title: 思维训练-数学思维

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来自何帆老师读书俱乐部笔记。

精彩故事：

有一次，军方给这群数学家出了一道题。在打仗的时候，为了不让自己的飞机被敌人的战斗机击落，需要给飞机装上装甲。但是，装甲会增加飞机的重量，这样飞机的机动性就会减弱，还要消耗更多的燃油。因此，需要解决的问题是，怎样在防御性能和飞行性能之间找一个平衡点。军方希望数学家帮助他们搞清楚，在哪里加强装甲防护是最合适的。

军方给数学家提供了很多数据。美军的飞机跟敌军的飞机交火之后返回基地，飞机上会留下来很多弹孔。军方发现，在返航的飞机上，机身上的弹孔比引擎上的弹孔更多。因此，军方认为，最应该加强防御的是飞机的机身。他们想让统计学家研究一下，为了保护飞机，机身需要增加多少装甲。

瓦尔德给出的答案却和军方最初的想法大不一样。瓦尔德认为，需要加装装甲的地方不应该是弹孔多的部位，而应该是弹孔少的部位，也就是飞机的引擎。为什么会是这样呢？我们先从一个理论假设来看。从理论上来说，飞机各个部位中弹的概率应该是一样的。那么，为什么返航的飞机机身上的弹孔比引擎上的弹孔更多呢？换言之，引擎上本来应该有的弹孔去哪里了？瓦尔德认为，这是因为引擎被击中的飞机都坠毁了。回来的飞机，机身上尽管留下了很多弹孔，却仍然能够经得住打击，所以才能安全返航。打个比方来说，如果我们到战地医院去统计受伤的士兵，你会发现，腿部中弹的士兵肯定比脑部中弹的士兵要多。脑部中弹的士兵很少能够活下来，腿部中弹的士兵才有更大的概率存活。

数学思维是我们在上一周讲到的几种最基本的思维工具之一。我们在数学知识中，要特别关注那些简单而深奥的思想，这是最能提升我们推理能力的。掌握这些简单而深奥的数学知识，就能让你戴上一副X射线眼镜，帮你透过现实世界错综复杂的表面现象看清本质。

人类面对的生存环境越来越复杂，所以必须发展出“离线思考”的能力。所谓“离线思考”，就是以抽象的方式进行“如果...该怎么办”的推理能力，正式对这种“离线思考”能力的追求，推掉了语言和数学思维能力的出现。

在预测短期和长期趋势的时候，线性外推法可以作为分析的起点。但是，在预测中期趋势的时候，要更多地关注波动和周期，关系未必是线性的。在预测短期趋势的时候，我们可能会高估，在预测长期趋势的时候，我们可能会低估。

人类容易盲目轻信，习惯在没有联系的事物之间想象出因果关系。为了避免这种错误，我们要借鉴归谬法的思路，用零假设和显著性检验来一步步推理。所谓的零假设，就是要先假设毫无关系、毫无作用，然后，我们再观察实验结果中出现异常情况的概率，如果出现异常情况的概率较高，我们就说，可以推翻原来的零假设，我们发现了统计上的显著性。但是，你还学到了，显著性检验也有误区。所以，统计也是会撒谎的，你得擦亮眼睛。

显著性检验潜在的陷阱：

1） p值多小才是显著的呢？在显著性和非显著性之间并没有一套泾渭分明的界限；

2） 你不能假设一种因素一定会有影响力。如果你太想得出有影响力的结论，就可能会操纵实验；

3） 不要误解“显著性”。很多科学术语都有误导，显著性这个词就是典型的例子。

数学思维是一种本能

数学思维其实是我们的一种本能。但是，为什么自然而然出现的数学思维，最终并没有固化到我们的日常思维中呢？为什么我们大部分人还是觉得数学太难了呢？这里的关键是抽象。抽象是数学的工具箱中最具有威力的工具。只要有机会，数学家就会尝试抽象。到最后，他们就会彻底忘掉真实世界，专注于抽象的定义和概念。

被遗忘的抽象思维能力

儿童在小的时候都是有非常强的抽象思维能力的。如果没有抽象思维能力，孩子是不可能在短短一两年的时间内学会语言的。孩子在学习算术的时候，其实也是在运用抽象思维能力。孩子们之所以在学校里觉得数学难，很可能不是数学真的难，而是学校的教育方式有问题。教育学家在巴西做过一个实验，他们发现贫民窟学校里的孩子，有的数学成绩好，有的成绩不好，但这些孩子都有一个共同的特点，他们家里都很穷，孩子们下了课要帮着爸妈在市场上摆摊卖东西。在摆摊卖东西的时候，这些孩子都很会算账，数学能力都很棒，而且他们的这种数学能力跟在学校里的数学成绩之间是没有关系的。这说明数学能力是在应用中培养出来的。我们会看到有一些常年做出纳、会计、售货员这些工作的人，他们必须要跟数字打交道，所以日久天长，就锻炼出对数字的敏感，以及非常强的计算能力。在学校里，我们并不注重数学的运用，也不知道怎么培养学生的数学思维能力，于是，等学生到了高中开始学代数，或者是到了大学要学微积分的时候，会丧失本能的抽象思维能力，他们就会觉得数学太难了。不仅如此，学生们还会觉得，自己根本掌握不了数学这门学问，于是，这就变成了一种自我实现的预言。

四种抽象思维的层次。

第一个层次的抽象思维是“眼见为实”的抽象。

第二个层次的抽象思维是“想到为实”的抽象。我告诉你马。你现在待的房间里没有马，但这不妨碍你想象出一匹马的样子。

第三种层次的抽象思维是“眼见为虚”的抽象。到这一层级，就只有人类才能拥有了。我们思考的事物在现实世界中其实是没有的，但我们能够虚构出来。比如，这个世界上没有龙，但是我们可以把各种动物的特征融为一体，创造出一种神兽。

第四种层次的抽象思维是“想到为虚”的抽象。这才是数学思维的层次。数学对象是全然抽象的，它们同现实世界没有简单或者是直接的联系。我们在数学中用到的概念，比如“0”，比如虚数，你仔细想想，在现实中是没有这些东西的。这是一种更高层次的抽象。