MATEMATIKA TEKNIK I (TKE-205)_MATRIKS

MATEMATIKA TEKNIK I (TKE-205) PERTEMUAN KE-4 MATRIKS FITRIAH,ST,MT 9/14/2021 PERTEMUAN 4: MATRIKS OPERASI MATRIKS 9/14/2021 JENIS MATRIKS PERKALIAN MATRIKS TRANSPOSE MATRIKS FITRIAH,ST,MT ADJOINT MATRIKS MATRIKS Matriks adalah sejumlah bilangan riil atau bilangan kompleks (atau elemen) yang disusun dalam baris2 dan kolom2 untuk membentuk susunan empat persegi panjang. Matriks mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks (m×n), umumnya disebut matriks orde (m×n). Matriks dinyatakan/ditandai dengan susunan dalam tanda kurung sebagai berikut : 5  6 7 3 2  8 14/09/2021 5 6  2 −3 dan  7 8  6 7  4  2 7  adalah matriks (4×3)  5  Setiap elemen matriks memiliki alamat khusus atau lokasi yang didefinisikan dengan suatu sistem akhiran gand, yang pertama adalah baris dan yang kedua adalah kolom.  a11 a12 a13 a14     a21 a22 a23 a24  a a a a   31 32 33 34  adalah matriks (2×3) FITRIAH,ST,MT MATRIKS Notasi matriks dapat ditandai dengan  a11 a12 a13 a14    aij atau a atau A =  a21 a22 a23 a24   a a a a  31 32 33 34  sama halnya dengan  x1    dapat ditulis dengan  x2   x  xi atau x atau X  3 14/09/2021 FITRIAH,ST,MT OPERASI MATRIKS Dua matriks, jika elemen-elemen seletak sama  a11 a12 a13   4 6   =   a21 a22 a23   2 3 a11 = 4 ; a12 = 6 ; a13 = 5 5  7 a21 = 2 ; a22 = 3 ; a23 = 7 1). A  B Elemen seletak dari kedua matriks, dijumlahkan atau dikurangkan. 2). k•B Kontanta k dikalikan dengan elemen2 matriks. 14/09/2021 FITRIAH,ST,MT JENIS MATRIKS 1). Matriks persegi empat. (m×m). 2). Matriks diagonal ialah matriks persegi yang elemen luar-diagonal nol. 5  0 0  0 2 0 jika 5  A = 1 7  0  0 7  3). Matriks satuan ialah matriks persegi yang elemen luar-diagonal nol dan elemen diagonal 1 1 0 0    0 1 0 0 0 1   14/09/2021 2 3 9 4  8  dan I = 6  maka A.I = A = I.A =I FITRIAH,ST,MT 1  0 0  0 1 0 0  0 1  Syarat dua matriks hanya dapat dikalikan bersama-sama bila jumlah kolom dari matriks pertama adalah sama dengan jumlah baris matriks kedua. Matriks I A = aij =  a11   a21 Matriks II B = bmn = a12 a22 a13   a23  baris  a11 A.B=  a  21 a22  a11b1 + a12b2 + a13b3  A.B=   a b + a b + a b  22 2 23 3   21 1  b1     b2  b   3 14/09/2021 a12  b1  a13      b2  a23     b3  A.B  B. A FITRIAH,ST,MT kolom PERKALIAN MATRIKS PERKALIAN MATRIKS Contoh Soal : 4 A.B=  2  7 3 8 6    5  1  9  (4  8) + (7  5) + (6  9)  121 A.B=  (2  8) + (3  5) + (1 9)  =  40      14/09/2021 FITRIAH,ST,MT PERKALIAN MATRIKS Jika A = (aij) dan B = (bmn) A.B = C Jika j = m → maka C = (cin) n C jk =  a jl blk l =1 14/09/2021 FITRIAH,ST,MT PERKALIAN MATRIKS Contoh Soal : 4  A = 7 2  6  dan 9 5   9 B =  − 2 2 3 4  6 A.B=C 2 C jk =  a jl blk l =1 C11 = a11b11 + a12b21 = 4(9) + 6( −2) = 24 C12 = a11b12 + a12b22 = 4( 2) + 6(3) = 26 C13 = a11b13 + a12b23 = 4( 4) + 6(6) = 52 14/09/2021 FITRIAH,ST,MT TRANSPOSE MATRIKS Baris dipertukarkan jadi Kolom dan Kolom dipertukarkan jadi Baris. A → AT A = (aij) → AT = (aji)  a11 A =   a21 14/09/2021 a12 a22 a13   a23    a11  T A =  a12 a  13 FITRIAH,ST,MT a21   a22  a23  TRANPOSE MATRIKS Contoh Soal : 1). 4 A=  7 2  6  dan 9 5  2 2). A =  3 7 1  35 A.B=   20  (A.B)T =  35   79 14/09/2021 4 6 AT =   6  dan 5 7 9 4  B = 3 1  2  5 0  7 5  79   32  20   32  FITRIAH,ST,MT MATRIKS 2 AT =  7 6  3  dan 1 5  BT  8  AT.BT =  28  24   8  T T T (A .B ) =  27  17  14/09/2021 = 4  0 3 7 1  5 27 17   28 12  53 31 28 28 12 24   53  31  FITRIAH,ST,MT DETERMINAN MATRIKS Matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris sama dengan jumlah kolom. Matriks hanya memiliki determinan jika jumlah baris sama dengan jumlah kolom. Contoh Soal : 5  Det (A) =  0 8  2 6 4 5 1  3  adalah 0 8 7  2 1 6 4 3 7  ( A) = 5(42 − 12) − 2(0 − 24) + 1(0 − 48) = 150 14/09/2021 FITRIAH,ST,MT DETERMINAN MATRIKS 5  Det (AT) =  2 1  0 6 3 5 8  4  adalah 2 1 7  0 8 6 3 4 7  ( AT ) = 5(42 − 12) − 0(4 − 14) + 8(6 − 6) = 150 3  matriks A =  4 1  5  9 8 6  2 5 2 7 3 Det ( A) = 4 7 9 1 8 6 14/09/2021 FITRIAH,ST,MT LISTING MATLAB % Determinan Matriks clear; clc; A =[3 2 5;4 7 9;1 8 6] % det_Mat = Determinant(A) % [m,n] = size(A); % for k = 1:n-1 for i= k+1:n if A(i,k) ~= 0 lambda = A(i,k)/A(k,k); A(i,k+1:n) = A(i,k+1:n) - lambda*A(k,k+1:n); end end end A det = prod(diag(A)) 14/09/2021 FITRIAH,ST,MT KOFAKTOR Jika A = ( aij ) adalah matriks persegi, kita dapat membentuk suatu determinan dari elemen2nya. a11 a21 a31  an1 a12 a22 a32  an 2 a13 a23 a33  an 3      a1n a 2n a3n  ann Setiap elemen dapat menjadi cofaktor yang disederhanakan, minor dari elemen dalam determinan dengan tanda lokasi. 14/09/2021 FITRIAH,ST,MT Contoh Soal : 2  matriks A =  4 1  3 1 4 5  6 0  Minor dari elemen 2 adalah 1 6 = −24 4 0 Minor dari elemen 3 adalah 4 6 = −6 1 0 14/09/2021 Minor dari elemen 5 adalah 4 1 = 15 1 4 Det(A) = 2 4 1 3 5 1 6 = −24 − −6 + (15) = 45 4 0 FITRIAH,ST,MT KOFAKTOR tanda lokasi dari elemen 2 adalah (+), sehingga cofaktor dari elemen 2 adalah + (-24) = - 24 Di dalam determinn telah kita ketahui bahwa tanda lokasi elemen dapat dinyatakan dengan (aij) = (-1)(i+j) +  − +         − + − + − + −  + −  14/09/2021              FITRIAH,ST,MT ADJOINT MATRIKS Dari suatu matriks persegi dapat kita bentuk matriks baru C dari cofaktornya sebagai berikut :  A11  C =  A21 A  31 A12 A22 A32 A13   A23  A33  dimana A11 adalah cofaktor dari a11 , ...... dst Aij adalah cofaktor dari aij 14/09/2021 FITRIAH,ST,MT Contoh Soal : Tentukan matriks cofaktor dan Adjoint dari matriks di bawah ini : 2  A = 4 1  3 1 4 A11 = (−1) (1+1) A12 = (−1) (1+ 2 ) A13 = (−1) (1+ 3) 5  6 0  1 4 6 = −24 0 4 1 6 =6 0 4 1 14/09/2021 1 = 15 4 A21 = (−1) A22 = (−1) ( 2 +1) ( 2+ 2) A23 = (−1) ( 2 + 3) 3 4 5 = 20 0 2 1 5 = −5 0 2 1 3 = −5 4 FITRIAH,ST,MT A31 = ( −1) ( 3+1) A32 = ( −1) ( 3+ 2 ) A33 = ( −1) ( 3+ 3 ) 3 1 5 = 13 6 2 4 5 =8 6 2 4 3 = −10 1 Contoh Soal : Jadi matriks cofaktor C=  − 24   20  13  6 −5 8 15   −5  − 10  Adjoint dari matriks A adalah Transpose cofaktor Transpose cofaktor CT =  − 24   6  15  14/09/2021 20 −5 −5 13   8  − 10   − 24  T Matriks Adjoint A = C =  6  15  FITRIAH,ST,MT 20 −5 −5 13   8  − 10  LISTING MATLAB % function A = LUdec(A) % LU decomposition of matrix A; returns A = [L\U]. % USAGE: A = LUdec(A) n = size(A,1); for k = 1:n-1 for i = k+1:n if A(i,k) ~= 0.0 lambda = A(i,k)/A(k,k); A(i,k+1:n) = A(i,k+1:n) lambda*A(k,k+1:n); A(i,k) = lambda; end end end % disp('LU Matrix :') disp(A) 14/09/2021 FITRIAH,ST,MT LISTING MATLAB % function x = LUsol(A,b) % Solves L*U*b = x, where A contains both L and U; % that is, A has the form [L\U]. % USAGE: x = LUsol(A,b) if size(b,2) > 1; b = b'; end n = length(b); for k = 2:n b(k) = b(k) - A(k,1:k-1)*b(1:k-1); end for k = n:-1:1 b(k) = (b(k) - A(k,k+1:n)*b(k+1:n))/A(k,k); end x = b; % 14/09/2021 FITRIAH,ST,MT LISTING MATLAB % factorization proccess function [x,det] = factorization(A,b) if size(b,2) > 1; b = b'; end n = length(b); % b harus merupakan vektor kolom for k = 1:n-1 for i= k+1:n if A(i,k) ~= 0 lambda = A(i,k)/A(k,k); A(i,k+1:n) = A(i,k+1:n) - lambda*A(k,k+1:n); b(i)= b(i) - lambda*b(k); A(i,k) = 0; end end end if nargout == 2; det = prod(diag(A)); end for k = n:-1:1 b(k) = (b(k) - A(k,k+1:n)*b(k+1:n))/A(k,k); end A 14/09/2021 FITRIAH,ST,MT