De fyra byarna ligger i nordöstra Armenien och har varit obebodda de senaste 30 åren.
– Om vi inte kommer överens kan krig bryta i slutet av den här veckan, sa Armeniens premiärminister Nikol Pasjinjan när han besökte invånarna i gränsområdet Tavush.
Enligt Armenien borde en ny gränsdragning baseras på ett ömsesidigt erkännande av Armeniens och Azerbajdzjans territoriella integritet baserat på sovjetiska kartor från 1991, då de båda länderna var en del av Sovjetunionen.
Azerbajdzjan har sagt att återlämnandet av landområdena är en nödvändig förutsättning för ett nytt fredsavtal om regionen Nagorno-Karabach.
En region som azeriska styrkor återtog i höstas efter ett snabbt krig.
Aktuellt med kompromiss
Armeniens regering är inställd på att hitta en kompromiss.
– Jag vet hur ett sådant krig skulle sluta, betonade premiärminister Pasjinjan.
Armenien led ett stort nederlag i september ifjol då Bakus styrkor återtog Nagorno-Karabach i en blixtoffensiv. Ett krig där nästan alla av regionens 100 000 etniska armenier tvingades fly till Armenien.
Även om Karabach är erkänt internationellt som azerbajdzjanskt territorium hade regionens etniska armenier haft en de facto självständighet från Baku sedan kriget i början av 1990-talet.
Nato uppmanar till fred
Natos generalsekreterare Jens Stoltenberg är idag tisdag på besök i Armeniens huvudstad Jerevan.
– Ni har nu en möjlighet att uppnå en varaktig fred efter år av konflikt. Därför uppmanar jag båda länder att nå en överenskommelse som banar väg för en normalisering av förbindelserna och en varaktig fred för ert folk.
Stoltenberg uppmanade också de båda länderna att snabbt underteckna ett omdiskuterat fredsavtal.
Både Armenien och Azerbajdzjan har nyligen sagt att man är ”närmare än någonsin” att underteckna avtalet.
Men gränsdragningen är fortfarande problematisk. Azerbajdzjan har till exempel fem exklaver inne på armeniskt område och gränsen är starkt militariserad.
Armenien har länge varit allierat med Ryssland, men relationerna har kraftigt försämrats det senaste året. Jerevan anklagar Moskva för att ha tagit Azerbajdzjans sida i konflikten.
Armenien har nu vänt sin utrikespolitik mera mot väst. Regeringen förespråkar allt oftare att landet bygger ett närmare samarbete med både Nato och EU.
Lyssna om problematiken här:
