Relato conciso sobre matemáticas básicas

RELATO CONCISO SOBRE MATEMÁTICA BÁSICA FRANCISCO RAMóN!SALAZAR VELASCO JOSÉ MIGUEL SA1..AZAR MONTIEL CARLOS ZUBIETA BACILLO UN'VF."'S'OAD AVT ONOMI\ MET~O UNIDAD ACZCI\POT"ZALCO P OLITA N A RECTO" O",. AO"" Á N GE IM"'OO V io: CA"'AY SÁNCHEZ SEC"'t.'AR'A O"A . ST LV 'E JEANNETVIIP'N M A RlON COORDI N AOORA GEN ERAL DE DeSARROL LO AC"'OltMICO DRI\ . N ORMA RONDERD LO P EZ COORD'NADOR DE El<TE N S'ÓN UN' VERSIY A"'''' 0 . 1. JORGE ARMA N OO M ORALES ACEVES JEFE DE LA 5ECCIO N OE P RODUCCiÓ N y DISTRIBUCiÓN EDITORIALES LI C . FRA NCISCO J AVIE R RA M i R EZ TR EV I ÑO UN'VERSIDAO Au ·r Ó N OMA METROPOLITANA UNIDAD AZCAPOr.zALCO Av . SAN PABLO 180 COL. RETNOS A TAM AU LlPAS DEL. AZCAPonALCO 02200 MEl<ICO . D . F . ~ C. P . UNIVIo:RSIDAD AUTÓNOMA M ETROPOLITANA U N IDAD AZCAPOTCZl\LCO FRANC I SCO R ...... Ó N SALAZAR VELASCO JOSE MIGUEL SALAZAR MONTIEL CARLOS ZUBIETA BAOILLO RCI...A TO CON CISO soeRF. MA T,,"'A TlCA !:IAStCA ISBN : 978-970-3 1 ·0936-6 1 ". EOICIDN . 2009 IMPR Io:SO E N M E l<I CO CONTENIDO PREFACIO .. CAPiTULO 1. NÚMEROS Y OPERACIONES .. Numeros naturales yenteros .. Numeros racionales .. Numeros irracionales . Sistemas y notaciones de numeración .. . ........................ XI .1 .............. 1 12 . .... _................. 21 26 CAPiTU LO 2. ÁLGEBRA . ......................................... 31 Suma '1 resta de polinomios.. ... ..................... ..... ...................... 32 Multiplicación y productos notables . 34 División y factores de un polinomio ....... ................................................. 39 o •• o •• Fracciones algebraicas .. Ecuaciones de primer grado con una incógnita _. Ecuaciones lineales .. 48 50 .... ................... 53 ........................................ 56 Sistemas de ecuaciones lineales .. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita . ....... 61 Aplicación de ecuaciones para obtener factores de un polinomio .................. 65 CAPiTULO 3. GEOMETRIA .. Áreas . Ángulos. . Eratóstenes, medición de la Tierra . Teorema de Pitagoras . CAPiTULO 4. TRIGONOMETRiA . Funciones trigonométricas y su evaluación . Identidades con funciones trigonométricas .. CAPiTULO 5. GEOMETRIA ANALlTICA.. Recta . Circunferencia.. Parábola . Elipse .. Hipérbola . . ......... 67 ...................... 67 . ... 69 ....... 74 78 81 ....... 8' . ....... 87 93 .. 93 ...... 105 113 ................. 122 .... 130 ANEXOS . 137 A1. Principio de inducción matemática .. . 137 A2. Apticación de las ecuaciones para descomponer fracciones algebraicas en fracciones parciales. . .......... 141 A3. Fórmula de Herón . .. 149 ...... 153 Tablas de funciones trigonométricas ,.. .... 157 Fórmulas .. .. 170 BIBUOGRAFIA . RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS .. . 171 INDtCE .. . 185 Tu sabes muy bien que este libro fue escrito para ti, no lo eches en saco roto. En recuerdo de José, Benigna , Ewen , Alexandra, John Douglas, Isabella , Benito, Mercedes , Melchor, Dolores , Guadalupe, Ruflna , Richard James, Anne, Edward , Mary Ann, Luis, Marina, José, Victoriana , Casimiro, Teresa, Agustln, Bernardina , Miguel , Eulalia, Donald , Margare!. John, Mary , Manuel, Concepción , Federico, Concepción, Juan, Ignada, Damián, Maria Jesús, Rafael , Rafaela, José del Carmen, Margarita, John, Ann, Joaquín Genaro, Maria, Gerardo, Maria Eugenia , Ramón, Paula , Duncan , Maria Teresa , Daniel Nicolas , Estela, Ramón , Elisa, Daniel Gerardo y Yoya Porque sin ustedes nada P itágor as Fue Pit.:igoras qu~n llevó a la geometrla a su perfe<:ción, después de haber descubierto Moeos los inicios de los elementos de es¡':¡ cIencia , tal como dice AntlcleH:las en el segundo libro de la Hr$lona de Alejandro. Afirma que Plt.:igoras se dedicó particularmente al aspecto aotméll<:o de la geometrla, y que des<:ubri6 los intervalos mUSIcales del monocordio, no descuido tampoco la medicina. Apotodoro el anlméhco dice que sacrifIcó a los dioses al encontrar qve el cvadrado consltlJido SObre la hipotenusa del triéngulo rectángulo es Igval a la suma de los cvadraoos sobre los laoos que fOn'l'1ar. el .:ingulo recio. Hay vn epigrama que dice asl. Como al encon!r., Pltilgoras l a f amosa figura por la cual ofreció el noble sacrificio. Oiógenes laercio Prefacio ~SM al.lé de ~n libro de matemáticas se busca orientar al lector en general sobre la ubicaCión histórica de los conocimientos de cultura general en matemáticas correspondientes a nivel medio y medio superior. Además con este libro se pretende orientar a los estudiantes sobre los conocimientos básicos en matemáticas que deben saber al concluir el nivel medio superior para el buen desempel'io en sus cursos de matemáticas a nivel licenciatura. Es una gula para que personalmente se responsabilicen de cubrir lagunas y resuelvan dudas Antecedentes El deterioro que ha sufrido la educación pública, asl como todas las demás instituciones del pais producto de todos estos arios de crisis económica , se ha re flejado en una continua y ya muy pre ocupante baja en el nivel académico con que llegan los estudiantes del nivel mediO a la universidad . A nivel universitario están presentes contradicciones. Así, los profesores estan en el deber de impartir los cursos correspondientes y los alumnos en la obligación de asimilar la ensel'ianza que se les brinda Sin embargo. la proporción de conclusión del Objetivo anterior se ve en dificultades cada vez mayor. La demanda de educación ha disminuido de manera preocupante y el avance en las carreras profesionales muestra índices igualmente preocupantes. Sin entrar en la discusión de nuestra responsabilidad como profesores universitarios porque es un problema que no esta en los objetivos del presente te)(\o. Si me interesa establecer la contradicción constante entre impartir los temas de los cursos o tratar de llenar los huecos que presentan los alumnos. Las respuestas a la contradicción van entre los extremos de dedicar a suplir las deficiencias hasta ignorarlas y dedicarse estrictamente a los temas del curso. Aun cuando nuestra obligación tiene más que ver con la segunda postura no es posible que ignoremos esta. cada vez mayor. defiCienCia y nos quedemos de espectadores ante el fracaso de tantos alumnos para salir adelante en sus estudios. Destinatarios Este libro se dirige a estudiantes de nivel mediO. medio superior y aquellos que inician una carrera universitaria ; asi como de manera especial al público en general interesado en tener una cu!lura general de matemáticas más allá de las cuatro operaciones aritméticas con interés en la ubicaCión histórica de los aportes matemátiCOS y contex to en que surgieron A los estudiantes de nivel mediO les sirve de marco de referenCia para conocer los conceptos mlnimos que deben aprende r para el buen desemperio de sus estudios en matemáticas y relacionados A los estudiantes que IniCian una carrera universitaria, es un indicador de los conceptos que ya deberian saber. para en caso con trario. ponerse al día. A qUienes buscan una res puesta rápi da ante una duda concreta. XII Relato conciso sobre matemática básica Propósito Con la intención de ayudar un poco a resolver la mencionada con tradicción presento este texto de "Matemáticas preuniversitarias " para que los alumnos tengan una referencia de la base minima necesaria que supuestamente deben traer del nivel medio y medio superior y están en ia obligación de conocer para salir adelante en sus cursos de matemáticas de cualquier profesión que elijan. Contenido El presente texto abarca desde las propiedades de los numeros y sus operaciones hasla los conceptos generales de las cónicas desde el punto de vista de la geometría analítica, incluyendo los conceptos en álgebra desde operaciones con polinomios hasta ecuaciones algebraicas, en geometria áreas y ángulos, en trigonometria las func iones trigonométricas y las principales identidades. Además se anexan el principio de inducción matemática , descomposición en fracciones parci ales, tabtas de las principales funciones trigonométricas en función de ángulos principalmente en el sistema circular. un formulario con todas las fórm ulas aplicables en el mismo texto aunque también incluye fónnulas de derivadas e integrales. En todos los lemas incluye los métodos de solución incluso, en muchos casos, desglosados paso a paso, asi como ejemplos de cada uno 'f listas con ejercicios y problemas Como fue la motivación de iniciar este libro. especialmente deseo que el presente texto sea una herramienta de los alumnos de primer ingreso para mejorar su desempef\o en los cursos de matemáticas. Para terminar, quiero agradecer especialmente al editor por exhibir su talento y profesionalismo en la laboriosa tarea de llevar a la realidad un libro. Capítulo 1. NÚMEROS Y OPERACIONES En los orlgenes del hombre surge la necesidad de contar, as! los primeros números que se utilizan son lo que ahora conocemos como números naturales que son el conjunto de números que , desde niños, valga la redundancia los usamos para contar. Números naturales y enteros Asi, he aquí el conjunto de los números naturales: N ", {l. 2. J. 4. j, ... } También podemos suponer que las primeras operaciones básicas que se hicieron fueron sin duda la suma y la multiplicación , de las cuales es importante destacar las siguientes: Propiedades 1.1 a +b '" b+o (ley conmutativa en suma) (ley asociativa en suma) ab = bo (ley conmutativa en multiplicación) a(bc) = (ob)c (ley asociativa en multiplicación) (0+6 )(; = ac+bc (ley distributiva de la multiplicación con la suma) Observación : Estas propiedades valen para todos los numeros, no solo los naturales. Estas propiedades expresan que podemos sum ar '1 multiplicar sin fijarnos en el orden, que siempre podemos llevar cualquier cantidad de operaciones a la sucesión consecutiva de ellas '1 que no importa como asociemos la sucesión de operaciones. Ejemplos 1,1 5+ 8 ", 13 2+{1 0 + 4) = 2 + 14 '" 16 8+ 5 = 13 (2 + 10) + 4 = 12+4 = 16 7(6) = 42 (2+4) + 10 =6 + 10 '" 16 6(7) = 42 '((8)(7)) =' (") =280 ((')(8))(7) =40(7) =280 5(2 + 7) = 5(9) = 45 5(2)+ 5(7) = 10 + 35 = 45 ( 9 +J ~ = (I2~ = 48 (9}1+{J}I = 36 + 12 = .¡s Cabe destacar que siempre que sumemos y multipliquemos con numeros naturales obtenemos números naturales . Una propiedad muy caracterlstica de los números naturales es el principIO de inducción matemática el cual se incluye en el anexo 1. 2 Relato conciso sobre matemática básica Numeres enteros Cuando restamos no podemos tomar numeras arbitrarios porque no necesariamente nos da numeras naturales. Claro que en principio no tiene senlldo restar por ejemplo 3- S (tres menos cinco). Sin embargo, conforme las relaciones humanas se han ido complicando puede empezar a tener sentido. Por ejemplo. SI yo tengo sólo 3 pesos y tengo que comprar un artículo que vale 5 pesos. puedo pedir prestados 2 y comprar el articulo sin embargo al hacer el balance global , tengo que conSiderar que debo los 2 pesos yeso lo puedo representar por - 2 pesos. EICisten otros ejemplos de situaciones que nos llevan a requerir numeras negativos. En la escala de temperatura tenemos que el punto de congelación del agua es O· e (cero grados centigrados). Temperaturas por debajo de ésta se tienen que representar mediante numeras negativos. Asi , los numeras negativos se onginan esencialmente de la operación res ta. Ahora al considerar. además de los numeras naturales . a los respectivos negativos '1 el cero, se obtiene el conjunto de los numeras enteros Z ==I ... ,-3.-2,- 1,0, l. 2.3, .. J. Representación de los enteros en la recta numérica Usando una linea horizontal, tomando un punto origen y una unidad de medida o escala. se ha convenido representar los numeros positivos hacia la derecha del origen '1 los negativos hacia la izquierda, he aquí la representación de los enteros en la recta numérica. l OS ( NTEROS EN lA RECTA NUMÉRICA • -, -, o c,Cómo representamos en la recta numérica las operaciones de suma , multiplicación '1 resta? Suma SI sumamos enteros pOSitiVOS es tal cual la operación se vio con los naturales Si sumamos dos números negativos; por ejemplo debemos 5 pesos '1 tuvimos que pedir prestados otros 3 pesos si sumamos las deudas tenemos (-5 ) , (-3 ).-' Así claramente el Significado es que debemos 8 pesos. Numeras y operaciones 3 Ahora si yo tengo la deuda de S pesos, pero me pagan por un trabajo 12 pesos la operación es (-5)+(12) =+7= 7 Entonces significa que ahora tengo 7 pesos a mi favor. Para concluir las posibilidades con la suma consideremos que ahora a los 5 pesos que debo me pagan por una mercancía 2 pesos entonces tenemos lo siguiente Asl, si pago los dos pesos que me ingresaron ya sólo deberé 3 pesos. se re uce I1 l6iH~ g ru~ ~~ (+3) +(+2) = 5 de n (+12}+(-7)=5 d ~ e ij ~ ~ e rm~-= 3 ... -'ª!I C-B (-7)+(- 9) =- 16 • • ~ DOne,l&kjocCfma Y01 · Observación: Es importante acampanar el signo al numero, aunque se sobreentiende que si no lo pones el número es positivo. Si el número es negativo no se te olvide poner el signo. Resta Si estábamos a 4" C y baja fa temperatura 6" C claramente la operación que conviene hacer es la resta de (4) - (6) =-2 Si debemos 20 pesos y nos rebajan la deuda 12 pesos claramente ya s610 debemos 8 pesos, lo podemos representar como la siguiente operación (-20)-(- 12) = -20+ 12 = - 8 Ejemplos 1.2 (5)-(2)=5+(- 2) =3 (1 2) - (- 8) = 12+ 8 = 20 (-15) - (16) = - 15+ (- 16) = -31 (- 18)-(-2 1) =- \8 +21 =3 4 Relato conciso sobre matemática básica Multiplicación Una representación visual de la multiplicación se obtiene del área de rectángulos, que precisamente es A ",b>< f¡ Ejemplo 1.3 Multiplicar 9 ><) El área de un rectángulo con 9 unidades de largo por 3 unidades de ancho, tiene un área de (9)(]) = " ,' . 3 9 1 2 3 • 5 6 7 8 9 10 " 12 13 1. 15 16 17 18 21 22 23 2. 25 26 27 19 20 lo realmente relevante de esta sección es la regla de multiplicación para los signos las cuales ilustraremos geométricamente . Método 1 Pas6s para muftiplicar Ejemplo 1.4 Multipliquemos (+2)(+5) geométricamente. t. Dados unos ejes estatlleoe las escalál respectivas 2. Establecemos el primer m U ~ ¡ p' 6 cando (2) en eT eje Yelt i~ Jj 10 unimos con una recta 811 del eje horizontal. L L h Resultado de la multiplicación es: ( +2)(+5 ) =+ 10 . Números y operaciones 5 Ejemplos 1.5 (+2)(-3) 0 -6 (- 3)(<<) 0-12 4 (-4)(- 2) 0 +8 División Generalmente en el proceso de dividir dos enteros no obtenemos un entero. Sin embargo, lo podemos expresar como un entero y un resi duo; proceso que se ensena desde la primaria y que aqul establecemos como el conocido algoritmo de la división. Teorema 1.1 Algoritmo de la división Si a y b son enteros y b ~ O, existen dos enleros q y r, únicos, tales que cocienle divisor )dividendo residuo Aun cuando no es nuestro interés mostrar los temas de matemáticas desde el rigor de teoremas, si es importante conocer los nombres y la forma conocida de ciertos conceptos. 6 Relato conciso sobre matemática básica Ejemplos 1.6 6 Al hacer una división tienes el dividendo ¡Error! No H pu rdu (rrar ca mpo .. el divisor (3) , el cociente (6) Y el po i objflos mod ifiundo todigo! d~ I 3 2 I residuo (2) . Aplicando el teorema puedes expresar que : 20 = (3)(6)+2 , donde en este caso el residuo es menor que el divisor. O:!i 2 < 3. -3 -4)14 o 4)3 -2 "P'11 I En este caso 14 = (-4) - 3)~2 con 0 :!i 2 <1-41= 4 . I Ahora 3 : (4)(0)+3 con O:!i3<4 . También en situaciones poco frecuentes. desde el punto de vista del cociente de enteros. se cumple el algoritmo de la división . Aquí obtenemos -25:( 18)( - 2)+11 con O:!i II < 18 . Debes tener cuidado en los casos en donde el divisor es positivo y el dividendo negativo porque no es como habitualmente divides y la exposición aqui es simplemente para ver que se satisface el algoritmo de la . ~iX\s . ~ :_ SI dividiéramos de manera habitual no corresponderla con el algoritmo de la división En la manera usual esta división es como en este segundo caso. Propiedades de los numeros enteros Veremos, a continuación . para satisfacer requerimientos en ciertas operaciones algebraicas. algunas propiedades de los numeras enteros. Numeros primos Los numeros pnmos se definen como aquellos numeros que solo son divisibles por cuatro numeroso Esto es , entre si mismo, el negativo de SI mismo , ell yel-l . Ejemplo 1.7 2, -3, 5, 7, 11 .-13, .. Observaciones 1. El 1 Y el -, no son divisibles por cuatro numeros y por eso no se consideran primos 2. En términos practlcos sólo se busca los primos positivos . Por oposición ros numeros compuestos es deCir no primos son aquellos que tienen más diVisores aparte de ros cuatro báSICOS mencionados . Números y operaciones 7 Ejemplo 1.8 El 6 tiene ademas del 1 y el6 tiene al 2 y al 3 de divisores. Si. un ~úmer? es divisor. de otro, inversamente el otro es múltiplo del primero, el mulliplo lo conllene como fa ctor. Así el 6 es múltipla del 2 y 3 ya Que 6 = 2(3). ' Criterios de divisibilidad 1. Claramente todo número es divisible entre 1 2. Todo número con último dígito par es divisible entre 2. 542 . Como su último dígito es 2 el cual es par entonces 542 es divisible entre 2. De hecho, 542 "" 2(271) . 830. Igualmente su último dígito es O (cero), por tanto 830 es divisible entre 2. Así, 830 "" 2(4 15) 1827 no es divisible entre 2 porque su último dígito, 7, no es par. 3. Si la suma de los dígitos de un número es múltiplo de 3 entonces el 3 es divisor del número. 501 es divisible entre 3 porque la suma de sus digitos 5 ... 0 ... 1", 6 es 167 múltiplo de 3. Venficando 3JSOT . 20 " O 4. Si el último digito del número es 5 o cero entonces es divisible entre 5 1395. Como su último dlgito es 5. entonces 1395 es divisible entre 5 5. Un número es d ivisible entre 11 si la diferencia entre la suma de los dlgitos de posición par y la suma de los dlgitos de posición impar es múltiplo de 11 . 11 34529. La suma de los digitos de posición impar es I + 3 ... 5 ... 9 - 18. la suma de los dlgitos de posición par es 1+ 4 + 2 "" 7 . la diferenCia es 18 - 7 "" 1I el cual es múltiplo de 11 entonces 1134529 es múltiplo de 11 6. Si dos números son divisores de un tercero entonces el producto de estos también es un divisor. El 3 es divisor de 167475 ya que la suma de sus dlgltos es 30 el cual es múltiplo de 3. También el 11 es divisor de 167475. la suma de los dlgitos de posición impar es 6 .. .¡ ... 5 :: 15, la suma de los digltos de posición par es 1T 7 + 7 '" 15 . la diferenci a es 15 - 15 "" O el cual es múltiplo de todos los números en particular del 11 Por lo lanlo el 33 es divisor de 167475. 8 Relato conciso sobre matemática básica Teorema 1.2 Fundamental de la aritmética Todo número entero se puede expresar como el producto de factores primos en forma única. Ejemplo 1.9 132 se puede expresar como 132 '" 2(66), que nuevamente se puede expresar como 132 ,. 2{2X33), llevando el proceso a sus factores primos se tiene 132 '" 2(2X3XI1) . Es más fácil realizar los procesos para ir subdividiendo un número mediante tablas como la siguiente· 132 • 2 66 2 33 3 11 11 Observación: Es razonable ir buscando los factores más pequer'íos primero como se realizó en el ejemplo anterior. Cuando requerimos de números primos más grandes determinarlos no es simple ya que no presentan ninguna regularidad. Un método adecuado lo estableció Eratóstenes ' '1 precisamente se conoce como: Criba de Eratóslenes Para formar una tabla de números primos se establecen todos los números naturales desde el 1 hasta el número deseado, mediante el siguiente: . 'Iodo 3, CrIba de Erat6'slenes, obtenci6n de númer,os primos. ,. PHIneto secan"cela el 1, ~r ".18 lodos los mOIlipIos de 2, P8I"9 no el 2" t\IICI oon IoanWltlpfo..de cada primo, respeUindo ca:ia primo. , El prgc:88O ..,.,... CCIn el,:win1O 1ftmediato menar a la ralz cuadrada del nQmara deseado. • ' . 'r6doia lDiI nónwos ®e no fuerorl ¡necios son primos. , Eratostenes nació en Cyrene (libia) en 276 a.n.e . muere en Alejaoorla. Egipto et t9<4 a.n e. Contemporaneo de Arqutll"ledM con el que inten;;¡¡mbi6 información y resultados cienUIicos. Se dedicó a muchas disciplinas tanto Cientlflcas como humanlsticas. Hacia el 255 a.n.e. fue el ten;er director de la Biblioteca de AJejandr1 a. Ideó una forma de determinar los primeros numeras primos al establecer la conocida Criba de EratÓ$tenes y desarrollo un método geométrico para calcular la longitud del meridiano terrestre. (Ver EratÓ$tenes, medición de la Tierra. Pago7....) Números y operaciones 9 Ejemplo 1,10 Encontrar los primos hasta el 100, Como el máximo primo menor a la raíz de 100 es 7, el proceso se hace con los primos 2, 3, 5 Y 7, n., , />' 31 fi2' ''''<' 61A 71 Z , l os primos menores a 100 son: 2, 3, S, 7, 11 , 13, 17, 19, 23, 29, 31 , 37 , 4 1, 43, 47, 53, 59,6 1, 67 , 71,73,79, 83,89 Y 97 , Mínimo común múltiplo (m ,c,m.) Ejemplo 1. 11 encontrar el m c.m de 4 y 5 l os primeros 10 múltiplos de 4 4, 8, 12 , 16, 20,24,28, 32 ,36. 40. Algun os de los múltiplos deiS. 5. lO. 15, 20, 25, 30. 35 . 40 ,45, 50. los múltiplos comunes en eslas lisIas son. 20 y 40, 1*, ,~ Entonces el mínimo común (m .c.m ) de4y5 [.U]"' 20 múltiplo Observación ' Un múlliplo inmediato es el producto de los números , entonces el m ínimo es menor o igual a este producto El m.C,m, de varios números descompuestos en sus fa ctores pnmos es igual al producto de todos los factores pnmos elevados cada uno al mayor exponente presente en cualquiera de ellos 10 Relato conciso sobre matemática básica Método 5" detsfminar el m ) c . m ~ 1_ Oescompl!n cada número e sus factores P:rimos! ,. Ejemplo 1.12 Obtener el m.C.m. de 12 , 18 Y 40. 12 = 2' · 3 18=2-3 1 " 2, 40 = 2)05 '_J. 2, 3 'J 5. 3. Toma el exponente mayor de [12,18,401=2' - 31 . 5 = 360 cada pri.ffiO.... ....... Máximo común divisor (m.c. d.) Este es útil en algunos procesos algebraicos como encontrar factores comunes. El m.C.d. de dos o más números es el número más grande que simultáneamente es divisor de todos esos números. Ejemplo 1.13 Método 6, dete,.ar el m.c.d, 1, Oescompón ca'da número enl Obtener el m.c.d . de 225 sus factores primos. y 750. 225 = 3'-5 ' 750 = 2 - 3-5 ) 3 Y 5. (225,750) = J- 5' "" 75 No siempre es fácil encontrar los factores primos el siguiente método es una forma alternativa mediante restas sucesivas que llevan al m.c.d. Este método esta basado en el algoritmo de Euclides' el cual usa sucesivamente el algOl'itmo de la división a partir de dos números iniciales y luego lo realiza repetidamente entre el menor y el residuo que queda. terminando cuando no hay residuo, es decir con residuo cero. Una variante simplificada del algoritmo de Euclides se usa en el método 7 para encontrar el m.c.d. de dos números. 1 En el 011'10 33t a IUI . Alejandro Magno decidió fundar en Egipto 101 ciudad de Alejandrla . As¡ fue establecida cerca de la desembocadura del N,lo. la conslrucción de la ciud ad la dirigió el Arqu~ecto gnego Din6crales. En poco tiempo . por su importanciiil en 1., rutas comerciales. Alejafldrla se comirtio en el centro de la cultura del mufldo de entonces. Haciiil el ii1i'io 300 i 1 .n.e . el rey ToIomeo 1, que se quedo con la pane de medio orienle y AIrica del imperio de Alejandro Miilgno, crea el Museo. ESle complejo permíti6 a los intelectuales de la época concentrar y difufldir el conocimiento con gran actrvidad creadora . Euclides fundador de la escuela de matemáticas en Alejandrla escribió numerons obras: los Dalos, la DiviSlÓll de las Figuras. los Fenómenos. la óptica y los Elementos en trece libros: que h." llegado hasl. nosotros Se sabe de Olras obras d-e Euclides. por referencial , que se han perdido. Indudablemente el de mavor influencia. los Elementos. se ha dejaóo sentif a IrlIvh de miles de allos y ediciones. la primera de las cuales se publicó hasta 1<182.. En .1 libro VII de los Elementos, Euclides par. demostrar la proposición 1 y 2 hace uso de un procedim iento que se oonoce como Algoritmo de Euclides. Numeros y operaciones 11 Ejemplo 1,14 Obtener el m.c,d . de 45 y 150. 45 30 1S -15 - 15 - 15 15 30 15 (4 5.150) = 15 E·ercicios 1 Verifica las conmutativas de: leyes la, Verifica asociativas de: leyes Verifica la ley distributiva 1) 7 + 12 5) (7 + 6)+12 2) 17+3 6) 3+(5+7) 9) (5+ 3)2 3) (')(4) 7) 7(3(')) 11) 7(S+3 ) 4) 3(13) 8) (9(8))4 12)8(2+5) 10)(7 +6)3 13) Plantea, al menos , una situación diferente a las expuestas donde se requiere usar numeros negativos Realiza las siguientes operaciones con números enteros 14)(21) +(-26) = 18) (6)-(4) = 151(-4') +(") = 19)(14)-(-7) = 16)(16)+(-8) = 20)( -2»-(38) = 17)(-22) +(') = 211( -27 ) - (-42) = 22)(-4)(2» = 23)( -11 )(-9) 24) (18)( -3 ) 25) (7)(11) 26)( - 2)( .3)(- 6) = 27)(-4)( -3 )(-' ) = 28)( . 4)( - ,)(.6) 29) (- ' )(- 3)(2)( -4)- Mediante el método geométrico encuentra el producto en los slglJlentes casos 30)'(-3) 31)-4(2) 32)-3 (-6) 33)7(2) Usando el algoritmo de la división expresa el dividendo en términos de los demas elementos. 34)S)35 35) -5)78 36) - 12)-54 Encuentra los divisores de los siguientes números. 38)2 1 39)45 40)100 37) 2 tf-8i 41 )2172.J:1J-I 7S 12 Relato conciso sobre matemática básica Dada cada pareja de numeras determIna si el primero es divisor del segundo usando los cnlenos de dIvisibilidad . 44 ){S.189S78S6JS} 45){ 11. 27474 616} 43){J. 477S76S} 42)(2.213478) 49) (J. 74S683} 48)\ 11. 74J2S9} 46 ) (S. 8S7S630) 47) (2. 8S76J627} Busca criterios de divIsibilidad para los siguientes numeras. 50) 4 51) 6 52) 8 53) lO 54) 12 55) 33 56)Hasla que primo debes verificar para obtener los primos menores a 200. 57)Oetermina lodos los primos menores a 200 Usa el método 1 para determinar el m c.m. de los sigUientes numeras : 581".'.'1 591118.IOJ Usa el método 2 para determinar el m c m de los siguientes numeras. 601110.15.361 61 11 63 . 54 1 Usa la descomposIción en numeras pnmos, el método " para encontrar el m.C.d. de los siguientes pares de numeros: 621(20.50) 631(IR.IO ) Usando el algoritmo de Euclides, el método 2. determina el m.C.d. de los siguientes numeros 66)(1940.2134) 64)(6O.2S) 65)(39.91) 67) (3428.1280) Números racionales Conforme se fue desarrollando la humanidad la necesidad de cálculos más complejos debido a las grandes construcciones y también al desarrollo de la agncultura. empieza a ser fundamental subdiVidir o fraccionar y los numeras enteros empiezan a mostrar su insuficiencia 'J es asi como nacen los numeras racionales , en particular los fraccionarios. los cuales ya se usaban en la región Mesopolámlca como fracciones de 60. es decir fracciones en donde el denominador es 60 los egipCIOS usaban solo fracciones donde el numerador es 1, por ejemplo !i lo expresaban como 1- + t l a notaCIÓn como fracción que actualmente usamos se debe a Flbonaccll Q:{nI { ni : ~ . dOlldé'p. (l e N. q ~o } los numeras raCIOnales es el conjunto de números que son el cociente de dos enteros De hecho. los numeros racionales surgen prOpiamente del proceso de diVidir ) Leot1 aldo de PIU miil con-oc,oo como F,/)Onaco. al Cl,lal se debe la ln1rodl,lcción de la notación deomal desde la It'ldJa r Arabia en Europa Números y operaciones 13 Notación como fracción Todo número racional se puede expresar como una razón entre dos números enteros, por ejemplo f . ~, . los números que usualmente manejamos son prácticamente s610 números racionales, incluso las computadoras por mucha precisión en última instancia usa números racionales. t, Es muy importante aprender a operar los números racionales porque son los números de uso práctico común y el entendimiento del álgebra depende en gran medida de operar correctamente los números racionales. Ejemplo 1.15. localizar ~ en la recta numérica. En este caso al 3. A partir del 2. La unidad de 2 a 3 eslá dividida en cuartos. , Finalmente, la cantidad, cociente de dos enteros, queda exp~sad el entero más la fracción propia establecida en la recta numénca. como Al expresar un racional como cociente de dos ent~os puede ser edm ~ ante diversas parejas. As/, verifica que en la recta numénca f y lf son el mismo punto. 14 Relalo conciso sobre matemática básica Equivalencia de fra cciones Como cada numero racional se puede representar con diversas fracciones. Debes tener el cuidado debido para no confundirte. El siguiente teorema te permite establecer cuando dos eKpresiones se refieren al mismo racional. Teorema 1.3 Criterio de igualdad de fracc iones Sean ~ ¡, y .E.. d dos fracciones entonces 5!b =.E.. c:> ad = be d Este es un eKcelente criterio para saber cuando dos fracciones son iguales o diferentes Ejemplos 1.16 t. r, 11. Ti y ,~ y . ~, muttlplicamos endiagonal Igualmente (9)( 20) =180 . entonces (12)(11) = 180 (8)(9S) ~ 760 entonces -f; 7- (12)(65) = 780 . * IT=~ Aunque eKisten vanas representaciones para cada numero ra cional es posible hallar la forma más simple de representación la cual es llamada irreducible. Ejemplo 1 17 la eKpresión Tí es posible sacarle mitad a ambos términos (numerador y denominador). rr ~ ¡ '" i 1: '" ¡, y nuevamente podemos sacarle mitad y así la cual ya no podemos simplificarla y sin embargo podemos * ver que son iguales ya que l a eKpresión (8){l ) =(2){12) = 24 ~ Ti = i. *'" *, no tiene mitad ni tercera y tendriamos que irnos hasta quinta es decir dividir entre cinco ambOs términos puede ser simplificada la cual ya no Observación SI las fo rmas Irreducibles de dos numeras no son iguales entonces se trata de numeras diferentes, ya que la forma irreducible es única. Podemos afirmar, sin aplicar el teorema. que formas irreducibles son diferentes Ti '" t %i "" ti: T. porque sus Cuando las fra CCiones son diferen te s resulta Importante saber cual es mayor de las dos Teorema 1.4 Cnterio de desigualdad de fracciones Sean ~ y ~ dos fracciones enlonces 5!- < .:.. <;:) ad < be b d b d ObservaCión SI b o " son negativas se debe dejar el signo y s610 pasar el valor absoluto Números y operaciones 15 Ejemplo 1.18 En el segundo ejemplo de los Ejemplos 1.16, Pág. 14, se obtuvieron números diferentes, entonces claramente podemos establecer que 760 < 780 (')(95) < (1 2)(.5) entonces dividiendo entre el producto de los denominadores (')(95) < (12)('5) (12)(95) (12)(95) y establecer que • .5 - <12 95 Considerando racionales negativos 5 J --<• -4 Efectivamente se cierto ya que (-5X4) <-(JX') -20 <- 18 ObservaciOn: No se pasO el signo del 4 dejando su signo negativo afectando al 3 en el lado derecho. l o mismo sucede cuando se operO con el 6. ¿Si pasas con todo y signo que sucederla? Suma y resta la dificultad de sumar fracciones reside en que primero se debe expresar en la fracción común , es decir que el denominador sea el mismo. Veamos mediante un ejemplo los pasos para sumar. Ejemplo 1.19 ~+-". + (12 )(24) 24 30 (24)(30) (30)(24) 5 24 12 30 150 720 288 720 438 720 5 24 12 30 438 720 219 360 73 120 -+- =-+-=- -+ - = - : - = Cuando se tiene varios sumandos resulta más conveniente el siguiente 16 Relato conciso sobre matemática básica "'todo 10, SUma de numeros ~es . 1) Establecer como denommador el Il).c.m. de tos deno\!,il'ladores>'\.(usar el "étodo S, pOig;nal0.) ,. • Ejemplo 1.20 732 20 12 30 60 7 20 10 60 - - - +- =- 2) C_ numerador se obtler.e ct, dividir el dénomk1ado( comlln 'entre el denominador de cada fraccl6n por el numerador respectivo, considerar el tigno cada caso. del numerador '1 3 12 2 30 I 6 - - - + - =- : - Multiplicación Una forma geométrica de ilustrar la multiplicaci6n es verlo como el área de un re ctángulo donde cada lado es respectivamente la longitud de cada multiplicando. Veamos como también con fracciones es una forma adecuada de entenderlo. Si queremos multIplicar (t)(H Observemos en la figura que se forma un cuadro unitario (fondo más oscuro). l a unidad horizontal la dividimos en tercios y la unidad vertical en cuartos. Es un área unitaria y está dividida en 12 partes, entonces cada secci6n es y rr para ettota] se obtiene (5)(7) =]S de estos -116lodo radaQalOI, 11 . mul!iplícaci6n de ........ lI'dIipIicacI6n dóo .r.t_ _Jo_ . .. ent~I!.) (~-) ~!."Jo,) _. ~ O -OI il! (' )(0) .. ~ 12 · TI- ' es decir hay ~ " Números y operaciones 17 División Como ya se mencionó, los números racionales surgen propiamente del proceso de dividir. De hecho su nombre, números racionales, viene de razón o cociente de números enteros . Sin embargo, el método de división de los números ra cionales no es obvio. Veámosla como el proceso inverso de la multiplicación . Sabemos que observa que ~ : .!: , " [ -' )[~ 3 5 "'.! 15 entonces debe ser que ii. '" ~, 1 5 pero ( 2)())) de aqul que el método de división de fracciones (1')(1 1,. CId conocida vulgarmente como la regla o ley de la torta, porque asocia ~ be a los extremos por un lado con los medios por el otro. es Ejemplo 1.21 se pGhe abaja. la manera más correcta de definir la división entre frac ciones es a través de ver la división como el reciproco de la multiplicación, por ejemplo es lo mismo dividir entre 2 que multiplicar por t, as! también se puede establecer como: Ejemplo 1.22 5 4 _5 + _3 ", _x_ 7 4 7 J 535420 -+-=-x-"'- 7 4 7 3 21 Finalmente, el método anterior se puede simplifi car a lo que se conoce como la regla de la multiplicación cruzada . Ejemplo 1.23 18 Relato conciso sobre matemática básica NotaCión decimal Si nosotros efectuamos la división de cualquier numero racional nos da un numero que tiene una parte entera y una expanSión deCimal. Ejemplos 1.24 1, 28 nos lleva a la división " 2.5 12)28 , entonces tenemos que 60 ~ 12 ", 2 . 5 O que es su e)(panslón decimal A veces la expansión decimal continua Indefinidamente 2 Sea 25 ]2 ' efectuamos divIsión la 12~, 2.0833 100 40 40 así se sigue 4 indefinidamente dando el numero 2.011333 ... , cuando eso sucede se acostumbra denotar 2.083 donde la barra denota que todo lo incluido en la barra se repite sucesivamente. 3. Dado 107 D' dividimos 3.24 nJ107 80 140 8 Cuando efectuamos el coci ente de cualQuier numero racional nos suceden dos pOSibles situaciones, se pueden observar en los Ejemplos 1.24 . asi se tiene que La expansión declmal terrmna (Caso 1). 2 La e)(panSlón deCimal se desarrolla indefinidamente, pero se presenta un Ciclo repetitivo (Caso 2 y 3) Números y operaciones 19 Paso de expansión decim al a cociente de enteros Cuando tenemos un número racional en su expansión decimal es posible pasar a la forma cociente de enteros Veamos la forma mediante los siguientes. Ejemptos 1.25 1. 32. 125 . Cuando la expansión es finita podemos multiplicar y dividir por alguna potencia de 10 adecu ada , en este caso debe ser 1000 32.125 1000 '" 32125 1000 1000 asf ya es un cocien te de enteros , podemos también simplificar 32. 125 '" 32 I~ = 6425 '" 1285 = 257 1000 200 40 8 2. 45.621 Es recomendable nombrar al numero para fac ilitar su manejo n = 45 .6212121. Multiplicamos por 10 para ajustar el punto decimal al ciclo. IOn := 456.212t.. Multiplicamos por t OO ya que el ciclo es de dos ci fras 100011:= 45621.21 21. Restamos los dos numeros de forma que se eliminan las expansiones JOOOn - JOII = 4562 1.2121 .. - 456.2 121. . 99On = 45165 Expresamos como fracción a n lIeyándola a su forma Irreducible 45165 990 9OJ) 198 JOII 66 n :--:--:-- Ejercicios 2 Establece en la recta numérica: 1. ' 2 3 2. 10 4. " Determina si 105 siguientes pares de números raCionales son IguaJes o diferentes 7 6. --, 21 -9 7 10 15 6 8 15 11 -6'-"5 20 Relato concIso sobre matemática básica Ueva a la forma irreducible las siguientes fracc iones 9 10 18 10 42 154 11 364 84 12. 165 66 Ordena de menor a mayor las sigu ientes ternas de números racionales 13 ~, ('. '1 5 I ¡; lU 80 14 21 8S 1211 n' J05' -166 15 2.!.. :7'1 '116 I .! 38 I J1 " ,5 Realiza las siguientes sumas o rest as de fraCCiones 17 5 ') ~ -l ~ 1,' 18 .1 ¡¡' 16 '" 7 ~ .!I l 19 ..¡ 17 20 18 Realiza las sigUientes multiplicaCiones de fraCCiones 21 l ~H )- " lill-H) 23 t.-~ I·r -ll - ~ 7] Realiza las siguientes diVIsiones de fraCC iones usando la regla de la tol1a 25 ..!. " 26 27 - 6 Haz las diVISiones de fraCCiones mediante la regla de la mult.pllcaclón cruzada 30 I _ .:: ) 29 \ ' '--' 7 j 31 :- ' ( -11) ) '" 32 l -m + ~ )~ Expresa en su expanslon decimal los sigUientes numeros racionales 33 IU5 " ", 35 JS.l '" 36 " " 37 Arqulmedes establecIó que el numero ,T estaba entre . ~ ; I 3 ~ . ordena de forma creciente a los tres numeros y expresa las co tas establecidas en su expanSión deCimal para conocer la precIsión que, del número :r . Arquimedes tenia Pasa a la forma de cociente de enteros los siguIentes numeros racionales 39 - : 6~ 40 - 1 5:31 4 1 1253..¡..¡J . ij • Numeros y operaciones 21 Números irra cionales Aunque podemos encontrar por toda la recta numérica numeros racionales tan cerca como se quiera , es decir, los numeros racionales son cansos en toda la recia numérica, sin embargo no la llenan. Hay una gran cantidad de numeros en la recta numérica que no son raciom,les, es decir que no se pueden expresar como cociente de enteros o equivalentemente que tienen una expansión decimal que se desarrolla indefinidamente pero no tienen ciclos repetitivos. a estos numeros que no se pueden expresar como racionales se les llama irracionales. ~'; -~ . " ~ , . ' ~' t. ~ !~~ " ', ~ 1 Arqulmedes Esencialmente solo los podemos operar de manera simbólica o mediante aproximaciones racionales. Estos numeros surgen inicialmente allratar de operar con exponentes y mas especlficamente los radicales (extraer rai ces) Exponentes enteros Cuando mullipllcamos de manera repetida por un mismo numero una manera de denotar y simplificar la operación es usar el exponente. Asl 5) '" 5" 5" 5, se dice que 5 es la base y 3 el exponente. Propiedades 1.2 1. La multiplicación con una misma base nos da 1<, base elevada a la suma de exponentes . 7',,7' = (7 ,,7,,7),, (7 ,, 7,,7,,7) = 7'" : 7' En general se tiene U"(I" =u" '" 2. La división con una misma base nos da la base elevada a la resta de exponentes. 4' 4' 4 ,, 4,, 4,, 4 ,, 4 ,, 4 ,, 4 ,, 4 Asl tenemos 4 ,, 4 ,, 4 ,, 4 ,, 4 Z2 Relato conCISO sobre matemática básica 3. Si el exponente es el mismo pero la parte izquierda es un número dividido entre si mismo por lo tanto es igual a 1. ~ u· '" 1:::;, (,o para cualqu ier base a ~ O "" I 4. Las fra cciones se pueden expresar como -.! 6' = ~ = 6 °-: ól = 6-: La propiedad en general se puede expresar como l/- ' =...!... u' 5 La potencia de una expresión en potencia resulta el producto de los exponentes (4' )' --0 4' ,.. .1' ~ 4 1: 4" =4'·' La propied ad en general se expresa como 6 . La potencia de un producto es el producto de las potencias. (Ó)(l lt : (66)' = 4356 (6 )( 11)' = 61 )( ll l = 36 :.:2 1= 4356 De modo general tenemos (a hr =a' b' 7 la potencia de un COCiente es el cociente de las potencias. Esta propiedad es importante porque , entre otras cosas. nos permite calcula r la potenCia de cualqUier número ra cional Generalizando tenemos ( ~b J' u' =h" AdvertenCia Es equivocado considerar que la potenCia de una suma es la suma de las potencias ((1 , h)" ~ l/' - !J' Números y operaciones 23 Ejemplo 1.26 (J+4 t ) 1+ : 7 ' ", )4) 4' '" 27 + 64 '" 9 1 '" (J +4t lo mismo sucede con la resta (a -b)' "'o" - b" Exponentes en fracciones En lo que acabamos de ver esencialmente se vieron tos casos en que el exponente es entero ya sea positivo o negativo, ahora veremos cuando el exponente es una fracción. La ralz de un número es la operación inversa de la potencia. Si ) l '" 9 decimos que la raíz cuadrada de 9 es 3 y se denota como: iÍ9 = J ya que precisamente ) 1 .:=: 9 Advertencia: Una dificultad que presentan frecuentemente las ralees es que el resultado no es único. Ejemplo 1.27 También ~ '" - ) porque del mismo modo (_3 )1", 9 . Es conveniente considerar ambos signos según sea el caso. La inversa de la potencia al cubo se le dice raíz cúbica. En los siguientes grados de la potencia se usa ralz y el r>rdinal respectivo. Por ejemplo V3i2S se dice ralz quinta de ) 125 . En general tenemos if¡; se dice ralz enésima de a Observación: Está establecido que si no está indicado el grado de la raiz se sobrentiende que se trata de una ralz cuadrada .¡;, '= ;¡;, Otra forma de expresar una ra íz es verlo como un exponente en fracción o ~ "' ~ Propiedades 1.3 1. La ralz de un producto es el producto de las ralees 10 = l/iOO = ¡J(4)(2S) = 1/41/25 = (2 )( ') = 10 Se satisface en general que if;;b = a !b! = if¡;ifI, 24 Relato concIso sobre matemátIca básica 2. la ralz de un cociente es el cociente de las raices J27 iffi vJ4i =ifj4J "' "1 J Estableciéndose as i que 3. la ralz de una raiz es la ralz de orden del producto. En general es válido 4 l a combinación de potencia y raiz se puede expresar AsI es posible establecer que AdvertenCIa Es eqUivocado considerar que la raíz de una suma es la suma de las raíces ,r;;;:¡, ~ if¡; + ih Ejemplo 1 28 :Jt6 +9 : W ;JI6 ... J9 : S ", 4 ~3=7 los cuales son diferentes lo mismo sucede con la resta (u - h r~ u" - h· . Numeros y operaciones 25 Ejercicios 3 Simplifica las siguientes expresiones. 1. rH 2 (4 t)l ('h' l' 6. ex' , 7. (3 "')' 8. 4' -3' 3. (2xl' 4. (30 )' (20 )' 5. [[ x:' (8+1)1 9. J'J (3 .• )' 10. 8' +1' (,,)' Del problema 11 a114, expresa con exponente fraccion ario . l' .1/r 12. @ 13. 43(4)' # 14. Expresa, del problema 15 al 18, en forma de radical 15. 71 16. (27}1 17. r j 18 (25r' Del problema 19 al 22, expresa en un solo radical. 19. JJ2 20. Jil7 21 . ffs Encuentra entre que enteros está cada expresión 27. ,f6O 28. ifjOO M =W :d 26 . ~ Ejemplos 1.30. diiO '" ~5' + 185 < Eslá enlre 5 'J 6 29. WOOo 30 Simplifica las expresiones sigUientes Ejemplos 1.31 31 . 51 33 3 2.JJm UV12 22. Calcula el valor, expresando el numero Ejemplos 1.29 como potencia 'J después simplifi cando 23. if64 24 . if2I6 25. ~ if(i m ,/i28 " Ji' '" j2 (2)" : 2' .Ji '" 'd Ji JiOs 34 iN + ~ Cl,lando I,Ina expresi6n donde el denom,nador presentil I,In rad,cal . se doce ql,le se rac,onali.za I,In denomin ad or rac,onal cuando se ilsa a I,Ina ex resión e I,Ilvalenle ro l,Ie reSl!~na Racionaliza las siguientes expresiones 35. , Fa 36 3 <Ji Ejemplos 1 32 37 S.r -:r; 26 Relato conCISO sobre matemática básica Resuelve los sigUientes problemas 39.Se cuenta que uno de los antiguos poetas trágiCOS hacia aparecer en escena a Minos en el momento en que se construía la lumba de Glauco, y, al observar que sólo medía cien pies por cada lado , dijo "Es un espacio muy pequeño para seputcro de un rey , duplicadla conservando su forma cúbica , duplicando cada lado' Es evidente que se eqUivocaba porque duplicando los lados de una figura plana se cu adruplica . mientras que una sólida se octuplica: y entonces se propuso a los geómetras la cuestión de duplicar una figura sólid a dada conservando su forma , y este problema se llamó duplicación del cubo Se cuenta también que, más tarde , los de Dé!os , obligados por el oráculo a duplicar el aliar, tropezaron con la mism a dificultad y entonces enviaron embajadoreS a los geómetras Que, con Platón , frecuentaban la Academia , para que resolvieran la cuestión Así también, este problema es conocido como problem a de Délos o problema déhco Aristocles de Atenas , apodado Platón por su ancha espalda Platón funda en el año 387 a.n.e la famosa Academia de Atenas Aunque este es un problema que los geómetras no han podido resolver con las restriCCiones a las Que estaban sometidos los griegos. Aceptando ya los numeros Irracionales en particular las ralces de cualquier grado . me podría s deCir ¿cuánto debe medír el lado de un cubo para Que sea el doble de volumen que otro. digamos de lado 1 m y volumen 1 m }? 40 Un terreno cuadrado de 1296 m' de superficie se quiere cercar con malla ciclónica y postes cada 9 metros la malla llene un costo $23 por metro y cada poste cuesta $48 ¿Cuánto cuesta cercarl07 Sistemas y notaciones de numeración Sistema deCimal de numeración Aunque implíCItamente hemos estado usando el sistema deCimal porque es el que nge y se nos ensel'la desde nll'ios para contar, esencialmente todo lo dicho es Independiente del sistema de numeración Que se use. Vamos a establecer algunas particularidades del sistema deCimal y por contraste usaremos otro Sistema, Que por la imporlancia que va adquiriendo será, el sistema binariO Lo más Importante del sistema deCimal es Que solo se usan diez símbolos, {O.!. 2. J. 4. S. 6. 7, 8. 91. Números y operaCIones 27 ~ c.on ~ol estos es posible representar numeras tan grandes como nuestras Jlmrtac~nes nos lo permitan l o antenor es posible porque el sistema decimal es un slslema relativo, lo que Significa que el valor de la cifra usada tiene un valor según la posición. Así en los numeras 895 y 239, el nueve que se encuentra presente en ambos numeras mlenlr<'lS que en el pnmero vale nov~ta en el segundo vale nueve y esta diferenCia es Simplemente por la posIción que ocupa . los sistemas no relativos como el sistema romano de numeración resullan inconvenientes para operar los numeros, Simplemente trata de hacer la multiplicación , digamos. de (CCXCVIHMC\'LlX) En el fondo la posiCión Que ocupa cada Cifra representa la Cifra mulhpltcada por una potencia de 10. El número 2895.34 es una Simplificación de 1 2x IO' +8 .. I0 + 9xIO +Sx lOo +JxlO-' + 4 ... IO-' que es una combinaCión de diversas potencias de 10 Es posible usar cualquier base. tenemos el sistema base 20 que se uso en América prehispanica, los babilonios usaron un sistema con base en 60 el cual increlblemente subsiste tanto en el sistema de medida del hempo como en el sistema de angulas con base en grados. Por qué usamos el l O. quiza la unica explicaCión es Que tenemos 10 dedos. con los que nos ayudamos a conlar. Al margen de las razones el hecho es Que es el sislema Que usamos y aparen temente el mas extendido. hasta ahora . El Sistema InternaCional (SI) de pesos y medidas usa pnnClpalmente un sistema decimal. Puedes consu!!ar Información del SI en Intemet en las paginas· Centro NaCional de Metrología hnp JfWoNw cenam mxlslu asp Curso de rrslca de la Universidad del Pals Vasco http://wwIN.sc ehu esfsbweblflSlcalunldadesfunrd adesfunldades htm Sistema binario Dado el avance en las computadoras ya no es exl rar'o que las personas conozcan que las computadoras usan el sistema blnano para sus operaciones internas . Para los estudiantes de Ingenlerla resulta particularmente Importante lener un adecuado manejo del uso y SignificadO del sistema binariO y la con versión de éste al sistema deCimal y viceversa El sistema brnano como su nombre lo Indica esta basado en el 2 (dos) Es un sistema con sólo dos Cifras { o. I I Es un sistema relatiVO. recordando es un sistema. en donde el valor depende de la posición que ocupa Asi tenemos que en numero 1011001 JOI representa a 28 Relato conCISO sobre malemábca básica que en el sistema decimal es 64 + 16 + 8 1 1 +.j, t-i :: 89i = 89.625 Si queremos pasar del sistema decimal al blnano Veamos el sigUiente Ejemplo 1 33 38.6 Tomamos la parte entera, vamos tom ando mitades y considerando el residuo, es decir si el número es par el residuo es O, SI es impar el residuo es 1 Comenzando por el 1 que siempre queda al final JO 19 O segUimos de abajO hacia arriba y los ponemos de , 1 Izquierda a derecha 4 1 ()S)" =(100110), O O La fracción es dlfkll de trabajar hay dos alternativas como cociente de enteros o como expanSión, en este caso, binana Cociente de enteros Ponemos la parte fracclonana como el cociente de enteros con el dIVisor en polencia de 10. Pasamos numerador y diVisor a sistema binario y nos da el un cociente de enteros, pero blnano y además podemos Simplificar También es posible pnmero hacer las Simplificaciones con la fracción en sistema decimal y luego pasar a binario Asl finalmente queda que 110 11 íOiO :: iOI (386)" "'( 1001 JO Expansión blnana SI hacemos la divIsión en bmano tenemos IO ~ I~\ l 1001 - 101 1000 -1 01 11 Nos queda un eKpanslón clches número en (3' .6)" =('00"0.100 ' ), Numeros y operaciones 29 Notación cientifica . En general no es necesario manejar los números de manera exacta, de hecho en la mayorla de los casos no es posible. sin embargo lo que generalmente si se puede es obtener un grado de precisión necesario o deseado. Como podemos medir la precisión cuando es algo relativo a la misma magnitud. Por ejemplo no es lo mismo diferir un metro. cuando hablamos de la distancia de la ciudad de México a Toluca, que cuando hablamos de la distancia entre dos amibas; exagerando la comparación para aclarar la idea. Entonces más bien queremos establecer la precisión en términos rela tivos a la magnitud del número con el que estamos midiendo. Fallar por un metro en algo que se mide en kilómetros es hablar de un error de la milésima parte mientras que hablar de un error de un metro entre las amibas que miden micras se está hablando de un error de millones de veces. Por otro lado. estar refiriendo la precisión entre la magnitud de la medida y la magnitud de la precisión es engorroso porque las magnitudes de las medidas cambian segun el problema y tampoco podemos usar la misma unidad para todos los problemas. Algo que ha ayudado a resolver estás contradicciones es lo que se conoce como notación cienllfica . i~.~ ~ Ejemplos 1.34 1365 .23 0 .00034 52 +J 1.3652310 101 ) .452)(10'" Si pasamos cualquier número a la notación científica entonces podemos hablar de manera general del grado de precisión con sólo establecer los dlgitos ' decimales' de precisión que requerimos. Es natural que según el problema que se este trabajando de requerirá distinta precisión , por ejemplo los astrónomos manejan d~l . orden de 1~ a 20 cifras de precisión. Es importante destacar que la preCIsIón es relativa al contexto del problema. que se debe tener el cuidado de core~pnd a los requerimientos y que en general el criterio de una o dos decImales no es suficiente. 30 Rela to concI so sobre malemática básica Elerclclos 4 Pasa los sigUientes numeras a la forma de combinación de potencias de 10. 1) 534 2) 23.5 3 ) - 18.24 4) 20S .03005 Establece en la representación rela tiva decimal 7) ) ,10 ' ... 5 ... 10 + 3", 10° + 2,, 10-' 5) 1 >.10' t1,, 10 ' ... -l ,1 0 ' ~5 ... 10 ~ o +2,1O 8 ) 2>. 1O' +9 ,.. IO' ... 5" IO ... 4"IO 6) - 1 ,, 10' - 1,, 10' - 4 ,, 101 -~ Contesta las Siguientes preguntas 9) ¿Cuáles son las Unidades báSicas del SI? 10)¿Qué es un mol? 11 ¡¿Cuál es la unidad de velocidad angular en el SI? 12) (..Cuál es el nombre. símbolo y expresión en unidades báSicas del SI de la presión? Pasa al sistema deCimal loS siguientes numeras del sistema binariO 14) 1101011 15) 111 0001 1.1 1 16)11010101.1010111 13) 1101 17)Muestra por qué el algontmo de Ir pOniendo los reSiduos al tomar mitades es un algOritmo correcto pa ra encontrar los enteros del sistema binariO a partir del numero en sistema deCimal RecomendaCión Consulta el algOritmo de la diVISión en la página 5 Pasa al sistema binariO los sigUientes numeras del sistema deCimal. 18 ) 12 19 )85 20)25 6 21 ) 1-l65 22) 236.5 23 ) 18. 125 24 ) 12i 25)13 2.6 Pasa a la notación clentifica los siguientes números 26) 12 34 21) 123915 28) -0082031 29) 0.000058458 Pasa los sigUientes números en notación clentiflca a la notación usual. 30) 8.3-l " 10 1 31 )-6.234><10-: 32) 1.5898 143>< 10' 33)3.94861><10-<> 34)Claud¡0 Ptolomeo (85 - 165) fue miembro de la Universidad de Alejandría desde el afio 125. su obra de trece libros conOCida con el nombre de Almagesto fue de gran InfluenCia en astronomía durante vanos Siglos. Uso el sistema sexageslmal de los babilOniOS y admltia que la razón entre la CircunferenCia de un círculo y el diámetro era 3 S' )0 ' Pasa el numero al sistema decimal para conocer la aprOXImaCión que tenia ptolomeo de :r Realiza las operaciones dejando el resultado fina l en notación cientifica . 35) 8 H ... l0' - 1.565-l>: 10: 36)(3 8215 64> 10' )(-1 .981>< 10-' ) 37 ) 1(8). 10 1 3 872 ,, 10 1 39 I':,r .,n " •.".' •• "., ) ~'-:" . :'., 38) - Q . 6S4~ _ 10 · 3 9S27h 10 ' 40) l' ".1 ' . ,~.'¡ ~' ~"- _ : _. , .. ..... . . . Q. , "O ., Capítulo 2. ÁLGEBRA Ahora veremo s las cantidades de una manera más general. como la estudia la rama de las matemática s conocida como Álgebra La palabra álgebra vi ene de las palabras árabes "Al gebr" que sigmfican "el restableCimiento·, Como hemos Visto la idea de cantidad y de su representaCión por números se ha Ido generalizando y en el capitulo anterior lo hicimos a través de las operaciones con los números y algunas propiedades. En la medida del desarrollo de las necesidades humanas fue necesario repre senta r las cantidades más abstraclamente, a veces para representar clases de cantidades diferentes, otras para establecer prOPIedades más generales o incluso para re presenta r cantidades desconOCidas por descubm En álgebra 51bien se siguen usando los números, también se usan las letras para representar cantidades. Se acostumbra usar ~ Números para cantidades conOCidas Invariables 5. - 8. f. - 12 8724. J'¡.S572, . , Las primeras letras del abecedario o alfabeto para valores constantes. a.b.c. A. 1J.c'U.P.r./\ . r . las letras finales del abecedano O alfabeto para las cantidades desconocidas o por descubrir f . )" • .:. X.Y .Z .$ .Q Podemos hablar de la suma de dos cantidades como ( 1 + b O bien. la multiplicaciOn de dos cantidades como JI " B También podemos establecer combinaciones de números y lelras, así por e,empto podemos pensar en el tnple de un número ]x ¿Qué significa :c + y % JO? Polinomios Cualquier ténnino o sumando es un monomio. SI la expreslOn contiene dos sumandos es un binomiO. con Ires es un tnnomlo y en general dos o mas términos o sumandos se le dice polinomiO También a cada sumando de un polinomiO se acostumbra decirle término Ejemplo 2.35 monomiO 3. - 8<u' monomio 7b.l'+ 15)' 64aJx' _2 8a Zy J +8a:'¡ Innomlo. polinomiO 7 binomiO. polinomiO 2x + l )' - 12: - lob + ) '¡l')': ... 9{/' }' - 86 • COl'lvenio introdUCIdo pOI Oes~"5 . en liI.ne l~ 1 polinomiO usado po< 10$ ,.lgebllsl U lIuta 1,. ellQU OICt u~ J1 32 Relalo conCiSO sobre mal eméliea bésiCél Suma y resta de polinomios Suma Si queremos sumar pOlinomios s610 vamos a poder agrupar cuando son del mismo tipo lo que vamos a llamar términos semejantes. Ejemplo 2.36 Son semejantes: 3a y - 12a : _ SXI ; . 8XlZ y 1283x 1; . No lo son: 3xlyl y 2xlyl. Si tenemos un polinomio y hay términos semejantes los podemos agrupar sumándolos Ejemplo 2.37 (4 ab - 4be + Sed) +( be + 3cd - &de) + (Sbc - 6ab + 8de) + ( -3be - 6cd - ab ) ,..__T ~ la suma de cuatroe omios. e ~ n ~ emos R8f6t)tesil.. sófo v.erifi,.gLQÚ8 ef8)Ctivamente 1t9~ ~ 1"'____4 ; a ~ b ~-;.: 6a : b _ - ab - 4be + oc + Sbc - 3bc + Sed + 3cd - 6cd - Sde + Sde ................. ........."""'de_UI!!! - 3ab-bc .f. 2ed Observa que los términos que contiene dI" suman cero y ya no estan en el I¡nomio. Otra forma de realizar _ __ """"' _ Ir los t MnJrum.~s e, coI""".,.,'-_...... la operación. la cual es més ordenada. eIHJ[\~ misma 4ab - 4hc .f. Setl +oc+3ed-8c1e - 6ab+Sbc +8d1" - ab -3bc-6ccl - 3ab -be+2cd Capftu lo 2 Álgebra 33 Resta ,'I~ " ,~ ': J'OIfJ1omloS ~ " , "-l21L.... " ~mª"Y Ejemplo 2.38 debe cambiar los signos de cada término (90' - ISo' ",1 +310' '''' - ",' +14) - (2 So'''' - ISo'",' +5)0' ,1,' -9(1"" +3,1,' ) Quitamos paréntesis, cambiando el signo de cada término con el signo menos ( - ) . == 90" _I Sa'",' +310' '''' -",' + 14 - 2So' ", + ISa' ",' -530' ,1,' +90,1,' -3,1,0 Ordenamos en orden decreciente en o ", 90" -2So' ", - ISo'b' +150' ,1,' -530',1,' +310' ,1,' +90,1,' -,l,0 -3,1," + 14 = 90" -2Sa' b -5301b1 +310',1,' +9ab' - 4,1,' + 14 o bien 90' - 150' ,1,' +3 10',1,' - ,l,o + 14 + ISo'b : 90' -3,1,0 - 250' ,1, - 530' ,1,]+90,1,' +3 10' ,1,' - 4,1,' + 14 - 25a'b-S3a' b' +90,1,' Ordenando = 90' - 2So'b-530'b1 +3 1a' b' +90,1,' - 4,1," + 14 Ejercicios 5 Haz las siguientes sumas algebraicas. 1. (2x 1 +3X+4)+(h +S ) 2. (tOl +t 3. (tml _~ 4. (a' ab -t mn ' b l ) + ( t o '-~a b +¡ ", 1 ) + ( -r 0 2 +¡!oob-tb1) +tnJ)+(¡ m1n+ t mn' _in1)+(mJ - -tm1n- ,,') _"")+( -a'b+o' b l -0,1,' ) +(- 30' +50'b _40 l b l )+(-401b+ 3a' bl - 3,1,' ) 5. Sea x una cantidad de longitud cualquiera y dada la figura proporcional de un terreno. Calcula: El perlmetro del terreno para cualquier cantidad :c . El perlmetro del terreno si cada x representa 5 m. 6. Calcula el perlmetro dellriángulo cuyos lados están dados por u+5;3x + 4: :c 28%O c 2 3. Fielato conc:iso sobre ma temática bhica Haz las siguientes restas algebraicas. 7. (2x1 +SX+ 4) - (3x+ S) Haz las siguientes sumas y restas algebraicas. 9. (o' - b')- (_olb+ o1bl _ab 3 )+ (-f a' + f alb _falbl ) _ (_foJb+3albl - 3b') 11 . Sea tIC =: 2x1 +3x + <1 la distancia desde o hasta e y be =Xl desde b hasta c. Encuentra la distancia desde a hasta b. X - 1 la distancia Dados los polinomios A ::.-2..1"' - 7..1" + S; B =< -3x +S; e", 3Xl - 2..1" - 1 encuentra: 12. A +B 13. e+ B 14. A-e 15. 0 + C - A 16.e- B - A t7 . A + B +C 18. 0-C - A 19. A - B +e Multiplicación y productos notables Debido a que la multiplicación de polinomios no es tan sencilla. vamos de situaciones simples a las mas complejas. Multiplicación de monomios.- Empezando por lo mas facil. el método es el S¡guien ¡; t.~ :~_ ..._~ _ _. , M6t0do1I,-multipticad6fw.dl:lIIDfJOIhios.. Ejemplo 2.39 , ~ •SIi rm,IIIpbn los c:oeIIJi..., k1cIuso Multipliquemos c:onsiiIrando los &\gnos. (Stibx')(-2oJ x' )'" - IOo' 6x' Para cada base de los mullipllcandos se !!tD>' Jlea _ __ _ lUmIf1 loa___ expon~ el f"8eOnl8n4able Multiplicación de polinomio por monomio.- Si Ejemplo 2.40 tenemos una suma (polinomio) y lo 3a.:c 2 - Sal" multiplicamos por un término (monomio) aplica la ley distributiva de la multiplicación con la suma (ver página 1 , recordando mullipRea el (o + 6)c =: oc + be:. Asl, + 12b 4M ~"'-:R_l!r Multiplicación de poIinomios.- asl cuando tenemos un número de varias cifras donde se multiplica cada cifra del multiplicando contra cada cifra del multiplicador y después sumamos. del mismo modo debemos multiplicar los polinomios. ¡¡¡¡:P$¡¡¡¡¡;¡¡;;¡;¡;¡¡:;¡;¡¡¡¡¡;¡] Capflulo 2 Algebra 35 Ejemplo 2.41 lx' -.hy-2y' 3x - 4y b ' + lb' y -6.1)" -l2x' y-24xy' + I y' 9.1" +6;r'y- 10xy' +ay' Productos notables Exislen productos que por su uso frecuente resulta conveniente conocer el producto sin pasar por todo el proceso de multlplicaci6n cada vez. Binomios conjugados S Si o• o o-o realizamos el producto de los cuales son conocidos como binomios conjugados se obtiene: (a+b)(a -b ) ,, ' - /1 ' lo que se conoce como diferencia de cuadrados . Apréndelelo: El producto de unos binomios conjugados es una diferencia de cuadrados. Una representaci6n geométrica' del producto de los binomios conjugados es: I ,., En la rlQura izquierda se observa la diferenCIa de cuadrados. Mientras que en la figura derecha se establece el producto de los binomios conjugados. 1 Claramente las áreas respectivas son iguales, de hecho renejando la regl6n 1 respecto de la recta a ¡• rad S8 observa que los rectángulos son Iguales por tanto las áreas son tguales , conllguJeron obllnef ~. UpfU1O<l1l liniO di I l oa babllonlol, In IU progreso aJgeb~ico bWIomlot c::onjugaOoI como elel binomio 1I cu..:!rldo, . I eltl forma geom6U1c:l di ..ludiaf el ~Ig IYI ca,..aerllbCI di la elloelMlla pilagOnc;. 36 Relalo concIso sobre malemallca baslca BinomiO al cuadrado SI tenemos prodUClo tenemos (ti I como hemos . oo' h ): y efectuamos el "' aprendido ~' '~ • abo b' ,,' SI lo hacemos con cualquier otro binomiO nos da un resultado del mismo estilo , veamos ,1"b.~ ' J. - .' 1.,' _ ) 9.' - In ~. 'h ' - 6<) t, ' Observa Que siempre obtienes tre s términos donde los cuadrados dan siempre con Signo + El término de en mediO conocido como el doble producto del primero por el segundo tiene el Signo segun el caso .211h en el pnmero. - ~ ( h)( \,) en el segundo A este producto se le conoce como tnfJOflllO cuadrado perfecto Apréndetelo Un binomiO al cuadrado da el cuadrado del primero más o menos el doble prOducto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo Una representación geométnca de cuadrado de la suma es + • Claramente se puede observar el cuadrado del primero los dos términos del primero por el segundo + El cuadrado del segundo ... BinomiOS con un término comun, es deCir, de la forma (.1 '(1)( 1 j b) Apréndetelo Unos binomiOS de forma (1" a)( I' ,h ) nos da • lo, • "It El cuadrado del pnmero más la suma de los segundas por el primero más el producto de los segundos Ejemplos 2 42 1 (1 -~)(I ' ~Jl { ~ .(5~J )" 2 (. - ~Il)( 3 (\-+6)(1 -10)", ,' - ..J,"-60 4 (f - ~)(I l - .J) - J) _ l : ' l5 H J ) - , : , 8f . ( ll - ..J)l<{lI)( - ..J) , -- q". :,O '15 t' '-7 .1 - 4..J Capil ulo 2 Álgebra 37 Binomio de Newton Haciendo la multiplicación (a tbt = al ± Ja1b+Jabl± bl puede verificar Antes de continuar requerimos de conocer el triángulo de Pascal. ¿Haz ardo del triángulo de Pascal? Empiezas con el 1, sumas los dos términos de arriba y lo pones en medio, finalmente vuelves a poner 1, 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 Oiagrama de consll'\lcción del triángulo de pilscal 1 4 6 41 1 5 10 10 5 1 los términos del triángulo de Pascal son los I Ejemplos 2.43 ,,' " 5.1"" " 10 10.1') 10 10,, 1 IOX 1)'1 IO.1'2y' " 5.1'y· y' (.1' + yr = .1" +5x'y+ 10x'yl + IOxlyl +5xy' + y' ... Dlagrilmil en EspeJO PnIcIo.so de los Cuatro Elementoi , En el Espejo ¡:x&Cioso de /os cualro elementos, lelrtO duno de miltemátlCaS del ligio XIII del autor Chu 5 hih Chieh, aparece un diagrama de lo que eonocemos como tnangulo ilrfuntbCO: eSlab4eddo po.leriormente en una resella de PaKal, en la primera mitad del siglo XVII 38 Relato eone,so $obre matem¡ihca bils>Ca ~JCIOS 6 2 (-, ,,h"' )(-;h'x' ) (2ah)( - 01') 4 (!""){-lb'J(-;"'b) Realiza las sigUientes multiplicaciones 5 (/ 7 9 '- Sa'~ 8a ) \4, ) 6 (.r'- 4t ' I -S xy)(2<lx )y ) ((¡wh _a'h")( 2" l» 8 ( ; \ '-~.f"1 (IHh )( 2a-h ) 10 H\ 11 (h J- u: ... s ax ~ )(2{/ .¡ t,J 13 Si el lado de un cuadrado mide J., . 1 '. T.' )( ! \ ·;-~ t x J J' : ) Y) : ) t 14 SI la base de un rectángulo mide ~ .1"-2 ·- l)( 8 , ,-cuánto mide su área? ¡.,:-t .1"J't 1fy: y la altura del mismo es ¿cuánto mide su área? Obtén los siguientes productos directamente sin multiplicar los polinomios. 15 (a.¡. 5)( .. -5 ) 17 ( ~ elX I \6 (4 07 )(4x - 7) ¡h ){:u.r -'¡'h ) la (8.J.r+l 8)(11.3., -2.11) 19 Verifica mediante una representación geométnca que el producto de binomios conjugados se obtiene una diferenCia de cuadrados RealIZa los siguientes productos 20 (3".s) 21 (7( - 6)" 22 (S.p . 12h)' 26 (.i -5)(.<' .,,) 23 (Sa:.1"-3h ): 27 (H 1)(, -, ) 26 Verifica mediante una representación geométnca del binomiO al cuadrado también se cumple cuando es resta. es deCIr ( el - h ): 29 Obtén la sigUiente sene de numeros del tnángulo de Pascal (ver pag 37 ) Encuentra la potencia de los sigUientes binomiOS Capitulo 2 A!gebr. 39 División y factores de un polinomio División de polinomios El método para dividir entre polinomios es semejante a la divisi6n entre numeros. Sin embargo, ....amos a destacar más cuando los polinomios s610 dependen de una sola ....ariable desconocida. Ejemplo 2.44 6x'!" =Jx'y 2x'y Jo 9u'x'y' Ja' x'y' = x' y J2Q 1 x' y - I6tu' y ' Sar' y Advertencia: o!; '#. ~+ ~i:g!;¡ J2a l X')' = &n' ), - 16ux'y' &n' y f ' pensar en la igualdad es un error común. ,: :~ seguir el siguiente método. Ejemplo 10x' + 4'% ' - 178+ 5'% _ 16x1 2.45 10 + 2'%+x' '% ' +2x - 10)4x' + l ox'- 16x' + 5x - l7I ,,' ... ' .l~ _ I O) . "' · "O 4 ... . . h - IO ) ~' ~ '_ U ,,' .. ... , . J~ -1 1 . . . . . ' _ 4 0 ... ' ' . ... ·. 10... '- 16 ... ·.5 . -11 . _ (h' . " '_ 40.' ) 2. '. U , ' . J ... • Ord_r un polinomio ea aoomodano de acuerdo a. gradO de una variable especll\c.l de preferencia .... on:len d6ctK1en •• . 40 Relato eonelt.CI lObre matem4ltiea b4lsic:a 4... ' • 2... .. 20 5. Repite pasos 2. 3 V 4 hasta que el residuo sea ... ' .2..--10) 4.. • .. 10 .. '-1 6 ... '+S ..· - I7& de grado menor qlJ8 el - (4 ... · ..... ·- 40.. · ) divisor. 2... · .24 .. ' .. S.. - (2... ' .. 4.. ' - 20 .. ) 20 ... ' + 25 ... - 178 -(20 .. ' .. 40 .. -200 ) - I Sx + 22 6. El .Igoritmo de la divisl6n' lambién se cumple y sirve L;. ~!.l - Il' cíón. 4.1" + 10...' - 16.1" + Sx - 178 :: ( ( ....:+2 ... - 10) 4x' + 2.1' + 20)+(- 15.... +22) Divisi6n sintética Como su nombre lo indica el siguiente método permite realizar una divISión de manera sintética o resumida cuando el divisor es de la forma .... 1 t I . _. --"" .. . Mttodo 21 . dIYlsi6n sintética. Ejemplo 2.46 1. Orden. 4.. ' _ 2.1" -+- Ox' numef8dor denominador en " tonna 5x l - 2.1" - 7 - 3.1'+ 4.t ' lu -+- Sx! -3 .. - 7 H I dMftciente V obsetva si niIten potencias na No está la potencia 3 . .... del 2. Esa1be los _ C8I8Ia Y Establece el recuadro del y cancela el térrniho ~ndiet 10 del diviso oan .. signo contnlrio rBIkIuo el - 1) 4 2 O 5 [;] -"-grado. ..". el coef.oerde del ~grado. 4. U...,aca _ ""_0_. iIibo¡o - a. delY_ por el ....- .. Suma ada ,.skluo con .. ® ..JO. -tvo 'Puede. COfllUltaf e' Teorema11 Algommo de ... dMso6n en la pag 5 '0 TetmlllO independiente Ot un POIonomlO es el ~rmino con" ..nle o -J - 7 Capitulo 2 Álgebra 41 4 -1) 4 -6 • -2 O - 1 -2 8] -J -7 s [;1-46-6 4r-2.l"+S.l'!-J x - 7 >+ 1 ::: 4.l" - 6x' +6.l" -.l'-2--'- >+1 4x'-6.1"'+6.1" '-x-2 >+1 4x'-6.1"'+ 6x' - x'-2.1" 4x' -6.1"'+ 6x' - .I" - 2 +~x 4x'-2x' '- )x - 2 ( -') HI!JldliO Factores de un polinomio Se llama fa ctor a los divisores de un polinomio. factorizar es expresar a un polinomio como el producto de factores más simples. Ejemplo 2.47 Dado el polinomio .l"+ t ~.l'+ SO se puede expresar como (x +5 )(x+l0) . Verifica haciendo el producto. Factor comun monomio.- Cuando existen partes comunes en cada ténnino de un polinomio podemos encontrar el monomio factor del polinomio Ejemplo 2.48 JOax' y' + 24.l"y'¡ '-"y' ", Su+ 4..,,' ¡ JOax'y ' + 24.l"y' : ", (6.l"y)~u+4': n Ver mtximo común divisor.n la P ~g . 17. 42 Relato COOCI'O sobre matemabc.il bbie3 Factor común polinomio.- En ocasiones no es posible , en un polinomio , encontrar un monomio como factor para todos los términos, sin embargo puede tener un polinomio, mas sencillo, como factor común. Como no siem pre es posible encontrar un polinomio como factor y sin embargo sucede con frecuencia es razonable tener una estrategia para encontrar un factor en algunos casos. Ejemplo 2.49 xy+xh-uy-ah xy+xh -ay-ah = x(y+h )- a( y+ h) xy+xh-ay- ah = x(y+h )- a( Y+h ) : (x - a)(y+h) Cuadrados perfectos.- Un polinomio es un cuadrado perfecto si es el cuadrado de otro polinomio. Ejemplos: 9Xl y u l +2uh+h 1 son cuadrados de 3x y u+b , respectivamente. _cuadrado =:. rnononio 24. aJ Ejemplo 2.50 corno obtener cuadrado de p e _o 1.. ,..tz cuadrada del 2; 'DIVIde ... mitad "exponente de _1oIro. r. 81 ~ es un monomio ciladrado , ,_r -GOIftO un mononIIo aI~ . Diferencia de cuadrados.-Si tenemos un polinomio de la forma fa ctorizar1o como binomios conjugados 12 . Xl - ti podemos Ejemplo 2.51 4 Z1 es un término cuadrático , 16 también y estan restandose. W =2z JI6 : .. loa ~ ("·)Cx-o)' 4 (2"4)(" - 4) Observación: En general cualquier término es el cuadrado de otro. tl Puedel ver bInomlot eonjugado. eI'I la pag. 35 Cap itulo 2 Alllebfa 43 Trinomio cuadrado perfecto.- Si tenemos un trinomio cuadrado perfecto lo podemos factorizar como un binomio al cuadrado 13. Ejemplos 2.52 (i +b ' +2ab 4X ' - 4.1:l + y' W Jb' · : 2x Jl"'y2 b 2J:1.Jb1 : 2ah 2W.J1 = 2X)'2 (a +b )' Trinomio de la (orma X 2 + Ax+ B .- En ocasiones es posible establecer los factores de un 1 · i cuando cumple con ser el producto de binomios con un término Ejemplos 2.53 ~ -~ ," ~¡¿;: x ' + 9x +20 .... ·~.r"' l l (, )(, (u )(u x ' - 5.1 - 1" (, )(, (x - )(n (.1:+ 4)( .1:+5) (.1 - 7 )(.1+ 2) Observaciones: l .- la fonna para encontrar los factores por este método requiere de mucha práctica además de que no es aplicable en lo general. 2.- Más adelante cuando se vean los métodos para resolver ecuaciones de segundo grado profundizaremos más en la forma de obtener los fa ctores para los trinomios de segundo grado. 1) Binomio al cuad ...60 en Ja P4III. 35. " Producto de binomios en la P4III. 36. 44 Rela10 conCISO $obre malemal, ca bas,c¡¡ Teorema 2 1 (del residuo) El residuo de la forma dividir cualquier polinomio ~ enlre X - (J es suslltuir (J en la variable :c del de a, x' .. a._, x··' . ··· l rI,.f . a polinomio HipótesIs C, l ' 'j". .( - (1 es un polinomiO diVisor ,.l , -I + -'-(', l +( , esunpollnomiodividendo TeSIS DemostraCIón C. ( '+(·, 1( "' .. '( ( H' = (.\·- u){! + R Por el algori tmo de la divlsión '5 donde Q es el polinomio cociente y R el polinomiO residuo. la Iguatdad es lIállda para cualqUier va lor de para x : " Sustituyendo en la igualdad Qued a demostrado. Ejemplo 2 54 Encontrar el residuo de dividir el polinomiO S.l ) _ 6.( 1 +J.l - 9 entre x - 2 , sin efectuar la diVISión Usando el teorema tenemos que el residuo es simplemente sustitUir .l - 2 en el polinomiO 5(2 )' - 6 (::!): . 3(2 ) - 9 ", .10- 24 + 6 - 9 46 -3 3 = IJ RealIZa la dllllSlón de los polinomiOS para que verifiques. Ejemplo 2 55 Encontrar el residuo de dividir el polinomiO ., J + , • 3, Sin efectuar la divISión 4 .1' 1 Igualmente sustituimos . pero ahora ( ",-3 {- J )' - 4( - 3¡' .3( 3 ).:5 ., Ver algonlm o de la dlv'SJQn P ag s 5 y 'lO =- 27.J 6 - 9. 2 j ,- J6. - 6 1 ~ 2S + ]x + 25 entre Cilpi lulo 2 Á1gel)ril 45 Corolano 2.1 Si para algún valor .l '" Q el polinomio es cero entOrlces (:x _ Q) es un factor del polinomio. Efectivamente como sustituir :r '" a en el polinomiO es el valor del reSiduo de acuerdo con el teorema del residuo, y SI es cero entonces la divISión entre (:r - Q) es exacta, por lo tanto (:r - QJ es tm fa ctor del polinomio Ejemplo 2 56 l Dado el polinomio :r -:x' -9:r - 12 al sustllUlr .l "' .. obtenemos (4t _ (4)l - 9(4) - 12 = 64-16 - 36 - 12 ", 6.1 - 6"' '" O entonces (:r - 4) es un factor Con solo dividir el polinomio obtenemos el olro factor. Usando divIsión sinlética I J 4) 1 - 1 GJ 4 [Q) 9 12 12 12 Hemos encon trado los siguientes fa ctores Xl _ X l - 9:x- J 2 "' ( l - 4Hx ~ ~ 3x't 3) Si nosotros tenemos en factores a un polinomiO no es dificil verificar que el término ¡ndependlente del polinomiO es el producto de los términOS independlenles de los factores En el ejemplo antenor tenemos que el lérmlno Independlenle del polinomiO Xl - ,l ' -9.1' - 12 es - 12 y los términos Independientes de los fa ctores t (- J) Y (x' +Jx+J ) son -4 y 3, respectivamente Así observamos que (-4)(3) = - 12 . El producto de los términos Independientes de los fa ctores es Igual al término Independiente del polinomiO producto Para buscar fa ctores de la forma con valores de polinomio ti (l - 1/) en un polinomiO hay que probar que sean diVisores del términO independiente del 4 6 Relal0 concISO soble malemin,ca bas,o;o¡ Ejemplo 2 57 Factonzar el polinomio x' - 7r , 6 Los divisores de 6 son entonces i 1. ' 2, .;. 3. ~ 6 tenem os que probando cuales al sustitUir en el polinomiO dan cero ó -" 1 2 x- O (1) '- 7(1) . 6 : 0 Un fa ctor es (r - I) el otro fa ctor lo encontramos usando diVISión sintética - 1 ~7, (- 1)'-7 (- 1) 1 6 1 ~ I) I I!l [QJ -6 O -7 6 -6 El polinomio puede expresar como SI querem os encontrar más fa clores tenemos dos opciones Seguir de la misma manera como hemos procedido, pero ahora con el polinomiO ( ' -t ,'- 6 Tra tar de encontrar los fa ctores con el métod o del trinomiO de la forma , ' 1 ,11" 1J 16 Camino I DIVisores '1. • :::. !: 3. ' 6 2 Ya sabemos que diVisor 1" , \ - Camino 2 Para encontrar los factores de " I , - 6 6 de \ I no es ~ (, (1)" . ( 1) - 6 --" (1):,(2 ) - 6 ~ ,:- 2 ~ término. ler fa ctor (,+ )( ., - ) - hU ¡ 6 ... 0 3 Otro factor es ( 1- : ) Nuevamente diVidimos para encontrar el fa ctor fallante 1 )( .l El signo de multiplicar lOS Signos del 2° y 3er términos, en 2° faclor O (- :! ): , ( - : ) -6.=~ "J' (.r 2 Signo del 19l 3 Signos contranos Buscar dos numeros cuy a diferencia dé el valor 2° término y el producto sea el valor del 3er térm ino El mayor se pone en el ler fact or y el menor en el 2° factor ( • . J)( ., - 6 6 Todos los factores del polinomio son \ ' '1 Q 7t, 6 _ (( • 1)( '. El mel000 pa ra ¡adonzar esle I'DO de mnOm'0 5 esla e n la Pag . 3 f - :! )( .T' J ) Cólpllulo 2 ÁJgebfól 47 Ejercicios 7 D:i ~ ic!e los siguientes polinomios 'J venfica el resultado mediante el algoritm o de ladivIsión, 12a 1b1 3x' y ' ;:-' 15u' f' y l + 10cL!") • 2 3 Jab -t x 'y;:-' 5u." ) ,') ,. 5. 7. • x' +7x-30 , J &X' T' +20 - 9.r 6 2.( +4 !.r' + +x' +t.rl ~ 2 X -t? 2x' ~2-l x X l_ : , .' Realiza las sigUientes Simplificaciones 9. 10 l u u 'y ' : ' 9xly 27xly l :m'n' 11 4e(l' ;:- 12 15(1' (' ,,'"+ 10 , ',' 6uI" , ' f m' ,, ' Mediante división slntéhca determma los COClenles 'J residuos y com prueba cada resultado . .tI +8x + 12 +70 "" 13. "--'-,= 15. eSxo ' _+,-"20 'c- 14 2, '- 2 , , 16 2( ' - 6(', SI : - 2{ - 4 , J ' e O~' _ ' :+"'"'0 ' :+"'"' ,,' Encu entra el fa ctor comun 19 :!Ix ' .J 5.1'- 71 17, 3x: +6x 20. SISo : - 60ub 23. SSu lbJx + 6Su' h1 ., l _ 145,,' x J 24 33u ' .. 44el ' - SSu Expresa los monomios cuadrados perfectos como monomios al cuadrad o 25. 49x'y 27 2~ ' : '~ 6C/ 'h '," 28 Slk : . , " Determina los fact ores de las sIgUientes difere nCias de cuadrados 29. 9x' - 4;:-' 30 I O a ' h ~- 2 St ' 31 l -~ 32 ~ 16 -- , , 25 Obtén el binomiO al cuadrado de los siguientes trinomios cuadrados perfectos 33. a 1 + 10u + 2S 34 .l · - 12,0 ... 361 39. (2x - 3)1 + 10(2.l - 3)( a. h) "':! S(u .. h )' 35 -lu'- 2u'h' . ~h , Encuentra los fa ctore s de los siguientes trinomios. 40. x l + Ix + IS 41 . x:- llx + 28 42. x : - 3x-l08 43. X l +3x - 88 44. (1 1- 2 10 +20 45. ;: ' +10l +2 1 46. r' +30r - 67S 47. m l - l3m + 30 Encuentra el residuo de la división sin efectuarla. usando el teorema del residuo. 1 48. x +8x +IS x- 2 49. x )- 2x'+ Sx - 6 x +4 50. xl- h '- 12x - IS x- S 51 . ~ x _'-" '~x ~ +c7-,2 x- 7 Verifica si las divisiones son exactas sin hacer la división. 1 52. x .¡- l3x +40 x +S 53. xl- Sx'+ l lx - IS x 3 54. 10xJ- 7x l+ Sx - 2 2x- 1 Encuentra los factores de los siguientes polinomios. Fracciones algebraica. Cuando realizamos una división de polinomios en general ademas del cociente nos queda un residuo. IOx - 36 x 1 + 2x_ 10)lOx J _ 16x 1 + h - 178 IOxl+ 20x' 100x _ 36.1'1+105.1' - 178 - 36 ... ' - 72 ... + 360 177 ... - S38 la división la podemos expresar como un polinomio o parte entera y una fracción (codente de polinomios). la expresión anterior la podemos establecer como 1 1 10... _ 16... + Sx - 178 10... -3 6 + 177x - S38 x' + 2... 10 Haciendo la ana logia con los números racionales y la forma de operartos. Tienen éstos una parte llamada entera que es el cociente de la división y la parte fraccionaria resultante de dividir el residuo enlre divisor. Ahora veamos que para operar las fracciones algebraIcas se operan de manera análoga a los racionales mediante los siguientes métodos y respectivos ejemplos de la suma, resta , multiplicación y división. X l ~2 x- 10 Ejemplos 2.58 Capitulo 2 A1gebt. <49 -,__ ---.!!.:..L . (S)( ... ' -4 ... -+ I} -(ü+ I)(J ... -S) 2... +1 ... ' - 4... + 1 (2... + l)(x' -4 ... -+ I} _ S...'- 20 ... -+S -(6x' -10... ~ J ... - S) (2""1)("" - 4.1"+1) S... ' - 20... + 5_6 ...1 + 10... - J ... + S • (2.... 1)( ...'- 4.... 1) - x'- 10 ... +10 4.... 1) (2%+1)( ... ' - ...' - 10... + 10 2...' ""'-+ 2x -+ x'- 4x +1 _ Xl 2...' - IOx+ 10 7x'- 2x+1 8 ]x 2... ' +5x-4 · 24... 4X5 ... - 9) 5... -9 z (z..,l + S... - 24, 10... ' +25., ' 24, 20... - 18x'- 4Sx + 16 lO ... ' +7x' -65 ... +36 " ,-, l+! (2 ... )(x - S) 2x' -10... _ ' _ ;: 8( ...'+ 1} '" 8...'+ 8 2( ... ' -5x) ...1_ 5... '" 8("' +1) ., 4(x'-+ I) - ... '+ 1_ 5... _ 1 4( ... '-+- 1) 4 .S .f+! 4... '+ 4 Observaciones: 20 En general sin importar la operación, en caso que el grado de amba sea mayor o igual al de abajo es recomendable, hacer el cociente También, en general, hay que simplificar "ConlUb Nu.n.ro. ,.clon.... en la Pág 12 ti MultipllcadOn de hcdonea en la Pág. 16 .. MtIodo de mulllplicaciOn CNlada en la Pág. 17 . • DMalOn de fraoc:Ionea en l. Pág. '7 'f aigu..nte. 50 RelalO ConCISO sobre matemátIca baslCól Slmphfica las Siguientes fracciones algebraicas J.t ',\ '; 3 2, 6 ... : \':; ' - 'J,t' ),: ' 11 ' I • !uh .. b' h' (J ' J r' y .. 12,\}, .r '- 16 Determina la parte entera y la fraccIón 5 Jx ' .. I~ , "- .t' ·h ... 1I 6 :!5.,·';-I Ot' : ' ~5 5 I ~ 5: x: ' Realiza (as sigUientes operacIOnes con fraCCiones algebraicas 11 8 - 'lh Jh ' ,,' IH h 10 ~ 2~t la Ecuaciones de pnmer grado con una incógnita Cuando se l/lO el corolariO 2 1 del 1eorema del reslduo21 se establecIó que SI nosotros el/aluamos un polinomIO en algún valor y nos da cero entonces podemos encontrar un fa ctor del pohnomlo SI tUVIéramos un método para encontrar los I/alores que satisfacen la Igualdad con cero podríamos encontrar los factores de mejor manera SI queremos encontrar los factores del polinomiO 1" - :J..t ' - 12 " - 15 lo que nos debemos preguntar es como encontrar los I/alores para los cuales Planteado asl . andamos buscando un valor ahora desconOCido que satisface una relaclórl la cual vamos a llamar ecuación DefiniCión EcuaCIón es una lQualdad en la que una o I/anas cantidades desconocidas llamadas inc6gnltas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las Incógl'lllas EXIsten dll/ersas SituaCIones Que lIel/an a ecuaciones de primer grado. Sin embargo. de las mas propias son las rel aCiones de proporCión As! , por ejemplo. l' Con 'l/tla el oorolaflO e .. la Pag . 5 Capllulo 2 Álgebra 51 nosotros podemos calcular aHuras muy grandes dificiles de medir directamente usando medidas auxiliares que sean fáciles de medir directamente como en el dibujo de la izquierda se quiere establecer una relación que permita determinar la altura del taro u . Talel de Mllelo Sabemos. que los triángulos con los mismos ángulos son proporcionales lo que nos permite establecer la relación siguiente. Sea z la aflura desconocida , sin embargo, se debe cumplir que, 7 , 6] :-; Para poder encontrar la respuesta a problemas de este tipo debemos aprender antes a propiedades de las igualdades. Propiedades de la Igualdad 1, Si a ", b entonces b=a , 2, Si a ", b y b - e enlonces a :e . 3. Si a = b , para todo valor c , se cumple que u +c =b +c . 4. Si Q "" 6. para todo valor c . se cumple que u xc .. b xc , Usando la propiedad 3, multiplicando ambos lados de la ecuación por el valor de la incógnita en la ecuación anterior obtenemos que 7 , - z : -z 6J , Simplificando ~ 6' . p .) Nuevamente usando la propiedad 3 pero ahora mulllpllcando por 63 7 6'" xo (J)(6J) T.lel de MiIeto ••Uibleeió el ~Io de ~ "!IB de una pir'mocte a panlf de medw IU aombra con una VlIIn1 . Talel lftYIó aproximadamente .ntre &lo., 550 a n • . fue' la pnmer;J persona 111'1 .a tll. lena que .dql.liefe fama c:omo m.tem'tico '1 uno de 101 .......000. de la anllgOedad S. le IInbu.,. ao6cdotal como l. d e l. mula cargada de 111, ~I JIf.n"l de olIVO Su l.m;J PQ9UI;Jf l. 0f1\j11'lÓ pOr la ~ioc6n del eelipae de 58S • .n.l . Al Sabio de Mileto le le alribuJa ... proposlClOMI báNeas d. geometrI., en p. rticullr las relaciones de proporciona lidad de 101 Iri'nllulos .emel.nles Se le rec:cnoce como el ~dr. de 11 mll.m4ltieol , 11 IItronomla 'f la filolQna llriella PUlO en relieve • • uber de lo. AOefdolel egipcios, Incluso cuandO 'fa era a~o , reaHTlllndO I su dlKlpulo Piljgotal que vllita" Egipto. la Otra vez slmphflcando 7r Ahora dividiendo entre multiplicando por 1119 o ajustá ndonos estrictamente a tas propiedades ~ Finalmente también Simplificando Soluclon al problema la altura del fa ro es de 27 m Propiedad usada Ejemplos 2 59 Resolver ~1 ' ~ 1'::, ecuación 111" 3 Simplificando 3 Simplificando 4 Simplificando ecuaclon Resolver ~ 1 ') J" 6 " 3 abrevi adamente , SI está sumando o res tando pasa del con Signo con trario Simplificando <1 de manera abreviada SI está multiplicando pasa del otro lado dividiendo 6," J, l. 1" " Simplificando EJerCICIOs 9 Resuelve las slgu entes ecuaCIO!'1es 1 1,,1: g ,. ~ 3 ~,_') 5 6 :._\1 ,l -17 En caoa problema exoresalo como una ecuaclor y resuelve la misma B SI una persona persona lleva ,~'" ~a Comprado y otra • de una pieza de tela SI la segunda mas Que la pfl"l"Iera (..Cual es la longitud total de la tela? Capitulo 2 Álgebra 53 10. Si se invirtió una cantidad de dinero por un ano en el banco que paga una taza de 8.5% al ano y al final le entregaron en tolal $1302 . ¿Cuánto se tuvo que depositar en el banco? 9. Calcula la altura del faro. 11 . Transeúnte, esta es la tumba de Diofa nto 1J • ¡Oh , gran maravilla ! '( la tumba dice con arte la medida de su vida. Su nil'lez ocupo, de su vida, una sexta parte. Al'ladiendo un doceavo, las mejillas tuvieron la primera barba. le encendió el fuego nupcial después de un séptimo, y cinco anos después de la boda le concedió un hijo. Pero ¡ay!, nil'lo tardlo y desgraciado, a la mitad de toda la vida de su padre , lo arrebató a una helada tumba. Después de consolar su pena durante cuatro anos, as! llegó al lénnino de su vida. Con esta ciencia del calculo se deduce su edad 24 • Sin arte, pero si con álgebra , me puedes decir, ¿Dé que edad murió Diofanto? Ecuaciones lineales las ecuaciones lineales son de la forma A.l" + By = e donde )(, )' son variables; A, B Y e son constantes. Ejemplos 2.60 1. 2.l"+)y = S 2. - b + 2y = - 24 3. 7)( - 12)' = 0 Esto nos da un conjun to de ecuaciones donde las variables .l". y dependen mullJamenle para satisfacer la ecuación. Asl , en la primera ecuación podemos encontrar parejas de valores que satisfacen. 2... .. Jy = S , y 2( 1)+ 3(L) .. S 2(O) +J H) .. s o 2(t)+ J (O) " S D 0i0ft,1I1o gr.n malem¡\tieo que dio fil ma a Alejanclf la. VÓYió a fin.le, del ligio IU y pril"lOplo. del IV E. famoso poi" su, esaito. de ¡\Igebol. Aun , cuando el i lgebol duarrollalda por ti u pnrnitiv. y entra en .. duificaeiOn de ~ebra til'COl)<lOa (mediante abreviatura.). te le C:Of\$idera el padre del ilgebtli. Le. ltO.Iacione. diofanlina, . que llevan .u nombre. bu1Qln aoIucI6n en lo. enteros N Pn:ltllema de .. Antologla Palatina que tiene 46 epigram .... que ton pmblem... aJgebrak:os. la mayorla l1Iunidos por Mettodoro. un gramético que viviO toaCla elSOO 54 Relato conc,so s obre matem;j!,u bas,ca De hecho para cualquier valor que se nos ocurra en cualqUier variable podemos resolViendo la ecuación encontrar el respecllvO valor en la otra SI damos el valor de \ '" 23 entonces nos queda la siguiente ecuación de primer grado con una Incógnita, la cual resolViendo resulta que :'r " 69 ", 5 :: ,. - 64 la pareja f ""' 2.t +3 (2] ) =o 5 ::!x;- 69 " 5 Restando 69 a la ecuación . diVidiendo entre 2 la ecuación - 32: \' '" 23 satisface la ecuación Coordenadas cartesianas Una manera de tener una idea Visual del comportamiento de relaciones como las ecuaciones lineales es mediante una representación gráfica . Formamos dos rect as numéncas puestas ortogonales donde en el eje honzontal representamos los valores de l . en el eje vertical representamos los valores de Jo" Ahora dada una ecuaclon lineal digamos :; t - .3 l' - - 6 podemos formar una tabla con las parejas de va lores, para faCIlitarlo es recomendable despejar de la ecuación la vanable \ dar valores arbitrariOS de .l encontrando después los respectivos valores de \ __I~ 6 - J, - .:; , o ; , ¡ ~ .2 _~.\ o ________ 2: 0 --~. 2 " .:!f1"' . I - l).:; -.:f . :: ~ ~"' ~ f - 1 ~ 2_ 3 ( - 3)~ _ ': { _ :; ) _ ~ -1 - _ ~ ' ,- l , -~ -=:.. !__' o ( ~ ' c) ~ ' ~ 2 _-1c · _ 2 _~ ~ " ; _~C'- __ CapItulo l A1Wtbt, 55 Ahora, si ponemos cada pareja de valores especificos (.... }) en las coordenadas carteStanas obtenemos la siguIente gráfica Observa como en este caso todos los puntos aparecen alineados en una recta , SI dIéramos más cercanos los valores podrlamos ver Que se unen también en una linea recta. de hecho cu alqUier ecuaCIón lineal de dos variables nos descnbe una recta y para graficarla es suficiente con tener dos puntos de la gráfica. e 'ercicios 10 l . En la ecuación 2.t .. J y '" S encuentra el valor de J' cuando ., '" 12 2. En la ecuación antenor encuentra el valor de , cuando \ '" 21 En las ecuaciones slgUlenles despeja la vanable \ 3. - J.n · y = -I 4 2.r+2y = - 6 5 h - :!) -6 6 ~ ( - .. \ .. Haz la gráfica de las ecuacIones lineales haciendo una labia para dos valores. Que como vimos es suficIente para deterrmnar rectas 10 3,.8, _ 6J O 7 . -2 x +y : 4 8 lTd,':-9 9 -j o';' -f. Haz la gráfica de las ecuacIones Imeales hacIendo una labia para des valores pero despejando la , asl como dando valores de \. No Importa a que varI able se les dé valores 11.-2.r - 2y = 6 12 - lT+9.\ __ 6 o 56 Relato co,"""so sobre ma lemal,ca bastea Dos ecuaciones lineales desCriben la misma recta, SI la gráfica es la misma Venflca que cada pa r de rectas deSCriben la misma gráfica T - J I' 2 16 - 3 ( + 9r - (, - JO 17 Busca la InformaCión que te permita establecer la relación de los sistemas Inglés e Internacional de mediCión, en el caso de la temperatura , como una ecuación lineal Venfica que la relación contrana Simplemente es despejar la otra va nable Sistemas de ecuaciones lineales Método gráfiCO Cuando tenemos dos ecuaciones lineales , como representan rectas, tenemos dos rectas digamos puestas en el plano car1eslano SI las rec tas no son paralel as, basta que las prolonguemos lo suficiente para que veamos que se cruzan en un punto Ejemplo 2 61 Las rectas - , 1 ~ I - 1, \ • \ 9 sl las graficamos El punto de cruce de las dos rectas es el úniCO punto que satisface sim ultáneamente las dos ecuaciones en este caso, ( '" 3 , \' - 6 SI venficamos en las ecuaCiones algebraicas observamos se satisfa cen J(j)·(6) - 9·b -3 (3). (6) - ' Ahora veamos diversos métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales Es ,mponante conocer la diversidad de métodos y es fundamental que conozca s a la perfecCión al menos uno Capitulo Z AlgeOra 57 Métodos algebraicos de solución de sistemas de ecuaciones lineales Ejemplos 2.62 4x+2y = 16 -x + y : - I 2y ", -4x+16 y =-2x+8 -x+ ( - 2x+8) =-1 - x - 2x + 8 =- 1 - )x : -9 x"') 4(3)+ 2(2) '" 12+4 '" 16 ~z:L;¡"., _ ............;.;..1 - (3}+(2) .-3+ 2.- 1 2x+6y=26 - Jx +y= 11 2x + 6y = 26 -)x+ y .. 11 2x :s: -6y + 26 -Jx =-y +11 Ix :z:-Jy + 131 Ix : 1o~'IO!"í -3y+ 13 = - ')'+ 11 -3 , I/!'J"· l 9y-3 =- IOy= 50 y",5 y+1l x: - 3(5)+IJ= - 2 SoluCión x:: -2,y '" 5 2(- 2) + 6(5) '" -4 ... 30 '"' 26 _3(_2)+(5) ; 6+5 = 11 -y+ 11 1 -3 58 Relato oondto t.Obre matemabca b;ba 4.:.: t 5y = ] lItIOdo Jt , lWI'Ia V resta 2.:.:+y =0 cada ecuación por el (2)(4x+S,) =(2)(J) de la otra eeuaci6n en (4)(2x+ , ) =(4 )(0) ~ de In .ariabln 2 81 ... oIgnOI _ .. 19uoI6 loo 8x +IOy "' 6 1. .~, COiIftciaIlb GOi01cIIJIIet. IOn iguatel, nIIItII ••• 41=16 • . Si IOn diferentes aums. '"' (-) 8.:.: + 4y "' O 6y =6 3. ~ la eciJeclOn lineal ahOf'l de ..,. y = 1 taCo iIc6gnlIo. velof encot~ en 4xt5 (1) = ] CIUlbBJ¡ di las ecuxIoneI, para 3- 5 1 Solución: diilillMwll GIrO valor. . =-=-4 1 .:.: =-t, y = 1 4.......,. • 4{- t)+ 5(1) '" -2 t 5 = ] 2(- l)+(1) =- 1+ 1=O FOrmulas generales SI resolvemos en general un sistema de ecuaciones lineales por el método de suma y resta tenemos a,x+h,y =e, a ~ x+~y (1) =Cl h}(a, xt b,y) = b,e, h,(a:x+b,y) :: b,c1 a l (a,xtb,J') = ale, a,~ + b,b,y .: h:e, (- ) aAxtb,b,y =b,e: (- ) a,a1x+ az/J,y =a:e, a,alx +a,b,y '" a,e: a, (a:x + b:y) :. a,e: (a,b1- aA) ... =h¡c - b,C'¡ ~ ... '" a,b, - a,b. = Observadón Si a,b, - aA O no existin\ soludOn o no ser.!! única. Significa Que las rectas son paralelas o se trata de una sola recta. OIdacticamente no es recomendable usar las fórmulas. Aqul se induye para Que se enbenda de donde surge la regla de Cramer. Caprtulo 2 Álgebra 59 i;:¡ ~- , Ej emplo 2.63 2x - $y : )S x+ 8y =- 14 x '" b.c, -h,c:, a,b¡ - a,b, JI =se!- a,c, (8)(35)- ( -5)( - 14) (2)(8) - (1)( -5 ) (2)( - 14) - (1)(35) _ - 63 .-3 21 a,bl-aA 2] 2(10) - 5(-3 ) = 20 + 15 = 35 (1 0) + 8(-]) '" 10 -24 '" - 14 Detenninanles Se puede utilizar las fórmulas que son diflclles de memorizar pero si hacemos la siguiente convención es fácil operar. Definición El detenninanle de un arreglo de 4 números es ~ ~ : AD - Be . Aun cuando el concepto de determinante es más complejo que lo presentado, para los objetivos del presente texto es suficiente. SI observamos ~la i ~ s ij ~ e ~ , ; q ; u ~ e ~ q ~ U ; ed ; a D n las soluciones se pueden expresar Ejemplo 2.64 3x + 5y =19 -7:c+3J' =29 l\ "I~, ~ = ()3 ax =jl9 - ( - 1)(5 )= 4 5j = 57 - ( 145) =-811 i\lé 29 3 .· i! .~ "' ~ Ay =j ) -7 2~ 191= 87.[))=220 60 Relato conciso sobre matemática básica x ", tu ", - 88 =_2 • 44 y ", .ó.Y ", 220 :" j • 44 3(-2)+5(5) = --ó+2S = 19 -7 (- 2)+3(5) = 14+ 15 = 29 Ejercicios 11 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método gráfico. 1. 3x ", 6y y-5 =O 2. 3x-y = 0 5x+4y =-26 3. 3x+8y :: 28 5x - 2y =-30 4. 56x-49y = 14 - 3x+7y ::-2 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de sustiruciÓn. 5. 6x =-5y 4x-3y =-38 6. 10x+18y =- 11 7. 4y+3x =8 l..6x -9y =-5 8x - 9y =-77 8. 32x-25y = 13 16x+15y = 1 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de igualación. 9. 3x+5y=7 -3x+2y=7 10. 14x-lly =-29 13y - 8x =30 11 . 6x - 18y =-85 24x-5y =-5 12 . 6x =-5y 4x - 3y=-38 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por suma y resta. 13.7x - ISy =1 - x - 6y =8 14.11x- 9y = 2 13x - 15y =-2 15. 9x + 7y = -4 11x-t3y = -48 16.36x -l ly =- 14 24x-17y =10 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por fórmula. 17 . x + y=8 -3x+8y =9 18. 12x +6 = 2y+9 5x-y+12 = 0 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por determinantes. 19. x+4y =-7 2x-7y=31 20. 3x+ 8y=-8 9x - 4y = 11 21 . 3x+IOy =- 17 - x+4y =-t 22 f x +ny=ll ' t x -t y =-Jt Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método que prefieras. 23. 5x+3y=16 -lly+3x =- 16 24. 24x-36y=-12 11x+ 21y =-1 0 25. La edad de Luis es Ires veces la edad de María y dentro de 6 anos será el doble. Determina las edades de cada uno. 26. o os clientes compraron un roUo de 120m de tela . El segundo se llevó 50m más que el primero. ¿Cuánta tela compró cada uno? 27. Del texto Aritmética de o iofanlo, en el libro 1 de termina con 39 problemas el primero dice: Dividir un número dado en dos partes, cuya diferencia sea dada. Sean 100 el numero y 40 la diferencia2!l. 15 De los 13 libros que constaba la pnncipal obra de Diofanto. Aritmética. sOlo sobrevivieron seis, gracias a Bachel de Meliriac quien reafilO una edición en 1621 . Cabe destacar que precisamente PieITe Fermat anotO al margen de un telrto de esta ediciOn de Bachet su más famoso y ultimo gran Capllulo 2 ÁJgeblll 61 Ecuaciones de segundo grado con una incógnita Otro tipo de problemas, que llevan a relaciones donde aparece la incógnita al con frec~ni , son los de área. Presentamos un problema muy antIguo y orlglnado de situaCIones de carácter estétICO. Desde los griegos se ha encotrad~ en la arquite~ , escuhura, alfarerla ; en general en artes y ~rtesanl , que una proporcl6n estéticamente bella es la proporci6n áurea t::sta tiene que ver con el pentagono, un tipo de espiral y rectangulos aureos cuad~o El Parten6n tiene un gran rectangulo con la proporci6n aurea rematado con un triangulo y entre columna y columna igualmente forma redangulos áureos. Un reclangulo tiene la proporción ti;urea cuando al quitar1e el cuadrado del lado del ancho del rectti;ngulo nos queda un rectángulo de la misma Pl'oporci6n. Para que el rectangulo sea áureo debe guardar las siguientes proporCiones U RCO del chico ancho del chico l( En términos algebraicos nos queda ,-, !..:-'- Aplicando las propiedades de igualdad de fr3CCIones nos queda que .(.(- 1) = I Desarrollando nos queda la siguiente ecuaCl6n cuadrátIca Facilita el manejo de ecuaciones cuadráticas pasar todos los .(1_ .( _ 1= 0 términos significativos del lado izquierdO e iguaJar a cero. la soluci6n 21S a la ecuaciÓn son los irracionales conocidos como los numeros ti;lKeos, se abrevian con la letra griega C!I (fi ) en hOnor del famoso escultor FlCh s. creador de una de las siete maravillas de la antlgOedad. la estatua de Zeus. de oro '1 marfil (cmelefantina), ubicada en el templo en su honor en OIimpia, donde se encendra la nama oIimpica de los Juegos En el a"o 394, fue llevada a Constantinopla. Fue destruida posteriormente por un Incendio provocado por los cruzados en su invasión en 1204. teontml. 1In La HmoalfadOn. aegunmenle motivldo por La eeuaci6n ... 1 + ) ,1 = : 1 H \.ableod. OIofanto. V_ tall"\Oi4kll. notl 23 1I pie de La Pág !i3 -La lOIudótI de l. ecuedón I.U! In 11 pagina &4 poi" 62 Relato conciso so bre matemática básica Aun cuando e)(isten métodos particulares para ciertos casos, sólo veremos el método general para las ecuaciones de segundo grado. Sea la ecuación ax1+bx +c= O, dividiendo entre (1 tenemos restando el término independiente (propiedad 3, abreviada) , b , x-+-x=-- , a " sumando ambos lados, para no alterar la igualdad, lo necesario para tener un trinomio cuadrado perfecto " ' ~H(l (1 ' =-~·(l' 2a a 2(1 · factorizando el lado izquierdo el trinomio en un binomio al cuadrado ( H~l' 2a =-~+( a ~l 20 ' · en el lado derecho sumando las fracciones _ ~ +(~l a 2a J "'_~+ a 4a- -40C~b 40- l l '" b _ 4ac, 4(11 sacando ralz cuadrada a ambos lados 'J en el lado derecho al aplicar la ralz a la fracción obtenemos la fracción de las raíces x+ b ±~ 2a 2a restando .!!.... y queda despejada .( 'J haciendo la suma de fracciones nos queda la la fórmula general para ecuaciones de segundo grado x= ,,, ...:-b:c±".J",b,--'-_'.::"::.' popularmente conocida como "la chicharronera". Seguramente se le quedo ese apodo porque algun profesor para destacar la importancia de la fórmula dijo que hasta el chicharronero que está a la salida de la secundaria se la deberí a saber. Al margen de la anécdota , apréndetela porque una gran cantidad de problemas se reducen a ecuaciones de segundo grado y para resolverlas la herramienta fundamental, de hecho para efectos prácticos la unica, que tenemos para resolver este importante tipo de ecuaciones. Caprlulo 2 Alge~1 63 2. a=5 b .. - l0 c _ -40 , =- (- IO).J(-IO)' - '(')(--40) 2(') ± J900 10 H O - =-,.10-10 10 Ejemplo 2.66 ~ - 96z+28 -b ~ 0 ±~ 2. 0 ", 8 6 : -96 c = 281 .. " ,_ +-96).j{-'.)'- .{S)(2I8) 2(') , . - (....) S6+o hay un resu"ado. 1(6t -96(6)+288 _ 288 _ 576+ 281 = 0 .-2 2. 6 =- 8 c ,, 80 , . - (-a) . JI-S)' -4 (2)(10) 2(2) h.r-lli , ---- • No hay nlngun resu"ado que sea número real 64 Relato conciso sobre mate~ic básica Resumiendo, se tiene tres posibilidades Dos soluciones reales. Cuando se tiene la raíz de un número positivo. Si la ralz es cero. • Una solución real. • Ninguna solución real. la raíz de un número negativo, no es real. Observación: Como el que define las posibilidades es el interior de la ralz se le da el nombre de discriminante 21 SOLUCiÓN A LA SECCiÓN ÁUREA O lOS NÚMEROS DE OR0 . x(x - I) =l. Desarrollando y llevando la ecuación a la forma general es x 2 _ x _I= O aplicando la fórmula general x - ( -I )±J(-I}' -4 (1)(-1} 2(1} calculando 1±.Js x=-- 2 La segunda solución es negativa y de acuerdo al contexto del problema no tiene sentido. l a solución es: x = 1+./5 = 1.618 2 Es decir, para que un rectángulo sea de proporción áurea 2B el largo debe ser aproximadamente 1.618 veces el ancho. Ejercicios 12 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado. 1. Jxl+ 21x - 180 = O 2. 3. 1X - 12x'+96x- 192 = O l_ "*X+~=O 6 . ¡x'-2x+t = O 7. 5x'+12x=O !l> 8 . 5x ' +20=O 4. -16x'+64 = O 9 . 25x' - 410x+1681 = O S, -2 x 1 + 4x _4= O 10. O.24x ' +O.9408x-I.660032 = O 11 El planteamiento del problema est~ en la p~gina 61 . ,. Los números ~ureos denotados con la letra griega !l> , en honor al escultor Fidias. La primera gula turlstiea, obra de Pausanias del siglo 11, que ha llegado intacta hasta nosotros, describe con todo detalle el Zeus de Fidias. Decia que estaba senlado en un trono de oro y marfil. Con una guirnalda de olivo en su cabeza, En su mano derecha sostenla una estatuilla de la Victoria, igual de oro y marfil, que a su vez ofrecla la banda de la inmortalidad. En la mano izquierda sostenla un cetro rematado con el ~guila . Las sandalias y el ropaje de oro cince lado, con dibujos de orlas y lirios. El trono fue decorado con profusión de relieyes en miniatura: esfinges. horas, gracias, ele. En el escabel se vela un relieve representando el combate de Teseo y las amalonas. Capitulo 2 ÁlgeDla 65 11 . El álgebra de los babilonios era re tórica los problemas se enunCian y resuelven sin una notación sistemática Podían resolver ecuaciones cuadráticas Un problem a encontrado dice. ·conocer la longitud del lado de un cuadrado cuya área menos el lado es igual a 870· Incluso so> usaba una fórmula para ecuaciones del tipo x : - p.1 '" q Establece' a. La ecuación que expres a el problema establecido en la tablilla babilónica b. Determinar la fórmula que usaban los babiloniOS c. l a solUCión de acuerdo al contexto del problema Aplicación de ecuaciones para obtener factores de un polinomiO Como se vio en el corolano 2 1 del teorema del reslduo n SI par a algún valor {/ un polinomiO se anula enlonces (I - u) es un faclor del polinomiO SI encontramos todos los valores donde un polinomiO se anula, que les vamos a llamar ralces. vamos a poder encontrar todos sus fac tores de grado 1 o lineales Ejemplo 2.68 Encontrar los factores del polinomiO 3 4 f l , 2.u!2 ( - 233.172 Buscamos sus rafees resolViendo la ecuación J Usando la fórmula general <1 ( ' .. 2-1 1I 2 ~ '- 233. 172 ~ U - h±"¡¡;::-:;;;;' 2(1 .t " _ 3.4 EspeCifi cando los coeficientes h _ : -1 112 - 233 172 Sustituyendo en la fórmula - (2-1 112)' J(2 -1 82)1 - -1(3 -1)( - ::3' 17:) l ' .,- ~ 2-1 112 t .j6"iO - 2 -18 - 2-1 x, " lO 82~6' 24~ " " . 12~ " -) - • Ú 7iI '92 5-1 - 2-1 112·61.5-1 68 - 2..\ 112 - 61 5-1 " ConsuM a el corolaoo delleorema del rnoduo en la P~g .;6 72 " 8(, Jf> " 45 <4 I~ - 66 Relato collciso sobre matemática básica Los factores son x - (5 .4) ; x - (- 12.7) Puedes vetificar que lo único que hace falta para expresar totalmente el polinomio es el coeficiente del término cuadrático 3.4x J + 24.82x - 233.17 '" 3.4(x - 5.4 XH 12.7 ) Observaciones: Exislen aqui también tres situaciones posibles; si las raices reales diferentes , obtenemos dos factores; si es una sola raiz real, tenemos un factor pero al cuadrado ; no tiene ralees reales , no se puede factonzar. Si el polinomio es de grado más grande, por cada factor el otro es de grado menor y mas facil de encontrar factores . Llegando a grado 2 se puede aplicar la fórmu la general. Ejercicios 13 Encuentra los factores de los siguientes polinomios. \. 7.5x l -30x - 240 2. 5.f l - 90x+ 360 5. - 2x ~ 6 . (,' - 16)(- 16.' -48'-32) 7. (Xl -1. +4x - 8 5 x +3 2 .5 ~ ·1 - 6.6x-21.6) 8. (x1-,'¡ x-tXh' +x-t) En los siguientes problemas es recomendable encontrar un factor buscando un divisor factible, después usa la fórmula general para ecuaciones de segundo grado. 9. xl+ llx l_ 4x _ 44 10. Xl +3x l - 16x + 12 Capítulo 3. GEOMETRiA "Esle rey dividió la t,erra entre lodos 105 egipcIOs de tal m ane, .. Que cad a uno reCibiera un ~ildná l ero del mismo 'amallo y q... e él pudie ra obtener sus rentas de cada "no Impomendo una la sa que debía ser pagada anualme nte "ero !<)(Io aquel cuya parle el 1>0 hUboera ~ra51d O algo , (,,,ía que not,l!(;ar1e lo ocurrido. entonces, el enviaba supe .....,sores q.,e deblan med.. en cu anto había dIsminUido la 118"3 para que el prDlllela"" pudiera pagar de acuerdo con lo que le restaba . en proporción iI la tasa lotal 'mpueSla De esta forma me parece Dile se Ofigl n6 la geometna, que lu ego pasó a Hellas • Heroooto '" sobre el 'ey Sesortl1"S oe Egipto Afeas En una superficie no podemos medi r su tamaño a través de la longitud como hacemos con la linea. ahora requerimos otra forma de medir que nos permita comparar tamanos de superficies Propiedades 3.1 El área de una figura que se3 la unión de dos figuras es la suma de las areas de estas dos figur as Figura s equivalentes son las que tienen la misma are a. Del mismo modo que con la linea requerimos de una unidad de longitud . ahora se requiere una Unidad de superficie La unidad que ha resultado ser razon ablemente conveniente es la unidad cuadrada en el caso del SI el metro cuadrado (m,)31 . Aqui , en general , sin re ferirnos a un sistema particular usaremos genéricamente " para representar una unidad de área Ares de un cuadrado· Partiendo de una 1/: (unid ad cuadrada) Herodoto vamos a tratar de medir el área de cvalqW"!r cuadrado Claramente caben Cierto numero de Unidades enteras falta ra por medir unas franjas El área total en general es El cuadrado de las unidades enleras Que Quepan en cualqUier direcCión mas dos veces la canlldad a lo an cho Que Quepa la unldao mulllphcada por la 'racclan de unidad mas. la traCCión al cuadrado )O Heroóoto. /"I,stonadof gnego l1acIO en HallCilmno .tlu.dedOl de 460 ., 11 e El ,e ..lmenle n"o .. q .. ello. viii... de los Q.. e 1105 habl.. ell Su obra se sabe Que e~luvo ell Eg plO Felloc,;o M"OPOt.,m,.,. el pa ls d. lo. esc".,s enl'e Olros InocoO dl5',"105 melado, Que 1., h"l0"., reQuiere oomo ci@IICO., 'OCI.,I. en lre Olrol COfllrilSl¡¡r la s lI.,d ocl()fles 0,.,le5 con 10$ ,esIOS arQ ueologocos y monumelllOI retumr a 105 lacerdoles y esludlO$05 de los luga'es Vlilt"d05 ASI PO' ejemplO 5U In .... Sllgacrón labre el m~ o de He.tules le IIeYÓ n.,s,., Fen le,., Ya ,., Allt guedad dl5,,"gu,o iI Hefoóolo 0011 el titulo de -padre de 1., I"I"Iol1i1" ElcrrDoO n"eve libros ICOOd a uno de los cUilles lleva el IIombre de un., de ,.,5 nueve MUlaS) narr.,II Iils Gue"ils Med lcoos ilo"ellal Q"e elltrelllaroll " ° Onen" con Ocoden!e ). Ver relerenc;¡u il l SIStema III!emaclonal P:oig 27 revisa' unidades deflvadas 67 68 Re lillo conciso sobre malemálica básica A =: a l + 2ab +b' donde a es el entero de veces que cabe u l a lo largo de un lado del cuadrado y b es la fracción de un lado u': as! el área del cuadrado, si se factoriza en el binomio al cuadrado, es la longitud del lado al cuadrado. es decir: A := (a +b )' lA. L'I Area de un rectángulo.- Si tenemos un rectángulo se base b y altura h . Siguiendo el siguiente dibujo. Área de cada rectángulo lIamémosla A, . Área del cuadrado mayor es: (b+}¡ )' Área del cuadrado menor es: •, Usando la propiedad 1 se tiene (b + ht r .-----< (b _ h)' =4A R +(b _ 11)' Desarrollando y despejando nos queda : b' +2bh + Jl = 4A R +b' -2bh+ h' 4A R =: 4bh IAR=bltl Area de un triángulo.- Como un triángulo rectángulo es la mitad de un rectángulo claramente el área es En un triángulo cualquiera se puede dividir en dos triángulos rectán gulos , as i que. queda la misma fórmula. A, = !1.+~ 2 2 (b, +b, )h '- A, ~2 bh =2 - El problema , muy común, de encontrar la altura de un tri ángulo. en este momento, se puede convertir en una tortura . Aunque para efectos didácticos no resulta importante. para efectos prácticos una fórmula muy útil es: ----.------; ~ f-------- .. ---+-tt-l ¡ A, J P(p a)(p ')(p Her6n el e donde u, • y son los lados del triángulo y p el semiperimelro. conocida como la fórmu la de Herón32 • Si I Qustas profundizar consulta el anexo 3 en la Páa . 149. >l Her6n óe AleJarlÓria , matemallCO del mUrldo helénico. rlO era griego sino egipcio. Genio muy practico acorde con las caracleris1icas egIpcias. Her6n es referen te en ingenieri" y agrimensura. s:»: Capitulo 1 Geometrl. 69 Aroe ds/ poI/gano - Como cualquier potrgono se puede subdividir en triángulos. entonces se puede encontrar el área total como, la suma de las áreas de los triángulos \ Como ves el lriángulo es importante. su estudio abrió una rama matemática, la trigonometrfa . Ahora, triángulo significa tres ángulos y requerimos continuar con el concepto de ángulo y como medirlo. Pero primero resuelve estos EJercICIos E'ereicios 14 Deteonina el área de los siguientes figuras: 1. Un cuadrado de lado 12.76 u . 2. Un terreno rectangular de largo 125 m y ancho de 30 m 3. Un triangulo de base 26 11 Y altura 9.S 11 4. Muestra que el tnángulo AABC es equivalente al tJ.ABD . 5. Muestra que el cuadrilátero [JAseD es equivalente al cuadrilátero e ~ ~ ';--'--1A [],4BEF . " 6. Cuánto debe valer el lado de un cuadrado para que tenga el doble del área respecto de un cuadrado de lado 1 u 7 Calcula el área del tnángulo con longitudes en sus lados de 1211. 1511 Y 2,¡ 11 8. Si el area de un cuadrado es de 2735 .. : ¿cuál es la longitud de cada lada? g. Dado un rectángu lo de larga 125 f u y ancha '¡Jt ¿cuál es el área deltnángulo 'oonado a partir del rectángulo dIVididO por la diagonal? 10. Si el área de un rectángulo es de 48 Su ) y la base tiene una longItud de 14.25u , encuentra las dimenSIones del rectángulo Angu/os Un angulo es la abertura que foonan dos semlfrectas . no paralelas que se unen en un punto llamado vértice Medida de ángul!» Como en todo donde se Inlenta medir reQuenmos de una unidad que nos permita la comparaCIón Como definimos la unidad como la SUbdividimos y agrupamos nos conforma un Sistema de mediCión L 70 Relato conciso sobre matemática bás iCól Actualmente se usan dos sistemas de medición de ángulos. Sistema sexagesimal. Si consideramos una circunferencia y la dividimos en 360 partes iguales, ahora si consideramos el ángulo que forman dos radios del cfrculo separados por J!o forma la unidad llamada grado . Existen dos formas de subdividir cada grado. D " A ,. 15' 26 ' 38" • Dividir cada grado en 60 partes, llamado minuto y a su vez éste se subdivide en 60 segundos. 51mbolos de sexagesimal 33 unidades D del sistema grado a minuto segundo .. • Otra forma de subdividir es con el sistema decimal de numeración, pero s610 en las • fracciones decimales de grado. 8 = 25.754' El sistema sexagesimal tiene su origen en los Teofla geocéntrica de Ptolomeo. babilonios, ¡es increíble que lo sigamos usando!, fragmento del mural sur de la blblioteCól central en la UNAM". como también en el reloj. Sistema circular. [Zj la unidad en este sistema es el radián. Un radián es un t r_1M angulo cuyos lados forman un arco con longitud igual a un radio de la circunferencia. Observaciones: 1. la principal ventaja del sistema sexagesimal es que es el sistema usual. 2. Desde el punto de vista matemático resulta mejor el sistema circular. 3. Para los objetivos de este libro usaremos el sistema circular o se indicará claramente si la referencia es en el sistema sexagesimal. Relación de grados y radianes en los ángulos. Asf como el diámetro cabe 7r veces en la circunferencia el radio cabe 27r veces en la circunferencia. En el sistema sexagesimal circunferencia corresponde a 360'. Podemos establecer la siguiente ecuación L =.!.....- donde g es un ángulo 360 27r medido en grados y r es el mismo ángulo pero medido en radianes. Claudio Ptolomeo dividió el circulo en grados. minutos, segundos e incluso terceros con bólSe en el sistema sexagesimal de los babilonios. Aunque propuso erróneamente la leorla geocéntri!:a del universo: por sus aportes a la astronomla ~ matemática s le debemos reconocimientos. " Juan O·Gorman nos detó el testimonio milis Impor\4lnte de su obra en los mural de esta bibliote<:a. l) Ca piMo 3 Geome!lli1 71 Ejemplos 3.69 Pasar 54' 11'JO· a ra dianes !!.. (ad del sistema circular a 6 grados Despejar de la ecuación la g de grados Pasar Despejar de la ecuación la r de radianes Sustituir en la ecuación pero como esta Sustituir en la ecuación en minutos y segundos lo expresamos en términos de fracciones r : I;0 ( 54 + * +J!~ r : 0.30106/1" ) =0.94581 fad Propiedades 3.2 El sentido positivo de los ángulos es el contrario a las manecillas del reloj. Dado que en términos prácticos aun cuando se puede referir a cualquier ángulo, es claro se repiten cada 211" de tal forma que si dos ángulos difieren en 211" prácticamente es el mismo, se les llama equivalentes. Cuando un ángulo 11" < A S 2/1" este es equivalente al negativo, es decir, - (2/1" - A) ClasificaciÓn de los tmgulos Agudos. si O:s; A <!!... 2 Recto. si A Obtuso. si , =!!.. !!.. < ti < /1" 2 llano. si A -= /1" Complementarios. dos ángulos que suman Suplementarios . dos ángulos que suman t Ir Opuestos por el vér1lce . loS lados de uno son las prolongaciones del otro 7 2 RelalO conciso sobre malemálica bhica Teorema 3.1 Los ángulos opuestos por el vértice son iguales35 . Hipótesis: A es un angulo opuesto por el vértice con B . Tesis k =B Demostración A +C = 1r Angulos suplementarios. B+ C = 1r Angulos suplementarios. A+ C= B+ C Transitividad de la igualdad. A= 8 Restando C a la ecuación , queda demostrado. Definiciones 3.1 Dos rectas son perpendiculares si al cortarse forman cuatro ángulos iguales, este ángulo es t . Dos rectas en un plano son paralelas cuando no se tocan por más que se prolonguen. Postulado 3.1 Si dos rectas paralelas cortadas por una tercera forma, con cada una , cuatro ángulos correspondientes. Ángulo 1 se corresponde con 5 Angulo 2 6. Angulo 3 • 7. Angulo 4 • a. Los ángulos correspondientes son iguales . ' F , ,•, • . )' Se alribuye esle leorema al griego Ta les de Mileto ve r re sefia biográfica nola 22 en la Pág . SI . Ca pitulo 3 Geometrla 73 ' . -F- Teorema 3.2 Ang~los altemos intemos son iguales. Hipótesis: Tesis: Dos rectas son paralelas, cortadas por una tercera , , ¿ 3 =L6 ,• • L 4 =¿S Demostraci6n ¿ 2= ¿3 Opuestos por el vértice L I = L4 ¿ 2 =¿6 Correspondientes. . ¿ l =LS D =L6 Transitividad de la igualdad, Queda demostrado ¿ 4= L S Análogamente Teorema 3.3 Ángulos alternos externos son Iguales. TeortIrna 3.4 La .yrna de los ángulos interiores de un triángulo es Hipótesis: Sea un triángulo cualquiera con ángulos A, S , C. Tesis: A + B + e=1r Trazos auxiliares Oem~tradón ¡f'+C + 8 '= Ir ¡f ' "" A B' = 8 lf 311. ~ rs: A • Se establece una paralela a la recta AB Que pase por el vé rtice e . Se forma un ángulo con la A recta 8e llamado 8 ' 'f un éngulo con la recta ¡fe llamado ¡f ' __________________________________ Forman un ángulo llano Ángulos altemos internos . Ángulos alternos intemos. -'A,. ""CC.CBe..:=C''--________ Transitividad de las Igualdades, Queda demostrado • "EI.dtmo e' ~rip.Il'o atribuy. a 101 pitagOflc:o. ~ d-Iacubril!"ll. nto d-I elle llOI"e",l, d-I QUI todo tri6nguIo liIM 101 anguloliguaie. en lUma. dos recto. " Prodo. Sob/w Evdldes Prodo (4 tG'1 muno en A,IWI ••, . r illbmo eilnt lfk;o ~ I\C de releyano. ~ c:omo comenl.rl:lta de PtoIomeo '1 Eud lde. 4M) nadó .., Con.ta~ 74 Relato conciso sobre malemáhca básICa Erat6stenes, medici6n de fa Tierra . 37 (CLEOMEOES , Sobre el movimiento circular de los cuerpos celestes) El procedimiento de Eratóstenes 38 sigue un camino geométrico, y parece algo más oscuro. Sin embargo. lo que él dice se adara si suponemos lo siguiente. En primer lugar. que Siena y Alejandría están situadas bajo el mismo meridiano; en segundo Jugar que la distancia entre las dos ciudades es de 5000 estadios: en tercer lugar, que los rayos enviados desde el Sol a distintas partes de la Tierra son paralelos; y en cuarto lugar, que las líneas rectas que cortan a paralelas forman ángulos alternos iguales; en quinto lugar. que los arcos comprendidos en ángulos iguales son semejantes , es decir, que tienen la misma proporCión y la misma razón a sus propios circulas. Quien domine esto comprenderá sin dificultad el método de Eratóstenes , que es asi : Dice que Siena y Alejandria están bajo el mismo meridiano. Puesto que los meridianos son circulas máximos en el Cosmos, es necesario, que los que estan debajo de éstos en la Tierra sean también circulas máximos. Por lo tanto, la magnitud que muestre este método para el circulo entre Alejandría y Siena , será también la del círculo máximo de la Tierra . Dice entonces, y asi es, que Siena está situada bajo el circulo del trópico de verano. Asi cuando el Sol está en Cáncer y hace el solsticio de verano. está exactamente en medio del cielo, y necesariamente cada gnomon de los relojes queda sin sombra por estar et Sol exactamente en la vertical ; se dice que esto sucede en 300 estadios de diámetro. En Alejandría , sin embargo, a la misma hora cada gnomon de los relojes proyecta sombra, porque están situados más al norte que Siena . Puesto que las dos ciudades están situadas bajo el mismo meridiano y circulo máximo, si trazamos un arco desde el extremo de la sombra del gnomon hacia la base misma del gnomon del reloj de Alejandría , este arco será un segmento del circulo máximo del cuenco, puesto que el cuenco del reloj está situado baja el circulo máximo. Si a continuación imaginamos dos rectas trazadas a través de la Tierra desde cada gnomon se encontraran en el centro de la misma . Como el reloj está situado bajo el Sol. si imaginamos una recta que vaya desde el Sol al extremo del gnomon del reloj, será una linea recta que va desde el Sol hasta el centro de la Tierra. Si imaginamos otra recta desde el extremo de la sombra del gnomon , a través del extremo del gnomon , hacia el Sol , a partir del cuenco de Alejandrla , ésta y la recta anterior serán paralelas, al conducir (luz) del Sol a distintas partes de la Tierra . A estas paralelas las corta la recta que va desde el centro de la Tierra al gnomon de Alejandrla . de modo que los ángulos alternos son iguales. De estos uno está en el centro de la Tierra , formado por el encuentro de las rectas que van desde los relojes al centro de la Tierra . El otro está en la intersección del extremo del gnomon de Alejandría y la recta trazada desde la punta de la sombra al Sol por el punto donde roza el gnomon . " Cleomedes escribió haCIa la mItad del primer siglo a n e Consuh a la nola biográfica 1 en la Pág. a :MI Capilulo 3 Geomeu la 7 5 Este angulo comprende el arco que va desde el eKtremo mismo de la sombra del gnomon hasta su base, y del centro de la Tierra el arco que va desde Siena a AJejandrJa, bien, los arcos son Ahora semejantes entre SI. porque están comprendidos por ángulos Iguales La razón , pues . que tiene el del cuenco a su propio cIrculo, es la razón que tiene también el que va de Siena a AleJandria El del cuenco se encuentra que mide una cincuentava parte del propIO circulo Necesariamente , pues, la distanCia entre Siena y Alejandría ha de ser una cincuentava parte del círculo máKlmo de la Tierra Y esta dIstanCia es de 5000 estadiOS Por lo tanto, lodo cIrculo llene 250,000 estadiOS Y éste es el procedimiento de Era tóstenes o Ejercicios 15 Realiza las sigUientes operaCiones con ángulos del sistema seKageslma l + 5. + 9 13 50' 12 ' 45" 12' 17' S" 2 50,2125' 6 15 ,8885 ,. 58' 42' 45 " 10. . , 12' 17' ,. 35' 11' 8" + lO' 38'17 " 25 21 ' 4)" 3+ . 191) 743 40' 45" 12" 120 45' 59" -10 95 12 56 55 .588 10 21' 17 " 25' 38' 4)" -3 43 5 ' 11 15 " -1-1 35 4 - 12 15 ' ) 4" 135 56 ' 51)" 6 12746 - 6889 19 J4 12 1~ 86 - 21 J' 16 " 68 895 688 5 Jl 16 Realiza las sig uientes operaciones con ángu los del sistema Circular 1.85rod 285m" 19 JI! md, ,T ,mi 17 . ... 0.S083rar:! la - 1 69 md .\ 6 ---- 20. - ~ 23. ~ rad 11 4 .. r (ld-~rJ (-J. 26. - ,- rud ~'Id , = "" X''2 l 6 21 2' 27 I 705mll ,., 22 o S083mrl - 8. rtNI - " - 2 94,,,,/ , a,l ", 25 26 2 ~6 m" I 17'CIII o .\2 I 2"N/ '''''N/ " 7 6 Rel,¡to conciso sobl e matemallc.1 básica Expresa los siguientes ángulos de minutos y segundos a su expansión decimal. 29. 10' 30' 30. 50' 12' 45" 31 . -40' 45' 12 ' 32. 1)5" 56' 59 " Expresa los siguientes ángulos de su expansión decimal a minutos y segundos. 33. 15.75' 34. 1.55 · 35. - 43.213889 ' 36. 8.45634" Expresa los siguientes ángulos del sistema sexagesimal al sistema circular. 40. 60' 37. O' 38. 30" 39 . 45" 4 1. 90· 42 . 10' 43. - 15" 44 . 12· 45. 25' 15'30· 46. 30" 5' 47 . 45S 48. - 25.625 ' Expresa los siguientes ángulos del sistema ctrcular al sistema sexagesimal. 49 2rad 50. 1.55,.,,(/ 51 . - 1.2,.(1(/ 52. 8.45rad 53. !!.. rad 4 54. !!.. "(ld 6 56. ~ 55. s.!!..raJ 7 Pasa a un ángulo equivalente que este entre O y 2/1" . 57. 7.2 832rad 58. 285.34m d 59. 13/1" m(/ 60 . 4 ra d ~ /I"rad 4 Encuentra el ángulo complementario al ángu lo en el sistema correspondiente. 61 . 58' 36' 48 " 62. 72 .340 lT 64 . ~ r (l d 63 . "3 rad 7 Encuentra el ángulo suplementario al ángulo en el sistema correspondien te. 65. 11 40 35' 24" 66. ~ IT 67 1.537 68 . 156" 4 69. Determina los valores de todos los demas ángulos sabiendo que L I "" 2. 18 53 . ~ ' .' •• " 70. Demuestra el teorema que dice: Angulas alternos externos son iguales. (ver teoremas de la Pág . 73) 71 . Determina el valor del ángulo .r , 72. Calcula 73. Busca el valor el valor 4~ M ., del angulo del externo A y el ángulo ángulo interior .r . B. 74 . Encuentra los valores de los ángulos interiores A Y B ~ • CapitulO3 Geometrla 77 lee el articulo Eratóstenes , medición de la Tierra (Pág 74) Y contesta las preguntas. 75. ¿Qué es un estadio? 76. ¿Por qué es importante la suposIción de que lOs rayos solares caen paralelos en la Tierra y: qué tan válida es, esta suposición? 77. ¿Qué son lOS clrculos máKIrr.os de una esfera? 78. Muestra ejemplos de circulos máKimos y de circulos no máximos de la Tierra. 79. ¿Por qué EratOstenes piensa que las re ctas que se prolongan de los gnomon de Siena y Alejandría se unen en el centro de la Tierra? 80. ¿Qué ángulo pudo medir EratOstenes? 81 ¿Cómo son los ángulos A' Y ::; ? argumenta tu respuesta 82. ¿Cuánto midió el ángulo segun Eratóstenes? EKprésalo en radianes. como fracclOn de Ir yen su eKpanslón decimal 83. ¿Cuánto es ese ángulo en el slslema sexageslmal? Exprésalo en grados , minutos, segundos y en su expansl6n decima l 84. ¿Cuánto es el mismo angulo pero en sistema circular? EKprésalo en su expanSl6n deCimal y como fracC l6n de .T 85. Para resolver este problema , "cuál sistema de medlCl6n de ángulos consideras más adaptable? ¿por qué? 86. ¿Por qué EratOstenes Simplemente establece la relacl6n de que la longitud de una vuelta completa de un mendlano terrestre es 50 veces la distanCia de Siena a Ale¡andrla? 87 Existlan diversas medidas de un estadio 1511m Estadio egipcio ESladio olimplCo (Estadio Atlco) 192 m Estadio romano del centro ~ sur 113m EstadIO romano del none 134 m la mayorfa apoya que el Estadio que uso Erat6stenes fue el Estadio egipcIo ¿Cuánto mide el meridiano terrestre segun Eratóslenes. en unidades actuales? 88. El metro, en el siglo XIX , se definió como la diez millonéSim a pane del cuadrante de un mendlano terrestre "Cuánto se pensaba que media un meridiano terrestre en el Siglo XIX? 89. Actualmente se considera Que el mendlano terrestre mide ~9 k m mas Con fa definición ongmal del metro ¿Cuánto deberia de medir el metro? 90. Proporcionalmente . (,cuánto fue el error de Eratóstenes en su cálculo? 91 ¿Por qué es Importante la consideraclOn de Que estén en el mismo meridiano Siena y AleJandria?, aunque ahora sabemos que no es eKaCla 78 Relalo conciso sobre matemática básica Teorema de Pitágoras Quizá si tratamos de establecer cual es el segundo teorema más importante estarlamos en un gran problema, pero ¿cuál es el teorema más importante?, sin lugar a dudas, sin ningún temor, se puede afirmar que el teorema por excelencia es el TEOREMA DE PITAGORAS 39 . Estrelta pentagonal slmbolo de los pitagóricos los egipcios y los pueblos de babilonia 40 ya conoclan la propiedad establecida en el teorema , al menos en ciertos triángulos rectángulos particulares y por supuesto los griegos lo demostraron. Se han escrito libros completos con el único tema de las diversas demostraciones de este teorema. Es el principio y fundamento de toda una rama de la matemática, la trigonometrla. No puedes andar por la vida sin conocerlo. Tablilla Plimpton 322 Ya se dijo que triángulo rectángulo es la mitad de un rectángulo, pero su principal caracteristica es que liene un ángulo recto , es decir t rad . El lado opuesto al ángulo recto se le llama hipotenusa, en un triángulo rectángulo es el lado más largo de los tres. A cada lado adyacente al ángulo re cio se le llama caleta. ~ .... • ....... _. :lO Pitágoras (569 _ 500 AC) , discipulo de Tales de Mileto y por recomendacion de IIIIste Visito Egipto. Después se inslalO en Crotona, una colonia jOnica al sur de Italia. y realizo con tanto IIIIxito sus ense/lanzas de filosona y matemálic4ls que acudlan multitudes de todas clases a escucharlo. Tan grande fue la ¡n"uencía de Pitágora s sobre sus disclpulos que se constituyeron en una sociedad o hermandad. oc La más famosa de las tablillas mellOpotámicas, con escritura cuneiforme, de 13 x 9 cm aproximadamente. excavada en las ruinas de la ciudad de Larsa. datada de 1900 a 1600 a.n.e., es por tanto una tablilla del perIodo babilOnico lardio. Ésla fue a parar a manos de un editor neoyorquino, George Arthur P~mpton y estableeiQ el 322 a su número de calálogo. En 1~5 O. Neugebauer y A. Saens pUblicaron la relaciOn de la tablilla Plimpton 322. la cual consta , en particular. de tres columnas y cada fila COI"responde a la hipotenusa y a los lados de un triángulo rectangulo . Capitulo 3 Geometrla 79 Teorema 3.5 de Pitágoras En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. Hipótesis: El tnángulo es rectángulo. 0, b son catelos e es hipotenusa. a~ Tesis: b Trazos aUlCiliares Con el mismo triángulo se copian hasla cuatro triángulos de forma que queda un cuadrado de lado c . DemostraciÓn " Área total. (a - ')' Área del cuadrado central. Área de los cuatro triángulos. Área total es igual a la suma de áreas de las partes. Expandiendo la expresión. Simplificando. queda demostrado. 80 Relato conciso $obre matemática básica Ejercicios 16 Si a. b son los catetos y c es la hipotenusa de un triángulo rectángulo encuentra el lado faltante. 1. a = 3 cm 2. b=4 cm a=60 m c = 100 3. fU b = 85klll 4. c=21 5km a = 257/1 b = 63/1 Encontrar la longitud de la diagonal de los siguientes rectangulos. 5. LARGO 10/1 ANCHO 7 11 6. LARGO ANCH O 20 11 3.5 /1 7. LARGO 17.34u ANCHO 7.8411 8. LARGO 28 it u ANCHO 12-& 11 9 Calcula el área de un hexágono de lado 2 u, 1Q. Da una fórmu la general para el área de un hexágono. 11 . Encuentra el área del terreno con las medidas especificadas sabiendo Que el lado de 11 .17 m es ortogonal al de 18.77 m. Recomendación : Encuentra el área del triángulo donde tienes dos lados ortogonales . Determina la longitud de la diagonal con el Teorema de Pitágoras. Usa la fórmula de Herén para calcular el área del otro triáng ulo. Suma las áreas . lJI" 1-7.l 12. 0 ~ 1 - 1 1. 17 ----; Capítulo 4. TRIGONOMETRíA A~ora v a ~os a ver la relació." ~ue existe entre los lados y los angulas de los t~ángulos . Aun cuando pnnClpalmente se establecen estas relaciones en tnángulos rectángu los, muchas relaciones existen para todo tipo de triángulos evaluación Funciones trigonométricas y ~u ?u,ando tenemos una relación que a cada valor que loma una variable le asocia un uOIeo valor, decimos que esta rel ación es una función. Vamos a establecer funciones en donde todas eltas asoetan valores de números reales a cada ángulo y es la forma de relac ionar a los ángulos con los lados de un triángulo rectángulo. Dado un triángulo con hipotenusa de longitud e, catetos de longitud a '1 b . Con ángulo recio e", t y ángulos agudos A y B . los ángulos y los lados se establecen opuestos para fa cili tar las referencias·'. seno 82 sf nA ", ~",JI. primeras L" , identidades coseno cos A '" '-;;::::."" '" 7 podemos establecer tangente son: ranA ", '::::;: "' f 8J cotangente :li ...- • • co secante co secant ~ tA :~",t. ,"e . _.",-,... ......_'''' sec A: , : : _ = t esc A : ~ «1I A _ ; ' 1i1nA m¡;h secA " ; ' cos A,,;' cscA _ ; ' unA ",;' = L Los triángulos rectángulos más usados son las escuadras de dibujo. Son conocidas como la escuadra de 45 y la escuadra de 60 o 30, as! conocidas por los ángulos en grados. Calculemos las fun ciones trigonométric.as de estos ángulos pero en el sistema circular. Antes veamos como deben ser los triángulos. El más fácil de obtener es el que tiene el ángulo de 1- ya que simplemente se obtiene de dividir una cuadrado por la diagonal , digamos de lado 1 y por teorema de Pilágoras obtenemos la longitud de la diagonal. 21, 1 . - .. t fO l a trigonometría naee asociada a la astronom fa. a Hiparco dB Nicea (190 a.n.B. -120 a.n.B.) se le considera ahora como el padre de la trigonometrla. Johan Muller conoc ido como Regiomontano fue ~ u ien erigiO, en el ligio XV, a la trigorlOmetria en disciplina independiente de la astronomia. I Georg Joachim Rhaeticus (1 5 14- 1576). matemtltico de Winenberg elaboró el tratado titulado Opus palatiflUm de triangulis donde se define por primera vez a la s funcione s trigonométricas como razOn enlre los lados de un tritlngulo rectángt.tlo. 12 El origen curioso de la palabra seno viene de qt.te Aryabhata lo llamO ¡Ya-ardha (Ct.terda media) se simplificO con elliempo a ¡Ya. Po r razon es fonéticas derivO en jiba. Abreviadamente se limitO al uso de lb. Oespués. se pensO que la abreviación jb provenía de jaib qt.te signifiCól concavidad o hueco y que Gerardo de Cremona en 1150 tradujo al latln como sinu s y pasO al elpal'iol como seno. N los antiguo s eg ipcios utiliz aban de manera prtlclica lo que ahora conocemos como cotangente . .. En la tablilla Plimplon 322, en escritura cuneiforme de los babilonios, además de aparecer una tabla de temas pitag6rica s tiene una columna con coseCólnles . 81 82 Relato concis o sobre matemática básica Similarmente, si tomamos la longitud del radio y lo vamos poniendo sucesivamente en la circunfere ncia obtenemos los lados de un hexágono. Tomamos un circulo de radio 2 . El hexágono queda formado por 6 triángulos equiláteros con un ángulo de t. i'-=t@" Ejemplo 70 .• Aplicar las funciones trigonométricas a los angulas.!. , !!.... y !!.... . 6 4 J S,n t I,n ~ t, 001 JJ cos L z~l Ji t, ,, f, 2 .21 • ,- 4 12 12 seo osc ·• t 1 Signos de las funciones trigonométricas En realidad se puede saber el valor de cada función trigonométrica de cualquier ángulo a partir de los ángulos que estan entre O:!ó A :!ó t . En lo que difieren es en el signo. con base en la figura de la derecha puedes generar la siguienle tabla de signos de cada función trigonométrica de acuerdo al cuadrante donde se encuentra el ángulo. 11 cos -; =+ -;:+ I,n -;: + son col -;- "' + seo -;--+ -;= + eso 111 IV -;= + 1,=-_~ -;:- -:-=-;=- - 1, =- ,,=+ , :-:+ :-"' 1,= + 1"=~i- .!._- ~ , -; =+ 1,= + 1"=1+=- ,,, . Cilp[lulo. Trigonometrl. 83 C:ualquier ángulo negativ~ de otro es el ángulo renejado de la horizontal. entonces s~ un ángulo está en el pnmer cuadrante su negativo estil en el cuarto cuadrante y VJOeVersa. Y .sl está en el segundo cuadrante su negativo está en el tercer cuadrante y vICeversa .. Observa como el seno cambia de signo tanto entre I y IV como entre el 11 y 111. MIentras que el coseno mantiene los signos. sen(-A) :: -sen( A) cos (- A) ::COS (A) Ejemplo 7 1 Obtener el valor del coseno para el ilngulo ~ . Como f <f!t <!t entonces está en el primer cuadrante. 0.tI*<I Tomamos el ilngulo suplementa rio. ",1I1••• lI"-f1l""'t Evaluaci6n de las funciones trigonométricas En general evaluar las funciones trigonométricas es dificil, por eso se han desarrollado métodos indirectos. Usaremos dos métodos, calculadora y tablas. Uso de la calculadora.- Se requiere como mlnimo una calculadora cientifica, observa que lenga las teclas sen o sin , ros y tan. En la parte superior cerca de la pantalla normalmente se encuentran unos interruptores que habilitan el uso del sislema de ángulos deseado. Para el sistema sexagesimal se indica mediante sexagesimaf, grados, deg. Algunas calculadoras usan grad para referirse a gradiente, pero no tiene utilidad para nuestros Objetivos. Finalmente. para el uso de radianes indicado por radianes o rad. Verifica en el manual de tu calculadora como usarla . Aqul requerimos el uso de radianes . Ya en uso de radiane s, las calculadoras usan la expansión decimal , para usar la forma de fracciones de 11" primero hay que valuar la fracción y después aplicar la función. 84 Relato conciso sobre matemática básica Ejemplo 72 Si queremos encontrar el valor del cosi;; 1t . Busca la tecla 3. 14 16 . 1t , sino le encuentras pon el valor 3.1 416)( )", 9.4248 Multiplica por 3 y divide entre 29. 9.4248/29"'0. 32499 Aplica la función cos . cos 0.32499 ", 0.94765 Uso de tablas 8'.- Que no tienes calculadora entonces al final del teño hay en los anexos una tabla de las fun ciones trigonometricas seno, coseno y tangente que son las más usuales . la primera columna tiene los angulos en radianes, la segunda tiene los mismos ángulos pero en grados en su expansión decimal. La tercera, cuarta y quinta columnas son el seno , coseno y tangente del angulo respectivo. Ejemplos 73 1. Encontrar la tangente de .48 ,.ad . 2. Determinar el seno de 26.8' En la primera columna. de radianes , En la segunda columna , de grados, busca el ángulo mas cercano al deseado. busca el ángulo más cercano al deseado. A (rad) ,' (grados) sen COlO tan 08961 04954 0 46 263561 0 4439 a (grados) sen ,~ 0 47 I 26 .9290 0 48 27 .5020 04529 04616 06916 o 6670 0 .5080 05206 263561 26 9290 I 04439 0 4529 08961 08916 '"' 0.4954 05080 26.9290 es el mas cercano a 26.8 . Encuentra el valor en la columna de tangente. A rad 0 48 tan 0.5206 Encuentra el valor en la columna de seno. a (~) 269290 sen 0.529 Establece la igualdad Establece la igualdad . tan (0.48) '" 0.5206 .f('1I(26.8),< 0.4529 M En el Almagesto de Claud,o Ptolomeo est an )as pnmeru tablas trigonométricas hechas s,stemátoCOlmente en el siglo 11 y no fueron mejoradas hasta r,nale s de la Edad Media. En el teldo . además trae la exphCOlc Hln de como fueron elaboradas Rhaet,eus en el siglo XVI elaboró una tabla de las seis funciones tngonométnCOlS con mtervalos de COIda 10". con una preCisión de 10 dec,males C.plt",lo " Tngonomelrlll 85 CIrculo unitario.· Estás s610 en una isla naufragado, salvas tu calculadora pero no tiene pilas, ni siquiera tienes este libro para defenderte de la vida y te urge evaluar funciones trigonométricas para con triangulaciones puedas obtener la distancia a una isla que se avista a lo lejos. Si tenemos un circulo de radio I podemos obtener directamente los valores de cualquier angulo. 1. e omo el co sen A .. h . la hIpotenusa . vale 1, que SI es el caso, entonces directamente sen A es el cateto opuesto, sen A '"' CO . De igual modo puedes obtener el coseno como: cosA:~= C Q . Aplicando el teorema de Pitágoras queda la siguiente e importante identidad la cual es válida para cualquier valor que tenga A . 2. AsI la tan A '" ~ '" cos A si el cateto adyacente vale l . como se ve en el nuevo triángulo. entonces directamente tan A es el cateto opuesto. tanA :co . De igual modo puedes obtener la secante como: sccA : * : h . También con elleorema de Pilágoras queda la siguiente identidad la cual también es válida para cualquier valor que tenga A . tan J ,04 +1= see J A Observad6n: Quid haz ardo el término recta tangente, la recta que · pasa rozando· a la curva, viene precisamente de que en el circulo trigonométrico la tangente pasa tangencialmenle a la curva del circulo. 3. Finalmente también, si ponemos un triangulo de forma que el cateto opuesto valga 1, como está el triángulo en la figura. entonces ahora col A es el cateto adyacente y ese A es la hipotenusa. Finalmente otra vez con el maravilloso teorema de Pitágoras queda la siguiente identidad vélida para cualquier valor de A . cotJA + I = escJA Observación: Las dos primeras identidades son muy ü.ti1es y es importante tenerias presentes, en caso contrario la vida se encargará de recordártelas. 86 Relato conciso sobre matemática básica E¡ercicios 17 1. Dado el siguiente triángulo rectángulo calcula las funciones trigonométricas en los ángulos agudos. • ~6 ti ~ 23 9 2. Completa la tabla de ejemplo de la Pág. 82 . Determina en términos del ángulo pOSitivo. 3. sell(-1-) 4. cos( -lf) 5. tan (-1' ) 6 . sec(- t ) Encuentra los valores solicitados. 7. cos t n 6. sen in 9. cosfn 10. cos 7 n 11 . sent n 12. csc Vn 13. se n t ir 14. cot t n 15. s« f lr 16. tan f n 17 . tan n 16 tan i n Usando calculadora encuentra los lIalores solicitados. 19. sel/(1.48) 20. tan (0.87) 21 .sell(0 .09) 22. cos (0.21) Con calculadora encuentra Jos valores solicitados. 23. cos(32 .6S· ) 24. tan(I S' 12' 26") 25. lan(16.82S") 26. sell(r) Usando las tablas del anexo busca los valores siguientes. 27. tan(0.34S4) 28. cos(! .39) 29. Je//(O.34S4) 30. cos(O.0921) Usando las tablas del anexo busca los valores siguientes . 31. sell (74 .T ) 32. '''(55' JO') 34, ''''(82 .1 48' ) Usando las tablas del anexo busca los valores siguientes, haz las conversiones a sen , ces y tan . 35. cot(O.34S4) 36. sec (I .39) 37. csc(0.34S4 ) 38. sec(O.0921) Construye un circulo de 10 cm . de radio. Para cualquier ángulo deseado el cateto opuesto y el cateto adyacente lo puedes medir con centlmetros y la precisión de millmetros este te da una precisión de 2 dígitos Obtén midiendo con una regla en tu cIrculo: 39. sen(1-) 40. tan (t) 41 . cos(lf) 42. sec(lf) Capitulo 4 Trigonometrla 87 Identidades con funciones trigonométn'cas Este tema es inacabable ya que las pos¡b¡l¡dades de establecer relaciones e identidades entre las funciones trigonométricas es enorme, por decir lo menos. S610 vamos a establecer las más usadas. Aun C'.Jando ya hemos establec¡do algunas y aunque seria interesante tener en esta sección todas las relaciones , pero como en los anexos están un formulario de trigonometrla , seria repetitivo establecer1as aqui también. Si observamos los clrculos unitarios de cada triángulo podemos establecer identidades entre las otras funciones trigonométricas y las que estan en el triángulo respectivo. Ejemplo 74 Del triángulo donde la hipotenusa es la unidad podemos establecer las otras funciones trigonométricas. tanA "':~ cotA =!:1 '[jj Es posible obtener a cada funci6n trigonométrica en términos de alguna. Ejemplo 75 Obtener a todas las demás funciones trigonométricas en términos s610 del seno. cosA tao sen 1A+cos1 A. = 1 tanA cotA A c otA =~ZA cos1 A. :: 1- sen1 A. =~0 cosA = J I- sen:A. ,~A secA =;¡= Fun~ ion es JI_Ho'A ese A ese A ="';;' trigonométricas con la suma de ángulos. Teorema 4.1 • ~ • sen(A+B):senAcosB +cos AsenB8& Hipótesis: Tesis: A. y B son ángulos cualesquiera. sen(A + B) =sen Aeos B+ eos AsenB Trazos auxiliares Se acomoda un ángulo seguido del olro para representar la suma. Se trazan proyecciones verticales y horizontales. El lado b es ortogonal a e . • Haciendo uso de ,us conocimientos sobre cuerdas . Ptolomeo pudo deducir la fórm ula para el seno de la suma de 'ngulos y la ley de los ,eno• . 88 Relato COOCISO sobre matemática bhica Demostración Longitud del cateto opuesto correspondiente al ángulo A +B es a+c. Longitud de la hipotenusa correspondiente al ánguto aH sen (A + B)"--;¡- A+B es d . Separando la fracción en sus fracciones parciales. Sin afectar la igualdad multiplicando y dividiendo por un número adecuado. : senA cos B+ cos A . ~en B a es cateto opuesto y e hipotenusa del ángulo A . e es cateto adyacente y d hipotenusa del ángulo B . e es cateto adyacente y b hipotenusa del ángulo A El triángulo considerado es semejante todos sus lados son ortogonales respectivamente. _ _ _ _ _ _ __ _ _ b es cateto opuesto del ángulo 8 . a e a e eb : -+ - : - - + - d d ed bd Teorema 4.2 Se deja de ejercicio. cos(A +B) =cosAcosB-sen Asen B Usando las identidades de la suma del seno y coseno de la suma se puede mostrar que tan(A ± B) '" :~ : ! :~= ~ . ~ ... A_ •• _ " ... . ".IRrd _ """J;...... _' oo..",,' ta l(A ~ u.lg" <@dmn ~ ~ ............... .1 .... , ±B)",~ Ejemplo 76 Encontrar lall (t + { ) . ,, 4 +2.fi ", 2+.fi = 3.732 2 Si los ángulos son iguales, es decir A " B nos quedan las Siguientes identidades. sen 20: 2senO cosO 87 cos 20"'cos 2 0-sen 20 lan20 ", 21an O I 11 Ptolo meo ya conae/a la s fÓfmulas para sel/20 y cos20 . I l_ tan 2 0 Capitulo" Trigonomelria 89 Ejemplos 77 1. .ren(t 11") '" .ren (2( t» "" 2.ren( t )cos(t ) '" 2 ~t: 2. cos(t1l") : COS(2( t ») : cos' (t ) _sen l : 3. "'(¡') : ""(2«» J ,-<,' :'.<}--'3 1- . . '(1) 1_3 - ~ #f : =f : - t (t ) : (t)l - ( ", l ey de los senos" los lados de cualquier triangulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Hipótesis: 6A8C es un triángulo cualquiera. Tesis: " b , sen 8 '" sell e :;;;;-;¡= Trazos auxiliares Se traza las alturas h¡ y h, formando triángulos rectángulos. Demostración h¡ :asen C Considerando el triángulo que forman c. 11, proyección de e sobre a. h¡ =csenA Ahora con el triángulo que forman b, }~ proyección de b sobre a . Transitividad de igualdades, Dividiendo la igualdad entre sen B senC . senC=!i=:;. " senA=!i=:;. , asenC =csenA -"-:-'senA sene senA=!.!L=:;.h, =b senA b senB ",!i=:;.h, = asenB " asenB =bsenA -"- : -bsenA la y la También, con él que forman e , h¡ y la proyección de e sobre b . Y asl, con él que forman a, h, y la proyección de a sobre b . Transitividad de igualdades. Dividiendo la igualdad entre l'en A senC. senB _"_:_b_ ' senA senB :: sen C Que demostrado ya que se cumple la doble igualdad. JI Aun cuando se ,abe que Claudio Plolomeo dedujo la ley de los senos, el descubrim iento de la ley de lo, senos se le reconoce generalmente a Willebrord Van Roljen Snell (1580--1626), originario de leiden, Holanda. llegó a la cáledra de la universid ad de Leiden, se le considera el fundador de la geodesia modema, su principal aporte !ve la ley de refracción de la luz en 1621 . Cuando Descartes publicO su "Discurso del método' en 1637 , incluyó la ley de los senos a la que habra llegado 5nell, Hoy en dla esla tey lleva el nombre de Descartes. ley de Snell o ley de los senos 90 Relato conciso sobre rnatemética bésica Ley de los cosenos 39 El cuadrado de un lado de cualquier triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los olros dos lados menos el doble del producto de esos lados por el coseno del ángulo que forman. Hipótesis: t.A BC es un triángulo cualquiera. Tesis: al =b l +e l _ 2be cosA b1 = a l + c l _ laccos B el '" al + b l _ 2abeosC Trazos auxiliares: Se traza la altura h formando triángulos rectángulos y se divide el lado h en los lados h, y h¡. ,~ A, . , DemostraciOn Sólo se demostrará la segunda igualdad. Son equivalentes entre si. b,' +h' = a l Por T. de Pitágoras 6.c ho,. b;+ hl =:e l También 6. b hu¡. Suma las igualdades (b, + b¡ )l : a l +c 1 + 2b,b¡ _ 2h1 b1 = a l + e l + 2(~ 7i";- b' =d +e l b¡ _ ,,2) +2ac[cos n cos( - B)-sen n sen(- B)] Suma 2b,bl a la ecuación. Factoriza a la izquierda el trinomio, resta 2,,2 a la ecuación y facloriza el 2 en la derecha. Propiedades de proyecciones (ver ejercicio 38) Factorizando en coseno de la suma Teorema 4.2. Angulos interiores del triángulo Teorema 3.2 Expandiendo el coseno de la suma Teorema 4.2 Propiedades del seno y coseno: cos n : - 1, cos ( - A) = cos A, senlt = O. ;:"' ;O~ ; -;¡: :;:;C;: . Queda demostrado. Observ ación: la ley de los cosenos es la generalizaciOn moderna del Teorema de Pitágoras. Las proposiciones 12 y 13, nacia el final del segundo libro de los Elementos de Euclides lobre élgebra geométrica (Ver A3. fÓfmu la de Her6n en la Pég 149), establecen una generalizaci6n al Teorema de Pitégoras y éstos han devenido ya con 105 oonoc::im ienlos en trigonometrl,¡¡ en la ley de 111 los cosel'lDS Capitulo " TrigoI'Iornetria 91 Más identidades .- Si combinamos identidades se pueden obtener una cantidad inaelble de identidades, para ilustrar la forma de obtenerlas y porque las siguientes identidades son muy útiles, veamos éstas: sen2A+cos 2 A :: l CO$2 A -sen' A '" c052 A Sumando las Igualdades tenemos 2cos!A =d +cos2 A Despejando el cos l A Si en lugar de sumar restamos 2sen' A = I -cos2A Despejando el sen)A sen' A =t - t cos 2A Teorema 4.3 ..-:; b ocosD+bunD =ccos(O-B) donde e="¡o- +b- y tanO "'Q Hipótesis: Tesis: Sea D un ángulo cualquiera, o y b unas constantes cualesquiera. Existe 8 un ángulo y e una constante de forma que ocosD+bsenD ;e .:os(D-8) . Trazos auxiliares: Con los coeficientes del coseno y seno construye un triángulo de catetos o y respectivamente. El ángulo que forma hipotenusa con b lo llamamos A . Demostración ~ = senA => o =esen A. ~: . Por definición de seno despejando o . t"' cosA. => b '" ecos A. Por definición del coseno y despejando b Sustituyendo o y b . bcos O+ose,. O '" ,cos Acos D + e sen Aeos D Factorizando , . = c(cosA cos O + sen A cos O) Propiedades de los ángulos = c(cos( - A}COS O-sen( -A)COS D) negativos. _ccos (D - S) Identidad del coseno de una _________ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ suma de ángulos. 92 Relato conciso sobre matemal;ca basica Ejercicios 18 1. Establece, con el circulo unitario respectivo, identidades usando tan 'J seco 2. Usando el circulo unitario respectivo, encuentra identidades usando cot 'J csc. 3. A cada función trigonométrica exprésala en términos s610 de la tangente. 4 . Demuestra que cos (A + B) = cosAcos B -sen A sen o. 5. s en( ~ ) =je n( t+ 8. tan(2 t ) ) 6. cos (-ff) =cos(t+! ) 9. sen(2(t +t » 7. lan( 10. cos ( 2t) i~ l = tan( t- ) 11 . sen(2(t+t» 12.Demuestra que cos(A - B) = cos A cosB+sf'n A se" B . Si se"A =1j 'J cos B =1 calcular: 13.sen(A + B) 14. cos (A + B) 15. lan(A + B) 16. cos(O - A) 17 . Sl.'n(A - B) 18. tan(B - A) 19 .col (A + B) 20. sec (B - A) 21 . Mostrar Que tan:r 5eIl2."I: = 2sl.'n 1x . Busca en las tablas el st!n( I.51) 'J usando el seno del doble 'J de la suma calcula: 23 . sell( 4.53 ) 22. sl.'n(3.02) Si conoces tres elementos de un triángulo con al menos un lado, se puede determinar los otros tres fallantes. Encuentra los datos fallantes en cada caso. 24. rectángulo 25. rectángulo 26. lado a = 23 27 .lado 0 = 25 cateto 0 = 12 cateto b == 9 28. lado 0 : 165 hipotenusa e = 54 angula A ", 0.29 29.lado 0 == 15 lado b == 12 lado f' = 30 30. lado 0 = 128 lado b =:d8 lado (;= 10 31.1ado 0 = 15 lado b = 120 lado b= 9 ángulo B = I ángulo B =1.4 ángulo C = 1.03 ángulo C = .92 ángulo C=.8 ángulo C "" .92 Calcula las áreas de los siguientes triangulos. 32 .lado o :;; 23 , lado b == 12 , lado e = 30 . 33 .lado 0 =2 5, lado b = 18 , lado c = IO . 34. lado o "" 165 , lado b"" 120 , angula C =1.03. 35. lado 0 == 15 , lado b = 9 , ángulo C =.92. 36. lado o :: 128 , ángulo B "" 1, ángulo C '" .83. 37. lado 0 == 15 , angula O ::: 1.4 . ángulo C "'" .92 Recomendación Usa la fÓrmula de Herón. Usa la f6rmula de Her6n . Usa la le'J de los cosenos. Usa la ley de los cosenos. Usa la le'J de los senos. Usa la ley de los senos. Si conoces la hipotenusa y un ángulo entonces el cateto adyacente es el producto de la longitud de la hipotenusa por el coseno del ángulo y el cateto opuesto es el producto de la longitud de la hipotenusa por el seno del mismo. Calcula la altura con este principio y obtén el área con la fórmu la tradicional en los triángulos de: 38. Problema 34. 39. Problema 35. Capítulo 5. GEOMETRíA ANALíTICA 51 Rene Descartes Antes de Descartes '1 Fermat las dos ramas principales de la matemática caminaban separadas. Se reconoce que el álgebra y la geomelrla fueron integradas por Descartes en el siglo XVII fundando as! la geometrfa analítica. De hecho el nombre de coordenadas cartesin ~ \liene de su apellido. Pierre Ferm;¡¡\ Si bien el concepto de curvas como lugar geométrico viene desde los griegos ya para la época de Descartes habra el suficiente desarrollo algebraico Establezcamos mediante la siguiente definición la idea de lugar geométrico. uJgar geométrico .• Conjunto de puntos que satisfacen una propiedad. Esta sección tralará de algunos de los lugares geométricos más conocidos. la recta, la circunferencia, la parábola. la elipse y la hipérbola. Comencemos con la más sencilla , pero la más usual. Recta Cuando se estudio ecuaciones lineales vimos que éstas generaban rectas. Ahora veremos como desde el punto de vista geométrico de las rectas las podemos estudiar de manera anal/tica. Recta.- Es el lugar geométrico de todos los puntos que están en una sola dirección. Pendiente de la recta Para determinar la dirección requerimos medir la inclinación la cual podemos medir mediante ángulos. Sin embargo. en las ecuaciones lineales no tenemos nada que nos rela cione la ecuación con ángulos. Dada una ecuación lineal cualquiera Ax+By+C: O. si despejamos a y obtenemos Y : -1-% -'¡ vemos que depende de dos coeficientes. que también se acostumbra decir parámetros. que determinan a la ecuación lineal. Renombrando la ecuación. de modo más simple. a y : mx + b . donde los parámetros -t", m y _,. =b . Ahora ve amos como afectan en las gráficas estos coeficientes. Observación: Si el coeficiente de y es cero. es decir B = O. entonces en ese caso no se puede despejar. 51 Rene Oe$Coilrtes (1596 _ 1650) es considerado generalmente como el inventor 6e la geOlTlelrla analltica. aunque debe compartir el l ilulo con Pierre Fermat Descartes publiCÓ La Géomelri8 como un apéndice del Discours en 1673 ~ Ver coordenadas cartesianas en Pág. 504 . 93 94 Relato conciso sobre matemáliea básiell Si fijamos x O ni '" 1 Y tomamos distintos valores de b y vemos las diferentes gráficas. '''' b=1 b=2 2 'FX y=x +l y ~+ O 1 1 2 3 2 , 3 :~ l , // " • Observamos que al variar b lo que obtenemos es rectas paralelas o sea todas en la misma dirección entonces b no tiene nada que ver, respecto a la inclinación. Hagamos ahora lo análogo , pero con la otra cons tante, fijemos ahora b '" O Y variemos ni . x O 1 2 ~ 2 m:::{) 5 m- 3 .Jx 112x O O O 2 0.5 ·3 1 ·6 - , , , , , ., , ., / / ¿----- , / , ., ·5 ·6 Claramente el coeficiente de x tiene que ver con la inclinación, pero para relacionar números con ángulos lo que tenemos son las funciones trigonométricas, la función que resulta adecuada es la tangente ya que nos relaciona el cateto opuesto entre el cateto adyacente que en construcción es muy usado para hablar de la pendiente de un desagüe o de la pendiente de un techo. Por ejemplo, la tuberla de desagüe requiere una pendiente de 2% eso quiere decir que por cada 100 cm. de avance horizontal tu debes subir 2 cm. ;k = .02 , si observas, es precisamente la definición de tangente. Avance horizontal equivale a cateto adyacente y lo que subes equivale a cateto opuesto. Capilulo 5 GeomelTla anlt 95 ic~ Definición l a pendiente de una recta es ni =- tan IJ • donde recta con respecto a la horizontal. el es el ángulo de inclinación de la Como dos puntos determinan una recta. calculemos la pendiente de una recta dados dos puntos. Sean dos puntos de coordenadas (x" .!', ):(x ~ , y ~ ) . Consideremos que los tenemos gráficamente y tracemos las proyeCCiones verticales y horizontales de cada uno. Lo podemos hacer si la recia no es vertical La tan el :: donde y~ ~. - y, es el ca teto opuesto del triángulo a la vista y X¡ - .l , es el cateto adyacente. Entonces: La pendiente dados dos puntos es m== )" - )" . x ~ - x, Ejemplo 5.1 Encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos importa (;t 1,y~ el ) = ( -2 orden t J) en que lo consideremos. sea (5.-1):(-2.3), no (x,.)', ) == (5.-I) y entonces (3)-(-1) 3 +1 _ 4 _ 4 m:: (-2 )-(5):: -2-5 - -::;--7 Ecuación de la recta dados dos puntos Ahora ya nos podemos plantear como describir una recia. Cualquier punto que este en la recta que pasa por lOs puntos La pendiente entre (x" y,):(x. y ) . (x , .)' , ) :(x,)' ~) (.l,.y, ) : ( x ¡, y ~ ) (x. y) debe satisfacer que: debe ser igual a la pendiente entre 96 Relato canco$O sobre matemética bé$ica Es decir, cualquier punto de coordenadas (x,y), si está en la recta, debe cumplir y -y, =Y¡ -Y' . .1 - .1, Xl -.1, Se acostumbra que a la ecuación anterior se le multiplique por x - x , 'J es conocida como: La ecuación de la recta dados dos puntos es donde (.l" y.): (x ,. y, ) son los puntos conocidos. Ejemplo 5.2 Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,8) ;( - 2,2) . Sea (x" y,)=(1.8) y (x"y¡ ) =(-2,2 ) entonces (2) - (8) y - (8) = (_2) _(1)(, - (1)) y- 8=2(x- l) Si llevamos la ecuación a la forma igualada a cero, expandiendo el lado derecho y testando a la ecuación el mismo lado derecho la recta se obtiene - 2x+ y - 6 = O. Observación: A la forma icualada a cero se conoce como: La forma general de la ecuación de la recia es Ax + By+ C = O, donde A. B Y C son constantes. Ecuación de la recta conocido un punto y su pendiente Por olro lado. como sabemos que la expresión y ¡ - y , '" m , entonces si ya Xl - X, conoces directamente el valor de la pendiente y además conoces un punlo, se puede directamente encontrar la ecuación de la recta asf: La ecuación de la recta dados un punlo y la pendienle es y -Y, =m(x - x,). donde conocemos a /ti la pendiente 'J (x" y, ) un punto. Capitulo 5 Geometria anatiliea 97 Ejemplo 5.3 Encuentra la recta que pasa por el punto ( -8,7 ) 'J tiene pendiente m :. -t. y- (7) =(-;)(' -(-')) En ra forma general, multiplicando por 5 la ecuación 'J restando el lado derecho a la ecuación queda Sy-JS :. -4(.t+8) 4x+Sy-] =0 Ecuación de la recta conocida la pendiente 'J la ordenada al origen Si el punto que conocemos es un punto del eje y, digamos (O,h) tenemos: y-b=m(x-O) Si despejamos y nos queda una forma usual que se conoce como' la forma pendiente - ordenada al origen de la ecuación de la recta es y=m.T+b, donde m es la pendiente y b la ordenada al oriQen, la importancia de esta forma es porque nos dice directamente donde la recta cruza al eje y 'J con que pendiente , nos permite una manera rápida de graficar. Ejemplo 5.4 Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (0,-4) 'J tiene pendiente m = t. y=~X-4 2 Su gráfica la podemos establecer rápidamente 3 2 3 , -1 -2 -, 3 -3 H l 5 Ordenada al origen -4 'J pendiente .:2 +2 e.opuestQ e.adyaeeme· 98 Relato conciso sobre matemática bá$ica Ejemplo 5.5 Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (0.4) y tiene pendiente m : -t . y : - t .r+4 -1 -;¡-...:---; -3 3 ·3 -1 Ordenada al origen 4 y 2 pendiente -2 - 1 1 2 3 _ .! :.!", 3 +3 ~ -3 c.opueSfO c .adyocenle · Observación: Cuando consideras los signos de los elementos de la pendiente sigues la misma lógica que en las coordenadas cartesianas. Horizontal + Vertical Derecha Arriba Izquierda Abajo Veamos ahora una forma mas de expresar la ecuación de la recta , si tenemos dos puntos uno en cada eje ((1.0);(0.6) , usando la fórmula de la ecuación conocidos dos puntos se tiene y- o : b - O(.r _a) O-a Si a esta ecuación la dividimos entre b , luego se expande el lado derecho y además sumando :: a la ecuación, se obtiene. a la forma simétrica de la ecuación de la rect a es x y ; +¡:l, donde a es la abscisa al origen y b la ordenada al origen. C.pllulo S Geometría .naIJlica 99 Ejemplo 5.6 Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos (s.o) J' (0.-3) . -1 1 ; , Abscisa al origen 5 y -2 Ordenada al origen -3. Ejemplo 5.7 Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (9.- 1) y (-9,2) . expresarla en las tres formas de la ecuación de la recta . Sea (xp y ,) :: (9,- J) Y (X1,J'1 ) :: (- 9.2) ; usando la fórmula de la ecuación de la recta que pasa dos puntos se tiene y - (- 1) = 12») «('l(x- (9» . -9 - 9 en su fonna pendiente - ordenada al origen llevando a la fonna general x +6y - ) :: 0 , finalmente. en su forma simétrica .l " l í 2 3 , . Abscisa al origen 3 y Ordenada al origen 1. Entre las tres formas de expresar una recta se puede con álgebra pasar. cuando la misma álgebra lo permite, de una a otra. 1 00 Rela10 concIso sobre m;¡1emáhca básica Ventajas y desventajas de las formas de representación de una recta . 1. Forma general.- Es la ecuación igualada a cero: A.l + By+ C :o O. Puede representar a cualquier recta pero no es única su represen tación. Dos rectas son la misma si existe una constante que multiplicada a una nos da la otra. Ejemplo 5.8 5x - 3y - 7 =O -3 5x +2 1)' + 49 : 0 Son la misma recia si multiplicamos por -7 a la primera nos da la segunda. 2. Forma pendiente ordenada al origen .• Es la más usual y cómoda de usar para graficar, evaluar y nos dice directamente la pendiente y el corte al eje)' , No se puede utilizar para expresar rectas verticales. Ejemplo 5.9 x- 8: 0 En esta recta no se puede despejar )' puesto que no está presente en la ecuación , por tanto no se puede expresar en la forma pendiente ordenada al origen . Sin embargo es una recta y la podemos graficar. sólo que es vertical. 3. Forma simétrica nos dice directamente los cortes a los ejes, pero no sirve para las recias verticales, ni horizontales, ni las que pasan por el origen. De hecho tiene lanlos inconvenientes. que no es muy usua l; sin embargo, es la forma más propia desde el punto de vista de la geomelría ana lítica . Angulo entf8 dos rectas. Considerando la figura y la tangente de la suma , tenemos ~ ~ ..-./ tan C: lan(B - A) - tanB - IanA . l + tan8lanA Como las pendientes de las rectos son m, = tanA Y "'1: 13nB . Entonces ~ (5.1) y (' : arclan m.- ml , l + m,m, Capitulo 5 Geometri. an ~tica 101 Ejemplo 5.10 Encontrar el angulo entre las rectas JI "" ! x + le , JI "" ! x + 4 , El angulo entre ellas está dado por la f6rmula e:: aretan m, - m, , sea mi '" 1 I+m¡m, y m¡ =!' entonces :p.ij) '" IlI'ctan, e", aretan 1 ,1 - 1 • 6 '" 0.70863 Rectas paralela s.- Cuando el ángulo entre las rectas es cero son paralelas. C= Oo tan C=Oo m¡- ml = 00 m¡ = ml Ahora podemos dar un criterio de paralelismo más preciso que el que tenlamos hasta ahora, y es: Oos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Esto es cuando m¡ '" mi . Ejemplo 5.11 Dadas las rectas 6x-2y+ 8 = O; y:3x+10 , determinar si son paralelas. la segunda recta su pendiente es claramente m¡ '" 3 , De la primera despejamos para llevarla a su forma pendiente - ordenada al origen Sumamos a la ecuaci6n -6x - 8 Y obtenemos -2y = -6x - 8. dividimos la ecuaci6n entre -2 y queda y s 3x+4. la cual tiene la misma pendiente m, = 3, por lo tanto son paralelas. 102 Relato conciso sobre matemáhca bá sica Ejemplo 5.12 Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (- 2. H) y es paraleJaalarecta 1x - 13y +l0 = 0 . la pendiente de la recta es mi 7 7 =-:¡-j=[]. la ecuación de la recta paralela 53 es )' - ~ 1] =-'(x- (- 2)) 13 En su forma pendiente - ordenada al origen y'" 1 x +3 . 13 V L Rectas perpendiculares.- Cuando el ángulo entre las rectas es recto no tiene tangente. es decir no e)(iste tan (t ) . la e)(presión (5.1) no existe cuando l + m¡rn, = O= m¡!n¡ "'- I = rn¡"'-* . As! podemos decir que un criterio de perpendicularidad entre dos rectas es: Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes Ejemplos 5.13 Determinar si las siguientes rectas son perpendiculares: a) - ]x - 8 y + 9 :::: O: 7 x + 8 y - 6 '" O rn lm¡ = ( -~ X -¡ )= ;:"#. - l . por tanlo no son perpendiculares. b) 6x-lOy + 12 =0; 5x+3)'- 2= 0 rn lm¡ =(- foXl)=-~ =- 1, por tanto si son perpendiculares. Además despejando se puede obtener que· la pendiente de la recta ortogonal o perpendicular 8 una conocida _ . l<) Aplicación de la IOfTTlula de la ecuación de la reCIa dado s un pu nto y su pendiente. ver Pág., 96. Ca pitu lo 5 Geomelrla analitica 103 Ejemplos 5.14 1. Encontrar la pendiente perpendicular a la re cta - 2x +8y-l0 '" o . la pendiente de la recta es m : _ - 2 '" ~ . , 8 4 la pendiente de la recta ortogonal es m. '" _~ . 2. ¡ '" -4 . Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (7,-4) y es perpendicular a la recta 2x + SY - 9 '" O. La pendiente de la recta original es mi '" -t . la pendiente de la recta ortogonal es m: : _~ -t '" ~. 2 La ecuación de la recta ortogonal es y-{4).~(,7 . 2 En su forma pendiente - ordenada al origen 43 5 y="2 x -"2. .• Ejercicios 19 Encuentra la pendiente de las rectas que pasan por los puntos: , . (8,21);(-6,13) 2. (-9, 12);(8, - 11) 3. (-12,- 15); (-12,-14) 4. (5,0); (0,13) Determina las rectas que pasan por los puntos y exprésalas en las tres formas: 5. (- 9,6) ;(20,-13) 6. (-9,-12); (- 8,-11) 7. (\,8); (1,14) 8. (-;,¡);(¡,-f) Obtén la ecuación de las rectas, deja cada una en la forma pendiente - ordenada. 9. (- 7, 8) ;m=t 10. (I , I) ; m =-Jf 1 1. (7.54,12.6); m:8.S 12 . ( - 8,6.3) ;m=-S.6 Establece la pendiente y la ordenada al origen de las siguientes rectas: 13. Sx+8y+28 = O 14. 3x- 12y+ 16 = O 15. 6x+9y -12 =0 16. -Sx+8y -28= O Establece los cortes a los ejes de las siguientes rectas: 17 . ~ +.l= -2 1 6 18. Sx-3S=O 19·y=tx+2 20. 2x+y"'O 104 Relato conciso sobre matemática básica Gráfica las rectas de los problemas: 21 .2 22. 7 23. 10 24. 13 25. 18 Encuentra el valor de y donde la recta 'J el punto x estan dados . 27 . y =-f .1' +1 28, h+ 8y- 6 = 0 .1' =5 .1' =7 Especifica el valor de .t donde la recta 'J el valor)' son : 26. )/=03.1' - 8 .1' = 4 30. y = 2x+ 7 32. .1':11 4.1" + 6)' - 9 = 0 )' = \5 29. ¡+.;= \ .t = 2 33 . j+ t= l )' = 4 Escribe la ecuación de la recta que esta en cada gráfica . 34 . 35. 36. Determina si los siguientes pares de rectas son iguales o diferentes. -4.1' +7y- 14 = 0 .1'+6y+ 9 = 0 { .t+1)'-f= 0 37. 1 38. -, .1'-+2y - 4 = 0 39. h+2y+3 =0 -1 8.1'-15y + 20: 0 Determina si los siguientes pares de rectas son paralelas. 40 {·t+ 1 y -f= O . t.t+-;')' : O 2.1 + 4)' + 8 = 0 42. - .t+2)'+) : 0 41 . -4x+6v-1 4 = 0 -2.1'+3)'+6 = 0 Obtén cada ecuación de recta paralela a la recta dada , que pasa por el punto dado. 43. 5.1 -3)'+ 10 = 0: (10.-2) 4 . )' =-! x +~: (- 1.-3) 45 ;-t= l: (3.7) Determina si los sigUIentes pares de rectas son perpendicUlares. ),=-3.1 + 8 18.1 + 15)' - 20 : 0 47 )" =-1".1- 2 46. 46. -5.1'+6)': 0 y =t x + 9 . .1' +- 2.1' + 3 = 0 Encuentra la siguientes . 49· y: t x+ 8 pendiente ortogonal 50. 3.1'+5)'-6 = 0 a las rectas 5 1. ;--; '" I Obtén la ecuación de la recta ortogonal una recta dada 'J pasa por el punto dado 52. )'==- ;.( - ]: (6.0) 53 11.t-3)' - 9 = 0: (- 4.12) 54 - !-;= 1: (15) S, se ajusta un plano exactamente a la \IerleralflZ de un cono ta interSe<:Ci6n es Urla recta . Capitulo 5 Geometría an alll,ea 105 Circunferencia Para la histori a como ciencia social , a la rueda se le considera como uno de los !nventos claves de la humanidad , jU'lIO con el fuego, entre otros . Se sabe Que fue Inventada en la zona conocida como la Fértil lun~ Creciente (los pueblos de la región mesopotámica j, de donde se difundió por todo el ViejO Mundo gracias a la abundancia de grandes animales de carga y tiro Con lo visto podemos sentir que hay una rel ación entre las figuras geométricas y las ecuaciones algebraicas ahora veremos la relación entre las ecuaciones cuadráticas de la forma Jr l + y ~+ C x+DI ' +E (5_2) : O y las circunferencias. Circunferencia.- Es el lugar geométrico de rue"a má$ ant'gua conocida todos los puntos que equidistan a un punto La apa rec,ó en Liul>ljana (E$lovenia ) Dala fij o. de hace 5.35-0 - 5,100 afios JunIO a la rueda estaba un eje. no era Ine'plente Todos hemos manejado un compás en donde se fIja un punto (la punta del compás) y se determina una distancia (aber1ura del compás) y al girar la mina del compás va dibujando la circunferencia, es decir, todos los puntos que están a la misma distancia a un punto fijo. lo primero que requerimos es poder determinar la distancia entre dos puntos, a partir de sus coordenadas. Aplicando el teorema de Pilágoras. se obtiene d [(x"YI) ; ( Jr ~ 'Y I ) r =(y, - y,)l +(Xl-X, )" , de donde: la distancia entre dos puntos es d[(x" y,) (x"y, )I, ,/(x, ~ x, )' + U', ~ y, )' Ejemplos 5.15 Calcular la distancia entre los puntos (7,-12 ) y d[(7 , ~12)( 4 .3)J , ) (4 ~ 7)' + (H =15 .29 ~ 12))' , (4.3) J234 Ecuación de la circunferencia la distancia de los puntos de la circunferencia al punto fijo es el largo del radio Ilamémosle r y al punto fIjo digamos Que tiene coordenadas (11, Ir), entonces si un punto de coordenadas (x, y) se encuentra en la circunferencia debe suceder que d [(x,y):( h, Ir )]=r asi desarrollando se obtiene J(x - h)' +(y _Ir)" = r ~ ~ • .' 106 Relato conciso sobre matematica basica Aun cuando la expresión anterior nos describe la ecuación de la circunferencia no se ve muy agradable , esa raiz puede generar nauseas a cualquiera; si la sometemos a un tratamienlo de embellecimiento , lal vez, algo se puede lograr. Si elevamos al cuadrado nos queda algo que si bien no es una musa de la belleza, al menos deja al o oresentable. La cual es la ecuación de la circunferencia en su forma centro - radio . donde (h.k) es el centro y r el radio Ejemplo 5.16 Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto radio 5 unidades. Especi fi ca los elementos de la circunferencia: centro o (h,k) : {S ,S) , radio r =- S. Sustituye en la forma centro - radio ., (., - (5)' +(y-(.)' : (5)' . Simplifica {X_S)1 (S.S) de +lv- sY : 2S ' .' . " Veamos ahora que los puntos que satisfacen la ecuación (5.2) conforman una circunferencia. Sea la ecuación ., 1+y'+Cx+Dy+-E: O. si sumamos a la ecuación lo necesario para completar trinomios cuadrados perfectos y reslando a la ecuación la constante E se obtiene x' +C xtbY + yl + DY factorizando ( x +~ )' + ( ~ r = - 1:.' +(ífY + ( ~ r , +tv+ yY'" -~ ". ~ , expresando en la forma Upica de circunferencia (x -(-\ ))' +(Y-Hll' : ( J c " f ~ ' r. Toda ecuación de la form a (5.2) es una circunferencia. Los elementos de la circunferencia dada la forma (5.2) son : 11 ", _ .1:. • __k Observación : r:/r':7 . . ' Para que sea una circunferencia real se requiere que C ' +D ' - 4E > O en caso contrario se tiene una circun ferencia imaginaria y para efectos del presente texto no analizaremos. Ejemplo 5.17 Sea la ecuación circunferencia. X I +yl+ 6x - I OY _ 2 = 0 . dar los elementos de la Efectivamente se trata de una ecuaciÓfl de circunferencia. porque es de la fOnTla (5.2). Llévala a su fOnTla centro - radio. Sumando a la ecuación lo necesario para formar trinomios cu~draos perfectos 'J el negativo del término independiente. se obtiene Xl +6x+ (3Y + y l - IOy+ (5Y '" 2 +9+ 25. factorizando y simplificando (. . 3)' +(y-,r =36 . EspecifICa los elementos (h,*) =(- 3,') r =6 De manera semejante, cualquier punto de una circunferencia satisface la ecuación de la forma (5.2). Sea una circunferencia cualquiera (X_ h)1+ (y_ * )l = r l, desarrollando se tiene = Xl +2hx + h l + y l + 2.ty+ * 1 r l. agrupando de modo adecuado Xl + y l +2hx + 2.ty + hl + * l _rl = 0. se tiene cada elemento de la ecuación (5.2) en términos de los elementos de la ecuación de la circunferencia en su forma centro· radio: C = 2h D = 2* E = hl + * 1 _ r l Se confinna que toda circunferencia puede ser llevada a la forma (5.2) la cual se le llama: la fonna general de la ecuación de la circunferencia es: x' + y l +Cx+Dy+E: O. donde C. D y E son constantes. Observación: Si tienes una ecuación cuadratlca cualqUIera. divide entre el coeficiente de X l y si el coeficiente de y l resulta 1 entonces es una circunferencia (sóro habrla que verificar que sea real). 108 Relato conciso sobre matemaliea básica Ejemplo 5.18 Sea la circunferencia circunferencia . Simplemente expresi6n Xl (l - SY + (y+ 1)' "" 1 llevar a la forma general de la desarrolla de la - 16x + 64 + y ' + 2y + 1= 1 0 00 Se simplifica y se acomoda en orden ü x ' + y l -16x + 2y+64 '" O Ejemplo 5.19 Dada la ecuación 3x ' + 6y' +9y + 25 =O verificar si es circunferencia. Divide entre el coeficiente de X l, en este caso entre 3, x l +2y l+ 3y+ .y.= O Como el coeficiente resultante de yl es 2: ~ 1, entonces no es una circunferencia . Ejemplo 5.20 Sea la ecuaci6n circunferencia Sx l +5 y l+ IOx+ 15y +8 = O verificar si es Dividiendo entre 5 la ecuación .l' + y ' +2x+3y + } = O Como el coeficiente resultante de circunferencia yl si es 1, sI es una Para verificar si es real, aplicando la observaci6n de la Pág. 106 que nos da un criterio para verificar cuando una ecuación general de circunferencia se refiere a una real. Para que sea real, tenemos que verificar que C: 2; 0 =3: é =~ el + D I - e' + D' -4E= 4 + 9 - 1f =Jf > 0 Si es una circunferencia real. 4E > o Capitulo:; Geometrl••nantiea 109 Ecuación de la recta fangents.- Existen varias posibilidades donde se puede plantear encootrar rectas tangentes a una circunferencia aqul veremos las tres usuales. Oado un punto de la circunferencia. la recta tangente es perpendicular a un radio de la circunferencia que pasa por el punto dado. A la recta perpendicular a la recta tangente que pasa por el punto de tangencia se le llama recta normal y en los clrculos coincide con el radio. Ejemplo 5.21 Encontrar la recta tangente a la circunferencia (x -s») +(y- 12») = 25 que pasa pofel punto (I. IS) . Sustituimos el punto en la ecuación (1 -5 )2 +(15-12») =4 1 +3) =2S, efectivamente circunferencia. "~' lJI t ~:.t :¡ si esta en la Tomamos el centro (5,12) y el punto de tangencia (I. IS). m :: )I) -YI ", IS-12 = _! . , Xl-X, I-S 4 Punto de tanger1cia (1. 15), pendiente 1 4 ortogonal m¡=- _t::)"· y- IS= f(x-l) =..0..1""""_--' y=tx+t Dada una pendiente. Al considerar la intersección de una recta, conocida su pendiente, con la circunferencla, se pueden dar tres posibilidades . No hay intersección, la intersección es dos puntos y s610 cuando la solución es única se tiene tangencia. // ~ Consultar la fofrnlI de encentral la pendiente de una recta que cor"IOCidOs dos puntos. Pig. tOl5 110 Rel310 COOCISO sobre m31emátlca bá sica Ejemplo 5.22 Enconlrar la recta tangente, de pendiente m :; 1, a la circunferencia ('-3)' +('-- 3)' . 9. y = x+b (x - 3t +(.r+b-3t =9 Xl _ 6x +9 +x 1 +,1,1 +9 + 2bx-6b-6x =9 2x 1 +(2b- 12)x +(b 1 -6b+ 9) : 0 x -(20- 12) ± 1(20 -12)' - . (2)(0' - 60 +9) 2(2) (26 -12)' - '(2ib' - Ob +9). O 4,1, 1 - 48,1, + 144 _ 8b 1 +48b - 72 =O _ 4,1,1+12= 0 b =±Ji8 b, ~ . 3Ji . -3Ji y = x+3.fi y = x-3.fi " Dado un punto exterior Si consideramos las rectas tangentes que pasan por un punto exterior, igualmente tenemos que encontrar aquellas que s610 tengan intersecci6n en un solo punto. !la \01 o Puedes consultar la f6nnula general p3ra resolver ecu3ciones de segundo grado ell13 PlIg. 61 . Revisa 101 observilClOn sobre el di.cnmlllilnle ell13 PlIig. 64. Capitulo 5 Geomelrra iilrlalltica 111 ¡~;: ,~ Ejemplo 5.23 Encontrar la recia tangente a la circunferencia l"'+(y- IOt :1 6 que pasa por el punto P .I O} . ~: ~ ~ y-lO ' m(x -7 ) y=mx-7m+l0 x'+{mx-1m)'=ló (1 +m')x' - 14m'x+49m' -1 6 = O 14m' ± JI 96m' - 4(1 + m' )(49m' -16) X-i -~2 ( "I+~m-')L 14m' ± J-132m' +64 x, dIi~"l'¡; "'l1-32m 2(I+m') +64 =0 • Ejercicios 20 Encuentra la distancia entre cada par de puntos: , (8,15);(10,21) 2. (-7,13); (9,-9) 3. (- 12.-15);(-7,14) 4. (5,0) ;(9, -3 ) Detennina la ecuación de las circunferencias con centro y radio dados: r =6 r =4 r =2 r = 12 5. (',') . (-4,2) 6 . (',') . (4,9) 7. (1.,') . (0,0) 8. (1.,').(-6,-7 ) Grafica las siguientes circunferencias: 9. x'+y' = l 10.(x+3)'+(Y-10)'=.!f 11 . x'+2x+l+y'+ 8y+12= O Dadas las siguientes ecuaciones cuadráticas lIévalas a la forma centro - radio: 12. x' + y'-6x+4y-23 = 0 13. x' + y' + 22x+6y+ 126 = O Dadas las siguientes circunferencias pasa las ecuaciones a la forma general: 14. (x _ 5)1 + (y +3 )1 '" 1.21 15. (H 1)1 +(y _ 7)1 '" 1 112 Relalo conciso sobre matemética básica Dada las siguientes gráficas escribe sus ecuaciones: 18 . .... ~ 4 .. ~ . . . . . , • 17. 16. Encuentra el valor de y donde la circunferencia y el punto x están dados. 1 19. X + y2", t 20 .(X-J ) 1 + y( - IO) 1= ~ 21 . xl - 2x+I + y2- 12Y+I I = O x : IO x =5 x = O.75 , Especifica el valor de x donde la circunferencia y el punto y son: 22. xl + yl ,.. I y = .5 23. (x+Jl + (Y_IO)l = ~ y =8 24. Xl + lx+ 1+ yl +8y + ll '" O y =-J Determina la recta tangente dado un punto de la circunferencia : X1 + yl = 16 (x _ 2)!+ (y+ 4)1= 25 (X _2 )l+ (y+4)l:= 26 25. ("') 3,,,7 26. 27. (5,0) {3, I) Encuentra la recta tangente a la circunferencia con pendiente dada : 28. (X_2)1 +(y+ 4t = 25 29. (X _ 2)1 + (y +4 )1 = 26 m=- I m =-f Obtén la recta tangente a la circunferencia y pasa por el punto dado: 30. (X_2)1+ (Y+4t := 25 (13,1) 31 . (x+tY +(y+4Y :25 (7,7) 32 . Los babilonios podlan resolver sistemas de ecuaciones, una de ellas cuadrática , un ejemplo es: "He sumado el área de mis cuadrados, lo que me da 21 .25 51 y el lado de uno es más peque"o en corresponde al sistema t que el lado del olro". Esta información X1 +yl= 21.25 y =t x En geometrfa analiUca representa la inlersección de una circunferenci a y una recta, resuelve el sistema erw:onlrando la intersección y escoge el resultado adecuado de acuerdo al contexto de la época. Si se corta un cono mediante un plano paralelo a la horizontal la intersección resulta una circunferencia. 5' En el original dice 2t· t5' que esté en sistema seugesimal. pasado a sistema deeimal es 2t .25. CapItulo 5 GeometrJa anaJUica 11 3 Parábola Apolonio de Perlla la utilidad de la reCia 'J Circunferencia es tan grande que ni siquiera requirió 'OIenci6n. Quizá la tercera curva más usada es la parábola"', la encontramos en faros 'J antenas principalmente. En la flsica, desde hace mucho tiempo se sabe que es la curva que describe un cuerpo lanzado sujeto por la gral/edad terrestre ParábOla" .• Es el lugar geométrico de todos los puntos que equidislan de una recta llamada directriz 'J un punto llamado foco. Dada la directriz 'J un punto, podemos establecer tres _ Lit. puntos de la parábola fácilmente identificables. Si trazamos una perpendicular desde el foco a la directriz el punto medio esta a la misma distancia del foco 'J de la directriz, entonces está en la parábola . Este punto se conoce como vértice de la parábola. V ....rtiOl Trazando la paralela a la directriz que pasa por el foco o diredOz 'J tomando los puntos con la misma distancia que del LR lado reCIo p.nH_ ••,"''''''''_ foco a la directriz son también puntos de la parábola. Colocamos el vértice de la parábola en et -dÍl'..:IJ'l origen de las - p¡lfiboli coordenadas. A una distancia p hacia 'ido 1..:10 .lbajo ponemos la directriz, entonces, su - di frx:o-pilriboli ecuación es: y"'-p -d¡¡ p"iboli·dlll t lr'z El foco debe estar con coordenadas (O,p). ,. , \ ~ , ,~ 9: ,.., \01 PiUlg<l(aJ analQ::OIndo problemas que pl"e5ellum la tncolomla; " OIjuSI<!. falla o excede: introdUJO. para delltacar In Ir •• po.ib~datl , lo. lérmino. par;bola. e~ps • hipérbola . Mueho liempo después . la nom.nclatura fue .dopladOl por Aporonio . porque esta mi.ma SlIuaeión •• Pl"Hentab. en el.l ludio d.la. leccione. cónicas. \01 En la pl"opo.iI;:i6n 11 del bbro CóniCaS del mismo ApoIonio dice "Si se corta un cono con un plano a /nIVlJ.s deI_;'. y se COfta también con OlIO plano que corta la base d&I cono S6giJn una 1(1188 recta perp&ndicUlar a l. base eJel triénguJo axial, y .Ji ad&m.ts el diametro de la Sf1Cdót¡ se hace paralelo. un lado del triangulo axial. cualquier I/naa recta l razada deS(jf1la secddrl del COfIO paralela a la seccIOO común del plano que corta y la base del cono hasta el di~melro de la sección. tendrá $U cuadrado igual al rectangulo flmitado por la pote/(Hl de diámetro que comprende en la dif8CCKKI del VlJrtice de la Sf1CClijn y otra Unea raeta cualquiera; astil Unell raela tendni /a misma razón a (a porOOn abarcada entre el ángulo del cono y e( VlJrtice del segmento como el cuadrado en la base del triángulo axial al rectángulo ~·mitado por los dos lados restantes del triángulo; 'amaremo.s ••.st. sección parábola ". iPor fortuna!" na limplificado la definición de par;bola 114 Relato conciso sobre malemálica básica Para que un punto (x,y ) esté en la parábola debe tener una distancia al foco, que establecimos en el punto (O .p), igual a la directriz. La primera distancia se obtiene con la distancia entre dos puntos60 ; d[ (O,p);("y)J =Jh (y - pi' , La segunda es la distancia de (x, y) al eje x, es precisamente y . mas la distancia entre el eje x y la directriz que por cons trucción es p , en resumen es: y + p. Igualando las distancias Jx 1 +(y - p )' = y+p, elevando al cuadrado la ecuación Xl +(y - p )' =( y + pt. expandiendo las expresiones x' + y' - 2py + p' '" y' +2py + p', Antena parabólica de un radiotetescopio restando y ' + p ' a la ecuación x 2 _ 2py = 2py , sumando 2py a la ecuación, se llega a una expresión bellamente simple, conocida como: Ecuación de la parábola vertical con vértice en el origen. Ejemplos 5.24 1. Encontrar la ecuación de la parábola vertical con vértice en el origen con número focal 3. Como el numero focal entonces la ecuación es es p '" 3 x' =4(3}y x' = 12y 010 Si requ ieres con suHa distancia entre dos puntos en la Pág. 105 . Capítulo 5 Geometrla analítica 11 S 2. Determinar la ecuación de la parábola vertical con vértice en el origen con ecuación de la directriz y = -5 . Como pasa por el origen y la directriz es y =-S entonces el numero focar es p = 5 . La ecuación es: jL 3. Obtener la ecuación de la parábola vertical con vértice en el origen y con foco en el punto F : (O,t). Como pasa por el origen y el foco es (O, t ) entonces el numero focal es p '" t. la ecuación es: x' ={¡} IPI es la distancia Ejemplos 5.25 Encontrar la ecuación de la parábola vertical con vértice en el origen con número focal -5. Como el numero focal entonces la ecuación es X' =4(-S)y x 2 =-20y es p =-s ,..,...., .. ,. ".,., ,. Observación: Si p < O entonces el foco está abajo y la directriz arriba, entonces es una parábola que abre hacia abajo. El signo de p nos indica hacia donde abre la parábola, p es el número focal y focal. • , / 11 6 Relato conciso lobre matemática básica 1. Determinar la ecuación de la parábola vertical con vértice en el origen con ecuación de la directriz y = 2 . Como pasa por el origen y la directriz esta a dos de distancia del vértice y la directriz está arriba del vértice entonces el foco se encuentra en el punto F = (0,-2) y la ecuación es: Xl =-8y 2. Obtener la ecuación de la parábola vertical con vértice en el origen y con foco en el punto F : (O ,-I.S) . Se tiene que la directriz es la recia y == U Y la ecuación es: ........... 14\ . , '. /.~ ,/ '. / x' = 4(-U )y x' = -6y \ 4 \ Traslación de ejes. Un punto con coordenadas auxiliares tendrá coordenadas (x, y), en los ejes (x', y'), las cuales están relacionadas mediante las ecuaciones: x =h+x' y =k+ y ' despejando las coordenadas auxiliares se tiene x' =x-h y'=y-k (5.3) la ecuación de la parábola , en las coordenadas auxiliares , es: (x')' =4py', porque es una parábola con vértice en el origen de las coordenadas auxiliares. Pasando a las coordenadas originales, sustituyendo usando las ecuaciones (5.3), obtenemos: Ecuación de la parábOla vertical con vértice de coordenadas (h, k) (x- h)' = 4p(y -k ). Observación: Esta forma de trasladar los ejes sirve en general, sin importar que curva estemos trabajando, lo cenlral es establecer el punto de referencia; en la circunferencia es el centro, en la parábola el vértice. Capitulo 5 Geometría . nalllica 117 Ejemplos 5.26 Encontrar la ecuación de la parabola vertical con vértice en el punto V : (S.-7) y numero focal t. Establecemos los valores para cada parámetro: h ", S; k :-7; p=t La ecuación de la parábola es: (x-sr = 4(¡ Xr-(-7)) (x-s)' = lo(y .7) Determinar la ecuación de la parábola vertical con vértice en el punto (2,1) ecuación de la directriz y'" S. Dado el vértice y como la directriz esta arriba del vértice y esta a una distancia de 4 enlonces h :: 2; k = l; p : --4 La ecuación es: (x-2 r =4(-4Xr - I) (x -2r =-16{y-7) Obtener la ecuación de la parábola vertical con foco en el punto directriz con foco en el punto y = - } . Como la distancia del foco a la directriz: es ~. el foco está por encima de la directriz y el vértice debe estar a la mitad; entonces h = S; 1_' k'"T=i; F ", (S.7) y p= t la ecuación es: (x - Sr = 4 (¡Xr-~ ) {x - sr :!(Y-1t) Observación: Se puede encontrar por la mitad de las distancias. pero ha resultado mejor a partir del punto medio mediante la fórmula . El punto medio entre dos puntos de coordenadas p • =(x,+x y,+y¡) 2 ' 2 l 118 Re~to COI'Iciso sobre rnatem;i!itica bbica Parábolas horizontafes.- En general es igual que las parábolas verticales, pero intercambiando x por y. La parábola horizontal con vértice en el origen es: yl = 4px la parábola horizontal con vértice en un punto de coordenadas (h,k) es: (y - k)' =4p(, - h) Si P > O la parábola abre hacia la derecha y si p < O la parábola abre hacia la izquierda. Ejemplos 5.27 1. Encontrar la ecuación de la parábola horizontal con vértice en el origen y número focal -lf. Es una parábola que abre hacia la Izquierda con la ecuación: yl =4(-.1Jp. y ' =- llx 2. Determinar la ecuación de la parábola vertical con vértice en el punto (- 2,3) con ecuación de la directriz x ::; - 8 . Como [a directriz está a la izquierda del vértice, abre a la derecha. El número focal es de 6 entonces h =-2; k ::;3; p=6 . la ecuación es: (y - 3)' =4(6X,.2) (y -3)' =24(,.2) Caprtulo 5 Geometria anaJitb 11 9 3. Obtener la ecuación de la parábola horizontal que abre hacia la izquierda con distancia focal i y foco en el punto F .. (7,;). ,h 7+i "'f; k ::f; p::-l la ecuaci6n es: (X _S)l =4(t Xr -l[) (X _S )l =Hy-lf) En todos los ejemplos sobre parábola se ha establecido la gráfica sin embargo liene dificultades propias que simplemente se darán métodos aproximados para esbozar la gráfICa. Ejemplo!> 5.28 Graficarla parábola (X_ 4)1 : 16(y +S) V : (4,-S) Consideramos los ca sos X::O (-4)' :16(".S) y::-4 y::O (x- 4)' : 16(S) x:: u.J80 x, = 12.9 Xl = -4.9 -2 t 2 " 6 8 tO 120 Relato conciso sobre matem.lilicil bbicil Método .c0 para graficar parábolas Ejemplos 5,29 usando el lado redo. Graficar la parábola (x . r 1. Establecer el 'vértice. 2. Oetnl~f' -7Y '" - s(y + 1) V : (7.-I) , p =-2 número focal. ' 3. Establecer el foco. ' • Como el número focal es negativo entonces está debajo del vértice a 2 unidades de distancia. • F. 4. Oblenemos los extremos del lado recto a 2 vec~ la distancia focal a izquierda y derecha del foco. • Unir los puntos, pero ..J[atando de semejgtr la parábola. . , . ~ 6. Prolonga los brazo de la parábola disminuyendo gradualmente ' la :," :abertura sin cl'ÚZar la vertieal. (7.- 3) : (7- 4.-3) : (3.-3) Ll "" (7 + 4.-3) "" (11,-3) ~ 1 11 ,+1,' 1+ . !létodo 41 del sastre ,.t! • 1 J5 _ . Como una curiosidad se estabiece ~ ~ método razonable para construir un s",-o ~ 'de parábola. ~s te método consiste en: ; Dibujar un ángulo cualquiera. er) este caso se hizo a' 'f rtul . l. l' W t • ' Marcar divisiones á '¡rtervalos Iguales en cada. ' u~o de los dOI lados y numerarlas empezando por el Vértice. la i~ U 16 :~ ~o se unen, p()r ej'lpo ~ k)s puntos cuyos'valores sUft\en un nul'l'l8lO Q.l8JqUlera. aqul,se hizo' Con ~ '- _ "' __"''''--' Ejercicios 21 Encuentra los puntos medios de los siguientes pares de puntos. , . (s.'H9.4) 2. (7 .•. - •. 34\ (3.24.9.4) 3. ( ~. - q )( ¡.- l ) Determina la ecuaciÓn de la parábola vertical con vértice en el origen , que satisfaga las condiciones dadas: 4. p=-t 5. p=-t 6. pasa pore1 punto (9.-3) 7. pasa por el punlo (-6,9) . C.pUulo S Geometría .nllll!ic;a 121 Di cual es la ecuaoon de las parábolas dadas las gráfICas: B. 9. .. " " ',"!/J . ""t"; , . '.'' " ~ ru ~:'fi! ---:I I ",.., ;:. ' - ," If '¡,,: 10, 11 , Oe las siguientes parábolas encuentra vértice, foco, número focal, directriz, hacia donde abre la parábola, lado recto y establece todo en su gráfica, 12,xz +6y =0 13. yl: 20x '4 , (x -' )' =.(y- 4) 15, (x+J)1 = -10(y-5) 16. 4 y l_ 20x ; 0 17. y ! =-28:c 'B, (y-J)' 19, (y _ 8)1= -12(x + S) =6(x-7) 20, xJ -6x-6y+J9 ;0 21 , Encuentra los valores de 22, (X_ 4)1=-28(y+l) y= - IO JC ,1 +8.r-6y+2S == O para los cuales la parábola toma el valor dado de y : 23. (y+S )' _&(x _S) Y" +rr' '" O 24, Xl y= -48 26. Muestra que toda parabola vertical se puede llevar a la ecuación cuadrática de la forma Xl +Cx+Dy+ E = O. 27, Muestra que cualquier ecuación de la forma yl+Cx+Dy+E=O es una parábola horizontal. Si se corta un cono por un pl.no ~raleo • la generatriz l. In lersecclón es una paribola, 1 22 Relato conciso sobre matemiinca biisica Elipse Los planetas se mueven en elipses con el Sol en uno de sus foco s. Indudablemente una forma bella es la elipse la cual la encontramos en las curvas que siguen los cuerpos celestes por la fuerza de la gravitación universal. Por sus finas propiedades acústicas se ha usado en cúpulas. pero por puras razones estéticas es frecuente encontrarla en arreglos de jardinerla de palacios. incluso el método usual para dibujar una elipse se conoce como el método del jardinero. Elipse .- Es el lugar geométrico de todos los puntos que la suma, de las distancias ,--::::====::::--, a dos puntos fijos llamados focos . es una constante. "lfétodo ~ del' jardl n ~1r Dados ¡:I ~ s . pUhtos, que puede!} ser unas estacas , amarraS: una cuerda floja; después al te~ rla y.recorrerla yas generando una ' e l ~se , ta s estacas ,on los foco$ ,de la" ell"séi y fa 1ongjtoo de la cuerda es la ~ú(l1a; d e l as distaflcías. Métodl?'1Usado por Jos jardirieros en los palacios para acer arreglos 'torales en form a...·:d.e ~M l' se , , Ecuaci6n de la elipse.- Si ponemos los focos F, y F, sobre el eje x digamos con coordenadas (--e. O) y (e, O) . respectivamente. Considerando la suma de las longitudes igual a la constante 20, se puede observar que en los extremos están los vértices cuyas coordenadas son (- 0,0) y (0,0 ), en el momento en que las dos distancias son iguales d, '" d! se forma un triángulo rectángulo cuyos catetos son 6 y e y la hipotenusa es o . De tal forma que. aplicando el teorema de Pitágoras, se cumple que 6' +c' = a' .Llegar a la ecuación de la elipse requiere mucho cuidado por su dificultad algebraica y no es relevante para su manejo. Por definición de elipse. d, +d,= 2a Sustituyendo las distancias J(:t+c)' + y' +J( x -c )' + y' := 20 , Los vértices de la elipse son los extremos del eje mayor. Capitulo 5 Geomelrlaanalilicll 123 restando J(x-et + yl en la ecuaci6n y elevandola al cuadrado (J(u,)'. y' )' ' (2.-J(.-,)'. y' )" desarrollando los cuadrados (x +e)l + yl '" 40 1 - 40J(x -e )1+ yl +(x_ e)l + y l, r simplificando y volviendo a elevar al cuadrado la ecuaci6n (oJ(x- e)1+ yl - (a1-exf , expandiendo la expre si6n, aplicando los olxl _20Icx + a 1e 1 + Olyl =0' _201cx+e1x', sumando 201a_u l el a la ecuaci6n o lx' _e lxl + Olyl: o' _01e1 , factorizando (al_ e l ) en ambos lados de la ecuaci6n (al _ e l )xl + Olyl : a l (al _ el ) , sustituyendo por teorema de Pilágoras b1xl +0 1/ : olb', dividiendo la ecuación entre 01b1 b' xl +Oly' _1 olb l simplificandO, he aqui: la ecuaci6n de la elipse con centro en el origen. ~ a l +i."' bl 1 Ejemplos 5.30 1. Determinar la ecuaci6n de la elipse con centro en el origen, semieje horizontal 7 y semieje vertical 4.5. Ademas localizar los focos. o _ 7, b _ 4.5 . la ecuaci6n es: ~+ L :I 49 20.25 Por ser horizontal ya que o :> b , los focos esttm (te.O) donde b1 +c l = 0 1 , e:: .Ja l _ b l F, .. ( - 5 . 3 6 , O ~ =..J49 - 20.25 = 5.36 Fl = (5.36,0) 124 Relato conciso sobre matem¡itica b¡isM;.a 2. Encontrar la ecuación de la elipse con focos en los puntos F, =( - 4 , 0~ Fl =(4.0) Y eje mayor de longitud igual a 10. El semieje mayor es la mitad, es decir a '" 5. Por la posición de los focos se tiene que c=4. Como b1 + cl= a ¡ entonces b =-Ja 1_c 1 =.,)25-16=3 ., La ecuación es : ~+L=I , , 25 9 V¡ '" (0.4) Y focos en los 3. Los vértices de una elipse son los puntos VI =(0 .- 4~ puntos F, =(0,- 2.5} F¡ = (0,2.S). determinar la ecuación y las longitudes de sus ejes. La longitud del semieje mayor es b = 4 . Por la posición de los focos se tiene que c '" 2.5. Como es vertical entonces se cumple a l +c 1 ", b l entonces a ", .Jbl_c l =JI6 - 6.2S =3. 12 La ecuación es : ~+¿:I 9.75 16 La longitud del eje mayor (vertical) es 8 La longitud del eje menor (horizontal) es 6.24. Observaciones: Como ves, depende de que variable está acompa1"lada el valor mayor para determinar la orientación de la elipse (horizontal - x. vertical - y). l a ecuación de la elipse con centro en cualquier punto, haciendo una traslación de ejes, (x - hj' (y - k)' será ---;;:-+-b-'-=1. ,,, ~. - t(O,d U'" } -r ±fi " ~ r--"H-+-~ : I i . rl ,. H ~ -f-- ¡ 1(0..-10) r i 111 ~ 'l ' , Capitulo 5 Geometrla aoaliliea 125 Ejemplos 5.31 1. Oetenninar la ecuación de la elipse con centro en el punto (h, k) '" (7, ¡), eje horizontal 6 y eje vertical 12. localizar los focos y los vértices. a = 3, b =6 , h : 7, k ::1. La ecuación es: (~-7Y 9 +k.:2I "" 1 36 Por ser vertical ya que a < b, los focos están (h,k±e) donde l a l + el :: b entonces e:: ,Jb1 _a 1 =.)36 - 9 = 5.2 , F, =(7,1-'.2 )=(7,- 4.2) = (7,1+'.2) =(7, 6.2) F, V, =(7,1 - 6) =(7,- ') V, =(7,1+ 6) =(7, 7) 2. Encontrar la ecuación de la elipse con focos en los puntos F, ::: {- 1.2l F; = (1 3,2) Y eje mayor de longitud igual a 20. El semieje mayor es la mitad, es decir a = 10 . Por la posición de los focos se tiene que e = 7 . b%+e l = a l entonces Como b =..Jal _el = .)100 - 49 =7.1 La ecuación es: (x -6)' + (y-2)' =1 100 51 EjemploS 5.32 (x-2)' (y+'j' Graflcar la elipse - -- + - -36 16 =1 (h,')=(2,-') Como a:: 6 > b = 4 entonces es una elipse horizontal. 126 Relato conci so sobre matemática básica :pj;~¡ ~j;iI Los vértices estan en V, . (2- 6,- 5) . (- 4,-5) V, . (2 +6,-5) . (8,-5) V, . (2 ,-5- 4) . (2 ,-9) V• • (2,-5 + 4) . (2,- 1) H + H +-c'-H+-j-H , , • , . I I I • • '0 Cuando se tiene una ecuación cuadratica para que sea una elipse requiere poder ser llevada a la forma clásica de la ecuación de la elipse. Ejemplos 5.33 De las siguientes ecuaciones determina si la elipse es real o imaginaria . Si es real especifica su centro de simetrla, los ejes de simetrfa , los focos y vértices. 1. 4x · + 12.25y l - 64 x + 49y + 256 '" O Agrupando vari ables y factorizando los coeficientes cuadraticos 4(X l _ 16.' ) + 12.25(y 1 + 4y) + 256 = O, completando trinomios cuadrados perfectos y restando lo mismo para no alterar la ecuación Capítulo 5 Geometría analítíca 127 factorizando cada trinomio y multiplicando cada término independiente 4(x-8Y -256+ 12.2S(,. -+-2)1 - 49 -+- 256 = 0 , agrupando los términos independientes y restando el resultado a la ecuación 4(x - 8Y -+- 12.2S(,. + 2)1 = 49, dividiendo entre el término independiente (x - 8Y (,.+2)l """"i2:2S + - 4- =1, Se obtiene la forma clásica de fa ecuación de la elipse. Centro: (8,- 2) . Ejes se simetrla las rectas: x '" 8;y = -2 . Vértices: V, = (4.5,-2) ; VI '" (II .S,-2); v, =(8,-4) ; V. = (8,0). Focos: F, = (h _.JQ1_b 1,*)= (8- ..)12.25-4,-2): (5.13,-2) ; F, . (8+ -1"25 -4 - 2) .(1 087 -2) o -1l- -+ I - 2 +- -2 !- j - j - l - ' H,!L ~ A<- _-t /'1 1 ~ ¡_ , el' .-. . . ; 1" 1 v1\1'T1 -- i<sj-Zl -·E -, t--+-+-+--r+"''''--k -+, +--+-1-1;--+ -, +----+-1 -5 i I I I ! ¡ " x 1 2- ~-*' 1 + -+ I I 2. 16.x: 1 + 25 y l+ 96x -250y+11 69 = 0 Agrupando variables y factorizando los coeficientes cuadráticos 16(x 1 + 6x)+ 2S(/ - IOy)+ 1169 =0 , completando trinomios cuadrados perfectos y restando lo mismo para no alterar la ecuación 16(x 1 +6x +9 - 9)+2 5(l - lOy +25 -25)+ 1169 '" O, factorizando cada trinomio y multiplicando cada término independiente 16(x + 3)1 -144 + 25(,. _S )1 - 625 + 1169 '" O, 128 Relato conciso sobre matemática btlsica agrupando los términos independientes y restando el resultado a la ecuación 16(.%+3 )2 + 2S(y_S)l = -400, dividiendo entre el término independiente (X+ 3)l + (y-S)' =_ 1 25 16 ' el término de la izquierda es positivo '1 el de la derecha es negativo entonces no es una elipse real. 3. 36x 2 +72 x + 16y-1 25 =0 La ecuación no puede ser una elipse porque no aparece el término cuadrático de y. De hecho debe de ser una parábola. 4. 49x l - 4y l+9 8x-16y-IOO=0 l a ecuación no puede ser de una elipse por tener signos contrarios los términos cuadráticos. 5. 2x l + 2y l_ 4.l-48y+212 = O Siguiendo el mismo procedimiento que en los ejemplos 1 y 2 se obtiene (x -I)' + (y -12)' =1 9 9 ' Resulta que la longitud de los ejes es igual entonces se trata de una circunferencia . de hecho expresándola en términos de circunferencia su ecuación es (x - IY +(y_12)2 =9 Ejercicios 22 Determina la ecuación de la elipse que satisface las condiciones en cada caso y esboza cada gráfica con sus elementos respectivos: 1. F, =(-6,0 ) : F¡"' (6 .0} y2o "'20 2. F, =(0,-8) : F¡= (O, 8) ya = 10 3. VI = (-7.5.0): V2 =(7.s,o) y c= 6 4. Vertical. centro en origen. a = 8 y b = S 5. Centro en (3.2), Foco (3,7) Y un 6. Focos en vértice en (3,-5). menor 8. F, = (-5,2) F¡ = (S,2) y eje Capitulo 5 Geometria analitica 129 De las siguientes elipses encuentra vértices , focos, centro, dirección y establece todo en su gráfica. 7. 1+f= 1 8. 4x1 + 2Sl =\00 9. {x+l)1 + (y -S )I = 1 10 (x -7 )' (Y -1t 81 49 20 = 1 Di cuál es la ecuación de las elipses dadas las gráficas: I ., - ,-+ , > 11 . 12. Encuentra los valores de x para los cuales la elipse toma el valor dado de y: 13. i!¡¡t+iToi? = I y =-8 14. 4 ~' ~40H9 )" +90)'.289 _ 0 y- 15 -fr+f= 1 . y =2 16. Muestra que toda elipse se puede llevar a la ecuación cuadrática de la forma 1 Ax + By 1 +ex+ Dy + E =O;AB > O De las siguientes ecuaciones determina si la elipse es real o imaginaria. Si es real especifica su centro de simetrla, los ejes de simetrla, los focos y vértices. 17. 9Xl +2Syl -S4x +1SOy + \081 = O 18. 9x' + 64yl + 144x-128y.64 = O 19. 16x 1 +9yl +72x- 18y+ 279 = 0 20. Verifica que las elipses de la forma son circunferencias. 21 . la omita de la Luna alrededor de la Tierra es una elipse con la tierra en un foco. La longitud del semieje mayor es 406,498 km y la longitud del semieje menor es 356,864. km. Si pones el origen en la tierra de tal modo que el eje mayor coincida con el la intenecci6n de un eje de las X, determina: La longitud del eje y semieje cono y un plano indinado, mayor, las coordenadas del centro de la elipse. el pero con una inclinación cuadrado de la longitud del semieje menor, La menor a la que liene la ge neratriz. se obsern ecuación de la elipse que describe el movimiento de una elipse. la luna en el sistema Tierra - Luna , la gráfica del movimiento de la luna y ¿qué es apogeo? 22. Construye manua lmente una elipse con el método del jardinero. 130 Relato conciso sobre matemática básica Hipérbola Sin duda es la curva cónica más compleja presenta dos secciones y una serie de simetrías interesantes de analizar. Por su misma complejidad no es muy comun su uso, sin embargo por razones estéticas encontramos formas hiperbólicas en la arquitectura. Ecuación de la hipérbola horizontal Hipérbola.- Es el lugar geométrico de lodos los puntos donde el valor absoluto de la diferencia de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante. Por definición de hipérbola Id l - dJ=2u , sustituyendo las distancias IJ(x+o)' + y' - J(x-o )' + y'l· 20, elevando al cuadrado y simplificando sumando J((x -+-c)' +I){( x-c)' +I)-Zct' a la ecuación y elevando nuevamente al cuadrado (X" +c" + yl_20' )' "' ((X+ C)' + yl ){(X _C )1+ yl) x' +c' + y' +40' + 2C' X' +2X'i _ 401X' +2e ' y' _ 40 ' e l _ 4a' y' '" x· -2e 1x' +c· +2 (X' +e' )yl + y' sumando - x' -c' - y' + 2e ' x' - 2x' yl_ 2e ' y l en la ecuación , dividiendo después entre 4 la ecuación , se simplifica a o' +e'xl _ OIXI _ ole' _ o' y' ", O, sumando o'e'_o' y factorizando e'_a' en ambos lados, tenemos como e:> a sustituyen entonces podemos representar a e como la hipotenusa de un triángulo rec tángulo y el como un cateto y si llamamos b al otro cateto podemos establecer, por teorema de Pitágoras, la igualdad el =o a' +b 1 de donde podemos sustituir en la ecuación la expresión e' - a' '" b' quedando b'X' _a'yl =a1b ' , Capitulo 5 Geometria analllica 131 dividiendo entre a lb l la ecuación. he aqulla ecuación de' la ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen ~_t. a l bl .. 1 Ejemplo 5.34 Determinar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen. vértices en los puntos (- 6.0) y (6,0) . focos en los puntos (- 10,0) y (10,0). Como los vértices y los focos están en el eje X entonces es una hipérbola horizontal. Como los vértices están a 6 de distancia del cen tro, en este caso el origen. entonces a = 6 . Como tos focos están a 10 de distancia det centro sabemos entonces que e = 10 . Además. como en las hipérbolas se cumple que a l + b l _ el entonces, en este caso, b =.je1_ a1 =,f100-36 • .[64 • 8 b=8 la ecuación es X' y l ---= 1 36 " Caracterlsticas de las hipérbolas. 1. Presenta dos secciones. Si sumamos a la ecuación ;;' queda Xl yl ;¡ =I+'b1' multiplicamos la ecuación por a! y observamos que la parte derecha lo menos que puede valer y es cuando y = O entonces se cumple 132 Relato conciso sobre matemática básica la expresión s610 tiene solución para valores de x mayores que a o menores a -a . La parte oscura es donde hay valores de i( en la gráfica. 2. Tiene dos vértices , son puntos donde claramente se observa satisfacen la definición ya que Id[(-<,O )(a,O)] -d[(a,O)« ,O)] ' la+< - « -al , 2a, jd[(-<,0) ;( -a, O)]- d[(-a, O) ;« ,O)] ' l- a+<-(<+a)l ' ! Los puntos v, "' (- 0.0) y V1 "' (a.O) 2a , lo 1 son los vértices de la hipérbola 3. Dos aslntotas De la ecuación de la hipérbola, despejando y se puede llevar a la expresión Y ",± Jb: ~l Factorizando 7:t 1 _b 1 , y sacando de la raíz queda Conforme se tome valores más grandes de x la expre sión 5- se hace muy pequel'ia de forma que con valores cada vez más grandes la hipérbola se parece más a las rectas y =; x y y"'~ x . Esto caracteriza principalmente a las hipérbolas. 4. Varias simetrlas Tiene ejes de simetrfa tanto horizontal como vertical , asimismo presenta simetrla con re specto al centro de la hipérbola. Capitulo 5 Geometría analilica 133 Definición Cuando una curva se parece cada ve z más a una recta, se dice Que la curva se acerca asintótica a la recta y a la r&cla se le llama aslntota. Gráfica de la hipérbola #-l-, Se puede trazar partiendo de los vértices hacia las aslntotas. Ejemplos 5.35 Realizar la gráfica de la hipérbola del Ejemplo 5.34 en la Pág. 131. ~_i. ]6 64 = 1 Los vértices sabemos son (-6,0) y (6,0) . Las aslntotas son: y '" tx; y '" -tx k~ "::r: , t -'-11:' -~ , .~, t, , t-, -" 1--1:-1 I I+ V.,/" f-;--f-j- I~ .. '1 ,¡" " \. ~ ;.,.... I , Ecuación de hipérbola vertical Si consideramos ahora la ecuación ~ al _L= b l Ejemplo 5.36 Graficar la hipérbola ' claramente los puntos (O,b) y (O,-b) están en la hipérbola y son los vértices, ahora despejando y ' se obtiene de manera análoga significa ahora Que la expresión sólo tiene solución para valores de y :s: -b ó y:<!: b. DespejandO y se llega a la ecuación ' g' simplemente Observa como con cambiar el término independiente a -1 la hipérbola que es solución de la ecuación es ahora vertical y tienen las la cual también, para va tores grandes dos hipérbolas a las mismas aslnlolas. de x, se va pareciendo a las aslntotas y =±- x 1+ ¡ a , y =~ x y y=- ~x . 134 RelalO conciso sobre malemalica basica Ecuación de las hipérbolas con centro en un punto cualquiera Vertical Horizontal Ejemplo 5.37 Encontrar la ecuación de la hipérbola con centro en el punto (4,-1) , vértices en los puntos (0.- 1) y (8.-1). focos en los puntos (-3,- 1) y (11,0). Como los vértices y los focos están en la misma recta horizontal y == - 1 se trata de una hipérbola horizontal. Como los vértices están a 3 de distancia del centro entonces a ", 6 . Como los focos están a 7 de distancia del centro sabemos entonces que e = 7 . Además, como en las hipérbolas se cumple que a' + b1 '" el entonces, en este caso , b =.Je 1_ a' == .J49 -36 ==.JIJ = 3.6 b : 3.6 b 1 = 13 la ecuación es ~ l - 36 yl - -= 1 13 Para determinar las asintotas simplemente hacemos la traslación del centro respecto del origen y-k '" ±~ o (~ - h) Ejemplo 5,36 Determinar las asintotas y hacer la gráfica de la hipérbola del ejemplo anterior. Ecuaciones asfntotas: y + 1 = 3.6(~_4) de 6 y + l = -{l.6(x - 4) la gráfica es la ~ / • /' , ./' ".r - 't- .• /,<:::::: '0 ,,....,-, '-., ~ ~ / Capítulo S Geometría analltica 135 Ejemplo 5.39 Encuentra la ecuación de la hipérbola con vértices en los puntos (2,1) y (2, 16) con ecuaciones de las aslntotas y- 7.S o: I.S(x-2); y -7.S =: - 1.5(x -2) . Hacer la gráfica. Como están los vértices en la recta x o: 2 se trata de una hipérbola vertical. Por las ecuaciones de las hipérbolas se tiene que el centro está en el punto (2, 8.5) Y qL.;e donde b =: 7.5 entonces ~ a : I.5 ~a=:s :,: ¡,r ~ = I .S " 1.5 La ecuación resulta " V1 , Ejercicios 23 Determina la ecuación de las hipérbolas siguientes: 1. F; =: (-6,O) ; F¡: (6.0) y 2a=:8 . 3. V, : (-7.S,O ) ; V¡=o (7 .S, O)yc 0: 9 . 5. Y, . (-2,-4); aslntotas y + 4 =: Y, . (10,-4) ±Hx-4) . 4. Vertical. centro en origen, a '" 3 Y b=4. y 6. F, = (-3, 1); F¡ = (-3,13) Y asíntotas y-7 =: ±4(x+3) . Di cuál es la ecuación de las hipérbolas dadas las gráficas: \ 7. 8. 136 Relato conciso sobre matemática bbica De las siguientes hipérbolas encuentra vértices , focos , centro, dirección , aslntotas y establece todo en su gráfica. 9. ~_i.=1 4 9 10. 25)'1_ 9x 1 = 225 11 . (Y - 2)' J ' - S)' : I 20 6 12. (x+2) 1 Jy - 4)1= I 81 49 Encuentra los valores de x para los cuales la hipérbola toma el valor dado de y: 13 .l!¡;L-~= y=7 1 15. 4x' +40x+9y' .. 9 0y~ y" -4 14. fr-.;r= l )'= 5 8 9" O 16. Muestra que lada hipérbola se puede llevar a la ecuación cuadrática de la forma AX1+ B),I +Cx+D),+E : 0: AB < O Si se considera un cono con un Inctinación que obtendrá la hipérbola. ta intersección de plano con mayor ta generatriz se curva llamada Anexos A 1. Principio de inducción matemática Una propiedad relevante de los numeros naturales que nos puede tomar de novedad pero es basico para generalizar alguna propiedad que verificamos que se cumple en varios casos '1 sin embargo no podemos estar totalmente seguros de que siempre suceda. Por ejemplo. es comun simplificar la suma de los primeros naturales mediante la fórmula 1+2 + 3+ ,, +,, = ,,(n + l) Giuseppe Peanoe, 2 Se puede verificar que efectivamente se satisface con los primeros valores 1= tQ) = 1 2 1+ 2= 3 = 2(3) = 3 2 1 +2 + 3 = 6 = ~ 2 = 6 En cambio. si elevamos las potencias de 11 tenemos 11°= 1 11' =11 Jl l = 121 I , J = 1J31 Podemos pensar que las potencias de 11 coincide con el triángulo de Pascal. que todavla coincide en 11 " ::: 14641 Sin embargo para el siguiente ya no se satisface 11' = 161051 11 Giuseppe Peano nacio en C\Jneo. Italia en 1858 muere en Turln en .' 932. Es increlble que hasta finille. del siglo XIX. gracias a Pea no. 58 obtiene la ax ioma l i:t aciOnb.l ~ica de lOS . núme~os naturales mediante cinco axiomas donde el quinto es la base del pnnclplo de mdl.lC(:IOn matem*tiea. 137 138 Relato concIso $Obre matemática básica Que es diferente al siguiente término del triángulo de Pascal 1 5 10 10 5 1 En el primer ejemplo es una proposición verdadera para todos los naturales, mientras que la segunda a pesar de suceder en las primeras vimos que a partir de la quinta polencia ya no fue cierto. Requerimos de un método que nos permita distinguir cuando una propiedad realmente es verdadera de aquellas que pueden coincidir. pero no se cumplen siempre. Inducci6n Matemática Supongamos que se quiere demostrar alguna propiedad P(n) donde i) Si se verifica para p(!) , es decir la propiedad vale para 11 : nE N. J• ii) Se supone que P(II) es válida '1 a partir de esto se demuestra la validez de P(11 + 1) : es decir, se supone que la propiedad es válida para n '1 a partir de 11 + 1. esto se demuestra que es válida para Entonces la propiedad p(// ) es válida para todos los números naturales. Verifiquemos que se cumple la primera propiedad anterior , 1+2+3+ ,,+ // : //(11+ 1) Verificamos se cumple para n : I efectivamente sumar hasta el primer término es igual a la fórmula para n: l . Suponemos que es válida la propiedad para P(//) . es decir que 11(11 +1 ) 1+2+ 3+ "+ 11 = - - , - '1 demostremos que es válida para P(II + I) Por un lado lo que queremos es sumar los n + 1 términos 1+ 2 + 3+ .. + n + (II + I) '1 comprobar que también satisfacen la propiedad . en este caso , 1+2+3+ "+ II +(n + I) = (II+I)(//+2) Al Principio de inducción matemática 1 39 As! verificando tenemos 11(11 + 1) 1+ 2+3 + ·· + n+ ( 11 + 1) =--,- + (11+1 ) porque estamos suponiendo que es valida para n . Ahora sumando, agrupando y fa ctorizando el lado derecho tenemos 11(11 + 1) 1+ 2 + 3+· . +11 + (11 + 1) = -,- + (11 + 1) , 11 (1I+1 )+ 2(n + l} 11'+ 11 +2//+ 2 l , = n + 3// + 2 (1I + I)(n+2 ) lo que prueba la validez de la fórmula. Cabe hacer ta siguiente reflexión de la certeza del método de inducción matematica, si una propiedad siempre que sea valida para un valor lo es para el siguiente y esta es válida para el 1, entonces será valida para el 2 y si es valida para el 2 es válida para su siguiente el 3 y as! sucesivamente entonces podemos concluir sin duda que es cierto para todos los números naturales. Ejercicios 24 Demostrar mediante inducción matemática las siguientes propiedades: 2. S¡q ~ l enlocs l+ q +q ' + .. + q·= q"' -I . q- 1 3. 2'""' S {n +3)!. 4. .! +~ 2 21 ~ 2' + .. +~= 2" 2 - ~ 2' . 5. 3 esfaclorde n' -n+3. 6. l' +2' +3' + ·· + 11' =t ll(II + I)(2n+ I) 62. R En la obra que sobrevive de Arqulmedes. invoca esta f6rmula dentro de sus ded ucciones. 140 Relato conciso lobre matemática básica En una tablilla que data del imperio de Nabucodonosor se encontraron las siguientes dos series: 1+ 2+2' + 2)+ ··+ 2'= 2'+ 2'_ 1 y 1+ 2: +3 '+ .. + 10'=[ IH) + 10(t)] SS = 38S Observa, que la segunda coincide con la que invocó Arqufmedes. 7. Puedes encontrar la expresión general y demostrar la primera por inducción matemática. 1+2 + 2' +2'+ ··+2": 8. La segunda serie de la tablilla verifica que cumple con la serie de Arqulmedes (ejercicio 6), y observa que lo expresado en la tablilla va en la dirección de la generalización. 9. En los Espejos preciosos, texto chino de matemáticas del siglo XI1I , se establece esta serie junto con la suma de cuadrados que invocó Arqulmedes. 1+8 +30 + 80 + ·· + t ll' (11+ 1)(11 + 2) = ;1¡¡ 1l(1I + I)(n + 2)(n+ ) )(4n + 1) Demuestra mediante el principio de inducción matemática la validez de la propiedad. A2. Aplicación de las ecuaciones para descomponer fracciones algebraicas en fra cciones parciales. Descomposición de fracciones algebraicas en PoIi"omios y fracción propia ~ J Dada una fracción de la forma .1:~ donckJ Q(x) es un polinomio de grado mayor o realizando la dÑisión algebraica de las fracciones se puede igual que (~)P expresar como su parte entera mas una fracción algebraica p(~) r(x) es un polinomio de grado estrictamente menor que . '(') P() , >+ -) p(~ donde Ejemplo Al Dada la fracción algebraica 3~ 1 + 10~ ,.1 + 12. determinar la parte entera y la fracción propia. Si efectuamos la división de polinomios sobre la fracción se obtiene ~ +1 ) 3~ l+ ]~ \Ox + + 12 1 ~ 1~+2 - 1x - 1 Asi se puede establecer la siguiente igualdad ]~ l + 10.1'+ 12 _3~+ ~ + I 1+ _ ' _ ~+ I la parte entera es 3x + 1 . Además en ta fra cción propia. el polinomio S es de grado cero el cual es estrictamente menor al grado del divisor ~ + 1 que es de grado l . Por otro lado, todo polinomio se puede descomponer en factores lineales y cuadráticos. Ejemplo A 2 Factorizar el polinomio ~. tiene las ralces r, = - 2; (- 2)' + 4(- + 4x J +6x' - x-l O. '1= I ya que 2y + 6{- 2)' - (- 2)-10 = 16 -32 + 24+ 2 -1 0 = O (1)' + 4(1)' + 6(1)- (1)- 10 • O ,<1 142 Relato co nCIso $O bre m atemáti<::a bási<::a entonces aplicando el Corolario 2 1 de la Pág. 12 se establece que ... + 2 Y ... - 1 son factores, si realizamos las divisiones entre ... + 2 Y luego entre ... - 1 mediante el método de la división sintética -2) 1 Q -2 2 -5 6 - , -4 10 10 obtenemos lOS factores, es decir, que el polinomio original se puede factorizar como Si tratamos de encontrar más ra fees igualamos la parte cuadrática a cero y resolvemos mediante la fórmula general de ecuaciones de segundo grado ... l+ 3x + 5 ", O -h±~ 20 -~ -l± -!J' - '(1m -l±vCIi ~ =- Ya no tiene más raíces reales , hasta aqu l es posible fa ctorizarlo. De hecho el polinom io lo hemos podido expresar como producto de dos lineales y una cuadrática irreducible. Descomposición en fra cciones simples Ahora la fracc ión propia A ~ se puede descomponer en una suma de fracc iones mas simples cuando el polinomio divisor de una fracc ión tiene factores. Mediante ejemplos veamos los diferentes eventos posibles. 1°) -El polinomio divisor se puede factorizar con producto de lineales originado por raíces distintas. Ejemplo A 3 Determinar sus fracciones parciales de la siguiente fracción algebraica 5x + 6 .r : + 6x+ 8 Al. OescomposOel6n en fraceiones parciales 143 Encontrar las raices del divisor, como es cuadrática podemos usar la f6rmula general de la ecuaci6n de segundo grado x l +6x+8 = 0 • __-.:6 "±-,:.J X, = -4 Xl ",-2 J6,- 2 .:3~ 2 3±1 Entonces la fracción se puede expresar factorizada como 5x+6 Xl +6x+8 5x+6 (x (-4)(.l - (- 2)) 5x+ 6 (x+4(x+ 2) Para el caso donde se tiene producto de lineales en el divisor las fracciones parciales se encuentran como constante entre el factor lineal J x+4 k +- x+2 donde J Y K son inc6gnitas por descubrir. Si efectúas la suma de fracciones y la identificas con la fracci6n original podemos establecer relaciones que nos ayuden a determinar las incógnitas J K --+-x+ 4 x +2 J(x+2) + K(x+4) (x+ 4(x+2) Si desarrollamos, luego agrupamos términos e igualamos a la fracci6n algebraica original Jx+2J+Kx+4k (x +4(x+2) (J + K)x +(2J +4k) (x + 4(x+ 2) 5x+6 Como deben ser iguales se puede identificar los coeficientes respectivos del numerador en las dos fracciones algebraicas J + K "" 5 Coeficiente de x Término independiente Esto es un sistema de dos ecuaciones con dos inc6gnilas63 para cuya solución tenemos varios métodos que en este caso usaremos el método de suma y resta. 2J+4K : 6 u Consulta sistema! de ecuaciones lineales en la Pág. 56 144 Relato conciso sobre matemática básica Multiplicando por -2 la primera ecuación y después sumar1as se obtiene -2J- 2K =- IO 2J + 4K == 6 2K == - 4 Que es una ecuación de una incógnita, despejando queda Sustituyendo en alguna de las ecuaciones para determinar la incógnita J 1 + (-2) = 5 1=7 Concluyendo, la fracción algebraica se pudo e)(presar en sus fracciones parciales 5x+6 7 ., ' +6x+8 :: x + 4 -~ 2 con la caracteristica que cada una es más simple. 2°) En el caso que el polinomio divisor se puede factorizar con producto de lineales originado por raíces iguales. Ejemplo A 4 Descomponer en sus fracciones parciales la fracción algebraica IOx - 25 ., 1 + 8.1' +1 6 Factorizando el divisor de la fracción algebraica x1 + Sx +1 6 == 0 - 8 ± J 64 -4(l 6) , , - - - - - - =-4 2 Sólo tiene una ralz entonces es un solo factor, pero doble en el sentido de que va al cuadrado. x' + 8,l'+ 16 == (x - (- 4))' == (x +4)' A2 De$compo sleión en fracciones parciales 145 Para separar en sus fracciones parciales se tiene que considerar cada grado desde 1 hasta el que se tenga en este caso hasta 2, entonces la expresión se puede separar con la propuesta IOx-25 Xl J + 8.r + 16 K x +4 +--- (X+4)1 Haciendo la suma e identificando con la original J K -- + x+ 4 (.r+ 4)1 J(x + 4) + K Jx+(4J + K) (.r+ 4)1 (x + 4)2 IOx-25 x' + 8.r + 16 Nos lleva al sistema J = 10 4J + K = -25 De donde J =IO K =-6S la fracción algebraica tiene las fracciones parciales 30) los factores que tengan cuadráticas irreductibles se debe proponer en el numerador de la fracción parcial una expresión lineal Ejemplo A 5 Obtener las fracciones parciales de la fracción algebraica siguiente 4x ' - 7x + 40 (x -4XX' + 5x + 12) Verificando que la parte cuadrática es irreducible x 1 +5x + 12 = 0 >= -5±.J2S=48 - 5± -.í-fj 2 2 146 Relato conciso s.obre matemálica básica La solución no es real, no tiene factores más simples. La propuesta de fa ctores más simple queda constante entre el factor lineal y lineal entre el factor cuadrático 4x l _7 x+40 Resolviendo ~ + x- 4 XZ K:x+L +Sx +12 J{.r: +Sx+12 (X - 4 Xl + (K:x + LXx - 4) + Sx+12 Jx 1 + SJx + IV + K:x ' + Lx - 4K:x - 4L (x - 4Xx 1 + Sx+12) (J + K).r l + (5J - 4K + L)x +(I V - 4L) (x - 4Xx l + S.o12 ) 4x l - 7x + 40 - (x - 4Xx1 +5x+IZ) Nos lleva al sistema J + K ;: 4 SJ-4K + L ;: -7 IV - 4L '" 40 Ahora tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas , también se puede resoh/er por los métodos establecidos en el libro pero generalizando hagámoslo con la regla de Cramef"' ·=1: -, 12 O Para calcular el determinante 3x) . 1. Se deben repetir los dos primeros renglones al final. dia9Qnales 'de atñba hacia abajo y de Izquierda a derecha. sumar los resultados. 2. Multiplicar' las 3. Multiplicar las diagofl8les de abajo hacia arriba, y de izqUierda a derecha, restando los resultados • - (12X- 4 Xo) - (IXO XI) - (lXlX- 4) : 28 - (-20) ;: 48 .. Sl lequiele$ recordar. consulta li regla de Crame' eM la Pág. 59 Al Descomposición en fracciones pardale s 147 Calculando los determinantes para cada incógnita . ., = / - ~ -4 O 40 , ., =/ : -,~ / =116 -7 40 12 ., =/: +-252 -4 12 -,: / = 64+40-(28):76 O 40 Obteniendo, mediante la regla de Cramer los valores de las incógnitas =~ J = ...., .... K "' .... • .... L =~ .... ! 48 "' !. 48 =~ 12 12 - 252 =_E 48 4 Verificando los resultados J + K ", !2.+~ 5J -4K 12 12 = 4 + =5(*)-{*)+(-~n=7 12J - 4L '" L I ~ ~ ) -{ - ~) * = 40 Estableciendo las fracciones parciales el resultado es 1 4x - 7x+40 (x 4Xx 1 +5x+12J x- 4 + ffx-1f x' +5x+12 Observaciones: Con lo visto se ilustra el método para determinar las fracciones parciales de cualquier fracción algebraica. Considerar descomposiciones más complejas simplemente lleva a sistemas lineales de orden mayor, lo cual ya se sale del propósito de este texto. 148 Retato COOCISO sobre m alem;ltlca b;lsica Ejercicios 25 Encuentra para cada fracción algebraica la parte entera en su caso y las fracciones parciales. ,. 2. ] ... J_ 15 ... 1 +26 ... + 1 ...z - 8... + 15 5... ) +17 ... 1 - 99 ... +54 ...z +5... - 14 s.' 3. 62 ... + lOS (.l+ SX... - 4X... - ] ) 4 ] ., 1+ 2 1... _ 12 ... l _., 5. 13 ... ' +59 ... + 75 (... + ]X... l +7 ... +15) 6. Xl - 7 ... 10 (... -4X... l _S.u I5) 7. 17 ... + 9 ... l - 7 ... - 6 B. f ... l +23..- - 28 ... l + ] ... 1 -4.1 _ 12 9 5... 1 +1 04 ... - 102 ... l_2... z - 24 ... + 55 4... 1 +5 1... +75 10. ... l _ ... ' +3..--27 1' . 5... • - 42 ... 1 + 119 ... 1 - 159 ... + 152 (... - SX., 1- x+] ) A3. Fórmula de Herónu contiene En el libro 11 de los Elementos de Euclides sobre Algebra geomélrica~ las siguientes dos proposiciones son la generalizaci6n del teorema de Pitttgoras y antecedente de la ley de los cosenos. Proposición 12. En Jo.J fli8ngu1os obtusánguJo.J. el CUMk8do del lado ~sto al ángulo obtuso es que comptenclen el ángulo obluso en dos veces el 1IJ8)'Of que Jo.J cuadmdos de los ~ l8dángulo compreOOido por un lado de /os del ánQUJo obtuso sobre el que cae la perpendicular), la l8da exteriOr COItecJa por la perpendicular. /laste el ángulo obtuso. ProposJcJón 13. En /0$ triátlflUlos acutángulos. el culldrado del lado opuesto al ángulo agudO es menrx que los cuadrados de los lados que eOtnprerKkln el ángu/o agudo en dos veces el l8dánguio comprendido por uno de /os lados del ángu/o egucJo sobre el que cae la perpendicular )' la l8de imenor COItada por la perpendicular /lasta el ángulo agudo. las proposiciones anteriores puestas en un lenguaje más actual. demostrando la primera . se obtiene. Teorema (Proposición 12. libro 11 de Euclides) En un triángulo obtusángulo. el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados, más el doble producto de uno de estos lados por la proyección del segundo lado sobre el primero. Hipótesis: En el tri flngul0 AABC. I ánguloC,.!!.... 2 p Tesis: Trazos auxiliares: r oy ~ a a : ¡k Je = aJ+b J+ 2b~ Se establece la proyecci6n y "f " "- -" -" "- ~,"'la altura. nombrando los Figura A.1 elementos del triángulo. J.. " Demostración el a J_ ~ Considerando el l1BCD . teorema de Pitttgoras . J el :: (al _;?)+{~b eJ :aJ_~l eJ"'a+bl2~ -"': Considerando el I1ABD, teorema de Pitágoras. =hl +(a+br hl = -~ Sustituci6n de igualdad. )J +;;J +2b~ l ExpandiendO la expresi6n. Simplificando. queda demostrado. " En ITIOItemáticas Herón puó a la historia sobre todo por ,. fOrmula q ~e lleva $~ nombre y que pennlte eaieul.r el área de un bii6ngulo coooddos SUI tres I.dol . aparecida por pnmera vez: en IU 01lfa"LII M6triel1" . • El ~bro ti de Euc:lldes lrata de transformaciones de .reas '1 ~lgebra g~rné triea IIrlella. de l. Escueta PiWgórica. Se eltablecen lal equivalencln leom6t r fC~1 de dl!'rente. Identidades "lIebrlIiclII '1 una generalización del Teorema de Piti6l1orn qlHl deOlmo postenormente en la ley de lo. cosenOI . Parece querer ilustrar este Libro 11 el UIO del desarroHo elemental del m6todo de aplicación de .relll. 149 1 50 Re lato CQm;i$O sobre matemática básica La segunda proposici6n queda expresada en el siguiente teorema Teorema (Proposici6n 13, libro 11 de Euclides) En cualquier triángulo, el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadra dos de los lados adyacentes, menos el doble producto de uno de estos lados por la proyección del segundo lado sobre el primero. Compara los términos con base en la figura A.2 . La demostración se deja al lector, es muy parecida al caso obtusángulo. Calcular la altura a partir de los lados de un triángulo sin importar que situación se presente (Obtusángulo o ángulo agudo) lleva a una única expresión. demostraremos el caso agudo. Cálculo de la altura de un triángulo a partir de sus lados. Caso ángulo agudo e ~1--~ "-"------1 _ D A Figura A .2 Considerando el !:J1CD. teorema de Pitágoras. Despejando la longitud de la proyección de a sobre b usando el teorema anterior. _ o'+ b' -e' o =- -~ lb 1,, --o , - Sustituyendo la identidad . [O'+b'-" )' 2b h' (a + o'. 2bb' ")( O'+b'2b -") ~ o - - -~ 11 1~ 4 ~ ' (o+b) : _( 1)(e' - (lI-bn 1 h 4~ ' (a +b +c)(a .... b -e )( c .... o-b)(e-a +b) 1 1 h -= 4b' (a .... b .... e)(b +c- a)(oH-b)(u +b-e ) h1 : ~P( - u)(P -C )(P -b ) h : 3.Jp(p - a)(P -c )(P - b) b Donde P = u .... ~+e Factorizando en binomios conjugados Operando la fracción y agrupando trinomios cuadrados perfectos. Factorizando en binomios al cuadrado. en Factorizando binomios conjugados. lo, Reordenando términos. , el semiperimetro. Aplicando raíz cuadrada a la ecuación se obtiene la altura. FOrmula de Hef'Ón 151 la fórmula de la altura a partir de los lados del triángulo para el caso obtuso es la misma, la forma de obtenerla es muy semejante al caso agudo y se deja alleclor. Gracias al desarrollo de la lrigonometrla una fórmula para la altura más sencilla pero requiere conocer dos lados y el ángulo que rurman. Cálculo de la altura, usando la definición del seno. c~ ~ ~ ~ . _ _ ~ =_ ( Definición del seno de un ángulo. st!nC= !!. o ~h -=; co~ , ~,nC ,- _______ Despejando la altura h la obtenemos Si lan sólo conocemos los tres lados, una visión más actual, ya que la ley de los cosenos ha dejado en desuso las proposiciones 12 'J 13 del libro 11 de Euclides, es usando la misma ley de los cosenos en la obtención de la altura. Cálculo de la altura, usando la ley de los cosenos07 ¡,I = 0 1 - a l Considerando el dBCD , teorema de Pitágoras. cos C:::! DefiniciÓn de coseno. a : acos C Despejando h' l a l +-b -el ' 0,-(lb 4~ 1 ¡,I ::: ¡,1::: 4~ h ' .. (4a 1b 1 l' a que en particular es el", al + bl - 2ab cose _(a l + bl -e'r) 1 (2ab _ (a 1 +b' -e l ))(2ab +(a l +b' -el )) 4~' (el-(ol _2ab +b' ))(a' + 2ab+b1 - c l ) h' • • : , (" proy.a '" a longitud de la proyección de b sobre e . Despejando bcos A de la ley de los cosenos en el caso del lado e. - (0 - ')' )((0+')' -,,) 11 Puede. eonaullar l. ley de los co.enos en la PIIg. 90. Su stituyendo Identidad. Operando la algebraica. la fracción Fadorizando en binomios conjugados. Agrupando los trinomios cuadrados perfectos. Fadorizando en los binomios al cuadrado. 152 Relato conciso sobre matematica basÍCél h' :-'!',(e-u +b )(e+ u --b )(u +b+e)(u +b--e ) 4b h' =~(u+bC 4b h' = ~P )(b (P -o )(P +e--a ){a+c-- b)(u +b--e ) -b )(p -e ) Factorizando en binomios conjugados Reordenando los términos. u+b +e . donde P =--,-, el semlperlmetro. h : ~ /P(P -a)(P - ')(P-,) Aplicando raíz cuadrada a la ecuaci6n se _---', '-'__________ obtiene la altura . As f podemos calcular el área de un triángulo al menos de tres formas. Con la base y la allura JI =!!..!!.. Donde b es la longitud de la base y h 2 es la altu ra. Con la base y un ángulo adyacente a la base JI __ !!!!. __ ~ C Donde u y b son las longitudes de los - 2 - 2 sen lados adyacentes al ángulo C . F6rmula de Her6n (Con los tres lados del lriángulo JI =!!!!. Area del triángulo. b2 A < ,¡;JP(P A < J P(P , -aHP- 'HP-,) aHP 'Hp ,) Sustitución de la altura. Queda la f6rmula del área de un triángulo con base en sus lados o f6rmula de Her6n . Ejerci cios 26 1. Demuestra el teorema de la Pág. 150 que dice: En cualquier triángulo, el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los lados adyacentes, menos el doble producto de uno de estos lados por la proyecci6n del segundo lado sobre el primero. 2 Muestra que la f6rmula de la altura a partir de los lados del triángulo para el , caso obtuso es también A =!'JP{P a){P b)(P e) . Encuentra la altura de los si uientes trián ulos. a 9 a 10 5. b : 18 3. b '" 12 c= 14 C = t 1l" a 6 6 . b =8 C =~ 1I" Determina el área de los siguientes triángulos. a = IO 7. b = 13 c = IS 0 = 1] 8. b=7 c= 19 a = t2 9. b = 16 C=!i 1l" o: 13 .S 10. b:8J2 C= II ] O)1'4S· 11 . Calcula el área de un decágono circunscrito en un circulo de radio 5 cm . 12.Podrl as dar un método para calcular el área de un triángulo conociendo un solo lado y los ángulos adyacentes. ~ 154 Relato conCIIO lobre matematiea bbiea Tablas 155 Tabla 2 de funciones tri gonométricas Ángulo en fracciones de Ir radianes. Silo que la labl. de ~ngulos S610 asÜn la. fflccion .. de buaeal an la 1IIb1. limplilic;¡o la , 3. 1 16 5. 1 16 0.589 0.982 0.S556 0.8315 08315 0.555& 066&2 llli16fi 2 . 1 17 0370 0.3612 0.52$4 0.11325 0.a502 0387' 0 .61112 0.8952 0.9618 0.4'57 0.2137 3. ' 17 8. ' 2. 1 11 3 . 1 11 • a f 11 0 .511 0.657 1.142 ,.- O.SoI06 0 .7557 0 .8113 0 .6So19 0 .'1So1 0.60427 1.ISoIl 2.1897 2. f 13 3. 1 13 0 .' 83 0 .725 0.4&17 0.8631 0.8855 0.7'85 0.8859 05So1 17 7. / 17 1.109 3 , / 22 0.'28 1 . 2~ 0 _ 52~8 5 a l 22 7, 1 22 0.714 1.000 OO,,, 0~567 ,"" 156 Rela lO conciso sobre matemá tica bhlca .., 1~ I 2 KI 3 KI 4 KI 5 ~ I 6 KI 7 KI 8 ~ 1 9 KI 10 K 1 11 . , 1 ,,1 5 K1 1 " 1 11 . , 1~ , 2 .. 1 3 ~ I 4" I 6 ~ I 7" 1 8" 1 9 KI 11 " , 12 . , 1 ,, 1 3" , 5. , 7. , ,., 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 24 24 24 24 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 9" , 26 11 ,, 1 26 "" 0137 0.273 0.410 " 01362 0.2698 O 39S. 05196 0 .6311 0.7306 08170 0.8819 0 ,9<123 09791 0.9977 0.1305 0.6088 0.7934 O 9\~ 0.1253 O 2~87 0.3661 .. 0683 0820 0.956 1.093 1.229 "" "" 0131 0 .6S<! 0 .916 \ , ~O "" 0251 0,377 0 ,503 0.7$4 O"" 1.005 I .1Jl 1.382 L"" 0.121 0 .362 0.60< 0 .&46 1087 1,329 0 ~ 81 06845 07705 0 .U.3 0 .90<18 09823 0 .9980 0 .1205 0.3S<!6 0568\ 0.1485 08855 0.9109 "" ~, 09907 0 .9629 0 .9172 08544 0 .7757 06826 05767 0137 0.2802 0 , ~34 0.608\ 0 .8136 10707 1.4167 "'" 0 . ~601 o 3~9 02035 0 .0682 09914 07934 0 .6088 01305 0 .9921 0 .9686 09298 0 ,8763 0.7290 0 . 637~ 05358 0.4258 0 . le7~ 0.0628 09927 0.9350 0.8230 0.6631 0.<1.647 0.2393 ~ 28137 ~ . 8123 1~ . 6195 0 .1317 0 .7673 \ .3032 75958 0 .1263 0.2568 0 ,3959 05<198 0.9391 1.2088 1,5157 2.125\ 5.24 22 15.89<15 0.1214 0.3192 0.6903 1.1288 19053 4.0572 .o' 27 0., .tt6 \ KI 2 KI ~ KI 5 KI 7 KI 8 K1 lO K' 11 . / 13 K ' 1. 1 3 K' 5. 1 9. ' 11 . , 13" , 1. , 2. ' 3" , ~ ., 5. ' 6" I 7" , 8" I 9" 1 10. ' l' • I 12", 13" , 1 ~ . , 27 27 27 27 27 27 27 21 28 28 28 28 28 28 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 1 K' 30 7 . ' 30 11 ,,' 30 13 K' JO 0 .233 0 . ~65 0 .582 0 .81 4 0 .931 1 164 1 280 1.513 0.112 0.337 0.561 1.010 1.234 1.459 0.106 0.217 0.325 0.433 0.S<! 2 0.650 0.758 0.667 0.975 1.083 , 192 "" 1 408 1.517 0105 0.733 \ .152 "" P" 0.1161 0.2306 0.4488 0 ,5<195 0 ,7274 0 .8021 0 .9182 0 .9580 0 .9983 0 . , , 20 0.3303 05320 0.&461 0.9<139 0.9931 0.1061 0.2150 0.3193 0.41 99 0.5 156 0.6052 0.6877 0.7622 0.8277 0.8835 0.9290 0.9635 09868 0.9965 01045 0.6891 0.9135 0.978\ ~, 0.9932 0.9730 0 ,8936 0 ,8355 0 .686 2 0 .5972 0 .3961 0 .2866 0.0581 0.9937 0.9<139 0.S.67 05320 0.3303 0.1120 0 ,99<11 0.9766 0 ,9477 0.9076 0.8569 0 .7961 01260 0 . 647 ~ 0 ,5612 0 ,4684 0 .3701 0.2675 0.1618 0 .0$41 0.99<15 01431 0 .• 067 0.2079 "" 0 ,1169 0.2370 0 .5022 0.6577 1.0599 13432 2.3183 33402 17.1693 0.1127 0 ,3499 06283 1.5915 2.8578 8.8152 0.1088 02201 03369 0.4626 0.6017 0.7602 09<173 1.1773 1.4749 1.8862 25096 3.6017 6.0997 1 8 . ~39 01051 0._ 22460 4.7046 Fórmulas Humeros y operaciones ,. a +b =b+o Propiedades 1.1 (ley conmutativa en suma) 2. a+(b+ c ) =(a +b )+c 3. ab - ba (ley asociativa en suma) (ley conmutativa en multiplicación) 4. a(be) =(a.) < (ley asociativa en multiplicación) 5. (a +b)c zoc+be (ley distributiva de la multiplicación con la suma) 6 . ley de los signos en la suma o Si son de signo igual se suman y se considera el mismo signo. o Si son de signo contrario ' se restan" y se pone el signo del mavor. 7. Restar enteros es cambiar el signo del sustraendo y operar como suma. =+ ==HH = + B. ley de los signos en la mUltiplicación (+)(+) (+)(-) (-)( +) Teoremas básicos de aritmética 9. Algoritmo de la división Si a y b son enteros y b .. O, existen dos enteros q y r, únicos, tales que a =bq+r, con Os r <lbl. 10. Fundamental de la aritmética Todo número se puede expresar como el producto de factores primos en forma única . Criterio de igualdad de fracciones " Sean ~ b y ~ d dos fracciones entonces ~ = ~ b el (:) ad "", be 12. Criterio de desigualdad de fracciones Sean ~ b y ~ el dos fracciones entonces ~ < ~ (:) ad < be b d ' 57 158 Relato conciso s.obre malemfltica bflsica Operaciones con numeros racionales (Fracciones, quebrados) 13. Suma y resta Expresar cada termino en denominador común y operar. Ver Pág. 1• . 14. Multiplicación (numerador)( numerador) (denomi nador )( denomi nodor) División 15. ley de la torta t~ , L ad be 16 .Regla de la multiplicación cruzada ~, + . . . ..:,=. . ~ be b / ...... d /'Io Propiedades de los exponente s Propiedades de los ra dicales 17. 0"0" = 0 .. ••. 24. if;;b = o!ó= = ~ib. 25 ~ a! ifQ ', : bf : -;¡; 18. ~=o" 19. -· a' 0° =\. 20. a-O =..J. . . a' 21.la-r : a"" . 26 lfa 27 : a ;: ~ : lfa W : a' :(:Ía)" 22. (ab)" = o·ó". 23 (H : Q' - b' 28. Sistema decimal y binario, conversiones. Consultar de la Pago262. a la 26. 29. Notación cientffica , procedimiento para denotar cualquier número: , · · · Recorre el punto a la derecha del primer dfgito significativo. Corrimiento es los lugares recorridos, derecha (-) , izquierda (+). Establece con el primer dígito. el punto, el resto del numero. Expresa multiplicado por 10 elevado a la potencia del corrimiento. Formulario 159 Álgebra 1. Suma de polinomios Se aoruoan los términos semejantes 2. Resta Cambiar los signos de cada término del sustraendo y luego agrup ar como en la suma. Multiplicación 3. Monomio , monomio 4. Monomio polinomio 5. P olinomio , , polinomio Se multiplican los coeficientes. induso eonsiderarldo los signos. Para cada baslI dll los multiplicandos se suman recomendablll ordenarlos alfabéticamentll. Se multiplica 111 101 eKponentes, es monomio por cada término del polinomio Cad a término del multiplicador término del multiplicando. .. ,,,,,. multiplicar ,",' ~" Suma los térm inos seme·antes. División 6. Monomio + m onomio Sil dividen los coeficientes. Se simplifica por cada literal Si no se elimlrla el divisor se deja indicada la fracción. 7. P olinomio + monomio 0+6 o Se aplica en cada uno el caso de monomio + monomio. 6. Polinomio + polinomiO Consutta el método en la Pág. 37 Si el divisor es de la forma o Factores notable s ( a+b)(a-b) : Productos notables a'_ bl Trinomio cuadrado perfe cto 10. Binomio al cuadrado (a±b)' ",o x ±o , divisi6n sintética P;lg. 38. Diferencia de cuadrados 9. Binom ios conjugados 11 Binomios b , , , Se separa en sum a de cocientes entre monomios. - - '" - + -. : Trinomio térmi no común : (x +o){x+b ) o' ±2ab+b' x' +(o+b)x+ob 1 60 Relato conciso sobre matemtitica bb ica 12. Binomio de Newton Polinomio potencia del binomio (a H )l ,, , ,, , , " al ±3a' b +3ab' ±b' Triángulo de Pascal. Observación: El binomio al cubo está como ejemplo del binomio de Newton. El triángulo de Pascal oos da los 2 coeficientes del polinomio para cualquier potencia 3 3 13. Teorema del residuo 14. Corolario El residuo de dividir cualquier Si para algún valor x = (1 el polinomio de la forma pOlinomio se cero enlonces a.x· + a_, x·-' + ·· +(l,x +(lo entre (x - a) es "O factor del x - a es sustituir a en la variable polinomio. x del polinomio. 15. Fracciones algebraicas Operan de ta misma forma que los numeros racio nales consulta la Pti gs. 46 y 47. Propiedades de la igualdad 16. Si a = h entonces b =(I . 17. Si a : b y b= c entonces a =c . 16. Si a =b para todo valor c se cumple que a +c= h +e y (l x c =bx c . 19. Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Usando las propiedades de la igualdad es posible despejar la incógnita. Consultar de la Ptia. 48 a ta SO. Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales La solución se puede encontrar por cualquiera de los siguientes métodos. Sea (I, x+b,y =c, a2 x +b¡y =c¡ Obteniendo una ecuación de una incógnita: Despejar cualquiera de las variables de cualquier 20.Sustitución .ecuación y sustituir en la otra ecuación. Despejar la misma variable en las dos ecuaciones , 21 . lgualación.igualando éstas. 22 .Suma y resta.- Multiplicar la primer ecuación por a, y la segunda por a, restar las ecuaciones. 23. Fórmulas.- x = ~.y= 24 .Determinantes.- ... a,b¡- a¡b, =1 (1, a,bl- a¡b, b'I .. "I"el a, b, 25. Ecuaciones de segundo grado. Si (U 2 + bx + e "" O entonces , b,1 orla, h,' - a, '" P'"A' ""1 - b±Jb ' - 4ac 20 oy y ="A Formulario 161 ". Geomet ' ,. Propiedades El área de una figura que sea la unión (!s otras dos figuras es la suma de las áreas de estas dos figuras. 2. Figuras equivalentes son las oue tienen la misma área. 3. Área de un A( L) = Ll cuadrado 4. Área del A(b,h) =bh rectángulo Altura y área de triángulos Altura Area h 7. 5 A= ~ 2 8. 11 =a sen C A=:!!!.sen C 2 ~ "L "1--- '- -.---j' h = ~Jp 6 (P b o)(P-b)(P -e ) FORMULA DE HERÓN ., A(o,b,e) = J p(p - o)( p - b)(p -e ) , 9. donde t~noul P" semiperimetro . Relación de los sistemas sexagesimal y circular g grados, sistema sexagesimal. 10 . ...L. =...!:... 36<> 2. '" , radianes, sistema circular. 11 . Teorema 3.1 Ángulos opuestos por el vértice son iguales. ~ 12. Postulado Si dos rectas paralelas cortadas p OI una tercera forma, con cada una , cuatro ángulos correspondientes. Ángulo 1 se corresponde con 5. 6. Ángulo 2 Ángulo 3 • 7. Ángulo 4 • 8. Los ángulos correspondientes son iguales. Ángulos altemos intemos son iguales. 13. Teorema 3.2 Ángulos altemos extemos son iguales. 14. Teorema 3.3 La suma de Jos ángulos interiores de un triángulo es 15. Teorema 3.4 -;!= . ' , •• . l( . 16. Teorema de Pitágoras 3.5 En lodo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es iQual a la suma de los cuadrados de las lonaitudes de los catetos. 162 Relato conci$O $Obre matem"lica b"$ica Trig onome t rt.a ,. ¡J. A • • se nA = ':::=' =! 2. cos A == -:-"'::" =; 3. lan A = 4. cot A = , 5. sec A =~t 6. cs A =~ ,::= == f ':'"..::::: =~ =!' Relaciones básicas de las funciones trigonométricas A sen A 13 tan = -- IO. cot A = -'- '7. sen A . 'K A cos A = -'= A 9. tanA = -'cotA ,. "oA 11 . sec A = - ' cosA 12. csc A=-'U" "''' 14 . cOIA = cos A U" A A Relaciones cuadráticas de las funciones trigonométricas 15. sen' A+cos' A : ¡ 18. U II' A- t-tcos2 A 16. tan ' A + l == scc ' A 19. CO S' A ~t + t CO$2 A 17. cot' A +I ;csc' A ley de los senos ley de los cosenos 21. o': b' +e' _2bccosA 22. b' = a' +e' _ 2ac cosB 23. e' = o'+ b' - 2abcosC 20. _ ' _._'_ ._'_ senA senB sene Suma de ángulos Doble de un angulo 24 . sen(A ± B) == unAcos B ± cos AsenB 27. .sen 2A == 2sen A ros A 25. cos( A ± B) '" cos At osB +.sen A sen B 26. tan ( A ± B) == l'r~ 28. cos 2A == cos' A - sen' A 29. tan 2 t :'á. A= ~ 30. Teorema 4.1 Simplifi caci6n de la forma trigonométrica ooosD+ b sell D == c t os ( D - B) donde c= Ja'+ b' y lanB = !!.. a ~ • . Formulario 163 Geometría analítica Recta Pendiente dados dos puntos 1. 2. Ecuación de la recta dados dos puntos 3. Ecuación de la rec;ta dada la pendiente y un punto Formas de la eeuadón de la recta 4 5. Pendiente - ordenada al origen General A-r+By+C", O 7. Ángulo en/re dos recIas tan C", tan(B - A) Si UnB - tanA l+taIlBtaIlA · m, '" tan B "',:: taIlA enlonces taIl C = mI-m, y C=arc tan mI- m, l +nl1 n1, l +nI, m, 8. Rectas paralelas C '" O(:) 10.Pendienteor/ogonal mI 6. Simétr;c;a ! +f=1 y = m-r+b ni, ~ ~" -A / = m, "'-* Circunfe rencia ,. FOfma cuadrática 2. Centro en -r' + i+Cx+ Dy+E = O (h,.t) Rectas tangentes a la circunferencia 3. Método para encontrar la recta tangente dado un punto de la circunferenci a a. Verificamos si el punto est;!o en la drcunferellcia b Tomamos la pendiente de la recta normal. Usando la pend iente dados dos pun tos. c. Generamos la ecuación de la recta tang ente con la pendiente ortogonal y el punto de tangencia . 164 .,. Relato conciso sobre matemática b¡isica • , '" circunferencia con Método para determinar la recta tangente pendiente especifica. por determinar. Cons idera la recta de pendiente m conocida 00" • y = mx +b . Encuentra la intersección sust iluyendo el valor y. de la recta , en la circunferenCIa. Resuelve la ecuación en .1 con la f6rmula general de segundo gr¡do. d. la intersección es única, cuandO el discriminante es cero Resuelve la ecuación en b . f. Escribe las ecuaciones de las recIas t¡ngenles Método para determinar la recta tangente a la circunferencia que pasa por un punto exterior. Considera la recta que pasa por el punto (XI'Y' ) conocido y pendiente ni por determinar. b. Encuentra la intersecci6n de la recta con la ci rcunferencia Determina el discriminante e iguala éste a cero donde la soluci6n es única. d. Resuelve la ecuación en ni . Establece las ecuaciones de las rectas lan entes . b. , •. 5. • , Parábola •. Forma cu adrática Vértice '" p .(Ji.k) y Vertical x l+Cx +Dy+E = O ,. Horizontal 2. y l+Cx + Dy +E = O 3. (x-h)' =4p(y -k) 4 . (y _ k) l : 4p(x - h) número focal Elipse """'-::!.---'c I a' =,' +c' simetrla '" (iI,k) semle 'es honzonl..1 Q y vertical Hipérbola d. simelrla (h,' ) Asíntotas Interseeel6n n intotasen y b. 2. (x -h )' +(y- tY ,,1 a' b' ~ " (h,k ) Horizonl..1 a ,-:;/ ¿. >b ud Vertical ~ e 2 =13 2 +b 2 Vertical Horizontal Ax' +8yl+C.t + Dy + E =O; A8 <0 ,. Forma cuadrática Centro ./ 1. A;tl+ Byl +CX+Dy+E =O; A8 >0 Forma cu .. drálica Centro do "- 1b '- ., '" 2. (X _ h)1 (y_k )l ---;¡- - -,-,- 4 . y-k = ±!(x - h) a =I 3. ~_ al (y _ k) l ",_ 1 b' FormLllario 165 Induc ción matemática 1. Dada L1na propiedad p(/I) SesLlponeqLle donde /lE N. P(!) . es decir la propiedad vale para /1 '" 1 . Si se verifoca para P(n) Entonces la propiedad es válida y se demLleslra la validez de P( /1) P(n+I) . es válida para todos los números natLlrales. FraCCiones arciales 1. Q(x ) ", p (.1)+.:.12 . GradoQ(x) 2:GradoP(x) : p..; (x) P(,j p(,j' ' llam ado la parte entera; Grado r(x) <Grado P(x} : ,(x) P(,j es un polinomio es la fracción algebra;ca propi a. 2. Todo polinomio se puede descomponer en una constante por factores lineales y cuadráticos . P( x) '" a _ ( x - 'i 3. r -.. -(x - '1f' - (x +b,x + c, )"" • .. - (x +b.x + c.)"" La fracción que contenga un divisor qLle sea el prodLlcto de lineales con ralees diferentes. Las fracciones se proponen como L1na constante diferente pala cada fracción A, +~ +~ x - r, x - r¡ x - rJ r(x) (x - r,) . (x -r2 )- (x - r) 4. La fracci6f¡ qLle en el polinomio dillilor se pueda !aClorizar con produClo de lineales originado por ralees iguales, es decir, plesenta potencia de grado mayor o igLlal a 2 se propone una constante entre el factor lineal para cada grado r(x) ... (x- rS ·· 5. .. . +~ .. x - r, (x -rS (x - r,)' Por cada fracción en el polinomio divisor que sea cuadrática irreducible se debe proponer en el numerador L1na expresión lineal .. + Xl A.x+B. + .. . +b.x +c. Igualmente. se operan las fracciones parciales y se igualan los numeradores para obtener un sistem a en las A . Donde las constantes A" A., D, según cada caso son las incógnitas por determínar. En los tres casos, Se operan las fracciones parciales y se igualan los numeradores para obtener un sistema de ecuaciones lineales en las A y/o B . los métodos se sorución. para efectos de este texto, son tos presentados en el Ca Ituto 2 . ÁLGEBRA Sls/emas de ecuaciones lineales pa . 56. 166 Relato conciso sobre matemática bbica Derivadas" 1. ~ /(,) = h~O 3. ~ ( U+V ) = ~U+ 5. !.u· dI di / (,+,,)-/(,) Jim dI h V = U~ dI di V+ di !.U V 4. :!.... cU ==c !!...U di dr 6. di d U V ~ U -U:!. di di V v' 7. Derivada de la composición (regla de la caden a) "-/(U(.)) =-"-/(U)"-U(.) "" <iI.=<iI.'!!. d, 8. ~U di dU n = I/ Un~ 10. !!... In U: d, I !"'U di dx dx di 9 . !!...e u : eU!!.... U dr di ~ U di 11.!!...senU :cosU!!....U di !Ji--. dI U 12.!!... cosU : -smU!!.....U di di 14. !:!...sec U =secU tan U!!....U di di !!....senhU == coshU!!....U !!...cosh U=senh U!!...U di 15. t/I 16. d I di 17. Derivada de una función impllcita Si F(x,y) : c::::. iJF +iJ iJx F~ ay dx = O o.2=_f dx f .. Aunqlle el presente lulo /lO abarca el C41lculo diferencial se incluye por su utilidad en los cursos b~sico a nivellicencialura. Formulario 167 Integrales8f Teorema fundamentat del Cálculo . 1. SI F(x) : ! / (t) dt ~F(, entonces dx de manera equivalente ) = / ( ,) se puede establecer Cambio de variable 4. l/iY (1));;; dI = t:;/iY)dy 5. f/(U(,))5;U(,)d, = f /(u)du Integrales básicas 6. fadU : a U+C 7. f V(U) ±g(U))du = f/(u)du± f g(u)du 8. f UdV = u v - fv dU .. El presente texto no abr~ el ~lcuo cursos b4sicos a nivel licencialura . InteoraciOn oor oartes inlegral se incluye en este formu lario por Sil ulilidad en los 168 Relato conciso sobre malemtllica bhiea Integrales de funciones especificas 9. 11 . 13. 15. U/I+ l f U/l dU : - - +C 11 + 1 f e UdU " .. -1 +C : f U fd ~ 10. 12. f'n U dU :U 'n U-U+C f senUdU :- cosU+C fc osUdU:sen U+C 14 . ftan U dU : In(sec U) +C f cot U dU '" In(senU)+C 16. 2 17 . 19. 22. 23. f sec UdU : tan U + C f ~:.! U 2 +0 2 ar cta n Y.-+c (J 26. 27. 20. f cos 2/1 U dU = a 2 ar cse l1 ~+C 2 (J 211 I + UdU: f (l - sen2u r cOSU dU 24. f sen 2/1UdU= 25. f sec U tan U dU = sec U +C 18. F02 _U 2 dU == Y.- ·J0 2 _U 2 + ~ fC05 '" f U- ldU : ln U+C K~-COS2Ur f sen ZII +1U dU : dU f~ r _ cos 2 U senU dU f-Ff!!= ,. In IU + .JI:U21 + C = arcsl.'lI h U + e vu 2 f--J~= Ul +1 +1 I JU+ '1 28. fellUsen bU dU 29. fellU cosbU dU ~ Ul- l +C I : arc oshU+C e"U (o sen bU -bcosbU) 02 +b2 ea U (acosbU +b senbU ) 30. f sellhUdU = cosh U +C 31 . f cosh U dU : senh U+ C a2 +62 R'2 2C05 +1 2U r dU Formulario 16 9 32. Integración por fracciones parciales JF(x)fi : JQ{(x) p x d'(~ J pdx) + fr~ p \xx )dx donde Q(x) es Un polinom io de grado mayor o igual que P(lI.) y r(x) es un polinomio de grado eSlrictameote menor que p(1I.). r(x) , e (x_a)m - ( ) se puede descomponer en I.ma suma de fraCClOf1es : de la forma _ __ PX donde e es constanle . 8 es una ralz del pOlinomio P(x) y m es enlero menor o igual a ~ +b la multiplicidad de la raiz en el pOlinomio: y de la forma { -- -,, - donde a. b. e 1¡X2 + c.T+ d} y cJ SOn COflstanles tal que 4d _ c 2 > O. y n es enlero. ' - dx f-- (x _a)m f Cll+b se puede resolve. mediante las fórmulas 9 010. (Xl +cx+dr dx "'.!. af 2 I 2x+c dx (Xl +cx+d)" I 'l'"'4d-"j· +,(2b-,") [( x+ - 2 + -- 4 la primera de éstas se calcula medianle la fórmula 9 para n ,. 10 medianle la fOrmula 10 cuando n = 1 ~:"' (: ~ :;j F?J:': : :': :,: : .::,.',:',::.':.::::.': 0"[ . Series de T!l!or 33.Si ¡(x) es n+1 derivable entonces ¡(x) o p. (x)+ R. (x) R. (x) 34.Si (x - x o r ·1 donde x. s: Z:!Ó x 6 x :!ó Z:!Ó x•. :~ ¡(x) es infinitamente derivable entonces - j"(, ) ¡(x) o l: .... : k. (x - ") , 170 Relato conciso sobre matemática básica Bibliografía * Arcos Quezada, J. Ismael: Geomelrfa Analitica para Estudiantes de Ingenierfa , Fundación ICA y Universidad Autónoma del Estado de México, 2002 . .. Baldar, Geometrla Plana y del Espacio y Trigonomelrfa , Grupo Patria Cultural, 2005 . .. Baldar, A.: Álgebra , Grupo Patria Cultural, 2005 . .. Cárdenas, Humberto; Uuis, Emilo; Raggi, Francisco; Tomás, Francisco: Álgebra Superior, Trillas, 2004 . * * * * * * * * * Collette, Jean-Paul; Historia de las Matemáticas 1, Siglo XXI, 1986. Eves , Howard; An Introduction to the History of Mathematics; Hall, Rinehart and Winston ; 1969. Fuller, Gordon y Tarwater, Oallon; Geometrfa Analltica, Addison Wesley Iberoamericana , 1988. 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Vorob'ev, N, N,; Flbonacci Numers; 81aisdell Publishing Company, Popular leclures in malhematics series; 1951 . Respuestas a los Ejercicios y problemas CAPITULO 1 HÚMEROS Y OPERA CIONES 23.- Pág. 11 Numeros naturales y enteros 1.- a) b) 7+ 12 .. 19 12+7 = 19 17 +3 _ 20 3+ 17 = 20 el 5 (4) = 20 4(') = 20 ' ) 3 (13) =39 13(3)=39 3.-a) (5 +3)2 : (8)2 : 16 = 10 + 6 = (')2+ (3)2 b) (7+6)3 : (13)3 : 39 : 21+18 = (7)3 +(6)3 eI 7 (8+3P = 7(11 ) : 77 : 56+21 = 7(')+ 7(3) d) 8 (2 + 5) .. 8(7) ;=56 = 16 + 40 •• (2) +'(') 5.- -5 7.- 8 9.- 2 11 .- -63 13.--100 15.--504 17.- 36 19.- -120 21.- 25.- 35 = 4(8) + 3 27 - -5h5 (- 12) + 6 29.- 1, 3. 7y21 31 - 1, 2, 4 , 10. 20. 25 . SO. 100 33.- SI 35.- SI 37.- SI 39.- SI 41._ SI .us ultimas dos cifras sean divl.ibles entre 4 . 43.- Si I US tres ultimas cilJa. es divisible Intrl8. 45.- SI es divisible entre 4 '1 entre 3 . ," 49.5 1.53.55.57.- Hasla el 13 18 180 10 5 194 Pág. 19 Numeros racion ales 1.. .4 171 172 Relato conciso sobre matemática básica J- 15.- if7í 19.- ifi 21 .- fi' 17- * 5.- Si son Iguales , 7 - SI son igu ales 9- • l 29.- 9 < 13 - .w<it~ lli ,o. -~ 19.- ,. 21 _ "10 f W 23- 25- -,1 27.- 29.- 4.375 31- 356 ll- 1 ]S- ~ Pág _ 25 Numeros irracionilles 1- -'z¡ 3- 16x' X":· S.- -,- Y 1- 64 9 9 _ x' 11 _ V9000 < 10 7J3 33.- 6J3 35.- ¡ JiO 31 .- 15._ 7t<'W<ffi17.- 25.- 7 27.- 7 <-160< 8 U 11 - 23 - 8 i' 13.- ] i 4 t 37.- S,Jx 39.- f =ifi Pág. 30 Sl$lemils numeraciOn notaciones 1 1- Sx l0 +]x lO + 4 x] Oo 3.- - l x lO+8 x IOo+ 2xIO-1 + 4 x l0-: 5.- 707.405 7.- 30053.2 9 .- Se fund amenta en siete unidades: long~ud melro Masa kilogramo Tiempo segundo Corriente eléctrica ampere Temperalura ketvin Cant idad de materia mol Intensidad luminosa candela tl .- rad ián por segundo. radls 13.- 13 15 - 227.75 d. Respuel'-s 173 19 Pig. 38 MulljpliQcjón y produdos not¡¡bles 9 1 4 1 2 O 17.- Ejemplo 1 O 1._ -2a ' bc 3 _ - f a'''b··' 5.- 4a' - 20a' + 32a z 19 . 2(9) + l . 2(2(4)+ 1) + 1 '2(2 (2(2)} +1) +1 7._ 20""b' - 2a'b'" = 2'+2'+2° 9.- 20'+ ob_b' 19.-1010101 21 .- 101101 1 1001 11.. 'x' +2ox'+ 6ax' +Jf a' x'- 2a' 23.- 1 (XlIO .OO l 13.- 25.- I 100. lO! 15.• a'-2$ 9x' +48x+64 27.- 1.2397Sx 10' 17 _ k 29.- 5.8458:010" g 31 .- -0.062 34 33.- 0.000 003 948 67 35.- 9.096SxIO J 37.- -2.0617w. IO ' a1x' -f:b ' 19.' C:::=:¡.c=::J.o >-b-< ~. f----II--+--b--l '. .r_o1:(II+b)(8-b) 39.- 1.1061)( 10' 21 .- 49x'- 84x +36 CAPITULO 2 ÁLGEBRA 23.- 2$o'x ' - 30a' bx +9b' Pig. 33 Suma y rella de polinomio, 1.- 2x'+ 6x+9 3.- 1m' -tm"'-t,,'-t m',, 5.- a) 13x b) 65 7.- 2x ' +2x - 1 9 .- {- o' +2b' +-M-o'b-lfa'b' +ab' 11.- x' +4x +$ 13.- 3x'- $x +4 25.- a' x'- 81 27 .• x' +1 X -* 29 .• 1615201561 31 .• 32x' - 40x' + 20x' -5x' +tx--h Pig. 48 DIvi.ión y factores de un polinomio 1.- (4ab ' )(3ab) ::: 12a'b' 40b' 3 •• 30.1" 1 + 2.1')' (Jax l +2.1J'XSax' y') = ISa 1x ' y' +IOax'y' 15.- x'+ 2x - 1 17.- $x'- 12x+ 9 19.- $x ' - 6x-1 5.' 4 . l '- 8x + 16- ~ (4x ' - 8x+ 16)2x+4) - 64 = 8x J 1.• x+ 10 (x + IOXx+J) = x z +7 x -30 172 Relato coneil5O lobre matematiea ba~ 3.- '5 _ ifiZ '7 - 7; '9 .- !fi 5.- sr son igualel. 7.- SI $Of1 iguale • . 9.- , 9 a 11 .- ) 13.15.17.- *<it~ H<W<-m ill L" 19.- -f¡ 21 .- "10 li 23.- • "'-, 25.- " 27.- ) 29.- ' .375 31. 3.56 li 33 - I 35 . -~ PILg. 25 Numero, IrracionalU .L 1.- 11 3.- 16x' XU z ' 5._7 7.- 64 9 9._ 7 . 11 ,_ i í I i 13.- J 4 21 .- tR 23·8 25 - 7 27.- 7<,/60< 8 29.- 9 < V9000 < \O 31 .- 7.Jj 33.- 6.J3 35.- ¡ JiO 37.- s.¡; 39.- ( :: ifi Píg. 30 Sistem as numeraci6n I 1.- S.tlO + h notacionu I0+4 :o: IOo 3 - - 1:0: 10 + 8:0: 10° +2 :0: 10-'+ 4 )( \0- 1 5.- 707.'05 7,- 30053.2 9.- Se fundamenta en siete unidade.: Long~ ud metro Masa kilogramo Tiempo segundo Corriente electrica ampere Temperatura kelvin Cantid ad de materia mol Inten.idad luminosa candela 11.- radiJIn por segundo, radl. 13.- 13 15 - 227.75 de RespueI.lIt 173 19 9 4 2 1 1 O 1 O 17.- Ejemplo 19 .2 (9) + 1. 2(2(4)+ 1) + 1 • 2(2(2(2)) + 1) + 1 =2'.2' +2° 19.- '01 0101 21 .- 10110111001 23.- 1 0010.001 Pig. 3I Mufflplieacióro ~ produclO$ notables l. -Za'lK; 3. -'a'''b··' 5.- 40' -200' +320' 7. Zo"" b'- Zo'b'" 9.- la' + ab - b' 11.. t I' +2ux' + 6Cl"" +1f a' x' -20' 13.- 9,r'+48x+ 64 25.- 1 100. 101 15.• 0'-25 27.• 1.2397S x IO' 17.- 29.- S.84ShlO" 31 ._ -0.06234 33.- 0.000 003 9<48 67 35.- 9.0965 x 1O' 37._ -2.0611x 10' ka'x1-f!b1 CJlg: 19.- 1---8---1 s2.!I",(9.b)(8-b) 39.·1.I061xIO' 2' . 49x'- 84x+36 CAPiTulO 2 ÁLG EBRA 23 .- 2So'x'- 30a' bx +9b' Pág. 33 Suma 'f resta de polinomios 1.- 2x'+ 6x+9 ,Job 25.- a l...' -81 27.- x1+f.r -* 29 .. 1615201561 5.- al 13.1: b) 65 31 .- 32x' - 40x' +20x' -Sx' +~x -i 1.- 2x'+2.1" - 1 Pág. 46 Divilión y factores de un polinomio 9.- ¡ a' +2b' +*a'b- .lfa1bl +ab' 1.- 4ab 11 .- Xl +4.1"+5 13.- )x1- S..t + 4 l (4ab' )(3ab) = 12o' b' J .- ](1.1"' + 2xy (] (J."C I + 2xyXS(J."Cl y ' )= ISa !x' y' + IO(J."C'Y· 1 15.- x +2x _ ! 17.- 5x' - 12.1"+9 l 19.- 5x - 6x -1 5.- 4.1" ' - 8x+ 16 - 6 (4x l - 8x + 16X2x + 4) - 64 : 8x' 7._ x+ 10 (x+ 10(x +3 ) = X l + 7.1" - 30 174 Relato conciso sobre matem.litica b.lIsica 9.- Pág. 50 Fracdones algebraicas tx 11 .- '< ~ mn 1._ - l a+b 13.- x+2 1 15.- 5x' - 5x +9x - 24++!t 17.- 3x(x +2) 19.21 .- 23.25.- 7.(3x 1 +5x-l ) 29.- =" 3x + 12 . fracci6n ,'-1 4xyl +0 5.- Entefl 7._ 7Y 2ax(Xl +4) 50 I x( _29xl + 130b1 x+ Ilb' ) Pág. 52 Ecuaciooes de primer grado con una incógnita ( 7x'Y':' )' 1.- 1 27.- 3.· 0 - b ( 16a bc' )' - (2t-3x)(2z+3x ) 31 .- (l -t){ l+t) 33.- (0 +5 )1 )' ( 20· -l.b' 35.1 37.' 39.41 .- (L+L)' 1 , x=l 3.' x ::: 5 S.- x = 40 7.- 105m 9.- 84 allo, Pág_ 55 Ecuacione, lineales 1._ 5.- ,-- ( 2x +3+50 +5b)1 (x - 4)(x - 7) 43 .- (x+II)(x - 8) 45.- (z+7)( :+3 ) <1_ (m -3){m - 10) 49.- -122 51 - 86 53.- Si es ex~a . 55.- No el eucta. 57 .- (x+5)(x - I)(x +l) y:-Jf 3.- y=3x- 1 0.- y ", 4x +3 ,. 11.- P¡g .60 S,.lemas de etuadooeslineale. 13.- x = 10 y =5 J.' 15.- y = - l x _2 I x = -4 Y" 5.· 7.' x = -4 y =5 K = { " F + 459.67)/ 1.8 17." "F : 1.8K - 459 .67 9.' x =- l y .2 n · 13.- x =-2 y ::- l 15.- x =-2 y =2 176 Relato conciso sobre matemática básica 11.- CAPiTULO 3 GEOMETRIA Pi g. 69 Áreas 1,- 162.82ri 19.' 3.- 123 .5u x=5 y=-3 21 .- 7.' x =- 3 Y=- f 73 .634u¡ 9., 2753.911 23.- 1 Pág. 75 Ángulos x =2 1.- 62' 29'50" y=2 25.- Edad de Maria 6 Edad de luis 16 27.- Un numero es 70 y et olro 30 Pig. 64 Ecuaciones de segundo grado con una incógnila 1.- 1 5.- Ambos tienen la misma base y la misma altura. por tanto tifln en la misma área. es decir. son equivalentes. x, =- 12, x¡ = 5 3.- 161'3J"l r' 5.- 66.101' 7.- -27.49" 9.' 46' 25"40" 11 .- 31.49' 3._X, =t, x¡= 5 13.- 175'55'40" S.- No liene soluci6n real. 15.- -5-15'49" 7. _ x, = 0, Xl =-.lf 41 9.- x :- 19.- 5 11.- a.' x b.- l 11,- 2.3583 #Jr 21 .- 1.1967 _x = 870 x=J(.IJ)' +q+ f c.- x = 30 Pi". 66 Aplicación de ecuaciones para obtener factores de un polinomio ",7 .5(x+4)(x - 8) 23,- rr Jr 25.- 2.274 S 27.- -0 ,735 29 .- lOS 31.- 40.753 " 33.- 15-4S' 3.- Hx -t)(x - 5) 35.' -43'12'50.4" S.-No tiene factores más simptes. 37 .- r = O 7 _ (.u 2.4Xx-5Xx - 6.5Xx - 9) 9 .- (x - 2Xx + 2Xx+II) 39.- r = ¡1I' 41 ," 43.- =1" , =fi ll' Respuestas 177 51.- -68' 45" \8" 87.- Porque la distancia de Siena a Alejandrla es el arco correspondiente al :lingu lo del centro de la tierra. Entonces hay prc:::=-rcionalidad entre ángu los y ¡IICOS. Esto es. la distal\Cia de Siena a Alejandría es al :lingulo A" como la long itud de un meridiano e$ al circulo comp leto. 53.- 45' 89.- 4xlO' m 55,.128' 34' 12" 91 .- errorde 1.444 6 % 57.- 1.1592 Pago 80 Teorema de Pitágoras 1._ c = 5cIII -45 .- r = 0.44084 47.- r = 0.79412 49.- 114' 35' 24" 59.- 1r 61 .- 31' 2]' 12" 63.- ¡ 1r 65.- 65 ' 24']6" 67.69.- 7i'r 3 _ a = 197.48 km 5.- D = 12 .207 u 7.' D = 19.0]/1 9.- A ", 10.392 u 1 a.- A, '" 104 .83 m 11 .- tI.- L I = 2.185 ] L2 = 0.95629 L ] = 0.95629 L 4 = 2.185] D ", 21. 842 m C.- A, '" 74.629 m: L 5 =2 .185] L 6 = 0.95629 L7 = 0.95629 L 8 = 2.18S3 d.- A, = 179.46m Pago 86 Fu:lCione s trigonométricas y su evaluación 7.2' 85.- Porque el :lingulo en un mismo merid iano coincide con el arco, es decir. se est:li en un circulo máximo de la esfera . = senA = 0.25866 sen B 0.965 93 cos A = 0.9659] cosB = 0.25 866 lan A = 0.267 78 tan8 = 3.7344 cotB = 0.26778 co tA = 3.7344 5« 8 = 3.8661 sec A ", \.0353 csc B ==1.0353 csc A : ].8661 A '" 2.6566 T 12' 1 CAPITULO 4 TRIGONOMETRIA ,.- B = 1.0858 75.- Es una medida de distancia de la antigOedad. 77.- Son los generados al cortar un plano a una esfera por el centro. 79.- Parte de que la Tierra es una esfera perteda. 81.- Son Iguales. son alternos internos. 83.- 1 3.- 5.- _Ji 1 .Ji 7.- -{l.86603 9.- -ú.S 11 .- 1 13.- - 0.7071 1 15.. 1.4142 11.- O 178 Rel¡¡to conciso $OI)(e matemática basa 25.- 19.- 0.99588 B :: 1.2808 0 = 15.441 6=51.745 21 .- 0.089879 23.- 0.84198 21.- A 25.' 0.30239 =2.1632 27.- 0.365 B = 0.64016 29.- 0.3429 C = 0.33826 31 .- 0.9636 A+B+C=3.14062 29.- e .. 11 .934 33.- 2. 1759 A = 1.5782 35.- 2.7397 B 37.- 1.0645 39.- 0.1 "1 .- 0.38 31 .- A : 0.82159 PiIIg. 92 Identidades trigonom6tricas con funciones t ._I+tanlA = seclA J .- J,::, .. secA =.JI+tan l A ~: _.! , .. SCA=~ b '" 20.187 e'" 16.298 33.- A, '" 74.666 35.- A, '" 53 .703 37.- A, ", 120.46 senA : cosA cot A =iiib ~ 5.- cA PiTULO 5 GEOMETRIA AHAÜnCA P' g. 101 Recta • 1 _ 2-..jj , 9.- t 1 ._ m=t 3.- m"'t 5.- 11 .- - 1 IJ- y=- g .x+-f, 19x+29y-3=0 ¡.f2(1 +2.fi) 15.- -F2(2+.fi) _"!.+L.:: I ~ -J¡ 7.- ,,_ ¡.f2(1 -2.fi) y"'24x-IO 24x- y-10",0 (l-.li)Ji 19.21 .- =0 .64348 A+B +C '" 3. 14168 ...:!...+L",¡ .n. .n. '02 , .. ~ 9._ tanx sen2x = 2:~en.xcos z 23.- 0.9982 2sen-x y.::t x + 14 11 .- y: 8.5x -5 1.49 13.- y.::-!.x-t RelptJestas 179 15.- y z -tx+f 17.. (- 2.0) ;(0. 6) 19.' ( .... 0) ;(0.2) 21 .- <49 .- m¡ 51- mI 53._ y =-t :-t =- t x + 11 Pi g. 111 Circunferencia 1.- d '" 6.3 ~ 3.- d :: 29.4 .J ~ 23.- 5 _ ( X+ 4)1 +(Y - 2)¡ '" 144 7._ X¡+yl= 16 9· 11 .25.- 21.- y", - I (x+ 11)1 +(y +3 )1 '" 4 29.- y",2 13.- 31 .- x =lff 15.- X 33.- x = 1 17.- (x+ S)1+(y - 4y =9 <41 .- Son pllflllelas <43 ._ y -45.- =! X-1f y = x+4 <47.- No son perpendiculares +y' + 2x _ 14y +49 =0 y = 12.9 35 .- y "' -tx+7 31.- Son igUllleS 39.- Son Iguales 1 19.- y = 7.1 x",, 0.81 =- 0.87 x ", 0.73 23.- x =- 2.73 21.- x 25.- y= -tx+Jf 180 Relato conciso sobre matemática básica y=-x+5,07 y=-x- 9.07 27.- 15.' y=* (-3,' ) F " (-3,2.' ) y =01 29 ,- y" P =-2.S ;e -~ 31.- directriz y '" 7.S x=3.5 abre hacia abajo y=3 los extremos del (- ., 2.5\ (2,2.') Pág, 120 Parábola lado recto son: recio son: recto son: L. (7,6) 3.- (f.- .-M) 5._ ;e ' =-27 y 7,_ ;e ' =y 9.- 17 ,- Y = =-4;e (y _ S)l =-4(;e - I) y' tl ._ \3.' y " (0,0) F" (-7,O ) p =-7 (0,0) direclfi:t y "" 7 , F " (5,0) abre hacia la izquierda, p =5 los extremos (-7, 14\ (7,14) directriz ;e = -5 del lado abre hacia la derecha los extremos del lado recto son ' (-5,-10\ (',lO) ~ r-¡~' 19.' y " (- 5, ') F" (- ' ,.) p ",,-3 directriz x:: -2, abre hacia la i:tquierda, los extremos del (- ' ,2\ (- ' ,14) lado RespueSliIS 181 21 .- V"" (- 2.3) F . (- 4,3) p =-2 directriz (> -3)' + (y-2)' . 1 5.- x = O. 24 49 abre hacia la izquierda. los extremos del (- 4,- 1)(- 4,7) lado recto son: ::+L= I 7.- 16 23 ,- x =~ 25.- x=40 21,- La ewaclOO F, yl+Cx+ Dy+E ; O puede llevarse a la elCpres ión ¡Error! No se pueden crea r objetos modificando códigos de campo . la cual es una parábola horizontal Pig. 128 Elipse ~+L 1.- 100 4 9" V, • 64 = I (0,3) V, • ' (0,,10) (u) · (0,0) Vertical (0,-3 ) F, • (0,-.J5) 182 Relillo eotICÍso sobre matemátÍCil basica 11 ._ V, = (6,S} VI = (- 12,S) 21 .- x - 0.247Sy + ~", 14.S73 14.512 I Cadil unidad es tOO 000 km F, ' (2.66.') F, . (-8 .66,,) (h.k) . (-3,') Horizontal . . ·.· " .. .. .. ·l ·" 13.- x '" 9.7 1 Apogeo 11 cuando la luna está a la mjll;ma distancia de la Tierra . es decir, a 406,490 km. Pig. 13S Hiperbola .!.._L= l 16 20 1.- ~_L= 3.- 56.25 x : - 1.11 =.JIO 1S.- x 5_ x ",-JIO 17.- Es real Centro x ::: 3 Ejes y=-7 '¡-2'-7' ) =- -1.-7) v,V = 8. 7) l F, Fl = 7,-7) 19.- es una elipu Imaginaria. (X- 4)1 _ (y +4Y 36 =1 4 (x+ I)1 _ (y _ 6)1 = 1 7.- (h,k) : p .-7) I 24 .75 9 4 9." V6rtlces V, ::: (- 2,0): V, = (2,0) F=. F, • (-,(¡J,O) Centro (h,.t}=(O,O) Direcc;i6n horilontal A. rnlota. F, ' (,(¡J,O) RespueSlils 183 1+3 + "+ (2. - I) "t1 HipótesiS: Tesi, 1+ 3+ Demoslr3CÍÓn "' +( 2 ( k+1 ) _1 ) . ( ~+1 )' 1+ 3+ "+(2(k+l) 1) = 1+3+ ·· + ( 2k - I) + (2k+ 1) = ,tl + (2k+ 1) Por hipótesis. t ~:m = (k+ 1 11 .- Vértices V, = (O , -O,45~ Focos F, = (O ,Centro Vz '" (0,4,4S) 3,1~ 3.- F1 = (0,7.1) .a y Queda r " .s: (II + 3)! Verificamos le cumple para un primer valor n = I (h,k) = (8,2) OlrecciOn vertical A.lntotas Supongamos y ", I.8x - 12.6 y = -1.8 + 16.6 demoslremos para 11 Hipótesis: valido para =k + 1 210' .s: (t +3) ! Tes is: Demostración 2· .... =210' (2) Por hipótesis. .s: (k + 3)!( 2) 13._ x 2.s: 4 y además se k:2:0 . = 14.2 le suma x = --6.2 15.- x, = (k+4)! =2.53 Se faetoriza el trinomio cuadrado perfecto en el binomio al cuadrado y _ _ _ _ _ queda demostrado. x 2 "' -12.53 = (k+ 4)! ANEXOS Pág . 139 A1 . PRINC IPIO DE INDU CC iÓN MATEMÁTICA 1.- 1+3+ "+(2n _ I} = nl Verificamos se cumple para un primer valor n = 1 2(1) - 1. 1 (1)' . 1 Supongamos Por definici6n de faclorial. queda finalmente demostrado. 5.- 3esfadoroe n'- 1I +3 Verificamos se cump le para un pnmer vator 11 = 1 ¡J _ 1+3 =3 El3 esfador de 3. Supongamos valido para n = k . es decir. válido demostramos para para n = k +1 n=k y demostremos para 11 = k + 1 Hipótes is: Existe q enlero .e- k + 3= 3q 1:;11 que 184 Relato conciso sobre matemática básica Al dividir entre 3 obtenemos un entero Demoslración , " , , , Tesis: (h,r1 o.,,,¡ ~7r°nt:¡ - "''''''1'1-1-1*1 : ~ : _-": ~+ q~ +~ ._ ' :+~. ~ 3 :~ entero. Se demuestra que ~a es !~so:a ~ __ entero. -- + 7.- ,1'+3 Xl g ,1' - 3 11 .- ,1'+2 ,1'+5 s,1'_ 12+ _ 9 _ _ ~ 3esfactorde 1+2+2'+···+ 2' ",2"'-1 x-S -,1'+3 Hipótesi 1+ 2 + .. + 2' = 2"'-1 Tesis' 1+2+ .. +2'" =2'·l_1 'ru<IO.u_o:SoIn ........... I,DC . . Inl.o~ 2'-1:1 válido para n=k demostremos para n '" Ir + 1 •• Demostración 1+2+ ··+2'+2'" =2"'-1+2' ·' ,'('''' )- ' = 2"1_1 = 2(0.'1"- 1 ___--=-_ _ ~ __ Demostrado ]x + 9 _ - -' '- + -'-''2(,1'-3) 2(,1'-5) ,1' + 6 -~'_ 7 ,1' -t ,1' +! , , ,1'-4 ,1'-3 - - - - - +- - 5- ,1'+8 '- Eo ........ .-...-... ........., _ _ . . . . , • ..., . . . . . . ",Io~ _EII ......... &A/IC "'P>c<f _.--! --- -- . -,<-< r_. '1 <, _.' . ,'_:0; _ B _ I o _ M ; .. _ .'.. ... ~;'.¡ Por hipótesis Pág. 1.8 A2 . APLICACiÓN DE LAS ECUACIONES PARA DESCOMPONER FRACCIONES ALGEBRAICAS EN FRACCIONES PARCIALES. 3· L· ~_ " .. 9>II.1o"""" _ _ do...,., ....... " ... _ ' __ ....... '-.~ Supongamos -2 Xl Pág. 152 A3 . Fórmula de Harón ---_ - ¿ h Verificamos se cumple para un primer valor, en este caso , n = O 1. ,1'+1 12,1' -5 ,1'2-7,1'+11 13.- 7.- +7x+IS - - - - - + -- '-;' " +-)',(,,.;') <'." -• •;' ••'-;' "'c'-,'0'-".'' -...'--__ 3.- h =17.5 5.- 9.24 7.- 6406 9.- 92 .73 11 .-73.47 .... ' ,--'--1' .....,.y ... .. ",,1I0 . _ ~ ... ... eon_"6/lCO._ ... ........ R ...... . . . . . . - . . . _ ..- ~ ~" . _- índice A D A.IfjaBdoi.-I.IO,JO, 53. 68, 74. 77,177 Al,ttn') I -66 A.llorilmO de E..clida · lO, 11 A1lorilmO de l. división · 5. 157 lkseancs, Re"" 93 Df1..-minames · 59 Dlr~nci AmlWllos - 64 de cuadrados )S . 42 Discriminan!e ' 64 Ánplos ' 69 mft . Oiotanto · 52, 53, 60 Oi~sjbld4 ' 7 Dlvi.ión l intético 40 dos fU\aS ' 100 ApoJorIio de p..... 113 ÁJ_ '67 E Arqulmedt;s·9,21 , 139. loIO Aslntotas , 133 EculCión 5() Cir<:Ul'~ B 106 I" diof...li... - S) Elipse ' 123 HiptrboJ • . 134 B&bíloDios 27,30. 35. 65.7(1, 81. 112 B..:bct de Mezirioc . 61 Di_íos · JI al 36 c:oniflmiDocomw. 36 o:onjuCIdos . 35 lu.ctl · 53 PariboIa ' 116 PriIlW" "..so . SO Recudidos dos punlOll ' 9S "",,10 y pendiente 97 euaonoo . deNewcon · 31 e CalCIO 11 ~, .... <Io &fado . 61 Eli"", · 122 En1\óstet1C:'1 -8, 74, 75 Espejo p<cciosodt los cul lroel.menw. 31 E..dides · lO, LL, 13. 90 E~pon.tcs EnlOlOS · 21 R..:iomles · 23 eh ChuSbillChieh n F 4 1-46 F~tzaClÓn e Fnmlt, Píen. ' 60. 93 Ciramfmud. · lOS f~. Fidi.. · 61. 64 CJeom,edes · 74 Coorde:nldas cartesianas· 54 Corol&riodelT_adelraiduo 45 '1 COS«lIl1e ' 11 COSCtIO· de 11 JUIIII ,U CDWlp>w- 11 c._ C rihodeEn~ • • -61 perfecto . 41 CC1llrl> - r~io de l. "".""r.reno,.' ]06 """'" Circunf... nci.a · 11)1 Elipse ' 129 Hi~rbol. · 136 P.lboI. va!icJl y borWlnW ' 120 ReolO ' lOO pendil'~ -or<kl\lda JI origen ' 97. 98 , im~trkIo · 98 F6mIlLlu · IS7 ".do GcoenJ ecu..:ión do ..sundo G~eJ .isI.mu l¡n..1es . S9 H.. 6a, do · 61, 149-52 ' ¡41~I Fracciooes JlS~briC FuncÍOCleS tr"Ígo<IO<IIffiic:u · 81 62 186 Relato conciso sobre matemática b'sica Eval uar uilonométrius COI! vilo< cltl pritnCr cuadrante · 81 G F~i6n Qeomelril . 67--10 · 41-6 Fórmulllnom.t CC1IKÍÓfI de Kgw><lo pWo Gcomctrll INllricl ' 93- 1J.6 GnOo ' 70 OrirlCO. m~ de ooIl>Ción S6 Oraficar elipses ' 125 hiptrbolos ' 1)) H OrirlCO en sillemas li""altll SI> Jordi ... ro · 122 Mhimoc~n div,,,,, ' 11 Minimo wmotn múltiplo - 9. 10 Mullipheoción FlIOC(iones al,.brieas S(l por'bolas' 119. 120 rc<:w · 91-99 IkroGoto. padre de la h!S!o... 67 Ue,611-68.149 Hiptrboll ' 130 IhpOle .. _·78 GeommcI ' 4 ldctllldade$ uiaom t~ · Monomios -)4 Polinomios ' 35.)6 Racionales ' 16 Si"",,· 5 Nocación cinlúroca ' 29 N,¡.., ..... primos .• 87 18.waci6n, mñodo de ooIuc>Ótl . " Inducción ml lem'lia · 117 Pot ... cia de "" binomio J7 Racioflaln ca 1'tCII numm .. · 11 RCdllanlente - 109. 110. 111 J R.~ lord ,nao. mttodo del · 122 mI .. ",,·] Fracciones IlI,ctwicu ' 49 Polinomios ' J) ,=- K Enteros . ] F, oe<;ÍOIIeS ll,.bric&s - 48 PoliDomios· J2 Racionolu · 15. 16 Ubicación de racionlllu ' 12 Metrodoro - 53 Kelvin ' l72 Keple"I22 L Monomio -JI cuodrado pc-rfcCIO 42 c., lSDCi.llnen multiplteoción 1 lSDCilliva ca Juma ' I COMIul.lti"" en mulriphcacÍÓfl 1 COCImutativ.... SIImI ' 1 de los cose"'" . 90 de los ....... • 19 de Ios"&n<» ' S dlStributiv. 1 N Nabu<:odoooJof · 140 NotaciÓD cioenlifico 29 Nilmeros cnleros · 2 irTacÍOllaln ' 2 1 naturales ' I pnmos · 6 M._ M ,acionllln - 12 Numeros y opcrac"",.. 1-30 SUIOfDioa""apotcnclI )7 Cálculo de delemlin,"lcs - 146 o DI"1SIÓfI FlIOC(iones al,ebrieas ' 49 MonomIOS ' )1 Poliftorn .... · 39 pOIJlI1I plilicaclÓll · 39 Racional .. . 16. 17 Smlttica - 40 0'G0rm .... Juan 70 6) ¡ndice 187 p ~g ... do cra<IO, CCtlací6n de • 62 Seno· 81 PIriboI. · 113 Poelll ' 101 de n. 1'"""'"'17 Scson:iIriJ. rey de ECipto · 67 Si""", de funcioncs ui¡oooméuicas . 12 PIIttDón · 6] PascaI·37 SistcmllDlCmacional de ~ SiSlcmllllanSulares · 70 P-..ias ·64 YmNielas 27 72, 102 p'. .....,. 5 1, 10, 11, n,90, lOS, 121. no Sis' ...."' de tcuaeiones li ... oI.. 56 Sistmta de DUIII<'tO<'i6n • 26 Sillorlo · 27 Polinomios · J I o;wisi6n· 39 Faetom · 41 Sncn, W¡llobmrd · 89 SWIII y ""ta. mtlodo de soIIOCIÓ<I ' 58 S",'¡'ucióo. método desol""ióG · 57 P~ad,. PlIIón ' 26 PlimplQll, G..,..., Anhur ' 78 PoIl&MO• .." de • 6S O«ima/ · 26 Notación cauroc. · 29 MuJl:iplicaciOn · 34 I'roductoa notables · 35 T Resta·]) Su ..... · J2 PriDCip;o de ;"dlOCCiOn matcmÍl;"' · 131-40 ProbIemo di!lico ' 26 Tl blu lriCOO')<lltlricas ' ¡ H Toles de Mil<1o ' SI. 72 T_. Proclo' 73 T"~lru ProdllClOl DOUbln l6 Propiedades "'I ulos ·11 iruI · 67 nliCrOf · 6 · 11 1 1, cil'CWlft'renc ia' 109 de ]aJuma ' 88 AllorillllO de la diy;, ión . 5 Án",los. do . 72, n upo:II>Calel ' 21 C _ de l. sum •. 88 lIÍI!IIeroo' ] FWldomut&l dollrirmftk. · B ipalcIod · 51 Frxcione •• do · 14 .-.dical.. · 2J 'w.... Pitll,DnS ' U. 90. 161 Resid"". dd . 44 SellO do la .uml . 81 Simpl;fi<:.ei6a do la forma trigo~c Propor-ci6a 61 PIolomeo, ClllUdio 30, 70 Tm..;no ;Ddq>en.dit-ntc · 40 R - Ra<:ioaole, División · 16 MuJtiplicacióco ' 16 Hrmiaos ... mcjantes . 32 Touo'64 Tolomeo l · lO Triin"do do Pue&l · ]7 r,i~I/Q ftwx:ioncs . 12 Suma y rtSla ' 15 ._.., Recca' 93 ftwntriCf,' 2 lIn¡eDIC ' 109 ..... · 68 .IW'U1 ' 61 RedlOCCión · 1'1...., Suml y "'.... me!odo do $OI""Í/In Rt¡ll de Cnmcr · 59 ramu!liplic..,;o.,o;ruuda · ]7 1" 01'11 ' 17 s · .1-92 Trinomio ' ]1 cuodrado perfecto 36. 43 dlecimal ' !B v Vasco. u.i~ndo <11:1 PI;' 27 IV W'tt.nber • . ciPdoddoAI...., ... 'o 81 z Zns · 64 91 R!!l..A TO CONCISO SOSR!! 11M TeMA TICA BASleA SE ~RMINÓ DE IMPRIMIR E N EL M ES DE A lIRIL DE 2009 EN LOS TALLERES DE LA SECCiÓN DE IMPRESiÓ N '1 REPRODUCCiÓN DE LA UNIVER SI DAD AUTÓNOMA METROPDUTANA UNIOAD AZCAPOT'ZALCO SI!: IMPRIMIERON 200 E.JEMPLARES MÁS SOBRA NTES PARA RE;POSICIÓN LA EOICIÓ N ESTUVO A CARGO DE LA SECCiÓ N DE PRO DUCC iÓ N '1 DIS TRl lIUCIÓN EDITORI A LES DE LA UNIVERSIDAD AlITÓNDMA METR OPOLITA NA UNIDA D A ZCAPOTLALCO (+> 00"" Formato de PapelMa de Vencimiento El USUIlI10 S8 obliga 8 devolv6r este libro (tI1 la fOCha s~ en el S8I1o mas r8Ci8rrIe C••H", d. """,, 2f9{6 ~ ~ FECHA DE DEVOLUClON • ClnIeroAI _Iect-. "" ~ cM ............ verbCIII. _ CoooeI.rcon . . . . Ibro001 ..... <10 "DEVtJB.TO" la t.o;:N dllveno::I!niwIIo .It o II1111I111 2896022 UAM 0A37.3 52.S5 2896022 S.Lazar Velnto, F"ncise Relato cOI'ICI.o l ob"" milte