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Dans cet exposé, nous présenterons une hiérarchie de modèles mathématiques pour la simulation numérique de structures fines actives dans un fluide visqueux et son application à la clairance mucociliaire. Notre objectif est, d'une part, de simuler précisément de grandes forêts de cils et d'analyser leur effet sur l'écoulement et, d'autre part, d'étudier l'ensemble du processus dans l'arbre bronchique. Dans un modèle 3D, nous décrivons les cils individuellement et étudions leurs actions conjointes sur le fluide (constitué de la PCL et du mucus). Le modèle est construit sur 1. une paramétrisation du mouvement prescrit des cils incluant l'onde métachronale qui traverse la forêt, 2. des forces hydrodynamiques évaluées par la slender body theory associées à la représentation 1D des cils, 3. la persistance de la structure bifluide par un mécanisme de tension superficielle entre la couche périciliaire et le mucus. Il en résulte un problème de Stokes 3D non local avec des termes source singuliers, en raison de l'action des cils 1D sur le fluide. À partir du modèle 3D, nous justifions également un modèle 1D moyenné en espace, décrivant la dynamique de la vitesse moyenne du mucus propulsé par les cils : le modèle 1D inclut non seulement la motilité ciliaire mais aussi l'influence de l'air comme mécanisme de transport du mucus. Dans le cadre d'un arbre bronchique symétrique construit sur les données morphométriques, le modèle 1D permet notamment d'étudier la dynamique du mucus dans l'arbre bronchique (de la trachée jusqu'aux générations pré-acinus) et le transfert de mucus entre générations, pour différents régimes de respiration (respiration normale ou exercice). Les deux modèles (3D, 1D) permettent d'étudier l'influence de paramètres critiques (rhéologie, motilité ciliaire, densité de cils, taux de sécrétion de mucus, air...) sur l'efficacité du transport.
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Locally stationary processes (LSPs) provide a robust framework for modeling time-varying phenomena, allowing for smooth variations in statistical properties such as mean and variance over time. In this paper, we address the estimation of the conditional probability distribution of LSPs using Nadaraya-Watson (NW) type estimators. The NW estimator approximates the conditional distribution of a target variable given covariates through kernel moothing techniques. We establish the convergence rate of the NW conditional probability estimator for LSPs in the univariate setting under the Wasserstein distance and extend this analysis to the multivariate case using the sliced Wasserstein distance. Theoretical results are supported by numerical experiments on synthetic datasets, demonstrating the practical usefulness of the proposed estimators.
T.B.A.
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