MATEMATICA

Clício Freire da Silva Disney Douglas de Lima Oliveira Domingos Anselmo Moura da Silva Álgebra Linear I Manaus 2007 FICHA TÉCNICA Governador Eduardo Braga Vice-Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice-Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Planejamento e Administração Antônio Dias Couto Pró-Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró-Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque Barbosa Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings Coordenador Pedagógico Luciano Balbino dos Santos NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico-gramatical João Batista Gomes Silva, Clício Ferreira da. S586a Álgebra linear / Clício Ferreira da Silva, Disney Douglas de Lima Oliveira, Domingos Anselmo Moura da Silva. - Manaus/AM: UEA, 2007. - (Licenciatura em Matemática. 2. Período) 111 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia. 1. Álgebra linear - Estudo e ensino. I. Oliveira, Disney Douglas de Lima. II. Silva, Domingos Anselmo Moura da. III. Série. IV. Título. CDU (1997): 512.64 CDD (19.ed.): 512.5 SUMÁRIO Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07 UNIDADE I – Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09 TEMA 01 – Matrizes - Definições e classificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 02 – Matrizes - Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 13 UNIDADE II – Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 TEMA 03 – Determinantes - Definição e cálculo de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 04 – Determinantes - Propriedades dos determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 24 UNIDADE III – Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 TEMA 05 – Sistemas lineares- Definição e resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 06 – Estudo de sistemas lineares homogêneos e heterogêneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 33 UNIDADE IV – Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 TEMA 07 TEMA 08 TEMA 09 TEMA 10 TEMA 11 TEMA 12 – Vetores - Definição e operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . – Vetores - Dependência e Independência Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . – Vetores - Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . – Vetores - Projeção Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . – Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . – Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 44 49 52 53 56 UNIDADE V – Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 TEMA 13 TEMA 14 TEMA 15 TEMA 16 TEMA 17 TEMA 18 – Equação da reta e do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . – Posições relativas entre retas, planos, retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . – Distância entre dois pontos, ponto e reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . – Distância entre retas, ponto e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . – Distância entre reta e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . – Ângulo entre retas, entre planos e entre reta e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 68 75 78 80 82 UNIDADE VI – Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 TEMA 19 – Cônicas - Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 TEMA 20 – Cônicas - Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 TEMA 21 – Cônicas - Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 PERFIL DOS AUTORES Clício Freire da Silva Licenciado em Matemática – UFAM Bacharel em Matemática – UFAM Pós-graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática – UFF Disney Douglas de Lima Oliveira Licenciado e Bacharel em Matemática - UFAM Mestre em Matemática - UFAM Doutorando em Computação Gráfica - UFRJ Domingos Anselmo Moura da Silva Licenciado e Bacharel em Matemática - UFAM Mestre em Matemática - UFAM PALAVRA DO REITOR A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de responder aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em dinamismo técnico −científico. Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para oferecer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos existenciais, estimulando −lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando − lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar. Os livros−textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apostam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensino em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”. A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios que se impõem hoje. Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas UNIDADE I Matrizes Álgebra Linear I – Matrizes como a maioria dos resultados básicos da Teoria da Matrizes, foram descobertos quando os matemáticos dos séculos XVIII e XIX passaram a investigar a Teoria das Formas Quadráticas. Hoje, consideramos imprescindível estudar essas formas por meio da notacão e da metodologia matricial, mas naquela época elas eram tratadas escalarmente. Mostremos aqui a representação de uma forma quadrática de duas variáveis, tanto via notação escalar, como com a mais moderna notação matricial: TEMA 01 MATRIZES – DEFINIÇÕES E CLASSIFICAÇÃO 1.1 Fique por dentro Surgimento da Teoria das matrizes • Curiosidades em torno do nome matriz Foi só há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e saíram da sombra dos determinantes. O primeiro a dar a elas um nome parece ter sido Cauchy, em 1826: tableau (= tabela ). O primeiro uso implícito da noção de matriz ocorreu quando Lagrange (1790) reduziu a caracterização dos máximos e mínimos, de uma função real de várias variáveis, ao estudo do sinal da forma quadrática associada à matriz das segundas derivadas dessa função. Sempre trabalhando escalarmente, ele chegou a uma conclusão que hoje expressamos em termos de matriz positiva definida. Após Lagrange, já no século XIX, a Teoria das Formas Quadráticas chegou a ser um dos assuntos mais importantes em termos de pesquisas, principalmente no que toca ao estudo de seus invariantes. Essas investigações tiveram como subproduto a descoberta de uma grande quantidade de resultados e conceitos básicos de matrizes. O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse nome e começou a demonstrar sua utilidade. Por que Sylvester deu o nome matriz às matrizes? Usou o significado coloquial da palavra matriz: local onde algo se gera ou se cria. Com efeito, via-as como “...um bloco retangular de termos... o que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar varios sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolhar à vontade p linhas e p colunas...” (artigo publicado Assim, podemos dizer que a Teoria das Matrizes teve como mãe a Teoria das Formas Quadráticas, pois seus métodos e resultados básicos foram lá gerados. Hoje, contudo, o estudo das formas quadráticas é um mero capítulo da Teoria das Matrizes. (Fonte de pesquisa: na Philosophical Magazine de 1850, pag. 363-370 ) Observe que Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com Cayley que elas passam a ter vida própria e, gradativamente, começam a suplantar os determinantes em importância. http://www.mat.ufrgs.br/~ portosil/passa3) • Surgimento dos primeiros resultados da Teoria das Matrizes 1.2 Elementos básicos para matrizes Costuma-se dizer que um primeiro curso de Teoria das Matrizes – ou de sua versão mais abstrata, a Algebra Linear – deve ir, no mínimo, até o Teorema Espectral. Pois bem, esse teorema e toda uma série de resultados auxiliares já eram conhecidos antes de Cayley começar a estudar as matrizes como uma classe notável de objetos matemáticos. Aqui, tomaremos o conjunto N dos números naturais, como: N = { 1,2,3,4,5,6,7,...} . O produto cartesiano N× N indicará o conjunto de todos os pares ordenados da forma (a, b), em que a e b são números naturais, isto é: N × N= { (a, b): a e b são números naturais} Uma relação importante em N× N é: Smn= { (i,j): 1≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} Como se explica isso? Esses resultados, bem 11 UEA – Licenciatura em Matemática 1.3 Definição de matriz Exemplo: Matriz 4 x 4 de números complexos. Considere um conjunto A de elementos aij, dispostos em uma tabela com m linhas e n colunas, tais que A = (aij)m× n, onde: • Matriz nula – É aquela que possui todos os elementos iguais a zero. 1.4 Definições básicas sobre matrizes • Matriz identidade – Tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal principal. • Ordem – Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é m× n. • Posição de um elemento – Na tabela acima, a posição de cada elemento aij = a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i,j). Exemplo: Matriz identidade de ordem 3. • Notação para a matriz – Indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na forma: A = (aij)m× n ∀ . (i,j) ∈ Smn I3 = • Matriz quadrada – É a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas, isto é, m = n. 1.5 Matrizes iguais Duas matrizes A = (ai,j)m× n e B = (b i,j)m× n, de mesma ordem m× n, são iguais se todos os seus correspondentes elementos são iguais, isto é ai,j = bi,j para todo par ordenado (i,j) em Smn. Exemplo: Matriz 4 x 4 de números reais. • Diagonal principal – A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i = j. Determinar os valores de x e y para que sejam iguais as matrizes abaixo, isto é: • A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos: Solução: • Matriz diagonal – É a que tem elementos nulos fora da diagonal principal. Exemplo: Matriz diagonal com quatro linhas e quatro colunas: x–1= 1 x= 2 y–1= 2 y= 3 • Matriz real – É aquela que tem números reais como elementos. • Matriz complexa – É aquela que tem números complexos como elementos. 12 Álgebra Linear I – Matrizes TEMA 02 2.2.1 Propriedades MATRIZES – OPERAÇÕES a) Multiplicação pelo escalar 1 – A multiplicação do escalar 1 por qualquer matriz A, fornecerá a própria matriz A, isto é: 1. A = A 2.1 Soma de matrizes b) Multiplicação pelo escalar zero – A multiplicação do escalar 0 por qualquer matriz A, fornecerá a matriz nula, isto é: A soma (adição) de duas matrizes A = [ai,j] e B = [b i,j] de mesma ordem m × n é uma outra matriz C = [c i,j], definida por: 0 . A = 0 (matriz nula de ordem m x n) c i,j = ai,j + b i,j, para todo par ordenado (i,j) em Smn. c) Distributividade das matrizes – Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k, tem-se: Exemplo: A soma das matrizes A e B é a terceira matriz indicada abaixo. k (A+ B) = k A + k B d) Distributividade dos escalares – Para qualquer matriz A e para quaisquer escalares p e q, tem-se: 2.1.1 Propriedades (p + q) A = p A + q A a) Associativa – Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem m× n, vale a igualdade: 2.3 Multiplicação de matrizes Dadas as matrizez A= (aij)mxn e B = (b ij)pxq, dizenis que ∃ A.B ⇔ n = p, onde A . B = C(c ij)mxn (A + B) + C = A + (B + C) b) Comutativa – Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem m× n, vale a igualdade: A+ B= B+ A Para obter o elemento da 2.a linha e da 3.a coluna da matriz produto C = A.B, isto é, o elemento c(2,3), devemos: c) Elemento neutro – Existe uma matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A, de mesma ordem, fornecerá a própria matriz A, isto é: • multiplicar os primeiros elementos da 2.a linha e 3.a coluna; • multiplicar os segundos elementos da 2.alinha e 3.a coluna; 0+ A= A • multiplicar os terceiros elementos da 2.a linha e 3.a coluna; d) Elemento oposto – Para cada matriz A, existe uma matriz -A, denominada a oposta de A, cuja soma entre ambas fornecerá a matriz nula de mesma ordem, isto é: • multiplicar os quartos elementos da 2.a linha e 3.a coluna; A + (–A) = 0 • somar os quatro produtos obtidos anteriormente. 2.2 Multiplicação de escalar por uma matriz Assim: Seja k∈IR um escalar e A= (ai,j)mxn uma matriz. Definimos a multiplicação do escalar k pela matriz A, como uma outra matriz C = k.A, definida por: c i,j = k. ai,j. Para todo par ordenado (i,j) em Smn. c 23 = a21 b 13 + a22 b 23 + a23 b 33 + a24 b 43 Observações • Somente podemos multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda. • Note que em geral A. B ≠ BA. Porém existem matrizes tais que A . B = B . A, por exemplo I3 . A = A . I3, ∀ A3x3 Exemplo: A multiplicação do escalar –4 pela matriz , definida por: 13 UEA – Licenciatura em Matemática 2.3.1 Propriedades igual ao produto das transpostas das matrizes na ordem trocada: a) Distributividade da soma à direita: (A B)t = Bt At A (B+ C) = A B + A C ∀ A = (aij)mxp, B(b cj)pxn, C(c ij)pxn b) Distributividade da soma à esquerda: e) Uma matriz A é simétrica se é uma matriz quadrada tal que At = A (A+ B)C = A C + B C A(m,p), B(m,p), C(p,n) f) Uma matriz A é anti-simétrica se é uma matriz quadrada tal que At = –A c) Associatividade: g) Se A é uma matriz simétrica de ordem n, então para todo escalar k, a matriz k.A é simétrica. A (B C) = (A B) C A(m,p), B(p,k), C(k,n) d) Nulidade do produto – Pode acontecer que o produto de duas matrizes seja a matriz nula, isto é: AB = 0, embora nem A nem B sejam matrizes nulas, como é o caso do produto: h) Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B = A + At é simétrica. i) Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B = A – At é anti-simétrica. 2.5 Exemplos 2.4 Matrizes com propriedades especiais 1. Vamos escrever a matriz A = (aij)2 x 3 , sendo a) Uma matriz A é nilpotente de índice k natural se Ak = 0 ai j = i + j. Uma matriz do tipo 2 x 3 pode ser genericamente representada por b) Uma matriz A é periódica de índice k natural se Ak+ 1= A c) Uma matriz A é idempotente se A2 = A d) As matrizes A e B são anticomutativas se A.B = –B.A Utilizando a regra de formação de seus elementos, encontramos: e) A matriz identidade Id multiplicada por toda matriz A, fornecerá a própria matriz A, quando o produto fizer sentido, ou seja, Id A = A. a11 a12 a13 a21 a22 a23 f) A matriz A será a inversa da matriz B, se A.B = Id e B.A = Id g) Dada uma matriz A = (aij) de ordem m × n, definimos a transposta da matriz A como a matriz At = (aij)nxm. = = = = = = 1 1 1 2 2 2 + + + + + + 1 2 3 1 2 3 = = = = = = 2 3 4 3 4 5 Assim, a matriz pedida é . 2. Vamos determinar os valores de a, b, c, d para que se tenha: 2.4.1 Propriedades a) A transposta da transposta da matriz é a própria matriz (At)t = A Igualando os elementos de mesma posição, segue que: b) A transposta da multiplicação de um escalar por uma matriz é igual ao próprio escalar multiplicado pela transposta da matriz (kA)t = k (At) a= 4 b + 1 = –1 b = –2 c) A transposta da soma de duas matrizes é a soma das transpostas dessas matrizes. (A + B)t = At + Bt c –4= 6 c = 10 d+ 3= 8 d= 5 3. Vamos resolver a equação X – A = B, sendo d) A transposta do produto de duas matrizes é 14 Álgebra Linear I – Matrizes . Vamos ver dois modos de resolução. Modo 1: A matriz procurada é . Temos: Daí: Igualando os elementos correspondentes, vem: Modo 2: p –3= 7 Vamos operar como se A, B e X fossem núme- p = 10 q – 1 = 10 q = 11 ros reais: r – 4 = –1 r= 3 3X= A + B X = s+ 2= 5 s= 3 . (A + B), isto é: Modo 2: Vamos “isolar” a matriz X na equação: 1. Somemos, aos dois membros, a matriz A: (X – A) + A = B + A 5. Sejam as matrizes e 2. Usando as propriedades II e III, temos: , vamos determinar a matriz A . B. 3. Usando a propriedade IV, temos: Vejamos se é possível fazer tal produto: A seqüência acima mostra-nos que essa equação matricial é resolvida do mesmo modo que a equação x – a = b, sendo x, a, e b números reais. Façamos • C11: (linha 1 de A e coluna 1 de B) Assim, para adição e subtração de matrizes, é possível simplesmente fazer: c 11 = 5 . 1 + 1 . (–4) + (-1) . 8 = –7 • C12: (linha 1 de A e coluna 2 de B) X – A = B ⇒ X = B + A. c 12 = 5 . 5 + 1 . 3 + (–1) . 1 = 27 4. Vamos determinar X na equação • C21: (linha 2 de A e coluna 1 de B) c 21 = 3 . 1 + 2 . (–4) + 7 . 8 = 51 . 3. X – A = B, sendo • C22: (linha 2 de A e coluna 2 de B) c 22 = 3 . 5 + 2 . 3 + 7 . 1 = 28 Modo 1: A matriz procurada é . Temos: . Temos: Assim, 15 UEA – Licenciatura em Matemática 6. Considerando as matrizes e Igualando os elementos correspondentes, seguem os sistemas: , vamos determinar a matriz C, produto de A por B. Temos: Logo: Note que: Seguindo o mesmo esquema do exemplo anterior, temos: c 11 = 1 . 2 + 2 . 0 = 2 c 12 = 1 . 1 + 2 . 3 = 7 c 13 = 1 . (–1) + 2 . (-2) = –5 c 21 = 5 . 2 + 3 . 0 = 10 c 22 = 5 . 1 + 3 . 3 = 14 c 23 = 5 . (–1) + 3 . (–2) = -11 c 31 = 9 . 2 + (–4) . 0 = 18 1. Construa a matriz A = c 32 = 9 . 1 + (–4) . 3 = -3 , identificando os elemen- c 33 = 9 . (–1) + (–4) . (–2) = –1 c 41 = 0 . 2 + 7 . 0 = 0 tos que pertencem às diagonais principal e secundária de A. c 42 = 0 . 1 + 7 . 3 = 21 c 43 = 0 . (–1) + 7 . (-2) = –14 2. Diz-se que uma matriz quadrada é simétrica se ela for igual à sua matriz transposta. Determine x e y a fim de que a matriz Logo: seja simétrica. 7. Vamos encontrar, se existir, a inversa da matriz 3. Determine os valores de p e q que satisfazem a igualdade: Devemos determinar (ai j)3x3, em que . tal que A . A–1 = I2. Temos: 4. Determine x e y reais de modo que . 16 Álgebra Linear I – Matrizes 5. Resolva o sistema matricial: 6. Efetue: 7. Sabendo que , determine a matriz 2 . X. 8. Resolva o sistema . 9. Sejam A = (ai j)4x3 e B = (b i j)3x4 duas matrizes definidas por ai j = i + j e b i j = 2i + j, respectivamente. Se A . B = C, então qual é o elemento c 32 da matriz C? 10. Determine x e y a fim de que as matrizes comutem. 11. Considere . Determine: Xt + (X–1)t. 12. Supondo sen θ ≠ 0 e cos θ ≠ 0, encontre a inversa da matriz T = . 17 UNIDADE II Determinantes Álgebra Linear I – Determinantes publicada postumamente em 1748, no seu Treatise of algebra. Mas o nome do suíço Gabriel Cramer (1704-1752) não aparece nesse episódio de maneira totalmente gratuita. Cramer também chegou à regra (independentemente), mas depois, na sua Introdução à análise das curvas planas (1750), em conexão com o problema de determinar os coeficientes da cônica geral A + By + Cx + Dy2 + Exy + x2 = 0. TEMA 03 DETERMINANTES – DEFINIÇÃO E CÁLCULO DE DETERMINANTES 3.1 Fique por dentro Origem dos Sistemas Lineares e Determinantes O francês Étienne Bézout (1730-1783), autor de textos matemáticos de sucesso em seu tempo, sistematizou, em 1764, o processo de estabelecimento dos sinais dos termos de um determinante. E coube a outro francês, Alexandre Vandermonde (1735-1796), em 1771, empreender a primeira abordagem da teoria dos determinantes independente do estudo dos sistemas lineares – embora também os usasse na resolução destes sistemas. O importante teorema de Laplace, que permite a expansão de um determinante por meio dos menores de r filas escolhidas e seus respectivos complementos algébricos, foi demonstrado, no ano seguinte, pelo próprio Laplace num artigo que, a julgar pelo título, nada tinha a ver com o assunto: Pesquisas sobre o cálculo integral e o sistema do mundo. Na matemática ocidental antiga, são poucas as aparições de sistemas de equações lineares. No Oriente, contudo, o assunto mereceu atenção bem maior. Com seu gosto especial por diagramas, os chineses representavam os sistemas lineares por meio de seus coeficientes escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. Assim, acabaram descobrindo o método de resolução por eliminação – que consiste em anular coeficientes por meio de operações elementares. Exemplos desse procedimento encontram-se nos Nove capítulos sobre a arte da matemática, um texto que data provavelmente do século 111 a.C. Mas foi só em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, que a idéia de determinante (como polinômio que se associa a um quadrado de números) veio à luz. Kowa, considerado o maior matemático japonês do século XVII, chegou a essa noção por meio do estudo de sistemas lineares, sistematizando o velho procedimento chinês (para o caso de duas equações apenas). O termo determinante, com o sentido atual, surgiu em 1812, num trabalho de Cauchy sobre o assunto. Neste artigo, apresentado à Academia de Ciências, Cauchy sumariou e simplificou o que era conhecido até então sobre determinantes, melhorou a notação (mas a atual com duas barras verticais ladeando o quadrado de números só surgiria em 1841, com Arthur Cayley) e deu uma demonstração do teorema da multiplicação de determinantes – meses antes J. F. M. Binet (1786-1856) dera a primeira demonstração desse teorema, mas a de Cauchy era superior. O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos depois, num trabalho de Leibniz, ligado também a sistemas lineares. Em resumo, Leibniz estabeleceu a condição de compatibilidade de um sistema de três equações a duas incógnitas em termos do determinante de ordem 3 formado pelos coeficientes e pelos termos independentes (este determinante deve ser nulo). Para tanto, criou até uma notação com índices para os coeficientes; o que hoje, por exemplo, escreveríamos como a12, Leibniz indicava por 12. Além de Cauchy, quem mais contribuiu para consolidar a teoria dos determinantes foi o alemão Carl G. J. Jacobi (1804-1851), cognominado às vezes “o grande algorista”. Deve-se a ele a forma simples como essa teoria se apresenta hoje. Como algorista, Jacobi era um entusiasta da notação de determinante, com suas potencialidades. Assim, o importante conceito jacobiano de uma função, salientando um dos pontos mais característicos de sua obra, é uma homenagem das mais justas. (HYGINO H. A conhecida regra de Cramer para resolver sistemas de n equações a n incógnitas, por meio de determinantes, é na verdade uma descoberta do escocês Colin Maclaurin (1698-1746), datando provavelmente de 1729, embora só DOMINGUES) 21 UEA – Licenciatura em Matemática 3.2 Introdução detM = Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo n x n). = 2.5 – 4.3 = 10 – 12 ⇒ detM = –2 3.5 Menor complementar A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante. Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n > 1, o determinante MCij, de ordem n – 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij. Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos: • resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares; Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir: • cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices. a) Dada a matriz , de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a11(MC11), retiramos a linha 1 e a coluna 1: 3.3 Determinante de 1.a ordem Dada uma matriz quadrada de 1.a ordem M= [a11], o seu determinante é o número real a11: det M = Ia11I = a11 ⇒ MC11 = | a22| = a22 Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo. Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 é: Por exemplo: M= [5] ⇒ det M = 5 ou | 5| = 5 ⇒ MC12 = | a21| = a21 M = [–3] ⇒ det M = –3 ou | –3| = –3 3.4. Determinante de 2.a ordem Dada a matriz , de ordem 2, por b) Sendo definição o determinante associado a M, determinante de 2.a ordem, é dado por: detM = temos: = a11a22 – a12a22 Portanto o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir. Sendo , de ordem 3, 3.6 Cofator Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n o número Aij tal que Aij = (–1)i+ j . MCij . , temos: Veja: 22 Álgebra Linear I – Determinantes 2.o passo – Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo): , os cofatores relativos a) Dada aos elementos a11 e a12 da matriz M são: , vamos calcular b) Sendo 3.o passo – Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal negativo): os cofatores A22, A23 e A31: Assim: 3.7 Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada M = [aij] mxn, m = 2, pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores. = –(a13a22a31+ a11a23a22+ a12a21a33)+ (a11a22a33+ a11a23a31+ a13a21a32) Assim, fixando j ∈ N; 1 = j = m, temos: em que Observação: é o somatório de Se desenvolvermos esse determinante de 3.a ordem aplicando o Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real. todos os termos de índice i, variando de 1 até m, m ∈ N. 3.8 Regra de Sarrus O cálculo do determinante de 3.a ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus. Acompanhe como aplicamos essa regra para . 1.o passo – Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira: 23 UEA – Licenciatura em Matemática 4.2 Teorema de Jacobi Teorema de Jacobi – O determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas. TEMA 04 DETERMINANTES – PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES Exemplo: 4.1 Nulidade a) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo. Substituindo a 1.a coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2.a, temos: Exemplo: a) 4.3 Matriz transposta O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais. b) Exemplo: b) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo. Exemplo: 4.4 Alteração de um determinante a) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número. c) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo. Exemplos: a) Exemplo: multiplicando d) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo. b) Exemplos: a) b) multiplicando = 1/5 . (–145) = –29 24 Álgebra Linear I – Determinantes 4.6 Teorema de Binet b) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal. Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, det (AB) = det A . det B Exemplo: A sendo inversível: Trocando- se as posições de L1 e L2: Exemplo: Se , e , então: c) Se k ∈ R, então det(k.A) = kn.detA Exemplo: 1. Vamos calcular o valor do determinante da 4.5 Matriz triangular a) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal. . matriz Exemplos: –42 0 –8 –4 –35 0 Assim: det M = –42 + 0 – 8 – 4 – 35 + 0 = –89. a) b) 2. Vamos determinar o valor de x em b) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por . Aplicando a regra de Sarrus no primeiro membro, vem: . Exemplos: 0 + 6 –x2 0 –12x 4x Daí: a) b) –x2 – 8x + 6 = –3 x2 + 8x – 9 = 0 x = –9 ou x = 1 25 UEA – Licenciatura em Matemática 3. Sendo optar pela fila com maior número de zeros, a fim de simplificar os cálculos. Escolhemos, dessa forma, desenvolver pelos elementos da 2.a coluna. Temos: , então, eliminando-se a 1.a linha e a 3.a coluna, obtemos: é o cofator do Assim, basta calcular A22. elemento a13 . , se- Como 4. Sendo e eliminando-se gue que D = (–2) . (–183) = 366. a 3.a linha e a 2.a coluna, obtemos: 7. Seja a matriz quadrada , onde observamos que todos os elementos da 1.a e da 2.a coluna são iguais. Vamos calcular o determinante da matriz: é o cofator do elemento b 32 . Det A = 5. Vamos calcular . Escolhemos a linha 3 de D pelo teorema de Laplace vem: D = 7 . A31 + 4 . A32 + (–5) . A33 + 0 . A34(* ) Temos: e sua 8. Considere as matrizes transposta . Os seus determinantes valem: ∴ det A = det At Observe que não é necessário calcular A34. Daí, em (* ), temos: D = 7 . 9 + 4 . 20 + (–5) . 7 = 108 O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta At. 6. Qual é o valor de . 9. Resolver a equação Embora a escolha seja arbitrária, devemos 26 . Álgebra Linear I – Determinantes At = A, calcule o determinante da matriz , sendo I3 a matriz identidade de ordem 3. Resolução: a) –34 c) –56 b) –67 d) –76 Resposta: S = { 2, 3} , qual é o valor 2. Se 10. Calcular o determinante: de 2x? a) 2 c) 4 Observe que o determinante não possui elemento igual a 1, mas podemos obtê-lo colocando 2 em evidência na 3.a linha b) 3 d) 5 3. Calcule: a) 50 c) 45 Vamos fixar o elemento a31 e aplicar o teorema de Jacobi. Daí, temos: • Multiplicando-se, respectivamente, por 2, 3 e –4 os elementos da 3.a linha e adicionando-os, respectivamente, aos elementos da 1.a, 2.a e 4.a linhas, vem: . b) –45 d) –50 4. Dadas as matrizes e ,o determinante da matriz A . B é: a) –1 c) 10 e) 14 b) 6 d) 12 5. Calcule x e y de sorte que: Aplicando o teorema de Laplace aos elementos da 1.a coluna, temos: . a) x = 1, y = 3 c) x = 4, y = 4 Utilizando a regra de Sarrus, obtemos: b) x = 3, y = 2 d) x = 4, y = 3 6. Considere as matrizes: D = –184 Resposta: –184 e Sabe-se que B = C, o determinante da matriz A será: 1. Seja a matriz . Sabendo se que a) 42 b) 21 c) 24 d) 12 e) 15 27 UEA – Licenciatura em Matemática 7. O valor do determinante abaixo é: 13. Calcule: a) 3abcd b) 2abcd c) 3abc d) –3abc a) b) c) d) e) e) –2abd 1 2 3 4 5 14. Calcule o determinante: 8. Dadas as matrizes, calcule o determinante da matriz A2 + B2. e a) 13 c) 16 e) 19 . . b) 14 d) 18 a) b) c) d) e) 9. Seja S = (Si j) a matriz quadrada de ordem 3, . Calcule o valor do onde 19 12 15 13 16 15. Ache o valor do determinante: determinante de S. a) 36 c) 56 e) 34 . b) 48 d) 24 a) b) c) d) e) 11. Se 0 ≤ x ≤ 2, determine o menor valor de x, tal que . a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 10. Calcule o determinante da matriz M = (AB) . C, sendo : e a) c) d) e) 3 4 1 0 . b) 2 28 256 345 –365 –65 –353 UNIDADE III Sistemas Lineares Álgebra Linear I – Sistemas Lineares onde: x1, x2,...,xn são as incógnitas; TEMA 05 a11, a12,...,amn são os coeficientes; SISTEMAS LINEARES – DEFINIÇÃO E RESOLUÇÃO b 1, b 2,...,b m são os termos indepentes. Resolver o sistema significa encontrar os valores das incógnitas que resolvem, simultaneamente, todas as suas equações. 5.1 Equação linear Entenderemos por equação linear nas variáveis (incógnitas) x1, x2, x3, ... , xn , como sendo a equação da forma: a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b, em que a1, a2, a3, ... an e b são números reais ou complexos. Por exemplo: dado o sistema de equações: Podemos afirmar que a sua solução será a tripla x = 1, y = 2 e z = 0, pois: a1, a2, a3, ... an são denominados coeficientes, e b, termo independente. 2.1 + 2 – 0 = 4 Exemplos de equações lineares: 1 – 2 + 3.0 = –1 4x1 + 2x2 = 9 3.1 – 5.2 + 7.0 = –7 3x + 4y = 5 5.4 Resolução de sistemas lineares. –2x + 3y + 5z = 12 Para resolver um sistema linear pelo método de Cramer, é necessário que o mesmo seja possível determinado, com det(mp) = 0, como veremos a seguir. –x – 3y – 7z + 3w = 17 5.2 A solução de uma equação linear Chamamos de solução de uma equação linear aos valores que, ao serem substituídos nas incógnitas, cheguem à uma igualdade verdadeira. Por exemplo: a equação x + y + z = 5 apresenta como solução os valores x = 1, y = 4 e z = 0, uma vez que 1 + 4 + 0 = 5. Os valores x = 3, y = 7 e z = –5 também são soluções da equação, uma vez que 3 + 7 – 5 = 5. Podemos, então, afirmar que existem infinitas soluções (um número infinito de ternos ordenados) que satisfazem à equação dada. Vamos resolver o sistema proposto inicialmente: Para resolver um sistema, devemos, inicialmente, encontrar a sua Matriz Principal, que é dada pelos coeficientes das incógnitas. Dessa forma, a matriz principal do sistema acima será: 5.3 Sistema linear De foma geral, podemos dizer que um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto composto por duas ou mais equações lineares. Calculamos, então, o seu determinante. Para indicar o determinante de uma matriz X, escreveremos det(X), então det (Mp) = 20. A seguir, calculamos os determinantes das incógnitas, que são conseguidas quando substituímos, na matriz principal, a coluna de uma das incógnitas, pela coluna dos termos independentes. Temos, deste modo, as matrizes chamadas de Mx, My e Mz, das quais também devemos calcular os determinantes. Um sistema linear pode ser representado da seguinte forma: 31 UEA – Licenciatura em Matemática mento, considerando dois tipos de sistema: I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m = n) Exemplo: Vamos resolver o sistema abaixo: det (Mx) = 20 det (My) = 40 1.o passo – Anulamos todos os coeficientes da 1.a incógnita a partir da 2.a equação, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes: Trocamos de posição a 1.a equação com a 2.a equação, de modo que o 1.o coeficiente de x seja igual a 1: det (Mz) = 0 Após calculados os determinantes da matriz principal e das matrizes das incógnitas, chegamos aos valores de x, y, z, efetuando as seguintes divisões: Trocamos a 2.a equação pela soma da 1.a equação, multiplicada por –2, com a 2.a equação: Chegamos, então, aos valores de x = 1; y = 2; z = 0. Trocamos a 3.a equação pela soma da 1.a equação, multiplicada por –3, com a 3.a equação: Observação: Quando dois ou mais sistemas apresentam a mesma solução, são chamados de Sistemas Equivalentes. 5.5 Sistemas escalonados 2.o passo – Anulamos os coeficientes da 2.a incógnita a partir da 3.a equação: Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado, se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente nãonulo aumenta de equação para equação. Trocamos a 3.a equação pela soma da 2.a equação, multiplicada por –1, com a 3.a equação: Para escalonar um sistema, adotamos o seguinte procedimento: a) Fixamos como 1.a equação uma das que possuem o coeficiente da 1.a incógnita diferente de zero. b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1.a incógnita das demais equações. c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado. Agora, o sistema está escalonado, e podemos resolvê–lo. –2z = –6 ⇒ z = 3 Vamos, então, aplicar a técnica do escalona- Então, x = 2, y = –1 e z = 3 Substituindo z= 3 em (II): –7y – 3(3) = –2 ⇒ –7y – 9 = –2 y = –1 Substituindo z = 3 e y = –1 em (I): x + 2(–1) + 3= 3 ⇒ x = 2 32 Álgebra Linear I – Sistemas Lineares TEMA 06 ESTUDO DE SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS E HETEROGÊNEOS 6.1 Discussão de Sistemas Lineares Um sistema linear pode apresentar três possibilidades diferentes de solução: 6.1.1 Sistema com uma única solução. • O sistema pode ter uma única solução (nes- As equações lineares abaixo representam duas retas no plano cartesiano que têm o ponto (3,–2) como interseção. se caso, será chamado de sistema possível e determinado – SPD) • O sistema pode ter infinitas soluções (nesse caso, será chamado de sistema possível e indeterminado – SPI) • O sistema pode não apresentar solução 6.1.2 Sistema com infinitas soluções (nesse caso, será chamado de sistema im- As equações lineares representam retas paralelas sobrepostas no plano cartesiano, logo existem infinitos pontos que satisfazem a ambas as equações (pertencem a ambas as retas). possível – SI) Observações: 1. Se, ao escalonarmos um sistema, ocorrer uma equação do tipo 0x1 + 0x2 + ........+ 0xn = 0 esta deverá ser suprimida do sistema. Exemplo: Escalonar o sistema 6.1.3 Sistema que não tem solução As equações lineares representam retas paralelas no plano cartesiano, logo, não existem pontos que pertençam às duas retas. No caso de sistemas com três ou mais incógnitas, vale a mesma classificação. Por exemplo: Observe que o sistema é possível indeterminado. 2. Se, ao escalonarmos um sistema, ocorrer uma O sistema é um sistema possível e determinado (SPD), pois apresenta apenas a solução x = 1; y = 2; z = 3. equação do tipo 0x1 + 0x2 + ........+ 0xn = b(com b0) o sistema será, evidentemente, impossível. Exemplo: Escalonar o sistema . 33 UEA – Licenciatura em Matemática O sistema é um sistema possível e indeterminado (SPI), pois apresenta infinitas soluções. Entre as soluções, estão x = 0; y = –3; z = 1 e x = 1; y = –2; z = 3. 2. Calcular m e n, de modo que sejam equivalentes os sistemas: e Resolução: Cálculo de x e y. x – y = 1 x (–2) e somamos abaixo O sistema é um sistema impossível (SI), pois não apresenta solução. 2x + y = 5 Podemos afirmar que um sistema linear S de n equações, com incógnitas x1, x2, ..., xn, será SPD, SPI ou SI x – y = 1, então x = 2 3y = 3, então y = 1 Substituindo–se x e y no segundo sistema, vem: 2m – n = –1 x (2) e somamos abaixo 6.2 Sistemas Lineares Homogêneos m + 2n = 2 Um sistema linear é chamado de homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução conhecida como trivial, que é a solução identicamente nula (x = 0; y = 0; z = 0, xi = 0). 5m = 0, então m = 0 2m – n = –1, então n = 1 Resposta: m = 0 e n = 1 3. Seja Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Exemplos: , cuja solução é (5, 3). Substituindo a 2.a equação pela soma dela com a 1.a: ← (2ª eq.) + (1ª eq.) O sistema é determinado, pois possui apenas a solução x = 0; y = 0; z = 0. O par (5, 3) é também solução de S’, pois a segunda equação também é verificada: x – 2y = 5 – 2 . 3 = 5 – 6 = – 1 4. Vamos escalonar e depois resolver o sistema: O sistema é indeterminado, pois admite infinitas soluções, entre elas x = 0; y = 0; z = 0 e x = 2; y = 0; z = 1. 6.3 Exemplos 1. Considere Em primeiro lugar, precisamos anular os coeficientes de x na 2.a e na 3.a equação. , cuja solução é (3, –1). Substituímos a 2.a equação pela soma dela com a 1.a, multiplicada por 2 Multiplicando–se a 1.a equação de S por 5, por exemplo, obtemos: cuja solução também é (3, –1). 34 Álgebra Linear I – Sistemas Lineares Vejamos algumas de suas soluções: • α = 0 → (0, 0, 0): solução nula ou trivial. • α = 1 → (4, –3, 1) • α = –2 → (–8, 6, – 2): soluções próprias ou diferentes da trivial. Substituímos a 3.a equação pela soma dela com a 1.a, multiplicada por (–2) 6. Resolver o Sistema Deixando de lado a 1.a equação, vamos repetir o processo para a 2.a e a 3.a equação. Convém, entretanto, dividir os coeficientes da 2.a equação por 3, a fim de facilitar o escalonamento: Logo: que é equivalente a: O sistema é possível e determinado, Substituímos a 3.a equação pela soma dela com a 2.a, multiplicada por 4: 7. Resolver o sistema 4y – 4z = –16 –4y + 5z = 19 Resolução – Dividindo–se a 2.a equação por 2 e trocando-a de posição com a 1.a equação para fazer o coeficiente de x igual a 1, vem: z= 3 O sistema obtido está escalonado e é do 1.o tipo (SPD). Resolvendo-o, obtemos como solução: (2, –1, 3). 5. Escalonando o sistema Para eliminar a incógnita x, multiplica-se a 1.a equação por (–4) e soma-se com a 2.a equação: vem: Da 2.a equação, vem: –11y = –22 y = 2 Substituindo y = 2 na 2.a equação, temos: x+ 4= 5 x= 1 Dividimos os coeficientes da 3.a equação por 2, notamos que ela ficará igual à 2.a equação e, portanto, poderá ser retirada do sistema. Observação: Podemos resolver este sistema utilizando somente os coeficientes, isto é, a matriz completa associada ao sistema da seguinte forma: Assim, o sistema se reduz à forma escalonada e é do 2.o tipo (SPI). Resolvendo-o, vem y = –3z e x = 4z. Se z = α, α ∈ IR, segue a solução geral (4α, –3α, α). 35 UEA – Licenciatura em Matemática Da 2.a equação, vem: Então: –11y = – 22 y = 2 Substituindo na 1.a equação, temos: x + 2y = 5 x + 4 = 5 x = 1 S = { (1, 2)} Resposta: { m ∈ IR| m ≠ 1} 8. Resolver o sistema Resolução – Utilizando a matriz completa, temos: , é: 1. O sistema a) b) c) d) e) Da 3.a equação, temos: indeterminado com uma variável livre; indeterminado com duas variáveis livres; homogêneo; impossível; determinado. é: 2. O sistema a 0 + 0b + 0c = –5 (impossível) S= ∅ 9. Determinar K, de modo que o sistema a) b) c) d) e) admita solução única. Quando o número de equações é igual ao número de incógnitas, também podemos considerar o determinante da matriz incompleta. Para que o sistema dado admita solução única, devemos ter: impossível; indeterminado; determinado; par (10, 5) é solução do sistema; par (15, 0) é solução do sistema. 3. Considere o sistema . Pode- mos afirmar corretamente que: a) b) c) d) e) Resposta: sistema é incompatível; sistema é compatível determinado; S = { (4, 1, 2)} é solução do sistema; sistema possui exatamente três soluções; sistema é compatível indeterminado. 4. (UEL – PR ) Se os sistemas 10. Calcular o valor de m para que o sistema e são equivalentes, então a2 + b 2 é igual a: tenha somente a solução trivial. a) b) c) d) e) Resolução – Para que o sistema tenha somente a solução trivial, isto é, seja determinado, é necessário que det A ≠ 0. 36 1 4 5 9 10 Álgebra Linear I – Sistemas Lineares 5. (FGV – SP) Resolvendo o sistema de equações a) 1 e 2 c) 2 e –1 e) 3 e –1 , temos que: a) b) c) d) e) b) –1 e 3 d) –1 e –2 10. (FGV–SP) Seja ( a, b, c, d ) a solução do sis- x = 1 e y = 0; é impossível; é indeterminado; x = 3 e y = –1; é indeterminado. então o produto tema linear a . b . c vale: 6. (PUC – SP) Estudando-se o seguinte sistema a) 0 c) –12 e) –24 obtém-se: a) sistema é possível, determinado e admite uma única solução x = 1, y = 0 e z = 0; b) 12 d) 24 11. (ALFENAS – MG) O sistema de equações terá uma única solução se: b) sistema é impossível; c) sistema é possível, porém indeterminado com uma incógnita arbitrária; a) b) c) d) e) d) sistema é possível, porém indeterminado com duas incógnita arbitrária e) sistema é indeterminado com uma incógnita arbitrária, sendo (0, 1, 3) uma solução a = 5b; 5 . a . b = 0; a + 5b = 0; a – 5b = 0; 5 . a . b = 0. 12. O sistema de equações 7. (CESGRANRIO) O número de soluções do sis- terá infini- tas soluções se: tema a) b) c) d) e) é: a) maior do que 3; c) 2; e) 0; b) 3; d) 1. a = 5 e b = –1; a + b = 6; a . b = 6; 5 . a . b = 10; b = 5a. 13. (FMU–SP) O sistema linear 8. (UFScar–SP) O sistema linear tem solução única para: admite uma infinidade de soluções. Seja z = α(α ≠ 0) um valor arbitrário. Então, a solução (x,y,z) do sistema acima é: a) (2, 2 – α, α) c) (1, 3 – α, α) e) (3, α, α) a) b) c) d) e) b) (1, α – 3, α) d) (2, α – 2, α) todo a ≠ 0 e b ≠ 0 b ≠ 2a b≠a toda a ∈ IR e b ∈ IR todo a > 0 e b > 0 14. (FGV–SP) Determinando os valores de a e b, 9. (UEL–PR) O sistema equivalente a fim de que o sistema ao sistema definido pela equação matricial terminado, o produto a . b é: a) 12 c) 18 e) 36 se os valores de k e t são respectivamente: 37 b) 24 d) 6 seja inde- UEA – Licenciatura em Matemática 15. (PUC–RS) Para que o sistema 21. (FATEC–SP) Para que o sistema seja impossível, o valor de k deve ser: a) 1/5 c) 1/3 e) 5/4 seja compatível, a deve ser igual a: b) 1/4 d) 4/5 a) –5 c) –6 e) –7 b) 5 d) 6 16. (PUC–SP) O valor de k tal que o sistema 22. (FGV – SP) Para que o sistema admite solução única é: a) k ≠1 e k ≠ –4 c) k ≠ –1 e k≠ 4 e) k ≠ 1 e k ≠ –3 onde k é um número real, uma das afirmações seguintes é correta: b) k ≠ 1 e k≠ 3 d) k ≠ 1 e k≠ –2 a) b) c) d) e) 17. (FUVEST– SP) O sistema linear b) 1 d) 2 é possível 18. (UEL–PR) O sistema a) b) c) d) e) e determinado se, e somente se, k for igual a: a) 3 c) 1 e) –2 0, o sistema é indeterminado; 1 ou k = 15, o sistema é impossível; 0, o sistema é indeterminado; 0, sistema é impossível; 1 ou k = 15, o sistema é determinado. 23. (UNESP–SP) Para que os valores reais de p e q o sistema não admite solução? não admite solução se a for igual a: a) 0 c) –1 e) –2 se k = se k = se k ≠ se k ≠ se k = b) 2 d) –1 p p p p p = > = = = –2 e q = 5 –2 e q ≠ 4 q= 1 –2 e q ≠ 5 2eq= 5 24. (UNIUBE) O sistema linear de equações incóg- 19. (UEL–PR) O sistema nitas x e y a) b) c) d) e) admite infinitas soluções, se m ≠ 1; é indeterminado, para todo m ≠ IR; não admite soluções; é possível e determinado, se m ≠ 7; tem solução única, se m = –7. a) a ≠ 6 e k ≠ 5 c) a ≠ 6 e k ≠ –5 e) a 6 e k ≠ 5 de incóg- nitas x e y é: a) impossível, para todo k real diferente de –21; b) possível e indeterminado, para todo k real diferente de –63; c) possível e determinado, para todo k diferente e –21; d) possível e indeterminado, para todo k real diferente de –3; e) possível e determinado, para todo k real diferente de –1 e –63. seja compatível e indeterminado, são: a) b) c) d) e) b) a ≠ 6 e k ≠ –5 d) a = 6 e k = 5 25. (CEFET – PR) O sistema 20. (PUC–SP) Os valores reais de a e b, para que o sistema não admite solução se: a = –2 e b ≠ 5 a ≠ –2 e b = 5 a ≠ –2 e b ∈ IR a ∈ IR e b ≠ 5 a = –2 e b = 5 38 UNIDADE IV Vetores Álgebra Linear I – Vetores 7.2.1 Segmento nulo Segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem. TEMA 07 7.2.2 Segmentos opostos VETORES – DEFINIÇÃO E OPERAÇÕES Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é oposto de AB. 7.1 Introdução 7.2.3 Medida de um segmento Em nosso quotidiano, estamos acostumados a usar grandezas chamadas escalares, que são caracterizadas por um número (e sua respectiva unidade de medida): 5kg de massa, 1m2 de área, 10cm de comprimento, 4l de volume, etc. Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado pode-se associar um número real, não negativo, que é a medida do segmento em relação àquela unidade. A medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo. O comprimento do segmento AB é indicado por | AB| No entanto existem outras grandezas que precisam de mais informações. Um exemplo disso são grandezas como força e velocidade, para as quais precisam ser fornecidos uma direção, uma intensidade e um sentido. Essas grandezas são denominadas vetoriais. Assim, o comprimento do segmento AB representado na figura abaixo é de 3 unidades de comprimento: Retas suportes paralelas | AB| = 3 u.c. Observações: a) Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero. b) | AB| = | BA| Na Figura acima, as flechas dão idéia da direção do comprimento e do sentido das grandezas mensionadas. No entanto cada fecha é apenas um representante de um vetor. A seguir, definiremos de forma mais precisa do que vem a ser um vetor. 7.2.4 Direção e sentido Segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas ou coincidentes: 7.2 Segmento orientado Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado origem do segmento, o segundo chamado extremidade. O segmento orientado de origem A e extremidade B erá representado por AB e, geometricamente, indicado por uma seta que caracteriza visualmente o sentido do segmento (conforme figura abaixo) . 41 UEA – Licenciatura em Matemática Observações: frações. Duas frações representam o mesmo número racional se o numerador e o denominador de cada uma delas estiverem na mesma a) Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma direção. proporção. Por exemplo, as frações b) Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários. representam o mesmo número racional. De forma análoga, dizemos que dois segmentos orientados representam o mesmo vetor se possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido. A definição de igualdade de vetores também é análoga à igualdade de números racionais. Dois números 7.2.5 Segmentos equipolentes Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento (ver figura a seguir). racionais sao iguais, quando ad = cb. Analogamente, dizemos que dois vetores são iguais se eles possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido. → O comprimento de um vetor v , também cha→ mado de módulo ou norma de v , será indicado → por || v ||. Se os segmentos orientados AB e CD não pertencem à mesma reta, como na figura anterior, para que AB seja equipolente a CD é necessário que AB//CD e AC//BD, isto é, ABCD deve ser um paralelogramo. 7.3.1 Vetores iguais Na figura abaixo, temos 6 segmentos orientados, com origens em pontos diferentes, que representam o mesmo vetor, ou seja, são considerados como vetores iguais, pois possuem a mesma direcão, mesmo sentido e o mesmo comprimento. Portanto tanto os segmento orientado AB quanto o segmento orientado CD → representam o mesmo vetor v . Observações: a) Dois segmentos nulos são sempre equipolentes. b) Representaremos a equipolência entre os segmentos AB e CD por AB ~ CD 7.2.6 Propriedades da equipolência i) AB ~ AB (reflexiva). ii) AB ~ CD ⇒ CD ~ AB (simétrica). iii) AB ~ CD e CD ~ EF ⇒ AB ~ EF (Transitiva). Observação – Uma relação que goza das propriedades i) ii) e iii) chama-se relação de equivalência. Se o ponto inicial de um representante de um → vetor v e A e o ponto final é B, então escreve→ mos v = . Portanto dois vetores e são iguais se, e somente se, AB ~ CD. 7.3 Vetor Dado um segmento de reta orientado, definimos como sendo um vetor ao conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes ao segmento orientado dado. 7.3.2 Vetor nulo Um vetor poder ser representado por vários segmentos orientados. Esse fato é análogo ao que ocorre com os números racionais e as Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um único vetor, chamando → vetor nulo ou vetor zero, e que é indicado por 0. 42 Álgebra Linear I – Vetores 7.3.3 Vetores opostos → Dado um vetor v = é o opos, o vetor → e indicamos por – ou por –v . to de 7.3.4 Vetor unitário → Um vetor é unitário se || v || = 1. Comutatividade da soma 7.3.5 Versor → Versor de um vetor v é o vetor unitário de mesma → direção e mesmo sentido de v . → Associativa da soma → Na figura acima, u1 e u2 são vetores unitários, visto que ambos têm norma igual a 1. Por outro → lado apenas o vetor u1 tem a mesma direção e 7.4.3 Diferença de vetores sentido do vetor v . Portanto u1 é um versor de v . Definimos a diferença v menos w, por v + (–w). → → → → → → → 7.4 Operações com vetores 7.4.1 Soma de vetores → → → → A soma (u + v ) de dois vetores u e v é determinada da seguinte forma: Tome um segmento orientado que representa u ; → tome um segmento orientado que representa → v , com origem na extremidade de u ; o vetor 7.4.4 Multiplicação por um número Real → → → A multiplicação de um vetor v por um escalar → α, α v , é determinada pelo vetor que possui as seguintes características: → u + v é representado pelo segmento orientado → → que vai da origem de u até a extremidade de v . → → i) é o vetor nulo, se α = 0 ou v = 0 . ii) caso contrário: a) tem comprimento | α| vezes o comprimen→ to de v ; → b) a direção é a mesma de v (neste caso, dizemos que eles são paralelos); 7.4.2 Propriedades da soma → → → → i) u + v = v + u (Comutativa). → → → → → → c) tem o mesmo sentido de v , se α > 0 e tem → o sentido contrário ao de v , se α < 0. → ii) (u + v ) + w = u + (v + w) (Associativa). → Observações: iii) Existe um único vetor nulo 0 tal que para → → → → → → todo vetor v se tem v + 0 = 0 + v = v (Elemento neutro). → → → Se w = α v , dizemos que w é um múltiplo → escalar de v . → iv) Qualquer que seja o vetor v , existe um → → único vetor –v (vetor oposto de v ) tal que → → → → → v + (–v ) = –v + v = 0 Dois vetores não-nulos são paralelos (ou colineares) se, e somente se, um é um múltiplo escalar do outro. 43 UEA – Licenciatura em Matemática → O versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário TEMA 08 . Note que , VETORES – DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR → , ou seja, v é produto de sua nor- logo 8.1 Definições ma pelo vetor unitário de mesma direção e → sentido de v . → → Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção. 7.4.4 Propriedades do produto por escalar → → Sejam u e v vetores quaisquer, e a e b números reais. Então temos: → → i) a(bv ) = (ab)v (associativa). → → → → → ii) (a + b)v = av + bv (distributiva na adição por escalares). → → Isso acontece se, e somente se, existe um nú→ → → → mero real k tal que u = kv ou v = ku . Diremos, então, que um vetor é escrito como combina→ ção linear do outro, e nesse caso, os vetores u → e v são ditos linearmente dependentes (veja a figura acima). iii) a(u + v ) = au + av (distributiva na adição por vetores). → → iv) 1v = v (identidade). Quando tomamos dois vetores nos quais não é possível escrever um vetor como combinação linear do outro, dizemos que os vetores são linearmente independentes. Nesse caso, os dois vetores não são colineares, mas são coplanares, isto é, possuem representantes pertencentes a um mesmo plano α. → → Se u e v são linearmente independentes, en→ → tão, todos os vetores da forma ku + tv podem ser representados sobre um mesmo plano α. → Reciprocamente, todo vetor w que possua representante no plano α pode ser escrito como → → uma combinação linear dos vetores u e v ; além disso, toda combinação linear dos → → vetores u e v pode ser representada sobre o → → plano α. Por essa razão, se os vetores u e v são linearmente independentes, diremos que eles geram um plano. 44 Álgebra Linear I – Vetores → → → → → → Se os vetores u , v e w são colineares, com representantes em uma reta r, então os vetores geram a reta r, ou seja, qualquer vetor com representante nesta reta pode ser escrito como → → → combinação linear de u , v e w. Da mesma forma, → → → se u , v e w não são colineares que possuem representantes em um mesmo plano α, então eles geram o plano α, isto é, qualquer vetor que possua um representante no plano α pode ser → → → escrito como combinação linear de u , v e w. Agora, se um vetor w se escreve como uma com→ → → binação linear ku + tv , diremos que os vetores ku → → e tv são componentes do vetor w na direção dos → → vetores u e v , respectivamente. Os escalares k e t → são as coordenadas de w em termos aos vetores → → → → u e v . Observe que, se u e v são linearmente in→ dependentes, então cada vetor w que possua representante em α se escreve de maneira única → → como uma combinação linear dos vetores u e v . → Se os vetores u , v e w possuem representantes pertencentes em um mesmo plano α, dizemos que eles são coplanares. → → → → → Chamaremos os vetores au , bv e cw de compo→ → → nentes do vetor x na direção dos vetores u , v e → w (os números a, b e c são as coordenadas de → → → → x em termos dos vetores u , v e w). Um conjunto três vetores linearmente independentes chama-se uma base para o espaço dos vetores. → → → A base que consiste dos vetores u , v e w, por → → exemplo, nessa ordem, será indicada por { u , v , → → → → w} . Se escolhermos uma base { u , v , w} , então a → cada vetor x corresponde um único terno ordenado (a,b,c) de escalares, a saber, as coordenadas → de x em em termos dessa base. Reciprocamente, a cada terno ordenado (a,b,c) de números reais → → → → corresponde o vetor x = au + bv + cw. Observações: → → Também pode ser mostrado que, se u , v e w são linearmente independentes, então eles ge→ ram o espaço, isto é, se x é um vetor qualquer, então existe um (único) terno ordenado (a,b,c) → → → → de escalares tais que x = au + bv + cw. → Dois vetores quaisquer u e v são sempre coplanares, pois sempre podemos tomar um ponto do espaço e, com origem nele, imaginar → → os dois representantes de u e v pertencendo a um plano α que passa por esse ponto. Três vetores podem ser ou não complanares (ver figuras a seguir). 8.2 Exemplos → → 1. Sejam ABC um triângulo, e sejam M e N os ⎯ ⎯ pontos médios de AC e BC respectivamente. ⎯ ⎯ Prove que MN é paralelo a AB e que MN é a metade de AB. → u , v e w não são coplanares Solução: Devemos mostrar que → → → u , v e w e são coplanares → → → Se três vetores u , v e w são colineares ou coplanares, ou seja, possuem representante em uma mesma reta ou em um mesmo plano respectivamente, os vetores são linearmente dependentes. 45 = UEA – Licenciatura em Matemática Observando a figura acima, verificamos que = inicial na origem de um sistema de coordenadas retangulares. As coordenadas (v1, v2) do → ponto final de v são chamadas componentes → → de v , e escrevemos v = (v1, v2). + = + = ( + )= ⎯ Como M é ponto médio de AC e N é ponto ⎯ médio de BC, temos: = e = Portanto, temos que: = + = ( + )= como queríamos mostrar. → → Se vetores equivalentes v e w são colocados com seus pontos iniciais na origem, então é óbvio que seus pontos finais coincidem (pois os vetores têm o mesmo comprimento, a mesma direção e mesmo sentido); logo, os vetores possuem os mesmos componentes. Reciprocamente, vetores com os mesmos componentes são equivalentes, pois têm iguais o comprimento, adireção e o sentido. Em resumo, dois → → vetores v = (v1, v2) e w = (w1, w2) são equivalentes se, e somente se, v1 = w1 e v2 = w2. 2. Mostre que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio. Solução: Considere o paralelogramo ABCD da figura abaixo: As operações vetoriais de adição e multiplicação por escalar são facilmente executáveis em termos de componentes. Como é ilustrado na figura abaixo, se → Suponha que = = Portanto = → → v + w= (v1 + w1, v2 + w2). . = Temos que = – e = + = Agora = → v = (v1, v2) e w = (w1, w2) então . Queremos mostrar = . temos = , ou seja, = + = + = = Como + . 2 . como queríamos mostrar. 8.3 Vetores em sistema de coordenadas A introdução de um sistema de coordenadas retangulares muitas vezes simplifica problemas envolvendo vetores. Por enquanto, vamos restringir nossa discussão a vetores no espaço → bidimensional (o plano). Seja v qualquer vetor no plano e suponha, como na figura a seguir, → que v tenha sido posicionado com seu ponto → Se v = (v1, v2) e k é um escalar qualquer, então pode ser mostrado, usando um argumento geométrico envolvendo triângulos semelhantes, → que kv = (kv1, kv2) (conforme figura a seguir). 46 Álgebra Linear I – Vetores → → Se um vetor v no espaço tridimensional for → Se tomarmos por exemplo v = (3, –2) e w = → → (–1, 7), temos que v + w = (3 + (–1), –2 + 7) = posicionado com seu ponto inicial na origem de um sistema de coordenadas retangulares, como na figura abaixo, então as coordenadas do ponto final são chamadas os componentes → → de v e escrevemos v = (v1, v2, v3). → (2, 5) e 3 v = (3.3, 3.(–2)) = (9, –6). → → → → → → Note que, como v – w = v + (–w) Concluímos que v – w = (v1 – w1, v2 – w2). 8.4 Vetores no espaço tridimensional Assim como os vetores no plano podem ser descritos por pares de números reais, os vetores no espaço podem ser descritos por ternos de números reais, utilizando um sistema de coordenadas retangulares. Para construir um tal sistema de coordenadas, selecionamos um ponto O, denominado a origem, e escolhemos três retas mutuamente perpendiculares passando pela origem, denominadas eixos coordenados. Designando estes eixos x, y e z e selecionando um sentido positivo para cada eixo coordenado, podemos estabelescer uma unidade de comprimento para medir tamanhos (veja figuras abaixo ). → → Se v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3) são dois vetores no espaço tridimensional, então os seguintes resultados podem ser estabelecidos, usando argumentos similares aos utilizados para vetores no plano. → → i) v e w são equivalentes se, e somente se, v1 = w1, v2 = w2 e v3 = w3. → ii) kv = (kv1, kv2, kv3) onde k é um escalar qualquer. → → iii) v + w = (v1+ w1, v2+ w2, v3+ w3). → Se tomamos por exemplo v = (2, 5, 3) e → → → w = (–5, 0, –1) então v + w = (–3, 5, 2), → → → → 4w = (–20, 0, –4), v – w = (7,5,4) e –w = (5,0,1). Geralmente um vetor não está posicionado com seu ponto inicial na origem. Se o vetor tem o ponto inicial P0(x0, y0, z0) e ponto final = (x1 – x0, y1 – y0 , z1 – z0), P1(x1, y1, z1), então ou seja, os componentes do vetor são obti47 UEA – Licenciatura em Matemática → 4. Encontre um vetor não-nulo u com ponto inicial P (–1, 3, –5) tal que: dos subtraindo as coordenadas do ponto final das coordenadas do ponto inicial. A figura abaixo ilustra o vetor obtido apartir de P0(x0, y0, z0) e P1(x1, y1, z1). → a) u tem a mesma direção e sentido que → v = (6, 7, –3) → b) u tem a mesma direção mas sentido opos→ to ao de v = (6, 7, –3) . → → → 5. Sejam u = (–3, 1, 2), v = (4, 0, –8) e w = (6,–1, –4). Encontre os componentes de: → → a) v – w → → b) 6u + 2v → → c) –v + u → → d) 5(v – 4u ) 6. Seja ABC um triângulo qualquer com medi⎯ ⎯ ⎯ anas AD, BE e CF. Mostre que o vetor . Se tomarmos, por exemplo, P1(3, –2, 1) e P0(1,–1, 3), então o vetor = (3 – 1, –2 – (–1), 1 – 3 ) = (2, – 1, 2). O mesmo ocorre no espaço bidimensional, isto é, se o vetor tem o ponto inicial P0(x0, y0) e ponto final P1(x1, y1), então = (x1 – x0, y1 – y0). 1. Mostre, usando vetores, que o ponto médio de um segmento que une os pontos P0 = (x0, y0, z0) e P1 = (x1, y1, z1) é o ponto . M= 2. Mostre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases, e sua médida é a média aritmética das medidas das bases. (Sugestão: mostre que = ( + é um múltiplo escalar de ). E conclua que ). 3. Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem: → f) v 6 = (0, –7) → g) v 7 = (3,4,5) → h) v 8 = (3, 3, 0) → i) v 9 = (0, 0, –3) → j) v 10 = (–3, 5, 2) a) v 1= (3, 6) b) v 2 = (–4, –8) c) v 3 = (–4, –3) d) v 4 = (5, –4) e) v 5 = (3, 0) → → → → → 48 Álgebra Linear I – Vetores O produto interno satisfaz às seguintes propriedades: TEMA 09 → → → → i) a . b = b . a (simetria) → A fim de definirmos o produto interno, necessitamos do conceito de ângulo entre dois vetores. → → O ângulo entre os vetores não nulos a e b , que → → indicaremos por (a , b ), é definido como sendo o ângulo entre seus representantes. Mais precisa→ → mente, se a = e b = , então o ângulo → → entre a e b é, por definição, o ângulo entre os segmentos orientados AB e AC. Para que essa definição faça sentido, devemos mostrar que → → (a , b ) não depende da escolha dos representantes AB e AC. Mais precisamente, se A’B’ e → A’C’ são também representantes dos vetores a → e b , respectivamente, então (veja a figura abaixo) o ângulo entre os segmentos orientados AB e AC é igual ao ângulo entre os segmentos orientados A’B’ e A’C’. → → → → → → → → i) Se a e b são vetores não-nulos, temos: → → → → → → a . b = || a || || b || cos(a , b ) → → → → = || b || || a || cos(b ,a ) → → = b.a → → ii) Se a e b são vetores não-nulos e k ≠ 0 temos : → → → → → → k(a . b ) = k|| a || || b || cos(a , b ) → → → → = || ka || || b || cos(ka , b ) → → = (ka ) . b Observemos que o ângulo (AB, AC) é o menor ângulo segundo o qual AB deve girar para se tornar colinear com AC. Esse ângulo é positivo se a rotação for no sentido contrário ao dos ponteiros de um relógio, e negativo em caso contrário. Isso nos permite associar a cada ân→ → → → gulo (a , b ) seu ângulo negativo ou oposto (b , a ). iii) Consideraremos primeiro o caso em que → → c = u é unitário. Escolhamos um represen→ tante PQ para o vetor u , e seja a reta r a reta que contém o segmento. → Sejam a e b vetores não-nulos. O produto inter→ → → → no do vetor a pelo vetor b , indicado por a . b , → → → → → → é definido por a . b = || a || || b || cos(a , b ). → Se um dos vetores a ou b for o vetor nulo, → → definimos: a . b = 0. Escolhamos representantes AB e BC para os → → vetores a e b , respectivamente. Consideremos as projeções ortogonais A’ ,B' e C’ dos pontos A, B e C, respectivamente, sobre a reta r. Sejam x, y e z os escalares tais que 9.1.1 Propriedades do Produto Interno → → → Note que essas propriedades são verificadas trivialmente se um dos vetores for o vetor nulo. → → → → → Na verdade, a . 0 = 0 . a = 0 é a única definição com elas, pois, pela segunda propriedade acima, temos → → → → → → 0 = 0(a .b ) = (0a ).b = a .(0b ) → → → → Portanto, 0 . b = a . 0 = 0, visto que → → 0a = 0b = 0. Passemos, agora, à demonstração das propriedades do produto interno. 9.1 Ângulo entre Vetores → → iii) c .(a + b ) = c . a + c . b (distributividade) Motivados pela expressão do trabalho em mecânica, vamos definir o produto interno de dois → vetores. Essa operação associa a cada par a , → b de vetores um número real, que será indica→ → do por a . b . → → → ii) k(a . b ) = (ka ).b (homogeneidade) VETORES – PRODUTO INTERNO → Sejam a , b e c vetores quaisquer e k um escalar. 49 UEA – Licenciatura em Matemática 9.2 Bases Ortonormais → → → Uma base { a ,b ,c } chama-se ortogonal se os seus vetores são mútuamente ortogonais, isto → → → → → → é, se a . b = a . c = b . c = 0. Se, além disso, → → → os vetores são unitários, a base { a ,b ,c } chama-se ortonormal. Observemos agora que → → → → → u . a = || a || cos(u . a ) = y – x e analogamente → → → → → u . b = z – y, u .(a + b ) = z – x. Portanto, → → → → → → → u .(a + b ) = u .a + u . b . → O caso geral reduz-se ao anterior. Se c é um vetor qualquer, não-nulo, usando a homogeneidade do produto interno e a distributividade para vetores unitário, obtemos: → → → O uso de bases ortonormais é bastante conveniente, pois simplificam basatante os cálculos, como veremos nos exemplos a seguir. Exemplos → →→ → 1. Se { a ,b ,c } é uma base ortonormal e u é um vetor → → → → → → → → → → qualquer, então u = (a .u )a + (b .u )b + (c .u )c . → De fato, sabemos é que u pode ser escrito de maneira única como uma combinação linear → → → → u = αa + βb + γc . → → Calculando, então, o produto interno a . u , obtemos: → → → → → → →→ a . u = α(a .a ) + β(a .b ) + γ(a .c ) = α, pois → → → 2 → → → → a . a = || a || = 1 e a .b = a .c = 0. Analogamente → → → → demonstramos que β = b . u e γ = c . u . → → → Observemos que, se { a ,b ,c } fosse uma base qualquer, não necessariamente ortonormal, en→ tão as coordenadas α, β e γ do vetor u seriam a solução do sistema → = c . a + c . b. → → → → → Note que a . a = || a || 2 , pois, cos(a ,a ) = 1 e que, → → se a e b são vetores não nulos, então → → a . b = 0 se, e somente se, , onde k é um número inteiro qualquer. Por essa razão, → diremos que o vetor a é perpendicular (ou → → → ortogonal) ao vetor b quando a . b = 0. Portanto, → de acordo com essa definição, o vetor 0 é perpendicular a todos os vetores do espaço. Na → verdade, 0 é o único vetor que possui essa pro→ → → priedade, isto é, se a é um vetor tal que a . b = → → → 0 qualquer que seja o vetor b , então a = 0. Para → → provar isso, basta tomar, em particular, a = b , → → → → → donde a . a = || a || 2 = 0 que implica a = 0. → → → 2. Se { a ,b ,c } é uma base ortonormal e → → → → → → → → u = α1a + β1b + γ1c , v = α2a + β2b + γ2c são vetores quaisquer, então → → u . v = α1α2 + β1β2 + γ1γ2 9.1.2 Exemplo De fato, Mostre que as diagonais de um losango são perpendiculares. → → → → → → → → u . v = (α1a + β1b + γ1c ). (α2a + β2b + γ2c ) → → → → → → → → = (α1α2)a . a + (α1β1)a . b + (α1γ2) a . c → → → → + (β1α2)b . a + (β1β2)b . b + (β1γ2)b . c → → → → → → + (γ1α2)c . a + (γ1β2)c . b + (γ1γ2)c . c → → → Como { a ,b ,c } é uma base ortonormal, seus vetores satisfazem às relações → . Queremos mostrar que . = ( + ).( = . + . + + . = 0 Note que e = – → → → → → → → → → → → u . v = α1α2 + β1β2 + γ1γ2 . = 0 visto que → o que reduz a expressão acima a ) + → a . b = a . c = b .c = 0; a . a = b . b = c . c = 1 9.3 Orientação do Espaço Veremos agora que, após escolhida uma orien- . 50 Álgebra Linear I – Vetores Fixemos um triedro positivo (OA, OE, OC) de segmentos orientados unitários e mutuamente ortogonais (veja a figura abaixo). tação para o espaço, será possível distinguir duas classes de bases ortonormais: as positivas e as negativas. Para a adição de vetores, a multiplicação de vetores por escalares e o produto interno, a orientação do espaço não tem importância alguma, podendo ser dispensada. A escolha de uma orientação para o espaço é, entretanto, indispensável para a introdução do produto vetorial, que faremos na próxima seção. Escolhamos um ponto O do espaço que chamaremos origem. Um triedro é um terno ordenado (OA, OE, OC) de segmentos orientados OA, OE e OC não coplanares. Esses três segmentos dão origem, permutando a ordem dos segmentos, a seis ternos ordenados distintos. Consideremos um qualquer desses ternos e o observemos de uma posição tal que o terceiro segmento orientado esteja dirigido para os nossos olhos. A seguir, consideremos a rotação (de menor ângulo) do primeiro segmento até que ele fique colinear com o segundo segmento (veja a figura abaixo). → → → Sejam i = e k= . Assim, a , j= → → → base { i , j , k } é ortonormal e positiva. Portanto → → → os vetores i , j , k , satisfazem às seguintes relações: → → → → → → i.j = i.k= j .k = 0 → 2 → → i = j 2 = k2 = 1 → → → onde i 2 = i . i etc. Além disso, o exemplo 1 da → seção anterior nos dizque, se a é um vetor qualquer, → então a pode ser decomposto de maneira única → → → → como combinação linear a = a1i + a2 j + a3k , onde as coordenadas a1, a2 e a3 são dadas por → → → →→ → → → → → → → → → → a1 = a . i || a || cos(a ,i ) a2 = a . j || a || cos(a , j ) a3 = a . k || a || cos(a , k ) Além disso, o exemplo 2 da seção anterior nos diz que, se → Diremos que o triedro é positivo se a rotação for no sentido contrário ao dos ponteiros de um relógio, e negativo, caso contrário. → → então → → a . b = b1b1 + a2b2 + a3b3 e Por exemplo, o triedro (OA, OE, OC) da figura anterior é positivo, enquanto (OE, OA, OC), é negativo. → → b = b1i + b2 j + b3k → e Consideremos três vetores a = ,b = → → → → c= . Diremos que o terno ordenado (a ,b ,c ) é positivo (ou negativo) se o triedro (OA, OE, OC) for positivo (ou negativo). → → → Uma base { a ,b ,c } diz-se positiva (ou negativa) → → → se o terno (a ,b ,c ) é positiva (ou negativa). 51 UEA – Licenciatura em Matemática 10.1 Exemplos → → → → → Dados u = (1,2,–2) e v = 6 i – 2 j + 3 k , determine: TEMA 10 → a) || u || → b) || v || → → c) u . v → → d) O ângulo formado por u e v . e) VETORES – PROJEÇÃO ORTOGONAL → → → → → → Sejam os vetores u e v , com u ≠ 0 e v , ≠ 0 . → Pretendemos calcular o vetor w1 que represen→ → ta a projeção de u sobre v . Solução: a) b) → → c) u . v = (1, 2,–2).(6, - 2, 3) = 6 – 4 – 6 = –4 d) logo e) A Figura anterior ilustra as duas situações pos→ síveis. O vetor u foi decomposto em duas com→ → → → ponentes normais w1 e w2. Como w1 e v têm a mesma direção, temos que: → → w1 = kv , k∈R. Temos que: → → → → 1. Calcule as seguintes somas e diferenças: → u = w1 + w2 = kv + w2 → Tomando o produto escalar de v em ambos os membros da equação acima, temos: → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → b) (–i + 5 j – 6 k ) + (2i + j – k ) + (i – 2 j + 6 k ) → → → → → → → → → c) (2i + j – 3 k ) – (6i + 2j + k ) → d) (i + 2 j – 4 k ) – (2i + 5j + 6k ) + (3i – 5 j + 7 k ) u . v = (kv + w2) . v = k|| v || 2 + w2 . v → → a) (i + 2 j – 3 k ) + (2i – j + 5 k ) → → Mas w2 . v = 0, pois w2 é ortogonal a v ; portanto a equação acima nos fornece: → → → → → → 2. Calcule a norma de cada um dos seguintes vetores: → → → → a) a = (i – 2j + 3k ) → → → b) b = cosθi + senθj → → → → c) c = 2i – j + 3k Logo, → 3. Calcule os seguintes produtos internos: → Portanto a projeção de u sobre v , que denotaremos por , é: → → → → → → ← → → a) (i – 2j + 3k ) . (2i + 2j – 5k ) → → → → → → b) (3i + 3j – 4k ) . (–i – 2j + 6k ) → → → → → → c) (–2i + 3j – k ) . (3i – 2j + 7k ) 4. Mostre que os vetores a , b e c são linearmente independentes se, e somente se, a equação → → → → αa + βb + γc = 0 só possui a sulução nula α = β = γ = 0. ou . 52 Álgebra Linear I – Vetores 5. Determine os ângulos do triângulo cujos vértices são os pontos A(3, 2, 1), B(3, 2, 2) e C(3, 3, 2). TEMA 11 6. Verifique se os seguintes pontos são coplanares VETORES – PRODUTO VETORIAL a) A(2, 2, 1), B(3, 1, 2) e C(2, 3, 0) e D(2, 3, 2) b) A(2, 0, 2), B(3, 2, 0) e C(0, 2, 1) e D(1, 2, 0) No tema 09, vimos que o produto escalar de dois vetores produz um escalar. Iremos definir agora um tipo de multiplicação vetorial que produz um vetor como produto, mas que é aplicável somente ao espaço tridimensional. 7. Encontre um vetor unitário ortogonal simultaneamente a → u = (1, 0, 1) e → v = (0, 1, 1). → 8. Sejam u = (1, 1, 2) e → v = (a, 1, 2). Para quais → → valores de a, u e v são ortogonais? 11.1 Definição → → → Se u = (u1,u2,u3) e v = (v1,v2,v3) são vetores no espaço tridimensional, então o produto vetorial → → u x v é o vetor definido por → 9. Sejam u = (1/ , 0, 1/ ) e v = (a, 1/ , –b). → → Para quais valores de a e b, o conjunto { u ,v } forma uma base ortonormal do plano gerado por eles? → → u x v = (u2v3 – u3v2, u3v1 – u1v3, u1v2 – u2v1) ou, em notação de determinante, → 10. Determine a projeção de u = (1, 2, –3) na → direção de e v = (2, 1, –2). → 11. Qual aprojeção de u = (3, 5, 2) sobre o eixo dos x? → → Observação: Em vez de memorizar as fórmulas acima, você → → pode obter os componentes de u x v como segue: → 12. Sejam u , v e w vetores do R3. Prove que se → → → → → → → u . v = u .w, então v – w é ortogonal a u . → → 13. Sejam u e v vetores quaisquer. Mostre que → → → → → Forme a matriz 2 x 3 dada por → (u ± v )2 = u 2 ± 2u . v + v 2 cuja primeira linha contém os componentes de → u e cuja segunda linha contém os compo→ nentes de v . e → → → → → → (u + v )(u − v ) = u 2 − v 2 → a2 = b 2 + c 2 – 2bc cos onde a = || || , b = || || , c = || → Para obter o primeiro componente de u × v , descarte a primeira coluna e tome o determinante; para obter o segundo componente, descarte a segunda coluna e tome o negativo do determinante; e para obter o terceiro componente, descarte a terceira coluna e tome o determinante. 14. Use o resultado da questão 4 para mostrar a lei dos co-senos num triângulo ABC: || , e  = (AB, AC) → 11.1.1 Exemplo → 15. Sejam a e b vetores quaisquer. Mostre que → → → → → → → Se u = (2,–1,1) e v = i + j – k , calcule u × v → → e v × u. a) b) →→ → → c) | a .b| ≤ || a|| +|| b|| (Desigualdade de Schwarz) → → → → d) || a + b || ≤|| a || +|| b || (Desigualdade Triangular) e) → → → → Note que, nesse caso, temos que u × v = –(v × u ), 53 UEA – Licenciatura em Matemática → → fato que ocorre para quaisquer vetores u e v como mostraremos a seguir. lados direitos de (2) e (3) e verificando sua igualdade. As provas de iv) e v) ficam como exercício. 11.1.2 Propriedades do produto vetorial → Observações: → Sejam u e v vetores do espaço tridimensional e k um escalar qualquer; então: → → → → → i) u × v = –(v × u ) → → → → → → De iii) obtemos → ii) u × (v + w) = u × v + u × w → → → → → → → → → → → → → → → → → → →→ →→ = || u || 2 || v || 2 sen2(u ,v ) → v) u × u = 0 → → → → Como 0 ≤ (u ,v ) ≤ π, segue que sen(u ,v ) ≥ 0, e, portanto, isso pode ser reescrito como Para provar i), basta notar que quando se troca → → a ordem entre u e v , trocam-se as linhas dos três determinantes da equação (1) e, portanto, troca-se o sinal de cada componente do pro→ → duto vetorial. Portanto concluímos que u × v = → → –(v × u ). → → → → →→ || u × v || = || u || || v || sen(u ,v ). É fácil ver que : → i ×i = 0 → → → j ×j = 0 k ×k = 0 → → → j × k = i → k×i = j → → → i × j = k As provas das demais partes são deixadas como exercício. → → → j × i = –k → → → → k × j = –i → → → → → → → Sejam u e v vetores do espaço tridimensional; então: → → → → → → → → O produto vetorial de u = (u1,u2,u3) e v = (v1,v2,v3) pode ser representado, simbolicamente, como um determinante 3x3: 11.2 Relações entre produtos escalar e vetorial → → i × k = –j → → →→ = || u || 2 || v || 2 (1 – cos2(u ,v )) → iv) u × 0 = 0 × u = 0 → → || u × v || 2 = || u || 2 || v || 2 – || u || 2 || v || 2 cos(u ,v ) → iii) k(u × v ) = (ku ) × v = u × (kv ) → → i) e ii) mostram que o vetor u × v é ortogonal → → simultaneamente au e av . i) u . (u × v ) = 0 ii) v . (u × v ) = 0 → → → → → → iii) || u × v || 2 = || u || 2 || v || 2 –(u .v )2 (Identidade de Lagrange) → → → → → → → → → → → iv) u × (v × w) = (u .w)v – (u × v ) w → → → → Note que o determinante é um número, e o produto vetorial é um vetor. Usa-se esse abuso de notação apenas como um mecanismo facilitador para o cálculo do produto vetorial. → → → v) (u × v ) × w = (u .w)v – (v .w)u → → Para provar i), sejam u = (u1,u2,u3) e v = (v1,v2,v3). Então, → → → u . (u × v ) = Não é verdade, em geral que (u1,u2,u3) . (u2v3 – u3v2, u3v1 – u1v3, u1v2 – u2v1) = u1(u2v3 – u3v2)+ u2(u3v1 – u1v3)+ u3(u1v2 – u2v1) = 0 → → → → → → → → → → → → → → → (i × j ) × j = k × j = – i → || u × v || 2 = o que mostra que = (u2v3 – u3v2)2 + (u3v1 – u1v3)2 + (u1v2 – u2v1)2 (2) → → → → → → → Se u e v são vetores não-nulos, pode ser mos→ → trado que o sentido de u × v pode ser determinado usando a “regra da mão direita” (ver figura a seguir): → → || u || 2 || v || 2 –(u .v )2 = (u12+ u22+ u32)(v12+ v22+ v32)– – (u1v1 + u2v2 + u3v3)2 → i × ( j × j ) ≠ (i × j ) × j . e → → e Prova iii). Como → → i × (j ×j ) = i ×0 = 0 A prova de ii) é análoga a de i) → → u × (v × w) = (u × v ) × w. Por exemplo, (3) a prova pode ser obtida desenvolvendo-se os 54 Álgebra Linear I – Vetores A(–1, 0, 2), B(–4, 1, 1) e C(0, 1, 3). Solução: A área do triângulo ABC é dada por = (–3,1,–1) e → → → Portanto, → Seja (u ,v ) o ângulo entre u e v e suponha que → → → u é girado pelo ângulo (u ,v ) até coincidir com → v . Se os dedos da mão direita fecharem-se apontando no sentido desta rotação, então o polegar indica (aproximadamente) o sentido de → → u × v. 11.3 Interpretação geométrica do produto vetorial → → Se u e v são vetores no espaço tridimension→ → al, então a norma de u e v tem uma interpretação geométrica útil. Como já vimos, → → → → →→ → →→ || u × v || = || u || || v || sen(u ,v ). Mas || v || sen(u ,v ) é → a altura do paralelogramo determinado por u e → v como mostra a figura abaixo. Denotando por a área do paralelogramo → → determinado por u e v , temos: . → → Portanto, se u e v são vetores no espaço tridimensional, então é igual à área do para→ → lelogramo determinado por u e v . Note que esse resultado também é válido quan→ → do u e v são colineares, pois nesse caso, temos um paralelogramo degenerado que tem área zero, e = 0. 11.4 Exemplo Calcule a área do triângulo de vértices 55 = (–1,1,1). UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 12 VETORES – PRODUTO MISTO → → → Se u , v e w são vetores no espaço tridimen→ → → sional, então u .(v × w) é chamado produto → → → misto de u , v e w. Denotaremos o produto → → → → → → misto de u , v e w por [u , v ,w ]. → → O produto misto de u = (u1,u2,u3), v = (v1,v2,v3) → e w = (w1, w2, w3) pode ser calculado a partir da fórmula . De fato, temos que: → → → u .(v × w) Prova de i) = → → → → → → Sabemos que a área do paralelogramo determina→ → do por u e v é dada por . Contudo o produto vetorial está definido para vetores tridimension→ → ais, enquanto u = (u1,u2) e v = (v1,v2) são vetores bidimensionais. Para superar este “problema de → → dimensão”, veremos u e v como vetores do plano xy de um sistema de coordenadas xyz, no qual → estes vetores são escritos como u = (u1,u2,0) e → v = (v1,v2,0) conforme ilustra a figura abaixo. → → → Segue de (4) que [u ,v ,w]= [w,u ,v ]= [v ,w,u ], pois os determinantes que representam estes produtos podem ser obtidos um do outro por duas trocas de linhas. 12.1 Interpretação geométrica de determinantes i) O valor absoluto do determinante é igual à área do paralelogramo no espaço bidimensional determinado pelos vetores → → u = (u1,u2) e v = (v1,v2) (veja Figura 4.15.1a. abaixo) ii) O valor absoluto do determinante é igual à volume do paralelepípedo no espaço tridimensional determi→ → nado pelos vetores u = (u1,u2,u3), v = (v1,v2,v3) → e w = (w1, w2, w3) (veja Figura 4.15.1b. a seguir). 56 Álgebra Linear I – Vetores 2. Dados os pontos A(2,–1, 2), B(1, 2,–1) e C(3, 2,1), determinar o vetor ×( ). –2 3. Determinar um vetor simultaneamente ortogo→ → → → nal aos vetores 2a + b e b – a , sendo → → a = (3, –1,–2) e b = (1,0,–3). → Como || k || = 1 temos que a área do paralelo→ → gramo determinado por u e v é → → 4. Dados os vetores a = (1,–1,2), b = (3,4,–2) e → → → → → → → c = (–5,1,–4), mostrar que a .(b × c ) = (a × b ) . c . = Prova ii) Conforme mostra a Figura abaixo, to→ → mamos o paralelogramo determinado por v e w como base do paralelepípedo determinado por → → → u , v e w. Temos que a área da base é , e, como mostra a figura abaixo, a altura do → paralelepípedo é a projeção ortogonal de u → → sobre v × w. Portanto 5. Determinar o valor de m para que o vetor → a = (1,2,m) seja simultaneamente ortogonal → → aos vetores b = (2,–1,0) e c = (1,–3,–1). → 6. Dados os vetores e w = (–3a, x, y), → → → determinar x e y para que v × w = 0 . . 7. Verificar se são coplanares os seguintes vetores: → → → a) u = (3,–1,2), v = (1,2,1) e w = (–2,3,4) → → → b) u = (2, –1, 0), v = (3, 1, 2) e w = (7, -1, 2) 8. Verificar se são coplanares os pontos: a) A(1,1,1), B(–2,–1,–3), C(0,2,–2) e D(–1,O, –2) b) A(1,0,2), B(–1,0,3), C(2,4,1) e D(–1,–2,2) c) A(2, 1,3), B(3, 2, 4), C(–1,–1,–1) e D(0,1,–1) Assim, o volume V do paralelepípedo é V = (área da base) . (altura) = 9. Para que valor de m os pontos A(m,1,2), B(2,–2,–3), C(5,–1,1) e D(3,–2,–2) são coplanares? 10. Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares: que é o módulo do pro→ → → → duto misto entre u , v e w. Portanto, que → → a) a = (2,-1,k), b = (1, 0, 2) e c = (k,3,k) → → → → → b) a = (2,1, 0), b = (1, 1, –3) e c = (k, 1, -k) completa a prova. → c) a = (2,k, 1), b = (1,2,k) e c = (3,0,-3) → → 11. Sejam os vetores u = (1, 1, 0), v = (2, 0, 1), → → → → → → → → → → w1 = 3u – 2v , w2 = u + 3v e w3 = i + j – 2 k . Determinar o volume do paralelepípedo → → → definido por w1, w2 e w3. → → 1. Dados os vetores a = (1, 2,1) e b = (2,1, 0), calcular: → → → a) 2a x (a + b ) → → → → b) (a + 2 b ) x (a – 2 b ) 57 UNIDADE V Retas e planos Álgebra Linear I – Retas e Planos Observe que para se obter a equação vetorial da reta r, é de fundamental importância um ponto e um vetor diretor da reta na direção dessa reta. TEMA 13 RETAS E PLANOS – EQUAÇÃO DA RETA E DO PLANO Dessa forma, podemos escrever a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto P(x0,y0,z0) → e tem como o vetor diretor o vetor v = (a,b,c) → por = + λv , λ∈IR. 13.1 Equação vetorial da reta Um dos postulados da geometria euclidiana diz que dois pontos diferentes A e B determinam uma única reta. Seja r esta reta. → Sendo P(x0,y0,z0) e v = (a,b,c) conhecidos, podemos escrever tal equação na forma (x,y,z) = (x0,y0,z0) + λ . (a,b,c) onde λ∈IR. 13.1.1 Exemplos Exemplo 1 Diremos que um ponto P pertence à reta r se, e somente se, os vetores e são colineares. Sendo A e B diferentes, temos que o vetor é diferente do vetor nulo; dessa forma, existirá um número real λ tal que = λ . Determine a equação vetorial da reta r que passa pelos pontos A(2,3,4) e B(–1,5,7). Solução: Dessa forma, temos que o ponto P pertence à reta r se, e somente se, = + . Como = λ , temos que = + λ . Sabemos que a equação vetorial da reta que passa por dois pontos A e B é dada por = + λ , sendo o vetor o vetor diretor da reta r. De modo geral, podemos concluir que todo ponto X pertencente a reta r satisfaz a equação dada por = + λ onde λ ∈ IR. Dessa forma, podemos escrever tal equação na forma (x,y,z) = (x1,y1,z1) + λ . (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1 ) Pondo x1 = 2, y1 = 3, z1 = 4 e x2 = –1, y2 = 5, z2 = 7 temos que (x,y,z) = (2,3,4) + λ . (–1 – 2, 5 – 3, 7 – 4) (x,y,z) = (2,3,4) + λ . (–3, 2, 3) E, portanto, essa é a equação vetorial da reta r que passa pelos pontos A(2,3,4) e B(–1,5,7). Exemplo 2 Verifique se o ponto Q(2,–1,3) pertence à equação da vetorial da reta t, cuja equação é dada por (x,y,z) = (–4,3,0) + λ . (–3,–4,3) onde λ∈IR Tal equação é denominada equação vetorial da reta r. Solução: O vetor é chamado vetor diretor da reta r, e λ é denominado parâmetro. Caso o ponto Q(2,–1,3) venha a pentencer à reta t, o ponto terá que satisfazer a equação da reta definida no exercício por Se fixarmos um sistema de coordenadas do espaço e sendo A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2) conhecidos, temos que a equação vetorial da reta pode ser dada sob a forma: (x,y,z) = (–4,3,0) + λ . (–3,–4,3) Sendo assim, ponha x = 2, y = –1 e z = 3 na equação dada (x,y,z) = (x1,y1,z1) + λ . (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) (2,–1,3) = (–4,3,0) + λ . (–3,–4,3) 61 UEA – Licenciatura em Matemática (2,–1,3) = (–4 – 3λ, 3 – 4λ, 3λ) 2 = –4 – 3λ ⇒ λ = –2 –1 = 3 – 4λ ⇒ λ = 1 3 = 3λ ⇒ λ = 1 Tais equações são denominadas equações paramétricas da retas r. Então, concluímos 1 = –2 o que é absurdo, logo o ponto Q(2,–1,3) não pertence à reta t. Se abc ≠ 0 nas equações acima, eliminando λ em cada uma das equações, obtemos Exemplo 3 Determine a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto P(2,–4,0) e possui como o vetor → diretor o vetor v = (–5,6,2). Tais equações são denominadas equações simétricas da reta r. Solução: Sabemos que a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto P(x0,y0,z0) e tem como o vetor → diretor o vetor v = (a,b,c) é dada por Obsservações: 1. Se a = 0, b ≠ 0 e c ≠ 0, ficamos com as (x,y,z) = (x0,y0,z0) + λ.(a,b,c) onde λ ∈ IR. equações e fica → Sendo dado P(2,–4,0) e v = (–5,6,2), temos que a equação vetorial será (x,y,z) = (2,–4,0) + λ . (–5,6,2) onde λ ∈ IR. claro que reta r está contida num plano paralelo ao plano yz dado pór x = x0. 1. Determine a equação vetorial da reta que passa pelos pontos A(1,2,5) e B(–5,5,7). 2. Determine a equação vetorial da reta que passa pelos pontos A(1,0,5) e B(0,–5,7). 2. Se a = 0, b = 0 e c ≠ 0, ficamos com as equações r: x = x0, y = y0 3. Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto P(1,2,–2) e tem a direção do → vetor v = (2,–4,–3). 4. Verifique se o ponto Q(4,–2,3) pertence à reta de equação vetorial dada por (x,y,z) = (3,–4,2) + λ . (–5,6,3) onde λ∈IR. 13.2 Equações paramétricas e simétricas da reta Fixado um sistema de coordenadas, sejam → P(x0,y0,z0) um ponto da reta e v = (a,b,c) um vetor diretor desta reta. Sabemos que a equação vetorial da reta r, determinada por P e → v é dada por: 3. Faça as análises dos demais casos como exercícios, os quais são: (x,y,z) = (x0,y0,z0) + λ . (a,b,c) onde λ∈IR, que é equivalaente ao sistema dado por i) Somente b = 0 62 Álgebra Linear I – Retas e Planos ii) Somente c = 0 Exemplo 2 iii) Somente a ≠ 0 Verifique se o ponto A(–1, 0, 2) pertence às iv) Somente b ≠ 0 retas: a) r: (x,y,z) = (–7,–3,–7) + λ .(2,1,3); λ∈IR 13.2.1 Exemplos Exemplo 1 b) Determine a equação da reta r nas formas paramétricas e simétricas, nos casos abaixo: c) a) Que passa pelos pontos A(3,–1,1) e B(2,1,2). Solução: b) Que passa pelo ponto A(3,–1,2) e tem a → direção do vetor v = (2,–4,–3). a) O ponto A(–1,0,2) ∈r ⇔ ∃λ0 ∈IR tal que (–1,0,2) = (–7,–1,–7) + λ0 .(2,1,3) Solução: (–1,0,2) – (–7,–3,–7) = λ0 .(2,1,3) a) Sendo os pontos A(3,–1,1) e B(2,1,2) diferentes, temos que a equação vetorial da reta que passa por eles é dada por (6,3,9) = λ0 .(2,1,3) ⇒ λ0 = 3 torna a igualdade verdadeira, e portanto, (x,y,z) = (3,–1,1) + λ .(1,–2,–1) concluímos que o ponto A(–1,0,2) pertence onde λ∈IR. à reta r. b) O ponto A(–1,0,2) ∈r ⇔ ∃λ0 ∈IR tal que Dessa forma, teremos que as paramétricas da reta são Na equação (i) 1 = 3 + 2λ0temos que λ0= –1 e na equação (ii) 0 = –1 – 4λ0 temos que De onde concluímos que as equações simétricas da reta r, são dadas por , o que é impossível. Portanto A(–1,0,2) ∉r. c) Aplicando o ponto A(–1,0,2) na equação b) A equação vetorial da reta que passa pelo ponto A(3, –1, 2) tem a direção do vetor → v = (2, –4, –3), é dada por: teremos , o que é impos- (x,y,z) = (3,–1,2) + λ .(2,–4,–3), onde λ∈IR. sível. Portanto A(–1,0,2)∉r. Dessa forma, teremos que as paramétricas da reta são 1. Determine a equação da reta r, nas formas paramétricas e simétricas, nos seguintes casos: De onde concluímos que as equações simétricas da reta r, são dadas por a) Que passa pelos pontos A(4,5,1) e B(2,–1,2). b) Que passa pelo ponto A(–3,1,–2) tem a → direção do vetor v = (2,4,–3). 63 UEA – Licenciatura em Matemática 2. Determine a equação da reta r, nas formas paramétricas e simétricas, nos seguintes casos: a) Que passa pelo ponto A(6,–1,3) e tem a di→ reção do vetor v = (2,4,3). b) Que passa pelo ponto A(0,–1,2) e tem a di→ reção do vetor v = (0,–4,–3). c) Que passa pelo ponto A(3,0,0) e tem a di→ reção do vetor v = (2,0,–3). d) Que passa pelo ponto A(3,–1,2) e tem a di→ reção do vetor v = (2,–4,0). 3. Escreva a equação da reta na forma vetorial, sabendo-se que Observe que . = λ = 4. Escreva a equação da reta na forma vetorial, + β + λ = + e sendo , temos que: + β , onde λ, β∈IR A equação = + λ + β , onde λ, β∈IR recebe o nome de equação vetorial do plano. sabendo-se que Uma vez fixado um sistema de coordenadas do espaço e sendo A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) e C(x3,y3,z3), temos que a equação vetorial do plano pode ser escrita ne forma 13.3 Equações vetoriais e paramétricas do plano (x,y,z) = (x1,y1,z1) + λ(x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) + Um dos postulados da geometria euclidiana diz que três pontos diferentes A, B e C e não-colineares determinam um único plano, digamos α. A equação vetorial do plano escrita na forma + β(x3 – x1, y3 – y1, z3 – z1), λ, β∈IR acima equivale ao sistema dado por: As equações definidas pelo sistema denomi- Queremos encontrar as relações que as coordenadas (x, y, z) de um ponto P devem satisfazer para que P pertença ao plano α. nam-se equações paramétricas do plano α. Exemplo: Determine as equações vetoriais e paramétri- Sendo A, B e C não-colineares, temos que os vetore e são linearmente independente. cas do plano α determinado pelos pontos A(2,1,–1), B(3,5,–6) e C(0,2,–4). Solução: Sabemos que a equação vetorial e paramétricas do plano α que passa pelos pontos A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) e C(x3,y3,z3) são respecti- Dessa forma, temos que um ponto X∈α se, e somente se, os vetores , e são linearmente dependentes, ou seja, existem escalares λ e β reais tais que = λ + β . vamente: (x,y,z) = (x1,y1,z1) + λ(x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) + + β(x3 – x1, y3 – y1, z3 – z1) e 64 Álgebra Linear I – Retas e Planos Solução: → → Sendo u (2,–1,3), v = (0,–3,3) vetores paralelos ao plano α, o qual passa pelo ponto P(1,–1,2), pelas equações acima definidas, temos que Sendo assim, temos que α : (x,y,z) = (1, –1, 2) + λ(2,–1,3) + β(0,–3,3) A(2,1,–1), B(3,5,–6) e C(0,2,–4), logo e α : (x,y,z) = (2, 1 – 1) + λ(1,4, – 5) + β(–2,1, – 3) onde λ, β∈IR. e Exemplo 2 Dessa forma, observamos que o plano α fica Dê uma equação vetorial do plano β, dado a seguir por: perfeitamente determinedo por dois vetores L.I, que, no caso anterior, são os vetores e e um ponto deste plano. Dessa forma, a equação vetorial de um plano α que passa pelo ponto P0 e é paralelo aos → → → → vetores L.I u e v , é dado por X = P0 + λ u + βv Solução: onde λ,β∈IR. Onde para cada X pertencente Sendo dadas as equações paramétricas acima do plano α, temos que os vetores paralelos ao → → plano são u (2,–1,3), v = (3,3,1) e que passa pelo ponto P(3,–1,6). ao plano, tem-se que o par (λ,β) é único. Sendo assim, a equação vetorial é dada por α: (x,y,z) = (3,–1,6) + λ(2,–1,3) + β(3,3,1) onde λ, β∈IR. Se, no sistema de coordenadas fixado, os ve→ 1. Determine a equação vetorial e as paramétricas do plano α determinado pelos pontos A(–2,0,–1), B(3,–1,–2) e C(0,2,–4). → tores u (a,b,c) e v = (d,e,f) são L.I e paralelos ao plano α e o ponto P(x0,y0,z0)∈α, então podemos escrever a equação vetorial e as equações paramétricas plano na forma 2. Dê uma equação vetorial do plano β, sendo ele dado parametricamente pela equações (x,y,z) = (x0,y0,z0) + λ(a,b,c)+ β(d,e,f), λ, β∈IR e . Exemplo 1 3. Determine a equação vetorial e as paramétricas do plano β, que passa pelo ponto → P(0,1,–1) e é paralelo aos vetores u (2,–4,5) e → v = (–2,3,0). Determine as equações paramétricas e vetorial → do plano α paralelo aos vetores u (2,–1,3), → v = (0,–3,3) e que passa pelo ponto P(1,–1,2). 65 UEA – Licenciatura em Matemática 13.4 Equação geral do plano Solução: → Seja α um plano determinado pelo ponto → → P(x0,y0,z0) e pelos vetores L.I u e v . Diremos que um ponto X(x,y,z) qualquer pertence ao plano → → α se, e somente se a equação [ , u ,v ] = 0 ou → → seja (u × v ) . = 0. → → Sejam u = (2,–4,5) e v = (–2,3,0) e dois vetores L.I paralelos ao plano β. Para fazermos uso → → da equação (u × v ) . = 0, faz-se necessário → → determinar u × v . Logo → Sendo u . v = (a,b,c), podemos escrever a → → equação [ , u ,v ] = 0 na forma (a,b,c) . (x – x0, y – y0, z – z0) = 0 a(x – x0) + b(y – y0)+ c(z – z0) = 0 → a . x – a.x0 + b . y – b . y0 + c . z – c . z0 = 0 Sendo = (x,y – 1, z + 1) onde P(0,1,–1) e X(x,y,z)∈β qualquer, temos: a . x + b . y + c . z – a . x0 – b . y0 – c . z0 = 0 a.x + b.y + c.z – (a . x0 + b . y0 – c . z0)= 0 → e, portanto, u × v = (–15,–10,1). (I) → → (u × v ) . Tomando d = –(a . x0 + b . y0 + c . z0) = 0 na equação (I) teremos = (–15,–10,1).(x, y – 1, z + 1) = 0 –15 x – 10y + 10 + z + 1 = 0 –15x – 10y + z + 11 = 0 a . x + b . y + c . z + d = 0 (II) A equação (II) é denominada de equação geral do plano. Portanto a equação do plano é Exemplo 1 A equação (u × v ) . = 0 diz-nos que o vetor → → u × v é ortogonal a qualquer vetor do plano ou paralelo ao plano. 15x + 10y – z – 11 = 0 → Determine a equação geral do plano β, que passa pelos pontos A(2,1,–1), B(3,5,–6) e C(0,2,–4). → Solução: Em primeiro lugar, vamos determinar em β dois → → vetores L.I u e v , paralelos ao plano β. → → → Sejam u = ev , ou seja, u = (1,4,–5) e → v = (–2,1,–3). Para fazermos uso da equação → → (u × v ) . = 0, faz-se necessário determinar → → u × v . Logo → Dessa forma, se α é um plano que passa pelo → pontro P(x0,y0,z0) e n = (a,b,c) um vetor não→ nulo. Diremos que o vetor n é normal ao plano → α se, e somente se, . n = 0 para todo X(x,y,z) percente ao plano α. → e portanto u × v = (–7,13,9). Sendo = (x – 2, y – 1, z + 1) onde P = A e X(x,y,z)∈β qualquer temos: → → (u × v ) . = (–7,13,9).(x – 2, y – 1, z + 1) = 0 –7x + 12 + 13y – 19 + 19z + 9 = 0 –7x + 13y + 9z + 2 = 0 Portanto a equação do plano é –7x + 13y + 9z + 2 = 0 Exemplo 2 Determine a equação geral do plano β, que passa pelo ponto P(0,1,–1) e é paralelo aos → → vetores u = (2,–4,5) e v = (–2,3,0). → Nesse caso, vamos descrever o vetor normal n → ao plano α por nα. 66 Álgebra Linear I – Retas e Planos 2 . x + 5 . y + 3 . z – 10 = 0. Determine o valor de k real, para que o ponto (k + 1, k, k – 2) pertença ao plano β . A equação geral do plano pode ser determina→ da pela equação . nα = 0, onde P(x0,y0,z0) é → um ponto do plano α, nα é um vetor normal ao plano e X(x,y,z) é um ponto qualquer do plano. Sendo assim, temos: Solução: Para determinar o valor de k, basta substituir o ponto (k + 1, k, k – 2) na eqauação do plano dada. Sendo assim, temos: (a,b,c) . (x – x0, y – y0, z – z0) = 0 a(x – x0) + b(y – y0)+ c(z – z0) = 0 2(k + 1) + 5. k + 3 (k – 2) – 10 = 0 a . x – a.x0 + b . y – b . y0 + c . z – c . z0 = 0 2k + 2 + 5k + 3k – 6 – 10 = 0 a . x + b . y + c . z – a . x0 – b . y0 – c . z0 = 0 10 . k – 14 = 0 a.x + b.y + c.z – (a . x0 + b . y0 – c . z0) = 0 ⇒ a.x+ b.y+ c.z+ d= 0 onde d = –(a . x0 + b . y0 + c . z0 ) Logo, Observe que, dada a equação geral do plano α . Exemplo 3: a . x + b . y + c . z + d = 0, tem-se que o vetor → normal nα do plano pode ser facilmente encon→ trado, pois as coordenadas do vetor normal nα são os coeficientes de x,y e z. Determine o ponto do plano β cuja equação é 2 . x – 4 . y + 8 . z – 5 = 0, que tem abscissa 2 e ordenada –1. Solução: Exemplo 1: Substituindo x = 2 e y = –1 na equação 2 . x – 4 . y + 8 . z – 5 = 0, vamos determinar o valor de z. Determine a equação geral do plano α que → passa pelo ponto P(3,–1,3), sendo n = (2,5,3) um vetor normal ao plano α. 2 . 2 – 4 . (–1) + 8 . z – 5 = 0 Solução: 4+ 4+ 8.z–5= 0 → Seja n = (2,5,3)um vetor normal ao plano α e P(3,–1,3) um ponto fixo desse plano. 3+ 8.z= 0 . Dessa forma, Exemplo 4: → Sabe-se que o vetor n = (2,0,–5) é normal ao plano π, que passa pelos pontos A(k,2,–1) e B(0,–2,2k). Determine o valor de k. Solução: → Sendo o vetor n = (2,0,–5) normal ao plano π, temos que a equação do plano é dada por: Dessa forma, temos que a equação do plano é do tipo 2 . x + 5 . y + 3 . z + d = 0 2.x+ 0.y–5.z+ d = 0 Para determinar o valor de d, basta substituir o P(3,–1,3) na equação do plano. Logo,teremos: Como os pontos A(k,2,–1) e B(0,–2,2k) pertencem ao ao plano π, tem-se 2 . 3 + 5 (–1) + 3 . 3 + d = 0 ⇒ d = –10 2 . k – 5 . (–1)+ d = 0 ⇒ d = –2 . k – 5 (I) Logo a equação do plano α é: 2 . 0 – 5 . 2k + d = 0 ⇒ d = 10 . k (II) 2 . x + 5 . y + 3 . z – 10 = 0 Fazendo (I) = (II), temos: 2.x–5.z+ d = 0 Exemplo 2: – 2 . K – 5 = 10 . k ⇒ Seja β um plano definido pela equação 67 UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 14 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS, PLANOS, RETAS E PLANOS 1. Determine a equação vetorial e as paramétricas do plano α determinado pelos pontos A(2,3,–2), B(3,–5,6) e C(2,2,4). Fazendo uso da geometria euclidiana, vamos investigar as posições relativa entre retas, planos, retas e planos. E em seguida, vamos determinar condições vetorias para tratar tais posições. 2. Dê uma equação vetorial do plano β, dado na forma paramétrica a seguir: 14.1 Posições relativas entre duas retas Diremos que duas retas r e s são concorrentes se, e somente se, elas têm um único ponto em comum. 3. Determine a equação geral do plano β, que passa pelos pontos A(2,–1,–1), B(–3,–5,6) e C(0,2,–4). 4. Determine a equação geral do plano β, que passa pelo ponto P(–2,1,1) e é paralelo aos veto→ → res u = (–2,4,–5) e v = (–2,3,3). 5. Determine a equação geral do plano α que → passa pelo ponto P(3,2,3), sendo n (2,–5,2) um vetor normal ao plano α. Diremos que duas retas r e s são paralelas, se e somente se, elas são coincidentes ou elas são coplanares e não têm pontos em comum. 1.° caso 6. Seja β um plano definido pela equação 2 . x – 2 . y – 3 . z – 10 = 0. Determine o valor de k real, para que o ponto (k–1,k,k–2) pertença ao plano β. Notação: r = s ⇒ r // s 2.° caso 7. Determine o ponto do plano β cuja equação é 2 . x + 3 . y – 2 . z + 5 = 0, que tem abscissa 2 e ordenada 3. 8. Determine o ponto do plano β cuja equação é 2 . x + 3 . y – 2 . z + 5 = 0, que tem abscissa 2 e cota igual a 4. Notação: r ⊂ α, s ⊂ α e r ∩ s = ∅ ⇒ r //s Diremos que duas retas r e s são reversas se, e somente se, não existe plano que as contenha. 9. Determine a equação geral do plano α que passa pelos pontos P(3,2,3) e Q(–1,2,0)é pa→ ralelo ao vetor u = (2,–4,5). Notação: r e s são reversas ⇔ r∩s= ∅ 68 α; r, s ⊂ α e Álgebra Linear I – Retas e Planos 14.2 Posições relativas entre dois planos 2. Sendo α: x+ (k + 2) . y – (k – 2)z – 10 = 0 e β : x – y + z – 2 = 0 planos paralelos, determine o valor de k. As posições relativas de dois planos, digamos α e β, podem ser de três formas. 1. Planos coincidentes: 3. Determine a equação do plano α que passa pelo ponto A(–1,2,0) e é paralelo ao plano β, cuja equação é dada por 2 . x – y + z – 3 = 0. α∩β= α= β 4. Determine a equação geral do plano α que passa por P(–2,1,3) e é paralelo ao plano β determinado pelos pontos A(–2,3,0), B(0,3,–1) e C(–2,0,–1). 2. Planos paralelos distintos: 5. Determine a equação do plano α, que passa pelo ponto A(3,–1,1) e é paralelo ao plano β de equação x + y – 2 . z + 1 = 0. α∩β= ∅ Dois planos são paralelos se, e somente se, eles não têm ponto comum ou são iguais (coincidentes). 14.3 Posições relativas entre uma reta e um plano 3. Planos secantes São três as posições relativas entre uma reta e um plano: Neste caso, diremos que os plano possuem uma reta em comum. 1. A reta está contida no plano. Ou seja, dois pontos distintos da reta, digamos A e B, também são pontos do plano. r⊂α ⇔ r∩α= r α∩β= i 2. A reta e o plano são concorrentes ou a reta e o plano são secantes. 1. Verifique se os pares de planos abaixo são paralelos coincidentes ou distintos. a) b) c) r ∩ α = { P} 69 UEA – Licenciatura em Matemática Observe que, pelo fato de os vetores normais → → nα e nβ serem paralelos, isso emplica que o con→ → junto formado por nα e nβ são L.D. Logo, existe → → λ∈IR tal que nα = λ . nβ . 3. A reta e um plano são paralelos. Como já foi visto na geometria espacial, dois planos podem ser paralelos distintos ou coincidentes. O procedimento para se verificar se dois planos são paralelos ou coincidentes é bastante simplis. r // α ⇔ r ∩ α = ∅ Tome um ponto P(x0,y0,z0) qualquer em um dos dois planos, digamos em α. Se tal ponto satisfizer a equação do outro plano, então os dois planos são paralelos coincidentes. Caso contrário, os planos serão paralelos distintos. Vamos, a partir de agora, dar um tratamento vetorial para as posições relativas entre retas, planos, reta e plano. 14.4 Condições de paralelismo e de perpendicularismo de dois plano Se α : a1.x + b1 . y + c1 .z + d1 = 0 e β : a2 . x + b2 . y + c2 . z + d2 = 0 são dois planos paralelos como a1.b1.c1 ≠ 0 e a2.b2.c2 ≠ 0. Diremos que o plano α é paralelo ao plano β Sejam dois planos α : a1.x + b1 . y+ c1 .z + d1 = 0 e β : a2.x + b2 . y+ c2 .z + d2 = 0, cujos vetores normais aos planos α e β são respectivamente → → nα = (a1,b 1,c 1) e nβ = (a2,b 2,c 2). se, e semonte se, Diremos que os planos α e β são paralelos se, → → e somente se, os vetores normais nα e nβ são paralelos. Se Temos dois casos a considerar: . diremos que os planos são coincidentes; caso contrário, são distintos. 1.° caso Exemplo 1: Verifique se os pares de planos abaixo são paralelos coincidentes ou distintos. a) b) Solução: a) Temos que os vetores normais dos planos → → são nα = (2,3,–5) e nβ = (–4,–6,10), dessa forma, temos que Paralelos distintos 2.° caso . Por isso, concluímos que os planos são paralelos. Temos que o ponto (0,0,0)∈α, mas não pertence a β. Logo, os planos são paralelos distintos. b) Temos que os vetores normais dos planos → → são nα = (5,3,–2) e nβ = (–4,2,10); dessa forma, temos que Paralelos coincidentes 70 . Álgebra Linear I – Retas e Planos Para determinar o valor de d, basta substituir o ponto A(,2,–1) na equação 2.x – 4.y + z + d = 0. Dessa forma, temos: Por isso, concluímos que os planos não são paralelos. Exemplo 2: 2.1 – 4.2 – 1 + d = 0 ⇒ d = 7 Sendo α: 4.x + (k + 2) . y – 10 . z – 10 = 0 e β: 2 . x – 4 . y + 8 . z – 5 = 0 planos paralelos, determine o valor de k. Logo, a equação do plano α é 2.x–4.y+ z+ 7= 0 Solução: Exemplo 2: Temos que os vetores normais dos planos são → → nα = (4,k + 2,–10) e nβ = (2,–4,–5), e que os planos são paralelos. Logo, Determine a equação geral do plano α que passa por P(–2,1,3) e é paralelo ao plano β determinado pelos pontos A(2,3,2), B(3,3,6) e C(2,2,4). Solução: ⇒ k = –10 O vetor normal do plano β será dado por Sendo α: a . x + b . y + c . z + d = 0 e β dois planos paralelos, cujos vetores normais aos → planos α e β são respectivamentes nα = (a,b,c) → e nβ. Sendo assim, temos que existe λ∈IR tal → → que nβ = λ . nα. → nβ = Vamos mostrar que a equação do plano β é do tipo a . x + b . y + c . z + D = 0. Para isso, vamos supor que a equação do plano β é do tipo β : a2 . x + b2 . y + c2 . z + d2 = 0. → . Logo Sendo o plano α paralelo ao plano β, temos → → que nα = nβ. Logo, teremos a equação do plano α como sendo 4. x – 2 . y – z + d = 0. → Logo nβ = λ . nα ⇒ a2 = λ . a, b2 = λ . b e c 2 = λ.c . Para determinar o valor de d, basta substituir o ponto P(–2,1,3) na equação 4.x–2.y–z+ d = 0. Dessa forma, temos: Dessa forma, substituindo as equações a2 = λ . a, b2 = λ . b e c 2 = λ.c × em 4.(–2) – 2 . 1 – 3 + d = 0 ⇒ d = 13. β : a2 . x + b2 . y + c2 . z + d2 = 0 teremos Logo, a equação do plano α é 4.x–2.y–z+ 13 = 0 λ . a . x + λ . b . y + λ . c . z + d2 = 0 ⇒ Exemplo 3: , tomando Determine a equação do plano α, que passa pelo ponto A(3,1,0) e é paralelo ao plano β de equação 2 . x + 3 . y – 8.z + 1 = 0. temos a equação procurada: a.x+ b.y+ c.z+ D = 0 Solução: Exemplo 1: Sendo os planos α e β paralelos, podemos tomar o vetor normal ao plano α como sendo o vetor normal do plano β. Dessa forma, temos que o plano α é dado por: 2 . x + 3 . y – 8.z + d = 0. Determine a equação do plano α que passa pelo ponto A(1,2,–1) e é paralelo ao plano β, cuja equação é dada por 2.x – 4 . y + z – 5 = 0. Solução: Como o ponto A(3,1,0) ∈α, temos como determinar o valor de d. Logo, substituindo o ponto na equação, temos 2 . 3 + 3 . 1 – 8.0 + d = 0 ⇒ d = –9 Queremos determinar a equação do plano α que passa pelo ponto A(1,2,–1) e é paralelo ao plano β dada pela equação 2.x – 4.y + z – 5 = 0. → Sendo nβ = (2,–4,1) o vetor normal a β, pode→ → mos tomar nα = nβ. Logo, teremos a equação do plano α como sendo 2.x – 4.y + z + d = 0. Portanto a equação do plano α é dada por: 2.x+ 3.y–8.z–9= 0 71 UEA – Licenciatura em Matemática Sejam dois planos α : a1.x + b1 . y + c1 .z + d1 = 0 e β : a2 . x + b2 . y + c2 . z + d2 = 0, cujos vetores normais aos planos α e β são respectivamente → → nα = (a1,b 1,c1) e nβ = (a2,b 2,c2). Diremos que os planos α e β são perpendicu→ lares se, e somente se, os vetores normais nα e → → → nβ são perpendiculares, ou seja nα . nβ = 0. Assim, concluímos que os planos são paralelos. Para verificar se os planos são diferentes ou coincidendes, basta usar o procedimento usado na resolução anterior do item (a). Notação: → → α ⊥ β ⇔ nα . nβ = 0 Exemplo: b) Vamos usar a observação acima para verificar a posição entre os planos. Estude a posição relativa dos planos: a) β: 2 . x + 2 . y + z – 5 = 0 e Sendo α: 4 . x + 4 . y + 2 . z – 50 = 0 → e nβ= (2,–2,4) os b) β: 2 . x – 2 . y + 4.z – 5 = 0 vetores normais de α e β, vamos calcular o produto vetorial entre os vetores normais. e Dessa forma, temos: Solução: → → a) Sendo nα = (4,4,2) e nβ= (2,2,1) e os vetores normais ao plano α e β, temos: → → nα × nβ= (21,– 7,– 15) ≠ (0,0,0,) . Por isso, concluímos que os Logo, os planos não são paralelos.Vamos verificar se os planos são perpendiculares. planos são paralelos. Vamos verificar se são paralelos distintos ou coincidentes. Para isso, basta tomar um ponto em um dos planos e verificar se tal ponto satisfaz ou não a equação do outro plano. Para isso, vamos verificar o resultado do produto interno entre os vetores normais: Sendo (0,0,5) um ponto do plano β, temos que tal ponto não satisfaz a equação do plano α. Logo, os planos são paralelos distintos. Assim, concluímos que os vetores são perpendiculares. 14.5 Posições relativas entre reta e plano Observação: As posições de uma reta r e um plano π, sendo → v o vetor diretor da reta r e nπ o vetor normal do plano π. → r Uma outra forma de verificar se dois planos são paralelos é calcular o produto vetorial entre os vetores normais . a) r é paralela a π(r//π ) Diremos que os planos α e β são paralelos se, → → → e somente se, nα × nβ = 0 . Vamos resolver o exemplo anterior, fazendo uso dessa observação. Solução: → → a) Sendo nα = (4,4,2) e nβ= (2,2,1) os vetores normais de α e β, vamos calcular o produto vetorial entre os vetores normais. 72 Álgebra Linear I – Retas e Planos → → gamos A(2,4,1), e substitua na equação do plano r//π ⇔ vr . nπ = 0 b) r contida em π (r ⊂ π) π : 3x + 2y – 5z + 9 = 0. Logo, 3 . 2 + 2 . 4 – 5 . 1 + 9 ≠ 0, de onde concluímos que a reta e o plano são paralelos disjuntos. → b) Seja nπ = (3,2,–5) o vetor normal ao plano π → e vr = (3,–5,5) o vetor direto da reta r. → → → Calculando vr . nα, temos que: → r//π ⇔ vr . nπ = 0 com A ∈ π, onde A∈r → r → v . nα = 3 . 3 + 2.(–5) + (–5).5 ≠ 0, de onde concluímos que a reta e o plano são secantes. Para determinar o ponto P tal que r ∩ π = { P} , basta proceder do seguinte modo: c) r e π concorrentes (secantes) Para um certo λ0∈IR tem-se P(x0,y0,z0), onde ao substituir na equação do → → r ∩ π = { P} ⇔ vr . nπ ≠ 0 plano π: 3x + 2y – 5z + 4 = 0 vamos determinar o valor de λ0 . Dessa forma, teremos: Exemplo: 3.(–1 + 3λ0) + 2.(2 – 5λ0) – 5.(4 + 5λ0) + 4 = 0 Estudar a posição relativa entre os pares de retas e planos abaixo: –3 + 9λ0 + 4 – 10λ0 – 20 – 25λ0 + 4 = 0 a) π: 3x + 2y – 5z + 9 = 0 Sendo o ponto . e b) π: 3x + 2y – 5z + 4 = 0 e 1. Estudar a posição relativa entre os pares de reta e plano abaixo: a) π : x + y – z + 2 = 0 Solução: → a) Seja nπ = (3,2,–5) o vetor normal ao plano π e o vetor direto da reta r. e b) π : x + y – z + 4 = 0 → r → α Calculando v . n , temos que: e Assim, concluímos que a reta e o plano são paralelos. Para verificar se a reta r ⊂ π ou se r//π com r ∩ π = ∅, basta proceder do seguinte modo: Tome um ponto qualquer dq da reta r, di- 2. Estudar a posição relativa entre a reta e plano, definidos por 73 UEA – Licenciatura em Matemática 14.6 Posições relativas entre retas → → Caso [ ,vr,vs] ≠ 0, diremos que as retas são não-coplanares, ou seja, as reta são reversas. A posição relativa entre duas retas quaisquer r e s são: Sendo elas coplanares, diremos que são: a) Concorrentes se, e somente se, elas têm um único ponto em comum. → → a) concorrentes se, e somente se, vr × vs ≠ 0 → → b) paralelas, se e somente se, vr × vs = 0. Daí, dois casos a considerar: b) Paralelas, se e somente se, elas são coincidentes ou elas são coplanares e não têm pontos em comum. 1.° caso: 1.° caso: Paralelas coincidentes se, e somente se, para todo ponto P ∈ r tem-se P ∈ s. Notação: r = s ⇒ r//s r = s ⇒ r//s 2.° caso: 2.° caso: Paralelas diferentes se, e somente se, dado um ponto P ∈ r tem-se P ∉ r. Notação: r ⊂ α, s ⊂ α e r ∩ s = ∅ ⇒ r//s r ⊂ α, s ⊂ α e r ∩ s = ∅ ⇒ r//s b) Reversas se, e somente se, não existe plano que as contenha. Exemplo: Verifique a posição relativa entre as retas dadas: e Notação: r e s são reversas ⇔ e r∩s= ∅ α; r, s ⊂ α Solução: Observe que, nas letras (a) e (b), temos que as retas são coplanares. → → Sendo vr = (–2,3,–6), vs = (6,–9,18) os vetores diretores das retas r e s respectivamente, vamos → → calcular vr × vs . Calculando Vamos estabelecer, a seguir, condições para identificar se duas retas são coplanares ou não. Sejam r e s duas retas, cujos vetores diretores → → são, respctivamente, vr e vs. Se o ponto A ∈ r e B ∈ s, diremos que tais retas são coplanares → → se, e somente se, [ ,vr,vs] = 0. 74 Álgebra Linear I – Retas e Planos Daí, concluímos que as retas são paralelas. Resta saber se são paralelas coincidentes ou paralelas distintas. Para isso, tome um ponto A(2,3,4) ∈ r. TEMA 15 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS, PONTO E RETA Se tal ponto for um ponto da reta s, diremos que as retas são paralelas coincidentes; caso contrário, serão paralelas distintas. 15.1 Distância entre dois pontos Vamos definir a distância entre dois pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2), a qual vamos nomenclaturar por d pelo norma do vetor , isto é: Substitua o ponto A(2,3,4) na equação da reta s dada por . e, portanto, Fazendo as contas, teremos: Assim, concluímos que são paralelas diferentes. Observação: Diremos que duas retas r e s cujos vetores di→ → retores são vr e vs são ortogonais se, e somente → → se, vr . vs = 0, ou seja, basta verificar se os vetores diretores são ortogonais. Exemplo: Calcular a distância entre os pontos A(3,0,–2) e B(2,–4,2). Solução: Para determinar a distância entre os pontos A(3,0,–2) e B(2,–4,2), basta encontrar o vetor e calcular a sua norma, isto é: Verifique a posição relativas entre as retas dadas: a) b) c) Determinando o vetor , temos: = (–1,–4,4). Dessa forma, temos que o valor da distância e e e 1. Mostrar que o ponto P(2,2,3) é eqüidistante dos postos A(1,4,–2) e B(3,7,5). d) e 2. Seja o triângulo ABC de vértices A(–3,1,4), B(–3,1,2) e C(2,1,6). Determine o perímetro deste triângulo. 75 UEA – Licenciatura em Matemática 15.2 Distância entre ponto e reta Sendo assim, podemos determinar a distância Seja r uma reta definida por um ponto A(x1,y1,z1) → e pelo vetor diretor vr = (a,b,c). Seja P(x0,y0,z0) um ponto qualquer IR3. Dessa forma, queremos determinar a distância d do ponto à reta. d, por Temos dois casos a considerar: De modo geral, a distância d entre o ponto P e 1.° caso: Se o ponto pertence à reta onde A é uma reta r é dada por → um ponto da reta r cujo vetor diretor é vr . Exemplo: Calcule a distância entre o ponto P(2,1,–1) e a reta s de equação dada por: Solução: Nesse caso, teríamos que a distância d do ponto à reta seria d = 0 Sabemos que a distância entre o ponto P e uma reta r é dada por 2.° caso: Se o ponto não pertence a reta Onde A(2,0,1) é um ponto da reta cujo vetor → diretor é vr = (–1,3,–1). Calculando Vamos calcular a distância d entre o ponto e a reta; para isso, vamos observar que os vetores → determinam um paralelogramo cuja vr e altura corresponde à distância d de P a r, que vamos calcular fazendo uso da figura abaixo: → , vr × , temos: = (0,1,–2) → r v × = (–5,–2,–1) Portanto Sabe-se que a área S do paralelogramo dado pelos pontos PABC é dada pelo produto da base pela altura, isto é: Logo , . Vamos resolver o mesmo exercício sem usar a . formula Da mesma forma, podemos calcular a área S do paralelogramo dado pelos pontos PABC co→ , isto é: mo sendo a norma do vetor vr × Seja Q ∈ r tal que 76 → . vr = 0. Álgebra Linear I – Retas e Planos 3. Calcule a distância entre o ponto P(2,0,–1) e a reta s de equação dada por: Dessa forma, d(P,r) = d(P,q) = || 4. Calcule a distância entre os pontos P(2,1,–1) e R(5,–1,0) || → r Sendo Q(a,b,c), P(2,1,–1) e v = (–1,3,–1), temos que = (a – 2, b – 1, c + 1) e 5. Calcule a distância entre os pontos P(3,1,–1) e Q, onde { Q} = r∩s. Sendo → . vr = –(a – 2) + 3(b – 1) – (c + 1) = 0 –a + 3b – c – 2 = 0. Aplicando Q em s, temos: e a = 2 – λ, b = λ3, c = 1 – λ para um certo λ. Vamos determinar exatamente esse λ. Substituindo = 2 – λ, b = λ3, c = 1 – λ em –a + 3b – c – 2 = 0. Teremos 6. Seja o triângulo ABC de vértices A(–3,1,4), B(–3,1,2) e C(2,1,6). Calcular a medida da altura relativa ao lado BC ; portanto o ponto Q terá as . seguintes coordenadas Dessa forma, podemos dizer que o vetor . E, finalmente, a distância d(P,r) = d(P,q) = || || = . 1. Calcule a distância entre o ponto P(0,–1,–1) e a reta s de equação dada por: 2. Calcule a distância entre o ponto Q(0,0,1) e a reta s de equação dada por: 77 UEA – Licenciatura em Matemática → Substituindo Q(x,y,z), P(x0,y0,z0) e nπ = (a,b,c) TEMA 16 em , chegaremos à formula equi- DISTÂNCIA ENTRE RETAS, PONTO E PLANO valente dada por 16.1 Distância de um ponto a um plano Seja um ponto P(x0,y0,z0) do espaço e Exemplo 1: π : a . x + b . y + c . z + d = 0 um plano qualquer. Calcule a distância do ponto P(3,2,–1) e o plano β de equação 2 . x + 4 . y – z + 2 = 0. Para determinar a distância d do ponto ao plano, temos dois casos a considerar: Solução 1: Fazendo uso da fórmula equivalente dada por 1.° caso: , onde x0 = 3, Se o ponto pertence ao plano y0 = 3, y0 = 2, z0 = –1, a = 2, b = 4 e c = –1 temos . Nesse caso, temos que d(P,π) = 0 Exemplo 2 : 2.° caso: Calcule a distância do ponto P(0,1,1) e o plano β de equação x + y – z + 3 = 0. Se o ponto não pertence ao plano Observação – Sem fazer o uso da fórmula Solução: Vamos mostrar que, nesse caso, a distância pode ser obtida fazendo uso da fórmula Onde Q é um ponto qualquer do plano dado, e → nπ é o vetor normal a esse plano. Para isso, basta determinar um ponto Q ∈ β tal → que = µ . nβ . Sendo Q(a,b,c) tal ponto, teremos = (a, b – 1, c – 1). → Desse modo, = µ . nβ dá-nos a = µ, → b = 1 + µ, c = 1 – µ, onde nβ é o vetor normal ao plano β. Observe a distância d; ela pode ser calculada por d = d(P,π) = d(P,A)= || || Substituindo Q em β, temos a + b – c + 3 = 0 e sendo α = µ, b = 1 + µ, c = 1 – µ, teremos: µ + µ + 1 – (1 – µ) + 1 = 0 Onde ; logo, teremos µ+ µ+ 1–1+ µ+ 1= 0 µ = –1 Assim, concluímos que Q(–1,0,2). E, portanto, || = , ou seja d = d(P,β) = d(P,Q) = || d= 78 . Álgebra Linear I – Retas e Planos No caso de as retas serem concorrentes ou paralelas coincidentes, temos que d(r, s) = 0. No caso de paralelas distintas, a distância entre as duas retas d(r, s) é calculada pela distância ebtre um ponto P qualquer de um delas à outra reta, isto é: d = d(r,s) = d(P,s), onde P∈r. 1. Calcule a distância do ponto P e o plano β, de duas formas diferentes, nos casos abaixo: a) P(0,1,1) e β: x + y – z = 0. b) P(1,0,1) e β: x + y + z – 1 = 0. c) P(–1,1,0) e β: –x + 2y – z + 3 = 0. 2. Calcule a distância entre o ponto P(1,0,1) e o plano β, determinado pelos pontos A(0,0,1), B(1,0,0) e C(0,0,1) de duas formas diferentes. 1. Calcular a distancia entre as retas a) e 16.2 Distância entre duas retas A posição relativa entre duas retas quaisquer r e s são: b) a) concorrentes e Observações: Considere o caso em que as retas r e s são reversas. Sejam r e s duas retas reversas. Sendo P ∈ r e → v o vetor diretor da reta r e Q ∈ s e vs o vetor diretor da reta s. Temos b) paralelas → r 1.° caso: paralelas coincidentes r = s ⇒ r //s 2.° caso: paralelas distintas r ⊂ α, s ⊂ α e r ∩ s = ∅ ⇒ r //s Sabe-se que o volume de um paralelepípedo é dado pelo produto da área da base pela altura. Sendo assim, teremos, na figura anterior, → → que V = || vr × vs || . d . c) reversas Sabesmos ainda da interpretação geométrica do módulo do produto misto, que → → V = | (vr,vr, )| . De onde concluímos que r e s são reversas ⇔ α; r, s ⊂ α e r ∩ s = ∅ 79 UEA – Licenciatura em Matemática Exemplo: Calcular a distância entre as retas TEMA 17 e DISTÂNCIA ENTRE RETA E PLANO 17.1 Posições relativas Solução: São três as posições relativas entre uma reta e um plano A reta r passa pelo ponto P(–2,1,4) cujo vetor → diretor é vr = (1,0,–2) e a reta s passa pelo → ponto Q(3,–1,3) cujo vetor diretor é vs = (1,0,–2). Sendo assim, temos que 1. A reta está contida no plano. = (5,–2,–1) e r⊂α ⇔ r∩α= r 2. A reta e o plano são concorrentes ou a reta e o plano são secantes. E, portanto, r ∩ α= { P} 3. A reta e um plano são paralelos. 1. Calcular a distância entre as retas e 2. Calcular a distância entre as retas e s = α ∩ β,onde r // α ⇔ r ∩ α = ∅ No primeiro e no segundo casos, temos que a distância entre a reta e o plano é igual a zero. α: x + y – z + 1 = 0 e β: x – 2y + z + 2 = 0 No teceiro caso, basta calcular a distância de um ponto qualquer da reta ao plano, isto é: 3. Calcular a distância entre as retas r = e s = α ∩ β, onde A(0,0,1) e B(3,–1,2), α: x + y + 2 = 0 e β: x + z + 2 = 0 d = d(r,α) = d(Pα,) onde P∈r 80 Álgebra Linear I – Retas e Planos Solução: → → Seja vr o vetor diretor da reta, e nπ o vetor nor→ mal ao plano, dados por vr = (3,2,1) e → nπ = (–1,2,1). → Exemplo 1: Sendo assim, temos que a reta e o plano são paralelos; mais que isso: são paralelos distintos, pois o ponto A(2,1,–2)∈r e A(2,1,–2)∉r. Determine a distância entre a reta r dada por Sendo assim, para calcular a distância entre a reta e o plano, basta calcular a distância de um ponto da reta ao plano. e o plano π definido por π : 2x – y + z – 3 = 0. Sendo A(2,1,–2) tal ponto da π : –x + 2y + z – 1 = 0, temos que: Solução: → → Vamos calcular vr . nπ , para estudar a posição relativa entre a reta e o plano. Dessa forma, → → concluímos que vr . nπ = –3 + 4 – 1 = 0. reta e → Sendo vr e nπ o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano respectivamente, dados por → → vr = (1,2,0) e nπ = (2,–1,1). → r , portanto d= 6 2 → π Vamos calcular v . n , para estudar a posição relativa entre a reta e o plano. Dessa forma, → → concluímos que vr e nπ = 2 – 2 + 0 = 0. Sendo assim, temos que a reta e o plano são paralelos; mais que isso: são paralelos coincidentes, pois o ponto A(1,0,1)∈r∩π. Por isso, concluímos que d = d(r,π) = 0. 1. Determine a distância entre a reta r dada por e o plano π definido por Exemplo 2: Determine a distância entre a reta r definida por π : x – y + z – 3 = 0. 2. Determine a distância entre a reta r dada por e o plano π definido por π : 3x + y – 2z + 4 = 0. e o plano π definido por Solução: → π: 2x + y + z = 0. → Seja vr o vetor diretor da reta e nπ o vetor nor→ mal ao plano, dados por vr = (1,1,–1) e → nπ = (3,1,–2). → 3. Determine a distância entre a reta r dada por e → Vamos calcular vr . nπ , para estudar a posição relativa entre a reta e o plano. Dessa forma, → → concluímos que vr . nπ = 3 + 1 + 2 = 6 ≠ 0. o plano π definido por π: –x + 2y + z = 0. 4. Determine a distância entre a reta r dada por Sendo assim, temos que a reta e o plano são paralelos secantes. De onde concluímos que e o plano π definido por d = d(r,π) = 0. π : –3x + 2y + 2z – 1 = 0. Exemplo 3: Determine a distância entre a reta r dada por 5. Determine a distância entre a reta r dada por e o plano π definido pelos e o plano π definido por π : –x + 2y + z – 1 = 0. pontos A(1,0,0), B(0,1,0) e C(0,0,1). 81 UEA – Licenciatura em Matemática Exemplo 2: Calcular TEMA 18 o ângulo entre as retas ÂNGULO ENTRE RETAS, ENTRE PLANOS E ENTRE RETA E PLANO e 18.1 Ângulo entre retas Sejam r e s duas retas que passam pelos pon→ → tos A e B, cujos vetores diretores são vr e vs. Solução: Os vetores diretores das retas r e s são respectivamente → vr = (–1,1,–1) e . E fazendo uso da fórmula: temos: Definimos o ângulo entre duas retas r e s, como sendo o menor ângulo formado entre os → → vetores diretores vr e vs, isto é: , com . Exemplo 1: θ ≈ 86,490 Calcular o ângulo entre as retas Exemplo 3: Calcular o ângulo entre as retas r e s, sendo r= e onde A(1,0,1) e B(2,1,–1), e s perpen- dicular ao plano π: x + y – 2z + 4 = 0 passando pelo ponto P(0,1,3). Solução: Solução: Os vetores diretores das retas r e s são respecti→ → vamente vr (–1, –1, –1) e vs (1, 1, –1). E fazendo Os vetores diretores das retas r e s são, res- uso da fórmula pectivamente, → s → r v = → π = (1, 1, –2) e v = n = (1, 1, –2). E fazendo uso da fórmula temos: , temos: θ = 00 82 Álgebra Linear I – Retas e Planos 1. Calcular o ângulo entre as retas: e 2. Calcular o ângulo entre as retas: Sendo assim, temos que o ângulo θ é dado por: e Exemplo 1: 3. Calcular o ângulo entre as retas r e s, sendo Determine o ângulo entre os planos: α: 2 . x – 4 . y + 8 . z – 5 = 0 e e s perpendicular ao β: 2 . x – y + z – 3 = 0 Solução: plano π : 2x – y + z + 4 = 0 passando pelo ponto P(0,1,3). Os vetores normais aos planos dados são res→ → pectivamente nα (2, –4, 8) e nβ (2, –1, 1), e 4. Calcular o ângulo entre as retas r e s, sendo r= onde A(–1,0,2) e B(1,–1,–1), e s perpendicular ao plano π: x + 2y – z + 3 = 0 passando pelo ponto P(–2,1,–3). fazendo uso da fórmula temos: 18.2 Ângulo entre dois planos Sejam α: a1 . x + b 1 . y + c 1 . z + d 1 = 0 e β: a2 . x + b 2 . y + c 2 . z + d 2 = 0 dois planos, cujos vetores normais são respectivamente → → nα (a1,b 1,c 1) e nβ (a2,b 2,c 2) Exemplo 2: Determine o ângulo entre os planos α e β, sendo α: x – y + z – 5 = 0 e β um plano que passa pelos pontos A(1,0,0), B(0,1,0) e C(0,0,2). Solução: Os vetores normais aos planos dados são, → → respectivamente, nα (1,–1,1) e nβ (2,2,1), sendo → o vetor nβ = × . Fazendo uso da fór- Chama-se ângulo de dois planos α e β o menor ângulo formado entre os vetores normais aos planos. 83 UEA – Licenciatura em Matemática mula 3. Se α e β são dois planos. Sendo α é determinado pela equação α: 2x + y – z + 3 = 0 e β é um plano que passa pelo ponto P(1,1,–2) e é perpendicular à reta r de equação , temos: . 4. Se α e β são dois planos.Tais que α é determinado pelos pontos A(1,–1,1), B(1,1,1) e C(0,1,2) e β é um plano que passa pelo ponto P(2,1,–2) e é perpendicular à reta r de equação Exemplo 3: Se α e β são dois planos.Tais que α é determinado pelos pontos A(1,0,0), B(1,1,0) e C(0,1,2) e β é um plano que passa pelo ponto P(1,1,–2) e é perpendicular à reta r de equação: . 18.3 Ângulo entre reta e plano → Seja uma reta r que passa pelo ponto P e tem vr como vetor diretor e um plano π, que passa pelo → ponto Q e tem como vetor normal o vetor nπ. Solução: Os vetores normais aos planos dados são, → → respectivamente, nα (2,1,–1) e nβ (–1,1,1), sendo → → → o vetor nβ = × e nβ = vr . Fazendo uso da fórmula , temos: O ângulo ϕ da reta r com o plano π é o complemento do ângulo θ que a reta r forma com uma reta normal ao plano, isto é: onde teríamos cosθ = senϕ. Dessa forma, vamos definir o ângulo entre uma reta e um plano, coforme a figura acima, como sendo: 1. Determine o ângulo entre os pares de planos abaixo: Exemplo 1: a) α: x+ y+ z+ 2 = 0 e β: 2.x – y + 2z – 1 = 0 Determine o angula entre a reta b) α: x–y+ z – 1 = 0 e β: x – y + z – 3 = 0 c) α: x–2y–z = 0 e β: –2x – 3y + z – 3 = 0 e o plano π: x + z – 2 = 0. 2. Determine o ângulo entre os planos α e β, sendo α: x + y + z – 2 = 0 e β um plano que passa pelos pontos A(1,–1,0), B(0,1,2) e C(0,0,2). Solução: → A reta r tem vr (1,–1,1) como vetor diretor e 84 Álgebra Linear I – Retas e Planos → nπ (–1,1,1) é o vetor normal ao plano π. Sendo assim, temos que o ângulo entre a reta e o plano pode ser calculado pela fórmula e β: –2x + y + z – 3 = 0 c) , isto é: 2. Determine o ângulo entre reta r que passa pelos pontos B(0,1,2) e C(0,0,2) e o plano β, sendo β: x + y + z – 2 = 0. 3. Determine o ângulo entre a reta e β é um plano que passa pelo ponto P(1,1,–2) e é perpendicular à Exemplo 2: Seja r uma reta determinada pelos pontos B(1,–1,1) e B(1,1,1) e seja β um plano que passa pelo ponto P(2,1,–2) e é perpendicular à reta s de equação reta s de equação . Determine o ângulo entre a reta e o plano. Solução: → A reta r tem vr = (0,2,0) como vetor diretor → → e nπ = vs (2,3,1) é o vetor normal ao plano π. Sendo assim, temos que o ângulo entre a reta e o plano pode ser calculado pela fórmula , isto é: 1. Determine o ângulo entre os pares de retas e os planos abaixo: a) e β: x – y + z – 1 = 0 b) e β: x + y + 2z – 3 = 0 85 . UNIDADE VI Cônicas Álgebra Linear I – Cônicas sua superfície, fazendo-os convergir para um único ponto o foco, desse modo amplificando consideravelmente sua intensidade. TEMA 19 CÔNICAS – PARÁBOLA 19.1. Introdução Se girarmos uma parábola em torno do seu eixo, ela vai gerar uma superfície chamada parabolóide de revolução, também conhecida como superfície parabólica. Essa superficie possui inúmeras aplicações interessantes, todas elas decorrentes de uma propriedade geométrica da parábola. Consideremos em um plano uma reta d e um ponto F não pertencente a d. A fama das superfícies parabólicas remonta à Antiguidade. Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de F e d. Há uma lenda segundo a qual o extraordinário matemático grego Arquimedes, que viveu em Siracusa, em torno do ano 250 a.C., destruiu a frota que sitiava aquela cidade incendiando os navios com os raios de sol refletidos em espelhos parabólicos. Embora isso seja teoricamente possível, há sérias dúvidas históricas sobre a capacidade tecnológica da época para fabricar tais espelhos. Mas a lenda sobreviveu, e com ela a idéia de que ondas (de luz, de calor, de rádio ou de outra qualquer natureza), quando refletidas numa superfície parabólica, concentram-se sobre o foco, assim ampliando grandemente a intensidade do sinal recebido. De acordo com a defínição acima, P pertence à parábola se, e somente se: d(P,F) = d(P,P’), ou seja, . Observação: Consideramos o fato de Fd, pois, caso contrário, a parábola se degeneraria numa reta. Da lenda de Arquimedes restam hoje um interessante acendedor solar de cigarros e outros artefatos que provocam ignição fazendo convergir os raios de sol para o foco de uma superfície parabólica polida. 19.2 Elementos Considerando a figura acima, temos: Outros instrumentos atuam inversamente, concentrando, na direção paralela ao eixo, os raios de luz que emanam do foco. Como exemplos, citamos os holofotes, os faróis de automóveis e as simples lanternas de mão, que têm fontes luminosas à frente de uma superfície parabólica refletora. Foco: é o ponto F. Um importante uso recente dessas superfícies é dado pelas antenas parabólicas, empregadas na radioastronomia, bem como no dia-adia dos aparelhos de televisão, refletindo os débeis sinais provenientes de um satélite sobre Obviamente, tem-se: d(V, F) = d(V, A). Diretriz: é a reta d. Eixo: é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz. Vértice: é o ponto V de interseção da parábola com o seu eixo. Com a finalidade de obtermos uma equação da parábola, teremos de referi-la ao sistema de eixos cartesianos. Iniciemos pelo caso mais simples. 89 UEA – Licenciatura em Matemática 19.3 Equação da parábola de vértice na origem do sistema 1.o caso – O eixo da parábola é o eixo dos y Seja P(x, y) um ponto qualquer da parábola (conforme figura abaixo) de foco . Este número real p ≠ 0 é conhecido como parâmetro da parábola. 2.o caso – O eixo da parábola é o eixo dos x. Sendo P(x, y) um ponto qualquer da parábola (conforme figura abaixo) de foco obteremos, de forma análoga ao 1.o caso, a equação reduzida: x2 = 2py Da definição de parábola, tem-se: Como , , vem: Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos: (1) ou simplesmente: x2 = 2py Essa equação é chamada equação reduzida da parábola e constitui a forma padrão da equação da parábola de vértice na origem, tendo para eixo o eixo dos y. Conforme o sinal de p, teremos: se p > 0, a parábola tem concavidade voltada para a direita e, se p < 0, a parábola tem concavidade voltada para a esquerda. Da análise dessa equação conclui-se que, tendo em vista ser 2py sempre positivo ou nulo (pois é igual a x2 ≥ 0), os sinais de p e de y são sempre iguais. Conseqüentemente, se p > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e, se p < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo, conforme esclarecem as figuras a seguir . 90 Álgebra Linear I – Cônicas 19.6 Equação da parábola de cértice fora da origem do sistema 1.o caso – O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y. Seja uma parábola de vértice V(h, k) e eixo paralelo ao eixo dos y, sendo h e k coordenadas de V em relação ao sistema xOy. Seja P(x, y) um ponto qualquer dessa parábola. Consideremos um novo sistema x'O'y' com a origem O' em V nas condições do que foi anteriormente (conforme Figura abaixo). 19.5 Translação de eixos Consideremos no plano cartesiano xOy um ponto O'(h, k), arbitrário. Vamos introduzir um novo sistema x'O'y' tal que os eixos O'x' e O'y' tenham a mesma unidade de medida, a mesma direção e o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy. Nessas condições, um sistema pode ser obtido do outro, por meio de uma translação de eixos. Sabe-se que a equação da parábola referida ao sistema x'O'y' é x’ 2 = 2py’ mas: x' = x – h e y' = y – k, e daí: (x – h)2 = 2p(y – k) que é a forma padrão da equação de uma parábola de vértice V(h, k) e eixo paralelo ao eixo dos y. 2.o caso – O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x. Seja um ponto P qualquer do plano tal que suas coordenadas são: De modo análogo ao caso anterior, teremos: x e y em relação ao sistema xOy, x' e y' em relação ao sistema x'O'y', (y – k)2 = 2p(x – h) Pela figura anterior, obtém-se: x = x' + h e y = y' + k ou: x' = x - h e y' = y - k que são as fórmulas de translação e que permitem transformar coordenadas de um sistema para outro. A principal finalidade da transformação de coordenadas é modificar a forma de equações. 91 UEA – Licenciatura em Matemática 19.7 Exemplos Resposta: a) F(–5,0); b) x = 5; c) Vide resolução. 1. Determinar a equação da parábola cujo vértice é a origem dos eixos de coordenadas, o eixo de simetria é o eixo y e passa pelo ponto P (–3,7). 3. Determinar as coordenadas dos vértices, as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola da equação y2 – 4y – 8x + 28 = 0. Resolução: Se o eixo de simetria é o eixo y, a forma padrão da equação da parábola é x2 = 4py. Se P (–3,7) pertence à parábola, temos: Resolução: Isolando os termos em y no 1.o membro e completando o quadrado perfeito, temos: Y2 – 4y – 8x + 28 = 0 Transportando o valor de p para a forma padrão, temos: y2 – 4y = 8x – 28 Y2 – 4y + 4 = 8x – 28 + 4 (y – 2)2 = 8x – 24 (y – 2)2 = 8 (x – 3) Resposta: A equação procurada é Comparando com a forma padrão da parábola, temos: 2. Dada uma parábola de equação y2 = –20x, pede-se: a) as coordenadas do foco; Logo, V (h, k) V (3, 2) b) a equação da diretriz; F (h + p, k) F(5, 2) c) o esboço do gráfico. A equação da diretriz é: Resolução: X= h–p x= 3–2 2 Se y = –20, a forma padrão da equação da parábola é y2 = 4px, e o eixo de simetria é o eixo x. X= 1 Respostas: V (3, 2) F(5, 2) e x = 1 a) Coordenadas do foco 5. Determinar as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola de equação x2 + 2x + 4y – 15 = 0. sendo x o eixo de simetria, então F (p, 0) Resolução: Isolando os termos em x no primeiro membro e completando o quadrado perfeito, temos: b) Equação da diretriz x = -p x = -(-5) x = 5 X2 + 2x + 4y – 15 = 0 c) Esboço do gráfico x2 + 2x = – 4y + 15 Como o eixo de simetria é o eixo x, temos: X2 + 2x + 1 = – 4y + 15 + 1 (x + 1)2 = – 4y + 16 (x + 1)2 = –4 (y – 4) Comparando com a forma padrão, temos: 92 Álgebra Linear I – Cônicas Logo, V (h, k) V (-1, 4) c) 2 d) 5 e) 4 F (h, k + p) F (-1, 3) A equação da diretriz é: 02. A parábola cujo eixo de simetria é 0y e que passa pelos pontos de intersecção da reta x + y = 0 com a circunferência x2 + y2 + 8y = 0 tem por equação: Y = k – p y = 4 – (-1) y= 5 Resposta: V (-1, 4), F (-1, 3) e y = 5 5. Uma parábola tem foco (-1, 8) e diretriz dada pela equação y = 5. Determine as coordenadas do vértice e a equação dessa parábola. Resolução: 3. Qual é a distância da origem do sistema cartesiano ao vértice V da parábola de equação x2 – 6x – y + 10 = 0? Se P (x, y) é um ponto da parábola, temos: d(P, F) = d (P, D1) 4. A reta passa pelo vértice da parábola de equação y = 4x – x2 e intercepta o eixo x no ponto de abscissa 5. A equação da reta é:0 Logo, 5. A Resposta: distância do vértice y = (x – 2) . (x – 6) à reta da parábola é: 1. A parábola de equação y = ax2 + bx + c passa pelos pontos (1, 0), (2, 5) e (-4, 5); então, o valor de a + b + c é: a) 6 6. Das equações abaixo, a que representa uma b) 0 93 UEA – Licenciatura em Matemática parábola de eixo coincidente com a reta y = 0 é: a) y – x2 + 1 TEMA 20 2 b) x = y + 1 CÔNICAS – ELIPSE c) y – x2 = 0 d) x2 – y2 = 1 Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante. e) x = 1/y + 3 7. Para que a parábola y = 2x2 + mx + 5 não intercepte a reta y = 3, devemos ter: Consideremos no plano dois pontos distintos, F1 e F2, tal que a distância d (F1, F2) = 2c. a) – 4 < m < 4 Seja um número real a tal que 2a > 2c. b) m < –3 ou m > 4 c) m > 5 ou m < -5 Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que: d) m = –5 ou m = 5 d(P, F1) + d(P, F2) = 2a e) m 0 ou: dá-se o nome de elipse. 8. As parábolas dadas pelas equações y = x2 e x = y2: a) nunca se encontram; b) se encontram apenas na origem; c) se encontram em exatamente dois pontos; d) se encontram em três pontos; e) se encontram em quatro pontos. A figura baixo sugere como se pode construir uma elipse no papel. 9. Qual é a equação da diretriz da parábola Y2 = 8x? a) x = –4 b) x = –2 c) x = –3 d) x = –5 e) x = –1 Nos pontos F1 e F2, fixemos dois pregos e neles amarremos um fio não esticado. Tomemos um lápis e distendamos com sua ponta o fio, marcando o ponto P1. Então, a soma das distâncias d(P1, F1) e d(P1, F2) é o comprimento do fio. Se o lápis deslizar sobre o papel, mantendo o fio sempre esticado, ficará traçada uma elipse de focos F1 e F2 . A figura mostra outra posição P2 da ponta do lápis e, também para este ponto, a soma das distâncias d(P2,F1) e d(P2, F2) é o comprimento do fio. Assim, para as infinitas posições da ponta do lápis, a soma das distâncias a F1 a F2 é constante. 10. Ache a distância do ponto P(3, 6) à reta determinada pelos pontos de interseção das curvas x2 + y2 = 2 e y = x2. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 94 Álgebra Linear I – Cônicas Na verdade, essa igualdade é a relação de Pitágoras no triângulo retângulo B2CF2. A constante 2a anteriormente referida é o comprimento do fio. Se mantivermos constante o comprimento do fio e variarmos as posições de F1 e F2, a forma da elipse irá variar. Assim, quanto mais próximos os focos estão entre si, tanto mais a forma da elipse se assemelha à da circunferência, e quando F1 = F2, obtém-se uma circunferência. Por outro lado, quanto mais afastados os focos estiverem entre si, mais “achatada” será a elipse. 20.2 Equação da elipse de centro na origem do sistema 1.o caso – O eixo maior está sobre o eixo dos x. 20.1 Elementos Focos: são os pontos F1 e F2 . Distância focal: é a distância 2c entre os focos. Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2. Eixo maior: é o segmento A1A2 de comprimento 2a (o segmento A1A2 contém os focos e os seus extremos pertencem à elipse). Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse de focos F1 (–c, 0) e F2 (c, 0). Por definíção, tem-se: Eixo menor: é o segmento B1B2 de comprimento 2b. d(P,F1) + d(P,F2) = 2a ou: (B1B2 ∞ A1A2 no seu ponto médio). Vértices: são os pontos A1, A2, B1 e B2. Excentricidade: é o número e dado por ou em coordenadas: . Tendo em vista que c < a, tem-se: 0 < e < 1. Observação: Em toda elipse, vale a relação: a2(x2 + y2 – 2cx + c 2) = a4 – 2a2cx + c 2x2 a2x2 + a2y2 – a22cx + a2c 2 = a4 – 2a2cx + c 2x2 a2(x2 + y2 – 2cx + c 2) = a4 – 2a2cx + c 2x2 a2(x2 + y2 – 2cx + c 2) = a4 – 2a2cx + c 2x2 a2x2 – c 2x2 + a2y2 = a4 – a2c 2 (a2 – c 2)x2 + a2y2 = a2 – (a2 – c 2) mas: a2 = b 2 + c 2 a2 – c 2 = b 2 logo: b 2x2 + a2y2 = a2b 2 95 UEA – Licenciatura em Matemática Dividindo ambos os membros da equação por a2b 2, obtemos Já a elipse abaixo tem equação reduzida: , que é a equação reduzida da elipse de centro na origem e eixo maior sobre o eixo dos x. 2.o caso – O eixo maior está sobre o eixo dos y. Com procedimento análogo ao 1º caso, obteremos a equação reduzida 20.3 Equação da elipse de centro fora da origem do sistema 1.o caso – O eixo maior é paralelo ao eixo dos x. Consideremos uma elipse de centro C(h, k), e seja P(x, y) um ponto qualquer da mesma. Observação: Tendo em vista que a2 = b 2 + c 2, segue-se que: a2 > b 2, e, portanto, a > b. Então, sempre o maior dos denominadores na equação reduzida representa o número a2, onde a é medida do semi-eixo maior. Ainda mais: se na equação da elipse o número a2 é denominador de x2, a elipse tem seu eixo maior sobre o eixo dos x. Faremos um processo análogo ao caso da equação da parábola com vértice em (h, k) quando ocorre uma translação de eixos, pois o caso presente da elipse é perfeitamente análogo àquele. Exemplos: A equação reduzida da elipse abaixo é: Assim: é a equação de uma elipse de centro C(0, 0) e eixo maior sobre o eixo dos x; quando o eixo maior for paralelo ao eixo dos x e o centro for C(h, k), a equação passa a ser Esse mesmo detalhe irá repetir-se também no 96 Álgebra Linear I – Cônicas Vamos escrever a equação na forma padrão, dividindo todos os termos por 100: estudo da hipérbole a ser feito logo a seguir. 2. caso – O eixo maior é paralelo ao eixo dos y. o De forma análoga, temos: Como 25 > 4, o eixo maior está contido no eixo x, logo: a2 = 25 ⇒ a = 5 b2 = 4 ⇒ b = 2 a2 = b 2 + c 2 ⇒ 25 = 4 + c 2 c= Sabendo que os focos e os vértices estão situados no eixo x, temos: Resposta: 3. Determinar a equação da elipse de vértices V1 (0, 6) e V2 (0, –6) e que passa pelo ponto P (3, 2). 20.4 Exemplos Resolução: 1. numa elipse, o eixo maior está contido no eixo x, e seu comprimento é 16. Sabendo-se que a distância entre os focos é 10, determinar a equação da elipse. Como os vértices estão no eixo y, a forma padrão da equação é: Resolução: Pelos dados do problema, temos: como o eixo maior está contido no eixo x, a forma padrão da equação é: A= 6 Como a elipse passa pelo ponto P (3, 2), devemos ter: Pelos dados do problema, temos: 2a = 16 a = 8 2c = 10 c = 5 Substituindo a2 e b 2 na equação padrão, temos: a2 = b 2 + c 2 64 = b 2 + 25 b 2 = 39 Então, a equação procurada é: Resposta : A equação é Resposta: A equação procurada é . 2. Determinar as coordenadas dos focos e dos vértices da elipse de equação 4. Determinar a excentricidade da elipse de equação x2 + 5y2 = 20. Resolução: x2 + 5y2 = 20 4x2 + 25y2 = 100. Resolução: 97 UEA – Licenciatura em Matemática b) uma parábola de vértice na origem; c) uma circunferência de raio 2; Da equação obtida, temos: d) uma elipse cujo eixo maior é o dobro do eixo menor; b2 = 4 ⇒ b = 2 e) uma elipse cujo eixo maior é o quádruplo do eixo menor. a2 = b 2 + c 2 20 = 4 + c 2 c 2 = 16 2. Um ponto P da elipse c = 4 dista 2 de um dos foco. Qual é a distância de P ao outro foco da elipse? Daí, temos: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7 Resposta: 3. O eixo menor da elipse de equação 5x2 + 2y2 = 20 tem comprimento igual a: 5. Determinar as coordenadas do centro, as coordenadas dos focos e as medidas dos semi-eixos da elipse de equação . a) 2 b) 4 c) 10 d) e) 2 Resolução: 4. A equação da elipse que passa pelos pontos (2, 0), (-2, 0) e (0, 1) é: Comparando com a forma padrão, temos: a) x2 + 4y2 = 4 b) x2 + c) 2x2 – 4y2 = 1 d) x2 – 4y2 = 4 Como a2 = b 2 + c 2, vem: a2 = b 2 + c 2 ⇒ 25 = 16 + c 2 5. A equação da circunferência com centro na origem e cujo raio é igual ao semi-eixo menor da elipse x2 + 4y2 = 4 é: c2 = 9 c = 3 Portanto, O (h, k)⇒ O (4, –3) a) x2 + y2 = F1 (h + c, k) ⇒ F1 (7,–3) b) x2 + y2 = 16 c) x2 + y2 = 4 F2 (h – c, k) ⇒ F2 (1,–3) d) x2 + y2 = 1 Resposta: O (4, –3), F1 (7, -3), F2 (1,–3), a = 5 eb= 4 6. A reta que passa pelos pontos de intersecção da parábola y = x2 com a elipse é: 1. Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a equação x2 + 4y2 = 4 representa: a) y = –x b) y = 2x + 1 c) y = 2x d) y = 3x e) Não sei. a) uma circunferência de centro na origem; 98 Álgebra Linear I – Cônicas 7. A equação 9x2 + 4y2 – 18x – 8y – 23 = 0 representa uma: TEMA 21 a) circunferência; CÔNICAS – HIPÉRBOLE b) hipérbole; c) parábola; 21.1 Definição d) elipse; Considerando, num plano, dois pontos distintos, F1 e F2, e sendo 2a um número real menor que a distância entre F1 e F2, chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a. e) reta. 8. A reta y = ax + 1 intercepta a elipse x2 + 4y2 = 1 somente num ponto. Calcule 8 a2. a) 6 b) 5 c) 4 d) 7 Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos: e) 1 9. Os pontos A (10, 0) e B (–5, y) estão sobre uma elipse cujos focos são F1(–8, 0) e F2 (8, 0). Calcule o perímetro do triângulo BF1F2. a) 24 b) 32 c) 36 d) 44 e) 46 10. A equação 9x2 + 4y2 – 18x – 16y – 11 = 0 é de uma elipse. Os semi-eixos maior e menor medem: a) 4 e 3 b) 4 e 2 c) 4 e 1 d) 3 e 2 e) 3 e 1 A figura obtida é uma hipérbole. Observação: Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice. 99 UEA – Licenciatura em Matemática 21.2 Elementos F2 (c, 0) Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos: Aplicando a definição de hipérbole: Obtemos a equação da hipérbole: b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy. Nessas condições, a equação da hipérbole é: • semi-eixo real: a • semi-eixo imaginário: b • semidistância focal: c • distância focal: | F1F2| = 2c • eixo real: | A1A2| = 2a, contém os focos • eixo imaginário: | B1B2| = 2b (b > 0 e tal que a2 + b2 = c2 - relação fundamental) 21.4 Excentricidade Hipérbole eqüilátera Uma hipérbole é chamada eqüilátera quando as medidas dos semi-eixos real e imaginário são iguais: Chamamos de excentricidade o número real e tal que: Como c > a, temos e > 1. 21.3 Equações Vamos considerar os seguintes casos: a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox a= b 21.5 Assíntotas da hipérbole Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b. Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é m = ±b/a; quando é F1 (–c, 0) 100 Álgebra Linear I – Cônicas vertical, o coeficiente é m = ± a/b. Resposta: a equação pedida é 2. Determinar a equação da hipérbole de focos F1(0, 4) e F2(0,–4), sabendo-se que o comprimento do eixo real é 6 unidades. Resolução: Como os focos pertencem ao eixo das ordenadas, a forma padrão da equação é: Pelos dados do problema, temos: C= 4 Equação 2a = 6 ⇒ a = 3 Vamos considerar os seguintes casos: c 2 = a2 + b 2 ⇒ 42 = 32 + b 2 ⇒ b 2 = 16 – 9 ⇒ b2 = 7 a) eixo real horizontal e C(0, 0) As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular m = ± b/a; logo, suas equações são da forma: Substituindo na forma padrão, temos: Resposta: A equação pedida é b) eixo vertical e C(0, 0) As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular m = ± a/b; logo, suas equações são da forma: 3. Determinar a medida do eixo real, do eixo imaginário e da distância focal da hipérbole de equação 9x2 – 16y2 = 144. Resolução: Vamos escrever a equação na forma padrão, dividindo todos os termos por 144: 21.6 Exemplos 1. Determinar a equação da hipérbole de focos F1(5, 0) e F2(–5, 0) e de vértices V1(3, 0) e V2(–3, 0). Nesse caso, os vértices e os focos estão no eixo das abscissas e: Resolução: Como os focos pertencem ao eixo das abscissas, a forma padrão da equação é: a2 = 16 a = 4 b2 = 9 b = 3 Logo, c 2 = a2 + b 2 ⇒ c 2 = 16 + 9 c = c = 5 Pelos dados do problema, temos: a= 3 c= 5 c 2 = a2 + b 2 ⇒ 52 = 32 + b 2 ⇒ b 2 = 25 – 9 ⇒ b 2 = 16 ⇒ b = 4 portanto, Substituindo na forma padrão, temos: Resposta: 4. Determinar a excentricidade e a equação das 101 UEA – Licenciatura em Matemática assíntotas da hipérbole de equação 4x2 – y2 = 16. Resolução: Escrevendo a equação dada na forma reduzida, temos: 1. A cônica representada pela equação: 3x2 – 4y2 + 8y – 16 = 0 é: a) parábola; 4x2 – y2 = 16 b) hipérbole; Pela equação obtida, temos: c) elipse; a2 = 4 ⇒ a = 2 d) circunferência; b 2 = 16 ⇒ b = 4 e) duas retas. c 2 = a2 + b 2 ⇒ c 2 = 4 + 16 ⇒ c 2= 20 ⇒ 2. O valor de b para o qual a reta y = x + b não intercepta a hipérbole x2 – y2 = 1 é: a) 2 b) • Cálculo da equação das assíntotas d) 1 f) 0 g) –1 3. A equação de uma das assíntotas à hipérbole Resposta: é: 5. Determinar o centro, as medidas do eixo real e do eixo imaginário, a excentricidade e os focos da hipérbole x2 – y2 = 16. a) y = 2x – 1 b) y = 4x x2 – y2 = 16 (dividindo a expressão por 16) c) y = x d) y = 2x + 1 Como a hipérbole é do tipo e) y = 2x , o cen- 4. Considerando-se a equação da hipérbole 4x2 – 16y2 = 49, determine a medida do eixo real: tro tem coordenadas C(0, 0). • O eixo real mede A1 A2 = 2a = 2 . 4 = 8 • O eixo imaginário mede B1B2 = 2b = 2 . 4 = 8 a) 6 É importante observar que, nesse caso, a = b = 4, portanto, trata-se de uma hipérbole eqüilátera. b) 9 c) 4 d) 7 • A excentricidade é dada por e) 0 c 2 = a2 + b 2 5. Obtenha a distância focal da hipérbole cuja c 2 = 42 + 42 equação é Os focos têm coordenadas F1(x0 -c, y0) e F2 (x0 + c, y0). a) 2c = 12 b) 2c = 9 102 . Álgebra Linear I – Cônicas c) 2c = 11 d) 2c = 10 e) 2c = 13 6. Determine as coordenadas dos focos da hipérbole cuja equação é 144y2 – 25x2 = 3600. a) F1(0, -12) e F2(0, 12) b) F1(0, -10) e F2(0, 10) c) F1(0, -13) e F2(0, 13) d) F1(0, -11) e F2(0, 11) 7. O gráfico da equação x2 – y2 = 4 representa uma hipérbole. Os focos dessa hipérbole são: a) b) (2,0) e (–2,0) c) (2 ,0) e (–2 ,0) d) (0, ) e (0,– ) e) 8. Assinalar a falsa: a) As retas 2y = 3x + 5 e 3x – 2y = 0 são paralelas. b) As retas 5x – 2y = 1 e 2x + 5y = 0 são perpendiculares. c) A distância do ponto (5; 3) à reta y = 5 é 2. d) 2x2 + 5y2 = 1 é a equação de uma hipérbole. e) X = 4y2 é a equação de uma parábola. 9. A equação de uma das assíntotas da hipérbole x2 – y2 = 16 é: a) y = 2x – 1 b) y = 4x c) y= x d) y = 2x + 1 e) y = 2x 10. A cônica de excentricidade 2 e vértice (-1;0) e (1; 0) tem equação: a) 3x2 + y2 = 3 b) 3x2 – y2 = 3 c) 3x2 – y2 = 1 d) x2 + 3y2 = 3 e) x2 – 3y2 = 1 103 Respostas dos Exercícios Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos UNIDADE I UNIDADE II Matrizes Determinantes TEMA 04 TEMA 02 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES MATRIZES OPERAÇÕES Pág. 27 Pág. 16 1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. ; diagonal principal: 0, 0 e 0; 2. 2. x = –2 e y = 2 3. p = 1 e q = -1 4. x = 1 e y = -1 5. 6. d a d e b a a d b a e a d e 7. (6 -8 14) UNIDADE III Sistemas Lineares 8. 9. 94 TEMA 06 10. 11. ESTUDO DE SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS E HETEROGÊNEOS 12. Pág. 36 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 107 a b b c a d d e UEA – Licenciatura em Matemática 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. e a b b b c a c c d a b a a b c c d Pág. 52 1. a) (3, 2, 2) c) (-4, -1, -4) 2. a) b) (2, 4, -1) d) (2, -8, -3) b) 1 3. a) -17 b) -33 c) c) -19 4. Demonstração 5. 6. a) Não b) Não 7. 8. a = -5 9. a = b= ou a = b= 10. UNIDADE IV 11. 12. 13. 14. 15. Vetores TEMA 08 3 Demonstração Demonstração Demonstração Demonstração VETORES - DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR TEMA 12 Pág. 48 VETORES - PRODUTO MISTO 1. Demonstração 2. Demonstração 3. Demonstração 4. a) uma resposta possível é Q(5, 10, -8) b) uma resposta possível é Q(-7, -4, -2) 5. a) (-2, 1, -4) c) (-7, 1, 10) Pág. 57 b) (-10, 6, 4) d) (80, -20, -80) 1. 1. a) (-2, 4, -6) b) (1, -4, -6) 2. (12, -8, -12) 3. k(3, 7, 1), k escalar 6. Demonstração 4. 5. - 5 TEMA 10 6. VETORES - PROJEÇÃO ORTOGONAL 108 Desenho Geométrico – Respostas dos Exercícios 7. a) Não 8. a) Sim 9. m = 4 10. a) 6 b) Sim b) Não b) c) Sim Pág. 75 DEMONSTRAÇÃO Pág. 77 DEMONSTRAÇÃO c) 2 ou -3 11. 44 u.v. UNIDADE V TEMA 16 Retas e Planos DISTÂNCIA ENTRE RETAS, PONTO E PLANO TEMA 13 RETAS E PLANOS - EQUAÇÃO DA RETA E DO PLANO Pág. 79 DEMONSTRAÇÃO Pág. 80 DEMONSTRAÇÃO Pág. 62 DEMONSTRAÇÃO Pág. 63 DEMONSTRAÇÃO Pág. 65 DEMONSTRAÇÃO Pág. 68 TEMA 17 DISTÂNCIA ENTRE RETA E PLANO Pág. 81 DEMONSTRAÇÃO TEMA 14 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS, PLANOS, RETAS E PLANOS TEMA 18 ÂNGULO ENTRE RETAS, ENTRE PLANOS E ENTRE RETA E PLANO Pág. 69 DEMONSTRAÇÃO Pág. 73 DEMONSTRAÇÃO Pág. 75 DEMONSTRAÇÃO Pág. 83 DEMONSTRAÇÃO Pág. 84 DEMONSTRAÇÃO Pág. 85 DEMONSTRAÇÃO TEMA 15 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS, PONTO E RETA 109 UEA – Licenciatura em Matemática UNIDADE VI 5. 6. 7. 8. 9. 10. CÔNICAS TEMA 19 CÔNICAS - PARÁBOLA Pág. 93 1. 3. 5. 7. 9. b a e a b 2. c 4. c 6. b 8. c 10. c TEMA 20 CÔNICAS: ELIPSE Pág. 98 1. 2. 3. 4. 5. 7. 8. 9. 10. d c d a d d a c d TEMA 21 CÔNICAS - HIPÉRBOLE Pág. 102 1. 2. 3. 4. b d e d 110 d c c d c b REFERÊNCIAS Ayres Jr, F. – Geometria analítica plana e sólida – S. Paulo – Mc Graw Hill do Brasil – 1983. Iezzi,G – Geometria analítica – S. Paulo – Atual – 1996. Oliva, W.M. – Vetores e geometria – S. Paulo – Edgard Blucher – 1990. Carvalho, J.P. – Introdução à álgebra linear – Rio de Janeiro- livros técnicos e científicos – 2002. Lang,S. – Álgebra linear - S. Paulo - Edgard Blucher – 1983. Machado, Antônio dos Santos – Álgebra linear e geometria analítica - S. Paulo- Atual editora – 1991. 111