Trabalho e Energia

Trabalho e Energia Na física uma força efetua trabalho quando age sobre um corpo, deslocando-o. Assim, há uma componente de força na direção do deslocamento. No caso de uma força constante, unidimensional, o trabalho é o produto do módulo da força pelo módulo do deslocamento. Deste modo, o trabalho W de uma força constante �⃗ cujo ponto de aplicação se desloca de ∆� é definido por: = � cos � ∆� = � ∆� em que θ é o ângulo de �⃗ e o eixo x, e ∆� é o deslocamento da força. O trabalho é uma grandeza escalar que é positiva se ∆� e � tiverem sinais iguais e negativo se tiverem sinais opostos. Em relação ao conceito de energia, este está intimamente associado ao de trabalho. Quando um sistema faz trabalho sobre o outro há transferência de energia entre os dois. Por exemplo, quando você faz trabalho empurrando um balanço, parte da energia química de seu organismo se transfere para o balanço e se manifesta como energia cinética do movimento ou energia potencial do sistema Terra-balanço. A energia cinética está associada ao movimento de um corpo. Por outro lado, a energia potencial está associada a configuração de um sistema. As dimensões de trabalho e energia no SI é o Joule (J), que corresponde a Newton por metro: = �∙� Vale ressaltar que na Física Atômica e Nuclear uma unidade conveniente de trabalho e de energia é o elétron-volt (eV): = , × − 9 Exemplo 1: Uma força de 12 N é aplicada, sob um ângulo de � = °, a uma caixa sobre uma mesa. Qual o trabalho da força quando a caixa se desloca 3 m, na horizontal? (Resposta 33,8 J) Quando diversas forças efetuam trabalho, o trabalho total é a soma dos trabalhos efetuados separadamente pelas forças: = � ∆� + � ∆� + � ∆� + ⋯ Quando as forças atuam sobre uma só partícula, o deslocamento da i-ésima força, é igual para todas as forças e igual ao deslocamento da partícula ∆�: = � ∆� + � ∆� + � ∆� + ⋯ = � +� +� =� ∆� ∆� Assim, no caso de uma partícula, o trabalho total pode ser calculado determinando-se a resultante das forças e calculando-se o trabalho total efetuado por esta resultante. Através da segunda Lei de Newton sabe-se que: � = �� Uma vez que o trabalho efetuado pela resultando das forças é igual ao trabalho total efetuado sobre a partícula, temos: � �� = � ∆� = �� ∆� Se a força for constante, a aceleração será constante e podemos relacionar a distância percorrida pela partícula com as velocidades inicial e final. Utilizando � Substituindo � ∆� por (� = �� + � ∆� − �� )/ na equação de trabalho, temos: � �� = �� − ��� A grandeza �� / é uma grandeza escalar. Assim, a energia cinética da partícula é dada por: = �� e o trabalho total � �� =∆ = �� − ��� Este é o teorema da energia cinética, válido quando a força resultante é constante e também quando é variável. Exemplo 2: Uma garota de 50 kg corre a 3,5 m/s. Qual a sua energia cinética? Resposta 306 J. Exemplo 3: Um caminhão de 3000 kg está sendo embarcado em um navio por um guindaste que exerce uma força de 31 kN, para cima, sobre o veículo. Esta força, suficiente para provocar o início do movimento, atua sobre uma distância de 2 m. Calcule (a) o trabalho efetuado pelo guindaste neste deslocamento, (b) o trabalho da gravidade e (c) a velocidade de subida do caminhão após 2 m. Exemplo 4: Em um tubo de televisão, um elétron é acelerado do repouso até a energia cinética de 2,5 keV, em uma distância de 80 cm. (A força que acelera o elétron é a força do campo elétrico no tubo de televisão). Determine a força que age sobre o elétron, admitindo que seja constante e tenha a direção do movimento do elétron. Exemplo 5: Um trenó é puxado por uma pessoa sobre um campo gelado. A pessoa puxa o trenó (massa total de 80 kg) com uma força de 180 N, fazendo um ângulo de 20° com a horizontal. Calcule (a) o trabalho efetuado pela pessoa e (b) a velocidade do trenó depois de cobrir 5 m. Admita que o trenó parta do repouso e que o atrito seja desprezível. O que acontece quando se mantém, pela ação dos músculos, um peso em uma posição fixa? Certamente, se despende energia do organismo, mas há trabalho? Conforme definição de trabalho, não se faz trabalho sobre o peso, pois o peso não se move. Porém, os músculos estão se contraindo e relaxando continuamente para mantém o peso em uma posição fixa, ou seja, em contínuo movimento e, há trabalho. Se considerarmos uma força variável, como por exemplo a força de uma mola espiral, a qual é proporcional à extensão ou à compressão da mola, o trabalho efetuado pela força variável pode ser aproximado por uma sequência de forças constantes, sendo dado por: = lim ∑ � ∆�� = ∫ � � ∆ �→ � Exemplo 6: Um corpo de 4 kg está pousado em uma mesa sem atrito e preso a uma mola horizontal que exerce uma força dada pela lei de Hooke �⃗ = − � ̂ com = �/� e x em metros medido a partir da posição de equilíbrio da mola. Originalmente, a mola está comprimida com o corpo em � = − corpo no deslocamento de � = − velocidade do corpo em � = �. �. Calcule (a) o trabalho feito pela mola sobre o � até a posição de equilíbrio � = � e (b) a Trabalho e Energia em três dimensões Primeiramente é necessário definir produto escalar. Sabe-se que o trabalho pode ser dado por: = � ∆� = � cos � ∆� Esta combinação entre os módulos de dois vetores e o cosseno do ângulo entre eles é o produto escalar dos dois vetores. Sendo ⃗ e ⃗⃗ dois vetores quaisquer, o produto escalar dos dois vetores é simbolizado por ⃗ ∙ ⃗⃗ e se define por: ⃗ ∙ ⃗⃗ = cos � em que � é o ângulo entre os dois vetores. Se for considerado as componentes cartesianas dos dois vetores têm-se: ⃗ ∙ ⃗⃗ = ( ̂+ Os termos cruzados como ̂) + ( ̂+ ̂+ ̂+ ̂) ̂∙ , são nulos. Por outro lado, o produto escalar ∙ + de um vetor unitário é igual a unidade: ̂ ∙ ̂ = ̂ ∙ ̂ = ̂ ∙ ̂ = . Então, ∙ . Logo: ⃗ ∙ ⃗⃗ = ∙ + ̂) ∙ ̂ = Exemplo 7: Calcule o ângulo entre os vetores ⃗ = � ̂+ � ̂. ̂+ ̂ é igual a ∙ + Vale ressaltar ainda que ⃗ ∙ ̂ = ( ̂∙ � ̂ e ⃗⃗ = � ̂− Exemplo 8: Um esquiador desce por uma encosta, com os esquis parafinados, de modo que o atrito é praticamente nulo. (a) Que trabalho é feito sobre o esquiador ao percorrer uma distância s sobre a encosta. (b) Qual a velocidade do esquiador ao chegar ao pé da encosta? Admita que a distância percorrida seja s, que o ângulo de inclinação seja θ e que a massa do esquiador seja m. A altura da descida é então ℎ = � sin �.