Capítulo 5 Series de Fourier

Capı́tulo 5 Series de Fourier 5.1. Introducción La teorı́a de las series de Fourier se origina a mediados del siglo XVIII en relación con el estudio de la cuerda vibrante. En 1753 Daniel Bernoulli defendı́a la tesis de que, para una amplia clase de funciones f (x), era posible expresar f (x) como una serie de senos X an sen nx. Sin embargo, otros matemáticos de la época (como D’Alambert y Euler) pensaban que esto no era posible. Posteriormente, Fourier (1807) usa estos desarrollos de forma natural en el estudio de la conducción del calor, pero no aporta demostraciones. Dirichlet (1829) fue el primero en probar de una forma rigurosa que la serie de Fourier converge hacia la función, si ésta es diferenciable a trozos. Esta disputa y la obra de Fourier, Theorie Analytique de la Chaleur (1822), dieron un gran impulso a la clarificación del concepto de serie y al desarrollo moderno del concepto de función. Para motivar el estudio de las series de Fourier, vamos a tratar de resolver un problema de contorno relativo a la ecuación del calor por el método de separación de variables 175 Se demuestra que, si se quiere encontrar la temperatura T (x, t), para cada instante t > 0, en cada punto de una barra delgada de longitud L, conocida la temperatura inicial T (x, 0) = f (x) y sabiendo que se mantiene la temperatura igual a 0◦ en los extremos de la barra, debemos resolver el problema de contorno siguiente:    2 = k ∂∂xT2 T (0, t) = T (L, t) = 0, 0 < x < L, t > 0   T (x, 0) = f (x). ∂T ∂t El método de separación de variables se basa en la búsqueda de una solución de la ecuación y de las condiciones de contorno con la forma u(x, t) = X(x) · τ (t). Las funciones desconocidas X(x) y τ (t) pueden determinarse a partir de las igualdades ( τ′ X ′′ = kτ X X(0) = X(L) = 0. ′′ ′ τ La primera igualdad obliga a que las funciones XX y kτ deben ser constantes. Por tanto, existe una constante real −λ de tal suerte que τ′ X ′′ = = −λ. X kτ Para encontrar X(x) y τ (t), debemos resolver los dos problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias siguientes: ( X ′′ = −λX X(0) = X(L) = 0 y τ ′ = −λkτ . Este segundo tiene la solución inmediata τ (t) = e−λkt . Para resolver el primero, escribimos la ecuación caracterı́stica de su ecuación diferencial, r2 = −λ. Si fuese λ < 0, la solución general de la ecuación diferencial vendrı́a dada por √ √ X(x) = c1 e( −λ)x + c2 e−( −λ)x , 176 en cuyo caso no habrı́a forma de conseguir que X(0) = X(L) = 0. Por tanto, √ √ debe ser necesariamente λ > 0. Entonces X(x) = c1 cos( λ)x + c2 sen( λ)x que, por las condiciones de contorno X(0) = X(L) = 0, se reduce a X(x) = sen nπx L (λ = (nπ/L)2 ). Vemos, pues, que el problema de contorno ( X ′′ = −λX X(0) = X(L) = 0 sólo tiene solución no trivial para λ = (nπ/L)2 (n ∈ N). Se dirá que son los autovalores del problema de contorno. La solución no trivial Xn (x) = sen nπx L que corresponde a cada autovalor λn = (nπ/L)2 se llama la autofunción correspondiente. Volviendo a la función T (x, t), el método de separación de variables nos ha permitido encontrar soluciones de la ecuación del calor (que verifican las condiciones de contorno) de la forma nπx (n ∈ N). L Dada la linealidad del problema, también es solución cualquier combinación lineal de funciones de este tipo 2 T (x, t) = e−kt(nπ/L) · sen T (x, t) = N X n=1 2 an e−kt(nπ/L) · sen nπx . L Si nos olvidamos de la cuestión de la convergencia, resulta fácil probar que una suma infinita T (x, t) = ∞ X n=1 2 an e−kt(nπ/L) · sen 177 nπx L también es solución de la ecuación del calor (y de las condiciones de contorno). Si queremos que esta última función verifique también la condición inicial T (x, 0) = f (x), los coeficientes an deben escogerse de forma que se cumpla la igualdad f (x) = ∞ X an sen n=1 nπx . L Es decir, la función f (x) debe poder representarse como una suma de senos. Por tanto, se podrá resolver el problema de contorno inicial en cuanto sepamos expresar una función dada, f (x), como la suma de una serie de senos: X nπx an sen . L En otras aplicaciones se presenta el problema de expresar una función como la suma de una serie de cosenos, X nπx an cos , L o incluso como la suma de una serie de senos y cosenos X¡ 5.2. an cos nπx ¢ nπx . + bn sen L L Series trigonométricas Una serie de la forma ∞ a0 X nπx nπx + + bn sen , an cos 2 T T n=1 (5.1) donde los coeficientes an y bn son constantes reales, se dirá que es una serie trigonométrica. Un importante problema que se plantea es el de determinar los valores de x para los que la serie es convergente. Este es el llamado problema de convergencia. Obviamente, si x es un punto de convergencia de la serie, entonces también lo son todos los puntos de la forma x + 2kT , 178 cualquiera que sea k ∈ Z (por ser periódicas de periodo 2T las funciones y sen nπx ). Por tanto, la función suma de la serie cos nπx T T ∞ a0 X nπx nπx S(x) = + + bn sen an cos 2 T T n=1 debe ser periódica de periodo 2T (en su dominio de convergencia). Pero nos planteamos ahora la situación recı́proca. Tenemos una función, f (x), definida en toda la recta real y periódica de periodo 2T . ¿Existe una serie trigonométrica del tipo (5.1) tal que su suma sea f (x), para cada valor de x?. Si la hay, ¿cómo se encuentra?. Este es el llamado problema de representación. ¿Existe más de una serie con tal propiedad?. Este es el problema de unicidad. Otro pregunta importante es ¿cómo se pueden encontrar los coeficientes? La respuesta a esta pregunta no es muy difı́cil, pero antes necesitamos tener presente una propiedad de las funciones que forman el llamado sistema trigonométrico, a saber πx 2πx 2πx πx , sen , cos , sen , T T T T 3πx 3πx , cos , sen ··· T T Estas funciones son mutuamente ortogonales en cualquier intervalo de longitud 2T . Concretamente, verifican las igualdades 1, cos Z = Z T cos nπx mπx cos dx = T T sen mπx nπx sen dx = 0, T T −T T −T para cada n 6= m, para cada n, m ∈ N, y Z T −T Z T −T sen nπx mπx cos dx = 0, T T nπx dx = cos T Z T −T 179 sen nπx dx = 0, T para n ∈ N. Estas igualdades, que se pueden comprobar mediante un cálculo elemental, juegan un papel fundamental en la respuesta a la última pregunta. También usaremos las igualdades elementales Z T Z T nπx 2 nπx cos sen2 dx = dx = T. T T −T −T Suponemos en todo lo que sigue, que las funciones que manejamos están definidas en toda la recta real, son periódicas de periodo 2T e integrables en el sentido de Riemann en el intervalo [−T, T ]. Sea f (x) una tal función de la que, además, sabemos que es representable por una serie trigonométrica, es decir, verifica f (x) = ∞ nπx nπx a0 X + + bn sen , an cos 2 T T n=1 para cada x ∈ R. Vamos a probar que los coeficientes deben ser Z 1 T nπx an = f (x) cos dx , n = 0, 1, 2, · T −T T y 1 bn = T T Z f (x) sen −T nπx dx , n = 1, 2, · T (5.2) (5.3) (5.4) En efecto, si multiplicamos ambos miembros de (5.2) por cos mπx e inteT gramos (término a termino) la igualdad resultante respecto de x en el intervalo [−T, T ], obtenemos Z T −T mπx dx = f (x) cos T Z ∞ h X an + cos −T n=1 +bn T Z T −T sen Z T −T a0 mπx cos dx+ 2 T nπx mπx cos dx+ T T mπx i nπx cos dx . T T 180 Si suponemos que m ≥ 1, la igualdad anterior se reduce a Z T Z T mπx mπx cos2 f (x) cos dx = am dx = T T −T −T = am T, pues las restantes integrales del segundo miembro son nulas en virtud de la ortogonalidad del sistema trigonométrico. De la igualdad anterior se deduce Z 1 T mπx am = f (x) cos dx , m = 1, 2, · · · T −T T Procediendo de forma análoga se comprueba que todos los coeficientes del desarrollo (5.2) vienen dados por las fórmulas (5.3) y (5.4). Hemos probado, por tanto, que si una función f (x) (de periodo 2T e integrable Riemann en [−T, T ]) es la suma de una serie trigonométrica (igualdad (5.2)), entonces necesariamente los coeficientes de dicha serie están determinados unı́vocamente por las igualdades (5.3) y (5.4). Es decir, caso de ser representable por una serie trigonométrica, sólo existe una tal serie que la represente. Este resultado conduce a la siguiente definición. Definición 5.2.1. Sea f (x) una función integrable en [−T, T ] (recordemos que suponemos en todo el tema que f está definida en todo R y es peródica de periodo 2T ). Los números an y bn dados por las igualdades 1 an = T Z T 1 bn = T Z T f (x) cos nπx dx , n = 0, 1, 2, · · · T f (x) sen nπx dx , n = 1, 2, · · · , T −T y −T se denominan coeficientes de Fourier de f y la serie trigonométrica ∞ a0 X nπx nπx + + bn sen an cos 2 T T n=1 181 se dirá que es la serie de Fourier de f y escribiremos ∞ nπx nπx a0 X an cos + + bn sen . f (x) ∼ 2 T T n=1 En la expresión anterior no podemos poner el signo = en lugar de ∼, mientras no hayamos probado por algún procedimiento que la serie de Fourier de f (x) es convergente y su suma es precisamente f (x). De esto nos ocuparemos en la siguiente sección. Ponemos fin a ésta indicando el por qué de la notación a0 /2. Escribiendo de esta forma el término constante de la serie de Fourier se consigue que a0 se pueda calcular con la misma fórmula (5.3) que los an , sin más que hacer n = 0. 5.3. El problema de convergencia. Condición de Dini Ahora abordamos el problema de, dada una función f (x) integrable en [−T, T ] y con periodo 2T , determinar los valores de x para los que la serie de Fourier de f es convergente y encontrar el valor de la suma de dicha serie. Se trata de un problema de gran dificultad para el que se han obtenido condiciones suficientes diversas. Aquı́ sólo vamos a recoger una de ellas, la condición de Dini, que es de fácil aplicación práctica. Para darnos una idea de lo complicado que puede ser el problema de convergencia, podemos citar el sorprendente resultado que establece que existen funciones continuas cuya serie de Fourier diverge para un conjunto infinito de valores de x. Uno de los resultados más recientes, debido a Carleson (1966), establece que la serie de Fourier de una función integrable Riemann (o incluso más general) es convergente en casi todos los puntos, pero no se sabe si la suma de la serie es f (x). Para facilitar la comprensión de la Condición de Dini, vamos antes a establecer una notación cómoda. Dada una función f y fijado x0 ∈ R, supongamos que existen los lı́mites laterales f (x0 +) y f (x0 −). Se define la función 182 fd (x) (la función parte derecha de f ) por ( f (x) si x > x0 fd (x) = f (x0 +) si x = x0 . y fi (x) (la función parte izquierda de f ) por ( f (x) si x < x0 fi (x) = f (x0 −) si x = x0 . Vemos que fd (x) es la propia f (x), para x > x0 y para x = x0 toma el valor natural de f en x0 , si se la analiza por la derecha. Teorema 5.3.1. (Condición de Dini) Sea f integrable en [−T, T ] y con periodo 2T y x0 ∈ R. Si fd (x) y fi (x) son derivables en x0 a la derecha y a la izquierda, respectivamente, entonces la serie de Fourier de f converge en x0 y su suma es (f (x0 +) + f (x0 −))/2. Es decir, se verifica f (x0 +) + f (x0 −) = 2 ∞ nπx0 nπx0 a0 X + + bn sen . an cos = 2 T T n=1 Por tanto, si además f es continua en x0 , entonces la serie de Fourier de f converge y su suma es f (x0 ). En particular, se sigue del Teorema precedente que, para toda función continua ( periódica ) con la propiedad de que en cada punto tiene derivadas laterales, se verifica la igualdad deseable f (x) = para cualquier x ∈ R. ∞ nπx nπx a0 X + + bn sen , an cos 2 T T n=1 183 5.4. Funciones pares e impares Cuando la función f es par o impar, la serie de Fourier asociada no tiene términos de la forma sen nπx ó cos nπx , según el caso. Este hecho puede ser T T explotado para desarrollar una función en serie de cosenos o en serie de senos. A) FUNCIONES PARES. Recordemos que una función f : R → R se llama par si verifica f (−x) = f (x), para cada x ∈ R. Vamos a probar que, en tal caso, los coeficientes bn son nulos y que los an pueden calcularse por las fórmulas Z nπx 2 T f (x) cos dx , n = 0, 1, 2, · · · (5.5) an = T 0 T Empezamos calculando el coeficiente bn Z nπx 1 T f (x) sen dx = bn = T −T T 1h = T Z 0 −T nπx f (x) sen dx + T Z T f (x) sen 0 nπx i dx . T Ahora, mediante un cambio de variable, veremos que la segunda integral es igual a la primera cambiada de signo. En efecto, haciendo el cambio x = −t en la segunda integral Z T Z −T Z 0 nπx nπ(−t) nπ(−t) f (x) sen f (−t) sen f (−t) sen dx = (−dt) = dt = T T T 0 0 −T =− Z 0 f (t) sen −T nπ(t) dt T en el último paso hemos usado el hecho de que f es par y sen nπ(t) impar. La T prueba de que an puede determinarse por la igualdad (5.5) es similar. Basta hacer el cambio de variable en la integral siguiente Z 0 nπx f (x) cos dx = T −T 184 = Z 0 f (−t) cos T = Z nπ(−t) (−dt) = T T f (−t) cos 0 = Z nπ(−t) dt = T T f (t) cos 0 nπt dt T son pares. en el paso final se ha usado que tanto f como cos nπt T Queda probado, pues, que si f es par y tiene periodo 2T , entonces su serie de Fourier tiene la forma ∞ a0 X nπx f (x) ∼ + , an cos 2 T n=1 con los coeficientes an dados por Z 2 T nπx an = f (x) cos dx, n = 0, 1, 2, 3 · · · . T 0 T B) FUNCIONES IMPARES. f se llama impar si verifica f (−x) = −f (x), para cada x ∈ R. Si f es impar y tiene periodo 2T , su serie de Fourier tiene la forma ∞ X nπx , f (x) ∼ bn sen T n=1 con los coeficientes bn dados por Z 2 T nπx bn = f (x) sen dx, n = 1, 2, 3 · · · . T 0 T En este caso omitimos las pruebas pues son semejantes a las del caso anterior. Nota 5.4.1. Hemos visto en la introducción que en las aplicaciones podemos encontrarnos con el problema de desarrollar en serie de sólo senos una función definida en cierto intervalo. Vamos a ver cómo podemos explotar los 185 resultados anteriores para resolver este tipo de problemas. Para simplificar, supongamos que tenemos la función f (x) = x definida en el intervalo (0, L) y nos piden que la desarrollemos en serie de senos. Como la teorı́a que hemos desarrollado hasta el momento es válida para funciones definidas en toda la recta real y con periodo 2T , no hay problema alguno en definir nuestra función fuera del intervalo (0, L) de modo que resulte una función impar y de periodo 2L. El desarrollo en serie de la nueva función sólo contiene senos por tratarse de una función impar y nos sirve, en particular, para la función inicial que sólo estaba definida en (0, L). Una vez obtenido el desarrollo en serie de senos, se estudia su convergencia usando la condición de Dini. El desarrollo tendrá la forma x∼ ∞ X bn sen n=1 nπx (0 < x < L), L y los coeficientes vienen dados por Z nπx 2 L x sen dx, n = 1, 2, 3, · · · bn = L 0 L Empezamos calculando los coeficientes integrando por partes Z 2 L nπx bn = x sen dx = L 0 L Z L 2 ³£ L nπx ¤x=L nπx ´ L = + x cos cos dx = − L nπ L x=0 L 0 nπ nπx ¤x=L ´ 2 ³ L2 L2 £ = cos nπ + 2 2 sen = − L nπ nπ L x=0 2L(−1)n+1 2L cos nπ = =− nπ πn n (se ha usado la igualdad cos πn = (−1) ). Luego el desarrollo pedido es x∼ ∞ X 2(−1)n+1 L n=1 πn 186 sen nπx . L Ahora usaremos la condición de Dini para determinar si la serie obtenida es convergente y su suma es f (x) = x. Nuestra función es continua y derivable en cada punto de (0, L), por tanto, la condición de Dini nos asegura que la serie es convergente y su suma es f (x). Hemos probado, pues, la igualdad x= ∞ X 2(−1)n+1 L πn n=1 sen nπx , 0 < x < L. L Si quisiéramos descubrir si la serie es convergente para x = ±L, debemos notar que por la periodicidad de f debe ser f (−L) = f (L). Pero, además, f es impar, por tanto, también f (−L) = −f (L). Resulta, pues que se verifica f (±L) = 0 (estamos manejando la función que se extendió a toda la recta real). Vamos a estudiar el caso concreto x = L, pues el otro es similar. Es claro que f (L+) = −L, f (L−) = L y las funciones fd (x) y fi (x) tienen derivada a la derecha y a la izquierda, respectivamente. Por tanto, la condición de Dini (L−) = 0. Es nos asegura que la serie es convergente y su suma vale f (L+)+f 2 decir, se verifica ∞ X 2(−1)n+1 L nπL 0= sen = πn L n=1 = ∞ X 2(−1)n+1 L n=1 πn sen nπ, lo que, por otro lado, es una igualdad obvia, pues cada sumando de la serie es nulo por ser sen πn = 0, para todo n natural. 5.5. Propiedades de los coeficientes de Fourier 1) Identidad de Parseval. Se demuestra que toda función f integrable en el sentido de Riemann en [−T, T ] y con periodo 2T verifica la llamada identidad de Parseval Z ∞ ¢ a20 X ¡ 2 1 T 2 f (x)2 dx. an + bn = + 2 T −T n=1 187 A partir de esta identidad se obtienen las desigualdades de Bessel siguientes Z ∞ X 1 T 2 f (x)2 dx an ≤ T −T n=1 ∞ X b2n n=1 1 ≤ T Z T f (x)2 dx. −T En particular, se sigue que lı́m an = lı́m bn = 0. n→∞ n→∞ 2) Relación entre los coeficientes de Fourier de una función y su derivada Si f es una función periódica de periodo 2T con derivada integrable en [−T, T ], entonces también f ′ tiene periodo 2T . Vamos a encontrar la relación que existe entre los coeficientes de Fourier de ambas. Haciendo uso de la fórmula de integración por partes, resulta Z nπx 1 T f (x) cos dx = an = T −T T 1³ T £ nπx ¤x=T = f (x) sen − T nπ T x=−T Z T T ′ nπx − f (x) sen dx = T −T nπ Z T nπx T 1 f ′ (x) sen dx = − bn (f ′ ). =− nπ −T T nπ Procediendo de la misma forma se obtiene la relación entre los otros coeficientes. Las siguientes igualdades recogen estas relaciones an = − T T bn (f ′ ), bn = an (f ′ ), n = 1, 2, · · · nπ nπ Nota 5.5.1. Precisamente las relaciones anteriores son la base para demostrar que las funciones (periódicas) con derivada integrable Riemann tienen 188 la propiedad de que su serie de Fourier converge uniformemente hacia f (x). Recordamos que esto significa que, dado ǫ > 0, puede encontrarse n0 de modo que n X ¡ nπk kπx ¢ |f (x) − a0 /2 + (ak cos + bk sen ) | < ǫ, T T k=1 cualesquiera que sean x ∈ R y n ≥ n0 . Por tanto, las sumas parciales de la serie de Fourier convergen hacia f (x) con la misma velocidad para todos los x. Este hecho es de suma importancia, pues cuando una serie de funciones converge uniformemente, se demuestra que ésta puede derivarse e integrarse miembro a miembro. Ası́, por ejemplo, la integral de una tal f (x) verifica Z b f (x) dx = (a0 /2) Z b f (x) dx+ a a Z b ∞ h X nπx an f (x) cos + dx+ T a n=1 +bn Z a b nπx i dx . f (x) sen T PROBLEMAS RESUELTOS 1. Obtener el desarrollo de Fourier de una función f periódica de periodo 2, sabiendo que f (x) = x(2 − x), para 0 ≤ x ≤ 2. Empezamos dibujando la gráfica de f (x). Vemos que es una función par (simétrica respecto del eje OY) y de periodo 2. Por tanto, en este caso T = 1 es el semiperiodo y el intervalo fundamental es [−1, 1]. Por ser par, los coeficientes bn son todos nulos y sólo necesitamos calcular los an . Primero calculamos a0 Z 1 £ x3 ¤x=1 = (x(2 − x) dx = 2 x2 − a0 = 2 3 x=0 0 189 Y -2 -1 0 1 3 2 X 1 = 2(1 − ) = 4/3. 3 A continuación calculamos los an , para n ≥ 1, integrando por partes dos veces Z 1 −2 nπx . dx = f (x) cos an = 2 1 (πn)2 0 Por tanto, la serie de Fourier tiene la forma f (x) ∼ a0 /2 + ∞ X n=1 an cos nπx = 1 ∞ 2 X cos nπx = 2/3 − 2 . π n=1 n2 Ahora debemos estudiar la convergencia de la serie. Para ello, usamos la condición de Dini. Como nuestra función es continua en todo R y tiene derivadas laterales en todos los puntos, se deduce que la serie converge y su suma es f (x), cualquiera que sea x ∈ R. 2. Hallar la serie de Fourier de la función ( 0, −π ≤ x ≤ 0 f (x) = x, 0<x≤π 190 Definimos la función fuera de (−π, π) de modo que sea periódica de periodo 2π. Su gráfica tiene la forma Y X -p p 0 2p Calculamos los coeficientes de Fourier: Z π 1 f (x)cos nx dx = π −π Z 1 a0 = π 1 an = π Z π = 1 bn = π π 1 f (x) dx = π −π Z ( 0 π , 2 π xcos nx dx = 0 − πn2 2 si n es impar, 0 si n es par, π 1 f (x)sen nx dx = π −π Z x dx = = Z π xsen nx dx = 0 (−1)n+1 , ∀n. n Entonces la serie de Fourier viene dada por ∞ ∞ π 2 X cos (2n − 1)x X (−1)n+1 sen nx + − . 4 π n=1 (2n − 1)2 n n=1 191 Ahora estudiamos la convergencia de la serie. Para x ∈ (−π, π), se trata de una función continua y con derivadas laterales. Por tanto, la condición de Dini nos garantiza que la serie de Fourier es convergente y su suma es f (x). EL estudio en los otros puntos es similar, por lo que vamos a considerar el caso x = π. En este punto la función es discontinua, pero las funciones fd y fi son derivables a la derecha y a la izquierda, respectivamente. Entonces la condición de Dini nos dice que la serie de Fourier es convergente para x = π y su suma es 0+π f (π+) + f (π−) = . 2 2 3. Obtener el desarrollo en cosenos de la función ( x, 0 ≤ x ≤ 2 f (x) = 4 − x, 2 < x ≤ 4 Definimos f fuera del intervalo [0, 4] de modo que la función sea par y periódica de periodo 4. Y X -4 -2 0 2 4 Obtenemos un desarrollo en cosenos de la nueva función con Z 2 Z 2 2 x2 a0 = x dx = [ ]x=2 f (x) dx = = 2. 2 0 2 x=0 0 192 A continuación calculamos los coeficientes an (n ≥ 1): Z Z 2 2 2 nπ nπ an = f (x)cos xcos x dx = x dx. 2 0 2 2 0 Integrando por partes, se obtiene ( an = 0, − n24π2 , si n par, si n impar. Por tanto, la serie de Fourier en cosenos es ∞ a0 X nπ + x= an cos 2 2 n=1 =1− ∞ X n=1 (2n − 1)π 8 cos x. (2n − 1)2 π 2 2 Como f (x) es continua y tiene derivadas laterales en todo punto, se sigue que la serie es convergente y su suma es f (x). 4. Hallar la serie de Fourier en senos de la función f (x) = 1, ∀x ∈ [0, 2]. Y X -2 2 0 Definimos f fuera del intervalo [0, 2] procurando que sea impar y periódica de periodo 4. Como la función f es impar, an =0, para todo n. 193 Por otra parte, 2 bn = 2 Z 2 sen 0 nπx 2 dx = (1 − cos nπ) = 2 nπ 2 = (1 − (−1)n ) = nπ ( 0, 4 , nπ n par n impar. En consecuencia, el desarrollo en senos de f es ∞ X 2 nπx (1 − cos nπ)sen = nπ 2 n=1 = ∞ X n=1 (2n − 1)πx 4 sen . (2n − 1)π 2 La condición de Dini nos asegura la convergencia de la serie hacia f (x), para cada x ∈ (0, 2). Para x = 0 ó x = 2 la serie de Fourier converge hacia cero. PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Hallar la serie de Fourier de la función ( 0 si −π ≤ x ≤ 0 f (x) = sen x si 0 ≤ x ≤ π, indicando si la suma de la serie coincide con la función. Solución: ∞ X cos 2kx , para cada x ∈ R. f (x) = 2/π + (1/2) sen x + (2/π) 1 − 4k 2 k=1 194 2. Hallar el desarrollo de Fourier de la función periódica de periodo 2π definida por f (x) = ex , para x ∈ [−π, π]. Estudiar la convergencia y suma de la serie. Solución: f (x) = ∞ X (−1)n (π cos nx − πn sen nx) ´ = senh π , +2 π π 2 (1 + n2 ) n=1 ³1 para cada x distinto de un múltiplo entero de π. 3. Desarrollar en serie de Fourier la función f (x) = | cos x|, para cada x ∈ R. Solución: ∞ X (−1)k cos 4kx, para cada x ∈ R (f es 2 1 − 4k k=1 periódica de periodo π y par). f (x) = 2/π + cos 2x + (4/π) 4. Desarrollar en serie de senos la función f (x) = π − x en el intervalo (0, π). Aplicar la condición de Dini para estudiar la convergencia. Solución: ∞ X 2 f (x) = sen nx, para 0 < x ≤ π. n n=1 5. Desarrollar en serie de cosenos la función f (x) = ( x si 0 < x ≤ 1 2 − x si 1 < x < 2, Solución: 2 f (x) = (1/2) − (4/π ) ∞ X cos(2n + 1)πx n=0 (2n + 1)2 195 , para todo x ∈ (0, 2) .