立方體
在幾何學中，立方體，是由6個正方形面組成的正多面體，故又稱正六面體、正方體或正立方體。它有12條稜（邊）和8個頂點，是五個柏拉圖立體之一。
 (按這裡觀看旋轉模型) | |||
| 類別 | 柏拉圖立體 正多面体 | ||
|---|---|---|---|
| 對偶多面體 | 正八面體 | ||
| 識別 | |||
| 名稱 | 正六面體 | ||
| 參考索引 | U06, C18, W3 | ||
| 鮑爾斯縮寫 | cube | ||
| 數學表示法 | |||
| 施萊夫利符號 | {4,3} | ||
| 威佐夫符號 | 3 | 2 4 | ||
| 康威表示法 | C | ||
| 性質 | |||
| 面 | 6 | ||
| 邊 | 12 | ||
| 頂點 | 8 | ||
| 歐拉特徵數 | F=6, E=12, V=8 （χ=2） | ||
| 二面角 | 90° | ||
| 組成與佈局 | |||
| 面的種類 | 正方形 | ||
| 面的佈局 | 6個{4} | ||
| 頂點圖 | 4.4.4 | ||
| 對稱性 | |||
| 對稱群 | Oh | ||
| 特性 | |||
| 正凸環帶多面體 | |||
| 圖像 | |||
| |||
立方體是一種特殊的正四棱柱、長方體、三方偏方面體、菱形多面體、平行六面體，就如同正方形是特殊的矩形、菱形、平行四邊形一様。立方體具有正八面體對稱性，即考克斯特BC3對稱性，施萊夫利符號{4,3}，考克斯特-迪肯符號
，其對偶多面體為正八面體。
性質
编辑面的組成：正方形
面的數目：6
邊的數目：12
頂點數目：8
表面積：
體積：
二面角角度：
外接球半徑：
內接球半徑：
對偶多面體：正八面體
在所有表面积一定的长方体中，立方体的体积最大，同样，在所有线性大小（长宽高之和）一定的长方体中，立方体的体积也是最大的。反过来，体积相等的长方体中，立方体拥有最小表面积和线性大小。
顶点坐标及表面方程
编辑在三维直角坐标系中，对于以原点为中心的、各棱平行于坐标轴的、棱长为2的立方体，其顶点坐标为 (±1, ±1, ±1) 的全排列。其包含了所有满足|x|≤1且|y|≤1且|z|≤1的点(x,y,z)。
在R3中，以点(x0,y0,z0)为中心的立方体表面是点(x,y,z)的运动轨迹，其中x,y,z满足：
几何性质
编辑立方体有11种不同的展开图，即是说，我们可以有11种不同的方法切开空心立方体的7条棱而将其展平为平面图形，见右图。
如果我们要将立方体涂色而使相邻的面不带有相同的颜色，则我们至少需要3种颜色（类似于四色问题）。
立方体是唯一能够独立密铺三维欧几里得空间的柏拉图正多面体，因此立方体堆砌也是四维唯一的正堆砌（三维空间中的堆砌拓扑上等价于四维多胞体）。它又是柏拉图立体中唯一一个有偶数边面——正方形面的，因此，它是柏拉图立体中独一无二的环带多面体（它所有相对的面关于立方体中心中心对称）。
将立方体沿对角线切开，能得到6个全等的正4棱柱（但它不是半正的，底面棱长与侧棱长之比为2:√3）将其正方形面贴到原来的立方体上，能得到菱形十二面体（两两共面三角形合成一个菱形）。
正交投影
编辑我们可以从不同角度将立方体投影到二维平面上，这些投影都各自携带有立方体原本BC3对称性的一部分。
| 正对于 | 正方形面 | 顶点 |
|---|---|---|
| 考克斯特群 | B2
|
A2
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| 投影 对称性 |
[4] | [6] |
| 倾斜视角 | 
|
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半正对称性与表面涂色
编辑作为正多面体之一，立方体拥有较高的对称性，它的所有面在几何上都是相同的，不可区分的。可是我们也可以想象将立方体的面“涂上”不同的“颜色”，使它其的不同面拥有不同的“几何意义”，使立方体拥有不同的对称性。在立方体完全的对称性，即正八面体对称性Oh中，立方体的所有面都是相同的。二面体对称性D4h则将立方体描述得像一个正四棱柱，有两个颜色相同的上下底面，其余4个侧面颜色相同。立方体最低的对称性D2h也将立方体描述的像一个棱柱，不过是长方形棱柱，即一个长方体，它的相对的面颜色相同，而相邻的面是不同的。每一种半正对称性都有自己的施莱夫利符号、考克斯特-迪肯符号和Wythoff符号。此外，由于其对偶正八面体也可被看作是正三反棱柱，立方体也可被看作是正三反棱柱的对偶，即正三偏方面体。
| 名称 | 正六面体 | 正四棱柱 | 长方体 | 正三偏方面体 |
|---|---|---|---|---|
| 考克斯特符号 |
|
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| 施莱夫利符号 | {4,3} | {4}×{} | {}×{}×{} | |
| Wythoff符号 | 3 | 4 2 | 4 2 | 2 | 2 2 2 | | |
| 对称性 | Oh (*432) |
D4h (*422) |
D2h (*222) |
D3d (2*3) |
| 对称群阶 | 24 | 16 | 8 | 12 |
| 图像 (半正表面涂色) |
 (111) |
 (112) |
 (123) |
 (111), (112), (122), 及(222) |
相关多面体及鑲嵌
编辑
- 將立方體的其中四個頂點相連，而這四個頂點任何兩條都沒有落在立方體同一條的邊上，可得到一個正四面體，其邊長為立方體邊長的 ，其體積為立方體體積的 。
當正八面體在立方體之內：
正八面體體積 : 立方體體積
=[(1/3)×高×底面積]×2 : 邊3
=(1/3)(n/2)[(n2)/2]2 : n3
=1 : 6
- 星形八面體的對角線可組成一個立方體。
- 截半立方體：從一條棱斬去另一條棱的中點得出
- 截角立方體
- 超正方體：立方體在高維度的推廣。更加一般的，立方体是一个大家族，即立方形家族（又称超方形、正测形）的3维成员，它们都具有相似的性质（如二面角都是90°、有类似的超体积公式，即Vn-cube=an等）。
- 長方體、偏方面體的特例。
将立方体对映映射后的到的商形成的一个实射影多面体，即立方體半形（hemicube）（不应叫其“半立方体”，因为其易与‘demicube’混淆）。
正方体的对偶多面体是正八面体，如果原正方体棱长为1，则对偶正八面体棱长为√2。
正方体是一种最特殊的四边形正六面体：
| 名称 | 棱长相等？ | 对角相等？ | 各角为直角？ |
|---|---|---|---|
| 立方体 | 是 | 是 | 是 |
| 菱面体 | 是 | 是 | 否 |
| 长方体 | 否 | 是 | 是 |
| 平行六面体 | 否 | 是 | 否 |
| 四边形正六面体 | 否 | 否 | 否 |
立方体的8个顶点可以被交错地分为两组，每一组都构成一个完整的正四面体，更严格地说，这是作为半(Demi-)立方体的正四面体。这两个正四面体组合到一起，就构成了一个正的复合多面体——星形正八面体（Stella Octagula）。两个正四面体重合的地方构成凸的正八面体。这意味着，正四面体的对称群A3是正方体对称群的子群，对应着能将半立方体变换到自身的对称变换，立方体其余的对称变换能将两个半立方体变换到对方。一个这样的正四面体占据了立方体体积的1/3,立方体剩余的部分是4个全等的、顶角是立方体立体角的正三棱锥，各占立方体体积的1/6。
从立方体各棱中点处切掉立方体的角，我们会发现原先立方体的正方形面变成了其对偶的正方形面，而切掉的顶点处出现了新的正三角形面，这样的操作叫“截半”（rectification），得到的半正多面体叫截半立方体（rectified cube），又叫立方八面体（cuboctahedron）。如果我们不在棱中点处截它，则这种操作叫“截角”（truncation），正方形面变成了八边形。如果截的合适，则我们可将正方形截成正八边形，得到的半正多面体叫截顶立方体（truncated cube）。如果我们同时截掉立方体的棱和顶，则这种操作叫“截棱”（centellation），如果截的恰当，得到的半正多面体是小斜方截半立方体（rhombicuboctahedron）。
正十二面体有20个顶点，它们可以以不同组合分成由8个顶点组成的5组，这8个顶点两两相连，构成内接在正十二面体内部的立方体，它的棱都是正十二面体的各面的对角线。这五个立方体组合在一起，构成复合多面体——五复合立方体。
如果我们完全切掉立方体相对的两个顶点，我们会得到一个非正的八面体，将8个这样的八面体正三角形面对正三角形面贴到正八面体上，则我们得到截半立方体。
立方体与所有其它拥有BC3对称性的多面体（如正八面体和立方八面体）构成正八面体家族：
| 对称性: [4,3], (*432) | [4,3]+, (432) | [1+,4,3], (*332) | [4,3+], (3*2) | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
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| {4,3} | t0,1{4,3} | t1{4,3} | t1,2{4,3} | {3,4} | t0,2{4,3} | t0,1,2{4,3} | s{4,3} | h{4,3} | h1,2{4,3} |
| 半正多面体的对偶 | |||||||||
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| V4.4.4 | V3.8.8 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3 | V3.4.4.4 | V4.6.8 | V3.3.3.3.4 | V3.3.3 | V3.3.3.3.3 |
此外，立方体在拓扑上与其它3阶正镶嵌{n,3}相关：
| 多面体 | 欧式镶嵌 | 双曲镶嵌 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
 {2,3}
|
 {3,3}
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 {4,3}
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 {5,3} 
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 {6,3}
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 {7,3} 
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 {8,3} 
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... |  {∞,3} 
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立方体在拓扑上还和其它阶的正方形正镶嵌{4,n}(n≥3)有关：
| 多面体 | 欧式镶嵌 | 双曲镶嵌 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
 {4,2}
|
{4,3}
|
 {4,4}
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 {4,5}
|
 {4,6}
|
 {4,7}
|
 {4,8}
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... |  {4,∞}
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立方体是正四棱柱：
| 對稱群 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [2n,2] [n,2] [2n,2+] |
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| 圖像 | 
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| 球面多面體 | ||||||||||
| 圖像 | 
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| 類別 | 柏拉圖立體 | 卡塔蘭立體 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 種子 | {3,3} |
{4,3} |
 {3,4} |
{5,3} |
 {3,5} |
 aC |
 aD |
| 倒角 |  cT |
 cC |
 cO |
 cD |
 cI |
 caC |
 caD |
應用
编辑- 日常生活
- 遊戲
- 視錯覺
- 數論
數學問題
编辑
參見尺規作圖，已經證明此題無法用無刻度的直尺與圓規去畫出 的位置
最大的橫切面
编辑立方體的橫切面只有四種：
其中以正六邊形的面積最大,若立方体的棱长为a,则正六边形的面积为 。