXQWDG (OFRPSRUWDPLHQWRGLQiPLFRGHHVWHVLVWHPDGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHSHQGHGHORV WDPDxRVUHODWLYRVGHab y mnMXQWRFRQORVVLJQRVGHr y s$XQTXHHOPRGHORHVUHODWLYDPHQWH VLPSOHSHUPLWHFRQVLGHUDUGLIHUHQWHVUHVXOWDGRVDODUJRSOD]R(VSRVLEOHTXHGRVQDFLRQHVVH SXGLHUDQPRYHUVLPXOWiQHDPHQWHKDFLDHOGHVDUPHPXWXRFRQx y yDFHUFiQGRVHDFHUR8Q FtUFXORYLFLRVRHVDXPHQWDULOLPLWDGDPHQWHDx y yHVRWURHVFHQDULRSRVLEOH8QDWHUFHUD SRVLELOLGDG HV TXH ORV JDVWRV HQ DUPDV VH DFHUTXHQ DVLQWyWLFDPHQWH D XQ SXQWR HVWDEOH x*y* LQGHSHQGLHQWHPHQWHGHOQLYHOLQLFLDOGHJDVWRVGHDUPDPHQWRV(QRWURVFDVRVHO UHVXOWDGR¿QDOGHSHQGHGHOSXQWRGHSDUWLGD/D¿JXUDPXHVWUDXQDSRVLEOHVLWXDFLyQFRQ FXDWURGLIHUHQWHVQLYHOHVLQLFLDOHVFDGDXQRGHHOORVFRQGXFHDXQ³UHVXOWDGRHVWDEOH´OD LQWHUFHVLyQGHODVFHURFOLQDVdx冫dt \dy冫dt  P-24 PROYECTO 8.3 y dx/dt = 0 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 FIGURA 1 *DVWRV 4 DFHUFiQGRVHDXQSXQWRHVWDEOH MODELADO DE CARRERAS ARMAMENTISTAS l P-25 $XQTXHODVFDUUHUDVDUPDPHQWLVWDVGHO³PXQGRUHDO´UDUDYH]FRLQFLGHQH[DFWDPHQWH FRQ HO PRGHOR GH 5LFKDUGVRQ VX SULPHU WUDEDMR KD FRQGXFLGR DPXFKDVDSOLFDFLRQHVIUXFWtIHUDVGHPRGHORVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVD dy/dt = 0 SUREOHPDVHQUHODFLRQHVLQWHUQDFLRQDOHV\FLHQFLDVSROtWLFDV&RPRDQRWDQORV GRVLQYHVWLJDGRUHVSULQFLSDOHVHQODUHIHUHQFLD>3@³HOPRGHORGHFDUUHUDDUPDPHQWLVWDGH5LFKDUGVRQFRQVWLWX\HXQRGHORVPRGHORVPiVLPSRUWDQWHVGH ORVIHQyPHQRVGHFDUUHUDDUPDPHQWLVWD\DOPLVPRWLHPSRXQRGHORVPRGHORV IRUPDOHVTXHPiVLQÀX\HQHQODVSXEOLFDFLRQHVGHUHODFLRQHVLQWHUQDFLRQDOHV´ /DV FDUUHUDV DUPDPHQWLVWDV QR VH OLPLWDQ D OD LQWHUDFFLyQ GH SDtVHV 3XHGHQWHQHUOXJDUHQWUHXQJRELHUQR\XQJUXSRWHUURULVWDGHSDUDPLOLWDUHV GHQWURGHVXVIURQWHUDVFRPRSRUHMHPSORORVWLJUHVWDPLOHVHQ6UL/DQND6HQGHUR/XPLQRVRHQ3HU~RHOWDOLEiQHQ$IJDQLVWiQ7DPELpQVHKDQ REVHUYDGRIHQyPHQRVDUPDPHQWLVWDVHQWUHEDQGDVULYDOHVXUEDQDV\HQWUH RUJDQLVPRVGHUHSUHVLyQ\FULPHQRUJDQL]DGR x 5 6 /DV³DUPDV´QRVRQQHFHVDULDPHQWHDUPDV/DVXQLYHUVLGDGHVKDQSDUWLFLSDGRHQ³VHUYLFLRVDUPDPHQWLVWDV´DPHQXGRGHGLFDQGRPLOORQHVGHGyODUHVHQGRUPLWRULRV PiVOXMRVRVLQVWDODFLRQHVGHSRUWLYDVGHYDQJXDUGLDRSFLRQHVJDVWURQyPLFDVVLEDULWDV\VLPLODUHV SDUDVHUPiVFRPSHWLWLYRV\DWUDHUDVtLQVFULSFLRQHVGHHVWXGLDQWHV/RVELyORJRVKDQLGHQWL¿FDGR ODSRVLELOLGDGGHTXHH[LVWDQFDUUHUDVDUPDPHQWLVWDVHYROXFLRQDULDVHQWUH\GHQWURGHDOJXQDVHVSHFLHVGHWDOPRGRTXHXQDGDSWDFLyQGHQWURGHXQOLQDMHSXHGHRFXUULUSRUODSUHVLyQVHOHFWLYDGH RWUROLQDMHGDQGROXJDUDXQDFRQWUDDGDSWDFLyQ'HPDQHUDPiVJHQHUDOODVVXSRVLFLRQHVSUHVHQWDQXQWLSRGHPRGHORGH5LFKDUGVRQTXHWDPELpQFDUDFWHUL]DPXFKDVFRPSHWLFLRQHVHQODVTXH FDGDODGRSHUFLEHODQHFHVLGDGGHDGHODQWDUVHDRWURPXWXDPHQWHHQDOJXQDPHGLGDLPSRUWDQWH PROBLEMAS RELACIONADOS 1. a) 0HGLDQWHODVXVWLWXFLyQGHODVVROXFLRQHVSURSXHVWDVDODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV GHPXHVWUHTXHODVROXFLyQGHOPRGHORSDUWLFXODUDUPDPHQWLVWDGH5LFKDUGVRQ dx dt y 3x 3 dy dt 2x 4y 8  FRQODFRQGLFLyQLQLFLDOx  y  HV 32 2t 2 5t x(t) e e 2 3 3 32 2t 4 5t y(t) e e 3 3 3  ¢&XiOHVHOFRPSRUWDPLHQWRDODUJRSOD]RGHHVWDFDUUHUDDUPDPHQWLVWD" b) 3  DUDHOPRGHORGHFDUUHUDDUPDPHQWLVWDGH5LFKDUGVRQVLD FRQFRQGLFLRQHVLQLFLDOHV arbitrarias x   Ay   BGHPXHVWUHTXHODVROXFLyQHVWiGDGDSRU x(t) y(t) Ce 5t 2Ce De 5t 2t De 2 2t 3 donde C D (A B 1) 3 (2 A B 7) 3 'HPXHVWUHTXHHVWHUHVXOWDGRLPSOLFDTXHHOFRPSRUWDPLHQWRFXDOLWDWLYRDODUJR SOD]RGHHVWDFDUUHUDDUPDPHQWLVWDHVHOPLVPR x t →y t → VLQLPSRUWDU FXiOHVVRQORVYDORUHVLQLFLDOHVGHx y y 2.  (OFRPSRUWDPLHQWRFXDOLWDWLYRDODUJRSOD]RGHXQPRGHORGHFDUUHUDDUPDPHQWLVWDGH 5LFKDUGVRQSXHGHHQDOJXQRVFDVRVGHSHQGHUGHODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHV&RQVLGHUHPRV SRUHMHPSORHOVLVWHPD dx 3y 2x 10 dt dy 4x 3y 10 dt P-26 l PROYECTO 8.3 MODELADO DE CARRERAS ARMAMENTISTAS 3. 3DUDFDGDXQDGHODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVGDGDVDFRQWLQXDFLyQFRPSUXHEHTXHODVROXFLyQSURSXHVWDIXQFLRQD\DQDOLFHHOFRPSRUWDPLHQWRDODUJRSOD]R a) x(0) 1, y(0) 1 : x(t) 10 9et, y(t) 10 9et b) x(0) 1, y(0) 22 : x(t) 10 9e 6t, y(t) 10 12e 6t 12e 6t 3et 10, y(t) 16e 6t 3et 10 c) x(0) 1, y(0) 29 : x(t) d) x(0) 10, y(0) 10 : x(t) 10, y(t) 10 para todo t a) &RPR XQD SRVLEOH DOWHUQDWLYD DO PRGHOR GH 5LFKDUGVRQ FRQVLGHUH XQ PRGHOR GH ajuste de inventarios/DVXSRVLFLyQDTXtHVTXHFDGDSDtVHVWDEOHFHSRUVtPLVPRXQ QLYHOGHVHDGRGHJDVWRVHQDUPDPHQWR\OXHJRFDPELDVXLQYHQWDULRGHDUPDVSURSRUFLRQDOPHQWHDODGLIHUHQFLDHQWUHVXQLYHODFWXDO\VXQLYHOGHVHDGR'HPXHVWUH TXHHVWDKLSyWHVLVVHSXHGHUHSUHVHQWDUSRUHOVLVWHPDGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV dx a(x* x) dt dx dt b(y* y) donde x* y y*VRQORVQLYHOHVGHVHDGRVGHFRQVWDQWHV\abVRQFRQVWDQWHVSRVLWLYDV¢&yPRHYROXFLRQDQx y yFRQHOWLHPSREDMRHVHPRGHOR" b) *HQHUDOLFHHOPRGHORGHDMXVWHGHH[LVWHQFLDGHOLQFLVRD DXQQLYHOPiVUHDOLVWD GRQGHHOQLYHOGHVHDGRSDUDFDGDSDtVGHSHQGDGHORVQLYHOHVGHDPERVSDtVHV(Q SDUWLFXODUVXSRQJDPRVTXHx*WLHQHODIRUPDx*  c  dy donde c y dVRQFRQVWDQWHV SRVLWLYDV\TXHy*WLHQHXQDIRUPDVLPLODU'HPXHVWUHTXHEDMRHVWDVVXSRVLFLRQHV HOPRGHORGHDMXVWHGHH[LVWHQFLDHVHTXLYDOHQWHDXQPRGHORGH5LFKDUGVRQ 4.  ([WLHQGDHOPRGHORGH5LFKDUGVRQDWUHVQDFLRQHVGHGXFLHQGRXQVLVWHPDGHHFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHVOLQHDOHVVLORVWUHVVRQPXWXDPHQWHWHPHURVRVFDGDXQRHVHVWLPXODGRSDUD DUPDUVHSRUORVJDVWRVGHORVRWURVGRV¢&yPRFDPELDUtDQODVHFXDFLRQHVVLGRVGHODVQDFLRQHVVRQDOLDGDVFHUFDQDVQRDPHQD]DGDVSRUODDFXPXODFLyQGHODVDUPDVGHORWURSHUR WHPHURVDVGHORVDUPDPHQWRVGHODWHUFHUD",QYHVWLJXHHOFRPSRUWDPLHQWRDODUJRSOD]RGH HVWDVFDUUHUDVDUPDPHQWLVWDV 5.  (QHOPXQGRUHDOXQDFDUUHUDGHDUPDPHQWRVQRDFRWDGDHVLPSRVLEOH\DTXHKD\XQOtPLWH DODFDQWLGDGTXHFXDOTXLHUSDtVSXHGHJDVWDUHQDUPDVSRUHMHPSORHOSURGXFWRQDFLRQDO EUXWRPHQRVFLHUWDFDQWLGDGSDUDODVXSHUYLYHQFLD0RGL¿TXHHOPRGHORGH5LFKDUGVRQ SDUDLQFRUSRUDUHVWDLGHD\DQDOLFHODGLQiPLFDGHXQDFDUUHUDDUPDPHQWLVWDTXHVHULJHSRU HVWDVQXHYDVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV REFERENCIAS 1.  5LFKDUGVRQ/HZLV)Arms and Insecurity: A Mathematical Study of the Cause and Origins of War3LWWVEXUJK%R[ZRRG3UHVV 2.  2OLQLFN 0LFKDHO An Introduction to Mathematical Models in the Social and Life Sciences 5HDGLQJ$GGLVRQ:HVOH\ 3.  ,QWULOLJDWRU0LFKDHO'\'DJREHUW/%ULWR³5LFKDUGVRQLDQ$UPV5DFH0RGHOV´HQ0DQXV, 0LGODUVN\ HG Handbook of War Studies%RVWRQ8QZLQ+\PDQ ACERCA DEL AUTOR 'HVSXpVGHREWHQHUODOLFHQFLDWXUDHQPDWHPiWLFDV\¿ORVRItDHQOD8QLYHUVLGDGGH0LFKLJDQ \ODPDHVWUtD\HOGRFWRUDGRHQOD8QLYHUVLGDGGH:LVFRQVLQ 0DGLVRQ Michael Olinick se PXGyGHOPHGLRRHVWHGH(VWDGRV8QLGRVD1XHYD,QJODWHUUD$KtVHXQLyDODIDFXOWDGGHO 0LGGOHEXU\&ROOHJHHQFRPRSURIHVRUGHPDWHPiWLFDV(O'U2OLQLFNWLHQHSXHVWRV GHSURIHVRUYLVLWDQWHHQOD8QLYHUVLW\&ROOHJH1DLURELOD:HVOH\DQ8QLYHUVLW\OD8QLYHUVLGDGGH&DOLIRUQLDHQ%HUNHOH\\OD8QLYHUVLGDGGH/DQFDVWHUHQ*UDQ%UHWDxD(VDXWRU RFRDXWRUGHYDULRVOLEURVGHFiOFXORGHXQD\PXFKDVYDULDEOHVGHPRGHODGRPDWHPiWLFR SUREDELOLGDG\WRSRORJtD$FWXDOPHQWHHVWiGHVDUUROODQGRXQQXHYROLEURVREUHPRGHORV PDWHPiWLFRVHQKXPDQLGDGHVFLHQFLDVVRFLDOHV\FLHQFLDVGHODYLGD 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1.1 'H¿QLFLRQHV\WHUPLQRORJtD 1.2 3UREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHV 1.3 (FXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVFRPRPRGHORVPDWHPiWLFRV REPASO DEL CAPÍTULO 1 (VFLHUWRTXHODVSDODEUDVecuaciones\diferencialesVXJLHUHQDOJXQDFODVHGH HFXDFLyQTXHFRQWLHQHGHULYDGDVy, y$OLJXDOTXHHQXQFXUVRGHiOJHEUD\ WULJRQRPHWUtDHQORVTXHVHLQYLHUWHEDVWDQWHWLHPSRHQODVROXFLyQGHHFXDFLRQHV WDOHVFRPRx2  5x  4 SDUDODLQFyJQLWDxHQHVWHFXUVRunaGHODVWDUHDV VHUiUHVROYHUHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHOWLSRy  2y  y SDUDODIXQFLyQ LQFyJQLWDy  (x). (OSiUUDIRDQWHULRUQRVGLFHDOJRSHURQRODKLVWRULDFRPSOHWDVREUHHOFXUVR TXHHVWiSRULQLFLDU&RQIRUPHHOFXUVRVHGHVDUUROOHYHUiTXHKD\PiVHQHOHVWXGLR GHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVTXHVRODPHQWHGRPLQDUORVPpWRGRVTXHDOJXLHQKD LQYHQWDGRSDUDUHVROYHUODV 3HURYDPRVHQRUGHQ3DUDOHHUHVWXGLDU\SODWLFDUVREUHXQWHPDHVSHFLDOL]DGR HVQHFHVDULRDSUHQGHUODWHUPLQRORJtDGHHVWDGLVFLSOLQD(VDHVODLQWHQFLyQGHODVGRV SULPHUDVVHFFLRQHVGHHVWHFDStWXOR(QOD~OWLPDVHFFLyQH[DPLQDUHPRVEUHYHPHQWH HOYtQFXORHQWUHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV\HOPXQGRUHDO/DVSUHJXQWDVSUiFWLFDV FRPR¿qué tan rápido se propaga una enfermedad? \ ¿qué tan rápido cambia una población?LPSOLFDQUD]RQHVGHFDPELRRGHULYDGDV$VtODGHVFULSFLyQPDWHPiWLFD ²RPRGHORPDWHPiWLFR²GHH[SHULPHQWRVREVHUYDFLRQHVRWHRUtDVSXHGHVHUXQD HFXDFLyQGLIHUHQFLDO 1 2 l CAPÍTULO 1 1.1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA REPASO DE MATERIAL l 'H¿QLFLyQGHGHULYDGD l 5HJODVGHGHULYDFLyQ l 'HULYDGDFRPRXQDUD]yQGHFDPELR l &RQH[LyQHQWUHODSULPHUDGHULYDGD\FUHFLPLHQWRGHFUHFLPLHQWR l &RQH[LyQHQWUHODVHJXQGDGHULYDGD\FRQFDYLGDG INTRODUCCIÓN /DGHULYDGDdy兾dxGHXQDIXQFLyQy  (x HVRWUDIXQFLyQ (x TXHVHHQFXHQWUDFRQXQDUHJODDSURSLDGD/DIXQFLyQy  e0.1x2HVGHULYDEOHHQHOLQWHUYDOR  , \XVDQGR 2 ODUHJODGHODFDGHQDVXGHULYDGDHVdy兾dx  0.2xe0.1x 6LVXVWLWXLPRVe0.1x2HQHOODGRGHUHFKRGHOD ~OWLPDHFXDFLyQSRUyODGHULYDGDVHUi dy dx (1) 0.2xy $KRUD LPDJLQHPRV TXH XQ DPLJRFRQVWUX\y VX HFXDFLyQ   XVWHGQR WLHQHLGHDGH FyPR OD KL]R \VHSUHJXQWD¿cuál es la función representada con el símbolo y?6HHQIUHQWDHQWRQFHVDXQRGHORV SUREOHPDVEiVLFRVGHHVWHFXUVR ¿Cómo resolver una ecuación para la función desconocida y  (x)? UNA DEFINICIÓN $ODHFXDFLyQ  VHOHGHQRPLQDecuación diferencial$QWHV GHSURVHJXLUFRQVLGHUHPRVXQDGH¿QLFLyQPiVH[DFWDGHHVWHFRQFHSWR DEFINICIÓN 1.1.1 Ecuación diferencial 6HGHQRPLQDecuación diferencial (ED)DODHFXDFLyQTXHFRQWLHQHGHULYDGDV GHXQDRPiVYDULDEOHVUHVSHFWRDXQDRPiVYDULDEOHVLQGHSHQGLHQWHV 3DUD KDEODU DFHUFD GH HOODV FODVL¿FDUHPRV D ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV SRU tipo, orden\linealidad. CLASIFICACIÓN POR TIPO 6LXQDHFXDFLyQFRQWLHQHVyORGHULYDGDVGHXQDRPiV YDULDEOHVGHSHQGLHQWHVUHVSHFWRDXQDVRODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHVHGLFHTXHHVXQD ecuación diferencial ordinaria (EDO)8QDHFXDFLyQTXHLQYROXFUDGHULYDGDVSDUFLDOHVGHXQDRPiVYDULDEOHVGHSHQGLHQWHVGHGRVRPiVYDULDEOHVLQGHSHQGLHQWHVVHOODPD ecuación diferencial parcial (EDP)1XHVWURSULPHUHMHPSORLOXVWUDYDULDVHFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHVGHFDGDWLSR EJEMPLO 1 Tipos de ecuaciones diferenciales a)/DVHFXDFLRQHV  8QD('2SXHGHFRQWHQHU PiVGHXQDYDULDEOHGHSHQGLHQWH o
2 d y dy dx dy 5y ex,



2 6y 0,



y



dx dx dx dt VRQHMHPSORVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDV
o dy dt 2x y (2) b)/DVVLJXLHQWHVVRQHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVSDUFLDOHV 2 u x2 2 u y2 0,



2 u x2 2 u t2 2 u u ,



y



t y v x (3) 2EVHUYHTXHHQODWHUFHUDHFXDFLyQKD\GRVYDULDEOHVGHSHQGLHQWHV\GRVYDULDEOHVLQGHSHQGLHQWHVHQOD('3(VWRVLJQL¿FDTXHu\vGHEHQVHUIXQFLRQHVGHGRVRPiVYDULDEOHV LQGHSHQGLHQWHV 1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA l 3 NOTACIÓN $ORODUJRGHOOLEURODVGHULYDGDVRUGLQDULDVVHHVFULELUiQXVDQGRODnotación de Leibniz dy兾dx, d 2y兾dx 2, d 3y兾dx 3RODnotación prima y, y, y 8VDQGR HVWD~OWLPDQRWDFLyQODVSULPHUDVGRVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVHQ  VHSXHGHQHVFULELUHQ XQDIRUPDXQSRFRPiVFRPSDFWDFRPRy  5y  ex\y  y  6y (QUHDOLGDGOD QRWDFLyQSULPDVHXVDSDUDGHQRWDUVyORODVSULPHUDVWUHVGHULYDGDVODFXDUWDGHULYDGDVH GHQRWDy(4)HQOXJDUGHy(QJHQHUDOODnpVLPDGHULYDGDGHyVHHVFULEHFRPRdny兾dxnR \(n)$XQTXHHVPHQRVFRQYHQLHQWHSDUDHVFULELURFRPSRQHUWLSRJUi¿FDPHQWHODQRWDFLyQ GH/HLEQL]WLHQHXQDYHQWDMDVREUHODQRWDFLyQSULPDPXHVWUDFODUDPHQWHDPEDVYDULDEOHV ODVGHSHQGLHQWHV\ODVLQGHSHQGLHQWHV3RUHMHPSORHQODHFXDFLyQ función incógnita o variable dependiente d 2x –––2  16x  0 dt variable independiente VHDSUHFLDGHLQPHGLDWRTXHDKRUDHOVtPERORxUHSUHVHQWDXQDYDULDEOHGHSHQGLHQWH PLHQWUDVTXHODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHHVt7DPELpQVHGHEHFRQVLGHUDUTXHHQLQJHQLH UtD\HQFLHQFLDVItVLFDVODnotación de puntoGH1HZWRQ QRPEUDGDGHVSHFWLYDPHQWH QRWDFLyQGH³SXQWLWR´ DOJXQDVYHFHVVHXVDSDUDGHQRWDUGHULYDGDVUHVSHFWRDOWLHP SRt$VtODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOd 2s兾dt 2  VHUis̈  &RQIUHFXHQFLDODVGHULYDGDVSDUFLDOHVVHGHQRWDQPHGLDQWHXQDnotación de subíndiceTXHLQGLFDODVYDULDEOHV LQGHSHQGLHQWHV3RUHMHPSORFRQODQRWDFLyQGHVXEtQGLFHVODVHJXQGDHFXDFLyQHQ   VHUiu xx  u tt  2u t. CLASIFICACIÓN POR ORDEN (O orden de una ecuación diferencial \D VHD ('2R('3 HVHORUGHQGHODPD\RUGHULYDGDHQODHFXDFLyQ3RUHMHPSOR segundo orden primer orden d 2y ( ) dy 3 ––––2  5 –––  4y  ex dx dx HVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDGHVHJXQGRRUGHQ(QHOHMHPSORODSULPHUD\OD WHUFHUDHFXDFLyQHQ  VRQ('2GHSULPHURUGHQPLHQWUDVTXHHQ  ODVSULPHUDVGRV HFXDFLRQHVVRQ('3GHVHJXQGRRUGHQ$YHFHVODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDV GHSULPHURUGHQVHHVFULEHQHQODIRUPDGLIHUHQFLDOM(x, y) dx  N(x, y) dy 3RU HMHPSORVLVXSRQHPRVTXHyGHQRWDODYDULDEOHGHSHQGLHQWHHQ(y  x) dx  4xdy  0, HQWRQFHVy dy兾dxSRUORTXHDOGLYLGLUHQWUHODGLIHUHQFLDOdxREWHQHPRVODIRUPD DOWHUQD4xy  y  x. 6LPEyOLFDPHQWHSRGHPRVH[SUHVDUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDGHnpVLPR RUGHQFRQXQDYDULDEOHGHSHQGLHQWHSRUODIRUPDJHQHUDO F(x, y, y , . . . , y(n)) (4) GRQGHFHVXQDIXQFLyQFRQYDORUHVUHDOHVGHn YDULDEOHVx, y, y, …, y(n)3RUUD]RQHVWDQWRSUiFWLFDVFRPRWHyULFDVGHDKRUDHQDGHODQWHVXSRQGUHPRVTXHHVSRVLEOH UHVROYHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDHQODIRUPDGHODHFXDFLyQ  ~QLFDPHQWH SDUDODPD\RUGHULYDGDy(n)HQWpUPLQRVGHODVn YDULDEOHVUHVWDQWHV/DHFXDFLyQ GLIHUHQFLDO d ny f (x, y, y , . . . , y(n 1)), (5) dxn 0, GRQGHfHVXQDIXQFLyQFRQWLQXDFRQYDORUHVUHDOHVVHFRQRFHFRPRODforma normalGH ODHFXDFLyQ  $VtTXHSDUDQXHVWURVSURSyVLWRVXVDUHPRVODVIRUPDVQRUPDOHVFXDQGR VHDDGHFXDGR dy d 2y f (x, y)



y



2 f (x, y, y ) dx dx  ([FHSWRHVWDVHFFLyQGHLQWURGXFFLyQHQEcuaciones diferenciales con aplicaciones de modeladoGpFLPD HGLFLyQVyORVHFRQVLGHUDQHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDV(QHVHOLEURODSDODEUDecuación\OD DEUHYLDWXUD('VHUH¿HUHQVyORDODV('2/DVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVSDUFLDOHVR('3VHFRQVLGHUDQHQHO YROXPHQDPSOLDGREcuaciones diferenciales con problemas con valores en la fronteraRFWDYDHGLFLyQ 4 l CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES SDUDUHSUHVHQWDUHQJHQHUDOODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDVGHSULPHU\VHJXQGR RUGHQ3RUHMHPSORODIRUPDQRUPDOGHODHFXDFLyQGHSULPHURUGHQxy  y  xHV y  (x  y)兾4xODIRUPDQRUPDOGHODHFXDFLyQGHVHJXQGRRUGHQy  y  6y  0 HVy  y  6y9HDHOLQFLVRiv)HQORVComentarios. CLASIFICACIÓN POR LINEALIDAD 6H GLFH TXH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH n-pVLPRRUGHQ  HVlinealVLFHVOLQHDOHQy, y, . . . , y (n)(VWRVLJQL¿FDTXHXQD('2 GHn-pVLPRRUGHQHVOLQHDOFXDQGRODHFXDFLyQ  HVa n(x)y (n)  a n1(x)y (n1)   a1 (x)y  a 0(x)y  g(x) R dy d n 1y dny (6) an 1(x) n 1 a1(x) a0(x)y g(x). n dx dx dx 'RV FDVRV HVSHFLDOHV LPSRUWDQWHV GH OD HFXDFLyQ   VRQ ODV (' OLQHDOHV GH SULPHU RUGHQ n  \GHVHJXQGRRUGHQ n   dy d 2y dy a1(x) a0 (x)y g(x)



y



a2 (x) 2 a1(x) a0 (x)y g(x). (7) dx dx dx (QODFRPELQDFLyQGHODVXPDGHOODGRL]TXLHUGRGHODHFXDFLyQ  YHPRVTXHODVGRV SURSLHGDGHVFDUDFWHUtVWLFDVGHXQD('2VRQODVVLJXLHQWHV • /DYDULDEOHGHSHQGLHQWHy\WRGDVVXVGHULYDGDVy, y, . . . , y (n)VRQGHSULPHU JUDGRHVGHFLUODSRWHQFLDGHFDGDWpUPLQRTXHFRQWLHQHyHVLJXDOD • /RV FRH¿FLHQWHV GH a0, a1, . . . , an GH y, y, . . . , y(n) GHSHQGHQ GH OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWHx. 8QDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDno linealHVVLPSOHPHQWHXQDTXHQRHVOLQHDO/DV IXQFLRQHVQROLQHDOHVGHODYDULDEOHGHSHQGLHQWHRGHVXVGHULYDGDVWDOHVFRPRVHQyRe y’, QRSXHGHQDSDUHFHUHQXQDHFXDFLyQOLQHDO an(x) EJEMPLO 2 EDO lineal y no lineal a)/DVHFXDFLRQHV 3 dy 3d y 5y ex x  3 x dx dx VRQUHVSHFWLYDPHQWHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVlinealesGHSULPHUVHJXQGR\WHUFHURUGHQ $FDEDPRVGHPRVWUDUTXHODSULPHUDHFXDFLyQHVOLQHDOHQODYDULDEOHyFXDQGRVHHVFULEHHQ ODIRUPDDOWHUQDWLYDxy  y  x. (y x)dx 4xy dy 0,   y 2y y 0,   y b)/DVHFXDFLRQHV término no lineal: coeficiente depende de y término no lineal: función no lineal de y (1  y)y  2y  e x, d 2y ––––2  sen y  0, dx término no lineal: el exponente es diferente de 1 y d 4y ––––4  y 2  0 dx VRQHMHPSORVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDVno linealesGHSULPHUVHJXQGR\ FXDUWRRUGHQUHVSHFWLYDPHQWH SOLUCIONES &RPR \D VH KD HVWDEOHFLGR XQR GH ORV REMHWLYRV GH HVWH FXUVR HV UHVROYHURHQFRQWUDUVROXFLRQHVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV(QODVLJXLHQWHGH¿QLFLyQ FRQVLGHUDPRVHOFRQFHSWRGHVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULD DEFINICIÓN 1.1.2 Solución de una EDO 6HGHQRPLQDXQDsoluciónGHODHFXDFLyQHQHOLQWHUYDORDFXDOTXLHUIXQFLyQ , GH¿QLGDHQXQLQWHUYDORI\TXHWLHQHDOPHQRVnGHULYDGDVFRQWLQXDVHQIODV FXDOHVFXDQGRVHVXVWLWX\HQHQXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDGHnpVLPR RUGHQUHGXFHQODHFXDFLyQDXQDLGHQWLGDG (QRWUDVSDODEUDVXQDVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDGHnpVLPRRUGHQ  HVXQDIXQFLyQ TXHSRVHHDOPHQRVnGHULYDGDVSDUDODVTXH 1.1 F(x, (x), DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA (n) (x)) (x), . . . , l 5 0

para

toda x en I. 'HFLPRVTXH satisfaceODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQI3DUDQXHVWURVSURSyVLWRVVXSRQGUHPRVTXHXQDVROXFLyQ HVXQDIXQFLyQFRQYDORUHVUHDOHV(QQXHVWURDQiOLVLVGHLQWURGXFFLyQYLPRVTXHy  e0.1x 2HVXQDVROXFLyQGHdy兾dx  0.2xyHQHOLQWHUYDOR  , ). 2FDVLRQDOPHQWHVHUiFRQYHQLHQWHGHQRWDUXQDVROXFLyQFRQHOVtPERORDOWHUQDWLYR\࣠(x). INTERVALO DE DEFINICIÓN 1RSRGHPRVSHQVDUHQODsoluciónGHXQDHFXDFLyQ GLIHUHQFLDORUGLQDULDVLQSHQVDUVLPXOWiQHDPHQWHHQXQintervalo(OLQWHUYDORIHQODGH¿QLFLyQWDPELpQVHFRQRFHFRQRWURVQRPEUHVFRPRVRQLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQ, intervalo de existencia, intervalo de validezRdominio de la solución\SXHGHVHU XQLQWHUYDORDELHUWR a, b XQLQWHUYDORFHUUDGR>a, b@XQLQWHUYDORLQ¿QLWR a, HWFpWHUD EJEMPLO 3 9HUL¿FDFLyQGHXQDVROXFLyQ 9HUL¿TXHTXHODIXQFLyQLQGLFDGDHVXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDHQ HOLQWHUYDOR  , ). a) dy dx 1 xy 2 ; y b) y 1 4 16 x 2y y 0; y xex 8QDIRUPDGHYHUL¿FDUTXHODIXQFLyQGDGDHVXQDVROXFLyQFRQVLVWHHQ REVHUYDUXQDYH]TXHVHKDVXVWLWXLGRVLFDGDODGRGHODHFXDFLyQHVHOPLVPRSDUD WRGDxHQHOLQWHUYDOR SOLUCIÓN a) (Q lado izquierdo: dy dx lado derecho: xy1/2 1 1 3 (4 x 3) x, 16 4 1 4 1/2 x x x 16 1 2 x 4 1 3 x, 4   YHPRVTXHFDGDODGRGHODHFXDFLyQHVHOPLVPRSDUDWRGRQ~PHURUHDOx2EVHUYH 1 4 TXHy1/2 14 x 2HVSRUGH¿QLFLyQODUDt]FXDGUDGDQRQHJDWLYDGH 16 x. b) (Q ODV GHULYDGDV y  xe x  e x \ y  xe x  2e x WHQHPRV TXH SDUD WRGR Q~PHUR UHDOx, lado izquierdo: lado derecho: y 0. 2y y (xe x 2e x ) 2(xe x e x) xe x 0, (QHOHMHPSORREVHUYHWDPELpQTXHFDGDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOWLHQHODVROXFLyQ FRQVWDQWHy  0,   x  $ODVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHHVLJXDO DFHURHQXQLQWHUYDORIVHOHFRQRFHFRPRODsolución trivial. CURVA SOLUCIÓN /D JUi¿FD GH XQD VROXFLyQ  GH XQD ('2 VH OODPD curva solución. 3XHVWRTXH HVXQDIXQFLyQGHULYDEOHHVFRQWLQXDHQVXLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQ I3XHGHKDEHUGLIHUHQFLDHQWUHODJUi¿FDGHODfunción \ODJUi¿FDGHODsolución (VGHFLUHOGRPLQLRGHODIXQFLyQ QRQHFHVLWDVHULJXDODOLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQ I RGRPLQLR GHODVROXFLyQ (OHMHPSORPXHVWUDODGLIHUHQFLD EJEMPLO 4 Función contra solución (OGRPLQLRGHy  1兾xFRQVLGHUDGRVLPSOHPHQWHFRPRXQDfunciónHVHOFRQMXQWRGH WRGRVORVQ~PHURVUHDOHVxH[FHSWRHO&XDQGRWUD]DPRVODJUi¿FDGHy  1兾xGLEXMDPRVORVSXQWRVHQHOSODQRxyFRUUHVSRQGLHQWHVDXQMXLFLRVRPXHVWUHRGHQ~PHURVWRPDGRVGHOGRPLQLR/DIXQFLyQUDFLRQDOy  1兾xHVGLVFRQWLQXDHQHQOD¿JXUD D VH 6 l CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PXHVWUDVXJUi¿FDHQXQDYHFLQGDGGHORULJHQ/DIXQFLyQy  1兾xQRHVGHULYDEOHHQx  \DTXHHOHMHy FX\DHFXDFLyQHVx  HVXQDDVtQWRWDYHUWLFDOGHODJUi¿FD $KRUDy  1兾xHVWDPELpQXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHSULPHU RUGHQxy  y  FRPSUXHEH 3HURFXDQGRGHFLPRVTXHy  1兾xHVXQDsoluciónGH HVWD('VLJQL¿FDTXHHVXQDIXQFLyQGH¿QLGDHQXQLQWHUYDORIHQHOTXHHVGHULYDEOH\ VDWLVIDFHODHFXDFLyQ(QRWUDVSDODEUDVy  1兾xHVXQDVROXFLyQGHOD('HQcualquier LQWHUYDORTXHQRFRQWHQJDWDOFRPR 3, 1), (21, 10), (  R  3RUTXHODV FXUYDVVROXFLyQGH¿QLGDVSRUy  1兾xSDUD3  x \ 21  x VRQVLPSOHPHQWHWUDPRVRSDUWHVGHODVFXUYDVVROXFLyQGH¿QLGDVSRUy  1兾xSDUD  x  0 \  x   UHVSHFWLYDPHQWHHVWR KDFH TXH WHQJD VHQWLGR WRPDU HO LQWHUYDOR I WDQ JUDQGHFRPRVHDSRVLEOH$VtWRPDPRVI\DVHDFRPR   R  /DFXUYDVROXFLyQHQ  HVFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E  y 1 1 x a) función y  1/x, x 0 y 1 1 x b) solución y  1/x, (0, ∞ ) FIGURA 1.1.1 /DIXQFLyQy  1兾xQR HVODPLVPDTXHODVROXFLyQy  1兾x. SOLUCIONES EXPLÍCITAS E IMPLÍCITAS 'HEHHVWDUIDPLOLDUL]DGRFRQORVWpUPLQRVfunciones explícitas\funciones implícitasGHVXFXUVRGHFiOFXOR$XQDVROXFLyQHQODFXDOODYDULDEOHGHSHQGLHQWHVHH[SUHVDVyORHQWpUPLQRVGHODYDULDEOH LQGHSHQGLHQWH\ODVFRQVWDQWHVVHOHFRQRFHFRPRsolución explícita3DUDQXHVWURV SURSyVLWRVFRQVLGHUHPRVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDFRPRXQDIyUPXODH[SOtFLWDy  (x) TXHSRGDPRVPDQHMDUHYDOXDU\GHULYDUXVDQGRODVUHJODVXVXDOHV$FDEDPRVGHYHU HQORVGRV~OWLPRVHMHPSORVTXH y  161 x4 , y  xe x\y  1兾xVRQVROXFLRQHVH[SOtFLWDVUHVSHFWLYDPHQWHGHdy兾dx  xy , y  2y  y \xy  y $GHPiVOD VROXFLyQWULYLDOy HVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHFDGDXQDGHHVWDVWUHVHFXDFLRQHV &XDQGROOHJXHPRVDOSXQWRGHUHDOPHQWHUHVROYHUODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDVYHUHPRVTXHORVPpWRGRVGHVROXFLyQQRVLHPSUHFRQGXFHQGLUHFWDPHQWHDXQDVROXFLyQH[SOtFLWDy  (x (VWRHVSDUWLFXODUPHQWHFLHUWRFXDQGRLQWHQWDPRVUHVROYHU HFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHSULPHURUGHQ&RQIUHFXHQFLDWHQHPRVTXHFRQIRUPDUQRV FRQXQDUHODFLyQRH[SUHVLyQG(x, y) TXHGH¿QHXQDVROXFLyQ LPSOtFLWDPHQWH DEFINICIÓN 1.1.3 Solución implícita de una EDO 6HGLFHTXHXQDUHODFLyQG(x, y) HVXQDsolución implícita GHXQDHFXDFLyQ GLIHUHQFLDORUGLQDULD  HQXQLQWHUYDORIVXSRQLHQGRTXHH[LVWHDOPHQRVXQD IXQFLyQ TXHVDWLVIDFHODUHODFLyQDVtFRPRODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQI. (VWiIXHUDGHODOFDQFHGHHVWHFXUVRLQYHVWLJDUODFRQGLFLyQEDMRODFXDOODUHODFLyQ G(x, y) GH¿QHXQDIXQFLyQGHULYDEOH 3RUORTXHVXSRQGUHPRVTXHVLLPSOHPHQWDU IRUPDOPHQWHXQPpWRGRGHVROXFLyQQRVFRQGXFHDXQDUHODFLyQG(x, y) HQWRQFHV H[LVWHDOPHQRVXQDIXQFLyQ TXHVDWLVIDFHWDQWRODUHODFLyQ TXHHVG(x, (x))  0) FRPRODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQHOLQWHUYDORI6LODVROXFLyQLPSOtFLWDG(x, y) HV EDVWDQWHVLPSOHSRGHPRVVHUFDSDFHVGHGHVSHMDUDyHQWpUPLQRVGHx\REWHQHUXQDR PiVVROXFLRQHVH[SOtFLWDV9HDHQLQFLVRi)HQORVComentarios. EJEMPLO 5 Comprobación de una solución implícita /DUHODFLyQx 2  y 2 HVXQDVROXFLyQLPSOtFLWDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO dy dx x y (8) HQHOLQWHUYDORDELHUWR  'HULYDQGRLPSOtFLWDPHQWHREWHQHPRV d 2 x dx d 2 y dx d 25    o dx 2x 2y dy dx 0. 5HVROYLHQGR OD ~OWLPD HFXDFLyQ SDUD dy兾dx VH REWLHQH   $GHPiV UHVROYLHQGR x 2  y 2 SDUDyHQWpUPLQRVGHxVHREWLHQH y   225  x2 /DVGRVIXQFLRQHV y  1(x)  125  x2 y y  2(x)   125  x2  VDWLVIDFHQ OD UHODFLyQ TXH HV 1.1 y l 7 x 2  12  \x 2  22  \VRQODVVROXFLRQHVH[SOtFLWDVGH¿QLGDVHQHOLQWHUYDOR  /DVFXUYDVVROXFLyQGDGDVHQODV¿JXUDV E \ F VRQWUDPRVGH ODJUi¿FDGHODVROXFLyQLPSOtFLWDGHOD¿JXUD D  5 5 &XDOTXLHUUHODFLyQGHOWLSRx2  y2 – c HV formalmente VDWLVIDFWRULD  SDUDFXDOTXLHUFRQVWDQWHc6LQHPEDUJRVHVREUHQWLHQGHTXHODUHODFLyQVLHPSUHWHQGUiVHQWLGR HQHOVLVWHPDGHORVQ~PHURVUHDOHVDVtSRUHMHPSORVLc  QRSRGHPRVGHFLU TXHx2  y2  25 HVXQDVROXFLyQLPSOtFLWDGHODHFXDFLyQ ¢3RUTXpQR" 'HELGRDTXHODGLIHUHQFLDHQWUHXQDVROXFLyQH[SOtFLWD\XQDVROXFLyQLPSOtFLWD GHEHUtDVHULQWXLWLYDPHQWHFODUDQRGLVFXWLUHPRVHOWHPDGLFLHQGRVLHPSUH³$TXtHVWi XQDVROXFLyQH[SOtFLWD LPSOtFLWD ´ x a) solución implícita x 2  y 2  25 y DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA FAMILIAS DE SOLUCIONES (OHVWXGLRGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVHVVLPLODUDO GHOFiOFXORLQWHJUDO(QDOJXQRVOLEURVDXQDVROXFLyQ HVHOHOODPDDYHFHVintegral de la ecuación\DVXJUi¿FDVHOHOODPDcurva integral&XDQGRREWHQHPRVXQDDQWLGHULYDGDRXQDLQWHJUDOLQGH¿QLGDHQFiOFXORXVDPRVXQDVRODFRQVWDQWHcGHLQWHJUDFLyQ'HPRGRVLPLODUFXDQGRUHVROYHPRVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQ F(x, y, y)  0, normalmenteREWHQHPRVXQDVROXFLyQTXHFRQWLHQHXQDVRODFRQVWDQWH DUELWUDULDRSDUiPHWURc8QDVROXFLyQTXHFRQWLHQHXQDFRQVWDQWHDUELWUDULDUHSUHVHQWD XQFRQMXQWRG(x, y, c) GHVROXFLRQHVOODPDGRfamilia de soluciones uniparamétrica&XDQGRUHVROYHPRVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHRUGHQn, F(x, y, y, . . . , y (n))  0, EXVFDPRVXQDfamilia de soluciones n-paramétrica G(x, y, c1, c 2, . . . , cn) (VWR VLJQL¿FDTXHXQDVRODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSXHGHWHQHUXQQ~PHURLQ¿QLWRGHVROXcionesTXHFRUUHVSRQGHQDXQQ~PHURLOLPLWDGRGHHOHFFLRQHVGHORVSDUiPHWURV8QD VROXFLyQ GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO TXH HVWi OLEUH GH OD HOHFFLyQ GH SDUiPHWURV VH OODPDsolución particular. 5 5 x b) solución explícita y1  兹25  x 2,  5  x  5 y 5 EJEMPLO 6 Soluciones particulares 5 x −5 c) solución explícita y2  兹25  x 2, 5  x  5 FIGURA 1.1.2 8QDVROXFLyQLPSOtFLWD \GRVVROXFLRQHVH[SOtFLWDVGH  HQHO HMHPSOR y c>0 c=0 a)/DIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDy  cx  xFRVxHVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHODHFXDFLyQ OLQHDOGHSULPHURUGHQ xy  y  x 2VHQx HQHOLQWHUYDOR  ,  FRPSUXHEH /D¿JXUDPXHVWUDODVJUi¿FDVGHDOJXQDV GHODVVROXFLRQHVHQHVWDIDPLOLDSDUDGLIHUHQWHVHOHFFLRQHVGHc/DVROXFLyQy  x FRVxODFXUYDD]XOHQOD¿JXUDHVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUFRUUHVSRQGLHQWHDc  0. b)/DIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHGRVSDUiPHWURVy  c1e x  c 2xe xHVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHODHFXDFLyQOLQHDOGHVHJXQGRRUGHQ y  2y  y  0 GHOLQFLVRE GHOHMHPSOR FRPSUXHEH (QOD¿JXUDKHPRVPRVWUDGRVLHWHGHODV ³GREOHPHQWHLQ¿QLWDV´VROXFLRQHVGHODIDPLOLD/DVFXUYDVVROXFLyQHQURMRYHUGH\ D]XOVRQODVJUi¿FDVGHODVVROXFLRQHVSDUWLFXODUHVy  5[H࣠x (c1  0, c 2  5), y  3xe x (c1  3, c 2  \y  5e x  2xe x (c1  5, c2  UHVSHFWLYDPHQWH $OJXQDV YHFHV XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO WLHQH XQD VROXFLyQ TXH QR HV PLHPEUR GH XQD IDPLOLD GH VROXFLRQHV GH OD HFXDFLyQ HV GHFLU XQD VROXFLyQ TXH QR VH SXHGH REWHQHU XVDQGRXQSDUiPHWURHVSHFt¿FRGHODIDPLOLDGHVROXFLRQHV(VDVROXFLyQH[WUDVHOODPD solución singular3RUHMHPSORYHPRVTXHy  161 x4 \y VRQVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQ GLIHUHQFLDO dy兾dx  xy HQ  ,  (Q OD VHFFLyQ  GHPRVWUDUHPRV DO UHVROYHUOD UHDOPHQWH TXH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO dy兾dx  xy  WLHQH OD IDPLOLD GH VROXFLRFIGURA 1.1.3 $OJXQDVVROXFLRQHVGH QHV XQLSDUDPpWULFD y  1 x2  c 2 &XDQGR c   OD VROXFLyQ SDUWLFXODU UHVXOWDQWH HV 4 OD('GHOLQFLVRD GHOHMHPSOR y  161 x4  3HUR REVHUYH TXH OD VROXFLyQ WULYLDO y   HV XQD VROXFLyQ VLQJXODU \D TXH QRHVXQPLHPEURGHODIDPLOLDy  14 x2  c 2 SRUTXHQRKD\PDQHUDGHDVLJQDUOHXQ YDORUDODFRQVWDQWHcSDUDREWHQHUy  0. c<0 x ( ) ( ) 8 l CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES (QWRGRVORVHMHPSORVDQWHULRUHVKHPRVXVDGRx\ySDUDGHQRWDUODVYDULDEOHV LQGHSHQGLHQWH\GHSHQGLHQWHUHVSHFWLYDPHQWH3HURGHEHUtDDFRVWXPEUDUVHDYHU\WUDEDMDUFRQRWURVVtPERORVTXHGHQRWDQHVWDVYDULDEOHV3RUHMHPSORSRGUtDPRVGHQRWDU ODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHSRUt\ODYDULDEOHGHSHQGLHQWHSRUx. y x FIGURA 1.1.4 $OJXQDVVROXFLRQHVGH OD('GHOLQFLVRE GHOHMHPSOR EJEMPLO 7 Usando diferentes símbolos /DVIXQFLRQHVx  c1 FRVt\x  c2 VHQtGRQGHc1\c2VRQFRQVWDQWHVDUELWUDULDVR SDUiPHWURVVRQDPEDVVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDO x 16x 0. 3DUDx  c1FRVtODVGRVSULPHUDVGHULYDGDVUHVSHFWRDtVRQx  4c1VHQt\ x  16c1FRVt.6XVWLWX\HQGRHQWRQFHVDx\xVHREWLHQH x 16x 16c1 cos 4t 16(c1 cos 4t) 0. 'HPDQHUDSDUHFLGDSDUDx  c2VHQtWHQHPRVx  16c 2VHQt\DVt x 16x 16c2 sen 4t 16(c2 sen 4t) 0. )LQDOPHQWHHVVHQFLOORFRPSUREDUGLUHFWDPHQWHTXHODFRPELQDFLyQOLQHDOGHVROXFLRQHVRODIDPLOLDGHGRVSDUiPHWURVx  c1FRVt  c2VHQtHVWDPELpQXQDVROXFLyQ GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO (OVLJXLHQWHHMHPSORPXHVWUDTXHODVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSXHGH VHUXQDIXQFLyQGH¿QLGDSRUSDUWHV EJEMPLO 8 8QDVROXFLyQGH¿QLGDSRUSDUWHV /DIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHIXQFLRQHVPRQRPLDOHVFXiUWLFDVy  cx4HVXQDVROXFLyQ H[SOtFLWDGHODHFXDFLyQOLQHDOGHSULPHURUGHQ xy  4y  0 HQHOLQWHUYDOR  ,  &RPSUXHEH /DVFXUYDVVROXFLyQD]XO\URMDTXHVHPXHVWUDQ HQOD¿JXUD D VRQODVJUi¿FDVGHy = x4\y =  x4\FRUUHVSRQGHQDODVHOHFFLRQHV GHc \c =  UHVSHFWLYDPHQWH y /DIXQFLyQGHULYDEOHGH¿QLGDSRUWUDPRV c 1 x4, x4, y x c 1 a) dos soluciones explicitas y c 1, x d0 x c 1, x0 b) solución definida en partes FIGURA 1.1.5 $OJXQDVVROXFLRQHVGH OD('GHOHMHPSOR x x 0 0 HVWDPELpQXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODHFXDFLyQSHURQRVHSXHGHREWHQHUGHODIDPLOLDy  cx4SRUXQDVRODHOHFFLyQGHcODVROXFLyQVHFRQVWUX\HDSDUWLUGHODIDPLOLD HOLJLHQGRc  SDUDx \c SDUDx 9HDOD¿JXUD E  SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES +DVWDHVWHPRPHQWRKHPRVDQDOL]DGR VyOR HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV TXH FRQWLHQHQ XQD IXQFLyQ LQFyJQLWD 3HUR FRQ IUHFXHQFLDHQODWHRUtDDVtFRPRHQPXFKDVDSOLFDFLRQHVGHEHPRVWUDWDUFRQVLVWHPDV GHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV8Qsistema de ecuaciones diferenciales ordinariasWLHQH GRVRPiVHFXDFLRQHVTXHLPSOLFDQGHULYDGDVGHGRVRPiVIXQFLRQHVLQFyJQLWDVGHXQD VRODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWH3RUHMHPSORVLx\yGHQRWDQDODVYDULDEOHVGHSHQGLHQWHV \t GHQRWDDODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHHQWRQFHVXQVLVWHPDGHGRVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHSULPHURUGHQHVWiGDGRSRU dx dt f(t, x, y) dy dt g(t, x, y). (9) 1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA l 9 8QD solución GH XQ VLVWHPD WDO FRPR HO GH OD HFXDFLyQ   HV XQ SDU GH IXQFLRQHV GHULYDEOHVx  1(t), y  2(t GH¿QLGDVHQXQLQWHUYDORFRP~QITXHVDWLVIDFHFDGD HFXDFLyQGHOVLVWHPDHQHVWHLQWHUYDOR COMENTARIOS i) $OJXQRVFRPHQWDULRV¿QDOHVUHVSHFWRDODVVROXFLRQHVLPSOtFLWDVGHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV(QHOHMHPSORSXGLPRVGHVSHMDUIiFLOPHQWHDyGHODUHODFLyQx 2  y 2 HQWpUPLQRVGHxSDUDREWHQHUODVGRVVROXFLRQHVH[SOtFLWDV 2 2 1(x)  125  x \ 2(x)   125  x GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO  3HUR QRGHEHPRVHQJDxDUQRVFRQHVWH~QLFRHMHPSOR$PHQRVTXHVHDIiFLORLPSRUWDQWHRTXHVHOHLQGLTXHHQJHQHUDOQRHVQHFHVDULRWUDWDUGHGHVSHMDUyH[SOt FLWDPHQWHHQWpUPLQRVGHxGHXQDVROXFLyQLPSOtFLWDG(x, y) 7DPSRFRGHEHPRVPDOLQWHUSUHWDUHOHQXQFLDGRSRVWHULRUDODGH¿QLFLyQ8QDVROXFLyQ LPSOtFLWDG(x, y) SXHGHGH¿QLUSHUIHFWDPHQWHELHQDXQDIXQFLyQGHULYDEOH TXHHVXQDVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDODXQTXHQRVHSXHGDGHVSHMDUD yGHG(x, y) FRQPpWRGRVDQDOtWLFRVFRPRORVDOJHEUDLFRV/DFXUYDVROXFLyQ GH SXHGHVHUXQWUDPRRSDUWHGHODJUi¿FDGHG(x, y) 9pDQVHORVSUREOHPDV\HQORVHMHUFLFLRV7DPELpQOHDHODQiOLVLVVLJXLHQWHDOHMHPSOR GHODVHFFLyQ ii $XQTXHVHKDHQIDWL]DGRHOFRQFHSWRGHXQDVROXFLyQHQHVWDVHFFLyQWDPELpQ GHEHUtDFRQVLGHUDUTXHXQD('QRQHFHVDULDPHQWHWLHQHXQDVROXFLyQ9HDHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV(OWHPDGHVLH[LVWHXQDVROXFLyQVHWUDWDUiHQOD VLJXLHQWHVHFFLyQ iii 3RGUtDQRVHUHYLGHQWHVLXQD('2GHSULPHURUGHQHVFULWDHQVXIRUPDGLIHUHQFLDOM(x, y)dx  N(x, y)dy HVOLQHDORQROLQHDOSRUTXHQRKD\QDGD HQHVWDIRUPDTXHQRVPXHVWUHTXpVtPERORVGHQRWDQDODYDULDEOHGHSHQGLHQWH 9pDQVHORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV iv 3RGUtDSDUHFHUSRFRLPSRUWDQWHVXSRQHUTXHF(x, y, y, . . . , y (n)) SXHGH UHVROYHUSDUDy(n)SHURKD\TXHVHUFXLGDGRVRFRQHVWR([LVWHQH[FHSFLRQHV\ KD\UHDOPHQWHDOJXQRVSUREOHPDVFRQHFWDGRVFRQHVWDVXSRVLFLyQ9pDQVHORV SUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV v 3XHGHHQFRQWUDUHOWpUPLQRsoluciones de forma cerradaHQOLEURVGH('R HQFODVHVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV/DWUDGXFFLyQGHHVWDIUDVHQRUPDOPHQWH VHUH¿HUHDODVVROXFLRQHVH[SOtFLWDVTXHVRQH[SUHVDEOHVHQWpUPLQRVGHfunciones elementales RFRQRFLGDV FRPELQDFLRQHV¿QLWDVGHSRWHQFLDVHQWHUDVGHx, UDtFHV IXQFLRQHV H[SRQHQFLDOHV \ ORJDUtWPLFDV \ IXQFLRQHV WULJRQRPpWULFDV \ IXQFLRQHVWULJRQRPpWULFDVLQYHUVDV vi) 6LWRGDVROXFLyQGHXQD('2GHnpVLPRRUGHQF(x, y, y’,…, y(n)) HQXQLQWHUYDORIVHSXHGHREWHQHUDSDUWLUGHXQDIDPLOLDnSDUiPHWURVG(x, y, c1, c2,…, cn) = 0 HOLJLHQGRDSURSLDGDPHQWHORVSDUiPHWURV ci, i = 1, 2, …, n HQWRQFHVGLUHPRV TXH OD IDPLOLD HV OD solución general GH OD ('$O UHVROYHU ('2 OLQHDOHV LPSRQHPRV DOJXQDV UHVWULFFLRQHV UHODWLYDPHQWH VLPSOHV HQ ORV FRH¿FLHQWHV GH OD HFXDFLyQFRQHVWDVUHVWULFFLRQHVSRGHPRVDVHJXUDUQRVyORTXHH[LVWHXQDVROXFLyQHQXQLQWHUYDORVLQRWDPELpQTXHXQDIDPLOLDGHVROXFLRQHVSURGXFHWRGDVODV SRVLEOHVVROXFLRQHV/DV('2QROLQHDOHVFRQH[FHSFLyQGHDOJXQDVHFXDFLRQHV GHSULPHURUGHQVRQQRUPDOPHQWHGLItFLOHVRLPSRVLEOHVGHUHVROYHUHQWpUPLQRV GHIXQFLRQHVHOHPHQWDOHV$GHPiVVLREWHQHPRVXQDIDPLOLDGHVROXFLRQHVSDUD XQD HFXDFLyQ QR OLQHDO QR HV REYLR VL OD IDPLOLD FRQWLHQH WRGDV ODV VROXFLRQHV (QWRQFHVDQLYHOSUiFWLFRODGHVLJQDFLyQGH³VROXFLyQJHQHUDO´VHDSOLFDVyORD ODV('2OLQHDOHV(VWHFRQFHSWRVHUiUHWRPDGRHQODVHFFLyQ\HQHOFDStWXOR 10 CAPÍTULO 1 l INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EJERCICIOS 1.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-1. (QORVSUREOHPDVDHVWDEOH]FDHORUGHQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDGDGD'HWHUPLQHVLODHFXDFLyQHVOLQHDORQR OLQHDOFRPSDUDQGRFRQODHFXDFLyQ   1. (1 2. x x)y d3y dx3 dy dx 4. d 2u dr 2 5. d 2y dx 2 u 0 cos(r 19. u) 2 x uv
P(1 P); P 22. dy dx 2xy 1; y 0 9. (y 2  1) dx  x dy HQyHQx (v u ue ) du 2 23. d y dx2 4 3 24. x3 d y dx3 0; en v; en u (QORVSUREOHPDVGHODOFRPSUXHEHTXHODIXQFLyQLQGLFDGDHVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD 7RPHXQLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQDSURSLDGRSDUDFDGDVROXFLyQ dy dt 24;

y 20y 6 5 6 e 5 y c1x dy dx 2x2 1 (QORVSUREOHPDVDFRPSUXHEHTXHODIXQFLyQLQGLFDGD y  (x HVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO GDGDGHSULPHURUGHQ3URFHGDFRPRHQHOHMHPSORFRQVLGHUDGRD VLPSOHPHQWHFRPRXQDfunción\GpVXGRPLQLR /XHJRFRQVLGHUHD FRPRXQDsoluciónGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO\GpDOPHQRVXQLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQ y x 8;

y 16. y  25  y   y WDQx 2 x 2 x2 et dt c1e x2 0
4y c1e2x 0; y d 2y dx2 x c2 x dy dx c2 xe2x 12x2; y 4x2 c3 x ln x 25. &RPSUXHEHTXHODIXQFLyQGH¿QLGDHQSDUWHV

x2, x
x2, x 0 0   HVXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOxy  2y  0 HQ  , ). 20t 14. y  y WDQx  y   FRVx OQ VHFx WDQx) x)y t x e y 13. y  6y  13y   y  e 3xFRVx 15. (y 1 1 c1et 1 c1et
11. 2y  y   y  e x 12. 2X X 2X);

ln 1)(1 dP dt 21. (QORVSUREOHPDV\GHWHUPLQHVLODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO GDGDGHSULPHURUGHQHVOLQHDOHQODYDULDEOHGHSHQGLHQWHLQGLFDGDDODMXVWDUpVWDFRQODSULPHUDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD HQ   10. u dv (X (QORVSUREOHPDVDFRPSUXHEHTXHODIDPLOLDGHIXQFLRQHV LQGLFDGD HV XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD 6XSRQJDXQLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQDGHFXDGRSDUDFDGDVROXFLyQ (cos )y . x2 . x 3 1 dX dt 20. 2xy dx  (x 2  y) dy   2x 2y  y 2  1 2 k R2 7. (sen )y 18. 2y  y 3FRVx  y  (1 VHQx) (QORVSUREOHPDV\FRPSUXHEHTXHODH[SUHVLyQLQGLFDGDHVXQDVROXFLyQLPSOtFLWDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD GH SULPHU RUGHQ (QFXHQWUH DO PHQRV XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD y  (x HQFDGDFDVR8WLOLFHDOJXQDDSOLFDFLyQSDUDWUD]DU JUi¿FDVSDUDREWHQHUODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQH[SOtFLWD'p XQLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQGHFDGDVROXFLyQ . cos x 0 dy dx 1  d R dt 2 8. ẍ y 6y du dr 2 5y 4 t 3y 3. t 5y(4) 6. 4xy 17. y  2xy 2  y  1兾(4  x 2) 4 x 2 26. (Q HO HMHPSOR  YLPRV TXH y  ␾1(x)  125  x2 \ y  2(x)  125  x2 VRQVROXFLRQHVGHdy兾dx  x兾yHQHOLQWHUYDOR  ([SOLTXHSRUTXpODIXQFLyQ GH¿QLGDHQSDUWHV y 25 25 x2 , x2, 5
0 x x 0 5 noHVXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQHOLQWHUYDOR 5, 5). (QORVSUREOHPDVDGHWHUPLQHORVYDORUHVGHmSDUDTXHOD IXQFLyQy  emxVHDXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD 1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA 27. y  2y  0 28. 5y  2y 29. y  5y  6y  0 30. 2y  7y  4y  0 (QORVSUREOHPDV\GHWHUPLQHORVYDORUHVGHmSDUDTXH ODIXQFLyQy  xmVHDXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO GDGD 31. xy  2y  0 32. x2y  7xy  15y  0 (QORVSUREOHPDVGHODOHPSOHHHOFRQFHSWRGHTXHy  c,   x  HVXQDIXQFLyQFRQVWDQWHVL\VyORVLy SDUD GHWHUPLQDUVLODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDWLHQHVROXFLRQHVFRQVWDQWHV 33. 3xy  5y  10 34. y  y 2  2y  3 35. (y  1)y  1 36. y  4y  6y  10 (QORVSUREOHPDV\FRPSUXHEHTXHHOSDUGHIXQFLRQHV TXHVHLQGLFDHVXQDVROXFLyQGHOVLVWHPDGDGRGHHFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHVHQHOLQWHUYDOR  , ). 37. dx dt x dy dt x y e 2 38. d x dt 2 3y 5x 3y; 2t 3e6t, e 2t 5e6t 4y d 2y 4x dt 2 x cos 2t y cos 2t l 11 43. 'DGRTXHy VHQxHVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHODHFXDFLyQ dy GLIHUHQFLDO GH SULPHU RUGHQ  11  y2  HQFXHQWUH dx   XQLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQI>Sugerencia: I noHVHOLQWHUYDOR  , ).] 44. $QDOLFHSRUTXpLQWXLWLYDPHQWHVHVXSRQHTXHODHFXDFLyQ GLIHUHQFLDOOLQHDOy  2y  4y VHQtWLHQHXQDVROXFLyQGHODIRUPDy  AVHQt  BFRVtGRQGHA\BVRQ FRQVWDQWHV'HVSXpVGHWHUPLQHODVFRQVWDQWHVHVSHFt¿FDV A\BWDOHVTXHy  AVHQt  BFRVtHVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHOD(' (QORVSUREOHPDV\OD¿JXUDGDGDUHSUHVHQWDODJUi¿FDGH XQDVROXFLyQLPSOtFLWDG(x, y) GHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO dy兾dx  f (x, y (QFDGDFDVRODUHODFLyQG(x, y) GH¿QH LPSOtFLWDPHQWHYDULDVVROXFLRQHVGHOD('5HSURGX]FDFXLGDGRVDPHQWHFDGD¿JXUDHQXQDKRMD8VHOiSLFHVGHGLIHUHQWHV FRORUHV SDUD VHxDODU ORV VHJPHQWRV R SDUWHV GH FDGD JUi¿FD TXHFRUUHVSRQGDDODVJUi¿FDVGHODVVROXFLRQHV5HFXHUGHTXH XQDVROXFLyQ GHEHVHUXQDIXQFLyQ\VHUGHULYDEOH8WLOLFH OD FXUYD VROXFLyQ SDUD HVWLPDU XQ LQWHUYDOR GH GH¿QLFLyQ I GHFDGDVROXFLyQ . 45. y et 1 et; sen 2 t sen 2 t 1 5 1 5 FIGURA 1.1.6 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD et Problemas para analizar y 46. 39. &RQVWUX\DXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHQRWHQJDDOJXQD VROXFLyQUHDO 1 40. &RQVWUX\DXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHHVWpVHJXURTXHVRODPHQWHWLHQHODVROXFLyQWULYLDOy ([SOLTXHVXUD]RQDPLHQWR 41. ¢4Xp IXQFLyQ FRQRFH GH FiOFXOR FX\D SULPHUD GHULYDGD VHD HOOD PLVPD" ¢6X SULPHUD GHULYDGD HV XQ P~OWLSOR FRQVWDQWHkGHVtPLVPD"(VFULEDFDGDUHVSXHVWDHQIRUPD GHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQFRQXQDVROXFLyQ 42. ¢4XpIXQFLyQ RIXQFLRQHV GHFiOFXORFRQRFHFX\DVHJXQGDGHULYDGDVHDHOODPLVPD"¢6XVHJXQGDGHULYDGDHV ODQHJDWLYDGHVtPLVPD"(VFULEDFDGDUHVSXHVWDHQIRUPD GHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHVHJXQGRRUGHQFRQXQDVROXFLyQ x 1 et, 1 x FIGURA 1.1.7 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD 47. /DVJUi¿FDVGHORVPLHPEURVGHXQDIDPLOLDXQLSDUDPpWULFD x3 y3  3cxy VH OODPDQ folium de Descartes. &RPSUXHEHTXHHVWDIDPLOLDHVXQDVROXFLyQLPSOtFLWDGH ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQ dy dx y(y3 2x3) x(2y3 x3) 12 l CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 48. /DJUi¿FDGHOD¿JXUDHVHOPLHPEURGHODIDPLOLDGHO IROLXPGHOSUREOHPDFRUUHVSRQGLHQWHDc $QDOLFH ¢FyPRSXHGHOD('GHOSUREOHPDD\XGDUDGHWHUPLQDU ORVSXQWRVGHODJUi¿FDGHx3  y3  3xyGRQGHODUHFWD WDQJHQWHHVYHUWLFDO"¢&yPRVDEHUGyQGHXQDUHFWDWDQJHQWHTXHHVYHUWLFDOD\XGDDGHWHUPLQDUXQLQWHUYDORI GH GH¿QLFLyQGHXQDVROXFLyQ GHOD('"(ODERUHVXVLGHDV \ FRPSDUH FRQ VXV HVWLPDFLRQHV GH ORV LQWHUYDORV HQ HO SUREOHPD 49. (QHOHMHPSORHOLQWHUYDORIPiVJUDQGHVREUHHOFXDOODV VROXFLRQHVH[SOtFLWDVy  1(x \y  2(x VHHQFXHQWUDQ GH¿QLGDV HV HO LQWHUYDOR DELHUWR    ¢3RU TXp I QR SXHGHVHUHOLQWHUYDORFHUUDGRI GH¿QLGRSRU>@" 50. (Q HO SUREOHPD  VH GD XQD IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD GH VROXFLRQHVGHOD('P  P(1P ¢&XDOTXLHUFXUYDVROXFLyQSDVDSRUHOSXQWR  "¢<SRUHOSXQWR  " 51. $QDOLFH\PXHVWUHFRQHMHPSORVFyPRUHVROYHUHFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHVGHODVIRUPDVdy兾dx  f (x \G࣠2y兾dx 2  f (x). 52. /DHFXDFLyQGLIHUHQFLDOx(y)2  4y  12x3 WLHQHOD IRUPDGDGDHQODHFXDFLyQ  'HWHUPLQHVLODHFXDFLyQ VHSXHGHSRQHUHQVXIRUPDQRUPDOdy兾dx  f (x, y). 53. /D IRUPD QRUPDO   GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH npVLPRRUGHQHVHTXLYDOHQWHDODHFXDFLyQ  VLODVGRV IRUPDVWLHQHQH[DFWDPHQWHODVPLVPDVVROXFLRQHV)RUPH XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQSDUDODTXHF(x, y, y) QRVHDHTXLYDOHQWHDODIRUPDQRUPDOdy兾dx  f (x, y). 54. 'HWHUPLQH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH VHJXQGR RUGHQ F(x, y, y, y) SDUDODFXDOy  c1x  c 2x 2HVXQDIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHGRVSDUiPHWURV$VHJ~UHVHGHTXHVX HFXDFLyQHVWpOLEUHGHORVSDUiPHWURVc1\c2.   $PHQXGRVHSXHGHREWHQHULQIRUPDFLyQFXDOLWDWLYDVREUH XQDVROXFLyQy  (x GHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHOD HFXDFLyQPLVPD$QWHVGHWUDEDMDUFRQORVSUREOHPDV±  UHFXHUGH HO VLJQL¿FDGR JHRPpWULFR GH ODV GHULYDGDV dy兾dx\d 2y兾dx 2. dy 2 55. &RQVLGHUHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO  e[࣠ . dx a) ([SOLTXHSRUTXpXQDVROXFLyQGHOD('GHEHVHUXQD IXQFLyQFUHFLHQWHHQFXDOTXLHULQWHUYDORGHOHMHGHODVx. b) ¢$TXpVRQLJXDOHV lím dy dx y lím dy dx "¢4Xp  x x OH VXJLHUH HVWR UHVSHFWR D XQD FXUYD VROXFLyQ FRQIRUPHx :  " c) 'HWHUPLQH XQ LQWHUYDOR VREUH HO FXDO XQD VROXFLyQ FXUYDHVFyQFDYDKDFLDDEDMR\VREUHHOFXDOODFXUYD HVFyQFDYDHQXQLQWHUYDOR d) %RVTXHMHODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQy  (x GHOD HFXDFLyQGLIHUHQFLDOFX\DIRUPDVHVXJLHUHHQORVLQFLVRVD DOF  56. &RQVLGHUHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOdy兾dx  5 – y. a) <DVHDSRULQVSHFFLyQRDWUDYpVGHOPpWRGRTXHVH VXJLHUHHQORVSUREOHPDVDHQFXHQWUHXQDVROXFLyQFRQVWDQWHGHOD(' b) 8WLOL]DQGRVyORODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHWHUPLQHORV LQWHUYDORVHQHOHMHyHQORVTXHXQDVROXFLyQQRFRQVWDQWHy  (x VHDFUHFLHQWH'HWHUPLQHORVLQWHUYDORV HQHOHMHyHQORVFXDOHVy  (x HVGHFUHFLHQWH 57. &RQVLGHUH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO dy兾dx  y(a – by), GRQGHa\bVRQFRQVWDQWHVSRVLWLYDV a) <DVHDSRULQVSHFFLyQRDWUDYpVGHOPpWRGRTXHVH VXJLHUHHQORVSUREOHPDVDGHWHUPLQHGRVVROXFLRQHVFRQVWDQWHVGHOD(' b) 8VDQGRVyORODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHWHUPLQHORVLQWHUYDORVHQHOHMHyHQORVTXHXQDVROXFLyQQRFRQVWDQWH y  (x HVFUHFLHQWH'HWHUPLQHORVLQWHUYDORVHQORV TXHy  (x HVGHFUHFLHQWH c) 8WLOL]DQGRVyORODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOH[SOLTXHSRUTXp y  a兾2bHVODFRRUGHQDGDyGHXQSXQWRGHLQÀH[LyQGH ODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQQRFRQVWDQWHy  (x). d) (Q ORV PLVPRV HMHV FRRUGHQDGRV WUDFH ODV JUi¿FDV GHODVGRVVROXFLRQHVFRQVWDQWHVHQHOLQFLVRD (VWDV VROXFLRQHVFRQVWDQWHVSDUWHQHOSODQRxyHQWUHVUHJLRQHV(QFDGDUHJLyQWUDFHODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQ QRFRQVWDQWHy  (x FX\DIRUPDVHVXJLHUHSRUORV UHVXOWDGRVGHORVLQFLVRVE \F  58. &RQVLGHUHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOy  y2  4. a) ([SOLTXHSRUTXpQRH[LVWHQVROXFLRQHVFRQVWDQWHVGH ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO b) 'HVFULED OD JUi¿FD GH XQD VROXFLyQ y  (x  3RU HMHPSOR¢SXHGHXQDFXUYDVROXFLyQWHQHUXQH[WUHPR UHODWLYR" c) ([SOLTXH SRU TXp y   HV OD FRRUGHQDGD y GH XQ SXQWRGHLQÀH[LyQGHXQDFXUYDVROXFLyQ d) 7UDFHODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQy  (x GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOFX\DIRUPDVHVXJLHUHHQORVLQFLVRV D DOF  Tarea para el laboratorio de computación (QORVSUREOHPDV\XVHXQ&$6 SRUVXVVLJODVHQLQJOpV 6LVWHPD$OJHEUDLFR&RPSXWDFLRQDO SDUDFDOFXODUWRGDVODV GHULYDGDV\UHDOLFHODVVLPSOL¿FDFLRQHVQHFHVDULDVSDUDFRPSUREDUTXHODIXQFLyQLQGLFDGDHVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGH ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO 59. y (4)  20y  158y  580y  841y  y  xe 5xFRVx 60. x3y  2x2y   20xy  78y  0; sen(5 ln x) cos(5 ln x) 3 y  20 x x 1.2 1.2 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES l 13 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES REPASO DE MATERIAL l )RUPDQRUPDOGHXQD(' l 6ROXFLyQGHXQD(' l )DPLOLDGHVROXFLRQHV INTRODUCCIÓN  &RQIUHFXHQFLDQRVLQWHUHVDQSUREOHPDVHQORVTXHEXVFDPRVXQDVROXFLyQy(x) GHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQODTXHTXHy(x VDWLVIDFHFRQGLFLRQHVSUHVFULWDVHVGHFLUFRQGLFLRQHV LPSXHVWDVVREUHXQDy(x GHVFRQRFLGDRVXVGHULYDGDV(QDOJ~QLQWHUYDORITXHFRQWLHQHDx0HOSUREOHPD GHUHVROYHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHnpVLPRRUGHQVXMHWRDODVnFRQGLFLRQHVTXHORDFRPSDxDQ HVSHFL¿FDGDVHQx0 Resolver: d ny  f 冢x, y, y, . . . , y(n1)冣 dxn Sujeto a: y(x0)  y0, y(x0)  y1, . . . , y(n1)(x0)  yn1, (1) GRQGHy 0, y1, . . . , yn1VRQFRQVWDQWHVUHDOHVDUELWUDULDVGDGDVVHOODPDproblema con valores iniciales (PVI) en n-ésimo orden/RVYDORUHVGHy(x \GHVXVSULPHUDVn±GHULYDGDVHQXQVRORSXQWRx 0, y(x 0)  y 0, y(x 0)  y1, . . . , y (n1)(x 0)  yn1VHOODPDQcondiciones iniciales (CI). 5HVROYHUXQSUREOHPDGHYDORULQLFLDOGHnpVLPRRUGHQWDOFRPR  FRQIUHFXHQFLDLPSOLFDHQFRQWUDUSULPHURXQDIDPLOLDnSDUDPpWULFDGHVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD\OXHJRXVDU ODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVHQx0SDUDGHWHUPLQDUODVnFRQVWDQWHVHQHVWDIDPLOLD/DVROXFLyQSDUWLFXODU UHVXOWDQWHHVWiGH¿QLGDHQDOJ~QLQWHUYDORITXHFRQWLHQHHOSULPHUSXQWRx0. y INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS PVI /RVFDVRVn \n HQ   dy f (x, y) Resolver: dx (2) y(x0) y0 Sujeto a: soluciones de la ED \ (x0, y0) I FIGURA 1.2.1 SULPHURUGHQ y x soluciones de la ED m = y1 (x0, y0) x FIGURA 1.2.2 6ROXFLyQGHO39,GH VHJXQGRRUGHQ Resolver: Sujeto a: 6ROXFLyQGHO39,GH I  d 2y dx 2 y(x0) f (x, y, y ) y0, y (x0) (3) y1 VRQSUREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHSULPHU\VHJXQGRRUGHQUHVSHFWLYDPHQWH(VWRV GRVSUREOHPDVVRQIiFLOHVGHLQWHUSUHWDUHQWpUPLQRVJHRPpWULFRV3DUDODHFXDFLyQ   HVWDPRVEXVFDQGRXQDVROXFLyQy(x GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOy  f(x, y HQXQLQWHUYDOR ITXHFRQWHQJDDx0GHIRUPDTXHVXJUi¿FDSDVHSRUHOSXQWRGDGR x0, y0 (QOD¿JXUD VHPXHVWUDHQD]XOXQDFXUYDVROXFLyQ3DUDODHFXDFLyQ  TXHUHPRVGHWHUPLQDU XQDVROXFLyQy(x GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOy  f (x, y, y HQXQLQWHUYDORITXHFRQWHQJD Dx0GHWDOPDQHUDTXHVXJUi¿FDQRVyORSDVHSRUHOSXQWRGDGR x0, y0 VLQRTXHWDPELpQ ODSHQGLHQWHDODFXUYDHQHVHSXQWRVHDHOQ~PHURy1(QOD¿JXUDVHPXHVWUDHQ D]XOXQDFXUYDVROXFLyQ/DVSDODEUDVcondiciones inicialesVXUJHQGHORVVLVWHPDVItVLFRV GRQGHODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHHVHOWLHPSRt\GRQGHy(t0)  y0\y(t0)  y1UHSUHVHQWDQ ODSRVLFLyQ\ODYHORFLGDGUHVSHFWLYDPHQWHGHXQREMHWRDOFRPLHQ]RRDOWLHPSRLQLFLDOt0. EJEMPLO 1 Dos PVI de primer orden a) (QHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRVVHOHSLGLyTXHGHGXMHUDTXHy  cexHVXQD IDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGHSULPHURUGHQy  y7RGDVODV VROXFLRQHVHQHVWDIDPLOLDHVWiQGH¿QLGDVHQHOLQWHUYDOR  , 6LLPSRQHPRVXQD FRQGLFLyQLQLFLDOGLJDPRVy(0)  HQWRQFHVDOVXVWLWXLUx  0, y HQODIDPLOLDVH GHWHUPLQDODFRQVWDQWH ce0  cSRUORTXHy  3e xHVXQDVROXFLyQGHO39, y  y, y(0)  3. 14 l CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES b)$KRUDVLKDFHPRVTXHODFXUYDVROXFLyQSDVHSRUHOSXQWR  HQOXJDUGH   HQWRQFHVy(1)  VHREWHQGUi2  ceRc  2e1(QHVWHFDVRy  2e x1HV XQDVROXFLyQGHO39, y  y, y(1)  2. y (0, 3) (QOD¿JXUDVHPXHVWUDQHQD]XORVFXUR\HQURMRRVFXURODVGRVFXUYDVVROXFLyQ x (1, −2) FIGURA 1.2.3 6ROXFLRQHVGHORVGRV 39, y −1 x 1 a) función definida para toda x excepto en x = ±1 y (OVLJXLHQWHHMHPSORPXHVWUDRWURSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHSULPHURUGHQ(Q HVWHHMHPSORREVHUYHFyPRHOLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQIGHODVROXFLyQy(x GHSHQGHGH ODFRQGLFLyQLQLFLDOy(x0)  y0. EJEMPLO 2 Intervalo I GHGH¿QLFLyQGHXQDVROXFLyQ (QHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRVVHOHSHGLUiPRVWUDUTXHXQDIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQy  2xy2 HVy  1兾(x2  c 6LHVWDEOHFHPRVODFRQGLFLyQLQLFLDOy(0)  HQWRQFHVDOVXVWLWXLUx \ y  HQODIDPLOLDGHVROXFLRQHVVHREWLHQH1  1兾cRc  $Vty  1兾(x21). $KRUDHQIDWL]DPRVODVVLJXLHQWHVWUHVGLIHUHQFLDV • &RQVLGHUDGDFRPRXQDfunciónHOGRPLQLRGHy  1兾(x2  HVHOFRQMXQWRGH WRGRVORVQ~PHURVUHDOHVxSDUDORVFXDOHVy(x HVWiGH¿QLGDH[FHSWRHQx  \ HQx 9HDOD¿JXUD D  • &RQVLGHUDGD FRPR XQD solución de la ecuación diferencial y  2xy2  0, HOLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQGHy  1兾(x2  SRGUtDWRPDUVHFRPRFXDOTXLHU LQWHUYDORHQHOFXDOy(x HVWiGH¿QLGD\HVGHULYDEOH&RPRVHSXHGHYHUHQ OD¿JXUD D ORVLQWHUYDORVPiVODUJRVHQORVTXHy  1兾(x2  HVXQD VROXFLyQVRQ  , 1), ( \  ). • &RQVLGHUDGDFRPRuna solución del problema con valores iniciales y  2xy2  0, y(0)   HO LQWHUYDOR I GH GH¿QLFLyQ GH y  1兾(x2    SRGUtD VHU FXDOTXLHU LQWHUYDOR HQ HO FXDO y(x  HVWi GH¿QLGD HV GHULYDEOH \ FRQWLHQH DO SXQWRLQLFLDOx HOLQWHUYDORPiVODUJRSDUDHOFXDOHVWRHVYiOLGRHV 1, 1). 9HDODFXUYDURMDHQOD¿JXUD E  9pDQVHORVSUREOHPDVDHQORVHMHUFLFLRVSDUDFRQWLQXDUFRQHOHMHPSOR EJEMPLO 3 PVI de segundo orden −1 1 x (QHOHMHPSORGHODVHFFLyQYLPRVTXHx  c1FRVt  c2VHQtHVXQDIDPLOLDGH VROXFLRQHVGHGRVSDUiPHWURVGHx  16x 'HWHUPLQHXQDVROXFLyQGHOSUREOHPD FRQYDORUHVLQLFLDOHV (0, −1) x   16x  0, x 冢2 冣  2, x冢2 冣  1. (4) SOLUCIÓN 3ULPHUR DSOLFDPRV x(ʌ兾2)   HQ OD IDPLOLD GH VROXFLRQHV b) solución definida en el intervalo que contiene x = 0 FIGURA 1.2.4 *Ui¿FDVGHODIXQFLyQ \GHODVROXFLyQGHO39,GHOHMHPSOR c1 FRVʌ  c2VHQʌ  3XHVWRTXHFRVʌ \VHQʌ HQFRQWUDPRVTXH c1  'HVSXpVDSOLFDPRVx(ʌ兾2) HQODIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHVROXFLRQHV x(t)  FRVt  c2VHQt'HULYDQGR\GHVSXpVKDFLHQGRt  ʌ兾\x VHRE1 WLHQHVHQʌ  4c2FRVʌ DSDUWLUGHORFXDOYHPRVTXH c2  4 3RUORWDQWR 1 x  2 cos 4t  4 sen 4t HVXQDVROXFLyQGH   EXISTENCIA Y UNICIDAD $OFRQVLGHUDUXQSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVVXUJHQGRVLPSRUWDQWHVSUHJXQWDV ¿Existe la solución del problema? Si existe la solución, ¿es única? 3DUDHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHODHFXDFLyQ  SHGLPRV Existencia ecuación diferencial dy兾dx  f (x, y) tiene soluciones? {¿La ¿Alguna de las curvas solución pasa por el punto (x , y " 0 0 1.2 Unicidad PROBLEMAS CON VALORES INICIALES l 15 podemos estar seguros de que hay precisamente una {¿Cuándo curva solución que pasa a través del punto (x , y " 0 0 2EVHUYHTXHHQORVHMHPSORV\VHXVDODIUDVH³unaVROXFLyQ´HQOXJDUGH³laVROXFLyQ´GHOSUREOHPD(ODUWtFXORLQGH¿QLGR³XQD´VHXVDGHOLEHUDGDPHQWHSDUDVXJHULUOD SRVLELOLGDGGHTXHSXHGHQH[LVWLURWUDVVROXFLRQHV+DVWDHOPRPHQWRQRVHKDGHPRVWUDGRTXHH[LVWHXQD~QLFDVROXFLyQGHFDGDSUREOHPD(OHMHPSORVLJXLHQWHPXHVWUDXQ SUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVFRQGRVVROXFLRQHV EJEMPLO 4 Un PVI puede tener varias soluciones &DGDXQDGHODVIXQFLRQHVy  0\y  161 x4 VDWLVIDFHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOdy兾dx  xy  \ODFRQGLFLyQLQLFLDOy(0) SRUORTXHHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV dy  xy1/2, dx y y = x 4/16 WLHQHDOPHQRVGRVVROXFLRQHV&RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUDODVJUi¿FDVGHODV GRVVROXFLRQHVSDVDQSRUHOPLVPRSXQWR   1 y=0 x (0, 0) y(0)  0 FIGURA 1.2.5 'RVVROXFLRQHVGHO PLVPR39,HQHOHMHPSOR 'HQWURGHORVOtPLWHVGHVHJXULGDGGHXQFXUVRIRUPDOGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVXQR SXHGHFRQ¿DUHQTXHODmayoríaGHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVWHQGUiQVROXFLRQHV\TXH ODVVROXFLRQHVGHORVSUREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHVprobablementeVHUiQ~QLFDV6LQ HPEDUJRHQODYLGDUHDOQRHVDVt3RUORWDQWRDQWHVGHWUDWDUGHUHVROYHUXQSUREOHPD FRQYDORUHVLQLFLDOHVHVGHVHDEOHVDEHUVLH[LVWHXQDVROXFLyQ\FXDQGRDVtVHDVLpVWDHV OD~QLFDVROXFLyQGHOSUREOHPD3XHVWRTXHYDPRVDFRQVLGHUDUHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV GHSULPHURUGHQHQORVGRVFDStWXORVVLJXLHQWHVHVWDEOHFHUHPRVDTXtVLQGHPRVWUDUORXQ WHRUHPDGLUHFWRTXHGDODVFRQGLFLRQHVVX¿FLHQWHVSDUDJDUDQWL]DUODH[LVWHQFLD\XQLFLGDG GHXQDVROXFLyQGHXQSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHSULPHURUGHQGHODIRUPDGDGDHQ ODHFXDFLyQ  (VSHUDUHPRVKDVWDHOFDStWXORSDUDUHWRPDUODSUHJXQWDGHODH[LVWHQFLD \XQLFLGDGGHXQSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHVHJXQGRRUGHQ TEOREMA 1.2.1 Existencia de una solución única 3HQVHPRV HQ R FRPR XQD UHJLyQ UHFWDQJXODU HQ HO SODQR xy GH¿QLGD SRU a  x  b, c  y  dTXHFRQWLHQHDOSXQWR x0, y0 HQVXLQWHULRU6Lf (x, y \ wf兾wyVRQFRQWLQXDVHQRHQWRQFHVH[LVWHDOJ~QLQWHUYDORI 0 x 0  h, x 0  h), h FRQWHQLGRHQ>a, b@\XQDIXQFLyQ~QLFDy(x GH¿QLGDHQI0TXHHVXQD VROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV   y d (OUHVXOWDGRDQWHULRUHVXQRGHORVWHRUHPDVGHH[LVWHQFLD\XQLFLGDGPiVSRSXODUHVSDUDHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHSULPHURUGHQ\DTXHHOFULWHULRGHFRQWLQXLGDGGH f (x, y \GHwf兾wyHVUHODWLYDPHQWHIiFLOGHFRPSUREDU(QOD¿JXUDVHPXHVWUDOD JHRPHWUtDGHOWHRUHPD R (x0 , y0) c EJEMPLO 5 Revisión del ejemplo 4 a I0 b x FIGURA 1.2.6 5HJLyQUHFWDQJXODUR. &RPRYLPRVHQHOHMHPSORODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOdy兾dx  xy WLHQHDOPHQRVGRV VROXFLRQHVFX\DVJUi¿FDVSDVDQSRUHOSXQWR  $QDOL]DQGRODVIXQFLRQHV f x f (x, y)  xy1/2 y  y 2y1/2 YHPRVTXHVRQFRQWLQXDVHQODPLWDGVXSHULRUGHOSODQRGH¿QLGRSRUy 3RUWDQWR HOWHRUHPDQRVSHUPLWHFRQFOXLUTXHDWUDYpVGHFXDOTXLHUSXQWR x0, y0), y0 HQ ODPLWDGVXSHULRUGHOSODQRH[LVWHDOJ~QLQWHUYDORFHQWUDGRHQx0HQHOFXDOODHFXDFLyQ GLIHUHQFLDOGDGDWLHQHXQDVROXFLyQ~QLFD$VtSRUHMHPSORD~QVLQUHVROYHUODVDEHPRVTXHH[LVWHDOJ~QLQWHUYDORFHQWUDGRHQHQHOFXDOHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVdy兾dx  xy, y(2) WLHQHXQDVROXFLyQ~QLFD 16 l CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES (QHOHMHPSORHOWHRUHPDJDUDQWL]DTXHQRKD\RWUDVVROXFLRQHVGHORVSUREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHVy  y, y(0) \y  y, y(1) GLVWLQWDVDy  3ex \ y  2ex1 UHVSHFWLYDPHQWH (VWR HV FRQVHFXHQFLD GHO KHFKR GH TXH f(x, y)  y \wf兾wy VRQFRQWLQXDVHQWRGRHOSODQRxy$GHPiVSRGHPRVPRVWUDUTXHHOLQWHUYDORIHQHOFXDOFDGDVROXFLyQHVWiGH¿QLGDHV  , ). INTERVALO DE EXISTENCIA Y UNICIDAD 6XSRQJD TXH y(x  UHSUHVHQWD XQD VROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV  /RVVLJXLHQWHVWUHVFRQMXQWRVGHQ~PHURVUHDOHVHQHOHMHxSXHGHQQRVHULJXDOHVHOGRPLQLRGHODIXQFLyQy(x HOLQWHUYDORIHQHOFXDOODVROXFLyQy(x HVWiGH¿QLGDRH[LVWH\HOLQWHUYDORI0GHH[LVWHQFLD yXQLFLGDG(OHMHPSORGHODVHFFLyQPXHVWUDODGLIHUHQFLDHQWUHHOGRPLQLRGH XQDIXQFLyQ\HOLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQ$KRUDVXSRQJDTXH x0, y0 HVXQSXQWR HQHOLQWHULRUGHODUHJLyQUHFWDQJXODURHQHOWHRUHPD(VWRGDFRPRUHVXOWDGR TXHODFRQWLQXLGDGGHODIXQFLyQf (x, y HQRSRUVtPLVPDHVVX¿FLHQWHSDUDJDUDQWL]DUODH[LVWHQFLDGHDOPHQRVXQDVROXFLyQGHdy兾dx  f (x, y), y(x0)  y0GH¿QLGD HQDOJ~QLQWHUYDORI(OLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQSDUDHVWHSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVQRUPDOPHQWHVHWRPDFRPRHOLQWHUYDORPiVJUDQGHTXHFRQWLHQHx0HQHOFXDO ODVROXFLyQy(x HVWiGH¿QLGD\HVGHULYDEOH(OLQWHUYDORIGHSHQGHWDQWRGHf (x, y) FRPRGHODFRQGLFLyQLQLFLDOy(x0)  y09HDORVSUREOHPDVDHQORVHMHUFLFLRV /DFRQGLFLyQH[WUDGHFRQWLQXLGDGGHODSULPHUDGHULYDGDSDUFLDOwf兾wyHQRQRV SHUPLWHGHFLUTXHQRVyORH[LVWHXQDVROXFLyQHQDOJ~QLQWHUYDORI0TXHFRQWLHQHx0, VLQRTXHpVWDHVODúnicaVROXFLyQTXHVDWLVIDFHy(x0)  y06LQHPEDUJRHOWHRUHPD QRGDQLQJXQDLQGLFDFLyQGHORVWDPDxRVGHORVLQWHUYDORVI e I0el intervalo de GH¿QLFLyQ,QRQHFHVLWDVHUWDQDPSOLRFRPRODUHJLyQ5\HOLQWHUYDORGHH[LVWHQFLD\ unicidad I0 puede no ser tan amplio como I. (OQ~PHUR h 0 TXHGH¿QHHOLQWHUYDOR I0: (x0  h, x0  h SRGUtDVHUPX\SHTXHxRSRUORTXHHVPHMRUFRQVLGHUDUTXHOD VROXFLyQy(x HVúnica en un sentido localHVWRHVXQDVROXFLyQGH¿QLGDFHUFDGHO SXQWR x0, y0 9HDHOSUREOHPDHQORVHMHUFLFLRV COMENTARIOS i /DVFRQGLFLRQHVGHOWHRUHPDVRQVX¿FLHQWHVSHURQRQHFHVDULDV(VWRVLJQL¿FDTXHFXDQGRf (x, y \wf兾wyVRQFRQWLQXDVHQXQDUHJLyQUHFWDQJXODURVHGHEH GHGXFLUTXHH[LVWHXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQ  \HV~QLFDVLHPSUHTXH x0, y0 VHD XQSXQWRLQWHULRUDR6LQHPEDUJRVLODVFRQGLFLRQHVHVWDEOHFLGDVHQODKLSyWHVLVGHO WHRUHPDQRVRQYiOLGDVHQWRQFHVSXHGHRFXUULUFXDOTXLHUFRVDHOSUREOHPDGH ODHFXDFLyQ  puedeWHQHUXQDVROXFLyQ\HVWDVROXFLyQSXHGHVHU~QLFDRODHFXDFLyQ  puedeWHQHUYDULDVVROXFLRQHVRpuedeQRWHQHUQLQJXQDVROXFLyQ$OOHHU QXHYDPHQWHHOHMHPSORYHPRVTXHODKLSyWHVLVGHOWHRUHPDQRHVYiOLGDHQOD UHFWDy SDUDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOdy兾dx  xySHURHVWRQRHVVRUSUHQGHQWH \DTXHFRPRYLPRVHQHOHMHPSORGHHVWDVHFFLyQKD\GRVVROXFLRQHVGH¿QLGDV HQXQLQWHUYDORFRP~Q±௘h  x  hTXHVDWLVIDFHy(0) 3RURWUDSDUWHODKLSyWHVLVGHOWHRUHPDQRHVYiOLGDHQODUHFWDy SDUDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO dy兾dx  |y _1RREVWDQWHVHSXHGHSUREDUTXHODVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQ YDORUHVLQLFLDOHVdy兾dx  |y  1|, y(0) HV~QLFD¢3XHGHLQWXLUODVROXFLyQ" ii (VUHFRPHQGDEOHSHQVDUWUDEDMDU\UHFRUGDUHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV iii /DVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVVHSUHVFULEHQHQXQVRORSXQWRx03HURWDPELpQ QRVLQWHUHVDODVROXFLyQGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVTXHHVWiQVXMHWDVDODVFRQGLFLRQHV HVSHFL¿FDGDV HQ y(x  R VX GHULYDGD HQ GRV SXQWRV GLIHUHQWHV x0 \ x1. &RQGLFLRQHVWDOHVFRPRy(1) = 0, y   Ry(ʌ冫2) = 0, y(ʌ  OODPDGDVcondiciones frontera8QDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOFRQFRQGLFLRQHVIURQWHUDVHFRQRFHFRPR XQproblema de valor a la frontera (PVF)3RUHMHPSORy Ȝy = 0, y(0) = 0, y(ʌ  HVXQSUREOHPDGHYDORUOtPLWH9HDORVSUREOHPDVDHQORVHMHUFLFLRV&XDQGRHPSHFHPRVDUHVROYHUHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVHQHOFDStWXOROR KDUHPRVVyORFRQHFXDFLRQHVOLQHDOHVGHSULPHURUGHQ/DVGHVFULSFLRQHVPDWHPiWLFDVGHPXFKRVSUREOHPDVDSOLFDGRVUHTXLHUHQGHHFXDFLRQHVGHVHJXQGRRUGHQ ([DPLQDUHPRVDOJXQRVGHHVWRVSUREOHPDVHQORVFDStWXORV\ 1.2 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES EJERCICIOS 1.2 2. y(1)  2 (QORVSUREOHPDVDy  1兾(x2  c HVXQDIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHVROXFLRQHVGHOD('GHSULPHURUGHQy  2xy2  'HWHUPLQHXQDVROXFLyQGHO39,GHSULPHURUGHQTXHFRQVLVWH HQ HVWD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO \ OD FRQGLFLyQ LQLFLDO GDGD 'pHOLQWHUYDORIPiVODUJRHQHOFXDOHVWiGH¿QLGDODVROXFLyQ 3. y(2)  31 4. y(2)  21 5. y(0)  1 6. y (12)  4 (QORVSUREOHPDVDx  c1FRVt  c2VHQtHVXQDIDPLOLD GHVROXFLRQHVGHGRVSDUiPHWURVGHOD('GHVHJXQGRRUGHQ x  x 'HWHUPLQHXQDVROXFLyQGHO39,GHVHJXQGRRU GHQTXHFRQVLVWHHQHVWDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO\ODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVGDGDV 7. x(0)  1, x(0)  8 8. x(ʌ兾2)  0, x(ʌ兾2)  1 9. x(  6) 10. x(  4) 1 2, x (  6) ฀ 0 2, x (  4) 22 (QORVSUREOHPDVDy  c1ex  c2exHVXQDIDPLOLDGH GRVSDUiPHWURVGHVROXFLRQHVGHVHJXQGRRUGHQ('y – y  0. (QFXHQWUHXQDVROXFLyQGHO39,GHVHJXQGRRUGHQTXHFRQVLVWH HQHVWDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO\ODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVGDGDV 11. y(0)  1, y(0)  2 12. y(1)  0, 13. y(1)  5, 14. y(0)  0, y(1)  e y(1)  5 y(0)  0 (QORVSUREOHPDV\GHWHUPLQHSRULQVSHFFLyQDOPHQRV GRVVROXFLRQHVGHO39,GHSULPHURUGHQGDGR 15. y  3y , 16. xy  2y, y(0)  0 y(0)  0 (QORVSUREOHPDVDGHWHUPLQHXQDUHJLyQGHOSODQRxy GRQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDWHQGUtDXQDVROXFLyQ~QLFD FX\DJUi¿FDSDVHSRUXQSXQWR x0, y0 HQODUHJLyQ 17. dy  y2/3 dx 18. dy y dx 20. 19. x 17 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-1 (QORVSUREOHPDV\y  1兾(1  c1ex HVXQDIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHVROXFLRQHVGHOD('GHSULPHURUGHQy y  y2. (QFXHQWUHXQDVROXFLyQGHO39,GHSULPHURUGHQTXHFRQVLVWHHQ HVWDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO\ODFRQGLFLyQLQLFLDOGDGD 1. y(0)   13 l dy  1xy dx dy yx dx 21. (4  y 2)y  x 2 22. (1  y 3)y  x 2 23. (x 2  y 2)y  y 2 24. (y  x)y  y  x (QORVSUREOHPDVDGHWHUPLQHVLHOWHRUHPDJDUDQWL]DTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO y  1y2  9 WHQJDXQD VROXFLyQ~QLFDTXHSDVDSRUHOSXQWRGDGR 25. (1, 4) 26. (5, 3) 27. (2, 3) 28. (1, 1) 29. a) 3RULQVSHFFLyQGHWHUPLQHXQDIDPLOLDXQLSDUDPpWULFD GHVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOxy  y&RP SUXHEHTXHFDGDPLHPEURGHODIDPLOLDHVXQDVROXFLyQ GHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVxy  y, y(0)  0. b) ([SOLTXHHOLQFLVRD GHWHUPLQDQGRXQDUHJLyQRHQHO SODQR xy SDUD HO TXH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO xy  y WHQGUtD XQD VROXFLyQ ~QLFD TXH SDVH SRU HO SXQWR (x0, y0 HQR. c) &RPSUXHEHTXHODIXQFLyQGH¿QLGDSRUSDUWHV 冦0,x, x0 x0   VDWLVIDFHODFRQGLFLyQy(0)'HWHUPLQHVLHVWDIXQFLyQHVWDPELpQXQDVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHOLQFLVRD  30. a) &RPSUXHEHTXHy WDQ x  c HVXQDIDPLOLDXQLSDUDPpWULFD GH VROXFLRQHV GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO y  1  y2. b) 3XHVWRTXHf (x, y)  1  y2\wf兾wy  2yVRQFRQWLQXDVHQGRQGHTXLHUDODUHJLyQRHQHOWHRUHPD VH SXHGH FRQVLGHUDU FRPR WRGR HO SODQR xy 8WLOLFH OD IDPLOLD GH VROXFLRQHV GHO LQFLVR D  SDUD GHWHUPLQDUXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHOSUREOHPDFRQYDORUHV LQLFLDOHVGHSULPHURUGHQy  1  y2, y(0) $XQ FXDQGRx0 HVWpHQHOLQWHUYDOR  H[SOLTXH SRUTXpODVROXFLyQQRHVWiGH¿QLGDHQHVWHLQWHUYDOR y c) '  HWHUPLQHHOLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQPiVODUJRSDUDOD VROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHOLQFLVRE  31. a) &RPSUXHEH TXH y  1兾(x  c  HV XQD IDPLOLD GH VROXFLRQHVXQLSDUDPpWULFDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO y  y2. b) 3XHVWRTXHf (x, y)  y2\wf兾wy  2yVRQFRQWLQXDV GRQGH VHD OD UHJLyQ R GHO WHRUHPD  VH SXHGH WRPDUFRPRWRGRHOSODQRxy'HWHUPLQHXQDVROXFLyQ GHODIDPLOLDGHOLQFLVRD TXHVDWLVIDJDTXHy(0)  1. 'HVSXpVGHWHUPLQHXQDVROXFLyQGHODIDPLOLDGHOLQFLVR D  TXH VDWLVIDJD TXH y(0)   'HWHUPLQH HO LQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQPiVODUJRSDUDODVROXFLyQGH FDGDSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV c) 'HWHUPLQHHOLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQIPiVODUJRSDUD ODVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVy y2, y(0) >Sugerencia/DVROXFLyQQRHVXQPLHPEUR GHODIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHOLQFLVRD @ 18 l CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 32. a) 'HPXHVWUHTXHXQDVROXFLyQGHODIDPLOLDGHOLQFLVR D GHOSUREOHPDTXHVDWLVIDFHy  y2, y(1) HV y  1兾(2 x). b) 'HVSXpV GHPXHVWUH TXH XQD VROXFLyQ GH OD IDPLOLD GHOLQFLVRD GHOSUREOHPDTXHVDWLVIDFHy  y2, y(3)  HVy  1兾(2 x). c) ¢6RQLJXDOHVODVVROXFLRQHVGHORVLQFLVRVD \E " 33. a) 9HUL¿TXH TXH x2 – y2  c HV XQD IDPLOLD GH VROXFLRQHV XQLSDUDPpWULFDV GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO y dy兾dx  3x. b) %RVTXHMHDPDQRODJUi¿FDGHODVROXFLyQLPSOtFLWD 3x2 – y2 'HWHUPLQHWRGDVODVVROXFLRQHVH[SOtFLWDVy  (x GHOD('GHOLQFLVRD GH¿QLGDVSRUHVWD UHODFLyQ'pXQLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQGHFDGDXQD GHODVVROXFLRQHVH[SOtFLWDV c) (OSXQWR  HVWiHQODJUi¿FDGHx2 – y2 SHUR ¢FXiOGHODVVROXFLRQHVH[SOtFLWDVGHOLQFLVRE VDWLVIDFHTXHy(2) " 34. a) 8WLOLFHODIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHOLQFLVRD GHOSUREOHPD  SDUD GHWHUPLQDU XQD VROXFLyQ LPSOtFLWD GHO SUREOH PDFRQYDORUHVLQLFLDOHVy dy兾dx  3x, y(2)   'HV SXpVERVTXHMHDPDQRODJUi¿FDGHODVROXFLyQH[SOtFLWD GHHVWHSUREOHPD\GpVXLQWHUYDORIGHGH¿QLFLyQ b) ¢([LVWHQDOJXQDVVROXFLRQHVH[SOtFLWDVGHy dy兾dx  3xTXHSDVHQSRUHORULJHQ" (QORVSUREOHPDVDVHSUHVHQWDODJUi¿FDGHXQPLHPEUR GHODIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHVHJXQGRRUGHQd 2y兾dx 2  f (x, y, y 5HODFLRQHODFXUYDVROXFLyQ FRQDOPHQRVXQSDUGHODVVLJXLHQWHVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHV a) y(1)  1, y(1)  2 b) y(1)  0, y(1)  4 c) y(1)  1, y(1)  2 d) y(0)  1, y(0)  2 e) y(0)  1, y(0)  0 f) y(0)  4, y(0)  2 35. y 5 37. y 5 x 5 −5 FIGURA 1.2.9 *Ui¿FDGHOSUREOHPD 38. y 5 5 x −5 FIGURA 1.2.10 *Ui¿FDGHOSUREOHPD (QORVSUREOHPDVDy = c1FRVx  c2VHQxHVXQD IDPLOLDGHVROXFLRQHVGHGRVSDUiPHWURVGHOD('GHVHJXQGR RUGHQy  4y 6LHVSRVLEOHGHWHUPLQHXQDVROXFLyQGHOD HFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHVDWLVIDFHODVFRQGLFLRQHVGDGDV/DV FRQGLFLRQHVHVSHFL¿FDGDVHQGRVSXQWRVGLIHUHQWHVVHGHQRPLQDQFRQGLFLRQHVIURQWHUD 39. y(0)  0, y(ʌ冫4)  3 42. y(0)  0, y(ʌ)  0 40. y(0)  0, y(ʌ冫6)  0 43. y(0)  1, y(ʌ)  5 41. y(0)  0, y(ʌ)  2 44. y(ʌ冫2)  1, y(ʌ)  0 Problemas de análisis (QORVSUREOHPDV\XWLOLFHHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV\  \  GHHVWDVHFFLyQ 5 x 46. 'HWHUPLQHXQDIXQFLyQy  f (x FX\DVHJXQGDGHULYDGDHVy  12x HQFDGDSXQWR x, y GHVXJUi¿FD\y  x  5 HVWDQJHQWHDODJUi¿FDHQHOSXQWRFRUUHVSRQGLHQWHDx  1. −5 FIGURA 1.2.7 *Ui¿FDGHOSUREOHPD 36. 45. (QFXHQWUHXQDIXQFLyQy  f (x) FX\DJUi¿FDHQFDGDSXQWR (x, y WLHQHXQDSHQGLHQWHGDGDSRUe2x  6x\ODLQWHUVHFFLyQFRQHOHMHyHQ   47. &RQVLGHUHHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVy  x  2y, y(0)  21 'HWHUPLQHFXiOGHODVGRVFXUYDVTXHVHPXHVWUDQHQOD¿JXUDHVOD~QLFDFXUYDVROXFLyQSRVLEOH ([SOLTXHVXUD]RQDPLHQWR y 5 5 −5 FIGURA 1.2.8 *Ui¿FDGHOSUREOHPD x 48. 'HWHUPLQHXQYDORUSRVLEOHSDUDx0SDUDHOTXHODJUi¿FD GHODVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVy  2y  3x – 6, y(x0) HVWDQJHQWHDOHMHxHQ x0 ([SOLTXH VXUD]RQDPLHQWR 49. 6XSRQJDPRVTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQ dy兾dx  f (x, y  WWLHQH XQ SDUiPHWUR GH XQD IDPLOLD GH 1.3 ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS y y l 19 y 1 (2, 1) 1 0, 2 ( ) x 1 FIGURA 1.2.11 a) x VROXFLRQHV \ TXH f (x, y  VDWLVIDFH ODV KLSyWHVLV GHO WHRUHPDHQDOJXQDUHJLyQUHFWDQJXODURGHOSODQRxy. ([SOLTXH SRU TXp GRV FXUYDV VROXFLyQ GLIHUHQWHV QR VH SXHGHQ LQWHUFHSWDU R VHU WDQJHQWHV HQWUH Vt HQ XQ SXQWR (x0, y0 HQR. y(x)  冦 0, 1 4 16 x ,  x \ x0 x0   WLHQHQHOPLVPRGRPLQLRSHURVRQREYLDPHQWHGLIHUHQWHV 9pDQVHODV¿JXUDV D \ E UHVSHFWLYDPHQWH 'HPXHVWUHTXHDPEDVIXQFLRQHVVRQVROXFLRQHVGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVdy兾dx  xy, y(2) HQHO LQWHUYDOR  ,  5HVXHOYD OD FRQWUDGLFFLyQ DSDUHQWH HQWUHHVWHKHFKR\OD~OWLPDRUDFLyQGHOHMHPSOR 1.3 x b) FIGURA 1.2.12 'RVVROXFLRQHVGHORV39,GHOSUREOHPD *Ui¿FDGHOSUREOHPD 50. /DVIXQFLRQHV y(x)  161 x 4, (2, 1) Modelo matemático 51. Crecimiento de la población  $O SULQFLSLR GH OD VLJXLHQWHVHFFLyQYHUHPRVTXHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV VHSXHGHQXWLOL]DUSDUDGHVFULELURPRGHODUPXFKRVVLVWHPDV ItVLFRV GLIHUHQWHV (Q HVWH SUREOHPD VH VXSRQH TXH XQPRGHORGHFUHFLPLHQWRGHSREODFLyQGHXQDSHTXHxD FRPXQLGDGHVWiGDGRSRUHOSUREOHPDGHYDORULQLFLDO dP  0.15P(t)  20, dt P(0)  100,   GRQGH P HV HO Q~PHUR GH SHUVRQDV HQ OD FRPXQLGDG \ HO WLHPSR t VH PLGH HQ DxRV ¢4Xp WDQ UiSLGR HV GHFLU FRQ TXprazónHVWiDXPHQWDQGRODSREODFLyQHQt "¢4XpWDQ UiSLGRHVWiFUHFLHQGRODSREODFLyQFXDQGRODSREODFLyQHV GH" ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS REPASO DE MATERIAL l 8QLGDGHVGHPHGLGDSDUDSHVRPDVD\GHQVLGDG l 6HJXQGDOH\GH1HZWRQ l /H\GH+RRNH l /H\HVGH.LUFKKRII l 3ULQFLSLRGH$UTXtPHGHV INTRODUCCIÓN (QHVWDVHFFLyQLQWURGXFLUHPRVODLGHDGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOFRPRXQ PRGHORPDWHPiWLFR\DQDOL]DUHPRVDOJXQRVPRGHORVHVSHFt¿FRVHQELRORJtDTXtPLFD\ItVLFD8QD YH]TXHKD\DPRVHVWXGLDGRDOJXQRVGHORVPpWRGRVGHVROXFLyQGHODV('HQORVFDStWXORV\UHWRPDUHPRV\UHVROYHUHPRVDOJXQRVGHHVWRVPRGHORVHQORVFDStWXORV\ MODELOS MATEMÁTICOS &RQIUHFXHQFLDHVGHVHDEOHGHVFULELUHQWpUPLQRVPDWHPiWLFRVHOFRPSRUWDPLHQWRGHDOJXQRVVLVWHPDVRIHQyPHQRVGHODYLGDUHDO\DVHDQItVLFRVVRFLROyJLFRVRLQFOXVRHFRQyPLFRV/DGHVFULSFLyQPDWHPiWLFDGHXQVLVWHPDGHIHQyPHQRVVHOODPDmodelo matemático\VHFRQVWUX\HFRQFLHUWRVREMHWLYRV3RUHMHPSOR SRGHPRVGHVHDUHQWHQGHUORVPHFDQLVPRVGHFLHUWRHFRVLVWHPDDOHVWXGLDUHOFUHFLPLHQWR GHODSREODFLyQDQLPDOHQpORSRGHPRVGHVHDUGDWDUIyVLOHV\DQDOL]DUHOGHFDLPLHQWRGH XQDVXVWDQFLDUDGLDFWLYD\DVHDHQHOIyVLORHQHOHVWUDWRHQHOTXHpVWHIXHGHVFXELHUWR /DIRUPXODFLyQGHXQPRGHORPDWHPiWLFRGHXQVLVWHPDVHLQLFLDFRQ i LGHQWL¿FDFLyQGHODVYDULDEOHVTXHRFDVLRQDQHOFDPELRGHOVLVWHPD3RGUHPRV HOHJLUQRLQFRUSRUDUWRGDVHVWDVYDULDEOHVHQHOPRGHORGHVGHHOFRPLHQ]R(Q HVWHSDVRHVSHFL¿FDPRVHOnivel de resoluciónGHOPRGHOR 20 l CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 'HVSXpV ii  VHHVWDEOHFHXQFRQMXQWRGHVXSRVLFLRQHVUD]RQDEOHVRKLSyWHVLVDFHUFDGHO VLVWHPDTXHHVWDPRVWUDWDQGRGHGHVFULELU(VDVKLSyWHVLVWDPELpQLQFOX\HQ WRGDVODVOH\HVHPStULFDVTXHVHSXHGHQDSOLFDUDOVLVWHPD 3DUDDOJXQRVREMHWLYRVTXL]iEDVWHFRQFRQIRUPDUVHFRQPRGHORVGHEDMDUHVROXFLyQ 3RUHMHPSORXVWHG\DHVFRQVFLHQWHGHTXHHQORVFXUVRVEiVLFRVGHItVLFDDOJXQDVYHFHV VHGHVSUHFLDODIXHU]DUHWDUGDGRUDGHODIULFFLyQGHODLUHDOPRGHODUHOPRYLPLHQWRGHXQ FXHUSRTXHFDHFHUFDGHODVXSHU¿FLHGHOD7LHUUD3HURVLXVWHGHVXQFLHQWt¿FRFX\RWUDEDMR HVSUHGHFLUFRQH[DFWLWXGODWUD\HFWRULDGHYXHORGHXQSUR\HFWLOGHODUJRDOFDQFHGHEHUi FRQVLGHUDUODUHVLVWHQFLDGHODLUH\RWURVIDFWRUHVWDOHVFRPRODFXUYDWXUDGHOD7LHUUD &RPRODVKLSyWHVLVDFHUFDGHXQVLVWHPDLPSOLFDQFRQIUHFXHQFLDXQDrazón de cambioGHXQDRPiVGHODVYDULDEOHVHOHQXQFLDGRPDWHPiWLFRGHWRGDVHVDVKLSyWHVLVSXHGHVHUXQDRPiVHFXDFLRQHVTXHFRQWHQJDQderivadas(QRWUDVSDODEUDVHO PRGHOR PDWHPiWLFR SXHGH VHU XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO R XQ VLVWHPD GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV 8QDYH]TXHVHKDIRUPXODGRXQPRGHORPDWHPiWLFR\DVHDXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORXQVLVWHPDGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVQRVHQIUHQWDPRVDOSUREOHPDQRIiFLOGH WUDWDUGHUHVROYHUOR6LSRGHPRVUHVROYHUORHQWRQFHVFRQVLGHUDPRVTXHHOPRGHORHV UD]RQDEOHVLVXVROXFLyQHVFRQVLVWHQWHFRQORVGDWRVH[SHULPHQWDOHVRFRQORVKHFKRV FRQRFLGRVDFHUFDGHOFRPSRUWDPLHQWRGHOVLVWHPD6LODVSUHGLFFLRQHVTXHVHREWLHQHQ VRQGH¿FLHQWHVSRGHPRVDXPHQWDUHOQLYHOGHUHVROXFLyQGHOPRGHORRKDFHUKLSyWHVLV DOWHUQDWLYDVDFHUFDGHORVPHFDQLVPRVGHFDPELRGHOVLVWHPD(QWRQFHVVHUHSLWHQORV SDVRVGHOSURFHVRGHPRGHODGRFRPRVHPXHVWUDHQHOVLJXLHQWHGLDJUDPD Hipótesis Expresar las hipótesis en términos de las ecuaciones diferenciales Si es necesario, modificar las hipótesis o aumentar la resolución del modelo Comprobar las predicciones del modelo con hechos conocidos Formulación matemática Resolver las ED Presentar las predicciones del modelo (por ejemplo, en forma gráfica) Obtener soluciones 3RUVXSXHVWRDODXPHQWDUODUHVROXFLyQDXPHQWDPRVODFRPSOHMLGDGGHOPRGHORPDWHPiWLFR\ODSUREDELOLGDGGHTXHQRSRGDPRVREWHQHUXQDVROXFLyQH[SOtFLWD &RQIUHFXHQFLDHOPRGHORPDWHPiWLFRGHXQVLVWHPDItVLFRLQGXFLUiODYDULDEOH WLHPSRt8QDVROXFLyQGHOPRGHORH[SUHVDHOestado del sistemaHQRWUDVSDODEUDV ORVYDORUHVGHODYDULDEOHGHSHQGLHQWH RYDULDEOHV SDUDORVYDORUHVDGHFXDGRVGHtTXH GHVFULEHQHOVLVWHPDHQHOSDVDGRSUHVHQWH\IXWXUR DINÁMICA POBLACIONAL 8QR GH ORV SULPHURV LQWHQWRV SDUD PRGHODU HO crecimiento de la poblaciónKXPDQDSRUPHGLRGHODVPDWHPiWLFDVVHOOHYyDFDERHQ SRUHOHFRQRPLVWDLQJOpV7KRPDV0DOWKXV%iVLFDPHQWHODLGHDGHWUiVGHOPRGHORGH0DOWKXVHVODVXSRVLFLyQGHTXHODUD]yQFRQODTXHODSREODFLyQGHXQSDtV FUHFHHQXQFLHUWRWLHPSRHVSURSRUFLRQDO DODSREODFLyQWRWDOGHOSDtVHQHVHWLHPSR (QRWUDVSDODEUDVHQWUHPiVSHUVRQDVHVWpQSUHVHQWHVDOWLHPSRtKDEUiPiVHQHOIX WXUR(QWpUPLQRVPDWHPiWLFRVVLP(t GHQRWDODSREODFLyQDOWLHPSRtHQWRQFHVHVWD VXSRVLFLyQVHSXHGHH[SUHVDUFRPR dP dP P o kP, (1) dt dt GRQGH k HV XQD FRQVWDQWH GH SURSRUFLRQDOLGDG (VWH PRGHOR VLPSOH TXH IDOOD VL VH FRQVLGHUDQPXFKRVRWURVIDFWRUHVTXHSXHGHQLQÀXLUHQHOFUHFLPLHQWRRGHFUHFLPLHQWR  6LGRVFDQWLGDGHVu\vVRQSURSRUFLRQDOHVVHHVFULEHu  v.(VWRVLJQL¿FDTXHXQDFDQWLGDGHVXQ P~OWLSORFRQVWDQWHGHRWUDu  kv. 1.3 ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS l 21 SRUHMHPSORLQPLJUDFLyQ\HPLJUDFLyQ UHVXOWyVLQHPEDUJREDVWDQWHH[DFWRSDUD SUHGHFLUODSREODFLyQGH(VWDGRV8QLGRVHQWUH\/DVSREODFLRQHVTXHFUHFHQFRQXQDUD]yQGHVFULWDSRUODHFXDFLyQ  VRQUDUDVVLQHPEDUJR  D~QVHXVD SDUDPRGHODUHOcrecimiento de pequeñas poblaciones en intervalos de tiempo cortos SRUHMHPSORFUHFLPLHQWRGHEDFWHULDVHQXQDFDMDGH3HWUL  DECAIMIENTO RADIACTIVO (OQ~FOHRGHXQiWRPRHVWiIRUPDGRSRUFRPELQDFLRQHVGHSURWRQHV\QHXWURQHV0XFKDVGHHVDVFRPELQDFLRQHVVRQLQHVWDEOHVHVGHFLU ORViWRPRVVHGHVLQWHJUDQRVHFRQYLHUWHQHQiWRPRVGHRWUDVVXVWDQFLDV6HGLFHTXH HVWRVQ~FOHRVVRQUDGLDFWLYRV3RUHMHPSORFRQHOWLHPSRHOUDGLR5DLQWHQVDPHQWH UDGLDFWLYRVHWUDQVIRUPDHQHOUDGLDFWLYRJDVUDGyQ5Q3DUDPRGHODUHOIHQyPHQR GHOdecaimiento radiactivoVHVXSRQHTXHODUD]yQdA兾dtFRQODTXHORVQ~FOHRVGH XQDVXVWDQFLDVHGHVLQWHJUDQHVSURSRUFLRQDODODFDQWLGDG SDUDVHUPiVSUHFLVRVHO Q~PHURGHQ~FOHRV A(t)GHODVXVWDQFLDTXHTXHGDDOWLHPSRt dA dA (2) A o kA. dt dt 3RUVXSXHVWRTXHODVHFXDFLRQHV  \  VRQH[DFWDPHQWHLJXDOHVODGLIHUHQFLDUDGLFD VyORHQODLQWHUSUHWDFLyQGHORVVtPERORV\GHODVFRQVWDQWHVGHSURSRUFLRQDOLGDG(QHO FDVRGHOFUHFLPLHQWRFRPRHVSHUDPRVHQODHFXDFLyQ O k \SDUDODGHVLQWHJUDFLyQFRPRHQODHFXDFLyQ  k  0. (O PRGHOR GH OD HFXDFLyQ  SDUD FUHFLPLHQWR WDPELpQ VH SXHGH YHU FRPR OD HFXDFLyQdS兾dt  rSTXHGHVFULEHHOFUHFLPLHQWRGHOFDSLWDOSFXDQGRHVWiDXQDWDVD DQXDOGHLQWHUpVrFRPSXHVWRFRQWLQXDPHQWH(OPRGHORGHGHVLQWHJUDFLyQGHODHFXDFLyQ  WDPELpQVHDSOLFDDVLVWHPDVELROyJLFRVWDOHVFRPRODGHWHUPLQDFLyQGHODYLGD PLWDGGHXQPHGLFDPHQWRHVGHFLUHOWLHPSRTXHOHWRPDDGHOPHGLFDPHQWR VHUHOLPLQDGRGHOFXHUSRSRUH[FUHFLyQRPHWDEROL]DFLyQ(QTXtPLFDHOPRGHORGHO GHFDLPLHQWRHFXDFLyQ  VHSUHVHQWDHQODGHVFULSFLyQPDWHPiWLFDGHXQDUHDFFLyQ TXtPLFDGHSULPHURUGHQ/RLPSRUWDQWHDTXtHV Una sola ecuación diferencial puede servir como modelo matemático de muchos fenómenos distintos. &RQIUHFXHQFLDORVPRGHORVPDWHPiWLFRVVHDFRPSDxDQGHFRQGLFLRQHVTXHORVGH¿QHQ3RUHMHPSORHQODVHFXDFLRQHV O \  HVSHUDUtDPRVFRQRFHUXQDSREODFLyQLQLFLDO P0\SRURWUDSDUWHODFDQWLGDGLQLFLDOGHVXVWDQFLDUDGLRDFWLYDA06LHOWLHPSRLQLFLDOVH WRPDHQt VDEHPRVTXHP(0)  P0\TXHA(0)  A0(QRWUDVSDODEUDVXQPRGHOR PDWHPiWLFRSXHGHFRQVLVWLUHQXQSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVRFRPRYHUHPRVPiV DGHODQWHHQODVHFFLyQHQXQSUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUD LEY DE ENFRIAMIENTO/CALENTAMIENTO DE NEWTON 'HDFXHUGRFRQOD OH\HPStULFDGHHQIULDPLHQWRFDOHQWDPLHQWRGH1HZWRQODUDSLGH]FRQODTXHFDPELD ODWHPSHUDWXUDGHXQFXHUSRHVSURSRUFLRQDODODGLIHUHQFLDHQWUHODWHPSHUDWXUDGHO FXHUSR\ODGHOPHGLRTXHORURGHDTXHVHOODPDWHPSHUDWXUDDPELHQWH6L T(t UHSUHVHQWDODWHPSHUDWXUDGHOFXHUSRDOWLHPSRt, Tm HVODWHPSHUDWXUDGHOPHGLRTXHOR URGHD\dT兾dtHVODUDSLGH]FRQTXHFDPELDODWHPSHUDWXUDGHOFXHUSRHQWRQFHVODOH\GH 1HZWRQGHHQIULDPLHQWRFDOHQWDPLHQWRWUDGXFLGDHQXQDH[SUHVLyQPDWHPiWLFDHV dT dt T Tm o dT dt k(T Tm ), (3) GRQGHkHVXQDFRQVWDQWHGHSURSRUFLRQDOLGDG(QDPERVFDVRVHQIULDPLHQWRRFDOHQWDPLHQWRVLTmHVXQDFRQVWDQWHVHHVWDEOHFHTXHk  0. PROPAGACIÓN DE UNA ENFERMEDAD 8QDHQIHUPHGDGFRQWDJLRVDSRUHMHPSORXQYLUXVGHJULSHVHSURSDJDDWUDYpVGHXQDFRPXQLGDGSRUSHUVRQDVTXHKDQHVWDGR HQFRQWDFWRFRQRWUDVSHUVRQDVHQIHUPDV6HDTXHx(t GHQRWHHOQ~PHURGHSHUVRQDVTXH KDQFRQWUDtGRODHQIHUPHGDG\VHDTXHy(t GHQRWHHOQ~PHURGHSHUVRQDVTXHD~QQRKDQ VLGRH[SXHVWDVDOFRQWDJLR(VOyJLFRVXSRQHUTXHODUD]yQdx兾dtFRQODTXHVHSURSDJD ODHQIHUPHGDGHVSURSRUFLRQDODOQ~PHURGHHQFXHQWURVRinteraccionesHQWUHHVWRVGRV 22 l CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES JUXSRV GH SHUVRQDV 6L VXSRQHPRV TXH HO Q~PHUR GH LQWHUDFFLRQHV HV FRQMXQWDPHQWH SURSRUFLRQDODx(t \y(t HVWRHVSURSRUFLRQDODOSURGXFWRxyHQWRQFHV dx (4)  kxy, dt GRQGHkHVODFRQVWDQWHXVXDOGHSURSRUFLRQDOLGDG6XSRQJDTXHXQDSHTXHxDFRPXQLGDGWLHQHXQDSREODFLyQ¿MDGHnSHUVRQDV6LVHLQWURGXFHXQDSHUVRQDLQIHFWDGDGHQWURGHHVWDFRPXQLGDGHQWRQFHVVHSRGUtDDUJXPHQWDUTXHx(t \y(t HVWiQUHODFLRQDGDV SRUx  y  n 8WLOL]DQGRHVWD~OWLPDHFXDFLyQSDUDHOLPLQDUyHQODHFXDFLyQ   VHREWLHQHHOPRGHOR dx (5)  kx(n  1  x). dt 8QDFRQGLFLyQLQLFLDOREYLDTXHDFRPSDxDDODHFXDFLyQ  HVx(0)  1. REACCIONES QUÍMICAS 6H GLFH TXH OD GHVLQWHJUDFLyQ GH XQD VXVWDQFLD UDGLDFWLYDFDUDFWHUL]DGDSRUODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO  HVXQDreacción de primer orden(Q TXtPLFDKD\DOJXQDVUHDFFLRQHVTXHVLJXHQHVWDPLVPDOH\HPStULFDVLODVPROpFXODVGH OD VXVWDQFLD A VH GHVFRPSRQHQ \ IRUPDQ PROpFXODV PiV SHTXHxDV HV QDWXUDO VXSRQHU TXHODUDSLGH]FRQODTXHVHOOHYDDFDERHVDGHVFRPSRVLFLyQHVSURSRUFLRQDODODFDQWLGDGGH ODSULPHUDVXVWDQFLDTXHQRKDH[SHULPHQWDGRODFRQYHUVLyQHVWRHVVLX(t HVODFDQWLGDG GHODVXVWDQFLDATXHSHUPDQHFHHQFXDOTXLHUPRPHQWRHQWRQFHVdX兾dt  kXGRQGHk HVXQDFRQVWDQWHQHJDWLYD\DTXHXHVGHFUHFLHQWH8QHMHPSORGHXQDUHDFFLyQTXtPLFD GHSULPHURUGHQHVODFRQYHUVLyQGHOFORUXURGHWHUEXWLOR &+3)3&&OHQDOFRKROtEXWtOLFR &+3)3&2+ (CH3)3CCl  NaOH : (CH3)3COH  NaCl. 6yORODFRQFHQWUDFLyQGHOFORUXURGHWHUEXWLORFRQWURODODUDSLGH]GHODUHDFFLyQ3HUR HQODUHDFFLyQ CH3Cl  NaOH : CH3OH  NaCl VHFRQVXPHXQDPROpFXODGHKLGUy[LGRGHVRGLR1D2+SRUFDGDPROpFXODGHFORUXUR GHPHWLOR&+3&OSRUORTXHVHIRUPDXQDPROpFXODGHDOFRKROPHWtOLFR&+32+\XQD PROpFXODGHFORUXURGHVRGLR1D&O(QHVWHFDVRODUD]yQFRQTXHDYDQ]DODUHDFFLyQ HVSURSRUFLRQDODOSURGXFWRGHODVFRQFHQWUDFLRQHVGH&+3&O\1D2+TXHTXHGDQ3DUD GHVFULELUHQJHQHUDOHVWDVHJXQGDUHDFFLyQVXSRQJDPRVunaPROpFXODGHXQDVXVWDQFLD ATXHVHFRPELQDFRQunaPROpFXODGHXQDVXVWDQFLDBSDUDIRUPDUunaPROpFXODGHXQD VXVWDQFLDC6LXGHQRWDODFDQWLGDGGHXQTXtPLFRCIRUPDGRDOWLHPSRt\VL\VRQ UHVSHFWLYDPHQWHODVFDQWLGDGHVGHORVGRVTXtPLFRVA\BHQt  FDQWLGDGHVLQLFLDOHV  HQWRQFHVODVFDQWLGDGHVLQVWDQWiQHDVQRFRQYHUWLGDVGHA\BDOTXtPLFRCVRQ  X\   XUHVSHFWLYDPHQWH3RUORTXHODUD]yQGHIRUPDFLyQGHCHVWiGDGDSRU dX (6)  k(  X)(  X), dt GRQGHkHVXQDFRQVWDQWHGHSURSRUFLRQDOLGDG$XQDUHDFFLyQFX\RPRGHORHVODHFXDFLyQ  VHOHFRQRFHFRPRXQDreacción de segundo orden. MEZCLAS $O PH]FODU GRV VROXFLRQHV VDOLQDV GH GLVWLQWDV FRQFHQWUDFLRQHV VXUJH XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQTXHGH¿QHODFDQWLGDGGHVDOFRQWHQLGDHQ ODPH]FOD6XSRQJDPRVTXHXQWDQTXHPH]FODGRUJUDQGHFRQWLHQHLQLFLDOPHQWH JDORQHVGHVDOPXHUD HVGHFLUDJXDHQODTXHVHKDGLVXHOWRXQDFDQWLGDGGHVDO 2WUD VROXFLyQGHVDOPXHUDHQWUDDOWDQTXHFRQXQDUD]yQGHJDORQHVSRUPLQXWRODFRQFHQWUDFLyQGHVDOTXHHQWUDHVGHOLEUDVJDOyQ&XDQGRODVROXFLyQHQHOWDQTXHHVWi ELHQPH]FODGDVDOHFRQODPLVPDUDSLGH]FRQODTXHHQWUD9HDOD¿JXUD6LA(t) GHQRWDODFDQWLGDGGHVDO PHGLGDHQOLEUDV HQHOWDQTXHDOWLHPSRtHQWRQFHVODUD]yQ FRQODTXHA(t FDPELDHVXQDUD]yQQHWD dA dt razón de entrada de la sal razón de salida de la sal Rentra Rsale. (7) 1.3 razón de entrada de la salmuera 3 gal/min ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS l 23 /DUD]yQGHHQWUDGDRentraFRQODTXHODVDOHQWUDHQHOWDQTXHHVHOSURGXFWRGHODFRQFHQWUDFLyQGHODDÀXHQFLDGHVDO\ODWDVDGHÀXMRGHÀXLGR$GYLHUWDTXHRentraVHPLGH HQOLEUDVSRUPLQXWR concentración de sal en razón de entrada razón de el fluido, de la salmuera, entrada de la sal Rentra  (2 lb/gal) (3 gal/min)  (6 lb/min). constante 300 gal $KRUD \D TXH OD VROXFLyQ VDOH GHO WDQTXH FRQ OD PLVPD UD]yQ FRQ OD TXH HQWUD HO Q~PHURGHJDORQHVGHODVDOPXHUDHQHOWDQTXHDOWLHPSRtHVXQDFRQVWDQWHGH JDORQHV3RUORTXHODFRQFHQWUDFLyQGHODVDOHQHOWDQTXHDVtFRPRHQHOÀXMRGHVDOLGD HVc(t)  A(t)兾OEJDO\SRUORWDQWRODUD]yQGHVDOLGDRsaleGHVDOHV razón de salida de la salmuera 3 gal/min FIGURA 1.3.1 7DQTXHGHPH]FODGR concentración de sal en el flujo razón de salida de salida de la salmuera ( A(t) Rsale  –––– lb/gal 300 ) razón de salida de la sal A(t) (3 gal/min)  –––– lb/min. 100 /DUD]yQQHWDHFXDFLyQ  HQWRQFHVVHUi dA A 6 dt 100 o dA 1  A  6. dt 100 (8) 6Lrentra\rsaleTXHGHQRWDQUD]RQHVGHHQWUDGD\GHVDOLGDGHODVVROXFLRQHVGHVDOPXHUD HQWRQFHVKD\WUHVSRVLELOLGDGHVrentra  rsale, rentra rsale\rentra  rsale(QHODQiOLVLVTXHFRQGXFHD  KHPRVWRPDGRrentra  rsale(QHVWRVGRV~OWLPRVFDVRVHOQ~PHUR GHJDORQHVGHVDOPXHUDHQHOWDQTXHHVFUHFLHQWH rentra rsale RGLVPLQX\H rentra  rsale D ODUD]yQQHWDrentra  rsale9pDQVHORVSUREOHPDVDHQORVHMHUFLFLRV Aw h Ah FIGURA 1.3.2 'UHQDGRGHXQWDQTXH DRENADO DE UN TANQUE (QKLGURGLQiPLFDODley de TorricelliHVWDEOHFHTXH ODUDSLGH]vGHVDOLGDGHODJXDDWUDYpVGHXQDJXMHURGHERUGHVD¿ODGRVHQHOIRQGRGH XQWDQTXHOOHQRFRQDJXDKDVWDXQDSURIXQGLGDGhHVLJXDODODYHORFLGDGGHXQFXHUSR HQHVWHFDVRXQDJRWDGHDJXD TXHHVWiFD\HQGROLEUHPHQWHGHVGHXQDDOWXUDhHVWR HVv  12gh GRQGHgHVODDFHOHUDFLyQGHODJUDYHGDG(VWD~OWLPDH[SUHVLyQVXUJHDO LJXDODUODHQHUJtDFLQpWLFD 12 mv2 FRQODHQHUJtDSRWHQFLDOmgh, \ VHGHVSHMDv6XSRQJD TXHXQWDQTXHOOHQRGHDJXDVHYDFtDDWUDYpVGHXQDJXMHUREDMRODLQÀXHQFLDGHODJUDYHGDG4XHUHPRVHQFRQWUDUODSURIXQGLGDGh, GHODJXDTXHTXHGDHQHOWDQTXHDOWLHPSR t&RQVLGHUHHOWDQTXHTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD6LHOiUHDGHODJXMHURHVAh HQ SLHV2 \ODUDSLGH]GHODJXDTXHVDOHGHOWDQTXHHVv  12gh  HQSLHVV HQWRQFHVHO YROXPHQGHDJXDTXHVDOHGHOWDQTXHSRUVHJXQGRHV Ah 12gh HQSLHV3V $VtVL V(t GHQRWDDOYROXPHQGHDJXDHQHOWDQTXHDOWLHPSRtHQWRQFHV dV Ah 2gh, (9) dt GRQGHHOVLJQRPHQRVLQGLFDTXHVHVWiGLVPLQX\HQGR2EVHUYHTXHDTXtHVWDPRVGHVSUHFLDQGRODSRVLELOLGDGGHIULFFLyQHQHODJXMHURTXHSRGUtDFDXVDUXQDUHGXFFLyQGHOD UD]yQGHÀXMR6LHOWDQTXHHVWDOTXHHOYROXPHQGHODJXDDOWLHPSRtVHH[SUHVDFRPR V(t)  Awh, GRQGHAw HQSLHV2 HVHOiUHDconstante GHODVXSHU¿FLHVXSHULRUGHODJXD YHDOD¿JXUD HQWRQFHVdV兾dt  Aw dh兾dt. 6XVWLWX\HQGRHVWD~OWLPDH[SUHVLyQ HQODHFXDFLyQ  REWHQHPRVODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHGHVHiEDPRVSDUDH[SUHVDUOD DOWXUDGHODJXDDOWLHPSRt dh Ah (10) 2gh. dt Aw (VLQWHUHVDQWHREVHUYDUTXHODHFXDFLyQ  HVYiOLGDDXQFXDQGRAwQRVHDFRQVWDQWH (QHVWHFDVRGHEHPRVH[SUHVDUHOiUHDGHODVXSHU¿FLHVXSHULRUGHODJXDHQIXQFLyQGH h, HVWRHV Aw  A(h)9HDHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV 1RFRQIXQGDHVWRVVtPERORVFRQR entra\R saleTXHVRQODVUD]RQHVGHHQWUDGD\VDOLGDGHsal. 24 CAPÍTULO 1 l INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES L R E(t) C a) Circuito(a) en serie- LRC Inductor inductancia L: henrys (h) di caída de voltaje: L dt i L Resistor resistencia R: ohms (Ω) caída de voltaje: iR i R Capacitor capacitancia C: farads (f) 1 caída de voltaje: q C i C b) (b) FIGURA 1.3.3 6tPERORVXQLGDGHV\ YROWDMHV&RUULHQWHi(t \FDUJDq(t HVWiQ PHGLGDVHQDPSHUHV $ \HQFRXORPEV & UHVSHFWLYDPHQWH v0 piedra s0 s(t) edificio suelo FIGURA 1.3.4 3RVLFLyQGHODSLHGUD PHGLGDGHVGHHOQLYHOGHOVXHOR CIRCUITOS EN SERIE &RQVLGHUHHOFLUFXLWRHQVHULHVLPSOHTXHWLHQHXQLQGXFWRU XQUHVLVWRU\XQFDSDFLWRUTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD D (QXQFLUFXLWRFRQHO LQWHUUXSWRUFHUUDGRODFRUULHQWHVHGHQRWDSRUi(t \ODFDUJDHQHOFDSDFLWRUDOWLHPSR tVHGHQRWDSRUq(t). /DVOHWUDVL, R\CVRQFRQRFLGDVFRPRLQGXFWDQFLDUHVLVWHQFLD\ FDSDFLWDQFLDUHVSHFWLYDPHQWH\HQJHQHUDOVRQFRQVWDQWHV$KRUDGHDFXHUGRFRQOD segunda ley de KirchhoffHOYROWDMHDSOLFDGRE(t DXQFLUFXLWRFHUUDGRGHEHVHULJXDO DODVXPDGHODVFDtGDVGHYROWDMHHQHOFLUFXLWR/D¿JXUD E PXHVWUDORVVtPERORV \IyUPXODVGHODVFDtGDVUHVSHFWLYDVGHYROWDMHDWUDYpVGHXQLQGXFWRUXQFDSDFLWRU\ XQUHVLVWRU&RPRODFRUULHQWHi(t HVWiUHODFLRQDGDFRQODFDUJDq(t) HQHOFDSDFLWRU PHGLDQWHi  dq兾dt, VXPDPRVORVWUHVYROWDMHV  LQGXFWRU UHVLVWRU FDSDFLWRU d 2q dq 1 di L 2, iR R , y q L dt dt dt C HLJXDODQGRODVXPDGHORVYROWDMHVFRQHOYROWDMHDSOLFDGRVHREWLHQHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHVHJXQGRRUGHQ d 2q dq 1 L 2 R  q  E(t). (11) dt dt C (QODVHFFLyQH[DPLQDUHPRVFRQGHWDOOHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDODQiORJDD (11). CUERPOS EN CAÍDA 3DUDHVWDEOHFHUXQPRGHORPDWHPiWLFRGHOPRYLPLHQWRGHXQ FXHUSRTXHVHPXHYHHQXQFDPSRGHIXHU]DVFRQIUHFXHQFLDVHFRPLHQ]DFRQODVHJXQGD OH\GH1HZWRQ5HFRUGHPRVGHODItVLFDHOHPHQWDOTXHODprimera ley del movimiento de NewtonHVWDEOHFHTXHXQFXHUSRSHUPDQHFHUiHQUHSRVRRFRQWLQXDUiPRYLpQGRVH FRQXQDYHORFLGDGFRQVWDQWHDPHQRVTXHVHDVRPHWLGRDXQDIXHU]DH[WHUQD(QORV GRVFDVRVHVWRHTXLYDOHDGHFLUTXHFXDQGRODVXPDGHODVIXHU]DV F  兺 Fk , HVWRHV ODIXHU]Dneta RIXHU]DUHVXOWDQWHTXHDFW~DVREUHHOFXHUSRHVFHURODDFHOHUDFLyQa GHOFXHUSRHV FHUR/Dsegunda ley del movimiento de NewtonLQGLFDTXHFXDQGROD IXHU]DQHWDTXHDFW~DVREUHXQFXHUSRQRHVFHURHQWRQFHVODIXHU]DQHWDHVSURSRUFLRQDODVXDFHOHUDFLyQa R PiVH[DFWDPHQWHF  ma, GRQGHm HVODPDVDGHOFXHUSR 6XSRQJDPRVDKRUDTXHVHDUURMDXQDSLHGUDKDFLDDUULEDGHVGHHOWHFKRGHXQHGL¿FLRFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD¢&XiOHVODSRVLFLyQs(t GHODSLHGUDUHVSHFWR DOVXHORDOWLHPSRt"/DDFHOHUDFLyQGHODSLHGUDHVODVHJXQGDGHULYDGDd 2s兾dt 2. 6L VXSRQHPRVTXHODGLUHFFLyQKDFLDDUULEDHVSRVLWLYD\TXHQRKD\RWUDIXHU]DDGHPiV GHODIXHU]DGHODJUDYHGDGTXHDFW~HVREUHODSLHGUDHQWRQFHVXWLOL]DQGRODVHJXQGD OH\GH1HZWRQVHWLHQHTXH d 2s d 2s (12) m 2 mg฀ ฀ ฀ ฀ o ฀ ฀ ฀ ฀ 2 g. dt dt (QRWUDVSDODEUDVODIXHU]DQHWDHVVLPSOHPHQWHHOSHVRF  F1  WGHODSLHGUDFHUFD GHODVXSHU¿FLHGHOD7LHUUD5HFXHUGHTXHODPDJQLWXGGHOSHVRHVW  mgGRQGHmHVOD PDVDGHOFXHUSR\gHVODDFHOHUDFLyQGHELGDDODJUDYHGDG(OVLJQRPHQRVHQODHFXDFLyQ  VHXVDSRUTXHHOSHVRGHODSLHGUDHVXQDIXHU]DGLULJLGDKDFLDDEDMRTXHHVRSXHVWD DODGLUHFFLyQSRVLWLYD6LODDOWXUDGHOHGL¿FLRHVs0\ODYHORFLGDGLQLFLDOGHODURFDHVv0, HQWRQFHVsVHGHWHUPLQDDSDUWLUGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHVHJXQGRRUGHQ d 2s  g, s(0)  s0, s(0)  v0. (13) dt 2 $XQTXHQRKHPRVLQGLFDGRVROXFLRQHVGHODVHFXDFLRQHVTXHVHKDQIRUPXODGRREVHUYHTXHODHFXDFLyQVHSXHGHUHVROYHULQWHJUDQGRGRVYHFHVUHVSHFWRDtODFRQVWDQWH±g/DVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVGHWHUPLQDQODVGRVFRQVWDQWHVGHLQWHJUDFLyQ'H ODItVLFDHOHPHQWDOSRGUtDUHFRQRFHUODVROXFLyQGHODHFXDFLyQ  FRPRODIyUPXOD 1 2 v0 t s0. s(t) 2 gt CUERPOS EN CAÍDA Y RESISTENCIA DEL AIRE $QWHV GHO IDPRVR H[SHULPHQWRGHOItVLFR\PDWHPiWLFRLWDOLDQR*DOLOHR*DOLOHL  GHODWRUUHLQFOLQDGD GH3LVDJHQHUDOPHQWHVHFUHtDTXHORVREMHWRVPiVSHVDGRVHQFDtGDOLEUHFRPR XQD 1.3 kv dirección positiva resistencia del aire gravedad mg FIGURA 1.3.5 &XHUSRGHPDVDm FD\HQGR ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS l 25 EDOD GH FDxyQ FDtDQ FRQ XQD DFHOHUDFLyQ PD\RU TXH ORV REMHWRV OLJHURV FRPR XQD SOXPD 2EYLDPHQWH XQD EDOD GH FDxyQ \ XQD SOXPD FXDQGR VH GHMDQ FDHU VLPXOWiQHDPHQWHGHVGHODPLVPDDOWXUDUHDOPHQWHcaenHQWLHPSRVGLIHUHQWHVSHURHVWRQR HV SRUTXH XQD EDOD GH FDxyQ VHD PiV SHVDGD /D GLIHUHQFLDHQ ORV WLHPSRVVH GHEH DODUHVLVWHQFLDGHODLUH(QHOPRGHORTXHVHSUHVHQWyHQODHFXDFLyQ  VHGHVSUHFLyODIXHU]DGHODUHVLVWHQFLDGHODLUH%DMRFLHUWDVFLUFXQVWDQFLDVXQFXHUSRGHPDVD m TXHFDHWDOFRPRXQDSOXPDFRQGHQVLGDGSHTXHxD\IRUPDLUUHJXODUHQFXHQWUD XQDUHVLVWHQFLDGHODLUHTXHHVSURSRUFLRQDODVXYHORFLGDGLQVWDQWiQHDv6LHQHVWH FDVRWRPDPRVODGLUHFFLyQSRVLWLYDGLULJLGDKDFLDDEDMRHQWRQFHVODIXHU]DQHWDTXH HVWiDFWXDQGRVREUHODPDVDHVWiGDGDSRUF  F1  F2  mg  kv, GRQGHHOSHVR F1  mg GHOFXHUSRHVXQDIXHU]DTXHDFW~DHQODGLUHFFLyQSRVLWLYD\ODUHVLVWHQFLD GHO DLUH F2  kv HV XQD IXHU]D TXH VH OODPD GH amortiguamiento viscoso, TXH DFW~DHQODGLUHFFLyQFRQWUDULDRKDFLDDUULED9HDOD¿JXUD$KRUDSXHVWRTXHv HVWiUHODFLRQDGDFRQODDFHOHUDFLyQaPHGLDQWHa  dv兾dtODVHJXQGDOH\GH1HZWRQ VHUiF  ma  m dv兾dt. $OLJXDODUODIXHU]DQHWDFRQHVWDIRUPDGHODVHJXQGDOH\ REWHQHPRVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDODYHORFLGDGv(t GHOFXHUSRDOWLHPSRt, dv  mg  kv. (14) dt $TXt k HV XQD FRQVWDQWH SRVLWLYD GH SURSRUFLRQDOLGDG 6L s(t  HV OD GLVWDQFLD TXH HO FXHUSRKDFDtGRDOWLHPSRtGHVGHVXSXQWRLQLFLDORGHOLEHUDFLyQHQWRQFHVv  ds兾dt \a  dv兾dt  d 2s兾dt 2(QWpUPLQRVGHsODHFXDFLyQ  HVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO GHVHJXQGRRUGHQ m m a) cable de suspensión de un puente b) alambres de teléfonos FIGURA 1.3.6 &DEOHVVXVSHQGLGRV HQWUHVRSRUWHVYHUWLFDOHV d 2s dt 2 mg k ds dt o m d 2s dt 2 k ds dt mg. (15) CABLES SUSPENDIDOS ,PDJLQHTXHXQFDEOHÀH[LEOHXQDODPEUHRXQDFXHUGD SHVDGDTXHHVWiVXVSHQGLGDHQWUHGRVVRSRUWHVYHUWLFDOHV(MHPSORItVLFRVGHHVWRSRGUtDQVHUXQRGHORVGRVFDEOHVTXHVRSRUWDQHO¿UPHGHXQSXHQWHGHVXVSHQVLyQFRPR HO TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD  D  R XQ FDEOH WHOHIyQLFR ODUJR HQWUH GRV SRVWHV FRPRHOTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E 1XHVWURREMHWLYRHVFRQVWUXLUXQPRGHOR PDWHPiWLFRTXHGHVFULEDODIRUPDTXHWLHQHHOFDEOH 3DUDFRPHQ]DUH[DPLQDUHPRVVyORXQDSDUWHRHOHPHQWRGHOFDEOHHQWUHVXSXQWR PiVEDMR P1\FXDOTXLHUSXQWRDUELWUDULRP26HxDODGRHQFRORUD]XOHQOD¿JXUD HVWHHOHPHQWRGHFDEOHHVODFXUYDHQXQVLVWHPDGHFRRUGHQDGDUHFWDQJXODUHOLJLHQGR DOHMHySDUDTXHSDVHDWUDYpVGHOSXQWRPiVEDMRP1GHODFXUYD\HOLJLHQGRDOHMH x SDUD TXH SDVH D a XQLGDGHV GHEDMR GH P1 6REUH HO FDEOH DFW~DQ WUHV IXHU]DV ODV WHQVLRQHVT1\T2HQHOFDEOHTXHVRQWDQJHQWHVDOFDEOHHQP1\P2UHVSHFWLYDPHQWH \ OD SDUWH W GH OD FDUJD WRWDO YHUWLFDO HQWUH ORV SXQWRV P1 \ P2 6HD TXH T1  兩T1兩, T2  兩T2兩\W  兩W兩GHQRWHQODVPDJQLWXGHVGHHVWRVYHFWRUHV$KRUDODWHQVLyQT2VH GHVFRPSRQHHQVXVFRPSRQHQWHVKRUL]RQWDO\YHUWLFDO FDQWLGDGHVHVFDODUHV T2FRV \T2VHQ'HELGRDOHTXLOLEULRHVWiWLFRSRGHPRVHVFULELU T1 T2
cos




y W T2
sen . $O GLYLGLU OD XOWLPD HFXDFLyQ HQWUH OD SULPHUD HOLPLQDPRV T2 \ REWHQHPRV WDQ   W兾T13HURSXHVWRTXHdy兾dx WDQOOHJDPRVD y T2 T2 sen θ P2 alambre T1 P1 (0, a) W (x, 0) θ T2 cos θ x FIGURA 1.3.7 (OHPHQWRGHOFDEOH dy dx W . T1 (16) (VWDVHQFLOODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQVLUYHFRPRPRGHORWDQWRSDUDPRGHODU ODIRUPDGHXQDODPEUHÀH[LEOHFRPRHOFDEOHWHOHIyQLFRFROJDGREDMRVXSURSLRSHVR RSDUDPRGHODUODIRUPDGHORVFDEOHVTXHVRSRUWDQHO¿UPHGHXQSXHQWHVXVSHQGLGR 5HJUHVDUHPRVDODHFXDFLyQ  HQORVHMHUFLFLRV\HQODVHFFLyQ LO QUE NOS ESPERA (QHVWHOLEURYHUHPRVWUHVWLSRVGHPpWRGRVSDUDHODQiOLVLVGH ODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV3RUVLJORVODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVKDQVXUJLGRGHORVHVIXHU]RVGHFLHQWt¿FRVRLQJHQLHURVSDUDGHVFULELUDOJ~QIHQyPHQRItVLFRRSDUDWUDGXFLUXQD 26 l CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES OH\HPStULFDRH[SHULPHQWDOHQWpUPLQRVPDWHPiWLFRV&RPRFRQVHFXHQFLDHOFLHQWt¿FR LQJHQLHURRPDWHPiWLFRIUHFXHQWHPHQWHSDVDUtDPXFKRVDxRVGHVXYLGDWUDWDQGRGHHQFRQWUDUODVVROXFLRQHVGHXQD('&RQXQDVROXFLyQHQODPDQRVHSURVLJXHFRQHOHVWXGLR GHVXVSURSLHGDGHV$HVWDE~VTXHGDGHVROXFLRQHVVHOHOODPDmétodo analíticoSDUDODV HFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV8QDYH]TXHFRPSUHQGLHURQTXHODVVROXFLRQHVH[SOtFLWDVHUDQ PX\GLItFLOHVGHREWHQHU\HQHOSHRUGHORVFDVRVLPSRVLEOHVGHREWHQHUORVPDWHPiWLFRV DSUHQGLHURQTXHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVSRGUtDQVHUXQDIXHQWHGHLQIRUPDFLyQYDOLRVDHQVtPLVPDV(VSRVLEOHHQDOJXQRVFDVRVFRQWHVWDUSUHJXQWDVFRPRODVVLJXLHQWHV GLUHFWDPHQWH GH ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV ¿en realidad la ED tiene soluciones? Si una solución de la ED existe y satisface una condición inicial, ¿es única esa solución? ¿Cuáles son algunas propiedades de las soluciones desconocidas? ¿Qué podemos decir acerca de la geometría de las curvas de solución?(VWHPpWRGRHVDQiOLVLVFXDOLWDWLYR 3RU~OWLPRVLXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOQRVHSXHGHUHVROYHUSRUPpWRGRVDQDOtWLFRVD~Q DVtSRGHPRVGHPRVWUDUTXHXQDVROXFLyQH[LVWHODVLJXLHQWHSUHJXQWDOyJLFDHV¢de qué modo podemos aproximarnos a los valores de una solución desconocida?$TXtHQWUDPRV DOUHLQRGHOanálisis numérico8QDUHVSXHVWDD¿UPDWLYDDOD~OWLPDSUHJXQWDVHEDVDHQ HOKHFKRGHTXHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVHSXHGHXVDUFRPRXQSULQFLSLREiVLFRSDUDOD FRQVWUXFFLyQGHDOJRULWPRVGHDSUR[LPDFLyQPX\H[DFWRV(QHOFDStWXORFRPHQ]DUHPRV FRQFRQVLGHUDFLRQHVFXDOLWDWLYDVGHODV('2GHSULPHURUGHQGHVSXpVDQDOL]DUHPRVORV DUWL¿FLRVDQDOtWLFRVSDUDUHVROYHUDOJXQDVHFXDFLRQHVHVSHFLDOHVGHSULPHURUGHQ\FRQFOXLUHPRVFRQXQDLQWURGXFFLyQDXQPpWRGRQXPpULFRHOHPHQWDO9HDOD¿JXUD COMENTARIOS &DGD HMHPSOR GH HVWD VHFFLyQ KD GHVFULWR XQ VLVWHPD GLQiPLFR XQ VLVWHPD TXH FDPELDRHYROXFLRQDFRQHOSDVRGHOWLHPSRt3XHVWRTXHHQODDFWXDOLGDGHOHVWXGLR GH ORV VLVWHPDV GLQiPLFRV HV XQD UDPD GH ODV PDWHPiWLFDV TXH HVWi GH PRGD D YHFHV XWLOL]DUHPRV OD WHUPLQRORJtD GH HVD UDPD HQ QXHVWURV DQiOLVLV (QWpUPLQRVPiVSUHFLVRVXQ sistema dinámico FRQVLVWHHQXQFRQMXQWRGH YDULDEOHVGHSHQGLHQWHVGHOWLHPSRTXHVHOODPDQ YDULDEOHVGHHVWDGRMXQWRFRQXQD UHJODTXHSHUPLWDGHWHUPLQDU VLQDPELJHGDGHV HOHVWDGRGHOVLVWHPD TXHSXHGH VHUSDVDGRSUHVHQWHRIXWXUR HQWpUPLQRVGHXQHVWDGRSUHVFULWRDOWLHPSR t0/RV VLVWHPDVGLQiPLFRVVHFODVL¿FDQ\DVHDFRPRVLVWHPDVGLVFUHWRVRFRQWLQXRVHQHO WLHPSRRGHWLHPSRVGLVFUHWRVRFRQWLQXRV(QHVWHFXUVRVyORQRVRFXSDUHPRVGH ORVVLVWHPDVGLQiPLFRVFRQWLQXRVHQHOWLHPSRVLVWHPDVHQORVTXHtodasODVYDULDEOHVHVWiQGH¿QLGDVGHQWURGHXQLQWHUYDORFRQWLQXRGHWLHPSR/DUHJODRPRGHOR PDWHPiWLFRHQXQVLVWHPDGLQiPLFRFRQWLQXRHQHOWLHPSRHVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORVLVWHPDGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV(Oestado del sistemaDOWLHPSRtHVHO YDORUGHODVYDULDEOHVGHHVWDGRHQHVHLQVWDQWHHOHVWDGRHVSHFL¿FDGRGHOVLVWHPDDO WLHPSRt0VRQVLPSOHPHQWHODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVTXHDFRPSDxDQDOPRGHORPD- ¡HÁBLAME! y'=f(y) a) analítico b) cualitativo FIGURA 1.3.8 'LIHUHQWHVPpWRGRVSDUDHOHVWXGLRGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV c) numérico 1.3 ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS l 27 WHPiWLFR/DVROXFLyQGHXQSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVVHOODPDrespuesta del sistema3RUHMHPSORHQHOFDVRGHOGHFDLPLHQWRUDGLDFWLYRODUHJODHVdA兾dt  kA$KRUDVLVHFRQRFHODFDQWLGDGGHVXVWDQFLDUDGLDFWLYDDOWLHPSRt0GLJDPRV A(t0)  A0HQWRQFHVDOUHVROYHUODUHJODVHHQFXHQWUDTXHODUHVSXHVWDGHOVLVWHPD SDUDt  t0HVA(t)  A0 e (t  t0) YHDODVHFFLyQ /DUHVSXHVWDA(t HVOD~QLFD YDULDEOHGHHVWDGRSDUDHVWHVLVWHPD(QHOFDVRGHODSLHGUDDUURMDGDGHVGHHOWHFKR GHXQHGL¿FLRODUHVSXHVWDGHOVLVWHPDHVGHFLUODVROXFLyQDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOd 2s兾dt 2  gVXMHWDDOHVWDGRLQLFLDOs(0)  s0, s(0)  v0HVODIXQFLyQ 1 2 s(t) v0 t s0; 0 t T,GRQGHTUHSUHVHQWDHOYDORUGHOWLHPSRHQ 2 gt TXHODSLHGUDJROSHDHQHOVXHOR/DVYDULDEOHVGHHVWDGRVRQs(t \s(t ODSRVLFLyQ\ODYHORFLGDGYHUWLFDOHVGHODSLHGUDUHVSHFWLYDPHQWH/DDFHOHUDFLyQ s(t), noHVXQDYDULDEOHGHHVWDGR\DTXHVyORVHFRQRFHQODSRVLFLyQ\ODYHORFLGDGLQLFLDOHVDOWLHPSRt0SDUDGHWHUPLQDUHQIRUPD~QLFDODSRVLFLyQs(t \OD YHORFLGDGs(t)  v(t GHODSLHGUDHQFXDOTXLHUPRPHQWRGHOLQWHUYDORt0  t  T. /DDFHOHUDFLyQs(t)  a(t HVWiSRUVXSXHVWRGDGDSRUODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO s(t)  g, 0  t  T. 8Q~OWLPRSXQWR1RWRGRVORVVLVWHPDVTXHVHHVWXGLDQHQHVWHOLEURVRQ VLVWHPDVGLQiPLFRV([DPLQDUHPRVDOJXQRVVLVWHPDVHVWiWLFRVHQTXHHOPRGHOR HVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO EJERCICIOS 1.3 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-1. Dinámica poblacional 1. &RQEDVHHQODVPLVPDVKLSyWHVLVGHWUiVGHOPRGHORGH ODHFXDFLyQ  GHWHUPLQHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDOD SREODFLyQ P(t  GH XQ SDtV FXDQGR VH OHV SHUPLWH D ODV SHUVRQDV LQPLJUDU D XQ SDtV FRQ XQD UD]yQ FRQVWDQWH r ¢&XiOHVODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDODSREODFLyQ P(t GHOSDtVFXDQGRVHOHVSHUPLWHDODVSHUVRQDVHPLJUDU GHOSDtVFRQXQDUD]yQFRQVWDQWHr " 2. (OPRGHORGHSREODFLyQGDGRHQODHFXDFLyQ  IDOODDO QRFRQVLGHUDUODWDVDGHPRUWDOLGDGODUD]yQGHFUHFLPLHQWR HVLJXDODODWDVDGHQDWDOLGDG(QRWURPRGHORGHOFDPELR GHSREODFLyQGHXQDFRPXQLGDGVHVXSRQHTXHODUD]yQGH FDPELRGHODSREODFLyQHVXQDUD]yQnetaHVGHFLUODGLIHUHQFLDHQWUHODWDVDGHQDWDOLGDG\ODGHPRUWDOLGDGHQOD FRPXQLGDG'HWHUPLQHXQPRGHORSDUDODSREODFLyQP(t) VLWDQWRODWDVDGHQDWDOLGDG\ODPRUWDOLGDGVRQSURSRUFLRQDOHVDODSREODFLyQSUHVHQWHDOWLHPSRt 0. 3. 8WLOLFH HO FRQFHSWR GH UD]yQ QHWD LQWURGXFLGR HQ HO SUREOHPDSDUDGHWHUPLQDUXQPRGHORSDUDXQDSREODFLyQP(t) VLODWDVDGHQDWDOLGDGHVSURSRUFLRQDODODSREODFLyQSUHVHQ WHDOWLHPSRtSHURODWDVDGHPRUWDOLGDGHVSURSRUFLRQDODO FXDGUDGRGHODSREODFLyQSUHVHQWHDOWLHPSRt. 4. 0RGL¿TXHHOSUREOHPDSDUDODUD]yQQHWDFRQODTXHOD SREODFLyQP(t GHXQDFLHUWDFODVHGHSH]FDPELDDOVXSRQHUTXHHOSH]HVWiVLHQGRSHVFDGRFRQXQDUD]yQFRQVWDQWHh 0. Ley de enfriamiento/calentamiento de Newton 5. 8QDWD]DGHFDIpVHHQIUtDGHDFXHUGRFRQODOH\GHHQIULDPLHQWRGH1HZWRQHFXDFLyQ  8WLOLFHORVGDWRVGHOD JUi¿FDGHODWHPSHUDWXUDT(t HQOD¿JXUDSDUDHVWLPDU ODVFRQVWDQWHVTm, T0\kHQXQPRGHORGHODIRUPDGHXQ SUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHSULPHURUGHQdT兾dt  k (T Tm), T(0)  T0. T 200 150 100 50 0 25 50 75 minutos 100 t FIGURA 1.3.9 &XUYDGHHQIULDPLHQWRHQHOSUREOHPD 6. /DWHPSHUDWXUDDPELHQWHTmHQODHFXDFLyQ  SRGUtDVHU XQDIXQFLyQGHOWLHPSRt6XSRQJDTXHHQXQPHGLRDPELHQWH FRQWURODGR Tm(t  HV SHULyGLFD FRQ XQ SHULRGR GH KRUDVFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD'LVHxHXQ PRGHORPDWHPiWLFRSDUDODWHPSHUDWXUDT(t GHXQFXHUSR GHQWURGHHVWHPHGLRDPELHQWH Propagación de una enfermedad/tecnología 7. 6XSRQJDTXHXQDOXPQRHVSRUWDGRUGHOYLUXVGHODJULSH\ UHJUHVDDODSDUWDGRFDPSXVGHVXXQLYHUVLGDGGHHVWXGLDQWHV'HWHUPLQHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDHOQ~PHUR GHSHUVRQDVx(t TXHFRQWUDHUiQODJULSHVLODUD]yQFRQOD TXHODHQIHUPHGDGVHSURSDJDHVSURSRUFLRQDODOQ~PHURGH LQWHUDFFLRQHVHQWUHHOQ~PHURGHHVWXGLDQWHVTXHWLHQHJULSH \HOQ~PHURGHHVWXGLDQWHVTXHD~QQRVHKDQH[SXHVWRDHOOD 28 l CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES HODJXDVDOHDWUDYpVGHODJXMHURODIULFFLyQ\ODFRQWUDFFLyQGHODFRUULHQWHFHUFDGHODJXMHURUHGXFHQHOYROXPHQ GH DJXD TXH VDOH GHO WDQTXH SRU VHJXQGR D cAh 12gh , GRQGHc (0  c  HVXQDFRQVWDQWHHPStULFD'HWHUPLQH XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDODDOWXUDhGHODJXDDOWLHPSR tSDUDHOWDQTXHF~ELFRTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD (OUDGLRGHODJXMHURHVGHSXOJ\g SLHVV2. Tm (t) 120 100 80 60 40 Aw 20 10 pies 0 12 24 36 48 media medio media medio media noche día noche día noche t h FIGURA 1.3.10 7HPSHUDWXUDDPELHQWHHQHOSUREOHPD 8. $OWLHPSRGHQRWDGRSRUt VHLQWURGXFHXQDLQQRYDFLyQWHFQROyJLFDHQXQDFRPXQLGDGTXHWLHQHXQDFDQWLGDG¿MDGHnSHUVRQDV'HWHUPLQHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDHOQ~PHURGHSHUVRQDVx(t TXHKD\DQDGRSWDGR ODLQQRYDFLyQDOWLHPSRtVLVHVXSRQHTXHODUD]yQFRQOD TXHVHSURSDJDODLQQRYDFLyQHVFRQMXQWDPHQWHSURSRUFLRQDODOQ~PHURGHSHUVRQDVTXH\DODKDQDGRSWDGR\DO Q~PHURGHSHUVRQDVTXHQRODKDQDGRSWDGR Mezclas 9. 6XSRQJDTXHXQWDQTXHJUDQGHGHPH]FODGRFRQWLHQHLQLFLDOPHQWHJDORQHVGHDJXDHQORVTXHVHGLVROYLHURQ OLEUDVGHVDO(QWUDDJXDSXUDDXQDUD]yQGHJDOPLQ \FXDQGRODVROXFLyQHVWiELHQUHYXHOWDVDOHDODPLVPD UD]yQ 'HWHUPLQH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO TXH H[SUHVH ODFDQWLGDGA(t GHVDOTXHKD\HQHOWDQTXHDOWLHPSRt. ¢&XiQWRYDOHA  " 10. 6XSRQJDTXHXQWDQTXHJUDQGHGHPH]FODGRFRQWLHQHLQLFLDOPHQWHJDORQHVGHDJXDHQORVTXHVHKDQGLVXHOWR  OLEUDV GH VDO 2WUD VDOPXHUD LQWURGXFLGD DO WDQTXH D XQD UD]yQ GH  JDOPLQ \ FXDQGR OD VROXFLyQ HVWi ELHQ PH]FODGDVDOHDXQDUD]yQlentaGHJDOPLQ6LODFRQFHQWUDFLyQGHODVROXFLyQTXHHQWUDHVOEJDOGHWHUPLQH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO TXH H[SUHVH OD FDQWLGDG GH VDO A(t TXHKD\HQHOWDQTXHDOWLHPSRt. 11. ¢&XiO HV OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GHO SUREOHPD  VL OD VROXFLyQELHQPH]FODGDVDOHDXQDUD]yQmás rápidaGH JDOPLQ" 12. *HQHUDOLFHHOPRGHORGDGRHQODHFXDFLyQ  GHODSiJLQD VXSRQLHQGRTXHHOJUDQWDQTXHFRQWLHQHLQLFLDOPHQWH N0Q~PHURGHJDORQHVGHVDOPXHUDrentra\rsaleVRQODVUD]RQHVGHHQWUDGD\VDOLGDGHODVDOPXHUDUHVSHFWLYDPHQWH PHGLGDV HQ JDORQHV SRU PLQXWR  centra HV OD FRQFHQWUDFLyQGHVDOHQHOÀXMRTXHHQWUDc(t HVODFRQFHQWUDFLyQ GHVDOHQHOWDQTXHDVtFRPRHQHOÀXMRTXHVDOHDOWLHPSR t PHGLGDHQOLEUDVGHVDOSRUJDOyQ \A(t HVODFDQWLGDG GHVDOHQHOWDQTXHDOWLHPSRt 0. agujero circular FIGURA 1.3.11 7DQTXHF~ELFRGHOSUREOHPD 14. 'HOWDQTXHFyQLFRUHFWDQJXODUUHFWRTXHVHPXHVWUDHQOD ¿JXUDVDOHDJXDSRUXQDJXMHURFLUFXODUTXHHVWi HQHOIRQGR'HWHUPLQHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDOD DOWXUDhGHODJXDDOWLHPSRt (OUDGLRGHODJXMHURHV SXOJg SLHVV2\HOIDFWRUGHIULFFLyQFRQWUDFFLyQ LQWURGXFLGRHQHOSUREOHPDHVc  0.6. 8 pies Aw h 20 pies agujero circular FIGURA 1.3.12 7DQTXHFyQLFRGHOSUREOHPD Circuitos en serie 15. 8QFLUFXLWRHQVHULHWLHQHXQUHVLVWRU\XQLQGXFWRUFRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD  'HWHUPLQH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDOSDUDODFRUULHQWHi(t VLODUHVLVWHQFLDHVROD LQGXFWDQFLDHVL\HOYROWDMHDSOLFDGRHVE(t). 16. 8QFLUFXLWRHQVHULHFRQWLHQHXQUHVLVWRU\XQFDSDFLWRUFRPR VHPXHVWUDHQOD¿JXUD'HWHUPLQHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHH[SUHVHODFDUJDq(t HQHOFDSDFLWRUVLODUHVLVWHQFLDHVRODFDSDFLWDQFLDHVC\HOYROWDMHDSOLFDGRHVE(t). L E R FIGURA 1.3.13 &LUFXLWRHQVHULH LR GHOSUREOHPD R E Drenado de un tanque 13. 6XSRQJDTXHHVWiVDOLHQGRDJXDGHXQWDQTXHDWUDYpVGH XQDJXMHURFLUFXODUGHiUHDAhTXHHVWiHQHOIRQGR&XDQGR C FIGURA 1.3.14 &LUFXLWRRCHQVHULHGHOSUREOHPD 1.3 ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS l 29 s/2 s/2 0 kv2 SKYD IVING MADE EASY mg a) superficie 0 y(t) b) FIGURA 1.3.16 0RYLPLHQWRRVFLODWRULRGHOEDUULO ÀRWDQGRGHOSUREOHPD FIGURA 1.3.15 5HVLVWHQFLDGHODLUHSURSRUFLRQDODO FXDGUDGRGHODYHORFLGDGGHOSUREOHPD Caida libre y resistencia del aire 17. 3DUDPRYLPLHQWRVGHJUDQUDSLGH]HQHODLUHFRPRHOGHO SDUDFDLGLVWDTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDTXHHVWiFD\HQGRDQWHVGHTXHVHDEUDHOSDUDFDtGDVODUHVLVWHQFLDGHO DLUHHVFHUFDQDDXQDSRWHQFLDGHODYHORFLGDGLQVWDQWiQHDv(t 'HWHUPLQHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDODYHORFLGDGv(t GHXQFXHUSRGHPDVDmTXHFDHVLODUHVLVWHQFLDGHO DLUHHVSURSRUFLRQDODOFXDGUDGRGHODYHORFLGDGLQVWDQWiQHD Segunda ley de Newton y Principio de Arquímedes 18. 8QEDUULOFLOtQGULFRGHsSLHVGHGLiPHWUR\wOEGHSHVRHVWi ÀRWDQGR HQ DJXD FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD  D  'HVSXpV GH XQ KXQGLPLHQWR LQLFLDO HO EDUULO SUHVHQWD XQ PRYLPLHQWR RVFLODWRULR KDFLD DUULED \ KDFLD DEDMR D OR ODUJR GH OD YHUWLFDO 8WLOL]DQGR OD ¿JXUD  E  GH¿QD XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDHVWDEOHFHUHOGHVSOD]DPLHQWR YHUWLFDOy(t VLVHVXSRQHTXHHORULJHQHVWiHQHOHMHYHUWLFDO \HQODVXSHU¿FLHGHODJXDFXDQGRHOEDUULOHVWiHQUHSRVR 8VH HO Principio de Arquímedes OD IXHU]D GH ÀRWDFLyQ RKDFLDDUULEDTXHHMHUFHHODJXDVREUHHOEDUULOHVLJXDODO SHVRGHODJXDGHVSOD]DGD6XSRQJDTXHODGLUHFFLyQKDFLD DEDMRHVSRVLWLYDTXHODGHQVLGDGGHPDVDGHODJXDHV OESLHV3\TXHQRKD\UHVLVWHQFLDHQWUHHOEDUULO\HODJXD Segunda ley de Newton y ley de Hooke 19. 'HVSXpVGHTXHVH¿MDXQDPDVDmDXQUHVRUWHpVWHVHHVWLUD sXQLGDGHV\FXHOJDHQUHSRVRHQODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR FRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E 'HVSXpVHOVLVWHPD UHVRUWHPDVDVHSRQHHQPRYLPLHQWRVHDTXHx(t GHQRWHOD GLVWDQFLDGLULJLGDGHOSXQWRGHHTXLOLEULRDODPDVD&RPRVH LQGLFDHQOD¿JXUD F VXSRQJDTXHODGLUHFFLyQKDFLD DEDMRHVSRVLWLYD\TXHHOPRYLPLHQWRVHHIHFW~DHQXQDUHFWD YHUWLFDOTXHSDVDSRUHOFHQWURGHJUDYHGDGGHODPDVD\TXH ODV~QLFDVIXHU]DVTXHDFW~DQVREUHHOVLVWHPDVRQHOSHVR GHODPDVD\ODIXHU]DGHUHVWDXUDFLyQGHOUHVRUWHHVWLUDGR 8WLOLFH OD ley de Hooke OD IXHU]D GH UHVWDXUDFLyQ GH XQ UHVRUWHHVSURSRUFLRQDODVXHORQJDFLyQWRWDO'HWHUPLQHXQD HFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHOGHVSOD]DPLHQWRx(t DOWLHPSRt 0. 20. (Q HO SUREOHPD  ¢FXiO HV OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO SDUD HO GHVSOD]DPLHQWR x(t  VL HO PRYLPLHQWR WLHQH OXJDU HQ XQ PHGLRTXHHMHUFHXQDIXHU]DGHDPRUWLJXDPLHQWRVREUHHO VLVWHPDUHVRUWHPDVDTXHHVSURSRUFLRQDODODYHORFLGDGLQVWDQWiQHDGHODPDVD\DFW~DHQGLUHFFLyQFRQWUDULDDOPRYLPLHQWR" x(t) < 0 s resorte sin x=0 m deformar x(t) > 0 posición de equilibrio m a) b) c) FIGURA 1.3.17 6LVWHPDUHVRUWHPDVDGHOSUREOHPD Segunda ley de Newton y el movimiento de un cohete &XDQGRODPDVDmGHXQFXHUSRFDPELDFRQHOWLHPSRODVHJXQGDOH\GH1HZWRQGHOPRYLPLHQWRVHFRQYLHUWHHQ F  ddt (mv) (17) GRQGHFHVODIXHU]DQHWDDFWXDQGRVREUHHOFXHUSR\mvHVVX FDQWLGDGGHPRYLPLHQWR8WLOLFH  SUREOHPDVHQ\ 21. 8QSHTXHxRFRKHWHPRQRHWDSDVHODQ]DYHUWLFDOPHQWHFRPR VHPXHVWUDHQOD¿JXUD8QDYH]ODQ]DGRHOFRKHWH FRQVXPHVXFRPEXVWLEOH\DVtVXPDVDWRWDOm(t YDUtDFRQ HOWLHPSR t!6LVHVXSRQHTXHODGLUHFFLyQSRVLWLYDHV KDFLDDUULEDODUHVLVWHQFLDGHODLUHHVSURSRUFLRQDODODYHORFLGDGLQVWDQWiQHDvGHOFRKHWH\RHVHOHPSXMHDVFHQGHQWH R IXHU]D JHQHUDGD SRU HO VLVWHPD GH SURSXOVLyQ HQWRQFHV FRQVWUX\DXQPRGHORPDWHPiWLFRSDUDODYHORFLGDGv(t GHO FRKHWH>Sugerencia: YHDODHFXDFLyQ  HQODVHFFLyQ@ FIGURA 1.3.18 &RKHWHPRQRHWDSDGHOSUREOHPD 30 l CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 22. (QHOSUREOHPDODPDVDm(t HVODVXPDGHWUHVPDVDV GLIHUHQWHVm(t)  mp  mv  mf (t GRQGHmpHVODPDVD FRQVWDQWHGHODFDUJD~WLOmvHVODPDVDFRQVWDQWHGHOYHKtFXOR\mf (t HVODFDQWLGDGYDULDEOHGHFRPEXVWLEOH a) 'HPXHVWUHTXHODUDSLGH]FRQODFXDOODPDVDWRWDOm(t) GHOFRKHWHFDPELDHVLJXDODODUDSLGH]FRQODFXDOFDPELDODPDVDGHOFRPEXVWLEOHmf (t). b) 6LHOFRKHWHFRQVXPHVXFRPEXVWLEOHDXQULWPRFRQVWDQWH Ȝ GHWHUPLQH m(t) /XHJR UHHVFULED OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDOGHOSUREOHPDHQWpUPLQRVGHȜ\GHOD PDVDWRWDOLQLFLDOm(0) = m0. c) %DMR OD VXSRVLFLyQ GHO LQFLVR E  GHPXHVWUH TXH HO WLHPSRGHDJRWDPLHQWRGHOFRKHWHtb!RHOPRPHQWR HQTXHWRGRHOFRPEXVWLEOHVHFRQVXPHHVtb  mf (0) Ȝ GRQGHmf (0)HVODPDVDLQLFLDOGHOFRPEXVWLEOH Segunda ley de Newton y la ley de la gravitación universal 23. 'H DFXHUGR FRQ OD ley de la gravitación universal de NewtonODDFHOHUDFLyQGHFDtGDOLEUHaGHXQFXHUSRWDO FRPRHOVDWpOLWHTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDTXHHVWi FD\HQGRGHVGHXQDJUDQGLVWDQFLDKDFLDODVXSHU¿FLHQRHV ODFRQVWDQWHg0iVELHQODDFHOHUDFLyQaHVLQYHUVDPHQWH SURSRUFLRQDO DO FXDGUDGR GH OD GLVWDQFLD GHVGH HO FHQWUR GHOD7LHUUDa  k兾r2GRQGHkHVODFRQVWDQWHGHSURSRUFLRQDOLGDG 3DUD GHWHUPLQDU k XWLOLFH HO KHFKR GH TXH HQ ODVXSHU¿FLHGHOD7LHUUDr  R\a  g6LODGLUHFFLyQ SRVLWLYDVHFRQVLGHUDKDFLDDUULEDXWLOLFHODVHJXQGDOH\GH 1HZWRQ\ODOH\GHODJUDYLWDFLyQXQLYHUVDOSDUDHQFRQWUDU XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDODGLVWDQFLDr. 24. 6XSRQJDTXHVHKDFHXQDJXMHURTXHSDVDSRUHOFHQWURGHOD 7LHUUD\TXHSRUpOVHGHMDFDHUXQDERODGHPDVDmFRPRVH PXHVWUDHQOD¿JXUD&RQVWUX\DXQPRGHORPDWHPi WLFRTXHGHVFULEDHOSRVLEOHPRYLPLHQWRGHODEROD$OWLHPSR tVHDTXHrGHQRWHODGLVWDQFLDGHVGHHOFHQWURGHOD7LHUUDDOD PDVDmTXHMGHQRWHODPDVDGHOD7LHUUDTXHMrGHQRWH ODPDVDGHODSDUWHGHOD7LHUUDTXHHVWiGHQWURGHXQDHVIHUD GHUDGLRr\TXHGHQRWHODGHQVLGDGFRQVWDQWHGHOD7LHUUD Más modelos matemáticos 25. Teoría del aprendizaje  (QODWHRUtDGHODSUHQGL]DMHVHVXSRQHTXHODUDSLGH]FRQTXHVHPHPRUL]DDOJRHVSURSRUFLRQDO DODFDQWLGDGTXHTXHGDSRUPHPRUL]DU6XSRQJDTXHMGHQRWDODFDQWLGDGWRWDOGHXQWHPDTXHVHGHEHPHPRUL]DU\TXH A(t HVODFDQWLGDGPHPRUL]DGDDOWLHPSRt 0'HWHUPLQH XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDGHWHUPLQDUODFDQWLGDGA(t). 26. Falta de memoria  (QHOSUREOHPDVXSRQJDTXHOD UD]yQ FRQ OD FXDO HO PDWHULDO HV olvidado HV SURSRUFLRQDODODFDQWLGDGPHPRUL]DGDDOWLHPSRt 0'HWHUPLQH XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDA(t FXDQGRVHFRQVLGHUDOD IDOWDGHPHPRULD 27. Suministro de un medicamento  6HLQ\HFWDXQPHGLFDPHQWRHQHOWRUUHQWHVDQJXtQHRGHXQSDFLHQWHDXQDUD]yQ FRQVWDQWHGHrJUDPRVSRUVHJXQGR6LPXOWiQHDPHQWHVH HOLPLQDHOPHGLFDPHQWRDXQDUD]yQSURSRUFLRQDODODFDQWLGDG x(t  SUHVHQWH DO WLHPSR t 'HWHUPLQH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDOTXHGHVFULEDODFDQWLGDGx(t). 28. Tractriz  8QDSHUVRQDPTXHSDUWHGHORULJHQVHPXHYHHQ ODGLUHFFLyQSRVLWLYDGHOHMHxMDODQGRXQSHVRDORODUJRGHOD FXUYD C OODPDGD tractriz FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD ,QLFLDOPHQWHHOSHVRVHHQFRQWUDEDHQHOHMHyHQ (0, s \VHMDODFRQXQDFXHUGDGHORQJLWXGFRQVWDQWHsTXH VHPDQWLHQHWHQVDGXUDQWHHOPRYLPLHQWR'HWHUPLQHXQD HFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDODWUD\HFWRULDCGHPRYLPLHQWR 6XSRQJDTXHODFXHUGDVLHPSUHHVWDQJHQWHDC. y (0, s) (x, y) y s C θ tangente y satélite de satellite of mass m masa C P (x, y) cie erfi su p r θ φ O GHOSUREOHPD 6DWpOLWH Tierra de masa M m r TXHSDVDDWUDYpVGHOD7LHUUDGHO SUREOHPD x FIGURA 1.3.22 6XSHU¿FLHUHÀHFWRUDGHOSUREOHPD superficie FIGURA 1.3.20 $JXMHUR L θ R FIGURA 1.3.19 x P FIGURA 1.3.21 &XUYDWUDFWUL]GHOSUREOHPD R 29. 6XSHU¿FLH UHÀHFWRUD  6XSRQJD TXH FXDQGR OD FXUYD SODQDCTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDVHJLUDUHVSHFWR DOHMHxJHQHUDXQDVXSHU¿FLHGHUHYROXFLyQFRQODSURSLHGDGGHTXHWRGRVORVUD\RVGHOX]L SDUDOHORVDOHMHxTXH LQFLGHQHQODVXSHU¿FLHVRQUHÀHMDGRVDXQVRORSXQWRO HO RULJHQ 8WLOLFHHOKHFKRGHTXHHOiQJXORGHLQFLGHQFLDHV LJXDODOiQJXORGHUHÀH[LyQSDUDGHWHUPLQDUXQDHFXDFLyQ GLIHUHQFLDOTXHGHVFULEDODIRUPDGHODFXUYDC(VWDFXUYD 1.3 ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS CHVLPSRUWDQWHHQDSOLFDFLRQHVFRPRFRQVWUXFFLyQGHWHOHVFRSLRVRDQWHQDVGHVDWpOLWHVIDURVGHODQWHURVGHDXWRPyYLOHV \ FROHFWRUHV VRODUHV >Sugerencia: /D LQVSHFFLyQ GH OD¿JXUDPXHVWUDTXHSRGHPRVHVFULELU  2¢3RUTXp" $KRUDXWLOLFHXQDLGHQWLGDGWULJRQRPpWULFDDGHFXDGD@ 31 y ω Problemas de análisis P 30. 5HSLWD HO SUREOHPD  GH ORV HMHUFLFLRV  \ GHVSXpV SURSRUFLRQHXQDVROXFLyQH[SOLFtWDP(t SDUDODHFXDFLyQ  'HWHUPLQHXQDIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHVROXFLRQHV GH   31. /HDQXHYDPHQWHODRUDFLyQTXHVHHQFXHQWUDDFRQWLQXDFLyQ GHODHFXDFLyQ  \VXSRQJDTXHTmHVXQDFRQVWDQWHSRVLWLYD $QDOLFHSRUTXpVHSRGUtDHVSHUDUTXHk HQ  HQDPERV FDVRV GH HQIULDPLHQWR \ GH FDOHQWDPLHQWR 3RGUtD HPSH]DU SRULQWHUSUHWDUGLJDPRVT(t) TmHQXQDIRUPDJUi¿FD 32. /HDQXHYDPHQWHHODQiOLVLVTXHFRQGXMRDODHFXDFLyQ   6LVXSRQHPRVTXHLQLFLDOPHQWHHOWDQTXHFRQVHUYDGLJDPRVOLEUDVGHVDOHVSRUTXHVHOHHVWiDJUHJDQGRVDO FRQWLQXDPHQWHDOWDQTXHSDUDt 0, A(t VHUiXQDIXQFLyQ FUHFLHQWH$QDOLFHFyPRSRGUtDGHWHUPLQDUDSDUWLUGHOD ('VLQUHDOPHQWHUHVROYHUODHOQ~PHURGHOLEUDVGHVDO HQHOWDQTXHGHVSXpVGHXQSHULRGRODUJR 33. Modelo de población  /D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO dP (k cos t)P, GRQGH k HV XQD FRQVWDQWH SRVLWLYD dt   PRGHODODSREODFLyQKXPDQDP(t GHFLHUWDFRPXQLGDG $QDOLFHHLQWHUSUHWHODVROXFLyQGHHVWDHFXDFLyQ(QRWUDV SDODEUDV¢TXpWLSRGHSREODFLyQSLHQVDTXHGHVFULEHHVWD HFXDFLyQGLIHUHQFLDO" 34. Fluido girando  &RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD D XQ FLOLQGURFLUFXODUUHFWRSDUFLDOPHQWHOOHQRFRQXQÀXLGRHVWi JLUDQGRFRQXQDYHORFLGDGDQJXODUFRQVWDQWH UHVSHFWRDO HMHYHUWLFDOTXHSDVDSRUVXFHQWUR(OÀXLGRJLUDQGRIRUPD XQD VXSHU¿FLH GH UHYROXFLyQ S 3DUD LGHQWL¿FDU S SULPHUR HVWDEOHFHPRV XQ VLVWHPD FRRUGHQDGR TXH FRQVLVWH HQ XQ SODQRYHUWLFDOGHWHUPLQDGRSRUHOHMHy\HOHMHxGLEXMDGR HQIRUPDSHUSHQGLFXODUDOHMHyGHWDOIRUPDTXHHOSXQWRGH LQWHUVHFFLyQGHORVHMHV HORULJHQ HVWiORFDOL]DGRHQHOSXQWR LQIHULRUGHODVXSHU¿FLHS(QWRQFHVEXVFDPRVXQDIXQFLyQ y  f (x TXHUHSUHVHQWHODFXUYDCGHLQWHUVHFFLyQGHODVXSHU¿FLHS\GHOSODQRFRRUGHQDGRYHUWLFDO6HDTXHHOSXQWR P(x, y GHQRWHODSRVLFLyQGHXQDSDUWtFXODGHOÀXLGRJLUDQGR GHPDVDmHQHOSODQRFRRUGHQDGR9HDOD¿JXUD E  a) (  QPKD\XQDIXHU]DGHUHDFFLyQGHPDJQLWXGFGHELGD D ODV RWUDV SDUWtFXODV GHO ÀXLGR TXH HV SHUSHQGLFXODU D OD VXSHU¿FLH S 8VDQGR OD VHJXQGD OH\ GH 1HZWRQODPDJQLWXGGHODIXHU]DQHWDTXHDFW~DVREUH ODSDUWtFXODHVm2x¢&XiOHVHVWDIXHU]D"8WLOLFHOD ¿JXUD E SDUDDQDOL]DUODQDWXUDOH]D\HORULJHQ GHODVHFXDFLRQHV F FRV  mg, l F VHQ  m2x a) curva C de intersección del plano xy y la superficie de y revolución mω 2x F θ P(x, y) mg θ recta tangente a la curva C en P x b) FIGURA 1.3.23 )OXLGRJLUDQGRGHOSUREOHPD b) 8  VHHOLQFLVRD SDUDHQFRQWUDUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHGH¿QDODIXQFLyQy  f(x). 35. Cuerpo en caída  (Q HO SUREOHPD  VXSRQJD TXH r  R  s GRQGH s HV OD GLVWDQFLD GHVGH OD VXSHU¿FLH GH OD 7LHUUDDOFXHUSRTXHFDH¢&yPRHVODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO TXHVHREWXYRHQHOSUREOHPDFXDQGRsHVPX\SHTXHxD HQ FRPSDUDFLyQ FRQ R" >Sugerencia: &RQVLGHUH OD VHULH ELQRPLDOSDUD (R  s)2  R2 (1  s兾R)2.] 36. Gotas de lluvia cayendo  (Q PHWHRURORJtD HO WpUPLQR virgaVHUH¿HUHDODVJRWDVGHOOXYLDTXHFDHQRDSDUWtFXODV GHKLHORTXHVHHYDSRUDQDQWHVGHOOHJDUDOVXHOR6XSRQJD TXHHQDOJ~QWLHPSRTXHVHSXHGHGHQRWDUSRUt ODV JRWDVGHOOXYLDGHUDGLRr0FDHQGHVGHHOUHSRVRGHXQDQXEH \VHFRPLHQ]DQDHYDSRUDU a) 6LVHVXSRQHTXHXQDJRWDVHHYDSRUDGHWDOPDQHUD TXHVXIRUPDSHUPDQHFHHVIpULFDHQWRQFHVWDPELpQ WLHQHVHQWLGRVXSRQHUTXHODUD]yQDODFXDOVHHYDSRUD OD JRWD GH OOXYLD HVWR HV OD UD]yQ FRQ OD FXDO pVWD SLHUGH PDVD HV SURSRUFLRQDO D VX iUHD VXSHU¿FLDO 0XHVWUH TXH HVWD ~OWLPD VXSRVLFLyQ LPSOLFD TXH OD UD]yQFRQODTXHHOUDGLRrGHODJRWDGHOOXYLDGLVPLQX\HHVXQDFRQVWDQWH(QFXHQWUHr (t >Sugerencia: 9HDHOSUREOHPDHQORVHMHUFLFLRV@ b) 6L OD GLUHFFLyQ SRVLWLYD HV KDFLD DEDMR FRQVWUX\D XQ PRGHOR PDWHPiWLFR SDUD OD YHORFLGDG v GH OD JRWD GH OOXYLD TXH FDH DO WLHPSR t 0 'HVSUHFLH OD UHVLVWHQFLD GHO DLUH >Sugerencia: 8WLOLFH OD IRUPD GH OD VHJXQGD OH\ GH 1HZWRQ GDGD HQ OD HFXDFLyQ  ] 32 l CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 37. Deja que nieve  (O ³SUREOHPD GHO TXLWDQLHYHV´ HV XQ FOiVLFRTXHDSDUHFHHQPXFKRVOLEURVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV \TXHIXHSUREDEOHPHQWHLQYHQWDGRSRU5DOSK3DOPHU$JQHZ “Un día comenzó a nevar en forma intensa y constante. Un quitanieve comenzó a medio día, y avanzó 2 millas la primera hora y una milla la segunda. ¿A qué hora comenzó a nevar?” REPASO DEL CAPÍTULO 1 (QORVSUREOHPDV\OOHQHHOHVSDFLRHQEODQFR\GHVSXpV HVFULEDHVWHUHVXOWDGRFRPRXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQTXHQRFRQWLHQHDOVtPERORc1\TXHWLHQHODIRUPD dy兾dx  f(x, y (OVtPERORc1UHSUHVHQWDXQDFRQVWDQWH d c1e10x dx d 2. (5 c1e dx 1. ) (QORVSUREOHPDV\OOHQHHOHVSDFLRHQEODQFR\GHVSXpV HVFULEDHVWHUHVXOWDGRFRPRXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGH VHJXQGRRUGHQTXHQRFRQWLHQHDODVFRQVWDQWHVc1\c2\TXH WLHQHODIRUPDF(y, y) /RVVtPERORVc1, c2\kUHSUHVHQWDQ FRQVWDQWHV d2 (c1 cos kx c2 sen kx) dx2 d2 4. (c1 cosh kx c2 senh kx) dx2 3. (Q ORV SUREOHPDV  \  FDOFXOH y \ y \ GHVSXpV FRPELQH HVWDVGHULYDGDVFRQyFRPRXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGH VHJXQGRRUGHQTXHQRFRQWLHQHORVVtPERORVc1\c2\TXHWLHQH ODIRUPDF(y, y, y) (VWRVVtPERORVc1\c2UHSUHVHQWDQ FRQVWDQWHV 6. y  c1e x FRVx  c2e x VHQx (QORVSUREOHPDVDUHODFLRQHFDGDXQDGHODVVLJXLHQWHV HFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVFRQXQDRPiVGHHVWDVVROXFLRQHV a) y  0, b) y  2, c) y  2x, d) y  2x 2. 7. xy  2y 9. y  2y  4 11. y  9y  18 8. y  2 10. xy  y 12. xy  y  0 (QORVSUREOHPDV\GHWHUPLQHSRULQVSHFFLyQDOPHQRV XQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD 13. y  y 38. /HD QXHYDPHQWH HVWD VHFFLyQ \ FODVL¿TXH FDGD PRGHOR PDWHPiWLFRFRPROLQHDORQROLQHDO Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-1. 15. (QODJUi¿FDGHy  (x ODSHQGLHQWHGHODUHFWDWDQJHQWH HQHOSXQWRP(x, y HVHOFXDGUDGRGHODGLVWDQFLDGHP(x, y) DORULJHQ 16. (QODJUi¿FDGHy  (x ODUD]yQFRQODTXHODSHQGLHQWH FDPELDUHVSHFWRDxHQXQSXQWRP(x, y HVHOQHJDWLYRGH ODSHQGLHQWHGHODUHFWDWDQJHQWHHQP(x, y). 17. a) 'pHOGRPLQLRGHODIXQFLyQy  x . 2x 5. y  c1e x  c 2xe x 6H HQFXHQWUD HQ HO OLEUR Differential Equations GH 5DOSK 3DOPHU$JQHZ0F*UDZ+LOO%RRN&RE~VTXHOR\GHVSXpV DQDOLFHODFRQVWUXFFLyQ\VROXFLyQGHOPRGHORPDWHPiWLFR 14. y  y(y  3) (QORVSUREOHPDV\LQWHUSUHWHFDGDHQXQFLDGRFRPRXQD HFXDFLyQGLIHUHQFLDO b) '  pHOLQWHUYDORI GHGH¿QLFLyQPiVODUJRHQHOFXDO y  x 23 HVVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOxy  2y  0. 18. a) &  RPSUXHEH TXH OD IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD y2  2y  x2 – x  cHVXQDVROXFLyQLPSOtFLWDGHODHFXDFLyQ GLIHUHQFLDO y  2)y  2x  1. b) (  QFXHQWUHXQPLHPEURGHODIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDHQ HOLQFLVRD TXHVDWLVIDJDODFRQGLFLyQLQLFLDOy(0)  1. c) 8  WLOLFHVXUHVXOWDGRGHOLQFLVRE SDUDGHWHUPLQDUXQD funciónH[SOtFLWDy  (x TXHVDWLVIDJDy(0) 'p HOGRPLQLRGHODIXQFLyQ ¢(Vy  (x XQDsolución GHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV"6LHVDVtGpVXLQWHUYDORI GHGH¿QLFLyQVLQRH[SOLTXHSRUTXp 19. 'DGRTXHy  x – 2兾xHVXQDVROXFLyQGHOD('xy  y  2x'HWHUPLQHx0\HOLQWHUYDORI PiVODUJRSDUDHOFXDO y(x HVXQDVROXFLyQGHO39,GHSULPHURUGHQxy  y  2x, y(x0)  1. 20. 6XSRQJDTXHy(x GHQRWDXQDVROXFLyQGHO39,GHSULPHU RUGHQy  x2  y2, y(1)  \TXHy(x WLHQHDOPHQRV XQDVHJXQGDGHULYDGDHQx (QDOJXQDYHFLQGDGGHx XWLOLFHOD('SDUDGHWHUPLQDUVLy(x HVWiFUHFLHQGRR GHFUHFLHQGR \ VL OD JUi¿FD y(x  HV FyQFDYD KDFLD DUULED RKDFLDDEDMR 21. 8QDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSXHGHWHQHUPiVGHXQDIDPLOLD GHVROXFLRQHV a) '  LEXMHGLIHUHQWHVPLHPEURVGHODVIDPLOLDVy  1(x)  x2  c1\y  2(x) x2  c2. b) &  RPSUXHEHTXHy  1(x \y  2(x VRQGRVVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOQROLQHDOGHSULPHU RUGHQ y)2  4x2. REPASO DEL CAPÍTULO c) &  RQVWUX\DXQDIXQFLyQGH¿QLGDHQWUDPRVTXHVHDXQD VROXFLyQGHOD('QROLQHDOGHOLQFLVRE SHURTXHQRVHD PLHPEURGHODIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHOLQFLVRD  22. ¢&XiOHVODSHQGLHQWHGHODUHFWDWDQJHQWHDODJUi¿FDGH XQDVROXFLyQGH y 61y 5x3 TXHSDVDSRU  " (QORVSUREOHPDVDYHUL¿TXHTXHODIXQFLyQLQGLFDGDHV XQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD'pXQ LQWHUYDORI GHGH¿QLFLyQSDUDFDGDVROXFLyQ 23. y  y FRVx VHQx  y  xVHQx  xFRVx 24. y  y VHFx  y  xVHQx  FRVx OQ FRVx) 25. x 2y  xy  y   y VHQ OQx) 26. x 2y  xy  y VHF OQx   y FRV OQx OQ FRV OQx))  OQx VHQ OQx) (QORVSUREOHPDVDFRPSUXHEHTXHODH[SUHVLyQLQGLFDGDHVXQDVROXFLyQLPSOtFLWDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD 27. x(dy冫dx)  y  1冫y2  x3 y3  x3  1 28. (dy冫dx)2  1  1冫y2  x  5)2  y2  1 29. y  2y(y)3  y3  3y  O 3x 30. (1  xy)y  y2  y  exy (QORVSUREOHPDVDy  c1e3x  c2ex 2xHVXQDIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHGRVSDUiPHWURVGHOD('GHVHJXQGR RUGHQy – 2y  3y  6x 'HWHUPLQHXQDVROXFLyQGHO 39,GHVHJXQGRRUGHQTXHFRQVLVWHHQHVWDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO\HQODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVGDGDV 31. y (0)  0, y(0)  0 32. y (0)  1, y(0)  3 33. y (1)  4, y(1)  2 34. y (1)  0, y(1)  1 35. (QOD¿JXUD5VHSUHVHQWDODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQ GH XQ SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV GH VHJXQGR RUGHQ d 2y兾dx 2  f (x, y, y), y(2)  y0, y(2)  y1 8WLOLFH OD JUi¿FDSDUDHVWLPDUORVYDORUHVGHy0\y1. l 33 36. 8QWDQTXHTXHWLHQHODIRUPDGHFLOLQGURFLUFXODUUHFWR GHSLHVGHUDGLR\SLHVGHDOWXUDHVWiSDUDGRVREUH VXEDVH,QLFLDOPHQWHHOWDQTXHHVWiOOHQRGHDJXD\pVWD VDOHSRUXQDJXMHURFLUFXODUGH12SXOJGHUDGLRHQHOIRQGR 'HWHUPLQH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO SDUD OD DOWXUD h GHO DJXDDOWLHPSRt 'HVSUHFLHODIULFFLyQ\FRQWUDFFLyQ GHODJXDHQHODJXMHUR 37. (OQ~PHURGHUDWRQHVGHFDPSRHQXQDSDVWXUDHVWiGDGR SRUODIXQFLyQ 10tGRQGHHOWLHPSRtVHPLGHHQ DxRV 'HWHUPLQH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO TXH JRELHUQH XQD SREODFLyQ GH E~KRV TXH VH DOLPHQWDQ GH UDWRQHV VL ODUD]yQDODTXHODSREODFLyQGHE~KRVFUHFHHVSURSRUFLRQDODODGLIHUHQFLDHQWUHHOQ~PHURGHE~KRVDOWLHPSR t \HOQ~PHURGHUDWRQHVDOPLVPRWLHPSRt. 38. 6XSRQJD TXH dA兾dt  0.0004332 A(t  UHSUHVHQWD XQ PRGHOR PDWHPiWLFR SDUD HO GHFDLPLHQWR UDGLDFWLYR GHO UDGLR 5D GRQGH A(t  HV OD FDQWLGDG GH UDGLR PHGLGDHQJUDPRV TXHTXHGDDOWLHPSRt PHGLGRHQDxRV  ¢&XiQWRGHODPXHVWUDGHUDGLRTXHGDDOWLHPSRtFXDQGR ODPXHVWUDHVWiGHFD\HQGRFRQXQDUD]yQGHJUDPRV SRUDxR" y 5 5 x −5 FIGURA 1.R.1 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 2.1 Curvas solución sin una solución 2.1.1 Campos direccionales 2.1.2 ED autónomas de primer orden 2.2 Variables separables 2.3 Ecuaciones lineales 2.4 Ecuaciones exactas 2.5 Soluciones por sustitución 2.6 Un método numérico REPASO DEL CAPÍTULO 2 La historia de las matemáticas tiene muchos relatos de personas que han dedicado gran parte de sus vidas a la solución de ecuaciones: al principio de ecuaciones algebraicas y, después, de ecuaciones diferenciales. En las secciones 2.2 a 2.5 estudiaremos algunos de los métodos analíticos más importantes para resolver ED de primer orden. Sin embargo, antes de que empecemos a resolverlas, debemos considerar dos hechos: Es posible que una ecuación diferencial no tenga soluciones y una ecuación diferencial puede tener una solución que no se pueda determinar con los métodos que existen en la actualidad. En la sección 2.1 veremos FyPRODV('SURGXFHQLQIRUPDFLyQFXDQWLWDWLYDUHVSHFWRDJUi¿FDVORTXHQRV permite inferir conclusiones de las curvas solución. En la sección 2.6 usamos ecuaciones diferenciales para construir un procedimiento numérico para soluciones aproximadas. 34 2.1 2.1 CURVAS SOLUCIÓN SIN UNA SOLUCIÓN l 35 CURVAS SOLUCIÓN SIN UNA SOLUCIÓN REPASO DE MATERIAL l La primera derivada como pendiente de una recta tangente l El signo algebraico de la primera derivada indica crecimiento o decrecimiento INTRODUCCIÓN Imaginemos por un momento que nos enfrentamos con una ecuación diferencial de primer orden dy兾dx  f (x, y), y que además no podemos encontrar ni inventar un método para resolverla analíticamente. Esto no es tan malo como se podría pensar, ya que la ecuación diferencial en sí misma a veces puede “decirnos” concretamente cómo se “comportan” sus soluciones. Iniciaremos nuestro estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden con dos formas cualitativas de analizar una ED. Estas dos formas nos permiten determinar, de una manera aproximada, cómo es una curva solución sin resolver realmente la ecuación. 2.1.1 CAMPOS DIRECCIONALES ALGUNAS PREGUNTAS FUNDAMENTALES En la sección 1.2 vimos que si f (x, y) y f兾y satisfacen algunas condiciones de continuidad, se pueden responder preguntas cualitativas acerca de la existencia y unicidad de las soluciones. En esta sección veremos otras preguntas cualitativas acerca de las propiedades de las soluciones: ¿Cómo se comporta una solución cerca de un punto dado? ¿Cómo se comporta una solución cuando x → ? Con frecuencia se pueden responder cuando la función f depende sólo de la variable y. Sin embargo, comenzaremos con un simple concepto de cálculo: Una derivada dy兾dx de una función derivable y  y(x) da las pendientes de las UHFWDVWDQJHQWHVHQSXQWRVGHVXJUi¿FD y pendiente = 1.2 (2, 3) x a) elemento lineal en un punto. y curva solución (2, 3) tangente x b) el elemento lineal es tangente a la curva solución que pasa por el punto. FIGURA 2.1.1 El elemento lineal es tangente a la curva solución en (2, 3). PENDIENTE Debido a que una solución y  y(x) de una ecuación diferencial de primer orden dy (1)  f (x, y) dx HVQHFHVDULDPHQWHXQDIXQFLyQGHULYDEOHHQVXLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQ I, debe también ser continua en I. Por lo tanto, la curva solución correspondiente en I no tiene cortes y debe tener una recta tangente en cada punto (x, y(x)). La función f en la forma normal (1) se llama función pendiente o función razón. La pendiente de la recta tangente en (x, y(x)) en una curva solución es el valor de la primera derivada dy兾dx en este punto y sabemos de la ecuación (1) que es el valor de la función pendiente f (x, y(x)). Ahora supongamos que (x, y) representa cualquier punto de una región del plano xy en la que está GH¿QLGDODIXQFLyQf. El valor f (x, y) que la función f le asigna al punto representa la pendiente de una recta o, como veremos, un segmento de recta llamado elemento lineal. Por ejemplo, considere la ecuación dy兾dx  0.2xy, donde f (x, y)  0.2xy. En donde consideramos al punto (2, 3), la pendiente de un elemento lineal es f (2, 3)  0.2(2)(3)  1.2. /D¿JXUD D PXHVWUDXQVHJPHQWRGHUHFWDFRQSHQGLHQWHTXHSDVDSRU   &RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E VLXQDFXUYDVROXFLyQWDPELpQSDVDSRUHOSXQWR (2, 3), lo hace de tal forma que el segmento de recta es tangente a la curva; en otras palabras, el elemento lineal es una recta tangente miniatura en ese punto. CAMPO DIRECCIONAL Si evaluamos sistemáticamente a f en una cuadrícula rectangular de puntos en el plano xy y se dibuja un elemento lineal en cada punto (x, y) de la cuadrícula con pendiente f (x, y), entonces al conjunto de todos estos elementos lineales se le llama campo direccional o campo de pendientes de la ecuación diferencial dy兾dx  f (x, y). Visualmente, la dirección del campo indica el aspecto o forma de una familia de curvas solución de la ecuación diferencial dada y, en consecuencia, se pueden ver a simple vista aspectos cualitativos de la solución, por ejemplo, regiones en el plano, en los que una solución presenta un comportamiento poco común. Una VRODFXUYDVROXFLyQTXHSDVDSRUXQFDPSRGLUHFFLRQDOGHEHVHJXLUHOSDWUyQGHÀXMR 36 CAPÍTULO 2 l ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN del campo: el elemento lineal es tangente a la curva cuando intercepta un punto de la FXDGUtFXOD/D¿JXUDPXHVWUDXQFDPSRGLUHFFLRQDOJHQHUDGRSRUFRPSXWDGRUD de la ecuación diferencial dy兾dx  sen(x  y) en una región del plano xy. Observe FyPRODVWUHVFXUYDVVROXFLyQTXHVHPXHVWUDQDFRORUVLJXHQHOÀXMRGHOFDPSR EJEMPLO 1 Campo direccional FIGURA 2.1.2 Las curvas solución VLJXHQHOÀXMRGHXQFDPSRGLUHFFLRQDO y 4 2 x _2 _4 _4 _2 2 4 a) Campo direccional para dy/dx  0.2xy. y 4 c>0 2 c=0 x c<0 _2 _4 _4 _2 2 4 b) Algunas curvas solución 2 en la familia y  ce 0.1x . FIGURA 2.1.3 Campo direccional y curvas solución. El campo direccional para la ecuación diferencial dy兾dx  0.2xyTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD  D VHREWXYRXVDQGRXQSDTXHWHFRPSXWDFLRQDOHQHOTXHVHGH¿QLyXQDPDOOD 5 (mh, nh) con m y n enteros, haciendo – 5  m  5, 5  n  5, y h  1. Observe en la ¿JXUD D TXHHQFXDOTXLHUSXQWRGHOHMHGHODVx (y  0) y del eje y (x  0), las pendientes son f (x, 0)  0 y f (0, y)  0, respectivamente, por lo que los elementos lineales son KRUL]RQWDOHV$GHPiVREVHUYHTXHHQHOSULPHUFXDGUDQWHSDUDXQYDORU¿MRGHx los valores de f (x, y)  0.2xy aumentan conforme crece y, análogamente, para una y los valores de f (x, y)  0.2xy aumentan conforme crece x(VWRVLJQL¿FDTXHFRQIRUPHx y y crecen, los elementos lineales serán casi verticales y tendrán pendiente positiva ( f (x, y)  0.2xy 0 para x 0, y 0). En el segundo cuadrante, 兩 f (x, y)兩 aumenta conforme crecen 兩x兩 y y, por lo que nuevamente los elementos lineales serán casi verticales pero esta vez tendrán pendiente negativa ( f (x, y)  0.2xy  0 para x  0, y 0). Leyendo de izquierda a derecha, imaginemos una curva solución que inicia en un punto del segundo cuadrante, se mueve abruptamente hacia abajo, se hace plana conforme pasa por el eje y, y después, conforme entra al primer cuadrante, se mueve abruptamente hacia arriba; en otras palabras, su forma sería cóncava hacia arriba y similar a herradura. A partir de esto se podría inferir que y → conforme x →  . Ahora en los cuadrantes tercero y cuarto, puesto que f (x, y)  0.2xy 0 y f (x, y)  0.2xy  0, respectivamente, la situación se invierte: Una curva solución crece y después decrece conforme nos movamos de izquierda a derecha. Vimos 2 en la ecuación (1) de la sección 1.1 que y  e0.1x es una solución explícita de dy兾dx  0.2xy; usted debería comprobar que una familia uniparamétrica de soluciones de la misma ecua2 ción está dada por: y  ce0.1x &RQREMHWRGHFRPSDUDUFRQOD¿JXUD D HQOD¿JXUD 2.1.3(b) se muestran algunos miembros representativos de esta familia. EJEMPLO 2 Campo direccional Utilice un campo direccional para dibujar una curva solución aproximada para el problema con valores iniciales dy兾dx  sen y, y(0)   23. SOLUCIÓN Antes de proceder, recuerde que a partir de la continuidad de f (x, y)  sen y y f兾y  cos y el teorema 1.2.1 garantiza la existencia de una curva solución única que pase por un punto dado (x0, y0) en el plano. Ahora, preparamos de nuevo nuestro paquete computacional para una región rectangular 5 \HVSHFL¿FDPRVSXQWRV GHELGRVDOD condición inicial) en la región con separación vertical y horizontal de 21 unidad, es decir, en puntos (mh, nh), h  21 , m y n enteros tales como 10  m  10, 10  n  10. El resulWDGRVHSUHVHQWDHQOD¿JXUD3XHVWRTXHHOODGRGHUHFKRGHdy兾dx  sen y es 0 en y  0, y en y  ʌ, los elementos lineales son horizontales en todos los puntos cuyas segundas coordenadas son y  0 o y  ʌ. Entonces tiene sentido que una curva solución que pasa por el punto inicial (0, 23)WHQJDODIRUPDTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD CRECIMIENTO/DECRECIMIENTO La interpretación de la derivada dy兾dx como una función que da la pendiente desempeña el papel principal en la construcción de un campo direccional. A continuación, se usará otra propiedad contundente de la primera derivada, es decir, si dy兾dx 0 (o dy兾dx  0) para toda x en un intervalo I, entonces una función derivable y  y(x) es creciente (o decreciente) en I. COMENTARIOS Dibujar a mano un campo direccional es sencillo pero toma tiempo; por eso es probable que esta tarea se realice sólo una o dos veces en la vida, generalmente 2.1 y 2 x _2 _4 _2 2 4 FIGURA 2.1.4 Campo direccional del ejemplo 2. l 37 HVPiVH¿FLHQWHUHDOL]DUODHPSOHDQGRXQSDTXHWHFRPSXWDFLRQDO$QWHVGHODV calculadoras, de las computadoras personales y de los programas se utilizaba el método de las isoclinas para facilitar el dibujo, a mano, de un campo direccional. Para la ED dy兾dx  f (x, y), cualquier miembro de la familia de curvas f (x, y)  c, con c una constante, se llama una isoclina. Se dibujan elementos lineales que pasen por los puntos en una isoclina dada, digamos f (x, y)  c1 todos con la misma pendiente c1. En el problema 15 de los ejercicios 2.1 tiene dos oportunidades para dibujar un campo direccional a mano. 4 _4 CURVAS SOLUCIÓN SIN UNA SOLUCIÓN 2.1.2 ED AUTÓNOMAS DE PRIMER ORDEN ED AUTÓNOMAS DE PRIMER ORDEN En la sección 1.1 dividimos las ecuaciones diferenciales ordinarias en dos tipos: lineales y no lineales. Ahora consideraremos EUHYHPHQWHRWUDFODVHGHFODVL¿FDFLyQGHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDVXQD FODVL¿FDFLyQ TXH HV GH SDUWLFXODU LPSRUWDQFLD HQ OD LQYHVWLJDFLyQ FXDOLWDWLYD GH ODV ecuaciones diferenciales. Una ecuación diferencial ordinaria en la que la variable independiente no aparece explícitamente se llama autónoma. Si el símbolo x denota a la variable independiente, entonces se puede escribir una ecuación diferencial autónoma de primer orden como f (y, y)  0 o en la forma normal como dy (2)  f (y). dx Supondremos que la función f en la ecuación (2) y su derivada f  son funciones continuas de y en algún intervalo I. Las ecuaciones de primer orden f ( y) S  f (x, y) S dy dy  1  y2  0.2xy y dx dx son respectivamente autónoma y no autónoma. Muchas ecuaciones diferenciales que se encuentran en aplicaciones o ecuaciones que modelan leyes físicas que no cambian en el tiempo son autónomas. Como ya hemos visto en la sección 1.3, en un contexto aplicado, se usan comúnmente otros símbolos diferentes de y y de x para representar las variables dependientes e independientes. Por ejemplo, si t representa el tiempo entonces al examinar dA  kA, dt dx  kx(n  1  x), dt dT  k(T  Tm), dt dA 1 6 A, dt 100 donde k, n y Tm son constantes, se encuentra que cada ecuación es independiente del tiempo. Realmente, todas las ecuaciones diferenciales de primer orden introducidas en la sección 1.3 son independientes del tiempo y por lo tanto, son autónomas. PUNTOS CRÍTICOS Las raíces de la función f en la ecuación (2) son de especial importancia. Decimos que un número real c es un punto crítico de la ecuación diferencial autónoma (2) si es una raíz de f, es decir, f (c)  0. Un punto crítico también se llama punto de equilibrio o punto estacionario. Ahora observe que si sustituimos la función constante y(x)  c en la ecuación (2), entonces ambos lados de la ecuación VRQLJXDOHVDFHUR(VWRVLJQL¿FDTXH Si c es un punto crítico de la ecuación (2), entonces y(x)  c es una solución FRQVWDQWHGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDODXWyQRPD Una solución constante y(x)  c se llama solución de equilibrio; las soluciones de equilibrio son las únicas soluciones constantes de la ecuación (2). &RPR \D OR KHPRV PHQFLRQDGR SRGHPRV LGHQWL¿FDU FXDQGR XQD VROXFLyQ QR constante y  y(x) de la ecuación (2) está creciendo o decreciendo determinando el signo algebraico de la derivada dy兾dx; en el caso de la ecuación (2) hacemos esto LGHQWL¿FDQGRORVLQWHUYDORVGHOHMH\HQORVTXHODIXQFLyQf (y) es positiva o negativa. 38 l CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EJEMPLO 3 Una ED autónoma La ecuación diferencial dP  P(a  bP), dt donde a y b son constantes positivas, tiene la forma normal dP兾dt  f (P), la de la ecuación (2) con t y P jugando los papeles de x y y respectivamente y por tanto es autónoma. De f (P)  P(a – bP)  0 vemos que 0 y a兾b son puntos críticos de la ecuación, así que las soluciones de equilibrio son P(t)  0 y P(t)  a兾b. Poniendo los puntos críticos en XQDUHFWDYHUWLFDOGLYLGLPRVHVWDUHFWDHQWUHVLQWHUYDORVGH¿QLGRVSRU  P  0, 0  P  a兾b, a兾b  P  /DVÀHFKDVHQODUHFWDTXHVHSUHVHQWDHQOD¿JXUDLQGLFDQ el signo algebraico de f (P)  P(a – bP) en estos intervalos y si una solución constante P(t HVWiFUHFLHQGRRGHFUHFLHQGRHQXQLQWHUYDOR/DWDEODVLJXLHQWHH[SOLFDOD¿JXUD eje P a b Intervalo ( , 0) (0, a 兾b) (a兾b, ) 0 (x0, y0) x a) región R. y R3 y(x) = c2 y(x) = c1 (x0, y0) R2 R1 decreciente creciente decreciente Flecha apunta hacia abajo apunta hacia arriba apunta hacia abajo CURVAS SOLUCIÓN Sin resolver una ecuación diferencial autónoma, normalmente podemos decir mucho respecto a su curva solución. Puesto que la función f en la ecuación (2) es independiente de la variable x, podemos suponer que fHVWiGH¿QLGDSDUD  x  o para 0  x  . También, ya que f y su derivada f  son funciones continuas de y en algún intervalo I del eje y, los resultados principales del teorema 1.2.1 valen en alguna franja o región R en el plano xy correspondiente a I, y así pasa por algún punto (x0, y0) en R por el que pasa una curva solución de la HFXDFLyQ  9HDOD¿JXUD D 3DUDUHDOL]DUQXHVWURDQiOLVLVVXSRQJDPRVTXHOD ecuación (2) tiene exactamente dos puntos críticos c1 y c2 y que c1  c2/DVJUi¿FDV de las soluciones y(x)  c1 y y(x)  c2 son rectas horizontales y estas rectas dividen la región R en tres subregiones R1, R2 y R3FRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E $TXtVH presentan sin comprobación algunas de las conclusiones que podemos extraer de una solución no constante y(x) de la ecuación (2): y I menos más menos P(t) /D¿JXUDHVXQdiagrama fase unidimensional, o simplemente diagrama fase, de la ecuación diferencial dP兾dt  P(a  bP). La recta vertical se llama recta de fase. FIGURA 2.1.5 Diagrama fase de dP兾dt  P(a  bP). R Signo de f (P) x b) subregiones R1, R2, y R3 de R. FIGURA 2.1.6 Las rectas y(x)  c1 y y(x)  c2 dividen a R en tres subregiones horizontales. • Si (x0, y0) es una subregión Ri , i  1, 2, 3, y y(x HVXQDVROXFLyQFX\DJUi¿FD pasa a través de este punto, por lo que y(x) permanece en la subregión Ri para toda x&RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E ODVROXFLyQy(x) en R2 está acotada por debajo con c1 y por arriba con c2, es decir, c1  y(x)  c2 para toda x. La curva solución está dentro de R2 para toda xSRUTXHODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQ QRFRQVWDQWHGHODHFXDFLyQ  QRSXHGHFUX]DUODJUi¿FDGHFXDOTXLHUVROXFLyQ de equilibrio y(x)  c1 o y(x)  c2. Vea el problema 33 de los ejercicios 2.1. • Por continuidad de f debe ser f (y) 0 o f (y)  0 para toda x en una subregión Ri , i  1, 2, 3. En otras palabras, f (y) no puede cambiar de signo en una subregión. Vea el problema 33 de los ejercicios 2.1. • Puesto que dy兾dx  f (y(x)) es ya sea positiva o negativa en una subregión Ri , i  1, 2, 3, una solución y(x) es estrictamente monótona, es decir, y(x) está creciendo o decreciendo en la subregión Ri. Por tanto y(x) no puede oscilar, ni puede tener un extremo relativo (máximo o mínimo). Vea el problema 33 de los ejercicios 2.1. • Si y(x) está acotada por arriba con un punto crítico c1 (como en la subregión R1 donde y(x)  c1 para toda x HQWRQFHVODJUi¿FDGHy(x) debe tender a la JUi¿FDGHODVROXFLyQGHHTXLOLEULRy(x)  c1 conforme x → o x →  . Si y(x) está acotada, es decir, acotada por arriba y por debajo por dos puntos críticos consecutivos (como en la subregión R2 donde c1  y(x)  c2 para toda x HQWRQFHVODJUi¿FDGHy(x GHEHWHQGHUDODVJUi¿FDVGHODVVROXFLRQHV 2.1 CURVAS SOLUCIÓN SIN UNA SOLUCIÓN l 39 de equilibrio y(x)  c1 y y(x)  c2, conforme x → en una y x →  en la otra. Si y(x) está acotada por debajo por un punto crítico (como en la subregión R3 donde c2  y(x) para toda x  HQWRQFHV OD JUi¿FD GHy(x) debe WHQGHU D OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ GH HTXLOLEULR y(x)  c2 conforme ya sea x → o x →  9HDHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV Considerando estos hechos, analicemos la ecuación diferencial del ejemplo 3. EJEMPLO 4 P P R3 decreciente P 0 a b creciente P0 R2 0 t decreciente P0 recta de fase R1 Plano tP FIGURA 2.1.7 Diagrama fase y curvas VROXFLyQGHOHMHPSOR Vuelta al ejemplo 3 Los tres intervalos determinados en el eje P o recta de fase con los puntos críticos P  0 y P  a兾b ahora corresponden en el plano tPDWUHVVXEUHJLRQHVGH¿QLGDVSRU R1:   P  0, R 2: 0  P  a 兾b, y R 3: a兾b  P  , donde   t  (OHVTXHPDGHIDVHGHOD¿JXUDQRVGLFHTXHP(t) está decreciendo en R1, creciendo en R2 y decreciendo en R3. Si P(0)  P0 es un valor inicial, entonces en R1, R2 y R3 tenemos, respectivamente, que: i) Para P0  0, P(t) está acotada por arriba. Puesto que P(t) está decreciendo sin límite conforme aumenta t, y así P(t) → 0 conforme t →  . Lo que VLJQL¿FD TXH HQ HO HMH t QHJDWLYR OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ GH HTXLOLEULR P(t)  0, es una asíntota horizontal para una curva solución. ii) Para 0  P0  a兾b, P(t) está acotada. Puesto que P(t) está creciendo, P(t) → a兾b conforme t → y P(t) → 0 conforme t →  /DVJUi¿FDVGHODV dos soluciones de equilibrio, P(t)  0 y P(t)  a兾b, son rectas horizontales que son asíntotas horizontales para cualquier curva solución que comienza en esta subregión. iii) Para P0 a兾b, P(t) está acotada por debajo. Puesto que P(t) está decreciendo, P(t) → a兾b conforme t →  /D JUi¿FD GH OD VROXFLyQ GH equilibrio P(t)  a兾b es una asíntota horizontal para una curva solución. (QOD¿JXUDODUHFWDGHIDVHHVHOHMHP en el plano tP. Por claridad la recta de fase RULJLQDOGHOD¿JXUDVHKDUHSURGXFLGRDODL]TXLHUGDGHOSODQRHQHOFXDOVHKDQVRPbreado las regiones R1, R2 y R3(QOD¿JXUDVHPXHVWUDQODVJUi¿FDVGHODVVROXFLRQHVGH equilibrio P(t)  a兾b y P(t)  0 (el eje t FRQODVUHFWDVSXQWHDGDVD]XOHVODVJUi¿FDVVyOLGDV UHSUHVHQWDQODVJUi¿FDVWtSLFDVGHP(t) mostrando los tres casos que acabamos de analizar. En una subregión tal como R1 HQ HO HMHPSOR  GRQGH P(t) está decreciendo y no está acotada por debajo, no se debe tener necesariamente que P(t) →  . No interprete que HVWH ~OWLPR HQXQFLDGR VLJQL¿FD TXH P(t) →  conforme t → ; podríamos tener que P(t) →  conforme t → T, donde T HVXQQ~PHUR¿QLWRTXHGHSHQGHGHODFRQdición inicial P(t0)  P0. Considerando términos dinámicos, P(t) “explota” en un tiempo ¿QLWRFRQVLGHUDQGRODJUi¿FDP(t) podría tener una asíntota vertical en t  T 0. Para la subregión R3 vale una observación similar. La ecuación diferencial dy兾dx  sen y en el ejemplo 2 es autónoma y tiene un núPHURLQ¿QLWRGHSXQWRVFUtWLFRV\DTXHVHQy  0 en y  Qʌ, con n entero. Además, sabemos que debido a que la solución y(x) pasa por (0, 23) está acotada por arriba y por debajo por dos puntos críticos consecutivos (ʌ  y(x)  0) y decrece (sen y  0 para ʌ  y  ODJUi¿FDGHy(x GHEHWHQGHUDODVJUi¿FDVGHODVVROXFLRQHVGHHTXLOLEULR como asíntotas horizontales: y(x) → ʌ conforme x → y y(x) → 0 conforme x →  . EJEMPLO 5 Curvas solución de una ED autónoma La ecuación autónoma dy兾dx  (y  1)2 tiene un solo punto crítico 1. Del esquema GHIDVHGHOD¿JXUD D FRQFOXLPRVTXHXQDVROXFLyQy(x) es una función creciente HQODVVXEUHJLRQHVGH¿QLGDVSRU  y  1 y 1  y  , donde   x  . Para una condición inicial y(0)  y0  1, una solución y(x) está creciendo y está acotada por arriba por 1 y así y(x) → 1 conforme x → ; para y(0)  y0 1, una solución y(x) está creciendo y está acotada. 40 l CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Ahora y(x)  1 1兾(x  c) es una familia uniparamétrica de soluciones de la HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO YHD HO SUREOHPD  GH ORV HMHUFLFLRV   8QD FRQGLFLyQ LQLcial dada determina un valor para c. Para las condiciones iniciales, y(0)  1  1 y y(0)  2 1, encontramos, respectivamente, que y(x)  1  1/(x  21), y(x)  1 1兾(x  &RPRVHPXHVWUDHQODV¿JXUDV E \ F ODJUi¿FDGHFDGD una de estas funciones racionales tienen una asíntota vertical. Pero recuerde que las soluciones de los problemas con valores iniciales dy dy  ( y  1) 2, y(0)  1 y  ( y  1) 2, y(0)  2 dx dx HVWiQGH¿QLGDVHQLQWHUYDORVHVSHFLDOHV4XHVRQUHVSHFWLYDPHQWH 1 1 ,฀ ฀ x 1. x ฀ ฀ ฀ y ฀ ฀ y(x) 1 ,฀ ฀ 21 y(x) 1 1 x 1 x 2 /DVFXUYDVVROXFLyQVRQODVSDUWHVGHODVJUi¿FDVGHODV¿JXUDV E \ F  que se muestran en azul. Como lo indica el diagrama fase, para la curva solución de la ¿JXUD E y(x) → 1 conforme x → SDUDODFXUYDVROXFLyQGHOD¿JXUD F  y(x) → conforme x → 1 por la izquierda. y y y x =1 creciente (0, 2) y=1 1 y =1 x x (0, −1) creciente x= − 1 2 a) recta de fase b) plano xy c) plano xy y(0)  1 y(0) 1 FIGURA 2.1.8 Comportamiento de las soluciones cerca de y  1. c y0 y0 c c c y0 a) y0 b) c) d) FIGURA 2.1.9 El punto crítico c es un atractor en a) y un repulsor en b) y semiestable en c) y d). ATRACTORES Y REPULSORES Suponga que y(x) es una solución no constante de la ecuación diferencial autónoma dada en (1) y que c es un punto crítico de la ED. Básicamente hay tres tipos de comportamiento que y(x) puede presentar cerca de c. En OD¿JXUDKHPRVSXHVWRDc en las cuatro rectas verticales. Cuando ambas puntas GHÀHFKDHQFXDOTXLHUODGRGHOSXQWRc, apuntan hacia cFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD  D WRGDVODVVROXFLRQHVy(x) de la ecuación (1) que comienzan en el punto inicial (x0, y0 VX¿FLHQWHPHQWHFHUFDGHc presentan comportamiento asintótico límxo y(x)  c. Por esta razón se dice que el punto crítico c es asintóticamente estable. Utilizando una analogía física, una solución que comienza en c se parece a una partícula cargada que, que con el tiempo, se transforma en una partícula de carga contraria y así c también se conoce como un atractor&XDQGRDPEDVSXQWDVGHÀHFKDDORVODGRVGHODÀHFKDGHO punto c apuntan alejándose de cFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E WRGDVODVVROXciones y(x) de la ecuación (1) que comienzan en un punto inicial (x0, y0) se alejan de c conforme crece x. En este caso se dice que el punto crítico c es inestable. Un punto crítico inestable se conoce como un repulsorSRUUD]RQHVREYLDV(QODV¿JXUDV F \  G VHPXHVWUDHOSXQWRFUtWLFRc que no es ni un atractor ni un repulsor. Pero puesto que c presenta características tanto de atractor como de repulsor, es decir, una solución que comienza desde un punto inicial (x0, y0 TXHHVWiVX¿FLHQWHPHQWHFHUFDGHc es atraída hacia c por un lado y repelida por el otro, este punto crítico se conoce como semiestable. En el ejemplo 3 el punto crítico a兾b es asintóticamente estable (un atractor) y el punto crítico 0 es inestable (un repulsor). El punto crítico 1 del ejemplo 5 es semiestable. ED AUTÓNOMAS Y CAMPOS DIRECCIONALES Si una ecuación diferencial de primer orden es autónoma, entonces en la forma normal vemos en el miembro derecho dy兾dx  f (y) que las pendientes de los elementos lineales que pasan por los puntos en la 2.1 las pendientes de los elementos lineales sobre una recta horizontal son todas iguales. 41 por supuesto, pendientes de elementos lineales a lo largo de cualquier recta vertical, variarán. Estos hechos se muestran examinando la banda horizontal dorada y la banda vertical D]XOGHOD¿JXUD/D¿JXUDSUHVHQWDXQFDPSRGLUHFFLRQDOSDUDODHFXDFLyQDXWyQRPD dy兾dx  2y±/RVHOHPHQWRVOLQHDOHVURMRVHQOD¿JXUDWLHQHQSHQGLHQWHFHURSRUTXHVHHQFXHQWUDQDORODUJRGHODJUi¿FDGHODVROXFLyQGHHTXLOLEULRy  1. y x FIGURA 2.1.10 Campo direccional para una ED autónoma. y y=3 x y=0 FIGURA 2.1.11 Curvas solución trasladas de una ED autónoma. EJERCICIOS 2.1 PROPIEDAD DE TRASLACIÓN Recordará del curso de matemáticas de precálculo TXHODJUi¿FDGHXQDIXQFLyQy  f (x – k) donde kHVXQDFRQVWDQWHHVODJUi¿FDGHXQD función y  f (x) rígidamente trasladada o desplazada horizontalmente a lo largo del eje x por una cantidad 兩k兩; la traslación es hacia la derecha si k 0 y hacia la izquierda si k  0. Resulta que bajo las condiciones establecidas para (2), las curvas solución están relacionadas con las curvas de una ED autónoma de primer orden por el concepto de traslación. Para ver esto, consideremos la ecuación diferencial dy兾dx  y(3– y) que es un FDVRHVSHFLDOGHODHFXDFLyQDXWyQRPDFRQVLGHUDGDHQORVHMHPSORV\3XHVWRTXHy  0 y y VRQVROXFLRQHVGHHTXLOLEULRGHOD('VXVJUi¿FDVGLYLGHQHOSODQRxy en tres subregiones R1, R2 y R3: R1 :  y  0 R2 : 0  y  3 y R3 : 3  y  (QOD¿JXUDKHPRVVREUHSXHVWRXQFDPSRGLUHFFLRQDOGHODVFXUYDVGHVHLVVROXFLRQHVGHOD('/D¿JXUDPXHVWUDWRGDVODVFXUYDVVROXFLyQGHOPLVPRFRORUHVGHFLUODV curvas solución se encuentran dentro de una subregión particular Ri, todas lucen iguales. Esto no es una coincidencia, ya que es una consecuencia natural del hecho de que los elementos lineales que pasan a través de cualquier recta horizontal son paralelos. Por lo que la siguiente propiedad de translación de una ED autónoma debe tener sentido: Si y(x) es una solución de una ecuación diferencial autónoma dy/dx  f (y), entonces y1(x)  y(x  k)NXQDFRQVWDQWHWDPELpQHVXQDVROXFLyQ Por lo tanto, si y(x) es una solución del problema con valores iniciales dy兾dx  f(y), y(0)  y0, luego y1(x)  y(x  x0) es una solución del PVI dy兾dx  f(y), y(x0)  y0. Por ejemplo, es fácil de comprobar que y(x)  ex,   x  , es una solución del PVI, dy兾dx  y, y(0)  1 y así una solución y1(x) de, digamos, dy兾dx  y, y(5)  1 es y(x)  ex trasladado 5 unidades a la derecha: y1(x)  y(x  5)  ex5,   x  . Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-1 CAMPOS DIRECCIONALES (QORVSUREOHPDVDUHSURGX]FDHOFDPSRGLUHFFLRQDOGDGR generado por computadora. Después dibuje, a mano, una curva solución aproximada que pase por cada uno de los puntos indicados. Utilice lápices de colores diferentes para cada curva solución. 1. l varían las pendientes cuadrícula rectangular que se usa para construir un campo direccional para la ED, sólo dede los elementos sobre penden de la coordenada y de los puntos. Expresado de otra manera, los elementos lineales una recta vertical. que pasan por puntos de cualquier recta horizontal deben tener todos la misma pendiente; y 2.1.1 CURVAS SOLUCIÓN SIN UNA SOLUCIÓN dy  x2  y2 dx a) y(2)  1 c) y(0)  2 dy 2 2.  e0.01x y dx a) y(6)  0 c) y(0)   y 3 2 1 x b) y(3)  0 d) y(0)  0 _1 _2 _3 _3 _2 _1 b) y(0)  1 d) y    1 2 3 FIGURA 2.1.12 Campo direccional del problema 1. 42 l CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN a) y(0)  0 b) y(0)  3 y 8 dy  x dx a) y(1)  1 b) y(0)  7. y 4 x _4 9. _8 _8 _4 4 8 a) y(2)  2 b) y(1)  3 dy 1  dx y a) y(0)  1 b) y(2)  1 8. dy  0.2x 2  y dx a) y(0)  21 dy  xey dx a) y(0)  2 10. b) y(1)  2.5 b) y(2)  1 FIGURA 2.1.13 Campo direccional del problema 2. y 4 2 x _2  x 2 a) y(2)  2 y dy 1 dx x a) y 12  2 b) y(1)  0 b) 11. y  y  cos 12. (QORVSUREOHPDV\OD¿JXUDGDGDUHSUHVHQWDODJUi¿FD de f (y) y de f (x), respectivamente. Dibuje a mano un campo direccional sobre una malla adecuada para dy兾dx  f (y) (problema 13) y después para dy兾dx  f (x  SUREOHPD  13. _4 _4 _2 f 4 2 ( ) y (32)  0 1 FIGURA 2.1.14 Campo direccional del problema 3. y 1 y 4 2 FIGURA 2.1.16 *Ui¿FDGHOSUREOHPD x 14. f _2 _4 _4 _2 2 4 FIGURA 2.1.15 &DPSRGLUHFFLRQDOGHOSUREOHPD 3. dy  1  xy dx a) y(0)  0 c) y(2)  2 dy 4.  (sen x) cos y dx a) y(0)  1 c) y(3)  3 1 1 b) y(1)  0 d) y(0)   b) y(1)  0 d) y(0)  25 En los problemas 5 a 12 use un paquete computacional para obtener un campo direccional para la ecuación diferencial dada. Dibuje a mano una curva solución aproximada que pase por los puntos dados. 5. y  x 6. y  x  y x FIGURA 2.1.17 *Ui¿FDGHOSUREOHPD 15. En los incisos a) y b) dibuje isoclinas f (x, y)  c (vea los Comentarios de la página 36) para la ecuación diferencial dada usando los valores de c indicados. Construya un campo direccional sobre una cuadrícula dibujando con cuidado elementos lineales con la pendiente adecuada en los puntos elegidos de cada isoclina. En cada caso, utilice esta dirección para dibujar una curva solución aproximada para el PVI que consiste de la ED y de la condición inicial y (0)  1. a) dy兾dx  x  y; c un entero que satisface 5  c  5 b) dy兾dx  x 2  y 2; c  41, c  1, c  94, c  4 2.1 Problemas para analizar 16. a) Considere el campo direccional de la ecuación diferencial dy兾dx  x(y± 2 – 2, pero no use tecnología para obtenerlo. Describa las pendientes de los elementos lineales en las rectas x  0, y  3, y \y  5. b) Considere el PVI dy兾dx  x \± 2 – 2, y(0)  y0, donde y0 $QDOLFHEDViQGRVHHQODLQIRUPDFLyQGHOLQFLVR a), ¿sí puede una solución y(x) → conforme x → ? 17. Para la ED de primer orden dy兾dx  f (x, y) una curva en HOSODQRGH¿QLGRSRUf (x, y)  0 se llama ceroclina de la ecuación, ya que un elemento lineal en un punto de la curva tiene pendiente cero. Use un paquete computacional para obtener un campo direccional en una cuadrícula rectangular de puntos dy兾dx  x2  2y y después superponga la JUi¿FDGHODFHURFOLQDy  12 x 2 sobre el campo direccional. Analice el campo direccional. Analice el comportamiento GHODVFXUYDVVROXFLyQHQUHJLRQHVGHOSODQRGH¿QLGDVSRU y  21 x 2 y por y 12 x 2. Dibuje algunas curvas solución aproximadas. Trate de generalizar sus observaciones. 18. a) ,GHQWL¿TXHODVFHURFOLQDV YHDHOSUREOHPD HQORV SUREOHPDV   \  &RQ XQ OiSL] GH FRORU FLUFXOH WRGRV ORV HOHPHQWRV OLQHDOHV GH ODV ¿JXUDV  \TXHXVWHGFUHDTXHSXHGHQVHUXQHOHmento lineal en un punto de la ceroclina. b) ¢4XpVRQODVFHURFOLQDVGHXQD('DXWyQRPDGHSULmer orden? CURVAS SOLUCIÓN SIN UNA SOLUCIÓN l 43 (Q ORV SUREOHPDV  \  FRQVLGHUH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO autónoma dy兾dx  f (y  GRQGH VH SUHVHQWD OD JUi¿FD GH f. 8WLOLFHODJUi¿FDSDUDXELFDUORVSXQWRVFUtWLFRVGHFDGDXQDGH las ecuaciones diferenciales. Dibuje un diagrama fase de cada ecuación diferencial. Dibuje a mano curvas solución típicas en las subregiones del plano xyGHWHUPLQDGDVSRUODVJUi¿FDVGHODV soluciones de equilibrio. f 29. c y FIGURA 2.1.18 *Ui¿FDGHOSUREOHPD f 30. 1 1 y FIGURA 2.1.19 *Ui¿FDGHOSUREOHPD 2.1.2 ED DE PRIMER ORDEN AUTÓNOMAS Problemas para analizar 19. Considere la ecuación diferencial de primer orden dy兾dx  y – y3 y la condición inicial y(0)  y0$PDQRGLEXMHODJUi¿FD de una solución típica y(x) cuando y0 tiene los valores dados. a) y 0 1 b) 0  y 0  1 c) 1  y 0  0 d) y 0  1 20. Considere la ecuación diferencial autónoma de primer orden dy兾dx  y2 – y y la condición inicial y(0)  y0. A PDQRGLEXMHODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQWtSLFDy(x) cuando y0 tiene los valores dados. a) y 0 1 b) 0  y 0  1 c) 1  y 0  0 d) y 0  1 31. Considere la ED autónoma dy兾dx  (2兾ʌ)y – sen y. Determine los puntos críticos de la ecuación. Proponga un procedimiento para obtener un diagrama fase de la HFXDFLyQ&ODVL¿TXHORVSXQWRVFUtWLFRVFRPRDVLQWyWLFDmente estables, inestables o semiestables. 32. Se dice que un punto crítico c de una ED de primer orden autónoma está aislado si existe algún intervalo abierto que contenga a c pero no a otro punto crítico. ¿Puede existir una ED autónoma de la forma dada en la ecuación (2) para la cual todo punto crítico no esté aislado? Analice; no considere ideas complicadas. 33. Suponga que y(x) es una solución no constante de la ecuación diferencial autónoma dy兾dx  f (y) y que c es un punto FUtWLFRGHOD('$QDOLFH¢3RUTXpQRSXHGHODJUi¿FDGH y(x  FUX]DU OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ GH HTXLOLEULR y  c? ¿Por qué no puede f (y) cambiar de signo en una de las reJLRQHVDQDOL]DGDVGHODSiJLQD"¢3RUTXpQRSXHGHy(x) oscilar o tener un extremo relativo (máximo o mínimo)? 34. Suponga que y(x) es una solución de la ecuación autónoma dy兾dx  f (y) y está acotada por arriba y por debajo por dos puntos críticos consecutivos c1  c2, como una subregión R2GHOD¿JXUD E 6Lf (y) 0 en la región, entonces límxo y(x)  c 2. Analice por qué no puede existir un número L  c2 tal que límxo y(x)  L. Como parte de su análisis, considere qué pasa con y (x) conforme x→ . (Q ORV SUREOHPDV  D  GHWHUPLQH ORV SXQWRV FUtWLFRV \ HO diagrama fase de la ecuación diferencial autónoma de primer RUGHQGDGD&ODVL¿TXHFDGDSXQWRFUtWLFRFRPRDVLQWyWLFDPHQWH estable, inestable, o semiestable. Dibuje, a mano, curvas solución típicas en las regiones del plano xy determinadas por las JUi¿FDVGHODVVROXFLRQHVGHHTXLOLEULR dy 21. 22. dy  y 2  y 3  y 2  3y dx dx dy 23. 24. dy  10  3y  y 2  ( y  2)4 dx dx 25. dy  y 2(4  y 2) dx 26. dy  y(2  y)(4  y) dx 27. dy  y ln( y  2) dx y 28. dy  ye  9y dx ey 44 l CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 35. Utilizando la ecuación autónoma (2), analice cómo se puede obtener información con respecto a la ubicación de SXQWRVGHLQÀH[LyQGHXQDFXUYDVROXFLyQ 36. Considere la ED dy兾dx  y2 – y – 6. Utilice sus ideas en torno al problema 35 para encontrar los intervalos en el eje y para los que las curvas solución son cóncavas hacia arriba y en los que las curvas solución son cóncavas hacia abajo. Analice por qué cada curva solución de un problema con valores iniciales dy兾dx  y2  y – 6, y(0)  y0, donde 2  y0  3, WLHQHXQSXQWRGHLQÀH[LyQFRQODPLVPDFRRUGHQDGDy. ¿Cuál es la coordenada y? Con cuidado dibuje la curva solución para la que y(0)  1. Repita para y(2)  2. 37. Suponga que la ED autónoma en la ecuación (1) no tiene puntos críticos. Analice el comportamiento de las soluciones. Modelos matemáticos 38. Modelo de población La ecuación diferencial en el ejemplo 3 es un modelo muy conocido de población. Suponga que la ED se cambia por dP  P(aP  b), dt donde a y b son constantes positivas. Analice qué le pasa a la población P conforme avanza el tiempo t. 39. Modelo de población Otro modelo de población está dado por dP  kP  h, dt donde h y k son constantes positivas. ¿Para qué valor inicial P(0)  P0 este modelo predice que la población desaparecerá? 40. Velocidad terminal En la sección 1.3 vimos que la ecuación diferencial autónoma dv m mg kv. dt donde k es una constante positiva y g es la aceleración de la gravedad, es un modelo para la velocidad v de un 2.2 cuerpo de masa mTXHHVWiFD\HQGREDMRODLQÀXHQFLDGH la gravedad. Debido a que el término –kv representa la resistencia del aire, la velocidad de un cuerpo que cae de una gran altura no aumenta sin límite conforme pasa el tiempo t. Utilice un diagrama fase de la ecuación diferencial para encontrar la velocidad límite o terminal del cuerpo. Explique su razonamiento. 41. 6XSRQJDTXHHOPRGHORGHOSUREOHPDVHPRGL¿FDGHWDO manera que la resistencia del aire es proporcional a v2, es decir dv m mg kv2 . dt   9HDHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV8WLOLFHXQHVquema de fase para determinar la velocidad terminal del cuerpo. Explique su razonamiento. 42. Reacciones químicas Cuando se combinan ciertas clases de reacciones químicas, la razón con la que se forman los nuevos componentes se modela por la ecuación diferencial autónoma dX  k(  X)(   X), dt donde k 0 es una constante de proporcionalidad y ȕ Į 0. Aquí X(t) denota el número de gramos del nuevo componente al tiempo t. a) Utilice un esquema de fase de la ecuación diferencial para predecir el comportamiento de X(t) conforme t→ . b) Considere el caso en que   ȕ. Utilice un esquema de fase de la ecuación diferencial para predecir el comportamiento de X(t) conforme t → cuando X(0)  Į. Cuando X(0) Į. c) Compruebe que una solución explícita de la ED en el caso en que k  1 y Į  ȕ es X(t)  Į  1兾(t  c). Determine una solución que satisfaga que X(0)  Į兾2. Después determine una solución que satisfaga que X(0)  2Į7UDFHODJUi¿FDGHHVWDVGRVVROXFLRnes. ¿El comportamiento de las soluciones conforme t → concuerdan con sus respuestas del inciso b)? VARIABLES SEPARABLES REPASO DE MATERIAL l )yUPXODVEiVLFDVGHLQWHJUDFLyQ YHDWDPELpQDO¿QDOGHOOLEUR l Técnicas de integración: integración por partes y por descomposición de fracciones parciales INTRODUCCIÓN Comenzaremos nuestro estudio de cómo resolver las ecuaciones diferenciales con la más simple de todas las ecuaciones diferenciales: ecuaciones diferenciales de primer orden con variables separables. Debido a que el método que se presenta en esta sección y que muchas de las técnicas para la solución de ecuaciones diferenciales implican integración, consulte su libro de cálculo para recordar las fórmulas importantes (como 兰 du兾u) y las técnicas (como la integración por partes). 2.2 VARIABLES SEPARABLES l 45 SOLUCIÓN POR INTEGRACIÓN Considere la ecuación diferencial de primer orden dy兾dx  f (x, y). Cuando f no depende de la variable y, es decir, f (x, y)  g(x), la ecuación diferencial dy  g(x) (1) dx se puede resolver por integración. Si g(x) es una función continua, al integrar ambos lados de la ecuación (1) se obtiene y  兰g(x) dx = G(x)  c, donde G(x) es una antiGHULYDGD LQWHJUDOLQGH¿QLGD GHg(x). Por ejemplo, si dy兾dx  1  e2x, entonces su solución es y (1 e 2x ) dx o y x 12 e2x c. UNA DEFINICIÓN La ecuación (l) así como su método de solución no son más que un caso especial en el que f, en la forma normal dy兾dx  f (x, y) se puede factorizar como el producto de una función de x por una función de y. DEFINICIÓN 2.2.1 Ecuación separable Una ecuación diferencial de primer orden de la forma dy  g(x)h(y) dx se dice que es separable o que tiene variables separables. Por ejemplo, las ecuaciones dy dy  y 2xe3x4y y  y  sen x dx dx son, respectivamente, separable y no separable. En la primera ecuación podemos facg(x) h(y) torizar f (x, y)  y 2xe 3xy como p p f (x, y)  y2xe3x4y  (xe3x )( y2e4y ), pero en la segunda ecuación no hay forma de expresar a y  sen x como un producto de una función de x por una función de y. Observe que al dividir entre la función h(y), podemos escribir una ecuación separable dy兾dx  g(x)h(y) como dy p( y)  g(x), (2) dx donde, por conveniencia p(y) representa a l兾h(y). Podemos ver inmediatamente que la ecuación (2) se reduce a la ecuación (1) cuando h(y)  1. Ahora, si y  (x) representa una solución de la ecuación (2), se tiene que p( (x)) (x)  g(x), y por tanto 冕 Pero dy  p( (x)) (x) dx  冕 (3) g(x) dx. (x)dx, y así la ecuación (3) es la misma que p( y) dy g(x) dx฀ ฀ ฀ ฀ o ฀ ฀ ฀ ฀ H(y) G(x) c,   donde H(y) y G(x) son antiderivadas de p(y)  1兾h(y) y g(x), respectivamente. MÉTODO DE SOLUCIÓN /DHFXDFLyQ  LQGLFDHOSURFHGLPLHQWRSDUDUHVROYHU ecuaciones separables. Al integrar ambos lados de p(y) dy  g(x) dx, se obtiene una familia uniparamétrica de soluciones, que usualmente se expresa de manera implícita. NOTA No hay necesidad de emplear dos constantes cuando se integra una ecuación separable, porque si escribimos H(y)  c1  G(x)  c2, entonces la diferencia c2 – c1 se puede reemplazar con una sola constante cFRPRHQODHFXDFLyQ  (QPXFKRVFDVRVGHORVVLguientes capítulos, sustituiremos las constantes en la forma más conveniente para una ecuación dada. Por ejemplo, a veces se pueden reemplazar los múltiplos o las combinaciones de constantes con una sola constante. 46 l CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EJEMPLO 1 Solución de una ED separable Resuelva (1  x) dy  y dx  0. SOLUCIÓN Dividiendo entre (1  x)y, podemos escribir dy兾y  dx兾(1  x), de donde tenemos que 冕 冕 dy  y dx 1x ln兩 y 兩  ln兩 1  x 兩  c1 y  eln兩1x兩c1  eln兩1x兩 ⴢ ec1 ; leyes de exponentes  兩 1  x 兩 ec1 冦兩兩 11  xx 兩兩  1(1 x, x), ;  ec1(1  x). x 1 x <1 Haciendo c igual a ec1 se obtiene y  c(1  x). SOLUCIÓN ALTERNATIVA Como cada integral da como resultado un logaritmo, la elección más prudente para la constante de integración es ln兩c兩, en lugar de c. Reescribir el segundo renglón de la solución como ln兩y兩  ln兩1  x兩  ln兩c兩 nos permite combinar los términos del lado derecho usando las propiedades de los logaritmos. De ln兩y兩  ln兩c(1  x)兩 obtenemos inmediatamente que y  c(1  x). Aun cuando no todas las LQWHJUDOHVLQGH¿QLGDVVHDQORJDULWPRVSRGUtDVHJXLUVLHQGRPiVFRQYHQLHQWHXVDUOQ兩c兩. 6LQHPEDUJRQRVHSXHGHHVWDEOHFHUXQDUHJOD¿UPH En la sección 1.1 vimos que una curva solución puede ser sólo un segmento o un arco GHODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQLPSOtFLWDG(x, y)  0. EJEMPLO 2 Curva solución Resuelva el problema con valores iniciales dy x  , dx y y(4)  3. SOLUCIÓN Si reescribe la ecuación como y dy  x dx, obtiene 冕 y x (4, −3) FIGURA 2.2.1 Curvas solución para el PVI del ejemplo 2. 冕 x2 y2    c1. 2 2 2 Podemos escribir el resultado de la integración como x  y 2  c 2, sustituyendo a la constante 2c1 por c2. Esta solución de la ecuación diferencial representa una familia de circunferencias concéntricas centradas en el origen. Ahora cuando x y  3, se tiene 16  25  c2. Así, el problema con valores iniciales determina la circunferencia x 2  y 2  25 de radio 5. Debido a su sencillez podemos despejar de esta solución implícita a una solución explícita que satisfaga la condición inicial. En el ejemplo 3 de la sección 1.1, vimos esta solución como y  2(x) o y   125  x2, 5  x  58QDFXUYDVROXFLyQHVODJUi¿FDGH la función derivable. En este caso la curva solución es el semicírculo inferior que se PXHVWUDHQD]XORVFXURHQOD¿JXUDTXHFRQWLHQHDOSXQWR 3). y dy   x dx y PÉRDIDA DE UNA SOLUCIÓN Se debe tener cuidado al separar las variables. Ya que las variables que sean divisores podrían ser cero en un punto. Concretamente, si r es una raíz de la función h(y), entonces sustituyendo y  r en dy兾dx  g(x)h(y) se encuentra que ambos lados son iguales a cero; es decir, y  r es una solución constante de la ecuación diferencial. Pero después de que las variables dy se separan, el lado izquierdo de  g (x) dx HVWi LQGH¿QLGR HQ r. Por tanto, y  r h( y) podría no representar a la familia de soluciones que se ha obtenido después de la integración \VLPSOL¿FDFLyQ5HFXHUGHTXHXQDVROXFLyQGHHVWHWLSRVHGHQRPLQDVROXFLyQVLQJXODU 2.2 EJEMPLO 3 Resuelva VARIABLES SEPARABLES 47 l Pérdida de una solución dy  y 2  4. dx SOLUCIÓN Poniendo la ecuación en la forma dy  dx y2  4 冤 y  2  y  2 冥 dy  dx. 1 4 o 1 4 (5) La segunda ecuación en la ecuación (5) es el resultado de utilizar fracciones parciales en el lado izquierdo de la primera ecuación. Integrando y utilizando las leyes de los logaritmos se obtiene 1 1 ln y 2 ln y 2 x c1 4 4 o ฀ ฀ ฀ ฀ ln y y 2 2 4x c2฀ ฀ ฀ ฀ o ฀ ฀ ฀ ฀ y y 2 2 e4x c2 . $TXtKHPRVVXVWLWXLGRc1 por c2. Por último, después de sustituir ec2 por c y despejando y de la última ecuación, obtenemos una familia uniparamétrica de soluciones y2 1  ce4x . 1  ce4x (6) Ahora, si factorizamos el lado derecho de la ecuación diferencial como dy兾dx  (y  2) (y  2), sabemos del análisis de puntos críticos de la sección 2.1 que y  2 y y  2 son dos soluciones constantes (de equilibrio). La solución y  2 es un miembro de la familia GHVROXFLRQHVGH¿QLGDSRUODHFXDFLyQ  FRUUHVSRQGLHQGRDOYDORUc  0. Sin embargo, y  2 es una solución singular; ésta no se puede obtener de la ecuación (6) para cualquier elección del parámetro c. La última solución se perdió al inicio del proceso de solución. El examen de la ecuación (5) indica claramente que debemos excluir a y  2 en estos pasos. EJEMPLO 4 Un problema con valores iniciales Resuelva (e2y  y) cos x dy  ey sen 2x, y(0)  0. dx SOLUCIÓN Dividiendo la ecuación entre ey cos x se obtiene sen 2x e2y  y dx. dy  ey cos x Antes de integrar, se realiza la división del lado izquierdo y utilizamos la identidad trigonométrica sen 2x  2 sen x cos x en el lado derecho. Entonces tenemos que integración de partes  se obtiene (ey ye y) dy 2 sen x dx e y  yey  ey  2 cos x  F  La condición inicial y  0 cuando x  0 implica que c 3RUWDQWRXQDVROXFLyQGHO problema con valores iniciales es e y  yey  ey   2 cos x  USO DE COMPUTADORA Los ComentariosDO¿QDOGHODVHFFLyQPHQFLRQDQ que puede ser difícil utilizar una solución implícita G(x, y)  0 para encontrar una solución explícita y  (x /DHFXDFLyQ  PXHVWUDTXHODWDUHDGHGHVSHMDUDy en términos de x puede presentar más problemas que solamente el aburrido trabajo de presionar símbolos, ¡en algunos casos simplemente no se puede hacer! Las soluciones implícitas 48 l CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN y 2 1 x _1 _2 _2 _1 1 2 FIGURA 2.2.2 Curvas de nivel G(x, y)  c, donde G(x, y)  ey  yey  ey  2 cos [ WDOHVFRPRODHFXDFLyQ  VRQXQSRFRIUXVWUDQWHV\DTXHQRVHDSUHFLDHQODJUi¿FD GHODHFXDFLyQQLHQHOLQWHUYDORXQDVROXFLyQGH¿QLGDTXHVDWLVIDJDTXHy(0)  0. El problema de “percibir” cuál es la solución implícita en algunos casos se puede resolver mediante la tecnología. Una manera* de proceder es utilizar la aplicación contour plot de un sistema algebraico de computación (SAC). Recuerde del cálculo de varias variables que para una función de dos variables z  G(x, y) las curvas bi-dimensionalesGH¿nidas por G(x, y)  c, donde c es una constante, se llaman curvas de nivel de la función. (QOD¿JXUDVHSUHVHQWDQDOJXQDVGHODVFXUYDVGHQLYHOGHODIXQFLyQG(x, y)  ey  yey  ey  2 cos x que se han reproducido con la ayuda de un SAC. La familia de VROXFLRQHVGH¿QLGDVSRUODHFXDFLyQ  VRQODVFXUYDVGHQLYHOG(x, y)  c(QOD¿JXUD 2.2.3 se muestra en color azul la curva de nivel G(x, y) TXHHVODVROXFLyQSDUWLFXODU GHODHFXDFLyQ  /DRWUDFXUYDGHOD¿JXUDHVODFXUYDGHQLYHOG(x, y)  2, que es miembro de la familia G(x, y)  c que satisface que y(ʌ兾2)  0. 6LDOGHWHUPLQDUXQYDORUHVSHFt¿FRGHOSDUiPHWURc en una familia de soluciones de una ecuación diferencial de primer orden llegamos a una solución particular, hay una inclinación natural de la mayoría de los estudiantes (y de los profesores) a relajarse y estar satisfechos. Sin embargo, una solución de un problema con valores iniciales podría no VHU~QLFD9LPRVHQHOHMHPSORGHODVHFFLyQTXHHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV dy  xy1/2, dx y 2 1 _2 _2  1  x . Ahora ya podemos resolver esa ecuatiene al menos dos soluciones, y  0 y y  16 ción. Separando las variables e integrando y1兾2 dy  x dx obtenemos c=4 (0, 0) _1 y(0)  0  (π /2,0) c =2 _1 2y1/2 x 2 1 x2 2 c1฀ ฀ ฀ ฀ o ฀ ฀ ฀ ฀ y x2 4 2 c , c0 1  Cuando x  0, entonces y  0, así que necesariamente, c  0. Por tanto y  16 x . Se perdió la solución trivial y  0 al dividir entre y1兾2. Además, el problema con valores LQLFLDOHVHFXDFLyQ  WLHQHXQDFDQWLGDGLQ¿QLWDPHQWHPD\RUGHVROXFLRQHVSRUTXH para cualquier elección del parámetro a ODIXQFLyQGH¿QLGDHQSDUWHV FIGURA 2.2.3 Curvas de nivel y c  2 y c  冦0, (x  a ) , 1 16 2 2 2 xa xa VDWLVIDFHWDQWRDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOFRPRDODFRQGLFLyQLQLFLDO9HDOD¿JXUD SOLUCIONES DEFINIDAS POR INTEGRALES Si g es una función continua en un intervalo abierto I que contiene a a, entonces para toda x en I, 冕 y a=0 a>0 d x g(t) dt  g(x). dx a Usted podría recordar que el resultado anterior es una de las dos formas del teorema fundamental del cálculo. Es decir, 兰ax g(t) dt es una antiderivada de la función g. En ocasiones esta forma es conveniente en la solución de ED. Por ejemplo, si g es continua en un intervalo I que contiene a x0 y a x, entonces una solución del sencillo problema con valores iniciales dy兾dx  g(x), y(x0)  y0TXHHVWiGH¿QLGRHQI está dado por 冕 x y(x)  y0  (0, 0) FIGURA 2.2.4 Soluciones de la HFXDFLyQ  GH¿QLGDHQWUDPRV g(t) dt x0 x Usted debería comprobar que y(x GH¿QLGDGHHVWDIRUPDVDWLVIDFHODFRQGLFLyQLQLFLDO Puesto que una antiderivada de una función continua g no siempre puede expresarse en términos de las funciones elementales, esto podría ser lo mejor que podemos hacer para obtener una solución explícita de un PVI. El ejemplo siguiente ilustra esta idea. En la sección 2.6 analizaremos algunas otras maneras de proceder que están basadas en el concepto de un solucionador numérico. * 2.2 EJEMPLO 5 Resuelva dy 2  ex , dx VARIABLES SEPARABLES l 49 Un problema con valores iniciales y(3)  5. La función g(x)  ex2 es continua en ( , ), pero su antiderivada no es una función elemental. Utilizando a t como una variable muda de integración, podemos escribir SOLUCIÓN 冕 x 3 dy dt  dt ]x  y(t) 3 冕 冕 冕 x 2 et dt 3 x 2 et dt 3 x y(x)  y(3)  2 et dt 3 冕 x y(x)  y(3)  2 et dt. 3 Utilizando la condición inicial y(3)  5, obtenemos la solución 冕 x y(x)  5  2 et dt. 3 El procedimiento que se mostró en el ejemplo 5 también funciona bien en las ecuaciones separables dy兾dx  g(x) f (y) donde f (y) tiene una antiderivada elemental pero g(x) no WLHQHXQDDQWLGHULYDGDHOHPHQWDO9pDQVHORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV COMENTARIOS i) Como acabamos de ver en el ejemplo 5, algunas funciones simples no tienen una antiderivada que es una función elemental. Las integrales de estas clases de 2 funciones se llaman no elementales. Por ejemplo 兰3x et dt y 兰sen x2 dx son integrales no elementales. Retomaremos nuevamente este concepto en la sección 2.3. ii) En algunos de los ejemplos anteriores vimos que la constante de la familia uniparamétrica de soluciones de una ecuación diferencial de primer orden se puede UHGH¿QLU FXDQGR VHD FRQYHQLHQWH 7DPELpQ VH SXHGH SUHVHQWDU FRQ IDFLOLGDG HO caso de que dos personas obtengan distintas expresiones de las mismas respuestas resolviendo correctamente la misma ecuación. Por ejemplo, separando variables se puede demostrar que familias uniparamétricas de soluciones de la ED (l  y2) dx  (1 x2) dy  0 son arctan x  arctan y  c o xy  c. 1  xy Conforme avance en las siguientes secciones, considere que las familias de soluciones pueden ser equivalentes, en el sentido de que una se puede obtener de RWUD\DVHDSRUUHGH¿QLFLyQGHODFRQVWDQWHRXWLOL]DQGRiOJHEUDRWULJRQRPHWUtD 9HDORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV 50 CAPÍTULO 2 l ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EJERCICIOS 2.2 /DVUHVSXHVWDVDORVSUREOHPDVVHOHFFLRQDGRVFRQQ~PHURLPSDUFRPLHQ]DQHQODSiJLQD5(6 En los problemas 1 a 22 resuelva la ecuación diferencial dada por separación de variables. dy dy 1. 2. sen 5x (x 1)2 dx dx 3. dx  e 3xdy  0 5. x dy dx 4. dy  (y  1) 2dx  0 6. 4y dy 7. dx e 9. y ln x dx dy 3x dy dx 2xy 2 1 y 2 10. x 32. (2y  2) dy冫dx  3x2  x  2, 0 33. e ydx  exdy  0, dy 8. e x y dx 2y e 2y 4x dy dx y e 2x y 12. sen 3x dx  2y cos 33x dy  0 13. (e y  1) 2ey dx  (e x  1) 3ex dy  0 14. x(1  y 2) 1兾2 dx  y(1  x 2) 1兾2 dy 19. dy dx dQ dt dN 18. dt kS 16. 2 P P xy xy 3x 2x y 4y dy 3 20. dx 8 k(Q 70) a) (0, 1) t 2 N Nte xy xy 2y 3y x x 2 3 dy dy 21. 22. (ex  ex )  x 11  y2  y2 dx dx (QORVSUREOHPDVDHQFXHQWUHXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHO problema con valores iniciales dados. dx  4(x2  1), x(>4)  1 23. dt 24. dy y2  1 , y(2)  2  dx x2  1 25. x2 dy  y  xy, y(1)  1 dx dy  2y  1, y(0)  25 26. dt 13 27. 11  y dx  11  x dy  0, y(0)  2  2 28. (1  x ) dy  x(1 y ) dx  0, y(1)  0 (Q ORV SUREOHPDV  \  SURFHGD FRPR HQ HO HMHPSOR  \ determine una solución explícita del problema con valores iniciales dado. dy 2 29.  yex , y(4)  1 dx 2 30. dy  y 2 sen x 2, dx y(0)  0 y(0)  1 () 11. csc y dx  sec x dy  0 dS dr dP 17. dt 34. sin x dx  y dy  0, y(1)  2 35. a) Encuentre una solución del problema con valores iniciales que consiste en la ecuación diferencial del ejemplo 3 y de las condiciones iniciales y(0)  2, y(0)  2, y y 14  1. b) Encuentre la solución de la ecuación diferencial en el HMHPSORFXDQGRVHXWLOL]DOQc1 como la constante de integración del lado izquierdoHQODVROXFLyQ\OQc1 se sustituye por ln F Después resuelva los mismos problemas con valores iniciales que en el inciso a). dy  y2  y que pase por 36. Encuentre una solución de x dx los puntos indicados. 2 3 5 2 15. (QORVSUREOHPDVGHODOGHWHUPLQHXQDVROXFLyQH[SOtcita del problema con valores iniciales dados. Determine el LQWHUYDORH[DFWRGHGH¿QLFLyQSRUPpWRGRVDQDOtWLFRV8VHXQD FDOFXODGRUDJUD¿FDGRUDSDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQ 31. dy冫dx  (2x  1)冫2y, y(2)  1 2 y(2)  31 b) (0, 0) c) (12, 12) d) (2, 41) 37. Encuentre una solución singular del problema 21 y del problema 22. 38. Muestre que una solución implícita de 2x sen 2 y dx  (x2  10) cos y dy  0 está dada por ln(x2  10)  csc y  c. Determine las soluciones constantes, si se perdieron cuando se resolvió la ecuación diferencial. Con frecuencia, un cambio radical en la forma de la solución de una ecuación diferencial corresponde a un cambio muy pequeño en la condición inicial o en la ecuación misma. En ORV SUREOHPDV  D  GHWHUPLQH XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD GHO problema con valores iniciales dado. Utilice un programa de JUD¿FDFLyQSDUDGLEXMDUODJUi¿FDGHFDGDVROXFLyQ&RPSDUH cada curva solución en una vecindad de (0,1). 39. dy  (y  1)2, dx y(0)  1 dy  (y  1)2, y(0)  1.01 dx dy 41.  (y  1)2  0.01, y(0)  1 dx 40. dy  (y  1)2  0.01, y(0)  1 dx 43. Toda ecuación autónoma de primer orden dy兾dx  f (y) es separable. Encuentre las soluciones explícitas y1(x), y2(x), y3(x) y y(x) de la ecuación diferencial dy兾dx  y – y3, que satisfagan, respectivamente, las condiciones iniciales y1(0)  2, 42. 2.2 y2(0)  12 , y3(0)   12 y y(0)  2. Utilice un programa de JUD¿FDFLyQSDUDFDGDVROXFLyQ&RPSDUHHVWDVJUi¿FDVFRQ ODVERVTXHMDGDVHQHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV'pHO LQWHUYDORGHGH¿QLFLyQH[DFWRSDUDFDGDVROXFLyQ 44. a) La ecuación diferencial autónoma de primer orden dy兾dx 1兾(y 3) no tiene puntos críticos. No obstante, coloque 3 en la recta de fase y obtenga un diagrama fase de la ecuación. Calcule d2y兾dx2 para determinar dónde las curvas solución son cóncavas hacia arriba y cóncavas hacia abajo (vea los problemas 35 y 36 de los ejercicios 2.1). Utilice el diagrama fase y la concavidad para que, a mano, dibuje algunas curvas solución típicas. b) Encuentre las soluciones explícitas y1(x), y2(x), y3(x) y y(x) de la ecuación diferencial del inciso a) que satisfagan, respectivamente, las condiciones iniciales y1(0) y2(0)  2, y3(1)  2 y y(1) 7UDFH ODJUi¿FDGHFDGDVROXFLyQ\FRPSDUHFRQVXVGLEXMRV GHO LQFLVR D  ,QGLTXH HO LQWHUYDOR GH GH¿QLFLyQ exacto de cada solución. (QORVSUREOHPDV±XWLOLFHXQDWpFQLFDGHLQWHJUDFLyQRXQD sustitución para encontrar una solución explícita de la ecuación diferencial dada o del problema con valores iniciales. 45. dy dx 1 1 sen x 46. dy dx 47. ( 冪x dy x) dx 49. dy e 冪x , y(1) y dx 冪y y 4 48. dy dx 50. dy dx sen 冪x 冪y y2/3 x tan y y 1 x VARIABLES SEPARABLES 51 l 54. a) Resuelva los dos problemas con valores iniciales dy dx y, 1 y(0) y dy dx y , x ln x y y(e) 1. b) Demuestre que hay más de 1.65 millones de dígitos de la coordenada y del punto de intersección de las dos curvas solución en el inciso a). 55. Determine una función cuyo cuadrado más el cuadrado de su derivada sea igual a 1. 56. a) /DHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHOSUREOHPDHVHTXLYDlente a la forma normal 1  y2 dy  dx B1  x 2 en la región cuadrada del plano xy GH¿QLGD SRU 兩x兩  1, 兩y兩  1. Pero la cantidad dentro del radical es QRQHJDWLYDWDPELpQHQODVUHJLRQHVGH¿QLGDVSRU兩x兩 1, 兩y兩 1. Dibuje todas las regiones del plano xy para las que esta ecuación diferencial tiene soluciones reales. b) 5HVXHOYDOD('GHOLQFLVRD HQODVUHJLRQHVGH¿QLGDV por 兩x兩 1, 兩y兩 1. Después determine una solución implícita y una explícita de la ecuación diferencial sujeta a y(2)  2. Modelo matemático , y(0) 3 Problemas para analizar 51. a) (  [SOLTXHSRUTXpHOLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQGHODVROXción explícita y  2(x) del problema con valores iniciales en el ejemplo 2 es el intervalo abierto (5, 5). b) ¿Alguna solución de la ecuación diferencial puede cruzar el eje x? ¿Cree usted que x2  y2  1 es una solución implícita del problema con valores iniciales dy兾dx  x兾y, y(1)  0? 52. a) Si a 0 analice las diferencias, si existen, entre las soluciones de los problemas con valores iniciales que consisten en la ecuación diferencial dy兾dx  x兾y y de cada una de las condiciones iniciales y(a)  a, y(a)  a, y(a)  a y y(a)  a. b) ¿Tiene una solución el problema con valores iniciales dy兾dx  x兾y, y(0)  0? c) Resuelva dy兾dx  x兾y, y(1)  2 e indique el intervalo I GHGH¿QLFLyQH[DFWRGHHVWDVROXFLyQ 53. (QORVSUREOHPDV\YLPRVTXHWRGDHFXDFLyQGLferencial autónoma de primer orden dy兾dx  f(y) es separable. ¿Ayuda este hecho en la solución del problema dy con valores iniciales  11  y2 sen2 y, y(0)  21? dx Analice. A mano, dibuje una posible curva solución del problema. 57. Puente suspendido En la ecuación (16) de la sección 1.3 vimos que un modelo matemático para la forma de un FDEOHÀH[LEOHFROJDGRGHGRVSRVWHVHV dy W  , dx T1 (10) donde W denota la porción de la carga vertical total entre los puntos P1 y P2TXHVHPXHVWUDQHQOD¿JXUD/D ED (10) es separable bajo las siguientes condiciones que describen un puente suspendido. y cable h (pandeo) (0, a) L/2 x L/2 L longitud superficie de la carretera (carga) FIGURA 2.2.5 )RUPDGHXQFDEOHGHOSUREOHPD 52 l CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Supongamos que los ejes x y y están como se muesWUDHQOD¿JXUDHVGHFLUHOHMHx va a lo largo de la VXSHU¿FLH GH OD FDUUHWHUD \ HO HMH y pasa por (0, a), que es el punto más bajo de un cable en la región que abarca el puente, que coincide con el intervalo [L兾2, L兾2]. En el caso de un puente suspendido, la suposición usual es que la carga vertical en (10) es sólo una distribución uniforme de ODVXSHU¿FLHGHODFDUUHWHUDDORODUJRGHOHMHKRUL]RQWDO(Q otras palabras, se supone que el peso de todos los cables es LQVLJQL¿FDQWHHQFRPSDUDFLyQFRQHOSHVRGHODVXSHU¿FLH de la carretera y que el peso por unidad de longitud de la suSHU¿FLHGHODFDUUHWHUD GLJDPRVOLEUDVSRUSLHKRUL]RQWDO  es una constante . Utilice esta información para establecer y resolver el problema indicado con valores iniciales a partir del cual se determine la forma (una curva con ecuación y  (x)) de cada uno de los dos cables en un puente suspendido. Exprese su solución del PVI en términos del pandeo h y de la longitud L9HDOD¿JXUD Tarea del laboratorio de computación 58. a) Utilice un SAC y el concepto de curvas de nivel para GLEXMDUODVJUi¿FDVUHSUHVHQWDWLYDVGHORVPLHPEURV de la familia de soluciones de la ecuación diferencial dy 8x 5 . dx 3y 2 1 Experimente con diferentes números de las curvas de nivel así como con diferentes regiones rectangulares GH¿QLGDVSRU a  x  b, c  y  d. b) (  Q GLIHUHQWHV HMHV FRRUGHQDGRV GLEXMH ODV JUi¿FDV de las soluciones particulares correspondientes a las condiciones iniciales: y(0)  1; y(0)  2; y(1)  y(1)  3. c) Considere su respuesta del inciso b) como una sola función8VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQRXQ6$& SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHHVWDIXQFLyQ\GHVSXpVXWLOLFH ODJUi¿FDSDUDHVWLPDUVXGRPLQLR d) Con la ayuda de una aplicación para determinar raíces de un SAC, determine la longitud aproximada del LQWHUYDORGHGH¿QLFLyQI más grande posible de la solución y  (x) del inciso b). Utilice un programa de JUD¿FDFLyQRXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODFXUYD solución para el PVI en este intervalo. 60. a) Utilice un SAC y el concepto de curvas de nivel para GLEXMDUODVJUi¿FDVUHSUHVHQWDWLYDVGHORVPLHPEURV de la familia de soluciones de la ecuación diferencial dy x(1  x)  . Experimente con diferentes númedx y(2  y) ros de curvas de nivel así como en diferentes regiones rectangulares del plano xy hasta que su resultado se SDUH]FDDOD¿JXUD b) (Q GLIHUHQWHV HMHV FRRUGHQDGRV GLEXMH OD JUi¿FD GH la solución implícita correspondiente a la condición inicial y(0)  23. Utilice un lápiz de color para indicar HOVHJPHQWRGHODJUi¿FDTXHFRUUHVSRQGHDODFXUYD solución de una solución que satisface la condición inicial. Con ayuda de un programa para determinar raíces de un SAC, determine el intervalo IGHGH¿QLFLyQ aproximado más largo de la solución [Sugerencia: Primero encuentre los puntos en la curva del inciso a) donde la recta tangente es vertical.] c) Repita el inciso b) para la condición inicial y(0)  2. y x 59. a) Determine una solución implícita del PVI (2y  2) dy  (4x3  6x) dx  0, y(0)  3. b) Utilice el inciso a) para encontrar una solución explícita y  (x) del PVI. 2.3 FIGURA 2.2.6 Curvas de nivel del problema 60. ECUACIONES LINEALES REPASO DE MATERIAL l 5HSDVHODGH¿QLFLyQGHODV('HQODVHFXDFLRQHV  \  GHODVHFFLyQ INTRODUCCIÓN Continuamos con nuestra búsqueda de las soluciones de las ED de primer orden examinando ecuaciones lineales. Las ecuaciones diferenciales lineales son una familia especialmente “amigable” de ecuaciones diferenciales en las que, dada una ecuación lineal, ya sea de primer orden o de un miembro de orden superior, siempre hay una buena posibilidad de que logremos encontrar alguna clase de solución de la ecuación que podamos examinar. 2.3 ECUACIONES LINEALES 53 l UNA DEFINICIÓN (QODHFXDFLyQ  GHODVHFFLyQVHSUHVHQWDODIRUPDGH una ED lineal de primer orden. Aquí, por conveniencia, se reproduce esta forma en la ecuación (6) de la sección 1.1, para el caso cuando n  1. DEFINICIÓN 2.3.1 Ecuación lineal Una ecuación diferencial de primer orden de la forma a1(x) dy  a0(x)y  g(x) dx (1) se dice que es una ecuación lineal en la variable dependiente y. FORMA ESTÁNDAR Al dividir ambos lados de la ecuación (1) entre el primer coe¿FLHQWHa1(x), se obtiene una forma más útil, la forma estándar de una ecuación lineal: dy  P(x)y  f (x). (2) dx Buscamos una solución de la ecuación (2) en un intervalo I, en el cual las dos funciones P y f sean continuas. Antes de examinar un procedimiento general para la solución de las ecuaciones de la forma (2) observamos que en algunos casos (2) se puede resolver por separación de variables. Por ejemplo, se deberá comprobar que las ecuaciones Hacemos coincidir cada ecuación con (2). En la primera ecuación P(x) = 2x, f(x) = 0 y en la segunda P(x) = –1, f(x) = 5. dy dx 2xy dy dx y 0 y 5 son separables, pero que la ecuación lineal dy dx y x no es separable. MÉTODO DE SOLUCIÓN El método para resolver (2) depende del hecho notable de que el lado izquierdo de la ecuación se puede reformular en forma de la derivada exacta de un producto multiplicando los dos miembros de (2) por una función especial ȝ(x). Es relativamente fácil encontrar la función ȝ(x) porque queremos producto d [ (x)y] dx regla del producto dy dx d y dx el miembro izquierdo de (2) se multiplica por ȝ(x) dy dx Py estos deben ser iguales La igualdad es verdadera siempre que d dx P. La última ecuación se puede resolver por separación de variables. Integrando d Vea el problema 50 en los ejercicios 2.3 Pdx y resolviendo ln (x) P(x)dx c1 se obtiene ȝ(x)  c2e 兰P(x)dx$XQTXHH[LVWHXQDLQ¿QLGDGGHRSFLRQHVGHȝ(x) (todos los múltiplos constantes de e 兰P(x)dx), todas producen el mismo resultado deseado. Por lo WDQWRQRVSRGHPRVVLPSOL¿FDUODYLGD\HOHJLU c2  1La función (x) e P(x)dx (3) se llama un factor integrante para la ecuación (2). Aquí está lo que tenemos hasta ahora: Multiplicamos ambos lados de (2) por (3) y, por construcción, el lado izquierdo es la derivada de un producto del factor integrante y y: 54 l CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN e P(x)dx dy dx P(x)e d e dx [ P(x)dx P(x)dx y e P(x)dx f(x) ] e P(x)dx f(x). y Por último, descubrimos por qué (3) se denomina factor integrante. Podemos integrar ambos lados de la última ecuación, e P(x)dx y e P(x)dx f(x) c y resolvemos para y. El resultado es una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación (2): e y P(x)dx e P(x)dx f(x)dx ce .   P(x)dx Hacemos énfasis en que no debe memorizarODIyUPXOD  VLQRVHJXLUHOVLJXLente procedimiento cada vez. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER ORDEN i) Recuerde poner la ecuación lineal en la forma estándar (2). ii  ,GHQWL¿TXHGHODLGHQWLGDGGHODIRUPDHVWiQGDUP(x) y después determine el factor integrante e 兰P(x)dx. No se necesita utilizar una constante para HYDOXDUODLQWHJUDOLQGH¿QLGD兰P(x)dx iii) Multiplique la forma estándar de la ecuación por el factor integrante. El lado izquierdo de la ecuación resultante es automáticamente la derivada del factor integrante y y: d 兰P(x)dx e y  e 兰P(x)dx f (x). dx iv) Integre ambos lados de esta última ecuación y resuelva para y. [ EJEMPLO 1 Resuelva ] Solución de una ED lineal homogénea dy  3y  0. dx SOLUCIÓN Esta ecuación lineal se puede resolver por separación de variables. En otro caso, puesto que la ecuación ya está en la forma estándar (2), vemos que P(x)  3 y por tanto el factor integrante es e 兰(3)dx  e3x. Multiplicando la ecuación por este factor y reconocemos que e 3x dy dx 3e 3x y Integrando la última ecuación, e 3x 0 es la misma que d [e dx 3x y] dx d [e dx 3x y] 0. 0 dx Entonces e3xy  c o y  ce 3x,   x  . EJEMPLO 2 Resuelva Solución de una ED lineal no homogénea dy  3y  6. dx SOLUCIÓN Esta ecuación lineal, como la del ejemplo 1, ya está en la forma estándar P(x)  3 y por tanto el factor integrante es de nuevo e3x Ahora al multiplicar la ecuación dada por este factor se obtiene 2.3 y dy d 3e 3x y 6e 3x,฀ ฀ ฀ ฀ que es la misma que ฀ ฀ ฀ ฀ [e 3x y] dx dx Integrando la última ecuación, d e 3x [e 3x y] dx 6 e 3x dx    nos da    e 3x y 6 dx 3 e 1 x _1 y =_2 _2 _3 ECUACIONES LINEALES 3x 55 l 6e 3x . c o y  2  ce 3x,   x  . _1 1 2 3 4 FIGURA 2.3.1 Algunas soluciones de y  3y  6 de la ED en el ejemplo 2. Cuando a1, a0 y g son constantes en la ecuación (1), la ecuación diferencial es autónoma. En el ejemplo 2 podemos comprobar de la forma normal dy兾dx  3(y  2) que 2 es un punto crítico y que es inestable (un repulsor). De este modo, una curva soluFLyQFRQXQSXQWRLQLFLDO\DVHDDUULEDRGHEDMRGHODJUi¿FDGHODVROXFLyQGHHTXLOLEULR y  2 se aleja de esta recta horizontal conforme aumenta x/D¿JXUDREWHQLGD FRQODD\XGDGHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQPXHVWUDODJUi¿FDGHy  2 junto con otras curvas solución. SOLUCIÓN GENERAL Suponga que las funciones P y f en la ecuación (2) son continuas en un intervalo I(QORVSDVRVTXHFRQGXFHQDODHFXDFLyQ  PRVWUDPRV que si la ecuación (2) tiene una solución en I, entonces debe estar en la forma dada en ODHFXDFLyQ  5HFtSURFDPHQWHHVXQHMHUFLFLRGLUHFWRGHGHULYDFLyQFRPSUREDUTXH FXDOTXLHUIXQFLyQGHODIRUPDGDGDHQ  HVXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO   en I(QRWUDVSDODEUDV  HVXQDIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQ (2) y toda solución de la ecuación (2)GH¿QLGDHQIHVXQPLHPEURGHHVWDIDPLOLDPor WDQWR OODPDPRV D OD HFXDFLyQ   OD solución general de la ecuación diferencial en el intervalo I. (Vea los Comentarios DO¿QDOGHODVHFFLyQ $OHVFULELUODHFXDFLyQ (2) en la forma normal y   F(x, y SRGHPRVLGHQWL¿FDUF(x, y)  P(x)y  f (x) y F兾y  P(x). De la continuidad de P y f en el intervalo I vemos que F y F兾y son también continuas en I&RQHOWHRUHPDFRPRQXHVWUDMXVWL¿FDFLyQFRQFOXLPRV que existe una y sólo una solución del problema con valores iniciales dy (5)  P(x)y  f (x), y(x0)  y0 dx GH¿QLGDHQalgún intervalo I0 que contiene a x0. Pero cuando x0 está en I, encontrar una solución de (5) es exactamente lo mismo que encontrar un valor adecuado de c en la HFXDFLyQ  HVGHFLUDWRGDx0 en I le corresponde un distinto c. En otras palabras, el intervalo de existencia y unicidad I0 del teorema 1.2.1 para el problema con valores iniciales (5) es el intervalo completo I. EJEMPLO 3 Resuelva x SOLUCIÓN Solución general dy  4y  x 6e x. dx Dividiendo entre x, obtenemos la forma estándar dy 4 (6)  y  x5e x. dx x (QHVWDIRUPDLGHQWL¿FDPRVDP(x)  兾x y f (x) x5ex y además vemos que P y f son continuas en (0, ). Por tanto el factor integrante es podemos utilizar ln x en lugar de ln 冟x冟 ya que x 0 e4兰dx/x  e4ln x  eln x4  x4. Aquí hemos utilizado la identidad básica blogbN  N, N ecuación (6) por x y reescribimos x 4 dy dx 4x 5y xex฀ ฀ ฀ como ฀ ฀฀฀฀ 0. Ahora multiplicamos la d [x 4y] dx xex. 56 l CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 'HODLQWHJUDFLyQSRUSDUWHVVHWLHQHTXHODVROXFLyQJHQHUDOGH¿QLGDHQHOLQWHUYDOR (0, ) es xy  xe x  e x  c o y  x 5e x  x e x  cx . En caso de que se pregunte por qué es importante el intervalo (0, ) en el ejemplo 3, lea este párrafo y el párrafo que sigue DOHMHPSOR ([FHSWRHQHOFDVRHQHOTXHHOFRH¿FLHQWHSULQFLSDOHVODUHIRUPXODFLyQGHODHFXDción (1) en la forma estándar (2) requiere que se divida entre a1(x). Los valores de x para los que a1(x)  0 se llaman puntos singulares de la ecuación. Los puntos singulares son potencialmente problemáticos. En concreto, en la ecuación (2), si P(x) (que se forma al dividir a0(x) entre a1(x)) es discontinua en un punto, la discontinuidad puede conducir a soluciones de la ecuación diferencial. EJEMPLO 4 Solución general Determine la solución general de (x 2  9) dy  xy  0. dx SOLUCIÓN Escribimos la ecuación diferencial en la forma estándar x dy  y  0 dx x 2  9  HLGHQWL¿FDQGRP(x)  x兾(x2± $XQTXHP es continua en ( , 3), (3, 3) y (3, ), resolveremos la ecuación en el primer y tercer intervalos. En estos intervalos el factor integrante es 1 1 2 2 2 e兰x d x/(x 9)  e2 兰2x d x/(x 9)  e2 ln兩x 9兩  1x2  9 . 'HVSXpVPXOWLSOLFDQGRODIRUPDHVWiQGDU  SRUHVWHIDFWRUREWHQHPRV d 1x2  9 y  0. dx 冤 冥 2 Integrando ambos lados de la última ecuación se obtiene 1x  9 y  c. De este modo, ya sea para x 3 o x  3 la solución general de la ecuación es c y . 2 1x  9 2EVHUYHHQHOHMHPSORTXHx  3 y x  3 son puntos singulares de la ecuación y que toda función en la solución general y  c兾1x 2  9 es discontinua en estos puntos. Por otra parte, x  0 es un punto singular de la ecuación diferencial en el ejemplo 3, pero en la solución general y  x5ex – xex  cx es notable que cada función de esta familia uniparamétrica es continua en x \HVWiGH¿QLGDHQHOLQWHUYDOR  , ) y no sólo en (0, ), como se indica en la solución. Sin embargo, la familia y  x5ex – xex  cx GH¿QLGDHQ  , ) no se puede considerar la solución general de la ED, ya que el punto singular x D~QFDXVDXQSUREOHPD9HDORVSUREOHPDV\HQORVHMHUFLFLRV EJEMPLO 5 Resuelva Un problema con valores iniciales dy  y  x, y(0)  4. dx SOLUCIÓN La ecuación está en forma estándar y P(x)  1 y f(x)  x son continuas en ( , ). El factor integrante es e 兰dx  e x, entonces al integrar d x [e y]  xex dx se tiene que exy  xex – ex  c. Al despejar y de esta última ecuación se obtiene la solución general y  x  1  ce x. Pero de la condición general sabemos que y  cuando x  0. El sustituir estos valores en la solución general implica que c  5. Por tanto la solución del problema es y  x  1  5ex,   x  .   2.3 y 4 c>0 2 c5 x _2 c<0 _4 c=0 _4 _2 2 4 FIGURA 2.3.2 Curvas solución de la ED en el ejemplo 5 l 57 /D¿JXUDTXHVHREWXYRFRQODD\XGDGHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQPXHVWUDOD JUi¿FDGHODVROXFLyQ  HQD]XORVFXURMXQWRFRQODVJUi¿FDVGHODVRWUDVVROXFLRQHV de la familia uniparamétrica y  x – 1  cex. Es interesante observar que conforme x DXPHQWDODVJUi¿FDVGHtodosORVPLHPEURVGHODIDPLOLDHVWiQFHUFDGHODJUi¿FDGHOD solución y  x – 1. Esta última solución corresponde a c  0 en la familia y se muestra HQYHUGHRVFXURHQOD¿JXUD(VWHFRPSRUWDPLHQWRDVLQWyWLFRGHVROXFLRQHVHV debido al hecho de que la contribución de cex, c ⬆ 0 será despreciable para valores crecientes de x. Decimos que cex es un término transitorio, ya que e–x → 0 conforme x → . Mientras que este comportamiento no es característico de todas las soluciones generales de las ecuaciones lineales (vea el ejemplo 2), el concepto de un transitorio es frecuentemente importante en problemas de aplicación. COEFICIENTES DISCONTINUOS (Q DSOLFDFLRQHV ORV FRH¿FLHQWHV P(x) y f(x) en la ecuación (2) pueden ser continuos en partes. En el siguiente ejemplo f(x) es continua por tramos en [0, FRQXQDVRODGLVFRQWLQXLGDGHQSDUWLFXODUXQVDOWR ¿QLWR GLVFRQWLnuo en x  1. Resolvemos el problema en dos partes correspondientes a los dos intervalos en los que fHVWiGH¿QLGD(VHQWRQFHVSRVLEOHMXQWDUODVSDUWHVGHODVGRVVROXFLRQHV en x  1 así que y(x) es continua en [0, ). EJEMPLO 6 y ECUACIONES LINEALES Resuelva dy dx y Un problema con valores iniciales ฀ ฀ f (x), y(0) ฀ 0 donde f (x) 1, 0 0, ฀฀ x x 1, 1. (Q OD ¿JXUD  VH PXHVWUD OD JUi¿FD GH OD IXQFLyQ GLVFRQWLQXD f. Resolvemos la ED para y(x) primero en el intervalo [0, 1] y después en el intervalo (1, ). Para 0  x  1 se tiene que SOLUCIÓN x FIGURA 2.3.3 f(x) discontinua en el ejemplo 6. ฀ ฀ ฀ d x dy [e y] ex. y 1 o, el equivalente, ฀ ฀ dx dx Integrando esta última ecuación y despejando y se obtiene y  1  c1ex. Puesto que y(0)  0, debemos tener que c1  1 y por tanto y  1  ex, 0  x  1. Entonces para x 1 la ecuación dy y0 dx conduce a y  c2ex. Por tanto podemos escribir y 冦 1  ex, c2ex, 0  x  1, x 1. 5HFXUULHQGRDODGH¿QLFLyQGHFRQWLQXLGDGHQXQSXQWRHVSRVLEOHGHWHUPLQDUc2, así que la última función es continua en x  1. El requisito de límxo1 y(x)  y(1) implica que c2e1  1 – e1 o c2  e&RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUDODIXQFLyQ 冦1(ee1)e, x y y x , 0  x  1,  x 1  es continua en (0, ). 6HUiLPSRUWDQWHWRPDUHQFXHQWDXQSRFRPiVODHFXDFLyQ  \OD¿JXUDSRU IDYRUOHD\FRQWHVWHHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV 1 x FIGURA 2.3.4 *Ui¿FDGHODIXQFLyQ  HQHOHMHPSOR FUNCIONES DEFINIDAS POR INTEGRALES $O¿QDOGHODVHFFLyQDQDOLzamos el hecho de que algunas funciones continuas simples no tienen antiderivadas que sean funciones elementales y que las integrales de esa clase de funciones se 2 llaman no elementales. Por ejemplo, usted puede haber visto en cálculo que 兰ex dx y 兰sen x 2 dx no son integrales elementales. En matemáticas aplicadas algunas funciones 58 l CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN importantes están GH¿QLGDV en términos de las integrales no elementales. Dos de esas funciones especiales son la función error y la función error complementario: erf(x)  1 2 冕 x 2 et dt y erfc(x)  2 1 冕 (10) 2 et dt. Del conocido resultado 兰0 et dt  1兾2* podemos escribir (2兾1 ) 兰0 et dt  1. Entonces de la forma 兰0  兰0x  兰x se ve en la ecuación (10) que la función error complementario, erfc(x), se relaciona con erf(x) por erf(x)  erfc(x)  1. Debido a su importancia en probabilidad, en estadística y en ecuaciones diferenciales parciales aplicadas, se cuenta con extensas tablas de la función de error. Observe que erf(0)  0 es un valor obvio de la función. Los valores de erf(x) se pueden determinar con un sistema algebraico de computación (SAC). 0 x 2 EJEMPLO 7 2 La función de error Resuelva el problema con valores iniciales y x dy  2xy  2, dx y(0)  1. SOLUCIÓN Puesto que la ecuación ya se encuentra en la forma normal, el factor 2 integrante es ex , y así de x d 2 2 2 2 2 ฀ ฀ ฀ y 2ex ฀ e t dt cex . [e x y] 2e x ฀ ฀ ฀ obtenemos (11) dx 0 Aplicando y(0)  1 en la última expresión obtenemos c  1. Por lo tanto, la solución del problema es 冕 x FIGURA 2.3.5 Curvas solución de la y  2ex ('GHOHMHPSOR 2 et dt  ex o y  ex [1  1 erf(x)]. 2 2 2 0 (QOD¿JXUDVHPXHVWUDHQD]XORVFXURODJUi¿FDGHHVWDVROXFLyQHQHOLQWHUYDOR ( , MXQWRFRQRWURVPLHPEURVGHODIDPLOLDGH¿QLGDHQODHFXDFLyQ  REWHQLGD con la ayuda de un sistema algebraico de computación. USO DE COMPUTADORAS Algunos sistemas algebraicos de computación como Mathematica y Maple permiten obtener soluciones implícitas o explícitas para algunos tipos de ecuaciones diferenciales, usando la instrucción dsolve.† COMENTARIOS i) Una ED lineal de primer orden a1(x) dy冫dx  a0(x)y  0 se dice que es homogénea, mientras que una ecuación a1(x) dy冫dx  a0(x)y  g(x) con g(x) no exactamente igual a cero, se dice que es no homogénea. Por ejemplo, las ecuaciones lineales xy’  y  0 y xy’  y  ex son, a su vez, homogéneas y no homogéneas. Como se puede ver en este ejemplo, la solución trivial y  0 es siempre una solución de la ED homogénea. Recuerde esta terminología \DTXHVHUiLPSRUWDQWHFXDQGRHVWXGLHPRVHQHOFDStWXORODVHFXDFLRQHVGLIHrenciales ordinarias lineales de orden superior. Este resultado normalmente se presenta en el tercer semestre de cálculo. Ciertas instrucciones se escriben igual, pero los comandos de Mathematica comienzan con una letra mayúscula (DSolve) mientras que en Maple la misma instrucción comienza con una letra minúscula (dsolve). Cuando analizamos estas sintaxis comunes escribimos, como en el ejemplo, dsolve. * † 2.3 ECUACIONES LINEALES l 59 ii) A veces, una ecuación diferencial de primer orden es no lineal en una variable pero es lineal en la otra variable. Por ejemplo, la ecuación diferencial dy 1  dx x  y 2 es no lineal en la variable y. Pero su recíproca dx  x  y2 dy dx  x  y2 dy o se reconoce como lineal en la variable x. Usted debería comprobar que el factor integrante es e 兰(1)dy  ey e integrando por partes se obtiene la solución explícita x  y2  2y  2  ce y para la segunda ecuación. Esta expresión es, entonces, una solución implícita de la primera ecuación. iii) Los matemáticos han adoptado como propias algunas palabras de ingeniería que consideran adecuadas para ciertas descripciones. La palabra transitorio, que ya hemos usado, es uno de estos términos. En futuros análisis a veces se presentarán las palabras entrada y salida. La función f en la ecuación (2) es la función de entrada o de conducción; una solución y(x) de la ecuación diferencial para una entrada dada se llama salida o respuesta. iv) El término funciones especiales mencionado en relación con la función de error también se aplica a la función seno integral y a la integral seno de Fresnel, introducidas en los problemas 55 y 56 de los ejercicios 2.3. “Funciones HVSHFLDOHV´HVXQDUDPDGHODVPDWHPiWLFDVUHDOPHQWHELHQGH¿QLGD(QODVHFFLyQVHHVWXGLDQIXQFLRQHVPiVHVSHFLDOHV EJERCICIOS 2.3 Las respuestas a los problemas seleccionados FRQQ~PHURLPSDUFRPLHQ]DQHQODSiJLQD5(6 (QORVSUREOHPDVDGHWHUPLQHODVROXFLyQJHQHUDOGHOD ecuación diferencial dada. Indique el intervalo I más largo en HOTXHHVWiGH¿QLGDODVROXFLyQJHQHUDO'HWHUPLQHVLKD\DOgunos términos transitorios en la solución general. 1. dy dx 5y 3. dy dx y 2. e3x dy dx 4. 3 2y dy dx 12y 4 6. y  2xy  x 3 7. x 2y  xy  1 8. y  2y  x 2  5 dy dx y 11. x dy dx 4y x 2 senx x3 x 10. x 12. (1 13. x 2y  x(x  2)y  e x 14. xy  (1  x)y  ex sen 2x 15. y dx  x  y 6) dy  0 16. y dx  ( ye y  2x) dy dy dx x) dy  (x  2)y  2xex dx dy  5  8y  4xy 20. (x  2)2 dx dr  r sec   cos  21. d 19. (x  1) 0 5. y  3x 2y  x 2 9. x dy  (sen x)y  1 dx dy 18. cos2x sen x  (cos3x)y  1 dx 17. cos x 2y 3 dy dx xy dP  2tP  P  4t  2 dt dy  (3x  1)y  e3x 23. x dx 22. x x2 24. (x 2  1) dy  2y  (x  1)2 dx En los problemas 25 a 36 resuelva el problema con valores iniciales. Indique el intervalo I PiVODUJRHQHOTXHHVWiGH¿QLGD la solución. 25. dy dx x 5y, y(0) 3 60 26. l dy dx CAPÍTULO 2 2x 3y, ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 27. xy  y  ex, 42. Considere el problema con valores iniciales y   exy  f (x), y(0)  1. Exprese la solución del PVI para x 0 como una integral no elemental cuando f (x)  1. ¿Cuál es la solución cuando f (x)  0? ¿Y cuándo f (x)  ex? 1 3 y(0) y(1)  2 28. y dx  x  2y2, dy 29. L di  Ri  E, i(0)  i0, dt y(1)  5 43. Exprese la solución del problema con valores iniciales y  – 2xy  1, y(1)  1, en términos de erf(x). Problemas para analizar L, R, E e i 0 constantes 44. Lea nuevamente el análisis posterior al ejemplo 2. Construya una ecuación diferencial lineal de primer orden para la que todas las soluciones no constantes tiendan a la asíntota horizontal y FRQIRUPHx → . 45. Lea nuevamente el ejemplo 3 y después analice, usando el teorema 1.2.1, la existencia y unicidad de una solución del problema con valores iniciales que consiste de xy ±y  x6ex y de la condición inicial dada. a) y(0)  0 b) y(0)  y 0, y 0 0 c) y(x 0)  y 0, x 0 0, y 0 0 dT  k(T  Tm ); T(0)  T0, 30. dt k, T m y T 0 constantes 31. x dy dx 32. y 4x y 1, 2 x3ex , 4xy 8 y(1) 1 y(0) dy 33. (x  1)  y  ln x, y(1)  10 dx 34. x(x 35. y 1) dy dx 1, xy 2 sen x, y( 兾2) (sen x)y 36. y  (tan x)y  cos x, 46. /HDQXHYDPHQWHHOHMHPSOR\GHVSXpVGHWHUPLQHODVROXFLyQ general de la ecuación diferencial en el intervalo (3, 3). 1 y(e) 1 y(0)  1 2 (QORVSUREOHPDVDSURFHGDFRPRHQHOHMHPSORSDUDUHVROver el problema con valores iniciales dados. Utilice un programa GHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODIXQFLyQFRQWLQXDy(x). 37. dy dx 2y f (x), y(0) 1, 0 0, f (x) 38. dy dx f (x), y(0) y dy dx 2xy 40. (1 x 2) ฀ f (x), y(0) dy dx f (x) 0 x, 0, 2xy 2, donde 0 ฀ 1 1 x x f (x), y(0) x, 1 1 x x 1, f (x) 3 3 x x 1, donde 1, f (x) 39. 0, donde ฀ x, 0 x x 0, donde 1 1 41. Proceda en una forma similar al ejemplo 6 para resolver el problema con valores iniciales y  P(x)y x, y(0)  3, donde 冦 0  x  1, P(x)  2, 2>x, x 1. Utilice un SURJUDPDGHJUD¿FDFLyQ para para trazar la grá¿FDGH la función continua y(x). 47. Lea nuevamente el análisis posterior al ejemplo 5. Construya una ecuación diferencial lineal de primer orden para la que todas las soluciones son asintóticas a la recta y  3x  5 conforme x → . 48. Lea nuevamente el ejemplo 6 y después analice por qué HVWpFQLFDPHQWHLQFRUUHFWRGHFLUTXHODIXQFLyQHQ  HV una “solución” del PVI en el intervalo [0, ). 49. a) Construya una ecuación diferencial lineal de primer orden de la forma xy + 3y = g(x) para la cual y = 3 + c/x3 sea su solución general. Dé un intervalo GHGH¿QLFLyQI de esta solución. b) Dé una condición inicial y(x0)  y0 para la ED que se determinó en el inciso a) de modo que la solución del PVI sea y  x3  1兾x3. Repita si la solución es y  x3  2兾x3'pXQLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQI de cada XQDGHHVWDVVROXFLRQHV7UDFHODJUi¿FDGHODVFXUvas solución. ¿Hay un problema con valores iniciales FX\DVROXFLyQHVWpGH¿QLGDHQ  , )? c) ¿Es único cada PVI encontrado en el inciso b)? Es decir, puede haber más de un solo PVI para el cual, digamos, y  x3  1兾x3, x en algún intervalo I, sea la solución? 50. Al determinar el factor integrante (3), no usamos una constante de integración en la evaluación de 兰P(x) dx. Explique por qué usar 兰P(x) dx  c1 no tiene efecto en la solución de (2). 51. Suponga que P(x) es continua en algún intervalo I y a es un número en I¢4XpVHSXHGHGHFLUDFHUFDGHODVROXFLyQGHO problema con valores iniciales y   P(x)y  0, y(a)  0? Modelos matemáticos 52. Serie de decaimiento radiactivo Los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales se encuentran en el estudio del decaimiento de un tipo especial de series de decaimiento radiactivo de elementos: 2.4 53. Marcapasos de corazón Un marcapasos de corazón consiste en un interruptor, una batería de voltaje constante E0, un capacitor con capacitancia constante C y un corazón como un resistor con resistencia constante R. Cuando se cierra el interruptor, el capacitor se carga; cuando el interruptor se abre, el capacitor se descarga, enviando estímulos eléctricos al corazón. Todo el tiempo el corazón se está estimulando, el voltaje E a través del corazón satisface la ecuación diferencial lineal dE 1  E. dt RC Resuelva la ED sujeta a E   E0. Tarea para el laboratorio de computación 54. a) Exprese la solución del problema con valores inicia1 2, en términos de les y  2xy  1, y(0) erfc(x). 2.4 l 61 b) Utilice las tablas de un SAC para determinar el valor de y  8VHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODFXUYD solución para el PVI en ( , ). dx  1x dt dy  1x  2 y, dt donde 1 y 2 son constantes. Analice cómo resolver este sistema sujeto a x(0)  x0, y(0)  y0. Desarrolle sus ideas. ECUACIONES EXACTAS 55. a) La función seno integral HVWi GH¿QLGD SRU x GRQGHHOLQWHJUDQGRHVWiGH¿Si(x) 0 (sent>t) dt nido igual a 1 en t  0. Exprese la solución y(x) del problema con valores iniciales x3y   2x2y  10 sen x, y(1)  0 en términos de Si(x). b) 8VHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODFXUYDVROXción para el PVI para x 0. c) Use un SAC para encontrar el valor del máximo absoluto de la solución y(x) para x 0. 56. a) La integral seno de Fresnel HVWi GH¿QLGD SRU x 2 S(x) . Exprese la solución y(x) del 0 sen(pt >2) dt. problema con valores iniciales y  – (sen x2)y  0, y(0)  5, en términos de S(x). b) 8VHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODFXUYDVROXción para el PVI en ( , ). c) Se sabe que S(x) → 12 conforme x → y S(x) →  12 conforme x →  . ¿A dónde tiende la solución y(x) cuando x → ? ¿Y cuando x →  ? d) Use un SAC para encontrar los valores del máximo absoluto y del mínimo absoluto de la solución y(x). ECUACIONES EXACTAS REPASO DE MATERIAL l Cálculo de varias variables l Derivación parcial e integración parcial l Diferencial de una función de dos variables INTRODUCCIÓN Aunque la sencilla ecuación diferencial de primer orden y dx  x dy  0 es separable, podemos resolver la ecuación en una forma alterna al reconocer que la expresión del lado izquierdo de la ecuación es la diferencial de la función f (x, y)  xy, es decir d(xy)  y dx  [G\ En esta sección analizamos ecuaciones de primer orden en la forma diferencial M(x, y) dx  N(x, y) dy  0. Aplicando una prueba simple a M y a N, podemos determinar si M(x, y) dx  N(x, y) dy es una diferencial de una función f (x, y). Si la respuesta es sí, construimos f integrando parcialmente. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES Si z  f (x, y) es una función de dos variables con primeras derivadas parciales continuas en una región R del plano xy, entonces su diferencial es dz  f f dx  dy. x y (1) En el caso especial cuando f (x, y)  c, donde c es una constante, entonces la ecuación (1) implica que f f (2) dx  dy  0. x y 62 l CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN En otras palabras, dada una familia de curvas f (x, y)  c, podemos generar una ecuación diferencial de primer orden si calculamos la diferencial de ambos lados de la igualdad. Por ejemplo, si x2  5xy  y3  c, entonces la ecuación (2) da la ED de primer orden (2x  5y) dx  (5x  3y 2 ) dy  0. (3) UNA DEFINICIÓN Por supuesto que no todas las ED de primer orden escritas en la forma M(x, y) dx  N(x, y) dy  0 corresponden a una diferencial de f (x, y)  c. Por lo tanto, para nuestros objetivos es muy importante regresar al problema anterior; en particular, si nos dan una ED de primer orden tal como la ecuación (3), ¿hay alguna forma de reconocer que la expresión diferencial (2x  5y) dx  (5x  3y 2) dy es la diferencial d(x 2  5xy  y 3)? Si la hay, entonces una solución implícita de la ecuación (3) es x 2  5xy  y 3  F3RGHPRVFRQWHVWDUHVWDSUHJXQWDGHVSXpVGHODVLJXLHQWHGH¿QLFLyQ DEFINICIÓN 2.4.1 Ecuación exacta Una expresión diferencial M(x, y) dx  N(x, y) dy es una diferencial exacta en una región R del plano xy si ésta corresponde a la diferencial de alguna función f (x, y GH¿QLGDHQR. Una ecuación diferencial de primer orden de la forma M(x, y) dx  N(x, y) dy  0 se conoce como una ecuación exacta si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta. Por ejemplo x 2y 3 dx  x 3y 2 dy  0 es una ecuación exacta, ya que su lado izquierdo es una diferencial exacta: d 冢13 x3 y3冣  x2 y3 dx  x3y2 dy. 2EVHUYHTXHVLKDFHPRVODVLGHQWL¿FDFLRQHVM(x, y)  x 2y 3 y N(x, y)  x 3y 2, entonces M兾y  3x 2y 2  N兾[(OWHRUHPDTXHVHSUHVHQWDDFRQWLQXDFLyQPXHVWUD que la igualdad de las derivadas parciales M兾y y N兾x no es una coincidencia. TEOREMA 2.4.1 Criterio para una diferencial exacta Si M(x, y) y N(x, y) son continuas y tienen primeras derivadas parciales continuas en una región rectangular RGH¿QLGDSRUa  x  b, c  y  d, entonces XQDFRQGLFLyQQHFHVDULD\VX¿FLHQWHSDUDTXHM(x, y) dx  N(x, y) dy sea una diferencial exacta es M N  .  y x PRUEBA DE LA NECESIDAD Por simplicidad suponemos que M(x, y) y N(x, y) tienen primeras derivadas parciales continuas para todo (x, y). Ahora, si la expresión M(x, y) dx  N(x, y) dy es exacta, existe alguna función f tal que para toda x en R, M(x, y) dx  N(x, y) dy  Por tanto y M(x, y)  冢 冣 f , x f f dx  dy. x y N(x, y)  f , y 冢 冣 M  f 2 f  f N     . y y x y x x y x La igualdad de las parciales mixtas es una consecuencia de la continuidad de las primeras derivadas parciales de M(x, y) y N(x, y). 2.4 ECUACIONES EXACTAS l 63 /DSDUWHGHVX¿FLHQFLDGHOWHRUHPDFRQVLVWHHQPRVWUDUTXHH[LVWHXQDIXQFLyQf para la que f兾x  M(x, y) y f兾y  N(x, y VLHPSUHTXHODHFXDFLyQ  VHDYiOLGD La construcción de la función f en realidad muestra un procedimiento básico para resolver ecuaciones exactas. MÉTODO DE SOLUCIÓN Dada una ecuación en la forma diferencial M(x, y) dx  N(x, y) dy GHWHUPLQHVLODLJXDOGDGGHODHFXDFLyQ  HVYiOLGD6LHVDVtHQWRQFHV existe una función f para la que f  M(x, y). x Podemos determinar f integrando M(x, y) respecto a x mientras y se conserva constante: f (x, y)  冕 (5) M(x, y) dx  g( y), donde la función arbitraria g(y) es la “constante” de integración. Ahora derivando a (5) con respecto a y y suponiendo que f兾y  N(x, y): f   y y Se obtiene 冕 M(x, y) dx  g( y)  N(x, y). g( y)  N(x, y)   y 冕 (6) M(x, y) dx. Por último, se integra la ecuación (6) respecto a y y se sustituye el resultado en la ecuación (5). La solución implícita de la ecuación es f (x, y)  c. Hacen falta algunas observaciones. Primero, es importante darse cuenta de que la expresión N(x, y)  (兾y) 兰 M(x, y) dx en (6) es independiente de x, ya que 冤   N(x, y)  x y 冕 M(x, y) dx 冥  Nx  y 冢x 冕 M(x, y) dx冣  Nx  My  0. En segundo lugar, pudimos iniciar bien el procedimiento anterior con la suposición de que f兾y  N(x, y). Después, integrando N respecto a y y derivando este resultado, encontraríamos las ecuaciones que, respectivamente, son análogas a las ecuaciones (5) y (6), 冕 冕  N(x, y) dy. x En cualquier caso no se debe memorizar ninguna de estas fórmulas. f (x, y)  N(x, y) dy  h(x) y h(x)  M(x, y)  EJEMPLO 1 Resolviendo una ED exacta Resuelva 2xy dx  (x 2  1) dy  0. SOLUCIÓN Con M(x, y)  2xy y N(x, y)  x 2  1 tenemos que N M  2x  . y x $VtODHFXDFLyQHVH[DFWD\SRUHOWHRUHPDH[LVWHXQDIXQFLyQf (x, y) tal que f  2xy x y f  x2  1. y A partir de estas ecuaciones obtenemos, después de integrar: f (x, y)  x 2y  g(y). Tomando la derivada parcial de la última expresión con respecto a y y haciendo el resultado igual a N(x, y) se obtiene f  x2  g(y)  x2  1. y ; N(x, y) 64 l CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Sigue que g(y)  1 y g(y)  \ Por lo tanto f (x, y)  x 2y  y, así la solución de la ecuación en la forma implícita es x 2y  y  c La forma explícita de la solución se puede ver fácilmente como y  c兾(1  x 2)\HVWiGH¿QLGDHQFXDOTXLHULQWHUYDORTXHQRFRQtenga ni a x  1 ni a x  1. NOTA La solución de la ED en el ejemplo 1 no es f (x, y)  x 2y  \ Más bien es f (x, y)  c; si se usa una constante en la integración de g (y), podemos escribir la solución como f (x, y)  0. Observe que la ecuación también se podría haber resuelto por separación de variables. EJEMPLO 2 Solución de una ED exacta Resuelva (e 2y  y cos xy) dx  (2xe 2y  x cos xy  2y) dy  0. SOLUCIÓN La ecuación es exacta ya que N M  2e 2y  xy sen xy  cos xy  . y x Por tanto existe una función f (x, y) para la cual M(x, y)  f x N(x, y)  y f . y Ahora, para variar, comenzaremos con la suposición de que f 兾y  N(x, y); es decir f  2xe2y  x cos xy  2y y f (x, y)  2x 冕 e2y dy  x 冕 cos xy dy  2 冕 y dy  h(x). Recuerde que la razón por la que x sale del símbolo 兰 es que en la integración respecto a y se considera que x es una constante ordinaria. Entonces se tiene que f (x, y)  xe 2y  sen xy  y 2  h(x) f  e2y  y cos xy  h(x)  e 2y  y cos xy, x y así h (x)  0 o h(x)  c. Por tanto una familia de soluciones es xe 2y  sen xy  y 2  c  0. EJEMPLO 3 Problema con valores iniciales Resuelva dy xy2  cos x sen x , y(0)  2.  dx y(1  x2) Al escribir la ecuación diferencial en la forma (cos x sen x  xy 2) dx  y(1  x 2) dy  0, reconocemos que la ecuación es exacta porque N M  2xy  . y x SOLUCIÓN Ahora f  y(1  x2) y f (x, y)  y2 (1  x 2 )  h(x) 2 f  xy2  h(x)  cos x sen x  xy 2. x ; M(x, y) 2.4 ECUACIONES EXACTAS l 65 La última ecuación implica que h (x)  cos x sen x. Integrando se obtiene h(x) y (cos x)( sen x dx) 1 cos 2 x. 2 1 y2   (1 x2) cos2 x c1฀ ฀ ฀ ฀ o ฀ ฀ ฀ ฀ y2 (1 x2) cos2 x c, 2 2 donde se sustituye 2c1 por c. La condición inicial y  2 cuando x  0 exige que    cos 2 (0)  c, y por tanto c  3. Una solución implícita del problema es entonces y 2(1  x 2)  cos 2 x  3. (QOD¿JXUDODFXUYDVROXFLyQGHO39,HVODFXUYDGLEXMDGDHQD]XORVFXUR IRUPDSDUWHGHXQDLQWHUHVDQWHIDPLOLDGHFXUYDV/DVJUi¿FDVGHORVPLHPEURVGHODIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHVROXFLRQHVGDGDVHQODHFXDFLyQ  VHSXHGHQREWHQHUGHGLIHUHQtes maneras, dos de las cuales son utilizando un paquete de computación para trazar grá¿FDVGHFXUYDVGHQLYHO FRPRVHDQDOL]yHQODVHFFLyQ \HPSOHDQGRXQSURJUDPDGH JUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUFXLGDGRVDPHQWHODJUi¿FDGHODVIXQFLRQHVH[SOtFLWDVREWHQLGDV para diferentes valores de c resolviendo y 2  (c  cos 2 x)兾(1  x 2) para \ Por tanto x FIGURA 2.4.1 Curvas solución de la ED del ejemplo 3. FACTORES INTEGRANTES Recuerde de la sección 2.3 que el lado izquierdo de la ecuación lineal y   P(x)y  f (x) se puede transformar en una derivada cuando multiplicamos la ecuación por el factor integrante. Esta misma idea básica algunas veces funciona bien para una ecuación diferencial no exacta M(x, y) dx  N(x, y) dy  0. Es decir, algunas veces es posible encontrar un factor integrante (x, y) así que, después de multiplicar, el lado izquierdo de  (x, y)M(x, y) dx   (x, y)N(x, y) dy   es una diferencial exacta. En un intento por encontrar a  , regresamos a la ecuación  GHOFULWHULRGHH[DFWLWXG/DHFXDFLyQ  HVH[DFWDVL\VyORVL  M)y  ( N)x, donde los subíndices denotan derivadas parciales. Por la regla del producto de la derivación, la última ecuación es la misma que  My   y M   Nx   x N o  x N   y M  (My  Nx)    Aunque M, N, My y Nx son funciones conocidas de x y yODGL¿FXOWDGDTXtDOGHWHUPLQDU la incógnita  (x, y) GHODHFXDFLyQ  HVTXHGHEHPRVUHVROYHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO parcial. Como no estamos preparados para hacerlo, haremos una hipótesis para simpli¿FDU6XSRQJDTXH es una función de una variable; por ejemplo,  depende sólo de x. En este caso,  x  d 兾dx y  y DVtODHFXDFLyQ  VHSXHGHHVFULELUFRPR d My  Nx  . (10) dx N Estamos aún en un callejón sin salida si el cociente (My  Nx )兾N depende tanto de x como de y6LQHPEDUJRVLGHVSXpVGHTXHVHKDFHQWRGDVODVVLPSOL¿FDFLRQHVDOJHbraicas resulta que el cociente (My  Nx )兾N depende sólo de la variable x, entonces la ecuación (10) es separable así como lineal. Entonces, de la sección 2.2 o de la sección 2.3 tenemos que  (x)  e 兰((MyNx)N)dx.'HPDQHUDVLPLODUGHODHFXDFLyQ  WHQHPRVTXH si  depende sólo de la variable y, entonces d Nx  My (11)  . dy M En este caso, si (N x  My)兾M es una función sólo de y, podemos despejar  de la ecuación (11). Resumiendo estos resultados para la ecuación diferencial. M(x, y) dx  N(x, y) dy  0. (12) • Si (My  Nx)兾N es sólo una función de x, entonces un factor integrante para la ecuación (12) es (x)  e 冕 MyNx dx N . (13) 66 l CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN • Si (Nx  My)兾M es una función sólo de y, entonces un factor integrante de (12) es (y)  e 冕 NxMy dy M .  EJEMPLO 4 Una ED no exacta convertida en exacta La ecuación diferencial no lineal de primer orden xy dx  (2x 2  3y 2  20) dy  0 HVQRH[DFWD,GHQWL¿FDQGRM  xy, N  2x 2  3y 2  20, encontramos que las derivadas parciales My  x y Nx [ El primer cociente de la ecuación (13) no nos conduce a nada, ya que x  4x 3x My  Nx  2  N 2x  3y 2  20 2x 2  3y 2  20 depende de x y de y6LQHPEDUJRODHFXDFLyQ  SURGXFHXQFRFLHQWHTXHGHSHQGH sólo de y: Nx  My 4x  x 3x 3    . M xy xy y 3 Entonces el factor integrante es e 兰3dy兾y  e 3lny  e lny  y 3. Después de multiplicar la ED dada por (y)  y3, la ecuación resultante es xy  dx  (2x 2y 3  3y 5  20y 3) dy  0. Usted debería comprobar que la última ecuación es ahora exacta así como mostrar, usando el método que se presentó en esta sección, que una familia de soluciones es 1 2 4 2x y  12 y 6  5y 4  c. COMENTARIOS i) Cuando pruebe la exactitud de una ecuación se debe asegurar que tiene exactamente la forma M(x, y) dx  N(x, y) dy  0. A veces una ecuación diferencial se escribe como G(x, y) dx  H(x, y) dy. En este caso, primero reescriba como G(x, y) dx  H(x, y) dy \GHVSXpVLGHQWL¿TXHM(x, y)  G(x, y) y N(x, y)  H(x, y) DQWHVGHXWLOL]DUODHFXDFLyQ   ii) En algunos libros de ecuaciones diferenciales el estudio de las ecuaciones exactas precede al de las ED lineales. Entonces el método que acabamos de describir para encontrar los factores integrantes se puede utilizar para deducir un factor integrante para y   P(x) y  f (x). Al escribir la última ecuación en la forma diferencial (P(x)y  f (x)) dx  dy  0, vemos que M y  Nx  P(x). N A partir de la ecuación (13) hemos obtenido el conocido factor integrante e 兰P(x) dx, utilizado en la sección 2.3. 2.4 EJERCICIOS 2.4 ECUACIONES EXACTAS l 67 Las respuestas a los problemas seleccionadosFRQQ~PHURLPSDUFRPLHQ]DQHQODSiJLQD5(6 En los problemas 1 a 20 determine si la ecuación diferencial exacta dada es exacta. Si es exacta, resuélvala. 1. (2x  1) dx  (3y  dy  0 26. 冢1 1 y  cos x  2xy冣 dxdy  y(y  sen x), y(0)  1 2 2. (2x  y) dx  (x  6y) dy  0 (QORVSUREOHPDV\GHWHUPLQHHOYDORUGHk para el que la ecuación diferencial es exacta. 3. (5x y) dx  x y 3) dy  0 27. ( y 3  kxy   2x) dx  (3xy 2  20x 2y 3) dy  0 4. (sen y  y sen x) dx  (cos x  x cos y  y) dy  0 28. (6xy 3  cos y) dx  (2kx 2y 2  x sen y) dy  0 5. (2xy 2  3) dx  (2x 2y  dy  0 (Q ORV SUREOHPDV  \  FRPSUXHEH TXH OD HFXDFLyQ GLIHrencial dada es no exacta. Multiplique la ecuación diferencial dada por el factor integrante indicado (x, y) y compruebe que la nueva ecuación es exacta. Resuelva. 6. 冢2y  1x  cos 3x冣 dxdy  xy  4x  3y sen 3x  0 3 2 7. (x 2  y 2) dx  (x 2  2xy) dy  0 8. 冢 29. (xy sen x  2y cos x) dx  2x cos x dy  0;  (x, y)  xy 冣 y 1  ln x  dx  (1  ln x) dy x 9. (x  y 3  y 2 sen x) dx  (3xy 2  2y cos x) dy 10. (x 3  y 3) dx  3xy 2 dy  0 冢 En los problemas 31 a 36 resuelva la ecuación diferencial GDGD GHWHUPLQDQGR FRPR HQ HO HMHPSOR  XQ IDFWRU LQWHgrante adecuado. 冣 1 11. ( y ln y  e xy) dx   x ln y dy  0 y 12. (3x 2y  e y ) dx  (x 3  xe y  2y) dy  0 13. x 31. (2y 2  3x) dx  2xy dy  0 dy  2xe x  y  6x 2 dx 14. 冢 15. 冢x y 32. y(x  y  1) dx  (x  2y) dy  0 33. 6xy dx  y x 2) dy  0 2 34. cos x dx  1  sen x dy  0 y 35. (10  6y  e3x ) dx  2 dy  0 冣 冢 3 dy 3 1 x y 1 y dx x 2 3  冣 1 dx  x 3y 2  0 1  9x 2 dy (QORVSUREOHPDV\UHVXHOYDHOSUREOHPDFRQYDORUHV iniciales determinando, como en el ejemplo 5, un factor integrante adecuado. 17. (tan x  sen x sen y) dx  cos x cos y dy  0 2 18. (2y sen x cos x  y  2y 2e xy ) dx 2  (x  sen2 x  4xye xy ) dy 19. t 3y  15t 2  y) dt  (t   3y 2  t) dy  0 冢 冣 冢 冣 1 1 y t  2 2 dt  ye y  2 dy  0 2 t t t y t  y2 En los problemas 21 a 26 resuelva el problema con valores iniciales. 21. (x  y)2 dx  (2xy  x 2  1) dy  0, 22. (e x  y) dx  (2  x  ye y) dy  0, y(1)  1 y(0)  1 23. y  2t  5) dt  (6y t  1) dy  0, y(1)  2 冢3y y t 冣 dydt  2yt 2 24. 2 5 4  0, y(1)  1 25. ( y 2 cos x  3x 2y  2x) dx  (2y sen x  x 3  ln y) dy  0, 冣 36. (y 2  xy 3) dx  (5y 2  xy  y 3 sen y) dy  0 16. (5y  2x)y  2y  0 20. 30. (x 2  2xy  y 2) dx  ( y 2  2xy  x 2) dy  0;  (x, y)  (x  y)2 y(0)  e 37. x dx  (x 2y y) dy  0, y(  0 38. (x  y  5) dx  ( y  xy) dy, 2 2 y(0)  1 39. a) Muestre que una familia de soluciones uniparamétrica de la ecuación xy  3x 2) dx  (2y  2x 2) dy  0 es x 3  2x 2y  y 2  F b) Demuestre que las condiciones iniciales y(0)  2 y y(1)  1 determinan la misma solución implícita. c) Encuentre las soluciones explícitas y1(x) y y2(x) de la ecuación diferencial del inciso a) tal que y1(0)  2 y y2(1) 8WLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUD WUD]DUODJUi¿FDGHy1(x) y y2(x). Problemas para analizar 40. Considere el concepto de factor integrante utilizado en ORVSUREOHPDVD¢6RQODVGRVHFXDFLRQHVMdx  N 68 CAPÍTULO 2 l ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN dy  0 y M dx  N dy  0 necesariamente equivalentes en el sentido de que la solución de una es también una solución de la otra? Analice. 41. Lea nuevamente el ejemplo 3 y después analice por qué poGHPRVFRQFOXLUTXHHOLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQGHODVROXFLyQ H[SOtFLWDGHO39, FXUYDD]XOGHOD¿JXUD HV 1, 1). 42. Analice cómo se pueden encontrar las funciones M(x, y) y N(x, y) de modo que cada ecuación diferencial sea exacta. Desarrolle sus ideas. 冢 a) M(x, y) dx  xe x y  2xy  b) 冢x 1/2 1/2 y  冣 1 dy  0 x 冣 x dx  N(x, y) dy  0 x y 2 43. Algunas veces las ecuaciones diferenciales se resuelven con una idea brillante. Este es un pequeño ejercicio de inteligencia: Aunque la ecuación (x  1x2  y2) dx  y dy  0 no es exacta, demuestre cómo el reacomodo (x dx  y dy) 兾1x2  y2  dx y la observación 21 d(x 2  y 2)  x dx  y dy puede conducir a una solución. 44. Verdadero o falso: toda ecuación de primer orden separable dy兾dx  g(x)h( y) es exacta. Modelos matemáticos 45. Cadena cayendo  8QDSDUWHGHXQDFDGHQDGHSLHVGH longitud está enrollada sin apretar alrededor de una clavija en el borde de una plataforma horizontal, y la parte restante de la cadena cuelga sobre el borde de la plataforma. 9HDOD¿JXUD6XSRQJDTXHODORQJLWXGGHODFDGHQD que cuelga es de 3 pies, que la cadena pesa 2 lb/pie y que la dirección positiva es hacia abajo. Comenzando en t  0 segundos, el peso de la cadena que cuelga causa que la cadena sobre la plataforma se desenrolle suavemente y caiga al piso. Si x(t) denota la longitud de la cadena que cuelga de la mesa al tiempo t 0, entonces v  dx兾dt es su velocidad. Cuando se desprecian todas las fuerzas de 2.5 resistencia se puede demostrar que un modelo matemático que relaciona a v con x está dado por dv xv  v2  32x. dx a) Rescriba este modelo en forma diferencial. Proceda como en los problemas 31 a 36 y resuelva la ED para v en términos de x determinando un factor integrante adecuado. Determine una solución explícita v(x). b) Determine la velocidad con que la cadena deja la plataforma. Tarea para el laboratorio de computación  /tQHDVGHÀXMR a) La solución de la ecuación diferencial 冤 冥 y2  x2 2xy dx  1  dy  0 (x2  y2 ) 2 (x2  y2) 2 es una familia de curvas que se pueden interpretar FRPROtQHDVGHÀXMRGHXQÀXLGRTXHGLVFXUUHDOUHGHdor de un objeto circular cuya frontera está descrita por la ecuación x2  y2  1. Resuelva esta ED y observe que la solución f (x, y)  c para c  0. b) 8VHXQ6$&SDUDGLEXMDUODVOtQHDVGHÀXMRSDUDc  0, 0.2, 0.6 y GHWUHVPDQHUDVGLIHUHQWHV Primero, utilice el contourplot de un SAC. Segundo, despeje x en términos de la variable y. Dibuje las dos funciones resultantes de y para los valores dados de c\GHVSXpVFRPELQHODVJUi¿FDV7HUFHURXWLOLFHHO SAC para despejar y de una ecuación cúbica en términos de x. clavija borde de la plataforma x(t) FIGURA 2.4.2 &DGHQDGHVHQUROODGDGHOSUREOHPD SOLUCIONES POR SUSTITUCIÓN REPASO DE MATERIAL l Técnicas de integración. l Separación de variables. l Solución de ED lineales. INTRODUCCIÓN Normalmente resolvemos una ecuación diferencial reconociéndola dentro de cierta clase de ecuación (digamos, separables, lineales o exactas) y después aplicamos un procedimiento que consiste en SDVRVPDWHPiWLFRVHVSHFt¿FRVSDUDHOWLSRGHHFXDFLyQ que nos conducen a la solución de la ecuación. Pero no es poco común que nos sorprenda el hecho de que se tenga una ecuación diferencial que no pertenece a alguna de las clases de ecuaciones que sabemos cómo resolver. Los procedimientos que se han analizado en esta sección pueden ser útiles en este caso. 2.5 SOLUCIONES POR SUSTITUCIÓN l 69 SUSTITUCIONES Con frecuencia, el primer paso para resolver una ecuación diferencial es transformarla en otra ecuación diferencial mediante una sustitución. Por ejemplo, suponga que se quiere transformar la ecuación diferencial de primer orden dy兾dx  f (x, y) sustituyendo y  g(x, u), donde u se considera una función de la variable x. Si g tiene primeras derivadas parciales, entonces, usando la regla de la cadena dy g dx g du du dy gx (x, u) gu(x, u) . ฀ ฀ ฀obtenemos ฀ ฀฀฀฀ dx x dx u dx dx dx Al sustituir dy兾dx por la derivada anterior y sustituyendo y en f(x, y) por g (x, u), obtedu  f (x, g (x, u)), la nemos la ED dy兾dx  f (x, y) que se convierten en g x (x, u)  gu(x, u) dx du du cual, resuelta para , tiene la forma  F(x, u). Si podemos determinar una soludx dx ción u  (x) de esta última ecuación, entonces una solución de la ecuación diferencial original es y(x)  g(x, (x)). En el siguiente análisis examinaremos tres clases diferentes de ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden resolver mediante una sustitución. ECUACIONES HOMÓGENEAS Si una función f tiene la propiedad f (tx, ty)  t  f (x, y) para algún número real , entonces se dice que es una función homogénea de grado . Por ejemplo f (x, y)  x 3  y 3 es una función homogénea de grado 3, ya que f (tx, ty)  (tx) 3  (ty) 3  t 3(x 3  y 3)  t 3f (x, y), mientras que f (x, y)  x 3  y 3  1 es no homogénea. Una ED de primer orden en forma diferencial M(x, y) dx  N(x, y) dy  0 (1) se dice que es homogénea* VL DPEDV IXQFLRQHV FRH¿FLHQWHV M y N son ecuaciones homogéneas del mismo grado. En otras palabras, la ecuación (1) es homogénea si M(tx, ty)  tM(x, y) y N(tx, ty) = tN(x, y). Además, si M y N son funciones homogéneas de grado , podemos escribir M(x, y)  xM(1, u) y N(x, y)  xN(1, u) donde u  yx, (2) M(x, y)  yM(v, 1) y N(x, y)  yN(v, 1) donde v  x\ (3) y Vea el problema 31 de los ejercicios 2.5. Las propiedades (2) y (3) sugieren las sustituciones que se pueden usar para resolver una ecuación diferencial homogénea. En concreto, cualquiera de las sustituciones y  ux o x  vy, donde u y v son las nuevas variables dependientes, reducirá una ecuación homogénea a una ecuación diferencial de primer orden separable. Para mostrar esto, observe que como consecuencia de (2) una ecuación homogénea M(x, y) dx  N(x, y) dy  0 se puede reescribir como xM(1, u) dx  xN(1, u) dy  0 o bien M(1, u) dx  N(1, u) dy  0, donde u  y兾x o y  ux. Sustituyendo la diferencial dy  u dx  x du en la última ecuación y agrupando términos, obtenemos una ED separable en las variables u y x: M(1, u) dx  N(1, u)[u dx  x du]  0 [M(1, u)  uN(1, u)] dx  xN(1, u) du  0 o N(1, u) du dx   0. x M(1, u)  uN(1, u) Aquí le damos el mismo consejo que en las secciones anteriores: No memorice nada de esto (en particular la última fórmula); más bien,VLJDHOSURFHGLPLHQWRFDGDYH] Aquí la palabra homogéneaQRVLJQL¿FDORPLVPRTXHHQORVComentariosDO¿QDOGHODVHFFLyQ Recuerde que una ecuación lineal de primer orden a1(x)y a 0 (x)y g(x) es homogénea cuando g(x)  0. * 70 l CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Pruebe a partir de la ecuación (3) que las sustituciones x  vy y dx  v dy  y dv también conducen a una ecuación separable siguiendo un procedimiento similar. EJEMPLO 1 Solución de una ED homogénea Resuelva (x 2  y 2) dx  (x 2  xy) dy  0. SOLUCIÓN Examinando a M(x, y)  x 2  y 2 y a N(x, y)  x 2  xy se muestra que estas IXQFLRQHVFRH¿FLHQWHVVRQGHJUDGR6LKDFHPRVy  ux, entonces dy  u dx  x du, de modo que después de sustituir, la ecuación dada se convierte en (x2 u2x2) dx (x2 2 x (1 ux2)[u dx 0 u) du 0 u du u dx x 0 du dx x 0. x (1 u) dx 1 1 1 x du] 3 2 1 u  división larga Después de integrar la última ecuación se obtiene u  2 ln兩 1  u 兩  ln兩 x 兩  ln兩 c 兩 兩 兩 y y   2 ln 1   ln兩 x 兩  ln兩c 兩. x x ; sustituyendo de nuevo u  y兾x Utilizando las propiedades de los logaritmos, podemos escribir la solución anterior como ln y) 2 (x y ฀ ฀ ฀ ฀ o฀ ฀ ฀ ฀ (x x cx y) 2 cxey/x. Aunque cualquiera de las soluciones indicadas se pueden usar en toda ecuación diferencial homogénea, en la práctica se intenta con x  vy cuando la función M(x, y) sea más fácil que N(x, y). También podría ocurrir que después de utilizar una sustitución, podemos encontrar integrales que son difíciles o imposibles de evaluar en forma cerrada; y el cambiar las sustituciones puede facilitar la solución del problema. ECUACIÓN DE BERNOULLI La ecuación diferencial dy  P(x)y  f (x)y n,  dx  donde n es cualquier número real, se denomina ecuación de Bernoulli. Observe que para n  0 y n ODHFXDFLyQ  HVOLQHDO3DUDn ⬆ 0 y n ⬆ 1 la sustitución u  y 1n UHGXFHFXDOTXLHUHFXDFLyQGHODIRUPD  DXQDHFXDFLyQOLQHDO EJEMPLO 2 Resuelva x Solución de una ED de Bernoulli dy  y  x 2 y 2. dx SOLUCIÓN Primero reescribimos la ecuación como dy 1  y  xy 2 dx x al dividir entre x. Con n  2 tenemos u  y1 o y  u1. Entonces sustituimos du dy dy du   u2 dx du dx dx ; Regla de la cadena 2.5 SOLUCIONES POR SUSTITUCIÓN l 71 HQODHFXDFLyQGDGD\VLPSOL¿FDQGR(OUHVXOWDGRHV du 1  u  x. dx x El factor integrante para esta ecuación lineal en, digamos, (0, ) es 1 e兰d x/x  eln x  eln x  x1. d 1 [x u]  1 dx Al integrar se obtiene x1u  x  c o u  x 2  F[ Puesto que u  y1, tenemos que y  1兾u, así, una solución de la ecuación dada es y  1兾(x 2  cx) Observe que no hemos obtenido una solución general de la ecuación diferencial no lineal original del ejemplo 2 ya que y  0 es una solución singular de la ecuación. REDUCCIÓN A SEPARACIÓN DE VARIABLES Una ecuación diferencial de la forma dy (5)  f (Ax  By  C) dx siempre se puede reducir a una ecuación con variables separables por medio de la sustitución u  Ax  By  C, B ⬆ 0. El ejemplo 3 muestra la técnica. y EJEMPLO 3 x Resuelva Un problema con valores iniciales dy  (2x  y) 2  7, dx y(0)  0. SOLUCIÓN Si hacemos u  2x  y, entonces du兾dx  2  dy兾dx, por lo que la ecuación diferencial se expresa como du  2  u2  7 dx FIGURA 2.5.1 Soluciones de la ED en el ejemplo 3. du  u 2  9. dx o La última ecuación es separable. Utilizando fracciones parciales du  dx (u  3)(u  3) 冤 冥 1 1 1  du  dx 6 u3 u3 o y después de integrar se obtiene 1 u ln 6 u 3 3 x c1฀ ฀ ฀ ฀ o ฀ ฀ ฀ ฀ 3 3 u u e6x 6c1 6c ce6x.  sustitu yendo e por c 1 Despejando u de la última ecuación y resustituyendo a u en términos de x y y, se obtiene la solución u 3(1  ce6x ) 1  ce6x o y  2x  3(1  ce6x) . 1  ce6x (6) Por último, aplicando la condición inicial y(0)  0 a la última ecuación en (6) se obtiene c  /D¿JXUDREWHQLGDFRQODD\XGDGHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQ 3(1  e6x) PXHVWUDHQD]XORVFXURODJUi¿FDGHODVROXFLyQSDUWLFXODU y  2x  junto 1  e6x FRQODVJUi¿FDVGHDOJXQRVRWURVPLHPEURVGHODIDPLOLDGHVROXFLRQHV   72 l CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EJERCICIOS 2.5 Las respuestas a los problemas seleccionados FRQQ~PHURLPSDUFRPLHQ]DQHQODSiJLQD5(6 &DGDXQDGHODV('GHORVSUREOHPDVHVKRPRJpQHD En los problemas 1 a 10 resuelva la ecuación diferencial dada usando las sustituciones adecuadas. Cada una de las ED de los problemas 23 a 30 es de la forma GDGDHQODHFXDFLyQ   1. (x  y) dx  x dy  0 2. (x  y) dx  x dy  0 (Q ORV SUREOHPDV  D  UHVXHOYD OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO dada usando una sustitución adecuada. 3. x dx  ( y  2x) dy  0 4. y dx  2( x  y) dy 23. dy  (x  y  1) 2 dx 24. dy 1  x  y  dx xy 25. dy  tan2 (x  y) dx 26. dy  sen(x  y) dx 28. dy  1  eyx5 dx 5. ( y 2  yx) dx  x 2 dy  0 6. (y 2  yx) dx  x 2 dy  0 7. 8. dy y  x  dx y  x 27. dy x  3y  dx 3x  y (QORVSUREOHPDV\UHVXHOYDHOSUREOHPDTXHVHSUHVHQWD con valores iniciales. dy  cos(x  y), y(0)  >4 29. dx 9. y dx  x  1xy dy  0 ( 10. x ) dy  y  1x2  y2, dx 0 x (QORVSUREOHPDVDUHVXHOYDHOSUREOHPDTXHVHSUHVHQWD con valores iniciales. 2 11. xy dy  y3  x3, dx 2 2 12. (x  2y ) y(1)  2 y(1)  0 14. y dx  x(ln x  ln y  1) dy  0, y(1)  e Cada una de las ED de los problemas 15 a 22 es una ecuación GH%HUQRXOOL En los problemas 15 a 20 resuelva cada ecuación diferencial usando una sustitución adecuada. dy 1 dy 15. x 16. y 2  y  ex y2 dx y dx dy  y (xy 3  1) dx 19. t2 dy  y2  ty dt 18. x dy  (1  x)y  xy2 dx 20. 3(1  t2) dy  2ty( y3  1) dt En los problemas 21 y 22 resuelva el problema que se presenta con valores iniciales. 21. x2 dy  2xy  3y4, dx 22. y1/2 y(1)  12 dy  y3/2  1, y(0)  4 dx 30. dy 3x  2y  , y(1)  1 dx 3x  2y  2 Problemas para analizar 31. Explique por qué es posible expresar cualquier ecuación diferencial homogénea M(x, y) dx  N(x, y) dy  0 en la forma dx  xy, y(1)  1 dy 13. (x  ye y兾x) dx  xe y兾x dy  0, 17. dy  2  1y  2x  3 dx 冢冣 dy y F . dx x Podría comenzar por demostrar que M(x, y)  xM(1, yx) y N(x, y)  xN(1, yx). 32. Ponga la ecuación diferencial homogénea (5x 2  2y 2) dx  xy dy  0 en la forma dada en el problema 31. 33. a) Determine dos soluciones singulares de la ED en el problema 10. b) Si la condición inicial y(5)  0 es como se indicó para el problema 10, entonces, ¿cuál es el intervalo más ODUJRGHGH¿QLFLyQIHQHOFXDOHVWiGH¿QLGDODVROXFLyQ"8WLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DU ODJUi¿FDGHODFXUYDVROXFLyQSDUDHO39, 34. En el ejemplo 3, la solución y(x) es ilimitada conforme x →  . Sin embargo, y(x) es asintótica a una curva conforme x →  y a una curva diferente conforme x → . ¿Cuáles son las ecuaciones de estas curvas? 35. La ecuación diferencial dy兾dx  P(x)  Q(x)y  R(x)y2 se conoce como la ecuación de Riccati. a) Una ecuación de Riccati se puede resolver por dos sustituciones consecutivas, siempre y cuando conozcamos una solución particular, y1, de la ecuación. Muestre que la sustitución y  y1  u reduce la ecua- 2.6 FLyQ GH 5LFFDWL D XQD HFXDFLyQ GH %HUQRXOOL   FRQ n  2. La ecuación de Bernoulli se puede entonces reducir a una ecuación lineal sustituyendo w  u1. b) Determine una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial xv 36. Determine una sustitución adecuada para resolver xy  y ln(xy). 73 dv  v 2  32x. dx 38. Crecimiento de la población En el estudio de la población dinámica uno de los más famosos modelos para un crecimiento poblacional limitado es la ecuación logística dP  P(a  bP), dt Modelos matemáticos 37. Cadena cayendo  (Q HO SUREOHPD  GH ORV HMHUFLFLRV YLPRVTXHXQPRGHORPDWHPiWLFRSDUDODYHORFLGDGv de una cadena que se desliza por el borde de una plataforma horizontal es 2.6 l En ese problema se le pidió que resolviera la ED convirtiéndola en una ecuación exacta usando un factor integrante. Esta vez resuelva la ED usando el hecho de que es una ecuación de Bernoulli. 4 1 dy   2  y  y2 dx x x donde y1  2兾x es una solución conocida de la ecuación. UN MÉTODO NUMÉRICO donde a y b son constantes positivas. Aunque retomaremos esta ecuación y la resolveremos utilizando un método alternativo en la sección 3.2, resuelva la ED por esta primera vez usando el hecho de que es una ecuación de Bernoulli. UN MÉTODO NUMÉRICO INTRODUCCIÓN Una ecuación diferencial dy兾dx  f (x, y) es una fuente de información. Comenzaremos este capítulo observando que podríamos recolectar información cualitativa de una ED de primer orden con respecto a sus soluciones aún antes de intentar resolver la ecuación. Entonces en las secciones 2.2 a 2.5 examinamos a las ED de primer orden analíticamente, es decir, desarrollamos algunos procedimientos para obtener soluciones explícitas e implícitas. Pero una ecuación diferencial puede tener una solución aún cuando no podamos obtenerla analíticamente. Así que para redondear los diferentes tipos de análisis de las ecuaciones diferenciales, concluimos este capítulo con un método con el cual podemos “resolver” la ecuación diferencial numéricamenteHVWRVLJQL¿FDTXHOD('VHXWLOL]D como el principio básico de un algoritmo para aproximarnos a la solución desconocida. En esta sección vamos a desarrollar únicamente el más sencillo de los métodos numéricos, un método que utiliza la idea de que se puede usar una recta tangente para aproximar los valores de una IXQFLyQHQXQDSHTXHxDYHFLQGDGGHOSXQWRGHWDQJHQFLD(QHOFDStWXORVHSUHVHQWDXQWUDWDPLHQWR más extenso de los métodos numéricos. USANDO LA RECTA TANGENTE Suponemos que el problema con valores iniciales yc  f (x, y), y(x0)  y0 (1) tiene una solución. Una manera de aproximarse a esta solución es emplear rectas tangentes. Por ejemplo, digamos que y(x) denota la solución incógnita para el problema con valores iniciales y 0.11y 0.4x2, y(2) 4. La ecuación diferencial no lineal en este PVI no se puede resolver directamente por cualquiera de los métodos conVLGHUDGRVHQODVVHFFLRQHV\QRREVWDQWHD~QSRGHPRVHQFRQWUDUYDORUHV numéricos aproximados de la incógnita y(x). En concreto, supongamos que deseamos conocer el valor de y    (O 39, WLHQH XQD VROXFLyQ \ FRPR VXJLHUH HO ÀXMR GHO FDPSRGLUHFFLRQDOGHOD('HQOD¿JXUD D XQDFXUYDVROXFLyQTXHGHEHWHQHU una forma similar a la curva que se muestra en azul. (OFDPSRGLUHFFLRQDOGHOD¿JXUD D VHJHQHUyFRQHOHPHQWRVOLQHDOHVTXH pasan por puntos de una cuadrícula de coordenadas enteras. Puesto que la curva soluFLyQSDVDSRUHOSXQWRLQLFLDO  HOHOHPHQWROLQHDOHQHVWHSXQWRHVXQDUHFWDWDQJHQWH 2 1.8. Como se muestra en la con una pendiente dada por f (2, 4) 0.114 0.4(2) 74 l CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN y curva solución 4 (2, 4) 2 pendiente m = 1.8 x _2 2 a) campo direccional para y  0. b) elemento lineal en (2, 4). FIGURA 2.6.1 $PSOL¿FDFLyQGHXQDYHFLQGDGGHOSXQWR   ¿JXUD D \HO³]RRPLQ´ DFHUFDPLHQWR GHOD¿JXUD E FXDQGRx está cerca de 2, los puntos en la curva solución están cerca de los puntos de la recta tangente (el HOHPHQWROLQHDO 8WLOL]DQGRHOSXQWR  ODSHQGLHQWHf  \ODIRUPDSXQWR pendiente de una recta, encontramos que una ecuación de la recta tangente es y  L(x), donde L(x) x . Esta última ecuación se llama linealización de y(x) en x  2 que se puede utilizar para aproximar los valores dentro de una pequeña vecindad de x  2. Si y1  L(x1) denota la coordenada y en la recta tangente y y(x1) es la coordenada y de la curva solución correspondiente a una coordenada x, x1 que está cerca de x  2, entonces y(x1) 艐 y1. Si elegimos x1  2.1, entonces y1  L(2.1)    entonces y(2.1) 艐  MÉTODO DE EULER Para generalizar el procedimiento que acabamos de ilustrar, usamos la linealización de una solución incógnita y(x) de (1) en x  x0: L(x)  y0  f (x0 , y0)(x  x0). (2) /DJUi¿FDGHHVWDOLQHDOL]DFLyQHVXQDUHFWDWDQJHQWHDODJUi¿FDGHy  y (x) en el punto (x0, y0). Ahora hacemos que h sea un incremento positivo del eje x, como se muestra en OD¿JXUD(QWRQFHVVXVWLWX\HQGRx por x1  x0  h en la ecuación (2), obtenemos L(x1)  y0  f (x0, y0)(x0  h  x0) y curva solución (x1, y(x1)) error (x0, y0) (x1, y1) pendiente = f(x0, y0) x0 y 1  y0  hf (x1, y1), donde y1  L(x1). El punto (x1, y1) en la recta tangente es una aproximación del punto (x1, y(x1)) sobre la curva solución. Por supuesto, la precisión de la aproximación L(x1) 艐 y(x1) o y1 艐 y(x1) depende fuertemente del tamaño del incremento h. Normalmente debemos elegir este tamaño de paso para que sea “razonablemente pequeño”. Ahora repetimos el proceso usando una segunda “recta tangente” en (x1, y1).* ,GHQWL¿FDQGRHOQXHYRSXQWRLQLFLDOFRPR x1, y1) en lugar de (x0, y0) del análisis anterior, obtenemos una aproximación y2 艐 y(x 2) correspondiendo a dos pasos de longitud h a partir de x0, es decir, x 2  x1  h  x 0  2h, y y(x2)  y(x0  2h)  y(x1  h) ⬇ y2  y1  hf (x1, y1). h L(x) o x1 = x 0 + h x FIGURA 2.6.2 Aproximación de y(x1) usando una recta tangente. Si continuamos de esta manera, vemos que y1, y2, y3VHSXHGHGH¿QLUUHFXUVLYDmente mediante la fórmula general (3) yn1  yn  hf (xn, yn), donde x n  x 0  nh, n  0, 1, 2, . . . Este procedimiento de uso sucesivo de las “rectas tangentes” se conoce como método de Euler. * Esta no es una recta tangente real, ya que (x1, y1) está sobre la primera tangente y no sobre la curva solución. 2.6 EJEMPLO 1 TABLA 2.1 h  0.1 xn yn             UN MÉTODO NUMÉRICO l 75 Método de Euler Considere el problema con valores iniciales y  0.1 1y  0.4x2, y(2)  4 Utilice el método de Euler para obtener una aproximación de y(2.5) usando primero h  0.1 y después h  0.05. SOLUCIÓN &RQODLGHQWL¿FDFLyQ f (x, y)  0.11y  0.4x2 la ecuación (3) se con- vierte en ( ) yn1  yn  h 0.11yn  0.4x2n . Entonces para h  0.1, x0  2, y0 \n  0 encontramos ( ) ( ) y1  y0  h 0.11y0  0.4x20  4  0.1 0.114  0.4(2) 2  4.18, TABLA 2.2 que, como ya hemos visto, es una estimación del valor y(2.1). Sin embargo, si usamos el paso de tamaño más pequeño h  0.05, le toma dos pasos alcanzar x  2.1. A partir de h  0.05 xn ( yn                       ) y1  4  0.05 0.114  0.4(2)2  4.09 ( ) y2  4.09  0.05 0.114.09  0.4(2.05)2  4.18416187 tenemos y1 艐 y(2.05) y y 2 艐 y(2.1). El resto de los cálculos se realizó usando un paquete computacional. En las tablas 2.1 y 2.2 se resumen los resultados, donde cada entrada se ha redondeado a cuatro lugares decimales. Vemos en las tablas 2.1 y 2.2 que le toma cinco pasos con h  0.1 y 10 pasos con h  0.05, respectivamente, para llegar a x  2.5. Intuitivamente, esperaríamos que y10 FRUUHVSRQGLHQWHDh  0.05 sea la mejor aproximación de y(2.5) que el valor y5 FRUUHVSRQGLHQWHDh  0.1. En el ejemplo 2 aplicamos el método de Euler para una ecuación diferencial para la que ya hemos encontrado una solución. Hacemos esto para comparar los valores de las aproximaciones yn en cada caso con los valores verdaderos o reales de la solución y(xn) del problema con valores iniciales. EJEMPLO 2 Comparación de los valores aproximados y reales Considere el problema con valores iniciales y   0.2xy, y(1)  1. Utilice el método de Euler para obtener una aproximación de y (1.5) usando primero h  0.1 y después h  0.05. SOLUCIÓN &RQODLGHQWL¿FDFLyQf (x, y)  0.2xy, la ecuación (3) se convierte en yn1  yn  h(0.2xnyn) donde x 0  1 y y 0  1. 1. De nuevo con la ayuda de un paquete computacional obWHQJDORVYDORUHVGHODVWDEODV\ TABLA 2.4 xn TABLA 2.3 h  0.1 xn 1.00 1.10     yn Valor real Error absoluto % Error relativo 1.0000 1.0200     1.0000 1.0212     0.0000 0.0012     0.00 0.12     1.00 1.05 1.10         h  0.05 yn Valor real Error absoluto 1.0000 1.0100 1.0206         1.0000 1.0103 1.0212         0.0000 0.0003 0.0006         % Error relativo 0.00 0.03 0.06         76 CAPÍTULO 2 l ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN En el ejemplo 1 se calcularon los valores verdaderos o reales de la solución conocida 2 y  e0.1(x í . (Compruebe.) El error absolutoVHGH¿QHFRPR 冷 valor real – aproximado 冷. El error relativo y el error relativo porcentual son, respectivamente, error absoluto 冷 valor real 冷 y error absoluto 冷 valor real 冷 u (VHYLGHQWHHQODVWDEODV\TXHODSUHFLVLyQGHODVDSUR[LPDFLRQHVPHMRUDFRQforme disminuye el tamaño del paso h. También vemos que aún cuando el error relativo porcentual esté creciendo en cada paso, no parece estar mal. Pero no se debe dejar HQJDxDUSRUXQHMHPSOR6LVLPSOHPHQWHFDPELDPRVHOFRH¿FLHQWHGHOODGRGHUHFKRGH la ED del ejemplo 2 de 0.2 a 2, entonces en xn  1.5 los errores relativos porcentuales FUHFHQGUDPiWLFDPHQWH9HDHOSUREOHPDGHOHMHUFLFLR UNA ADVERTENCIA El método de Euler sólo es uno de los diferentes métodos en los que se puede aproximar una solución de una ecuación diferencial. Aunque por su sencillez es atractivo, el método de Euler rara vez se usa en cálculos serios. Aquí se ha SUHVHQWDGRVyORSDUDGDUXQSULPHUHVER]RGHORVPpWRGRVQXPpULFRV(QHOFDStWXOR trataremos en detalle el análisis de los métodos numéricos que tienen mucha precisión, en especial el método de Runge-Kutta conocido como el método RK4. y 5 método RK4 4 3 solución exacta 2 1 (0,1) método Euler x _1 _1 1 2 3 4 5 FIGURA 2.6.3 Comparación de los PpWRGRVGH5XQJH.XWWD 5. \GH Euler. SOLUCIONADORES NUMÉRICOS Independientemente de si se puede realmente encontrar una solución explícita o implícita, si existe una solución de una ecuación diferencial, ésta se representa por una curva suave en el plano cartesiano. La idea básica detrás de cualquier método numérico para las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden es de alguna manera aproximar los valores de y de una solución para valores de x preseleccionados. Comenzamos con un punto inicial dado (x0, y0) de una curva solución y procedemos a calcular en un modelo paso por paso una secuencia de puntos (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) cuyas coordenadas y, yi se aproximan a las coordenadas y, y(xi) de los puntos (x1, y(x1)), (x2, y(x2)), …, (xn, y(xn)) que yacen sobre la JUi¿FDGHODVROXFLyQQRUPDOPHQWHGHVFRQRFLGDy(x). Tomando las coordenadas x más cercanas (es decir, para valores pequeños de h) y uniendo los puntos (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) con segmentos de recta cortos, obtenemos una curva poligonal cuyas características cualitativas esperamos sean cercanas a las de una curva solución real. El dibujo de curvas es algo que bien se puede hacer en una computadora. A un programa de cómputo escrito para implementar un método numérico o para presentar una representación visual de una solución aproximada que ajusta los datos numéricos producidos por este segundo método se le conoce como un solucionador numérico. Comercialmente, hay muchos solucionadores numéricos disponibles ya sea integrados en un gran paquete computacional, como en un sistema algebraico computacional, o en un paquete autónomo. Algunos paquetes computacionales simplemente dibujan las aproximaciones numéricas generadas, mientras que otros generan pesados datos numéricos así como la correspondiente aproximación o curvas solución numéricas(QOD¿JXUDVH SUHVHQWDDPDQHUDGHLOXVWUDFLyQODFRQH[LyQQDWXUDOHQWUHORVSXQWRVGHODVJUi¿FDV SURGXFLGDVSRUXQVROXFLRQDGRUQXPpULFRODVJUi¿FDVSROLJRQDOHVSLQWDGDVFRQGRV colores son las curvas solución numéricas para el problema con valores iniciales y   0.2xy, y(0) HQHOLQWHUYDOR>@REWHQLGDVGHORVPpWRGRVGH(XOHU\5.XVDQGR el tamaño de paso h /DFXUYDVXDYHHQD]XOHVODJUi¿FDGHODVROXFLyQH[DFWD y 2  e0.1x GHO39,2EVHUYHHQOD¿JXUDTXHDXQFRQHOULGtFXORWDPDxRGHSDVR de h HOPpWRGR5.SURGXFHOD³FXUYDVROXFLyQ´PiVFUHtEOH/DFXUYDVROXFLyQ QXPpULFDREWHQLGDGHOPpWRGR5.HVLQGLVWLQJXLEOHGHODFXUYDVROXFLyQUHDOHQHO LQWHUYDOR>@FXDQGRVHXVDHOWDPDxRGHSDVRXVXDOGHh  0.1. USANDO UN SOLUCIONADOR NUMÉRICO No es necesario conocer los diferentes métodos numéricos para utilizar un solucionador numérico. Un solucionador usualmente requiere que la ecuación diferencial se pueda expresar en la forma normal 2.6 6 5 4 3 2 1 x 1 2 3 4 5 FIGURA 2.6.4 Una curva solución que no ayuda mucho. EJERCICIOS 2.6 1. y  2x  3y  1, y(1)  5; y(1.2) 2. y  x  y 2, y(0)  0; y(0.2) (Q ORV SUREOHPDV  \  XVH HO PpWRGR GH (XOHU SDUD REWHner una aproximación a cuatro decimales del valor indicado. Primero, utilice h  0.1 y después utilice h  0.05. Determine una solución explícita para cada problema con valores iniciaOHV\GHVSXpVFRQVWUX\DWDEODVVLPLODUHVDODVWDEODV\ 3. y  y, y(0)  1; y(1.0) 4. y  2xy, y(1)  1; y(1.5) En los problemas 5 a 10 use un solucionador numérico y el método de Euler para obtener una aproximación a cuatro decimales del valor indicado. Primero, utilice h  0.1 y después utilice h  0.05. 6. y  x 2  y 2, y(0)  1; y(0.5) 7. y  (x  y) 2, y(0)  0.5; y(0.5) 8. y  xy  1y, y(0)  1; y(0.5) y 9. y  xy 2  , y(1)  1; y(1.5) x 10. y  y  y 2, y(0)  0.5; y(0.5) 77 Las respuestas a los problemas seleccionadosFRQQ~PHURLPSDUFRPLHQ]DQHQODSiJLQD5(6 En los problemas 1 y 2 use el método de Euler para obtener una aproximación a cuatro decimales del valor indicado, ejecute a mano la ecuación de recursión (3), usando primero h  0.1 y después usando h  0.05. 5. y  ey, y(0)  0; y(0.5) l dy兾dx  f (x, y). Los solucionadores numéricos que sólo generan curvas requieren que se les proporcione f (x, y) y los datos iniciales x0 y y0 y que se indique el método numérico deseado. Si la idea es aproximarse al valor numérico de y(a), entonces un solucionador numérico podría requerir de manera adicional que usted establezca un valor de h o, del mismo modo, dar el número de pasos que quiere tomar para llegar de x  x0 a x D Por ejemplo, si queremos aproximar y  SDUDHO39,TXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD entonces, comenzando en x  0 le tomaría cuatro pasos llegar a x FRQXQWDPDxR de paso de h SDVRVVRQHTXLYDOHQWHVDXQWDPDxRGHSDVRGHh  0.1. Aunque aquí no investigaremos todos los problemas que se pueden encontrar cuando se intenta aproximar cantidades matemáticas, al menos debe estar consciente del hecho de que el solucionador numérico puede dejar de funcionar cerca de ciertos puntos o dar una imagen incompleta o engañosa cuando se aplica a ciertas ecuaciones diferenciales en ODIRUPDQRUPDO/D¿JXUDPXHVWUDODJUi¿FDTXHVHREWXYRDODSOLFDUHOPpWRGR de Euler a un problema con valores iniciales de primer orden dy兾dx  f (x, y), y(0)  1. Se obtuvieron resultados equivalentes utilizando tres solucionadores numéricos, sin emEDUJRODJUi¿FDGLItFLOPHQWHHVXQDSRVLEOHFXUYDVROXFLyQ ¢3RUTXp" +D\GLIHUHQWHV FDPLQRVGHVROXFLyQFXDQGRXQVROXFLRQDGRUQXPpULFRWLHQHGL¿FXOWDGHVODVWUHVPiV obvias son disminuir el tamaño del paso, usar otro método numérico e intentar con un solucionador diferente. y _1 _2 _1 UN MÉTODO NUMÉRICO En los problemas 11 y 12 utilice un solucionador para obtener una curva solución numérica para el problema dado con valores iniciales. Primero, utilice el método de Euler y después, el PpWRGR5.8WLOLFHh  0.25 en cada caso. Superponga ambas curvas solución en los mismos ejes coordenados. Si es posible, utilice un color diferente para cada curva. Repita, usando h  0.1 y h  0.05. 11. y  2(cos x)y, 12. y  y(10  2y), y(0)  1 y(0)  1 Problemas para analizar 13. Use un solucionador numérico y el método de Euler para aproximar y(1.0), donde y(x) es la solución de y  2xy 2, y(0)  1. Primero use h  0.1 y después use h  0.05. 5HSLWDXVDQGRHOPpWRGR5.$QDOLFHTXpSRGUtDFDXsar que las aproximaciones a y  GL¿HUDQPXFKR Tarea para el laboratorio de computación 14. a) 8  WLOLFHXQVROXFLRQDGRUQXPpULFR\HOPpWRGR5. SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQ valores iniciales y  2xy  1, y(0)  0. b) Resuelva el problema con valores iniciales con uno de los procedimientos analíticos desarrollados en las secciones anteriores de este capítulo. c) Use la solución analítica y(x) que encontró en el inciso b) y un SAC para determinar las coordenadas de todos los extremos relativos. 78 l CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página 5(6 REPASO DEL CAPÍTULO 2 Responda los problemas 1 al 12 sin consultar las respuestas del libro. Llene los espacios en blanco o responda si es verdadero o falso. 14. y 4 1. La ED lineal, y   ky  A, donde k y A son constantes, es autónomo. El punto crítico de la ecuación es un (atractor o repulsor) para k 0 y un (atractor o repulsor) para k  0. dy  4y  0, y(0)  k , tiene un número dx y no tiene soLQ¿QLWRGHVROXFLRQHVSDUDk  lución para k  . 2. El problema x  3. La ED lineal, y   k1 y  k2, donde k1 y k2 son constantes distintas de cero, siempre tiene una solución constante. 4. La ED lineal, a1(x)y  a2(x)y  0 es también separable. 5. Un ejemplo de una ecuación diferencial no lineal de tercer orden en forma normal es dr 6. La ED de primer orden Uș r  ș  1 no es sed parable 2 0 FIGURA 2.R.2 *Ui¿FDGHOSUREOHPD 15. El número 0 es un punto crítico de la ecuación diferencial autónoma dx兾dt  xn, donde n es un entero positivo. ¿Para qué valores de n es 0 asintóticamente estable? ¿Semiestable? ¿Inestable? Repita para la ecuación diferencial dx兾dt  xn. 16. Considere la ecuación diferencial dP  dt  f (P), donde f (P)  0.5P3 P  La función f (P) tiene una raíz real, como se muestra en la ¿JXUD56LQLQWHQWDUUHVROYHUODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO estime el valor de límto P(t). f 7. Cada ED autónoma dy冫dx  f(y) es separable. 8. Por inspección, dos soluciones de la ecuación diferencial y |y|  2 son 1 1 P 9. Si y  e xy, entonces y  10. Si una función diferencial y(x) satisface y  |x|, y(1)  2, entonces y(x)  11. y ecos x x te cos t FIGURA 2.R.3 *Ui¿FDGHOSUREOHPD dt es una solución de la ecuación 0 diferencial lineal de primer orden 12. Un ejemplo de una ED lineal de primer orden autónoma con un solo punto crítico 3 es mientras que una ED de primer orden no lineal autónoma con un solo punto crítico 3 es 17. /D¿JXUD5HVXQDSDUWHGHXQFDPSRGLUHFFLRQDOGH una ecuación diferencial dy兾dx  f (x, y). Dibuje a mano dos diferentes curvas solución, una que sea tangente al elemento lineal que se muestra en negro y la otra que sea tangente al elemento lineal que se muestra de color rojo. (QORVSUREOHPDV\FRQVWUX\DXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO de primer orden autónoma dy兾dx  f (y) cuyo diagrama fase VHDFRQVLVWHQWHFRQOD¿JXUDGDGD 13. y 3 1 FIGURA 2.R.1  *Ui¿FDGHOSUREOHPD FIGURA 2.R.4 3DUWHGHXQFDPSRGLUHFFLRQDOGHOSUREOHPD REPASO DEL CAPÍTULO 2 18. &ODVL¿TXH FDGD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO FRPR VHSDUDEOH exacta, lineal, homogénea o Bernoulli. Algunas ecuaciones pueden ser de más de una clase. No las resuelva. a) dy x  y  dx x c) (x  1) e) dy y 2  y  dx x 2  x g) y dx  ( y  xy 2) dy i) xy y  y 2  2x k) y dx  x dy  0 l) 冢x 2  b) dy 1  dx y  x dy 1 dy  y  10 d)  dx dx x(x  y) 2y x dy  5y  y 2 dx dy  ye x/y  x h) x dx f) j) 2xy y  y 2  2x 2 冣 dx  (3  ln x ) dy 2 dy x y m) dx  y  x  1 n) y dy 3 2  e 2x y  0 2 x dx (Q ORV SUREOHPDV  D  UHVXHOYD OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO dada. 19. ( y 2  1) dx  y sec2 x dy 20. y(ln x  ln y) dx  (x ln x  x ln y  y) dy 21. (6x  1)y2 l 79 dy  1y, y(x0)  y0 dx no tiene solución para y0  0. b) Resuelva el problema con valores iniciales del inciso a) para y0 0 y determine el intervalo I más largo en HOTXHODVROXFLyQHVWiGH¿QLGD 30. a) Encuentre una solución implícita del problema con valores iniciales dy y 2  x 2  , dx xy y(1)  12. b) Encuentre una solución explícita del problema del inciso a) e indique el intervalo de solución más largo de IHQHOTXHODVROXFLyQHVWiGH¿QLGD$TXtSXHGHVHU ~WLOXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQ 31 (QOD¿JXUD5VHSUHVHQWDQODVJUi¿FDVGHDOJXQRVPLHPbros de una familia de soluciones para una ecuación diferencial de primer orden dy兾dx  f (x, y /DVJUi¿FDVGHGRV soluciones implícitas, una que pasa por el punto (1, 1) y la otra que pasa por (1, 3) se muestran en rojo. Reproduzca OD¿JXUDHQXQDKRMD&RQOiSLFHVGHFRORUHVWUDFHODVFXUYDV solución para las soluciones y  y1(x) y y  y2(x GH¿QLGDV por las soluciones implícitas tales como y1(1)  1 y y2(1)  3, respectivamente. Estime los intervalos en los que las soluciones y  y1(x) y y  y2(x HVWiQGH¿QLGDV y dy  3x2  2y3  0 dx dx 4y2  6xy  2 dy 3y  2x dQ 23. t  Q  t 4 ln t dt 24. (2x  y  1)y  1 22. x 25. (x 2  dy  (2x xy) dx 26. (2r 2 cos  sen   r cos ) d  r  sen   2r cos2  ) dr  0 (QORVSUREOHPDV\UHVXHOYDHOSUREOHPDFRQYDORUHV iniciales dado e indique el intervalo I más largo en el que la VROXFLyQHVWiGH¿QLGD 27. senx 28. dy dt dy dx 2(t (cos x)y 1)y 2 0,฀ ฀ y 0,฀ ฀ y(0) 7 6 2 1 8 29. a) Sin resolver, explique por qué el problema con valores iniciales FIGURA 2.R.5 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD 32. Utilice el método de Euler con tamaño de paso h  0.1 para aproximar y(1.2), donde y(x) es una solución del problema con valores iniciales y 1 x 1y , y(1) 9. (QORVSUREOHPDV\FDGD¿JXUDUHSUHVHQWDXQDSDUWHGH un campo direccional de una ecuación diferencial de primer orden dy兾dx  f (y  5HSURGX]FD HVWD ¿JXUD HQ XQD KRMD \ después termine el campo direccional sobre la malla. Los puntos de la malla son (mh, nh) donde h  21, m y n son enteros,  m  n (QFDGDFDPSRGLUHFFLRQDO dibuje a mano una curva solución aproximada que pase por cada uno de los puntos sólidos mostrados en rojo. Analice: ¿parece que la ED tiene puntos críticos en el intervalo 3.5  y "6LHVDVtFODVL¿TXHORVSXQWRVFUtWLFRVFRPRDVLQtóticamente estables, inestables o semiestables. 80 l CAPÍTULO 2 33. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 34. y y 3 3 2 2 1 1 x x _1 _1 _2 _2 _3 _3 _3 _2 _1 1 2 3 FIGURA 2.R.6 Parte de un campo direccional del problema 33. _3 _2 _1 1 2 3 FIGURA 2.R.7 3DUWHGHXQFDPSRGLUHFFLRQDOGHOSUREOHPD 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 3.1 Modelos lineales 3.2 Modelos no lineales 3.3 Modelado con sistemas de ED de primer orden REPASO DEL CAPÍTULO 3 En la sección 1.3 vimos como se podría utilizar una ecuación diferencial de primer orden como modelo matemático en el estudio del crecimiento poblacional, el decaimiento radiactivo, el interés compuesto continuo, el enfriamiento de cuerpos PH]FODVODVUHDFFLRQHVTXtPLFDVHOGUHQDGRGHOÀXLGRGHXQWDQTXHODYHORFLGDG de un cuerpo que cae y la corriente en un circuito en serie. Utilizando los métodos del capítulo 2, ahora podemos resolver algunas de las ED lineales (sección 3.1) y ED no lineales (sección 3.2) que aparecen comúnmente en las aplicaciones. El capítulo concluye con el siguiente paso natural: En la sección 3.3 examinamos cómo surgen sistemas de ED como modelos matemáticos en sistemas físicos acoplados (por ejemplo, una población de depredadores como los zorros que interactúan con una población de presas como los conejos). 81 82 CAPÍTULO 3 l 3.1 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN MODELOS LINEALES REPASO DE MATERIAL l Ecuación diferencial como modelo matemático en la sección 1.3. l Leer nuevamente “solución de una ecuación diferencial lineal de primer orden”, en la sección 2.3. INTRODUCCIÓN En esta sección resolvemos algunos de los modelos lineales de primer orden que se presentaron en la sección 1.3. CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO El problema con valores iniciales dx (1)  kx, x(t0)  x0, dt donde k es una constante de proporcionalidad, sirve como modelo para diferentes fenómenos que tienen que ver con el crecimiento o el decaimiento. En la sección 1.3 vimos que en las aplicaciones biológicas la razón de crecimiento de ciertas poblaciones (bacterias, pequeños animales) en cortos periodos de tiempo es proporcional a la población presente al tiempo t. Si se conoce la población en algún tiempo inicial arbitrario t0, la solución de la ecuación (1) se puede utilizar para predecir la población en el futuro, es decir, a tiempos t t0. La constante de proporcionalidad k en la ecuación (1) se determina a partir de la solución del problema con valores iniciales, usando una medida posterior de x al tiempo t1 t0. En física y química la ecuación (1) se ve en la forma de una reacción de primer orden, es decir, una reacción cuya razón, o velocidad, dx兾dt es directamente proporcional a la cantidad x de sustancia que no se ha convertido o que queda al tiempo t. La descomposición, o decaimiento, de U-238 (uranio) por radiactividad en Th-234 (torio) es una reacción de primer orden. EJEMPLO 1 Crecimiento de bacterias Inicialmente un cultivo tiene un número P0 de bacterias. En t  1 h se determina que el número de bacterias es 32P0. Si la razón de crecimiento es proporcional al número de bacterias P(t) presentes en el tiempo t, determine el tiempo necesario para que se triplique el número de bacterias. P(t) = P0 e 0.4055t P 3P0 P0 t = 2.71 t FIGURA 3.1.1 Tiempo en que se triplica la población en el ejemplo 1. SOLUCIÓN Primero se resuelve la ecuación diferencial (1), sustituyendo el símbolo x por P. Con t0  0 la condición inicial es P(0)  P0. Entonces se usa la observación empírica de que P(1)  32P0 para determinar la constante de proporcionalidad k. Observe que la ecuación diferencial dP兾dt  kP es separable y lineal. Cuando se pone en la forma estándar de una ED lineal de primer orden, dP  kP  0, dt se ve por inspección que el factor integrante es ekt. Al multiplicar ambos lados de la ecuación e integrar, se obtiene, respectivamente, d kt [e P]  0 y e ktP  c. dt De este modo, P(t)  cekt. En t  0 se tiene que P0  ce0  c, por tanto P(t)  P0ekt. En t  1 se tiene que 32P0  P0ek, o ek  32. De la última ecuación se obtiene k  1n 32  0.4055, por tanto P(t)  P0e0.4055t. Para determinar el tiempo en que se ha triplicado el número de bacterias, resolvemos 3P0  P0e0.4055t para t. Entonces 0.4055t  1n 3, o ln 3 ⬇ 2.71 h. t 0.4055 9HDOD¿JXUD Observe en el ejemplo 1 que el número real P0 de bacterias presentes en el tiempo t  0 no tiene que ver con el cálculo del tiempo que se requirió para que el número de 3.1 y e kt, k < 0 crecimiento t decaimiento (k  0). l 83 bacterias en el cultivo se triplique. El tiempo necesario para que se triplique una población inicial de, digamos, 100 o 1 000 000 de bacterias es de aproximadamente 2.71 horas. &RPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD  OD IXQFLyQ H[SRQHQFLDO ekt aumenta conforme crece t para k 0 y disminuye conforme crece t para k  0. Así los problemas que describen el crecimiento (ya sea de poblaciones, bacterias o aún de capital) se caracterizan por un valor positivo de k, en tanto que los problemas relacionados con el decaimiento (como en la desintegración radiactiva) tienen un valor k negativo. De acuerdo con esto, decimos que k es una constante de crecimiento (k 0) o una constante de decaimiento (k  0). e kt, k > 0 crecimiento FIGURA 3.1.2 Crecimiento (k MODELOS LINEALES 0) y VIDA MEDIA En física la vida media es una medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva. La vida media es simplemente, el tiempo que tarda en desintegrarse o transmutarse en otro elemento la mitad de los átomos en una muestra inicial A0. Mientras mayor sea la vida media de una sustancia, más estable es la sustancia. Por ejemplo, la vida media del radio altamente radiactivo Ra-226 es de aproximadamente 1 700 años. En 1 700 años la mitad de una cantidad dada de Ra-226 se transmuta en radón, Rn-222. El isótopo más común del uranio, U-238, tiene una vida media de 4 500 000 000 años. En aproximadamente 4.5 miles de millones de años, la mitad de una cantidad de U-238 se transmuta en plomo 206. EJEMPLO 2 Vida media del plutonio Un reactor de cría convierte uranio 238 relativamente estable en el isótopo plutonio 239. Después de 15 años, se ha determinado que el 0.043% de la cantidad inicial A0 de plutonio se ha desintegrado. Determine la vida media de ese isótopo, si la razón de desintegración es proporcional a la cantidad que queda. SOLUCIÓN Sea A(t) la cantidad de plutonio que queda al tiempo t. Como en el ejem- plo 1, la solución del problema con valores iniciales dA  kA, dt A(0)  A0 es A(t)  A0ekt. Si se ha desintegrado 0.043% de los átomos de A0, queda 99.957%. Para encontrar la constante k, usamos 0.99957A0  A(15), es decir, 0.99957A0  A0e15k. Despejando k se obtiene k  151 ln 0.99957  0.00002867. Por tanto A(t)  A0eít. Ahora la vida media es el valor del tiempo que le corresponde a A(t)  12 A0. Despejando t se obtiene 12 A0  A0eít o 12  eít. De la última ecuación se obtiene ln 2 t 24 180 años . 0.00002867 FIGURA 3.1.3 Una página del evangelio gnóstico de Judas. DATADO CON CARBONO Alrededor de 1950, el químico Willard Libby inventó un método que utiliza carbono radiactivo para determinar las edades aproximadas de los fósiles. La teoría del datado con carbono se basa en que el isótopo carbono 14 se produce en la atmósfera por acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno. La razón de la cantidad de C-l4 con el carbono ordinario en la atmósfera parece ser constante y, en consecuencia, la cantidad proporcional del isótopo presente en todos los organismos vivos es igual que la de la atmósfera. Cuando muere un organismo cesa la absorción del C-l4 ya sea por respiración o por alimentación. Así, al comparar la cantidad proporcional de C-14 presente, por ejemplo, en un fósil con la razón constante que hay en la atmósfera, es posible obtener una estimación razonable de la edad del fósil. El método se basa en que se sabe la vida media del C-l4. Libby calculó el valor de la vida media de aproximadamente 5 600 años, pero actualmente el valor aceptado comúnmente para la vida media es aproximadamente 5 730 años. Por este trabajo, Libby obtuvo el Premio Nobel de química en 1960. El método de Libby se ha utilizado para fechar los muebles de madera en las tumbas egipcias, las envolturas de lino de los rollos del Mar Muerto y la tela del enigmático sudario de Torino. 84 l CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EJEMPLO 3 Edad de un fósil Se encuentra que un hueso fosilizado contiene 0.1% de su cantidad original de C-14. Determine la edad del fósil. El punto de partida es A(t)  A0e kt. Para determinar el valor de la constante de decaimiento k, partimos del hecho de que 12 A 0 A(5730) o 12 A 0 A 0e 5730k . Esta ecuación implica que 5730k  ln 21  ln2 y obtenemos k  (1n2)5730  0.00012097, por tanto A(t)  A0e0.00012097t. Con A(t)  0.001A0 tenemos que 0.001A0  A0e0.00012097t y 0.00012097t  ln(0.001)  ln 1000. Así SOLUCIÓN t ln 1000 0.00012097 57 100 años La fecha determinada en el ejemplo 3 está en el límite de exactitud del método. Normalmente esta técnica se limita a aproximadamente 10 vidas medias del isótopo, que son aproximadamente 60,000 años. Una razón para esta limitante es que el análisis químico necesario para una determinación exacta del C-l4 que queda presenta obstáculos formidables cuando se alcanza el punto de 0.001A0. También, en este método se necesita destruir una gran parte de la muestra. Si la medición se realiza indirectamente, basándose en la radiactividad existente en la muestra, es muy difícil distinguir la radiación que procede del fósil de la radiación de fondo normal.* Pero recientemente, con los aceleradores GHSDUWtFXODVORVFLHQWt¿FRVKDQSRGLGRVHSDUDUDO&OGHOHVWDEOH&&XDQGRVHFDOcula la relación exacta de C-l4 a C-12, la exactitud de este método se puede ampliar de 70 000 a 100 000 años. Hay otras técnicas isotópicas, como la que usa potasio 40 y argón 40, adecuadas para establecer edades de varios millones de años. A veces, también es posible aplicar métodos que se basan en el empleo de aminoácidos. LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO/CALENTAMIENTO En la ecuación (3) de la sección 1.3 vimos que la formulación matemática de la ley empírica de Newton del enfriamiento/calentamiento de un objeto, se expresa con la ecuación diferencial lineal de primer orden dT  k(T  Tm), (2) dt donde k es una constante de proporcionalidad, T(t) es la temperatura del objeto para t 0, y Tm es la temperatura ambiente, es decir, la temperatura del medio que rodea al objeto. En el ejemplo 4 suponemos que Tm es constante. EJEMPLO 4 Enfriamiento de un pastel Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300° F. Tres minutos después su temperatura es de 200° F. ¿Cuánto tiempo le tomará al pastel enfriarse hasta la temperatura ambiente de 70º F? (QODHFXDFLyQ  LGHQWL¿FDPRVTm  70. Debemos resolver el problema con valores iniciales dT (3)  k(T  70), T(0)  300 dt y determinar el valor de k tal que T(3)  200. La ecuación (3) es tanto lineal como separable. Si separamos las variables dT  k dt, T  70 SOLUCIÓN El número de desintegraciones por minuto por gramo de carbono se registra usando un contador Geiger. El nivel mínimo de detección es de aproximadamente 0.1 desintegraciones por minuto por gramo. * 3.1 MODELOS LINEALES l 85 se obtiene ln|T – 70|  kt  c1, y así T  70  c2ekt. Cuando t  0, T  300, así 300  70  c2 da c2  230. Por tanto T  70  230 ekt. Por último, la medición de 13 1 T(3)  200 conduce a e3k  13 23 , o k  3 ln 23  0.19018. Así T 300 150 T = 70 15 t 30 a) T(t) t (min) 75 74 73 72 71 70.5 20.1 21.3 22.8 24.9 28.6 32.3 (4) T (t)  70  230e0.19018t. 2EVHUYDPRV TXH OD HFXDFLyQ   QR WLHQH XQD VROXFLyQ ¿QLWD D T(t)  70 porque lím to T(t)  70. No obstante, en forma intuitiva esperamos que el pastel se enfríe al transcurrir un intervalo razonablemente largo. ¿Qué tan largo es “largo”? Por supuesto, no nos debe inquietar el hecho de que el modelo (3) no se apegue mucho a nuestra LQWXLFLyQItVLFD/RVLQFLVRVD \E GHOD¿JXUDPXHVWUDQFODUDPHQWHTXHHOSDVWHO estará a temperatura ambiente en aproximadamente media hora. La temperatura ambiente en la ecuación (2) no necesariamente es una constante pero podría ser una función Tm(t) del tiempo t. Vea el problema 18 de los ejercicios 3.1. b) FIGURA 3.1.4 La temperatura de enfriamiento del pastel tdel ejemplo 4. MEZCLAS $OPH]FODUGRVÀXLGRVDYHFHVVXUJHQHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHV de primer orden. Cuando describimos la mezcla de dos salmueras en la sección 1.3, supusimos que la razón con que cambia la cantidad de sal A(t) en el tanque de mezcla es una razón neta dA ´ ´ Rentra Rsale . (5) dt En el ejemplo 5 resolveremos la ecuación (8) de la sección 1.3. EJEMPLO 5 A A = 600 Mezcla de dos soluciones de sal Recordemos que el tanque grande de la sección 1.3 contenía inicialmente 300 galones de una solución de salmuera. En el tanque entraba y salía sal porque se bombeaba XQDVROXFLyQDXQÀXMRGHJDOPLQVHPH]FODEDFRQODVROXFLyQRULJLQDO\VDOtDGHO WDQTXHFRQXQÀXMRGHJDOPLQ/DFRQFHQWUDFLyQGHODVROXFLyQHQWUDQWHHUDGHOE gal, por consiguiente, la entrada de sal era Rentra  (2 lb/gal) ⴢ (3 gal/min)  6 lb/min y salía del tanque con una razón Rsale  (A兾300 lb/gal) ⴢ (3 gal/min)  A兾l00 lb/min. A partir de esos datos y de la ecuación (5), obtuvimos la ecuación (8) de la sección 1.3. Permítanos preguntar: si había 50 lb de sal disueltas en los 300 galones iniciales, ¿cuánta sal habrá en el tanque después de un periodo largo? SOLUCIÓN Para encontrar la cantidad de sal A(t) en el tanque al tiempo t, resolve- 500 t a) t (min) A (lb) 50 100 150 200 300 400 266.41 397.67 477.27 525.57 572.62 589.93 b) FIGURA 3.1.5 Libras de sal en el tanque del ejemplo 5. mos el problema con valores iniciales 1 dA  A  6, A(0)  50. dt 100 Aquí observamos que la condición adjunta es la cantidad inicial de sal A(0)  50 en el tanque y no la cantidad inicial de líquido. Ahora, como el factor integrante de esta ecuación diferencial lineal es et/100, podemos escribir la ecuación como d t/100 [e A]  6et/100. dt Integrando la última ecuación y despejando A se obtiene la solución general A(t)  600  ce t/100. Conforme t  0, A  50, de modo que c  550. Entonces, la cantidad de sal en el tanque al tiempo t está dada por A(t)  600  550et/100. (6) /DVROXFLyQ  VHXVySDUDFRQVWUXLUODWDEODGHOD¿JXUD E (QODHFXDFLyQ  \HQ OD¿JXUD D WDPELpQVHSXHGHYHUTXHA(t) → 600 conforme t → . Por supuesto, esto es lo que se esperaría intuitivamente en este caso; cuando ha pasado un gran tiempo la cantidad de libras de sal en la solución debe ser (300 ga1)(2 lb/gal) = 600 lb. En el ejemplo 5 supusimos que la razón con que entra la solución al tanque es la misma que la razón con la que sale. Sin embargo, el caso no necesita ser siempre el mismo; la 86 CAPÍTULO 3 l MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN salmuera mezclada se puede sacar con una razón rsale que es mayor o menor que la razón rentra con la que entra la otra salmuera. El siguiente ejemplo presenta un caso cuando la mezcla se bombea a una razón menor que la razón con la que se bombea dentro del tanque. EJEMPLO 6 A 500 250 50 100 t FIGURA 3.1.6 *Ui¿FDGHA(t) del ejemplo 6. Vuelta al ejemplo 5 Si la solución bien mezclada del ejemplo 5 se bombea hacia afuera con una razón más lenta, digamos rsale  2 gal/min, eentonces se acumulará en el tanque con la razón rentra  rsale  (3  2) gal/min  1 gal/min. Después de t minutos (1 gal/min) ⴢ (t min)  t gal se acumularán, por lo que en el tanque habrá 300  t galones de salmuera. La concenWUDFLyQGHOÀXMRGHVDOLGDHVHQWRQFHVc(t)  A兾(300  t) y la razón con que sale la sal es Rsale  c(t) rsale, o A 2A lb/gal ⴢ (2 gal/min)  lb/min. Rsale  300  t 300  t Por tanto, la ecuación (5) se convierte en dA 2A dA 2 6 o  A  6. dt 300  t dt 300  t El factor integrante para la última ecuación es 冢 e 2dt>(300 冣 t) e 2 ln(300 eln(300 t) t)2 (300 t)2 Y así después de multiplicar por el factor, la ecuación se reescribe en la forma d (300 dt [ ] t)2 A 6(300 t)2. Al integrar la última ecuación se obtiene (300 + t)2A  2(300  t)3  c. Si aplicamos la condición inicial A(0)  50, y despejamos A se obtiene la solución A(t)  600  2t  (4.95  107)(300  t)2&RPRHUDGHHVSHUDUHQOD¿JXUDVHPXHVWUDTXH con el tiempo se acumula la sal en el tanque, es decir, A → conforme t → . L E R FIGURA 3.1.7 Circuito en serie LR. R E C FIGURA 3.1.8 Circuito en serie RC. CIRCUITOS EN SERIE Para un circuito en serie que sólo contiene un resistor y un inductor, la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de la caída de voltaje a través del inductor (L(di兾dt)) más la caída de voltaje a través del resistor (iR) es igual al voltaje aplicado (E(t DOFLUFXLWR9HDOD¿JXUD Por lo tanto, obtenemos la ecuación diferencial lineal que para la corriente i(t), di L  Ri  E(t), (7) dt donde L y R son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia, respectivamente. La corriente i(t) se llama, también respuesta del sistema. La caída de voltaje a través de un capacitor de capacitancia C es q(t)兾C, donde q HVODFDUJDGHOFDSDFLWRU3RUWDQWRSDUDHOFLUFXLWRHQVHULHTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD 3.1.8, la segunda ley de Kirchhoff da 1 Ri  q  E(t). (8) C Pero la corriente i y la carga q están relacionadas por i  dq兾dt, así, la ecuación (8) se convierte en la ecuación diferencial lineal dq 1 (9) R  q  E(t). dt C EJEMPLO 7 Circuito en serie Una batería de 12 volts se conecta a un circuito en serie en el que el inductor es de 12 henry y la resistencia es de 10 ohms. Determine la corriente i, si la corriente inicial es cero. 3.1 MODELOS LINEALES l 87 SOLUCIÓN De la ecuación (7) debemos resolver 1 di 2 dt 10i 12, sujeta a i(0)  0. Primero multiplicamos la ecuación diferencial por 2, y vemos que el factor integrante es e20t. Entonces sustituyendo d 20t [e i] dt 24e20t. Integrando cada lado de la última ecuación y despejando i se obtiene i(t)  65  ce 20t. 6 6 Ahora i(0)  0 implica que 0  5  c o c   5. . Por tanto la respuesta es 6 6 20t i(t)  5  5 e . De la ecuación (4) de la sección 2.3, podemos escribir una solución general de (7): P i(t)  P0 e(R/L)t L 冕 e(R/L)tE(t) dt  ce(R/L)t. (10) En particular, cuando E(t)  E0 es una constante, la ecuación (l0) se convierte en i(t)  t1 1 t t2 E0  ce(R/L)t. R (11) Observamos que conforme t → , el segundo término de la ecuación (11) tiende a cero. A ese término usualmente se le llama término transitorio; los demás términos se llaman parte de estado estable de la solución. En este caso, E0兾R también se llama corriente de estado estable; para valores grandes de tiempo resulta que la corriente está determinada tan sólo por la ley de Ohm (E  iR). a) P COMENTARIOS P0 1 t b) P P0 1 t c) FIGURA 3.1.9 El crecimiento poblacional es un proceso discreto. La solución P(t)  P0 e 0.4055t del problema con valores iniciales del ejemplo 1 describe la población de una colonia de bacterias a cualquier tiempo t 0. Por supuesto, P(t) es una función continua que toma todos los números reales del intervalo P0  P  . Pero como estamos hablando de una población, el sentido común indica que P puede tomar sólo valores positivos. Además, no esperaríamos que la población crezca continuamente, es decir, cada segundo, cada microsegundo, etc., como lo predice nuestra solución; puede haber intervalos de tiempo [t1, t2], en los que no haya crecimiento alguno. Quizá, entonces, ODJUi¿FDTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD D VHDXQDGHVFULSFLyQPiVUHDOGH PTXHODJUi¿FDGHXQDIXQFLyQH[SRQHQFLDO&RQIUHFXHQFLDXVDUXQDIXQFLyQ continua para describir un fenómeno discreto es más conveniente que exacto. 6LQ HPEDUJR SDUD FLHUWRV ¿QHV QRV SRGHPRV VHQWLU VDWLVIHFKRV VL HO PRGHOR describe con gran exactitud el sistema, considerado macroscópicamente en el WLHPSRFRPRVHPXHVWUDHQODV¿JXUDV E \ F PiVTXHPLFURVFySLFDPHQWHFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD D  l CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EJERCICIOS 3.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-3. la cantidad presente S al tiempo t, es decir, dS兾dt  rS, donde r es la razón de interés anual. a) &DOFXOHODFDQWLGDGUHXQLGDDO¿QDOGHDxRVFXDQGR se depositan $5 000 en una cuenta de ahorro que rinde el 5.75% de interés anual compuesto continuamente. b) ¿En cuántos años se habrá duplicado el capital inicial? c) Utilice una calculadora para comparar la cantidad obtenida en el inciso a) con la cantidad S  5 000(1  1 (0.0575))5(4) que se reúne cuando el interés se com4 pone trimestralmente. Crecimiento y decrecimiento 1. Se sabe que la población de una comunidad crece con una razón proporcional al número de personas presentes en el tiempo t. Si la población inicial P0 se duplicó en 5 años, ¿En cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará? 2. Suponga que se sabe que la población de la comunidad del problema 1 es de 10 000 después de tres años. ¿Cuál era la población inicial P0? ¿Cuál será la población en 10 años? ¿Qué tan rápido está creciendo la población en t  10? 5. El isótopo radiactivo del plomo Pb-209, decae con una razón proporcional a la cantidad presente al tiempo t y tiene un vida media de 3.3 horas. Si al principio había 1 gramo de plomo, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que decaiga 90%? 6. Inicialmente había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas la masa disminuyó 3%. Si la razón de decaimiento, en cualquier momento, es proporcional a la cantidad de la sustancia presente al tiempo t, determine la cantidad que queda después de 24 horas. 7. Calcule la vida media de la sustancia radiactiva del problema 6. 8. a) El problema con valores iniciales dA兾dt  kA, A(0)  A0 es el modelo de decaimiento de una sustancia radiactiva. Demuestre que, en general, la vida media T de la sustancia es T  (ln 2)兾k. b) Demuestre que la solución del problema con valores iniciales del inciso a) se puede escribir como A(t)  A02t/T. c) Si una sustancia radiactiva tiene la vida media T dada en el inciso a), ¿cuánto tiempo le tomará a una cantidad inicial A0 de sustancia decaer a 18 A0? 9. Cuando pasa un rayo vertical de luz por un medio transparente, la razón con que decrece su intensidad I es proporcional a I(t), donde t representa el espesor, en pies, del medio. En agua limpia de mar, la intensidad a 3 pies deEDMR GH OD VXSHU¿FLH HV  GH OD LQWHQVLGDG LQLFLDO I0 del rayo incidente. ¿Cuál es la intensidad del rayo a 15 SLHVGHEDMRGHODVXSHU¿FLH" 10. Cuando el interés es compuesto continuamente, la cantidad de dinero aumenta con una razón proporcional a 11. Los arqueólogos utilizan piezas de madera quemada o carbón vegetal, encontradas en el lugar para datar pinturas prehistóricas de paredes y techos de una caverna en /DVFDX[)UDQFLD9HDOD¿JXUD8WLOLFHODLQIRUPDción de la página 84 para precisar la edad aproximada de una pieza de madera quemada, si se determinó que 85.5% de su C-l4 encontrado en los árboles vivos del mismo tipo se había desintegrado. © Prehistoric/The Bridgeman Art 4. La población de bacterias en un cultivo crece a una razón proporcional a la cantidad de bacterias presentes al tiempo t. Después de tres horas se observa que hay 400 bacterias presentes. Después de 10 horas hay 2 000 bacterias presentes. ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias? Datado con carbono FIGURA 3.1.10 Pintura en una caverna del problema 11. 12. El sudario de Turín muestra el negativo de la imagen del FXHUSRGHXQKRPEUHTXHSDUHFHTXHIXHFUXFL¿FDGRPXchas personas creen que es el sudario del entierro de Jesús GH1D]DUHW9HDOD¿JXUD(QHO9DWLFDQRFRQcedió permiso para datar con carbono el sudario. Tres laERUDWRULRVFLHQWt¿FRVLQGHSHQGLHQWHVDQDOL]DURQHOSDxR\ concluyeron que el sudario tenía una antigüedad de 660 años,* una antigüedad consistente con su aparición histó- © Bettmann/Corbis 3. La población de un pueblo crece con una razón proporcional a la población en el tiempo t. La población inicial de 500 aumenta 15% en 10 años. ¿Cuál será la población pasados 30 años? ¿Qué tan rápido está creciendo la población en t  30? Library/Getty Images 88 FIGURA 3.1.11 Imagen del sudario del problema 12. Algunos eruditos no están de acuerdo con este hallazgo. Para más información de este fascinante misterio vea la página del Sudario de Turín en la página http://www.shroud.com * 3.1 rica. Usando esta antigüedad determine qué porcentaje de la cantidad original de C-14 quedaba en el paño en 1988. Ley de Newton enfriamiento/calentamiento 13. Un termómetro se cambia de una habitación cuya temperatura es de 70° F al exterior, donde la temperatura del aire es de 10° F. Después de medio minuto el termómetro indica 50° F. ¿Cuál es la lectura del termómetro en t  1 min? ¿Cuánto tiempo le tomará al termómetro alcanzar los 15° F? 14. Un termómetro se lleva de una habitación hasta el ambiente exterior, donde la temperatura del aire es 5° F. Después de 1 minuto, el termómetro indica 55° F y después de 5 minutos indica 30° F. ¿Cuál era la temperatura inicial de la habitación? 15. Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial era de 20° C, se deja caer en un gran tanque de agua hirviendo. ¿Cuánto tiempo tardará la barra en alcanzar los 90° C si se sabe que su temperatura aumentó 2° en 1 segundo? ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar los 98° C? 16. Dos grandes tanques A y B del mismo tamaño se llenan con ÀXLGRVGLIHUHQWHV/RVÀXLGRVHQORVWDQTXHVA y B se mantienen a 0° C y a 100° C, respectivamente. Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial es 100° C, se sumerge dentro del tanque A. Después de 1 minuto la temperatura de la barra es de 90° C. Después de 2 minutos se VDFDODEDUUDHLQPHGLDWDPHQWHVHWUDQV¿HUHDORWURWDQTXH Después de 1 minuto en el tanque B la temperatura se eleva 10° C. ¿Cuánto tiempo, medido desde el comienzo de todo el proceso, le tomará a la barra alcanzar los 99.9° C? 17. Un termómetro que indica 70° F se coloca en un horno precalentado a una temperatura constante. A través de una ventana de vidrio en la puerta del horno, un observador registra que el termómetro lee 110° F después de 21 minuto y 145° F después de 1 minuto. ¿Cuál es la temperatura del horno? 18. Al tiempo t  0 un tubo de ensayo sellado que contiene una sustancia química está inmerso en un baño líquido. La temperatura inicial de la sustancia química en el tubo de ensayo es de 80° F. El baño líquido tiene una temperatura controlada (medida en grados Fahrenheit) dada por Tm(t)  100 – 40e0.1t, t  0, donde t se mide en minutos. a) Suponga que k  0.1 en la ecuación (2). Antes de resolver el PVI, describa con palabras cómo espera que sea la temperatura T(t) de la sustancia química a corto plazo, y también a largo plazo. b) Resuelva el problema con valores iniciales. Use un SURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODJUi¿FDGHT(t) HQGLIHUHQWHVLQWHUYDORVGHWLHPSR¢/DVJUi¿FDVFRQcuerdan con sus predicciones del inciso a)? 19. Un cadáver se encontró dentro de un cuarto cerrado en una casa donde la temperatura era constante a 70° F. Al tiempo del descubrimiento la temperatura del corazón del cadáver se determinó de 85° F. Una hora después una segunda me- MODELOS LINEALES l 89 dición mostró que la temperatura del corazón era de 80° F. Suponga que el tiempo de la muerte corresponde a t  0 y que la temperatura del corazón en ese momento era de 98.6° F. Determine cuántas horas pasaron antes de que se encontrara el cadáver. [Sugerencia: Sea que t1 0 denote el tiempo en que se encontró el cadáver.] 20. La razón con la que un cuerpo se enfría también depende GHVXiUHDVXSHU¿FLDOH[SXHVWDS. Si S es una constante, HQWRQFHVXQDPRGL¿FDFLyQGHODHFXDFLyQ  HV dT  kS(T  Tm), dt donde k  0 y Tm es una constante. Suponga que dos tazas A y B están llenas de café al mismo tiempo. Inicialmente ODWHPSHUDWXUDGHOFDIpHVGHƒ)(OiUHDVXSHU¿FLDOGHO café en la taza BHVGHOGREOHGHOiUHDVXSHU¿FLDOGHOFDIp en la taza A. Después de 30 min la temperatura del café en la taza A es de 100° F. Si Tm  70° F, entonces ¿cuál es la temperatura del café de la taza B después de 30 min? Mezclas 21. Un tanque contiene 200 litros de un líquido en el que se han disuelto 30 g de sal. Salmuera que tiene 1 g de sal por litro entra al tanque con una razón de 4 L/min; la solución bien mezclada sale del tanque con la misma razón. Encuentre la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el tanque al tiempo t. 22. Resuelva el problema 21 suponiendo que al tanque entra agua pura. 23. Un gran tanque de 500 galones está lleno de agua pura. Le entra salmuera que tiene 2 lb de sal por galón a razón de 5 gal/min. La solución bien mezclada sale del tanque con la misma razón. Determine la cantidad A(t) de libras de sal que hay en el tanque al tiempo t. 24. En el problema 23, ¿cuál es la concentración c(t) de sal en el tanque al tiempo t? ¿Y al tiempo t  5 min? ¿Cuál es la concentración en el tanque después de un largo tiempo, es decir, conforme t → ? ¿Para qué tiempo la concentración de sal en el tanque es igual a la mitad de este valor límite? 25. Resuelva el problema 23 suponiendo que la solución sale con una razón de 10 gal/min. ¿Cuándo se vacía el tanque? 26. Determine la cantidad de sal en el tanque al tiempo t en el ejemplo 5 si la concentración de sal que entra es variable y está dada por centra(t)  2  sen(t兾4) lb/gal. Sin trazar la JUi¿FDLQ¿HUDDTXpFXUYDVROXFLyQGHO39,VHSDUHFHUtD 'HVSXpVXWLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUOD JUi¿FDGHODVROXFLyQHQHOLQWHUYDOR>@5HSLWDSDUD HOLQWHUYDOR>@\FRPSDUHVXJUi¿FDFRQODTXHVH PXHVWUDHQOD¿JXUD D  27. Un gran tanque está parcialmente lleno con 100 galones de ÀXLGRHQORVTXHVHGLVROYLHURQOLEUDVGHVDO/DVDOmuera 90 l CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN tiene 21 de sal por galón que entra al tanque a razón de 6 gal/min. La solución bien mezclada sale del tanque a razón de 4 gal/min. Determine la cantidad de libras de sal que hay en el tanque después de 30 minutos. 28. En el ejemplo 5, no se dio el tamaño del tanque que tiene la solución salina. Suponga, como en el análisis siguiente al ejemplo 5, que la razón con que entra la solución al tanque es de 3 gal/min pero que la solución bien mezclada sale del tanque a razón de 2 gal/min. Esta es la razón por la cual dado que la salmuera se está acumulando en el tanque a razón de 1 gal/min, cualquier tanque de tamaño ¿QLWRWHUPLQDUiGHUUDPiQGRVH$KRUDVXSRQJDTXHHOWDQque está destapado y tiene una capacidad de 400 galones. a) ¿Cuándo se derramará el tanque? b) ¿Cuántas libras de sal habrá en el tanque cuando comience a derramarse? c) Suponga que el tanque se derrama, que la salmuera continúa entrando a razón de 3 gal/min, que la solución está bien mezclada y que la solución sigue saliendo a razón de 2 gal/min. Determine un método para encontrar la cantidad de libras de sal que hay en el tanque al tiempo t  150 min. d) Calcule la cantidad de libras de sal en el tanque conforme t → . ¿Su respuesta coincide con su intuición? e) 8  WLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODJUi¿FDGHA(t) en el intervalo [0, 500). Circuitos en serie 29. Se aplica una fuerza electromotriz de 30 volts a un circuito en serie LR con 0.1 henrys de inductancia y 50 ohms de resistencia. Determine la corriente i(t), si i(0)  0. Determine la corriente conforme t → . 30. Resuelva la ecuación (7) suponiendo que E(t)  E0 sen Zt y que i(0)  i0. 31. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 volts a un circuito en serie RC, en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia es de l04 farads. Determine la carga q(t) del capacitor, si q(0)  0. Encuentre la corriente i(t). 32. Se aplica una fuerza electromotriz de 200 volts a un circuito en serie RC, en el que la resistencia es de 1000 ohms y la capacitancia es de 5  106 farads. Determine la carga q(t) en el capacitor, si i(0)  0.4 amperes. Determine la carga y la corriente en t  0.005 s. Encuentre la carga conforme t → . 34. Suponga que un circuito en serie RC tiene un resistor variable. Si la resistencia al tiempo t está dada por R  k1  k2t, donde k1 y k2 son constantes positivas, entonces la ecuación (9) se convierte en (k1  k2 t) dq 1  q  E(t). dt C Si E(t)  E0 y q(0)  q0, donde E0 y q0 son constantes, muestre que 冢k k k t冣 1/Ck2 1 q(t)  E0C  (q0  E0C) 1 Modelos lineales adicionales 35. Resistencia del aire En la ecuación (14) de la sección 1.3 vimos que una ecuación diferencial que describe la velocidad v de una masa que cae sujeta a una resistencia del aire proporcional a la velocidad instantánea es m dv  mg  kv, dt donde k 0 es una constante de proporcionalidad. La dirección positiva se toma hacia abajo. a) Resuelva la ecuación sujeta a la condición inicial v(0)  v0. b) Utilice la solución del inciso a) para determinar la velocidad límite o terminal de la masa. Vimos cómo determinar la velocidad terminal sin resolver la ED del problema 40 en los ejercicios 2.1. c) Si la distancia s, medida desde el punto en el que se suelta la masa se relaciona con la velocidad v por ds兾dt  v(t), determine una expresión explícita para s(t), si s(0)  0. 36. ¿Qué tan alto? (Sin resistencia del aire) Suponga que una pequeña bala de cañón que pesa 16 libras se dispara YHUWLFDOPHQWH KDFLD DUULED FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD 3.1.12, con una velocidad inicial de v0  300 pies/s. La respuesta a la pregunta “¿Qué tanto sube la bala de cañón?”, depende de si se considera la resistencia del aire. a) Suponga que se desprecia la resistencia del aire. Si la dirección es positiva hacia arriba, entonces un modelo para la bala del cañón está dado por d 2s兾dt 2  g (ecuación (12) de la sección 1.3). Puesto que ds兾dt  v(t) la última ecuación diferencial es la −mg 33. Se aplica una fuerza electromotriz E(t)  冦120, 0, nivel del suelo 0  t  20 t 20 a un circuito en serie LR en el que la inductancia es de 20 henrys y la resistencia es de 2 ohms. Determine la corriente i(t), si i(0)  0. . 2 FIGURA 3.1.12 Determinación de la altura máxima de la bala de cañón del problema 36. 3.1 misma que la ecuación dv兾dt  g, donde se toma g  32 pies/s2. Encuentre la velocidad v(t) de la bala de cañón al tiempo t. b) Utilice el resultado que se obtuvo en el inciso a) para determinar la altura s(t) de la bala de cañón medida desde el nivel del suelo. Determine la altura máxima que alcanza la bala. 37. ¿Qué tan alto? (Resistencia lineal del aire) Repita el problema 36, pero esta vez suponga que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantánea. Esta es la razón por la que la altura máxima que alcanza la bala del cañón debe ser menor que la del inciso b) del problema 36. Demuestre esto suponiendo que la constante de proporcionalidad es k  0.0025. [Sugerencia:0RGL¿TXH ligeramente la ED del problema 35.] 38. Paracaidismo Una paracaidista pesa 125 libras y su paracaídas y equipo juntos pesan otras 35 libras. Después de saltar del avión desde una altura de 15 000 pies, la paracaidista espera 15 segundos y abre su paracaídas. Suponga que la constante de proporcionalidad del modelo del problema 35 tiene el valor k  0.5 durante la caída libre y k  10 después de que se abrió el paracaídas. Suponga que su velocidad inicial al saltar del avión es igual a cero. ¿Cuál es la velocidad de la paracaidista y qué distancia ha recorrido después de 20 segundos de TXHVDOWyGHODYLyQ"9HDOD¿JXUD¢&yPRVHFRPpara la velocidad de la paracaidista a los 20 segundos con su velocidad terminal? ¿Cuánto tarda en llegar al suelo? [Sugerencia: Piense en función de dos diferentes PVI.] caída libre la resistencia del aire es 0.5 v la resistencia del aire es 10 v FIGURA 3.1.13 el paracaídas se abre t = 20 s Cálculo del tiempo que tarda en llegar al suelo del problema 38. 39. Evaporación de una gota de lluvia Cuando cae una gota de lluvia, ésta se evapora mientras conserva su forma esférica. Si se hacen suposiciones adicionales de que la rapidez a la que se evapora la gota de lluvia es proporcional a su área VXSHU¿FLDO\TXHVHGHVSUHFLDODUHVLVWHQFLDGHODLUHHQWRQces un modelo para la velocidad v(t) de la gota de lluvia es dv 3(k/)  v  g. dt (k/)t  r0 Aquí U es la densidad del agua, r0 es el radio de la gota de lluvia en t  0, k  0 es la constante de proporcionalidad y la dirección hacia abajo se considera positiva. MODELOS LINEALES l 91 a) Determine v(t) si la gota de lluvia cae a partir del reposo. b) Vuelva a leer el problema 36 de los ejercicios 1.3 y demuestre que el radio de la gota de lluvia en el tiempo t es r(t)  (k兾U)t  r0. c) Si r0  0.01 pies y r  0.007 pies, 10 segundos después de que la gota cae desde una nube, determine el tiempo en el que la gota de lluvia se ha evaporado por completo. 40. 3REODFLyQÀXFWXDQWH La ecuación diferencial dP兾dt  (k cos t)P, donde k es una constante positiva, es un modelo matemático para una población P(t TXHH[SHULPHQWDÀXFtuaciones anuales. Resuelva la ecuación sujeta a P(0)  P0. 8WLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODJUi¿FDGH la solución para diferentes elecciones de P0. 41. Modelo poblacional En un modelo del cambio de población de P(t) de una comunidad, se supone que dP dB dD   , dt dt dt donde dB兾dt y dD兾dt son las tasas de natalidad y mortandad, respectivamente. a) Determine P(t) si dB兾dt  k1P y dD兾dt  k2P. b) Analice los casos k1 k2, k1  k2 y k1  k2. 42. Modelo de cosecha constante Un modelo que describe la población de una pesquería en la que se cosecha con una razón constante está dada por dP  kP  h, dt donde k y h son constantes positivas. a) Resuelva la ED sujeta a P(0)  P0. b) Describa el comportamiento de la población P(t) conforme pasa el tiempo en los tres casos P0 h兾k, P0  h兾k y 0  P0  h兾k. c) Utilice los resultados del inciso b) para determinar si la población de peces desaparecerá en un tiempo ¿QLWRHVGHFLUVLH[LVWHXQWLHPSRT 0 tal que P(T)  0. Si la población desaparecerá, entonces determine en qué tiempo T. 43. Propagación de una medicina Un modelo matemático para la razón con la que se propaga una medicina en el torrente sanguíneo está dado por dx  r  kx, dt donde r y k son constantes positivas. Sea x(t) la función que describe la concentración de la medicina en el torrente sanguíneo al tiempo t. a) Ya que la ED es autónoma, utilice el concepto de esquema de fase de la sección 2.1 para determinar el valor de x(t) conforme t → . 92 l CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN b) Resuelva la ED sujeta a x(0) 'LEXMHODJUi¿FD de x(t) y compruebe su predicción del inciso a). ¿En cuánto tiempo la concentración es la mitad del valor límite? 44. Memorización Cuando se considera la falta de memoria, la razón de memorización de un tema está dada por dA  k1(M  A)  k2 A, dt donde k1 0, k2 0, A(t) es la cantidad memorizada al tiempo t, M es la cantidad total a memorizarse y M  A es la cantidad que falta por memorizar. a) Puesto que la ED es autónoma, utilice el concepto de esquema de fase de la sección 2.1 para determinar el valor límite de A(t) conforme t → ’,QWHUSUHWHHOUHVXOWDGR b) Resuelva la ED sujeta a A(0) 'LEXMHODJUi¿FDGH A(t) y compruebe su predicción del inciso a). 45. Marcapasos de corazón  (QOD¿JXUDVHPXHVWUD un marcapasos de corazón, que consiste en un interruptor, una batería, un capacitor y el corazón como un resistor. Cuando el interruptor S está en P, el capacitor se carga; cuando S está en Q el capacitor se descarga, enviando estímulos eléctricos al corazón. En el problema 53 de los ejercicios 2.3 vimos que durante este tiempo en que se están aplicado estímulos eléctricos al corazón, el voltaje E a través del corazón satisface la ED lineal 1 dE  E. dt RC a) Suponga que en el intervalo de tiempo de duración t1, 0  t  t1, el interruptor S está en la posición P como VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD  \ HO FDSDFLWRU VH HVWi cargando. Cuando el interruptor se mueve a la posición Q al tiempo t1 el capacitor se descarga, enviando un impulso al corazón durante el intervalo de tiempo de duración t2: t1  t  t1  t2. Por lo que el intervalo inicial de carga descarga 0  t  t1  t2 el voltaje en el corazón se modela realmente por la ecuación difeUHQFLDOGH¿QLGDHQSDUWHV 冦 0, Al moverse S entre P y Q, los intervalos de carga y descarga de duraciones t1 y t2 VH UHSLWHQ LQGH¿QLGDmente. Suponga que t1  4 s, t2  2 s, E0  12 V, E(0)  0, E(4)  12, E(6)  0, E(10)  12, E(12)  0, etc. Determine E(t) para 0  t  24. b) Suponga para ilustrar que R  C  1. Utilice un proJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXción del PVI del inciso a) para 0  t  24. 46. Caja deslizándose a) Una caja de masa m se desliza hacia abajo por un plano inclinado que forma un ángulo TFRQODKRUL]RQWDOFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD 3.1.15. Determine una ecuación diferencial para la velocidad v(t) de la caja al tiempo t para cada uno de los casos siguientes: No hay fricción cinética y no hay resistencia del aire. ii) Hay fricción cinética y no hay resistencia del aire. iii) Hay fricción cinética y hay resistencia del aire. i) En los casos ii) y iii) utilice el hecho de que la fuerza de fricción que se opone al movimiento es PN, donde PHVHOFRH¿FLHQWHGHIULFFLyQFLQpWLFD\N es la componente normal del peso de la caja. En el caso iii) suponga que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantánea. b) En el inciso a), suponga que la caja pesa 96 libras, que el ángulo de inclinación del plano es T  30°, que el FRH¿FLHQWHGHIULFFLyQFLQpWLFDHV 13 4, y que la fuerza de retardo debida a la resistencia del aire es numéricamente igual a 41v. Resuelva la ecuación diferencial para cada uno de los tres casos, suponiendo que la caja inicia desde el reposo desde el punto más alto a 50 pies por encima del suelo. fricción movimiento 0  t  t1 dE  1 dt  E, t1  t  t1  t2. RC corazón R Q interruptor P S C E0 FIGURA 3.1.14 Modelo de un marcapasos del problema 45. W = mg 50 pies θ FIGURA 3.1.15 Caja deslizándose hacia abajo del plano inclinado del problema 46. 47. Continuación de caja deslizándose a) En el problema 46 sea s(t) la distancia medida hacia abajo del plano inclinado desde el punto más alto. Utilice ds兾dt  v(t) y la solución de cada uno de los tres casos del inciso b) del problema 46 para determinar el tiempo que le toma a la caja deslizarse completamente hacia abajo del plano inclinado. Aquí puede ser útil un programa para determinar raíces con un SAC. 3.2 b) En el caso en que hay fricción (P  0) pero no hay resistencia del aire, explique por qué la caja no se desliza hacia abajo comenzando desde el reposo desde el punto más alto arriba del suelo cuando el ángulo de inclinación ș satisface a tan T  P. c) La caja se deslizará hacia abajo del plano conforme tan T  P si a ésta se le proporciona una velocidad inicial v(0)  v0 0. Suponga que 13 4 y ș  23°. Compruebe que tan ș P. ¿Qué distancia se deslizará hacia abajo del plano si v0  1 pie/s? 13 4 y T  23° para d) Utilice los valores aproximar la menor velocidad inicial v0 que puede tener la caja, para que a partir del reposo a 50 pies arriba del suelo, se deslice por todo el plano incli- 3.2 MODELOS NO LINEALES l 93 nado. Después encuentre el tiempo que tarda en deslizarse el plano. 48. Todo lo que sube . . . a) Es bien conocido que el modelo que desprecia la resistencia del aire, inciso a) del problema 36, predice que el tiempo ta que tarda la bala de cañón en alcanzar su altura máxima es el mismo tiempo td que tarda la bala de cañón en llegar al suelo. Además la magnitud de la velocidad de impacto vi es igual a la velocidad inicial v0 de la bala de cañón. Compruebe ambos resultados. b) Después, utilizando el modelo del problema 37 que considera la resistencia del aire, compare el valor de ta con td y el valor de la magnitud de vi con v0. Aquí puede ser útil un programa para determinar raíces FRQXQ6$& RXQDFDOFXODGRUDJUD¿FDGRUD  MODELOS NO LINEALES REPASO DE MATERIAL l Ecuaciones (5), (6) y (10) de la sección 1.3 y problemas 7, 8, 13, 14 y 17 de los ejercicios 1.3. l Separación de variables de la sección 2.2. INTRODUCCIÓN Terminamos nuestro estudio de ecuaciones diferenciales de primer orden simples con el análisis de algunos modelos no lineales. DINÁMICA POBLACIONAL Si P(t) es el tamaño de una población al tiempo t, el modelo del crecimiento exponencial comienza suponiendo que dP兾dt  kP para cierta k 0. En este modelo, la WDVDHVSHFt¿FDo relativa de crecimiento,GH¿QLGDSRU dP>dt (1) P es una constante k. Es difícil encontrar casos reales de un crecimiento exponencial durante largos periodos, porque en cierto momento los recursos limitados del ambiente ejercerán restricciones sobre el crecimiento de la población. Por lo que para otros modelos, se puede esperar que la razón (1) decrezca conforme la población P aumenta de tamaño. La hipótesis de que la tasa con que crece (o decrece) una población sólo depende del número presente P y no de mecanismos dependientes del tiempo, tales como los fenómenos estacionales (vea el problema 33, en los ejercicios 1.3), se puede enunciar como: dP>dt dP  f (P) o  Pf (P). (2) P dt Esta ecuación diferencial, que se adopta en muchos modelos de población de animales, se denomina hipótesis de dependencia de densidad. f(P) r K P FIGURA 3.2.1 La suposición más simple para f (P) es una recta (color azul). ECUACIÓN LOGÍSTICA Supóngase que un medio es capaz de sostener, como máximo, una cantidad K determinada de individuos en una población. La cantidad K se llama capacidad de sustento del ambiente. Así para la función f en la ecuación (2) se tiene que f (K)  0 y simplemente hacemos f (0)  r(QOD¿JXUDYHPRVWUHVIXQFLRnes que satisfacen estas dos condiciones. La hipótesis más sencilla es que f (P) es lineal, es decir, f (P)  c1P  c2. Si aplicamos las condiciones f (0)  r y f (K)  0, tenemos que c2  r y c1  r兾K, respectivamente, y así f adopta la forma f (P)  r  (r兾K)P. Entonces la ecuación (2) se convierte en dP r P r P . (3) dt K 5HGH¿QLHQGRODVFRQVWDQWHVODHFXDFLyQQROLQHDO  HVLJXDOD 冢 冣 94 l CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN dP  P(a  bP). (4) dt Alrededor de 1840, P. F. Verhulst, matemático y biólogo belga, investigó modelos matemáticos para predecir la población humana en varios países. Una de las ecuaciones que estudió fue la (4), con a 0 y b 0. Esa ecuación se llegó a conocer como ecuación logística y su solución se denomina función logística/DJUi¿FDGH una función logística es la curva logística. La ecuación diferencial dP兾dt  kP QR HV XQ PRGHOR PX\ ¿HO GH OD SREODFLyQ cuando ésta es muy grande. Cuando las condiciones son de sobrepoblación, se presentan efectos negativos sobre el ambiente como contaminación y exceso de demanda de alimentos y combustible, esto puede tener un efecto inhibidor en el crecimiento para la población. Como veremos a continuación, la solución de la ecuación (4) está acotada conforme t → . Si se rescribe (4) como dP兾dt  aP  bP2, el término no lineal bP2, b 0 se puede interpretar como un término de “inhibición” o “competencia”. También, en la mayoría de las aplicaciones la constante positiva a es mucho mayor que b. Se ha comprobado que las curvas logísticas predicen con bastante exactitud el crecimiento de ciertos tipos de bacterias, protozoarios, pulgas de agua (Dafnia) y moscas de la fruta ('URVy¿OD) en un espacio limitado. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN LOGÍSTICA Uno de los métodos para resolver la ecuación (4) es por separación de variables. Al descomponer el lado izquierdo de dP兾P(a  bP)  dt en fracciones parciales e integrar, se obtiene 冢1>aP  a b>abP冣 dP  dt 1 1 ln兩 P 兩  ln兩 a  bP 兩  t  c a a ln 兩a P bP 兩  at  ac P  c1eat. a  bP ac1eat ac1 De la última ecuación se tiene que P(t)  1  bc eat  bc  eat . 1 1 Si P(0)  P0, P0  a兾b, encontramos que c1  P0b(a  bP0) y así, sustituyendo y VLPSOL¿FDQGRODVROXFLyQVHFRQYLHUWHHQ aP0 (5) P(t)  . bP0  (a  bP0)eat GRÁFICAS DE P(t ) La forma básica de la función logística P(t) se puede obtener sin mucho esfuerzo. Aunque la variable t usualmente representa el tiempo y raras veces se consideran aplicaciones en las que t  0, tiene cierto interés incluir este intervalo al PRVWUDUODVGLIHUHQWHVJUi¿FDVGHP. De la ecuación (5) vemos que aP a P(t)  0 . conforme t  ฀ ฀ ฀ ฀ y฀฀ ฀ ฀ P(t)  0 conforme t  bP0 b La línea punteada P  a兾2bGHOD¿JXUDFRUUHVSRQGHDODRUGHQDGDGHXQSXQWR GHLQÀH[LyQGHODFXUYDORJtVWLFD3DUDPRVWUDUHVWRGHULYDPRVODHFXDFLyQ  XVDQGR la regla del producto: d 2P dP dP dP  P b  (a  bP)  (a  2bP) dt2 dt dt dt ฀ 冢 ฀ ฀ 冣  P(a  bP)(a  2bP) 冢  2b2P P  冣冢P  2ba 冣. a b 3.2 P a/b a/2b P0 t a) P a/b P0 a/2b t b) FIGURA 3.2.2 Curvas logísticas para diferentes condiciones iniciales. x = 1000 x 500 5 10 t (a) a) t (días) 4 5 6 7 8 9 10 x (número de infectados) 50 (observados) 124 276 507 735 882 953 b) FIGURA 3.2.3 El número de estudiantes infectados en en elejmplo 1. MODELOS NO LINEALES l 95 Recuerde, de cálculo, que los puntos donde d 2P兾dt 2  0 son posibles puntos de inÀH[LyQSHURREYLDPHQWHVHSXHGHQH[FOXLUP  0 y P  a兾b. Por tanto P  a兾2b es el único valor posible para la ordenada en la cual puede cambiar la concavidad de la JUi¿FD3DUD P  a兾2b se tiene que P 0, y a兾2b  P  a兾b implica que P  $VtFXDQGRVHOHHGHL]TXLHUGDDGHUHFKDODJUi¿FDFDPELDGHFyQFDYDKDFLDDUULEDD cóncava hacia abajo, en el punto que corresponde a P  a兾2b. Cuando el valor inicial satisface a 0  P0  a兾2bODJUi¿FDGHP(t) adopta la forma de una S, como se ve en la ¿JXUD D 3DUDa兾2b  P0  a兾bODJUi¿FDD~QWLHQHODIRUPDGH6SHURHOSXQWR GHLQÀH[LyQRFXUUHHQXQYDORUQHJDWLYRGHtFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E  En la ecuación (5) de la sección 1.3 ya hemos visto a la ecuación (4) en la forma dx兾dt  kx(n  1 – x), k 0. Esta ecuación diferencial presenta un modelo razonable para describir la propagación de una epidemia que comienza cuando se introduce una persona infectada en una población estática. La solución x(t) representa la cantidad de personas que contraen la enfermedad al tiempo t. EJEMPLO 1 Crecimiento logístico Suponga que un estudiante es portador del virus de la gripe y regresa a un campus aislado de 1 000 estudiantes. Si se supone que la razón con que se propaga el virus no sólo a la cantidad x de estudiantes infectados sino también a la cantidad de estudiantes no infectados, determine la cantidad de estudiantes infectados después de 6 días si además se observa que después de cuatro días x(4)  50. SOLUCIÓN Suponiendo que nadie deja el campus mientras dura la enfermedad, debemos resolver el problema con valores iniciales dx  kx(1000  x), x(0)  1. dt ,GHQWL¿FDQGRa  1000k y b  k, vemos de inmediato en la ecuación (5) que 1000k 1000 . x(t)   k  999ke1000kt 1  999e1000kt Ahora, usamos la información x(4)  50 y calculamos k con 1000 . 50  1  999e4000k 19 Encontramos 1000k  14 1n  999  0.9906. Por tanto 1000 . x(t) 1 999e 0.9906t Finalmente, x(6)  1000  276 estudiantes. 1  999e5.9436 (QODWDEODGHOD¿JXUD E VHGDQRWURVYDORUHVFDOFXODGRVGHx(t). Note que el número de estudiantes infectados x(t) se acerca a 1 000 conforme crece t. MODIFICACIONES DE LA ECUACIÓN LOGÍSTICA Hay muchas variaciones de la ecuación logística. Por ejemplo, las ecuaciones diferenciales dP dP (6)  P(a  bP)  h  P(a  bP)  h y dt dt podrían servir, a su vez, como modelos para la población de una pesquería donde el pez se pesca o se reabastece con una razón h. Cuando h 0 es una constante, las ED en las ecuaciones (6) se analizan cualitativamente de manera fácil o se resuelven analíticamente por separación de variables. Las ecuaciones en (6) también podrían servir como modelos de poblaciones humanas que decrecen por emigración o que crecen por inmigración, respectivamente. La razón h en las ecuaciones (6) podría ser función del tiempo t o depender de la población; por ejemplo, se podría pescar periódicamente o con una razón proporcional a la población P al tiempo t. En el último caso, el modelo sería P  P(a – bP) – cP, c 0. La población humana de una comunidad podría cam- 96 l CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN biar debido a la inmigración de manera que la contribución debida a la inmigración sea grande cuando la población P de la comunidad era pequeña pero pequeña cuando P es grande; entonces un modelo razonable para la población de la comunidad sería Pc  P(a  bP)  cekP, c 0, k 0. Vea el problema 24 de los ejercicios 3.2. Otra ecuación de la forma dada en (2), dP  P(a  b ln P), (7) dt HVXQDPRGL¿FDFLyQGHODHFXDFLyQORJtVWLFDFRQRFLGDFRPRODecuación diferencial de Gompertz, llamada así por el matemático inglés Benjamin Gompertz (1779-1865). Esta ED algunas veces se usa como un modelo en el estudio del crecimiento o decrecimiento de poblaciones, el crecimiento de tumores sólidos y cierta clase de predicciones actuariales. Vea el problema 8 de los ejercicios 3.2. REACCIONES QUÍMICAS Suponga que a gramos de una sustancia química A se combinan con b gramos de una sustancia química B. Si hay M partes de A y N partes de B formadas en el compuesto y X(t) es el número de gramos de la sustancia química C formada, entonces el número de gramos de la sustancia química A y el número de gramos de la sustancia química B que quedan al tiempo t son, respectivamente, M N X b X. y MN MN La ley de acción de masas establece que cuando no hay ningún cambio de temperatura, la razón con la que reaccionan las dos sustancias es proporcional al producto de las cantidades de A y B que aún no se han transformado al tiempo t : a 冢 冣冢b  M N N X冣. dX M  a X dt MN (8) Si se saca el factor M兾(M  N) del primer factor y N兾(M  N) del segundo y se introduce una constante de proporcionalidad k 0, la expresión (8) toma la forma dX (9)  k(  X)(  X), dt donde D  a(M  N )兾M y E  b(M  N )兾N. Recuerde de (6) en la sección 1.3 que una reacción química gobernada por la ecuación diferencial no lineal (9) se conoce como una reacción de segundo orden. EJEMPLO 2 Reacción química de segundo orden Cuando se combinan dos sustancias químicas A y B se forma un compuesto C. La reacción resultante entre las dos sustancias químicas es tal que por cada gramo de A se usan 4 gramos de B. Se observa que a los 10 minutos se han formado 30 gramos del producto C. Determine la cantidad de C en el tiempo t si la razón de la reacción es proporcional a las cantidades de A y B que quedan y si inicialmente hay 50 gramos de A y 32 gramos de B. ¿Qué cantidad de compuesto C hay a los 15 minutos? Interprete la solución conforme t → . SOLUCIÓN Sea X(t) la cantidad de gramos del compuesto C presentes en el tiempo t. Es obvio que X(0)  0 g y X(10)  30 g. Si, por ejemplo, hay 2 gramos del producto C, hemos debido usar, digamos, a gramos de A y b gramos de B, así a  b  2 y b  4a. Por tanto, debemos usar a  25  2 15 de la sustancia química A y b  85  2 45 g de B. En general, para obtener X gramos de C debemos usar 1 4 X gramos de A X gramos de .B. y 5 5 Entonces las cantidades de A y B que quedan al tiempo t son respectivamente () () 50  1 X 5 y 32  4 X, 5 3.2 MODELOS NO LINEALES 97 l Sabemos que la razón con la que se forma el compuesto C satisface que 冢 冣冢32  54 X冣. 1 dX  50  X dt 5 3DUDVLPSOL¿FDUODVRSHUDFLRQHVDOJHEUDLFDVVXEVHFXHQWHVIDFWRUL]DPRV 15 del primer término y 45 del segundo y después introducimos la constante de proporcionalidad: dX  k(250  X)(40  X). dt Separamos variables y por fracciones parciales podemos escribir que  1 210 250  X dX  1 210 40  X dX  k dt. Al integrar se obtiene In 250 40 X X 210kt c1฀ ฀ ฀ ฀ o ฀ ฀ ฀ ฀ 250 40 X X c2e210kt. (10) Cuando t  0, X  0, se tiene que en este punto c2  254. Usando X  30 g en t  10 88  0.1258. Con esta información se despeja X de la encontramos que 210 k  101 ln 25 última ecuación (10): X(t)  1000 X X = 40 1  e0.1258t . 25  4e0.1258t De (11) encontramos X(15)  34.78 gramos(QOD¿JXUDVHSUHVHQWDHOFRPportamiento de X como una función del tiempo. Es claro de la tabla adjunta y de la ecuación (11) que X → 40 conforme t → (VWRVLJQL¿FDTXHVHIRUPDQJUDPRV del compuesto C, quedando 1 50  (40)  42 g de A 5 10 20 30 40 10 15 20 25 30 35 4 32  (40)  0 g de B. 5 y t a) t (min) (11) X (g) 30 (medido) 34.78 37.25 38.54 39.22 39.59 b) FIGURA 3.2.4 Número de gramos del compuesto C en el ejemplo 2. COMENTARIOS /DLQWHJUDOLQGH¿QLGD兰 du兾(a 2  u 2) se puede evaluar en términos de logaritmos tangente hiperbólica inversa, o de la cotangente hiperbólica inversa. Por ejemplo, de los dos resultados du a 2 u 2 du a2 u2 1 tanh a 1 2a 1 In u a a a ฀ c, u u u (12) a ฀ c, u a, (13) la ecuación (12) puede ser conveniente en los problemas 15 y 26 de los ejercicios 3.2, mientras que la ecuación (13) puede ser preferible en el problema 27. 98 l CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EJERCICIOS 3.2 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-3. Ecuación logística 1. La cantidad N(t) de supermercados del país que están usando sistemas de revisión computarizados se describe por el problema con valores iniciales dN  N(1  0.0005N), N(0)  1. dt a) Use el concepto de esquema de fase de la sección 2.1 para predecir cuántos supermercados se espera que adopten el nuevo procedimiento en un periodo prolongado. A mano, dibuje una curva solución del problema con valores iniciales dados. b) Resuelva el problema con valores iniciales y después XWLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDFRPSUREDU\ trazar la curva solución del inciso a). ¿Cuántas compañías se espera que adopten la nueva tecnología cuando t  10? 2. La cantidad N(t) de personas en una comunidad bajo la LQÀXHQFLD GH GHWHUPLQDGR DQXQFLR HVWi JREHUQDGD SRU la ecuación logística. Inicialmente N(0)  500 y se observa que N(1)  1 000. Determine N(t) si se predice que habrá un límite de 50 000 personas en la comunidad que verán el anuncio. 3. Un modelo para la población P(t) en un suburbio de una gran ciudad está descrito por el problema con valores iniciales dP P(10 1 10 7 P), P(0) 5000, dt donde t se expresa en meses. ¿Cuál es el valor límite de la población? ¿Cuánto tardará la población en alcanzar la mitad de ese valor límite? 4. a) En la tabla 3.1 se presentan los datos del censo de los Estados Unidos entre 1790 y 1950. Construya un modelo de población logístico usando los datos de 1790, 1850 y 1910. TABLA 3.1 Año 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 Población (en millones) 3.929 5.308 7.240 9.638 12.866 17.069 23.192 31.433 38.558 50.156 62.948 75.996 91.972 105.711 122.775 131.669 150.697 b) Construya una tabla en la que se compare la población real del censo con la población predicha por el modelo del inciso a). Calcule el error y el error porcentual para cada par de datos. Modificaciones del modelo logístico 5. a) Si se pesca un número constante h de peces de una pesquería por unidad de tiempo, entonces un modelo para la población P(t) de una pesquería al tiempo t está dado por dP  P(a  bP)  h, P(0)  P0, dt donde a, b, h y P0 son constantes positivas. Suponga que a  5, b  1 y h  4. Puesto que la ED es autónoma, utilice el concepto de esquema de fase de la sección 2.1 para dibujar curvas solución representativas que corresponden a los casos P0 4, 1  P0  4 y 0  P0  1. Determine el comportamiento de la población a largo plazo en cada caso. b) Resuelva el PVI del inciso a). Compruebe los resultados de su esquema de fase del inciso a) utilizando XQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODJUi¿FDGH P(t) con una condición inicial tomada de cada uno de los tres intervalos dados. c) Utilice la información de los incisos a) y b) para determinar si la población de la pesquería desaparecerá en XQWLHPSR¿QLWR'HVHUDVtGHWHUPLQHHVHWLHPSR 6. Investigue el modelo de pesca del problema 5 tanto cualitativa como analíticamente en el caso en que a  5, b  1, h  254 . Determine si la población desaparecerá en un WLHPSR¿QLWR'HVHUDVtGHWHUPLQHHVHWLHPSR 7. Repita el problema 6 en el caso a  5, b  1, h  7. 8. a) Suponga a  b  1 en la ecuación diferencial de Gompertz, ecuación (7). Puesto que la ED es autónoma, utilice el concepto de esquema de fase de la sección 2.1 para dibujar curvas solución representativas correspondientes a los casos P0 e y 0  P0  e. b) Suponga que a  1, b  1 en la ecuación (7). Utilice un nuevo esquema de fase para dibujar las curvas solución representativas correspondientes a los casos P0 e1 y 0  P0  e1. c) Encuentre una solución explícita de la ecuación (7) sujeta a P(0)  P0. Reacciones químicas 9. Dos sustancias químicas A y B se combinan para formar la sustancia química C. La razón de reacción es proporcional al producto de las cantidades instantáneas de A y B que no se han convertido en C. Al principio hay 40 gramos de A y 50 gramos de B, y por cada gramo de B se consumen 2 de A. Se observa que a los cinco minutos se han formado 10 gramos de C. ¿Cuánto se forma en 20 minutos de C? ¿Cuál 3.2 es la cantidad límite de C a largo plazo? ¿Cuánto de las sustancias A y B queda después de mucho tiempo? 10. Resuelva el problema 9 si hay al principio 100 gramos de la sustancia química A. ¿Cuándo se formará la mitad de la cantidad límite de C? MODELOS NO LINEALES l 99 Aw 20 pies h Modelos no lineales adicionales 11. Tanque cilíndrico con gotera Un tanque en forma de un cilindro recto circular en posición vertical está sacando agua por un agujero circular en su fondo. Como se vio en (10) de la sección 1.3, cuando se desprecia la fricción y la contracción del agujero, la altura h del agua en el tanque está descrita por A dh   h 12gh, dt Aw donde Aa y Ah son las áreas de sección transversal del agua y del agujero, respectivamente. a) Resuelva la ED si la altura inicial del agua es H. A PDQR GLEXMH OD JUi¿FD GH h(t) y de su intervalo de GH¿QLFLyQI en términos de los símbolos Aw, Ah y H. Utilice g  32 pies/s2. b) Suponga que el tanque tiene 10 pies de altura y un radio de 2 pies y el agujero circular tiene un radio de 1 pulg. Si el tanque está inicialmente lleno, ¿cuánto 2 tarda en vaciarse? 12. Tanque cilíndrico con gotera, continuación Cuando se considera la fricción y contracción del agua en el agujero, el modelo del problema 11 se convierte en dh A  c h 12gh, dt Aw donde 0  c  1. ¿Cuánto tarda el tanque del problema 11b en vaciarse si c  0.6? Vea el problema 13 de los ejercicios 1.3. 13. Tanque cónico con gotera Un tanque con forma de cono recto con el vértice hacia abajo, está sacando agua por un agujero circular en su fondo. a) Suponga que el tanque tiene 20 pies de altura y tiene un radio de 8 pies y el agujero circular mide dos pulgadas de radio. En el problema 14 de los ejercicios 1.3 se le pidió mostrar que la ecuación diferencial que gobierna la altura h del agua que sale del tanque es dh 5   3/2. dt 6h En este modelo, se consideró la fricción y la contracción del agua en el agujero con c  0.6 y el valor de g se tomó de 32 pies/s29HDOD¿JXUD6LDOSULQFLpio el tanque está lleno, ¿cuánto tarda en vaciarse? b) Suponga que el tanque tiene un ángulo de vértice de 60° y el agujero circular mide dos pulgadas de radio. Determine la ecuación diferencial que gobierna la altura h del agua. Utilice c  0.6 y g  32 pies/s2. Si al principio la altura del agua es de 9 pies, ¿cuánto tarda en vaciarse el tanque? 8 pies FIGURA 3.2.5 Tanque cónico invertido del problema 14. 14. Tanque cónico invertido Suponga que se invierte el tanTXHFyQLFRGHOSUREOHPD D FRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD 3.2.5 y que sale agua por un agujero circular con un radio de dos pulgadas en el centro de su base circular. ¿El tiempo en que se vacía el tanque lleno es el mismo que para el tanque FRQHOYpUWLFHKDFLDDEDMRGHOSUREOHPD"7RPHHOFRH¿ciente de fricción/contracción de c  0.6 y g  32 pies/s2. 15. Resistencia del aire Una ecuación diferencial para la velocidad v de una masa m que cae sujeta a la resistencia del aire proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea es dv m  mg  kv 2, dt donde k 0 es una constante de proporcionalidad. La dirección positiva es hacia abajo. a) Resuelva la ecuación sujeta a la condición inicial v(0)  v0. b) Utilice la solución del inciso a) para determinar la velocidad límite, o terminal de la masa. En el problema 41 de los ejercicios 2.1 vimos cómo determinar la velocidad terminal sin resolver la ED. c) Si la distancia s, medida desde el punto donde se suelta la masa sobre el suelo, está relacionada con la velocidad v por ds兾dt  v(t), encuentre una expresión explícita para s(t) si s(0)  0. 16. ¿Qué tan alto? Resistencia del aire no lineal Considere la bala de cañón de 16 libras que se dispara verticalmente hacia arriba en los problemas 36 y 37 en los ejercicios 3.1 con una velocidad inicial v0  300 pies/s. Determine la altura máxima que alcanza la bala si se supone que la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea. Suponga que la dirección positiva es hacia arriba y tome k  0.0003. [Sugerencia0RGL¿TXH un poco la ED del problema 15.] 17. Esa sensación de hundimiento a) Determine una ecuación diferencial para la velocidad v(t) de una masa m que se hunde en agua que le da una resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea y también ejerce una fuerza boyante hacia arriba cuya magnitud está dada por el principio de Arquímedes. Vea el problema 18 de los ejercicios 1.3. Suponga que la dirección positiva es hacia abajo. b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a). c) Determine la velocidad límite, o terminal, de la masa hundida. 100 l CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 18. Colector solar La ecuación diferencial dy x  1x  y  dx y describe la forma de una curva plana C TXH UHÀHMD ORV haces de luz entrantes al mismo punto y podría ser un moGHORSDUDHOHVSHMRGHXQWHOHVFRSLRUHÀHFWRUXQDDQWHQD de satélite o un colector solar. Vea el problema 29 de los ejercicios 1.3. Hay varias formas de resolver esta ED. a) Compruebe que la ecuación diferencial es homogénea (vea la sección 2.5). Demuestre que la sustitución y  ux produce 2 2 11  u 1  11  u u du 2 ( 2 )  dx x . Utilice un SAC (u otra sustitución adecuada) para integrar el lado izquierdo de la ecuación. Muestre que la curva C debe ser una parábola con foco en el origen y simétrica respecto al eje x. b) Demuestre que la ecuación diferencial puede también resolverse por medio de la sustitución u  x2  y2. 19. Tsunami a) Un modelo simple para la forma de un tsunami o maremoto, está dado por dW  W 14  2W, dx donde W(x) 0 es la altura de la ola expresada como una función de su posición respecto a un punto en altamar. Examinando, encuentre todas las soluciones constantes de la ED. b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a). Un SAC puede ser útil para la integración. c) 8  VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDREWHQHUODVJUi¿FDVGHODVVROXFLRQHVTXHVDWLVIDFHQODFRQGLFLyQLQLcial W(0)  2. 20. Evaporación Un estanque decorativo exterior con forma de tanque semiesférico se llenará con agua bombeada hacia el tanque por una entrada en su fondo. Suponga que el radio del tanque es R  10 pies, que el agua se bombea a una rapidez de S pies3/minuto y que al inicio el tanque HVWiYDFtR9HDOD¿JXUD&RQIRUPHVHOOHQDHOWDQTXH éste pierde agua por evaporación. Suponga que la rapidez de evaporación es proporcional al área AGHODVXSHU¿FLHVREUH el agua y que la constante de proporcionalidad es k  0.01. a) La rapidez de cambio dV兾dt del volumen del agua al tiempo t es una rapidez neta. Utilice esta rapidez neta para determinar una ecuación diferencial para la altura h del agua al tiempo t. El volumen de agua que VHPXHVWUDHQOD¿JXUDHVV  pRh 2  13ph 3, donde R ([SUHVHHOiUHDGHODVXSHU¿FLHGHODJXDA  Sr2 en términos de h. b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a). Trace ODJUi¿FDGHODVROXFLyQ c) Si no hubiera evaporación, ¿cuánto tardaría en llenarse el tanque? d) Con evaporación, ¿cuál es la profundidad del agua en el tiempo que se determinó en el inciso c)? ¿Alguna YH]VHOOHQDUiHOWDQTXH"'HPXHVWUHVXD¿UPDFLyQ 21. (TXDFLyQGHO¿QGHOPXQGR Considere la ecuación diferencial dP kP1 c dt donde k 0 y c  0. En la sección 3.1 vimos que cuando c  0 la ecuación diferencial lineal dP兾dt  kP es un modelo matemático de una población P(t) que presenta un creFLPLHQWRQRDFRWDGRVREUHXQLQWHUYDORGHWLHPSRLQ¿QLWR> ), es decir P(t) → conforme t → . Vea el ejemplo 1 de la sección 3.1. a) Suponga para c  0.01 que la ecuación diferencial no lineal dP kP1.01, k 0 dt es un modelo matemático para una población de pequeños animales, donde el tiempo t se mide en meses. Resuelva la ecuación diferencial sujeta a la condición inicial P(0)  10 y al hecho de que la población de animales se ha duplicado en 5 meses. b) La ecuación diferencial del inciso a) se denomina HFXDFLyQGHO¿QGHOPXQGR porque la población P(t) presenta un crecimiento no acotado sobre un intervalo GHWLHPSR¿QLWR T), es decir, hay algún tiempo T tal que P(t) → conforme t → T. Encuentre T. c) A partir del inciso a), ¿qué es P(50)? ¿P(100)? 22. Fin del mundo o extinción Suponga que el modelo poEODFLRQDO  VHPRGL¿FDDVt dP dt P(bP a) a) Si a 0, b 0, demuestre mediante un diagrama fase (vea 2.1.2) que, dependiendo de las condiciones iniciales P(0)  P0, el modelo matemático podría inFOXLUXQHVFHQDULRGH¿QGHOPXQGR P(t) → ) o un escenario de extinción (P(t) → 0). b) Resuelva el problema con valores iniciales dP兾dt  P(0.0005P  0.1), P(0)  300 'HPXHVWUHTXHHVWHPRGHORSUHGLFHXQ¿QGHOPXQGR SDUDODSREODFLyQHQXQWLHPSR¿QLWRT. c) Resuelva la ecuación diferencial del inciso b) sujeta a la condición inicial P(0)  100. Demuestre que este modelo predice la extinción de la población conforme t → . Salida: el agua se evapora con una razón proporcional al área A de la superficie R h A V r Entrada: el agua se bombea con una razón de π pies 3/min a) tanque semiesférico b) sección transversal del tanque FIGURA 3.2.6 Estanque decorativo del problema 20. 3.2 Problemas de proyecto 23. Recta de regresión Lea en el manual de su SAC acerca de JUi¿FDV GH GLVSHUVLyQ (o diagramas de dispersión) y ajuste de rectas por mínimos cuadrados. La recta que mejor se ajusta a un conjunto de datos se llama recta de regresión o recta de mínimos cuadrados. Su tarea es construir un modelo logístico para la población de (VWDGRV8QLGRVGH¿QLHQGRf (P) en (2) como una ecuación de una recta de regresión que se basa en los datos de población que aparecen en la tabla del problema 4. Una manera de hacer esto es aproximar el lado izquierdo 1 dP de la primera ecuación en (2), utilizando el coP dt ciente de diferencias hacia adelante en lugar de dP兾dt: 1 P(t  h)  P(t) . P(t) h a) Haga una tabla de los valores t, P(t) y Q(t) usando t  0, 10, 20, . . . , 160 y h  10. Por ejemplo, el primer renglón de la tabla debería contener t  0, P(0) y Q(0). Con P(0)  3.929 y P(10)  5.308, Q(t)  1 P(10)  P(0)  0.035. P(0) 10 Observe que Q(160) depende de la población del censo de 1960 P(l70). Busque este valor. Use un SAC para obtener el diagrama de dispersión de los datos (P(t), Q(t)) que se calculó en el inciso a). También utilice un SAC para encontrar una ecuación GHODUHFWDGHUHJUHVLyQ\VXSHUSRQHUVXJUi¿FDHQHO diagrama de dispersión. Construya un modelo logístico dP兾dt  Pf (P), donde f (P) es la ecuación de la recta de regresión que se encontró en el inciso b). Resuelva el modelo del inciso c) usando la condición inicial P(0)  3.929. Utilice un SAC para obtener un diagrama de dispersión, esta vez de los pares ordenados (t, P(t)) de su tabla del LQFLVRD 8WLOLFHXQ6$&SDUDVXSHUSRQHUODJUi¿FDGH la solución del inciso d) en el diagrama de dispersión. Busque los datos del censo de Estados Unidos para 1970, 1980 y 1990. ¿Qué población predice el modelo logístico del inciso c) para estos años? ¿Qué predice el modelo para la población P(t) de Estados Unidos conforme t → ? Q(0)  b) c) d) e) f) 24. Modelo de inmigración a) En los ejemplos 3 y 4 de la sección 2.1 vimos que cualquier solución P(t) de (4) tiene el comportamiento asintótico P(t) → a兾b conforme t → para P0 a兾b y para 0  P0  a兾b; como consecuencia, la solución de equilibrio P  a兾b se llama un atractor. Utilice un programa para determinar raíces de XQ6$& RXQDFDOFXODGRUDJUD¿FDGRUD SDUDDSUR[LPDU la solución de equilibrio del modelo de inmigración dP  P(1  P)  0.3eP. dt MODELOS NO LINEALES l 101 b) 8  WLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODJUi¿FD de la función F(P)  P(1  P)  0.3e P. Explique FyPR VH SXHGH XWLOL]DU HVWD JUi¿FD SDUD GHWHUPLQDU si el número que se encontró en el inciso a) es un atractor. c) Use un programa de solución numérica para comparar las curvas solución de los PVI dP  P(1  P), P(0)  P0 dt Para P0  0.2 y P0  1.2 con las curvas solución para los PVI. dP  P(1  P)  0.3eP, P(0)  P0 dt para P0  0.2 y P0  1.2. Superponga todas las curvas en los mismos ejes de coordenadas pero, si es posible, utilice un color diferente para las curvas del segundo problema con valores iniciales. En un periodo largo, ¿qué incremento porcentual predice el modelo de inmigración en la población comparado con el modelo logístico? 25. Todo lo que sube . . . En el problema 16 sea ta el tiempo que tarda la bala de cañón en alcanzar su altura máxima y sea td el tiempo que tarda en caer desde la altura máxima hasta el suelo. Compare el valor ta con el valor de td y compare la magnitud de la velocidad de impacto vi con la velocidad inicial v0. Vea el problema 48 de los ejercicios 3.1. Aquí puede ser útil un programa para determinar raíces de un SAC. [Sugerencia: Utilice el modelo del problema 15 cuando la bala de cañón va cayendo.] 26. Paracaidismo Un paracaidista está equipado con un FURQyPHWUR\XQDOWtPHWUR&RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD 3.2.7, el paracaidista abre su paracaídas 25 segundos después de saltar del avión que vuela a una altitud de 20 000 pies, y observa que su altitud es de 14 800 pies. Suponga que la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea, la velocidad inicial del paracaidista al saltar del avión es cero y g  32 pies/s2. a) Encuentre la distancia s(t), medida desde el avión, que ha recorrido el paracaidista durante la caída libre en el tiempo t. [Sugerencia: 1R VH HVSHFL¿FD OD FRQVWDQWH de proporcionalidad k en el modelo del problema 15. Use la expresión para la velocidad terminal vt que se obtuvo en el inciso b) del problema 15 para eliminar k GHO39,/XHJR¿QDOPHQWHHQFXHQWUHvt.] b) ¿Qué distancia descendió el paracaidista y cuál es su velocidad cuando t  15 s? s(t) 14 800 pies 25 s FIGURA 3.2.7 Paracaidista del problema 26. 102 l CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 27. Tocando fondo Un helicóptero sobrevuela 500 pies por arriba de un gran tanque abierto lleno de líquido (no agua). Se deja caer un objeto compacto y denso que pesa 160 libras (liberado desde el reposo) desde el helicóptero en el líquido. Suponga que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantánea v en tanto el objeto está en el aire y que el amortiguamiento viscoso es proporcional a v2 después de que el objeto ha entrado al líquido. Para el aire, tome k  1 , y para el líquido tome k  0.1. Suponga que la dirección 4 positiva es hacia abajo. Si el tanque mide 75 pies de alto, determine el tiempo y la velocidad de impacto cuando el objeto golpea el fondo del tanque. [Sugerencia: Piense en términos de dos PVI distintos. Si se utiliza la ecuación (13), tenga cuidado de eliminar el signo de valor absoluto. Se podría comparar la velocidad cuando el objeto golpea el líquido, la velocidad inicial para el segundo problema, con la velocidad terminal vt del objeto cuando cae a través del líquido.] 28. Hombre en el río . . .  (QOD¿JXUD D VXSRQJDTXH el eje y y la recta vertical x  1 representan, respectivamente, las playas oeste y este de un río que tiene 1 milla GHDQFKR(OUtRÀX\HKDFLDHOQRUWHFRQXQDYHORFLGDGvr, donde |vr|  vr mi/h es una constante. Un hombre entra a la corriente en el punto (1, 0) en la costa este y nada en una dirección y razón respecto al río dada por el vector vs, donde la velocidad |vs|  vs mi/h es una constante. El hombre quiere alcanzar la costa oeste exactamente en (1, 0) y así nadar de tal forma que conserve su vector velocidad vs VLHPSUHFRQGLUHFFLyQKDFLD  8WLOLFHOD¿JXUDE como una ayuda para mostrar que un modelo matemático para la trayectoria del nadador en el río es dy vsy  vr 1x2  y2  . dx vs x [Sugerencia: La velocidad v del nadador a lo largo de la WUD\HFWRULDRFXUYDTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHV la resultante v  vs  vr. Determine vs y vr en componentes en las direcciones x y y. Si x  x(t), y  y(t) son ecuaciones paramétricas de la trayectoria del nadador, entonces v  (dx兾dt, dy兾dt)]. y nadador playa oeste playa este corriente vr (1, 0) x (0, 0) a) y vr (x(t), y(t)) vs y(t) θ (0, 0) (1, 0) x x(t) b) FIGURA 3.2.8 Trayectoria del nadador del problema 28. 29. a) Resuelva la ED del problema 28 sujeto a y(1)  0. Por conveniencia haga k  vr兾vs. b) Determine los valores de vs, para los que el nadador alcanzará el punto (0, 0) examinando lím y(x) en los x:0 casos k  1, k 1 y 0  k  1. 30. Hombre en el río se sigue moviendo . . . Suponga que el hombre del problema 28 de nuevo entra a la corriente en (1, 0) pero esta vez decide nadar de tal forma que su vector velocidad vs está siempre dirigido hacia la playa oeste. Suponga que la rapidez |vs|  vs mi/h es una constante. Muestre que un modelo matemático para la trayectoria del nadador en el río es ahora v dy   r. dx vs 31. La rapidez de la corriente vr de un río recto tal como el del problema 28 usualmente no es una constante. Más bien, una aproximación a la rapidez de la corriente (medida en millas por hora) podría ser una función tal como vr(x)  30x(1  x), 0  x  1, cuyos valores son pequeños en las costas (en este caso, vr(0)  0 y vr(1)  0 y más grande en la mitad de río. Resuelva la ED del problema 28 sujeto a y(1)  0, donde vs  2 mi/h y vr(x) está dado. Cuando el nadador hace esto a través del río, ¿qué tanto tendrá que caminar en la playa para llegar al punto (0, 0)? 32. Las gotas de lluvia siguen cayendo . . . Cuando hace poco se abrió una botella de refresco se encontró que dentro de la tapa decía: La velocidad promedio de una gota de lluvia cayendo es de 7 millas/hora. En una búsqueda rápida por la internet se encontró que el meteorólogo Jeff Haby ofrecía información adicional de que una gota de lluvia esférica en “promedio” tenía un radio de 0.04 pulg. y un volumen aproximado de 0.000000155 pies3. Utilice estos datos, y si se necesita investigue más, y haga otras suposiciones razonables para determinar si “la velocidad promedio de . . . 7 millas por hora” es consistente con los modelos de los problemas 35 y 36 de los ejercicios 3.1 y con el problema 15 de este conjunto de ejercicios. También vea el problema 36 de los ejercicios 1.3. 33. El tiempo gotea La clepsidra, o reloj de agua, fue un dispositivo que los antiguos egipcios, griegos, romanos y chinos usaban para medir el paso del tiempo al observar el cambio en la altura del agua a la que se le permitía salir por un agujero pequeño en el fondo de un tanque. a) Suponga que se ha hecho un tanque de vidrio y que tiene la forma de un cilindro circular recto de radio 1 pie. Suponga que h(0)  2 pies corresponde a agua llena hasta la tapa del tanque, un agujero en el fondo es circular con radio 321 pulg, g  32 pies/s2 y c  0.6. Utilice la ecuación diferencial del problema 12 para encontrar la altura h(t) del agua. b) Para el tanque del inciso a), ¿a qué altura desde su fondo se debería marcar ese lado, como se muestra en OD¿JXUDTXHFRUUHVSRQGHDOSDVRGHXQDKRUD" Después determine dónde colocaría las marcas correspondientes al paso de 2 h, 3 h, . . . , 12 h. Explique por qué estas marcas no están espaciadas uniformemente. 3.3 MODELADO CON SISTEMAS DE ED DE PRIMER ORDEN l 103 b) ¿Puede este reloj de agua medir 12 intervalos de tiempo de duración de 1 hora? Explique matemáticamente. 35. Suponga que r  f (h GH¿QHODIRUPDGHXQUHORMGHDJXD en el que las marcas del tiempo están igualmente espaciadas. Utilice la ecuación diferencial del problema 12 para encontrar f (h \GLEXMHXQDJUi¿FDWtSLFDGHh como una función de r. Suponga que el área de sección transversal Ah del agujero es constante. [Sugerencia: En este caso dh兾dt  a donde a 0 es una constante.] 1 1 hora 2 2 horas FIGURA 3.2.9 Clepsidra del problema 33. 1 34. a) Suponga que un tanque de vidrio tiene la forma de un cono con sección transversal circular como se muestra HQOD¿JXUD&RPRHQHOLQFLVRD GHOSUREOHPD 33, suponga que h(0)  2 pies corresponde a agua llena hasta la parte superior del tanque, un agujero circular en el fondo de radio 321 pulg, g  32 pies/s2 y c  0.6. Utilice la ecuación diferencial del problema 12 para encontrar la altura h(t) del agua. 3.3 2 FIGURA 3.2.10 Clepsidra del problema 34. MODELADO CON SISTEMAS DE ED DE PRIMER ORDEN REPASO DE MATERIAL l Sección 1.3. INTRODUCCIÓN Esta sección es similar a la sección 1.3 ya que se van a analizar ciertos modelos matemáticos, pero en lugar de una sola ecuación diferencial los modelos serán sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden. Aunque algunos de los modelos se basan en temas que se analizaron en las dos secciones anteriores, no se desarrollan métodos generales para resolver estos sistemas. Hay razones para esto: Primero, hasta el momento no se tienen las herramientas matemáticas necesarias para resolver sistemas. Segundo, algunos de los sistemas que se analizan, sobre todo los sistemas de ED no lineales de primer orden, simplemente no se pueden resolver de forma analítica. Los capítulos 4, 7 y 8 tratan métodos de solución para sistemas de ED lineales. SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES Hemos visto que una sola ecuación diferencial puede servir como modelo matemático para una sola población en un medio ambiente. Pero si hay, por ejemplo, dos especies que interactúan, y quizá compiten, viviendo en el mismo medio ambiente (por ejemplo, conejos y zorros), entonces un modelo para sus poblaciones x(t) y y(t) podría ser un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden como dx  g1(t, x, y) dt (1) dy  g2(t, x, y). dt Cuando g1 y g2 son lineales en las variables x y y, es decir, g1 y g2 tienen las formas g1(t, x, y) c1 x c2 y f1(t)฀ ฀ ฀ ฀ y฀ ฀ ฀ ฀ g2 (t, x, y) c3 x c4 y f2(t), GRQGHORVFRH¿FLHQWHVci podrían depender de t, entonces se dice que es un sistema lineal. Un sistema de ecuaciones diferenciales que no es lineal se llama no lineal. 104 l CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN SERIES RADIACTIVAS En el análisis del decaimiento radiactivo en las secciones 1.3 y 3.1 se supuso que la razón de decaimiento era proporcional a la cantidad A(t) de núcleos de la sustancia presentes en el tiempo t. Cuando una sustancia se desintegra por radiactividad, usualmente no transmuta en un solo paso a una sustancia estable, sino que la primera sustancia se transforma en otra sustancia radiactiva, que a su vez forma una tercera sustancia, etc. Este proceso, que se conoce como serie de decaimiento radiactivo continúa hasta que llega a un elemento estable. Por ejemplo, la serie de decaimiento del uranio es U-238 → Th-234 → → Pb-206, donde Pb-206 es un isótopo estable del plomo. La vida media de los distintos elementos de una serie radiactiva pueden variar de miles de millones de años (4.5  109 años para U-238) a una fracción de segundo. 1 2 Suponga que una serie radiactiva se describe en forma esquemática por X : Y : Z, donde k1  O1  0 y k2  O2  0 son las constantes de desintegración para las sustancias X y Y, respectivamente, y Z es un elemento estable. Suponga, también, que x(t), y(t) y z(t) denotan las cantidades de sustancias X, Y y Z, respectivamente, que quedan al tiempo t. La desintegración del elemento X se describe por dx  1x, dt mientras que la razón a la que se desintegra el segundo elemento Y es la razón neta dy  1 x   2 y, dt porque Y está ganando átomos de la desintegración de X y al mismo tiempo perdiendo átomos como resultado de su propia desintegración. Como Z es un elemento estable, simplemente está ganando átomos de la desintegración del elemento Y: dz   2 y. dt En otras palabras, un modelo de la serie de decaimiento radiactivo para los tres elementos es el sistema lineal de tres ecuaciones diferenciales de primer orden dx  1 x dt dy  1 x  2 y dt (2) dz  2 y. dt MEZCLAS &RQVLGHUH ORV GRV WDQTXHV TXH VH LOXVWUDQ HQ OD ¿JXUD  6XSRQJD que el tanque A contiene 50 galones de agua en los que hay disueltas 25 libras de sal. Suponga que el tanque B contiene 50 galones de agua pura. A los tanques entra y sale OtTXLGRFRPRVHLQGLFDHQOD¿JXUDVHVXSRQHTXHWDQWRODPH]FODLQWHUFDPELDGDHQWUH los dos tanques como el líquido bombeado hacia fuera del tanque B están bien mezclados. Se desea construir un modelo matemático que describa la cantidad de libras x1(t) y x2(t) de sal en los tanques A y B, respectivamente, en el tiempo t. agua pura 3 gal/min mezcla 1 gal/min A B mezcla 4 gal/min FIGURA 3.3.1 Tanques mezclados conectados. mezcla 3 gal/min 3.3 MODELADO CON SISTEMAS DE ED DE PRIMER ORDEN l 105 Con un análisis similar al de la página 23 en la sección 1.3 y del ejemplo 5 de la sección 3.1 vemos que la razón de cambio neta de x1(t) para el tanque A es razón de entrada de la sal dx1 –––  (3 gal/min) (0 lb/gal)  (1 gal/min) dt razón de salida de la sal ( ) x –––2 lb/gal  (4 gal/min) 50 ( ) x –––1 lb/gal 50 2 1   ––– x1  ––– x2. 25 50 De manera similar, para el tanque B la razón de cambio neta de x2(t) es dx2 x x x 4ⴢ 1 3ⴢ 2 1ⴢ 2 dt 50 50 50 2 2  x1  x2. 25 25 Así obtenemos el sistema lineal dx1 2 1   x1  x dt 25 50 2 (3) 2 2 dx2  x  x. dt 25 1 25 2 Observe que el sistema anterior va acompañado de las condiciones iniciales x1(0)  25, x2(0)  0. MODELO PRESA-DEPREDADOR Suponga que dos especies de animales interactúan dentro del mismo medio ambiente o ecosistema, y suponga además que la primera especie se alimenta sólo de vegetación y la segunda se alimenta sólo de la primera especie. En otras palabras, una especie es un depredador y la otra es una presa. Por ejemplo, los lobos cazan caribúes que se alimentan de pasto, los tiburones devoran peces pequeños y el búho nival persigue a un roedor del Ártico llamado lemming. Por razones de análisis, imagínese que los depredadores son zorros y las presas, conejos. Sea x(t) y y(t) las poblaciones de zorros y conejos, respectivamente, en el tiempo t. Si no hubiera conejos, entonces se podría esperar que los zorros, sin un suministro adecuado de alimento, disminuyeran en número de acuerdo con dx (4)  ax, a 0. dt Sin embargo, cuando hay conejos en el medio, parece razonable que el número de encuentros o interacciones entre estas dos especies por unidad de tiempo sea conjuntamente proporcional a sus poblaciones x y y, es decir, proporcional al producto xy. Así, cuando están presentes los conejos hay un suministro de alimento y, en consecuencia, los zorros se agregan al sistema en una proporción bxy, b 0. Sumando esta última proporción a (4) se obtiene un modelo para la población de zorros: dx (5)  ax  bxy. dt Por otro lado, si no hay zorros, entonces la población de conejos, con una suposición adicional de suministro ilimitado de alimento, crecería con una razón proporcional al número de conejos presentes al tiempo t : dy  dy, d 0. (6) dt Pero cuando están presentes los zorros, un modelo para la población de conejos es la ecuación (6) disminuida por cxy, c 0; es decir, la razón a la que los conejos son comidos durante sus encuentros con los zorros: dy  dy  cxy. dt (7) 106 l CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Las ecuaciones (5) y (7) constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales dx  ax  bxy  x(a  by) dt (8) dy  dy  cxy  y(d  cx), dt donde a, b, c y d son constantes positivas. Este famoso sistema de ecuaciones se conoce como modelo presa-depredador de Lotka-Volterra. Excepto por dos soluciones constantes, x(t)  0, y(t)  0 y x(t)  d兾c, y(t)  a兾b, el sistema no lineal (8) no se puede resolver en términos de funciones elementales. Sin embargo, es posible analizar estos sistemas en forma cuantitativa y cualitativa. Vea el capítulo 9, “Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales ordinarias”, y el capítulo 10 “Sistemas autónomos planos”. * EJEMPLO 1 Suponga que Modelo presa-depredador dx  0.16x  0.08xy dt dy  4.5y  0.9xy dt población x, y predadores presa tiempo t FIGURA 3.3.2 Las poblaciones de depredadores (rojo) y presa (azul) del ejemplo 1. representa un modelo presa-depredador. Debido a que se está tratando con poblaciones, se tiene x(t) 0, y(t) (QOD¿JXUDTXHVHREWXYRFRQODD\XGDGHXQSURJUDPDGH solución numérica, se ilustran las curvas de población características de los depredadores y la presa, superpuestas en los mismos ejes de coordenadas para este modelo. Las condiciones iniciales que se utilizaron fueron x(0)  4, y(0)  4. La curva en color rojo representa la población x(t) de los depredadores (zorros) y la curva en color azul es la población y(t) de la presa (conejos). Observe que el modelo al parecer predice que ambas poblaciones x(t) y y(t) son periódicas en el tiempo. Esto tiene sentido desde el punto de vista intuitivo porque conforme decrece el número de presas, la población de depredadores decrece en algún momento como resultado de un menor suministro de alimento; pero junto con un decrecimiento en el número de depredadores hay un incremento en el número de presas; esto, a su vez, da lugar a un mayor número de depredadores, que en última instancia origina otro decrecimiento en el número de presas. MODELOS DE COMPETENCIA Ahora suponga que dos especies de animales ocupan el mismo ecosistema, no como depredador y presa sino como competidores por los mismos recursos (como alimento y espacio vital) en el sistema. En ausencia de la otra, suponga que la razón a la que crece cada población está dada respectivamente por dx  ax dt y dy  cy, dt (9) Como las dos especies compiten, otra suposición podría ser que cada una de estas UD]RQHVVHUHGX]FDVLPSOHPHQWHSRUODLQÀXHQFLDRH[LVWHQFLDGHODRWUDSREODFLyQ$Vt un modelo para las dos poblaciones está dado por el sistema lineal dx  ax  by dt dy  cy  dx , dt (10) donde a, b, c y d son constantes positivas. Los capítulos 10 a 15 están en la versión ampliada de este libro, Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera. * 3.3 MODELADO CON SISTEMAS DE ED DE PRIMER ORDEN l 107 Por otra parte, se podría suponer, como se hizo en (5), que cada razón de crecimiento en (9) debe ser reducida por una razón proporcional al número de interacciones entra las dos especies: dx  ax  bxy dt (11) dy  cy  dxy. dt Examinando se encuentra que este sistema no lineal es similar al modelo presadepredador de Lotka-Volterra. Por último, podría ser más real reemplazar las razones en (9), lo que indica que la población de cada especie en aislamiento crece de forma exponencial, con tasas que indican que cada población crece en forma logística (es decir, en un tiempo largo la población se acota): dy dx (12)  a1 x  b1 x 2  a 2 y  b 2 y 2. y dt dt Cuando estas nuevas razones decrecen a razones proporcionales al número de interacciones, se obtiene otro modelo no lineal: dx  a1x  b1x 2  c1xy  x(a1  b1x  c1y) dt (13) dy  a2 y  b2 y 2  c2 xy  y(a2  b2 y  c 2 x), dt GRQGHORVFRH¿FLHQWHVVRQSRVLWLYRV3RUVXSXHVWRHOVLVWHPDOLQHDO  \ORVVLVWHPDV no lineales (11) y (13) se llaman modelos de competencia. A1 i1 B1 REDES Una red eléctrica que tiene más de una malla también da lugar a ecuaciones GLIHUHQFLDOHVVLPXOWiQHDV&RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUDODFRUULHQWHi1(t) se divide en las direcciones que se muestran en el punto B1 llamado SXQWRGHUDPL¿FDFLyQ de la red. Por la primera ley de Kirchhoff se puede escribir C1 i3 R1 i2 i1(t)  i2(t)  i3(t). E L1 L2 R2 A2 B2 C2 FIGURA 3.3.3 Red cuyo modelo está (14) Además, también se puede aplicar la segunda ley de Kirchhoff a cada malla. Para la malla A1B1B 2 A 2 A1, suponiendo una caída de voltaje en cada parte del circuito, se obtiene di2 (15) E(t)  i1R1  L1  i2R2. dt De modo similar, para la malla A1B1C1C 2 B 2 A 2 A1 tenemos que di3 . dt E (t)  i1R1  L2 dado en (17). (16) Usando (14) para eliminar i1 en (15) y (16) se obtienen dos ecuaciones lineales de primer orden para las corrientes i2(t) e i3(t): di 2  (R 1  R 2)i 2  R 1i 3  E (t) dt L1 i1 L E i3 i2 R C FIGURA 3.3.4 Red cuyo modelo son las ecuaciones (18). (17) di 3 R 1i 2  R 1i 3  E(t) . L2  dt Dejaremos esto como un ejercicio (vea el problema 14 de esta sección): mostrar que el sistema de ecuaciones diferenciales que describe las corrientes i1(t) e i2(t) en la red IRUPDGDSRUXQUHVLVWRUXQLQGXFWRU\XQFDSDFLWRUTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHV L di1  Ri2 dt  E(t) di RC 2  i2  i1  0. dt (18) 108 CAPÍTULO 3 l MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EJERCICIOS 3.3 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-4. Series radiactivas 1. Hasta el momento no se han analizado métodos mediante los que se puedan resolver sistemas de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, sistemas como (2) se pueden resolver sin otro conocimiento que el necesario para resolver una ecuación diferencial lineal. Encuentre una solución a (2) sujeto a las condiciones iniciales x(0)  x0, y(0)  0, z(0)  0. 2. En el problema 1, suponga que el tiempo se mide en días, que las constantes de desintegración son k1  0.138629 y k2  0.004951, y que x0  20. Utilice un programa de JUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODVJUi¿FDVGHODVVROXFLRQHVx(t), y(t) y z(t) en el mismo conjunto de ejes de coordenadas. 8WLOLFH ODV JUi¿FDV SDUD DSUR[LPDU ODV YLGDV PHGLDV GH sustancias X y Y. 7. Dos tanques muy grandes A y B están parcialmente llenos con 100 galones de salmuera cada uno. Al inicio, se disuelven 100 libras de sal en la solución del tanque A y 50 libras de sal en la solución del tanque B. El sistema es cerrado ya que el líquido bien mezclado se bombea sólo HQWUHORVWDQTXHVFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD a) 8WLOLFHODLQIRUPDFLyQTXHDSDUHFHHQOD¿JXUDSDUD construir un modelo matemático para el número de libras de sal x1(t) y x2(t) al tiempo t en los tanques A y B, respectivamente. b) Encuentre una relación entre las variables x1(t) y x2(t) que se cumpla en el tiempo t. Explique por qué esta relación tiene sentido desde el punto de vista intuitivo. Use esta relación para ayudar a encontrar la cantidad de sal en el tanque B en t  30 min. 3. 8WLOLFH ODV JUi¿FDV GHO SUREOHPD  SDUD DSUR[LPDU ORV tiempos cuando las cantidades x(t) y y(t) son las mismas, los tiempos cuando las cantidades x(t) y z(t) son las mismas y los tiempos cuando las cantidades y(t) y z(t) son las mismas. ¿Por qué tiene sentido, desde el punto de vista intuitivo, el tiempo determinado cuando las cantidades y(t) y z(t) son las mismas? mezcla 3 gal/min A 100 gal 4. Construya un modelo matemático para una serie radiactiva de cuatro elementos W, X, Y y Z, donde Z es un elemento estable. mezcla 2 gal/min FIGURA 3.3.6 Tanques de mezclado del problema 7. Mezclas 5. Considere dos tanques A y B, en los que se bombea y se saca líquido en la misma proporción, como se describe mediante el sistema de ecuaciones (3). ¿Cuál es el sistema de ecuaciones diferenciales si, en lugar de agua pura, se bombea al tanque A una solución de salmuera que contiene dos libras de sal por galón? 6. 8WLOLFH OD LQIRUPDFLyQ TXH VH SURSRUFLRQD HQ OD ¿JXUD 3.3.5 para construir un modelo matemático para la cantidad de libras de sal x1(t), x2(t) y x3(t) al tiempo t en los tanques A, B y C, respectivamente. agua pura 4 gal/min B 100 gal mezcla 2 gal/min A 100 gal mezcla 6 gal/min B 150 gal mezcla 4 gal/min C 100 gal mezcla 4 gal/min mezcla 4 gal/min 8. Tres tanques grandes contienen salmuera, como se muesWUD HQ OD ¿JXUD  &RQ OD LQIRUPDFLyQ GH OD ¿JXUD construya un modelo matemático para el número de libras de sal x1(t), x2(t) y x3(t) al tiempo t en los tanques A, B y C, respectivamente. Sin resolver el sistema, prediga los valores límite de x1(t), x2(t) y x3(t) conforme t → . C 100 gal mezcla 5 gal/min A 200 gal FIGURA 3.3.7 Tanques de mezclado del problema 8. mezcla 1 gal/min B 100 gal agua pura 4 gal/min mezcla 4 gal/min FIGURA 3.3.5 Tanques de mezclado del problema 6. Modelos presa-depredador 9. Considere el modelo depredador-presa de Lotka-Volterra GH¿QLGRSRU 3.3 MODELADO CON SISTEMAS DE ED DE PRIMER ORDEN dx  0.1x  0.02xy dt i1 dy  0.2y  0.025xy, dt donde las poblaciones x(t) (depredadores) y y(t) (presa) se miden en miles. Suponga que x(0)  6 y y(0)  6. 8WLOLFHXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFDSDUDJUD¿FDU x(t) y y(t 8VHODVJUi¿FDVSDUDDSUR[LPDUHOWLHPSRt 0 cuando las dos poblaciones son al principio iguales. Use ODVJUi¿FDVSDUDDSUR[LPDUHOSHULRGRGHFDGDSREODFLyQ 11. &RQVLGHUHHOPRGHORGHFRPSHWHQFLDGH¿QLGRSRU dx  x(1  0.1x  0.05y) dt dy  y(1.7  0.1y  0.15x), dt donde las poblaciones x(t) y x(t) se miden en miles y t en años. Utilice un programa de solución numérica para analizar las poblaciones en un periodo largo para cada uno de los casos siguientes: a) x(0)  1, y(0)  1 b) x(0)  4, y(0)  10 c) x(0)  9, y(0)  4 d) x(0)  5.5, y(0)  3.5 Redes 12. Demuestre que un sistema de ecuaciones diferenciales que describa las corrientes i2(t) e i3(t) en la red eléctrica TXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHV L R1 di2 di  L 3  R1i2  E(t) dt dt di 1 di2  R2 3  i3  0. dt dt C R1 C FIGURA 3.3.8 Red del problema 12. 13. Determine un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden que describa las corrientes i2(t) e i3(t) en la red HOpFWULFDTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD R1 10. &RQVLGHUHHOPRGHORGHFRPSHWHQFLDGH¿QLGRSRU donde las poblaciones x(t) y y(t) se miden en miles y t en años. Use un programa de solución numérica para analizar las poblaciones en un periodo largo para cada uno de los casos siguientes: a) x(0)  1.5, y(0)  3.5 b) x(0)  1, y(0)  1 c) x(0)  2, y(0)  7 d) x(0)  4.5, y(0)  0.5 109 i3 R2 i2 L E Modelos de competencia dx  x(2  0.4x  0.3y) dt dy  y(1  0.1y  0.3x), dt l i1 E i3 i2 L1 R2 L2 R3 FIGURA 3.3.9 Red del problema 13. 14. Demuestre que el sistema lineal que se proporciona en (18) describe las corrientes i1(t) e i2(t) en la red que se PXHVWUDHQOD¿JXUD>Sugerencia: dq兾dt  i3.] Modelos no lineales adicionales 15. Modelo SIR Una enfermedad contagiosa se propaga en XQDSHTXHxDFRPXQLGDGFRQXQDSREODFLyQ¿MDGHn personas, por contacto entre individuos infectados y personas que son susceptibles a la enfermedad. Suponga al principio que todos son susceptibles a la enfermedad y que nadie sale de la comunidad mientras se propaga la epidemia. En el tiempo t, sean s(t), i(t) y r(t), a su vez, el número de personas en la comunidad (medido en cientos) que son susceptibles a la enfermedad pero que aún no están infectadas, el número de personas que están infectadas con la enfermedad y el número de personas que se han recuperado de la enfermedad. Explique por qué el sistema de ecuaciones diferenciales ds  k1si dt di  k2i  k1si dt dr  k2i, dt donde k1 (llamada la razón de infección) y k2 (llamada la razón de eliminación) son constantes positivas, es un modelo matemático razonable, conocido comúnmente como modelo SIR, para la propagación de la epidemia en la comunidad. Asigne condiciones iniciales posibles relacionadas con este sistema de ecuaciones. 110 l CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 16. a) (QHOSUREOHPDH[SOLTXHSRUTXpHVVX¿FLHQWHDQDlizar sólo ds  k1si dt di  k2i  k1si . dt b) Suponga que k1  0.2, k2  0.7 y n  10. Elija varios valores de i(0)  i0, 0  i0  10. Use un programa de solución numérica para determinar lo que predice el modelo acerca de la epidemia en los dos casos s0 k2兾k1 y s0  k2兾k1. En el caso de una epidemia, estime HOQ~PHURGHSHUVRQDVTXH¿QDOPHQWHVHLQIHFWDQ Problemas de proyecto 17. Concentración de un nutriente Suponga que los compartimientos A y BTXHVHPXHVWUDQHQOD¿JXUDVH llenan con líquidos y se separan mediante una membrana SHUPHDEOH/D¿JXUDHVXQDUHSUHVHQWDFLyQVHFFLRQDOGHO exterior y el interior de una célula. Suponga también que un nutriente necesario para el crecimiento de la célula pasa por la membrana. Un modelo para las concentraciones x(t) y y(t) del nutriente en los compartimientos A y B, respectivamente, en el tiempo t se expresa mediante el siguiente sistema lineal de ecuaciones diferenciales dx   ( y  x) dt VA  dy  (x  y), dt VB donde VA y VB son los volúmenes de los compartimientos, y N 0 es un factor de permeabilidad. Sean x(0)  x0 y y(0)  y0 las concentraciones iniciales del nutriente. Con líquido a concentración x(t) A líquido a concentración y(t) B base únicamente en las ecuaciones del sistema y la suposición x0 y0 0, dibuje, en el mismo conjunto de coordenadas, posibles curvas solución del sistema. Explique su razonamiento. Analice el comportamiento de las soluciones en un tiempo largo. 18. El sistema del problema 17, al igual que el sistema en (2), se puede resolver sin un conocimiento avanzado. Resuelva para x(t) y y(t \FRPSDUHVXVJUi¿FDVFRQVXV dibujos del problema 17. Determine los valores límite de x(t) y y(t) conforme t → . Explique por qué la respuesta de la última pregunta tiene sentido intuitivamente. 19. Con base sólo en la descripción física del problema de PH]FODGHODSiJLQD\OD¿JXUDDQDOLFHODQDWXraleza de las funciones x1(t) y x2(t). ¿Cuál es el comportamiento de cada función durante un tiempo largo? Dibuje ODVJUi¿FDVSRVLEOHVGHx1(t) y x2(t). Compruebe sus conjeturas mediante un programa de solución numérica para obtener las curvas solución de (3) sujetas a las condiciones iniciales x1(0)  25, x2(0)  0. 20. Ley de Newton del enfriamiento/calentamiento Como VHPXHVWUDHQOD¿JXUDXQDSHTXHxDEDUUDPHWiOLFDVH coloca dentro del recipiente A y éste se coloca dentro de un recipiente B mucho más grande. A medida que se enfría la barra metálica, la temperatura ambiente TA(t) del medio dentro del recipiente A cambia de acuerdo con la ley de Newton del enfriamiento. Conforme se enfría el recipiente A, la temperatura en la parte media dentro del recipiente B no cambia de manera importante y se puede considerar una constante TB. Construya un modelo matemático para las temperaturas T(t) y TA(t), donde T(t) es la temperatura de la barra metálica dentro del recipiente A. Como en los problemas 1 y 18, este modelo se puede resolver usando los conocimientos adquiridos. Encuentre una solución del sistema sujeto a las condiciones iniciales T(0)  T0, TA(0)  T1. recipiente B recipiente A barra metálica TA (t) membrana FIGURA 3.3.10 Flujo de nutrientes a través de una membrana del problema 17. TB = constante FIGURA 3.3.11 Recipiente dentro de un recipiente del problema 20. REPASO DEL CAPÍTULO 3 REPASO DEL CAPÍTULO 3 l 111 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-4. Responda los problemas 1 y 2 sin consultar las respuestas del libro. Llene los espacios en blanco y responda verdadero o falso. concentración C(t) 1. Si P(t)  P0e da la población en un medio ambiente al tiempo t, entonces una ecuación diferencial que satisface . P(t) es 0.15t 2. Si la razón de desintegración de una sustancia radiactiva es proporcional a la cantidad A(t) que queda en el tiempo t, entonces la vida media de la sustancia es necesariamente T  (ln 2)兾k. La razón de decaimiento de la sustancia en el tiempo t  T es un medio de la razón de decaimiento en t  0. 3. En marzo de 1976 la población mundial llegó a cuatro mil millones. Una popular revista de noticias predijo que con una razón de crecimiento anual promedio de 1.8%, la población mundial sería de 8 mil millones en 45 años. ¿Cómo se compara este valor con el que se predice por el modelo en el que se supone que la razón de crecimiento en la población es proporcional a la población presente en el tiempo t? 4. A una habitación cuyo volumen es 8 000 pies3 se bombea aire que contiene 0.06% de dióxido de carbono. Se introGXFH D OD KDELWDFLyQ XQ ÀXMR GH DLUH GH  SLHV3/min \VHH[WUDHHOPLVPRÀXMRGHDLUHFLUFXODGR6LKD\XQD concentración inicial de 0.2% de dióxido de carbono en la habitación, determine la cantidad posterior en la habitación al tiempo t. ¿Cuál es la concentración a los 10 minutos? ¿Cuál es la concentración de dióxido de carbono de estado estable o de equilibrio? 5. Resuelva la ecuación diferencial y dy  2 dx 1s  y2 de la tractriz. Vea el problema 28 de los ejercicios 1.3. Suponga que el punto inicial en el eje y es (0, 10) y que la longitud de la cuerda es x  10 pies. 6. Suponga que una célula está suspendida en una solución que contiene un soluto de concentración constante Cs. Suponga además que la célula tiene volumen constante V y que el área de su membrana permeable es la constante A. Por la ley de Fick, la rapidez de cambio de su masa m es directamente proporcional al área A y la diferencia Cs – C(t), donde C(t) es la concentración del soluto dentro de la célula al tiempo t. Encuentre C(t) si m  V C(t) y C(0)  C09HDOD¿JXUD5 concentración Cs moléculas de soluto difundiéndose a través de la membrana de la célula FIGURA 3.R.1 Célula del problema 6. 7. Suponga que conforme se enfría un cuerpo, la temperatura del medio circundante aumenta debido a que absorbe por completo el calor que pierde el cuerpo. Sean T(t) y Tm(t) las temperaturas del cuerpo y el medio al tiempo t, respectivamente. Si la temperatura inicial del cuerpo es T1 y la temperatura inicial del medio de T2, entonces se puede mostrar en este caso que la ley de Newton del enfriamiento es dT兾dt  k(T – Tm), k  0, donde Tm  T2  B(T1  T), B 0 es una constante. a) La ED anterior es autónoma. Utilice el concepto de esquema de fase de la sección 2.1 para determinar el valor límite de la temperatura T(t) conforme t → . ¿Cuál es el valor límite de Tm(t) conforme t → ? b) Compruebe sus respuestas del inciso a) resolviendo la ecuación diferencial. c) Analice una interpretación física de sus respuestas en el inciso a). 8. De acuerdo con la ley de Stefan de la radiación, la temperatura absoluta T de un cuerpo que se enfría en un medio a temperatura absoluta constante Tm está dada como dT  k(T 4  T 4m ), dt donde k es una constante. La ley de Stefan se puede utilizar en un intervalo de temperatura mayor que la ley de Newton del enfriamiento. a) Resuelva la ecuación diferencial. b) Muestre que cuando T  Tm es pequeña comparada con Tm entonces la ley de Newton del enfriamiento se aproxima a la ley de Stefan. [Sugerencia: Considere la serie binomial del lado derecho de la ED.] 9. Un circuito LR en serie tiene un inductor variable con la LQGXFWDQFLDGH¿QLGDSRU L(t)  冦 1 0, 1 t, 10 0  t  10 t  10 . Encuentre la corriente i(t) si la resistencia es 0.2 ohm, el voltaje aplicado es E(t)  4 e i(0) 7UDFHODJUi¿FDGHi(t). 112 l CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 10. Un problema clásico en el cálculo de variaciones es encontrar la forma de una curva Ꮿ tal que una cuenta, bajo la inÀXHQFLDGHODJUDYHGDGVHGHVOLFHGHOSXQWRA(0, 0) al punto B(x1, y1 HQHOPHQRUWLHPSR9HDOD¿JXUD56HSXHGH demostrar que una ecuación no lineal para la forma y(x) de la trayectoria es y[1  (y)2]  k, donde k es una constante. Primero resuelva para dx en términos de y y dy; y después utilice la sustitución y  k sen2ș para obtener una forma paramétrica de la solución. La curva Ꮿ resulta ser una cicloide. A(0, 0) cuenta H(x, y, c 2 ) = 0 FIGURA 3.R.4 Trayectorias ortogonales. 14. y  B(x1, y1) y FIGURA 3.R.2 Cuenta deslizando del problema 10. 11. Un modelo para las poblaciones de dos especies de animales que interactúan es dx  k1x (  x) dt dy  k 2 xy. dt Resuelva para x y y en términos de t. 12. En un principio, dos tanques grandes A y B contienen cada uno 100 galones de salmuera. El líquido bien mezclado se ERPEHDHQWUHORVUHFLSLHQWHVFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD 58WLOLFHODLQIRUPDFLyQGHOD¿JXUDSDUDFRQVWUXLUXQ modelo matemático para el número de libras de sal x1(t) y x2(t) al tiempo t en los recipientes A y B, respectivamente. 2 lb/gal 7 gal/min tangentes 13. y  x  1  c 1e x x mg G(x, y, c1) = 0 15. Desintegración del Potasio-40 Uno de los elementos más abundantes que se encuentran a lo largo de la corteza terrestre y los océanos es el potasio. Aunque el potasio se presenta naturalmente en forma de tres isótopos, sólo el isótopo de potasio-40 (K-40) es radiactivo. Este isótopo es un poco inusual ya que decae en dos reacciones nucleares diferentes. Con el tiempo, mediante la emisión de una partícula beta, un gran porcentaje de una cantidad inicial de K-40 decae en el isótopo estable de calcio-40 (Ca-40), mientras que por captura de electrones un porcentaje más pequeño de K-40 decae en el isótopo estable argón-40 (Ar-40).* Debido a que la velocidad a la cual aumentan las cantidades C(t) del Ca-40 y A(t) del Ar-40 es proporcional a la cantidad K(t) de potasio presente, y la rapidez con que disminuye el potasio también es proporcional a K(t), obtenemos el sistema de ecuaciones lineales de primer orden siguiente donde Ȝ1 y Ȝ2 son constantes de proporcionalidad positivas dC dt dA dt dK dt mezcla 5 gal/min A 100 gal mezcla 3 gal/min B 100 gal mezcla 1 gal/min 1 x  c1 O 2K (O1 O 2)K a) Del sistema anterior de ecuaciones diferenciales determine K(t) si K(0)  K0. Después encuentre C(t) y A(t) si C(0)  0 y A(0)  0. b) Si se sabe que Ȝ1  4.7526  1010\Ȝ2  0.5874  1010 determine la vida media de K-40. c) Utilice sus soluciones para C(t) y A(t) para determinar el porcentaje de una cantidad inicial K0 de K-40 que decae en Ca-40 y el porcentaje que decae en Ar-40 durante un periodo prolongado de tiempo. mezcla 4 gal/min FIGURA 3.R.3 Recipientes de mezclado del problema 12. Cuando todas las curvas de una familia G(x, y, c1)  0 intersecan ortogonalmente todas las curvas de otra familia H(x, y, c2)  0, se dice que las familias son trayectorias ortogonalesHQWUHVt9HDOD¿JXUD56Ldy兾dx  f (x, y) es la ecuación diferencial de una familia, entonces la ecuación diferencial para las trayectorias ortogonales de esta familia es dy兾dx  1兾f (x, y). En los problemas 13 y 14, encuentre la ecuación diferencial de la familia suministrada. Determine las trayectorias de esta familia. Utilice un SURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODVJUi¿FDVGHDPEDV familias en el mismo conjunto de ejes coordenados. O1K El conocimiento de cómo decae el K-40 es la base del método de datación de argón potasio. Este método se puede utilizar para encontrar la edad de rocas ígneas muy antiguas. Los fósiles a veces se pueden datar indirectamente datando las rocas ígneas en los sustratos en donde se encuentran los fósiles * 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 4.1 Teoría preliminar: Ecuaciones lineales 4.1.1 Problemas con valores iniciales y con valores en la frontera 4.1.2 Ecuaciones homogéneas 4.1.3 Ecuaciones no homogéneas 4.2 Reducción de orden 4.3 (FXDFLRQHVOLQHDOHVKRPRJpQHDVFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV 4.4 &RH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV0pWRGRGHVXSHUSRVLFLyQ 4.5 &RH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV0pWRGRGHODQXODGRU 4.6 Variación de parámetros 4.7 Ecuación de Cauchy-Euler 4.8 Funciones de Green 4.8.1 Problemas con valores iniciales 4.8.2 Problemas con valores en la frontera 4.9 Solución de sistemas de ED lineales por eliminación 4.10 Ecuaciones diferenciales no lineales REPASO DEL CAPÍTULO 4 Ahora abordaremos la solución de ecuaciones diferenciales de segundo orden o superior. En las primeras siete secciones de este capítulo se analizan la teoría fundamental y ciertas clases de ecuaciones lineales. Lo nuevo, pero opcional, es la sección 4.8, donde partimos del material de la sección 4.6 para elaborar las funciones de Green que nos permiten resolver problemas lineales con valores iniciales y problemas con valores en la frontera. El método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones lineales se introduce en la sección 4.9 porque este método simplemente disuelve un sistema en ecuaciones lineales de cada variable dependiente. El capítulo concluye con un breve análisis de ecuaciones no lineales de orden superior en la sección 4.10. 113 114 l CAPÍTULO 4 4.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES REPASO DE MATERIAL l Lea nuevamente los ComentariosDO¿QDOGHODVHFFLyQ l Sección 2.3 (especialmente páginas 54 a 56). INTRODUCCIÓN En el capítulo 2 vimos que se pueden resolver algunas ecuaciones diferenciales de primer orden si se reconocen como separables, exactas, homogéneas o, quizás, ecuaciones de Bernoulli. Aunque las soluciones de estas ecuaciones estuvieran en la forma de una familia uniparamétrica, esta familia, con una excepción, no representa la solución de la ecuación diferencial. Sólo en el caso de las ED lineales de primer orden se pueden obtener soluciones generales considerando ciertas condiciones iniciales. Recuerde que una solución generalHVXQDIDPLOLDGHVROXFLRQHVGH¿QLGDHQ algún intervalo I que contiene todasODVVROXFLRQHVGHOD('TXHHVWiQGH¿QLGDVHQI. Como el objetivo principal de este capítulo es encontrar soluciones generales de ED lineales de orden superior, primero necesitamos examinar un poco de teoría de ecuaciones lineales. 4.1.1 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES Y CON VALORES EN LA FRONTERA PROBLEMA CON VALORES INICIALES  (QODVHFFLyQVHGH¿QLyXQSUREOHPD con valores iniciales para una ecuación diferencial de n-ésimo orden. Para una ecuación diferencial lineal, un problema con valores iniciales de n-ésimo orden es Resuelva: Sujeta a: an(x) d ny dx n y(x0) an 1(x) y0, y (x0) d n 1y dx n 1 a1(x) y1 , . . . , dy dx (n 1) y (x0) a0(x)y g(x) (1) yn 1. 5HFXHUGHTXHSDUDXQSUREOHPDFRPRpVWHVHEXVFDXQDIXQFLyQGH¿QLGDHQDOJ~QLQtervalo I, que contiene a x0, que satisface la ecuación diferencial y las n condiciones LQLFLDOHVTXHVHHVSHFL¿FDQHQx0: y(x0)  y0, y(x0)  y1, . . . , y(n1)(x0)  yn1. Ya hemos visto que en el caso de un problema con valores iniciales de segundo orden, una curva solución debe pasar por el punto (x0, y0) y tener pendiente y1 en este punto. EXISTENCIA Y UNICIDAD En la sección 1.2 se expresó un teorema que daba las condiciones con las que se garantizaba la existencia y unicidad de una solución de un problema con valores iniciales de primer orden. El teorema que sigue tiene condiciones VX¿FLHQWHVSDUDODH[LVWHQFLD\XQLFLGDGGHXQDVROXFLyQ~QLFDGHOSUREOHPDHQ   TEOREMA 4.1.1 Existencia de una solución única Sean an(x), an  1(x), . . . , a1(x), a0(x) y g(x) continuas en un intervalo I, y sea an(x)  0 para toda x en este intervalo. Si x  x0 es cualquier punto en este intervalo, entonces una solución y(x) del problema con valores iniciales (1) existe en el intervalo y es única. EJEMPLO 1 Solución única de un PVI El problema con valores iniciales 3y 5y y 7y 0, y(1) 0, y (1) 0, y (1) 0 tiene la solución trivial y  0. Debido a que la ecuación de tercer orden es lineal con FRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVVHFXPSOHQODVFRQGLFLRQHVGHOWHRUHPD3RUWDQWRy  0 es la única solución en cualquier intervalo que contiene a x  1. 4.1 EJEMPLO 2 TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES l 115 Solución única de un PVI Se debe comprobar que la función y  3e 2x  e2x  3x es una solución del problema con valores iniciales y 4y 12x, y(0) 4, y (0) 1. $KRUD OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HV OLQHDO ORV FRH¿FLHQWHV DVt FRPR g(x)  12x, son continuos y a2(x)  1  0 en algún intervalo I que contenga a x  0. Concluimos del teorema 4.1.1 que la función dada es la única solución en I. Los requisitos en el teorema 4.1.1 de que ai(x), i  0, 1, 2, . . . , n sean continuas y an(x)  0 para toda x en I son importantes. En particular, si an(x)  0 para algún x en el intervalo, entonces la solución de un problema lineal con valores iniciales podría no ser única o ni siquiera existir. Por ejemplo, se debe comprobar que la función y  cx 2  x  3 es una solución de problema con valores iniciales x2 y 2xy 2y 6, y(0) 3, y (0) 1 en el intervalo ( , ) para alguna elección del parámetro c. En otras palabras, no hay solución única del problema. Aunque se satisface la mayoría de las condiciones GHOWHRUHPDODVGL¿FXOWDGHVREYLDVVRQTXHa2(x)  x2 es cero en x  0 y que las condiciones iniciales también se imponen en x  0. y PROBLEMA CON VALORES EN LA FRONTERA Otro tipo de problema consiste en resolver una ecuación diferencial lineal de orden dos o mayor en el que la variable dependiente yRVXVGHULYDGDVVHHVSHFL¿FDQHQdiferentes puntos. Un problema tal como soluciones de la ED (b, y1) (a, y0) I x FIGURA 4.1.1 Curvas solución de un PVF que pasan a través de dos puntos. Resuelva: a2(x) Sujeto a: y(a) d 2y dx2 a1(x) y0 , dy dx y(b) a0(x)y g(x) y1 se conoce como un problema con valores en la frontera (PVF). Los valores prescritos y(a)  y0 y y(b)  y1 se denominan condiciones en la frontera. Una solución del problema anterior es una función que satisface la ecuación diferencial en algún intervalo I, que contiene a a y bFX\DJUi¿FDSDVDSRUORVSXQWRV a, y0) y (b, y1 9HDOD¿JXUD Para una ecuación diferencial de segundo orden, otros pares de condiciones en la frontera podrían ser y (a) y0 , y(b) y1 y(a) y0 , y (b) y1 y (a) y0 , y (b) y1, donde y0 y y1 denotan constantes arbitrarias. Estos tres pares de condiciones son sólo casos especiales de las condiciones generales en la frontera. 1 y(a) 1y (a) 1 2 y(b) 2y (b) 2. En el siguiente ejemplo se muestra que aun cuando se cumplen las condiciones del teorema 4.1.1, un problema de valores en la frontera puede tener varias soluciones (como VHVXJLHUHHQOD¿JXUD XQDVROXFLyQ~QLFDRQRWHQHUQLQJXQDVROXFLyQ EJEMPLO 3 Un PVF puede tener muchas, una o ninguna solución En el ejemplo 7 de la sección 1.1 vimos que la familia de soluciones de dos parámetros de la ecuación diferencial x  16x  0 es (2) a) Suponga que ahora deseamos determinar la solución de la ecuación que satisface más condiciones en la frontera x(0)  0, x(ʌ兾2)  0. Observe que la primera x c1 cos 4t c2 sen 4t. 116 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR condición 0  c1 cos 0  c2 sen 0 implica que c1  0, por tanto x  c2 sen 4t. Pero cuando t  ʌ兾2, 0  c2 sen 2ʌ se satisface para cualquier elección de c2 ya que sen 2ʌ  0. Por tanto el problema con valores en la frontera x 1 c2 = 0 c2 = 1 1 c2 = 2 c2 = (3) 0 2  WLHQHXQQ~PHURLQ¿QLWRGHVROXFLRQHV(QOD¿JXUDVHPXHVWUDQODVJUi¿FDV de algunos de los miembros de la familia uniparamétrica x  c2 sen 4t que pasa por los dos puntos (0, 0) y (ʌ兾2, 0). b) Si el problema con valores en la frontera en (3) se cambia a 1 4 t 1 (0, 0) c2 = − 1 2 (π /2, 0) FIGURA 4.1.2 Curvas solución para el PVF del inciso (a) del ejemplo 3 x 16x 0, x(0) 0, x x 16x 0, x(0) 0, x (4) 0, 8 entonces x(0)  0 aún requiere que c1  0 en la solución (2). Pero aplicando x(ʌ兾8)  0 a x  c2 sen 4t requiere que 0  c2 sen (ʌ兾2)  c2 ⴢ 1. Por tanto x  0 es una solución de este nuevo problema con valores en la frontera. De hecho, se puede demostrar que x  0 es la única solución de (4). c) Por último, si se cambia el problema a (5) 1, 2 se encuentra de nuevo de x(0)  0 que c1  0, pero al aplicar x(ʌ兾2)  1 a x  c2 sen 4t conduce a la contradicción 1  c2 sen 2ʌ  c2 ⴢ 0  0. Por tanto el problema con valores en la frontera (5) no tiene solución. 16x x 4.1.2 0, x(0) 0, x ECUACIONES HOMOGÉNEAS Una ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden de la forma dny d n 1y dy a (x) a1(x) n 1 n n 1 dx dx dx se dice que es homogénea, mientras que una ecuación an(x) an(x) Por favor, recuerde estas dos suposiciones dny dx n an 1(x) d n 1y dx n 1 a1(x) dy dx a0(x)y a0(x)y 0 (6) g(x), (7) con g(x) no idénticamente igual a cero, es no homogénea. Por ejemplo, 2y  3y  5y  0 es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden, mientras que x3y  6y  10y  ex es una ecuación diferencial lineal de tercer orden no homogénea. La palabra homogéneaHQHVWHFRQWH[WRQRVHUH¿HUHDORVFRH¿FLHQWHV que son funciones homogéneas, como en la sección 2.5. Después veremos que para resolver una ecuación lineal no homogénea (7), primero se debe poder resolver la ecuación homogénea asociada (6). Para evitar la repetición innecesaria en lo que resta de este libro, se harán, como algo natural, las siguientes suposiciones importantes cuando se establezcan GH¿QLFLRQHV \ WHRUHPDV DFHUFD GH ODV HFXDFLRQHV OLQHDOHV   (Q DOJ~Q LQWHUYDOR común I, • ODVIXQFLRQHVFRH¿FLHQWHVai(x), i  0, 1, 2, . . . , n y g(x) son continuas; • a n(x)  0 para toda x en el intervalo. OPERADORES DIFERENCIALES En cálculo, la derivación se denota con frecuencia con la letra D mayúscula, es decir, dy兾dx  Dy. El símbolo D se conoce como operador diferencial porque convierte una función derivable en otra función. Por ejemplo, D(cos 4x)  4 sen 4x y D(5x3  6x2)  15x2  12x. Las derivadas de orden superior se expresan en términos de D de manera natural: d dy dx dx d 2y dx2 D(Dy) D2y y, en general dny dxn Dn y, 4.1 TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES l 117 donde y UHSUHVHQWD XQD IXQFLyQ VX¿FLHQWHPHQWH GHULYDEOH /DV H[SUHVLRQHV SROLQRmiales en las que interviene D, tales como D  3, D2  3D  4 y 5x3D3  6x2D2  4xD VRQWDPELpQRSHUDGRUHVGLIHUHQFLDOHV(QJHQHUDOVHGH¿QHXQoperador diferencial de n-ésimo orden u operador polinomial como L  an(x)D n  an1(x)D n1   a1(x)D  a 0(x). (8) Como una consecuencia de dos propiedades básicas de la derivada, D(cf(x))  cDf(x), c es una constante y D{f(x)  g(x)}  Df(x)  Dg(x), el operador diferencial L tiene una propiedad de linealidad; es decir, L operando sobre una combinación lineal de dos funciones diferenciables es lo mismo que la combinación lineal de L operando en cada una de las funciones. Simbólicamente esto se expresa como L{ĮI (x)  ȕJ(x)}  Į/( f (x))  ȕ/(g(x)), (9) donde Į y ȕ son constantes. Como resultado de (9) se dice que el operador diferencial de n-ésimo orden es un operador lineal. ECUACIONES DIFERENCIALES Cualquier ecuación diferencial lineal puede expresarse en términos de la notación D. Por ejemplo, la ecuación diferencial y  5y  6y  5x  3 se puede escribir como D2y  5Dy  6y  5x – 3 o (D2  5D  6) y  5x  3. Usando la ecuación (8), se pueden escribir las ecuaciones diferenciales lineales de n-énesimo orden (6) y (7) en forma compacta, respectivamente, como L( y) 0 y L( y) g(x), PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN En el siguiente teorema se ve que la suma o superposición de dos o más soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea es también una solución. TEOREMA 4.1.2 Principio de superposición, ecuaciones homogéneas Sean y1, y2, . . . , yk soluciones de la ecuación homogénea de n-ésimo orden (6) en un intervalo I. Entonces la combinación lineal y c1 y1(x) c2 y2(x) ck yk(x), donde las ci, i  1, 2, . . . , k son constantes arbitrarias, también es una solución en el intervalo. DEMOSTRACIÓN Se demuestra el caso k  2. Sea L el operador diferencial que VHGH¿QLyHQ  \VHDQy1(x) y y2(x) soluciones de la ecuación homogénea L(y)  0. 6LVHGH¿QHy  c௘y1(x)  c௘௘y2(x), entonces por la linealidad de L se tiene que L( y) L{c1 y1(x) c2 y2(x)} c1 L( y1) c2 L( y2) c1 0 c2 0 0. COROLARIOS DEL TEOREMA 4.1.2 A) Un múltiplo constante y  c௘y1(x) de una solución y1(x) de una ecuación diferencial lineal homogénea es también una solución. B) Una ecuación diferencial lineal homogénea tiene siempre la solución trivial y  0. EJEMPLO 4 Superposición – ED homogénea Las funciones y1  x2 y y2  x2 ln x son soluciones de la ecuación lineal homogénea x3y  2xy  4y  0 en el intervalo (0, ). Por el principio de superposición, la combinación lineal y c1x2 c2 x2 ln x es también una solución de la ecuación en el intervalo. 118 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR La función y  e7x es una solución de y  9y  14y  0. Debido a que la ecuación diferencial es lineal y homogénea, el múltiplo constante y  ce7x es también una solución. Para varios valores de c se ve que y  9e7x, y  0, y 15e7x , . . . son todas soluciones de la ecuación. DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL Los siguientes dos conceptos son básicos para el estudio de ecuaciones diferenciales lineales. DEFINICIÓN 4.1.1 Dependencia e independencia lineal Se dice que un conjunto de funciones f1(x), f2(x), . . . , fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes c1, c2, . . . , cn no todas cero, tales que c1 f1(x) y f1 = x x a) y f2 = |x | x b) FIGURA 4.1.3 El conjunto que consiste en f1 y f2 es linealmente independiente en ( , ). c2 f2(x) cn fn(x) 0 para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente. En otras palabras, un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo I si las únicas constantes para las que c1 f1(x) c2 f2(x) cn fn(x) 0 . . .  cn  0. para toda x en el intervalo son c1  c2  (VIiFLOHQWHQGHUHVWDVGH¿QLFLRQHVSDUDXQFRQMXQWRTXHFRQVLVWHHQGRVIXQFLRQHV f1(x) y f2(x). Si el conjunto de funciones es linealmente dependiente en un intervalo, entonces existen constantes c1 y c2 que no son ambas cero de manera tal que, para toda x en el intervalo, c1 f1(x)  c2 f2(x)  0. Por tanto, si suponemos que c1  0, se deduce que f1(x)  (c2兾c1) f2(x); es decir, si un conjunto de dos funciones es linealmente dependiente, entonces una función es simplemente un múltiplo constante del otro. A la inversa, si f1(x)  c௘௘f2(x) para alguna constante c2, entonces ( 1) ⴢ f1(x)  c2 f2(x)  0 para toda x en el intervalo. Así, el conjunto de funciones es linealmente dependiente porque al menos una de las constantes (en particular, c1  1) no es cero. Se concluye que un conjunto de dos funciones f1(x) y f2(x) es linealmente independiente cuando ninguna función es un múltiplo constante de la otra en el intervalo. Por ejemplo, el conjunto de funciones f1(x)  sen 2x, f2(x)  sen x cos x es linealmente dependiente en ( , ) porque f1(x) es un múltiplo constante de f2(x). Recuerde de la fórmula del seno del doble de un ángulo que sen 2x  2 sen x cos x. Por otro lado, el conjunto de funciones f1(x)  x, f2(x)  兩x兩 es linealmente independiente en ( , $OH[DPLQDUOD¿JXUDGHEHFRQYHQFHUVHGH que ninguna función es un múltiplo constante de la otra en el intervalo. Del análisis anterior se tiene que el cociente f2(x)兾f1(x) no es una constante en un intervalo en el que el conjunto f1(x), f2(x) es linealmente independiente. Esto se usará en la siguiente sección. EJEMPLO 5 Conjunto de funciones linealmente dependiente El conjunto de funciones f1(x)  cos2x, f2(x)  sen2x, f3(x)  sec2x, f4(x)  tan2x es linealmente dependiente en el intervalo (ʌ兾2, ʌ兾2) porque c1 cos2x c2 sen2x c3 sec2x c4 tan2x 0 donde c1  c2  1, c3  1, c4  1. Aquí se usa cos x  sen x  1 y 1  tan2x  sec2x. 2 2 Un conjunto de funciones f1(x), f2(x), . . . , fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo si al menos una función se puede expresar como una combinación lineal de las otras funciones. EJEMPLO 6 Conjunto de funciones linealmente dependientes El conjunto de funciones f1(x) 1x 5, f2(x) 1x 5x, f3(x)  x  1, f4(x)  x 2 es linealmente dependiente en el intervalo (0, ) porque f2 puede escribirse como una combinación lineal de fl, f3 y f4. Observe que 4.1 f2(x) TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES 1 f1(x) 5 f3(x) l 119 0 f4(x) para toda x en el intervalo (0, ). SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES Estamos interesados principalmente en funciones linealmente independientes o con más precisión, soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal. Aunque se podría apeODUVLHPSUHHQIRUPDGLUHFWDDODGH¿QLFLyQUHVXOWDTXHODFXHVWLyQGHVLHOFRQjunto de n soluciones yl, y2, . . . , yn de una ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden (6) es linealmente independiente se puede establecer en una forma un poco mecánica usando un determinante. DEFINICIÓN 4.1.2 Wronskiano Suponga que cada una de las funciones f1(x), f2(x), . . . , fn(x) tiene al menos n  1 derivadas. El determinante W( f1, f2, . . . , fn ) f1 f1 f1(n fn fn f2 f2 1) f2(n 1) fn(n , 1) donde las primas denotan derivadas, se denomina el Wronskiano de las funciones. TEOREMA 4.1.3 Criterio para soluciones linealmente independientes Sean yl, y2, . . . , yn n soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden (6) en el intervalo I. El conjunto de soluciones es linealmente independiente en I si y sólo si W(yl, y2, . . . , yn)  0 para toda x en el intervalo. Se tiene, del teorema 4.1.3, que cuando yl, y2, . . . , yn son n soluciones de (6) en un intervalo I, el Wronskiano W(yl, y2, . . . , yn) es igual a cero o nunca es cero en el intervalo. Al conjunto de n soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden se le da un nombre especial. DEFINICIÓN 4.1.3 Conjunto fundamental de soluciones Cualquier conjunto yl, y2, . . . , yn de n soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden (6) en un intervalo I es un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo. La cuestión básica de si existe un conjunto fundamental de soluciones para una ecuación lineal se contesta en el siguiente teorema. TEOREMA 4.1.4 Existencia de un conjunto fundamental Existe un conjunto fundamental de soluciones para la ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden (6) en un intervalo I. Similar al hecho de que cualquier vector en tres dimensiones se puede expresar como una combinación lineal de los vectores linealmente independientes i, j, k, cualquier solución de una ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden en un intervalo I se expresa como una combinación lineal de n soluciones linealmente independientes en I. En otras palabras, n soluciones linealmente independientes yl, y2, . . . , yn son los bloques básicos para la solución general de la ecuación. 120 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR TEOREMA 4.1.5 Solución general: ecuaciones homogéneas Sea yl, y2, . . . , yn un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden (6) en el intervalo I. Entonces la solución general de la ecuación en el intervalo es y c1 y1(x) c2 y2(x) cn yn(x), donde ci, i  1, 2, . . . , n son constantes arbitrarias. El teorema 4.1.5 establece que si Y(x) es alguna solución de (6) en el intervalo, entonces siempre se pueden encontrar constantes Cl, C2, . . . , Cn tales que Y(x) C1 y1(x) C2 y2(x) Demostraremos el caso cuando n  2. Cn yn(x). DEMOSTRACIÓN Sea Y una solución y yl y y2 soluciones linealmente independientes de a2 y  al y  a0 y  0 en un intervalo I. Suponga que x  t es un punto en I para el cual W(yl(t), y2(t))  0. Suponga también que Y(t)  kl y Y(t)  k2. Si examinamos las ecuaciones C1 y1(t) C2 y2(t) k1 C1 y 1(t) C2 y 2(t) k2, se tiene que podemos determinar Cl y C2 de manera única, a condición de que el deterPLQDQWHGHORVFRH¿FLHQWHVVDWLVIDJD y1(t) y2(t) y1 (t) y2 (t) 0. Pero este determinante es simplemente el Wronskiano evaluado en x  t y por suposición, W 6LVHGH¿QHG(x)  Cl yl(x)  C2 y2(x), se observa que G(x) satisface la ecuación diferencial puesto que es una superposición de dos soluciones conocidas; G(x) satisface las condiciones iniciales G(t) C1 y1(t) C2 y2(t) k1 y G (t) C1 y 1 (t) C2 y 2(t) k2; y Y(x) satisface la misma ecuación lineal y las mismas condiciones iniciales. Debido a que la solución de este problema con valores iniciales lineal es única (teorema 4.1.1), se tiene Y(x)  G(x) o Y(x)  CO௘yl(x)  C௘y2(x). EJEMPLO 7 Solución general de una ED homogénea Las funciones yl  e3x y y2  e3x son las dos soluciones de la ecuación lineal homogénea y – 9y  0 en el intervalo ( , ). Por inspección, las soluciones son linealmente independientes en el eje x. Este hecho se corrobora al observar que el Wronskiano e3x e 3x 6 0 3e3x 3e 3x para toda x. Se concluye que yl y y2 forman un conjunto fundamental de soluciones y por tanto y  c1e 3x  c2e3x es la solución general de la ecuación en el intervalo. W(e3x, e EJEMPLO 8 3x ) Una solución obtenida de una solución general La función y  4 senh 3x  5e3x es una solución de la ecuación diferencial del ejemplo 7. (Compruebe esto.) Aplicando el teorema 4.1.5, debe ser posible obtener esta solución a partir de la solución general y  c1e3x  c2e3x. Observe que si se elige c1  2 y c2  7, entonces y  2e3x  7e3x puede rescribirse como y 2e 3x 2e 3x 5e 3x 4 e 3x e 2 3x 5e Esta última expresión se reconoce como y  4 senh 3x  5e3x. 3x . 4.1 EJEMPLO 9 TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES l 121 Solución general de una ED homogénea Las funciones y1  ex, y2  e2x y y3  e3x satisfacen la ecuación de tercer orden y  6y  11y  6y  0. Puesto que ex e2x e3x x 2x 3x W(e , e , e ) p ex 2e2x 3e3x p 2e6x 0 ex 4e2x 9e3x para todo valor real de x, las funciones y1, y2 y y3 forman un conjunto fundamental de soluciones en ( , ). Se concluye que y  c1e x  c2e2x  c3e3x es la solución general de la ecuación diferencial en el intervalo. 4.1.3 ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS Cualquier función yp libre de parámetros arbitrarios que satisface (7) se dice que es una solución particular o integral particular de la ecuación. Por ejemplo, es una tarea directa demostrar que la función constante yp  3 es una solución particular de la ecuación no homogénea y  9y  27. Ahora si yl, y2, . . . , yk son soluciones de (6) en un intervalo I y yp es cualquier solución particular de (7) en I, entonces la combinación lineal y c1 y1 (x) c2 y2(x) ck yk(x) (10) yp es también una solución de la ecuación no homogénea (7). Si piensa al respecto, esto tiene sentido, porque la combinación lineal cl yl(x)  c2 y2(x)  . . .  ck yk(x) se transforma en 0 por el operador L  anDn  an  1D n  1  . . .  a1D  a0, mientras que yp se convierte en g(x). Si se usa k  n soluciones linealmente independientes de la ecuación de n-ésimo orden (6), entonces la expresión en (10) se convierte en la solución general de (7). TEOREMA 4.1.6 Solución general: ecuaciones no homogéneas Sea yp cualquier solución particular de la ecuación diferencial lineal no homogénea de n-ésimo orden (7) en un intervalo I, y sea yl, y2, . . . , yn un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial homogénea asociada (6) en I. Entonces la solución general de la ecuación en el intervalo es y c1 y1(x) c2 y2(x) cn yn(x) yp , donde las ci, i  1, 2, . . . , n son constantes arbitrarias. DEMOSTRACIÓN Sea LHORSHUDGRUGLIHUHQFLDOGH¿QLGRHQ  \VHDQY(x) y yp(x) soluciones particulares de la ecuación no homogénea L(y)  g(x 6LVHGH¿QHu(x)  Y(x) – yp(x), entonces por la linealidad de L se tiene L(u)  L{Y(x)  yp(x)}  L(Y(x))  L(yp(x))  g(x)  g(x)  0. Esto demuestra que u(x) es una solución de la ecuación homogénea L(y)  0. Así por el teorema 4.1.5, u(x)  cl yl(x)  c2 y2(x)  . . .  cnyn(x), y así Y(x) o yp(x) c1 y1(x) c2 y2(x) cn yn(x) Y(x) c1 y1(x) c2 y2(x) cn yn(x) yp(x). FUNCIÓN COMPLEMENTARIA Vemos en el teorema 4.1.6 que la solución general de una ecuación lineal no homogénea está compuesta por la suma de dos funciones: y c1 y1(x) c2 y2(x) cn yn(x) yp(x) yc(x) yp(x). La combinación lineal yc(x)  cl yl(x)  c2 y2(x)  . . .  cn yn(x), que es la solución general de (6), se llama función complementaria para la ecuación (7). En otras pala- 122 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR bras, para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea, primero se resuelve la ecuación homogénea asociada y luego se encuentra una solución particular de la ecuación no homogénea. Entonces la solución general de la ecuación no homogénea es y  función complementaria  cualquier solución particular  yc  yp. EJEMPLO 10 Solución general de una ED no homogénea Por sustitución se demuestra con facilidad que la función yp solución particular de la ecuación no homogénea 6y y 11y 6y 11 12 es una 1 2x (11) 3x. Para escribir la solución general de (11), también se debe poder resolver la ecuación homogénea asociada y 6y 11y 6y 0. Pero en el ejemplo 9 vimos que la solución general de esta última ecuación en el intervalo ( , ) fue yc  clex  c2e2x  c3e3x. Por tanto la solución general de (11) en el intervalo es y yc c1ex yp c2e2x c3e3x 11 12 1 x. 2 OTRO PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN El último teorema de este análisis se usará en la sección 4.4, cuando se considere un método para encontrar soluciones particulares de ecuaciones no homogéneas. TEOREMA 4.1.7 Principio de superposición: ecuaciones no homogéneas Sean yp1, yp2, . . . , ypk k soluciones particulares de la ecuación diferencial lineal no homogénea de n-ésimo orden (7) en un intervalo I que corresponde, a su vez, a k funciones diferentes g1, g2, . . . , gk. Es decir, se supone que ypi denota una solución particular de la ecuación diferencial correspondiente an(x)y(n) an 1(x)y(n 1) a1(x)y a0(x)y gi (x), (12) donde i  1, 2, . . . , k. Entonces yp yp1(x) yp2(x) (13) ypk(x) es una solución particular de an(x)y(n) an 1(x)y(n g1(x) g2(x) 1) a1(x)y a0(x)y (14) gk(x). DEMOSTRACIÓN Se demuestra el caso k  2. Sea L el operador diferencial de- ¿QLGRHQ  \VHDQyp1(x) y yp2(x) soluciones particulares de las ecuaciones no homogéneas L(y)  g1(x) y L(y)  g2(x UHVSHFWLYDPHQWH6LGH¿QLPRVyp  yp1(x)  yp2(x), queremos demostrar que yp es una solución particular de L(y)  g1(x)  g2(x). Nuevamente se deduce el resultado por la linealidad del operador L: L( yp) L{yp1(x) yp2(x)} L( yp1(x)) L( yp2(x)) g1(x) g2(x). 4.1 EJEMPLO 11 l 123 24x 8, TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES Superposición: ED no homogénea Usted debe comprobar que 4x2 yp1 es una solución particular de y 3y 16x2 4y yp2 2x e es una solución particular de y 3y 4y 2e , yp3 xex es una solución particular de y 3y 4y 2xex 2x ex. Se tiene de (13) del teorema 4.1.7 que la superposición de yp1, yp2, y yp3, y yp1 es una solución de yp2 yp3 4x2 e2x xex, y  3y  4y  16x2  24x  8  2e2x  2xex  ex. g1(x) g2(x) g3(x) NOTA Si las ypi son soluciones particulares de (12) para i  1, 2, . . . , k, entonces la combinación lineal yp c1 yp1 c2 yp2 ck ypk, donde las ci son constantes, es también una solución particular de (14) cuando el miembro del lado derecho de la ecuación es la combinación lineal c1g1(x) c2 g2(x) ck gk (x). Antes de que empecemos a resolver realmente ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas, se necesita un poco más de la teoría, que se presenta en la siguiente sección. COMENTARIOS Esta observación es una continuación del breve análisis de sistemas dinámicos TXHVHSUHVHQWyDO¿QDOGHODVHFFLyQ Un sistema dinámico cuya regla o modelo matemático es una ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden an(t)y(n) an 1(t)y(n 1) a1(t)y a0(t)y g(t) se dice que es un sistema lineal de n-ésimo orden. Las n funciones dependientes del tiempo y(t), y(t), . . . , y(n1)(t) son las variables de estado del sistema. Recuerde que sus valores en el tiempo t dan el estado del sistema. La función g tiene varios nombres: función de entrada, función de fuerza o función de excitación. Una solución y(t) de la ecuación diferencial se llama salida o respuesta del sistema. Bajo las condiciones establecidas en el teorema 4.1.1, la salida o respuesta y(t) se determina de manera única por la entrada y el estado del sistema prescritos en el tiempo t0; es decir, por las condiciones iniciales y(t0), y(t0), . . . , y(n1)( t0). Para que un sistema dinámico sea un sistema lineal es necesario que se cumpla en el sistema el principio de superposición (teorema 4.1.7); es decir, la respuesta del sistema a una superposición de entradas es una superposición de salidas. Ya se analizaron algunos de los sistemas lineales simples en la sección 3.1 (ecuaciones lineales de primer orden); en la sección 5.l se examinan sistemas lineales en los que los modelos matemáticos son ecuaciones diferenciales de segundo orden. 124 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR EJERCICIOS 4.1 4.1.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-4. PROBLEMAS CON VALORES INICIALES Y CON VALORES EN LA FRONTERA En los problemas 1 a 4 la familia de funciones que se proporciona es la solución general de la ecuación diferencial en el intervalo que se indica. Encuentre un miembro de la familia que sea una solución del problema con valores iniciales. 1. y  c1e x  c2ex, ( , ); y  y  0, y(0)  0, y(0)  1 2. y  c1e 4x  c2ex, ( , ); y  3y  4y  0, y(0)  1, y(0)  2 3. y  c1x  c2x ln x, (0, ); x 2y  xy  y  0, y(1)  3, y(1)  1 4. y  c1  c2 cos x  c3 sen x, ( , ); y  y  0, y(ʌ)  0, y(ʌ)  2, y(ʌ)  1 5. Dado que y  c1  c2x2 es una familia de dos parámetros de soluciones de xy  y  0 en el intervalo ( , ), demuestre que no se pueden encontrar las constantes c1 y c2 tales que un miembro de la familia satisface las condiciones iniciales y(0)  0, y(0)  1. Explique por qué esto no viola el teorema 4.1.1. 6. Encuentre dos miembros de la familia de soluciones del problema 5 que satisfagan las condiciones iniciales y(0)  0, y(0)  0. 7. Como x(t)  c1 cos ȦW  c2 sen ȦW es la solución general de x  Ȧ2x  0 en el intervalo ( , ), demuestre que una solución que satisface las condiciones iniciales x(0)  x0, x(0)  x1 está dada por x(t) x0 cos vt x1 sen vt. v 8. Use la solución general de x  Ȧ2x  0 que se da en el problema 7 para demostrar que una solución que satisface las condiciones iniciales x(t0)  x0, x(t0)  x1 es la solución dada en el problema 7 cambiada por una cantidad t0: x1 x(t) x0 cos v (t t0 ) sen v(t t0 ). v En los problemas 9 y 10 encuentre un intervalo centrado en x  0 para el cual el problema con valores iniciales dado tiene una solución única. 9. (x  2)y  3y  x, 10. y  (tan x)y  e x, y(0)  0, y(0)  1, y(0)  1 y(0)  0 11. a) Utilice la familia del problema 1 para encontrar una solución de y  y  0 que satisfaga las condiciones en la frontera y(0)  0, y(l)  1. b) La ED del inciso a) tiene la solución general alternativa y  c3 cosh x  c4 senh x en ( , ). Use esta familia para encontrar una solución que satisfaga las condiciones en la frontera del inciso a). c) Demuestre que las soluciones de los incisos a) y b) son equivalentes. 12. Use la familia del problema 5 para encontrar una solución de xy – y  0 que satisfaga las condiciones en la frontera y(0)  1, y(1)  6. En los problemas 13 y 14 la familia de dos parámetros dada es una solución de la ecuación diferencial que se indica en el intervalo ( , ). Determine si se puede encontrar un miembro de la familia que satisfaga las condiciones en la frontera. 13. y  c1e x cos x  c2e x sen x; y  2y  2y  0 a) y(0)  1, y(ʌ)  0 b) y(0)  1, y(ʌ)  1 c) y(0)  1, y d) y(0)  0, 1 2 y(ʌ)  0. 14. y  c1x 2  c2x 4  3; x 2y  5xy  8y  24 a) y(1)  0, y(1)  4 b) y(0)  1, y(1)  2 c) y(0)  3, 4.1.2 y(1)  0 d) y(1)  3, y(2)  15 ECUACIONES HOMOGÉNEAS En los problemas 15 a 22 determine si el conjunto de funciones es linealmente independiente en el intervalo ( , ). 15. f1(x)  x, f2(x)  x 2, f3(x)  4x  3x 2 16. f1(x)  0, f2(x)  x, f3(x)  e x 17. f1(x)  5, f2(x)  cos2x, 18. f1(x)  cos 2x, 19. f1(x)  x, f3(x)  sen2x f2(x)  1, f2(x)  x  1, f3(x)  cos2x f3(x)  x  3 20. f1(x)  2  x, f2(x)  2  兩x 兩 21. f1(x)  1  x, f2(x)  x, 22. f1(x)  e x, f2(x)  ex, f3(x)  x 2 f3(x)  senh x En los problemas 23 a 30 compruebe que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial en el intervalo que se indica. Forme la solución general. 23. y  y  12y  0; e3x, e4x, ( , ) 24. y  4y  0; cosh 2x, senh 2x, ( , ) 25. y  2y  5y  0; e x cos 2x, e x sen 2x, ( , ) 4.1 TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES l 125 26. 4y  4y  y  0; e x/2, xe x/2, ( , ) Problemas para analizar 27. x y  6xy  12y  0; x , x , (0, ) 37. Sea n  1, 2, 3, . . . . Analice cómo pueden utilizarse las observaciones Dnxnl  0 y Dnxn  n! para encontrar soluciones generales de las ecuaciones diferenciales dadas. a) y  0 b) y  0 c) y (4)  0 d) y  2 e) y  6 f) y (4)  24 2 3 28. x 2y  xy  y  0; 4 cos(ln x), sen(ln x), (0, ) 29. x y  6x y  4xy  4y  0; x, x2, x2 ln x, (0, ) 3 2 30. y (4)  y  0; 1, x, cos x, sen x, ( , ) 4.1.3 ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS En los problemas 31 a 34 compruebe que dada la familia de soluciones de dos parámetros, se trata de la solución general de la ecuación diferencial no homogénea en el intervalo indicado. 31. y  7y  10y  24e x; y  c1e 2x  c2e 5x  6e x, ( , ) 32. y  y  sec x; y  c1 cos x  c2 sen x  x sen x  (cos x) ln(cos x), (ʌ兾2, ʌ兾2) 33. y  4y  4y  2e 2x  4x  12; y  c1e 2x  c2xe 2x  x 2e 2x  x  2, ( , ) 34. 2x 2y  5xy  y  x 2  x; y 1/2 c1x c2 x 1 2 15 x 1 1 6 x, (0, ) 35. a) Compruebe que yp1  3e2x y yp2  x2  3x son, respectivamente, soluciones particulares de y y 6y 5y y 6y 5y 9e2x 5x2 3x 16. b) Use el inciso a) para encontrar soluciones particulares de y y 6y 5y y 6y 5y 5x2 10x 2 3x 16 6x 9e2x 32 e2x. 36. a) Por inspección encuentre una solución particular de y  2y  10. b) Por inspección encuentre una solución particular de y  2y  4x. c) Encuentre una solución particular de y  2y  4x  10. d) Determine una solución particular de y  2y  8x  5. 38. Suponga que y1  ex y y2  ex son dos soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea. Explique por qué y3  cosh x y y4  senh x son también soluciones de la ecuación. 39. a) Compruebe que y1  x3 y y2  兩x兩3 son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial x2y  4xy  6y  0 en el intervalo ( , ). b) Demuestre que W(y1, y2)  0 para todo número real x. ¿Este resultado viola el teorema 4.1.3? Explique. c) Compruebe que Y1  x3 y Y2  x2 son también soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial del inciso a) en el intervalo ( , ). d) Determine una solución de la ecuación diferencial que satisfaga y(0)  0, y(0)  0. e) Por el principio de superposición, teorema 4.1.2, ambas combinaciones lineales y  c1y1  c2y2 y Y  c1Y1  c2Y2 son soluciones de la ecuación diferencial. Analice si una, ambas o ninguna de las combinaciones lineales es una solución general de la ecuación diferencial en el intervalo ( , ). 40. ¿El conjunto de funciones f1(x)  ex  2, f2(x)  ex  3 es linealmente dependiente o independiente en ( , )? Explique. 41. Suponga que yl, y2, . . . , yk son k soluciones linealmente independientes en ( , ) de una ecuación diferencial lineal homogénea de npVLPR RUGHQ FRQ FRH¿FLHQWHV constantes. Por el teorema 4.1.2 se tiene que yk1  0 es también una solución de la ecuación diferencial. ¿Es el conjunto de soluciones yl, y2, . . . , yk, yk1 linealmente dependiente o independiente en ( , )? Explique. 42. Suponga que yl, y2, . . . , yk son k soluciones no triviales de una ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo RUGHQFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV\TXHk  n  1. ¿Es el conjunto de soluciones yl, y2, . . . , yk linealmente dependiente o independiente en ( , )? Explique. 126 l CAPÍTULO 4 4.2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR REDUCCIÓN DE ORDEN REPASO DE MATERIAL l Sección 2.5 (utilizando una sustitución). l Sección 4.1. INTRODUCCIÓN En la sección anterior vimos que la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden a1(x)y a0 (x)y 0 a2(x)y (1) es una combinación lineal y  c1 y1  c௘y2, donde y1 y y2 son soluciones que constituyen un conjunto linealmente independiente en cierto intervalo I. Al inicio de la siguiente sección, se analiza un método SDUDGHWHUPLQDUHVWDVVROXFLRQHVFXDQGRORVFRH¿FLHQWHVGHOD('HQ  VRQFRQVWDQWHV(VWHPpWRGR que es un ejercicio directo en algebra, falla en algunos casos y sólo produce una solución simple y1 de la ED. En estos casos se puede construir una segunda solución y2 de una ecuación homogénea (1) (aun FXDQGRORVFRH¿FLHQWHVHQ  VRQYDULDEOHV VLHPSUHTXHVHFRQR]FDXQDVROXFLyQQRWULYLDOy1 de la ED. La idea básica que se describe en esta sección es que la ecuación (1) se puede reducir a una ED lineal de primer orden por medio de una sustitución en la que interviene la solución conocida y1. Una segunda solución y2 de (1) es evidente después de resolver la ED de primer orden. REDUCCIÓN DE ORDEN Suponga que y1 denota una solución no trivial de (1) y que y1VHGH¿QHHQXQLQWHUYDORI. Se busca una segunda solución y2 tal que y1 y y2 sean un conjunto linealmente independiente en I. Recuerde de la sección 4.1 que si y1 y y2 son linealmente independientes, entonces su cociente y2兾y1 no es constante en I, es decir, y2(x)兾 y1(x)  u(x) o y2 (x) u(x)y1(x). La función u(x) se determina al sustituir y2(x)  u(x) y1(x) en la ecuación diferencial dada. Este método se llama reducción de orden porque debemos resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden para encontrar a u. EJEMPLO 1 Una segunda solución por reducción de orden Dado que y1  ex es una solución de y  y  0 en el intervalo ( , ), use reducción de orden para determinar una segunda solución y2. SOLUCIÓN Si y  u(x)y1(x)  u(x)ex, entonces aplicando la regla del producto se obtiene y por lo tanto uex y exu , y y ex (u uex 2ex u 2u ) ex u , 0. Puesto que ex  0, la última ecuación requiere que u  2u  0. Si se hace la sustitución w  u, esta ecuación lineal de segundo orden en u se convierte en w  2w  0, que es una ecuación lineal de primer orden en w. Si se usa el factor integrante e2x, se puede d 2x escribir [e w] 0 . Después de integrar, se obtiene w  c1e2x o u  cle2x. Al dx 1 2x integrar de nuevo se obtiene u c2. Así 2 c1 e y u(x)ex c1 e 2 x c2 e x . (2) Haciendo c2  0 y c1  2, se obtiene la segunda solución deseada, y2  ex. Puesto que W(ex, ex)  0 para toda x, las soluciones son linealmente independientes en ( , ). Puesto que se ha demostrado que y1  ex y y2  ex son soluciones linealmente independientes de una ecuación lineal de segundo orden, la expresión en (2) es en realidad la solución general de y  y  0 en ( , ). 4.2 REDUCCIÓN DE ORDEN 127 l CASO GENERAL Suponga que se divide entre a2(x) para escribir la ecuación (1) en la forma estándar y P(x)y (3) 0, Q(x)y donde P(x) y Q(x) son continuas en algún intervalo I. Supongamos además que y1(x) es una solución conocida de (3) en I y que y1(x)  0 para toda x en el intervalo. Si se GH¿QHy  u(x)y1(x), se tiene que uy 1 y1u , y uy 1 2y 1u y1u y y  Py  Qy  u[y1 Py1  Qy1]  y1u  (2y1 Py1)u  0. cero Esto implica que se debe tener y1u (2y 1 Py1)u o 0 (2y 1 y1w Py1)w 0, (4) donde hacemos que w  u. Observe que la última ecuación en (4) es tanto lineal como separable. Separando las variables e integrando, se obtiene dw w ln wy21 2 y1 dx y1 P dx 0 P dx o c wy21 c1e P dx . Despejamos a w de la última ecuación, usamos w  u e integrando nuevamente: u c1 P dx e c2. dx y21 Eligiendo c1  1 y c2  0, se encuentra de y  u(x)y1(x) que una segunda solución de la ecuación (3) es e P(x) d x y2 y1(x) dx. (5) y21(x) Un buen ejercicio de derivación es comprobar que la función y2(x TXHVHGH¿QHHQ   satisface la ecuación (3) y que y1 y y2 son linealmente independientes en algún intervalo en el que y1(x) no es cero. EJEMPLO 2 Una segunda solución por la fórmula (5) La función y1  x2 es una solución de x2y  3xy  4y  0. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial en el intervalo (0, ). SOLUCIÓN De la forma estándar de la ecuación, encontramos de (5) y 3 y x y2 x2 x2 La solución general en el intervalo (0, y  c1x 2  c2 x 2 ln x. 4 y x2 e3 0, d x /x x4 dx x dx ; e3 d x /x eln x 3 x3 x 2 ln x. ) está dada por y  c1 y1  c2 y2; es decir, 128 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR COMENTARIOS i) La deducción y uso de la fórmula (5) se ha mostrado aquí porque esta fórmula aparece de nuevo en la siguiente sección y en las secciones 4.7 y 6.3. La ecuación (5) se usa simplemente para ahorrar tiempo en obtener un resultado deseado. Su profesor le indicará si debe memorizar la ecuación (5) o si debe conocer los primeros principios de la reducción de orden. ii) La reducción de orden se puede usar para encontrar la solución general de una ecuación no homogénea a2(x)y  a1(x)y  a0(x)y  g(x) siempre que se conozca una solución y1 de la ecuación homogénea asociada. Vea los problemas 17 a 20 en los ejercicios 4.2. EJERCICIOS 4.2 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-4. En los problemas 1 a 16 la función indicada y1(x) es una solución de la ecuación diferencial dada. Use la reducción de orden o la fórmula (5), como se indica, para encontrar una segunda solución y2(x). 18. y  y  1; y1  1 19. y  3y  2y  5e 3x; 20. y  4y  3y  x; y1  e x y1  e x 1. y  4y  4y  0; y1  e 2x Problemas para analizar 2. y  2y  y  0; y1  xe 12. 4x 2y  y  0; y1  x 1/2 ln x 21. a) Proporcione una demostración convincente de que la ecuación de segundo orden ay  by  cy  0, a, b, y c constantes, tiene siempre cuando menos una solución de la forma y1 em1 x , m1 es una constante. b) Explique por qué la ecuación diferencial que se proporciona en el inciso a) debe tener una segunda solución de la forma y2 em2 x o de la forma y2 xem1 x , m1 y m2 son constantes. c) Analice de nuevo los problemas 1 al 8. ¿Puede explicar por qué los enunciados de los incisos a) y b) anteriores no se contradicen con las respuestas de los problemas 3 al 5? 22. Compruebe que y1(x)  x es una solución de xy – xy  y  0. Utilice la reducción de orden para encontrar una segunda solución y2(x HQODIRUPDGHXQDVHULHLQ¿QLWD (VWLPHXQLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQSDUDy2(x). 13. x 2y  xy  2y  0; y1  x sen(ln x) Tarea para el laboratorio de computación 14. x 2y  3xy  5y  0; y1  x 2 cos(ln x) 23. a) Compruebe que y1(x)  ex es una solución de x 3. y  16y  0; y1  cos 4x 4. y  9y  0; y1  sen 3x 5. y  y  0; y1  cosh x 6. y  25y  0; y1  e 5x 7. 9y  12y  4y  0; y1  e 2x/3 8. 6y  y  y  0; y1  e x/3 9. x 2y  7xy  16y  0; y1  x 4 10. x 2y  2xy  6y  0; y1  x 2 11. xy  y  0; y1  ln x 15. (1  2x  x 2)y  2(1  x)y  2y  0; y1  x  1 16. (1  x 2)y  2xy  0; y1  1 En los problemas 17 al 20 la función que se indica y1(x) es una solución de la ecuación homogénea asociada. Use el método de reducción de orden para determinar una segunda solución y2(x) de la ecuación homogénea y una solución particular de la ecuación no homogénea dada. 17. y  4y  2; y1  e 2x xy  (x  10)y  10y  0. b) Use la ecuación (5) para determinar una segunda solución y2(x). Usando un SAC realice la integración que se requiere. c) Explique, usando el corolario (A) del teorema 4.1.2, por qué la segunda solución puede escribirse en forma compacta como 10 y2(x) n 0 1 n x. n! 4.3 4.3 ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES l 129 ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES REPASO DE MATERIAL l Repase los problemas 27 al 30 de los ejercicios 1.1 y del teorema 4.1.5. l Repase el álgebra de solución de ecuaciones polinomiales. INTRODUCCIÓN Como un medio para motivar el análisis en esta sección, se tratan nuevamente ODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHSULPHURUGHQPiVHVSHFt¿FDPHQWHODVHFXDFLRQHVOLQHDOHVhomogéneas ay  by GRQGHORVFRH¿FLHQWHVa  0 y b son constantes. Este tipo de ecuación se resuelve ya sea por variables separables o con ayuda de un factor integrante, pero hay otro método de solución, uno que sólo utiliza álgebra. Antes de mostrar este método alternativo, hacemos una observación: Al despejar y de la ecuación ay  by  0 se obtiene y  ky, donde k es una constante. Esta observación revela la naturaleza de la solución desconocida y; la única función elemental no trivial cuya derivada es una constante múltiple de sí misma es una función exponencial emx. Ahora el nuevo método de solución: Si sustituimos y  emx y y  memx en ay  by  0, se obtiene amemx bemx 0 o emx (am b) 0. Como emx nunca es cero para valores reales de x, la última ecuación se satisface sólo cuando m es una solución o raíz de la ecuación polinomial de primer grado am  b  0. Para este único valor de m, y  emxHVXQDVROXFLyQGHOD('3DUDPRVWUDUHVWRFRQVLGHUHODHFXDFLyQGHFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV 2y  5y  0. No es necesario realizar la derivación y la sustitución de y  emx en la ED; sólo se tiene 5 5x/2 que formar la ecuación 2m  5  0 y despejar m. De m es una so2 se concluye que y  e lución de 2y  5y  0, y su solución general en el intervalo ( , ) es y  c1e5x/2. En esta sección veremos que el procedimiento anterior genera soluciones exponenciales para las ED lineales homogéneas de orden superior, (1) an y(n) an 1 y(n 1) a2 y a1 y a0 y 0, GRQGHORVFRH¿FLHQWHVai, i  0, 1, . . . , n son constantes reales y an  0. ECUACIÓN AUXILIAR Se empieza por considerar el caso especial de la ecuación de segundo orden ay by cy 0, (2) donde a, b y c son constantes. Si se intenta encontrar una solución de la forma y  e mx, entonces después de sustituir y  me mx y y  m 2e mx, la ecuación (2) se convierte en am2emx bmemx cemx 0 o emx(am2 bm c) 0. Como en la introducción se argumenta que debido a que emx  0 para toda x, es obvio que la única forma en que y  emx puede satisfacer la ecuación diferencial (2) es cuando se elige m como una raíz de la ecuación cuadrática (3) am2 bm c 0. Esta última ecuación se llama ecuación auxiliar de la ecuación diferencial (2). Como las dos raíces de (3) son m1 ( b 1b2 4ac) 2a, 1b2 4ac) 2a y m2 ( b habrá tres formas de la solución general de (2) que corresponden a los tres casos: • ml y m2 reales y distintas (b 2  4ac 0), • ml y m2 reales e iguales (b 2  4ac  0), y • ml y m2 números conjugados complejos (b 2  4ac  0). Analicemos cada uno de estos casos. CASO 1: RAÍCES REALES Y DISTINTAS Bajo la suposición de que la ecuación auxiliar (3) tiene dos raíces reales desiguales ml y m2, encontramos dos soluciones, y1 em1x y y2 em 2 x. Vemos que estas funciones son linealmente independientes en ( , ) y, por lo tanto, forman un conjunto fundamental. Se deduce que la solución general de (2) en este intervalo es (4) y c1em1x c2em 2 x. 130 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR CASO II: RAÍCES REALES REPETIDAS Cuando ml  m2, necesariamente se obmx tiene sólo una solución exponencial, y1 e 1 . De la fórmula cuadrática se encuentra que ml  b兾2a puesto que la única forma en que se tiene que ml  m2 es tener b2  4ac  0. Tenemos de (5) en la sección 4.2 que una segunda solución de la ecuación es e2m1x (5) dx em1x dx xem1x. e2m1x En (5) hemos usado el hecho de que – b兾a  2m1. La solución general es entonces em1x y2 c1em1x y (6) c2 xem1x. CASO III: RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS Si ml y m2 son complejas, entonces se puede escribir ml  Į  Lȕ y m2  Į  Lȕ, donde Į y ȕ 0 son reales i2  1. De manera formal, no hay diferencia entre este caso y el caso I y, por lo tanto, C1e(a y i )x C2e(a i )x . 6LQHPEDUJRHQODSUiFWLFDVHSUH¿HUHWUDEDMDUFRQIXQFLRQHVUHDOHVHQOXJDUGHH[SRnenciales complejas. Para esto usamos la fórmula de Euler: ei donde ș es cualquier número real.* cos i sen , Se tiene de esta fórmula que i x (7) cos x i sen x, y e donde se usaron cos(ȕx)  cos ȕx y sen(ȕx)   sen ȕx. Observe que si primero se suma y luego se restan las dos ecuaciones en (7), se obtiene, respectivamente, i x cos x e ei x i sen x i x 2 cos x y ei x e i x 2i sen x. Puesto que y  C1e(ĮLȕ)x  C2e(ĮLȕ)x es una solución de (2) para alguna elección de las constantes C1 y C2, las elecciones C1  C2  1 y C1  1, C2  1 dan, a su vez, dos soluciones: y y1 e(a i )x e(a i )x y2 e(a i )x e(a i )x. e Pero y1 eax(ei x e i x ) 2eax cos x y y2 eax(ei x e i x ) 2ieax sen x. Por tanto, del corolario A) del teorema 4.1.2, los dos últimos resultados muestran que eĮ[ cos ȕ[ y eĮ[ sen ȕ[ son soluciones reales de (2). Además, estas soluciones forman un conjunto fundamental en ( , ). Por tanto, la solución general es (8) y c1eax cos x c2eax sen x eax (c1 cos x c2 sen x). EJEMPLO 1 ED de segundo orden Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales. a) 2y  5y  3y  0 b) y  10y  25y  0 c) y  4y  7y  0 SOLUCIÓN Se dan las ecuaciones auxiliares, las raíces y las soluciones generales correspondientes. 1 3 a) 2m 2  5m  3  (2m  1)(m  3)  0, m1 2 , m2 De (4), y  c1ex/2  c2e 3x. b) m 2  10m  25  (m  5) 2  0, De (6), y  c1e 5x  c2xe 5x. c) m2 4m De (8) con 7 0, m1 2, 2 23, y e m1  m2  5 23i, 2x m2 (c1 cos 23x 2 23i c2 sen 23x . ) xn n 0 n! sustituyendo x  Lș, con i 2  1, i 3   i, . . . y después separando la serie en las partes real e imaginaria. Así se establece la plausibilidad, por lo que podemos adoptar a cos ș  i sen ș como la GH¿QLFLyQ de eLș. * ௘8QDGHGXFFLyQIRUPDOGHODIyUPXODGH(XOHUVHREWLHQHGHODVHULHGH0DFODXULQ e x 4.3 ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES EJEMPLO 2 4 Un problema con valores iniciales SOLUCIÓN Usando la fórmula cuadrática tenemos que las raíces de la ecuación auxiliar 3 2 1 x _1 _2 _3 1 2 3 4 5 1 1 4m2  4m  17  0 son m1 2i y m2 2i. Por tanto, de la ecuación 2 2 x/2 (8) se tiene que y  e (c1 cos 2x  c2 sen 2x). Aplicando la condición y(0)  1, se observa de e0(c1 cos 0  c2 sen 0)  1 que c1  1. Derivando y  ex/2( cos 2x  c2 sen 2x) y después usando y(0)  2, se obtiene 2c2 12 2 o c2 34. Por tanto, 3 ) la solución del PVI es y e x/2( cos 2x 4 sen 2x)2(QOD¿JXUDYHPRVTXHOD solución es oscilatoria, pero y → 0 conforme x → . DOS ECUACIONES QUE VALE LA PENA CONOCER Las dos ecuaciones diferenciales FIGURA 4.3.1 Curva solución del PVI del ejemplo 2. 131 Resuelva 4y  4y  17y  0, y(0)  1, y(0)  2. y _4 _3 _2 _1 l k2 y y 0 y y k2 y 0, donde k es real, son importantes en matemáticas aplicadas. Para y  k2y  0, la ecuación auxiliar m2  k2  0 tiene raíces imaginarias m1  ki y m2  ki. Con Į  0 y ȕ  k en (8) se ve que la solución general de la ED es c1 cos kx y (9) c2 senkx. Por otra parte, la ecuación auxiliar m  k  0 para y  k y  0 tiene raíces reales distintas m1  k y m2  k, y así por la ecuación (4) la solución general de la ED es 2 y 2 c1ekx 2 kx c2e 1 2 2y kx (10) . 1 2 , 1c2 1 22 c1 y en (l0), se obtienen las Observe que si se elige c1 c2 1 2 2 12 soluciones particulares y 12 (e kx e ) cosh kx y y 12 (e kx e kx ) senhkx. Puesto que cosh kx y senh kx son linealmente independientes en algún intervalo del eje x, una forma alternativa para la solución general de y  k2y  0 es y c1 cosh kx (11) c2 senhkx. Vea los problemas 41 y 42 de los ejercicios 4.3. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR En general, para resolver una ecuación diferencial de n-ésimo orden (1) donde ai, i  0, 1, . . . , n son constantes reales, se debe resolver una ecuación polinomial de n-ésimo grado an mn an 1mn 1 a2m2 a1m a0 0. (12) Si todas las raíces de (12) son reales y distintas, entonces la solución general de (1) es y c1em1x c2em2 x cnemn x. Es un poco difícil resumir los análogos de los casos II y III porque las raíces de una ecuación auxiliar de grado mayor que dos ocurren en muchas combinaciones. Por ejemplo, una ecuación de quinto grado podría tener cinco raíces reales distintas, o tres raíces reales distintas y dos complejas, o una real y cuatro complejas, o cinco raíces reales pero iguales, o cinco raíces reales pero dos de ellas iguales, etc. Cuando m1 es una raíz de multiplicidad k de una ecuación auxiliar de n-ésimo grado (es decir, k raíces son iguales a m1), es posible demostrar que las soluciones linealmente independientes son em1x, xem1x, x 2em1 x, . . . , xk 1em1x y la solución general debe contener la combinación lineal c1em1x c2 xem1x c3 x 2em1x ck x k 1em1 x. 3RU~OWLPRVHGHEHUHFRUGDUTXHFXDQGRORVFRH¿FLHQWHVVRQUHDOHVODVUDtFHVFRPplejas de una ecuación auxiliar siempre se presentan en pares conjugados. Así, por ejemplo, una ecuación polinomial cúbica puede tener a lo más dos raíces complejas. 132 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR EJEMPLO 3 ED de tercer orden Resuelva y  3y  4y  0. SOLUCIÓN Debe ser evidente de la inspección de m3  3m2  4  0 que una raíz es m1  1, por tanto, m  1 es un factor de m3  3m2  4. Dividiendo se encuentra que m3 3m2 4 (m 1)(m2 4m 4) (m 1)(m 2)2, así las raíces son m2  m3  2. Así, la solución general de la ED es y  c1e x  c2e2x  c3xe2x. EJEMPLO 4 Resuelva d 4y dx4 2 ED de cuarto orden d 2y dx2 0. y SOLUCIÓN La ecuación auxiliar m 4  2m 2  1  (m 2  1) 2  0 tiene raíces m1  m3  i y m2  m4  i. Así, del caso II la solución es y C1 eix C2 e ix C3 xeix C4 xe ix. Por la fórmula de Euler el grupo C1e ix  C2eix se puede rescribir como c1 cos x c2 senx GHVSXpVGHUHGH¿QLUGHQXHYRODVFRQVWDQWHV'HPDQHUDVLPLODUx(C3e ix  C4eix) se puede expresar como x(c3 cos x  c4 sen x). Por tanto, la solución general es c1 cos x y c2 senx c3 x cos x c4 x sen x. El ejemplo 4 ilustra un caso especial cuando la ecuación auxiliar tiene raíces repetidas complejas. En general, si m1  Į  Lȕ, ȕ 0 es una raíz compleja de multiplicidad k GHXQDHFXDFLyQDX[LOLDUFRQFRH¿FLHQWHVUHDOHVHQWRQFHVVXFRQMXJDGDm 2  Į  Lȕ es también una raíz de multiplicidad k. De las 2k soluciones con valores complejos e(a i )x e(a i )x , xe(a i )x xe(a i )x , , , x2e(a i )x x2e(a i )x , , ..., xk 1e(a i )x ..., xk 1e(a i )x , , concluimos, con la ayuda de la fórmula de Euler, que la solución general de la ecuación diferencial correspondiente debe tener una combinación lineal de las 2k soluciones reales linealmente independientes. eax cos b x, xeax cos bx, x2eax cos bx, . . . , xk 1eax cos bx, eax sen b x, xeax sen bx, x2eax sen bx, . . . , xk 1eax sen bx. (QHOHMHPSORLGHQWL¿FDPRVk  2, Į  0 y ȕ  1. Por supuesto, el aspecto más difícil de resolver ecuaciones diferenciales de coe¿FLHQWHVFRQVWDQWHVHVGHWHUPLQDUODVUDtFHVGHHFXDFLRQHVDX[LOLDUHVGHJUDGRPD\RU que dos. Por ejemplo, para resolver 3y  5y  10y  4y  0, debemos resolver 3m 3  5m 2  10m  4  0. Algo que se puede intentar es probar la ecuación auxiliar para raíces racionales. Recuerde que si m1  p兾q es una raíz racional (en su mínima a1m a0 0 FRQFRH¿FLHQWHVHQ expresión) de una ecuación auxiliar an mn teros, entonces p es un factor de a0 y q es un factor de an. Para la ecuación auxiliar cúbica HVSHFt¿FDWRGRVORVIDFWRUHVGHa0  4 y an  3 son p: 1, 2, 4 y q: 1, 3 1 21 42 4 por lo que las posibles raíces racionales son p>q: 1, 2, 4, 3, 3, 3 .Entonces se puede probar cada uno de estos números, digamos, por división sintética. De esta 1 forma se descubre la raíz m1 3 y la factorización 3m3 5m2 10m 4 (m 1 3 )(3m2 6m De la fórmula cuadrática se obtienen las otras raíces m 2 5y 13 23i . Por tanto, la solución general de 3 y y c1e x/3 e x(c2 cos 23x c3 sen 23x). 12). 1 10y 23i y m3 4y 0 es 4.3 ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES l 133 USO DE COMPUTADORAS Determinar las raíces o aproximar las raíces de ecuaciones auxiliares es un problema de rutina con una calculadora apropiada o con un paquete de cómputo. Las ecuaciones polinomiales (en una variable) de grado menor que cinco se resuelven por medio de fórmulas algebraicas usando las instrucciones solve en Mathematica y Maple. Para ecuaciones polinomiales de grado cinco o mayor podría ser necesario recurrir a comandos numéricos tales como NSolve y FindRoot en Mathematica. Debido a su capacidad para resolver ecuaciones polinomiales, no es sorprendente que estos sistemas algebraicos para computadora también puedan, usando sus comandos dsolve, dar solucioQHVH[SOtFLWDVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHVKRPRJpQHDVFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV En el libro clásico Differential Equations de Ralph Palmer Agnew* (que el autor usó cuando era estudiante), se expresa el siguiente enunciado: No es razonable esperar que los alumnos de este curso tengan la capacidad y el HTXLSRGHFyPSXWRQHFHVDULRSDUDUHVROYHUGHPDQHUDH¿FD]HFXDFLRQHVWDOHVFRPR 4.317 d 4y dx4 2.179 d 3y dx3 1.416 d 2y dx2 1.295 dy dx 3.169y 0. (13) Aunque es debatible si en todos estos años ha mejorado la capacidad para realizar cálculos, es indiscutible que la tecnología sí lo ha hecho. Si se tiene acceso a un sistema algebraico para computadora, se podría ahora considerar razonable la ecuación (13). 'HVSXpVGHVLPSOL¿FDU\HIHFWXDUDOJXQDVVXVWLWXFLRQHVHQHOUHVXOWDGRMathematica genera la solución general (aproximada) y c1e 0.728852x cos(0.618605x) 0.476478x c3e 0.728852x sen(0.618605x) 0.476478x sen(0.759081x). c2e cos(0.759081x) c4e Por último, si se le presenta un problema con valores iniciales que consiste en, digamos, una ecuación de cuarto orden, entonces para ajustar la solución general de la ED a las cuatro condiciones iniciales, se deben resolver cuatro ecuaciones lineales con las cuatro incógnitas (c1, c2, c3 y c4 en la solución general). Si se emplea un SAC para resolver el sistema se puede ahorrar mucho tiempo. Véanse los problemas 69 y 70 de los ejercicios 4.3 y el problema 41 del Repaso del capítulo 4. * 0F*UDZ+LOO1XHYD<RUN EJERCICIOS 4.3 Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-4. En los problemas 1 a 14, obtenga la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden dada. 1. 4y  y  0 19. d 3u dt3 d 2u dt2 2u 0 d 3x dt3 d 2x dt2 4x 0 2. y  36y  0 3. y  y  6y  0 4. y  3y  2y  0 20. 5. y  8y  16y  0 6. y  10y  25y  0 21. y  3y  3y  y  0 7. 12y  5y  2y  0 8. y  4y  y  0 22. y  6y  12y  8y  0 10. 3y  y  0 23. y (4)  y  y  0 11. y  4y  5y  0 12. 2y  2y  y  0 24. y (4)  2y  y  0 13. 3y  2y  y  0 14. 2y  3y  4y  0 9. y  9y  0 En los problemas 15 a 28 encuentre la solución general de la ecuación diferencial de orden superior dada. 15. 16. 17. 18. y y y y  4y  5y  0 y0  5y  3y  9y  0  3y  4y  12y  0 d 2y d 4y 24 2 9y 0 4 dx dx 4 2 d y d y 7 2 18y 0 26. dx4 dx 25. 16 27. d 5u dr5 28. 2 d 5x ds5 5 d 4u dr4 7 d 4x ds4 2 d 3u dr3 12 d 3x ds3 10 d 2u dr2 8 d 2x ds2 du dr 0 5u 0 134 CAPÍTULO 4 l ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR En los problemas 29 a 36 resuelva el problema con valores iniciales 29. y  16y  0, y(0)  2, y(0)  2 30. d 2y d 2 y 31. d 2y dt2 4 0, dy dt y 0, y 3 5y 0, y(1) 32. 4y  4y  3y  0, y 45. x 2 3 0, y (1) 2 y(0)  1, y(0)  5 33. y  y  2y  0, y(0)  y(0)  0 34. y  2y  y  0, y(0)  5, y(0)  10 FIGURA 4.3.4 *Ui¿FDGHOSUREOHPD y 46. 35. y  12y  36y  0, y(0)  0, y(0)  1, y(0)  7 x 36. y  2y  5y  6y  0, y(0)  y(0)  0, y(0)  1 En los problemas 37 a 40 resuelva el problema con valores en la frontera dado. 37. y  10y  25y  0, 38. y  4y  0, 39. y y 0, 40. y  2y  2y  0, 0, y 2 y 47. y(0)  0, y(ʌ)  0 y (0) FIGURA 4.3.5 *Ui¿FDGHOSUREOHPD y(0)  1, y(1)  0 0 y(0)  1, y(ʌ)  1 π x En los problemas 41 y 42 resuelva el problema dado usando primero la forma de la solución general dada en (10). Resuelva de nuevo esta vez usando la fórmula dada en (11). 41. y  3y  0, y(0)  1, y(0)  5 42. y  y  0, y(0)  1, y(1)  0 FIGURA 4.3.6 *Ui¿FDGHOSUREOHPD (QORVSUREOHPDVDFDGD¿JXUDUHSUHVHQWDODJUi¿FDGH una solución particular de una de las siguientes ecuaciones diferenciales. a) y  3y  4y  0 b) y  4y  0 c) y  2y  y  0 d) y  y  0 y 48. π x e) y  2y  2y  0 f ) y  3y  2y  0 Relacione una curva solución con una de las ecuaciones diferenciales. Explique su razonamiento. 43. y FIGURA 4.3.7 *Ui¿FDGHOSUREOHPD x FIGURA 4.3.2 *Ui¿FDGHOSUREOHPD 44. y x FIGURA 4.3.3 *Ui¿FDGHOSUREOHPD En los problemas 49 a 58 encuentre una ecuación diferencial KRPRJpQHDFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVFX\DVROXFLyQJHQHUDO es la dada. c2e5x 49. y c1ex 51. y c1 53. y c1 cos3x c2e2x c2 sen3x x 4x 50. y c1e 52. y c1e10x 54. y c2e c2xe10x c1 cosh7x x 55. y c1e cos x 56. y c1 2x c2e cos5x 57. y c1 c2x 58. y c1 cos x c2e senx c3e2x sen5x c3e8x c2 senx c3 cos 2 x 3x c4 sen 2x c2 senh7x 4.4 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN l 135 Problemas para analizar Tarea para el laboratorio de computación 59. 'RVUDtFHVGHXQDHFXDFLyQDX[LOLDUF~ELFDFRQFRH¿FLHQ1 tes reales son m1 y m2  3  i. ¿Cuál es la ecua2 ción diferencial lineal homogénea correspondiente? En los problemas 65 a 68 use una computadora ya sea como ayuda para resolver la ecuación auxiliar o como un medio para obtener de forma directa la solución general de la ecuación diferencial dada. Si utiliza un SAC para obtener la solución general, VLPSOL¿TXHHOUHVXOWDGR\VLHVQHFHVDULRHVFULEDODVROXFLyQHQ términos de funciones reales. 65. y  6y  2y  y  0 60. Determine la solución general de 2y  7y  4y  4y  0 si m1  1冫2 es una raíz de su ecuación auxiliar. 61. Determine la solución general de y  6y  y  34y  0 si se sabe que y1  e4x cos x es una solución. 66. 6.11y  8.59y  7.93y  0.778y  0 67. 3.15y (4)  5.34y  6.33y  2.03y  0 62. Para resolver y (4)  y  0, es necesario encontrar las raíces de m4  1  0. Este es un problema trivial si se utiliza un SAC, pero también se resuelve a mano trabajando con números complejos. Observe que m4  1  (m2  1)2  2m2. ¿Cómo ayuda esto? Resuelva la ecuación diferencial. 68. y (4)  2y  y  2y  0 En los problemas 69 y 70 utilice un SAC como ayuda para resolver la ecuación auxiliar. Forme la solución general de la ecuación diferencial. Después utilice un SAC como ayuda SDUD UHVROYHU HO VLVWHPD GH HFXDFLRQHV SDUD ORV FRH¿FLHQWHV ci, i  1, 2, 3, 4 que resulta cuando se aplican las condiciones iniciales a la solución general. 63. Compruebe que y  senh x  2 cos(x  ʌ兾6) es una solución particular de y(4)  y  0. Reconcilie esta solución particular con la solución general de la ED. 69. 2y (4)  3y  16y  15y  4y  0, y(0)  2, y(0)  6, y(0)  3, y (0)  64. Considere el problema con valores en la frontera y  Ȝ\  0, y(0)  0, y(ʌ兾2)  0. Analice: ¿es posible determinar valores de Ȝ tal que el problema tenga a) soluciones triviales?, b) ¿soluciones no triviales? 4.4 1 2 70. y (4)  3y  3y  y  0, y(0)  y(0)  0, y(0)  y (0)  1 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN * REPASO DE MATERIAL l Repaso de los teoremas 4.1.6 y 4.1.7 (sección 4.1). INTRODUCCIÓN Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea a n y (n) an 1y (n 1) a1 y a0 y g(x), (1) se debe hacer dos cosas: • encontrar la función complementaria yc y • encontrar alguna solución particular yp de la ecuación no homogénea (1). Entonces, como se explicó en la sección 4.1, la solución general de (1) es y  yc  yp. La función complementaria yc es la solución general de la ED homogénea asociada de (1), es decir, an y (n) an 1y (n 1) a1 y a0 y 0. (QODVHFFLyQYLPRVFyPRUHVROYHUHVWDFODVHGHHFXDFLRQHVFXDQGRORVFRH¿FLHQWHVHUDQFRQVtantes. Así, el objetivo en esta sección es desarrollar un método para obtener soluciones particulares. * Nota para el profesor:(QHVWDVHFFLyQHOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVVHGHVDUUROODGHVGH el punto de vista del principio de superposición para ecuaciones no homogéneas (teorema 4.7.1). En la sección 4.5 se presentará un método totalmente diferente que utiliza el concepto de operadores diferenciales anuladores. Elija el que convenga. 136 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS La primera de las dos formas que se consideran para obtener una solución particular yp de una ED lineal no homogénea se llama PpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV. La idea fundamental detrás de este método es una conjetura acerca de la forma de yp, en realidad una intuición educada, motivada por las clases de funciones que forman la función de entrada g(x). El método general se limita a ED lineales como (1) donde • ORVFRH¿FLHQWHVai, i  0, 1, . . . , n son constantes y • g(x) es una constante k, una función polinomial, una función exponencial eĮ[, una función seno o coseno sen ȕ[ o cos ȕ[RVXPDV¿QLWDV\SURGXFWRVGH estas funciones. NOTA Estrictamente hablando, g(x)  k (constante) es una función polinomial. Puesto que probablemente una función constante no es lo primero en que se piensa cuando se consideran funciones polinomiales, para enfatizar continuaremos con la redundancia “funciones constantes, polinomios, . . . ”. Las siguientes funciones son algunos ejemplos de los tipos de entradas g(x) que son apropiadas para esta descripción: g(x) g(x) 10, sen 3x g(x) x2 5x, 5x cos 2x, g(x) g(x) 15x 8e x, 6 (3x2 xex senx 1)e 4x . Es decir, g(x) es una combinación lineal de funciones de la clase P(x) n an x an 1 xn 1 a1x a0, P(x) eax, P(x) eax sen x y P(x) eax cos x, donde n es un entero no negativo y Į y ȕVRQQ~PHURVUHDOHV(OPpWRGRGHFRH¿FLHQWHV indeterminados no es aplicable a ecuaciones de la forma (1) cuando 1 , g(x) tan x, g(x) sen 1x, g(x) ln x, g(x) x etcétera. Las ecuaciones diferenciales en las que la entrada g(x) es una función de esta última clase se consideran en la sección 4.6. El conjunto de funciones que consiste en constantes, polinomios, exponenciales eĮ[, senos y cosenos tiene la notable propiedad de que las derivadas de sus sumas y productos son de nuevo sumas y productos de constantes, polinomios, exponenciales eĮ[, senos y cosenos. Debido a que la combinación lineal de derivadas 1) an y (n) a1 yp a 0 y p debe ser idéntica a g(x), parece razonable an 1 y (n p p suponer que yp tiene la misma forma que g(x). En los dos ejemplos siguientes se ilustra el método básico. EJEMPLO 1 Resuelva y 4y 6ROXFLyQJHQHUDOXVDQGRFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV 2y 2x2 3x (2) 6. SOLUCIÓN Paso 1. Se resuelve primero la ecuación homogénea asociada y  4y  2y  0. De la fórmula cuadrática se encuentra que las raíces de la ecuación auxiliar 2 16 y m2 2 16 . Por tanto, la función m2  4m  2  0 son m1 complementaria es yc c1e (2 16 ) x c2 e( 2 16 ) x. Paso 2. Ahora, debido a que la función g(x) es un polinomio cuadrático, supongamos una solución particular que también es de la forma de un polinomio cuadrático: yp Ax2 Bx C. 6HEXVFDGHWHUPLQDUFRH¿FLHQWHVHVSHFt¿FRV$, B y C para los cuales yp es una solución de (2). Sustituyendo yp y las derivadas y p 2Ax B y y p 2A en la ecuación diferencial (2), se obtiene yp 4yp 2yp 2A 8Ax 4B 2Ax 2 2Bx 2C 2x 2 3x 6. 4.4 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN l 137 &RPRVHVXSRQHTXHOD~OWLPDHFXDFLyQHVXQDLGHQWLGDGORVFRH¿FLHQWHVGHORVH[SRnentes semejantes a x deben ser iguales: igual 2A x2  8A  2B x  Es decir, 2A 2, 8A 2A  4B  2C 2B 3, 2A  2x2  3x  6 4B 2C 6. Resolviendo este sistema de ecuaciones se obtienen los valores $  1, B C  9. Así, una solución particular es 5 yp x2 x 9. 2 Paso 3. La solución general de la ecuación dada es y yc yp EJEMPLO 2 c1e (2 16 x ) c 2e( 2 16 x ) x2 5 x 2 5 2 y 9. 6ROXFLyQSDUWLFXODUXVDQGRFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV Encuentre una solución particular de y  y  y  2 sen 3x. SOLUCIÓN Una primera suposición natural para una solución particular sería $ sen 3x. Pero debido a que las derivadas sucesivas de sen 3x producen sen 3x y cos 3x, se puede suponer una solución particular que incluye ambos términos: A cos 3x yp B sen 3x. Derivando y p y sustituyendo los resultados en la ecuación diferencial, se obtiene, después de reagrupar, y p y p yp ( 8A 3B) cos 3x (3A 8B) sen 3x 2 sen 3x o igual cos 3x  8A  3B 3A  8B Del sistema de ecuaciones resultante, 8A 3B 0, se obtiene A 6 73 yB 16 73 . sen 3x  0 cos 3x  2 sen 3x. 3A 8B 2, Una solución particular de la ecuación es 6 16 cos 3x sen 3x. 73 73 Como se mencionó, la forma que se supone para la solución particular y p es una intuición educada; no es una intuición a ciegas. Esta intuición educada debe considerar no sólo los tipos de funciones que forman a g(x) sino también, como se verá en el ejemplo 4, las funciones que conforman la función complementaria y c . yp EJEMPLO 3 Resuelva y 2y Formando yp por superposición 3y 4x 5 6xe2x. (3) SOLUCIÓN Paso 1. Primero, se encuentra que la solución de la ecuación homogénea asociada y  2y  3y  0 es yc  c1ex  c2e3x. Paso 2. A continuación, la presencia de 4x  5 en g(x) indica que la solución particular incluye un polinomio lineal. Además, debido a que la derivada del producto xe2x produce 2xe2x y e2x, se supone también que la solución particular incluye tanto a xe2x como a e2x. En otras palabras, g es la suma de dos clases básicas de funciones: 138 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR g(x)  g1(x)  g2(x)  polinomio  exponenciales. Por lo que, el principio de superposición para ecuaciones no homogéneas (teorema 4.1.7) indica que se busca una solución particular yp donde yp1 B y yp2 Ax Ee2x. Sustituyendo Cxe2x yp Ax yp2, yp1 Cxe2x B Ee2x en la ecuación (3) y agrupando términos semejantes, se obtiene yp 2yp 3yp 3Ax 2A 3B 3Cxe2x 3E )e2x (2C 4x 5 6xe2x. (4) De esta identidad obtenemos las cuatro expresiones 3A 4, 2A 3B 5, 3C 6, 2C 3E 0. La última ecuación en este sistema es resultado de la interpretación de que el coe¿FLHQWHGHe2x en el miembro derecho de (4) es cero. Resolviendo, se encuentra que 4 23 4 . Por tanto, A 3, B 9 C,  2 y E 3 4 23 x 2xe2x 3 9 La solución general de la ecuación es 4 2x e . 3 yp Paso 3. y c1e x 4 x 3 c2e3x 23 9 4 2x e . 3 2x En vista del principio de superposición (teorema 4.1.7) se puede aproximar también el ejemplo 3 desde el punto de vista de resolver dos problemas más simples. Se debe comprobar que sustituyendo en yp1 Ax B y 2y 3y 4x 5 y yp2 Cxe2x Ee2x en 2y y 3y 6xe2x 4 23 y yp2 se obtiene, a su vez, yp1 2x 43 e2x. Entonces, una solución 3x 9 particular de (3) es yp yp1 yp2 . En el siguiente ejemplo se ilustra que algunas veces la suposición “obvia” para la forma de yp no es una suposición correcta. EJEMPLO 4 Una falla imprevista del método Encuentre una solución particular de y  5y  4y  8e x. SOLUCIÓN Derivando ex no se obtienen nuevas funciones. Así, si se procede como se hizo en los ejemplos anteriores, se puede suponer razonablemente que una solución particular de la forma yp  $Hx. Pero sustituir esta expresión en la ecuación diferencial da como resultado la expresión contradictoria 0  8ex, por lo que claramente se hizo la conjetura equivocada para yp. /DGL¿FXOWDGDTXtHVHYLGHQWHDOH[DPLQDUODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDyc  c1ex  c2e4x. Observe que la suposición $Hx ya está presente en yc(VWRVLJQL¿FDTXHex es una solución de la ecuación diferencial homogénea asociada y un múltiplo constante $Hx cuando se sustituye en la ecuación diferencial necesariamente da cero. ¿Entonces cuál debe ser la forma de yp? Inspirados en el caso II de la sección 4.3, vemos que sí se puede encontrar una solución particular de la forma yp Axex. Ae x y y p Sustituyendo y p Axe x VLPSOL¿FDQGRVHREWLHQH yp 5yp 4yp Axe x 2Ae x en la ecuación diferencial y 3Ae x 8e x. 4.4 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN De la última igualdad se ve que el valor de $ ahora se determina como A 8 x tanto, una solución particular de la ecuación dada es yp 3 xe . 139 l 8 3. Por La diferencia en los procedimientos usados en los ejemplos 1 a 3 y en el ejemplo 4 indica TXHVHFRQVLGHUDQGRVFDVRV(OSULPHUFDVRUHÀHMDODVLWXDFLyQHQORVHMHPSORVD CASO I Ninguna función de la solución particular supuesta es una solución de la ecuación diferencial homogénea asociada. (QODWDEODVHPXHVWUDQDOJXQRVHMHPSORVHVSHFt¿FRVGHg(x) en (1) junto con la forma correspondiente de la solución particular. Por supuesto, se da por sentado que ninguna función de la solución particular supuesta yp se duplica por una función en la función complementaria yc. TABLA 4.1 Soluciones particulares de prueba Forma de y p g(x) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. $ $[  B $[ 2  Bx  C $[ 3  Bx 2  Cx  E $ cos 4x  B sen 4x $ cos 4x  B sen 4x $H 5x ($[  B)e 5x ($[ 2  Bx  C)e 5x $H 3x cos 4x  Be3x sen 4x ($[ 2  Bx  C) cos 4x  (Ex 2  Fx  G ) sen 4x ($[  B) e 3x cos 4x  (Cx  E)e 3x sen 4x 1 (cualquier constante) 5x  7 3x 2  2 x3  x  1 sen 4x cos 4x e 5x (9x  2)e 5x x 2e 5x e 3x sen 4x 5x 2 sen 4x x e 3x cos 4x EJEMPLO 5 Formas de soluciones particulares. Caso I Determine la forma de una solución particular de a) y  8y  25y  5x 3ex  7ex b) y  4y  x cos x SOLUCIÓN a) Se puede escribir g(x)  (5x3  7)ex. Usando el elemento 9 de la tabla 4.1 como modelo, suponemos una solución particular de la forma (Ax3 yp Bx2 Cx E)e x. Observe que no hay duplicación entre los términos en yp y los términos en la función complementaria y c  e 4x(c1 cos 3x  c2 sen 3x). b) La función g(x)  x cos x es similar al elemento 11 de la tabla 4.1 excepto, por supuesto, que se usa un polinomio lineal en vez de uno cuadrático y cos x y sen x en lugar de cos 4x y sen 4x en la forma de yp: yp (Ax B) cos x (Cx E) sen x. Observe que no hay duplicación de términos entre y p y y c  c1 cos 2x  c2 sen 2x. Si g(x) consiste en una suma de, digamos, m términos de la clase listada en la tabla, entonces (como en el ejemplo 3) la suposición para una solución particular yp consiste en la suma de las formas de prueba yp1, yp2 , . . . , ypm correspondientes a estos términos: yp yp1 yp2 ypm. El enunciado anterior se puede escribir de otra forma: Regla de forma para el caso I La forma de y p es una combinación lineal de las funciones linealmente independientes que se generan mediante derivadas sucesivas de g(x). 140 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR EJEMPLO 6 Formación de yp por superposición. Caso I Determine la forma de una solución particular de y 9y 3x2 14y 7xe6x. 5 sen 2x SOLUCIÓN Se supone que a 3x2 le corresponde yp1 Ax2 Se considera que a  5 sen 2x le corresponde yp2 E cos 2x Se supone que a 7xe6x le corresponde yp3 (Gx Bx C. F sen 2x. H)e6x. Entonces la presunción para la solución particular es yp yp1 yp2 yp3 Ax2 Bx C E cos 2x F sen 2x (Gx H)e6x. En esta suposición ningún término duplica un término de y c  c1e 2x  c2 e 7x. CASO II Una función en la solución particular supuesta también es una solución de la ecuación diferencial homogénea asociada. El siguiente ejemplo es similar al ejemplo 4. EJEMPLO 7 Solución particular. Caso II Encuentre una solución particular de y  2y  y  e x. La función complementaria es y c  c1e x  c2xe x. Como en el ejemplo 4, la suposición yp  $Hx falla, puesto que es evidente de yc que ex es una solución de la ecuación homogénea asociada y  2y  y  0. Además, no es posible encontrar una solución particular de la forma yp  $[Hx, ya que el término xex también se duplica en yc. A continuación se prueba yp Ax2 ex. SOLUCIÓN Sustituyendo en la ecuación diferencial dada se obtiene 2$Hx  ex, así A solución particular es yp 12 x2ex. 1 2. Así, una Nuevamente suponga que g(x) consiste en m términos de la clase que se proporciona en la tabla 4.1 y suponga además que la presunción usual para una solución particular es yp yp1 yp2 ypm , donde las ypi , i 1, 2, . . . , m son las formas de solución particular de prueba correspondientes a estos términos. Bajo las circunstancias descritas en el caso II, se puede formar la siguiente regla general. Regla de multiplicación para el caso II Si alguna ypi contiene términos que duplican los términos de yc , entonces esa ypi se debe multiplicar por x n, donde n es el entero positivo más pequeño que elimina esa duplicación. EJEMPLO 8 Un problema con valores iniciales Resuelva y  y  4x  10 sen x, y(ʌ)  0, y(ʌ)  2. La solución de la ecuación homogénea asociada y  y  0 es y c  c1 cos x  c2 sen x. Debido a que g(x)  4x  10 sen x es la suma de un polinomio lineal y una función seno, la suposición normal para yp, de las entradas 2 y 5 de la tabla 4.1, sería la suma de yp1 Ax B y yp2 C cos x E sen x : SOLUCIÓN yp Ax B C cos x E sen x. (5) 4.4 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN 141 l Pero hay una duplicación obvia de los términos cos x y sen x en esta forma supuesta y dos términos de la función complementaria. Esta duplicación se elimina simplemente multiplicando yp2 por x. En lugar de (5) ahora se usa yp Ax Cx cos x B Ex sen x. (6) Derivando esta expresión y sustituyendo los resultados en la ecuación diferencial, se obtiene y p yp Ax B 2C sen x 2E cos x 4x 10 sen x, y por tanto $  4, B  0,  2C  10, y 2E  0. Las soluciones del sistema son inmediatas: $  4, B  0, C  5, y E  0. Por tanto de la ecuación (6) se obtiene yp  4x  5x cos x. La solución general de la ecuación es y yc yp c1 cos x c2 senx 4x 5x cos x. Ahora se aplican las condiciones iniciales prescritas a la solución general de la ecuación. Primero, y(ʌ)  c1 cos ʌ  c2 sen ʌ  4ʌ  5ʌ cos ʌ  0 produce c1  9ʌ puesto que cos ʌ  1 y sen ʌ  0. Ahora, de la derivada y y( ) y 9 senx c 2 cos x 9 sen c 2 cos 4 4 5x sen x 5 cos x 5 sen 5 cos 2 encontramos c2  7. La solución del problema con valores iniciales es entonces y 9 cos x 7 sen x 4x 5x cos x. EJEMPLO 9 Uso de la regla de multiplicación Resuelva y  6y  9y  6x 2  2  12e 3x. SOLUCIÓN La función complementaria es y c  c1e 3x  c2xe 3x. Y así, con base en los elementos 3 y 7 de la tabla 4.1, la suposición usual para una solución particular sería yp  Ax2  Bx  C  Ee3x. yp1 yp2 La inspección de estas funciones muestra que un término en yp2 se duplica en yc. Si multiplicamos yp2 por x, se nota que el término xe3x aún es parte de yc. Pero multiplicando yp2 por x2 se eliminan las duplicaciones. Así la forma operativa de una solución particular es yp Ax 2 Bx C Ex 2e 3x. Derivando esta última forma y sustituyendo en la ecuación diferencial, agrupando términos semejantes se obtiene yp 6yp 9yp 9Ax2 ( 12A 9B)x 2A 6B 9C De esta identidad se tiene que A 23 , B 89 , C 32 y E general y  yc  yp es y c1 e 3x c2 xe 3x 23 x 2 89 x EJEMPLO 10 2Ee3x 2 3 6x2 2 12e3x. 6 . Por tanto la solución 6x 2 e 3x. ED de tercer orden. Caso I Resuelva y  y  e x cos x. SOLUCIÓN De la ecuación característica m3  m2  0 encontramos que m1  m2  0 y m3  1. Así la función complementaria de la ecuación es yc  c1  c2x  c3ex. Con g(x)  ex cos x, se ve de la entrada 10 de la tabla 4.1 que se debe suponer yp Aex cos x Bex senx. Debido a que no hay funciones en yp que dupliquen las funciones de la solución complementaria, procedemos de la manera usual. De 142 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR yp yp ( 2A 4B)ex cos x ( 4A 2B)ex senx ex cos x 1 se obtiene 2$  4B  1 y 4$  2B  0. De este sistema se obtiene A 10 y 1 1 x 1 x B 5 , así que una solución particular es yp 5 e senx. La solución 10 e cos x general de la ecuación es 1 x 1 x e cos x e senx. y yc yp c1 c2 x c3e x 10 5 EJEMPLO 11 ED de cuarto orden. Caso II Determine la forma de una solución particular de y (4)  y  1  x 2ex. SOLUCIÓN Comparando y c  c1  c2 x  c3 x 2  c4 ex con la suposición normal para una solución particular yp  A  Bx2ex  Cxex  Eex, yp1 yp2 vemos que las duplicaciones entre yc y yp se eliminan cuando yp , se multiplica por x3 y 1 yp se multiplica por x. Así la suposición correcta para una solución particular es y p  2 $[ 3  Bx 3 ex  Cx 2 ex  Ex ex. COMENTARIOS i) En los problemas 27 a 36 de los ejercicios 4.4 se pide resolver problemas con valores iniciales y en los problemas 37 a 40 se pide resolver problemas con valores en la frontera. Como se muestra en el ejemplo 8, asegúrese de aplicar las condiciones iniciales o condiciones en la frontera a la solución general y  yc  yp. Los estudiantes con frecuencia cometen el error de aplicar estas condiciones sólo a la función complementaria yc porque ésta es la parte de la solución que contiene las constantes c1, c2, . . . , cn. ii) De la “Regla de la forma para el caso I” de esta sección se ve por qué el PpWRGR GH FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV QR HV PX\ DGHFXDGR SDUD (' OLQHDOHV no homogéneas cuando la función de entrada g(x) es algo distinta de uno de los cuatro tipos básicos resaltados en color azul antes del ejemplo 1 de esta sección. Por ejemplo, si P(x) es un polinomio, entonces la derivación continua de P(x)eĮ[ sen ȕ[ genera un conjunto independiente que contiene sólo un número ¿QLWR de funciones, todas del mismo tipo, en particular, un polinomio multiplicado por eĮ[ sen ȕ[ o un polinomio multiplicado por eĮ[ cos ȕ[. Por otro lado, la derivación sucesiva de funciones de entrada como g(x)  ln x o g(x)  tan1x genera un conjunto independiente que contiene un número LQ¿QLWR de funciones: 1 1 2 derivadas de ln x: , 2 , 3 , . . . , x x x derivadas de tan1 x: 1 1 2x , 2 2 x (1 x2 ) 2 (1 , 6x2 , . . . . x2 ) 3 4.4 EJERCICIOS 4.4 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN l 143 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-5. En los problemas 1 a 26 resuelva la ecuación diferencial dada XVDQGRFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV 1. y  3y  2y  6 34. d 2x dt 2 v 2x F0 cos t, x(0)  0, x(0)  0 35. yy  2y y  y y  2  24e x  40e5x, 5 9 y (0) 2, y (0) 2 2. 4y  9y  15 3. y  10y  25y  30x  3 4. y  y  6y  2x 5. 1 y  y  y  x 2  2x 4 6. y  8y  20y  100x 2  26xe x 7. y  3y  48x 2e 3x 36. y  8y  2x  5  8e2x, y(0)  4 9. y  y  3 10. y  2y  2x  5  e2x 1 11. y y y 3 e x/2 4 12. y  16y  2e 4x 1 2, y(0)  5, y(0)  3, En los problemas 37 a 40 resuelva el problema con valores en la frontera dado. 37. y  y  x 2  1, y(0)  5, y(1)  0 38. y  2y  2y  2x  2, 8. 4y  4y  3y  cos 2x y(0) y(0)  0, y(ʌ)  ʌ 39. y  3y  6x, y(0)  0, y(1)  y(1)  0 40. y  3y  6x, y(0)  y(0)  0, y(1)  0 En los problemas 41 y 42 resuelva el problema con valores iniciales dado en el que la función de entrada g(x) es discontinua. [Sugerencia: Resuelva cada problema en dos intervalos y después encuentre una solución tal que y y y sean continuas en x  ʌ兾2 (problema 41) y en x  ʌ (problema 42).] 13. y  4y  3 sen 2x 14. y  4y  (x 2  3) sen 2x 41. y  4y  g(x), 15. y  y  2x sen x 16. y  5y  2x 3  4x 2  x  6 g(x) 17. y  2y  5y  e x cos 2x y(0)  1, y(0)  2, sen x, 0 0, x x 18. y  2y  2y  e 2x(cos x  3 sen x) 19. y  2y  y  sen x  3 cos 2x 42. y  2y  10y  g(x), >2 donde >2 y(0)  0, y(0)  0, donde 20. y  2y  24y  16  (x  2)e 4x 21. y  6y  3  cos x g(x) 22. y  2y  4y  8y  6xe 2x 23. y  3y  3y  y  x  4e x 24. y  y  4y  4y  5  e x  e 2x 25. y (4)  2y  y  (x  1) 2 26. y (4)  y  4x  2xex En los problemas 27 a 36 resuelva el problema con valores iniciales dado. 1 ,y 2 27. y  4y  2, y 8 2 8 28. 2y  3y  2y  14x2  4x  11, y(0)  0, y(0)  0 29. 5y  y  6x, y(0)  0, y(0)  10 30. y  4y  4y  (3  x)e2x, 31. y  4y  5y  35e4x, 32. y  y  cosh x, v 2x y(0)  3, y(0)  1 y(0)  2, y(0)  12 2 d x 33. dt 2 y(0)  2, y(0)  5 F0 sen t, x(0)  0, x(0)  0 20, 0 0, x x Problemas para analizar 43. Considere la ecuación diferencial ay  by  cy  ekx, donde a, b, c y k son constantes. La ecuación auxiliar de la ecuación homogénea asociada es am2  bm  c  0. a) Si k no es una raíz de la ecuación auxiliar, demuestre que se puede encontrar una solución particular de la forma yp  $Hkx, donde $  1兾(ak2  bk  c). b) Si k es una raíz de la ecuación auxiliar de multiplicidad uno, muestre que se puede encontrar una solución particular de la forma yp  $[Hkx, donde $  1兾(2ak  b). Explique cómo se sabe que k  b兾2a. c) Si k es una raíz de la ecuación auxiliar de multiplicidad dos, demuestre que podemos encontrar una solución particular de la forma y  $[2ekx, donde $  1兾(2a). 44. Explique cómo se puede usar el método de esta sección para encontrar una solución particular de y  y  sen x cos 2x. Desarrolle su idea. 144 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 45. Sin resolver, relacione una curva solución de y  y  f(x TXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDFRQXQDGHODVVLJXLHQWHV funciones: i) f (x)  1, ii) f (x)  ex, x iii) f (x)  e , iv) f (x)  sen 2x, v) f (x)  e x sen x, vi) f (x)  sen x. Analice brevemente su razonamiento. c) y x FIGURA 4.4.3 Curva solución. y a) d) y x x FIGURA 4.4.4 FIGURA 4.4.1 Curva solución. y b) Tarea para el laboratorio de computación En los problemas 46 y 47 determine una solución particular de la ecuación diferencial dada. Use un SAC como ayuda para UHDOL]DUODVGHULYDGDVVLPSOL¿FDFLRQHV\iOJHEUD 46. y  4y  8y  (2x 2  3x)e 2x cos 2x  (10x 2  x  1)e 2x sen 2x x FIGURA 4.4.2 4.5 Curva solución. 47. y (4)  2y  y  2 cos x  3x sen x Curva solución. COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DEL ANULADOR REPASO DE MATERIAL l Repaso de teoremas 4.1.6 y 4.1.7 (sección 4.1). INTRODUCCIÓN puede escribir como En la sección 4.1 vimos que una ecuación diferencial de n-ésimo orden se an Dn y an 1Dn 1 y a1Dy a0 y g(x), (1) donde D y  d y兾dx , k  0, 1, . . . , n. Cuando es adecuado, la ecuación (1) también se escribe como L(y)  g(x), donde L denota el operador diferencial o polinomial, lineal de n-ésimo orden k k k an Dn an 1Dn 1 a1D a0. (2) La notación de operador no sólo es una abreviatura útil, sino que en un nivel muy práctico la aplicación GHRSHUDGRUHVGLIHUHQFLDOHVSHUPLWHMXVWL¿FDUODVUHJODVXQSRFRDEUXPDGRUDVSDUDGHWHUPLQDUODIRUPDGH solución particular yp presentada en la sección anterior. En esta sección no hay reglas especiales; la forma de yp se deduce casi de manera automática una vez que se encuentra un operador diferencial lineal adecuado que anula a g(x) en (1). Antes de investigar cómo se realiza esto, es necesario analizar dos conceptos. FACTORIZACIÓN DE OPERADORES  &XDQGRORVFRH¿FLHQWHVai, i  0, 1, . . . , n son constantes reales, un operador diferencial lineal (1) se puede factorizar siempre el polinomio característico a nm n  a n1m n1   a1m  a 0 sea factorizable. En otras palabras, si r1 es una raíz de la ecuación auxiliar an mn a n 1 mn 1 a1m a0 0, entonces L  (D  rl) P(D), donde la expresión polinomial P(D) es un operador diferencial lineal de orden n  1. Por ejemplo, si se trata a D como una cantidad algebraica, 4.5 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DEL ANULADOR 145 l entonces el operador D2  5D  6 se puede factorizar como (D  2)(D  3) o como (D  3)(D  2). Así si una función y  f (x) tiene una segunda derivada, entonces (D2 5D 6)y (D 2)(D 3)y (D 3)(D 2)y. Esto muestra una propiedad general: /RVIDFWRUHVGHXQRSHUDGRUGLIHUHQFLDOFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVFRQPXWDQ Una ecuación diferencial tal como y  4y  4y  0 se escribe como (D 2  4D  4)y  0 o (D  2)(D  2)y  0 o (D  2) 2y  0. OPERADOR ANULADOR Si LHVXQRSHUDGRUGLIHUHQFLDOOLQHDOFRQFRH¿FLHQWHV constantes y fHVXQDIXQFLyQVX¿FLHQWHPHQWHGHULYDEOHWDOTXH L( f (x)) 0, entonces se dice que L es un anulador de la función. Por ejemplo, D anula una función constante y  k puesto que Dk  0. El operador diferencial D2 anula la función y  x puesto que la primera y la segunda derivada de x son 1 y 0, respectivamente. De manera similar, D3x2  0, etcétera. El operador diferencial Dn anula cada una de las funciones 1, x 2, x, ..., (3) x n1. Como una consecuencia inmediata de (3) y el hecho de que la derivación se puede hacer término a término, un polinomio c0 c2 x 2 c1x cn 1x n (4) 1 se anula al encontrar un operador que aniquile la potencia más alta de x. Las funciones que se anulan por un operador diferencial lineal de n-ésimo orden L son simplemente aquellas funciones que se obtienen de la solución general de la ecuación diferencial homogénea L(y)  0. El operador diferencial (D  Į)n anula cada una de las funciones e Į[, xe Į[, x 2e Į[, x n1e Į[. ..., (5) Para ver esto, observe que la ecuación auxiliar de la ecuación homogénea (D  Į)n y  0 es (m  Į)n  0. Puesto que Į es una raíz de multiplicidad n, la solución general es (6) y c1eax c2 xeax cn xn 1eax. EJEMPLO 1 Operadores anuladores Encuentre un operador diferencial que anule la función dada. a) 1  5x 2  8x 3 b) e3x c) 4e 2x  10xe 2x SOLUCIÓN a) De (3) se sabe que D4x3  0, así de (4) se tiene que D4(1 5x2 8x3) b) De (5), con Į  3 y n  l, vemos que (D 3)e 3x 0. 0. c) De (5) y (6), con Į  2 y n  2, se tiene que (D 2) 2 (4e2x 10xe2x ) 0. Cuando Į y ȕ, ȕ 0 son números reales, la fórmula cuadrática revela que [m2  2ĮP  (Į2  ȕ2)]n  0 tiene raíces complejas Į  Lȕ, Į  Lȕ, ambas de multiplicidad n. Del DQiOLVLVDO¿QDOGHODVHFFLyQVHWLHQHHOVLJXLHQWHUHVXOWDGR 146 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR El operador diferencial [D 2  2Į'  (Į2  ȕ2)]n anula cada una de las funciones e x cos x, xe x cos x, x2e x cos x, . . . , xn 1e x cos x, e x sen x, xe x sen x, x2e x sen x, . . . , xn 1e x sen x. EJEMPLO 2 (7) Operador anulador Encuentre un operador diferencial que anule 5ex cos 2x  9ex sen 2x. La inspección de las funciones ex cos 2x y ex sen 2x muestra que Į  1 y ȕ  2. Por tanto, de la ecuación (7) se concluye que D2  2D  5 anulará cualquier función que sea combinación lineal de estas funciones tales como 5ex cos 2x  9ex sen 2x. SOLUCIÓN Cuando Į  0 y n  1, un caso especial de (7) es (D2 2 ) cos x sen x (8) 0. Por ejemplo D2  16 anulará cualquier combinación lineal de sen 4x y cos 4x. Con frecuencia estamos interesados en anular la suma de dos o más funciones. Como acabamos de ver en los ejemplos 1 y 2, si L es un operador diferencial lineal tal que L(y1)  0 y L(y2)  0, entonces L anulará la combinación lineal c1 y1(x)  c2 y2(x). Esta es una consecuencia directa del teorema 4.1.2. Supongamos ahora que L1 y L2 son RSHUDGRUHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHVFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVWDOHVTXHL1 anula a y1(x) y L2 anula a y2(x), pero L1(y2)  0 y L2(y1)  0. Entonces el producto de los operadores diferenciales L1L2 anula la suma c1 y1(x)  c2 y2(x). Esto se puede demostrar fácilmente, usando la linealidad y el hecho de que L1L2  L2 L1: L1L2(y1  y2)  L1L2(y1)  L1L2(y2)  L2L1(y1)  L1L2(y2)  L2[L1(y1)]  L1[L2(y2)]  0. cero cero Por ejemplo, sabemos de (3) que D anula a 7  x y de (8) que D2  16 anula a sen 4x. Por tanto el producto de operadores D2(D2  16) anulará la combinación lineal 7  x  6 sen 4x. 2 NOTA El operador diferencial que anula una función no es único. Vimos en el inciso b) del ejemplo 1 que D  3 anula a e3x, pero también a los operadores diferenciales de orden superior siempre y cuando D  3 sea uno de los factores del operador. Por ejemplo (D  3)(D  1), (D  3)2 y D3(D  3) todos anulan a e3x. (Compruebe esto.) Como algo natural, cuando se busca un anulador diferencial para una función y  f(x), se quiere que el operador de mínimo orden posible haga el trabajo. COEFICIENTES INDETERMINADOS Lo anterior lleva al punto del análisis previo. Suponga que L(y)  g(x HVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOFRQFRH¿FLHQWHVFRQVtantes y que la entrada g(x FRQVLVWHHQVXPDV\SURGXFWRV¿QLWRVGHODVIXQFLRQHVOLVWDdas en (3), (5) y (7), es decir, g(x) es una combinación lineal de funciones de la forma k (constante), x m, x me x, x me x cos x, y x me x sen x, donde m es un entero no negativo y Į y ȕ son números reales. Ahora se sabe que una función tal como g(x) puede ser anulada por un operador diferencial L1 de menor orden, que es producto de los operadores Dn, (D  Į)n y (D2  2Į'  Į2  ȕ2)n. Al aplicar L1 a ambos lados de la ecuación L(y)  g(x) se obtiene L1L(y)  L1(g(x))  0. 4.5 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DEL ANULADOR l 147 Al resolver la ecuación homogénea de orden superior L1L(y)  0, se descubre la forma de una solución particular yp para la ecuación original no homogénea L(y)  g(x). Entonces sustituimos esta forma supuesta en L(y)  g(x) para encontrar una solución particular explícita. Este procedimiento para determinar yp, llamado PpWRGR GH ORV FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV, se ilustra a continuación en varios ejemplos. Antes de proceder, recuerde que la solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea L(y)  g(x) es y  yc  yp donde yc es la función complementaria, es decir, la solución general de la ecuación homogénea asociada L(y)  0. La solución general de cada ecuación L(y)  g(x VHGH¿QHHQHOLQWHUYDOR  , ). EJEMPLO 3 Resuelva y 3y 6ROXFLyQJHQHUDOXVDQGRFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV 2y (9) 4x 2. Primero, resolvemos la ecuación homogénea y  3y  2y  0. Entonces, de la ecuación auxiliar m2  3m  2  (m  l)(m  2)  0 se encuentra ml  1 y m2  2 y así la función complementaria es yc  c1ex  c2e2x. SOLUCIÓN Paso 1. Paso 2. Ahora, puesto que 4x2 se anula con el operador diferencial D3, se ve que D3(D2  3D  2)y  4D3x2 es lo mismo que D 3(D 2  3D  2)y  0. (10) La ecuación auxiliar de la ecuación de quinto orden en (10), m3(m2  3m  2)  0 o m3(m  1)(m  2)  0, tiene raíces ml  m2  m3  0, m4  1, y m5  2. Así que su solución general debe ser (11) y  c1  c2x  c3x 2  c4e x  c5e 2x Los términos del cuadro sombreado en (11) constituyen la función complementaria de la ecuación original (9). Se puede argumentar que una solución particular yp, de (9) WDPELpQGHEHVDWLVIDFHUODHFXDFLyQ  (VWRVLJQL¿FDTXHORVWpUPLQRVUHVWDQWHVHQ (11) deben tener la forma básica de yp: yp A (12) Cx2, Bx donde, por conveniencia, hemos remplazado c1, c2 y c3 por $, B y C, respectivamente. 3DUDTXH  VHDXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGH  HVQHFHVDULRHQFRQWUDUFRH¿FLHQWHV HVSHFt¿FRV $, B y C. Derivando la ecuación (12), se tiene que yp 2Cx, B yp 2C, y sustituyendo esto en la ecuación (9) se obtiene yp 3yp 2yp 2C 3B 6Cx 2A 2Bx 2Cx2 4x2. &RPRVHVXSRQHTXHOD~OWLPDHFXDFLyQHVXQDLGHQWLGDGORVFRH¿FLHQWHVGHSRWHQFLDV semejantes de x deben ser iguales: iguales 2C x2  2B  6C x  Es decir 2C 4, 2B 6C 2A  3B  2C 0, 2A 3B  4x2  0x  0. 2C 0. (13) Resolviendo las ecuaciones de (13) se obtiene $  7, B  6 y C  2. Por tanto yp  7  6x  2x2. Paso 3. La solución general de la ecuación en (9) es y  yc  yp o y c1e x c2e 2x 7 6x 2x2. 148 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR EJEMPLO 4 6ROXFLyQJHQHUDOXVDQGRFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV Resuelva y  3y  8e 3x  4 sen x. (14) SOLUCIÓN Paso 1. La ecuación auxiliar para la ecuación homogénea asociada y  3y  0 es m2  3m  m(m  3)  0, y por tanto, yc  c1  c2e3x. Paso 2. Ahora, puesto que (D  3)e3x  0 y (D2  1) sen x  0, se aplica el operador diferencial (D  3)(D2  1) a ambos lados de la ecuación (14): 3)(D2 (D 1)(D2 3D)y (15) 0. La ecuación auxiliar de (15) es: (m 3)(m2 Así 1)(m2 0 o m(m 3m) y  c1  c2e3x c3 xe3x 3) 2 (m2 c4 cos x 1) 0. c5 senx. Una vez que se excluye la combinación lineal de términos dentro del cuadro que corresponde a yc se obtiene la forma de yp: Axe3x yp B cos x C sen x. Sustituyendo ypHQ  \VLPSOL¿FDQGRVHREWLHQH yp 3yp 3Ae3x ( B 3C) cos x (3B 8e3x C) sen x 4 sen x. ,JXDODQGRORVFRH¿FLHQWHVVHREWLHQHTXH$  8,  B  3C  0 y 3B  C  4. Se 2 y por tanto, encuentra que A 38, B 65 , y C 5 8 3x xe 3 yp Paso 3. 6 cos x 5 2 sen x. 5 Entonces la solución general de (14) es y EJEMPLO 5 Resuelva y c1 6 cos x 5 2 sen x. 5 6ROXFLyQJHQHUDOXVDQGRFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV x cos x y 8 3x xe 3 c2e3x (16) cos x. La función complementaria es yc  c1 cos x  c2 sen x. Ahora al comparar cos x y x cos x con las funciones del primer renglón de (7), vemos que Į  0 y n  1 y así (D2  1)2 es un anulador para el miembro derecho de la ecuación en (16). Aplicando este operador a la ecuación diferencial se obtiene SOLUCIÓN (D2 1)2 (D2 0 o (D2 1)y 1)3 y 0. Puesto que i y i son raíces complejas de multiplicidad 3 de la última ecuación auxiliar, se concluye que y  c1 cos x  c2 sen x c3 x cos x c4 x sen x c5 x2 cos x c6 x2 sen x. Sustituyendo yp Ax cos x Bx sen x Cx2 cos x Ex2 sen x HQ  \VLPSOL¿FDQGR yp yp 4 Ex cos x 4 Cx sen x x cos x cos x. (2B 2C ) cos x ( 2A 2E) sen x 4.5 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DEL ANULADOR l 149 ,JXDODQGRORVFRH¿FLHQWHVVHREWLHQHQODVHFXDFLRQHVE  1, 4C  0, 2B  2C  1 1 0 y E 14 . Por 1, y 2$  2E  0, de las que encontramos A 4 B 2, C tanto la solución general de (16) es y c1 cos x EJEMPLO 6 1 x cos x 4 c2 sen x 1 x sen x 2 1 2 x sen x. 4 Forma de una solución particular Determine la forma de una solución particular para y 2y y 10e 2x cos x. (17) La función complementaria de la ecuación dada es yc  c1ex  c2xex. Ahora de (7), con Į  2, ȕ  1 y n  1, se sabe que SOLUCIÓN (D2 4D 5)e 2x cos x 0. Aplicando el operador D2  4D  5 a (17), se obtiene (D2 4D 5)(D2 2D 1)y (18) 0. Puesto que las raíces de la ecuación auxiliar de (18) son 2 –i, 2  i, 1 y 1, vemos de y  c1ex  c2xex c3e 2x cos x 2x c4e sen x que una solución particular de (17) se puede encontrar con la forma yp EJEMPLO 7 Ae 2x cos x 2x Be sen x. Forma de una solución particular Determine la forma de una solución particular para 4y y 4y 5x 2 (D 2)3x2e2x 4x 2e 2x 6x 3e 5x. (19) SOLUCIÓN Observe que D3(5x2 6x) 0, 0 5)e5x (D y 0. Por tanto, D3(D  2)3(D  5) aplicado a (19), se obtiene D 3(D 2)3(D 5)(D 3 4 o D (D 4D 2 5 2) (D 4D)y 0 5)y 0. Las raíces de la ecuación auxiliar para la última ecuación diferencial son 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 2 y 5. Por tanto, y  c1  c2x  c3x 2  c4x 3  c5e2x  c6xe2x  c௘x 2e 2x  c8x 3e2x  c9x 4e2x  c10e 5x. (20) Debido a que la combinación lineal c1  c5e2x  c6xe2x corresponde a la función complementaria de (19), los términos restantes en (20) dan la forma de una solución particular de la ecuación diferencial: yp Ax Bx 2 Cx 3 Ex 2e 2x Fx 3e 2x Gx 4e 2x He 5x. RESUMEN DEL MÉTODO 3RUFRQYHQLHQFLDVHUHVXPHHOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHV indeterminados como sigue. 150 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DEL ANULADOR La ecuación diferencial L(y)  g(x WLHQHFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV\ODIXQFLyQ g(x FRQVLVWHHQVXPDV\SURGXFWRV¿QLWRVGHFRQVWDQWHVSROLQRPLRVIXQFLRQHV exponenciales eĮ[, senos y cosenos. i) Encuentre la función complementaria yc para la ecuación homogénea L(y)  0. ii) Opere ambos lados de la ecuación no homogénea L(y)  g(x) con un operador diferencial L1 que anula la función g(x). iii) Determine la solución general de la ecuación diferencial homogénea de orden superior L1L(y)  0. ࣠LY) Elimine de la solución del paso iii) los términos que se duplican en la solución complementaria yc encontrada en el paso i). Forme una combinación lineal yp de los términos restantes. Esta es la forma de una solución particular de L(y)  g(x). v) Sustituya yp encontrada en el paso iv) en L(y)  g(x). Iguale los FRH¿FLHQWHVGHODVGLVWLQWDVIXQFLRQHVHQFDGDODGRGHODLJXDOGDG y resuelva el sistema resultante de ecuaciones para determinar los FRH¿FLHQWHVGHVFRQRFLGRVGHyp. vi) Con la solución particular encontrada en el paso v), forme la solución general y  yc  yp de la ecuación diferencial dada. COMENTARIOS (OPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVQRHVDSOLFDEOHDHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHVFRQFRH¿FLHQWHVYDULDEOHVQLWDPSRFRHVDSOLFDEOHDHFXDFLRQHV OLQHDOHVFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVFXDQGRg(x) es una función tal que g(x) ln x, g(x) 1 , x g(x) tan x, g(x) sen 1 x, etcétera. Las ecuaciones diferenciales en las que la entrada g(x) es una función de esta última clase se consideran en la siguiente sección. EJERCICIOS 4.5 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-5. En los problemas 1 a 10 escriba la ecuación diferencial en la forma L(y)  g(x), donde L es un operador diferencial lineal FRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV6LHVSRVLEOHIDFWRULFHL. 1. 3. 5. 7. 9y  4y  sen x 2. y  5y  x2  2x y  4y  12y  x  6 4. 2y  3y  2y  1 x y  10y  25y  e 6. y  4y  e x cos 2x y  2y  13y  10y  xex 8. y  4y  3y  x 2 cos x  3x 9. y (4)  8y  4 10. y (4)  8y  16y  (x 3  2x)e 4x 13. (D  2)(D  5); y  e 2x  3e5x 14. D 2  64; y  2 cos 8x  5 sen 8x En los problemas 15 a 26 determine el operador diferencial lineal que anula la función dada. 15. 1  6x  2x 3 16. x 3(1  5x) 17. 1  7e 2x 18. x  3xe 6x 19. cos 2x 20. 1  sen x 21. 13x  9x 2  sen 4x 22. 8x  sen x  10 cos 5x En los problemas 11 a 14 compruebe que el operador diferencial anula las funciones indicadas. 23. ex  2xe x  x 2e x 24. (2  e x) 2 11. D 4; 25. 3  e x cos 2x 26. ex sen x  e 2x cos x y  10x 3  2x 12. 2D  1; y  4e x/2 4.6 En los problemas 27 a 34 determine las funciones linealmente independientes que anulan el operador diferencial dado. VARIACIÓN DE PARÁMETROS l 151 55. y  25y  20 sen 5x 56. y  y  4 cos x  sen x 57. y  y  y  x sen x 58. y  4y  cos2x 27. D 5 28. D 2  4D 59. y  8y  6x 2  9x  2 29. (D  6)(2D  3) 30. D 2  9D  36 60. y  y  y  y  xe x  ex  7 31. D 2  5 32. D 2  6D  10 61. y  3y  3y  y  e x  x  16 33. D 3  10D 2  25D 34. D 2(D  5)(D  7) 62. 2y  3y  3y  2y  (e x  ex) 2 63. y (4)  2y  y  e x  1 En los problemas 35 a 64 resuelva la ecuación diferencial dada XVDQGRFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV 64. y (4)  4y  5x 2  e 2x 35. y  9y  54 36. 2y  7y  5y  29 37. y  y  3 38. y  2y  y  10 En los problemas 65 a 72 resuelva el problema con valores iniciales. 39. y  4y  4y  2x  6 65. y  64y  16, 40. y  3y  4x  5 66. y  y  x, y(0)  1, y(0)  0 y(0)  1, y(0)  0 41. y  y  8x 2 42. y  2y  y  x 3  4x 67. y  5y  x  2, 43. y  y  12y  e 4x 44. y  2y  2y  5e 6x 68. y  5y  6y  10e 2x, 45. y  2y  3y  4e x  9 y(0)  0, y(0)  2 y(0)  1, y(0)  1 69. y  y  8 cos 2x  4 sen x, 46. y  6y  8y  3e2x  2x 47. y  25y  6 sen x 48. y  4y  4 cos x  3 sen x  8 49. y  6y  9y  xe 4x 70. y  2y  y  xe x  5, y(0)  1 71. y  4y  8y  x 3, 72. y  y  x  e , y (0)  0 (4) 50. y  3y  10y  x(e x  1) 51. y  y  x 2e x  5 x y 2 1, y 2 0 y(0)  2, y(0)  2, y(0)  2, y(0)  4 y(0)  0, y(0)  0, y(0)  0, 52. y  2y  y  x 2ex Problemas para analizar 53. y  2y  5y  e sen x 73. Suponga que L es un operador diferencial lineal que se IDFWRUL]DSHURTXHWLHQHFRH¿FLHQWHVYDULDEOHV¢&RQPXWDQ los factores de L"'H¿HQGDVXUHVSXHVWD x 54. y y 4.6 1 y 4 ex(sen 3x cos 3x) VARIACIÓN DE PARÁMETROS REPASO DE MATERIAL l Fórmulas de integración y técnicas de cálculo. l Repaso de la sección 2.3. INTRODUCCIÓN (QHODQiOLVLVGHODVVHFFLRQHV\VHLQGLFDTXHHOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHterminados tiene dos debilidades inherentes que limitan una aplicación más amplia a ecuaciones lineales: /D('GHEHWHQHUFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV\ODIXQFLyQGHHQWUDGDg(x) debe ser del tipo que se presenta en la tabla 4.1. En esta sección examinamos un método para determinar una solución yp de una ED lineal no homogénea que teóricamente no tiene restricciones sobre ésta. Este método, debido al eminente astrónomo Joseph Louis Lagrange (1736-1813), se conoce como variación de parámetros. Antes de examinar este poderoso método para ecuaciones de orden superior revisaremos la solución de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden que se han expresado en su forma estándar. El análisis que sigue al primer encabezado de esta sección es opcional e intenta motivar el análisis principal de esta sección que comienza debajo del segundo encabezado. Si está presionado por el tiempo, este material motivacional se podría asignar como lectura. 152 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR REVISIÓN DE LAS EDO LINEALES DE PRIMER ORDEN En la sección 2.3 vimos que la solución general de una ecuación diferencial de primer orden a1(x) y  a0(x) y  g(x) se puede encontrar escribiéndola en la forma estándar dy dx (1) f (x) P(x)y y suponiendo que P(x) y f(x) son continuas en un intervalo I. Usando el método del factor de integración, la solución general de (1) en el intervalo I, se encontró Vea la ecuación (4) de la sección 2.3 y c1e P(x)dx e P(x)dx e P(x)dx f(x) dx. La solución anterior tiene la misma forma que el teorema 4.1.6, es decir, y  yc  yp. En este caso yc c1e P(x)dx es una solución de la ecuación homogénea asociada dy dx El procedimiento básico es el que se usó en la sección 4.2 P(x)dx e yp y 0 P(x)y e P(x)dx (2) f (x) dx (3) es una solución particular de la ecuación no homogénea (1). Como un medio de motivación de un método para resolver ecuaciones lineales no homogéneas de orden superior para deducir la solución particular (3) de un método conocido como variación de parámetros. Suponiendo que y1 es una solución conocida de la ecuación homogénea (2), dy1 dx 0 P(x)y1 (4) Es fácil mostrar que y1 e P(x)dx es una solución de (4) y debido a la ecuación lineal, c1 y1(x) es su solución general. La variación de parámetros consiste en encontrar una solución particular de (1) de la forma yp  u1 y1(x). En otras palabras, hemos reemplazado el parámetro c1 por una función u1. Al sustituir yp  u1 y1 en (1) y usar la regla del producto se obtiene d uy dx 1 1 dy du u1 1 y1 1 dx dx [ ] P(x)u1 y1 f (x) P(x)u1y1 f (x) 0, por la ecuación (4) u1 dy1 dx y1 du1 dx f (x). y1 así du1 dx P(x)y1 f (x) Al separar las variables e integrar, encontramos u1: du1 f(x) dx se obtiene u1 y1(x) f (x) dx. y1 (x) Por lo tanto, la solución particular que se busca es yp Del hecho de que y1 ecuación (3). e P(x)dx u1y1 y1 f (x) dx y1(x) vemos que el último resultado es idéntico a la 4.6 VARIACIÓN DE PARÁMETROS l 153 ED LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Ahora consideremos el caso de una ecuación lineal de segundo orden a2(x)y a1(x)y a0(x)y (5) g(x), aunque como veremos, la variación de parámetros se extiende a ecuaciones de orden superior. El método de nuevo empieza por poner a la ecuación (5) en su forma estándar y P(x)y (6) f (x) Q(x)y GLYLGLHQGRHQWUHHOFRH¿FLHQWHSULQFLSDOa2(x). En (6) se supone que P(x), Q(x) y f(x) son continuas en algún intervalo común I. Como ya hemos visto en la sección 4.3, no KD\GL¿FXOWDGSDUDREWHQHUODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDyc  c1 y1(x)  c2 y2(x), la soluFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQKRPRJpQHDDVRFLDGDGH  FXDQGRORVFRH¿FLHQWHVVRQ constantes. De la misma manera que en el análisis anterior, ahora nos preguntamos si pueden remplazarse los parámetros c1 y c2 en yc, con funciones u1 y u2 o “parámetros variables”, así u1(x)y1(x) y (7) u2(x)y2(x) ¿es la solución particular de (6)? Para responder esta pregunta sustituimos la ecuación (7) en (6). Usando la regla del producto para derivar dos veces a yp, se obtiene yp u 1 y1 y1u 1 u 2 y2 y2u 2 yp u1y 1 y1u1 y1u 1 u1 y1 u2 y 2 y2 u2 u 2 y 2. y2 u 2 Al sustituir la ecuación (7) y las derivadas anteriores en (6) y agrupando términos se obtiene cero yp P(x)yp Q(x)yp u1[y 1 Qy1] Py 1 y2 u 2 d [y u ] dx 1 1 d [y u dx 1 1 cero u 2 y2 u2[y 2 d [y u ] dx 2 2 y2u 2 ] y2u 2 ] P[y1u 1 Qy2 ] Py 2 y 1u 1 y2u 2 ] P[y1u 1 u1 y1 y2 u2 y2u 2 ] P[y1u 1 y1u 1 y 1u 1 y 1u 1 y 2u 2 y 2u 2 f (x). (8) Como se busca determinar dos funciones desconocidas u1 y u2, la razón impone que son necesarias dos ecuaciones. Estas ecuaciones se obtienen con la suposición adicional de que las funciones u1 y u2 satisfacen y1u 1 y2u 2 0. Esta suposición en azul no se presenta por sorpresa, sino que es resultado de los dos primeros términos de (8) puesto que si se requiere que y1u 1 y2u 2 0 , entonces (8) se reduce a y 1u 1 y 2u 2 f (x) . Ahora tenemos nuestras dos ecuaciones deseadas, a pesar de que sean dos ecuaciones para determinar las derivadas u1 y u2 . Por la regla de Cramer, la solución del sistema y1u 1 y2u 2 0 y 1u 1 y 2u 2 f (x) puede expresarse en términos de determinantes: u1 donde W W1 W y1 y2 , y1 y2 y2 f (x) y u2 W W1 0 y2 , f (x) y 2 y1 f (x) , W W2 W W2 y1 0 . y 1 f (x) (9) (10) Las funciones u1 y u2 se encuentran integrando los resultados de (9). El determinante W se reconoce como el Wronskiano de y1 y y2. Por la independencia lineal de y1 y y2 en I, se sabe que W(y1(x), y2(x))  0 para toda x en el intervalo. 154 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR RESUMEN DEL MÉTODO Normalmente, no es buena idea memorizar fórmulas en lugar de entender un procedimiento. Sin embargo, el procedimiento anterior es demasiado largo y complicado para usarse cada vez que se desee resolver una ecuación GLIHUHQFLDO(QHVWHFDVRUHVXOWDPiVH¿FD]XVDUVLPSOHPHQWHODVIyUPXODVGH  $Vt que para resolver a 2 y  a1 y  a 0 y  g(x), primero se encuentra la función complementaria yc  c1 y1  c2 y2 y luego se calcula el Wronskiano W(y1(x), y2(x)). Dividiendo entre a2, se escribe la ecuación en la forma estándar y  Py  Qy  f(x) para determinar f(x). Se encuentra u1 y u2 integrando u1  W1兾W y u2  W2兾W, donde W1 y W2VHGH¿QHQFRPRHQ  8QDVROXFLyQSDUWLFXODUHVyp  u1 y1  u2 y2. Entonces la solución general de la ecuación es y  yc  yp. EJEMPLO 1 Solución general usando variación de parámetros Resuelva y  4y  4y  (x  1)e 2x. SOLUCIÓN De la ecuación auxiliar m2  4m  4  (m  2)2  0 se tiene yc  c1e2x  c2xe2x &RQ ODV LGHQWL¿FDFLRQHVy1  e2x y y2  xe2x, a continuación se calcula el Wronskiano: e2x xe2x W(e2x, xe2x ) e4x. 2x 2e 2xe2x e2x 3XHVWRTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD\DHVWiHQODIRUPD   HVGHFLUHOFRH¿FLHQWH de yHV LGHQWL¿FDPRVf(x)  (x  l)e2x. De (10), obtenemos W1 0 xe2x 2x 1)e 2xe2x (x 1)xe4x, (x 2x e e2x 2e2x (x W2 0 1)e2x (x 1)e4x, y así de (9) u1 1)xe4x e4x (x 1 3 x 3 yp y 1 2 2x 1 3 3x Se tiene que u1 y y u2 1 2 2x x e 2 yc EJEMPLO 2 x2 yp x, 1 2 2x x e4x 1. x . Por tanto 1 2 x 2 c1e2x 1)e4x (x u2 x xe2x c2 xe2x 1 3 2x xe 6 1 3 2x xe 6 1 2 2x xe 2 1 2 2x xe . 2 Solución general usando variación de parámetros Resuelva 4y  36y  csc 3x. SOLUCIÓN Primero se escribe la ecuación en la forma estándar (6) dividiendo entre 4: 9y y 1 csc 3x. 4 Debido a que las raíces de la ecuación auxiliar m2  9  0 son m1  3i y m2  3i, la función complementaria es yc  c1 cos 3x  c2 sen 3x. Usando y1  cos 3x, y2  sen 3x, y f (x) 14 csc 3x , obtenemos cos 3x sen 3x 3 sen 3x 3 cos 3x W(cos 3x, sen 3x) W1 1 4 sen 3x 0 csc 3x 3 cos 3x 1 , 4 W1 W 1 12 Integrando u1 W2 y u2 cos 3x 3 sen 3x W2 W 3, 1 4 0 csc 3x 1 cos 3x 12 sen 3x 1 cos 3x . 4 sen 3x 4.6 Se obtiene u1 1 12 x 1 36 y u2 l 155 ln兩sen 3x兩. Así una solución particular es 1 x cos 3x 12 yp VARIACIÓN DE PARÁMETROS 1 (sen 3x) ln sen 3x . 36 La solución general de la ecuación es 1 1 x cos 3x (sen 3x) ln sen 3x . (11) 12 36 La ecuación (11) representa la solución general de la ecuación diferencial en, digamos, el intervalo (0, ʌ兾6). y yc c1 cos 3x yp c2 sen 3x CONSTANTES DE INTEGRACIÓN  &XDQGRVHFDOFXODQODVLQWHJUDOHVLQGH¿QLGDV de u1 y u2 , no es necesario introducir algunas constantes. Esto es porque y yc yp c2 y2 (u1 a1)y1 (u2 b1)y2 a1)y1 (c2 b1)y2 u1 y1 u2 y2 c1 y1 (c1 C1 y1 EJEMPLO 3 Resuelva y C2 y2 u2 y2. u1 y1 Solución general usando variación de parámetros 1 . x y La ecuación auxiliar m2  1  0 produce m1   1 y m2  1. Por tanto yc  c1e  c2ex. Ahora W(ex, ex)  2, y SOLUCIÓN x e x(1>x) , 2 u1 u1 ex (1> x) , 2 u2 x 1 2 t x0 dt, x et dt. x0 t 1 2 u2 t e Puesto que las integrales anteriores son no elementales, nos vemos obligados a escribir yp y por tanto y yc yp 1 x e 2 c1ex c2e x x0 x e t dt t 1 x e 2 x 1 e 2 x x0 et dt, t x e t dt x0 t 1 e 2 x x et dt. x0 t (12) En el ejemplo 3 se puede integrar en algún intervalo [x0, x] que no contenga al origen. Resolveremos la ecuación en el ejemplo 3 por un método alternativo en la sección 4.8. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR El método que se describió para ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo orden se puede generalizar a ecuaciones lineales de n-ésimo orden que se han escrito en forma estándar (13) P1(x)y P0 (x)y f (x). y (n) Pn 1(x)y (n 1) Si yc  c1y1  c2 y2   cnyn es la función complementaria para (13), entonces una solución particular es yp u1(x)y1(x) u 2(x)y2 (x) un (x)yn(x), donde los uk, k  1, 2, . . . , n se determinan por las n ecuaciones y1u 1 y2u 2 yn u n 0 y 1u 1 y 2u 2 yn un 0 (14) y1(n 1) u1 y2(n 1) u2 y(n n 1) un f (x). 156 CAPÍTULO 4 l ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Las primeras n  1 ecuaciones de este sistema, al igual que y1u 1 y2u 2 0 en (8), VRQVXSRVLFLRQHVTXHVHKDFHQSDUDVLPSOL¿FDUODHFXDFLyQUHVXOWDQWHGHVSXpVGHTXH yp  u1(x)y1(x)   un(x)yn(x) se sustituye en (13). En este caso usando la regla de Cramer se obtiene Wk uk , k 1, 2, . . . , n, W donde W es el Wronskiano de y1, y2, . . . , yn y Wk es el determinante que se obtiene al remplazar la k-ésima columna del Wronskiano por la columna formada por el lado derecho de (14), es decir, la columna que consta de (0, 0, . . . , f(x)). Cuando n  2, se obtiene la ecuación (9). Cuando n  3, la solución particular yp  u1 y1  u2 y2  u3 y3 , donde y1, y2 y y3 constituyen un conjunto linealmente independiente de soluciones de la ED homogénea asociada y u1, u2 y u3 se determinan a partir de u1 W1 0 y2 0 y p 2 f (x) y 2 y3 y3 p , y3 W2 W1 , W y1 0 y3 y 0 y p 1 3p, y 1 f (x) y 3 W2 , W u2 W3 W3 , W u3 y1 y2 0 y y p 1 2 0 p, y 1 y 2 f (x) (15) W y1 y2 y p 1 y2 y1 y2 y3 y3 p . y3 Véanse los problemas 25 al 28 de los ejercicios 4.6. COMENTARIOS i) La variación de parámetros tiene una ventaja particular sobre el método de FRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVHQFXDQWRDTXHsiempre produce una solución particular yp , siempre y cuando se pueda resolver la ecuación homogénea asociada. Este método no se limita a una función f (x) que es una combinación de las cuatro clases que se listan antes del ejemplo 1 de la sección 4.4. Como se verá en la VLJXLHQWH VHFFLyQ OD YDULDFLyQ GH SDUiPHWURV D GLIHUHQFLD GH ORV FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRVHVDSOLFDEOHD('OLQHDOHVFRQFRH¿FLHQWHVYDULDEOHV ii  (QORVSUREOHPDVVLJXLHQWHVQRGXGHHQVLPSOL¿FDUODIRUPDGHyp. Dependiendo de cómo se encuentren las antiderivadas de u1 y u2 , es posible que no se obtenga la misma yp que se da en la sección de respuestas. Por ejemplo, en el problema 3 de 1 1 1 los ejercicios 4.6 tanto yp 12 sen x 2 x cos x como yp 2 x cos x 4 sen x son respuestas válidas. En cualquier caso la solución general y  yc  yp se simSOL¿FDD y c1 cos x c2 senx 12 x cos x . ¿Por qué? EJERCICIOS 4.6 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-5. En los problemas 1 a 18 resuelva cada ecuación diferencial por medio de variación de parámetros. 12. y 2y ex y 1. y  y  sec x 2. y  y  tan x 1 x2 13. y  3y  2y  sen e x 3. y  y  sen x 4. y  y  sec ș tan ș 14. y  2y  y  e t arctan t 5. y  y  cos 2x 6. y  y  sec 2x 15. y  2y  y  et ln t 8. y  y  senh 2x 17. 3y  6y  6y  e sec x 7. y  y  cosh x 9. y 11. y 4y 3y e2x x 2y 10. y 1 1 ex 9y 9x e3x 16. 2y 2y y 41x x 18. 4y 4y y ex/2 11 x2 En los problemas 19 a 22 resuelva cada ecuación diferencial mediante variación de parámetros, sujeta a las condiciones iniciales y(0)  1, y(0)  0. 4.7 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER 19. 4y  y  xe x/2 27. y 2y y 20. 2y  y  y  x  1 28. y 3y 2y 21. y  2y  8y  2e2x  ex En los problemas 23 y 24 las funciones que se indican son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial homogénea asociada en (0, ). Determine la solución general de la ecuación homogénea. 23. x y y1  x xy 1/2 (x 2 1 4 )y cos x, y 2  x 1/2 x ; e2x 1 ex En los problemas 29 y 30 analice cómo pueden combinarse ORVPpWRGRVGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV\YDULDFLyQGHSDrámetros para resolver la ecuación diferencial. Desarrolle sus ideas. 30. y  2y  y  4x 2  3  x 1e x sen x En los problemas 25 al 28 resuelva la ecuación diferencial de tercer orden usando variación de parámetros. 4.7 e4x 2y 29. 3y  6y  30y  15 sen x  e x tan 3x 3/2 24. x 2y  xy  y  sec(ln x); y 1  cos(ln x), y 2  sen(ln x) 25. y  y  tan x 157 Problemas para analizar 22. y  4y  4y  (12x 2  6x)e 2x 2 l 26. y  4y  sec 2x 31. ¢&XiOHVVRQORVLQWHUYDORVGHGH¿QLFLyQGHODVVROXFLRQHV generales en los problemas 1, 7, 9 y 18? Analice por qué HOLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQGHODVROXFLyQGHOSUREOHPD no es (0, ). 32. Encuentre la solución general de x 4y  x 3y  4x 2y  1 dado que y1  x2 es una solución de la ecuación homogénea asociada. ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER REPASO DE MATERIAL l Repase el concepto de la ecuación auxiliar en la sección 4.3. INTRODUCCIÓN La facilidad relativa con que pudimos encontrar soluciones explícitas de HFXDFLRQHV OLQHDOHV GH RUGHQ VXSHULRU FRQ FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV HQ ODV VHFFLRQHV DQWHULRUHV HQ JHQHUDOQRVHUHDOL]DHQHFXDFLRQHVOLQHDOHVFRQFRH¿FLHQWHVYDULDEOHV(QHOFDStWXORYHUHPRVTXH FXDQGRXQD('OLQHDOWLHQHFRH¿FLHQWHVYDULDEOHVORPHMRUTXHSRGHPRVHVSHUDUusualmente, es HQFRQWUDUXQDVROXFLyQHQIRUPDGHVHULHLQ¿QLWD6LQHPEDUJRHOWLSRGHHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXH FRQVLGHUDPRVHQHVWDVHFFLyQHVXQDH[FHSFLyQDHVWDUHJODpVWDHVXQDHFXDFLyQOLQHDOFRQFRH¿cientes variables cuya solución general siempre se puede expresar en términos de potencias de x, senos, cosenos y funciones logarítmicas. Además este método de solución es bastante similar al de ODVHFXDFLRQHVFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVHQORVTXHVHGHEHUHVROYHUXQDHFXDFLyQDX[LOLDU ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER Una ecuación diferencial lineal de la forma d n 1y dy dn y n 1 a x a1 x a0 y g(x), n 1 n n 1 dx dx dx GRQGH ORV FRH¿FLHQWHV an, an1, . . . , a0 son constantes, se conoce como ecuación de Cauchy-Euler. La ecuación diferencial fue nombrada en honor de los dos matePiWLFRVPiVSUROt¿FRVGHWRGRVORVWLHPSRV$XJXVWLQ/RXLV&DXFK\ IUDQFpV 1857) y Leonhard Euler (suizo, 1707-1783). La característica observable de este tipo de ecuación es que el grado k  n, n GHORVFRH¿FLHQWHVPRQRPLDOHVxk coincide con el orden k de la derivación dky兾dxk: an x n mismo mismo dny dn1y anxn ––––n  an1xn1 –––––– .. .. dx dxn1 Al igual que en la sección 4.3, iniciamos el análisis con un examen detallado de las formas de las soluciones generales de la ecuación homogénea de segundo orden d 2y dy ax2 2 bx cy 0. (1) dx dx 158 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR La solución de ecuaciones de orden superior se deduce de manera análoga. También, podemos resolver la ecuación no homogénea ax 2y  bxy  cy  g(x) por variación de parámetros, una vez que se ha determinado la función complementaria yc. NOTA (OFRH¿FLHQWHax2 de y es cero en x  0. Por lo que, para garantizar que los resultados fundamentales del teorema 4.1.1 sean aplicables a la ecuación de Cauchy(XOHUFHQWUDPRVQXHVWUDDWHQFLyQHQHQFRQWUDUVROXFLRQHVJHQHUDOHVGH¿QLGDVHQHO intervalo (0, ). Las soluciones en el intervalo ( , 0) se obtienen al sustituir t  x en la ecuación diferencial. Véanse los problemas 37 y 38 de los ejercicios 4.7. MÉTODO DE SOLUCIÓN Se prueba una solución de la forma y  xm, donde m es un valor que se debe determinar. Análogo a lo que sucede cuando se sustituye emx en una HFXDFLyQOLQHDOFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVFXDQGRVHVXVWLWX\Hxm, cada término de una ecuación de Cauchy-Euler se convierte en un polinomio en m veces xm, puesto que ak xk dky dxk ak xkm(m 1)(m 2) (m 1)xm k k 1)(m ak m(m 2) (m k 1)xm. Por ejemplo, cuando sustituimos y  xm, la ecuación de segundo orden se transforma en ax2 d 2y dy bx cy am(m 1)xm bmxm cxm (am(m 1) bm c)xm. dx2 dx Así y  xm es una solución de la ecuación diferencial siempre que m sea una solución de la ecuación auxiliar am(m 1) bm 0 o am2 c (b a)m (2) 0. c Hay tres casos distintos a considerar que dependen de si las raíces de esta ecuación cuadrática son reales y distintas, reales e iguales o complejas. En el último caso las raíces aparecen como un par conjugado. CASO I: RAÍCES REALES Y DISTINTAS Sean m1 y m2 las raíces reales de (2), tales que m1  m2. Entonces y1 xm1 y y2 xm2 forman un conjunto fundamental de soluciones. Por tanto, la solución general es c1 xm1 y EJEMPLO 1 Resuelva x2 d 2y dx2 (3) c2 xm2. Raíces distintas 2x dy dx 4y 0. SOLUCIÓN En lugar de memorizar la ecuación (2), algunas veces es preferible suponer y  xm como la solución para entender el origen y la diferencia entre esta nueva forma de ecuación auxiliar y la obtenida en la sección 4.3. Derive dos veces, dy dx mxm 1, d2y dx2 1)xm 2, m(m y sustituyendo esto en la ecuación diferencial x2 d 2y dx2 2x dy dx 4y x2 m(m xm(m(m 1)xm 1) 2 2m 2x mxm 4) 1 xm(m2 4xm 3m 4) 0 si m  3m  4  0. Ahora (m  1)(m  4)  0 implica que m 1  1, m2  4, así que y  c1x 1  c2x 4. 2 CASO II: RAÍCES REALES REPETIDAS Si las raíces de (2) son repetidas (es decir, m1  m2), entonces se obtiene sólo una solución particular, y  xm1. Cuando las raíces de la ecuación cuadrática am2  (b  a)m  c  0 son iguales, el discriminante de los 4.7 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER l 159 FRH¿FLHQWHVQHFHVDULDPHQWHHVFHUR'HODIyUPXODFXDGUiWLFDVHGHGXFHTXHODVUDtFHV deben ser m1  (b  a)兾2a. Ahora se puede construir una segunda solución y2, con la ecuación (5) de la sección 4.2. Primero se escribe la ecuación de Cauchy-Euler en la forma estándar d 2y dx2 b dy ax dx c y ax2 0 \KDFLHQGRODVLGHQWL¿FDFLRQHVP(x)  b兾ax y (b ax) dx xm1 y2 e (b a) ln x . Así (b / a)ln x dx x2m1 xm1 x b/a x 2m1 xm1 x b/a x(b xm1 dx x dx a)/ a dx ;e (b / a)ln x ; 2m1 eln x (b b/a x b/a a)/a xm1 ln x. La solución general es entonces y EJEMPLO 2 c1 xm1 Raíces repetidas Resuelva 4x2 d 2y dx2 SOLUCIÓN Sustituyendo y  xm se obtiene 4x2 d2y dx2 8x dy dx (4) c2 xm1 ln x. 8x y dy dx y 0. xm(4m(m 1) 8m 1) xm(4m2 donde 4m2  4m  1  0 o (2m  1)2  0. Puesto que m1 se sigue que la solución general es y  c1x 1/2  c2x 1/2 ln x. 4m 1 2 1) 0 , de la ecuación (4) Para ecuaciones de orden superior, si m1 es una raíz de multiplicidad k, entonces se puede demostrar que xm1, xm1 ln x, xm1(ln x)2, . . . , xm1(ln x) k 1 son k soluciones linealmente independientes. En correspondencia, la solución general de la ecuación diferencial debe contener una combinación lineal de estas k soluciones. CASO III: RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS Si las raíces de (2) son el par conjugado m1  Į  Lȕ, m2  Į  Lȕ, donde Į y ȕ 0 son reales, entonces una solución es y C1x i C2 x i . Pero cuando las raíces de la ecuación auxiliar son complejas, como en el caso de las HFXDFLRQHVFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVVHGHVHDHVFULELUODVROXFLyQVyORHQWpUPLQRV de funciones reales. Observemos la identidad xi (eln x )i ei que, por la fórmula de Euler, es lo mismo que ln x , x Lȕ  cos(ȕ ln x)  i sen(ȕ ln x). De forma similar, x Lȕ  cos(ȕ ln x)  i sen(ȕ ln x). Si se suman y restan los dos últimos resultados, se obtiene x Lȕ  x Lȕ  2 cos(ȕ ln x) y x Lȕ  x Lȕ  2i sen(ȕ ln x), 160 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR respectivamente. Del hecho de que y  C1x ĮLȕ  C2x ĮLȕ es una solución para cualquier valor de las constantes, note, a su vez, para C1  C2  1 y C1  1, C2  1 que y 1 o y1 2x cos( ln x) y y2 ) i x ) 2ix sen( ln x) también son soluciones. Como W(x cos(ȕ ln x), x Į sen(ȕ ln x))  ȕ[ 2Į1  0, ȕ en el intervalo (0, ), se concluye que Į x 0 x (xi x (xi x i y y2 y1 0 y y2 x sen( ln x) constituyen un conjunto fundamental de soluciones reales de la ecuación diferencial. Así la solución general es (5) y x [c1 cos( ln x) c2 sen( ln x)]. x cos( ln x) y1 _1 1 a) solución para 0  x 1. EJEMPLO 3 y Resuelva 4x2 y 10 Problema con valores iniciales 17y 0, y(1) 1 2. 1, y (1) SOLUCIÓN El término y falta en la ecuación de Cauchy-Euler; sin embargo, la sustitución y  xm produce 5 4x2 y x 25 50 75 xm (4m(m 17y 1) xm (4m2 17) 4m 17) 0 donde 4m2  4m  17  0. De la fórmula cuadrática se encuentra que las raíces son m1  12  2i y m2  12  2i&RQODVLGHQWL¿FDFLRQHVĮ  12 y ȕ  2 se ve de (5) que la solución general de la ecuación diferencial es x1/2 [c1 cos(2 ln x) y 100 c2 sen(2 ln x)]. 1 la solución anterior y usando Aplicando las condiciones iniciales y(l)  1, y (1) 2 ln 1  0, se obtiene, a su vez, que c1  1 y c2  0. Así la solución del problema con valores iniciales es y  x 1/2 cos(2 ln x)(QOD¿JXUDVHSUHVHQWDODJUi¿FD de esta función que se obtuvo con ayuda de un paquete de cómputo. Se observa que la solución particular es oscilatoria y no acotada conforme x → . b) solución para 0  x 100. FIGURA 4.7.1 Curva solución del PVI del ejemplo 3. En el ejemplo siguiente se ilustra la solución de una ecuación de Cauchy-Euler de tercer orden. EJEMPLO 4 Resuelva x3 d3y dx 3 Ecuación de tercer orden 5x2 d2y dx 2 7x dy dx 8y 0. SOLUCIÓN Las tres primeras derivadas de y  xm son dy dx mxm 1, d 2y dx2 m(m d3y dx3 1)xm 2, m(m 2)xm 3, 1)(m así la ecuación diferencial dada se convierte en x3 d3y dx3 5x2 d2y dx2 7x dy dx 8y x3 m(m xm (m(m xm (m3 1)(m 1)(m 2m2 2)xm 2) 4m 3 5x2 m(m 5m(m 8) xm (m 1) 1)xm 2 7m 8) 2)(m2 4) 7xmxm 1 8xm 0. En este caso veremos que y  xm es una solución de la ecuación diferencial para m1   2, m2  2i y m3   2i. Por tanto, la solución general es y  c1x 2  c 2 cos(2 ln x)  c 3 sen(2 ln x). 4.7 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER l 161 ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS (OPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVTXH se describió en las secciones 4.5 y 4.6 no se aplica, en general, a las ecuaciones diferenFLDOHVOLQHDOHVFRQFRH¿FLHQWHVYDULDEOHV3RUWDQWRHQHOVLJXLHQWHHMHPSORVHHPSOHDHO método de variación de parámetros. EJEMPLO 5 Variación de parámetros Resuelva x 2y  3xy  3y  2x 4 e x. SOLUCIÓN Puesto que la ecuación es no homogénea, primero se resuelve la ecuación homogénea asociada. De la ecuación auxiliar (m  l)(m  3)  0 se encuentra yc  c1x  c2x3. Ahora, antes de usar la variación de parámetros para encontrar una solución particular yp  u1 y1  u2 y2, recuerde que las fórmulas u 1 W1> W y u 2 W 2> W , donde W1, W2 y WVRQORVGHWHUPLQDQWHVGH¿QLGRVHQODSiJLQDTXHVHGHGXMHURQ bajo la suposición de que la ecuación diferencial se escribió en la forma estándar y  P(x)y  Q(x)y  f(x). Por tanto, dividiendo entre x2 la ecuación dada, 3 y x y 3 y x2 2x2 ex KDFHPRVODLGHQWL¿FDFLyQf(x)  2x2ex. Ahora con y1  x, y2  x3, y W x x3 1 3x2 2x3, 0 x3 2x2ex 3x2 W1 2x5ex, 0 2x2 ex x 1 W2 2x3ex, 2x5 ex 2x3 ex 2 x y x e u ex. 2 2x3 2x3 La integral de la última función es inmediata, pero en el caso de u1 se integra por partes dos veces. Los resultados son u1  x 2e x  2xe x  2e x y u2  e x. Por tanto yp  u1 y1  u2 y2 es encontramos u1 ( x2 ex yp Finalmente, yc y 2xex yp 2ex )x c1 x c2 x3 ex x3 2x2ex 2x2 ex 2xex. 2xex. REDUCCIÓN A COEFICIENTES CONSTANTES Las similitudes entre las formas de soluciones de ecuaciones de Cauchy-Euler y soluciones de ecuaciones lineales con FRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVQRVyORVRQXQDFRLQFLGHQFLD3RUHMHPSORFXDQGRODVUDtFHV de las ecuaciones auxiliares para ay  by  cy  0 y ax 2y  bxy  cy  0 son distintas y reales, las soluciones generales respectivas son y c1 em1 x c2 em2 x y y c1 xm1 c2 xm2, x 0. (6) Usando la identidad e ln x  x, x 0, la segunda solución dada en (5) puede expresarse en la misma forma que la primera solución: y c1 em1 ln x c2 em2 ln x c1em1 t c2 em2 t, donde t  ln x. Este último resultado ilustra el hecho de que cualquier ecuación de Cauchy-Euler siempre se puede escribir de nuevo como una ecuación diferencial lineal FRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVVXVWLWX\HQGRx  e t. La idea es resolver la nueva ecuación diferencial en términos de la variable t, usando los métodos de las secciones anteriores y una vez obtenida la solución general, sustituir nuevamente t  ln x. Este método, que se ilustró en el último ejemplo, requiere el uso de la regla de la cadena de la derivación. EJEMPLO 6 &DPELRDFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV Resuelva x 2y  xy  y  ln x. 162 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR SOLUCIÓN dy dx d 2y dx2 Sustituyendo x  et o t  ln x, se tiene que 1 dy x dt dy dt dt dx ; Regla de la cadena 1 d dy x dx dt dy dt 1 x2 1 d 2y 1 x dt2 x dy dt 1 x2 ; Regla del producto y regla de la cadena 1 d 2y x2 dt2 dy . dt 6XVWLWX\HQGRHQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD\VLPSOL¿FDQGRVHREWLHQH d2y dt2 2 dy dt y t. &RPRHVWD~OWLPDHFXDFLyQWLHQHFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVVXHFXDFLyQDX[LOLDUHVm2  2m  1  0, o (m  1)2  0. Así se obtiene yc  c1et  c2tet. 8VDQGRFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVVHSUXHEDXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODIRUPD yp  $  Bt. Esta suposición conduce a 2B  $  Bt  t, por tanto $  2 y B  1. Usando y  yc  yp, se obtiene y c1 et c 2 tet 2 t, así la solución general de la ecuación diferencial original en el intervalo (0, y  c1x  c2x ln x  2  ln x. ) es SOLUCIONES PARA x < 0 En el análisis anterior hemos resuelto las ecuaciones de Cauchy-Euler para x 0. Una forma de resolver una ecuación de Cauchy-Euler para x  0 es cambiar la variable independiente por medio de la sustitución t  x (lo que implica t 0) y usando la regla de la cadena: dy dx dy dt dt dx dy dt y d 2y dx2 d dt dy dt dt dx d 2y . dt 2 Vea los problemas 37 y 38 de los ejercicios 4.7. UNA FORMA DISTINTA a(x Una ecuación de segundo orden de la forma d2y dy x0)2 2 b(x x0) cy 0 dx dx (7) también es una ecuación de Cauchy-Euler. Observe que (7) se reduce a (1) cuando x0  0. Podemos resolver (7) como lo hicimos con (1), es decir, buscando soluciones de y  (x  x0)m y usando dy dx m(x x0)m 1 y d2y dx2 m(m 1)(x x0)m 2. De forma alterna, podemos reducir a (7) a la forma familiar (1) por medio del cambio de variable independiente t  x  x0, resolver la ecuación reducida y sustituir de nuevo. Vea los problemas 39 a 42 de los ejercicios 4.7. EJERCICIOS 4.7 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-5. En los problemas 1 a 18 resuelva la ecuación diferencial dada. 1. x 2y  2y  0 2. 4x 2y  y  0 7. x 2y  3xy  2y  0 3. xy  y  0 4. xy  3y  0 9. 25x 2y  25xy  y  0 5. x 2y  xy  4y  0 6. x 2y  5xy  3y  0 11. x 2y  5xy  4y  0 8. x 2y  3xy  4y  0 10. 4x 2y  4xy  y  0 12. x 2y  8xy  6y  0 4.7 13. 3x 2y  6xy  y  0 14. x 2y  7xy  41y  0 15. x 3y  6y  0 16. x 3y  xy  y  0 17. xy (4)  6y  0 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER l 163 En los problemas 39 y 40 utilice y  (x  x0)m para resolver la ecuación diferencial dada. 39. (x  3)2y  8(x  3)y  14y  0 40. (x  1)2y  (x  1)y  5y  0 18. x 4y (4)  6x 3y  9x 2y  3xy  y  0 En los problemas 19 a 24 resuelva la ecuación diferencial dada por variación de parámetros. 19. xy  4y  x 4 En los problemas 41 y 42 utilice la sustitución t  x  x0 para resolver la ecuación diferencial dada. 41. (x  2)2y  (x  2)y  y  0 42. (x  4)2y  5(x  4)y  9y  0 20. 2x 2y  5xy  y  x 2  x 21. x 2y  xy  y  2x 22. x 2y  2xy  2y  x 4e x 1 xy y 24. x2 y x 1 23. x 2y  xy  y  ln x En los problemas 25 a 30 resuelva el problema con valores LQLFLDOHV8VHXQDDSOLFDFLyQSDUDJUD¿FDU\REWHQJDODJUi¿FD de la curva solución. 25. x 2y  3xy  0, y(1)  0, y(1)  4 26. x y  5xy  8y  0, 27. x 2y  xy  y  0, y(1)  1, y(1)  2 28. x 2y  3xy  4y  0, y(1)  5, y(1)  3 29. xy 1, y (1) 30. x2 y y x, 5xy y(1) 8y 8x6, y 1 2 44. ¿Es posible encontrar una ecuación diferencial de &DXFK\(XOHUGHRUGHQPtQLPRFRQFRH¿FLHQWHVUHDOHVVL se sabe que 2 y 1  i son raíces de su ecuación auxiliar? Desarrolle sus ideas. x 2y  0, x 2y  2xy  2y  0, 1 2 0, y 43. Dé el intervalo más largo posible sobre el cual la solución JHQHUDOGHOSUREOHPDHVWiGH¿QLGD 45. Las condiciones iniciales y(0)  y0, y(0)  y1 se aplican a cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales: y(2)  32, y(2)  0 2 Problemas para analizar x 2y  4xy  6y  0. 1 2 0 En los problemas 31 a 36 use la sustitución x  et para convertir la ecuación de Cauchy-Euler a una ecuación diferencial FRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV5HVXHOYDODHFXDFLyQRULJLQDODO resolver la nueva ecuación usando los procedimientos de las secciones 4.3 a 4.5. 31. x 2y  9xy  20y  0 ¿Para qué valores de y0 y y1 cada problema con valores iniciales tiene una solución? 46. ¿Cuáles son las intersecciones con el eje x de la curva VROXFLyQTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD"¢&XiQWDVLQ1 tersecciones con el eje x hay en 0 x 2? Tarea para el laboratorio de computación 33. x 2y  10xy  8y  x 2 En los problemas 47 al 50 resuelva la ecuación diferencial dada usando un SAC para encontrar las raíces (aproximadas) de la ecuación auxiliar. 34. x 2y  4xy  6y  ln x 2 47. 2x 3y  10.98x 2y  8.5xy  1.3y  0 35. x 2y  3xy  13y  4  3x 48. x 3y  4x 2y  5xy  9y  0 36. x 3y  3x 2y  6xy  6y  3  ln x 3 49. x 4y (4)  6x 3y  3x 2y  3xy  4y  0 32. x 2y  9xy  25y  0 En los problemas 37 y 38 resuelva el problema con valores iniciales dado en el intervalo ( , 0). 37. 4x 2y  y  0, y(1)  2, y(1)  4 38. x 2y  4xy  6y  0, y(2)  8, y(2)  0 50. x 4y (4)  6x 3y  33x 2y  105xy  169y  0 51. Resuelva x 3y  x 2y  2xy  6y  x 2 por variación de parámetros. Use un SAC como ayuda para calcular las raíces de la ecuación auxiliar y los determinantes dados en (15) de la sección 4.6. 164 l CAPÍTULO 4 4.8 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR FUNCIONES DE GREEN REPASO DE MATERIAL l Vea los ComentariosDO¿QDOGHODVHFFLyQSDUDODVGH¿QLFLRQHVGHrespuesta, entrada, y salida. l Operadores diferenciales en la sección 4.1 y en la sección 4.5. l El método de variación de parámetros en la sección 4.6. INTRODUCCIÓN Veremos en el capítulo 5 que la ecuación diferencial lineal de segundo orden d2y a2(x) 2 dx a1(x) dy dx a0(x)y (1) g(x) desempeña un papel importante en muchas aplicaciones. En el análisis matemático de sistemas físicos con frecuencia expresar la respuesta o salida y(x) de (1) sujeta ya sea a condiciones iniciales o a condiciones frontera en términos de una función de forzamiento o de entrada g(x). De esta manera, la respuesta del sistema se puede analizar rápidamente para diferentes funciones de forzamiento. Para ver cómo se hace esto, comenzamos examinando las soluciones de los problemas con valores iniciales en los cuales la ED (1) se ha puesto en la forma estándar y P(x)y Q(x)y (2) f(x) GLYLGLHQGRODHFXDFLyQHQWUHHOFRH¿FLHQWHSULQFLSDOa2(x). También suponemos en toda esta sección TXHODVIXQFLRQHVFRH¿FLHQWHVP(x), Q(x) y f (x) son continuas en algún intervalo común I. 4.8.1 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES TRES PROBLEMAS CON VALORES INICIALES Veremos conforme se desarrolla el análisis que la solución y(x) del problema de valores iniciales de segundo orden y P(x)y Q(x)y f(x), y(x0) y0, y (x0) y1 (3) se puede expresar como la superposición de las dos soluciones y(x) Aquí se supone que al menos uno de los números y0 o y1 es distinto de cero. Si tanto y0 como y1 son 0, entonces la solución del PVI es y = 0. yh(x) yp(x), (4) donde yh(x) es la solución de la ED homogénea asociada con las condiciones iniciales no homogéneas y (5) P(x)y Q(x)y 0, y(x0) y0, y (x0) y1 y yp(x) es la solución de la ED no homogénea con condiciones iniciales homogéneas (es decir, cero) P(x)y Q(x)y f(x), y(x0) 0, y (x0) 0. y (6) (QHOFDVRGHTXHORVFRH¿FLHQWHVP y Q sean constantes, la solución del PVI (5) no SUHVHQWDGL¿FXOWDGHV8WLOLFHHOPpWRGRGHODVHFFLyQSDUDHQFRQWUDUODVROXFLyQGHOD ED homogénea y después utilice las condiciones iniciales dadas para determinar las dos constantes de la solución. Nos concentraremos en la solución del PVI (6). Debido a las condiciones iniciales cero, la solución de (6) podría describir un sistema físico que está inicialmente en reposo y a veces se llama una solución de reposo. FUNCIÓN DE GREEN Si y1(x) y y2(x) forman un conjunto fundamental de soluciones en la intervalo I de la ecuación homogénea asociada de (2), entonces una solución particular de la ecuación no homogénea (2) en el intervalo I se puede encontrar por variación de parámetros. Recuerde de la ecuación (3) de la sección 4.6 que la forma de esta solución es yp(x) u1(x)y1(x) u2(x)y2(x). (7) /RVFRH¿FLHQWHVYDULDEOHVu1(x) y u2(x)HVWiQGH¿QLGRVSRUODHFXDFLyQ  GHODVHFFLyQ 4.6: y2(x)f(x) y1(x)f(x) , u 2(x) . u 1(x) (8) W W 4.8 FUNCIONES DE GREEN 165 l La independencia lineal de y1(x) y y2(x) en el intervalo I garantiza que el Wronskiano W = W(y1(x), y2(x))  0 para toda x en I. Si x y x0 son números en I, entonces al integrar las derivadas u1(x) y u2(x) en las ecuaciones (8) en el intervalo [x0, x] y al sustituir los resultados en la ecuación (7) se obtiene x yp(x) Debido a que y1(x) y y2(x) son constantes con respecto a la integración en t, podemos mover estas funciones GHQWURGHODVLQWHJUDOHVGH¿QLGDV y1(x) x W(t) x0 y2(x) x y1(x)y2(t) f(t) dt W(t) x0 donde x y2(t)f(t) dt W(t) x0 y1(t) y 1(t) W(y1(t), y2(t)) x0 y1(t)f(t) dt W(t) (9) y1(t)y2(x) f(t) dt, W(t) y2(t) y2(t) 'HODVSURSLHGDGHVGHODLQWHJUDOGH¿QLGDODVGRVLQWHJUDOHVHQHOVHJXQGRUHQJOyQGH (9) se pueden reescribir como una sola integral x G(x, t) f(t) dt. (10) y1(t)y2(x) y1(x)y2(t) W(t) (11) yp(x) x0 La función G(x, t) en (10), G(x, t) Esto es importante. Lea este párrafo otra vez. se denomina función de Green para la ecuación diferencial (2). Observe que la función de Green (11) depende sólo de las soluciones fundamentales y1(x) y y2(x) de la ecuación diferencial homogénea asociada para (2) y no de la fuerza de forzamiento f(x). Por lo tanto, todas las ecuaciones diferenciales de segundo orden (2) con el mismo lado izquierdo, pero con diferentes funciones de forzamiento tienen la misma función de Green. Por lo que un título alternativo para (11) es la función de Green para el operador diferencial lineal de segundo orden L  D2  P(x) D  Q(x) EJEMPLO 1 Solución particular Utilice las ecuaciones (10) y (11) para encontrar una solución particular de y  y  f(x). Las soluciones de la ecuación homogénea asociada y  y  0 son y1  ex, y2  ex y W(y1(t), y2(t))  2. Se tiene de la ecuación (11) que la función de Green es SOLUCIÓN G(x, t) ete x exe t ex 2 t e 2 (x t) sinh(x (12) t). Así para la ecuación (10), una solución particular de la ED es x yp(x) EJEMPLO 2 sinh(x t) f(t) dt. (13) x0 Soluciones generales Determine la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales no homogéneas. a) y  y  1冫x b) y  y  e2x SOLUCIÓN En el ejemplo 1, ambas ED tienen la misma función complementaria yc  c1ex  c2ex. Además, como se señaló en el párrafo anterior al ejemplo 1, la función de Green para ambas ecuaciones diferenciales es la ecuación (12). a) &RQODVLGHQWL¿FDFLRQHVf(x)  1冫x y f(t)  1冫t vemos en la ecuación (13) que una solución particular de y  y  1冫x es yp(x) x senh(x x0 t t) dt . Así la solución general y  yc  yp de la ED dada en cualquier intervalo [x0, x] que no contiene al origen es 166 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR c1e x y x x c2e x0 senh(x t t) (14) dt. Debe comparar esta solución con la encontrada en el ejemplo 3 de la sección 4.6. b) Con f(x)  e2x en la ecuación (13), una solución particular de y  y  e2x es yp(x)  x x0 senh(x t) e2t dt. Entonces la solución general y  yc  yp es c1ex y c2e x x senh(x t) e2t dt. (15) x0 Ahora considere el problema de valores iniciales especial (6) con las condiciones iniciales homogéneas. Una manera de resolver el problema cuando f(x)  0 ya se ha mostrado en las secciones 4.4 y 4.6, es decir, aplicando las condiciones iniciales y(x0)  0, y(x0)  0 a la solución general de la ED no homogénea. Pero no hay una necesidad real de hacer esto ya que tenemos una solución del PVI a la mano, ésta es la función GH¿QLGDHQODHFXDFLyQ   TEOREMA 4.8.1 Solución del PVI (6) La función yp(x GH¿QLGDHQ  HVODVROXFLyQGHOSUREOHPDGHYDORUHVLQLciales (6). Por construcción sabemos que yp(x) satisface la ED no homogénea. 'HVSXpVSXHVWRTXHXQDLQWHJUDOGH¿QLGDWLHQHODSURSLHGDG aa 0 tenemos DEMOSTRACIÓN yp(x0) x0 x0 G(x0, t) f(t) dt 0. Por último, para demostrar que yp(x0)  0 utilizamos la fórmula de Leibniz* para la derivada de una integral: 0 de (11) yp (x) x0 yp(x 0) por lo tanto EJEMPLO 3 x G(x, x) f (x) x0 x0 y1(t)y 2(x) y 1(x)y2(t) f(t) dt. W(t) y1(t)y 2 (x0) y 1(x0)y2(t) f(t) dt W(t) 0. Vuelta al ejemplo 2 Resuelva los problemas con valores iniciales a) y  y  1冫x, y(1)  0, y(1)  0 b) y  y  e2x, y(0)  0, y(0)  0 a) Con x0  1 y f(t)  1冫t,, se tiene de la ecuación (14) del ejemplo 2 y del teorema 4.8.1 que la solución del problema de valores iniciales, donde [1, x], x 0, es SOLUCIÓN x yp(x) 1 senh(x t t) dt b),GHQWL¿FDQGRx0  0 y f(t)  e2t, vemos en la ecuación (15) que la solución del PVI es x yp(x) * senh(x t) e2t dt. (16) 0 Esta fórmula, normalmente se analiza en cursos avanzados de cálculo, está dada por d dx v(x) F(x, t)dt u(x) v(x) F(x, v(x))v (x) F(x, u(x))u (x) u(x) x F(x, t) dt. 4.8 FUNCIONES DE GREEN l 167 En el inciso b) del ejemplo 3, realizamos la integración de la ecuación (16), pero considere que x se conserva constante, cuando se integra con respecto a t: x yp(x) 0 t ex x 0 1 2x 3e 1 x 2e t) e2t dt x 1 x 2e et dt (x e 2 0 1 x 2e EJEMPLO 4 x t) e2t dt senh(x e3t dt 0 1 x 6e . Uso de (10) y (11) Resuelva el problema de valores iniciales y  4y  x, y(0)  0, y(0)  0 Comencemos por construir la función de Green de la ecuación diferencial dada. Las dos soluciones linealmente independientes de y  4y  0 son y1(x)  cos2x y y2(x)  sen2x. En la ecuación (11), con W(cos2t, sen2t)  2, encontramos SOLUCIÓN Aquí hemos usado la identidad trigonométrica sen(2x – 2t) = sen2x cos2t – cos2x sen2t cos2t sin2x G(x, t) cos2x sin2t 1 2 sin2(x 2 t). +DFLHQGRPiVLGHQWL¿FDFLRQHVx0  0 y f(t)  t en la ecuación (10) vemos que una solución del problema de valores iniciales es 1 2 yp(x) x t sen2(x t)dt. 0 Si deseamos evaluar la integral, primero escribimos 1 2 sen2x yp(x) x t cos2t dt 0 x 1 2 cos2x 1 2 cos2x t sen2t dt 0 y después integramos por partes: yp(x) [ 1 1 2 sen2x 2 t sen2t 1 4 yp(x) o ]x0 cos2t 1 4x 1 8 [ 1 2t cos2t ] x 1 4 sen2t 0 sen 2x CONTINUACIÓN DE LOS PROBLEMAS DE VALORES INICIALES Finalmente, ahora estamos en posición de hacer uso del teorema 4.8.1 para encontrar la solución del problema de valores iniciales expresado en (3). Ésta es simplemente la función ya dada en la ecuación (4). TEOREMA 4.8.2 Solución del PVI (3) Si yh(x) es la solución del problema de valores iniciales (5) y yp(x) es la solución (10) del problema de valores iniciales (6) en el intervalo I, entonces y(x)  yh(x)  yp(x) (17) es la solución del problema de valores iniciales (3). DEMOSTRACIÓN Ya que yh(x) es una combinación lineal de las soluciones fundamentales, se tiene de (10) de la sección 4.1 que y yh yp es una solución de la ED no homogénea. Además, puesto que yh satisface las condiciones iniciales en (5) y yp satisface las condiciones iniciales en (6), tenemos, y(x0) yh(x0) yp(x0) y0 0 y0 y (x0) y h (x0) y p (x0) y1 0 y1. 168 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Considerando la ausencia de una función de forzamiento en (5) y la presencia de ese término en (6), vemos en la ecuación (17) que la respuesta y(x) de un sistema físico descrito por el problema de valores iniciales (3) se puede separar en dos respuestas diferentes: yh(x) y(x) yp(x) respuesta del sistema debida a las condiciones iniciales y(x0) y0, y(x0) y1 (18) respuesta del sistema debida a la función de forzamiento f Si desea adelantarse, el siguiente problema de valores iniciales representa una situación de resonancia pura para un sistema masa resorte forzado. Vea la sección 5.1.3. EJEMPLO 5 Uso del teorema 4.8.2 Resuelva el problema de valores iniciales y  4y  sen2x, y(0)  1, y(0)  2 Resolvemos los dos problemas de valores iniciales. Primero, resolvemos y  4y  0, y(0)  1, y(0)  2. Al aplicar las condiciones iniciales a la solución general y(x)  c1cos2x  c2sen2x de la ED homogénea, encontramos que c1  1 y c2  1. Por lo tanto, yh(x) = cos2x  sen2x. Después, resolvemos y  4y  sen2x, y(0)  0, y(0)  0. Como el lado izquierdo de la ecuación diferencial es el mismo que el de la ED del ejemplo 4, la función de Green es la misma, es decir, G(x, t)  1冫2sen2(x  t). Con f(t)  sen2t vemos de (10) que la solución del segundo problema es yp(x) 12 x0 sen 2(x t)sen2t dt . Por último, en vista de (17) en el teorema 4.8.2, la solución del PVI original es SOLUCIÓN yh(x) y(x) yp(x) cos2x sen2x x 1 2 sen2(x t)sen2t dt (19) 0 6LVHGHVHDSRGHPRVLQWHJUDUODLQWHJUDOGH¿QLGDHQ  XVDQGRODLGHQWLGDGWULJRQRPpWULFD 1 2 [cos(A sen Asen B con A 2(x t) y B B) cos (A B)] 2t: yp(x) x 1 2 sen2(x x 1 4 1 4 t)sen2tdt 0 [cos(2x 4t) cos2x] dt 1 4 sen(2x 4t) tcos2x (20) 0 [ 1 8 sen2x ]x0 1 4 xcos2x. Por lo tanto, la solución (19) se puede reescribir como: y(x) yh(x) yp(x) cos2x y(x) o cos2x 1 8 sen2x sen2x 7 8 sen2 x 1 4 1 4 x cos2x x cos2x. , (21) 2EVHUYHTXHHOVLJQL¿FDGRItVLFRLQGLFDGRHQ  VHSLHUGHHQ  GHVSXpVGHFRPELnar términos semejantes en las dos partes de la solución y(x)  yh(x)  yp(x). La belleza de la solución dada en (19) es que podemos escribir inmediatamente la respuesta de un sistema si las condiciones iniciales siguen siendo las mismas, pero la función de forzamiento cambia. Por ejemplo, si el problema en el ejemplo 5 se cambia a: y  4y  x, y(0)  1, y(0)  2 simplemente reemplazamos sen2t en la integral en (19) por t y entonces la solución es y(x) yh(x) yp(x) cos 2x 1 4x sen2x cos2x 1 2 x tsen2(x 0 9 8 sen2x t) dt vea el ejemplo 4 4.8 FUNCIONES DE GREEN l 169 x Como la función de forzamiento f está sola en la solución particular yp(x) x G(x, t) f(t) dt la solución de (l7) es útil cuando fHVWiGH¿QLGDHQSDUWHV(OVLJXLHQWHHMHPSORLOXVWUD esta idea. 0 EJEMPLO 6 Un problema con valores iniciales Resuelva el problema de valores iniciales y  4y  f(x), y(0)  1, y(0)  2 donde la función de forzamiento fSRUSDUWHVVHGH¿QH 0, x sen 2x, 0 0, x f(x) SOLUCIÓN 0 x 2 2 . De (19), remplazando a f(t) con sen2t, podemos escribir cos 2 x y(x) x 1 2 sen 2x sen 2(x t) f(t) dt. 0 Debido a que fVHGH¿QHHQWUHVSDUWHVFRQVLGHUDPRVWUHVFDVRVHQODHYDOXDFLyQGHOD LQWHJUDOGH¿QLGD3DUDx  0, 1 2 yp(x) x t) 0 dt sen2(x 0, 0 para 0  x  2, x 1 2 yp(x) 1 8 sen2x \¿QDOPHQWHSDUDx yp x) 2S 1 2  1 2S 1 4 [ VHQ x  1 4 VHQ x x 1 2 x 2S t dt VHQ x t VHQt dt tcos 2x] 2S 4t) 8S ) 1 2 S cos 2 x ĸXVDQGRODLQWHJUDFLyQHQ  1 16 VHQx ĸVHQ x 8S ) VHQ 2x Por lo tanto, yp(x) es yp(x) p 2p 3p _1 x 0, 1 1 8 sin2x 4 x cos 2x, 1 2 cos2x, x 0 x 0 x 2 2 . y así y(x) FIGURA 4.8.1 *Ui¿FDGHy(x) del ejemplo 6.. t VHQ 2t dt cos 2x. 1 _p 1 4 x cos2x VHQ x 1 16 VHQ y usando la integración de (20) 2ʌ, podemos usar la integración que sigue al ejemplo 5: 2S 1 2S t) sen2t dt sen 2(x 0 yh(x) yp(x) cos 2x sen 2x yp(x). Juntando todas las piezas, obtenemos y(x) cos 2x sen 2x, x 1 7 (1 4 x) cos 2x 8 sen 2 x, 0 (1 12 )cos2x sen2x, x 0 x 2 2 . Las tres partes de y(x VHPXHVWUDQHQGLIHUHQWHVFRORUHVHQOD¿JXUD A continuación examinaremos cómo se puede resolver un problema de valores en la frontera (PVF) usando una clase diferente de función de Green. 170 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 4.8.2 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA En contraste con un PVI de segundo orden, en el que y(x) y y(x VHHVSHFL¿FDQHQHO mismo punto, un PVF para una ED de segundo orden implica condiciones y(x) y y(x) TXHVHHVSHFL¿FDQHQGRVSXQWRVGLIHUHQWHVx  a y x  b. Condiciones tales como y(a)  0, y(b)  0 y(a)  0, y(b)  0 y(a)  0, y(b)  0 son sólo casos especiales de las condiciones frontera homogéneas más generales: A1 y(a) B1 y (a) 0 (22) A2 y(b) B2 y (b) 0, (23) donde $1, $2, B1 y B2 son constantes. Concretamente, nuestro objetivo es encontrar una solución integral yp(x) que sea análoga a (10) para problemas de valores en la frontera no homogéneos de la forma y P(x)y A1y(a) A2 y(b) Q(x)y B1y (a) B2 y (b) f(x), 0 0. (24) Además de las suposiciones habituales de que P(x), Q(x) y f (x) son continuas en [a, b], suponemos que el problema homogéneo y P(x)y A1 y(a) A2 y(b) 0 0 0 Q(x)y B1 y (a) B2 y (b) tiene solamente la solución trivial y  0 (VWD ~OWLPD KLSyWHVLV HV VX¿FLHQWH para garantizar una solución única de (24) que existe y está dada por una integral b yp(x) aG(x, t) f(t)dt, donde G(x, t) es función de Green. El punto de partida en la construcción de G(x, t) otra vez son las fórmulas de variación de parámetros (7) y (8). OTRA FUNCIÓN DE GREEN Suponga que y1(x) y y2(x) son soluciones linealmente independientes en [a, b] de la forma homogénea asociada de la ED en (24) y que x es un número en el intervalo [a, b]. A diferencia de la construcción de (9) donde empezamos integrando las derivadas en (8) sobre el mismo intervalo, integramos ahora la primera ecuación en (8) en [b, x] y la segunda ecuación en (8) en [a, x]: x u1(x) b x y2(t) f(t) dt and u2(x) W(t) a y1(t) f(t) dt. W(t) (25) La razón para la integración de u1(x) y u2(x) en diferentes intervalos pronto será clara. De las ecuaciones (25), una solución particular yp(x)  u1(x)y1(x)  u2(x)y2(x) de la ED es aquí usamos el signo menos de (25) para invertir los límites de integración b yp(x) y1(x) x o yp(x) a x y2(t) f(t) dt W(t) y2(x)y1(t) f(t) dt W(t) x y2(x) b x a y1(t) f(t) dt W(t) y1(x)y2(t) f(t)dt. W(t) (26) El lado derecho de la ecuación (26) se puede escribir como una sola integral b yp(x) (27) G(x, t) f(t)dt, a donde la función G(x, t) es G(x, t) y1(t)y2(x) , W(t) y1(x)y2(t) , W(t) a t x x t b. (28) 4.8 FUNCIONES DE GREEN l 171 /DIXQFLyQGH¿QLGDSRUSDUWHV  VHGHQRPLQDfunción de Green para el problema de valores en la frontera (24). Se puede probar que G(x, t) es una función continua de x en el intervalo [a, b]. Ahora, si se eligen las soluciones y1(x) y y2(x) utilizadas en la construcción de G(x, t) en (28) de tal manera que en x  a, y1(x) satisface $1 y1(a)  B1 y1(a)  0 y x  b, y2(x) satisface $2 y2(b)  B2 y2(b)  0, entonces, maravillosamente, yp(x)GH¿QLGD en (27) satisface ambas condiciones homogéneas en la frontera en (24). Para ver esto necesitaremos El segundo renglón en (30) es resultado del hecho de que y1(x)u´1(x) + y2(x)u´2(x) = 0 Vea el análisis en la sección 4.6, fórmula (4) y yp(x) u1(x)y1(x) u2(x)y2(x) y p(x) u1(x)y 1(x) y1(x)u 1(x) u1(x)y 1(x) u2(x)y 2(x). (29) u2(x)y 2(x) y2(x)u 2(x) (30) Antes de proceder, observemos en (25) que u1(b)  0 y u2(a)  0. De la segunda de estas dos propiedades podemos demostrar que yp(x) satisface la ecuación (22) cada vez que y1(x) satisface la misma condición frontera. De las ecuaciones (29) y (30) tenemos 0 A1yp(a) B1yp(a) A1[u1(a)y1(a) u2(a)y2(a)] u1(a)[A1y1(a) B1y 1 (a)] 0 B1[u1(a)y1(a) u2(a)y 2(a)] 0. 0 de (22) Asimismo, u1(b)  0 implica que cada vez que y2(x) satisface (23) también lo hace yp(x): 0 A2yp(b) B2y p(b) 0 A2[u1(b)y1(b) u2(b)y2(b)] u2(b)[A2 y2(b) B2 y 2(b)] B2[u1(b)y 1(b) u2(b)y 2(b)] 0. 0 de (22) El siguiente teorema resume estos resultados. TEOREMA 4.8.3 Solución del PVF (24) Sea y1(x) y y2(x) soluciones linealmente independientes de y  P(x)y  Q(x)y  0 sobre [a, b], y suponga que y1(x) y y2(x) satisfacen las ecuaciones (22) y (23), respectivamente. Entonces la función yp(x)GH¿QLGDHQ  HVXQDVROXFLyQGHO problema de valores en la frontera (24). EJEMPLO 7 La condición frontera y’(0) = 0 es un caso especial de (22) con a = 0, $1 = 0 y B1 = 1. La condición frontera y(ʌ冫2) = 0 es un caso especial de (23) con b = ʌ冫2, $2 = 1, B2 = 0. Uso del teorema 4.8.3 Resuelva el problema de valores en la frontera y  4y  3, y(0)  0, y(ʌ冫2)  0 SOLUCIÓN Las soluciones de la ecuación homogénea asociada y  4y  0 son y1(x)  cos2x y y2(x)  sen2x y y1(x) satisface y(0)  0, mientras que y2(x) satisface y(ʌ冫2)  0. El Wronskiano es W(y1, y2)  2, y así de (28) vemos que la función de Green para el problema de valores en la frontera es G(x, t) 1 2 cos 2t sen 2x, 0 t x 1 2 cos 2x sen 2t, x t S 冫2. 6H GHGXFH GHO WHRUHPD  TXH XQD VROXFLyQ GHO 39) HV   FRQ ODV LGHQWL¿FDFLRQHV a  0, b  ʌ冫2, y f (t)  3: 172 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR yp(x) S 冫2 3 G(x, t) dt 0 1 2 sen 3 x 2x cos 2t dt 3 0 RGHVSXpVGHHYDOXDUODVLQWHJUDOHVGH¿QLGDV yp(x) 1 2 cos 3 4 S 冫2 2x sen 2t dt, x 3 4 cos 2x. 1RLQ¿HUDGHOHMHPSORDQWHULRUTXHODH[LJHQFLDGHTXHy1(x) satisfaga (22) y y2(x) satisfaga (23) determina en forma única estas funciones. Como vimos en el ejemplo anterior, hay una cierta arbitrariedad en la selección de estas funciones. EJEMPLO 8 Uso del teorema 4.8.3 Resuelva el problema de valores en la frontera x2y  3xy  3y  24x5, y(1)  0, y(2)  0 La ecuación diferencial se reconoce como una ED de Cauchy-Euler. De la ecuación auxiliar m(m  1)  3m  3  (m  1)(m  3)  0 la solución general de la ecuación homogénea asociada es y  c1x  c2x3. Aplicar y(1)  0 a esta solución implica c1  c2  0 o c1  c2. Al elegir c2  1 obtenemos c1  1 y y1  x  x3. Por otro lado, y(2)  0 aplicada a la solución general muestra que 2c1  8c2  0 o c1  4c2. La elección c2  1 ahora da c1  4 y así y2(x)  4x  x3. El Wronskiano de estas dos funciones es SOLUCIÓN W(y1(x), y2(x)) x 1 x3 4x 3x2 4 x3 3x2 6x3. Por lo tanto, la función de Green para los problemas de valores en la frontera es (t G(x, t) (x t3)(4x 6t 3 x 3)(4t 6t 3 x3) , 1 t x t 3) , x t 2 &RQHO¿QGHLGHQWL¿FDUODIXQFLyQGHIRU]DPLHQWRFRUUHFWDf debemos escribir la ED en la forma estándar: 3 3 y y y 24x3 x x2 En esta ecuación vemos que f(t)  24t3 y así yp(x) en (27) se convierte en 2 yp(x) 24 G(x, t) t 3dt 1 x 4(4x x 3) (t 1 9HUL¿TXHTXHyp(x) satisface la ecuación diferencial y las dos condiciones de frontera. t 3) dt 2 4(x x 3) (4t t 3)dt. x $OLQWHJUDUHQIRUPDVLPSOHODLQWHJUDOGH¿QLGD\VLPSOL¿FDUDOJHEUDLFDPHQWHVHREWLHQHOD solución yp(x)  3x5 15x3  12x. COMENTARIOS $SHQDV KHPRV WRFDGR OD VXSHU¿FLH GH OD HOHJDQWH DXQTXH FRPSOLFDGD WHRUtD de las funciones de Green. Las funciones de Green también se pueden construir para ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden, pero dejamos la cobertura del último tema para un curso avanzado. 4.8 EJERCICIOS 4.8 En los problemas 1 al 6 proceda como en el ejemplo 1 para encontrar una solución particular yp(x) de la ecuación diferencial dada en forma integral (10). 1. y 16y f(x) 2. y 3y 10y f(x) 2y y 5. y 9y f(x) 4y 4. 4y f(x) 2y 6. y y f(x) 2y f(x) 16y 9. y 2y 11. y 9y xe y 2x e x arctan x y 2y 12. y x2 10y 4y 10. 4y sen x x 3y 8. y cos2x 2y En los problemas 13 al 18 proceda como en el ejemplo 3 para encontrar una solución del problema dado con valores iniciales. (YDO~HODLQWHJUDOTXHGH¿QHyp(x). 13. y 4y e2x, y(0) 14. y y 1, y(0) 0, y (0) 0 15. y 10y 25y e5x, y(0) 0, y (0) 16. y 6y 17. y y csc x cot x, y(ʌ冫2) 18. y y sec2x, y( ʌ ) 9y 0, y (0) 0 0, y (0) x, y(0) 0 4y e2x, y(0) 0 20. y y 1, y(0) 25y 1, y (0) 1 5x 21. y 10y 22. y 6y 23. y y csc x cot x, y( ʌ 冫2) 24. y y sec2x, y( ʌ ) 9y 4 10, y (0) e , y(0) 1, y (0) 1, y (0) x, y(0) 1 2, 1 ʌ冫2, y ( ʌ 冫2) 1 1 sen e x, y(0) 1, y (0) 0 1 26. y 3y 2y , y(0) 0, y (0) 1 1 ex 2 27. x y 2xy 2y x, y(1) 2, y (1) 1 25. y 3y 28. x 2y 2xy 29. x 2y 6y 30. x 2y xy 2y 2y x ln x, y(1) ln x, y(1) y 1, y (1) 1, y (1) x2, y(1) 0 3 4, y (1) 3 En los problemas 31 al 34 proceda como en el ejemplo 6 para encontrar una solución del problema de valores iniciales con la IXQFLyQGHIRU]DPLHQWRGH¿QLGDHQSDUWHV f(x), y(0) 8, y (0) 1, x 0 donde f(x) 1, x 0 31. y y 2, donde f(x) 33. y y 34. y y 3, y (0) f(x), y(0) 0, x x, x 0 0 1, y (0) f(x), y(0) 0, x 10, 0 0, x 1, 0 x 3ʌ 3ʌ 0, y (0) 1, 0, x 0 cos x, 0 x 0, x 4ʌ 4ʌ f(x), y(0) donde f(x) 2, 4.8.2 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA En los problemas de 35 y 36: a) Use (27) y (28) para encontrar una solución del problema de valores en la frontera. b) Compruebe que la función yp(x) satisface las ecuaciones diferenciales y ambas condiciones en la frontera. 35. y f(x), y(0) 0, y(1) 0 36. y f(x), y(0) 0, y(1) y (1) 0 39. y 40. y y 9y 1, y(0) 0, y(1) 0 0, y ( ʌ ) 1, y(0) 0 0, y( ʌ 冫2) x 2y 2y e , y(0) y e2x, y(0) 0, y(1) 0 42. y 43. x 2y xy 1, y(e 1) 0, y(1) 0 2 4xy 6y x4, y(1) y (1) 44. x y 41. y 0 0, y(3) 0 Problemas para analizar 3 y (ʌ ) y En los problemas 39-44 proceda como en los ejemplos 7 y 8 para encontrar una solución del problema dado con valores en la frontera. 0 En los problemas 19 al 30 proceda como en el ejemplo 5 para encontrar una solución del problema dado con valores iniciales. 19. y 173 37. En el problema 35 encuentre una solución del PVF cuando f(x)  1. 38. En el problema 36 encuentre una solución del PVF cuando f(x)  x. 0 0, y ( ʌ冫2) 0, y ( ʌ ) 32. y donde f(x) En los problemas 7 al 12 proceda como en el ejemplo 2 para encontrar la solución general de la ecuación diferencial dada. Utilice los resultados obtenidos en los problemas del 1 al 6. No evalúe ODLQWHJUDOTXHGH¿QHyp(x). 7. y l Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-6. 4.8.1 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES 3. y FUNCIONES DE GREEN 45. Suponga que la solución del problema con valores en la frontera y  Py  Qy  f(x), y(a)  0, y(b)  0 b a  b, está dada por yp(x) œ௘aG(x, t ௘f௘ t)dt donde y1(x) y y2(x) son soluciones de la ecuación diferencial homogénea asociada elegida en construcción de G(x, t) de forma que y1(a)  0 y y2(b)  0. Demuestre que la solución del problema con valores en la frontera con la ED no homogénea y condiciones en la frontera y  Py  Qy  f(x), y(a)  $, y(b)  B está dada por y(x) yp(x) B y (x) y1(b) 1 A y (x) y2(a) 2 [Sugerencia: en su demostración, tendrá que demostrar que y1(b)  0 y y2(a)  0. Lea de nuevo las hipótesis que siguen a (24).] 46. Utilice el resultado en el problema 45 para resolver y  y  1, y(0)  5, y(1)  10. 174 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 4.9 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ED LINEALES POR ELIMINACIÓN REPASO DE MATERIAL l Puesto que el método de eliminación sistemática desacopla un sistema en distintas EDO lineales en cada variable dependiente, esta sección le brinda la oportunidad de practicar lo que aprendió en las secciones 4.3, 4.4 (o 4.5) y 4.6. INTRODUCCIÓN Las ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas tienen que ver con dos o más ecuaciones que contienen derivadas de dos o más variables dependientes (las funciones desconocidas) respecto a una sola variable independiente. El método de eliminación sistemática para UHVROYHUVLVWHPDVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVVHEDVDHQHOSULQFLSLRDOgebraico de eliminación de variables. Veremos que la operación análoga de multiplicar una ecuación algebraica por una constante es operar en una EDO con cierta combinación de derivadas. ELIMINACIÓN SISTEMÁTICA La eliminación de una incógnita en un sistema de ecuaciones diferenciales lineales se facilita al rescribir cada ecuación del sistema en notación de operador diferencial. Recuerde de la sección 4.1 que una sola ecuación lineal an y(n) an 1y(n 1) a1 y a0 y g(t), donde las ai, i  0, 1, . . . , n son constantes, puede escribirse como an 1D(n (an Dn 1) a0 )y a1D g(t). Si el operador diferencial de n-ésimo orden an Dn an 1D(n 1) a1D a0 se factoriza en operadores diferenciales de menor orden, entonces los factores conmutan. Ahora, por ejemplo, para rescribir el sistema x 2x y x y 3y x 4x sent 2y e t en términos del operador D, primero se escriben los términos con variables dependientes en un miembro y se agrupan las mismas variables. x 2x x x 4x y y 3y 2y sent (D2 es lo mismo que t e 2D (D 1)x 4)x (D2 (D 3)y 2)y sent e t. SOLUCIÓN DE UN SISTEMA Una solución de un sistema de ecuaciones diferenciaOHVHVXQFRQMXQWRGHIXQFLRQHVVX¿FLHQWHPHQWHGHULYDEOHVx  ‫׋‬1(t), y  ‫׋‬2(t), z  ‫׋‬3(t), etcétera, que satisface cada ecuación del sistema en algún intervalo común I. MÉTODO DE SOLUCIÓN primer orden dx dt dy dt Considere el sistema simple de ecuaciones lineales de 3y o, equivalentemente 2x Dx 2x 3y Dy 0 0. (1) Operando con D la primera ecuación de (1) en tanto que la segunda se multiplica por  3 y después se suma para eliminar y del sistema, se obtiene D2x  6x  0. Puesto que las 16 y m2 16 , se obtiene raíces de la ecuación auxiliar de la última ED son m1 x(t) c1 e 16t c 2 e16t. (2) 4.9 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ED LINEALES POR ELIMINACIÓN l 175 0XOWLSOLFDQGR OD SULPHUD HFXDFLyQ HQ   SRU  PLHQWUDV TXH VH RSHUD OD VHJXQGD con D y después restando, se obtiene la ecuación diferencial para y, D2y  6y  0. Inmediatamente se tiene que y(t) c3 e 16t c4 e16t. (3) Ahora (2) y (3) no satisfacen el sistema (1) para toda elección de c1, c2, c3 y c4 porque el sistema en sí pone una restricción al número de parámetros en una solución que se puede elegir en forma arbitraria. Para ver esto, observe que sustituyendo x(t) y y(t HQODSULPHUDHFXDFLyQGHOVLVWHPDRULJLQDO  GHVSXpVGHVLPSOL¿FDUVHREWLHQH 16c1 16c 2 16 t 3c 3 e 3c 4 e16 t 0. Puesto que la última expresión es cero para todos los valores de t, debemos tener 16c1 3c3 0 y 16c 2 3c 4 0. Estas dos ecuaciones nos permiten escribir c3 como un múltiplo de c1 y c4 como un múltiplo de c2: 16 16 c4 c . c1 y 3 2 3 Por tanto se concluye que una solución del sistema debe ser (4) c3 16 16 c e 16 t c e16 t. 3 1 3 2 Se recomienda sustituir (2) y (3) en la segunda ecuación de (1) y comprobar que se cumple la misma relación (4) entre las constantes. x(t) c1e EJEMPLO 1 16t c2 e16 t, y(t) Solución por eliminación Resuelva (D Dx 3)x (D 2) y 2y 0 0. (5) Operando con D – 3 la primera ecuación y la segunda con D y luego restándolas se elimina x del sistema. Se deduce que la ecuación diferencial para y es SOLUCIÓN [(D 3)(D 2) 2D]y 0 o (D 2 6)y D 0. Puesto que la ecuación característica de esta última ecuación diferencial es m2  m  6  (m  2)(m  3)  0, se obtiene la solución c1 e 2t y(t) c2 e 3t (6) . Eliminando y de modo similar, se obtiene (D  D  6)x  0, a partir de lo cual se encuentra que 2 c 3 e 2t x(t) c4 e (7) 3t . Como se observó en la descripción anterior, una solución de (5) no contiene cuatro constantes independientes. Sustituyendo (6) y (7) en la primera ecuación de (5) se obtiene (4c1 2c 3 )e 2t ( c2 3c 4 )e 3t 0. 1 3 c2. De 4c1  2c3  0 y c2  3c4  0 se obtiene c3  2c1 y c4 solución del sistema es x(t) 2c1 e2t 1 c e 3 2 3t , y(t) c1e2t c2 e Por tanto una 3t . Ya que sólo se podría despejar fácilmente a c3 y c4 en términos de c1 y c2, la solución del ejemplo 1 se escribe en la forma alternativa x(t) c3 e2t c4 e 3t , y(t) 1 c e2t 2 3 3c4 e 3t . 176 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Esto podría ahorrarle algo de tiempo. En ocasiones da resultado mantener los ojos abiertos cuando se resuelven sistemas. Si en el primer ejemplo se hubiera resuelto para x, entonces se podría encontrar y, junto con la relación entre las constantes, usando la última ecuación del sistema (5). Usted debe comprobar que la sustitución de x(t) en y 12 (Dx 3x) produce 1 2t y 3c4 e 3t. Observe también en la descripción inicial que la relación que 2 c3 e se proporciona en (4) y la solución y(t) de (1) se podría haber obtenido al usar x(t) en (2) y la primera ecuación de (1) en la forma 1 3 y EJEMPLO 2 1 3 Dx 26c1e 16t 26c2 e16t. 1 3 Solución por eliminación Resuelva 4x x x x t2 0. y y (8) SOLUCIÓN Primero se escribe el sistema en notación de operador diferencial: (D (D D2 y Dy 4)x 1)x t2 0. (9) Entonces, eliminando a x, obtenemos 1)D2 [(D (D 4)D]y 1)t2 (D (D 4)0 o (D3 4D)y t2 2t. Puesto que las raíces de la ecuación auxiliar m(m2  4)  0 son m1  0, m2  2i y m3  2i, la función complementaria es yc  c1  c2 cos 2t  c3 sen 2t. Para determinar la solución particular ypVHXVDQFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVVXSRQLHQGRTXHyp  $W3  Bt2  Ct. Por tanto y p 4y p yp 3At2 2Bt 12At2 C, y p 6At 2B, y p 6A 4C t2 8Bt 6A, 2t. La última igualdad indica que 12$  1, 8B  2 y 6$  4C  0; por tanto A 1 yC . Así 8 y yc yp c1 c2 cos 2t c3 sen 2 t 1 3 t 12 1 2 t 4 1 t. 8 1 12 , B 1 , 4 (10) Eliminando y del sistema (9), se obtiene [(D 4) D(D t2 1)]x o (D2 4)x t2. Debe ser obvio que xc  c4 cos 2t  c5 sen 2t\TXHVHSXHGHQDSOLFDUFRH¿FLHQWHVLQdeterminados para obtener una solución particular de la forma xp  $W2  Bt  C. En 1 1 2 y así este caso usando derivadas y álgebra usuales se obtiene xp 8, 4t 1 2 1 (11) t . 4 8 Ahora se expresan c4 y c5 en términos de c2 y c3 sustituyendo (10) y (11) en cualquier ecuación de (8). Utilizando la segunda ecuación, se encuentra, después de combinar términos, x (c5 xc 2c4 xp c4 cos 2t 2c2 ) sen 2t (2c5 c5 sen 2t c4 2c3) cos 2t 0, así c5  2c4  2c2  0 y 2c5  c4  2c3  0. Despejando c4 y c5 en términos de c2 y c3 se obtiene c4   15 (4c2  2c3) y c5  15 (2c2  4c3). Por último, se encuentra que una solución de (8) es 1 1 1 2 1 x(t) (4c2 2c3 ) cos 2t (2c2 4c3 ) sen 2t t , 5 5 4 8 1 3 1 2 1 y(t) c1 c2 cos 2t c3 sen 2t t t t. 12 4 8 4.9 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ED LINEALES POR ELIMINACIÓN EJEMPLO 3 l 177 Volver a tratar un problema de mezclas En la ecuación (3) de la sección 3.3 vimos que el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 2 x 25 1 2 x 25 1 dx1 dt dx2 dt 1 x 50 2 2 x 25 2 es un modelo para la cantidad de libras de sal x1(t) y x2(t) en mezclas de salmuera en los tanques $ y BUHVSHFWLYDPHQWHTXHVHPXHVWUDQHQOD¿JXUD(QHVHPRPHQWR no podíamos resolver el sistema. Pero ahora, en términos de operadores diferenciales, el sistema anterior se puede escribir como D 2 x 25 1 2 x 25 1 D 1 x 50 2 0 2 x 25 2 0. Operando con D 252 la primera ecuación y multiplicando la segunda ecuación por 501 , VHVXPDQ\VLPSOL¿FDQ\VHREWLHQH D 2  100D  3)x1  0. De la ecuación auxiliar 625m 2 3 (25m 1)(25m 3) 0 se observa inmediatamente que x1(t)  c1et/25  c2e3t/25. Ahora se puede obtener x2(t) usando la primera ED del sistema en la forma x2 50(D 252 )x1. De esta manera se encuentra que la solución del sistema es 25 20 libras de sal 100m x1(t) x1(t) t / 25 c2 e 3t / 25 , x2(t) 2c1 e t / 25 3t / 25 2c2 e . En el análisis original de la sección 3.3 se supuso que las condiciones iniciales eran x1(0)  25 y x2(0)  0. Aplicando estas condiciones a la solución se obtiene c1  c2  25 y 2c1  2c2  0. Resolviendo simultáneamente estas ecuaciones se obtiene c1 c2 252. Por último, una solución del problema con valores iniciales es 15 10 5 x (t) 2 0 c1e 40 60 Tiempo 20 80 x1(t) 100 25 e 2 t / 25 25 e 2 3t / 25 , x2 (t) 25e t / 25 25e 3t / 25 . FIGURA 4.9.1 Libras de sal en los (QOD¿JXUDVHPXHVWUDQODVJUi¿FDVGHDPEDVHFXDFLRQHV&RQVLVWHQWHVFRQHOKHFKR que se bombea agua pura al tanque $HQOD¿JXUDYHPRVTXHx1(t) → 0 y x2(t) → 0 conforme t → . EJERCICIOS 4.9 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-6. tanques $ y B del ejemplo 3. En los problemas 1 a 20 resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales dado por eliminación sistemática. 1. 3. dx dt dy dt dx dt dy dt 2x y 2. x y x t t 4. dx dt dy dt dx dt dy dt 4x 7y x 2y 4y 1 x 2 2y  0 5. (D 2  5)x  2 2x  (D  2)y  0 6. (D  1)x  (D  1)y  2 3x  (D  2)y  1 7. 9. d 2x dt2 d 2y dt2 4y et 4x et 8. d 2 x dy dt2 dt dx dy dt dt Dx  D 2y  e3t (D  1)x  (D  1)y  4e3t 5x x 4y 178 10. l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR D 2x  Dy  t (D  3)x  (D  3)y  2 11. (D 2  1)x  y  0 (D  1)x  Dy  0 12. (2D 2  D  1)x  (2D  1)y  1 (D  1)x  Dy  1 dx dy 13. 2 5x et dt dt dx dy x 5et dt dt dx dy 14. et dt dt d2 x dx x y 0 dt2 dt 15. (D  1)x  (D 2  1)y  1 (D 2  1)x  (D  1)y  2 FIGURA 4.9.3 Fuerzas en el problema 24. Dx  z  et (D  1)x  Dy  Dz  0 x  2y  Dz  e t dx x z 20. dt dy y z dt dz x y dt 22 resuelva el problema con valores 18. 22. θ k 25. Examine y analice el siguiente sistema: dx y 1 dt dy 3x 2y dt x(0)  0, y(0)  0 Modelos matemáticos 23. Movimiento de un proyectil Un proyectil disparado de una pistola tiene un peso w  mg y una velocidad v tangente a su trayectoria de movimiento. Ignorando la resistencia del aire y las fuerzas que actúan sobre el proyectil excepto su peso, determine un sistema de ecuaciones diferenciales que GHVFULEDVXWUD\HFWRULDGHPRYLPLHQWR9HDOD¿JXUD Resuelva el sistema. [Sugerencia: Use la segunda ley de Newton del movimiento en las direcciones x y y.] y v mg x FIGURA 4.9.2 v Problemas para analizar 16. D 2x  2(D 2  D)y  sen t x Dy  0 17. Dx  y Dy  z Dz  x dx 19. 6y dt dy x z dt dz x y dt En los problemas 21 y iniciales. dx 21. 5x y dt dy 4x y dt x(1)  0, y(1)  1 24. Movimiento del proyectil con resistencia del aire Determine un sistema de ecuaciones diferenciales que describa la trayectoria de movimiento en el problema 23 si la resistencia del aire es una fuerza retardadora k (de magnitud k) que actúa tangente a la trayectoria del proyectil pero RSXHVWDDVXPRYLPLHQWR9HDOD¿JXUD5HVXHOYDHO sistema. [Sugerencia: k es un múltiplo de velocidad, digamos, ȕv.] Trayectoria del proyectil del problema 23. (D Dx 1)x 2Dy 2(D 1)y t2 1. Tarea para el laboratorio de computación 26. ([DPLQHGHQXHYROD¿JXUDGHOHMHPSOR/XHJR utilice una aplicación para determinar raíces para saber cuando el tanque B contiene más sal que el tanque $. 27. a) Lea nuevamente el problema 8 de los ejercicios 3.3. En ese problema se pidió demostrar que el sistema de ecuaciones diferenciales dx1 dt dx2 dt dx3 dt 1 x 50 1 1 x 50 1 2 x 75 2 2 x 75 2 1 x 25 3 es un modelo para las cantidades de sal en los tanques de mezclado conectados $, B y C que se muesWUDQHQOD¿JXUD5HVXHOYDHOVLVWHPDVXMHWRD x1(0)  15, x2(t)  10, x3(t)  5. b) 8VH XQ 6$& SDUD JUD¿FDU x1(t), x2(t) y x3(t) en el PLVPR SODQR FRRUGHQDGR FRPR HQ OD ¿JXUD   en el intervalo [0, 200]. c) Debido a que se bombea agua pura hacia el tanque $, es 1ógico que en algún momento la sal salga de los tres tanques. Utilice una aplicación de un SAC para encontrar raíces para determinar el tiempo cuando la cantidad de sal en cada recipiente sea menor o igual que 0.5 libras. ¿Cuándo son las cantidades de sal x1(t), x2(t) y x3(t) simultáneamente menores o iguales que 0.5 libras? 4.10 4.10 ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES l 179 ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES REPASO DE MATERIAL l Secciones 2.2 y 2.5. l Sección 4.2. l También se recomienda un repaso de series de Taylor. INTRODUCCIÓN $ FRQWLQXDFLyQ VH H[DPLQDQ ODV GL¿FXOWDGHV HQ WRUQR D ODV (' no lineales de orden superior y los pocos métodos que producen soluciones analíticas. Dos de los métodos de solución que se consideran en esta sección emplean un cambio de variable para reducir una ED de segundo orden a una de primer orden. En ese sentido los métodos son análogos al material de la sección 4.2. ALGUNAS DIFERENCIAS Entre las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales hay varias diferencias importantes. En la sección 4.1 vimos que las ecuaciones lineales homogéneas de orden dos o superior tienen la propiedad de que una combinación lineal de soluciones también es una solución (teorema 4.1.2). Las ecuaciones no lineales no tienen esta propiedad de superposición. Vea los problemas 1 y 18 de los ejercicios 4.10. Podemos encontrar soluciones generales de ED lineales de primer orden y ecuaciones GHRUGHQVXSHULRUFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV$XQFXDQGRVHSXHGDUHVROYHUXQDHFXDción diferencial no lineal de primer orden en la forma de una familia uniparamétrica, esta familia no representa, como regla, una solución general. Es decir, las ED no lineales de primer orden pueden tener soluciones singulares, en tanto que las ecuaciones lineales no. Pero la principal diferencia entre las ecuaciones lineales y no lineales de orden dos o superior radica en el área de la solubilidad. Dada una ecuación lineal, hay una probabilidad de encontrar alguna forma de solución que se pueda analizar, una VROXFLyQH[SOtFLWDRTXL]iXQDVROXFLyQHQODIRUPDGHXQDVHULHLQ¿QLWD YHDHOFDStWXOR 6). Por otro lado, las ecuaciones diferenciales no lineales de orden superior desafían virtualmente la solución con métodos analíticos. Aunque esto podría sonar desalentador, D~QKD\FRVDVTXHVHSXHGHQKDFHU&RPRVHVHxDOyDO¿QDOGHODVHFFLyQVLHPSUH es posible analizar de modo cualitativo y numérico una ED no lineal. Desde el principio se aclaró que las ecuaciones diferenciales no lineales de orden superior son importantes, digamos ¿quizá más que las lineales?, porque a medida que se ajusta un modelo matemático, por ejemplo, un sistema físico, se incrementa por LJXDOODSUREDELOLGDGGHTXHHVWHPRGHORGHPD\RUGH¿QLFLyQVHDQROLQHDO Empezamos por mostrar un método analítico que en ocasiones permite determinar soluciones explícitas o implícitas de clases especiales de ecuaciones diferenciales de segundo orden no lineales. REDUCCIÓN DE ORDEN Las ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden F(x, y, y)  0, donde falta la variable dependiente y, y F(y, y, y)  0, donde falta la variable independiente x, a veces se resuelven usando métodos de primer orden. Cada ecuación se reduce a una de primer orden por medio de la sustitución u  y. FALTA LA VARIABLE DEPENDIENTE En el ejemplo siguiente se ilustra la técnica de sustitución para una ecuación de la forma F(x, y, y)  0. Si u  y, entonces la ecuación diferencial se convierte en F(x, u, u)  0. Si podemos resolver esta última ecuación para u, podemos encontrar a y por integración. Observe que como se está resolviendo una ecuación de segundo orden, su solución contendrá dos constantes arbitrarias. EJEMPLO 1 Falta la variable dependiente y Resuelva y  2x(y)2. 180 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Si hacemos u  y, entonces du兾dx  y. Después de sustituir, la segunda ecuación diferencial se reduce a una ecuación de primer orden con variables separables; la variable independiente es x y la variable dependiente es u : SOLUCIÓN du dx 2 u du u2 o 2xu2 2x dx du u 2x dx 1 x2 c21. La constante de integración se escribe como c21 por conveniencia. La razón debe ser obvia en los pocos pasos siguientes. Debido a que u1  l兾y, se tiene que 1 dy dx y así 2 dx y x2 c21 x o c21 , 1 tan c1 y 1 x c1 c2. FALTA LA VARIABLE INDEPENDIENTE A continuación se muestra cómo resolver una ecuación que tiene la forma F(y, y, y)  0. Una vez más se hace u  y, pero debido a que falta la variable independiente x, esta sustitución se usa para convertir la ecuación diferencial en una en la que la variable independiente es y y la variable dependiente es u. Entonces utilizamos la regla de la cadena para calcular la segunda derivada de y: du dx y du dy dy dx u du . dy En este caso la ecuación de primer orden que debemos resolver es F y, u, u EJEMPLO 2 du dy 0. Falta la variable independiente x Resuelva yy  ( y)2. Con ayuda de u  y, la regla de la cadena que se acaba de mostrar y de la separación de variables, la ecuación diferencial se convierte en SOLUCIÓN y u du dy u2 o dy . y du u Entonces, integrando la última ecuación se obtiene ln兩u兩  ln兩y兩  c1, que, a su vez, da u  c2 y, donde la constante ec1 VHLGHQWL¿FDFRPRc2. Ahora se vuelve a sustituir u  dy兾dx, se separan de nuevo las variables, se integra y se etiquetan las constantes por segunda vez: dy y c2 dx o ln y c2 x c3 o y c4ec2 x. USO DE SERIES DE TAYLOR En algunos casos una solución de un problema con YDORUHVLQLFLDOHVQROLQHDOHVHQHOTXHODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVVHHVSHFt¿FDQHQx0, se puede aproximar mediante una serie de Taylor centrada en x0. 4.10 EJEMPLO 3 ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES l 181 Series de Taylor de un PVI Supongamos que existe una solución del problema con valores iniciales y x y2, y 1, y(0) y (0) (1) 1 Si además se supone que la solución y(x) del problema es analítica en 0, entonces y(x) tiene un desarrollo en serie de Taylor centrado en 0: y (0) y (0) 2 y (0) 3 y(4)(0) 4 y(5)(0) 5 x x . x x x (2) 1! 2! 3! 4! 5! Observe que se conocen los valores del primero y segundo términos en la serie (2) SXHVWRTXHHVRVYDORUHVVRQODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVHVSHFL¿FDGDVy(0)   1, y(0)  $GHPiVODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSRUVtPLVPDGH¿QHHOYDORUGHODVHJXQGDGHULYDGD en 0: y(0)  0  y(0)  y(0)2  0  (1)  (1)2  2. Entonces se pueden encontrar expresiones para las derivadas superiores y , y (4), . . . calculando las derivadas sucesivas de la ecuación diferencial: y(x) y(0) y (x) d (x dx y y (4)(x) d (1 dx y y(5)(x) d (y dx y2 ) 1 2yy ) 2yy (3) 2yy y 2( y )2 ) 2yy y (4) 2( y )2 2yy y 6y y , (5) etcétera. Ahora usando y(0)  1 y y(0)  1, se encuentra de (3) que y (0)  4. De los valores y(0)  1, y(0)  1 y y(0)  2 se encuentra y(4)(0)  8 de (4). Con la información adicional de que y (0)  4, entonces se ve de (5) que y(5)(0)  24. Por tanto de (2) los primeros seis términos de una solución en serie del problema con valores iniciales (1) son 2 3 1 4 1 5 y(x) 1 x x2 x x x . 3 3 5 USO DE UN PROGRAMA DE SOLUCIÓN NUMÉRICA Los métodos numéricos, como el de Euler o el de Runge-Kutta, se desarrollaron sólo para ecuaciones diferenciales de primer orden y luego se ampliaron a sistemas de ecuaciones de primer orden. Para analizar en forma numérica un problema con valores iniciales de n-ésimo orden, se expresa la EDO de n-ésimo orden como un sistema de n ecuaciones de primer orden. En resumen, aquí se muestra cómo se hace esto para un problema con valores iniciales de segundo orden: primero, se resuelve para y , es decir, se escribe la ED en la forma normal y  f(x, y, y) y después se hace que y  u. Por ejemplo, si sustituimos y  u en d 2y dx2 f (x, y, y ), y(x0 ) y0 , y (x0 ) u0 , (6) entonces y  u y y(x0)  u(x0), por lo que el problema con valores iniciales (6) se convierte en Resuelva: y u Sujeto a: y(x0) u f(x, y, u) y0 , u(x0) u0. Sin embargo, se debe observar que un programa de solución numérica podría no requerir* que se proporcione el sistema. Algunos programas de solución numérica sólo requieren que una ecuación diferencial de segundo orden sea expresada en la forma normal y  f (x, y, y). La traducción de la única ecuación en un sistema de dos ecuaciones se construye en el programa de computadora, ya que la primera ecuación del sistema siempre es y  u y la segunda ecuación es u  f (x, y, u). * 182 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR y EJEMPLO 4 polinomio de Taylor $QiOLVLVJUi¿FRGHOHMHPSOR Siguiendo el procedimiento anterior, se encuentra que el problema con valores iniciales de segundo orden del ejemplo 3 es equivalente a dy u dx du dx x y y2 con condiciones iniciales y(0)  1, u(0)  1. Con ayuda de un programa de solución QXPpULFDVHREWLHQHODFXUYDVROXFLyQHQD]XOHQOD¿JXUD3RUFRPSDUDFLyQODJUi ¿FDGHOSROLQRPLRGH7D\ORUGHTXLQWRJUDGRT5(x) 1 x x2 23 x3 13 x4 15 x5 se muestra en rojo. Aunque no se conoce el intervalo de convergencia de la serie de Taylor obtenida en el ejemplo 3, la proximidad de las dos curvas en una vecindad del origen indica que la serie de potencias podría converger en el intervalo (1, 1). curva solución generada mediante un programa de solución numérica FIGURA 4.10.1 Comparación de dos soluciones aproximadas. y x 10 x 20 FIGURA 4.10.2 Curva solución numérica para el PVI en (1). CUESTIONES CUALITATIVAS  /DJUi¿FDHQD]XOGHOD¿JXUDRULJLQDDOgunas preguntas de naturaleza cualitativa: ¿la solución del problema con valores iniciales original es oscilatoria conforme x → "/DJUi¿FDJHQHUDGDFRQXQSURJUDPD GHVROXFLyQQXPpULFDHQHOLQWHUYDORPiVJUDQGHTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD parecería sugerir que la respuesta es sí. Pero este simple ejemplo o incluso un grupo de ejemplos, no responde la pregunta básica en cuanto a si todas las soluciones de la ecuación diferencial y  x  y  y2 son de naturaleza oscilatoria. También, ¿qué está VXFHGLHQGRFRQODFXUYDVROXFLyQGHOD¿JXUDFRQIRUPHx está cerca de 1? ¿Cuál es el comportamiento de las soluciones de la ecuación diferencial conforme x → ? ¿Están acotadas las soluciones conforme x → ? Preguntas como éstas no son fáciles de responder, en general, para ecuaciones diferenciales de segundo orden no lineales. Pero ciertas clases de ecuaciones de segundo orden se prestan a un análisis cualitativo sistemático y éstas, al igual que las ecuaciones de primer orden que se obtuvieron en la sección 2.1, son de la clase que no tiene dependencia explícita en la variable independiente. Las EDO de segundo orden de la forma d 2y f (y, y ), dx2 ecuaciones libres de la variable independiente x, se llaman autónomas. La ecuación diferencial del ejemplo 2 es autónoma y debido a la presencia del término x en su miembro derecho, la ecuación del ejemplo 3 es autónoma. Para un tratamiento profundo del tema de estabilidad de ecuaciones diferenciales autónomas de segundo orden y sistemas autónomos de ecuaciones diferenciales, consulte el capítulo 10. F(y, y , y ) EJERCICIOS 4.10 1 ( y )2; y1 2 1, y 2 o Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-7. En los problemas 1 y 2 compruebe que y1 y y2 son soluciones de la ecuación diferencial dada pero que y  c1 y1  c2 y2 en general, no es una solución. 1. (y) 2  y 2; y 1  e x, y 2  cos x 2. yy 0 x2 En los problemas 3 a 8 resuelva la ecuación diferencial usando la sustitución u  y. 3. y  ( y) 2  1  0 4. y  1  ( y) 2 2 2 5. x y  ( y)  0 6. (y  1)y  ( y) 2 7. y  2y( y) 3  0 8. y 2y  y En los problemas 9 y 10 resuelva el problema dado con valores iniciales. 9. 2yy  1, y(0)  2, y(0)  1 10. y  x( y) 2  0, y(1)  4, y(1)  2 11. Considere el problema con valores iniciales y  yy  0, y(0)  1, y(0)  1. a) Use la ED y un programa de solución numérica para trazar la curva solución. REPASO DEL CAPÍTULO 4 b) Encuentre una solución explícita del PVI. Use un proJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODVROXFLyQ c) 'HWHUPLQHXQLQWHUYDORGHGH¿QLFLyQSDUDODVROXFLyQ del inciso b). 12. Encuentre dos soluciones del problema con valores iniciales ( y )2 ( y )2 1, y 2 1 , y 2 2 13 . 2 Use un programa de solución numérica para trazar la grá¿FDGHODVFXUYDVVROXFLyQ En los problemas 13 y 14 demuestre que la sustitución u  y conduce a una ecuación de Bernoulli. Resuelva esta ecuación (vea la sección 2.5). 13. xy  y  ( y) 3 14. xy  y  x( y) 2 En los problemas 15 a 18 proceda como en el ejemplo 3 y obtenga los primeros seis términos no cero de una solución en serie de Taylor, centrada en 0, del problema con valores iniciales. Use un programa de solución numérica para comparar ODFXUYDVROXFLyQFRQODJUi¿FDGHOSROLQRPLRGH7D\ORU 15. y  x  y 2, y(0)  1, y(0)  1 16. y  y  1, y(0)  2, y(0)  3 2 17. y  x 2  y 2  2y, y(0)  1, y(0)  1 18. y  e , y(0)  1 y y(0)  0, 19. (Q FiOFXOR OD FXUYDWXUD GH XQD OtQHD TXH VH GH¿QH SRU medio de una función y  f(x) es y . [1 ( y ) 2]3 / 2 Encuentre y  f(x) para la cual ț  1. [Sugerencia: Para VLPSOL¿FDUGHVSUHFLHODVFRQVWDQWHVGHLQWHJUDFLyQ@ k Problemas para analizar 20. En el problema 1 vimos que cos x y ex eran soluciones de la ecuación no lineal (y)2  y2  0. Compruebe que sen x y ex también son soluciones. Sin intentar resolver la ecuación diferencial, analice cómo se pueden encontrar estas soluciones usando su conocimiento acerca de las ecuaciones lineales. Sin intentar comprobar, analice por qué las combinaciones lineales y  c1e x  c2ex  c 3 cos REPASO DEL CAPÍTULO 4 &RQWHVWHORVSUREOHPDVDOVLQFRQVXOWDUHO¿QDOGHOOLEUR Complete el espacio en blanco o conteste falso o verdadero. 1. La única solución del problema con valores iniciales y  x 2 y  0, y(0)  0, y(0)  0 es __________. 2. 3DUDHOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVODIRUPD supuesta de la solución particular yp para y  y  1  ex es __________. l 183 x  c4 sen x y y  c2ex  c4 sen x no son, en general, soluciones, pero las dos combinaciones lineales especiales y  c1e x  c2ex y y  c3 cos x  c 4 sen x deben satisfacer la ecuación diferencial. 21. Analice cómo se puede aplicar el método de reducción de orden considerado en esta sección a la ecuación diferencial de tercer orden y 11 (y )2 . Lleve a cabo sus ideas y resuelva la ecuación. 22. Explique cómo encontrar una familia alternativa de soluciones de dos parámetros para la ecuación diferencial no lineal y  2x( y) 2 en el ejemplo 1. [Sugerencia: Suponga que c21 se usa como constante de integración en lugar de c21.] Modelos matemáticos 23. Movimiento de un campo de fuerza Un modelo matemático para la posición x(t) de un cuerpo con movimiento rectilíneo en el eje x en un campo de fuerza inverso del cuadrado de x es d 2x k2 . 2 dt x2 Suponga que en t  0 el cuerpo comienza a partir del reposo en la posición x  x0, x0 0XHVWUHTXHODYHORFLGDGGHO cuerpo en el tiempo t está dada por v2  2k2(1兾x  1兾x0). Use la última expresión y un SAC para realizar la integración para expresar al tiempo t en términos de x. 24. Un modelo matemático para la posición x(t) de un objeto en movimiento es d 2x dt2 senx 0. Use un programa de solución numérica para investigar en IRUPDJUi¿FDODVVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQVXMHWDDx(0)  0, x(0)  x1, x1  0. Analice el movimiento del objeto para t  0 y para diferentes elecciones de x1. Investigue la ecuación d 2 x dx senx 0 dt2 dt en la misma forma. Proponga una interpretación física posible del término dx兾dt. Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-7. 3. Un múltiplo constante de una solución de una ecuación diferencial lineal es también una solución. __________ 4. Si el conjunto que consiste en dos funciones fl y f2 es linealmente independiente en un intervalo I, entonces el Wronskiano W(fl, f2)  0 para toda x en I. __________ 5. Si y  sen5x es una solución de una ecuación diferencial OLQHDOGHVHJXQGRRUGHQFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVHQtonces la solución general de la ED es __________ 184 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 6. Si y  1  x  6x2  3ex es una solución de una ecuación diferencial lineal homogénea de cuarto orden con FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV HQWRQFHV ODV UDtFHV GH OD HFXDción auxiliar son __________ 7. Si y  c1x  c2x ln x, x 0 es la solución general de una ecuación Cauchy-Euler de segundo orden homogénea entonces la ED es __________ 2 2 8. yp  $[2 es la solución particular de y  y  1 para $  __________ 9. Si yp1  x es la solución particular de y  y  x y yp2  x2  2 es una solución particular de y  y  x2 entonces una solución particular de y  y  x2  x es _________ 10. Si y1  ex y y2  ex son soluciones de la ecuación diferencial homogénea, entonces necesariamente y  5ex  10ex también es una solución de la ED. ___________ 11. Dé un intervalo en el que el conjunto de dos funciones fl(x)  x2 y f2(x)  x兩x兩 es linealmente independiente. Después indique un intervalo en el que el conjunto formado por fl y f2 es linealmente dependiente. 12. Sin la ayuda del Wronskiano, determine si el conjunto de funciones es linealmente independiente o dependiente en el intervalo indicado. a) f1(x)  ln x, f 2(x)  ln x 2, (0, ) b) f1(x)  x n, f 2(x)  x n1, n  1, 2, . . . , ( , ) c) f1(x)  x, f 2(x)  x  1, ( , ) d) f1(x) cos x 2 , f2 (x) senx, ( e) g(x)  sen2x f) g(x) ex senx En los problemas del 15 a 30 use los procedimientos desarrollados en este capítulo para encontrar la solución general de cada ecuación diferencial. 15. y  2y  2y  0 16. 2y  2y  3y  0 17. y  10y  25y  0 18. 2y  9y  12y  5y  0 19. 3y  10y  15y  4y  0 20. 2y (4)  3y  2y  6y  4y  0 21. y  3y  5y  4x 3  2x 22. y  2y  y  x 2e x 23. y  5y  6y  8  2 sen x 24. y  y  6 25. y  2y  2y  e x tan x 26. y y 2ex e e x x 27. 6x 2y  5xy  y  0 28. 2x 3y  19x 2y  39xy  9y  0 , ) 29. x 2y  4xy  6y  2x 4  x 2 e) f1(x)  0, f 2(x)  x, (5, 5) 30. x 2y  xy  y  x 3 f) f1(x)  2, f 2(x)  2x, ( , ) 31. Escriba la forma de la solución general y  yc  yp de la ecuación diferencial en los dos casos Ȧ  Į y Ȧ  Į. No GHWHUPLQHORVFRH¿FLHQWHVHQyp. b) y  Z2y  e Į[ a) y  Z2y  sen Į[ g) f1(x)  x 2, f 2(x)  1  x 2, f3(x)  2  x 2, ( , ) h) f1(x)  xe x1, f 2(x)  (4x  5)e x, f 3(x)  xe x, ( , ) 13. Suponga que m1  3, m2  5 y m3  1 son raíces de multiplicidad uno, dos y tres, respectivamente, de una ecuación auxiliar. Escriba la solución general de la ED lineal homogénea correspondiente si es a) XQDHFXDFLyQFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV b) una ecuación de Cauchy-Euler. 14. Considere la ecuación diferencial ay  by  cy  g(x), donde a, b y c son constantes. Elija las funciones de entrada g(x  SDUD ODV TXH HV DSOLFDEOH HO PpWRGR GH FRH¿cientes indeterminados y las funciones de entrada para las que es aplicable el método de variación de parámetros. a) g(x)  e x ln x b) g(x)  x 3 cos x senx d) g(x)  2x2e x c) g(x) ex 32. a) Dado que y  sen x es una solución de y (4)  2y  11y  2y  10y  0, encuentre la solución general de la ED sin la ayuda de una calculadora o computadora. b) Encuentre una ecuación diferencial lineal de segundo RUGHQFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVSDUDODFXDOy1  1 y y2  ex son soluciones de la ecuación homogénea asociada y yp 12 x 2 x es una solución particular de la ecuación homogénea. 33. a) Escriba completamente la solución general de la ED de cuarto orden y (4)  2y  y  0 en términos de funciones hiperbólicas. b) Escriba la forma de una solución particular de y (4)  2y  y  senh x. REPASO DEL CAPÍTULO 4 34. Considere la ecuación diferencial 2 3 Compruebe que y1  x es una solución de la ecuación homogénea asociada. Después demuestre que el método de reducción de orden analizado en la sección 4.2 conduce a una segunda solución y2 de la ecuación homogénea así como a una solución particular yp de la ecuación no homogénea. Forme la solución general de la ED en el intervalo (0, ). En los problemas 35 a 40 resuelva la ecuación diferencial sujeta a las condiciones indicadas. 35. y 2y 2y 0, y 0, y( ) 2 36. y  2y  y  0, y(1)  0, y(0)  0 37. y  y  x  sen x, 38. y 1, y (0) 39. yy  4x, y(1)  5, y(1)  2 40. 2y  3y , y(0)  1, y(0)  1 2 42. Encuentre un miembro de la familia de soluciones de xy y 1x 0 FX\DJUi¿FDHVWDQJHQWHDOHMHx en x 8VHXQDDSOLFDFLyQSDUDJUD¿FDU\REWHQJDODFXUYD solución. En los problemas 43 a 46 use la eliminación sistemática para resolver cada sistema. 43. y(0)  2, y(0)  3 sec3x, y(0) y 1 1 2 41. a) Use un SAC como ayuda para encontrar las raíces de la ecuación auxiliar para 12y (4)  64y  59y  23y  12y  0. Dé la solución general de la ecuación. 185 b) Resuelva la ED del inciso a) sujeta a las condiciones iniciales y(0)  1, y(0)  2, y(0)  5, y (0)  0. Use un SAC como ayuda para resolver el sistema resultante de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. x y  (x  2x)y  (x  2)y  x . 2 l 44. 45. dx dt dx dt dx dt dy dt (D 46. (D dy dt dy 2 dt 2x 2x y t 3x 4y 4t 2y 1 y 3 2 2) x 3x (D y 4) y 2) x 5x (D (D 1)y 3)y et 7et sen 2t cos 2t 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 5.1 Modelos lineales: Problemas con valores iniciales 5.1.1 6LVWHPDVUHVRUWH௘PDVD0RYLPLHQWROLEUHQRDPRUWLJXDGR 5.1.2 6LVWHPDVUHVRUWH௘PDVD0RYLPLHQWROLEUHDPRUWLJXDGR 5.1.3 6LVWHPDVUHVRUWH௘PDVD0RYLPLHQWRIRU]DGR 5.1.4 &LUFXLWRHQVHULHDQiORJR 5.2 0RGHORVOLQHDOHV3UREOHPDVFRQYDORUHVHQODIURQWHUD 5.3 Modelos no lineales REPASO DEL CAPÍTULO 5 <DKHPRVYLVWRTXHXQDVRODHFXDFLyQSXHGHVHUYLUFRPRPRGHORPDWHPiWLFRSDUD YDULRVVLVWHPDVItVLFRV3RUHVWDUD]yQVyORH[DPLQDPRVXQDDSOLFDFLyQHO PRYLPLHQWRGHXQDPDVDVXMHWDDXQUHVRUWHTXHVHWUDWDHQODVHFFLyQ([FHSWR SRUODWHUPLQRORJtD\ODVLQWHUSUHWDFLRQHVItVLFDVGHORVFXDWURWpUPLQRVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDO a d 2y dt 2 b dy dt cy g(t), ODVPDWHPiWLFDVGHGLJDPRVXQFLUFXLWRHOpFWULFRHQVHULHVRQLGpQWLFDVDODVGHXQ VLVWHPDYLEUDWRULRPDVD௘UHVRUWH/DVIRUPDVGHHVWD('GHVHJXQGRRUGHQVH SUHVHQWDQHQHODQiOLVLVGHSUREOHPDVHQGLYHUVDViUHDVGHODFLHQFLDHLQJHQLHUtD (QODVHFFLyQVHWUDWDQH[FOXVLYDPHQWHSUREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHV PLHQWUDVTXHHQODVHFFLyQH[DPLQDPRVDSOLFDFLRQHVGHVFULWDVSRUSUREOHPD FRQYDORUHVHQODIURQWHUD7DPELpQHQODVHFFLyQYHPRVFyPRDOJXQRV SUREOHPDVFRQYDORUHVHQODIURQWHUDFRQGXFHQDORVLPSRUWDQWHVFRQFHSWRVFRQ eigenvalores\funciones propias HLJHQIXQFLRQHV /DVHFFLyQLQLFLDFRQXQ DQiOLVLVDFHUFDGHODVGLIHUHQFLDVHQWUHORVUHVRUWHVOLQHDOHV\QROLQHDOHVHQWRQFHV VHPXHVWUDFyPRHOSpQGXORVLPSOH\XQFDEOHVXVSHQGLGRFRQGXFHQDPRGHORV PDWHPiWLFRVQROLQHDOHV 186 5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES l 187 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES 5.1 REPASO DE MATERIAL l 6HFFLRQHV\ l 3UREOHPDVDGHORVHMHUFLFLRV l 3UREOHPDVDGHORVHMHUFLFLRV INTRODUCCIÓN  (QHVWDVHFFLyQVHYDQDFRQVLGHUDUYDULRVVLVWHPDVGLQiPLFRVOLQHDOHVHQORV TXHFDGDPRGHORPDWHPiWLFRHVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHVHJXQGRRUGHQFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVMXQWRFRQFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVHVSHFL¿FDGDVHQXQWLHPSRTXHWRPDUHPRVFRPRt = 0: a d 2y dt 2 b dy dt cy g(t), y(0) y0 , y (0) y1. 5HFXHUGHTXHODIXQFLyQg es la entradafunción de conducción o función forzadaGHOVLVWHPD 8QDVROXFLyQy(t GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQXQLQWHUYDORITXHFRQWLHQHDt TXHVDWLVIDFHODV condiciones iniciales se llama salida o respuestaGHOVLVWHPD 5.1.1 SISTEMAS RESORTE冒MASA: MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO l l no estirado s l+s m posición de equilibrio mg − ks = 0 a) x m movimiento b) c) FIGURA 5.1.1 Sistema masa兾UHVRUWH LEY DE HOOKE 6XSRQJDTXHXQUHVRUWHVHVXVSHQGHYHUWLFDOPHQWHGHXQVRSRUWH UtJLGR\OXHJRVHOH¿MDXQDPDVDmDVXH[WUHPROLEUH3RUVXSXHVWRODFDQWLGDGGHDODU JDPLHQWR R HORQJDFLyQ GHO UHVRUWH GHSHQGH GH OD PDVD PDVDV FRQ SHVRV GLIHUHQWHV DODUJDQHOUHVRUWHHQFDQWLGDGHVGLIHUHQWHV3RUODOH\GH+RRNHHOUHVRUWHPLVPRHMHUFH XQDIXHU]DUHVWDXUDGRUDFRSXHVWDDODGLUHFFLyQGHHORQJDFLyQ\SURSRUFLRQDODODFDQWLGDGGHHORQJDFLyQs\HVH[SUHVDGDHQIRUPDVLPSOHFRPRF  ksGRQGHkHVXQDFRQVWDQ WHGHSURSRUFLRQDOLGDGOODPDGDconstante de resorte(OUHVRUWHVHFDUDFWHUL]DHQHVHQFLDSRUHOQ~PHURk3RUHMHPSORVLXQDPDVDTXHSHVDOLEUDVKDFHTXHXQUHVRUWHVH DODUJXH 12 SLHHQWRQFHV10 k 12 LPSOLFDTXHk OESLH(QWRQFHVQHFHVDULDPHQWH XQDPDVDTXHSHVDGLJDPRVOLEUDVDODUJDHOPLVPRUHVRUWHVyOR 52 SLH SEGUNDA LEY DE NEWTON 'HVSXpVGHTXHVHXQHXQDPDVDmDXQUHVRUWHpVWD DODUJDHOUHVRUWHXQDFDQWLGDGs\ORJUDXQDSRVLFLyQGHHTXLOLEULRHQODFXDOVXSHVRW se HTXLOLEUDPHGLDQWHODIXHU]DUHVWDXUDGRUDks5HFXHUGHTXHHOSHVRVHGH¿QHPHGLDQWH W  mgGRQGHODPDVDVHPLGHHQVOXJVNLORJUDPRVRJUDPRV\g SLHVV PVRELHQFP௘VUHVSHFWLYDPHQWH&RPRVHLQGLFDHQOD¿JXUD E ODFRQGLFLyQGHHTXLOLEULRHVmg  ks o mg  ks 6LODPDVDVHGHVSOD]DSRUXQDFDQWLGDG xGHVXSRVLFLyQGHHTXLOLEULRODIXHU]DUHVWDXUDGRUDGHOUHVRUWHHVHQWRQFHVk(x  s  6XSRQLHQGRTXHQRKD\IXHU]DVUHVWDXUDGRUDVTXHDFW~DQVREUHHOVLVWHPD\VXSRQLHQGR TXHODPDVDYLEUDOLEUHGHRWUDVIXHU]DVH[WHUQDV²movimiento libre²VHSXHGHLJXDODUODVHJXQGDOH\GH1HZWRQFRQODIXHU]DQHWDRUHVXOWDQWHGHODIXHU]DUHVWDXUDGRUD \HOSHVR d2x m –––2  k(s  x)  mg   kx  mg  ks  kx. dt  cero x<0 x=0 x>0 m FIGURA 5.1.2 /DGLUHFFLyQKDFLD DEDMRGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRHV SRVLWLYD (OVLJQRQHJDWLYRHQ  LQGLFDTXHODIXHU]DUHVWDXUDGRUDGHOUHVRUWHDFW~DRSXHVWDD ODGLUHFFLyQGHPRYLPLHQWR$GHPiVVHDGRSWDODFRQYHQFLyQGHTXHORVGHVSOD]DPLHQWRVPHGLGRVDEDMRGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRVRQSRVLWLYRV9HDOD¿JXUD ED DE UN MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO 'LYLGLHQGR  HQWUHOD masa mVHREWLHQHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHVHJXQGRRUGHQdx兾dt  (k兾m x R d 2x 2  x 0  dt 2 188 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR donde Ȧ  k兾m6HGLFHTXHODHFXDFLyQ  GHVFULEHHOmovimiento armónico simple o movimiento libre no amortiguado'RVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVREYLDVUHODFLRQDGDV FRQ  VRQx   x0\x   xHOGHVSOD]DPLHQWRLQLFLDO\ODYHORFLGDGLQLFLDOGHOD PDVDUHVSHFWLYDPHQWH3RUHMHPSORVLx0 x ODPDVDSDUWHGHXQSXQWRabajo GHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRFRQXQDYHORFLGDGLPSDUWLGDKDFLDarriba&XDQGRx   VHGLFHTXHODPDVDVHOLEHUDDSDUWLUGHOUHSRVR3RUHMHPSORVLx0 x ODPDVD se libera desde el reposoGHXQSXQWR兩x0兩XQLGDGHVarribaGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR ECUACIÓN DE MOVIMIENTO 3DUDUHVROYHUODHFXDFLyQ  VHREVHUYDTXHOD VROXFLyQGHVXHFXDFLyQDX[LOLDUm  Ȧ VRQORVQ~PHURVFRPSOHMRVml  Ȧi m  Ȧi$VtGH  GHODVHFFLyQVHHQFXHQWUDODVROXFLyQJHQHUDOGH  HV x (t) c1 cos t c2 sen t   (OperiodoGHOPRYLPLHQWRGHVFULWRSRUODHFXDFLyQ  HVT ʌ兾Ȧ(OQ~PHURT UHSUHVHQWD HO WLHPSR PHGLGR HQ VHJXQGRV  TXH WDUGD OD PDVD HQ HMHFXWDU XQ FLFOR GHPRYLPLHQWR8QFLFORHVXQDRVFLODFLyQFRPSOHWDGHODPDVDHVGHFLUODPDVDm TXHVHPXHYHSRUHMHPSORDOSXQWRPtQLPRDEDMRGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRKDVWD HOSXQWRPiVDOWRDUULEDGHODPLVPD\OXHJRGHUHJUHVRDOSXQWRPtQLPR'HVGHXQ SXQWRGHYLVWDJUi¿FRT ʌ兾ȦVHJXQGRVHVODORQJLWXGGHOLQWHUYDORGHWLHPSRHQWUH GRVPi[LPRVVXFHVLYRV RPtQLPRV GHx(t 5HFXHUGHTXHXQPi[LPRGHx(t HVHOGHV SOD]DPLHQWRSRVLWLYRFRUUHVSRQGLHQWHDODPDVDTXHDOFDQ]DVXGLVWDQFLDPi[LPDGHEDMRGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRPLHQWUDVTXHXQPtQLPRGHx(t HVHOGHVSOD]DPLHQWR QHJDWLYRFRUUHVSRQGLHQWHDODPDVDTXHORJUDVXDOWXUDPi[LPDDUULEDGHODSRVLFLyQGH HTXLOLEULR6HKDFHUHIHUHQFLDDFXDOTXLHUFDVRFRPRXQdesplazamiento extremo de la PDVD/Dfrecuencia de movimiento es f 兾T  Ȧ兾ʌ\HVHOQ~PHURGHFLFORVFRPSOHWDGRFDGDVHJXQGR3RUHMHPSORVLx(t FRVʌW VHQʌWHQWRQFHVHOSHULRGR es T ʌ兾ʌ 兾V\ODIUHFXHQFLDHVf 兾FLFORV兾V'HVGHXQSXQWRGHYLVWD x (t)  HVTXHPiWLFR OD JUi¿FD GH x(t  VH UHSLWH FDGD 23  GH VHJXQGR HV GHFLU x t 23 \ 32 FLFORVGHODJUi¿FDVHFRPSOHWDQFDGDVHJXQGR RHTXLYDOHQWHPHQWHWUHVFLFORVGH ODJUi¿FDVHFRPSOHWDQFDGDGRVVHJXQGRV (OQ~PHUR 1k>m (medido en radianes SRUVHJXQGR VHOODPDfrecuencia circularGHOVLVWHPD'HSHQGLHQGRGHTXpOLEUROHD tanto f  Ȧ兾ʌ como Ȧ se conocen como frecuencia natural GHOVLVWHPD3RU~OWLPR FXDQGRVHHPSOHDQODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVSDUDGHWHUPLQDUODVFRQVWDQWHVc\cHQ   VHGLFHTXHODVROXFLyQSDUWLFXODUUHVXOWDQWHRUHVSXHVWDHVODecuación de movimiento ( EJEMPLO 1 ) Movimiento libre no amortiguado 8QDPDVDTXHSHVDOLEUDVDODUJDSXOJDGDVXQUHVRUWH(Qt  0 se libera la masa GHVGHXQSXQWRTXHHVWiSXOJDGDVDEDMRGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRFRQXQDYHORFLdad ascendente de 43 SLH兾V'HWHUPLQHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWR SOLUCIÓN 'HELGRDTXHVHHVWiXVDQGRHOVLVWHPDGHXQLGDGHVGHLQJHQLHUtDODV PHGLFLRQHVGDGDVHQWpUPLQRVGHSXOJDGDVVHGHEHQFRQYHUWLUHQSLHVSXOJ 12 SLH SXOJ 23 SLH$GHPiVVHGHEHQFRQYHUWLUODVXQLGDGHVGHSHVRGDGDVHQOLEUDVD 1 XQLGDGHVGHPDVD'Hm  W兾gWHQHPRVTXHm 322 16 VOXJ7DPELpQGHODOH\GH 1 +RRNH 2 k 2 LPSOLFDTXHODFRQVWDQWHGHUHVRUWHHVk  4 lb兾SLH3RUORTXHGHOD HFXDFLyQ  VHREWLHQH 1 d 2x d 2x 4x o 64 x 0. 2 16 dt dt 2 (OGHVSOD]DPLHQWRLQLFLDO\ODYHORFLGDGLQLFLDOVRQx   23 x   43 GRQGHHO VLJQRQHJDWLYRHQOD~OWLPDFRQGLFLyQHVXQDFRQVHFXHQFLDGHOKHFKRGHTXHDODPDVD VHOHGDXQDYHORFLGDGLQLFLDOHQODGLUHFFLyQQHJDWLYDRKDFLDDUULED $KRUDȦ RȦ SRUORTXHODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHV x (t) c1 cos 8t c2 sen 8t  $SOLFDQGRODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVDx(t \x(t VHREWLHQH c1 WDQWRODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWRHV  2 3 \ c2 1 3RU 6 5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES 2 cos 8t 3 x (t) l 1 sen 8t 6 189   FORMA ALTERNATIVA DE X(t) &XDQGRc \c ODamplitud A de las viEUDFLRQHVOLEUHVQRHVHYLGHQWHDSDUWLUGHODLQVSHFFLyQGHODHFXDFLyQ  3RUHMHPSOR DXQTXHODPDVDGHOHMHPSORVHGHVSOD]DLQLFLDOPHQWH 23 SLHPiVDOOiGHODSRVLFLyQGH HTXLOLEULRODDPSOLWXGGHODVYLEUDFLRQHVHVXQQ~PHURPD\RUTXH 23 3RUWDQWRVXHOH VHUFRQYHQLHQWHFRQYHUWLUXQDVROXFLyQGHODIRUPD  HQXQDIRUPDPiVVLPSOH donde A x (t) 2c21 )  A sen( t  c22 \‫׋‬HVXQángulo de faseGH¿QLGRSRU c1 A tan c2 A sen cos c1  c2  3DUDFRPSUREDUHVWRVHGHVDUUROODODHFXDFLyQ  XVDQGRODIyUPXODGHVXPDSDUDOD IXQFLyQVHQR A sen t cos cos t sen ( sen )cos t ( cos )sen t   6HGHGXFHGHOD¿JXUDTXHVL‫׋‬HVWiGH¿QLGDSRU 1c12 c1 c1 , A HQWRQFHVODHFXDFLyQ  VHFRQYLHUWHHQ sen c12 + c22 c1 A φ c1 cos t A c22 A c2 sen t A 1c12 c2 cos c1 cos t c22 c2 sen t c2 , A x (t). c2 FIGURA 5.1.3 8QDUHODFLyQHQWUH c c  \HOiQJXORGHIDVH‫׋‬ EJEMPLO 2 Forma alternativa de solución (5) (QYLVWDGHODGHVFULSFLyQDQWHULRUVHSXHGHHVFULELUODVROXFLyQ  HQODIRUPDDOWHUQDWLYD 1 2 x(t 2 23 2 f  AVHQ t  ‫(  ׋‬O FiOFXOR GH OD DPSOLWXG HV GLUHFWR A 6 17 236 0.69 pies SHURVHGHEHWHQHUFXLGDGRDOFDOFXODUHOiQJXORGHIDVH‫׋‬GH¿QLGR () SRU  &RQ c1 2 3 \ c2 1 6 ( ) VHHQFXHQWUDWDQ‫\  ׋‬FRQXQDFDOFXODGRUDVHRE tiene tan (    UDG (VWH no HV HO iQJXOR GH IDVH SXHVWR TXH WDQ(  VH ORFDOL]D HQ HO cuarto cuadrante \ SRU WDQWR FRQWUDGLFH HO KHFKR GH TXH VHQ ‫\   ׋‬ cos ‫   ׋‬SRUTXH c   \ c   3RU WDQWR VH GHEH FRQVLGHUDU TXH ‫ ׋‬HV XQ iQJXOR del segundo cuadrante ‫  ׋‬ʌ  ( UDG$VtODHFXDFLyQ  HVLJXDOD  x (t) 117 sen(8t 6 1.816)  (OSHULRGRGHHVWDIXQFLyQHVT ʌ兾 ʌ兾V 'HEHWHQHUHQFXHQWDTXHDOJXQRVSURIHVRUHVGHFLHQFLDHLQJHQLHUtDSUH¿HUHQH[SUHVDU D  FRPRXQDIXQFLyQFRVHQRFRUULGR x(t  A cos(Ȧt  ‫׋‬   2c21 c22 (QHVWHFDVRHOiQJXOR‫׋‬PHGLGRHQUDGLDQHVVHGH¿QHHQXQD donde A IRUPDOLJHUDPHQWHGLIHUHQWHTXHHQ   190 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR sen cos x negativa x=− x=0 x= 17 6 x=0 2 3 x= 17 6 a) x (0, 23 ) x positiva c2 c1   3RUHMHPSORHQHOHMHPSORFRQc 兾\ c  兾  LQGLFDTXHWDQ‫  ׋‬兾 <D TXH VHQ ‫ \   ׋‬FRV ‫   ׋‬HO iQJXOR ‫׋‬VHHQFXHQWUDHQHOFXDUWRFXDGUDQWH\DVt UHGRQGHDQGRFRQWUHVOXJDUHVGHFLPDO‫ ׋‬ tan(兾  UDG'H  VHREWLHQHXQDVHJXQGDIRUPDDOWHUQDWLYDGHVROXFLyQ   x=0 x positiva c2 A tan c1 A x(t) 冪17 cos(8t 6 ( 0.245)) x(t) 冪17 cos(8t 6 0.245). o amplitud INTERPRETACIÓN GRÁFICA (Q OD ¿JXUD  D  VH LOXVWUD OD PDVD GHO HMHPSOR x=0 t  TXH UHFRUUH DSUR[LPDGDPHQWH GRV FLFORV FRPSOHWRV GH PRYLPLHQWR /H\HQGR GH L]x negativa TXLHUGD D GHUHFKD ODV SULPHUDV FLQFR SRVLπ FLRQHV PDUFDGDVFRQSXQWRVQHJURV FRUUHV4 SRQGHQDODSRVLFLyQLQLFLDOGHODPDVDGHEDMR periodo GHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR x 23 ODPDVD b) TXHSDVDSRUODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRSRUSULPHUDYH]HQGLUHFFLyQDVFHQGHQWH x  OD FIGURA 5.1.4 0RYLPLHQWRDUPyQLFRVLPSOH PDVDHQVXGHVSOD]DPLHQWRH[WUHPRDUULEDGH ODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR (x 117 6) OD PDVDHQODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRSDUDODVHJXQGDYH]TXHVHGLULJHKDFLDDUULED x  \ ODPDVDHQVXGHVSOD]DPLHQWRH[WUHPRDEDMRGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR(x 117 6) /RV SXQWRVQHJURVVREUHODJUi¿FDGH  TXHVHSUHVHQWDHQOD¿JXUD E WDPELpQFRQFXHUGDQFRQODVFLQFRSRVLFLRQHVDQWHVPHQFLRQDGDV6LQHPEDUJRREVHUYHTXHHQOD¿JXUD  E  OD GLUHFFLyQ SRVLWLYD HQ HO SODQR tx HV OD GLUHFFLyQ DVFHQGHQWH XVXDO \ SRU WDQWRHVRSXHVWDDODGLUHFFLyQSRVLWLYDTXHVHLQGLFDHQOD¿JXUD D 3RUORTXH OD JUi¿FD VyOLGD D]XO TXH UHSUHVHQWD HO PRYLPLHQWR GH OD PDVD HQ OD ¿JXUD  E  HV OD UHÀH[LyQ SRU HO HMH t GH OD FXUYD SXQWHDGD D]XO GH OD ¿JXUD  D  /D IRUPD   HV PX\ ~WLO SRUTXH HV IiFLO HQFRQWUDU YDORUHV GH WLHPSR SDUD ORV FXDOHV OD JUi¿FD GH x(t  FUX]D HO HMH t SRVLWLYR OD UHFWD x    6H REVHUYD TXH sen(ȦW  ‫ ׋‬FXDQGRȦW  ‫  ׋‬QʌGRQGHnHVXQHQWHURQRQHJDWLYR A= 17 6 ( ) SISTEMAS CON CONSTANTES DE RESORTE VARIABLES (QHOPRGHORDSHQDV DQDOL]DGRVHVXSXVRXQDVLWXDFLyQLGHDOXQDHQODTXHODVFDUDFWHUtVWLFDVItVLFDVGHOUHVRUWH QRFDPELDQFRQHOWLHPSR1RREVWDQWHHQODVLWXDFLyQQRLGHDOSDUHFHUD]RQDEOHHVSHUDU TXHFXDQGRXQVLVWHPDUHVRUWHPDVDHVWiHQPRYLPLHQWRGXUDQWHXQODUJRWLHPSRHOUHVRUWHVHGHELOLWDHQRWUDVSDODEUDVYDUtDOD³FRQVWDQWHGHUHVRUWH´GHPDQHUDPiVHVSHFt¿FDGHFDHFRQHOWLHPSR(QXQPRGHORSDUDHO resorte cada vez más viejo la constante de resorte kHQ  VHUHHPSOD]DFRQODIXQFLyQGHFUHFLHQWHK(t  keĮWk Į  /DHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOmx  keĮW x QRVHSXHGHUHVROYHUFRQORVPpWRGRV FRQVLGHUDGRVHQHOFDStWXOR6LQHPEDUJRHVSRVLEOHREWHQHUGRVVROXFLRQHVOLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHVFRQORVPpWRGRVGHOFDStWXOR9HDHOSUREOHPDHQORVHMHUFLFLRV HOHMHPSORGHODVHFFLyQ\ORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV 5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES l 191 &XDQGR XQ VLVWHPD UHVRUWHPDVD VH VRPHWH D XQ DPELHQWH HQ HO FXDO OD WHPSHUDWXUD GLVPLQX\HFRQUDSLGH]SRGUtDWHQHUVHQWLGRUHHPSOD]DUODFRQVWDQWHk con K(t  ktk  XQDIXQFLyQTXHVHLQFUHPHQWDFRQHOWLHPSR(OPRGHORUHVXOWDQWHmx  ktx HVXQD IRUPDGHODecuación diferencial de Airy$OLJXDOTXHODHFXDFLyQSDUDXQUHVRUWHYLHMR ODHFXDFLyQGH$LU\VHUHVXHOYHFRQORVPpWRGRVGHOFDStWXOR9HDHOSUREOHPDGHORV HMHUFLFLRVHOHMHPSORGHODVHFFLyQ\ORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV 5.1.2 SISTEMAS RESORTE/MASA: MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO (OFRQFHSWRGHPRYLPLHQWRDUPyQLFROLEUHHVXQSRFRLUUHDOSXHVWRTXHHOPRYLPLHQWR TXHGHVFULEHODHFXDFLyQ  VXSRQHTXHQRKD\IXHU]DVUHWDUGDGRUDVDFWXDQGRVREUH ODPDVDHQPRYLPLHQWR$PHQRVTXHODPDVDVHVXVSHQGDHQXQYDFtRSHUIHFWRKDEUi SRUORPHQRVXQDIXHU]DGHUHVLVWHQFLDGHELGDDOPHGLRFLUFXQGDQWH&RPRVHPXHVWUD HQOD¿JXUDODPDVDSRGUtDHVWDUVXVSHQGLGDHQXQPHGLRYLVFRVRRXQLGDDXQ GLVSRVLWLYRDPRUWLJXDGRU ED DE UN MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO (QHOHVWXGLRGHODPHFiQLFDODVIXHU]DVGHDPRUWLJXDPLHQWRTXHDFW~DQVREUHXQFXHUSRVHFRQVLGHUDQSURSRUFLRQDOHVDXQDSRWHQFLDGHODYHORFLGDGLQVWDQWiQHD(QSDUWLFXODUHQHODQiOLVLVSRVWHULRUVHVXSRQHTXHHVWDIXHU]DHVWiGDGDSRUXQP~OWLSORFRQVWDQWHGHdx兾dt&XDQGR QLQJXQDRWUDIXHU]DDFW~DHQHOVLVWHPDVHWLHQHGHODVHJXQGDOH\GH1HZWRQTXH m a) m d 2x dt 2 dx  dt kx  donde ȕ HV XQD constante de amortiguamiento SRVLWLYD \ HO VLJQR QHJDWLYR HV XQD FRQVHFXHQFLDGHOKHFKRGHTXHODIXHU]DGHDPRUWLJXDPLHQWRDFW~DHQXQDGLUHFFLyQ RSXHVWDDOPRYLPLHQWR 'LYLGLHQGRODHFXDFLyQ  HQWUHODPDVDmVHHQFXHQWUDTXHODHFXDFLyQGLIHUHQcial del movimiento libre amortiguado es d x兾dt   (ȕ兾m dx兾dt  (k兾m x  0 o m d 2x dt 2 donde 2 2 DPRUWLJXDPLHQWR 0  2 x 2 , m b) FIGURA 5.1.5 'LVSRVLWLYRVGH dx dt  k  m  (OVtPERORȜVHXVDVyORSRUFRQYHQLHQFLDDOJHEUDLFDSRUTXHODHFXDFLyQDX[LOLDUHV m ȜP  Ȧ \ODVUDtFHVFRUUHVSRQGLHQWHVVRQHQWRQFHV 2 m1 2 2, 2 m2 2 2. $KRUDVHSXHGHQGLVWLQJXLUWUHVFDVRVSRVLEOHVGHSHQGLHQGRGHOVLJQRDOJHEUDLFRGH Ȝ  Ȧ3XHVWRTXHFDGDVROXFLyQFRQWLHQHHOfactor de amortiguamiento eȜWȜ ORV GHVSOD]DPLHQWRVGHODPDVDVHYXHOYHQGHVSUHFLDEOHVFRQIRUPHHOWLHPSRtDXPHQWD CASO I: Ȝ2  Ȧ2 0 (QHVWDVLWXDFLyQHOVLVWHPDHVWisobreamortiguadoSRUTXH HOFRH¿FLHQWHGHDPRUWLJXDPLHQWRȕHVJUDQGHFRPSDUDGRFRQODFRQVWDQWHGHOUHVRUWH k/DVROXFLyQFRUUHVSRQGLHQWHGH  HV x(t) c1 e m1t c2 em 2 t o x t FIGURA 5.1.6 0RYLPLHQWRGHXQ VLVWHPDVREUHDPRUWLJXDGR x(t) e t (c1 e1 2 2t c2 e 1 2 2t )   (VWDHFXDFLyQUHSUHVHQWDXQPRYLPLHQWRXQLIRUPH\QRRVFLODWRULR(QOD¿JXUD VHPXHVWUDQGRVJUi¿FDVSRVLEOHVGHx(t  192 CAPÍTULO 5 l MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR CASO II: Ȝ2  Ȧ2  0 (VWHVLVWHPDHVWicríticamente amortiguadoSRUTXHFXDOTXLHU OLJHUD GLVPLQXFLyQ HQ OD IXHU]D GH DPRUWLJXDPLHQWR GDUtD FRPR UHVXOWDGR XQ PRYLPLHQWRRVFLODWRULR/DVROXFLyQJHQHUDOGH  HV x (t) c1e m1t c2 tem1t o x t x (t) FIGURA 5.1.7 0RYLPLHQWRGHXQ VLVWHPDFUtWLFDPHQWHDPRUWLJXDGR no amortiguado subamortiguado x e t c2 t)  (c1  (QOD¿JXUDVHSUHVHQWDQDOJXQDVJUi¿FDVWtSLFDVGHPRYLPLHQWR2EVHUYHTXHHO PRYLPLHQWRHVEDVWDQWHVLPLODUDOGHXQVLVWHPDVREUHDPRUWLJXDGR7DPELpQHVHYLGHQWHGH  TXHODPDVDSXHGHSDVDUSRUODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRDORPiVXQDYH] CASO III: Ȝ2  Ȧ2  0 (QHVWHFDVRHOVLVWHPDHVWisubamortiguadoSXHVWRTXH HOFRH¿FLHQWHGHDPRUWLJXDPLHQWRHVSHTXHxRFRPSDUDGRFRQODFRQVWDQWHGHOUHVRUWH /DVUDtFHVm\mDKRUDVRQFRPSOHMDV 1 m1 2 2 i, 1 m2 2 2 i. $VtTXHODHFXDFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQ  HV t FIGURA 5.1.8 0RYLPLHQWRGHXQ VLVWHPDVXEDPRUWLJXDGR x (t) e t (c1 cos 1 2 c2 sen 1 2t 2 )  2t  &RPRVHLQGLFDHQOD¿JXUDHOPRYLPLHQWRGHVFULWRSRUODHFXDFLyQ  HVRVFLODWRULRSHURGHELGRDOFRH¿FLHQWHeȜWODVDPSOLWXGHVGHYLEUDFLyQ→FXDQGRt →  EJEMPLO 3 Movimiento sobreamortiguado 6HFRPSUXHEDIiFLOPHQWHTXHODVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV d 2x dt 2 es 2 5 1 2 3 t a) t x(t) 1 1.5 2 2.5 3 0.601 0.370 0.225 0.137 0.083 b) FIGURA 5.1.9 Sistema VREUHDPRUWLJXDGRGHOHHMHPSOR dx dt 4x x (t) x x = 3 e −t − 3 e −4t 5 0, x (0) 5 e 3 t 2 e 3 1, 4t x (0)  1  (OSUREOHPDVHSXHGHLQWHUSUHWDUFRPRUHSUHVHQWDWLYRGHOPRYLPLHQWRVREUHDPRUWLJXDGRGHXQDPDVDVREUHXQUHVRUWH/DPDVDVHOLEHUDDOLQLFLRGHXQDSRVLFLyQXQD XQLGDGabajoGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRFRQYHORFLGDGdescendenteGHSLHV 3DUDJUD¿FDUx(t VHHQFXHQWUDHOYDORUGHtSDUDHOFXDOODIXQFLyQWLHQHXQH[WUHPRHVGHFLUHOYDORUGHWLHPSRSDUDHOFXDOODSULPHUDGHULYDGD YHORFLGDG HVFHUR 8 5 t 4t DVtx(t LPSOLFD 'HULYDQGRODHFXDFLyQ  VHREWLHQH x (t) 3e 3e 8 1 8 3 t  6H WLHQHGH ODSUXHED GH ODSULPHUDGHULYDGDDVt TXH e o t ln 0.157 5 3 5 FRPRGHODLQWXLFLyQItVLFDTXHx  SLHVHVHQUHDOLGDGXQPi[LPR(Q RWUDV SDODEUDV OD PDVD ORJUD XQ GHVSOD]DPLHQWR H[WUHPR GH  SLHV DEDMR GH OD SRVLFLyQGHHTXLOLEULR 6HGHEHFRPSUREDUWDPELpQVLODJUi¿FDFUX]DHOHMHtHVGHFLUVLODPDVDSDVD SRUODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR(QHVWHFDVRWDOFRVDQRSXHGHVXFHGHUSRUTXHODHFXDFLyQx(t R e3t 25 WLHQHXQDVROXFLyQLUUHOHYDQWHGHVGHHOSXQWRGHYLVWDItVLFR t 13 ln 25 0.305  (Q OD ¿JXUD  VH SUHVHQWD OD JUi¿FD GH x(t  MXQWR FRQ DOJXQRV RWURV GDWRV SHUWLQHQWHV EJEMPLO 4 Movimiento críticamente amortiguado 8QDPDVDTXHSHVDOLEUDVDODUJDSLHVXQUHVRUWH6XSRQLHQGRTXHXQDIXHU]DDPRUWLJXDGDTXHHVLJXDODGRVYHFHVODYHORFLGDGLQVWDQWiQHDDFW~DVREUHHOVLVWHPDGHWHUPLQHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWRVLODPDVDLQLFLDOVHOLEHUDGHVGHODSRVLFLyQGH HTXLOLEULRFRQXQDYHORFLGDGDVFHQGHQWHGHSLHVV 5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES l 193 SOLUCIÓN 'HODOH\GH+RRNHVHYHTXH k  GDk OESLH\TXHW  mg da 8 32 m 1 4 VOXJ/DHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHPRYLPLHQWRHVHQWRQFHV 1 d 2x 4 dt2 4x 2 dx dt d 2x dt 2 o 8 dx dt 16 x 0   /DHFXDFLyQDX[LOLDUSDUD  HVm m  (m   DVtTXHm  m  3RUWDQWRHOVLVWHPDHVWiFUtWLFDPHQWHDPRUWLJXDGR\ x (t) x t= 1 4 t − 0.276 c1e 4t FIGURA 5.1.10 6LVWHPDFUtWLFDPHQWH DPRUWLJXDGRGHOHHMPSOR   $SOLFDQGRODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVx  \x   VHHQFXHQWUDDVXYH]TXH c \c  3RUWDQWRODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWRHV x (t) altura máxima arriba de la posición de equilibrio 4t c2 te 3te 4t   3DUDJUD¿FDUx(t VHSURFHGHFRPRHQHOHMHPSOR'Hx(t  e4t  4t YHPRV TXH x(t    FXDQGR t 14  (O GHVSOD]DPLHQWR H[WUHPR FRUUHVSRQGLHQWH HV x 14 3 14 e 1 0.276  SLHV &RPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD  HVWH YDORU VHLQWHUSUHWDSDUDLQGLFDUTXHODPDVDDOFDQ]DXQDDOWXUDPi[LPDGHSLHVDUULED GHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR () () EJEMPLO 5 Movimiento subamortiguado 8QDPDVDTXHSHVDOLEUDVVHXQHDXQUHVRUWHGHSLHVGHODUJR(QHTXLOLEULRHO UHVRUWHPLGHSLHV6LDOLQLFLRODPDVDVHOLEHUDGHVGHHOUHSRVRHQXQSXQWRSLHV DUULEDGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRHQFXHQWUHORVGHVSOD]DPLHQWRVx(t VLVHVDEHDGHPiV TXH HO PHGLR FLUFXQGDQWH RIUHFH XQD UHVLVWHQFLD QXPpULFDPHQWH LJXDO D OD YHORFLGDG LQVWDQWiQHD SOLUCIÓN /DHORQJDFLyQGHOUHVRUWHGHVSXpVTXHVHXQHODPDVDHV SLHVDVtTXHVHGHGXFHGHODOH\GH+RRNHTXH k  Rk OESLH$GHPiV 1 m 16 32 2 VOXJSRUORTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHVWiGDGDSRU 1 d 2x 2 dt 2 dx dt 5x d 2x dt 2 o 2 dx dt 10 x 0   3URFHGLHQGRHQFRQWUDPRVTXHODVUDtFHVGHm m  0 son m  i\ m  iORTXHVLJQL¿FDTXHHOVLVWHPDHVWiVXEDPRUWLJXDGR\ e t(c1 cos 3t x (t) c2 sen 3t)  3RU ~OWLPR ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV x     \ x     SURGXFHQ c   \ 2 SRUORTXHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWRHV c2 3 x (t) e t 2 cos 3t 2 sen 3t  3    FORMA ALTERNATIVA DE x(t) 'HXQDPDQHUDLGpQWLFDDOSURFHGLPLHQWRXVDGR HQODSiJLQDVHSXHGHHVFULELUFXDOTXLHUVROXFLyQ x (t) e t (c1 cos 1 HQODIRUPDDOWHUQDWLYD donde A 1c12 x (t) Ae t 2 2t sen 1 ( 2 c2 sen 1 2 t ) 2 2t )   c22 \HOiQJXORGHIDVH‫׋‬VHGHWHUPLQDGHODVHFXDFLRQHV sen c1 , A cos c2 , A tan c1 . c2 194 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR (O FRH¿FLHQWH AeȜW en ocasiones se llama amplitud amortiguada GH YLEUDFLRQHV 2 se llama 'HELGRDTXH  QRHVXQDIXQFLyQSHULyGLFDHOQ~PHUR2 1 2 2 2 2 es la cuasi frecuencia (O FXDVL SHULRGR HV HO LQcuasi periodo \ 1 WHUYDORGHWLHPSRHQWUHGRVPi[LPRVVXFHVLYRVGHx(t 6HGHEHFRPSUREDUSDUDOD HFXDFLyQGHPRYLPLHQWRGHOHMHPSORTXH A 2 110 3 \‫ ׋‬3RUWDQWRXQD IRUPDHTXLYDOHQWHGH  HV 2 110 t e sen(3t 3 x (t) 4.391). 5.1.3 SISTEMAS RESORTE/MASA: MOVIMIENTO FORZADO ED DE MOVIMIENTO FORZADO CON AMORTIGUAMIENTO 6XSRQJD TXHDKRUDVHWRPDHQFRQVLGHUDFLyQXQDIXHU]DH[WHUQDf(t TXHDFW~DVREUHXQDPDVD YLEUDQWHHQXQUHVRUWH3RUHMHPSORf(t SRGUtDUHSUHVHQWDUXQDIXHU]DPRWUL]TXHFDXVD XQ PRYLPLHQWR YHUWLFDO RVFLODWRULR GHO VRSRUWH GHO UHVRUWH 9HD OD ¿JXUD  /D LQFOXVLyQGHf(t HQODIRUPXODFLyQGHODVHJXQGDOH\GH1HZWRQGDODHFXDFLyQGLIHrencial de movimiento forzado o dirigido: m m d 2x dt2 kx dx dt f (t)   F (t)   'LYLGLHQGRODHFXDFLyQ  HQWUHmVHREWLHQH FIGURA 5.1.11 Movimiento vertical d 2x dt2 RVFLODWRULRGHODSR\R 2 dx dt 2 x donde F(t  f(t 兾m\FRPRHQODVHFFLyQDQWHULRUȜ  ȕ兾mȦ  k兾m3DUDUHVROYHU OD~OWLPDHFXDFLyQKRPRJpQHDVHSXHGHXVDU\DVHDHOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVRYDULDFLyQGHSDUiPHWURV EJEMPLO 6 Interpretación de un problema con valores iniciales ,QWHUSUHWH\UHVXHOYDHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV 1 d 2x 5 dt2 1.2 dx dt 2x 5 cos 4t, x (0) 1 , 2 x (0) 0   SOLUCIÓN 6HSXHGHLQWHUSUHWDUHOSUREOHPDSDUDUHSUHVHQWDUXQVLVWHPDYLEUDWRULR TXHFRQVLVWHHQXQDPDVD m 15 VOXJRNLORJUDPR XQLGDDXQUHVRUWH k OE兾SLHR 1兾P /DPDVDVHOLEHUDLQLFLDOPHQWHGHVGHHOUHSRVR 12 XQLGDG SLHRPHWUR DEDMRGH ODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR(OPRYLPLHQWRHVDPRUWLJXDGR ȕ  \HVWiVLHQGRLPSXOVDGRSRUXQDIXHU]DSHULyGLFDH[WHUQD T  ʌ兾V FRPHQ]DQGRHQt 'HPDQHUD LQWXLWLYDVHSRGUtDHVSHUDUTXHLQFOXVRFRQDPRUWLJXDPLHQWRHOVLVWHPDSHUPDQHFLHUDHQ PRYLPLHQWRKDVWDTXHVH³GHVDFWLYH´ODIXQFLyQIRU]DGDHQFX\RFDVRGLVPLQXLUtDQODV DPSOLWXGHV6LQHPEDUJRFRPRVHSODQWHDHQHOSUREOHPDf (t FRVtSHUPDQHFHUi ³DFWLYDGD´SRUVLHPSUH 3ULPHURVHPXOWLSOLFDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQ  SRU\VHUHVXHOYH dx2 dt2 6 dx dt 10 x 0 SRUORVPpWRGRVXVXDOHV'HELGRDTXHm   im   iVHGHGXFHTXH xc(t  et(c cos t  c sen t  &RQ HO PpWRGR GH FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV VH VXSRQHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODIRUPDxp(t  A cos 4t  B sen 4t.'HULYDQGRxp(t  \VXVWLWX\HQGRHQOD('VHREWLHQH xp 6x p 10 xp ( 6A 24B) cos 4 t ( 24A 6B) sen 4t 25 cos 4 t. 5.1 6A estado estable xp (t) 25 102 \B VHFXPSOHHQ A t transitorio x (t) π/2 a) x x(t)=transitorio + estado estable 1 195 t π /2 b) FIGURA 5.1.12 *Ui¿FDGHODVROXFLyQ GDGDHQ  GHOHMHPSOR 50 51 25, 24A 6B 0 6HWLHQHTXH 3t e e 3t (c1 cos t c2 sen t) 38 cos t 51 86 sen t 51 25 cos 4 t 102 50 sen 4t  51    TÉRMINOS TRANSITORIO Y DE ESTADO ESTABLE &XDQGRFHVXQDIXQFLyQ SHULyGLFDFRPRF(t  F0 sen ȖW o F(t  F0 cos ȖWODVROXFLyQJHQHUDOGH  SDUDȜ HVODVXPDGHXQDIXQFLyQQRSHULyGLFDxc(t \XQDIXQFLyQSHULyGLFDxp(t $GHPiV xc(t VHGHVYDQHFHFRQIRUPHVHLQFUHPHQWDHOWLHPSRHVGHFLU lím t : xc (t) 0 $Vt SDUDYDORUHVJUDQGHVGHWLHPSRORVGHVSOD]DPLHQWRVGHODPDVDVHDSUR[LPDQPHGLDQWH ODVROXFLyQSDUWLFXODUxp(t 6HGLFHTXHODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDxc(t HVXQtérmino transitorio o solución transitoria\ODIXQFLyQxp(t ODSDUWHGHODVROXFLyQTXHSHUPDQHFHGHVSXpVGHXQLQWHUYDORGHWLHPSRVHOODPDtérmino de estado estable o solución de estado estable3RUWDQWRREVHUYHTXHHOHIHFWRGHODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVHQ XQVLVWHPDUHVRUWHPDVDLPSXOVDGRSRUFHVWUDQVLWRULR(QODVROXFLyQSDUWLFXODU   25 50 86 e 3t 38 102 cos 4 t 51 sen 4t es 51 cos t 51 sen t HVXQWpUPLQRWUDQVLWRULR\ xp(t) XQWpUPLQRGHHVWDGRHVWDEOH/DVJUi¿FDVGHHVWRVGRVWpUPLQRV\ODVROXFLyQ  VH SUHVHQWDQHQODV¿JXUDV D \ E UHVSHFWLYDPHQWH ( _1 24B 25 50 cos 4 t sen 4t  102 51 c1 38 &XDQGRVHKDFHt HQODHFXDFLyQDQWHULRUVHREWLHQH 51 'HULYDQGRODH[SUH 51 86 3RUWDQWRODHFXDFLyQGH VLyQ\KDFLHQGRt VHHQFXHQWUDWDPELpQTXH c2 51 movimiento es x (t) _1 l (OVLVWHPDGHHFXDFLRQHVUHVXOWDQWH x 1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES EJEMPLO 7 ) Soluciones de estado transitorio y de estado estable /DVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV d 2x dx 2 2 x 4 cos t dt2 dt donde xHVFRQVWDQWHHVWiGDGDSRU x x 1 =7 x 1 =3 x 1 =0 x(t) (x1 2 sen t, x (0) 2) e t sen t 0, x (0) x1, 2 sen t. transitorio estado estable t x1=_3 /DVFXUYDVVROXFLyQSDUDYDORUHVVHOHFFLRQDGRVGHODYHORFLGDGLQLFLDOxDSDUHFHQHQ OD¿JXUD/DVJUi¿FDVPXHVWUDQTXHODLQÀXHQFLDGHOWpUPLQRWUDQVLWRULRHVGHVSUHFLDEOHSDUDXQYDORUDSUR[LPDGRGHt ʌ兾 ED DE MOVIMIENTO FORZADO SIN AMORTIGUAMIENTO &XDQGR VH HMHUFHXQDIXHU]DSHULyGLFDVLQIXHU]DGHDPRUWLJXDPLHQWRQRKD\WpUPLQRWUDQVLWRULR π 2π HQODVROXFLyQGHXQSUREOHPD7DPELpQVHYHTXHXQDIXHU]DSHULyGLFDFRQXQDIUHFIGURA 5.1.13 *Ui¿FDGHODVROXFLyQ FXHQFLDFHUFDQDRLJXDOTXHODIUHFXHQFLDGHODVYLEUDFLRQHVOLEUHVDPRUWLJXDGDVFDXVD GHOHMHPSORSDUDGLIHUHQWHVx  XQSUREOHPDJUDYHHQXQVLVWHPDPHFiQLFRRVFLODWRULR EJEMPLO 8 Movimiento no amortiguado forzado 5HVXHOYDHOSUREOHPDFRQYDORULQLFLDO d 2x 2 x F0 sen t, x (0) dt2 donde F0HVXQDFRQVWDQWH\Ȗ  Ȧ 0, x (0) 0  196 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR SOLUCIÓN /DIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDHVxc(t  c cos ȦW  c sen ȦW3DUDREWHQHU XQDVROXFLyQSDUWLFXODUVHVXSRQHxp(t  A cos ȖW  B sen ȖWSRUORTXH 2 xp xp A( 2 2 ) cos t B( 2 2 F0 sen t. ) sen t ,JXDODQGRORVFRH¿FLHQWHVVHREWLHQHGHLQPHGLDWRA \B  F0兾(Ȧ  Ȗ 3RUWDQWR xp(t) F0 2 2 sen t. $SOLFDQGRODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVDODVROXFLyQJHQHUDO x (t) c1 cos t F0 c2 sen t 2 2 sen t se obtiene c \c   Ȗ)0 兾Ȧ(Ȧ  Ȗ 3RUWDQWRODVROXFLyQHV x (t) F0 ( 2 2 ) ( sen t  sen t),    RESONANCIA PURA $XQTXHODHFXDFLyQ  QRVHGH¿QHSDUDȖ  ȦHVLQWHUHVDQWHREVHUYDUTXHVXYDORUOtPLWHFRQIRUPHȖ → ȦVHREWLHQHDODSOLFDUODUHJODGH / +{SLWDO (VWH SURFHVR OtPLWH HV DQiORJR D ³VLQWRQL]DU´ OD IUHFXHQFLD GH OD IXHU]D LPSXOVRUD Ȗ兾ʌ FRQODIUHFXHQFLDGHYLEUDFLRQHVOLEUHV Ȧ兾ʌ 'HXQDPDQHUDLQ WXLWLYDVHHVSHUDTXHHQXQHVSDFLRGHWLHPSRVHGHEDQSRGHULQFUHPHQWDUHQIRUPD VXVWDQFLDOODVDPSOLWXGHVGHYLEUDFLyQ3DUDȖ  ȦVHGH¿QHODVROXFLyQFRPR x (t)  lím F0 : sen t ( 2 sen t 2 ) F0 lím d ( d d ( d :  F0 lím sen t sen t F0 t FIGURA 5.1.14 5HVRQDQFLDSXUD 2 2 sen t ) t cos t : x 3 sen t)  t cos t 2 2 F0 F0 sen t t cos t. 2 2 2 &RPR VH VRVSHFKDED FRQIRUPH t →  ORV GHVSOD]DPLHQWRV VH YXHOYHQ ODUJRV GH KHFKR兩x(tn 兩 → FXDQGRtn  Qʌ兾Ȧn (OIHQyPHQRUHFLpQGHVFULWRVH conoce como resonancia pura/DJUi¿FDGHOD¿JXUDPXHVWUDHOPRYLPLHQWR FDUDFWHUtVWLFRHQHVWHFDVR (QFRQFOXVLyQVHGHEHREVHUYDUTXHQRKD\QHFHVLGDGUHDOGHXVDUXQSURFHVR OtPLWHHQ  SDUDREWHQHUODVROXFLyQSDUDȖ  Ȧ$OWHUQDWLYDPHQWHODHFXDFLyQ   VHGHGXFHUHVROYLHQGRHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV d 2x 2 x F0 sen t, x (0) 0, x (0) 0 dt 2 HQIRUPDGLUHFWDSRUPpWRGRVFRQYHQFLRQDOHV 6LUHDOPHQWHXQDIXQFLyQFRPRODHFXDFLyQ  GHVFULELHUDORVGHVSOD]DPLHQWRVGH XQ VLVWHPD UHVRUWHPDVD HO VLVWHPD QHFHVDULDPHQWH IDOODUtD /DV RVFLODFLRQHV JUDQGHV GHODPDVDIRU]DUiQHQDOJ~QPRPHQWRHOUHVRUWHPiVDOOiGHVXOtPLWHHOiVWLFR6HSRGUtD DUJXPHQWDUWDPELpQTXHHOPRGHORUHVRQDQWHSUHVHQWDGRHQOD¿JXUDHVSRUFRPSOHWRLUUHDOSRUTXHQRVHWRPDQHQFXHQWDORVHIHFWRVUHWDUGDGRUHVGHODVIXHU]DVGHDPRUWLJXDPLHQWRTXHVLHPSUHHVWiQSUHVHQWHV$XQTXHHVYHUGDGTXHODUHVRQDQFLDSXUDQR SXHGHRFXUULUFXDQGRVHWRPDHQFRQVLGHUDFLyQODFDQWLGDGSHTXHxDGHDPRUWLJXDPLHQ WRODVDPSOLWXGHVGHYLEUDFLyQJUDQGHVHLJXDOPHQWHGHVWUXFWLYDVSXHGHQRFXUULU DXQTXH DFRWDGDVFRQIRUPHt → 9HDHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV 5.1 5.1.4 E L R MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES FIGURA 5.1.15 &LUFXLWRLRC en 197 CIRCUITO EN SERIE ANÁLOGO CIRCUITOS LRC EN SERIE &RPRVHPHQFLRQyHQODLQWURGXFFLyQGHHVWHFDStWXORPXFKRVVLVWHPDVItVLFRVGLIHUHQWHVVHGHVFULEHQPHGLDQWHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHVHJXQGR RUGHQVLPLODUDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHPRYLPLHQWRIRU]DGRFRQDPRUWLJXDPLHQWR m C VHULH l d 2x dt 2 dx dt kx f (t)   Si i(t GHQRWDODFRUULHQWHHQHOcircuito eléctrico en serie LRCTXHVHPXHVWUDHQOD ¿JXUD  HQWRQFHV ODV FDtGDV GH YROWDMH HQ HO LQGXFWRU UHVLVWRU \ FDSDFLWRU VRQ FRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD3RUODVHJXQGDOH\GH.LUFKKRIIODVXPDGHHVWRV YROWDMHVHVLJXDODOYROWDMHE(t DSOLFDGRDOFLUFXLWRHVGHFLU L di dt Ri 1 q C E (t)   3HURODFDUJDq(t HQHOFDSDFLWRUVHUHODFLRQDFRQODFRUULHQWHi(t FRQi  dq兾dtDVtOD HFXDFLyQ  VHFRQYLHUWHHQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHVHJXQGRRUGHQ L d 2q dt2 R 1 q C dq dt E(t)   /DQRPHQFODWXUDXVDGDHQHODQiOLVLVGHFLUFXLWRVHVVLPLODUDODTXHVHHPSOHD SDUDGHVFULELUVLVWHPDVUHVRUWHPDVD Si E(t VHGLFHTXHODVvibraciones eléctricasGHOFLUFXLWRHVWiQlibres'HELGRD TXHODHFXDFLyQDX[LOLDUSDUD  HVLm  Rm 兾C KDEUiWUHVIRUPDVGHVROXFLyQ con R GHSHQGLHQGRGHOYDORUGHOGLVFULPLQDQWHR  4L兾C6HGLFHTXHHOFLUFXLWRHV R  4L兾C sobreamortiguado si \   críticamente amortiguado si R  4L兾C  subamortiguado si R  4L兾C  (QFDGDXQRGHHVWRVWUHVFDVRVODVROXFLyQJHQHUDOGH  FRQWLHQHHOIDFWRUeRt兾L DVtq(t →FRQIRUPHt → (QHOFDVRVXEDPRUWLJXDGRFXDQGRq   q0ODFDUJD HQHOFDSDFLWRURVFLODDPHGLGDTXHpVWDGLVPLQX\HHQRWUDVSDODEUDVHOFDSDFLWRUVH FDUJD\VHGHVFDUJDFRQIRUPHt → &XDQGRE(t \R VHGLFHTXHHOFLUFXLWR QRHVWiDPRUWLJXDGR\ODVYLEUDFLRQHVHOpFWULFDVQRWLHQGHQDFHURFRQIRUPHt crece sin OtPLWHODUHVSXHVWDGHOFLUFXLWRHVarmónica simple EJEMPLO 9 Circuito en serie subamortiguado (QFXHQWUHODFDUJDq(t HQHOFDSDFLWRUHQXQFLUFXLWRLRCFXDQGRL KHQU\ K  R RKPV ! C IDUDG I E(t q   q0FRXORPEV & Hi   SOLUCIÓN 3XHVWRTXH兾C ODHFXDFLyQ  VHFRQYLHUWHHQ 1 q 4 10 q 1000 q 0 o q 40 q 4000 q 0. 5HVROYLHQGRHVWDHFXDFLyQKRPRJpQHDGHODPDQHUDXVXDOVHHQFXHQWUDTXHHOFLUFXLWR HVVXEDPRUWLJXDGR\q(t  et(cFRVt  cVHQt $SOLFDQGRODVFRQGLFLRQHV 1 3RUWDQWR LQLFLDOHVVHHQFXHQWUDc  q0\ c2 3 q0 q (t) q0e 20t cos 60t 1 sen 60t . 3 198 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 8VDQGR  SRGHPRVHVFULELUODVROXFLyQDQWHULRUFRPR q0 1 10 e 3 q(t) 20t 1.249). sen(60t &XDQGRVHDSOLFDXQYROWDMHE(t DOFLUFXLWRVHGLFHTXHODVYLEUDFLRQHVHOpFWULFDV son forzadas(QHOFDVRFXDQGRR ODIXQFLyQFRPSOHPHQWDULDqc(t GH  VH llama solución transitoria6LE(t HVSHULyGLFDRXQDFRQVWDQWHHQWRQFHVODVROXFLyQ SDUWLFXODUqp(t GH  HVXQDsolución de estado estable EJEMPLO 10 Corriente de estado estable (QFXHQWUHODVROXFLyQGHHVWDGRHVWDEOHqp(t \ODcorriente de estado estableHQXQ FLUFXLWRLRC HQVHULHFXDQGRHOYROWDMHDSOLFDGRHVE(t  E0 sen ȖW SOLUCIÓN /DVROXFLyQGHHVWDGRHVWDEOHqp(t HVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODHFXD- FLyQGLIHUHQFLDO L d 2q dt 2 R dq dt 1 q C E0 sen t. &RQHOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVVHVXSRQHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHOD IRUPDqp(t  A sen ȖW  B cos ȖW6XVWLWX\HQGRHVWDH[SUHVLyQHQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHLJXDODQGRFRH¿FLHQWHVVHREWLHQH E0 L A 2 2 L 2L C 1 C , 1 C2 2 R E0 R 2L 1 2 C C B 2 2 2 L . 2 R 2 (VFRQYHQLHQWHH[SUHVDUA\BHQWpUPLQRVGHDOJXQRVQXHYRVVtPERORV Si X L Si Z 1X2 1 , C R2, entonces X2 L2 2 entonces Z2 L2 2 2L C 1 C2 2L C 1 C2 2 2  R 2. Por tanto A  E0 X兾(Ȗ=  \B  E0 R兾(Ȗ=  DVtTXHODFDUJDGHHVWDGRHVWDEOHHV qp(t) E0 X sen t Z2 E0 R cos t. Z2 $KRUDODFRUULHQWHGHHVWDGRHVWDEOHHVWiGDGDSRU ip(t) ip(t) E0 R sen t Z Z q p(t) : X cos t  Z    /DVFDQWLGDGHVX  /Ȗ 兾&Ȗ\ Z 1X2 R2 GH¿QLGDVHQHOHMHPSORVH llaman reactancia e impedancia GHO FLUFXLWR UHVSHFWLYDPHQWH 7DQWR OD UHDFWDQFLD FRPRODLPSHGDQFLDVHPLGHQHQRKPV 5.1 EJERCICIOS 5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES l 199 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-7. 5.1.1 SISTEMAS RESORTE/MASA: MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO 1. UnDPDVDTXHSHVDOLEUDVVHXQHDXQUHVRUWHFX\DFRQVWDQWH HV  OESLH ¢&XiO HV HO SHULRGR GHO PRYLPLHQWR DUPyQLFRVLPSOH" 2. 8QDPDVDGHNLORJUDPRVVHXQHDXQUHVRUWH6LODIUHFXHQFLDGHOPRYLPLHQWRDUPyQLFRVLPSOHHV兾ʌFLFORVV ¢FXiOHVODFRQVWDQWHGHUHVRUWHk"¢&XiOHVODIUHFXHQFLD GHO PRYLPLHQWR DUPyQLFR VLPSOH VL OD PDVD RULJLQDO VH UHHPSOD]DFRQXQDPDVDGHNLORJUDPRV" 3. 8QDPDVDTXHSHVDOLEUDVXQLGDDOH[WUHPRGHXQUHVRUWH OR DODUJD  SXOJDGDV $O LQLFLR OD PDVD VH OLEHUD GHVGHHOUHSRVRHQXQSXQWRSXOJDGDVDUULEDGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR(QFXHQWUHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWR 4. 'HWHUPLQHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWRVLODPDVDGHOSUREOHPDVHOLEHUDDOLQLFLRGHVGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR FRQXQDYHORFLGDGGHVFHQGHQWHGHSLHVV 5. 8QDPDVDTXHSHVDOLEUDVDODUJDSXOJDGDVXQUHVRUWH /DPDVDVHOLEHUDDOLQLFLRGHVGHHOUHSRVRHQXQSXQWR SXOJDGDVDEDMRGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR a) (QFXHQWUHODSRVLFLyQGHODPDVDHQORVWLHPSRVt  ʌ兾ʌ兾ʌ兾ʌ兾\ʌ兾V b) ¢&XiOHVODYHORFLGDGGHODPDVDFXDQGRt ʌ兾V" ¢(QTXpGLUHFFLyQVHGLULJHODPDVDHQHVWHLQVWDQWH" c) ¢(QTXpWLHPSRVODPDVDSDVDSRUODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR" 6. 8QD IXHU]D GH  QHZWRQV DODUJD  PHWURV XQ UHVRUWH 8QDPDVDGHNLORJUDPRVVHXQHDOH[WUHPRGHOUHVRUWH \ VH OLEHUD LQLFLDOPHQWH GHVGH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR FRQ XQD YHORFLGDG DVFHQGHQWH GH  PV (QFXHQWUH OD HFXDFLyQGHPRYLPLHQWR 7. 2WURUHVRUWHFX\DFRQVWDQWHHV1PVHVXVSHQGHGHO PLVPR VRSRUWH SHUR SDUDOHOR DO VLVWHPD UHVRUWHPDVD GHO SUREOHPD  $O VHJXQGR UHVRUWH VH OH FRORFD XQD PDVDGHNLORJUDPRV\DPEDVPDVDVVHOLEHUDQDOLQLFLR GHVGH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR FRQ XQD YHORFLGDG DVFHQGHQWHGHPV a) ¢ &XiO PDVD SUHVHQWD OD PD\RU DPSOLWXG GH PRYLPLHQWR" b) ¢&XiOPDVDVHPXHYHPiVUiSLGRHQt  ʌ兾V"¢(Q ʌ兾V" c) ¢(Q TXp LQVWDQWHV ODV GRV PDVDV HVWiQ HQ OD PLVPD SRVLFLyQ"¢'yQGHHVWiQODVPDVDVHQHVWRVLQVWDQWHV" ¢(QTXpGLUHFFLRQHVVHHVWiQPRYLHQGRODVPDVDV" 8. 8QD PDVD TXH SHVD  OLEUDV DODUJD  SLHV XQ UHVRUWH 'HWHUPLQHODDPSOLWXG\HOSHULRGRGHPRYLPLHQWRVLOD PDVDVHOLEHUDLQLFLDOPHQWHGHVGHXQSXQWRVLWXDGRSLH DUULEDGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRFRQXQDYHORFLGDGDV- FHQGHQWHGHSLHVV¢&XiQWRVFLFORVHQWHURVKDEUiFRPSOHWDGRODPDVDDO¿QDOGHʌVHJXQGRV" 9. 8QDPDVDTXHSHVDOLEUDVVHXQHDXQUHVRUWH&XDQGR VH SRQH HQ PRYLPLHQWR HO VLVWHPD UHVRUWHPDVD H[KLEH PRYLPLHQWRDUPyQLFRVLPSOH a) 'HWHUPLQHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWRVLODFRQVWDQWH GH UHVRUWH HV  OESLH \ OD PDVD VH OLEHUD LQLFLDOPHQWH GHVGHXQSXQWRSXOJDGDVDEDMRGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRFRQXQDYHORFLGDGGHVFHQGHQWHGH 32 SLHV b) ([SUHVHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWRHQODIRUPDGDGD HQ   c) ([SUHVHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWRHQODIRUPDGDGD HQ   10. 8QDPDVDTXHSHVDOLEUDVDODUJDXQUHVRUWH 14 SLH(VWD PDVDVHUHWLUD\VHFRORFDXQDGHVOXJVTXHVHOLEHUD GHVGHXQSXQWRVLWXDGRD 13 SLHDUULEDGHODSRVLFLyQGH HTXLOLEULRFRQXQDYHORFLGDGGHVFHQGHQWHGH 54 SLHV a) ([SUHVHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWRHQODIRUPDGDGD HQ   b) ([SUHVHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWRHQODIRUPDGDGD HQ   c) 8WLOLFHORVUHVXOWDGRVGHD \E SDUDYHUHQTXpWLHPSRVODPDVDORJUDXQGHVSOD]DPLHQWRGHEDMRGHODSRVLFLyQ GHHTXLOLEULRQXPpULFDPHQWHLJXDOD 12 GHODDPSOLWXG 11. 8QDPDVDTXHSHVDOLEUDVDODUJDSLHVXQUHVRUWH $OLQLFLRODPDVDVHOLEHUDGHVGHXQSXQWRTXHHVWiSXOJDGDVDUULEDGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRFRQXQDYHORFLGDGGHVFHQGHQWHGHSLHVV a) (QFXHQWUHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWR b) ¢&XiOHVVRQODDPSOLWXG\HOSHULRGRGHOPRYLPLHQWR" c) ¢&XiQWRVFLFORVFRPSOHWRVKDEUiUHDOL]DGRODPDVDDO ¿QDOGHʌVHJXQGRV" d) ¢(Q TXp PRPHQWR OD PDVD SDVD SRU OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULRFRQGLUHFFLyQKDFLDDEDMRSRUVHJXQGDYH]" e) ¢(QTXpLQVWDQWHVODPDVDDOFDQ]DVXVGHVSOD]DPLHQWRV H[WUHPRVHQFXDOTXLHUODGRGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR" f) ¢&XiOHVODSRVLFLyQGHODPDVDHQt V" g) ¢&XiOHVODYHORFLGDGLQVWDQWiQHDHQt V" h) ¢&XiOHVODDFHOHUDFLyQHQt V" i) ¢&XiOHVODYHORFLGDGLQVWDQWiQHDHQORVPRPHQWRVHQ TXHODPDVDSDVDSRUODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR" j) ¢(QTXpLQVWDQWHVODPDVDHVWiSXOJDGDVDEDMRGHOD SRVLFLyQGHHTXLOLEULR" k) ¢(QTXpLQVWDQWHVODPDVDHVWiSXOJDGDVDEDMRGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRDSXQWDQGRHQGLUHFFLyQKDFLDDUULED" 12. 8QDPDVDGHVOXJVHVXVSHQGHGHXQUHVRUWHFX\DFRQVWDQWHHV GHOE兾SLH,QLFLDOPHQWHODPDVDVHOLEHUDGHVGHXQSXQWRTXH HVWiSLHDUULEDGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRFRQXQDYHORFLGDG ascendente de 13 SLHVV'HWHUPLQHORVLQVWDQWHVHQORVTXH ODPDVDVHGLULJHKDFLDDEDMRDXQDYHORFLGDGGHSLHVV 200 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 13. %DMR DOJXQDV FLUFXQVWDQFLDV FXDQGR GRV UHVRUWHV SDUD OHORVFRQFRQVWDQWHVk\kVRSRUWDQXQDVRODPDVDOD constante de resorte efectiva GHO VLVWHPD VH H[SUHVD como k  4kk  兾(k  k  8QDPDVDTXHSHVDOLEUDV HVWLUDSXOJDGDVXQUHVRUWH\SXOJDGDVRWURUHVRUWH/RV UHVRUWHVVHXQHQDXQVRSRUWHUtJLGRFRP~Q\OXHJRDXQD SODFDPHWiOLFD&RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUDOD PDVDVHXQHDOFHQWURGHODSODFDHQODFRQ¿JXUDFLyQGH UHVRUWHGREOH'HWHUPLQHODFRQVWDQWHGHUHVRUWHHIHFWLYD GHHVWHVLVWHPD(QFXHQWUHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWRVL ODPDVDVHOLEHUDLQLFLDOPHQWHGHVGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRFRQXQDYHORFLGDGGHVFHQGHQWHGHSLHVV 17. x t FIGURA 5.1.17 *Ui¿FDGHOSUREOHPD 18. x t k2 k1 FIGURA 5.1.18 *Ui¿FDGHOSUREOHPD 20 lb FIGURA 5.1.16 SUREOHPD Sistema de resorte doble del 14. 8QDFLHUWDPDVDDODUJDXQUHVRUWH 13 SLH\RWURUHVRUWH 12 SLH/RVGRVUHVRUWHVVHXQHQDXQVRSRUWHUtJLGRFRP~Q HQ OD PDQHUD GHVFULWD HQ HO SUREOHPD  \ HQ OD ¿JXUD 6HTXLWDODSULPHUDPDVD\VHFRORFDXQDTXHSHVD OLEUDVHQODFRQ¿JXUDFLyQGHUHVRUWHGREOH\VHSRQHHQ PRYLPLHQWRHOVLVWHPD6LHOSHULRGRGHPRYLPLHQWRHV ʌ兾VHJXQGRVGHWHUPLQHFXiQWRSHVDODSULPHUDPDVD 15. 8QPRGHORGHXQVLVWHPDGHUHVRUWHPDVDHVx  etx 3RULQVSHFFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVRODPHQWH GHVFULED HO FRPSRUWDPLHQWR GHO VLVWHPD GXUDQWH XQ SHULRGRODUJR 16. (OPRGHORGHXQVLVWHPDGHUHVRUWHPDVDHVx  tx  3RULQVSHFFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVRODPHQWHGHVFULEDHOFRPSRUWDPLHQWRGHOVLVWHPDGXUDQWHXQSHULRGR ODUJR 5.1.2 SISTEMAS RESORTE/MASA: MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO (QORVSUREOHPDVDOD¿JXUDUHSUHVHQWDODJUi¿FDGHXQD HFXDFLyQGHPRYLPLHQWRSDUDXQVLVWHPDUHVRUWHPDVDDPRUWLJXDGR8VHODJUi¿FDSDUDGHWHUPLQDU a) V LHOGHVSOD]DPLHQWRLQLFLDOHVWiDUULEDRDEDMRGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR\ b) VLODPDVDVHOLEHUDLQLFLDOPHQWHGHVGHHOUHSRVRFRQGLUHFFLyQGHVFHQGHQWHRDVFHQGHQWH 19. x t FIGURA 5.1.19 *Ui¿FDGHOSUREOHPD 20. x t FIGURA 5.1.20 *Ui¿FDGHOSUREOHPD 21. 8QDPDVDTXHSHVDOLEUDVVHXQHDXQUHVRUWHFX\DFRQVWDQWH HV  OESLH (O PHGLR RIUHFH XQD IXHU]D GH DPRUWLJXDPLHQWR TXH HV QXPpULFDPHQWH LJXDO D OD YHORFLGDG LQVWDQWiQHD /D PDVD VH OLEHUD GHVGH XQ SXQWR VLWXDGR SLHDUULEDGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRFRQXQDYHORFLGDGGHVFHQGHQWHGHSLHVV'HWHUPLQHHOWLHPSRHQHO TXHODPDVDSDVDSRUODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR(QFXHQWUH HO WLHPSR HQ HO TXH OD PDVD DOFDQ]D VX GHVSOD]DPLHQWR H[WUHPRGHVGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR¢&XiOHVODSRVLFLyQGHODPDVDHQHVWHLQVWDQWH" 5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES 22. UQUHVRUWHGHSLHVPLGHSLHVGHODUJRGHVSXpVGHFROJDUOHXQDPDVDTXHSHVDOLEUDV(OPHGLRSRUHOTXHVH PXHYHODPDVDRIUHFHXQDIXHU]DGHDPRUWLJXDPLHQWRLJXDO a 1 2 YHFHVODYHORFLGDGLQVWDQWiQHD(QFXHQWUHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWRVLODPDVDVHOLEHUDLQLFLDOPHQWHGHVGH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR FRQ XQD YHORFLGDG GHVFHQGHQWH GHSLHVV&DOFXOHHOWLHPSRHQTXHODPDVDDOFDQ]DVX GHVSOD]DPLHQWR H[WUHPR GHVGH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR ¢&XiOHVODSRVLFLyQGHODPDVDHQHVHLQVWDQWH" 23. 8QDPDVDGHNLORJUDPRVH¿MDDXQUHVRUWHFX\DFRQVWDQWHHV1P\OXHJRHOVLVWHPDFRPSOHWRVHVXPHUJH HQXQOtTXLGRTXHLPSDUWHXQDIXHU]DDPRUWLJXDGRUDLJXDO DYHFHVODYHORFLGDGLQVWDQWiQHD'HWHUPLQHODVHFXDciones de movimiento si: a) DO LQLFLR OD PDVD VH OLEHUD GHVGH XQ SXQWR VLWXDGR PHWURDEDMRGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR\OXHJR b) ODPDVDVHOLEHUDLQLFLDOPHQWHGHVGHXQSXQWRPHWUR DEDMRGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRFRQXQDYHORFLGDG DVFHQGHQWHGHPV 24. (Q ORV LQFLVRV D  \ E  GHO SUREOHPD  GHWHUPLQH VL OD PDVD SDVD SRU OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR (Q FDGD FDVR FDOFXOH HO WLHPSR HQ TXH OD PDVD DOFDQ]D VX GHVSOD]DPLHQWRH[WUHPRGHVGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR¢&XiOHV ODSRVLFLyQGHODPDVDHQHVWHLQVWDQWH" 25. 8QDIXHU]DGHOLEUDVDODUJDSLHXQUHVRUWH8QDPDVD TXHSHVDOLEUDVVHXQHDOUHVRUWH\OXHJRVHVXPHUJHHO VLVWHPDHQXQPHGLRTXHRIUHFHXQDIXHU]DGHDPRUWLJXDPLHQWRLJXDODYHFHVODYHORFLGDGLQVWDQWiQHD a) (  QFXHQWUHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWRVLLQLFLDOPHQWH VHOLEHUDODPDVDGHVGHHOUHSRVRHQXQSXQWRVLWXDGR DSLHSRUHQFLPDGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR b) (  [SUHVHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWRHQODIRUPDGDGD HQ   c) (QFXHQWUHODSULPHUDYH]HQTXHODPDVDSDVDDWUDYpV GHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRHQGLUHFFLyQKDFLDDUULED 26. 'HVSXpVGHTXHXQDPDVDGHOLEUDVVHVXMHWDDXQUHVRUWHGHSLHVpVWHOOHJDDPHGLUSLHV6HUHWLUDODPDVD \ VH VXVWLWX\H FRQ XQD GH  OLEUDV /XHJR VH FRORFD DO VLVWHPDHQXQPHGLRTXHRIUHFHXQDIXHU]DGHDPRUWLJXDPLHQWRLJXDODODYHORFLGDGLQVWDQWiQHD a) (QFXHQWUHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWRVLODPDVDVHOLEHUDLQLFLDOPHQWHGHVGHHOUHSRVRGHXQSXQWRVLWXDGR 兾 SLH DUULED GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR FRQ XQD YHORFLGDGGHVFHQGHQWHGHGHSLH兾V b) (  [SUHVHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWRHQODIRUPDGDGD HQ   c) &DOFXOH ORV WLHPSRV HQ ORV TXH OD PDVD SDVD SRU OD SRVLFLyQGHHTXLOLEULRFRQGLUHFFLyQKDFLDDEDMR d) 7UDFHODJUi¿FDGHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWR 27. 8QDPDVDTXHSHVDOLEUDVSURGXFHXQDODUJDPLHQWRGH SLHVHQXQUHVRUWH/DPDVDVHXQHDXQGLVSRVLWLYRDPRUWLJXDGRUTXHRIUHFHXQDIXHU]DGHDPRUWLJXDPLHQWRLJXDO a ȕ (ȕ    YHFHV OD YHORFLGDG LQVWDQWiQHD 'HWHUPLQH l 201 lRVYDORUHVGHODFRQVWDQWHGHDPRUWLJXDPLHQWRȕSRUOR TXH HO PRYLPLHQWR SRVWHULRU VHD a) VREUHDPRUWLJXDGR b)FUtWLFDPHQWHDPRUWLJXDGR\c)VXEDPRUWLJXDGR 28. 8QDPDVDTXHSHVDOLEUDVDODUJDSLHVXQUHVRUWH(O PRYLPLHQWRSRVWHULRUWRPDOXJDUHQXQPHGLRTXHRIUHFH XQDIXHU]DGHDPRUWLJXDPLHQWRLJXDODȕ (ȕ  YHFHVOD YHORFLGDGLQVWDQWiQHD6LDOLQLFLRODPDVDVHOLEHUDGHVGH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR FRQ XQD YHORFLGDG DVFHQGHQWH 3 1 2 ODHFXDFLyQGH GHSLHVVPXHVWUHTXHFXDQGR movimiento es 3 2 x (t) e 2 t /3 senh 1 2 18 t. 2 1 3 18 5.1.3 SISTEMAS RESORTE/MASA: MOVIMIENTO FORZADO 29. UQDPDVDTXHSHVDOLEUDVDODUJD 83 SLHXQUHVRUWH/D PDVD VH OLEHUD LQLFLDOPHQWH GHVGH HO UHSRVR GHVGH XQ SXQWRSLHVDEDMRGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR\HOPRYLPLHQWR SRVWHULRU RFXUUH HQ XQ PHGLR TXH RIUHFH XQD IXHU]D GH DPRUWLJXDPLHQWR LJXDO D 12 de la velocidad LQVWDQWiQHD (QFXHQWUH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR VL VH DSOLFDDODPDVDXQDIXHU]DH[WHUQDLJXDODf(t FRV t. 30. 8QD PDVD GH  VOXJ HVWi XQLGD D XQ UHVRUWH FX\D FRQVWDQWHHVOESLH$OLQLFLRODPDVDVHOLEHUDSLHDEDMRGH ODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRFRQXQDYHORFLGDGGHVFHQGHQWH GHSLHVV\HOPRYLPLHQWRSRVWHULRUWRPDOXJDUHQXQ PHGLRTXHRIUHFHXQDIXHU]DGHDPRUWLJXDPLHQWRLJXDOD GRVYHFHVODYHORFLGDGLQVWDQWiQHD a) (  QFXHQWUH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR VL XQD IXHU]D H[WHUQD LJXDO D f (t  FRV t  VHQ t DFW~D VREUHODPDVD b) 7UDFHODJUi¿FDGHODVVROXFLRQHVWUDQVLWRULDV\GHHVWDGRHVWDEOHHQORVPLVPRVHMHVGHFRRUGHQDGDV c) 7UDFHODJUi¿FDGHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWR 31. 8QDPDVDGHVOXJFXDQGRVHXQHDXQUHVRUWHFDXVDHQ pVWHXQDODUJDPLHQWRGHSLHV\OXHJROOHJDDOSXQWRGH UHSRVRHQODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR(PSH]DQGRHQt  XQDIXHU]DH[WHUQDLJXDODf(t VHQtVHDSOLFDDOVLVWHPD(QFXHQWUHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWRVLHOPHGLR FLUFXQGDQWHRIUHFHXQDIXHU]DGHDPRUWLJXDPLHQWRLJXDOD YHFHVODYHORFLGDGLQVWDQWiQHD 32. (QHOSUREOHPDGHWHUPLQHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWR VLODIXHU]DH[WHUQDHVf(t  et sen 4t$QDOLFHHOGHVSOD]DPLHQWRSDUDt →  33. &XDQGRXQDPDVDGHNLORJUDPRVVHXQHDXQUHVRUWHFX\D FRQVWDQWHHV1兾PpVWHOOHJDDOUHSRVRHQODSRVLFLyQGH HTXLOLEULR&RPHQ]DQGRHQt XQDIXHU]DLJXDODf(t  et cos 4tVHDSOLFDDOVLVWHPD'HWHUPLQHODHFXDFLyQGH PRYLPLHQWRHQDXVHQFLDGHDPRUWLJXDPLHQWR 34. (QHOSUREOHPDHVFULEDODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWRHQ ODIRUPDx(t  Asen(ȦW  ‫  ׋‬Betsen(4t  ș ¢&XiO HV OD DPSOLWXG GH ODV YLEUDFLRQHV GHVSXpV GH XQ WLHPSR PX\ODUJR" 202 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 35. Una masa m HVWi XQLGD DO H[WUHPR GH XQ UHVRUWH FX\D constante es k'HVSXpVGHTXHODPDVDDOFDQ]DHOHTXLOLEULRVXVRSRUWHHPSLH]DDRVFLODUYHUWLFDOPHQWHUHVSHFWR DXQDUHFWDKRUL]RQWDOLGHDFXHUGRFRQXQDIyUPXODh(t  (OYDORUGHhUHSUHVHQWDODGLVWDQFLDHQSLHVPHGLGDGHVGH L9HDOD¿JXUD a) 'HWHUPLQHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHPRYLPLHQWRVL HOVLVWHPDHQWHURVHPXHYHHQXQPHGLRTXHRIUHFH XQDIXHU]DGHDPRUWLJXDPLHQWRLJXDODȕ(dx兾dt  b) 5HVXHOYDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHOLQFLVRD VLHOUHVRUWHVHDODUJDSLHVFRQXQDPDVDTXHSHVDOLEUDV \ȕ h(t FRVtx   x   F0 b) (YDO~H lím 2 : 2 40. &RPSDUH HO UHVXOWDGR REWHQLGR HQ HO LQFLVR E  GHO SUREOHPDFRQODVROXFLyQREWHQLGDXVDQGRODYDULDFLyQGH SDUiPHWURVFXDQGRODIXHU]DH[WHUQDHVF0 cos ȦW 41. a) 0  XHVWUHTXHx(t GDGDHQHOLQFLVRD GHOSUREOHPD VHSXHGHHVFULELUHQODIRUPD x(t) 2F0 2 2 x(t) L h(t) FIGURA 5.1.21 6RSRUWHRVFLODQWHGHOSUREOHPD 36. 8QD PDVD GH  JUDPRV VH ¿MD D XQ UHVRUWH FX\D FRQVWDQWHHVGLQDVFP'HVSXpVGHTXHODPDVDDOFDQ]DHO HTXLOLEULRVXDSR\RRVFLODGHDFXHUGRFRQODIyUPXODh(t  VHQtGRQGHhUHSUHVHQWDHOGHVSOD]DPLHQWRGHVGHVX SRVLFLyQRULJLQDO9pDQVHHOSUREOHPD\OD¿JXUD a) (QDXVHQFLDGHDPRUWLJXDPLHQWRGHWHUPLQHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWRVLODPDVDSDUWHGHOUHSRVRGHVGH ODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR b) ¢(Q TXp LQVWDQWHV OD PDVD SDVD SRU OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR" c) ¢(QTXpWLHPSRVODPDVDDOFDQ]DVXVGHVSOD]DPLHQWRVH[WUHPRV" d) ¢&XiOHVVRQORVGHVSOD]DPLHQWRVPi[LPR\PtQLPR" e) 7UDFHODJUi¿FDGHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWR (QORVSUREOHPDV\UHVXHOYDHOSUREOHPDFRQYDORUHV LQLFLDOHV 38. d 2x dt 2 4x 5 sen 2t 1, x (0) 9x 3 cos 2t, 1 5 sen 3t, x(0) 2, x (0) 0 39. a) 0  XHVWUHTXHODVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLciales d 2x 2 x F0 cos t, x(0) 0, x (0) 0 dt 2 es x(t) F0 2 2 (cos t 1 sen ( 2 1 )t sen ( 2 )t. 1 b) 6  LVHGH¿QH )PXHVWUHTXHFXDQGRİ es 2 ( SHTXHxDXQDVROXFLyQDSUR[LPDGDHV soporte d2x 37. dt 2 x(0) cos t)  (cos t cos t)  F0 sen t sen t. 2  &  XDQGRİHVSHTXHxDODIUHFXHQFLDȖ兾ʌGHODIXHU]DDSOLFDGDHVFHUFDQDDODIUHFXHQFLDȦ兾ʌGHYLEUDFLRQHVOLEUHV &XDQGRHVWRRFXUUHHOPRYLPLHQWRHVFRPRVHLQGLFDHQOD ¿JXUD/DVRVFLODFLRQHVGHHVWDFODVHVHOODPDQpulsaciones\VHGHEHQDOKHFKRGHTXHODIUHFXHQFLDGHVHQİW es EDVWDQWHSHTXHxDHQFRPSDUDFLyQFRQODIUHFXHQFLDGHVHQ ȖW/DVFXUYDVSXQWHDGDVRHQYROWXUDGHODJUi¿FDGHx(t VH REWLHQHQGHODVJUi¿FDVGH(F0 兾İȖ VHQİW8VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUJUi¿FDVFRQYDULRVYDORUHV de F0İ\ȖSDUDFRPSUREDUODJUi¿FDGHOD¿JXUD x t FIGURA 5.1.22 )HQyPHQRGHSXOVDFLRQHVGHOSUREOHPD Tarea para el laboratorio de computación 42. ¢3XHGH KDEHU SXOVDFLRQHV FXDQGR VH DJUHJD XQD IXHU]D GHDPRUWLJXDPLHQWRDOPRGHORGHOLQFLVRD GHOSUREOHPD " 'H¿HQGD VX SRVLFLyQ FRQ ODV JUi¿FDV REWHQLGDV \D VHDGHODVROXFLyQH[SOtFLWDGHOSUREOHPD d 2x dt 2 2 dx dt 2 F0 cos t, x(0) x 0, x (0) 0   R GH FXUYDV VROXFLyQ REWHQLGDV XVDQGR XQ SURJUDPD GH VROXFLyQQXPpULFD 43. a) 0XHVWUHTXHODVROXFLyQJHQHUDOGH d2x dt 2 2 dx dt 2 x F0 sen t 5.1 es x(t) Ae lt sen 2v 1( 5.1.4 2 2 lt 2 )2 4 2 sen( t 2 ), donde A 1c12 c22 \ORViQJXORVGHIDVH‫\׋‬ș HVWiQUHVSHFWLYDPHQWHGH¿QLGRVSRUVHQ‫  ׋‬c兾A cos ‫  ׋‬c兾A\ sen 1( cos 1( 2 2 2) 2 2 2 l 203 CIRCUITO EN SERIE ANÁLOGO f F0 2 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES , 4 2 2 4 2 2 2 2) 2 . b) /  DVROXFLyQGHOLQFLVRD WLHQHODIRUPDx(t  xc(t  xp(t /DLQVSHFFLyQPXHVWUDTXHxc(t HVWUDQVLWRULD\ SRUWDQWRSDUDYDORUHVJUDQGHVGHWLHPSRODVROXFLyQ VHDSUR[LPDPHGLDQWHxp(t  g(Ȗ VHQ ȖW  ș GRQGH F0 g( ) . 2 2)2 1( 4 2 2  $XQTXH OD DPSOLWXG g(Ȗ  GH xp(t  HVWi DFRWDGD FRQIRUPHt → GHPXHVWUHTXHODVRVFLODFLRQHVPi[LPDVRFXUULUiQHQHOYDORU 1 1 2 2 2 ¢&XiOHV HOYDORUPi[LPRGHg"(OQ~PHUR1 2 2 2 /2 se GLFHTXHHVODfrecuencia de resonanciaGHOVLVWHPD c) &XDQGRF0 m \k g se convierte en 2 g( ) . 2 )2 2 2 1(4  &RQVWUX\D XQD WDEOD GH YDORUHV GH Ȗ \ g(Ȗ  TXH FRUUHVSRQGHQ D ORV FRH¿FLHQWHV GH DPRUWLJXDPLHQ 1 3 1  \  8VDQGR to ȕ   ȕ   4 4, 2 XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU REWHQJD ODV JUi¿FDVGHgTXHFRUUHVSRQGHQDHVWRVFRH¿FLHQWHVGH DPRUWLJXDPLHQWR8VHORVPLVPRVHMHVGHFRRUGHQDGDV (VWDIDPLOLDGHJUi¿FDVVHOODPDcurva de resonancia o curva de respuesta de frecuenciaGHOVLVWHPD¢$TXp YDORUVHDSUR[LPDȖFRQIRUPHȕ →"¢4XpVXFHGHFRQ ODFXUYDGHUHVRQDQFLDFRQIRUPHȕ →" 44. &RQVLGHUHXQVLVWHPDUHVRUWHPDVDQRDPRUWLJXDGRGHVFULWRSRUHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV d 2x 2 x F0 sen n t, x(0) 0, x (0) 0. dt2 a) Para n H[SOLTXHSRUTXpKD\XQDVRODIUHFXHQFLD Ȗ兾ʌHQODTXHHOVLVWHPDHVWiHQUHVRQDQFLDSXUD b) Para n DQDOLFHSRUTXpKD\GRVIUHFXHQFLDVȖ兾ʌ \Ȗ兾ʌHQODVTXHHOVLVWHPDHVWiHQUHVRQDQFLDSXUD c) 6XSRQJDTXHȦ \F0 8VHXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFDSDUDREWHQHUODJUi¿FDGHODVROXFLyQ GHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVSDUDn \Ȗ  Ȗ HQHOLQFLVRD 2EWHQJDODJUi¿FDGHODVROXFLyQGHO SUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVSDUDn TXHFRUUHVSRQGHDVXYH]DȖ  Ȗ\Ȗ  ȖHQHOLQFLVRE  45. (QFXHQWUHODFDUJDHQHOFDSDFLWRUGHXQFLUFXLWRHQVHULH LRC en t VFXDQGRL KR !C  IE(t 9q  &Hi  $'HWHUPLQHOD SULPHUDYH]HQTXHODFDUJDGHOFDSDFLWRUHVLJXDODFHUR 46. &DOFXOHODFDUJDGHOFDSDFLWRUHQXQFLUFXLWRLRC en serie 1 FXDQGR L 14 hR ! C 300 f, E(t 9q    4 C e i  $¢$OJXQDYH]ODFDUJDHQHOFDSDFLWRU HVLJXDODFHUR" (QORVSUREOHPDV\HQFXHQWUHODFDUJDHQHOFDSDFLWRU \ODFRUULHQWHHQHOFLUFXLWRLRC'HWHUPLQHODFDUJDPi[LPD HQHOFDSDFLWRU 47. L 53 h, R ! C i  $ 48. L K R ! q  &i  $ 1 30 f, E(t 9q  & C I E(t 9 49. (QFXHQWUHODFDUJD\ODFRUULHQWHGHHVWDGRHVWDEOHHQXQ FLUFXLWRLRC HQVHULHFXDQGRL KR !C  I\E(t FRVt9 50. 'HPXHVWUHTXHODDPSOLWXGGHODFRUULHQWHGHHVWDGRHVWDEOHHQHOFLUFXLWRLRCHQVHULHGHOHMHPSORHVWiGDGD SRUE0兾=GRQGH=HVODLPSHGDQFLDGHOFLUFXLWR 51. 8VHHOSUREOHPDSDUDGHPRVWUDUTXHODFRUULHQWHGHHVWDGRHVWDEOHHQXQFLUFXLWRLRCHQVHULHFXDQGRL 12 h  R !C I\E(t VHQt9HVWiGDGD SRUip(t VHQ t   52. (QFXHQWUH OD FRUULHQWH GH HVWDGR HVWDEOH HQ XQ FLUFXLWR LRC FXDQGR L 12 h  R ! C I \ E(t   VHQt FRVt9 53. (QFXHQWUH OD FDUJD HQ HO FDSDFLWRU GH XQ FLUFXLWR LRC HQ VHULH FXDQGR L 12 h  R ! C I E(t 9q  &Hi  $¢&XiOHVODFDUJD HQHOFDSDFLWRUGHVSXpVGHXQODUJRWLHPSR" 54. 'HPXHVWUHTXHVLLRC\E0VRQFRQVWDQWHVHQWRQFHVOD DPSOLWXGGHODFRUULHQWHGHHVWDGRHVWDEOHGHOHMHPSOR HVXQPi[LPRFXDQGR 1> 1LC ¢&XiOHVODDPSOLWXGPi[LPD" 55. 'HPXHVWUHTXHVLLRE0\ȖVRQFRQVWDQWHVHQWRQFHVOD DPSOLWXGGHODFRUULHQWHGHHVWDGRHVWDEOHHQHOHMHPSOR HVXQPi[LPRFXDQGRODFDSDFLWDQFLDHVC 兾/Ȗ 56. &DOFXOHODFDUJDHQHOFDSDFLWRU\ODFRUULHQWHHQXQFLUFXLWRLCFXDQGRL KC IE(t VHQȖW 9q   0 C e i  $ 57. &DOFXOHODFDUJDGHOFDSDFLWRU\ODFRUULHQWHHQXQFLUFXLWR LCFXDQGRE(t  E0 cos ȖW9q   q0 C e i   i0$ 58. (QHOSUREOHPDGHWHUPLQHODFRUULHQWHFXDQGRHOFLUFXLWRHVWiHQUHVRQDQFLD 204 l CAPÍTULO 5 5.2 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA REPASO DE MATERIAL l 6HFFLyQ l 3UREOHPDVDGHORVHMHUFLFLRV l 3UREOHPDVDGHORVHMHUFLFLRV INTRODUCCIÓN /DVHFFLyQDQWHULRUVHGHGLFyDVLVWHPDVHQORVTXHXQPRGHORPDWHPiWLFRGH VHJXQGRRUGHQYDDFRPSDxDGRGHFRQGLFLRQHVLQLFLDOHV(VGHFLUFRQGLFLRQHVVXSOHPHQWDULDVTXHVH HVSHFL¿FDQHQODIXQFLyQGHVFRQRFLGD\VXSULPHUDGHULYDGDHVXQVRORSXQWR3HURFRQIUHFXHQFLDOD GHVFULSFLyQPDWHPiWLFDGHXQVLVWHPDItVLFRUHTXLHUHUHVROYHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOKRPRJpQHDVXMHWDDFRQGLFLRQHVHQODIURQWHUDHVGHFLUFRQGLFLRQHVHVSHFt¿FDVGHODIXQFLyQGHVFRQRFLGD RHQXQDGHVXVGHULYDGDVRLQFOXVRXQDFRPELQDFLyQOLQHDOGHODIXQFLyQGHVFRQRFLGD\XQDGHVXV GHULYDGDVHQGRV RPiV SXQWRVGLIHUHQWHV eje de simetría a) curva de deflexión DEFLEXIÓN DE UNA VIGA 0XFKDV HVWUXFWXUDV VH FRQVWUX\HQ XVDQGR WUDEHV R YLJDV\HVWDVYLJDVVHÀH[LRQDQRGHIRUPDQEDMRVXSURSLRSHVRRSRUODLQÀXHQFLDGH DOJXQDIXHU]DH[WHUQD&RPRYHUHPRVDFRQWLQXDFLyQHVWDGHÀH[LyQy(x HVWiJREHUQDGDSRUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHFXDUWRRUGHQUHODWLYDPHQWHVLPSOH 3DUD HPSH]DU VXSRQJDPRV TXH XQD YLJD GH ORQJLWXG L HV KRPRJpQHD \ WLHQH VHFFLRQHVWUDQVYHUVDOHVXQLIRUPHVDORODUJRGHVXORQJLWXG(QDXVHQFLDGHFDUJDHQ ODYLJD LQFOX\HQGRVXSHVR XQDFXUYDTXHXQHORVFHQWURLGHVGHWRGDVVXVVHFFLRQHV WUDQVYHUVDOHVHVXQDUHFWDFRQRFLGDFRPReje de simetría9HDOD¿JXUD D 6LVH DSOLFDXQDFDUJDDODYLJDHQXQSODQRYHUWLFDOTXHFRQWLHQHDOHMHGHVLPHWUtDODYLJD FRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E H[SHULPHQWDXQDGLVWRUVLyQ\ODFXUYDTXHFRnecta los centroides de las secciones transversales se llama FXUYDGHGHÀH[LyQ o curva elástica/DFXUYDGHGHÀH[LyQVHDSUR[LPDDODIRUPDGHXQDYLJD$KRUDVXSRQJDTXH HOHMHxFRLQFLGHFRQHOHMHGHVLPHWUtD\TXHODGHÀH[LyQy(x PHGLGDGHVGHHVWHHMH HVSRVLWLYDVLHVKDFLDDEDMR(QODWHRUtDGHHODVWLFLGDGVHPXHVWUDTXHHOPRPHQWRGH ÀH[LyQM(x HQXQSXQWRxDORODUJRGHODYLJDVHUHODFLRQDFRQODFDUJDSRUXQLGDG GHORQJLWXGw(x PHGLDQWHODHFXDFLyQ d 2M dx 2 b) FIGURA 5.2.1  'HÀH[LyQGHXQDYLJD KRPRJpQHD w(x)   $GHPiVHOPRPHQWRGHÀH[LyQM(x HVSURSRUFLRQDODODFXUYDWXUDțGHODFXUYDHOiVWLFD M(x) EI   donde E e IVRQFRQVWDQWHVEHVHOPyGXORGH<RXQJGHHODVWLFLGDGGHOPDWHULDOGHOD YLJDHIHVHOPRPHQWRGHLQHUFLDGHXQDVHFFLyQWUDQVYHUVDOGHODYLJD UHVSHFWRDXQ HMHFRQRFLGRFRPRHOHMHQHXWUR (OSURGXFWREI se llama rigidez f1exionalGHODYLJD $KRUDGHOFiOFXORODFXUYDWXUDHVWiGDGDSRUț  y兾> ( y ]兾&XDQGROD GHÀH[LyQy(x HVSHTXHxDODSHQGLHQWHy ⬇\SRUWDQWR> (y ]兾 ⬇6LVH SHUPLWHTXHț ⬇ yODHFXDFLyQ  VHFRQYLHUWHHQM  EI y/DVHJXQGDGHULYDGD GHHVWD~OWLPDH[SUHVLyQHV d 2M dx2 EI d2 y dx2 EI d 4y  dx4  6LVHXWLOL]DHOUHVXOWDGRHQ  SDUDUHHPSOD]DUdM兾dxHQ  VHYHTXHODGHÀH[LyQ y(x VDWLVIDFHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHFXDUWRRUGHQ d 4y  w(x)  dx4 /DVFRQGLFLRQHVGHIURQWHUDDVRFLDGDVFRQODHFXDFLyQ  GHSHQGHQGHFyPRHVWpQ DSR\DGRVORVH[WUHPRVGHODYLJD8QDYLJDHQYRODGL]RHVWiempotrada o ¿MDHQXQ H[WUHPR\OLEUHHQHORWUR8QWUDPSROtQXQEUD]RH[WHQGLGRXQDODGHDYLyQ\XQEDOFyQ EI 5.2 x=0 x=L a) empotrada en ambos extremos MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA l 205 VRQHMHPSORVFRPXQHVGHWDOHVYLJDVSHURLQFOXVRiUEROHVDVWDVGHEDQGHUDVUDVFDFLHORV \PRQXPHQWRVDFW~DQFRPRYLJDVHQYRODGL]RGHELGRDTXHHVWiQHPSRWUDGRVHQXQ H[WUHPR\VXMHWRVDODIXHU]DGHÀH[LyQGHOYLHQWR3DUDXQDYLJDHQYRODGL]RODGHÀH[LyQ y(x GHEHVDWLVIDFHUODVVLJXLHQWHVGRVFRQGLFLRQHVHQHOH[WUHPR¿MRx  0: • y  SRUTXHQRKD\ÀH[LyQ\ • y  SRUTXHODFXUYDGHGHÀH[LyQHVWDQJHQWHDOHMHx HQRWUDVSDODEUDV ODSHQGLHQWHGHODFXUYDGHGHÀH[LyQHVFHURHQHVWHSXQWR  (Qx  LODVFRQGLFLRQHVGHH[WUHPROLEUHVRQ x=0 x=L b) viga en voladizo: empotrada en el extremo izquierdo, libre en el extremo derecho x=0 x=L c) apoyada simplemente en ambos extremos FIGURA 5.2.2  9LJDVFRQYDULDV FRQGLFLRQHVGHH[WUHPR • y(L SRUTXHHOPRPHQWRGHÀH[LyQHVFHUR\ • y(L SRUTXHODIXHU]DGHFRUWHHVFHUR /DIXQFLyQF(x  dM兾dx  EI dy兾dxVHOODPDIXHU]DGHFRUWH6LXQH[WUHPRGHODYLJD HVWiapoyado simplemente o abisagrado DORTXHWDPELpQVHFRQRFHFRPRapoyo con perno o fulcro HQWRQFHVVHGHEHWHQHUy \y HQHVHH[WUHPR(QODWDEOD VHUHVXPHQODVFRQGLFLRQHVHQODIURQWHUDTXHVHUHODFLRQDQFRQ  9HDOD¿JXUD EJEMPLO 1 Una viga empotrada 8QD YLJD GH ORQJLWXG L HVWi HPSRWUDGD HQ DPERV H[WUHPRV (QFXHQWUH OD GHÀH[LyQ GHODYLJDVLXQDFDUJDFRQVWDQWHw0 HVWiXQLIRUPHPHQWHGLVWULEXLGDDORODUJRGHVX ORQJLWXGHVGHFLUw(x  w0 x  L SOLUCIÓN 'H  YHPRVTXHODGHÀH[LyQy(x VDWLVIDFH EI TABLA 5.1 ([WUHPRVGHODYLJD &RQGLFLRQHVIURQWHUD HPSRWUDGRV y    y  0 libres y   y  0 DSR\DGRVVLPSOHPHQWH RDELVDJUDGRV y    y  0 d4y dx4 w0 . 'HELGRDTXHODYLJDHVWiHPSRWUDGDWDQWRHQVXH[WUHPRL]TXLHUGR x  FRPRHQVX H[WUHPRGHUHFKR x  L QRKD\GHÀH[LyQYHUWLFDO\ODUHFWDGHGHÀH[LyQHVKRUL]RQWDO HQHVWRVSXQWRV$VtODVFRQGLFLRQHVHQODIURQWHUDVRQ y(0) 0, y (0) 0, y(L) 0, y (L) 0. 6HSXHGHUHVROYHUODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOQRKRPRJpQHDGHODPDQHUDXVXDO GHWHUPLnar ycREVHUYDQGRTXHm HVUDt]GHPXOWLSOLFLGDGFXDWURGHODHFXDFLyQDX[LOLDU m4 \OXHJRHQFRQWUDUXQDVROXFLyQSDUWLFXODUypSRUFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV  RVLPSOHPHQWHVHLQWHJUDODHFXDFLyQd 4y 兾dx 4  w0 兾EI VXFHVLYDPHQWHFXDWURYHFHV 'HFXDOTXLHUPRGRVHHQFXHQWUDODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQy  yc  ypTXHHV y(x) c1 c2 x c3 x2 c4 x3 w0 4 x. 24EI $KRUDODVFRQGLFLRQHVy  \y  GDQDVXYH]c \c PLHQWUDVTXH w0 4 x las condiciones restantes y(L \y(L DSOLFDGDVDy(x) c3 x2 c4 x3 24EI SURGXFHQODVHFXDFLRQHVVLPXOWiQHDV c3 L2 c4 L3 2c3 L 3c4 L2 w0 4 L 24EI w0 3 L 6EI 0 0. Resolviendo este sistema se obtiene c  w0 L 兾EI\c4  w0 L兾EI.$Vt TXH OD GHÀH[LyQHV w0 L2 2 w0 L 3 w0 4 x x x y(x) 12EI 24EI 24EI 206 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR w0 2 x (x L)2  (OLJLHQGR w0 EI \ L  REWHQHPRV OD FXUYD GH 24EI GHÀH[LyQGHOD¿JXUD o y(x) 0.5 1 x EIGENVALORES Y FUNCIONES PROPIAS 0XFKRVSUREOHPDVGHDSOLFDFLyQUHTXLHUHQTXHVHUHVXHOYDXQSUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUDHQGRVSXQWRV 39)  HQORVTXHLQWHUYLHQHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOTXHFRQWLHQHXQSDUiPHWURȜ6H EXVFDQORVYDORUHVGHȜSDUDORVTXHHOSUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUDWLHQHVROXciones no trivialesHVGHFLUno nulas y FIGURA 5.2.3 &XUYDGHGHÀH[LyQ SDUDHOHMHPSOR EJEMPLO 2 Soluciones no triviales de un PVF 5HVXHOYDHOSUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUD y y 0, y(0) 0, 0. y(L) SOLUCIÓN Consideraremos tres casos: Ȝ Ȝ \Ȝ  CASO I: Para Ȝ ODVROXFLyQGHy  0 es y  cx  c/DVFRQGLFLRQHVy  \ y(L DSOLFDGDVDHVWDVROXFLyQLPSOLFDQDVXYH]c \c 3RUWDQWRSDUDȜ OD~QLFDVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUDHVODVROXFLyQWULYLDOy  0 2EVHUYHTXHDTXtVHHPSOHDQIXQFLRQHVKLSHUEyOLFDV9XHOYDDOHHU ³'RVHFXDFLRQHVTXHYDOHODSHQD FRQRFHU´GHODVHFFLyQ CASO II: Para Ȝ  0 es conveniente escribir Ȝ  ĮGRQGHĮGHQRWDXQQ~PHUR SRVLWLYR&RQHVWDQRWDFLyQODVUDtFHVGHODHFXDFLyQDX[LOLDUm  Į  0 son ml  Į\ m   Į3XHVWRTXHHOLQWHUYDORHQHOTXHVHHVWiWUDEDMDQGRHV¿QLWRVHHOLJHHVFULELU ODVROXFLyQJHQHUDOGHy  Įy  0 como y  c cosh Į[  c senh Į[$KRUDy  HV c1 cosh 0 y(0) c2 senh 0 c1 1 c1, c2 0 \SRUWDQWRy  VLJQL¿FDTXHc $Vty  c senh Į[/DVHJXQGDFRQGLFLyQ y(L UHTXLHUHTXHc senh Į/ 3DUDĮ VHQKĮ/HQFRQVHFXHQFLDVH HVWiIRU]DGRDHOHJLUc 'HQXHYRODVROXFLyQGHO39)HVODVROXFLyQWULYLDOy  0 CASO III: Para Ȝ 0 se escribe Ȝ  ĮGRQGHĮHVXQQ~PHURSRVLWLYR'HELGRD TXHODHFXDFLyQDX[LOLDUm  Į WLHQHUDtFHVFRPSOHMDVml  LĮ\m  LĮOD VROXFLyQJHQHUDOGHy  Įy  0 es y  c cos Į[  c sen Į[&RPRDQWHVy   0 SURGXFHc \SRUWDQWRy  c sen Į[$KRUDOD~OWLPDFRQGLFLyQy(L R c2 sen L 0, VHVDWLVIDFHDOHOHJLUc 3HURHVWRVLJQL¿FDTXHy 6LVHUHTXLHUHc HQWRQces sen Į/ VHVDWLVIDFHVLHPSUHTXHĮ/VHDXQP~OWLSORHQWHURGHʌ n n 2 2 o , n 1, 2, 3, . . . . n n L L 3RUWDQWRSDUDFXDOTXLHUQ~PHURUHDOcGLVWLQWRGHFHURy  csen(Qʌ[兾L HVXQDVROXFLyQGHOSUREOHPDSDUDFDGDn'HELGRDTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHVKRPRJpQHD FXDOTXLHUP~OWLSORFRQVWDQWHGHXQDVROXFLyQWDPELpQHVXQDVROXFLyQDVtTXHVLVHGHVHD VHSRGUtDVLPSOHPHQWHWRPDUc (QRWUDVSDODEUDVSDUDFDGDQ~PHURGHODVXFHVLyQ L n o 4 2 , , 2 L2 L2 ODIXQFLyQcorrespondienteHQODVXFHVLyQ 2 y1 sen x, y2 sen x, L L 2 1 HV XQD VROXFLyQ QR WULYLDO GHO SUREOHPD y n  UHVSHFWLYDPHQWH 3 9 2 , L2 , y3 sen 3 x, L , y 0, y(0) 0, y(L) 0. SDUD /RV Q~PHURV Ȝn  n ʌ 兾L  n    SDUD ORV FXDOHV HO SUREOHPD FRQ YDORUHVHQODIURQWHUDGHOHMHPSORWLHQHVROXFLRQHVQRWULYLDOHVTXHVHFRQRFHQFRPR 5.2 y n=2 n=1 1 n=3 L –1 n=4 l 207 eigenvalores YDORUHV SURSLRV  /DV VROXFLRQHV QR WULYLDOHV TXH GHSHQGHQ GH estos valores de Ȝ ny n  c  sen (Qʌ[ 兾L RVLPSOHPHQWHy n  sen(Qʌ[ 兾L VHOODman eigenfunciones IXQFLRQHVSURSLDV /DVJUi¿FDVGHODVHLJHQIXQFLRQHVSDUD n VHPXHVWUDQHQOD¿JXUD1RWDTXHFDGDOtQHDJUD¿FDGDSDVD SRUORVGRVSXQWRV  \ / EJEMPLO 3 Vuelta al ejemplo 2 6H HQWLHQGH GHO HMPSOR  \ OD GLVFXVLyQ DQWHULRU TXH HO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD y y y  y(L  0 n=5 FIGURA 5.2.4 *Ui¿FDVGHODV HLJHQIXQFLRQHVyn = sen(Qʌ[兾L SDUD n  SRVHHVRODPHQWHODVROXFLyQWULYLDOy  0SRUTXHnoHVXQHLJHQYDORU PANDEO DE UNA COLUMNA VERTICAL DELGADA (Q HO VLJOR XVIII /HRQKDUG (XOHU IXH XQR GH ORV SULPHURV PDWHPiWLFRV HQ HVWXGLDU XQ SUREOHPD FRQ HLJHQYDORUHV\DQDOL]DUFyPRVHSDQGHDXQDFROXPQDHOiVWLFDGHOJDGDEDMRXQDIXHU]D D[LDOFRPSUHVLYD &RQVLGHUHXQDFROXPQDYHUWLFDOODUJD\GHOJDGDGHVHFFLyQWUDQVYHUVDOXQLIRUPH\ ORQJLWXGL6HDy(x ODGHÀH[LyQGHODFROXPQDFXDQGRVHDSOLFDHQODSDUWHVXSHULRUXQD IXHU]DFRPSUHVLYDYHUWLFDOFRQVWDQWHXQDFDUJDP,FRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD$O FRPSDUDUORVPRPHQWRVGHÀH[LyQHQDOJ~QSXQWRDORODUJRGHODFROXPQDVHREWLHQH P x=0 x MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA y x EI L d 2y dx 2 Py o EI d 2y dx 2 0  Py  donde EHVHOPyGXORGH<RXQJSDUDODHODVWLFLGDGHIHVHOPRPHQWRGHLQHUFLDGHXQD VHFFLyQWUDQVYHUVDOUHVSHFWRDXQDUHFWDYHUWLFDOSRUVXFHQWURLGH EJEMPLO 4 x=L a) (QFXHQWUHODGHÀH[LyQGHXQDFROXPQDKRPRJpQHDYHUWLFDO\GHOJDGDGHORQJLWXGLVXMHWDDXQDFDUJDD[LDOFRQVWDQWHPVLODFROXPQDVH¿MDFRQELVDJUDVHQDPERVH[WUHPRV b) FIGURA 5.2.5 3DQGHRGHXQD FROXPQDHOiVWLFDEDMRXQDIXHU]D FRPSUHVLYD y y La carga de Euler SOLUCIÓN (OSUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUDSRUUHVROYHUHV EI y d 2y dx 2 L x x a) 0. y(L) y 0, y(0) 0, y(L) 0 HVLGpQWLFRDOSUREOHPDGHOHMHPSOR'HOFDVR,,,GHHVDGHVFULSFLyQVHYHTXHODVGHÀH[LRQHV VRQ yn(x  c sen(Qʌ[兾L  TXH FRUUHVSRQGHQ D ORV HLJHQYDORUHV Ȝn  Pn 兾EI  nʌ 兾L n 'HVGHHOSXQWRGHYLVWDItVLFRHVWRVLJQL¿FDTXH ODFROXPQDH[SHULPHQWDÀH[LyQVyORFXDQGRODIXHU]DFRPSUHVLYDHVXQRGHORVYDORUHV Pn  n ʌEI兾L n (VWDVIXHU]DVGLIHUHQWHVVHOODPDQcargas críticas/D GHÀH[LyQFRUUHVSRQGLHQWHDODFDUJDFUtWLFDPiVSHTXHxDP  ʌEI兾L OODPDGDcarga de EulerHVy(x  c sen(ʌ[兾L \VHFRQRFHFRPRprimer modo de pandeo L x b) 0, 3ULPHURREVHUYHTXHy HVXQDVROXFLyQPX\EXHQDGHHVWHSUREOHPD(VWDVROXFLyQ WLHQHXQDVLPSOHLQWHUSUHWDFLyQLQWXLWLYD6LODFDUJDPQRHVVX¿FLHQWHPHQWHJUDQGH QRKD\GHÀH[LyQ(QWRQFHVODSUHJXQWDHVHVWD¢SDUDTXpYDORUHVGHP se dobla la coOXPQD"(QWpUPLQRVPDWHPiWLFRV¢SDUDTXpYDORUHVGHPHOSUREOHPDFRQYDORUHVHQ ODIURQWHUDWLHQHVROXFLRQHVQRWULYLDOHV" $OHVFULELUȜ  P兾EIYHPRVTXH y L 0, y(0) Py c) FIGURA 5.2.6  &XUYDVGHGHÀH[LyQ TXHFRUUHVSRQGHQDODVIXHU]DV FRPSUHVLYDVPPP /DV FXUYDV GH GHÀH[LyQ GHO HMHPSOR  TXH FRUUHVSRQGHQ D n   n   \ n   VH PXHVWUDQ HQ OD ¿JXUD  2EVHUYH TXH VL OD FROXPQD RULJLQDO WLHQH DOJXQD FODVH GH UHVWULFFLyQ ItVLFD HQ x  L兾 HQWRQFHV OD FDUJD FUtWLFD PiV SHTXHxD VHUi P  4ʌEI兾L \ODFXUYDGHGHÀH[LyQVHUiFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E 6L 208 CAPÍTULO 5 l MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR VHSRQHQUHVWULFFLRQHVDODFROXPQDHQx  L兾\HQx L兾HQWRQFHVODFROXPQD QRVHSDQGHDKDVWDTXHVHDSOLFDODFDUJDFUtWLFDP ʌEI兾L \ODFXUYDGHGHÀH[LyQ VHUiFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD F 9HDHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV CUERDA ROTANDO /DHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHVHJXQGRRUGHQ y a) ω y(x) x=0 x=L b) T2 θ2 θ1 T1 x + Δx x c) FIGURA 5.2.7  &XHUGDURWDWRULD\ IXHU]DVTXHDFW~DQVREUHHOOD 0  y  VHSUHVHQWDXQD\RWUDYH]FRPRXQPRGHORPDWHPiWLFR(QODVHFFLyQYLPRVTXH ODHFXDFLyQ  HQODVIRUPDVd x兾dt   (k兾m x \d q兾dt   兾LC q  0 son moGHORVSDUDHOPRYLPLHQWRDUPyQLFRVLPSOHGHXQVLVWHPDUHVRUWHPDVD\ODUHVSXHVWD DUPyQLFDVLPSOHGHXQFLUFXLWRHQVHULHUHVSHFWLYDPHQWH(VHYLGHQWHFXDQGRHOPRGHOR SDUD OD GHÀH[LyQ GH XQD FROXPQD GHOJDGD HQ   VH HVFULEH FRPR d y兾dx   (P兾EI y TXHHVORPLVPRTXH  6HHQFXHQWUDODHFXDFLyQEiVLFD  XQDYH]PiVHQHVWD VHFFLyQFRPRXQPRGHORTXHGH¿QHODFXUYDGHGHÀH[LyQRODIRUPDy(x TXHDGRSWDXQD FXHUGDURWDWRULD/DVLWXDFLyQItVLFDHVVLPLODUDFXDQGRGRVSHUVRQDVVRVWLHQHQXQDFXHUGD SDUDVDOWDU\ODKDFHQJLUDUGHXQDPDQHUDVLQFURQL]DGD9HDOD¿JXUD D \ E  6XSRQJDTXHXQDFXHUGDGHORQJLWXGL con densidad lineal constante ȡ PDVDSRU XQLGDGGHORQJLWXG VHHVWLUDDORODUJRGHOHMHx\VH¿MDHQx \x  L6XSRQJDTXH ODFXHUGDVHKDFHJLUDUUHVSHFWRDOHMHDXQDYHORFLGDGDQJXODUFRQVWDQWHȦ&RQVLGHUH XQDSRUFLyQGHODFXHUGDHQHOLQWHUYDOR>xx  "x@GRQGH"xHVSHTXHxD6LODPDJQLWXGTGHODWHQVLyQTTXHDFW~DWDQJHQFLDODODFXHUGDHVFRQVWDQWHDORODUJRGH pVWDHQWRQFHVODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHVHDGDVHREWLHQHDOLJXDODUGRVIRUPXODFLRQHV GLVWLQWDVGHODIXHU]DQHWDTXHDFW~DHQODFXHUGDHQHOLQWHUYDOR>xx  "x@3ULPHUR YHPRVHQOD¿JXUD F VHYHTXHODIXHU]DYHUWLFDOQHWDHV x T sen F 2 T sen 1   &XDQGRORViQJXORVș\ș PHGLGRVHQUDGLDQHV VRQSHTXHxRVVHWLHQHVHQș ⬇ tan ș\VHQș ⬇ tan ș$GHPiVSXHVWRTXHWDQș\WDQșVRQDVXYH]SHQGLHQWHVGH ODVUHFWDVTXHFRQWLHQHQORVYHFWRUHVT\TWDPELpQVHSXHGHHVFULELU tan x) \ tan y (x 2 1 y (x). 3RUWDQWRODHFXDFLyQ  VHFRQYLHUWHHQ F T [ y (x x) y (x)]   6HJXQGR VH SXHGH REWHQHU XQD IRUPD GLIHUHQWH GH HVWD PLVPD IXHU]D QHWD XVDQGR OD VHJXQGD OH\ GH 1HZWRQ F  ma $TXt OD PDVD GHO UHVRUWH HQ HO LQWHUYDOR HV m  ȡ "xODDFHOHUDFLyQFHQWUtSHWDGHXQFXHUSRTXHJLUDFRQYHORFLGDGDQJXODUȦ en XQFtUFXORGHUDGLRr es a  UȦ&RQ"xSHTXHxDVHWRPDr  y$VtODIXHU]DYHUWLFDO QHWDHVWDPELpQDSUR[LPDGDPHQWHLJXDOD ( F x)y 2   GRQGHHOVLJQRPHQRVYLHQHGHOKHFKRGHTXHODDFHOHUDFLyQDSXQWDHQODGLUHFFLyQ RSXHVWDDODGLUHFFLyQySRVLWLYD$KRUDDOLJXDODU  \  VHWLHQH cociente de diferencias T[y(x  "x)  y(x)]  (r"x)yv2 o y(x  "x)  y(x) T –––––––––––––––––  rv2y  0.    "x Para "xFHUFDQDDFHURHOFRFLHQWHGHGLIHUHQFLDVHQ  HVDSUR[LPDGDPHQWHODVHJXQGDGHULYDGDdy兾dx3RU~OWLPRVHOOHJDDOPRGHOR d2y 2 y 0  dx2 3XHVWRTXHODFXHUGDHVWiDQFODGDHQVXVH[WUHPRVHQx \x  LHVSHUDPRVTXH ODVROXFLyQy(x GHODHFXDFLyQ  VDWLVIDJDWDPELpQODVFRQGLFLRQHVIURQWHUDy   \y(L  T 5.2 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA l 209 COMENTARIOS i  /RVHLJHQYDORUHVQRVLHPSUHVRQIiFLOHVGHHQFRQWUDUFRPRVXFHGLyHQHO HMHPSOR HV SRVLEOH TXH VH WHQJDQTXH DSUR[LPDUODV UDtFHVGH HFXDFLRQHV como tan x  x o cos x cosh x 9pDQVHORVSUREOHPDVDHQORV HMHUFLFLRV ii  /DVFRQGLFLRQHVGHIURQWHUDDSOLFDGDVDXQDVROXFLyQJHQHUDOGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDQOXJDUDXQVLVWHPDDOJHEUDLFRKRPRJpQHRGHHFXDFLRQHV OLQHDOHVHQODVTXHODVLQFyJQLWDVVRQORVFRH¿FLHQWHVciGHODVROXFLyQJHQHUDO 8QVLVWHPDDOJHEUDLFRKRPRJpQHRGHHFXDFLRQHVOLQHDOHVHVVLHPSUHFRQVLVWHQWHSRUTXHSRUORPHQRVWLHQHXQDVROXFLyQWULYLDO3HURXQVLVWHPDKRPRJpneo de nHFXDFLRQHVOLQHDOHVFRQnLQFyJQLWDVWLHQHXQDVROXFLyQQRWULYLDOVL\ VyORVLHOGHWHUPLQDQWHGHORVFRH¿FLHQWHVHVLJXDODFHUR3RGUtDVHUQHFHVDULR XVDUHVWH~OWLPRKHFKRHQORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV EJERCICIOS 5.2 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-8. Deflexión de una viga (QORVSUREOHPDVDUHVXHOYDODHFXDFLyQ  VXMHWDDODV FRQGLFLRQHVGHIURQWHUDDGHFXDGDV/DYLJDHVGHORQJLWXGL\ w0HVXQDFRQVWDQWH 1. a) /  D YLJD HVWi HPSRWUDGD HQ VX H[WUHPR L]TXLHUGR \ OLEUHHQVXH[WUHPRGHUHFKR\w(x  w0 x  L b) 8VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODFXUYD GHGHÀH[LyQFXDQGRw0 EI\L  2. a) /  DYLJDHVWiDSR\DGDVLPSOHPHQWHHQDPERVH[WUHPRV\w(x  w0 x  L b) 8VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODFXUYD GHGHÀH[LyQFXDQGRw0 EI\L  3. a) /  D YLJD HVWi HPSRWUDGD HQ VX H[WUHPR L]TXLHUGR \ DSR\DGDVLPSOHPHQWHHQVXH[WUHPRGHUHFKR\w(x   w0 x  L b) 8VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODFXUYD GHGHÀH[LyQFXDQGRw0 EI\L  4. a) /  D YLJD HVWi HPSRWUDGD HQ VX H[WUHPR L]TXLHUGR \ DSR\DGDVLPSOHPHQWHHQVXH[WUHPRGHUHFKR\w(x   w0 sen(ʌ[兾L  x  L b) 8WLOLFH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU OD FXUYDGHGHÀH[LyQFXDQGRw0 ʌEI\L  c) 8VDQGR XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD HQFRQWUDU UDtFHV R GH XQD FDOFXODGRUD JUi¿FD  DSUR[LPH HO SXQWRHQODJUi¿FDGHOLQFLVRE HQHOTXHRFXUUHOD Pi[LPDGHÀH[LyQ¢&XiOHVODPi[LPDGHÀH[LyQ" 5. a) /  DYLJDHVWiVLPSOHPHQWHVRSRUWDGDHQDPERVH[WUHPRV\w(x  w0 x x  L b) 8WLOLFH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU OD FXUYDGHGHÀH[LyQFXDQGRw0 EI\L  c) 8VDQGR XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD HQFRQWUDU UDtFHV R GH XQD FDOFXODGRUD JUi¿FD  DSUR[LPH HO SXQWRHQODJUi¿FDGHOLQFLVRE HQHOTXHRFXUUHOD Pi[LPDGHÀH[LyQ¢&XiOHVODPi[LPDGHÀH[LyQ" 6. a) &DOFXOHODGHÀH[LyQPi[LPDGHODYLJDHQYRODGL]R GHOSUREOHPD b) ¢&yPRVHFRPSDUDFRQHOYDORUGHOLQFLVRD FRQOD GHÀH[LyQPi[LPDGHXQDYLJDTXHWLHQHODPLWDGGH ODUJR" c) (QFXHQWUH OD GHÀH[LyQ Pi[LPD GH OD YLJD DSR\DGD GHOSUREOHPD d) ¢&yPR VH FRPSDUD OD GHÀH[LyQ Pi[LPD GH OD YLJD FRQDSR\RVVLPSOHVGHOLQFLVRF FRQHOYDORUGHODGHÀH[LyQPi[LPDGHODYLJDHPSRWUDGDGHOHMHPSOR" 7. 8QDYLJDHQYRODGL]RGHORQJLWXGLHVWiHPSRWUDGDHQVX H[WUHPRGHUHFKR\VHDSOLFDXQDIXHU]DGHPOLEUDVHQVXH[ WUHPR L]TXLHUGR OLEUH &XDQGR HO RULJHQ VH WRPD FRPR VX H[WUHPR OLEUH FRPR VH LOXVWUD HQ OD ¿JXUD  VH SXHGHGHPRVWUDUTXHODGHÀH[LyQy(x GHODYLJDVDWLVIDFH ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO EIy Py x w(x) . 2   (QFXHQWUHODGHÀH[LyQGHODYLJDHQYRODGL]RVLw(x  w0 x x  L\y  y(L  y L w0 x P O x x FIGURA 5.2.8  'HÀH[LyQGHODYLJDHQYRODGL]RGHOSUREOHPD 210 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 8. &XDQGRVHDSOLFDXQDIXHU]DFRPSUHVLYDHQOXJDUGHXQD IXHU]DGHWHQVLyQHQHOH[WUHPROLEUHGHODYLJDGHOSUREOHPDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHODGHÀH[LyQHV x EIy Py w(x) . 2   5HVXHOYDHVWDHFXDFLyQVLw(x  w0x x  L\y   y(L  x P x=L δ Eigenvalores y funciones propias (QORVSUREOHPDVDGHWHUPLQHORVHLJHQYDORUHV\ODVIXQFLRQHVSURSLDVGHOSUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUDGDGR 9. y  Ȝ\   y    y(ʌ  0 10. y  Ȝ\   y    y(ʌ兾  0 11. y  Ȝ\   y    y(L  0 12. y  Ȝ\   y    y(ʌ兾  0 13. y  Ȝ\   y    y(ʌ  0 14. y  Ȝ\   y(ʌ   y(ʌ  0 15. y y  (Ȝ  y   y    y   0 16. y  (Ȝ  y   y    y   0 17. x  y  xy  Ȝ\   y    y(eʌ  0 x=0 y FIGURA 5.2.9  'HÀH[LyQGHODFROXPQDYHUWLFDOGHO SUREOHPD a) ¢&XiOHVODGHÀH[LyQSUHGLFKDFXDQGRį " b) &XDQGRį GHPXHVWUHTXHODFDUJDGH(XOHUSDUD HVWDFROXPQDHVXQFXDUWRGHODFDUJDGH(XOHUSDUDOD FROXPQDTXHHVWiDELVDJUDGDGHOHMHPSOR 23. &RPRVHPHQFLRQyHQHOSUREOHPDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO  TXHJRELHUQDODGHÀH[LyQy(x GHXQDFROXPQD HOiVWLFDGHOJDGDVXMHWDDXQDIXHU]DD[LDOFRPSUHVLYDFRQVtante PHVYiOLGDVyORFXDQGRORVH[WUHPRVGHODFROXPQD HVWiQDELVDJUDGRV(QJHQHUDOODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXH JRELHUQDODGHÀH[LyQGHODFROXPQDHVWiGDGDSRU 18. x y  xy  Ȝ\   y(e   y   0 (Q ORV SUREOHPDV  \  GHWHUPLQH ORV HLJHQYDORUHV \ ODV IXQFLRQHV SURSLDV GHO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD GDGR&RQVLGHUHVyORHOFDVRȜ  Į4Į  19. y   Ȝ\   y    y    y   y   0 20. y   Ȝ\   y    y    y(ʌ  y(ʌ  0 Pandeo de una columna delgada 21. &RQVLGHUHOD¿JXUD¢'yQGHVHGHEHQFRORFDUHQOD FROXPQDODVUHVWULFFLRQHVItVLFDVVLVHTXLHUHTXHODFDUJD FUtWLFD VHD P4" 'LEXMH OD FXUYD GH GHÀH[LyQ FRUUHVSRQGLHQWHDHVWDFDUJD 22. /DV FDUJDV FUtWLFDV GH FROXPQDV GHOJDGDV GHSHQGHQ GH ODV FRQGLFLRQHVGHH[WUHPRGHODFROXPQD(OYDORUGHODFDUJD GH(XOHUPHQHOHMHPSORVHREWXYREDMRODVXSRVLFLyQGH TXHODFROXPQDHVWDEDDELVDJUDGDSRUDPERVH[WUHPRV6X SRQJDTXHXQDFROXPQDYHUWLFDOKRPRJpQHDGHOJDGDHVWiHP SRWUDGDHQVXEDVH x  \OLEUHHQVXSDUWHVXSHULRU x  L  \TXHVHDSOLFDXQDFDUJDD[LDOFRQVWDQWHPHQVXH[WUHPR OLEUH (VWD FDUJD FDXVD XQD GHÀH[LyQ SHTXHxD į como se PXHVWUDHQOD¿JXUDRQRFDXVDWDOGHÀH[LyQ(QFXDOTXLHUFDVRODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDODGHÀH[LyQy(x HV EI d 2y dx 2 Py P . d2 d 2y EI dx 2 dx 2 P d 2y dx 2 0.  6XSRQJDTXHODFROXPQDHVXQLIRUPH EIHVXQDFRQVWDQWH  \TXHORVH[WUHPRVGHODFROXPQDHVWiQDELVDJUDGRV0XHV WUH TXH OD VROXFLyQ GH HVWD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH FXDUWR RUGHQVXMHWDDODVFRQGLFLRQHVOtPLWHy  y   y(L y(L HVHTXLYDOHQWHDODQiOLVLVGHOHMHPSOR 24. 6XSRQJD TXH XQD FROXPQD HOiVWLFD GHOJDGD \ XQLIRUPH HVWi DELVDJUDGD HQ HO H[WUHPR x   \ HPSRWUDGD HQ HO H[WUHPRx  L a) 8VHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHFXDUWRRUGHQGHOSUREOHPD  SDUD HQFRQWUDU ORV YDORUHV SURSLRV Ȝn ODV FDUJDVFUtWLFDVPnODFDUJDGH(XOHUP\ODVGHÀH[LRnes yn(x  b  8VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODJUi¿FD GHOSULPHUPRGRGHSDQGHR Cuerda rotando 25. &RQVLGHUHHOSUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUDSUHVHQWDGR HQ OD FRQVWUXFFLyQ GHO PRGHOR PDWHPiWLFR SDUD OD IRUPDGHXQDFXHUGDURWDWRULD d 2y 2 y 0, y(0) 0, y(L) 0. dx 2 Para T\ȡFRQVWDQWHVGH¿QDODVYHORFLGDGHVFUtWLFDVGHOD URWDFLyQDQJXODUȦn como los valores de ȦSDUDORVFXDOHV HO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD WLHQH VROXFLRQHV QRWULYLDOHV'HWHUPLQHODVUDSLGHFHVFUtWLFDVȦn\ODVGHÀH[LRQHVFRUUHVSRQGLHQWHV yn(x  T 5.2 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA 26. &XDQGRODPDJQLWXGGHODWHQVLyQTQRHVFRQVWDQWHHQWRQFHVXQPRGHORSDUDODFXUYDGHGHÀH[LyQRIRUPDy(x  TXHWRPDXQDFXHUGDURWDWRULDHVWiGDGRSRU d dy T (x) dx dx 2   6XSRQJDTXH x  e\TXHT(x  x a) Si y O y(e \ȡȦ GHPXHVWUHTXH ODV YHORFLGDGHV FUtWLFDV GH URWDFLyQ DQJXODU VRQ 1 2 2 1)>  \  ODV GHÀH[LRQHV FRUUHVn 2 2(4n SRQGLHQWHVVRQ yn(x  c x兾 sen(Qʌ ln x   n  b) 8  WLOLFH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU ODV FXUYDVGHGHÀH[LyQHQHOLQWHUYDOR>e@SDUDn  (OLMDc  Diferentes problemas con valores en la frontera 27. Temperatura en una esfera  &RQVLGHUH GRV HVIHUDV FRQFpQWULFDVGHUDGLRr  a\r  ba  b9HDOD¿JXUD /DWHPSHUDWXUDu(r HQODUHJLyQHQWUHODVHVIHUDV VHGHWHUPLQDGHOSUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUD r d 2u dr 2 2 du dr 0, u0 , u(a) donde u0\uVRQFRQVWDQWHV'HPXHVWUHTXH u0 ln(r>b) u1 ln(r>a) . ln(a>b) u(r) Problemas para analizar 0. y 211 l u 1, u(b) donde u0\uVRQFRQVWDQWHV5HVXHOYDSDUDu(r  u = u1 u = u0 29. Movimiento armónico simple  (OPRGHORmx  kx  0 SDUDHOPRYLPLHQWRDUPyQLFRVLPSOHTXHVHDQDOL]yHQ OD VHFFLyQ  VH SXHGH UHODFLRQDU FRQ HO HMHPSOR  GH HVWDVHFFLyQ &RQVLGHUH XQ VLVWHPD UHVRUWHPDVD OLEUH QR DPRUWLJXDGRSDUDHOFXDOODFRQVWDQWHGHUHVRUWHHVGLJDPRVk OESLH'HWHUPLQHODVPDVDVmnTXHVHSXHGHQXQLUDO UHVRUWHSDUDTXHFXDQGRVHOLEHUHFDGDPDVDHQODSRVLFLyQ GHHTXLOLEULRHQt FRQXQDYHORFLGDGv0GLIHUHQWHGH FHURSDVHSRUODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRHQt VHJXQGR ¢&XiQWDV YHFHV SDVD FDGD PDVD mn SRU OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULRHQHOLQWHUYDORGHWLHPSR t " 30. Movimiento amortiguado  6XSRQJDTXHHOPRGHORSDUD HOVLVWHPDUHVRUWHPDVDGHOSUREOHPDVHUHHPSOD]DSRU mx x kx (QRWUDVSDODEUDVHOVLVWHPDHVOLEUH SHURHVWiVXMHWRDDPRUWLJXDPLHQWRQXPpULFDPHQWHLJXDOD GRVYHFHVODYHORFLGDGLQVWDQWiQHD&RQODVPLVPDVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHV\ODFRQVWDQWHGHUHVRUWHGHOSUREOHPD LQYHVWLJXHVLHVSRVLEOHHQFRQWUDUXQDPDVDmTXHSDVHSRU ODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRHQt VHJXQGR (QORVSUREOHPDV\GHWHUPLQHVLHVSRVLEOHHQFRQWUDU valores y0\y SUREOHPD \YDORUHVGHL  SUREOHPD  WDOTXHHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVWHQJDa)H[DFWDPHQWH XQD VROXFLyQ QR WULYLDO b) PiV GH XQD VROXFLyQ c) QLQJXQD VROXFLyQd)ODVROXFLyQWULYLDO 31. y y   y   y0y(ʌ兾  y 32. y y   y  y(L  33. &RQVLGHUHHOSUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUD FIGURA 5.2.10 (VIHUDVFRQFpQWULFDVGHOSUREOHPD 28. Temperatura en un anillo  /D WHPSHUDWXUD u(r  HQ HO DQLOORFLUFXODUPRVWUDGRHQOD¿JXUDVHGHWHUPLQDD SDUWLUGHOSUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUD r d 2u dr 2 du dr 0, u0 , u(a) a u(b) u1, y 0, y y( ) y( ), y ( ) y ( ). a) $  OWLSRGHFRQGLFLRQHVHQODIURQWHUDHVSHFL¿FDGDVVH le llaman condiciones frontera periódicas'pXQD LQWHUSUHWDFLyQJHRPpWULFDGHHVWDVFRQGLFLRQHV b) 'HWHUPLQH ORV HLJHQYDORUHV \ ODV IXQFLRQHV SURSLDV GHOSUREOHPD c) 8VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUDOJXQDV GH ODV IXQFLRQHV SURSLDV &RPSUXHEH VX LQWHUSUHWDFLyQJHRPpWULFDGHODVFRQGLFLRQHVIURQWHUDGDGDVHQ HOLQFLVRD  34. 0XHVWUHTXHORVHLJHQYDORUHV\ODVIXQFLRQHVSURSLDVGHO SUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUD b u = u0 u = u1 FIGURA 5.2.11 $QLOORFLUFXODUGHOSUREOHPD y y 0, y(0) 0, y(1) y (1) 0 2 son n n \yn  sen Įn xUHVSHFWLYDPHQWHGRQGHĮn n VRQODVUDtFHVSRVLWLYDVFRQVHFXWLYDVGHOD HFXDFLyQWDQĮ   Į 212 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Tarea para el laboratorio de computación 35. 8VH XQ 6$& SDUD WUD]DU ODV JUi¿FDV TXH OR FRQYHQ]DQ GH TXH OD HFXDFLyQ WDQ Į  Į GHO SUREOHPD  WLHQH XQQ~PHURLQ¿QLWRGHUDtFHV([SOLTXHSRUTXpVHSXHGHQ GHVSUHFLDUODVUDtFHVQHJDWLYDVGHODHFXDFLyQ([SOLTXH SRUTXpȜ QRHVXQHLJHQYDORUDXQFXDQGRĮ  0 es XQDVROXFLyQREYLDGHODHFXDFLyQWDQĮ  Į 36. 8VDQGRXQSURJUDPDSDUDGHWHUPLQDUUDtFHVGHXQ6$& DSUR[LPHORVSULPHURVFXDWURYDORUHVSURSLRVȜȜȜ\ Ȝ4SDUDHO39)GHOSUREOHPD 5.3 (Q ORV SUREOHPDV  \  GHWHUPLQH ORV HLJHQYDORUHV \ ODV IXQFLRQHVSURSLDVGHOSUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUD8VH XQ6$&SDUDDSUR[LPDUORVSULPHURVFXDWURYDORUHVSURSLRV ȜȜȜ\Ȝ4 37. y y 0, y(0) 0, y(1) 1 2y (1) 0 38. y   Ȝ\  y   y   y   y   0 [Sugerencia:FRQVLGHUHVyORȜ  Į4Į @ MODELOS NO LINEALES REPASO DE MATERIAL l 6HFFLyQ INTRODUCCIÓN (Q HVWD VHFFLyQ VH H[DPLQDQ DOJXQRV PRGHORV PDWHPiWLFRV QR OLQHDOHV GH RUGHQVXSHULRU$OJXQRVGHHVWRVPRGHORVVHSXHGHQUHVROYHUXVDQGRHOPpWRGRGHVXVWLWXFLyQ OR TXHFRQGXFHDODUHGXFFLyQGHRUGHQGHOD(' SUHVHQWDGRHQODVHFFLyQ(QDOJXQRVFDVRVGRQGH QRVHSXHGHUHVROYHUHOPRGHORVHPXHVWUDFyPRVHUHHPSOD]DOD('QROLQHDOSRUXQD('OLQHDO PHGLDQWHXQSURFHVRFRQRFLGRFRPROLQHDOL]DFLyQ RESORTES NO LINEALES (OPRGHORPDWHPiWLFRHQ  GHODVHFFLyQWLHQHOD IRUPD d 2x  F(x) 0  dt2 donde F(x  kx'HELGRDTXHxGHQRWDHOGHVSOD]DPLHQWRGHODPDVDGHVGHVXSRVLFLyQ GHHTXLOLEULRF(x  kxHVODOH\GH+RRNHHVGHFLUODIXHU]DHMHUFLGDSRUHOUHVRUWH TXHWLHQGHDUHVWDXUDUODPDVDDODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR8QUHVRUWHTXHDFW~DEDMRXQD IXHU]D UHVWDXUDGRUD OLQHDO F(x   kx se llama resorte lineal 3HUR ORV UHVRUWHV SRFDV YHFHVVRQOLQHDOHV'HSHQGLHQGRGHFyPRHVWpFRQVWUXLGR\GHOPDWHULDOXWLOL]DGRXQ UHVRUWHSXHGHYDULDUGHVGH³ÀH[LEOH´RVXDYHKDVWD³UtJLGR´RGXURSRUORTXHVXIXHU]D UHVWDXUDGRUDSXHGHYDULDUUHVSHFWRDODOH\OLQHDO(QHOFDVRGHPRYLPLHQWROLEUHVLVH VXSRQHTXHXQUHVRUWHHQEXHQHVWDGRWLHQHDOJXQDVFDUDFWHUtVWLFDVQROLQHDOHVHQWRQFHV SRGUtDVHUUD]RQDEOHVXSRQHUTXHODIXHU]DUHVWDXUDGRUDGHXQUHVRUWHHVGHFLUF(x HQ ODHFXDFLyQ  HVSURSRUFLRQDODOFXERGHOGHVSOD]DPLHQWRxGHODPDVDPiVDOOiGHVX SRVLFLyQGHHTXLOLEULRRTXHF(x HVXQDFRPELQDFLyQOLQHDOGHSRWHQFLDVGHOGHVSOD]DPLHQWRFRPRHOTXHVHGHWHUPLQDPHGLDQWHODIXQFLyQQROLQHDOF(x  kx  kx8Q UHVRUWHFX\RPRGHORPDWHPiWLFRLQFRUSRUDXQDIXHU]DUHVWDXUDGRUDQROLQHDOFRPR m d 2x d 2x kx3 0 o m 2 kx k1 x3 0  2 dt dt se llama resorte no lineal$GHPiVVHH[DPLQDQPRGHORVPDWHPiWLFRVHQORVTXHHO DPRUWLJXDPLHQWRLPSDUWLGRDOPRYLPLHQWRHUDSURSRUFLRQDODODYHORFLGDGLQVWDQWiQHD dx兾dt\ODIXHU]DUHVWDXUDGRUDGHXQUHVRUWHHVWiGDGDSRUODIXQFLyQOLQHDOF(x  kx 3HURHVWDVIXHURQVXSRVLFLRQHVPX\VLPSOHVHQVLWXDFLRQHVPiVUHDOHVHODPRUWLJXDPLHQWRSRGUtDVHUSURSRUFLRQDODDOJXQDSRWHQFLDGHODYHORFLGDGLQVWDQWiQHDdx兾dt/D HFXDFLyQGLIHUHQFLDOQROLQHDO m m d2x dt 2 dx dx dt dt kx 0  5.3 MODELOS NO LINEALES l 213 HVXQPRGHORGHXQVLVWHPDOLEUHUHVRUWHPDVDHQHOTXHODIXHU]DGHDPRUWLJXDPLHQ WRHVSURSRUFLRQDODOFXDGUDGRGHODYHORFLGDG$VtTXHHVSRVLEOHLPDJLQDURWUDVFODVHV GHPRGHORVDPRUWLJXDPLHQWROLQHDO\IXHU]DUHVWDXUDGRUDQROLQHDODPRUWLJXDPLHQWR QROLQHDO\IXHU]DUHVWDXUDGRUDQROLQHDOHWFpWHUD(OSXQWRHVTXHODVFDUDFWHUtVWLFDVQR OLQHDOHVGHXQVLVWHPDItVLFRGDQOXJDUDXQPRGHORPDWHPiWLFRTXHHVQROLQHDO 2EVHUYHHQ  TXHWDQWRF(x  kx como F(x  kx  kxVRQIXQFLRQHVLPSDUHV de x3DUDYHUSRUTXpXQDIXQFLyQSROLQRPLDOTXHFRQWLHQHVyORSRWHQFLDVLPSDUHVGH xSURSRUFLRQDXQPRGHORUD]RQDEOHSDUDODIXHU]DUHVWDXUDGRUDVHH[SUHVDDF como XQDVHULHGHSRWHQFLDVFHQWUDGDHQODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRx  0: F (x) c0 c2 x2 c1 x c3 x3 . &XDQGRORVGHVSOD]DPLHQWRVxVRQSHTXHxRVORVYDORUHVGHx nVRQLQVLJQL¿FDQWHVSDUD nVX¿FLHQWHPHQWHJUDQGH6LVHWUXQFDODVHULHGHSRWHQFLDVSRUHMHPSORHQHOFXDUWR WpUPLQRHQWRQFHVF(x  c 0  c x  c  x   c  x 3DUDODIXHU]DHQx  F (x) F resorte duro resorte lineal \SDUDTXHODIXHU]DHQx  resorte suave F( x) x FIGURA 5.3.1 5HVRUWHVGXURV\VXDYHV c0 c0 c1 x c2 x2 c2 x2 c1 x c3 x3, c3 x3 WHQJDODPLVPDPDJQLWXGSHURDFW~HHQGLUHFFLyQFRQWUDULDVHGHEHWHQHUF(x  F(x 'HELGRDTXHHVWRVLJQL¿FDTXHFHVXQDIXQFLyQLPSDUVHGHEHWHQHUc0 \c \SRUWDQWRF(x  cx  cx36LVHKXELHUDQXVDGRVyORORVSULPHURVGRVWpUPLQRV GHODVHULHHOPLVPRDUJXPHQWRSURGXFHODIXQFLyQOLQHDOF(x  cx6HGLFHTXHXQD IXHU]DUHVWDXUDGRUDFRQSRWHQFLDVPL[WDVFRPRF(x  cx  cx\ODVYLEUDFLRQHV FRUUHVSRQGLHQWHVVRQDVLPpWULFDV(QHODQiOLVLVVLJXLHQWHVHHVFULEHc  k\c  k RESORTES DUROS Y SUAVES $QDOLFHPRVFRQPiVGHWDOOHODHFXDFLyQ  SDUD HOFDVRHQTXHODIXHU]DUHVWDXUDGRUDHVWiGDGDSRUF(x  kx  klxk 6HGLFH TXHHOUHVRUWHHVduro si kl \suave si kl /DVJUi¿FDVGHWUHVWLSRVGHIXHU]DVUHVWDXUDGRUDVVHPXHVWUDQHQOD¿JXUD(QHOHMHPSORVLJXLHQWHVHLOXVWUDQ HVWRV GRV FDVRV HVSHFLDOHV GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO md x兾dt   kx  k x   m k  x x(0)=2, x'(0)=_3 t EJEMPLO 1 x(0)=2, x'(0)=0 /DVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV a) resorte duro  d 2x dt 2 x  x3 \ d 2x dt 2 x x x(0)=2, x'(0)=0 t x(0)=2, x'(0)=_3 b) resorte suave FIGURA 5.3.2 &XUYDVGHVROXFLyQ QXPpULFD Comparación de resortes duros y suaves x3 0  0  VRQFDVRVHVSHFLDOHVGHODVHJXQGDHFXDFLyQHQ  \VRQPRGHORVGHXQUHVRUWHGXUR\ XQRVXDYHUHVSHFWLYDPHQWH(QOD¿JXUD D VHPXHVWUDQGRVVROXFLRQHVGH  \HQ OD¿JXUD E GRVVROXFLRQHVGH  REWHQLGDVGHXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFD /DVFXUYDVPRVWUDGDVHQURMRVRQVROXFLRQHVTXHVDWLVIDFHQODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHV x  x   ODVGRVFXUYDVHQURMRVRQVROXFLRQHVTXHVDWLVIDFHQx   x  'HVGHOXHJRHVWDVFXUYDVVROXFLyQLQGLFDQTXHHOPRYLPLHQWRGHXQDPDVD HQHOUHVRUWHGXURHVRVFLODWRULRPLHQWUDVTXHHOPRYLPLHQWRGHXQDPDVDHQHOUHVRUWH ÀH[LEOHDOSDUHFHUHVQRRVFLODWRULR3HURVHGHEHWHQHUFXLGDGRUHVSHFWRDVDFDUFRQFOXVLRQHVFRQEDVHHQXQSDUGHFXUYDVGHVROXFLyQQXPpULFD8QFXDGURPiVFRPSOHMRGH ODQDWXUDOH]DGHODVVROXFLRQHVGHDPEDVHFXDFLRQHVVHREWLHQHGHODQiOLVLVFXDOLWDWLYR GHVFULWRHQHOFDStWXOR 214 CAPÍTULO 5 l MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR PÉNDULO NO LINEAL &XDOTXLHU REMHWR TXH RVFLOD GH XQ ODGR D RWUR VH OODPD péndulo físico(Opéndulo simpleHVXQFDVRHVSHFLDOGHOSpQGXORItVLFR\FRQVLVWH HQXQDYDULOODGHORQJLWXGlDODTXHVH¿MDXQDPDVDmHQXQH[WUHPR$OGHVFULELU HOPRYLPLHQWRGHXQSpQGXORVLPSOHHQXQSODQRYHUWLFDOVHKDFHQODVVXSRVLFLRQHV GHVLPSOL¿FDFLyQGHTXHODPDVDGHODYDULOODHVGHVSUHFLDEOH\TXHQLQJXQDIXHU]D H[WHUQDGHDPRUWLJXDPLHQWRRPRWUL]DFW~DVREUHHOVLVWHPD(OiQJXORGHGHVSOD]Dmiento șGHOSpQGXORPHGLGRGHVGHODYHUWLFDOFRPRVHLOXVWUDHQOD¿JXUDVH FRQVLGHUDSRVLWLYRFXDQGRVHPLGHDODGHUHFKDGHOP\QHJDWLYRDODL]TXLHUGDGHOP $KRUDUHFXHUGHTXHHODUFRsGHXQFtUFXORGHUDGLRlVHUHODFLRQDFRQHOiQJXORFHQWUDO șSRUODIyUPXODs  Oș3RUWDQWRODDFHOHUDFLyQDQJXODUHV O θ l mg sen θ θ W = mg mg cos θ P d 2s d2 . l dt 2 dt 2 'HODVHJXQGDOH\GH1HZWRQWHQHPRVTXH FIGURA 5.3.3 3pQGXORVLPSOH a d2 . dt2 'H OD ¿JXUD  VH YH TXH OD PDJQLWXG GH OD FRPSRQHQWH WDQJHQFLDO GH OD IXHU]D GHELGDDOSHVRW es mg sen ș(QFXDQWRDGLUHFFLyQHVWDIXHU]DHVmg sen șSRUTXH DSXQWDDODL]TXLHUGDSDUDș \DODGHUHFKDSDUDș 6HLJXDODQODVGRVYHUVLRQHV GLVWLQWDVGHODIXHU]DWDQJHQFLDOSDUDREWHQHUml d ș兾dt   mg sen șR ma F d2 dt2   (0)= 12 ,  (0)=2 ml g sen l  (0) =  5 ... 3! 5! DVtTXHVLVHXVDODDSUR[LPDFLyQ VHQș ⬇ș  ș 兾 ODHFXDFLyQ  VHFRQYLHUWHHQ d  ș兾dt   (g兾l ș  (g兾l ș 2EVHUYHTXHHVWD~OWLPDHFXDFLyQHVODPLVPDTXH ODVHJXQGDHFXDFLyQOLQHDOHQ  FRQm k  g兾l\k  g兾l6LQHPEDUJRVLVH VXSRQHTXHORVGHVSOD]DPLHQWRVșVRQVX¿FLHQWHPHQWHSHTXHxRVSDUDMXVWL¿FDUHOXVR GHODVXVWLWXFLyQVHQș 艐 șHQWRQFHVODHFXDFLyQ  VHFRQYLHUWHHQ sen (0)=12 t   LINEALIZACIÓN &RPRUHVXOWDGRGHODSUHVHQFLDGHVHQșHOPRGHORHQ  HVQR OLQHDO(QXQLQWHQWRSRUHQWHQGHUHOFRPSRUWDPLHQWRGHODVVROXFLRQHVGHHFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHVQROLQHDOHVGHRUGHQVXSHULRUHQRFDVLRQHVVHWUDWDGHVLPSOL¿FDUHOSUREOHPDVXVWLWX\HQGRWpUPLQRVQROLQHDOHVSRUFLHUWDVDSUR[LPDFLRQHV3RUHMHPSOROD VHULHGH0DFODXULQSDUDVHQșHVWiGDGDSRU 3 1 2, 0  2 a) d2 dt2 1 b)  (0)  2 , 1  (0)  2 FIGURA 5.3.4 3pQGXORRVFLODQWHHQ E SpQGXORJLUDWRULRHQF   0 9HDHOSUREOHPDHQORVHMHUFLFLRV6LVHKDFHȦ  g兾lVHUHFRQRFHD  FRPROD HFXDFLyQGLIHUHQFLDO  GHODVHFFLyQTXHHVXQPRGHORSDUDODVYLEUDFLRQHVOLEUHV QRDPRUWLJXDGDVGHXQVLVWHPDOLQHDOUHVRUWHPDVD(QRWUDVSDODEUDV  HVGHQXHYR ODHFXDFLyQOLQHDOEiVLFDy  Ȝ\ DQDOL]DGDHQODVHFFLyQ&RPRFRQVHFXHQFLD VHGLFHTXHODHFXDFLyQ  HVXQDlinealizaciónGHODHFXDFLyQ  'HELGRDTXHOD VROXFLyQJHQHUDOGH  HVș(t  c cos ȦW  c  sen ȦWHVWDOLQHDOL]DFLyQLQGLFDTXH SDUD FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV FRUUHVSRQGLHQWHV D RVFLODFLRQHV SHTXHxDV HO PRYLPLHQWR GHOSpQGXORGHVFULWRSRU  HVSHULyGLFR EJEMPLO 2 c)  (0)  12 ,  (0)  2 g l Dos problemas con valores iniciales /DVJUi¿FDVGHOD¿JXUD D VHREWXYLHURQFRQD\XGDGHXQSURJUDPDGHVROXFLyQ QXPpULFD\UHSUHVHQWDQFXUYDVVROXFLyQGHODHFXDFLyQ  FXDQGRȦ /DFXUYDD]XO 1 1 LOXVWUDODVROXFLyQGH  TXHVDWLVIDFHODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHV (0) 2, (0) 2  PLHQWUDVTXHODFXUYDURMDHVODVROXFLyQGH  TXHVDWLVIDFH (0) 1 2, u (0) 2 /D 5.3 MODELOS NO LINEALES l 215 FXUYDD]XOUHSUHVHQWDXQDVROXFLyQSHULyGLFDHOSpQGXORTXHRVFLODHQYDLYpQFRPRVH PXHVWUDHQOD¿JXUD E FRQXQDDPSOLWXGDSDUHQWHA /DFXUYDURMDPXHVWUD TXH ș FUHFH VLQ OtPLWH FXDQGR DXPHQWD HO WLHPSR HO SpQGXOR FRPHQ]DQGR GHVGH HO PLVPR GHVSOD]DPLHQWR LQLFLDO UHFLEH XQD YHORFLGDG LQLFLDO GH PDJQLWXG VX¿FLHQWHPHQWHJUDQGHSDUDHQYLDUORKDVWDDUULED²HQRWUDVSDODEUDVHOSpQGXORJLUDUHVSHFWRD VX SLYRWH FRPR VH LOXVWUD HQ OD ¿JXUD  F  (Q DXVHQFLD GH DPRUWLJXDPLHQWR HO PRYLPLHQWRHQFDGDFDVRFRQWLQ~DGHIRUPDLQGH¿QLGD CABLES TELEFÓNICOS /D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH SULPHU RUGHQ dy兾dx  W兾T HV OD HFXDFLyQ   GH OD VHFFLyQ  (VWD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HVWDEOHFLGD FRQ OD D\XGD GH OD ¿JXUD  VLUYH FRPR PRGHOR PDWHPiWLFR SDUD OD IRUPD GH XQ FDEOH ÀH[LEOH VXVSHQGLGR HQWUH GRV VRSRUWHV YHUWLFDOHV FXDQGR HO FDEOH OOHYD XQDFDUJDYHUWLFDO(QODVHFFLyQVHUHVXHOYHHVWD('VLPSOHEDMRODVXSRVLFLyQ GHTXHODFDUJDYHUWLFDOTXHVRSRUWDQORVFDEOHVGHXQSXHQWHVXVSHQGLGRHUDHOSHVRGH ODFDUSHWDDVIiOWLFDGLVWULEXLGDGHPRGRXQLIRUPHDORODUJRGHOHMHx&RQW  ȡ[ȡ HOSHVRSRUXQLGDGGHORQJLWXGGHODFDUSHWDDVIiOWLFDODIRUPDGHFDGDFDEOHHQWUHORV DSR\RVYHUWLFDOHVUHVXOWyVHUSDUDEyOLFD$KRUDVHHVWiHQFRQGLFLRQHVGHGHWHUPLQDU ODIRUPDGHXQFDEOHÀH[LEOHXQLIRUPHTXHFXHOJDVyOREDMRVXSURSLRSHVRFRPRXQ FDEOHVXVSHQGLGRHQWUHGRVSRVWHVWHOHIyQLFRV$KRUDODFDUJDYHUWLFDOHVHOFDEOH\SRU WDQWRVLȡHVODGHQVLGDGOLQHDOGHODODPEUH PHGLGRSRUHMHPSORHQOLEUDVSRUSLH \s HVODORQJLWXGGHOVHJPHQWRPPHQOD¿JXUDHQWRQFHVW  ȡV3RUWDQWR dy s  dx 1 3XHVWRTXHODORQJLWXGGHDUFRHQWUHORVSXQWRVP\PHVWiGDGDSRU  dy 2 dx  1 dx 0 B GHOWHRUHPDIXQGDPHQWDOGHOFiOFXORVHWLHQHTXHODGHULYDGDGH  HV x  s 1 B ds dx dy 2  dx  'HULYDQGRODHFXDFLyQ  UHVSHFWRDx\XVDQGRODHFXDFLyQ  VHREWLHQHODHFXDFLyQ GHVHJXQGRRUGHQ d 2y dx 2 ds T1 dx o d 2y dx2 T1 B 1 dy 2  dx  (QHOHMHPSORVLJXLHQWHVHUHVXHOYHODHFXDFLyQ  \VHPXHVWUDTXHODFXUYDGHO FDEOHVXVSHQGLGRHVXQDcatenaria$QWHVGHSURFHGHUREVHUYHTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOQROLQHDOGHVHJXQGRRUGHQ  HVXQDGHODVHFXDFLRQHVTXHWLHQHQODIRUPDF(x yy DQDOL]DGDVHQODVHFFLyQ5HFXHUGHTXHKD\SRVLELOLGDGHVGHUHVROYHU XQDHFXDFLyQGHHVWHWLSRDOUHGXFLUHORUGHQGHODHFXDFLyQXVDQGRODVXVWLWXFLyQu  y EJEMPLO 3 Una solución de (11) 'HODSRVLFLyQGHOHMH yHQOD¿JXUDHVHYLGHQWHTXHODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHV UHODFLRQDGDVFRQODVHJXQGDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQ  VRQy   a\y   du 6LVHVXVWLWX\Hu  yHQWRQFHVODHFXDFLyQHQ  VHFRQYLHUWHHQ 11 u2  dx 1 6HSDUDQGRODVYDULDEOHVVHHQFXHQWUDTXH du 11 u2 T1 dx se obtiene senh 1u T1 x c1. 216 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR $KRUDy  HVHTXLYDOHQWHDu  3XHVWRTXHVHQK 0 c \SRU WDQWRu  senh (ȡ[兾T 3RU~OWLPRLQWHJUDQGRDPERVODGRVGH dy dx senh T1 x, obtenemos y T1 cosh T1 x c2. Con y   aFRVKVHGHGXFHGHOD~OWLPDHFXDFLyQTXHc  a  T兾ȡ3RU WDQWRYHPRVTXHODIRUPDGHOFDEOHTXHFXHOJDHVWiGDGDSRU y a T1> . (T1> ) cosh( x> T1) 6LHQHOHMHPSORKHPRVVDELGRHVFRJHUGHVGHHOSULQFLSLRa  T兾ȡHQWRQFHVODVROXFLyQ GHOSUREOHPDKDEUtDVLGRVLPSOHPHQWHHOFRVHQRKLSHUEyOLFRy  (T兾ȡ FRVK ȡ[兾T  MOVIMIENTO DE UN COHETE (Q HFXDFLyQ   GH OD VHFFLyQ  VH YLR TXH OD HFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHXQFXHUSRGHPDVDmHQFDtGDOLEUHFHUFDGHODVXSHU¿FLHGHOD7LHUUD HVWiGDGDSRU y d 2s d 2s mg, RVLPSOHPHQWH g, 2 dt dt2 donde s UHSUHVHQWD OD GLVWDQFLD GHVGH OD VXSHU¿FLH GH OD 7LHUUD KDVWD HO REMHWR \ VH FRQVLGHUDTXHODGLUHFFLyQSRVLWLYDHVKDFLDDUULED'LFKRGHRWUDIRUPDODVXSRVLFLyQ EiVLFDHQHVWHFDVRHVTXHODGLVWDQFLDsDOREMHWRHVSHTXHxDFXDQGRVHFRPSDUDFRQ el radio RGHOD7LHUUDHQRWUDVSDODEUDVODGLVWDQFLDyGHVGHHOFHQWURGHOD7LHUUDDO REMHWRHVDSUR[LPDGDPHQWHODPLVPDTXHR6LSRURWURODGRODGLVWDQFLDyDOREMHWR SRUHMHPSORXQFRKHWHRXQDVRQGDHVSDFLDOHVJUDQGHFRPSDUDGDFRQRHQWRQFHVVH FRPELQDODVHJXQGDOH\GH1HZWRQGHOPRYLPLHQWR\VXOH\GHJUDYLWDFLyQXQLYHUVDO SDUDREWHQHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQODYDULDEOHy 6XSRQJDTXHVHODQ]DYHUWLFDOPHQWHKDFLDDUULEDXQFRKHWHGHVGHHOVXHORFRPRVH LOXVWUDHQOD¿JXUD6LODGLUHFFLyQSRVLWLYDHVKDFLDDUULED\VHGHVSUHFLDODUHVLVWHQFLDGHODLUHHQWRQFHVODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHPRYLPLHQWRGHVSXpVGHFRQVXPLU HOFRPEXVWLEOHHV m v0 R centro de la Tierra FIGURA 5.3.5 /DGLVWDQFLDDOFRKHWH HVJUDQGHFRPSDUDGDFRQR m d 2y dt2 k Mm y2 d 2y dt2 o k M  y2  donde kHVXQDFRQVWDQWHGHSURSRUFLRQDOLGDGy es la distancia desde el centro de la 7LHUUDDOFRKHWHMHVODPDVDGHOD7LHUUD\mHVODPDVDGHOFRKHWH3DUDGHWHUPLQDU la constante kVHXVDHOKHFKRGHTXHFXDQGRy  R kMm兾R   mg o k  gR兾M$Vt TXHOD~OWLPDHFXDFLyQHQ  VHFRQYLHUWHHQ d 2y dt 2 g R2  y2  9HDHOSUREOHPDHQORVHMHUFLFLRV MASA VARIABLE 2EVHUYHHQODH[SOLFDFLyQDQWHULRUTXHVHGHVFULEHHOPRYLPLHQWR GHOFRKHWHGHVSXpVGHTXHKDTXHPDGRWRGRVXFRPEXVWLEOHFXDQGRVXSXHVWDPHQWHVX masa mHVFRQVWDQWH3RUVXSXHVWRGXUDQWHVXDVFHQVRODPDVDWRWDOGHOFRKHWHSURSXOVDGRYDUtDDPHGLGDTXHVHFRQVXPHHOFRPEXVWLEOH/DVHJXQGDOH\GHOPRYLPLHQWR FRPRODDGHODQWy1HZWRQHQXQSULQFLSLRHVWDEOHFHTXHFXDQGRXQFXHUSRGHPDVDm VHPXHYHSRUXQFDPSRGHIXHU]DFRQYHORFLGDGvODUDSLGH]GHFDPELRUHVSHFWRDO WLHPSRGHODFDQWLGDGGHPRYLPLHQWRmvGHOFXHUSRHVLJXDODODIXHU]DDSOLFDGDRQHWD FTXHDFW~DVREUHHOFXHUSR d F (mv)   dt Si mHVFRQVWDQWHHQWRQFHVODHFXDFLyQ  SURGXFHODIRUPDPiVIDPLOLDUF  m dv兾dt  maGRQGHaHVODDFHOHUDFLyQ(QHOVLJXLHQWHHMHPSORVHXVDODIRUPDGHODVHJXQGD OH\GH1HZWRQGDGDHQODHFXDFLyQ  HQODTXHODPDVDmGHOFXHUSRHVYDULDEOH 5.3 5 lb fuerza hacia arriba x(t) FIGURA 5.3.6 &DGHQDMDODGDKDFLD DUULEDSRUXQDIXHU]DFRQVWDQWH EJEMPLO 4 MODELOS NO LINEALES l 217 Cadena jalada hacia arriba por una fuerza constante 8QDFDGHQDXQLIRUPHGHSLHVGHODUJRVHHQUROODVLQWHQVLyQVREUHHOSLVR8QH[WUHPRGHODFDGHQDVHMDODYHUWLFDOPHQWHKDFLDDUULEDXVDQGRXQDIXHU]DFRQVWDQWHGH OLEUDV/DFDGHQDSHVDOLEUDSRUSLH'HWHUPLQHODDOWXUDGHOH[WUHPRVREUHHOQLYHO GHVXHORDOWLHPSRt9HDOD¿JXUD SOLUCIÓN 6XSRQJDPRVTXHx  x(t GHQRWDODDOWXUDGHOH[WUHPRGHODFDGHQDHQHO DLUHDOWLHPSRtv  dx兾dt\TXHODGLUHFFLyQSRVLWLYDHVKDFLDDUULED3DUDODSRUFLyQGH ODFDGHQDTXHHVWiHQHODLUHHQHOWLHPSRtVHWLHQHQODVVLJXLHQWHVFDQWLGDGHVYDULDEOHV peso: (x pie) (1 lb/pie) W masa: m W>g fuerza neta: F 5 x, x>32, 5 W x. $VtGHODHFXDFLyQ  VHWLHQH regla del producto ( ) d x ––– –––v  5  x dt 32 dv dx x –––  v –––  160  32x. dt dt o  'HELGRDTXHv  dx兾dtOD~OWLPDHFXDFLyQVHFRQYLHUWHHQ d2x dx 2 32x 160   2 dt dt /DVHJXQGDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOQROLQHDOGHVHJXQGRRUGHQ  WLHQHODIRUPDF(xx x TXHHVODVHJXQGDGHODVGRVIRUPDVFRQVLGHUDGDVHQODVHFFLyQTXHSRVLEOHPHQWHVHSXHGHQUHVROYHUSRUUHGXFFLyQGHRUGHQ3DUDUHVROYHUODHFXDFLyQ  VH dv dv dx dv YXHOYHD  \VHXVDv  xMXQWRFRQODUHJODGHODFDGHQD'H v dt dx dt dx ODVHJXQGDHFXDFLyQHQ  VHSXHGHHVFULELUFRPR x xv dv dx v2 32x  160  $OLQVSHFFLRQDUODHFXDFLyQ  SRGUtDSDUHFHUGHGLItFLOVROXFLyQSXHVWRTXHQRVH SXHGHFDUDFWHUL]DUFRPRDOJXQDGHODVHFXDFLRQHVGHSULPHURUGHQUHVXHOWDVHQHOFDStWXOR6LQHPEDUJRVLVHUHHVFULEHODHFXDFLyQ  HQODIRUPDGLIHUHQFLDOM(xv dx  N(xv dv VHREVHUYDTXHDXQTXHODHFXDFLyQ (v2 32x 160)dx xv dv 0  QR HV H[DFWD VH SXHGH WUDQVIRUPDU HQ XQD HFXDFLyQ H[DFWD DO PXOWLSOLFDUOD SRU XQ IDFWRULQWHJUDQWH'H Mv  Nx 兾N  l兾xVHYHGH  GHODVHFFLyQTXHXQIDFWRU LQWHJUDQWHHV e dx/x eln x x.&XDQGRODHFXDFLyQ  VHPXOWLSOLFDSRUȝ(x  xOD HFXDFLyQUHVXOWDQWHHVH[DFWD FRPSUXHEH ,GHQWL¿FDQGRf 兾x  xv  x  x f 兾v  x v\SURFHGLHQGRGHVSXpVFRPRHQODVHFFLyQVHREWLHQH 1 2 2 xv 2 32 3 x 3 80x2 c1   3XHVWRTXHVHVXSXVRTXHDOSULQFLSLRWRGDODFDGHQDHVWiVREUHHOSLVRVHWLHQHx   (VWD~OWLPDFRQGLFLyQDSOLFDGDDODHFXDFLyQ  SURGXFHc 5HVROYLHQGR ODHFXDFLyQDOJHEUDLFD 12 x2v2 323 x3 80x2 0 SDUDv  dx兾dt VHREWLHQHRWUD HFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQ dx dt 160 B 64 x. 3 218 CAPÍTULO 5 l MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR /D~OWLPDHFXDFLyQVHSXHGHUHVROYHUSRUVHSDUDFLyQGHYDULDEOHV6HGHEHFRPSUREDUTXH x 8 7 6 5 4 3 2 1 3 160 32 64 x 3 1/2 c2  t  (VWDYH]ODFRQGLFLyQLQLFLDOx  LQGLFDTXHc2 3110 83RU~OWLPRHOHYDQGR DOFXDGUDGRDPERVODGRVGH  \GHVSHMDQGRxOOHJDPRVDOUHVXOWDGRGHVHDGR 0 0.5 1.5 1 2 2.5 FIGURA 5.3.7 *Ui¿FDGH  SDUD x(t  EJERCICIOS 5.3 x(t) t Resortes no lineales (QORVSUREOHPDVDOODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDHVPRGHORGHXQVLVWHPDUHVRUWHPDVDQRDPRUWLJXDGRHQHOTXHOD IXHU]DUHVWDXUDGRUDF(x HQ  HVQROLQHDO3DUDFDGDHFXDFLyQXWLOLFHXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFDSDUDWUD]DUODV FXUYDV VROXFLyQ TXH VDWLVIDFHQ ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV GHO SUREOHPD6LDOSDUHFHUODVVROXFLRQHVVRQSHULyGLFDVXVHOD FXUYDVROXFLyQSDUDHVWLPDUHOSHULRGRTGHODVRVFLODFLRQHV 2. x3 x(0) 1, x (0) d2x dt2 x(0) d2x 3. dt2 x(0) d2x 4. dt2 x(0) 0, 4x 1; 16x3 1 2, x (0) 1 0, 1, x (0) 1; x2 0, 2x x(0) 2, x (0) 1, x (0) 1; x(0) x (0) x(0) 2, x (0) 0; d2x dt 2 x(0) dx dt d2x dt2 dx dt x(0) 0.01x xe 1, x (0) 0, 1; x(0) 3, x (0) 1 5. (QHOSUREOHPDVXSRQJDTXHODPDVDVHOLEHUDGHVGHOD SRVLFLyQLQLFLDOx  FRQXQDYHORFLGDGLQLFLDOx    x8VHXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFDSDUDHVWLPDU HOYDORUPiVSHTXHxRGH兩x兩HQHOTXHHOPRYLPLHQWRGHOD PDVDHVQRSHULyGLFR 6. (QHOSUREOHPDVXSRQJDTXHODPDVDVHOLEHUDGHVGHXQD SRVLFLyQLQLFLDOx   x0 con velocidad inicial x   8VDQGRXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFDHVWLPHXQLQWHUvalo a  x0  bSDUDHOFXDOHOPRYLPLHQWRVHDRVFLODWRULR 7. 'HWHUPLQH XQD OLQHDOL]DFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GHOSUREOHPD 1, x (0) x(0) 1; x(0) x(0) 1 2; 2, x (0) 2, x (0) 1 2; 12, x (0) 1. (QORVSUREOHPDV\ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDHVXQPRGHORGHXQVLVWHPDUHVRUWHPDVDQROLQHDODPRUWLJXDGR3UHGLJD HOFRPSRUWDPLHQWRGHFDGDVLVWHPDFXDQGRt → 3DUDFDGD HFXDFLyQXVHXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFDSDUDREWHQHU ODVFXUYDVVROXFLyQTXHVDWLVIDFHQODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVGHO SUREOHPDGDGDV 2 1 x(0) 12, x (0) 1; x(0) 10. 3 2,  8. &RQVLGHUHHOPRGHORGHXQVLVWHPDUHVRUWHPDVDQROLQHDO VLQDPRUWLJXDPLHQWRGDGRSRUx x x  x  8VHXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFDSDUDDQDOL]DUOD QDWXUDOH]DGHODVRVFLODFLRQHVGHOVLVWHPDTXHFRUUHVSRQden a las condiciones iniciales: 9. x(0) 4 110 2 t . 15 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-8. SDUWHGHORVSUREOHPDVDD\SRGUtDQVHUYLU FRPRWDUHDVGHOODERUDWRULRGHFRPSXWDFLyQ d2x dt 2 15 1 2 /DJUi¿FDGHODHFXDFLyQ  TXHVHSUHVHQWDHQOD¿JXUDQRVHGHEHFRQEDVHV ItVLFDVDFHSWDUWDOFXDO9HDHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV Al profesor  $GHPiV GH ORV SUREOHPDV  \  WRGRV R 1. 15 2 x x3 3, x (0) x 0, x (0) 0, 4; x(0) x3 3 2; 0, x (0) 8 0, x(0) 1, x (0) 1 11. (OPRGHORmx  kx  kx  F0 cos ȦWGHXQVLVWHPDQR DPRUWLJXDGR UHVRUWHPDVD IRU]DGR HQ IRUPD SHULyGLFD VH llama HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH 'XI¿QJ &RQVLGHUH HO SURblema con valores iniciales x  x  kx FRVtx   x  8VHXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFDSDUD LQYHVWLJDUHOFRPSRUWDPLHQWRGHOVLVWHPDSDUDYDORUHVGHk TXHYDQGHk Dk ([SUHVHVXVFRQFOXVLRQHV 12. a) (  QFXHQWUH ORV YDORUHV GH k   SDUD ORV FXDOHV HO VLVWHPDGHOSUREOHPDHVRVFLODWRULR b) &RQVLGHUHHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV x  x  k x  cos 32 t, x    x     (QFXHQWUHYDORUHVSDUDk SDUDORVFXDOHVHOVLVWHPDHVRVFLODWRULR 5.3 Péndulo no lineal 13. &RQVLGHUHHOPRGHORGHOSpQGXORQROLQHDODPRUWLJXDGR OLEUHGDGRSRU d2 d 2 2 sen 0. dt2 dt 8VHXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFDSDUDLQYHVWLJDUVLHO movimiento en los dos casos Ȝ  Ȧ \Ȝ  Ȧ  0 coUUHVSRQGHUHVSHFWLYDPHQWHDORVFDVRVVREUHDPRUWLJXDGR\ VXEDPRUWLJXDGRDQDOL]DGRVHQODVHFFLyQSDUDVLVWHPDV UHVRUWHPDVD3DUDȜ  Ȧ XVHȜ Ȧ ș  \ ș  3DUDȜ  Ȧ XVHȜ Ȧ ș    \ș   Movimiento de un cohete 14. a) 8VHODVXVWLWXFLyQv  dy兾dtSDUDGHVSHMDUGHODHFXDFLyQ   D v HQ WpUPLQRV GH y 6XSRQLHQGR TXH OD YHORFLGDGGHOFRKHWHFXDQGRVHDJRWDHOFRPEXVWLEOH es v  v0\y 艐 RHQHVHLQVWDQWHGHPXHVWUHTXHHO YDORUDSUR[LPDGRGHODFRQVWDQWHcGHLQWHJUDFLyQHV c gR 12 v02  b) 8VHODVROXFLyQSDUDvGHOLQFLVRD FRQHO¿QGHGHPRVWUDUTXHODYHORFLGDGGHHVFDSHGHXQFRKHWHHVWi GDGDSRU v0 12gR >Sugerencia:7RPHy → \ VXSRQJDTXHv SDUDWRGRWLHPSRt@ c) (OUHVXOWDGRGHOLQFLVRE VHFXPSOHSDUDFXDOTXLHUFXHUSR GHOVLVWHPDVRODU8VHORVYDORUHVg SLHVs\R  PLOODVSDUDGHPRVWUDUTXHODYHORFLGDGGHHVFDSHGH OD7LHUUDHV DSUR[LPDGDPHQWH v0 PLK d) 'HWHUPLQHODYHORFLGDGGHHVFDSHHQOD/XQDVLODDFHOHUDFLyQGHELGDDODJUDYHGDGHVg\R PLOODV Masa variable MODELOS NO LINEALES l 219 a) 5  HVXHOYDvHQWpUPLQRVGHx'HWHUPLQHxHQWpUPLnos de t([SUHVHvHQWpUPLQRVGHt b) '  HWHUPLQHFXiQWRWDUGDHQFDHUWRGDODFDGHQDDOVXHOR c) ¢4XpYHORFLGDGSUHGLFHHOPRGHORGHOLQFLVRD SDUDHO H[WUHPRVXSHULRUGHODFDGHQDFXDQGRWRFDHOVXHOR" Diferentes modelos matemáticos 17. Curva de persecución  (QXQHMHUFLFLRQDYDOXQEDUFRS HVSHUVHJXLGRSRUXQVXEPDULQRSFRPRVHPXHVWUDHQOD ¿JXUD(OEDUFRSSDUWHGHOSXQWR  HQt \VH PXHYHDORODUJRGHXQFXUVRHQOtQHDUHFWD HOHMHy DXQD UDSLGH]FRQVWDQWHv(OVXEPDULQRS mantiene al barco S HQFRQWDFWRYLVXDOLQGLFDGRSRUODOtQHDSXQWHDGDL en la ¿JXUDPLHQWUDVTXHYLDMDFRQXQDUDSLGH]FRQVWDQWHv a lo ODUJRGHODFXUYDC6XSRQJDTXHHOEDUFRSFRPLHQ]DHQHO SXQWR a a HQt \TXHLHVWDQJHQWHDC a) 'HWHUPLQH XQ PRGHOR PDWHPiWLFR TXH GHVFULED OD FXUYDC b) (QFXHQWUHXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO3RUFRQYHQLHQFLDGH¿QDr  v兾v c) 'HWHUPLQHVLODVWUD\HFWRULDVGHS\SDOJXQDYH]VHLQWHUFHSWDUtDQDOFRQVLGHUDUORVFDVRVr r \r  dt dt ds [Sugerencia: Gonde sHVODORQJLWXGGH dx ds dx  DUFRPHGLGDDORODUJRGHC@ y C S1 L S2 15. a) (  Q HO HMHPSOR  ¢TXp ORQJLWXG GH OD FDGHQD VH HVSHUDUtDSRULQWXLFLyQTXHSXGLHUDOHYDQWDUODIXHU]D FRQVWDQWHGHOLEUDV" b) ¢&XiOHVODYHORFLGDGLQLFLDOGHODFDGHQD" c) ¢3RU TXp HO LQWHUYDOR GH WLHPSR TXH FRUUHVSRQGH D x(t    LOXVWUDGR HQ OD ¿JXUD  QR HV HO LQWHUvalo I GH GH¿QLFLyQ GH OD VROXFLyQ  " 'HWHUPLQH el intervalo I¢4XpORQJLWXGGHODFDGHQDVHOHYDQWD HQUHDOLGDG"([SOLTXHFXDOTXLHUGLIHUHQFLDHQWUHHVWD UHVSXHVWD\ODSUHGLFFLyQGHOLQFLVRD  d) ¢3RUTXpHVSHUDUtDTXHx(t IXHVHXQDVROXFLyQSHULyGLFD" 16. 8QDFDGHQDXQLIRUPHGHORQJLWXGLPHGLGDHQSLHVVHPDQWLHQH YHUWLFDOPHQWH SRU OR TXH HO H[WUHPR LQIHULRU DSHQDV WRFDHOSLVR/DFDGHQDSHVDOE兾SLH(OH[WUHPRVXSHULRU TXHHVWiVXMHWRVHOLEHUDGHVGHHOUHSRVRHQt \ODFDGHQD FDHUHFWD6Lx(t GHQRWDODORQJLWXGGHODFDGHQDHQHOSLVRDO WLHPSRtVHGHVSUHFLDODUHVLVWHQFLDGHODLUH\VHGHWHUPLQD TXHODGLUHFFLyQSRVLWLYDHVKDFLDDEDMRHQWRQFHV (L x) d2x dt2 dx dt 2 Lg . x FIGURA 5.3.8 &XUYDGHSHUVHFXFLyQGHOSUREOHPD 18. Curva de persecución  (Q RWUR HMHUFLFLR QDYDO XQ GHVWUXFWRUSSHUVLJXHDXQVXEPDULQRS6XSRQJDTXHS en  HQHOHMHx detecta a SHQ  \TXHDOPLVPRWLHPSR S detecta a S(OFDSLWiQGHOGHVWUXFWRUSVXSRQHTXHHO VXEPDULQRHPSUHQGHUiXQDDFFLyQHYDVLYDLQPHGLDWD\HVSHFXODTXHVXQXHYRFXUVRSUREDEOHHVODUHFWDLQGLFDGDHQ OD¿JXUD&XDQGRSHVWiHQ  FDPELDGHVXFXUVR HQOtQHDUHFWDKDFLDHORULJHQDXQDFXUYDGHSHUVHFXFLyQ C6XSRQJDTXHODYHORFLGDGGHOGHVWUXFWRUHVHQWRGRPRPHQWRXQDFRQVWDQWHGHPLOODV兾K\TXHODUDSLGH]GHO VXEPDULQRHVFRQVWDQWHGHPLOODV兾K a) ([SOLTXHSRUTXpHOFDSLWiQHVSHUDKDVWDTXHSOOHJXH D  DQWHVGHRUGHQDUXQFDPELRGHFXUVRDC b) 8VDQGRFRRUGHQDGDVSRODUHVHQFXHQWUHXQDHFXDFLyQ r  f (ș SDUDODFXUYDC c) 6HDTXHTGHQRWHHOWLHPSRPHGLGRGHVGHODGHWHFFLyQLQLFLDOHQTXHHOGHVWUXFWRULQWHUFHSWDDOVXEPDULQR'HWHUPLQHXQOtPLWHVXSHULRUSDUDT 220 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR y h m b m C S2 w  máx l mb vb S1 L (9, 0) x (3, 0) b) 8VHHOUHVXOWDGRGHOLQFLVRD SDUDGHPRVWUDUTXH FIGURA 5.3.9 &XUYDGHSHUVHFXFLyQGHOSUREOHPD 19. El péndulo balístico +LVWyULFDPHQWH SDUD PDQWHQHU HO FRQWURO GH FDOLGDG VREUH ODV PXQLFLRQHV EDODV  SURGXFLGDV SRU XQD OtQHD GH PRQWDMH HO IDEULFDQWH XVDUtD XQ péndulo balístico SDUD GHWHUPLQDU OD YHORFLGDG GH OD ERFD GH XQ DUPD HV GHFLU OD YHORFLGDG GH XQD EDODFXDQGRGHMDHOEDUULO(OSpQGXOREDOtVWLFR LQYHQWDGR HQ HVVLPSOHPHQWHXQSpQGXORSODQRTXHFRQVLVWHHQ XQDYDULOODGHPDVDGHVSUHFLDEOHTXHHVWiXQLGDDXQEORTXH de madera de masa mw(OVLVWHPDVHSRQHHQPRYLPLHQWR SRUHOLPSDFWRGHXQDEDODTXHVHHVWiPRYLHQGRKRUL]RQWDOPHQWH FRQ XQD YHORFLGDG GHVFRQRFLGD vb DO PRPHQWR GHOLPSDFWRTXHVHWRPDFRPRt ODPDVDFRPELQDGD es mw  mbGRQGHmbHVODPDVDGHODEDODLQFUXVWDGDHQOD PDGHUD(Q  YLPRVTXHHQHOFDVRGHSHTXHxDVRVFLODFLRQHVHOGHVSOD]DPLHQWRDQJXODUș(t GHOSpQGXORSODQRTXH VHPXHVWUDHQOD¿JXUDHVWiGDGRSRUOD('OLQHDOș  (g兾l ș GRQGHș FRUUHVSRQGHDOPRYLPLHQWRDODGHUHFKDGHODYHUWLFDO/DYHORFLGDGvbVHSXHGHHQFRQWUDUPL GLHQGR OD DOWXUD h de la masa mw  mb HQ HO iQJXOR GH GHVSOD]DPLHQWRPi[LPRșPi[TXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD    ,QWXLWLYDPHQWHODYHORFLGDGKRUL]RQWDOV de la masa FRPELQDGD PDGHUD PiV EDOD  GHVSXpV GHO LPSDFWR HV VyORXQDIUDFFLyQGHODYHORFLGDGvbGHODEDODHVGHFLU mb mw mb mb mw mb vb vb . l mw 2lg umáx. mb mb c) 8  VH OD ¿JXUD  SDUD H[SUHVDU FRV șPi[ HQ WpU minos de l \ de h'HVSXpVXWLOLFHORVSULPHURVGRV WpUPLQRVGHODVHULHGH0DFODXULQSDUDFRVșSDUDH[SUHVDU șPi[ HQ WpUPLQRV GH l \ de h 3RU ~OWLPR GHPXHVWUHTXHvbHVWiGDGR DSUR[LPDGDPHQWH SRU mw vb 22gh. mb mb d) 8  VHHOUHVXOWDGRGHOLQFLVRF SDUDHQFRQWUDUvbFXDQGR mb Jmw NJ\h FP 20. Suministros de ayuda  &RPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD XQDYLyQTXHYXHODKRUL]RQWDOPHQWHFRQXQDYHORFLdad constante v0VXHOWDXQSDTXHWHGHVXPLQLVWURVGHD\XGD DXQDSHUVRQDHQWLHUUD6XSRQJDTXHHORULJHQHVHOSXQWR GRQGH VH OLEHUD HO SDTXHWH \ TXH HO HMH x SRVLWLYR DSXQWD KDFLDDGHODQWH\TXHHOHMH ySRVLWLYRDSXQWDKDFLDDEDMR %DMRODVXSRVLFLyQGHTXHODVFRPSRQHQWHVKRUL]RQWDO\YHUWLFDOGHODUHVLVWHQFLDGHODLUHVRQSURSRUFLRQDOHVD dx兾dt  \ dy兾dt UHVSHFWLYDPHQWH\VLODSRVLFLyQGHOSDTXHWHGH VXPLQLVWURHVWiGDGDSRUr(t  (t i  y(t jHQWRQFHVVXYHlocidad es v(t  (dx兾dt i  (dy兾dt j,JXDODQGRFRPSRQHQWHVHQODIRUPDYHFWRULDOGHODVHJXQGDOH\GH1HZWRQ m da vb.   $KRUDUHFXHUGHTXHXQDGLVWDQFLDsTXHYLDMDSRUXQDSDUWtFXODTXHVHPXHYHDORODUJRGHXQDWUD\HFWRULDFLUFXODUHVWi relacionada con el radio l\HOiQJXORFHQWUDOșSRUODIyUPXOD s  lș'HULYDQGROD~OWLPDIyUPXODUHVSHFWRDOWLHPSRtVH WLHQHTXHODYHORFLGDGDQJXODUȦGHODPDVD\VXYHORFLGDG lineal v HVWi UHODFLRQDGD SRU v  OȦ 3RU WDQWR OD YHORFL GDGDQJXODUȦ0HQHOWLHPSRtSDUDHOTXHODEDODLPSDFWDHO EORTXHGHPDGHUDHVWiUHODFLRQDGDFRQVSRUV  OȦ0 o v0 h V FIGURA 5.3.10 3pQGXOREDOtVWLFRGHOSUREOHPD θ V mw dv dt mg dx dt k 2 i dy 2 j dt m d 2x dt 2 mg k dx 2 , dt x(0) 0, x (0) v0 m d 2y dt 2 mg k dy 2 , dt y(0) 0, y (0) 0 paquete a) 5HVXHOYDHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV d 2u dt2 g u l blanco 0, u(0) 0, u (0) v0. FIGURA 5.3.11 $YLyQ\VXPLQLVWURVGHOSUREOHPD 5.3 a) 5  HVXHOYDORVGRVSUREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHVPHGLDQWHODVVXVWLWXFLRQHVu  dx兾dtw  dy兾dt\VHSDUDFLyQGHYDULDEOHV>Sugerencia:9HDORVComentarios DO¿QDOGHODVHFFLyQ@ c) 6  XSRQJDTXHHODYLyQYXHODDXQDDOWLWXGGHSLHV \TXHVXUDSLGH]FRQVWDQWHHVPLK6XSRQJDTXHOD FRQVWDQWHGHSURSRUFLRQDOLGDGGHODUHVLVWHQFLDGHODLUH es k \TXHHOSDTXHWHGHVXPLQLVWURSHVD OE8VHXQSURJUDPDSDUDHQFRQWUDUUDtFHVGHXQ6$& RXQDFDOFXODGRUDJUD¿FDGRUDSDUDGHWHUPLQDUODGLVWDQFLDKRUL]RQWDOTXHYLDMDHOSDTXHWHPHGLGRGHVGH VXSXQWRGHOLEHUDFLyQDOSXQWRGRQGHSHJDHQHOVXHOR Problemas para analizar 21. $QDOLFH SRU TXp HO WpUPLQR GH DPRUWLJXDPLHQWR GH OD HFXDFLyQ  VHHVFULEHFRPR dx dx dx 2 . HQOXJDUGH dt dt dt 22. a) ([SHULPHQWHFRQXQDFDOFXODGRUDSDUDHQFRQWUDUXQLQtervalo 0  ș  șGRQGHșVHPLGHHQUDGLDQHVSDUD HOFXDOVHFRQVLGHUDTXHVHQș 艐 șHVXQDHVWLPDFLyQ EDVWDQWH EXHQD /XHJR XVH XQ SURJUDPD GH JUD¿FD FLyQSDUDWUD]DUODVJUi¿FDVGHy  x\y  sen x en el PLVPRHMHGHFRRUGHQDGDVSDUD[ ʌ兾¢/DVJUi¿FDVFRQ¿UPDQVXVREVHUYDFLRQHVFRQODFDOFXODGRUD" b) 8WLOLFHXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFDSDUDWUD]DU ODVFXUYDVVROXFLyQGHORVSUREOHPDVGHYDORULQLFLDO 2 \ d dt 2 d2 dt 2 sen 0, 0, (0) 0, (0) 0 (0) 0, (0) 0 S DUDYDULRVYDORUHVGHș0 en el intervalo 0  ș ș deWHUPLQDGRHQHOLQFLVRD /XHJRWUDFHODJUi¿FDFXUYDVGHVROXFLyQGHORVSUREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHV SDUDYDULRVYDORUHVGHș0SDUDORVFXDOHVș0 ș 23. Movimiento del péndulo en la Luna ¢8QSpQGXORGH ORQJLWXGlRVFLODPiVUiSLGRHQOD7LHUUDRHQOD/XQD" a) 7RPHl \g SDUDODDFHOHUDFLyQGHODJUDYHGDG HQOD7LHUUD8VHXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFD SDUDJHQHUDUXQDFXUYDGHVROXFLyQQXPpULFDSDUDHO PRGHORQROLQHDO  VXMHWRDODVFRQGLFLRQHVLQLFLDles ș     ș     5HSLWD XVDQGR ORV PLVPRV YDORUHVSHURXWLOLFHJSDUDODDFHOHUDFLyQGHOD JUDYHGDGHQOD/XQD b) 'HODVJUi¿FDVGHOLQFLVRD GHWHUPLQHTXpSpQGXOR RVFLODPiVUiSLGR¢4XpSpQGXORWLHQHODPD\RUDPSOLWXGGHPRYLPLHQWR" 24. Continuación del movimiento del péndulo en la Luna 5HSLWDORVGRVLQFLVRVGHOSUREOHPDHVWDYH]XWLOL]DQGR HOPRGHOROLQHDO   Tarea para el laboratorio de computación 25. &RQVLGHUHHOSUREOHPDFRQYDORUHViniciales MODELOS NO LINEALES l 221 1 d2 sen 0, (0) , (0) 2 dt 12 3   SDUDXQSpQGXORQROLQHDO3XHVWRTXHQRVHSXHGHUHVROYHU OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO QR HV SRVLEOH HQFRQWUDU XQD VROXFLyQH[SOtFLWDGHHVWHSUREOHPD3HURVXSRQJDTXHVH GHVHDGHWHUPLQDUODSULPHUtl SDUDODFXDOHOSpQGXORGH OD¿JXUDFRPHQ]DQGRGHVGHVXSRVLFLyQLQLFLDODOD GHUHFKDDOFDQ]DODSRVLFLyQOPHVGHFLUODSULPHUDUDt] SRVLWLYDGHș(t (QHVWHSUREOHPD\HOVLJXLHQWHVH H[DPLQDQYDULDVIRUPDVGHFyPRSURFHGHU a) $SUR[LPH t UHVROYLHQGR HO SUREOHPD OLQHDO 1 d  ș兾dt   ș ș   ʌ兾 (0) 3. b) 8VHHOPpWRGRLOXVWUDGRHQHOHMHPSORGHODVHFFLyQ SDUDHQFRQWUDUORVSULPHURVFXDWURWpUPLQRVQR QXORVGHXQDVROXFLyQHQVHULHGH7D\ORUș(t FHQWUDGD HQSDUDHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVQROLQHDO 'pORVYDORUHVH[DFWRVGHORVFRH¿FLHQWHV c) 8  VHORVGRVSULPHURVWpUPLQRVGHODVHULHGH7D\ORU GHOLQFLVRE SDUDDSUR[LPDUt d) (  PSOHH ORV WUHV SULPHURV WpUPLQRV GH OD VHULH GH 7D\ORUGHOLQFLVRE SDUDDSUR[LPDUt e) 8  WLOLFHXQDDSOLFDFLyQGHXQ6$& RXQDFDOFXODGRUDJUi¿FD SDUDHQFRQWUDUUDtFHV\ORVSULPHURVFXDWURWpUPLQRV GHODVHULHGH7D\ORUGHOLQFLVRE SDUDDSUR[LPDUt f) (  Q HVWD SDUWH GHO SUREOHPD VH SURSRUFLRQDQ ODV LQVWUXFFLRQHV GH Mathematica TXH SHUPLWHQ DSUR[LPDU OD UDt] t (O SURFHGLPLHQWR VH PRGL¿FD FRQ IDFLOLGDG SRUORTXHVHSXHGHDSUR[LPDUFXDOTXLHUUDt]GHș(t   Si no tiene Mathematica, adapte el procedimiento mediante la sintaxis correspondiente para el SAC que tenga 5HSURGX]FDFRQSUHFLVLyQ\OXHJRDVXYH]HMHFXWHFDGDOtQHDGHODVHFXHQFLDGDGDGHLQVWUXFFLRQHV sol  NDSolve [{y[t]  Sin[y[t]]  0, y[0]  Pi兾12, y[0]  1兾3}, y, {t, 0, 5}]兾兾Flatten solution  y[t]兾.sol Clear[y] y[t_]:  Evaluate[solution] y[t] gr1  Plot[y[t], {t, 0, 5}] root  FindRoot[y[t]  0, {t, 1}] g) 0  RGL¿TXHGHPDQHUDDSURSLDGDODVLQWD[LVGHOLQFLVRI \ GHWHUPLQHODVVLJXLHQWHVGRVUDtFHVSRVLWLYDVGHș(t  23. &RQVLGHUHXQSpQGXORTXHVHOLEHUDGHVGHHOUHSRVRFRQXQ GHVSOD]DPLHQWRLQLFLDOGHș0UDGLDQHV5HVROYLHQGRHOPRGHOR OLQHDO  VXMHWRDODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVș   ș0ș   0 se obtiene (t) 0 cos 1g/lt (OSHULRGRGHRVFLODFLRQHVTXHVHSUHGLFHFRQHVWHPRGHORVHGHWHUPLQDPHGLDQWH ODFRQRFLGDIyUPXODT 2 1g/l 2 1l/g /RLQWHUHVDQWHGHHVWDIyUPXODSDUDTHVTXHQRGHSHQGHGHODPDJQLWXGGHOGHVSOD]DPLHQWRLQLFLDOș0(QRWUDVSDODEUDV 222 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR HOPRGHOROLQHDOSUHGLFHTXHHOWLHPSRTXHWDUGDUtDHOSpQGXORHQRVFLODUGHVGHXQGHVSOD]DPLHQWRLQLFLDOGHGLJDPRV ș0  ʌ兾 ƒ Dʌ兾\GHUHJUHVRRWUDYH]VHUtDH[DFWDPHQWHHOPLVPRTXHWDUGDUtDHQFRPSOHWDUHOFLFORGHGLJDPRVș0  ʌ兾 ƒ Dʌ兾(VWRHVLOyJLFRGHVGHHO SXQWRGHYLVWDLQWXLWLYR\DTXHHOSHULRGRUHDOGHEHGHSHQGHU de ș0 6LVHVXSRQHTXHg SLHVV\l SLHVHQWRQFHVHOSHULRGRGHRVFLODFLyQGHOPRGHOROLQHDOHVT ʌV &RPSDUHHVWH~OWLPRQ~PHURFRQHOSHULRGRSUHGLFKRPHGLDQWH HO PRGHOR QR OLQHDO FXDQGR ș0  ʌ兾 8VDQGR XQ SURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFDTXHVHDFDSD]GHJHQHUDU GDWRVFRQFUHWRV\UHDOHVDSUR[LPHODVROXFLyQGH REPASO DEL CAPÍTULO 5 &RQWHVWHORVSUREOHPDVDOVLQFRQVXOWDUHOWH[WR&RPSOHWH HOHVSDFLRHQEODQFRRFRQWHVWHYHUGDGHURRIDOVR 1. 6LXQDPDVDTXHSHVDOLEUDVDODUJDSLHVXQUHVRUWH XQDPDVDTXHSHVDOLEUDVORDODUJD SLHV 2. (OSHULRGRGHOPRYLPLHQWRDUPyQLFRVLPSOHGHXQDPDVD TXH SHVD  OLEUDV XQLGD D XQ UHVRUWH FX\D FRQVWDQWH HV OE兾SLHHVGH VHJXQGRV 3. /DHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHXQVLVWHPDUHVRUWHPDVDHVx  x   6L OD PDVD VH OLEHUD LQLFLDOPHQWH GHVGH XQ SXQWRTXHHVWiPHWURDUULEDGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR FRQXQDYHORFLGDGKDFLDDEDMRGHPVODDPSOLWXGGHODV vibraciones es de PHWURV 4. /D UHVRQDQFLD SXUD QR WLHQH OXJDU HQ SUHVHQFLD GH XQD IXHU]DGHDPRUWLJXDPLHQWR 5. (QSUHVHQFLDGHXQDIXHU]DGHDPRUWLJXDPLHQWRORVGHVSOD]DPLHQWRVGHXQDPDVDHQXQUHVRUWHVLHPSUHWLHQGHQ DFHURFXDQGRt →  6. 8QD PDVD HQ XQ UHVRUWH FX\R PRYLPLHQWR HVWi FUtWLFDPHQWH DPRUWLJXDGR WLHQH SRVLELOLGDGHV GH SDVDU SRU OD SRVLFLyQGHHTXLOLEULRGRVYHFHV 7. (QDPRUWLJXDPLHQWRFUtWLFRFXDOTXLHUDXPHQWRGHDPRUWLJXDPLHQWRGDUiFRPRUHVXOWDGRXQVLVWHPD  8. 6L HO PRYLPLHQWR DUPyQLFR VLPSOH VH GHVFULEH PHGLDQWH x ( 22 2)sen(2t f)HOiQJXORIDVH‫ ׋‬es __________ FXDQGRODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVVRQx    12 \x   (QORVSUREOHPDV\ORVHLJHQYDORUHV\ODVIXQFLRQHVSURSLDV GHO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD y  Ȝ\   y  y(ʌ  0 son Ȝn  nn \y  cos nx UHVSHFWLYDPHQWH/OHQHORVHVSDFLRVHQEODQFR 9. 8QDVROXFLyQGHO39)FXDQGRȜ HVy  SRUTXH  d2 sen 0, (0) , (0) 0 dt 2 4 en el intervalo a 0  t &RPRHQHOSUREOHPDVLt GHQRWDODSULPHUDYH]TXHHOSpQGXORDOFDQ]DODSRVLFLyQ OPHQOD¿JXUDHQWRQFHVHOSHULRGRGHOSpQGXORQR lineal es 4t$TXtHVWiRWUDIRUPDGHUHVROYHUODHFXDFLyQ ș(t ([SHULPHQWHFRQWDPDxRVGHSDVR\KDJDDYDQ]DUHOWLHPSRFRPHQ]DQGRHQt \WHUPLQDQGRHQt   'H VXV GDWRV FRQFUHWRV REVHUYH HO WLHPSR t FXDQGR ș(t FDPELDSRUSULPHUDYH]GHSRVLWLYDDQHJDWLYD8VH el valor tSDUDGHWHUPLQDUHOYDORUYHUGDGHURGHOSHULRGR GHOSpQGXORQROLQHDO&DOFXOHHOHUURUUHODWLYRSRUFHQWXDO HQHOSHULRGRHVWLPDGRSRUT ʌ Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-8. 10. 8QDVROXFLyQGHO39)FXDQGRȜ HVy  SRUTXH  11. 8QVLVWHPDUHVRUWHPDVDOLEUHQRDPRUWLJXDGRRVFLODFRQ XQ SHULRGR GH  VHJXQGRV &XDQGR VH HOLPLQDQ  OLEUDV GHO UHVRUWH HO VLVWHPD WLHQH XQ SHULRGR GH  VHJXQGRV ¢&XiOHUDHOSHVRGHODPDVDRULJLQDOHQHOUHVRUWH" 12. 8QDPDVDTXHSHVDOLEUDVDODUJDSLHVXQUHVRUWH$OLQLFLRODPDVDVHOLEHUDGHVGHXQSXQWRSLHDEDMRGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRFRQXQDYHORFLGDGDVFHQGHQWHGHSLHVV a) 'HWHUPLQHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWR b) ¢ &XiOHV VRQ OD DPSOLWXG SHULRGR \ IUHFXHQFLD GHO PRYLPLHQWRDUPyQLFRVLPSOH" c) ¢(QTXpLQVWDQWHVODPDVDYXHOYHDOSXQWRVLWXDGRD SLHDEDMRGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR" d) ¢ (Q TXp LQVWDQWHV OD PDVD SDVD SRU OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR HQ GLUHFFLyQ KDFLD DUULED" ¢(Q GLUHFFLyQ KDFLDDEDMR" e) ¢&XiOHVODYHORFLGDGGHODPDVDHQt ʌ兾V" f) ¢(QTXpLQVWDQWHVODYHORFLGDGHVFHUR" 13. 8QDIXHU]DGHOLEUDVHVWLUDSLHXQUHVRUWH&RQXQH[WUHPR ¿MRVHXQHDORWURH[WUHPRXQDPDVDTXHSHVDOLEUDV(OVLVWHPD\DFHVREUHXQDPHVDTXHLPSDUWHXQDIXHU]DGHIULFFLyQ QXPpULFDPHQWHLJXDOD 32 YHFHVODYHORFLGDGLQVWDQWiQHD$O LQLFLRODPDVDVHGHVSOD]DSXOJDGDVDUULEDGHODSRVLFLyQ GHHTXLOLEULR\VHOLEHUDGHVGHHOUHSRVR(QFXHQWUHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWRVLHOPRYLPLHQWRWLHQHOXJDUDORODUJR GHODUHFWDKRUL]RQWDOTXHVHWRPDFRPRHOHMHx 14. UnDPDVDTXHSHVDOLEUDVDODUJDSXOJDGDVXQUHVRUWH/D PDVDVHPXHYHHQXQPHGLRTXHRIUHFHXQDIXHU]DGHDPRUWLJXDPLHQWRTXHHVQXPpULFDPHQWHLJXDODȕ veces la veloFLGDGLQVWDQWiQHD'HWHUPLQHORVYDORUHVGHȕ SDUDORV TXHHOVLVWHPDUHVRUWHPDVDH[KLEHPRYLPLHQWRRVFLODWRULR REPASO DEL CAPÍTULO 5 18. (QFXHQWUHXQDVROXFLyQSDUWLFXODUSDUDx Ȝ[  Ȧx  AGRQGHAHVXQDIXHU]DFRQVWDQWH 19. 8QDPDVDTXHSHVDOLEUDVVHVXVSHQGHGHXQUHVRUWHFX\D FRQVWDQWHHVOESLH7RGRHOVLVWHPDVHVXPHUJHHQXQ OtTXLGRTXHRIUHFHXQDIXHU]DGHDPRUWLJXDPLHQWRQXPpULFDPHQWHLJXDODODYHORFLGDGLQVWDQWiQHD&RPHQ]DQGR en t VHDSOLFDDOVLVWHPDXQDIXHU]DH[WHUQDLJXDOf(t   et'HWHUPLQHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWRVLODPDVD VHOLEHUDDOLQLFLRGHVGHHOUHSRVRHQXQSXQWRTXHHVWi SLHVDEDMRGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR 20. a) '  RVUHVRUWHVVHXQHQHQVHULHFRPRVHPXHVWUDHQOD ¿JXUD56LVHGHVSUHFLDODPDVDGHFDGDUHVRUWH PXHVWUHTXHODFRQVWDQWHGHUHVRUWHHIHFWLYDk del sisWHPDVHGH¿QHPHGLDQWH兾k 兾k  兾k  b) 8QDPDVDTXHSHVDWOLEUDVSURGXFHXQDODUJDPLHQWR de 12 SLHHQXQUHVRUWH\XQRGH 14 SLHHQRWURUHVRUWH6H XQHQORVGRVUHVRUWHV\GHVSXpVVH¿MDODPDVDDOUHVRU WHGREOHFRPRVHLOXVWUDHQOD¿JXUD56XSRQJDTXH HOPRYLPLHQWRHVOLEUH\TXHQRKD\IXHU]DGHDPRU WLJXDPLHQWRSUHVHQWH'HWHUPLQHODHFXDFLyQGHPRYLPLHQWRVLODPDVDVHOLEHUDDOLQLFLRHQXQSXQWRVLWXDGR SLHDEDMRGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRFRQXQDYHORFLdad de descenso de 23 SLHV c) 'HPXHVWUH TXH OD YHORFLGDG Pi[LPD GH OD PDVD HV 2 1. 3 23g 21. 8QFLUFXLWRHQVHULHFRQWLHQHXQDLQGXFWDQFLDGHL  KXQDFDSDFLWDQFLDGHC 4I\XQDIXHU]DHOHFWURPRWUL]GHE(t VHQt9$OLQLFLRODFDUJDq\OD corriente iVRQFHUR a) 'HWHUPLQHODFDUJDq(t  b) 'HWHUPLQHODFRUULHQWHi(t  c) &DOFXOHORVWLHPSRVSDUDORVTXHODFDUJDHQHOFDSDFLWRUHVFHUR 22. a)'HPXHVWUHTXHODFRUULHQWHi(t HQXQFLUFXLWRHQVHULH d 2i di 1 R i E (t) LRC VDWLVIDFHODHFXDFLyQ L 2 dt dt C donde E(t GHQRWDODGHULYDGDGHE(t    'HPXHVWUHTXHH[FHSWRSDUDHOFDVRȜ KD\GRVIXQFLRQHV SURSLDV LQGHSHQGLHQWHV TXH FRUUHVSRQGHQ D FDGD YDORUSURSLR 24. 8QD FXHQWD HVWi UHVWULQJLGD D GHVOL]DUVH D OR ODUJR GH XQD YDULOOD VLQ IULFFLyQ GH ORQJLWXG L /D YDULOOD JLUD HQXQSODQRYHUWLFDOFRQYHORFLGDGDQJXODUFRQVWDQWHȦ UHVSHFWRDXQSLYRWHP¿MRHQHOSXQWRPHGLRGHODYDULOODSHURHOGLVHxRGHOSLYRWHSHUPLWHTXHODFXHQWDVH PXHYDDORODUJRGHWRGDODYDULOOD6HDr(t ODSRVLFLyQ GHODFXHQWDUHVSHFWRDHVWHVLVWHPDGHFRRUGHQDGDVJLUDWRULRVHJ~QVHLOXVWUDHQOD¿JXUD5&RQHO¿QGH DSOLFDUODVHJXQGDOH\GH1HZWRQGHOPRYLPLHQWRDHVWH PDUFRGHUHIHUHQFLDURWDWRULRHVQHFHVDULRXVDUHOKHFKR GHTXHODIXHU]DQHWDTXHDFW~DHQODFXHQWDHVODVXPD GH ODV IXHU]DV UHDOHV HQ HVWH FDVR OD IXHU]D GHELGD D ODJUDYHGDG \ODVIXHU]DVLQHUFLDOHV FRULROLVWUDQVYHUVDO\FHQWUtIXJD /DVPDWHPiWLFDVGHOFDVRVRQXQSRFR FRPSOLFDGDVDVtTXHVyORVHGDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO UHVXOWDQWHSDUDr: m d 2r dt 2 m 2 mg sen t. r a) 5  HVXHOYDOD('DQWHULRUVXMHWDDODVFRQGLFLRQHVLQLciales r   r0r   v0 k1 k2 FIGURA 5.R.1 5HVRUWHVXQLGRVGHOSUREOHPD cuenta t) 17. 8QD PDVD TXH SHVD  OLEUDV HVWLUD  SXOJDGDV XQ UHVRUWH 6H DSOLFD DO VLVWHPD XQD IXHU]D SHULyGLFD LJXDO D f(t  cos ȖW  sen ȖWFRPHQ]DQGRHQt (QDXVHQFLD GHXQDIXHU]DGHDPRUWLJXDPLHQWR¢SDUDTXpYDORUGHȖ el VLVWHPDHVWiHQXQHVWDGRGHUHVRQDQFLDSXUD" 223 b) 6  HSXHGHQHVSHFL¿FDUGRVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVi  H i  SDUDOD('GHOLQFLVRD 6Li   i0\q   q0 ¢FXiOHVi  " 23. &RQVLGHUHHOSUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUD y y 0, y(0) y(2 ), y (0) y (2 ). r( 15. Un resorte con constante k VHVXVSHQGHHQXQOtTXLGR TXH RIUHFH XQD IXHU]D GH DPRUWLJXDPLHQWR QXPpULFDPHQWH LJXDO D  YHFHV OD YHORFLGDG LQVWDQWiQHD 6L XQD masa mVHVXVSHQGHGHOUHVRUWHGHWHUPLQHORVYDORUHVGH mSDUDTXHHOPRYLPLHQWROLEUHSRVWHULRUVHDQRRVFLODWRULR 16. (OPRYLPLHQWRYHUWLFDOGHXQDPDVDVXMHWDDXQUHVRUWHVH 1 x x 0, x   GHVFULEHPHGLDQWHHO39, 4 x x  'HWHUPLQHHOGHVSOD]DPLHQWRYHUWLFDOPi[LPR GHODPDVD l ωt P FIGURA 5.R.2 9DULOODURWDQGRGHOSUREOHPD 224 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR b) '  HWHUPLQH ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV SDUD ODV FXDOHV OD FXHQWD H[KLEH PRYLPLHQWR DUPyQLFR VLPSOH ¢&XiO HV ODORQJLWXGPtQLPDLGHODYDULOODSDUDODFXDOSXHGHpVWD DFRPRGDUHOPRYLPLHQWRDUPyQLFRVLPSOHGHODFXHQWD" c) Para las condiciones iniciales distintas de las obtenidas en HOLQFLVRE ODFXHQWDHQDOJ~QPRPHQWRGHEHVDOLUGHOD YDULOOD([SOLTXHXVDQGRODVROXFLyQr(t GHOLQFLVRD  d) 6XSRQJDTXHȦ UDG兾V8VHXQDDSOLFDFLyQJUD¿FDGRUDSDUDWUD]DUODVROXFLyQr(t SDUDODVFRQGLFLRnes iniciales r  r   v0GRQGHv0HV \ e) 6XSRQJDTXHODORQJLWXGGHODYDULOODHVL SLHV 3DUDFDGDSDUGHFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVGHOLQFLVRG  XVHXQDDSOLFDFLyQSDUDHQFRQWUDUUDtFHVSDUDFDOFXODU HOWLHPSRWRWDOTXHODFXHQWDSHUPDQHFHHQODYDULOOD 25. 6XSRQJDTXHXQDPDVDmTXHSHUPDQHFHVREUHXQDVXSHU¿FLHSODQDVHFD\VLQIULFFLyQHVWiXQLGDDOH[WUHPROLEUHGH XQUHVRUWHFX\DFRQVWDQWHHVk(QOD¿JXUD5 D ODPDVD VHPXHVWUDHQODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRx HVGHFLUHO UHVRUWHQRHVWiQLHVWLUDGRQLFRPSULPLGR&RPRVHLOXVWUD HQOD¿JXUD5 E HOGHVSOD]DPLHQWRx(t GHODPDVDD ODGHUHFKDGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRHVSRVLWLYR\QHJDWLYRDODL]TXLHUGD2EWHQJDXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUD HO PRYLPLHQWR GHVOL]DQWH  KRUL]RQWDO OLEUH GH OD PDVD 'HVFULEDODGLIHUHQFLDHQWUHODREWHQFLyQGHHVWD('\HO DQiOLVLVTXHGDOXJDUDODHFXDFLyQ  GHODVHFFLyQ 26. 6XSRQJDTXHODPDVDPVREUHODVXSHU¿FLHSODQDVHFD \VLQIULFFLyQGHOSUREOHPDHVWiXQLGDDGRVUHVRUWHV FRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD56LODVFRQVWDQWHVGH resorte son k \ k GHWHUPLQH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO SDUDHOGHVSOD]DPLHQWRx(t GHODVPDVDVTXHVHGHVOL]DQ OLEUHPHQWH 27. 6XSRQJDTXHODPDVDPHQHOVLVWHPDPDVDUHVRUWHHQHO SUREOHPD  VH GHVOL]D VREUH XQD VXSHU¿FLH VHFD FX\R FRH¿FLHQWH GH IULFFLyQ FLQpWLFR HV ȝ   6L OD IXHU]D UHWDUGDGRUD TXH OD IULFFLyQ FLQpWLFD WLHQH XQD PDJQLWXG constante fk  ȝPJGRQGHmgHVHOSHVRGHODPDVD\ DFW~DHQGLUHFFLyQRSXHVWDGHOPRYLPLHQWRHQWRQFHVVH conoce como fricción de Coulomb 0HGLDQWH OD función signo sgn(x ) 1, 1, x x 0 (movimiento a la izquierda) 0 (movimiento a la derecha) GHWHUPLQHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGH¿QLGDHQSDUWHVSDUD HO GHVSOD]DPLHQWR R x(t  GH OD PDVD GHVOL]DQWH DPRUWLJXDGD 28. 3RUVLPSOL¿FDUVXSRQJDTXHHQHOSUREOHPDm  k \fk  a) (QFXHQWUHHOGHVSOD]DPLHQWRx(t GHODPDVDVLpVWDVH OLEHUDDSDUWLUGHOUHSRVRGHVGHXQSXQWRXQLGDGHVD ODGHUHFKDGHODSRVLFLyQGHHTXLOLEULRHVGHFLUFXDQGR las condiciones iniciales son x     x´     &XDQGRVHOLEHUDLQWXLWLYDPHQWHHOPRYLPLHQWRGHOD PDVDVHUiKDFLDODL]TXLHUGD'pXQLQWHUYDORGHWLHPSR >t@VREUHHOFXDOHVWDVROXFLyQHVWiGH¿QLGD¢'yQGH HVWiODPDVDDOWLHPSRt" b) Para t tVXSRQJDTXHHOPRYLPLHQWRHVDKRUDKDFLD ODGHUHFKD8VDQGRODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVHQtHQFXHQWUHx(t \GpXQLQWHUYDORGHWLHPSR>tt] sobre el FXDOHVWDVROXFLyQHVWiGH¿QLGD¢'yQGHHVWiODPDVD DOWLHPSRt" c) Para t tVXSRQJDTXHHOPRYLPLHQWRHVDKRUDKDFLD OD L]TXLHUGD 8VDQGR ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV HQ tHQFXHQWUHx(t \GpXQLQWHUYDORGHWLHPSR>tt] VREUHHOFXDOHVWDVROXFLyQHVWiGH¿QLGD¢'yQGHHVWi ODPDVDDOWLHPSRt" d) Usando las condiciones iniciales en tGHPXHVWUHTXH HOPRGHORSUHGLFHTXHQRKD\PiVPRYLPLHQWRSDUD t t  e) 7  UDFH OD JUi¿FD GHO GHVSOD]DPLHQWR x(t  HQ HO LQWHUYDOR>t@ apoyo rígido m apoyo rígido superficie sin fricción: a) equilibrio x=0 m m x(t) < 0 x(t) > 0 b) movimiento FIGURA 5.R.3 6LVWHPDGHVOL]DQWHUHVRUWHPDVDGHO SUREOHPD k2 k1 apoyo rígido FIGURA 5.R.4 6LVWHPDGHUHVRUWHVGREOHVGHOSUREOHPD 6 6.1 SOLUCIÓNS ABOUT ORDINARY POINTS l 225 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES 6.1 6.2 6.3 6.4 Repaso de series de potencias Soluciones respecto a puntos ordinarios Soluciones en torno a puntos singulares Funciones especiales REPASO DEL CAPÍTULO 6 Hasta ahora se han resuelto principalmente ecuaciones diferenciales de orden dos RVXSHULRUFXDQGRODHFXDFLyQWLHQHFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV/D~QLFDH[FHSFLyQ IXHODHFXDFLyQGH&DXFK\(XOHUTXHVHHVWXGLyHQODVHFFLyQ(QDSOLFDFLRQHV ODVHFXDFLRQHVOLQHDOHVGHRUGHQVXSHULRUFRQFRH¿FLHQWHVYDULDEOHVVRQWDQ LPSRUWDQWHVRTXL]iPiVTXHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVFRQFRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV&RPRVHLQGLFyHQODVHFFLyQDXQXQDHFXDFLyQVLPSOHOLQHDO GHVHJXQGRRUGHQFRQFRH¿FLHQWHVYDULDEOHVWDOHVFRPRy  xy  0 no tiene VROXFLRQHVTXHVHDQIXQFLRQHVHOHPHQWDOHV3HURSRGHPRVHQFRQWUDUGRVVROXFLRQHV linealmente independientes de y  xy YHUHPRVHQODVVHFFLRQHV\TXH ODVVROXFLRQHVGHHVWDHFXDFLyQHVWiQGH¿QLGDVSRUVHULHVLQ¿QLWDV (QHVWHFDStWXORHVWXGLDUHPRVGRVPpWRGRVGHVHULHVLQ¿QLWDVSDUDHQFRQWUDU soluciones de ED lineales homogéneas de segundo orden a(x)y  a1(x)y  a0(x)y GRQGHORVFRH¿FLHQWHVYDULDEOHVa(x a1(x) y a0(x VRQODPD\RUtDGHODV YHFHVVLPSOHVSROLQRPLRV 225 226 CAPÍTULO 6 l SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES REPASO DE SERIES DE POTENCIAS 6.1 REPASO DE MATERIAL l 6HULHLQ¿QLWDGHFRQVWDQWHVVHULHpVHULHDUPyQLFDVHULHDUPyQLFDDOWHUQDVHULHJHRPpWULFD SUXHEDVGHFRQYHUJHQFLDHVSHFLDOPHQWHSUXHEDGHOFRFLHQWH l 6HULHGHSRWHQFLDVVHULHGH7D\ORUVHULHGH0DFODXULQ YHDFXDOTXLHUOLEURGHFiOFXOR INTRODUCCIÓN  (QODVHFFLyQYLPRVTXHUHVROYHUXQD('OLQHDOKRPRJpQHDFRQFRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHVHUDHQHVHQFLDXQSUREOHPDGHiOJHEUD(QFRQWUDQGRODVUDtFHVGHODHFXDFLyQDX[LOLDUHVSRVLEOHHVFULELUXQDVROXFLyQJHQHUDOGHOD('FRPRXQDFRPELQDFLyQOLQHDOGHIXQFLRQHVHOHPHQWDOHVex xkexxkex cos ȕ[ y xkex sen ȕ[3HURFRPRVHLQGLFyHQODLQWURGXFFLyQGHODVHFFLyQODPD\RUtDGH ODV('OLQHDOHVGHRUGHQVXSHULRUFRQFRH¿FLHQWHVYDULDEOHVQRVHUHVXHOYHQHQWpUPLQRVGHIXQFLRQHVHOHPHQWDOHV8QDHVWUDWHJLDXVXDOSDUDHFXDFLRQHVGHHVWDFODVHHVVXSRQHUXQDVROXFLyQHQODIRUPDGHVHULHV LQ¿QLWDV\SURFHGHUGHPDQHUDVLPLODUDOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV VHFFLyQ (QODVHFFLyQVHFRQVLGHUDQ('OLQHDOHVGHVHJXQGRRUGHQFRQFRH¿FLHQWHVYDULDEOHVTXHWLHQHQVROXFLRQHVGH ODIRUPDGHVHULHVGHSRWHQFLDV\SRUHVRHVDGHFXDGRFRPHQ]DUHVWHFDStWXORFRQXQUHSDVRGHHVHWHPD SERIE DE POTENCIAS  5HFXHUGHGHVXFXUVRGHFiOFXORTXHXQDserie de potencias en x  aHVXQDVHULHLQ¿QLWDGHODIRUPD El índice de la sumatoria no QHFHVLWDFRPHQ]DUHQn = 0 cn(x a) n c0 c1(x a) c 2(x a)2 . n 0 Se dice que esta serie es una serie de potencias centrada en a3RUHMHPSORODVHULH de potencias n 0 (x 1)n HVWiFHQWUDGDHQa  (QHVWDVHFFLyQWUDWDPRVSULQFLpalmente con las series de potencias en xHQRWUDVSDODEUDVVHULHVGHSRWHQFLDVFRPR n 1 n x x 2x2 4x3 TXHHVWiQFHQWUDGDVHQa  n 12 HECHOS IMPORTANTES  /DVLJXLHQWHOLVWDUHVXPHDOJXQRVKHFKRVLPSRUWDQWHV acerca de las series de potencias n 0 cn (x a)n divergencia convergencia absoluta divergencia a−R a a+R x la serie podría converger o divergir en los puntos extremos FIGURA 6.1.1 &RQYHUJHQFLDDEVROXWD GHQWURGHOLQWHUYDORGHFRQYHUJHQFLD\ GLYHUJHQFLDIXHUDGHHVWHLQWHUYDOR • Convergencia  8QD VHULH GH SRWHQFLDV HV convergente HQ XQ YDORU HVSHFL¿FDGR GH x si su sucesión de sumas parciales {SN(x ` FRQYHUJH HV GHFLUVLHO lím SN (x) lím Nn 0 cn (x a) n H[LVWH6LHOOtPLWHQRH[LVWH N: N: en xHQWRQFHVVHGLFHTXHODVHULHHVdivergente • Intervalo de convergencia  7RGD VHULH GH SRWHQFLDV WLHQH XQ intervalo de convergencia (O LQWHUYDOR GH FRQYHUJHQFLD HV HO FRQMXQWR GH todos los Q~PHURV UHDOHV x SDUD ORV TXH FRQYHUJH OD VHULH (O FHQWUR GH LQWHUYDOR GH FRQYHUJHQFLDHVHOFHQWURaGHODVHULH • Radio de convergencia  7RGDVHULHGHSRWHQFLDVWLHQHXQradio de convergencia R6LR HQWRQFHVODVHULHGHSRWHQFLDV n 0 cn (x a)n FRQYHUJHSDUD兩 x – a 兩  R \ GLYHUJH SDUD 兩 x – a 兩 R 6L OD VHULH FRQYHUJH VyOR HQ VX FHQWUR a HQWRQFHV R   6L OD VHULH FRQYHUJH SDUD WRGD x HQWRQFHV VH HVFULEH R  5HFXHUGHTXHODGHVLJXDOGDGGHYDORUDEVROXWR兩 x – a 兩  RHVHTXLYDOHQWHD ODGHVLJXDOGDGVLPXOWiQHDa  R  x  a  R8QDVHULHGHSRWHQFLDVSRGUtD FRQYHUJHURQRHQORVSXQWRVH[WUHPRVa  R y a  RGHHVWHLQWHUYDOR • Convergencia absoluta  'HQWURGHVXLQWHUYDORGHFRQYHUJHQFLDXQDVHULH de potencias converge absolutamente(QRWUDVSDODEUDVVLxHVXQQ~PHUR HQHOLQWHUYDORGHFRQYHUJHQFLD\QRHVXQH[WUHPRGHOLQWHUYDORHQWRQFHVOD VHULHGHYDORUHVDEVROXWRV n 0 cn (x a)n FRQYHUJH9pDVHOD¿JXUD • Prueba de la razón  /DFRQYHUJHQFLDGHXQDVHULHGHSRWHQFLDVVXHOHGHWHUPL narse mediante la prueba de la razón 6XSRQJD TXH cn  0 para toda n en a)n y que n 0 cn (x c (x a)n 1 c lím n 1 x a n: lím n 1 L. n: cn cn(x a)n Si L   OD VHULH FRQYHUJH DEVROXWDPHQWH VL L   OD VHULH GLYHUJH \ VL L   HO FULWHULR QR HV FRQFOX\HQWH /D SUXHED GHO FRFLHQWH QXQFD HV FRQFOX\HQWHHQXQSXQWRH[WUHPRa  R 6.1 REPASO DE SERIES DE POTENCIAS l 227 EJEMPLO 1 Suma de dos series de potencias 'HWHUPLQHHOLQWHUYDOR\UDGLRGHFRQYHUJHQFLDSDUD n 1 (x SOLUCIÓN /DSUXHEDGHODUD]yQDUURMD (x 3) n 1 lím 2n 1 (n 1) no (x 3)n 2n n x 3 lím 1 n 2n no 1 x 2 3) n> 2n n 3. 1 1o x 3 2 o 1 x 5 (VWD ODVHULHFRQYHUJHDEVROXWDPHQWHSDUD 2 x 3 ~OWLPD GHVLJXDOGDG GH¿QH HO LQWHUYDOR abierto GH FRQYHUJHQFLD /D VHULH GLYHUJH SDUD x 3 2 HVGHFLUSDUDx 5 o x (QHOH[WUHPRL]TXLHUGRx GHOLQWHUYDOR DELHUWR GH FRQYHUJHQFLD OD VHULH GH FRQVWDQWHV n 1 (( 1)n兾n)  HV FRQYHUJHQWH SRU OD SUXHEDGHVHULHVDOWHUQDQWHV(QHOH[WUHPRGHUHFKRx ODVHULH n 1 (1> n) es la serie DUPyQLFD GLYHUJHQWH (O LQWHUYDOR GH FRQYHUJHQFLD GH OD VHULH HV >  y el radio de FRQYHUJHQFLDHVR  • 8QDVHULHGHSRWHQFLDVGH¿QHXQDIXQFLyQ  8QDVHULHGHSRWHQFLDVGH¿QHXQD a)n FX\RGRPLQLRHVHOLQWHUYDORGHFRQYHUJHQFLDGH función f (x) n 0 cn (x ODVHULH6LHOUDGLRGHFRQYHUJHQFLDHVR 0 o R ’HQWRQFHVfHVFRQWLQXDGHULYDEOH HLQWHJUDEOHHQHOLQWHUYDOR a  Ra  R) o (’’ $GHPiVf (x) y f (x)dx VHHQFXHQWUDQGHULYDQGRHLQWHJUDQGRWpUPLQRDWpUPLQR/DFRQYHUJHQFLDHQXQ n H[WUHPRVHSRGUtDSHUGHUSRUGHULYDFLyQRJDQDUSRULQWHJUDFLyQ6Ly n 0 cn x    c0  c1x  cx  cx  ÂÂÂHVXQDVHULHGHSRWHQFLDVHQxHQWRQFHVODVSULPHUDV n 1 yy GRVGHULYDGDVVRQy 1)xn 2.2EVHUYHTXHHO n 0 nx n 0 n(n SULPHUWpUPLQRHQODSULPHUDGHULYDGD\ORVGRVSULPHURVWpUPLQRVGHODVHJXQGD GHULYDGDVRQFHUR6HRPLWHQHVWRVWpUPLQRVFHUR\VHHVFULEH cn nxn y n 1 n 2 y  cn n(n 1  c1 cx cx  4c4x   1)xn 2  ccx  c4x   (1) $VHJ~UHVHGHHQWHQGHUORVGRVUHVXOWDGRVGDGRVHQ  HVSHFLDOPHQWHREVHUYH GyQGHFRPLHQ]DHOtQGLFHGHODVXPDWRULDHQFDGDVHULH(VWRVUHVXOWDGRVVRQ LPSRUWDQWHV\VHXVDUiQHQWRGRVORVHMHPSORVGHODVLJXLHQWHVHFFLyQ • Propiedad de identidad Si n 0 cn (x a)n 0, R 0 SDUDORVQ~PHURV xHQHOLQWHUYDORGHFRQYHUJHQFLDHQWRQFHVcn  0 para toda n • Analítica en un punto  8QDIXQFLyQf es analítica en un punto a si se puede representar mediante una serie de potencias en x  aFRQXQUDGLRSRVLWLYRR LQ¿QLWRGHFRQYHUJHQFLD(QFiOFXORVHYHTXHODVIXQFLRQHVFRPRexFRVx sen xex ln(1  x HWFpWHUDVHSXHGHQUHSUHVHQWDUPHGLDQWHVHULHVGH7D\ORU n  a)n f (a) f (a) (x 1! a) f (a) (x 1! a)2 ... RXQDVHULHGH0DFODXULQ n  f (n)(a) (x 0 n! f (n)(0) n x 0 n! f(0) f (0) x 1! f (0) 2 x 1! . . .. 3RGUtDUHFRUGDUDOJXQDVGHODVUHSUHVHQWDFLRQHVHQVHULHGH0DFODXULQFX\RV UHVXOWDGRV VH SXHGHQ XWLOL]DU SDUD REWHQHU UHSUHVHQWDFLRQHV GH VHULHV GH potencias de otras funciones: 228 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES Intervalo de Convergencia Series de Maclaurin ex cos x se n x tan 1 x cosh x se nh x ln(1 x) 1 1  x 1 1 x x 1 x x 1 x 1! x2 2! x3 3! ... x2 2! x4 4! x6 6! ... x3 3! x5 5! x7 7! ... x3 3 x5 5 x7 7 ... x2 2! x4 4! x6 6! ... x3 3! x5 5! x7 7! ... x2 2 x3 3 x4 4 ... x x2 x3 ... 3XHGHWDPELpQFRPSUREDUTXHHO LQWHUYDORGHFRQYHUJHQFLDHV @ XVDQGRODSUXHEDGHFRQYHUJHQFLD ln(1 (x  ( , ) n ( 1)n 2n x 0 (2n)! ( , ) n ( 1)n 2n x 1)! 0 (2n n ( 1)n 2n x 1 0 2n n 1 2n x 0 (2n)! n 0 (2n 1)! 1 n ( 1)n n 1 1 1 1 [ 1, 1] x2n 1 xn ( , ) ( , ) (2) ( 1, 1] xn ( 1, 1) 0 3RUHMHPSORVLGHVHDPRVHQFRQWUDUODUHSUHVHQWDFLyQHQVHULHGH0DFODXULQ 2 GHGLJDPRVex QHFHVLWDPRVVXVWLWXLUxHQODVHULHGH0DFODXULQGHex: 2 ln x , ) n ex  ( n 1 n x n! 0 x2 1! 1 x4 2! x6 3! ... n 1 2n x . n! 0 'HPDQHUDVLPLODUSDUDREWHQHUXQDUHSUHVHQWDFLyQHQVHULHGH7D\ORUGHOQx centrada en a VXVWLWX\Dx por x  HQODVHULHGH0DFODXULQSDUDOQ  x) 1)) (x 1) 1)2 (x 2 1)3 (x 3 1)4 (x 4 ... n ( 1)n n 1 1 (x 1)n. (OLQWHUYDORGHFRQYHUJHQFLDSDUDODUHSUHVHQWDFLyQHQVHULHGHSRWHQFLDVGHex es el mismo que para exHVGHFLU ’’ 3HURHOLQWHUYDORGHFRQYHUJHQFLD GHODVHULHGH7D\ORUGHOQxHVDKRUD @HVWHLQWHUYDORHV @GHVSOD]DGR XQDXQLGDGDODGHUHFKD 2 • Aritmética de series de potencias  /DV VHULHV GH SRWHQFLDV VH FRPELQDQ PHGLDQWH RSHUDFLRQHV GH VXPD PXOWLSOLFDFLyQ \ GLYLVLyQ /RV SURFHGLPLHQWRV SDUDODVVHULHVGHSRWHQFLDVVRQVLPLODUHVDORVTXHVHXVDQSDUDVXPDUPXOWLSOLFDU \GLYLGLUGRVSROLQRPLRVHVGHFLUVHVXPDQORVFRH¿FLHQWHVGHSRWHQFLDVLJXDOHV de xVHXVDODOH\GLVWULEXWLYD\VHUH~QHQWpUPLQRVVHPHMDQWHV\VHUHDOL]DOD GLYLVLyQODUJD EJEMPLO 2 Multiplicación de series de potencias Determine una representación en serie de potencias de ex sen x SOLUCIÓN 8WLOL]DPRVXQDVHULHGHSRWHQFLDVSDUDex y sen x 6.1 ex senx 1 x2 2 x x4 24 1 6 (1)x2 (1)x x3 3 x2 x x3 6 REPASO DE SERIES DE POTENCIAS 1 3 x 2 x5 30 x3 6 x 1 6 x5 120 229 l x7 5040 1 4 x 6 1 120 1 12 1 5 x 24 . 3XHVWRTXHODVVHULHVGHSRWHQFLDVSDUDex y sen xFRQYHUJHQSDUD(’’ ODVHULHGH SURGXFWRVFRQYHUJHHQHOPLVPRLQWHUYDOR/RVSUREOHPDVUHODFLRQDGRVFRQPXOWLSOLFDFLyQRGLYLVLyQGHVHULHVGHSRWHQFLDVVHUHVXHOYHQPHMRUXVDQGRXQVLVWHPDDOJHEUDLFRFRPSXWDFLRQDO CORRIMIENTO DEL ÍNDICE DE LA SUMA  3DUD HO UHVWR GH HVWD VHFFLyQ DVt FRPRHVWHFDStWXORHVLPSRUWDQWHTXHVHDFRVWXPEUHDVLPSOL¿FDUODVXPDGHGRVR PiVVHULHVGHSRWHQFLDVFDGDXQDH[SUHVDGDHQQRWDFLyQGHVXPD VLJPD HQXQDH[presión con una sola . &RPRVHPXHVWUDHQHOVLJXLHQWHHMHPSORODFRPELQDFLyQGH GRVRPiVVXPDVHQXQDVRODVXHOHUHTXHULUTXHVHYXHOYDDLQGL]DUODVHULHHVGHFLU TXHVHUHDOLFHXQFDPELRHQHOtQGLFHGHODVXPD EJEMPLO 3 Suma de dos series de potencias (VFULED n 2 1)cn xn n(n 2 n 0 cn xn 1 FRPRXQDVRODVHULHGHSRWHQFLDV SOLUCIÓN 3DUDVXPDUODVGRVVHULHVHVQHFHVDULRTXHDPERVtQGLFHVGHODVVXPDV FRPLHQFHQFRQHOPLVPRQ~PHUR\ODVSRWHQFLDVGHx en cada caso estén “en fase”; es GHFLUVLXQDVHULHFRPLHQ]DFRQXQP~OWLSORGHSRUHMHPSORxDODSULPHUDSRWHQFLD HQWRQFHVVHTXLHUHTXHODRWUDVHULHFRPLHQFHFRQODPLVPDSRWHQFLD2EVHUYHTXHHQ HOSUREOHPDODSULPHUDVHULHHPSLH]DFRQx0PLHQWUDVTXHODVHJXQGDFRPLHQ]DFRQx1 6LVHHVFULEHHOSULPHUWpUPLQRGHODSULPHUDVHULHIXHUDGHODQRWDFLyQGHVXPD serie comienza serie comienza con x con x para n  3 para n  0 兺 n(n  1)cn x n2  n0 兺 cn x n1  2 n2 1c2 x 0  兺 n(n  1)cn x n2  兺 cn x n1, n3  n0 YHPRVTXHDPEDVVHULHVGHOODGRGHUHFKRHPSLH]DQFRQODPLVPDSRWHQFLDGHxHQ particular x1$KRUDSDUDREWHQHUHOPLVPRtQGLFHGHODVXPDVHWRPDQFRPRJXtD ORVH[SRQHQWHVGHxVHHVWDEOHFHk  n HQODSULPHUDVHULH\DOPLVPRWLHPSR k  n HQODVHJXQGDVHULH3DUDn HQk  n REWHQHPRVk \SDUDn  0 en k  n  1 REWHQHPRVk \DVtHOODGRGHUHFKRGHODHFXDFLyQ  VHFRQYLHUWHHQ igual 2c2  兺 (k  2)(k  1)ck2 x k  兺 ck1 x k . k1 (4) k1 igual 5HFXHUGHTXHHOtQGLFHGHODVXPDHVXQDYDULDEOH³PXGD´HOKHFKRGHTXHk  n  en un caso y k  n   HQ HO RWUR QR GHEH FDXVDU FRQIXVLyQ VL VH FRQVLGHUD TXH OR importante es el valorGHOtQGLFHGHVXPD(QDPERVFDVRVkWRPDORVPLVPRVYDORUHV VXFHVLYRVk FXDQGRnWRPDORVYDORUHVn SDUDk  n  1 y n SDUDk  n $KRUDHVSRVLEOHVXPDUODVVHULHVGH  WpUPLQRDWpUPLQR n(n 1)cn xn n 2 2 cn xn n 0 1 2c2 [(k k 2)(k 1)ck 2 ck 1 ]xk. (5) 1 6L QR HVWi FRQYHQFLGR GHO UHVXOWDGR HQ   HQWRQFHV HVFULED DOJXQRV WpUPLQRV GH DPERVODGRVGHODLJXDOGDG 230 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES EJEMPLO 4 Una solución en serie de potencias Determine una solución en serie de potencias de y cial y´  y  n cnxn de la ecuación diferen- 0 'HVFRPSRQHPRVODVROXFLyQHQXQDVHFXHQFLDGHSDVRV i 3ULPHURFDOFXODPRVODGHULYDGDGHODVROXFLyQVXSXHVWD SOLUCIÓN n 1 cn nx n y vea la primera línea de (1) 1 ii) Después sustituya y y y´ en la ED dada: y 1 cn nxn y 1 n n cn x n. 0 iii $KRUDFRUUDORVtQGLFHVGHODVXPDWRULD&XDQGRORVtQGLFHVGHODVXPDWRULDWLHQHQ el mismo punto de inicio y las potencias de xFRQFXHUGDQVHFRPELQDQODVVXPDWRULDV y y 1 k k k 1 cnnxn  n n  n 1 cnxn 0 k ck 1(k 1)xk [ck 1(k 1) n 0 k 0 ckxk 0 ck]xk. iv 3XHVWRTXHTXHUHPRVTXHVHVDWLVIDJDy´ y  0 para toda xHQDOJ~QLQWHUYDOR k [ck 1(k ck]xk 1) 0 0 HVXQDLGHQWLGDG\DVtVHGHEHGHWHQHUTXHck1(k  1)  ck R 1 c , k 0, 1, 2, . . . . ck 1 k 1 k v) haciendo que kWRPHYDORUHVVXFHVLYRVHQWHURVFRPHQ]DQGRFRQk HQFRQWUDPRV 1 c1 c c0 1 0 1 1 1 c2 c1 ( c0) c 2 2 2 0 1 1 1 1 c3 c c c 3 2 3 2 0 3 2 0 1 c 4 2 c4 1 4 1 3 2 c0 1 c 4 3 2 0 \DVtVXFHVLYDPHQWHGRQGHc0HVDUELWUDULR vi 8VDQGRODVROXFLyQRULJLQDOVXSXHVWD\ORVUHVXOWDGRVGHOLQFLVRv REWHQHPRVXQD solución formal en serie de potencias c2 x2 c3 x3 c4 x4 . . . 1 3 1 1 2 c0 c0 x c x c0 x c0 x4 . . . 2 0 3 2 4 3 2 1 2 1 3 1 c0 1 x x x x4 . . . 2 3 2 4 3 2 'HEHUtD VHU EDVWDQWH REYLR TXH HO SDWUyQ GH ORV FRH¿FLHQWHVHQ HO LQFLVRv) es ck  c0 (1)k兾kk «SRUORTXHHQQRWDFLyQGHVXPDWRULDSRGHPRVHVFULELU ( 1)k k y c0 x      k 0 k! y 6LVHGHVHDSRGUtDPRVUHJUHVDUDn como el índice de la sumatoria c0 c1x 6.1 REPASO DE SERIES DE POTENCIAS l 231 'HODSULPHUDUHSUHVHQWDFLyQHQVHULHGHSRWHQFLDV  ODVROXFLyQHQ  VHUHFRQRFH como y  c0ex.6LKXELHUDXVDGRHOPpWRGRGHODVHFFLyQKDEUtDHQFRQWUDGRTXHy  cex es una solución de y´  y HQHOLQWHUYDOR ’’ (VWHLQWHUYDORWDPELpQ HVHOLQWHUYDORGHFRQYHUJHQFLDGHODVHULHGHSRWHQFLDVHQ   EJERCICIOS 6.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-9. (QORVSUREOHPDVDHQFXHQWUHXQLQWHUYDOR\XQUDGLRGH FRQYHUJHQFLDSDUDODVHULHGHSRWHQFLDVGDGD 2. n ( 1)n n x 1 n 4. n 2n n x 1n k ( 1)k (x k 1 10 1. 3. 5. k 2 1k k 5k 9. k n 5n n x 0 n! k 0 25. 2 x 2k 3 15 (3x 1)k k k 10. n ( 1) 2n x n 0 9 (QORVSUREOHPDVGHODXVHXQDVHULHDGHFXDGDHQ   SDUDHQFRQWUDUODVHULHGH0DFODXULQGHODIXQFLyQGDGD(VFULEDVXUHVSXHVWDHQQRWDFLyQGHVXPDWRULD 11. e 13. 3x x兾2 12. xe 1 2 14. x x x2 1 16. sen x 15. ln(1  x) (QORVSUREOHPDV\XWLOLFHXQDVHULHDGHFXDGDHQ  SDUD HQFRQWUDUODVHULHGH7D\ORUGHODIXQFLyQGDGDFHQWUDGDHQHOYDORU indicado de a(VFULEDVXUHVSXHVWDHQQRWDFLyQGHVXPDWRULD 17. sen xa ʌ (QORVSUREOHPDV\ODIXQFLyQGDGDHVDQDOtWLFDHQa  8WLOLFHODVHULHDGHFXDGDHQ  \ODPXOWLSOLFDFLyQSDUDHQFRQtrar los primeros cuatro términos distintos de cero de la serie GH0DFODXULQGHODIXQFLyQGDGD 19. sen x cos x 20. excos x (Q ORV SUREOHPDV  \  OD IXQFLyQ GDGD HV DQDOtWLFD HQ a 8WLOLFHODVHULHDGHFXDGDHQ  \ODGLYLVLyQODUJDSDUD encontrar los primeros cuatro términos distintos de cero de la VHULHGH0DFODXULQGHODIXQFLyQGDGD 21. sec x 22. tan x (QORVSUREOHPDV\XWLOLFHXQDVXVWLWXFLyQSDUDFRUUHUHO índice de la sumatoria para que el término general de la serie de potencias dada implique a xk n ncn xn 1 2 (2n 24. n 3 1)cn x n 3 2 n(n 29. n 2 n 0 1 2 1 6cn x n n 0 1)cn x n 2 1)cn x n 2 cn x n 2 0 n 1)cn x n n(n 30. ncn x n 2 1 n 2 1)cn x n n(n n n 2 cn x n 0 2 ncn x n 3 1 n (Q ORV SUREOHPDV GHO  DO  FRPSUXHEH SRU VXVWLWXFLyQ directa que la serie de potencias dada es una solución de la ecuación diferencial indicada [Sugerencia:3DUDXQDSRWHQFLD xn+1 haga k  n @ y 2xy n ( 1)n 2n x , 0 n! ( 1)nx 2n, (1 x2)y n 0 (x n ( 1)n 1 n x, n 1 xy n ( 1)n 2n x , 2n 2 0 2 (n!) 31. y 32. y [Sugerencia:8VHSHULRGLFLGDG@ 18. ln x; a >Sugerencia: x > (x  兾@@ 23. n 1 n 2 cn xn 3 1 n(n 28. cn x n 0 n 2ncn x n 5)k 0 n 1 1 1)k 3 k(4x ncn xn n 27. 8. 1 1 26. k!(x 6. ncn xn n n 1 7. 5)k n 1 n x 2 1n (QORVSUREOHPDVGHODOSURFHGDFRPRHQHOHMHPSOR SDUDUHVFULELUODH[SUHVLyQGDGDXVDQGRXQDVRODVHULHGHSRtencias cuyo término general implica a xk 33. y 34. y 0 2xy 0 1)y y 0 y xy 0 (QORVSUREOHPDVGHODSURFHGDFRPRHQHOHMHPSOR\ encuentre una solución en serie de potencias y cnxn de 0 n ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHSULPHURUGHQGDGD 35. y 5y 37. y xy 0 36. 4y y 38. (1 x)y 0 y 0 Problemas para analizar 39. (Q HO SUREOHPD  HQFXHQWUH XQD IRUPD PiV IiFLO TXH PXOWLSOLFDUGRVVHULHVGHSRWHQFLDVSDUDREWHQHUODUHSUHVHQWDFLyQHQVHULHVGH0DFODXULQGHVHQx cos x 40. (QHOSUREOHPD¢FXiOFUHHXVWHGTXHHVHOLQWHUYDORGH FRQYHUJHQFLDSDUDODVHULHGH0DFODXULQGHVHFx? 232 l CAPÍTULO 6 6.2 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS REPASO DE MATERIAL l 6HULHGHSRWHQFLDVDQDOtWLFDHQXQSXQWRFRUULPLHQWRGHOtQGLFHGHODVXPDWRULDHQODVHFFLyQ INTRODUCCIÓN  $O¿QDOGHOD~OWLPDVHFFLyQPRVWUDUHPRVFyPRREWHQHUXQDVROXFLyQHQVHULHGH SRWHQFLDVGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHSULPHURUGHQ(QHVWDVHFFLyQUHJUHVDUHPRVDOSUREOHPD PiVLPSRUWDQWHGHHQFRQWUDUVROXFLRQHVGHODVHFXDFLRQHVOLQHDOHVGHVHJXQGRRUGHQHQODIRUPDGH VHULHVGHSRWHQFLDVFX\RFHQWURHVXQQ~PHURx0 que es un punto ordinarioGHOD('&RPHQ]DPRV FRQODGH¿QLFLyQGHXQSXQWRRUGLQDULR UNA DEFINICIÓN Suponga que la ecuación diferencial lineal de segundo orden a2 (x)y a1 (x)y a0 (x)y 0 (1) VHHVFULEHHQIRUPDHVWiQGDU y P(x)y Q(x)y 0  GLYLGLHQGRHQWUHHOFRH¿FLHQWHSULQFLSDOa(x 6HWLHQHODGH¿QLFLyQVLJXLHQWH DEFINICIÓN 6.2.1 Puntos ordinarios y singulares Se dice que un punto x  x0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial (1) si tanto P(x) como Q(x HQODIRUPDHVWiQGDU  VRQDQDOtWLFDVHQx06HGLFHTXH un punto que no es punto ordinario es un punto singular GHODHFXDFLyQ EJEMPLO 1 Puntos ordinarios a)8QDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHVHJXQGRRUGHQFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVFRPR y  y  0 y y  y  y  0 QRSXHGHWHQHUSXQWRVVLQJXODUHV(QRWUDVSDODEUDVFDGDYDORU¿QLWR GHx es un punto RUGLQDULRGHHVWDVHFXDFLRQHV b)&DGDYDORU¿QLWRGHx es un punto ordinario de la ecuación diferencial y  (ex)y  (sen x)y  (QSDUWLFXODUx HVXQSXQWRRUGLQDULRSRUTXHFRPR\DVHYLRHQ  GHODVHFFLyQ WDQWRex como sen xVRQDQDOtWLFDVHQHVWHSXQWR /D QHJDFLyQ HQ HO VHJXQGR HQXQFLDGR GH OD GH¿QLFLyQ  HVWDEOHFH TXH VL SRU OR menos una de las funciones P(x) y Q(x HQ  QRHVDQDOtWLFDHQx0HQWRQFHVx0 es un SXQWRVLQJXODU EJEMPLO 2 Puntos singulares a)/DHFXDFLyQGLIHUHQFLDO y  xy  (ln x)y  0 \DHVWiHQODIRUPDHVWiQGDU/DVIXQFLRQHVFRH¿FLHQWHVVRQ P(x)  x y Q(x)  ln x $KRUDP(x)  xHVDQDOtWLFDHQWRGRQ~PHURUHDO\Q(x)  ln x es analítica para todo Q~PHURUHDOpositivo6LQHPEDUJR\DTXHQ(x)  ln x es discontinua en x  0 no se puede representar por una serie de potencias en xHVGHFLUXQDVHULHGHSRWHQFLDVFHQWUDGDHQ&RQFOXLPRVTXHx HVXQSXQWRVLQJXODUGHOD(' b)$OWHQHUxy  y  xy HQODIRUPDHVWiQGDU  3DUDQXHVWURVSURSyVLWRVORVSXQWRVRUGLQDULRV\SXQWRVVLQJXODUHVVLHPSUHVHUiQSXQWRV¿QLWRV(V SRVLEOHTXHXQD('2WHQJDXQSXQWRVLQJXODUHQHOLQ¿QLWR 6.2 SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS l 233 y  (1兾x)y  y  0 YHPRVTXHP(x) 1兾x no es analítica en x  03RUORTXHx  0 es un punto singular de ODHFXDFLyQ COEFICIENTES POLINOMIALES 6HSRQHDWHQFLyQVREUHWRGRDOFDVRHQHOFXDO ORVFRH¿FLHQWHVa(x a1(x) y a0(x) en la ecuación (1) son funciones polinomiales sin IDFWRUHVFRPXQHV8QSROLQRPLRHVDQDOtWLFRHQFXDOTXLHUYDORUx y una función raFLRQDOHVDQDOtWLFDH[FHSWRHQORVSXQWRVGRQGHVXGHQRPLQDGRUHVFHUR$VtHQ   DPERV FRH¿FLHQWHV P(x)  a1(x)兾a(x) y Q(x)  a0(x)兾a(x  VRQ DQDOtWLFDV H[FHSWR donde a(x) (QWRQFHVVHWLHQHTXH Un número x  x0 es un punto ordinario de (1) si a(x0)  0 mientras que x  x0 es un punto singular de (1) si a(x0)  EJEMPLO 3 Puntos ordinarios y singulares a)/RV~QLFRVSXQWRVVLQJXODUHVGHODHFXDFLyQ (x  l)y xy y  0  son soluciones de x  1  0 o x  O7RGRVORVRWURVYDORUHVGHx son puntos orGLQDULRV b)/DLQVSHFFLyQGHODHFXDFLyQGH&DXFK\(XOHU  ↓ a(x) x  0 en x  0  x y  y  0 muestra que tiene un punto singular en x 7RGRVORVRWURVYDORUHVGHx son puntos RUGLQDULRV c)/RVSXQWRVVLQJXODUHVQRQHFHVLWDQVHUQ~PHURVUHDOHV/DHFXDFLyQ (x  l)y  xy  y  0 tiene puntos singulares en las soluciones x  1 HQSDUWLFXODUx   i/RVRWURV YDORUHVGHxUHDOHVRFRPSOHMRVVRQSXQWRVRUGLQDULRV (VWDEOHFHPRVHOVLJXLHQWHWHRUHPDDFHUFDGHODH[LVWHQFLDGHVROXFLRQHVHQVHULHVGH SRWHQFLDVVLQGHPRVWUDFLyQ TEOREMA 6.2.1 Existencia de soluciones en series de potencias Si x  x0HVXQSXQWRRUGLQDULRGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO  VLHPSUHHVSRVLEOHHQFRQWUDUGRVVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVHQODIRUPDGHXQD serie de potencias centrada en x0HVGHFLU y x0 )n 8QDVROXn 0 cn (x FLyQHQVHULHFRQYHUJHSRUORPHQRVHQXQLQWHUYDORGH¿QLGRSRU兩 x  x0 兩  R donde R es la distancia desde x0DOSXQWRVLQJXODUPiVFHUFDQR Se dice que una solución de la forma y x0 )n es una solución resn 0 cn (x pecto a un punto ordinario x0/DGLVWDQFLDRHQHOWHRUHPDHVHOvalor mínimo o límite inferiorGHOUDGLRGHFRQYHUJHQFLD EJEMPLO 4 /tPLWHLQIHULRUSDUDHOUDGLRGHFRQYHUJHQFLD (QFXHQWUHHOUDGLRPtQLPRGHFRQYHUJHQFLDGHXQDVHULHGHSRWHQFLDVGHODHFXDFLyQ diferencial de segundo orden (x x  5)y  xy  y  0 a) en torno al punto ordinario en x  b) en torno al punto ordinario x  1 234 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES SOLUCIÓN 0HGLDQWHODIyUPXODFXDGUiWLFDYHPRVHQx x  5  0 que los puntos VLQJXODUHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDVRQORVQ~PHURVFRPSOHMRVi y 1 + 2i i 兹5 1 x 兹5 1 − 2i FIGURA 6.2.1 Distancias desde los puntos singulares al punto ordinario 0 en HOHMHPSOR a) Ya que x HVXQSXQWRRUGLQDULRGHODHFXDFLyQHOWHRUHPDJDUDQWL]DTXH HV SRVLEOH HQFRQWUDU GRV VROXFLRQHV HQ VHULH GH SRWHQFLDV FHQWUDGDV HQ  HV GHFLU n soluciones que se parecen a y n 0 cn x . \DGHPiVVDEHPRVVLQUHDOPHQWHHQFRQWUDUHVWDVVROXFLRQHVTXHFDGDVHULHGHEHFRQYHUJHUal menos para x 15 donde R 15HVODGLVWDQFLDHQHOSODQRFRPSOHMRGHVGH HOSXQWR  DFXDOTXLHUD GHORVQ~PHURVi HOSXQWR  Ri HOSXQWR  DOSXQWRRUGLQDULR HOSXQWR  9HDOD¿JXUD b) Ya que x  HVXQSXQWRRUGLQDULRGHOD('HOWHRUHPDJDUDQWL]DTXHSRGHmos encontrar dos soluciones en series de potencias parecidas a y 1) n n 0 cn (x &DGDVHULHGHEHFRQYHUJHUDOPHQRVSDUD_x _ 212 ya que la distancia de cada punto singular a 1 (el punto ( HVR 18 2 12. (QHOLQFLVRD GHOHMHPSORXQDGHODVVROXFLRQHVHQVHULHVGHSRWHQFLDVHQGHOD HFXDFLyQGLIHUHQFLDOHVYiOLGDHQXQLQWHUYDORPXFKRPD\RUTXH 15 ; 15) en realiGDGHVWDVROXFLyQHVYiOLGDHQHOLQWHUYDOR   ) ya que se puede demostrar que una GHODVGRVVROXFLRQHVHQWRUQRDVHUHGXFHDXQSROLQRPLR NOTA (Q ORV HMHPSORV TXH VLJXHQ DVt FRPR HQ ORV HMHUFLFLRV  SRU VLPSOL¿FDU HQFRQWUDUHPRV VROXFLRQHV HQ VHULH GH SRWHQFLDV VyOR UHVSHFWR DO SXQWR RUGLQDrio x   6L HV QHFHVDULR HQFRQWUDU XQD VROXFLyQ HQ VHULH GH SRWHQFLDV GH XQD (' lineal respecto a un punto ordinario x0 VLPSOHPHQWHVHKDFHHOFDPELRGHYDULDEOH t  x  x0 en la ecuación (esto traduce x  x0 en t  SDUDHQFRQWUDUODVVROXFLRQHV n GHODQXHYDHFXDFLyQGHODIRUPD y n 0 cn t \GHVSXpVYROYHUDVXVWLWXLUt  x  x0 DETERMINACIÓN DE UNA SOLUCIÓN EN SERIES DE POTENCIAS /DGHWHUPLnación real de una solución en serie de potencias de una ED lineal homogénea de segundo RUGHQHVEDVWDQWHVLPLODUDORTXHVHKL]RHQODVHFFLyQSDUDHQFRQWUDUVROXFLRQHVSDUWLFXODUHVGH('QRKRPRJpQHDVFRQHOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV'HKHFKR HO PpWRGR GH VHULH GH SRWHQFLDV SDUD UHVROYHU XQD (' OLQHDO FRQ FRH¿FLHQWHV YDULDEOHV FRQIUHFXHQFLDVHGHVFULEHFRPR³PpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVGHseries´(Q n UHVXPHQODLGHDHVODVLJXLHQWHVXVWLWXLPRV y n 0 cn x HQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVH FRPELQDODVHULHFRPRVHKL]RHQHOHMHPSORGHODVHFFLyQ\OXHJRVHLJXDODQORVFRH¿FLHQWHVGHOPLHPEURGHUHFKRGHODHFXDFLyQSDUDGHWHUPLQDUORVFRH¿FLHQWHVcn3HURFRPR HOPLHPEURGHUHFKRHVFHURHO~OWLPRSDVRUHTXLHUHSRUODpropiedad de identidad en la OLVWDGHSURSLHGDGHVDQWHULRUTXHWRGRVORVFRH¿FLHQWHVGHxVHGHEDQLJXDODUDFHUR(VWR noVLJQL¿FDTXHORVFRH¿FLHQWHVsonFHURSXHVHOORQRWHQGUtDVHQWLGRGHVSXpVGHWRGRHO WHRUHPDJDUDQWL]DTXHVHSXHGHQHQFRQWUDUGRVVROXFLRQHV(QHOHMHPSORVHLOXVWUD n c0 c1 x c2 x2 cómo la sola suposición de y conduce a dos n 0 cn x FRQMXQWRVGHFRH¿FLHQWHVSRUORTXHVHWLHQHQGRVVHULHVGHSRWHQFLDVGLVWLQWDVy1(x) y y(x  DPEDVGHVDUUROODGDVUHVSHFWRDOSXQWRRUGLQDULRx /DVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQ diferencial es y  C1y1(x)  Cy(x GHKHFKRVHSXHGHGHPRVWUDUTXHC1  c0 y C  c1 $QWHVGHTXHWUDEDMHFRQHVWH HMHPSOROHUHFRPHQGDPRVTXH OHDGHQXHYRHOHMHPSORGHOD VHFFLyQ EJEMPLO 5 Soluciones en series de potencias 5HVXHOYDy  xy  SOLUCIÓN 3XHVWRTXHQRKD\SXQWRVVLQJXODUHV¿QLWRVHOWHRUHPDJDUDQWL]D GRV VROXFLRQHV HQ VHULH GH SRWHQFLDV FHQWUDGDV HQ  FRQYHUJHQWHV SDUD 兩 x 兩   n 1)cn xn 2  YHD Sustituyendo y n 0 cn x \ODVHJXQGDGHULYDGD y n 2 n(n  GHODVHFFLyQ HQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVHREWLHQH y xy cn n(n n 2 1)xn 2 cn xn x n 0 cn n(n n 2 1)xn 2 n cn xn 1.  0  (QHOHMHPSOR\DVHVXPDURQODVGRV~OWLPDVVHULHVHQHOPLHPEURGHUHFKRGHODLJXDOGDGHQ  FRUULHQGRHOtQGLFHGHODVXPD'HOUHVXOWDGRGDGRHQ  GHODVHFFLyQ y 6.1 SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS xy 2c2 [(k k 1)(k 2)ck ck 1]xk 2 235 l (4) 0. 1 (QHVWHSXQWRVHLQYRFDODSURSLHGDGGHLGHQWLGDG3XHVWRTXH  HVLGpQWLFDPHQWHFHUR HVQHFHVDULRTXHHOFRH¿FLHQWHGHFDGDSRWHQFLDGHxVHLJXDOHDFHURHVGHFLUc  0 HVHOFRH¿FLHQWHGHx0) y (k 1)(k 2)ck ck 2 0, 1 (5) 1, 2, 3, . . . k $KRUDc REYLDPHQWHGLFHTXHc 3HURODH[SUHVLyQHQ  OODPDGDrelación de recurrenciaGHWHUPLQDODckGHWDOPDQHUDTXHVHSXHGHHOHJLUTXHFLHUWRVXEFRQMXQWRGHOFRQMXQWRGHFRH¿FLHQWHVVHDdiferente de cero3XHVWRTXH k  1)(k   SDUDORVYDORUHVGHkVHSXHGHUHVROYHU  SDUDck  en términos de ck  1: ck 2 ck 1 1)(k (k 2) , 1, 2, 3, . . .  k  (VWDUHODFLyQJHQHUDFRH¿FLHQWHVFRQVHFXWLYRVGHODVROXFLyQVXSXHVWDXQDYH]TXHk WRPDORVHQWHURVVXFHVLYRVLQGLFDGRVHQ   c0 2 3 c1 3 4 c2 4 5 c3 5 6 c4 6 7 c5 7 8 c6 8 9 k 1, c3 k 2, c4 k 3, c5 k 4, c6 k 5, c7 k 6, c8 k 7, c9 k 8, c10 c7 9 10 k 9, c11 c8 10 11 0 m c2 es cero 1 c 2 3 5 6 0 1 c 3 4 6 7 1 0 m c5 es cero 1 2 3 5 6 8 9 c0 1 c 3 4 6 7 9 10 1 0 m c8 es cero HWFpWHUD$KRUDVXVWLWX\HQGRORVFRH¿FLHQWHVREWHQLGRVHQODVXSRVLFLyQRULJLQDO y c0 c1 x c2 x2 c3 x3 c4 x4 c5 x5 c6 x6 c7 x7 c8 x8 c9 x9 c10 x10 c11 x11 , REWHQHPRV y c0 c1 x c0 0 c1 3 4 6 7 2 3 x7 0 x3 c1 3 4 x4 0 c0 2 3 5 6 c0 2 3 5 6 8 9 x9 x6 c1 x10 3 4 6 7 9 10 0 Después de agrupar los términos que contienen c0 y los que contienen c1VHREWLHQH y  c0 yl(x)  c1y(x GRQGH . 236 l CAPÍTULO 6 y1 (x) y2(x) 1 x SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES 1 2 3 1 3 4 x3 x4 1 2 3 5 6 1 3 4 6 7 x6 x7 1 2 3 5 6 8 9 x9 1 k 1 x10 3 4 6 7 9 10 ( 1) k x3k (3k 1)(3k) 2 3 1 x 1 k 3 4 ( 1) k (3k)(3k 1) x3k 1. 'HELGRDTXHHOXVRUHFXUVLYRGH  GHMDDc0 y a c1FRPSOHWDPHQWHLQGHWHUPLQDGDVVH SXHGHQ HOHJLU HQ IRUPD DUELWUDULD &RPR \D VH PHQFLRQy DQWHV GH HVWH HMHPSOR OD FRPELQDFLyQOLQHDOy  c0 yl(x)  c1 y(x) representa en realidad la solución general de ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO$XQTXHVHVDEHGHOWHRUHPDTXHFDGDVROXFLyQHQVHULH FRQYHUJHSDUD兩 x 兩  HVGHFLUHQHOLQWHUYDOR   (VWHKHFKRWDPELpQVHSXHGH FRPSUREDUFRQODSUXHEDGHODUD]yQ /D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GHO HMHPSOR  VH OODPD ecuación de Airy OODPDGD DVt SRU HO PDWHPiWLFR \ DVWUyQRPR LQJOpV *HRUJH %LGGHO $LU\   \ VH HQFXHQWUD HQHOHVWXGLRGHODGLIUDFFLyQGHODOX]ODGLIUDFFLyQGHRQGDVGHUDGLRDOUHGHGRUGH ODVXSHU¿FLHGHOD7LHUUDODDHURGLQiPLFD\ODGHÀH[LyQGHXQDFROXPQDYHUWLFDOGHOJDGDXQLIRUPHTXHVHFXUYDEDMRVXSURSLRSHVR2WUDVIRUPDVFRPXQHVGHODHFXDFLyQ GH$LU\VRQy  xy  0 y y  xy 9pDVHHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV SDUDXQDDSOLFDFLyQGHOD~OWLPDHFXDFLyQ EJEMPLO 6 Solución con series de potencias 5HVXHOYD x   1)y  xy  y  SOLUCIÓN &RPRVHYLRHQODSiJLQDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDWLHQHSXQWRV singulares en x   i\SRUWDQWRXQDVROXFLyQHQVHULHGHSRWHQFLDVFHQWUDGDHQTXH FRQYHUJHDOPHQRVSDUD兩 x 兩 GRQGHHVODGLVWDQFLDHQHOSODQRFRPSOHMRGHVGHDi n o i/DVXSRVLFLyQ y n 0 cn x \VXVSULPHUDVGRVGHULYDGDV YpDVH  FRQGXFHQD (x2  1) 兺 n(n  1)cnxn2  x 兺 ncnxn1  兺 cnxn n2 n1 n0  兺 n(n  1)cnxn  兺 n(n  1)cnxn2  兺 ncnxn  兺 cnxn n2 n2 n1 n0  2c2x0  c0x0  6c3x  c1x  c1x  兺 n(n  1)cnxn n2 kn  兺 n(n  1)cnxn2  兺 ncnxn  兺 cnxn n4 n2 kn2 n2 kn kn  2c2  c0  6c3x  兺 [k(k  1)ck  (k  2)(k  1)ck2  kck  ck]xk k2  2c2  c0  6c3x  兺 [(k  1)(k  1)ck  (k  2)(k  1)ck2]xk  0. k2 'HHVWDLGHQWLGDGVHFRQFOX\HTXHc – c0 c \ (k 1)(k 1)ck (k 2)(k 1)ck 2 0. 6.1 SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS 3RUWDQWR ck c2 1 c 2 0 c3 0 2 1 k k c, 2 k l 237 2, 3, 4, . . . k Sustituyendo k HQOD~OWLPDIyUPXODVHREWLHQH c4 1 c 4 2 1 c5 2 c 5 3 00 c6 3 c 6 4 3 c 2 4 6 0 c7 4 c 7 5 00 c8 5 c 8 6 c9 6 c 9 7 c10 7 c 10 8 2 4 1 c 2 2! 0 c0 2 ; c3 es cero 1 3 c 23 3! 0 ; c5 es cero 3 5 c 2 4 6 8 0 00, 1 3 5 c0 24 4! ; c7 es cero 3 5 7 c 2 4 6 8 10 0 1 3 5 7 c 0, 25 5! c5 x5 c8 x8 HWFpWHUD3RUWDQWR y c0 c2 x2 c1 x 1 2 x 2 c0 1 c0 y1(x) c3 x3 c4 x4 1 4 x 2 2! 1 3 6 x 23 3! 2 c6 x6 c 7 x7 1 3 5 8 x 24 4! c9 x9 c10 x10 1 3 5 7 10 x 25 5! c1 x c1 y 2(x). /DVVROXFLRQHVVRQHOSROLQRPLRy(x)  x y la serie de potencias y1 (x) 1 2 x 2 1 EJEMPLO 7 ( 1)n n 1 3 5 2n 1 n 2 n! 2 y VHREWLHQH c2 x2n , x 1. Relación de recurrencia de tres términos 6LVHEXVFDXQDVROXFLyQHQVHULHGHSRWHQFLDV y 1 2 c0 3 (1 n 0 cn xn para la ecuación diferencial 0, x)y y la relación de recurrencia de tres términos ck ck 2 (k ck 1)(k 1 2) , k 1, 2, 3, . . . 6HGHGXFHDSDUWLUGHHVWRVGRVUHVXOWDGRVTXHORVFRH¿FLHQWHVcnSDUDn VHH[presan en términos de c0 y c13DUDVLPSOL¿FDUVHSXHGHHOHJLUSULPHURc0 c1  0; HVWRFRQGXFHDFRH¿FLHQWHVSDUDXQDVROXFLyQH[SUHVDGDSRUFRPSOHWRHQWpUPLQRVGH c0$FRQWLQXDFLyQVLHOHJLPRVc0 c1 HQWRQFHVORVFRH¿FLHQWHVSDUDODRWUD VROXFLyQVHH[SUHVDQHQWpUPLQRVGHc18VDQGR c2 12 c0 HQDPERVFDVRVODUHODFLyQ de recurrencia para k VHREWLHQH 238 CAPÍTULO 6 l SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES c0 0, c1 0 c2 1 c 2 0 c3 c1 c0 2 3 2 3 c4 c2 c1 3 4 c0 2 3 4 c0 c0 6 c0 24 c0 0, c1 0 c2 1 c 2 0 0 c3 c1 c0 2 3 c4 c2 c1 3 4 c1 2 3 c1 3 4 c1 6 c1 12 c3 c2 c0 1 1 c0 c3 c2 c1 c1 c5 4 5 4 5 6 2 30 4 5 4 5 6 120 HWFpWHUD3RU~OWLPRYHPRVTXHODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQHVy  c0 yl(x)  c1y(x GRQGH 1 2 1 3 1 4 1 5 y1 (x) 1 x x x x 2 6 24 30 c5 y y2 (x) 1 3 x 6 x 1 4 x 12 1 5 x 120 . &DGDVHULHFRQYHUJHSDUDWRGRVORVYDORUHV¿QLWRVGHx COEFICIENTES NO POLINOMIALES (QHOVLJXLHQWHHMHPSORVHPXHVWUDFyPR encontrar una solución en serie de potencias respecto a un punto ordinario x0  0 de XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOFXDQGRVXVFRH¿FLHQWHVQRVRQSROLQRPLRV(QHVWHHMHPSOR YHPRVXQDDSOLFDFLyQGHODPXOWLSOLFDFLyQGHGRVVHULHVGHSRWHQFLDV EJEMPLO 8 ('FRQFRH¿FLHQWHVQRSROLQRPLDOHV 5HVXHOYDy  (cos x)y  SOLUCIÓN 9HPRVTXHx HVXQSXQWRRUGLQDULRGHODHFXDFLyQSRUTXHFRPR\D KHPRVYLVWRFRVxHVDQDOtWLFDHQHVHSXQWR8VDQGRODVHULHGH0DFODXULQSDUDFRVx dada n HQ  MXQWRFRQODVXSRVLFLyQXVXDO y n 0 cn x \ORVUHVXOWDGRVGH  VHHQFXHQWUD y (cos x)y 1)cn xn n(n n 2 x2 2! 1 2 x4 4! x6 6! cn xn n 0 2 2c2 6c3 x 2c2 c0 12c4 x2 (6c3 20c5 x3 c1)x 1 x 2! 12c4 c2 1 c x2 2 0 6c3 c1 0, x4 4! 20c5 (c0 c3 c2 x2 c1 x c3 x3 1 c x3 2 1 ) 0. Se tiene que 2c2 c0 0, 12c4 c2 1 c 2 0 0, 20c5 c3 1 1 1 1 HWFpWHUD (VWR GD c2 30 c1, . . . 12 c0 , c5 6 c1 , c4 2 c0 , c3 términos se llega a la solución general y  c0 yl(x)  c1y(x GRQGH y1 (x) 1 1 2 x 2 1 4 x 12 y y2 (x) x 1 3 x 6 1 5 x 30 1 c 2 1 0, y agrupando . 'HELGRDTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOQRWLHQHSXQWRVVLQJXODUHV¿QLWRVDPEDVVHULHVGH SRWHQFLDVFRQYHUJHQSDUD兩 x 兩   6.1 l 239 CURVAS SOLUCIÓN /DJUi¿FDDSUR[LPDGDGHXQDVROXFLyQHQVHULHGHSRWHQFLDV n y(x) n 0 cn x  VH SXHGHREWHQHUGH YDULDVPDQHUDV6LHPSUHVH SXHGHUHFXUULU D WUD]DUODJUi¿FDGHORVWpUPLQRVHQODVXFHVLyQGHVXPDVSDUFLDOHVGHODVHULHHQRWUDV N n SDODEUDVODVJUi¿FDVGHORVSROLQRPLRVSN (x) n 0 cn x . 3DUDYDORUHVJUDQGHVGHN SN(x GHEHGDUQRVXQDLQGLFDFLyQGHOFRPSRUWDPLHQWRGHy(x) cerca del punto ordinario x 7DPELpQVHSXHGHREWHQHUXQDFXUYDVROXFLyQDSUR[LPDGDRQXPpULFDXVDQGR XQSURJUDPDFRPRVHKL]RHQODVHFFLyQ3RUHMHPSORVLVHH[DPLQDQFXLGDGRVDPHQWHODVVROXFLRQHVHQVHULHGHODHFXDFLyQGH$LU\GHOHMHPSORVHGHEHYHUTXH y1(x) y y(x VRQDVXYH]ODVVROXFLRQHVGHORVSUREOHPDVGHYDORUHVLQLFLDOHV y1 3 2 1 x _2 SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS 2 4 6 8 10 a) Gráfica de y1(x) contra x y2 1 x y xy 0, y(0) 1, y (0) 0, y xy 0, y(0) 0, y (0) 1.  /DV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHVHVSHFL¿FDGDV ³VHOHFFLRQDQ´ODV VROXFLRQHVyl(x) y y(x) de y  c0 yl(x)  c1y(x SXHVWRTXHGHEHVHUHYLGHQWHGHODVXSRVLFLyQEiVLFDGHVHULHV n que y(0)  c y y(0)  c $KRUDVLHOSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFD y n 0 cn x 0 1 UHTXLHUHXQVLVWHPDGHHFXDFLRQHVODVXVWLWXFLyQy  u en y  xy  0 produce y  u   xy\SRUFRQVLJXLHQWHXQVLVWHPDGHGRVHFXDFLRQHVGHSULPHURUGHQHTXLYDOHQWHDODHFXDFLyQGH$LU\HV _1 y _2 u _3 _2 2 4 6 8 10 b) Gráfica de y2(x) contra x FIGURA 6.2.2  &XUYDVGHVROXFLyQ QXPpULFDSDUDOD('GH$LU\ u xy.  /DVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVSDUDHOVLVWHPDHQ  VRQORVGRVFRQMXQWRVGHFRQGLFLRQHV LQLFLDOHVHQ  UHHVFULWDVFRPRy(0) u(0)  0 y y(0) u(0) /DVJUi¿FDV de yl(x) y y(x TXHVHPXHVWUDQHQOD¿JXUDVHREWXYLHURQFRQODD\XGDGHXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFD(OKHFKRGHTXHODVFXUYDVVROXFLyQQXPpULFDVSDUH]FDQ RVFLODWRULDVHVFRQVLVWHQWHFRQHOKHFKRGHTXHODHFXDFLyQGH$LU\VHSUHVHQWyHQOD VHFFLyQHQODIRUPDmx  ktx  0 como el modelo de un resorte cuya “constante de resorte” K(t)  ktVHLQFUHPHQWDFRQHOWLHPSR COMENTARIOS i (QORVSUREOHPDVTXHVLJXHQQRHVSHUHSRGHUHVFULELUXQDVROXFLyQHQWpUPLQRV GHODQRWDFLyQGHVXPDHQFDGDFDVR$XQFXDQGRVHSXHGDQJHQHUDUWDQWRVWpUPLn nos como se desee en una solución en serie y n 0 cn x ya sea usando una relaFLyQGHUHFXUUHQFLDRFRPRHQHOHMHPSORSRUPXOWLSOLFDFLyQSRGUtDQRVHUSRVLEOH GHGXFLUQLQJ~QWpUPLQRJHQHUDOSDUDORVFRH¿FLHQWHVcn3RGUtDPRVWHQHUTXHFRQIRU PDUQRVFRPRVHKL]RHQORVHMHPSORV\FRQORVSULPHURVWpUPLQRVGHODVHULH ii  8Q SXQWR x0 es un punto ordinario de una ED lineal no homogénea de segundo orden y  P(x)y  Q(x)y  f(x) si P(x Q(x) y f [ VRQDQDOtWLFDVHQ x0$GHPiVHOWHRUHPDVHDPSOtDDHVWDFODVHGH('HQRWUDVSDODEUDV podemos encontrar soluciones en serie de potencias y x0 ) n de n 0 cn (x ('OLQHDOHVQRKRPRJpQHDVGHODPLVPDPDQHUDTXHHQORVHMHPSORVDO9HD HOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV 240 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES EJERCICIOS 6.2 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-9. (QORVSUREOHPDV\VLQUHDOPHQWHUHVROYHUODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDHQFXHQWUHXQOtPLWHLQIHULRUSDUDHOUDGLRGHFRQYHUJHQFLD GH ODV VROXFLRQHV HQ VHULH GH SRWHQFLDV UHVSHFWR DO punto ordinario x &RQUHVSHFWRDOSXQWRRUGLQDULRx  1. (x   y xy  y  0 2. (x  x  10)y  xy  4y  0 (QORVSUREOHPDVDOGHWHUPLQHGRVVROXFLRQHVHQVHULHVGH potencias de la ecuación diferencial dada en torno al punto ordinario x &RPSDUHODVVROXFLRQHVHQVHULHVFRQODVVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOREWHQLGDXVDQGRHOPpWRGRGHOD VHFFLyQ7UDWHGHH[SOLFDUFXDOTXLHUGLIHUHQFLDHQWUHODVGRV IRUPDVGHVROXFLRQHV 3. y  y  0 4. y  y  0 5. y  y  0 6. y y  0 (QORVSUREOHPDVDHQFXHQWUHGRVVHULHVGHSRWHQFLDVGH la ecuación diferencial dada respecto al punto ordinario x  7. y  xy  0 8. y  x y  0 9. y xy  y  0 10. y  xy y  0 11. y  x y  xy  0 12. y xy y  0 13. (x  1)y  y  0 14. (x  y  xy  y  0 15. y  (x  1)y  y  0 16. (x   1)y y  0 17. (x   y xy  y  0 18. (x   1)y  xy  y  0 (QORVSUREOHPDVDXVHHOPpWRGRGHVHULHVGHSRWHQFLDV SDUDUHVROYHUHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV 19. (x  1)y  xy  y   y(0)  y(0)  20. (x  1)y   x)y  y   y(0) y(0)  1 21. y xy y   y(0) y(0)  0 22. (x   1)y xy   y(0) y(0)  1 (QORVSUREOHPDV\XVHHOSURFHGLPLHQWRGHOHMHPSOR para encontrar dos soluciones en serie de potencias de la ecuación diferencial respecto al punto ordinario x  23. y  (sen x)y  0 24. y  e x y  y  0 Problemas para analizar 25. 6LQUHVROYHUHQVXWRWDOLGDGODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO FRV x)y  y  5y HQFXHQWUHXQOtPLWHLQIHULRUSDUDHO UDGLRGHFRQYHUJHQFLDGHODVVROXFLRQHVHQVHULHGHSRWHQcias respecto a x 5HVSHFWRDx  26. ¢&yPRVHSXHGHXVDUHOPpWRGRGHVFULWRHQHVWDVHFFLyQ para encontrar una solución en serie de potencias de la ecuación no homogénea y  xy  1 respecto al punto ordinario x "¢'Hy  4xy  4y  ex"/OHYHDFDER VXVLGHDVDOUHVROYHUDPEDV(' 27. ¢(Vx  0 un punto ordinario o singular de la ecuación diferencial xy  (sen x)y "'H¿HQGDVXUHVSXHVWDFRQ PDWHPiWLFDV FRQYLQFHQWHV >Sugerencia: 8WLOLFH OD VHULH GH0DFODXULQGHVHQx\GHVSXpVH[DPLQH VHQx)兾x@ 28. ¢(V x = 0 un punto ordinario de la ecuación diferencial y  5xy  冪xy  0? Tarea para el laboratorio de computación 29. a) Determine dos soluciones en serie de potencias para y  xy  y \H[SUHVHODVVROXFLRQHV y1(x) y y(x HQWpUPLQRVGHODQRWDFLyQGHVXPD b) 8  VHXQ6$&SDUDJUD¿FDUODVVXPDVSDUFLDOHVSN(x) para y1(x 8VHN 5HSLWDFRQODV sumas parciales SN(x) para y(x  c) &  RPSDUH ODV JUi¿FDV REWHQLGDV HQ HO LQFLVR E  FRQ OD FXUYD REWHQLGD SRU PHGLR GH XQ SURJUDPD GH VROXFLyQ QXPpULFD 8VH ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV y 1(0) y1(0)  0 y y (0) y(0)  d) 5  HH[DPLQHODVROXFLyQy1(x GHOLQFLVRD ([SUHVH HVWD VHULH FRPR XQD IXQFLyQ HOHPHQWDO 'HVSXpV XVHODHFXDFLyQ  GHODVHFFLyQSDUDHQFRQWUDU XQD VHJXQGD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ &RPSUXHEH que esta segunda solución es la misma que la solución en serie de potencias y(x  Encuentre un término diferente de cero para cada una de las soluciones y1(x) y y(x GHOHMHPSOR b) Determine una solución en serie y(x GHOSUREOHPDGH YDORULQLFLDOy  (cos x)y y(0) y(0)  c) 8  VHXQ6$&SDUDWUD]DUODVJUi¿FDVGHODVVXPDVSDUciales SN(x) para la solución y(x GHOLQFLVRE 8VH N  d) &RPSDUHODVJUi¿FDVREWHQLGDVHQHOLQFLVRF FRQ ODFXUYDREWHQLGDXVDQGRXQSURJUDPDGHVROXFLyQ QXPpULFDSDUDHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHVGHO LQFLVRE  30. a) 6.3 6.3 SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES l 241 SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES REPASO DE MATERIAL l 6HFFLyQ HVSHFLDOPHQWH  GHHVDVHFFLyQ l /DGH¿QLFLyQGHXQSXQWRVLQJXODUHQOD'H¿QLFLyQ INTRODUCCIÓN  /DVGRVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV y  xy  0 y xy  y  0 VRQVLPLODUHVVyORHQTXHVRQHMHPSORVGH('OLQHDOHVVLPSOHVGHVHJXQGRRUGHQFRQFRH¿FLHQWHV YDULDEOHV(VRHVWRGRORTXHWLHQHQHQFRP~Q'HELGRDTXHx  0 es un punto ordinario de y  xy YLPRVHQODVHFFLyQDQWHULRUTXHQRKXERSUREOHPDHQHQFRQWUDUGRVVROXFLRQHVHQVHULHGH SRWHQFLDVGLVWLQWDVFHQWUDGDVHQHVHSXQWR(QFRQWUDVWHGHELGRDTXHx  0 es un punto singular de xy  y HQFRQWUDUGRVVROXFLRQHVHQVHULHVLQ¿QLWDV²REVHUYHTXHQRVHGLMRseries de potencias—GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOUHVSHFWRDHVHSXQWRVHYXHOYHXQDWDUHDPiVGLItFLO (OPpWRGRGHVROXFLyQDQDOL]DGRHQHVWDVHFFLyQQRVLHPSUHSURGXFHGRVVROXFLRQHVHQVHULHV LQ¿QLWDV&XDQGRVyORVHHQFXHQWUDXQDVROXFLyQVHSXHGHXVDUODIyUPXODGDGDHQ  GHODVHFFLyQ SDUDHQFRQWUDUXQDVHJXQGDVROXFLyQ UNA DEFINICIÓN 8QSXQWRVLQJXODUx0 de una ecuación diferencial lineal (1) a2 (x)y a1 (x)y a0 (x)y 0 VHFODVL¿FDPiVELHQFRPRUHJXODURLUUHJXODU/DFODVL¿FDFLyQGHQXHYRGHSHQGHGH las funciones P y QHQODIRUPDHVWiQGDU y P(x)y Q(x)y 0.   DEFINICIÓN 6.3.1 Puntos singulares regulares e irregulares Se dice que un punto singular x  x0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial (l) si las funciones p(x)  (x – x0) P(x) y q(x)  (x  x0)Q(x) son analíticas en x08QSXQWRVLQJXODUTXHQRHVUHJXODUHVXQpunto singular irregularGHODHFXDFLyQ (OVHJXQGRHQXQFLDGRHQODGH¿QLFLyQLQGLFDTXHVLXQDRDPEDVIXQFLRQHVp(x)  (x  x0) P (x) y q(x)  (x  x0)Q(x) no son analíticas en x0HQWRQFHVx0 es un punto VLQJXODULUUHJXODU COEFICIENTES POLINOMIALES &RPRHQODVHFFLyQHVWDPRVSULQFLSDOPHQWH LQWHUHVDGRV HQ HFXDFLRQHV OLQHDOHV   GRQGH ORV FRH¿FLHQWHV a(x  al(x) y a0(x) son SROLQRPLRVVLQIDFWRUHVFRPXQHV<DVHKDYLVWRTXHVLa(x0) HQWRQFHVx  x0 es XQSXQWRVLQJXODUGH  \DTXHDOPHQRVXQDGHODVIXQFLRQHVUDFLRQDOHVP(x)  al(x) 兾a(x) y Q(x)  a0(x)兾a(x HQODIRUPDHVWiQGDU  QRHVDQDOtWLFDHQHVHSXQWR3HUR como a(x) es un polinomio y x0HVXQDGHVXVUDtFHVVHGHGXFHGHOWHRUHPDGHOIDFWRU GHOiOJHEUDTXHx  x0 es un factor de a(x (VWRVLJQL¿FDTXHGHVSXpVGHTXHal(x)兾a(x) y a0(x)兾a(x VHUHGXFHQDWpUPLQRVPtQLPRVHOIDFWRUx  x0GHEHSHUPDQHFHUSDUD DOJXQDSRWHQFLDHQWHUDSRVLWLYDHQXQRRHQDPERVGHQRPLQDGRUHV$KRUDVXSRQJDTXH x  x0HVXQSXQWRVLQJXODUGH  SHURDPEDVIXQFLRQHVGH¿QLGDVSRUORVSURGXFWRV p(x)  (x  x0) P(x) y q(x)  (x  x0)Q(x) son analíticas en x0/OHJDPRVDODFRQFOXsión de que multiplicar P(x) por x  x0 y Q(x) por (x  x0) tiene el efecto (por eliminación) de que x  x0\DQRDSDUH]FDHQQLQJXQRGHORVGHQRPLQDGRUHV$KRUDVHSXHGH determinar si x0HVUHJXODUFRQXQDFRPSUREDFLyQYLVXDOUiSLGDGHORVGHQRPLQDGRUHV Si x  x0 aparece DORPiV a la primera potencia en el denominador de P(x) y a ORPiV a la segunda potencia en el denominador de Q(x), entonces x  x0 es un punto singular regular. 242 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES $GHPiVREVHUYHTXHVLx  x0 es un punto singular regular y se multiplica la ecuación  SRU x  x0)HQWRQFHVOD('RULJLQDOVHSXHGHHVFULELUHQODIRUPD x0)2 y (x (x x0)p(x)y 0,  q(x)y  donde p y q son analíticas en x  x0 EJEMPLO 1 &ODVL¿FDFLyQGHSXQWRVVLQJXODUHV 6HGHEHDFODUDUTXHx \x  VRQSXQWRVVLQJXODUHVGH (x2 4) 2 y 3(x 2)y 5y 0. 'HVSXpVGHGLYLGLUODHFXDFLyQHQWUH x  4)  (x  (x   y de reducir los coH¿FLHQWHVDORVWpUPLQRVPtQLPRVVHHQFXHQWUDTXH P(x) (x 3 2)(x 2)2 y Q(x) (x 5 2)2 (x . 2)2 $KRUDVHSUXHEDP(x) y Q(x HQFDGDSXQWRVLQJXODU 3DUDTXHx VHDXQSXQWRVLQJXODUUHJXODUHOIDFWRUx SXHGHDSDUHFHUHOHYDGR a la primera potencia en el denominador de P(x \DORPiVDODVHJXQGDSRWHQFLDHQHOGHnominador de Q(x 8QDFRPSUREDFLyQGHORVGHQRPLQDGRUHVGHP(x) y Q(x) muestra que DPEDVFRQGLFLRQHVVHVDWLVIDFHQSRUORTXHx HVXQSXQWRVLQJXODUUHJXODU(QIRUPD DOWHUQDWLYDOOHJDPRVDODPLVPDFRQFOXVLyQDOQRWDUTXHDPEDVIXQFLRQHVUDFLRQDOHV p(x) (x 2)P(x) 3 (x 2) 2 y q(x) (x 2)2 Q(x) 5 (x 2)2 son analíticas en x  $KRUDSXHVWRTXHHOIDFWRUx  (  x DSDUHFHDODVHJXQGDSRWHQFLDHQ el denominador de P(x VHFRQFOX\HGHLQPHGLDWRTXHx  HVXQSXQWRVLQJXODU LUUHJXODUGHODHFXDFLyQ(VWRWDPELpQVHGHGXFHGHOKHFKRGHTXH p(x) (x 2)P(x) (x 3 2)(x 2) es no analítica en x   (QHOHMHPSORREVHUYHTXHFRPRx HVXQSXQWRVLQJXODUUHJXODUODHFXDFLyQ RULJLQDOVHSXHGHHVFULELUFRPR p(x) analítica en x  2 q(x) analítica en x  2 5 3 (x  2)2y  (x  2) ––––––––2 y  ––––––––2 y  0. (x  2) (x  2) &RPRRWURHMHPSORVHSXHGHYHUTXHx  0 es punto singular irregular de xy xy y  0 por inspección de los denominadores de P(x)  兾x y Q(x)  兾x3RURWURODGRx  0 es un punto singular regular de xy xy y SXHVWR que x  0 y (x  0)LQFOXVRQRDSDUHFHQHQORVGHQRPLQDGRUHVUHVSHFWLYRVGHP(x)  \Q(x) 兾x3DUDXQSXQWRVLQJXODUx  x0FXDOTXLHUSRWHQFLDQRQHJDWLYDGH x  x0PHQRUTXHXQR HQSDUWLFXODUFHUR \FXDOTXLHUSRWHQFLDQRQHJDWLYDPHQRUTXH GRV HQSDUWLFXODUFHUR\XQR HQORVGHQRPLQDGRUHVGHP(x) y Q(x UHVSHFWLYDPHQWH indican que x0HVXQSXQWRVLQJXODULUUHJXODU8QSXQWRVLQJXODUSXHGHVHUXQQ~PHUR FRPSOHMR6HGHEHFRPSUREDUTXHx i y que x  i son dos puntos singulares regulares de (x  y±xy  (l  x)y  NOTA Cualquier ecuación de Cauchy-Euler de segundo orden axy  bxy  cy GRQGHab y cVRQFRQVWDQWHVUHDOHVWLHQHXQSXQWRVLQJXODUUHJXODUHQx  6HGHEHFRPSUREDUTXHGRVVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGH&DXFK\(XOHUxy xy  4y HQHOLQWHUYDOR  ) son y1  x y y  x ln x6LVHLQWHQWDHQFRQWUDUXQD 6.3 SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES 243 l solución en serie de potencias respecto al punto singular regular x  HQSDUWLFXODU n  y n 0 cn x VHWHQGUtDp[LWRHQREWHQHUVyORODVROXFLyQSROLQRPLDOy1  x (O KHFKRGHTXHQRVHREWXYLHUDODVHJXQGDVROXFLyQQRHVVRUSUHQGHQWHSRUTXHOQx (y en consecuencia y  x ln x) no es analítica en x HVGHFLUy no tiene un desarrollo HQVHULHGH7D\ORUFHQWUDGRHQx  MÉTODO DE FROBENIUS 3DUDUHVROYHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO  UHVSHFWRD XQSXQWRVLQJXODUUHJXODUVHHPSOHDHOVLJXLHQWHWHRUHPDGHELGRDOHPLQHQWHPDWHPiWLFRDOHPiQ)HUGLQDQG*HRUJ)UREHQLXV   TEOREMA 6.3.1 Teorema de Frobenius Si x  x0HVXQSXQWRVLQJXODUUHJXODUGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO  HQWRQFHV H[LVWHDOPHQRVXQDVROXFLyQGHODIRUPD y (x x0 ) r x0 ) n cn (x n 0 (4) x0 ) n r, cn (x 0 n GRQGHHOQ~PHURrHVXQDFRQVWDQWHSRUGHWHUPLQDU/DVHULHFRQYHUJHSRUOR PHQRVHQDOJ~QLQWHUYDOR x – x0  R 2EVHUYHODVSDODEUDVal menosHQHOSULPHUHQXQFLDGRGHOWHRUHPD(VWRVLJQL¿FD TXHHQFRQWUDVWHFRQHOWHRUHPDHOWHRUHPDQRJDUDQWL]DTXHVHDSRVLEOHHQcontrar dosVROXFLRQHVHQVHULHGHOWLSRLQGLFDGRHQ  (Ométodo de FrobeniusSDUD encontrar soluciones en serie respecto a un punto singular regular x0HVVLPLODUDOPpWRGR GH FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV GH VHULHV GH OD VHFFLyQ DQWHULRU HQ OD TXH VH VXVWLWX\H y x0 ) n r HQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD\VHGHWHUPLQDQORVFRH¿FLHQWHV n 0 cn (x desconocidos cnFRQXQDUHODFLyQGHUHFXUUHQFLD6LQHPEDUJRVHWLHQHXQDWDUHDPiVHQ HVWHSURFHGLPLHQWRDQWHVGHGHWHUPLQDUORVFRH¿FLHQWHVVHGHEHHQFRQWUDUHOH[SRQHQWH desconocido r6LVHHQFXHQWUDTXHrHVXQQ~PHURTXHQRHVXQHQWHURQHJDWLYRHQWRQx0 ) n r QRHVXQDVHULHGHSRWHQFLDV ces la solución correspondiente y n 0 cn (x &RPRVHKL]RHQHODQiOLVLVGHVROXFLRQHVUHVSHFWRDSXQWRVRUGLQDULRVVLHPSUH VXSRQGUHPRVSRUUD]RQHVGHVLPSOLFLGDGDOUHVROYHUHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVTXHHO punto singular regular es x  EJEMPLO 2 Dos soluciones en series 'HELGRDTXHx  0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial 3xy y (5) 0, y tratamos de encontrar una solución de la forma y (n y r)cn x n r 1 y (n y n 0 n 0 cn xn r. $KRUD r)(n 1)cn x n r r 2 , n 0 por lo que 3xy y y 3 (n r)(n r 1)cn x n r 1 (n (n r)(3n 3r 2)cn x n r 1 r 1 cn x n r n 0 2) c0 x 1 (n r)(3n 3r 2) cn x n 1 1444442444443 cn x n 123 n 0 n 1 k x r r(3r r n 0 cn x n n 0 x r r(3r r) cn x n n 0 n 0 2)c0 x 1 [(k k 0 r n 1 1)(3k k 3r 1) c k 1 n ck ] x k 0, 244 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES r r  c 0  0 lo que implica que y (k 1)(3k r 3r 1)ck 1 0, ck 0, 1, 2, . . . k Ya que no se ha ganado nada al hacer c0 HQWRQFHVGHEHPRVWHQHU  r(3r 2) 0  ck  y ck 1 , k 0, 1, 2, . . .  (k r 1)(3k 3r 1) &XDQGRVHVXVWLWX\HHQ  ORVGRVYDORUHVGHrTXHVDWLVIDFHQODHFXDFLyQFXDGUiWLFD  r1 23 y r VHREWLHQHQGRVUHODFLRQHVGHUHFXUUHQFLDGLIHUHQWHV  r1 2 3, ck 1 r2 0, ck 1 (3k ck  5)(k 1) (k ck 1)(3k 1) 'H  HQFRQWUDPRV c0 c1 5 1 c1 c0 c2 8 2 2!5 8 c2 c0 c3 11 3 3!5 8 11 c4 c3 14 4 cn c0 n!5 8 11 k 0, 1, 2, . . .  , k 0, 1, 2, . . . .   'H  HQFRQWUDPRV c0 c1 1 1 c1 c0 c2 2 4 2!1 4 c2 c0 c3 3 7 3!1 4 7 c0 4!5 8 11 14 (3n , 2) c3 4 10 c4 . c0 4!1 4 7 10 c0 cn n!1 4 7 (3n 2) . $TXtVHHQFXHQWUDDOJRTXHQRRFXUULyFXDQGRVHREWXYLHURQVROXFLRQHVUHVSHFWRDXQ SXQWRRUGLQDULRVHWLHQHORTXHSDUHFHQVHUGRVFRQMXQWRVGHFRH¿FLHQWHVGLIHUHQWHV SHURFDGDFRQMXQWRFRQWLHQHHOmismoP~OWLSORc06LVHRPLWHHVWHWpUPLQRODVVROXciones en serie son y1 (x) 1 x2/ 3 1 n 1 y2 (x) n!5 8 11 (3n 1 x0 1 n 1 n!1 4 7 (3n xn (10) xn . (11) 2) 2) &RQHOFULWHULRGHODUD]yQVHSXHGHGHPRVWUDUTXH  \  FRQYHUJHQSDUDWRGRVORV YDORUHVGHxHVGHFLU兩 x 兩  7DPELpQGHEHVHUHYLGHQWHGHODIRUPDGHHVWDVVROXFLRQHVTXHQLQJXQDVHULHHVXQP~OWLSORFRQVWDQWHGHODRWUD\SRUWDQWRy1(x) y y(x) VRQOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVHQWRGRHOHMHx$VtSRUHOSULQFLSLRGHVXSHUSRVLFLyQ y  C1 y1(x)  Cy(x HVRWUDVROXFLyQGH  (QFXDOTXLHULQWHUYDORTXHQRFRQWHQJD DORULJHQWDOFRPR  HVWDFRPELQDFLyQOLQHDOUHSUHVHQWDODVROXFLyQJHQHUDOGHOD HFXDFLyQGLIHUHQFLDO ECUACIÓN INDICIAL /DHFXDFLyQ  VHOODPDecuación indicialGHOSUREOHPD\ ORVYDORUHV r1 23 y r  0 se llaman raíces indicialesRexponentesGHODVLQJXODULGDG n r en la ecuación diferencial dada x (QJHQHUDOGHVSXpVGHVXVWLWXLU y n 0 cn x \VLPSOL¿FDQGRODHFXDFLyQLQGLFLDOHVXQDHFXDFLyQFXDGUiWLFDHQr que resulta de iguaODUDFHURHOFRH¿FLHQWHWRWDOGHODSRWHQFLDPtQLPDGH[6HHQFXHQWUDQORVGRVYDORUHV de r\VHVXVWLWX\HQHQXQDUHODFLyQGHUHFXUUHQFLDFRPR  (OWHRUHPDJDUDQWL]D TXHDOPHQRVVHSXHGHHQFRQWUDUXQDVROXFLyQGHODVXSXHVWDIRUPDHQVHULH 6.3 SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES l 245 n r en la (V SRVLEOH REWHQHU OD HFXDFLyQ LQGLFLDO DQWHV GH VXVWLWXLU y n 0 cn x HFXDFLyQGLIHUHQFLDO6Lx HVXQSXQWRVLQJXODUUHJXODUGH  HQWRQFHVSRUODGH¿QLFLyQDPEDVIXQFLRQHVp(x)  xP(x) y q(x)  xQ(x GRQGHP y QVHGH¿QHQSRUOD IRUPDHVWiQGDU  VRQDQDOtWLFDVHQx HVGHFLUORVGHVDUUROORVHQVHULHGHSRWHQFLDV p(x) xP(x) a0 a1 x y a2 x2 x2 Q(x) q(x) b0 b1 x  b2 x2  VRQYiOLGDVHQLQWHUYDORVTXHWLHQHQXQUDGLRGHFRQYHUJHQFLDSRVLWLYR0XOWLSOLFDQGR  SRUxVHREWLHQHODIRUPDGDGDHQ   x2 y [x2 Q(x)]y x[xP(x)]y 0.   n r \ODVGRVVHULHVHQODVHFXDFLRQHV  \  \ Después de sustituir y n 0 cn x UHDOL]DQGRODPXOWLSOLFDFLyQGHODVHULHVHHQFXHQWUDTXHODHFXDFLyQLQGLFLDOJHQHUDOHV r (r 1) a0 r (14) 0, b0 donde a0 y b0VRQFRPRVHGH¿QHHQ  9pDQVHORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV EJEMPLO 3 Dos soluciones en series 5HVXHOYDxy  (1  x)y  y  SOLUCIÓN Sustituyendo y n 0 cn xn r VHREWLHQH 2xy   (1  x)y  y  2 兺 (n  r)(n  r  1)cn x nr1  兺 (n  r)cn x nr1 n0 n0  兺 (n  r)cn x nr  兺 cn x nr n0 n0  兺 (n  r)(2n  2r  1)cn x nr1  兺 (n  r  1)cn x nr n0 n0 [  xr r(2r  1)c0 x1  兺 (n  r)(2n  2r  1)cn x n1  兺 (n  r  1)cn x n n1 n0 kn1 [ kn ] 兺 [(k  r  1)(2k  2r  1)ck1  (k  r  1)ck]xk ,  xr r(2r  1)c0 x1  k0 lo que implica que y (k 1) r(2r 1)(2k r 2r (15) 0 1)ck (k 1 r 1 2 VHSXHGHGLYLGLUHQWUHk ck ck 1 2(k , 1) 3 2 HQ k 0,  1)ck k 'H  YHPRVTXHODVUDtFHVLQGLFLDOHVVRQ r1 3DUD r1 ] 1 2  y r    SDUDREWHQHU 0, 1, 2, . . . ,   0, 1, 2, . . . .   mientras que para r   VHFRQYLHUWHHQ ck ck 1 2k , 1 k 246 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES 'H  HQFRQWUDPRV c1 c2 c3 c4 cn 'H  HQFRQWUDPRV c0 2 1 c1 c0 2 2 2 2 2! c2 c0 3 2 3 2 3! c3 c0 4 2 4 2 4! c2 c3 c4 ( 1) n c0 . 2n n! cn c0 1 3 c0 1 3 5 c0 1 3 5 7 ( 1) n c0 1 3 5 7 (2n 1) . 1 2 VHREWLHQHODVROXFLyQ 3RUORTXHSDUDODUDt]LQGLFLDO r1 y1 (x) c0 1 c1 3 c2 5 c3 7 c1 x1/2 1 n ( 1) n n x n 1 2 n! n ( 1) n n x n 0 2 n! 1/2 , GRQGHGHQXHYRVHRPLWLyc0(VWDVHULHFRQYHUJHSDUDx FRPRVHKDGDGRODVHULH QRHVWiGH¿QLGDSDUDYDORUHVQHJDWLYRVGHxGHELGRDODSUHVHQFLDGHx1兾3DUDr  una segunda solución es ( 1) n xn, x (2n 1) n 11 3 5 7 (QHOLQWHUYDOR  ) la solución general es y  C1 y1(x)  Cy(x  1 y2 (x) EJEMPLO 4 . Sólo una solución en serie 5HVXHOYDxy  y  SOLUCIÓN De xP(x) xQ(x)  x y el hecho de que 0 y x son sus propias series GHSRWHQFLDVFHQWUDGDVHQVHFRQFOX\HTXHa0  0 y b0 SRUWDQWRGHODHFXDFLyQ (14) la ecuación indicial es r (r  1) 6HGHEHFRPSUREDUTXHODVGRVUHODFLRQHVGH recurrencia correspondientes a las raíces indiciales r1  1 y r SURGXFHQH[DFWDPHQWHHOPLVPRFRQMXQWRGHFRH¿FLHQWHV(QRWUDVSDODEUDVHQHVWHFDVRHOPpWRGRGH )UREHQLXVSURGXFHVyORXQDVROXFLyQHQVHULH y1(x) n 0 ( 1) n xn n!(n 1)! 1 x 1 2 x 2 1 3 x 12 1 4 x 144 . TRES CASOS 3RUUD]RQHVGHDQiOLVLVGHQXHYRVHVXSRQHTXHx  0 es un punto singular regular de la ecuación (1) y que las raíces indiciales r1 y r de la singularidad son UHDOHV&XDQGRXVDPRVHOPpWRGRGH)UREHQLXVVHGLVWLQJXHQWUHVFDVRVTXHFRUUHVSRQGHQDODQDWXUDOH]DGHODVUDtFHVLQGLFLDOHVr1 y r(QORVGRVSULPHURVFDVRVHOVtPERORr1 GHQRWDODPiVJUDQGHGHGRVUDtFHVGLVWLQWDVHVGHFLUr1 r(QHO~OWLPRFDVRr1  r CASO I: Si r1 y r son distintas y la diferencia r1 – rQRHVXQHQWHURSRVLWLYRHQWRQFHVH[LVWHQGRVVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGHODHFXDFLyQ  GHODIRUPD cn xn y1(x) n 0 r1 , c0 0, bn xn y2(x) n r2 , b0 0. 0 (VWHHVHOFDVRTXHVHLOXVWUDHQORVHMHPSORV\ $FRQWLQXDFLyQVXSRQHPRVTXHODGLIHUHQFLDGHODVUDtFHVHVNGRQGHN es un HQWHURSRVLWLYR(QHVWHFDVRODVHJXQGDVROXFLyQpodríaFRQWHQHUXQORJDULWPR 6.3 SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES l 247 CASO II: Si r1 y r son distintas y la diferencia r1 – rHVXQHQWHURSRVLWLYRHQWRQFHV H[LVWHQGRVVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQ  OLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGHODIRUPD  cn xn  r1, y1 (x)  0, c0 n 0 y2 (x) bn xn Cy1(x) ln x r2 , b0 0,   n 0 donde CHVXQDFRQVWDQWHTXHSRGUtDVHUFHUR )LQDOPHQWH HQ HO ~OWLPR FDVR HO FDVR FXDQGR r1  r XQD VHJXQGD VROXFLyQ siempre WLHQH XQ ORJDULWPR /D VLWXDFLyQ HV VLPLODU D OD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GH &DXFK\(XOHUFXDQGRODVUDtFHVGHODHFXDFLyQDX[LOLDUVRQLJXDOHV CASO III: Si r1 y rVRQLJXDOHVHQWRQFHVH[LVWHQGRVVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHpendientes de la ecuación (1) de la forma  cn x n r1, y1(x)  0, c0 n 0 y2 (x) bn x n y1(x) ln x r1 .  n 1 DETERMINACIÓN DE UNA SEGUNDA SOLUCIÓN Cuando la diferencia r1 – r HV XQ HQWHUR SRVLWLYR FDVR ,,  VH podría o no encontrar dos soluciones de la forma n r (VWRHVDOJRTXHQRVHVDEHFRQDQWLFLSDFLyQSHURVHGHWHUPLQDGHVy n 0 cn x SXpVGHKDEHUHQFRQWUDGRODVUDtFHVLQGLFLDOHV\KDEHUH[DPLQDGRFRQFXLGDGRODUHODFLyQ GHUHFXUUHQFLDTXHGH¿QHQORVFRH¿FLHQWHVcn6HSRGUtDWHQHUODIRUWXQDGHHQFRQWUDUGRV n r1 (ecuación soluciones que impliquen sólo potencias de xHVGHFLU y1(x) n 0 cn x n r2 O \ y2(x)  HFXDFLyQ  FRQC  9pDVHHOSUREOHPDGHORV b x n 0 n HMHUFLFLRV3RURWURODGRHQHOHMHPSORVHYHTXHODGLIHUHQFLDGHODVUDtFHVLQGLFLDOHV HVXQHQWHURSRVLWLYR r1 – r  \HOPpWRGRGH)UREHQLXVIDOODHQREWHQHUXQDVHJXQGD VROXFLyQHQVHULH(QHVWDVLWXDFLyQODHFXDFLyQ  FRQC LQGLFDTXHODVHJXQ GDVROXFLyQVHSDUHFH3RU~OWLPRFXDQGRODGLIHUHQFLDr1 – rHVXQFHUR FDVR,,, HOPpWRGRGH)UREHQLXVQRGDXQDVROXFLyQHQVHULHODVHJXQGDVROXFLyQ  VLHPSUHFRQWLHQH XQORJDULWPR\VHSXHGHGHPRVWUDUTXHHVHTXLYDOHQWHD  FRQC 8QDIRUPDGH REWHQHUODVHJXQGDVROXFLyQFRQHOWpUPLQRORJDUtWPLFRHVXVDUHOKHFKRGHTXH y2(x) y1(x) e P( x) d x y12(x) dx   WDPELpQHVXQDVROXFLyQGHy  P(x)y  Q(x)y VLHPSUH\FXDQGRy1(x) sea una VROXFLyQFRQRFLGD(QHOHMHPSORVLJXLHQWHVHLOXVWUDFyPRXVDUODHFXDFLyQ   EJEMPLO 5 Vuelta al ejemplo 4 usando un SAC Encuentre la solución general de xy  y  SOLUCIÓN 'HODFRQRFLGDVROXFLyQGDGDGHOHMHPSOR 1 2 1 3 1 4 x x x , 2 12 144 se puede construir una segunda solución y(x XVDQGRODIyUPXOD  4XLHQHVWHQJDQ WLHPSRHQHUJtD\SDFLHQFLDSXHGHQUHDOL]DUHODEXUULGRWUDEDMRGHHOHYDUDOFXDGUDGRXQD VHULHODGLYLVLyQODUJD\ODLQWHJUDFLyQGHOFRFLHQWHDPDQR3HURWRGDVHVWDVRSHUDFLR QHVVHUHDOL]DQFRQUHODWLYDIDFLOLGDGFRQODD\XGDXQ6$&6HREWLHQHQORVUHVXOWDGRV y1(x) y2(x) y1(x) x e ∫0d x dx [ y1(x)]2 dx y1(x) x 1 2 x 2 1 3 x 12 1 4 x 144 2 248 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES dx y1(x) o y2(x) x2 x3 y1(x) 1 x2 1 x y1(x) 1 x ln x 5 4 x 12 7 12 y1(x) ln x y1(x) y1 (x) ln x 1 7 x 12 1 x 1 x 2 7 5 x 72 GHVSXpVGHHOHYDUDOFXDGUDGR 19 x 72 GHVSXpVGHODGLYLVLyQODUJD dx 19 2 x 144 después de integrar 7 x 12 19 2 x 144 1 2 x 2 . , después de multiplicar ; (QHOLQWHUYDOR  ) la solución general es y  C1 y1(x)  Cy(x  2EVHUYHTXHODIRUPD¿QDOGHyHQHOHMHPSORFRUUHVSRQGHD  FRQC  1; la serie HQWUHSDUpQWHVLVFRUUHVSRQGHDODVXPDHQ  FRQr  COMENTARIOS i /DVWUHVIRUPDVGLVWLQWDVGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHVHJXQGRRUGHQ HQ    \  VHXVDURQSDUDDQDOL]DUYDULRVFRQFHSWRVWHyULFRV3HURDQLYHO SUiFWLFRFXDQGRVHWLHQHTXHUHVROYHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOFRQHOPpWRGR GH)UREHQLXVVHUHFRPLHQGDWUDEDMDUFRQODIRUPDGHOD('GDGDHQ   ii) Cuando la diferencia de las raíces indiciales r1 – rHVXQHQWHURSRVLWLYR (r1 r DYHFHVGDUHVXOWDGRLWHUDUODUHODFLyQGHUHFXUUHQFLDXVDQGRSULPHUR ODUDt]rPiVSHTXHxD9pDQVHORVSUREOHPDV\HQORVHMHUFLFLRV iii 'HELGRDTXHXQDUDt]LQGLFLDOrHVXQDVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQFXDGUiWLFD pVWDSRGUtDVHUFRPSOHMD6LQHPEDUJRHVWHFDVRQRVHDQDOL]D iv) Si x HVSXQWRVLQJXODULUUHJXODUHQWRQFHVHVSRVLEOHTXHQRVHHQFXHQWUH n r ninguna solución de la ED de la forma y . n 0 cn x EJERCICIOS 6.3 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-9. (QORVSUREOHPDVDGHWHUPLQHORVSXQWRVVLQJXODUHVGHOD HFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD&ODVL¿TXHFDGDSXQWRVLQJXODUFRPR UHJXODURLUUHJXODU 1. x y  4x y y  0 (QORVSUREOHPDV\HVFULEDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD HQODIRUPD  SDUDFDGDSXQWRVLQJXODUUHJXODUGHODHFXDFLyQ ,GHQWL¿TXHODVIXQFLRQHVp(x) y q(x  11. (x   1)y  5(x  1)y  (x   x)y  0 2. x(x  y  y  0 12. xy  (x  y x y  0 3. (x   y  (x  y  y  0 (QORVSUREOHPDV\x  0 es un punto singular regular de ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD8VHODIRUPDJHQHUDOGHODHFXDción indicial en (14) para encontrar las raíces indiciales de la VLQJXODULGDG6LQUHVROYHULQGLTXHHOQ~PHURGHVROXFLRQHVHQ VHULHTXHVHHVSHUDUtDHQFRQWUDUXVDQGRHOPpWRGRGH)UREHQLXV 1 1 4. y y y 0 x (x 1) 3 5. (x   4x)y xy y  0 6. x (x  5) y  4xy  (x   y  0 7. (x   x  y  (x  y  (x  y  0 8. x(x   1) y  y  0 9. x (x   x  y x(x  y  x  5)y  0 10. (x  x  x) y  x(x  y  (x  1)y  0 13. x 2 y ( 53 x ) x2 y 1 3 y 0 14. xy  y  10y  0 (QORVSUREOHPDVDx  0 es un punto singular regular de ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO0XHVWUHTXHODVUDtFHVLQGLFLDOHVGHOD VLQJXODULGDGQRGL¿HUHQSRUXQHQWHUR8VHHOPpWRGRGH)UREH 6.3 QLXVSDUDREWHQHUGRVVROXFLRQHVHQVHULHOLQHDOPHQWHLQGHSHQ dientes respecto a x )RUPHODVROXFLyQJHQHUDOHQ   15. xy  y y  0 16. xy  5y  xy  0 17. 4xy 1 2y 0 y 18. x y  xy  (x  1)y  0   19. xy   x)y  y  0 20. x2 y (x 2 9 )y 0 21. xy  x)y  y  0 22. x2 y xy (x2 4 9 )y 0 23. x y x y y  0 24. x y xy  x  1)y  0 (QORVSUREOHPDVDx  0 es un punto singular regular GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD'HPXHVWUHTXHODVUDtFHVLQGLFLDOHVGHODVLQJXODULGDGGL¿HUHQSRUXQHQWHUR8VHHOPpWRGR GH)UREHQLXVSDUDREWHQHUDOPHQRVXQDVROXFLyQHQVHULHUHVpecto a x 8VHODHFXDFLyQ  GRQGHVHDQHFHVDULR\XQ 6$& FRPR VH LQGLFD SDUD HQFRQWUDU XQD VHJXQGD VROXFLyQ )RUPHODVROXFLyQJHQHUDOHQ   25. xy y  xy  0 26. x2y xy (x2 1 4 )y 27. xy  xy  y  0 29. xy  (1  x)y  y  0 l 249 d 2y  Py 0, y(0) 0, y(L) 0.  dx 2   /DVXSRVLFLyQDTXtHVTXHODFROXPQDHVWiDELVDJUDGDHQ DPERV H[WUHPRV /D FROXPQD VH SDQGHD VyOR FXDQGR OD IXHU]DFRPSUHVLYDHVXQDFDUJDFUtWLFDPn a) (Q HVWH SUREOHPD VH VXSRQH TXH OD FROXPQD HV GH longitud LHVWiDELVDJUDGDHQDPERVH[WUHPRVWLHQH VHFFLRQHVWUDQVYHUVDOHVFLUFXODUHV\HVFyQLFDFRPRVH PXHVWUDHQOD¿JXUD D 6LODFROXPQDXQFRQR WUXQFDGRWLHQHXQD¿ODPLHQWROLQHDOy  cxFRPRVH PXHVWUDHQODVHFFLyQWUDQVYHUVDOGHOD¿JXUD E  HOPRPHQWRGHLQHUFLDGHXQDVHFFLyQWUDQVYHUVDOUHVSHFWRDXQHMHSHUSHQGLFXODUDOSODQRxy es I 14 r4  donde r  y y y  cx 3RU WDQWR HVFULELPRVI(x)  I0(x兾b)4 GRQGH I0 I(b) 14 (cb)4 Sustituyendo I(x HQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQ  YHPRVTXHOD GHÀH[LyQHQHVWHFDVRVHGHWHUPLQDGHO39) d 2y x4 2 y 0, y(a) 0, y(b) 0, dx donde   Pb 4兾EI 0 8VH ORV UHVXOWDGRV GHO SUREOHPD SDUDHQFRQWUDUODVFDUJDVFUtWLFDVPn para la columna FyQLFD8VHXQDLGHQWLGDGDSURSLDGDSDUDH[SUHVDUORV modos de pandeo yn(x FRPRXQDVRODIXQFLyQ EI 0 y 3 28. y y 2y 0 x 30. xy  y  y  0 (QORVSUREOHPDV\x  0 es un punto singular regular de ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD'HPXHVWUHTXHODVUDtFHVLQGLFLDOHVGHODVLQJXODULGDGGL¿HUHQSRUXQHQWHUR8VHODUHODFLyQGH UHFXUUHQFLDHQFRQWUDGDSRUHOPpWRGRGH)UREHQLXVSULPHURFRQ ODUDt]PiVJUDQGHr1¢&XiQWDVVROXFLRQHVHQFRQWUy"$FRQWLQXDFLyQXVHODUHODFLyQGHUHFXUUHQFLDFRQODUDt]PiVSHTXHxD r¢&XiQWDVVROXFLRQHVHQFRQWUy" 31. xy  (x  y y  0 SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES 32. x(x  1)y y y  0 33. a) /DHFXDFLyQGLIHUHQFLDOx 4y  y  0 tiene un punto singular irregular en x 'HPXHVWUHTXHODVXVWLWXción t  l兾x produce la ED d 2 y 2 dy y 0, dt 2 t dt que ahora tiene un punto singular regular en t  b) 8VHHOPpWRGRGHHVWDVHFFLyQSDUDHQFRQWUDUGRVVRluciones en serie de la segunda ecuación del inciso a) respecto a un punto singular regular t  c) (  [SUHVHFDGDVROXFLyQHQVHULHGHODHFXDFLyQRULJLQDO HQWpUPLQRVGHIXQFLRQHVHOHPHQWDOHV Modelo matemático 34. Pandeo de una columna cónica  (QHOHMHPSORGHOD VHFFLyQYLPRVTXHFXDQGRXQDIXHU]DFRPSUHVLYDYHUtical constante o carga P se aplica a una columna delgada GHVHFFLyQWUDQVYHUVDOXQLIRUPHODGHÀH[LyQy(x) fue una VROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUD P x=a b−a=L y = cx L x=b x a) b) FIGURA 6.3.1 &ROXPQDFyQLFDGHOSUREOHPD b) 8VHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHOSULPHUPRGRGH pandeo y1(x) correspondiente a la carga de Euler P1 cuando b  11 y a  Problemas para analizar 35. $QDOLFHFyPRGH¿QLUtDXQSXQWRVLQJXODUUHJXODUSDUDOD ecuación diferencial lineal de primer orden a3 (x)y a2 (x)y a1 (x)y a0 (x)y 0. 36. Cada una de las ecuaciones diferenciales x3 y 0 2 (3x 1)y y 0 y x y tiene un punto singular irregular en x 'HWHUPLQHVL HOPpWRGRGH)UREHQLXVSURGXFHXQDVROXFLyQHQVHULHGH cada ecuación diferencial respecto a x $QDOLFH\H[SOLTXHVXVKDOOD]JRV 37. 6HKDYLVWRTXHx  0 es un punto singular regular de cualquier ecuación de Cauchy-Euler axy  bxy  cy   ¢(VWiQ UHODFLRQDGDV OD HFXDFLyQ LQGLFLDO   SDUD XQD HFXDFLyQGH&DXFK\(XOHU\VXHFXDFLyQDX[LOLDU"$QDOLFH y 250 l CAPÍTULO 6 6.4 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES FUNCIONES ESPECIALES REPASO DE MATERIAL l SHFFLRQHV\ INTRODUCCIÓN En los ComentariosDO¿QDOGHODVHFFLyQPHQFLRQDPRVODUDPDGHODVPDWHPiWLFDVFRQRFLGDFRPRIXQFLRQHVHVSHFLDOHV4XL]iVXQPHMRUWtWXORSDUDHVWHFDPSRGHODVPDWHPiWLFDVDSOLFDGDVSRGUtDVHUIXQFLRQHVFRQQRPEUHSRUTXHPXFKDVGHODVIXQFLRQHVHVWXGLDGDVWLHQHQQRPEUHVSURSLRVIXQFLRQHVGH%HVVHOIXQFLRQHVGH/HJHQGUHIXQFLRQHVGH$LU\SROLQRPLRVGH&KHE\VKHY SROLQRPLRV GH +HUPLWH SROLQRPLRV GH /DJXHUUH IXQFLyQ KLSHUJHRPpWULFD GH *DXVV IXQFLRQHV GH 0DWKLHXHWFpWHUD+LVWyULFDPHQWHODVIXQFLRQHVHVSHFLDOHVIXHURQFRQIUHFXHQFLDVXESURGXFWRVGHOD QHFHVLGDGDOJXLHQQHFHVLWDEDXQDVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOPX\HVSHFLDOL]DGD\SRGtDGLVFHUQLUPXFKDVSURSLHGDGHVGHODIXQFLyQDSDUWLUGHODIRUPDGHODVHULHGHODVROXFLyQ (QHVWDVHFFLyQXWLOL]DUHPRVORVPpWRGRVGHODVVHFFLRQHV\SDUDHQFRQWUDUVROXFLRQHVGH las dos ecuaciones diferenciales x2 y x2 )y (1 (x2 xy 2xy 2 )y 0 1)y n(n (1) 0  VHSUHVHQWDQHQHVWXGLRVDYDQ]DGRVGHPDWHPiWLFDVDSOLFDGDVItVLFDHLQJHQLHUtD6HOODPDQecuación de Bessel de orden vOODPDGDDVtHQKRQRUGHOPDWHPiWLFR\DVWUyQRPRDOHPiQ)ULHGULFK:LOKHOP %HVVHO  \ODecuación de Legendre de orden nOODPDGDDVtSRUHOPDWHPiWLFRIUDQFpV $GULHQ0DULH/HJHQGUH  &XDQGRUHVROYHPRVODHFXDFLyQ  VHVXSRQHTXH# PLHQWUDVTXHHQ  VyORFRQVLGHUDUHPRVHOFDVRFXDQGRnHVXQHQWHURQRQHJDWLYR SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE BESSEL 'HELGRDTXHx  0 es un punto sinJXODUUHJXODUGHODHFXDFLyQGH%HVVHOVHVDEHTXHH[LVWHDOPHQRVXQDVROXFLyQGHOD n r 6XVWLWX\HQGROD~OWLPDH[SUHVLyQHQ  VHREWLHQH forma y . n 0 cn x x2y xy (x 2 2 )y cn (n r)(n 1)x n r r r)x n cn (n c0 (r2 r 2 r )x r xr 2 r 2 cn x n r cn [(n r)(n 1) r cn x n (n 2 r) ]xn 2 )x r xr 2 n 0 r) 2 cn [(n cn x n xr n 1 c0 (r2 r n 0 n 0 n 0 n 0 2 ]x n  cn x n 2. xr n 0 n 1 'H  VHYHTXHODHFXDFLyQLQGLFLDOHVr  # GHPRGRTXHODVUDtFHVLQGLFLDOHV son r1  # y r  #&XDQGRr1  #ODHFXDFLyQ  VHFRQYLHUWHHQ xn cnn(n 2n)xn cn x n xn n 1 2 n 0 [ xn (1 2n)c1x [ 2 cn x n n 0 k xn (1 2n)x n cn n(n n 2 2n)c1x 2 n [(k k 2)(k 2 ] n 2n)ck 2 k 0 ck]x k ] 2 0. 3RUWDQWRSRUHODUJXPHQWRXVXDOSRGHPRVHVFULELU #)c1  0 y (k o ck 2)(k 2 2 )ck 2 , 2 ) ck 2 (k 2)(k ck 2 k 0 0, 1, 2, . . . (4) 6.4 FUNCIONES ESPECIALES 251 l /D HOHFFLyQ c1  0 en (4) implica que c3 c5 c7 0, por lo que para k VHHQFXHQWUDGHVSXpVGHHVWDEOHFHUk nn TXH c2n 2 n(n c2n 3RUORTXH c2 2 c2 22 2(2 c4 c6 c2n c0 1 (1 2 c4 3(3 2 2 2 n!(1 ) . (5) ) c0 24 1 2(1 ) )(2 ) c0 6 ) 2 ( 1) n c0 )(2 ) 2n 2 2 1 2 3(1 (n , ) )(2 )(3 ) 1, 2, 3, . . . . n   (QODSUiFWLFDVHDFRVWXPEUDHOHJLUDc0 como c0 2 1 (1 , ) donde $(1  # HVODIXQFLyQJDPPD9pDVHHODSpQGLFH,3XHVWRTXHHVWD~OWLPDIXQFLyQSRVHHODSURSLHGDGFRQYHQLHQWH$(1  )   $()VHSXHGHUHGXFLUHOSURGXFWR LQGLFDGRHQHOGHQRPLQDGRUGH  DXQWpUPLQR3RUHMHPSOR (1 1) (1 ) (1 ) (1 2) (2 ) (2 ) (2 )(1 ) (1 ). 3RUWDQWRVHSXHGHHVFULELU  FRPR c2n 22n n!(1 ( 1) n )(2 ) (n ) (1 22n ) ( 1) n n! (1 n) para n  FUNCIONES DE BESSEL DE PRIMERA CLASE 6LVHXVDQORVFRH¿FLHQWHVcn ape2n QDVREWHQLGRV\r  #XQDVROXFLyQHQVHULHGHODHFXDFLyQ  HV y . n 0 c2n x Esta solución usualmente se denota por J#(x): J (x) n 0 ( 1) n n! (1 x n) 2 2n   Si # ODVHULHFRQYHUJHDOPHQRVHQHOLQWHUYDOR> 7DPELpQSDUDHOVHJXQGR H[SRQHQWHr  #VHREWLHQHH[DFWDPHQWHGHODPLVPDPDQHUD J (x) n 0 ( 1) n n! (1 x n) 2 2n   /DVIXQFLRQHVJ#(x) y J#(x) se llaman IXQFLRQHVGH%HVVHOGHSULPHUDFODVH de orden # y #UHVSHFWLYDPHQWH'HSHQGLHQGRGHOYDORUGH#  SXHGHFRQWHQHUSRWHQFLDV QHJDWLYDVGHx\SRUWDQWRFRQYHUJHUHQ   $KRUDVHGHEHWHQHUFXLGDGRDOHVFULELUODVROXFLyQJHQHUDOGH  &XDQGR#  HVHYLGHQWHTXH  \  VRQODVPLVPDV6L# 0 y r1  r  #  (#) # no es un HQWHURSRVLWLYRVHWLHQHGHOFDVR,GHODVHFFLyQTXHJ#(x) y J#(x) son soluciones OLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGH  HQ  \SRUWDQWRODVROXFLyQJHQHUDOGHOLQWHUYDORHVy  c1J#(x)  cJ#(x 3HURVHVDEHTXHGHOFDVR,,GHODVHFFLyQTXHFXDQGR &XDQGRUHHPSOD]DPRVx por 兩 x 兩ODVVHULHVGDGDVHQ  \HQ  FRQYHUJHQSDUD 兩 x 兩    252 CAPÍTULO 6 l SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES y 1 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 J0 J1 x _ 0. 2 _ 0. 4 2 4 6 8 r1  r  # HV XQ HQWHUR SRVLWLYR podría H[LVWLU XQD VHJXQGD VROXFLyQ HQ VHULH GH   (Q HVWH VHJXQGR FDVR VH GLVWLQJXHQ GRV SRVLELOLGDGHV &XDQGR #  m  entero SRVLWLYRJm(x GH¿QLGDSRU  \Jm(x QRVRQVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHV Se puede demostrar que JmHVXQP~OWLSORFRQVWDQWHGHJm YpDVHODSURSLHGDGi) en la SiJLQD $GHPiVr1  r #SXHGHVHUXQHQWHURSRVLWLYRFXDQGR# es la mitad de XQHQWHURSRVLWLYRLPSDU(QHVWH~OWLPRFDVRVHSXHGHGHPRVWUDUTXHJ#(x) y J#(x) son OLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHV(QRWUDVSDODEUDVODVROXFLyQJHQHUDOGH  HQ  ) es y c1 J (x) c2 J (x), entero.   (QOD¿JXUDVHSUHVHQWDQODVJUi¿FDVGHy  J0(x) y y  J1(x  FIGURA 6.4.1  )XQFLRQHVGH%HVVHO de primera clase para n  EJEMPLO 1 $OLGHQWL¿FDU 2 de la ecuación x2 y Ecuaciones de Bessel de orden 1 4 y xy 1 2 1  2 ,VHSXHGHYHUGHODHFXDFLyQ x2 14 y 0 HQ  ) es y  ( ) TXHODVROXFLyQJHQHUDO c1J1兾(x)  cJ1兾(x) FUNCIONES DE BESSEL DE SEGUNDA CLASE Si # HQWHURODIXQFLyQGH¿QLGDSRUODFRPELQDFLyQOLQHDO 1 0. 5 y x _ 0. 5 _1 _ 1. 5 _2 _2. 5 _3 J (x) J (x) (10) sen y la función J#(x VRQVROXFLRQHVOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVGH  SRUORTXHRWUDIRUPD de la solución general de (1) es y  c1J#(x)  cY#(x) siempre que # HQWHUR&RQIRUPH # → m con m entero (10) tiene la forma indeterminada 0兾6LQHPEDUJRVHSXHGHGHPRVWUDUSRUODUHJODGH/ +{SLWDOTXHHOlím : m Y (x)H[LVWH$GHPiVODIXQFLyQ Y (x) Y1 Y0 cos Ym (x) 2 4 6 8 FIGURA 6.4.2 )XQFLRQHVGH%HVVHO de segunda clase para n  lím Y (x) :m y Jm(x) son soluciones linealmente independientes de xy  xy  (x  m)y 3RU WDQWRSDUDcualquierYDORUGH#ODVROXFLyQJHQHUDOGH  HQ  VHSXHGHHVFULELUFRPR (11) y c1 J (x) c2Y (x). Y#(x) se llama IXQFLyQGH%HVVHOGHVHJXQGDFODVHde orden #/D¿JXUDPXHVWUD ODVJUi¿FDVGHY0(x) y Y1(x  EJEMPLO 2 Ecuación de Bessel de orden 3 ,GHQWL¿FDQGR# \# YHPRVGHODHFXDFLyQ  TXHODVROXFLyQJHQHUDOGHOD ecuación xy  xy  (x  y HQ  ) es y  c 1J(x)  c Y (x) ED RESOLUBLES EN TÉRMINOS DE FUNCIONES DE BESSEL $OJXQDVYHFHV HVSRVLEOHFRQYHUWLUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQODHFXDFLyQ  SRUPHGLRGHXQFDPELR GH YDULDEOH 3RGHPRV HQWRQFHV H[SUHVDU OD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ RULJLQDO HQ WpUPLQRVGHIXQFLRQHVGH%HVVHO3RUHMHPSORVLVHHVWDEOHFHTXHt  x HQ 2  xy (a2 x2 )y 0,  x2 y HQWRQFHVSRUODUHJODGHODFDGHQD dy dy dt dy d 2y d dy dt d 2y 2 y . 2 dx dt dx dt dx dt dx dx dt 2 3RUORTXH  VHFRQYLHUWHHQ t 2 2 d 2y dt 2 t dy dt (t2 2 )y 0 o t2 d 2y dt 2 t dy dt (t2 2 )y 0. /D~OWLPDHFXDFLyQHVODHFXDFLyQGH%HVVHOGHRUGHQ# cuya solución es y  c1J#(t)  cY#(t 9ROYLHQGRDVXVWLWXLUt  xHQOD~OWLPDH[SUHVLyQVHHQFXHQWUDTXHODVROXFLyQJHQHUDOGH  HV  y c1 J ( x) c2Y ( x).  6.4 FUNCIONES ESPECIALES l 253 /DHFXDFLyQ  TXHVHOODPDecuación paramétrica de Bessel de orden ␯\VXVROXFLyQJHQHUDO  VRQPX\LPSRUWDQWHVHQHOHVWXGLRGHFLHUWRVSUREOHPDVFRQYDORUHV HQODIURQWHUDUHODFLRQDGRVFRQHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVSDUFLDOHVTXHVHH[SUHVDQHQ FRRUGHQDGDVFLOtQGULFDV FUNCIONES DE BESSEL MODIFICADAS 2WUD HFXDFLyQ VHPHMDQWH D   HV OD HFXDFLyQPRGL¿FDGDGH%HVVHO de orden ␯, x2 y (x2 xy 2 )y (14) 0. (VWD('VHSXHGHUHVROYHUHQODIRUPDTXHVHDFDEDGHLOXVWUDUSDUD  (VWDYH]VL hacemos que t  ixGRQGHi  HQWRQFHV  VHFRQYLHUWHHQ d 2y dy 2 t (t 2 )y 0. 2 dt dt 'HELGRDTXHODVVROXFLRQHVGHODXOWLPD('VRQJ#(t) y Y#(t ODVVROXFLRQHVGHvalores complejos de la ecuación (14) son J#(ix) y Y#(ix 8QDVROXFLyQGHYDORUHVUHDOHVTXHVHOODPDIXQFLyQPRGL¿FDGDGH%HVVHOGHSULPHUDFODVH de orden #HVWiGH¿QLGDHQWpUPLQRVGHJ#(ix): (15) I (x) i J (ix). t2 9HDHOSUREOHPDHQORVHMHUFLFLRV$QiORJDPHQWHD  ODIXQFLyQPRGL¿FDGD de Bessel de segunda clase de orden # HQWHURVHGH¿QHFRPR K (x) y para #  nHQWHUR 2 Kn (x) I (x) I (x) , sen  lím K (x). :n 'HELGRDTXHI# y K#VRQOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVHQHOLQWHUYDOR  ) para FXDOTXLHUYDORUGH#ODVROXFLyQJHQHUDOGH  HV  y c1 I (x) c2 K (x).  y 3 2. 5 2 1. 5 1 0. 5 I0 I1 I2 x 1 2 3 FIGURA 6.4.3 )XQFLRQHVPRGL¿FDGDV GH%HVVHOGHSULPHUDFODVHSDUDn  y 3 2. 5 2 1. 5 1 0. 5 (QOD¿JXUDVHSUHVHQWDQODVJUi¿FDVGHy  I0(x y  I1(x \y  I(x) y en OD¿JXUDODVJUi¿FDVGHy  K0(x y  K1(x \y  K(x $GLIHUHQFLDGHODVIXQFLRQHVGH%HVVHOGHSULPHUD\VHJXQGDFODVHODVIXQFLRQHVPRGL¿FDGDVGH%HVVHOGH SULPHUD\VHJXQGDFODVHQRVRQRVFLODWRULDV/DV¿JXUDV\WDPELpQPXHVWUDQ HOKHFKRGHTXHODVIXQFLRQHVPRGL¿FDGDVGH%HVVHOIn(x) y Kn(x n «QR WLHQHQUDtFHVUHDOHVHQHOLQWHUYDOR  2EVHUYHWDPELpQTXHODVIXQFLRQHVPRGL¿FDGDVGH%HVVHOGHVHJXQGDFODVHKn(x FRPRODVIXQFLRQHVGH%HVVHOGHVHJXQGDFODVH Yn(x) son no acotadas cuando x → 0 8QFDPELRGHYDULDEOHHQ  QRGDODIRUPDSDUDPpWULFDGHODHFXDFLyQPRGL¿FDGDGH%HVVHOGHRUGHQ#: xy  xy  (Įx  #)y  0 /DVROXFLyQJHQHUDOGHOD~OWLPDHFXDFLyQHQHOLQWHUYDOR  ) es y  c1I#(Į[)  cK#(Į[) 3HURRWUDHFXDFLyQLPSRUWDQWHGHELGRDTXHPXFKDV('VHDMXVWDQDVX IRUPD PHGLDQWHHOHFFLRQHVDSURSLDGDVGHORVSDUiPHWURVHV y K1 K2 1 2a x b 2c 2 x 2c y 2 a2 p2 c 2 x 2 y 0, p 0.   $XQTXHQRVHGDQORVGHWDOOHVODVROXFLyQJHQHUDOGH   y K0 x x a c1 Jp (bx c ) c2Yp (bx c ) ,  VH SXHGH HQFRQWUDU KDFLHQGR XQ FDPELR GH ODV YDULDEOHV LQGHSHQGLHQWH \ GHSHQ z a/c c w(z). Si pQRHVXQHQWHURHQWRQFHVYpHQ  VHSXH FIGURA 6.4.4 )XQFLRQHVPRGL¿FDGDV diente: z bx , y(x) b GH%HVVHOGHVHJXQGDFODVHSDUDn  GHUHHPSOD]DUSRUJ  p 1 2 3 254 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES EJEMPLO 3 Usando (18) Encuentre la solución general xy y y HQ   SOLUCIÓN (VFULELHQGROD('FRPR 3 9 y y 0, x x SRGHPRVKDFHUODVVLJXLHQWHVLGHQWL¿FDFLRQHVFRQ   y 1 2a 3, b2 c 2 9, 2c 1 y 2 a2 p2 c 2 0. /DVHFXDFLRQHVSULPHUD\WHUFHUDLPSOLFDQTXHa  1 y c ecuaciones segunda y cuarta se satisfacen haciendo b \p 'H  VHHQFXHQWUD TXHODVROXFLyQJHQHUDOGHOD('HQHOLQWHUYDOR  ) es y x 1 [c1 J2 (6x1/2) c2Y2 (6x1/2)]. 1 2 &RQHVWRVYDORUHVODV EJEMPLO 4 Vuelta al problema del resorte envejecido 5HFXHUGH TXH HQ OD VHFFLyQ  YLPRV TXH mx  ketx    0 es un moGHOR PDWHPiWLFR SDUD HO PRYLPLHQWR DPRUWLJXDGR OLEUH GH XQD PDVD HQ XQ UHVRUWH HQYHMHFLGR $KRUD VH HVWi HQ SRVLFLyQ GH HQFRQWUDU OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD HFXDFLyQ 6H GHMD FRPR SUREOHPD GHPRVWUDU TXH HO FDPELR GH YDULDEOHV 2 k s e t / 2 WUDQVIRUPDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHOUHVRUWHHQYHMHFLGRHQ Bm s2 d 2x ds 2 s dx ds s2 x 0. /D~OWLPDHFXDFLyQVHUHFRQRFHFRPR  FRQ# \GRQGHORVVtPERORVx y sMXHJDQ los papeles de y y x UHVSHFWLYDPHQWH/DVROXFLyQJHQHUDOGHODQXHYDHFXDFLyQHV x  c1J0(s)  cY0(s 6LVHVXVWLWX\HQXHYDPHQWHsHQWRQFHVVHYHTXHODVROXFLyQ general de mx  ketx  0 es x(t) c1J0 2 k e Bm t/2 c2Y0 2 k e Bm t/2 . 9pDQVHORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV (ORWURPRGHORDQDOL]DGRHQODVHFFLyQGHXQUHVRUWHFX\DVFDUDFWHUtVWLFDVFDPELDQFRQHOWLHPSRIXHmx  ktx 6LVHGLYLGHHQWUHmYHPRVTXHODHFXDFLyQ k x tx 0 HVODHFXDFLyQGH$LU\y  xy 9HDHOHMHPSORHQODVHFFLyQ m /DVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGH$LU\WDPELpQVHSXHGHHVFULELUHQ WpUPLQRVGHIXQFLRQHVGH%HVVHO9pDQVHORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV PROPIEDADES 6HOLVWDQDFRQWLQXDFLyQDOJXQDVGHODVSURSLHGDGHVPiV~WLOHVGH ODVIXQFLRQHVGH%HVVHOGHRUGHQmm  i) J m (x) ( 1) m Jm (x), ii) Jm ( x) ( 1) m Jm (x), iii) Jm (0) 0, 1, m m 0 0, iv) lím Ym (x) . x: 0 2EVHUYHTXHODSURSLHGDGii) indica que Jm(x) es una función par si m es un entero par y una función impar si mHVXQHQWHURLPSDU/DVJUi¿FDVGHY0(x) y Y1(x HQOD¿JXUD PXHVWUDQODSURSLHGDGiv HQSDUWLFXODUYm(x QRHVWiDFRWDGDHQHORULJHQ(VWH ~OWLPRKHFKRQRHVREYLRDSDUWLUGHODHFXDFLyQ  /DVVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQ GH%HVVHOGHRUGHQVHREWLHQHQSRUPHGLRGHODVVROXFLRQHVy1(x HQ  \y(x) en  GHODVHFFLyQ6HSXHGHGHPRVWUDUTXHODHFXDFLyQ  GHODVHFFLyQHV y1(x)  J0(x PLHQWUDVTXHODHFXDFLyQ  GHHVDVHFFLyQHV 6.4 FUNCIONES ESPECIALES l 255 ( 1) k 1 1 x 2k 1 . 2 2 k 2 k 1 (k!) (QWRQFHVODIXQFLyQGH%HVVHOGHVHJXQGDFODVHGHRUGHQY0(x VHGH¿QHFRPROD 2 2 FRPELQDFLyQOLQHDO Y0 (x) ( ln 2)y1 (x) y 2 (x) para x (VGHFLU y2(x) Y0 (x) 2 J0 (x)ln x J0 (x) ln ( 1) k 1 2 1 (k!) 2 x 2 k 1 2 1 k x 2 2k  donde Ȗ HVODconstante de Euler'HELGRDODSUHVHQFLDGHOWpUPLQR ORJDUtWPLFRHVHYLGHQWHTXHY0(x) es discontinua en x  VALORES NUMÉRICOS (QODWDEODVHSUHVHQWDQODVSULPHUDVFLQFRUDtFHVQR QHJDWLYDVGHJ0(x J1(x Y0(x) y Y1(x (QODWDEODVHSUHVHQWDQDOJXQRVRWURVYDORUHVGHODIXQFLyQGHHVWDVFXDWURIXQFLRQHV TABLA 6.1  5DtFHVQRQHJDWLYDVGHJ0J1Y0\Y1 TABLA 6.2  9DORUHVQXPpULFRVGHJ0J1Y0\Y1 J0(x) J1(x) Y0(x) Y1(x) x J0(x) J1(x) Y0(x) Y1(x)                                         4 5         10 11    15                                                                  ²                        ²                        RELACIÓN DE RECURRENCIA DIFERENCIAL /DVIyUPXODVGHUHFXUUHQFLDTXHUHODFLRQDQODVIXQFLRQHVGH%HVVHOGHGLIHUHQWHVyUGHQHVVRQLPSRUWDQWHVHQODWHRUtD\HQODV DSOLFDFLRQHV(QHOHMHPSORVLJXLHQWHVHGHGXFHXQDUHODFLyQGHUHFXUUHQFLDGLIHUHQFLDO EJEMPLO 5 'HGXFFLyQXVDQGRODGH¿QLFLyQGHVHULH 'HGX]FDODIyUPXOD xJ (x) SOLUCIÓN J (x) 1 (x). xJ 'HODHFXDFLyQ  VHWLHQHTXH (1)n(2n  ␯) x – L xJv(x)  兺 ––––––––––––––– n0 n! (1  v  n) 2 () () 2nv x (1)n – L  ␯ 兺 ––––––––––––––– n0 n! (1  ␯  n) 2 2nv x (1)nn – L  2 兺 ––––––––––––––– n0 n! (1  ␯  n) 2 () (1)n x – L  ␯J␯(x)  x 兺 ––––––––––––––––––––– (n  1)! (1  ␯  n) 2 n1 () 2nv 2n␯1 kn1  ␯J␯(x)  x (1)k L 兺 ––––––––––––––– k0 k! (2  ␯  k) x – 2 () 2k␯1  ␯J␯(x)  xJ␯1(x). 256 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES (OUHVXOWDGRGHOHMHPSORVHSXHGHHVFULELUHQXQDIRUPDDOWHUQDWLYD'LYLGLHQGR xJ (x) J (x) xJ 1 (x) entre xVHREWLHQH J (x) J 1 (x). x (VWD ~OWLPD H[SUHVLyQ VH UHFRQRFH FRPR XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO GH SULPHU orden en J#(x 0XOWLSOLFDQGRDPERVODGRVGHODLJXDOGDGSRUHOIDFWRULQWHJUDQWHx# VHREWLHQH d  [x J (x)] x J 1 (x).  dx Se puede demostrar de manera similar que J (x) d [x J (x)] dx x J 1 (x).   9pDVHHOSUREOHPDHQORVHMHUFLFLRV/DVUHODFLRQHVGHUHFXUUHQFLDGLIHUHQFLDOHV  \  WDPELpQVRQYiOLGDVSDUDODIXQFLyQGH%HVVHOGHVHJXQGDFODVHY#(x  2EVHUYHTXHFXDQGR# VHGHGXFHGH  TXH J 0 (x) y J1(x) Y1 (x).  Y 0 (x)  (QHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRVVHSUHVHQWDXQDDSOLFDFLyQGHHVWRVUHVXOWDGRV FUNCIONES DE BESSEL DE MEDIO ORDEN INTEGRAL Cuando el orden es ODPLWDGGHXQHQWHURLPSDUHVGHFLU 12, 32, 52, . . . , ODVIXQFLRQHVGH%HVVHOGH SULPHUD\VHJXQGDFODVHVHSXHGHQH[SUHVDUHQWpUPLQRVGHODVIXQFLRQHVHOHPHQWDOHV 1 sen xFRVx y potencias de x&RQVLGHUDUHPRVHOFDVRFXDQGR 2 . 'H   J1/2(x) ( 1)n n! 1 12 ( ) n x 2 2n 1/2  1 1 los (Q YLVWD GH OD SURSLHGDG $(1  )   $() y del hecho de que 2 1 YDORUHVGH 1 2 n para n  n  n   \ n VRQ UHVSHFWLYDPHQWH n 0 ( () ) ( 32) (1 1 2 ) 1 2 ( 12) ( 52) (1 3 2 ) 3 2 ( 32) ( 72) (1 5 2 ) 5 2 ( 52) ( 92) (1 7 2 ) 7 2 ( 72) (QJHQHUDO 1 2 3 1 22 5 3 1 23 7 5 1 26 2! 1 2 1 1 n 5 4 3 2 1 1 23 4 2 7 6 5! 1 26 6 2! 5! 1 252! 7! 1 . 27 3! (2n 1)! 1 . 22n 1 n! ( 1) n x 2n 1/2 2 ( 1) n 2n 1 x . (2n 1)! 2 B x n 0 (2n 1)! n 0 n! 2n 1 1 2 n! 'HODHFXDFLyQ  GHODVHFFLyQGHEHUHFRQRFHUTXHODVHULHLQ¿QLWDHQHO~OWLPR UHQJOyQHVODVHULHGH0DFODXULQSDUDVHQx\DVtVHKDGHPRVWUDGRTXH 2  senx.  J1/ 2 (x) B x 6HGHMDFRPRHMHUFLFLRGHPRVWUDUTXH 3RUORTXH J1/2 (x) J 1/ 2 (x) 2 cos x.  B x  6.4 J-1/ 2 0. 5 J 1/ 2 x 0 冪S2x cos x Y1兾2(x) −0.5 2 4 6 8 10 12 l 257 9HDOD¿JXUD\ORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV Si nHVXQHQWHURHQWRQFHV#  n  1兾HVXQPHGLRGHXQHQWHURLPSDU3XHVWR que cos(n  1兾 ʌ  0 y sen(n + 1兾 ʌ  cos Qʌ  (1)nYHPRVGHODHFXDFLyQ  TXH Yn  1兾(x)  (1)n  1J(n  1兾 (x 3DUDn  0 y n  WHQHPRVDVXYH]TXHY1兾(x)  J1兾(x) y Y1兾(x)  J1兾(x (QYLVWDGH  \  HVWRVUHVXOWDGRVVRQORVPLVPRVTXH y 1 FUNCIONES ESPECIALES 14 FIGURA 6.4.5 Funciones de %HVVHOGHRUGHQ1兾 D]XO \RUGHQ 1兾 URMR 冪S2x sen x 1兾2(x) Y y (25) (26) FUNCIONES ESFÉRICAS DE BESSEL /DVIXQFLRQHVGHRUGHQVHPLHQWHURVHXWLOL]DQ SDUDGH¿QLUGRVIXQFLRQHVLPSRUWDQWHVPiV jn(x) S 冪2x J y 1兾2(x) n 冪2xS Y yn(x) (27) 1兾2(x). n /DIXQFLyQjn(x) se conoce como la IXQFLyQHVIpULFDGH%HVVHOGHSULPHUDFODVH y yn(x) es la IXQFLyQHVIpULFDGH%HVVHOGHVHJXQGDFODVH3RUHMHPSORSDUDn  0 las H[SUHVLRQHVHQ  VHUiQ y j0(x) 冪2xS J y0(x) 冪2xS Y 冪2xS 冪S2x sin x 1兾2(x) sen x x 冪2xS 冪S2x cos x 1兾2(x) cos x x (VHYLGHQWHHQ  \HQOD¿JXUDSDUDn TXHODIXQFLyQHVIpULFDGH%HVVHOGH segunda clase yn(x VHUiQRDFRWDGDFXDQGRx → 0 /DV IXQFLRQHV HVIpULFDV GH %HVVHO VXUJHQ HQ OD VROXFLyQ GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO SDUFLDO H[SUHVDGD HQ FRRUGHQDGDV HVIpULFDV 9HD HO SUREOHPD  GH ORV HMHUFLFLRV SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LEGENDRE 3XHVWRTXHx  0 es un punto ork GLQDULRGHODHFXDFLyQGH/HJHQGUH  VXVWLWX\HQGRODVHULH y k 0 ck x FRUULHQGR ORVtQGLFHVGHODVXPD\FRPELQDQGRODVHULHVHREWLHQH (1 x2)y 2xy 1)y n(n [n(n 1)c0 [( j 2c2 ] 2)( j [(n 1)cj 1)(n (n 2 2)c1 j)(n 6c3]x j 1)cj ]x j 0 j 2 lo que implica que (n (j o c2 c3 cj 2 1) n(n 2! (n 2)( j 1)cj 2 n(n 1)c0 2c2 0 1)(n 2)c1 6c3 0 j 1)cj 0 (n j)(n c0 1)(n 3! 2) c1 (n j)(n j 1) c, ( j 2)( j 1) j j 2, 3, 4, . . .   6LVHGHMDTXHjWRPHORVYDORUHVODUHODFLyQGHUHFXUUHQFLD  SURGXFH 258 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES (n 2)(n 4 3 3) (n 3)(n 5 4 4) (n 4)(n 6 5 5) (n 5)(n 7 6 6) c4 c5 c6 c7 c2 c3 (n 2)n(n 1)(n 4! (n 3)(n c4 c5 3) 1)(n 5! c0 2)(n 4) (n 4)(n 2)n(n 1)(n 6! (n 5)(n 3)(n c1 3)(n 1)(n 7! 5) 2)(n c0 4)(n 6) c1 HWFpWHUD(QWRQFHVSDUDDOPHQRV兩 x 兩 VHREWLHQHQGRVVROXFLRQHVHQVHULHGHSRWHQcias linealmente independientes: y1 (x) y2 (x) c0 1 c1 x 1) n(n 2! (n x2 2)n(n 1)(n 3) 3)(n 5) 4! (n 4)(n 2)n(n 1)(n 6! (n 1)(n 3! 2) (n 5)(n 3)(n x3 (n 3)(n 1)(n 7! x4 1)(n 5! 2)(n 4)(n x6 2)(n 6) 4)  x5 x7 . 2EVHUYHTXHVLnHVXQHQWHURSDUODSULPHUDVHULHWHUPLQDPLHQWUDVTXHy(x) es XQDVHULHLQ¿QLWD3RUHMHPSORVLn HQWRQFHV 4 5 2 2 4 5 7 4 35 4 x x c0 1 10x2 x . 2! 4! 3 'HPDQHUDVLPLODUFXDQGRnHVXQHQWHURLPSDUODVHULHSDUDy(x) termina con xn; es GHFLUcuando n es un entero no negativo, obtenemos una solución polinomial de grado n GHODHFXDFLyQGH/HJHQGUH 'HELGRDTXHVHVDEHTXHXQP~OWLSORFRQVWDQWHGHXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGH /HJHQGUHWDPELpQHVXQDVROXFLyQVHDFRVWXPEUDHOHJLUYDORUHVHVSHFt¿FRVSDUDc0 y c1GHSHQGLHQGRGHVLnHVXQHQWHURSRVLWLYRSDURLPSDUUHVSHFWLYDPHQWH3DUDn  0 elegimos c0 \SDUDn  1 3 (n 1) c0 ( 1)n /2 , 2 4 n mientras que para n  1 se elige c1  1 y para n  y1 (x) c0 1 c1 ( 1)(n 1) /2 1 3 n . 2 4 (n 1) 3RUHMHPSORFXDQGRn VHWLHQH y1 (x) ( 1) 4 /2 1 3 1 2 4 10x 2 35 4 x 3 1 (35x 4 8 30x 2 3). POLINOMIOS DE LEGENDRE (VWDV VROXFLRQHV SROLQRPLDOHV HVSHFt¿FDV GH n-ésimo grado se llaman polinomios de Legendre y se denotan mediante Pn(x 'H las series para y1(x) y y(x) y de las opciones anteriores de c0 y c1 se encuentra que los SULPHURVSROLQRPLRVGH/HJHQGUHVRQ P0 (x) P2 (x) P4 (x) 1, 1 (3x2 1), 2 1 (35x4 30x2 8 P1 (x) P3 (x) 3), P5 (x) x, 1 (5x3 3x), 2 1 (63x5 70x3 8  15x).  6.4 FUNCIONES ESPECIALES l 259 Recuerde que P0(x P1(x P(x P(x VRQDVXYH]VROXFLRQHVSDUWLFXODUHVGHODV ecuaciones diferenciales n n n n 0: 1: 2: 3: (1 (1 (1 (1 x2)y x2)y x2)y x2)y 2xy 2xy 2xy 2xy 0, 2y 0,  6y 0, 12y 0,  (QOD¿JXUDVHSUHVHQWDQODVJUi¿FDVHQHOLQWHUYDOR>@GHORVVHLV SROLQRPLRVGH/HJHQGUHHQ   PROPIEDADES 6HUHFRPLHQGDTXHFRPSUXHEHODVVLJXLHQWHVSURSLHGDGHVXVDQGR ORVSROLQRPLRVGH/HJHQGUHHQ   i) Pn ( x) y 1 0.5 1 iv) Pn (0) 0, iii) Pn ( 1) n LPSDU    v) P n (0) ( 1) n 0, n par /DSURSLHGDGi LQGLFDFRPRHVHYLGHQWHHQOD¿JXUDTXHPn(x) es una función par o impar concordantemente con la condición de si nHVSDURLPSDU P0 P1 P2 x -0.5 -1 -1 -0.5 ii) Pn (1) ( 1) n Pn (x) 0.5 FIGURA 6.4.6  3ROLQRPLRVGH /HJHQGUHSDUDn  1 RELACIÓN DE RECURRENCIA /DVUHODFLRQHVGHUHFXUUHQFLDTXHYLQFXODQSROLQRPLRVGH/HJHQGUHGHGLIHUHQWHVJUDGRVWDPELpQVRQLPSRUWDQWHVHQDOJXQRVDVSHFWRV GHVXVDSOLFDFLRQHV6HHVWDEOHFHVLQFRPSUREDFLyQODUHODFLyQGHUHFXUUHQFLDGHWUHV términos  (k 1)Pk 1 (x) (2k 1)xPk (x) kPk 1 (x) 0,  TXHHVYiOLGDSDUDk (Q  VHOLVWDQORVSULPHURVVHLVSROLQRPLRVGH /HJHQGUH6LGHFLPRVTXHVHGHVHDHQFRQWUDUP(x VHSXHGHXVDUODHFXDFLyQ  FRQ k (VWDUHODFLyQH[SUHVDP(x) en términos de los conocidos P4(x) y P5(x 9pDVHHO SUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV 2WUD IyUPXOD TXH DXQTXH QR HV XQD UHODFLyQ GH UHFXUUHQFLD SXHGH JHQHUDU ORVSROLQRPLRVGH/HJHQGUHSRUGHULYDFLyQHVODIyUPXODGH5RGULJXHVTXHSDUD estos polinomios es 1 dn  Pn (x) (x2 1) n, n 0, 1, 2, . . . .  n 2 n! dx n 9HDHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV COMENTARIOS $XQTXHVHKDVXSXHVWRTXHHOSDUiPHWURnHQODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGH/HJHQGUH (1  x )y xy  n(n  1)y  UHSUHVHQWD XQ HQWHUR QR QHJDWLYR HQ XQD IRUPD PiV JHQHUDO n SXHGH UHSUHVHQWDU FXDOTXLHU Q~PHUR UHDO &XDOTXLHU VROXFLyQGHODHFXDFLyQGH/HJHQGUHVHOODPDIXQFLyQGH/HJHQGUH6Ln no es un HQWHUR QR QHJDWLYR HQWRQFHV DPEDV IXQFLRQHV GH /HJHQGUH y1(x) y y(x) dadas HQODHFXDFLyQ  VRQVHULHVLQ¿QLWDVFRQYHUJHQWHVHQHOLQWHUYDORDELHUWR   \GLYHUJHQWHV VLQOtPLWH HQx  O6LnHVXQHQWHURQRQHJDWLYRHQWRQFHVFRPR VHKDYLVWRXQDGHODVIXQFLRQHVGH/HJHQGUHHQ  HVXQSROLQRPLR\ODRWUD HVXQDVHULHLQ¿QLWDFRQYHUJHQWHSDUD1  x 6HGHEHWHQHUSUHVHQWHTXHOD HFXDFLyQGH/HJHQGUHWLHQHVROXFLRQHVTXHHVWiQDFRWDGDVHQHOLQWHUYDORcerrado [@VyORHQHOFDVRFXDQGRn 0iVFRQFUHWDPHQWHODV~QLFDV IXQFLRQHVGH/HJHQGUHTXHHVWiQDFRWDGDVHQHOLQWHUYDORFHUUDGR>@VRQORV SROLQRPLRVGH/HJHQGUHPn(x RP~OWLSORVFRQVWDQWHVGHHVWRVSROLQRPLRV9pDVH HOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV\HOSUREOHPDHQHO5HSDVRGHOFDStWXOR 260 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES EJERCICIOS 6.4 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-10. Ecuación de Bessel a) y  x y  0 (QORVSUREOHPDVDXVHODHFXDFLyQ  SDUDHQFRQWUDUODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQHOLQWHUYDOR   1. x2 y 1 9 x2 xy 0 y 2. x y  xy  (x   1)y  0 b) xy  y x y  0 (QORVSUREOHPDVDXVHSULPHURODHFXDFLyQ  SDUDH[presar la solución general de la ecuación diferencial en términos GHIXQFLRQHVGH%HVVHO/XHJRXVH  \  SDUDH[SUHVDUOD VROXFLyQJHQHUDOHQWpUPLQRVGHIXQFLRQHVHOHPHQWDOHV 3. 4x y  4xy  (4x   y  0 23. y  y  0 4. x y xy  x   1)y  0 24. x y  4xy  (x   y  0 5. xy  y  xy  0 25. x y xy  (x 4  y  0 d [xy ] 6. dx x 26. 4x y  4xy  x   y  0 4 y x 27. a) 3URFHGDFRPRHQHOHMHPSORSDUDGHPRVWUDUTXH 0 xJ#(x)  #J #(x)  xJ#1(x  (QORVSUREOHPDVDXVHODHFXDFLyQ  SDUDHQFRQWUDU ODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDHQ   b) 8WLOLFHHOUHVXOWDGRGHOLQFLVRD SDUDGHGXFLU   7. x y  xy  x   4)y  0 8. x 2 y xy 36x 2 1 4 y 0 9. x2 y xy 25x2 4 9 y 0 28. 8WLOLFHODIyUPXODGHOHMHPSORMXQWRFRQHOLQFLVRD GHO SUREOHPDSDUDGHGXFLUODUHODFLyQGHUHFXUUHQFLD #J# (x)  xJ#1(x)  xJ#1(x  10. x y  xy  x  y  0   (QORVSUREOHPDV\XVHHOFDPELRGHYDULDEOHLQGLFDGR para determinar la solución general de la ecuación diferencial HQ   11. x y xy   x y  0; 12. x2 y ( 2 2 x 2 1 4 )y y  x 1兾 v(x) 0; y 1x v(x) (QORVSUREOHPDVDXVHODHFXDFLyQ  SDUDHQFRQWUDU ODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQ   13. xy y  4y  0 14. xy y  xy  0 15. xy  y  xy  0  [Sugerencia:(VFULEDn  #  n  #)  #@ 16. xy  5y  xy  0  17. x y  (x  y  0 18. 4x y  x   1)y  0 (Q ORV SUREOHPDV  \  XVH OD HFXDFLyQ   R   SDUD REWHQHUHOUHVXOWDGRGDGR x 29. rJ0 (r) dr 31. 3URFHGDFRPRHQODHFXDFLyQ  SDUDGHGXFLUODIRUPD elemental de J1兾(x  32. 8VHODUHODFLyQGHUHFXUUHQFLDGHOSUREOHPDMXQWRFRQ  \  SDUDH[SUHVDUJ兾(x J兾(x) y J5兾(x) en términos de sen xFRVx y potencias de x k e t / 2 para dem B   PRVWUDUTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHOUHVRUWHHQYHMHFLGR mx  ketx  VHFRQYLHUWHHQ 21. 8VHODVHULHHQ  SDUDFRPSUREDUTXHI#(x)  i#J#(ix) es XQDIXQFLyQUHDO 22. Suponga que bHQODHFXDFLyQ  SXHGHVHUXQQ~PHUR LPDJLQDULRSXURHVGHFLUb  ȕLȕ i  8VH HVWD VXSRVLFLyQ SDUD H[SUHVDU OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD HFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQWpUPLQRVGHODVIXQFLRQHVPRGL¿FDGDVGH%HVVHOIn y Kn 2 33. 8VH HO FDPELR GH YDULDEOHV s 19. xy y  x y  0 20. x y xy  (x   y  0 30. J0 (x)  J1(x)  J1(x) xJ1 (x) 0 s2 d 2x ds 2 s dx ds ( s2 x 0. ) 34. Demuestre que y x1 / 2 w 23 x 3 / 2 es una solución de la   H FXDFLyQGLIHUHQFLDOGH$LU\y  xy x VLHPpre que wVHDXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGH%HVVHOGH orden 13 HV GHFLU t2 w tw t 2 19 w 0, t  [Sugerencia'HVSXpVGHGHULYDUVXVWLWXLU\VLPSOL¿FDU entonces se hace t 23 x3 / 2.] ( ) 6.4 35. a) 8  VH HO UHVXOWDGR GHO SUREOHPD  SDUD H[SUHVDU OD VROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGH$LU\ para x HQWpUPLQRVGHIXQFLRQHVGH%HVVHO b) &RPSUXHEH ORV UHVXOWDGRV GHO LQFLVR D  XVDQGR OD HFXDFLyQ   36. 8VHODWDEODSDUDHQFRQWUDUORVSULPHURVWUHVYDORUHV SURSLRVSRVLWLYRV\ODVIXQFLRQHVSURSLDVFRUUHVSRQGLHQWHVGHOSUREOHPDGHYDORUHVHQODIURQWHUD xy y xy 0, y(x y(x) acotada conforme x → 0y   [Sugerencia:,GHQWL¿FDQGR   OD('HVODHFXDFLyQ GH%HVVHOSDUDPpWULFDGHRUGHQFHUR@ 37. a) 8  VHODHFXDFLyQ  SDUDGHPRVWUDUTXHODVROXFLyQ general de la ecuación diferencial xy  y  0 en el LQWHUYDOR  ) es c1 1xJ1 2 1 x ( c2 1xY1 2 1 x . ) ( ) b) &  RPSUXHEH SRU VXVWLWXFLyQ GLUHFWD TXH y 1xJ1 (2 1x ) es una solución particular de la ED en el caso   y FUNCIONES ESPECIALES donde EHVHOPyGXORGH<RXQJI es el momento de inerFLDGHVHFFLyQWUDQVYHUVDO  es la densidad lineal constante y x es la distancia a lo largo de la columna medida GHVGHVXEDVH9pDVHOD¿JXUD/DFROXPQDVHGREOD VyORSDUDDTXHOORVYDORUHVGHLSDUDORVTXHHOSUREOHPD FRQYDORUHVHQODIURQWHUDWLHQHXQDVROXFLyQQRWULYLDO a) (VWDEOH]FD GH QXHYR HO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUDKDFLHQGRHOFDPELRGHYDULDEOHVt  L  x /XHJRXWLOLFHORVUHVXOWDGRVGHOSUREOHPDDQWHULRUHQ HVWHFRQMXQWRGHHMHUFLFLRVSDUDH[SUHVDUODVROXFLyQ general de la ecuación diferencial en términos de IXQFLRQHVGH%HVVHO b) 8VHODVROXFLyQJHQHUDOHQFRQWUDGDHQHOLQFLVRD SDUD HQFRQWUDUXQDVROXFLyQGHO39)\XQDHFXDFLyQTXHGH¿QDODORQJLWXGFUtWLFDLHVGHFLUHOYDORUPiVSHTXHxR de LSDUDODTXHVHFRPLHQFHDGREODUODFROXPQD c) &  RQ D\XGD GH XQ 6$& HQFXHQWUH OD ORQJLWXG L de XQDYDULOODGHDFHURVyOLGDGHUDGLRr SXOJg AOE兾SXOJE  10OE兾pulgA  r e I 14 r 4. θ Tarea para el laboratorio de computación P(x) 38. 8VH XQ 6$& SDUD WUD]DU ODV JUi¿FDV GH J兾(x  J兾(x  J5兾(x) y J5兾(x  x 39. a) 8  VH OD VROXFLyQ JHQHUDO GDGD HQ HO HMHPSOR  SDUD UHVROYHUHO39, 4x e 0.1t x 0, 1, x(0) x=0 7DPELpQXVH J 0 (x) J1 (x) y Y 0 (x) Y1 (x)MXQWR FRQODWDEODRXQ6$&SDUDHYDOXDUORVFRH¿FLHQWHV b) 8VHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQREWHQLGDHQHOLQFLVRD HQHOLQWHUYDOR t   40. a) 8VHODVROXFLyQJHQHUDOREWHQLGDHQHOSUREOHPD SDUDUHVROYHUHO39, tx 0, x(0.1) 1, 1 2. x (0.1)   8VHXQ6$&SDUDHYDOXDUORVFRH¿FLHQWHV b) 8VHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQREWHQLGDHQHOLQFLVRD HQHOLQWHUYDOR t  41. Columna doblada bajo su propio peso  8QDFROXPQD delgada uniforme de longitud LFRORFDGDYHUWLFDOPHQWH FRQXQH[WUHPRLQVHUWDGRHQHOVXHORVHFXUYDGHVGHOD YHUWLFDO EDMR OD LQÀXHQFLD GH VX SURSLR SHVR FXDQGR VX ORQJLWXGRDOWXUDH[FHGHXQFLHUWRYDORUFUtWLFR6HSXHGH GHPRVWUDU TXH OD GHÀH[LyQ DQJXODU  (x) de la columna GHVGH OD YHUWLFDO HQ XQ SXQWR P(x) es una solución del SUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUD 2 EI d dx 2 g(L x) 0, (0) 0, suelo 1 2. x (0) FIGURA 6.4.7  9LJDGHOSUREOHPD   4x 261 l (L) 0, 42. Pandeo de una columna vertical delgada  (QHOHMHPSORGHODVHFFLyQYLPRVTXHFXDQGRVHDSOLFDXQD IXHU]DFRPSUHVLYDYHUWLFDOFRQVWDQWHRFDUJDP a una coOXPQDGHOJDGDGHVHFFLyQWUDQVYHUVDOXQLIRUPH\DELVDJUDGDHQDPERVH[WUHPRVODGHÀH[LyQy(x) es una soluFLyQGHO39) d 2y EI 2 Py 0, y(0) 0, y(L) 0. dx a) 6LHOIDFWRUGHULJLGH]DODÀH[LyQEI es proporcional a x entonces EI(x)  kxGRQGHk es una constante de proSRUFLRQDOLGDG6LEI(L)  kL  MHVHOIDFWRUGHULJLGH] Pi[LPDHQWRQFHVk  M兾L\SRUWDQWREI(x)  Mx兾L 8VHODLQIRUPDFLyQGHOSUREOHPDSDUDHQFRQWUDUXQD solución de M   x d 2y L dx 2 Py 0, y(0) 0, y(L) 0 VLVHVDEHTXH1xY1(21 x) no es cero en x  b) 8  VHODWDEODSDUDHQFRQWUDUODFDUJDGH(XOHUP1 SDUDODFROXPQD 262 CAPÍTULO 6 l SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES c) 8  VHXQ6$&SDUDJUD¿FDUHOSULPHUPRGRGHSDQGHR y1(x) correspondiente a la carga de Euler P13RUVLPplicidad suponga que c1  1 y L  43. Péndulo de longitud variable  3DUD HO SpQGXOR VLPSOH GHVFULWR HQ OD VHFFLyQ  VXSRQJD TXH OD YDULOOD que sostiene la masa m HQ XQ H[WUHPR VH VXVWLWX\H SRU XQ DODPEUH ÀH[LEOH R FXHUGD \ TXH HO DODPEUH SDVD SRU una polea en el punto de apoyo OHQOD¿JXUD'H HVWD PDQHUD PLHQWUDV HVWi HQ PRYLPLHQWR HQ HO SODQR YHUWLFDOODPDVDmSXHGHVXELUREDMDU(QRWUDVSDODEUDV la longitud l(t GHOSpQGXORYDUtDFRQHOWLHPSR%DMRODV PLVPDVVXSRVLFLRQHVTXHFRQGXFHQDODHFXDFLyQ  HQOD VHFFLyQVHSXHGHGHPRVWUDU que la ecuación diferenFLDOSDUDHOiQJXORGHGHVSOD]DPLHQWR ahora es l 2l g sen 0. a) Si lDXPHQWDDXQDUD]yQFRQVWDQWHv y si l(0)  l0 GHPXHVWUHTXHXQDOLQHDOL]DFLyQGHOD('DQWHULRUHV  b) 5HDOLFHHOFDPELRGHYDULDEOHVx  (l0  vt)兾v y dePXHVWUHTXHODHFXDFLyQ  VHFRQYLHUWHHQ (l 0 vt) 2v g 0.  d2 2d g 0. 2 dx x dx vx c) 8  VHHOLQFLVRE \ODHFXDFLyQ  SDUDH[SUHVDUOD VROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQ  HQWpUPLQRVGH IXQFLRQHVGH%HVVHO d) 8VHODVROXFLyQJHQHUDOGHOLQFLVRF SDUDUHVROYHU HO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV TXH FRQVLVWH HQ OD HFXDFLyQ   \ ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV (0)  0 (0)   >Sugerencias: SDUD VLPSOL¿FDU ORV FiOFXORV XVH XQ FDPELR GH YDULDEOH DGLFLRQDO g 1/ 2 2 x . 1g(l0 vt) 2 v Bv $GHPiV UHFXHUGH TXH OD HFXDFLyQ   YDOH SDUD J1(u) y Y1(u 3RU~OWLPRODLGHQWLGDG u   2 VHUi PX\ ~WLO@ u e) 8  VH XQ 6$& SDUD WUD]DU OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ (t  GHO 39, GHO LQFLVR G  FXDQGR l0   SLH 0  1 1 UDGLiQ\ v 60 pie兾V([SHULPHQWHFRQODJUi¿FD 10 XVDQGRGLIHUHQWHVLQWHUYDORVGHWLHPSRFRPR>@ >@HWFpWHUD I  ¢4XpLQGLFDQODVJUi¿FDVDFHUFDGHOiQJXORGHGHVSOD]DPLHQWR(t) cuando la longitud lGHODODPEUHVH incrementa con el tiempo? J1 (u)Y2 (u) J2 (u)Y1 (u) Ecuación de Legendre 44. a) 8VHODVVROXFLRQHVH[SOtFLWDVy1(x) y y(x) de la ecuaFLyQ GH /HJHQGUH GDGD HQ   \ OD HOHFFLyQ DSUR௘ 9HD0DU\%RDV Mathematical Methods in the Physical Sciences-RKQ :LOH\ 6RQV7DPELpQYHDHODUWtFXORGH%RUHOOL&ROHPDQ\+REVRQ en Mathematicas MagazineYROQ~PPDU]RGH piada de c0 y c1 para encontrar los polinomios de /HJHQGUHP(x) y P(x  b) (VFULEDODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVSDUDODVFXDOHV P(x) y P(x VRQVROXFLRQHVSDUWLFXODUHV 45. 8VHODUHODFLyQGHUHFXUUHQFLD  \P0(x) P1(x)  x SDUDJHQHUDUORVVLJXLHQWHVVHLVSROLQRPLRVGH/HJHQGUH 46. Demuestre que la ecuación diferencial d 2y dy cos n(n 1)(sen )y 0 d 2 d   SXHGHFRQYHUWLUVHHQODHFXDFLyQGH/HJHQGUHSRUPHGLR de la sustitución x  cos  47. (QFXHQWUH ORV SULPHURV WUHV YDORUHV SRVLWLYRV GH  para ORVFXDOHVHOSUREOHPD sen x2)y (1 2xy y 0, y(0)  y(x y(x HVWiDFRWDGDHQ>@   WLHQHVROXFLRQHVQRWULYLDOHV Tarea para el laboratorio de computación 48. (QODUHDOL]DFLyQGHHVWHSUREOHPDLJQRUHODOLVWDGHSROLQRPLRVGH/HJHQGUHTXHVHSUHVHQWDQHQODVJUi¿FDVGHOD ¿JXUD8VHODIyUPXODGH5RGULJXHV  SDUDJHQHUDU ORVSROLQRPLRVGH/HJHQGUHP1(x P(x P(x 8VHXQ 6$&SDUDUHDOL]DUODVGHULYDGDV\ODVVLPSOL¿FDFLRQHV 49. 8VHXQ6$&SDUDWUD]DUODVJUi¿FDVGHP1(x P(x  P(x HQHOLQWHUYDOR>@ 50. 8VHXQSURJUDPDGHFiOFXORGHUDtFHVSDUDGHWHUPLQDUODV raíces de P1(x  P(x      P(x  6L ORV SROLQRPLRV GH /HJHQGUHVRQIXQFLRQHVLQFRUSRUDGDVHQVX6$&HQFXHQWUHORVSROLQRPLRVGH/HJHQGUHGHJUDGRVXSHULRU+DJD XQDVXSRVLFLyQDFHUFDGHODORFDOL]DFLyQGHODVUDtFHVGH DOJ~QSROLQRPLRGH/HJHQGUHPn(x \OXHJRLQYHVWLJXHVL HVYHUGDG Miscelánea de ecuaciones diferenciales 51. /DHFXDFLyQGLIHUHQFLDO y xy Į\  0 se conoce como la ecuación de Hermite de orden Į en KRQRU GHO PDWHPiWLFR IUDQFpV &KDUOHV +HUPLWH   'HPXHVWUHTXHODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQ es y(x)  c0y1(x)  c1y(x GRQGH y1(x) 1 y2(x) x ( 1)k k 1 ( 1)k k 1 2kD(D 2) . . . (D (2k)! 2k(D 1)(D 3) . . . (D (2k 1)! 2k 2k 2) x 2k 1) x 2k 1 son soluciones en series de potencias en el punto ordiQDULR 52. a) Cuando Į  n HV XQ HQWHUR QR QHJDWLYR OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDOGH+HUPLWHWDPELpQWLHQHXQDVROXFLyQSROL- REPASO DEL CAPÍTULO 6 nomial de grado n8WLOLFHODy1(x GDGDHQHOSUREOHPD SDUDHQFRQWUDUODVVROXFLRQHVSROLQRPLDOHVSDUDn  n \n 'HVSXpVXVHy(x) para encontrar las soluciones polinomiales para n n \n  b) 8Qpolinomio de Hermite Hn(x VHGH¿QHFRPRXQ polinomio de grado n-ésimo que es solución de la ecuación de Hermite multiplicada por una constante DGHFXDGD GH WDO IRUPD TXH HO FRH¿FLHQWH GH xn en Hn(x  HV n 8WLOLFH ODV VROXFLRQHV SROLQRPLDOHV GHO inciso a) para demostrar que los primeros seis polinomios de Hermite son H0(x) 1 H1(x) 2x H2(x) 4x2 H3(x) 3 53. /DHFXDFLyQGLIHUHQFLDO (1  x)y  xy  Įy  0 donde Į HV XQ SDUiPHWUR VH FRQRFH FRPR OD ecuación de Chebyshev HQ KRQRU DO PDWHPiWLFR UXVR 3DIQXW\ &KHE\VKHY  &XDQGRĮ  n es un entero no QHJDWLYR/DHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGH&KHE\VKHYVLHPSUH tiene una solución polinomial de grado n(QFXHQWUHXQD solución polinomial de quinto grado de esta ecuación diIHUHQFLDO 2 8x xR xR  [Įx n(n  @R 0 12x 4 16x H5 (x) 32x 5 48x2 HQ HO LQWHUYDOR  ’  HV R(x)  c1 jn(Į[)  cyn(Į[  donde jn(Į[) y yn(Į[) son las funciones esféricas de %HVVHOGHSULPHUD\VHJXQGDFODVHGH¿QLGDVHQ   12 160x3 120x Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-10. REPASO DEL CAPÍTULO 6 (QORVSUREOHPDV\FRQWHVWHIDOVRRYHUGDGHURVLQFRQVXOWDUGHQXHYRHOWH[WR 1. /D VROXFLyQ JHQHUDO GH x y  xy  (x   1)y  0 es y  c 1J 1(x)  c  J1(x  2. 'HELGR D TXH x  0 es un punto singular irregular de x y  xy  y OD('QRWLHQHVROXFLyQTXHVHDDQDlítica en x  3. ¢(Q cuál GH ORV VLJXLHQWHV LQWHUYDORV VH JDUDQWL]D TXH FRQYHUJHQSDUDWRGDxDPEDVVROXFLRQHVHQVHULHGHSRtencias de y  ln(x  1)y  y  0 centradas en el punto ordinario x  0? c) [ b) ( )  7HQLHQGRHQPHQWHTXHc0 y c1VRQFRQVWDQWHVDUELWUDULDV HVFULEDORVSULPHURVFLQFRWpUPLQRVGHGRVVHULHVGHSRWHQFLDVTXHVRQVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO 5. 6XSRQJD TXH VH VDEH TXH OD VHULH GH SRWHQFLDV 4)kFRQYHUJHHQ\GLYHUJHHQ$QDOLFH k 0 ck(x VLODVHULHFRQYHUJHHQ\/DVUHVSXHVWDV SRVLEOHVVRQsinopodría 6. 8VH OD VHULH GH 0DFODXULQ SDUD VHQ x y cos x MXQWR FRQ OD GLYLVLyQ ODUJD SDUD HQFRQWUDU ORV SULPHURV WUHV WpUPLnos diferentes de cero de una serie de potencias en x para la sen x función f (x) . cos x (Q ORV SUREOHPDV  \  FRQVWUX\D XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDOGHVHJXQGRRUGHQTXHWHQJDODVSURSLHGDGHVGDGDV d) [@ 1 1 2, 2] 263 54. Si nHVXQHQWHURXVHODVXVWLWXFLyQR(x)  (Į[)1兾Z(x) para demostrar que la solución general de la ecuación diferencial H 4 (x) a) (  ) l 4. x  0 es un punto ordinario de cierta ecuación diferenFLDOOLQHDO'HVSXpVTXHVHVXVWLWX\HODVROXFLyQVXSXHVWD n y n 0 cn x HQOD('VHREWLHQHHOVLJXLHQWHVLVWHPD DOJHEUDLFR FXDQGR ORV FRH¿FLHQWHV GH x0 x1 x y x se igualan a cero: 7. 8QSXQWRVLQJXODUUHJXODUHQx  1 y un punto singular irregular en x  8. 3XQWRVVLQJXODUHVUHJXODUHVHQx  1 y en x   (Q ORV SUREOHPDV  D  XVH XQ PpWRGR GH VHULHV LQ¿QLWDV apropiado respecto a x  0 para encontrar dos soluciones de ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD 2c2 2c1 c0 0 6c3 4c2 c1 0 9. xy  y  y  0 12c4 6c3 c2 1 3 c1 0 11. (x  1)y y  0 12. y  x y  xy  0 20c5 8c4 c3 2 3 c2 0. 13. xy  (x  y y  0 14. (cos x)y  y  0 10. y  xy  y  0 264 CAPÍTULO 6 l SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES (QORVSUREOHPDV\UHVXHOYDHOSUREOHPDFRQYDORUHV LQLFLDOHVGDGR y 15. y  xy y   y(0) y(0)   16. (x  y y   y(0) y(0)  1 17. 6LQUHDOPHQWHUHVROYHUODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO VHQ x)y  xy HQFXHQWUHXQOtPLWHLQIHULRUSDUDHOUDGLR GHFRQYHUJHQFLDGHODVVROXFLRQHVHQVHULHGHSRWHQFLDV respecto al punto ordinario x  18. $XQTXHx  0 es un punto ordinario de la ecuación difeUHQFLDOH[SOLTXHSRUTXpQRHVXQDEXHQDLGHDWUDWDUGH HQFRQWUDUXQDVROXFLyQGHO39, y xy y 0, y(1) 6, y (1) 3 n de la forma y n 0 cn x . 3RUPHGLRGHVHULHVGHSRWHQFLDVGHWHUPLQHXQDPHMRUIRUPDGHUHVROYHUHOSUREOHPD (QORVSUREOHPDV\LQYHVWLJXHVLx  0 es un punto ordinaULRVLQJXODURVLQJXODULUUHJXODUGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGD [Sugerencia:5HFXHUGHODVHULHGH0DFODXULQSDUDFRVx y ex@ 19. xy  (1  cos x)y  x y  0 20. (e x  1  x)y  xy  0 21. 2EVHUYHTXHx  0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial y  x y xy  5 x  10x  8VH OD n suposición y n 0 cn x para encontrar la solución general y  yc  yp que consiste en tres series de potencias centradas en x  22. /DHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQdy兾dx  x  y QRVHSXHGHUHVROYHUHQWpUPLQRVGHIXQFLRQHVHOHPHQWDOHV6LQHPEDUJRXQDVROXFLyQVHSXHGHH[SUHVDUHQWpUPLQRVGHIXQFLRQHVGH%HVVHO 1 du conduce a) Demuestre que la sustitución y u dx  a la ecuación u  x u  b) 8VHODHFXDFLyQ  GHODVHFFLyQSDUDHQFRQWUDU la solución general de u  xu  c) 8  VHODVHFXDFLRQHV  \  GHODVHFFLyQHQODV formas J (x) y x J (x) J 1(x) J (x) J 1 (x) x como ayuda para demostrar que una familia uniparamétrica de soluciones de dy兾dx  x  yHVWiGDGDSRU ( ) cJ1/4( 12 x2) J3 /4 12 x2 cJ J ( ). ( ) 1 2 3 /4 2 x 1 2 1/4 2 x 23. a) 8  VHODHFXDFLyQ  GHODVHFFLyQ\HOSUREOHPD GHODVHFFLyQSDUDGHPRVWUDUTXH 冪 Y3/ 2 (x) 2 cos x x x sen x b) 8  VHODHFXDFLyQ  GHODVHFFLyQSDUDGHPRVWUDU que I1/ 2 (x) 2 senhx B x y I 1/ 2 (x) 2 cosh x. B x c) 8VHODHFXDFLyQ  GHODVHFFLyQ\HOLQFLVRE  para demostrar que B2x K1/ 2 (x) e x. 24. a) '  HODVHFXDFLRQHV  \  GHODVHFFLyQVHVDEH que cuando n ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGH/HJHQGUH (1  x)y xy  0 tiene la solución polinomial y  P0(x) 8VHODHFXDFLyQ  GHODVHFFLyQ SDUDGHPRVWUDUTXHXQDVHJXQGDIXQFLyQGH/HJHQGUH TXHVDWLVIDFHOD('HQHOLQWHUYDOR 1  x  1 es 1 1 x ln . 2 1 x b) 7DPELpQVDEHPRVGHODVHFXDFLRQHV  \  GHOD VHFFLyQTXHFXDQGRn  1 la ecuación diferencial GH /HJHQGUH   x)y  xy  y  0 tiene la solución polinomial y  P1(x)  x8VHODHFXDFLyQ  GHODVHFFLyQSDUDGHPRVWUDUTXHXQDVHJXQGD IXQFLyQGH/HJHQGUHTXHVDWLVIDFHOD('HQHOLQWHUYDOR1  x  1 es y y x 1 ln 2 1 x x 1. c) 8  VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODVIXQFLRQHV GH/HJHQGUHORJDUtWPLFDVGDGDVHQORVLQFLVRVD \E  25. a) 8VHVHULHVELQRPLDOHVSDUDPRVWUDUIRUPDOPHQWHTXH (1 J (x) x 2xt t2 ) 1/ 2 Pn (x)t n. n 0 b) 8  VHHOUHVXOWDGRREWHQLGRHQHOLQFLVRD SDUDGHPRVtrar que Pn(1)  1 y Pn(1)  (1)n 9pDQVH ODV propiedades ii) y iii GHORVSROLQRPLRVGH/HJHQGUH 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 7.1 'H¿QLFLyQGHODWUDQVIRUPDGDGH/DSODFH 7.2 Transformadas inversas y transformadas de derivadas 7.2.1 Transformadas inversas 7.2.2 Transformadas de derivadas 7.3 Propiedades operacionales I 7.3.1 Traslación en el eje s 7.3.2 Traslación en el eje t 7.4 Propiedades operacionales II 7.4.1 Derivadas de una transformada 7.4.2 Transformadas de integrales 7.4.3 Transformada de una función periódica 7.5 La función delta de Dirac 7.6 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales REPASO DEL CAPÍTULO 7 En los modelos matemáticos lineales para sistemas físicos tales como un sistema resorte/masa o un circuito eléctrico en serie, el miembro del lado derecho o entrada, de las ecuaciones diferenciales m d 2x dt 2 b dx dt kx f(t) o L d 2q dt 2 R dq dt 1 q C E(t) es una función de conducción y representa ya sea una fuerza externa f (t) o un voltaje aplicado E(t). En la sección 5.1 consideramos problemas en los que las funciones f y E eran continuas. Sin embargo, las funciones de conducción discontinuas son comunes. Por ejemplo, el voltaje aplicado a un circuito podría ser continuo en tramos y periódico tal como la función “diente de sierra” que se muestra arriba. En este caso, resolver la ecuación diferencial del circuito es difícil usando las técnicas del capítulo 4. La transformada de Laplace que se estudia en este capítulo es una valiosa KHUUDPLHQWDTXHVLPSOL¿FDODVROXFLyQGHSUREOHPDVFRPRpVWH 265 265 266 l CAPÍTULO 7 7.1 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE REPASO DE MATERIAL l ,QWHJUDOHVLPSURSLDVFRQOtPLWHVGHLQWHJUDFLyQLQ¿QLWRV l Integración por partes y descomposición en fracciones parciales. INTRODUCCIÓN En cálculo elemental aprendió que la derivación y la integración son transformadas;HVWRVLJQL¿FDDJUDQGHVUDVJRVTXHHVWDVRSHUDFLRQHVWUDQVIRUPDQXQDIXQFLyQHQRWUD Por ejemplo, la función f(x)  x2 se transforma, a su vez, en una función lineal y en una familia de funciones polinomiales cúbicas con las operaciones de derivación e integración: d 2 1 3 x 2x y x2 dx x c. dx 3 Además, estas dos transformadas tienen la propiedad de linealidad tal que la transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para Į y ȕ constantes d [ f (x) g(x)] f (x) g (x) dx y [ f (x) g(x)] dx f (x) dx g(x) dx siempre que cada derivada e integral exista. En esta sección se examina un tipo especial de transformada integral llamada transformada de Laplace. Además de tener la propiedad de linealidad, la transformada de Laplace tiene muchas otras propiedades interesantes que la hacen muy útil para resolver problemas lineales con valores iniciales. TRANSFORMADA INTEGRAL Si f(x, y) es una función de dos variables, entonces XQDLQWHJUDOGH¿QLGDGHf respecto a una de las variables conduce a una función de la otra variable. Por ejemplo, si se conserva y constante, se ve que 21 2xy2 dx 3y2 . De igual PRGRXQDLQWHJUDOGH¿QLGDFRPR ba K(s, t) f (t) dt transforma una función f de la variable t en una función F de la variable s. Tenemos en particular interés en una transformada integral, donde el intervalo de integración es el intervalo no acotado [0, ). Si f (t VHGH¿QH para t  0, entonces la integral impropia 0 K(s, t) f (t) dtVHGH¿QHFRPRXQOtPLWH b K(s, t) f (t) dt 0 Supondremos que s es una variable real (1) K(s, t) f (t) dt. lím b: 0 Si existe el límite en (1), entonces se dice que la integral existe o es convergente; si no existe el límite, la integral no existe y es divergente. En general, el límite en (1) existirá sólo para ciertos valores de la variable s. UNA DEFINICIÓN La función K(s, t) en (1) se llama kernel o núcleo de la transformada. La elección de K(s, t)  est como el núcleo nos proporciona una transformada integral especialmente importante. La transformada de Laplace se llama así en honor del matemático y astrónomo francés Pierre Simon Marquis de Laplace (1749-1827). DEFINICIÓN 7.1.1 Transformada de Laplace Sea fXQDIXQFLyQGH¿QLGDSDUDt  0. Entonces se dice que la integral { f (t)} e st f (t) dt (2) 0 es la transformada de Laplace de f, siempre que la integral converja. &XDQGRODLQWHJUDOGHODGH¿QLFLyQ  FRQYHUJHHOUHVXOWDGRHVXQDIXQFLyQGHs. En el análisis general se usa una letra minúscula para denotar la función que se transforma y la letra mayúscula correspondiente para denotar su transformada de Laplace, por ejemplo, {f (t)} F(s), {g(t)} G(s), {y(t)} Y(s). 7.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE l 267 Como muestran los siguientes cuatro ejemplos, el dominio de la función F(s) depende de la función f (t). EJEMPLO 1 Evalúe $SOLFDQGRODGH¿QLFLyQ {1}. De (2), SOLUCIÓN b {1} st (1) dt e lím e b: 0 st dt 0 e sb 1 1 e st b lím 0 b: b: s s s siempre que s 0. En otras palabras, cuando s 0, el exponente sb es negativo y esb → 0 conforme b → . La integral diverge para s  0. lím El uso del signo de límite se vuelve un poco tedioso, por lo que se adopta la notación b 0 como abreviatura para escribir lím b : ( ) 0 . Por ejemplo, e st 1 , s 0. s 0 s 0 (QHOOtPLWHVXSHULRUVHVREUHHQWLHQGHORTXHVLJQL¿FDest → 0 conforme t → {1} EJEMPLO 2 Evalúe e st (1) dt para s 0. $SOLFDQGRODGH¿QLFLyQ {t}. SOLUCIÓN 'HODGH¿QLFLyQVHWLHQH y usando lím te st t: EJEMPLO 3 Evalúe a) {e 0, s te s {t} st {t} t dt . Al integrar por partes 0 e 0, junto con el resultado del ejemplo 1, se obtiene st 0 1 s e st dt 0 1 s 1 1 s s {1} 1 . s2 $SOLFDQGRODGH¿QLFLyQ }. 3t b) {e5t} SOLUCIÓN 'HODGH¿QLFLyQVHWLHQH a) {e 3t } e 0 st e 3t dt (s e 3)t dt 0 e s (s 3)t 3 0 1 , s 3. s 3 El resultado se deduce del hecho de que lím t → e(s3)t  0 para s  3 s 3. {e5t} e 5t e st dt e (s 5)t dt 0 0 b) e (s 5)t s 5 0 1 s 5 A diferencia del inciso a), este resultado es válido para s requiere que s – 5 > 0 o s > 5. 0 o 5 ya que lím t → e(s5)t  0 268 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EJEMPLO 4   $SOLFDQGRODGH¿QLFLyQ Evalúe {sen 2t}. SOLUCIÓN 'HODGH¿QLFLyQHLQWHJUDQGRSRUSDUWHVVHWLHQHTXH {sen 2t} 0 2 –s lím e st t: st e cos 2t st e 0 e st sen 2t –––––––––––– s sen 2t dt 0, s cos 2t dt, st e 0 cos 2t dt 0 s 0 Transformada de Laplace de sen 2t [ 2 e st cos 2t –s –––––––––––– s 2 ––2 s 2 –s 0 2 –s 0 e 0 st sen 2t dt ] 4 ––2 {sen 2t}. s En este punto se tiene una ecuación con se despeja esa cantidad el resultado es {sen 2t} {sen 2t} en ambos lados de la igualdad. Si 2 2 , s 4 s 0. ᏸ ES UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Para una combinación lineal de funciones podemos escribir st e [ f (t) g(t)] dt e 0 st f (t) dt { f (t)} g(t)} g(t) dt 0 siempre que ambas integrales converjan para s { f (t) st e 0 c. Por lo que se tiene que {g(t)} G(s) . F(s) (3) Como resultado de la propiedad dada en (3), se dice que ᏸ es una WUDQVIRUPDFLyQOLQHDO. EJEMPLO 5 Linealidad de la transformada de Laplace En este ejemplo usamos los resultados de los ejemplos anteriores para ilustrar la linealidad de la transformada de Laplace. a) De los ejemplos 1 y 2 tenemos para s 0 {1 5t} {1} b) De los ejemplos 3 y 4 tenemos para s {4e5t 10 sen 2t} 4 {e5t} c) De los ejemplos 1, 2 y 3 tenemos para s {20e 3t 7t 9} 5 {t} 1 s 5 , s2 5. 10 {sen2t} 4 20 5 s 2 s . 4 0, 20 {e 3t} 20 7 s 3 s2 7 {t} 9 s 9 {1} Se establece la generalización de algunos ejemplos anteriores por medio del siguiente teorema. A partir de este momento se deja de expresar cualquier restricción en s ; se sobreentiende que sHVWiORVX¿FLHQWHPHQWHUHVWULQJLGDSDUDJDUDQWL]DUODFRQYHUJHQFLD de la adecuada transformada de Laplace. 7.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE l 269 TEOREMA 7.1.1 Transformada de algunas funciones básicas 1 {1} a) s n! b) {t n} d) {sen kt} f) {senh kt} s , 1, 2, 3, . . . n n 1 k 2 2 s k k s2 k2 1 c) {eat} e) {cos kt} g) {cosh kt} s a s s 2 k2 s s 2 k2 (VWHUHVXOWDGRHQE GHOWHRUHPDVHSXHGHMXVWL¿FDUIRUPDOPHQWHSDUDn un entero positivo usando integración por partes para demostrar primero que {t n} n s {t n 1} Entonces para n = 0, 1 y 3, tenemos, respectivamente, f(t) a t2 t1 t3 b t FIGURA 7.1.1 Función continua por tramos. {t} 1 s {1} 1 1 s s 1 s2 {t2} 2 s {t} 2 1 s s2 2 1 s3 {t3} 3 s {t2} 3 2 1 s s3 3 2 1 s4 6LVLJXHFRQODVHFXHQFLDDO¿QDOGHEHUiHVWDUFRQYHQFLGRGHTXH {t n} n...3 2 1 sn 1 n! s n 1 CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE ᏸ{f (t)} La integral TXHGH¿QHODWUDQVIRUPDGDGH/DSODFHQRWLHQHTXHFRQYHUJHU3RUHMHPSORQRH[LVWH 2 {1>t} ni {et }/DVFRQGLFLRQHVVX¿FLHQWHVTXHJDUDQWL]DQODH[LVWHQFLDGH {f (t)} son que f sea continua por tramos en [0, ) y que f sea de orden exponencial para t T. Recuerde que la función es continua por tramos en [0, ) si, en cualquier intervalo 0  a  t  bKD\XQQ~PHUR¿QLWRGHSXQWRVtk, k  1, 2, . . . , n (tkl  tk) en los que fWLHQHGLVFRQWLQXLGDGHV¿QLWDV\HVFRQWLQXDHQFDGDLQWHUYDORDELHUWR tkl, tk). Vea la ¿JXUD(OFRQFHSWRGHorden exponencialVHGH¿QHGHODVLJXLHQWHPDQHUD Me ct (c > 0) f(t) FIGURA 7.1.2 f es de orden exponencial c. Orden exponencial Se dice que f es de orden exponencial c si existen constantes c, M 0 tales que 兩 f (t) 兩  Mect para toda t T. f (t) T DEFINICIÓN 7.1.2 t 0yT Si f es una función creciente, entonces la condición 兩 f (t)兩  Mect, t T, simSOHPHQWHHVWDEOHFHTXHODJUi¿FDGHf en el intervalo (T, ) no crece más rápido que ODJUi¿FDGHODIXQFLyQH[SRQHQFLDOMect, donde c es una constante positiva. Vea la ¿JXUD/DVIXQFLRQHVf (t)  t, f (t)  et y f (t)  2 cos t son de orden exponencial porque para c  1, M  1, T  1 se tiene, respectivamente, para t 0 t et, e t et, y 2 cos t 2et. 270 CAPÍTULO 7 l LA TRANSFORMADA DE LAPLACE f (t) f (t) f (t) et et 2et t 2 cos t e −t t t a) t b) c) FIGURA 7.1.3 Tres funciones de orden exponencial 8QDFRPSDUDFLyQGHODVJUi¿FDVHQHOLQWHUYDOR  VHPXHVWUDHQOD¿JXUD Un exponente entero positivo de t siempre es de orden exponencial puesto que, para c 0, tn tn Mect o M para t T ect f(t) e t 2 es equivalente a demostrar que el lím t : t n> ect  HV ¿QLWR SDUD n  1, 2, 3, . . . El resultado se deduce con n aplicaciones de la regla de L'Hôpital. Una función como 2 f (t) et QRHVGHRUGHQH[SRQHQFLDOSXHVWRTXHFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD VXJUi¿FDFUHFHPiVUiSLGRTXHFXDOTXLHUSRWHQFLDOLQHDOSRVLWLYDGHe para t c 0. Esto también se puede ver, mientras t → , en la forma e ct 2 c FIGURA 7.1.4 exponencial. et ect t 2 et ct et(t c) o et2 no es de orden TEOREMA 7.1.2 &RQGLFLRQHVVX¿FLHQWHVSDUDODH[LVWHQFLD Si f es una función continua por tramos en [0, entonces { f (t)} existe para s c. DEMOSTRACIÓN demos escribir ) y de orden exponencial, 3RUODSURSLHGDGDGLWLYDGHOLQWHUYDORGHLQWHJUDOHVGH¿QLGDVSRT { f (t)} e st f (t) dt 0 e st f(t) dt I1 I2. T La integral I1 existe ya que se puede escribir como la suma de integrales en los intervalos en los que es t f (t) es continua. Ahora puesto que f es de orden exponencial, existen constantes c, M 0, T 0 tales que 兩 f (t)兩  Mect para t T. Entonces podemos escribir I2 e st f (t) dt M e st ct e dt T T M e T (s c)t dt M e (s c)T s c para s c. Puesto que T Me (s c)t dt converge, la integral T e st f (t) dt converge SRUODSUXHEDGHFRPSDUDFLyQSDUDLQWHJUDOHVLPSURSLDV(VWRDVXYH]VLJQL¿FDTXHI2 st existe para s c. La existencia de I1 e I2 implica que existe {f (t)} f (t) dt 0 e para s c. EJEMPLO 6 7UDQVIRUPDGDGHXQDIXQFLyQFRQWLQXDSRUWUDPRV Evalúe ᏸ{f (t)} donde f (t) 0, 0 2, t t 3. 3 7.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 271 l SOLUCIÓN /DIXQFLyQTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHVFRQWLQXDSRUWUDPRV\GH orden exponencial para t 0. Puesto que fVHGH¿QHHQGRVWUDPRVᏸ{f (t)} se expresa como la suma de dos integrales: 3 { f (t)} e st f (t) dt st e (0) dt e 0 0 0 st (2) dt 3 2e st s y 3 3s 2e , s 2 3 t FIGURA 7.1.5 Función continua por tramos. 0. s Concluye esta sección con un poco más de teoría relacionada con los tipos de funciones de s con las que en general se estará trabajando. El siguiente teorema indica que no toda función arbitraria de s es una transformada de Laplace de una función continua por tramos de orden exponencial. TEOREMA 7.1.3 Comportamiento de F(s) conforme s → Si f es continua por partes en (0, ) y de orden exponencial y F(s)  ᏸ{ f (t)}, entonces el lím F(s)  0. s→ Puesto que f es de orden exponencial, existen constantes Ȗ, M1 0 y T 0 tales que 兩 f (t)兩  M1eȖ t para t T. También, puesto que f es continua por tramos en el intervalo 0  t  T, está necesariamente acotada en el intervalo; es decir, 兩 f (t)兩  M2  M2e0t Si M denota el máximo del conjunto {M1, M2} y c denota el máximo de {0, Ȗ}, entonces DEMOSTRACIÓN F(s) e st 0 para s f (t) dt e stect dt M 0 M e 0 (s c)t dt M s c c. Conforme s → , se tiene 兩F(s)兩 → 0 y por tanto F(s)  ᏸ{ f (t)} → 0. COMENTARIOS i) En este capítulo nos dedicaremos principalmente a funciones que son continuas por tramos y de orden exponencial. Sin embargo, se observa que estas dos condiFLRQHVVRQVX¿FLHQWHVSHURQRQHFHVDULDVSDUDODH[LVWHQFLDGHODWUDQVIRUPDGDGH Laplace. La función f (t)  t1/2 no es continua por tramos en el intervalo [0, ), pero existe su transformada de Laplace. La función f (t)  2te t 2 cos e t 2 no es de orden exponencial pero se puede demostrar que su transformada de Laplace existe. Vea los problemas 43 y 54 en los ejercicios 7.1. ii) Como consecuencia del teorema 7.1.3 se puede decir que las funciones de s como F1(s)  1 y F2(s)  s 兾 (s  1) no son las transformadas de Laplace / 0 de funciones continuas por tramos de orden exponencial, puesto que F1(s) : / 0 conforme s → . Pero no se debe concluir de esto que F1(s) y F2(s) y F2 (s) : no son transformadas de Laplace. Hay otras clases de funciones. 272 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EJERCICIOS 7.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-11. (QORVSUREOHPDVODXVHODGH¿QLFLyQSDUDHQFRQWUDU ᏸ{ f (t)}. 1, 0 t 1   f (t) 1, t 1   f (t) 4, 0, 0   f (t) t, 1, 0   f (t) 2t 1, 0 t 0, t sen t, 0 t 0, t   f (t)   f (t) 0, cos t,  t t 2 2 t t 1 1 0 1 1 f(t)  f (t)  t 5  f (t)  4t  10  f (t)  7t  3  f (t)  t  6t  3  f (t)  4t 2  16t  9  f (t)  (t  1)3  f (t)  (2t  1)3  f (t)  1  e 4t  f (t)  t 2  e9t  5  f (t)  (1  e 2t)2  f (t)  (e t  et)2  f (t)  4t 2  5 sen 3t  f (t)  cos 5t  sen 2t  f (t)  senh kt  f (t)  cosh kt  f (t)  e t senh t  f (t)  et cosh t 2 En los problemas 37 a 40 encuentre ᏸ{ f (t)} usando primero una identidad trigonométrica. >2 2 t t  f (t)  2t 4 (2, 2) 1 t 1  f (t)  sen 2t cos 2t  f (t)  cos 2t  f (t)  sen(4t  5)  f (t) 6  Hemos encontrado a la IXQFLyQ JDPPD $(Į) en nuestro estudio de las funciones de Bessel en la sección 6.4. Una GH¿QLFLyQGHHVWDIXQFLyQHVWiGDGDSRUODLQWHJUDOLPSURSLD FIGURA 7.1.6 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD   f(t) 1 t 0 e t dt, 0. 8VHHVWDGH¿QLFLyQSDUDGHPRVWUDUTXH$(Į  1)  Į$(Į).  Utilice el problema 41 y un cambio de variable para obtener la generalización 1 t 1 FIGURA 7.1.7 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD   ( )  (2, 2) 10 cos t f(t) ( 1) , s 1 del resultado en el teorema 7.1.1(b) {t } 1 En los problemas 43 a 46 utilice los problemas 41 y 42 y el 1 hecho que t 1 ( 12 ) 1 para encontrar la transformada de Laplace de la función dada FIGURA 7.1.8 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD 4 f (t)  t1/2  f (t)  t 1/2 f(t)  f (t)  t 3/2.  f (t)  2t1/2  8 t 5/2  Problemas para analizar c a b t FIGURA 7.1.9 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD  f (t)  e t7  f (t)  e2t5  f (t)  te 4t  f (t)  t 2e2t  f (t)  et sen t  f (t)  e t cos t  f (t)  t cos t  f (t)  t sen t En los problemas 19 a 36 use el teorema 7.1.1 para encontrar ᏸ{ f (t)}.  Construya una función F(t) que sea de orden exponencial pero donde f(t)  F(t) no sea de orden exponencial. Construya una función f que no sea de orden exponencial, pero cuya transformada de Laplace exista. {f1(t)}  Suponga que {f2(t)} F2(s) para s {f1(t) F1(s) para s c2. ¿Cuándo f2(t)} F1(s) c1 y que F2(s)?  /D ¿JXUD  LQGLFD SHUR QR GHPXHVWUD TXH OD IXQFLyQ 2 f (t) et no es de orden exponencial. ¿Cómo demuestra la observación de que t2 ln M  ct, para M 0 y tVX¿2 cientemente grande, que et Mect para cualquier c? 7.2 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS l 273  Utilice el inciso c) del teorema 7.1.1 para demostrar que s a ib ᏸ{e (aib)t}  , donde a y b son reales (s a)2 b2 e i2  1. Demuestre cómo se puede usar la fórmula de Euler para deducir los resultados s a {eat cos bt} (s a)2 b2  Demuestre que la transformada de Laplace 2 2 {2te t cose t } existe. [Sugerencia: Comience integrando por partes.] b . (s a)2 b2  ¿Bajo qué condiciones es una función lineal f(x)  mx  b, m  0, una transformada lineal?  Explique por qué la función Este resultado se conoce como el teorema de cambio de escala.  Si ᏸ{f(t)}  F(s) y a {f(at)} {eat sen bt} t, 4, 1兾(t f(t) 0 2 5), t 2 5 t t 5 1 0 7.2 e st dt t2 1 e st dt t2 I1 1 s F a a  Utilice la transformada de Laplace dada y el resultado del problema 55 para encontrar la transformada de Laplace indicada. Suponga que a y k son constantes positivas. No es una función en partes continua en [0, ).  Demuestre que la función f(t)  1兾t2 no tiene una transformada de Laplace [Sugerencia: escriba ᏸ{1兾t 2)} como dos integrales impropias, como la ecuación siguiente; demuestre que I1 diverge.] {1兾t 2} 0 es una constante, demuestre que I2 1 a) {et} b) {sen t} c) {1 d) {sen t senh t} s {eat} ; 1 1 s2 cos t} ; 1 {sen kt} 1 ; s(s2 1) 2s ; s4 4 {1 cos kt} {sen kt senh kt} TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS REPASO DE MATERIAL l Descomposición en fracciones parciales INTRODUCCIÓN En esta sección se dan algunos pasos hacia un estudio de cómo se puede usar la transformada de Laplace para resolver ciertos tipos de ecuaciones para una función desconocida. Se empieza el análisis con el concepto de transformada de Laplace inversa o, más exactamente, la inversa de una transformada de Laplace F(s). Después de algunos antecedentes preliminares importantes sobre la transformada de Laplace de derivadas f (t), f (t), . . . , se ilustra cómo entran en juego la transformada de Laplace y la transformada de Laplace inversa para resolver ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias sencillas. Transformada {1} 1 s {t} 1 s2 {e 1 1 1 t 1 3t } Transformada inversa s 3 e 3t 1 s 1 s2 1 1 s 3 7.2.1 TRANSFORMADAS INVERSAS EL PROBLEMA INVERSO Si F(s) representa la transformada de Laplace de una función f (t), es decir, {f (t)} F(s) se dice entonces que f (t) es la transformada de Laplace in1 versa de F(s) y se escribe f (t) {F(s)}. En el caso de los ejemplos 1, 2 y 3 de la sección 7.1 tenemos las tablas a la izquierda, respectivamente. 274 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Pronto veremos que en la aplicación de la transformada de Laplace a ecuaciones no se puede determinar de manera directa una función desconocida f (t); más bien, se puede despejar la transformada de Laplace F(s) o f (t); pero a partir de ese co1 {F(s)} . La idea es simplemente nocimiento, se determina f calculando f (t) 2s 6 es una transformada de Laplace; encuentre una esta: suponga que F(s) s2 4 función f (t) tal que {f (t)} F (s). En el ejemplo 2 se muestra cómo resolver este último problema. Para futuras referencias el análogo del teorema 7.1.1 para la transformada inversa se presenta como nuestro siguiente teorema. TEOREMA 7.2.1 Algunas transformadas inversas 1 a) 1 n! , sn 1 1 b) tn s2 k 1 f) senh kt s2 s a s2 k2 s 1 g) cosh kt k2 s 1 e) cos kt k2 1 1 c) eat 1, 2, 3, . . . n k 1 d) sen kt 1 s s2 k2 Al evaluar las transformadas inversas, suele suceder que una función de s que estamos considerando no concuerda exactamente con la forma de una transformada de Laplace F(s) que se presenta en la tabla. Es posible que sea necesario “arreglar” la función de s multiplicando y dividiendo entre una constante apropiada. EJEMPLO 1 Evalúe $SOLFDQGRHOWHRUHPD 1 a) 1 s5 1 1 b) 2 . 7 s SOLUCIÓN a) Para hacer coincidir la forma dada en el inciso b) del teorema 7.2.1, VHLGHQWL¿FDn  1  5 o n  4 y luego se multiplica y divide entre 4!: 1 1 s5 1 4! s5 1 4! 1 4 t. 24 b) 3DUDTXHFRLQFLGDFRQODIRUPDGDGDHQHOLQFLVRG GHOWHRUHPDLGHQWL¿FDPRVk2 17 . Se arregla la expresión multiplicando y dividiendo entre 17 :  7 y, por tanto, k 1 1 2 s 17 1 7 17 1 2 7 s 1 sen17t. 17 ᏸ ⴚ1 ES UNA TRANSFORMADA LINEAL La transformada de Laplace inversa es también una transformada lineal para las constantes Į y ȕ 1 { F(s) G(s)} 1 {F(s)} 1 {G(s)}, (1) donde F y G son las transformadas de algunas funciones f y g. Como en la ecuación  GHODVHFFLyQODHFXDFLyQVHH[WLHQGHDFXDOTXLHUFRPELQDFLyQOLQHDO¿QLWDGH transformadas de Laplace. 7.2 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS 275 l EJEMPLO 2   'LYLVLyQWpUPLQRDWpUPLQR\OLQHDOLGDG 2s 6 . s2 4 SOLUCIÓN Primero se reescribe la función dada de s como dos expresiones dividiendo cada uno de los términos del numerador entre el denominador y después se usa la ecuación (1): Evalúe 1 linealidad y arreglo de las constantes división de cada uno de los términos entre el denominador { } { } { } { 2s  6 6 s 6 2 2s  ––––––– ᏸ1 –––––––––  ᏸ1 –––––––  2 ᏸ1 –––––––  – ᏸ1 ––––––– 2 2 2 2 2 s 4 s 4 s 4 s 4 2 s 4  2 cos 2t  3 sen 2t. } (2) incisos e) y d) del teorema 7.2.1 con k  2 FRACCIONES PARCIALES Las fracciones parciales juegan un papel importante en la determinación de transformadas de Laplace inversas. La descomposición de una expresión racional en las fracciones componentes se puede hacer rápidamente usando una sola instrucción en la mayoría de los sistemas algebraicos de computadora. De hecho, algunos SAC tienen paquetes implementados de transformada de Laplace y transformada de Laplace inversa. Pero para quienes no cuentan con este tipo de software, en esta sección y en las subsecuentes revisaremos un poco de álgebra básica en los casos importantes donde el denominador de una transformada de Laplace F(s) contiene factores lineales distintos, factores lineales repetidos y polinomios cuadráticos sin factores reales. Aunque examinaremos cada uno de estos casos conforme se desarrolla este capítulo, podría ser buena idea que consultara un libro de cálculo o uno de precálculo para una revisión más completa de esta teoría. En el siguiente ejemplo se muestra la descomposición en fracciones parciales en el caso en que el denominador de F(s) se puede descomponer en diferentes factores lineales. EJEMPLO 3 Fracciones parciales: diferentes factores lineales Evalúe s2 6s 9 1)(s 2)(s 1 (s 4) . SOLUCIÓN Existen constantes reales A, B y C, por lo que (s s 2 6s 9 1)(s 2)(s A 4) B 1 s s 2 4 s B(s 1)(s 4) C(s 1)(s (s 1)(s 2)(s 4) Puesto que los denominadores son idénticos, los numeradores son idénticos: A(s s2 6s 9 2)(s C 2)(s A(s 4) 4) B(s 1)(s 4) C(s 1)(s 2). 2) . (3) &RPSDUDQGRORVFRH¿FLHQWHVGHODVSRWHQFLDVGHs en ambos lados de la igualdad, sabemos que (3) es equivalente a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas A, B y C. Sin embargo, hay un atajo para determinar estas incógnitas. Si se hace s  1, s  2 y s  4 en (3) se obtiene, respectivamente, 16 y así, A ciales es A( 1)(5), 16 , 5 (s B 25 , 6 yC s2 6s 9 1)(s 2)(s 25 1 30 B(1)(6) y 1 C( 5)( 6), . Por lo que la descomposición en fracciones par- 4) 16 > 5 s 1 25> 6 s 2 1 > 30 , s 4 (4) 276 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE y, por tanto, de la linealidad de ᏸ 1 y del inciso c) del teorema 7.2.1, 1 (s s2 6s 9 1)(s 2)(s 16 5 4) 25 6 1 s 16 t e 5 7.2.2 1 1 25 2t e 6 1 e 30 1 1 4t 1 30 2 s . 1 1 4 s (5) TRANSFORMADAS DE DERIVADAS TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA Como se indicó en la introducción de este capítulo, el objetivo inmediato es usar la transformada de Laplace para resolver ecuaciones GLIHUHQFLDOHV3DUDWDO¿QHVQHFHVDULRHYDOXDUFDQWLGDGHVFRPR {dy>dt} y {d 2 y> dt 2}. Por ejemplo, si f  es continua para t  0, entonces integrando por partes se obtiene { f (t)} st e f (t) dt st e f (t) f (0) o { f (t)} s 0 0 e st f (t) dt 0 s { f (t)} (6) f (0). sF(s) Aquí hemos supuesto que estf (t) → 0 conforme t → . De manera similar, con la ayuda de la ecuación (6), { f (t)} e st f (t) dt e st f (t) 0 f (0) s 2F(s) { f (t)} s e st f (t) dt 0 s { f (t)} f (0)] s[sF(s) o 0 sf (0) f (0) ; de (6) (7) f (0). De igual manera se puede demostrar que (8) La naturaleza recursiva de la transformada de Laplace de las derivadas de una función f es evidente de los resultados en (6), (7) y (8). El siguiente teorema da la transformada de Laplace de la n-ésima derivada de f. Se omite la demostración. { f (t)} s3F(s) s2 f (0) sf (0) f (0). TEOREMA 7.2.2 Transformada de una derivada Si f, f , . . . , f (n1) son continuas en [0, ) y son de orden exponencial y si f (n) (t) es continua por tramos en [0, ), entonces { f (n) (t)} sn F(s) sn 1 f(0) sn 2 f (0) f (n 1) (0), donde F(s) { f (t)}. SOLUCIÓN DE EDO LINEALES Es evidente del resultado general dado en el teo{y(t)} y las n  1 derivadas de y(t) rema 7.2.2 que {d n y> dt n} depende de Y(s) evaluadas en t  0. Esta propiedad hace que la transformada de Laplace sea adecuada para resolver problemas lineales con valores iniciales en los que la ecuación diferencial tiene FRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV. Este tipo de ecuación diferencial es simplemente una combinación lineal de términos y, y, y, . . . , y (n): an d ny dt n y(0) an 1 y0 , y (0) d n 1y dt n 1 y1 , . . . , y(n a0 y 1) (0) g(t), yn 1, 7.2 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS l 277 donde las ai, i  0, 1, . . . , n y y0, y1, . . . , yn1 son constantes. Por la propiedad de linealidad la transformada de Laplace de esta combinación lineal es una combinación lineal de transformadas de Laplace: d ny dt n an an d n 1y dt n 1 1 a0 {y} {g(t)}. (9) Del teorema 7.2.2, la ecuación (9) se convierte en an [snY(s) sn an 1[s n 1 1 y(n y(0) Y(s) s n 2 1) (0)] y(n y(0) 2) (0)] a0 Y(s) G(s), (10) donde {y(t)} Y(s) y {g(t)}  G(s). En otras palabras, la transformada de /DSODFHGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVVHFRQYLHUWHHQ una ecuación algebraica en Y(s). Si se resuelve la ecuación transformada general (10) para el símbolo Y(s), primero se obtiene P(s)Y(s)  Q(s)  G(s) y después se escribe Y(s) Q(s) P(s) G(s) , P(s) (11) donde P(s)  ansn  an1sn1  . . .  a0, Q(s) es un polinomio en s de grado menor o igual a n TXHFRQVLVWHHQYDULRVSURGXFWRVGHORVFRH¿FLHQWHVai, i  1, . . . , n y las condiciones iniciales prescritas y0, y1, . . . , yn1 y G(s) es la transformada de Laplace de g(t).* Normalmente se escriben los dos términos de la ecuación (11) sobre el mínimo común denominador y después se descompone la expresión en dos o más fracciones parciales. Por último, la solución y(t) del problema con valores iniciales original es y(t)  ᏸ 1{Y(s)}, donde la transformada inversa se hace término a término. El procedimiento se resume en el siguiente diagrama. Encuentre la y(t) desconocida que satisface la ED y las condiciones iniciales Aplique la transformada de Laplace Solución y(t) del PVI original La ED transformada se convierte en una ecuación algebraica en Y(s) Resuelva la ecuación transformada para Y(s) Aplique la transformada inversa de Laplace −1 En el ejemplo siguiente se ilustra el método anterior para resolver ED, así como la descomposición en fracciones parciales para el caso en que el denominador de Y(s) contenga un polinomio cuadrático sin factores reales. EJEMPLO 4   6ROXFLyQGHXQ39,GHSULPHURUGHQ Use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales dy dt SOLUCIÓN rencial. 3y 13 sen 2t, y (0) 6. Primero se toma la transformada de cada miembro de la ecuación difedy dt 3 {y} 13 {sen 2t}. (12) El polinomio P(s) es igual al polinomio auxiliar de n-ésimo grado en la ecuación (12) de la sección 4.3 donde el símbolo m usual se sustituye por s. * 278 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE sY(s) y(0) sY(s) 6 , y del inciso d) del teorema 7.1.1, 4) , por lo que la ecuación (12) es igual que y> De (6), {dy>dt} {sen 2t} 2>(s 2 26 o (s 3)Y(s) s2 4 Resolviendo la última ecuación para Y(s), obtenemos 6 sY(s) 3Y(s) 26 6 s2 4 . 26 6s2 50 . (13) s 3 (s 3)(s2 4) (s 3)(s2 4) Puesto que el polinomio cuadrático s2  4 no se factoriza usando números reales, se supone que el numerador en la descomposición de fracciones parciales es un polinomio lineal en s: 6 Y(s) 6s2 50 (s 3)(s2 4) A 3 s Bs s2 C . 4 Poniendo el lado derecho de la igualdad sobre un común denominador e igualando los numeradores, se obtiene 6s2  50  A(s2  4)  (Bs  C)(s  3). Haciendo s  3 se obtiene inmediatamente que A  8. Puesto que el denominador no tiene más raíces UHDOHVVHLJXDODQORVFRH¿FLHQWHVGHs2 y s : 6  A  B y 0  3B  C. Si en la primera ecuación se usa el valor de A se encuentra que B  2, y con este valor aplicado a la segunda ecuación, se obtiene C  6. Por lo que, 6s2 50 8 2s 6 . 2 (s 3)(s 4) s 3 s2 4 Aún no se termina porque la última expresión racional se tiene que escribir como dos fracciones. Esto se hizo con la división término a término entre el denominador del ejemplo 2. De (2) de ese ejemplo, Y(s) 1 1 8 s 1 2 2 1 3 . s 3 s 4 s 4 Se deduce de los incisos c), d) y e) del teorema 7.2.1, que la solución del problema con valores iniciales es y(t)  8e3t  2 cos 2t  3 sen 2t. y(t) 2 2 EJEMPLO 5   6ROXFLyQGHXQ39,GHVHJXQGRRUGHQ Resuelva y  3y  2y  e4t, y(0)  1, y(0)  5. SOLUCIÓN Procediendo como en el ejemplo 4, se transforma la ED. Se toma la suma de las transformadas de cada término, se usan las ecuaciones (6) y (7), las condiciones iniciales dadas, el inciso c) del teorema 7.1.1 y entonces se resuelve para Y(s): d 2y dt 2 s 2Y(s) sy (0) y (0) 3 3[sY(s) dy dt y(0)] 2Y(s) 3s 2)Y(s) (s 2 Y(s) 2 s s 2 3s 2 {y} 2 (s 3s } 1 s 4 s 2 1 s 4 2 1 2 4t {e 2)(s 4) (s s 6s 9 1)(s 2)(s . (14) 4) Los detalles de la descomposición en fracciones parciales de Y(s) ya se presentaron en el ejemplo 3. En vista de los resultados en (4) y (5), se tiene la solución del problema con valores iniciales y(t) 1 {Y(s)} 16 t e 5 25 2t e 6 1 e 30 4t . 7.2 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS l 279 En los ejemplos 4 y 5, se ilustra el procedimiento básico de cómo usar la transformada de Laplace para resolver un problema lineal con valores iniciales, pero podría parecer que estos ejemplos demuestran un método que no es mucho mejor que el aplicado a los problemas descritos en las secciones 2.3 y 4.3 a 4.6. No saque conclusiones negativas de sólo dos ejemplos. Sí, hay una gran cantidad de álgebra inherente al uso de la transformada de Laplace, pero observe que no se tiene que usar la variación de SDUiPHWURVRSUHRFXSDUVHDFHUFDGHORVFDVRV\HOiOJHEUDHQHOPpWRGRGHFRH¿FLHQ tes indeterminados. Además, puesto que el método incorpora las condiciones iniciales prescritas directamente en la solución, no se requiere la operación separada de aplicar las condiciones iniciales a la solución general y  c1y1  c2y2   cn yn  ypGHOD('SDUDGHWHUPLQDUFRQVWDQWHVHVSHFt¿FDVHQXQDVROXFLyQSDUWLFXODU del PVI. La transformada de Laplace tiene muchas propiedades operacionales. En las secciones que siguen se examinan algunas de estas propiedades y se ve cómo permiten resolver problemas de mayor complejidad. COMENTARIOS i) La transformada de Laplace inversa de una función F(s) podría no ser única; { f2(t)} y sin embargo f1  f2. en otras palabras, es posible que { f1(t)} Para nuestros propósitos, esto no es algo que nos deba preocupar. Si f1 y f2 son continuas por tramos en [0, ) y de orden exponencial, entonces f1 y f2 son esencialmente iguales. Vea el problema 44 en los ejercicios 7.2. Sin embargo, si f1 y f2 son continuas en [0, ) y { f1(t)} { f2(t)}, entonces f1  f2 en el intervalo. ii) Este comentario es para quienes tengan la necesidad de hacer a mano desFRPSRVLFLRQHVHQIUDFFLRQHVSDUFLDOHV+D\RWUDIRUPDGHGHWHUPLQDUORVFRH¿cientes en una descomposición de fracciones parciales en el caso especial cuando { f (t)} F(s) es una función racional de s y el denominador de F es un producto de distintos factores lineales. Esto se ilustra al analizar de nuevo el ejemplo 3. Suponga que se multiplican ambos lados de la supuesta descomposición (s s2 6s 9 1)(s 2)(s A 4) B 1 s C 2 s s 4 (15) digamos, por s VHVLPSOL¿FD\HQWRQFHVVHKDFHs 3XHVWRTXHORVFRH¿cientes de B y C en el lado derecho de la igualdad son cero, se obtiene s2 6s (s 2)(s 9 4) o A 16 . 5 A s 1 Escrita de otra forma, (s s2 6s 9 1) (s 2)(s 4) s 1 16 5 A, donde se ha sombreado o cubierto, el factor que se elimina cuando el lado izquierdo se multiplica por s  1. Ahora, para obtener B y C, simplemente se evalúa el lado izquierdo de (15) mientras se cubre, a su vez, s  2 y s  4: s2  6s  9 –––––––––––––––––––––– (s  1)(s  2)(s  4) y s2  6s  9 –––––––––––––––––––––– (s  1)(s  2)(s  4) 兩 兩 s2 25  –––  B 6 1  –––  C. s4 30 280 CAPÍTULO 7 l LA TRANSFORMADA DE LAPLACE La descomposición deseada (15) se da en (4). Esta técnica especial para determiQDUFRH¿FLHQWHVVHFRQRFHGHVGHOXHJRFRPRPpWRGRGHFXEULPLHQWR. iii) En este comentario continuamos con la introducción a la terminología de sistemas dinámicos. Como resultado de las ecuaciones (9) y (10) la transformada de Laplace se adapta bien a sistemas dinámicos lineales. El polinomio P(s)  ansn  an1sn1   a0HQ  HVHOFRH¿FLHQWHWRWDOGHY(s) en (10) y es simplemente el lado izquierdo de la ED en donde las derivadas d ky兾dt k se sustituyen por potencias sk, k  0, 1, . . . , n. Es común llamar al recíproco de P(s), en particular W(s)  1兾P(s), IXQFLyQGHWUDQVIHUHQFLD del sistema y escribir la ecuación (11) como Y(s) W(s)G(s) . W(s)Q(s) (16) De esta manera se han separado, en un sentido aditivo, los efectos de la respuesta debidos a las condiciones iniciales (es decir, W(s)Q(s)) de los causados por la función de entrada g (es decir, W(s)G(s)). Vea (13) y (14). Por tanto la respuesta y(t) del sistema es una superposición de dos respuestas: 1 y (t) 1 {W(s)Q(s)} {W(s)G(s)} y1 (t). y0 (t) 1 {W(s) Si la entrada es g(t)  0, entonces la solución del problema es y0 (t) Q(s)}. Esta solución se llama respuesta de entrada cero del sistema. Por otro 1 lado, la función y1(t) {W(s)G(s)} es la salida debida a la entrada g(t). Entonces, si la condición inicial del sistema es el estado cero (todas las condiciones iniciales son cero), entonces Q(s)  0 y, por tanto, la única solución del problema con valores iniciales es y1(t). La última solución se llama respuesta de estado cero del sistema. Tanto y0(t) como y1(t) son soluciones particulares: y0(t) es una solución del PVI que consiste en la ecuación homogénea relacionada con las condiciones iniciales dadas y y1(t) es una solución del PVI que consiste en la ecuación no homogénea con condiciones iniciales cero. En el ejemplo 5 se ve de (14) que la función de transferencia es W(s)  1兾(s2  3s  2), la respuesta de entrada cero es s 2 1)(s 2) 1 y0(t) (s 3et 4e2t, y la respuesta de estado cero es y1(t) 1 1 (s 1)(s 2)(s 1 t e 5 4) 1 2t e 6 1 e 30 4t . Compruebe que la suma de y0(t) y y1(t) es la solución de y(t) en el ejemplo 5 y que y 0 (0) 1, y0 (0) 5 , mientras que y1(0) 0, y1(0) 0. EJERCICIOS 7.2 7.2.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-11. TRANSFORMADAS INVERSAS En los problemas 1 a 30 use el álgebra apropiada y el teorema 7.2.1 para encontrar la transformada inversa de Laplace dada.     1 1 1 1 s3  1 s2 48 s5 (s 3 1) 4 s   1 1 1 1 s4 2 s 1 s3 2 (s 2) 3 s   1  1  1  1  1 1 s2 1 s 1 s 1 4s 1 5 s 2 2 49 4s 4s 2s s2 2 1 6 9 2  1  1  1  1  1 4 s 6 s5 1 s 1 5s 2 10s 16 s 2 1 4s s s2 2 1 1 2 8 7.3  1  1  1   1 s2 s 3s s 2s 2 3 0.9s 0.1)(s (s s (s 2)(s  1 1 s 1  1 1 1)(s s 1)(s s(s  1 s 1 s 2 20 3 (s2 2 (s 6) 2s 4 s)(s2 1) 1 1)(s2 4) 2) s 2)(s2 1 (s 28.  1 30. 30. 1 4) 1 s4 s4 9 6s 3 5s2 4 En los problemas 31 a 40, use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales. dy y 1, y (0) 0 dt dy  2 y 0, y(0) 3 dt  y  6y  e4t, y(0)  2  y  y  2 cos 5t, y(0)  0 y  5y  4y  0, y(0)  1, y(0)  0 y  4y  6e3t  3et, y(0)  1, y(0)  1 y y 22 sen 22t, y(0) 10, y  9y  et, y(0)  0, y(0)  0 7.3 281 a)2 b2 (s b a)2 b2 eat cos bt eat sen bt. En los problemas 41 y 42 use la transformada de Laplace y estas inversas para resolver el problema con valores iniciales dado. 7.2.2 TRANSFORMADAS DE DERIVADAS      a (s 1 26.  5s s 1 13 3)(s 2 1 20.  l  2y  3y  3y  2y  et, y(0)  0, y(0)  0, y(0)  1  y  2y  y  2y  sen 3t, y(0)  0, y(0)  0, y(0)  1 Las formas inversas de los resultados del problema 50 en los ejercicios 7.1 son 1 4s s s2 s 1  1 0.2) s 3 13 s 1 18.  PROPIEDADES OPERACIONALES I y (0) 0  y  y  e3t cos 2t, y(0)  0  y  2y  5y  0, y(0)  1, y(0)  3 Problemas para analizar  a) Con un ligero cambio de notación la transformada en (6) es igual a { f (t)} s { f (t)} f (0). Con f (t)  teat, analice cómo se puede usar este resultado junto con c) del teorema 7.1.1 para evaluar {teat}. b) Proceda como en el inciso a), pero esta vez examine cómo usar (7) con f (t)  t sen kt junto con d) y e) del teorema 7.1.1 para evaluar {t sen kt}.  Construya dos funciones f1 y f2 que tengan la misma transformada de Laplace. No considere ideas profundas.  Lea de nuevo el inciso iii) de los ComentariosGHO¿QDOGH esta sección. Encuentre la respuesta de entrada cero y la respuesta de estado cero para el PVI del problema 36.  Suponga que f (t) es una función para la que f (t) es continua por tramos y de orden exponencial c. Use los resultaGRVGHHVWDVHFFLyQ\ODVHFFLyQSDUDMXVWL¿FDU f (0) lím sF(s), s: donde F(s)  ᏸ { f (t)}. Compruebe este resultado con f (t)  cos kt. PROPIEDADES OPERACIONALES I REPASO DE MATERIAL l Continúe practicando la descomposición en fracciones parciales. l Completar el cuadrado. INTRODUCCIÓN 1RHVFRQYHQLHQWHXVDUODGH¿QLFLyQFDGDYH]TXHVHGHVHDHQFRQWUDUOD transformada de Laplace de una función f (t). Por ejemplo, la integración por partes requerida para evaluar ᏸ{ett2 sen 3t} es, por decirlo de algún modo, formidable. En esta sección y la que sigue se presentan varias propiedades operacionales de la transformada de Laplace que ahorran trabajo y permiten construir una lista más extensa de transformadas (vea la tabla del apéndice III) sin tener que UHFXUULUDODGH¿QLFLyQEiVLFD\DODLQWHJUDFLyQ 282 CAPÍTULO 7 l LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 7.3.1 TRASLACIÓN EN EL EJE s UNA TRASLACIÓN Evaluar transformadas tales como {e 5t t 3} y {e 2t cos 4t} es directo siempre que se conozca (y así es) {t 3} y {cos 4t} . En general, si se conoce la transformada de Laplace de una función f, { f (t)} F(s), es posible calcular la transformada de Laplace de un múltiplo exponencial de f, es decir, {eat f (t)}, sin ningún esfuerzo adicional que no sea trasladar o desplazar, la transformada F(s) a F(s  a). Este resultado se conoce como SULPHUWHRUHPDGHWUDVODFLyQ o primer teorema de desplazamiento. TEOREMA 7.3.1  3ULPHUWHRUHPDGHWUDVODFLyQ Si F(s) y a es cualquier número real, entonces {f (t)} {eat f (t)} a). F(s PRUEBA /DGHPRVWUDFLyQHVLQPHGLDWD\DTXHSRUODGH¿QLFLyQ {eat f (t)} F e F(s) F(s − a) s = a, a > 0 e f (t) dt s (s a)t e f (t) dt a). F(s 0 Si se considera sXQDYDULDEOHUHDOHQWRQFHVODJUi¿FDGHF(s  a HVODJUi¿FDGH F(s) desplazada en el eje s por la cantidad 兩 a 兩. Si a ODJUi¿FDGHF(s) se desplaza a unidades a la derecha, mientras que si a ODJUi¿FDVHGHVSOD]D兩 a 兩 unidades a la L]TXLHUGD9HDOD¿JXUD Para enfatizar, a veces es útil usar el simbolismo FIGURA 7.3.1 Desplazamiento en el eje s. st at 0 {e at f (t)} { f (t)} s:s a , donde s → s  aVLJQL¿FDTXHHQODWUDQVIRUPDGDGH/DSODFHF(s) de f (t) siempre que aparezca el símbolo s se reemplaza por s  a. EJEMPLO 1   8VDQGRHOSULPHUWHRUHPDGHWUDVODFLyQ Evalúe a) {e 5t t 3} b) {e 2t cos 4t}. SOLUCIÓN Los siguientes resultados se deducen de los teoremas 7.1.1 y 7.3.1. a) b) {e5t t3} {e 2t {t3} s: s 5 cos 4t} 6 3! s4 {cos 4t} 5)4 (s s:s 5 s s : s ( 2) 2 s 2 s 16 s:s 2 (s 2 2) 16 FORMA INVERSA DEL TEOREMA 7.3.1 Para calcular la inversa de F(s  a), se debe reconocer F(s), para encontrar f (t) obteniendo la transformada de Laplace inversa de F(s) y después multiplicar f (t) por la función exponencial eat. Este procedimiento se resume con símbolos de la siguiente manera: 1 {F(s a)} 1 {F(s) s : s a} e at f (t) , (1) 1 {F(s)}. donde f (t) En la primera parte del ejemplo siguiente se ilustra la descomposición en fracciones parciales en el caso cuando el denominador de Y(s) contiene factores lineales repetidos. EJEMPLO 2 Fracciones parciales: factores lineales repetidos Evalúe a) 1 2s (s 5 3)2 b) 1 s> 2 5>3 . s2 4s 6 7.3 PROPIEDADES OPERACIONALES I 283 l SOLUCIÓN a) Un factor lineal repetido es un término (s  a)n, donde a es un nú- mero real y n es un entero positivo  2. Recuerde que si (s  a)n aparece en el denominador de una expresión racional, entonces se supone que la descomposición contiene n fracciones parciales con numeradores y denominadores constantes s  a, (s  a)2, . . . , (s  a)n. Por tanto, con a  3 y n  2 se escribe 2s 5 A B . 2 (s 3) s 3 (s 3)2 Colocando los dos términos del lado derecho con un denominador común, se obtiene el numerador 2s  5  A(s  3)  B y esta identidad produce A  2 y B  11. Por tanto, 2s 5 2 11 (2) 2 (s 3) s 3 (s 3)2 y 1 2s 5 (s 3)2 1 1 2 3 s 1 1 11 (3) . 3)2 (s Ahora 1兾(s  3)2 es F(s)  1兾s2 desplazada tres unidades a la derecha. Ya que 1 {1>s2} t , se tiene de (1) que 1 1 Por último, (3) es 1 3)2 (s 2s (s 1 5 3)2 1 s2 e3t t. s: s 3 2e3t 11e3t t . (4) b) Para empezar, observe que el polinomio cuadrático s2  4s  6 no tiene raíces reales y por tanto no tiene factores lineales reales. En esta situación completamos el cuadrado: s>2 5> 3 s2 4s 6 s>2 5>3 . (s 2)2 2 (5) El objetivo aquí es reconocer la expresión del lado derecho como alguna transformada de Laplace F(s) en la cual se ha reemplazado s por s  2. Lo que se trata de hacer es similar a trabajar hacia atrás del inciso b) del ejemplo 1. El denominador en (5) ya está en la forma correcta, es decir, s2  2 con s  2 en lugar de s. Sin embargo, se debe arreglar el numerador manipulando las constantes: 12s 53 12 (s 2) 53 22 12 (s 2) 23. Ahora mediante la división entre el denominador de cada término, la linealidad de ᏸ 1, los incisos e) y d) del teorema 7.2.1 y por último (1), s> 2 5> 3 (s 2)2 2 1 s> 2 5> 3 s2 4s 6 1 2 (s (s 1 2 1 1 2 1 1 e 2 2 3 2) 2)2 2 s (s 2 2)2 2 2 3 2 2 312 s s2 2t 1 s 2 2 (s 2)2 2 cos 12t 12 e 3 s:s 2 2t 2 3 (s 1 (s 1 sen 12t. 1 2)2 1 2)2 12 s2 2 2 2 (6) s:s 2 (7) EJEMPLO 3 Un problema con valores iniciales Resuelva y  6y  9y  t 2e3t, y(0)  2, y(0)  17. SOLUCIÓN Antes de transformar la ED, observe que su lado derecho es similar a la función del inciso a) del ejemplo 1. Después de usar la linealidad, el teorema 7.3.1 y ODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVVHVLPSOL¿FD\OXHJRVHUHVXHOYHSDUDY(s) { f (t)} : 284 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE {y } s2 Y(s) y (0) sy(0) 6 {y } 6[sY(s) y (0)] 9Y(s) 6s (s (s2 {t2 e3t } 9 {y} 2 (s 3)3 9)Y(s) 2s 5 3)2 Y(s) 2s 5 Y(s) 2 3)3 (s 2 3)3 (s 2s 5 (s 3)2 2 (s . 3)5 El primer término del lado derecho ya se ha descompuesto en fracciones parciales en la ecuación (2), en el inciso a) del ejemplo 2. 2 Y(s) Por lo que y(t) 1 1 2 s 3 s 3 (s 11 1 11 3)2 2 1 . 2 4! 3)2 (s 3)5 (s 4! 1 3)5 (s . (8) De la forma inversa (1) del teorema 7.3.1, los dos últimos términos de (8) son 1 1 s2 te3t Por lo que (8) es y(t) 2e 3t 1 4 3t 12 t e 11te 3t 4! s5 1 y s:s 3 t 4 e3t. s:s 3 . EJEMPLO 4 Un problema con valores iniciales Resuelva y  4y  6y  1  et, y(0)  0, SOLUCIÓN s2Y(s) {y } y (0) sy(0) 4 {y } 4[sY(s) y(0)  0. 6 {y} y (0)] 6Y(s) 4s 6)Y(s) (s2 Y(s) {e t} {1} 1 s 1 1 s 2s s(s 1 1) s(s 2s 1)(s2 1 4s 6) Puesto que el término cuadrático en el denominador no se factoriza en factores lineales reales, se encuentra que la descomposición en fracciones parciales para Y(s) es 1>6 s Y(s) s 1> 3 1 s> 2 5> 3 . s2 4s 6 Además, en la preparación para tomar la transformada inversa, ya se manejó el último término en la forma necesaria del inciso b) del ejemplo 2. Por lo que en vista de los resultados en (6) y (7), se tiene la solución y(t) 1 s 1 6 1 1 6 1 e 3 1 3 t 1 e 2 1 1 s 2t 1 cos 12t 1 2 12 e 3 (s 2t 2 s 1 2 2) sen 12t. 2 2 312 1 (s 12 2)2 2 7.3 7.3.2 1 t a FIGURA 7.3.2 *Ui¿FDGHODIXQFLyQ escalón unitario. FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO En ingeniería es común encontrar funciones que están ya sea “desactivadas” o “activadas”. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa en un sistema mecánico, o un voltaje aplicado a un circuito, se puede desactivar después de FLHUWRWLHPSR(VFRQYHQLHQWHHQWRQFHVGH¿QLUXQDIXQFLyQHVSHFLDOTXHHVHOQ~PHUR (desactivada) hasta un cierto tiempo t  a y entonces el número 1 (activada) después de ese tiempo. La función se llama IXQFLyQHVFDOyQXQLWDULR o IXQFLyQGH+HDYLVLGH, así llamada en honor del polímata inglés Oliver Heaviside (1850-1925). La IXQFLyQHVFDOyQXQLWDULR 1 t FIGURA 7.3.3 La función es 3) (t 1). f(t) 2 t −1 FIGURA 7.3.4 La función es f (t) 2 3 (t 285 TRASLACIÓN EN EL EJE t (t (2t l DEFINICIÓN 7.3.1  )XQFLyQHVFDOyQXQLWDULR y f(t) PROPIEDADES OPERACIONALES I 2) a)VHGH¿QHFRPR 0, 1, a) 0 t t a a. 2EVHUYHTXHVHGH¿QH (t a) sólo en el eje t no negativo, puesto que esto es todo lo que interesa en el estudio de la transformada de Laplace. En un sentido más amplio, (t a)  0 para t  a(QOD¿JXUDVHPXHVWUDODJUi¿FDGH (t a) . Cuando una función fGH¿QLGDSDUDt  0 se multiplica por (t a) , la función HVFDOyQXQLWDULR³GHVDFWLYD´XQDSDUWHGHODJUi¿FDGHHVDIXQFLyQ3RUHMHPSORFRQsidere la función f (t)  2t 3DUD³GHVDFWLYDU´ODSDUWHGHODJUi¿FDGHf para 0  t  1, simplemente formamos el producto (2 t 3) (t 1)9HDOD¿JXUD(Q JHQHUDOODJUi¿FDGH f (t) (t a) es 0 (desactivada) para 0  t  a y es la parte de ODJUi¿FDGHf (activada) para t  a. /DIXQFLyQHVFDOyQXQLWDULRWDPELpQVHSXHGHXVDUSDUDHVFULELUIXQFLRQHVGH¿nidas por tramos en una forma compacta. Por ejemplo, si consideramos 0  t  2 , 2  t  3, y t  3 y los valores correspondientes de (t 2) y (t 3) , debe ser HYLGHQWHTXHODIXQFLyQGH¿QLGDSRUWUDPRVTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHVLJXDO que f (t) 2 3 (t 2) (t 3)7DPELpQXQDIXQFLyQJHQHUDOGH¿QLGDSRU tramos del tipo g(t), 0 t a f (t) h(t), t a (9) es la misma que f(t) 3). (t (t g(t) (t g(t) a) (t h(t) a) . (10) Análogamente, una función del tipo f (t) 0, 0 g(t), a 0, t t t a b b (11) puede ser escrita como f (t) g(t)[ (t f (t) a) (t b)]. (12) 100 EJEMPLO 5 Exprese f (t) t 5 FIGURA 7.3.5 La función es f (t) 20t 20t (t 5) . ODJUi¿FD 20t, 0, 8QDIXQFLyQGH¿QLGDSRUWUDPRV 0 t t 5 en términos de funciones escalón unitario. Trace 5 SOLUCIÓN (QOD¿JXUDVHPXHVWUDODJUi¿FDGHf. Ahora, de (9) y (10) con a  5, g(t)  20t y h(t)  0, se obtiene f (t) 20t 20t (t 5) . 286 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Considere una función general y  f (t GH¿QLGDSDUDt /DIXQFLyQGH¿QLGDSRUWUDPRV 0, 0 t a (13) f (t a), t a MXHJDXQSDSHOLPSRUWDQWHHQODH[SOLFDFLyQTXHVLJXH&RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD 7.3.6, para a ODJUi¿FDGHODIXQFLyQy f (t a) (t a) coincide con la grá¿FDGHy  f (t  a) para t  a TXHHVODJUi¿FDcompleta de y  f (t), t  0 desplazada a unidades a la derecha en el eje t), pero es idénticamente cero para 0  t  a. Vimos en el teorema 7.3.1 que un múltiplo exponencial de f (t) da como resultado una traslación de la transformada F(s) en el eje s. Como una consecuencia del siguiente teorema, se ve que siempre que F(s) se multiplica por una función expo0, la transformada inversa del producto eas F(s) es la función f nencial eas, a desplazada a lo largo del eje tHQODPDQHUDTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD E (VWH resultado, presentado a continuación en su versión de transformada directa, se llama VHJXQGRWHRUHPDGHWUDVODFLyQ o segundo teorema de desplazamiento. f (t f(t) t a) f (t), t  0 f(t) (t a) a) TEOREMA 7.3.2  6HJXQGRWHRUHPDGHWUDVODFLyQ Si F(s) t a { f (t)} y a { f (t b) f (t  a) (t  a) FIGURA 7.3.6 eje t. Desplazamiento en el 0, entonces a) (t a)} e as F(s). Por la propiedad de intervalo aditivo de integrales, DEMOSTRACIÓN st e f (t (t a) a) dt 0 se puede escribir como dos integrales: 冕 冕 a ᏸ{f (t  a) ᐁ(t  a)}  0 estf (t  a) ᐁ (t  a) dt  a 冕 estf (t  a) ᐁ (t  a) dt  cero para 0ta a estf (t  a) dt. uno para ta Ahora, si hacemos Y  t  a, GY  dt en la última integral, entonces { f (t a) (t e a)} s(v a) f (v) dv e as e 0 sv f (v) dv e as { f (t)}. 0 Con frecuencia se desea encontrar la transformada de Laplace de sólo una función HVFDOyQXQLWDULR(VWRSXHGHVHUGHODGH¿QLFLyQRWHRUHPD6LVHLGHQWL¿FD f (t)  1 en el teorema 7.3.2, entonces f (t  a)  1, F(s) {1} 1>s y por tanto, { (t e a)} as s . (14) EJEMPLO 6   5HYLVLyQGHOD¿JXUD Encuentre la transformada de Laplace de la función fGHOD¿JXUD SOLUCIÓN Usamos f expresada en términos de la función escalón unitario f(t) 2 3 (t 2) (t 3) y el resultado dado en (14): { f (t)} 2 {1} 2 1 s 3 3 { (t 2s e s 2)} 3s e s . { (t 3)} 7.3 PROPIEDADES OPERACIONALES I 287 l FORMA INVERSA DEL TEOREMA 7.3.2 Si f (t)  ᏸ 1{F(s)}, la forma inversa del teorema 7.3.2, a 0, es 1 as {e f (t F(s)} (t a) (15) a). EJEMPLO 7   8VRGHODIyUPXOD  Evalúe 1 1 a) e 4 s 2s s 1 b) s2 9 s/2 e . a) De acuerdo con las identidades a  2, F(s)  1兾(s  4) y ᏸ 1{F(s)}  e 4t, se tiene de (15) SOLUCIÓN 1 1 4 s e 2s b) Con a  ʌ兾2, F(s)  s兾(s2  9) y s 1 s2 9 2) (t 2). cos 3t, de la ecuación (15) se obtiene 1 {F(s)} s/2 e e 4(t cos 3 t t 2 . 2 /D ~OWLPD H[SUHVLyQ VH SXHGH VLPSOL¿FDU XQ SRFR FRQ OD IyUPXOD DGLFLRQDO SDUD HO coseno. Compruebe que el resultado es igual a sen 3t t 2 . FORMA ALTERNATIVA DEL TEOREMA 7.3.2 Con frecuencia nos enfrentamos con el problema de encontrar la transformada de Laplace de un producto de una función g y una función escalón unitario (t a) donde la función g no tiene la forma precisa de desplazamiento f (t  a) del teorema 7.3.2. Para encontrar la transformada de Laplace de g(t) (t a), es posible arreglar g(t) en la forma requerida f (t  a) usando álgebra. Por ejemplo, si se quiere usar el teorema 7.3.2 para determinar la transformada de Laplace de t2 (t 2), se tendría que forzar g(t)  t2 a la forma f (t  2). Se debe trabajar algebraicamente y comprobar que t 2  (t  2)2  4(t  2)  4 es una identidad. Por tanto, {t 2 (t 2)} {(t 2)2 (t 2) 4(t 2) (t 2) 4 (t 2)}, donde ahora cada término del lado derecho se puede evaluar con el teorema 7.3.2. Pero como estas operaciones son tardadas y con frecuencia no obvias, es más simple diseñar XQDIRUPDDOWHUQDWLYDGHOWHRUHPD8VDQGRODGH¿QLFLyQODGH¿QLFLyQGH (t a), y la sustitución u  t  a, se obtiene {g(t) (t a)} e st g(t) dt e Es decir, {g(t) (t EJEMPLO 8 Evalúe {cos t (t s(u a) a) du. g(u 0 a a)} e as {g(t a)}. (16) 6HJXQGRWHRUHPDGHWUDVODFLyQIRUPDDOWHUQDWLYD )}. SOLUCIÓN Con g(t)  cos t y a  ʌ, entonces g(t  ʌ)  cos (t  ʌ)  cos t por la fórmula de adicción para la función coseno. Por tanto, por la ecuación (16), {cos t (t )} e s {cos t} s s 2 1 e s . 288 CAPÍTULO 7 l LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EJEMPLO 9 Un problema con valores iniciales 0, 3 cos t, Resuelva y  y  f (t), y(0)  5, donde f (t) 0 t t . SOLUCIÓN La función f se puede escribir como f (t)  3 cos t ᐁ(t  ʌ), y entonces por linealidad, por los resultados del ejemplo 7 y por las fracciones parciales usuales, se tiene {y } sY(s) {y} y(0) Y(s) (s 5 Y(s) 1)Y(s) 3 2 1 s 3 {cos t (t s 3 2 e 1 s 3s 5 e 2 s 1 1 s 1 e 1 s s2 1 )} s s s s e s2 1 e s . (17) Ahora procediendo como se hizo en el ejemplo 6, se tiene de (15) con a  ʌ que los inversos de los términos dentro del paréntesis son 1 1 s 1 e s (t e s 1 y ) 2 1 s (t e s 2 5 4 3 2 1 t _1 _2 cos(t π 2π 5e t, 5e 3π FIGURA 7.3.7 *Ui¿FDGHODIXQFLyQ en (18) del ejemplo 9. t (t 3 sen t 2 ) 3 cos t, 2 s e ) (t ). ) (t ) ) 0 3 e 2 1 s Por lo que el inverso de (17) es 3 (t ) 3 y(t) 5e t e (t ) sen(t 2 2 3 (t ) 5e t [e sen t cos t] (t 2 y 1 1 ), sen(t 3 cos(t 2 ) (t ), ) ) (t ; identidades trigonométricas t (18) . t 8VDQGRXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQKHPRVREWHQLGRODJUi¿FDGH  TXHVHPXHVWUD HQOD¿JXUD        VIGAS  (QODVHFFLyQYLPRVTXHODGHÀH[LyQHVWiWLFDy(x) de una viga uniforme de longitud L con carga w(x) por unidad de longitud se determina a partir de la ecuación diferencial lineal de cuarto orden d4y EI 4 w(x), (19) dx donde E es el módulo de Young de elasticidad e I es un momento de inercia de una sección transversal de la viga. La transformada de Laplace es particularmente útil para resolver la ecuación (19) cuando w(x VHGH¿QHSRUWUDPRV6LQHPEDUJRSDUDXVDUODWUDQVIRUPDGD de Laplace se debe suponer de manera tácita que y(x) y w(x HVWiQGH¿QLGDVHQ  ) y no en (0, L). Observe, también, que el siguiente ejemplo es un problema con valores en la frontera más que un problema con valores iniciales. w(x) EJEMPLO 10 pared x L y FIGURA 7.3.8 Viga empotrada con carga variable del ejemplo 10. Un problema con valores en la frontera Una viga de longitud LVHHPSRWUDHQDPERVH[WUHPRVFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD 'HWHUPLQHODGHÀH[LyQGHODYLJDFXDQGRODFDUJDHVWiGDGDSRU w(x) w0 1 0, 2 x , L 0 x L> 2 L> 2 x L. 7.3 PROPIEDADES OPERACIONALES I 289 l SOLUCIÓN Recuerde que debido a que la viga esta empotrada en ambos extremos, las condiciones de frontera son y(0)  0, y(0)  0, y(L)  0, y(L)  0. Ahora usando (10) se puede expresar w(x) en términos de la función escalón unitario: w(x) 2 x L w0 1 2 x L w0 1 x L 2 2w0 L L L x x x . L 2 2 2 Transformando la ecuación (19) respecto a la variable x, se obtiene EI s4 Y(s) s3 y(0) s2 y (0) o sy (0) s4Y(s) y (0) sy (0) y (0) 2w0 L> 2 L s 1 s2 1 e s2 Ls/2 2w0 L> 2 EIL s 1 s2 1 e s2 Ls/2 . Si hacemos c1  y(0) y c2  y (0), entonces Y(s) c2 s4 2w0 L> 2 EIL s5 2w0 L>2 EIL 4! 1 c1 s3 1 s6 1 e s6 1 5! 1 Ls/2 , y en consecuencia y(x) c1 2! 2! s3 c2 3! c2 3 x 6 w0 5L 4 x 60 EIL 2 1 c1 2 x 2 1 3! s4 x5 4! s5 5 L 2 x x L 2 5! s6 1 5! 1 5! e s6 Ls/ 2 . Aplicando las condiciones y(L)  0 y y(L)  0 al último resultado, se obtiene un sistema de ecuaciones para c1 y c2: L2 2 c2 L3 6 49w0 L4 1920EI 0 c1 L c2 L2 2 85w0 L3 960EI 0. c1 Resolviendo se encuentra que c1  23w0L2兾(960El) y c2  9w0L兾(40EI). Por lo que ODGHÀH[LyQHVWiGDGDSRU y(x) 23w0 L2 2 x 1920EI 3w0 L 3 x 80EI w0 5L 4 x 60EIL 2 x5 x L 2 5 x L 2 . EJERCICIOS 7.3 ࣠Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-11. 7.3.1 TRASLACIÓN EN EL EJE s  1  1  1  1  1 En los problemas 1 a 20 encuentre F(s) o f (t), como se indica.            {te10t} 3  2t {t e } t {t(e 2t 2 e )} t {e sen 3t} {(1 e3t 9 t e 3e 4t 4t ) cos 5t} 10 sen t 2 6t {te } 10 {t e (s 2) s2 1 6s } {e (t 1)2}  2t cos 4t} {e 3 10  1  1  1  1  1 1 (s 1)4 s2 1 2s 5 7t  2t 1 s s 4s 2 s (s 2s 2 s (s 2 1) 1 1)3 5 2s 5 s 6s 34 2 5s (s 2)2 (s (s 1)2 2)4 290 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE En los problemas 21 a 30, use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales.           L E0 y  4y  e , y(0)  2 y  y  1  te t, y(0)  0 y  2y  y  0, y(0)  1, y(0)  1 y  4y  4y  t 3e 2t, y(0)  0, y(0)  0 y  6y  9y  t, y(0)  0, y(0)  1 y  4y  4y  t 3, y(0)  1, y(0)  0 y  6y  13y  0, y(0)  0, y(0)  3 2y  20y  51y  0, y(0)  2, y(0)  0 y  y  e t cos t, y(0)  0, y(0)  0 y  2y  5y  1  t, y(0)  0, y(0)  4 R 4t C FIGURA 7.3.9 Circuito en serie del problema 35.  Use la transformada de Laplace para encontrar la carga q(t) en un circuito RC en serie cuando q(0)  0 y E(t)  E0ekt, k 0. Considere dos casos: k  1兾RC y k  1兾RC. 7.3.2 TRASLACIÓN EN EL EJE t En los problemas 37 a 48 encuentre F(s) o f (t), como se indica. En los problemas 31 y 32, use la transformada de Laplace y el procedimiento descrito en el ejemplo 10 para resolver el problema con valores en la frontera dado.  y  2y  y  0, {(t  {t  {cos 2t 1) (t (t 1)} 2)} (t )} y(0)  0, y(ʌ)  0  Un peso de 4 lb estira un resorte 2 pies. El peso se libera a partir del reposo 18 pulgadas arriba de la posición de equilibrio y el movimiento resultante tiene lugar en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 78 veces la velocidad instantánea. Use la transformada de Laplace para encontrar la ecuación de movimiento x(t).  Recuerde que la ecuación diferencial para la carga instantánea q(t) en el capacitor en un circuito RCL en serie está dada por d 2q dt 2 R 1 q C dq dt E(t).  1  1  1 2s e s 3 e s 2 e s(s s 1 s 1) a) f (t) b) f (t c) f (t) d) f (t) e) f (t) f) f (t (20) f (t) (t q(t) E0C[1 1 e E0C 1 e 1  {(3t t (t 2)} 1) (t  sen t t  1 (1 e  1  1 t 2 (cosh 1 senh 1 2 2 t (1 t 2 2 t 2 sen 1 se s2 s/2 e s (s 2s 4 2 b) a) (t 2 2 1) b) b t 2 ) t , ,  f (t) , 2 ) 2 s FIGURA 7.3.10 *Ui¿FDSDUDORVSUREOHPDVD 2 t)], (cos 1 2s 2 f(t) a 2 1)} a) b) (t b) (t a) f (t) (t b) (t a) f (t) (t a) (t a) f (t  Considere una batería de voltaje constante E0 que carga el FDSDFLWRUTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD'LYLGDODHFXDción (20) entre L\GH¿QDȜ  R兾L y Ȧ2  1兾LC. Use la transformada de Laplace para demostrar que la solución q(t) de q  2ȜT  Ȧ2q  E0兾L sujeta a q(0)  0, i(0)  0 es e {e2 (QORVSUREOHPDVDFRPSDUHODJUi¿FDGDGDFRQXQDGH ODVIXQFLRQHVGHORVLQFLVRVD DI /DJUi¿FDGHf (t) se preVHQWDHQOD¿JXUD Vea la sección 5.1. Use la transformada de Laplace para encontrar q(t) cuando L  1 h, R  20 !, C  0.005 f, E(t)  150 V, t 0, q(0)  0 e i(0)  0. ¿Cuál es la corriente i(t)? E0C 1  y(0)  2, y(1)  2  y  8y  20y  0, L  t 2 ) t , . a FIGURA 7.3.11 b t *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD 7.3  f(t) a b t FIGURA 7.3.12 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD   f (t) 0, 0 sen t,  f (t) t, 0,  f (t) sen t, 0 0,  f(t) PROPIEDADES OPERACIONALES I 291 3 >2 3 >2 t t 0 l 2 2 t t 2 2 t t f(t) 1 a a b t pulso rectangular FIGURA 7.3.13 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD  t b FIGURA 7.3.17 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD  f (t) f(t) 3 2 a 1 t b FIGURA 7.3.14 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD 1 2 3 t 4 función escalera  FIGURA 7.3.18 f (t) *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD En los problemas 63 a 70, use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales. a b t FIGURA 7.3.15 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD  t FIGURA 7.3.16 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD En los problemas 55 a 62, escriba cada función en términos de funciones escalón unitario. Encuentre la transformada de Laplace de la función dada.  f (t) 2, 0 3 3 t t 2,  f (t) 1, 0 0, 4 1, t t t 4 5 5  f (t) 0, t2, t t 1 1 0 1, 1, f (t) b 0 t t 1 1  y  y  f (t), y(0)  0, donde f (t) a 0, 5,  y  y  f (t), y(0)  0, donde f (t)  0 1 1 t t  y  2y  f (t), y(0)  0, donde t, 0 t f (t) 0, t 1 1  y 1, donde 4y f (t), 0, y (0) y(0) 1, 0, f (t)  y 4y sen t  y 5y 6y  y y (t 0 2 ), y(0) 1, y (0) 0 1), y(0) 0, y (0) 1 (t 0, y (0) f(t), y(0) f (t) 1 1 t t 0, 1, 0, 0 1, donde t t t 2 2  y  4y  3y  1  ᐁ(t  2)  ᐁ(t  4)  ᐁ(t  6), y(0)  0, y(0)  0 292 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE  Suponga que un peso de 32 libras estira un resorte 2 pies. Si el peso se libera a partir del reposo en la posición de equilibrio, determine la ecuación de movimiento x(t) si una fuerza f (t)  20t actúa en el sistema para 0  t  5 y luego se retira (vea el ejemplo 5). Desprecie cualquier IXHU]DGHDPRUWLJXDPLHQWR8VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDción para trazar x(t) en el intervalo [0, 10].  Resuelva el problema 71 si la fuerza aplicada f (t)  sen t actúa en el sistema para 0  t  2ʌ y después se retira. En los problemas 73 y 74 use la transformada de Laplace para encontrar la carga q(t) en el capacitor en un circuito RC en serie sujeto a las condiciones indicadas.  q(0)  0, R  2.5 !, C  0.08 f, E(t GDGDHQOD¿JXUD 7.3.19.  a) Use 1a transformada de Laplace para determinar 1a carga q(t) en el capacitor en un circuito RC en serie cuando q(0)  0, R  50 !, C  0.01 f y E(t) es FRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD b) Suponga que E0  100 V. Use un programa de compuWDGRUDSDUDJUD¿FDU\GLEXMHq(t) para 0  t  6. Use la JUi¿FDSDUDHVWLPDUqmáx el valor máximo de 1a carga. E(t) E0 1 t 3 FIGURA 7.3.22 E(t) en el problema 76. E(t)  Una viga en voladizo está empotrada en su extremo izquierdo y libre en su extremo derecho. Use la transforPDGDGH/DSODFHSDUDGHWHUPLQDUODGHÀH[LyQy(x) cuando la carga está dada por 5 3 t w(x) FIGURA 7.3.19 E(t) en el problema 73. w(x) E(t) 30 1.5  a) Use la transformada de Laplace para encontrar la corriente i(t) en un circuito LR en serie de una sola malla cuando i(0)  0, L  1 h, R  10 ! y E(t) es FRPRVHLOXVWUDHQD¿JXUD b) 8VHXQSURJUDPDGHFRPSXWDGRUDSDUDJUD¿FDU\GLbuje i(t) en el intervalo 0  t 8VHODJUi¿FDSDUD estimar imáx e imín, los valores máximo y mínimo de la corriente. −1 0 x L>3 L> 3 x 2L> 3 2L > 3 x L.  Una viga está empotrada en su extremo izquierdo y apoyada simplemente en el extremo derecho. Encuentre la GHÀH[LyQy (x) cuando la carga es como la que se da en el problema 77. t FIGURA 7.3.20 E(t) en el problema 74. sen t, 0 ≤ t < 3π /2 π 0, w0 , 0,  (QFXHQWUHODGHÀH[LyQy (x) de una viga en voladizo empotrada en su extremo izquierdo y libre en su extremo derecho cuando la carga total es como se da en el ejemplo 10. 30et π /2 0 x L> 2 L> 2 x L.  Resuelva el problema 77 cuando la carga está dada por  q(0)  q0, R  10 !, C  0.1 f, E(t GDGDHQOD¿JXUD 7.3.20. E(t) 1 w0, 0, 3π /2 FIGURA 7.3.21 E(t) en el problema 75. t Modelo matemático  3DVWHOGHQWURGHXQKRUQR Lea de nuevo el ejemplo 4 en la sección 3.1 acerca del enfriamiento de un pastel que se saca de un horno. a) Diseñe un modelo matemático para la temperatura de un pastel mientras está dentro del horno con base en las siguientes suposiciones: en t  0 la mezcla de pastel está a temperatura ambiente de 70°; el horno no se precalienta por lo que en t  0, cuando la mezcla de pastel se coloca dentro del horno, la temperatura dentro del horno también es 70°; la temperatura del horno aumenta linealmente hasta t  4 minutos, cuando se alcanza la temperatura deseada de 300°; la temperatura del horno se mantiene constante en 300° para t  4. b) Use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales del inciso a). 7.4 Problemas para analizar real e i2  1. Demuestre que usar para deducir  Analice cómo se podría arreglar cada una de las siguientes funciones, de tal forma que el teorema 7.3.2 se pudiera usar directamente para encontrar la transformada de Laplace dada. Compruebe sus respuestas con la ecuación (16) de esta sección. a) {(2t 1) (t c) {cos t (t 1)} b) )} d) {et (t {(t 2 3t) (t 2)} 293 {tekti} se puede k2 k2)2 2ks . (s2 k2)2 {t sen kt} 5)} l s2 (s2 {t cos kt} b) Ahora use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales x  Ȧ2x  cos ȦW, x(0)  0, x (0)  0.  a) Suponga que el teorema 7.3.1 se cumple cuando el símbolo a se reemplaza por ki, donde k es un número 7.4 PROPIEDADES OPERACIONALES II PROPIEDADES OPERACIONALES II REPASO DE MATERIAL l 'H¿QLFLyQ l Teoremas 7.3.1 y 7.3.2 INTRODUCCIÓN En esta sección se desarrollan varias propiedades operacionales más de la transformada de Laplace. En especial, veremos cómo encontrar la transformada de una función f (t) que se multiplica por un monomio t n, la transformada de un tipo especial de integral y la transformada de una función periódica. Las dos últimas propiedades de transformada permiten resolver ecuaciones que no se han encontrado hasta este punto: ecuaciones integrales de Volterra, ecuaciones integrodiferenciales y ecuaciones GLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDVHQODVTXHODIXQFLyQGHHQWUDGDHVXQDIXQFLyQSHULyGLFDGH¿QLGDSRUWUDPRV 7.4.1 DERIVADAS DE UNA TRANSFORMADA MULTIPLICACIÓN DE UNA FUNCIÓN POR t n La transformada de Laplace del producto de una función f (t) con t se puede encontrar derivando la transformada de Laplace de f (t). Para motivar este resultado, se supone que F(s) { f (t)} existe y que es posible intercambiar el orden de la derivada y de la integral. Entonces d F(s) ds d ds e st f (t) dt 0 0 [e s st f (t)] dt e st tf (t) dt {tf (t)}; 0 d { f (t)} . ds Se puede usar el último resultado para encontrar la transformada de Laplace de t2f (t): es decir, {t f (t)} {t2 f (t)} {t t f (t)} d ds {tf (t)} d ds d ds {f (t)} Los dos casos anteriores sugieren el resultado general para TEOREMA 7.4.1 Derivadas de transformadas Si F(s) { f (t)} y n  1, 2, 3, . . . , entonces {t n f (t)} EJEMPLO 1 Evalúe {t sen kt}. ( 1)n 8VRGHOWHRUHPD dn F(s). dsn d2 ds 2 {t n f (t)} . { f (t)}. 294 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE SOLUCIÓN Con f (t)  sen kt, F(s)  k兾(s2  k2) y n  1, el teorema 7.4.1 da d ds {t sen kt} 2ks . (s k2)2 d k 2 ds s k2 {sen kt} 2 Si se quiere evaluar {t 2 sen kt} y {t 3 sen kt}, todo lo que se necesita hacer, a su vez, es tomar el negativo de la derivada respecto a s del resultado del ejemplo 1 y después tomar el negativo de la derivada respecto a s de {t 2 sen kt}. NOTA Para encontrar transformadas de funciones t ne at, se puede usar el teorema 7.3.1 o el teorema 7.4.1. Por ejemplo, Teorema 7.3.1: {te 3t} {t}s : s Teorema 7.4.1: {te 3t } d ds EJEMPLO 2 1 s2 3 1 (s s :s 3 d 1 ds s 3 {e 3t } 3)2 . (s 3) 1 2 (s 3)2 . Un problema con valores iniciales Resuelva x  16x  cos 4t, x(0)  0, x(0)  1. SOLUCIÓN El problema con valores iniciales podría describir el movimiento forzado, no amortiguado y en resonancia de una masa en un resorte. La masa comienza con una velocidad inicial de 1 pie/s en dirección hacia abajo desde la posición de equilibrio. Transformando la ecuación diferencial, se obtiene s 1 s (s2 16) X(s) 1 . o X(s) s2 16 s2 16 (s2 16)2 Ahora bien, en el ejemplo 1 se vio que 1 (s2 2ks k2)2 (1) t sen kt \SRUWDQWRLGHQWL¿FDQGRk  4 en (1) y en el inciso d) del teorema 7.2.1, se obtiene 1 4 x(t) 4 1 s2 1 sen 4t 4 7.4.2 1 8 16 1 (s2 8s 16)2 1 t sen 4t 8 TRANSFORMADAS DE INTEGRALES CONVOLUCIÓN Si las funciones f y g son continuas por tramos en [0, ), entonces un producto especial, denotado por f * gVHGH¿QHPHGLDQWHODLQWHJUDO t f ( ) g(t f g (2) )d 0 y se llama FRQYROXFLyQ de f y g. La convolución de f * g es una función de t. Por ejemplo, t et sen t e sen (t 1 ( sen t 2 )d 0 cos t et ). (3) Se deja como ejercicio demostrar que t t f ( ) g(t 0 es decir, f )d f (t ) g( ) d ; 0 g  g f(VWRVLJQL¿FDTXHODFRQYROXFLyQGHGRVIXQFLRQHVHVFRQPXWDWLYD 7.4 PROPIEDADES OPERACIONALES II 295 l No es cierto que la integral de un producto de funciones sea el producto de las integrales. Sin embargo, es cierto que la transformada de Laplace del producto especial (2), es el producto de la transformada de Laplace de f y g(VWRVLJQL¿FDTXHHVSRVLEOH determinar la transformada de Laplace de la convolución de dos funciones sin evaluar en realidad la integral como se hizo en (3). El resultado que sigue se conoce como WHRUHPDGHFRQYROXFLyQ. TEOREMA 7.4.2  7HRUHPDGHFRQYROXFLyQ Si f (t) y g (t) son funciones continuas por tramos en [0, ) y de orden exponencial, entonces { f g} { f (t)} {g(t)} F(s)G(s). τ τ=t DEMOSTRACIÓN Sea F(s) t: τ a ∞ { f (t)} s e f( ) d 0 y {g(t)} G(s) s e g( ) d . 0 Procediendo formalmente, tenemos τ:0a t t F(s)G(s) s e f( ) d e FIGURA 7.4.1 Cambio del orden de integración de primero t a primero IJ. ) s( e 0 s g( ) d 0 0 f ( )g( ) d d 0 f( ) d 0 ) s( e g( ) d . 0 Conservando IJ¿MDKDFHPRVt  IJ  ȕ, dt  Gȕ, por lo que e stg(t f( ) d F(s)G(s) ) dt. 0 En el plano WIJVHUHDOL]DODLQWHJUDFLyQHQODUHJLyQVRPEUHDGDGHOD¿JXUD3XHVWR que f y g son continuas por tramos en [0, ) y de orden exponencial, es posible intercambiar el orden de integración: t F(s) G(s) e st t f ( )g(t dt 0 )d e 0 st f ( ) g(t 0 )d dt { f g}. 0 EJEMPLO 3   7UDQVIRUPDGDGHXQDFRQYROXFLyQ t Evalúe e sen(t )d . 0 SOLUCIÓN Con f (t)  et y g(t)  sen t, el teorema de convolución establece que la transformada de Laplace de la convolución de f y g es el producto de sus transformadas de Laplace: t e sen(t 0 )d {et} {sen t} 1 s 1 1 s2 1 (s 1 1)(s2 . 1) INVERSA DEL TEOREMA 7.4.2 El teorema de convolución en ocasiones es útil para encontrar la transformada de Laplace inversa del producto de dos transformadas de Laplace. Del teorema 7.4.2, se tiene 1 (4) {F(s)G(s)} f g. 296 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Muchos de los resultados de la tabla de transformadas de Laplace en el apéndice III, se pueden obtener usando la ecuación (4). En el ejemplo siguiente se obtiene el elemento 25 de la tabla: 2k3 . (5) {sen kt kt cos kt} (s2 k2 )2 EJEMPLO 4   7UDQVIRUPDGDLQYHUVDFRPRXQDFRQYROXFLyQ Evalúe 1 1 2 SOLUCIÓN . k2 )2 (s Sea F(s) 1 G(s) f (t) s2 k2 1 k 1 g(t) por lo que k 2 2 s k 1 sen kt. k En este caso la ecuación (4) da 1 t (6) sen k sen k(t )d . (s k) k2 0 Con la ayuda de la identidad trigonométrica 1 sen A sen B [cos(A B) cos(A B)] 2 y las sustituciones A  NIJ y B  k(t  IJ) se puede realizar la integración en (6): 1 1 2 2 2 1 1 2 (s t 1 2k2 2 2 k) [cos k(2 t) cos kt] d 1 1 sen k(2 2k2 2k t) cos kt 0 t 0 sen kt kt cos kt . 2k3 3 Multiplicando ambos lados por 2k , se obtiene la forma inversa de (5). TRANSFORMADA DE UNA INTEGRAL Cuando g(t)  1 y {g(t)} G(s) 1 兾s, el teorema de convolución implica que la transformada de Laplace de la integral de f es t F(s) f( ) d . (7) s 0 La forma inversa de (7), t F(s) , s 1 f( ) d 0 (8) se puede usar en lugar de las fracciones parciales cuando sn es un factor del denomina1 dor y f (t) {F(s)} es fácil de integrar. Por ejemplo, se sabe para f (t)  sen t que 2 F(s)  1兾(s  1) y por tanto usando la ecuación (8) 1 1 1 1 s(s2 1 1) 1 s2(s2 1 1) 1 s3(s2 etcétera. 1 1) 1兾(s2 s 1兾s(s2 s 1兾s2(s2 s 1) t sen d 1 cos t 0 1) t (1 cos ) d t sen t 0 1) t ( 0 sen ) d 1 2 2t 1 cos t 7.4 PROPIEDADES OPERACIONALES II l 297 ECUACIÓN INTEGRAL DE VOLTERRA El teorema de convolución y el resultado en (7) son útiles para resolver otros tipos de ecuaciones en las que una función desconocida aparece bajo un signo de integral. En el ejemplo siguiente se resuelve una HFXDFLyQLQWHJUDOGH9ROWHUUD para f (t), t f(t) )d . f ( ) h(t g(t) (9) 0 Las funciones g(t) y h(t) son conocidas. Observe que la integral en (9) tiene la forma de convolución (2) con el símbolo h jugando el papel de g. EJEMPLO 5   8QDHFXDFLyQLQWHJUDO t Resuelva f (t) 3t 2 e t f ( ) e t d para . f (t). 0 SOLUCIÓN (QODLQWHJUDOVHLGHQWL¿FDh(t  IJ)  et IJ por lo que h(t)  et. Se toma la transformada de Laplace de cada término; en particular, por el teorema 7.4.2 la transformada de Laplace es el producto de { f (t)} F(s) y {et} 1>(s 1) . 2 s3 3 F(s) 1 1 F(s) 1 s 1 s . Después de resolver la última ecuación para F(s) y realizar la descomposición en fracciones parciales, se encuentra 6 s3 La transformada inversa entonces da 6 s4 F(s) f (t) 3 1 3t2 2! s3 1 t3 1 s 3! s4 2 s 1 . 1 1 s 1 1 2 1 s 2e t. 1 CIRCUITOS EN SERIE En una sola malla o circuito en serie, la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de las caídas de voltaje en un inductor, resistor y capacitor es igual al voltaje aplicado E(t). Ahora se sabe que las caídas de voltaje en un inductor, resistor y capacitor son, respectivamente, 1 t di i( ) d , , Ri(t), y C 0 dt donde i(t) es la corriente y L, R y C son constantes. Se deduce que la corriente en un FLUFXLWRFRPRHOTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHVWiJREHUQDGDSRUODHFXDFLyQ integrodiferencial L L EJEMPLO 6 E L R di dt Circuito RCL en serie. 1 C t i( ) d E(t) . (10) 0 8QDHFXDFLyQLQWHJURGLIHUHQFLDO Determine la corriente i(t) en un circuito RCL de un sola malla cuando L  0.1 h, R  2 !, C  0.1 f, i(0)  0 y el voltaje aplicado es E(t) C FIGURA 7.4.2 Ri(t) 120t 120t (t 1). SOLUCIÓN Con los datos dados, la ecuación (10) se convierte en 0.1 di dt t 2i 10 i( ) d 0 120t 120t (t 1). 298 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE t Ahora usando (7), { 0 i( ) d } I(s) s , donde I(s) formada de Laplace de la ecuación integrodiferencial es 0.1sI(s) 20 2I(s) 10 i I(s) s 1 s2 120 1 e s2 1 e s s {i(t)}. Por lo que la trans- . ← por (16) de la sección 7.3 s Multiplicando esta ecuación por l0s, usando s2  20s  100  (s  10)2 y después al despejar I(s), se obtiene 10 t _ 10 1 1200 I(s) _20 _30 0.5 1 1. 5 2 1200 I(s) 2 .5 FIGURA 7.4.3 *Ui¿FDGHFRUULHQWH 1 10)2 s(s Usando fracciones parciales, 1>100 s 1>100 e s 10 i(t) del ejemplo 6. 10)2 s(s 1>100 s 10 e (s (s 1>10 10)2 1>10 e (s 10)2 s 1 e 10)2 s s 1>100 e s 1 e (s 10)2 s . s s . 'HODIRUPDLQYHUVDGHOVHJXQGRWHRUHPDGHWUDVODFLyQ  GHODVHFFLyQ¿QDOmente se obtiene i(t) 12[1 (t 1)] 12[e 10t 10t 10(t e 10(t 1) 1) 120te 1080(t 1)e (t (VFULWDFRPRXQDIXQFLyQGH¿QLGDSRUWUDPRVODFRUULHQWHHV i(t) 12 12e 12e 10t 10t 12e 120te 10(t (t 1)] 1). 10t , 1) 0 120te 10t 1080(t 1)e 10(t 1) , t t 1 1. &RQHVWD~OWLPDH[SUHVLyQ\XQ6$&VHWUD]DODJUi¿FDi(t) en cada uno de los dos intervaORV\GHVSXpVVHFRPELQDQODVJUi¿FDV2EVHUYHHQOD¿JXUDTXHDXQFXDQGRODIXQción de entrada E(t) es discontinua, la salida o respuesta i(t) es una función continua. Material opcional si se cubrió la sección 4.8 ADENDA: VUELTA A LAS FUNCIONES DE GREEN Mediante la aplicación de la transformada de Laplace al problema con valores iniciales y  ay  by  f(t), y(0)  0, y(0)  0 donde a y b son constantes, encontramos que la transformada de y(t) es F(s) s2 as b donde F(s)  ᏸ{f(t)}. Rescribiendo la última transformada como el producto Y(s) 1 F(s) s as b podemos usar la forma inversa del teorema de convolución (4) para escribir la solución del PVI como t y(t) ) f ( )d g(t (11) Y(s) 2 0 1 1 g(t) y {F(s)} f(t). De otra manera, sabemos de s as b (10) de la sección 4.8 que la solución del PVI está también dada por donde 1 2 t G(t, ) f( ) d , y(t) (12) 0 donde G(t, IJ) es la función de Green para la ecuación diferencial. Comparando (11) y (12) vemos que la función de Green para la ecuación diferencial 1 1 g(t) por está relacionada con s2 as b G(t, ) g(t ) (13) 7.4 PROPIEDADES OPERACIONALES II Por ejemplo, para el problema con valores iniciales y  4y  f(t), encontramos 1 1 1 g(t). 2 sen 2t 2 s 4 En el ejemplo 4 de la sección 4.8, los papeles que están jugando los símbolos x y t son los de t y IJ en este análisis l 299 y(0)  0, y(0)  0 Así de (13) vemos que la función de Green para la ED es y  4y  f(t), es G(t, IJ)  g(t  IJ)  1兾2 sen 2(t  IJ). Vea el ejemplo 4 de la sección 4.8. 7.4.3 TRANSFORMADA DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA FUNCIÓN PERIÓDICA Si una función periódica tiene periodo T, T 0, entonces f (t  T)  f (t). El siguiente teorema muestra que la transformada de Laplace de una función periódica se obtiene integrando sobre un periodo. TEOREMA 7.4.3  7UDQVIRUPDGDGHXQDIXQFLyQSHULyGLFD Si f (t) es continua por tramos en [0, ), de orden exponencial y periódica con periodo T, entonces { f (t)} DEMOSTRACIÓN T 1 e 1 st e sT f (t) dt. 0 Escriba la transformada de Laplace de f como dos integrales: T { f (t)} st e f (t) dt st e 0 f (t) dt. T Cuando se hace t  u  T, la última integral se convierte en e st f (t) dt e s(u T ) f (u T ) du e sT 0 T e su f (u) du e sT { f (t)}. 0 T Por tanto, { f (t)} e st f (t) dt { f (t)}. sT e 0 { f (t)} se demuestra el teorema. Resolviendo la ecuación de la última línea para E(t) EJEMPLO 7 1 1 2 3 4 FIGURA 7.4.4 Onda cuadrada. t $SOLFDFLyQGHXQYROWDMHSHULyGLFR Encuentre la transformada de Laplace de la función periódica que se muestra en la ¿JXUD SOLUCIÓN La función E(t) se llama de onda cuadrada y tiene periodo T  2. En el intervalo 0  t  2, E(t VHSXHGHGH¿QLUSRU E(t) 1, 0 0, 1 1 2 t t y fuera del intervalo por E(t  2)  E(t). Ahora del teorema 7.4.3 {E(t)} 1 1 e 2 2s e st E(t) dt 0 1 1 e 1 e 2s s 1 . s (1 e s ) 1 e 1 1 2s 2 e st 1dt 0 e st 0 dt 1 s ;1 e 2s (1 e s )(1 e s) (14) 300 CAPÍTULO 7 l LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EJEMPLO 8 $SOLFDFLyQGHXQYROWDMHSHULyGLFR La ecuación diferencial para la corriente i(t) en un circuito RL en serie de una sola malla es di L Ri E(t). (15) dt Determine la corriente i(t) cuando i(0)  0 y E(t) es la función de onda cuadrada que VHPXHVWUDHQOD¿JXUD SOLUCIÓN Si se usa el resultado de (14) del ejemplo anterior, la transformada de Laplace de la ED es LsI(s) 1 RI(s) o e s) s(1 I(s) 1 >L 1 . R > L) 1 e s s(s (16) Para encontrar la transformada de Laplace inversa de la última función, primero se hace XVRGHODVHULHJHRPpWULFD&RQODLGHQWL¿FDFLyQx  es, s 0, la serie geométrica 1 1 x 1 x2 x 1 se convierte en x3 1 De s(s 1 e L>R s R>L) s 1 s L>R R>L s e e 2s 3s e . se puede reescribir la ecuación (16) como I(s) 1 1 R s s 1 1 R s e s s i(t) 1 (1 R>L 2s e s e 2s 3s e 3s e s e ) 1 R s s 1 R>L 1 e R>L s 2s e s s e R>L s 3s . R>L Aplicando la forma del segundo teorema de traslación a cada término de ambas series, se obtiene 1 (1 (t 1) (t 2) (t 3) ) R 1 (e Rt/L e R(t 1)/L (t 1) e R(t 2)/L (t 2) e R(t 3)/L (t 3) ) R o, de forma equivalente 1 (1 R i(t) e 1 ( 1) n (1 e Rn 1 Rt/L ) R(t n)/L ) (t n). 3DUDLQWHUSUHWDUODVROXFLyQVHVXSRQHSRUUD]RQHVGHHMHPSOL¿FDFLyQTXHR  1, L  1 y 0  t  4. En este caso i(t) 2 1. 5 1 0. 5 i 1 e t et (1 1 ) (t 1) (1 e (t 2) ) (t 2) (1 e (t 3) ) (t 3); en otras palabras, e t, 1 t 1 2 3 4 FIGURA 7.4.5 *Ui¿FDGHODFRUULHQWH i(t) en ejemplo 8. i(t) e 1 t e e t e t (t 1) , e e (t 1) (t 1) e e (t 2) (t 2) , e (t 3) , 0 1 2 3 t t t t 1 2 3 4. /DJUi¿FDGHi(t) en el intervalo 0  t TXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDVHREWXYR con la ayuda de un SAC. 7.4 PROPIEDADES OPERACIONALES II 301 l EJERCICIOS 7.4 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-12. 7.4.1 DERIVADAS DE UNA TRANSFORMADA 7.4.2 TRANSFORMADAS DE INTEGRALES En los problemas 1 a 8 use el teorema 7.4.1 para evaluar cada una de las transformadas de Laplace. En los problemas 19 a 30, use el teorema 7.4.2 para evaluar cada una de las transformadas de Laplace. No evalúe la integral antes de transformar.  {te  {t3et}  {t cos 2t}  {t senh 3t}  {1  {t2 senh t}  {t2 cos t}  {e  {te2t sen 6 t}  {te 10t } 3t cos 3t} t3} t et cos t} t   {t2 tet }  {e2t sen t} t  e d cos d 0 En los problemas 9 a 14, use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales dado. Use la tabla de transformadas de Laplace del apéndice III cuando sea necesario.  y  y  t sen t, y(0)  0 y(0)  0  y  9y  cos 3t, y(0)  2,  y  y  sen t, e cos d y(0)  1, sen d 0 0 t et t  d sen cos (t 0 y(0)  5  y(0)  1, donde cos 4t, 0 0, y(0)  1, t t y(0)  0, donde 1, 0 sen t, f (t) )d 0 t  sen d t t t e d 0 y(0)  1 y(0)  0, f(t) t t >2 >2 En los problemas 31 a 34, use (8) para evaluar cada transformada inversa.  1  1 1 1) s(s 1 3 s (s 1)  y(t) del problema 13 en el intervalo 0  t  2ʌ  y(t) del problema 14 en el intervalo 0  t  3ʌ En algunos casos, la transformada de Laplace se puede usar SDUDUHVROYHUHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHVFRQFRH¿FLHQtes monomiales variables. En los problemas 17 y 18, use el teorema 7.4.1 para reducir la ecuación diferencial dada a una ED lineal de primer orden en la función transformada. Resuelva la ED de primer y orden para Y(s) {y(t)} y des1 pués encuentre y(t) {Y(s)} .  1  1 1 2 s (s 1) 1 a)2 s(s  La tabla del apéndice III no contiene un elemento para (Q ORV SUREOHPDV  \  XVH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQLQGLFDGD  ty  y  2t 2, t  0  y  16y  f (t),  y  y  f (t), t    y  y  te sen t, t 0 1 8k3s . (s k2)3 2 a) Use (4) junto con los resultados de (5) para evaluar esta transformada inversa. Utilice un SAC como ayuda para evaluar la integral de convolución. b) Vuelva a analizar su respuesta del inciso a). ¿Podría haber obtenido el resultado en una forma diferente?  Emplee la transformada de Laplace y los resultados del problema 35 para resolver el problema con valores iniciales y y sen t t sen t, y(0) 0, y (0) 0.   8VHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODVROXFLyQ y(0)  0  2y  ty  2y  10, y(0)  y(0)  0 En los problemas 37 a 46, use la transformada de Laplace para resolver la ecuación integral o la ecuación integrodiferencial. 302 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE  t  f (t) (t ) f( ) d t f(t) a 0  f (t) t 2t sen f (t 4 )d b 2b 3b t 4b 0  f (t) función diente de sierra t t f (t te FIGURA 7.4.8 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD )d 0  f (t) t 2 f ( ) cos (t )d 4e t sen t  f(t) 0 1 t  f (t) f( ) d 1 1 0  f (t) t cos t f (t e  t 1 8 3 t FIGURA 7.4.9 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD t)3 f ( ) d (  0 f(t) 1 e ) f (t (e )d 0  y (t) π 2π 3π 4π t t 1 sen t y( ) d , y(0) 0 rectificación de onda completa de sen t 0 t dy 6y(t) 9 y( ) d 1, y(0) 0  dt 0 En los problemas 47 y 48, resuelva la ecuación (10) sujeta a i(0)  0 con L, R, C y E(t) como se dan para cada problema. Use un proJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUODVROXFLyQHQHOLQWHUYDOR t  3.  L  0.1 h, R  3 !, C  0.05 f, E(t) 100[ (t 1) (t 2)]  L  0.005 h, R  1 !, C  0.02 f, E(t) 100[t (t 1) (t 1)] 7.4.3 t 4 t t 2 f (t) 3 función triangular )d 0  f (t) 2 TRANSFORMADA DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA En los problemas 49 a 54 use el teorema 7.4.3 para determinar la transformada de Laplace de cada una de las funciones periódicas. f(t)  1 a 2a 3a t 4a FIGURA 7.4.10  *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD  f(t) 1 π 2π 3π 4π t rectificación de media onda de sen t FIGURA 7.4.11 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD En los problemas 55 y 56 resuelva la ecuación (15) sujeta a i(0)  0 con E(t) como se indica. Use un programa de gra¿FDFLyQSDUDWUD]DUODVROXFLyQHQHOLQWHUYDOR t  4 en el caso cuando L  I y R  1.  E(t) es la función serpenteante del problema 49 con amplitud 1 y a  1.  E(t) es la función diente de sierra del problema 51 con amplitud 1 y b  l. En los problemas 57 y 58 resuelva el modelo para un sistema forzado resorte/masa con amortiguamiento 1 d 2x dx kx f (t), x(0) 0, x (0) 0, 2 dt dt donde la función forzada fHVFRPRVHHVSHFL¿FD8WLOLFHXQSURJUDPDGHJUD¿FDFLyQSDUDWUD]DUx(t) en los valores indicados de t. m función serpenteante FIGURA 7.4.6 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD f(t)  1 a 2a 3a 4a t función de onda cuadrada FIGURA 7.4.7 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD  m 12, b 1, k 5, f es la función serpenteante del problema 49 con amplitud 10, y a  ʌ, 0  t  2ʌ.  m  1, ȕ  2, k  1, f es la función de onda cuadrada del problema 50 con amplitud 5, y a  ʌ, 0  t  4ʌ. 7.4 Problemas para analizar  Examine cómo se puede usar el teorema 7.4.1 para encontrar s 3 1 ln . s 1  En la sección 6.4 vimos que ty  y  ty  0 es la ecuación de Bessel de orden Y  0. En vista de (22) de esta sección y de la tabla 6.1, una solución del problema con valores iniciales ty  y  ty  0, y(0)  1, y(0)  0, es y  J0(t). Use este resultado y el procedimiento descrito en las instrucciones de los problemas 17 y 18 para demostrar que 1 . {J0 (t)} 1s2 1 [Sugerencia: Podría ser necesario usar el problema 46 de los ejercicios 7.2].  a) Se sabe que la HFXDFLyQGLIHUHQFLDOGH/DJXHUUH ty  (1  t)y  ny  0 tiene soluciones polinomiales cuando n es un entero no negativo. Estas soluciones naturalmente se llaman polinomios de Laguerre y se denotan por Ln(t). Determine y  Ln(t), para n  0, 1, 2, 3, 4 si se sabe que Ln(0)  1. l 303  Use la transformada de Laplace como una ayuda en la evaluación de la integral impropia 0 te 2t sen 4t dt .  Si suponemos que ᏸ{f(t)兾t} existe y ᏸ{f(t)}  F(s), entonces f (t) t F(u)du. s Utilice este resultado para encontrar la transformada de Laplace de la función dada. Los símbolos a y k son constantes positivas. a) f(t) b) f (t) sen at t 2(1 cos kt) t  Transformada de un logaritmo Ya que f(t)  ln t tiene XQDGLVFRQWLQXLGDGLQ¿QLWDHQt  0 se podría suponer que ᏸ{ln t} no existe; sin embargo, esto es incorrecto. En este problema se le guía a través de los pasos formales que conducen a la transformada de Laplace de f(t)  ln t, t 0. a) Utilice integración por partes para demostrar que 1 {ln t} s {t ln t} s b) Si ᏸ{ln t}  Y(s), utilice el teorema 7.4.1 con n  1 para demostrar que el inciso a) se convierte en b) Demuestre que et d n n te n! dt n t Y(s), s donde Y(s) {y} y y  Ln(t) es una solución polinomial de la ED del inciso a). Concluya que et d n n t te , n 0, 1, 2, . . . . n! dt n Esta última relación para generar los polinomios de Laguerre es el análogo de la fórmula de Rodrigues para los polinomios de Legendre. Vea (33) en la sección 6.4. Ln (t) 2  La transformada de Laplace ᏸ{et } existe, pero sin encontrarla resuelva el problema con valores iniciales y  y 2  et , y(0)  0, y(0)  0.  Resuelva la ecuación integral f (t) PROPIEDADES OPERACIONALES II et et e t f( ) d  a) Demuestre que la función onda cuadrada E(t) dada HQOD¿JXUDVHSXHGHHVFULELUFRPR ( 1)k k Y 1 s Encuentre una solución explicita Y(s) de la última ecuación diferencial. c) 3RU~OWLPRODGH¿QLFLyQLQWHJUDOGHODconstante de Euler (algunas veces llamada la constante de Eulere t ln t dt , donde Ȗ  0DVFKHURQL) es 0 0.5772156649… Use Y(1)  Ȗ en la solución del inciso b) para demostrar que {ln t} s ln s , s s 0. Tarea para el laboratorio de computación t 0 E(t) dY ds (t k). 0 b) Obtenga la ecuación (14) de esta sección tomando la transformada de Laplace de cada término de la serie del inciso a).  En este problema se indican las instrucciones de Mathematica que permiten obtener la transformada de Laplace simbólica de una ecuación diferencial y la solución del problema de valores iniciales al encontrar la transformada inversa. En Mathematica la transformada de Laplace de una función y(t) se obtiene usando LaplaceTransform >\>W@WV@. En el renglón dos de la sintaxis se reemplaza /DSODFH7UDQVIRUP >\>W@ W V@ por el símbolo Y. (Si no tiene Mathematica, entonces adapte el procedimiento dado encontrando la sintaxis correspondiente para el SAC que tenga a la mano.) 304 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE  0RGL¿TXHGHIRUPDDSURSLDGDHOSURFHGLPLHQWRGHOSURblema 62 para encontrar una solución de Considere el problema con valores iniciales y 6y 9y t sen t, y(0) 2, y (0) 1. 3y y Cargue el paquete de transformada de Laplace. Reproduzca con precisión y después, a su vez, ejecute cada renglón de la siguiente secuencia de instrucciones. Copie los resultados a mano o imprímalo. diffequat ⴝ\ ⴖ>W@ⴙ\ⴕ>W@ⴙ\>W@ⴝⴝW6LQ>W@ transformdeq ⴝ/DSODFH7UDQVIRUP>GLIIHTXDWWV@   ^\>@ⴚ \ⴕ>@ⴚ ⴚ   /DSODFH7UDQVIRUP>\>W@WV@ⴚ Y} soln ⴝ6ROYH>WUDQVIRUPGHT<@)ODWWHQ Y ⴝ<VROQ ,QYHUVH/DSODFH7UDQVIRUP><VW@ 7.5 y(0) 4y 0, 0, y (0) 0, y (0) 1.  La carga q(t) en un capacitor en un circuito CL en serie está dada por d 2q dt2 q(0) q 1 4 (t 0, q (0) ) 6 (t 3 ), 0.   0RGL¿TXH GH IRUPD DSURSLDGD HO SURFHGLPLHQWR GHO SURblema 62 para determinar q(t 7UDFHODJUi¿FDGHVXVROXción. LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC INTRODUCCIÓN En el último párrafo de la página 271, se indicó que como una consecuencia inmediata del teorema 7.1.3, F(s)  1 no puede ser la transformada de Laplace de una función f que es continua por tramos en [0, ) y de orden exponencial. En el análisis siguiente se introduce una función que es muy diferente de las que ha estudiado en cursos anteriores. Más tarde veremos que de hecho existe una función o más precisamente, una función generalizada, cuya transformada de Laplace es F(s)  1. IMPULSO UNITARIO Los sistemas mecánicos suelen ser afectados por una fuerza externa (o fuerza electromotriz en un circuito eléctrico) de gran magnitud que actúa sólo por un periodo muy corto. Por ejemplo, podría caer un rayo en el ala vibrante de un avión, un martillo de bola podría golpear con precisión una masa en un resorte, una bola (de beisbol, golf, tenis) podría ser enviada por el aire al ser golpeada de modo violento con un EDWHSDORGHJROIRUDTXHWD9HDOD¿JXUD/DJUi¿FDGHODIXQFLyQGH¿QLGDSRUSDUWHV a (t t0 ) 0, 1 , t0 2a 0, 0 t t0 a a t t0 a t t0 a, (1) a 0, t0 TXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD D SRGUtDVHUYLUFRPRPRGHORSDUDWDOIXHU]D Para un valor pequeño de a, įa(t  t0) es en esencia una función constante de gran magnitud que está “activada” sólo durante un periodo muy corto, alrededor de t0. El comportamiento de įa(t  t0) conforme a →VHLOXVWUDHQOD¿JXUD E /DIXQFLyQįa(t  t0) se llama impulso unitario porque tiene la propiedad de integración 0 a (t t0 ) dt 1 . FIGURA 7.5.1 Un palo de golf aplica una fuerza de gran magnitud en la bola durante un periodo muy corto. LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC En la práctica es conveniente trabajar con otro tipo de impulso unitario, una “función” que aproxima a įa(t  t0 \VHGH¿QHSRUHOOtPLWH (t t0 ) lím a: 0 a (t t0 ). (2) 7.5 y 1兾2a t0 305 l La última expresión, que no es una función en absoluto, se puede caracterizar por las dos propiedades , t t0 i ) (t t0 ) y ii) (t t0 ) dt 1. 0, t t0 0 2a t0 − a LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC t0 + a t El impulso unitario į(t  t0) se llama IXQFLyQGHOWDGH'LUDF. Es posible obtener la transformada de Laplace de la función delta de Dirac por la suposición formal de que { (t t0 )} lím a : 0 { a (t t0 )} . a) gráfica de a(t  t0) y TEOREMA 7.5.1  7UDQVIRUPDGDGHODIXQFLyQGHOWDGH'LUDF 0, Para t 0 { (t t0 )} st0 e (3) . DEMOSTRACIÓN Para empezar se puede escribir įa(t  t0) en términos de la función escalón unitario en virtud de (11) y (12) de la sección 7.3: 1 t0 ) [ (t (t0 a)) (t (t0 a))]. a (t 2a Por linealidad y (14) de la sección 7.3 la transformada de Laplace de esta última expresión es t0 b) comportamiento de a conforme a → 0 FIGURA 7.5.2 Impulso unitario. t 1 e s(t0 a) e s(t0 a) esa e sa (4) e st0 . 2a s s 2sa Puesto que (4) tiene la forma indeterminada 0兾0 conforme a → 0 se aplica la regla de L'Hôpital: { a (t { (t t0 )} t0 )} lím { a (t a:0 t0 )} e st 0 lím esa a:0 e 2sa sa e st 0 . Ahora cuando t0  0, se puede concluir de (3) que { (t)} 1. El último resultado enfatiza el hecho de que į(t) no es el tipo usual de función que se ha estado considerando, puesto que se espera del teorema 7.1.3 que ᏸ { f (t)} → 0 conforme s → . EJEMPLO 1 Dos problemas con valores iniciales Resuelva y   y  4į(t  2ʌ) sujeta a a) y(0)  1, y(0)  0 b) y(0)  0, y(0)  0. Dos problemas con valores iniciales podrían servir como modelos para describir el movimiento de una masa en un resorte que se mueve en un medio en el cual el amortiguamiento es despreciable. En t  2ʌ la masa recibe un golpe preciso. En a) la masa se libera a partir del reposo una unidad abajo de la posición de equilibrio. En b) la masa está en reposo en la posición de equilibrio. SOLUCIÓN a) De (3) la transformada de Laplace de la ecuación diferencial es 4e 2 s . s2 1 s2 1 Con la forma inversa del segundo teorema de traslación, se encuentra s2Y(s) s y(t) 2 s 4e Y(s) cos t o 4 sen(t s Y(s) 2 ) (t 2 ). Puesto que sen(t  2ʌ)  sen t, la solución anterior se puede escribir como y(t) cos t, cos t 0 4 sen t, t t 2 2 . (5) 306 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE (QOD¿JXUDVHYHGHODJUi¿FDGH  TXHODPDVDSUHVHQWDPRYLPLHQWRDUPyQLFR simple hasta que es golpeada en t  2ʌ/DLQÀXHQFLDGHOLPSXOVRXQLWDULRHVLQFUHmentar la amplitud de vibración a 117 para t 2ʌ. y 1 −1 b) En este caso la transformada de la ecuación es simplemente 2π 4π t Y(s) y así 4 sen(t y(t) FIGURA 7.5.3 La masa es golpeada en 2 s , 1 2 ) 0, 0 4 sen t, t  2ʌ. (t t t 2 ) 2 2 . (6) /DJUi¿FDGH  GHOD¿JXUDPXHVWUDFRPRVHHVSHUDUtDGHODVFRQGLFLRQHVLQLciales, que la masa no exhibe movimiento hasta que es golpeada en t  2ʌ. y COMENTARIOS 1 −1 4e s2 2π 4π t FIGURA 7.5.4 Ningún movimiento hasta que la masa es golpeada en t  2ʌ. i) Si į(t – t0) fuera una función en el sentido usual, entonces la propiedad i) de la función delta de Dirac implicaría 0 (t t0 ) dt 0 en vez de 0 (t t0 ) dt 1 Debido a que la función delta de Dirac no se “comporta” como una función ordinaria, aun cuando sus usuarios produjeron resultados correctos, al inicio los matemáticos la recibieron con gran desprecio. Sin embargo, en 1940 la controversial función de Dirac fue puesta en un fundamento riguroso por el matemático francés Laurent Schwartz en su libro La Théorie de distribution y esto, a su vez, condujo a una rama completamente nueva de la matemática conocida como la teoría de las distribuciones o funciones generalizadas(QHVWDWHRUtD  QRHVXQDGH¿QLFLyQ aceptada de į(t – t0), ni se habla de una función cuyos valores son o 0. Aunque se deja en paz este tema, basta decir que la función delta de Dirac se caracteriza mejor por su efecto en otras funciones. Si f es una función continua, entonces f (t) (t t0 ) dt (7) f (t0 ) 0 se puede tomar como la GH¿QLFLyQ de į(t – t0). Este resultado se conoce como propiedad de cribado, puesto que į(t – t0) tiene el efecto de separar el valor f (t0) del conjunto de valores de f en [0, ). Note que la propiedad ii) (con f(t)  1) y (3) (con f (t)  esf ) son consistentes con (7). ii) Los Comentarios en la sección 7.2 indicaron que la función de transferencia de una ecuación diferencial lineal general de n-pVLPRRUGHQFRQFRH¿FLHQWHVFRQVtantes es W(s)  1兾(P(s), donde P(s)  ansn  an1sn1  . . .  a0. La función de transferencia es la transformada de Laplace de la función w(t), conocida como IXQFLyQSHVR de un sistema lineal. Pero w(t) también se puede caracterizar en términos del análisis en cuestión. Por simplicidad se considera un sistema lineal de segundo orden en el que la entrada es un impulso unitario en t  0: a2 y a1 y a0 y (t), y(0) 0, y (0) 0. Aplicando la transformada de Laplace y usando { (t)} 1 se muestra que la transformada de la respuesta y en este caso es la función de transferencia Y(s) a2 s 2 1 a1s a0 1 P(s) W(s) y así y 1 1 P(s) w(t). De esto se puede ver, en general, que la función peso y  w(t) de un sistema lineal de n-ésimo orden es la respuesta de estado cero del sistema a un impulso unitario. Por esta razón w(t) también se llama respuesta de impulso del sistema. 7.6 EJERCICIOS 7.5  y  3y  į(t  2), y(0)  0  y  y  į(t  1), y(0)  2 y(0)  0, y(0)  1  y  16y  į(t  2ʌ), ( y t  y y(0) 0, y (0) ) 1 2 (t donde y(0)  0, y(0)  0, y(L)  0, y y (L)  0. w0 ), x 0 L  y  y  į(t  2ʌ)  į(t  4ʌ), y(0)  1, y(0)  0  y  2y  į(t  1), y(0)  0, y(0)  1  y  2y  1  į(t  2), y(0)  0, y(0)  1  y  4y  5y  į(t  2ʌ), y(0)  0, y(0)  0  y  2y  y  į(t  1), y(0)  0, y(0)  0  y  4y  13y  į(t  ʌ)  į(t  3ʌ), y(0)  1, y(0)  0  y  7y  6y  et  į(t  2)  į(t  4), y(0)  0, y(0)  0  Una viga uniforme de longitud L soporta una carga con1 centrada w0 en x 2 L . La viga está empotrada en su 7.6 307 extremo izquierdo y libre en su extremo derecho. Use la WUDQVIRUPDGDGH/DSODFHSDUDGHWHUPLQDUODGHÀH[LyQy(x) de d 4y EI 4 w0 x 12 L , dx y(0)  0, y(0)  0 3 2 l Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-12. En los problemas 1 a 12, use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales.  y  y  į(t  2ʌ), SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES y FIGURA 7.5.5 Viga en el problema 14.  Resuelva la ecuación diferencial del problema 13 sujeta a y(0)  0, y(0)  0, y(L)  0, y(L)  0. En este caso la viga HVWiHPSRWUDGDHQDPERVH[WUHPRV9HDOD¿JXUD Problemas para analizar  $OJXLHQD¿UPDTXHODVVROXFLRQHVGHGRV39, y y 2y 2y 10y 10y 0, (t), y(0) y(0) 0, y (0) 0, y (0) 1 0 son exactamente lo mismo. ¿Está de acuerdo o no? -XVWL¿TXHVXUHVSXHVWD SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES REPASO DE MATERIAL l Solución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. INTRODUCCIÓN &XDQGRVHHVSHFL¿FDQODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVODWUDQVIRUPDGDGH/DSODFH GH FDGD HFXDFLyQ HQ XQ VLVWHPD GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV OLQHDOHV FRQ FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV reduce el sistema de ED a un conjunto de ecuaciones algebraicas simultáneas en las funciones transformadas. Se resuelve el sistema de ecuaciones algebraicas para cada una de las funciones transformadas y luego se determinan las transformadas de Laplace inversas en la manera usual. RESORTES ACOPLADOS Dos masas m1 y m2 están conectadas a dos resortes A y B de masa despreciable con constantes de resorte k1 y k2 respectivamente. A su vez, ORVGRVUHVRUWHVHVWiQXQLGRVFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD6HDQx1(t) y x2(t) los desplazamientos verticales de las masas desde sus posiciones de equilibrio. Cuando el sistema está en movimiento, el resorte B está sujeto a elongación y compresión; por lo que su elongación neta es x2 – x1. Por tanto, se deduce de la ley de Hooke que los resortes A y B ejercen fuerzas k1x1 y k2(x2  x1), respectivamente, en m1. Si ninguna fuerza externa se aplica al sistema y si ninguna fuerza de amortiguamiento está presente, entonces la fuerza neta en m1 es k1x1  k2(x2  x1). Por la segunda ley de Newton se puede escribir d 2x k1 x1 k2 (x2 x1). m1 21 dt 308 CAPÍTULO 7 l A x1 = 0 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE De igual manera, la fuerza neta ejercida en la masa m2 se debe sólo a la elongación neta de B ; es decir,  k2(x2  x1). Por tanto, se tiene k1 m1 x1 k2 B m2 k1 x1 m1 m2 x2 m2 x1). k2 (x2 En otras palabras, el movimiento del sistema acoplado se representa por el sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas de segundo orden m1 k2 (x2 − x1) x2 = 0 d 2 x2 dt2 k2 (x2 − x1) m2 m1 x 1 k1 x1 k2 (x2 m2 x 2 k2 (x2 x1). x1) (1) En el ejemplo siguiente se resuelve (1) bajo las suposiciones de que k1  6, k2  4, m1  1, m2  1 y que las masas comienzan desde sus posiciones de equilibrio con velocidades unitarias opuestas. a) equilibrio b) movimiento c) fuerzas FIGURA 7.6.1 Sistema resorte/masa EJEMPLO 1 acoplado. Resortes acoplados Resuelva 10x1 x1 4x1 sujeta a x1(0) 0, x 1(0) x2 1, x2 (0) 4x2 0 4x2 0 0, x 2 (0) (2) 1. SOLUCIÓN La transformada de Laplace de cada ecuación es s2 X1(s) sx1(0) s2 X2 (s) 4X1(s) donde X1(s) x1(0) sx2 (0) {x1(t)} y X2 (s) (s2 0 x2 (0) 4X2 (s) 0, 4X2 (s) (s2 4 X1(s) 0. 4 4X2 (s) {x2 (t)}. El sistema anterior es igual a 10) X1(s) x1 10X1(s) 1 4) X2 (s) (3) 1. Resolviendo (3) para X1(s) y usando fracciones parciales en el resultado, se obtiene 0. 2 t X1(s) _ 0. 2 _ 0. 4 2 (s s2 2)(s2 y por tanto 2.5 5 7.5 1 0 1 2 .5 1 5 x1(t) a) gráfica de x1(t) vs. t x2 0. 4 1 512 1 12) 12 s2 2 12 sen 12t 10 1>5 s2 2 6 5 112 s2 6>5 , 12 112 s2 12 1 13 sen 213t. 5 0. 2 t Sustituyendo la expresión para X1(s) en la primera ecuación de (3), se obtiene _ 0. 2 X2(s) _ 0. 4 2.5 5 7.5 1 0 1 2 .5 1 5 b) gráfica de x2(t) vs. t FIGURA 7.6.2 Desplazamientos de las dos masas del ejemplo 1. y x2(t) (s 2 2 512 s2 6 2)(s2 12) 12 1 2 s 12 sen 12t 5 2 2> 5 s2 2 3 5112 13 sen 213t. 10 s2 1 3> 5 12 112 s 12 2 7.6 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Por último, la solución del sistema (2) es 12 sen 12t 10 x1(t) 13 sen 213t 5 12 sen 12t 5 x2(t) l 13 sen 213t. 10 309 (4) /DVJUi¿FDVGHx1 y x2GHOD¿JXUDUHYHODQHOFRPSOLFDGRPRYLPLHQWRRVFLODWRULR de cada masa. i1 E L i2 REDES En (18) de la sección 3.3 vimos que las corrientes il(t) e i2(t) de la red que se PXHVWUDHQOD¿JXUDFRQXQLQGXFWRUXQUHVLVWRU\XQFDSDFLWRUHVWDEDQJREHUQDdas por el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden i3 R FIGURA 7.6.3 Red eléctrica. L C di1 dt di RC 2 dt Ri2 E(t) (5) i2 0. i1 Resolvemos este sistema con la transformada de Laplace en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 2 8QDUHGHOpFWULFD Resuelva el sistema en (5) bajo las condiciones E(t)  60 V, L  1 h, R  50 !, C  104 f y al inicio las corrientes i1 e i2 son cero. SOLUCIÓN Debemos resolver di1 dt 50(10 4 ) di2 dt 50i2 i2 i1 60 0 sujeta a i1(0)  0, i2(0)  0. $SOLFDQGR OD WUDQVIRUPDGD GH /DSODFH D FDGD HFXDFLyQ GHO VLVWHPD \ VLPSOL¿cando, se obtiene 60 sI1(s) 50I2(s) s 200I1(s) (s 200)I2(s) 0, {i1(t)} e I2(s) {i2(t)}. Resolviendo el sistema para I1 e I2 y desdonde I1(s) componiendo los resultados en fracciones parciales, se obtiene I1(s) 60s s(s 12 000 100)2 I2(s) 12 000 s(s 100)2 6>5 s s 6>5 100 6>5 s 6>5 s 100 (s 60 100)2 120 . (s 100)2 Tomando la transformada inversa de Laplace, encontramos que las corrientes son 6 6 100t i1(t) e 60te 100t 5 5 i2(t) 6 5 6 e 5 100t 120te 100t . 310 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 6 Observe que tanto i1(t) como i2(t) del ejemplo 2 tienden hacia el valor E>R 5 conforme t → . Además, puesto que la corriente a través del capacitor es i3(t)  i1(t)  i2(t)  60te100t, se observa que i3(t) → 0 conforme t → . θ 1 l1 PÉNDULO DOBLE Considere el sistema de péndulo doble que consiste en un pénGXORXQLGRDRWURFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD6HVXSRQHTXHHOVLVWHPDRVFLOD HQXQSODQRYHUWLFDOEDMRODLQÀXHQFLDGHODJUDYHGDGTXHODPDVDGHFDGDYDULOODHV despreciable y que ninguna fuerza de amortiguamiento actúa sobre el sistema. En la ¿JXUDWDPELpQVHPXHVWUDTXHHOiQJXORGHGHVSOD]DPLHQWRș1 se mide (en radianes) desde una línea vertical que se extiende hacia abajo desde el pivote del sistema y que ș2 se mide desde una línea vertical que se extiende desde el centro de masa m1. La dirección positiva es a la derecha; la dirección negativa es a la izquierda. Como se esperaría del análisis que condujo a la ecuación (6) de la sección 5.3, el sistema de ecuaciones diferenciales que describe el movimiento es no lineal: m1 l2 θ2 m2 FIGURA 7.6.4 Péndulo doble. (m1 m2 )l12 1 m2 l1l2 m2l22 2 cos ( 1 m2l1l2 1 2 m2l1l2( 2 )2 sen ( 2) cos ( 2) 1 2) 1 m2l1l2( 1 )2 sen ( (m1 m2)l1g sen 1 0 m2l2 g sen 2 0. 2) 1 (6) Pero si se supone que los desplazamientos ș1(t) y ș2(t) son pequeños, entonces las aproximaciones cos(ș1  ș2) 艐 1, sen(ș1  ș2) 艐 0, sen ș1 艐 ș1, sen ș2 艐 ș2 nos permiten reemplazar el sistema (6) por la linealización (m1 m2 )l12 1 m2l1l2 m2l22 EJEMPLO 3 2 (m1 2 m2l1l2 1 m2)l1g 1 0 m2l2g 2 0. (7) 'REOHSpQGXOR Se deja como ejercicio completar los detalles de usar la transformada de Laplace para resolver el sistema (7) cuando m1 3, m2 1, l1 l2 16, u1(0) 1, u 2 (0) 1, 1(0) 0 y 2(0) 0 . Debe encontrar que 1(t) 1 2 cos t 4 13 3 cos 2t 4 2(t) 1 2 cos t 2 13 3 cos 2t. 2 (8) (QOD¿JXUDVHPXHVWUDQFRQODD\XGDGHXQ6$&ODVSRVLFLRQHVGHODVGRVPDVDV en t  0 y en tiempos posteriores. Vea el problema 21 en los ejercicios 7.6. a) t  0 b) t  1.4 c) t  2.5 d ) t  8.5 FIGURA 7.6.5 Posiciones de masas del péndulo doble en diferentes tiempos del ejemplo 3. 7.6 EJERCICIOS 7.6  dx x y dt dy 2x dt x(0)  0, y(0)  1  dx dt dy dt  x 2y 5x y x(0)  1, dx dy 2x dt dt dx dy 3x 3y dt dt x(0)  0, y(0)  0  2    dx x dt dx dt x(0)  0, dx 2y dt dy 8x dt x(0)  1, y(0)  1 dx 3x dt dx x dt x(0) 0, dy dt dy y dt y(0) 0 y(0)  2 et t  Resuelva el sistema (1) cuando k1  3, k2  2, m1  1, m2  1 y x1(0)  0, x1(0) 1, x 2 (0) 1, x 2(0) 0.  Construya el sistema de ecuaciones diferenciales que describe el movimiento vertical en línea recta de los UHVRUWHV DFRSODGRV TXH VH PXHVWUDQ HQ OD ¿JXUD  Use la transformada de Laplace para resolver el sistema cuando k1  1, k2  1, k3  1, m1  1, m2  1 y x1(0)  0, x1(0) 1, x 2 (0) 0, x 2(0) 1. k1 t e k2 2 k3 dy y 0 dt dy 2y 0 dt y(0)  1 FIGURA 7.6.6 Resortes acoplados del problema 14. 2  a) Demuestre que el sistema de ecuaciones diferenciales para las corrientes i2(t) e i3(t) en la red eléctrica que se PXHVWUDHQOD¿JXUDHV di L1 2 Ri2 Ri3 E(t) dt di L2 3 Ri2 Ri3 E(t). dt b) Resuelva el sistema del inciso a) si R  5 !, L1  0.01 h, L2  0.0125 h, E  100 V, i2(0)  0 e i3(0)  0. c) Determine la corriente i1(t). i1 R E d 2x dy  3 3y 0 dt2 dt d 2x 3y te t dt2 x(0)  0, x(0)  2, y(0)  0 4x 2y 2 (t 1) 3x y (t 1) 0, y(0) 1 2 m2 x2 = 0 d x d x dx dy  x y 0 0 2 2 dt dt dt dt d 2 y dy dx d 2y y x 0 4 0 2 2 dt dt dt dt x(0)  0, x(0)  2, x(0)  1, x(0)  0, y(0)  0, y(0)  1 y(0)  1, y(0)  5 x(0) m1 x1 = 0 1 2 dx dt dy dt 311 1 2 2 dx d 3y  d x d y t2  4x 6 sen t dt dt3 dt2 dt2 dx d 3y d 2x d 2y 2x 2 0 4t dt dt3 dt2 dt2 x(0)  8, x(0)  0, x(0)  0, y(0)  0, y(0)  0, y(0)  0 y(0)  0, y(0)  0  l Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-12. En los problemas 1 a 12, use la transformada de Laplace para resolver el sistema dado de ecuaciones diferenciales.  SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES i2 i3 L1 L2 FIGURA 7.6.7 Red del problema 15.  a) En el problema 12 de los ejercicios 3.3 se pide demostrar que las corrientes i2(t) e i3(t) de la red eléctrica que VHPXHVWUDHQOD¿JXUDVDWLVIDFH di di L 2 L 3 R1i2 E(t) dt dt di di 1 R1 2 R2 3 i 0. dt dt C 3 312 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Resuelva el sistema si R1  10 !, R2  5 !, L  1 h, C  0.2 f. 120, 0, E(t) 0 i1 2 2, t t E i3 R2 i2 L E R1 C  Resuelva el sistema dado en (17) de la sección 3.3 cuando R1  6 !, R2  5 !, L1  1 h, L2  1 h, E(t)  50 sen t V, i2(0)  0 e i3(0)  0.  Resuelva (5) cuando E  60 V, L 104 f, i1(0)  0 e i2(0)  0. 1 2 h , R  50 !, C   Resuelva (5) cuando E  60 V, L  2 h, R  50 !, C  104 f, i1(0)  0 e i2(0)  0.  a) Demuestre que el sistema de ecuaciones diferenciales para la carga en el capacitor q(t) y la corriente i 3(t) en ODUHGHOpFWULFDTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHV R1 dq dt 1 q C R1i3 E(t) L di3 dt R2i3 1 q C 0. b) Determine la carga en el capacitor cuando L  1 h, R1  1 !, R2  1 !, C  1 f. 0, 50e t, 0 t t 1 1, i 3(0)  0 y q(0)  0. REPASO DEL CAPÍTULO 7 (QORVSUREOHPDV\XWLOLFHODGH¿QLFLyQGHODWUDQVIRUPDGD de Laplace para encontrar { f (t)} .   f (t) t, 2 0 t, 0, 0 1, 2 0, t t t t t 2 4 4 L Tarea para el laboratorio de computación FIGURA 7.6.8 Red del problema 16.   f (t) C FIGURA 7.6.9 Red del problema 20. b) Determine la corriente i1(t). E(t) i3 i2 R2 i 2(0)  0, e i 3(0)  0. i1 R1 1 1  a) Use la transformada de Laplace y la información dada en el ejemplo 3 para obtener la solución (8) del sistema que se presenta en (7). b) 8VH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU ș1(t) y ș2(t) en el plano Wș. ¿Cuál masa tiene desplazamienWRV H[WUHPRV GH PD\RU PDJQLWXG" 8VH ODV JUi¿FDV para estimar la primera vez que cada masa pasa por su posición de equilibrio. Analice si el movimiento del péndulo es periódico. c) 7  UDFH OD JUi¿FD GH ș1(t) y ș2(t) en el plano ș1ș2 como HFXDFLRQHV SDUDPpWULFDV /D FXUYD TXH GH¿QHQ HVWDV ecuaciones paramétricas se llama FXUYDGH/LVVDMRXV. d) (Q OD ¿JXUD D VH SUHVHQWDQ ODV SRVLFLRQHV GH ODV masas en t  0. Observe que se ha usado 1 radián 艐 57.3°. Use una calculadora o una tabla de aplicación de un SAC para construir una tabla de valores de los ángulos ș1 y ș2 para t  1, 2, . . . , 10 s. Después dibuje las posiciones de las dos masas en esos tiempos. e) Use un SAC para encontrar la primera vez que ș1(t)  ș2(t) y calcule el correspondiente valor angular. Dibuje las posiciones de las dos masas en esos tiempos. f) Utilice un SAC para dibujar las rectas apropiadas para simular las varillas de los péndulos, como se muestra HQ OD ¿JXUD  8VH OD XWLOLGDG GH DQLPDFLyQ GH su SAC para hacer un “video” del movimiento del péndulo doble desde t  0 hasta t  10 usando un incremento de 0.1. [Sugerencia: Exprese las coordenadas (x1(t), y1(t)) y (x2(t), y2(t)) de las masas m1 y m2 respectivamente, en términos de ș1(t) y ș2(t).] Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-13 En los problemas 3 a 24 complete los espacios en blanco o conteste verdadero o falso.  Si f no es continua por tramos en [0, ), entonces no existirá. _______  La función f (t) { f (t)} (e t )10 no es de orden exponencial. ____  F(s)  s2兾(s2  4) no es la transformada de Laplace de una función que es continua por tramos y de orden exponencial. _______ REPASO DEL CAPÍTULO 7  Si { f (t)} F(s) y {g(t)} G(s), entonces {F(s)G(s)} f (t)g(t). _______  {e 7t } _______ {te 7t } _______  l 313 y 1    {sen 2t} _______  {t sen 2t} _______  {sen 2t    20 s6 1 )} 1 3s 1 1 FIGURA 7.R.3 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD _______  5 s2 s 10s   1 s s2 e 2 s 2 2 2 2 Ls n En los problemas 29 a 32 exprese f en términos de funciones escalón unitario. Encuentre { f (t)} y {et f (t)}.  _______  {e 5t} existe para s _______.  Si { f (t)} F(s), entonces {te8t f (t)} F(s) y k 0, entonces  Si { f (t)} at {e f (t k) (t k)} _______. t t t1 FIGURA 7.R.5 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD _______ f (t) 1 1 _______. _______ mientras que { 0 ea f ( ) d } y t0 _______ 1 1 t _______ 29 5s e s2 y FIGURA 7.R.4 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD _______ s2 1 t t0 _______ 1   _______ t0 5)3 (s  sen 2t} _______ 1 1 1 3t _______ 1   (t {e 3 t 4 FIGURA 7.R.6 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD  f (t) y = sen t, π ≤ t ≤ 3 π t {eat 0 1 f ( ) d } _______. En los problemas 25 a 28, use la función escalón unitario para GHWHUPLQDUXQDHFXDFLyQSDUDFDGDJUi¿FDHQWpUPLQRVGHOD función y  f (t FX\DJUi¿FDVHSUHVHQWDHQOD¿JXUD5 π −1 2π 3π FIGURA 7.R.7 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD  y 2 f (t) (3, 3) y = f(t) 2 1 t0 t FIGURA 7.R.8 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD FIGURA 7.R.1 *Ui¿FDSDUDORVSUREOHPDVD   y t 1 2 3 f (t) 1 t0 t FIGURA 7.R.2 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD 1 2 t FIGURA 7.R.9 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD t 314 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE En los problemas 33 a 40, use la transformada de Laplace para resolver la ecuación dada.     y  2y  y  e t, y(0)  0, y(0)  5 y  8y  20y  te t, y(0)  0, y(0)  0 y  6y  5y  t  t ᐁ(t  2), y(0)  1, y(0)  0 y  5y  f (t), donde t2, 0, f (t) 0 1 , y(0) 1 t t 1  y  2y  f (t), y(0)  1, donde f (t HVWiGDGRSRUOD¿gura 7.R.10 f (t) 1 1 2 t 3 FIGURA 7.R.10 *Ui¿FDSDUDHOSUREOHPD  y  5y  4y  f (t), y(0)  1, y(0)  3, donde f (t) ( 1)k 12 k  y (t) (t k) 0 t cos t y( ) cos(t ) d , y(0) 1 0  t f ( ) f (t )d 6t 3 0 En los problemas 41 y 42, use la transformada de Laplace para resolver cada sistema.   x  y  t 4x  y  0 x(0)  1, y(0)  2 x  y  e2t 2x  y  e2t x(0)  0, y(0)  0, x(0)  0, y(0)  0  La corriente i(t) en un circuito RC en serie se puede determinar de la ecuación integral 1 t i( ) d E(t), C 0 donde E(t) es el voltaje aplicado. Determine i(t) cuando R  10 !, C  0.5 f y E(t)  2(t2  t). Ri  Un circuito en serie contiene un inductor, un resistor y un 1 capacitor para el cual L , R  10 ! y C  0.01 f, 2 h respectivamente. El voltaje 10, 0 t 5 0, t 5 se aplica al circuito. Determine la carga instantánea q(t) en el capacitor para t 0 si q(0)  0 y q(0)  0. E(t)  Una viga en voladizo uniforme de longitud L está empotrada en su extremo izquierdo (x  0) y libre en su H[WUHPRGHUHFKR(QFXHQWUHODGHÀH[LyQy(x) si la carga por unidad de longitud se determina por w(x) 2w0 L L 2 x x L 2 x L 2  Cuando una viga uniforme se apoya mediante una base HOiVWLFDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDVXGHÀH[LyQy(x) es d 4y EI 4 ky w(x), dx donde k es el módulo de la base y  ky es la fuerza restauradora de la base que actúa en dirección opuesta a la de la carga w(x 9HDOD¿JXUD53RUFRQYHQLHQFLDDOJHbraica suponga que la ecuación diferencial se escribe como d 4y w(x) 4a4 y , 4 dx EI donde a  (k兾4EI)1/4. Suponga que L  ʌ y a  1. (QFXHQWUHODGHÀH[LyQy(x) de una viga que está apoyada en una base elástica cuando a) la viga está apoyada simplemente en ambos extremos y una carga constante w0 se distribuye uniformemente a lo largo de su longitud, b) la viga está empotrada en ambos extremos y w(x) es una carga concentrada w0 aplicada en x  ʌ兾2. [Sugerencia: En ambas partes de este problema, use los elementos 35 y 36 de la tabla de transformadas de Laplace del apéndice III].  a) Suponga que dos péndulos idénticos están acoplados por medio de un resorte con kFRQVWDQWH9HDOD¿JXUD 7.R.12. Bajo las mismas suposiciones hechas en el análisis anterior al ejemplo 3 de la sección 7.6, se puede demostrar que cuando los ángulos de desplazamiento 1(t) y 2(t) son pequeños, el sistema de ecuaciones diferenciales lineales que describen el movimiento es g k ( 1 2) l 1 m 1 g k ( 2 2 2 ). l m 1 Utilice la transformada de Laplace para resolver el sistema cuando ș1(0)  ș0, ș1(0)  0, ș2(0)  ȥ0, ș2(0)  0, donde ș0 y ȥ0 son constantes. Por conveniencia, sea Ȧ2  g兾l, K  k 兾m. w(x) L 0 x base elástica y FIGURA 7.R.11 Viga sobre la base elástica del problema 46. l θ2 l θ1 m . m FIGURA 7.R.12 Péndulos acoplados del problema 47. REPASO DEL CAPÍTULO 7 b) Use la solución del inciso a) para analizar el movimiento de los péndulos acoplados en el caso especial cuando las condiciones iniciales son ș1(0)  ș0, ș1(0)  0, ș2(0)  ș0, ș2(0)  0. Cuando las condiciones iniciales son ș1(0)  ș0, ș1(0)  0, ș2(0)  ș0, ș2(0)  0.  5HYLVLyQGHODIULFFLyQGH&RXORPE En el problema 27 del repaso del capítulo 5 examinamos un sistema masa UHVRUWHHQHOFXDOXQDPDVDVHGHVOL]DVREUHXQDVXSHU¿FLHKRUL]RQWDOVHFDFX\RFRH¿FLHQWHGHIULFFLyQFLQpWLFRHV una constante ȝ. La fuerza constante retardante fk  μmg GH OD VXSHU¿FLH VHFDDFW~DRSRQLpQGRVHDODGLUHFFLyQGHO movimiento o se llama fricción de Coulomb en honor al físico francés Charles Augustin de Coulomb (1736-1806). Se OHSLGLyHQWRQFHVGHPRVWUDUTXHODHFXDFLyQGH¿QLGDHQSDUtes para el desplazamiento x(t) de la masa está dado por m d2x dt2 fk, kx fk, 0 (movimiento a la izquierda) 0 (movimiento a la derecha) x x Ȧ2x x Ȧ2x x Ȧ2x F, 0 t F, T兾2 f) Demuestre que cada oscilación sucesiva es 2F兾Ȧ2 más corta que la anterior. g) Prediga el comportamiento a largo plazo del sistema.  $OFDQFHGHXQSUR\HFWLO6LQUHVLVWHQFLDGHODLUH a) Un proyectil, tal como la bala de cañón se muestra HQ OD ¿JXUD 5 WLHQH XQ SHVR w  mg y velocidad inicial Y0 que es tangente a su trayectoria de movimiento. Si se ignoran la resistencia del aire y todas las demás fuerzas, excepto su peso, vimos en el problema 23 de los ejercicios 4.9 que el movimiento de proyectiles describe el sistema de ecuaciones diferenciales lineales F, T t T 3T兾2, y así sucesivamente, donde Ȧ2  k兾m, F  fk 兾m  μg, g  32, y T  2ʌ兾Ȧ. Demuestre que los tiempos 0, T兾2, T, 3T兾2, . . . corresponden a x(t)  0. b) Explique por qué, en general, el desplazamiento inicial debe satisfacer Ȧ2 冷 x0 冷 F. d 2x dt 2 m d 2y dt 2 0 mg b) Utilice x(t) en el inciso a) para eliminar el parámetro t en y(t). Use la ecuación resultante para y para demostrar que el rango horizontal R del proyectil está dado por c) Explique por qué el intervalo F兾Ȧ2  x  F兾Ȧ2 apropiadamente se llama la “zona muerta” del sistema. d) Utilice la transformada de Laplace y el concepto de la función de serpenteante para resolver el desplazamiento x(t) para t  0. m Use la transformada de Laplace para resolver el sistema sujeto a las condiciones iniciales x(0)  0, x(0)  Y0 cos ș, y(0)  0, y(0)  Y0 sen ș, donde Y0  冷v0冷 es constante y ș es el ángulo constante de HOHYDFLyQ TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD 5 /DV soluciones de x(t) y y(t) son ecuaciones paramétricas de la trayectoria del proyectil. T兾2 t R v20 sen 2ș g c) De la fórmula en el inciso b), vemos que R está al máximo cuando sen 2ș  1 o cuando ș  ʌ兾4. y v0 θ x Rango horizontal R FIGURA 7.R.13 Proyectil del problema 49. 315 e) Demuestre que en el caso m  1. k  1, fk  1 y x0  5.5 que en el intervalo [0, 2ʌ) su solución de acuerdo con los incisos a) y b) del problema 28 en el repaso del capítulo 5. a) Suponga que la masa se libera a partir del reposo del punto x(0)  x0 0 y que no hay otras fuerzas externas. Entonces las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de la masa m son x l 316 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Demuestre que el mismo rango, que sea menor que el máximo se puede lograr al disparar el arma en alguno de los dos ángulos complementarios ș y ʌ兾2 ș. La única diferencia es que el ángulo más pequeño tiene una trayectoria baja mientras que el ángulo más grande tiene una trayectoria alta. d) Suponga g  32 pies/s2, ș  38º, y Y0  300 pies/s. Utilice el inciso b) para encontrar el rango horizontal del proyectil. Encuentre el tiempo cuando el proyectil golpea el suelo. e) Utilice las ecuaciones paramétricas x(t) y y(t) en el inciso a) junto con los datos numéricos en el inciso d) para trazar la curva balística del proyectil. Repita con ș  52 º y Y0  300 pies/s. Sobreponga ambas curvas en el mismo sistema de coordenadas.  5DQJRGHXQSUR\HFWLO&RQUHVLVWHQFLDGHODLUH a) Ahora supongamos que la resistencia del aire es una fuerza retardadora tangente a la trayectoria que actúa en dirección opuesta al movimiento. Si tomamos la resistencia del aire proporcional a la velocidad del proyectil, entonces vimos en problema 24 de los ejercicios 4.9 que el movimiento del proyectil está descrito por el sistema de ecuaciones diferenciales d 2x dt 2 d 2y m 2 dt m ȕ dx dt mg ȕ dy dt donde ȕ 0. Utilice transformada de Laplace para resolver este sistema sujeto a la condiciones iniciales x(0)  0, x(0)  Y0 cos ș, y(0)  0, y(0)  Y0 sen ș, donde Y0  冷v0冷 y ș son constantes. b) Supongamos que m  1兾4slug, g  32 pies/s2, ȕ  0.02, ș  38 º y Y0 = 300 pies/s. Use un SAC para encontrar el tiempo en que el proyectil golpea el suelo y luego calcule su correspondiente rango horizontal. c) Repita el inciso c) utilizando el ángulo complementario ș  52º y compare el rango con el que encuentra en los inciso b). ¿La propiedad del inciso c) del problema 49 se conserva? d) Utilice las ecuaciones paramétricas x(t) y y(t) del inciso a) junto con los datos numéricos del inciso b) para trazar la curva balística del proyectil. Repita este procedimiento con los mismos datos numéricos del inciso b) pero tome ș  52°. Superponga ambas curvas en el mismo sistema de coordenadas. Compare estas curvas con las que se obtuvieron en el inciso e) del problema 49. 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 8.1 Teoría preliminar: Sistemas lineales 8.2 Sistemas lineales homogéneos 8.2.1 Eigenvalores reales distintos 8.2.2 Eigenvalores repetidos 8.2.3 Eigenvalores complejos 8.3 Sistemas lineales no homogéneos 8.3.1 &RH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV 8.3.2 Variación de parámetros 8.4 Matriz exponencial REPASO DEL CAPÍTULO 8 En las secciones 3.3, 4.9 y 7.6 tratamos con sistemas de ecuaciones diferenciales y pudimos resolver algunos de estos sistemas mediante eliminación sistemática o con la transformada de Laplace. En este capítulo nos vamos a dedicar sólo a sistemas de ecuaciones lineales diferenciales de primer orden. Aunque la mayor parte de los sistemas que se consideran se podrían resolver usando eliminación o la transformada de Laplace, vamos a desarrollar una teoría general para estos tipos GHVLVWHPDV\HQHOFDVRGHVLVWHPDVFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVXQPpWRGRGH solución que utiliza algunos conceptos básicos del álgebra de matrices. Veremos que esta teoría general y el procedimiento de solución son similares a los de las ecuaciones de cálculo diferencial de orden superior lineales consideradas en el capítulo 4. Este material es fundamental para analizar ecuaciones no lineales de primer orden. 317 318 l CAPÍTULO 8 8.1 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN TEORÍA PRELIMINAR: SISTEMAS LINEALES REPASO DE MATERIAL l En este capítulo se usará la notación matricial y sus propiedades se usarán con mucha frecuencia a lo largo del mismo. Es indispensable que repase el apéndice II o un texto de álgebra lineal si no está familiarizado con estos conceptos INTRODUCCIÓN Recuerde que en la sección 4.9 se ilustró cómo resolver sistemas de n ecuaciones diferenciales lineales con n incógnitas de la forma P11(D)x1  P12(D)x2  . . .  P1n(D)xn  b1(t) P21(D)x1  P22(D)x2  . . .  P2n(D)xn  b2(t) . . . . . . Pn1(D)x1  Pn2(D)x2  . . .  Pnn(D)xn  bn(t), (1) donde las Pij eran polinomios de diferentes grados en el operador diferencial D. Este capítulo se dedica al estudio de sistemas de ED de primer orden que son casos especiales de sistemas que tienen la forma normal dx1 –––  g1(t,x1,x2, . . . ,xn) dt dx2 –––  g2(t,x1,x2, . . . ,xn) dt . . . . . . dxn –––  gn(t,x1,x2, . . . ,xn). dt (2) Un sistema tal como (2) de n ecuaciones diferenciales de primer orden se llama sistema de primer orden. SISTEMAS LINEALES Cuando cada una de las funciones g1, g2, . . . , gn en (2) es lineal en las variables dependientes x1, x2, . . . , xn, se obtiene la forma normal de un sistema de ecuaciones lineales de primer orden. dx1 –––  a11(t)x1  a12(t)x2  . . .  a1n(t)xn  f1(t) dt dx2 –––  a21(t)x1  a22(t)x2  . . .  a2n(t)xn  f2(t) dt. . . . . . dxn –––  an1(t)x1  an2(t)x2  . . .  ann(t)xn  fn(t). dt (3) Nos referimos a un sistema de la forma dada en (3) simplemente como un sistema lineal6HVXSRQHTXHORVFRH¿FLHQWHVaij así como las funciones fi son continuas en un intervalo común I. Cuando fi(t)  0, i  1, 2, . . . , n, se dice que el sistema lineal (3) es homogéneo; de otro modo es no homogéneo. FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA LINEAL Si X, A(t), y F(t) trices respectivas x1(t) a11(t) a12(t) . . . a1n(t) x2(t) a21(t) a22(t) . . . a2n(t) . . , A(t)  F(t)  X  .. , . . . . . xn(t) an1(t) an2(t) . . . ann(t) () ( denotan ma- ) () f1(t) f2(t) . , . . fn(t) 8.1 TEORÍA PRELIMINAR: SISTEMAS LINEALES l 319 entonces el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3) se puede escribir como a11(t) a12(t) . . . a1n(t) x1 f1(t) x1 . . . a21(t) a22(t) a2n(t) x2 f2(t) x2 d . . .  . –– .  . . . . dt .. . . . . . . . an1(t) an2(t) ann(t) xn fn(t) xn () ( )( ) ( ) o simplemente X AX (4) F. Si el sistema es homogéneo, su forma matricial es entonces X AX. EJEMPLO 1 (5) Sistema escrito en notación matricial x , entonces la forma matricial del sistema homogéneo y a) Si X dx dt dy dt 3x 4y es X 5x 7y 3 5 4 X. 7 x y , entonces la forma matricial del sistema homogéneo z b) Si X dx dt dy dt dz dt 6x y z t 8x 7y z 10t 2x 9y z 6t DEFINICIÓN 8.1.1 es X 6 8 2 1 7 9 1 1 X 1 t 10t . 6t Vector solución Un vector solución en un intervalo I es cualquier matriz columna () x1(t) x2(t) X  .. . xn(t) cuyos elementos son funciones derivables que satisfacen el sistema (4) en el intervalo. Un vector solución de (4) es, por supuesto, equivalente a n ecuaciones escalares x1  ‫׋‬1(t), x2  ‫׋‬2(t), . . . , xn  ‫׋‬n(t) y se puede interpretar desde el punto de vista geométrico como un conjunto de ecuaciones paramétricas de una curva en el espacio. En el caso importante n  2, las ecuaciones x1  ‫׋‬1(t), x2  ‫׋‬2(t) representan una curva en el plano x1x2. Es práctica común llamar trayectoria a una curva en el plano y llamar plano fase al plano x1x2. Regresaremos a estos conceptos y se ilustrarán en la siguiente sección. 320 l CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN EJEMPLO 2 Comprobación de soluciones Compruebe que en el intervalo ( , ) X1 1 e 1 e e 2t son soluciones de 1 5 2t 2e 2e 2t y 2t AX1 1 5 3 3 e e AX2 1 5 3 3 3e6t 5e6t 3 X. 3 X2 e 5e 2t 3e6t 5e6t 3 6t e 5 X2 y X SOLUCIÓN De X 1 y 2t 2t 2t 2t 3e6t 15e6t (6) 18e6t vemos que 30e6t 3e 3e 2t 2e 2e 2t 15e6t 15e6t 18e6t 30e6t 2t X1, 2t X2 . Gran parte de la teoría de sistemas de n ecuaciones diferenciales de primer orden es similar a la de las ecuaciones diferenciales de nésimo orden. PROBLEMA CON VALORES INICIALES valo I y () Sea t0 que denota un punto en un inter- x1(t0) x2(t0) . X(t0)  . . y () %1 %2 X0  . , . . %n xn(t0) donde las Ȗi, i  1, 2, . . . , n son las constantes dadas. Entonces el problema A(t)X Resolver: X Sujeto a: X (t0) X0 F(t) (7) es un problema con valores iniciales en el intervalo. TEOREMA 8.1.1 Existencia de una solución única Sean los elementos de las matrices A(t) y F(t) funciones continuas en un intervalo común I que contiene al punto t0. Entonces existe una solución única del problema con valores iniciales (7) en el intervalo. SISTEMAS HOMOGÉNEOS (QODVVLJXLHQWHVGH¿QLFLRQHV\WHRUHPDVVHFRQVLGHUDQVyORVLVWHPDVKRPRJpQHRV6LQD¿UPDUORVLHPSUHVHVXSRQGUiTXHODVaij y las fi son funciones continuas de t en algún intervalo común I. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN El siguiente resultado es un principio de superposición para soluciones de sistemas lineales. TEOREMA 8.1.2 Principio de superposición Sea X1, X2, . . . , Xk un conjunto de vectores solución del sistema homogéneo (5) en un intervalo I. Entonces la combinación lineal X c1 X1 c2 X2 ck Xk , donde las ci, i  1, 2, . . . , k son constantes arbitrarias, es también una solución en el intervalo. 8.1 TEORÍA PRELIMINAR: SISTEMAS LINEALES l 321 Se deduce del teorema 8.1.2 que un múltiplo constante de cualquier vector solución de un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden es también una solución. EJEMPLO 3 Usando el principio de superposición Debería practicar comprobando que los dos vectores cos t 1 1 X1 y X2 2 cos t 2 sen t cos t sen t son soluciones del sistema 1 1 2 X 0 1 0 0 et 0 1 0 X. 1 (8) Por el principio de superposición la combinación lineal X c1X1 c2X2 c1 1 2 cos t cos t 12 sen t cos t sen t 0 c2 et 0 es otra solución del sistema. DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL Estamos interesados principalmente en soluciones linealmente independientes del sistema homogéneo (5). DEFINICIÓN 8.1.2 Dependencia/independencia lineal Sea X1, X2, . . . , Xk un conjunto de vectores solución del sistema homogéneo (5) en un intervalo I. Se dice que el conjunto es linealmente dependiente en el intervalo si existen constantes c1, c2, . . . , ck, no todas cero, tales que c1 X 1 c2 X 2 ck X k 0 para toda t en el intervalo. Si el conjunto de vectores no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente. El caso cuando k  2 debe ser claro; dos vectores solución X1 y X2 son linealmente dependientes si uno es un múltiplo constante del otro y a la inversa. Para k 2 un conjunto de vectores solución es linealmente dependiente si se puede expresar por lo menos un vector solución como una combinación lineal de los otros vectores. WRONSKIANO En la consideración anterior de la teoría de una sola ecuación diferencial ordinaria se puede introducir el concepto del determinante Wronskiano como prueba para la independencia lineal. Se expresa el siguiente teorema sin prueba. TEOREMA 8.1.3 Criterio para las soluciones linealmente independientes Sean X1  () () x11 x21 . , . . xn1 x12 x22 X2 . , . . xn2 . . . , () x1n x2n Xn . . . xnn 322 l CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN n vectores solución del sistema homogéneo (5) en un intervalo I. Entonces el conjunto de vectores solución es linealmente independiente en I si y sólo si el Wronskiano 冟 x11 x12 . . . x21 x22 . . . W(X1,X2, . . . ,Xn)  . . . xn1 xn2 . . . 冟 x1n x2n . 0 . . xnn (9) para toda t en el intervalo. Se puede demostrar que si X1, X2, . . . , Xn son vectores solución de (5), entonces para toda t en I ya sea W(X1, X2, . . . , Xn)  0 o W(X1, X2, . . . , Xn)  0. Por tanto, si se puede demostrar que W  0 para alguna t0 en I, entonces W  0 para toda t y, por tanto, las soluciones son linealmente independientes en el intervalo. 2EVHUYHTXHDGLIHUHQFLDGHODGH¿QLFLyQGH:URQVNLDQRHQODVHFFLyQDTXt ODGH¿QLFLyQGHOGHWHUPLQDQWH  QRLPSOLFDGHULYDFLyQ EJEMPLO 4 Soluciones linealmente independientes 1 3 6t e 2t y X2 e son soluciones del 1 5 sistema (6). Es evidente que X1 y X2 son linealmente independientes en el intervalo ( , ) puesto que ningún vector es un múltiplo constante del otro. Además, se tiene En el ejemplo 2 vimos que X1 W(X 1, X 2 ) e e 2t 2t 3e 6t 5e 6t 8e 4t 0 para todos los valores reales de t. DEFINICIÓN 8.1.3 Conjunto fundamental de soluciones Cualquier conjunto X1, X2, . . . , Xn de n vectores solución linealmente independientes del sistema homogéneo (5) en un intervalo I se dice que es un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo. TEOREMA 8.1.4 Existencia de un conjunto fundamental Existe un conjunto fundamental de soluciones para el sistema homogéneo (5) en un intervalo I. Los dos teoremas siguientes son equivalentes a los teoremas 4.1.5 y 4.1.6 para sistemas lineales. TEOREMA 8.1.5 Solución general, sistemas homogéneos Sea X1, X2, . . . , Xn un conjunto fundamental de soluciones del sistema homogéneo (5) en un intervalo I. Entonces la solución general del sistema en el intervalo es X c1 X 1 c2 X 2 cn X n , donde las ci, i  1, 2, . . . , n son constantes arbitrarias. 8.1 EJEMPLO 5 TEORÍA PRELIMINAR: SISTEMAS LINEALES l 323 Solución general del sistema (6) 1 3 6t e 2t y X2 e son soluciones lineal1 5 mente independientes de (6) en ( , ). Por tanto X1 y X2 son un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo. La solución general del sistema en el intervalo entonces es Del ejemplo 2 sabemos que X1 X c1 X1 EJEMPLO 6 c2 X2 1 e 1 c1 2t 3 6t e . 5 c2 (10) Solución general del sistema (8) Los vectores cos t t 12 sen t , cos t sen t 1 2 cos X1 0 1 et, 0 X2 sen t 1 2 sen t X3 1 2 cos sen t t cos t son soluciones del sistema (8) en el ejemplo 3 (vea el problema 16 en los ejercicios 8.1). Ahora, W( X1, X2, X3) p cos t t 12 sen t cos t sen t 1 2 cos 0 et 0 sen t 1 2 sen t 1 2 cos sen t cos t tp et 0 para todos los valores reales de t. Se concluye que X1, X2 y X3 forman un conjunto fundamental de soluciones en ( , ). Por lo que la solución general del sistema en el intervalo es la combinación lineal X  c1X1  c2X2  c3X3; es decir, X c1 cos t t 12 sen t cos t sen t 1 2 cos 0 c2 1 et 0 sen t c3 1 2 sen t 1 2 cos sen t cos t t . SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS Para sistemas no homogéneos una solución particular Xp en el intervalo I es cualquier vector libre de parámetros arbitrarios, cuyos elementos son funciones que satisfacen el sistema (4). TEOREMA 8.1.6 Solución general: sistemas no homogéneos Sea Xp una solución dada del sistema no homogéneo (4) en un intervalo I y sea Xc c1 X 1 c2 X 2 cn X n que denota la solución general en el mismo intervalo del sistema homogéneo asociado (5). Entonces la solución general del sistema no homogéneo en el intervalo es X Xc X p. La solución general Xc del sistema homogéneo relacionado (5) se llama función complementaria del sistema no homogéneo (4). 324 CAPÍTULO 8 l SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN EJEMPLO 7 Solución general: sistema no homogéneo 3t 5t El vector Xp 4 es una solución particular del sistema no homogéneo 6 1 5 X 3 X 3 12t 11 (11) 3 en el intervalo ( , ). (Compruebe esto.) La función complementaria de (11) en el 1 5 mismo intervalo o la solución general de X ejemplo 5 que X c X c1 Xc 1 e 1 Xp 2t c1 3 X , como vimos en (10) del 3 3 6t e . Por tanto, por el teorema 8.1.6 5 1 3 6t 3t 4 e 2t c2 e 1 5 5t 6 c2 es la solución general de (11) en ( , ). EJERCICIOS 8.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-13. En los problemas l a 6 escriba el sistema lineal en forma matricial. 1. 3. 5. dx dt dy dt dx dt dy dt dz dt dx dt dy dt dz dt 3x 5y 4x 8y 3x 2.2. 4y 6x 4.4. 9z y 10x x 4y y 3z z dx dx dt dt dy dy dt dt dx dx dt dt dy dy dt dt dz dz dt dt 4x x d y 9. dt z 2z x x z y x y z z 3t t2 t 2 dx 3x 4y e t sen 2t dt dy 5x 9z 4e t cos 2t dt dz y 6z e t dt En los problemas 7 a 10, reescriba el sistema dado sin el uso de matrices. 4 1 2 X 3 1 t e 1 9 1 X 3 1 3 2 1 4 5 0 2 e5t 1 8 0 e 3 2t 2 1 6 1 2 e 2 x y z 3 1 t 1 t 3 1 d x dt y 7 1 4 sent 8 x y t 2t 4 4t e 1 En los problemas 11 a 16, compruebe que el vector X es una solución del sistema dado. 2 6. 7. X 10. 11. 2x 5 1 2 y 1 t 7 4 0 7y 5x x 8. X 12. dx dt 3x 4y dy dt 4x 7y; X dx dt 2x 5y dy dt 2x 4y; X 13. X 1 1 14. X 2 1 1 4 1 1 e 2 X; X 1 X; X 0 5t 5 cos t et 3 cos t sent 1 e 2 1 t e 3 3t/2 4 t te 4 8.2 15. X 1 6 1 16. X 1 1 2 2 1 2 1 0 X; 1 0 1 0 1 0 X; 1 1 6 13 X sent 1 1 2 sent 2 cos t sent cos t X 1 e 1 2t , 18. X1 1 t e, 1 19. X1 1 2 4 20. X1 dx dt x dy dt 3x 8.2 4y 2y 4t 1 X 4 1 4 6 1 t e; 7 2 2 1 3 0 X 0 1 3 Xp 1 t e 1 Xp 1 t te 1 1 4 sen 3t; Xp 3 0 1 1 8 t te 8 1 2 , 4 X2 sen 3t 0 cos 3t 6 0 1 0 1 X 0 en el intervalo ( , ) es X 6 1 e 5 c1 t c2 3 1 e 1 2t 2 c3 1 e3t. 1 26. Demuestre que la solución general de 1 2 e 1 X2 2t 2 3 5 ; 2 X 4t , 2 3 e3t 2 X3 X 2 t 1 Xp 1 X 1 1 2 t 1 4 t 6 1 5 en el intervalo ( , ) es 7 18; 1 1 X En los problemas 21 a 24 compruebe que el vector Xp es una solución particular del sistema dado. 21. 23. X 1 X 1 325 l 25. Demuestre que la solución general de 2 t 4 4 1 6 , 13 2 1 6t 2 t e 6 X2 1 t 2 , 2 3 6 12 X3 1 e 1 X2 22. X 24. X En los problemas 17 a 20, los vectores dados son soluciones de un sistema X  AX. Determine si los vectores forman un conjunto fundamental en ( , ). 17. X1 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS 1 c1 5 1 1 12 1 2 t 0 e12t c2 2 t 4 1 . 0 1 1 12 e 12t SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS REPASO DE MATERIAL l Sección II.3 del apéndice II INTRODUCCIÓN homogéneo X 1 5 Vimos en el ejemplo 5 de la sección 8.1 que la solución general del sistema 3 X es 3 X c1X1 c2X2 c1 1 e 1 2t c2 Ya que los vectores solución X1 y X2 tienen la forma Xi k1 i t e , k2 i  1, 2, 3 6t e . 5 326 l CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN donde k1, k2, Ȝ1 y Ȝ2 son constantes, nos inquieta preguntar si siempre es posible hallar una solución de la forma () k1 k2 X  .. e lt  Ke lt . (1) kn para la solución del sistema lineal homogéneo general de primer orden X (2) AX, donde A es una matriz n  n de constantes. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Si (1) es un vector solución del sistema homogéneo lineal (2), entonces X  KȜH ȜW, por lo que el sistema se convierte en KȜH ȜW  AKe ȜW. Después de dividir entre eȜW y reacomodando, obtenemos AK  ȜK o AK  ȜK  0. Ya que K  IK, la última ecuación es igual a (A l I)K 0. (3) La ecuación matricial (3) es equivalente a las ecuaciones algebraicas simultáneas a12k2  . . .  a1nkn  0 (a11  l)k1  a21k1  (a22  l)k2  . . .  a2nkn  0 . . . . . . an1k1  an2k2  . . .  (ann  l)kn  0. Por lo que para encontrar soluciones X de (2), necesitamos primero encontrar una solución no trivial del sistema anterior; en otras palabras, debemos encontrar un vector no trivial K que satisfaga a (3). Pero para que (3) tenga soluciones que no sean la so kn  0, se debe tener lución obvia k1  k2  det(A I) 0. Esta ecuación polinomial en Ȝ se llama ecuación característica de la matriz A. Sus soluciones son los eigenvalores de A. Una solución K  0 de (3) correspondiente a un eigenvalor Ȝ se llama eigenvector de A. Entonces una solución del sistema homogéneo (2) es X  KeȜW. En el siguiente análisis se examinan tres casos: eigenvalores reales y distintos (es decir, los eigenvalores no son iguales), eigenvalores repetidos y, por último, eigenvalores complejos. 8.2.1 EIGENVALORES REALES DISTINTOS Cuando la matriz A n  n tiene n eigenvalores reales y distintos Ȝ1, Ȝ2, . . . , Ȝn entonces siempre se puede encontrar un conjunto de n eigenvectores linealmente independientes K1, K2, . . . , Kn y X1 K1e 1t, X2 K2e 2 t, ..., Xn Kne nt es un conjunto fundamental de soluciones de (2) en el intervalo ( , ). TEOREMA 8.2.1 Solución general: Sistemas homogéneos Sean Ȝ1, Ȝ2, . . . , Ȝn nHLJHQYDORUHVUHDOHV\GLVWLQWRVGHODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVA del sistema homogéneo (2) y sean K1, K2, . . . , Kn los eigenvectores correspondientes. Entonces la solución general de (2) en el intervalo ( , ) está dada por cn K n e n t. X c1K1e 1t c2K2 e 2 t 8.2 EJEMPLO 1 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS l 327 Eigenvalores distintos Resuelva dx dt 2x dy dt 2x 3y (4) y. SOLUCIÓN Primero determine los eigenvalores y eigenvectores de la matriz de FRH¿FLHQWHV De la ecuación característica det(A 2 I) 3 2 2 3 1 4 ( 1)( 4) 0 vemos que los eigenvalores son Ȝ1  1 y Ȝ2  4. Ahora para Ȝ1  1, (3) es equivalente a x 6 3k1 3k2 0 2k1 2k2 0. Por lo que k1   k2. Cuando k2  1, el eigenvector correspondiente es 5 4 1 . 1 K1 3 2 Para Ȝ2  4 tenemos 1 _3 _2 _1 1 2 3 t por lo que k1 a) gráfica de x  e t  3e 4t 3 2 k2; 3k2 0 2k1 3k2 0 por tanto con k2  2 el eigenvector correspondiente es y 6 2k1 3 . 2 K2 3XHVWRTXHODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVA es una matriz 2  2 y como hemos encontrado dos soluciones linealmente independientes de (4), 4 2 t _2 1 e 1 X1 _4 _6 _3 _2 _1 1 2 t y 3 4t e , 2 X2 Se concluye que la solución general del sistema es 3 b) gráfica de y  e t  2e 4t X c1 X1 c2 X2 1 e 1 c1 t c2 3 4t e . 2 (5) y 4 2 x _2 _4 _6 _8 _ 10 2.5 5 7 .5 1 0 1 2 .5 1 5 c) trayectoria definida por x  e t  3e 4t, y  e t  2e 4t en el plano fase FIGURA 8.2.1 Una solución particular de (5) produce tres curvas diferentes en tres planos diferentes. DIAGRAMA DE FASE Debe considerar que escribir una solución de un sistema de ecuaciones en términos de matrices es simplemente una alternativa al método que se empleó en la sección 4.9, es decir, enumerar cada una de las funciones y la relación entre las constantes. Si sumamos los vectores en el lado derecho de (5) y después igualamos las entradas con las entradas correspondientes en el vector en el lado izquierdo, se obtiene la expresión familiar x c1e t 3c2e4t, y c1e t 2c2e4t. Como se indicó en la sección 8.1, se pueden interpretar estas ecuaciones como ecuaciones paramétricas de curvas en el plano xy o plano fase. Cada curva, que corresponde DHOHFFLRQHVHVSHFt¿FDVGHc1 y c2, se llama trayectoria. Para la elección de constantes c1  c2 HQODVROXFLyQ  YHPRVHQOD¿JXUDODJUi¿FDGHx(t) en el plano txODJUi¿FDGHy(t) en el plano ty y la trayectoria que consiste en los puntos (x(t), y(t)) 328 l CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN y x X2 X1 FIGURA 8.2.2 Un diagrama de fase del sistema (4). en el plano fase. Al conjunto de trayectorias representativas en el plano fase, como se PXHVWUDHQOD¿JXUDVHOHOODPDdiagrama fase para un sistema lineal dado. Lo que parecen dosUHFWDVURMDVHQOD¿JXUDVRQHQUHDOLGDGcuatro semirrectas GH¿nidas paramétricamente en el primero, segundo, tercero y cuarto cuadrantes con las soluciones X2, X1, X2 y X1, respectivamente. Por ejemplo, las ecuaciones cartesianas y 23 x, x 0 y y  x, x 0, de las semirrectas en el primer y cuarto cuadrantes se obtuvieron eliminando el parámetro t en las soluciones x  3e4t, y  2e4t y x  et, y  et, respectivamente. Además, cada eigenvector se puede visualizar como un vector bidimensional que se encuentra a lo largo de una de estas semirrectas. El eigenvector 3 1 K2 se encuentra junto con y 23 x en el primer cuadrante y K1 2 1 se encuentra junto con y  x en el cuarto cuadrante. Cada vector comienza en el origen; K2 termina en el punto (2, 3) y K1 termina en (1, 1). El origen no es sólo una solución constante x  0, y  0 de todo sistema lineal homogéneo 2  2, X  AX, sino también es un punto importante en el estudio cualitativo de dichos sistemas. Si pensamos en términos físicos, las punWDV GH ÀHFKD GH FDGD WUD\HFWRULD HQ OD ¿JXUD  LQGLFDQ OD GLUHFFLyQ FRQ TXH XQD partícula en el tiempo t se mueve conforme aumenta el tiempo. Si imaginamos que el tiempo va de  a , entonces examinando la solución x  c1et  3c2e4t, y  c1et  2c2e4t, c1  0, c2  0 muestra que una trayectoria o partícula en moviPLHQWR³FRPLHQ]D´DVLQWyWLFDDXQDGHODVVHPLUUHFWDVGH¿QLGDVSRUX1 o X1 (ya que e4t es despreciable para t →  \³WHUPLQD´DVLQWyWLFDDXQDGHODVVHPLUUHFWDVGH¿QLGDV por X2 y  X2 (ya que et es despreciable para t → ). 2EVHUYHTXHOD¿JXUDUHSUHVHQWDXQGLDJUDPDGHIDVHTXHHVFDUDFWHUtVWLFR de todos los sistemas lineales homogéneos 2  2 X  AX con eigenvalores reales de signos opuestos. Vea el problema 17 de los ejercicios 8.2. Además, los diagramas de fase en los dos casos cuando los eigenvalores reales y distintos tienen el mismo signo son característicos de esos sistemas 2  2; la única diferencia es que las puntas de ÀHFKDLQGLFDQTXHXQDSDUWtFXODVHDOHMDGHORULJHQHQFXDOTXLHUWUD\HFWRULDFXDQGRȜ1 y Ȝ2 son positivas y se mueve hacia el origen en cualquier trayectoria mientras t → cuando Ȝ1 y Ȝ2 son negativas. Por lo que al origen se le llama repulsor en el caso Ȝ1 0, Ȝ2 0 y atractor en el caso Ȝ1  0, Ȝ2  0. Vea el problema 18 en los ejercicios (ORULJHQHQOD¿JXUDQRHVUHSXOVRUQLDWUDFWRU/DLQYHVWLJDFLyQGHOFDVR restante cuando Ȝ  0 es un eigenvalor de un sistema lineal homogéneo de 2  2 se deja como ejercicio. Vea el problema 49 de los ejercicios 8.2. EJEMPLO 2 Eigenvalores distintos Resuelva dx dt dy dt dz dt SOLUCIÓN det (A 4x y z x 5y z y 3 z. (6) Usando los cofactores del tercer renglón, se encuentra I) p 4 1 1 0 1 1 5 1 3 p ( y así los eigenvalores son Ȝ1  3, Ȝ2  4 y Ȝ3  5. 3)( 4)( 5) 0, 8.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS Para Ȝ1  3, con la eliminación de Gauss-Jordan, se obtiene (A  3I冟0)  冟) ( 1 1 1 0 1 8 1 0 0 1 0 0 ( operaciones entre renglones l 329 冟) 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Por tanto k1  k3 y k2  0. La elección k3  1 da un eigenvector y el vector solución correspondiente 1 0 , 1 K1 De igual manera, para Ȝ2  4 X1 冟) ( 1 0 e 1 0 1 1 0 (A  4I冟0)  1 9 1 0 0 1 1 0 operaciones entre renglones (7) 3t . ( 冟) 1 0 10 0 0 1 1 0 0 0 0 0 implica que k1  10k3 y k2  k3. Al elegir k3  1, se obtiene un segundo eigenvector y el vector solución 10 1 , 1 K2 10 1 e 1 X2 4t Por último, cuando Ȝ3  5, las matrices aumentadas 冟) ( 9 1 1 0 (A  5I冟0)  1 0 1 0 0 1 8 0 producen 1 8 , 1 K3 operaciones entre renglones X3 (8) . ( 冟) 1 0 1 0 0 1 8 0 0 0 0 0 1 8 e5t. 1 (9) La solución general de (6) es una combinación lineal de los vectores solución en (7), (8) y (9): X 1 c1 0 e 1 3t c2 10 1 e 1 4t 1 c3 8 e5t. 1 USO DE COMPUTADORAS Los paquetes de software como MATLAB, Mathematica, Maple y DERIVE, ahorran tiempo en la determinación de eigenvalores y eigenvectores de una matriz A. 8.2.2 EIGENVALORES REPETIDOS Por supuesto, no todos los n eigenvalores Ȝ1, Ȝ2, . . . , Ȝn de una matriz A de n  n deben ser distintos, es decir, algunos de los eigenvalores podrían ser repetidos. Por ejemplo, ODHFXDFLyQFDUDFWHUtVWLFDGHODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVHQHOVLVWHPD X 3 2 18 X 9 (10) 330 l CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN se demuestra fácilmente que es (Ȝ  3)2  0, y por tanto, Ȝ1  Ȝ2  3 es una raíz de multiplicidad dos. Para este valor se encuentra el único eigenvector 3 , 1 K1 por lo que 3 e 1 X1 (11) 3t es una solución de (10). Pero como es obvio que tenemos interés en formar la solución general del sistema, se necesita continuar con la pregunta de encontrar una segunda solución. En general, si m es un entero positivo y (Ȝ  Ȝ1)m es un factor de la ecuación característica, mientras que (Ȝ Ȝ1)m1 no es un factor, entonces se dice que Ȝ1 es un eigenvalor de multiplicidad m. En los tres ejemplos que se dan a continuación se ilustran los casos siguientes: i) Para algunas matrices A de n  n sería posible encontrar m eigenvectores linealmente independientes K1, K2, . . . , Km, correspondientes a un eigenvalor Ȝ1, de multiplicidad m  n. En este caso la solución general del sistema contiene la combinación lineal c1K 1e ii) 1t 1t c2K 2e cmK me 1t. Si sólo hay un eigenvector propio que corresponde al eingenvalor Ȝ1 de multiplicidad m, entonces siempre se pueden encontrar m soluciones linealmente independientes de la forma X1  K11e l t lt lt X2  . K21te  K22e . . t m2 t m1 Xm  Km1 –––––––– e l t  Km2 –––––––– e l t  . . .  Kmme l t, (m  1)! (m  2)! 1 1 1 1 1 1 donde las Kij son vectores columna. EIGENVALORES DE MULTIPLICIDAD DOS Se comienza por considerar eigenvalores de multiplicidad dos. En el primer ejemplo se ilustra una matriz para la que podemos encontrar dos eigenvectores distintos que corresponden a un doble eigenvalor. EJEMPLO 3 Resuelva X SOLUCIÓN Eigenvalores repetidos 1 2 2 2 1 2 2 2 X. 1 Desarrollando el determinante en la ecuación característica det(A I) p 1 2 2 2 2 2 1 2 1 p 0 se obtiene (Ȝ  l)2(Ȝ  5)  0. Se ve que Ȝ1  Ȝ2  1 y Ȝ3  5. Para Ȝ1  1, con la eliminación de Gauss-Jordan se obtiene de inmediato ( 冟) 2 2 2 0 (A  I冟0)  2 2 2 0 2 2 2 0 operaciones entre renglones ( 冟) 1 1 0 0 0 01 01 0 . 0 0 0 0 8.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS l 331 El primer renglón de la última matriz indica que k1 – k2  k3  0 o k1  k2 – k3. Las elecciones k2  1, k3  0 y k2  1, k3  1 producen, a su vez, k1  1 y k1  0. Por lo que dos eigenvectores correspondientes a Ȝ1  1 son 1 1 0 K1 y 0 1 . 1 K2 Puesto que ningún eigenvector es un múltiplo constante del otro, se han encontrado dos soluciones linealmente independientes, X1 1 1 e 0 t y 0 1 e t, 1 X2 que corresponden al mismo eigenvalor. Por último, para Ȝ3 5 la reducción 冟) ( 4 2 2 0 (A  5I冟0)  2 4 2 0 2 2 4 0 operaciones entre renglones ( 冟) 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 implica que k1  k3 y k2   k3. Al seleccionar k3  1, se obtiene k1  1, k2  1; por lo que el tercer eigenvector es 1 1 . 1 K3 Concluimos que la solución general del sistema es X 1 c1 1 e 0 t 0 c2 1 e 1 t 1 1 e5t. 1 c3 /DPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVA del ejemplo 3 es un tipo especial de matriz conocida como matriz simétrica. Se dice que una matriz A de n  n es simétrica si su transpuesta AT (donde se intercambian renglones y columnas) es igual que A, es decir, si AT  A. Se puede demostrar que si la matriz A del sistema X  AX es simétrica y tiene elementos reales, entonces siempre es posible encontrar n eigenvectores linealmente independientes K1, K2, . . . , Kn, y la solución general de ese sistema es como se muestra en el teorema 8.2.1. Como se muestra en el ejemplo 3, este resultado se cumple aun cuando estén repetidos algunos de los eigenvalores. SEGUNDA SOLUCIÓN Suponga que Ȝ1 es un valor propio de multiplicidad dos y que sólo hay un eigenvector asociado con este valor. Se puede encontrar una segunda solución de la forma X2 donde K te 1t (12) Pe 1,t () () k1 k2 K  .. . kn y p1 p2 P  .. . . pn 332 l CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Para ver esto sustituya (12) en el sistema X  AX\VLPSOL¿TXH (AK 1K ) te 1t (AP 1P K)e 1t 0. Puesto que la última ecuación es válida para todos los valores de t, debemos tener y (A 1I )K 0 (13) (A 1I )P K. (14) La ecuación (13) simplemente establece que K debe ser un vector característico de A asociado con Ȝ1. Al resolver (13), se encuentra una solución X1 Ke 1t . Para encontrar la segunda solución X2, sólo se necesita resolver el sistema adicional (14) para obtener el vector P. EJEMPLO 4 Eigenvalores repetidos Encuentre la solución general del sistema dado en (10). 3 e 3t. 1 p1 , encontramos de (14) que ahora debemos rep2 SOLUCIÓN De (11) se sabe que Ȝ1  3 y que una solución es X1 3 1 ,GHQWL¿FDQGR K solver (A y P 3I )P K o 6p1 2p1 18p2 6p2 3 1. Puesto que resulta obvio que este sistema es equivalente a una ecuación, se tiene un Q~PHURLQ¿QLWRGHHOHFFLRQHVGHp1 y p2. Por ejemplo, al elegir p1  1 se encuentra que p2 16 . Sin embargo, por simplicidad elegimos p1 12 por lo que p2  0. Entonces P 1 2 0 . Así de (12) se encuentra que X2 3 te 1 1 2 3t 3t e 0 . La solución gene- ral de (10) es X  c1X1  c2X2, o X y x X1 FIGURA 8.2.3 Diagrama de fase del sistema (l0). c1 3 e 1 3t c2 3 te 1 3t 1 2 0 e 3t . Al asignar diversos valores a c1 y c2 en la solución del ejemplo 4, se pueden WUD]DUODVWUD\HFWRULDVGHOVLVWHPDHQ  (QOD¿JXUDVHSUHVHQWDXQGLDJUDPD fase de (10). Las soluciones X1 y X1 determinan dos semirrectas y 13 x, x 0 y y 13 x, x 0  UHVSHFWLYDPHQWH PRVWUDGDV HQ URMR HQ OD ¿JXUD 'HELGR D TXH HO único eigenvalor es negativo y e3t → 0 conforme t → en cada trayectoria, se tiene (x(t), y(t)) → (0, 0) conforme t → . Esta es la razón por la que las puntas GH ODV ÀHFKDV GH OD ¿JXUD  LQGLFDQ TXH XQD SDUWtFXOD HQ FXDOTXLHU WUD\HFWRULD se mueve hacia el origen conforme aumenta el tiempo y la razón de que en este caso el origen sea un atractor. Además, una partícula en movimiento o trayectoria x 3c1e 3t c2(3te 3t 12e 3t), y c1e 3t c2te 3t, c2 0 tiende a (0, 0) tangencialmente a una de las semirrectas conforme t → . En contraste, cuando el eigenvalor repetido es positivo, la situación se invierte y el origen es un repulsor. Vea el problema GHORVHMHUFLFLRV6LPLODUDOD¿JXUDOD¿JXUDHVFDUDFWHUtVWLFDGH todos los sistemas lineales homogéneos X  AX, 2  2 que tienen dos eigenvalores negativos repetidos. Vea el problema 32 en los ejercicios 8.2. EIGENVALOR DE MULTIPLICIDAD TRES &XDQGR OD PDWUL] GH FRH¿FLHQWHV A tiene sólo un eigenvector asociado con un eigenvalor Ȝ1 de multiplicidad tres, podemos 8.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS l 333 encontrar una segunda solución de la forma (12) y una tercera solución de la forma X3 K t2 e 2 1t Pte () () k1 k2 K  .. , . donde p1 p2 P  .. , . 1t () q1 q2 Q  .. . . y pn kn (15) Qe 1 t, qn Al sustituir (15) en el sistema X  AX, se encuentra que los vectores columna K, P y Q deben satisfacer y (A 1I)K 0 (16) (A 1I)P K (17) (A 1I)Q P. (18) Por supuesto, las soluciones (16) y (17) se pueden usar para formar las soluciones X1 y X2. EJEMPLO 5 Resuelva X 2 0 0 Eigenvalores repetidos 1 2 0 6 5 X. 2 SOLUCIÓN La ecuación característica (Ȝ  2)3  0 demuestra que Ȝ1  2 es un eigen- valor de multiplicidad tres. Al resolver (A  2I)K  0, se encuentra el único eigenvector 1 0 . 0 K A continuación se resuelven primero el sistema (A  2I)P  K y después el sistema (A  2I)Q  P y se encuentra que P 0 1 0 0 y Q 6 5 1 5 . Usando (12) y (15), vemos que la solución general del sistema es X 1 c1 0 e2t 0 c2 1 0 te2t 0 0 1 e2t 0 c3 1 2 t 2t 0 e 2 0 0 1 te2t 0 0 6 5 1 5 e2t . COMENTARIOS Cuando un eigenvalor Ȝ1 tiene multiplicidad m, se pueden determinar m eigenvectores linealmente independientes o el número de eigenvectores correspondientes es menor que m. Por tanto, los dos casos listados en la página 330 no son todas las posibilidades bajo las que puede ocurrir un eigenvalor repetido. Puede suceder, por ejemplo, que una matriz de 5  5 tenga un eigenvalor de multiplicidad cinco y existan tres eigenvectores correspondientes linealmente independientes. Véanse los problemas 31 y 50 de los ejercicios 8.2. 334 l CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 8.2.3 EIGENVALORES COMPLEJOS Si Ȝ1  Į  ȕL y Ȝ2  Į  ȕL, ȕ 0, i2  1 son eigenvalores complejos de la matriz GHFRH¿FLHQWHVA, entonces se puede esperar de hecho que sus eigenvectores correspondientes también tengan entradas complejas.* Por ejemplo, la ecuación característica del sistema dx dt dy dt es y 5x 4y (19) 6 I) det(A 6x 1 5 2 10 4 29 0. De la fórmula cuadrática se encuentra Ȝ1  5  2i, Ȝ2  5  2i. Ahora para Ȝ1  5  2i se debe resolver (1 2i)k1 5k1 (1 k2 0 2i)k2 0. Puesto que k2  (1  2i)k1,†la elección k1  1 da el siguiente eigenvector y el vector solución correspondiente: 1 K1 1 2i 1 X1 , 1 2i e(5 2i)t e(5 2i)t . De manera similar, para Ȝ2  5  2i encontramos 1 K2 1 2i 1 X2 , 1 2i . 3RGHPRVFRPSUREDUSRUPHGLRGHO:URQVNLDQRTXHHVWRVYHFWRUHVVROXFLyQVRQOLnealmente independientes y por tanto la solución general de (19) es X c1 1 1 2i e(5 2i )t c2 1 1 2i e(5 2i )t . (20) Observe que las entradas en K2 correspondientes a Ȝ2 son los conjugados de las entradas en K1 correspondientes a Ȝ1. El conjugado de Ȝ1 es, por supuesto, Ȝ2. Esto se K1 . Hemos ilustrado el siguiente resultado general. escribe como 2 1 y K2 TEOREMA 8.2.2 Soluciones correspondientes a un eigenvalor complejo Sea AXQDPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVTXHWLHQHHQWUDGDVUHDOHVGHOVLVWHPDKRPRJpneo (2) y sea K1 un eigenvector correspondiente al eigenvalor complejo Ȝ1  Į  ȕL, Į y ȕreales. Entonces K1e 1t y K1e 1t son soluciones de (2). &XDQGRODHFXDFLyQFDUDFWHUtVWLFDWLHQHFRH¿FLHQWHVUHDOHVORVHLJHQYDORUHVFRPSOHMRVVLHPSUHDSDUHFHQ en pares conjugados. † Note que la segunda ecuación es simplemente (1  2i) veces la primera. * 8.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS l 335 Es deseable y relativamente fácil reescribir una solución tal como (20) en térmiQRVGHIXQFLRQHVUHDOHV&RQHVWH¿QSULPHURXVDPRVODIyUPXODGH(XOHUSDUDHVFULELU e(5 2i )t e5te2ti e(5 2i )t e5te e5t(cos 2t 2ti i sen 2t) e5t(cos 2t i sen 2t). Entonces, multiplicando los números complejos, agrupando términos y reemplazando c1  c2 por C1 y (c1  c2)i por C2, (20) se convierte en X donde X1 y X2 C1X1 (21) C2X2 , 1 cos 2t 1 0 sen 2t e5t 2 0 cos 2t 2 1 sen 2t e5t. 1 Ahora es importante entender que los vectores X1 y X2 en (21) constituyen un conjunto linealmente independiente de soluciones reales del sistema original. Estamos justi¿FDGRVSDUDGHVSUHFLDUODUHODFLyQHQWUHC1, C2 y c1, c2, y podemos considerar C1 y C2 como totalmente arbitrarias y reales. En otras palabras, la combinación lineal (21) es una solución general alternativa de (19). Además, con la forma real dada en (21) podemos obtener un diagrama de fase del sistema dado en (19). A partir de (21) podemos encontrar que x(t) y y(t) son y x FIGURA 8.2.4 del sistema (19). Un diagrama de fase x C1e 5t cos 2t y (C1 C2e 5t sen 2t 2C2 )e 5t cos 2t (2C1 C2 )e 5t sen 2t. $OJUD¿FDUODVWUD\HFWRULDV x(t), y(t)) para diferentes valores de C1 y C2, se obtiene el GLDJUDPDGHIDVHGH  TXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD<DTXHODSDUWHUHDOGHȜ1 es 5 0, e5t → conforme t → (VSRUHVWRTXHODVSXQWDVGHÀHFKDGHOD¿JXUD 8.2.4 apuntan alejándose del origen; una partícula en cualquier trayectoria se mueve en espiral alejándose del origen conforme t → . El origen es un repulsor. El proceso con el que se obtuvieron las soluciones reales en (21) se puede generalizar. Sea K1 XQ HLJHQYHFWRU FDUDFWHUtVWLFR GH OD PDWUL] GH FRH¿FLHQWHV A (con elementos reales) que corresponden al eigenvalor complejo Ȝ1  Į  Lȕ. Entonces los vectores solución del teorema 8.2.2 se pueden escribir como K1e 1t K1e tei t K1e 1t K1e te i t K1e t(cos t i sen t) K1e t(cos t i sen t). Por el principio de superposición, teorema 8.1.2, los siguientes vectores también son soluciones: X1 1 (K e 2 1 X2 i ( K1e 2 1t K1e 1t ) 1t K1e 1t ) 1 (K 2 1 K1)e t cos t i ( K1 2 i ( K1 2 K1)e t cos t 1 (K 2 1 K1)e t sen t K1)e t sen t. Tanto 12 (z z) a como 12 i ( z z ) b son números reales para cualquier número complejo z  a  ib. Por tanto, los elementos de los vectores columna 12(K1 K1) y 1 K1)VRQQ~PHURVUHDOHV'H¿QLU 2 i( K1 B1 1 (K 2 1 conduce al siguiente teorema. K1) y B2 i ( K1 2 K1), (22) 336 l CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN TEOREMA 8.2.3 Soluciones reales que corresponden a un eigenvalor complejo Sea Ȝ1  Į  LȕXQHLJHQYDORUFRPSOHMRGHODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVA en el sistema homogéneo (2) y sean B1 y B2ORVYHFWRUHVFROXPQDGH¿QLGRVHQ   Entonces X1 [B1 cos t B2 sen t]e t (23) X2 [B2 cos t B1 sen t]e t son soluciones linealmente independientes de (2) en ( , ). Las matrices B1 y B2 en (22) con frecuencia se denotan por B1 Re(K1) y B2 Im(K1) (24) ya que estos vectores son, respectivamente, las partes real e imaginaria del eigenvector K1. Por ejemplo, (21) se deduce de (23) con K1 B1 EJEMPLO 6 1 1 2i 1 1 Re(K1) y 1 1 i 0 , 2 B2 Im(K1) 0 . 2 Eigenvalores complejos Resuelva el problema con valores iniciales 2 1 X SOLUCIÓN 8 X, 2 2 . 1 X(0) (25) Primero se obtienen los eigenvalores a partir de det(A 2 I) los eigenvalores son Ȝl  2i y (2 8 1 2 2 2 0. 2i. Para Ȝl el sistema 1 2i ) k1 k1 4 ( 2 8k2 0 2i )k2 0 da k1  (2  2i)k 2. Eligiendo k 2  1, se obtiene K1 2 2i 1 2 1 i 2 . 0 B2 Im(K1) Ahora de (24) formamos B1 2 1 Re(K1 ) y 2 . 0 Puesto que Į  0, se tiene a partir de (23) que la solución general del sistema es X c1 c1 2 cos 2t 1 2 sen 2t 0 2 cos 2t 2 sen 2t cos 2t c2 c2 2 cos 2t 0 2 cos 2t 2 sen 2t . sen 2t 2 sen 2t 1 (26) 8.2 y x (2, _1) FIGURA 8.2.5 Un diagrama de fase del sistema (25) del ejemplo 6. SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS l 337 $OJXQDV JUi¿FDV GH ODV FXUYDV R WUD\HFWRULDV GH¿QLGDV SRU OD VROXFLyQ   GHO VLVWHPDVHLOXVWUDQHQHOGLDJUDPDGHIDVHGHOD¿JXUD$KRUDODFRQGLFLyQLQLFLDO 2 X(0) , de forma equivalente x(0)  2 y y(0)  1 produce el sistema 1 algebraico 2c1  2c2  2,  c1  1, cuya solución es c1  1, c2  0. Así la solución 2 cos 2t 2 sen 2t para el problema es X  /D WUD\HFWRULD HVSHFt¿FD GH¿QLGD cos 2t paramétricamente por la solución particular x  2 cos 2t  2 sen 2t, y  cos 2t es la FXUYDHQURMRGHOD¿JXUD2EVHUYHTXHHVWDFXUYDSDVDSRU 1). COMENTARIOS En esta sección hemos examinado solamente sistemas homogéneos de ecuaciones lineales de primer orden en forma normal X  AX. Pero con frecuencia el modelo matemático de un sistema dinámico físico es un sistema homogéneo de segundo orden cuya forma normal es X  AX. Por ejemplo, el modelo para los resortes acoplados en (1) de la sección 7.6. m1 x 1 k1 x1 k2(x2 x1) (27) m2 x 2 k2(x2 x1), se puede escribir como donde M m1 0 MX 0 , m2 K KX, k1 k2 k2 k2 , k2 y X x1(t) . x2(t) Puesto que M es no singular, se puede resolver X como X  AX, donde A  M1K. Por lo que (27) es equivalente a X k1 m1 k2 m1 k2 m2 k2 m1 X. k2 m2 (28) Los métodos de esta sección se pueden usar para resolver este sistema en dos formas: • Primero, el sistema original (27) se puede transformar en un sistema de primer orden por medio de sustituciones. Si se hace x 1 x3 y x 2 x4 , entonces x 3 x 1 y x 4 x 2 por tanto (27) es equivalente a un sistema de cuatro ED lineales de primer orden. x1 x 3 0 0 1 0 x2 x 4 0 0 0 1 k1 k2 k2 k k k 1 2 2 x3 x x o X 0 0 X. (29) m1 m1 1 m1 2 m1 m1 m1 k2 k2 k2 k2 0 0 x1 x2 x4 m2 m2 m2 m2  $OHQFRQWUDUORVHLJHQYDORUHV\ORVHLJHQYHFWRUHVGHODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHV A en (29), vemos que la solución de este sistema de primer orden proporciona el estado completo del sistema físico, las posiciones de las masas respecto a las posiciones de equilibrio (x1 y x2) así como también las velocidades de las masas (x3 y x4) en el tiempo t. Vea el problema 48(a) en los ejercicios 8.2. 338 CAPÍTULO 8 l SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN • Segundo, debido a que (27) describe el movimiento libre no amortiguado, se puede argumentar que las soluciones de valores reales del sistema de segundo orden (28) tendrán la forma (30) X V cos t y X V sen t, donde V es una matriz columna de constantes. Sustituyendo cualquiera de las funciones de (30) en X  AX se obtiene (A  Ȧ2I)V  0. (Comprobar.) ,GHQWL¿FDQGRFRQ  GHHVWDVHFFLyQVHFRQFOX\HTXHȜ   Ȧ2 representa un eigenvalor y V un eigenvector correspondiente de A. Se puede demostrar 2 1, 2 de A son negativos y por tanto que los eigenvalores i i,i 1 i es un número real y representa una frecuencia de vibración i (circular) (vea (4) de la sección 7.6). Con superposición de soluciones, la solución general de (28) es entonces X c1V1 cos 1 t c2V1 sen 1 t c3V2 cos 2 t c4V2 sen 2 t (31) (c1 cos 1 t c2 sen 1 t)V1 (c3 cos 2 t c4 sen 2 t)V2 , donde V1 y V2 son, a su vez, eigenvectores reales de A correspondientes a Ȝ1 y Ȝ2. 2 2 2 El resultado dado en (31) se generaliza. Si 1, 2, . . . , n son eigenvalores negativos y distintos y V1, V2, . . . , Vn son los eigenvectores correspondientes reales de la matriz n  nGHFRH¿FLHQWHVA, entonces el sistema homogéneo de segundo orden X  AX tiene la solución general n X (ai cos i bi sen it (32) i t)Vi , 1 donde ai y bi representan constantes arbitrarias. Vea el problema 48(b) en los ejercicios 8.2. EJERCICIOS 8.2 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-14. 8.2.1 EIGENVALORES REALES DISTINTOS En los problemas l a 12 determine la solución general del sistema dado. dx dx x 2y 2x 2y 1. 2. dt dt dy dy 4x 3y x 3y dt dt 3. dx dt dy dt dx dt dy dt dz dt 2y 5 x 2 2y 10 8 5. X 7. 4x x 5 X 12 y 2y y z z 4. dx dt dy dt 5 x 2 3 x 4 8. dx dt dy dt dz dt 2x 9. X 10. X 11. X 2y 12. X 2 X 1 7y 5y 10y 2z 1 2 3 0 1 0 0 1 X 1 1 0 X 1 1 1 3 4 1 8 3 2 1 4 1 4 0 4 1 0 0 3 X 1 2 2 2 X 6 En los problemas 13 y 14, resuelva el problema con valores iniciales. 13. X 5x 1 0 1 2y 6 3 6. X 1 1 0 4z 14. X 1 2 0 1 1 2 1 0 1 1 2 1 X, X(0) 4 0 X, X(0) 1 3 5 1 3 0 8.2 Tarea para el laboratorio de computación En los problemas 15 y 16, use un SAC o software de álgebra lineal como ayuda para determinar la solución general del sistema dado. 0.9 0.7 1.1 15. X 2.1 6.5 1.7 1 0 1 0 2.8 16. X 3.2 4.2 X 3.4 0 5.1 2 1 0 2 0 3 3.1 0 0 3 0 X 0 1 3x y 9x 3y 1 3 21. X dx 23. dt dy dt dz dt 25. X 27. X 20. 3 X 5 3x y z x y z x y z 5 1 0 1 2 0 4 0 2 0 2 1 0 2 X 5 0 1 X 0 0 0 1 dx dt dy dt 22. X dx 24. dt dy dt dz dt 26. X 28. X 5y 5x 4y 12 4 9 X 0 2y 2x 2z 4x 2y 1 0 0 0 3 1 4 0 0 0 1 0 1 6 1 0 X, X(0) 0 1 2 5 1 4 0 0 1 X 4 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 2 EIGENVALORES COMPLEJOS En los problemas 33 a 44, determine la solución general del sistema dado. 35. dx dt dy dt dx dt dy dt 6x y 5x 2y 5x y 2x 4 5 37. X 0 1 X 1 1 2 0 0 0 32. Determine los diagramas de fase para los sistemas de los problemas 20 y 21. Para cada sistema determine cualquier trayectoria de semirrecta e incluya estas líneas en el diagrama de fase. 4z 3z 2 0 0 0 0 Tarea para el laboratorio de computación 33. 6x 3x 4 X, X(0) 6 tiene un eigenvalor Ȝ1 de multiplicidad 5. Demuestre que se pueden determinar tres eigenvectores linealmente independientes correspondientes a Ȝ1. 8.2.3 EIGENVALORES REPETIDOS En los problemas 19 a 28 encuentre la solución general del sistema. dx dt dy dt 2 1 29. X A 18. Encuentre los diagramas de fase para los sistemas de los problemas 2 y 4. Para cada sistema determine las trayectorias de semirrecta e incluya estas rectas en el diagrama de fase. 19. 339 31. Demuestre que la matriz de 5  5 17. a) Utilice software para obtener el diagrama de fase del sistema en el problema 5. Si es posible, incluya SXQWDVGHÀHFKDFRPRHQOD¿JXUD7DPELpQLQcluya cuatro semirrectas en el diagrama de fase. b) Obtenga las ecuaciones cartesianas de cada una de las cuatro semirrectas del inciso a). c) Dibuje los eigenvectores en el diagrama de fase del sistema. 8.2.2 l En los problemas 29 y 30, resuelva el problema de valores iniciales 30. X 1.8 1 0 4 1.5 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS 39. dx dt dy dt dz dt 41. X 34. 36. 3y 5 X 4 z y 1 1 1 1 2 1 0 X 0 1 dx dt dy dt 38. X 40. z dx dt dy dt dx dt dy dt dz dt 42. X x y 2x 4x y 5y 2x 6y 1 1 8 X 3 2x y 3x 6z 4x 4 0 4 2z 3z 0 6 0 1 0 X 4 340 l CAPÍTULO 8 2 5 0 43. X SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 5 1 6 4 X 44. X 0 2 2 1 1 4 2 0 4 0 X 2 En los problemas 45 y 46, resuelva el problema con valores iniciales. 45. X 46. X 1 1 1 12 2 1 14 3 X, 2 6 5 1 X, 4 X(0) X(0) 4 6 7 Problemas para analizar 49. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas. a) X 1 1 1 X 1 b) X 1 1 1 X 1 Encuentre un diagrama de fase de cada sistema. ¿Cuál es la importancia geométrica de la recta y  x en cada diagrama? 2 8 Tarea para el laboratorio de computación 47. Determine los diagramas de fase para los sistemas de los problemas 36, 37 y 38. 48. a) Resuelva (2) de la sección 7.6 usando el primer método descrito en los Comentarios (página 337), es decir, exprese (2) de la sección 7.6 como un sistema de cuatro ecuaciones lineales de primer orden. Use un SAC o software de álgebra lineal como ayuda para determinar los eigenvalores y los eigenvectores de una matriz de 4  4. Luego aplique las condiciones iniciales a su solución general para obtener (4) de la sección 7.6. b) Resuelva (2) de la sección 7.6 usando el segundo método descrito en los Comentarios, es decir, exprese (2) de la sección 7.6 como un sistema de dos ecuaciones 8.3 lineales de segundo orden. Suponga soluciones de la forma X  V sen ȦW y X  V cos ȦW. Encuentre los eigenvalores y eigenvectores de una matriz de 2  2. Como en el inciso a), obtenga (4) de la sección 7.6. 50. Considere la matriz de 5  5 dada en el problema 31. Resuelva el sistema X  AX sin la ayuda de métodos matriciales, pero escriba la solución general usando notación matricial. Use la solución general como base para un análisis de cómo se puede resolver el sistema usando métodos matriciales de esta sección. Lleve a cabo sus ideas. 51. 2EWHQJDXQDHFXDFLyQFDUWHVLDQDGHODFXUYDGH¿QLGDSDramétricamente por la solución del sistema lineal en el HMHPSOR,GHQWL¿TXHODFXUYDTXHSDVDSRU 1) en la ¿JXUD>Sugerencia: Calcule x2, y2 y xy.] 52. Examine sus diagramas de fase del problema 47. ¿En qué condiciones el diagrama de fase de un sistema lineal homogéneo de 2  2 con eigenvalores complejos está compuesto de una familia de curvas cerradas? ¿De una familia de espirales? ¿En qué condiciones el origen (0, 0) es un repulsor? ¿Un atractor? SISTEMAS LINEALES NO HOMOGÉNEOS REPASO DE MATERIAL l 6HFFLyQ &RH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV l Sección 4.6 (Variación de parámetros) INTRODUCCIÓN En la sección 8.1 vimos que la solución general de un sistema lineal no homogéneo X  AX  F(t) en un intervalo I es X  Xc  Xp, donde Xc  c1X1  c2X2   cnXn es la función complementaria o solución general del sistema lineal homogéneo asociado X  AX y Xp es cualquier solución particular del sistema no homogéneo. En la sección 8.2 vimos cómo obtener XcFXDQGRODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVA era una matriz de constantes n  n. En esta sección consideraremos dos métodos para obtener Xp. Los métodos de FRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV y variación de parámetros empleados en el capítulo 4 para determinar soluciones particulares de EDO lineales no homogéneas, se pueden adaptar a la solución de sistemas lineales no homogéneos X  AX  F(t). De los dos métodos, variación GHSDUiPHWURVHVODWpFQLFDPiVSRGHURVD6LQHPEDUJRKD\FDVRVHQTXHHOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHV indeterminados provee un medio rápido para encontrar una solución particular. 8.3.1 COEFICIENTES INDETERMINADOS LAS SUPOSICIONES &RPRHQODVHFFLyQHOPpWRGRGHFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLnados consiste en hacer una suposición bien informada acerca de la forma de un vector 8.3 SISTEMAS LINEALES NO HOMOGÉNEOS l 341 solución particular Xp; la suposición es originada por los tipos de funciones que constituyen los elementos de la matriz columna F(t). No es de sorprender que la versión maWULFLDOGHORVFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVVHDDSOLFDEOHDX  AX  F(t) sólo cuando los elementos de A son constantes y los elementos de F(t) son constantes, polinomios, IXQFLRQHVH[SRQHQFLDOHVVHQRV\FRVHQRVRVXPDV\SURGXFWRV¿QLWRVGHHVWDVIXQFLRQHV EJEMPLO 1 &RH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV 1 1 Resuelva el sistema X 2 X 1 8 en ( , ). 3 SOLUCIÓN Primero resolvemos el sistema homogéneo asociado 1 1 X 2 X. 1 /DHFXDFLyQFDUDFWHUtVWLFDGHODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVA. 1 I) det (A 2 1 produce los eigenvalores complejos Ȝ1  i y de la sección 8.2, se encuentra que Xc cos t sent cos t c1 2 1 1 2 c2 i . Con los procedimientos 1 cos t 0, sent . sent Ahora, puesto que F(t) es un vector constante, se supone un vector solución particular a1 constante Xp . Sustituyendo esta última suposición en el sistema original e b1 igualando las entradas se tiene que 0 a1 2b1 8 0 a1 b1 3. Al resolver este sistema algebraico se obtiene a1  14 y b1  11 y así, una solución 14 particular Xp . La solución general del sistema original de ED en el intervalo 11 ( , ) es entonces X  Xc  Xp o X EJEMPLO 2 c1 cos t sent cos t c2 cos t sent sent 14 . 11 &RH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV Resuelva el sistema X 6 4 1 X 3 6t 10t 4 en ( , ). SOLUCIÓN Se determina que los eigenvalores y los eigenvectores del sistema 6 1 X son Ȝ1  2, Ȝ2  7, K1 4 3 Por tanto la función complementaria es 1 2t 1 7t Xc c1 e c2 e . 4 1 homogéneo asociado X 1 , y K2 4 1 . 1 342 l CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 6 0 t , se 10 4 tratará de encontrar una solución particular del sistema que tenga la misma forma: Ahora bien, debido a que F(t) se puede escribir como F(t) a2 t b2 Xp a1 . b1 Sustituyendo esta última suposición en el sistema dado se obtiene a2 b2 0 0 o 6 4 1 3 (4a2 a2 t b2 6 t 10 a1 b1 (6a2 b2 6)t 6a1 b1 3b2 10)t 4a1 3b1 0 4 a2 b2 4 . De la última identidad se obtienen cuatro ecuaciones algebraicas con cuatro incógnitas 6a2 4a2 6 10 b2 3b2 0 0 6a1 4a1 y b1 3b1 a2 b2 0 0. 4 Resolviendo de forma simultánea las primeras dos ecuaciones se obtiene a2  2 y b2  6. Después, se sustituyen estos valores en las dos últimas ecuaciones y se despeja 4 10 para a1 y b1. Los resultados son a1 7 , b1 7 . Por tanto, se tiene que un vector solución particular es 4 7 2 t 6 Xp . 10 7 la solución general del sistema en ( , ) es X  Xc  Xp o X EJEMPLO 3 c1 1 2t e 4 1 7t c2 e 1 4 7 2 t 6 10 7 . Forma de X p Determine la forma de un vector solución particular Xp para el sistema dx dt dy dt SOLUCIÓN 5x 3y x y 2e e t t 1 5t 7. Ya que F(t) se puede escribir en términos matriciales como F(t) 2 e 1 t 0 t 5 1 7 una suposición natural para una solución particular sería Xp a3 e b3 t a2 t b2 a1 . b1 8.3 SISTEMAS LINEALES NO HOMOGÉNEOS l 343 COMENTARIOS (O PpWRGR GH FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV SDUD VLVWHPDV OLQHDOHV QR HV WDQ directo como parecerían indicar los últimos tres ejemplos. En la sección 4.4 la forma de una solución particular yp se predijo con base en el conocimiento previo de la función complementaria yc. Lo mismo se cumple para la formación de Xp 3HUR KD\ RWUDV GL¿FXOWDGHV ODV UHJODV TXH JRELHUQDQ la forma de yp en la sección 4.4 no conducen a la formación de Xp. Por ejemplo, si F(t) es un vector constante como en el ejemplo 1 y Ȝ  0 es un eigenvalor de multiplicidad uno, entonces Xc contiene un vector constante. Bajo la regla de multiplicación del ejemplo 7 de la sección 4.4 se trataría comúnmente de una a1 t . Esta no es la suposición apropiada solución particular de la forma Xp b1 a2 a1 para sistemas lineales, la cual debe ser Xp . De igual manera, en t b2 b1 el ejemplo 3, si se reemplaza et en F(t) por e2t (Ȝ  2 es un eigenvalor), entonces la forma correcta del vector solución particular es a4 2t te b4 Xp a3 2t e b3 a2 t b2 a1 . b1 (Q YH] GH DKRQGDU HQ HVWDV GL¿FXOWDGHV VH YXHOYH DO PpWRGR GH YDULDFLyQ GH parámetros. 8.3.2 VARIACIÓN DE PARÁMETROS UNA MATRIZ FUNDAMENTAL Si X1, X2 . . . , Xn es un conjunto fundamental de soluciones del sistema homogéneo X  AX en el intervalo I, entonces su solución general en el intervalo es la combinación lineal X  c1X1  c2X2   cnXn o x1n c1x11  c2 x12  . . .  cn x1n x2n c1x21  c2 x22  . . .  cn x2n .  . . . . . . xnn c1xn1  c2 xn2  . . .  cn xnn () () ()( x11 x21 X  c1 ..  c2 . xn1 x12 x22 .  . . .  cn . . xn2 ) (1) La última matriz en (1) se reconoce como el producto de una matriz n  n con una matriz n  1. En otras palabras, la solución general (1) se puede escribir como el producto X (2) (t)C , donde C es un vector columna de n  1 constantes arbitrarias c1, c2, . . . , cn y la matriz n  n, cuyas columnas consisten en los elementos de los vectores solución del sistema X  AX, x11 x12 . . . x1n x21 x22 . . . x2n . , ⌽(t)  .. . . . . . . xnn xn1 xn2 ( ) se llama matriz fundamental del sistema en el intervalo. 344 l CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN En el análisis siguiente se requiere usar dos propiedades de una matriz fundamental: • Una matriz fundamental ⌽(t) es no singular. • Si ⌽(t) es una matriz fundamental del sistema X  AX, entonces (3) A (t). (t) Un nuevo examen de (9) del teorema 8.1.3 muestra que det ⌽(t) es igual al WronsNLDQRW(X1, X2, . . ., Xn). Por tanto, la independencia lineal de las columnas de ⌽(t) en el intervalo I garantiza que det ⌽(t)  0 para toda t en el intervalo. Puesto que ⌽(t) es no singular, el inverso multiplicativo ⌽1(t) existe para todo t en el intervalo. El resultado dado en (3) se deduce de inmediato del hecho de que cada columna de ⌽(t) es un vector solución de X  AX. VARIACIÓN DE PARÁMETROS Análogamente al procedimiento de la sección 4.6, nos preguntamos si es posible reemplazar la matriz de constantes C en (2) por una matriz columna de funciones () u1(t) u2(t) U(t)  .. por lo que Xp  ⌽(t)U(t) . (4) un(t) es una solución particular del sistema no homogéneo X AX (5) F(t). Por la regla del producto la derivada de la última expresión en (4) es Xp (t)U (t) (6) (t)U(t). Observe que el orden de los productos en (6) es muy importante. Puesto que U(t) es una matriz columna, los productos U(t)⌽(t) y U(t)⌽(t QRHVWiQGH¿QLGRV6XVWLWX\HQGR (4) y (6) en (5), se obtiene (t)U (t) (t)U(t) A (t)U(t) F(t). (7) Ahora si usa (3) para reemplazar ⌽(t), (7) se convierte en (t)U (t) A (t)U(t) o A (t)U(t) (t)U (t) F(t) (8) F(t). Multiplicando ambos lados de la ecuación (8) por ⌽1(t), se obtiene U (t) 1 (t) F(t) por tanto U(t) 1 (t) F(t) dt. Puesto que Xp  ⌽(t)U(t), se concluye que una solución particular de (5) es Xp 1 (t) F(t) dt. (t) (9) 3DUDFDOFXODUODLQWHJUDOLQGH¿QLGDGHODPDWUL]FROXPQD⌽1(t)F(t) en (9), se integra cada entrada. Así, la solución general del sistema (5) es X  Xc  Xp o X (t)C (t) 1 (t) F(t) dt. (10) Observe que no es necesario usar una constante de integración en la evaluación de 1 (t) F(t) dt por las mismas razones expresadas en la explicación de variación de parámetros en la sección 4.6. 8.3 EJEMPLO 4 SISTEMAS LINEALES NO HOMOGÉNEOS l 345 Variación de parámetros Resuelva el sistema 3 2 X 1 X 4 3t e t (11) en ( , ). SOLUCIÓN Primero resolvemos el sistema homogéneo asociado 3 2 X 1 X. 4 (12) ODHFXDFLyQFDUDFWHUtVWLFDGHODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVHV det(A 3 I) 1 2 ( 4 2)( 5) 0, por lo que los eigenvalores son Ȝ1  2 y Ȝ2  5. Con el método usual se encuentra 1 que los eigenvectores correspondientes a Ȝ1 y Ȝ2 son, respectivamente, K1 y 1 1 K2 . Entonces, los vectores solución del sistema (12) son 2 1 e 1 X1 e e 2t 2t y 2t 1 e 2 X2 e 2e 5t 5t 5t . Las entradas en X1 a partir de la primera columna de ⌽(t) y las entradas en X2 a partir de la segunda columna de ⌽(t). Por tanto e e (t) 2t e 2e 2t 5t y 5t 1 (t) 2 2t 3e 1 2t 3e 1 5t 3e 1 5t 3e . A partir de (9) obtenemos Xp 1 (t) F(t) dt (t) e e e e e e 2t e 2e 2t 2t e 2e 2t 2t e 2e 2t 6 5t 3 5t 27 50 21 50 2 2t 3e 1 5t 3e 1 2t 3e 1 5t 3e 5t 2te2t 5t te5t 1 t 3e 1 4t 3e 5t 5t 5t te2t 5t 1 5t 5 te 1 t 4e 1 t 2e 1 2t 2e 1 5t 25 e 3t dt e t dt 1 t 3e 1 4t 12 e . Por tanto a partir de (10) la solución de (11) en el intervalo es X e e c1 2t 2t 1 e 1 e 2e 2t 5t 5t c2 c1 c2 1 e 2 6 5t 3 5t 5t 27 50 21 50 6 5 3 5 1 t 4e 1 t 2e t 27 50 21 50 1 4 1 2 e t. 346 CAPÍTULO 8 l SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN PROBLEMA CON VALORES INICIALES La solución general de (5) en el intervalo se puede escribir en una forma alternativa t X (t)C (13) 1 (s) F(s) ds, (t) t0 donde t y t0 son puntos en el intervalo. Esta última forma es útil para resolver (5) sujeta a una condición inicial X(t0)  X0, porque los límites de integración se eligen de tal forma que la solución particular sea cero en t  t0. Sustituyendo t  t0 en (13) se obtiene 1 (t0)X0. Sustituyendo este último X0 (t0)C a partir de la que se obtiene C resultado en (13) se obtiene la siguiente solución del problema con valores iniciales: t X 1 (t0)X0 (t) (14) 1 (s) F(s) ds. (t) t0 EJERCICIOS 8.3 8.3.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-14. COEFICIENTES INDETERMINADOS (QORVSUREOHPDVDXWLOLFHHOPpWRGRGHORVFRH¿FLHQWHV indeterminados para resolver el sistema dado. 1. 2. dx dt dy dt dx dt dy dt 3y 7 x 2y 5 9y 3. X 1 3 4. X 1 4 5. X 4 9 3 X 1 6 1 1 6. X 6 R1 i1 2 t2 t 5 t L2 8.3.2 VARIACIÓN DE PARÁMETROS sen t 2 cos t 1 0 0 1 2 0 1 3 X 5 1 1 e4t 2 8. X 0 0 0 5 5 0 5 0 X 0 5 10 40 1 3 i R i2 3 2 FIGURA 8.3.1 Red del problema 10. 3 t e 10 5 X 1 4 . 5 E>L1 . E>L2 9e6t e6t 7. X X(0) i2 i3 L1 E 4t X 9. Resuelva X R1>L1 R2)>L2  VHHOPpWRGRGHORVFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVSDUD 8 resolver el sistema si R1  2 !, R 2  3 !, L 1  1 h, L 2  1 h, E  60 V, i 2(0)  0, e i 3(0)  0. b) Determine la corriente i1(t). 4 X 1 1 3 (R1  2 11y x R1 >L1 R1>L2 d i2 dt i3 2x 5x 10. a) El sistema de ecuaciones diferenciales para las corrientes i2(t) e i3(t) en la red eléctrica que se muestra HQOD¿JXUDHV 2 X 4 En los problemas 11 a 30 utilice variación de parámetros para resolver el sistema dado. 11. 12. 3 sujeta a 3 dx dt dy dt dx dt dy dt 13. X 3x 3y 4 2x 2y 1 2x y 3x 2y 3 3 4 4t 5 X 1 1 t/2 e 1 8.3 14. X 2 4 1 X 2 0 1 2 X 3 16. X 0 1 2 X 3 e 1 t e 1 8 X 1 12 t 12 18. X 1 1 8 X 1 e t tet 19. X 3 2 2 X 1 2e t e t 20. X 3 2 2 X 1 1 1 347 R2 >L2 R2 >L1 E>L2 . 0 i1 i2 Utilice variación de parámetros para resolver el sistema si R1  8 !, R2  3 !, L1  1 h, L 2  1 h, E(t)  100 sen t V, i1(0)  0, e i2(0)  0. 3t 1 1 (R1 R2)>L2 R2 >L1 d i1 dt i2 2 17. X l 33. El sistema de ecuaciones diferenciales para las corrientes i1(t) e i2(t HQODUHGHOpFWULFDTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD 8.3.2 es sen 2t e2t 2 cos 2t 15. X SISTEMAS LINEALES NO HOMOGÉNEOS R1 i1 i3 i2 R2 L1 E L2 FIGURA 8.3.2 Red del problema 33. 21. X 0 1 1 X 0 sec t 0 22. X 1 1 1 X 1 3 t e 3 23. X 1 1 1 X 1 cos t t e sen t 24. X 2 8 2 X 6 1 e 2t 3 t 34. Si y1 y y2 son soluciones linealmente independientes de las ED homogéneas asociadas para y  P(x)y  Q(x)y  f(x), demuestre en el caso de una ED lineal no homogénea de segundo orden que (9) se reduce a la forma de variación de parámetros analizada en la sección 4.6. Tarea para el laboratorio de computación Problemas para analizar 25. X 0 1 1 X 0 0 sec t tan t 26. X 0 1 1 X 0 1 cot t 27. X 1 2 X 1 1 2 28. X 1 1 29. X 1 1 0 2 X 1 1 1 0 0 0 X 3 35. Resolver un sistema lineal no homogéneo X  AX  F(t) usando variación de parámetros cuando A es una matriz 3  3 (o más grande) es casi una tarea imposible de hacer a mano. Considere el sistema csc t t e sec t tan t 1 X et e2t te3t 3 1 1 0 1 1 1 X t 30. X 1 1 1 2et En los problemas 31 y 32, use (14) para resolver el problema con valores iniciales. 3 1 4e2t 1 X , X(0) 31. X 1 3 4e4t 1 32. X 1 1 1 X 1 1>t , 1>t X(1) 2 1 2 1 0 0 2 3 0 0 2 0 4 2 1 3 X 2 1 tet e t . e2t 1 a) Use un SAC o software de álgebra lineal para encontrar los eigenvalores y los eigenvectores de la matriz GHFRH¿FLHQWHV b) Forme una matriz fundamental ⌽(t) y utilice la computadora para encontrar ⌽1(t). c) Use la computadora para realizar los cálculos de: 1 1 1 (t) F(t), (t)F(t) dt, (t) (t)F(t) dt, 1 (t)C y (t)C (t) F(t) dt, donde C es una matriz columna de constantes c1, c2, c3 y c4. d) Reescriba el resultado de la computadora para la solución general del sistema en la forma X  Xc  Xp, donde Xc  c1X1  c2X2  c3X3  c4X4. 348 l CAPÍTULO 8 8.4 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN MATRIZ EXPONENCIAL REPASO DE MATERIAL l $SpQGLFH,, GH¿QLFLRQHV,,\,, INTRODUCCIÓN Las matrices se pueden usar de una manera completamente distinta para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Recuerde que la ecuación diferencial lineal simple de primer orden x  ax, donde a es constante, tiene la solución general x  ceat, donde cHVFRQVWDQWH3DUHFHQDWXUDOSUHJXQWDUVLVHSXHGHGH¿QLUXQDIXQFLyQH[SRQHQFLDO matricial eAt, donde A es una matriz de constantes por lo que una solución del sistema X  AX es eAt. SISTEMAS HOMOGÉNEOS $KRUDYHUHPRVTXHHVSRVLEOHGH¿QLUXQDPDWUL]H[ponencial eAt tal que X eAtC (1) es una solución del sistema homogéneo X  AX. Aquí A es una matriz n  n de constantes y C es una matriz columna n  1 de constantes arbitrarias. Observe en (1) que la matriz C se multiplica por la derecha a eAt porque queremos que eAt sea una matriz n  n. Mientras TXHHOGHVDUUROORFRPSOHWRGHOVLJQL¿FDGR\WHRUtDGHODPDWUL]H[SRQHQFLDOUHTXHULUtDXQ FRQRFLPLHQWRFRPSOHWRGHiOJHEUDGHPDWULFHVXQDIRUPDGHGH¿QLUeAt se basa en la representación en serie de potencias de la función exponencial escalar eat: (at)2 (at)k eat 1 at 2! k! tk tk t2 (2) k k 2 . 1 at a 2! k! k! k 0 La serie en (2) converge para toda t. Si se usa esta serie, con la matriz identidad I en vez de 1 y la constante a se reemplaza por una matriz A n  n de constantes, se obtiene XQDGH¿QLFLyQSDUDODPDWUL]n  n, eAt. DEFINICIÓN 8.4.1 Matriz exponencial Para cualquier matriz A n  n, t2 eAt I A t A2 2! Ak tk k! Ak k 0 tk . k! (3) Se puede demostrar que la serie dada en (3) converge a una matriz n  n para todo valor de t. También, A2  AA, A3  A(A)2, etcétera. EJEMPLO 1 Matriz exponencial usando (3) Calcule eAt para la matriz 2 0 A 0 3 SOLUCIÓN De las diferentes potencias A2 22 0 , A3 0 32 vemos de (3) que 1 0 1 23 0 , A4 0 33 eAt 0 1 2t I 2 0 22 0 t2 2! A2 2 t 2! At 0 t 3 24 0 , . . . , An 0 34 ... 22 0 t2 0 32 2! ... 2n 0 t n 0 3n n! ... 0 1 3t 2n 0 ,..., 0 3n 32 t2 2! ... . ... 8.4 MATRIZ EXPONENCIAL l 349 8VDQGR  \ODVLGHQWL¿FDFLRQHVa  2 y a  3, las series de potencias en el primer y en el segundo renglón de la última matriz, representan, respectivamente e2t y e3t y así tenemos que e2t 0 eAt . 0 e3t La matriz en el ejemplo 1 es un ejemplo de una matriz diagonal 2  2. En general, una matriz n  n A es una matriz diagonal si todos los elementos fuera de la diagonal principal son cero, es decir, a11 0 . . . 0 0 a22 . . . 0 A . ⯗ ⯗ ⯗ 0 0 . . . ann Por lo tanto si A es cualquier matriz diagonal n  n se sigue del ejemplo 1 que eAt ea11t 0 ⯗ 0 0 ... a22t ... ⯗ 0 ... e 0 0 . ⯗ eannt DERIVADA DE e At La derivada de la matriz exponencial es similar a la propiedad d de derivación de la exponencial escalar eat aeat 3DUDMXVWL¿FDU dt d At e dt derivamos (3) término por término: d At e dt d I dt A I At At A2 A2 t2 2! Ak t2 2! (4) AeAt, tk k! A A2t 1 32 At 2! A eAt. Debido a (4), ahora se puede probar que (1) es una solución de X  AX para todo vector n  1 C de constantes: d At X e C A eAtC A(eAtC) AX. dt e At ES UNA MATRIZ FUNDAMENTAL Si se denota la matriz exponencial eAt con el símbolo ⌿(t), entonces (4) es equivalente a la ecuación diferencial matricial ⌿(t)  A ⌿(t  YHD  GHODVHFFLyQ $GHPiVVHGHGXFHGHLQPHGLDWRGHODGH¿QLFLyQ 8.4.1 que ⌿(0)  eA0  I, y por tanto det ⌿(0)  0. Se tiene que estas propiedades VRQVX¿FLHQWHVSDUDFRQFOXLUTXH⌿(t) es una matriz fundamental del sistema X  AX. SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS Se vio en (4) de la sección 2.3 que la solución general de la ecuación diferencial lineal única de primer orden x  ax  f(t), donde a es una constante, se puede expresar como t x xceat eat e as f (s) ds. t0 Para un sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, se puede demostrar que la solución general de X  AX  F(t), donde A es una matriz n  n de constantes, es t X eAtC eAt e As F(s) ds. (5) t0 Puesto que la matriz exponencial eAt es una matriz fundamental, siempre es no singular y eAs  (eAs)1. En la práctica, eAs se puede obtener de eAt al reemplazar t por –s. 350 CAPÍTULO 8 l SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN CÁLCULO DE e At /DGH¿QLFLyQGHeAt dada en (3) siempre se puede usar para calcular eAt. Sin embargo, la utilidad práctica de (3) está limitada por el hecho de que los elementos de eAt son series de potencias en t. Con un deseo natural de trabajar con FRVDVVLPSOHV\IDPLOLDUHVVHWUDWDGHUHFRQRFHUVLHVWDVVHULHVGH¿QHQXQDIXQFLyQGH forma cerrada. Por fortuna, hay muchas formas alternativas de calcular eAt; la siguiente explicación muestra cómo se puede usar la transformada de Laplace. USO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Vimos en (5) que X  eAt es una solución de X  AX. De hecho, puesto que eA0  I, X  eAt es una solución de problema con valores iniciales X AX, X(0) I. (6) Si x(s) {eAt} , entonces la transformada de Laplace de (6) es { X(t)} s x(s) X(0) Ax(s) o (sI A)x(s) I. ) A)1 se tiene que x(s)  (sI  A)1 I  (sI Multiplicando la última ecuación(por (sI  At 1  A) . En otras palabras, {e } (sI A) 1 o e At EJEMPLO 2 1 (7) A) 1}. {(sI Matriz exponencial usando (7) 1 2 Use la transformada de Laplace para calcular e At para A 1 . 2 SOLUCIÓN Primero calcule la matriz sI – A y determine su inversa: sI (sI A A) 1 s s 1 1 , 2 s 2 1 1 2 s 2 2 1) s s(s 1 2 s(s 1 s (s s 1) s(s 1) . 1 1) Entonces, descomponiendo las entradas de la última matriz en fracciones parciales: 2 1 1 1 s s 1 s s 1 (8) . (sI A) 1 2 2 1 2 s s 1 s s 1 Se deduce de (7) que la transformada de Laplace inversa de (8) proporciona el resultado deseado, 2 e t 1 e t e At . t 2 2e 1 2e t USO DE COMPUTADORAS Para quienes por el momento están dispuestos a intercambiar la comprensión por la velocidad de solución, eAt se puede calcular con la ayuda de software. Véanse los problemas 27 y 28 de los ejercicios 8.4. EJERCICIOS 8.4 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-15. En los problemas l y 2 use (3) para calcular eAt y eAt. 1. A 1 0 0 2 2. A 0 1 1 0 En los problemas 3 y 4 use (3) para calcular eAt. 3. A 1 1 2 1 1 2 1 1 2 4. A 0 3 5 0 0 1 0 0 0 8.4 En los problemas 5 a 8 use (1) para encontrar la solución general del sistema dado. 2 3 19. A 5. X 1 0 0 X 2 1 1 2 7. X 1 1 2 1 1 X 2 6. X 0 1 1 X 0 8. X 0 3 5 0 0 1 0 0 X 0 En los problemas 9 a 12 use (5) para encontrar la solución general del sistema dado. 9. X 1 0 0 X 2 3 1 10. X 1 0 0 X 2 t e4t 11. X 0 1 1 X 0 1 1 12. X 0 1 1 X 0 cosh t senht 4 . 3 En los problemas 15 a 18, use el método del ejemplo 2 para calcular eAtSDUDODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHV8VH  SDUDHQFRQtrar la solución general del sistema dado. 17. X 5 1 3 X 4 9 X 1 20. A 2 1 351 1 2 21. Suponga que A  PDP1, donde DVHGH¿QHFRPRHQ   Use (3) para demostrar que eAt  PeDtP1. 22. Si DVHGH¿QHFRPRHQ  HQWRQFHVHQFXHQWUHeDt. En los problemas 23 y 24 use los resultados de los problemas 19 a 22 para resolver el sistema dado. 2 3 23. X 1 X 6 24. X 2 1 1 X 2 25. Vuelva a leer el análisis que lleva al resultado dado en (7). ¿La matriz sI  A siempre tiene inversa? Explique. X(0) 4 4 1 6 l Problemas para analizar 13. Resuelva el sistema en el problema 7 sujeto a la condición inicial 1 X(0) 4 . 6 14. Resuelva el sistema del problema 9 sujeto a la condición inicial 15. X MATRIZ EXPONENCIAL 16. X 4 1 18. X 2 X 1 0 2 1 X 2 Sea P una matriz cuyas columnas son eigenvectores K1, K2, . . . , Kn que corresponden a eigenvalores Ȝ1, Ȝ2, . . . , Ȝn de una matriz A de n  n. Entonces se puede demostrar que A  PDP1, donde DVHGH¿QHSRU l1 0 . . . 0 0 l2 . . . 0 . . D  .. (9) . . . 0 0 . . . ln ( ) En los problemas 19 y 20, compruebe el resultado anterior para la matriz dada. 26. Se dice que una matriz A es nilpotente cuando existe algún entero m tal que Am  0. Compruebe que 1 1 1 A 1 0 1 es nilpotente. Analice porqué es rela1 1 1 tivamente fácil calcular eAt cuando A es nilpotente. Calcule eAt y luego utilice (1) para resolver el sistema X  AX. Tarea para el laboratorio de computación 27. a) Utilice (1) para obtener la solución general de 4 2 X X. Use un SAC para encontrar eAt. 3 3 Luego emplee la computadora para determinar eigen YDORUHV\ HLJHQYHFWRUHVGH ODPDWUL]GH FRH¿FLHQWHV 4 2 y forme la solución general de acuer3 3 do con la sección 8.2. Por último, reconcilie las dos formas de la solución general del sistema. A b) Use (1) para determinar la solución general de 3 1 X. Use un SAC, para determinar 2 1 eAt. En el caso de un resultado complejo, utilice el VRIWZDUHSDUDKDFHUODVLPSOL¿FDFLyQSRUHMHPSORHQ Mathematica, si m  MatrixExp[A t] tiene elementos complejos, entonces intente con la instrucción Simplify[ComplexExpand[m]]. X 28. Use (1) para encontrar la solución general de 4 0 6 0 0 5 0 4 X X. 1 0 1 0 0 3 0 2 Use MATLAB o un SAC para encontrar eAt. 352 l CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-15. REPASO DEL CAPÍTULO 8 En los problemas 1 y 2 complete los espacios en blanco. 4 1. El vector X k es una solución de 5 1 X 2 para k  __________. 8 1 5 7t e es solución del 3 1 10 2 problema con valores iniciales X X, X(0) 6 3 0 para c1  __________ y c 2  __________. 2. El vector X c1 1 e 1 4 X 1 11. X 9t c2 4 6 6 3. Considere el sistema lineal X 1 3 2 X. 1 4 3 Sin intentar resolver el sistema, determine cada uno de los vectores K1 0 1 , 1 1 1 , 1 K2 3 1 , 1 K3 6 2 5 K4   HVXQHLJHQYHFWRUGHODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHV¢&XiOHVOD solución del sistema correspondiente a este eigenvector? 4. Considere un sistema lineal X  AX de dos ecuaciones diferenciales, donde A es una matriz de coe¿FLHQWHV UHDOHV ¢&XiO HV OD VROXFLyQ JHQHUDO GHO VLVtema si se sabe que Ȝ1  1  2i es un eigenvalor y 1 es un eigenvector correspondiente? K1 i 2 0 8 X 4 2 16t 12. X 1 2 X 1 1 2 0 e tan t 13. X 1 2 1 X 1 1 cot t 14. X 3 1 1 X 1 t 2 2t e 1 15. a) Considere el sistema lineal X  AX de tres ecuaciones diferenciales de primer orden, donde la matriz de FRH¿FLHQWHVHV 2x x 1 2 7. X 9. X 6. y 1 0 4 2 X 1 1 1 3 1 3 X 1 dx dt dy dt 4x 2x 10. X 0 1 2 3 3 3 b) Use el procedimiento del inciso a) para resolver 1 1 1 X 1 1 1 1 1 X. 1 2y 16. Compruebe que X lineal 4y 2 2 8. X 3 5 5 y Ȝ  2 es un eigenvalor conocido de multiplicidad dos. Encuentre dos soluciones diferentes del sistema correspondiente a este eigenvalor sin usar una fórmula especial (como (12) de la sección 8.2) En los problemas 5 a 14 resuelva el sistema lineal dado. 5. dx dt dy dt 5 3 5 A 5 X 4 2 1 2 1 2 X 1 X c1 t e es una solución del sistema c2 1 0 0 X 1 para constantes arbitrarias c1 y c2. A mano, trace un diagrama de fase del sistema. 9 SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 Métodos de Euler y análisis de errores Métodos de Runge-Kutta Métodos multipasos Ecuaciones y sistemas de orden superior Problemas con valores en la frontera de segundo orden REPASO DEL CAPÍTULO 9 Aun cuando se pueda demostrar que la solución de una ecuación diferencial exista, no siempre es posible expresarla en forma explícita o implícita. En muchos casos tenemos que conformarnos con una aproximación de la solución. Si la solución existe, se representa por un conjunto de puntos en el plano cartesiano. En este capítulo continuamos investigando la idea básica de la sección 2.6, es decir, utilizar la ecuación diferencial para construir un algoritmo para aproximar las coordenadas y de los puntos de la curva solución real. Nuestro interés en este capítulo son principalmente los PVI dy兾dx  f (x, y), y(x0)  y0. En la sección 4.10 vimos que los procedimientos numéricos desarrollados para las ED de primer orden se generalizan de una manera natural para sistemas de ecuaciones de primer orden y por tanto se pueden aproximar soluciones de una ecuación de orden superior remodelándola como un sistema de ED de primer orden. El capítulo 9 concluye con un método para aproximar soluciones de problemas con valores en la frontera lineales de segundo orden. 353 354 l CAPÍTULO 9 SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS MÉTODOS DE EULER Y ANÁLISIS DE ERRORES 9.1 REPASO DE MATERIAL l Sección 2.6 INTRODUCCIÓN En el capítulo 2 se examinó uno de los métodos numéricos más simples para aproximar soluciones de problemas con valores iniciales de primer orden y  f (x, y), y(x0)  y0. Recuerde que la estructura del método de Euler fue la fórmula yn 1 yn (1) hf (xn , yn ), donde f es la función obtenida de la ecuación diferencial y  f (x, y). El uso recursivo de (1) para n  0, 1, 2, . . . produce las cordenadas y: y1, y2, y3, . . . de puntos en “rectas tangentes” sucesivas respecto a la curva solución en x1, x2, x3, . . . o xn  x0  nh, donde h es una constante y es el tamaño de paso entre xn y xn  1. Los valores y1, y2, y3, . . . aproximan los valores de una solución y(x) del PVI en x1, x2, x3, . . . Pero sin importar la ventaja que la ecuación (1) tenga en su simplicidad, se pierde en la severidad de sus aproximaciones. UNA COMPARACIÓN En el problema 4 de los ejercicios 2.6 se pidió usar el método de Euler para obtener el valor aproximado de y(1.5) para la solución del problema con valores iniciales y  2xy, y(1)  1. Se debe haber obtenido la solución analítica 2 y ex 1 y resultados similares a los que se presentan en las tablas 9.1 y 9.2. TABLA 9.1 xn 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 TABLA 9.2 Método de Euler con h  0.1 yn Valor real Error absoluto % de error relativo 1.0000 1.2000 1.4640 1.8154 2.2874 2.9278 1.0000 1.2337 1.5527 1.9937 2.6117 3.4903 0.0000 0.0337 0.0887 0.1784 0.3244 0.5625 0.00 2.73 5.71 8.95 12.42 16.12 xn 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 Método de Euler con h  0.05 yn Valor real Error absoluto % de error relativo 1.0000 1.1000 1.2155 1.3492 1.5044 1.6849 1.8955 2.1419 2.4311 2.7714 3.1733 1.0000 1.1079 1.2337 1.3806 1.5527 1.7551 1.9937 2.2762 2.6117 3.0117 3.4903 0.0000 0.0079 0.0182 0.0314 0.0483 0.0702 0.0982 0.1343 0.1806 0.2403 0.3171 0.00 0.72 1.47 2.27 3.11 4.00 4.93 5.90 6.92 7.98 9.08 En este caso, con un tamaño de paso h  0.1, un error relativo de 16% en el cálculo de la aproximación a y(1.5) es totalmente inaceptable. A expensas de duplicar el número de cálculos, se obtiene cierta mejoría en la precisión al reducir a la mitad el tamaño de paso, es decir h  0.05. ERRORES EN LOS MÉTODOS NUMÉRICOS Al elegir y usar un método numérico para la solución de un problema con valores iniciales, se debe estar consciente de las distintas fuentes de error. Para ciertas clases de cálculos, la acumulación de errores podría reducir la precisión de una aproximación al punto de hacer inútil el cálculo. Por otra parte, dependiendo del uso dado a una solución numérica, una precisión extrema podría no compensar el trabajo y la complicación adicionales. Una fuente de error que siempre está presente en los cálculos es el error de redondeo. Este error es resultado del hecho de que cualquier calculadora o computadora SXHGH UHSUHVHQWDU Q~PHURV XVDQGR VyOR XQ Q~PHUR ¿QLWR GH GtJLWRV 6XSRQJD SRU 9.1 MÉTODOS DE EULER Y ANÁLISIS DE ERRORES l 355 ejemplo, que se tiene una calculadora que usa aritmética base 10 y redondea a cuatro dígitos, de modo que 13 se representa en la calculadora como 0.3333 y 19 se representa como 0.1111. Si con esta calculadora se calcula x2 19 x 13 para x  0.3334, se obtiene ( ) ( (0.3334)2 0.1111 0.1112 0.1111 0.3334 0.3333 0.3334 0.3333 Sin embargo, con ayuda de un poco de álgebra, vemos que x2 x (x 1 9 1 3 1 3 )(x ( ) 1 3 x 1 9 1 3 )( ) 1. 1 , 3 x ) x 13 0.3334 0.3333 0.6667. Este por lo que cuando x 0.3334, x ejemplo muestra que los efectos del redondeo pueden ser bastante considerables a menos que se tenga cierto cuidado. Una manera de reducir el efecto del redondeo es reducir el número de cálculos. Otra técnica en una computadora es usar aritmética de doble precisión para comprobar los resultados. En general, el error de redondeo es impredecible y difícil de analizar y se desprecia en el análisis siguiente, por lo que sólo nos dedicaremos a investigar el error introducido al usar una fórmula o algoritmo para aproximar los valores de la solución. 2 ERRORES DE TRUNCAMIENTO PARA EL MÉTODO DE EULER En la sucesión de valores y1, y2, y3, . . . generados de (1), usualmente el valor de y1 no concuerda con la solución real en x1, en particular, y(x1), porque el algoritmo sólo da una aproximación GHOtQHDUHFWDDODVROXFLyQ9HDOD¿JXUD(OHUURUVHOODPDerror de truncamiento local, error de fórmula o error de discretización. Este ocurre en cada paso, es decir, si se supone que yn es precisa, entonces yn  1 tendrá error de truncamiento local. Para deducir una fórmula para el error de truncamiento local del método de Euler, se usa la fórmula de Taylor con residuo. Si una función y(x) tiene k  1 derivadas que son continuas en un intervalo abierto que contiene a a y a x, entonces y (x) y (a) y (a) x a y(k) (a) 1! a) k (x k! y(k 1) (c) (x a) k 1 , (k 1)! donde c es algún punto entre a y x. Al establecer k  1, a  xn y x  xn  1  xn  h, se obtiene h h2 y (xn 1 ) y (xn ) y (xn ) y (c ) 1! 2! o h2 y(xn1)  yn  hf (xn, yn)  y(c) –– . 2! yn1 El método de Euler (1) es la última fórmula sin el último término; por tanto, el error de truncamiento local en yn  1 es h2 , donde x n c xn 1. 2! Usualmente se conoce el valor de c (existe desde el punto de vista teórico) y por tanto no se puede calcular el error exacto, pero un límite superior en el valor absoluto del máx y (x) . error es Mh2兾2!, donde M y (c) xn x xn 1 Al analizar los errores que surgen del uso de métodos numéricos, es útil usar la notación O(hn 3DUDGH¿QLUHVWHFRQFHSWRVHGHQRWDFRQe(h) el error en un cálculo numérico dependiendo de h. Entonces se dice que e(h) es de orden hn, denotado con O(hn), si existe una constante C y un entero positivo n tal que 兩 e(h) 兩  Chn para hVX¿FLHQWHPHQWHSHTXHxD Por lo que el error de truncamiento local para el método de Euler es O(h2). Se observa que, en general, si e(h) en un método numérico es del orden hn y h se reduce a la mitad, el nuevo error es más o menos C(h兾2)n  Chn兾2n; es decir, el error se redujo por un factor de 1兾2n. 356 l CAPÍTULO 9 SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EJEMPLO 1 Límite para errores de truncamiento local Determine un límite superior para los errores de truncamiento local del método de Euler aplicado a y  2xy, y(1)  1. De la solución y error de truncamiento es SOLUCIÓN y (c) ex h2 2 2 1 obtenemos y 4 c2) e(c (2 2 (2 1) 4 x2 )ex 2 1 , por lo que el h2 , 2 donde c está entre xn y xn  h. En particular, para h  0.1 se puede obtener un límite superior en el error de truncamiento local para y1 al reemplazar c por 1.1: (4)(1.1)2 ] e((1.1) [2 2 1) (0.1)2 2 0.0422. De la tabla 9.1 se observa que el error después del primer paso es 0.0337, menor que el valor dado por el límite. De igual forma, se puede obtener un límite para el error de truncamiento local de cualquiera de los cinco pasos que se muestran en la tabla 9.1 al reemplazar c por 1.5 (este valor de c da el valor más grande de y(c) de cualquiera de los pasos y puede ser demasiado generoso para los primeros pasos). Al hacer esto se obtiene 2 (4)(1.5)2 ] e((1.5) [2 1) (0.1)2 2 0.1920 (2) como un límite o cota superior para el error de truncamiento local en cada paso. Observe que si h se reduce a 0.05 en el ejemplo 1, entonces el límite de error es 0.0480, casi un cuarto del valor que se muestra en (2). Esto es de esperarse porque el error de truncamiento local para el método de Euler es O(h2). En el análisis anterior se supone que el valor de yn fue exacto en el cálculo de yn  1 pero no lo es porque contiene errores de truncamiento local de los pasos anteriores. El error total en yn  1 es una acumulación de errores en cada uno de los pasos previos. Este error total se llama error de truncamiento global. Un análisis completo del error de truncamiento global queda fuera del alcance de este libro, pero se puede mostrar que el error de truncamiento global para el método de Euler es O(h). Se espera que para el método de Euler, si el tamaño de paso es la mitad, el error será PiVRPHQRVODPLWDG(VWRVHFRQ¿UPDHQODVWDEODV\GRQGHHOHUURUDEVROXWRHQ x  1.50 con h  0.1 es 0.5625 y con h  0.05 es 0.3171, aproximadamente la mitad. En general, se puede demostrar que si un método para la solución numérica de una ecuación diferencial tiene error de truncamiento local O(hĮ  1), entonces el error de truncamiento global es O(hĮ). En lo que resta de esta sección y en las siguientes, se estudian métodos mucho más precisos que el método de Euler. MÉTODO DE EULER MEJORADO  (OPpWRGRQXPpULFRGH¿QLGRSRUODIyUPXOD donde f (xn , yn) yn 1 yn h yn* 1 yn h f (xn , yn), f (xn 1 , yn* 1) , 2 (3) (4) se conoce comúnmente como el método de Euler mejorado. Para calcular yn  1 para n  0, 1, 2, . . . de (3), se debe, en cada paso, usar primero el método de Euler (4) para obtener una estimación inicial yn* 1 . Por ejemplo, con n  0, usando (4) se obtiene y*1 y 0 hf (x0 , y0 ), y después, conociendo este valor, se usa (3) para obtener f (x0 , y 0 ) f (x1, y1*) , donde x1  x 0  h. Estas ecuaciones se representan y1 y 0 h 2 9.1 y curva solución mprom (x1, y(x1)) m1 = f(x1, y*1) m 0 = f(x0 , y0) (x1, y1) (x1, y*1) (x0 , y0) mprom = x0 f(x0 , y0) + f(x1, y1*) 2 x x1 h MÉTODOS DE EULER Y ANÁLISIS DE ERRORES l 357 FRQIDFLOLGDG(QOD¿JXUDVHREVHUYDTXHm0  f (x0, y0) y m1 f (x1, y1* ) son pendientes de las rectas trazadas con la línea continua que pasan por los puntos (x0, y0) y (x1, y1*), respectivamente. Tomando un promedio de estas pendientes, es decir, f (x0 , y0 ) f (x1, y1* ) , se obtiene la pendiente de las rectas paralelas inclinadas. mprom 2 Con el primer paso, más que avanzar a lo largo de la recta que pasa por (x0, y0) con pendiente f (x0, y0) al punto con coordenada y y1* obtenida por el método de Euler, se avanza a lo largo de la recta punteada de color rojo que pasa por (x0, y0) con pendiente mprom hasta llegar a x1$OH[DPLQDUOD¿JXUDSDUHFHSRVLEOHTXHy1 sea una mejora de y1*. En general, el método de Euler mejorado es un ejemplo de un método de predicción-corrección. El valor de yn* 1 dado por (4) predice un valor de y(xn), mientras que el valor de yn  1GH¿QLGRSRUODIyUPXOD  FRUULJHHVWDHVWLPDFLyQ FIGURA 9.1.1 La pendiente de la recta roja punteada es el promedio de m0 y m1. EJEMPLO 2 Método de Euler mejorado Use el método de Euler mejorado para obtener el valor aproximado de y(1.5) para la solución del problema con valores iniciales y  2xy, y(1)  1. Compare los resultados para h  0.1 y h  0.05. SOLUCIÓN (4): Con x0  1, y0  1, f(xn, yn)  2xnyn, n  0 y h  0.1, primero se calcula y1* (0.1)(2 x0 y0) y0 1 (0.1)2(1)(1) 1.2. Se usa este último valor en (3) junto con x1  1  h  1  0.1  1.1: y1 y0 (0.1) 2 x1 y1* 2 x0 y0 1 2 (0.1) 2(1)(1) 2(1.1)(1.2) 2 1.232. En las tablas 9.3 y 9.4, se presentan los valores comparativos de los cálculos para h  0.1 y h  0.05, respectivamente. TABLA 9.3 Método de Euler mejorado con h  0.1 xn yn Valor real Error absoluto % de error relativo 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.0000 1.2320 1.5479 1.9832 2.5908 3.4509 1.0000 1.2337 1.5527 1.9937 2.6117 3.4904 0.0000 0.0017 0.0048 0.0106 0.0209 0.0394 0.00 0.14 0.31 0.53 0.80 1.13 TABLA 9.4 Método de Euler mejorado con h  0.05 xn yn Valor real Error absoluto % de error relativo 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.0000 1.1077 1.2332 1.3798 1.5514 1.7531 1.9909 2.2721 2.6060 3.0038 3.4795 1.0000 1.1079 1.2337 1.3806 1.5527 1.7551 1.9937 2.2762 2.6117 3.0117 3.4904 0.0000 0.0002 0.0004 0.0008 0.0013 0.0020 0.0029 0.0041 0.0057 0.0079 0.0108 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.11 0.14 0.18 0.22 0.26 0.31 Aquí es importante hacer una advertencia. No se pueden calcular primero todos los valores de yn*; y después sustituir sus valores en la fórmula (3). En otras palabras, no se pueden usar los datos de la tabla 9.1 para ayudar a construir los valores de la tabla 9.3. ¿Por qué no? ERRORES DE TRUNCAMIENTO PARA EL MÉTODO DE EULER MEJORADO El error de truncamiento local para el método de Euler mejorado es O(h3). La deducción de este resultado es similar a la deducción del error de truncamiento local para el 358 CAPÍTULO 9 l SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS método de Euler. Puesto que el error de truncamiento para el método de Euler mejorado es O(h3), el error de truncamiento global es O(h2). Esto se puede ver en el ejemplo 2; cuando el tamaño de paso se reduce a la mitad de h  0.1 a h  0.05, el error absoluto en x  1.50 se reduce de 0.0394 a 0.0108, una reducción de aproximadamente 1 2 1. 2 4 () EJERCICIOS 9.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-16. En los problemas l a 10, use el método de Euler mejorado para obtener una aproximación de cuatro decimales del valor indicado. Primero use h  0.1 y después h  0.05. 1. y  2x  3y  1, y(1)  5; y(1.5) 2. y  4x  2y, y(0)  2; y(0.5) 3. y  1  y , y(0)  0; y(0.5) 2 4. y  x 2  y 2, y(0)  1; y(0.5) 5. y  ey, y(0)  0; y(0.5) 6. y  x  y 2, y(0)  0; y(0.5) 7. y  (x  y) 2, y(0)  0.5; y(0.5) 1y, y (0) 1; y (0.5) y 9. y xy2 , y (1) 1; y (1.5) x 10. y  y  y 2, y(0)  0.5; y(0.5) 8. y xy 11. Considere el problema con valores iniciales y  (x  y  1)2, y(0)  2. Use el método de Euler mejorado con h  0.1 y h  0.05 para obtener los valores aproximados de la solución en x  0.5. En cada paso compare el valor aproximado con el valor real de la solución analítica. 12. Aunque podría no ser evidente de la ecuación diferencial, su solución podría tener “un mal comportamiento” cerca de un punto x en el que se desea aproximar y(x). Los procedimientos numéricos podrían dar resultados bastante distintos cerca de este punto. Sea y(x) la solución del problema con valores iniciales y  x 2  y 3, y(1)  1. a) Use un programa de solución numérica para trazar la solución en el intervalo [1, 1.4]. b) Con el tamaño de paso h  0.1, compare los resultados obtenidos con el método de Euler con los del método de Euler mejorado en la aproximación de y(1.4). 13. Considere el problema con valores iniciales y  2y, y(0)  1. La solución analítica es y  e2x. a) Aproxime y(0.1) con un paso y el método de Euler. b) Determine un límite para el error de truncamiento local en y1. c) Compare el error en y1 con su límite de error. d) Aproxime y(0.1) con dos pasos y el método de Euler. e) Compruebe que el error de truncamiento global para el método de Euler es O(h) al comparar los errores de los incisos a) y d). 14. Repita el problema 13 con el método de Euler mejorado. Su error de truncamiento global es O(h2). 15. Repita el problema 13 con el problema con valores iniciales y  x  2y, y(0)  1. La solución analítica es y 1 2x 1 4 5 2x . 4e 16. Repita el problema 15 usando el método de Euler mejorado. Su error de truncamiento global es O(h2). 17. Considere el problema con valores iniciales y  2x  3y  1, y(l)  5. La solución analítica es y (x) 1 9 2 3x 38 9 e 3(x 1) . a) Encuentre una fórmula en la que intervengan c y h para el error de truncamiento local en el n-ésimo paso si se usa el método de Euler. b) Encuentre un límite para el error de truncamiento local en cada paso si se usa h  0.1 para aproximar y(1.5). c) Aproxime y(1.5) con h  0.1 y h  0.05 con el método de Euler. Vea el problema 1 de los ejercicios 2.6. d) Calcule los errores del inciso c) y compruebe que el error de truncamiento global del método de Euler es O(h). 18. Repita el problema 17 usando el método de Euler mejorado que tiene un error de truncamiento global O(h2). Vea el problema 1. Podría ser necesario conservar más de cuatro decimales para ver el efecto de reducir el orden del error. 19. Repita el problema 17 para el problema con valores iniciales y  ey, y(0)  0. La solución analítica es y(x)  ln(x  1). Aproxime y(0.5). Vea el problema 5 en los ejercicios 2.6. 20. Repita el problema 19 con el método de Euler mejorado, que tiene un error de truncamiento global O(h2). Vea el problema 5. Podría ser necesario conservar más de cuatro decimales para ver el efecto de reducir el orden de error. Problemas para analizar 21. Conteste la pregunta “¿Por qué no?” que sigue a los tres enunciados después del ejemplo 2 de la página 357. 9.2 9.2 MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA 359 l MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA REPASO DE MATERIAL l Sección 2.6 INTRODUCCIÓN Probablemente uno de los procedimientos numéricos más populares, así como más preciso, usado para obtener soluciones aproximadas para un problema con valores iniciales y  f(x, y), y(x0)  y0 es el método de Runge-Kutta de cuarto orden. Como el nombre lo indica, existen métodos de Runge-Kutta de diferentes órdenes. MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA En esencia, los métodos de Runge-Kutta son generalizaciones de la fórmula básica de Euler (1) de la sección 9.1 en que la función pendiente f se reemplaza por un promedio ponderado de pendientes en el intervalo xn  x  xn  l. Es decir, promedio ponderado yn1  yn  h (w1k1  w2k2  …  wmkm). (1) Aquí los pesos wi, i  1, 2, . . . , m, son constantes que generalmente satisfacen w1  w2  . . .  wm  1, y cada ki, i  1, 2, . . . , m, es la función f evaluada en un punto seleccionado (x, y) para el que xn  x  xn  l. Veremos que las kiVHGH¿QHQUHFXUVLYDmente. El número m se llama el orden del método. Observe que al tomar m  1, w1  1 y k1  f (xn, yn), se obtiene la conocida fórmula de Euler yn  1  yn  h f (xn, yn). Por esta razón, se dice que el método de Euler es un método de Runge-Kutta de primer orden. El promedio en (1) no se forma a la fuerza, pero los parámetros se eligen de modo que (1) concuerda con un polinomio de Taylor de grado m. Como se vio en la sección anterior, si una función y(x) tiene k  1 derivadas que son continuas en un intervalo abierto que contiene a a y a x, entonces se puede escribir y (x) y (a) y (a) x a y (a) 1! a)2 (x y(k 2! 1) (c) (x a) k 1 , (k 1)! donde c es algún número entre a y x. Si se reemplaza a por xn y x por xn  1  xn  h, entonces la fórmula anterior se convierte en y (xn 1) y (xn h) y (xn ) h2 y (xn ) 2! hy (xn ) hk (k 1 1)! y(k 1) (c), donde c es ahora algún número entre xn y xn  1. Cuando y(x) es una solución de y  f (x, y) en el caso k  1 y el residuo 12 h2 y (c) es pequeño, vemos que un polinomio de Taylor y(xn  1)  y(xn)  hy(xn) de grado uno concuerda con la fórmula de aproximación del método de Euler yn yn 1 hy n yn h f (xn , yn ). MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE SEGUNDO ORDEN Para ilustrar más (1), ahora se considera un procedimiento de Runge-Kutta de segundo orden. Éste consiste en encontrar constantes o parámetros w1, w2, Į y ȕ tal que la fórmula yn donde 1 yn h (w1k1 k1 f (xn , yn ) k2 f (xn h , yn w2 k2 ), hk1), (2) 360 l CAPÍTULO 9 SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS FRQFXHUGDFRQXQSROLQRPLRGH7D\ORUGHJUDGRGRV3DUDQXHVWURVREMHWLYRVHVVX¿ciente decir que esto se puede hacer siempre que las constantes satisfagan 1 1 (3) y w2 . 2 2 Este es un sistema algebraico de tres ecuaciones con cuatro incógnitas y tiene un núPHURLQ¿QLWRGHVROXFLRQHV w1 w2 1, w1 1 w2 , w2 1 2w2 1 2 donde w2  0. Por ejemplo, la elección w2 tanto (2) se convierte en yn donde k1 y f (xn , yn) (4) 1y 1 y, por k2), f (xn k2 1 2, produce w1 h (k 2 1 yn 1 1 , 2w2 y h, yn hk1). Puesto que xn  h  xn  1 y yn  hk1  yn  h f (xn, yn) se reconoce al resultado anterior como el método mejorado de Euler que se resume en (3) y (4) de la sección 9.1. En vista de que w2  0 se puede elegir de modo arbitrario en (4), hay muchos posibles métodos de Runge-Kutta de segundo orden. Vea el problema 2 en los ejercicios 9.2. Se omite cualquier explicación de los métodos de tercer orden para llegar al punto principal de análisis en esta sección. MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDEN Un procedimiento de Runge-Kutta de cuarto orden consiste en determinar parámetros de modo que la fórmula yn donde 1 h (w1 k1 yn w2 k2 w4 k4 ), w3 k3 k1 f (xn , yn ) k2 f (xn 1 h, yn 1 hk1) k3 f (xn 2 h, yn 2 hk1 3 hk2 ) k4 f (xn 3 h, yn 4 hk1 5 hk2 (5) 6 hk3 ), concuerda con un polinomio de Taylor de grado cuatro. Esto da como resultado un sistema de 11 ecuaciones con 13 incógnitas. El conjunto de valores usado con más frecuencia para los parámetros produce el siguiente resultado: yn k1 h (k 6 1 f (xn , yn ) k2 f xn 1 2 k2 yn 1 2 h, yn k3 ( f (xn 1 2 h, yn k4 f (xn h , yn 2 k3 ) 1 2 hk2) 1 2 hk1 k4), (6) hk3). Mientras que las otras fórmulas de cuarto orden se deducen con facilidad, el algoritmo resumido en (6) que es muy usado y reconocido como una invaluable herramienta de cálculo, se denomina el método de Runge-Kutta de cuarto orden o método clásico de Runge-Kutta. De aquí en adelante se debe considerar a (6) cuando se use la abreviatura método RK4. Se le aconseja que tenga cuidado con las fórmulas en (6); observe que k2 depende de k1, k3 depende de k2 y k4 depende de k3. También, k2 y k3 implican aproximaciones a la pendiente en el punto medio xn 12 h HQHOLQWHUYDORGH¿QLGRSRUxn  x  xn  l. 9.2 EJEMPLO 1 MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA l 361 Método RK4 Use el método RK4 con h  0.1 para obtener una aproximación a y(1.5) para la solución de y  2xy, y(1)  1. SOLUCIÓN 3DUDHMHPSOL¿FDUSHUPtWDQRVFDOFXODUHOFDVRFXDQGRn  0. De (6) se encuentra que k1 f (x0 , y0) 2 x0 y0 2 k2 k3 TABLA 9.5 k4 Método RK4 con h  0.1 xn yn Valor real Error % de error absoluto relativo 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.0000 1.2337 1.5527 1.9937 2.6116 3.4902 1.0000 1.2337 1.5527 1.9937 2.6117 3.4904 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ( 2 (x0 f (x0 2 (x0 f x0 1 2 (0.1) ) 1 2 (0.2)) 1 2 (0.1), y0 1 2 (0.1)2.31 )( y0 1 2 (0.231) 1 2 (0.1), y0 )( y0 1 2 (0.1) f (x0 (0.1), y0 2(x0 0.1)( y0 1 2 (0.1)2 2.31 ) ) 2.34255 (0.1)2.34255) 0.234255) 2.715361 y por tanto 0.1 (k 2 k2 2 k3 k4 ) 6 1 0.1 1 (2 2(2.31) 2(2.34255) 2.715361) 1.23367435. 6 Los cálculos que restan se resumen en la tabla 9.5, cuyas entradas se redondean a cuatro decimales. y1 y0 Al examinar la tabla 9.5 se encuentra por qué el método de Runge-Kutta de cuarto orden es popular. Si todo lo que se desea es una precisión de cuatro decimales, es innecesario usar un tamaño de paso más pequeño. En la tabla 9.6 se comparan los resultados de aplicar los métodos de Euler, de Euler mejorado y de Runge-Kutta de cuarto orden al problema con valores iniciales y 2xy, y (l)  1. (Véanse las tablas 9.1 a 9.4.) TABLA 9.6 y  2xy, y(1)  1 Comparación de métodos numéricos con h  0.1 Comparación de métodos numéricos con h  0.05 xn Euler Euler mejorado RK4 Valor real 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.0000 1.2000 1.4640 1.8154 2.2874 2.9278 1.0000 1.2320 1.5479 1.9832 2.5908 3.4509 1.0000 1.2337 1.5527 1.9937 2.6116 3.4902 1.0000 1.2337 1.5527 1.9937 2.6117 3.4904 xn Euler Euler mejorado RK4 Valor real 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.0000 1.1000 1.2155 1.3492 1.5044 1.6849 1.8955 2.1419 2.4311 2.7714 3.1733 1.0000 1.1077 1.2332 1.3798 1.5514 1.7531 1.9909 2.2721 2.6060 3.0038 3.4795 1.0000 1.1079 1.2337 1.3806 1.5527 1.7551 1.9937 2.2762 2.6117 3.0117 3.4903 1.0000 1.1079 1.2337 1.3806 1.5527 1.7551 1.9937 2.2762 2.6117 3.0117 3.4904 ERRORES DE TRUNCAMIENTO PARA EL MÉTODO RK4 En la sección 9.1 vimos que los errores de truncamiento globales para el método de Euler y el método de Euler mejorado son, respectivamente, O(h) y O(h2). Debido a que la primera ecuación en (6) concuerda con un polinomio de Taylor de cuarto grado, el error de truncamiento global para este método es y(5)(c) h5兾5! o O(h5), y así el error de truncamiento global es O(h4). Ahora es evidente por qué el método de Euler, el método de Euler mejorado y (6) son métodos de primero, segundo y cuarto orden, respectivamente. 362 CAPÍTULO 9 l SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EJEMPLO 2 Límite para errores de truncamiento locales Determine un límite para los errores de truncamiento local del método RK4 aplicado a y  2xy, y(l)  1. SOLUCIÓN Al calcular la quinta derivada de la solución conocida y (x) ex 2 1 se obtiene y (5)(c) TABLA 9.7 h (120 c 160 c 3 32 c 5 ) e c 2 1 h5 . 5! (7) Por lo que con c  1.5, (7) se obtiene un límite de 0.00028 en el error de truncamiento local para cada uno de los cinco pasos cuando h  0.1. Observe que en la tabla 9.5 el error en y1 es mucho menor que este límite. En la tabla 9.7 se presentan las aproximaciones a la solución del problema con valores iniciales en x  1.5 que se obtienen del método RK4. Al calcular el valor de la solución analítica en x  1.5, se puede encontrar el error en estas aproximaciones. Debido a que el método es tan preciso, se deben usar muchos decimales en la solución numérica para ver el efecto de reducir a la mitad el tamaño de paso. Observe que cuando h se reduce a la mitad, de h  0.1 a h  0.05, el error se divide entre un factor de aproximadamente 24  16, como se esperaba. Método RK4 Aproximación h5 5! Error 0.1 3.49021064 1.32321089  104 0.05 3.49033382 9.13776090  106 MÉTODOS DE ADAPTACIÓN Se ha visto que la precisión de un método numérico para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales mejora al reducir el tamaño de paso h. Por supuesto, esta mayor precisión tiene usualmente un costo, en particular, incremento en el tiempo de cálculo y mayor posibilidad de error de redondeo. En general, en el intervalo de aproximación podría haber subintervalos donde un tamaño de paso relativamente grande HVVX¿FLHQWH\RWURVVXELQWHUYDORVGRQGHVHUHTXLHUHXQWDPDxRGHSDVRPiVSHTXHxRSDUD mantener el error de truncamiento dentro del límite deseado. Los métodos numéricos en los que se usa un tamaño de paso variable se llaman métodos de adaptación. Una de las rutinas más populares de adaptación es el método de Runge-Kutta-Fehlberg. Debido a que Fehlberg empleó dos métodos de Runge-Kutta de órdenes distintos, uno de cuarto y otro de quinto, este algoritmo suele denotarse como método RKF45.* * EJERCICIOS 9.2 El método de Runga-Kutta de orden cuarto usado en RKF45 no es el mismo que se presenta en (6). Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-16. 1. Use el método RK4 con h  0.1 para aproximar y(0.5), donde y(x) es la solución del problema de valores iniciales y (x y 1) 2, y(0)  2. Compare este valor aproximado con el valor real obtenido en el problema 11 de los ejercicios 9.1. 2. Suponga que w2 34 en (4). Use el método de Runge-Kutta de segundo orden resultante para aproximar y(0.5), donde y(x) es la solución del problema con valores iniciales en el problema 1. Compare este valor aproximado con el valor obtenido en el problema 11 en los ejercicios 9.1. En los problemas 3 a 12, use el método RK4 con h  0.1 para obtener una aproximación de cuatro decimales del valor indicado. 3. y  2x  3y  1, y(1)  5; y(1.5) 4. y  4x  2y, y(0)  2; y(0.5) 5. y  1  y 2, y(0)  0; y(0.5) 6. y  x 2  y 2, y(0)  1; y(0.5) 7. y  ey, y(0)  0; y(0.5) 8. y  x  y 2, y(0)  0; y(0.5) 9. y  (x  y)2, y(0)  0.5; y(0.5) 1y, y (0) 1; y (0.5) y 11. y xy , y (1) 1; y (1.5) x 12. y  y  y 2, y(0)  0.5; y(0.5) 10. y xy 2 13. Si la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea, entonces la velocidad v de una masa m que se deja caer desde cierta altura se determina de dv m mg kv2, k 0. dt Sea v(0)  0, k  0.125, m  5 slugs y g  32 pies兾s2. 9.2 a) Use el método RK4 con h  1 para aproximar la velocidad v(5). b) Utilice un programa de solución numérica para trazar ODJUi¿FDVROXFLyQGHO39,HQHOLQWHUYDOR>@ c) Utilice la separación de variables para resolver el PVI y luego determine el valor real v(5). 14. Un modelo matemático para el área A (en cm2) que ocupa una colonia de bacterias (B. dendroides) está dada por dA dt A(2.128 0.0432 A).* Suponga que el área inicial es 0.24 cm2. a) Use el método RK4 con h  0.5 para completar la siguiente tabla: t (días) A (observado) 1 2 3 4 5 2.78 13.53 36.30 47.50 49.40 A (aproximado) b) Use un programa de solución numérica para trazar la JUi¿FDGHVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV Calcule los valores A(1), A(2), A(3), A(4) y A(5) de ODJUi¿FD c) Use la separación de variables para resolver el problema con valores iniciales y calcular los valores reales A(l), A(2), A(3), A(4) y A(5). 15. Considere el problema con valores iniciales y  x2  y3, y(1)  1. Vea el problema 12 de los ejercicios 9.1. a) Compare los resultados obtenidos de usar el método RK4 en el intervalo [1, 1.4] con tamaños de paso h  0.1 y h  0.05. b) Utilice un programa de solución numérica para trazar ODJUi¿FDVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVLQLFLDOHV en el intervalo [1, 1.4]. 16. Considere el problema con valores iniciales y  2y, y(0)  1. La solución analítica es y(x)  e2x. a) Aproxime y(0.1) con un paso y el método RK4. b) Determine un límite para el error de truncamiento local en y1. c) Compare el error en y1 con el límite de error. d) Aproxime y(0.1) con dos pasos y el método RK4. e) Compruebe que el error global de truncamiento para el método RK4 es O(h4) comparando los errores en los incisos a) y d). 17. Repita el problema 16 con el problema con valores iniciales y  2y  x, y(0)  1. La solución analítica es y (x) 1 2x 1 4 5 2x . 4e * Vea Vladimir A. Kostitzin, Mathematical Biology, Londres, Harrap, 1939. MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA l 363 18. Considere el problema con valores iniciales y  2x  3y  1, y(l)  5. La solución analítica es y (x) 1 9 2 3x 38 9 e 3(x 1) . a) Encuentre una fórmula en la que intervengan c y h para el error de truncamiento local en el n-ésimo paso si se emplea el método RK4. b) Calcule un límite para el error de truncamiento local en cada paso si se emplea h  0.1 para aproximar y(1.5). c) Aproxime y(1.5) con el método RK4 con h  0.1 y h  0.05. Vea el problema 3. Será necesario considerar más de seis cifras para ver el efecto de reducir el tamaño de paso. 19. Repita el problema 18 para el problema con valores iniciales y  ey, y(0)  0. La solución analítica es y(x)  ln(x  1). Aproxime y(0.5). Vea el problema 7. Problemas para analizar 20. Se utiliza una cuenta del número de evaluaciones de la función usada para resolver el problema con valores iniciales y  f(x, y), y(x0)  y0 como medida de la complejidad de un método numérico. Determine el número de evaluaciones de f requeridas para cada paso de los métodos de Euler, de Euler mejorado y RK4. Considerando algunos ejemplos, compare la precisión de estos métodos cuando se usa con complejidades computacionales comparables. Tarea para el laboratorio de computación 21. El método RK4 para resolver un problema con valores iniciales en un intervalo [a, b] da como resultado un conMXQWR¿QLWRGHSXQWRVTXHVHVXSRQHDSUR[LPDQSXQWRVHQ ODJUi¿FDGHODVROXFLyQH[DFWD3DUDDPSOLDUHVWHFRQMXQWR GH SXQWRV GLVFUHWRV D XQD VROXFLyQ DSUR[LPDGD GH¿QLGD en los puntos en el intervalo [a, b], se puede usar una función de interpolación. Esta es una función incluida en la mayor parte de los sistemas de álgebra computarizados, que concuerda de modo exacto con los datos y asume una transición uniforme entre puntos. Estas funciones de interpolación pueden ser polinomios o conjuntos de polinomios que se unen suavemente. En Mathematica el comando y  Interpolation[data] se usa para obtener una función de interpolación por los puntos data  {{x0, y0}, {x1, y1}, . . . , {xn, yn}}. La función de interpolación y[x] se puede tratar ahora como cualquier otra función integrada en el sistema algebraico computarizado. a) Encuentre la solución analítica del problema con valores iniciales y  y  10 sen 3x; y(0)  0 en el LQWHUYDOR > @ 7UDFH OD JUi¿FD GH HVWD VROXFLyQ \ determine sus raíces positivas. b) Use el método RK4 con h  0.1 para aproximar una solución del problema con valores iniciales del inciso a). Obtenga una función de interpolación y trace la JUi¿FD (QFXHQWUH ODV UDtFHV SRVLWLYDV GH OD IXQFLyQ de interpolación del intervalo [0, 2]. 364 l CAPÍTULO 9 9.3 SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS MÉTODOS MULTIPASOS REPASO DE MATERIAL l Secciones 9.1 y 9.2. INTRODUCCIÓN Los métodos de Euler, de Euler mejorado y de Runge-Kutta son ejemplos de métodos de un sólo paso o de inicio. En estos métodos cada valor sucesivo yn  1 se calcula sólo con base en la información acerca del valor precedente inmediato yn. Por otro lado, los métodos multipasos o continuos usan los valores de los diferentes pasos calculados para obtener el valor de yn  1. Hay un gran número de fórmulas de métodos multipasos para aproximar soluciones de ED, pero como no se tiene la intención de estudiar el extenso campo de procedimientos numéricos, sólo consideraremos uno de estos métodos. MÉTODO DE ADAMS-BASHFORTH-MOULTON El método multipasos que se analiza en esta sección se llama método de Adams-Bashforth-Moulton de cuarto orden. Al igual que el método de Euler mejorado es un método de predicción-corrección, es decir, se emplea una fórmula para predecir un valor y*n 1, que a su vez se usa para obtener un valor corregido yn1. La predicción en este método es la fórmula de Adams-Bashforth yn* h (55y n 24 yn 1 59y n 1 37y n yn 1 f (xn 1 , yn 1 ) yn 2 f (xn 2 , yn 2 ) yn 3 f (xn 3 , yn 3 ) para n  3. Después se sustituye el valor de y*n Adams-Moulton 1 h (9 y 24 n yn yn (1) f (xn , yn ) yn yn 9y n 3), 2 1 19 y n 5 yn 1 en la corrección de 1 yn 2 ) (2) f (xn 1 , yn* 1 ). 1 Observe que la fórmula (1) requiere conocer los valores de y0, y1, y2 y y3 para obtener y4. Por supuesto, el valor de y0 es la condición inicial dada. El error de truncamiento local del método de Adams-Bashforth-Moulton es O(h5), los valores de y1, y2 y y3 se calculan generalmente con un método con la misma propiedad de error, tal como el método de Runge-Kutta de cuarto orden. EJEMPLO 1 Método de Adams-Bashforth-Moulton Use el método de Adams-Bashforth-Moulton con h  0.2 para obtener una aproximación a y(0.8) para la solución de y x y 1, y (0) 1. Con un tamaño de paso de h  0.2, y(0.8) se aproxima por y4. En principio se emplea el método RK4 con x0  0, y0  1 y h  0.2 para obtener SOLUCIÓN y1 1.02140000, y2 1.09181796, y3 1.22210646. 9.3 MÉTODOS MULTIPASOS l 365 $KRUDFRQODVLGHQWL¿FDFLRQHVx0  0, x1  0.2, x2  0.4, x3  0.6 y f (x, y)  x  y  1, encontramos y0 f (x0 , y0 ) (0) (1) 1 0 y1 f (x1 , y1) (0.2) (1.02140000) 1 0.22140000 y2 f (x2 , y2 ) (0.4) (1.09181796) 1 0.49181796 y3 f (x3 , y3) (0.6) (1.22210646) 1 0.82210646. Con los valores anteriores entonces la predicción (1) es 0.2 (55y 3 59y 2 37y 1 24 Para usar la corrección (2), primero se necesita y*4 y4 y3 f (x4 , y*4 ) 0.8 1.42535975 9y 0 ) 1.42535975. 1 1.22535975. y 1) 1.42552788. Por último, usando (2) se obtiene y4 y3 0.2 (9 y 4 24 19 y 3 5y 2 Se debe comprobar que el valor real de y(0.8) en el ejemplo 1 es y(0.8)  1.42554093. Vea el problema 1 en los ejercicios 9.3. ESTABILIDAD DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS Una consideración importante al usar métodos numéricos para aproximar la solución de un problema con valores iniciales es la estabilidad del método. En términos simples, un método numérico es estable si cambios pequeños en la condición inicial dan como resultado sólo cambios pequeños en la solución calculada. Se dice que un método numérico es inestable si no es estable. La razón por la cual las consideraciones de estabilidad son importantes es que en cada paso después del primero de una técnica numérica esencialmente se empieza otra vez con un nuevo problema con valores iniciales, donde la condición inicial es el valor solución aproximado calculado en el paso anterior. Debido a la presencia del error de redondeo, es casi seguro que este valor varíe al menos un poco respecto al valor verdadero de la solución. Además del error de redondeo, otra fuente común de error ocurre en la condición inicial; en aplicaciones físicas los datos con frecuencia se obtienen con mediciones imprecisas. Un posible método para detectar inestabilidad en la solución numérica de un proEOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV HVSHFt¿FR HV FRPSDUDU ODV VROXFLRQHV DSUR[LPDGDV REtenidas cuando se emplean tamaños de paso reducidos. Si el método es inestable, el error puede aumentar en realidad con tamaños de paso más pequeños. Otra forma de comprobar la inestabilidad, es observar lo que sucede con las soluciones cuando se perturba un poco la condición inicial (por ejemplo, cambiar y(0)  1 a y(0)  0.999). Para un estudio más detallado y preciso de la estabilidad, consulte un libro de análisis numérico. En general, los métodos examinados en este capítulo tienen buenas características de estabilidad. VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LOS MÉTODOS MULTIPASOS Intervienen muchas consideraciones en la elección de un método para resolver de forma numérica una ecuación diferencial. Los métodos de un sólo paso, en particular el RK4, se eligen debido a su precisión y al hecho de que son fáciles de programar. Sin embargo, una desventaja importante es que el lado derecho de la ecuación diferencial se debe evaluar muchas veces en cada paso. Por ejemplo, el método RK4 requiere cuatro evaluaciones de función para cada paso. Por otro lado, si se han calculado y almacenado las evaluaciones de función del paso anterior, un método multipasos requiere sólo una 366 l CAPÍTULO 9 SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS nueva evaluación de función para cada paso. Esto puede originar grandes ahorros de tiempo y reducir costos. Como ejemplo, resolver en forma numérica y  f (x, y), y(x0)  y0 usando n pasos con el método de Runge-Kutta de cuarto orden requiere 4n evaluaciones de la función. El método multipasos de Adams-Bashforth requiere 16 evaluaciones de la función para el iniciador de cuarto orden de Runge-Kutta y n – 4 para los n pasos de AdamsBashforth, lo que da un total de n  12 evaluaciones de la función para este método. En general, el método multipasos de Adams-Bashforth requiere poco más de un cuarto del número de evaluaciones de función necesarias para el método RK4. Si se complica la evaluación de f (x, y HOPpWRGRPXOWLSDVRVVHUiPiVH¿FD] Otro asunto relacionado con los métodos multipasos es cuántas veces se debe repetir en cada paso la fórmula de corrección de Adams-Moulton. Cada vez que se usa la corrección, se hace otra evaluación de la función y por tanto se incrementa la precisión a expensas de perder una ventaja del método multipasos. En la práctica, la corrección se calcula una vez y si se cambia el valor de yn  1 por una cantidad grande, se reinicia todo el problema con un tamaño de paso más pequeño. Esta es con frecuencia la base de los métodos de tamaño de paso variable, cuyo análisis está fuera del alcance de este libro. EJERCICIOS 9.3 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-16. 1. Determine la solución analítica del problema con valores iniciales del problema 1. Compare los valores reales de y(0.2), y(0.4), y(0.6) y y(0.8) con las aproximaciones y1, y2, y3 y y4. 2. Escriba un programa de computadora para ejecutar el método de Adams-Bashforth-Moulton. En los problemas 3 y 4 use el método Adams-Bashforth-Moulton para aproximar y(0.8), donde y(x) es la solución del problema con valores iniciales dado. Use h  0.2 y el método RK4 para calcular y1, y2 y y3. 3. y  2x  3y  1, 4. y  4x  2y, 9.4 y(0)  1 y(0)  2 En los problemas 5 a 8, use el método de Adams-BashforthMoulton para aproximar y(1.0), donde y(x) es la solución del problema con valores iniciales dado. Primero use h  0.2 y después use h  0.1. Use el método RK4 para calcular y1, y2 y y3. 5. y  1  y 2, y(0)  0 6. y  y  cos x, 7. y  (x  y) 2, 8. y xy 1y, y(0)  1 y(0)  0 y (0) 1 ECUACIONES Y SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR REPASO DE MATERIAL l Sección 1.1 (forma normal de una ED de segundo orden) l Sección 4.10 (ED de segundo orden escrita como un sistema de ED de primer orden) INTRODUCCIÓN Hasta ahora, nos hemos concentrado en técnicas numéricas que se pueden usar para aproximar la solución de un problema con valores iniciales de primer orden y  f(x, y), y(x0)  y0. Para aproximar la solución de un problema con valores iniciales de segundo orden, se debe expresar una ED de segundo orden como un sistema de dos ED de primer orden. Para hacer esto, se empieza por escribir la ED de segundo orden en forma normal al despejar y en términos de x, y y y. PVI DE SEGUNDO ORDEN Un problema con valores iniciales de segundo orden y f (x, y, y ), y (x0 ) y0 , y (x 0 ) u 0 (1) se puede expresar como un problema con valores iniciales para un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. Si y  u, la ecuación diferencial en (1) se convierte en el sistema 9.4 ECUACIONES Y SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR y l u (2) f (x, y, u ). u 367 Puesto que y(x0)  u(x0), las condiciones iniciales correspondientes para (2) son y(x0)  y0, u(x0)  u0. El sistema (2) se puede resolver de forma numérica mediante la simple aplicación de un método numérico a cada ecuación diferencial de primer orden en el sistema. Por ejemplo, el método de Euler aplicado al sistema (2) sería yn un yn 1 (3) h f (x n , yn , u n ), un 1 hun mientras que el método de Runge-Kutta de cuarto orden o método RK4, sería yn un donde h (m 6 1 yn 1 m1 un m2 un 1 2 hk1 m3 un 1 2 hk2 m4 un hk3 2 m3 m4 ) (4) h (k 6 1 un 1 2 m2 2 k2 2 k3 k1 f (xn , yn , un ) k2 f xn 1 2 h, k3 ( f (xn k4 f (xn h, yn 1 2 h, k4 ) yn 1 2 hm1 , yn 1 2 hm2 , ) ) un 1 2 hk1 un 1 2 hk2 hm3 , un hk3). En general, se puede expresar cada ecuación diferencial de n-ésimo orden y(n)  f (x, y, y, . . . , y(n  1)) como un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden usando las sustituciones y  u1, y  u2, y  u3, . . . , y(n  1)  un. EJEMPLO 1 Método de Euler Use el método de Euler para obtener el valor aproximado de y(0.2), donde y(x) es la solución del problema con valores iniciales y SOLUCIÓN xy 0, y y (0) 1, y (0) (5) 2. En términos de la sustitución y  u, la ecuación es equivalente para el sistema y u u xu y. Por lo que de (3) se obtiene yn 1 yn hun un 1 un h [ xn un yn ]. Usando el tamaño de paso h  0.1 y y0  1, u0  2, encontramos y1 y0 (0.1)u0 1 u1 u0 (0.1) [ x0 u0 y2 y1 (0.1) u1 u2 u1 (0.1)[ x1u1 1.2 (0.1)2 y0 ] 1.2 2 (0.1)(1.9) y1 ] 1.9 (0.1)[ (0)(2) 1] 1.9 1.39 (0.1)[ (0.1)(1.9) 1.2] 1.761. En otras palabras, y(0.2) 艐 1.39 y y(0.2) 艐 1.761. &RQD\XGDGHODDSOLFDFLyQSDUDJUD¿FDUGHXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFDHQOD¿JXUD 9.4.1(a) se compara la curva solución de (5) generada con el método de Euler (h  0.1) en 368 l CAPÍTULO 9 SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS el intervalo [0, 3] con la curva solución generada con el método RK4 (h  'HOD¿JXUD 9.4.1(b) parece que la solución y(x) de (4) tiene la propiedad que y(x) → 0 conforme x → . Si se desea, se puede usar el método de la sección 6.2 para obtener dos soluciones en serie de potencias de la ecuación diferencial en (5). Pero a menos que este método revele que la ED tiene una solución elemental, aún se puede aproximar y(0.2) con una VXPDSDUFLDO([DPLQDQGRQXHYDPHQWHODVVROXFLRQHVHQVHULHLQ¿QLWDVGHODHFXDFLyQ diferencial de Airy y  xy  0, vistas en el ejemplo 5 de la sección 6.2, no muestran el comportamiento oscilatorio que las soluciones y1(x) y y2(x) presentan en ODVJUi¿FDVGHOD¿JXUD(VDVJUi¿FDVVHREWXYLHURQFRQXQSURJUDPDGHVROXFLyQ numérica usando el método RK4 con tamaño de paso de h  0.1. SISTEMAS REDUCIDOS A SISTEMAS DE PRIMER ORDEN Usando un procedimiento similar al que se acaba de describir para ecuaciones de segundo orden, se reduce un sistema de ecuaciones diferenciales de orden superior a un sistema de ecuaciones de primer orden, determinando primero la derivada de orden superior de cada variable dependiente y después haciendo las sustituciones apropiadas para las derivadas de orden menor. EJEMPLO 2 y Un sistema reescrito como un sistema de primer orden Escriba x 5x x Método de Euler 2x 2 et 2y 3t 2 2y y como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. Método RK4 SOLUCIÓN Escriba el sistema como 1 5x x y 3t2 2 x 2 y y después elimine y multiplicando la segunda ecuación por 2 y restando. Esto da y(0.2) 0. 2 et 2y x aproximadamente 1 x 2 9x x 4y 6 t2. et x Puesto que la segunda ecuación del sistema ya expresa la derivada de y de orden superior en términos de las demás funciones, ahora se tiene la posibilidad de introducir nuevas variables. Si se hace x  u y y  v, las expresiones para x y y respectivamente, se convierten en a) Método de Euler (roja) y método RK4 (azul) y u 2 9x x 4y 6 t2 et u v y 2 x 2 y 3t2. El sistema original se puede escribir en la forma x u y 1 u v 5 10 15 b) Método RK4 FIGURA 9.4.1 Curvas solución numérica generadas con diferentes métodos. 20 x v 9x 2x 4y 2y u et 6 t2 3t2. No siempre es posible realizar las reducciones que se muestran en el ejemplo 2. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE UN SISTEMA La solución de un sistema de la forma dx1 –––  g1(t, x1,x2, . . . ,xn) dt dx2 –––  g2(t, x1,x2, . . . ,xn) dt . . . . . . dxn –––  gn(t,x1,x2, . . . ,xn) dt 9.4 ECUACIONES Y SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR l 369 se puede aproximar con una versión del método de Euler, de Runge-Kutta o de Adams-Bashforth-Moulton adaptada al sistema. Por ejemplo, el método RK4 aplicado al sistema x f (t, x, y ) g (t, x, y) y x (t0 ) x0 , se parece a: xn 1 xn yn 1 yn y (t0 ) h (m 6 1 h (k 6 1 2 m2 (6) y0 , 2 m3 2 k2 2 k3 m4 ) (7) k4 ), donde m1 f (tn , xn , yn ) m2 f tn 1 2 m3 ( f (tn m4 f (tn h, xn h, xn 1 2 h, xn 1 2 hm1 , yn 1 2 hm2 , yn hm3, yn EJEMPLO 3 ) 1 2 hk2) 1 2 hk1 hk3 ) k1 g (tn , xn , yn ) k2 g tn 1 2 h, x n 1 2 h m1 , yn k3 ( g(tn 1 2 h, xn 1 2 h m2 , yn k4 g (tn h, xn hm3 , yn ) 1 2 h k2) 1 2 h k1 (8) hk3 ). Método RK4 Considere el problema con valores iniciales x 2x 4y y x 6y x (0) TABLA 9.8 y (0) 6. Use el método RK4 para aproximar x(0.6) y y(0.6). Compare los resultados para h  0.2 y h  0.1. h  0.2 tn xn yn 0.00 0.20 0.40 0.60 1.0000 9.2453 46.0327 158.9430 6.0000 19.0683 55.1203 150.8192 SOLUCIÓN Se muestran los cálculos de x1 y y1 con tamaño de paso h  0.2. Con las LGHQWL¿FDFLRQHVf (t, x, y)  2x  4y, g(t, x, y)  x  6y, t0  0, x0  1 y y0  6, se ve de (8) que m1 f (t0 , x0 , y0 ) f (0, 1, 6) k1 g (t0 , x0 , y0) g (0, 1, 6) m2 1 2 h, x0 1 2 hm1 , y0 1 2 h, x0 1 2 hm1, y0 1 2 h, x0 1 2 hm 2 , y0 1 2 h, x0 1 2 hm2 , y0 tn xn yn m3 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 1.0000 2.3840 9.3379 22.5541 46.5103 88.5729 160.7563 6.0000 10.8883 19.1332 32.8539 55.4420 93.3006 152.0025 k3 ( g (t0 f (t0 g (t0 m4 f (t0 h, x0 hm3 , y0 k4 g (t0 h, x0 hm3 , y0 TABLA 9.9 1, k2 h  0.1 f t0 Por tanto de (7) se obtiene 2( 1) 4(6) 1( 1) ) 1 2 hk1) 1 2 hk2) 1 2 hk2) 1 2 hk1 6(6) 22 37 f (0.1, 1.2, 9.7) 41.2 g (0.1, 1.2, 9.7) 57 f (0.1, 3.12, 11.7) 53.04 g (0.1, 3.12, 11.7) 67.08 hk3 ) f (0.2, 9.608, 19.416) 96.88 hk3 ) g (0.2, 9.608, 19.416) 106.888. 370 CAPÍTULO 9 l SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS x1 x, y x0 1 y1 1 y(t) 2 m2 0.2 (22 6 2 m3 2(41.2) y0 0.2 (k 6 1 2 k2 6 0.2 (37 6 2(57) t x(t) 0.2 (m1 6 m4) 2(53.04) 2 k3 96.88) 9.2453 k4) 2(67.08) 106.888) 19.0683, donde, como es usual, los valores calculados de x1 y y1 están redondeados a cuatro lugares decimales. Estos números nos dan la aproximación x1 艐 x(0.2) y y1 艐 y(0.2). Los valores subsecuentes, obtenidos con la ayuda de una computadora, se resumen en las tablas 9.8 y 9.9. _1 FIGURA 9.4.2 Curvas solución numérica para el PVI del ejemplo 3. Se debe comprobar que la solución del problema con valores iniciales del ejemplo 3 está dada por x(t)  (26t  1)e 4t, y(t)  (13t  6)e 4t. De estas ecuaciones vemos que los valores reales x(0.6)  160.9384 y y(0.6)  152.1198 se comparan favoraEOHPHQWHFRQODVHQWUDGDVGHO~OWLPRUHQJOyQGHODWDEOD/DJUi¿FDGHODVROXFLyQ en una vecindad de t TXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDODJUi¿FDVHREWXYRGHXQ programa de solución numérico usando el método RK4 con h  0.1. En conclusión, establacemos el método de Euler para el sistema general (6): EJERCICIOS 9.4 4y 4y 0, 1 xn h f (tn , x n , yn ) yn 1 yn hg (tn , xn , yn ). Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-16. 1. Use el método de Euler para aproximar y(0.2), donde y(x) es la solución del problema con valores iniciales y xn y (0) 2, y (0) 1. 6. Cuando E  100 V, R  10 ! y L  1 h, el sistema de ecuaciones diferenciales para las corrientes i1(t) e i3(t) en ODUHGHOpFWULFDGDGDHQOD¿JXUDHV Use h  0.1. Encuentre la solución analítica del problema y compare el valor real de y(0.2) con y2· di1 dt 2. Use el método de Euler para aproximar y(1.2), donde y(x) es la solución del problema con valores iniciales di3 dt x2 y 2 xy 2y 0, y (1) 4, y (1) 9, donde x 0. Use h  0.1. Encuentre la solución analítica del problema y compare el valor real de y(1.2) con y2. En los problemas 3 y 4 repita el problema indicado con el método RK4. Primero utilice h  0.2 y después h  0.1. 20 i1 10 i1 10 i3 100 20 i3 , donde i1(0)  0 e i3(0)  0. Use el método RK4 para aproximar i1(t) e i3(t) en t  0.1, 0.2, 0.3, 0.4 y 0.5. Use h  0.1. Mediante un programa de solución numérica obWHQJDODJUi¿FDGHODVROXFLyQHQHOLQWHUYDOR t  5. 8VHODVJUi¿FDVSDUDSUHGHFLUHOFRPSRUWDPLHQWRGHi1(t) e i3(t) conforme t → . 3. Problema 1 4. Problema 2 5. Use el método RK4 para aproximar y(0.2), donde y(x) es la solución del problema con valores iniciales. y 2y 2 y et cos t, y (0) 1, y (0) 2. Primero use h  0.2 y después h  0.1. i3 R i1 E L i2 L R FIGURA 9.4.3 Red del problema 6. R 9.5 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA DE SEGUNDO ORDEN En los problemas 7 a 12, use el método de Runge-Kutta para aproximar x(0.2) y y(0.2). Primero use h  0.2 y después h  0.1. Use un programa de solución numérica y h  0.1 para WUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQHQXQDYHFLQGDGGHt  0. 7. x  2x  y y  x x(0)  6, y(0)  2 9.5 l 371 9. x  y  t 10. x  6x  y  6t y  x  t y  4x  3y  10t  4 x(0)  3, y(0)  5 x(0)  0.5, y(0)  0.2 8. x  x  2y y  4x  3y x(0)  1, y(0)  1 11. x  4x  y  7t 12. x y 4t x  y  2y  3t x  y  y  6t 2  10 x(0)  1, y(0)  2 x(0)  3, y(0)  1 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA DE SEGUNDO ORDEN REPASO DE MATERIAL l Sección 4.1 l Ejercicios 4.3 (Problemas 37 a 40) l Ejercicios 4.4 (Problemas 37 a 40) l Sección 5.2 INTRODUCCIÓN En la sección 9.4 vimos cómo aproximar la solución de un problema con valores iniciales de segundo orden y  f (x, y, y), y(x 0 )  y0 , y(x 0 )  u 0. En esta sección se tratan dos métodos para encontrar una solución aproximada de un problema con valores en la frontera de segundo orden y(a)  Į, y  f (x, y, y), y(b)  ȕ. A diferencia del procedimiento utilizado en los problemas con valores iniciales de segundo orden, en los métodos para los problemas con valores en la frontera de segundo orden no se requiere escribir la ED de segundo orden como un sistema de ED de primer orden. APROXIMACIONES POR DIFERENCIAS FINITAS El desarrollo en serie de Taylor centrado en el punto a, de una función y(x) es y (x) y (a) y (a) x a y (a) 1! a) 2 (x 2! a) 3 (x y (a) . 3! Si se hace h  x  a, entonces el renglón anterior es igual a y (x) y (a) y (a) h 1! y (a) h2 2! y (a) h3 3! . Para el análisis posterior es conveniente volver a escribir la última expresión en las dos formas alternativas: y h2 2 y (x ) h2 2 y (x) y (x h) y (x) y (x) h y (x) y (x h) y (x) y (x) h y (x) h3 6 h3 6 (1) . (2) Si h es pequeña, podemos despreciar los términos que implican a h4, h5, . . . puesto que estos valores son despreciables. En realidad, si se ignoran todos los términos con h2 y superiores, y resolviendo (1) y (2), respectivamente, para y(x) se obtienen las aproximaciones siguientes para la primera derivada: 372 l CAPÍTULO 9 SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS y (x) 1 [ y (x h y (x) 1 [ y (x) h h) y (x)] (3) h)]. (4) y (x Restando (1) y (2) también se obtiene 1 [ y (x 2h y (x) h) y (x (5) h)]. Por otro lado, si se ignoran los términos con h3 y superiores, entonces al sumar (1) y (2) se obtiene una aproximación de la segunda derivada y(x): 1 [ y (x h2 y (x) h) 2 y (x) y (x (6) h)]. Los lados derechos de (3), (4), (5) y (6) se llaman cocientes de diferencias. Las expresiones y (x h) y (x), y (x) y y (x y (x h) h), y (x 2 y (x) y (x h) y (x h), h) se llaman GLIHUHQFLDV¿QLWDV. En particular, y(x  h)  y(x) recibe el nombre de diferencia hacia adelante, y(x)  y(x  h) es una diferencia hacia atrás y tanto y(x  h)  y(x  h) como y(x  h)  2y(x)  y(x  h) se llaman diferencias centrales. Los resultados que se presentan en (5) y (6) se llaman aproximaciones por diferencias centrales de las derivadas y y y. MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS Ahora considere un problema lineal con valores en la frontera de segundo orden P (x) y y Q (x ) y f (x), y (a) , y (b) (7) . Suponga que a  x0  x1  x2  . . .  xn  1  xn  b representa una partición regular del intervalo [a, b], es decir, xi  a  ih, donde i  0, 1, 2, . . . , n y h  (b  a)兾n. Los puntos x1 h, a x2 2 h, . . . , a xn a 1 (n 1) h se llaman puntos de malla interiores del intervalo [a, b]. Si hacemos yi y (xi ), Pi P (xi ), Q (xi ) Qi y fi f (xi ) y si y y y en (7) se reemplazan por las aproximaciones de diferencias centrales (5) y (6), se obtiene yi 1 2 yi h2 yi 1 Pi yi yi 1 2h 1 Qi yi fi RGHVSXpVGHVLPSOL¿FDU 1 h P y 2 i i 1 ( 2 h2 Qi ) yi 1 h P y 2 i i 1 h2 fi . (8) La ultima ecuación se conoce como HFXDFLyQGHGLIHUHQFLDV¿QLWDVy es una aproximación a la ecuación diferencial. Permite aproximar la solución y(x) de (7) en los puntos de malla interiores x1, x2, . . . , xn  1 del intervalo [a, b]. Si i toma los valores 1, 2, . . . , n  1 en (8), se obtienen n  1 ecuaciones con n  1 incógnitas y1, y2, . . . , 9.5 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA DE SEGUNDO ORDEN l 373 yn – 1. Considere que se conocen y0 y yn porque son las condiciones prescritas en la frontera y0  y(x0)  y(a)  Į y yn  y(xn)  y(b)  ȕ. En el ejemplo 1 se considera un problema con valores en la frontera para el que se pueden comparar los valores aproximados con los valores reales de una solución explícita. EJEMPLO 1 8VRGHOPpWRGRGHGLIHUHQFLDV¿QLWDV Use la ecuación de diferencias (8) con n  4 para aproximar la solución del problema con valores en la frontera y  4y  0, y(0)  0, y(1)  5. 3DUD XVDU   VH LGHQWL¿FD P(x)  0, Q(x)  4, f(x)  0 y 0)> 4 14 . De donde la ecuación de diferencia es SOLUCIÓN h (1 yi 2.25 yi 1 yi (9) 0. 1 1 2 3 Ahora, los puntos interiores son x1 0 4 , x2 0 4 , x3 0 4 , por lo que para i  1, 2 y 3, la ecuación (9) genera el sistema siguiente para las correspondientes y1, y2 y y3 2.25 y1 y2 y3 y4 y0 0 2.25 y2 y1 0 2.25 y3 y2 0. Con las condiciones en la frontera y0  0 y y4  5 el sistema anterior se convierte en 0 y2 2.25y1  y1  2.25y 2  y3  0 y 2  2.25y 3  5. La solución del sistema es y1  0.7256, y2  1.6327 y y3  2.9479. Ahora la solución general de la ecuación diferencial dada es y  c1 cosh 2x  c2 senh 2x. La condición y(0) VLJQL¿FDTXHc1  0. La otra condición en la frontera da c2. De este modo se ve que una solución del problema con valores en la frontera es y(x)  (5 senh 2x)兾senh 2. Por tanto, los valores reales (redondeados a cuatro decimales) de esta solución en los puntos interiores son los siguientes: y(0.25)  0.7184, y(0.5)  1.6201 y y(0.75)  2.9354. La precisión de las aproximaciones en el ejemplo 1 se puede mejorar usando un valor más pequeño de h. Por supuesto, usar un valor más pequeño de h requiere resolver un sistema más grande de ecuaciones. Se deja como ejercicio demostrar que con h 18 , las aproximaciones a y(0.25), y(0.5) y y(0.75) son 0.7202, 1.6233 y 2.9386, respectivamente. Vea el problema 11 en los ejercicios 9.5. EJEMPLO 2 8VDQGRHOPpWRGRGHGLIHUHQFLDV¿QLWDV Use la ecuación diferencial (8) con n  10 para aproximar la solución de y 3y 2y 4 x 2, y (1) 1, y (2) 6. (QHVWHFDVRVHLGHQWL¿FDP(x)  3, Q(x)  2, f(x)  4x2 y h  (2  1) 兾10  0.1, y así (8) se convierte en SOLUCIÓN 1.15 yi 1 1.98 yi 0.85 yi 1 0.04 x 2i . (10) 374 l CAPÍTULO 9 SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Ahora los puntos interiores son x1  1.1, x2  1.2, x3  1.3, x4  1.4, x5  1.5, x6  1.6, x7  1.7, x8  1.8 y x9  1.9. Para i  1, 2, . . . , 9 y y0  1, y10  6, la ecuación (10) da un sistema de nueve ecuaciones y nueve incógnitas: 1.15 y2 1.98 y1 0.8016 1.15 y3 1.98 y2 0.85 y1 0.0576 1.15 y4 1.98 y3 0.85 y2 0.0676 1.15 y5 1.98 y4 0.85 y3 0.0784 1.15 y6 1.98 y5 0.85 y4 0.0900 1.15 y7 1.98 y6 0.85 y5 0.1024 1.15 y8 1.98 y7 0.85 y6 0.1156 1.15 y9 1.98 y8 0.85 y7 0.1296 1.98 y 9 0.85 y 8 6.7556. Se puede resolver este grande sistema usando eliminación de Gauss o, con relativa facilidad, por medio de un sistema algebraico computarizado. El resultado que se encuentra es y1  2.4047, y2  3.4432, y3  4.2010, y4  4.7469, y5  5.1359, y6  5.4124, y7  5.6117, y8  5.7620 y y9  5.8855. MÉTODO DE TANTEOS Otro modo de aproximar una solución de un problema con valores en la frontera y  f(x, y, y), y(a)  Į, y(b)  ȕ se denomina método de tanteos. El punto de partida de este método es reemplazar el problema con valores en la frontera por un problema con valores iniciales y f ( x, y, y ), y (a) a, y (a) m1. (11) El número m1 en (11) es simplemente una suposición de la pendiente desconocida de la curva solución en el punto conocido (a, y(a)). Se puede aplicar entonces una de las técnicas numéricas paso a paso a la ecuación de segundo orden en (11) para encontrar una aproximación ȕ1 del valor de y(b). Si ȕ1 concuerda con el valor dado y(b)  ȕ dentro de alguna tolerancia asignada antes, se detiene el cálculo; de otro modo se repiten los cálculos, empezando con una suposición distinta y(a)  m2 para obtener una segunda aproximación ȕ2 para y(b). Se puede continuar con este método usando prueba y error o las pendientes siguientes m3, m4, . . . se ajustan de alguna manera sistemática. La interpolación lineal proporciona, en especial, resultados satisfactorios cuando la ecuación diferencial en (11) es lineal. El procedimiento es similar al tiro al blanco (el objetivo es elegir la pendiente inicial), se dispara hacia una objetivo ojo de buey y(b) hasta que se acierta. Vea el problema 14 en los ejercicios 9.5. Por supuesto, lo que subyace en el uso de estos métodos numéricos es la suposición de que existe una solución para el problema con valores en la frontera, la que se sabe, no está siempre garantizada. COMENTARIOS (OPpWRGRGHDSUR[LPDFLyQFRQGLIHUHQFLDV¿QLWDVVHSXHGHJHQHUDOL]DUDSUREOHPDVFRQYDORUHVHQODIURQWHUDHQORVTXHODSULPHUDGHULYDGDVHHVSHFL¿FDHQXQD frontera, por ejemplo, un problema del tipo y  f (x, y, y), y(a)  Į, y(b)  ȕ. Vea el problema 13 de los ejercicios 9.5. REPASO DEL CAPÍTULO 9 EJERCICIOS 9.5 1. y  9y  0, y(0)  4, y(2)  1; 2. y  y  x , y(0)  0, y(1)  0; n  4 3. y  2y  y  5x, n4 y(0)  0, y(1)  0; 4. y  10y  25y  1, n5 y(0)  1, y(1)  0; n  5 5. y  4y  4y  (x  1)e 2x, y(0)  3, y(1)  0; n  6 6. y 4 1x, y (1) 5y 1, y (2) 1; n 7. x y  3xy  3y  0, y(1)  5, y(2)  0; 8. x 2 y  xy  y  ln x, y(1)  0, y(2)  2; 2 6 n8 n8 9. y  (1  x)y  xy  x, y(0)  0, y(1)  2; n  10 10. y  xy  y  x, y(0)  1, y(1)  0; n  10 11. Resuelva de nuevo el ejemplo 1 usando n  8. 12. El potencial electrostático u entre dos esferas concéntricas de radio r  1 y r  4 se determina a partir de d 2u dr 2 2 du r dr 0, u (1) 375 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-16. (QORVSUREOHPDVODXVHHOPpWRGRGHGLIHUHQFLDV¿QLWDV\ el valor indicado de n para aproximar la solución de los problemas con valores en la frontera. 2 l 50, u (4) 100. REPASO DEL CAPÍTULO 9 En los problemas 1 a 4 construya una tabla para comparar los valores indicados de y(x) mediante el método de Euler, el método de Euler mejorado y el método RK4. Calcule redondeando a cuatro cifras decimales. Primero use h  0.1 y después h  0.05. 1. y  2 ln xy, y(1)  2; y(1.1), y(1.2), y(1.3), y(1.4), y(1.5) 2. y  sen x 2  cos y 2, y(0)  0; y(0.1), y(0.2), y(0.3), y(0.4), y(0.5) 1x y , y (0.5) 0.5; 3. y y(0.6), y(0.7), y(0.8), y(0.9), y(1.0) 4. y  xy  y , y(1)  1; y(1.1), y(1.2), y(1.3), y(1.4), y(1.5) Use el método de esta sección con n  6 para aproximar la solución de este problema con valores en la frontera. 13. Considere el problema con valores en la frontera y  xy  0, y(0)  1, y(1)  1. a) Encuentre la ecuación en diferencias correspondiente a la ecuación diferencial. Demuestre que para i  0, 1, 2, . . . , n  1 la ecuación en diferencias produce n con n  1 incógnitas y1, y0, y1, y2, . . . , yn – 1. Aquí y1 y y0 son incógnitas, puesto que y1 representa una aproximación a y al punto exterior x  h y y0 no HVWiHVSHFL¿FDGDHQx  0. b) Use la aproximación de diferencias centrales (5) para demostrar que y1  y1  2h. Utilice esta ecuación para eliminar y1 del sistema en el inciso a). c) Use n  5 y el sistema de ecuaciones encontradas en los incisos a) y b) para aproximar la solución del problema con valores en la frontera original. Tarea para el laboratorio de computación 14. Considere el problema con valores en la frontera y  y – sen (xy), y(0)  1, y(1)  1.5. Use el método de tanteos para aproximar la solución de este problema. (La aproximación se puede obtener usando una técnica numérica, digamos, el método RK4 con h  0.1; o, aún mejor, si tiene acceso a un SAC tal como Mathematica o Maple, puede usar la función NDSolve). Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-16. con h  0.2 y después repita los cálculos usando dos pasos con h  0.1. 6. Utilice el método de Adams-Bashforth-Moulton para aproximar y(0.4), donde y(x) es la solución del problema con valores iniciales y  4x  2y, y(0)  2. Use h  0.1 y el método de RK4 para calcular y1, y 2, y y 3. 7. Utilice el método de Euler para aproximar x(0.2) y y(0.2), donde x(t), y(t) es la solución del problema con valores iniciales. x x y y x y 2 5. Aplique el método de Euler para aproximar y(0.2), donde y(x) es la solución del problema con valores iniciales y – (2x  1)y  1, y(0)  3, y(0)  1. Primero use un paso x (0) 1, y (0) 2. 8. 8VHHOPpWRGRGHODVGLIHUHQFLDV¿QLWDVFRQn  10, aproxime la solución del problema con valores en la frontera y  6.55(1  x)y  1, y(0)  0, y(1)  0. 376 l CAPÍTULO 10 SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS 10 SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS 10.1 10.2 10.3 10.4 Sistemas autónomos Estabilidad de sistemas lineales Linealización y estabilidad local Sistemas autónomos como modelos matemáticos REPASO DEL CAPÍTULO 10 En el capítulo 8 se utilizaron técnicas matriciales para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden de la forma X  AX  F(t). Cuando un sistema de ecuaciones diferenciales no es lineal, generalmente no es posible encontrar soluciones en términos de funciones elementales. En este capítulo demostraremos la valiosa información de la naturaleza geométrica de las soluciones de sistemas que se puede obtener analizando primero soluciones constantes especiales obtenidas de puntos críticos del sistema y de la búsqueda de soluciones periódicas. Se introducirá el importante concepto de estabilidad y se ilustrará con ejemplos de física y ecología. 376 10.1 10.1 SISTEMAS AUTÓNOMOS l 377 SISTEMAS AUTÓNOMOS REPASO DE MATERIAL l Es muy recomendable que lea de nuevo la sección 2.1. INTRODUCCIÓN En la sección 2.1, se presentaron los conceptos de las ED autónomas de primer orden, los puntos críticos de una ED autónoma y la estabilidad de un punto crítico. Esta primera descripción de la estabilidad se mantuvo a propósito en un nivel bastante intuitivo; ahora es tiempo de SUHVHQWDUODGH¿QLFLyQSUHFLVDGHHVWHFRQFHSWR\SDUDKDFHUORQHFHVLWDPRVH[DPLQDUsistemas autóQRPRVGH('GHSULPHURUGHQ(QHVWDVHFFLyQGH¿QLUHPRVORVSXQWRVFUtWLFRVGHVLVWHPDVDXWyQRPRV de dos ED de primer orden; los sistemas autónomos pueden ser lineales o no lineales. SISTEMAS AUTÓNOMOS Un sistema de ecuaciones lineales de primer orden se dice que es autónomo cuando se puede escribir en la forma dx1 dt dx2 dt g1(x1, x2, . . . , xn ) g2(x1, x2, . . . , xn ) (1) dxn gn(x1, x2, . . . , xn ). dt Observe que la variable independiente tQRVHSUHVHQWDHQIRUPDH[SOtFLWDHQHOPLHPbro de la derecha de cada ecuación diferencial. Compare el sistema (1) con el sistema general de ecuaciones (2) de la sección 8.1. EJEMPLO 1 Un sistema no autónomo El sistema de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden dependencia de t dx1 –––  x1  3x2  t2 dt dx2 –––  tx1 sen x2 dt dependencia de t es un sistema no autónomo debido a la presencia de t en los miembros a la derecha de ambas ED. NOTA Cuando n  1 en el sistema (1), una sola ecuación diferencial de primer orden toma la forma dx兾dt  g(x). Esta última ecuación es equivalente a (1) de la sección 2.1, donde los símbolos x y t juegan los papeles de y y x, respectivamente. Se pueden formar VROXFLRQHVH[SOtFLWDV\DTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOdx兾dt  g(x) es separable, lo que aprovecharemos para presentar ejemplos de los conceptos en este capítulo. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN COMO UN SISTEMA Cualquier ecuación diferencial de segundo orden, x  g(x, x), se puede escribir en forma de un sistema autónomo. Como se hizo en la sección 4.10, si hacemos y  x, entonces x  g(x, x) se transforma en y  g(x, y). Así, la ecuación diferencial de segundo orden se transforma en el sistema de dos ecuaciones de primer orden x  y y  g(x, y). 378 l CAPÍTULO 10 SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS EJEMPLO 2 La ED del péndulo como un sistema autónomo En la ecuación (6) de la sección 5.3, demostramos que el ángulo de desplazamiento ș de un péndulo satisface la ecuación diferencial no lineal de segundo orden d2 g sen 0. dt 2 l Si hacemos x  ș y y  șHVWDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHVHJXQGRRUGHQVHSXHGHH[presar en forma del sistema autónomo x y g sen x. l y NOTACIÓN Si X(t) y g(X) denotan respectivamente los vectores columna x1(t) g1(x1,x2, . . . ,xn) g2(x1,x2, . . . ,xn) . g(X)  . . gn(x1,x2, . . . ,xn) () ( x2(t) X(t )  .. , . xn(t) ) , entonces el sistema autónomo de las ecuaciones (1) se puede escribir de manera compacta en forma de vector columna X  g(X). El sistema lineal homogéneo X  AX que estudiamos en la sección 8.2 es un importante caso especial. En este capítulo también es conveniente escribir el sistema (1) usando vectores renglón. Si hacemos que X(t)  (x1(t), x 2(t), . . . , x n(t)) y g(X)  (g1(x1, x2, . . . , x n), g2(x1, x2, . . . , x n), . . . , gn(x1, x2, . . . , x n)), HQWRQFHVHOVLVWHPDDXWyQRPR  WDPELpQVHSRGUtDH[SUHVDUHQODforma de vector renglón X  g(X). Del contexto, debe ser claro si se está usando la forma de vector columna o renglón; por tanto no distinguiremos entre X y XT, la traspuesta de X. En particular, cuando n  2, es conveniente usar la forma de vector renglón y escribir una condición inicial en la forma X(0)  (x0, y0). Cuando la variable t se interpreta como tiempo, llamaremos al sistema (1) de ecuaciones diferenciales como sistema dinámico y a una solución X(t) como el estado del sistema o la respuesta del sistema en el tiempo t. Con esta terminología, un sistema dinámico es autónomo cuando la razón X(t) con la que cambia el sistema sólo depende del estado actual X(t) del sistema. El sistema lineal X  AX  F(t) que estudiamos en el capítulo 8 es entonces autónomo cuando F(t) es constante. En el caso en que n  2 o 3 podemos llamar una solución como camino o trayectoria, porque se pueden considerar x  x1(t), y  x2(t) y z  x3(t) como las ecuaciones paramétricas de una curva. INTERPRETACIÓN COMO CAMPO VECTORIAL Cuando n  2, el sistema (1) se llama sistema autónomo plano, y se escribe como dx dt dy dt P(x, y) (2) Q(x, y). EI vector V(x, y)  (P(x, y), Q(x, y GH¿QHXQcampo vectorial en una región del plano y una solución del sistema puede interpretarse como la trayectoria resultante GHXQDSDUWtFXODTXHVHPXHYHDWUDYpVGHODUHJLyQ3DUDVHUPiVHVSHFt¿FRVVHDTXH V(x, y)  (P(x, y), Q(x, y)) denote la velocidad de una corriente en la posición (x, y) y supongamos que una pequeña partícula (tal como un corcho) se suelta en la corriente en la posición (x0, y0). Si X(t) (x(t), y(t)) denota la posición de la partícula en el tiempo t, 10.1 SISTEMAS AUTÓNOMOS l 379 entonces X(t)  (x(t), y(t)) es el vector velocidad V&XDQGRQRKD\IXHU]DVH[WHUQDV y se desprecian las fuerzas de fricción, la velocidad de la partícula al tiempo t es igual a la velocidad de la corriente en la posición X(t): X (t) V(x(t), y(t)) dx dt dy dt o P(x(t), y(t)) Q(x(t), y(t)). Así la trayectoria de la partícula es una solución del sistema, que satisface la condición inicial X(0)  (x0, y0). Frecuentemente nos referiremos a esta simple interpretación de un sistema autónomo plano, para ilustrar conceptos nuevos. EJEMPLO 3 Sistema autónomo plano de un campo vectorial 8QFDPSRYHFWRULDOSDUDHOHVWDGRHVWDEOHGHOÀXMRGHXQÀXLGRHQWRUQRDXQFLOLQGUR de radio 1 está dado por y V(x, y) (−3, 1) x V0 1 x2 (x2 y2 2xy , 2 , 2 2 y ) (x y2 )2 donde V0HVODUDSLGH]GHOÀXLGROHMRVGHOFLOLQGUR6LVHFRORFDXQSHTXHxRFRUFKRHQ (3, 1), la trayectoria del corcho X(t)  (x(t), y(t)) satisface al sistema autónomo plano FIGURA 10.1.1 Campo vectorial del ÀXMRGHXQÀXLGRGHOHMHPSOR dx dt V0 1 dy dt V0 x2 (x2 y2 y2 )2 2xy (x y2 )2 2 sujeto a la condición inicial X(0)  ( 9pDQVHOD¿JXUD\HOSUREOHPD de los ejercicios 2.4. TIPOS DE SOLUCIONES Si P(x, y), Q(x, y) y las primeras derivadas parciales P兾x, P兾y, Q兾x y Q兾y son continuas en una región R del plano, entonces una solución del sistema autónomo plano (2) que satisface X(0)  X0 es única y es de uno de los tres tipos básicos: 1 X(0) i) P 2 X(0) a) b) Una solución constante x(t)  x0, y(t)  y0 (o X(t)  X0 para todo t). A una solución constante se le llama punto crítico o punto estacionario. Cuando la partícula se coloca en un punto crítico X0, (esto es, X(0)  X0), SHUPDQHFH DKt LQGH¿QLGDPHQWH 3RU HVWD UD]yQ D XQD VROXFLyQ FRQVWDQWH también se le llama solución de equilibrio. Observe que como X(t)  0, un punto crítico es una solución del sistema de ecuaciones algebraicas FIGURA 10.1.2 La curva en a) se P(x, y) 0 llama arco. Q(x, y) 0. ii) X(0) iii) FIGURA 10.1.3 Solución periódica o ciclo. Una solución x  x(t), y  y(t TXHGH¿QHXQarco, es decir, una curva plana que noVHFUX]DDVtPLVPD3RUWDQWRODFXUYDGHOD¿JXUD D SXHGH VHUXQDVROXFLyQGHXQVLVWHPDDXWyQRPRSODQRPLHQWUDVTXHODGHOD¿JXUD 10.1.2(b) puede no ser una solución. Habría dos soluciones que iniciarían en el punto de intersección P. Una solución periódica x  x(t), y  y(t). A una solución se le llama ciclo. Si p es el periodo de la solución, entonces X(t  p)  X(t) y una partícula colocada sobre la curva en X0 circulará la curva y regresará a X0 en p XQLGDGHVGHWLHPSR9HDOD¿JXUD 380 CAPÍTULO 10 l SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS EJEMPLO 4 Encontrando puntos críticos Encuentre todos los puntos críticos de cada uno de los siguientes sistemas autónomos planos: b) x  x 2  y 2  6 y  x 2  y a) x  x  y y  x  y c) x  0.01x(100  x  y) y  0.05y(60  y  0.2x) SOLUCIÓN Encontramos los puntos críticos igualando a cero los miembros de la derecha de las ecuaciones diferenciales. a) La solución del sistema x y 0 x y 0 consiste en todos los puntos en la recta y  x3RUWDQWRKD\XQDFDQWLGDGLQ¿QLWD de puntos críticos. b) Para resolver el sistema x2 y2 6 0 x2 y 3 −3 3 x −3 y 0 sustituimos la segunda ecuación, x2  y en la primera ecuación para obtener y2  y  6  (y  3)(y  2)  0. Si y  3, entonces x2  3, por lo que no hay soluciones reales. Si y  2, entonces x 12 , así los puntos críticos son (12, 2) y ( 12, 2) . c) 3DUDODGHWHUPLQDFLyQGHORVSXQWRVFUtWLFRVHQHVWHLQFLVRF VHQHFHVLWDH[DPLQDU con cuidado los casos. La ecuación 0.0lx(100  x  y)  0 implica que x  0 o que x  y  100. Si x  0, entonces al sustituir en 0.05y(60  y  0.2x)  0, se tiene que y(60  y)  0. Por lo que y  0 o 60, así (0, 0) y (0, 60) son puntos críticos. Si x  y  100, entonces 0  y(60  y  0.2(100  y))  y(40  0.8y). Por lo que y  0 o 50, así (100, 0) y (50, 50) son puntos críticos. Cuando el sistema autónomo plano es lineal empleamos los métodos del capítulo 8 para investigar las soluciones. a) Solución periódica. EJEMPLO 5 Descubriendo soluciones periódicas y Determine si el sistema lineal dado tiene una solución periódica: a) 5 5 x −5 b) Solución no periódica. FIGURA 10.1.4 Curvas solución para el ejemplo 5. b) x  x  2y 1 y y 2 x (QFDGDFDVRGLEXMHODJUi¿FDGHODVROXFLyQTXHVDWLVIDFHX(0)  (2, 0). (2, 0) −5 x  2x  8y y  x  2y SOLUCIÓN a) En el ejemplo 6 de la sección 8.2 utilizamos el método del eigenvalor-eigenvector para demostrar que x c1 (2 cos 2t 2 sen 2t) y c1 cos 2t c2 sen 2t. c2 (2 cos 2t 2 sen 2t) Así, toda solución es periódica, con periodo p  ʌ. La solución que satisface X(0)  (2, 0) es x  2 cos 2t  2 sen 2t, y  sen 2t. Esta solución genera la elipse que se PXHVWUDHQOD¿JXUD D  10.1 SISTEMAS AUTÓNOMOS l 381 b) Utilizando el método del eigenvalor-eigenvector, podemos demostrar que x 2c1e t cos t 2c2e t sen t, y c1e t sen t c2e t cos t. Debido a la presencia de et en la solución general, no hay soluciones periódicas (es decir, ciclos). La solución que satisface X(0)  (2, 0) es x  2et cos t, y  e t sen t, y HQOD¿JXUD E VHPXHVWUDODFXUYDUHVXOWDQWH CAMBIANDO A COORDENADAS POLARES  ([FHSWRHQHOFDVRHQTXHKD\VROXFLRQHVFRQVWDQWHVSRUORJHQHUDOQRHVSRVLEOHOOHJDUDHFXDFLRQHVH[SOtFLWDVGHODV soluciones de un sistema autónomo no lineal. Sin embargo, se pueden resolver algunos sistemas no lineales al cambiarlos a coordenadas polares. De las fórmulas r2  x2  y2 y ș  tan1(y兾x) se obtienen dr 1 dx dy d 1 dx dy (3) x y , y x . 2 dt r dt dt dt r dt dt En ocasiones se pueden usar las ecuaciones (3) para convertir un sistema autónomo plano en coordenadas rectangulares en un sistema más sencillo en coordenadas polares. EJEMPLO 6 Cambiando a coordenadas polares Determine la solución del sistema autónomo plano no lineal x x 1x2 y y2 y x y1x2 y2 que satisfaga la condición inicial X(0)  (3, 3). Sustituyendo dx兾dt y dy兾dt en las ecuaciones de dr兾dt y Gș兾dt en el sistema (3), se obtienen SOLUCIÓN y 3 −3 3 −3 x dr dt 1 [x( y r d dt 1 [ y( y r2 y(x xr) r2 yr)] x(x yr)] 1. Puesto que (3, 3) es (312, ( >4) en , coordenadas polares, la condición inicial X(0)  (3, 3) se convierte en r(0) 312 y ș(0)  ʌ兾4. Separando las variables, vemos que la solución del sistema es 1 r , t c2 t c1 para r  0. (¡Compruébelo!) Entonces aplicando la condición inicial se obtiene r FIGURA 10.1.5 Curva solución del ejemplo 6. xr) t 1 , 12 6 t . 12 6 1 (QOD¿JXUDVHSUHVHQWDODHVSLUDO r EJEMPLO 7 4 >4 . Soluciones en coordenadas polares &XDQGRVHH[SUHVDHQFRRUGHQDGDVSRODUHVFLHUWRVLVWHPDDXWyQRPRSODQRWRPDODIRUPD dr dt d dt 0.5(3 1. r) 382 CAPÍTULO 10 l SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS 'HWHUPLQH\WUDFHODVJUi¿FDVGHODVVROXFLRQHVTXHVDWLVIDFHQTXHX(0)  (0, 1) y X(0)  (3, 0), en coordenadas rectangulares. y 4 Aplicando separación de variables a dr兾dt  0.5(3  r) e integrando Gș兾dt se obtiene la solución r  3  c1e0.5t, ș  t  c2. Si X(0)  (0, 1), entonces r(0)  1 y ș(0)  ʌ兾2. Por lo que c1  2 y c2  ʌ兾2. La curva solución es la espiral r  3  2e0.5(șʌ兾2). Observe que conforme t → , ș aumenta sin límite y r tiende a 3. Si X(0)  (3, 0), entonces r(0)  3 y ș(0)  0. Por lo que c1  c2  0, así r  3 y ș  t. Como x  r cos ș  3 cos t y y  r sen ș  3 sen t, la solución es periódica. (VWDVROXFLyQJHQHUDXQDFLUFXQIHUHQFLDGHUDGLRHQWRUQRD  (QOD¿JXUD se presentan ambas soluciones. SOLUCIÓN −4 x 4 −4 FIGURA 10.1.6 Curvas solución del ejemplo 7. EJERCICIOS 10.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-17. En los problemas 1 a 6 dada la ecuación diferencial no lineal de segundo orden escríbala como un sistema autónomo plano. Encuentre todos los puntos críticos del sistema resultante. 1. x  9 sen x  0 2. x  (x) 2  2x  0 3. x  x(1  x )  x  0 3 4. x 4 x 1 x2 2 2x 0 5. x  x  &x 3 para & 6. x x x x 0 0 para 0 En los problemas 7 a 16 encuentre todos los puntos críticos del sistema autónomo plano dado. 7. x  x  xy y  y  xy 8. x  y 2  x y  x 2  y 9. x  3x 2  4y y  x  y 10. x  x 3  y y  x  y 3 11. x y ( x 10 y(16 x y ) 1 2y x) 2x y 15 13. x  x e y  y(e x  1) 14. x  sen y y  e xy  1 15. x  x(1  x 2  3y 2) y  y(3  x 2  3y 2) 16. x  x(4  y 2) y  4y(1  x 2) 2 y 17. x  x  2y y  4x  3y, X(0)  (2, 2) (Problema 1, Ejercicios 8.2) 18. x  6x  2y y  3x  y, X(0)  (3, 4) (Problema 6, Ejercicios 8.2) 19. x  4x  5y y  5x  4y, X(0)  (4, 5) (Problema 37, Ejercicios 8.2) 20. x  x  y y  2x  y, X(0)  (2, 2) (Problema 34, Ejercicios 8.2) 21. x  5x  y y  2x  3y, X(0)  (1, 2) (Problema 35, Ejercicios 8.2) 12. x  2x  yy  10 y b) Encuentre la solución que satisfaga la condición inicial dada. c) &RQD\XGDGHXQDFDOFXODGRUDJUD¿FDGRUDRGHXQ6$& trace la solución del inciso b) e indique la dirección en la que se recorre la curva. y y 5 En los problemas 17 a 22 se tomaron los sistemas lineales dados de los ejercicios 8.2. a) Determine la solución general y si hay soluciones periódicas. 22. x  x  8y y  x  3y, X(0)  (2, 1) (Problema 38, Ejercicios 8.2) En los problemas 23 a 26, resuelva el sistema autónomo plano no lineal dado, cambiado a coordenadas polares. Describa el comportamiento geométrico de la solución que satisfaga las condiciones iniciales dadas. 23. x  y  x(x 2  y 2) 2 y  x  y(x 2  y 2) 2, X(0)  (4, 0) 24. x  y  x(x 2  y 2) y  x  y(x 2  y 2), X(0)  (4, 0) 10.2 25. x  y  x(1  x 2  y 2) y  x  y(1  x 2  y 2), X(0)  (1, 0), X(0)  (2, 0) [Sugerencia: La ecuación diferencial resultante para r es una ecuación diferencial de Bernoulli. Vea la sección 2.5.] 26. x y y x (4 x2 y2) 1x2 y2 y x (4 x2 y2), 1x2 y2 X(0)  (1, 0), X(0)  (2, 0) ESTABILIDAD DE SISTEMAS LINEALES l 383 Si un sistema autónomo plano tiene una solución periódica, entonces debe haber al menos un punto crítico dentro de 1a curva generada por la solución. Aplique esto en los problemas 27 a 30 y con un programa de solución numérica, investigue la SRVLELOLGDGGHTXHH[LVWDQVROXFLRQHVSHULyGLFDV 27. x  x  6y y  xy  12 28. x  x  6xy y  8xy  2y 29. x  y y  y(1  3x 2  2y 2)  x 30. x  xy y  1  x 2  y 2 ESTABILIDAD DE SISTEMAS LINEALES 10.2 REPASO DE MATERIAL l Sección 10.1, en particular los ejemplos 3 y 4. INTRODUCCIÓN Hemos visto que un sistema autónomo plano dx dt P(x, y) dy dt Q(x, y) origina un campo vectorial V(x, y)  (P(x, y), Q(x, y)) y que una solución X  X(t) se puede interpretar como la trayectoria resultante de una partícula que se coloca inicialmente en la posición X(0)  X0. Si X0 HVXQSXQWRFUtWLFRODSDUWtFXODSHUPDQHFHHQUHSRVR(QHVWDVHFFLyQH[DPLQDUHPRVHOFRPSRUWDPLHQWRGH soluciones cuando X0 se elige cerca de un punto crítico del sistema. X0 Punto crítico a) Localmente estable X0 Punto crítico b) Localmente estable X0 Punto crítico Punto crítico c) Inestable FIGURA 10.2.1 Puntos críticos. ALGUNAS PREGUNTAS FUNDAMENTALES Suponga que X1 es un punto crítico de un sistema autónomo plano y que X  X(t) es una solución del sistema que satisface que X(0)  X0. Si se interpreta la solución como una trayectoria de una partícula en movimiento, nos interesan las respuestas de las siguientes preguntas, cuando X0 está cerca de X1: i) ¿Regresará la partícula al punto crítico? De manera más precisa, ¿volverá a lím t : X(t) X 1? ii) Si la partícula no regresa al punto crítico, ¿permanece cerca de él o se aleja? Es concebible que, por ejemplo, la partícula sólo describa circunferencias en torno al punto crítico o que pueda incluso regresar a XQSXQWRFUtWLFRGLVWLQWRRTXHQRYD\DDQLQJXQR9HDOD¿JXUD Si en alguna vecindad del punto crítico siempreRFXUUHHOFDVR D RHO E GHOD¿JXUD 10.2.1, ese punto crítico se llama localmente estable. Sin embargo, si se encuentra en cualquier vecindad un valor inicial X0 que ocasione un comportamiento parecido al caso (c), ese punto crítico se llama inestable. Estos conceptos se tratarán con mayor precisión en la sección 10.3, donde investigaremos las preguntas i) e ii) para sistemas no lineales. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD Primero investigaremos estos dos casos de estabilidad para sistemas autónomos lineales planos, estableciendo las bases para la sección 10.3. Los métodos de solución del capítulo 8 nos permiten efectuar un análisis geométrico cuidadoso de las soluciones de x  ax  by y  cx  dy (1) 384 l CAPÍTULO 10 SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS HQWpUPLQRVGHORVHLJHQYDORUHV\HLJHQYHFWRUHVGHODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHV a c A b . d Para asegurar que X0  (0, 0) sea el único punto crítico, supondremos que el determinante "  ad  bc  0. Si IJ  a  d es la traza* de la matriz A, entonces, la ecuación característica det(A  ȜI)  0 se puede reescribir como 2 0. Por tanto, los eigenvalores de A son 1 2 4 2, y los tres casos usua2 les para esas raíces se presentan según si IJ  4" es positivo, negativo o cero. En el siguiente ejemplo usamos un programa de solución numérica para determinar la naturaleza de las soluciones correspondientes a estos casos. ( EJEMPLO 1 ) Eigenvalores y la forma de las soluciones Determine los eigenvalores del sistema lineal x x y cx y y en términos de c y utilice un programa de solución numérica para descubrir las formas de las soluciones correspondientes a los casos c 14 , 4, 0 y 9. SOLUCIÓN  /DPDWUL]GHFRH¿FLHQWHV "  1 – c y por tanto los eigenvalores son 1 1 c 14 1 tiene traza IJ  2 y determinante 1 1 1c. 2 2 La naturaleza de los eigenvalores está determinada por el signo de c. 3 1 Si c 14 , entonces los eigenvalores son negativos y diferentes, 2 . En 2 y OD¿JXUD D KHPRVXVDGRXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFDSDUDJHQHUDUFXUYDV solución o trayectorias, que corresponden a diversas condiciones iniciales. Observe TXHH[FHSWRODVWUD\HFWRULDVGLEXMDGDVHQURMRGHOD¿JXUDWRGDVODVWUD\HFWRULDVSDUHcen tender a 0GHVGHXQDGLUHFFLyQ¿MD5HFXHUGHGHOFDStWXORTXHXQFRQMXQWRGH trayectorias en el plano xy o plano fase, se llama diagrama de fase del sistema. Cuando c  4, los eigenvalores tienen signos contrarios, Ȝ  1 y Ȝ 3, y se presenta un fenómeno interesante. Todas las trayectorias se alejan del origen en una GLUHFFLyQ¿MDH[FHSWRODVVROXFLRQHVTXHFRPLHQ]DQDORODUJRGHODUHFWDGLEXMDGDHQ URMRGHOD¿JXUD E <DKHPRVYLVWRFRPSRUWDPLHQWRVSDUHFLGRVHQHOGLDJUDPD GHIDVHGHOD¿JXUD([SHULPHQWHFRQVXSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFD\FRPpruebe estas observaciones. La selección c  0 conduce a un solo eigenvalor real Ȝ  1. Este caso es muy parecido al caso c 14 FRQXQDH[FHSFLyQQRWDEOH7RGDVODVFXUYDVVROXFLyQHQOD ¿JXUD F SDUHFHQWHQGHUD0GHVGHXQDGLUHFFLyQ¿MDFRQIRUPHt aumenta. Por último, cuando c 9, 1 1 9 1 3i. Por tanto, los eigenvalores son números complejos conjugados, con parte real negativa  /D ¿JXUD 10.2.2(d) muestra que la curva solución describe una espiral hacia el origen 0 cuando t aumenta. 2 4 2 4(1 c) Los comportamientos de las trayectorias que se han observado en los cuatro diagramas GHIDVHGHOD¿JXUDGHOHMHPSORVHSXHGHQH[SOLFDUXVDQGRODVROXFLyQHLJHQvalor-eigenvector resultante del capítulo 8. * En general si A es una matriz n  n la traza de A es la suma de las diagonales principales. 10.2 ESTABILIDAD DE SISTEMAS LINEALES y y 0.5 0.5 x x _0.5 _0.5 _0.5 _0.5 0.5 a) c  1 4 0.5 b) c  4 y y 0.5 0.5 x x _0.5 _0.5 _0.5 0.5 _0.5 c) c  0 y 385 l 0.5 d) c  9 FIGURA 10.2.2 Diagramas de fase del sistema lineal del ejemplo 1 para diferentes valores de c. K2 K1 CASO I: EIGENVALORES REALES Y DISTINTOS (IJ2 4" 0) De acuerdo con el teorema 8.2.1 de la sección 8.2, la solución general del sistema (1) está dada por X(t) x c1K1e 1t (2) c2K2e 2 t, en donde Ȝ1 y Ȝ2 son los eigenvalores y K1 y K2 son los eigenvectores correspondientes. Observe que X(t) también se puede escribir como X(t) a) FIGURA 10.2.3 Nodo estable. y K2 K1 x b) FIGURA 10.2.4 Nodo inestable. e 1t[c1K 1 c2K 2e ( 2 1)t ]. (3) Ambos eigenvalores son negativos (IJ2 4" 0, IJ  0, y " 0) Nodo estable (Ȝ2  Ȝ1  0): Puesto que ambos eigenvalores son negativos, se tiene de la ecuación (2) que límt : X(t) 0 . Si suponemos que Ȝ2  t Ȝ1, entonces Ȝ2  Ȝ1  0, por lo que e( 2 1)t  HV XQD IXQFLyQ H[SRQHQFLDO de decaimiento. Por tanto podemos concluir de la ecuación (3) que X(t) c1K1e 1t para valores grandes de t. Cuando c1  0, X(t) tiende a 0 de una de las dos direcciones determinadas por el eigenvector K1 correspondiente a Ȝ1. Si c1  0, X(t) c2K2e 2t y X(t) tiende a 0 a lo largo de la recta determinada por el eigenvector K2/D¿JXUDPXHVWUDXQ conjunto de curvas solución alrededor del origen. Un punto crítico se llama nodo estable cuando ambos eigenvalores son negativos. Ambos eigenvalores son positivos (IJ2 4" 0, IJ 0, y " 0) Nodo inestable (0  Ȝ2  Ȝ1): El análisis de este caso es similar al anterior. Nuevamente, de acuerdo con (2), X(t) es ilimitado conforme t aumenta. Además, suponiendo nuevamente que Ȝ2  Ȝ1 y usando la ecuación (3), se ve que X(t) aumenta sin límite en una de las direcciones determinadas por el eigenvector K1 (cuando c1  0) o está a lo largo de la recta determinada por 386 CAPÍTULO 10 l y SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS K1 c) x el eigenvector K2 (cuando c1  /D¿JXUDPXHVWUDXQFRQMXQWRWtSLFR de curvas solución. Esta clase de puntos críticos, que corresponden al caso en el que ambos eigenvalores son positivos, se llama nodo inestable. Los eigenvalores tienen signos opuestos (IJ2 4" 0 y "  0) Punto de silla (Ȝ2  0  Ȝ1): El análisis de las soluciones es idéntico al del LQFLVRE FRQXQDH[FHSFLyQ&XDQGRc1  0, X(t) c2K2e 2t, y puesto que Ȝ2  0, X(t) tenderá a 0 a lo largo de la recta determinada por el eigenvector K2. Si X(0) no está en la recta determinada por K2, la recta determinada por K1 sirve de asíntota para X(t). Por tanto el punto crítico es inestable aunque algunas soluciones tiendan a 0 conforme t aumenta. Este punto crítico inestable se llama punto silla9HDOD¿JXUD K2 EJEMPLO 2 Eigenvalores reales distintos &ODVL¿TXHHOSXQWRFUtWLFR  HQFDGDXQRGHORVVLVWHPDVOLQHDOHVX  AX siguientes ya sea como un nodo estable, un nodo inestable o un punto de silla. FIGURA 10.2.5 Punto silla. 10 6 2 3 b) A 15 19 2 1 En cada caso analice la naturaleza de las soluciones en una vecindad de (0, 0). a) A y 2 SOLUCIÓN a) <DTXHODWUD]DHVIJ  3 y el determinante "  4, los eigenvalores son −2 x 2 y = 2x/3 −2 FIGURA 10.2.6 Punto silla. 1 132 4( 4) 3 5 4, 1. 2 2 2 Los eigenvalores tienen signos opuestos, por lo que (0, 0) es un punto silla. No es difícil demostrar (vea el ejemplo 1, sección 8.2) que los eigenvectores correspondientes a Ȝ1  4 y Ȝ2  1 son 2 4 3 3 1 , y K2 2 1 respectivamente. Si X(0)  X0 está en la recta y  x, entonces X(t) tiende a 0. Para cualquier otra condición inicial, X(t) no tiene límite en las direcciones determinadas por K1. En otras palabras, la recta y 23 x es una asíntota para todas estas curvas soluFLyQ9HDOD¿JXUD b) De IJ  29 y "  100 se tiene que los eigenvalores de A son Ȝ1  4 y Ȝ2  25. Ambos eigenvalores son negativos, así que en este caso (0, 0) es un nodo estable. Puesto que los eigenvectores correspondientes a Ȝ1  4 y Ȝ2  25 son K1 y y = x x FIGURA 10.2.7 Nodo estable. 1 2 y K2 , 1 5 respectivamente, por lo que todas las soluciones tienden a 0 desde la dirección de5 ¿QLGD SRU K1 H[FHSWR DTXHOODV SDUD ODV TXH X(0)  X0 está en la recta y 2x 5 determinada por K2. Esas soluciones tienden a 0 a lo largo de y 2 x . Vea la ¿JXUD K1 CASO II: UN EIGENVALOR REAL REPETIDO (IJ2 ⴚ 4⌬ ⴝ 0) Recuerde de la sección 8.2, que la solución general toma una de las dos formas distintas dependiendo de si se pueden determinar uno o dos eigenvectores linealmente independientes, para el eigenvalor Ȝ1 repetido. a) Dos eigenvectores linealmente independientes Si K1 y K2 son dos eigenvectores linealmente independientes correspondientes a Ȝ1, entonces la solución general está dada por X(t) c1K 1e 1t c2K 2e 1t (c1K 1 c2K 2 )e 1t. 10.2 ESTABILIDAD DE SISTEMAS LINEALES 387 l Si Ȝ1  0, entonces X(t) tiende a 0 a lo largo de la recta determinada por el vector c1K1  c2K2 y el punto crítico se llama nodo estable degenerado YHD OD ¿JXUD  D  /DV ÀHFKDV GH OD ¿JXUD  D  VH LQYLHUWHQ cuando Ȝ1 0, y se tiene un nodo inestable degenerado. y y c1K1 + c2 K 2 K2 K1 K1 x x a) b) FIGURA 10.2.8 Nodos estables degenerados. b)  Un solo eigenvector linealmente independiente &XDQGRVyORH[LVWHXQHLJHQYHFWRUOLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHK1, la solución general se determina por X(t) c1K1e 1t c2(K1te 1t Pe 1t ), en donde (A  Ȝ1I)P  K1 (vea la sección 8.2 (12) a (14)) y la solución se puede reescribir como X(t) te 1t c2K1 c1 K t 1 c2 P . t Si Ȝ1  0, entonces límt : te 1t 0 , y por tanto X(t) tiende a 0 en una de las direcciones determinadas por el vector K1 YHDOD¿JXUD E  El punto crítico en este caso también se llama nodo estable degenerado. Cuando Ȝ1 ODVVROXFLRQHVVHYHQFRPRODVGHOD¿JXUD E FRQ ODVGLUHFFLRQHVGHODVÀHFKDVLQYHUWLGDV/DUHFWDGHWHUPLQDGDSRUK1 es una asíntota para todas las soluciones. De nuevo, el punto crítico se llama nodo inestable degenerado. CASO III: EIGENVALORES COMPLEJOS (IJ2 ⴚ 4⌬  0) Si Ȝ1  Į  Lȕ, y Ȝ1  Į  Lȕ son los eigenvalores complejos y si K1  B1  iB2 es un eigenvector complejo correspondiente a Ȝ1, la solución general se puede escribir como X(t)  c1X1(t)  c2X2(t), donde X1(t)  (B1 cos ȕW  B 2 sen ȕW)eĮW, X 2(t)  (B 2 cos ȕW  B1 sen ȕW)eĮW. Véanse las ecuaciones (23) y (24) en la sección 8.2. Por tanto una solución se puede escribir en la forma x(t)  eĮW (c 11 cos ȕW  c 12 sen ȕW), y(t)  eĮW (c 21 cos ȕW  c 22 sen ȕW), (4) 388 l CAPÍTULO 10 SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS y cuando Į  0 se tiene que y x(t)  c11 cos ȕW  c 12 sen ȕW, a) x FIGURA 10.2.9 Centro. y b) x y(t)  c 21 cos ȕW  c 22 sen ȕW. (5) Raíces imaginarias puras (IJ2  4"  0, IJ  0) Centro: Cuando Į  0, los eigenvalores son imaginarios puros, y de las ecuaciones (5) todas las soluciones son periódicas con periodo p  2ʌ兾ȕ. Observe que si ocurriera que tanto c12 como c21 fueran iguales a cero, entonces el sistema (5) se reduciría a x(t)  c 11 cos ȕW, y(t)  c 22 sen ȕW, que es una representación paramétrica estándar de la elipse x2>c211 y2>c222 1. Resolviendo el sistema de ecuaciones (4) para cos ȕW y sen ȕW del sistema y usando la identidad sen2ȕW  cos2ȕW  1, es posible demostrar que todas las soluciones son elipses con centro en el origen. El punto crítico (0, 0) se llama centro\OD¿JXUDPXHVWUDXQFRQMXQWRFDUDFWHUtVWLFRGH curvas solución. Todas las elipses se recorren en el sentido de las manecillas del reloj o todas en sentido opuesto. Parte real distinta de cero (IJ2  4"  0, IJ  0) Puntos espirales: Cuando Į  0, el efecto del término eĮW del sistema (4) es SDUHFLGRDOGHOWpUPLQRH[SRQHQFLDOHQHODQiOLVLVGHOPRYLPLHQWRDPRUWLJXDGR H[SOLFDGRHQODVHFFLyQ&XDQGRĮ  0, eĮW→ 0 y las soluciones en forma de espirales elípticas se acercan cada vez más al origen. Al punto crítico se le llama punto espiral estable. Cuando Į 0, el efecto es contrario. Una solución elíptica se aleja cada vez más del origen y ahora el punto crítico se llama punto espiral inestable9HDOD¿JXUD EJEMPLO 3 Eigenvalores complejos repetidos &ODVL¿TXHHOSXQWRFUtWLFR  GHFDGDXQRGHORVVLJXLHQWHVVLVWHPDVOLQHDOHVX AX: 1 2 3 18 b) A 1 1 2 9 En cada caso, describa la naturaleza de la solución que satisface X(0)  (1, 0). Determine ecuaciones paramétricas para cada solución. a) Punto espiral estable a) A y SOLUCIÓN a) Como IJ  6 y "  9, el polinomio característico es Ȝ2 x b) Punto espiral inestable FIGURA 10.2.10 Puntos espirales.  6Ȝ  9  (Ȝ  3)2, por lo que (0, 0) es un nodo estable degenerado. Para 3 el eigenvalor repetido Ȝ  3 se determina un solo eigenvector K1 , 1 por lo que la solución X(t) que satisface a X(0)  (1, 0) tiende a (0, 0) desde la direcFLyQHVSHFL¿FDGDSRUODUHFWDy  x兾3. b) Como IJ  0 y "  1, los eigenvalores son Ȝ  i, así que (0, 0) es un centro. La solución X(t) que satisface a X(0)  (1, 0) es una elipse que da vuelta al origen cada 2ʌ unidades de tiempo. De acuerdo con el ejemplo 4 de la sección 8.2, la solución general del sistema en a) es 1 3 3 2 e 3t c2 te 3t e 3t . 1 1 0 /DFRQGLFLyQLQLFLDOVLJQL¿FDTXHc1  0 y c2  2 y por tanto x  (6t  1)e3t, y  2te3t son ecuaciones paramétricas de la solución. La solución general del sistema en b) es X(t) c1 X(t) c1 cos t sen t cos t c2 cos t sen t . sen t 10.2 l 389 La condición inicial da c1  0 y c2  1, por tanto x  cos t  sen t, y  sen t son ecuaciones paramétricas de la elipse. Observe que y  0 para valores positivos pequeños de t, por lo que la elipse se recorre en el sentido de las manecillas del reloj. y 1 −1 ESTABILIDAD DE SISTEMAS LINEALES /DV VROXFLRQHV GH ORV LQFLVRV D  \ E  VH PXHVWUDQ HQ ODV ¿JXUDV  D  \ 10.2.11(b), respectivamente. 1 x −1 CLASIFICACIÓN DE PUNTOS CRÍTICOS  /D ¿JXUD  UHVXPH FRQYHQLHQWHmente los resultados de esta sección. La naturaleza geométrica general de las soluciones se puede determinar calculando la traza y el determinante de A. En la práctica, se pueden REWHQHUFRQPiVIDFLOLGDGODVJUi¿FDVGHODVVROXFLRQHVno construyendo las soluciones HLJHQYDORUHLJHQYHFWRUH[SOtFLWDVVLQRPiVELHQJHQHUDQGRODVVROXFLRQHVFRQXQSURgrama de solución numérica y el método de Runge-Kutta para sistemas de primer orden. a) Nodo estable degenerado Δ Espiral estable y τ 2 = 4Δ Espiral inestable Nodo estable Nodo inestable 1 τ 2 – 4Δ < 0 Centro −1 1 Nodo inestable degenerado Nodo estable degenerado x −1 τ Punto silla b) Centro FIGURA 10.2.11 Puntos críticos del ejemplo 3. FIGURA 10.2.12 Resumen geométrico de los casos I, II y III. EJEMPLO 4 &ODVL¿FDFLyQGHSXQWRVFUtWLFRV &ODVL¿TXH HO SXQWR FUtWLFR    GH FDGD XQR GH ORV VLJXLHQWHV VLVWHPDV OLQHDOHV X  AX: a) A 1.01 1.10 3.10 1.02 b) A ax̂ cdŷ abx̂ dŷ para las constantes positivas a, b, c, d, x̂, y ŷ. SOLUCIÓN a) Para esta matriz IJ  0.01, "  2.3798, por lo que IJ2 4"  0. En OD¿JXUDVHYHTXH  HVXQSXQWRHVSLUDOHVWDEOH b) Esta matriz surge del modelo de competencia de Lotka-Volterra, que estudiaremos en la sección 10.4. Puesto que IJ  (ax̂  d ŷ) y todas las constantes de la matriz son adx̂ ŷ(1 bc). Si positivas, IJ  0. El determinante se puede escribir en la forma bc 1, entonces "  0 y el punto crítico es punto silla. Si bc  1, " 0 y el punto crítico puede ya ser un nodo estable, un nodo estable degenerado o un punto espiral estable. En los tres casos lím t : X(t) 0 . Las respuestas a las preguntas que se presentaron al principio de esta sección para el sistema autónomo plano (1) con ad  bc  0, se pueden resumir en el siguiente teorema. 390 CAPÍTULO 10 l SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS TEOREMA 10.2.1 Criterio de estabilidad para sistemas lineales Para un sistema lineal autónomo plano X  AX en el que det A  0, sea que X  X(t) denote la solución que satisface la condición inicial X(0)  X 0, donde X 0  0. límt: X(t) 0 si y sólo si los eigenvalores de A tienen partes reales negativas. Esto sucede cuando " 0 y IJ  0. b) X(t) es periódica si y sólo si los eigenvalores de A son imaginarios puros. Esto sucede cuando " 0 y IJ  0. c) (  QWRGRVORVRWURVFDVRVGDGDFXDOTXLHUYHFLQGDGGHORULJHQH[LVWHDOPHQRV un X0 en ella para la cual X(t) se vuelve ilimitado conforme t aumenta. a) COMENTARIOS La terminología que usamos para describir los tipos de puntos críticos varía de uno a otro libro. La siguiente tabla es una lista de los muchos términos alternativos que podrá encontrar en su lectura. Término punto crítico Términos alternativos punto de equilibrio, punto singular, punto estacionario, punto de reposo foco, punto focal, punto vórtice atractor, sumidero repulsor, fuente punto espiral nodo o punto espiral estable nodo o punto espiral inestable EJERCICIOS 10.2 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-17. En los problemas 1 a 8 se presenta la solución general del sistema lineal X  AX. a) En cada caso, analice la naturaleza de las soluciones en una vecindad de (0, 0). b) &  RQD\XGDGHXQDFDOFXODGRUDJUD¿FDGRUDRGHXQ6$& WUDFHODJUi¿FDGHODVROXFLyQTXHVDWLVIDFHX(0)  (1,1). 1. A 2 2 2 , 5 X(t) c1 2 e 1 2. A 1 3 2 , X(t) 4 c1 1 t e 1 et c1 sen t cos t 3. A 4. A X(t) 1 1 1 , X(t) 1 1 1 e t c2 c2 4 , 1 t c1 2 cos 2t sen 2t c2 1 e 2 6t X(t) 2 sen 2t cos 2t c1 X(t) 4 2t e 6 7. A cos t sen t 8. A 5 , 4 1 e 1 2 1 4 , 6 c1 2 4t e 1 6. A X(t) c2 6 5 5. A 2 3 t c2 1 te 1 c2 2 4t te 1 1 , X(t) 2 1 1 c1 c1 0 t 1 5 e t 1 4t e 1 1 t e 1 c2 1 e 3 t 5 , 1 5 cos 2t cos 2t 2 sen 2t c2 5 sen 2t 2 cos 2t sen 2t (QORVSUREOHPDVDFODVL¿TXHHOSXQWRFUtWLFR  GHO sistema lineal correspondiente, calculando la traza IJ y el determinante "\XWLOL]DQGROD¿JXUD 10.3 LINEALIZACIÓN Y ESTABILIDAD LOCAL l 391 9. x  5x  3y y  2x  7y 10. x  5x  3y y  2x  7y 20. Sea X  X(t) la respuesta de un sistema dinámico lineal x x y 11. x  5x  3y y  2x  5y 12. x  5x  3y y  7x  4y y x y que satisface la condición inicial X(0)  X0. Determine las condiciones sobre las constantes reales Į y ȕ que aseguren que límt : X(t) (0, 0). ¿Puede (0, 0) ser un nodo o un punto silla? 21. Demuestre que el sistema lineal no homogéneo X  AX  F tiene un punto crítico único X1 cuando "  det A  0. Concluyendo si X  X(t) es una solución del sistema no homogéneo, IJ  0 y " 0, entonces límt : X(t) X1. [Sugerencia: X(t)  Xc(t)  X1.] 22. En el ejemplo 4(b) demuestre que (0, 0) es un nodo estable cuando bc  1. 13. x y 3 2x x 1 4y 14. x 1 2y y 15. x  0.02x  0.11y y  0.10x  0.05y 16. x  3 2x x 1 4y 1 2y 0.03x  0.01y y  0.01x  0.05y 17. Determine las condiciones de la constante real ȝ tal que (0, 0) sea un centro para el sistema lineal x x y y x y. 18. Determine una condición de la constante real ȝ tal que (0, 0) sea un punto espiral estable del sistema lineal x y y x y. 19. Demuestre que (0, 0) siempre es un punto crítico inestable del sistema lineal x x y y x y, donde ȝ es una constante real y ȝ 1. ¿Cuándo (0, 0) es un punto silla inestable? ¿Cuándo (0, 0) es un punto espiral inestable? 10.3 En los problemas 23 a 26 un sistema lineal no homogéneo X  AX  F está dado. a) En cada caso, determine el único punto crítico X1. b) Con un programa de solución numérica, determine la naturaleza del punto crítico en el inciso a). c) Investigue la relación entre X1 y el punto crítico (0, 0) del sistema lineal homogéneo X  AX. 23. x  2x  3y  6 24. x  5x  9y  13 y  x  2y  5 y  x  11y  23 25. x  0.1x  0.2y  0.35 y  0.1x  0.1y  0.25 26. x  3x  2y  1 y  5x  3y  2 LINEALIZACIÓN Y ESTABILIDAD LOCAL REPASO DE MATERIAL l El concepto de linealización se presentó por vez primera en la sección 2.6. INTRODUCCIÓN La linealización es la idea principal en esta sección. Recuerde, del cálculo y de la sección 2.6, que una linealización de una función derivable f(x) en un número x1 es la ecuación de la recta tangenteDODJUi¿FDGHf en el punto: y  f (x1)  f´(x1)(x  x1). Para x cercano a x1ORVSXQWRVVREUHODJUi¿FDGHf son cercanos a los puntos sobre la recta tangente, de manera que los valores y(x) obtenidos mediante la ecuación de la recta tangente son aproximaciones lineales locales a los correspondientes valores de la función f(x). De manera similar, una linealización de una función de dos variables f(x, y) que es derivable en un punto (x1, y1) es la ecuación del plano tangenteDODJUi¿FDGHf en el punto: z  f(x1, y1)  fx(x1, y1)(x  x1)  fy(x1, y1)(y  y1), donde fx y fy son derivadas parciales. En esta sección se utilizará la linealización como una herramienta para analizar ED no lineales y sistemas no lineales; la idea es sustituirlos por ED lineales y sistemas lineales. CUENTA DESLIZANTE  &RPHQ]DUHPRVHVWDVHFFLyQUH¿QDQGRHOFRQFHSWRGHHVWDbilidad que presentamos en la sección 10.2, de tal modo que se pueda aplicar también a sistemas autónomos no lineales. Aunque el sistema lineal X  AX tiene sólo un punto 392 l CAPÍTULO 10 SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS z z = f (x ) x1 x2 x3 x FIGURA 10.3.1 Cuenta deslizándose VREUHODJUi¿FDGHz  f (x). crítico cuando det A  0, vimos en la sección 10.1 que un sistema no lineal puede tener muchos puntos críticos, por lo que no podemos esperar que una partícula que se coloca inicialmente en X0 permanezca cerca de un punto crítico dado X1 a menos que inicialmente X0VHKD\DFRORFDGRVX¿FLHQWHPHQWHFHUFDGHX1. Podría ser que la partícula fuera impulsada a un segundo punto crítico. Para subrayar esta idea, considere el sistema físico TXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDGRQGHXQDFXHQWDVHGHVOL]DDORODUJRGHODFXUYDz  f (x ~QLFDPHQWHEDMRODLQÀXHQFLDGHODJUDYHGDG(QODVHFFLyQGHPRVWUDUHPRV que la coordenada x de la cuenta satisface una ecuación diferencial no lineal de segundo orden, x  g(x, x); por tanto, haciendo y  x se satisface el sistema autónomo no lineal x y y g(x, y). Si la cuenta se coloca en P  (x, f(x)) y su velocidad inicial es cero, permanecerá en P suponiendo que f (x)  0. Si se coloca cerca del punto crítico localizado en x  x1, permanecerá cerca de x  x1 sólo si su velocidad inicial no la impulsa y hace que rebase la “joroba” que hay en x  x2 cuando va hacia el punto crítico que está en x  x3. Por tanto, X(0)  (x(0), x(0)) debe estar cerca de (x1, 0). (QODVLJXLHQWHGH¿QLFLyQUHSUHVHQWDUHPRVODGLVWDQFLDHQWUHGRVSXQWRVX y Y con 兩X – Y兩. Recuerde que si X  (x1, x2, . . . , xn) y Y  (y1, y2, . . . , yn), entonces X Y 2(x1 DEFINICIÓN 10.3.1 y1)2 (x2 y2 )2 (xn yn )2. Puntos críticos estables Sea X1 un punto crítico de un sistema autónomo y sea X  X(t) la solución que satisface la condición inicial X(0)  X0, donde X0  X1. Se dice que X1 es un punto crítico estable cuando, dado cualquier radio ȡ 0, hay un radio correspondiente r 0 tal que si la posición inicial X0 satisface 兩X0 – X1兩  r, entonces la solución X(t) correspondiente satisface 兩X(t) – X1兩  ȡ para todo t 0. Si además límt : X(t) X1 siempre que 兩X0 – X1兩  r, se dice que X1 es un punto crítico asintóticamente estable. ρ X0 r a) Estable X0 ρ b) Inestable FIGURA 10.3.2 Puntos críticos estables. (VWDGH¿QLFLyQVHLOXVWUDHQOD¿JXUD D 'DGRFXDOTXLHUGLVFRGHUDGLRȡ en torno al punto crítico X1 una solución permanecerá dentro de este disco siempre que X(0)  X0VHVHOHFFLRQDVX¿FLHQWHPHQWHFHUFDGHX1. No es necesario que una solución tienda al punto crítico para que X1 sea estable. Los nodos estables, los puntos espiral estables y los centros son ejemplos de puntos críticos estables de sistemas lineales. Para subrayar que X0 se debe seleccionar cerca de X1, también se usa la terminología punto crítico localmente estable. &RQODQHJDFLyQGHODGH¿QLFLyQVHREWLHQHODGH¿QLFLyQGHXQSXQWRFUtWLFR inestable. DEFINICIÓN 10.3.2 Punto crítico inestable Sea X1 un punto crítico de un sistema autónomo y X  X(t) la solución que satisface la condición inicial X(0)  X0, donde X0  X1. Se dice que X1 es un punto crítico inestable si hay un disco de radio ȡ 0 con la propiedad de que para toda r 0 hay, al menos, una posición inicial X0 que satisface 兩X0  X1兩  r, sin embargo la solución correspondiente X(t) satisface 兩X(t)  X1兩  ȡ para al menos un t 0. Si un punto crítico X1 es inestable, independientemente de lo pequeña que sea la vecindad de X1, siempre se puede encontrar una posición inicial X0 que resulte ser una solución que salga de un disco de radio ȡ en algún tiempo tIXWXUR9HDOD¿JXUD 10.3.2(b). Por tanto los nodos inestables, los puntos espiral inestables y los puntos silla VRQHMHPSORVGHSXQWRVFUtWLFRVLQHVWDEOHVGHORVVLVWHPDVOLQHDOHV(QOD¿JXUD el punto crítico (x2, 0) es inestable. El mínimo desplazamiento o velocidad inicial hacen que la cuenta se deslice alejándose del punto (x2, f(x2)). 10.3 EJEMPLO 1 LINEALIZACIÓN Y ESTABILIDAD LOCAL l 393 Un punto crítico estable Demuestre que (0, 0) es un punto crítico estable del sistema autónomo plano no lineal x y y y x x 1x2 y2 y 1x2 y2 que se consideró en el ejemplo 6 de la sección 10.1. x FIGURA 10.3.3 Punto crítico asintóticamente estable en el ejemplo 1. SOLUCIÓN En el ejemplo 6 de la sección 10.1, demostramos que en coordenadas polares, la solución del sistema es r  l兾(t  c1), ș  t  c2. Si X(0)  (r0, ș0) es la condición inicial en coordenadas polares, entonces r0 r , t 0. r0 t 1 Observe que r  r0 para t  0 y que r tiende a (0, 0) conforme t aumenta. Por tanto, dado ȡ 0, una solución que se comienza estando a menos de ȡ unidades del punto (0, 0) permanece dentro de ȡ unidades del origen para todo t  0. Así, el punto crítico (0, 0) es estable y de hecho es asintóticamente estable. Una solución característica es la que se muestra HQOD¿JXUD EJEMPLO 2 Un punto crítico inestable &XDQGRVHH[SUHVDHQFRRUGHQDGDVSRODUHVXQVLVWHPDDXWyQRPRSODQRWLHQHODIRUPD dr dt 0.05r(3 r) d 1. dt Demuestre que (x, y)  (0, 0) es un punto crítico inestable. SOLUCIÓN Puesto que x  r cos ș y y  r sen ș, se tiene que dx dt d dt dr cos dt dy d dr r cos sen . dt dt dt A partir de dr兾dt  0.05r(3  r), se ve que dr兾dt  0 cuando r  0 y se puede llegar a la conclusión de que (x, y)  (0, 0) es un punto crítico, sustituyendo r  0 en el sistema nuevo. La ecuación diferencial dr兾dt  0.05r(3  r) es una ecuación logística que se puede resolver por separación de variables o con la ecuación (5) de la sección 3.2. Si r(0)  r0, y si r0  0, entonces 3 , r 1 c0 e 0.15t y 3 3 x −3 r sen 3 3 , se tiene que, independient: 1 c0 e 0.15t temente de lo cerca que comience una solución de (0, 0), la solución deja un disco de UDGLRFHQWUDGRHQHORULJHQ3RUWDQWR  HVXQSXQWRFUtWLFRLQHVWDEOH(QOD¿JXUD 10.3.4 se muestra una solución típica que inicia cerca de (0, 0). donde c0  (3 r0)兾r0. Puesto que lím −3 FIGURA 10.3.4 Punto crítico inestable. LINEALIZACIÓN Rara vez es posible determinar la estabilidad de un punto crítico GHXQVLVWHPDQROLQHDOGHWHUPLQDQGRVROXFLRQHVH[SOtFLWDVFRPRKLFLPRVHQORVHMHPplos 1 y 2. En su lugar, se reemplaza el término g(X) en el sistema original autónomo 394 l CAPÍTULO 10 SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS X  g(X) por un término lineal A(X – X1), que está lo más cerca posible a g(X) en la vecindad de X1. Este proceso de sustitución, se llama linealización\VHHMHPSOL¿FDUi primero para la ecuación diferencial de primer orden x  g(x). Una ecuación de la recta tangente a la curva y  g(x) en x  x1 es y  g(x1)  g(x1)(x  x1) y si x1 es un punto crítico de x  g(x), se tiene que x  g(x) 艐 g(x1) (x  x1) puesto que g(x1)  0. La solución general de la ecuación diferencial lineal es x  g(x1)(x  x1) es x x1 ce 1t , donde Ȝ1  g(x1). Por lo que si g(x1)  0, entonces x(t) tiende a x1(OWHRUHPDD¿UPDTXHVHWLHQHHOPLVPRFRPSRUWDPLHQWR en la ecuación original, suponiendo que x(0)  x0HVWiORVX¿FLHQWHPHQWHFHUFDGHx1. TEOREMA 10.3.1 Criterio de estabilidad para xⴕ ⴝ g(x) Sea x1 un punto crítico de la ecuación diferencial autónoma x  g(x), donde g es derivable en x1. a) Si g(x1)  0, entonces x1 es un punto crítico asintóticamente estable. b) Si g(x1) 0, entonces x1 es un punto crítico inestable. x EJEMPLO 3 5π / 4 π /4 t FIGURA 10.3.5 ʌ兾4 es asintóticamente estable y 5ʌ兾4 es inestable. Estabilidad en una ED de primer orden no lineal Tanto x  ʌ兾4 como x  5ʌ兾4 son puntos críticos de la ecuación diferencial autónoma x  cos x  sen x(VGLItFLOUHVROYHUHQIRUPDH[SOtFLWDHVWDHFXDFLyQSHURVHSXHGH utilizar el teorema 10.3.1 para predecir el comportamiento de las soluciones cerca de estos dos puntos críticos. Puesto que g(x)   sen x  cos x, entonces g ( >4) 12 0 y g (5 >4) 12 0. Por tanto x  ʌ兾4 es un punto crítico asintóticamente estable, pero x  5ʌ兾4 es LQHVWDEOH(QOD¿JXUDXVDPRVXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFDSDUDLQYHVWLJDUODV soluciones que inician cerca de (0, ʌ兾4) y (0, 5ʌ兾4). Observe que las curvas solución que inician cerca de (0, 5ʌ兾4) se alejan rápidamente de la recta x  5ʌ兾4, como se predijo. EJEMPLO 4 Análisis de estabilidad de una ED logística 6LQUHVROYHUODHQIRUPDH[SOtFLWDDQDOLFHORVSXQWRVFUtWLFRVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO r x(K x) , donde r y K son constantes positivas. logística (vea la sección 3.2) x K SOLUCIÓN Los dos puntos críticos son x  0 y x  K, así, de g(x)  r(K  2x)兾K se obtiene g(0)  r y g(K)  r. Por el teorema 10.3.1 concluimos que x  0 es un punto crítico inestable y que x  K es un punto crítico asintóticamente estable. MATRIZ JACOBIANA Se puede realizar un análisis similar para un sistema autóQRPRSODQR8QDHFXDFLyQGHOSODQRWDQJHQWHDODVXSHU¿FLHz  g(x, y) en X1  (x1, y1) es z g(x1, y1) g x (x (x1, y1) x1) g y (y (x1, y1) y1), y g(x, y VHSXHGHDSUR[LPDUFRQVXSODQRWDQJHQWHHQXQDYHFLQGDGGHX1. Cuando X1 es un punto crítico de un sistema autónomo plano, P(x1, y1)  Q(x1, y1)  0 y se tiene que x P(x, y) P x (x1, y1) (x x1) P y (x1, y1) y Q(x, y) Q x (x1, y1) (x x1) Q y (x1, y1) (y y1) (y y1). 10.3 LINEALIZACIÓN Y ESTABILIDAD LOCAL l 395 El sistema original X  g(X VHSXHGHDSUR[LPDUHQXQDYHFLQGDGGHOSXQWRFUtWLFR X1 con el sistema lineal X  A(X – X1), donde P x Q x A P y (x1, y1) . Q y (x1, y1) (x1, y1) (x1, y1) A esta matriz se le llama matriz Jacobiana en X1 y se denota por g(X1). Si se hace que H  X  X1, entonces el sistema lineal X  A(X  X1) se transforma en H  AH, que es la forma del sistema lineal que analizamos en la sección 10.2. El punto crítico X  X1 para X  A(X  X1) corresponde ahora al punto crítico H  0 para H  AH. Si los eigenvalores de A tienen partes reales negativas, entonces por el teorema 10.2.1, 0 es un punto crítico asintóticamente estable para H  AH. Si hay un eigenvalor con parte real positiva, H  0HVXQSXQWRFUtWLFRLQHVWDEOH(OWHRUHPDD¿UPDTXH se puede llegar a las mismas conclusiones para el punto crítico X1 del sistema original. TEOREMA 10.3.2 Criterio de estabilidad para sistemas autónomos planos Sea X1 un punto crítico del sistema autónomo plano X  g(X), donde P(x, y) y Q(x, y) tienen primeras derivadas parciales continuas en una vecindad de X1. a) Si los eigenvalores de A  g(X1) tienen parte real negativa, entonces X1 es un punto crítico asintóticamente estable. b) Si A  g(X1) tiene un eigenvalor con parte real positiva, entonces X1 es un punto crítico inestable. EJEMPLO 5 Análisis de estabilidad de sistemas no lineales &ODVL¿TXH VL HV SRVLEOH  ORV SXQWRV FUtWLFRVGH FDGD XQR GH ORV VLJXLHQWHV VLVWHPDV autónomos planos como estable o inestable. a) x  x 2  y 2  6 y  x 2  y b) x  0.01x(100  x  y) y  0.05y(60  y  0.2x) SOLUCIÓN Los puntos críticos de cada sistema se determinaron en el ejemplo 4 de la sección 10.1. a) Los puntos críticos son ( 12, 2) y ( 12, 2). La matriz Jacobiana es g (X) y así A1 g (( 12, 2)) 212 212 4 1 y 2x 2x 2y , 1 A2 g (( 12, 2 )) 212 212 4 . 1 Como el determinante de A1 es negativo, A1 tiene un eigenvalor real positivo. Por tanto ( 12, 2) es un punto crítico inestable. La matriz A2 tiene un determinante positivo y una traza negativa, por lo que ambos eigenvalores tienen partes reales negativas. Por tanto ( 12, 2) es un punto crítico estable. b) Los puntos críticos son (0, 0), (0, 60), (100, 0) y (50, 50), la matriz Jacobiana es g (X) 0.01(100 2x 0.01y y) 0.05(60 0.01x , 2y 0.2y) 396 CAPÍTULO 10 l SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS y así y 2 1 0 A1 g ((0, 0)) A3 g ((100, 0)) 0 3 1 0 1 2 A2 g ((0, 60)) A4 g ((50, 50)) 0.4 0.6 0.5 0.5 0 3 0.5 . 2.5 Como la matriz A1 tiene un determinante positivo y una traza positiva, ambos eigenvalores tienen partes reales positivas. Por tanto (0, 0) es un punto crítico inestable. Los determinantes de las matrices A2 y A3 son negativos, así que en cada caso uno de los eigenvalores es positivo. Entonces, tanto (0, 60) como (100, 0) son puntos críticos inestables<DTXHODPDWUL]A4 tiene un determinante positivo y una traza negativa, (50, 50) es un punto crítico estable. 1 -2 -1 x ( 12, 2) se presenta como un punto espiral estable. FIGURA 10.3.6 En el ejemplo 5 no calculamos IJ2  4" (como en la sección 10.2) e intentamos clasi¿FDUORVSXQWRVFUtWLFRVHQQRGRVHVWDEOHVSXQWRVHVSLUDOHVHVWDEOHVSXQWRVVLOODHWF Por ejemplo, para X1  ( 12, 2) en el ejemplo 5(a), IJ2  4"  0, y si el sistema fuera lineal, podríamos concluir que X1HUDXQSXQWRHVSLUDOHVWDEOH/D¿JXUD muestra varias curvas solución cercanas a X1, que se obtuvieron con un programa de solución numérico y cada solución se presenta en espiral hacia el punto crítico. CLASIFICACIÓN DE PUNTOS CRÍTICOS Es natural preguntar si se puede inferir más información geométrica acerca de las soluciones cerca de un punto crítico X1 de un sistema autónomo no lineal, a partir de un análisis del punto crítico del sistema real FRUUHVSRQGLHQWH /D UHVSXHVWD VH UHVXPH HQ OD ¿JXUD  SHUR GHEH DQDOL]DU ORV siguientes comentarios. i) ii) En cinco casos separados (nodo estable, punto espiral estable, punto espiral LQHVWDEOHQRGRLQHVWDEOH\SXQWRVLOOD HOSXQWRFUtWLFRVHSXHGHFODVL¿FDUFRPR el punto crítico del sistema lineal correspondiente. Las soluciones tienen las mismas propiedades geométricas generales que las soluciones del sistema lineal y mientras más pequeña sea la vecindad en torno a X1, el parecido es mayor. Si IJ2  4" y IJ 0, el punto crítico X1 es inestable, pero en este caso límite aún no se puede decidir si X1 es una espiral inestable, un nodo inestable o un nodo inestable degenerado. De la misma manera, si IJ2  4" ∆ Espiral estable Nodo estable ? ? ? ? Estable ? Nodo inestable ? ? τ2 ? τ 2 = 4∆ Espiral inestable – 4∆ < 0 ? ? Inestable ? ? ? τ Punto silla FIGURA 10.3.7 Resumen geométrico de algunas conclusiones (véase i)) y algunas preguntas no contestadas (véase ii) y iii)) acerca de sistemas autónomos no lineales. 10.3 iii) LINEALIZACIÓN Y ESTABILIDAD LOCAL l 397 y IJ  0, el punto crítico X1 es estable pero puede ser también una espiral estable, un nodo estable o un nodo estable degenerado. Si IJ  0 y " 0, los eigenvalores de A  g(X) son imaginarios puros y en su caso límite X1 puede ser una espiral estable, una espiral inestable o un centro. Por tanto, aún no es posible determinar si X1 es estable o inestable. EJEMPLO 6 &ODVL¿FDFLyQGHSXQWRVFUtWLFRVGHXQVLVWHPDQROLQHDO &ODVL¿TXHFDGDSXQWRFUtWLFRGHOVLVWHPDDXWyQRPRSODQRHQHOHMHPSOR E FRPRXQ nodo estable, un punto espiral estable, un punto espiral inestable, un nodo inestable o un punto silla. Para la matriz A1 correspondiente a (0, 0), "  3, IJ  4, así IJ2  4"  4. Por tanto, (0, 0) es un nodo inestable. Los puntos críticos (0, 60) y (100, 0) son puntos silla, porque en ambos casos "  0. Para la matriz A4, " 0, IJ  0 y IJ2  4" 0, por lo que (50, 50) es un nodo estable([SHULPHQWHFRQXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFD para comprobar estas conclusiones. SOLUCIÓN EJEMPLO 7 Análisis de estabilidad para un resorte suave Recuerde que en la sección 5.3 vimos que la ecuación diferencial de segundo orden mx  kx  k1x3  0, para k 0, representa un modelo general de las oscilaciones libres no amortiguadas, de una masa m¿MDDXQUHVRUWHQROLQHDO6Lk  1 y k1  1, el resorte se llama suave y el sistema autónomo plano que corresponde a la ecuación diferencial no lineal de segundo orden x  x  x3  0 es x y y x3 x. (QFXHQWUH\FODVL¿TXH VLHVSRVLEOH ORVSXQWRVFUtWLFRV Puesto que x3  x  x(x2  1), los puntos críticos son (0, 0), (1, 0) y (1, 0). Las matrices Jacobianas correspondientes son SOLUCIÓN A1 g ((0, 0)) 0 1 1 , 0 A2 g ((1, 0)) g (( 1, 0)) 0 1 . 2 0 <DTXHGHWA2  0, ambos puntos críticos (l, 0) y (1, 0) son puntos silla. Los eigenvalores de la matriz A1 son i y de acuerdo con el comentario iii), el estado del punto crítico en (0, 0) queda en duda, por lo que puede tratarse de una espiral estable, una espiral inestable o un centro. MÉTODO DEL PLANO FASE El método de linealización, cuando se puede aplicar, proporciona información útil acerca del comportamiento local de las soluciones cerca de los puntos críticos y es poco útil cuando estamos interesados en soluciones cuya posición inicial X(0)  X0 no está cerca de un punto crítico o si deseamos obtener una perspectiva global de la familia de curvas solución. El método del plano fase se basa en el hecho de que dy dx dy>dt dx>dt Q(x, y) P(x, y) e intenta encontrar y en función de x con uno de los métodos disponibles para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden (capítulo 2). Como se mostró en los ejemplos 8 y 9, este método en ocasiones se puede emplear para decidir si un punto crítico, tal como (0, 0) en el ejemplo 7, es una espiral estable, una espiral inestable o un centro. 398 l CAPÍTULO 10 SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS EJEMPLO 8 Método del plano fase 8VHHOPpWRGRGHOSODQRIDVHSDUDFODVL¿FDUHO~QLFRSXQWRFUtWLFR  GHOVLVWHPD autónomo plano x y2 x2. y SOLUCIÓN El determinante de la matriz Jacobiana 0 2y 2x 0 g (X) es 0 en (0, 0), por lo que la naturaleza del punto crítico (0, 0) queda en duda. Al aplicar el método del plano fase se obtiene la ecuación diferencial de primer orden y 2 dy dx x2 , y2 dy>dt dx>dt que se puede resolver con facilidad por separación de variables: −2 2 x y2 dy x2 dx y3 o x3 c. Si X(0)  (0, y0), se tiene que y3 x3 y30 o y 1x3 y30 /D¿JXUDPXHVtra un conjunto de curvas solución que corresponden a diversas elecciones de y0. La naturaleza del punto crítico queda claro con este plano fase independientemente de lo cerca de (0, 0) que inicie la solución, X(t) se aleja del origen conforme t aumenta. Por tanto el punto crítico en (0, 0) es inestable. 3 −2 FIGURA 10.3.8 Plano fase del sistema no lineal del ejemplo 8. EJEMPLO 9 Análisis del plano fase de un resorte suave Utilice el método del plano fase para determinar la naturaleza de las soluciones de x  x  x3  0 en una vecindad de (0, 0). SOLUCIÓN Si hacemos que dx兾dt  y, entonces dy兾dt  x3  x. A partir de esto se obtiene la ecuación diferencial de primer orden dy dx y dy>dt dx>dt x3 y x , que se puede resolver por separación de variables. Integrando 2 (x3 y dy x − FIGURA 10.3.9 Plano fase del sistema no lineal del ejemplo 9. y2 2 x4 4 x2 2 c. Después de completar el cuadrado, podemos escribir la solución como y 2  12( 1 2 (x 2  1) 2  c 0. Si X(0)  (x0, 0), donde 0  x0  1, entonces c0 1)2, y así 2 (x0 y2 −2 se obtiene x) dx (x2 1)2 2 1)2 (x20 2 (2 x2 x20)(x20 2 x2) . Observe que y  0 cuando x  x0. Además, el lado derecho es positivo cuando  x0  x  x0, por lo que cada x tiene dos valores correspondientes de y. La solución X  X(t) que satisface X(0)  (x0, 0) es, por tanto, periódica, así que (0, 0) es un centro. /D¿JXUDPXHVWUDXQDIDPLOLDGHFXUYDVVROXFLyQRSODQRIDVHGHOVLVWHPD original. Usamos el sistema autónomo plano original para determinar las direcciones indicadas en cada trayectoria. 10.3 EJERCICIOS 10.3 x x y y2 y x y xy r) 1 1. 5. dT dt k(T T0) dx dt k( dx 8. dt k( dP 9. dt P(a 7. 10. dA dt x) 4. 6. m x)( dv dt y  2x  y  15 x kx ln , K mg x 0 kv y y 5 (QORVSUREOHPDVDFODVL¿TXH VLHVSRVLEOH FDGDSXQWR crítico de la ecuación diferencial de segundo orden dada como un nodo estable, un punto espiral estable, un punto espiral inestable, un nodo inestable o un punto silla. 22. x dx dt 20. x  2x  y  10 21. ș  (cos ș  0.5) sen ș, (QORVSUREOHPDVDVLQUHVROYHUORVH[SOtFLWDPHQWHFODVL¿TXHORVSXQWRVFUtWLFRVGHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVDXWynomas de primer orden en asintóticamente estables o inestables. Se supone que todas las constantes son positivas. kx (n ) 1 2y x 0. Demuestre que (0, 0) es un punto crítico asintóticamente estable si y sólo si Į  0. dx dt ( x 10 y  y(16  y  x) 2. &XDQGR VH H[SUHVD HQ FRRUGHQDGDV SRODUHV XQ VLVWHPD autónomo plano tiene la forma 3. 18. x  x(1  x 2  3y 2) y  y(3  x 2  3y 2) 17. x  2xy y  y  x  xy  y 3 19. x cuando Į  0 y un punto crítico inestable cuando Į [Sugerencia: Cambie a coordenadas polares]. r(5 399 l Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-17. 1. Demuestre que (0, 0) es un punto crítico asintóticamente estable del sistema autónomo no lineal dr dt d dt LINEALIZACIÓN Y ESTABILIDAD LOCAL ( 12 x ) 3(x )2 x 兩ș兩  ʌ x2 23. x  x(1  x 3)  x 2  0 24. x 4 x 1 2x x2 25. x  x  &x 3 para & 0 0 26. x  x  &x兩x兩  0 para & 0 d x x 2x. dx 27. Demuestre que la ecuación diferencial no lineal de segundo orden Sugerencia: (1  Į2x 2)x  (ȕ  Į2(x) 2)x  0 tiene un punto silla en (0, 0) cuando ȕ  0. x), 28. Demuestre que el sistema dinámico x)( x)( x  Į[  xy x), y  1  ȕ\ x 2 bP)(1 k 1A (K cP 1), P 1A), A 0, a bc 0 (QORVSUREOHPDVDFODVL¿TXH VLHVSRVLEOH FDGDSXQWR crítico del sistema autónomo plano dado, como un nodo estable, un punto espiral estable, un punto espiral inestable, un nodo inestable o un punto silla. 11. x  1  2xy y  2xy  y 12. x  x 2  y 2  1 y  2y 13. x  y  x 2  2 y  x 2  xy 14. x  2x  y 2 y  y  xy 15. x  3x  y 2  2 y  x 2  y 2 16. x  xy  3y  4 y  y 2  x 2 tiene un punto crítico único cuando Įȕ punto crítico es estable cuando ȕ 0. 1 y que este 29. a) Demuestre que el sistema autónomo plano x  x  y  x 3 y  x  y  y 2   WLHQHGRVSXQWRVFUtWLFRVWUD]DQGRODVJUi¿FDVGHx  y  x3  0 y x  y  y2 &ODVL¿TXHHOSXQWR crítico en (0, 0). b) Demuestre que el segundo punto crítico X1  (0.88054, 1.56327) es un punto silla. 30. a) Demuestre que (0, 0) es el único punto crítico de la ecuación diferencial de Raleigh x ( 13 (x )3 x ) x 0. 400 l CAPÍTULO 10 SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS b) Demuestre que (0, 0) es inestable cuando & 0. ¿Cuándo es (0, 0) un punto espiral inestable? c) Demuestre que (0, 0) es estable cuando &  0. ¿Cuándo es (0, 0) un punto espiral estable? d) Demuestre que (0, 0) es un centro cuando &  0. 31. Use el método del plano fase para mostrar que (0, 0) es un centro de la ecuación diferencial no lineal de segundo orden x  2x3  0. 32. Utilice el método del plano fase para demostrar que la solución de la ecuación diferencial no lineal de segundo orden x  2x  x2  0, que satisface x(0)  1 y x(0),  0 es periódica. 33. a) Determine los puntos críticos del sistema autónomo plano x  2xy y  1  x 2  y 2, y demuestre que la linealización no aporta información acerca de la naturaleza de estos puntos críticos. b) Use el método del plano fase para demostrar que ambos puntos críticos en a) son centros. [Sugerencia: Sea u  y 2兾x y demuestre que (x  c) 2  y 2  c 2  1.] 34. El origen es el único punto crítico de la ecuación diferencial no lineal de segundo orden x  (x)2  x  0. a) Demuestre que el método del plano fase conduce a la ecuación diferencial de Bernoulli dy兾dx  y – xyl. b) Demuestre que la solución que satisface x(0) 12 y x(0)  0 no es periódica. 35. Una solución de la ecuación diferencial no lineal de segundo orden x  x  x3  0 satisface x(0)  0 y x(0)  v0. Aplique el método del plano fase para determinar cuándo la solución resultante es periódica. [Sugerencia: Vea el ejemplo 9.] 36. La ecuación diferencial no lineal x  x  1  &x 2 surge en el análisis del movimiento planetario usando teoría de ODUHODWLYLGDG&ODVL¿TXH VLHVSRVLEOH ORVSXQWRVFUtWLFRV del sistema plano autónomo correspondiente. 37. Cuando en un circuito RCL hay un capacitor no lineal, ODFDtGDGHYROWDMH\DQRVHH[SUHVDFRQq兾C sino que se GHVFULEHFRQPiVH[DFWLWXGFRQĮT  ȕT3, donde Į y ȕ son constantes y Į 0. Entonces, la ecuación diferencial (34) de la sección 5.1 del circuito libre se reemplaza por d 2q dq L 2 R q q3 0. dt dt   (QFXHQWUH \ FODVL¿TXH WRGRV ORV SXQWRV FUtWLFRV GH HVWD ecuación diferencial no lineal. [Sugerencia: Divida en dos casos: cuando ȕ 0 y cuando ȕ  0.] 38. La ecuación no lineal mx  kx  k1x3  0 para k 0 representa un modelo general de las oscilaciones libres no amortiguadas, de una masa m¿MDDXQUHVRUWH6Lk1 0, el resorte se llama duro (vea el ejemplo 1 de la sección 5.3). Determine la naturaleza de las soluciones de x  x  x3  0 en una vecindad de (0, 0). 39. La ecuación no lineal ș  sen ș  12 se puede interpretar como modelo para cierto péndulo bajo la acción de una función de fuerza aplicada constante. a) Demuestre que (ʌ兾6, 0) y (5ʌ兾6, 0) son puntos críticos del sistema autónomo plano correspondiente. b) &  ODVL¿TXHHOSXQWRFUtWLFR ʌ兾6, 0) usando linealización. c) 8  VHHOPpWRGRGHOSODQRIDVHSDUDFODVL¿FDUHOSXQWR crítico (ʌ兾6, 0). Problemas para analizar 40. a) Demuestre que (0, 0) es un punto crítico aislado del sistema autónomo plano x  x 4  2xy 3 y  2x 3y  y 4 pero que con la linealización no se obtiene información útil acerca de la naturaleza de este punto crítico. b) Utilice el método del plano fase para demostrar que x3  y3  3cxy. A esta curva clásica se le llama hoja o folium de Descartes. Las ecuaciones paramétricas de una de estas hojas son x 3ct 1 , t3 y 3ct2 . 1 t3 [Sugerencia: La ecuación diferencial en x y y es homogénea.] c) &  RQXQSURJUDPDSDUDJUD¿FDURXQSURJUDPDGHVRlución numérica, trace las curvas solución. Con base HQ VXV JUi¿FDV ¢FODVL¿FDUtD HO SXQWR FUtWLFR FRPR HVWDEOHRFRPRLQHVWDEOH"¢&ODVL¿FDUtDHOSXQWRFUttico como nodo, punto silla, centro o punto espiral? ([SOLTXHSRUTXp 10.4 10.4 SISTEMAS AUTÓNOMOS COMO MODELOS MATEMÁTICOS l 401 SISTEMAS AUTÓNOMOS COMO MODELOS MATEMÁTICOS REPASO DE MATERIAL l Secciones 1.3, 3.3 y 10.3. INTRODUCCIÓN En muchas aplicaciones de la física surgen ecuaciones diferenciales autónomas no lineales de segundo orden, es decir ED de la forma x  g(x, x). Por ejemplo, en el análisis del movimiento libre amortiguado, en la sección 5.1, supusimos que la fuerza de amortiguamiento era proporcional a la velocidad x y el modelo resultante fue mx  ȕ[  kx que es una ecuación diferencial lineal. Pero si la magnitud de la fuerza de amortiguamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad, la nueva ecuación diferencial mx  ȕ[兩 x兩  kx es no lineal. El sistema autónomo plano correspondiente es no lineal: x y k x. m m En esta sección también analizaremos el péndulo no lineal, el movimiento de una cuenta sobre una curva, los modelos depredador-presa de Lotka-Volterra y el modelo de competencia de LotkaVolterra. En los ejercicios se presentan otros modelos. y yy PÉNDULO NO LINEAL En la ecuación (6) de la sección 5.3 demostramos que el ángulo ș de desplazamiento de un péndulo simple satisface la ecuación diferencial no lineal de segundo orden d2 dt 2 g sen l 0. Cuando hacemos x  ș y y  ș, esta ecuación diferencial de segundo orden se puede H[SUHVDUFRPRHOVLVWHPDGLQiPLFR x y y g sen x. l Los puntos críticos son (Nʌ, 0) y se demuestra con facilidad que la matriz Jacobiana es 0 a)   0,    0 b)   ,    0 FIGURA 10.4.1 (0, 0) es estable y (ʌ, 0) es inestable. −π 1 . g ( 1)k 1 0 l Si k  2n  1, entonces "  0, por lo que todos los puntos críticos ((2n  1)ʌ, 0) son puntos silla. En particular, el punto crítico en (ʌ, 0) es inestable, como era de esperarse. Vea la ¿JXUD&XDQGRk  2n, los eigenvalores son imaginarios puros y así la naturaleza de esos puntos críticos queda en duda. Dado que hemos supuesto que no hay fuerzas de amortiguamiento que actúen sobre el péndulo, esperamos que todos los puntos críticos (2Qʌ, 0) sean centros. Esto se puede comprobar utilizando el método del plano fase. De y −3π g (( k , 0)) π 3π x FIGURA 10.4.2 Plano fase de un péndulo; las curvas onduladas indican que el péndulo está girando respecto a su pivote. dy dx dy>dt dx>dt g sen x l y se tiene que y2  (2g兾l) cos x  c. Si X(0)  (x0, 0), entonces y 2  (2g兾l)(cos x  cos x 0). Observe que y  0 cuando x  x0 y que (2g兾l)(cos x  cos x0) 0 para 兩 x 兩  兩x0兩  ʌ. Así, cada x tiene dos valores correspondientes de y, por lo que la solución X  X(t) que satisface X(0)  (x0, 0) es periódica. Podemos concluir que (0, 0) es un centro. Observe que x  ș aumenta para soluciones que corresponden a velocidades LQLFLDOHVJUDQGHVFRPRODGLEXMDGDHQURMRHQOD¿JXUD(QHVWHFDVRHOSpQGXOR da vuelta o gira en circunferencias completas alrededor de su pivote. 402 CAPÍTULO 10 l SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS EJEMPLO 1 Soluciones periódicas de la ED del péndulo A un péndulo en una posición de equilibrio con ș  0 se le proporciona una velocidad angular inicial de Ȧ0 rad兾s. Determine bajo qué condiciones es periódico el movimiento resultante. SOLUCIÓN  6HQRVSLGHH[DPLQDUODVROXFLyQGHOVLVWHPDDXWyQRPRSODQRTXHVDWLVface X(0)  (0, Ȧ0). A partir de y2  (2g兾l) cos x  c se tiene que y2 2g cos x l l 2g 1 2 0 . Para establecer si la solución X(t) es periódica, basta demostrar que hay dos intersecciones con el eje x, x   x0 entre ʌ y ʌ y que el miembro de la derecha es positivo para 兩 x 兩  兩 [0 兩. Cada x tiene dos valores correspondientes de y. Si y  0, cos x 1 (l兾2g) 20, y esta ecuación tiene dos soluciones x   x0 1. Observe que (2g兾l)(cos x  cos entre ʌ y ʌ, suponiendo que 1 (l兾2g) 20 x0) es entonces positivo para 兩 x 兩  兩 x0 兩. Esta restricción de la velocidad angular se puede escribir como 0 2 2g>l. z mg senθ z = f (x) θ W = mg θ x FIGURA 10.4.3 Algunas de las fuerzas que actúan sobre la cuenta deslizante. OSCILACIONES NO LINEALES: LA CUENTA DESLIZANTE Supongamos que, FRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUDXQDFXHQWDGHPDVDm se desliza a lo largo de un alambre delgado, cuya forma se describe por la función z  f (x). Cambiando la forma del alambre y haciendo diferentes hipótesis acerca de las fuerzas que actúan sobre la cuenta se puede obtener gran variedad de oscilaciones no lineales. La fuerza tangencial F debida al peso W  mg tiene la magnitud mg sen ș y por tanto la componente de F en el eje x es Fx  mg sen ș cos ș. Puesto que tan ș  f (x), se pueden usar las identidades 1  tan2ș  sec2ș y sen2ș  1  cos2ș para concluir que f (x) . 1 [ f (x)]2 Suponemos (como en la sección 5.1) que una fuerza de amortiguamiento D, que actúa en dirección opuesta al movimiento, es un múltiplo constante de la velocidad de la cuenta. La componente x de D es, por tanto, Dx  ȕ[. Si se desprecia la fuerza de IULFFLyQHQWUHHODODPEUH\ODFXHQWD\VHVXSRQHTXHQRKD\RWUDVIXHU]DVH[WHUQDVTXH actúen sobre el sistema, entonces de la segunda ley de Newton se tiene que Fx mg sen cos mx mg 1 mg f (x) [ f (x)]2 x, y el correspondiente sistema autónomo plano es x y y g 1 f (x) [ f (x)]2 m y. Si X1  (x1, y1) es un punto crítico del sistema, y1  0 y, por tanto, f (x1)  0. En consecuencia la cuenta debe estar en reposo en un punto del alambre donde la recta tangente es horizontal. Cuando f es dos veces derivable, la matriz Jacobiana de X1 es g (X1) 0 gf (x1) 1 , >m por lo que IJ  ȕ兾m, "  gf (x1) y IJ2  4"  ȕ2兾m2  4gf (x1). Utilizando los resultados de la sección 10.3, podemos hacer las siguientes conclusiones: i)  f (x1)  0: 3RUWDQWRVHSUHVHQWDXQPi[LPRUHODWLYRHQx  x1 y puesto que "  0, hay un punto silla inestable en X1  (x1, 0). 10.4 ii) iii) z 3π/ 2 −π/ 2 −π x π FIGURA 10.4.4  ʌ兾2 y 3ʌ兾2 son estables. x′ 10 (-2 π, 15) (-2 π, 10) 5 x -5 -π π FIGURA 10.4.5 ȕ  0.01. x′ 10 l 403 f (x1) 0 y ȕ 0: Por tanto, hay un mínimo relativo en x  x1 y puesto que IJ  0 y " 0, X1  (x1, 0) es un punto crítico estable. Si ȕ2 4gm2f (x1), el sistema está sobreamortiguado y el punto crítico es un nodo estable. Si ȕ2  4gm2f (x1) el sistema está subamortiguado y el punto crítico es un punto espiral estable. Si ȕ2  4gm2f (x1) queda aún en duda la naturaleza H[DFWDGHOSXQWRFUtWLFRHVWDEOH f (x1) 0 y el sistema es no amortiguado (ȕ  0): En este caso, los eigenvalores son imaginarios puros, pero se puede usar el método del plano fase para demostrar que el punto crítico es un centro. Por tanto, las soluciones con X(0)  (x(0), x(0)) cerca de X1  (x1, 0) son periódicas. EJEMPLO 2 Cuenta deslizante a lo largo de una onda senoidal z = sen x 15 SISTEMAS AUTÓNOMOS COMO MODELOS MATEMÁTICOS (-2 π, 10) 5 x -π FIGURA 10.4.6 ȕ  0. π 8QDFXHQWDGHJUDPRVUHVEDODSRUODJUi¿FDGHz  sen x. De acuerdo con la conclusión ii), los mínimos relativos en x1  ʌ兾2 y 3ʌ兾2 dan lugar a puntos críticos estables (vea OD¿JXUD 3XHVWRTXHf (ʌ兾2)  f (3ʌ兾2)  1, el sistema estará subamortiguado cuando ȕ2  4gm2. Si se usan unidades del SI, m  0.0l kg y g  9.8 m兾s2, entonces la condición para un sistema subamortiguado se convierte en ȕ2  3.92  103. Si ȕ  0.01 es la constante de amortiguamiento, entonces ambos puntos críticos son puntos espiral estables. Las dos soluciones que corresponden a las condiciones iniciales X(0)  (x(0), x(0))  (2ʌ, 10) y X(0)  (2ʌ, 15), respectivamente, se REWXYLHURQXVDQGRXQSURJUDPDGHVROXFLyQQXPpULFD\VHPXHVWUDQHQOD¿JXUD Cuando x(0) ODFXHQWDWLHQHVX¿FLHQWHFDQWLGDGGHPRYLPLHQWRFRPRSDUDUHEDsar la colina en x  3ʌ兾2, pero no la que está en x  ʌ兾2. Entonces, la cuenta tiende al mínimo relativo que está en x  ʌ兾2. Si x(0)  15, la cuenta tiene la cantidad de movimiento para pasar sobre las dos colinas, pero después se pone a oscilar en el valle que está en x  3ʌ兾2 y tiende al punto (3ʌ兾2,  GHODODPEUH3XHGHH[SHULPHQWDUFRQ otras condiciones iniciales usando su propio programa de solución numérica. /D¿JXUDPXHVWUDXQFRQMXQWRGHFXUYDVVROXFLyQREWHQLGDVFRQXQSURJUDPD de solución numérica para el caso no amortiguado. Puesto que ȕ  0, los puntos críticos que corresponden a x1  ʌ兾2 y 3ʌ兾2 son ahora centros. Cuando X(0)  (2ʌ, 10), la FXHQWDWLHQHODFDQWLGDGVX¿FLHQWHGHPRYLPLHQWRSDUDSDVDUVREUHtodas las colinas. En OD¿JXUDWDPELpQVHLQGLFDTXHFXDQGRVHVXHOWDODFXHQWD\SDUWHGHOUHSRVRHQXQDSRVLción del alambre entre x  3ʌ兾2 y x  ʌ兾2, el movimiento resultante es periódico. MODELO DEPREDADOR-PRESA DE LOTKA-VOLTERRA Una interacción depredador-presa entre dos especies ocurre cuando una de ellas (el depredador) se alimenta de ODVHJXQGD ODSUHVD 3RUHMHPSORHOE~KRGHODVQLHYHVTXHVHDOLPHQWDFDVLH[FOXVLYDmente de un roedor común en el Ártico, llamado lemming, mientras que el lemming usa las plantas de la tundra del Ártico como su alimento. El interés en utilizar las matemátiFDVSDUDD\XGDUDH[SOLFDUODLQWHUDFFLyQGHSUHGDGRUSUHVDHVPRWLYDGRSRUODREVHUYDción de ciclos de población en muchos mamíferos del Ártico. Por ejemplo, en el distrito del Río MacKenzie, en Canadá, la presa principal del lince es la liebre de las nieves y DPEDVSREODFLRQHVWLHQHQFLFORVFRQXQSHULRGRDSUR[LPDGRGHDxRV Hay muchos modelos depredador-presa que conducen a sistemas autónomos planos, con al menos una solución periódica. El primero de ellos fue elaborado en forma independiente por los biomatemáticos precursores Arthur Lotka (1925) y Vito Volterra (1926). Si x denota la cantidad de depredadores y y la cantidad de presas, el modelo de Lotka-Volterra toma la forma x ax bxy x( a y cxy dy y( cx donde a, b, c y d son constantes positivas. by) d), 404 CAPÍTULO 10 l SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS Observe que en ausencia de depredadores (x  0), y  dy, por lo que la cantidad GHSUHVDVFUHFHHQIRUPDH[SRQHQFLDO(QDXVHQFLDGHSUHVDVx  ax y por tanto OD SREODFLyQ GH GHSUHGDGRUHV VH H[WLQJXH (O WpUPLQR cxy representa la razón de mortandad debida a la depredación. Entonces el modelo supone que esta razón de mortandad es directamente proporcional a la cantidad posible de encuentros xy entre depredador y presa a un tiempo t dado y el término bxy representa la contribución positiva resultante de la población de depredadores. Los puntos críticos de este sistema autónomo plano son (0, 0) y (d兾c, a兾b) y las matrices Jacobianas correspondientes son Presa y x Depredadores FIGURA 10.4.7 Soluciones cerca de (0, 0). F Gráfica de F(x) a 0 0 bd>c y A2 g ((d>c, a> b)) . 0 d ac> b 0 (OSXQWRFUtWLFR  HVXQSXQWRVLOOD\OD¿JXUDPXHVWUDXQSHU¿OWtSLFR de soluciones que están en el primer cuadrante y cerca de (0, 0). 1ad i , el Debido a que la matriz A2 tiene eigenvalores imaginarios puros punto crítico (d兾c, a兾b) podría ser un centro. Esta posibilidad se puede investigar con el método del plano fase. Puesto que dy y( cx d) ,, dx x( a by) separando las variables obtenemos A1 g ((0, 0)) a x1 d/c x x2 a) Máximo de F en x = d/c G Gráfica de G( y ) by cx d dy dx y x a ln y by cx d ln x c1 o (xde cx )( yae by ) c0. El siguiente argumento establece que todas las curvas solución que se originan en el primer cuadrante son periódicas. (Q OD ¿JXUD  VH SUHVHQWDQ ODV JUi¿FDV FDUDFWHUtVWLFDV GH ODV IXQFLRQHV QR negativas F(x)  x d ecx y G(y)  y a eby. No es difícil demostrar que F(x) tiene un Pi[LPRDEVROXWRHQx  d兾c, mientras que G(y WLHQHXQPi[LPRDEVROXWRHQy  a兾b. 2EVHUYHTXHDH[FHSFLyQGH\GHOPi[LPRDEVROXWRF y G toman todos los valores GHVXLPDJHQH[DFWDPHQWHGRVYHFHV &RQHVWDVJUi¿FDVVHSXHGHQHVWDEOHFHUODVVLJXLHQWHVSURSLHGDGHVGHXQDFXUYD solución que se origine en un punto no crítico (x0, y0) en el primer cuadrante. i) y1 y2 a/b y ii) b) Máximo de G en y = a/b FIGURA 10.4.8 /DVJUi¿FDVGHF y G ayudan a establecer las propiedades (1)-(3). Ahora presentaremos la demostración de i) y en los ejercicios esbozaremos los incisos ii) y iii). Puesto que (x 0, y 0) (d c, a b), F(x 0)G(y 0) F(d c)G(a b). Si y  a兾b, entonces c0 F(x0)G(y0) F(d>c)G(a>b) 0 F(d>c). G(a>b) G(a>b) G(a>b) Por tanto, F(x)  c0兾G(a兾b WLHQHH[DFWDPHQWHGRVVROXFLRQHVxm y xM que satisfacen que xm  d兾c  xM(QOD¿JXUDVHPXHVWUDODJUi¿FDGHXQDVROXFLyQSHULyGLFDWtSLFD y X0 a/b xm iii) Si y  a兾b, la ecuación F(x)G(y)  c0WLHQHH[DFWDPHQWHGRVVROXFLRQHV xm y xM, que satisfacen que xm  d兾c  xM. Si xm  x1  xM y x  x1, entonces F(x)G(y)  c0WLHQHH[DFWDPHQWHGRV soluciones, y1 y y2, que satisfacen que y1  a兾b  y2. Si x está fuera del intervalo [xm, xM], entonces F(x)G(y)  c0 no tiene soluciones. d/c x1 xM x FIGURA 10.4.9 Solución periódica del modelo de Lotka-Volterra. EJEMPLO 3 Ciclos de población depredador-presa Si hacemos a  0.1, b  0.002, c  0.0025 y d  0.2 en el modelo depredador-presa de Lotka-Volterra, el punto crítico en el primer cuadrante es (d兾c, a兾b)  (80, 50) y VDEHPRVTXHHVWHSXQWRFUtWLFRHVXQFHQWUR9HDOD¿JXUDHQODTXHKHPRV usado un programa de solución numérica para generar estos ciclos. Mientras más cerca 10.4 SISTEMAS AUTÓNOMOS COMO MODELOS MATEMÁTICOS l 405 está la condición inicial X0 a (80, 50), las soluciones periódicas se parecen más a las soluciones elípticas del sistema lineal correspondiente. Los eigenvalores de g((80, 1ad i 12 10 i , así las soluciones cerca del punto crítico tie50)) son nen periodo p 10 12 RDSUR[LPDGDPHQWH y Presa 100 50 40 80 120 160 Depredador x FIGURA 10.4.10 Plano fase del modelo de Lotka-Volterra cerca del punto crítico (80, 50). y K1/α 12 K2 (x, y) K1 K2/α 21 x a) α 12 α 21  1 MODELO DE COMPETENCIA DE LOTKA-VOLTERRA Se presenta una interacción de competencia cuando dos o más especies compiten por los recursos alimenticios, agua, luz y espacio de un ecosistema. Por tanto el uso de uno de esos recursos por parte de una población inhibe la capacidad de otra población para sobrevivir y crecer. ¢%DMRTXpFRQGLFLRQHVSXHGHQH[LVWLUGRVHVSHFLHVHQFRPSHWHQFLD"6HKDQFRQVWUXLGR YDULRVPRGHORVPDWHPiWLFRVTXHHYDO~DQODVFRQGLFLRQHVTXHSHUPLWHQODFRH[LVWHQcia. Si x denota la cantidad de la especie I y y la cantidad de la especie II, entonces el modelo de Lotka-Volterra toma la forma r1 x x(K1 x 12 y) K1 (1) r2 y y(K2 y x). 21 K2 Observe que en ausencia de la especie II (y  0), x  (r1兾K1)x(K1  x) y así la primera población crece en forma logística y tiende a la población K1 de estado estable (vea la sección 3.3 y el ejemplo 4 de la sección 10.3). Un enunciado similar es válido para la especie II creciendo en ausencia de la especie I. El término Į2l xy en la segunda ecuación se debe al efecto de competencia de la especie I sobre la especie II. Por lo que el modelo supone que esta razón de inhibición es directamente proporciona1 a la cantidad de pares competitivos posibles xy en un tiempo t dado. Este sistema autónomo plano tiene puntos críticos en (0, 0), (K1, 0) y (0, K2). Cuando Įl2Į21  0, las rectas K1  x  Į12y  0 y K2 – y  Į21x  0 se intersecan para producir un cuarto punto crítico X̂ (x̂, ŷ)/D¿JXUDPXHVWUDODVGRVFRQGLciones bajo las que (x̂, ŷ) está en el primer cuadrante. La traza y el determinante de la matriz Jacobiana en (x̂, ŷ) son, respectivamente, r r rr x̂ 1 ŷ 2 y (1 a12 a21)x̂ŷ 1 2 . K1 K2 K1K2 (QHOFDVRD GHOD¿JXUDK1兾Į12 IJ  0 y " <DTXH y K2 2 K1/α 12 (x, y) K2/α 21 K1 b) α 12 α 21 1 FIGURA 10.4.11 Dos condiciones cuando el punto crítico (x̂, ŷ) está en el primer cuadrante. x 4 r1 K1 r x̂ 1 K1 x̂ r2 K2 r ŷ 2 K2 K1. Se tiene que Įl2Į21  1, K2 y K2兾Į21 2 4(a12 a21 ŷ 2 4a12 a21 x̂ŷ 1)x̂ŷ r1r2 K1K2 r1r2 , K1K2 IJ2  4" 0, por lo que (x̂, ŷ) es( uny)nodo estable. Entonces, si X(0)  X0HVWiVX¿FLHQtemente cerca de X̂ (x̂, ŷ), lím t : X(t) X̂, se puede concluir que es posible la coH[LVWHQFLD/DGHPRVWUDFLyQGHOLQFLVRE FRQGXFHDXQSXQWRVLOOD\ODLQYHVWLJDFLyQGH la naturaleza de los puntos críticos en (0, 0), (K1, 0) y (0, K2) se dejan para los ejercicios. Cuando las interacciones de competencia entre dos especies son débiles, ambos FRH¿FLHQWHV Į12 y Į21 son pequeños y entonces se pueden satisfacer las condiciones K1兾Į12 K2 y K2兾Į21 K1. Esto puede suceder cuando hay un pequeño traslape en los rangos de dos especies depredadoras que cazan una presa común. EJEMPLO 4 Un modelo de competencia de Lotka-Volterra Una interacción de competencia se describe con el modelo de competencia de Lotka– Volterra x 0.004x(50 x 0.75y) y 0.001y(100 y 3.0x) &ODVL¿TXHWRGRVORVSXQWRVFUtWLFRVGHOVLVWHPD 406 l CAPÍTULO 10 SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS SOLUCIÓN Debe comprobar que los puntos críticos están en (0, 0), (50, 0), (0, 100) y en (20, 40). Puesto que Į12Į21  2.25 VHWLHQHHOLQFLVRE GHOD¿JXUD por lo que el punto crítico en (20, 40) es un punto silla. La matriz Jacobiana es 0.2 g (X) 0.008x 0.003y 0.003y 0.1 0.003x , 0.002y 0.003x y obtenemos 0.2 0 g ((0, 0)) 0 , 0.1 g ((50, 0)) 0.2 0 0.15 , 0.05 0.1 0.3 g ((0, 100)) 0 . 0.1 Por tanto (0, 0) es un nodo inestable, mientras que tanto (50, 0) como (0, 100) son nodos estables. (¡Compruébelo!) (QHOPRGHORGHFRPSHWHQFLDGH/RWND9RWHUUDWDPELpQSXHGHKDEHUFRH[LVWHQFLDVLKD\ cuando menos una solución periódica que esté enteramente en el primer cuadrante. Sin embargo, se puede demostrar que este modelo no tiene soluciones periódicas. EJERCICIOS 10.4 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-18. Péndulo no lineal 1. Un péndulo se suelta en ș  ʌ兾3 y se le da una velocidad angular inicial de Ȧ0 rad兾s. Determine bajo qué condiciones el movimiento resultante es periódico. 2. a) Si se suelta un péndulo desde el reposo en ș  ș0, demuestre que la velocidad angular es nuevamente 0 cuando ș  ș0, b) El periodo T del péndulo es el tiempo necesario para que ș cambie de ș0 a ș0 y regrese a ș0. Demuestre que T 2L Bg 0 0 1cos 1 cos d . b) 'HPXHVWUHTXHODDOWXUDPi[LPDzPi[ a la que sube la 2 cuenta está dada por zmáx 12[ev0 /g (1 x20 ) 1]. 6. Repita el problema 5 con z  cosh x. Modelos depredador-presa 7. &RQVXOWHOD¿JXUD 6Lxm  x1  xM y x  x1, demuestre que F(x)G(y)  c0WLHQHH[DFWDPHQWHGRVVROXFLRnes, y1 y y2, que satisfacen que y1  a兾b  y2. [Sugerencia: Demuestre primero que G(y)  c0兾F(x1)  G(a兾b).] 8. De las propiedades i) y ii) del modelo depredador-presa GH/RWND9ROWHUUDFRQFOX\DTXHODFDQWLGDGPi[LPDGH depredadores se presenta cuando y  a兾b. 0 Cuenta deslizante 3. Una cuenta de masa m se desliza a lo largo de un alambre delgado, cuya forma está descrita por la función z  f (x). Si X1  (x1, y1) es un punto crítico del sistema autónomo plano asociado con la cuenta deslizante, compruebe que la matriz Jacobiana en X1 es 9. En muchos modelos de la ciencia pesquera se supone que la rapidez con la que se pesca una especie es directamente proporcional a su abundancia. Si depredadores y presas se pescan de esta forma, las ecuaciones diferenciales de Lotka-Volterra toman la forma x ax bxy y cxy dy 1x 2 y, 4. Una cuenta de masa m se desliza a lo largo de un alambre delgado, cuya forma se describe con la función z  f (x). Cuando f (x1)  0, f (x1) 0 y el sistema es no amortiguado, el punto crítico X1  (x1, 0) es un centro. Estime el periodo de la cuenta cuando x(0) está cerca de x1 y x(0)  0. donde &1 y &2 son constantes positivas. a) Cuando &2  d, demuestre que hay un nuevo punto crítico en el primer cuadrante que es un centro. b) El principio de Volterra establece que con una cantidad moderada de pesca aumenta la cantidad promedio de presas y disminuye la cantidad promedio de depredadores. ¿Está de acuerdo este modelo de pesca con el principio de Volterra? 5. Se suelta una cuenta en la posición x(0)  x0, sobre la curva z  x2兾2, con velocidad inicial x(0)  v0 cm兾s. a) Utilice el método del plano fase para demostrar que la solución resultante es periódica cuando el sistema es no amortiguado. 10. Una interacción depredador-presa se describe con el modelo de Lotka-Volterra x 0.1x 0.02xy y 0.2y 0.025xy. g (X1) 0 gf (x1) 1 . >m 10.4 SISTEMAS AUTÓNOMOS COMO MODELOS MATEMÁTICOS a) Determine el punto crítico en el primer cuadrante y utilice un programa de solución numérica para bosquejar algunos ciclos de población. b) Estime el ciclo de las soluciones periódicas que se acercan al punto crítico del inciso a). Modelos de competencia 11. Una interacción de competencia se describe con el siguiente modelo de Lotka-Volterra x 0.08x (20 0.4x 0.3y) y 0.06y(10 0.1y 0.3x) .   (QFXHQWUH\FODVL¿TXHWRGRVORVSXQWRVFUtWLFRVGHOVLVWHPD 12. En las ecuaciones (1), demuestre que (0, 0) siempre es un nodo inestable. 13. En las ecuaciones (1) demuestre que (K1, 0) es un nodo estable cuando K1 K2兾Į21 y un punto silla cuando K1  K2兾Į21. 14. Use los problemas 12 y 13 para establecer que (0, 0), (K1, 0) y (0, K2) son inestables cuando X̂ (x̂, ŷ) es un nodo estable. 15. En las ecuaciones (1) demuestre que X̂ (x̂, ŷ) es un punto silla cuando K1兾Į12  K2 y K2兾Į21  K1. Modelos matemáticos diversos 16. Péndulo amortiguado Si suponemos que actúa una fuerza de amortiguamiento en dirección opuesta a la del movimiento de un péndulo, con una magnitud directamente proporcional a la velocidad angular Gș兾dt, el ángulo de desplazamiento ș del péndulo satisface la ecuación diferencial no lineal de segundo orden ml d2 dt 2 d . dt mg sen a) Escriba la ecuación diferencial de segundo orden en forma de un sistema autónomo plano y determine todos los puntos críticos. b) Determine una condición sobre m, l y ȕ que haga que (0, 0) sea un punto espiral estable. 17. Amortiguamiento no lineal En el análisis del movimiento libre amortiguado de la sección 5.1 supusimos que la fuerza de amortiguamiento era proporcional a la velocidad x. Con frecuencia, la magnitud de esta fuerza de amortiguamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad y la nueva ecuación diferencial se convierte en x m x x k x. m a) Escriba esta ecuación diferencial de segundo orden como un sistema autónomo y encuentre todos los puntos críticos. b) El sistema se llama sobreamortiguado cuando (0, 0) es un nodo estable y subamortiguado cuando (0, 0) l 407 es un punto espiral estable. Por consideraciones físicas se supone que (0, 0) debe ser un punto crítico asintóticamente estable. Demuestre que el sistema es necesariamente subamortiguado. d yy 2y. dy Sugerencia: Problemas para analizar 18. Una cuenta con masa m se desliza por un alambre delgado cuya forma se puede describir con la función z  f (x). Tramos pequeños de alambre se pueden considerar como planos inclinados y en mecánica se supone que la magnitud de la fuerza de fricción entre la cuenta y el alambre es directamente proporcional a mg cos ș YHDOD¿JXUD  a) ([SOLTXHSRUTXpODQXHYDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUDOD coordenada x de la cuenta es f (x) x g x 1 [ f (x)]2 m para una constante positiva ȝ. b) Investigue los puntos críticos del sistema autónomo plano correspondiente. ¿Bajo qué condiciones un punto crítico es un punto silla? ¿Un punto espiral estable? 19. Una oscilación no amortiguada satisface una ecuación diferencial no lineal de segundo orden de la forma x  f (x)  0, donde f (0)  0 y xf (x) 0 para x  0 y d  x  d. Utilice el método del plano fase para investigar si es posible que el punto crítico (0, 0) sea un punto espiral estable. [Sugerencia: x 2 sea F(x) 0 f (u) du y demuestre que y  2F(x)  c.] 20. El modelo de depredador-presa de Lotka-Volterra supone que en ausencia de depredadores, la cantidad de presas FUHFHH[SRQHQFLDOPHQWH6LVHSODQWHDODKLSyWHVLVDOWHUnativa de que la población de presas crece en forma logística, el nuevo sistema es x ax y cxy bxy r y(K K y), donde a, b, c, r y K son positivas y K a兾b. a) Demuestre que el sistema tiene puntos críticos en (0, 0), (0, K) y (x̂, ŷ), donde ŷ a>b y r cx̂ (K ŷ). K b) Demuestre que los puntos críticos en (0, 0) y (0, K) son puntos silla, mientras que el punto crítico en (x̂, ŷ) puede ser un nodo estable o un punto espiral estable. c) Demuestre que (x̂, ŷ) es un punto espiral si 4bK2 . ([SOLTXH SRU TXp VH GD HVWH FDVR ŷ r 4bK cuando la capacidad de mantenimiento K de la presa es grande. 408 l CAPÍTULO 10 SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS 21. El sistema dinámico y x 1 y y y 1 y x x x y surge en un modelo de crecimiento de microorganismos en un quimostato, un simple aparato de laboratorio en HO TXH ÀX\H XQ QXWULHQWH GHVGH XQ DEDVWHFLPLHQWR D una cámara de crecimiento. En el sistema, x denota la concentración de los microorganismos en la cámara de REPASO DEL CAPÍTULO 10 5HVSRQGDORVSUREOHPDVDVLQFRQVXOWDUHOWH[WR&RPSOHWH los espacios en blanco o conteste cierto o falso. 1. La ecuación diferencial de segundo orden x  f (x)  g(x)  0 se puede escribir como un sistema autónomo plano. 2. Si X  X(t) es una solución de un sistema autónomo plano y X(t1)  X(t2) para tl  t2, entonces X(t) es una solución periódica. 3. Si la traza de la matriz A es 0 y det A  0, entonces el punto crítico (0, 0) del sistema lineal X  AX se puede FODVL¿FDUFRPR . 4. Si el punto crítico (0, 0) del sistema lineal X  AX es un punto espiral estable, entonces los eigenvalores de A son . 5. Si el punto crítico (0, 0) del sistema lineal X  AX es un punto silla y X  X(t) es una solución, entonces lím t : X(t) QRH[LVWH 6. Si la matriz Jacobiana A  g(X1) en un punto crítico de un sistema autónomo plano tiene traza y determinante positivos, entonces el punto crítico X1 es inestable. 7. Es posible demostrar, utilizando la linealización, que un sistema autónomo plano no lineal tiene soluciones periódicas. 8. Todas las soluciones de la ecuación del péndulo d2 g sen 0 son periódicas. dt 2 l 9. ¿Para qué valor(es) de Į el sistema autónomo plano x x y tiene soluciones periódicas? 2y x y crecimiento y denota la concentración de nutrientes y Į 1 y ȕ 0 son constantes que puede ajustar el investigador. Determine las condiciones de Į y ȕ que aseguren que el sistema tenga un solo punto crítico (x̂, ŷ) en el primer cuadrante e investigue la estabilidad de este punto crítico. 22. Utilice los métodos de este capítulo, junto con un programa de solución numérica, para investigar la estabilidad del sistema no lineal resorte/masa modelado por 6x3 8x x x5 0. Vea el problema 8 en los ejercicios 5.3. Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-18. 10. ¿Para qué valores de n es x  Qʌ un punto crítico asintóticamente estable de la ecuación diferencial autónoma de primer orden x  sen x? 11. Resuelva el siguiente sistema autónomo plano no lineal x x 1x2 ( y y y 1x2 ( x y2 )3 )3 y2 . al cambiarlo a coordenadas polares. Describa el comportamiento geométrico de la solución que satisface la condición inicial X(0)  (1, 0). 12. Analice la naturaleza geométrica de las soluciones del sistema lineal X  AX dado que la solución general es a) X(t) c1 b) X(t) c1 1 e 1 t 1 e 1 1 e 2 c2 t c2 2t 1 2t e 2 13. &ODVL¿TXHHOSXQWRFUtWLFR  GHOVLVWHPDOLQHDOGDGR calculando la traza IJ y el determinante ". a) x  3x  4y y  5x  3y b) x  3x  2y y  2x  y 14. (QFXHQWUH\FODVL¿TXH VLHVSRVLEOH ORVSXQWRVFUtWLFRV del sistema autónomo plano x x xy 3x2 y 4y 2xy y 2. 15. Determine el(los) valor(es) de Į para los que (0, 0) es un punto crítico estable para el sistema autónomo plano (en coordenadas polares) r ar 1. REPASO DEL CAPÍTULO 10 16. &ODVL¿TXH HO SXQWR FUtWLFR    GHO VLVWHPD DXWyQRPR plano que corresponde a la ecuación diferencial no lineal de segundo orden x (x2 1) x x 0, donde ȝ es una constante real. 17. 6LQUHVROYHUODHQIRUPDH[SOtFLWDFODVL¿TXH VLHVSRVLEOH  los puntos críticos de la ecuación diferencial autónoma de primer orden x  (x2  1)ex兾2, como asintóticamente estable o inestable. 18. Use el método del plano fase para mostrar que las soluciones de la ecuación diferencial no lineal de segundo 2x 1(x )2 1 que satisfacen que x(0)  orden x x0 y x(0)  0 son periódicas. 19. En la sección 5.1, supusimos que la fuerza F de restitución del resorte satisface la ley de Hooke F  ks, donde s es el estiramiento del resorte y k es una constante de proporcionalidad positiva. Si se reemplaza esta hipótesis con la ley no lineal F  ks3, la nueva ecuación diferencial del movimiento amortiguado de un resorte duro se convierte en mx x k(s x)3 20. /DYDULOODGHXQSpQGXORHVWi¿MDGDDXQDXQLyQPyYLOHQ el punto P, que gira con una rapidez angular de Ȧ rad兾s HQ HO SODQR SHUSHQGLFXODU D OD YDULOOD 9HD OD ¿JXUD 10.R.1. Como resultado, el contrapeso del péndulo giUDWRULRH[SHULPHQWDXQDIXHU]DFHQWUtSHWDDGLFLRQDO\OD nueva ecuación diferencial para ș es ml d2 dt 2 2 ml sen cos mg sen d . dt a) Si Ȧ2  g兾l, demuestre que (0, 0) es un punto crítico estable y que es el único punto crítico en el dominio ʌ  ș  ʌ. Describa lo que sucede físicamente cuando ș(0)  ș0, ș(0)  0 y ș0 es pequeño. b) Si Ȧ2 g兾l, muestre que (0, 0) es inestable y que hay dos puntos críticos estables más ( ˆ, 0) en el dominio ʌ  ș  ʌ. Describa qué sucede físicamente cuando ș(0)  ș0, ș(0)  0 y ș0 es pequeño. Pivote P θ mg, donde ks3  mg. El sistema se considera sobreamortiguado cuando (0, 0) es un nodo estable y subamortiguado cuando (0, 0) es un punto espiral estable. Encuentre nuevas condiciones sobre m, k y ȕ que conduzcan al sub-amortiguamiento y sobreamortiguamiento. 409 l ω FIGURA 10.R.1 Péndulo girando en el problema 20. 11 SERIES DE FOURIER 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 Funciones ortogonales Series de Fourier Series de Fourier de cosenos y de senos Problema de Sturm-Liouville Series de Bessel y Legendre 11.5.1 Serie de Fourier-Bessel 11.5.2 Serie de Fourier-Legendre REPASO DEL CAPÍTULO 11 En cálculo ha visto que los vectores distintos de cero son ortogonales cuando su producto interno (punto) es cero. Más allá del cálculo, los conceptos de vectores, ortogonalidad y producto interno con frecuencia pierden su interpretación geométrica. Estos conceptos se han generalizado y es muy común considerar una función como un vector. Entonces podemos decir que dos funciones distintas son ortogonales cuando su producto interno es cero. En este capítulo veremos que el SURGXFWRLQWHUQRGHHVWRVYHFWRUHV IXQFLRQHV HVHQUHDOLGDGXQDLQWHJUDOGH¿QLGD El concepto de funciones ortogonales y el desarrollo de una función f dada en términos de un conjunto de funciones ortogonales es fundamental en el estudio de los temas de los capítulos 12 y 13. 410 11.1 11.1 FUNCIONES ORTOGONALES 411 l FUNCIONES ORTOGONALES REPASO DE MATERIAL l Los conceptos de vectores generalizados y espacios vectoriales se pueden encontrar en cualquier libro de álgebra lineal. INTRODUCCIÓN Los conceptos de vectores geométricos en dos y tres dimensiones, vectores ortogonales o perpendiculares y el producto interno de dos vectores se ha generalizado. Es muy común en matemáticas considerar una función como un vector. En esta sección analizaremos un producto LQWHUQRTXHHVGLIHUHQWHGHOHVWXGLDGRHQFiOFXOR8WLOL]DQGRHVWHQXHYRSURGXFWRLQWHUQRGH¿QLUHPRV las funciones ortogonales y los conjuntos de funciones ortogonales. Otro tema común en un curso de cálculo es el desarrollo de una función f en series de potencias. En esta sección también veremos cómo desarrollar una adecuada función fHQWpUPLQRVGHXQFRQMXQWRLQ¿QLWRGHIXQFLRQHVRUWRJRQDOHV PRODUCTO INTERNO Recuerde que si u y v son dos vectores en R3 o en el espacio tridimensional, entonces el producto interno (u, v) de los vectores (en cálculo éste se escribe como u v) tiene las propiedades siguientes: i) ii) iii) iv) (u, v)  (v, u), (ku, v)  k(u, v), k es un escalar, (u, u)  0 si u  0 y (u, u) 0 si u  0, (u  v, w)  (u, w)  (v, w). Esperamos que cualquier generalización del concepto de producto interno debe tener estas mismas propiedades. Supongamos que f1 y f2VRQIXQFLRQHVGH¿QLGDVHQXQLQWHUYDOR>a, b].* Puesto que una LQWHJUDOGH¿QLGDVREUH>a, b] del producto f1(x) f2(x) también tiene las propiedades anteriores i) a iv) siempre y cuando exista la integral, podemos enunciar la siguiente GH¿QLFLyQ DEFINICIÓN 11.1.1 Producto interno de funciones El producto interno de dos funciones f1 y f2HQXQLQWHUYDOR>a, b] es el número b ( f1, f 2) f 1 (x) f 2 (x) dx. a FUNCIONES ORTOGONALES Motivados por el hecho de que dos vectores geométricos u y vVRQRUWRJRQDOHVVLHPSUHTXHVXSURGXFWRLQWHUQRVHDFHURGH¿QLPRV las funciones ortogonales en una forma similar. DEFINICIÓN 11.1.2 Funciones ortogonales Dos funciones f1 y f2 son ortogonales HQXQLQWHUYDOR>a, b] si b f 1 (x) f 2 (x) dx ( f1, f 2) a EJEMPLO 1 0. (1) Funciones ortogonales a) Las funciones f1(x)  x2 y f2(x)  x3VRQRUWRJRQDOHVHQHOLQWHUYDOR>1, 1], ya que * Los intervalos también podrían ser ( , > ), etcétera. 412 l CAPÍTULO 11 SERIES DE FOURIER 1 1 6 x 6 x 2 x3 dx ( f 1 , f 2) 1 1 0. 1 b) Las funciones f1(x)  x2 y f2(x)  x4 son noRUWRJRQDOHVHQHOLQWHUYDOR>1, 1], ya que 1 ( f 1 , f 2) 1 x 2 x4 dx 1 1 7 x 7 x6 dx 1 1 (1 7 1 1 2 7 ( 1)) 0. A diferencia del análisis vectorial, donde la palabra ortogonal es sinónimo de perpendicular, en este contexto el término ortogonal\ODFRQGLFLyQ  QRWLHQHQVLJQL¿FDGR geométrico. Observe que la función cero es ortogonal a toda función. CONJUNTOS ORTOGONALES 1RVLQWHUHVDQSULQFLSDOPHQWHORVFRQMXQWRVLQ¿QLWRVGHIXQFLRQHVRUWRJRQDOHVTXHHVWiQGH¿QLGRVHQHOPLVPRLQWHUYDOR>a, b]. DEFINICIÓN 11.1.3 Conjunto ortogonal Un conjunto de funciones de valor real {‫׋‬0(x), ‫׋‬1(x), ‫׋‬2(x), . . .} se dice que es ortogonalHQXQLQWHUYDOR>a, b] si b ( m, m (x) n) n (x) dx 0, (2) m Y n. a CONJUNTOS ORTONORMALES La norma o longitud 储u储 de un vector u, se puede expresar en términos del producto interno. La expresión (u, u)  储u储2 se llama 1(u, u). De igual modo, la norma norma cuadrada, por lo que la norma es u cuadrada de una función ‫׋‬n es 储‫׋‬n(x)储2  (‫׋‬n, ‫׋‬n) y así la norma o su longitud generalizada es f n (x) 1( n , n ). En otras palabras, la norma cuadrada y la norma de una función ‫׋‬n en un conjunto ortogonal {‫׋‬n(x)} son, respectivamente, b f n (x) 2 2 n (x) y dx f n (x) a B b (3) f2n(x) dx. a Si {‫׋‬n(x `HVXQFRQMXQWRRUWRJRQDOGHIXQFLRQHVHQHOLQWHUYDOR>a, b] con la propiedad de que 储‫׋‬n(x)储  1 para n  0, 1, 2, . . . , entonces se dice que {‫׋‬n(x)} es un conjunto ortonormal en el intervalo. EJEMPLO 2 Conjunto ortogonal de funciones Demuestre que el conjunto {1, cos x, cos 2x`HVRUWRJRQDOHQHOLQWHUYDOR>ʌ, ʌ]. SOLUCIÓN 6LLGHQWL¿FDPRV‫׋‬0(x)  1 y ‫׋‬n(x)  cos nx, debemos entonces demos- trar que 0 (x) en el primer caso, ( 0, n) n (x) dx 0, n 0 (x) n (x) 1 sen nx n y, en el segundo, 0, y dx 1 [sen n n m (x) n (x) n. Tenemos, 0, m dx cos nx dx sen( n )] 0, n 0, 11.1 ( m, n) m (x) n (x) FUNCIONES ORTOGONALES l 413 dx cos mx cos nx dx 1 2 [cos(m 1 sen(m 2 m EJEMPLO 3 cos(m n)x sen(m m n)x n n)x] dx n)x n ; trig ident identidad trigonométrica, 0, m n. Normas Encuentre las normas de cada función en el conjunto ortogonal del ejemplo 1. SOLUCIÓN Para ‫׋‬0(x)  1, tenemos de la ecuación (3), 储‫׋‬0 (x)储 2  dx por lo que 储‫׋‬0(x)储  12 . Para ‫׋‬n(x)  cos nx, n 储‫׋‬n (x)储2  Así para n cos2 nx dx 0, 储‫׋‬n(x)储  1 . 1 2 [1 2 , 0, se tiene que cos 2 nx] dx . NORMALIZACIÓN Cualquier conjunto ortogonal de funciones diferentes de cero {‫׋‬n(x)}, n  0, 1, 2, . . . , se puede normalizar, es decir, transformarlo en un conjunto ortonormal dividiendo cada función entre su norma. El próximo ejemplo ilustra la idea. EJEMPLO 4 Conjunto ortonormal En el ejemplo 2 se probó que el conjunto {1, cos x, cos 2x, . . .} es ortogonal en el intervalo >ʌ, ʌ]. En el ejemplo 3, se vio que las normas de las funciones en el conjunto anterior son ‫ ׋‬0 (x) 1 冪2 ‫ ׋‬n(x) y cos nx 冪 , n 1, 2, . . . . Al dividir cada función entre su norma se obtiene el conjunto 1 cos x cos 2x , , ,... 12 1 1 TXHHVRUWRQRUPDOHQHOLQWHUYDOR>ʌ, ʌ]. ANALOGÍA VECTORIAL En la introducción a esta sección se estableció que el interés en el estudio de funciones ortogonales radicaba en el desarrollo de una función HQ WpUPLQRV GH XQ FRQMXQWR LQ¿QLWR ^‫׋‬n(x)} de funciones ortogonales. Para motivar este concepto se hará una analogía más entre vectores y funciones. Suponga que v1, v2 y v3 son tres vectores no nulos mutuamente ortogonales en R3. Tal conjunto ortogonal se puede emplear como una base para R3HVWRVLJQL¿FDTXHFXDOTXLHUYHFWRUWULGLPHQsional u es una combinación lineal de la forma (4) u c1 v1 c2 v2 c3 v3 , en donde las ci, i  1, 2, 3, son escalares que representan los componentes del vector u. Cada componente ci se puede expresar en términos de u y del vector vi correspondiente. Para ver esto tomamos el producto interno de (4) con v1: (u, v 1)  c1(v 1, v1)  c2(v 2, v 1)  c3(v 3, v 1)  c1储v 1储 2  c2 ⴢ 0  c3 ⴢ 0. Por tanto, c1 (u, v1) . 'v1'2 414 l CAPÍTULO 11 SERIES DE FOURIER De igual manera podemos encontrar que las componentes c2 y c3 están dadas por (u, v2 ) 'v2'2 c2 y (u, v3 ) . 'v3'2 c3 Por tanto, la ecuación (4) se puede expresar como: u (u, v1 ) v 'v1'2 1 (u, v2 ) v 'v2'2 2 3 (u, v3 ) v 'v3'2 3 n (u, vn ) vn . 2 1 'vn' (5) DESARROLLO EN SERIES ORTOGONALES Suponga que {‫׋‬n(x)} es un conjunto LQ¿QLWRGHIXQFLRQHVRUWRJRQDOHVHQXQLQWHUYDOR>a, b]. Nos preguntamos: si y  f ( x) HVXQDIXQFLyQGH¿QLGDHQHOLQWHUYDOR>a, b], es posible determinar un conjunto de FRH¿FLHQWHVcn, n  0, 1, 2, . . . , para el que cn n (x) f (x) c0 0 (x) c1 1 (x) ? (6) Como en el análisis anterior acerca de encontrar las componentes de un vector poGHPRVGHWHUPLQDUORVFRH¿FLHQWHVcn utilizando el producto interno. Multiplicando la ecuación (6) por ‫׋‬m(x HLQWHJUDQGRHQHOLQWHUYDOR>a, b], se obtiene b b f (x) m (x) dx b 0 (x) c0 m (x) dx a a c0 ( b 1 (x) c1 m (x) dx a 0, m) c1 ( 1, n (x) cn m (x) dx a m) cn ( n, m) . Por la ortogonalidad cada término del miembro derecho de la última ecuación es cero excepto cuando m  n. En este caso tenemos b b f (x) n (x) dx cn a 2 n (x) dx. a 6HWLHQHTXHORVFRH¿FLHQWHVTXHEXVFDPRVVRQ b a cn f (x) b a n (x) dx 2 n (x)dx Es decir, , f (x) n cn 0, 1, 2, . . . . (7) n (x), n 0 donde b a cn f (x) n (x) dx . ' n (x)'2 (8) Con la notación de producto interno, la ecuación (7) se convierte en f (x) n 0 ( f, n ) ' n (x)'2 (9) n (x). Por lo que vemos que la ecuación (9) es la función análoga del resultado vectorial dado en la ecuación (5). DEFINICIÓN 11.1.4 Conjunto ortogonal兾función de peso Se dice que un conjunto de funciones de valor real {‫׋‬0(x), ‫׋‬1(x), ‫׋‬2(x), . . . } es ortogonal respecto a una función de peso w(x HQXQLQWHUYDOR>a, b] si b w(x) m (x) n (x) dx 0, m n. a La suposición usual es que w(x) HQHOLQWHUYDORGHRUWRJRQDOLGDG>a, b]. El conjunto {1, cos x, cos 2x, . . .} del ejemplo 1 es ortogonal respecto a la función de peso w(x) HQHOLQWHUYDOR>ʌ, ʌ]. Si {‫׋‬n(x)} es ortogonal respecto a una función de peso w(x HQ>a, b], entonces multiplicando la ecuación (6) por w(x)‫׋‬n(x) e integrando se obtiene que 11.1 b a cn donde FUNCIONES ORTOGONALES f (x) w(x) n (x) dx , ' n (x)'2 (10) b f n (x) 2 w(x) 2 n (x) 415 l (11) dx. a /DVHULH  HQTXHORVFRH¿FLHQWHVGDGRV\DVHDSRUODHFXDFLyQ  RSRUODHFXDFLyQ (10) es un desarrollo en series ortogonales de f o una serie de Fourier generalizada. CONJUNTOS COMPLETOS El procedimiento implementado para determinar los FRH¿FLHQWHVFQHQ  IXHformal; es decir, se ignoraron preguntas fundamentales sobre si (7) es convergente hacia la función f cuando ésta se desarrolla en series ortogonales. 5HVXOWDTXHSDUDDOJXQRVFRQMXQWRVRUWRJRQDOHVHVSHFt¿FRVHVWDVH[SDQVLRQHVHQVHULHV tienen dicha convergencia. En las próximas secciones de este capítulo se establecerán FRQGLFLRQHVVREUHHOWLSRGHIXQFLRQHVGH¿QLGDVHQHOLQWHUYDOR>a, b] de ortogonalidad, TXH VRQ VX¿FLHQWHV SDUD JDUDQWL]DU TXH XQD VHULH RUWRJRQDO VHD FRQYHUJHQWH KDFLD VX función f. Para recalcar el tipo de conjunto que es {‫׋‬n(x)} repase la analogía vectorial en las páginas anteriores. Si {v 1, v2, v3} es un conjunto de vectores no nulos mutuamente ortogonales en R3, se dice que el conjunto {v 1, v2, v3} es completo en R3 porque tres de tales vectores es todo lo que se necesita para escribir a cualquier vector u en ese espacio en la forma (5). No se podría escribir (5) empleando menos de tres vectores; el conjunto {v1, v2} sería incompleto en R3. De la completez de {v 1, v2, v3}es fácil ver una consecuencia necesaria, que en el espacio tridimensional el único vector u ortogonal a cada uno de los vectores v 1, v2 y v3 es el vector cero. Si u es ortogonal a v 1, v2 y v3, entonces (u, v 1)  0, (u, v 2)  0, (u, v 3)  0 y (5) implica u  0. De manera similar, en el análisis de desarrollos en series ortogonales, la función f y cada una de las funciones en {‫׋‬n(x)} son parte de una clase más amplia, o espacio, S de funciones. La clase S podría ser, por ejemSORHOFRQMXQWRGHIXQFLRQHVFRQWLQXDVHQXQLQWHUYDOR>a, b], o el conjunto de funciones FRQWLQXDVHQSDUWHVHQ>a, b]. También se desea que el conjunto {‫׋‬n(x)} sea completo en S en el sentido de que {‫׋‬n(x `WHQJDXQQ~PHURVX¿FLHQWHGHIXQFLRQHVGHPDQHUDTXH cada función en S se pueda escribir en la forma (7). Al igual que en la analogía vectorial, HVWRVLJQL¿FDTXHOD~QLFDIXQFLyQRUWRJRQDODFDGDPLHPEURGHOFRQMXQWR^‫׋‬n(x)} es la función cero. Vea el problema 22 de los ejercicios 11.1. Para el resto de este capítulo, se supone que cualquier conjunto ortogonal empleado en un desarrollo en series de una función es completo en alguna clase de funciones S. EJERCICIOS 11.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-18. En los problemas 1 a 6, demuestre que las funciones respectivas son ortogonales en el intervalo indicado. 10. sen 1. f 1(x)  x, f 2(x)  x   >2, 2] 2 2. f 1(x)  x 3, f 2(x)  x 2   >1, 1] n x ,n p 11. 1, cos n x ,n p 12. 1, cos n m x , sen x , n p p 3. f 1(x)  e , f 2(x)  xe  e   >@ x x 1, 2, 3, . . . ; [0, p] 1, 2, 3, . . . ; [0, p] x 4. f 1(x)  cos x, f 2(x)  sen 2x   >ʌ] 5. f 1(x)  x, f 2(x)  cos 2x  >ʌ兾2, ʌ兾2] 6. f 1(x)  e x, f 2(x)  sen x  >ʌ兾4, 5ʌ兾4] En los problemas 7 a 12, demuestre que el conjunto dado de funciones es ortogonal en el intervalo indicado. Encuentre la norma de cada función en el conjunto. 7. {sen x, sen 3x, sen 5x`  >ʌ兾2] 8. {cos x, cos 3x, cos 5x`  >ʌ兾2] 9. {sen nx}, n   >ʌ] m 1, 2, 3, . . . , 1, 2, 3, . . . ; [ p, p] Compruebe por integración directa que las funciones de los problemas 13 y 14 son ortogonales respecto a la función de peso indicada en el intervalo dado. 13. H 0(x)  1, H 1(x)  2x, H 2(x)  4x 2  2; 2 w(x)  e x , ( , ) 14. L 0(x)  1, L 1(x)  x  1, L 2 (x) 12 x 2 w(x)  ex> ) 2x 1; 416 l CAPÍTULO 11 SERIES DE FOURIER 15. Sea {‫׋‬n(x `XQFRQMXQWRRUWRJRQDOGHIXQFLRQHVHQ>a, b] b tal que ‫׋‬0(x)  1. Demuestre que a n (x) dx 0 para n  1, 2, . . . Problemas para analizar 21. Se dice que una función f de valor real es periódica, con periodo T si f (x  T )  f (x). Por ejemplo, 4ʌ es un periodo de sen x, ya que sen (x  4ʌ)  sen x. EI valor mínimo de T para el que es válida f (x  T)  f (x) se llama periodo fundamental de f. Por ejemplo, el periodo fundamental de f (x)  sen x es T  2ʌ. ¿Cuál es el periodo fundamental de cada una de las siguientes funciones? 16. Sea {‫׋‬n(x)} un conjunto ortogonal de funciones en >a, b] tal que ‫׋‬0(x)  1 y ‫׋‬1(x)  x. Demuestre que b a( x ) n (x) dx 0 para n  2, 3, . . . y para cualesquier constantes Į y ȕ. 4 x L c) f (x)  sen x  sen 2x d) f (x)  sen2x  cos 4x a) f (x)  cos 2ʌ[ 17. Sea {‫׋‬n(x `XQFRQMXQWRRUWRJRQDOGHIXQFLRQHVHQ>a, b]. Demuestre que 储‫׋‬m(x)  ‫׋‬n(x)储2  储‫׋‬m(x)储2  储‫׋‬n(x)储2 , para m  n. sen e) f (x)  sen 3x  cos 2x 18. Del problema 1 sabemos que fl(x)  x y f2(x)  x2 son orWRJRQDOHVHQHOLQWHUYDOR>2, 2]. Encuentre las constantes c1 y c2 tales que f3(x)  x  c1x2  c2x3 sea ortogonal tanto a fl como a f2 en el mismo intervalo. n x p n 1 A n y B n dependen sólo de n. f) f (x) A0 An cos Bn sen n x , p 22. En el problema 9 se vio que el conjunto {sen nx}, n  1, HVRUWRJRQDOHQHOLQWHUYDOR>ʌ]. Demuestre que HOFRQMXQWRWDPELpQHVRUWRJRQDOHQHOLQWHUYDOR>ʌ, ʌ] pero no es completo en el conjunto de todas las funciones FRQWLQXDV GH¿QLGDV HQ >ʌ, ʌ@ >Sugerencia: Considere f(x)  1.] 19. El conjunto de funciones {sen nx}, n  1, 2, 3, . . . es RUWRJRQDOHQHOLQWHUYDOR>ʌ, ʌ]. Demuestre que el conjunto no es completo. 20. Suponga que fl, f2 y f3 son funciones continuas en el interYDOR>a, b]. Demuestre que (fl  f2, f3)  (fl, f3)  (f2, f3). 11.2 b) f (x) SERIES DE FOURIER REPASO DE MATERIAL l Lea nuevamente, o mejor repita, el problema 12 de los ejercicios 11.1. INTRODUCCIÓN Acabamos de ver que si {‫׋‬0(x), ‫׋‬1(x), ‫׋‬2(x), . . .} es un conjunto ortogonal en XQLQWHUYDOR>a, b] y fHVXQDIXQFLyQGH¿QLGDHQHOPLVPRLQWHUYDORHQWRQFHVVHSXHGHGHVDUUROODU formalmente f en una serie ortogonal , c 0 0 (x) c1 1(x) c 2 2 (x) GRQGHORVFRH¿FLHQWHVcn se determinan utilizando el concepto de producto interno. El conjunto ortogonal de funciones trigonométricas 1, cos p x, cos 2 3 2 3 x, cos x, . . . , sen x, sen x, sen x, . . . p p p p p (1) tendrá después especial importancia en la solución de ciertas clases de problemas con valores en la frontera donde intervienen ecuaciones diferenciales parciales lineales. El conjunto (1) es ortogonal HQHOLQWHUYDOR>p, p]. UNA SERIE TRIGONOMÉTRICA Suponga que f HV XQD IXQFLyQ GH¿QLGD HQ HO LQWHUYDOR>p, p] y que se puede desarrollar en una serie ortogonal formada por las funciones trigonométricas del conjunto ortogonal (1); es decir, a0 n n an cos x bn sen x . (2) 2 p p n 1 /RV FRH¿FLHQWHV a0, a1, a2, . . . , b1, b2, . . . se pueden determinar exactamente de la misma manera que en el análisis general de los desarrollos en series ortogonales de ODSiJLQD$QWHVGHSURVHJXLUREVHUYHTXHKHPRVHOHJLGRHVFULELUHOFRH¿FLHQWH de 1 en el conjunto (1) como 12 a0 en lugar de a0. Esto es sólo por conveniencia; la fórmula de an se reducirá después a a0 para n  0. f (x) 11.2 SERIES DE FOURIER 417 l Ahora, integrando ambos miembros de la ecuación (2), desde p hasta p, se obtiene p p a0 2 f (x) dx p p dx cos an p p n 1 p n x dx p sen bn p n x dx . p (3) Puesto que cos(Qʌ[兾p) y sen(Qʌ[兾p), n  1 son ortogonales a 1 en el intervalo, el miembro derecho de (3) se reduce a un solo término: p p a0 2 f (x) dx p a0 x 2 dx p p pa0. p Resolviendo para a0 se obtiene p 1 p a0 (4) f (x) dx. p Ahora multiplicando la ecuación (2) por cos(Pʌ[兾p) e integrando: p f (x) cos p m x dx p a0 2 p cos p m x dx p p cos an p n 1 p m n x cos x dx p p cos bn p m n x sen x dx . (5) p p Por ortogonalidad, tenemos que p cos p p m x dx p 0, cos p p cos y 0, m p 0, m p, m n m x cos x dx p p p f (x) cos Por lo que la ecuación (5) se reduce a p an y así 1 p n m x sen x dx p p p n x dx p 0, n n. an p, n x dx. p f (x) cos p (6) Por último, si multiplicamos (2) por sen(Pʌ[兾p), integramos y utilizamos los resultados p sen p p m x dx p 0, encontramos que sen p p y 0, m sen p m n x sen x dx p p bn 1 p p f (x) sen p m n x cos x dx p p 0, m p, m n x dx. p 0, n n, (7) /DVHULHWULJRQRPpWULFD  FRQFRH¿FLHQWHVa0, an y bnGH¿QLGRVSRUODVHFXDFLRQHV (4), (6) y (7), respectivamente, se dice que es una serie de Fourier de la función f. No obstante que el físico matemático francés Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) no inventó la serie que lleva su nombre, al menos él es responsable de despertar en los matemáticos el interés por las series trigonométricas que él aplicó con poco rigor en sus investigaciones sobre la conducción del calor. Las fórmulas (4), (6) y (7) que GDQORVFRH¿FLHQWHVHQXQDVHULHGH)RXULHUVHFRQRFHQFRPRODVfórmulas de Euler. 418 l CAPÍTULO 11 SERIES DE FOURIER DEFINICIÓN 11.2.1 Series de Fourier La serie de Fourier de una función fGH¿QLGDHQHOLQWHUYDOR p, p) está dada por f (x) donde a0 2 n 1 a n cos 1 p p a0 1 p p an 1 p p bn n x p bn sen n x , p (8) f (x) dx (9) p f (x) cos nπ x dx p (10) f (x) sen nπ x dx. p (11) p p CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE FOURIER En ausencia de condiciones preFLVDVTXHJDUDQWLFHQODYDOLGH]GHORVSDVRVSDUDGHWHUPLQDUORVFRH¿FLHQWHVa0, an y bn el signo de igualdad en (8) no se debe tomar en un sentido estricto o literal. Algunos libros utilizan el símbolo ⬃ para enfatizar que (8) es sólo la correspondiente serie trigonoméWULFDFRQFRH¿FLHQWHVJHQHUDGRVHPSOHDQGRf en las fórmulas (9) a (11). En vista de que en las aplicaciones la mayoría de las funciones son del tipo que garantiza la convergencia de la serie, aquí se usará el símbolo de igualdad. ¿Es posible que, en x del intervalo (p, p), la serie (8) sea convergente pero no al valor f(x)? La respuesta es un contundente Sí. FUNCIONES CONTINUAS POR PARTES Antes de tratar las condiciones que aseguran la convergencia de una serie de Fourier, es necesario repasar dos temas del primer semestre de cálculo. Se emplearán los símbolos f(x) y f(x) para denotar los límites laterales f (x ) (QODVHFFLyQVHGH¿QLyFRQWLQXLdad por partes en un intervalo no DFRWDGR>’ 9HDOD¿JXUD lim í f (x ho0 h 0 h), f (x ) í f (x lim ho0 h 0 h), llamados, respectivamente, límites de f en x por la derecha y por la izquierda. Se dice que una función f es continua por partesHQXQLQWHUYDORFHUUDGR>a, b] si  ‡ H[LVWHXQQ~PHUR¿QLWRGHSXQWRVx1  x2  …  xnHQ>a, b] donde f tiene una  GLVFRQWLQXLGDG VDOWR ¿QLWR • f es continua en cada intervalo abierto (xk, xk1). &RPR XQD FRQVHFXHQFLD GH HVWD GH¿QLFLyQ ORV OtPLWHV ODWHUDOHV f(x) y f(x) deben existir en cada x tal que a  x  b. Los límites f(a) y f(b) también deben existir pero no se requiere que fHVWpGH¿QLGDRTXHVHDFRQWLQXDHQa o b. (OVLJXLHQWHSULPHUWHRUHPDGDFRQGLFLRQHVVX¿FLHQWHVSDUDODFRQYHUJHQFLDGHXQD serie de Fourier en un punto x. TEOREMA 11.2.1 Condiciones para la convergencia Sean f y f´FRQWLQXDVSRUSDUWHVHQHOLQWHUYDOR>p, p]. Entonces para toda x en el intervalo (p, p), la serie de Fourier de f converge a f(x) en un punto de continuidad. En un punto de discontinuidad la serie de Fourier converge al promedio f (x) f (x) 2 , en donde f (x) y f (x) denotan el límite de f en x, por la derecha y por la izquierda, respectivamente.* 11.2 EJEMPLO 1 SERIES DE FOURIER 419 l Desarrollo en una serie de Fourier Desarrolle 0, f (x) y 0 x x 0 x, (12) en una serie de Fourier. π π −π x FIGURA 11.2.1 )XQFLyQGH¿QLGDSRU tramos del ejemplo 1. SOLUCIÓN (QOD¿JXUDVHSUHVHQWDODJUi¿FDGHf. Con p  ʌ tenemos de las ecuaciones (9) y (10) que a0 1 0 1 f (x) dx 0 dx ( 1 x) dx x 0 an 1 f (x) cos nx dx x2 2 0 2 0 1 0 dx ( x) cos nx dx 0 1 ( x) sen nx n 1 cos nx n n 1 n 0 sen nx dx 0 ( 1) n 1 2 n 0 integración por partes , donde hemos usado cos Qʌ  (1)n. En forma similar encontramos de (11) que bn 1 ( 1 . n x) sen nx dx 0 Por tanto f (x) ( 1) n 1 4 2 n n 1 cos nx 1 sen nx . n (13) Observe que anGH¿QLGDSRUODHFXDFLyQ  VHUHGXFHDa0 dada por la ecuación (9) cuando se hace n  0. Pero como en el ejemplo 1, este quizá no sea el caso después de evaluar la integral para an. EJEMPLO 2 Vuelta al ejemplo 1 /DLJXDOGDGHQ  VHMXVWL¿FDSRUTXHSRUTXHWDQWRf como f ´ son continuas en partes HQHOLQWHUYDOR>ʌ, ʌ@9HDODV¿JXUDV\<DTXHf es continua para toda x en el intervalo (ʌ, ʌ), excepto en x  0, la serie (13) convergerá a f (x). En x  0 la función es discontinua, por lo que la serie (13) convergerá a  f (0 )  f (0 ) 2 y' π −π x −1 FIGURA 11.2.2 Derivada f´ continua en partes del ejemplo 2. 0 2 2 . EXTENSIÓN PERIÓDICA Observe que cada una de las funciones del conjunto básico (1) tiene un periodo fundamental distinto*, en particular 2p兾n, n  1, pero como un múltiplo entero positivo de un periodo también es un periodo, se ve que todas las funciones tienen en común el periodo 2p. (Compruebe.) Por tanto, el miembro derecho de la ecuación (2) tiene periodo 2p; en realidad, 2p es el periodo fundamental de la suma. Concluimos que una serie de Fourier no sólo representa la función en el intervalo (p, p), sino que también da la extensión periódica de f fuera de este intervalo. Ahora podemos aplicar el teorema 11.2.1 a la extensión periódica de f o podemos suponer, desde el principio, que la función dada es periódica, con periodo 2p; esto es, f (x  2p)  f (x). Cuando f es continua por tramos y existen las derivadas derecha e izquierda en x  p y en x  p, respectivamente, la serie (8) converge al promedio f (p ) f( p ) 2 en esos extremos y extendiendo este valor periódicamente a 3p, 5p, 7p, etcétera. * Vea el problema 21 de los ejercicios 11.1. 420 l CAPÍTULO 11 SERIES DE FOURIER EJEMPLO 3 Vuelta al ejemplo 1 La serie de Fourier (13) del ejemplo 1 converge a la extensión periódica de la función (12) en todo el eje x. En 0,  2ʌ,  4ʌ, . . . y en  ʌ,  3ʌ,  5ʌ, . . . la serie converge a los valores ) f (0 ) f (0 2 f( y 2 ) f( ) 0, 2 UHVSHFWLYDPHQWH/RVSXQWRVVyOLGRVGHOD¿JXUDUHSUHVHQWDQHOYDORUʌ兾2. y π −4π −3π −2π − π π 2π 3π x 4π FIGURA 11.2.3 ([WHQVLyQSHULyGLFDGHODIXQFLyQTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALES Es interesante ver cómo se aproxima la sucesión de sumas parciales {SN(x)} de una serie de Fourier a una función. Por ejemplo, las tres primeras sumas parciales de la ecuación (13) son S1 (x) 4 , S 2 (x) 2 4 cos x sen x, y S 3 (x) 2 4 cos x 1 sen 2x. 2 sen x (QOD¿JXUDKHPRVXVDGRXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVVXPDVSDUFLDOHV S3(x), S8(x) y S15(x) de la ecuación (13) en el intervalo (ʌ, ʌ  /D ¿JXUD  G  muestra la extensión periódica usando S15(x) en (4ʌ, 4ʌ). y y 3 3 2 2 1 1 x x 1 -3 -2 -1 2 3 1 -3 -2 -1 a) S3(x) b) S8(x) y y 3 3 2 2 1 1 2 3 x x -3 -2 -1 1 c) S15(x) 2 3 -10 5 -5 d) S15(x) FIGURA 11.2.4 Sumas parciales de la serie de Fourier en la ecuación (13). 10 11.2 EJERCICIOS 11.2 1. f (x) 0 1, 2, 2. f (x) 0 x x 17. La función f del problema 9 18. La función f del problema 14 19. Utilice el resultado del problema 5 para demostrar que 2 0 x x 0 1 22 1 22 1 6 2 3. f (x) 1, x, 1 0 x x 0 1 4. f (x) 0, x, 1 0 x x 0 1 5. f (x) 0, x2, 0 0 x x y x, 9. f (x) 10. f (x) 12. f (x) 0, 2, 1, 0, 13. f (x) 1, 1 14. f (x) 2 2, >2 0 2 1 0 1 2 0 1 x, x, 0 x x cos >2 0, ex 1, ein n x p ein x/p 1 7 9 . e in x / p 2 x/p in x / p e , 2i cn ein f (x) 0 1 2 x/p , n donde 5 0 x x 0 5 2 0 x x 0 2 0 1 5 7 para demostrar que la ecuación (8) se puede expresar en la forma compleja 0 1 2 x x 1 3 5 n x p se n 1 x x x x x x x 1 1 3 23. a) Utilice la forma exponencial compleja del coseno y seno, 0 x x 1 2 4 c0 a0 , 2 0 En los problemas 17 y 18 trace la extensión periódica de la función indicada (an cn ibn) 2 , y c (an n ibn) 2 , donde n  1, 2, 3, . . . . b) Demuestre que c0, cn y cn del inciso a) se pueden escribir como una integral ʌ  x  ʌ 15. f (x)  e x, 16. f (x) 0 0 0, cos x, 0, x, 1, 0 x x ʌ  x  ʌ 0, sen x, 11. f (x) 1 1 1 . 4 3 5 7 22. Utilice el resultado del problema 9 para demostrar que ʌ  x  ʌ 8. f (x)  3  2x, . 1 2 7. f (x)  x  ʌ, 1 42 1 42 21. Utilice el resultado del problema 7 para demostrar que , 2 1 12 1 32 1 32 20. Utilice el resultado del problema 19 para encontrar una serie cuya suma sea ʌ2兾8. 2 6. f (x) 421 l Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-18. En los problemas 1 a 16 encuentre la serie de Fourier de f en el intervalo dado. 0, 1, SERIES DE FOURIER cn 1 2p p f (x)e in x / p dx, n 0, 1, 2, . . . . p 24. Utilice los resultados del problema 23 para encontrar la forma compleja de la serie de Fourier de f (x)  ex en el LQWHUYDOR>ʌ, ʌ]. 422 l CAPÍTULO 11 11.3 SERIES DE FOURIER SERIES DE FOURIER DE COSENOS Y DE SENOS REPASO DE MATERIAL l Secciones 11.1 y 11.2. INTRODUCCIÓN (O HVIXHU]R TXH VH LQYLHUWH HQ OD HYDOXDFLyQ GH ODV LQWHJUDOHV GH¿QLGDV TXH FDOFXODQORVFRH¿FLHQWHVa0, an y bn al desarrollar una función f en una serie de Fourier se reduce signi¿FDWLYDPHQWHFXDQGRf es una función par o impar. Recuerde que se dice que una función f es par si f (x)  f (x) e impar si f (x)  f (x). En un intervalo simétrico tal como (p, p ODJUi¿FDGHXQDIXQFLyQSDUWLHQHVLPHWUtDUHVSHFWRDOHMH y, mientras que la de una función impar tiene simetría respecto al origen. FUNCIONES PAR E IMPAR Es muy probable que el origen de los términos par e imparVHDFRQVHFXHQFLDGHOKHFKRGHTXHODVJUi¿FDVGHIXQFLRQHVSROLQRPLDOHVGH potencias pares de x son simétricas respecto al eje yPLHQWUDVTXHODVJUi¿FDVGHSROLQRmios de potencias impares de x son simétricas respecto al origen. Por ejemplo, entero par, f(x)  x2 f(x)  x3 es par, ya que f(x)  (x)2  x2  f(x) entero impar y 9pDQVHODV¿JXUDV\/DVIXQFLRQHVWULJRQRPpWULFDVFRVHQR\VHQRVRQ respectivamente, funciones pares e impares, ya que cos(x)  cos x y sen(x)  sen x. Las funciones exponenciales f (x)  ex y f (x)  ex no son ni pares ni impares. y = x2 f (−x) PROPIEDADES pares e impares. f (x) −x x es impar, ya que f(x)  (x)3  x3  f(x). El teorema siguiente lista algunas propiedades de las funciones x TEOREMA 11.3.1 Propiedades de funciones pares兾impares FIGURA 11.3.1 )XQFLyQSDUJUi¿FD simétrica respecto al eje y. y y = x3 f (x) −x f (−x) x a) b) c) d) e) f) g) El producto de dos funciones pares es par. El producto de dos funciones impares es par. El producto de una función impar y una función par es impar. La suma (diferencia) de dos funciones pares es par. La suma (diferencia) de dos funciones impares es impar. Si f es par, entonces a a f (x) dx 2 a0 f (x) dx. Si f es impar, entonces a a f (x) dx 0. x DEMOSTRACIÓN DE b) Supongamos que f y g son funciones impares. En ese caso tendremos que f (x)  f (x) y g(x)  g(x 6LGH¿QLPRVHOSURGXFWRGHf y g FIGURA 11.3.2 )XQFLyQLPSDUJUi¿FD como F (x)  f (x)g(x), entonces simétrica respecto al origen. F( x) f ( x) g( x) ( f (x))( g(x)) f (x) g(x) F(x). Esto demuestra que el producto F de dos funciones impares es una función par. Las demostraciones de las demás propiedades se dejan como ejercicios. Vea el problema 48 de los ejercicios 11.3. SERIES DE COSENOS Y DE SENOS Si f es una función par en (p, p), entonces, HQYLVWDGHODVSURSLHGDGHVDQWHULRUHVORVFRH¿FLHQWHV    \  GHODVHFFLyQ 11.2 se convierten en 11.3 1 an  – p 冕 冕 1 bn  – p 冕 1 a0  – p SERIES DE FOURIER DE COSENOS Y DE SENOS 冕 p 2 f(x) dx  – p p 0 f(x) dx 2 np f(x) cos ––– x dx  – p p p p 423 p p p l 冕 p 0 np f (x) cos ––– p x dx par np f(x) sen ––– x dx  0 p impar De la misma manera, cuando f es impar en el intervalo (p, p), an 0, n 0, 1, 2, . . . , bn 2 p p f (x) sen 0 n x dx. p 5HVXPLUHPRVORVUHVXOWDGRVHQODVLJXLHQWHGH¿QLFLyQ DEFINICIÓN 11.3.1 i) Series de Fourier de cosenos y de senos La serie de Fourier de una función f par en el intervalo (p, p) es la serie de cosenos a0 np f (x) a cos x, 2 n 1 n p (1) a0 donde an 2 p 2 p p f (x) dx (2) 0 p f (x) cos 0 np x dx. p (3) ii) La serie de Fourier de una función f impar en el intervalo (p, p) es la serie de senos np f (x) bn sen x, (4) p n 1 donde bn 2 p p f (x) sen 0 np x dx. p (5) El término sen(Qʌ[兾p) es 0 en x  p, x  0 y x  p, entonces la serie de senos (4) converge a 0 en esos puntos sin importar si fHVWiGH¿QLGDHQHVWRVSXQWRV EJEMPLO 1 y Desarrolle f (x)  x, 2  x  2 en una serie de Fourier. x y = x, −2 < x < 2 FIGURA 11.3.3 Función impar en el ejemplo 1. Desarrollo en una serie de senos SOLUCIÓN (O H[DPHQ GH OD ¿JXUD  PXHVWUD TXH OD IXQFLyQ HV LPSDU HQ HO intervalo (2, 2) así que desarrollamos fHQXQDVHULHGHVHQRV,GHQWL¿FDQGRp  4 tenemos p  2. Por lo que la ecuación (5), después de integrar por partes, es 2 n 4( 1) n 1 bn x sen x dx . 2 n 0 ( 1) n 1 n sen x. (6) n 2 n 1 La función del ejemplo 1 satisface las condiciones del teorema 11.2.1. Por tanto la serie (6) converge a la función en el intervalo (2, 2) y la extensión periódica (de SHULRGR VHPXHVWUDHQOD¿JXUD Por tanto f (x) 4 424 l CAPÍTULO 11 SERIES DE FOURIER y −10 y −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10 x FIGURA 11.3.4 ([WHQVLyQSHULyGLFDGHODIXQFLyQTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD 1 EJEMPLO 2 −π Desarrollo en una serie de senos x π 1, x 0 que es impar 1, 0 x , en el intervalo (ʌ, ʌ). Con p  ʌ tenemos, de la expresión (5) que, (QOD¿JXUDVHPXHVWUDODIXQFLyQ f (x) −1 FIGURA 11.3.5 Función impar en el ejemplo 2. bn 2 (1) sen nx dx 0 y por tanto 2 f (x) 1 n 1 y 1 1 0.5 x -0.5 x -0.5 -1 1 2 3 1 -3 -2 -1 a) S1(x) b) S2(x) y y 1 2 3 1 0.5 0.5 x x -0.5 -0.5 -1 -1 1 -3 -2 -1 2 c) S3(x) FIGURA 11.3.6 3 -3 -2 -1 1 d) S15(x) ( 1) n sen nx. n (7) 2 3 FENÓMENO DE GIBBS (Q OD ¿JXUD  FRQ XQ 6$& KHPRV WUD]DGR ODV JUi¿cas de S1(x), S2(x), S3(x) y S15(x) de las sumas parciales de los términos distintos de cero de OD H[SUHVLyQ   &RPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD  G  OD JUi¿FD GH OD VXPD SDUFLDO de S15(x) tiene picos notables cerca de las discontinuidades en x  0, x  ʌ, x  ʌ, etcétera. Este “exceso” de las sumas parciales SN, respecto a los valores de la función cerca de un punto de discontinuidad no se empareja, sino que permanece bastante constante, aunque el valor de N sea muy grande. A este comportamiento de una serie de Fourier cerca de un punto en el que f es discontinua se le llama fenómeno de Gibbs. La extensión periódica de f en el ejemplo 2, sobre todo el eje x, es una función serpenteante (vea los ejercicios de 7.4.3). Sumas parciales de la serie seno (ecuación 7). y _L ( 1) n , n y 0.5 -3 -2 -1 21 L x FIGURA 11.3.7 5HÀH[LyQSDU DESARROLLOS EN SEMIINTERVALOS En el análisis anterior hemos sobreentendido que una función fHVWiGH¿QLGDHQXQLQWHUYDORFRQHORULJHQHQVXSXQWRPHGLR es decir, (p, p). Sin embargo, en muchos casos nos interesa representar una función fTXHHVWiGH¿QLGDVyORSDUD x  L con una serie trigonométrica. Esto se puede hacer de muchas formas distintas dando una GH¿QLFLyQarbitraria de f (x) para L  x  0. Por brevedad consideraremos los tres casos más importantes. Si y  f (x) está GH¿QLGDHQHOLQWHUYDOR L), entonces i  UHÀHMDUODJUi¿FDGHf respecto al eje y en (L, 0); la función ahora es par en (L, L  YHDOD¿JXUD R ii  UHÀHMDUODJUi¿FDGHf respecto al origen (L, 0); la función ahora es impar en (L, L  YHDOD¿JXUD R iii  'H¿QLUf en (L, 0) con y  f (x  L  YHDOD¿JXUD  11.3 y _L L x FIGURA 11.3.8 5HÀH[LyQLPSDU y _L L x SERIES DE FOURIER DE COSENOS Y DE SENOS l 425 2EVHUYHTXHHQORVFRH¿FLHQWHVGHODVVHULHV  \  VyORVHXWLOL]DODGH¿QLFLyQGH la función en (0, p) (esto es, la mitad del intervalo (p, p)). Por esta razón, en la práctica QRKD\QHFHVLGDGGHUHÀHMDUFyPRVHGHVFULELyHQi) y en ii 6LVHGH¿QHf en 0  x  LVLPSOHPHQWHLGHQWL¿FDPRVODPLWDGGHOSHULRGRRVHPLSHULRGRFRPRODORQJLWXGGHO intervalo p  L 7DQWR ODV IyUPXODV     \   GH ORV FRH¿FLHQWHV FRPR ODV VHULHV correspondientes dan una extensión periódica par o impar de periodo 2L de la función original. Las series de cosenos y senos que se obtienen de esta manera se llaman desarrollos en semiintervalos. Por último, en el caso iii), igualamos los valores de la función en el intervalo (L, 0) con los del intervalo (0, L). Como en los dos casos anteriores no hay necesidad de hacerlo. Se puede demostrar que el conjunto de funciones en la ecuación  GHODVHFFLyQHVRUWRJRQDOHQHOLQWHUYDOR>a, a  2p] para todo número real a. Eligiendo a  p, obtenemos los límites de integración en las ecuaciones (9), (10) y (11) de esa sección. Pero para a  0, los límites de integración son de x  0 a x  2p. Por lo que si fHVWiGH¿QLGDHQHOLQWHUYDOR L LGHQWL¿FDPRVp  L o p  L兾2. La serie de Fourier resultante dará la extensión periódica de f con periodo L. De esta forma los valores para los que converge la serie serán los mismos en (L, 0) que en (0, L). f (x) = f (x + L) FIGURA 11.3.9 5HÀH[LyQLGHQWLGDG EJEMPLO 3 Desarrollo en tres series Desarrolle f (x)  x2, 0  x  L, a) En una serie de cosenos b) en una serie de senos c) en una serie de Fourier. y y = x ,0<x<L SOLUCIÓN (QOD¿JXUDVHSUHVHQWDODJUi¿FDGHHVWDIXQFLyQ a) Tenemos L x FIGURA 11.3.10 La función no es impar ni par. 2 L a0 L 2 2 L, 3 x2 dx 0 2 L an L x2 cos 0 n x dx L 4L 2 ( 1) n , n2 2 donde hemos integrado por partes dos veces en la evaluación de an. Por tanto L2 3 f (x) 4L 2 2 ( 1) n n cos x. 2 n L 1 n (8) b) En este caso debemos nuevamente integrar por partes dos veces: bn Por tanto 2 L L x 2 sen 0 2L 2 f (x) 2L 2 ( 1) n n n x dx L n 1 ( 1) n n 1 2 3 n 2 1 [( 1) n 4L 2 [( 1) n n3 3 1] sen 1]. n x. L (9) c) Con p  L兾2, 1兾p  2兾L y Qʌ兾p  2Qʌ兾L, tenemos a0 2 L y Por tanto f (x) L x2 dx 0 2 2 L, 3 bn 2 L 2 2 L 3 L an L x 2 sen 0 n 1 2 L L x2 cos 0 2n x dx L 1 2n cos x n2 L 2n x dx L L2 , n2 2 L2 . n 1 2n sen x . n L (10) Las series (8), (9) y (10) convergen hacia la extensión periódica par de periodo 2L de f, la extensión periódica impar de periodo 2L de f y la extensión periódica de periodo L de f UHVSHFWLYDPHQWH (Q OD ¿JXUD  VH SUHVHQWDQ ODV JUi¿FDV GH HVDV H[WHQVLRQHV periódicas. 426 l CAPÍTULO 11 SERIES DE FOURIER y −4L −3L −2L −L L 2L 3L 4L x a) Serie del coseno FUERZA IMPULSORA PERIÓDICA Algunas veces las series de Fourier son útiles para determinar una solución particular de la ecuación diferencial que describe un sistema físico en el que la entrada o fuerza impulsora f (t) es periódica. En el siguiente ejemplo encontraremos una solución particular de la ecuación diferencial y m −4L −3L −2L −L L 2L 3L 4L x d 2x dt 2 (11) f (t) kx representando primero f por el desarrollo en serie de senos en un semiintervalo y después suponiendo una solución particular de la forma b) Serie del seno y xp (t) Bn sen n 1 − 4L −3L −2L −L L 2L 3L 4L x n t. p (12) FIGURA 11.3.11 La misma función sobre (0, L) pero con diferentes extensiones periódicas. c) Serie de Fourier EJEMPLO 4 Solución particular de una ED Un sistema resorte-masa no amortiguado en el que la masa es m 161 slug y la constante del resorte es k  4 lb兾pie, es impulsado por una fuerza externa f (t) de periodo 2 como se PXHVWUDHQOD¿JXUD$XQTXHODIXHU]Df (t) actúa sobre el sistema cuando t 0, obVHUYHTXHVLVHH[WLHQGHODJUi¿FDGHODIXQFLyQKDFLDODSDUWHQHJDWLYDGHOHMHt para que su SHULRGRVHDREWHQHPRVXQDIXQFLyQLPSDU(QWpUPLQRVSUiFWLFRVHVWRVLJQL¿FDTXHVyOR necesitamos encontrar el desarrollo en una serie de senos en un semiintervalo de f (t)  ʌW, 0  t  1. Con p  1 utilizando la ecuación (5) e integrando por partes se tiene que 1 bn 2 2( 1) n 1 . n t sen n t dt 0 De la ecuación (11) la ecuación diferencial de movimiento es 1 d 2x 16 dt 2 f (t) π 4x n 2( 1) n n 1 1 (13) sen n t. Para encontrar una solución particular xp(t) de la ecuación (13), sustituimos en la ecuaFLyQ  HLJXDODPRVORVFRH¿FLHQWHVGHVHQQʌW. Así obtenemos 1 2 3 4 5 t −π FIGURA 11.3.12 Función periódica forzada para el sistema resorte-masa. 1 2 n 16 Por tanto 2 4 Bn 2( 1) n n xp (t) n 1 32( 1) n n2 1 n(64 o Bn 32( 1) n n(64 n2 1 2 ) . 1 2 ) sen n t. (14) Observe que en la solución (14) no hay entero n  1 para el cual el denominador de Bn, que es 64  n2ʌ2, sea cero. En general, si existe un valor de n, digamos N, para el cual 1k>m, entonces el estado del sistema que describe la ecuación 1ʌ兾p  Ȧ, donde (11) es un estado de resonancia pura. Es decir, tenemos resonancia pura si el desarrollo de la función f (t) de la fuerza impulsora en serie de Fourier contiene un término sen(1ʌ兾L)t (o cos(1ʌ兾L)t) que tenga la misma frecuencia que la de las vibraciones libres. Por supuesto, si la extensión de la fuerza impulsora f con periodo 2p sobre el eje negativo de t da como resultado una función par, entonces desarrollamos f en una serie de cosenos. 11.3 EJERCICIOS 11.3 1. f (x)  sen 3x 2. f (x)  x cos x 3. f (x)  x 2  x 4. f (x)  x 3  4x 5. f (x)  e 兩 x兩 6. f (x)  e x  ex 7. f (x) 8. f (x) x x 9. f (x)  x 3, 0x2 10. f (x) 1 0 0 1 x x 5, 5, 2 0 0 2 x x x5 En los problemas 11 a 24 desarrolle cada función dada en una serie adecuada de cosenos o senos. 1, 1, 11. f (x) 12. f (x) 1, 0, 1, 2 1 1 1 x x x 1  x  1 x x 1, 1, 20. f (x) x x 1, 1, 21. f (x) 22. f (x) 23. f (x) 1, x, x, 1, 2 1 0 1 , x, , 2 1 2 x x 1 2 0 1 1 2 x x 1 2 1 27. f (x)  cos x, 0  x  ʌ兾2 28. f (x)  sen x, 0xʌ 29. f (x) 0 >2 x, x, 0, x 0 31. f (x) x, 1, 0 1 x x 1 2 32. f (x) 1, 2 x, 0 1 x x x x , >2 x x 30. f (x) 36. f (x)  x, 2 1 2 0x1 0x2 0  x  2ʌ 0xʌ 37. f (x)  x  1, 0x1 0x2 0 38. f (x)  2  x, 0 x x 1 0 x x 0 1 En los problemas 39 y 40, proceda como en el ejemplo 4 y encuentre una solución particular xp(t) de la ecuación (11) cuando m  1, k  10 y la fuerza impulsora f (t) es la que se indica. Suponga que cuando f (t) se extiende hacia el eje negativo de t en forma periódica, la función resultante es impar. 1 x x x x 0 1 2 x x x 39. f (t) 5, 5, 40. f (t)  1  t, 2 sen x , ʌ  x  ʌ 24. f (x)  cos x, 0, 1, 35. f (x)  x 2, ʌ  x  ʌ 19. f (x) 26. f (x) 0 En los problemas 35 a 38 desarrolle la función dada en una serie de Fourier. 16. f (x) x x , 1  x  1 17. f (x)  ʌ2  x 2, ʌ  x  ʌ 18. f (x)  x 3, 1, 0, 34. f (x)  x(2  x), 13. f (x) x , ʌ  x  ʌ 14. f (x)  x, ʌ  x  ʌ 15. f (x)  x 2, 25. f (x) 33. f (x)  x 2  x, 1 2 427 En los problemas 25 a 34, encuentre los desarrollos en series de cosenos o senos en un semiintervalo de la función dada. 0 x x 0 l Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-18. En los problemas 1 a 10 determine si la función es par, impar o ni una ni otra. x 2, x 2, SERIES DE FOURIER DE COSENOS Y DE SENOS ʌ兾2  x  ʌ兾2 0 t t 2 0  t  2; ; f (t 2 ) f (t) f (t  2)  f (t) En los problemas 41 y 42 proceda como en el ejemplo 4 para encontrar una solución particular xp(t) de la ecuación (11) cuando m 14, k 12, y la fuerza impulsora f (t) dada. Suponga que cuando f (t) se extiende a valores negativos de t en forma periódica, la función resultante es par. 428 l CAPÍTULO 11 41. f (t)  2ʌW  t 2, 42. f (t) t, 1 0  t  2ʌ; 0 t, SERIES DE FOURIER 1 2 t t 1 2 f (t  2ʌ)  f (t) ; f (t 1 1) f (t) 43. a) Resuelva la ecuación diferencial del problema 39, x 10x f (t), sujeta a las condiciones iniciales x(0)  0, x(0)  0. b) 8VHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQx(t) del inciso a). 44. a) Resuelva la ecuación diferencial del problema 41, 1 12x f (t), sujeta a las condiciones iniciales 4 x x(0)  1, x(0)  0. b) 8VHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQx(t) del inciso a). 45. Suponga que una viga uniforme de longitud L está simplemente apoyada en x  0 y x  L. Cuando la carga por unidad de longitud es w(x)  w0x兾L, 0  x  L, entonces ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHODÀH[LyQy(x) es 4 d y w0 x , dx 4 L donde E, I y w0 son constantes. (Vea la ecuación (4) de la sección 5.2). a) Desarrolle w(x) en una serie de senos en un semiintervalo. b) Utilice el método del ejemplo 4 para encontrar una solución particular yp(x) de la ecuación diferencial. EI 46. 3URFHGD FRPR HQ HO SUREOHPD  SDUD HQFRQWUDU OD ÀHxión, yp(x), cuando la carga por unidad de longitud está GDGDHQOD¿JXUD w (x) w0 donde k es el módulo del cimiento. Suponga que la viga \HOFLPLHQWRHOiVWLFRWLHQHQORQJLWXGLQ¿QLWD HVWRHVTXH   x  ) y que la carga por unidad de longitud es la función periódica w(x) 0, w0 , 0 L x x x >2 > 2, w(x 2 ) w(x). Utilice el método del ejemplo 4 para determinar una solución particular yp(x) de la ecuación diferencial. Problemas para analizar 48. Demuestre las propiedades a), c), d), f) y g) del teorema 11.3.1. 49. Sólo existe una función que es al mismo tiempo par e impar. ¿Cuál es? 50. Como sabemos del capítulo 4, la solución general de la ecuación diferencial del problema 47 es y  yc  yp. Analice cómo se puede fundamentar en física que la solución del problema 47 es solamente yp >Sugerencia: Considere y  yc  yp conforme x →  ]. Tarea para el laboratorio de computación (QORVSUREOHPDV\XVHXQ6$&SDUDWUD]DUODVJUi¿FDV de las sumas parciales {SN(x)} de la serie trigonométrica respectiva. Experimente con distintos valores de N\FRQJUi¿cas en diferentes intervalos del eje x8WLOLFHVXVJUi¿FDVSDUD proponer una expresión de forma cerrada para una función f GH¿QLGDHQ x  L que esté representada por la serie. 51. f (x) L/3 2L/3 >2 >2 4 n 1 ( 1) n n2 1 x 1 cos nx 2( 1) n sen nx n FIGURA 11.3.13 *Ui¿FDGHOSUREOHPD 47. Cuando una viga uniforme está soportada por un cimiento elástico y sujeta a una carga w(x) por unidad de longitud, ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHVXÀH[LyQy(x) es EI d4y dx 4 ky w(x), 52. f (x) 1 4 4 2 n 1 1 2 1n cos n 2 cos n x 2 53. ¿Es única su respuesta del problema 51 o del 52? Dada una función fGH¿QLGDHQXQLQWHUYDORVLPpWULFRUHVSHFWR al origen (a, a) que tiene la misma serie trigonométrica a) como en el problema 51, b) como en el problema 52. 11.4 11.4 PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE l 429 PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE REPASO DE MATERIAL l En la sección 5.2 se presentaron los conceptos de eigenvalores y eigenvectores. Se le recomienda mucho que repase esta sección (especialmente el ejemplo 2). INTRODUCCIÓN En esta sección estudiaremos algunos tipos especiales de problemas con valores en la frontera en los que la ecuación diferencial ordinaria en el problema contiene un parámetro Ȝ. Los valores de Ȝ para los que el PVF tiene soluciones no triviales llamados eigenvalores y las soluciones correspondientes se llaman eigenfunciones. Los problemas con valores en la frontera de esta clase son especialmente importantes en los capítulos 12 y 13. En esta sección también vemos que existe una conexión entre los conjuntos ortogonales y las eigenfunciones de un problema con valores en la frontera. REPASO DE LAS ED Por conveniencia, repasaremos aquí algunas EDO y sus soluciones generales que se presentarán con frecuencia en las secciones y capítulos siguientes. El símbolo Į representa una constante. (FXDFLRQHVFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHV 6ROXFLRQHVJHQHUDOHV y  Į\  0 y  Į2y  0, Į 0 y  Į2y  0, Į 0 y  c 1eĮ[ y  c 1 cos Į[  c 2 sen Į[ y y Ecuación de Cauchy-Euler c1 e a x c 2 ea x, o c1 cosh x c 2 senh x Soluciones generales, x 0 c1 x a c 2 x a, a a c1 c 2 ln x, 0 0 Ecuación paramétrica de Bessel (v  0) Solución general, x 0 xy  y  Į2xy  0, y  c 1J 0(Į[)  c 2Y 0(Į[) Ecuación de Legendre (n  0, 1, 2, . . .) Las soluciones particulares son polinomios (1  x 2)y  2xy  n(n  1)y  0, y  P 0(x)  1, y  P 1(x)  x, y P2 (x) 12 (3x 2 x 2y  xy  Į2y  0, Į0 y y 1), . . . Considerando las dos formas de la solución general de y  Į2y  0, en el ejemplo 1 haremos uso inmediatamente de la siguiente regla informal así como en análisis futuros: Esta regla será útil en los capítulos 12 a 14. Utilice la forma exponencial y  c1eĮ[  c2eĮ[ cuando el dominio de x es un interYDORLQ¿QLWRRVHPLLQ¿QLWRXWLOLFHODIRUPDKLSHUEyLFD\ c1FRVKĮ[ c2VHQK Į[FXDQGRHOGRPLQLRGH[HVXQLQWHUYDOR¿QLWR EIGENVALORES Y EIGENFUNCIONES Las funciones ortogonales surgen al resolver ecuaciones diferenciales. Además, se puede generar un conjunto ortogonal de funciones al resolver un problema con valores en la frontera con dos puntos que impli- 430 l CAPÍTULO 11 SERIES DE FOURIER que una ecuación diferencial de segundo orden lineal que tenga un parámetro Ȝ. En el ejemplo 2 de la sección 5.2, vimos que el problema con valores en la frontera y 0, y 0, y(0) y(L) 0, (1) tiene soluciones no triviales sólo cuando el parámetro Ȝ toma los valores Ȝn  n2ʌ2兾L2, n  1, 2, 3, . . . , llamados eigenvalores. Las correspondientes soluciones no triviales yn  c2 sen(Qʌ[兾L) o simplemente yn  sen(Qʌ[兾L) se llaman eigenfunciones del problema. Por ejemplo, para el problema con valores en la frontera (1), no es un eigenvalor y 2y  0, PVF: y(0)  0, y0 Solución trivial: y(L)  0 nunca es una eigenfunción es un eigenvalor (n  3) 9p2 y  –––– y  0, y(0)  0, y(L)  0 L2 Solución no trivial: y3  sen(3px/L) eigenfunción PVF: 3DUDQXHVWURV¿QHVHQHVWHFDStWXORHVLPSRUWDQWHUHFRQRFHUTXHHOFRQMXQWR^VHQ Qʌ[兾L)}, n HVHOFRQMXQWRRUWRJRQDOGHIXQFLRQHVHQHOLQWHUYDOR>L] que se usa como base para la serie de Fourier de senos. Vea el problema 10 de los ejercicios 11.1. EJEMPLO 1 Eigenvalores y eigenfunciones Considere el problema con valores en la frontera y 0, y y (0) 0, y (L) 0. (2) Como en el ejemplo 2 de la sección 5.2 hay tres posibles casos para el parámetro Ȝ: cero, negativo o positivo; esto es, Ȝ  0, Ȝ  Į2  0 y Ȝ  Į2 0, donde Į 0. La solución de las ED 0, y y 2 a y 0, y a2 y 0, (3) 0, 2 a, a2, (4) (5) son, respectivamente, y c1 y c1 cosh ax y c1 cos ax (6) c 2 x, c 2 senh ax, c 2 sen ax. (7) (8) Cuando las condiciones en la frontera, y(0)  0, y(L)  0 se aplican a cada una de estas soluciones, de la ecuación (6) se obtiene y  c1, de la ecuación (7) sólo se obtiene y  0 y de la ecuación (8) se obtiene y  c1 cos Į[ suponiendo que Į  Qʌ兾L, n  1, 2, 3, . . . Puesto que y  c1 satisface que la ED en (3) y las condiciones de frontera para cualquier elección de c1 distinta de cero, concluimos que Ȝ  0 es un eigenvalor. Por lo que los eigenvalores y las correspondientes eigenfunciones del problema son Ȝ0  0, y0  c1, c1  2 n2 2 L2, n 1, 2, . . . , yn  c1 cos (Qʌ[兾L), c1  0. Se puede, si se 0y n n desea, tomar c1  1 en cada caso. Observe también que la eigenfunción y0  1 correspondiente al eigenvalor Ȝ0  0 se puede incorporar a la familia yn  cos (Qʌ[兾L) si hacemos que n  0. El conjunto {cos (Qʌ[兾L)}, n HVRUWRJRQDOHQHOLQWHUYDOR> L]. En el problema 3 de los ejercicios 11.4 se le pedirá completar los detalles. 11.4 PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE l 431 PROBLEMA REGULAR DE STURM-LIOUVILLE Los problemas (1) y (2) son casos especiales de un problema importante con valores en la frontera de dos puntos. Sean p, q, r y rIXQFLRQHVGHYDORUUHDOFRQWLQXDVHQXQLQWHUYDOR>a, b] y sean r(x) 0 y p(x) 0 para todo x en el intervalo. Entonces Resuelva: Sujeto a: d [r(x)y ] dx (q(x) p(x))y 0 (9) A1 y(a) B1 y (a) 0 (10) A2 y(b) B2 y (b) 0 (11) se dice que es un problema regular de Sturm-Liouville/RVFRH¿FLHQWHVHQODVFRQGLciones de frontera (10) y (11) se suponen reales e independientes de Ȝ. Además, A1 y B1 no son iguales a cero y A2 y B2 no son iguales a cero. Los problemas con valores en la fronWHUDHQ  \  VRQSUREOHPDVUHJXODUHVGH6WXUP/LRXYLOOH'H  SRGHPRVLGHQWL¿FDU r(x)  1, q(x)  0 y p(x)  1 en la ecuación diferencial (9); en la condición frontera (10) LGHQWL¿FDPRVa  0, A1  1, B1  0, y en (11), b  L, A2  1, B2  0. De (2) las identi¿FDFLRQHVVHUiQa  0, A1  0, B1  1 en (10), b  L, A2  0, B2  1 en (11). La ecuación diferencial (9) es lineal y homogénea. Las condiciones de frontera en (10) y (11), ambas una combinación lineal de y y y son iguales a cero en un punto y son también homogéneas. Una condición de frontera tal como A2y(b)  B2y(b)  C2, donde C2 es una constante diferente de cero, es no homogénea. Un problema con valores en la frontera que consiste en una ecuación diferencial lineal homogénea y de condiciones en la frontera homogéneas es, por supuesto, llamado un PVF homogéneo; de otra manera, es no homogéneo. Las condiciones en la frontera (10) y (11) se llaman separadas porque cada condición implica sólo un punto en la frontera. Puesto que un problema regular de Sturm-Liouville es un PVF homogéneo, tiene siempre la solución trivial y  0. Sin embargo, esta solución no es de interés para nosotros. Como en el ejemplo 1, al resolver uno de estos problemas tratamos de buscar números Ȝ (eigenvalores) y soluciones no triviales y que dependan de Ȝ (eigenfunciones). PROPIEDADES El teorema 11.4.1 es una lista de las propiedades más importantes del problema regular de Sturm-Liouville. Sólo demostraremos la última propiedad. TEOREMA 11.4.1 Propiedades del problema regular de Sturm-Liouville a) (  [LVWHXQQ~PHURLQ¿QLWRGHHLJHQYDORUHVUHDOHVTXHVHSXHGHQRUGHQDUHQ forma creciente, Ȝ1  Ȝ2  Ȝ3  . . .  Ȝn  . . . tal que Ȝn → conforme n → . b) Para cada eigenvalor existe sólo una eigenfunción (excepto los múltiplos diferentes de cero). c) Las eigenfunciones que corresponden a diferentes eigenvalores son linealmente independientes. d) El conjunto de eigenfunciones que corresponde al conjunto de los eigenvalores es ortogonal respecto a la función de peso p(x) en el intervalo >a, b]. DEMOSTRACIÓN DE d) Sean ym y yn eigenfunciones correspondientes a los eigenvalores Ȝm y Ȝn, respectivamente. Entonces d [r(x)y m ] dx d [r(x)y n ] dx (q(x) (q(x) m p(x))ym 0 (12) n p(x))y n 0. (13) 432 CAPÍTULO 11 l SERIES DE FOURIER Multiplicando la ecuación (12) por yn y la ecuación (13) por ym y restando las dos ecuaciones se obtiene ( m n ) p(x) ym yn ym d [r(x)y n ] dx yn d [r(x)y m ] . dx Integrando por partes este último resultado desde x  a hasta x  b obtenemos b ( n) m p(x)ym yn dx r(b)[ym (b)y n (b) yn (b)y m (b)] r(a)[ym (a)y n (a) (14) yn (a)ym (a)]. a Ahora las eigenfunciones ym y yn deben satisfacer ambas condiciones a la frontera (10) y (11). En particular, de (10) se tiene que A1 ym (a) B1 y m (a) 0 A1 yn (a) B1 y n (a) 0. Para que A1 y B1 satisfagan este sistema, ambas distintas de cero, el determinante de ORVFRH¿FLHQWHVGHEHVHULJXDODFHUR ym (a)y n (a) yn (a)y m (a) 0. Con un argumento similar aplicado a (11) también se obtiene ym (b) y n (b) yn (b) y m (b) 0. Puesto que los dos miembros del lado derecho de (14) son iguales a cero, hemos establecido la relación de ortogonalidad b p(x)ym (x)yn (x) dx 0, m n. (15) a EJEMPLO 2 Un problema regular de Sturm-Liouville Resuelva el problema con valores en la frontera y x1 x2 x3 0, y(0) 0, y(1) y (1) 0. (16) SOLUCIÓN Procedemos exactamente como en el ejemplo 1 considerando tres casos en los que el parámetro Ȝ podría ser cero, negativo o positivo: Ȝ 0, Ȝ Į2  0, y Ȝ Į2 0 donde Į 0. Las soluciones de la ED para estos valores se muestran en las ecuaciones (3) a (5). Para los casos Ȝ 0, Ȝ Į2  0 encontramos que los PVF en (16) sólo tienen la solución trivial y  0. Para Ȝ Į2 0 la solución general de la ecuación diferencial es y  c1 cos Į[  c2 sen Į[. Ahora la condición y(0)  0 implica que en esta solución c1  0, así nos quedamos con y  c2 sen Į[. La segunda condición y(1)  y(1)  0 se satisface si c 2 sen a c 2 a cos a 0. y = tan x y y x4 x En vista del requisito que c2  0, la última ecuación se puede escribir como tan a y = −x FIGURA 11.4.1 Raíces positivas x1, x2, x3, . . . de tan x  x. a. (17) Si por un momento consideramos en (17) que tan x  xHQWRQFHVHQOD¿JXUD VHPXHVWUDODIDFWLELOLGDGGHTXHH[LVWDXQQ~PHURLQ¿QLWRGHUDtFHVHQSDUWLFXODUODV coordenadas xGHORVSXQWRVGRQGHODJUi¿FDGHy  xLQWHUVHFDHOQ~PHURLQ¿QLWRGH UDPDVGHODJUi¿FDGHy  tan x. Los eigenvalores del PVF (16) son entonces n a2n , donde Įn, n  1, 2, 3, . . . son las raíces positivas consecutivas Į1, Į2, Į3,. . . de (17). Con ayuda de un SAC se muestra con facilidad que redondeando a cuatro decimales, Į1  2.0288, Į2  4.9132, Į3  7.9787 y Į4  11.0855 y que las soluciones correspondientes son y1  sen 2.0288x, y2  sen 4.9132x, y3  sen 7.9787x y y4  sen 11.0855x. En general, las eigenfunciones del problema son {sen Įnx}, n  1, 2, 3, . . . 11.4 PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE l 433 ,GHQWL¿FDQGRr (x)  1, q(x)  0, p(x)  1, A1  1, B1  0, A2  1, B2  1, vemos que la ecuación (16) es un problema regular de Sturm-Liouville. Concluimos que {sen Įnx}, n  1, 2, 3, . . . es un conjunto ortogonal respecto a la función de peso p(x)  1 HQHOLQWHUYDOR>@ En algunos casos se puede demostrar la ortogonalidad de las soluciones de (9) sin QHFHVLGDGGHHVSHFL¿FDUXQDFRQGLFLyQHQODIURQWHUDHQx  a y en x  b. PROBLEMA SINGULAR DE STURM-LIOUVILLE Existen otras condiciones importantes bajo las que buscamos las soluciones no triviales de la ecuación diferencial (9): • r (a)  0, y una condición de frontera del tipo dado en (11) está dada como x  b; • r (b)  0, y una condición de frontera del tipo dado en (10) está dada como x  a; • r (a)  r (b)  0, y no hay condición de frontera dada en x  a o en x  b; • r (a)  r (b), y las condiciones de frontera y(a)  y(b), y(a)  y(b). (18) (19) (20) (21) La ecuación diferencial (9) junto con una de las condiciones (18) a (20), se dice que es un problema singular con valores en la frontera. La ecuación (9) con las condiciones dadas en (21) se dice que es un problema con valores en la frontera periódico (las condiciones de frontera también se llaman periódicas). Observe que si decimos que r(a)  0, entonces x  a puede ser un punto singular de la ecuación diferencial y por tanto, una solución de (9) puede crecer sin límite conforme x → a. Sin embargo, vemos de (14) que si r(a)  0, no se necesita condición de frontera en x  a para demostrar la ortogonalidad de las eigenfunciones suponiendo que estas soluciones estén limitadas en ese punto. Este último requisito asegura la existencia de las integrales que intervieQHQ6XSRQLHQGRTXHODVVROXFLRQHVGH  HVWpQDFRWDGDVHQXQLQWHUYDORFHUUDGR>a, b], podemos ver del examen de la ecuación (14) que • si r(a)  0, entonces la relación de ortogonalidad (15) es válida, (22) sin ninguna condición dada en la frontera en x  a; • si r(b)  0, entonces la relación de ortogonalidad (15) es válida (23) sin ninguna condición dada en la frontera en x  b;* • si r(a)  r(b)  0, entonces la relación de ortogonalidad (15) es válida (24) sin ninguna condición dada en la frontera en x  a o en x  b; • si r(a)  r(b), entonces la relación de ortogonalidad (15) es válida con (25) las condiciones en la frontera y(a)  y(b), y(a)  y(b). Observe que un problema de Sturm-Liouville es singular cuando el intervalo que se FRQVLGHUDHVLQ¿QLWR9pDQVHORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV FORMA AUTOADJUNTA Realizando la derivación que se indica en (9), vemos que la ecuación diferencial es igual a r(x)y r (x)y (q(x) p(x))y 0. (26) (OH[DPHQGHODHFXDFLyQ  SRGUtDFRQGXFLUDFUHHUTXHHOFRH¿FLHQWHGDGRGHy es la GHULYDGDGHOFRH¿FLHQWHGHy, y que existen pocas ecuaciones diferenciales que tengan ODIRUPDGHODHFXDFLyQ  3RUORFRQWUDULRVLORVFRH¿FLHQWHVVRQFRQWLQXRV\a(x)  0 para toda x en algún intervalo, entonces cualquier ecuación diferencial de segundo orden a(x)y b(x)y (c(x) d(x))y 0 (27) se puede escribir en la así llamada forma autoadjunta (9). Para esto básicamente procedemos como en la sección 2.3, donde reescribimos una ecuación homogénea lineal d de primer orden a1(x)y  a0(x)y  0 en la forma [ y] 0 dividiendo la ecuación dx * Las condiciones (22) y (23) son equivalentes a elegir A1  0, B1  0 y A2  0, B2  0, respectivamente. 434 l CAPÍTULO 11 SERIES DE FOURIER entre a1(x) y después multiplicando por el factor integrante ȝ  e 兰P(x)dx, donde, se supone que no hay factores comunes, P(x)  a0(x)兾a1(x). Así que primero, dividimos b(x) la ecuación (27) por a(x). Los primeros dos términos son Y Y , donde a(x) enfatizamos que hemos escrito Y  y. Segundo, multiplicamos esta ecuación por el factor integrante e 兰(b(x)兾a(x))dx, donde a(x) y b(x) se supone que no tienen factores en común: e (b (x) / a (x)) d x Y b(x) e a(x) (b (x) / a (x)) d x d e dx Y 144444444244444443 derivada de un producto (b (x) / a (x)) d x d e dx Y (b (x) / a (x)) d x . y En resumen, dividiendo la ecuación (27) entre a(x) y después multiplicando por e 兰(b(x) , obtenemos 兾a(x))dx e (b / a) d x b(x) e a(x) y (b / a) d x c(x) e a(x) y d(x) e a(x) (b / a) d x (b / a) d x y 0. (28) La ecuación (28) está en la forma deseada dada en la ecuación (26) y tiene la misma forma de la ecuación (9): 兰(b/a)dx d c(x) 兰(b/a)dx d(x) 兰(b/a)dx –– e y  –––– e  l –––– e y0 dx a(x) a(x) [ ] ( ) r(x) q(x) p(x) Por ejemplo, para expresar 2y  6y  Ȝ\  0 en la forma autoadjunta, escribimos 1 3y 0 y después multiplicando por e 兰3dx  e 3x. La ecuación resultante es y 2y r(x) r(x) p(x) 1 e3xy  3e3xy  l – e3xy  0 2 o [ ] d 1 –– e3xy  l – e3xy  0 dx 2 Ciertamente no es necesario escribir una ecuación diferencial de segundo orden (27) en la forma autoadjunta (9) para resolverOD('3DUDQXHVWURV¿QHVXVDUHPRVOD forma dada en la ecuación (9) para determinar la función de peso p(x) que se necesita en la relación de ortogonalidad (15). Los dos ejemplos siguientes ilustran relaciones de ortogonalidad para funciones de Bessel y para polinomios de Legendre. EJEMPLO 3 Ecuación paramétrica de Bessel En la sección 6.4 vimos que la solución general de la ecuación paramétrica de Bessel de orden n es x2y  xy  (Į2x2  n2)y  0, donde n HV XQ HQWHUR ¿MR QR negativo y Į es un parámetro positivo. La solución general de esta ecuación es y  c1Jn(Į[)  c2Yn(Į[). Después de dividir la ecuación paramétrica de Bessel entre el SULPHUFRH¿FLHQWHx2 y multiplicando la ecuación resultante por el factor integrante e (1/x)dx e ln x x, x 0, obtenemos xy y 2 x n2 y x 0 o d [xy ] dx 2 x n2 y x 0. &RPSDUDQGRHVWH~OWLPRUHVXOWDGRFRQODIRUPDDXWRDGMXQWD  KDFHPRVODVLGHQWL¿FD2 ciones r (x)  x, q(x)  nx , Ȝ  Į2 y p(x)  x. Ahora r (0)  0 y de las dos soluciones Jn(Į[) y Yn(Į[), sólo Jn(Į[) está acotada en x  0. Por lo que de la ecuación (22), el 11.4 PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE 435 l conjunto {Jn(Įix)}, i  1, 2, 3, . . . , es ortogonal respecto a la función de peso p(x)  x HQXQLQWHUYDOR>b]. La relación de ortogonalidad es b xJn ( i x)Jn ( j x) dx 0, (29) j, i 0 2 suponiendo que los Įi y por tanto los eigenvalores i i , i VHGH¿QHQ por medio de una condición en la frontera en x  b del tipo dado en la ecuación (11): El factor extra deĮ viene de la regla de la cadena: d J (Į x) J (Į x) d Į x Į Jn (Į x). dx n n A2 Jn (ab) dx 0.* B2 aJ n (ab) (30) Para cualquier elección de A2 y B2, ninguna igual a cero, se sabe que la ecuación (30) tiene un número infinito de raíces xi  Įi b. Entonces los eigenvalores 2 son i (xi > b)2. En el siguiente capítulo se tratará más acerca de los eii genvalores. EJEMPLO 4 Ecuación de Legendre La ecuación diferencial de Legendre (1x2)y  2xy  n(n  l)y  0 es exactamente de la forma dada en la ecuación (26) con r(x)  1 – x2 y r(x)  2x. Por lo que la forma autoadjunta (9) es inmediata, d (1 dx x2 )y n(n 1)y (31) 0. 'H OD HFXDFLyQ   SRGHPRV DGHPiV LGHQWL¿FDU q(x)  0, Ȝ  n(n  1) y p(x)  0. Recuerde de la sección 6.3 que cuando n  0, 1, 2, . . . la ED de Legendre tiene soluciones polinomiales Pn(x). Ahora se puede expresar la observación de que r (1)  r (1)  0 junto con el hecho de que los polinomios de Legendre Pn(x) que son las únicas soluciones GH  TXHWLHQHQOtPLWHHQHOLQWHUYDORFHUUDGR>1, 1] por lo que se concluye de la ecuación (24) que el conjunto {Pn(x)}, n  0, 1, 2, . . . es ortogonal respecto a la función de peso p(x)  1HQ>1, 1]. La relación de ortogonalidad es 1 Pm (x)Pn (x) dx 0, m n. 1 EJERCICIOS 11.4 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-19. En los problemas 1 y 2, encuentre las eigenfunciones y la ecuaFLyQTXHGH¿QHORVHLJHQYDORUHVGHFDGDSUREOHPDFRQYDORUHV en la frontera. Use un SAC para calcular el valor aproximado de los cuatro primeros eigenvalores, Ȝ1, Ȝ2, Ȝ3 y Ȝ4. De las eigenfunciones que corresponden a esas aproximaciones. 1. y  Ȝ\  0, y(0)  0, y(1)  y(1)  0 2. y  Ȝ\  0, y(0)  y(0)  0, y(1)  0 3. Considere y  Ȝ\  0 sujeta a y(0)  0, y(L)  0. Demuestre que las eigenfunciones son 2 1, cos x, cos x, . . . . L L   (VWHFRQMXQWRTXHHVRUWRJRQDOHQ>L], es la base de la serie de Fourier de cosenos. 4. Considere la ecuación y  Ȝ\  0, sujeta a las condiciones periódicas en la frontera y(L)  y(L), y(L)  y(L). Demuestre que las eigenfunciones son 1, cos L x, cos 2 2 3 x, . . . , sen x, sen x, sen x, . . . . L L L L   (VWHFRQMXQWRTXHHVRUWRJRQDOHQ>L, L], es la base de las series de Fourier. 5. Encuentre la norma cuadrada de cada eigenfunción del problema 1. 6. Demuestre que para las eigenfunciones del ejemplo 2, 'sen an x'2 1 [1 2 cos2an ]. 436 CAPÍTULO 11 l SERIES DE FOURIER 7. a) Encuentre los eigenvalores y las eigenfunciones del problema con valores en la frontera x2 y xy 0, y 0, y(1) 8. a) Encuentre los eigenvalores y las eigenfunciones del problema con valores en la frontera y y 0, y(0) 0, y(2) x2 y 0. y(5) b) Escriba la ecuación diferencial en la forma autoadjunta. c) Dé una relación de ortogonalidad. y 12. a) (  QFXHQWUHODVHLJHQIXQFLRQHV\ODHFXDFLyQTXHGH¿QH los eigenvalores del problema con valores en la frontera 0. b) Escriba la ecuación diferencial en la forma autoadjunta. c) Dé una relación de ortogonalidad. 10. Ecuación diferencial de Hermite y  2xy  2ny  0, n  0, 1, 2, . . . tiene soluciones polinomiales Hn(x). Escriba la ecuación en su forma autoadjunta y dé una relación de ortogonalidad. 11. Considere el problema regular de Sturm-Liouville d (1 dx y(0) x2)y 0, y(1) 1 x2 y 0, 0. a) Encuentre los eigenvalores y las eigenfunciones del SUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUD>Sugerencia: Sea x  tan ș y después utilice la regla de la cadena.] b) Dé una relación de ortogonalidad. 11.5 0, x 0, Sea Ȝ  Į2, Į 0. b) Utilice la tabla 6.1 de la sección 6.4, encuentre los valores aproximados de los cuatro primeros eigenvalores, Ȝ1, Ȝ2, Ȝ3 y Ȝ4. Problemas para analizar 13. Considere el caso especial del problema regular de Sturm/LRXYLOOHHQHOLQWHUYDOR>a, b]: d [r(x)y ] dx n  0, 1, 2, . . . tiene soluciones polinomiales L(x). Escriba la ecuación en su forma autoadjunta y dé una relación de ortogonalidad. 1)y y está acotada en x  0, y(3)  0. 9. Ecuación diferencial de Laguerre xy  (1  x)y  ny  0, ( x2 xy y (a) 0, p(x)y y (b) 0, 0. ¿Es Ȝ XQHLJHQYDORUGHOSUREOHPD"'H¿HQGDVXUHVpuesta. Tarea para el laboratorio de computación 14. a) Dé una relación de ortogonalidad para el problema de Sturm-Liouville del problema 1. b) Utilice un SAC como ayuda para comprobar la relación de ortogonalidad para las eigenfunciones y1 y y2 que corresponden a los dos primeros eigenvalores Ȝ1 y Ȝ2, respectivamente. 15. a) Dé una relación de ortogonalidad para el problema 2 de Sturm-Liouville. b) Utilice un SAC como ayuda para comprobar la relación de ortogonalidad para las eigenfunciones y1 y y2 que correspondan a los dos primeros eigenvalores Ȝ1 y Ȝ2, respectivamente. SERIES DE BESSEL Y LEGENDRE REPASO DE MATERIAL l Debido a que los resultados de los ejemplos 3 y 4 de la sección 11.4 juegan un importante papel en el análisis que sigue, se le recomienda que lea nuevamente estos ejemplos en conjunción con las ecuaciones de la (6) a la (11) de la sección 11.1. INTRODUCCIÓN La serie de Fourier, la serie de Fourier de cosenos y la serie de Fourier de senos son tres formas de desarrollar una función en términos de un conjunto ortogonal de funciones. Pero esos desarrollos de ninguna manera se limitan a conjuntos ortogonales de funciones trigonométricas. En la sección 11.1 vimos que una función fGH¿QLGDHQXQLQWHUYDOR a, b) se puede desarrollar, al menos formalmente, en términos de cualquier conjunto de funciones {‫׋‬n(x)} que sea ortogonal respecto a una IXQFLyQGHSHVRHQ>a, b]. Muchos de estos desarrollos en series ortogonales o series de Fourier generalizadas surgen de problemas de Sturm-Liouville que, a su vez, se originan de intentos para resolver ecuaciones diferenciales parciales lineales que sirven como modelos de sistemas físicos. Las series de Fourier y los desarrollos en series ortogonales, así como las dos series que describiremos en esta sección, reaparecen en consideraciones subsecuentes de estas aplicaciones en los capítulos 12 y 13. 11.5 11.5.1 SERIES DE BESSEL Y LEGENDRE l 437 SERIE DE FOURIER-BESSEL (Q HO HMHPSOR  GH OD VHFFLyQ  YLPRV TXH SDUD XQ YDORU ¿MR GH n funciones de Bessel {Jn(Įix)}, i  1, 2, 3, . . . , es ortogonal respecto a la función de peso p(x)  x HQXQLQWHUYDOR>b] siempre que los ĮiHVWiQGH¿QLGRVSRUPHGLRGHXQDFRQGLFLyQ de frontera de la forma (1) A2 Jn(ab) B2 aJn(ab) 0. 2 Los eigenvalores del correspondiente problema de Sturm-Liouville son i i . De (7) y (8) de la sección 11.1, la serie ortogonal o serie generalizada de Fourier del desarrollo de una función fGH¿QLGDHQ b), en términos de este conjunto ortogonal es f (x) (2) ci Jn(ai x), i 1 donde ci b 0 xJn( i x) f (x) dx . 'Jn( i x)'2 (3) La norma cuadrada de la función Jn(Įix HVWiGH¿QLGDSRU  GHODVHFFLyQ b 'Jn( i x)'2 0 (4) xJn2 ( i x) dx. /DVHULH  FRQFRH¿FLHQWHVGH¿QLGRVSRUODHFXDFLyQ  VHOODPDserie de FourierBessel o simplemente, serie de Bessel. RELACIONES DE RECURRENCIA DIFERENCIALES Estas relaciones de recurrencia diferenciales que se dieron en las ecuaciones (21) y (20) de la sección 6.3, son IUHFXHQWHPHQWH~WLOHVHQODHYDOXDFLyQGHORVFRH¿FLHQWHV  3RUFRQYHQLHQFLDUHSURducimos estas relaciones aquí: d n [x Jn(x)] x nJn 1(x) dx d [x n Jn (x)] x n Jn 1(x). dx (5) (6) NORMA CUADRADA El valor de la norma cuadrada (4) depende de cómo los 2 eigenvalores i i HVWiQGH¿QLGRV6Ly  Jn(Į[), entonces del ejemplo 3 de la sección 11.4 sabemos que d n2 [xy ] a2x y 0. dx x Despues de multiplicar por 2xy, esta ecuación se puede escribir como sigue: d [xy ]2 dx (a2 x2 n2 ) d [y]2 dx 0. ,QWHJUDQGRSRUSDUWHVHVWH~OWLPRUHVXOWDGRHQ>b] entonces obtenemos b 2 2 xy2 dx ([xy ]2 ( 2 2 x b n2)y2) . 0 0 Puesto que y  Jn(Į[), el límite inferior es cero ya que Jn(0)  0 para n para n ODFDQWLGDG>xy]2  Į2x2y2 es cero en x  0. Por lo que b 2a2 xJn2 (ax) dx 0 a2 b2[Jn (ab)]2 (a2 b2 n2 )[Jn(ab)]2, 0. Además (7) donde hemos utilizado la regla de la cadena para escribir y  Į-n(Į[). Ahora consideremos tres casos de (1). CASO I: Si elegimos A2  1 y B2  0, entonces (1) es Jn (ab) 0. (8) 438 l CAPÍTULO 11 SERIES DE FOURIER +D\ XQ Q~PHUR LQ¿QLWR GH UDtFHV SRVLWLYDV xi  Įib GH   YHD OD ¿JXUD   TXHGH¿QHORVĮi como Įi  xi兾b. Los eigenvalores son positivos y están dados por a2i xi2>b 2 . No se obtienen eigenvalores nuevos a partir de las raíces negativas i de la ecuación (8) porque Jn(x)  (l)n Jn(x). (Vea la página 252) El número 0 no es un eigenvalor para cualquier n porque Jn(0)  0 para n  1, 2, 3, . . . y J0(0)  1. En otras palabras, si Ȝ  0, llegamos a la función trivial (que nunca es una eigenfunción) para n  1,2, 3, . . . y para n  0, Ȝ  0 (o de forma equivalente, Į  0) no satisface a la ecuación en (8). Cuando la ecuación (6) se escribe en la forma xJn (x)  nJn(x)  xJn  1(x), de (7) y (8) se tiene que la norma cuadrada de Jn(Įix) es b2 2 J (a b). 2 n 1 i 'Jn (ai x)'2 (9) Si elegimos A2  K  0, y B2  b, entonces (1) es CASO II: abJn (ab) hJn(ab) (10) 0. /D HFXDFLyQ   WLHQH XQ Q~PHUR LQ¿QLWR GH UDtFHV SRVLWLYDV xi  Įib para cada entero positivo n  1, 2, 3, . . . Como antes, los eigenvalores se obtienen de a2i x2i > b2. l 0 no es eigenvalor para n  1, 2, 3, . . . Al sustituir ĮibJn i (Įib)  K-n(Įib) en la ecuación (7), encontramos que la norma cuadrada de Jn(Įix) es ahora a2i b2 'Jn (ai x)'2 CASO III: n2 2a2i h2 (11) Jn2 (ai b). Si K  0 y n  0 en (10), los ĮiVHGH¿QHQDSDUWLUGHODVUDtFHVGH J 0 (ab) (12) 0. Aun cuando esta ecuación es sólo un caso especial de (10), es el único caso para el cual Ȝ  0 es un eigenvalor. Para ver esto, observemos que para n  0 el resultado en (6) implica que J0(ĮE)  0 es equivalente a J1(ĮE)  0. Puesto que x1  Įib  0 es una raíz de esta última ecuación, Į1  0 y como J0(0)  1 es no trivial, concluimos de a21 x21>b2 que Ȝ1  0 es un eigenvalor. Pero obviamente, no podemos utilizar 1 (11) cuando Į1  0, K  0 y n  0. Sin embargo, de la norma cuadrada (4) b '1'2 x dx 0 Para Įi b2 . 2 (13) 0 podemos utilizar (11) con K  0 y n  0: b2 2 J (a b). 2 0 i 'J0 (ai x)'2 (14) /D VLJXLHQWH GH¿QLFLyQ UHVXPH ODV WUHV IRUPDV GH OD VHULH   FRUUHVSRQGLHQWHV D OD norma cuadrada. DEFINICIÓN 11.5.1 Serie de Fourier-Bessel La serie de Fourier-Bessel de una función fGH¿QLGDHQHOLQWHUYDOR b) está dada por: i) f (x) ci Jn(ai x) (15) i 1 ci 2 2 2 b Jn 1(ai b) b xJn(ai x) f (x) dx, 0 donde los ĮiHVWiQGH¿QLGRVSRUJn(ĮE)  0. (16) 11.5 ii) SERIES DE BESSEL Y LEGENDRE f (x) l 439 (17) ci Jn(ai x) i 1 2a2i ci a2i b2 2 b 2 n h Jn2(ai b) xJn(ai x)f (x) dx, (18) 0 donde los ĮiHVWiQGH¿QLGRVSRUK-n(ĮE) ĮE-n(ĮE)  0. iii) f (x) (19) ci J0(ai x) c1 i 2 2 b2 c1 b 2 2 2 b J0 (ai b) x f (x) dx, ci 0 b xJ0(ai x) f (x) dx, (20) 0 donde los ĮiHVWiQGH¿QLGRVSRUJ0(ĮE)  0. CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE FOURIER-BESSEL Las condiciones de VX¿FLHQFLDSDUDODFRQYHUJHQFLDGHXQDVHULHGH)RXULHU%HVVHOQRSUHVHQWDQUHVWULFciones particulares. TEOREMA 11.5.1 Condiciones para la convergencia Sean f y f FRQWLQXDVSRUSDUWHVHQHOLQWHUYDOR>b], entonces, para toda x en el intervalo (0, b) la serie de Fourier-Bessel de f converge a f (x) en cualquier punto de continuidad. En un punto de discontinuidad, la serie de FourierBessel converge al promedio f (x) f (x) 2 donde f (x) y f (x) denotan el límite de f en x de derecha a izquierda. EJEMPLO 1 Desarrollo en serie de Fourier-Bessel Desarrolle f (x)  x, 0  x  3, en una serie de Fourier-Bessel utilizando funciones de Bessel de primer orden que satisfagan la condición de frontera J1(3Į)  0. SOLUCIÓN 8VDPRVODHFXDFLyQ  GRQGHORVFRH¿FLHQWHVci están dados por la ecuación (16) con b  3. ci 2 32 J 22(3ai) 3 x 2J1(ai x) dx. 0 Para evaluar esta integral hacemos t  Įi x, dx  dt兾Įi, x2 d ción (5) en la forma [t2J2(t)] t2J1(t): dt ci 2 3 2 9ai J 2 (3ai ) 3ai 0 d 2 [t J2(t)] dt dt t2>a2i , y usando la ecua- 2 . ai J2(3ai) Por tanto, el desarrollo deseado es f (x) 2 i 1 1 J (a x). ai J2(3ai ) 1 i Se le pedirá en el problema 1 de los ejercicios 11.5 que encuentre los primeros cuatro valores de los Įi para la serie de Fourier-Bessel. 440 CAPÍTULO 11 l SERIES DE FOURIER EJEMPLO 2 3 2.5 Desarrollo en serie de Fourier-Bessel 6LVHGH¿QHQORVĮi del ejemplo 1 con J1(3Į)  Į-1(3Į)  0, entonces lo único que cambia en el desarrollo es el valor de la norma cuadrada. Multiplicando por 3 la condición en la frontera se obtiene 3J1(3Į)  3Į-1(3Į)  0, que ahora coincide con la ecuación (10) cuando K  3, b  3 y n  1. Por lo que, de las ecuaciones (18) y (17) se obtiene respectivamente, 18ai J2(3ai) ci 9a2i 8 J 12(3ai ) y y 2 f (x) 18 i 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 x 3 a) S5 (x), 0  x  3 3 y 2 1 x USO DE COMPUTADORAS Como las funciones de Bessel son “funciones incorporadas” en los SAC, es una tarea directa encontrar los valores aproximados de los eigenvalores Įi\GHORVFRH¿FLHQWHVci en una serie de Fourier-Bessel. Por ejemplo, en la ecuación (10) podemos considerar que xi  Įib es una raíz positiva de la ecuación K-n(x)  xJn(x)  0. Así en el ejemplo 2 hemos usado un SAC para determinar las cinco primeras raíces positivas, xi de 3J1(x)  xJ1(x)  0 y a partir de esas raíces obtenemos los cinco primeros eigenvalores de Įi: Į1  x1兾3  0.98320, Į2  x2兾3  1.94704, Į3  x3兾3  2.95758, Į4  x4兾3  3.98538 y Į5  x5兾3  5.02078. Conociendo las raíces xi  3Įi y los Įi, utilizamos nuevamente un SAC para calcular los valores numéricos de J2(3a i ), J 12(3 i ),\ SRU ~OWLPR ORV FRH¿FLHQWHV ci. De esta manera encontramos que la quinta suma parcial S5(x) de la representación en serie de Fourier-Bessel de f (x)  x, 0  x  3 en el ejemplo 2, es S5(x) -1 10 20 30 40 50 b) S10 (x), 0  x  50 FIGURA 11.5.1 *Ui¿FDVGHGRV sumas parciales de una serie de FourierBessel. ai J2(3ai) J (a x). 8 J 12(3ai ) 1 i 2 1 9ai 4.01844 J1(0.98320x) 1.86937J1(1.94704x) 1.07106 J1(2.95758x) 0.70306 J1(3.98538x) 0.50343 J1(5.02078x). (QOD¿JXUD D VHSUHVHQWDODJUi¿FDGHS5 [ HQHOLQWHUYDOR  (QOD¿JXUD O E KHPRVWUD]DGRODJUi¿FDGHS10(x) en el intervalo (0, 50). Observe que fuera del LQWHUYDORGHGH¿QLFLyQ  ODVHULHQRFRQYHUJHDXQDH[WHQVLyQSHULyGLFDGHf porque las funciones de Bessel no son funciones periódicas. Véanse los problemas 11 y 12 de los ejercicios 11.5. 11.5.2 SERIE DE FOURIER-LEGENDRE Del ejemplo 4 de la sección 11.4, sabemos que el conjunto de polinomios de Legendre {Pn(x)}, n  0, 1, 2, . . . , es ortogonal respecto a la función de peso p(x)  1 en el inWHUYDOR>1, 1]. Además, se puede demostrar que la norma cuadrada de un polinomio Pn(x) depende de n en la siguiente forma: 1 2 . 2n 1 El desarrollo de una función en serie ortogonal en términos de polinomios de Legendre VHUHVXPHHQODVLJXLHQWHGH¿QLFLyQ Pn2(x) dx 'Pn(x)'2 1 DEFINICIÓN 11.5.2 Serie de Fourier-Legendre La serie de Fourier-Legendre de una función f en el intervalo (1, 1) está dada por cn Pn(x), f (x) (21) n 0 donde cn 2n 1 2 1 f (x)Pn(x) dx. 1 (22) 11.5 SERIES DE BESSEL Y LEGENDRE l 441 CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE FOURIER-LEGENDRE En el siguiente teoUHPDVHSUHVHQWDQODVFRQGLFLRQHVGHVX¿FLHQFLDSDUDODFRQYHUJHQFLDGHXQDVHULHGH Fourier-Legendre. TEOREMA 11.5.2 Condiciones de convergencia Sean f y f FRQWLQXDVSRUSDUWHVHQHOLQWHUYDOR>1, 1], entonces, para toda x en el intervalo (1, 1) la serie de Fourier-Bessel de f converge a f (x) en cualquier punto de continuidad. En un punto de discontinuidad, la serie de FourierBessel converge al promedio f (x) f (x) 2 donde f (x) y f (x) denotan el límite de f en x de derecha a izquierda. EJEMPLO 3 Desarrollo en una serie de Fourier-Legendre Escriba los cuatro primeros términos distintos de cero de la serie de FourierLegendre de f (x) 0, 1, 1 0 0 1. x x SOLUCIÓN En la sección 6.3.2 se presentaron los primeros cinco polinomios de Legendre. A partir de éstos y la ecuación (22) encontramos c0 c1 c2 c3 c4 c5 Por tanto y 1 0.8 0.6 0.4 0.2 x -1 -0.5 0.5 1 FIGURA 11.5.2 Suma parcial de S5(x) de la serie de Fourier-Legendre. 1 2 1 3 2 1 5 2 1 7 2 1 9 2 1 f (x)P0(x) dx 1 f (x)P1(x) dx 1 f (x)P2(x) dx 1 f (x)P3 (x) dx 1 f (x)P4(x) dx 1 11 2 1 f (x)P5(x) dx 1 f (x) 1 P (x) 2 0 1 2 3 2 5 2 7 2 9 2 1 1 1 dx 0 1 2 1 1 x dx 0 1 1 1 (3x2 2 1) dx 1 1 (5x3 2 3x) dx 7 16 1 1 (35x4 8 30x2 3) dx 0 1 0 1 0 11 2 3 P (x) 4 1 3 4 1 1 0 1 (63x5 8 7 P (x) 16 3 0 70x3 0 15x) dx 11 P (x) 32 5 11 . 32 . Al igual que las funciones de Bessel, los polinomios de Legendre son funciones incorporadas en programas de cómputo algebraicos como Maple y 0DWKHPDWLFD, por lo TXHFDGDXQRGHORVFRH¿FLHQWHVTXHDFDEDPRVGHHQOLVWDUVHSXHGHHQFRQWUDUXWLOL]DQGR la aplicación de integración de esos programas. En realidad, usando un SAC encontra65 mos además que c6  0 y c7 . La quinta suma parcial de la representación en 256 forma de serie de Fourier-Legendre de la función fGH¿QLGDHQHOHMHPSORHVHQWRQFHV 1 3 7 11 65 P (x) P (x) P (x) P (x) P (x). S5(x) 2 0 4 1 16 3 32 5 256 7 (QOD¿JXUDVHSUHVHQWDODJUi¿FDGHS5(x) en el intervalo (1, 1). 442 CAPÍTULO 11 l SERIES DE FOURIER FORMA ALTERNATIVA DE LA SERIE En sus aplicaciones, la serie de FourierLegendre se presenta en una forma alternativa. Si se hace que x  cos ș, entonces x  1 implica que ș  0, mientras que x  1 implica que ș  ʌ. Puesto que dx  sen ș Gș y las ecuaciones (21) y (22) se convierten respectivamente en F( ) (23) cn Pn(cos ) n 0 cn 2n 1 2 F( ) Pn(cos ) sen d , (24) 0 donde f (cos ș) se ha reemplazado con F(ș). EJERCICIOS 11.5 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-19. 11.5.1 SERIE DE FOURIER-BESSEL En los problemas 1 y 2 utilice la tabla 6.1 de la sección 6.4. 1. Encuentre los primeros cuatro términos Įi por J1(3Į)  0. GH¿QLGRV 2. Encuentre los primeros cuatro términos Įi GH¿QLGRV por J0(2Į)  0. En los problemas 3 a 6, desarrolle f (x)  1, 0  x  2 en una serie de Fourier-Bessel con funciones de Bessel de orden cero que satisfagan la respectiva condición en la frontera. 3. J0(2Į)  0 5. J0(2a) 2aJ 0 (2a) 0 4. J 0(2a) 0 6. J0(2a) aJ 0(2a) 0 En los problemas 7 a 10, desarrolle la función respectiva en una serie de Fourier-Bessel, usando funciones de Bessel del mismo orden que el indicado en la condición en la frontera. 7. f (x)  5x, 0  x  4, 3J1 (4a) 4a J 1 (4a) 8. f (x)  x , 0  x  1, 2 9. f (x)  x2, t 3  t 2 ⴢ t.] 0 J2(Į)  0 0  x  3, 10. f (x)  1  x2, 0  x  1, J 0 (3a) 12. a) Utilice los valores de Įi del inciso c) del problema 11 y un SAC para aproximar los valores de los primeros FLQFRFRH¿FLHQWHVci de la serie de Fourier-Bessel que obtuvo en el problema 7. b) 8WLOLFHXQ6$&SDUDWUD]DUODVJUi¿FDVGHODVVXPDV parciales SN(x), N  1, 2, 3, 4, 5 de la serie de Fourier en el problema 7. c) 6  L VH OH LQGLFD WUDFH OD JUi¿FD GH OD VXPD SDUFLDO S10(x) en el intervalo (0, 4) y en (0, 50). Problemas para analizar 13. 6LODVVXPDVSDUFLDOHVGHOSUREOHPDVHJUD¿FDQHQXQ intervalo simétrico tal como ( ¢ODVJUi¿FDVWHQdrían alguna simetría? Explique. 14. a) 'LEXMHDPDQRXQDJUi¿FDGHDGyQGHVXSRQJDTXH convergería la serie del problema 3 en el intervalo (2, 2). b) 'LEXMHDPDQRXQDJUi¿FDGHDGyQGHVXSRQJDTXH convergería la serie en el intervalo (4, 4) si los valores ĮiHQHOSUREOHPDIXHURQGH¿QLGRVSRUJ2(4Į)  4Į-2(4Į)  0. 0  >Sugerencia: 11.5.2 SERIE DE FOURIER-LEGENDRE J0(Į)  0 Tarea para el laboratorio de computación 11. a) 8VHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHy  3J1(x)  x J1(x) en un intervalo tal, que se muestren las primeras cinco intersecciones positivas con el eje xGHODJUi¿FD b) Use la aplicación para determinar raíces de su SAC para aproximar las cinco primeras raíces xi de la ecuación 3J1(x)  x J1(x) 0. c) Utilice los datos obtenidos en el inciso b) para encontrar los cinco primeros valores positivos de Įi que satisfagan a 3J1(4Į)  4Į-1(4Į)  0. (Vea el problema 7.) d) Si se le indica, encuentre los diez primeros valores positivos de Įi. En los problemas 15 y 16, escriba los primeros cinco términos distintos de cero en el desarrollo de la función dada como serie de Fourier-Legendre. Si se le indica, utilice un SAC como una D\XGDSDUDHYDOXDUORVFRH¿FLHQWHV8VHXQ6$&SDUDWUD]DUOD JUi¿FDGHODVXPDSDUFLDOS5(x). 15. f (x) 0, x, 1 0 x x 0 1 16. f (x)  e x, 1  x  1 17. Los tres primeros polinomios de Legendre son P0(x)  1, P1(x)  x y P2(x) 12 (3x2 1). Si x  cos ș, entonces P0(cos ș)  1 y P1(cos ș)  cos ș. Demuestre que P2(cos ) 14 (3cos 2 1). REPASO DEL CAPÍTULO 11 18. Utilice los resultados del problema 17 para encontrar un desarrollo en serie de Fourier-Legendre ecuación (23) de F(ș)  1  cos 2ș. 19. Un polinomio de Legendre Pn(x) es una función par o impar, dependiendo de si n es un par o impar. Demuestre que si f es una función par en el intervalo (1, 1), entonces las ecuaciones (21) y (22) se convierten, respectivamente en f (x) (25) c2n P2n(x) n 0 1 (4n c2n f (x)P2n(x) dx. 1) (26) 0 La serie (25) se pueden también usar cuando f sólo está de¿QLGDHQHOLQWHUYDOR  (QWRQFHVODVHULHUHSUHVHQWDDf en (0, 1) y en una extensión par de f en el intervalo (1, 0). 20. Demuestre que si f es una función impar en el intervalo (1, 1), las ecuaciones (21) y (22) se convierten respectivamente en f (x) (27) c2n 1 P2n 1(x) n 0 1 c2n 1 (4n f (x)P2n 1(x) dx. 3) (28) l 443 La serie (27) también se pueden utilizar cuando f sólo está GH¿QLGDHQ  (QWRQFHVODVHULHUHSUHVHQWDDf en (0, 1) y a un desarrollo impar de f en el intervalo (1, 0). En los problemas 21 y 22 escriba los primeros cuatro términos distintos de cero en el desarrollo indicado de la función dada. ¿Qué función representa la serie en el intervalo (1, 1)? Use XQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVXPDSDUFLDOS4(x). 21. f (x)  x, 0  x  1; use (25) 22. f (x)  1, 0  x  1; use (27) Problemas para analizar 23. Analice: ¿por qué un desarrollo de Fourier-Legendre de XQDIXQFLyQSROLQRPLDOTXHHVWiGH¿QLGDHQHOLQWHUYDOR ( HVQHFHVDULDPHQWHXQDVHULH¿QLWD" 24. Utilizando sólo sus conclusiones del problema 23, es decir, sin utilizar la ecuación (22), encuentre la serie de Fourier-Legendre de f (x)  x2<GHODVHULHf (x)  x3. 0 REPASO DEL CAPÍTULO 11 En los problemas 1 a 6 complete el espacio en blanco o conteste cierto o falso sin consultar el libro. 1. Las funciones f (x)  x  1 y g(x)  x son ortogonales HQHOLQWHUYDOR>ʌ, ʌ]. _______ 2 5 2. El producto de una función impar f por otra función impar g es _______. 3. Para desarrollar f (x)  兩x兩  1, ʌ  x  ʌ en una serie trigonométrica adecuada, se usaría una serie _____. 4. y  0 nunca es una eigenfunción de un problema de Sturm-Liouville. _______ 5. Ȝ  0 nunca es un eigenvalor de un problema de SturmLiouville. _______ 1 x 0 se desarrolla x, 0 x 1 en una serie de Fourier, la serie converge a _______ en x  1, a _______ en x  0 y a _______ en x  1. 6. Si la función f (x) x 1, 7. Suponga que la función f (x)  x2  1, 0  x  3 se desarrolla en una serie de Fourier, una serie de cosenos y una serie de senos. Dé el valor al cual cada serie converge en x  0. 8. ¿Cuál es la eigenfunción correspondiente para el problema con valores en la frontera y  Ȝ\  0, y(0)  0, y(ʌ兾2)  0 para Ȝ  25? Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-20 9. Ecuación diferencial de Chebyshev (1 x2)y xy n2y 0 tiene una solución polinomial y  Tn(x) para n  0, 1, 2, . . . (VSHFL¿TXHODIXQFLyQGHSHVRw(x) y el intervalo en el que el conjunto de polinomios de Chebyshev {Tn(x)} es ortogonal. Dé una relación de ortogonalidad. 10. El conjunto de polinomios de Legendre {Pn(x)}, donde P0(x)  1, P1(x)  x, . . . es ortogonal respecto a la función de peso w(x) HQHOLQWHUYDOR>1, 1]. Explique por qué 1 1 Pn(x) dx 0 para n 0. 11. Sin hacer operaciones, explique por qué la serie de cosenos de f (x)  cos2x, 0  x  ʌ HV OD VHULH ¿QLWD f (x) 12 12 cos 2x. 12. a) Demuestre que el conjunto sen 2L x, sen 3 5 x, sen x, . . . 2L 2L   HVRUWRJRQDOHQHOLQWHUYDOR>L]. b) Encuentre la norma de cada una de las funciones del inciso a). Construya un conjunto ortonormal. 13. Desarrolle f (x)  兩x兩  x,  1  x  1 en una serie de Fourier. 14. Desarrolle f (x)  2x2  1, 1  x  1 en una serie de Fourier. 444 l CAPÍTULO 11 REPASO DEL CAPÍTULO 11 SERIES DE FOURIER l 444 15. Desarrolle f(x)  ex, 0  x  1. a) en una serie de cosenos b) en una serie de senos. 20. Dé una relación de ortogonalidad para las eigenfunciones del problema 19. 16. En los problemas 13, 14 y 15, dibuje la extensión periódica de f a la que converge cada serie. 21. Desarrolle f (x) 17. Analice: ¿cuál de las dos series de Fourier de f en el problema 15 converge a f (x), f ( x), F(x) 0 1 1 0 x x en el intervalo (1, 1)? 18. Considere la parte de la función periódica f que se muesWUDHQOD¿JXUD5'HVDUUROOHf en una serie de Fourier adecuada. 2 −2 22. Desarrolle la función y  x4 – 1, 1  x  1, en una serie de Fourier-Legendre. 23. Suponga que la función y  f (x HVWiGH¿QLGDHQHOLQWHUvalo (– , ). a) Compruebe la identidad fe(x)  fo(x), donde fe(x) f (x) f ( x) 2 y fo(x) f (x) f ( x) 2 . b) Demuestre que fe es una función par y fo es una función impar. y −4 1, 0 x 2 , en una serie de 0, 2 x 4 Fourier-Bessel y utilice funciones de Bessel de orden cero que satisfagan la condición a la frontera J0(4Į)  0. 2 4 6 x FIGURA 11.R.1 *Ui¿FDGHOSUREOHPD 19. Encuentre los eigenvalores y las eigenfunciones del problema con valores en la frontera x2 y xy 9 y 0, y (1) 0, y(e) 0. 24. La función f(x) ex no es función par ni impar. Utilice el problema 23 para escribir f como la suma de una función SDU\GHXQDIXQFLyQLPSDU,GHQWL¿TXHfe y fo. 25. Suponga que f es una función de periodo 2p integrable. Demuestre que para cualquier número a, 2p a f (x) dx 0 2p f (x) dx. a 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 Ecuaciones diferenciales parciales separables EDP clásicas y problemas con valores en la frontera Ecuación de calor Ecuación de onda Ecuación de Laplace Problemas no homogéneos con valores en la frontera Desarrollos en series ortogonales Problemas dimensionales de orden superior REPASO DEL CAPÍTULO 12 En éste y en los dos capítulos siguientes trataremos un par de procedimientos que se utilizan para resolver ecuaciones en derivadas parciales que se presentan con frecuencia en problemas donde aparecen distribuciones de temperatura, vibraciones y potenciales. Estos problemas, llamados problemas con valores en la frontera, se describen con ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden relativamente simples. El objetivo de estos procedimientos es encontrar soluciones de una EDP reduciéndola a dos o más EDO. Comenzaremos con un método llamado separación de variables (que no tiene relación con el visto en la sección 2.2). La aplicación de este método nos regresa a los importantes conceptos del capítulo 11, en particular, eigenvalores, HLJHQIXQFLRQHV\HOGHVDUUROORGHXQDIXQFLyQHQXQDVHULHLQ¿QLWDGHIXQFLRQHV ortogonales. 445 446 l CAPÍTULO 12 12.1 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES SEPARABLES REPASO DE MATERIAL l Secciones 2.3, 4.3 y 4.4. l Lea nuevamente “Dos ecuaciones que vale la pena conocer” de la sección 4.3, página 131. INTRODUCCIÓN Las ecuaciones diferenciales parciales (EDP), al igual que las diferenciales ordinaULDVVHSXHGHQFODVL¿FDUHQOLQHDOHVRQROLQHDOHV'HPDQHUDVLPLODUTXHHQXQD('2ODYDULDEOHGHSHQdiente y sus derivadas parciales sólo se presentan elevadas a la primera potencia en una EDP lineal. En lo que resta de este libro la mayoría de las veces sólo trataremos con EDP lineales de segundo orden. ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL LINEAL Si hacemos que u denote la variable dependiente y que x y y denoten las variables independientes, entonces la forma general de una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden está dada por 2 A 2 u x2 B u x y 2 C u y2 D u x E u y Fu G, (1) GRQGHORVFRH¿FLHQWHVA, B, C, . . . , G son funciones de x y y. Cuando G(x, y)  0, la ecuación (1) se llama homogénea; en cualquier otro caso se dice que es no homogénea. Por ejemplo, las ecuaciones lineales 2 u x2 2 u y2 2 0 u x2 y u y xy son homogéneas y no homogéneas, respectivamente. SOLUCIÓN DE UNA EDP Una solución de una ecuación diferencial parcial (1) es una función u(x, y) de dos variables independientes que tiene todas las derivadas parciales que se presentan en la ecuación y que satisface la ecuación en alguna región del plano xy. No es nuestra intención examinar procedimientos para encontrar soluciones generales de ecuaciones diferenciales parciales lineales. Con frecuencia no sólo es difícil obtener una solución general de la EDP lineal de segundo orden, sino que usualmente una solución general tampoco es útil en las aplicaciones, por lo que nos concentraremos en encontrar soluciones particulares de algunas de las EDP lineales más importantes, esto es, ecuaciones que se presentan en varias aplicaciones. SEPARACIÓN DE VARIABLES Aunque hay varios métodos que pueden ensayarse para encontrar soluciones particulares de una EDP lineal, el que nos interesa por el momento se llama método de separación de variables. Con este método se busca una solución particular en la forma de producto de una función de x por una función de y: u(x, y) X(x)Y( y). Con esta hipótesis algunas veces es posible reducir una EDP lineal con dos variables en dos EDO. Así, observamos que u x X Y, u y 2 XY , u x2 donde las primas denotan derivación ordinaria. 2 X Y, u y2 XY , 12.1 ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES SEPARABLES EJEMPLO 1 447 Separación de variables 2 Encuentre las soluciones producto de SOLUCIÓN l u x2 u . y 4 Sustituyendo u(x, y)  X(x)Y(y) en la ecuación diferencial parcial se obtiene 4XY . X Y Después, al dividir ambos lados entre 4XY, hemos separado las variables: X Y . 4X Y Puesto que el miembro izquierdo de esta última ecuación es independiente de y e igual al miembro derecho, que es independiente de x, concluimos que ambos lados son independientes tanto de x como de y. En otras palabras, cada lado de la ecuación debe ser una constante. En la práctica es conveniente escribir esta constante de separación real como Ȝ (usando Ȝse obtienen las mismas soluciones). De las dos igualdades X Y 4X Y obtenemos las dos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales 4 X X 0 y Y (2) 0. Y Ahora, como en el ejemplo 1 de la sección 11.4, consideraremos tres casos para Ȝ: cero, negativo o positivo, es decir Ȝ 0, Ȝ Į2  0, Ȝ Į2 0, donde Į 0. CASO I Si Ȝ 0, entonces las dos EDO en (2) son 0 X y 0. Y Resolviendo cada ecuación (digamos, por integración), encontramos que X  c1  c2x y Y  c3. Por lo que una solución producto particular de la EDP es u (c1 XY c2 x)c3 (3) B1 x, A1 donde hemos sustituido c1c3 y c2c3 por A1 y B1, respectivamente. CASO II Si Ȝ Į2, entonces las ED en (2) son X 4a2X 0 y a2Y Y 0. A partir de sus soluciones generales X c4 cosh 2 x c5 senh 2 x y Y 2 c6 e y obtenemos otra solución producto particular de la EDP, o u XY u A2 e (c4 cosh 2 x 2 y cosh 2 x 2 c5 senh 2 x)c6 e B2 e 2 y y (4) senh 2 x, donde A2  c4c6 y B2  c5c6. CASO III Si Ȝ Į2, entonces las ED X 4 2 0 X y Y 2 Y 0 y Y c9 e y sus soluciones generales X c7 cos 2 x c8 sen 2 x 2 y dan aún otra solución particular u A3 e donde A3  c7c9 y B2  c8c9. 2 y cos 2 x B3 e 2 y sen 2 x, (5) 448 l CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES Se deja como ejercicio comprobar que las soluciones (3), (4) y (5) satisfacen la EDP dada. Vea el problema 29 en los ejercicios 12.1. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN El siguiente teorema es similar al teorema 4.1.2 y se conoce como principio de superposición. TEOREMA 12.1.1 Principio de superposición Si u1, u2, . . . , uk son soluciones de una ecuación diferencial parcial lineal homogénea, entonces la combinación lineal c1u1 u ck uk , c2 u2 donde los ci, i  1, 2, . . . , k, son constantes, es también una solución. (QORTXHUHVWDGHOFDStWXORVXSRQGUHPRVTXHVLHPSUHTXHKD\DXQFRQMXQWRLQ¿nito u1, u2, u3, . . . , de soluciones de una ecuación lineal homogénea, se puede construir otra solución, uIRUPDQGRODVHULHLQ¿QLWD ck uk , u k 1 donde los ci, i  1, 2, . . . son constantes. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES Una ecuación diferencial parcial lineal GHVHJXQGRRUGHQFRQGRVYDULDEOHVLQGHSHQGLHQWHV\FRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVVH SXHGHFODVL¿FDUHQXQRGHORVWUHVWLSRV(VWDFODVL¿FDFLyQVyORGHSHQGHGHORVFRH¿cientes de las derivadas de segundo orden. Por supuesto, suponemos que al menos uno GHORVFRH¿FLHQWHVA, B y C es distinto de cero. DEFINICIÓN 12.1.1 &ODVL¿FDFLyQGHHFXDFLRQHV La ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden 2 A 2 u x2 B u x y 2 u y2 C D u x u y E Fu 0, G donde A, B, C, D, E, F y G son constantes reales, se dice que es hiperbólica si B2 4AC 0, parabólica si B2 4AC  0, elíptica si B2 4AC 0. EJEMPLO 2 &ODVL¿FDFLyQGH('3OLQHDOHVGHVHJXQGRRUGHQ &ODVL¿TXHODVHFXDFLRQHVVLJXLHQWHV 2 a) 3 u x2 SOLUCIÓN u y 2 b) u x2 2 2 u y2 c) u x2 2 u y2 0 a) Escribimos la ecuación dada como 2 u u 0, 3 2 x y SRGHPRVKDFHUODVLGHQWL¿FDFLRQHVA  3, B  0 y C  0. Puesto que B2  4AC  0, la ecuación es parabólica. b) Reescribimos la ecuación como 2 u x2 2 u y2 0, 12.1 ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES SEPARABLES vemos que A  1, B  0, C  1, y B2  4AC  4(1)(1) hiperbólica. l 449 0. La ecuación es c) Con A  1, B  0, C  1, y B2  4AC  4(1)(1)  0 la ecuación es elíptica. COMENTARIOS i) En el caso de que usted se lo pregunte, la separación de variables no es un método general para encontrar soluciones particulares; algunas ecuaciones diferenciales parciales lineales son simplemente no separables. Se le propone que compruebe que la suposición u  XY no conduce a una solución para la EDP u y x. lineal 2u x 2 ii 8QDH[SOLFDFLyQGHWDOODGDGHSRUTXpTXHUUtDPRVFODVL¿FDUXQD('3OLQHDO de segundo orden como hiperbólica, parabólica o elíptica está fuera del alcance de este libro, pero al menos usted debería estar consciente que esta claVL¿FDFLyQWLHQHLPSRUWDQFLDSUiFWLFD9DPRVDUHVROYHUDOJXQDV('3VXMHWDV sólo a condiciones de frontera y otras sujetas tanto a condiciones de frontera como a condiciones iniciales; las clases de condiciones que son apropiadas para una ecuación dada dependen de si la ecuación es hiperbólica, parabólica o elíptica. En relación con este tema, veremos en el capítulo 15 que los métoGRVGHVROXFLyQQXPpULFDSDUDODV('3OLQHDOHVGHVHJXQGRRUGHQGL¿HUHQGH DFXHUGRFRQODFODVL¿FDFLyQGHODHFXDFLyQ EJERCICIOS 12.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-20. En los problemas 1 a 16 utilice separación de variables para encontrar, de ser posible, soluciones producto para la ecuación diferencial parcial dada. u x 1. u y 2. u x 3 4. u x  u y  u u 5. x x u 6. y x 2 2 7. 2 u 9. k 2 x 11. a2 2 12. a u y2 u , k t u 2 u x2 2 2 2 u 8. y x y 0 2 u 10. k 2 x 0 2 13. u x2 u , k t u y2 0 2 0 15. u xx  u yy  u tante 2 0 2 14. x 2 u u 14. x2 2 2 x x 16. a 2u xx  g  u tt, 2 u y2 u y2 2 u x 0 u x y 9 2 u x y u y2 2 2 2 3 2 u x2 u x2 0 g una cons- (Q ORV SUREOHPDV  D  FODVL¿TXH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO parcial dada como hiperbólica, parabólica o elíptica. 24. u y2 u 2 2 u x2 u , t u x2 2 26. k u y2 2 u x2 25. a2 2 u x y 2 2 2 0 2 u x y u x2 2 21. 23. u 2k , k t u y2 9 0 22. u t2 0 2 u x y 6 2 u t2 u x2 u y2 2 u x2 20. u 2 0 2 2 u x y u x2 u x y 0 u x y 5 2 19. u y2 2 u x2 18. 3 0 2 u x y u x2 2 u y 3. u x  u y  u u y y 2 2 17. u t2 k 0 0 u x 6 u y 0 450 CAPÍTULO 12 l PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES En los problemas 27 y 28 demuestre que la ecuación diferencial parcial dada tiene la solución de producto indicada. 2 u r2 e 27. k u 2 u r2 28. u k 1 u u ; r r t 2 t c1 J0( r) c2Y0( r) 1 u r r (c1 cos 1 r2 2 u 2 c2 sen (x 2y) u x y 2 u y2 xy2 u 0 Problemas para analizar c4 r ) 29. Compruebe que cada uno de los productos u  XY en las ecuaciones (3), (4) y (5) satisfacen la EDP lineal de segundo orden del ejemplo 1. 30. /D GH¿QLFLyQ  JHQHUDOL]D ODV ('3 OLQHDOHV FRQ FRH¿FLHQWHV TXH VRQ IXQFLRQHV GH x y y. Determine las regiones del plano xy para las cuales la ecuación 12.2 2 u x2 1) es hiperbólica, parabólica o elíptica. 0; )(c3 r 2 (xy En los problemas 31 y 32 analice si se pueden encontrar soluciones producto u  X(x)Y(y) para la ecuación diferencial parcial dada. [Sugerencia: Aplique el principio de superposición.] 2 u x2 31. 0 u 2 u x y 32. u x 0 EDP CLÁSICAS Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA REPASO DE MATERIAL l Lea nuevamente el tema de problemas con valores en la frontera en las secciones 4.1, 4.3 y 5.2. INTRODUCCIÓN No vamos a resolver nada en esta sección. Simplemente vamos a analizar los tipos de ecuaciones diferenciales parciales y los problemas con valores en la frontera con los que estaremos trabajando en lo que resta de este capítulo así como en los capítulos 13 a 15. Las palabras problema con valores en la frontera tienen una connotación ligeramente diferente de la que tuvieron en las secciones 4.1, 4.3 y 5.2. Si por ejemplo, u(x, t) es una solución de una EDP, donde x representa una dimensión espacial y t representa al tiempo, entonces podemos determinar el valor de u, o de u兾x o una combinación lineal de u y u兾x en una x dada, así como determinar la u y u兾t en un tiempo t dado (en general, t  0). En otras palabras, “un problema con valores en la frontera” puede consistir en una EDP, con condiciones en la frontera y con condiciones iniciales. ECUACIONES CLÁSICAS Consideraremos principalmente la aplicación del método de separación de variables para encontrar soluciones producto de las siguientes ecuaciones clásicas de la física matemática: 2 k u x2 u , t 2 2 a2 2 u x2 k u t2 u x2 0 (1) (2) 2 u y2 0 (3) o ligeras variaciones de estas ecuaciones. Las EDP (1), (2) y (3) se conocen, respectivamente, como ecuación de calor unidimensional, ecuación de onda unidimensional y forma bidimensional de la ecuación de Laplace. “Unidimensional” en el caso GHODVHFXDFLRQHV  \  VHUH¿HUHDOKHFKRGHTXHx denota una variable espacial, mientras que la tUHSUHVHQWDHOWLHPSR³ELGLPHQVLRQDO´HQ  VLJQL¿FDTXHWDQWRx como y son variables espaciales. Si compara las ecuaciones (1) a (3) con la forma lineal del teorema 12.1.1 (con t jugando el papel del símbolo y), observe que la ecuación de calor (1) es parabólica, la ecuación de onda (2) es hiperbólica y la ecuación de Laplace es elíptica. Esta observación será importante en el capítulo 15. 12.2 Sección transversal de área A 0 x x + Δx L x EDP CLÁSICAS Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA l 451 ECUACIÓN DE CALOR /DHFXDFLyQ  VHSUHVHQWDHQODWHRUtDGHÀXMRGHFDORU es decir, transferencia de calor por conducción en una varilla o en un alambre delgado. La función u(x, t) representa la temperatura en un punto x a lo largo de la varilla en algún tiempo t. Los problemas en vibraciones mecánicas con frecuencia conducen a la HFXDFLyQGHRQGD  3DUD¿QHVGHDQiOLVLVXQDVROXFLyQu(x, t) de (2) representará el desplazamiento de una cuerda idealizada. Por último, una solución u(x, y) de la ecuación de Laplace (3) se puede interpretar como el estado estable (es decir independiente del tiempo) de la distribución de temperaturas a través de una placa delgada bidimensional. ,QFOXVRDXQTXHKDJDPRVPXFKDVVXSRVLFLRQHVGHVLPSOL¿FDFLyQYDOHODSHQDYHU cómo surgen ecuaciones tales como la (1) y la (2). Suponga una varilla delgada circular de longitud L que tiene una sección transversal A y que coincide con el eje de las x en el intervalo [0, L@9HDOD¿JXUD Supongamos lo siguiente: • (OÀXMRGHFDORUGHQWURGHODYDULOODVyORRFXUUHHQODGLUHFFLyQx. • /DVXSHU¿FLHFXUYDRODWHUDOGHODYDULOODHVWiDLVODGDHVGHFLUQRHVFDSDFDORU GHHVWDVXSHU¿FLH • No hay calor generado dentro de la varilla. • La varilla es homogénea, es decir, su masa por unidad de volumen ȡ es constante. • (OFDORUHVSHFt¿FRȖ y la conductividad térmica K del material de la varilla son constantes. FIGURA 12.2.1 Flujo de calor unidimensional. Para deducir la ecuación diferencial parcial que satisface la temperatura u(x, t), necesitamos dos leyes empíricas de conducción de calor: i) La cantidad de calor Q en un elemento de masa m es ii) (4) mu, Q donde u es la temperatura del elemento. La razón de calor QtTXHÀX\HSRUODVHFFLyQWUDQVYHUVDOTXHVHLQGLFDHQ OD¿JXUD12.2.1 es proporcional al área A de la sección transversal y a la derivada parcial respecto a x de la temperatura: (5) KAux . Qt 3XHVWRTXHHOFDORUÀX\HHQODGLUHFFLyQGHODGLVPLQXFLyQGHODWHPSHUDWXUDVHXWLliza el signo menos para asegurar que Qt es positivo para ux   ÀXMRGHFDORUDOD derecha) y negativo para ux  ÀXMRGHFDORUDODL]TXLHUGD 6LODSRUFLyQFLUFXODUGH ODYDULOODPRVWUDGDHQOD¿JXUDHQWUHx y x  "x es muy delgada, entonces u(x, t) se puede considerar la temperatura aproximada en cada punto en el intervalo. Ahora la masa de la rebanada es m  ȡ(A "x), y por tanto se tiene de (4) que la cantidad de calor en ésta es Q A x u. (6) $GHPiVFXDQGRÀX\HFDORUHQODGLUHFFLyQx positiva, vemos de (5) que el calor aumenta en la porción a la razón neta KAux (x, t) [ KAux(x x, t)] KA [ux(x ux (x, t)]. x, t) (7) Derivando (6) respecto a t, vemos que la razón neta está también dada por Qt (8) A x ut. Igualando (7) y (8) se obtiene K ux (x x, t) ux (x, t) (9) ut . x Finalmente, tomando el límite de (9) conforme " x → 0, obtenemos (1) en la forma* (K兾Ȗȡ)uxx  ut. Se acostumbra hacer k  K兾Ȗȡ y llamar difusividad térmica a esta constante positiva. * /DGH¿QLFLyQGHODVHJXQGDGHULYDGDSDUFLDOHV ux x lím x :0 ux (x x, t) x ux (x, t) . 452 CAPÍTULO 12 l PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES u Δs 0 u(x, t) L x x x + Δx a) Segmento de cuerda u T2 θ2 Δs ECUACIÓN DE ONDA Considere una cuerda de longitud L, como una cuerda de guitarra, tensada entre dos puntos en el eje x, por ejemplo, en x  0 y en x  L. Cuando la cuerda comienza a vibrar, suponemos que el movimiento es en el plano xu de tal manera que cada punto sobre la cuerda se mueve en una dirección perpendicular al eje x YLEUDFLRQHVWUDQVYHUVDOHV &RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD D KDJDPRVTXHu(x, t) denote el desplazamiento vertical de cualquier punto sobre la cuerda medida desde el eje x para t 0. Además suponemos que: • /DFXHUGDHVSHUIHFWDPHQWHÀH[LEOH • La cuerda es homogénea, es decir, su masa por unidad de longitud ȡ es una constante. • Los desplazamientos u son pequeños en comparación con la longitud de la cuerda. • La pendiente de la curva es pequeña en todos los puntos. • La tensión T actúa tangente a la cuerda y su magnitud T es igual en todos los puntos. • La tensión es grande comparada con la fuerza de la gravedad. • No actúa otra fuerza externa sobre la cuerda. $KRUDHQOD¿JXUD E ODVWHQVLRQHVT1 y T2 son tangentes a los extremos de la curva en el intervalo [x, x  "x]. Para ș1 y ș2 pequeñas la fuerza neta vertical que actúa sobre el elemento correspondiente "s de la cuerda es entonces θ1 T1 x + Δx x T sen x 2 T sen 1 anclada en x  0 y en x  L. 2 T [ux (x b) Estiramiento de un segmento FIGURA 12.2.2 &XHUGDÀH[LEOH T tan T tan x, t) 1 ux (x, t)],† donde T  兩T1兩  兩T2兩. Ahora ȡ "s 艐 ȡ "x es la masa de la cuerda en [x, x  "x], por lo que de la segunda ley de Newton se obtiene T [ux (x x, t) ux (x, t)] x ut t ux (x x, t) ux (x, t) u . x T tt Si el límite se toma como "x → 0, la última ecuación se convierte en uxx  (ȡ兾T) utt. Ésta desde luego es (2) con a2  T兾ȡ. o Temperatura como una función de la posición sobre la placa caliente Termómetro 22 0 20 0 y 18 0 16 0 14 0 12 0 ECUACIÓN DE LAPLACE Aunque no presentamos su deducción, la ecuación de Laplace en dos y tres dimensiones se presenta en problemas independientes del tiempo que implican potenciales tales como el electrostático, el gravitacional y la velocidad en PHFiQLFDGHÀXLGRV$GHPiVXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGH/DSODFHWDPELpQVHSXHGH interpretar como una distribución de temperaturas de estado estable. Como se muestra en OD¿JXUDXQDVROXFLyQu(x, y) de la ecuación (3) podría representar la temperatura que varía de punto a punto, pero no con el tiempo, de una placa rectangular. La ecuación de Laplace en dos dimensiones y en tres dimensiones se abrevia como 2 u 0, donde 10 0 80 2 0 –2 0 ?F (x, y) H W x 2 2 2 2 u u u u u 2 y u 2 2 2 2 z2 y y x x se conocen como el Laplaciano en dos y tres dimensiones, respectivamente, de una función u. Con frecuencia deseamos encontrar soluciones de las ecuaciones (1), (2) y (3) que satisfacen ciertas condiciones adicionales. 2 60 40 20 O FIGURA 12.2.3 Temperaturas de u CONDICIONES INICIALES Ya que las soluciones de (1) y (2) dependen del tiempo t, podemos indicar qué pasa en t  0; es decir podemos dar condiciones inicia- estado estable en una placa rectangular. † tan ș2  ux(x  "x, t) y tan ș1  ux(x, t) son expresiones equivalentes para la pendiente. 12.2 l 453 les (CI). Si f (x) denota la distribución inicial de temperaturas en toda la varilla que se PXHVWUDHQOD¿JXUDHQWRQFHVXQDVROXFLyQu(x, t) de (1) debe satisfacer la única condición inicial u(x, 0)  f (x), 0  x  L. Por otra parte, para una cuerda que vibra SRGHPRVHVSHFL¿FDUVXGHVSOD]DPLHQWRLQLFLDO RODIRUPD f (x) así como su velocidad inicial g(x). En términos matemáticos buscamos una función u(x, t) que satisface (2) y las dos condiciones iniciales: u u(x, 0) f (x), g(x), 0 x L. (10) t t 0 3RUHMHPSORVHSRGUtDSXOVDUODFXHUGDFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD\VROWDUOD a partir del reposo (g(x)  0). u h 0 EDP CLÁSICAS Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA u=0 en x = 0 u=0 L x en x = L FIGURA 12.2.4 Cuerda pulsada. CONDICIONES FRONTERA /DFXHUGDGHOD¿JXUDVH¿MDDOHMHGHODVx en x  0 y en x  L durante todo el tiempo. Interpretamos esto utilizando las dos condiciones de frontera (CF): u(0, t) 0, u(L, t) 0, t 0. Observe que en este contexto la función f en (10) es continua, y por tanto, f (0)  0 y f (L)  0. En general, hay tres tipos de condiciones de frontera asociadas con las HFXDFLRQHV    \  (QXQDIURQWHUDSRGHPRVHVSHFL¿FDUORVYDORUHVGHuno de los siguientes: u u , o iii) hu, h una constante. n n Aquí u兾n denota la derivada normal de u (la derivada direccional de u en la dirección perpendicular a la frontera). Una condición de frontera del primer tipo i) se llama FRQGLFLyQGH'LULFKOHW; una condición de frontera del segundo tipo ii) se llama condición de Neumann; y una condición de frontera del tercer tipo iii) se llama condición de Robin. Por ejemplo, para t 0 una condición típica del extremo derecho de la YDULOODHQOD¿JXUDSXHGHVHU i ) u, i) ii) iii) ii ) u(L, t) u x x L u x x L u0 , u0 una constante, 0 o bien h(u(L, t) um ), h 0 y um constantes. La condición i) simplemente establece que la frontera x  L se mantiene por algún medio a una temperatura u0 constante para t 0. La condición ii) indica que la frontera x  L está aislada'HODOH\HPStULFDGHWUDQVIHUHQFLDGHFDORUHOÀXMRGHFDORU a través de la frontera (es decir, la cantidad de calor por unidad de área por unidad de tiempo conducida a través de la frontera) es proporcional al valor de la derivada normal u兾n de la temperatura u. Por lo que cuando la frontera x  L no está térmiFDPHQWHDLVODGDQRÀX\HFDORUGHQWURRIXHUDGHODYDULOODDVt u 0. x x L Podemos interpretar iii) como que el calor se pierde en el extremo derecho de la varilla por estar en contacto con un medio, tales como aire o agua, que se mantiene a una WHPSHUDWXUDFRQVWDQWH'HODOH\GHOHQIULDPLHQWRGH1HZWRQHOÀXMRGHFDORUKDFLD fuera de la varilla es proporcional a la diferencia entre la temperatura u(L, t) en la frontera y la temperatura um del medio circundante. Observamos que si se pierde calor en el extremo izquierdo de la varilla, la condición de frontera es u x h(u(0, t) x 0 um ). El cambio de signo algebraico es consistente con la suposición de que la varilla está a una temperatura más alta que el medio que rodea a los extremos por lo que u(0, t) um 454 l CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES y u(L, t) um. En x  0 y en x  L las pendientes ux(0, t) y ux(L, t) deben ser positiva y negativa, respectivamente. 3RUVXSXHVWRHQORVH[WUHPRVGHODYDULOODSRGHPRVHVSHFL¿FDUFRQGLFLRQHVGLIHrentes al mismo tiempo. Por ejemplo, podríamos tener u x 0 y u0 , u(L, t) x 0 0. t Observemos que la condición de frontera en i) es homogénea si u0  0; si u0  0, la condición de frontera es no homogénea. La condición de frontera ii) es homogénea; iii) es homogénea si um  0 y no homogénea si um  0. PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA Problemas tales como 2 2 u , t2 u x2 Resolver: a2 Sujeto a: (BC) u(0, t) (IC) u(x, 0) 0 0, x L, 0, t u(L, t) u t f (x), 0 t (11) 0 g(x), 0 x L t 0 y 2 2 Resolver: Sujeto a: u y2 u x2 0, u x x 0 u(x, 0) (BC) 0 0, 0, a, 0 x u x x a u(x, b) 0, y b 0 y b f (x), 0 x a (12) se llaman problemas con valores en la frontera. MODIFICACIONES Las ecuaciones diferenciales parciales (1), (2) y (3) se deben PRGL¿FDUSDUDFRQVLGHUDUODVLQÀXHQFLDVLQWHUQDVRH[WHUQDVTXHDFW~DQVREUHHOVLVtema físico. Más formas generales de las ecuaciones de calor unidimensional y de onda son, respectivamente, 2 k u x2 G(x, t, u, ux ) u t (13) 2 2 u u F(x, t, u, ut ) . (14) 2 x t2 3RUHMHPSORVLKD\WUDQVIHUHQFLDGHFDORUGHVGHODVXSHU¿FLHODWHUDOGHXQDYDULOODHQ un medio circundante que se mantiene a una temperatura constante um, entonces la ecuación de calor (13) es y a2 2 k u x2 h(u um ) u . t En (14) la función F podría representar varias fuerzas que actúan sobre la cuerda. Por ejemplo, cuando se consideran fuerzas externas de amortiguamiento y fuerzas de restauración elásticas, (14) toma la forma ∂2u ∂2u ∂u a2 ––––2  f (x, t)  ––––  c –––  ku ∂x ∂t2 ∂t Fuerza externa Fuerza de amortiguamiento Fuerza de restauración (15) 12.2 EDP CLÁSICAS Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA l 455 COMENTARIOS El análisis de una amplia variedad de diversos fenómenos produce los modelos matemáticos (1), (2) o (3) o sus generalizaciones que implican una cantidad mayor de variables espaciales. Por ejemplo, (1) a veces se llama la ecuación de difusión, ya que la difusión de sustancias disueltas en la solución es simiODU DO ÀXMR GH FDORU HQ XQ VyOLGR /D IXQFLyQ u(x, t) satisface la ecuación diferencial parcial que en este caso representa la concentración de la sustancia GLVXHOWD$VLPLVPRODHFXDFLyQ  VXUJHHQHOHVWXGLRGHOÀXMRGHHOHFWULFLGDG en un cable largo o en una línea de transmisión. En este contexto (2) se conoce como la ecuación del telégrafo. Se puede mostrar que bajo ciertas suposiciones la corriente y el voltaje en la línea son funciones que satisfacen dos ecuaciones idénticas con (2). La ecuación de onda (2) también se presenta en la teoría GHOtQHDVGHWUDQVPLVLyQGHDOWDIUHFXHQFLDHQPHFiQLFDGHÀXLGRVHQDF~VWLFD y en elasticidad. La ecuación de Laplace (3) se presenta en el desplazamiento estático de membranas. EJERCICIOS 12.2 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-20. En los problemas 1 a 6 una varilla de longitud L coincide con el intervalo [0, L] en el eje x. Establezca el problema con valores en la frontera para la temperatura u(x, t). 1. El extremo izquierdo se mantiene a temperatura cero y el extremo derecho está aislado. La temperatura inicial es f (x) en toda la varilla. 2. El extremo izquierdo se mantiene a una temperatura u0 y el extremo derecho se mantiene a una temperatura u1. La temperatura inicial es cero en toda la varilla. 3. El extremo izquierdo se mantiene a una temperatura de 100 y hay transferencia de calor del extremo derecho al medio que lo rodea a temperatura cero. La temperatura inicial es f (x) en toda la varilla. 4. Los extremos están aislados y hay transferencia de calor GHVGHODVXSHU¿FLHODWHUDODOPHGLRFLUFXQGDQWHTXHHVWi a una temperatura de 50. La temperatura inicial es igual a 100 en toda la varilla. 5. El extremo izquierdo está a una temperatura de sen(ʌW兾L), el extremo derecho se mantiene a temperatura FHUR \ H[LVWH WUDQVIHUHQFLD GH FDORU GHVGH OD VXSHU¿FLH lateral de la varilla hacia el medio que la rodea mantenido a temperatura cero. La temperatura inicial es f(x) en toda la varilla. 6. Los extremos están aislados, y hay transferencia de calor GHVGHODVXSHU¿FLHODWHUDOGHODYDULOODKDFLDHOPHGLRFLUcundante mantenido a una temperatura de 50°. La temperatura inicial es 100° en toda la varilla. En los problemas 7 a 10 una cuerda de longitud L coincide con el intervalo [0, L] en el eje x. Establezca el problema con valores en la frontera para el desplazamiento u(x, t). 7. Los extremos están anclados al eje x. La cuerda se libera a partir del reposo desde el desplazamiento inicial x(L  x). 8. Los extremos están anclados al eje x. Inicialmente, la cuerda no está desplazada pero tiene una velocidad inicial de sen(ʌ[兾L). 9. El extremo izquierdo está anclado al eje de las x, pero el extremo derecho se mueve de una manera transversal de acuerdo con sen ʌW. La cuerda se libera a partir del reposo del desplazamiento inicial f (x). Para t 0 las vibraciones transversales están amortiguadas con una fuerza proporcional a la velocidad instantánea. 10. Los extremos están anclados al eje de las x y la cuerda está inicialmente en reposo sobre este eje. Una fuerza externa vertical proporcional a la distancia horizontal a partir del extremo izquierdo actúa sobre la cuerda para t 0. En los problemas 11 y 12 establezca el problema con valores en la frontera para la temperatura de estado estable u(x, y). 11. Una placa delgada rectangular coincide con la región GH¿QLGDSRU x  4, 0  y  2. El extremo izquierdo y la parte inferior de la placa están aislados. La parte superior de la placa se mantiene a temperatura cero y el extremo derecho de la placa se mantiene a temperatura f (y). 12. 8QD SODFD VHPLLQ¿QLWD FRLQFLGH FRQ OD UHJLyQ GH¿QLGD por 0  x  ʌ, y  0. El extremo izquierdo se mantiene a una temperatura ey y el extremo derecho se mantiene a una temperatura de 100 para 0 y  1 y a temperatura cero para y 1. La parte inferior de la placa se mantiene a una temperatura f (x). 456 l CAPÍTULO 12 12.3 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES ECUACIÓN DE CALOR REPASO DE MATERIAL l Sección 12.1. l Se le recomienda leer nuevamente el ejemplo 2 de la sección 5.2 y el ejemplo 1 de la sección 11.4. INTRODUCCIÓN Considere una varilla delgada de longitud L con una temperatura inicial f (x) en toda la varilla y cuyos extremos se mantienen a temperatura cero durante todo el tiempo t 0. Si ODYDULOODTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDVDWLVIDFHODVKLSyWHVLVGDGDVHQODSiJLQDHQWRQFHVOD temperatura u(x, t) en la varilla se determina del problema con valores en la frontera 2 u , t 0 u(0, t) 0, u(L, t) u(x, 0) f (x), 0 k u x2 x L, 0, x (1) 0 t (2) 0 t (3) L. En esta sección resolveremos este PVF. u=0 0 SOLUCIÓN DEL PVF Para comenzar, usaremos el producto u(x, t)  X(x)T(t) para separar variables en (1). Entonces, si  Ȝ es la constante de separación, las dos igualdades u=0 L FIGURA 12.3.1 Temperatura en una varilla de longitud L. X X x T kT (4) conducen a las dos ecuaciones diferenciales ordinarias X X 0 (5) T k T 0. (6) Antes de resolver (5), observamos que las condiciones de frontera (2) aplicadas a u(x, t)  X(x)T(t) son u(0, t) 0 X(0)T(t) y u(L, t) X(L)T(t) 0. Puesto que tiene sentido esperar que T(t)  0 para toda t, las igualdades anteriores valen sólo si X(0)  0 y X(L)  0. Estas condiciones frontera homogéneas junto con las ED homogéneas (5) constituyen un problema regular de Sturm-Liouville: X X 0, X(0) 0, (7) 0. X(L) La solución de este PVF ya se analizó en el ejemplo 2 de la sección 5.2. En este ejemplo consideramos tres casos posibles para el parámetro Ȝ: cero, negativo o positivo. Las soluciones correspondientes de las ED están, respectivamente, dadas por X(x) c1 X(x) c1 cosh ax X(x) c1 cos ax (8) 0 c2 x, a2 c2 senh ax, c2 sen ax, 2 a 0 0. (9) (10) Cuando las condiciones de frontera X(0)  0 y X(L)  0 se aplican a (8) y (9), estas soluciones son válidas sólo si X(x)  0 y por tanto concluiríamos que u  0. Pero cuando X(0)  0 se aplica a (10), encontramos que c1  0 y X(x)  c2 sen Į[. Entonces la segunda condición de frontera implica que X(L)  c2 sen Į/  0. Para obtener una solución no trivial, debemos tener c2  0 y sen Į/  0. Esta última ecuación se satisface cuando Į/  Qʌ o Į  Qʌ兾L. Por tanto (7) tiene soluciones no triviales cuando 12.3 ECUACIÓN DE CALOR l 457 a2n n2 2 / L2, n 1, 2, 3, . . . Estos valores de Ȝ son los eigenvalores del problema; las eigenfunciones son n X(x) c2 sen x, n 1, 2, 3, . . . (11) L n De (6) tenemos que T(t) c3 e k(n2 2 /L2 )t , por tanto n x, (12) L donde hemos reemplazado la constante c2c3 por An. Cada una de las funciones producto un(x, t) dadas en (12) es una solución particular de la ecuación diferencial parcial (1) y cada un(x, t) también satisface ambas condiciones de frontera (2). Sin embargo, para que (12) VDWLVIDJDODFRQGLFLyQLQLFLDO  WHQGUtDPRVTXHHOHJLUHOFRH¿FLHQWHAn de manera que n (13) un(x, 0) f (x) An sen x. L En general, no esperaríamos que la condición (l3) se satisfaga para una arbitraria pero razonable elección de f. Por lo que nos vemos forzados a admitir que un(x, t) no es una solución del problema dado. Ahora por el principio de superposición (teorema 12.1.1) la función u(x, t) n 1 un o n 2 2 2 (14) u(x, t) An e k(n /L )t sen x L n 1 un X(x)T(t) An e k(n2 2 /L2 )t sen debe también, aunque formalmente, satisfacer la ecuación (1) y las condiciones en (2). Sustituyendo t  0 en (14) se implica que n x. L n 1 Esta última expresión se reconoce como el desarrollo en un semiintervalo de f en una VHULHGHVHQRV6LLGHQWL¿FDPRVAn  bn, n  1, 2, 3, . . . , se tiene de la ecuación (5) de la sección 11.3 que u(x, 0) u t=0 100 80 t=0.05 t=0.35 60 t=0.6 40 t=1 20 t=1.5 0.5 1 1.5 u(x, t) 2 2.5 x 3 40 2 3 L f (x) sen 0 n x dx. L (15) 4 L f (x) sen 1 0 n x dx e L k(n2 2 /L2 )t sen n x. L (16) En el caso especial en que la temperatura inicial es u(x, 0)  100, L  ʌ y k  1, FRPSUXHEHTXHORVFRH¿FLHQWHV  HVWiQGDGRVSRU 200 1 ( 1) n n y que (16) es u(x, t) 200 1 n 20 1 2 Ln An x= /2 x= /4 x= /6 x= /12 x=0 60 An sen Concluimos que una solución del problema con valores en la frontera descrita en (1),  \  HVWiGDGDSRUODVHULHLQ¿QLWD u 80 2 L An a) La gráfica de u(x, t) como una función de x para diferentes tiempos fijos. 100 f (x) 5 6 t b) La gráfica de u(x, t) como una función de t para diferentes posiciones fijas. FIGURA 12.3.2 *Ui¿FDVGH   FXDQGRXQDYDULDEOHVHPDQWLHQH¿MD 1 ( 1) n e n n2 t sen nx. (17) USO DE COMPUTADORAS Puesto que u es una función de dos variables, la grá¿FDGHODVROXFLyQ  HVXQDVXSHU¿FLHWULGLPHQVLRQDO3RGUtDPRVXWLOL]DUODDSOLFDFLyQ 'SORWGHXQVLVWHPDDOJHEUDLFRFRPSXWDUL]DGRSDUDDSUR[LPDUHVWDVXSHU¿FLHDOWUD]DUOD JUi¿FDGHODVVXPDVSDUFLDOHVSn(x, t HQXQDUHJLyQUHFWDQJXODUGH¿QLGDSRU x  ʌ, 0  t  T. Alternativamente, con ayuda de la aplicación 2D-plot de un SAC podemos trazar ODJUi¿FDGHODVROXFLyQu(x, t) en el intervalo en el eje x [0, ʌ], para valores crecientes del tiempo t9HDOD¿JXUD D (QOD¿JXUD E VHKDWUD]DGRODJUi¿FDGHODVROXción u(x, t) en el intervalo en el eje t [0, 6], para valores crecientes de x (x  0 es el extremo izquierdo y x  ʌ兾2 es el punto medio de la varilla de longitud L  ʌ). Ambos conjuntos GHJUi¿FDVFRPSUXHEDQORTXHHVREYLRHQ  HQSDUWLFXODUu(x, t) → 0 , cuando t → . 458 l CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES EJERCICIOS 12.3 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-21. En los problemas 1 y 2 resuelva la ecuación de calor (1) sujeta a las condiciones dadas. Suponga una varilla de longitud L. 0, u(L, t) 0 1. u(0, t) 1, 0 x L>2 u(x, 0) 0, L>2 x L 0, u(L, t) 0 2. u(0, t) u(x, 0) x(L x) 3. Encuentre la temperatura u(x, t) en una varilla de longitud L si la temperatura inicial es f (x) en toda la varilla y si los extremos x  0 y x  L están aislados. 4. Resuelva el problema 3 si L  2 y x, 0 x 1 f (x) 0, 1 x 2. 5. 6XSRQJDTXHVHSLHUGHFDORUGHVGHODVXSHU¿FLHODWHUDOGH una varilla delgada de longitud L dentro del medio circundante a temperatura cero. Si se aplica la ley lineal de transferencia de calor, entonces la ecuación de calor toma la forma 2 u u hu , x2 t 0  x  L, t 0, h una constante. Encuentre la temperatura u(x, t) si la temperatura inicial es f (x) en toda la varilla y los extremos x  0 y x  L están aislados. Vea OD¿JXUD 6. Resuelva el problema 5 si los extremos x  0 y x  L se mantienen a temperatura cero. k Aislado 0 7. Un alambre delgado que coincide con el eje x en el intervalo [L, L] se dobla en forma de un círculo tal que los extremos x  L y x  L se juntan. Bajo ciertas condiciones, la temperatura u(x, t) en el alambre satisface el problema con valores en la frontera 2 u u , L x L, t x2 t u( L, t) u(L, t), t 0 u u , t 0 x x L x x L u(x, 0) f(x), L x L. k Encuentre la temperatura u(x, t) 8. Encuentre la temperatura u(x, t) del problema con valores en la frontera dado en (1) a (3) cuando f (x)  10 sen(5ʌ[兾L). Problemas para analizar 9. /D ¿JXUD E SUHVHQWD OD JUi¿FD GH u(x, t) para 0  t  6 para x  0, x  ʌ兾12, x  ʌ兾6, x  ʌ兾4 y x  ʌ兾 'HVFULED R GLEXMH ODV JUi¿FDV GH u(x, t) en el PLVPR LQWHUYDOR GH WLHPSR SHUR SDUD ORV YDORUHV ¿MRV x  3ʌ兾4, x  5ʌ兾6, x  11ʌ兾12 y x  ʌ. Tarea para el laboratorio de computación 10. a) Resuelva la ecuación de calor (1) sujeta a u(0, t) 0, u(100, t) 0, t 0 0.8x, 0.8(100 u(x, 0) Aislado 0 x), 50 x x 50 100. b) Utilice la aplicación 3D-plot de su SAC para trazar ODJUi¿FDGHODVXPDSDUFLDOS5(x, t) que consiste en los primeros cinco términos distintos de cero de la solución del inciso a) para 0  x  100, 0  t  200. Suponga que k  1.6352. Experimente con diferentes SHUVSHFWLYDVWULGLPHQVLRQDOHVGHODVXSHU¿FLH XVHOD opción ViewPoint en Mathematica). L x 0 Transferencia de calor de la superficie lateral de la varilla 0 FIGURA 12.3.3 Pérdida de calor de la varilla del problema 5. 12.4 0, ECUACIÓN DE ONDA REPASO DE MATERIAL l Lea nuevamente las páginas 452 a 454 de la sección 12.2. INTRODUCCIÓN Ahora podemos resolver el problema con valores en la frontera (11) que se analizó en la sección 12.2. El desplazamiento vertical u(x, t) de la cuerda vibratoria de longitud L que VHPXHVWUDHQOD¿JXUD D VHGHWHUPLQDDSDUWLUGH 2 a2 u x2 2 u , t2 0 u(0, t) 0, u(L, t) u(x, 0) f (x), u t x L, t 0, t (2) 0 g(x), 0 t 0 (1) 0 x L. (3) 12.4 ECUACIÓN DE ONDA 459 l SOLUCIÓN DEL PVF Con la suposición usual de que u(x, t)  X(x)T(t), la separación de variables en (1) conduce a: X X por lo que T a2 T X X T 2 (4) 0 (5) 0. a T Como en la sección anterior, las condiciones de frontera (2) se traducen en X(0)  0 y X(L)  0. La ecuación (4) junto con estas condiciones de frontera es el problema regular de Sturm-Liouville X 0, X(0) X 0, X(L) (6) 0. De las tres posibilidades usuales para el parámetro, Ȝ  0, Ȝ  Į  0 y Ȝ  Į 0, sólo la última elección conduce a soluciones no triviales. Correspondiendo a Ȝ  Į2, Į 0, la solución general de (4) es 2 c1 cos ax X 2 c2 sen ax. X(0)  0 y X(L)  0 indican que c1  0 y c2 sen Į/  0. Nuevamente la última ecuación implica que Į/  Qʌ o Į  Qʌ兾L. Los eigenvalores y las correspondienn tes eigenfunciones de (6) son l n n2p 2 L2 y X(x) c2 sen x, n 1, 2, 3, . . . L La solución general de la ecuación de segundo orden (5) es entonces n a n a T(t) c3 cos t c4 sen t. L L Reescribiendo c2c3 como An y c2c4 como Bn, las soluciones que satisfacen tanto la ecuación de onda (1) como las condiciones de frontera (2) son un y An cos n a t L An cos u(x, t) n 1 Bn sen n a t L n a n t sen x L L Bn sen n a n t sen x. L L (7) (8) Haciendo t  0 en (8) y utilizando la condición inicial u(x, 0)  f (x) se obtiene f (x) u(x, 0) An sen n 1 n x. L Puesto que la última serie es un desarrollo en un semiintervalo de f en una serie de senos, podemos escribir An  bn; 2 L An L f (x) sen 0 n x dx. L (9) Para determinar Bn, derivamos la ecuación (8) respecto a t y después hacemos t  0: u t u t An n 1 n a n a sen t L L g(x) t 0 Bn n 1 Bn n a n a n cos t sen x L L L n a n sen x. L L Para esta última serie que es el desarrollo en un semiintervalo de senos de la velocidad inicial gHQHOLQWHUYDORHOFRH¿FLHQWHtotal BnQʌD兾L debe estar dado por la forma bn en la ecuación (5) de la sección 11.3, es decir, Bn n a L 2 L L g(x) sen 0 n x dx L 460 l CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES de lo que se obtiene 2 L n g(x) sen x dx. (10) n a 0 L La solución del problema con valores en la frontera (1) a (3) consiste en la serie  FRQFRH¿FLHQWHVAn y BnGH¿QLGRVSRU  \  UHVSHFWLYDPHQWH Observamos que cuando la cuerda se libera a partir del reposo, entonces g(x)  0 para toda x en el intervalo [0, L], y por tanto, Bn  0. Bn CUERDA PULSADA Un caso especial del problema con valores en la frontera en (1) a (3) es el modelo de la cuerda pulsada. Podemos ver el movimiento de la cuerda DOWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQRGHVSOD]DPLHQWRu(x, t) para valores crecientes del tiempo t\XWLOL]DUODDSOLFDFLyQGHDQLPDFLyQGHXQ6$&(QOD¿JXUDVHSUHVHQWDQDOJXQRVPDUFRVGHXQ³YLGHR´JHQHUDGRGHHVWDPDQHUDHQOD¿JXUDDVH presenta la forma inicial de la cuerda. Se le pide que intente reproducir los resultados TXHVHSUHVHQWDQHQOD¿JXUDWUD]DQGRXQDVHFXHQFLDGHODVVXPDVSDUFLDOHVGH   Véanse los problemas 7 y 22 en los ejercicios 12.4. u u 1 0 -1 u 1 x 0 -1 1 2 1 x 0 -1 3 1 a) t = 0 forma inicial 2 3 1 b) t = 0.2 u 2 3 u 1 x 0 -1 1 x 0 -1 1 2 c) t = 0.7 u 1 0 -1 x 3 1 d) t = 1.0 2 x 3 1 e) t = 1.6 2 3 f) t = 1.9 FIGURA 12.4.1 Marcos de un “video” de un SAC. ONDAS ESTACIONARIAS Recuerde de la deducción de la ecuación de onda unidimensional en la sección 12.2, que la constante a que se encuentra en la solución del problema con valores en la frontera en las ecuaciones (1), (2) y (3) está dada por 1T> , donde ȡ es la masa por unidad de longitud y T es la magnitud de la tensión en la cuerda. Cuando THVVX¿FLHQWHPHQWHJUDQGHODFXHUGDYLEUDQGRSURGXFHXQVRQLGRPXVLFDO(VWH sonido es el resultado de ondas estacionarias. La solución (8) es una superposición de las soluciones producto llamada ondas estacionarias o modos normales: u(x, t) u1(x, t) u2(x, t) u3(x, t) . En vista de las ecuaciones (6) y (7) de la sección 5.1 las soluciones producto (7) se puede escribir como n a n un(x, t) Cn sen t x, (11) n sen L L 1A2n B2n y ‫׋‬n VH GH¿QH SRU VHQ ‫׋‬n  An兾Cn y cos ‫׋‬n  Bn兾Cn. Para donde Cn n ODVRQGDVHVWDFLRQDULDVVRQHVHQFLDOPHQWHODVJUi¿FDVGHVHQ Qʌ[兾L), con una amplitud que varía con el tiempo dada por n a t n . L $OWHUQDWLYDPHQWH YHPRV GH   TXH D XQ YDORU ¿MR GH x cada función producto un(x, t) representa un movimiento armónico simple con amplitud Cn兩sen(Qʌ[兾L)兩 y frecuencia fn  na兾2L. En otras palabras, cada punto en una onda estacionaria vibra con una amplitud diferente pero con la misma frecuencia. Cuando n  1, Cn sen u1(x, t) C1 sen a t L 1 sen L x 12.4 a) Primera onda estacionaría Nodo 0 L x L 2 461 l se llama primera onda estacionaria, primer modo normal o modo fundamental de vibración(QOD¿JXUDVHPXHVWUDQODVSULPHUDVWUHVRQGDVHVWDFLRQDULDVR PRGRVQRUPDOHV/DVJUi¿FDVSXQWHDGDVUHSUHVHQWDQODVRQGDVHVWDFLRQDULDVHQGLIHrentes valores del tiempo. Los puntos en el intervalo (0, L), para el cual sen(Qʌ兾L)x  0, corresponden a puntos en una onda estacionaria donde no hay movimiento. Estos puntos se llaman nodos&RPRHMHPSORHQODV¿JXUDV E \ F YHPRV que la segunda onda estacionaria tiene un nodo en L兾2 y la tercer onda estacionaria tiene dos nodos en L兾3 y 2L兾3. En general, el n-ésimo modo normal de vibración tiene n  1 nodos. La frecuencia L x 0 ECUACIÓN DE ONDA b) Segunda onda estacionaría 1 T 2L B a 2L f1 Nodos 0 2L 3 L 3 del primer modo normal se llama frecuencia fundamental o primer armónico y está directamente relacionado con la altura del sonido que produce un instrumento de cuerda. Es evidente que entre mayor sea la tensión en la cuerda, más alto será el sonido que produce. Las frecuencias fn de los modos normales, que son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental, se llaman sobretonos. El segundo armónico es el primer sobretono y así sucesivamente. L x c) Tercera onda estacionaría FIGURA 12.4.2 Primeras tres ondas estacionarias. EJERCICIOS 12.4 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-21. En los problemas 1 a 8 resuelva la ecuación de onda (1) sujeta a las condiciones dadas. 1. u(0, t) 0, u(L, t) 0 1 u 0 u(x, 0) x (L x), 4 t t 0 2. u(0, t) u(x, 0) 0, u(L, t) u 0, t t 0 3. u(0, t)  0, 7. u(0, t) u(x, 0) 0, u(L, t) 2hx , L 0 x , L 2h 1 0 x (L x) 8. u(L, t)  0 u(x GDGRHQOD¿JXUD u t u x 0 t 0 f (x) 1 u x u t 0, x 0 u(x, 0) 0 x, L 2 L 2 x x L 0 0 t 0 Este problema podría describir el desplazamiento longitudinal u(x, t) de una varilla elástica vibratoria. Las condiciones de frontera en x  0 y x  L se llaman condiciones de extremo libre9HDOD¿JXUD u(x, t) FIGURA 12.4.3 Desplazamiento inicial en el problema 3. u(x, 0) 5. u(0, t) u(x, 0) 0, u( , t) 1 6 x( 2 0, u( , t) u 0, t t 0 6. u(0, t)  0, 0 u t 0 FIGURA 12.4.4 Varilla elástica vibratoria del problema 8. 9. Una cuerda se estira y se ancla al eje x en x  0 y en x  ʌ para t 0. Si las vibraciones transversales se presentan en un medio con resistencia al movimiento proporcional a la velocidad instantánea, entonces la ecuación de onda toma la forma 0 sen x u t L t 0 u(1, t)  0 u(x, 0)  0.01 sen 3ʌ[, x 0 x 2 ), 0 t 0 x L L/3 2L/3 L x 4. u(0, t) u t , 2 0 t 0 u x2 2 u t2 2 u , t 0 1, t 0. 462 CAPÍTULO 12 l PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES Encuentre el desplazamiento u(x, t) si la cuerda parte del reposo desde un desplazamiento inicial f (x). 10. Muestre que una solución del problema con valores en la frontera 2 2 u t2 u x2 es u(x, t) 4 k 1 x, 0, 0 0, 0 >2 x, u(x, 0) , t x 0, u( , t) u(0, t) u t 0 u, 0 0 t >2 x x x t 0 ( 1) k 1 sen(2k (2k 1)2 1) x cos 1(2k 1) 2 1 t. 11. El desplazamiento transversal u(x, t) de una viga vibratoria de longitud L está determinado por una ecuación diferencial parcial de cuarto orden 2 4 u u 0, 0 x L, t 0. a2 4 t2 x Si la viga está simplemente apoyada, como se muestra en OD¿JXUDODVFRQGLFLRQHVHQODIURQWHUDLQLFLDOVRQ u(0, t) 0, u(L, t) 2 u x2 0, t 0 0, t 0 2 u x2 0, x 0 u(x, 0) f (x), u t x L g(x), 0 x L. t 0 Resuelva para u(x, t). [Sugerencia: Por conveniencia utilice Ȝ  Į4 al separar las variables.] positivas de la ecuación cosh x cos x  1. b) 'HPXHVWUHHQIRUPDJUi¿FDTXHODHFXDFLyQGHOLQFLVRD WLHQHXQQ~PHURLQ¿QLWRGHUDtFHV c) Utilice una calculadora o un SAC para encontrar aproximaciones a los primeros cuatro eigenvalores. Utilice cuatro decimales. 13. Considere el problema con valores en la frontera dado en las ecuaciones (1), (2) y (3) de esta sección. Si g(x)  0 para 0  x  L, demuestre que la solución del problema se puede escribir como 1 u(x, t) [ f (x at) f (x at)]. 2 [Sugerencia: Utilice la identidad 2 sen u 1 cos u 2 sen(u 1 u 2 ) sen(u 1 u 2 ).] 14. El desplazamiento vertical u(x, t GHXQDFXHUGDLQ¿QLWDmente larga está determinado por el problema con valores iniciales 2 2 u u , x , t 0 a2 2 t2 x (12) u g(x). t t 0 Este problema se puede resolver sin separar las variables. u(x, 0) a) Demuestre que la ecuación de onda se puede expresar en la forma 2u h j 0 haciendo las sustituciones ȟ  x  at y Ș  x  at. b) Integre la ecuación diferencial parcial del inciso a), primero respecto a Ș y después respecto a ȟ, para demostrar que u(x, t)  F(x  at)  G(x  at) donde F y G son funciones arbitrarias derivables dos veces, es una solución de la ecuación de onda. Utilice esta solución y las condiciones iniciales dadas para demostrar que F(x) u x 0 L FIGURA 12.4.5 Viga simplemente apoyada del problema 11. 12. Si los extremos de la viga del problema 11 están incrustados en x  0 y x  L, las condiciones de frontera se convierten, para t 0, en: u(0, t) u x 0, u(L, t) 0, x 0 u x 0 0. x L a) Demuestre que los eigenvalores del problema son x2n>L2, donde xn, n  1, 2, 3, . . . , son las raíces n f (x), y G(x) 1 f (x) 2 1 2a 1 f (x) 2 1 2a x g(s)ds c g(s)ds c, x0 x x0 donde x0 es arbitraria y c es una constante de integración. c) Utilice los resultados del inciso b) para demostrar que 1 1 x at u(x, t) [ f (x at) f (x at)] g(s) ds. (13) 2 2a x at Observe que cuando la velocidad inicial g(x)  0, obtenemos 1 [ f (x at) f (x at)], x . 2 Esta última solución se puede interpretar como una superposición de dos ondas viajeras, una moviéndose hacia la derecha (esto es, 12 f (x at)) y la otra u(x, t) 12.5 g(x)  1 16. f (x)  sen x, g(x)  cos x 18. f (x) e x2 , 0 g(x) f (x) Tarea para el laboratorio de computación 12.5 x, x x 1 1 y 0. g(x) y g(x) 1, 0, x x 0.1 0.1. 22. El modelo de la cuerda vibratoria en el problema 7 se llama de cuerda pulsada /D FXHUGD VH ¿MD DO HMH x en x  0 y en x  L y se sujeta en x  L兾2 a h unidades arriba del eje x9HDOD¿JXUD,QLFLDQGRHQt  0 la cuerda se libera a partir del reposo. a) 8WLOLFHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVXPDSDUcial S6(x, t), esto es, los primeros seis términos distintos de cero de su solución, para t  0.lk, k  0, 1, 2, . . . , 20. Suponga que a  1, h  1 y L  ʌ. b) Utilice la aplicación de animación de su sistema algebraico computarizado para hacer un video de la solución del problema 7. 20. 8QPRGHORSDUDXQDFXHUGDLQ¿QLWDPHQWHODUJDVHVXMHWD de los tres puntos (1, 0), (1, 0) y (0, 1) y después se libera simultáneamente de esos tres puntos al tiempo que t  0 está dado por (12) con 1 0, 0 a) 8  WLOLFHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQGH d’Alembert (13) en [6, 6] para t  0.2k, k  0, 1, 2, . . . , 25. Suponga que a  1. b) Utilice la aplicación de animación de su sistema algebraico computarizado para hacer un video de la solución. Describa el movimiento de la cuerda al transcurrir el tiempo. 19. a) 8WLOLFHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQGH dAlembert del problema 18 en el intervalo [5, 5] en los tiempos t  0, t  1, t  2, t  3 y t  4. Coloque WRGDVODVJUi¿FDVHQXQVLVWHPDFRRUGHQDGR6XSRQJD que a  1. b) Utilice la aplicación 3D-plot de su SAC para trazar la JUi¿FDGHODVROXFLyQGHGAlembert u(x, t) en el problema 18 para  5  x  5, 0  t  4. Experimente con distintas perspectivas tridimensionales de esta VXSHU¿FLH(OLMDODSHUVSHFWLYDGHODVXSHU¿FLHHQOD TXHXVWHGFRQVLGHUHTXHODVJUi¿FDVGHOLQFLVRD VRQ más evidentes. f (x) ECUACIÓN DE LAPLACE REPASO DE MATERIAL l 463 21. 8QDFXHUGDGHORQJLWXGLQ¿QLWDTXHFRLQFLGHFRQHOHMHx se golpea en el origen con un martillo cuya cabeza tiene 0.2 pulgadas de diámetro. Un modelo para el movimiento de la cuerda está dado por (12) con g(x)  sen 2x 17. f (x)  0, l a) 7  UDFHODJUi¿FDGHODSRVLFLyQLQLFLDOGHODFXHUGDHQ el intervalo [6, 6]. b) 8WLOLFHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQGH d’Alembert (13) en [6, 6] para t  0.2k, k  0, 1, 2, . . . , 25. Suponga que a  1. c) Utilice la aplicación de su sistema algebraico computarizado para hacer un video de la solución. Describa el movimiento de la cuerda al transcurrir el tiempo. moviéndose hacia la izquierda ( 12 f (x at)). Ambas ondas viajan con rapidez a y tienen la misma forma básica que la del desplazamiento inicial f (x). La forma de u(x, t) dado en (13) se llama solución de dAlembert. En los problemas 15 a 18 utilice la solución de d’Alembert (13) para resolver el problema con valores iniciales del problema 14 sujeto a las condiciones iniciales dadas. 15. f (x)  sen x, ECUACIÓN DE LAPLACE Lea nuevamente la sección 12.2 y el ejemplo 1 de la sección 11.4. INTRODUCCIÓN Suponga que deseamos encontrar la temperatura de estado estable u(x, y) en una placa rectangular cuyas aristas verticales x  0 y x  a están aislados, como se muestra en la ¿JXUD&XDQGRQRVHHVFDSDFDORUGHODVFDUDVODWHUDOHVGHODSODFDUHVROYHPRVHOVLJXLHQWH problema con valores en la frontera: 2 2 u y2 u x2 u x 0, x 0 u(x, 0) 0, 0, 0 u x a, 0 x 0, 0 y y b (1) (2) b x a u(x, b) f (x), 0 x a (3) 464 l CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES SOLUCIÓN DEL PVF Haciendo u(x, y)  X(x)Y(y), la separación de variables en la ecuación (1) conduce a y u = f (x) (a, b) Aislado X X Aislado u=0 x FIGURA 12.5.1 Temperaturas de estado estable en una placa rectangular. Y Y X X 0 (4) Y Y 0. (5) Las tres condiciones homogéneas en (2) y (3) se traducen en X(0)  0, X(a)  0 y Y(0)  0. El problema de Sturm-Liouville asociado con la ecuación en (4) es entonces X 0, X X (0) 0, X (a) (6) 0. Examinando los casos correspondientes a Ȝ  0, Ȝ  Į2  0 y Ȝ  Į2 0, donde Į 0, ya se han realizado en el ejemplo 1 de la sección 11.4.* Aquí presentamos un breve resumen del análisis. Para Ȝ  0, la ecuación (6) se convierte en 0, X X (0) 0, X (a) 0. La solución de la ED es X  c1  c2x. Las condiciones de frontera implican que X  c1. Haciendo c1  0, este problema tiene una solución no trivial. Para Ȝ  Į2  0, (6) sólo tiene la solución trivial. Para Ȝ  Į2 0, (6) se convierte en a2 X X 0, X (0) 0, X (a) 0. La solución de la ED en este problema es X  c1 cos Į[  c2 sen Į[. La condición de frontera X(0)  0 implica que c2  0, por tanto X  c1 cos Į[. Derivando esta última expresión y después haciendo x  a se obtiene  c1 sen Į[  0. Como hemos supuesto que Į 0, esta última condición se satisface cuando ĮD  Qʌ o Į  Qʌ兾a, n  1, 2, . . . Los eigenvalores de la ecuación (6) son entonces Ȝ0  0 y n 2n n2 2/ a2, n  1, 2, . . . Si se corresponde Ȝ0  0 con n  0, las eigenfunciones de (6) son X c1, n 0, y X c1 cos n x, a n 1, 2, . . . Ahora resolvemos la ecuación (5) sujeta a la única condición de frontera homogénea Y(0)  0. Hay dos casos. Para Ȝ0  0, la ecuación (5) es simplemente Y  0; por tanto su solución es Y  c3  c4y. Pero Y(0)  0 que implica que c3  0, por tanto Y  c 4 y. n2 2 Y 0. Debido a que 0  y  bGH¿QH Para Ȝn  n2ʌ2兾a2, la ecuación (5) es Y a2 XQLQWHUYDOR¿QLWRXVDPRV GHDFXHUGRFRQODUHJODLQIRUPDOLQGLFDGDHQODSiJLQD 429) la forma hiperbólica de la solución general: Y c3 cosh (n y>a) c4 senh (n y>a). Y(0)  0 nuevamente implica que c3  0, por lo que queda Y  c4 senh (Qʌ\兾a). Las soluciones producto un  X(x)Y(y) que satisfacen la ecuación de Laplace (1) y las tres condiciones de frontera homogéneas en (2) y (3) son A 0 y, n 0, y A n senh n n y cos x, a a n 1, 2, . . . , donde hemos reescrito c1c4 como A0 para n  0 y como An para n  1, 2, . . . * En ese ejemplo los símbolos y y L juegan el papel de X y a en este análisis. 12.5 ECUACIÓN DE LAPLACE l 465 Con el principio de superposición se obtiene otra solución: n n y cos x. a a An senh A0 y u(x, y) n 1 (7) Ahora podemos aplicar la última condición de frontera en (3). Sustituyendo x  b en la ecuación (7) se obtiene u(x, b) f (x) n n b cos x, a a An senh A0 b n 1 que es un desarrollo en un semiintervalo de f en una serie de cosenos. Al hacer las LGHQWL¿FDFLRQHVA0b  a0兾2 y An  senh(QʌE兾a)  an, n  1, 2, 3, . . . se tiene de las ecuaciones (2) y (3) de la sección 11.3 que 2A 0 b A0 y An senh n b a An a 2 a f (x) dx 0 a 1 ab a 2 a (8) f (x) dx 0 f (x) cos 0 n x dx a a 2 f (x) cos n a senh b a 0 n x dx. a (9) La solución del problema con valores en la frontera (1) a (3) consiste en la serie  FRQFRH¿FLHQWHVA0 y AnGH¿QLGDVHQ  \  UHVSHFWLYDPHQWH PROBLEMA DE DIRICHLET Un problema con valores en la frontera en el que se busca una solución de una ecuación diferencial parcial de tipo elíptico tal como la ecuación de Laplace, 2 u 0, dentro de una región R acotada (en el plano o en el espacio tridimensional) tal que u tome los valores prescritos en toda la frontera de la región se llama SUREOHPDGH'LULFKOHW. En el problema 1 de los ejercicios 12.5 se pide demostrar que la solución del problema de Dirichlet, para una región rectangular 2 u x2 2 u y2 0, 0 x a, u(0, y) 0, u(a, y) 0, 0 u(x, 0) 0, u(x, b) f (x), 0 0 y y b b x a es u(x, y) An senh n 1 n n y sen x, a a donde An a 2 a senh n b a f (x) sen 0 n x dx. a (10) En el caso especial cuando f (x)  100, a  1 y b ORVFRH¿FLHQWHVAn en (10) están da1 ( 1) n dos porAn 200 . &RQD\XGDGHXQ6$&VHWUD]DODJUi¿FDGHODVXSHU¿FLH n senh n GH¿QLGDSRUu(x, y) en la región R: 0  x  1, 0  y HQOD¿JXUD D VHYH que se satisfacen las condiciones en la frontera; en especial, observe que a lo largo de y  1, u  100 para 0  x  1. Las isotermas o curvas en la región rectangular a lo largo de las cuales la temperatura u(x, y) es constante se pueden obtener con la apliFDFLyQSDUDWUD]RGHJUi¿FDVGHFXUYDVGHQLYHOGHXQ6$&FRPRVHPXHVWUDQHQOD ¿JXUD E (VWDVLVRWHUPDVWDPELpQVHSXHGHQFRQVLGHUDUFRPRODVFXUYDVGHLQtersección (proyectadas en el plano xy) de los planos horizontales u  80, u  60 y así 466 l CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES u(x, y) 100 50 0 1 0.5 y 0 1 0.5 x a) Superficie 1 VXFHVLYDPHQWHFRQODVXSHU¿FLHGHOD¿JXUD D 2EVHUYHTXHHQWRGDODUHJLyQ la temperatura máxima es u  100 y está en la parte de la frontera que corresponde a y  1. Esto no es coincidencia. Hay un principio del máximo que establece que una solución u de la ecuación de Laplace dentro de una región R acotada con frontera B (como un rectángulo, círculo, esfera, etc.) tiene sus valores máximo y mínimo en B. Además, se puede demostrar que u no puede tener extremos (máximos o mínimos) relativos en el interior de R(VWH~OWLPRHQXQFLDGRVHYHFRQFODULGDGHQODVXSHU¿FLH GHOD¿JXUD D  y 0.8 80 60 0.6 40 0.4 20 0.2 10 0.2 0.4 PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN El problema de Dirichlet para un rectángulo se SXHGHUHVROYHUFRQIDFLOLGDGVHSDUDQGRODVYDULDEOHVFXDQGRVHHVSHFL¿FDQFRQGLFLRnes homogéneas para dos fronteras paralelas. Sin embargo, el método de separación de variables no se aplica a un problema de Dirichlet cuando las condiciones en la fronWHUDHQORVFXDWURODGRVGHOUHFWiQJXORVRQQRKRPRJpQHDV3DUDVDOYDUHVWDGL¿FXOWDG separamos el problema 2 2 0.6 0.8 1 x b) Isotermas FIGURA 12.5.2 /DVXSHU¿FLHHVOD JUi¿FDGHODVVXPDVSDUFLDOHVFXDQGRf (x)  100 y a  b  1 en (10). u y2 u x2 0, 0 u(0, y) F(y), u(x, 0) f (x), u(x, b) x a, u(a, y) 0 y 0 G( y), g(x), 0 b y x b (11) a en dos problemas, cada uno con condiciones homogéneas en la frontera, en lados paralelos, como se muestra a continuación: Problema 1 Problema 2 ∂2u1 ∂2u1 ––––2  ––––2  0, 0  x  a, 0  y  b ∂x ∂y u1(0, y)  0, u1(a, y)  0, 0  y  b ∂2u2 ∂2u2 ––––2  ––––2  0, 0  x  a, 0  y  b ∂x ∂y u2(0, y)  F(y), u2(a, y)  G(y), 0  y  b u1(x, 0)  f (x), u1(x, b)  g(x), 0  x  a u2(x, 0)  0, u2(x, b)  0, 0  x  a Suponga que u1 y u2 son las soluciones de los problemas 1 y 2, respectivamente. Si GH¿QLPRVu(x, y)  u 1(x, y)  u 2(x, y), veremos que u satisface todas las condiciones en la frontera del problema original (11); por ejemplo, u(0, y) u1(0, y) u2 (0, y) 0 u(x, b) u1 (x, b) u2 (x, b) g(x) F(y) F( y), 0 g(x), y así sucesivamente. Además, u es una solución de la ecuación de Laplace por el teorema 12.1.1. En otras palabras, al resolver los problemas 1 y 2 y sumar las soluciones, ya hemos resuelto el problema original. Esta propiedad aditiva de las soluciones se llama principio de superposición9HDOD¿JXUD Dejaremos como ejercicio (véanse los problemas 13 y 14 de los ejercicios 12.5) demostrar que una solución del problema 1 es u1(x, y) An cosh n 1 donde An 2 a a f (x) sen 0 n y a Bn senh np x dx a 1 2 a n g(x) sen x dx n a 0 a senh b a y que una solución del problema 2 es Bn n n y sen x, a a An cosh n b , a 12.5 An cosh n 1 2 b An Δ F( y) g(x) 2 u=0 f (x) F( y) sen 0 1 2 n b senh a b Bn y b b G(y) sen 0 y = 467 n n x sen y, b b 0 x 2 n y dy b An cosh n a . b y g(x) (a, b) G( y) Bn senh l n y dy b Δ donde n x b 0 (a, b) u2 = 0 G( y) (a, b) u1 = 0 + 0 Δ u2 (x, y) ECUACIÓN DE LAPLACE F( y) x f (x) 2 0 x FIGURA 12.5.3 Solución u  solución u 1 del problema 1  solución u 2 del problema 2. EJERCICIOS 12.5 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-21. En los problemas 1 a 10, resuelva la ecuación de Laplace (1) para una placa rectangular sujeta a las condiciones de frontera dadas 1. u(0, y)  0, u(a, y)  0 u(x, 0)  0, u(x, b)  f (x) 2. u(0, y)  0, u(a, y)  0 u 0, u(x, b) f (x) y y 0 u 1 x x 1 u(x, 0)  0, u(x, 1)  0 En los problemas11 y 12 resuelva la ecuación de Laplace (1) para ODSODFDVHPLLQ¿QLWDTXHVHHQFXHQWUDHQODGLUHFFLyQSRVLWLYDGHO eje y. En cada caso suponga que u(x, y) está acotada cuando y → . y 11. 10. u(0, y) 3. u(0, y)  0, u(a, y)  0 u(x, 0)  f (x), u(x, b)  0 10y, u=0 u u 0, 0 4. x x 0 x x a u(x, 0)  x, u(x, b)  0 5. u(0, y)  0, u y 0, y 0 6. u(0, y) u y 7. g( y), 0, y 0 π 0 u = f (x) u(1, y)  1  y u y 0 u x x u y y x FIGURA 12.5.4 Placa del problema 11. y 12. y 1 u=0 0 1 Aislada Aislada 0 u u(0, y), u( , y) 1 x x 0 u(x, 0)  0, u(x, ʌ)  0 8. u(0, y)  0, u(1, y)  0 u u(x, 0), u(x, 1) f (x) y y 0 9. u(0, y)  0, u(1, y)  0 u(x, 0)  100, u(x, 1)  200 π 0 u = f (x) x FIGURA 12.5.5 Placa del problema 12. En los problemas 13 y 14 resuelva la ecuación de Laplace (1) para una placa rectangular sujeta a las condiciones de frontera dadas. 13. u(0, y)  0, u(a, y)  0 u(x, 0)  f (x), u(x, b)  g(x) 14. u(0, y)  F( y), u(a, y)  G( y) u(x, 0)  0, u(x, b)  0 468 CAPÍTULO 12 l PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES En los problemas 15 y 16 aplique el principio de superposición y resuelva la ecuación de Laplace (1) para una placa cuadrada sujeta a las condiciones en la frontera dadas. 15. u(0, y)  1, u(ʌ, y)  1 u(x, 0)  0, u(x, ʌ)  1 16. u(0, y)  0, u(x, 0) Explique por qué una condición necesaria para una solución u es que g satisfaga b Esta condición se denomina la condición de compatibilidad. Haga un poco de investigación por su parte y explique la condición de compatibilidad en la tierra física. 20. Considere el problema con valores en la frontera u(2, y)  y(2  y) 0, x, 2 u(x, 2) 0 x, 1 x x 1 2 Problemas para analizar 17. a) En el problema 1 suponga que a  b  ʌ y f (x)  100x(ʌ  x). Sin utilizar la solución u(x, y) dibuje, a PDQR FyPR VH YHUtD OD VXSHU¿FLH VREUH XQD UHJLyQ UHFWDQJXODUGH¿QLGDSRU x  ʌ, 0  y  ʌ. b) ¿Cuál es el máximo valor de la temperatura u para 0  x  ʌ, 0  y  ʌ? c) Utilice la información del inciso a) para calcular los FRH¿FLHQWHVGHVXUHVSXHVWDGHOSUREOHPD'HVSXpV use la aplicación 3D-plot de su SAC para trazar la JUi¿FDGHODVXPDSDUFLDOS5(x, y) que consiste en los primeros cinco términos distintos de cero de la solución del inciso a) para 0  x  ʌ, 0  y  ʌ. Utilice perspectivas diferentes y después compárelas con su dibujo del inciso a). 18. En el problema 16 ¿cuál es el valor máximo de la temperatura u para 0  x  2, 0  y  2? 19. Resuelva el problema de Neumann para un rectángulo 2 u x2 u y y u x x 12.6 2 0 0 0, 0 0, 0 y b 0 x a g(y), 0 y b. x 0, u y y b 0, u x x a 0, 2 u x2 u y2 u y y 0, 0 u0 cos y, u(0, y) u y 0, 0 1, x u(1, y) y ʌ 0 u0(1 ʌ y cos 2y) 0. Discuta cómo se ha obtenido la respuesta siguiente: u(x, y) u0 x u0 senh(1 x) cos y senh 1 u0 senh 2x cos 2y. senh 2 Desarrolle sus ideas. Tarea para el laboratorio de computación 21. a) Use la aplicación de trazo de curvas de nivel de su 6$&SDUDWUD]DUODVJUi¿FDVGHODVLVRWHUPDVu  170, 140, 110, 80, 60, 30 para la solución del problema 9. Use la suma parcial S5(x, y) que consiste en los primeros cinco términos distintos de cero de la solución. b) 8WLOLFHODDSOLFDFLyQGHJUi¿FDWULGLPHQVLRQDOGHVX SAC para trazar la suma parcial S5(x, y). 2 u y2 0. g(y)dy 0 22. Use la aplicación 3D-plot de su SAC para trazar las isotermas u  2, 1, 0.5, 0.2, 0.1, 0.05, 0, 0.05 de la solución del problema 10. Utilice la suma parcial S5(x, y) formada por los cinco primeros términos distintos de cero de la solución. PROBLEMAS NO HOMOGÉNEOS CON VALORES EN LA FRONTERA REPASO DE MATERIAL l Secciones 12.3 a 12.5. INTRODUCCIÓN Se dice que un problema con valores en la frontera es no homogéneo si la ecuación diferencial parcial o las condiciones de frontera son no homogéneas. El método de separación de variables que se ha empleado en las tres secciones anteriores no puede aplicarse directamente a un problema con valores en la frontera. Sin embargo, en las dos primeras técnicas que analizamos en esta sección empleamos un cambio de variable que transforma un problema con valores en la frontera en dos problemas; un PVF relativamente simple para una EDO y los otros PVF homogéneos para una EDP. El último problema se puede resolver con separación de variables. La segunda técnica es básicamente un procedimiento directo del PVF utilizando desarrollos en series ortogonales. PVF NO HOMOGÉNEOS Cuando se genera calor a una razón constante r en una YDULOODGHORQJLWXG¿QLWDODIRUPDGHODHFXDFLyQGHFDORUHV 2 k u x2 r u , t 0 x L, t 0. (1) 12.6 PROBLEMAS NO HOMOGÉNEOS CON VALORES EN LA FRONTERA l 469 La ecuación (1) es no homogénea y se observa con facilidad que no es separable. Por otro lado, supongamos que se desea resolver la ecuación de calor homogénea kuxx  ut cuando las condiciones de frontera en x  0 y x  L son no homogéneas, por ejemplo, que las fronteras se mantengan a temperaturas distintas de cero: u(0, t)  u0 y u(L, t)  u1. Aun cuando la sustitución u(x, t)  X(x)T(t) separa a kuxx  ut, encontramos rápidamente un obstáculo en la determinación de los eigenvalores y las eigenfunciones porque lo que no podemos concluir nada acerca de de X(0) y de X(L) de u(0, t)  X(0)T(t)  u0 y de u(L, t)  X(L)T(t)  u1. A continuación mostraremos dos métodos de solución distintos para los diferentes tipos de PVF no homogéneos. MÉTODO 1 Considere un PVF que implica una ecuación no homogénea con condiciones de frontera independientes del tiempo tales como 2 k u x2 u , t F(x) u(0, t) u 0, u(x, 0) f (x), 0 0 u(L, t) x x u1, 0 L, t t (2) 0 L, donde u0 y u1 son constantes. Cambiando la variable dependiente u a una nueva variable dependiente v sustituyendo u(x, t)  v(x, t)  ȥ(x), el problema en (2) se puede reducir a dos problemas: {k Problema A: F(x) 2 v x2 v(0, t) v(x, 0) (0) u0, (L) u1 v , t 0, v(L, t) 0 f (x) (x) k Problema B: 0, Observe que el problema A implica una EDO que se puede resolver por integración, mientras que el problema B es un PVF homogéneo que se puede resolver por la separación de variables común. Una solución del problema original (2) es la suma de las soluciones de los problemas A y B. El siguiente ejemplo ilustra este primer método. EJEMPLO 1 Uso del método 1 Suponga que r es una constante positiva. Resuelva la ecuación (1) sujeta a u(0, t) 0, u(x, 0) f (x), 0 u(1, t) x u 0, t 0 1. SOLUCIÓN Ambas ecuaciones diferenciales parciales en la condición de frontera en x  1 son no homogéneas. Si hacemos u(x, t)  v(x, t)  ȥ(x), entonces 2 u v v u y . 2 t t x2 x Sustituyendo estos resultados en la ecuación (1) se obtiene 2 v v k 2 k r . (3) x t La ecuación (3) se reduce a una ecuación homogénea si pedimos que ȥ satisfaga r k r 0 o . k Integrando la última ecuación dos veces se obtiene que r 2 (4) (x) x c1 x c 2. 2k 2 470 l CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES Además, u(0, t) v(0, t) (0) 0 u(1, t) v(1, t) (1) u0. Se tiene que v(0, t)  0 y v(1, t)  0, suponiendo que (0) 0 y (1) u0. Aplicando estas dos últimas condiciones a la ecuación (4) se obtiene, respectivamente, c2  0 y c1  r兾2k  u0. Por tanto, r 2 x 2k (x) r 2k u0 x. Por último, la condición inicial u(x, 0)  v(x, 0)  ȥ(x) implica que v(x, 0)  u(x, 0)  ȥ(x)  f (x)  ȥ(x). Entonces, para determinar v(x, t), resolvemos el nuevo problema con valores en la frontera 2 v v k 2 , 0 x 1, t 0 x t v(0, t) 0, v(1, t) v(x, 0) f (x) 0, t r 2 x 2k 0 r 2k 0 u0 x, x 1 por separación de variables. De la manera usual encontramos que v(x, t) An e k n2 2 t sen n x, n 1 donde 1 2 An f (x) 0 r 2k r 2 x 2k (5) u 0 x sen n x dx. Sumando ȥ(x) y v(x, t) obtenemos una solución del problema original: r 2 x 2k u(x, t) r 2k u0 x An e k n2 2 t sen n x, (6) n 1 GRQGHORVFRH¿FLHQWHVAnHVWiQGH¿QLGRVHQODHFXDFLyQ   Observe en la ecuación (6) que u(x, t) → ȥ(x) cuando t → . En el contexto de las formas de solución de la ecuación de calor, ȥ se llama solución de estado estable. Ya que v(x, t) → 0 cuando t → , ésta se llama solución transitoria. MÉTODO 2 Otro tipo de problemas implica una ecuación homogénea dependiente del tiempo y condiciones frontera homogéneas. A diferencia del método 1, en el que u(x, t) se encontró al resolver dos problemas separados, es posible encontrar la solución completa de un problema tal como 2 u x2 k F(x, t) u , t u(0, t) 0, u(L, t) u(x, 0) f (x), 0 0 x 0, x t L, 0 t (7) 0 L, KDFLHQGRODVXSRVLFLyQGHTXHORVFRH¿FLHQWHVGHSHQGLHQWHVGHOWLHPSRun(t) y Fn(t) se pueden encontrar tanto u(x, t) como F(x, t) en la ecuación (7) se puede desarrollar en las series u(x, t) un (t) sen n 1 n x L y F(x, t) Fn (t) sen n 1 n x, L (8) 12.6 PROBLEMAS NO HOMOGÉNEOS CON VALORES EN LA FRONTERA l 471 donde sen(Qʌ[兾L), n  1, 2, 3 . . ., son las eigenfunciones de X  Ȝ;  0, X(0)  0, X(L) 2 n2 2>L 2. El último problema se ob 0 correspondientes a los eigenvalores n n tendría aplicando separación de variables a la EPD homogénea asociada en (7). En (8) note que la forma supuesta para u(x, t) ya satisface las condiciones de frontera en (7). La idea básica aquí es sustituir la primera serie de la ecuación (8) en la EDP no homogénea en la ecuación (7), agrupando términos e igualando la serie resultante con el desarrollo en serie encontrado para F(x, t). El siguiente ejemplo ilustra este método. EJEMPLO 2 Uso del método 2 2 u x2 Resuelva (1 u , t x) sen t u(0, t) 0, u(1, t) 0, u(x, 0) 0, 0 1. x 0 1, t x 0 0, t SOLUCIÓN Con k  1, L  1, los eigenvalores y las eigenfunciones de X  Ȝ;  0, X(0)  0, X(1)  0 se encuentra que son Si suponemos que n2 an2 n 2 y sen Qʌ[, n  1, 2, 3, . . . (9) un(t) sen n x, u(x, t) n 1 entonces las derivadas parciales formales de u son 2 u x2 un (t)( n2 2 ) sen n x u t y n 1 u n (t) sen n x. (10) n 1 Ahora suponiendo que podemos escribir F(x, t)  (1 – x) sen t como (1 Fn (t) sen n x x)sen t n 1 implica que Fn (t) 2 1 1 1 (1 x) sen t sen n x dx 2 sen t 0 (1 x) sen n x dx 0 Por tanto, (1 x)sen t n 2 sen t sen n x. 1n 2 sen t. n (11) Sustituyendo las series de las ecuaciones (10) y (11) en ut  uxx  (1 x) sen t, obtenemos u n (t) n2 2 un (t) sen n x n 1 n 2 sen t sen n x. 1 n Para determinar un(t LJXDODPRVORVFRH¿FLHQWHVGHVHQQʌ[ en cada miembro de la igualdad anterior: u n (t) n2 2 un (t) 2 sen t . n Esta última ecuación es una EDO lineal de primer orden cuya solución es un (t) 2 n n2 2 sen t n4 4 cos t 1 Cn e n2 2 t , 472 CAPÍTULO 12 l PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES donde Cn denota la constante arbitraria. Por tanto, la forma supuesta de u(x, t) en la ecuación (9) se puede escribir como la suma de dos series: u(x, t) n 2 n 1 n2 2 sen t n4 4 cos t sen n x 1 n2 Cn e 2 t sen n x. (12) n 1 Por último, aplicamos la condición inicial u(x, 0)  0 en la ecuación (12). Reescribiendo la expresión resultante como una serie, 2 0 n 1 n (n4 4 Cn sen n x, 1) FRQFOXLPRVGHHVWDLGHQWLGDGTXHHOFRH¿FLHQWHWRWDOGHVHQQʌ[ debe ser cero, por lo que 2 Cn 4 4 n (n 1) . Por tanto, de la ecuación (12) vemos que una solución del problema dado es n2 2 u(x, t) n 1 EJERCICIOS 12.6 2 sen t n(n4 4 cos t sen n x 1) n 2 k u(1, t)  100 2. u(0, t)  u 0, u(1, t)  0 u(x, 0)  f (x) En los problemas 3 y 4 resuelva la ecuación diferencial parcial (1) sujeta a las condiciones dadas. u x2 u , t hu 0, u( , t) u(x, 0) 0, u x2 h(u u(x, 0) f (x), 0 u , t u(0, t) 0, u(1, t) u(x, 0) f (x), 0 0, 0 0, x t t sen n x. x 1, t 0 0 1. La ecuación diferencial parcial es una forma de la ecuación de calor cuando el calor se genera dentro de una varilla delgada a partir de un decaimiento radioactivo del material. , t x u0 , 0 0 t . x u , t u0 ) 5. Resuelva el problema con valores en la frontera x 0 2 k u0 , Ae 2 7. Encuentre una solución de estado estable ȥ(x) del problema con valores en la frontera u(0, t) u x2 n2 e La ecuación diferencial parcial es una forma de la ecuación de calor cuando hay pérdida de calor por radiación GHODVXSHU¿FLHODWHUDOGHXQDYDULOODGHOJDGDHQXQPHGLR a temperatura cero. u(1, t)  u 0 2 1) 0 u(0, t) 4. u(0, t)  u 0, u(1, t)  u 1 u(x, 0)  f (x) k 4 6. Resuelva el problema con valores en la frontera En los problemas 1 y 2 resuelva la ecuación de calor kuxx  ut, 0  x 1, t 0, sujeto a las condiciones dadas. 3. u(0, t)  u 0, u(x, 0)  0 1 4 1 n(n Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-22. En los problemas 1 a 12 utilice el método 1 de esta sección para resolver el problema con valores en la frontera dado. 1. u(0, t)  100, u(x, 0)  0 2 0 0, u(1, t) x t x 1, t 0 0 1. 8. Encuentre una solución de estado estable ȥ(x) si la varilla GHOSUREOHPDHVVHPLLQ¿QLWD\VHHQFXHQWUDVREUHODGLrección positiva de las xHLUUDGLDGHVXVXSHU¿FLHODWHUDO hacia un medio a temperatura cero y u(0, t) u 0, u(x, 0) f (x), x lím u(x, t) x: 0, t 0 0. 9. Cuando una cuerda vibratoria se somete a una fuerza vertical externa que varía con la distancia horizontal desde el 12.7 DESARROLLOS EN SERIES ORTOGONALES extremo izquierdo, la ecuación de onda tiene la forma 2 2 u u a2 2 Ax , x t2 donde A es una constante. Resuelva esta ecuación diferencial parcial sujeta a 0, u(1, t) u(0, t) u(x, 0) u t 0, 0, t 0, 0 2 u x2 1. t 0 u , t2 0 x 1, t 1, u(x, 0) 0, 0 . x 0 y 0, donde g es la aceleración de la gravedad. Determine u(x, t). 11. Encuentre la temperatura de estado estable u(x, y) en OD SODFD VHPLLQ¿QLWD TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD  Suponga que la temperatura está acotada conforme x → . [Sugerencia: Pruebe u(x, y)  v(x, y)  ȥ(y).] u u xe 3t , 0 x , t x2 t u(0, t)  0, u(ʌ, t)  0, t 0 u(x, 0)  0, 0  x  ʌ 0 2 14. 2 g u( , y) En los problemas 13 a 16 utilice el método 2 de esta sección para resolver el problema con valores en la frontera dado. 13. 10. Una cuerda inicialmente en reposo sobre el eje x está anclada en x  0 y en x  1. Si la cuerda se deja caer bajo su propio peso para t 0, el desplazamiento u(x, t) satisface a2 0, 2 0 x u(0, y) 473 l u u xe 3t , 0 x x2 t u u 0, 0, t x x 0 x x u(x, 0)  0, 0  x  ʌ , t 0 0 2 15. y u u 1 x x cos t , 0 2 x t u(0, t)  0, u(1, t)  0, t 0 u(x, 0)  x(1  x), 0  x  1 1, t 2 u = u0 1 16. u=0 0 u = u1 x 2 u u cos t sen x , 2 x t2 u(0, t)  0, u(ʌ, t)  0, x u(x, 0) u t 0, FIGURA 12.6.1 Placa del problema 11. u x2 2 2 u y2 h, donde h 0 es una constante, se conoce como ecuación de Poisson y se presenta en diversos problemas que implican potencial eléctrico. Resuelva la ecuación sujeta a las condiciones 12.7 , t x 0 0, t 0 x p t 0 17. Aplique la sustitución u(x, t)  v(x, t)  (1  x)sen t para resolver el problema con valores en la frontera: 12. La ecuación diferencial parcial 2 0, 0 u x2 u(0, t) u(x, 0) u , t 0 x 1, t 0 sin t, u(1, t) 0, t 0, 0 x 1 0 DESARROLLOS EN SERIES ORTOGONALES REPASO DE MATERIAL l Los resultados de las ecuaciones (7) a (11) de la sección 11.1 constituyen la base del análisis siguiente. Se recomienda una revisión de este tema. INTRODUCCIÓN Para ciertos tipos de condiciones en la frontera el método de separación de variables y el principio de superposición conducen al desarrollo de una función en forma de serie trigonométrica que no es una serie de Fourier. Para resolver los problemas de esta sección utilizaremos el concepto de desarrollos en series ortogonales o serie generalizada de Fourier. 0 474 l CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES EJEMPLO 1 Uso de desarrollo de series ortogonales La temperatura en una varilla de longitud unitaria en la que existe transferencia de calor desde su extremo derecho hacia un ambiente a temperatura constante cero, se determina a partir de 2 u x2 k u , t 0 u x 0, u(0, t) u(x, 0) 1, 1, t x 0 0, t hu(1, t), h 0 x 1 0 1. x Determine u(x, t). SOLUCIÓN Procediendo como en la sección 12.3 con u(x, t)  X(x)T(t) y utilizando Ȝ como la constante de separación, encontramos que las ecuaciones separadas y las condiciones de frontera son, respectivamente, X(0) X X 0 (1) T k T 0 (2) 0 y X (1) (3) hX(1). La ecuación (1) y las condiciones de frontera homogéneas (3) forman un problema regular de Sturm-Liouville: X X 0, 0, X(0) X (1) (4) 0. hX(1) Analizando los tres casos usuales en los que Ȝ es 0, negativa o positiva, encontramos que sólo en el último caso se obtienen las soluciones no triviales. Por tanto, con Ȝ  Į2 0, Į 0, la solución general de la ED en (4) es c1 cos ax X(x) (5) c 2 sen ax. La primera condición en (4) da inmediatamente que c1  0. Aplicando la segunda condición en (4) a X(x)  c2 sen Į[ se obtiene cos h sen 0 o tan h (6) . Del análisis del ejemplo 2 de la sección 11.4, sabemos que la última de las ecuaciones  WLHQHXQQ~PHURLQ¿QLWRGHUDtFHV6LODVUDtFHVSRVLWLYDVFRQVHFXWLYDVVHGHQRWDQ por Įn, n  1, 2, 3, . . . , entonces los eigenvalores del problema son n a2n , y las eigenfunciones correspondientes son X(x)  c2 sen Įn x, n  1, 2, 3, . . . La solución de 2 la ED de primer orden (2) es T(t) c3 e k a n t , por tanto un XT An e k 2 nt sen y nx u(x, t) An e k 2 nt sen n x. n 1 Ahora en t  0, u(x, 0)  1, 0  x  1, por tanto 1 An sen n x. (7) n 1 La serie (7) no es una serie de senos de Fourier; más bien, es un desarrollo de u(x, 0)  1 en términos de las funciones ortogonales que surgen del problema regular de Sturm-Liouville (4). Por tanto, el conjunto de eigenfunciones propias {sen Įnx}, n  1, 2, 3, . . . , donde las ĮVHGH¿QHQFRQWDQĮ  Į兾h, es ortogonal respecto a la función de peso p(x)  1 en el intervalo [0, 1]. Acoplando (7) con (7) de la sección 11.1, se tiene de la ecuación (8) de esa sección, con f (x)  1 y ‫׋‬n(x)  sen Įnx, que los FRH¿FLHQWHVAn están dados por 12.7 DESARROLLOS EN SERIES ORTOGONALES l 1 0 sen n x dx . 1 2 n x dx 0 sen An 475 (8) Para evaluar la norma cuadrada de cada una de las eigenfunciones, utilizamos una identidad trigonométrica: 1 sen 2 nx 1 2 dx 0 1 (1 1 1 1 2 cos 2 x) dx 0 2 sen 2 n . (9) n Utilizando la fórmula del ángulo doble sen 2Įn  2 sen Įn cos Įn y la primer ecuación en (6) en la forma Įn cos Įn  h sen ĮnVLPSOL¿FDPRV  FRPR 1 sen 2 nx 1 h 2h ( dx 0 1 También sen n 1 1 x dx 0 cos2 cos 1 nx 0 n n ). (1 cos n ). n Por tanto, la ecuación (8) se convierte en 2h(1 n (h An cos cos2 n) n) . Por último, una solución del problema con valores en la frontera es 1 n (h 2h u(x, t) n 1 EJEMPLO 2 cos n e cos2 n ) kan2 t sen n x. Uso del desarrollo en series ortogonales El ángulo de torsión ș(x, t) de un eje de longitud unitaria que vibra torsionalmente se determina a partir de a2 θ 0 2 2 x2 t2 (0, t) 1 FIGURA 12.7.1 Torsión de un eje. , 0, (x, 0) x, 0 1, t x x x 1 t t 0 0 0, t 0 0, 0 x 1. 9HDOD¿JXUD/DFRQGLFLyQGHIURQWHUDHQx  1 se llama condición de extremo libre. Determine ș(x, t). Procediendo como en la sección 12.4 con ș(x, t)  X(x)T(t) y utilizando Ȝ una vez más como la constante de separación, las ecuaciones separadas y las condiciones de frontera son: SOLUCIÓN X X(0) X 2 T a 0 y T (10) 0 (11) 0 X (1) (12) 0. Un problema regular de Sturm-Liouville en este caso consiste en la ecuación (10) y en las condiciones de frontera homogéneas en (12): X X 0, X(0) 0, X (1) 0. (13) 476 l CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES Como en el ejemplo 1, la ecuación (13) tiene soluciones no triviales para Ȝ  Į2 0, Į 0. Las condiciones de frontera X(0)  0 y X(1)  0 aplicadas a la solución general c1 cos ax X(x) (14) c 2 sen ax dan, respectivamente, c1  0 y c2 cos Į  0. Puesto que la función coseno es cero en múltiplos impares de ʌ兾2, Į  (2n 1)ʌ兾2, y los eigenvalores de (13) son an2 (2n 1) 2 2> 4, n 1, 2, 3, . . . La solución de la ED de segundo orden n (11) es T(t)  c3 cos DĮnt  c4 sen DĮnt. La condición inicial T(0)  0 da c4  0, por lo que 2n 1 2n 1 XT An cos a t sen x. n 2 2 Para satisfacer la ecuación inicial restante, formamos (x, t) An cos a 2n 1 t sen 2 n 1 2n 1 2 (15) x. Cuando t  0, debemos tener, para 0  x 1, (x, 0) An sen x 2n 1 2 n 1 (16) x. 1 x , n  1, 2, 2 3, . . . , es ortogonal respecto a la función de peso p(x)  1 en el intervalo [0, 1]. Aunque la serie en la ecuación (16) parece una serie de Fourier de senos, no lo es porque el argumento de la función seno no es múltiplo entero de ʌ[兾L (aquí L  1). Nuevamente la serie es un desarrollo en serie ortogonal o una serie de Fourier generaOL]DGD3RUWDQWRGH  GHODVHFFLyQORVFRH¿FLHQWHVHQ  VRQ Como en el ejemplo 1, el conjunto de eigenfunciones sen 1 x sen 2n An 1 sen 2 0 1 2 0 2n 1 2 2n x dx . x dx Realizando las dos integraciones, obtenemos que An 8( 1) n 1 . (2n 1)2 2 El ángulo de torsión es entonces (x, t) 10 8 6 t 4 2 1 0  (x,t) -1 1 0.8 0.6 0.4 x 0.2 00 FIGURA 12.7.2 /DVXSHU¿FLHHVOD JUi¿FDGHXQDVXPDSDUFLDOGH   8 2 n ( 1) n 1 2n 1 cos a 2 1) 2 1(2n t sen 2n 1 2 x. (17) 3RGHPRVXWLOL]DUXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHș(x, t GH¿QLGDHQ  \DVHDFRPR XQD VXSHU¿FLH WULGLPHQVLRQDO R FRPR FXUYDV ELGLPHQVLRQDOHV FRQVHUYDQGR XQD GH ODV YDULDEOHV FRQVWDQWH (Q OD ¿JXUD  KHPRV WUD]DGR OD JUi¿FD GH ș sobre la región rectangular 0  x  1, 0  t  10. Las secciones transversales de esta super¿FLH VRQ LQWHUHVDQWHV (Q OD ¿JXUD  KHPRV WUD]DGR D ș como una función del tiempo t HQ HO LQWHUYDOR > @ XVDQGR FXDWUR YDORUHV HVSHFt¿FRV GH x y una suma parcial de la ecuación (17) (con a  1). Como se puede ver en las cuatro partes de OD¿JXUDHOiQJXORGHWRUVLyQGHFDGDVHFFLyQWUDQVYHUVDOGHODYDULOODRVFLOD hacia adelante y hacia atrás (valores positivos y negativos de ș) conforme el tiempo DXPHQWD/D¿JXUD G PXHVWUDORTXHVHHVSHUDUtDLQWXLWLYDPHQWHFXDQGRQRKD\ amortiguamiento, el extremo de la varilla en x  1 inicialmente se desplaza 1 radian (ș(1, 0)  FXDQGRHVWiHQPRYLPLHQWRHVWHH[WUHPRRVFLODLQGH¿QLGDPHQWHHQWUH su desplazamiento máximo de 1 radián y su desplazamiento mínimo de 1 radián. Las JUi¿FDVGHODV¿JXUDV D  F SUHVHQWDQORTXHSDUHFHVHUXQFRPSRUWDPLHQWRGH “pausa” de ș en su desplazamiento máximo (mínimo) de cada una de las secciones 12.7 DESARROLLOS EN SERIES ORTOGONALES l 477 WUDQVYHUVDOHVHVSHFL¿FDGDVDQWHVGHFDPELDUGHGLUHFFLyQ\KDFLDGHODQWHGHVXPtQLPR (máximo). Este comportamiento disminuye conforme x → 1.  (0.2, t)  (0.5, t) 1 1 0.5 0.5 t 0 -0.5 -0.5 -1 -1 0 2 4 6 8 t 0 0 10 2 4 a) x = 0.2 8 6 10 b) x = 0.5  (0.8, t)  (1, t) 1 1 0.5 0.5 t 0 -0.5 -0.5 -1 -1 0 2 4 6 8 t 0 10 0 2 4 c) x = 0.8 6 8 10 d) x = 1 FIGURA 12.7.3 Desplazamiento angular ș como una función del tiempo en diferentes secciones transversales de la varilla. EJERCICIOS 12.7 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-22. 1. En el ejemplo 1, encuentre la temperatura u(x, t) cuando el extremo izquierdo de la varilla está aislado. 2. Resuelva el problema con valores en la frontera 2 u x2 u , t u(0, t) 0, k u(x, 0) 0 u x 1, x 0 t h(u(1, t) x 1 f (x), 0 u 0), h 0, t 0 u x 0, u(x, 0) 0, u(0, t) hu(a, y), 0 y b x a f (x), 0 u(x, b) x a. 4. Resuelva el problema con valores en la frontera 2 2 u y2 u x2 u(0, y) u y 0, u 0, 0, y 0 0 y lím u(x, y) x: u y 6. Resuelva el problema con valores en la frontera 2 2 u u a2 2 , 0 x L, t 0 t2 x 1. x 3. Encuentre la temperatura de estado estable en una placa rectangular cuyas condiciones en la frontera son u(0, y) 5. Encuentre la temperatura u(x, t) en una varilla de longitud L si la temperatura inicial en toda la varilla es f (x), el extremo x  0 se mantiene a la temperatura cero y el extremo x  L está aislado. 1, x 0 0, y 0 hu(x, 1), h y 1 0, x 0. u x x F0 , L t 0 u 0, 0 x L. t t 0 La solución u(x, t) representa el desplazamiento longitudinal de una varilla elástica vibratoria anclada en su extremo izquierdo y sujeta a una fuerza constante de magnitud F0 en VX H[WUHPR GHUHFKR 9HD OD ¿JXUD  GH ORV HMHUFLFLRV 12.4. E es una constante que se llama módulo de elasticidad. 7. Resuelva el problema con valores en la frontera 2 2 u u 0, 0 x 1, 0 y 1 2 x y2 u(x, 0) u x 1 0, E 0, 0, u(1, y) x 0 u(x, 0) 0, u y y 1 u0 , 0 y 1 0, 0 x 1. 478 CAPÍTULO 12 l PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES 8. La temperatura inicial en una varilla de longitud unitaria es f (x) en toda la varilla. Hay transferencia de calor en sus dos extremos, x  0 y x  1, hacia el ambiente mantenido a una temperatura constante de cero. Demuestre que u(x, t) k An e 2 nt ( n cos h sen nx valores en la frontera 2 4 u t2 u x4 0 u x 0, u(0, t) n x), 0, n 1 donde An ( 2 1 2 2h 2 n u x2 f (x)( h2) n cos h sen nx n x) 2 u x2 u(0, t) u(x, 0) xe u , t 2t u x 0, 0, 0 0 x 1, t u t f (x), 0, 0 t x 1 g(x), 0 x 1. t 0 u 0 1 x u(1, t), t 0 x 1 x FIGURA 12.7.4 Viga en voladizo vibrando del problema 10. 1. Tarea para el laboratorio de computación 10. Una viga vibratoria en voladizo está incrustada en su extremo izquierdo (x  0) y libre en su extremo derecho (x    9HD OD ¿JXUD  (O GHVSOD]DPLHQWR WUDQVversal u(x, t) de la viga se determina del problema con 12.8 0 t x 0 Utilice un SAC para encontrar aproximaciones de los dos primeros eigenvalores del problema. [Sugerencia: Véanse los problemas 11 y 12 en los ejercicios 12.4.] 9. Utilice el método 2 de la sección 12.6 para resolver el problema con valores en la frontera k u x3 x 1 u(x, 0) Los eigenvalores son n a2n , n 1, 2, 3, . . . , donde los Įn son las raíces positivas consecutivas de tan Į  2ĮK兾(Į2  h2). 0, 0 3 0, dx. 0 1, t x 11. a) (  QFXHQWUHXQDHFXDFLyQTXHGH¿QDORVHLJHQYDORUHV cuando los extremos de la viga del problema 10 están incrustados en x  0 y en x  1. b) Utilice un SAC para determinar las aproximaciones de los primeros dos eigenvalores positivos. PROBLEMAS DIMENSIONALES DE ORDEN SUPERIOR REPASO DE MATERIAL l Secciones 12.3 y 12.4. INTRODUCCIÓN Hasta ahora hemos resuelto problemas con valores en la frontera que implican las ecuaciones unidimensionales de calor y de onda. En esta sección mostraremos cómo extender el método de separación de variables a problemas que implican las versiones bidimensionales de esas ecuaciones diferenciales parciales. ECUACIONES DE CALOR Y DE ONDA EN DOS DIMENSIONES Suponga que ODUHJLyQUHFWDQJXODUGHOD¿JXUD D HVXQDSODFDGHOJDGDHQODTXHODWHPSHratura u es una función de tiempo t y de posición (x, y). Entonces, bajo condiciones adecuadas, u(x, y, t) se puede demostrar que satisface la ecuación de calor en dos dimensiones 2 k u x2 2 u y2 u . t (1) 3RURWURODGRVXSRQJDTXHOD¿JXUD E UHSUHVHQWDXQPDUFRUHFWDQJXODUVREUH HO TXH VH KD H[WHQGLGR XQD PHPEUDQD ÀH[LEOH GHOJDGD XQ WDPERU UHFWDQJXODU  6L se pone en movimiento a la membrana rectangular, entonces su desplazamiento u, 12.8 y c PROBLEMAS DIMENSIONALES DE ORDEN SUPERIOR medido desde el plano xy (vibraciones transversales), es también una función de t y de posición (x, y). Cuando las vibraciones son pequeñas, libres y no amortiguadas, u(x, y, t) satisface la ecuación de onda en dos dimensiones (b, c) 2 2 x 2 (2) 2 u x2 u c y EJEMPLO 1 b) FIGURA 12.8.1 a) Placa rectangular y u y2 X YT, u t y XY T XYT . Como veremos en el siguiente ejemplo, con condiciones de frontera adecuadas, los problemas con valores en la frontera que implican (1) y (2) conducen a los conceptos de series de Fourier en dos variables. x b) membrana rectangular. u . t2 Para separar las variables en (1) y (2), suponemos una solución producto de la forma u(x, y, t)  X(x)Y(y)T(t). Observe que a) b 2 u y2 u x2 a2 b 479 l Temperaturas en una placa Encuentre la temperatura u(x, y, t GHODSODFDTXHPXHVWUDOD¿JXUD D VLODWHPperatura inicial es f (x, y) en toda la varilla y si los bordes se mantienen a la temperatura cero para el tiempo t 0. Debemos resolver SOLUCIÓN 2 2 k sujeta a u y2 u x2 u , t 0 x b, 0 y c, t 0 u(0, y, t) 0, u(b, y, t) 0, 0 y c, t 0 u(x, 0, t) 0, 0, 0 x b, t 0 u(x, y, 0) f (x, y), 0 u(x, c, t) b, 0 x y c. Sustituyendo u(x, y, t)  X(x)Y(y)T(t), obtenemos X Y T (3) . X Y kT Puesto que el miembro izquierdo de la última ecuación en (3) depende sólo de x y en el miembro derecho depende sólo de y y de t, igualamos ambos lados a una constante Ȝ: k(X YT XY T) por tanto, o XY T X X Y Y X X T kT (4) 0 Y T . (5) Y kT Usando el mismo razonamiento, si introducimos otra constante de separación ȝ en la ecuación (5), entonces Y Y entonces Y 0 Y y T kT y T k( )T (6) 0. Ahora las condiciones de frontera homogéneas u(0, y, t) u(x, 0, t) 0, u(b, y, t) 0, u(x, c, t) 0 0 implican que X(0) Y(0) 0, X(b) 0, Y(c) 0 0. Por tanto, tenemos dos problemas de Sturm-Liouville: y X X 0, X(0) 0, X(b) 0 (7) Y Y 0, Y(0) 0, Y(c) 0. (8) 480 l CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES Los casos usuales a considerar son (Ȝ  0, Ȝ  Į2 0, Ȝ  Į2  0, ȝ  0, etc.) que conducen a los conjuntos independientes de eigenvalores, m2 2 y b2 Las eigenfunciones correspondientes son m c 2 sen x, m 1, 2, 3 . . . , y Y(y) b m X(x) n2 2 . c2 n c 4 sen n y, c n 1, 2, 3, . . . (9) Después de sustituir los valores conocidos de Ȝn y ȝn en la ED de primer orden en (6), 2 2 se encuentra que su solución general es T(t) c5 e k [(m / b) (n / c) ]t. Una solución producto de la ecuación de calor en dos dimensiones que satisface las cuatro ecuaciones homogéneas es entonces u mn (x, y, t) k [(m /b) 2 A mn e (n /c) 2 ]t sen m n x sen y, b c donde Amn es una constante arbitraria. Puesto que tenemos dos conjuntos de eigenvalores, esto nos motiva a intentar el principio de superposición en la forma de una doble suma m n 2 2 (10) A mn e k [(m /b) (n / c) ]t sen x sen y. u(x, y, t) b c m 1n 1 En t  0 tenemos que u(x, y, 0) f (x, y) A mn sen m 1n 1 m n x sen y. b c (11) 3RGHPRVHQFRQWUDUORVFRH¿FLHQWHVAmn multiplicando la doble suma (11) por el producto sen(Pʌ[兾b) sen(Pʌ\兾c HLQWHJUDQGRVREUHHOUHFWiQJXORGH¿QLGRSRUODVGHVigualdades 0  x  b, 0  y  c. Se tiene que A mn 4 bc c b f (x, y) sen 0 0 m n x sen y dxdy. b c (12) Por lo que la solución del PVF consiste en (10) con los AmnGH¿QLGRVHQ   /DVHULH  FRQFRH¿FLHQWHV  VHOODPDserie de senos con dos variables o doble serie de senos. Resumimos la siguiente serie de cosenos con dos variables. La doble serie de cosenos de una función f (x, y GH¿QLGDVREUHXQDUHJLyQUHFWDQJXODUGH¿QLGDSRU x  b, 0  y  c está dada por f (x, y) A m 0 cos A 00 m 1 m x b A mn cos 1n 1 m donde A 00 Am 0 A 0n A mn 1 bc 2 bc 2 bc 4 bc c A 0n cos n 1 n y c m n x cos y, b c b f (x, y) dx dy 0 0 c b f (x, y) cos 0 c 0 b f (x, y) cos 0 c 0 b f (x, y) cos 0 0 m x dx dy b n y dx dy c m n x cos y dx dy. b c Para un problema que conduce a una doble serie de cosenos vea el problema 2 de los ejercicios 12.8. REPASO DEL CAPÍTULO 12 EJERCICIOS 12.8 u(ʌ, y, t)  0 u(x, ʌ, t)  0 u x u y 481 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-22. En los problemas 1 y 2 resuelva la ecuación de calor (1) sujeta a las condiciones dadas. 1. u(0, y, t)  0, u(x, 0, t)  0, u(x, y, 0)  u 0 u 0, 2. x x 0 u 0, y y 0 l La temperatura de estado estable u(x, y, z) del paralelepípedo UHFWDQJXODU TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD  VDWLVIDFH OD ecuación de Laplace en tres dimensiones: 2 2 2 u u u 0. (13) 2 2 z2 y x 0 z x 1 0 y 1 (a, b, c) u(x, y, 0)  xy En los problemas 3 y 4 resuelva la ecuación de calor (2) sujeta a las condiciones dadas. 3. u(0, y, t)  0, u(ʌ, y, t)  0 u(x, 0, t)  0, u(x, ʌ, t)  0 u(x, y, 0)  xy(x  ʌ)(y  ʌ) u 0 t t 0 x FIGURA 12.8.2 5. Resuelva la ecuación de Laplace (13). La cara superior (z  c) del paralelepípedo se conserva a la temperatura f (x, y) y las caras restantes a temperatura cero. 6. Resuelva la ecuación de Laplace (13). La cara inferior (z  0) del paralelepípedo se conserva a temperatura f (x, y) y las caras restantes a temperatura cero. REPASO DEL CAPÍTULO 12 1. Utilice separación de variables para encontrar las soluciones producto de 2 u u. x y 2. Use separación de variables para determinar las soluciones producto de u y2 u 2 x u 2 y 3. Encuentre una solución de estado estable ȥ(x) del problema con valores en la frontera 2 u u k 2 , 0 x , t 0, x t u(x, 0) u x u 0, 0, 0 5. En t  0 una cuerda de longitud unitaria se encuentra tensa sobre el eje x positivo. Los extremos de la cuerda están anclados en el eje x, en x  0 y en x  1 para t 0. Determine el desplazamiento u(x, t) si la velocidad inicial g(x HVODTXHVHSUHVHQWDHQOD¿JXUD5 g(x) 0. ¿Es posible elegir una constante de separación tal que tanto X como Y sean funciones oscilatorias? u(0, t) Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-22. h 2 u x2 Paralelepípedo rectangular de los problemas 5 y 6. 4. u(0, y, t)  0, u(b, y, t)  0 u(x, 0, t)  0, u(x, c, t)  0 u(x, y, 0)  f (x, y) u g(x, y) t t 0 2 y x u( , t) x u1, t 0 . 4. Dé una interpretación física de las condiciones de frontera del problema 3. 1 4 1 2 3 4 1 x FIGURA 12.R.1 Velocidad inicial g(x) del problema 5. 6. La ecuación diferencial parcial 2 u x2 2 x2 u t2 es una forma de la ecuación de onda cuando se aplica una fuerza vertical externa proporcional al cuadrado de la distancia horizontal en el extremo izquierdo de la cuerda. La cuerda está anclada en x  0, una unidad arriba del eje x y en el eje x en x  1 para t 0. Encuentre el desplazamiento u(x, t) si la cuerda parte del reposo desde un desplazamiento f (x). 482 l CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES 7. Encuentre la temperatura u(x, y) de estado estable en la SODFDFXDGUDGDGHOD¿JXUD5 11. Resuelva el problema con valores en la frontera 2 u x2 y u = 0 (π, π) u=0 u = 50 x u=0 u , t 0 , x u(0, t) 0, u( , t) u(x, 0) sen x, 0 0 t 0, 0 t . x 12. Resuelva el problema con valores en la frontera FIGURA 12.R.2 Placa cuadrada del problema 7. 2 u x2 8. Determine la temperatura de estado estable u(x, y) en la SODFDVHPLLQ¿QLWDTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD5 y Aislada u , t sen x 0 u(0, t) 400, u( , t) u(x, 0) 400 , t x 200, sen x, 0 0 0 t . x 13. Encuentre la solución formal en serie para el problema π 2 u x2 u = 50 0 x Aislada FIGURA 12.R.3 Placa cuadrada del problema 8. 9. Resuelva el problema 8 cuando las fronteras y  0 y y  ʌ se conservan a temperatura cero durante todo el tiempo. 10. Encuentre la temperatura u(x, t  HQ OD SODFD LQ¿QLWD GH ancho 2L TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD 5 VL OD WHPperatura inicial en toda la placa es u0 en toda la placa. [Sugerencia: u(x, 0)  u0, L  x  L es una función par de x.] 2 u(0, t) u t u=0 u t2 u t 2 0, u( , t) 0, 0 0 u, 0, , t x 0 t . x 14. La concentración c(x, t) de una sustancia que se difunde en un medio y que es arrastrada por las corrientes de convección del medio satisface la ecuación diferencial parcial 2 k c x2 h c x c , t k y h constantes. Resuelva la EDP sujeta a c(0, t) 0, c(1, t) 0, t c(x, 0) c0, 1, 0 x 0 donde c0 es una constante. 15. Resuelva el problema con valores en la fronteral −L L x FIGURA 12.R.4 3ODFDLQ¿QLWDGHOSUREOHPD 0 t 0 y u=0 2 u x 2 u x2 u , 0 t x u(0, t) u0, u x u(x, 0) u0, 0 1, t 0 u(1, t) 1 x x 1, donde u0 y u1 son constantes. u1, t 0 13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS 13.1 Coordenadas polares 13.2 Coordenadas polares y cilíndricas 13.3 Coordenadas esféricas REPASO DEL CAPÍTULO 13 Todos los problemas con valores en la frontera que hemos considerado hasta el momento sólo se han expresado en términos de un sistema coordenado rectangular. Pero si se desea encontrar, por ejemplo, temperaturas en una placa circular, en un cilindro circular o en una esfera, naturalmente trataríamos de describir el problema en términos de coordenadas polares, coordenadas cilíndricas o coordenadas esféricas, respectivamente. En este capítulo veremos que al tratar de resolver PVF en estos tres últimos sistemas coordenados por el método de separación de variables, se aplica en forma práctica la teoría de la serie de Fourier-Bessel y de la serie de Fourier-Legendre. 483 484 CAPÍTULO 13 l 13.1 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS COORDENADAS POLARES REPASO DE MATERIAL l ED de Cauchy-Euler en la sección 4.7 l 5HSDVRGHODV('HQODVHFFLyQ INTRODUCCIÓN Debido a que en esta sección sólo se consideran problemas de temperatura de estado estable en coordenadas polares, lo primero que debemos hacer es convertir la ecuación de Laplace conocida de coordenadas rectangulares a coordenadas polares. LAPLACIANO EN COORDENADAS POLARES La relación entre las coordenadas polares en el plano y las coordenadas rectangulares está dada por: (x, y) o (r, θ ) y r r cos , x y r sen r2 y x2 y2, tan y . x 9HD OD ¿JXUD  (O SULPHU SDU GH HFXDFLRQHV WUDQVIRUPD ODV FRRUGHQDGDV SRODUHV (r, ș) en coordenadas rectangulares (x, y); el segundo par de ecuaciones nos permite transformar coordenadas rectangulares a coordenadas polares. Esas ecuaciones también permiten convertir el Laplaciano bidimensional ' 2u  2u兾x 2  2u兾y 2 a coordenadas polares. Se le recomienda aplicar con cuidado la regla de la cadena para demostrar que y θ x x FIGURA 13.1.1 Las coordenadas polares de un punto (x, y) son (r, ș). 2 u x2 2 cos2 2 u y2 u r2 2 sen 2 u r2 u x u r r x u u y u r r y u 2 sen cos r 2 sen cos r x y 2 r sen r u sen u r cos r u sen 2 r u r 2 sen cos r2 u  cos2 r u r 2 sen cos r2 u . (2) 2 cos2 r2 2 r u u r sen 2 r2 u 2 cos u 2 u 2 6XPDQGRODVHFXDFLRQHV  \  \VLPSOL¿FDQGRVHREWLHQHHO/DSODFLDQRGHu en coordenadas polares: 2 u = f (θ ) y 2 u c x u r2 Dirichlet para un círculo. 1 u r r 1 r2 2 u 2 . En esta sección sólo consideraremos problemas que impliquen la ecuación de Laplace ' 2u  0 en coordenadas polares: 2 FIGURA 13.1.2 Problema de u r2 1 u r r 1 r2 2 u 2 0  Nuestro primer ejemplo es el problema de Dirichlet para un disco circular. Queremos UHVROYHUODHFXDFLyQGH/DSODFH  SDUDODWHPSHUDWXUDGHHVWDGRHVWDEOHu(r, ș) en un disco circular o plato de radio c cuando la temperatura de la circunferencia es u(c, ș)  f (ș), 0  ș  2ʌ9HDOD¿JXUD6HVXSRQHTXHODVGRVFDUDVGHODSODFDHVWiQDLVODGDV(VWH problema aparentemente simple no es como los que encontramos en el capítulo anterior. EJEMPLO 1 Temperaturas estables en un disco circular 5HVXHOYDODHFXDFLyQGH/DSODFH  VXMHWDDu(c, ș)  f (ș), 0  ș  2ʌ. 13.1 COORDENADAS POLARES l 485 SOLUCIÓN Antes de intentar la separación de variables, observamos que la única condición de frontera es no homogénea. En otras palabras, no hay condiciones explíciWDVHQHOHQXQFLDGRGHOSUREOHPDTXHQRVSHUPLWDQGHWHUPLQDU\DVHDORVFRH¿FLHQWHV en las soluciones de las EDO separadas o los eigenvalores necesarios. Sin embargo, hay algunas condiciones implícitas. En primer lugar, nuestra intuición física nos lleva a esperar que la temperatura u(r, ș) debe ser continua y, por tanto, acotada dentro del círculo r  c. Además, la temperatura u(r, ș GHEHVHUXQLYDOXDGDHVWRVLJQL¿FDTXHHOYDORUGHu debe ser el mismo en cualquier punto del círculo, independientemente de la descripción polar de ese punto. Debido a que (r, ș  2ʌ) es una descripción equivalente del punto (r, ș), debemos tener u(r, ș)  u(r, ș  2ʌ). Es decir, u(r, ș) debe ser periódica en ș con periodo 2ʌ. Si buscamos una solución producto u  R(r)((ș), entonces ((ș) tiene que ser necesariamente periódica con periodo 2ʌ. Tomando todo esto en cuenta decidimos escribir la constante de separación en la separación de variables como Ȝ: r 2R rR . R Las ecuaciones separadas son entonces r 2R rR (4) 0 R (5) 0. Estamos buscando una solución del problema 0, ( ) ( (6) 2 ). La ecuación (6) no es un problema regular de Sturm-Liouville; sin embargo, el problema genera eigenvalores y eigenfunciones. Estos últimos forman un conjunto ortogonal en el intervalo [0, 2ʌ]. De las tres posibles soluciones generales de (5), ( ) c1 ( ) c1 cosh ( ) Por ejemplo, observe que cos n(ș  2ʌ)  cos(Qș  Qʌ)  cos Qș. c2 , c2 senh c1 cos (7) 0 c2 sen 2 , 2 , (8) 0 (9) 0 podemos descartar a (8) como intrínsecamente no periódica a menos que c  c2  0. 'HLJXDOPDQHUDODVROXFLyQ  HVQRSHULyGLFDDPHQRVTXHGH¿QDPRVc2  0. A la solución que resta ((ș)  c c  0, se le puede asignar algún periodo y, por tanto, Ȝ  0 es un eigenvalor. Por último, la solución (9) tendrá periodo 2ʌ si tomamos Į  n, donde n /RVHLJHQYDORUHVGH  VRQHQWRQFHVȜ0  0 y Ȝn  n2, n 6LFRUUHVSRQGHȜ0  0 con n  0, las eigenfunciones de (6) son ( ) c1, 0, n y ( ) c1 cos n c2 sen n , n 1, 2, . . . Cuando Ȝn  n2, n ODVVROXFLRQHVGHOD('GH&DXFK\(XOHU  VRQ   R(r) c3 c4 ln r,  n 0, R(r) c3 r n c4r n, n 1, 2, . . .   $KRUDREVHUYHHQ  TXHrn  l兾r n(QFXDOTXLHUDGHODVVROXFLRQHV  X  GHEHPRVGH¿QLUc4  0 para garantizar que la solución u está acotada en el centro de la placa (que es r  0). Por tanto, las soluciones producto un  R(r)((ș) para la ecuación de Laplace en coordenadas polares son u0 A0 , n 0, y un r n(An cos n Bn sen n ), n 1, 2, . . . , donde se han reemplazado cc por A0 para n  0 y por An para n ODFRPbinación cc2 se ha sustituido por Bn. Entonces el principio de superposición da 486 l CAPÍTULO 13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS u(r, ) Bn sen n ).  rn(An cos n A0  n 1 Aplicando la condición frontera en r  cD  UHFRQRFHPRV f( ) c n (An cos n A0 Bn sen n ) n 1 como un desarrollo de fHQVHULHGH)RXULHUFRPSOHWD3RUWDQWRKDFHPRVODVLGHQWL¿caciones a0 A0 , cnAn an y cnBn bn . 2 Esto es 1 2p A0  2 2 1 An cn c n  f ( ) cos n d  f ( ) sen n d .   0 2 1 Bn f ( ) d 0 0 /DVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQVLVWHHQODVHULHGDGDHQ  GRQGHORVFRH¿FLHQWHVA0, An y BnHVWiQGH¿QLGRVSRUODVHFXDFLRQHV    \   2EVHUYHHQHOHMHPSORTXHSDUDFDGDHLJHQYDORUSRVLWLYRȜn  n2, n KD\ dos diferentes eigenfunciones, en particular, cos Qș y sen Qș. En este caso los eigenvalores son algunas veces llamados eigenvalores dobles. EJEMPLO 2 Temperaturas de estado estable en una placa semicircular Encuentre la temperatura de estado estable u(r, ș) en la placa semicircular que se PXHVWUDHQOD¿JXUD SOLUCIÓN El problema con valores en la frontera es 2 u r2 y u = u0 c u(c, ) u0 , u(r, 0) 0, 1 r2 2 u 0, 2 0 0 , 0 r c , u(r, ) 0, 0 r c. 'H¿QLHQGRu  R(r)((ș) y separando variables se obtiene θ =π r 2R x u = 0 en θ =π 1 u r r u = 0 en θ=0 FIGURA 13.1.3 Placa semicircular rR R \ rR  r 2R del ejemplo 2.  0 R 0.   Las condiciones homogéneas establecidas en las fronteras ș  0 y ș  ʌ se traducen en ((0)  0 y ((ʌ) (VWDVFRQGLFLRQHVMXQWRFRQODHFXDFLyQ  FRQVWLWX\HQXQ problema regular de Sturm-Liouville: Este es el ejemplo 2 de la sección 5.2 con L  ʌ. 0, (0) 0, ( ) 0.   Este problema conocido tiene eigenvalores Ȝn  n y eigenfunciones ((ș)  c2 sen Qș, n7DPELpQDOVXVWLWXLUȜ por n2ODVROXFLyQGH  HVR(r)  cr n  c4rn. El UD]RQDPLHQWRTXHVHXVyHQHOHMHPSORHQSDUWLFXODUQRVKDFHHVSHUDUXQDVROXFLyQ u del problema que está acotada en r ORTXHQRVFRQGXFHDGH¿QLUTXHc4  0. Por tanto, un  R(r)((ș)  Anr n sen Qș y 2 13.1 COORDENADAS POLARES l 487 Anr n sen n . u(r, ) n 1 La condición de frontera que resta en r  c da la serie de senos Ancn sen n . u0 n 1 Por tanto, An cn 2 u0 sen n d , 0 2u0 1 ( 1)n . cn n Por tanto, la solución del problema está dada por y así An u(r, ) 2u0 ( 1)n r n sen n . n c 1 n 1 EJERCICIOS 13.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-23. (QORVSUREOHPDVDGHWHUPLQHODWHPSHUDWXUDGHHVWDGR estable u(r, ș) en una placa circular de radio r VLODWHPperatura en la circunferencia es la que se indica. u0 , 0, 1. u(1, ) 2 4. u(1, ) , u(c, ) 0 2 2 , 0 /2 0 >4 >2. 0 >4 1, 0, 8. Encuentre la temperatura de estado estable en la placa in¿QLWDHQIRUPDGHFXxDTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD [Sugerencia: Suponga que la temperatura está acotada cuando r → 0 y cuando r → .] 2 2 5. Resuelva el problema exterior de Dirichlet para un disco circular de radio c, si u(c, ș)  I ș), 0  ș  2ʌ. En otras palabras, determine la temperatura de estado estable u(r, ș) en una placa que coincide con todo el plano xy en el que se ha hecho un agujero circular de radio c, alrededor del origen y la temperatura de la circunferencia del agujero es I ș). [Sugerencia: Suponga que la temperatura está acotada cuando r → .] 6. Determine la temperatura de estado estable en la placa de XQFXDUWRGHFtUFXORTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD 7. Si las condiciones ș  0 y ș  ʌ兾GHOD¿JXUD están aisladas, entonces se tiene, respectivamente, que y y=x u = 30 x u=0 FIGURA 13.1.5 3ODFDHQIRUPDGHFXxDGHOSUREOHPD 9. Encuentre la temperatura de estado estable u(r, ș) en el DQLOORFLUFXODUGHOD¿JXUD>Sugerencia: Proceda FRPRHQHOHMHPSOR@ y y u = f (θ ) u = f (θ ) u =0 a c u =0 b x x u= 0 FIGURA 13.1.4 Placa de un cuarto de círculo del problema 6. 0. 0 2 , 3. u(1, ) u 0, Encuentre la temperatura de estado estable si 0 , 2. u(1, ) u FIGURA 13.1.6 Placa en forma de anillo del problema 9. 488 l CAPÍTULO 13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS 10. Si las condiciones frontera para el anillo circular de la ¿JXUDVRQu(a, ș)  u0, u(b, ș)  u, 0  ș  2ʌ, donde u0 y u son constantes, demuestre que la temperatura de estado estable está dada por u0 ln(r>b) u1ln(r>a) . ln(a>b) u(r, ) [Sugerencia: Intente una solución de la forma u(r, ș)  v(r, ș)  ȥ(r).] 11. Encuentre la temperatura de estado estable u(r, ș) en el DQLOORFLUFXODUGHOD¿JXUDVLa b  2 y u   75senș, u(2, ș)  60cosș, 0  ș  2ʌ 12. Encuentre la temperatura de estado estable u(r, ș) en la SODFDVHPLFLUFXODUPRVWUDGDHQOD¿JXUDVL u(a, ) ( ), u(b, ) u(r, 0) 0, u(r, ) 0, 0 0, a r b. 13. Encuentre la temperatura de estado estable u(r, ș) en la SODFDVHPLFLUFXODUPRVWUDGDHQOD¿JXUDVLa  b2y u ș)  0, u(2, ș)  u0, 0  ș  ʌ u(r, 0)  0, u(r, ʌ)    r  2 donde u0 es una constante. Problemas para analizar 17. &RQVLGHUH HO DQLOOR FLUFXODU GH OD ¿JXUD  $QDOLFH cómo se puede calcular la temperatura de estado estable u(r, ș) cuando las condiciones en la frontera son u(a, ș)  f (ș), u(b, ș)  g(ș), 0  ș  2ʌ. 18. 'HVDUUROOH VXV LGHDV DFHUFD GHO SUREOHPD  SDUD encontrar la temperatura de estado estable u(r, ș  HQ HO DQLOOR FLUFXODU TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD  FXDQGR ODV FRQGLFLRQHV GH IURQWHUD VRQ u( 12, )   0.5 cos ș), u ș)  200, 0  ș  2ʌ. 19. Considere la temperatura de estado estable u(r, ș) en la SODFDVHPLFLUFXODUPRVWUDGDHQOD¿JXUDFRQa  b2y u ș)  0, u(2, ș)  0, 0  ș  ʌ u(r, 0)  0, u(r, ʌ)  r   r  2 Demuestre que en este caso la elección de Ȝ como la constante de separación junto con Ȝ  Į2 en (4) y (5) conduce a eigenvalores y a eigenfunciones. Indique cómo determinar u(r, ș). Implemente sus ideas. Tarea para el laboratorio de computación 20. a) Encuentre la solución en serie de u(r, ș) del ejemplo FXDQGR u(1, ) y a b x FIGURA 13.1.7 3ODFDVHPLFLUFXODUGHOSUREOHPD 14. Encuentre la temperatura de estado estable u(r, ș) en una placa semicircular de radio r VL u(1, ) u0 , u(r, 0) 0, 0 u(r, ) u0 , 0 r 1, u0 es constante. 15. Encuentre la temperatura de estado estable u(r, ș) en una placa semicircular de radio r  2, si u(2, ) u0 , 0, 0 >2 >2 , u0 es una constante y los bordes ș  0 y ș  ʌ están aislados. 16. /DSODFDHQHOSULPHUFXDGUDQWHTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHVXQRFWDYRGHODQLOORFLUFXODUGHOD¿JXUD (QFXHQWUHODWHPSHUDWXUDGHHVWDGRHVWDEOHu(r, ș). 100, 0, 0 2 . b) 8VHXQ6$&RXQDDSOLFDFLyQJUD¿FDGRUDSDUDWUD]DU ODJUi¿FDGHODVXPDSDUFLDOS5(r, ș) formada por los cinco primeros términos distintos de cero de la solución del inciso a) para r  0.9, r  0.7, r  0.5, r  \r 6REUHSRQJDODVJUi¿FDVHQORVPLVPRV ejes coordenados. c) Calcule las temperaturas aproximadas u    u(0.7, 2), u  u  u  'HVSXpV calcule aproximadamente u(0.9, 2ʌ  u(0.7, 2ʌ  2), u(0.5, 2ʌ  u ʌ  4) y u ʌ  5.5). d) ¿Cuál es la temperatura en el centro de la placa circular? Describa por qué es adecuado llamar a este valor temperatura promedio en la placa. [Sugerencia: Analice las JUi¿FDVGHOLQFLVRE \ORVQ~PHURVGHOLQFLVRF @ y y=x u=0 u = 100 u=0 a b x u=0 FIGURA 13.1.8 3ODFDGHOSUREOHPD 13.2 13.2 COORDENADAS POLARES Y CILÍNDRICAS l 489 COORDENADAS POLARES Y CILÍNDRICAS REPASO DE MATERIAL l Ecuación diferencial paramétrica de Bessel en la sección 6.4 l )RUPDVGHODVHULHGH)RXULHU%HVVHOHQODGH¿QLFLyQ INTRODUCCIÓN En esta sección consideraremos problemas con valores en la frontera que implican formas de la ecuación de calor y de onda en coordenadas polares y una forma de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas. Hay concordancia en los ejemplos y ejercicios: cada problema con valores en la frontera de esta sección tiene simetría radial. SIMETRÍA RADIAL Las ecuaciones bidimensionales de calor y de onda 2 2 u y2 u x2 k y u t2 u y2 u x2 a2 2 2 2 u t expresadas en coordenadas polares son, respectivamente, 2 2 u 1 u 1 2u u u u 1 u 1 2u 2 ,    y a 2 2 2 2 2 2 r r r r t t2 r r r r donde u  u(r, ș, t). Para resolver por separación de variables un problema con vaORUHVHQODIURQWHUDGRQGHLQWHUYHQJDDOJXQDGHHVWDVHFXDFLRQHVGH¿QLUHPRVu  R(r) ((ș)T(t &RPRHQODVHFFLyQHVWDVXSRVLFLyQFRQGXFHDYDULDVVHULHVLQ¿QLWDV P~OWLSOHV9HDHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV(QHODQiOLVLVTXHVHSUHVHQWD a continuación, consideraremos una clase más sencilla, pero también importante, de problemas que tienen simetría radial, es decir, problemas en los que la función desconocida u es independiente de la coordenada angular ș. En este caso las ecuaciones FDORU\GHRQGDHQ  WRPDQUHVSHFWLYDPHQWHODVIRUPDV 2 k 2 k u r2 1 u r r 2 u t y 2 1 u r r u r2 a2 u , t2 (2) donde u  u(r, t). Las vibraciones descritas por la segunda de las ecuaciones en (2) se llaman vibraciones radiales. El primer ejemplo tiene que ver con las vibraciones radiales libres de una memEUDQDFLUFXODUGHOJDGD6HVXSRQHTXHORVGHVSOD]DPLHQWRVVRQSHTXHxRV\TXHHOPRvimiento es tal que cada punto de la membrana se mueve en dirección perpendicular al plano xy (vibraciones transversales), es decir, el eje u es perpendicular al plano xy. Un modelo físico que se puede recordar cuando se trabaja con este ejemplo es la vibración de la membrana de un tambor. EJEMPLO 1 u u = f(r) en t = 0 y x Encuentre el desplazamiento u(r, t) de una membrana circular de radio c sujeta a lo largo de su circunferencia si su desplazamiento inicial es f (r) y su velocidad inicial es g(r 9HDOD¿JXUD SOLUCIÓN El problema con valores en la frontera que hay que resolver es u = 0 en r = c FIGURA 13.2.1 Desplazamiento inicial de una membrana circular del HMHPSOR Vibraciones radiales de una membrana circular 2 2 u r2 1 u r r u(c, t) 0, t 0 u(r, 0) f (r), u t a2 u , t2 t 0 0 r c, g(r), 0 r 0 t c. 490 l CAPÍTULO 13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS Sustituyendo u  R(r)T(t) en la ecuación diferencial parcial y separando las variables obtenemos 1 R R r T .  R a2T 2EVHUYH TXH HQ OD HFXDFLyQ   KHPRV UHJUHVDGR D QXHVWUD FRQVWDQWH GH VHSDUDFLyQ usual Ȝ/DVGRVHFXDFLRQHVREWHQLGDVGHODHFXDFLyQ  VRQ rR y R 2 T (4) 0 rR (5) 0. a T Debido a la naturaleza vibracional del problema, la ecuación (5) sugiere que sólo se use Ȝ  Į2 0, Į 0, ya que esta elección conduce a funciones periódicas. También observe que la ecuación (4) no es una ecuación de Cauchy-Euler sino que es la ecuación diferencial paramétrica de Bessel de orden #  0, es decir, rR  R  Į2rR  0. 'HOSUREOHPD  GHODVHFFLyQODVROXFLyQJHQHUDOGHOD~OWLPDHFXDFLyQHV c1J0( r) R (6) c2Y0( r). La solución general de la ecuación conocida (5) es c3 cos a t T 9HDOD¿JXUD. c4 sen a t. Ahora, recordemos que Y0(ĮU) →  cuando r → 0, por lo que la suposición implícita de que el desplazamiento u(r, t) debe estar acotado en r QRVFRQGXFHDGH¿QLU c2  0 en la ecuación (6). Así R  cJ0(ĮU). Puesto que la condición de frontera u(c, t)  0 es equivalente a R(c)  0, se debe cumplir que cJ0(Į c)  0. Se excluye c  0 (porque conduciría a una solución trivial de la EDP) por lo que J0( c) 0. (7) Si xn  Įnc son las raíces positivas de la ecuación (7), entonces Įn  xn兾c, así los eigenvalores del problema son Ȝn  Į2n  x2n兾c2, y las eigenfunciones son cJ0(ĮU). Las soluciones producto que satisfacen la ecuación diferencial parcial y la condición a la frontera son un Bn sen a nt) J0( nr), (An cos a nt R(r)T(t) (8) donde hemos etiquetado las constantes en la forma usual. Con el principio de superposición se obtiene Bn sen a n t) J0( n r). (An cos a n t u(r, t) (9) n 1 /DVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVGDGDVGHWHUPLQDQORVFRH¿FLHQWHVAn y Bn. Haciendo t  0 en la ecuación (9) y usando u(r, 0)  f (r) se obtiene An J0( f (r) n r).   n 1 Este último resultado se reconoce como el desarrollo de Fourier-Bessel de la función f en el intervalo (0, c 3RUWDQWRFRPSDUDQGRGLUHFWDPHQWHODVHFXDFLRQHV  \   FRQOD  \OD  GHODVHFFLyQVHSXHGHQLGHQWL¿FDUORVFRH¿FLHQWHVAn como ORVGDGRVHQODHFXDFLyQ  GHODVHFFLyQ An c 2 c2J12( nc) rJ0( nr) f (r) dr.   0 A continuación, derivamos la ecuación (9) respecto a t, haciendo t  0 y usando ut(r, 0)  g(r): a n Bn J0( nr). g(r) n 1 Esto es ahora un desarrollo de Fourier-Bessel de la función g,GHQWL¿FDQGRHOFRH¿ciente total DĮnBnFRQHOGHODHFXDFLyQ  GHODVHFFLyQSRGHPRVHVFULELU 13.2 COORDENADAS POLARES Y CILÍNDRICAS 2 a n c2J21( n c) Bn l 491 c rJ0( nr)g(r) dr.   0 Por último, la solución del problema con valores en la frontera original es la serie (9) FRQFRH¿FLHQWHVAn y BnGH¿QLGRVHQODVHFXDFLRQHV  \   ONDAS ESTACIONARIAS 'H PDQHUD DQiORJD D OD HFXDFLyQ   GH OD VHFFLyQ ODVVROXFLRQHVUHVXOWDQWHV  VHOODPDQondas estacionarias. Para n  ODVRQGDVHVWDFLRQDULDVVRQEiVLFDPHQWHODJUi¿FDGHJ0(Įnr) con amplitud variable en el tiempo Ancos a n t Bn sen a n t. (Q OD ¿JXUD  VH UHSUHVHQWDQ FRQ OtQHDV SXQWHDGDV ODV RQGDV HVWDFLRQDULDV FRQ distintos valores de tiempo. Las raíces de cada onda estacionaria en el intervalo (0, c) son las raíces de J0(Įnr)  0 y corresponden al conjunto de los puntos en una onda estacionaria donde no hay movimiento. Este conjunto de puntos se llama línea nodal. 6LFRPRHQHOHMHPSORODVUDtFHVSRVLWLYDVGHJ0(Įnc)  0 se representan por xn, entonces xn  Įnc lo que implica que Įn  xn兾c y, por tanto, las raíces de las ondas estacionarias se determinan con n =1 J0( nr) a) J0 xn r c 0. $KRUDGHODWDEODODVWUHVSULPHUDVUDtFHVSRVLWLYDVGHJ0 son (aproximadamente) x  2.4, x2  5.5 y x  8.7. Así, para n ODSULPHUDUDt]SRVLWLYDGH J0 x1 r c 0 2.4 r c es 2.4 o r c. Como lo que se busca son las raíces de las ondas estacionarias en el intervalo abierto (0, c), el último resultado indica que la primera onda estacionaria no tiene línea nodal. Para n  2 las dos primeras raíces positivas de n=2 b) J0 x2 r c 0 se determinan de 5.5 r c 2.4 5.5 r c y 5.5. $Vt OD VHJXQGD RQGD HVWDFLRQDULD WLHQH XQD OtQHD QRGDO GH¿QLGD SRU r  xc兾x2  2.4c兾5.5. Observe que r ⬇ 0.44c  c. Para n FRQXQDQiOLVLVSDUHFLGRVHGHPXHVWUDTXHKD\GRVOtQHDVQRGDOHVGH¿QLGDVSRUr  xc兾x  2.4c兾8.7 y r  x2c兾x  5.5c兾8.7. En general, la n-ésima onda estacionaria tiene n OtQHDVQRGDOHVr  xc兾xn, r  x2c兾xn, . . . , r  xn   c兾xn. Puesto que r  constante es la ecuación de una circunIHUHQFLDHQFRRUGHQDGDVSRODUHVYHPRVHQOD¿JXUDTXHODVOtQHDVQRGDOHVGH una onda estacionaria son circunferencias concéntricas. n=3 c) FIGURA 13.2.2 Ondas estacionarias. USO DE COMPUTADORAS Es posible ver el efecto de un simple toque de tambor SDUDHOPRGHORUHVXHOWRHQHOHMHPSORPHGLDQWHODDSOLFDFLyQGHDQLPDFLyQGHXQ VLVWHPDDOJHEUDLFRFRPSXWDUL]DGR(QHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRVVHOHSLGH encontrar la solución dada en la ecuación (9) cuando c 1, f (r) 0 y g(r) v0, 0, 0 b r r b 1. (QOD¿JXUDVHSUHVHQWDQDOJXQRVFXDGURVGHXQ³YLGHR´GHOWRTXHGHWDPERU FIGURA 13.2.3 &XDGURVGHXQ³YLGHR´GHXQ6$& 492 l CAPÍTULO 13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS LAPLACIANO EN COORDENADAS CILÍNDRICAS (QOD¿JXUDVHSXHGH ver que la relación entre las coordenadas cilíndricas de un punto en el espacio y sus coordenadas rectangulares está dada por r cos , x r sen , y z z. 'HODGHGXFFLyQGHO/DSODFLDQRHQFRRUGHQDGDVSRODUHV YHDODVHFFLyQ VHWLHQH de inmediato que el Laplaciano de una función u en coordenadas cilíndricas es 2 2 (x, y, z ) o (r, θ , z) z 1 u r r u r2 u 1 r2 2 2 u . z2 u 2 EJEMPLO 2 Temperaturas de estado estable en un cilindro circular Determine la temperatura de estado estable u en el cilindro circular que se muestra en OD¿JXUD z θ y r SOLUCIÓN Las condiciones en la frontera indican que la temperatura u tiene simetría radial. Por tanto, u(r, z) se determina de 2 x FIGURA 13.2.4 Las coordenadas cilíndricas de un punto (x, y, z) son (r, ș, z). 2 1 u r r u r2 u z2 u(2, z) 0, 0 u(r, 0) 0, 0, 0 r 2, 0 0 r 2. z 4 4 z u(r, 4) u0 , Utilizando u  R(r)Z(z) y separando variables se obtiene z u = u0 en z = 4 1 R r R  u=0 en r = 2 y x u = 0 en z = 0 FIGURA 13.2.5 Cilindro circular del ejemplo 2. R \ Z Z   R  lrR rR Z  0. Z  0  Al considerar los casos Ȝ  0, Ȝ  Į2 y Ȝ  Į2 se determina que la elección Ȝ  Į2 FRQGXFHDHLJHQYDORUHV\HLJHQIXQFLRQHV(QWRQFHVODVROXFLyQGHODHFXDFLyQ  HV c1J0( r) R(r) c2Y0( r), 3XHVWRTXHODVROXFLyQGH  VHGH¿QHHQHOLQWHUYDOR¿QLWR>@ODVROXFLyQJHQHUDO se escribe como Z(z) c3 cosh az c4 senh az. &RPRHQHOHMHPSORODVXSRVLFLyQGHTXHODWHPSHUDWXUDu está acotada en r  0 impone que c2  0. La condición u(2, z)  0 implica que R(2)  0. Esta ecuación, J0(2a)  0, GH¿QHDORVHLJHQYDORUHVSRVLWLYRVȜn  Į del problema. Por último, Z(0)  0 implica que c  0. Por lo que tenemos que R(r)  cJ0(Įnr), Z(z)  c4 senh Įnz, y 2 n un R(r)Z(z) An senh u(r, z) An senh n zJ0( nr) n zJ0( nr). n 1 La condición de frontera que resta en z  4 determina entonces la serie de FourierBessels An senh 4 u0 n 1 n J0( nr), 13.2 COORDENADAS POLARES Y CILÍNDRICAS 493 l SRUORTXHGHDFXHUGRFRQODHFXDFLyQGHGH¿QLFLyQ  ORVFRH¿FLHQWHVVHGH¿QHQSRU ODHFXDFLyQ  GHODVHFFLyQ 2 2u0 2 2 2 J1 (2an) An senh 4an rJ0(an r) dr. 0 Para evaluar la última integral, primero se usa la sustitución t  Įnr y después d [tJ (t)] tJ0(t) . A partir de dt 1 2an u0 d u0 An senh 4an [tJ1(t)] dt 2 2 2an J 1 (2an ) 0 dt an J1(2an) obtenemos u0 . n senh 4 n J1(2 n ) An Por lo que la temperatura en el cilindro es 1 senh an z J0(anr). u(r, z) u0 a senh 4a n J1(2an) n 1 n (QORVSUREOHPDVFRQYDORUHVHQODIURQWHUDTXHLQYROXFUDQXQFLOLQGURFLUFXODU¿QLWR FRPRHQHOHMHPSORQRHVSRFRFRP~QHQFRQWUDUIXQFLRQHV%HVVHOPRGL¿FDGDV9HD ORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV EJERCICIOS 13.2 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-23. 1. Determine el desplazamiento u(r, t  HQ HO HMHPSOR  VL f (r)  0 y a la membrana circular se le transmite una velocidad inicial unitaria dirigida hacia arriba. 2. Se sujeta por su circunferencia a una membrana circular GHUDGLR'HWHUPLQHHOGHVSOD]DPLHQWRu(r, t) si la membrana parte del reposo desde el desplazamiento inicial f (r)  r2, 0  r >Sugerencia: Vea el problema HQORVHMHUFLFLRV@ 3. Encuentre la temperatura de estado estable u(r, z) del cilindro del ejemplo 2, si las condiciones en la frontera son u(2, z)  0, 0  z  4, u(r, 0)  u0, u(r, 4)  0, 0  r  2. 4. 6LODVXSHU¿FLHODWHUDOGHOFLOLQGURGHOHMHPSORHVWiDLVlada, entonces u r 0, 0 z 4. 7. Encuentre las temperaturas de estado estable u(r, z) en el FLOLQGURFLUFXODUGH¿QLGRSRU r  z VLODV condiciones de frontera son u z)  z, 0  z  u(r, 0)  0, u(r  0, 0  r  Con ȜFRPRODFRQVWDQWHGHVHSDUDFLyQHQ  GHPXHVWUH que el caso Ȝ  Į2HQ  \  FRQGXFHDHLJHQYDORUHV y eigenfunciones. [Sugerencia: Repase el análisis de la IXQFLyQ %HVVHO PRGL¿FDGD GH OD VHFFLyQ  \ OD ¿JXUD 6.4.4.] 8. Determine las temperaturas de estado estable u(r, z) en el FLOLQGURFLUFXODUGH¿QLGRSRU r  z VLODV condiciones de frontera son u(1, z) r 2 a) Encuentre la temperatura de estado estable u(r, z) cuando u(r, 4)  f (r), 0  r  2. b) Demuestre que la temperatura de estado estable del inciso a) se reduce a u(r, z)  u0z兾4 cuando f (r)  u0. [Sugerencia: 8WLOLFH OD HFXDFLyQ   GH OD VHFFLyQ @ 5. Encuentre la temperatura de estado estable u(r, z) en el FLOLQGURGHOD¿JXUDVLODVXSHU¿FLHODWHUDOVHPDQtiene a temperatura 0, la parte superior z  4 se mantiene a temperatura 50 y la base z  0 está aislada. 6. Determine la temperatura de estado estable u(r, z) en el FLOLQGURGHOD¿JXUDVLODVXSHU¿FLHODWHUDOVHPDQtiene a temperatura 50 y la parte superior z  4 y la base z  0 están aisladas. u z z, 0 u z 0, z 0 1 z 0, z 1 0 r 1. 9. La temperatura u(r, t) en una placa circular de radio c se determina con el problema con valores en la frontera 2 k u r2 1 u r r u , t u(c, t) 0, u(r, 0) f (r), 0 t 0 r c, t 0 0 r c. Determine u(r, t). 10. Resuelva el problema 9 si la orilla r  c de la placa está aislada. 494 CAPÍTULO 13 l PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS 11. &XDQGRKD\WUDQVIHUHQFLDGHFDORUGHVGHODVXSHU¿FLHODWHUDO GH XQ FLOLQGUR FLUFXODU GH ORQJLWXG LQ¿QLWD \ UDGLR XQR YHD OD ¿JXUD   KDFLD HO PHGLR FLUFXQGDQWH D temperatura cero, la temperatura dentro del cilindro se determina a partir de 2 u r2 k u r 1 u r r u , t 0 hu(1, t), h r 1, t 0, t 0 0 r 1 u(r, 0) f (r), 0 z y 1 13. Una placa circular está compuesta por dos materiales disWLQWRV HQ IRUPD GH FtUFXORV FRQFpQWULFRV 9HD OD ¿JXUD /DWHPSHUDWXUDHQODSODFDVHGHWHUPLQDFRPRXQ problema con valores en la frontera u(r, 0) u , t 100, t 0 r r r 1 2. 2, t 0 0 200, 0 100, 1 1. r x f (x), x L u 0 FIGURA 13.2.8 &DGHQDRVFLODWRULDGHOSUREOHPD 16. En este problema considere el caso general, es decir, con dependencia de ș, de la membrana circular vibratoria de radio c: 2 u 1 u 1 r2 r r r2 u(c, , t) 0, 0 u(r, , 0) u t u = 100 2 1 x u 2 f (r, ), 0 g(r, ), 0 u , t2 2 , t 0 c, t 0 0 c, 0 r c, 0 r r 2 2 . t 0 a) Suponga que u  R(r)((ș)T(t) y que las constantes de separación son Ȝ y #. Demuestre que las ecuaciones diferenciales separadas son T FIGURA 13.2.7 3ODFDFRPSXHVWDFLUFXODUGHOSUREOHPD 2 2 a2 Determine u(r, t). [Sugerencia: Sea u(r, t)  v(r, t)  ȥ(r).] y 0 u 0, 0 x L. t t 0 [Sugerencia: Suponga que las oscilaciones en el extremo libre x VRQ¿QLWDV@ 12. Determine la temperatura de estado estable u(r, z) de un FLOLQGURVHPLLQ¿QLWRGHUDGLRXQR z  0) si hay transfeUHQFLD GH FDORU SRU VX VXSHU¿FLH ODWHUDO KDFLD HO PHGLR circundante a temperatura cero y si la temperatura de la base z  0 se mantiene a la temperatura constante u0. u(2, t) 0, u(x, 0) FIGURA 13.2.6 &LOLQGURLQ¿QLWRGHOSUREOHPD 1 u r r u(r, 0) 0 Suponga que ȕ es una constante. 15. El desplazamiento horizontal u(x, t) de una pesada cadena de longitud L que oscila en un plano vertical satisface la ecuación diferencial parcial x u r2 0, t g Determine para u(r, t). 2 u(1, t) 2 u u , 0 x L, t 0. t2 x x   9HDOD¿JXUD a) Utilice Ȝ como constante de separación para demostrar que la ecuación diferencial ordinaria en la variable espacial x es xX X  Ȝ;  0. Resuelva esta ecuación con la sustitución x  IJ2兾4. b) Utilice el resultado del inciso a) para resolver la ecuación diferencial parcial dada, sujeta a u(L, t) 0, t 0 1. r 14. Resuelva el problema con valores en la frontera 2 u 1 u u , 0 r 1, t 0 r2 r r t r2R a2 T rR 0, ( r2 0 )R 0. 13.3 b) Haciendo Ȝ  Į2 y #  ȕ2 resuelva las ecuaciones separadas. c) Determine los eigenvalores y eigenfunciones del problema. d) Utilizando el principio de superposición determine una solución en series múltiples. No intente evaluar ORVFRH¿FLHQWHV Tarea para el laboratorio de computación 17. Considere un tambor ideal formado por una membrana delgada tensada sobre un marco circular de radio uno. Cuando se golpea ese tambor en su centro, se oye un sonido que con frecuencia se considera un retumbo más que un tono melódico. Se puede modelar un solo golpe mediante el problema con valores en la frontera que se UHVROYLyHQHOHMHPSOR a) Determine la solución u(r, t) dada en la ecuación (9) cuando c  l, f (r)  0 y g(r) v 0, 0, 0 b r r b 1. b) Demuestre que la frecuencia de la onda estacionaria un(r, t) es fn  DĮn兾2ʌ, donde Įn es la n-ésima raíz positiva de J0(x). A diferencia de la solución de la ecuación de onda en una dimensión, en la sección  ODV IUHFXHQFLDV QR VRQ P~OWLSORV HQWHURV GH la frecuencia fundamental f. Demuestre que f2 ⬇ 2.295f y que f ⬇ f. Se dice que las vibraciones del tambor producen sobretonos anarmónicos. Como resultado, la función de desplazamiento u(r, t) no es periódica, por lo que el tambor ideal no puede sostener un tono. c) Sean a b 14, y v0 HQVXVROXFLyQGHOLQFLVR D 8WLOLFHXQ6$&SDUDJUD¿FDUODTXLQWDVXPDSDUcial S5(r, t), en los tiempos t  13.3 COORDENADAS ESFÉRICAS l 495 5.9, 6.0 en el intervalo  r 8WLOLFHODDSOLFDción de animación de su SAC para obtener un video de esas vibraciones. d) &RPRXQGHVDItRPD\RUXWLOLFHODDSOLFDFLyQ'SORW de su SAC para hacer un video del movimiento de la parte superior de su tambor circular que se presenta en sección transversal en el inciso c). [Sugerencia: Hay varias formas de hacerlo. Para un tiempo ¿MR WUDFH OD JUi¿FD u en función de x y y usando r 1x2 y2 o bien utilice el equivalente a la instrucción CylindricalPlot3D de Mathematica.] 18. a) &  RQVLGHUHHOHMHPSORFRQa c g(r)  0 y f (r)  r兾 r 8WLOLFHXQ6$&FRPR ayuda para calcular los valores numéricos de los tres primeros eigenvalores Ȝ, Ȝ2, Ȝ del problema con valoUHVHQODIURQWHUD\ORVWUHVSULPHURVFRH¿FLHQWHVA, A2, A de la solución u(r, t) dada en la ecuación (9). Escriba la tercera suma parcial S(r, t) de la solución en serie. b) 8WLOLFHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHS(r, t) para t  19. Resuelva el problema 7 con las condiciones de frontera u(c, t)  200, u(r, 0)  0. Con las condiciones de frontera dadas, se podría esperar en forma intuitiva que en cualquier punto interior de la placa, u(r, t) → 200 cuando t → . Suponga que c \TXHODSODFDHVGHKLHUURFRlado de tal modo que k  DSUR[LPDGDPHQWH 8VHXQ SAC para ayudarse a calcular los valores numéricos de los primeros cinco eigenvalores Ȝ, Ȝ2, Ȝ, Ȝ4, Ȝ5 del problema con YDORUHVHQODIURQWHUD\ORVFLQFRSULPHURVFRH¿FLHQWHVA, A2, A, A4, A5 en la solución u(r, t). Denote la solución aproximada correspondiente por S5(r, t 7UDFHODJUi¿FDGHS5(5, t) y de S5(0, t HQXQLQWHUYDORGHWLHPSRVX¿FLHQWHPHQWHJUDQGH 0  t  T8WLOLFHODVJUi¿FDVGHS5(5, t) y S5(0, t) para estimar los tiempos (en segundos) para los que u(5, t) ⬇ y u(0, t) ⬇5HSLWDSDUDu(5, t) ⬇ 200 y u(0, t) ⬇ 200. COORDENADAS ESFÉRICAS REPASO DE MATERIAL l Ecuación diferencial de Legendre en la sección 6.4 l )RUPDVGHODVHULHGH)RXULHU/HJHQGUHHQODGH¿QLFLyQ INTRODUCCIÓN Concluiremos nuestro análisis de problemas con valores en la frontera en diferentes sistemas coordenados considerando problemas que impliquen las ecuaciones de calor, de onda y de Laplace en coordenadas esféricas. LAPLACIANO EN COORDENADAS ESFÉRICAS &RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD XQSXQWRHQHOHVSDFLRWULGLPHQVLRQDOHVWiGHVFULWRHQFRRUGHQDGDVUHFWDQJXODUHV y en coordenadas esféricas. Las coordenadas rectangulares x, y y z del punto están relacionadas con sus coordenadas esféricas r, ș y ‫׋‬por medio de las ecuaciones: x r sen cos , y r sen sen , z r cos .   496 CAPÍTULO 13 l PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS z (x, y, z) o (r, φ , θ ) θ r y φ x FIGURA 13.3.1 Las coordenadas esféricas de un punto (x, y, z) son (r, ‫׋‬ș). 8WLOL]DQGRODVHFXDFLRQHV  VHSXHGHGHPRVWUDUTXHHO/DSODFLDQR' 2u en el sistema coordenado esférico es 2 2 u 1 2u cot u u 2 u 1 2 . u (2) 2 2 2 2 r2 r2 2 r r r r sen Como ya podrá imaginarse, los problemas que involucran la ecuación (2) pueden ser muy complicados. Por tanto, sólo consideraremos algunos de los problemas más sencillos independientes del ángulo azimutal ‫׋‬. El siguiente ejemplo es un problema de Dirichlet para una esfera. EJEMPLO 1 Temperaturas de estado estable en una esfera Determine la temperatura de estado estable u(r, ș HQODHVIHUDTXHPXHVWUDOD¿JXUD  SOLUCIÓN La temperatura se determina a partir de z 2 2 u r r u r2 c u(c, ) y 2 1 r2 cot r2 u 2 f ( ), 0 u 0, 0 c, 0 r . Si u  R(r)((ș), la ecuación diferencial parcial se separa como x u = f (θ ) en r = c FIGURA 13.3.2 Problema de Dirichlet para una esfera. r 2R 2rR cot , R \SRUWDQWR 2rR r 2R sen cos R  0 sen 0. (4) Después de sustituir x  cos ș, 0  ș  ʌ, la ecuación (4) se convierte en d2 d (5) 2x 0, 1 x 1. 2 dx dx Esta última ecuación es una forma de la ecuación de Legendre (vea el problema 46 en los ejercicios 6.4). Ahora las únicas soluciones de la ecuación (5) que son continuas y tienen derivadas continuas en el intervalo cerrado [ @ VRQ ORV SROLQRPLRV GH Legendre Pn(x) que corresponden a Ȝ  n(n  n 3RUWDQWRVXSRQGUHmos que las soluciones de (4) son x 2) (1 Pn(cos ). Además, cuando Ȝ  n(n  ODVROXFLyQJHQHUDOGHODHFXDFLyQGH&DXFK\-(XOHU  HV R c1rn c2r (n 1). Puesto que nuevamente es de esperarse que u(r, ș) esté acotada en r GH¿QLPRV c2  0. Por tanto, un  Anr nPn (cos ș) y Anr nPn(cos ). u(r, ) n 0 En r  c, Anc nPn(cos ). f( ) n 0 Por tanto AncnVRQORVFRH¿FLHQWHVGHODVHULHGH)RXULHU/HJHQGUH  GHODVHFFLyQ 2n 1 2cn An f ( )Pn(cos ) sen d . 0 Por lo que la solución es 2n u(r, ) n 0 1 2 f ( ) Pn(cos ) sen d 0 r n P (cos ). c n 13.3 EJERCICIOS 13.3 COORDENADAS ESFÉRICAS l 497 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-23. 1. 5HVXHOYDHO39)HQHOHMHPSORVL 50, 0 >2 f( ) 0, > 2 . Escriba los primeros cuatro términos distintos de cero de la solución en serie. [Sugerencia: 9HD HQ HO HMHPSOR  HQODVHFFLyQ@ 2. La solución u(r, ș  GHO HMHPSOR  WDPELpQ VH SXHGH LQterpretar como el potencial en el interior de la esfera debido a una distribución de cargas f (ș  HQ VX VXSHU¿FLH Determine el potencial fuera de la esfera. 3. 'HWHUPLQH OD VROXFLyQ GHO SUREOHPD HQ HO HMHPSOR  VL f (ș)  cos ș, 0  ș  ʌ. [Sugerencia: P(cos ș)  cos ș. Utilice la ortogonalidad.] 4. 'HWHUPLQH OD VROXFLyQ GHO SUREOHPD HQ HO HMHPSOR  VL f (ș)  cos 2ș, 0  ș  ʌ. [Sugerencia: Vea el proEOHPDHQORVHMHUFLFLRV@ 5. Determine la temperatura de estado estable u(r, ș) en el interior de una esfera hueca a  r  bVLVXVXSHU¿FLH interna r  a se conserva a la temperatura f (ș) y su suSHU¿FLHH[WHUQDr  b se conserva a la temperatura cero. (QOD¿JXUDVHYHHOSULPHURFWDQWHGHHVDHVIHUD 9. La temperatura en el interior de una esfera de radio uno, en función del tiempo, se determina a partir de 2 u 2 u u , 0 r 1, t 0 r2 r r t u(1, t) 100, t u(r, 0) 0, 0 0 r 1. Determine u(r, t). [Sugerencia: Compruebe que el miembro izquierdo de la ecuación diferencial parcial se puede 1 2 (ru). Sea ru(r, t)  v(r, t)  ȥ(r). Sólo escribir como r r2 utilice funciones que estén acotadas cuando r → 0.] 10. 8QDHVIHUDPDFL]DXQLIRUPHGHUDGLRDXQDWHPSHUDWXUD inicial constante u0 en toda la esfera se deja caer en un gran recipiente de líquido que se conserva a una temperatura constante u (u u0 GXUDQWHWRGRHOWLHPSR9HDOD¿JXUD3XHVWRTXHKD\WUDQVIHUHQFLDGHFDORUDWUDYpV de la frontera r   OD WHPSHUDWXUD u(r, t) en la esfera se determina con el problema con valores en la frontera 2 2 u r r u r2 u = f(θ ) en r = a z u r u , t 0 h(u(1, t) r 1 1, t r u1), 0 h 0 1 u(r, 0) u0, 0 r 1. Determine u(r, t). [Sugerencia: Proceda como en el problema 9.] y 1 u =0 en r = b x FIGURA 13.3.3 Esfera hueca del problema 5. 6. La temperatura de estado estable de un hemisferio de radio r  c se determina a partir de 2 2 u r r u r2 0 u r, 1 r2 2 u 2 cot r2 0, 2 0 0, FIGURA 13.3.4 5HFLSLHQWHGHXQÀXLGRGHOSUREOHPD c, 0 r u u1 2 r 11. Resuelva el problema con valores en la frontera que implica vibraciones esféricas: c 2 u(r, ) f ( ), 0 . 2 Determine u(r, ș). [Sugerencia: Pn(0)  0 sólo si n es LPSDU9HDWDPELpQHOSUREOHPDHQORVHMHUFLFLRV@ 7. Resuelva el problema 6 cuando la base del hemisferio está aislada; es decir, u 0, 0 r c. /2 8. Resuelva el problema 6 para r c. u r2 2 u r r u(c, t) 0, t a2 2 u , t2 0 r c, t 0 0 u g(r), 0 r c. t t 0 [Sugerencia: Compruebe que el miembro izquierdo de la 1 2 ecuación diferencial parcial es a2 (ru). Sea v(r, t)  r r2 ru(r, t).] u(r, 0) f (r), 498 CAPÍTULO 13 l PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS 12. Una esfera conductora de radio r  c se conecta a tierra y se coloca dentro de un campo eléctrico uniforme cuya intensidad en la dirección z es E. El potencial u(r, ș) fuera de la esfera se determina a partir del problema con valores en la frontera 2 u 2 r2 r u(c, ) lím u(r, u 1 2u r r2 2 0, 0 ) Ez cot r2 u 0, r c, 0 13. En coordenadas esféricas, la forma tridimensional de la ecuación diferencial parcial de Helmholtz es '2u  k2u  0 donde el Laplaciano está dado en (2). 3URFHGD FRPR HQ HO HMHPSOR  SHUR XVH u(r, ș, ‫ )׋‬ R(r) ((ș))(‫ )׋‬y la constante de separación n(n  SDUD demostrar que la dependencia radial de la solución u está GH¿QLGDSRUODHFXDFLyQ@ r2 Er cos . d 2R dr 2 2r dR dr [k2r2 1)]R n(n 0. r: Resuelva esta ecuación diferencial. [Sugerencia: Vea el problema 54 de los ejercicios 6.4.] Demuestre que 3 u(r, ) Er cos E c cos . r2 [Sugerencia: Explique por qué cos Pn(cos ) sen d 0 para todos los enteros no negativos, excepto n 9HD ODHFXDFLyQ  HQODVHFFLyQ@ 0 REPASO DEL CAPÍTULO 13 1. Determine la temperatura de estado estable u(r, ș) en una placa circular de radio c, si la temperatura en la circunferencia está dada por Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-24. 6. Determine la temperatura de estado estable u(r, ș) en la SODFDLQ¿QLWDTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD5 u0 , 0 u0 , 2 . 2. Determine la temperatura de estado estable en la placa FLUFXODUGHOSUREOHPDVL y u(c, ) 1, 0 >2 u(c, ) 0, >2 3 >2 1, 3 >2 2 . 3. Determine la temperatura de estado estable u(r, ș) en una SODFDVHPLFLUFXODUGHUDGLRVL 2 u(1, ) u0( ), u(r, 0) 0, u(r, ) 0 0, 0 r 1. 4. Determine la temperatura de estado estable u(r, ș) en la SODFDVHPLFLUFXODUGHOSUREOHPDVLu ș)  sen ș, 0  ș  ʌ. 5. Determine la temperatura de estado estable u(r, ș) en la SODFDGHOD¿JXUD5 u = f(θ ) 1 u=0 u=0 FIGURA 13.R.2 3ODFDLQ¿QLWDGHOSUREOHPD 7. Suponga que se pierde calor de las caras de un disco circular muy delgado de radio uno hacia el medio que lo circunda que está a temperatura cero. Si se aplica la ley lineal de transferencia de calor, la ecuación de calor toma la forma: 2 u 1 u u hu , h 0, 0 r 1, t 0. 2 r r r t   9HDOD¿JXUD5'HWHUPLQHODWHPSHUDWXUDu(r, t) si la orilla r VHFRQVHUYDDWHPSHUDWXUDFHUR\VLDOSULQcipio la temperatura en toda la placa es igual a uno. 0 y y=x u=0 u=0 u = u0 1 1 2 FIGURA 13.R.1 x u=0 1 aislada x 3ODFDHQIRUPDGHFXxDGHOSUREOHPD 0 FIGURA 13.R.3 Placa circular del problema 7. REPASO DEL CAPÍTULO 13 8. Suponga que xk es una raíz positiva de J0. Demuestre que una solución del problema con valores en la frontera 499 l b xum(x)un(x) dx 0, m n. a 2 2 u r2 1 u r r u(1, t) 0, t u(r, 0) u0 J0(xkr), a2 u , t2 0 1, t r [Sugerencia:6LJDHOSURFHGLPLHQWRGHO7HRUHPD@ 0 14. 8VH ORV UHVXOWDGRV GHO SUREOHPD  SDUD UHVROYHU HO VLguiente problema con valores en la frontera, para la temperatura u(r, t) en un anillo circular: 0 u t 0, 0 1 r 2 t 0 es u(r, t)  u0J0(xkr) cos axkt. 9. Determine la temperatura de estado estable u(r, z) en el FLOLQGURGHOD¿JXUDVLODVXSHU¿FLHODWHUDOVHPDQtiene a temperatura 50, la tapa superior z  4 se mantiene a temperatura 0 y la base z  0 está aislada. 10. Resuelva el problema con valores en la frontera 2 u r 2 1 u r r u r2 u z2 0, 0 0, z 0 1, 0 r z 1 1 u r r u , t u(a, t) 0, u(r, 0) f (r), a a r b, t 0, t 0 r c, u(b, t) r 0 b. 15. Analice cómo resolver 2 u r2 1 u r r 2 u z2 0, 0 0 z L   FRQ ODV FRQGLFLRQHV IURQWHUD GDGDV HQ OD ¿JXUD 5 Lleve a cabo sus ideas y determine u(r, z). [Sugerencia: 5HSDVHODHFXDFLyQ  GHODVHFFLyQ@ 1 r 1 u(r, 0) u r2 f (r), u(r, 1) g(r), 0 r 1. u = f (r ) en z = L 11. Determine la temperatura de estado estable u(r, ș) en una esfera de radio uno, si la temperatura se conserva a 100, 0 >2 100, >2 . [Sugerencia:9HDHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV@ u(1, ) u = h(z ) en r = c ∇2 u = 0 12. Resuelva el problema con valores en la frontera 2 u r 2 2 u r r u r2 0, u , t2 t 0 r 1, t 0 u = g(r ) en z = 0 0 FIGURA 13.R.4 r 1 u g(r), 0 r 1. t t 0 [Sugerencia:3URFHGDFRPRHQORVSUREOHPDV\GH ORV HMHUFLFLRV  SHUR KDJD v (r, t)  ru(r, t). Vea la VHFFLyQ@ u(r, 0) f (r), 13. La función u(x)  Y0(ĮD)J0(Į[)  J0(ĮD)Y0(Į[), a una solución de la ecuación paramétrica de Bessel d 2u du 2 2 x2 2 x xu 0 dx dx 0 es en el intervalo [a, b]. Si los eigenvalores Ȝn  Į2nVHGH¿nen como las raíces positivas de la ecuación Y0( a)J0( b) J0( a)Y0( b) 0, demuestre que las funciones um(x) Y0( m a)J0( m x) un(x) Y0( n a)J0( n x) J0( m a)Y0( m x) J0( n a)Y0( n x) son ortogonales respecto a la función de peso p(x)  x en el intervalo [a, b]; esto es, &LOLQGURGHOSUREOHPD 16. Encuentre la temperatura de estado estable u(r, ș) en la SODFD VHPLDQXODU TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD  VL a b  2 y las condiciones de frontera son u(1, ) u(r, 0) 0, u(2, ) f (r), u(r, ) 0, 0 0, 1 r 2. [Sugerencia: Use –Ȝ como la constante de separación en  \  GHODVHFFLyQ@ 17. Determine la temperatura de estado estable u(r, z) en un FLOLQGUR¿QLWRGH¿QLGRSRU r  z VLODV condiciones de frontera son u(1, z) u0, 0 z u(r, 0) 0, u z z 1 1 0, 0 r 1. [Sugerencia: Utilice Ȝ como la constante de separación en  GHODVHFFLyQ@ 14 TRANSFORMADA INTEGRAL 14.1 14.2 14.3 14.4 Función error Transformada de Laplace Integral de Fourier Transformadas de Fourier REPASO DEL CAPÍTULO 14 El método de separación de variables para resolver problemas con valores en la frontera es muy poderoso pero no tiene aplicación universal. Si la ecuación diferencial parcial es no homogénea, si las condiciones de frontera dependen del WLHPSRRVLHOGRPLQLRGHODYDULDEOHHVSDFLDOHVXQLQWHUYDORLQ¿QLWR  , ) RVHPLLQ¿QLWR a, ), puede ser posible resolver problemas que impliquen a las ecuaciones de calor y de onda mediante la conocida transformada de Laplace. En la sección 14.4 se introducen tres nuevas transformadas integrales, las transformadas de Fourier. 500 14.1 14.1 FUNCIÓN ERROR l 501 FUNCIÓN ERROR REPASO DE MATERIAL l 9HDODHFXDFLyQ  \HOHMHPSORGHODVHFFLyQ INTRODUCCIÓN (QPDWHPiWLFDVKD\QXPHURVDVIXQFLRQHVTXHVHGH¿QHQFRQXQDLQWHJUDO 3RU HMHPSOR HQ PXFKRV WH[WRV WUDGLFLRQDOHV GH FiOFXOR VH GH¿QH DO ORJDULWPR QDWXUDO FRPR x ln x 0 (Q ORV FDStWXORVDQWHULRUHVH[SOLFDPRVDXQTXH HQ IRUPDEUHYH ODIXQFLyQ 1 dt>t, x HUURUHUI x ODIXQFLyQHUURUFRPSOHPHQWDULDHUIF x ODIXQFLyQLQWHJUDOGHOVHQR6L x), la integral seno de Fresnel S x) y la función gamma, $ Į WRGDVHVDVIXQFLRQHVVHGH¿QHQHQWpUPLQRVGHXQD integral. Antes de aplicar la transformada de Laplace a problemas con valores en la frontera, necesitamos conocer un poco más acerca de la función de error y la función de error complementaria. En HVWDVHFFLyQH[DPLQDUHPRVODVJUi¿FDV\DOJXQDVSURSLHGDGHVREYLDVGHHUI x \HUIF x). PROPIEDADES Y GRÁFICAS /DVGH¿QLFLRQHVGHfunción errorHUI x) y la función error complementariaHUIF x) son, respectivamente, x 2 2 2 e u du y erfc(x) 1 0 1 Con la ayuda de coordenadas polares se puede demostrar que erf(x) e u2 1 2 du 0 2 1 o e u2 du u2 e 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 1. e 1 u2 du e 0 x 0 x u2 du 1. x erfc(x) erf(x) 1.5 2 x FIGURA 14.1.1 *Ui¿FDVGHHUI x) y HUIF x) para x  1.   (QOD¿JXUDVHSUHVHQWDQODVJUi¿FDVGHHUI x \HUIF x) para x 2EVHUYHTXH HUI  HUIF  \TXHHUI x) →HUIF x) →FXDQGRx → . Se pueden obtener RWURVYDORUHVQXPpULFRVGHHUI x \HUIF x) de un SAC o de tablas. En las tablas, a la función error con frecuencia se le llama integral de probabilidad(OGRPLQLRGHHUI x) y de HUIF x HV  , (QHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRVVHOHSHGLUiREWHQHUODJUi¿FD de cada función en este intervalo y deducir algunas propiedades adicionales. /DWDEODGHODVWUDQVIRUPDGDVGH/DSODFHQRVVHUYLUiHQORVHMHUFLFLRVGHOD siguiente sección. Las demostraciones de estos resultados son complicadas y no las presentaremos. TABLA 14.1 Transformadas de Laplace. f t), a  { f (t)} 1. 1 e 1 t 2. a e 2 1 t3 3. erfc , el (VWRGHPXHVWUDTXHHUI x \HUIF x) se relacionan mediante la identidad erfc (x) 0.5 0 x 2 erf (x)  0 $VtGHODSURSLHGDGDGLWLYDGHLQWHUYDORVGHODVLQWHJUDOHVGH¿QLGDV último resultado se puede escribir como y du.  x a2/4t a 2 1t a2/4t e 1s F(s) a1s e a1s e a1s s  f t), a 4. 2 B t e { f (t)} a2/4t a erfc 5. eabeb t erfc b 1t 2 6. 2 eabeb t erfc b1t a 2 1t e a1s s1s a 2 1t a 2 1t F(s) e a1s 1s 1s b erfc a 2 1t be a1s s 1s b 502 l CAPÍTULO 14 TRANSFORMADA INTEGRAL EJERCICIOS 14.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-24. t 1 e 1. a) Demuestre que erf( 1t ) d . 1 0 1 b) Use el teorema de convolución y los resultados del SUREOHPDGHORVHMHUFLFLRVSDUDGHPRVWUDUTXH 7. Sean C, G, R y x constantes. Use la tabla 14.1 para demostrar que 1 . s 1s 1 2. Utilice el resultado del problema 1 para demostrar que 8. Sea a una constante. Demuestre que Cs {erf(1t)} 1 1 s {erfc(1t)} 1s 1 . 1 3. Utilice el resultado del problema 1 para demostrar que {et erf(1t)} 1 1s (s 1) C 1 1 senh a 1s s senh 1s G (1 x1RCs e 2n erf n 0 RG ) 1 a 21t 1) . 1 y(t) 0 冪s 1 6. Encuentre la transformada inversa 1 1 1 冪s 1 [Sugerencia: Racionalice un denominador y después efectúe una racionalización de un numerador.] 14.2 11. Demuestre que e u2 du a 1 et erfc (冪t ) erf 2n 1 a . 21t y( ) 1t d . 10. Utilice el tercero y el quinto elemento de la tabla 14.1 SDUDGHGXFLUHOVH[WRHOHPHQWR b 5. Use el resultado del problema 4 para demostrar que 1 冪ʌ t x RC . 2B t erf 9. Use la transformada de Laplace y la tabla 14.1 para resolver la ecuación integral . 4. 8VHHOUHVXOWDGRGHOSUREOHPDSDUDGHPRVWUDUTXH 1 1s ( 1s Gt/C [Sugerencia:8WLOLFHODGH¿QLFLyQH[SRQHQFLDOGHOVHQRKLperbólico. Desarrolle 1 (1 e 21s) en una serie geométrica]. t {et erfc(1t )} e a 12. Demuestre que e u2 du 1 [erf(b) 2 erf(a)]. 1 erf(a). a Tarea para el laboratorio de computación 13. /DVIXQFLRQHVHUI x \HUIF x HVWiQGH¿QLGDVSDUDx  8VHXQ6$&SDUDVREUHSRQHUODVJUi¿FDVGHHUI x) y erIF x HQORVPLVPRVHMHVSDUD x ¢7LHQHQ DOJXQDVLPHWUtDHVDVJUi¿FDV"¢$TXpVRQLJXDOHVOtPx→ HUI x) y límx→ HUIF x " TRANSFORMADA DE LAPLACE REPASO DE MATERIAL l 3UREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHVOLQHDOHVGHVHJXQGRRUGHQ VHFFLRQHV\  l 3URSLHGDGHVRSHUDFLRQDOHVGHODWUDQVIRUPDGDGH/DSODFH VHFFLRQHVD INTRODUCCIÓN La transformada de Laplace de una función f t), t   VH GH¿QH FRPR st { f (t)} f (t) dt VLHPSUHTXHODLQWHJUDOLPSURSLDFRQYHUMD/DLQWHJUDOWUDQVIRUPDODIXQ0 e ción f t) en una función F del parámetro transformado s, es decir, { f (t)} F(s). De la misma IRUPDTXHHQHOFDStWXORGRQGHODWUDQVIRUPDGDGH/DSODFHVHXVySULQFLSDOPHQWHSDUDUHVROYHU ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, en esta sección utilizamos la transformada de Laplace SDUDUHVROYHUHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVSDUFLDOHV3HURDGLIHUHQFLDGHOFDStWXORGRQGHODWUDQVIRUPDGDGH/DSODFHUHGXFHDXQD('2OLQHDOFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVDXQDHFXDFLyQDOJHEUDLFDHQ HVWDVHFFLyQYHPRVTXHXQD('3FRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVVHFRQYLHUWHHQXQD('2 14.2 TRANSFORMADA DE LAPLACE 503 l TRANSFORMADA DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES Los problemas con valores en la frontera que consideramos en esta sección implicarán ya sea ecuaciones de onda unidimensional o de calor o ligeras variantes de estas ecuaciones. Las EDP implican una función desconocida de dos variables independientes u x, t) donde la variable t representa al tiempo t   /D WUDQVIRUPDGD GH /DSODFH GH OD IXQFLyQ u x, t) respecto a tHVWiGH¿QLGDSRU {u(x, t)} e st u(x, t) dt, 0 donde x se trata como un parámetro. Continuamos con la convención de usar letras mayúsculas para indicar la transformada de Laplace de una función escribiendo {u(x, t)} U(x, s). TRANSFORMADA DE DERIVADAS PARCIALES Las transformadas de las derivadas parciales u兾t y u兾tVRQVLPLODUHVDODVHFXDFLRQHV  \  GHODVHFFLyQ  u t sU(x, s) u t2 s2U(x, s)   u(x, 0), 2 ut (x, 0).  su(x, 0)  Debido a que estamos transformando respecto a t, además suponemos que es válido intercambiar la integración y la derivación en la transformada de u兾x 2 u x2 2 2 e 0 st u dt x2 0 [e x2 st u(x, t)] dt 2 e st d2 dx 2 u(x, t) dt 0 {u(x, t)}; d 2U . dx 2 u x2 es decir, d2 dx 2  'HODVHFXDFLRQHV  \  YHPRVTXHODWUDQVIRUPDGDGH/DSODFHHVDGHFXDGD para problemas con condiciones iniciales, en particular, con problemas asociados con la ecuación de calor o con la ecuación de onda. EJEMPLO 1 Transformada de Laplace de una EDP 2 2 Determine la transformada de Laplace de la ecuación de onda a u x2 2 u ,t t2 0. SOLUCIÓN 'HODHFXDFLyQ  \   2 2 se convierte en o a2 a2 d2 {u(x, t)} dx 2 d 2U dx 2 s2U u t2 u x2 a2 s2 {u(x, t)} su(x, 0) su(x, 0) ut (x, 0).  ut(x, 0)  La transformada de Laplace respecto a t de la ecuación de onda o de la ecuación de calor elimina esa variable y para ecuaciones unidimensionales las ecuaciones transformadas son entonces ecuaciones diferenciales ordinarias en la variable espacial x. Al resolver una ecuación transformada, consideraremos a s un parámetro. 504 l CAPÍTULO 14 TRANSFORMADA INTEGRAL EJEMPLO 2 Uso de la transformada de Laplace para resolver un PVF 2 2 u , t2 Resuelva u x2 VXMHWDD u(0, t) 0, u(1, t) u(x, 0) 0, 0 u t 1, t x 0, t 0 0 sen x, 0 1. x 0 t SOLUCIÓN Se reconoce a la ecuación diferencial parcial como la ecuación de onda con a $SDUWLUGHODHFXDFLyQ  \GHODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVGDGDODHFXDFLyQ transformada es d 2U dx 2 sen x,  s 2U  {u(x, t)} . Como las condiciones en la frontera son funciones de t, donde U(x, s) WDPELpQKDEUiTXHGHWHUPLQDUVXVWUDQVIRUPDGDVGH/DSODFH {u(0, t)} 0 U(0, s) y {u(1, t)} 0.  U(1, s)  /RVUHVXOWDGRVHQODHFXDFLyQ  VRQFRQGLFLRQHVHQODIURQWHUDSDUDODHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULD  3XHVWRTXHODHFXDFLyQ  HVWiGH¿QLGDHQXQLQWHUYDOR¿QLWRVX función complementaria es Uc(x, s) c1 cosh sx c2 senh sx. &RQHOPpWRGRGHORVFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVVHREWLHQHXQDVROXFLyQSDUWLFXODU 1 Up(x, s) Por lo que s2 c1 cosh sx U(x, s) 2 sen x. c2 senh sx 1 2 s 2 sen x. Pero las condiciones U s) \U s) KDFHQTXHDVXYH]c1 \c  Se concluye que, U(x, s) u(x, t) 1 2 2 s 1 1 2 2 s Por tanto EJEMPLO 3 sen x u(x, t) 1 sen x 1 sen x 1 s2 2 . sen x sen t. Uso de la transformada de Laplace para resolver un PVF 8QDFXHUGDPX\ODUJDHVWiLQLFLDOPHQWHHQUHSRVRVREUHODSDUWHQRQHJDWLYDGHOHMH x. La cuerda está anclada en x   \ VX GLVWDQWH H[WUHPR GHUHFKR VH GHVOL]D KDFLD DEDMRSRUXQVRSRUWHYHUWLFDOVLQIULFFLyQ/DFXHUGDVHSRQHHQPRYLPLHQWRGHMiQGROD caer por su propio peso. Determine el desplazamiento u x, t). SOLUCIÓN Puesto que se considera la fuerza de gravedad se puede demostrar que la ecuación de onda tiene la forma 2 a2 u x2 2 g u , t2 x 0, t 0. 14.2 TRANSFORMADA DE LAPLACE l 505 Aquí g representa la aceleración constante debida a la gravedad. Las condiciones frontera e iniciales son, respectivamente, u u(0, t) 0, lím 0, t 0 x: x u(x, 0) u t 0, 0, 0 t 0. x La segunda condición en la frontera, límx : u兾 x 0 , indica que la cuerda está hori]RQWDOPHQWHDXQDJUDQGLVWDQFLDGHVXH[WUHPRL]TXLHUGR$KRUDGHODVHFXDFLRQHV  \   2 2 u x2 a2 d 2U g s2U dx 2 s o, en vista de las condiciones iniciales, se convierten en u t2 {g} a2 d 2U dx 2 su(x, 0) s2 U a2 ut (x, 0) g . a2s Las transformadas de las condiciones en la frontera son {u(0, t)} 0 U(0, s) y u x lím x: lím x: dU dx 0. &RQD\XGDGHOPpWRGRGHORVFRH¿FLHQWHVLQGHWHUPLQDGRVVHYHTXHODVROXFLyQJHQHUDO de la ecuación transformada es g U(x, s) c1e (x/a)s c2 e(x/a)s . s3 La condición en la frontera límx : dU兾dx 0 implica que c \TXHU s)  lo que da como resultado que c1  g兾s. Por tanto g e s3 U(x, s) (x/a)s g . s3 Ahora, de acuerdo con el segundo teorema de traslación, tenemos que u(x, t) u at Soporte vertical “en ∞” o 1 g e s3 u(x, t) x (a t,− 12 gt 2) FIGURA 14.2.1 Cuerda ³LQ¿QLWDPHQWHODUJD´FD\HQGREDMRVX propio peso. 1 g t 2 g s3 (x/a)s 1 2 gt , 2 g (2axt 2a2 x a 2 x a t 0 t x2 ), t x . a 1 2 gt 2 x a Para interpretar la solución, supongamos que t HVWi¿MR3DUD x  at, la 1 FXHUGDWLHQHODIRUPDGHXQDSDUiERODTXHSDVDSRU  \SRU (at, 2 gt2). Para x at, 1 2 la cuerda se describe con la recta horizontal u 2 gt 9HDOD¿JXUD 2EVHUYHTXHHOSUREOHPDGHOVLJXLHQWHHMHPSORVHSRGUtDUHVROYHUFRQHOSURFHGLPLHQWRGH ODVHFFLyQ/DWUDQVIRUPDGDGH/DSODFHSURSRUFLRQDXQPpWRGRDOWHUQDWLYR EJEMPLO 4 Una solución en términos de erf(x) Resuelva la ecuación de calor 2 u x2 u , t 0 x 1, t 0 506 l CAPÍTULO 14 TRANSFORMADA INTEGRAL VXMHWDD u(0, t) 0, u(1, t) u0, u(x, 0) 0, 1. 0 x 0 t SOLUCIÓN 'HODVHFXDFLRQHV  \  \GHODFRQGLFLyQLQLFLDOGDGD 2 u x2 u t d 2U dx 2 se convierte en 0.  sU  La transformada de las condiciones en la frontera es u0 .  s 3XHVWRTXHQRVRFXSDXQLQWHUYDOR¿QLWRHQHOHMHx, optamos por escribir la solución JHQHUDOGHODHFXDFLyQ  HQODIRUPD 0 U(0, s) U(x, s) y U(1, s) c2 senh (1sx). c1 cosh (1sx) $SOLFDQGRODVGRVFRQGLFLRQHVHQODIURQWHUDGHODHFXDFLyQ  VHREWLHQHUHVSHFWL vamente, c1 0 y c 2 u0 (s senh 1s)., Así senh (1sx) . s senh 1s Ahora, la transformada inversa de esta última función no aparece en la mayor parte de las tablas. Sin embargo, si escribimos U(x, s) u0 e1 sx s(e1s senh (1sx) s senh 1s e 1sx e e(x 1s ) 1)1s s(1 e (x 1)1s 21s ) e y usando la serie geométrica 1 e 1 encontramos senh (1sx) s senh 1s e 21s e 2n1s n 0 (2n 1 x)1s e (2n 1 x)1s s n 0 . s Si suponemos que se puede hacer la transformada inversa de Laplace término a térPLQRHQWRQFHVGHDFXHUGRFRQODHQWUDGDGHODWDEODWHQHPRVTXH u(x, t) 1 u0 senh (1sx) s senh 1s 1 u0 e (2n 1 x)1s e (2n 1 x)1s s n 0 erfc u0 1 2n n 0 1 21t s x erfc 2n 1 x . 21t  /DVROXFLyQ  VHSXHGHH[SUHVDUHQWpUPLQRVGHODIXQFLyQHUIF x)  1 HUI x  u(x, t) erf u0 n 0 2n 1 21t x erf 2n 1 21t x .  /D ¿JXUD  D  TXH VH REWXYR FRQ OD D\XGD GH OD DSOLFDFLyQ 'SORW GH XQ 6$& PXHVWUDODVXSHU¿FLHVREUHODUHJLyQUHFWDQJXODU x  t GH¿QLGDSRUOD suma parcial S x, t GHODVROXFLyQ  FRQu 6HYHGHODVXSHU¿FLH\GHODV JUi¿FDVELGLPHQVLRQDOHVDGMXQWDVTXHSDUDXQYDORU¿MRGHx ODFXUYDGHLQWHUVHFFLyQ GHXQSODQRTXHFRUWDODVXSHU¿FLHSHUSHQGLFXODUPHQWHDOHMHxHQHOLQWHUYDOR>@OD temperatura u x, t) aumenta con rapidez hasta un valor constante conforme se incrementa 14.2 TRANSFORMADA DE LAPLACE 507 l HOWLHPSR9pDQVHODV¿JXUDV E \O F 3DUDXQWLHPSR¿MR ODFXUYDGHLQWHUVHFFLyQGHXQSODQRTXHFRUWDODVXSHU¿FLHSHUSHQGLFXODUPHQWHDOHMHt) la temperatura u x, t DXPHQWDHQIRUPDQDWXUDOGHD9pDQVHODV¿JXUDVO G \ H  u ( 0.7,t ) 100 80 60 40 20 u ( 0.2,t ) 100 80 60 40 20 u (x, t) 100 75 50 25 0 1 6 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 0 1 2 3 4 5 6 t 1 4 2 t u ( x,0.1) 120 100 80 60 40 20 a) 2 3 4 5 6 t c) x  0.7 b) x  0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x u ( x,4) 120 100 80 60 40 20 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x e) t  4 d) t  0.1 FIGURA 14.2.2 *Ui¿FDGHODVROXFLyQGDGDHQODHFXDFLyQ  (QODV¿JXUDVE \F x se FRQVHUYDFRQVWDQWH(QODV¿JXUDVG \H t se conserva constante. EJERCICIOS 14.2 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-24. 1. 6HHVWLUDXQDFXHUGDDORODUJRGHOHMHxHQWUH  \ L  Determine el desplazamiento u x, t) si la cuerda parte del reposo en la posición inicial A VHQ ʌ[兾L). 5. (QHOHMHPSORHQFXHQWUHHOGHVSOD]DPLHQWRu x, t) cuando DOH[WUHPRL]TXLHUGRGHODFXHUGDHQx VHOHFRPXQLFDXQ movimiento oscilatorio que se describe con f t)  A sen ȦW. 2. Resuelva el problema con valores en la frontera 6. El desplazamiento u x, t) de una cuerda impulsada por XQDIXHU]DH[WHUQDVHGHWHUPLQDGH 2 2 u , t2 u x2 0, u(0, t) u(x, 0) 0 1, t x 0, 2 sen x 4 sen 3 x. t 0 3. (OGHVSOD]DPLHQWRGHXQDFXHUGDHOiVWLFDVHPLLQ¿QLWDVH determina a partir de 2 u x2 u(0, t) a2 u(x, 0) 2 u , t2 f (t), 0, 0, t x 0 lím u(x, t) 0, x: u t t 0 u(x, 0) t 0 0. x f (t) sen t, 0, 0 t t   'LEXMHHOGHVSOD]DPLHQWRu x, t) para t 1 1. 1. 0 0, x 0 0 x 1, t 0 1. t 0 7. 8QDEDUUDXQLIRUPHHVWiVXMHWDHQx \HVWiLQLFLDOPHQWH en reposo. Si se aplica una fuerza constante FDOH[WUHPR libre en x  L, el desplazamiento longitudinal u x, t) de una sección transversal de la barra se determina de u x2 2 u(0, t) 0, u(x, 0) 0, 2 u , t2 Determine u x, t). 4. 5HVXHOYDHOSUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUDFXDQGR u t 0, u , t2 0, t Determine u x, t). a2 0, 2 u sen x sen t x2 u(0, t) 0, u(1, t) 0 u(1, t) u t 2 0 0 E u t u x x F0 , x L t 0 0, 0 L, t 0 E constante, x t 0 L. Determine u x, t). [Sugerencia: Desarrolle 1兾  esL/a) en una serie geométrica.] 8. 8QDYLJDHOiVWLFDVHPLLQ¿QLWDTXHVHPXHYHDORODUJRGHO HMHx con una velocidad constante –v se detiene al golpear 508 CAPÍTULO 14 l TRANSFORMADA INTEGRAL una pared al tiempo t 9HDOD¿JXUD(OGHVSODzamiento longitudinal u x, t) se determina a partir de u x2 2 u(0, t) 0, 2 a2 u , t2 u(x, 0) 0, t x u x lím x: u t 0, 0 0, t v0 , t 0 u x f (t), x Resuelva para u x, t). 0, lím u(x, t) u(x, 0) 17. u(0, t) 60 u(x, 0) 60 40 (t 18. u(0, t) 20, 0, u(x, 0) 100 0, x: 0 0. x lím u(x, t) x: 0 [Sugerencia: Utilice el teorema de convolución.] 16. 0 f (t), 15. u(0, t) 0 2), 0 lím u(x, t) 60, x: 1 , 1 t t u(x, 0) lím u(x, t) 100, x: 19. Resuelva el problema con valores en la frontera 2 u x2 Viga Pared v0 x=0 u x x FIGURA 14.2.3 9LJDHOiVWLFDHQPRYLPLHQWRGHOSUREOHPD u , t x u(x, 0) 0, u(0, t) lím u(x, t) x: u t xe x, u(x, 0) 0, t x 0, t k 0 0, t 0 0. x 0 u x2 1, u(x, 0) e x, 0, t 0 lím u(x, t) 0, t x: u t 0, t 0 0. x 0 12. u(0, t) u0 , x 0 14. u x x 0 lím u(x, t) u1, u(x, 0) u1 u(x, t) x u1, u(x, 0) u1x lím x: u(0, t), u(0, t) u(0, t) 0, u(x, 0) 0, lím x: x 0, t 0 u x 0, t 0 x 21k d . 0, x rt erfc r 22. 6LKD\WUDQVIHUHQFLDGHFDORUHQODVXSHU¿FLHODWHUDOGHXQ alambre delgado de longitud L, hacia un medio a temperatura constante umODHFXDFLyQGHFDORUWRPDODIRUPD 2 k x: lím u(x, t) x: 50, u0, u(x, 0) lím u(x, t) x: 0 21. Una varilla de longitud L se mantiene a temperatura constante uHQVXVH[WUHPRVx \x  L. Si la temperatura inicial de la varilla es u  uVHQ [ʌ兾L), resuelva la ecuación de calor uxx  ut x  L, t SDUDODWHPSHUDtura u x, t). (QORVSUREOHPDVDXWLOLFHODWUDQVIRUPDGDGH/DSODFH para resolver la ecuación de calor uxx  ut, x t VXMHWD a las condiciones dadas. u0 , u , t r 0 x t 1. t 2 u(0, t) 11. u(0, t) u x2 u(x, t) u , t2 0, donde r es constante, está dada por 10. Resuelva el problema con valores en la frontera 2 x: x 2 u , t2 u x2 lím u(x, t) u(1, t), 0, 2 2 u x 100 0 20. Demuestre que una solución del problema con valores en la frontera 9. Resuelva el problema con valores en la frontera 13. 1 1, t x u x2 h(u um ) u , t 0 x L, t 0, donde h es constante. Determine la temperatura u x, t) si la temperatura inicial es una constante u en todo el alamEUH\VLORVH[WUHPRVHVWiQDLVODGRVHQx \HQx  L. u0 0 , u(x, 0) 0 23. Una varilla de longitud uno está aislada en x \VHFRQVHUYD a temperatura cero en x  1. Si la temperatura inicial de la varilla es constante e igual a u, determine para la temperatura u x, t) al resolver kuxx  ut x  1, t >Sugerencia: Desarrolle 1 (1 e 21s/k) en una serie geométrica.] 14.2 24. 8QDORVDSRURVDLQ¿QLWDGHDQFKRXQRVHVXPHUJHHQXQD solución de concentración constante c. En el interior de la losa se difunde una sustancia disuelta en la solución. La concentración c x, t) en la losa se determina a partir de 2 c x2 c , t 0 c(0, t) c0 , c(1, t) c0 , c(x, 0) 0, 0 1, D 1, x x t 0 t 0 donde D es una constante. Determine c x, t). 25. Una línea de transmisión telefónica muy larga está inicialmente a un potencial constante u. Si el conductor se conecta a tierra en x \VHDtVODHQHOGLVWDQWHH[WUHPR derecho, entonces el potencial u x, t) en un punto x a lo largo de la línea al tiempo t se determina a partir de 2 u x2 RGu u(0, t) 0, u lím x: x u(x, 0) u0, x 0, 0, t x 0, 0 0 t 0, donde R, C y G son constantes conocidas como resistencia, capacitancia y conductancia, respectivamente. Determine u x, t). [Sugerencia9HDHOSUREOHPDHQORV HMHUFLFLRV@ 26. Demuestre que una solución del problema con valores en la frontera 2 u x2 u , t hu u(0, t) u0 , u(x, 0) 0, es u(x, t) 0, t x lím u(x, t) 0, h constante 0, t x: 0 0 x t u0 x 21 0 e x2/4 h d . 3/2 27. (QHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRVVHOHSLGLyREWHQHU las temperaturas dependientes del tiempo u r, t) dentro de una esfera unitaria. La temperaturas externas a la esfera están descritas por el problema con valores en la frontera 2 u 2 u u , r 1, 2 r r r t u(1, t) 100, lím u(r, t) ro u(r, 0) 0, r t 0 0, t 0 1. Utilice la transformada de Laplace para determinar u r, t). [Sugerencia: Después de transformar la EDP, use v r, t)  ru r, t).] 28. Comenzando en t XQDFDUJDFRQFHQWUDGDGHPDJQLtud F se mueve con una velocidad constante v a lo largo l 509 GHXQDFXHUGDVHPLLQ¿QLWD(QHVWHFDVRODHFXDFLyQGH onda se convierte en 2 u x u F0 t , 2 2 t v0 x donde į t  x兾v) es la función delta de Dirac. Resuelva OD('3VXMHWDD 2 a2 u(0, t) 0, u(x, 0) 0, a) cuando v  a lím u(x, t) x: 0, 0 t u 0, x 0 t t 0 b) cuando v  a. Tarea para el laboratorio de computación 29. a) /DWHPSHUDWXUDHQXQVyOLGRVHPLLQ¿QLWRVHPRGHOD por el problema con valores en la frontera 2 k u RC t TRANSFORMADA DE LAPLACE u x2 u , t u(0, t) u0 , u(x, 0) 0, 0, t 0 lím u(x, t) 0, x x: x t 0 0. Determine u x, t). Utilice la solución para determinar analíticamente el valor de límt : u(x, t), x 0. b) 8VHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHu x, t) sobre la UHJLyQUHFWDQJXODUGH¿QLGDSRU x  t  6XSRQJDTXHu \TXHk  1. Indique las dos condiciones en la frontera y la condición inicial en su JUi¿FD8WLOLFHJUi¿FDVGHu x, t HQ\GLPHQVLRQHV para comprobar su respuesta del inciso a). 30. a) (  QHOSUREOHPDVLKD\XQÀXMRFRQVWDQWHGHFDORU que entra al sólido en su frontera izquierda, entonces la u condición en la frontera es A, A 0, t 0 . x x 0 Determine u x, t). Utilice la solución para determinar analíticamente el valor de lím t : u(x, t), x 0 . b) 8VHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHu x, t) sobre la reJLyQUHFWDQJXODU x  t 6XSRQJDTXH u \TXHk 8VHJUi¿FDVHQ\GLPHQVLRQHV de u x, t) para comprobar su respuesta del inciso a). 31. Los humanos buscan la mayor parte de su información sobre HOPXQGRH[WHULRUDWUDYpVGHODYLVWD\HORtGR3HURPXFKDV criaturas usan señales químicas como su medio principal de FRPXQLFDFLyQSRUHMHPSORODVDEHMDVDOHVWDUDODUPDGDV emiten una sustancia y agitan sus alas en forma febril para PDQGDUODVHxDOGHDGYHUWHQFLDDODVDEHMDVTXHDWLHQGHQD ODUHLQD(VRVPHQVDMHVPROHFXODUHVHQWUHPLHPEURVGHOD misma especie se llaman feromonas. Las señales se pueden conducir por aire o agua en movimiento o por un proceso de difusión en el que el movimiento aleatorio de las moléculas GHO JDV DOHMD OD VXVWDQFLD TXtPLFD GH VX IXHQWH /D ¿JXUD  PXHVWUD XQD KRUPLJD HPLWLHQGR XQD VXVWDQFLD GH alarma hacia el aire en calma dentro de un túnel. Si c x, t) denota la concentración de la sustancia a x centímetros de la fuente al tiempo t, entonces c x, t) satisface 510 l CAPÍTULO 14 TRANSFORMADA INTEGRAL b) 8  VHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHODVROXFLyQHQ el inciso a), para x HQORVWLHPSRV¿MRVt  t t  1, t \t  c) 3  DUD FXDOTXLHU WLHPSR ¿MR t, demuestre que Ak. Así Ak representa la cantidad 0 c(x, t) dx total de sustancia descargada. 2 c c k 2 , x 0, t 0 x t y k es una constante positiva. La emisión de feromonas en forma de un impulso discreto origina una condición en la frontera de la forma c A (t), x x 0 donde į t) es la función delta de Dirac. a) Resuelva el problema con valores en la frontera si además se sabe que c x   x   \  lím x : c(x, t) 0, t  14.3 x 0 FIGURA 14.2.4 Hormiga respondiendo a una señal TXtPLFDGHOSUREOHPD INTEGRAL DE FOURIER REPASO DE MATERIAL l La integral de Fourier tiene diferentes formas que son análogas a las cuatro formas de la serie de )RXULHUGDGDVHQODVGH¿QLFLRQHV\\HQHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV6H recomienda un repaso de estas formas. INTRODUCCIÓN (QORVFDStWXORVDXVDPRVVHULHVGH)RXULHUSDUDUHSUHVHQWDUXQDIXQFLyQ fGH¿QLGDHQXQLQWHUYDOR¿QLWRWDOFRPR p, p R L). Cuando f y f  son continuas por tramos en ese intervalo, una serie de Fourier representa a la función en el intervalo y converge hacia una H[WHQVLyQSHULyGLFDGHfIXHUDGHOLQWHUYDOR'HHVWDIRUPDSRGHPRVGHFLUMXVWL¿FDGDPHQWHTXHODV series de Fourier están asociadas sólo con funciones periódicas. Ahora deduciremos, en forma no rigurosa, un medio de representar ciertas clases de funciones no periódicasTXHHVWiQGH¿QLGDV\D VHDHQXQLQWHUYDORLQ¿QLWR  , RHQXQLQWHUYDORVHPLLQ¿QLWR  ). DE LA SERIE DE FOURIER A LA INTEGRAL DE FOURIER Supongamos que una función f HVWi GH¿QLGD HQ p, p  6L XVDPRV ODV GH¿QLFLRQHV LQWHJUDOHV GH ORV FRH¿FLHQWHVHQ    \  GHODVHFFLyQHQODHFXDFLyQ  GHHVDVHFFLyQ entonces la serie de Fourier de f en el intervalo es f (x) 1 2p p 1 pn f (t) dt p p f (t) cos p 1 p n n t dt cos x p p f (t) sen p n n t dt sen x . p p  Si hacemos Įn  Qʌ兾p, "Į  Įn  1  Įn  ʌ兾pHQWRQFHVODHFXDFLyQ  VHFRQYLHUWH en f (x) 1 2 p f (t) dt p 1 p p f (t) cos n nt dt cos p 1 f (t) sen nx nt dt sen n x . p  $KRUDDPSOLDQGRHOLQWHUYDOR p, p) haciendo que p → . Puesto que p → im, que suplica que "Į →  HO OtPLWH GH   WLHQH OD IRUPD lím : 0 n 1 F(an ) JLHUHODGH¿QLFLyQGHODLQWHJUDO 0 F( ) d . Por lo que si f (t) dt H[LVWHHOOtPLWH GHOSULPHUWpUPLQRGHODHFXDFLyQ  HVFHUR\HOOtPLWHGHODVXPDVHFRQYLHUWHHQ f (x) 1 f (t) cos t dt cos x f (t) sen t dt sen x d .  0 (OUHVXOWDGRGHODHFXDFLyQ  VHOODPDintegral de Fourier de fHQ  , ). Como se muestra en el siguiente resumen, la estructura básica de la integral de Fourier recuerda la de una serie de Fourier. 14.3 INTEGRAL DE FOURIER 511 l DEFINICIÓN 14.3.1 Integral de Fourier La integral de Fourier de una función fGH¿QLGDHQHOLQWHUYDOR  , ) está dada por f (x) 1 [ A( ) cos x 0 donde B( ) sen x] d ,   A( ) f (x) cos x dx  B( ) f (x) sen x dx.   CONVERGENCIA DE UNA INTEGRAL DE FOURIER /DVFRQGLFLRQHVVX¿FLHQWHV SDUDTXHXQDLQWHJUDOGH)RXULHUFRQYHUMDDf x) se parecen a las de una serie de Fourier, pero son ligeramente más restrictivas que las condiciones para una serie de Fourier. TEOREMA 14.3.1 Condiciones para la convergencia Sean f y f FRQWLQXDVSRUWUDPRVHQWRGRLQWHUYDOR¿QLWR\VHDf absolutamente LQWHJUDEOH HQ  , ).* Entonces la integral de Fourier de f en el intervalo converge a f x) en un punto de continuidad. En un punto de discontinuidad, la integral de Fourier converge al promedio (x )  ff (x ) f fx) x) , 2 donde f x) y f x) representan el límite de f en x, desde la derecha y desde la izquierda, respectivamente. EJEMPLO 1 Representación de la integral de Fourier Encuentre la representación integral de Fourier de la función f (x) 0, 1, 0 0, x x x 0 2 2. SOLUCIÓN /DIXQFLyQFX\DJUi¿FDVHSUHVHQWDHQOD¿JXUDVDWLVIDFHODKLSyWHVLVGHOWHRUHPD3RUWDQWRGHODVHFXDFLRQHV  \  VHWLHQHTXH y 1 A( ) 2 f (x) cos x dx 0 x 2 f (x) cos x dx f (x) cos x dx 0 FIGURA 14.3.1 La función continua 2 HQWUDPRVGH¿QLGDHQ  , ). cos x dx f (x) cos x dx 2 sen 2 0 2 B( ) f (x) sen x dx sen x dx 0 * (VWRVLJQL¿FDTXHODLQWHJUDO f (x) dx converge. 1 cos 2 . 512 l CAPÍTULO 14 TRANSFORMADA INTEGRAL (QWRQFHVVXVWLWX\HQGRHVWRVFRH¿FLHQWHVHQ  VHWLHQHTXH 1 f (x) sen 2 1 cos x cos 2 sen x d . 0 &XDQGRXWLOL]DPRVODVLGHQWLGDGHVWULJRQRPpWULFDVOD~OWLPDLQWHJUDOVHVLPSOL¿FDFRPR 2 f (x) sen cos (x 1) d .  0 /DLQWHJUDOGH)RXULHUVHSXHGHXWLOL]DUSDUDHYDOXDUODVLQWHJUDOHV3RUHMHPSORVH WLHQHGHDFXHUGRFRQHOWHRUHPDTXHODHFXDFLyQ  FRQYHUJHDf O 1; esto es, 2 sen 1 d sen así 0 d 0 2 . Este último resultado merece una nota especial porque no se puede obtener de la maQHUD ³XVXDO´ \D TXH HO LQWHJUDQGR VHQ x)兾x no tiene una antiderivada que sea una función elemental. INTEGRALES COSENO Y SENO Cuando f es una función par en el intervalo  , ), entonces el producto f x) cos Į[ también es una función par, mientras que f x) sen Į[HVXQDIXQFLyQLPSDU&RPRFRQVHFXHQFLDGHODSURSLHGDG g) del teorema B Į) \DVtODHFXDFLyQ  VHFRQYLHUWHHQ f (x) 2 f (t) cos t dt cos x d . 0 0 $TXtKHPRVXWLOL]DGRODSURSLHGDG f GHOWHRUHPDSDUDHVFULELU f (t) cos t dt 2 f (t) cos t dt. 0 De igual manera, cuando fHVXQDIXQFLyQLPSDUHQ  , ), los productos f x) cos Į[ y f x) sen Į[ son funciones impar y par, respectivamente. Por tanto, A Į) \ f (x) 2 f (t) sen t dt sen x d . 0 0 6HUHVXPHHQODVLJXLHQWHGH¿QLFLyQ DEFINICIÓN 14.3.2 Integrales de Fourier del coseno y del seno i /  DLQWHJUDOGH)RXULHUGHXQDIXQFLyQSDUHQHOLQWHUYDOR  , integral coseno f (x) 2 0 donde A( ) ) es la A( ) cos x d ,   f (x) cos x dx.   0 ii  /  DLQWHJUDOGH)RXULHUGHXQDIXQFLyQLPSDUHQHOLQWHUYDOR  , ) es la integral seno f (x) 2 B( ) sen x d ,   f (x) sen x dx.  0 donde B( ) 0 14.3 EJEMPLO 2 INTEGRAL DE FOURIER 513 l Representación integral del coseno Determine la representación integral de Fourier de la función 1, 0, f (x) x x a a. SOLUCIÓN 6HYHHQOD¿JXUDTXHf es una función par. Por lo que representaremos a fSRUODLQWHJUDOFRVHQRGH)RXULHU  'HODHFXDFLyQ  REWHQHPRV a A( ) f (x) cos x dx 0 a f (x) cos x dx f (x) cos x dx 0 cos x dx sen a , 0 a y 1 por lo que 2 f (x) sen a cos x d .  0 −a x a FIGURA 14.3.2 Función par continua HQWUDPRVGH¿QLGDHQ  , ). 6HSXHGHQXVDUODVLQWHJUDOHV  \  FXDQGRfQRHVSDUQLLPSDU\HVWiGH¿QLGDVyOR SRUODVHPLUUHFWD  (QHVWHFDVR  UHSUHVHQWDDfHQHOLQWHUYDOR  ) y a su desarroOORSDU SHURQRSHULyGLFR HQ   PLHQWUDVTXHODHFXDFLyQ  UHSUHVHQWDDfHQ  ) \DVXGHVDUUROORLPSDUHQHOLQWHUYDOR   (OVLJXLHQWHHMHPSORLOXVWUDHVWHFRQFHSWR EJEMPLO 3 Representaciones integrales del coseno y del seno Represente f x)  ex, x  a) con una integral coseno y 1 b) con una integral seno. SOLUCIÓN (QOD¿JXUDVHSUHVHQWDODJUi¿FDGHODIXQFLyQ a) Usando integración por partes, se encuentra que x FIGURA 14.3.3  ). A( ) )XQFLyQGH¿QLGDHQ e x cos x dx 0 1 1 2 . Por tanto, la integral coseno de f es 2 f (x) cos x d . 2 1 0  y b) Del mismo modo, tenemos que x B( ) e x sen x dx 0 1 2 . Entonces, la integral seno de f es f (x) a) Integral coseno 2 sen x 1 0 2 d .  /D¿JXUDPXHVWUDODVJUi¿FDVGHODVIXQFLRQHV\GHVXVGHVDUUROORVUHSUHVHQWDGDVSRUODVGRVLQWHJUDOHVHQODVHFXDFLRQHV  \   y x b) Integral seno FIGURA 14.3.4 a) HVODH[WHQVLyQ par de fE HVODH[WHQVLyQLPSDUGHf. USO DE COMPUTADORAS 3RGHPRVH[DPLQDUODFRQYHUJHQFLDGHXQDLQWHJUDOGH XQDPDQHUDVLPLODUDWUD]DUODVJUi¿FDVGHODVVXPDVSDUFLDOHVGHXQDVHULHGH)RXULHU 3DUDLOXVWUDUHVWRXVDUHPRVHOLQFLVRE GHOHMHPSOR(QWRQFHVSRUGH¿QLFLyQGHXQD integral impropia, la representación integral seno de Fourier de f x)  ex, x HQ   se puede escribir como f (x) límb : Fb(x), donde x se considera un parámetro en Fb(x) 2 b 0 sen x 1 2 d .  514 l CAPÍTULO 14 TRANSFORMADA INTEGRAL $KRUDODLGHDHVHVWDSXHVWRTXHODLQWHJUDOGH)RXULHU  FRQYHUJHSDUDXQYDORU dado de b ODJUi¿FDGHODintegral parcial Fb x HQ  VHUiXQDDSUR[LPDFLyQ DODJUi¿FDGHfHQOD¿JXUDE(QOD¿JXUDVHSUHVHQWDQODVJUi¿FDVGH Fb x) para b \b TXHVHREWXYLHURQXWLOL]DQGRMathematica y su aplicación NIntegrate9HDHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV y 1.5 1 1 0.5 0.5 x 0 -0.5 _1 -1 _2 _1 0 1 2 x 0 _0.5 _3 y 1.5 3 _3 _2 _1 0 1 2 3 b) F20(x) a) F5(x) FIGURA 14.3.5 Convergencia de Fb x) a f x GHOHMHPSOR E FXDQGRb → . FORMA COMPLEJA /DLQWHJUDOGH)RXULHU HFXDFLyQ  WDPELpQWLHQHXQDforma compleja equivalente o forma exponencial TXH HV VLPLODU D OD IRUPD FRPSOHMD GH XQDVHULHGH)RXULHU YHDHOSUREOHPDHQORVHMHUFLFLRV 6LVHVXVWLWX\HQODV HFXDFLRQHV  \  HQOD  HQWRQFHV f (x) 1 f (t) [cos t cos x sen t sen x] dt d 0 1 f (t) cos (t x) dt d 0  1 2 f (t) cos (t   1 2 f (t)[cos (t  1 2 f (t)ei 1 2 (t x)  x) dt d i sen (t x)  x)] dt d dt d f (t)ei t dt e i x  d .  2EVHUYHTXHODHFXDFLyQ  HVFRQVHFXHQFLDGHOKHFKRGHTXHHOLQWHJUDQGRHVXQD función par de Į(QODHFXDFLyQ  VyORKHPRVDJUHJDGRFHURDOLQWHJUDQGR f (t) sen (t i 0 x) dt d porque el integrando es una función impar de Į/DLQWHJUDOHQ  VHSXHGHH[SUHVDU en la forma  donde f (x) 1 2 C( ) C( )e i x  d , f (x)ei x dx.   Esta última forma de la integral de Fourier se usará en la siguiente sección, cuando regresemos a la solución de problemas con valores en la frontera. 14.3 INTEGRAL DE FOURIER 515 l EJERCICIOS 14.3 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la páginae RES-24. (QORVSUREOHPDVDHQFXHQWUHODUHSUHVHQWDFLyQLQWHJUDOGH Fourier de la función dada. 1. 2. 3. 4. 0, 1, 2, 0, f (x) 1 x x x x 1 0 17. x x x 2 2 f (x) 0, x, 0 0, x x x 0 3 3 f (x) 0, sen x, 0 0, 18. x 0, x e , x 0 0 6. f (x) ex, 0, 1 1 0 0 0 0 1 1 sen kx dx x 2 . 20. 8WLOLFHODIRUPDFRPSOHMD  SDUDKDOODUODUHSUHVHQWDción integral de Fourier de f x)  e*x*. Demuestre que el UHVXOWDGRHVHOPLVPRTXHHOREWHQLGRGH   Tarea para el laboratorio de computación (QORVSUREOHPDVDUHSUHVHQWHODIXQFLyQGDGDPHGLDQWH una integral coseno o seno apropiada. 1 x x x x 1 0 1, 0, f (x) sen x dx sen 2x dx . x 2 0 [Sugerencia: Į es una variable muda de integración.] b) Demuestre que en general, para k  x x x 5. f (x) 7. f (x) e 19. a) 8VHODHFXDFLyQ  SDUDGHPRVWUDUTXH 0, 4, 0, 0, 5, 5, 0, f (x) cos x dx 0 0 1 1 f (x) x x (QORVSUREOHPDV\UHVXHOYDODHFXDFLyQLQWHJUDOFRUUHVpondiente y determine f. 0 1 1 21. 0LHQWUDVTXHODLQWHJUDO  VHSXHGHWUD]DUGHODPLVPD PDQHUD FRPR VH DQDOL]y HQ ODV SiJLQDV  \  SDUD REWHQHUOD¿JXUDWDPELpQVHSXHGHH[SUHVDUHQWpUminos de una función especial que está incorporada en un SAC. a) Utilice una identidad trigonométrica para demostrar que una forma alternativa de la representación inWHJUDOGH)RXULHU  GHODIXQFLyQfGHOHMHPSOR FRQa  1) es f (x) 1 sen (x 1) sen (x 1) d . 0 8. f (x) 0, , 0, 9. f (x) x, 0, 1 2 2 x x x 1 x x b) Como una consecuencia del inciso a), f (x) donde 10. f (x) 11. f x)  e| x | sen x x, 0, x x Fb(x) 14. f x)  ex  ex, 15. f x)  xex, x 16. f x)  ex cos x, x    x  sen (x 1) sen (x 1) d . Demuestre que la última integral se puede escribir como 12. f x)  xe| x |   x k b 0 (QORVSUREOHPDVDHQFXHQWUHODVUHSUHVHQWDFLRQHVGH integrales de cosenos y senos de la función dada. 13. f x)  ekx, 1 lím Fb(x), b: Fb(x)  1 [Si(b(x 1)) Si(b(x 1))], GRQGH6L x) es la función seno integral. Vea el proEOHPDGHORVHMHUFLFLRV c) Utilice un SAC y la forma integral del seno de Fb x) HQHOLQFLVRE SDUDREWHQHUODVJUi¿FDVHQHOLQWHUYDOR [@SDUDb \'HVSXpVWUDFHODJUi¿FD de Fb x) para valores grandes de b  516 l CAPÍTULO 14 14.4 TRANSFORMADA INTEGRAL TRANSFORMADAS DE FOURIER REPASO DE MATERIAL l 'H¿QLFLyQ l (FXDFLRQHV  \  HQODVHFFLyQ INTRODUCCIÓN Hasta el momento, en este libro hemos estudiado y utilizado sólo una transforPDGDLQWHJUDOODWUDQVIRUPDGDGH/DSODFH3HURHQODVHFFLyQYLPRVTXHODLQWHJUDOGH)RXULHU WLHQHWUHVIRUPDVDOWHUQDWLYDVHOFRVHQRLQWHJUDOHOVHQRLQWHJUDO\ODIRUPDFRPSOHMDRH[SRQHQFLDO En esta sección tomaremos estas tres formas de la integral de Fourier y las desarrollaremos en tres nuevas transformadas de integrales, llamadas, como es de esperar, transformadas de Fourier. Además, desarrollaremos el concepto de transformada de un par, que es una transformada integral y su inversa. También veremos que la inversa de una transformada integral es en sí misma otra transformada integral. PARES DE TRANSFORMADAS La transformada de Laplace F s) de una función f t VHGH¿QHFRQXQDLQWHJUDOSHURKDVWDDKRUDKHPRVXVDGRODUHSUHVHQWDFLyQVLP 1 {F(s)} para denotar la transformada inversa de Laplace de F s). En bólica f (t) realidad, la transformada inversa de Laplace también es una transformada integral. st Si { f (t)} f (t) dt F(s), entonces la transformada inversa de Laplace 0 e es 1 {F(s)} i 1 2 i i estF(s) ds f (t). La última integral se llama integral de contorno; para evaluarla se necesita usar vaULDEOHVFRPSOHMDVORTXHYDPiVDOOiGHODOFDQFHGHHVWHOLEUR(OSXQWRHVpVWHODV transformadas integrales aparecen en pares de transformadas. Si f x) se transforma en F Į) con una transformada integral b f (x)K( , x) dx, F( ) a entonces se puede recuperar la función f mediante otra transformada integral d F( )H( , x) d , f (x) c llamada transformada inversa. Las funciones K y H se llaman kernels Q~FOHRV GHVXV WUDQVIRUPDGDVUHVSHFWLYDV,GHQWL¿FDPRVK s, t)  est como kernel de la transformada de Laplace y H s, t)  est兾ʌL como el kernel de la transformada inversa de Laplace. PARES DE TRANSFORMADAS DE FOURIER La integral de Fourier es el origen de WUHVQXHYDVWUDQVIRUPDGDVLQWHJUDOHV/DVHFXDFLRQHV        \    GH ODVHFFLyQQRVFRQGXFHQDGH¿QLUORVVLJXLHQWHVpares de transformadas de Fourier. DEFINICIÓN 14.4.1   i) Transformada de )RXULHU Transformada LQYHUVDGH)RXULHU Pares de transformadas de Fourier { f (x)} 1 {F( )} f (x)ei x dx 1 2 F( )e F( )  i x d  f (x)   14.4 ii) Transformada de  )RXULHUGHOVHQR  s{ f (x)} f (x) sen x dx l 517  F( ) 0 Transformada inversa GH)RXULHUGHOVHQR s 2 1 {F( )} F( ) sen x da f (x)  0 iii) Transformada de  )RXULHUGHOFRVHQR  TRANSFORMADAS DE FOURIER c{ f (x)} f(x) cos x dx  F( ) 0 Transformada inversa GH)RXULHUGHOFRVHQR c 2 1 {F( )} F( ) cos x da f (x)  0 EXISTENCIA /DVFRQGLFLRQHVEDMRODVTXHH[LVWHQ    \  VRQPiVHVWULFWDV TXHODVGHODWUDQVIRUPDGDGH/DSODFH3RUHMHPSORGHEHFRPSUREDUTXHᏲ{1}, Ᏺs{1} y Ᏺc^`QRH[LVWHQ/DVFRQGLFLRQHVVX¿FLHQWHVSDUDODH[LVWHQFLDVRQTXHf sea absolutamente integrable en el intervalo adecuado y que f y f  sean continuas por tramos HQWRGRLQWHUYDOR¿QLWR PROPIEDADES OPERACIONALES &RPRQXHVWURREMHWLYRLQPHGLDWRHVDSOLFDU estas nuevas transformadas a problemas con valores en la frontera, necesitamos H[DPLQDUODVWUDQVIRUPDGDVGHODVGHULYDGDV TRANSFORMADA DE FOURIER Supongamos que f es continua y absolutamente LQWHJUDEOHHQHOLQWHUYDOR  , ), y que f  es continua por tramos en todo intervalo ¿QLWR6Lf x) →FXDQGRx →  , entonces la integración por partes da f (x)ei x dx { f (x)} f (x) ei x i esto es i f (x)ei x dx f (x)ei x dx, { f (x)} i F( ).   De igual manera, con las hipótesis adicionales de que f HVFRQWLQXDHQ  , ), f  x) HVFRQWLQXDSRUWUDPRVHQWRGRLQWHUYDOR¿QLWR\TXHf  x) →FXDQGRx →  , se tiene que { f (x)} ( i )2 { f(x)} F( ). 2  Es importante observar que las transformadas seno y coseno no son adecuadas SDUD WUDQVIRUPDU OD SULPHUD GHULYDGD R HQ UHDOLGDG FXDOTXLHU GHULYDGD GH RUGHQ impar). Se demuestra con facilidad que y f (0). s {f (x)} c { f (x)} c {f (x)} s {f (x)} /D GL¿FXOWDG HV HYLGHQWH OD WUDQVIRUPDGD GH f  x  QR VH H[SUHVD HQ WpUPLQRV GH OD transformada integral original. TRANSFORMADA SENO DE FOURIER Supongamos que f y f  son continuas, f HVDEVROXWDPHQWHLQWHJUDEOHHQHOLQWHUYDOR> ) y f  es continua por tramos en todo LQWHUYDOR¿QLWR6Lf →\f →FXDQGRx → , entonces 518 l CAPÍTULO 14 TRANSFORMADA INTEGRAL s{ f (x)} f (x) sen x dx 0 f (x) sen x f (x) cos x dx 0 0 f (x) cos x f (x) sen x dx 0 2 f (0) esto es, s{ f 0 s{ f (x)}, f (0). 2 (x)} F( )  TRANSFORMADA COSENO DE FOURIER %DMR ODV PLVPDV VXSRVLFLRQHV TXH FRQGXMHURQDODHFXDFLyQ  VHYHTXHODWUDQVIRUPDGDFRVHQRGH)RXULHUGHf  x) es  8QDGXGDQDWXUDOHVODVLJXLHQWH³¢&yPRVHVDEHFXiOWUDQVIRUPDGDVHGHEHXVDUHQ GHWHUPLQDGRSUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUD"´(VFODURTXHSDUDXVDUXQDWUDQVIRUPDGDGH)RXULHUHOGRPLQLRGHODYDULDEOHTXHVHYDDHOLPLQDUGHEHVHU  , ). Para utilizar una transformada seno o coseno, el dominio de al menos una de las variables del SUREOHPDGHEHVHU> ). Pero el factor determinante para elegir entre la transformada seno \ODWUDQVIRUPDGDFRVHQRHVHOWLSRGHFRQGLFLyQHQODIURQWHUDTXHVHHVSHFL¿TXHHQFHUR (Q ORV HMHPSORV TXH VLJXHQ VXSRQGUHPRV VLQ YROYHU D PHQFLRQDUOR TXH WDQWR u como u兾x Ru兾y) tienden a cero cuando x →  . Ésta no es una restricción mayor, porque estas condiciones son válidas en la mayor parte de las aplicaciones. c{f 5HFXHUGHHVWRFXDQGRWUDEDMH FRQORVHMHUFLFLRV. EJEMPLO 1 f (0). 2 (x)} F( ) Uso de la transformada de Fourier 2 Resuelva la ecuación de calor k u(x, 0) u x2 u , x ,t t donde f (x), VXMHWDD u0 , 0, f (x) 1 1. x x SOLUCIÓN El problema se puede interpretar como encontrar la temperatura u x, t) HQXQDYDULOODLQ¿QLWD3XHVWRTXHHOGRPLQLRGHxHVHOLQWHUYDORLQ¿QLWR  , ), usaUHPRVODWUDQVIRUPDGDGH)RXULHUHFXDFLyQ  \GH¿QLUHPRV u(x, t) ei x dx {u(x, t)} U( , t). 6LWUDQVIRUPDPRVODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSDUFLDO\XWLOL]DPRVODHFXDFLyQ   2 k se obtiene k 2U( , t) u x2 dU dt o u t dU dt Resolviendo la última ecuación se obtiene U( , t) de la condición inicial es k 2U( , t) ce k 2t . Ahora, la transformada 1 {u(x, 0)} f (x)ei x dx u0 ei x dx 1 Este resultado es igual a U( , 0) 2u0 sen u0 ei e i i . . Aplicando esta condición a la solución a U Į, t) se obtiene U Į  c  u sen Į)兾Į, por lo que sen 2 U( , t) 2u0 e k t. 3RUORTXHGHODLQWHJUDOGHLQYHUVLyQ   0. 14.4 sen u0 u(x, t) TRANSFORMADAS DE FOURIER k e 2 t i x e 519 l d . /D~OWLPDH[SUHVLyQVHSXHGHVLPSOL¿FDUXQSRFRXVDQGRODIyUPXODGH(XOHUeLĮ[  cos Į[ – i sen Į[ y observando que sen k e 2 t 0, sen x d ya que el integrando es una función impar de Į3RUWDQWR¿QDOPHQWHWHQHPRVTXH sen cos x u0 u(x, t) k e 2 t  d . 6HGHMDFRPRHMHUFLFLRPRVWUDUTXHODVROXFLyQ  VHSXHGHH[SUHVDUHQWpUPLQRVGH ODIXQFLyQGHHUURU9HDHOSUREOHPDHQORVHMHUFLFLRV EJEMPLO 2 Uso de la transformada coseno /DWHPSHUDWXUDHVWDEOHHQXQDSODFDVHPLLQ¿QLWDVHGHWHUPLQDDSDUWLUGH 2 2 u y2 u x2 u(0, y) u y y 0, 0 x , y 0, u( , y) e y, y 0, . 0 x 0 0 0 Determine u x, y). SOLUCIÓN El dominio de la variable y y la condición prescrita en y LQGLFDQTXH ODWUDQVIRUPDGDFRVHQRGH)RXULHUHVDGHFXDGDSDUDHVWHSUREOHPD'H¿QLUHPRV c{u(x, u(x, y) cos y dy y)} U(x, ). 0 2 2 (QYLVWDGHODHFXDFLyQ   c u x2 u y2 c c{0} d 2U d 2U 2 2 U(x, ) u (x, 0) 0 o U 0. y dx 2 dx 2 Puesto que el dominio de xHVXQLQWHUYDOR¿QLWRRSWDUHPRVSRUHVFULELUODVROXFLyQGH la ecuación diferencial ordinaria como se convierte en U(x, ) Ahora, a su vez tivamente a c{u(0, c1 cosh x c{0} y)} U(0, ) 0 y y c{u( c2 senh x.  , y)} U( , ) c{e 1 1  } equivalentes respec- y . 2 &XDQGR VH DSOLFDQ HVWDV ~OWLPDV FRQGLFLRQHV OD VROXFLyQ   GD FRPR UHVXOWDGR c1 \c  1兾>  Į) senh Įʌ]. Por tanto, senh x U(x, ) , 2 (1 ) senh 3RUORTXHGH  WHQHPRVTXH senh x cos y d .  2 (1 ) senh 0 6LHQHOHMHPSORVHKXELHUDGDGRu x HQOXJDUGHuy x HQWRQFHVORDGHcuado hubiera sido la transformación seno. u(x, y) 2 520 CAPÍTULO 14 l TRANSFORMADA INTEGRAL EJERCICIOS 14.4 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-25. (QORVSUREOHPDVDXVHODVWUDQVIRUPDGDVLQWHJUDOHVGH Fourier de esta sección para resolver el problema con valores en la frontera dado. Haga hipótesis acerca de los acotamientos donde sean necesarios. 2 u x2 u(x, 0) u , t e 2 u , t 1. k 2. k u x2 x , 0 , t x 1 0 0 0 1 1 3. Encuentre la temperatura u x, t HQXQDYDULOODVHPLLQ¿nita si u t)  u, t \u x x  sen x , x 0, para demos2   WUDUTXHODVROXFLyQGHOSUREOHPDVHSXHGHHVFULELUFRPR 4. Use el resultado d 0 u(x, t) 2u0 u0 sen x 0 2 k t d . 1 1. x x A, t 15. 8. Encuentre la temperatura u x, t HQXQDYDULOODVHPLLQ¿nita si u t)  1, t \u x  ex, x  2 u x2 u(x, 0) 2 u , t2 f (x), , t x 50, 0 0, 1 1. x x 0 y 2 x 0 u y2 u(0, y) 0, x u x f ( y), 0, y 0 0 , y 0, y 0 0 x x 0 (QORVSUREOHPDV\GHWHUPLQHODWHPSHUDWXUDu x, y) de HVWDGRHVWDEOHHQODSODFDGHOD¿JXUDGDGD>Sugerencia: Una IRUPDGHSURFHGHUHVH[SUHVDUORVSUREOHPDV\HQIRUPD de dos y tres problemas con valores en la frontera, respectivamente. Utilice el principio de superposición. Vea la sección @ y u t g(x), 0 2 u x2 u y 0, 7. 5HVXHOYDHOSUREOHPDVLHOH[WUHPRx HVWiDLVODGR a2 0, x t 0 2 u u 0, x 0, 0 2 y2 x u(0, y) 0, 0 y 2 u(x, 0) f (x), u(x, 2) 0, 2 donde A es una constante. 9. a) u t 14. 5HVXHOYDHOSUREOHPDVLODFRQGLFLyQHQODIURQWHUDHQ x HVu y) y  16. 0 x xe x, 2 e 6. 5HVXHOYDHOSUREOHPDVLODFRQGLFLyQHQODIURQWHUDL]quierda es u x u(x, 0) u(x, 0) 5. Determine la temperatura u x, t HQXQDYDULOODVHPLLQ¿nita si u t) t \ 1, 0, 0 13. Determine la temperatura de estado estable u x, y) en una SODFDGH¿QLGDSRUx y VLODIURQWHUDx HVWi aislada y en y  0 u(x, 0) 0, t 12. 5HVXHOYDHOSUREOHPDGHOHMHPSORVLODFRQGLFLyQHQOD frontera en y HVu x  x  ʌ. 1 x x x x u(0, t) 11. 5HVXHOYDHOSUREOHPDGHOHMHPSORVLODVFRQGLFLRQHVHQ la frontera en x \HQx  ʌHVWiQLQYHUWLGDVu y)  ey, u ʌ, y) y  x 0, 100, 100, 0, u(x, 0) , t x 10. Determine el desplazamiento u x, t) de una cuerda sePLLQ¿QLWDVL x t 0 b) Si g x)   GHPXHVWUH TXH OD VROXFLyQ GHO LQciso a) se puede escribir como u(x, t) 1 at) f (x at)]. 2 [ f (x u = e −y u = e −x FIGURA 14.4.1 3ODFDGHOSUREOHPD x 14.4 17. u=0 u = e −y 1 u = 100 x 0 π u = f (x) FIGURA 14.4.2 3ODFDGHOSUREOHPD 19. Utilice el resultado {e x /4p } 2 1 pe p solver el problema con valores en la frontera 2 l 521 22. La solución del problema 14 se puede integrar. Use los HOHPHQWRV\GHODWDEODGHODSpQGLFH,,,SDUDGHPRVtrar que 100 x 1 x 1 1 x 1 u(x, y) arctan arctan arctan . y 2 y 2 y y 18. TRANSFORMADAS DE FOURIER 2 2 2 para re- 23. 8WLOLFHODVROXFLyQGDGDHQHOSUREOHPDSDUDUHVFULELUOD VROXFLyQ GHO HMHPSOR  HQ XQD IRUPD LQWHJUDO DOWHUQDWLYD ) 2 1kt Después utilice el cambio de variable v (x \ORVUHVXOWDGRVGHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRVSDUD GHPRVWUDUTXHODVROXFLyQGHOHMHPSORVHSXHGHH[SUHVDU como x 1 x 1 u0 erf erf . 2 21kt 21kt 24. Las temperaturas de estado estable u r, z) en un cilindro VHPLLQ¿QLWRHVWiQGHVFULWDVSRUHOSUREOHPDFRQYDORUHV en la frontera u(x, t) 2 u x2 u , t u(x, 0) e k x , t x . x2 , 0 2 u 1 r2 r u(1, z) u(r, 0) 20. Si Ᏺᐎ{ f (x)} F( ) y Ᏺᐎ{g(x)} G( ), entonces el teorema de convolución para la transformada de Fourier está dada por f ( )g(x 1 {F( )G( )}. )d Utilice este resultado y Ᏺᐎ{e x /4p } 2 1 pe p para demostrar que una solución del problema con valores en la frontera 2 2 es 2 2 2 2 u u 0, 0 r z2 0, z 0 u0, 0 r 1. u , t x u(x, 0) f (x), x u(x, t) 1 v2 冪k t , t 1, 0 0, z 0 (x f ( )e )2/4kt d . 2 21. Utilice la transformada Ᏺᐎ{e x /4p } dada en el problema SDUDGHWHUPLQDUODWHPSHUDWXUDGHHVWDGRHVWDEOHHQ ODEDQGDLQ¿QLWDTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD Suponga que 0 y u = e −x 1 z 1. 2 x Aislada FIGURA 14.4.3 %DQGDLQ¿QLWDGHOSUREOHPD f (x)cos D xdx 1 0, F(D) F(D ), donde D D, 0 D 1 1. Encuentre f (x). b) Use el inciso a) para demostrar que 0 1 0 Problemas para analizar 26. a) 2 z Aplique una transformada de Fourier apropiada para encontrar u r, z). [Sugerencia: Vea el problema 4 y la forma SDUDPpWULFD GH OD HFXDFLyQ GH %HVVHO PRGL¿FDGD GH OD VHFFLyQ@ 25. Determine las temperaturas de estado estable u r, z) en el FLOLQGURVHPLLQ¿QLWRGHOSUREOHPDVLODEDVHGHOFLOLQdro está aislada y u(1, z) u k 2 x 1, r sin2 x dx x2 S . 2 Tarea para el laboratorio de computación 27. Suponga que u \TXHk  1 en la solución del proEOHPD8WLOLFHXQ6$&SDUDWUD]DUODJUi¿FDGHu x, t) VREUHXQDUHJLyQUHFWDQJXODUGH¿QLGDSRU4  x  t 8VHXQDJUi¿FDHQGRVGLPHQVLRQHVSDUDVREUHSRQHU ODVJUi¿FDVGHu x, t) para t  \HQHOLQWHUYDOR>@8WLOLFHODVJUi¿FDVSDUDLQIHrir los valores de límt : u(x, t) y límx : u(x, t). Después demuestre estos resultados analíticamente usando las proSLHGDGHVGHHUI x). 522 CAPÍTULO 14 l TRANSFORMADA INTEGRAL REPASO DEL CAPÍTULO 14 (QORVSUREOHPDVDUHVXHOYDHOSUREOHPDFRQYDORUHVHQOD frontera dado, mediante una transformada integral adecuada. Donde sea necesario haga suposiciones acerca de los acotamientos. u x2 u x x 0, 0, 0 x 0, 0 y 10. u y 0, e x, 0 x y u u , 0 x 1, t 0 2 x t u(0, t) 0, u(1, t) 0, t 0 u(x, 0) 50 sen 2 x, 0 x 1 u , h t hu 0, x u 0, lím x: x u0, x 0 u(0, t) u(x, 0) 2 u u e t x2 u(x, 0) 0, x 0, t 0, t u y 0 6. , , t x 2 u x2 0 0 u y2 u x2 u(0, y) 0, 0 0, 0, 0 y 0 x , y 0, 0 1, 1 0, x 1 2 0 y y y u , t 0, x e x, x , t x 0 x 0 0 0 u u , x 0, t 0 x2 t u 50, lím u(x, t) x: x x 0 u(x, 0) 100, x 0 0 0 x u( , y) 0 Be x, y 2 15. k x x x u x2 u(x, 0) 14. 2 2 u y , t x 0, u0 , 0, u(x, 0) 8. 2 >Sugerencia:8WLOLFHHOWHRUHPD@ u , t 0 u u , 0 x 1, t 0 2 x t u(0, t) u0 , u(1, t) u0 , t 0 u(x, 0) 0, 0 x 1 [Sugerencia: Utilice la identidad VHQK x  y)  senh x cosh y  cosh x senh y,   \GHVSXpVXWLOLFHHOSUREOHPDGHORVHMHUFLFLRV@ 13. k u u , 0 x 1, t 0 t2 x2 u(0, t) 0, u(1, t) 0, t 0 u u(x, 0) sen x, sen x, t t 0 7. k y 2 2 2 u y 0, y 12. u u , x 0, t 0 2 x t u(0, t) t, lím u(x, t) 0 u x   x 2 u u 0, x 0, 0 2 y2 x u(0, y) A, 0 y 0 x x: u u r , 0 x 1, t 0 2 x t u 0, u(1, t) 0, t 0 x x 0 u(x, 0) 0, 0 x 1 2 11. 2 5. 0 2 2 4. 0, y x 50, 0 y 1 0, y 1 100, 0 x 1 0, x 1 u(x, 0) 0 u x2 0, y 2 3. u y2 u x2 u(0, y) u y2 u(x, 0) 2. 2 2 9. 2 2 1. Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-25. 1 2 2 u x2 u , t 0, t x 100, 0 t 0 u 0, t 0 x x 0 u(x, 0) e x, x 0 16. Demuestre que una solución de un PVF 2 2 u u 0, x , 0 y2 x2 u y 0, y u(x, 1) f (x), y 1 x 0 es u(x, y) 1 f (t) 0 cosh y cos (t cosh x) dt d . REPASO DEL CAPÍTULO 14 17. 2 u x2 u , t u(0, t) u(x, 0) x 0, t u0, 0 t 0, t 1 0, x 0 , 523 mediante el uso de una transformada de Fourier apropiada. 0 1 l lím u(x, t) xo 0, 18. Resuelva el problema con valores en la frontera t 0 19. Resuelva el problema con valores en la frontera del proEOHPDXWLOL]DQGRODWUDQVIRUPDGDGH/DSODFH,QGLTXH dos formas distintas de la solución u x, t). 2 u u , x 0, t 0 2 x t u 100, lím u(x, t) xo x x 0 u(x, 0) 0, x 0, 0, t 0, 20. 'HPXHVWUHTXHODVROXFLyQGHOSUREOHPDHVHTXLYDlente a una de las dos formas de u x, t) del problema 6HSXHGHQHFHVLWDUXQ6$&SDUDHIHFWXDUXQDLQWHgración. 15 SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 15.1 Ecuación de Laplace 15.2 Ecuación de calor 15.3 Ecuación de onda REPASO DEL CAPÍTULO 15 En la sección 9.5 vimos que una forma de aproximar una solución de un problema con valores en la frontera de segundo orden es trabajar sustituyendo ODHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDSRUXQDHFXDFLyQHQGLIHUHQFLDV¿QLWDV/D ecuación en diferencias se construyó reemplazando las derivadas d2y兾dx2 y dy兾dx por cocientes de diferencias. El mismo concepto se aplica a problemas con valores en la frontera donde intervienen ecuaciones diferenciales parciales. En las secciones subsecuentes de este capítulo formularemos una ecuación en diferencias para reemplazar la ecuación de Laplace, la ecuación de calor y la ecuación de onda al reemplazar las derivadas parciales 2u兾x2, 2u兾y2, 2u兾t2 y u兾t, por cocientes de diferencias. 524 15.1 15.1 ECUACIÓN DE LAPLACE l 525 ECUACIÓN DE LAPLACE REPASO DE MATERIAL l Secciones 9.5, 12.1, 12.2 y 12.5. INTRODUCCIÓN En la sección 12.1 vimos que las EDP de segundo orden de dos variables LQGHSHQGLHQWHVVHFODVL¿FDQFRPRelípticas, parabólicas e hiperbólicas. En general, las EDP sólo implican derivadas parciales respecto a las variables espaciales y por tanto, las soluciones de esas ecuaciones sólo se determinan por las condiciones en la frontera. Las ecuaciones parabólicas e hiperbólicas involucran derivadas parciales respecto a las variables espaciales así como al tiempo, por lo que las soluciones de esas ecuaciones generalmente se determinan a partir de las condiciones de frontera e iniciales. Una solución de una EDP elíptica (tal como la ecuación de Laplace) puede describir un sistema físico cuyo estado está en equilibrio (estado estable); una solución de una EDP (tal como la ecuación de calor) puede describir un estado difusional, mientras que una EDP hiperbólica (tal como la ecuación de onda) puede describir un estado vibracional. En esta sección comenzaremos nuestro análisis con métodos aproximados para las ecuaciones elípticas. Nos concentraremos en la más simple, pero probablemente más importante EDP de tipo elíptico: la ecuación de Laplace. REEMPLAZO POR UNA ECUACIÓN DE DIFERENCIAS buscando una solución u(x, y) de la ecuación de Laplace y Suponga que estamos C 2 2 2u u y2 u x2 R (1) 0 en una región plana R que está acotada por alguna curva C9HDOD¿JXUD$O igual que en la ecuación (6) de la sección 9.5, utilizando diferencias centrales =0 Δ u(x x FIGURA 15.1.1 Región plana R con h, y) 2u(x, y) u(x y h, y) u(x, y 2u(x, y) h) u(x, y h), se pueden obtener aproximaciones para las segundas derivadas parciales uxx y uyy utilizando cocientes de diferencias 2 frontera C. u x2 1 [u(x h2 2 1 [u(x, y h2 u y2 h, y) 2u(x, y) u(x h) 2u(x, y) u(x, y (2) h, y)] (3) h)]. Si sumamos (2) y (3) obtendremos una aproximación con cinco puntos del Laplaciano: 2 2 u y2 u x2 1 [u(x h2 h, y) u(x, y h) u(x h, y) u(x, y h) 4u(x, y)]. Por tanto, podemos reemplazar la ecuación de Laplace (1) por la ecuación en diferencias u(x h, y) u(x, y h) u(x h, y) u(x, y 4u(x, y) h) 0. (4) Si adoptamos la notación u(x, y)  uij y u(x h, y) ui 1, j , u(x, y h) ui, j u(x h, y) ui 1, j , u(x, y h) ui, j 1, 1 entonces la ecuación (4) se convierte en ui 1, j ui, j 1 ui 1, j ui, j 1 4uij 0. (5) 526 CAPITULO 15 l SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Para comprender mejor la ecuación (5), supongamos que se coloca sobre una región R una rejilla rectangular formada por rectas horizontales espaciadas h unidades y rectas verticales espaciadas h unidades. El número h se llama tamaño de la malla. Vea la ¿JXUD D /RVSXQWRVGHLQWHUVHFFLyQVREUHODVUHFWDVPij  P(ih, jh), con i y j enteros, se llaman puntos de la malla o puntos de la red. Un punto de la malla es un punto interior si sus cuatro puntos de la malla vecinos más cercanos son puntos de R. Los puntos en R o en C que no son puntos interiores se llaman puntos frontera. Por HMHPSORHQOD¿JXUD D WHQHPRVTXH y 7h C 6h R 5h 4h P13 3h P12 P22 2h P20 P11 P21 P31 h P20 h 2h 3h 4h 5h 6h x P(2h, 0), P11 1 u 4 i uij Pi, j + 1 h Pi − 1, j Pi j Pi + 1, j Pi, j − 1 b) FIGURA 15.1.2 Malla rectangular sobrepuesta sobre la región R. P21 P(2h, h), P22 P(2h, 2h), etcétera. De los puntos que se indican, P21 y P22 son puntos interiores, mientras que P20 y P11VRQSXQWRVIURQWHUD(QOD¿JXUDDORVSXQWRVLQWHULRUHVVHPXHVWUDQHQ URMR\ORVSXQWRVIURQWHUDVHPXHVWUDQHQQHJUR$KRUDGHODHFXDFLyQ  VHYHTXH a) h P(h, h), 1, j ui, j ui 1 ui, j 1, j 1 (6) , SRUORTXHFRPRVHSXHGHYHUHQOD¿JXUDEHOYDORUGHuij en un punto de malla interior de R es el promedio de los valores de u en cuatro puntos de malla vecinos. Los puntos vecinos Pi  l, j , Pi , j  l , Pi  1 , j y Pi , j  1 corresponden a los cuatro puntos de una brújula E, N, O y S, respectivamente. PROBLEMA DE DIRICHLET Recuerde que en el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace ' 2u  0 los valores de u(x, y) están determinados en la frontera de una región R. La idea básica es determinar una solución aproximada de la ecuación de Laplace en puntos de malla interiores, reemplazando la ecuación diferencial parcial en estos puntos por la ecuación en diferencias (5). Por tanto, los valores aproximados de u en los puntos de malla, en particular, los uij, se relacionan entre sí y posiblemente con valores conocidos de u si un punto de malla está en la frontera. De esta manera se obtiene un sistema de ecuaciones lineales algebraicas que se resuelve para determinar la incógnita uij. El siguiente ejemplo ilustra el método para una región cuadrada. EJEMPLO 1 Revisión de un PVF En el problema 16 de los ejercicios 12.5 se pidió al lector resolver el problema con valores en la frontera 2 2 u y2 u x2 y 0 0 2 3 2 3 P12 P22 P11 P21 0 0 8 9 8 9 x FIGURA 15.1.3 Región cuadrada R del ejemplo 1. 0, 0 u(0, y) 0, u(2, y) u(x, 0) 0, u(x, 2) x y(2 x, 2 2, 0 y), 0 x, 1 y 0 y x x 2 2 1 2. utilizando el principio de superposición. Para aplicar el método numérico del que nos ocupamos comencemos con un tamaño de malla de h 23 . Como vemos en la ¿JXUD  HVD RSFLyQ SURGXFH FXDWUR SXQWRV LQWHULRUHV \ RFKR SXQWRV IURQWHUD Los números que se enlistan junto a los puntos frontera son los valores exactos de u, REWHQLGRV FRQ OD FRQGLFLyQ HVSHFL¿FDGD D OR ODUJR GH HVD IURQWHUD 3RU HMHPSOR HQ P31 P(3h, h) P(2, 23) se tiene x  2 y y 23 , por lo que la condición u(2, y) da u(2, 23) 23(2 23) 89. Del mismo modo, en P13 P( 23, 2) la condición u(x,2) produce u( 23, 2) 23 $KRUDDSOLFDPRVODHFXDFLyQ  HQFDGDSXQWRLQWHULRU3RUHMHPSOR en P11 tenemos i  1 y j  1, por lo que la ecuación (5) se convierte en u21 u12 u01 u10 4u11 0. 15.1 ECUACIÓN DE LAPLACE l 527 2 Puesto que u01 u(0, 3) 0 y u10 u( 23, 0) 0, la ecuación anterior se transforma en 4u11  u21  u12  0. Si esto se repite en P21, P12 y P22 se obtienen otras tres ecuaciones más: 4u11 u21 u11 4u21 u11 0 u12 u22 8 9 4u12 u22 2 3 u12 4u22 u21 (7) 14 9. Con un sistema algebraico computarizado resolvemos el sistema y encontramos que los valores aproximados en los cuatro puntos interiores son u 11 7 36 0.1944, u 21 5 12 0.4167, u 12 13 36 0.3611, u 22 7 12 0.5833. Como en el análisis de las ecuaciones diferenciales ordinarias, esperamos que un valor menor de h mejore la exactitud de la aproximación. Sin embargo, usar un tamaño PHQRUGHPDOODVLJQL¿FDSRUVXSXHVWRTXHKD\PiVSXQWRVLQWHULRUHVGHPDOOD\SRUWDQWR hay un sistema de ecuaciones mucho más grande para resolver. Para una región cuadrada de lado L, un tamaño de malla de h  L兾n produciría un total de (n  1)2 puntos interiores de malla. En el ejemplo 1, para n  8, un tamaño de malla razonable es h 28 14 , pero el número de puntos interiores es (8  1)2  49. Por lo que tenemos 49 ecuaciones con 49 incógnitas. En el siguiente ejemplo usaremos un tamaño de malla de h 12 . EJEMPLO 2 Ejemplo 1 con más puntos de malla y 0 0 0 1 2 1 1 2 P13 P23 P33 P12 P22 P32 P11 P21 P31 0 0 &RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUDFRQn  4, un tamaño de malla h 24 12 para el cuadrado del ejemplo 1 da 32 SXQWRVLQWHULRUHVGHPDOOD$SOLFDQGRODHFXDFLyQ (5) en esos puntos y utilizando las condiciones en la frontera indicadas, se obtienen QXHYHHFXDFLRQHVFRQQXHYHLQFyJQLWDV3DUDTXHSXHGDYHUL¿FDUHVWRVUHVXOWDGRVSUHVHQWDUHPRVHOVLVWHPDHQVXIRUPDQRVLPSOL¿FDGD 0 3 4 1 3 4 u21 u12 0 0 4u11 0 u31 u22 u11 0 4u21 0 3 4 u32 u21 0 4u31 0 u22 u13 u11 0 4u12 0 u32 u23 u12 u21 4u22 0 1 u33 u22 u31 4u32 0 0 u12 4u13 0 x FIGURA 15.1.4 Región R del ejemplo 1 con más puntos de malla. u23 1 2 u33 1 u13 u22 4u23 0 1 2 u23 u32 4u33 0. 3 4 (8) (QHVWHFDVRFRQXQ6$&VHREWLHQH u11 7 64 u12 47 224 u13 145 448 u21 51 224 0.2098, u22 13 32 0.3237, u23 131 224 0.1094, 0.2277, 0.4063, 0.5848, u31 177 448 0.3951 u32 135 224 0.6027 u33 39 64 0.6094. 528 l CAPITULO 15 SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 'HVSXpVGHVLPSOL¿FDUODVHFXDFLRQHV  HVLQWHUHVDQWHKDFHUQRWDUTXHODPDWUL] GHFRH¿FLHQWHV 9 es ( ) 4 1 0 1 0 0 0 0 0 1 4 1 0 1 0 0 0 0 0 1 4 0 0 1 0 0 0 1 0 0 4 1 0 1 0 0 0 1 0 1 4 1 0 1 0 . 0 0 1 0 1 4 0 0 1 0 0 0 1 0 0 4 1 0 0 0 0 0 1 0 1 4 1 0 0 0 0 0 1 0 1 4 (9) Este es un ejemplo de una matriz dispersa en la que un gran porcentaje de los elementos son cero. También la matriz (9) es un ejemplo de matriz banda. Esta clase de matrices se caracterizan por la propiedad de que los elementos de la diagonal principal y en las diagonales (o bandas) paralelas a la principal, todos son distintos de cero. ITERACIÓN DE GAUSS-SEIDEL Los problemas que requieren aproximaciones a soluciones de ecuaciones diferenciales parciales invariablemente conducen a grandes sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. No es raro tener que resolver sistemas de FLHQWRVGHHFXDFLRQHV$XQTXHXQPpWRGRGLUHFWRGHVROXFLyQWDOFRPRODHOLPLQDFLyQ de Gauss deja inalterados los elementos cero fuera de las bandas de una matriz como la (9), se llenan las posiciones entre las bandas con elementos distintos de cero. Debido a que para almacenar matrices muy grandes se usa gran parte de la memoria de la computadora, se acostumbra resolver los sistemas grandes en una forma indirecta. Un método indirecto muy popular se llama iteración de Gauss-Seidel. ,OXVWUDUHPRVHVWHPpWRGRSDUDHOVLVWHPDGHODVHFXDFLRQHV  3DUDVLPSOL¿car reemplazaremos las variables con doble subíndice u11, u21, u12 y u22 por x1, x2, x3 y x4, respectivamente. EJEMPLO 3 Iteración de Gauss-Seidel Paso 1: Despeje de cada ecuación las variables en la diagonal principal del sistema. Esto es, en el sistema (7) se despeja x1 de la primera ecuación, x2 de la segunda y así sucesivamente: 0.25x2 x1 0.25x3 x2 0.25x1 0.25x4 0.2222 x3 0.25x1 0.25x4 0.1667 x4 0.25x2 0.25x3 (10) 0.3889. Estas ecuaciones se pueden obtener en forma directa usando la ecuación (6) más que la (5) en los puntos interiores. Paso 2: Iteraciones. Se comienza haciendo una aproximación inicial para los valores de x1, x2, x3 y x4. Si fuera un sistema de ecuaciones lineales y no supiéramos nada sobre la solución, podríamos iniciar con x1  0, x2  0, x3  0, x4  0. Pero puesto que la solución de (10) representa aproximaciones a una solución de un problema con valores en la frontera, parecería razonable utilizar como valores aproximados para los valores de x1  u11, x2  u21, x3  u12 y x4  u22 el promedio de todas las condiciones en la frontera. En este caso, el promedio de los números de los ocho punWRVIURQWHUDTXHVHPXHVWUDQHQOD¿JXUDHVDSUR[LPDGDPHQWH3RUWDQWR nuestra estimación inicial será x1  0.4, x2  0.4, x3  0.4 y x4  0.4. En las iteraciones con el método de Gauss-Seidel se usan los valores de x tan pronto como 15.1 ECUACIÓN DE LAPLACE l 529 se calculan. Observe que la primera ecuación en (10) sólo depende de x2 y de x3; por lo que al sustituir x2  0.4 y x3  0.4, se obtiene x1  0.2. Puesto que la segunda y tercera ecuaciones dependen de x1 y x4, se usan los valores recién calculados x1  0.2 y x4  0.4 para obtener x2  0.3722 y x3  0.3167. La cuarta ecuación depende de x2 y x3, por lo que se usan los nuevos valores x2  0.3722 y x3  0.3167 para obtener x4  0.5611. En resumen, con la primera iteración se han obtenido los valores x1 0.2, x2 0.3722, x3 0.3167, x4 0.5611. Observe lo cerca que están esos números de los valores reales que se mencionan al ¿QDOGHOHMHPSOR La segunda iteración comienza sustituyendo x2  0.3722 y x3  0.3167 en la primera ecuación. El resultado es x1 $SDUWLUGHx1  0.1722 y del último valor calculado de x4 (en particular, x4  0.5611), los resultados para la segunda y la tercera ecuación son, respectivamente, x2  0.4055 y x3  0.3500. Utilizando estos dos valores, encontramos de la cuarta ecuación que x4 $O¿QDOGHODVHJXQGDLWHUDFLyQWHQHPRVTXH x1 0.1722, x2 0.4055, x3 0.3500, x4 0.5678. En la tabla 15.1 se pueden ver los resultados de la tercera a la séptima iteración. TABLA 15.1 Iteración 3a. 4a. 5a. 6a. 7a. x1 x2 x3 x4 0.1889 0.4139 0.3584 0.5820 0.1931 0.4160 0.3605 0.5830 0.1941 0.4165 0.3610 0.5833 0.1944 0.4166 0.3611 0.5833 0.1944 0.4166 0.3611 0.5833 NOTA Para aplicar la iteración de Gauss-Seidel a un sistema general de n ecuaciones lineales con n incógnitas, la variable xi debe aparecer realmente en la i-ésima HFXDFLyQGHOVLVWHPD$GHPiVGHVSXpVGHGHVSHMDUxi, i  1, 2, . . . , n de cada ecuación, el sistema resultante tiene la forma X  AX  B, donde todos los elementos de la diagonal principal de A son cero. COMENTARIOS x=1 y 0 y = 12 0 0 0 P11 P21 P31 100 100 100 0 x FIGURA 15.1.5 Región rectangular R. i) En los ejemplos presentados en esta sección se determinaron los valores de uij usando valores conocidos de u en los puntos frontera. ¿Pero qué se hace si la región es tal que los puntos frontera no coinciden con la frontera real C de la región R? En este caso, los valores buscados se pueden obtener por interpolación. ii) En ocasiones es posible bajar la cantidad de ecuaciones a resolver usando simetrías. Consideremos la región rectangular 0  x  2, 0  y  1, que se PXHVWUDHQOD¿JXUD/DVFRQGLFLRQHVHQODIURQWHUDVRQu  0 a lo largo de las fronteras x  0, x  2, y  1 y u  100 a lo largo de y  0. La región es simétrica respecto a las rectas x  1 y y 12 , y los puntos interiores P11 y P31 equidistan de los puntos frontera vecinos en los que son iguales los valores HVSHFL¿FDGRVGHu. En consecuencia, suponemos que u11  u31, por lo que el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se reduce a dos ecuaciones con dos incógnitas. Vea el problema 2 de los ejercicios 15.1. iii) En el contexto de la aproximación de una solución de la ecuación de Laplace, la técnica de iteración que se ilustra en el ejemplo 3 con frecuencia se conoce como el método de Liebman. iv $XQTXHHQXQDFRPSXWDGRUDORVLJXLHQWHSRGUtDSDVDULQDGYHUWLGRSXHGHVHUTXH la convergencia de la iteración de Gauss-Seidel o método de Liebman no sea particu-larmente rápida. También, en un caso más general, puede ser que esa iteración no FRQYHUMD3DUDFRQGLFLRQHVTXHVRQVX¿FLHQWHVSDUDJDUDQWL]DUODFRQYHUJHQFLDGHOD iteración de Gauss-Seidel, se le pide que consulte libros de métodos numéricos. 530 l CAPITULO 15 SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES EJERCICIOS 15.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-25. En los problemas 1 a 8 utilice una computadora como ayuda. En los problemas 1 a 4 utilice la ecuación (5) para aproximar la solución de la ecuación de Laplace en los puntos interiores de la región dada. Cuando sea posible, considere simetría. 1. u(0, y)  0, u(3, y)  y(2  y), 0  y  2 u(x, 0)  0, u(x, 2)  x(3  x), 0  x  3 tamaño de malla: h  1 2. u(0, y)  0, u(2, y)  0, 0  y  1 u(x, 0)  100, u(x, 1)  0, 0  x  2 tamaño de malla: h 12 3. u(0, y)  0, u(1, y)  0, 0  y  1 u(x, 0)  0, u(x, 1)  sen ʌ[, 0  x  1 tamaño de malla: h 13 4. u(0, y)  108y 2(1  y), u(1, y)  0, 0  y  1 u(x, 0)  0, u(x, 1)  0, 0  x  1 tamaño de malla: h 13 En los problemas 5 y 6 utilice la ecuación (6) y la iteración de Gauss-Seidel para aproximar la solución de la ecuación de Laplace en los puntos interiores de un cuadro unitario. Utilice el tamaño de malla h 14 . En el problema 5, las condiciones en la frontera están dadas; en el problema 6 los valores de u en ORVSXQWRVIURQWHUDVHSUHVHQWDQHQOD¿JXUD 5. u(0, y)  0, u(1, y)  100y, 0  y  1 u(x, 0)  0, u(x, 1)  100x, 0  x  1 6. y 10 20 40 20 40 20 P13 P23 P33 P12 P22 P32 P11 P21 P31 10 20 30 70 60 50 2 u u f(x, y). Demuestre 2 2 y x que la ecuación que la sustituye es ui 1, j ui, j 1 ui 1, j ui, j 1 4uij h2 f (x, y). 2 ecuación de Poisson b) Utilice el resultado del inciso a) para aproximar la 2 2 u u solución de la ecuación de Poisson 2 2 y2 x   HQORVSXQWRVLQWHULRUHVGHOD¿JXUD(OWDPDxR de malla es h 12 , u  1 en cada punto a lo largo de ABCD y u  0 en cada punto a lo largo de DEFGA. Utilice la simetría y, si es necesario, la iteración de Gauss-Seidel. y F G A B C D E x FIGURA 15.1.7 Región del problema 7. 8. Utilice el resultado del inciso a) del problema 7 para aproximar la solución de la ecuación de Poisson 2 u x2 2 u y2 64   HQORVSXQWRVLQWHULRUHVGHODUHJLyQHQOD¿JXUD(O tamaño de malla es h 18 y u  0 en todos los puntos de la frontera de la región. Si es necesario, utilice la iteración de Gauss-Seidel. y x FIGURA 15.1.6 Región del problema 6. 7. a) En el problema 12 de los ejercicios 12.6 resolvió un problema de potencial usando una forma especial de la 15.2 x FIGURA 15.1.8 Región del problema 8. ECUACIÓN DE CALOR REPASO DE MATERIAL l Secciones 9.5, 12.1, 12.2, 12.3 y 15.1. INTRODUCCIÓN La idea básica en el análisis que se presenta a continuación es la misma que HQODVHFFLyQ$SUR[LPDPRVXQDVROXFLyQGHOD('3HVWDYH]XQD('3SDUDEyOLFDVXVWLWX\HQGRODHFXDFLyQFRQXQDHFXDFLyQHQGLIHUHQFLDV¿QLWDV3HURDGLIHUHQFLDGHODVHFFLyQDQWHULRU consideraremos dos métodos de aproximación para las ecuaciones diferenciales parciales parabólicas: uno llamado método explícito y el otro llamado método implícito. &RQREMHWRGHGH¿QLUORVFRQVLGHUDUHPRVVyORODHFXDFLyQXQLGLPHQVLRQDOGHWUDQVPLVLyQGHFDORU 15.2 ECUACIÓN DE CALOR l 531 REEMPLAZO POR UNA ECUACIÓN EN DIFERENCIAS Para aproximar una solución u(x, t) de una ecuación unidimensional de transmisión de calor 2 u u (1) c 2 x t nuevamente reemplazaremos cada derivada por un cociente de diferencias. Utilizando la aproximación por diferencias centrales (2) de la sección 15.1. 2 u 1 [u(x h, t) 2u(x, t) u(x h, t)] x2 h2 y la aproximación por diferencias hacia adelante (3) de la sección 9.5. u 1 [u(x, t h) u(x, t)] t h la ecuación (1) se convierte en c 1 (2) [u(x h, t) 2u(x, t) u(x h, t)] [u(x, t k) u(x, t)]. 2 h k Si hacemos Ȝ  ck兾h2 y u(x, t) uij , u(x h, t) ui 1, j , u(x h, t) ui 1, j , u(x, t k) ui, j 1, HQWRQFHVGHVSXpVGHVLPSOL¿FDUODHFXDFLyQ  HV ui, j 1 ui 1, j (1 2 ) uij ... t T 3k 2k k 0 h 2h 3h ... a x FIGURA 15.2.1 Región rectangular del plano xt. (3) En el caso de la ecuación de calor (1), las condiciones en la frontera típicas son u(0, t)  u1, u(a, t)  u2, t 0 y una condición inicial es u(x, 0)  f (x), 0  x  a. La función f se puede interpretar como la distribución de temperatura inicial de temperaturas en una varilla homogénea que va de x  0 a x  a; u1 y u2 se pueden interpretar como ODVWHPSHUDWXUDVFRQVWDQWHVHQORVSXQWRVH[WUHPRVGHODYDULOOD$XQTXHQRORGHPRVWUDremos, este problema con valores en la frontera que consiste en la ecuación (1), de estas dos condiciones en la frontera y de una condición inicial, tiene una solución única cuando f es continua en el intervalo cerrado [0, a]. Se supondrá esta última condición por lo que reemplazaremos la condición inicial por u(x, 0)  f (x), 0  x  a$GHPiVHQOXJDUGH WUDEDMDUFRQODUHJLyQVHPLLQ¿QLWDHQHOSODQRxtGH¿QLGDSRUODVGHVLJXDOGDGHV x  a, t XWLOL]DUHPRVXQDUHJLyQUHFWDQJXODUGH¿QLGDSRU x  a, 0  t  T, donde T es XQYDORUHVSHFt¿FRGHOWLHPSR6REUHHVWDUHJLyQVHFRORFDXQDPDOODUHFWDQJXODUIRUPDGD por rectas verticales distanciadas h unidades y rectas horizontales distanciadas k unidades. 9HDOD¿JXUD6LVHHOLJHQGRVHQWHURVSRVLWLYRVn y m\VHGH¿QH ui 1, j. a T y k , n m HQWRQFHVODVUHFWDVYHUWLFDOHV\KRUL]RQWDOHVGHODPDOODVHGH¿QHQSRU h ( j + 1)-ésima recta del tiempo j-ésima recta del tiempo u i, j + 1 xi k u i − 1, j ui j u i + 1, j h FIGURA 15.2.2 u en t  j  1 se determina de los tres valores de u en t  j. ih, i 0, 1, 2, . . . , n y tj 0, 1, 2, . . . , m. jk, j &RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUDODLGHDDTXtHVXWLOL]DUODIyUPXOD  SDUD estimar los valores de la solución u(x, t) en los puntos de la recta del (j  1)-ésimo tiempo usando sólo los valores de la recta del j-ésimo tiempo. Por ejemplo, los valores en la primera recta de tiempo (j  1) dependen de la condición inicial ui,0  u(xi, 0)  f (xi) que están en la recta del tiempo cero (j  $HVWDFODVHGHSURFHGLPLHQWR numérico se le llama PpWRGRH[SOtFLWRGHGLIHUHQFLDV¿QLWDV. EJEMPLO 1 8VRGHOPpWRGRGHGLIHUHQFLDV¿QLWDV Considere el problema con valores en la frontera 2 u x2 u , t 0 u(0, t) 0, u(x, 0) sen x u(1, t) x, 0 1, 0 t 0.5 0, t 0.5 x 0 1. 532 CAPITULO 15 l SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 3ULPHURLGHQWL¿FDPRVc  1, a  1 y T  0.5. Si elegimos, por ejemplo n  5 y m  50, entonces h  1兾5  0.2, k  0.5兾50  0.01, Ȝ  0.25, xi 1 i , i 5 0, 1, 2, 3, 4, 5, tj Por lo que la ecuación (3) se convierte en ui, j 1 0.25(ui 1, j j 1 , j 100 2uij 0, 1, 2, . . . , 50. 1, j). ui Haciendo j  0 en esta fórmula, se obtiene una fórmula de las aproximaciones a la temperatura u en la primera recta del tiempo: ui,1 0.25(ui 1,0 2ui,0 ui 1,0). Entonces, si hacemos i  1, . . . , 4 en la última ecuación, se obtienen, respectivamente, u11 0.25(u20 2u10 u00) u21 0.25(u30 2u20 u10) u31 0.25(u40 2u30 u20) u41 0.25(u50 2u40 u30). La primera ecuación de esta lista se interpreta como u11 0.25(u(x2, 0) 2u(x1, 0) u(0, 0)) 0.25(u(0.4, 0) 2u(0.2, 0) u(0, 0)). De la condición inicial u(x, 0)  sen ʌ[ la última ecuación se convierte en u11 0.25(0.951056516 2(0.587785252) 0) 0.531656755. Este número representa una aproximación a la temperatura u(0.2, 0.01). Puesto que se requiere una larga tabla de más de 200 elementos para resumir todas las aproximaciones sobre una malla rectangular determinada por h y k, en la tabla 15.2 sólo presentamos algunos valores seleccionados. TABLA 15.2  $  SUR[LPDFLyQH[SOtFLWDGHODHFXDFLyQHQGLIHUHQFLDVFRQh  0.2, k  0.001, Ȝ  0.025. Tiempo 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 TABLA 15.3  5HDO $SUR[LPDGR u(0.4, 0.05)  0.5806 u(0.6, 0.06)  0.5261 u(0.2, 0.10)  0.2191 u(0.8, 0.14)  0.1476 u25  0.5758 u36  0.5208 u1,10  0.2154 u4,14  0.1442 x  0.20 x  0.40 x  0.60 x  0.80 0.5878 0.2154 0.0790 0.0289 0.0106 0.0039 0.9511 0.3486 0.1278 0.0468 0.0172 0.0063 0.9511 0.3486 0.1278 0.0468 0.0172 0.0063 0.5878 0.2154 0.0790 0.0289 0.0106 0.0039 Debe comprobar, utilizando los métodos del capítulo 12, que la solución exacta del 2 problema con valores en la frontera del ejemplo 1 está dada por u(x, t) e t sen x. Usando esta solución, comparamos en la tabla 15.3 una muestra de los valores reales con sus correspondientes aproximaciones. ESTABILIDAD Estas aproximaciones son comparables con los valores exactos y WLHQHQODSUHFLVLyQVX¿FLHQWHFRPRSDUDXVDUVHHQDOJXQRVFDVRV3HURHVWHPpWRGRWLH QH XQD GL¿FXOWDG 5HFXHUGH TXH XQ PpWRGR QXPpULFR HV inestable si los errores de redondeo o de cualquier otra clase crecen con demasiada rapidez conforme avanzan los cálculos. El procedimiento numérico que se muestra en el ejemplo 1 puede presentar esta clase de comportamiento. Se puede demostrar que el procedimiento es estable si Ȝ es menor o igual a 0.5 pero es inestable en cualquier otro caso. Para obtener Ȝ  0.25  0.5 en el ejemplo 1 tuvimos que elegir el valor de k  0.01. La necesidad de 15.1 ECUACIÓN DE CALOR l 533 utilizar tamaños de paso muy pequeños en la dirección del tiempo es la falla principal de este método. Le sugerimos que trabaje con el problema 12 de los ejercicios 15.2 y YHUL¿TXHODLQHVWDELOLGDGSUHGHFLEOHFXDQGRȜ  1. MÉTODO DE CRANK-NICHOLSON Hay PpWRGRVLPSOtFLWRVGHGLIHUHQFLDV¿nitas para resolver ecuaciones diferenciales parciales parabólicas. Esos métodos requieren que se resuelva un sistema de ecuaciones para determinar los valores aproximados de u en la recta del (j  1)-ésimo tiempo. Sin embargo, los métodos implícitos no tienen problemas de inestabilidad. El algoritmo que introdujeron J. Crank y P. Nicholson en 1947, se usa más que nada para resolver la ecuación de calor. El algoritmo consiste en reemplazar la segunda 2 u u por un promedio de los cocientes en diferencias derivada parcial en c 2 x t centrales, uno se evalúa en t y el otro en t  k: 2u(x, t) h2 2u(x, t k) u(x h, t k) h2 1 (4) [u(x, t k) u(x, t)]. k . 6LGHQXHYRGH¿QLPRVDȜ  ck兾h2, entonces, después de reordenar los términos, la ecuación (4) se puede escribir como u(x ui h, t) u(x h, t 1, j 1 aui, j k) ui 1 1, j 1 ui 1, j uij 1, j , ui (5) donde Į  2(1  1兾Ȝ) y ȕ  2(1  1兾Ȝ), j  0, 1, . . . , m  1, e i  1, 2, . . . , n  1. Para cada elección de j la ecuación de diferencias (5) para i  1, 2, . . . , n – 1 da n  1 ecuaciones con n  1 incógnitas ui, j  1. Debido a las condiciones indicadas en la frontera, se conocen los valores de ui, j  1 para i  0 y para i  n. Por ejemplo, en el caso n  4, el sistema de ecuaciones para determinar los valores aproximados de u en la recta del (j  1)-ésimo tiempo es u0, j 1 au1, j 1 u2, j 1 u2, j u1, j u0, j u1, j 1 au2, j 1 u3, j 1 u3, j u2, j u1, j u2, j 1 au3, j 1 u4, j 1 u4, j u3, j u2, j o u1, j 1 u1, j donde 1 u2, j 1 au2, j 1 u3, j 1 b2 u2, j 1 u3, j 1 b3, b1 u2, j u1, j u0, j b2 u3, j u2, j u1, j b3 u4, j u3, j u2, j b1 u0, j (6) 1 u4, j 1. En general, si usamos la ecuación en diferencias (5) para determinar valores de u en la recta del (j  1)-ésimo tiempo, necesitamos resolver un sistema lineal AX  B, GRQGHODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVA es una matriz tridiagonal, ( . 0 0 0 . . . a 1 0 0 0 1 a 1 0 0 0 1 a 1 0 A 0 0 1 a 1 0 , . . . . . . 0 0 0 0 a 1 0 0 0 0 0 . . . 1 a 0 . h, t) . c u(x 2 ) 534 CAPITULO 15 l SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES y los elementos de la matriz columna B son b1 u2, j u1, j u0, j b2 u3, j u2, j u1, j b3 u4, j u3, j u2, j bn EJEMPLO 2 1 un, j un un 1, j u0, j 2, j 1 un, j 1. Uso del método de Crank-Nicholson Utilice el método de Crank-Nicholson para aproximar la solución del problema con valores en la frontera 2 u u 0.25 2 , 0 x 2, 0 t 0.3 x t u(0, t) 0, u(2, t) 0, 0 t 0.3 u(x, 0) sen x, 0 x 2, utilizando n  8 y m  30. SOLUCIÓN ,GHQWL¿FDQGRa  2, T  0.3, h 1 0.25, k 100 0.01, y c  0.25 se obtiene Ȝ  0.04. Con ayuda de una computadora se obtienen los resultados de la tabla 15.4. Como en el ejemplo 1, los elementos de esta tabla representan una cantidad seleccionada de las 210 aproximaciones sobre la malla rectangular determinada por h y k. Método de Crank-Nicholson con h  0.025, k  0.01 y Ȝ  0.25. TABLA 15.4 Tiempo x  0.25 x  0.50 x  0.75 x  1.00 x  1.25 x  1.50 x  1.75 0.7071 0.6289 0.5594 0.4975 0.4425 0.3936 0.3501 1.0000 0.8894 0.7911 0.7036 0.6258 0.5567 0.4951 0.7071 0.6289 0.5594 0.4975 0.4425 0.3936 0.3501 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.7071 0.6289 0.5594 0.4975 0.4425 0.3936 0.3501 1.0000 0.8894 0.7911 0.7036 0.6258 0.5567 0.4951 0.7071 0.6289 0.5594 0.4975 0.4425 0.3936 0.3501 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 TABLA 15.5 5HDO $OLJXDOTXHHQHOHMHPSORHOSUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUDGHOHMHPSOR 2 tiene una solución exacta dada por u(x, t) e t/4 sen x. Las comparaciones de la muestra se listan en la tabla 15.5 donde se ve que los errores absolutos son del orden 102 o 103. Se pueden obtener errores más pequeños disminuyendo ya sea h o k. $SUR[LPDGR u(0.75, 0.05)  0.6250 u(0.50, 0.20)  0.6105 u(0.25, 0.10)  0.5525 u35  0.6289 u2, 20  0.6259 u1, 10  0.5594 EJERCICIOS 15.2 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-26. En los problemas 1 a 12 utilice una computadora como ayuda. 1. Utilice la ecuación en diferencias (3) para aproximar la solución del problema con valores en la frontera 2 u x2 u(0, t) u(x, 0) u , t 0 x 0, u(2, t) 1, 0 0, 1 Utilice n  8 y m  40. 1 4 x x 2, 0 t 1 0, t 1 1 2. 0 2. Utilizando la solución en serie de Fourier que se obtuvo en el problema 1 de los ejercicios 12.3, con L  2, se pueden sumar los 20 primeros términos para estimar los valores de u(0.25, 0.1), u(l, 0.5) y u(1.5, 0.8), de la solución u(x, t) del problema 1 anterior. Un alumno escribió un programa de cómputo para hacer esto y obtuvo los resultados u(0.25, 0.1)  0.3794, u(l, 0.5)  0.1854 y u(l.5, 0.8)  0.0623. Suponga que estos valores son precisos con todos los decimales dados. Compare estos valores con las aproximaciones obtenidas en el problema 1 anterior. Encuentre los errores absolutos en cada caso. 3. Resuelva el problema 1 con el método de CrankNicholson con n  8 y m  40. Utilice los valores de 15.3 ECUACIÓN DE ONDA l 535 u(0.25, 0.1), u(l, 0.5) y u(1.5, 0.8) que se dieron en el problema 2 para calcular los errores absolutos. 8. Repita el problema 6 para el caso en el que las temperaturas en los extremos son u(0, t)  0, u(L, t)  20, 0  t  10. 4. Repita el problema 1 usando n  8 y m  20. Utilice los valores de u(0.25, 0.1), u(l, 0.5) y u(1.5, 0.8) mencionados en el problema 2 para calcular los errores absolutos. ¿Por qué son tan imprecisas las aproximaciones en este caso? 9. Resuelva el problema 8 con el método de Crank-Nicholson. 5. Resuelva el problema 1 con el método de Crank-Nicholson con n  8 y m  20. Utilice los valores de u(0.25, 0.1), u(l, 0.5) y u(1.5, 0.8) dados en el problema 2 para calcular los errores absolutos. Compare estos errores con los obtenidos en el problema 4. 6. En la sección 12.2 se mostró que si una varilla de longitud L es de un material con conductividad térmica K, FDORUHVSHFt¿FRȖ y densidad ȡ, la temperatura u(x, t) satisface la ecuación diferencial parcial K 2 u x2 u , t 0 x f (x), 0 x L. Utilice la ecuación en diferencias (3) en esta sección, con n  10 y m  10, para aproximar la solución del problema con valores en la frontera cuando a) L  20, K  0.15, ȡ  8.0, Ȗ  0.11, f (x)  30 b) L  50, K  0.15, ȡ  8.0, Ȗ  0.11, f (x)  30 c) L  20, K  1.10, ȡ  2.7, Ȗ  0.22, f (x)  0.5x(20  x) d) L  100, K  1.04, ȡ  10.6, Ȗ  0.06, f (x) 0.8x, 0.8(100 0 x), 50 x x 50 100 7. Resuelva el problema 6 con el método de Crank-Nicholson con n  10 y m  10. 15.3 11. Considere una varilla cuya longitud es L  20 para la que K  1.05, ȡ  10.6 y Ȗ  0.056. Suponga que L. Considere el problema con valores en la frontera consistente en la ecuación anterior y en las siguientes condiciones: u(0, t) 0, u(L, t) 0, 0 t 10 u(x, 0) 10. Examine el problema con valores en la frontera del ejemplo 2. Suponga que n  4. a) Encuentre el nuevo valor de Ȝ. b) Utilice la ecuación en diferencias (5) de CrankNicholson para encontrar el sistema de ecuaciones para u11, u21 y u31, esto es, los valores aproximados de u en la primera recta de tiempo. [Sugerencia: Iguale j  0 en la ecuación (5) y haga que i tome los valores 1, 2, 3.] c) Resuelva el sistema de tres ecuaciones sin computadora. Compare sus resultados con los elementos correspondientes de la tabla 15.4. u(0, t) 20, u(x, 0) 50. 30 u(20, t) a) Utilice el método explicado en la sección 12.6 para encontrar la solución de estado estable ȥ(x). b) Utilice el método de Crank-Nicholson para aproximar las temperaturas u(x, t) para 0  t  Tmáx. Seleccione un Tmáx OR VX¿FLHQWHPHQWH JUDQGH SDUD permitir que las temperaturas se aproximen a sus valores de estado estable. Compare las aproximaciones para t  Tmáx con los valores de ȥ(x) que se encontraron en el inciso a). 12. Utilice la ecuación en diferencias (3) para aproximar la solución del problema con valores en la frontera 2 u x2 u , t 0 x 1, 0 t 1 t 1 u(0, t) 0, u(1, t) 0, u(x, 0) sen x, 0 x 0 1. Utilice n  5 y m  25. ECUACIÓN DE ONDA REPASO DE MATERIAL l Secciones 9.5, 12.1, 12.2, 12.4 y 15.2. INTRODUCCIÓN En esta sección aproximaremos una solución de la ecuación de onda unidimenVLRQDOXVDQGRHOPpWRGRGHGLIHUHQFLDV¿QLWDVTXHKHPRVXWLOL]DGRHQODVGRVVHFFLRQHVDQWHULRUHV/D ecuación de onda unidimensional es el modelo de una ecuación diferencial parcial hiperbólica. REEMPLAZO POR UNA ECUACIÓN EN DIFERENCIAS Suponga que u(x, t) representa una solución de la ecuación de onda unidimensional 2 c2 u x2 2 u . t2 (1) 536 l CAPITULO 15 SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Utilizando dos diferencias centrales, 2 1 [u(x h2 u x2 h, t) 2u(x, t) u(x k) 2u(x, t) u(x, t h, t)] 2 u 1 [u(x, t 2 t k2 sustituyendo la ecuación (1) por c2 [u(x h2 h, t) 2u(x, t) u(x 1 [u(x, t k2 h, t)] k)], 2u(x, t) k) u(x, t k)]. (2) Resolviendo la ecuación (2), se encuentra u(x, t  k), que es ui,j  1. Si Ȝ  ck兾h, entonces se puede expresar la ecuación (2) como 2 2 2 (3) ui, j 1 ui 1, j 2(1 )uij ui 1, j ui, j 1 para i  1, 2, . . . , n  1 y j  1, 2, . . . , m  1. En este caso, en el que la ecuación de onda (1) es un modelo para los desplazamientos verticales u(x, t) de una cuerda vibrando, las condiciones en la frontera típicas son u(0, t)  0, u(a, t)  0, t 0 y las condiciones iniciales son u(x, 0)  f (x), u兾t|t  0  g(x),, 0  x  a. Las funciones f y g se pueden interpretar como la posición inicial y la velocidad inicial de la cuerda. El método numérico basado en la ecuación (3), al igual que el primer método explicado en la sección 15.2, es un método explícito de GLIHUHQFLDV¿QLWDV&RPRDQWHVXVDUHPRVODHFXDFLyQHQGLIHUHQFLDVSDUDDSUR[LPDUOD solución u(x, t) de (1), utilizando las condiciones frontera e iniciales, sobre una región rectangular en el plano xtGH¿QLGRSRUODVGHVLJXDOGDGHV x  a, 0  t  T, donde THVDOJ~QYDORUHVSHFt¿FRGHOWLHPSR6Ln y m son enteros positivos y a T y k , n m ODVUHFWDVGHODPDOODKRUL]RQWDOHV\YHUWLFDOHVHQHVWDUHJLyQHVWiQGH¿QLGDVFRPR h ( j + 1)-ésima recta de tiempo j-ésima recta de tiempo k ( j − 1)-ésima recta de tiempo xi ih, i 0, 1, 2, . . . , n y tj jk, j 0, 1, 2, . . . , m. &RPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUDODHFXDFLyQ  QRVSHUPLWHREWHQHUODDSUR[LPDción ui,j  1 en la recta del (j  l)-ésimo tiempo a partir de los valores indicados en las rectas del j-ésimo y del (j  pVLPRWLHPSRV$GHPiVXVDUHPRV u i, j + 1 u i − 1, j ui j u i + 1, j u i, j − 1 h FIGURA 15.3.1 u en t  j  1 se determina a partir de los tres valores de u en t  j y un valor en t  j 1. u0, j 0, u(0, jk) y ui,0 un, j 0- u(a, jk) f (xi ). u(xi , 0) ←condición de frontera ←condiciones iniciales Hay un pequeño problema para comenzar. En la ecuación (3) se puede ver que para j  1 es necesario conocer los valores de ui,1 (es decir, las estimaciones de u en la primer recta de tiempo) para determinar ui,23HURHQOD¿JXUDFRQj  0, se ve que los valores de ui,1 en la primer recta de tiempo dependen de los valores de ui,0, en la recta cero de tiempo y de los valores de ui,1. Para calcular estos últimos valores, se utiliza la condición de la velocidad inicial ut(x, 0)  g(x). En t  0 se tiene de la ecuación (5) de la sección 9.5 que u(xi , k) u(xi , k) g(xi ) ut (xi , 0) . (4) 2k Para que tenga sentido el término u(xi,k)  ui,l en la ecuación (4) tenemos que imaginar que u(x, t) se prolonga hacia atrás en el tiempo. De la ecuación (4) se tiene que u(xi , k) u(xi , k) 2kg(xi ). (VWH~OWLPRUHVXOWDGRVXJLHUHTXHVHGH¿QD (5) ui,1 2kg(xi ) ui, 1 en la iteración de la ecuación (3). Sustituyendo la ecuación (5) en la ecuación (3) cuando j  0 obtenemos el caso especial 2 ui,1 2 (ui 1,0 ui 1,0) (1 2 )ui,0 kg(xi ). (6) 15.3 EJEMPLO 1 ECUACIÓN DE ONDA l 537 8VRGHOPpWRGRGHGLIHUHQFLDV¿QLWDV $SUR[LPHODVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUD 2 2 u , t2 u x2 4 0 1, 0 x u(0, t) 0, u(1, t) u(x, 0) sen px, 0, u t 0 1 t 1 t 0, 0 1, x 0 t utilizando la ecuación (3) con n  5 y m  20. ,GHQWL¿FDQGRc  2, a  1 y T  1. Con n  5 y m  20 se obtiene h 15 0.2, k 201 0.05, y Ȝ  0.5. Por lo que, con g(x)  0, las ecuaciones (6) y (3) se convierten, respectivamente en SOLUCIÓN 0.125(ui ui,1 ui, j 0.25ui 1 1, j ui 1,0 1,0) 1.5uij (7) 0.75ui,0 0.25ui 1, j ui, j 1. (8) Para i  1, 2, 3, 4, la ecuación (7) produce los siguientes valores de las ui,l en la primera recta del tiempo: u11 0.125(u20 u00) 0.75u10 0.55972100 u21 0.125(u30 u10) 0.75u20 0.90564761 u31 0.125(u40 u20) 0.75u30 0.90564761 u41 0.125(u50 u30) 0.75u40 0.55972100. (9) Observe que los resultados dados en (9) se obtuvieron a partir de la condición inicial u(x, 0)  sen ʌ[. Por ejemplo, u20  sen(0.2ʌ HWFpWHUD$KRUDKDFLHQGRj  1 en la ecuación (8) se obtiene ui,2 0.25ui 1,1 1.5ui,1 por lo que para i  1, 2, 3, 4, se obtienen u12 0.25u21 1.5u11 0.25ui 1,1 ui,0 , 0.25u01 u10 u22 0.25u31 1.5u21 0.25u11 u20 u32 0.25u41 1.5u31 0.25u21 u30 u42 0.25u51 1.5u41 0.25u31 u40. Utilizando las condiciones en la frontera, las condiciones iniciales y los datos obtenidos en (9), obtenemos de esas ecuaciones las aproximaciones de u para la segunda recta de tiempo. En la tabla 15.6 se presentan estos resultados y una síntesis de los cálculos restantes. TABLA 15.6 $  SUR[LPDFLyQH[SOtFLWDSRUPHGLRGHODHFXDFLyQHQGLIHUHQFLDV con h  0.2, k  0.05, Ȝ  0.5. Tiempo 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 x  0.20 0.5878 0.4782 0.1903 0.1685 0.4645 0.5873 0.4912 0.2119 0.1464 0.4501 0.5860 x  0.40 0.9511 0.7738 0.3080 0.2727 0.7516 0.9503 0.7947 0.3428 0.2369 0.7283 0.9482 x  0.60 0.9511 0.7738 0.3080 0.2727 0.7516 0.9503 0.7947 0.3428 0.2369 0.7283 0.9482 x  0.80 0.5878 0.4782 0.1903 0.1685 0.4645 0.5873 0.4912 0.2119 0.1464 0.4501 0.5860 538 CAPITULO 15 l SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Con facilidad se comprueba que la solución exacta del problema en el ejemplo 1 es u(x, t)  sen ʌ[ cos 2ʌW. Con esta función podemos comparar los valores reales con las aproximaciones. Por ejemplo, en la tabla 15.7 se presentan algunas comparaciones seleccionadas. Como se puede ver en la tabla las aproximaciones están en la misma “zona” que los valores reales, pero la exactitud no es particularmente impresionante. Sin embargo, se pueden obtener resultados más exactos. La exactitud de este algoritmo depende de la elección de Ȝ. Por supuesto, Ȝ está determinada por la elección de los enteros n y m, que a su vez determinan los valores de los tamaños de paso h y k. Se puede demostrar que la mejor exactitud se obtiene siempre con este método cuando la proporción Ȝ  kc兾h es igual a uno, en otras palabras, cuando el paso en la dirección del tiempo es k  h兾c. Por ejemplo, si se eligen n  8 y m  16 se obtiene h 18, k 161 , y Ȝ  1. Los valores que se presentan en la tabla 15.8 muestran con claridad la mejora en la exactitud. TABLA 15.7 TABLA 15.8 5HDO $SUR[LPDGR 5HDO $SUR[LPDGR u(0.4, 0.25)  0 u(0.6, 0.3)  0.2939 u(0.2, 0.5)  0.5878 u(0.8, 0.7)  0.1816 u25  0.0185 u36  0.2727 u1,10  0.5873 u4,14  0.2119 u(0.25, 0.3125)  0.2706 u(0.375, 0.375)  0.6533 u(0.125, 0.625)  0.2706 u25  0.2706 u36  0.6533 u1,10  0.2706 ESTABILIDAD En conclusión, observamos que este método explícito de diferencias ¿QLWDVSDUDODHFXDFLyQGHRQGDHVHVWDEOHFXDQGRȜ  1 e inestable cuando Ȝ 1. EJERCICIOS 15.3 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-29. En los problemas 1, 3, 5 y 6 utilice una computadora como ayuda. 1. Utilice la ecuación en diferencias (3) para aproximar la solución del problema con valores en la frontera u x2 2 u(0, t) 0, u(x, 0) f (x), 2 c2 u , t2 0 0, u(a, t) u t a, 0 x 0 0, t t t T T 0 x a 0 cuando a) c  1, a  1, T  1, f (x)  x(1  x); n  4 y m  10 b) c  1, a  2, T  1, f (x) m  10 c) c 12, a f (x) n 10 y m 1, T 16(x 1) 2 1, 0, 0 0.5, 0.5 25. e ; n5 y 2. Considere el problema con valores en la frontera 2 2 u u , 0 x 1, 0 t 0.5 2 t2 x 0.5 1 0, u(1, t) 0 0.5 t u 0, 0 x 1. t t 0 a) Utilice los métodos del capítulo 12 para comprobar que la solución del problema es u(x, t)  sen ʌ[ cos ʌW. b) Utilice el método de esta sección para aproximar la solución del problema sin ayuda de un programa de cómputo. Utilice n  4 y m  5. c) Calcule el error absoluto en cada punto interior de la malla. u(x, 0) sen x, 3. $SUR[LPHODVROXFLyQGHOSUREOHPDFRQYDORUHVHQODIURQWHUD en el problema 2 por medio de un programa de cómputo con a) n  5, m  10 b) n  5, m  20. 4. Para el problema con valores en la frontera 2 x x 0, u(0, t) u x2 2 u , t2 u(0, t) 0, u(x, 0) x (1 0 x 1, 0 u(1, t) 0, x), u t 0 t 0 1 t t 1 0, 0 x 1, REPASO DEL CAPÍTULO 15 utilice h k 15 en la ecuación (6) para calcular a mano los valores de ui,l. 5. Como se demostró en la sección 12.2 la ecuación de una cuerda vibrando es T 2 2 u , t2 u x2 0.01x, f (x) 0.30 x 0 x 30 30 , 30 100 x 60. REPASO DEL CAPÍTULO 15 6. Repita el problema 5 usando f (x) y h  10, k u x2 0, 0 x u(0, y) 0, u(2, y) 50, u(x, 0) 0, u(x, 1) 0, 2, 0 0 y 0 1 y x 1 2.   $SUR[LPHODVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQORVSXQtos interiores de la región, con tamaño de malla h 12 . Utilice la eliminación de Gauss o la iteración de GaussSeidel. 2. Resuelva el problema 1 usando un tamaño de malla de h 14 . Utilice la iteración de Gauss-Seidel. 3. Se tiene el siguiente problema con valores en la frontera: 2 u x2 u , t 0 x 1, 0 t 0 u(0, t) 0, u(1, t) 0, u(x, 0) x, 0 1. x t 0.05 a) Observe que la temperatura inicial u(x, 0)  x indica que la temperatura en la frontera derecha x  1 debe ser u(1, 0)  1, mientras que las condiciones de frontera implican que u(l, 0)  0. Escriba un programa de cómputo SDUD HO PpWRGR H[SOtFLWR GH GLIHUHQFLDV ¿QLWDV GH WDO 0 15 , 15 150 x 15 x 60 2.51 >T . Utilice m  50. modo que las condiciones en la frontera prevalezcan para todos los tiempos que se consideren, incluyendo t  0. Utilice el programa para completar la tabla 15.9. 2 u y2 0.30 x Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-29. 1. Considere el problema con valores en la frontera 2 539 Utilice la ecuación en diferencias (3) en esta sección para aproximar la solución del problema con valores en la frontera cuando h  10, k 51 >T y donde ȡ  0.0225 g兾cm, T  1.4  107 dinas. Utilice m  50. 0.2x, donde T es la magnitud constante de la tensión en la cuerda y ȡ es su masa por unidad de longitud. Suponga que una cuerda de 60 centímetros de largo se ancla en sus extremos al eje x y se suelta a partir del reposo desde su desplazamiento inicial l b) 0  RGL¿TXHVXSURJUDPDGHFyPSXWRSDUDTXHODFRQdición inicial prevalezca en las fronteras en t  0. Utilice este programa para completar la tabla 15.10. c) ¿Están relacionadas de alguna manera las tablas 15.9 y 15.10? Si es necesario, utilice un intervalo mayor de tiempo. TABLA 15.9 Tiempo x  0.00 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 x  0.20 x  0.40 x  0.60 x  0.80 x  1.00 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 TABLA 15.10 Tiempo x  0.00 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 x  0.20 x  0.40 x  0.60 x  0.80 x  1.00 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 APÉNDICE I FUNCIÓN GAMMA /DGH¿QLFLyQLQWHJUDOGH(XOHUGHODfunción gamma es (1) tx 1 e t dt. (x) 0 /DFRQYHUJHQFLDGHODLQWHJUDOUHTXLHUHTXH x  1 UHFXUUHQFLD (x 1) OR x  /DUHODFLyQGH (2) x (x), FRPRYLPRVHQODVHFFLyQVHSXHGHREWHQHUGH  DOLQWHJUDUSRUSDUWHV$KRUD t 1, \SRUWDQWRGHODHFXDFLyQ  VHREWLHQH FXDQGR x 1, (1) 0 e dt Γ(x) x (2) 1 (1) 1 (3) 2 (2) 2 1 (4) 3 (3) 3 2 1 \DVtVXFHVLYDPHQWH$VtGHHVWDPDQHUDYHPRVTXHFXDQGRnHVXQHQWHURSRVLWLYR $(n  1)  n!.3RUHVWRDODIXQFLyQJDPPDVHOHOODPDFRQIUHFXHQFLDfunción factorial generalizada. $XQTXHODIRUPDLQWHJUDO  QRFRQYHUJHFXDQGRx VHSXHGHGHPRVWUDUSRU PHGLRGHGH¿QLFLRQHVDOWHUQDWLYDVTXHODIXQFLyQJDPPDHVWiGH¿QLGDSDUDWRGRV ORVQ~PHURVUHDOHV\FRPSOHMRVexcepto x  nn &RPRXQDFRQVHFXHQFLDODHFXDFLyQ  VyORHVYiOLGDSDUDx  n/DJUi¿FDGH$(x FRQVLGHUDGD FRPRXQDIXQFLyQGHXQDYDULDEOHUHDOxVHSUHVHQWDHQOD¿JXUD,2EVHUYHTXHORV HQWHURVQRSRVLWLYRVFRUUHVSRQGHQDODVDVtQWRWDVYHUWLFDOHVGHODJUi¿FD (QORVSUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRVKHPRVXVDGRHOKHFKRGHTXH 1 1 .(VWHUHVXOWDGRVHSXHGHGHGXFLUDSDUWLUGH  \KDFLHQGR x 12 : 2 () ( 12) FIGURA ,.1 *Ui¿FDGH$(x SDUDx GLVWLQWRGHFHUR\TXHQRVHDXQHQWHUR QHJDWLYR 1/ 2 t  e t dt. 0 &XDQGRVHKDFHt  u2ODHFXDFLyQ  VHSXHGHHVFULELUFRPR 2 v2 3HUR 0 e u du dv,SRUORTXH 0 e [ ( 12)]2 2 e u2 du 2 0 v2 e 4 dv 0 e 0 (12) (u 2 v 2 ) 2 0 e u2 du. du dv. 0 (OFDPELDUDFRRUGHQDGDVSRODUHVu  rFRVșv  rVHQșQRVSHUPLWHHYDOXDUOD LQWHJUDOGREOH /2 4 e 0 3RUWDQWR (u 2 v 2 ) du dv 4 0 e 0 [ ( 12)] 2 o 0 ( 12) r2 r dr d 1 . .   APE-1 APE-2 APÉNDICE I l FUNCIÓN GAMMA EJEMPLO 1 (YDO~H Valor de ( 12) ( 12). SOLUCIÓN 8VDQGRODVHFXDFLRQHV  \  FRQ x ( 12) ( 12) 3RUWDQWR EJERCICIOS PARA EL APÉNDICE I 1 2 2 1 2, ( 12). ( 12) 21 . Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-17. 1. (YDO~H a) $(5) c) 5. 8WLOLFHHOKHFKRGHTXH b) $(7) (32) d) HYDOXDU x5 e x5 WUDUTXH$(x QRHVWiDFRWDGDFXDQGRx → 0. (65) 0.92 SDUD dx. [Sugerencia: +DJD t  x 5.] 0 3. 8WLOLFH OD HFXDFLyQ   \ HO KHFKR GH TXH SDUD HYDOXDU x4 e x3 (53) 0.89 dx. 0 4. (YDO~H 1 3 x3 ln 0 t x 1 e t dt SDUDGHPRV- 0 (52) 2. 8WLOLFHODHFXDFLyQ  \HOKHFKRGHTXH 1 (x) 1 dx.[Sugerencia: +DJD t  OQx.] x 6. 8WLOLFH  SDUDGHGXFLU  FXDQGRx 0. 7. 8QDGH¿QLFLyQGHODIXQFLyQJDPPDTXHVHOHGHEHD&DUO )ULHGULFK*DXVVTXHHVYiOLGDSDUDWRGRVORVQ~PHURVUHDOHVH[FHSWRx HVWiGDGDSRU n! n x 1)(x 2) . . . (x n)   8VHHVWDGH¿QLFLyQSDUDPRVWUDUTXH (x 1) (x) lim no x(x x (x) . APÉNDICE II MATRICES II.1 DEFINICIONES BÁSICAS Y TEORÍA DEFINICIÓN II.1 Matriz Una matriz A es cualquier arreglo rectangular de números o funciones: a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . A  .. . . . am1 am2 . . . amn ( ) (1) Si una matriz tiene m renglones y n columnas, se dice que su tamaño es m por n (se escribe como m  n). Una matriz n  n se llama matriz cuadrada de orden n. El elemento, o entrada del i-ésimo renglón y la j-ésima columna de una matriz A m  n se representa por aij. Una matriz A m  n se representa en la forma A  (aij)m  n o simplemente A  (aij). Una matriz 1  1 es sólo una constante o función. DEFINICIÓN II.2 Igualdad de matrices Dos matrices m  n A y B son iguales si aij  bij para toda i y j. DEFINICIÓN II.3 Matriz columna Una matriz columna X es cualquier matriz que tenga n renglones y una columna: () b11 X b21 .  (b ) . i1 n1 . . bn1 Una matriz columna también se llama vector columna o simplemente vector. DEFINICIÓN II.4 Múltiplos de matrices Un múltiplo de una matriz AVHGH¿QHFRPR ka11 ka12 . . . ka1n ka21 ka22 . . . ka2n .  (ka ) , kA  .. ij mn . . . kam1 kam2 . . . kamn ( ) donde k es una constante o una función. APE-3 APE-4 l APÉNDICE II MATRICES EJEMPLO 1 2 a) 5 4 1 5 3 1 6 Múltiplos de matrices 10 20 1 15 5 30 et 2et 4et 1 2 4 t b) e Observamos que para toda matriz A el producto kA es igual al producto Ak. Por ejemplo, e DEFINICIÓN II.5 3t 2 5 2e 5e 3t 2 e 5 3t 3t . Suma de matrices La suma de dos matrices A y B m  nVHGH¿QHFRPRODPDWUL] B A (a i j b i j ) m n. En otras palabras, cuando se suman dos matrices del mismo tamaño se suman los elementos correspondientes. EJEMPLO 2 Suma de matrices 2 0 6 La suma de A A 2 0 6 B EJEMPLO 3 1 4 10 4 9 1 3 6 y B 5 1 4 10 7 3 ( 1) 4 9 1 3 6 5 7 3 1 ( 8) 5 2 8 5 es 2 6 9 5 6 7 9 5 11 . 3 Una matriz escrita como una suma de matrices columna 3t 2 La matriz sola t 2 2et 7t se puede escribir como la suma de tres vectores columna: 5t 3t 2 t2 2et 7t 5t 3t 2 t2 0 0 7t 5t 2et 0 0 3 1 t2 0 0 7 t 5 2 0 et. 0 La diferencia de dos matrices m  nVHGH¿QHHQODIRUPDXVXDOA – B  A  (B), donde –B  (1)B. APÉNDICE II MATRICES l APE-5 DEFINICIÓN II.6 Multiplicación de matrices Sea A una matriz con m renglones y n columnas y B una matriz con n renglones y p columnas. El producto ABVHGH¿QHFRPRODPDWUL]m  p a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . AB  .. . . . am1 am2 . . . amn ( )( b12 . . . b1p b22 . . . b2p . . . bn2 . . . bnp b11 b21 . . . bn1 ) a11b11  a12b21  . . .  a1nbn1 . . . a11b1p  a12b2p  . . .  a1nbnp a21b11  a22b21  . . .  a2nbn1 . . . a21b1p  a22b2p  . . .  a2nbnp . .  . . . . . . . . . . am1b1p  am2b2p  . . .  amnbnp am1b11  am2b21   amnbn1 ( ) n  (兺 ) . aikbkj k1 mp 2EVHUYHFRQFXLGDGRHQODGH¿QLFLyQ,,TXHHOSURGXFWRAB  CHVWiGH¿QLGR sólo cuando el número de columnas en la matriz A es igual al número de renglones en B. El tamaño del producto se determina de Am n Bn q p Cm p. q También reconocerá que los elementos en, digamos, el i-ésimo renglón de la matriz producto ABVHIRUPDQDSOLFDQGRODGH¿QLFLyQHQFRPSRQHQWHVGHOSURGXFWRLQWHULRU o punto, del i-ésimo renglón de A con cada una de las columnas de B. EJEMPLO 4 a) Para A 4 3 Multiplicación de matrices 7 5 4 9 3 9 AB b) Para A AB 5 1 2 9 6 y B 8 0 7 5 ( 4) 1 ( 4) 2 ( 4) 2 , 8 7 6 5 6 y B 8 2 0 2 7 2 4 2 4 ( 2) 3 ( 2) 7 8 5 8 78 57 48 . 34 3 , 0 5 ( 3) 1 ( 3) 2 ( 3) 8 0 0 0 7 0 4 4 6 15 3 . 6 En general, la multiplicación de matrices no es conmutativa; es decir, AB  BA. 30 53 , mientras que en el inciso Observe en el inciso a) del ejemplo 4, que BA 48 82 b) el producto BA QR HVWi GH¿QLGR SRUTXH HQ OD GH¿QLFLyQ ,, VH UHTXLHUH TXH OD primera matriz, en este caso B, tenga el mismo número de columnas como renglones tenga la segunda. Nos interesa en particular el producto de una matriz cuadrada por un vector columna. APE-6 l APÉNDICE II MATRICES EJEMPLO 5 2 0 1 a) 4 3 b) 1 4 7 3 5 9 2 8 x y Multiplicación de matrices 3 6 4 2 ( 3) 0 ( 3) 1 ( 3) 4x 3x ( 1) 6 4 6 ( 7) 6 3 4 5 4 9 4 0 44 9 2y 8y IDENTIDAD MULTIPLICATIVA Para un entero positivo n, la matriz n  n 1 0 0 . . . 0 0 1 0 . . . 0 . I  .. . . . 0 0 0 . . . 1 ( ) se llama matriz de identidad multiplicativa3RUODGH¿QLFLyQ,,SDUDWRGDPDWUL] A n  n. AI IA A. También se comprueba con facilidad que si X es una matriz columna n  1, entonces IX  X. MATRIZ CERO Una matriz formada sólo por elementos cero se conoce como matriz cero y se representa por 0. Por ejemplo, 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 y así sucesivamente. Si A y 0 son matrices m  n, entonces 0 , 0 0 0 A 0 0 , 0 0 A A. LEY ASOCIATIVA Aunque no lo demostraremos, la multiplicación de matrices es asociativa. Si A es una matriz m  p, B una matriz p  r y C una matriz r  n, entonces A(BC) (AB)C es una matriz m  n. LEY DISTRIBUTIVA 6L WRGRV ORV SURGXFWRV HVWiQ GH¿QLGRV OD PXOWLSOLFDFLyQ HV distributiva respecto de la suma: A(B C) AB AC y C)A (B BA CA. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ Asociado a toda matriz cuadrada A de constantes hay un número llamado determinante de la matriz, que se denota por det A. EJEMPLO 6 3 2 1 Para A det A p 3 2 1 Determinante de una matriz cuadrada 6 5 2 2 1 desarrollamos det A por cofactores del primer renglón: 4 6 5 2 2 1p 4 3 5 2 3(20 1 4 2) 6 6(8 2 1 1 4 2 1) 2(4 2 1 5 2 5) 18. APÉNDICE II MATRICES l APE-7 Se puede demostrar que un determinante det A se puede desarrollar por cofactores usando cualquier renglón o cualquier columna. Si det A tiene un renglón (o una columna) con muchos elementos cero, el sentido común aconseja desarrollar el determinante por ese renglón (o columna). DEFINICIÓN II.7 Transpuesta de una matriz La transpuesta de la matriz (1) m  n es la matriz AT de n  m dada por a11 a21 . . . am1 a12 a22 . . . am2 . . AT  .. . . . a1n a2n . . . amn ( ) Es decir, los renglones de una matriz A se convierten en las columnas de su transpuesta AT. EJEMPLO 7 Transpuesta de una matriz a) La transpuesta de A b) Si X 3 2 1 6 5 2 2 1 es AT 4 3 6 2 2 5 1 1 2 . 4 5 0 , entonces XT  (5 0 3). 3 DEFINICIÓN II.8 Inversa multiplicativa de una matriz Sea A una matriz n  n. Si existe una matriz B n  n tal que AB BA I, en donde I es la identidad multiplicativa, se dice que B es la inversa multiplicativa de A y se denota por B  A1. DEFINICIÓN II.9 Matrices no singular/singular Sea A una matriz n  n. Si det A  0, entonces se dice que A es no singular. Si det A  0, entonces A es singular. (OVLJXLHQWHWHRUHPDHVSHFL¿FDXQDFRQGLFLyQQHFHVDULD\VX¿FLHQWHSDUDTXHXQD matriz cuadrada tenga inversa multiplicativa. TEOREMA II.1 La no singularidad implica que A tiene una inversa Una matriz A n  n tiene una inversa multiplicativa A1 si y sólo si A es no singular. El siguiente teorema describe un método para determinar la inversa multiplicativa de una matriz no singular. APE-8 l APÉNDICE II MATRICES TEOREMA II.2 Una fórmula para la inversa de una matriz Sea A una matriz no singular n  n y sea Cij  (l)ij Mij, donde Mij es el determinante de la matriz de (n  1)  (n  1) obtenido al eliminar el i-ésimo renglón y la j-ésima columna de A, entonces 1 (C ) T. det A ij 1 A (2) Cada CijHQHOWHRUHPD,,HVVLPSOHPHQWHHOcofactor (el menor con signo) del elemento aij en A. Observe que en la fórmula (2) se utiliza la transpuesta. Para futuras referencias observe que en el caso de una matriz no singular 2  2 a 11 a 21 A a 12 a 22 que C11  a 22, C12  a 21, C 21  a 12, y C 22  a 11. Por tanto A 1 1 det A a 22 a 12 T a 21 a 11 1 det A a 22 a 21 a 12 . a 11 C13 a 21 a 31 (3) Para una matriz no singular 3  3 a 11 a 21 a 31 A C11 a 22 a 32 a 23 , a 33 C12 a 12 a 22 a 32 a 21 a 31 a 13 a 23 , a 33 a 23 , a 33 a 22 , a 32 y así sucesivamente. Al realizar la transposición se obtiene A EJEMPLO 8 C11 1 C12 det A C13 1 C 21 C 22 C 23 C31 C32 . C33 (4) Inversa de una matriz 2 ⴛ 2 1 2 Encuentre la inversa multiplicativa de A 4 . 10 Puesto que det A  10  8  2  0, A es no singular. De acuerdo con HOWHRUHPD,,A1 existe. Utilizando la ecuación (3) encontramos que SOLUCIÓN A 1 1 2 10 2 4 1 5 1 2 1 2 . No toda matriz cuadrada tiene inversa multiplicativa. La matriz A es singular, porque det A  0. Por tanto, A1 no existe. EJEMPLO 9 Inversa de una matriz 3 ⴛ 3 Encuentre la inversa multiplicativa de A 2 2 3 2 1 0 0 1 . 1 2 3 2 3 APÉNDICE II MATRICES l APE-9 SOLUCIÓN Puesto que det A  12  0, la matriz dada es no singular. Los cofactores correspondientes a los elementos de cada renglón de det A son C11 1 0 2 0 C 21 C 31 1 1 2 1 1 0 1 2 0 1 2 3 C12 2 3 C 22 2 1 1 0 1 2 2 2 C 32 5 0 1 2 C13 2 3 1 0 C 23 2 3 2 0 6 C 33 2 2 2 1 6. 3 Utilizando la ecuación (4) se tiene que A 1 1 5 3 1 12 2 2 6 1 12 5 12 1 4 2 2 6 1 6 1 6 1 2 1 6 1 6 1 2 . Le pedimos que compruebe que A1A  AA1  I. /DIyUPXOD  SUHVHQWDGL¿FXOWDGHVREYLDVFXDQGRODVPDWULFHVQRVLQJXODUHVVRQPDyores de 3  3. Por ejemplo, para aplicarla a una matriz 4  4 necesitaríamos calcular dieciséis determinantes 3  3.*3DUDXQDPDWUL]JUDQGHKD\PpWRGRVPiVH¿FLHQWHVSDUD calcular A1. El lector interesado puede consultar cualquier libro de álgebra lineal. Puesto que nuestra meta es aplicar el concepto de una matriz a sistemas de ecuaFLRQHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHVGHSULPHURUGHQQHFHVLWDUHPRVODVGH¿QLFLRQHVVLJXLHQWHV DEFINICIÓN II.10 Derivada de una matriz de funciones Si A(t)  (aij(t))m  n es una matriz cuyos elementos son funciones derivables en un intervalo común, entonces dA dt d a dt i j . m n DEFINICIÓN II.11 Integral de una matriz de funciones Si A(t)  (aij(t))m  n es una matriz cuyos elementos son funciones continuas en un intervalo que contiene a t y t0, entonces t t A(s) ds t0 ai j (s) ds t0 . m n Para derivar o integrar una matriz de funciones, sólo se deriva o integra cada uno de sus elementos. La derivada de una matriz también se denota por A(t). EJEMPLO 10 Si X(t) Derivada/integral de una matriz sen 2t e3t , 8t 1 entonces X (t) d sen 2t dt d 3t e dt d (8t 1) dt 2 cos 2t 3e3t 8 * Estrictamente hablando, un determinante es un número, pero a veces conviene manejarlo como si fuera un arreglo. APE-10 l APÉNDICE II MATRICES t 0 sen2s ds t 3s 0 e ds t y X(s) ds 0 t 0 (8s 1) ds 1 2 cos 2t 1 1 3t 3 3e 2 4t 1 2 . t II.2 ELIMINACIÓN DE GAUSS Y DE GAUSS-JORDAN Las matrices son una ayuda insustituible para resolver sistemas algebraicos de n ecuaciones lineales con n incógnitas a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 (5) M M an1 x1 an2 x2 ann xn bn. Si AGHQRWDDODPDWUL]GHORVFRH¿FLHQWHVHQ  VDEHPRVTXHHVSRVLEOHXVDUODUHJOD de Cramer para resolver el sistema, siempre que det A  0. Sin embargo, para seguir esa regla se necesita realizar un gran trabajo si A es mayor de 3  3. El procedimiento que GHVFULELUHPRVDFRQWLQXDFLyQWLHQHODSDUWLFXODUYHQWDMDGHQRVyORVHUXQPpWRGRH¿FLHQWH para manejar sistemas grandes, sino también una forma de resolver sistemas consistentes (5), en los que det A  0 y para resolver m ecuaciones lineales con n incógnitas. DEFINICIÓN II.12 Matriz aumentada La matriz aumentada del sistema (5) es la matriz n  (n  1) ( a11 a21 . . . an1 冟) a12 . . . a1n b1 a22 . . . a2n b2 . . . . . . . an2 ann bn Si B es la matriz columna de las bi , i  1, 2, . . . , n, la matriz aumentada de (5) se denota por (A兩B). OPERACIONES ELEMENTALES DE RENGLÓN Recuerde de álgebra que podemos transformar un sistema algebraico de ecuaciones en un sistema equivalente (es decir, un sistema que tenga la misma solución) multiplicando una ecuación por una constante distinta de cero, intercambiando el orden de dos ecuaciones cualesquiera del sistema y sumando un múltiplo constante de una ecuación a otra. A estas operaciones, VREUHXQVLVWHPDGHHFXDFLRQHVVHOHVGH¿QHFRPRoperaciones elementales de renglón en una matriz aumentada: i) Multiplicar un renglón por una constante distinta de cero. ii  ,QWHUFDPELDUGRVUHQJORQHVFXDOHVTXLHUD iii) Sumar un múltiplo constante, distinto de cero, de un renglón a cualquier otro renglón. MÉTODOS DE ELIMINACIÓN Para resolver un sistema como el (5), con una matriz aumentada, se emplea la eliminación de Gauss o el método de eliminación de GaussJordan. En el primero de los métodos se realiza una secuencia de operaciones elementales de renglón hasta llegar a una matriz aumentada que tenga la forma renglón escalón. i) El primer elemento distinto de cero en un renglón distinto de cero es 1. ii) En los renglones consecutivos distintos de cero el primer elemento 1, en el renglón inferior, aparece a la derecha del primer 1 en el renglón superior. iii) Los renglones formados únicamente con ceros están en la parte inferior de la matriz. APÉNDICE II MATRICES l APE-11 En el método de Gauss-Jordan se continúa con las operaciones de renglón hasta obtener una matriz aumentada que esté en la forma escalonada reducida. Una matriz escalonada reducida presenta las mismas tres propiedades de arriba, además de la siguiente: iv) Una columna que contiene un primer elemento 1 tiene ceros en todos sus demás lugares. EJEMPLO 11 Formas escalonada/escalonada reducida a) Las matrices aumentadas 1 0 0 5 1 0 p 0 0 0 2 1 0 0 0 y 0 0 1 0 6 0 2 1 2 4 están en su forma escalonada. Debe comprobar que se satisfacen los tres criterios. b) Las matrices aumentadas 1 0 0 0 1 0 0 0 0 p 7 1 0 y 0 0 0 0 1 0 6 0 0 1 6 4 están en su forma escalonada reducida. Observe que los elementos restantes en las columnas contienen un 1 como entrada principal y que los elementos son iguales a 0. Observe en la eliminación de Gauss que nos detenemos una vez obtenida una matriz aumentada en su forma escalonada. En otras palabras, al usar operaciones consecutivas de renglón llegaremos a formas escalonadas distintas. Este método requiere entonces del uso de sustitución regresiva. En la eliminación de Gauss-Jordan nos detenemos cuando se ha llegado a la matriz aumentada en su forma escalonada reducida. Cualquier orden de operaciones de renglón conduce a la misma matriz aumentada en su forma escalonada reducida. Este método no necesita sustitución regresiva; la VROXFLyQGHOVLVWHPDVHFRQRFHUiH[DPLQDQGRODPDWUL]¿QDO(QWpUPLQRVGHODVHFXDciones del sistema original, nuestra meta con ambos métodos es simplemente hacer el FRH¿FLHQWHGHx1 en la primera ecuación* igual a 1 y después utilizar múltiplos de esa ecuación para eliminar x1 de las otras ecuaciones. El proceso se repite con las otras variables. Para mantener el registro de las operaciones de renglón, que se llevaron a cabo en una matriz aumentada, se utilizará la siguiente notación: 6tPEROR 6LJQL¿FDGR Rij cR i ,QWHUFDPELRGHORVUHQJORQHVi y j Multiplicación del i-ésimo renglón por la constante c, distinta de cero Multiplicación del i-ésimo renglón por c y suma del resultado al j-ésimo renglón cR i  R j EJEMPLO 12 Resuelva Solución por eliminación 2x1 6x2 x3 x1 2x2 x3 5x1 7x2 4x3 7 1 9 utilizando a) eliminación de Gauss y b) eliminación de Gauss-Jordan. * Siempre se pueden intercambiar ecuaciones de tal forma que la primera ecuación contenga a la variable x1. APE-12 l APÉNDICE II MATRICES SOLUCIÓN a) Usando operaciones de renglón en la matriz aumentada del sistema, obtenemos 1 _ 2 R2 ( ( 2 1 5 冟 冟 6 1 7 2 1 1 7 4 9 1 2 1 1 9_ 3_ 0 1 2 2 0 3 1 14 ) ( ) ( R12 3R2  R3 冟 冟 1 2 1 1 2 6 1 7 5 7 4 9 1 2 1 1 9_ 3_ 0 1 2 2 55 11 __ __ 0 0 2 2 ) ) 2R1  R2 5R1  R3 2 __ 11 R3 ( ( 冟 冟 1 2 1 1 0 2 3 9 0 3 1 14 ) ) 2 1 1 9_ 3_ 1 2 . 2 0 1 5 1 0 0 La última matriz está en la forma renglón-escalón y representa al sistema x1 2x2 x3 1 x2 3 x 2 3 9 2 x3 5. Sustituyendo x3  5 en la segunda ecuación se obtiene x2  3. Sustituyendo ambos YDORUHVHQODSULPHUDHFXDFLyQ¿QDOPHQWHVHREWLHQH x1  10. b) Comenzamos con la última de las matrices anteriores. Como los primeros elementos en el segundo y tercer renglones son 1, debemos hacer que los elementos restantes en las columnas dos y tres sean iguales a 0: ( 冟 1 2 1 1 9_ 3_ 0 1 2 2 0 0 1 5 ) ( 2R2  R1 冟 1 0 4 10 9_ 3_ 0 1 2 2 0 0 1 5 ) 4R3  R1 3  _2 R3  R2 ( 冟 ) 1 0 0 10 0 1 0 3 . 0 0 1 5 La última matriz ya se encuentra en su forma escalonada reducida. Debido al signi¿FDGRGHHVWDPDWUL]HQWpUPLQRVGHODVHFXDFLRQHVTXHUHSUHVHQWDVHYHTXHODVROXción del sistema es x1  10, x2  3, x3  5. EJEMPLO 13 Eliminación de Gauss-Jordan Resuelva SOLUCIÓN x 3y 2z 7 4x y 3z 5 2x 5y 7z 19. Resolveremos este sistema con la eliminación Gauss-Jordan: 1 __  11 R2 1 __  11 R3 ( ( 冟 冟 1 3 2 7 4 1 3 5 2 5 7 19 1 0 0 3 2 7 1 1 3 1 1 3 ) ) 4R1  R2 2R1  R3 3R2  R1 R2  R3 ( ( 冟 冟 1 3 2 7 0 11 11 33 0 11 11 33 1 0 0 ) ) 0 1 1 1 1 3 . 0 0 0 En este caso, la última matriz, en su forma escalonada reducida, implica que el sistema original de tres ecuaciones con tres incógnitas es equivalente, en realidad, a dos ecuaciones con tres incógnitas. Puesto que sólo z es común a ambas ecuaciones (los renglones distintos de cero), le podemos asignar valores arbitrarios. Si hacemos z  t, donde tUHSUHVHQWDFXDOTXLHUQ~PHURUHDOYHUHPRVTXHHOVLVWHPDWLHQHXQDFDQWLGDGLQ¿QLWD APÉNDICE II MATRICES APE-13 l de soluciones: x  2  t, y  3  t, z  t. Geométricamente, esas ecuaciones son las ecuaciones paramétricas de la recta de intersección de los planos x  0y  z  2 y 0x  y  z  3. USO DE OPERACIONES DE RENGLÓN PARA ENCONTRAR UNA INVERSA Debido a la cantidad de determinantes que hay que evaluar, casi no se usa la fórmula  GHOWHRUHPD,,SDUDGHWHUPLQDUODLQYHUVDFXDQGRODPDWUL]A es grande. En el caso de matrices de 3  3 o mayores, el método que se describe en el siguiente teoUHPDHVSDUWLFXODUPHQWHH¿FLHQWHSDUDGHWHUPLQDUA1. TEOREMA II.3 Determinación de A1 usando las operaciones elementales de renglón Si una matriz A n  n se puede transformar en la matriz identidad I n  n con una secuencia de operaciones elementales de renglón, entonces A es no singular. La misma secuencia de operaciones que transforma a A en la identidad I también transforma a I en A1. Es conveniente realizar estas operaciones de renglón en forma simultánea en A y en I, mediante una matriz n  2n obtenida aumentando A con la identidad I, como aquí se muestra: a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . (A 冟 I)  .. . . . . . . an1 an2 ann ( 冟 1 0 . . . 0 1 0 . . . 0 . . . . . . . . . . 0 0 1 ) En el diagrama siguiente se indica el procedimiento para encontrar A1: Realice las operaciones de renglón en A hasta que obtenga I. Esto significa que A es no singular. (A冟 I ) (I 冟 A1). Simultáneamente aplique las mismas operaciones sobre I, para obtener A1. EJEMPLO 14 Inversa por operaciones elementales de renglón Determine la inversa multiplicativa de A 2 2 5 0 3 5 1 4 . 6 SOLUCIÓN Usaremos la misma notación que cuando redujimos una matriz aumentada a la forma renglón escalón: ( 冟 2 0 1 1 0 0 2 3 4 0 1 0 5 5 6 0 0 1 ) ( 1_ 2 R1 冟 1 0 1_2 1_2 0 0 2 3 4 0 1 0 5 5 6 0 0 1 ) ( 2R1  R2 5R1  R3 冟 1 0 1_2 1_2 0 0 0 3 5 1 1 0 5_ __ 0 5 17 0 1 2 2 ) APE-14 l APÉNDICE II MATRICES 1_ 3 1_ 5 30R3 ( R2 R3 1 冟 ( 1 0 0 1 0 1 1_ 2 5_ 3 17 __ 10 冟 1 0 _2 1_2 0 0 1_ 1_ 5_ 0 1 3 3 0 3 0 0 1 5 10 6 ) ( ) ( 冟 1_ 2 1_ 3 1_ 2 0 0 1_ 0 3 0 1_5 R2  R3 1_3 R3  R1 5_3 R3  R2 1 0 0 1 0 0 1_ 2 5_ 3 1 __ 30 冟 1_ 2 1_ 3 1_ 6 ) ) 0 0 1_ 0 3 1_ 3 1_5 1 0 0 2 5 3 0 1 0 8 17 10 . 0 0 1 5 10 6 Puesto que I se presenta a la izquierda de la recta vertical, concluimos que la matriz a la derecha de la recta es A 2 8 5 1 5 17 10 3 10 . 6 Si la reducción de renglones (A兩I) conduce a la situación Operaciones entre renglones (A 冟 I) (B 冟 C), donde la matriz B contiene un renglón de ceros, entonces A es necesariamente singular. Como una reducción adicional de B siempre produce otra matriz con un renglón de ceros, nunca se transformará A en I. II.3 EL PROBLEMA DE EIGENVALORES La eliminación Gauss-Jordan se puede emplear para determinar los eigenvectores (vectores propios) de una matriz cuadrada. DEFINICIÓN II.13 Eigenvalores y eigenvectores Sea A una matriz n  n. Se dice que un número Ȝ es un eigenvalor de A si existe un vector solución K distinto de cero del sistema lineal K.  AK  El vector solución K es un eigenvector que corresponde al eigenvalor propio Ȝ. La palabra eigenvalor es una combinación de alemán y español adaptada de la palabra alemana eigenwert que, traducida literalmente, es “valor propio”. A los eigenvalores y eigenvectores se les llama también valores característicos y vectores característicos, respectivamente. EJEMPLO 15 Compruebe que K Eigenvector de una matriz 1 1 es un eigenvector de la matriz 1 A 0 2 2 1 3 1 3 3 . 1 APÉNDICE II MATRICES l APE-15 SOLUCIÓN Al realizar la multiplicación AK vemos que ( )( ) ( ) ( ) eigenvalor 0 1 3 1 2 1 AK  2 3 3 1  2  (2) 1  (2)K. 2 1 1 1 2 1 9HPRVGHODGH¿QLFLyQ,,\GHOUHQJOyQDQWHULRUTXHȜ  2 es un eigenvalor de A. 8VDQGRODVSURSLHGDGHVGHOiOJHEUDPDWULFLDOSRGHPRVH[SUHVDUODHFXDFLyQ   en la forma alternativa I)K (A (7) 0, donde I es la identidad multiplicativa. Si hacemos K k1 k2 , M kn entonces (7) es igual que a12k2  . . .  a1n k n  0 . . . a21k1  (a22  l)k2   a2n k n  0 . . . . . . an1k1  an2k2  . . .  (ann  l)kn  0. (a11  l)k1  (8) Aunque una solución obvia de la ecuación (8) es k1  0, k2  0, . . . , kn  0, sólo nos interesan las soluciones no triviales. Se sabe que un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales con n incógnitas (esto es, bi  0, i  1, 2, . . . , n en la ecuación (5)) tiene una soOXFLyQQRWULYLDOVL\VyORVLHOGHWHUPLQDQWHGHODPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVHVLJXDODFHUR3RU tanto, para determinar una solución K distinta de cero de la ecuación (7) se debe tener que det(A I) (9) 0. Examinando la ecuación (8) se ve que el desarrollo del det(A  ȜI) por cofactores da como resultado un polinomio en Ȝ de grado n. La ecuación (9) se llama ecuación característica de A. Por lo que, los eigenvalores de A son las raíces de la ecuación característica. Para encontrar un vector propio que corresponde a un eigenvalor Ȝ, sólo se resuelve el sistema de ecuaciones (A  ȜI)K  0 aplicando la eliminación GaussJordan a la matriz aumentada (A  ȜI兩0). EJEMPLO 16 Eigenvalores/eigenvectores 1 6 1 Determinar los eigenvalores propios y los eigenvectores de A 2 1 2 1 0 . 1 SOLUCIÓN Para desarrollar el determinante y formar la ecuación característica usaremos los cofactores del segundo renglón: det(A I) p 1 2 6 1 1 0 1 2 1 p 3 2 12 0. Puesto que Ȝ3  Ȝ2  12Ȝ  Ȝ(Ȝ  4)(Ȝ  3)  0 vemos que los valores propios son Ȝ1  0, Ȝ2  4 y Ȝ3  3. Para determinar los eigenvectores debemos reducir tres veces (A  ȜI兩0), que corresponden a los tres diferentes eigenvalores. APE-16 l APÉNDICE II MATRICES Para Ȝ1  0 tenemos 冟) ( 6R1  R2 R1  R3 1 2 1 0 (A  0I 冟 0)  6 1 0 0 1 2 1 0 1 __ 13 R2 ( 1 13 k 3 Por lo que vemos que k1 eigenvector* 冟) 1 2 1 0 6 __ 0 1 13 0 0 0 0 0 y k2 ( ( 2R2  R1 6 13 k 3. 冟) 冟) 1 2 1 0 0 13 6 0 0 0 0 0 1 __ 1 0 13 0 6 __ 0 1 13 0 . 0 0 0 0 Eligiendo k3  13, obtenemos el 1 6 . 13 K1 Para Ȝ2  4, ( 冟) 5 2 1 0 (A  4I 冟 0)  6 3 0 0 1 2 3 0 6R1  R2 5R1  R3 ( 冟) 1 2 3 0 0 9 18 0 0 8 16 0  1_9 R2  1_8 R3 ( 冟) 1 2 3 0 0 1 2 0 0 1 2 0 R3 R31 2R2  R1 R2  R3 ( ( 冟) 冟) 1 2 3 0 6 3 0 0 5 2 1 0 1 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 lo que implica que k1  k3 y k2  2k3. Eligiendo k3  1 se obtiene el segundo eigenvector 1 2 . 1 K2 Finalmente, para Ȝ3  3 con la eliminación de Gauss se obtiene 冟) ( 2 2 1 0 (A  3I 冟 0)  6 4 0 0 1 2 4 0 por lo que k1  k3 y k 2 vector: 3 2 k 3. operación entre renglones ( 冟) 1 0 1 0 0 1 3_2 0 , 0 0 0 0 La elección de k3  2 conduce al tercer eigen- K3 2 3 . 2 Cuando una matriz A n  n tiene n eigenvalores distintos Ȝ1, Ȝ2, . . . ,Ȝn, se puede demostrar que es posible determinar un conjunto de n eigenvectores linealmente independientes† K1, K2, . . . , Kn. Sin embargo, cuando la ecuación característica tiene raíces repetidas, tal vez no se puedan determinar n eigenvectores de A linealmente independientes. * Por supuesto k3 pudo ser cualquier número distinto de cero. En otras palabras, un múltiplo constante distinto de cero de un eigenvector también es un eigenvector. † /DLQGHSHQGHQFLDOLQHDOGHORVYHFWRUHVFROXPQDVHGH¿QHLJXDOTXHODGHODVIXQFLRQHV APÉNDICE II EJEMPLO 17 MATRICES Eigenvalores/eigenvectores 3 1 4 . 7 5) 2 0 Determine los eigenvalores y los eigenvectores de A SOLUCIÓN APE-17 l De la ecuación característica I) det(A 3 4 1 ( 7 vemos que Ȝ1  Ȝ2  5 es un eigenvalor de multiplicidad dos. En el caso de una matriz de 2  2 no se necesita usar la eliminación Gauss-Jordan. Para determinar los eigenvectores que corresponden a Ȝ1  5, recurriremos al sistema (A – 5I兩0) en su forma equivalente 2k1 4k 2 0 k1 2k 2 0. En este sistema se ve que k1  2k2. Por lo que si elegimos k2  1, encontraremos un solo eigenvector: 2 . 1 K1 EJEMPLO 18 Eigenvalores/eigenvectores Determine los eigenvalores y eigenvectores de A SOLUCIÓN det(A 9 1 1 1 9 1 1 1 . 9 La ecuación característica I) p 9 1 1 1 1 1 9 1 9 p ( 11)( 8) 2 0 muestra que Ȝ1  11 y que Ȝ2  Ȝ3  8 es un eigenvalor de multiplicidad dos. Para Ȝ1  11, usando la eliminación Gauss-Jordan se obtiene 冟) ( 2 1 1 0 (A  11I 冟 0)  1 2 1 0 1 1 2 0 operaciones entre renglones ( 冟) 1 0 1 0 0 1 1 0 . 0 0 0 0 Por tanto, k1  k2 y k2  k3. Si k3  1, entonces K1 1 1 . 1 Ahora para Ȝ2  8 tenemos que ( 冟) 1 1 1 0 (A  8I 冟 0)  1 1 1 0 1 1 1 0 operaciones entre renglones ( 冟) 1 1 1 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 APE-18 APÉNDICE II l MATRICES En la ecuación k1  k2  k3  0 seleccionamos libremente dos de las variables. Eligiendo, por un lado, que k2  1, k3  0 y, por otro, k2  0, k3  1, obtendremos dos eigenvectores linealmente independientes: 1 1 0 K2 EJERCICIOS DEL APÉNDICE II II.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-17. DEFINICIONES BÁSICAS Y TEORÍA 1 2 8. Si A 4 6 1. Si A a) A  B 2 4 7 2. Si A a) A  B 5 yB 9 b) B  A 2 6 , determine 8 10 c) 2A  3B 0 1 yB 3 3 0 4 a) AB 3 yB 4 4. Si A a) AB 4 10 y B 12 4 1 d) B 2  BB 6 3 3 , determine 2 b) BA 1 2 5. Si A 2 ,B 4 6 2 3 ,yC 1 b) A(BC) 6. Si A C (5 1 0 3 a) AB 7. Si A a) ATA 6 2 1 2 c) C(BA) 0 3 2 , de4 d) A(B  C) 3 4 ,y 1 7), B 4 8 yB 10 b) BT B c) (BA)C (2 4 10 , determine 5 9 yB 6 3 7 11 , determine 2 b) (A  B) T En los problemas 11 a 14 escriba la suma en forma de una sola matriz columna: 11. 4 1 2 12. 3t 2 t 1 2 8 2 (t 2 1 3 4 2 5 14. 1 2 0 3 5 4 4 1 2 2 3 3 1 t 3 1) 13. 15. A 3 2 17. A 4 3 19. A 2 1 1 d) (AB)C 5), determine c) A  BT 5 2 c) AT(A  B) b) BTAT 5 4 10. Si A 3 , determine 7 1 2 t 2t 1 t 3t 4 5t 2 6 3 7 2 2 8 6 t 1 4 En los problemas 15 a 22 determine si la matriz dada es singular o no singular. Si es no singular, determine A1 usando HOWHRUHPD,, 4 1 , determine 1 b) BA 4 yB 1 a) (AB) T termine a) BC 3 8 9. Si A 2 5 b) 2AT  BT a) AT  BT 6 , determine 2 c) A2  AA b) BA 1 5 8 1 3 2 yB 4 a) A  BT c) 2(A  B) b) B  A 2 5 3. Si A 1 2 , determine 2 1 0 . 1 K3 y 6 4 8 5 1 2 2 0 1 1 16. A 2 1 5 4 18. A 7 2 10 2 20. A 3 4 2 2 1 5 1 0 1 APÉNDICE II 2 1 3 21. A 1 2 2 1 3 4 4 6 2 22. A 1 2 1 1 3 2 En los problemas 23 y 24 demuestre que la matriz dada es no singular para todo valor real de t. Encuentre Al(t) con el WHRUHPD,, e4t 3e4t t 2e 4e 23. A(t) t t 2e cos t et sent En los problemas 25 a 28 determine dX冒dt. 5e 2e 7e 25. X 27. X 2 t t t 1 2t e 1 29. Sea A(t) a) 1 2 sen 26. X dA dt 4 e 4t 2t 2 e 1 37. 39. 2t 3 sen 2t 4 cos 2t 5 cos 2t 28. X 5te 2t t sen 3t 3t 2 t A(t) dt b) 36. x 1  x 2  x 3  x 4  1 x1  x2  x3  x4  3 x1  x2  x3  x4  3 4x 1  x 2  2x 3  x 4  0 38. 2x 1  x 2  x 3  0 x 1  3x 2  x 3  0 7x 1  x 2  3x 3  0 x  2y  4z  2 2x  4y  3z  1 x  2y  z  7 1 t2 dA dt 4 2 1 2 1 2 3 0 0 42. A 2 4 8 4 2 10 3t 43. A 1 1 0 3 2 1 0 1 2 44. A 1 0 0 2 1 0 3 4 8 t 6t 1>t y B(t) 2 . 4t 45. A 1 1 2 1 46. A 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 b) dB dt 2 A(t) dt f) d A(t)B(t) dt 1 1 0 1 0 0 1 0 II.3 EL PROBLEMA DE LOS EIGENVALORES En los problemas 47 a 54 encuentre los eigenvalores y los eigenvectores de la matriz dada. t A(s)B(s) ds g) 1 II.2 ELIMINACIÓN DE GAUSS Y DE GAUSS-JORDAN En los problemas 31 a 38 resuelva el correspondiente sistema de ecuaciones, por eliminación de Gauss o por eliminación de Gauss-Jordan. 33. 3 2 3 2 1 e) A(t)B(t)  2 0 1 1 B(t) dt d) 0 31. 2 2 6 0 1 c) 40. x 1  x 2  x 3  3x 4  1 x 2  x 3  4x 4  0 x 1  2x 2  2x 3  x 4  4x 1  7x 2  7x 3 9 41. A Determine a) x 2z  8 x  2y  2z  4 2x  5y z  (QORVSUREOHPDVDDSOLTXHHOWHRUHPD,,SDUDGHWHUminar A1 para la matriz dada o demuestre que no existe la inversa. A(s) ds c) 0 t2 APE-19 2x  y  z  4 10x  2y  2z  1 x  2y  4z  8 cos t . Determine 3t 2 1 1 30. Sea A(t)  l En los problemas 39 y 40 utilice la eliminación de GaussJordan para demostrar que el sistema dado de ecuaciones no tiene solución. t 2e sent et cos t 24. A(t) 35. MATRICES x  y  2z  14 2x  y  z  0 x  3y  4 z  1 32. 5x  2y  4z  10 x y z9 4x  3y  3z  1 y  z  5 5x  4y z  10 x  y  5z  7 34. 3x  y  z  4 4x  2y  z  7 x  y  3z  47. 1 7 49. 8 16 51. 53. 5 0 5 2 8 1 0 1 5 1 0 1 0 2 2 1 1 1 1 4 1 1 52. 3 0 4 0 2 0 0 0 1 54. 1 0 0 6 2 1 0 1 2 48. 50. 0 9 0 4 4 0 0 0 2 APE-20 APÉNDICE II l MATRICES (Q ORV SUREOHPDV  \  GHPXHVWUH TXH FDGD PDWUL] WLHQH eigenvalores complejos. Encuentre los eigenvectores respectivos de la matriz: 55. 1 5 2 1 2 5 0 56. 1 2 1 0 4 2 Problemas diversos 57. Si A(t) es una matriz de 2  2 de funciones derivables y X(t) es una matriz columna de 2  1 de funciones derivables, demuestre la regla de la derivada de un producto d [A(t)X(t)] dt A(t)X (t) A (t)X(t). 58. Demuestre la fórmula (3). [Sugerencia: Encuentre una matriz B b11 b 21 b12 b 22 para la que AB  I. Despeje b11, b12, b21 y b22. Después demuestre que BA  I]. 59. Si A es no singular y AB  AC, demuestre que B  C. 60. Si A y B son no singulares, demuestre que (AB)1  B1A1. 61. Sean A y B matrices n  n. En general, ¿es (A B) 2 A2 2AB B2 ? 62. Se dice que una matriz cuadrada es una matriz diagonal si todos sus elementos fuera de la diagonal principal son cero, esto es, aij  0, i  j. Los elementos aii en la diagonal principal pueden ser cero o no. La matriz identidad multiplicativa I es un ejemplo de matriz diagonal. a) Determine la inversa de la matriz diagonal de 2  2 A a11 0 0 a 22 cuando a11  0, a22  0. b) Encuentre la inversa de una matriz diagonal A 3  3 cuyos elementos aii en la diagonal principal son todos distintos de cero. c) En general, ¿cuál es la inversa de una matriz diagonal A n  n cuyos elementos de la diagonal principal aii son distintos de cero? APÉNDICE III TRANSFORMADAS DE LAPLACE f (t) { f (t)} F(s) 1. 1 1 s 2. t 1 s2 3. t n n! , n un entero positivo sn 1 4. t 1/2 5. t 1/2 Bs 1 2s3/2 ( 6. t a 7. senkt 8. cos kt 9. sen 2 kt 10. cos2 kt 11. e at 12. senh kt 13. cosh kt 14. senh2 kt 15. cosh2 kt 16. te at 17. t n e at 1) 1 s , a 1 k s2 k2 s s2 k2 2k 2 s(s 4k2) 2 s2 s(s2 2k2 4 k2) 1 s a k s2 k2 s s2 k2 s(s2 2k2 4k2) s2 s(s2 2k2 4k2) 1 (s (s a)2 n! , a)n 1 n un entero positivo APE-21 APE-22 l APÉNDICE III TRANSFORMADAS DE LAPLACE { f (t)} f (t) 18. e at senkt s 20. e at senhkt 21. e at cosh kt 22. t senkt 23. t cos kt 24. senkt kt cos kt 25. senkt kt cos kt 26. t senhkt 27. t cosh kt 28. eat a 29. aeat a k a)2 (s 19. e at cos kt ebt b bebt b F(s) k2 a (s a)2 k2 (s k a)2 k2 s a (s a)2 (s2 2ks k2)2 s2 (s2 k2 k2)2 k2 2 ks2 (s2 k2)2 (s2 2 k3 k2)2 (s2 2 ks k2)2 s2 (s2 k2 k2)2 (s 1 a)(s b) (s s a)(s b) 2 30. 1 cos kt 31. kt senkt k s(s2 k2) k3 s2 (s2 k2) 32. a sen bt b sen at ab (a2 b2) (s2 1 a2)(s2 b2) 33. cos bt a2 (s2 s a2)(s2 b2) cos at b2 34. senkt senhkt s4 2 k2s 4k4 35. senkt cosh kt k(s2 s4 2 k2 ) 4k4 36. cos kt senhkt k(s2 s4 2k2 ) 4k4 37. cos kt cosh kt s3 4 s 4k4 APÉNDICE III TRANSFORMADAS DE LAPLACE { f (t)} f (t) 1 1s2 k2 s a ln s b 38. J 0 (kt) 39. 40. 41. ebt eat t 2(1 2(1 F(s) cos kt) t ln cosh kt) t ln s2 k2 s2 s2 k2 2 s 42. senat t arctan 43. senat cos bt t 1 a b arctan 2 s 44. 1 e 1 t e 45. a e 2 1 t3 B a2 /4t e a 2 1t 46. erfc 47. 2 a2 /4t t e e a2 /4t a erfc 2 ea b eb t erfc b 1t 2 erfc (t 52. f (t a 1s 1s a1s a1s a 2 1t a 2 1t a 2 1t e a1s s 1s e a1s 1s(1s b) be a1s s( 1s b) a 2 1t 50. e at f (t) 51. F(s e a) a) as s a) (t 53. g(t) (t a) a) 54. f (n) (t) e as e as F(s) { g(t s(n sn F(s) n 55. t n f(t) ( 1)n f ( )g(t )d F(s)G(s) 0 57. d(t) 58. d(t 1 t 0) e st0 a)} 1) d F(s) ds n t 56. 1 a b arctan 2 s s 48. ea b eb t erfc b 1t 49. a s f (0) f (n 1) (0) l APE-23 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR EJERCICIOS 1.2 (PÁGINA 17) 1. y  1兾  4ex) 3. 5. y  1兾 x 2    , ) 7. 9. x 13 4 cos t 1 4 sen t y  1兾 x 2    ) x  cos t  8 sen t 11. y 3 x 2e 1 x 2e . 13. y  5ex1 15. y  0, y  x 3 17. VHPLSODQRVGH¿QLGRVSRUy 0 o y  0 19. VHPLSODQRVGH¿QLGRVSRUx 0 o x  0 21. ODVUHJLRQHVGH¿QLGDVSRUy 2, y  2, o 2  y  2 23. FXDOTXLHUUHJLyQTXHQRFRQWHQJD  25. sí 27. no 29. a) y  cx b) cualquier región rectangular que no toque el eje y c) No, la función no es derivable en x  0. 31. b) y  1兾  x HQ  , 1); y  1兾 x  HQ 1, ); c) y HQ  , ) 39. y  3sen 2x 41. y  0 43. sin solución EJERCICIOS 1.3 (PÁGINA 27) dP dP kP r; kP r 1. dt dt dP k1 P k2 P2 3. dt dx kx (1000 x) 7. dt dA 1 A 0; A(0) 50 9. dt 100 dA 7 dh A 6 13 13. 11. dt 600 t dt di Ri E(t) dt d 2x m 2 kx dt dv dm m v kv dt dt d 2r gR 2 0 dt 2 r2 dx kx r, k 0 dt 15. L 19. 21. 23. 27. 17. m mg dv dt R dA dt dy 29. dx 25. k(M 0 A), k 1x2 y x y2 REPASO DEL CAPÍTULO 1 (PÁGINA 32) 1. 5. 9. 13. 15. 17. 19. dy 10y 3. y  k 2 y  0 dx y  2y  y  0 7. a), d) b) 11. b) y  c 1 y y  c 2e x, c 1 y c 2 constantes y  x 2  y 2 a) El dominio es el conjunto de todos los números reales. b) \DVHD   R  ) Para x 0  HOLQWHUYDORHV  , 0) y para x 0  2 el LQWHUYDORHV  ). 21. c) x2, x2, y 25.  ) 33. y 32 e3x 3 9 x 2e 35. y 0  3, y 1  0 dP k(P 200 37. dt 0 0 x x 1 23. ( , ) 31. y 1 3x 2e 1 2 e x 2x 2x. 10t) EJERCICIOS 2.1 (PÁGINA 41) 21. HVDVLQWyWLFDPHQWHHVWDEOH DWUDFWRU HVLQHVWDEOH UHSXOVRU  23. 2 es semiestable. 25. HVLQHVWDEOH UHSXOVRU HVVHPLHVWDEOHHV DVLQWyWLFDPHQWHHVWDEOH DWUDFWRU  27. HVDVLQWyWLFDPHQWHHVWDEOH DWUDFWRU HVLQHVWDEOH UHSXOVRU  39. 0  P0  h兾k 41. 1mg>k EJERCICIOS 2.2 (PÁGINA 50) 1 c 1. y 3. y 5 cos 5x 1 3x 3e c 7. 3e  2e  c 5. y  cx 1 2 1 3 1 3 y 2y ln y c x ln x x 9. 3 2 9 11. 4 cos y  2x  sen 2x  c 13. e x  1) 2  e y  1) 1  c 4 c 1h 450 kv2 mg 2y 3x RES-1 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 2 EJERCICIOS 1.1 (PÁGINA 10) 1. lineal, segundo orden 3. lineal, cuarto orden 5. no lineal, segundo orden 7. lineal, tercer orden 9. lineal en x pero no lineal en y 15. el dominio de la función es [2, ); el intervalo más JUDQGHGHGH¿QLFLyQSDUDODVROXFLyQHV 2, ) 17. el dominio de la función es el conjunto de números reales excepto en x  2 y x  2; los intervalos de GH¿QLFLyQPiVJUDQGHVSDUDODVROXFLyQVRQ  , 2),  R  ) et 1 GH¿QLGDHQ  OQ RHQ OQ ) 19. X et 2 27. m  2 29. m  2, m  3 31. m  0, m  1 33. y  2 35. ninguna solución es constante RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 2 RES-2 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR l 15. S  ce kr 17. P cet 1 cet 19. y  3) 5 e x  c x  4) 5 e y 21. y sen 12 x2 ( 23. x tan 4t 27. y 1 2x x2 , , ln2) ) c (1 1/x) e x e-t2dt 4 冪5 1 2 4x 1 3 e 3 e4 x 1 37. y  1 y y  1 son soluciones singulares del problema 21; y  0 del problema 22 1 1 39. y  1 41. y 1 10 tan 10 x 35. a) y 2, y 2, y 2 ( ) 45. y tan x sec x 47. y [ 1 c(1 49. y 2 冪 冪xe 冪x c 冪x)]2 e 冪x 57. y x)  h兾L2)x 2  a 4 EJERCICIOS 2.4 (PÁGINA 67) 1. x2 11. 13. 15. 17. 19. 5. y e3x ce x, ( ce x 3 ,( , ); ce , ); ce 3 x x es transitoria es transitoria 7. y  x 1 ln x  cx 1  ); la solución es transitoria 9. y  cx  x cos x,  ) 1 5x 11. y 1 3 7x 13. y 1 2 x 2x e cx 4, (0, ); cx 4 es transitoria cx 2 e x, (0, ); cx 2e x es transitoria 15. x  2y 6  cy 4  ) 17. y  sen x  c cos x ʌ兾2, ʌ兾2) 19. x  1)e xy  x 2  c 1, ); la solución es transitoria 21. VHFș  tan ș)r  ș  cos ș  c ʌ兾2, ʌ兾2) 23. y  e3x  cx 1e3x  ); la solución es transitoria 1 1 76 5x , ) 25. y 5x 25 25 e ; ( 1 x 27. y  x e   e)x 1,  ) E E 29. i i0 e Rt /L , ( , ) R R 31. y  2x  1  5兾x;  ) 33. x  1)y  x ln x  x   ) 35. y   2  3ecos x;  , ) 37. y 39. y 41. y 43. y 1 2 (1 1 6 2 (e 1 2 ( 1 2e 2x e ), 1)e 2 x, 3 x2 , 2e 3 x2 , 2 e ) 2x 1 4x2 ln x ex 2 1 1 2 4e (1 0 x 0 x x 1 2x , 4e 2 )x2, 1 ex (erf(x) 2 3 x 3 c 3. 21. 23. 25. 27. 31. 35. 5 2 2x 4 xy c 1 3 3x x2 y xy2 c 4 3 y 4ty  t 2  5t  3y 2  y  8 y 2 sen x  x 3 y  x 2  y ln y  y  0 k  10 29. x 2 y 2 cos x  c 2 2 3 x y x c 33. 3x 2 y 3  y 4  c 10 3x 2ye3x x c 3 e 2 37. ey (x2 4) 20 y1 (x) x2 1x4 x3 4 y2 (x) 2 4 3 4 8 45. a) v(x) x 1x x B3 9 x2 x b) 12.7 pies/s EJERCICIOS 2.5 (PÁGINA 72) x ln x 1. y 3. (x cx y)ln x y y ln x 5. x y c(x y) cy 7. OQ x 2  y 2)  2 tan1 y兾x)  c 9. 4x  y OQ兩y兩  c) 2 11. y 3  3x 3 ln兩x兩  8x 3 13. ln兩x兩  e y/x  1 15. y 3  1  cx3 1 17. y 3 x 3 ce3x 19. e t/y  ct 21. y 3 9 5 x 1 49 5 x 6 23. y  x  1 WDQ x  c) 25. 2y  2x VHQ x  y)  c 27.  y  2x  3)  x  c) 2 29. cot(x y) csc(x y) 2 1 cx 3 35. b) y 4 x x ( ) x 12 1 EJERCICIOS 2.6 (PÁGINA 77) 1 0 x x 1 erf(1)) 1 2y4 7. no exacta ln cos x cos x sen y t 4 y  5t 3  ty  y 3  c 1. y  ce 5x  , ) 1 4 1 3 7y no exacta xy  2xe x  2e x  2x 3  c x 3y 3  tan1 3x  c 39. c) EJERCICIOS 2.3 (PÁGINA 59) 3. y 3 2 2y x 5. x 2 y 2  3x  4y  c 9. xy3 y2 cos x 12 x2 x 29. y x 1; ex ); ( ln(2 e 25. y 11 13 2 冪x 2 31. y 33. y ) 3 4 ( 53. E t)  E 0 e t4)/RC 1. 3. 5. 7. 9. 13. y 2  2.9800, y 4  3.1151 y10  2.5937, y 20  2.6533; y  e x y5  0.4198, y10  0.4124 y5  0.5639, y10  0.5565 y5  1.2194, y10  1.2696 Euler: y10  3.8191, y 20  5.9363 RK4: y10  42.9931, y 20  84.0132 1 c RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR 25. y 1 4 c(x2 4) 4 27. y  csc x ʌ, 2ʌ) 1 4 29. b) y (x 2 1y0 x0) 2, (x0 2 1y0, ) EJERCICIOS 3.1 (PÁGINA 88) 1. 7.9 años; 10 años 3. 760; aproximadamente 11 personas/año 5. 11 h 7. 136.5 h 9. I   0.00098I0 o aproximadamente 0.1% de I0 11. 15 600 años 13. T   36.67° F; aproximadamente 3.06 min 15. aproximadamente 82.1 s; aproximadamente 145.7 s 17. 390° 19. aproximadamente 1.6 horas antes de descubierto el cuerpo 21. A t)  200  170et/50 23. A (t))  1000  1000et/100 25. A(t) 1000 10t 101 (100 t) 2; 100 min 27. 64.38 lb 29. i(t) 35 35 e 500t ; i : 35 como t : 31. q(t) 1 100 1 50t ; 100 e 60 60e t /10, 60(e2 1)e t /10, 33. i(t) 1 50t 2e i(t) 0 t t c) 39. a) v(t) g k t 4k c) 33 13 segundos r0 9. 29.3 g; X : 60 como t : 1H 11. a) h(t) ; ; 0 g de A y 30 g de B 4Ah 2 t ; I es 0 Aw t 1HAw 4Ah b) 576 110 s o 30.36 min 13. a) aproximadamente 858.65 s o 14.31 min b) 243 s o 4.05 min 15. a) v(t) mg kg tanh t Bk Bm donde c1 b) c) mg k gr0 r0 4k k t r0 5 13 13 2P 0 5 tan t tan 1 2 2 2 13 el tiempo en que desaparecerá es 2 5 2P 0 5 t tan 1 tan 1 13 13 13 7. P(t) tanh 1 c1 k v0 Bmg mg Bk m kg ln cosh t c1 c2, k Bm donde c2   m兾k)ln cosh c1 dv mg kv2 V, 17. a) m dt donde ȡ es la densidad del agua mg V 1kmg k V b) v(t) tanh t k m B mg mg v0 e kt /m k k mg como t : v: k mg m mg s(t) t v0 e kt/m k k k m v k 0 EJERCICIOS 3.2 (PÁGINA 98) 1. a) N  2000 2000 et b) N(t) ; N(10) 1834 1999 et 3. 1 000 000; 5.29 meses 4(P0 1) (P0 4)e 3t 5. b) P(t) (P0 1) (P0 4)e 3t c) Para 0  P0  1, el tiempo en que desaparecerá es 1 4(P0 1) t ln . 3 P0 4 c) s(t) 20 20 35. a) v(t) b) 41. a) P(t) P0 e(k1 k 2 )t 43. a) Como t : , x(t) : r>k. b) x t)  r兾k  r兾k)ekt OQ 兾k 47. c) 1.988 pies 3 19. a) b) c) 21. (a) (b) (b) mg V k B W0yW2 W x)  2 sech2 x  c1) W x)  2 sech2 x 1 P(t) ( 0.001350t 10 0.01)100 aproximadamente 724 meses aproximadamente 12 839 y 28 630 966 c1 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 3 REPASO DEL CAPÍTULO 2 (PÁGINA 78) 1. A兾k, un repulsor para k 0, un repulsor para k  0 3. verdadero d 3y 5. x sen y 7. verdadero dx 3 dy x 11. (sen x)y x 9. y c1ee dx dy 13. ( y 1) 2 ( y 3) 3 dx 15. semiestable para n par e inestable para n impar; semiestable para n par y asintóticamente estable para n impar. 19. 2x  sen 2 x OQ y 2  1)  c 21. x  1)y 3  3x 3  c 1 23. Q ct 1 25 t4 ( 1 5 ln t ) RES-3 l RES-4 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR l EJERCICIOS 3.3 (PÁGINA 108) 1. x(t) x0 e 1 t x0 y(t) 1 (e 2 2 2 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 4 e 2t e 1t ) 1 x0 1 z(t) 1t EJERCICIOS 4.1 (PÁGINA 124) 1 2 1 e 2 t 1 3. 5, 20, 147 días. El tiempo cuando y t) y z t) son iguales tiene sentido porque se ha ido la mayor parte de A y la mitad de B han desparecido así que se debe haber formado la mitad de C. dx1 6 252 x1 501 x2 5. dt dx2 2 2 25 x1 25 x2 dt dx1 x2 x1 3 2 dt 100 t 100 t dx2 x1 x2 2 3 dt 100 t 100 t b) x1 t)  x 2 t)  150; x 2  ⬇ 47.4 lb 7. a) di2 (R1 R2 )i2 R1 i3 E(t) dt di L2 3 R1 i2 (R1 R3 ) i3 E(t) dt 15. i   i 0 , s   n  i 0 , r   0 13. L1 EJERCICIOS 4.2 (PÁGINA 128) 1. y 2  xe 2x 3. y 2  sen 4x 5. y 2  senh x 7. y 2  xe 2x/3 9. y 2  x 4 ln兩x兩 11. y 2  1 13. y 2  xFRV OQx) 15. y 2  x 2  x  2 1 5 17. y2 e2x, yp 19. y2 e2x, yp 2 e3x 2 REPASO DEL CAPÍTULO 3 (PÁGINA 111) 1. dP兾dt  0.15P 3. P   8.99 miles de millones 10 1100 y2 5. x 10 ln y 7. a) BT1 1 b) T(t) T2 BT1 T2 , B 1 B BT1 T2 T1 1 B 1 4t 20, 9. i(t) 1 2 5t , 0 ac1eak1 t , 1 c1eak1t 11. x(t) 1100 T2 k(1 e B C(t) A(t) (b) 1.3 EJERCICIOS 4.3 (PÁGINA 133) 1. y  c1  c2ex/4 3. y  c1e 3x  c 2e2x 4x 4x 5. y  c1e  c2 xe 7. y  c1e 2x/3  c 2ex/4 9. y  c1 cos 3x  c 2 sen 3x 11. yy  e 2x (c1 cos x  c 2 sen x) ) 13. y e x /3 c1 cos 13 12 x c2 sen 13 12 x 15. y  c1  c 2 ex  c 3 e 5x 17. y  c1ex  c 2 e 3x  c 3 xe 3x 19. u  c1 e t  et c2 cos t  c3 sen t) 21. y  c1ex  c2 xex  c3 x 2 ex 23. y c1 c2 x e x /2 c3 cos 12 13 x c4 sen 12 13 x 25. y c1 cos 12 13 x c2 sen 12 13 x ( c3 x cos 12 13 x (O 1 O 2)t K0e , O1 K 1 O1 O2 0 O2 K 1 O1 O2 0 109 años (c) 89%, 11% B)t c1 eak1 t ) k2 /k1 c2 (1 y(t) 13. x  y  1  c 2ey 15. (a) K(t) y2 10 10 t t 1 1 1. y 2 ex 2 e x 3. y  3x  4x ln x 9.  , 2) e senhx (ex e x ) b) y 11. a) y 2 e 1 senh 1 13. a) y  e x cos x  e x sen x b) ninguna solución c) y  e x cos x  eʌ/2e x sen x d) y  c2e x sen x, donde c2 es arbitraria 15. dependiente 17. dependiente 19. dependiente 21. independiente 23. Las funciones satisfacen la ED y son linealmente independientes en el intervalo ya que W e3x, e 4x )  7e x  0; y  c1 e3x  c2 e 4x. 25. Las funciones satisfacen la ED y son linealmente independientes en el intervalo ya que W e x cos 2x, e x sen 2x)  2e 2x  0; y  c1e x cos 2x  c2 e x sen 2x. 27. Las funciones satisfacen la ED y son linealmente independientes en el intervalo ya que W x 3, x 4 )  x 6  0; y  c1 x 3  c2 x 4. 29. Las funciones satisfacen la ED y son linealmente independientes en el intervalo ya que W x, x2, x2 ln x)  9x6  0; y  c1 x  c2 x2  c3 x2 ln x. 2x2 6x 13 e2x 35. b) yp  x 2  3x  3e 2x; y p [ e (O 1 O 2)t ], [ e (O 1 O 2)t ] 27. 29. 31. 33. 35. 37. ) ( c4 x sen 12 13 x u  c1e r  c 2re r  c 3er  c4rer  c5e5r y 2 cos 4 x 12 sen 4x 1 5(t 1) 1 (t 1) y 3 e 3 e y0 1 5 6x 6x y 365 6 xe 36 e y  e 5x  xe 5x 39. y  0 ) RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR y 49. y 53. y 57. y 1 1 2 5 e 13 cosh 13x 6y 9y 8y 13x 5 e13x; 13 1 1 2 5 senh 13x 13 5y 0 0 0 2y 2y 51. y 55. y 0 2y 39. y 41. y 43. y 0 EJERCICIOS 4.4 (PÁGINA 143) 1. y  c 1e x  c 2e 2x  3 3. y c1 e5 x c 2 xe5x 65 x 35 5. y c1 e 2x c2 xe 2x x2 4x 72 7. y c1 cos 13x c2 sen 13x 4x2 4x 9. y  c 1  c2e x  3x 11. y c1 ex/2 c 2 xex/2 12 12 x2 ex/2 13. y c1 cos 2x c2 sen 2 x 34 x cos 2x 15. y c1 cos x c2 sen x 12 x2 cos x 12 x sen x 17. y c1 ex cos 2x c2 ex sen 2x 14 xex sen 2x 19. y c1 e x c2 xe x 12 cos x 4 3 9 25 cos 2x c2 x c3 e6x 14 x2 c2 xex c3 x2 ex sen 2x 6 1 21. y c1 37 cos x 37 sen x 23. y c1 ex x 3 32 x3 ex 25. y  c1 cos x  c 2 sen x  c 3x cos x  c 4x sen x  x 2  2x  3 12 sen 2 x 12 27. y 29. y  200  200ex/5  3x 2  30x 31. y  10e2x cos x  9e2x sen x  7e4x F0 F0 33. x sen t t cos t 2 2 2 35. y 11 11ex 9xex 2x 12x2 ex 37. y  6 cos x  FRW VHQx  x 2  1 39. y 41. y 4 sen 13x sen 13 13 cos 13 cos 2x 2 3 cos 2x 5 6 sen 2x 5 6 sen 2x, 1 3 EJERCICIOS 4.5 (PÁGINA 150) 59. 61. 63. 65. 67. 69. 71. 1 5x 2e x x 1. D  D  2)y  sen x 3. D  D  2)y  x  6 5. D D  5) 2y  e x 7. D  D  D  5)y  xex 9. D D  D 2  2D  4)y  4 15. D 4 17. D D  2) 19. D 2  4 21. D 3 D 2  16) 23. D  D  1) 3 25. D D 2  2D  5) 2 3 4 27. 1, x, x , x , x 29. e 6x, e3x/2 33. 1, e 5x, xe 5x 31. cos 15x, sen 15x 3x 3x 35. y  c 1e  c 2 e  6 37. y  c 1  c 2ex  3x 8x2 1 7 xe 4x c2 e y y y c1 e 3x c2 xe c1 e x c2 ex ex (c1 cos 2x 1 4 sen x 2 4x 1 4x 3x 343 e 49 xe 1 3 x 1 2 x 1 x 6x e 4x e 4 xe c2 sen 2x) 13 ex sen x 13 13 x c2 sen x 2 2  sen x  2 cos x  x cos x 11 2 7 3 c1 c2 x c3 e 8x 256 x 32 x c1 ex c2 xex c3 x2 ex 16 x3 ex x 5 y  c 1 cos 5x  c 2 sen 5x  2x cos 5x y y y y y y y e x/2 c1 cos x x c1 c2 x c3 e c4 xe 5 8x 1 5 8x e e 8 4 8 9 1 2 41 41 5x e 25 x 10 x 125 125 cos x 113 sen x 83 cos 2e2x cos 2x 643 e2x sen 2x 1 4 16 x 13 1 2 x 2x e 2x 1 2 2x 2x cos x 3 2 16 x 1 3 8x 3 32 x EJERCICIOS 4.6 (PÁGINA 156) 1. y c1 cos x c2 sen x x sen x cos x ln cos x 3. y c1 cos x c2 sen x 12 x cos x 5. y c1 cos x c2 sen x 12 16 cos 2x 7. y c1 ex c2 e x 12 x senh x x 9. y 11. 13. 15. 17. >2 >2 8 3 3x y  c 1e  c 2e 3x  e x  3 y c1 cos 5x c2 sen 5x c1 e2x 1 4 2x c2 e e2x ln x e 2x x0 0 x0 2x sen x, 0 ) e3x c1 e 3x 1 x 57. y ( 12 25 45. 47. 49. 51. 53. 55. 1 2x 2 4 3x 4x c1 e 2x c2 x e 2x c1 c2 x c3 e x y  c 1ex  c 2e2x  ex  e2x OQ  e x) y  c 1e2x  c 2 ex  e2x sen e x y c1 e t c2 te t 12 t2 e t ln t 34 t2 e t y c1 ex sen x c2 ex cos x 13 xex sen x 1 x 3 e cos x ln cos x 19. y 1 x/2 4e 3 x/2 4e 21. y 4 4x 9e 25 2x 36 e 1 2 x/2 8x e 1 x/2 4 xe 1 2x 4e 1 x 9e 23. y  c 1x 1/2 cos x  c 2x 1/2 sen x  x 1/2 25. y c1 27. y c1 ex c2 cos x c3 sen x sen x ln sec x tan x c2 e x c3 e2x 1 30 ln cos x e4x EJERCICIOS 4.7 (PÁGINA 162) 1. y  c 1x 1  c 2 x 2 3. y  c 1  c 2 ln x 5. y  c 1FRV OQx)  c 2VHQ OQx) 7. y c1 x(2 9. y c1 cos 16) c2 x(2 ( 15 ln x) 16) c2 sen ( 15 ln x) e4t dt , t RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 4 41. y RES-5 l RES-6 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR l 11. y  c 1x 2  c 2x 2 ln x [c1 cos(16 13 ln x) c1 x3 c2 cos( 12 ln x ) 13. y x 15. y c2 sen 16 13 ln x ( )] c3 sen ( 12 ln x ) 1/2 17. y  c 1  c 2 x  c 3 x 2  c 4 x 3 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 4 19. y c1 c2 x 1 5 5x 5 ln x 21. y  c 1x  c 2 x ln x  x OQx) 23. y  c 1x 1  c 2 x  ln x 25. y  2  2x 2 27. y FRV OQx) VHQ OQx) 2 29. y 3 4 1 2 4x ln x 33. y c1 x 1 35. y x2 [c1 cos(3 ln x) 31. yy  cc11xx 31. 2 1 2 30 x 8 c2 x  cc2 x2 x 2 10 10 3 10 x 37. y  x)  x) OQ x), x  0 39. y c1(x 3)2 c2(x 3)7 1/2 c1 cos[ln(x 41. y 2)] c2 sen[ln(x 2)] x 1 4 senh 4(x 3. yp(x) (x 9. y 11. y t)e 1 3 f(t)dt sen3(x t) f(t)dt c1e 4x c1e x 1 4 4x c2e c2 xe c1 cos3x 15. yp (x) 1 2 5x 2x e senh4(x t)te 2t t)e (x 2x 2 4x 29. y 46 3 45 x e tdt 1 3 1 16 e 31. y(x) 5ex 3e donde yp (x) 33. y cos x sinx 1 36 x 1 2 ln x 1. x  c 1e t  c 2 te t y  c 1  c 2)e t  c 2 te t 3. x  c 1 cos t  c 2 sen t  t  1 y  c 1 sen t  c 2 cos t  t  1 5. x 12 c1 sen t 12 c2 cos t 2c3 sen 16t c1 sen t sen3(x t)(t sent)dt x0 2x yp (x), 1 cosh x, x 1 cosh x, x yp(x), 0 0 c3 sen 16t c2 cos t c4 cos 16t c1 e2t c2 e 2t c3 sen 2t c4 cos 2t 1 t 5e y c1 e2t c2 e 2t c3 sen 2t c4 cos 2t 1 t 5e 9. x c1 c2 cos t c3 sen t 17 3t 15 e y c1 c2 sen t c3 cos t 4 3t 15 e 15. x y 1 6 ln x 2c4 cos 16t 7. x c1 et ( c2 e 3 2 c2 1 2 ( 12 13c2 3 4t 4 c1 e cos 12 13t c3 e 13c3 e sen 12 13t 5et c1 c2 t c3 et (c1 c2 2) c1 et c2 e y c1 et ( t/2 1 2 c2 ( 12 13c2 c1 et ( 12 c 2 ( 12 13c2 c4 e (c 2 1 2 2t t 1)t sen 12 13t 1 2 13c3 e ) )e 1 2 c3 1 2 t/2 13c3 e ) )e 1 2 c3 1 2 2 gt 2t c3 t c4 c4 e t/2 t/2 cos 12 13t sen 12 13t cos 12 13t 3t 1 2 2t sen 12 13t c3 e t/2 t/2 t cos 12 13t 19. x  6c 1e  3c 2 e  2c 3e y  c 1e t  c 2 e 2t  c 3e 3t z  5c 1e t  c 2 e2t  c 3 e 3t 21. x  e 3t3  te 3t3 y  e 3t3  2te 3t3 23. mx  0 my  mg; x  c 11t  c 22 t y t/2 ) t / 2 cos 12 13t 3 t/2 sen 12 13t 2 c3) e c2 17. x z t/2 4 t 3e c1 e4t y x x ln x 1 2 20 x 1 2x 1 2 2 (ln x) 13. x t) S yp(x) cos x sen x x sen x cos x ln senx 2 25 9 2x 1 2x 2x y 16 e 16 e 4 xe y e 5x 6xe 5x 12 x2 e5x y x sen x cosx ln sen x y (cos1 2)e x (1 sen1 cos1)e 2x e 2x sen e x 27. y x 43. yp(x) dt x0 1 2x 16 e 1)f (t)dt (t x 41. yp(x) x0 (x c2 sen3x tf (t)dt sen(x 1) sen x 1 sen1 sen1 ex cos x e x sen x ex y x x x 1) 0 39. yp(x) 11. x x0 1 2x 4 xe 19. 21. 23. 25. t) 1 2 2x x 13. yp (x) 17. (x x0 5. yp(x) 7. y t)f(t)dt x0 x 37. yp(x) y EJERCICIOS 4.8 (PÁGINA 173) 1. yp(x) (x 3 1 x 35. yp(x) 0 x 3 EJERCICIOS 4.9 (PÁGINA 177) 4 13 c2 sen(3 ln x)] 1/2 0, x 10 10 cos x, 0 20cos x, x donde yp(x) RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR c1 y 9. y 2 3 (x 11. y tan 17. y c2 1)3兾2 (14 1 1 ), 1 2 b) c21 x2 c2 c) x 1 3 2x 1 4 6x 1 5 10 x x 1 2 2x 2 3 3x 1 4 4x 7 5 60 x 7. a) b) c) x2 REPASO DEL CAPÍTULO 4 (PÁGINA 183) 1. y  0 3. falso 5. y 9. yp c1 cos5x 2 x 7. x2y c2 sen5x 2 x 11. ( 3xy 4y 0 c1 e(1 13) x c2 e(1 , 0); (0, ) 13) x 19. y 21. y c1 e x/3 e 3x / 2 (c2 cos 12 17x e3x / 2 c2 cos 12 111x ( 46 125 x c2 e2x c1 25. y e x (c1 cos x c3 e3x ) ) 1 5 sen x c2 sen x) 1 ; 4 4 3 5x 1 5 cos x e x cos x ln sec x 27. y  c 1x 1/3  c 2 x 1/2 29. y  c 1x 2  c 2x 3  x 4  x 2 ln x 31. a) y c1 cos x c2 sen x A cos x B sen x, ; y c1 cos x c2 sen x Ax cos x Bx sen x, ; b) y c1 e x c2e x Ae x , x x x y c1 e c2e Axe , 33. a) y  c 1cosh x  c 2 senh x  c 3 x cosh x  c 4 x senh x b) y p  Ax 2 cosh x  Bx 2 senh x 35. y  e xʌ cos x 37. y 134 ex 54 e x x 12 sen x 39. y  x 2  4 c1 et 32 c2 e2t 52 43. x y  c 1e t  c 2 e 2t  3 45. x  c 1e t  c 2 e 5t  te t y  c 1e t  3c 2 e 5t  te t  2e t 2t b) x(t) sin(2t 0.588) x(t) 冪13 4 cos(2t 0.983) 2 3 cos 1 2 sen 10t 5 6 sen(10t c3 sen 12 17x c3 sen 12 111x 3 4 sen 2t 冪13 4 c) 10t 0.927) 5 pies; 6 5 c) 15 ciclos d) 0.721 s (2n 1) 0.0927, n 0, 1, 2, . . . e) 20 f) x   0.597 pies g) x   5.814 pies/s h) x   59.702 pies/s2 i) 8 13 pies/s n n j) 0.1451 ; 0.3545 , n 0, 1, 2, . . . 5 5 n k) 0.3545 , n 0, 1, 2, . . . 5 13 120 lb/pies; x(t) sen 813 t 12 a) arriba b) apuntando hacia arriba a) abajo b) apuntando hacia arriba 1 1 1 e 2; esto es, la pesa está 4 s; 2 s, x 2 aproximadamente 0.14 pies debajo de la posición de equilibrio. 1 4 a) x(t) 3 e 2t 3 e 8t b) 36 2 25 x 222 625 23. y 1 2 cos 11. a) x(t) 17. y  c 1  c 2 e5x  c 3xe5x 1 ;x 2 6 1 9 12 ;x 4 2 32 4 4 pies/s; hacia abajo (2n 1) t , n 0, 1, 2, . . . 16 la masa de 20 kg la masa de 20 kg; la masa de 50 kg t  Qʌ, n  0, 1, 2, . . . ; en la posición de equilibrio; la masa de 50 kg se está moviendo hacia arriba mientras que la masa de 20 kg se está moviendo hacia arriba cuando n es par y hacia abajo cuando n es impar. 9. a) x(t) 13. y  c1e3x  c2e5x  c3xe5x  c4ex  c5xex  c6x2ex; y  c1x3  c2 x5  c3 x5 ln x  c4 x  c5 x ln x  c6 x OQx)2 15. y 1 ;x 4 8 12 x 3 2 x 1 2 2x 11 19. y 5. a) x 4 3 1 2x 1 11 c1 13. y 15. y x 4 3x tan x 13. 17. 19. 21. 23. () 25. a) x(t) e 2t ( 15 e 2 c) t  1.294 s 5 b) 27. a) 2 b) x(t) 5 8t 3e 2 2t 3e b) x(t) cos 4t 2t 1 2 ) sen 4t ( 4.249 5 2 c) 0 sen 4t ) 5 2 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 5 1 3 3y RES-7 EJERCICIOS 5.1 (PÁGINA 199) 12 1. 8 1 3. x(t) 4 cos 4 16 t EJERCICIOS 4.10 (PÁGINA 182) c2 3. y ln cos (c1 x) 1 1 ln c1 x 1 x c2 5. y c21 c1 7. l RES-8 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR l 29. x(t) 4 147 cos t 3 2 t/2 e RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 5 1 4t 4e 33. x(t) 1 2 9 4 cos 4t 2t 2e 1 4 1 2t 2e sen 4t d x dt 2 k(x 15. dx o dt h) ( 2t e 32 13 72 13 sen 2t sen 2t 3 4t sen 2t 56 13 cos t 1 8 5 4t cos 2t F0 t sen t 2 45. 4.568 C; 0.0509 s 47. q t)  10  10e3t FRVt  sen 3t) i t)  60e3t sen 3t; 10.432 C 150 49. q p 100 13 sen t 13 cos t 53. q(t) 57. q(t) 100 13 150 13 cos t 1 10t 2e (cos 10t 2 1 1LCi0 sen i(t) i0 cos t 1LC 2 cos t 1LC LC 3 3 2; 2 E0 C 2 1 LC cos t E0 C t sen 2 LC 1LC sen t 7. y(x) P w0 EI L senh P2 BEI w0 2 x 2P 25. n n 1T ,n L1 w0 EI P2 u0 b 27. u(r) x sen n x 5 1, 2, 3, . . . ; y u1 ab a r u1 b b sen n x L u0 a a w0 L 1EI P 1P t 3 8 110; 7.5 pies ar 1 r2 Cuando r  1, 1 1 2 1 a y(x) (x a 2) ln 2 2a a x c) Las trayectorias se intersecan cuando r  1. Ȧ0 19. a) ș(t) EJERCICIOS 5.2 (PÁGINA 209) w0 1. a) y(x) (6L2x2 4Lx3 x4) 24EI w0 3. a) y(x) (3L2 x2 5Lx3 2x4) 48EI w0 5. a) y(x) (7L4 x 10L2 x3 3x5 ) 360EI c) x ⬇ 0.51933, ymáx ⬇ 0.234799 w0 EI P cosh x 2 P BEI e Cuando t  0, x  a, y  0, dy兾dx  0. b) Cuando r  1, a 1 x 1 r 1 x 1 r y(x) 2 1 r a 1 r a C t 1LC 1 y d 2x x 0 dt 2 15. a) 5 pies b) 4 110 pies/s c) 0 17. a) xy r 11 (y )2. sen 10t) 1 q 1LC 0 E0C 1 LC 1, 2, 3, . . . ; 7. sen t E0C q0 n2 2 ,n 25 y  cos nx EJERCICIOS 5.3 (PÁGINA 218) 39. b) ip n sen t cos 2t 37. x(t) ) cos 2t 56 13 1, 2, 3, . . . ; 17. Ȝn  n 2, n  1, 2, 3, . . . ; y VHQ n ln x) 19. Ȝn  n4ʌ4, n  1, 2, 3, . . . ; y  sen Qʌ[ 21. x  L 兾4, x  L 兾2, x  3 L 兾4 d 2x dx 2 2 2 x h(t), dt 2 dt donde 2Ȝ  ȕ兾m y Ȧ2  k兾m b) x(t) y  sen nx 13. Ȝn  n 2, n  0, 1, 2, . . . ; cos 4t sen 4t 2 35. a) m y cos 4t 1)2 2 ,n 4L2 (2n 1) x cos 2L (2n n sen 3t) 4t te 9. Ȝn  n 2, n  1, 2, 3, . . . ; 11. 10 (cos 3t 3 31. x(t) 64 147 sen t 3147 2 冪gl sen冪gl t b) utilice, enșmax, sen 冪g兾l t 1 1 12 ș 2max c) utilice cos șmax 21,797 cm/s d) vb REPASO DEL CAPÍTULO 5 (PÁGINA 222) senh P x BEI cosh P L BEI 1. 8 pies 3. 54 m 5. Falso; podría existir una fuerza aplicada que impulsa al sistema. 7. sobreamortiguado 9. y  0 puesto que Ȝ  8 no es un eigenvalor 1 2 2t 4t 11. 14.4 lb 13. x(t) 3 e 3 e 15. 0  m  2 19. x(t) e ( 4t 26 17 cos 2 12 t 8 3 17. 28 17 13 12 sen 212 t ) 8 t 17 e 1 150 21. a) q(t) 2 3 b) i(t) 2 3 cos 100t n ,n 50 c) t 1 75 sen 100t sen 50t 0, 1, 2, . . . d x dt 2 kx 27. mx fk sgn(x ) 0 0 kx EJERCICIOS 6.1 (PÁGINA 231) 3. [ 12, 12), R 7. [0, 23 ], R 13 ( 1)n n 11. x n n 0 n!2 1 n 15. x n n 1 1. ( 1,1], R 1 5. ( 5, 15), R 10 9. ( 13. n 17. n 75 75 32 , 32 ), 75 32 R ( 1)n n x n 1 02 ( 1)n (x 1)! 0 (2n 2S ) 2n 2 5 15 x 4 7 315 x ... 21. 1 1 2 2x 5 4 24 x 61 6 720 x . . ., ( S 兾2, S 兾2) k 2)ck 3 27. 2c1 k 2c2 c0 k [(k 1)ck 0 6ck 1]x 2)(k 1)ck 1 1 (5x)k 0 k! 7. y1(x) c1 x 37. y c0 1 1 3 2 1 3 x 3! x 3 ck ]x k 1 c0 1 x2 0 k! 2 6 5 3 2 1 4 x 4 3 5 5 x 5! 45 7 x 7! 11. y1 (x) c0 1 1 3 x 3! 42 6 x 6! 72 42 9 x 9! y2 (x) c1 x 22 4 x 4! 52 22 7 x 7! y2 (x) (2k 1 9 8 6 5 3 2 c1 x 1 3 x 3! 15. y1 (x) 2 1 4 x 4! 1 y2 (x) c1 x x ... ... ... x 6 9 1 x7 7 6 4 3 1)ck]x k [ c1 [x c0 1 1 2 2x 1 3 6x 1 4 6x 1 2 2x 1 3 2x 1 4 4x c0 1 1 2 x 4 4 4! x4 23 7 6 x 8 6! y2 (x) c1 x 1 3 x 6 14 5 x 2 5! 34 14 7 x 4 7! 1 2 x 2! 2 1 19. y(x) 7 ] ] 17. y1 (x) k 23. y1(x) y2 (x) 1 3 x 3! 1 4 x 4! [ c1 [x 6x ] ] 1 5 120 x 1 3 6x c0 1 1 6 180 x 1 4 12 x EJERCICIOS 6.3 (PÁGINA 248) 1. x  0, punto singular irregular 3. x  3, punto singular regular; x  3, punto singular irregular 5. x  0, 2i, 2i, puntos singulares regulares 7. x  3, 2, puntos singulares regulares 9. x  0, punto singular irregular; x  5, 5, 2, puntos singulares regulares x (x 1)2 11. para x 1: p(x) 5, q(x) x 1 5(x 1) para x 1: p(x) , q(x) x2 x 1 13. r1 13, r2 1 15. r1 y(x) RES-9 82 52 22 10 x 10! 1 n c0 ; y2 (x) c1 x n 1n 21. y x)  3  12x 2  4x 4 k 1 2 x 2! y2 (x)  8x  2e x EJERCICIOS 6.2 (PÁGINA 240) 1. 5; 4 1 2 1 4 1 6 x x x 3. y1(x) c 0 1 2! 4! 6! 1 3 1 5 1 7 y2(x) c1 x x x x 3! 5! 7! 5. y1(x) c0 y2(x) 21 6 x 6! 13. y1 (x) k 1 1)ck 1 k [(k 25. k [2(k k 29. c0 35. y 2x 3 4 x 4! 1 2 3 3x (k 1 2 x 2! 1 2 19. x 23. c0 1 cos 50t 2 25. m 9. y1(x) l 3 2 , r2 0 C1 x3/2 1 2 x 5 22 x2 7 5 2 23 x3 9 7 5 3! 1 x10 10 9 7 6 4 3 C2 1 2x 2 x2 23 3 x 3 3! x RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 6 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR RES-10 17. r1 y(x) RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR l 7 8 , r2 0 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 6 c2 1 y2(t) 2x y(x) 1 x 3 1 3 3 3! 1 x 2 C2 1 sen 1 t 1 t ( ) cos 1 t t ) ( )2n C2 x cos 1 x EJERCICIOS 6.4 (PÁGINA 260) 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19. 0 C1 x1/3 1 ( 1 x x2 9 2 )2n ( 1)n 1 t 0 (2n)! C1 x sen c) y 22 1 t n 23 x3 17 9 3! 1 3 , r2 ( n 22 x2 23 15 2 2 x 15 c1 x7/8 1 23 x3 31 23 15 3! 19. r1 ( 1)n 1 t 1)! 0 (2n 33. b) y1(t) 1 2 x 32 2 x3 1 2 x 5 2 1 x3 8 5 2 y  c1J1/3 x)  c 2J1/3 x) y  c1J5/2 x)  c 2J5/2 x) y  c1J0 x)  c 2Y 0 x) y  c1J 2 x)  c 2Y 2 x) y  c1J2/3 x)  c 2 J2/3 x) y  c1x1/2 J 1/2 Į[)  c2 x1/2 J1/2 Į[) y  x1/2 [c1 J1 x 1/2)  c 2 Y1  x 1/2)] y  x [c1J1 x)  c 2 Y1 x)] y  x1/2 [c1 J3/2 x)  c 2 Y 3/2 x) y x [c1 J1/2(12 x2) 1 c2 J ( )] 1 2 1/2 2 x 23. y  x [c1 J1/2 x)  c2 J1/2 x)]  C1 sen x  C2 cos x 1/2 21. r1 y(x) 5 2 , r2 0 22 3 2 x 9 7 2 2 x 7 C1 x5/2 1 23 4 3 x 11 9 7 C2 1 23. r1 y(x) 2 3 , r2 1 x 3 1 2 x 6 1 3 x 6 [ 1 2x 5 2 28 x 1 3 21 x 1/3 C2 x [1 1 2x ] 53. y ] 7 3 120 x 1 2 5x 25. r1  0, r2  1 y(x) 1 C1 n 0 C1 x (2 n 1)! x2n n 0 (2 n 1 n 0 1 1 C2 x 1)! x2n 1 C2 x 1 2n x (2 n)! 1 2n x (2 n)! 0 1 n 1 [C senh x C2 cosh x] x 1 27. r1  1, r2  0 y(x) C1 x C2 x ln x 1 12 x2 C2 y1(x) ln x 1 3 3! donde y1 (x) n 1 n x 0 n! ex y1 (x) [ c0 [1 c1 [x C2 1 3 2 2x 1 3 2x x 3 1 2 x 4 1 4 4! x y2 (x) 15. y(x) [ C2 1 [ [ 4 2 x 1 6 1 4x x x2 31 1 3 2x 1 4 4x 1 2 20 x ] ] ] 1 3 90 x 1 2 6x x 13. r1  3, r2  0 y1 (x) C1 x3 1 x 3/2 16 5 5 x 4x3 [ C1 y(x) ( )] C2 x cos(18 x2) c2 x1/2 J 1/3(32 ax3/2) 1 2 1/2 8 x c2 J [ y2 (x) ] 1 4 72 x 1/2 REPASO DEL CAPÍTULO 6 (PÁGINA 263) 1. Falso 3. [ 12, 12] 7. x 2 x  1)y y  y y  yy  0 9. r1 12, r2 0 1 3 y1(x) C1 x1/2 1 13 x 301 x2 630 x 11. y1 (x) 29. r1  r2  0 y(x) x y2 (x) [ 1 3 12 x x 35. y 45. P2 x), P3 x), P4 x) yyP5 x) están dados en el texto, P6 (x) 161 (231x6 315x4 105x2 5), P7 (x) 161 (429x7 693x5 315x3 35x) 47. Ȝ1  2, Ȝ2  12, Ȝ3  30 1 3 C1 x2/3 1 [c1 J1/2(18 x2) C1 x 3/2 sen (18 x2) c1 x1/2 J1/3(32 ax3/2) 25. y 5 4 8x ] ] 1 3 120 x ] 1 2 2x 1 4 1 6 3x 15 x 1 5 1 7 1 3 8x 48 x 2x 17. 19. x  0 es un punto ordinario ] ] RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR 1 3 x 3 c0 1 1 32 2! 1 4 x 4 c1 x 1 x6 33 3! 1 7 x 4 7 1 x10 4 7 10 1 5 2 x 2 1 x6 32 2! 33 3! EJERCICIOS 7.1 (PÁGINA 272) 2 s 1 e s s 1 e s 5. s2 1 1 1 1 e 9. s s2 s2 1 13. (s 4)2 s s2 1 (s2 1)2 4 10 21. 2 s s 6 6 3 1 25. 4 3 2 s s s s 1 2 1 29. s s 2 s 4 39. 2) 4 cos 5 s2 9. 48 s5 2 6 3 23. 3 s s2 s 1 1 27. s s 4 8 15 31. 3 s s2 9 e kt para mostrar que 2 k {senh kt} 2(s 5. x9 19. e kt 33. Utilice senh kt 1 1 2s 37. (sen 5)s 16 s2 5. 1 9. 3t 3 2 2t 1 3 6t 1 t/4 4e 13. cos t 2 2 3 冪ʌ 45. 4s5兾2 7. t  1  e 2t 5 7 sen 15. 2 cos 3t  2 sen 3t 1 t 4e 23. 1 2t 2e 25. 27. 4  3et  cos t  3 sen t 29. 33. 1 1 5 cos 15t 5 1 1 6 sen 2t 3 sen t 19 1 4t 6t y 10 e 10 e 1)2 3 25 4 t 3e 1 4t 3e 2)4 (s 3 1)2 4)2 2t 3 e 2 33. x(t) 37. 41. 7t/2 cos 25 3 2 t 2t e 23. y  et  2tet 3 3t 27. y 2 e sen 2t 10 3t 9 te 115 t 2 e s s2 39. s s 2 4 45. sen t (t 49. c) 53. a) ) 55. f (t) 2 4 (t 57. f (t) t2 (t 59. f (t) t t 7115 e 10 2s e 2)2 (t 2) 47. (t 51. f) 1) e (t 1) s {f (t)} 67. y [5 2 71. x(t) (t 1) 5e 5 4t (t 1) (t e s s e 2s s2 e 2 as s 2 ) (t (t (t 1) 2 ) 2 ) 5 16 sen 25 4 cos 5 4 (t 4t 5) 4(t 5) (t 5) 4(t 5) (t 5) (t 5) 25 4 (t s bs s [1 cos(t )] (t ) cos(t 2 )] (t 2 ) 5 16 sen 2s e e 1) 1 2(t 1) 4e 1) 3s e s s2 {f (t)} (t 1) 2(t 2 ) (t 1) 1 4 (t 1 6 sen 2 1 s2 b); 1 2t 4e cos 2 t sen t [1 ] 4 e s e s s3 { f (t)} (t a) 1 1 4 2t 1 2 (t 1 3 sen 2); s 2 s {f (t)} 115 t 2 2s e 43. 12 (t 1); (t sen 2 3); (t 7t/2 2 s e 9 4 s (s 29. y 12 12 et cos t 12 et sen t 31. y  e  1)tet  e  1)et 69. y t (s 13. e3t sen t 17. et  tet e cos t  2e sen t 5 t 5e t 4te t y  te4t  2e4t 2 3t y 19 t 272 27 e 1 6t 2e e 3t 31. y  1  e 35. y 4) 1 s 2t 7t 21. 0.3e0.1t  0.6e0.2t 1 3t 3e (s (s 7. 7. 2 1 2 2t 2t e 63. y 65. y 3 3t 4e 1 3 25 3) s s2 61. f (t) 19. 17. (s 2) 1 2 2 s 16 冪ʌ 43. 1兾2 s 11. (s 2 2 . 3. t  2t 4 1 2 2t 11. 15. 19. 21. 25. 1 6 3. 3. k2 EJERCICIOS 7.2 (PÁGINA 280) 1. EJERCICIOS 7.3 (PÁGINA 289) 1 1. (s 10)2 3. 17. 35. 1 3 x 3 1 1 s e s 2 s2 1 1 s 7. e s e s s2 e7 11. s 1 1 15. 2 s 2s 2 1. 10 cos t 2 sen t 12 sen 12 t 5 t 1 1 8 t 2t t /2 e e 2e 9 18 e 9 1 1 1 3t 3t t cos 2t 4 e sen 2t 4e 4e 37. y 39. y 41. y x9 5) RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 7 21. y(x) RES-11 l RES-12 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR l 2 5 73. q(t) (t 1 e 101 75. a) i(t) (t 1 cos t 101 10t 10 e 101 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 7 2 5(t 3) 5e 3) 10(t 3 /2) t 3) 45. y(t) 10 sen t 101 47. i(t) 3 2 49. 1 s(1 3 2 t 3 2 51. a 1 s bs 1 sen t 101 3 2 t 3 2 53. coth ( s> 2) s2 1 2 w0 L 2 x 16EI 77. y(x) w0 L 3 x 12EI w0 x 24EI w0 L 2 2 x 48EI 79. y(x) L 2 4 L 2 x 5 x L 2 x 5 L 2 x 4 4)2 1 1. (s 10)2 s 3. 2 (s 6s2 5. 2 (s 12s 24 7. [(s 2)2 36]2 11. y 2 cos 3t 13. y 1 4 5 3 sen 1 8t sen 4t 1 8 (t 2 3 3t 17. y 21. 25. s s[(s 29. 3s s2(s2 33. et 39. f (t) 43. f (t) 1 6t 1 2t 3 2t 8e ) ( 1)n (1 R(t n)/L ) (t e 1 t 3 e sen e t cos 3t [ ( 1)n 1 (t n ) e n) 3t) cos 3(t 23. 23. 1] 27. 27. n ) 3 t 4 te 1 2t 8e 1 2 cos 1 2 t 4t e 2t 1 4 sen 2) (t (t n ) 7. y 9. y e e 2) sen t (t cos t 1 2 1 1. x 1) s(s 1 s2(s y 5. x 1) y 9. x y 41. 41. f t)  et 11. x 2t n ) 2 ) ) cos t 2 1 2 [ 1 2t 2e 2(t 2 ) sen t 2t (t 1 2(t 2e (t 3 2 ) (t 1) 2 ) 2 2t sen 3e cos 3t (t 1) ] 3t ) 3 ) w00 L 2 1 3 P x x , 0 EI 4 6 w P0 L 2 1 L L x , 4EI 2 12 2 (t ) (t 3 ) x L 2 x L EJERCICIOS 7.6 (PÁGINA 311) 37. 37. f t)  sen t 1 1 t 8e sen t ) 6 19. 19. 5 s ] 3(t 1 2(t ) sen 3(t 3e 1 2(t 3 ) sen 3(t 3e 31. 31. et  1 1 t 8e 3. y 13. y(x) ) (t 1] t e3(t sen 3t 1 1)2 1 2 2t 1. y 11. y sen 4t 1 1)2 2) EJERCICIOS 7.5 (PÁGINA 307) sen t c1 t2 1 1)2 2 3t cos t ) sen 4(t s 1)[(s (s 1 2t t ] (t Rt/L 1 (t n ) sen 3e 5. y 2 1 2 cos e 1) n 1 EJERCICIOS 7.4 (PÁGINA 301) 1 t 2e ] (t 20(t 2) n 1 4 dT  k T  70  57.5t   57.5t)ᐁ t  4)) dt 9. y e 2 (1 w0 L 3 x 24EI 2 1)3 20(t 1) 1 e ( 57. x(t) e 2) 1 bs 1 1 R 2 R 55. i(t) w0 4 x 24EI w0 5L 4 x 60EIL 2 81. a) 100[e 10(t 1) 100[e 10(t e as e as ) 10 cos t 101 b) imáx ⬇ 0.1 en t ⬇ 1.7, imín ⬇ 0.1 en t ⬇ 4.7 1 2 t sen t sen t y 1 t 1 2t 3e 3e 2 t 1 2t 3e 3e 2e3t 52 e2t 12 5 2t 1 8 3t 2e 6 3e 2 3 t 3! 8 2 3 t 3! 1 2 2t 1 3 t 1 t 3e y 2 cos 3t y 1 4 t 4! e cos 3t 7. x 1 4 t 4! 1 3. x t 1 t 3 te 1 2t 1 2t 3 4 3 4 5 3 7 3 sen 3t sen 3t 12 sen 12t 12 sen 12t RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR 216 sen 16 t 15 16 sen 16 t 15 x2 2 cos 16 t 5 1 cos 16 t 5 2 cos t 5 4 cos t 5 145 113 cos 250 15t 1469 e 30 2t 13 e i3 19. i1 6 5 6 e 5 100t i2 6 5 6 e 5 100t 280 113 cos 13. 17. 19. 21. 25. 29. cosh 50 12 t senh 50 12 t 100t 612 e 5 11. 4 1 5 6 t 5t 15. e cos 2t 52 e 5t sen 2t cos (t 1) (t 1) 5 f (t) (t f (t) t 100t 47. a) senh 50 12 t 35. y 37. y(t) [ 2t e [ 1 4 2 [ 1 4 1 2 1 2 5t 2t e 1 4 1 2 (t (t 2) 3) 9. 1 2(t 4e 2(t 2) ] L 2 0 2 0 2 (t 2) (t 2) ] ] 1) (t (t (t 1) 2) 3) 3 4 5 0 cos t 0 L3 2 x 4 L 2 x cos t 5 X, 8 3 6 10 0 2 0 2 cos 1 cos 1 2 2K t 2 2K t 0 1 1 1 donde X x y z dx dt dy dt dx dt dy dt dz dt 9 0 X, donde X 3 1 1 X 1 4x 2y et x 3y et x 2z y 3x 2x 4y 5y x y donde X 4 1 4 1 2 1 5. X 2(s 1) 1 4e 1 2(t 3) 4e 0 3. X 7. 2) 1) 2 (t) 1 x 5 L2 3 x 2 1 2 (v0 cos ) t, y(t) (v0 sen )t 2 gt g sen 2 x x; resuelva y(x) b) y(x) 2v20 cos2 cos y utilice la fórmula de ángulo doble para sen 2 1. X 13 4 5t 50 e 25 2) 14 e (t 2) 1 2 (t 0 L 4 x 2 EJERCICIOS 8.1 (PÁGINA 324) 4)2 1 2 t 2t e 6 1 3 t 25 5t 2e 1 2) (t 5 (t 9 5(t 2) (t 100 e 1 (t) 1 5 x 5 d) aprox. 2729 pies; aprox. 11.54 segundos sen (t 1) (t 1) 23. ek sa)F s  a) 27. f (t t0) (t t0) 1) (t 4); 1 4s e ; s 1 e (s 1) (s 1)2 t0) (t 1 s2 5te t w0 12EIL 49. a) x(t) 4s (s2 1) (t 1 s { f (t)} e s2 1 {et f (t)} (s 1)2 1 e 4(s 1) s 1 31. f (t) 2 (t 2) (t 2); 2 1 2s { f (t)} e ; s s2 2 1 {et f (t)} e s 1 (s 1)2 33. y t 810 113 sen t t 9 12 e 10 cosh 5012 t 2 s2 1 2t 9 2t 8e 8e 1 2t 9 2t 4 e 4 e 1 4 85 113 sen t t REPASO DEL CAPÍTULO 7 (PÁGINA 312) 1 2 s e 3. falso 1. 2 s s2 1 5. verdadero 7. s 7 9. 1 2 2t t 45. y(x) 375 15t 1469 e 20 2t 13 e 41. x y 1 43. i t)  9  2t  9et/5 100 900t 15. b) i2 100 9 9 e 80 900t i3 809 9 e c) i1  20  20e900t 17. i2 39. y e 0 3t2 t2 t 2e z 6z x y z t 0 t 1 0 , 2 3t t 2e t t t 17. Si; W X 1, X 2 )  2e 8t  0 implica que X 1 y X 2 son OLQHDOPHQWHLQGHSHQGLHQWHVHQ  , ). 19. No; W X1, X2, X3)  0 para toda t. Los vectores solución VRQOLQHDOPHQWHGHSHQGLHQWHVHQ  , ) Observe que X 3  2X 1 X 2. RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 8 1 sen t 5 2 sen t 5 13. x1 RES-13 l RES-14 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR l EJERCICIOS 8.2 (PÁGINA 338) 1. X RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 8 3. X 5. X 7. X 1 5t e 2 c1 2 e 1 c1 3t c1 5 8t e 2 c1 1 0 et 0 c2 c1 t 11. X c1 4 0 e 1 t 13. X 3 19. X c1 21. X 1 2t c1 e 1 23. X 1 c1 1 et 1 25. X c1 4 5 2 1 4 e3t 3 c2 12 6 e 5 0 e 1 t/2 c2 c2 0 2 t t 1 e 2 1 t c3 1 1 e 3 2t c3 4 2 e 1 t/2 3t / 2 sen t e4t 2 sen t cos t 35. X c1 cos t e4t cos t sen t c2 sen t e4t sen t cos t 37. X c1 5 cos 3t 4 cos 3t 3 sen 3t c2 5 sen3t 4 sen 3t 3 cos 3t 39. X 1 c1 0 0 41. X 0 c1 2 et 1 43. X c1 1 4 1 4 1 3 1 1 e2t 0 0 c3 e 2t cos t cos t sen t c2 28 5 e2t 25 c2 sen t sen t cos t c3 sen t c 2 cos t et cos t cos t sen t et sen t c3 4 cos 3t 3 sen 3t 5 cos 3t e 0 3 cos 3t 4 sen 3t 5 sen 3t e 0 2t 2t cos 5t 5 sen 5t cos 5t cos 5t 25 7 et 6 45. X 1 0 e2t 1 5 cos 5t sen 5t 6 sen 5t sen 5t EJERCICIOS 8.3 (PÁGINA 346) 2 0 e5t 1 1 2 1 2 e5t 1. X c1 1 e 1 t 3. X c1 1 e 1 2t 1 0 1 tet 1 0 1 tet 0 0 1 et 0 1 2 0 et 0 2 4t 2t 1 4t e 13 e 1 t 1 31. Correspondiendo al eigenvalor Ȝ1  2 de multiplicidad 5, los eigenvectores son 1 0 0 0 0 0 K1 0 , K2 1 , K3 0 . 0 0 1 0 0 0 29. X c2 c3 2 0 te5t 1 c2 1 0 e 2 1 2t te 1 c2 0 c1 1 et 1 c3 c3 1 t 3 c2 c3 27. X 2 cos t e4t 2 cos t sen t 10t 2 3 e2t 1 c2 1 t/2 e 1 1 3 1 e 4 c2 c1 t 2 t e 5 c2 1 0 e 1 9. X 1 e 1 c2 33. X 1 4 1 4 c1 7. X 1 c1 0 et 0 7 c2 13 11. X c1 1 1 13. X c1 2 t/2 e 1 1 4 3 4 1 4t e 1 t2 3 4 1 1 e2t 0 c2 c2 c3 4 2t e 6 2 3 t e 2 c2 55 36 19 4 1 7t e 9 c2 1 t e 1 9. X 1 3 2 t 1 3t e 3 5. X 3 t e 1 c2 3 2 7 2 1 2 e5t 2 e4t 2 9 6 11 t 11 10 3t / 2 e 3 et 15 10 13 2 13 4 tet / 2 15 2 9 4 et / 2 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR 17. X 19. X 21. X c1 2 t e 1 c1 4 3t e 1 1 2 t 1 2 et e 2 23. X 25. X c1 sen t cos t c2 sen t sen t tan t 27. X cos t t sen t c2 2 cos t t e sen t cos t et ln sen t 1 2 sen t 29. X 1 1 0 c1 c2 cos t tet sen t sen t ln cos t cos t 2 sen t t c1 e cos t 1 1 e2t 0 3 sen t t te 3 2 cos t 2 cos t t e ln cos t sen t 0 0 e3t 1 c3 1 2t 1 2t 2 te 4e 1 2t 1 2t t e 2 te 4e 1 2 3t t e 2 31. X 33. i1 i2 2 2t te 2 2 1 e 3 6 29 2 4t te 2 3 e 1 2 4t e 0 4 19 cos t 29 42 12t 4 83 sen t 29 69 c3 11. X c1 cosh t senh t t 1 et 0 ; 0 e2t t 3. eAt 5. X 1 t 2t 1 t c1 e 0 e t t 1 2t c2 e 0 At 0 2t e 1 t t 2t t t 2t c3 0 2t e 1 c4 1 3 1 2 4 t c1 X c3 1 2t 2e 2t e e 3 2t e 2 c4 3te2t te 1 2t 2t e 3t X c1 23. X c1 3 3t 2e 3 3t 2e X c3