Miljarder hit och miljarder dit, det vimlar av miljarder på nyheterna numera. Regeringen vill skära ned si eller så många miljarder. Så många miljarder tjänade Elon Musk sedan i torsdags. Åtta miljarder människor bor nu på planeten jorden, etcetera.
Det är en lite skrämmande tanke att en miljard bara är början på de riktigt stora talen. En miljon miljoner är en biljon. En miljon miljarder är en biljard. En miljon biljarder är en triljon, och så vidare. Var tar det slut? Eller tar det slut?
Och vad gör vi egentligen med de här absurt stora talen, är de bara tankelekar eller har de någon praktisk betydelse? Om det handlar veckans Kvanthopp. Håll en burk aspirin nära till hands, för säkerhets skull.
Aj jo, och håll också gärna en kortlek nära till hands. Läs eller lyssna vidare så förstår du.
”Krokigt huvud”
I Amazonas regnskog, vid Maici-flodens stränder, bor en stam av jägare-samlare, kallad Pirahã. De hotas, som så mycket annat i Amazonas, av att dö ut. Det finns i dagens läge bara drygt 200 av dem kvar, vilket är en kraftig nedgång från antalet för bara några decennier sedan.
Så vitt forskarna vet är stammens kultur helt inriktad på händelser som kan förmedlas i första person – inget ”hon sade, han gjorde”, bara ”jag säger, jag gör”. Pirahãfolket har heller ingen muntlig kultur som sträcker sig längre än vad som finns i minnet hos de nu levande, ingen historia, med andra ord.
Pirahãfolket talar språket pirahã, ett mycket enkelt språk med sju konsonantljud och tre vokaler, som man inte bara kan tala, man kan vissla det. Praktiskt för jägarna när de är ute på jakt. Pirahãfolket kallar alla andra språk för ”krokigt huvud”.
Pirahãfolkets språk saknar egentliga räkneord och namn på tal. En lingvist och professor vid namn Daniel L. Everett tillbringade många år hos stammen och studerade dem. Han sade att pirahãfolket betraktar allt som är mer än två som ett ”stort” tal.
Men om man är riktigt ärlig och tänker efter innan man skrattar, så är de flesta av oss nog ganska lika Pirahãstammen, inklusive jag själv.
Okej då, vårt språk har verktyg som gör att vi kan räkna mycket längre än till två. Det sägs till exempel att Chuck Norris har räknat till oändligt – två gånger. Men det här är egentligen bara en lingvistisk grej. Det kommer en punkt där vi tappar greppet om siffror. Och den kommer ofta tidigare än vi vill medge.
När vi grälar kan vi till exempel säga ”för miljonte gången, gå ut med soporna”. Det är ju struntprat. Du har sagt det kanske hundra gånger max, på x antal år (beroende på hur länge ni har varit ihop).
När siffrorna växer sig för stora tappar vi orienteringen i talens värld, och de flesta av oss kommer bara att säga ”många” eller ”kön var sjukt lång!”, inte ”det var nitton personer före mig i kön”.
”Miljard” som en symbol för ”jättemycket”
Den kanske största överanvändningen av ett räkneord är antagligen ”miljard”. ”Det var säkert en miljard myggor i tältet”, men där var kanske… 87 myggor. Men ”miljard” är som en symbol för allt som är större än vi kan begripa.
Eller kan vi begripa en miljard? Vi borde ju kunna det, så ofta som vi hör det på nyheterna. Regeringen vill skära si eller så många miljarder. Olkiluoto 3 har kostat fem och en halv miljarder...
Men alltså, hur stor är en miljard? Mitt eget favoritexempel för att visualisera en miljard har med tid att göra. En miljon sekunder är ungefär detsamma som två veckor. En miljard sekunder, däremot, motsvarar nästan trettiotvå år.
En miljard euro, i små sedlar, så där som bankrånare vill ha dem i filmerna, skulle kräva en ganska stor paketbil. En miljard i tio euros sedlar skulle bli nästan elva kilometer hög. Till och med i femhundra euros sedlar skulle traven av sedlar bli en halv kilometer hög. Utgångspunkten är då att en sedel är drygt en tiondels millimeter tjock.
Om en miljard människor stod tätt tillsammans, så att alla fick 30 gånger 30 centimeter, då skulle de behöva en yta som är ungefär 904 kvadratkilometer. Det är lite större än medianstorleken på Finlands kommuner, och lite mindre än arealen för Enare träsk.
Om du vann en miljard euro på Superhypereurolotto, och beslöt dig för att köpa bensin för hela slanten, och göra alla tiders road trip, hur långt skulle du kunna köra, för en miljard euro?
Med ett bensinpris på, säg nu förmånliga 1,70 euro, och en medelförbrukning på 6,8 liter per hundra kilometer – det blir ungefär 11 cent per kilometer – så skulle du kunna köra cirka fyra miljarder kilometer. Det motsvarar nästan hundra tusen varv runt jorden vid ekvatorn.
61 000 års hyreskontrakt
Vi gör ännu ett försök att visualisera en miljard. Den genomsnittliga hyran för en barnfamilj som bor i höghus, var 1352 euro i Finland under 2023. Återigen, om jag använde min en miljard euros vinst i Superhypereurolotto uteslutande till att betala hyran, och hyran hölls konstant, då skulle jag kunna bo kvar i 61 569 år.
Observera skillnaden mellan miljonen och miljarden här. Om jag ”bara” hade en miljon, då skulle jag bara ha hyrespengar för 61 och ett halvt år.
Jag menar, 61 år, det är ju realistiskt, så länge kan någon tänkas bo i en bostad på riktigt. 61 tusen år däremot, som en miljard euro räcker till för, den tiden motsvarar ju ingenting på den mänskliga skalan.
Ändå – tänjer man lite på fantasin, kan man på något sätt föreställa sig en miljard. Men vad sägs om ett tal som är så stort, att om man skrev ned hela talet i en serie böcker, skulle all materia i universum inte räcka till för allt papper och allt bläck? Mer om det här alldeles strax.
Men innan vi går in på de riktigt hysteriskt stora talen, några ord om en grej som gör de stora talen ännu svårare att greppa, inklusive miljarderna. Nämligen det faktum att det finns två olika system för stora tal, den så kallade långa skalan och den korta skalan. Den långa skalan används här i Finland och i större delen av Europa, medan den korta skalan används – du gissade det – av amerikanerna och den anglosaxiska världen.
På den korta skalan är varje ny term tusen gånger större än den föregående. En amerikansk ”billion” (10^9), är på den korta skalan, är tusen miljoner. En europeisk biljon (10^12), på den långa skalan, är däremot en miljon miljoner. De här två olika betydelserna för billion och biljon gör begreppet miljard ännu svårare att greppa, eftersom engelskans billion och svenskans biljon är två helt olika saker.
Enligt samma logik är en amerikansk ”trillion” tusen miljarder, medan en europeisk triljon är samma som en miljon biljoner eller en miljard miljarder.
Forskarna undviker talens namn
En amerikansk trillion, på den korta skalan (Europa, långa skalan = biljon), är så mycket pengar att det för närvarande bara finns sex stycken företag på världsmarknaden som är värda mer än en trillion: Apple med 2,8, Microsoft med 2,4 biljoner dollar och Saudi Aramco med 2,2 amerikanska trillion dollars, alltså europeiska biljoner.
Privatpersoner då, finns det någon som kan skryta med en status som trillionaire, eller biljonär, här i Europa? Någon som har tusen miljarder dollar på kontot, med andra ord. För närvarande har ingen ännu gjort anspråk på biljonärsstatus. Men några av världens rikaste individer, med Elon Musk i spetsen, är faktiskt kanske bara några år bort från den här milstolpen.
Men att bli triljonär på den långa skalan, den europeiska, det lär inte ske, åtminstone inte någon sorts hyperinflation börjar galoppera på allvar. En triljon på den långa skalan, det är som sagt en miljard miljarder, eller 1 000 000 000 000 000 000 (en etta följd av 18 nollor), eller 1018 i tiopotensnotation. I Amerika, på den korta skalan, motsvarar det här en quintillion. Jag tror inte att ens Elon Musk inbillar sig att han en dag ska bli en quintillionaire.
Matematiker och naturvetenskapare undviker hur som helst numera alla de här benämningarna, just därför att de har olika betydelse på olika språk. Talen anges i stället med siffror, som 10^9 för en miljard, och utläses till exempel ”tio upphöjt till nio”.
De riktigt vansinnigt stora talen
Frågar man mig så blir de allra största
talen intressanta först sedan när vi talar om riktigt absurt, hjärnblödningsframkallande stora tal, som är så enorma att de inte motsvaras av någonting alls i den fysiska verkligheten.
För att ta en riktig klassiker som exempel: en googol. Det är alltså namnet på ett tal som består av en etta och hundra nollor – 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000. Ett annat namn för samma tal är tio sexdeciljarder.
Termen googol myntades av Milton Sirotta (1911–1981, brorson till matematikern Edward Kasner) vid nio års ålder och introducerades i Kasners bok Mathematics and the Imagination år 1940.
En googol har ingen särskild betydelse i matematiken, och absolut ingen betydelse i ditt och mitt vardagliga liv. Det vill säga, ifall det inte råkar höra till dina hobbyer att räkna antalet subatomära partiklar i det synliga universum. Carl Sagan beräknade att det finns ungefär 10^80 subatomära partiklar i universum, vilket är lite ditåt, men ändå klart mindre än en googol.
Edward Kasner använde talet googol för att illustrera skillnaden mellan ett ofattbart stort tal och oändligheten, och i den här rollen är det ibland använt i undervisning i matematik. Liksom att skillnaden mellan ett och en googol är ungefär som skillnaden mellan en googol och oändligheten.
Namnet på sökmotorn ”Google” är ju för övrigt en oavsiktlig felstavning av ”googol”. Företagets grundare valde namnet för att symbolisera all den information som sökmotorn kunde leta reda på.
Vi tar ett annat exempel. Om du fyllde hela det observerbara universum med sand, vilket skulle göra många väldigt upprörda, skulle det ändå inte innehålla ens nära på en googol sandkorn. Faktum är att du skulle behöva ytterligare 100 000 observerbara universum fyllda med sand för att nå upp till en googol sandkorn.
”Skriv nollor tills du blir trött”
Men en googol är ju såklart inte det största talet som finns, inte ens nära på. Efter en googol kommer en googolplex. Det är tio upphöjt till en googol, det vill säga en etta följt av en googol nollor. Det är ett tal så stort att man inte skulle kunna skriva ner alla nollorna i en googolplex med den materia som finns tillgänglig, även om varje atom i hela universum kunde omvandlas till papper och bläck.
Namnet ”googolplex” är också myntat av den redan nämnde Edward Kasners nioårige brorson, Milton Sirotta, som föreslog att googolplex skulle definieras som ”ett, följt av att skriva nollor tills du blir trött”. Men en googolplex är alltså samma som en etta följd av en googol nollor. Det är också namnet på sökmotorföretaget Googles huvudkontor.
En googolplex är så stor att den i praktiken är ohanterbar, ens som tal. En typisk bok, på 400 sidor, rymmer ungefär en miljon nollor, skrivna med 50 rader per sida och 50 nollor per rad. Det skulle krävas 10^94 sådana böcker för att skriva ut alla nollor i en googolplex. Och det är otaliga gånger mer papper och bläck än det finns materia i universum.
Men gissa vad som ännu är mycket större än en googleplex? Jo, en googolplexian, som är det samma som tio upphöjt till en googolplex alltså en etta följd av en googolplex nollor.
Men det här börjar ju redan bli fånigt. I princip kan man ju fortsätta den här leken i all evinnerlighet och säga tio upphöjt till en googolplexian är lika med en googolplexoid, och tio upphöjt till en googolplexoid är en googolplexosaurus, etcetera. De resulterande talen betyder absolut ingenting för någon alls.
Schack, de stora talens spel
Det finns däremot vissa sådana här monstertal som är möjliga att relatera till. Spelar du schack? Då kanske du uppskattar det så kallade Shannons tal, uppkallat efter den amerikanske ingenjören Claude Shannon, grundaren av den moderna kommunikations- och informationsteorin. Shannons tal är alltså en uppskattning av schackets spelträdskomplexitet, eller på svenska, antalet möjliga drag i ett schackspel.
Antalet möjliga schackdrag brukar placeras någonstans i storleksordningen 10^120, en etta följd av 120 nollor, vilket alltså är mycket större än en googol. Och det här, en etta följd av 120 nollor, är alltså Shannons tal. Och observera alltså att det representerar den nedre gränsen för spelträdets komplexitet, vilket betyder att det faktiska antalet möjliga schackpositioner och partier sannolikt är mycket större.
Apropå schack så finns det andra hjärnsprängande stora tal som associeras med spel. Du kan själv uppleva det här helt i praktiken. Det enda du behöver är en kortlek. Blanda den ordentligt, i en minut, minst.
Kombinationen av kort som du får då, är fullkomligt unik. Så länge det har funnits spelkort, har ingen haft en kortpacke med korten i just den ordningen, med nästan total matematisk säkerhet. Och sannolikt skulle ingen få exakt samma kortföljd ens om varje människa på jorden satt och blandade kort ända tills solen slocknar.
52! Kortlekens oanade talrymder
Det här har att göra med ett matematiskt koncept kallat fakultet. Fakultet betecknas med ett utropstecken (!), fakultetstecken, som läggs efter en siffra. I exemplet med kortleken är den här siffran 52! (femtiotvå fakultet).
Antalet möjliga permutationer av 52 kort, det vill säga alla ordningsföljder som 52 kort kan ha, är 52! Utropstecknet har sannolikt valts som symbol för att markera det faktum att den här funktionen producerar helt vansinnigt stora siffror på mycket kort tid.
Om du har en gammal skolräknare, den typ som maxar vid 99 999 999, då resulterar varje tal större än 11 i ”Error” om du försöker räkna ut fakulteten. Så om 12! får en typisk miniräknare att kasta in handduken – hur stort är 52!?
Du kan visualisera det här med en kortlek. Som sagt, den ska blandas väl. Dra nu slumpmässigt ett av de 52 korten. Det här kortet får position 1. Dra sedan slumpmässigt ett av de återstående 51 korten. Det får position 2. Dra sedan ett av de återstående 50 för position 3, och så vidare tills inga kort återstår.
Med andra ord är det totala antalet sätt du kan ordna kortlekens 52 kort 52 gånger 51 gånger 50 gånger 49, etcetera, ända ned till 1, med andra ord, 52! Eller, om din miniräknare har tillräckligt många siffror: 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000.
Hur stort är det här talet? Vi gör ett praktiskt experiment. Starta en timer som räknar ner antalet sekunder från 52! till 0. Hur länge tror du att det tar innan timern räknar ner hela vägen till noll? Vi tar en liten promenad runt jorden, längs ekvatorn, medan vi väntar.
Operation ”Tömma Stilla havet”
Säg att du går runt jorden längs en fiktiv väg som löper längs ekvatorn. Du har ingen brådska, så varje steg tar en miljard år. Jordens omkrets vid ekvatorn är drygt 40 000 kilometer. När du har slutfört din resa runt jorden, efter en tid som är ohyggligt mycket längre än universums nuvarande ålder, tar du bort en droppe vatten från Stilla havet, en enda droppe.
Gör nu samma sak om och om igen: gå ett varv runt jorden med en miljard år per steg, ta bort en droppe vatten från Stilla havet varje gång du passerar det. Stilla havet innehåller sådär 707,6 miljoner kubikkilometer vatten. Fortsätt på det här sättet tills havet är tomt.
När du har tömt Stilla havet, ta ett pappersark och lägg det på marken. Fyll nu Stilla havet med vatten igen och starta hela processen på nytt. Lägg till ett pappersark på högen varje gång du har tömt havet.
Gör det här tills pappersbunten når hela vägen från jorden till solen, 150 miljoner kilometer. Kasta en blick på timern, du kommer att se att de tre siffrorna längst till vänster inte ens har ändrats.
Så ta ner bunten med papper och gör om allt igen. Gör det tusen gånger. Tyvärr kommer det fortfarande inte att räcka till. Du är ändå bara ungefär en tredjedel av vägen.
För att fördriva den återstående tiden, kan du igen blanda din kortlek. Ge dig själv en fem korts pokerhand med en miljard års mellanrum. En royal flush inträffar en gång på 649 740 korthänder. Varje gång du får en royal flush, fyll i en lottorad. Om den raden vinner sju rätt, kasta ett sandkorn i Grand Canyon i USA.
Fortsätt så här tills du har fyllt upp kanjonen med sand. När du har gjort det, ta bort tjugofem gram sten från Mount Everest.
Alla tiders övertid
Efter det här börjar du om från början. Du tömmer Grand Canyon på sand och startar på nytt. Med en miljard års mellanrum delar du fem kort åt dig själv, och om du får en royal flush fyller du i en lottorad och om du vinner kastar du ett sandkorn i Grand Canyon, och när det är fullt tar du 25 gram sten från Mount Everest, och så vidare och så vidare. Mount Everest väger alltså cirka 162 miljoner ton.
När du till slut, efter oräkneliga världsåldrar, har jämnat Mount Everest med marken, titta på timern. Den visar dig att du har fortfarande 10^59 år kvar av de 52! sekunderna. En etta följd av 59 nollor.
Om du skulle upprepa hela den här cykeln 255 gånger, skulle du fortfarande ha 10^56 år kvar. Timern skulle inte nå noll förrän någon gång under din 256:e cykel av Mount Everest-royal flush. Det här är hur många sekunder som motsvaras av alla möjliga kortföljder i en vanlig kortlek.
Och det är allt vi hinner med. Synd, för vi hann inte ens behandla de där riktigt riktigt stora talen, som Grahams tal eller TREE(3). Bara Grahams tal är så stort att det observerbara universumet är för litet att rymma alla siffror i talet om vi förutsätter att varje siffra upptar en Planckvolym. Och TREE (3) är ännu större. De här talen är för stora att beskriva med ord, eller ens med fysikens termer. Kort sagt, de får en googol och 52! att se riktigt fjuttiga ut.
Var är mina huvudvärkstabletter?