"PENGANTAR MODEL MATEMATIKA"

“PENGANTAR MODEL MATEMATIKA” Nama : Yulianita Artanti NIM : 18141006 Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan Prodi : Pendidikan Matematika  Review Kalkulus dan Persamaan Differensial Elementer Review Turunan Jika 𝑦 𝑓(𝑥) Maka 𝑦 𝑓′(𝑥) 𝑓 (𝑥 ) Dimana 𝑓 (𝑥 ) adalah turunan dari 𝑓(𝑥) Contoh 1 Tentukan dari | | maka : ( ) Tentukan dari | | maka : ( ) Review Antiderivatif/Integral Fungsi eksponensial adalah salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya fungsi ini ditulis dengan notasi exp (𝑥) atau 𝑒 𝑥 dimana 𝑒 adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama dengan 2,71828183. Hasil integral dari fungsi eksponensial adalah : 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 𝑥 + 𝐶 … … (A ) 𝑒 𝑐𝑥 𝑑𝑥 𝑒 𝑐𝑥 + 𝐶 … … (A ) 𝑐 𝑥 𝑎𝑥 𝑎 𝑑𝑥 + 𝐶 … … (A3) |𝑎 | Konsep lainnya dapat anda peroleh pada buku/sumber lainnya. [ Pengantar Model Matematika ] 2020/UMBY [Yulianita Artanti] 1 Contoh 2 1. Tentukan ∫ Jawab : Misal : 3 3 sehingga Substitusi pemisalan pada integral di atas ( ) 3 3 Dengan menggunakan konsep A1 maka + 3 Substitusikan kembali 3 Jadi: + 3 2. Tentukan ∫ 3 Jawab : 3 3 3 3 3 Gunakan konsep A3 maka: 3 + + | | | | Jadi : 3 3 + | | Persamaan Differensial (PD) Persamaan diferensial adalah salah satu cabang matematika yang banyak digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalah-masalah fisis tersebut dapat dimodelkan dalam bentuk PD. Pada perkembangan ilmu sekarang PD sebagai model banyak dijumpai dalam bidang-bidang sains, teknologi (teknik), biologi, ekonomi, ilmu sosial, demografi. PD digunakan sebagai alat untuk mengetahui kelakuan maupun sifat-sifat solusi masalah yang ditinjau. Karena itu, penting sekali mempelajari PD. Anda pertama-tama mempelajari PD yang lebih sederhana, yaitu PD orde satu dimana akan mengenal tipe-tipe persamaan diferensial dan mempelajari bagaimana caranya menyelesaikan PD tersebut. [ Pengantar Model Matematika ] 2020/UMBY [Yulianita Artanti] 2 Definisi Persamaan Diferensial: Persamaan diferensial adalah hubungan antara peubah bebas, misalnya dan peubah tak bebas sebut beserta turunan-turunannya, dengan paling sedikit ada satu turunan (tingkat berapapun) didalamnya. Secara umum persamaan diferensial dapat ditulis: 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦 , 𝑦 , … , 𝑦 𝑛 ) Misalnya : 𝑦 𝑒 𝑦 cos 𝑥 𝑑𝑦 𝑒 𝑥 si 𝑥 𝑑𝑥 𝑑 𝑥 𝑑𝑥 +𝑥 cos 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Definisi Persamaan Diferensial Orde Satu: Suatu persamaan diferensial orde satu dapat dinyatakan secara umum dalam dua bentuk, yaitu: 𝑑𝑦 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑑𝑥 ) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑦 ) disebut bentuk implisit 𝑑𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) disebut bentuk eksplisit 𝑑𝑥 Contoh 3 + + + + + + + (PD 1: Implisit) + + (PD 1: Eksplisit) 2 + 2 + (PD 2: Implisit) 2 + 2 + (PD 2: Eksplisit) 2 ( ) ( 2 ) (PD 1: derajad 2) Jadi, tingkat (order) suatu PD adalah tingkat TURUNAN TERTINGGI yang terdapat didalamnya. Solusi Umum dan Solusi Khusus PD Definisi: Suatu fungsi = ( ) dikatakan solusi PD apabila = ( ) dan turunannya ′ memenuhi PD. [ Pengantar Model Matematika ] 2020/UMBY [Yulianita Artanti] 3 Contoh 4 1. Apakah + adalah solusi Penyelesaian: Untuk mencari y maka PD diintegralkan, sehingga: Kedua ruas diintegralkan maka: + Dalam hal ini, sehingga + . Jadi + adalah solusi PD di atas dengan . Solusi yang seperti ini dinamakan solusi khusus (partikelir). Sedangkan + juga merupakan solusi dan disebut sebagai solusi umum. 2. Tentukan solusi umum PD: cos , kemudian tentukan solusi khususnya jika diberikan syarat awal ( ) Penyelesaian: cos cos cos cos si + Jadi, solusi umum untuk cos adalah si + Untuk solusi khususnya, karena diberikan syarat awal ( ) maka kita dapat mencari nilai nya, yaitu dengan cara mensubstitusikan pada solusi umumnya. si + si ( ) + + Diperoleh maka solusi khususnya adalah si + Kesimpulan : Untuk mencari solusi umum/solusi khusus maka PD diintegralkan Untuk mencari PD maka fungsi yang diketahui diturunkan. [ Pengantar Model Matematika ] 2020/UMBY [Yulianita Artanti] 4 Persamaan Differensial Orde Dua Suatu persamaan diferensial orde dua dengan koefisien konstan dapat dinyatakan secara umum dalam dua bentuk, yaitu: 𝒑(𝒙)𝒚 + 𝒒(𝒙)𝒚 + 𝒓(𝒙)𝒚 𝒇(𝒙) Karena koefisien konstan maka 𝑝(𝑥 ) 𝑝; 𝑞(𝑥 ) 𝑞; 𝑟(𝑥 ) 𝑟 dan jika 𝑓(𝑥 ) maka persamaan diatas menjadi: 𝑝𝑦 + 𝑞𝑦 + 𝑟𝑦 Persamaan ini disebut sebagai persamaan diferensial orde dua homogen. Untuk mencari solusi umum dari persamaan ini kita harus memisalkan terlebih dahulu, yaitu: 𝑦 𝑒 𝑚𝑥 maka 𝑦 𝑚𝑒 𝑚𝑥 dan 𝑦 𝑚 𝑒 𝑚𝑥 sehingga persamaan diatas dapat ditulis dengan 𝑝(𝑚 𝑒 𝑚𝑥 ) + 𝑞(𝑚𝑒 𝑚𝑥 ) + 𝑟(𝑒 𝑚𝑥 ) 𝑒 𝑚𝑥 (𝑝𝑚 + 𝑞𝑚 + 𝑟) Telah diketahui bahwa 𝑏  𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑏 , karena 𝑒 𝑚𝑥 tidak mungkin sama dengan nol, maka pastilah 𝑝𝑚 + 𝑞𝑚 + 𝑟 ...(i) Persamaan (i) di atas dinamakan sebagai persamaan karakteristik atau polinom karakteristik, dan persamaan inilah yang digunakan untuk mencari solusi umum dari PD orde dua homogen. Anda telah mengetahui bahwa dalam menentukan akar-akar dari persamaan karakteristik adalh dengan menggunakan pemfaktoran atau tumus abc, yaitu: 𝑞± 𝑞 𝑝𝑟 𝑚 , ; 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝐷 𝑞 𝑝𝑟 𝑝 Hasil akar-akar dari persamaan karakteristik memiliki 3 kemungkinan yaitu: 1. Jika 𝐷 > 0 maka 1 ≠ 2 sehingga solusi umumnya adalah 𝑦 𝐶 𝑒 𝑚1 𝑥 + 𝐶 𝑒 𝑚2 𝑥 2. Jika 𝐷 = 0 maka 1 = 2 = sehingga solusi umumnya adalah 𝑦 𝐶 𝑒 𝑚𝑥 + 𝐶 𝑥𝑒 𝑚𝑥 3. Jika 𝐷 < 0 maka 1,2 = ± 𝑏𝑖 sehingga solusi umumnya adalah 𝑦 𝑒 𝑎𝑥 (𝐶 si 𝑏𝑥 + 𝐶 cos 𝑏𝑥) Contoh 5 1. + Jawab: Persamaan karakteristik dari soal ini adalah: + ( )( ) Diperoleh sehingga solusi umumnya adalah + 2. + Persamaan karakteristik dari soal ini adalah: + ( )( ) [ Pengantar Model Matematika ] 2020/UMBY [Yulianita Artanti] 5  Diperoleh sehingga solusi umumnya adalah + 3 + Persamaan karakteristik dari soal ini adalah: + √ ±3𝑖 Diperoleh 𝑏 3 sehingga solusi umumnya adalah ( si 3 + cos 3 ) si 3 + cos 3 [ Pengantar Model Matematika ] 2020/UMBY [Yulianita Artanti] 6  Pengertian Model Matematika Makna Model Model adalah gambaran (tiruan, perwakilan) suatu objek yang disusun berdasarkan tujuan tertentu. Objek di sini dapat berupa suatu sistem, suatu perilaku sistem atau suatu proses tertentu. Model adalah penyajian masalah dalam bentuk lebih sederhana daripada masalah sebenarnya, tetapi diharapkan mewakili masalah dan lebih mudah dipahami. Seperti yang telah dikemukakan sebelumnya, model masalah dibuat sebelum masalah sebenarnya diselesaikan. Hal ini dilakukan dengan tujuan untuk mengurangi kerugian ataupun resiko yang mungkin akan terjadi pada saat pelaksanaan penyelesaian masalah. Tujuan Penyusunan Model Tujuan penyusunan model dapat dibedakan atas tiga kategori sebagai berikut: 1. Guna mengenali keadaan, sifat, atau perilaku sistem dengan cara mencari keterkaitan antara unsur-unsurnya. Model yang terjadi disebut model keterkaitan. 2. Guna mengadakan pendugaan (prediksi) untuk dapat memperbaiki keadaan objek. Model hasilnya disebut model pendugaan. 3. Guna mengadakan optimisasi bagi objek. Modelnya lalu disebut model optimisasi. Pada umumnya penyusunan model kategori kedua dan ketiga harus melalui kategori pertama dulu. Jadi dengan salah satu tujuan di atas sebagai pedoman, model yang disusun akan berfungsi untuk menirukan/menggambarkan keadaan atau perilaku sistem yang diamati semirip mungkin. Jenis-jenis Model Model dapat dibagi menurut jenisnya sebagai berikut: 1. Model fisik, model yang biasanya cukup mirip dengan yang sebenarnya, misalnya bentuknya atau polanya dan model tersebut dapat dilihat maupun diraba. Perbedaannya hanya dalam skala ukuran maupun kebutuhan fungsionalnya. Sedang model fisik ini dapat dibedakan menjadi dua bagian, yaitu: a. Model ikonik, yang biasanya menekankan keadaan statis objek atau keadaan dinamis sesaat. b. Model analog, yang biasanya meminjam sistem lain yang mempunyai kesamaan sifat dengan objek Contoh : Maket produk, model busana, simulator kendaraan, bola dunia (globe). 2. Model simbolik/abstrak (model matematika), model yang menggunakan lambang- lambang (simbol) matematika/logika untuk menyajikan perilaku objek, maka inilah [ Pengantar Model Matematika ] 2020/UMBY [Yulianita Artanti] 7  yang akan disebut model matematika. Model ini dapat dianggap sebagai usaha abstraksi terhadap objek lewat cara analitis atau numerik dalam bentuk persamaan- persamaan matematika. Bila penyelesaian ditemukan maka hasil ini dapat digunakan sebagai alat prediksi atau kontrol terhadap objek. Untuk kerja yang banyak atau format yang besar, proses matematika dapat dibantu oleh perangkat komputer. Model matematika yang dituliskan dalam bahasa komputer supaya dapat dimasukkan ke dalam komputer, disebut model komputer. Berbeda dengan model fisik yang bendanya ada dan dapat diraba model abstrak ini tidak ada benda yang tentu saja tidak dapat diraba. Jenis model ini hanya digambarkan (dituliskan) di atas kertas jadi yang dapat diraba hanya kertasnya. Contoh: a. Rancangan gambar rumah (denah) b. Rancangan gambar mobil c. Diagram rancangan sirkuit elektronik d. Neraca keuangan perusahaan e. Diagram alir dan algoritma f. Peta geografis bumi g. Persamaan reaksi kimia h. Persamaan matematis Manfaat dan Keterbatasan Model Lewat model, orang dapat memperoleh gambaran yang lebih jelas mengenai objek, dapat “bermain-main” atau mengadakan percobaan terhadap model tanpa mengganggu objek dan dapat membuat gambaran masa depan. Manfaat ini terasa sekali bila eksperimen atau percobaan terhadap objek mengandung resiko yang besar sekali atau sama sekali tidak dapat dikerjakan, misalnya penentuan kebijaksanaan harga bahan pangan pokok yang dilakukan secara coba-coba dapat menggoncangkan masyarakat, atau seorang dokter yang ingin mengadakan percobaan pengaruh racun terhadap darah manusia tidak mungkin melakukannya terhadap manusia yang masih hidup. Tentu saja setiap model ada keterbatasannya, sebab model adalah tiruan yang disusun lewat penyederhanaan atau abstraksi. PEMODELAN Masalah Model Penyelesaian masalah Pemodelan [ Pengantar Model Matematika ] 2020/UMBY [Yulianita Artanti] 8  gambar di atas merupakan tahapan penyelesaian maslaah menggunakan pendekatan pemodelan. Tahapan tersebut secara umum dimulai dengan identifikasi masalah, penyederhanaan masalah, pembuatan model masalah dan berdasarkan model tersbeut dilakukan penyelesaian masalah dan berdasarkan model tersebut dilakukan penyelesaian masalah. Akhirnya, menafsirkan bentuk matematis penyelesaian masalah ke dalam bahasa sehari-hari sebagai jawaban penyelesaian masalah. Dapat dikatakan bahwa: PEMODELAN ADALAH PROSES PENURUNAN MODEL Proses dilakukan mulai dari identifikasi masalah disajikan menjadi model. Jadi dalam hal ini yang menjadi kunci utama dalam pemodelan adalah proses yang dilakukan sehingga dapat dibuat model yang sesuai dengan tujuan pemecahan masalah. Model matematis dan Pemodelan Matematis Yang menjadi inti pembahasan ini adalah model abstrak khususnya model matematis. Dalam hal ini adalah bagaiman proses dilakukannya pemodelan sehingga diperoleh model matematis masalahnya. Selanjutnya dibahas juga bagaiman amenyelesaikan model matematis masalah menjadi model penyelesaian maslaah. Akhirnya, berdasarkan model matematis penyelesaian masalah dilakukan penyelesaian masalah yang sebenarnya. [ Pengantar Model Matematika ] 2020/UMBY [Yulianita Artanti] 9  Model Optimasi Satu Peubah Pengertian Model Optimasi Model optimasi yaitu suatu model pengambilan keputusan yang menguraikan individu-individu seharusnya berperilaku agar dapat memaksimumkan semua hasil dan menemukan suatu penyelesaian dengan cara memaksimumkan dan meminimumkan fungsi tujuan terhadap satu susunan kendala. Model ini menggambarkan bagaimana setiap individu berperilaku sehingga memberikan hasil yang optimal. Untuk memulai topik optimasi akan dibahas teknik optimasi pada fungsi-fungsi satu dimensi, karena teknik ini merupakan satu kesatuan dalam hampir setiap teknik optimasi dua atau lebih peubah. Dimisalkan adalah variabel penentu dan 𝑓( ) adalah fungsi tujuan dari suatu masalah. Metode optimasi menyelesaikan masalah Maksimumkan 𝑓( ) atau minimumkan 𝑓( ) ..... Pers 1. Untuk menyelesaikan permasalahan seperti dalam Pers 1 dapat dipakai kalkulus diferensial yang dinyatakan seperti teorema dibawah ini: Teorema : Misalkan 𝑓 adalah fungsi yang kontinu dalam interval tertutup [ , 𝑏] dan dapat diderivasikan pada interval terbuka ( , 𝑏), maka: a. Jika 𝑓′( ) > 0 untuk setiap pada ( , 𝑏) maka 𝑓 adalah fungsi naik pada [ , 𝑏] b. Jika 𝑓′( ) < 0 untuk setiap pada ( , 𝑏) maka 𝑓 adalah fungsi turun pada [ , 𝑏] Teorema Derivasi Pertama Misalkan 𝑓 adalah fungsi yang kontinu dalam interval tertutup [ , 𝑏] dan dapat diderivasikan pada interval terbuka ( , 𝑏) kecuali mungkin di titik yang berada dalam ( , 𝑏) maka: a. Jika 𝑓′( ) > 0 untuk < < dan 𝑓′( ) < 0 untuk < < 𝑏 maka 𝑓( ) adalah sebuah maksimum lokal dari 𝑓 b. Jika 𝑓′( ) < 0 untuk < < dan 𝑓′( ) > 0 untuk < < 𝑏 maka 𝑓( ) adalah sebuah minimum lokal dari 𝑓 c. Jika 𝑓′( ) > 0 atau 𝑓′( ) > 0 untuk setiap dalam ( , 𝑏) kecuali = , maka 𝑓( ) bukan sebuah nilai ekstrim Teorema Derivasi Kedua Misalkan 𝑓 adalah fungsi yang dapat diderivasikan pada interval terbuka yang berisi titik dan 𝑓′( ) = 0 maka: a. Jika 𝑓′′( ) < 0 maka 𝑓( ) adalah sebuah maksimum lokal dari 𝑓 b. Jika 𝑓′′( ) > 0 maka 𝑓( ) adalah sebuah minimum lokal dari 𝑓 [ Pengantar Model Matematika ] 2020/UMBY [Yulianita Artanti] 10 Langkah Menyelesaikan Model Optimasi Satu Peubah 1. Menentukan 𝑓( ) 2. Mencari 𝑓′( ) 3. Mencari faktor dengan 𝑓′( ) = 0 4. Nilai yang diperoleh kemudian disubtitusikan pada 𝑓′′( ) 5. Jika 𝑓′′( ) < 0 maka maksimum dan jika 𝑓′′( ) > 0 maka minimum 6. Substitusikan nilai pada 𝑓( ) Contoh 1 Suatu balok memiliki volume + . Tentukan volume minimal balok tersebut. Penyelesaian: 𝑉 = + 𝑉′= +  𝑉′=0 + Didapat faktor ( )(3 )=0 Sehingga diperoleh : 𝑥 3𝑥 3𝑥 3 𝑥 3 Untuk mencari V minimum maka menggunakan turunan kedua, sehingga: 𝑉′= + 𝑉 ′′ = Substitusikan nilai dan pada 𝑉 ′′ sehingga : Untuk maka 𝑉 ′′ = ( ) berarti 𝑉 ′′ < 0 Untuk maka 𝑉 ′′ = ( ) berarti 𝑉 ′′ > 0 Karena yang dicari adalah volume minimum, maka diambil x yang menunjukkan nilai minimum yaitu 𝑉 ′′ > 0, sehingga diperoleh . Jadi volume minimalnya adalah : 𝑉 = + 𝑉 = ( ) ( ) + ( ) , 3 [ Pengantar Model Matematika ] 2020/UMBY [Yulianita Artanti] 11 Contoh 2 Sebuah perusahaan catering berusaha mengurangi pengeluaran untuk keperluan pembungkus. Bungkus tersebut terbuat dari kertas karton dengan panjang 21 cm dan lebar 16 cm. Keempat pojoknya akan dipotong segi empat sama sisi sepanjang cm serta menyisakan tinggi kotak sepanjang cm. Tentukan nilai (berapa sisi yang harus di potong) agar diperoleh volume maksimal. Penyelesaian: Misal = panjang segi empat yang dipotong Panjang = 21 − 2 Lebar = 16 − 2 Tinggi = Maka volume kotak tersebut adalah: 𝑉 = p × l × t = (21 − 2 )( 16 − 2 )(x) 𝑉 = 33 + 𝑉 ′ = 33 +  𝑉′=0 33 + Didapat faktor (3 )( 3) = 0 Sehingga diperoleh : 3 𝑥 𝑥 3 3 𝑥 3 3 Untuk mencari V maksimum maka menggunakan turunan kedua, sehingga: 𝑉 ′ = 33 + 𝑉 ′′ = + Substitusikan nilai dan 3 pada 𝑉 ′′ sehingga : Untuk maka 𝑉 ′′ = + + ( ) berarti 𝑉 ′′ > 0 Untuk 3 maka 𝑉 ′′ = + + (3) = -19 berarti 𝑉 ′′ < 0 Karena yang dicari adalah volume maksimum, maka diambil x yang menunjukkan nilai maksimum yaitu 𝑉 ′′ < 0, sehingga diperoleh 3. Jadi volume maksimalnya adalah : 𝑉 = 33 + 33 (3) (3) + (3 ) [ Pengantar Model Matematika ] 2020/UMBY [Yulianita Artanti] 12 Contoh 3 Sebuah balok memiliki tinggi cm dengan luas alasnya( – + 3 ) cm. Tentukan berapa nilai agar volume maksimal. Penyelesaian: Tinggi = x Luas =( – + 3 ) Volume = p x l x t 𝑉 = x( – + 3 ) 𝑉 = +3 𝑉′= +3  𝑉′=0 +3 Didapat faktor ( )(3 )=0 Sehingga diperoleh : 𝑥 3𝑥 3𝑥 3 𝑥 3 Untuk mencari V maksimum maka menggunakan turunan kedua, sehingga: 𝑉′= +3 𝑉 ′′ = Substitusikan nilai dan pada 𝑉 ′′ sehingga : Untuk maka 𝑉 ′′ = ( ) berarti 𝑉 ′′ < 0 Untuk maka 𝑉 ′′ = ( ) berarti 𝑉 ′′ > 0 Karena yang dicari adalah volume maksimum, maka diambil x yang menunjukkan nilai maksimum yaitu 𝑉 ′′ < 0, sehingga diperoleh Jadi volume minimalnya adalah : 𝑉 = +3 ( ) ( ) +3 ( ) , 3 [ Pengantar Model Matematika ] 2020/UMBY [Yulianita Artanti] 13  Model Optimasi Dua Peubah atau Lebih Langkah-langkah Optimasi Dua Peubah atau Lebih 1. Telah diketahui 𝑓( , ) maka carilah titik kritisnya f f 2. Titik kritis terjadi saat da f f 3. Substitusikan nilai yang diperoleh dari da sehingga menjadi beberapa titik koordinat 2f 2f 2f f 2f f 4. Carilah 2 ; 2 ; ( ) dan ( ) 5. Carilah determinan matriks dari: det = –𝑏 ∂ f ∂ f ∂ ∂ ∂ 𝐻 ∂ f ∂ f ∂ ∂ ∂ 6. Jika 𝐻 > 0 maka titik tersebut yang meminimalkan 𝑓, jika 𝐻 < 0 maka titik tersebut yang memaksimalkan 𝑓 Contoh 1 Diberikan fungsi + 3 . Tentukan nilai dan penyebab ekstrim z Jawab : 1. Diketahui + 3 . 2. Titik kritisny/a adalah  titik kritisnya terjadi saat maka   Carilah dan subtitusikan 3 3   3 3 3( ) 3 2 3  3  3 + 3 +  + ( )( ) [ Pengantar Model Matematika ] 2020/UMBY [Yulianita Artanti] 14  Diperoleh ± da ± 3. Substitusikan y ke persamaan   ( , )   ( , )   ( , )   𝐷( , ) 2f 2f 2f f 2f f 4. Mencari 2 ; 2 ; ( ) dan ( ) ∂ f ∂ ∂ f ∂ ∂ f ∂ ∂f ∂ ( ) ( ) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ f ∂ ∂f ∂ ( ) ( 3 3 ) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 5. Mencari determinan matriks dari : ∂ f ∂ f ∂ ∂ ∂ 𝐻 | | 3 3 ∂ f ∂ f ∂ ∂ ∂ 6. Substitusikan titik − 𝐷 yang diperoleh pada langkah 3 ke 𝐻 sehingga: ( , )𝐻 3 ( ) 3 ( ) 3 ( , )𝐻 3 ( ) 3 ( ) 3 ( , )𝐻 3 ( ) 3 ( ) 3 𝐷( , )𝐻 3 ( ) 3 ( ) 3 7. Jadi di titik (2,1) dan 𝐷(−2, −1) adalah titik ekstrem minimum. Contoh 2 Diketahui suatu kotak tertutup dengan panjang = p, lebar = l dan tinggi = t. Berapakah minimal bahan yang diperlukan agar kotak tersebut tertutup? Jawab: Diketahui: Panjang = p [ Pengantar Model Matematika ] 2020/UMBY [Yulianita Artanti] 15 Lebar = 𝑙 Tinggi = t Banyak bahan yang diperlukan sama halnya dengan luas permukaan kotak, sehingga: 𝐿 = 2(𝑝𝑙 + 𝑝 + 𝑙 ) ... (*) Akan ditentukan 𝑝,𝑙, yang meminimalkan 𝐿 (1) Karena persamaan (*) masih 3 variabel, maka kita dapat ubah menjadi 2 variabel, dengan memanfaatkan rumus volume yaitu: 𝑉 = 𝑝𝑙 .... (dalam hal ini 𝑉 memang rumus volume, tapi sebenarnya konstanta) 𝑉 𝑝 …( ) 𝑙 (2) Substitusikan (**) pada (*) sehingga: 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝐿 (𝑝𝑙 + 𝑝 + 𝑙 ) ( 𝑙+ +𝑙 ) ( + +𝑙 )…( ) 𝑙 𝑙 𝑙 (3) Akan ditentukan 𝑙 dan yang meminimalkan 𝐿 𝐿 𝑉 ( + ) 𝑙 𝑙 𝐿 𝑉 ( + 𝑙) (4) Menentukan titik kritisnya 2  ( 2 + )  ( 2 ) ( 𝑉+ 𝑙 )  𝑉+ 𝑙 𝑙 𝑉 2 ....(****) 2  ( 2 + 𝑙)  ( 2 ) ( 𝑉+𝑙 )  𝑉+𝑙 𝑙 𝑉𝑙 2 ....(*****) (5) Substitusi persamaan (****) ke (*****) 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉𝑙 𝑙 𝑙 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 ( ) 𝑙 𝑙 4 4 1 𝑙 𝑉 𝑙 sehingga 𝑙 𝑉3 [ Pengantar Model Matematika ] 2020/UMBY [Yulianita Artanti] 16  𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝑙 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 ( ) 4 4 1  𝑉 sehingga 𝑉3 (6) Dari persamaan (**) diperoleh: 𝑉 𝑉 𝑉 𝑝 𝑉 𝑙 𝑉 𝑉 𝑉 1 1 1 (7) Diperoleh (𝑝, 𝑙, ) = ( 𝑉 3 , 𝑉 3 , 𝑉 3 ) (8) Selanjutnya menentukan turunan kedua: ∂ 𝑉 ∂ 𝑉 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ; ; ( ) ( ( + )) ( + ) ∂ 𝑙 ∂ ∂ ∂𝑙 ∂ ∂ ∂ 𝑙 ∂ 𝑙 ∂ ∂ ∂𝑙 (9) Menentukan nilai 𝐻 ∂ f ∂ f 𝑉 ∂ ∂ ∂ 𝑙 𝑉 𝑉 𝑉 𝐻 ( ) ( ) ∂ f ∂ f 𝑉 𝑙 ( ) 3 3 𝑉( ) 𝑉 ∂ ∂ ∂ 𝑉 𝑉𝑉 𝐻 1 1 1 Karena 𝐻 maka (𝑝, 𝑙, ) (𝑉 3 , 𝑉 3 , 𝑉 3 ) meminimalkan L Contoh 3 Diketahui suatu kotak tidak tertutup dengan panjang = p, lebar = l dan tinggi = t. Berapakah minimal bahan yang diperlukan agar kotak tersebut tertutup? Jawab: Diketahui : Panjang = p Lebar = 𝑙 Tinggi = t Banyak bahan yang diperlukan sama halnya dengan luas permukaan kotak. Karena kotak tersebut tanpa tutup, maka diketahui hanya terdapat satu buah alas dan 4 sisinya, sehingga : 𝐿 + + [ Pengantar Model Matematika ] 2020/UMBY [Yulianita Artanti] 17 𝐿 𝑝𝑙 + (𝑝 + 𝑙 ) ...(*) Akan ditentukan 𝑝,𝑙, yang meminimalkan 𝐿 (1) Karena persamaan (*) masih 3 variabel, maka kita dapat ubah menjadi 2 variabel, dengan memanfaatkan rumus volume yaitu: 𝑉 = 𝑝𝑙 .... (dalam hal ini 𝑉 memang rumus volume, tapi sebenarnya konstanta) 𝑉 𝑝 …( ) 𝑙 (2) Substitusikan (**) pada (*) sehingga: 𝐿 𝑝𝑙 + (𝑝 + 𝑙 ) 𝑙+ ( +𝑙 ) + ( + 𝑙 ) ...(***) (3) Akan ditentukan 𝑙 dan yang meminimalkan 𝐿 - Derivatif L terhadap variabel 𝑙 ∂ ( + ( + 𝑙 )) ∂𝑙 𝑙 ∂ ∂ ( ) + ( ( + 𝑙 )) ∂𝑙 ∂𝑙 𝑙 ∂ ∂ ( ) + ( ( + )) ∂𝑙 ∂𝑙 ∂ + ( 𝑙 + 𝑙 ) ∂𝑙 +( 𝑙 + ) ∂ ∂𝑙 𝑙 - Derivatif L terhadap variabel ∂ ( + ( + 𝑙 )) ∂ 𝑙 ∂ ∂ ( ) + ( ( + 𝑙 )) ∂ ∂ 𝑙 ∂ ∂ ( )+ ( ( + )) ∂ ∂ ∂ ∂ ( )+ ( 𝑙 + 𝑙 ) ∂ ∂ + 𝑙 [ Pengantar Model Matematika ] 2020/UMBY [Yulianita Artanti] 18  ∂ 𝑙 ∂ (4) Menentukan titik kritisnya - Untuk ∂ ∂𝑙 𝑙 𝑙 𝑙 𝑙 𝑙 𝑙 2 ... (****) - Untuk ∂ ∂ 𝑙 𝑙 𝑙 𝑙 𝑙 2 ...(*****) (5) Substitusi persamaan (****) ke (*****) Substitusi 2 ke 𝑙 2 𝑙 𝑙 ( ) ( ) 𝑙 𝑙 𝑙 ( ) [ Pengantar Model Matematika ] 2020/UMBY [Yulianita Artanti] 19  Substitusi 𝑙 2 ke 2 ( ) 3 √ ( ) (6) Dari persamaan (**) diperoleh: 𝑉 𝑝 ( ) 𝑙 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( )3 (7) Diperoleh (𝑝, 𝑙, ) = ( ( ), ( 3 ) , 3 ) (8) Selanjutnya menentukan turunan kedua: ∂ ∂𝑙 𝑙 𝑙 + 𝑙 𝑙 𝑙 ∂ 𝑙 ∂ [ Pengantar Model Matematika ] 2020/UMBY [Yulianita Artanti] 20  ∂ ∂ ∂𝑙 ∂ ∂𝑙 ∂ (9) Menentukan nilai 𝐻 ∂ f ∂ f ∂ ∂ ∂ 𝐻 [𝑙 ] ( ) ∂ f ∂ f 𝑙 𝑙 ∂ ∂ ∂ 𝑙 ( ) ( ) 𝐻 𝑙 (( ) ) (( ) ) 𝐻 1 1 1 ( )3 Karena 𝐻 maka (𝑝, 𝑙, ) (( ) , ( 3 ), 3 ) meminimalkan L [ Pengantar Model Matematika ] 2020/UMBY [Yulianita Artanti] 21  Pemodelan Bidang Ekonomi – Produksi Iklan Penerapan PD Tingkat 1 pada Produksi Iklan Dari pengamatan terhadap penjualan beberapa jenis barang terlihat jelas bahwa iklan yang naik akan menaikkan penjualan. Vidale dan Wolve menyusun model sebagai berikut. Jika penjualan tidak disertai iklan sama sekali maka secara empiris diketahui bahwa penjualan akan turun mengikuti hukum eksponensial. Produksi Tanpa Iklan 𝑑𝑃 𝑎𝑝 𝑑𝑡 𝑑𝑃 𝑎𝑑𝑡 𝑝 𝑑𝑃 𝑎𝑑𝑡 𝑝 𝑃+𝑏 𝑎𝑡 + 𝑏 𝑃 𝑎𝑡 + (𝑏 𝑏 ) 𝑃 𝑎𝑡 + 𝑏 𝑎𝑡 𝑏 𝑃 𝑒 𝑎𝑡 𝑏 𝑃 𝑒 𝑒 𝑎𝑡 𝑃 𝑒 𝐶 𝑎𝑡 𝑃 𝐶𝑒 𝑎 Untuk 𝑡 maka 𝑃 𝐶𝑒 𝐶𝑒 𝐶 Sehingga produksi tanpa iklan dirumuskan sebagai: 𝑎𝑡 𝑃 (𝑡 ) 𝑃𝑒 Dengan 𝑃 𝑃( ) dan 𝑎 adalah konstanta. [ Pengantar Model Matematika ] 2020/UMBY [Yulianita Artanti] 22 Produksi dengan Iklan Upaya penjualan naik diadakan kegiatan periklanan dengan anggaran untuk iklan: 𝐼 𝐼(𝑡) maka dengan adanya iklan laju perubahan penjualan dianggap sebanding 𝐽 𝑃 dengan I dan juga dengan dimana: 𝐽 I = Produksi iklan J = Keadaan jenuh P jika tidak ada penurunan (𝑎 ) J–P = Beda keadaan jenuh dengan keadaan belum jenuh 𝐽 𝑃 𝑑𝑃 Maka makin kecil 𝐽 𝑃 makin kecil maka makin kecil pula . Dengan demikian 𝐽 𝑑𝑡 pada rumus di atas ditambahkan suku yang memuat kenaikan ini, persamaan menjadi: 𝑑𝑃 𝐽 𝑃 𝑎𝑃 + 𝑏𝐼 dengan 𝑏 konstanta 𝑑𝑡 𝐽 𝑑𝑃 𝐽 𝑃 𝑏𝐼𝐽 𝑏𝐼𝑃 𝑏𝐼𝑃 𝑏𝐼 𝑎𝑃 + 𝑏𝐼 𝑎𝑃 + 𝑎𝑃 + 𝑏𝐼 𝑃 (𝑎 + ) + 𝑏𝐼 𝑑𝑡 𝐽 𝐽 𝐽 𝐽 𝐽 𝑑𝑃 𝑏𝐼 + (𝑎 + ) 𝑃 𝑏𝐼 𝑑𝑡 𝐽 Persamaan ini merupakan model PD dengan tipe linear tingkat 1. Jika sekarang dianggap bahwa 𝐼 (𝑡) 𝐼 konstanta (misalnya 3 kali per minggu), maka PD linear di atas mempunyai koefisien yang konstan: 𝑑𝑃 𝑏𝐼 + (𝑎 + )𝑃 𝑏𝐼 𝑑𝑡 𝐽 𝑏𝐼0 Misalkan 𝐶 𝑎+ maka 𝐽 𝑑𝑃 + 𝐶𝑃 𝑏𝐼 𝑑𝑡 Persamaan ini dapat diselesaikan dengan metode eksak dengan faktor integral. Misalkan 𝑢 𝑒 ∫ 𝑐 𝑑𝑡 𝑒 𝑐𝑡 𝑑𝑃 𝑒 𝑐𝑡 + 𝑒 𝑐𝑡 𝐶𝑃 𝑒 𝑐𝑡 𝑏𝐼 𝑑𝑡 Konsepnya: 𝑡 𝑒 𝑐𝑡 𝑃 maka: 𝑡 𝑢𝑣 𝑡 𝑢 𝑣 + 𝑣′𝑢 𝑑𝑃 𝑢 𝑒 𝑐𝑡 𝑢 𝐶𝑒 𝑐𝑡 kemudian 𝑣 𝑃 𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑃 𝑒 𝑐𝑡 𝑑𝑃 𝒅 Sehingga: 𝐶𝑒 𝑐𝑡 𝑃 + 𝑑𝑡 𝑒 𝑐𝑡 + 𝑒 𝑐𝑡 𝐶𝑃 (𝒆𝒄𝒕 𝑷) 𝑑𝑡 𝒅𝒕 𝑑 𝑐𝑡 (𝑒 𝑃) 𝑒 𝑐𝑡 𝑏𝐼 𝑑𝑡 𝑑 (𝑒 𝑐𝑡 𝑃) 𝑒 𝑐𝑡 𝑏𝐼 𝑑𝑡 [ Pengantar Model Matematika ] 2020/UMBY [Yulianita Artanti] 23  𝑑 (𝑒 𝑐𝑡 𝑃) 𝑒 𝑐𝑡 𝑏𝐼 𝑑𝑡 Konsep: ∫ 𝑑𝑥 𝑥 ∫ 𝑑𝑦 𝑦 ∫ 𝑑(𝑒 𝑐𝑡 𝑃) 𝑒 𝑐𝑡 𝑃 𝑒 𝑐𝑡 𝑃 𝑏𝐼 𝑒 𝑐𝑡 𝑑𝑡 𝑒 𝑐𝑡 𝑃 𝑏𝐼 𝑒 𝑐𝑡 + 𝑘 𝑐 𝑏𝐼 𝑐 𝑒 𝑐𝑡 + 𝑘 𝑃 𝑒 𝑐𝑡 𝑏𝐼 𝑐 𝑒 𝑐𝑡 𝑘 𝑃 + 𝑒 𝑐𝑡 𝑒 𝑐𝑡 𝑏𝐼0 𝑘 𝑏𝐼0 𝑐𝑡 𝑃 + 𝑒 𝑐𝑡  𝑃 + 𝑘𝑒 𝑐 𝑐 Jika 𝑡 𝑃 𝑃 𝑏𝐼 𝑐𝑡 𝑏𝐼 𝑏𝐼 𝑃 + 𝑘𝑒 + 𝑘𝑒 +𝑘 𝑐 𝑐 𝑐 𝑏𝐼 𝑘 𝑃 𝑐 Sehingga: 𝑏𝐼 𝑐𝑡 𝑏𝐼 𝑏𝐼 𝑐𝑡 𝑃 + 𝑘𝑒 + (𝑃 )𝑒 𝑐 𝑐 𝑐 𝑏𝐼0 𝑏𝐼0 𝑏𝐼0 Jika 𝑡 ∞ maka 𝑃 konstan sehingga 𝐽 maka 𝐶 𝑐 𝑐 𝐽 Jadi: 𝑏𝐼0 𝑡 𝑃 𝐽 + (𝑃 𝐽 )𝑒 𝐽 Disebut sebagai Persamaan model dengan Iklan [ Pengantar Model Matematika ] 2020/UMBY [Yulianita Artanti] 24 Model PD Tingkat 1 pada Produksi Iklan Awal Bulan 1 Bulan 2 Bulan 3 Bulan 4 0 1 2 3 4 𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 3 𝑡 𝑃 𝑃 𝑃 𝑃 𝑃 𝑃 𝑃 𝑃 𝑃 (t)=? tergantung ada iklan atau tidak Jika ada iklan maka: 𝑏𝐼0 (𝑡 𝑡0 ) 𝑃 (𝑡 ) (𝑃 𝐽 )𝑒 𝐽 +𝐽 Jika tidak ada iklan maka: 𝑎(𝑡 𝑡0 ) 𝑃 (𝑡 ) 𝑃𝑒 Untuk mencari penjualan maka persamaan harus diintegralkan Penjualan waktu bulan -1 : 𝑇 ∫ 𝑃(𝑡) 𝑑𝑡 .. batas 1 dan 0 dari bulan 1, antara 1 dan 0 Penjualan waktu bulan -2 : 𝑇 ∫ 𝑃(𝑡) 𝑑𝑡 .. batas 2 dan 1 dari bulan 2, antara 2 dan 1 Contoh: Misalkan adanya dana iklan sebesar penjualan akan bertambah dan dianggap tidak ada faktor penurunan ( ) maka model akan menjadi: 0( 0) ( ) ( ) + Jika sekarang ada dana sebesar 6 juta untuk 4 bulan dan diketahui , dan 𝑏 maka: a. Silahkan design distribusi dana iklan sebesar 6 juta tersebut dalam 4 bulan (sesuai selera masing-masing, jika tidak ada iklan ambil , ) b. Berdasarkan (a) tentukan penjualan total selama 4 bulan Penyelesaian: Bulan ke-1 diambil perbulan dengan ; 3; ;𝑏 ; 0( 23 0) ( ) ( ) ( ) + ( ) + 2(3) ( ) ( ) ( ) + ( ) + , Selanjutnya kita akan menentukan penjulaan waktu bulan ke-1 ( ) =∫ ( ) + =∫ ( ) + =* ( ) + + =* + + [ Pengantar Model Matematika ] 2020/UMBY [Yulianita Artanti] 25  ( ) ( ) =* + ( )+ * + ( )+ = ( , )+ = 5,186 Bulan ke-2 tidak ada iklan , , ; ( ) ( 0) , ( ) , , , 3, Selanjutnya kita akan menentukan penjualan waktu bulan ke-2 , ( ) =∫ , , ( )+ =* , , , ( )) , ( ) =( , ) ( , ) , , = , 3 ( , )= , Bulan ke-3 tidak ada iklan , 3, ; (3) ( 0) , ( ) , (3, ) (3, ) , Selanjutnya kita akan menentukan penjualan waktu bulan ke-2 , ( ) = ∫ (3, ) , ( )+ 3 = *(3, ) , , ( )) , ( ) = ((3, ) ) ((3, ) ) , , = , ( , ) = , Bulan ke-4 diambil perbulan dengan , ; 3; ;𝑏 ; 3 0( 23 0) ( ) ( ) ( ) + ( , ) + ( ) ( ) ( , ) + ( , ) + , + , 3 Selanjutnya kita akan menentukan penjulaan waktu bulan ke-4 ( ) =∫ ( , ) + ( ) =* , ( ) + + 3 ( ) =* , + + 3 [ Pengantar Model Matematika ] 2020/UMBY [Yulianita Artanti] 26  ( ) ( ) =* , + ( )+ * , + (3)+ =3 , 3 3 , = 3, Untuk menjawab poin b maka: Toal penjualan = + + + = , + , + , + 3, = , Jadi toal penjualan selama 4 bulan sebesar 16,866 juta Rp 16.866.000) [ Pengantar Model Matematika ] 2020/UMBY [Yulianita Artanti] 27